--- title: "Elastizitätskonstanten und Modulbeziehungen von Stahl" description: "Erfahren Sie, wie E, G, K und ν bei Stahl zusammenhängen und warum Temperatur, Gefüge, Phase und Prüfung ihre Werte beeinflussen." canonical: https://steelequivalents.com/de/wiki/berechnete-kennwerte/elastizit%C3%A4tskonstanten-und-modulbeziehungen-von-stahl language: de robots: index, follow og_type: article type: wiki-article language_alternates: en: https://steelequivalents.com/wiki/calculated-values/steel-elastic-constants-and-modulus-relationships.md cs: https://steelequivalents.com/cs/wiki/vypočítané-hodnoty/elastické-konstanty-oceli-a-vztahy-mezi-moduly-pružnosti.md de: https://steelequivalents.com/de/wiki/berechnete-kennwerte/elastizit%C3%A4tskonstanten-und-modulbeziehungen-von-stahl.md es: https://steelequivalents.com/es/wiki/valores-calculados/constantes-elásticas-y-relaciones-entre-módulos-del-acero.md fr: https://steelequivalents.com/fr/wiki/valeurs-calculées/constantes-élastiques-et-relations-entre-les-modules-de-l-acier.md hu: https://steelequivalents.com/hu/wiki/számított-értékek/az-acél-rugalmassági-állandói-és-a-modulusok-közötti-összefüggések.md it: https://steelequivalents.com/it/wiki/valori-calcolati/costanti-elastiche-dell-acciaio-e-relazioni-tra-i-moduli.md nl: https://steelequivalents.com/nl/wiki/berekende-waarden/elastische-constanten-en-modulusrelaties-van-staal.md pl: https://steelequivalents.com/pl/wiki/wartości-obliczane/stałe-sprężystości-stali-i-zależności-między-modułami.md pt: https://steelequivalents.com/pt/wiki/valores-calculados/constantes-de-elasticidade-do-aço-e-relações-entre-módulos.md ru: https://steelequivalents.com/ru/вики/расчётные-величины/упругие-постоянные-стали-и-соотношения-между-модулями.md tr: https://steelequivalents.com/tr/wiki/hesaplanan-değerler/çeliğin-elastik-sabitleri-ve-modül-ilişkileri.md zh: https://steelequivalents.com/zh/维基/计算得出的数值/钢材弹性常数与模量关系.md ja: https://steelequivalents.com/ja/ウィキ/計算で求める値/鋼の弾性定数と弾性率の関係.md ar: https://steelequivalents.com/ar/ويكي/القيم-المحسوبة/ثوابت-المرونة-وعلاقات-المعاملات-في-الفولاذ.md ko: https://steelequivalents.com/ko/위키/계산으로-얻는-값/강철의-탄성-상수와-탄성-계수의-관계.md pt-br: https://steelequivalents.com/pt-br/wiki/valores-calculados/constantes-elásticas-do-aço-e-relações-entre-módulos.md hi: https://steelequivalents.com/hi/विकी/परिकलित-मान/इस्पात-के-प्रत्यास्थता-स्थिरांक-और-मापांकों-के-बीच-संबंध.md content_hash: sha256:079012e3a187470eca84b245080814b9922edd2410a0f83a5df0184403a708a7 generated: 2026-09-25 --- > **Machine-readable Markdown rendering.** This is a Markdown representation of a web page, > served for AI agents and crawlers as a token-efficient alternative to the full HTML. > Full interactive HTML version: https://steelequivalents.com/de/wiki/berechnete-kennwerte/elastizit%C3%A4tskonstanten-und-modulbeziehungen-von-stahl > Canonical URL: https://steelequivalents.com/de/wiki/berechnete-kennwerte/elastizit%C3%A4tskonstanten-und-modulbeziehungen-von-stahl > Available languages: en, cs, de, es, fr, hu, it, nl, pl, pt, ru, tr, zh, ja, ar, ko, pt-br, hi > Change detection: `content_hash` is the SHA-256 of this document's Markdown body — everything > below this block, whitespace-trimmed, excluding the front-matter. 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In diesem Bereich kann die Probe durch Entfernen der Last zumindest näherungsweise zu ihren ursprünglichen Abmessungen zurückkehren. Bei einem einfachen Zugversuch ist der Elastizitätsmodul nach Young das Verhältnis von axialer Spannung zu axialer Dehnung: E=σε. Diese Beziehung beschreibt die Steigung des anfänglichen, reversiblen Bereichs einer Spannungs-Dehnungs-Kurve. Sie beschreibt nicht die gesamte Kurve und gibt nicht an, wie viel Spannung der Stahl aushalten kann, bevor eine bleibende Verformung oder ein Bruch eintritt. #### Die sechs verwandten isotropen Größen Elastizitätsmodul E Axiale Steifigkeit bei Zug oder Druck. Poissonzahl ν Das Verhältnis der Querdehnung zur axialen Dehnung unter elastischer Belastung. Kompressionsmodul K oder B Widerstand gegen gleichmäßige Volumenkompression. Schubmodul G Widerstand gegen Winkelverzerrung unter Schub. Erster Lamé-Parameter λ Ein Parameter im konstitutiven Gesetz für Spannung und Dehnung isotroper Werkstoffe. 2μ Das Doppelte des zweiten Lamé-Parameters, wobei μ gleich G ist. Für einen isotropen, linear-elastischen Festkörper sind nur zwei elastische Konstanten unabhängig. Strong evidence Für einen isotropen, linear-elastischen Festkörper sind nur zwei elastische Konstanten voneinander unabhängig. Eine häufig verwendete Zusammenstellung umfasst den Elastizitätsmodul nach Young E, die Poissonzahl ν, den Kompressionsmodul K oder B, den Schubmodul G, den ersten Lamé-Parameter λ sowie 2⁢μ, wobei μ=G gilt. Die Sandia National Laboratories führen diese sechs miteinander verbundenen Größen auf und stellen fest, dass E und ν die übrigen Größen bestimmen. Zum Beispiel gilt: G=E2⁢(1+ν) und K=E3⁢(1−2⁢ν). Kompressionsmodul **Kompressionsmodul** Ein Maß für den Widerstand gegen eine gleichmäßige Volumenänderung unter Druck; üblicherweise wird er mit K oder B bezeichnet. Die Bezeichnungsweise variiert: NIST und andere Quellen verwenden für den Kompressionsmodul häufig B, während in technischen Lehrbüchern und Finite-Elemente-Programmen häufig K verwendet wird. Beide Bezeichnungen beschreiben dieselbe isotrope Eigenschaft. ### Elastisches Verhalten im Vergleich zu Festigkeit und Plastizität Elastische Konstanten beschreiben die Steifigkeit oder den Verformungsmodus, nicht die allgemeine Festigkeit oder den Widerstand gegen Schädigung. | Eigenschaft | Primäre Reaktion | Was sie nicht misst | |---|---|---| | Elastizitätsmodul E | Axiale elastische Dehnung | Streckgrenze oder Bruchfestigkeit | | Schubmodul G | Winkelverzerrung unter Schub | Schubstreckgrenze | | Kompressionsmodul K oder B | Gleichmäßige Volumenänderung unter Druck | Zugduktilität | | Härte | Widerstand gegen örtliche Eindrückung | Elastische Steifigkeit | | Zähigkeit | Energieaufnahme und Risswiderstand | Anfangssteigung der Spannungs-Dehnungs-Kurve | Die Elastizität beantwortet eine eng begrenzte Frage: Welche Dehnung geht mit einer bestimmten Spannung einher, bevor eine bleibende Verformung einsetzt? Die Festigkeit beantwortet andere Fragen. Die Streckgrenze bezeichnet die Spannung, die mit dem Beginn einer festgelegten plastischen Dehnung verbunden ist; die Zugfestigkeit ist die maximale technische Spannung, die während eines Zugversuchs erreicht wird; die Bruchfestigkeit betrifft die Trennung der Probe. Keine dieser Größen ist eine andere Bezeichnung für den Elastizitätsmodul nach Young. Ein Stahl kann eine hohe Streckgrenze und nahezu denselben Elastizitätsmodul nach Young wie ein Stahl geringerer Festigkeit mit ähnlicher Zusammensetzung aufweisen. Kaltverformung, Ausscheidungshärtung oder martensitische Umwandlung können die Streckgrenze und die Härte stark erhöhen, während sich der Zugmodul bei kleinen Dehnungen wesentlich weniger verändert. Der Grund dafür ist, dass Verfestigungsmechanismen die Versetzungsbewegung behindern, während das anfängliche elastische Verhalten hauptsächlich die Steifigkeit der atomaren Bindungen und die Gesamtheit der Kristallstruktur widerspiegelt. Diese Unterscheidung ist beim Vergleich beispielsweise eines vergüteten niedriglegierten Stahls mit einem geglühten Erzeugnis ähnlicher chemischer Zusammensetzung von zentraler Bedeutung. Die Plastizität beginnt, wenn die Spannungs-Dehnungs-Beziehung nicht mehr der ursprünglichen linear-elastischen Steigung folgt. Ein plastisches Stoffmodell benötigt dann Informationen wie Fließkriterien, ein Verfestigungsgesetz, eine Fließregel, die Dehnratenabhängigkeit und die Temperaturabhängigkeit. Der Elastizitätsmodul nach Young allein liefert keine dieser Informationen. Ein Finite-Elemente-Modell mit einem genauen E, aber einer ungeeigneten Fließfläche kann die bleibende Verformung dennoch schlecht vorhersagen. Andere mechanische Eigenschaften beantworten wiederum andere Fragen. Die Härte misst den Widerstand gegen eine lokal begrenzte Eindrückung und korreliert innerhalb einer kontrollierten Gruppe von Stählen häufig mit der Festigkeit, ist aber kein Modul. Die Zähigkeit betrifft die Energieaufnahme und den Risswiderstand unter einer bestimmten Prüfbedingung. Die Ermüdungsfestigkeit betrifft die Schadensakkumulation bei wiederholter oder wechselnder Belastung. Ein Stahl kann einen ähnlichen Elastizitätsmodul wie eine andere Sorte, aber eine andere Härte, Kerbschlagzähigkeit, Risswachstumseigenschaft oder Ermüdungslebensdauer aufweisen. Elastizität bedeutet auch nicht, dass jeder Belastungszyklus vollkommen reversibel ist. Reale Stähle können Mikroplastizität, Anelastizität, Restspannungseffekte, Hysterese oder Schäden zeigen, bevor ein konventioneller Fließpunkt offensichtlich wird. Der für eine bestimmte Prüfung angegebene Modul hängt daher von ihrem Dehnungsbereich, ihrer Belastungsgeschwindigkeit, der Zyklusvorgeschichte und dem Verfahren zur Datenauswertung ab. ### Der Modul als Steifigkeit, nicht als Bruchspannung Ein Modul misst die Steifigkeit: die Spannung, die erforderlich ist, um in einer festgelegten Verformungsart eine bestimmte elastische Dehnung zu erzeugen. Der Elastizitätsmodul nach Young betrifft die axiale Verlängerung oder Verkürzung. Der Schubmodul beschreibt den Widerstand gegen eine Formänderung unter Schubspannung. Der Kompressionsmodul beschreibt den Widerstand gegen eine gleichmäßige Volumenänderung unter Druck. OpenStax erläutert diese entsprechenden physikalischen Bedeutungen für Zug-, Scher- und Volumenverformungen. #### Wichtige Unterscheidung Ein hoher Modul weist auf eine größere Steifigkeit hin, bedeutet jedoch nicht, dass der Stahl vor dem Fließen oder Bruch eine höhere Spannung trägt. Ein großer Modul bedeutet, dass eine bestimmte Spannung eine kleinere elastische Dehnung hervorruft. Er bedeutet nicht, dass der Werkstoff vor dem Fließen oder Brechen eine größere Spannung aufnehmen kann. Man betrachte zwei Stahlbauteile mit demselben E, aber unterschiedlichen Streckgrenzen. Unter derselben Betriebsspannung erfahren sie ungefähr dieselbe elastische Verlängerung. Das Bauteil mit höherer Festigkeit kann vor dem Einsetzen plastischer Verformung eine größere Spannung tolerieren, ist aber im anfänglichen elastischen Verhalten nicht allein deshalb nennenswert steifer, weil seine Streckgrenze höher ist. Der Kompressionsmodul besitzt eine besonders klare thermodynamische Definition. In seinem Handbuchkapitel von 1982 schreibt das National Institute of Standards and Technology: B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T, \[1\] \[1\] [**Bulk modulus definition**](https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172). National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982. wobei V das Volumen und P der Druck ist und die Ableitung bei konstanter Temperatur gebildet wird. Dies ist eine volumetrische Eigenschaft und keine Zugbruchgrenze. Stahl lässt sich nur schwer gleichmäßig komprimieren, weshalb sein Kompressionsmodul hoch ist; diese Tatsache sagt für sich genommen wenig über die Duktilität bei Zugbelastung oder die Bruchzähigkeit aus. Der Modul sollte auch nicht mit der Rückfederungsfähigkeit verwechselt werden. Die pro Volumeneinheit gespeicherte elastische Energie hängt von der Spannung und dem Modul ab, und die bis zum Erreichen der Streckgrenze rückgewinnbare Energie hängt sowohl vom Modul als auch von der Streckgrenze ab. Eine Erhöhung der Streckgrenze kann daher die Kapazität zur Speicherung elastischer Energie vergrößern, selbst wenn sich E nur geringfügig verändert. ### Warum eine Stahlsorte keinen universellen Modul besitzt Stahlbezeichnungen kennzeichnen Spezifikationen oder Zustände, nicht unveränderliche elastische Konstanten. | Bezeichnung oder Werkstofffamilie | Was sie bezeichnet | Warum die Bezeichnung für einen einzelnen Modul nicht ausreicht | |---|---|---| | ASTM A36 | Eine Produktspezifikation für Baustahl | Produktform, Richtung, Temperatur und Prüfverfahren sind weiterhin relevant | | ASTM A572 Grade 50 | Eine Güte innerhalb einer Baustahlspezifikation | Festigkeitsanforderungen definieren keine universell gültige elastische Kennzahl | | EN 10025-2 S355JR | Eine europäische Bezeichnung für Baustahl | Lieferzustand und Produktdetails beeinflussen die angegebenen Eigenschaften | | AISI 304 | Eine austenitische Güte rostfreien Stahls | Textur, Phasenzustand, Temperatur und Verfahren können variieren | | 17-4 PH H900 | Ein Zustand eines ausscheidungshärtenden rostfreien Stahls | Der Wärmebehandlungszustand ist Bestandteil der Werkstoffbeschreibung | Eine Bezeichnung wie ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, EN 10025-2 S355JR oder AISI 304 kennzeichnet eine Spezifikation, einen Zusammensetzungsbereich, einen Produktzustand oder eine geforderte Leistungsanforderung; sie definiert jedoch keine unveränderliche elastische Kennzahl für jede nach dieser Bezeichnung hergestellte Probe. Das gemessene Verhalten hängt vom Werkstoffzustand und den Prüfbedingungen ab. Die Temperatur ist eine wichtige Einflussgröße. Elastische Konstanten ändern sich im Allgemeinen mit der Temperatur, und Phasenumwandlungen können größere Änderungen verursachen, wenn sie die Kristallstruktur oder das Phasengemisch verändern. Ein 1981 veröffentlichter Bericht des National Bureau of Standards bestimmte die elastischen Konstanten von austenitischem Fe-5Cr-26Mn-Stahl im Bereich von 76 bis 400 K anhand der Schallgeschwindigkeiten von Longitudinal- und Transversalwellen. Allein dieser Temperaturbereich zeigt, warum ein Wert ohne Angabe der Prüftemperatur unvollständig ist. Quasiisotrop **Quasiisotrop** Eine wirksame Werkstoffreaktion, die für eine festgelegte Berechnung, einen definierten Richtungsbereich und eine bestimmte Größenskala hinreichend nahe an der Isotropie liegt, obwohl die einzelnen Körner anisotrop bleiben. Auch Textur und Richtung sind von Bedeutung. Einzelne Ferrit-, Austenit- oder Martensitkristalle sind elastisch anisotrop, das heißt, ihre Steifigkeit hängt von der kristallografischen Richtung ab. Gewalzte Bleche, geschmiedete Stäbe, gezogene Drähte und additiv gefertigte Werkstoffe können bevorzugte Orientierungen entwickeln. Ein polykristallines Gefüge kann sich bei ausreichend gleichmäßig verteilten Kristallorientierungen näherungsweise isotrop verhalten, während ein stark texturiertes Erzeugnis richtungsabhängige Konstanten erfordern kann. Der Längsmodul in Walzrichtung muss nicht dem Wert durch die Blechdicke entsprechen. Phasenzusammensetzung, Einschlüsse, Porosität, Restspannung, Gefügestruktur und Produktform beeinflussen ebenfalls das gemessene Gesamtverhalten. Schweißgut und Wärmeeinflusszonen können sich vom Grundblech unterscheiden, selbst wenn sie von derselben Projektspezifikation abgedeckt sind. Konstanten eines Einkristalls können nicht einfach durch Konstruktionswerte für polykristalline Werkstoffe ersetzt werden. Das NIST-Handbuch erläutert, wie quasi-isotrope Elastizitäts-, Schub-, Kompressions- und verwandte Module aus Daten zur elastischen Steifigkeit von Einkristallen für kubische und hexagonale Werkstoffe abgeleitet werden können; diese Berechnung hängt jedoch von der Kristallsymmetrie und den Annahmen zur Orientierungsmittelelung ab. Verschiedene Prüfungen untersuchen unterschiedliche Verformungsmodi und Messbereiche. | Verfahren | Primär gemessene Reaktion | Typischerweise angegebene Konstanten | Wesentliche Einschränkungen | |---|---|---|---| | Zugversuch | Kraft und axiale Dehnung | Statisches oder quasistatisches E; ν, wenn die Querdehnung gemessen wird | Empfindlich gegenüber Ausrichtung, Einrichtung des Dehnungsaufnehmers, Nachgiebigkeit und Steigungsintervall | | Druckversuch | Kraft und axiale Verschiebung oder Dehnung | Axialmodul | Endflächenreibung, Knicken und Ausrichtung der Druckplatten können das Ergebnis beeinflussen | | Schallresonanz | Eigenresonanzfrequenzen | Dynamisches E, G und ν | Abhängig von Geometrie, Dichte, Lagerungsbedingungen, Dämpfung und Frequenz | | Geschwindigkeit von Ultraschallwellen | Geschwindigkeiten longitudinaler und transversaler Wellen | Dynamisches G, K, E und ν | Abhängig von Dichte, Temperatur, Richtung, Polarisation und Modenidentifikation | | Hydrostatische Kompression | Druck-Volumen-Reaktion | Kompressionsmodul K oder B | Erfordert kontrollierten Druck, Volumenmessung und Temperatur | \[2\] \[2\] [**Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance**](https://www.astm.org/e1875-20a.html). ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.ASTM E1875-20a legt die dynamische Messung des Elastizitätsmoduls, des Schubmoduls und der Poissonzahl mittels Schallresonanz fest. Strong evidence Das Messverfahren verändert das angegebene Ergebnis. Ein langsamer Zugversuch ergibt einen statischen oder aus Sekanten- beziehungsweise Tangentensteigung bestimmten Modul auf Grundlage von Kraft und Weg, während Ultraschall- oder Resonanzverfahren einen dynamischen Modul aus der Wellengeschwindigkeit oder der Eigenfrequenz bestimmen. ASTM E1875-20 spezifiziert die Bestimmung des dynamischen Elastizitätsmoduls nach Young, des Schubmoduls und der Poissonzahl „durch Schallresonanz“. Dynamische Werte können sich aufgrund der Frequenz, der Dämpfung, der Maschinensteifigkeit, der Dehnungsamplitude und des Umgangs mit nichtidealen Probenbereichen von statischen Werten unterscheiden. Daher sollte ein aussagekräftiger Modulbericht mindestens die Stahlbezeichnung, die Produktform und den Werkstoffzustand, die Temperatur, die Belastungsrichtung, die Verformungsart und das Messverfahren angeben. Außerdem sollte er ausweisen, ob der Wert gemessen, aus anderen Konstanten berechnet oder als Konstruktionsannahme übernommen wurde. Engineering ToolBox gibt für „Edelstahl“ einen ungefähren Kompressionsmodul von 163 GPa an; dies ist jedoch ein sekundärer Referenzschätzwert und kein universeller Wert für jede Edelstahlsorte, jede Wärmebehandlung, jede Textur, jede Temperatur oder jedes Prüfverfahren. Die Verwendung einer einzigen Zahl für jedes Erzeugnis kann bei einer vorläufigen isotropen Berechnung zulässig sein, wenn die Annahme offengelegt wird. Sie als sortenunabhängige Werkstoffeigenschaft darzustellen, ist es nicht. ## Die Zwei-Konstanten-Grundlage der isotropen linearen Elastizität Die lineare Elastizität beschreibt den reversiblen Anteil der Reaktion eines Materials, solange Spannung und Dehnung ausreichend klein bleiben, sodass eine lineare Beziehung gilt. Das Wort *isotrop* fügt eine separate Bedingung hinzu: Es wird angenommen, dass die Reaktion in jeder Richtung gleich ist. Unter diesen beiden Annahmen besitzt der elastische Steifigkeitstensor deutlich weniger unabhängige Terme als ein allgemeiner anisotroper Festkörper. Sechs häufig angegebene Größen – der Elastizitätsmodul E, die Poisson-Zahl ν, der Kompressionsmodul K oder B, der Schubmodul G, der erste Lamé-Parameter λ und 2⁢μ – können daher aus nur zwei ausgewählten Konstanten ausgedrückt werden. Dieses Ergebnis gilt für das Stoffgesetz und nicht automatisch für jeden gemessenen Wert, der für Stahl angegeben wird. Temperatur, Phasenzusammensetzung, kristallografische Textur, Porosität, Eigenspannung, Probenorientierung, Frequenz und Prüfverfahren können die gemessene Reaktion beeinflussen. Ein Wert, der in einem isotropen Finite-Elemente-Modell verwendet wird, ist häufig eine effektive technische Eigenschaft und keine vollständige Beschreibung des Mikrogefüges des Materials. ![ ## Elastizitätskonstanten und Modulbeziehungen von Stahl](/images/uploads/41f0dedf-2ffb-4836-875e-f8d8e37a8117/wiki-inline-a-labelled-tensor-diagram-showing-how-isotropic-stress-and-strain-reduce-to-two-1520x1920.jpg)[](/images/uploads/41f0dedf-2ffb-4836-875e-f8d8e37a8117/wiki-inline-a-labelled-tensor-diagram-showing-how-isotropic-stress-and-strain-reduce-to-two-2027x2560.avif "Bild vergrößern — ## Elastizitätskonstanten und Modulbeziehungen von Stahl")Under isotropic linear elasticity, the named constants are linked rather than independently adjustable. ### Warum nur zwei unabhängige Konstanten erforderlich sind Spannung und Dehnung sind Tensoren zweiter Ordnung. In einem allgemeinsten linear-elastischen Festkörper erfordert die Beziehung zwischen ihnen einen Steifigkeitstensor vierter Ordnung mit zahlreichen möglichen richtungsabhängigen Kopplungen. Die Symmetrie der Spannungs- und Dehnungstensoren reduziert die Anzahl der unabhängigen Terme, und die Materialsymmetrie verringert sie weiter. Die Isotropie stellt die stärkste gewöhnliche Materialsymmetrie dar: Keine Richtung ist mechanisch ausgezeichnet. Die isotrope Spannungs-Dehnungs-Beziehung kann geschrieben werden als σij=2⁢μ⁢εij+λεkk⁢δij, wobei σij der Spannungstensor, εij der Dehnungstensor, δij das Kronecker-Delta und λ sowie μ die Lamé-Parameter sind. Somit bilden λ und μ ein gültiges Paar unabhängiger Konstanten. Der Schubmodul ist G=μ, daher ist die Verwendung von G und λ gleichwertig. Springers *Elasticity of Solids* (2020) formuliert das zentrale Ergebnis unmittelbar: Für einen isotropen Festkörper sind nur zwei elastische Konstanten unabhängig. Die Sierra-Dokumentation der Sandia National Laboratories führt den zugehörigen isotropen Satz als Elastizitätsmodul E, Poisson-Zahl ν, Kompressionsmodul K, Schubmodul G, ersten Lamé-Parameter λ und 2⁢μ auf und stellt fest, dass E und ν die übrigen Größen bestimmen. Das Auftreten von sechs Bezeichnungen erzeugt keine sechs unabhängig einstellbaren Materialeigenschaften. Für das übliche Paar E,ν lauten die Umrechnungen G=E2⁢(1+ν), K=B=E3⁢(1−2⁢ν), λ=E⁢ν(1+ν)⁢(1−2⁢ν), und 2⁢μ=2⁢G=E1+ν. Auch die Umkehrbeziehungen sind nützlich: E=9⁢KG3⁢K+G, ν=3⁢K−2⁢G2⁢(3⁢K+G). Diese Gleichungen sind keine empirischen Korrelationen, die auf eine einzelne Stahlfamilie beschränkt sind. Sie folgen aus dem isotropen linear-elastischen Stoffgesetz. Sie stellen außerdem Konsistenzanforderungen. Für einen stabilen, gewöhnlichen isotropen Festkörper gilt G\>0, K\>0 und −1\<ν\<0.5. Nähert sich ν dem Wert 0.5, wird das Material im Modell nahezu inkompressibel: K wird deutlich größer als G, während E weiterhin mit beiden Größen verknüpft bleibt. Die physikalischen Bedeutungen unterscheiden sich, obwohl die Konstanten mathematisch miteinander verbunden sind. OpenStax beschreibt den Elastizitätsmodul als das Verhältnis, das die Zugreaktion bestimmt, den Kompressionsmodul als die Reaktion auf eine volumetrische Kompression und den Schubmodul als die Reaktion auf eine Schubverformung. Eine Zugprüfung liefert hauptsächlich E, doch die neben der axialen Dehnung gemessene Querdehnung liefert ν. Ein Druck-Volumen-Versuch bestimmt K, während ein Torsionsversuch oder eine Messung von Scherwellen G bestimmt. Sobald ein konsistentes Paar bekannt ist, werden die übrigen Module berechnet und nicht unabhängig ausgewählt. Die thermodynamische Definition des Kompressionsmoduls macht seine Unterscheidung vom Elastizitätsmodul ausdrücklich: B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T. Dieser vom National Institute of Standards and Technology im Jahr 1982 angegebene Ausdruck beschreibt den Widerstand gegen eine Volumenänderung unter Druck bei konstanter Temperatur. Er bedeutet nicht, dass ein tabellierter Kompressionsmodul mit einem Zugmodul austauschbar ist. Die numerische Beziehung zwischen ihnen existiert erst, nachdem die isotropen Stoffgesetzannahmen angewendet wurden. ### E und ν als praktisches Eingabepaar Technische Berechnungen verwenden häufig E und ν, weil diese Größen sich unmittelbar auf eine einachsige Zugprüfung beziehen lassen und direkt durch standardisierte Daten für Konstruktionswerkstoffe unterstützt werden. In einem dreidimensionalen isotropen Modell kann die Software aus der Eingabe dieser beiden Größen G, K, λ und 2⁢μ ohne zusätzliche Materialkonstanten bestimmen. Die Eingabe aller sechs Größen kann ein inkonsistentes Modell erzeugen, wenn die Werte die Umrechnungsgleichungen nicht erfüllen. Dies ist besonders wichtig, wenn die Werte aus unterschiedlichen Quellen stammen. Ein statischer Zugmodul, ein dynamischer Modul aus einer Resonanzmessung und eine Schätzung des Kompressionsmoduls können jeweils unter ihren eigenen Messbedingungen gültig sein, ohne sich über die isotropen Gleichungen exakt gegenseitig zu reproduzieren. ASTM E1875-20a legt die Bestimmung des dynamischen Elastizitätsmoduls, des Schubmoduls und der Poisson-Zahl „durch akustische Resonanz“ fest. In der Praxis handelt es sich dabei um frequenzabhängige oder von der Belastungsgeschwindigkeit abhängige Messungen, selbst wenn das Material innerhalb seines elastischen Bereichs bleibt. Ohne Prüfung der Versuchsbedingungen sollte nicht angenommen werden, dass sie mit Werten aus langsam durchgeführten Zugprüfungen identisch sind. Eine ergänzende Quelle, Engineering ToolBox, gibt für rostfreien Stahl einen ungefähren Kompressionsmodul von 163 GPa an. Diese Zahl ist ein Referenzwert und keine universelle Konstante für jede Güte von rostfreiem Stahl, jede Wärmebehandlung, jede Temperatur, jede Produktform oder jedes Prüfverfahren. Sie sollte nicht ohne Weiteres mit einem unabhängigen E- oder ν-Wert kombiniert und anschließend als gemessene, gütespezifische Materialeigenschaft dargestellt werden. Die gleiche Vorsicht gilt für Werte im ASM *Steel Castings Handbook*, in dem der Elastizitätsmodul, die Poisson-Zahl, der Schubmodul und verwandte physikalische Eigenschaften als charakteristische Daten für Stahlgussteile aufgeführt werden. „Stahl“ ist keine einzelne, unveränderliche elastische Probe. Die Unterscheidung zwischen statischen und dynamischen Eigenschaften ist für die Auslegung von Bedeutung. Dynamische Prüfungen leiten elastische Konstanten aus Resonanzfrequenzen oder Wellengeschwindigkeiten ab; statische Prüfungen bestimmen sie aus Kraft, Verschiebung und Dehnung. Ein dynamischer Modul kann sich aufgrund von Frequenz, Dämpfung, mikrostrukturellen Mechanismen, Temperatur und Messinstrumentierung unterscheiden. Der Bericht des National Bureau of Standards über den austenitischen Stahl Fe-5Cr-26Mn bestimmte elastische Konstanten im Bereich von 76–400 K anhand der Schallgeschwindigkeiten longitudinaler und transversaler Moden. Dieser Bereich zeigt, warum ein Wert ohne Angabe von Temperatur und Verfahren unvollständig sein kann, selbst wenn die Werkstoffbezeichnung präzise ist. ### Die Rolle von Isotropie und Quasi-Isotropie Ein polykristalliner Stahl kann sich näherungsweise isotrop verhalten, wenn seine Körner klein, zahlreich und hinsichtlich ihrer Orientierung ausreichend zufällig verteilt sind. Die einzelnen Kristalle bleiben anisotrop, doch richtungsabhängige Effekte können sich über ein repräsentatives Volumen hinweg herausmitteln. Dies ist die Grundlage für die Verwendung eines effektiven E und eines effektiven ν in zahlreichen Konstruktionsberechnungen. Die Näherung wird schwächer, wenn die Verarbeitung eine ausgeprägte Textur erzeugt. Walzen, Schmieden, additive Fertigung, gerichtete Erstarrung und thermische Zyklen beim Schweißen können bevorzugte kristallografische Orientierungen hervorbringen. Ein Blech kann dann unterschiedliche Eigenschaften in Längsrichtung, Querrichtung und durch die Dicke aufweisen. Ein Gussprodukt kann aufgrund dendritischer Strukturen, Entmischung, Porosität und lokaler Kornorientierung ein anderes Muster zeigen. Auch die Phasenzusammensetzung ist von Bedeutung: Ferrit, Austenit, Martensit, Bainit und Restaustenit tragen nicht zu einem identischen elastischen Verhalten des Einkristalls bei. *Quasi-isotrop* beschreibt eine effektive Reaktion, die für einen bestimmten Zweck, Richtungsbereich und Maßstab ausreichend nahe an der Isotropie liegt. Der Begriff beseitigt weder die Anisotropie der Kristalle noch garantiert er, dass jeder in jeder Orientierung gemessene Modul übereinstimmt. Das Kapitel des NIST-Handbuchs über die elastischen Konstanten von Einkristallen erläutert, wie polykristallines E, G, B, der Longitudinalmodul und ν aus Einkristall-Steifigkeitsdaten für kubische und hexagonale Elemente abgeleitet werden können. Dieses Vorgehen macht die Mittelungsannahme sichtbar, anstatt die daraus resultierenden polykristallinen Konstanten als fundamentale Werte zu behandeln. Für einen stark texturierten Stahl kann ein anisotropes Elastizitätsmodell mehr als zwei unabhängige Konstanten erfordern und muss die Probenorientierung berücksichtigen. Für ein quasi-isotropes Stahlbauteil können zwei effektive Konstanten für die vorgesehene Berechnung ausreichen, sofern die Annahme anhand von Messungen überprüft wurde. Auch das Kapitel *Constitutive Response* von Oxford Academic ordnet die isotrope lineare Elastizität anhand von zwei unabhängigen Konstanten ein. Die praktische Frage lautet daher nicht, ob Stahl sechs unabhängige elastische Module besitzt. Im isotropen Modell ist dies nicht der Fall. Die Frage ist vielmehr, ob die ausgewählten zwei Konstanten das für die Berechnung relevante Material, die Temperatur, die Richtung und den Messbereich angemessen repräsentieren. ## Der Young-Modul E von Stahl Der Young-Modul E beschreibt die Steifigkeit eines Materials bei einachsiger Zug- oder Druckbeanspruchung. Nach der anwendbaren linear-elastischen Definition ist er das Verhältnis von Normalspannung zu axialer Dehnung: E=σε Dabei ist σ die entlang der Probenachse wirkende Normalspannung und ε die zugehörige axiale Dehnung. Bei einem vollkommen linearen Verhalten ist das Spannungs-Dehnungs-Diagramm eine Gerade durch den Ursprung, und E entspricht ihrer Steigung. Die Einheit ist Pascal; für Stahl wird der Wert normalerweise in Gigapascal angegeben. Diese Definition gilt nur für den Teil der Belastung, in dem das Materialverhalten linear und reversibel ist. Sie bedeutet nicht, dass jedes während einer Stahlprüfung gemessene Verhältnis von Spannung zu Dehnung der Young-Modul ist. Sobald plastische Dehnung, eine Phasenumwandlung, Schädigung oder eine wesentliche Nichtlinearität auftritt, beschreibt die ausgewählte Steigung oder das ausgewählte Verhältnis eine andere Werkstoffeigenschaft. ### Einachsige Spannung und axiale Dehnung Bei einem einachsigen Zugversuch wird eine Kraft entlang einer Hauptrichtung einer Probe aufgebracht. Die technische axiale Spannung wird üblicherweise als aufgebrachte Kraft dividiert durch die ursprüngliche Querschnittsfläche berechnet: σ=FA0 Die technische axiale Dehnung ist die Änderung der Messlänge dividiert durch deren ursprüngliche Länge: ε=L−L0L0 Bei kleinen Dehnungen liefern diese Definitionen den üblichen technischen Wert von E. Ein Prüfextensometer oder ein Dehnungsmessstreifen misst die Verlängerung über eine festgelegte Messlänge, während die Prüfmaschine Kraft und Weg aufzeichnet. Die gemessene Steigung kann durch die Nachgiebigkeit der Maschine, Bewegungen der Spannvorrichtung, die Ausrichtung der Probe, den Oberflächenzustand und das Verfahren zur Bestimmung des Anfangsbereichs der Kurve beeinflusst werden. Im elastischen Bereich zieht sich eine Zugprobe außerdem quer zusammen. Die Poisson-Zahl ν setzt die Querdehnung zur axialen Dehnung in Beziehung, üblicherweise als ν=−εtransverseεaxial \[3\] \[3\] [**Elasticity of Solids**](https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4). Springer Nature. Springer book chapter, 2020. Für einen isotropen, linear-elastischen Festkörper bestimmen E und ν die übrigen elastischen Konstanten. Die Dokumentation von Sandia Sierra führt den zugehörigen isotropen Satz als Young-Modul E, Poisson-Zahl ν, Kompressionsmodul K, Schubmodul G, ersten Lamé-Parameter λ und 2⁢μ auf; die Aussage, dass E und ν die übrigen Größen bestimmen, spiegelt die Struktur der isotropen Elastizität mit zwei Konstanten wider. Auch Springers *Elastizität von Festkörpern* stellt fest, dass für einen isotropen Festkörper nur zwei elastische Konstanten unabhängig sind. Die im technischen Entwurf häufig verwendeten Beziehungen lauten G=E2⁢(1+ν) und K=E3⁢(1−2⁢ν) wobei G der Schubmodul und K, auch als B bezeichnet, der Kompressionsmodul ist. Diese Gleichungen machen E, G, K und ν nicht zu vier unabhängigen Werkstoffkennwerten. Sie verknüpfen Messungen unter verschiedenen Verformungsarten, sofern die Annahmen der Isotropie und der linearen Elastizität zutreffen. Die Unterscheidung zwischen den Verformungsarten ist wichtig. Der Young-Modul bezieht sich auf die axiale Verlängerung oder Verkürzung, der Schubmodul auf die Winkelverzerrung unter Schubbeanspruchung und der Kompressionsmodul auf die Volumenänderung unter hydrostatischem Druck. OpenStax stellt diese Größen als unterschiedliche physikalische Interpretationen des elastischen Verhaltens dar. Die Behandlung im NIST-Handbuch von 1982 definiert den Kompressionsmodul thermodynamisch als B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T Sein Wert bezieht sich somit auf eine druckbedingte Volumenänderung bei vorgegebener Temperatur und nicht einfach auf die Steigung einer Zugspannungs-Dehnungs-Kurve. Stahl wird bei gewöhnlichen technischen Berechnungen häufig als isotrop behandelt, weil ein polykristallines Produkt viele kristallografische Orientierungen enthalten kann. Diese Näherung kann bei stark texturiertem Blech, stark kaltverformtem Stabmaterial, gewalztem Blech, Schweißverbindungen, additiv gefertigten Werkstoffen oder Einkristallproben aus der Forschung versagen. Kristalle aus kubischem Ferrit und Austenit besitzen richtungsabhängige elastische Steifigkeiten, obwohl ein Aggregat mit geeignet verteilten Orientierungen quasiisotrop erscheinen kann. NIST erläutert, wie der polykristalline E-Modul, Schubmodul, Kompressionsmodul, Längsmodul und die Poisson-Zahl aus Einkristall-Daten der elastischen Steifigkeit für kubische und hexagonale Werkstoffe berechnet werden können. Folglich ist ein für „Stahl“ angegebener Wert nicht automatisch eine universelle Konstante für jede Produktform. Chemische Zusammensetzung, Ferrit, Perlit, Bainit, Martensit, Restaustenit, Karbidverteilungen, Porosität, Textur und Eigenspannungen können das gemessene Verhalten beeinflussen. Die Wirkung kann bei einer Prüfkonfiguration gering und bei einer anderen erheblich sein. ### Sekanten-, Tangenten- und anfänglicher Elastizitätsmodul Der anfängliche Elastizitätsmodul ist die Steigung der Spannungs-Dehnungs-Kurve bei oder sehr nahe bei einer Spannung und Dehnung von null. In Differentialform gilt Einitial=d⁢σd⁢ε|ε→0 vorausgesetzt, die Kurve ist hinreichend linear und das Messsystem wurde korrigiert. Dies ist der Wert, der am engsten mit der Lehrbuchdefinition des Young-Moduls verbunden ist. Ein Tangentenmodul ist die lokale Steigung an einem ausgewählten Punkt: Etan=d⁢σd⁢ε Bleibt die Kurve linear, ist der Tangentenmodul gleich dem anfänglichen Elastizitätsmodul. In der Nähe des Fließbeginns kann Stahl jedoch aufgrund des Einsetzens der Plastizität, der Versetzungsbewegung, der Lüders-Dehnung, von Umwandlungseffekten oder von Prüfungsartefakten eine Krümmung zeigen. Der Tangentenmodul ändert sich dann mit Spannung und Dehnung. Bei seiner Angabe müssen der Punkt oder das Dehnungsintervall genannt werden, an dem er gemessen wurde. Ein Sekantenmodul ist die Steigung einer Geraden von einem ausgewählten Ursprung zu einem ausgewählten Punkt auf der Kurve: Esec=σε für diesen ausgewählten Punkt. Er mittelt das Verhalten über das Intervall, anstatt die lokale Steigung zu beschreiben. Wenn die Kurve von der Linearität abweicht, unterscheiden sich Sekanten- und Tangentenwerte. Ein Sekantenmodul, der bei einer Spannung jenseits des ersten Fließens bestimmt wurde, kann deutlich niedriger als der anfängliche Elastizitätsmodul sein, weil die Gesamtdehnung plastische Dehnung einschließt. Diese Begriffe sind daher nicht austauschbar. Einen Sekantenwert als „Young-Modul“ zu bezeichnen, ohne den Dehnungs- oder Spannungsbereich anzugeben, kann zu einer irreführenden Auslegung führen. Dasselbe Problem tritt auf, wenn eine Maschine eine Steigung aus dem Traversenweg anstelle der direkt gemessenen Messlängendehnung bestimmt. Das Setzen der Spannvorrichtung und die Verformung des Rahmens können die Anfangskurve verfälschen, während Plastizität eine spätere Kurve verfälschen kann. Auch eine vorherige Verformung ist von Bedeutung. Kaltwalzen, Ziehen, Richten, Vorverformen und zyklische Belastung verändern Versetzungsstrukturen und Eigenspannungen. Sie können die scheinbare Anfangssteigung verändern, eine Zug-Druck-Asymmetrie hervorrufen und unterschiedliche Entlastungs- und Wiederbelastungssteigungen erzeugen. Eine plastisch vorgedehnte Probe ist nicht allein deshalb einer unverformten Probe gleichwertig, weil sie dieselbe nominelle Gütebezeichnung besitzt. Auch die Temperatur muss angegeben werden. Die elastische Steifigkeit ändert sich im Allgemeinen mit der Temperatur, und die Phasenzusammensetzung kann sich über einen größeren Temperaturbereich verändern. Ein 1981 veröffentlichter Bericht des National Bureau of Standards bestimmte elastische Konstanten für austenitischen Fe-5Cr-26Mn-Stahl im Bereich von 76–400 K anhand der Schallgeschwindigkeiten im Längs- und Quermodus. Dieser Temperaturbereich zeigt, warum ein bei Raumtemperatur bestimmter Zugwert nicht unkritisch auf kryogenen Einsatz oder eine Analyse bei erhöhter Temperatur übertragen werden sollte. ### Statischer und dynamischer Young-Modul Ein statischer Young-Modul wird aus einer langsam aufgebrachten mechanischen Belastung bestimmt, üblicherweise durch die Messung von Kraft und axialer Dehnung während einer Zug- oder Druckprüfung. „Langsam“ bedeutet nicht, dass das Ergebnis unabhängig von der Belastungsgeschwindigkeit ist. Dehnungsrate, Belastungsgeschichte, Haltezeit, Temperaturanstieg und das Dehnungsmesssystem können die angegebene Steigung beeinflussen. Viskoelastische Effekte sind bei gewöhnlichem Stahl unter Umgebungsbedingungen meist begrenzt; dennoch können ratenabhängige Plastizität, Dämpfung, thermische Effekte und die Nachgiebigkeit der Prüfmaschine das Ergebnis in der Nähe des elastisch-plastischen Übergangs beeinflussen. Ein dynamischer Young-Modul wird aus einer Schwingungs-, Wellenausbreitungs- oder Resonanzmessung abgeleitet. ASTM E1875-20a legt die Bestimmung des dynamischen Young-Moduls, des Schubmoduls und der Poisson-Zahl „durch Schallresonanz“ fest. Das Verfahren verwendet Resonanzfrequenzen und Probenabmessungen; außerdem gehen die Dichte sowie Beziehungen für die Schwingung von Balken oder Stäben in die Berechnung ein. Da die Verformung bei einer endlichen Frequenz und im Allgemeinen mit sehr kleiner Amplitude schwingt, ist das Ergebnis nicht einfach der Wert eines schneller durchgeführten Zugversuchs. #### Warnung zu Konstruktionsdaten Übertragen Sie keinen statischen Raumtemperaturmodul auf kryogene, erhöhte Temperaturen, texturierte, geschweißte, poröse oder additiv gefertigte Einsatzbedingungen, ohne den relevanten Zustand und die relevante Richtung zu prüfen. Dynamische Messungen können sehr empfindlich auf Probengeometrie, Lagerungsbedingungen, Frequenz, Dichte, Dämpfung und innere Fehlstellen reagieren. Statische Messungen reagieren empfindlich auf Ausrichtung, Positionierung des Extensometers, Messlänge und Dehnungsrate. Wenn beide Verfahren innerhalb desselben elastischen Bereichs korrekt durchgeführt werden, können ihre Ergebnisse nahe beieinanderliegen; eine Übereinstimmung ist jedoch nicht garantiert. Ein angegebener Modul sollte daher das Verfahren, die Temperatur, die Orientierung, den Zustand der Probe sowie die Information nennen, ob es sich um einen anfänglichen, tangentialen, sekanten, statischen oder dynamischen Wert handelt. Ein ungefährer Referenzwert von 163 GPa wird von Engineering ToolBox gelegentlich für den Kompressionsmodul von Edelstahl angegeben. Dabei handelt es sich jedoch um eine sekundäre Schätzung und nicht um einen universellen Wert für jede Edelstahlsorte, jede Normbezeichnung, jede Temperatur, jede Textur oder jede Produktform. Dieselbe Vorsicht gilt für angegebene Werte des Young-Moduls. In isotropen Berechnungsmodellen genügt ein sorgfältig ausgewähltes Paar elastischer Konstanten; die gemessenen Werkstoffdaten müssen jedoch weiterhin zum Zustand des Stahls und zur in der Berechnung verwendeten Verformungsart passen. ## Schubmodul G und Formänderungssteifigkeit Der Schubmodul G misst den Widerstand eines Festkörpers gegen eine Formänderung, die durch Schubspannung verursacht wird. Er beschreibt nicht primär den Widerstand gegen eine Volumenänderung. Unter idealer reiner Scherung gleitet ein Paar von Werkstoffebenen relativ zu einem anderen, wodurch sich die Winkel innerhalb des Körpers ändern, während sein Volumen nahezu unverändert bleibt. Diese Unterscheidung grenzt G vom Kompressionsmodul K oder B ab, der den Widerstand gegen hydrostatische Kompression beschreibt. Für Stahl ist G kein separates Gütemerkmal, das unabhängig von allen anderen elastischen Eigenschaften variieren kann. In der homogenen, isotropen, linearen Elastizität sind nur zwei elastische Konstanten unabhängig. Eine Tabelle kann den Youngschen Modul E, die Poissonzahl ν, den Schubmodul G, den Kompressionsmodul K, den ersten Lamé-Parameter λ und 2⁢μ angeben, doch diese Größen sind mathematisch miteinander verknüpft. Die Sandia National Laboratories führen diese aus sechs Größen bestehende isotrope Gruppe auf und stellen fest, dass E und ν die übrigen Größen bestimmen. Dieselbe Beschränkung auf zwei Konstanten wird in *Elasticity of Solids* (2020) von Springer beschrieben. ### Schubspannung und Winkelverzerrung Die Schubspannung, konventionell mit τ bezeichnet, wirkt parallel zu einer Oberfläche. Wird ein rechteckiges Element geschert, verändern sich seine ursprünglich rechten Winkel durch eine Winkelverzerrung γ. Bei kleinen Verformungen wird γ im Bogenmaß angegeben und kann durch den Quotienten aus seitlicher Verschiebung und Höhe angenähert werden: γ≈Δxh. Die linear-elastische Beziehung lautet τ=G⁢γ, oder G=τγ. Je größer G ist, desto größer ist die erforderliche Schubspannung, um eine bestimmte Winkelverzerrung zu erzeugen. Dies ist eine Beziehung der Steifigkeit und keine Aussage über Fließen oder Bruch. Ein Stahlprobekörper kann einen hohen elastischen Schubmodul aufweisen und sich dennoch dauerhaft verformen, sobald seine lokale Schubspannung die maßgebliche Fließbedingung überschreitet. Die reine Scherung veranschaulicht den Unterschied zwischen Formänderungs- und Volumenänderungsreaktion. Ein Würfel kann zu einem schiefen Parallelepiped werden, während sich seine Kantenlängen und sein Volumen nur sehr wenig ändern. Reale Festkörper erfahren während der Scherung ebenfalls Normaldehnungen. In einem isotropen Werkstoff werden diese begleitenden Dehnungen über die Poissonzahl und die vollständigen Stoffgleichungen bestimmt; die hauptsächlich gemessene Verformung ist jedoch die Winkelverzerrung. Ein Werkstoff unter hydrostatischem Druck verhält sich anders. Der Druck wirkt in alle Richtungen gleich und verändert das Volumen, ohne eine bevorzugte Schubrichtung zu erzeugen. Der entsprechende Modul wird vom NIST thermodynamisch definiert als B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T, wobei V das Volumen und P der Druck ist und die Ableitung bei konstanter Temperatur gebildet wird. Diese Definition, die in einem Kapitel eines NIST-Handbuchs aus dem Jahr 1982 zitiert wird, zeigt, warum ein Kompressionsmodul bei einer Torsions- oder Schubberechnung nicht anstelle von G verwendet werden sollte. Für eine isotrope Näherung von Stahl lautet die Dichte der Schubverformungsenergie us=12⁢τ⁢γ=τ22⁢G=12⁢G⁢γ2. Diese gespeicherte Energie wird bei Entlastung zurückgewonnen, sofern die Verformung innerhalb des elastischen Bereichs bleibt und kein zeitabhängiger Mechanismus oder Schädigungsmechanismus eingegriffen hat. ### Torsion, Transversalwellen und Schubverhalten Torsion ist ein praktischer Ausdruck der Schubelastizität. Wird eine runde Stahlwelle verdreht, drehen sich Querschnitte relativ zueinander, und Werkstoffelemente erfahren eine Schubverzerrung, die mit dem Abstand von der Wellenachse zunimmt. Für eine Kreiswelle bei der Torsion nach Saint-Venant gilt T=GJ⁢φL, wobei T das Drehmoment, J das polare Flächenträgheitsmoment, φ der Verdrehwinkel und L die Länge der Welle ist. Umgestellt ergibt sich φL=TGJ. Eine Welle mit größerem G verdreht sich unter demselben Drehmoment weniger, sofern ihre Geometrie und Randbedingungen unverändert bleiben. Für eine massive Kreiswelle gilt J=π⁢d4/32; für eine hohle Kreiswelle gilt J=π⁢(do4−di4)/32. Diese Gleichungen gelten für den elastischen Torsionsbereich und erfordern eine zusätzliche Behandlung für nichtkreisförmige Querschnitte, Verwölbung, Plastizität, Eigenspannungen und anisotrope Produkte. Der Schubmodul wird auch über die Geschwindigkeit elastischer Transversalwellen gemessen. In einem isotropen Medium beträgt die Geschwindigkeit der Transversal- oder Scherwelle vT=Gρ, sodass G=ρ⁢vT2, wobei ρ die Dichte ist. Eine Transversalwelle verursacht eine Teilchenbewegung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Ihre rücktreibende Kraft ist die Schubsteifigkeit, während eine Longitudinalwelle durch eine Kombination aus Volumen- und Schubsteifigkeit bestimmt wird: vL=K+43⁢Gρ. Die Messung beider Wellengeschwindigkeiten ermöglicht daher die Berechnung von mehr als einer elastischen Konstante, sofern die Dichte bekannt ist. Dies ist eine dynamische Messung: Das Ergebnis spiegelt das Verhalten bei der Prüffrequenz, der Temperatur, dem Zustand des Probekörpers und der Wellenamplitude wider. ASTM E1875-20a legt die Bestimmung des dynamischen Youngschen Moduls, des Schubmoduls und der Poissonzahl „durch Schallresonanz“ fest. Das Verfahren verwendet Resonanzfrequenzen, die mit einer longitudinalen sowie einer biege- oder torsionsbedingten Reaktion verbunden sind, und nicht eine langsame, monotone Belastungskurve. Dynamische und statische Werte können bei einem homogenen Stahlprobekörper in einem begrenzten elastischen Bereich nahe beieinanderliegen, sollten jedoch nicht automatisch als identisch betrachtet werden. Der Bericht des National Bureau of Standards über den austenitischen Stahl Fe-5Cr-26Mn veranschaulicht die Bedeutung der Prüfbedingungen. Darin wurden elastische Konstanten aus den Schallgeschwindigkeiten von Longitudinal- und Transversalmoden im Bereich von 76–400 K bestimmt. Temperaturänderungen beeinflussen die atomare Bindung, die Wärmeausdehnung, die Phasenstabilität und die durch Defekte bedingte Dämpfung. Folglich muss ein bei kryogener Temperatur gemessener Modul nicht dem nahe Raumtemperatur gemessenen Wert entsprechen. Auch das Phasengefüge und die kristallografische Textur des Stahls sind von Bedeutung. Ein Einkristall ist richtungsabhängig, während ein Polykristall nur dann isotrop erscheinen kann, wenn die Kornorientierungen ausreichend zufällig verteilt sind. Walzen, Schmieden, Schweißen, Umwandlungsprodukte und eine erhaltene Textur können ein richtungsabhängiges Schubverhalten hervorrufen. ### Zusammenhang zwischen G, E und ν Für homogene, isotrope, lineare Elastizität lautet die zentrale Beziehung G=E2⁢(1+ν). Hierbei ist E der Youngsche Modul und ν die Poissonzahl. Sind zwei unabhängige Konstanten bekannt, können die übrigen isotropen Konstanten abgeleitet werden. Daher ist es mechanisch inkonsistent, E, G und ν als drei voneinander unabhängige, gütespezifische Zahlen anzugeben, sofern nicht Messunsicherheit, Anisotropie, Temperatur oder eine Abweichung vom Modell erörtert wird. Die entsprechende Beziehung für den Kompressionsmodul lautet K=E3⁢(1−2⁢ν), und der direkte Zusammenhang zwischen K und G ist E=9⁢KG3⁢K+G. Diese Gleichungen sind Modellbeziehungen und keine universellen Umrechnungsregeln für jedes Stahlerzeugnis. Sie setzen kleine Dehnungen, reversibles Verhalten, Werkstoffhomogenität, Isotropie sowie eine Temperatur und einen Belastungszustand voraus, bei denen die elastischen Konstanten effektiv konstant bleiben. Außerdem wird vorausgesetzt, dass sich die angegebenen Werte auf miteinander vereinbare Definitionen beziehen. Ein statischer Zugmodul, ein dynamischer Resonanzmodul und ein aus Wellengeschwindigkeiten abgeleiteter Modul können sich unterscheiden, weil ihre Frequenzen und Dehnungsamplituden verschieden sind. Ein angenäherter Referenzwert von 163 GPa für den Kompressionsmodul von nichtrostendem Stahl wird von Engineering ToolBox im Jahr 2024 angegeben. Dieser Wert ist jedoch kein universeller Wert für jede Güte, Temperatur, Produktform, Phasenverteilung oder jedes Prüfverfahren von nichtrostendem Stahl. Die gleiche Vorsicht gilt für G. Austenitische, ferritische, martensitische und Duplexstähle können sich hinsichtlich Textur, Phasenanteil, magnetischem Zustand und Verarbeitungsgeschichte unterscheiden. Normen und Konstruktionsvorschriften können für Berechnungen einen repräsentativen isotropen Wert festlegen, während eine wissenschaftliche Messung richtungsabhängige Konstanten auflösen kann. Für isotrope Konstruktionsberechnungen ist G=E/\[2⁢(1+ν)\] die geeignete Verbindung zwischen Zug- und Schubsteifigkeit. Für texturierte Bleche, schweißbeeinflusstes Material, Gussgefüge, Einkristalle oder Mehrphasenstähle mit ausgeprägtem Richtungsverhalten kann stattdessen die vollständige anisotrope Steifigkeitsmatrix erforderlich sein. In diesem Fall kann ein einzelner skalarer Schubmodul nicht jede Schugebene beschreiben. ## Kompressionsmodul K oder B und volumetrische Kompression Der Kompressionsmodul beschreibt den Widerstand gegen eine gleichmäßige Änderung des Volumens. Er beschreibt nicht den Widerstand eines Stahlstabs gegen eine Dehnung entlang einer Achse und ist nicht mit dem Young-Modul gleichzusetzen. Ein Zugversuch bestimmt in erster Linie einen einachsigen Modul; ein Druckversuch bestimmt einen volumetrischen Modul. Die beiden Größen stehen erst dann miteinander in Beziehung, wenn ein elastisches Modell und dessen Annahmen festgelegt wurden. Für die isotrope lineare Elastizität sind K oder B die üblichen Symbole für den Kompressionsmodul, E für den Young-Modul, G für den Schubmodul und ν für die Poisson-Zahl. Dies sind keine vier unabhängig einstellbaren Materialkonstanten. Wie *Elasticity of Solids* von Springer erläutert, besitzt ein isotroper Festkörper nur zwei unabhängige elastische Konstanten. Die Dokumentation von Sandia Sierra führt den zusammengehörigen Satz als Young-Modul E, Poisson-Zahl ν, Kompressionsmodul K, Schubmodul G, ersten Lamé-Parameter λ und 2⁢μ auf; die Angabe von E und ν bestimmt die übrigen Größen. ### Thermodynamische Definition des Kompressionsmoduls Das National Institute of Standards and Technology definiert den isothermen Kompressionsmodul als B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T wobei V das Volumen, P der Druck und der Index T bedeutet, dass die Ableitung bei konstanter Temperatur gebildet wird. Das Minuszeichen ist erforderlich, weil eine Druckerhöhung normalerweise eine Verringerung des Volumens bewirkt und ∂⁢P/∂⁢V daher negativ ist. Diese Definition beschreibt die lokale Steigung der Druck-Volumen-Kurve. Es handelt sich um eine Differentialgröße und nicht einfach um den Quotienten aus Druck und Volumen bei einer beliebig großen Kompression. Für eine kleine Änderung gilt näherungsweise ΔVV≈−ΔPB. Ein größerer Wert von B bedeutet daher, dass eine größere Druckänderung erforderlich ist, um dieselbe relative Volumenänderung zu erzeugen. Die SI-Einheit ist das Pascal, obwohl Daten für Stahl normalerweise in Gigapascal angegeben werden. Die Bedingung konstanter Temperatur ist von Bedeutung. Ein Material, das langsam komprimiert wird, kann Wärme mit seiner Umgebung austauschen, während eine schnelle Schallwelle nahezu adiabatische Verformung verursachen kann. Dynamische Messungen können daher einem anderen effektiven Modul entsprechen als ein langsamer mechanischer Versuch. Auch der Druck selbst kann die Steigung verändern, insbesondere wenn die Kompression so groß ist, dass die elastischen Konstanten nicht mehr angemessen durch eine einzige Konstante beschrieben werden können. Für einen Festkörper unter hydrostatischem Druck sind die Normalspannungen in allen drei Richtungen gleich: σ1=σ2=σ3=−P. Die entsprechende Dehnung ist bei kleiner Verformung eine Volumendehnung: εv=ΔVV=ε1+ε2+ε3, Die Stoffgleichung lautet dann P=−K⁢εv. Das Minuszeichen folgt aus der Vorzeichenkonvention, nach der Zugspannung und Zugdehnung positiv sind, während der Druck als skalarer Druck positiv angesetzt wird. ### Hydrostatischer Druck und Volumendehnung Hydrostatische Kompression unterscheidet sich von einer einachsigen Belastung, obwohl beide Normalspannungen erzeugen. Man betrachte einen Stahlprobekörper, der in einem Zugversuch gezogen wird. Die aufgebrachte axiale Spannung verursacht eine axiale Verlängerung, während in den beiden Querrichtungen eine Poisson-Kontraktion auftritt. Der Young-Modul wird in diesem Belastungsfall aus der axialen Spannung und der axialen Dehnung definiert: E=σε innerhalb des linear-elastischen Bereichs. \[4\] \[4\] [**Stress, Strain, and Elastic Modulus**](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus). OpenStax. University Physics Volume 1, 2020. Unter hydrostatischem Druck wird keine Richtung bevorzugt. Der Probekörper kontrahiert entlang aller drei Achsen, und die maßgebliche Reaktion ist die Summe der drei Normaldehnungen. OpenStax stellt diesen physikalischen Unterschied unmittelbar heraus: Der Young-Modul gilt für Zugbelastung, der Kompressionsmodul für volumetrische Kompression und der Schubmodul für Schubverformung. Ein einachsiger Zugversuch erzeugt nicht unmittelbar den Spannungszustand, der zur Messung von K erforderlich ist. Für einen isotropen linear-elastischen Festkörper stehen die Module über folgende Beziehungen miteinander in Verbindung: K=E3⁢(1−2⁢ν) und E=3⁢K⁢(1−2⁢ν). Eine weitere häufig verwendete Beziehung lautet E=2⁢G⁢(1+ν). Somit können ein angegebener Wert von E und ein angegebener Wert von ν in K umgerechnet werden. Das Ergebnis übernimmt jedoch die Bedingungen und Unsicherheiten, die mit beiden Eingangswerten verbunden sind. Wenn E ein dynamischer Resonanzmodul ist, während ν aus einem langsamen Zugversuch stammt, stellt der berechnete Kompressionsmodul möglicherweise keinen einheitlichen Messzustand dar. Die Formel zeigt außerdem, warum der Kompressionsmodul in der Nähe der Inkompressibilität sehr empfindlich auf die Poisson-Zahl reagiert. Für einen nominalen Stahlwert von E=200 GPa und ν=0.30 gilt K=2003⁢(1−0.60)≈167⁢ GPa. Wird ν bei gleichbleibendem E auf 0.49 geändert, ergibt sich K=2003⁢(1−0.98)≈3333⁢ GPa. Diese sehr große Änderung ist kein geringfügiger Rundungseffekt. Sie ergibt sich daraus, dass sich der Nenner dem Wert null nähert, wenn sich ν dem Wert 0.5 nähert. Ein kleiner Fehler in ν oder ein Wert, der bei einer anderen Temperatur, Frequenz, Phasenzusammensetzung oder mit einer anderen Messmethode ermittelt wurde, kann eine erhebliche Änderung des berechneten K bewirken. ### Warum Metalle häufig als nahezu inkompressibel beschrieben werden Metalle werden häufig als nahezu inkompressibel bezeichnet, weil ihre Volumendehnung unter üblichen mechanischen Drücken im Vergleich zu ihrer Formänderung unter Schub- oder einachsiger Spannung gering ist. Ihr Kompressionsmodul ist im Allgemeinen deutlich größer als ihr Schubmodul. Druck kann das Volumen nur geringfügig verändern, während ein vergleichbarer Spannungszustand, der eine Formänderung zulässt, eine deutlichere Änderung der Geometrie hervorrufen kann. „Nahezu inkompressibel“ bedeutet nicht vollkommen inkompressibel. Stahl besitzt weiterhin einen endlichen Kompressionsmodul, und seine Dichte verändert sich unter Druck. Die Näherung ist bei der Analyse von Umformprozessen, in der Plastizität, bei Fluid-Struktur-Berechnungen und in anderen Situationen nützlich, in denen Volumenänderungen gering sind. Sie darf jedoch nicht angewendet werden, ohne das Materialmodell zu überprüfen. Plastische Verformung, Phasenumwandlung, Porosität, Schädigung und erhöhte Temperatur können die Volumenreaktion verändern. Ein poröser Stahlgusskörper kann beispielsweise nicht allein deshalb als idealer dichter isotroper Festkörper behandelt werden, weil seine metallische Matrix steif ist. Die Näherung wird außerdem durch das Gefüge des Stahls verkompliziert. Die elastischen Konstanten eines Einkristalls hängen von der kristallografischen Richtung ab. Ein polykristallines Aggregat kann sich bei zufällig orientierten Körnern näherungsweise isotrop verhalten; Walzen, Schmieden, Phasenumwandlungen und Textur können jedoch richtungsabhängige Eigenschaften erzeugen. Das NIST-Handbuchkapitel zu den elastischen Konstanten von Einkristallen zeigt, wie quasi-isotrope Werte für E, G, B, den Longitudinalmodul und ν aus Einkristall-Steifigkeitsdaten für kubische und hexagonale Materialien abgeleitet werden können. „Quasi-isotrop“ ist eine Beschreibung eines Modells und keine Garantie dafür, dass jede Produktform in jeder Richtung identische Eigenschaften besitzt. Auch die Temperatur und die Phasenzusammensetzung sind von Bedeutung. Ein Bericht des National Bureau of Standards bestimmte die elastischen Konstanten von austenitischem Fe-5Cr-26Mn-Stahl im Temperaturbereich von 76–400 K anhand der Schallgeschwindigkeiten von Longitudinal- und Transversalmoden. Allein dieser Temperaturbereich zeigt, warum nicht jedem Stahlzustand ein einziger Wert bei Raumtemperatur zugeordnet werden kann. Austenitische, ferritische, martensitische und mehrphasige Stähle können sich in ihrer elastischen Reaktion unterscheiden, während Kaltverformung und Textur die gemessenen Richtungswerte verändern können. Eine Sekundärquelle, Engineering ToolBox, gibt für „Edelstahl“ einen Näherungswert von 163 GPa an. Diese Zahl kann für eine vorläufige Berechnung zweckmäßig sein, ist jedoch kein universeller Kompressionsmodul für jede Edelstahlsorte, jede Temperatur, jede Produktform, jedes Phasengleichgewicht, jede Textur oder jede Prüfbedingung. Sie sollte nicht als gemessene Konstante dargestellt werden, die allen nichtrostenden Stählen gemeinsam ist. Auch die Messmethode ist eine Ursache für Abweichungen. ASTM E1875-20a legt die Bestimmung des dynamischen Young-Moduls, des Schubmoduls und der Poisson-Zahl „durch Schallresonanz“ fest. Solche Werte werden aus Schwingungsfrequenzen ermittelt und reagieren empfindlich auf Dichte, Geometrie, Dämpfung, Temperatur und Frequenz. Statische Zugdaten beantworten eine andere experimentelle Fragestellung. Konstruktionsberechnungen sollten daher angeben, ob der Modul gemessen oder abgeleitet, statisch oder dynamisch, isotrop oder richtungsabhängig ist und auf welche Temperatur und welchen Materialzustand er sich bezieht. Ohne diese Informationen ist ein angegebener Wert von K oder B lediglich eine bedingte Schätzung. ## Poisson-Zahl ν und Querdehnung in Stahl Die Poisson-Zahl, geschrieben als ν (Nu), beschreibt die elastische Dehnung senkrecht zu einer aufgebrachten Last. Bei einem Zugversuch ist sie definiert als ν=−εtransverseεlongitudinal wobei die Längsdehnung in Belastungsrichtung verläuft und die Querdehnung quer zum Probekörper gemessen wird. Das Minuszeichen sorgt dafür, dass ν bei der üblichen Zugbeanspruchung von Stahl positiv ist: Die Messlänge nimmt zu, während Breite und Dicke abnehmen. Diese Definition gilt für eine bestimmte elastische Prüfrichtung, Temperatur, Belastungsgeschwindigkeit und einen bestimmten Werkstoffzustand. Sie ist keine separate Gütebezeichnung, die unabhängig vom Elastizitätsmodul, Schubmodul oder Kompressionsmodul gewählt werden kann. Für einen isotropen, homogenen, linear-elastischen Festkörper sind nur zwei elastische Konstanten unabhängig. Die Sandia National Laboratories führen die zugehörigen isotropen Konstanten als Elastizitätsmodul E, Poisson-Zahl ν, Kompressionsmodul K, Schubmodul G, ersten Lamé-Parameter λ und 2⁢μ auf; durch die Angabe von E und ν werden die übrigen Größen bestimmt. Auch *Elastizität von Festkörpern* von Springer stellt fest, dass ein isotroper Festkörper „nur zwei“ unabhängige elastische Konstanten besitzt. Für isotropen Stahl bei kleinen elastischen Dehnungen lauten die wichtigsten Beziehungen G=E2⁢(1+ν) und K=E3⁢(1−2⁢ν). Dieselben Beziehungen können umgestellt werden zu ν=E2⁢G−1 oder ν=3⁢K−E6⁢K. Diese Gleichungen sind Stoffbeziehungen und keine voneinander unabhängigen Möglichkeiten, beliebige Werkstoffdaten festzulegen. Wenn eine Tabelle Werte für E, G, K und ν enthält, die diese Beziehungen nicht erfüllen, können die Werte mit unterschiedlichen Verfahren, bei unterschiedlichen Temperaturen oder unter unterschiedlichen Annahmen gemessen worden sein. Sie können auch einen anisotropen Werkstoff mithilfe isotroper Näherungen beschreiben. ### Axiale Kontraktion während der Zugbelastung Betrachten wir einen Stahlzugprobekörper, dessen Achse an der Belastungsrichtung ausgerichtet ist. Eine Zugspannung erzeugt eine positive axiale Dehnung, εL=ΔLL, während sich der Durchmesser verringert. Wenn der ursprüngliche Durchmesser d beträgt, ist die Querdehnung näherungsweise εT=Δdd. Innerhalb des elastischen Bereichs gilt εT=−ν⁢εL. Hat ein Probekörper beispielsweise eine axiale elastische Dehnung von 0,001 und beträgt ν 0,30, so ist seine Querdehnung ungefähr −0,0003. Die Länge nimmt um 0,10 % zu, während der Durchmesser um 0,03 % abnimmt. Das Zahlenbeispiel beschreibt lediglich eine Dehnung; es weist nicht jedem Stahlgrad oder jeder Produktform einen universellen Wert zu. Das Verhältnis ist dimensionslos, weil sowohl Zähler als auch Nenner Dehnungen sind. Es hängt außerdem davon ab, wie die Dehnungen definiert werden. Technische Dehnung, wahre Dehnung, Komponenten des Kleinverzerrungstensors und Sekantendehnungen können geringfügig unterschiedliche Ergebnisse liefern, sobald die Verformung nicht mehr sehr klein ist. Die bei der linear-elastischen Auslegung verwendete Poisson-Zahl bezieht sich normalerweise auf die Anfangssteigung innerhalb des reversiblen Bereichs, vor dem Einsetzen des Fließens, der Lüders-Deformation, des plastischen Fließens, der Rissbildung oder anderer nichtlinearer Effekte. Die axialen und lateralen Reaktionen sind gekoppelt. Ein Zugprobekörper verlängert sich nicht einfach, während seine ursprünglichen Querschnittsabmessungen erhalten bleiben. Bei einem rechteckigen oder zylindrischen Querschnitt trägt die Verringerung von Breite und Dicke zu einer Volumenänderung bei. Bei kleinen Dehnungen ist die Volumendehnung näherungsweise εv=εL+εT1+εT2. Für einen isotropen Zugzustand mit gleichen Querdehnungen gilt εv=εL⁢(1−2⁢ν). Dieser Ausdruck zeigt, warum ν bei Finite-Elemente-Modellen und Strukturberechnungen von Bedeutung ist. Eine fehlerhafte Festlegung von ν verändert die vorhergesagte Querkontraktion, die volumetrische Reaktion, die hydrostatische Spannung und mitunter die scheinbare Steifigkeit eingeschnürter Bereiche. Stahl ist nicht auf jeder Größenskala ein einzelner isotroper Stoff. Ein zufällig orientiertes polykristallines Gefüge kann sich dem isotropen Verhalten annähern, wenn viele Körner beitragen und die Textur schwach ausgeprägt ist. Gewalzte Bleche, gezogene Drähte, geschmiedete Stäbe, Schweißzonen und additiv gefertigte Werkstoffe können bevorzugte kristallografische Orientierungen oder räumlich variierende Phasenverteilungen beibehalten. In diesen Fällen hängt die Querdehnung von den Belastungs- und Messrichtungen ab. Eine einzelne skalare Größe ν kann dann ein zweckmäßiger technischer Mittelwert sein, jedoch keine vollständige Werkstoffbeschreibung darstellen. ### Volumenänderung und der Grenzfall ν = 0,5 Der Kompressionsmodul beschreibt den Widerstand gegen gleichmäßige Kompression, während der Elastizitätsmodul den axialen Zug oder Druck und der Schubmodul die Formänderung unter Scherung beschreibt. OpenStax stellt diese Unterscheidung direkt heraus: Der Elastizitätsmodul gilt für Zugbelastung, der Kompressionsmodul für volumetrische Kompression und der Schubmodul für Scherverformung. Die thermodynamische Definition des Kompressionsmoduls lautet K=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T, wie vom National Institute of Standards and Technology im Jahr 1982 angegeben. Dabei ist P der Druck, V das Volumen, und die Ableitung wird bei konstanter Temperatur gebildet. Die isotrope linear-elastische Gleichung K=E/\[3⁢(1−2⁢ν)\] verknüpft diese volumetrische Reaktion nur dann mit einachsigen elastischen Daten, wenn die isotropen Annahmen angemessen sind. Wenn ν gegen 0,5 strebt, nähert sich der Nenner 1−2⁢ν dem Wert null, und der berechnete Kompressionsmodul strebt bei endlichem E gegen unendlich. Dies ist der inkompressible Grenzfall: Die Verformung kann die Form, nicht jedoch das Volumen ändern. Gummiartige Werkstoffe können sich diesem Zustand annähern, weil ihre volumetrische Steifigkeit wesentlich größer ist als ihre Schersteifigkeit. Gewöhnliche Stähle sind nicht inkompressibel, obwohl ihr Kompressionsmodul deutlich größer als ihr Schubmodul ist. Der Grenzfall macht außerdem ein numerisches Problem sichtbar. Da K den Term 1−2⁢ν enthält, kann ein kleiner Fehler in ν einen großen relativen Fehler im berechneten K verursachen, insbesondere wenn ν nahe bei 0,5 liegt. Durch Ableiten der Beziehung erhält man ∂⁢K∂⁢ν=2⁢E3⁢(1−2⁢ν)2 wenn E konstant gehalten wird. Der quadrierte Nenner verstärkt die Empfindlichkeit. Eine Unsicherheit von nur wenigen Tausendsteln bei ν kann bei einer groben axialen Berechnung geringe Auswirkungen haben, jedoch einen erheblichen Einfluss auf einen angegebenen Kompressionsmodul ausüben. Eine Referenz von Engineering ToolBox nennt für rostfreien Stahl einen ungefähren Kompressionsmodul von 163 GPa. Dieser Wert ist eine Schätzung aus einer Sekundärquelle und kein universeller Wert für jeden rostfreien Stahlgrad, jede Temperatur, jede Produktform, jede Phasenzusammensetzung oder jedes Prüfverfahren. Austenitische, ferritische, martensitische, [Duplex](/de/werkstoffe/werkstoff-nr/1.4460 " — Zusammensetzung, Entsprechungen und Normen")- und [ausscheidungshärtende Stähle](/de/kategorien/ausscheidungshärtende-stähle "ausscheidungshärtende Stähle") können sich hinsichtlich Textur, Phasenanteilen, Fehlstellen und Temperaturverhalten unterscheiden. ### Messung und Interpretation von ν Die Poisson-Zahl kann aus gleichzeitig gemessenen axialen und transversalen Dehnungen bei einem Zug- oder Druckversuch bestimmt werden. Extensometer, aufgeklebte Dehnungsmessstreifen, optische Systeme und die digitale Bildkorrelation können die beiden Dehnungskomponenten messen; das transversale Signal ist jedoch häufig kleiner und empfindlicher gegenüber Ausrichtung, Oberflächenvorbereitung, Messlänge und Rauschen. Eine Fehlausrichtung kann Biegung verursachen, während eine ungenaue Platzierung der Messaufnehmer zu einer Vermischung der Längs- und Querrichtungen führen kann. Ein zweiter Ansatz bestimmt ν aus unabhängig gemessenen elastischen Wellengeschwindigkeiten. Longitudinale und Scherwellengeschwindigkeiten liefern dynamische elastische Informationen; für einen isotropen Festkörper gilt G=ρ⁢vS2 und K=ρ⁢(vL2−43⁢vS2), wobei ρ die Dichte, vS die Scherwellengeschwindigkeit und vL die Longitudinalwellengeschwindigkeit ist. Das daraus bestimmte E und ν beschreibt eine Antwort bei kleiner Amplitude und endlicher Frequenz und stimmt daher nicht unbedingt mit dem Wert eines langsam durchgeführten Zugversuchs überein. ASTM E1875-20a legt die Bestimmung des dynamischen Elastizitätsmoduls, Schubmoduls und der Poisson-Zahl „durch akustische Resonanz“ fest. \[5\] \[5\] [**Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K**](https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf). National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981. Temperaturänderungen beeinflussen sowohl die elastische Steifigkeit als auch die Wellengeschwindigkeit. Ein Bericht des National Bureau of Standards bestimmte elastische Konstanten für den austenitischen Stahl Fe-5Cr-26Mn im Bereich von 76–400 K mithilfe der Schallgeschwindigkeiten longitudinaler und transversaler Moden. Dieser Bereich verdeutlicht, warum ein nahe Raumtemperatur gemessener Wert nicht automatisch auf den kryogenen Einsatz oder die Auslegung bei erhöhten Temperaturen übertragen werden sollte. Textur und kristallografische Anisotropie stellen eine weitere Einschränkung dar. Die elastischen Einzelkristallsteifigkeiten können nur durch ein Mittelungsmodell, das Kristallsymmetrie und Orientierungsverteilung berücksichtigt, in quasi-isotrope polykristalline Werte für E, G, K und ν umgerechnet werden. Ein gewalztes Blech kann daher für eine Belastung in Walzrichtung, Querrichtung und Durchdickenrichtung unterschiedliche Verhältnisse zeigen. Auch eine dynamische Resonanz kann ein anderes effektives Volumen und eine andere Dehnungsamplitude erfassen als ein statischer Zugversuch. Für die Auslegung sollte ν zum vorgesehenen Stoffmodell und zur Prüfbedingung passen. Ein skalarer isotroper Wert sollte nur verwendet werden, wenn Produktform, Textur, Temperatur, Dehnungsbereich und erforderliche Genauigkeit diese Vereinfachung rechtfertigen. Andernfalls sind richtungsabhängige elastische Konstanten oder eine vollständige anisotrope Steifigkeitsmatrix besser begründet, als vier angegebene Module als voneinander unabhängige, gütespezifische Zahlen zu behandeln. ## Der vollständige Zusammenhang der isotropen Elastizitätsmoduln Für einen homogenen, linear-elastischen, isotropen Festkörper sind die vier häufig angegebenen Elastizitätsmoduln keine vier unabhängigen Materialkonstanten. Der Young-Modul E, der Schubmodul G, der Kompressionsmodul K oder B und die Poisson-Zahl ν beschreiben unterschiedliche Verformungsarten, doch ihre Werte sind miteinander verknüpft. Jeweils zwei geeignete Konstanten bestimmen die übrigen Größen. Diese Aussage gilt nur unter bestimmten Bedingungen. Das Material muss als isotrop behandelt werden, die Spannungs-Dehnungs-Reaktion muss im betrachteten Bereich linear sein, und die Elastizitätsmoduln müssen sich auf dieselbe Temperatur, Dichte, Phasenzusammensetzung, Texturmittelung, Frequenz und Messkonvention beziehen. Ein aus einem Zugversuch bei niedriger Dehnung bestimmter Modul ist nicht automatisch mit einem aus der Schallgeschwindigkeit abgeleiteten dynamischen Modul austauschbar. Für einen anisotropen Einkristall geben die nachstehenden isotropen Gleichungen nicht die vollständige richtungsabhängige Reaktion wieder. OpenStax, 2020, ordnet die physikalischen Rollen eindeutig zu: E beschreibt die Zug- oder einachsige Verformung, G beschreibt die Scherverformung, und der Kompressionsmodul beschreibt die volumetrische Kompression. Die Darstellung des NIST aus dem Jahr 1982 definiert den thermodynamischen Kompressionsmodul als B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T, wobei V das Volumen und P der Druck sind und die Ableitung bei konstanter Temperatur gebildet wird. Bei kleinen Dehnungen und linearer Elastizität entspricht diese thermodynamische Definition der für die nachstehenden Beziehungen verwendeten volumetrischen Steifigkeit, sofern derselbe Zustand und dieselbe elastische Näherung zugrunde gelegt werden. ### Umrechnungen zwischen E, G, K und ν Der vollständige Gleichungssatz der isotropen linearen Elastizität lautet: \\\[ \\boxed{G=\\frac{E}{2(1+\\nu)}} \\\] \\\[ \\boxed{K\\ \\text{oder}\\ B=\\frac{E}{3(1-2\\nu)}} \\\] \\\[ \\boxed{E=\\frac{9KG}{3K+G}} \\\] \\\[ \\boxed{\\nu=\\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \\\] \\\[ \\boxed{\\lambda=K-\\frac{2G}{3}} \\\] \\\[ \\boxed{\\mu=G} \\\] Die erste Gleichung wandelt den Young-Modul und die Poisson-Zahl in den Schubmodul um. Sie setzt ein isotropes Stoffgesetz sowie infinitesimale, linear-elastische Dehnungen voraus. Die zweite Gleichung wandelt E und ν in den Kompressionsmodul um. Auch sie setzt voraus, dass es sich bei der gemessenen Poisson-Zahl um die isotrope elastische Kennzahl und nicht um einen richtungsabhängigen Wert einer anisotropen Probe handelt. Die dritte Gleichung berechnet E aus K und G, während die vierte ν aus denselben beiden Elastizitätsmoduln berechnet. Diese Gleichungen sind algebraische Umstellungen desselben isotropen Stoffmodells; sie liefern keine unabhängigen experimentellen Prüfungen, sofern die Eingabewerte nicht aus getrennten Messungen stammen. Wenn E, G und ν alle angegeben werden, sind geringe Abweichungen aufgrund von Messunsicherheit, Rundung, Temperaturunterschieden, Porosität, Textur oder Abweichungen von der Isotropie zu erwarten. Für einen stabilen, gewöhnlichen isotropen elastischen Festkörper gelten im Allgemeinen die Einschränkungen \\\[ G\>0,\\qquad K\>0,\\qquad -1\<\\nu\<\\frac{1}{2}. \\\] Die obere Grenze für ν ist besonders wichtig. Wenn sich ν dem Wert 0,5 nähert, nähert sich der Term 1−2⁢ν dem Wert Null, und der berechnete Kompressionsmodul wird im Verhältnis zu E sehr groß. Ein nahezu inkompressibles Material kann daher einen endlichen Zugmodul, aber eine wesentlich größere volumetrische Steifigkeit besitzen. Stahl ist kompressibel; ν=0,5 als exakten Stahlwert zu behandeln, würde die Umrechnung daher singulär und nicht aussagekräftig machen. Die Gleichungen gelten für effektive isotrope Eigenschaften eines polykristallinen Materials, wenn die richtungsabhängigen Variationen ausreichend gemittelt wurden. Das NIST-Handbuchkapitel über elastische Konstanten von Einkristallen zeigt, warum diese Einschränkung wichtig ist: Effektive Werte für E, G, B, den Longitudinalmodul und ν können für kubische und hexagonale Materialien aus Einkristall-Steifigkeitsdaten abgeleitet werden, doch das Mittelungsverfahren hängt von der Kristallsymmetrie und der Textur ab. Ein gewalztes Blech, ein Schweißgut, ein Gussgefüge und ein zufällig orientiertes, geglühtes Polykristall müssen selbst dann nicht dieselbe richtungsabhängige elastische Reaktion aufweisen, wenn ihre chemischen Beschreibungen ähnlich sind. Die Konstanten können außerdem unterschiedliche Frequenzbereiche beschreiben. ASTM E1875-20a, veröffentlicht von ASTM International im Jahr 2020, legt die Bestimmung des dynamischen Young-Moduls, des Schubmoduls und der Poisson-Zahl „durch Schallresonanz“ fest. Diese dynamischen Werte werden aus Resonanzfrequenzen bestimmt und beziehen sich auf eine schnelle Belastung mit kleiner Amplitude. Ein aus einem statischen Zugversuch bestimmter Modul kann aufgrund der Nachgiebigkeit des Messgeräts, Mikroplastizität, innerer Reibung, Porosität, Temperatur oder anderer Abweichungen vom idealen elastischen Modell abweichen. Die Umrechnungsgleichungen bleiben nur dann gültig, wenn die Eingangskonstanten zu einer kompatiblen Beschreibung des Stoffgesetzes gehören. Ein Referenzwert wie der ungefähre Kompressionsmodul von 163GPa für Edelstahl aus Engineering ToolBox sollte daher als sekundäre Schätzung und nicht als universeller Wert für jede Edelstahlsorte, jede Produktform, Temperatur, Phasenverteilung oder Prüfmethode verstanden werden. Die Bezeichnung „Edelstahl“ umfasst deutlich unterschiedliche Materialien, darunter austenitische, ferritische, martensitische, ausscheidungshärtbare und Duplex-Sorten. Ihre elastische Reaktion kann sich außerdem durch Kaltverformung und Temperatur verändern. ### Lamé-Parameter λ und μ Die Lamé-Parameter sind eine weitere Darstellung desselben isotropen elastischen Gesetzes. Der zweite Lamé-Parameter ist μ=G, sodass μ einfach der in der Lamé-Notation ausgedrückte Schubmodul ist. Der erste Lamé-Parameter ist λ=K−2⁢G3. Er kann auch als λ=E⁢ν(1+ν)⁢(1−2⁢ν) geschrieben werden. In Tensor-Notation wird die isotrope Spannungs-Dehnungs-Beziehung üblicherweise als σij=2⁢μ⁢εij+λεkk⁢δij geschrieben, wobei σij der Spannungstensor, εij der Dehnungstensor, εkk die volumetrische Dehnung und δij das Kronecker-Delta sind. Der Faktor 2⁢μ wirkt auf den deviatorischen und den Scheranteil des Dehnungstensors; er definiert keinen vom Wert G getrennten physikalischen Modul. Die Sierra-Dokumentation von Sandia führt sechs miteinander verbundene isotrope elastische Konstanten auf: den Young-Modul E, die Poisson-Zahl ν, den Kompressionsmodul K, den Schubmodul G, den ersten Lamé-Parameter λ und 2⁢μ. Dies erklärt eine häufige Falle bei Software- und Finite-Elemente-Notationen. Eine Materialkarte kann „2⁢μ“ anfordern, weil die Stoffgleichung diesen Koeffizienten verwendet, während eine andere Schnittstelle G oder μ verlangt. Würde dort, wo 2⁢μ erforderlich ist, G eingegeben, entstünde ein Fehler um den Faktor zwei. Springers *Elasticity of Solids*, 2020, formuliert die zentrale Regel direkt: Für einen isotropen Festkörper sind nur zwei elastische Konstanten unabhängig. Auch die Formulierung von Sandia weist darauf hin, dass E und ν die übrigen Konstanten bestimmen. Die sechs Bezeichnungen beschreiben sechs miteinander verknüpfte Größen und nicht sechs unabhängig einstellbare Werkstoffkennwerte. ### Einheiten, Notation und Notationskonflikte zwischen K und B E, G, K, B, λ und μ haben allesamt die Einheit einer Spannung: im SI Pascal, für Stahl häufig angegeben als Gigapascal (GPa). Die Poisson-Zahl ν ist dimensionslos. Da 1GPa=109Pa gilt, müssen alle spannungsartigen Eingangsgrößen vor Anwendung einer Gleichung dieselbe Einheit verwenden. Das Symbol K ist in der Kontinuumsmechanik und in der Finite-Elemente-Dokumentation eine gängige Bezeichnung für den Kompressionsmodul. Das NIST und zahlreiche Materialreferenzen verwenden B, häufig weil „bulk modulus“ mit B beginnt. In den oben aufgeführten Gleichungen bezeichnen diese Symbole normalerweise dieselbe Größe: K=B. Es handelt sich nicht um zwei verschiedene Stahlkonstanten. Der Konflikt wird bedeutsam, wenn ein Lehrbuch K für den Kompressionsmodul verwendet, während eine andere Fachrichtung K für eine Steifigkeitsmatrix, einen Wärmeleitfähigkeitskoeffizienten oder eine Größe im Zusammenhang mit der Spannungsintensität verwendet. Die umgebende Definition muss die Interpretation bestimmen. Schließlich beschreiben die Beziehungen elastische Konstanten und nicht jede während des Betriebs gemessene Steifigkeit. Temperaturabhängige Daten, Phasenumwandlungen, magnetische Effekte, Textur, Eigenspannung und Frequenz können die gemessene Reaktion verändern. Der Bericht des National Bureau of Standards aus dem Jahr 1981 über den austenitischen Stahl Fe-5Cr-26Mn bestimmte beispielsweise elastische Konstanten im Bereich von 76–400 K anhand der Schallgeschwindigkeiten von Longitudinal- und Transversalmoden. Dieser Temperaturbereich allein zeigt, warum eine einzelne, nicht näher qualifizierte Modulzahl nicht alle Bedingungen repräsentieren kann. Die Gleichungen stellen den Rahmen für die Umrechnung bereit; der Prüfzustand bestimmt, welche Werte darin eingesetzt werden dürfen. ## Elastizität von Einkristallen, Kristallographie von Stahl und Mittelwerte polykristalliner Werkstoffe Stahl ist nicht auf jeder Strukturebene im exakt gleichen mathematischen Sinn elastisch. Ein einzelner Kristall besitzt Eigenschaften, die an seine Gitterrichtungen gebunden sind, während ein technisches Stahlerzeugnis gewöhnlich aus vielen Körnern mit unterschiedlichen Orientierungen, Phasen, Defekten und Eigenspannungen besteht. Wird ein im zweiten Fall gemessener Modul so behandelt, als wäre er eine universelle Eigenschaft des ersten Falls, kann dies zu einer irreführenden Berechnung führen. Die Unterscheidung beginnt mit der Kristallsymmetrie. Ferritische Stähle besitzen eine kubisch-raumzentrierte (BCC) Kristallstruktur, austenitische Stähle eine kubisch-flächenzentrierte (FCC) Struktur, und Martensit wird gewöhnlich als kubisch-raumzentrierte tetragonale Struktur beschrieben, wobei seine Tetragonalität vom Kohlenstoffgehalt und von der Anlassgeschichte abhängt. Diese Strukturen übertragen elastische Dehnungen nicht in jeder kristallographischen Richtung identisch. Ein Polykristall kann erst dann annähernd isotrop erscheinen, wenn die richtungsabhängigen Reaktionen vieler Körner gemittelt wurden. ![ ## Elastizitätskonstanten und Modulbeziehungen von Stahl](/images/uploads/a1932c92-ab2e-495e-99dc-d4fa71940007/wiki-inline-a-cubic-steel-crystal-lattice-showing-direction-dependent-elastic-stiffness-and-1920x1920.jpg)[](/images/uploads/a1932c92-ab2e-495e-99dc-d4fa71940007/wiki-inline-a-cubic-steel-crystal-lattice-showing-direction-dependent-elastic-stiffness-and-1920x1920.avif "Bild vergrößern — ## Elastizitätskonstanten und Modulbeziehungen von Stahl")A single crystal can have direction-dependent stiffness even when a polycrystal is treated as isotropic. ### Elastische Steifigkeitstensoren in kubischen Kristallen Die lineare Elastizität verknüpft Spannung und Dehnung durch einen Tensor vierter Ordnung: σij=Cijkl⁢εkl. Der Tensor enthält die elastischen Steifigkeiten Cijkl, während seine Inverse die elastischen Nachgiebigkeiten Sijkl enthält. Die Kristallsymmetrie reduziert die Anzahl der unabhängigen Terme. Ein vollständig allgemeiner anisotroper Festkörper kann 21 unabhängige elastische Konstanten erfordern, ein kubischer Kristall hingegen nur drei: C11, C12 und C44. In kontrahierter Matrixschreibweise lautet die Steifigkeitsmatrix eines kubischen Kristalls \\\[ \\begin{bmatrix} \\sigma\_1\\\\ \\sigma\_2\\\\ \\sigma\_3\\\\ \\sigma\_4\\\\ \\sigma\_5\\\\ \\sigma\_6 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} C\_{11}&C\_{12}&C\_{12}&0&0&0\\\\ C\_{12}&C\_{11}&C\_{12}&0&0&0\\\\ C\_{12}&C\_{12}&C\_{11}&0&0&0\\\\ 0&0&0&C\_{44}&0&0\\\\ 0&0&0&0&C\_{44}&0\\\\ 0&0&0&0&0&C\_{44} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\varepsilon\_1\\\\ \\varepsilon\_2\\\\ \\varepsilon\_3\\\\ \\varepsilon\_4\\\\ \\varepsilon\_5\\\\ \\varepsilon\_6 \\end{bmatrix}. \\\] Die drei Konstanten haben unterschiedliche Funktionen. C11 beschreibt die Reaktion auf eine Normalspannung entlang einer kubischen Achse, C12 koppelt die Normalverformung zwischen senkrechten Achsen, und C44 beschreibt die Schubreaktion auf einer kristallographischen Hauptebene. Es handelt sich um Steifigkeiten und nicht um austauschbare Varianten des Elastizitätsmoduls oder des Schubmoduls. Ein nützlicher Anzeiger für die Anisotropie eines kubischen Kristalls ist das Zener-Verhältnis: A=2⁢C44C11−C12. Wenn A=1 ist, besitzt die elastische Reaktion des kubischen Kristalls dieselbe Richtungsform wie die eines isotropen Festkörpers. Von eins abweichende Werte weisen auf eine Orientierungsabhängigkeit hin. Das Verhältnis liefert jedoch nicht allein den Modul eines Stahlerzeugnisses; es beschreibt die elastische Symmetrie eines Kristalls, sofern die relevanten Einkristallkonstanten gemessen oder berechnet wurden. Das 1982 veröffentlichte NIST-Kapitel über Einkristalle zeigt, wie diese Steifigkeitsdaten für kubische und hexagonale Werkstoffe in Eigenschaften von Vielkristallen umgerechnet werden können. Für einen kubischen Kristall lautet der Kompressionsmodul, der mit einer gleichförmigen hydrostatischen Dehnung verbunden ist: B=C11+2⁢C123. Dies stimmt mit der von NIST angegebenen thermodynamischen Definition überein: B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T. Der Schubmodul und der Elastizitätsmodul eines Einkristalls hängen weiterhin von der Richtung ab, obwohl die hydrostatische Volumenreaktion eines kubischen Kristalls durch die Symmetrie eingeschränkt ist. Eine Richtung wie \[100\], \[110\] oder \[111\] kann zu einem unterschiedlichen Zugmodul führen, weil sich die angelegte Spannung unterschiedlich zum Gitter ausrichtet. Für einen isotropen Werkstoff sind, wie im Springer-Kapitel *Elastizität von Festkörpern* aus dem Jahr 2020 beschrieben, nur zwei elastische Konstanten unabhängig. Die Dokumentation von Sierra bei Sandia führt die zugehörige isotrope Gruppe als Elastizitätsmodul E, Poisson-Zahl ν, Kompressionsmodul K, Schubmodul G, ersten Lamé-Parameter λ und 2⁢μ auf; je zwei geeignete Größen bestimmen die übrigen. Diese Reduktion gilt für einen Kristall nicht allein deshalb, weil der Kristall klein ist oder weil seine Verformung elastisch bleibt. Sie ergibt sich aus der isotropen Symmetrie. ### Textur und richtungsabhängiger Modul Eine Kristallorientierung wird gewöhnlich durch ihre kristallographische Richtung und Ebene relativ zu den Probenachsen ausgedrückt. In einem polykristallinen Blech beschreibt die Orientierungsverteilungsfunktion, wie die Kornorientierungen verteilt sind. Eine Textur entsteht, wenn die Verarbeitung bestimmte Gitterdrehungen begünstigt, insbesondere beim Walzen, bei der Rekristallisation und bei anschließenden Phasenumwandlungen. Der in Walzrichtung gemessene Zugmodul muss daher nicht dem Modul quer zur Walzrichtung oder durch die Blechdicke entsprechen. Der Unterschied ergibt sich aus der orientierungsgewichteten Summe der Kornreaktionen und nicht aus einem neuen unabhängigen „Elastizitätsmodul in Walzrichtung“, der den zugrunde liegenden Steifigkeitstensor ersetzt. Ein Finite-Elemente-Modell kann dieses Verhalten darstellen, indem es dem Materialkoordinatensystem einen anisotropen Steifigkeitstensor zuweist oder indem es Kristalleigenschaften für zahlreiche Orientierungen vorgibt. Gewalzter kohlenstoffarmer Stahl, ferritischer rostfreier Stahl und durch Umwandlungsprozesse hergestelltes Blech können infolge von Verformung und Rekristallisation eine Textur aufweisen. Geschmiedeter Stahl kann in der Umgebung der Schmiedeachse eine richtungsabhängige Kornorientierung und Textur entwickeln. Gussstahl weist häufig eine vielfältigere Orientierungsverteilung auf, doch die Erstarrung kann ebenfalls säulenförmige Körner, Entmischung, Phasengradienten oder bevorzugte Orientierungen hervorbringen. Keine dieser Verarbeitungsrouten garantiert entweder Isotropie oder einen bestimmten Grad der Anisotropie. Additiv gefertigter Stahl bringt ein weiteres Orientierungsproblem mit sich. Der schichtweise thermische Zyklus kann säulenförmige Körner erzeugen, die an einer Baurichtung ausgerichtet sind, während die Scanstrategie, die Schmelzbadgeometrie, das Wiedererwärmen und die Wärmebehandlung die Orientierungsverteilung und die Phasenzusammensetzung verändern. Ein parallel zur Baurichtung gemessener Modul kann sich daher von einem quer dazu gemessenen unterscheiden. Richtung, Probenposition, Wärmebehandlung, Porosität und Prüfverfahren müssen zusammen mit dem angegebenen Wert dokumentiert werden. Die Textur beeinflusst auch die Poisson-Zahl und den Schubmodul. Ein Zugversuch kann eine axiale Dehnungsreaktion angeben, während ein Resonanzverfahren mehrere dynamische Konstanten aus Schwingungsmoden ableitet. ASTM E1875-20a legt die Bestimmung des dynamischen Elastizitätsmoduls, des Schubmoduls und der Poisson-Zahl „durch akustische Resonanz“ fest. Diese dynamischen Werte sind nicht automatisch mit statischen Werten aus einem langsam durchgeführten Zugversuch identisch, insbesondere wenn Dämpfung, Mikrorissbildung, Porosität, Temperatur oder Frequenz die Reaktion beeinflussen. ### Näherungen für quasiisotrope polykristalline Werkstoffe Wenn die Kornorientierungen ausreichend breit verteilt sind, können sich richtungsabhängige Unterschiede auf der Probenebene zu kleinen Werten mitteln. Ingenieure beschreiben das Aggregat dann als quasiisotrop: Es ist nicht in jedem Korn oder lokalen Volumen vollkommen isotrop, kann jedoch für die vorgesehene Berechnung angemessen durch isotrope Konstanten dargestellt werden. Dieses Wort ist wichtig. Es kennzeichnet eine Näherung und ist keine Behauptung, dass jede kristallographische Anisotropie verschwunden ist. Polykristalline Näherungswerte können aus Einkristall-Steifigkeits- oder -Nachgiebigkeitsdaten mithilfe von Schranken und Mittelungsverfahren gebildet werden. Eine Voigt-Näherung nimmt eine einheitliche Dehnung in allen Körnern an; eine Reuss-Näherung nimmt eine einheitliche Spannung an. Ihre Vorhersagen unterscheiden sich im Allgemeinen, weil keine der beiden Bedingungen jedes heterogene Aggregat exakt beschreibt. Die Hill-Näherung, die häufig als arithmetischer Mittelwert der Voigt- und Reuss-Ergebnisse verwendet wird, dient oft als praktikable Zwischenapproximation. Diese Schätzungen erfordern die Angabe der Kristallsymmetrie, der Orientierungsverteilung und der Phasenzusammensetzung. Für ein quasiisotropes Aggregat erfüllen der resultierende E, G, B und ν die bekannten isotropen Beziehungen: E=2⁢G⁢(1+ν), E=3⁢B⁢(1−2⁢ν), und E=9⁢BG3⁢B+G. Sobald daher zwei unabhängige Konstanten des Aggregats ausgewählt wurden, lassen sich die übrigen ableiten. Eine Referenztabelle kann für rostfreien Stahl einen ungefähren Kompressionsmodul von 163 GPa angeben, wie dies Engineering ToolBox im Jahr 2024 tat; dieser Wert ist jedoch eine sekundäre Schätzung und kein universeller Wert für jede Güte, Temperatur, Produktform, Phasenverteilung oder jedes Messverfahren von rostfreiem Stahl. Der Bericht des National Bureau of Standards über den austenitischen Stahl Fe-5Cr-26Mn verdeutlicht unmittelbar das Messproblem: Elastische Konstanten wurden im Bereich von 76–400 K aus den Schallgeschwindigkeiten longitudinaler und transversaler Moden bestimmt. Temperaturänderungen beeinflussen den Gitterabstand, die Phasenstabilität, die Beweglichkeit von Defekten und die Wellengeschwindigkeit; daher beschreiben die resultierenden Konstanten genau festgelegte Prüfbedingungen. Für die Auslegung kann ein quasiisotroper Parametersatz für ein gegossenes oder geglühtes Erzeugnis mit schwacher Textur angemessen sein. Ein stark gewalztes Blech, ein geschmiedetes Bauteil, eine Schweißnaht oder ein additiv gefertigtes Bauteil kann dagegen richtungsabhängige Daten erfordern. Der korrekte Modul ist daher nicht einfach die Zahl, die einer Stahlsorte zugeordnet ist, sondern der Wert, der mit dem Verformungsmodus, der Orientierung, der Temperatur, dem Gefüge und dem Prüfverfahren verbunden ist. ## Messung der Elastischen Konstanten von Stahl Elastische Konstanten von Stahl werden entweder anhand einer Kraft-Weg-Reaktion oder anhand der Ausbreitung und Resonanz mechanischer Wellen gemessen. Diese Ansätze liefern nicht immer denselben numerischen Modul. Ein Zugversuch erfasst die nahezu statische Steigung bei einer bestimmten Belastungsgeschwindigkeit, während Schall- und Ultraschallverfahren eine hochfrequente Reaktion mit kleiner Amplitude messen. Temperatur, Kornstruktur, kristallografische Textur, Porosität, Phasenzusammensetzung, Eigenspannung, Probengeometrie und die Definition des gemessenen Modus können das Ergebnis beeinflussen. Für einen isotropen, linear elastischen Festkörper sind nur zwei elastische Konstanten unabhängig. Der Elastizitätsmodul E, der Schubmodul G, der Kompressionsmodul K oder B, die Poissonzahl ν, der erste Lamé-Parameter λ und 2⁢μ beschreiben miteinander verbundene Aspekte desselben Werkstoffverhaltens; Sandia National Laboratories führt diese Größen auf und erklärt, dass E und ν die übrigen Größen bestimmen. Die Messmethode ist daher auch dann von Bedeutung, wenn die angegebenen Größen vertraute Bezeichnungen tragen. Der Elastizitätsmodul beschreibt die axiale Dehnung, der Kompressionsmodul die Volumenänderung unter hydrostatischem Druck und der Schubmodul die Winkelverzerrung. ### Mechanische Zug- und Druckverfahren Das konventionelle Zugverfahren bestimmt einen statischen oder quasistatischen Elastizitätsmodul aus der Steigung des anfänglich linearen Abschnitts einer Spannungs-Dehnungs-Kurve: E=d⁢σd⁢ε. Eine bearbeitete Stahlprobe wird auf Zug belastet, während ein Extensometer, ein Dehnungsmessstreifen oder ein optisches System die axiale Dehnung misst. Die relevante Steigung wird ermittelt, bevor Plastizität, Lüders-Verformung, Rissbildung oder ein anderes nichtlineares Verhalten einsetzt. Das ausgewählte Dehnungsintervall muss angegeben werden, da geringe Abweichungen von der Linearität, die Nachgiebigkeit der Prüfmaschine, Setzeffekte und die Grenzen der Dehnungsauflösung den angepassten Wert verändern können. Ein Zugversuch kann außerdem die Poissonzahl bestimmen, indem gleichzeitig die Querdehnung gemessen wird: ν=−εtransverseεaxial. Die axialen und transversalen Messungen müssen synchronisiert und innerhalb desselben elastischen Bereichs durchgeführt werden. Sobald E und ν bekannt sind, ergeben sich aus den isotropen Beziehungen G=E2⁢(1+ν) und K=E3⁢(1−2⁢ν). Diese berechneten Werte sind keine separaten Messungen der Schub- oder Volumensteifigkeit. Sie übernehmen die Temperatur-, Dehnraten-, Textur- und Prüfrichtungsabhängigkeit der ursprünglichen Zugdaten. Druckprüfungen bieten einen weiteren Zugang zu einem axialen Modul, führen jedoch zu anderen Fehlern. Die Probe muss kurz genug sein, um ein Ausknicken zu vermeiden, und zugleich lang genug, um eine messbare Verschiebung zu ermöglichen. Die Reibung an den Enden kann die seitliche Ausdehnung behindern und eine tonnenförmige Probe erzeugen; daher kann die gemessene Kraft-Weg-Steigung auch Reibungs- und Ausrichtungs- oder Platteneffekte enthalten. Schmierung, Parallelität der Endflächen, Oberflächenbeschaffenheit, Steifigkeit der Druckplatten und das Verhältnis von Probenhöhe zu Durchmesser sind sämtlich von Bedeutung. Extensometer oder Wegsensoren sollten die Verformung über die Messlänge der Probe erfassen, anstatt sich ausschließlich auf den Traversenweg zu stützen. Die hydrostatische Kompression kommt konzeptionell einer direkten Messung des Kompressionsmoduls näher, da sie Druck in allen Richtungen ausübt und die Volumenänderung verfolgt: K=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T. Dies ist die thermodynamische Definition, die das National Institute of Standards and Technology im Jahr 1982 angab. Eine gewöhnliche einachsige Druckprüfung ist keine hydrostatische Kompression; sie verbindet axiale und seitliche Verformung und misst daher K nicht direkt. Direkte Arbeiten zum Kompressionsmodul erfordern Druckbehälter, eine genaue Volumen- oder Dehnungsmessung, eine Druckkalibrierung und eine Temperaturregelung. Für die meisten Charakterisierungen von Baustahl wird K stattdessen aus unabhängig gemessenen Werten von E und ν berechnet oder aus Schallgeschwindigkeiten bestimmt. Statische mechanische Steigungen reagieren besonders empfindlich auf Prüfgeschwindigkeit und Probenzustand. Ein Zugergebnis einer polierten, spannungsarm geglühten Stange, die bei Raumtemperatur geprüft wurde, ist nicht automatisch der Modul einer texturierten gewalzten Platte, eines Schweißguts oder eines wärmebehandelten Zweiphasenprodukts. In einem kubischen Einkristall variiert die Steifigkeit mit der kristallografischen Richtung. Ein polykristallines Gefüge kann bei zufällig orientierten Körnern quasiisotrop erscheinen; eine Walz- oder Erstarrungstextur kann jedoch richtungsabhängige Module bewirken. ![ ## Elastizitätskonstanten und Modulbeziehungen von Stahl](/images/uploads/9cfa1581-a398-4bb9-83b8-d4101f1ec318/wiki-inline-a-steel-test-bar-suspended-at-nodal-supports-during-a-sonic-resonance-elastic-mo-1920x1288.jpg)[](/images/uploads/9cfa1581-a398-4bb9-83b8-d4101f1ec318/wiki-inline-a-steel-test-bar-suspended-at-nodal-supports-during-a-sonic-resonance-elastic-mo-1920x1288.avif "Bild vergrößern — ## Elastizitätskonstanten und Modulbeziehungen von Stahl")Sonic resonance determines dynamic elastic constants from specimen vibration. ### Schallresonanz nach ASTM E1875-20a ASTM E1875-20a ist eine bezeichnete Norm zur Bestimmung des dynamischen Elastizitätsmoduls, des Schubmoduls und der Poissonzahl „durch Schallresonanz“. Anstatt eine lange, langsame Kraft-Dehnungs-Steigung zu messen, regt das Verfahren eine Probe an und bestimmt deren Eigenresonanzfrequenzen. Die Resonanzfrequenz hängt von der elastischen Steifigkeit, der Massendichte, den Probenabmessungen und der Modenform ab. Die Probe wird so gelagert, dass eine freie Randbedingung angenähert wird; üblicherweise werden die Auflager in der Nähe von Knotenbereichen angeordnet, damit sie möglichst wenig Schwingungsenergie entziehen. Ein Anreger erzeugt die Schwingung, und ein Mikrofon, ein Beschleunigungsaufnehmer, ein Laserinstrument oder ein anderer Detektor zeichnet die Reaktion auf. Die Resonanzfrequenz wird anhand eines scharfen Amplitudenmaximums, einer Phasenänderung oder einer Spitze im Frequenzgang bestimmt. Die gemessene Frequenz muss der korrekten Biege-, Torsions- oder Längsmode zugeordnet werden; eine Verwechslung benachbarter Moden kann einen plausiblen, aber falschen Modul ergeben. Länge, Breite, Dicke, Masse und Dichte der Probe sind daher zentrale Eingangsgrößen. Die Abmessungen sollten bei der Prüftemperatur gemessen werden, wenn die thermische Ausdehnung erheblich ist, oder anhand eines geeigneten Ausdehnungskoeffizienten aus den Raumtemperaturabmessungen korrigiert werden. Die Dichte sollte der tatsächlichen Probe entsprechen und nicht einem angenommenen Tabellenwert, insbesondere bei Gussstahl, porösem Material, partikulären Einschlüssen oder mehrphasigen Mikrostrukturen. ASTM E1875-20a berücksichtigt die Probengeometrie und Resonanzgleichungen, anstatt jede Probe als unendlich langen Stab zu behandeln. Randbedingungen, Auflagerposition, Seitenverhältnis, Dämpfung und geometrische Korrekturen beeinflussen die berechneten dynamischen Konstanten. Eine Torsionsresonanz liefert primär Informationen über die Schubsteifigkeit, während eine Biege- oder Längsresonanz einen mit der axialen Steifigkeit verbundenen Modul liefert. Die Kombination der dynamischen Werte E und G ermöglicht die Berechnung von ν=E2⁢G−1, sofern die Annahme eines isotropen, linear elastischen Werkstoffs angemessen ist. Die resultierende Poissonzahl ist ein dynamischer Wert bei der Prüf­frequenz. Sie sollte nicht als universelle, von Frequenz und Temperatur unabhängige Werkstoffkonstante einer Güteklasse dargestellt werden. Die Temperaturregelung ist Bestandteil der Messung und kein nachträglicher Zusatz. Der Ofen oder die Klimakammer muss die Probe auf eine stabile, bekannte Temperatur bringen, und bei der Identifizierung der Resonanz müssen die thermische Ausdehnung, die sich ändernde Dichte und die Temperaturabhängigkeit der Steifigkeit berücksichtigt werden. Eine Frequenz, die gemessen wird, während sich die Probe noch erwärmt, repräsentiert keinen eindeutig definierten elastischen Zustand. Auch die Randbedingungen ändern sich mit der Temperatur, wenn sich Auflager ausdehnen, erweichen, verschieben oder den Kontaktdruck verändern. ### Longitudinale und transversale Schallgeschwindigkeiten Ultraschallmessungen bestimmen elastische Konstanten aus Wellengeschwindigkeiten. Eine Longitudinalwelle erzeugt eine Teilchenbewegung parallel zur Ausbreitungsrichtung; eine Transversal- oder Scherwelle erzeugt eine Teilchenbewegung senkrecht dazu. Für einen homogenen isotropen Festkörper mit der Dichte ρ gelten idealerweise vL=K+43⁢Gρ und vT=Gρ. Daraus folgt G=ρ⁢vT2, K=ρ⁢(vL2−43⁢vT2), und E=9⁢KG3⁢K+G. Die Poissonzahl kann anschließend aus E und G oder unter derselben Isotropieannahme direkt aus dem Geschwindigkeitsverhältnis bestimmt werden. Diese Gleichungen sind einfach, die Messungen jedoch nicht. Die Wegstrecke muss genau bekannt sein, Echos müssen korrekt zugeordnet werden, und der Wandler muss die vorgesehene Polarisation erzeugen und detektieren. Ein scheinbares Eintreffen einer Longitudinalwelle kann Modenumwandlung, Oberflächenwellen, Reflexionen oder Dispersion enthalten. Ein im Jahr 1981 veröffentlichter Bericht des National Bureau of Standards verwendete Schallgeschwindigkeiten von Longitudinal- und Transversalmoden, um elastische Konstanten für austenitischen Fe-5Cr-26Mn-Stahl im Bereich von 76–400 K zu bestimmen. Dieser Temperaturbereich ist von Bedeutung: Er zeigt, dass elastische Konstanten Funktionen des thermischen Zustands sind und keine festen Kennwerte, die unveränderlich mit der Legierungsbezeichnung verbunden sind. Das Verfahren des Berichts beruhte auf einer kontrollierten Temperatur, einer bekannten Dichte, einer definierten Probengeometrie und einer zuverlässigen Identifizierung beider Wellenmoden. Würde man die Gleichungen für Raumtemperatur bei kryogenen oder erhöhten Temperaturen anwenden, ohne diese Größen zu aktualisieren, würde dies die tatsächliche Temperaturabhängigkeit verschleiern. Engineering ToolBox gibt für rostfreien Stahl einen ungefähren Kompressionsmodul von 163 GPa an. Limited evidence Dieselbe Vorsicht gilt für technische Referenztabellen. Engineering ToolBox gibt für Edelstahl einen ungefähren Kompressionsmodul von 163 GPa an; dieser Wert ist jedoch eine sekundäre Referenzschätzung und kein universell gültiger Wert für jede Edelstahlsorte, jede Produktform, jede Textur, jedes Phasenverhältnis, jede Temperatur oder jede Prüfmethode. Ein gemessener dynamischer Wert für austenitisches Fe-5Cr-26Mn, ein statischer Wert aus einer Zugprobe einer ferritischen Güteklasse und ein aus E und ν abgeleiteter berechneter Wert beantworten unterschiedliche experimentelle Fragen. Die Angabe der Methode, der Probenabmessungen, der Dichte, der Temperatur, der Resonanz- oder Wellenmode und der Randbedingungen ist daher ebenso wichtig wie die Angabe des Moduls selbst. ## Einflüsse von Temperatur, Phase, Zusammensetzung und Verarbeitung Elastische Konstanten von Stahl sind keine unveränderlichen Kennzeichnungen, die einer Stahlsorte dauerhaft anhaften. Sie beschreiben einen Materialzustand, einen Verformungsmodus und eine Messbedingung. Temperatur, Phasenzusammensetzung, chemische Zusammensetzung, kristallografische Textur, Porosität, Einschlüsse, Eigenspannungen und thermische Vorgeschichte können das gemessene Verhalten sämtlich verändern. Die Festigkeit kann sich über eine Umwandlung oder Wärmebehandlung um mehrere hundert Prozent ändern, während sich der Young-Modul um einen wesentlich geringeren Anteil verändert. „Geringer“ bedeutet bei Präzisionsanalysen jedoch nicht „vernachlässigbar“. Für einen isotropen, linear-elastischen Festkörper sind nur zwei elastische Konstanten unabhängig. Der Young-Modul E, der Schubmodul G, der Kompressionsmodul K oder B, die Poissonzahl ν, der erste Lamé-Parameter λ und 2⁢μ sind miteinander verknüpfte Größen, wie in Springers *Elasticity of Solids* und in der Sierra-Dokumentation der Sandia National Laboratories beschrieben. Wenn sich durch eine Änderung der Temperatur oder der Mikrostruktur eine unabhängige Konstante ändert, müssen die daraus berechneten anderen Konstanten konsistent aktualisiert werden. Ein angegebener Modul muss daher mit Angaben zur Temperatur, zum Produktzustand, zur Richtung und zum Prüfverfahren versehen sein. ### Temperaturabhängigkeit elastischer Konstanten Die elastische Steifigkeit nimmt gewöhnlich mit steigender Temperatur ab. Atomare Schwingungen nehmen zu, zwischenatomare Bindungen leisten einer geringfügigen Verschiebung weniger Widerstand, und die Wärmeausdehnung verändert den Gleichgewichtsabstand zwischen den Atomen. Innerhalb einer einzelnen Phase verläuft dieser Effekt häufig allmählich, obwohl magnetische Übergänge, Erholung, Rekristallisation und Phasenumwandlungen zu stärkeren Änderungen führen können. In der Nähe einer Umwandlungstemperatur ist ein einzelner Wert bei Raumtemperatur als Ersatz für ein temperaturabhängiges Materialmodell besonders ungeeignet. Der Bericht des National Bureau of Standards über austenitischen Stahl Fe-5Cr-26Mn liefert hierfür ein anschauliches Beispiel. Der 1981 veröffentlichte Bericht bestimmte elastische Konstanten zwischen 76 und 400 K anhand der Schallgeschwindigkeiten longitudinaler und transversaler Moden. Dabei handelt es sich um eine dynamische Messung: Die Wellengeschwindigkeiten liefern die longitudinale und die Schersteifigkeit, aus denen zugehörige Konstanten berechnet werden können. Das Ergebnis zeigt, dass selbst ein über den Prüfbereich hinweg erhaltener austenitischer Stahl nicht über einen einzigen temperaturunabhängigen Satz elastischer Konstanten verfügt. Der Temperaturbereich erstreckt sich von kryogenen Bedingungen bis über die Raumtemperatur hinaus. Die gemessenen Werte beschreiben daher eine Kurve und keine einzelne Eigenschaft der Stahlsorte. Die Unterscheidung zwischen Festigkeit und Steifigkeit ist hier von Bedeutung. Die Streckgrenze kann bei niedriger Temperatur stark ansteigen, weil die Versetzungsbewegung erschwert wird, während sich die elastische Steigung weniger dramatisch verändert. Umgekehrt kann eine geringe Änderung von E die vorhergesagte Durchbiegung, Knicklast, Kontaktpressung oder Aufteilung von Wärmespannungen verändern. Plastische Festigkeit und elastische Steifigkeit beantworten unterschiedliche Fragen. Ein Stahl kann wesentlich fester werden, ohne im gleichen Verhältnis steifer zu werden. Dynamische und statische Prüfungen können ebenfalls zu unterschiedlichen angegebenen Werten führen. ASTM E1875-20a legt die Bestimmung des dynamischen Young-Moduls, des Schubmoduls und der Poissonzahl durch Schallresonanz fest. Resonanzprüfungen arbeiten bei kleinen Dehnungen und hohen Frequenzen, während eine Zugprüfung eine statische oder quasistatische Steigung über einen festgelegten Dehnungsbereich ermittelt. Mikrokunststoffität, Anelastizität, Nachgiebigkeit des Prüfgeräts, Probengeometrie, Oberflächenzustand und Frequenz können den Vergleich beeinflussen. Kein Ergebnis sollte als allgemein austauschbar mit dem jeweils anderen behandelt werden. Der Kompressionsmodul besitzt eine eigenständige physikalische Bedeutung: Er misst den Widerstand gegen eine volumetrische Kompression. NIST definiert ihn thermodynamisch als B=−V⁢(∂⁢P/∂⁢V)T. Engineering ToolBox führt für rostfreien Stahl einen ungefähren Kompressionsmodul von 163 GPa an. Dieser Wert ist jedoch eine Schätzung aus einer sekundären Quelle und kein allgemeingültiger Wert für jede Sorte rostfreien Stahls, jede Temperatur, jede Produktform, jede Phasenzusammensetzung oder jede Prüfbedingung. Die gleiche Vorsicht gilt für tabellierte Werte von E, G und ν. ### Austenit, Ferrit, Martensit und Mehrphasenstähle Die Phasenzusammensetzung beeinflusst das elastische Verhalten, weil jede Phase über eine eigene Kristallstruktur, chemische Zusammensetzung, einen eigenen Gitterparameter, magnetischen Zustand, Defektbestand und Tensor der Einkristallsteifigkeit verfügt. Ferrit besitzt eine kubisch-raumzentrierte Struktur, Austenit eine kubisch-flächenzentrierte Struktur, und Martensit weist üblicherweise eine tetragonal-raumzentrierte oder stark verzerrte raumzentrierte Struktur auf, wenn Kohlenstoff eine ausgeprägte Tetragonalität verursacht. Diese Bezeichnungen legen keinen einzelnen eindeutigen Modul fest. Kohlenstoffgehalt, substitutionelle Legierungselemente, Ordnung, Versetzungsdichte und verbleibende Defekte verändern die Steifigkeit jeder Phase. Austenitische Stähle verdeutlichen, warum die Zuordnung eines allgemeinen „Austenit-Moduls“ problematisch ist. Die Untersuchung von Fe-5Cr-26Mn befasste sich mit einer bestimmten chemischen Zusammensetzung und einem bestimmten Temperaturbereich, nicht mit jeder Fe-Cr-Mn-Legierung und auch nicht mit jedem Stahl, der als austenitisch bezeichnet wird. Mangan und Chrom beeinflussen die Gitterstabilität und das magnetische Verhalten, während die Temperatur die magnetische Ordnung auch dann verändern kann, wenn die Kristallstruktur austenitisch bleibt. Solche Änderungen beeinflussen die zwischenatomaren Kräfte und damit die elastischen Konstanten. Ferritische Stähle können ein temperaturabhängiges elastisches Verhalten zeigen, das mit ihrem ferromagnetischen Zustand und dessen Übergang zum Paramagnetismus zusammenhängt. Die Änderung muss nicht mit einer sichtbaren Phasenumwandlung zusammenfallen. Martensitische Stähle fügen eine weitere Ebene hinzu: Das Abschrecken erzeugt Übersättigung, eine hohe Versetzungsdichte, innere Spannungen und häufig eine kohlenstoffabhängige Tetragonalität. Beim anschließenden Anlassen kommt es zu Karbidausscheidung, Erholung und einer Umverteilung des Kohlenstoffs. Das nach dem Anlassen gemessene elastische Verhalten ist daher nicht einfach das Verhalten eines idealen Martensitkristalls. Bei Mehrphasenstählen ist eine Interpretation über effektive Eigenschaften erforderlich. Bei ferritisch-martensitischen Stählen, Dualphasenstählen, bainitischen Stählen oder Stählen mit Restaustenit wird ein scheinbarer Modul durch die Phasenanteile, die Phasenvernetzung, die kristallografische Orientierung, Grenzflächen, Porosität sowie die Richtung und Größe des geprüften Volumens bestimmt. Eine Abschätzung nach der Mischungsregel kann eine erste Näherung liefern. Aufgrund der lokalen Behinderung tragen die Phasen jedoch nicht alle dieselbe Dehnung oder Spannung. Ein steifer martensitischer Bereich in einer Ferritmatrix kann die gemessene Steigung durch Lastübertragung verändern, während sich Restaustenit während der Belastung umwandeln und dadurch zu einer Abweichung vom linear-elastischen Verhalten führen kann. Auf der Ebene des Einkristalls besitzen kubische und hexagonale Kristalle richtungsabhängige Steifigkeiten. Ein polykristalliner Stahl nähert sich der Isotropie nur dann an, wenn die Kornorientierungen ausreichend zufällig verteilt sind und die Probe genügend Körner für eine Mittelung enthält. Walzblech, Band und Stab können eine Textur bewahren, wodurch sich die Module in Längsrichtung, Querrichtung und durch die Dicke unterscheiden. In diesem Fall kann die Verwendung eines einzigen isotropen E und eines einzigen isotropen G in einer Berechnung eine tatsächlich vorhandene Richtungsabhängigkeit verdecken. ### Gießen, Walzen, Wärmebehandlung und Eigenspannungen Die Verarbeitung verändert sowohl die intrinsischen Phaseneigenschaften als auch die effektive Steifigkeit des hergestellten Körpers. Gegossener Stahl kann Schrumpfporosität, Gasporen, Oxidfilme, Seigerungen, eine dendritische Struktur, Einschlüsse sowie grobe oder uneinheitliche Körner enthalten. Bereits ein kleiner Volumenanteil an verbundener Porosität kann den effektiven Modul stärker verringern, als dies ein Tabellenwert für vollständig dichten Stahl vermuten ließe. Einschlüsse können gegenüber der Matrix steifer oder nachgiebiger sein. Schlecht angebundene Einschlüsse wirken bei einer dynamischen oder statischen Prüfung als Spannungskonzentratoren oder rissähnliche Defekte. Durch das Walzen werden Körner verfeinert und längsgestreckt, die Gussstruktur wird aufgebrochen und eine kristallografische Textur eingebracht. Die daraus resultierende elastische Anisotropie kann bei einigen Produkten gering, bei anderen jedoch erheblich sein. Reduktionsplan, Walztemperatur, Rekristallisation und Enddicke sind allesamt von Bedeutung. Ein in Walzrichtung gemessener Modul sollte nicht automatisch der Quer- oder Normalrichtung zugeordnet werden. Die Wärmebehandlung verändert Phasenanteile, Korngröße, Versetzungsdichte, Ausscheidungen, Karbidmorphologie und verbleibende Spannungen. Normalisieren kann eine Ferrit-Perlit-Struktur verfeinern; Abschrecken kann Martensit und Eigenspannungen erzeugen; Anlassen verringert einen Teil dieser Spannungen und verändert zugleich Ausscheidung und Erholung. Glühen kann die Versetzungsdichte und texturbedingte Effekte durch Rekristallisation verringern. Diese Behandlungen können erhebliche Änderungen der Streckgrenze und Zähigkeit bewirken, während der Kleinstdehnungsmodul vergleichsweise nahe an seinem vorherigen Wert bleibt. Der gemessene effektive Modul kann sich durch Defekte, Phasenumwandlung oder Textur dennoch verschieben. Eigenspannungen verdienen eine gesonderte Betrachtung. Ein sich selbst im Gleichgewicht befindendes Spannungsfeld verändert nicht zwangsläufig den idealen Tangentenmodul eines fehlerfreien, homogenen, linear-elastischen Kristalls. Es kann jedoch verändern, was ein Experiment aufzeichnet. Eigenspannungen beeinflussen die Wellenausbreitung, die Probenkrümmung, die Kontaktbedingungen, den Rissschluss und den Beginn der Mikrokunststoffität. Bei einer Zugprüfung kann eine scheinbare Anfangssteigung durch das Richten, die Ausrichtung der Spannzeuge, die Spannungsumlagerung oder die unvollständige Entfernung von Bearbeitungsspannungen beeinflusst werden. Bei Resonanzprüfungen können Spannung und Anisotropie die Eigenfrequenzen verschieben. Eine belastbare Aussage zum Stahlmodul benennt daher den Phasenzustand, den thermischen Zustand, die Produktrichtung, den Dichte- oder Defektzustand sowie das Messverfahren. Die Zahl ist eine Eigenschaft dieses definierten Zustands und keine dauerhafte Konstante der Stahlsorte. ## Bezeichnungen von Stahlgüten und verantwortungsvoll erstellte Werkstoffkennwerttabellen Eine Stahlbezeichnung kennzeichnet eine Zusammensetzung, eine Produktklasse oder eine Spezifikationsanforderung; sie liefert jedoch für sich genommen keine vollständige Dokumentation der elastischen Werkstoffkennwerte. „304 stainless steel“, „AISI 1045“ und „ASTM A572 Grade 50“ sind nützliche Werkstoffangaben, doch keine dieser Bezeichnungen gibt allein die Produktform, die thermische Vorgeschichte, die kristallografische Textur, die Prüftemperatur oder das Verfahren an, mit dem ein Elastizitätsmodul bestimmt wurde. Diese Unterscheidung ist wichtig, weil die isotrope lineare Elastizität nur zwei unabhängige Konstanten besitzt. Zu den im Ingenieurwesen häufig angegebenen Größen gehören der Elastizitätsmodul E, die Poissonzahl ν, der Kompressionsmodul K oder B, der Schubmodul G, der erste Lamé-Parameter λ sowie 2⁢μ. Die Sandia National Laboratories geben an, dass E und ν die übrigen Konstanten bestimmen, wenn isotrope Beziehungen gelten. OpenStax ordnet den wichtigsten Modulen unterschiedliche physikalische Bedeutungen zu: E beschreibt das Zug- oder einachsige Verhalten, K die volumetrische Kompression und G die Schubverformung. Eine Tabelle, die vier scheinbar unabhängige Zahlen angibt, ohne ihre Quelle zu erläutern, kann daher eine Genauigkeit oder Unabhängigkeit nahelegen, die das Werkstoffmodell nicht besitzt. ### Austenitische, ferritische, martensitische und ausscheidungshärtende nichtrostende Stähle Bezeichnungen von Familien nichtrostender Stähle beschreiben die metallurgische Struktur und nicht einheitlich ein universelles elastisches Verhalten. Austenitische Güten wie **Type 304**, **Type 304L**, **Type 316** und **Type 316L** werden in ASTM-Produktspezifikationen üblicherweise durch die entsprechende „Type“-Bezeichnung und, sofern zutreffend, durch UNS-Nummern wie **UNS S30400**, **UNS S30403**, **UNS S31600** und **UNS S31603** gekennzeichnet. Die Bezeichnung muss so wiedergegeben werden, wie sie in der jeweils geltenden Norm geschrieben ist. „304L stainless“ sollte nicht stillschweigend in „304“ umgewandelt werden, da die kohlenstoffarme Güte eine andere Zusammensetzungsanforderung besitzt und einer anderen Verarbeitung unterzogen worden sein kann. Zu den ferritischen Güten gehören **Type 430** und **Type 409**, während zu den martensitischen Güten **Type 410**, **Type 420** und **Type 440C** gehören. Diese Bezeichnungen kennzeichnen Familien mit unterschiedlicher Phasenstabilität, unterschiedlichen Kohlenstoffgehalten, Legierungszusätzen, Härtbarkeit und magnetischen Eigenschaften. Ihre elastischen Eigenschaften können durch Kaltverformung, Glühen, Abschrecken, Anlassen, zurückbehaltenen Austenit, Karbidverteilungen und die Messrichtung beeinflusst werden. Ein geschmiedetes oder gewalztes Produkt kann sich anders verhalten als ein Gussprodukt mit einer chemisch ähnlichen Bezeichnung. Ausscheidungshärtende nichtrostende Stähle erfordern noch größere Sorgfalt. **17-4 PH** ist eine weit verbreitete Bezeichnung, doch eine Spezifikation kann den Werkstoff als **UNS S17400** kennzeichnen und Zustände wie **H900**, **H1025** oder **H1150** festlegen. Diese Zustandsbezeichnungen beziehen sich auf Wärmebehandlungszustände und sind keine austauschbaren Gütenbezeichnungen. Eine Kennwerttabelle, die den „17-4 PH modulus“ angibt, ohne den Zustand zu nennen, lässt einen wesentlichen Teil der Werkstoffbeschreibung offen. Matrix, Ausscheidungszustand, Eigenspannung und vorausgegangene Verformung können sich zwischen den Zuständen unterscheiden, auch wenn die nominelle Legierungsbezeichnung unverändert bleibt. Das *Steel Castings Handbook* der ASM behandelt Elastizitätsmodul, Poissonzahl, Schubmodul und verwandte physikalische Eigenschaften als Daten für [Stahlguss](/de/kategorien/stahlguss "Stahlguss"). Diese Einordnung ist wichtig: Eine Tabelle für Gussstahl beschreibt einen spezifizierten Gusswerkstoff und eine bestimmte Prüfgrundlage, nicht jedes gewalzte, geschweißte, additiv gefertigte oder wärmebehandelte Produkt mit einer ähnlichen chemischen Zusammensetzung. Gussteile können Seigerungen, Porosität, Einschlüsse und lokale mikrostrukturelle Variationen enthalten, die die gemessenen Ergebnisse und deren Streuung beeinflussen. Auch sollten Bezeichnungen von Familien nichtrostender Stähle nicht dazu verwendet werden, einen einzigen exakten Elastizitätsmodul zuzuweisen. Ein ungefährer Wert aus einer sekundären Quelle von **163 GPa für nichtrostenden Stahl** findet sich bei Engineering ToolBox; dieser Wert ist jedoch kein universeller Wert für jede nichtrostende Stahlsorte, jede Temperatur, jede Produktform oder jeden Prüfzustand. Er ist ein Referenzwert und kein Ersatz für ein normenspezifisches Datenblatt oder einen Messwert. ### Bezeichnungen von Kohlenstoffstählen und niedriglegierten Stählen Auch bei Kohlenstoffstählen und niedriglegierten Stählen ist eine exakte Bezeichnungspraxis erforderlich. **AISI/SAE 1045** kennzeichnet im SAE/AISI-Nummernsystem einen Kohlenstoffstahl; es handelt sich nicht um dieselbe Bezeichnung wie **ASTM A36**, einer Produktspezifikation für Baustahl. **ASTM A572 Grade 50** kennzeichnet eine Güte innerhalb von ASTM A572/A572M, während **AISI/SAE 4130** die Zusammensetzung eines chrom-molybdänlegierten Stahls bezeichnet. Diese Angaben sollten nicht zu informellen Bezeichnungen wie „4130-grade A572“ zusammengeführt werden, sofern eine maßgebende Spezifikation diese Beschreibung nicht ausdrücklich unterstützt. Europäische Bezeichnungen liefern ein weiteres Beispiel. **S355J2** und **S355JR** sind Bezeichnungen innerhalb von **EN 10025-2**, und die Suffixe enthalten festgelegte Bedeutungen hinsichtlich der Kerbschlagprüfung oder des Lieferzustands. Sie sind nicht lediglich alternative Bezeichnungen für ASTM A572 Grade 50. Eine chemische Ähnlichkeit begründet keine Gleichwertigkeit der Spezifikationsanforderungen, Produktabmessungen, Prüfregeln oder Daten zu den elastischen Eigenschaften. Eine Tabelle sollte außerdem zwischen einer Bezeichnung der Zusammensetzung und einem Lieferzustand unterscheiden. **AISI/SAE 4140** kann geglüht, normalisiert und angelassen, vergütet, geschmiedet oder in einem anderen festgelegten Zustand geliefert werden. **ASTM A36**-Bleche, -Stäbe und -Profile unterliegen einer Produktspezifikation, doch ihr gemessenes Verhalten kann weiterhin von der Dicke, der Walzrichtung, den Eigenspannungen und dem Prüfverfahren abhängen. Die Nennsorte legt Grenzwerte oder Anforderungen fest; sie beseitigt nicht die Fertigungsvorgeschichte. Die gleiche Vorsicht gilt für „mild steel“, „tool steel“, „high-strength low-alloy steel“ und ähnliche Familienbezeichnungen. Dies sind breite Kategorien und keine vollständigen Gütenbezeichnungen. Eine verantwortungsvoll erstellte Tabelle gibt die Normnummer, die Güte oder den Typ, gegebenenfalls die Ausgabe, die UNS- oder AISI/SAE-Bezeichnung, sofern zutreffend, die Produktform sowie den Wärmebehandlungszustand an. Wenn eine Bezeichnung ein unternehmensinterner Name ist, sollte sie als solcher gekennzeichnet und nicht als ASTM-, ASME-, SAE-, AISI-, EN- oder UNS-Bezeichnung dargestellt werden. ### Warum Normen und Produktspezifikationen die Werte begleiten müssen Werte elastischer Werkstoffeigenschaften sind nur zusammen mit ihrem Messkontext aussagekräftig. Eine Tabelle sollte mindestens Folgendes angeben: - die Produktform: Blech, Band, Stab, Rohr, Draht, Schmiedestück, Schweißgut, pulververarbeitetes Bauteil oder Gussstück; - die Wärmebehandlung und den Zustand, einschließlich Anlasszustand, Auslagerung, Lösungsglühen oder Zustand der Ausscheidungshärtung; - die Prüfrichtung im Verhältnis zur Walz-, Schmiede-, Extrusions- oder Aufbaurichtung; - die Temperatur und die Umgebungsbedingungen; - die Belastungsgeschwindigkeit oder Frequenz; - die Probekörpergeometrie und die relevanten Abmessungen; - die Prüfnorm und deren Ausgabe; - ob das Ergebnis statisch, quasistatisch oder dynamisch ist; - sofern verfügbar, die Anzahl der Probekörper, den Wertebereich, den Mittelwert und die Streuung. Statische und dynamische Module sind nicht automatisch austauschbar. ASTM **E1875-20a** legt die Bestimmung des dynamischen Elastizitätsmoduls, des Schubmoduls und der Poissonzahl „durch Schallresonanz“ fest. Bei Resonanzmessungen werden Wellenausbreitung und Schwingungsfrequenz genutzt, während ein Zugversuch die Steigung einer Spannungs-Dehnungs-Kurve bei einer festgelegten Belastungsgeschwindigkeit bestimmen kann. Beide Verfahren betreffen das elastische Verhalten, können jedoch unterschiedliche angegebene Werte liefern, da sich Frequenz, Dämpfung, mikrostrukturelle Defekte, Messgeräte und Verfahren zur Datenauswertung unterscheiden. Die Temperatur muss angegeben werden, insbesondere bei Arbeiten im kryogenen oder bei erhöhten Temperaturen. Ein Bericht des National Bureau of Standards aus dem Jahr 1981 bestimmte elastische Konstanten für **Fe-5Cr-26Mn austenitic steel** im Bereich von **76–400 K** anhand der Schallgeschwindigkeiten im Longitudinal- und Transversalmodus. Dieser Bereich zeigt, warum ein Raumtemperaturwert nicht ohne entsprechende Einschränkung in eine kryogene Auslegungstabelle übernommen werden darf. Textur und Kristallanisotropie stellen ein weiteres Problem dar: Das NIST-Handbuchkapitel zu den elastischen Konstanten von Einkristallen erläutert, wie quasi-isotrope polykristalline Werte für E, G, B, den Longitudinalmodul und ν aus Einkristall-Steifigkeitsdaten abgeleitet werden können; solche Ableitungen hängen jedoch von der Kristallsymmetrie, der Orientierungsverteilung und den Annahmen zur Mittelwertbildung ab. Für isotrope Berechnungen reicht ein sorgfältig bestimmtes Paar von Konstanten aus; die übrigen sollten anhand der angegebenen Gleichungen berechnet oder auf Konsistenz geprüft werden. Bei anisotropem gewalztem, geschmiedetem, texturiertem, geschweißtem oder additiv gefertigtem Stahl kann ein einzelner skalarer Modul eine Näherung und keine vollständige konstitutive Beschreibung sein. Normen und Produktspezifikationen verhindern, dass eine Tabelle diese Einschränkung verschleiert. Sie verknüpfen jede Zahl mit einem definierten Werkstoff, Zustand, Richtung, Temperatur- und Prüfverfahren – mit den Informationen, die erforderlich sind, bevor der Wert verantwortungsvoll in eine Auslegungsberechnung eingehen kann. ## Konstruktive Anwendung: Auswahl der richtigen Modulbeziehung Ein Elastizitätsmodul gehört zu einem bestimmten Verformungsmodus. Der Elastizitätsmodul E beschreibt die Normaldehnung, die durch eine einachsige Spannung hervorgerufen wird; der Schubmodul G beschreibt die Gestaltsänderung bei nahezu konstantem Volumen; und der Kompressionsmodul K, auch als B bezeichnet, beschreibt den Widerstand gegen gleichförmige Kompression. Die Poissonzahl ν verknüpft die Normaldehnung mit der Querdehnung. Diese Größen stehen miteinander in Beziehung, sind jedoch nicht austauschbar, nur weil sie alle in Gigapascal angegeben oder für Stahl üblicherweise gemeinsam aufgeführt werden. Für einen homogenen, linear-elastischen und isotropen Festkörper sind nur zwei elastische Konstanten unabhängig. Springers *Elastizität der Festkörper* stellt dies in seiner Darstellung der isotropen Elastizität aus dem Jahr 2020 direkt fest. Die Sandia National Laboratories führen den zugehörigen Satz als Elastizitätsmodul E, Poissonzahl ν, Kompressionsmodul K, Schubmodul G, ersten Lamé-Parameter λ und 2⁢μ auf, wobei E und ν die übrigen Größen bestimmen. Die Umrechnungsgleichungen sind daher bedingte Beziehungen und keine unabhängigen Messungen von sechs voneinander unabhängigen Werkstoffeigenschaften: G=E2⁢(1+ν) K=B=E3⁢(1−2⁢ν) λ=E⁢ν(1+ν)⁢(1−2⁢ν) und E=9⁢KG3⁢K+G. Die Annahmen sind entscheidend. Diese Gleichungen gelten für kleine Dehnungen, ein linear-elastisches Verhalten und isotrope Eigenschaften. Eine Stahlplatte mit Walztextur, eine Wärmeeinflusszone einer Schweißnaht, ein Gussprodukt mit gerichteter Erstarrung oder ein zweiphasiges Gefüge erfüllt die Isotropieannahme möglicherweise nicht ausreichend, sodass ein einziger umgerechneter Wert nicht jede Belastungsrichtung repräsentieren kann. ### Einachsige Bauteile und E Für ein gerades Zugglied, Druckglied, einen Zugstab, einen Stab oder ein schlankes Balkensegment unter einer Axialkraft ist E der maßgebliche Modul. Die grundlegende Beziehung lautet σ=E⁢ε, sodass die elastische Verlängerung eines prismatischen Bauteils δ=PLAE beträgt, wobei P die Axialkraft, L die ursprüngliche Länge und A die Querschnittsfläche ist. Dies ist der richtige Ausgangspunkt für die Abschätzung der elastischen Verlängerung, Verkürzung und axialen Steifigkeit AE/L. Die Poissonzahl wird relevant, wenn eine Querkontraktion oder eine mehrachsige Einspannung eine Rolle spielt. Ein frei gedehnter Stahlstab zieht sich in Querrichtung gemäß εtransverse=−ν⁢εaxial zusammen. Bei einer vollständig eingespannten Probe wird das axiale Verhalten jedoch nicht allein durch E beschrieben. Da sich keine Querdehnung entwickeln kann, wird der Spannungszustand dreidimensional, und die scheinbare Steifigkeit steigt. Ein Finite-Elemente-Modell eines gebundenen Einsatzes, einer eingespannten Unterlegscheibe oder einer Presspassung muss diese Kopplung berücksichtigen, anstatt das Bauteil als isolierten eindimensionalen Stab zu behandeln. Der für E verwendete Wert muss außerdem zur Messung und zum Betriebszustand passen. Die Steigung eines statischen Zugversuchs, ein dynamischer Resonanzmodul und ein aus der Ultraschallgeschwindigkeit abgeleiteter Modul können sich aufgrund von Frequenz, Temperatur, Probengeometrie, Porosität, Eigenspannungen und Fehlern unterscheiden. ASTM E1875-20a legt die Bestimmung des dynamischen Elastizitätsmoduls, des Schubmoduls und der Poissonzahl „durch Schallresonanz“ fest. Dieses Verfahren liefert nicht automatisch denselben Wert wie ein langsamer Zugversuch bei der Auslegungstemperatur. Stahl ist nicht in jedem metallurgischen Zustand derselbe elastische Werkstoff. Ferritische, martensitische, bainitische und austenitische Gefüge können sich unterscheiden, während die Textur dazu führen kann, dass Walzrichtung und Querrichtung unterschiedlich reagieren. Der Bericht des National Bureau of Standards über austenitischen Stahl Fe-5Cr-26Mn bestimmte elastische Konstanten aus den Schallgeschwindigkeiten von Longitudinal- und Transversalwellen im Bereich von 76–400 K. Dieser Temperaturbereich erinnert daran, dass eine nahe Raumtemperatur gemessene elastische Konstante nicht als temperaturunabhängiger Kennwert für kryogene Anwendungen oder den Einsatz bei erhöhten Temperaturen behandelt werden sollte. ### Torsion und G Bei einem kreisförmigen Schaft unter elastischer Torsion bestimmt G den Verdrehwinkel: θ=TLJG, wobei T das Drehmoment, J das polare Flächenträgheitsmoment und L die Schaftlänge ist. Die Torsionssteifigkeit beträgt JG/L. Die zugehörige Schubspannung in einem kreisförmigen Schaft lautet τ=TrJ. Die direkte Verwendung von E in dieser Berechnung führt zu einer falschen Steifigkeit, sofern E nicht zuvor über einen belastbaren Wert von ν umgerechnet wird. Für isotropen Stahl gilt G=E2⁢(1+ν). Diese Umrechnung ist hilfreich, wenn nur E und ν verfügbar sind; sie macht eine Zugmessung jedoch nicht zu einer direkten Torsionsmessung. Ein Werkstoff kann ein richtungsabhängiges Schubverhalten zeigen, selbst wenn ein gemittelter Zugmodul akzeptabel erscheint. Die Unterscheidung wird bei dünnwandigen Rohren, Keilwellen, geschweißten Wellen und Bauteilen mit anisotropen Fertigungsvorgeschichten wichtig. Bei einem allgemeinen Querschnitt kann Torsion zu Verwölbung und einem ungleichförmigen Schubfeld führen, sodass die Saint-Venant-Gleichung für kreisförmige Wellen selbst unzureichend sein kann. Der Werkstoffkennwert bleibt ein konstitutiver Schubparameter, doch die Querschnittsanalyse muss die tatsächliche Geometrie abbilden. Auch dynamische Schubdaten erfordern Sorgfalt. Resonanzverfahren messen das Verhalten bei einer bestimmten Frequenz und kleiner Dehnungsamplitude. Ein aus einer Schallprüfung berechneter Wert kann für Schwingungs- oder Wellenanalysen geeignet sein, jedoch nicht mit der Sekanten- oder Tangentensteifigkeit identisch sein, die bei einer statischen Strukturberechnung mit langsamer Belastung verwendet wird. Die Bezeichnung „dynamisch“ ist kein nebensächliches Etikett, sondern kennzeichnet eine andere Versuchsbedingung. ### Hydrostatische, Kontakt- und Wellenprobleme Der Kompressionsmodul K oder B ist der geeignete Kennwert für das Volumenverhalten. Unter hydrostatischem Druck ändert sich das Volumen gemäß K=B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T, der thermodynamischen Definition, die 1982 vom National Institute of Standards and Technology angegeben wurde. Ein hoher Wert von K bedeutet, dass ein erheblicher Druck nur eine geringe relative Volumenänderung hervorruft. Dies unterscheidet sich vom Widerstand gegen eine Gestaltsänderung, der hauptsächlich durch G bestimmt wird. Engineering ToolBox gibt für rostfreien Stahl einen ungefähren Kompressionsmodul von 163 GPa an. Dieser Wert kann als sekundärer Referenzwert dienen, nicht jedoch als universeller Kennwert für jede Sorte rostfreien Stahls, jede Temperatur, jede Produktform, jede Phasenzusammensetzung oder jedes Prüfverfahren. Da K=E/\[3⁢(1−2⁢ν)\] gilt, können kleine Fehler in ν eine merkliche Änderung des berechneten Kompressionsmoduls verursachen, wenn sich ν dem Wert 0,5 nähert. Kontaktberechnungen erfordern sowohl das Normal- als auch das Tangentialverhalten. Im Hertzschen Kontakt wird der effektive Normalmodul für zwei Körper üblicherweise als \\\[ \\frac{1}{E^\*} = \\frac{1-\\nu\_1^2}{E\_1} + \\frac{1-\\nu\_2^2}{E\_2} \\\] angegeben. Hier bestimmt \\(E^\*\\), nicht E allein für eine bestimmte Stahlsorte, die lokale elastische Eindrückung. Reibungsbehaftetes Gleiten und tangentiale Traktion führen ebenfalls G und ν ein. Ein Modell, das K anstelle von \\(E^\*\\) einsetzt, kann mathematisch stabil bleiben und gleichmäßige Kontaktdrücke erzeugen, dennoch aber den falschen Verformungsmechanismus darstellen. Bei Wellenproblemen wird eine weitere Kombination verwendet. Für einen isotropen Festkörper lautet der Longitudinalwellenmodul M=K+4⁢G3, mit den Geschwindigkeiten von Longitudinal- und Scherwellen \\\[ v\_L=\\sqrt{\\frac{K+4G/3}{\\rho}}, \\qquad v\_S=\\sqrt{\\frac{G}{\\rho}}. \\\] Die Longitudinalwellengeschwindigkeit allein identifiziert daher nicht jede elastische Konstante; zur Trennung von K und G ist eine Messung der Transversalwellengeschwindigkeit erforderlich. In einem Einkristall oder einem texturierten polykristallinen Werkstoff hängt die Wellengeschwindigkeit außerdem von Ausbreitungsrichtung und Polarisation ab, sodass isotrope Formeln eine tatsächliche elastische Anisotropie verbergen können. Dreidimensionale Finite-Elemente-Formulierungen verwenden im Allgemeinen E und ν, K und G oder die Lamé-Parameter λ und μ. Die Wahl ist mathematischer Natur und stellt keine Änderung des physikalischen Werkstoffs dar. Bei nahezu inkompressiblem Verhalten kann eine E-ν-Formulierung mit einem ν-Wert nahe 0,5 jedoch unter volumetrischer Versteifung leiden, während eine gemischte Formulierung mit Druck und deviatorischem Verhalten bessere Ergebnisse liefern kann. Umgekehrt kann das Einsetzen unabhängig gerundeter Werte für E, G und K die isotropen Umrechnungsgleichungen verletzen und eine intern inkonsistente Steifigkeitsmatrix erzeugen. Dies ist das zentrale Auslegungsrisiko: Eine umgerechnete Konstante kann zwar numerisch mit einer Gleichung übereinstimmen, für das untersuchte Problem, die Temperatur, die Frequenz, die Richtung oder das modellierte Stahlgefüge jedoch physikalisch ungeeignet sein. Wählen Sie den Modul zunächst anhand des Verformungsmodus aus und prüfen Sie anschließend, ob seine Messbedingungen und die zugrunde liegenden Isotropieannahmen mit dem Bauteil und der Analyse übereinstimmen. ## Häufige Fehler bei der Berechnung von Elastizitätsmoduln von Stahl Berechnungen von Elastizitätsmoduln von Stahl schlagen häufig fehl, weil Größen mit unterschiedlicher physikalischer Bedeutung als austauschbar behandelt werden. Der Young-Modul E, der Schubmodul G, der Kompressionsmodul K oder B sowie die Poisson-Zahl ν beschreiben die elastische Verformung. Die Streckgrenze beschreibt den Beginn einer erheblichen bleibenden Verformung. Diese Größen gehören zu unterschiedlichen Teilen eines Werkstoffmodells. Für einen isotropen, linear-elastischen Festkörper sind nur zwei elastische Konstanten unabhängig. Das Kapitel *Elastizität von Festkörpern* von Springer (2020) stellt dies direkt fest. Die Sandia National Laboratories führen den zugehörigen Satz als Young-Modul E, Poisson-Zahl ν, Kompressionsmodul K, Schubmodul G, ersten Lamé-Parameter λ und 2⁢μ auf; durch die Angabe von E und ν werden die übrigen Größen bestimmt. Häufig verwendete Umrechnungen sind G=E2⁢(1+ν) und K=E3⁢(1−2⁢ν). Diese Gleichungen sind keine voneinander unabhängigen experimentellen Tatsachen. Sie ergeben sich aus der Annahme eines isotropen, linear-elastischen Werkstoffverhaltens. Ihre Anwendung setzt miteinander verträgliche Werte, konsistente Einheiten und einen Werkstoffzustand voraus, für den die Isotropie eine angemessene Näherung darstellt. ### Verwechslung von Elastizitätsmodul und Streckgrenze #### Häufige Berechnungsfehler - **Ersatz der Festigkeit** Die Verwendung der Streckgrenze anstelle des Elastizitätsmoduls verwechselt eine plastische Grenze mit elastischer Steifigkeit. - **Vermischung von Einheiten** Die Kombination von MPa und GPa ohne Umrechnung kann einen Fehler um den Faktor 1000 verursachen. - **Vermischung von Verfahren** Die Kombination eines statischen E mit einem dynamischen ν oder G kann einen algebraisch gültigen, aber physikalisch inkonsistenten Parametersatz erzeugen. - **Nichtberücksichtigung der Richtung** Die Verwendung eines einzigen skalaren Moduls für stark texturierte Bleche, Drähte, Schweißnähte oder additiv gefertigte Werkstoffe kann Anisotropie verbergen. - **Nichtberücksichtigung der Temperatur** Die Anwendung eines Raumzeitwerts auf kryogene oder erhöhte Temperaturen kann die Reaktion falsch darstellen. Der häufigste Fehler besteht darin, einen hochfesten Stahl als „steifer“ zu bezeichnen, weil seine Streckgrenze höher ist. Die Streckgrenze misst die Spannung, bei der gemäß einem festgelegten Kriterium eine plastische Dehnung einsetzt, häufig bei einer bleibenden Dehnung von beispielsweise 0,2 %. Der Young-Modul misst dagegen die Steigung der elastischen Spannungs-Dehnungs-Kurve vor diesem Übergang. Eine Wärmebehandlung, ein Kaltreduktionsplan, eine Ausscheidungsreaktion oder eine Änderung des Kohlenstoffgehalts kann die Streckgrenze erheblich erhöhen, ohne eine vergleichbare Änderung der anfänglichen elastischen Steigung zu bewirken. Diese Unterscheidung ist für die Auslegung von Bedeutung. Die Durchbiegung unter einer Betriebslast wird vor allem durch E, die Geometrie, die Randbedingungen und die Last bestimmt; für den Nachweis der zulässigen Spannung sind außerdem die Streckgrenze oder eine andere Festigkeitsgrenze erforderlich. Wird E durch die Streckgrenze einer Werkstoffsorte ersetzt, entstehen dimensionsmäßig plausible, physikalisch jedoch bedeutungslose Ergebnisse. Eine Berechnung, bei der die Spannung durch die Streckgrenze dividiert wird, kann einen Ausnutzungsgrad abschätzen. Sie berechnet jedoch keine elastische Dehnung. Derselbe Fehler tritt auch beim Schub auf. Der Schubmodul ist durch den elastischen Zusammenhang zwischen Schubspannung und Schubdehnung definiert: τ=G⁢γ. Die Schubstreckgrenze ist eine plastische Grenzgröße. Sie kann anhand eines Streckgrenzenkriteriums, beispielsweise der von-Mises-Beziehung, abgeschätzt werden, ist jedoch nicht G und wird nicht dadurch erhalten, dass man einem Modul die Einheit einer Spannung zuweist und ihn umbenennt. OpenStax (2020) trennt die Verformungsarten klar voneinander: Der Young-Modul beschreibt das Zugverhalten, der Kompressionsmodul die Volumenkompression und der Schubmodul die Schubverformung. Eine Stahlspezifikation kann daher sowohl eine Anforderung an die Streckgrenze als auch eine Annahme zu den elastischen Eigenschaften enthalten, ohne dass diese Zahlen durch eine einfache Umrechnung zwischen Werkstoffsorten miteinander verknüpft sind. Für Tragwerksberechnungen sollten die maßgebliche Bezeichnung und die Produktnorm festgehalten werden, beispielsweise Blech oder Band nach ASTM A240/A240M, Werkstoff S355 nach EN 10025-2 oder nichtrostender Stahl ASTM A276 Type 304, zusammen mit der Dicke, der Produktform und der Prüfrichtung. Die Bezeichnung kennzeichnet die Anforderungen an den Werkstoff; sie macht einen allgemeinen Modulwert jedoch nicht für jedes Produkt exakt. Ein weiterer Fehler besteht darin, jeder Werkstoffsorte einen einzigen exakten Wert für E zuzuordnen. Ferritische, martensitische, bainitische, austenitische und Duplexstähle können unterschiedliche Phasenanteile, Texturen, Porositätsgrade bei Gussprodukten und Eigenspannungen aufweisen. Diese Faktoren beeinflussen das gemessene elastische Verhalten. Für viele ingenieurtechnische Abschätzungen ist ein konventioneller isotroper Wert ausreichend; er bleibt jedoch eine Annahme oder ein übernommener Auslegungswert und ist keine universelle physikalische Konstante, die allgemein mit dem Wort „Stahl“ verbunden ist. ### Vermischung statischer und dynamischer Werte Statische und dynamische Moduln stehen miteinander in Beziehung, sind jedoch nicht automatisch austauschbar. Ein statischer Modul wird aus einer langsam durchgeführten mechanischen Prüfung gewonnen, üblicherweise aus der Steigung einer Spannungs-Dehnungs-Kurve eines Zug- oder Druckversuchs über ein angegebenes Dehnungsintervall. Das Ergebnis kann durch die Nachgiebigkeit der Prüfmaschine, die Ausrichtung der Spannzeuge, den Oberflächenzustand, die Dehnrate, Hysterese, Mikroplastizität und die Art der Ermittlung der Steigung beeinflusst werden. Ein dynamischer Modul wird aus der Wellenausbreitung, Resonanz oder einer anderen zeitabhängigen Messung abgeleitet. ASTM E1875-20a legt die Bestimmung des dynamischen Young-Moduls, des Schubmoduls und der Poisson-Zahl „durch Schallresonanz“ fest. Die Resonanzfrequenzen und Abmessungen der Probe werden verwendet, um elastische Konstanten abzuleiten. Dieses Verfahren kann präzise Daten bei kleinen Dehnungen liefern; das Ergebnis entspricht jedoch einer Verformung mit hoher Frequenz und sehr kleiner Amplitude und sollte entsprechend gekennzeichnet werden. Dynamische Messungen hängen außerdem von der Dichte, der Probengeometrie, der Frequenz, der Temperatur und der Identifizierung der Schwingungsform ab. Ein aus einer Longitudinalresonanz abgeleiteter Wert sollte nicht ohne die geeignete Beziehung und eine kompatible Poisson-Zahl in eine Schubberechnung eingesetzt werden. Ebenso kann der „Elastizitätsmodul“ in einem Tabellenwerk eine Auslegungskonvention darstellen, während ein Resonanzbericht einen dynamischen Modul ausweist. Beide Werte sollten nicht so verglichen werden, als stammten sie aus derselben Prüfung. Bei der Umrechnung zwischen E, G und K sollte angegeben werden, ob es sich bei den Eingangsgrößen um statische oder dynamische Werte handelt. Die Kombination eines aus einem Zugversuch stammenden E mit einer aus einer Schallresonanz bestimmten ν kann zu einem intern inkonsistenten Satz führen, selbst wenn beide Zahlen für sich genommen glaubwürdig sind. Die Berechnung kann zwar die Algebra erfüllen, aber dennoch keinen einzigen gemessenen Werkstoffzustand darstellen. Der Poisson-Zahl ist besondere Aufmerksamkeit zu widmen, weil die Unsicherheit von ν in der Gleichung für den Kompressionsmodul bedeutsam wird. Wenn E=200 GPa und ν=0.30 gilt, ergibt die isotrope Beziehung K=166.7 GPa. Wird dasselbe E mit ν=0.29 kombiniert, ergibt sich K=158.7 GPa; bei ν=0.31 beträgt der Wert K=175.4 GPa. Eine Änderung von nur 0.01 bei ν verändert den berechneten Wert von K um ungefähr 5 %. In der Nähe von ν=0.5 ist die Empfindlichkeit deutlich größer, weil 1−2⁢ν gegen null geht. Der angenommene Wert, seine Quelle und ein Empfindlichkeitsbereich sollten angegeben werden, anstatt den daraus resultierenden Wert von K als gemessene Konstante darzustellen. Einheiten verursachen einen einfacheren, aber häufigen Fehler. Da 1GPa=1000MPa gilt, kann die Eingabe eines E-Werts in MPa zusammen mit einem G-Wert in GPa einen Fehler um den Faktor 1000 verursachen. Alle Moduln sollten während der Berechnung in einem einheitlichen Einheitensystem angegeben werden; außerdem sollte die Einheit neben dem Endergebnis stehen. Werte des Kompressionsmoduls erfordern eine nachvollziehbare Herkunft. Engineering ToolBox führt für nichtrostenden Stahl einen Näherungswert von 163 GPa auf; dabei handelt es sich jedoch um einen Schätzwert aus einer Sekundärquelle und nicht um einen universellen Wert für jede Sorte nichtrostenden Stahls, jede Produktform, jede Temperatur oder jede Prüfbedingung. Eine belastbare Quellenangabe sollte die ursprüngliche Messung oder Berechnung, die Zusammensetzung, den Phasenzustand, die Temperatur, den Druckbereich, die Grundlage für die Dichte und das Verfahren nennen. Die thermodynamische Definition des National Institute of Standards and Technology (1982), B=−V⁢(∂⁢P/∂⁢V)T, macht die Temperaturbedingung ausdrücklich. Eine ohne diese Bedingungen aus einer Tabelle übernommene Zahl sollte als Näherungswert gekennzeichnet werden. ### Nichtberücksichtigung von Anisotropie und Temperatur Die isotropen Gleichungen setzen voraus, dass das Verhalten in jeder Richtung gleich ist. Gewalztes Blech, gezogener Draht, geschmiedete Stäbe und additiv gefertigte Stähle entwickeln häufig eine kristallografische Textur. Ihr elastisches Verhalten kann mit der Belastungsrichtung variieren, selbst wenn der Werkstoff für das bloße Auge einheitlich erscheint. Ein stark texturiertes Blech kann richtungsabhängige Konstanten anstelle eines einzigen Satzes aus E, G und ν erfordern. Die Elastizität eines Einkristalls wird durch eine Matrix der elastischen Steifigkeiten beschrieben und nicht durch einen einzigen skalaren Modul. Das Handbuchkapitel des NIST aus dem Jahr 1982 erläutert, wie quas isotrope Konstanten polykristalliner Werkstoffe aus Einkristall-Steifigkeitsdaten für kubische und hexagonale Elemente abgeleitet werden können. Diese Mittelung ist ein Modell. Sie ist weniger geeignet, wenn die Textur stark ausgeprägt ist, die Phasenanteile räumlich variieren oder das Produkt aus ausgerichteten Einschlüssen oder Poren besteht. Die Temperatur ist eine weitere häufig ausgelassene Variable. Elastische Konstanten ändern sich im Allgemeinen mit der Temperatur, und Phasenumwandlungen können größere Unstetigkeiten verursachen als die gewöhnliche thermische Erweichung. Ein Bericht des National Bureau of Standards (1981) bestimmte elastische Konstanten für austenitischen Stahl Fe-5Cr-26Mn im Bereich von 76 bis 400 K mithilfe der Schallgeschwindigkeiten im Longitudinal- und Transversalmodus. Der Temperaturbereich zeigt bereits, warum ein Wert bei Raumtemperatur nicht stillschweigend auf kryogenen Betrieb oder Anlagen bei erhöhter Temperatur übertragen werden kann. Eine Berechnung sollte daher die Werkstoffbezeichnung, die Produktform, die Prüfrichtung, die Temperatur, die Verformungsart, das Messverfahren und die Angabe enthalten, ob die Konstanten statisch, dynamisch, isotrop oder richtungsabhängig sind. Falls diese Einzelheiten nicht verfügbar sind, sollte das Ergebnis als ingenieurtechnische Schätzung gekennzeichnet und dargestellt werden, wie sich die Unsicherheit von E, G, K und ν auf das Ergebnis auswirkt. Dies ist genauer, als allen Stählen einen einzigen exakten Modul zuzuweisen und eine unausgesprochene Annahme die Auslegung bestimmen zu lassen. ## Quellen 1. \[1\] National Institute of Standards and Technology. [Bulk modulus definition](https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172). NIST handbook chapter, 1982. [](/de/wiki/berechnete-kennwerte/elastizit%C3%A4tskonstanten-und-modulbeziehungen-von-stahl#wiki-cite-ref-1) https://tsapps.nist.gov/publication/get\_pdf.cfm?pub\_id=851172 2. \[2\] ASTM International. [Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance](https://www.astm.org/e1875-20a.html). ASTM E1875-20a, 2020. [](/de/wiki/berechnete-kennwerte/elastizit%C3%A4tskonstanten-und-modulbeziehungen-von-stahl#wiki-cite-ref-2) https://www.astm.org/e1875-20a.html 3. \[3\] Springer Nature. [Elasticity of Solids](https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4). Springer book chapter, 2020. [](/de/wiki/berechnete-kennwerte/elastizit%C3%A4tskonstanten-und-modulbeziehungen-von-stahl#wiki-cite-ref-3) https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8\_4 4. \[4\] OpenStax. [Stress, Strain, and Elastic Modulus](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus). University Physics Volume 1, 2020. [](/de/wiki/berechnete-kennwerte/elastizit%C3%A4tskonstanten-und-modulbeziehungen-von-stahl#wiki-cite-ref-4) https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus 5. \[5\] National Bureau of Standards. [Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K](https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf). National Bureau of Standards report, 1981. [](/de/wiki/berechnete-kennwerte/elastizit%C3%A4tskonstanten-und-modulbeziehungen-von-stahl#wiki-cite-ref-5) https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf **Auf einen Blick** Unabhängige Konstanten in der isotropen Elastizität 2 Symbol des Elastizitätsmoduls E Symbol des Schubmoduls G Symbole des Kompressionsmoduls K oder B Symbol der Poissonzahl ν Referenzschätzung des Kompressionsmoduls für rostfreien Stahl 163 GPa [Zurück zu Berechnete Kennwerte](/de/wiki/berechnete-kennwerte "Berechnete Kennwerte — Steel Wiki")