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title: "स्टील सेक्शन के गुणधर्मों की गणना: क्षेत्रफल, जड़त्व,…"
description: "सूत्रों, इकाइयों, सारणियों और डिज़ाइन अनुप्रयोगों की सहायता से स्टील सेक्शन के प्रमुख गुणधर्मों की गणना करना सीखें।"
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![स्टील सेक्शन के गुणधर्मों की गणना: क्षेत्रफल, जड़त्व, मॉड्यूलस और मरोड़](/images/uploads/b515a93f-4679-4f22-a6ba-56d4905b2b71/wiki-hero-a-steel-i-section-cross-section-with-its-centroid-major-and-minor-axes-area-dist-1920x823.jpg)

परिकलित मान

# स्टील सेक्शन के गुणधर्मों की गणना: क्षेत्रफल, जड़त्व, मॉड्यूलस और मरोड़

सूत्रों, इकाइयों, सारणियों और डिज़ाइन अनुप्रयोगों की सहायता से स्टील सेक्शन के प्रमुख गुणधर्मों की गणना करना सीखें।

![स्टील उद्योग संवाददाता Anders Bergström का चित्र](/images/uploads/a7d8e5bc-7cdf-409b-913b-211e63e8c441/anders-bergstr-m-1920x1920.jpg)

 **[Anders Bergström](/hi/समाचार/लेखक/anders-bergstrom "Anders Bergström")** परिकलित मान 60+ मिनट का पठन अद्यतन 14 अग॰ 2026 साक्ष्य-समीक्षित

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- [स्टील अनुप्रस्थ-काट के गुणधर्म क्या मापते हैं](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#स-ट-ल-अन-प-रस-थ-क-ट-क-ग-णधर-म-क-य-म-पत-ह "स्टील अनुप्रस्थ-काट के गुणधर्म क्या मापते हैं")
- [निर्देशांक तंत्र, केन्द्रक और संदर्भ अक्ष](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#न-र-द-श-क-त-त-र-क-न-द-रक-और-स-दर-भ-अक-ष "निर्देशांक तंत्र, केन्द्रक और संदर्भ अक्ष")
- [क्षेत्रफल और क्षेत्रफल के प्रथम आघूर्ण](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#क-ष-त-रफल-और-क-ष-त-रफल-क-प-रथम-आघ-र-ण "क्षेत्रफल और क्षेत्रफल के प्रथम आघूर्ण")
- [क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण: Ix, Iy और Ixy](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#क-ष-त-रफल-क-द-व-त-य-आघ-र-ण-i-x-i-y-और-i-xy "क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण: Ix, Iy और Ixy")
- [मूल ज्यामितियों के लिए हाथ से गणनाएँ](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#म-ल-ज-य-म-त-य-क-ल-ए-ह-थ-स-गणन-ए "मूल ज्यामितियों के लिए हाथ से गणनाएँ")
- [सेक्शन मॉड्यूलस, जड़त्व त्रिज्या और ध्रुवीय गुणधर्म](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#स-क-शन-म-ड-य-लस-जड-त-व-त-र-ज-य-और-ध-र-व-य-ग-णधर-म "सेक्शन मॉड्यूलस, जड़त्व त्रिज्या और ध्रुवीय गुणधर्म")
- [प्रत्यास्थ और प्लास्टिक अनुभाग गुणधर्म](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#प-रत-य-स-थ-और-प-ल-स-ट-क-अन-भ-ग-ग-णधर-म "प्रत्यास्थ और प्लास्टिक अनुभाग गुणधर्म")
- [मरोड़ स्थिरांक J और वॉर्पिंग स्थिरांक Cw](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#मर-ड-स-थ-र-क-j-और-व-र-प-ग-स-थ-र-क-cw "मरोड़ स्थिरांक J और वॉर्पिंग स्थिरांक Cw")
- [अपरूपण क्षेत्रफल, अपरूपण केंद्र और असममित अनुप्रस्थ काट](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#अपर-पण-क-ष-त-रफल-अपर-पण-क-द-र-और-असमम-त-अन-प-रस-थ-क-ट "अपरूपण क्षेत्रफल, अपरूपण केंद्र और असममित अनुप्रस्थ काट")
- [मानक इस्पात सेक्शन सारणियाँ: AISC, SCI और EN संदर्भ](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#म-नक-इस-प-त-स-क-शन-स-रण-य-aisc-sci-और-en-स-दर-भ "मानक इस्पात सेक्शन सारणियाँ: AISC, SCI और EN संदर्भ")
- [इकाइयाँ, संकेतांकन और विमीय जाँच](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#इक-इय-स-क-त-कन-और-व-म-य-ज-च "इकाइयाँ, संकेतांकन और विमीय जाँच")
- [निर्मित इस्पात अनुभाग के लिए गणना की एक उदाहरणात्मक कार्यप्रणाली](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#न-र-म-त-इस-प-त-अन-भ-ग-क-ल-ए-गणन-क-एक-उद-हरण-त-मक-क-र-यप-रण-ल "निर्मित इस्पात अनुभाग के लिए गणना की एक उदाहरणात्मक कार्यप्रणाली")
- [सॉफ़्टवेयर, संख्यात्मक समाकलन और प्रमुख गुणधर्म](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#स-फ-टव-यर-स-ख-य-त-मक-सम-कलन-और-प-रम-ख-ग-णधर-म "सॉफ़्टवेयर, संख्यात्मक समाकलन और प्रमुख गुणधर्म")
- [शुद्धता, पूर्णांकन, सहनशीलताएँ और प्रोफ़ाइल पहचान](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#श-द-धत-प-र-ण-कन-सहनश-लत-ए-और-प-र-फ-इल-पहच-न "शुद्धता, पूर्णांकन, सहनशीलताएँ और प्रोफ़ाइल पहचान")
- [स्टील डिज़ाइन जाँचों में अनुभागीय गुणों का उपयोग कैसे होता है](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#स-ट-ल-ड-ज-इन-ज-च-म-अन-भ-ग-य-ग-ण-क-उपय-ग-क-स-ह-त-ह "स्टील डिज़ाइन जाँचों में अनुभागीय गुणों का उपयोग कैसे होता है")
- [इस्पात ग्रेड, धातुकर्म, और ज्यामिति से प्राप्त न होने वाली जानकारी](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#इस-प-त-ग-र-ड-ध-त-कर-म-और-ज-य-म-त-स-प-र-प-त-न-ह-न-व-ल-ज-नक-र "इस्पात ग्रेड, धातुकर्म, और ज्यामिति से प्राप्त न होने वाली जानकारी")
- [सामान्य त्रुटियाँ और सत्यापन-जाँच सूची](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#स-म-न-य-त-र-ट-य-और-सत-य-पन-ज-च-स-च "सामान्य त्रुटियाँ और सत्यापन-जाँच सूची")

## स्टील अनुप्रस्थ-काट के गुणधर्म क्या मापते हैं

### ज्यामिति बनाम पदार्थ के गुणधर्म

स्टील अनुप्रस्थ-काट का गुणधर्म किसी अनुप्रस्थ-काट का ज्यामितीय वर्णनकर्ता होता है। इसकी गणना निर्दिष्ट अक्षों के सापेक्ष पदार्थ के आकार, विमाओं और स्थान से की जाती है। यह स्टील की सामर्थ्य का माप नहीं है।

सकल अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल A इसका सबसे सरल उदाहरण है। आयत के लिए A=bh; खोखले वृत्त के लिए यह बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल में से आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है। यदि विमाएँ समान रहें, तो किसी अनुप्रस्थ-काट को [S275](/hi/सामग्री/gost/s275 " — संघटन, समतुल्य और मानक") से S355 में बदलने पर A नहीं बदलता। यही भेद क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण, अनुप्रस्थ-काट मापांक, परिभ्रमण त्रिज्या, मरोड़ नियतांक और वॉर्पिंग नियतांक पर भी लागू होता है।

स्टील ग्रेड पदार्थ के व्यवहार का वर्णन करता है। S275 और S355 यूरोपीय मानकों में प्रयुक्त पदनाम हैं, जबकि ASTM A992 एक अमेरिकी संरचनात्मक स्टील विनिर्देशन है, जो सामान्यतः वाइड-फ्लैंज प्रोफाइलों से संबद्ध होता है। उनकी पराभव सामर्थ्य, तनन सामर्थ्य, तन्यता, रासायनिक संघटन और वेल्डक्षमता भिन्न हो सकती हैं। ये धातुकर्मीय और पदार्थीय गुण प्रतिरोध तथा डिजाइन जाँचों को प्रभावित करते हैं, लेकिन किसी दिए गए ज्यामितीय अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म को बड़ा नहीं बनाते। किसी निर्दिष्ट ग्रेड से निर्मित W310×39 का नाममात्र क्षेत्रफल और जड़त्व, दूसरे ग्रेड के अनुसार निर्मित समान W310×39 के समान ही होता है।

अधिकांश गणनाएँ निर्देशांकों द्वारा अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल का वर्णन करने से आरंभ होती हैं। केंद्रक घटक क्षेत्रफलों और प्रथम आघूर्णों से ज्ञात किया जाता है:

\\\[ \\bar{x}=\\frac{\\sum A\_i x\_i}{\\sum A\_i}, \\qquad \\bar{y}=\\frac{\\sum A\_i y\_i}{\\sum A\_i}. \\\]

संयोजित आकृतियों के लिए, समांतर-अक्ष प्रमेय प्रत्येक घटक के स्थानीय जड़त्व को सामान्य केंद्रकीय अक्ष पर स्थानांतरित करता है। उदाहरण के लिए,

Ix=∑(Ix,i+Ai⁢dy,i2).यह विधि प्लेटों, कोणों, टी-प्रोफाइलों, बॉक्स अनुप्रस्थ-काटों और अन्य संयोजित ज्यामितियों पर लागू होती है। University of Michigan के अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म संबंधी पाठ में यह घटक-क्षेत्रफल विधि प्रस्तुत की गई है, जबकि Abaqus इसका सतत रूप बताता है: I11 और I22 अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल पर वर्गित निर्देशांक दूरियों का समाकलन करते हैं, और I12 निर्देशांक दूरियों के गुणनफल का समाकलन करता है। पारंपरिक संकेत-पद्धति में, ये राशियाँ केंद्रकीय क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्णों और जड़त्व-गुणनफल के अनुरूप होती हैं, जो सॉफ्टवेयर की अक्ष-संकेत परंपरा के अधीन हैं।

#### अक्ष जाँच

Ix, Iy या I12 को किसी गणना में लिखने से पहले पुष्टि करें कि संदर्भ x–y अक्षों का उपयोग करता है या स्थानीय 1–2 अक्षों का। सॉफ्टवेयर का अभिविन्यास प्रमुख और गौण गुणधर्मों को उलट सकता है।

अक्ष-लेबलों की जाँच करनी चाहिए, उन्हें मानकर नहीं चलना चाहिए। अनेक अमेरिकी स्टील सारणियों में x प्रमुख केंद्रकीय अक्ष और y गौण अक्ष होता है; अन्य सॉफ्टवेयर स्थानीय अक्षों 1 और 2 को अलग प्रकार से परिभाषित कर सकते हैं। असमान प्रमुख जड़त्व वाले अनुप्रस्थ-काट में चुनी गई अक्ष-युग्म के लिए Ixy≠0 हो सकता है। प्रमुख अक्षों पर घुमाने से जड़त्व-गुणनफल समाप्त हो जाता है, इसलिए वहाँ बंकन-अक्ष एक-दूसरे से असंबद्ध होते हैं। सममिति के कारण प्रायः Ixy=0 होता है, लेकिन केवल सममिति-अक्ष या प्रमुख-अक्ष प्रणाली के संदर्भ में।

विमाओं की भी सीमाएँ होती हैं। कोई सारणी नाममात्र विमाएँ दर्शा सकती है, जबकि रोलिंग सहनशीलताएँ, कोने की त्रिज्याएँ, फिलेट और मोटाई में परिवर्तन निर्मित आकृति को प्रभावित करते हैं। केवल “I-beam” के रूप में पहचाना गया प्रोफाइल डिजाइन के लिए पर्याप्त रूप से सटीक नहीं है।

अनुप्रस्थ काट के गुणधर्मों की इकाइयाँ और अभिकल्प भूमिकाएँ अलग-अलग होती हैं।
| गुणधर्म | प्रचलित इकाइयाँ | प्राथमिक अभिकल्प उपयोग |
|---|---|---|
| क्षेत्रफल A | mm² या in² | अक्षीय प्रतिबल और अक्षीय प्रतिरोध |
| द्वितीय आघूर्ण Ix या Iy | mm⁴ या in⁴ | प्रत्यास्थ वक्रता और नमन-कठोरता |
| प्रत्यास्थ खंड-मापांक S | mm³ या in³ | प्रत्यास्थ नमन-प्रतिबल |
| जड़त्व-त्रिज्या r | mm या in | स्तंभ की कृशता |
| मरोड़ स्थिरांक J | mm⁴ या in⁴ | सेंट-वेनां मरोड़ |
| विकृति-स्थिरांक Cw | mm⁶ या in⁶ | प्रतिबंधित विकृति |
| कर्तन क्षेत्रफल | mm² या in² | कर्तन-विरूपण या कर्तन-प्रतिरोध |

प्रधान गुणधर्म एक सार्वभौमिक क्षमता के बजाय अलग-अलग ज्यामितीय प्रतिक्रियाओं का वर्णन करते हैं।

### संरचनात्मक स्टील डिजाइन में प्रयुक्त गुणधर्मों का समुच्चय

#### मूल गुणधर्म शब्दावली

क्षेत्रफल A

अनुप्रस्थ काट के तल के भीतर उस काट द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल।

द्वितीय आघूर्ण I

किसी निर्दिष्ट अक्ष के परितः क्षेत्रफल का वितरण, जो प्रत्यास्थ वक्रता को नियंत्रित करता है।

खंड-मापांक S

संबंधित द्वितीय आघूर्ण को चरम तंतु की दूरी से विभाजित करने पर प्राप्त मान।

जड़त्व-त्रिज्या r

किसी अक्ष के परितः क्षेत्रफल-वितरण को निरूपित करने वाली समतुल्य दूरी।

मरोड़ स्थिरांक J

सेंट-वेनां मरोड़-कठोरता का ज्यामितीय प्राचल।

विकृति-स्थिरांक Cw

असमान मरोड़ के अंतर्गत अनुदैर्ध्य विकृति से संबंधित ज्यामितीय प्राचल।

प्रमुख ज्यामितीय राशियाँ परस्पर संबंधित हैं, लेकिन उनके कार्य अलग-अलग होते हैं।

A क्षेत्रफल, जिसकी इकाइयाँ mm2 या in2 जैसी होती हैं, औसत अक्षीय प्रतिबल P/A में सीधे प्रयुक्त होता है और अक्षीय संपीड़न प्रतिरोध में योगदान देता है। केंद्रकीय क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण Ix और Iy, जिन्हें mm4 या in4 में मापा जाता है, अपने-अपने अक्षों के सापेक्ष प्रत्यास्थ वक्रता के प्रतिरोध का वर्णन करते हैं। ये क्षेत्रफल समाकल हैं, पदार्थ की सामर्थ्य नहीं।

प्रत्यास्थ अनुप्रस्थ-काट मापांक हैं

\\\[ S\_x=\\frac{I\_x}{c\_x}, \\qquad S\_y=\\frac{I\_y}{c\_y}, \\\]

जहाँ c संबंधित केंद्रकीय अक्ष से सबसे बाहरी तंतु तक की दूरी है। इनकी इकाइयाँ mm3 या in3 होती हैं। प्रत्यास्थ बंकन प्रतिबल को सामान्यतः M/S के रूप में लिखा जाता है। I-प्रोफाइल के लिए प्रमुख-अक्ष अनुप्रस्थ-काट मापांक, गौण-अक्ष मान से कई गुना बड़ा हो सकता है। इसी कारण, क्षेत्रफल स्थिर रहने पर भी अभिविन्यास बदलने से बंकन प्रतिरोध बदल जाता है।

परिभ्रमण की त्रिज्याएँ हैं

\\\[ r\_x=\\sqrt{\\frac{I\_x}{A}}, \\qquad r\_y=\\sqrt{\\frac{I\_y}{A}}. \\\]

इनकी इकाइयाँ लंबाई की होती हैं। स्तंभ डिजाइन में KL/r एक पतलापन अनुपात है, इसलिए rx और ry संभावित बकलिंग-अक्ष की पहचान करने में सहायता करते हैं। बड़ा क्षेत्रफल बड़ी परिभ्रमण त्रिज्या की गारंटी नहीं देता: किसी अक्ष से दूर क्षेत्रफल रखने पर उसी क्षेत्रफल को अक्ष के निकट केंद्रित करने की तुलना में जड़त्व कहीं अधिक प्रभावी ढंग से बढ़ता है।

जड़त्व-गुणनफल Ixy, जिसकी इकाइयाँ लंबाई की चौथी घात होती हैं, दो गैर-प्रमुख अक्षों के बीच युग्मन को दर्शाता है। लंबवत केंद्रकीय अक्षों के लिए ध्रुवीय क्षेत्रफल आघूर्ण

Ip=Ix+Iyबिंदु के सापेक्ष क्षेत्रफल के समेकित वितरण का वर्णन करता है। इसे मरोड़ नियतांक J के स्थान पर अनौपचारिक रूप से नहीं रखना चाहिए। वृत्ताकार अनुप्रस्थ-काट के लिए ध्रुवीय जड़त्व और Saint-Venant मरोड़ व्यवहार के बीच संबंध विशेष रूप से प्रत्यक्ष होता है; खुले रोल्ड अनुप्रस्थ-काटों के लिए J, सामान्यतः Ip से बहुत छोटा होता है और दीवार की मोटाई के वितरण द्वारा नियंत्रित होता है।

मरोड़ नियतांक J, Saint-Venant मरोड़ कठोरता को मापता है और सामान्यतः mm4 या in4 में दिया जाता है। I-beam और चैनल जैसे पतली-दीवार वाले खुले अनुप्रस्थ-काटों का J अपेक्षाकृत छोटा होता है, जबकि बंद बॉक्स अनुप्रस्थ-काट सामान्यतः समानरूप मरोड़ का अधिक प्रभावी ढंग से प्रतिरोध करते हैं। वॉर्पिंग नियतांक Cw, जिसे प्रायः mm6 या in6 में दिया जाता है, असमान मरोड़ और अनुदैर्ध्य वॉर्पिंग से संबद्ध प्रतिरोध का वर्णन करता है। यह विशेष रूप से उन खुले अनुप्रस्थ-काटों के लिए महत्वपूर्ण है जिनके फ्लैंज मरोड़-भार के अधीन वॉर्प कर सकते हैं।

शीयर क्षेत्रफल एक अन्य ज्यामितीय राशि है। इसकी इकाइयाँ क्षेत्रफल की होती हैं, लेकिन यह सामान्यतः A के बराबर नहीं होता। यह शीयर-विरूपण या शीयर-प्रतिरोध के सूत्रों में प्रयुक्त प्रभावी क्षेत्रफल को दर्शाता है; इसका मान भार की दिशा और अनुप्रस्थ-काट के रूप पर निर्भर करता है। प्लास्टिक मापांक Zx या Zy, जिसे प्लास्टिक अनुप्रस्थ-काट मापांक भी कहा जाता है, प्लास्टिक उदासीन अक्ष का स्थान निर्धारित करके और पराभूत क्षेत्रों के प्रथम आघूर्णों का योग करके प्राप्त किया जाता है। यह प्रत्यास्थ मापांक S से भिन्न है: S सबसे बाहरी तंतु पर प्रथम पराभव से संबंधित है, जबकि Z पूर्णतः पराभूत आदर्शीकृत अनुप्रस्थ-काट से संबंधित है।

Missouri S&T MDSolids संसाधन सामान्य और मानक स्टील प्रोफाइलों के लिए केंद्रकीय स्थान, द्वितीय आघूर्ण, अनुप्रस्थ-काट मापांक, परिभ्रमण त्रिज्या, प्लास्टिक मापांक, ध्रुवीय आघूर्ण और प्रमुख आघूर्ण को अलग-अलग आउटपुट के रूप में सूचीबद्ध करता है। यह पृथक्करण आवश्यक है।

### समान अनुप्रस्थ-काट के लिए अनेक नियंत्रक गुणधर्म क्यों होते हैं

किसी सदस्य का एक सार्वभौमिक “क्षमता गुणधर्म” नहीं होता, क्योंकि विभिन्न क्रियाएँ अलग-अलग प्रतिबल और विरूपण प्रतिरूप उत्पन्न करती हैं।

अक्षीय तनन मुख्यतः क्षेत्रफल तथा लागू शुद्ध-क्षेत्रफल या संयोजन प्रावधानों से संबंधित होता है। अक्षीय संपीड़न क्षेत्रफल, पदार्थ की पराभव सामर्थ्य, असंयमित लंबाई, प्रभावी लंबाई और प्रासंगिक परिभ्रमण त्रिज्या में से छोटी त्रिज्या पर निर्भर करता है। बंकन में I, S या Z का उपयोग पार्श्व संयम, स्थानीय पतलेपन और ग्रेड सामर्थ्य के साथ किया जाता है। शीयर, शीयर क्षेत्रफल तथा वेब या प्लेट के उन घटकों पर निर्भर करता है जो शीयर वहन करते हैं। मरोड़ J, Cw, वॉर्पिंग-संयम और भार-प्रवेश पर निर्भर हो सकता है। कोई एकल मान इन सभी जाँचों का स्थान नहीं ले सकता।

इसी कारण ANSI/AISC 360-16 Ix, Iy, rx, ry, J और Cw को अलग-अलग अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म राशियों के रूप में परिभाषित और प्रयुक्त करता है। AISC Part 1, Dimensions and Properties, 2023 Steel Construction Manual का संदर्भित भाग है, जिसमें सारणीबद्ध विमाएँ और ज्यामितीय गुणधर्म दिए गए हैं; AISC Shapes Database v16.0 यह डेटा अमेरिकी प्रचलित तथा मीट्रिक इकाइयों में उपलब्ध कराता है। Steel Construction Institute की 2024 Blue Book भी यूरोपीय अनुप्रस्थ-काटों के लिए क्षेत्रफल, द्वितीय आघूर्ण, प्रत्यास्थ और प्लास्टिक मापांक, परिभ्रमण त्रिज्याएँ, मरोड़ नियतांक और वॉर्पिंग नियतांक देती है।

संदर्भ प्रोफाइल और संस्करण से मेल खाना चाहिए। EVS-EN 10365:2026 हॉट-रोल्ड चैनलों, I-सेक्शनों और H-सेक्शनों की नाममात्र विमाएँ और द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है; यह अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म सारणी का स्थान नहीं लेता। Blue Book परिकलित ज्यामितीय गुणधर्म उपलब्ध कराती है। ArcelorMittal के अनुसार, यूरोपीय परिकलित गुणधर्म सामान्यतः सेंटीमीटर में दिए जाते हैं, जबकि पृष्ठीय क्षेत्रफल और वॉर्पिंग नियतांक क्रमशः मीटर- और डेसीमीटर-आधारित इकाइयों का उपयोग करते हैं। इकाई-रूपांतरण की त्रुटि सही सूत्र के प्रभाव को भी समाप्त कर सकती है।

सारणीबद्ध मानों की जाँच हाथ से की गई गणना या अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म प्रोग्राम से करनी चाहिए, विशेषकर संयोजित, छिद्रित, टेपरयुक्त या मिश्रित आकृतियों के लिए। राउंडिंग सीमांत परिणामों को प्रभावित कर सकती है और सॉफ्टवेयर के अक्ष-लेबल प्रमुख तथा गौण गुणधर्मों को उलट सकते हैं। इसलिए सही प्रश्न यह नहीं है कि “अनुप्रस्थ-काट की सामर्थ्य क्या है?” बल्कि यह है: कौन-सा ज्यामितीय गुणधर्म उस क्रिया के अनुरूप है, कौन-सा अक्ष और कौन-सी इकाइयाँ लागू हैं, तथा कौन-सा पदार्थ और डिजाइन मानक प्रतिरोध के नियम प्रदान करता है?

![स्टील सेक्शन के गुणधर्मों की गणना: क्षेत्रफल, जड़त्व, मॉड्यूलस और मरोड़](/images/uploads/ac8afaf8-a892-4237-8b1c-506eda8bf9ed/wiki-inline-a-channel-section-decomposed-into-signed-component-areas-with-its-displaced-cent-1520x1920.jpg)[](/images/uploads/ac8afaf8-a892-4237-8b1c-506eda8bf9ed/wiki-inline-a-channel-section-decomposed-into-signed-component-areas-with-its-displaced-cent-2027x2560.avif "छवि बड़ी करें — स्टील सेक्शन के गुणधर्मों की गणना: क्षेत्रफल, जड़त्व, मॉड्यूलस और मरोड़")Centroid location and axis choice define the meaning of every section-property value.

## निर्देशांक तंत्र, केन्द्रक और संदर्भ अक्ष

किसी अनुप्रस्थ काट के गुणधर्म का पूर्ण अर्थ तब तक स्पष्ट नहीं होता, जब तक उसका संदर्भ अक्ष बताया न जाए। “I-सेक्शन का जड़त्व आघूर्ण” कहना अपूर्ण है: यह मान Ix, Iy, किसी प्रधान आघूर्ण या I11 जैसी सॉफ़्टवेयर मात्रा को संदर्भित कर सकता है। एक ही अनुप्रस्थ काट का एक अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण बड़ा और दूसरे अक्ष के सापेक्ष बहुत छोटा हो सकता है। इसलिए आयामों को संयोजित करने या सारणीबद्ध मानों को डिज़ाइन गणना में प्रतिलिपि करने से पहले निर्देशांकों को निश्चित करना आवश्यक है।

समतलीय अनुप्रस्थ काट के लिए, आकृति के तल में सामान्यतः x और y नामक दो परस्पर लंबवत निर्देशांक लें। क्षेत्रफल के किसी बिंदु के निर्देशांक (x,y) हैं और सूक्ष्म क्षेत्रफल dA है। कुल क्षेत्रफल है

A=∫AdA.क्षेत्रफल के प्रथम आघूर्ण केन्द्रक का स्थान निर्धारित करते हैं:

\\\[ \\bar{x}=\\frac{1}{A}\\int\_A x\\,dA,\\qquad \\bar{y}=\\frac{1}{A}\\int\_A y\\,dA. \\\]

इन समीकरणों का अर्थ है कि केन्द्रक सभी निर्देशांकों का क्षेत्रफल-भारित औसत होता है। समान दूरी पर स्थित बड़े घटक का योगदान छोटे घटक की तुलना में अधिक होता है। ये समीकरण यह भी दर्शाते हैं कि केन्द्रक सामान्यतः उस परिबद्ध आयत का ज्यामितीय केन्द्र नहीं होता। चैनल, कोण, टी या असममित संयोजित अनुप्रस्थ काट का केन्द्रक उसकी कुल गहराई और चौड़ाई के प्रत्यक्ष मध्य से पर्याप्त रूप से विस्थापित हो सकता है।

### केन्द्रकीय निर्देशांक

जब (x¯,y¯) ज्ञात हो जाए, तो केन्द्रकीय निर्देशांक परिभाषित करें:

\\\[ x'=x-\\bar{x},\\qquad y'=y-\\bar{y}. \\\]

केन्द्रकीय अक्ष केन्द्रक से होकर गुजरते हैं, इसलिए उनके प्रथम आघूर्ण शून्य होते हैं:

\\\[ \\int\_A x'\\,dA=0,\\qquad \\int\_A y'\\,dA=0. \\\]

यह स्थानांतरण केवल औपचारिकता नहीं है। केन्द्रकीय द्वितीय आघूर्ण हैं:

\\\[ I\_x=\\int\_A y'^2\\,dA,\\qquad I\_y=\\int\_A x'^2\\,dA, \\\]

और जड़त्व-गुणनफल है

Ixy=∫Ax⁢′⁢y⁢′dA.यहाँ प्रयुक्त अधोलिपि परंपरा सामान्य U.S. संरचनात्मक-अभियांत्रिकी संकेत-पद्धति का अनुसरण करती है: Ix, x-अक्ष से दूरी के वर्ग को मापता है और Iy, y-अक्ष से दूरी के वर्ग को मापता है। अतः Ix की गणना y2 से की जाती है, x2 से नहीं। स्प्रेडशीट में मानों के आपस में बदल जाने का यह एक सामान्य कारण है।

#### संयोजित-खंड गणना-क्रम

1. **1. अक्ष निर्धारित करें** मूल-बिंदु, धनात्मक दिशाएँ और संदर्भ इकाइयाँ निर्धारित करें।
2. **2. आकृति को विभाजित करें** पट्टियों और रिक्तियों को चिह्नित घटक-क्षेत्रफलों के रूप में निरूपित करें।
3. **3. केंद्रक ज्ञात करें** घटक-क्षेत्रफलों और प्रथम आघूर्णों का योग करें।
4. **4. जड़त्व स्थानांतरित करें** साझी केंद्रकीय अक्षों पर समानांतर-अक्ष प्रमेय लागू करें।
5. **5. सममिति जाँचें** अपेक्षित केंद्रक और जड़त्व-गुणनफल के परिणामों की पुष्टि करें।

संयोजित अनुप्रस्थ काट के लिए पहले प्रत्येक घटक का क्षेत्रफल और केन्द्रक ज्ञात करें, फिर उन्हें संयोजित करें। University of Michigan की क्षेत्रफल-गुणधर्म संबंधी पाठ्य सामग्री प्रथम आघूर्णों और समानांतर-अक्ष प्रमेय के साथ इस घटक-विधि को प्रस्तुत करती है। उदाहरण के लिए,

Ix=∑i(Ix,i,c+Ai⁢dy,i2),जहाँ Ix,i,c घटक का अपना केन्द्रकीय मान है और dy,i उसके केन्द्रक से संयोजित अनुप्रस्थ काट के केन्द्रकीय x-अक्ष तक की ऊर्ध्वाधर दूरी है। y-अक्ष के संबंध में अनुरूप व्यंजक लागू होता है। छिद्रों को ऋणात्मक क्षेत्रफल माना जाता है। इसलिए आयत, त्रिभुज, वृत्त या खोखले वृत्त की गणना सीधे की जा सकती है और फिर उन्हें अधिक जटिल इस्पाती अनुप्रस्थ काट में संयोजित किया जा सकता है।

इकाइयाँ मात्रा के प्रकार को स्पष्ट करती हैं। क्षेत्रफल की इकाई लंबाई के वर्ग की होती है, जबकि Ix, Iy और Ixy की इकाई लंबाई की चौथी घात होती है। अनुप्रस्थ काट मापांक की इकाई लंबाई के घन की होती है और परिभ्रमण त्रिज्या की इकाई लंबाई होती है:

\\\[ r\_x=\\sqrt{\\frac{I\_x}{A}},\\qquad r\_y=\\sqrt{\\frac{I\_y}{A}}. \\\]

ये जड़त्व के वैकल्पिक नाम नहीं हैं। ये अलग-अलग प्रश्नों के उत्तर देते हैं और केवल इसलिए एक-दूसरे के स्थान पर प्रयुक्त नहीं किए जा सकते कि वे एक ही प्रोफ़ाइल का वर्णन करते हैं।

Abaqus एक संबंधित, किंतु भिन्न, नामकरण प्रणाली का उपयोग करता है। इसके बीम-अनुप्रस्थ-काट संबंधी दस्तावेज़ I11 और I22 के लिए वर्गित निर्देशांक-दूरियों को समाकलित करके केन्द्रकीय गुणधर्म परिभाषित करते हैं, जबकि I12 निर्देशांक-दूरियों के गुणनफल का समाकलन करता है। संख्यात्मक परिणाम को परिचित Ix, Iy या Ixy के अनुरूप तभी माना जा सकता है, जब Abaqus के स्थानीय 1–2 अक्षों को अभियांत्रिकी के x–y अक्षों पर मैप किया गया हो। कभी यह न मानें कि अक्षर के बाद की संख्या U.S. अक्ष का नाम है। सॉफ़्टवेयर की स्थानीय-अक्ष परिभाषा और चिह्न परंपरा की जाँच करें।

### प्रमुख और गौण अक्ष

प्रमुख अक्ष वह केन्द्रकीय अक्ष है जो क्षेत्रफल के बड़े प्रधान द्वितीय आघूर्ण से संबद्ध होती है; गौण अक्ष का प्रधान मान छोटा होता है। जालक और फ्लैंज के साथ संरेखित दोहरी-सममित I-सेक्शन में ये अक्ष सामान्यतः ज्यामितीय क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर केन्द्रकीय अक्षों के साथ संयोग करती हैं। यदि अनुप्रस्थ काट अपने फ्लैंज की चौड़ाई की तुलना में गहरी है, तो प्रबल दिशा के बारे में बंकन से संबद्ध अक्ष का जड़त्व अधिक होता है। फिर भी शब्दावली को बताए गए अक्ष से जोड़ना आवश्यक है, क्योंकि किसी चित्र को घुमाने पर “प्रबल अक्ष” का अर्थ गलत समझा जा सकता है।

इस भेद के सीधे डिज़ाइन-परिणाम होते हैं। प्रत्यास्थ बंकन प्रतिबल चयनित अक्ष पर आधारित अनुप्रस्थ काट मापांक का उपयोग करता है:

\\\[ S\_x=\\frac{I\_x}{c\_x},\\qquad S\_y=\\frac{I\_y}{c\_y}, \\\]

जहाँ c उस अक्ष से संबंधित सबसे बाहरी तंतु तक की अधिकतम दूरी है। बकलिंग गणनाओं में संबंधित परिभ्रमण त्रिज्या का उपयोग किया जाता है। किसी सारणी में दिया गया ry, rx के स्थान पर केवल इसलिए नहीं रखा जा सकता कि दोनों एक ही इस्पाती आकृति के साथ सूचीबद्ध हैं। \[1\] \[1\] [**AISC Shapes Database v16.0**](https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/aisc-shapes-database-v160/). American Institute of Steel Construction. AISC Shapes Database, 2023.

American Institute of Steel Construction इन मात्राओं को Steel Construction Manual के Part 1 और AISC Shapes Database v16.0 में सूचीबद्ध करता है। 2023 का AISC विवरण बताता है कि डेटाबेस U.S. प्रचलित और मीट्रिक इकाइयों में आयाम तथा अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म उपलब्ध कराता है। ANSI/AISC 360-16 में Ix, Iy, rx, ry, J और Cw सहित मात्राएँ परिभाषित की गई हैं। ये संदर्भ मानों की पहचान करते हैं, लेकिन अभियंता को प्रोफ़ाइल का पदनाम, संस्करण, इकाइयाँ और अक्ष-अभिविन्यास फिर भी सत्यापित करना चाहिए।

यूरोपीय सारणियाँ अपनी प्रस्तुति-परंपराओं का उपयोग करती हैं। Steel Construction Institute की 2024 Blue Book में क्षेत्रफल, क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण, अनुप्रस्थ काट मापांक, परिभ्रमण त्रिज्याएँ, मरोड़ नियतांक और वॉर्पिंग नियतांक सूचीबद्ध हैं। EVS-EN 10365:2026 हॉट-रोल्ड चैनलों, I-सेक्शनों और H-सेक्शनों के नाममात्र आयाम तथा द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है; यह स्वयं अनुप्रस्थ-काट गुणधर्मों की सारणी का विकल्प नहीं है। ArcelorMittal के अनुसार यूरोपीय परिकलित गुणधर्म सामान्यतः सेंटीमीटरों में व्यक्त किए जाते हैं, जबकि पृष्ठीय क्षेत्रफल और वॉर्पिंग नियतांक के लिए क्रमशः मीटर- और डेसीमीटर-आधारित इकाइयों का उपयोग किया जाता है। AISC सारणी के मानों से तुलना करने से पहले इकाई-रूपांतरण करना आवश्यक है।

### सममिति और प्रधान अक्ष

सममिति-अक्ष के परितः केंद्रकीय जड़त्व-गुणनफल शून्य होता है। Strong evidence

सममिति एक शक्तिशाली जाँच प्रदान करती है। यदि कोई क्षेत्रफल x-अक्ष के सापेक्ष सममित है, तो +y पर स्थित प्रत्येक अवयव के अनुरूप −y पर एक अवयव होगा, इसलिए ∫AxydA में युग्मित योगदान एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। अतः उस अक्ष के संबंध में Ixy=0 होता है। y-अक्ष के सापेक्ष सममिति के लिए भी यही परिणाम प्राप्त होता है। दो परस्पर लंबवत सममिति-अक्षों वाले अनुप्रस्थ काट के दोनों केन्द्रकीय अक्षों के संबंध में जड़त्व-गुणनफल शून्य होता है।

प्रधान अक्ष **प्रधान अक्ष** घूर्णन द्वारा प्राप्त केंद्रकीय अक्ष, जिन पर जड़त्व-गुणनफल शून्य हो जाता है और नमन-गुणधर्म परस्पर युग्मित नहीं रहते।

असममित अनुप्रस्थ काट में सामान्यतः यह सुविधा नहीं होती। उसके केन्द्रकीय x और y अक्षों के संबंध में Ixy अशून्य हो सकता है, जिसका अर्थ है कि एक अक्ष के बारे में बंकन दूसरे अक्ष के बारे में बंकन के साथ ज्यामितीय रूप से युग्मित हो सकता है। प्रधान अक्ष वे घुमाए गए केन्द्रकीय अक्ष हैं जिनके लिए जड़त्व-गुणनफल शून्य होता है। प्रधान द्वितीय आघूर्ण हैं:

I1,2=Ix+Iy2±(Ix−Iy2)2+Ixy2,और प्रधान-अक्ष कोण संतुष्ट करता है:

tan⁢2⁢θ=2⁢IxyIx−Iy,यह अपनाई गई चिह्न परंपरा के अधीन है। बड़ा मान प्रमुख प्रधान आघूर्ण और छोटा मान गौण प्रधान आघूर्ण होता है।

कोणीय प्रोफ़ाइल, चैनल, उत्केन्द्रित प्लेट और अनियमित संयोजित अनुप्रस्थ काट के लिए प्रधान-अक्ष गणनाएँ वैकल्पिक नहीं, बल्कि आवश्यक हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, MDSolids सामान्य और मानक आकृतियों के लिए केन्द्रकीय स्थिति, द्वितीय आघूर्ण, प्रधान आघूर्ण और संबंधित गुणधर्म प्रदर्शित करता है। सॉफ़्टवेयर का आउटपुट जाँच के रूप में उपयोग किया जाना चाहिए, निर्देशांकों की उपेक्षा करने के कारण के रूप में नहीं। केन्द्रक की पुष्टि करें, किसी सरल घटक की गणना दोबारा करें, अक्ष-घूर्णन का निरीक्षण करें और यह निर्धारित करें कि रिपोर्ट किया गया I12, हस्त-गणना में प्रयुक्त चिह्न परंपरा के समान है या नहीं। ये गुणधर्म ज्यामिति द्वारा निर्धारित होते हैं; अपरिवर्तित आकृति का पदनाम ASTM A36 से ASTM A572 Grade 50 करने पर पदार्थ का प्रतिरोध बदलता है, लेकिन उस आकृति का केन्द्रक या प्रधान अक्ष नहीं बदलते।

## क्षेत्रफल और क्षेत्रफल के प्रथम आघूर्ण

### सकल अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल

अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल A एक ज्यामितीय राशि है। यह बताता है कि अनुप्रस्थ-काट द्वारा कितना समतलीय क्षेत्र घेरा गया है, न कि इस्पात कितना मजबूत है। किसी सतत् आकृति के लिए,

A=∫AdAजहाँ dA अनुप्रस्थ-काट का एक अति-सूक्ष्म अवयव है। सरल भागों में विभाजित अनुप्रस्थ-काट के लिए यही राशि जोड़ के द्वारा निकाली जाती है:

A=∑i=1nAiआयत के लिए A=bh; त्रिभुज के लिए A=bh/2; वृत्त के लिए A=π⁢d2/4; और खोखले वृत्त के लिए,

A=π4⁢(D2−d2)जहाँ D बाहरी व्यास और d आंतरिक व्यास है। ये सूत्र परिचित आकृतियों के लिए पहले से किए गए समाकलनों का परिणाम हैं।

किसी छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल दिया जाता है। अतः किसी वृत्ताकार उद्घाटन वाली आयताकार प्लेट के लिए,

Agross=bt−π⁢d24यदि प्लेट के आयाम उद्घाटन हटाए जाने से पहले की पदार्थ-सीमा को दर्शाते हों। ऋणात्मक-क्षेत्रफल का परिपाटी अलग गणित वाला कोई संक्षिप्त उपाय नहीं है; यह समाकलन से उस क्षेत्र को घटाने का चिह्नित रूप है।

*सकल क्षेत्रफल* पद का प्रयोग सावधानी से करना आवश्यक है। अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म सारणियों में इसका सामान्य अर्थ इस्पात-आकृति का पूर्ण नाममात्र अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल होता है, जिसमें वह पदार्थ भी शामिल होता है जिसे बाद में किसी छिद्र, स्लॉट, कट-आउट या अन्य संयोजन-विवरण के कारण अलग कर दिया जाए। किसी डिजाइन नियम के अनुसार शुद्ध क्षेत्रफल से छिद्र हटाए जा सकते हैं, जबकि प्रभावी क्षेत्रफल में स्थानीय बकलिंग, शीयर लैग या किसी अन्य प्रावधान का भी हिसाब लगाया जा सकता है। डिजाइन में प्रयुक्त ये बाद के क्षेत्रफल ज्यामितीय सकल क्षेत्रफल के साथ परस्पर विनिमेय नहीं हैं। ANSI/AISC 360-16 में अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म और डिजाइन संबंधी प्रावधान अलग-अलग दिए गए हैं, तथा लागू शुद्ध या प्रभावी क्षेत्रफल की परिभाषा संबंधित सीमा-अवस्था गणना से ली जानी चाहिए।

आयाम, सहनशीलताएँ और राउंडिंग परिणाम को प्रभावित करते हैं। किसी मानक में दिया गया नाममात्र H-अनुभाग आयाम प्रत्येक रोल किए गए सदस्य के वास्तविक मापे गए आयाम के समान आवश्यक रूप से नहीं होता। EVS-EN 10365:2026 हॉट-रोल्ड चैनलों, I-अनुभागों और H-अनुभागों के नाममात्र आयाम और द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है; यह अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म सारणी का स्थान नहीं लेता। इसके विपरीत, Steel Construction Institute की Blue Book यूरोपीय अनुभागों के लिए क्षेत्रफल और द्वितीय आघूर्ण जैसी परिकलित विशेषताएँ प्रदान करती है। American Institute of Steel Construction द्वारा 2023 में जारी AISC Shapes Database v16.0, अमेरिकी प्रचलित और मीट्रिक इकाइयों में आयाम तथा अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म प्रदान करता है।

इस्पात का ग्रेड इस ज्यामिति को नहीं बदलता। ASTM A992 W-shape के रूप में निर्दिष्ट अनुप्रस्थ-काट और किसी अन्य ग्रेड-पदनाम से वर्णित ज्यामितीय रूप से समान अनुप्रस्थ-काट का परिकलित क्षेत्रफल समान होगा। ग्रेड प्रतिरोध, पराभव सामर्थ्य और डिजाइन जाँच को प्रभावित करता है—dA के समाकलन को नहीं। यही पृथक्करण लागू उत्पाद और पदार्थ मानकों के अंतर्गत लिखे गए यूरोपीय पदनामों पर भी लागू होता है।

### प्रथम आघूर्ण और केन्द्रक का स्थान

किसी अक्ष के परितः क्षेत्रफल का प्रथम आघूर्ण, निर्देशांक और अवकल क्षेत्रफल के गुणनफल के क्षेत्रफल-समाकलन के रूप में परिभाषित होता है:

\\\[ Q\_x=\\int\_A y\\,dA,\\qquad Q\_y=\\int\_A x\\,dA \\\]

यहाँ y, x-अक्ष से और x, y-अक्ष से मापा जाता है। Qx की इकाई लंबाई के घन की होती है, जैसे mm3 या in3। यह द्वितीय आघूर्ण I नहीं है, जिसकी इकाई लंबाई की चौथी घात होती है।

केन्द्रक के निर्देशांक सीधे निम्न प्रकार प्राप्त होते हैं:

x¯=1A∫AxdA=∑Ai⁢xi∑Aiy¯=1A∫AydA=∑Ai⁢yi∑Aiयह अवयव-क्षेत्रफल विधि है, जिसे University of Michigan के अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म संबंधी अभ्यास-सत्र में सिखाया जाता है। प्रत्येक अवयव अपने क्षेत्रफल और अपने केन्द्रक के निर्देशांक के गुणनफल के बराबर योगदान देता है। संदर्भ अक्ष से दूर स्थित बड़ा क्षेत्रफल, उसके निकट स्थित छोटे क्षेत्रफल की तुलना में अधिक प्रभाव डालता है।

गणना से पहले अक्षों और चिह्नों का चयन करें। सामान्य परिपाटी में दाईं ओर का x और ऊपर की ओर का y धनात्मक लिया जाता है। तब x-अक्ष के नीचे स्थित किसी अवयव का yi ऋणात्मक होगा और ∑Ai⁢yi में उसका योगदान भी ऋणात्मक होगा। किसी छिद्र का Ai ऋणात्मक होता है, इसलिए यदि उसका निर्देशांक धनात्मक हो तो उसके प्रथम आघूर्ण का योगदान भी ऋणात्मक होगा। संदर्भ मूल-बिंदु बदलने पर व्यक्तिगत आघूर्ण बदल जाते हैं, लेकिन अंतिम केन्द्रक नहीं बदलता।

सममित अनुप्रस्थ-काट के लिए केन्द्रक प्रत्येक सममिति-अक्ष पर स्थित होता है। अतः द्वि-सममित I-अनुभाग का केन्द्रक उसके वेब और फ्लैंज के सममिति-अक्षों के प्रतिच्छेद पर स्थित होता है। सममिति एक उपयोगी जाँच है, लेकिन जब कोई प्लेट, उद्घाटन, वेल्ड-संलग्नक या विकेन्द्रित स्टिफनर सममिति को भंग कर दे, तब गणना छोड़ने का कारण नहीं है।

अनुप्रस्थ शीयर के सूत्रों में भी वही Q संकेत-लेखन दिखाई देता है, लेकिन चयनित क्षेत्रफल और अक्ष को स्पष्ट रूप से बताना आवश्यक है। किसी बीम के लिए,

τ=VQIbजहाँ Q उस क्षेत्रफल-भाग का प्रथम आघूर्ण है जो उस बिंदु के एक ओर स्थित है जहाँ शीयर प्रतिबल का मूल्यांकन किया जा रहा है, और यह आघूर्ण उदासीन अक्ष के परितः लिया जाता है; I उस अक्ष के परितः पूरे अनुप्रस्थ-काट का द्वितीय आघूर्ण है; तथा b शीयर प्रवाह का प्रतिरोध करने वाली स्थानीय चौड़ाई या मोटाई है। यह Q किसी मनमाने डेटम के परितः पूरे अनुप्रस्थ-काट का प्रथम आघूर्ण स्वतः नहीं होता। उसके केन्द्रकीय अक्ष के परितः पूर्ण क्षेत्रफल का प्रथम आघूर्ण शून्य होता है।

### संयोजित अनुप्रस्थ-काटों के लिए अवयव-क्षेत्रफल सारणियाँ

किसी विघटित अनुप्रस्थ-काट की गणना को जाँचने योग्य बनाने के लिए सारणी उपयोगी होती है। कम-से-कम प्रत्येक अवयव का चिह्नित क्षेत्रफल, केन्द्रक निर्देशांक और प्रथम आघूर्ण का योगदान शामिल करें:

| अवयव | Ai | xi | yi | Ai⁢xi | Ai⁢yi |
|---|---|---|---|---|---|
| ऊपरी प्लेट | bt⁢tt | xt | yt | At⁢xt | At⁢yt |
| वेब | tw⁢hw | xw | yw | Aw⁢xw | Aw⁢yw |
| निचली प्लेट | bb⁢tb | xb | yb | Ab⁢xb | Ab⁢yb |
| उद्घाटन | −Ao | xo | yo | −Ao⁢xo | −Ao⁢yo |

इसके बाद गणना करें:

\\\[ \\bar{x}=\\frac{\\sum A\_i x\_i}{\\sum A\_i},\\qquad \\bar{y}=\\frac{\\sum A\_i y\_i}{\\sum A\_i} \\\]

पूरी सारणी में एक ही निर्देशांक-तंत्र और एक ही इकाई-तंत्र का प्रयोग होना चाहिए। मिलीमीटर को मीटर के साथ मिलाने से प्रथम आघूर्णों में 103 और द्वितीय आघूर्णों में 106 के गुणक आ सकते हैं।

किसी संयोजित अनुप्रस्थ-काट के लिए यह सारणी Ix और Iy पर समानांतर-अक्ष प्रमेय लागू करने से पहले केन्द्रक स्थापित करती है। यह एक प्रत्यक्ष जाँच भी उपलब्ध कराती है: परिकलित केन्द्रक के परितः पूर्ण क्षेत्रफल का बीजीय प्रथम आघूर्ण शून्य होना चाहिए। Missouri S&T का MDSolids जैसे सॉफ्टवेयर सामान्य और मानक इस्पात-आकृतियों के लिए केन्द्रकीय स्थान तथा संबंधित गुणधर्मों की गणना कर सकता है, लेकिन स्वतंत्र अवयव-सारणी अब भी प्रभावी सत्यापन प्रदान करती है।

सारणीबद्ध मानों का सटीक प्रोफ़ाइल, अक्ष-परिपाटी, संस्करण और इकाइयों से मेल खाना आवश्यक है। मानक अमेरिकी आयामों और ज्यामितीय गुणधर्मों के लिए Steel Construction Manual का AISC Part 1 संदर्भ अनुभाग है। यूरोपीय सारणियाँ परिकलित गुणधर्म सेंटीमीटर में दे सकती हैं; ArcelorMittal के अनुसार पृष्ठीय क्षेत्रफल और वार्पिंग नियतांक के लिए क्रमशः मीटर-आधारित और डेसीमीटर-आधारित इकाइयों का प्रयोग होता है। इसलिए क्षेत्रफल और प्रथम आघूर्णों के साथ केवल संख्याएँ नहीं, बल्कि इकाइयों के लेबल भी होने चाहिए।

## क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण: Ix, Iy और Ixy

क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण यह बताते हैं कि किसी अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल निर्दिष्ट अक्षों के सापेक्ष किस प्रकार वितरित है। ये ज्यामितीय गुण हैं, पदार्थ की सामर्थ्य से संबंधित मान नहीं। संरचनात्मक इस्पात को ASTM A36 से ASTM A572 Grade 50 में बदलने पर प्रतिरोध-जाँच और अभिकल्प सामर्थ्य बदलते हैं, लेकिन जब प्रोफ़ाइल के आयाम समान रहते हैं, तब Ix, Iy या Ixy नहीं बदलते।

अक्ष-लेबल को सावधानीपूर्वक पढ़ना आवश्यक है। सामान्य परिपाटी में Ix, x-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल के वितरण को मापता है, इसलिए वर्गित दूरी y-निर्देशांक होती है। इसी प्रकार, Iy, y-अक्ष के सापेक्ष वितरण को मापता है और वर्गित x-निर्देशांक का उपयोग करता है। कुछ सॉफ़्टवेयर और मानक I11 और I22 जैसे क्रमांकित अक्षों का उपयोग करते हैं, इसलिए मानों की तुलना करने से पहले निर्देशांक-परिपाटी की जाँच करनी चाहिए। Abaqus के दस्तावेज़ों में केंद्रक-आधारित गुणों को I11 और I22 के लिए वर्गित निर्देशांक-दूरियों तथा I12 के लिए निर्देशांक-दूरियों के गुणनफल के समाकलन द्वारा परिभाषित किया गया है (Abaqus, 2024)।

### समाकलकीय परिभाषाएँ

किसी अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल A के लिए, जहाँ निर्देशांक चयनित मूलबिंदु से मापे गए हैं,

Ix=∫Ay2dAIy=∫Ax2dAऔर

Ixy=∫AxydA.पहली दो राशियाँ क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण हैं। इनकी इकाइयाँ लंबाई की चौथी घात होती हैं: mm4, cm4 या in4। जड़त्व-गुणनफल की इकाइयाँ भी यही होती हैं।

वर्गित दूरी इसका केंद्रीय बिंदु है। x-अक्ष से y दूरी पर स्थित कोई छोटा क्षेत्रफल-तत्व केवल ydA नहीं, बल्कि y2⁢dA का योगदान देता है। यदि समान क्षेत्रफल वाला एक तत्व दूसरे तत्व की तुलना में अक्ष से दोगुनी दूरी पर हो, तो वह Ix में चार गुना योगदान देगा। उदासीन अक्ष के निकट स्थित पदार्थ का योगदान कम होता है; दूर स्थित पदार्थ का योगदान बहुत अधिक होता है। इसी कारण I-सेक्शन के फ्लैंज प्रबल-अक्ष के चारों ओर वंकन-कठोरता में बड़ा योगदान देते हैं, जबकि वेब, अपने क्षेत्रफल से अकेले अनुमानित योगदान की तुलना में, दुर्बल-अक्ष के गुण में अधिक बड़ा हिस्सा देता है।

x-अक्ष के समानांतर चौड़ाई b और y-अक्ष के समानांतर गहराई h वाले आयत के लिए, जिसकी केंद्रकीय अक्षें उसके मध्य से होकर गुजरती हैं,

\\\[ I\_x=\\frac{bh^3}{12}, \\qquad I\_y=\\frac{hb^3}{12}. \\\]

घन आयाम यह स्पष्ट करता है कि आयताकार सेक्शन को घुमाने पर उसकी वंकन-कठोरता में पर्याप्त परिवर्तन क्यों हो सकता है। 200⁢ mm गहराई वाले आयत का Ix, समान चौड़ाई वाले 100⁢ mm गहराई के आयत की तुलना में बहुत अधिक होता है, यद्यपि उसका क्षेत्रफल केवल दोगुना होता है।

त्रिभुज के लिए, उसके आधार के समानांतर केंद्रकीय द्वितीय आघूर्ण है

Ix=bh336,जहाँ b आधार और h लंबवत ऊँचाई है। r त्रिज्या वाले वृत्त के लिए, किसी भी केंद्रकीय व्यास के सापेक्ष,

Ix=Iy=π⁢r44होता है। खोखले वृत्त के लिए बाहरी और आंतरिक योगदान घटाए जाते हैं:

Ix=Iy=π4⁢(ro4−ri4).ये सूत्र सेक्शन-गुण सॉफ़्टवेयर और सारणियों से प्राप्त मानों की जाँच के लिए उपयोगी हैं; इन्हें ध्रुवीय आघूर्ण, मरोड़ नियतांक या सेक्शन मॉड्यूलस का विकल्प नहीं समझना चाहिए।

### समांतर-अक्ष प्रमेय

संयुक्त सेक्शन की हस्त-गणना आकृति को सरल घटकों में विभाजित करके शुरू की जाती है। प्रत्येक घटक के लिए उसका क्षेत्रफल Ai, केंद्रक निर्देशांक (xi,yi), तथा उसके केंद्रकीय द्वितीय आघूर्ण Ix,i,c और Iy,i,c निर्धारित किए जाते हैं। प्रथम आघूर्ण पूरे सेक्शन के केंद्रक का स्थान निर्धारित करते हैं:

\\\[ \\bar{x}=\\frac{\\sum A\_i x\_i}{\\sum A\_i}, \\qquad \\bar{y}=\\frac{\\sum A\_i y\_i}{\\sum A\_i}. \\\]

संयुक्त केंद्रक ज्ञात हो जाने पर, समांतर-अक्ष प्रमेय प्रत्येक घटक के गुण को संयुक्त अक्षों पर स्थानांतरित करता है:

Ix=∑(Ix,i,c+Ai⁢(yi−y¯)2),Iy=∑(Iy,i,c+Ai⁢(xi−x¯)2).जड़त्व-गुणनफल के लिए,

Ixy=∑(Ixy,i,c+Ai⁢(xi−x¯)⁢(yi−y¯)).स्थानांतरण-पद अक्सर घटक के केंद्रकीय मानों से अधिक महत्वपूर्ण होते हैं। किसी फ्लैंज का अपनी अक्ष के चारों ओर जड़त्व मध्यम हो सकता है, लेकिन पूरे सेक्शन के केंद्रक से उसकी दूरी के कारण उसका Ai⁢d2 योगदान बड़ा हो सकता है।

एक सममित T-सेक्शन पर विचार करें, जो 200⁢ mm×20⁢ mm के फ्लैंज और 20⁢ mm×180⁢ mm के वेब से बना है, जहाँ वेब फ्लैंज के नीचे केंद्रित है। फ्लैंज का क्षेत्रफल 4,000⁢ mm2 और वेब का क्षेत्रफल 3,600⁢ mm2 है। वेब के निचले भाग से ऊपर की ओर मापने पर उनके केंद्रक क्रमशः yf=190⁢ mm और yw=90⁢ mm पर हैं। अतः,

y¯=4,000⁢(190)+3,600⁢(90)7,600=142.63⁢ mm.फ्लैंज के लिए,

Ix,f,c=200⁢(20)312=133,333⁢ mm4,और वेब के लिए,

Ix,w,c=20⁢(180)312=9,720,000⁢ mm4.स्थानांतरित गुण लगभग यह होगा:

Ix=133,333+4,000⁢(47.37)2+9,720,000+3,600⁢(52.63)2,जिससे

Ix≈31.2×106⁢ mm4.वेब की अपनी गहराई परिणाम का बड़ा भाग उत्पन्न करती है, जबकि फ्लैंज का विस्थापन भी पर्याप्त बड़ा पद जोड़ता है। समांतर-अक्ष पदों को छोड़ देने पर सेक्शन-गुण का मान कम आंका जाएगा।

रिक्त स्थान के लिए भी यही विधि लागू होती है, लेकिन क्षेत्रफल और घटक-गुण ऋणात्मक लिए जाते हैं। इसी प्रकार आयताकार खोखले सेक्शन की गणना बाहरी आयत में से आंतरिक आयत घटाकर की जा सकती है, बशर्ते आंतरिक आयाम और अक्षों के स्थान सही ढंग से परिभाषित किए गए हों।

### जड़त्व-गुणनफल और घूर्णित अक्ष

जड़त्व-गुणनफल यह दर्शाता है कि क्षेत्रफल धनात्मक या ऋणात्मक निर्देशांक वाले युग्मित क्षेत्रों में स्थित है। केंद्रकीय निर्देशांकों के साथ, प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्रफल-तत्व के लिए xy धनात्मक होता है; द्वितीय चतुर्थांश में स्थित तत्व के लिए xy ऋणात्मक होता है। विपरीत योगदान एक-दूसरे को निरस्त कर सकते हैं।

जब सेक्शन की सममिति-अक्ष x- या y-अक्ष में से किसी एक के साथ संरेखित हो और मूलबिंदु केंद्रक पर हो, तब Ixy शून्य हो जाता है। x-अक्ष के परावर्तन से y, −y में बदल जाता है और xy का चिह्न उलट जाता है, इसलिए सममित युग्मों के योगदान एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। y-अक्ष के सापेक्ष सममिति पर भी यही तर्क लागू होता है। इसलिए आयत, वृत्त, I-सेक्शन और केंद्रित खोखले सेक्शन अपनी सामान्य केंद्रकीय सममिति-अक्षों के सापेक्ष Ixy=0 रखते हैं।

एंगल-सेक्शन, चैनल, टी-सेक्शन या असममित संयुक्त सेक्शन में सामान्यतः केवल एक सममिति-अक्ष होती है या कोई भी नहीं होती। मनमानी केंद्रकीय अक्षों के सापेक्ष उसका जड़त्व-गुणनफल शून्य नहीं भी हो सकता है। यहाँ तक कि एक सममिति-अक्ष वाले सेक्शन में भी Ixy=0 तभी होगा, जब चयनित अक्षों में से एक उस सममिति-अक्ष के साथ स्थित हो और दूसरी उसके लंबवत हो।

अक्षों को घुमाने पर तीनों राशियाँ निम्नलिखित प्रकार से बदलती हैं:

Ix′=Ix+Iy2+Ix−Iy2⁢cos⁢2⁢θ−Ixy⁢sin⁢2⁢θ,Iy′=Ix+Iy2−Ix−Iy2⁢cos⁢2⁢θ+Ixy⁢sin⁢2⁢θ,Ix′y′=Ix−Iy2⁢sin⁢2⁢θ+Ixy⁢cos⁢2⁢θ.चिह्न अपनाई गई अक्ष और घूर्णन-परिपाटी पर निर्भर करते हैं; किसी गणना में पूरी तरह एकसमान परिपाटी बनाए रखना आवश्यक है। प्रधान अक्ष वे अभिविन्यास हैं जिनके लिए Ix′y′=0 होता है। संबंधित प्रधान आघूर्ण हैं:

I1,2=Ix+Iy2±(Ix−Iy2)2+Ixy2.द्वि-सममित I-सेक्शन के लिए परिचित प्रबल और दुर्बल अक्ष पहले से ही प्रधान अक्ष होते हैं। चैनल या एंगल-सेक्शन के लिए केंद्रकीय ज्यामितीय अक्ष प्रधान अक्ष न भी हो सकती हैं, और किसी एक अक्ष के चारों ओर वंकन से दूसरी अक्ष से संबंधित वक्रता या प्रतिबल प्रभाव उत्पन्न हो सकते हैं। असममित संयुक्त सेक्शन के लिए भी यही उपचार आवश्यक है; सममिति की जाँच किए बिना Ixy=0 मान लेने पर वंकन-प्रतिक्रिया का गलत आकलन हो सकता है।

American Institute of Steel Construction द्वारा 2023 में जारी AISC Shapes Database v16.0, अमेरिकी प्रचलित और मीट्रिक इकाइयों में आयाम और गुण उपलब्ध कराता है, जबकि AISC Part 1 सारणीबद्ध आयाम और ज्यामितीय गुण प्रदान करता है। Steel Construction Institute की 2024 Blue Book यूरोपीय सेक्शन-गुण देती है, जिनमें जहाँ लागू हो वहाँ द्वितीय आघूर्ण और प्रधान-अक्ष संबंधी जानकारी भी शामिल है। EVS-EN 10365:2026 नाममात्र आयाम और द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है, प्रत्येक गणना किए गए गुण को नहीं। इकाई-परिपाटियाँ भी भिन्न होती हैं: ArcelorMittal के अनुसार यूरोपीय गणना किए गए गुण सामान्यतः सेंटीमीटर में रिपोर्ट किए जाते हैं, जबकि पृष्ठीय क्षेत्रफल और वार्पिंग नियतांक में मीटर तथा डेसीमीटर पर आधारित इकाइयों का उपयोग होता है। किसी सारणी से लिया गया मान तभी उपयोगी है, जब सटीक प्रोफ़ाइल, अक्ष, इकाइयों और मानक के संस्करण की पुष्टि कर ली जाए।

## मूल ज्यामितियों के लिए हाथ से गणनाएँ

हाथ से गणना इस्पात के ग्रेड से नहीं, बल्कि किसी सीमा और निर्देशांक-प्रणाली से शुरू होती है। अनुप्रस्थ काट में बिंदुओं का स्थान निर्धारित करने के लिए x और y लें, और प्रारंभ में मूल-बिंदु को किसी सुविधाजनक संदर्भ-बिंदु पर रखें। कुल क्षेत्रफल है

A=∫AdAकेन्द्रक प्रथम आघूर्णों से प्राप्त होता है:

\\\[ \\bar{x}=\\frac{1}{A}\\int\_A x\\,dA,\\qquad \\bar{y}=\\frac{1}{A}\\int\_A y\\,dA \\\]

केन्द्रक ज्ञात हो जाने पर, केन्द्रकीय क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण हैं

\\\[ I\_x=\\int\_A (y-\\bar{y})^2dA,\\qquad I\_y=\\int\_A (x-\\bar{x})^2dA \\\]

और जड़त्व गुणनफल है

Ixy=∫A(x−x¯)⁢(y−y¯)⁢dAयह Abaqus के परिपाटी से मेल खाता है: I11 और I22 में निर्देशांक-दूरियों के वर्गों का समाकलन किया जाता है, जबकि I12 में निर्देशांक-दूरियों के गुणनफल का समाकलन किया जाता है। विभिन्न संदर्भों में अधोलिखित संकेत बदल सकते हैं, इसलिए किसी सारणी का उपयोग करने से पहले अक्षों की परिभाषा अवश्य पढ़नी चाहिए।

### आयताकार और त्रिकोणीय अनुप्रस्थ काट

ऐसे आयत के लिए जिसकी चौड़ाई b, x-अक्ष के समानांतर मापी जाती है और जिसकी गहराई h, y-अक्ष के समानांतर मापी जाती है,

A=bhयदि आयत दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है, तो उसका केन्द्रक उसके ज्यामितीय केन्द्र पर होता है और सममिति के कारण Ixy=0 होता है। केन्द्रकीय द्वितीय आघूर्ण हैं

\\\[ I\_x=\\frac{bh^3}{12},\\qquad I\_y=\\frac{hb^3}{12} \\\]

दोनों आयाम एक ही प्रकार से प्रभाव नहीं डालते। h बढ़ाने पर Ix तीसरी घात के अनुपात में बढ़ता है, जबकि b बढ़ाने पर यह केवल रैखिक रूप से बढ़ता है। Iy के लिए इसका विपरीत लागू होता है। यही कारण है कि अक्ष से अधिक दूरी पर सामग्री रखना, उसी अक्ष के निकट समान क्षेत्रफल की सामग्री जोड़ने की तुलना में, वंकन-कठोरता पर कहीं अधिक प्रभाव डाल सकता है।

यदि आयत की निचली भुजा को संदर्भ-अक्ष के रूप में लिया जाए, तो केन्द्रक स्थित होगा

y¯=h2उस भुजा के सापेक्ष द्वितीय आघूर्ण है

Ix,edge=bh33केन्द्रकीय परिणाम समानांतर-अक्ष प्रमेय से प्राप्त होता है:

Ix,edge=Ix,centroid+A⁢(h2)2

#### संदर्भ अक्षों को न मिलाएँ

किसी आयत के किनारे के परितः द्वितीय आघूर्ण का मान उसके केंद्रकीय द्वितीय आघूर्ण के बराबर नहीं होता। किसी भी मान का उपयोग करने से पहले समानांतर-अक्ष प्रमेय लागू करें और अक्ष का स्थान स्पष्ट रूप से लिखें।

इन दोनों मानों को भ्रमित करना हाथ से की जाने वाली गणनाओं में एक सामान्य त्रुटि है।

किसी त्रिकोण के लिए b को आधार और h को लम्बवत ऊँचाई मानें। इसका क्षेत्रफल है

A=bh2केन्द्रक आधार से ऊँचाई के एक-तिहाई भाग पर, अथवा शीर्ष से ऊँचाई के दो-तिहाई भाग पर स्थित होता है। केन्द्रक से होकर आधार के समानांतर अक्ष के लिए,

Ix=bh336स्वयं आधार के सापेक्ष,

Ix,base=bh312पुनः, समानांतर-अक्ष प्रमेय इन दोनों मानों को जोड़ता है। केन्द्रकीय Iy त्रिकोण की क्षैतिज ज्यामिति पर निर्भर करता है। ऊर्ध्वाधर सममिति-अक्ष वाले समद्विबाहु त्रिकोण के लिए,

Iy=b3⁢h48और सममिति के कारण केन्द्रक से गुजरने वाले क्षैतिज तथा ऊर्ध्वाधर अक्षों के सापेक्ष Ixy=0 होता है। विषमबाहु त्रिकोण में सामान्यतः इन अक्षों के सापेक्ष जड़त्व गुणनफल शून्य नहीं होता, इसलिए उसके प्रधान अक्ष घूर्णित होते हैं।

विमीय जाँच से अनेक त्रुटियाँ तुरंत पकड़ी जा सकती हैं। क्षेत्रफल की इकाई L2, प्रथम आघूर्ण की इकाई L3, और द्वितीय आघूर्ण की इकाई L4 होती है। इसलिए bh3 द्वितीय आघूर्ण के लिए विमीय रूप से उपयुक्त है, जबकि bh2 नहीं है। यदि प्रत्येक लंबाई को k के पैमाने से बदला जाए, तो क्षेत्रफल k2, केन्द्रक-निर्देशांक k, और द्वितीय आघूर्ण k4 के अनुपात में बदलते हैं।

### वृत्ताकार और खोखले-वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट

त्रिज्या r, अथवा व्यास d=2⁢r, वाले ठोस वृत्त के लिए,

A=π⁢r2=π⁢d24प्रत्येक केन्द्रकीय व्यास सममिति-अक्ष होता है। अतः,

Ix=Iy=π⁢r44=π⁢d464और

Ixy=0केन्द्रक के सापेक्ष ध्रुवीय द्वितीय आघूर्ण है

Jp=Ix+Iy=π⁢r42=π⁢d432यह ध्रुवीय राशि प्रत्येक अनुप्रस्थ काट में बीम के मरोड़ के लिए प्रयुक्त Saint-Venant मरोड़ नियतांक J के समान स्वतः नहीं होती। वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट के लिए ठोस-वृत्त का मरोड़ नियतांक ध्रुवीय द्वितीय आघूर्ण के बराबर होता है, लेकिन इस समतुल्यता को खुले I-आकार या चैनल अनुप्रस्थ काटों पर लागू नहीं करना चाहिए।

बाहरी त्रिज्या ro और आंतरिक त्रिज्या ri वाले खोखले वृत्त के लिए,

A=π⁢(ro2−ri2)केन्द्रक समान केन्द्र पर ही रहता है, और

Ix=Iy=π4⁢(ro4−ri4)ध्रुवीय द्वितीय आघूर्ण है

Jp=π2⁢(ro4−ri4)यही समीकरण बाहरी और आंतरिक व्यास do तथा di के रूप में भी लिखे जा सकते हैं:

\\\[ A=\\frac{\\pi}{4}(d\_o^2-d\_i^2),\\qquad I\_x=I\_y=\\frac{\\pi}{64}(d\_o^4-d\_i^4) \\\]

यह घटाव ज्यामितीय रूप से रिक्त भाग को हटाने को दर्शाता है, न कि ठोस अनुप्रस्थ काट का कोई सन्निकटन। इससे उपयोगी सीमांत जाँच भी प्राप्त होती है। यदि ri=0, तो खोखले-वृत्त के समीकरण ठोस-वृत्त के समीकरणों में बदल जाते हैं। यदि ri, ro के निकट पहुँचता है, तो क्षेत्रफल और द्वितीय आघूर्ण शून्य के निकट पहुँचते हैं। पतली दीवार घेरा हुआ सार्थक क्षेत्रफल बनाए रख सकती है, जबकि उसके वंकन और मरोड़ संबंधी गुण दीवार की मोटाई पर बहुत अधिक निर्भर करते हैं। इसलिए समान बाहरी व्यास वाले ठोस वृत्त से उसका प्रतिस्थापन स्वीकार्य नहीं है।

### सरल आकृतियों को मिलाकर इस्पात प्रोफ़ाइल बनाना

संयोजित अनुप्रस्थ काटों की गणना सामग्री जोड़कर और रिक्त भाग घटाकर की जाती है। प्रोफ़ाइल को ऐसे आयतों, त्रिकोणों, वृत्तों या अन्य आकृतियों में विभाजित करें जिनके गुण ज्ञात हों। प्रत्येक घटक i के लिए उसका चिह्नित क्षेत्रफल Ai, केन्द्रक-निर्देशांक (xi,yi), तथा केन्द्रकीय गुण Ix,i, Iy,i और Ixy,i लिखें। किसी कटे हुए भाग के लिए ऋणात्मक क्षेत्रफल का उपयोग करें।

संयोजित केन्द्रक है

\\\[ \\bar{x}=\\frac{\\sum A\_i x\_i}{\\sum A\_i},\\qquad \\bar{y}=\\frac{\\sum A\_i y\_i}{\\sum A\_i} \\\]

इसके बाद समानांतर-अक्ष प्रमेय लागू करें:

Ix=∑\[Ix,i+Ai⁢(yi−y¯)2\]Iy=∑\[Iy,i+Ai⁢(xi−x¯)2\]Ixy=∑\[Ixy,i+Ai⁢(xi−x¯)⁢(yi−y¯)\]रिक्त भाग क्षेत्रफल-आधारित प्रत्येक पद में ऋणात्मक योगदान देता है। उदाहरण के लिए, आयताकार नली को बाहरी आयत में से आंतरिक आयत घटाकर निरूपित किया जा सकता है, बशर्ते दोनों आयतों के संदर्भ-अक्ष सही हों। I-अनुप्रस्थ काट को एक वेब आयत और दो फ्लैंज आयतों से बनाया जा सकता है; समग्र केन्द्रक से उनके ऑफसेट को समानांतर-अक्ष पदों में शामिल किया जाता है। चैनल को भी इसी प्रकार बनाया जा सकता है, लेकिन उसका केन्द्रक सामान्यतः दोनों ज्यामितीय अक्षों पर स्थित नहीं होता।

सममिति एक प्रभावी जाँच है। x-अक्ष के सापेक्ष सममित अनुप्रस्थ काट के लिए, जब उसी अक्ष को संदर्भ के रूप में लिया जाए, y¯=0 होना चाहिए और उसका केन्द्रकीय Ixy शून्य होना चाहिए। द्वि-सममित I-अनुप्रस्थ काट के प्रधान अक्ष उसके केन्द्रकीय अक्षों के साथ संपाती होते हैं। यदि ऐसी अनुप्रस्थ काट के लिए गणना में जड़त्व गुणनफल का गैर-शून्य मान प्राप्त हो, तो घटक-निर्देशांक, चिह्न या अक्ष-लेबल गलत हैं।

अंतिम मानों को सीमांत जाँचों पर भी खरा उतरना चाहिए: किसी घटक को हटाने पर क्षेत्रफल कम होना चाहिए; सामग्री को किसी अक्ष से अधिक दूर ले जाने पर संबंधित द्वितीय आघूर्ण बढ़ना चाहिए; और शून्य आकार की ओर बढ़ते किसी रिक्त भाग का कोई प्रभाव नहीं होना चाहिए। पूरे समय आयामों को एक ही इकाई-प्रणाली में रखें। लंबाइयाँ मिलीमीटर में होने पर A की इकाई mm2 और I की इकाई mm4 होगी; परिणाम को मीटर में बदलने के लिए क्षेत्रफल को 106 से और द्वितीय आघूर्ण को 1012 से विभाजित करना होगा। यूरोपीय सारणियाँ प्रायः गणना किए गए गुणों को सेंटीमीटर में दर्शाती हैं, जबकि सतह क्षेत्रफल और वार्पिंग नियतांक मीटर तथा डेसीमीटर-आधारित इकाइयों का उपयोग करते हैं, जैसा कि ArcelorMittal स्पष्ट करता है।

हाथ से प्राप्त परिणाम, सटीक प्रोफ़ाइल-सारणी के विकल्प नहीं, बल्कि उसके विरुद्ध जाँच के साधन हैं। AISC Shapes Database v16.0 और AISC Part 1 अमेरिकी प्रोफ़ाइलों के आयाम तथा ज्यामितीय गुण प्रदान करते हैं; SCI P363, The Blue Book, यूरोपीय अनुप्रस्थ काटों के गुण प्रदान करता है। EVS-EN 10365:2026 नाममात्र आयामों और द्रव्यमानों को निर्दिष्ट करता है, प्रत्येक व्युत्पन्न गुण को नहीं। प्लेट की मोटाई की सहनशीलताएँ, फिलेट, कोने की त्रिज्याएँ और राउंडिंग परिणाम को बदल सकते हैं। हाथ से बनाए गए आदर्शीकृत मॉडल की प्रकाशित इस्पात प्रोफ़ाइल से तुलना करने से पहले सटीक अभिहितकरण और संस्करण की पुष्टि करें।

## सेक्शन मॉड्यूलस, जड़त्व त्रिज्या और ध्रुवीय गुणधर्म

सेक्शन मॉड्यूलस, जड़त्व त्रिज्या और ध्रुवीय गुणधर्म एक ही अनुप्रस्थ-काट ज्यामिति से व्युत्पन्न होते हैं, लेकिन वे अभियांत्रिकी से जुड़े अलग-अलग प्रश्नों के उत्तर देते हैं। इनमें से कोई भी पदार्थ की सामर्थ्य का मान नहीं है। जब भौतिक सेक्शन के आयाम समान रहते हैं, तब ASTM A36 इस्पात से ASTM A992 इस्पात में बदलने पर Ix, Sx, rx या J में कोई परिवर्तन नहीं होता; ग्रेड प्रतिरोध, जहाँ प्रासंगिक हो वहाँ पदार्थ के प्रत्यास्थता मापांक के माध्यम से कठोरता-जाँच, तथा अनुमेय या अभिकल्प सामर्थ्य को बदलता है। ज्यामिति अब भी आकार से ही निर्धारित होती है।

किसी सारणी से कोई संख्या लेने से पहले अक्ष-लेबल पढ़े जाने चाहिए। AISC, SCI और यूरोपीय सारणियाँ इस जाँच का स्थान नहीं लेतीं। American Institute of Steel Construction के अनुसार, AISC Shapes Database v16.0 अमेरिकी प्रचलित और मीट्रिक इकाइयों में आयाम तथा सेक्शन-गुणधर्म प्रदान करता है, जबकि AISC Part 1 सारणीबद्ध आयामों और ज्यामितीय गुणधर्मों के लिए संदर्भ सेक्शन है। यूरोप में, EVS-EN 10365:2026 हॉट-रोल्ड चैनल, I सेक्शन और H सेक्शन के नाममात्र आयाम तथा द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है; इसके बाद परिकलित गुणधर्म Steel Construction Institute की Blue Book जैसे संदर्भों में दिए जाते हैं।

### प्रत्यास्थ सेक्शन मॉड्यूलस

प्रत्यास्थ सेक्शन मॉड्यूलस, संबंधित केंद्रकीय द्वितीय क्षेत्र आघूर्ण को उस केंद्रकीय अक्ष से सबसे बाहरी तंतु की दूरी से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। x-अक्ष के परितः बंकन के लिए,

Sx=Ixcyजहाँ cy, x-अक्ष से तनन या संपीड़न वाले सबसे बाहरी तंतु तक की अधिकतम दूरी है। y-अक्ष के परितः बंकन के लिए,

Sy=Iycxजहाँ cx, y-अक्ष से सबसे बाहरी तंतु तक की अधिकतम दूरी है। S का उपसर्ग बंकन-अक्ष की पहचान करता है, न कि अंश में प्रयुक्त सबसे बाहरी तंतु की दूरी की दिशा की।

यह भेद असमान-फ्लैंज वाले I सेक्शन, चैनल, एंगल या किसी अन्य असममित आकार के लिए महत्वपूर्ण है। दोनों सबसे बाहरी तंतुओं की दूरियाँ अलग हो सकती हैं, इसलिए सेक्शन के धनात्मक और ऋणात्मक प्रत्यास्थ मॉड्यूलस अलग-अलग हो सकते हैं। किसी सारणी में एक मान के बजाय Sx,top और Sx,bottom, अथवा Sx,max और Sx,min दिए जा सकते हैं। दोनों सतहों के लिए बड़े मान का उपयोग करने पर, यदि छोटा मान निर्णायक हो, तो बंकन-प्रतिरोध असुरक्षित रूप से अधिक आँका जा सकता है।

इकाइयाँ सीधे समीकरण से निर्धारित होती हैं। Ix और Iy की विमा लंबाई की चौथी घात होती है, जबकि c की विमा लंबाई होती है; इसलिए Sx और Sy की विमा लंबाई की तीसरी घात होती है। सामान्य प्रणालियों में mm3, cm3 या in3 में मान दिए जाते हैं। cm3 और mm3 के बीच रूपांतरण की त्रुटि 100 नहीं, बल्कि 1,000 के गुणक का कारण बनती है।

b चौड़ाई और h गहराई वाले आयताकार सेक्शन के लिए,

\\\[ I\_x=\\frac{bh^3}{12},\\qquad S\_x=\\frac{bh^2}{6}. \\\]

Ix में गहराई की घात तीन और Sx में घात दो होती है; यही बताता है कि आयताकार छड़ को घुमाने पर उसका बंकन-प्रतिरोध तीव्रता से क्यों बदल सकता है। 90 डिग्री घुमाया गया समान क्षेत्रफल, बंकन की दृष्टि से समान सेक्शन नहीं होता।

प्रत्यास्थ सेक्शन मॉड्यूलस प्रत्यास्थ प्रतिबल-वितरण पर लागू होता है, जिसमें बंकन-प्रतिबल उदासीन-अक्ष पर शून्य से लेकर सबसे बाहरी तंतु पर अपने अधिकतम मान तक रैखिक रूप से बदलता है:

σmax=MS.इसे प्लास्टिक सेक्शन मॉड्यूलस Z से भ्रमित नहीं करना चाहिए। Z, पूरे अनुप्रस्थ-काट के यील्ड अवस्था तक पहुँचने के बाद समान तनन और संपीड़न परिणामी बलों पर आधारित होता है। Z भी लंबाई की तीसरी घात वाला गुणधर्म है, लेकिन यह S का स्थानापन्न नहीं है।

### जड़त्व त्रिज्या

जड़त्व त्रिज्या यह बताती है कि किसी निर्दिष्ट केंद्रकीय अक्ष से क्षेत्रफल किस दूरी पर वितरित है—एक समतुल्य गणितीय अर्थ में। x-अक्ष के परितः,

rx=IxA,और y-अक्ष के परितः,

ry=IyA.यहाँ A सकल अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल है। चूँकि I की इकाई L4 और A की इकाई L2 होती है, इसलिए प्रत्येक जड़त्व त्रिज्या की इकाई लंबाई होती है: मिलीमीटर, सेंटीमीटर या इंच।

बड़े r का अर्थ है कि संबंधित अक्ष से दूर अधिक क्षेत्रफल वितरित है। इसी कारण किसी I सेक्शन का rx बड़ा, लेकिन ry उससे बहुत छोटा हो सकता है: उसके फ्लैंज मजबूत अक्ष से काफी दूर पर्याप्त क्षेत्रफल रखते हैं, जबकि वेब और फ्लैंज की मोटाइयाँ कमजोर अक्ष के परितः कम क्षेत्रफल-वितरण छोड़ती हैं।

इसका प्रमुख अभिकल्प उपयोग अक्षीय-सदस्य बकलन में होता है। L सदस्य-लंबाई और K प्रभावी-लंबाई गुणक होने पर, प्रत्येक अक्ष के परितः स्लेंडरनेस अनुपात हैं

\\\[ \\frac{KL\_x}{r\_x} \\quad\\text{और}\\quad \\frac{KL\_y}{r\_y}. \\\]

बड़ा मान सामान्यतः अधिक महत्वपूर्ण बकलन-दिशा की पहचान करता है, बशर्ते कि सिरों का अवरोध, ब्रेसिंग, मरोड़ीय-बंकनीय प्रभाव और अभिकल्प मानक के वर्गीकरण नियमों को ध्यान में रखा जाए। केवल क्षेत्रफल के आधार पर की गई तुलना इस व्यवहार को नहीं दर्शाती। दो सेक्शन का सकल क्षेत्रफल और द्रव्यमान समान या लगभग समान हो सकता है, फिर भी उनकी कमजोर-अक्ष जड़त्व त्रिज्याएँ बहुत अलग हो सकती हैं और इसलिए संपीड़न-प्रदर्शन भी अलग हो सकता है।

जड़त्व त्रिज्या इस्पात प्रोफ़ाइल पर दिखाई देने वाली कोई वास्तविक त्रिज्या नहीं है। इसकी गणना क्षेत्रफल-वितरण से की जाती है। Missouri S&T का MDSolids संसाधन केंद्रकीय स्थिति, द्वितीय आघूर्ण, सेक्शन मॉड्यूलस, जड़त्व त्रिज्या, प्लास्टिक मॉड्यूलस, ध्रुवीय आघूर्ण और प्रधान आघूर्ण को अलग-अलग आउटपुट के रूप में सूचीबद्ध करता है। यह इस बात का उपयोगी स्मरण है कि ये लेबल अलग-अलग गणनाओं का वर्णन करते हैं।

निर्मित सेक्शनों के लिए वर्गमूल लेने से पहले A, केंद्रक निर्देशांक, घटक द्वितीय आघूर्ण और समानांतर-अक्ष प्रमेय का उपयोग किया जाता है। परिणाम को अक्ष-सम्मति के विरुद्ध जाँचना चाहिए। Abaqus क्षेत्रफल समाकलन के माध्यम से केंद्रकीय गुणधर्मों का वर्णन करता है: I11 और I22, निर्देशांक दूरियों के वर्गों का समाकलन करते हैं, जबकि I12, निर्देशांक दूरियों के गुणनफल का समाकलन करता है। यही ज्यामितीय आधार हाथ से की जाने वाली गणनाओं में भी प्रयुक्त होता है, यद्यपि सॉफ़्टवेयर अक्षों को इस्पात सारणी से अलग नाम दे सकता है।

### ध्रुवीय आघूर्ण और उसकी सीमाएँ

सेक्शन के तल के लंबवत किसी बिंदु के परितः क्षेत्रफल का ध्रुवीय आघूर्ण है

Ip=∫Ar2dA.लंबवत केंद्रकीय x- और y-अक्षों के लिए,

Ip=Ix+Iy.इसकी इकाई L4 होती है, जैसे mm4 या in4। R त्रिज्या वाले ठोस वृत्ताकार क्षेत्र के लिए,

Ip=π⁢R42,और बाहरी त्रिज्या Ro तथा आंतरिक त्रिज्या Ri वाले वृत्ताकार वलय के लिए,

Ip=π2⁢(Ro4−Ri4).ये व्यंजक ध्रुवीय आघूर्ण को वृत्ताकार-शाफ्ट मरोड़ तथा उन समस्याओं में उपयोगी बनाते हैं जहाँ ज्यामिति और भारण घूर्णीय रूप से सममित होते हैं। प्रत्यास्थ मरोड़ के अधीन वृत्ताकार शाफ्ट के लिए ध्रुवीय आघूर्ण को सामान्यतः J लिखा जाता है और प्रचलित संबंध है

τ=TrJ.यह संकेतांकन एक सामान्य त्रुटि उत्पन्न करता है: ध्रुवीय आघूर्ण Ip, प्रत्येक इस्पात सेक्शन के लिए स्वतः मरोड़ीय नियतांक J नहीं होता।

Saint-Venant मरोड़ीय नियतांक J, समान मरोड़ के प्रति प्रतिरोध का वर्णन करता है और अनुप्रस्थ-काट के वॉर्पिंग तथा शीयर-फ्लो व्यवहार पर निर्भर करता है। ठोस या पतली-दीवार वाले वृत्ताकार सेक्शन के लिए J=Ip होता है। सामान्य खुले सेक्शन के लिए ये अलग-अलग राशियाँ हैं। b चौड़ाई और t मोटाई वाली पतली आयताकार पट्टी, जहाँ b, t से बहुत बड़ी है, का मरोड़ीय नियतांक लगभग bt3/3 के क्रम का होता है, जबकि Ip में उसका योगदान केंद्रक से पट्टी की दूरी के वर्ग द्वारा नियंत्रित हो सकता है। इसलिए खुले I सेक्शन का ध्रुवीय आघूर्ण पर्याप्त दिखाई दे सकता है, जबकि उसका Saint-Venant मरोड़ीय नियतांक तुलनात्मक रूप से छोटा हो सकता है।

बंद बॉक्स सेक्शनों की मरोड़ीय दक्षता सामान्यतः खुले सेक्शनों से बहुत अधिक होती है, क्योंकि संलग्न सेल के चारों ओर परिसंचारी शीयर-फ्लो विकसित हो सकता है। यदि मरोड़ीय अवरोध के कारण अनुदैर्ध्य वॉर्पिंग होती है, तो केवल J पर्याप्त नहीं होता; L6 की विमा वाला वॉर्पिंग नियतांक Cw भी विश्लेषण में सम्मिलित होता है। ANSI/AISC 360-16, Ix, Iy, rx, ry, J और Cw को अलग-अलग सेक्शन-गुणधर्म राशियों के रूप में परिभाषित और उपयोग करता है। Blue Book भी प्रत्यास्थ और प्लास्टिक मॉड्यूलस, त्रिज्याएँ, मरोड़ीय नियतांक और वॉर्पिंग नियतांक अलग-अलग सूचीबद्ध करती है।

यूरोपीय संदर्भों में इकाई-सम्मतियों पर विशेष सावधानी आवश्यक है। ArcelorMittal के अनुसार, परिकलित सेक्शन-गुणधर्म सामान्यतः सेंटीमीटर में दिए जाते हैं, जबकि पृष्ठीय क्षेत्रफल और वॉर्पिंग नियतांक के लिए क्रमशः मीटर- और डेसीमीटर-आधारित इकाइयों का उपयोग किया जाता है। इसलिए Blue Book या निर्माता की सारणी से ली गई किसी संख्या की पहचान केवल उसके संख्यात्मक आकार से नहीं, बल्कि गुणधर्म और इकाई से करनी चाहिए। किसी सारणीबद्ध S, r, Ip या J का उपयोग करने से पहले सटीक प्रोफ़ाइल पदनाम, अक्ष-सम्मति, मानक संस्करण और यह सत्यापित करें कि मान सकल, नाममात्र या अन्यथा निर्दिष्ट ज्यामिति को दर्शाता है।

## प्रत्यास्थ और प्लास्टिक अनुभाग गुणधर्म

### प्रत्यास्थ उदासीन अक्ष और बाह्यतम तंतु

प्रत्यास्थ अनुभाग गुणधर्म पराभवन से पहले के प्रतिबल-वितरण का वर्णन करते हैं। किसी प्रिज़्मीय, समांगी इस्पाती अनुभाग पर, जब उसके गुरुत्वकेंद्र से होकर गुजरने वाले अक्ष के बारे में वंकन आघूर्ण कार्य करता है, तो प्रत्यास्थ उदासीन अक्ष गुरुत्वकेंद्र से होकर गुजरता है। इस अक्ष की एक ओर के तंतु संपीड़न में और दूसरी ओर के तंतु तनाव में होते हैं; उदासीन अक्ष पर अनुदैर्ध्य वंकन प्रतिबल शून्य होता है। वितरण रैखिक होता है:

σ=MyIजहाँ M लगाया गया आघूर्ण, y उदासीन अक्ष से दूरी, और I संबंधित गुरुत्वकेंद्रीय क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण है।

इसलिए प्रत्यास्थ अनुभाग मापांक

S=Icहोता है, जहाँ c उदासीन अक्ष से जाँचे जा रहे बाह्यतम तंतु तक की दूरी है। जिस अनुभाग में उसके गुरुत्वकेंद्र के ऊपर और नीचे की दूरियाँ समान नहीं होतीं, उसमें दो प्रत्यास्थ अनुभाग मापांक होते हैं, जैसे Sx,top और Sx,bottom। ये एक-दूसरे के स्थान पर प्रयुक्त नहीं किए जा सकते। धनु और अवनत वंकन आघूर्ण की स्थितियों में अलग-अलग बाह्यतम तंतु निर्णायक हो सकते हैं, क्योंकि c का मान भिन्न होता है।

यह अंतर चैनल, कोण, टी या असममित संयोजित अनुभाग के लिए महत्वपूर्ण है। समांगी अनुभाग में गुरुत्वकेंद्रीय अक्ष अब भी प्रत्यास्थ उदासीन अक्ष को परिभाषित करता है, लेकिन एक ओर का सबसे दूर स्थित तंतु उस अक्ष से दूसरी ओर की तुलना में बहुत अधिक दूर हो सकता है। किसी सारणी से लिया गया एकल मान इस असममिति को छिपा सकता है। द्वि-सममित I और H अनुभागों में मुख्य अक्ष के बारे में धनात्मक और ऋणात्मक प्रत्यास्थ मापांक सामान्यतः समान होते हैं, जबकि एकल-सममित अनुभागों में ऐसा सामान्यतः नहीं होता।

ज्यामितीय आधार क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण है। Abaqus के दस्तावेज़ I11 और I22 को अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर निर्देशांक-दूरियों के वर्ग के समाकलन के रूप में वर्णित करते हैं, जबकि I12 निर्देशांक-दूरियों के गुणनफल का समाकलन है (Abaqus, 2024)। यह परिभाषा समझाती है कि गुरुत्वकेंद्र से अधिक दूर फ्लैंज क्षेत्रफल ले जाने पर, बहुत अधिक इस्पात जोड़े बिना, I में पर्याप्त वृद्धि क्यों हो सकती है। यह भी स्पष्ट होता है कि S ज्यामिति से संबंधित राशि है, न कि ग्रेड-निर्भर सामर्थ्य मान।

प्रत्यास्थ अनुभाग मापक की इकाई लंबाई की घात तीन होती है: mm3, cm3, या in3। इसे परिभ्रमण त्रिज्या से भ्रमित नहीं करना चाहिए, जिसकी इकाई लंबाई होती है, और न ही प्लास्टिक मापांक से, जिसकी इकाई भी लंबाई की घात तीन होती है, लेकिन जिसकी गणना अलग तरीके से की जाती है।

### प्लास्टिक उदासीन अक्ष और प्लास्टिक मापांक

प्लास्टिक उदासीन अक्ष (PNA) का निर्धारण रैखिक प्रत्यास्थ वितरण के बजाय पूर्णतः पराभवित प्रतिबल-विन्यास से किया जाता है। शुद्ध वंकन में समांगी इस्पाती अनुभाग के लिए, PNA अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल को समान संपीड़न और तनाव क्षेत्रों में विभाजित करता है:

Ac=At=A2प्रतिबल को आदर्श रूप से एक ओर संपीड़न में पराभव प्रतिबल और दूसरी ओर तनाव में पराभव प्रतिबल माना जाता है। इसलिए परिणामी अक्षीय बल संतुलित होता है। अलग-अलग पदार्थ-सामर्थ्यों या मिश्रित पदार्थों वाले अनुभाग में केवल समान ज्यामितीय क्षेत्रफल पर्याप्त नहीं होते; लागू पदार्थ प्रतिबलों का उपयोग करते हुए संपीड़न और तनाव के परिणामी बलों का संतुलन आवश्यक होता है।

प्लास्टिक मापांक, जिसे सामान्यतः Z लिखा जाता है, PNA के बारे में पराभवित क्षेत्रफलों का प्रथम आघूर्ण है:

\\\[ Z=\\int\_A |y-y\_p|\\,dA \\\]

घटक क्षेत्रफलों के लिए इसकी गणना प्रत्येक क्षेत्रफल को उसके गुरुत्वकेंद्र से PNA तक की दूरी से गुणा करके और इन गुणनों का योग लेकर की जा सकती है। इसके अनुरूप पूर्णतः प्लास्टिक आघूर्ण को प्रायः इस प्रकार लिखा जाता है:

Mp=Fy⁢Zसमान इस्पाती ग्रेड के लिए, लेकिन Fy⁢Z प्रतिरोध का एक व्यंजक है, केवल ज्यामिति पर आधारित सर्वत्र लागू पहचान नहीं। ASTM A992 से ASTM A36 में परिवर्तन करने पर डिज़ाइन जाँच में प्रयुक्त निर्दिष्ट पराभव सामर्थ्य बदलती है; समान विमाओं से गणना किए गए ज्यामितीय Z में परिवर्तन नहीं होता। यही पृथक्करण S275 और S355 जैसे यूरोपीय पदनामों पर भी संबंधित उत्पाद और डिज़ाइन मानकों के अंतर्गत लागू होता है।

प्रत्यास्थ मापांक और प्लास्टिक मापांक अलग-अलग प्रश्नों का उत्तर देते हैं। S, प्रत्यास्थ प्रतिबल-वितरण के अंतर्गत बाह्यतम तंतु के प्रथम पराभव से आघूर्ण का संबंध बताता है। Z, संतुलित संपीड़न और तनाव खंडों वाले पूर्णतः पराभवित अनुप्रस्थ काट से आघूर्ण का संबंध बताता है। उनका अनुपात,

Z/Sनिर्दिष्ट वंकन अक्ष और निर्णायक बाह्यतम तंतु के लिए आकार गुणक है। यह प्लास्टिक प्रतिबल-पुनर्वितरण से संबंधित अतिरिक्त आघूर्ण क्षमता का संकेत देता है, लेकिन यह प्रमाणित नहीं करता कि सदस्य उस क्षमता तक पहुँच सकता है या उसे बनाए रख सकता है।

केवल बड़ा प्लास्टिक मापांक किसी अनुभाग को कॉम्पैक्ट वर्गीकृत करने के लिए पर्याप्त नहीं है। नॉन-कॉम्पैक्ट, कॉम्पैक्ट और स्लेंडर वर्गीकरण मुख्यतः प्लेट-तत्वों के चौड़ाई-से-मोटाई अनुपात, सीमा-शर्तों, प्रतिबल-प्रवणताओं और लागू डिज़ाइन मानक के सीमांकन प्रावधानों पर निर्भर करते हैं। स्लेंडर वेब गणना किए गए Z में पर्याप्त योगदान दे सकता है, फिर भी पूर्ण प्लास्टिक प्रतिबल-विन्यास विकसित होने से पहले स्थानीय बकलन हो सकता है। इसके विपरीत, किसी कॉम्पैक्ट अनुभाग का आकार गुणक मध्यम हो सकता है। वर्गीकरण स्थिरता और तन्यता पर आधारित निर्णय है, न कि किसी एक सारणीबद्ध संख्या पर आधारित क्रम-निर्धारण।

### सारणीबद्ध मानों में अंतर होने पर

दो विश्वसनीय सारणियाँ देखने में एक जैसे अनुभाग के लिए प्रत्यास्थ या प्लास्टिक गुणधर्मों में थोड़ा अंतर दिखा सकती हैं। पहला प्रश्न यह है कि क्या प्रोफ़ाइल का पदनाम और संस्करण समान हैं। American Institute of Steel Construction के अनुसार, 2023 में प्रकाशित AISC Shapes Database v16.0, U.S. customary और मीट्रिक इकाइयों में विमाएँ और गुणधर्म प्रदान करता है, जबकि 16th Edition Steel Construction Manual का Part 1 मानक-आकार की विमाओं और ज्यामितीय गुणधर्मों का संदर्भ अनुभाग है। वहाँ सूचीबद्ध W-आकार की तुलना नाममात्र रूप से समान दिखने वाले यूरोपीय HE अनुभाग से बिना जाँच के नहीं करनी चाहिए।

Steel Construction Institute द्वारा अनुरक्षित Blue Book, जिसका यहाँ 2024 वाला रूप संदर्भित है, क्षेत्रफल, क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण, प्रत्यास्थ और प्लास्टिक अनुभाग मापांक, परिभ्रमण त्रिज्याएँ, मरोड़ नियतांक और वार्पिंग नियतांक प्रदान करता है। EVS-EN 10365:2026 हॉट-रोल्ड चैनल, I अनुभाग और H अनुभागों के लिए नाममात्र विमाएँ और द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है; यह स्वयं प्रत्येक गणना किए गए अनुभागीय-गुणधर्म सारणी का विकल्प नहीं है। यह अंतर महत्वपूर्ण है। किसी उत्पाद मानक में दी गई नाममात्र फ्लैंज मोटाई, निर्माता की सारणी में प्रयुक्त मॉडलित मोटाई और डिज़ाइन डेटाबेस में दी गई गोल की गई विमा से थोड़े अलग परिणाम प्राप्त हो सकते हैं।

प्रोफ़ाइल ज्यामिति में ऐसे विवरण भी शामिल होते हैं जिन्हें सरल हस्त-रेखाचित्र छोड़ सकता है: फ्लैंज और वेब फिलेट, मूल त्रिज्याएँ, टेपर, कोने की त्रिज्याएँ और रोलिंग सहनशीलताएँ। आयत-आधारित सन्निकटन I-अनुभाग के सामान्य व्यवहार को दर्शा सकता है, लेकिन सटीक क्षेत्रफल, गुरुत्वकेंद्र, I, S या Z में अंतर रह सकता है। इसके बाद पूर्णांकन एक और अंतर उत्पन्न करता है। कोई सारणी Ix=1,130cm4 प्रदर्शित कर सकती है, जबकि सॉफ़्टवेयर आंतरिक रूप से अधिक अंक बनाए रखता है।

इकाइयाँ टाली जा सकने वाली त्रुटियों का कारण बनती हैं। ArcelorMittal ने 2024 में उल्लेख किया है कि यूरोपीय गणना किए गए गुणधर्म सामान्यतः सेंटीमीटर में रिपोर्ट किए जाते हैं; पृष्ठीय क्षेत्रफल मीटर-आधारित इकाइयों में और वार्पिंग नियतांक डेसीमीटर-आधारित इकाइयों में दिया जाता है। इसलिए cm3 में Wel और dm6 में Iw को रूपांतरण के बिना इंच-पाउंड गणना में नहीं डाला जा सकता।

Missouri S&T का MDSolids सामान्य और मानक इस्पाती आकारों के लिए गुरुत्वकेंद्रीय स्थिति, द्वितीय आघूर्ण, अनुभाग मापांक, परिभ्रमण त्रिज्याएँ, प्लास्टिक मापांक, ध्रुवीय आघूर्ण और प्रधान आघूर्ण सूचीबद्ध करता है (2024)। यह हस्त-गणना की जाँच के लिए उपयोगी है, लेकिन प्लास्टिक मापांक से सहमति इस बात का प्रमाण नहीं है कि कोई अनुभाग कॉम्पैक्टनेस सीमा या डिज़ाइन प्रतिरोध पूरा करता है। किसी सारणीबद्ध मान को स्वीकार करने से पहले अक्ष परंपरा, सकल या शुद्ध आधार, फिलेट का उपचार, इकाइयाँ और स्रोत संस्करण की पुष्टि करें। ज्यामिति गुणधर्म निर्धारित करती है; लागू डिज़ाइन मानक यह निर्धारित करता है कि उस गुणधर्म का उपयोग किस प्रकार किया जा सकता है।

## मरोड़ स्थिरांक J और वॉर्पिंग स्थिरांक Cw

### सेंट-वेनां मरोड़ और J

मरोड़ स्थिरांक, J, किसी अनुप्रस्थ काट के सेंट-वेनां मरोड़ के प्रति प्रतिरोध को मापता है: अर्थात् ऐसा मरोड़ जो तब उत्पन्न होता है जब अनुप्रस्थ काट को उसकी लंबाई के साथ स्वतंत्र रूप से वॉर्प करने की अनुमति हो। यह पदार्थ की सामर्थ्य का मान नहीं, बल्कि एक ज्यामितीय गुण है। एक सरल प्रत्यास्थ मॉडल में, मरोड़जनित अपरूपण प्रतिबल और मरोड़ के बीच संबंध पदार्थ के अपरूपण मापांक G, लगाए गए मरोड़ आघूर्ण T, और J के माध्यम से इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

θ⁢′=TGJजहाँ θ⁢′ प्रति इकाई लंबाई मरोड़ का कोण है। समान पदार्थ, भारण और सीमा-स्थितियाँ होने पर बड़ा J, समान मरोड़ आघूर्ण के लिए कम मरोड़ का अर्थ है। J के आयाम लंबाई की चौथी घात के होते हैं, जैसे mm4, in4, या cm4।

#### मरोड़ संबंधी चेतावनी

वृत्ताकार खंडों के लिए J ध्रुवीय द्वितीय आघूर्ण के बराबर होता है, लेकिन खुले आई-खंडों, चैनलों और कोण-खंडों के लिए J और Ip अलग-अलग गुणधर्म होते हैं। खंड के प्रकार की जाँच किए बिना Ip को J के स्थान पर न रखें।

“मरोड़ स्थिरांक” का अर्थ प्रत्येक अनुप्रस्थ काट के लिए “ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण” नहीं होता। क्षेत्रफल का ध्रुवीय द्वितीय आघूर्ण इस प्रकार है:

Ip=Ix+Iyयह परस्पर लंबवत केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष होता है। वृत्ताकार या वलयाकार अनुप्रस्थ काट के लिए J=Ip होता है, क्योंकि वृत्ताकार ज्यामिति सेंट-वेनां प्रतिबल फलन को यह प्रत्यक्ष समतुल्यता उत्पन्न करने की अनुमति देती है। अधिकांश गैर-वृत्ताकार अनुप्रस्थ काटों, विशेषकर पतली-भित्ति वाले खुले अनुप्रस्थ काटों, के लिए \\(J\\ne I\_p\\) होता है। इन दोनों राशियों को परस्पर विनिमेय मानने से अनुमानित मरोड़ और मरोड़जनित प्रतिबल में बड़ी त्रुटि हो सकती है।

लंबाई b और मोटाई t वाली एक पतली आयताकार पट्टी के लिए, जहाँ b, t से बहुत अधिक है, सेंट-वेनां मरोड़ स्थिरांक लगभग

J≈13⁢bt3.होता है।

मोटाई तीसरी घात में आती है। इसी कारण, केवल केंद्रीयकेंद्र से दूरी के आधार पर की गई वृत्ताकार गणना की तुलना में, कोई पतला फ्लैंज या वेब सेंट-वेनां मरोड़ कठोरता में बहुत कम योगदान देता है। ध्रुवीय आघूर्ण किसी अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल के वितरण को दर्ज करता है; J, मरोड़ के दौरान संगत अपरूपण-प्रतिबल क्षेत्र विकसित करने की अनुप्रस्थ काट की क्षमता को दर्ज करता है। ये संबंधित ज्यामितीय अवधारणाएँ हैं, लेकिन इनकी गणना समान नहीं है।

ANSI/AISC 360-16 में J को इस्पात अभिकल्प में प्रयुक्त अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म की राशि के रूप में, Ix, Iy, rx, ry, और Cw के साथ पहचाना गया है। American Institute of Steel Construction द्वारा 2023 में प्रकाशित AISC Shapes Database v16.0, अमेरिकी प्रचलित और मीट्रिक इकाइयों में मानक आकृतियों के आयाम तथा अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म उपलब्ध कराता है। AISC Part 1, Dimensions and Properties, 16वें संस्करण के Steel Construction Manual में सारणीबद्ध गुणधर्मों के संदर्भ के रूप में कार्य करता है। सूचीबद्ध मान का सटीक W, S, M, HP, C, MC, WT, L, HSS या अन्य प्रोफ़ाइल पदनाम से मेल खाना आवश्यक है; केवल समान नाममात्र गहराई पर्याप्त नहीं है।

### वॉर्पिंग प्रतिरोध और Cw

Cw, अर्थात् वॉर्पिंग स्थिरांक, असमान मरोड़ के अंतर्गत किसी अनुप्रस्थ काट के अनुदैर्ध्य वॉर्पिंग के प्रति प्रतिरोध का वर्णन करता है। इसके आयाम लंबाई की छठी घात के होते हैं, सामान्यतः mm6, in6, या cm6। इसे J से भ्रमित नहीं करना चाहिए, जो अनुप्रस्थ काट की सेंट-वेनां प्रतिक्रिया का वर्णन करता है।

जब कोई बीम मरोड़ता है, तो खुले अनुप्रस्थ काट के विभिन्न भाग सामान्यतः अलग-अलग मात्रा में अनुदैर्ध्य दिशा में विस्थापित होना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, I-अनुप्रस्थ काट में फ्लैंज विपरीत दिशाओं में वॉर्प कर सकते हैं। यदि सिरे स्वतंत्र हों और लगाया गया मरोड़ आघूर्ण समान हो, तो प्रतिक्रिया का बड़ा भाग J के माध्यम से सेंट-वेनां मरोड़ द्वारा निरूपित किया जा सकता है। यदि डायाफ्राम, एंड प्लेट, संयोजन, फर्श प्रणालियाँ, वेल्ड या आधार इस अनुदैर्ध्य गति को रोकते हैं, तो वॉर्पिंग प्रतिबल विकसित होते हैं। परिणामी मरोड़ प्रतिक्रिया में वॉर्पिंग मरोड़ शामिल होता है और Cw महत्वपूर्ण हो जाता है।

इस प्रभाव का परिमाण केवल अनुप्रस्थ काट के पदनाम पर नहीं, बल्कि प्रतिरोध पर निर्भर करता है। ऐसा सरलतः आधारित सदस्य, जिसके विवरण फ्लैंज वॉर्पिंग की अनुमति देते हैं, वॉर्पिंग का सीमित योगदान दिखा सकता है। वही अनुप्रस्थ काट यदि किसी कठोर संयोजन में जकड़ी हो या किसी कठोर डायाफ्राम से जुड़ी हो, तो पर्याप्त बाइमोमेंट और अनुदैर्ध्य सामान्य प्रतिबल विकसित कर सकती है। अंतिम स्थितियाँ निर्धारित किए बिना Cw को गणना में सम्मिलित करना अपूर्ण है।

द्वि-सममित I- और H-अनुप्रस्थ काटों के लिए, प्रमुख-अक्ष वॉर्पिंग स्थिरांक अक्सर बड़ा होता है, क्योंकि अलग-अलग स्थित फ्लैंज विपरीत अनुदैर्ध्य वॉर्पिंग के लिए लंबी बल-भुजा प्रदान करते हैं। पतले-फ्लैंज वाले I-अनुप्रस्थ काट के लिए एक सरलीकृत रूप फ्लैंज क्षेत्रफल और फ्लैंज-केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के समानुपाती होता है:

Cw∼Af⁢ho2,जहाँ सटीक व्यंजक फ्लैंज ज्यामिति, वेब की मोटाई और चुने गए अक्ष पर निर्भर करता है। यह सन्निकटन स्पष्ट करता है कि J तुलनात्मक रूप से छोटा रहने पर भी Cw बड़ा क्यों हो सकता है।

AISC सारणियाँ और SCI Blue Book अनेक मानक अनुप्रस्थ काटों के लिए Cw उपलब्ध कराते हैं। Steel Construction Institute की Blue Book, जिसे SCI ने 2024 में यूरोपीय आयामों और अनुप्रस्थ-काट गुणधर्मों के स्रोत के रूप में पहचाना है, में क्षेत्रफल, द्वितीय आघूर्ण, प्रत्यास्थ और प्लास्टिक अनुप्रस्थ-काट मापांक, जड़त्व त्रिज्याएँ, मरोड़ स्थिरांक और वॉर्पिंग स्थिरांक शामिल हैं। ये गणना से प्राप्त ज्यामितीय गुणधर्म हैं। EVS-EN 10365:2026 हॉट-रोल्ड चैनल, I-अनुप्रस्थ काट और H-अनुप्रस्थ काट के नाममात्र आयाम तथा द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है; यह अनुप्रस्थ-काट गुणधर्मों की सारणी का विकल्प नहीं है।

Cw के लिए इकाइयों की जाँच विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। ArcelorMittal के 2024 के व्याख्यात्मक नोटों में कहा गया है कि यूरोपीय गणना किए गए गुणधर्म सामान्यतः सेंटीमीटर-आधारित परिपाटियों में दिए जाते हैं, जबकि पृष्ठीय क्षेत्रफल मीटर-आधारित इकाइयों में और वॉर्पिंग स्थिरांक डेसीमीटर-आधारित इकाइयों में दिया जाता है। इसलिए किसी सारणी में J cm4 में और Cw dm6 में दिया हो सकता है। केवल बल या लंबाई की इकाई को परिवर्तित करना और छठी घात वाली राशि को अपरिवर्तित छोड़ देना परिणाम को अमान्य कर सकता है।

![स्टील सेक्शन के गुणधर्मों की गणना: क्षेत्रफल, जड़त्व, मॉड्यूलस और मरोड़](/images/uploads/71a427d1-d5d3-426a-86d6-3224d933260a/wiki-inline-a-thin-walled-open-steel-i-section-and-a-closed-rectangular-steel-box-section-un-1920x1094.jpg)[](/images/uploads/71a427d1-d5d3-426a-86d6-3224d933260a/wiki-inline-a-thin-walled-open-steel-i-section-and-a-closed-rectangular-steel-box-section-un-1920x1094.avif "छवि बड़ी करें — स्टील सेक्शन के गुणधर्मों की गणना: क्षेत्रफल, जड़त्व, मॉड्यूलस और मरोड़")Closed walls support circulating shear flow, while open sections are more sensitive to twist and warping.

### खुले बनाम बंद इस्पाती अनुप्रस्थ काट

खंड की संरचना मरोड़ की प्रतिक्रिया को बदलती है।
| खंड का रूप | मरोड़ का प्रचलित व्यवहार | महत्त्वपूर्ण विचार |
|---|---|---|
| खुला आई-खंड | Ip की तुलना में प्रायः छोटा J | विकृति और भार की विलक्षणता |
| चैनल | खुले-खंड का मरोड़ | कर्तन-केंद्र सामान्यतः पदार्थ के बाहर |
| कोण-खंड | असममित प्रतिक्रिया | प्रधान अक्ष और कर्तन-केंद्र विस्थापित हो सकते हैं |
| बंद नलिका | सामान्यतः अधिक सेंट-वेनां दक्षता | कोशिका के चारों ओर परिसंचारी कर्तन-प्रवाह |

खुले I-अनुप्रस्थ काट, चैनल, टी और एंगलों में उनकी परिधि के बड़े भाग के चारों ओर असंबद्ध पतली-भित्ति वाले पथ होते हैं। इसलिए उनका सेंट-वेनां मरोड़ स्थिरांक प्रायः उनके Ix, Iy, या ध्रुवीय आघूर्ण की तुलना में छोटा होता है। कोई I-अनुप्रस्थ काट प्रमुख-अक्ष बंकन में अत्यधिक कठोर हो सकता है, फिर भी जब उसका भारण अपरूपण-केंद्र से होकर नहीं गुजरता, तो वह आसानी से मरोड़ सकता है। चैनल में एक अतिरिक्त जटिलता होती है: उसका अपरूपण-केंद्र अनुप्रस्थ काट के बाहर स्थित होता है, इसलिए केंद्रीयकेंद्र से होकर गुजरने वाला अनुप्रस्थ भार मरोड़ उत्पन्न कर सकता है।

एंगल और टी भी असममित होते हैं। उनका केंद्रीयकेंद्र, प्रमुख अक्ष, अपरूपण-केंद्र और वॉर्पिंग प्रतिक्रिया उस सरल तरीके से एक-दूसरे से संयोगित नहीं होते, जैसा द्वि-सममित I-अनुप्रस्थ काट में होता है। चयनित निर्देशांक-तंत्र में जड़त्व-गुणनफल Ixy शून्येतर हो सकता है, जिसके कारण बंकन और मरोड़ का सही आकलन करने से पहले प्रमुख-अक्ष रूपांतरण आवश्यक होता है।

बंद नलिकाएँ अलग प्रकार से व्यवहार करती हैं, क्योंकि उनकी भित्तियाँ एक सतत् सेल बनाती हैं। घिरे हुए क्षेत्र के चारों ओर परिसंचारी अपरूपण प्रवाह द्वारा मरोड़ आघूर्ण वहन किया जा सकता है। पतली-भित्ति वाले एकल-सेल बंद अनुप्रस्थ काट के लिए मरोड़ स्थिरांक लगभग

J≈4⁢Am2∮ds/t,होता है, जहाँ Am भित्ति की मध्यरेखा द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल है और समाकलन भित्ति की लंबाई तथा मोटाई को ध्यान में रखता है। यह क्रियाविधि सामान्यतः समान द्रव्यमान वाले किसी खुले अनुप्रस्थ काट की तुलना में बंद आयताकार या वृत्ताकार HSS को बहुत अधिक सेंट-वेनां मरोड़ कठोरता प्रदान करती है। संकेंद्रित भारों, असंततताओं और संयोजनों के निकट बंद अनुप्रस्थ काटों में अभी भी वॉर्पिंग हो सकती है, लेकिन खुले I-अनुप्रस्थ काट की तुलना में स्वतंत्र समान वॉर्पिंग प्रायः कम प्रभावी होती है।

ये भेद हाथ से की जाने वाली गणनाओं के साथ-साथ विश्लेषण सॉफ़्टवेयर में भी महत्वपूर्ण हैं। Abaqus केंद्रीयकेंद्रित गुणधर्मों को I11 और I22 के लिए निर्देशांक-दूरी के वर्गों तथा I12 के लिए निर्देशांक-गुणनफलों का समाकलन करके परिभाषित करता है; यह समाकलन ढाँचा Ip को J में परिवर्तित नहीं करता। Missouri S&T का MDSolids संसाधन सामान्य और मानक आकृतियों के लिए ध्रुवीय आघूर्ण तथा मरोड़ गुणधर्मों की अलग-अलग गणना करता है। इसलिए एक विश्वसनीय मॉडल संबंधित मानक से J और Cw आयात करता है या अनुप्रस्थ काट की टोपोलॉजी के अनुकूल विधि से इनकी गणना करता है, और फिर इस्पात अभिकल्प में इन मानों को लागू करने से पहले इकाइयों, अक्षों, प्रतिरोधों और संयोजन-विवरणों का सत्यापन करता है।

## अपरूपण क्षेत्रफल, अपरूपण केंद्र और असममित अनुप्रस्थ काट

### प्रभावी अपरूपण क्षेत्रफल

सकल क्षेत्रफल A वह क्षेत्रफल है जिसका उपयोग अक्षीय-बल की गणनाओं और कई ज्यामितीय गुणधर्मों में किया जाता है। यह अपने-आप वह क्षेत्रफल नहीं होता जो अनुप्रस्थ अपरूपण का प्रतिरोध करता है। अपरूपण क्षेत्रफल एक अलग गुणधर्म है, जिसे सामान्यतः Avx, Avy, Av द्वारा लिखा जाता है या अपरूपण-संशोधन गुणक के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। इसकी इकाई क्षेत्रफल की होती है, लेकिन इसका संख्यात्मक मान अपरूपण की दिशा और अनुप्रस्थ काट पर अपरूपण प्रतिबल के माने गए वितरण पर निर्भर करता है।

गहराई के समानांतर अपरूपण वहन करने वाली आयताकार अनुप्रस्थ काट के लिए अपरूपण प्रतिबल नियत नहीं होता। यह ऊपरी और निचली मुक्त सतहों पर शून्य होता है, उदासीन अक्ष की ओर बढ़ता है और वहाँ अधिकतम हो जाता है। इसलिए औसत प्रतिबल V/A, वास्तविक अधिकतम प्रतिबल के बराबर नहीं होता। अपरूपण-क्षेत्रफल का निरूपण असमान प्रतिबल-क्षेत्र को एक समतुल्य औसत संबंध से प्रतिस्थापित करता है, जिसे प्रायः इस प्रकार लिखा जाता है:

τavg=VAv.चूँकि अधिकतम और औसत प्रतिबल अलग-अलग होते हैं, इसलिए Av केवल सकल क्षेत्रफल नहीं होता। b चौड़ाई और h गहराई वाले ठोस आयत के लिए परिचित प्रत्यास्थ वितरण अधिकतम अपरूपण प्रतिबल 1.5⁢V/(bh) देता है; अतः उस अधिकतम प्रतिबल पर आधारित समतुल्य क्षेत्रफल 2⁢bh/3 होगा। अन्य परिभाषाएँ, जिनमें बीम परिमित-तत्वों में प्रयुक्त परिभाषाएँ भी शामिल हैं, अलग प्रभावी क्षेत्रफल दे सकती हैं, क्योंकि वे केवल अधिकतम प्रतिबल के बजाय अपरूपण विकृति-ऊर्जा से संबद्ध होती हैं।

पतली-दीवार वाले I-अनुप्रस्थ काटों में यह अंतर अधिक महत्वपूर्ण हो जाता है। ऊर्ध्वाधर अपरूपण के अंतर्गत अधिकांश बल वेब द्वारा वहन किया जाता है, जबकि फ्लैंज अपेक्षाकृत कम योगदान देते हैं, क्योंकि उनकी सामग्री वेब के अपरूपण-प्रवाह पथ से दूर स्थित होती है और फ्लैंज का अपरूपण प्रतिबल उसकी चौड़ाई में बदलता रहता है। पूरे क्षेत्रफल को एकसमान अपरूपण क्षेत्रफल मानने से वेब के अपरूपण प्रतिबल का मान कम आंका जा सकता है। क्षैतिज अपरूपण के लिए फ्लैंजों की व्यवस्था अधिक महत्वपूर्ण हो जाती है। चैनल, एंगल या टी-अनुप्रस्थ काट में अपरूपण-प्रवाह को संतुलित करने वाले समान और विपरीत दिशाओं में स्थित फ्लैंजों का युग्म नहीं होता; इसलिए वितरण की गणना वास्तविक ज्यामिति से करनी पड़ती है।

प्रचलित पतली-दीवार संबंध,

q=VQI,किसी स्थान पर अपरूपण-प्रवाह q को उस स्थान के बाहर स्थित क्षेत्रफल के प्रथम आघूर्ण Q के आधार पर व्यक्त करता है, जहाँ I संबंधित केंद्रक-अक्ष के बारे में लिया जाता है। इससे स्पष्ट होता है कि फ्लैंज और वेब के प्रतिबलों को केवल क्षेत्रफल-अंशों के आधार पर निर्धारित नहीं किया जा सकता। सामग्री का स्थान, जिसे Q द्वारा निरूपित किया जाता है, महत्वपूर्ण होता है। वेब और फ्लैंज के जंक्शन पर अपरूपण-प्रवाह को साम्यावस्था और संगतता, दोनों की शर्तें पूरी करनी होती हैं।

इसलिए गणना किए गए अपरूपण क्षेत्रफल को दिशा और परिभाषा के साथ निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। इसे A, Ix, Iy या अनुप्रस्थ काट मापांक के स्थान पर उपयोग नहीं किया जाना चाहिए। इस संदर्भ में Georgia Tech की स्टेनलेस-स्टील डिज़ाइन मार्गदर्शिका उपयोगी है, क्योंकि इसके गणना किए गए अनुप्रस्थ-काट गुणधर्मों के परिणाम क्षेत्रफल, केंद्रक-जड़त्व आघूर्णों, अनुप्रस्थ-काट मापांकों, परिभ्रमण त्रिज्याओं, मरोड़-संबंधी राशियों और अपरूपण-संबंधी राशियों को अलग-अलग प्रस्तुत करते हैं; इन्हें आकार-दक्षता के सामान्य माप के रूप में एक ही संख्या में नहीं समेटा जाता। यही ज्यामितीय उपचार कार्बन और निम्न-मिश्रधातु संरचनात्मक इस्पात पर भी लागू होता है। ASTM A36 से ASTM A572 Grade 50, या एक स्टेनलेस ग्रेड से दूसरे स्टेनलेस ग्रेड में पदनाम बदलने पर प्रतिरोध मान और डिज़ाइन सीमाएँ बदलती हैं, लेकिन अपरिवर्तित आयामों से गणना किया गया अपरूपण क्षेत्रफल नहीं बदलता।

![स्टील सेक्शन के गुणधर्मों की गणना: क्षेत्रफल, जड़त्व, मॉड्यूलस और मरोड़](/images/uploads/20080629-ac7d-4a4b-a037-c523f0a2ac1e/wiki-inline-a-steel-channel-section-showing-its-centroid-external-shear-center-vertical-shea-1520x1920.jpg)[](/images/uploads/20080629-ac7d-4a4b-a037-c523f0a2ac1e/wiki-inline-a-steel-channel-section-showing-its-centroid-external-shear-center-vertical-shea-2027x2560.avif "छवि बड़ी करें — स्टील सेक्शन के गुणधर्मों की गणना: क्षेत्रफल, जड़त्व, मॉड्यूलस और मरोड़")A channel can twist when a transverse load passes through the centroid instead of the shear center.

### अपरूपण केंद्र का स्थान

कर्तन-केंद्र **कर्तन-केंद्र** वह भार-रेखा स्थान जहाँ अनुप्रस्थ बल अनुप्रस्थ काट में कोई अतिरिक्त मरोड़-आघूर्ण उत्पन्न नहीं करता।

अपरूपण केंद्र अनुप्रस्थ काट में वह बिंदु है जिसके माध्यम से अनुप्रस्थ भार लगाने पर मरोड़ उत्पन्न किए बिना केवल वंकन होता है। द्विअक्षीय सममिति वाले I-अनुप्रस्थ काट में अपरूपण केंद्र केंद्रक के साथ संरेखित होता है। केवल एक सममिति-अक्ष वाले अनुप्रस्थ काट में यह उसी सममिति-अक्ष पर स्थित होता है, लेकिन आवश्यक नहीं कि केंद्रक के साथ संरेखित हो। किसी भी सममिति के अभाव में अपरूपण केंद्र दोनों निर्देशांक दिशाओं में विस्थापित हो सकता है।

इसका कारण अपरूपण-प्रवाह है। कोई अनुप्रस्थ बल अनुप्रस्थ काट के चारों ओर वितरित अवयवी अपरूपण बल उत्पन्न करता है। इनका परिणामी लगाए गए अपरूपण बल के बराबर होता है, लेकिन उनकी संयुक्त क्रिया-रेखा केंद्रक से होकर न भी गुजर सकती है। यह विस्थापन एक आघूर्ण उत्पन्न करता है। भार को अपरूपण केंद्र पर लगाने से क्रिया-रेखा सही स्थान पर आ जाती है और यह आघूर्ण समाप्त हो जाता है।

चैनल इसका सामान्य चेतावनी-उदाहरण है। इसके फ्लैंज वेब की एक ही ओर फैले होते हैं, इसलिए ऊर्ध्वाधर अपरूपण असमान फ्लैंज अपरूपण-प्रवाह उत्पन्न करता है, जिसका परिणामी सामान्यतः केंद्रक से दूर कार्य करता है। अपरूपण केंद्र प्रायः सामग्री के बाहर, फ्लैंजों के विपरीत वेब की ओर स्थित होता है। इसलिए केंद्रक से होकर लगाया गया भार एक साथ वंकन और मरोड़ उत्पन्न कर सकता है। एंगल के मामले में स्थिति और भी कठिन होती है: सामान्य समान-पाद या असमान-पाद स्थितियों में कोई सममिति-अक्ष नहीं होता, इसलिए केंद्रक और अपरूपण-केंद्र दोनों के निर्देशांक पूर्ण अनुप्रस्थ-काट ज्यामिति से प्राप्त करने पड़ते हैं। टी-अनुप्रस्थ काट में एक सममिति-अक्ष होता है, जो अपरूपण केंद्र को उसी अक्ष पर सीमित करता है, लेकिन कई स्थितियों में स्टेम और फ्लैंज उसे केंद्रक से दूर स्थित करते हैं।

इस गणना के लिए केवल A, Ix और Iy पर्याप्त नहीं हैं। अपरूपण-प्रवाह निर्धारित करना, किसी संदर्भ-बिंदु के बारे में उस प्रवाह के आघूर्णों का समाकलन करना और उस बिंदु का स्थान निर्धारित करना आवश्यक है जहाँ कुल मरोड़ी आघूर्ण शून्य हो। पतली-दीवार वाले खुले अनुप्रस्थ काटों में आदर्शीकृत दीवार-मोटाई और जंक्शन-ज्यामिति परिणाम को प्रभावित करती हैं। गोलाकार कोने, फिलेट, लिप और स्थानीय वेल्ड उत्तर को बदल सकते हैं, विशेषकर तब जब अनुप्रस्थ काट छोटा हो या दीवार पतली हो।

प्रकाशित सारणियों को उनके अक्ष-सम्मेलनों के साथ पढ़ना भी आवश्यक है। American Institute of Steel Construction द्वारा 2023 में अमेरिकी प्रचलित और मीट्रिक इकाइयों में आयाम और गुणधर्म प्रदान करने वाली सारणी के रूप में पहचाना गया AISC Shapes Database v16.0, विशिष्ट आकार-पदनामों और अक्षों से संबद्ध है। इसी प्रकार, Steel Construction Institute की Blue Book यूरोपीय अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म प्रस्तुत करती है। EN 10365:2026 हॉट-रोल्ड चैनलों, I-अनुप्रस्थ काटों और H-अनुप्रस्थ काटों के नाममात्र आयाम और द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है; यह अनुप्रस्थ-काट गुणधर्मों की सारणी का स्थान नहीं लेता। Blue Book गणना किए गए गुणधर्म प्रदान करती है, जबकि ArcelorMittal उल्लेख करता है कि यूरोपीय गणना किए गए गुणधर्म सामान्यतः सेंटीमीटर में व्यक्त किए जाते हैं; सतह क्षेत्रफल और वॉर्पिंग नियतांक के लिए मीटर और डेसीमीटर पर आधारित इकाइयाँ प्रयुक्त होती हैं। अपरूपण-केंद्र की दूरी के लिए इकाइयों, अक्ष-मूल, और चिह्न की अलग से जाँच करनी चाहिए।

### वंकन और मरोड़ के बीच युग्मन

असममित अनुप्रस्थ काट में वंकन और मरोड़ दो संबंधित तरीकों से युग्मित होते हैं। पहला, केंद्रक से होकर जाने वाला भार अपरूपण केंद्र से होकर न गुजरने पर मरोड़ी आघूर्ण उत्पन्न कर सकता है:

T=V⁢e,जहाँ e भार-रेखा और अपरूपण-केंद्र रेखा के बीच की लंबवत दूरी है। दूसरा, यदि चुने गए x और y अक्ष मुख्य अक्ष नहीं हैं, तो जड़त्व-गुणनफल Ixy शून्य नहीं होता। ऐसी स्थिति में किसी एक निर्देशांक-अक्ष के बारे में वंकन से उत्पन्न वक्रता में दूसरे अक्ष का योगदान भी शामिल होता है। यह निर्देशांक और ज्यामिति से संबंधित प्रभाव है, पदार्थ की सामर्थ्य से संबंधित प्रभाव नहीं।

Abaqus के दस्तावेज़ के अनुसार, केंद्रकीय I11 और I22 क्षेत्रफल पर निर्देशांक दूरियों के वर्गों का समाकलन करके प्राप्त किए जाते हैं, जबकि I12 निर्देशांक दूरियों के गुणनफल का समाकलन करता है। यही गुणनफल असममित-अक्ष युग्मन का संकेत देता है। मुख्य अक्षों की ओर घुमाने पर जड़त्व-गुणनफल समाप्त किया जा सकता है, लेकिन इससे चैनल का अपरूपण केंद्र उसके केंद्रक के साथ संरेखित नहीं हो जाता और न ही गलत क्रिया-रेखा पर लगाए गए भार से उत्पन्न मरोड़ी प्रतिक्रिया समाप्त होती है।

खुले अनुप्रस्थ काट इस अंतर के प्रति विशेष रूप से संवेदनशील होते हैं, क्योंकि समान क्षेत्रफल वाले बंद बॉक्स की तुलना में उनका मरोड़ नियतांक J प्रायः बहुत कम होता है। ऐसी स्थिति में वॉर्पिंग का महत्वपूर्ण योगदान हो सकता है, जिसके लिए वॉर्पिंग नियतांक Cw और उपयुक्त प्रतिबंधित-वॉर्पिंग विश्लेषण आवश्यक होता है। केंद्रक से होकर लदा हुआ चैनल भी मुड़ सकता है, वॉर्प कर सकता है और एक से अधिक अक्षों के बारे में वंकित हो सकता है, भले ही लगाया गया बल “केंद्रित” दिखाई दे।

सॉफ्टवेयर से प्राप्त परिणामों की जाँच इस भौतिक चित्र के आधार पर की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए, MDSolids सामान्य और मानक इस्पात आकारों के लिए केंद्रकीय स्थान, मुख्य आघूर्ण, ध्रुवीय आघूर्ण और संबंधित अनुप्रस्थ-काट गुणधर्मों की रिपोर्ट करता है। ये परिणाम सत्यापन में सहायक होते हैं; वे भार-रेखा, अपरूपण-दिशा, अक्ष-सम्मेलन और सीमा-प्रतिबंध की पहचान करने की आवश्यकता समाप्त नहीं करते। एंगल, टी या चैनल के लिए जब मरोड़ या पार्श्व स्थिरता महत्वपूर्ण हो, तब केवल A, Ix और Iy की रिपोर्टिंग अपूर्ण होती है। युग्मन का निर्धारण ज्यामिति करती है, जबकि निर्दिष्ट इस्पात ग्रेड बाद में सामर्थ्य, कठोरता संबंधी मान्यताओं और लागू डिज़ाइन मानक के माध्यम से प्रभाव डालता है।

## मानक इस्पात सेक्शन सारणियाँ: AISC, SCI और EN संदर्भ

मानक सेक्शन-सारिणियाँ बार-बार प्रयुक्त ज्यामिति के लिए शॉर्टकट हैं, इंजीनियरिंग निर्णय के विकल्प नहीं। प्रकाशित सारणी इंजीनियर को प्रत्येक रोल्ड सदस्य के क्षेत्रफल, केन्द्रक, क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण, सेक्शन मॉड्यूलस, जड़त्व-त्रिज्या, मरोड़ नियतांक और वार्पिंग नियतांक की पुनर्गणना से बचा सकती है। लेकिन यह निर्धारित नहीं कर सकती कि चुना गया सेक्शन सही परिवार का है या नहीं, दी गई अक्ष बकलिंग या बेंडिंग की दिशा से मेल खाती है या नहीं, अथवा मान दिए गए डिज़ाइन मानक और इकाई-प्रणाली के अनुकूल हैं या नहीं।

यह अंतर महत्वपूर्ण है, क्योंकि ये राशियाँ परस्पर विनिमेय नहीं हैं। सकल क्षेत्रफल A की इकाई लंबाई-वर्ग होती है। Ix और Iy केन्द्रकीय क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण हैं, जिनकी इकाई लंबाई की चौथी घात होती है; इनके मान निर्दिष्ट अक्षों के बारे में बेंडिंग-सम्बन्धी वक्रता के प्रतिरोध को दर्शाते हैं। प्रत्यास्थ सेक्शन मॉड्यूलस S, द्वितीय आघूर्ण को चरम-फाइबर की दूरी से विभाजित करके प्राप्त होता है, जबकि प्लास्टिक मॉड्यूलस Z, प्लास्टिक न्यूट्रल अक्ष के बारे में समान-क्षेत्रफल वाले संपीड़न और तनाव ब्लॉकों से प्राप्त होता है। जड़त्व-त्रिज्याएँ rx और ry, I/A के वर्गमूल के बराबर होती हैं। स्लेंडरनेस की गणनाओं में इनका विशेष महत्व है, लेकिन ये जड़त्व आघूर्ण नहीं हैं।

मरोड़ नियतांक J, Saint-Venant मरोड़ प्रतिक्रिया का वर्णन करता है और इसे ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण से भ्रमित नहीं करना चाहिए। ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण संबंधित निर्देशांक-प्रणाली के लिए परस्पर लम्बवत द्वितीय आघूर्णों का ज्यामितीय योग होता है। वार्पिंग नियतांक Cw, जो सामान्यतः खुले पतली-दीवार वाले सेक्शनों से सम्बद्ध होता है, का विमीय रूप अलग होता है और यह प्रतिबंधित-वार्पिंग विश्लेषण में प्रयुक्त होता है। इसलिए ऐसी सारणी, जो इन सभी मानों को सूचीबद्ध करती है, अलग-अलग ज्यामितीय विशेषताएँ प्रस्तुत कर रही होती है, न कि “सेक्शन की सामर्थ्य” के कई नाम।

### AISC Shapes Database v16.0 और 16वाँ संस्करण मैनुअल

American Institute of Steel Construction का AISC Shapes Database v16.0, AISC (2023) के अनुसार, संरचनात्मक इस्पात सेक्शनों के लिए अमेरिकी प्रचलित और मीट्रिक—दोनों इकाइयों में आयाम तथा सेक्शन गुणधर्म प्रदान करता है। इसका उद्देश्य 16वाँ संस्करण Steel Construction Manual का पूरक बनना है और यह मानक अमेरिकी रोल्ड तथा फैब्रिकेटेड सेक्शन-पदनामों के लिए एक सुसंगत डिजिटल संदर्भ प्रदान करता है। \[2\] \[2\] [**16th Edition Steel Construction Manual, Part 1**](https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/). American Institute of Steel Construction. Steel Construction Manual, 2023.

इस प्रणाली में AISC Part 1, “Dimensions and Properties”, मानक संरचनात्मक इस्पात सदस्यों के आयामों और गुणधर्मों का सारणीबद्ध संदर्भ है। इसमें सेक्शन का वर्णन करने के लिए आवश्यक आयाम तथा डिज़ाइन में प्रयुक्त परिकलित गुणधर्म दिए जाते हैं: क्षेत्रफल, भार, जहाँ लागू हो वहाँ केन्द्रक-सूचना, Ix, Iy, Sx, Sy, Zx, Zy, rx, ry, J और Cw आदि। डेटाबेस बार-बार किए जाने वाले समाकलन और समानान्तर-अक्ष गणनाओं को कम करता है, लेकिन इंजीनियर को फिर भी ठीक-ठीक W, S, M, HP, C, MC, L, WT, HSS या अन्य सूचीबद्ध सेक्शन का चयन करके उसके पदनाम की पुष्टि करनी होती है।

अक्ष-लेबल केवल सजावटी नहीं होते। द्वि-सममित W-सेक्शन के लिए सामान्यतः x प्रमुख केन्द्रकीय अक्ष और y गौण केन्द्रकीय अक्ष होती है, इसलिए Ix, Iy से काफी बड़ा होता है। जब सदस्य x अक्ष के बारे में बेंडिंग करता हो, तब Iy का उपयोग करने वाली डिज़ाइन गणना संख्यात्मक रूप से सटीक, लेकिन भौतिक रूप से गलत हो सकती है। यही समस्या लेटरल-टॉर्शनल बकलिंग में भी दिखाई देती है, जहाँ J, Cw, अनब्रेस्ड लंबाई और बेंडिंग की दिशा का एक साथ अर्थ लगाया जाना चाहिए।

ANSI/AISC 360-16 इस्पात डिज़ाइन में प्रयुक्त सेक्शन-गुणधर्म राशियों को परिभाषित करता है, जिनमें Ix, Iy, rx, ry, J और Cw शामिल हैं (AISC, 2021)। यह विनिर्देशन किसी सारणीबद्ध गुणधर्म को पदार्थ-सामर्थ्य मान में परिवर्तित नहीं करता। ASTM A992 इस्पात से रोल किए गए W-सेक्शन और समान ज्यामितीय W-सेक्शन, जिसे ASTM A36 इस्पात में माना गया हो, के आदर्श ज्यामितीय क्षेत्रफल और जड़त्व आघूर्ण समान होंगे, यदि उनके आयाम समान हों। उनकी पराभव सामर्थ्य, तन्य सामर्थ्य, प्रतिरोध गणनाएँ और लागू पदार्थ-सम्बन्धी आवश्यकताएँ अलग होंगी। इसलिए ASTM A992 पदनाम धातुकर्म और विनिर्देशन-अनुपालन से सम्बद्ध है, Ix की ज्यामितीय परिभाषा से नहीं।

AISC के मानों के लिए संस्करण-नियंत्रण भी आवश्यक है। किसी सेक्शन का पदनाम बना रह सकता है, जबकि विभिन्न संदर्भों के बीच आयाम, सूचीबद्ध गुणधर्म, राउंडिंग या डेटाबेस की सामग्री बदल सकती है। स्रोत में संस्करण के बिना केवल “AISC tables” का उल्लेख करने के बजाय “AISC Shapes Database v16.0” या संबंधित मैनुअल संस्करण दर्ज किया जाना चाहिए। सॉफ्टवेयर आउटपुट की उसी स्रोत से जाँच की जानी चाहिए, विशेषकर तब जब कोई मॉडल मीट्रिक मान आयात करता हो या इंच-आधारित गुणधर्मों का स्वचालित रूपांतरण करता हो।

### SCI P363 द ब्लू बुक

SCI P363, जिसे सामान्यतः The Blue Book कहा जाता है, European structural steel सेक्शन के आयामों और गुणधर्मों के लिए Steel Construction Institute का संदर्भ है। SCI (2024) के अनुसार, The Blue Book क्षेत्रफल, क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण, प्रत्यास्थ और प्लास्टिक सेक्शन मॉड्यूलस, जड़त्व-त्रिज्याएँ, मरोड़ नियतांक और वार्पिंग नियतांक प्रदान करता है। इसलिए यह केवल नाममात्र गहराई और फ्लैंज चौड़ाई की सूची नहीं है।

इसकी सारणियों में IPE, HE, HL, HD, HP, UB, UC, UPE और UPN जैसे यूरोपीय परिवार शामिल हैं। सेक्शन की पहचान करते समय इन लेबलों को ठीक उसी रूप में बनाए रखना चाहिए। IPE और HE परिवार केवल इसलिए परस्पर विनिमेय नहीं हैं कि दोनों I-आकार के हैं। इसी प्रकार UB और UC अलग-अलग ब्रिटिश मूल की रोल्ड-सेक्शन श्रृंखलाओं को दर्शाते हैं, जिनके अनुपात और गुणधर्म-सम्बन्ध अलग होते हैं। UPE और UPN चैनलों की फ्लैंज व्यवस्था अलग होती है और केवल नाममात्र गहराई के आधार पर उनका प्रतिस्थापन नहीं किया जा सकता।

The Blue Book के प्रत्यास्थ और प्लास्टिक गुणधर्म अलग-अलग डिज़ाइन जाँचों के लिए प्रयुक्त होते हैं। प्रत्यास्थ मॉड्यूलस Wel, जो प्रयोजन की दृष्टि से प्रायः S के समतुल्य होते हैं, चरम प्रत्यास्थ फाइबर पर आधारित होते हैं और प्रत्यास्थ तनाव गणनाओं में प्रयुक्त किए जाते हैं। प्लास्टिक मॉड्यूलस Wpl, पूर्णतः पराभवित प्लास्टिक तनाव-वितरण को दर्शाते हैं और वहाँ प्रयुक्त किए जाते हैं जहाँ लागू वर्गीकरण तथा डिज़ाइन नियम प्लास्टिक प्रतिरोध की अनुमति देते हैं। किसी सेक्शन का प्रत्यास्थ मॉड्यूलस बड़ा और प्लास्टिक आकार-गुणक अलग हो सकता है; एक को दूसरे से केवल नाम बदलकर निर्धारित नहीं किया जा सकता।

यूरोपीय सारणियों में इकाइयों का अनुशासन भी आवश्यक है। ArcelorMittal के अनुसार, परिकलित यूरोपीय गुणधर्म सामान्यतः सेंटीमीटर-आधारित इकाइयों में दिए जाते हैं: क्षेत्रफल cm2 में, द्वितीय आघूर्ण cm4 में, सेक्शन मॉड्यूलस cm3 में और त्रिज्याएँ सेंटीमीटर में। सतह क्षेत्रफल सामान्यतः प्रति मीटर m2 में दिया जाता है, जबकि वार्पिंग नियतांक के लिए cm6 जैसी डेसीमीटर-आधारित इकाई या सारणी में निर्दिष्ट परिपाटी प्रयुक्त होती है। शीर्षक को पढ़े बिना कोई धारणा नहीं बनानी चाहिए। cm4 को mm4 में बदलने पर संख्यात्मक मान 104 से गुणा होता है; cm3 को mm3 में बदलने पर यह मान 103 से गुणा होता है। किसी घात की अनदेखी बाद की पूरी गणना पर भारी प्रभाव डाल सकती है।

SCI के गुणधर्म सेक्शन की ज्यामिति और मानक प्रोफ़ाइल आयामों से परिकलित किए जाते हैं। वे इसलिए नहीं बदलते कि किसी सदस्य को EN 10025 श्रृंखला के अंतर्गत S275, S355 या किसी अन्य ग्रेड के रूप में निर्दिष्ट किया गया है। ग्रेड में परिवर्तन पराभव सामर्थ्य, तन्य सामर्थ्य, वेल्डेबिलिटी आवश्यकताओं और प्रतिरोध समीकरणों को प्रभावित करता है। अपरिवर्तित प्रोफ़ाइल के ज्यामितीय I, J, Cw या A में इससे वृद्धि नहीं होती।

### EVS-EN 10365:2026 के पदनाम और द्रव्यमान

EVS-EN 10365:2026, EVS (2026) के अनुसार, हॉट-रोल्ड इस्पात चैनलों, I-सेक्शनों और H-सेक्शनों के नाममात्र आयाम तथा द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है। यह उत्पाद और पदनाम का संदर्भ है, पूर्ण सेक्शन-गुणधर्म डेटाबेस नहीं। इस मानक पर आधारित सारणी उपयोगकर्ता को नाममात्र गहराई, फ्लैंज चौड़ाई, मोटाइयाँ, रूट आयाम, सेक्शन पदनाम और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान बता सकती है। इसके आधार पर डिज़ाइन के लिए आवश्यक प्रत्येक I, S, Z, J या Cw मान उपलब्ध होना आवश्यक नहीं है।

यह अंतर तब महत्वपूर्ण होता है जब IPE 300, HE 200 B या UPN 240 जैसे पदनाम को विश्लेषण सॉफ्टवेयर में दर्ज किया जाता है। पदनाम एक मानकीकृत नाममात्र प्रोफ़ाइल की पहचान करता है, जबकि सेक्शन गुणधर्म किसी संगत गुणधर्म-सारणी से लिए जाने चाहिए या दिए गए ज्यामितीय आयामों से परिकलित किए जाने चाहिए। नाममात्र आयाम किसी विशेष इस्पात-टुकड़े पर मापे गए आयामों के समान भी नहीं होते। रोलिंग सहनशीलताएँ, रूट त्रिज्याएँ, फिलेट और मोटाई में परिवर्तन परिकलित गुणधर्मों, द्रव्यमान और फिट-अप को प्रभावित कर सकते हैं। सामान्य डिज़ाइन के लिए प्रायः नियंत्रक मानक और सारणीबद्ध नाममात्र मान प्रयुक्त किए जाते हैं; लेकिन आकलन, फैब्रिकेशन सत्यापन या असामान्य बिल्ट-अप विवरणों के लिए मापी गई ज्यामिति आवश्यक हो सकती है।

EN 10365:2026 को पदार्थ-विनिर्देशन से भी भ्रमित नहीं करना चाहिए। प्रोफ़ाइल पदनाम आकार और नाममात्र माप की पहचान करता है। लागू उत्पाद मानक के अंतर्गत S355 जैसा पदनाम इस्पात ग्रेड की आवश्यकताओं को दर्शाता है। दोनों लेबल डिज़ाइन शेड्यूल में दिखाई दे सकते हैं, लेकिन वे अलग-अलग प्रश्नों का उत्तर देते हैं: EN 10365 रोल्ड सेक्शन की ज्यामिति और द्रव्यमान-परिपाटी की पहचान करता है, जबकि पदार्थ मानक रासायनिक संघटन, यांत्रिक गुणधर्म, आपूर्ति-अवस्था और परीक्षण से सम्बद्ध होता है।

जब कोई प्रामाणिक गुणधर्म-सारणी ठीक उसी प्रोफ़ाइल से मेल न खाए, तब नाममात्र आयामों से गुणधर्म पुनर्निर्मित किए जा सकते हैं। इसके लिए सेक्शन को आयतों में विभाजित किया जाता है, संयुक्त केन्द्रक का स्थान निर्धारित किया जाता है और समानान्तर-अक्ष प्रमेय लागू किया जाता है। Abaqus भी इसी ज्यामितीय आधार का दस्तावेजीकरण करता है: I11 और I22, क्षेत्रफल पर वर्गित निर्देशांक-दूरियों का समाकलन करते हैं, जबकि I12, निर्देशांक-दूरियों के गुणनफल का समाकलन करता है। MDSolids भी सामान्य और मानक इस्पात सेक्शनों के लिए केन्द्रकीय स्थान, द्वितीय आघूर्ण, सेक्शन मॉड्यूलस, जड़त्व-त्रिज्याएँ, प्लास्टिक मॉड्यूलस, ध्रुवीय आघूर्ण और प्रमुख आघूर्ण परिकलित करता है। ऐसी जाँचें उपयोगी हैं, लेकिन इनके आधार पर किसी नामित मानक सेक्शन के स्थान पर एक अनुमानित आयत का उपयोग उचित नहीं ठहराया जा सकता, जब फ्लैंज रूट, फिलेट, छिद्र, टेपरयुक्त वेब या खुले सेक्शन की वार्पिंग परिणाम को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करते हों।

## इकाइयाँ, संकेतांकन और विमीय जाँच

अनुभाग के गुण ज्यामितीय राशियाँ होते हैं, इसलिए उनकी इकाइयाँ यह प्रकट करती हैं कि वास्तव में क्या गणना की गई है। इस्पात का ग्रेड किसी निश्चित आकार के क्षेत्रफल या द्वितीय क्षेत्र आघूर्ण को नहीं बदलता: ASTM A992 से ASTM A572 में बदलने पर उसी W-आकार का Ix बड़ा नहीं हो जाता। ग्रेड प्रतिरोध और अभिकल्प जाँच में प्रभाव डालता है। विमाएँ, अक्षों की स्थितियाँ और गणितीय परिभाषा अनुभाग के गुण निर्धारित करती हैं।

प्रत्येक गणना में इनपुट विमाओं और आउटपुट गुणों—दोनों के साथ इकाइयाँ लिखी जानी चाहिए। b=200 और t=10 लिखना अपूर्ण है; इसके बजाय b=200mm, t=10mm लिखें और A=3,800mm2 रिपोर्ट करें। यह सरल अनुशासन किसी स्प्रेडशीट या अभिकल्प मॉडल तक पहुँचने से पहले अनेक त्रुटियों को पकड़ लेता है।

### अमेरिकी प्रचलित और मीट्रिक प्रणालियाँ

अमेरिकी प्रचलित प्रणाली में कार्य करते समय विमाएँ सामान्यतः इंच में, क्षेत्रफल in2 में, द्वितीय क्षेत्र आघूर्ण in4 में, अनुभाग मापांक in3 में, परिभ्रमण त्रिज्याएँ इंच में, मरोड़ नियतांक J in4 में और वॉर्पिंग नियतांक Cw in6 में दिए जाते हैं। द्रव्यमान या नाममात्र भार को प्रायः प्रति इकाई लंबाई भार, जैसे lb/ft, द्वारा व्यक्त किया जाता है, न कि प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान द्वारा। यह अंतर महत्वपूर्ण है: lb/ft बल-प्रति-लंबाई का पारंपरिक रूप है, जबकि kg/m द्रव्यमान-प्रति-लंबाई का रूप है।

मीट्रिक गणनाओं में पूरी गणना के दौरान मिलीमीटर का उपयोग किया जा सकता है: A mm2 में, Ix और Iy mm4 में, Wx और Wy mm3 में, rx और ry mm में, J mm4 में और Cw mm6 में। इसके बजाय प्रकाशित सारणी के अनुसार मीटर, सेंटीमीटर या इनका मिश्रण भी चुना जा सकता है। अपने-आप में कोई भी प्रणाली अधिक सुरक्षित नहीं है। खतरा तब उत्पन्न होता है जब लंबाई की घातों को बदले बिना प्रणालियाँ बदल दी जाती हैं।

American Institute of Steel Construction के अनुसार, AISC Shapes Database v16.0 विमाएँ और अनुभाग गुण अमेरिकी प्रचलित तथा मीट्रिक—दोनों इकाइयों में उपलब्ध कराता है (AISC, 2023)। AISC Part 1, “Dimensions and Properties,” 16वें संस्करण के *Steel Construction Manual* का वह संदर्भ भाग है जिसमें सारणीबद्ध विमाएँ और ज्यामितीय गुण दिए गए हैं। ANSI/AISC 360-16 में Ix, Iy, rx, ry, J और Cw सहित राशियों की परिभाषाएँ दी गई हैं। किसी गणना में यह स्पष्ट होना चाहिए कि प्रत्येक मान किस AISC कॉलम और किस इकाई-प्रणाली से लिया गया है; केवल शीर्षक के बिना संख्यात्मक मान की नकल नहीं करनी चाहिए।

एक उपयोगी लेखापरीक्षण इस प्रकार है:

\\\[ \\begin{array}{lll} \\text{लंबाई:} & L & \\text{in, mm, या m}\\\\ \\text{क्षेत्रफल:} & A & \\text{in}^2\\text{ या mm}^2\\\\ \\text{द्वितीय क्षेत्र आघूर्ण:} & I\_x,I\_y & \\text{in}^4\\text{ या mm}^4\\\\ \\text{अनुभाग मापांक:} & W\_x,W\_y & \\text{in}^3\\text{ या mm}^3\\\\ \\text{त्रिज्या:} & r\_x,r\_y & \\text{in या mm}\\\\ \\text{मरोड़ नियतांक:} & J & \\text{in}^4\\text{ या mm}^4\\\\ \\text{वॉर्पिंग नियतांक:} & C\_w & \\text{in}^6\\text{ या mm}^6\\\\ \\text{द्रव्यमान प्रति लंबाई:} & m' & \\text{lb/ft या kg/m} \\end{array} \\\]

संदर्भ के अनुसार अनुभाग मापांक का सटीक संकेत बदल सकता है; S, W और Z को तब तक परस्पर विनिमेय नहीं माना जाना चाहिए जब तक स्रोत उन्हें इस प्रकार परिभाषित न करे। प्रत्यास्थ और प्लास्टिक अनुभाग मापांक की विमाएँ भी समान, अर्थात length3, होती हैं, लेकिन ये अलग-अलग गुण हैं।

### अनुभाग गुणों में लंबाई की घातें

घातें सीधे परिभाषाओं से प्राप्त होती हैं। क्षेत्रफल dA के समाकलन से प्राप्त होता है, इसलिए यह L2 के साथ परिवर्तित होता है। केंद्रक से गुजरने वाले अक्ष के सापेक्ष द्वितीय क्षेत्र आघूर्ण का एक रूप है

Ix=∫Ay2dA,इसलिए यह L4 के साथ परिवर्तित होता है। Abaqus, I11 और I22 को अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर समाकलित किए गए वर्गित निर्देशांक-अंतरालों के माध्यम से निरूपित करता है; इसका जड़त्व-गुणनफल I12, दो निर्देशांक-अंतरालों के गुणनफल का उपयोग करता है। यही विमीय तर्क Ixy और ध्रुवीय आघूर्ण पर भी लागू होता है।

अनुभाग मापांक Wx=Ix/cx है, इसलिए इसकी विमा L3 होती है। परिभ्रमण त्रिज्या rx=Ix/A है, इसलिए इसकी विमा L होती है। Saint-Venant मरोड़ नियतांक J की विमा L4, जबकि वॉर्पिंग नियतांक Cw की विमा L6 होती है। प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान में द्रव्यमान को लंबाई से विभाजित किया जाता है, जैसे kg/m।

इसी कारण लंबाई-रूपांतरण की त्रुटि गंभीर हो जाती है। चूँकि 1in=25.4mm,

1in4=(25.4)4mm4≈416,232mm4.25.4 के गुणक से की गई गलत रैखिक रूपांतरण-गणना I या J में लगभग 416,000 की चतुर्थ घात वाली त्रुटि बन जाती है, और Cw में लगभग 268 मिलियन की षष्ठ घात वाली त्रुटि। अनुभाग मापांक में घन होता है, इसलिए उसकी त्रुटि का गुणक 25.43, अर्थात लगभग 16,387, होता है। इकाई-लेबल को अपरिवर्तित रखते हुए केवल “संख्या का रूपांतरण” न करें।

संयोजित अनुभाग के लिए केंद्रक सूत्रों या समानांतर-अक्ष प्रमेय को लागू करने से पहले प्रत्येक घटक की विमा इकाइयों सहित लिखें। ऑफसेट पद A⁢d2 की इकाइयाँ घटक के जड़त्व आघूर्ण जैसी ही L4 होनी चाहिए। सॉफ़्टवेयर जाँच उपयोगी हो सकती है: Missouri S&T का MDSolids केंद्रक की स्थिति, द्वितीय क्षेत्र आघूर्ण, अनुभाग मापांक, त्रिज्याएँ, प्लास्टिक मापांक, ध्रुवीय आघूर्ण और प्रधान आघूर्ण रिपोर्ट करता है, जिससे स्वतंत्र रूप से विमांकित तुलना करना उपयोगी बनता है।

### यूरोपीय सारणीकरण परंपराएँ

यूरोपीय सारणियों में गणना किए गए अनुभाग गुणों के लिए प्रायः सेंटीमीटर का उपयोग किया जाता है। Steel Construction Institute की Blue Book यूरोपीय अनुभागों के लिए क्षेत्रफल, द्वितीय क्षेत्र आघूर्ण, प्रत्यास्थ और प्लास्टिक अनुभाग मापांक, परिभ्रमण त्रिज्याएँ, मरोड़ नियतांक और वॉर्पिंग नियतांक सूचीबद्ध करती है। सामान्य शीर्षक A के लिए cm2, I के लिए cm4, W के लिए cm3, i के लिए cm, J के लिए cm4 और Cw के लिए dm6 होते हैं। ArcelorMittal के अनुसार यूरोपीय गणना किए गए गुण सामान्यतः सेंटीमीटर में रिपोर्ट किए जाते हैं, जबकि सतह क्षेत्रफल मीटर-आधारित इकाइयों और वॉर्पिंग नियतांक डेसीमीटर-आधारित इकाइयों में दिया जाता है। इसलिए किसी सारणी में सेंटीमीटर-आधारित गुणों के साथ द्रव्यमान kg/m में, सतह क्षेत्रफल m2/m में और Cw dm6 में प्रदर्शित हो सकता है।

EN 10365:2026 को किसी अनुभाग-गुण सारणी के साथ भ्रमित न करें। EVS के अनुसार यह मानक हॉट-रोल्ड चैनलों, I अनुभागों और H अनुभागों की नाममात्र विमाओं और द्रव्यमानों को निर्दिष्ट करता है। Blue Book अनुभाग की विमाओं से ज्यामितीय गुणों की गणना और सारणीकरण करती है। किसी भी स्रोत का उपयोग करने से पहले सटीक प्रोफ़ाइल पदनाम, मानक, संस्करण, अक्ष परंपरा और इकाई शीर्षक की पहचान करें। इसके बाद कॉपी किए गए इनपुट और गणना किए गए आउटपुट—दोनों के साथ उन्हीं इकाइयों को दोहराएँ। विमीय लेखापरीक्षण कोई लिपिकीय औपचारिकता नहीं है; यह सत्यापित करने का अभिन्न भाग है कि चुना गया अनुभाग और उसकी रिपोर्ट की गई ज्यामिति वास्तव में वही हैं जिनका अभिकल्प में उपयोग किया गया है।

![स्टील सेक्शन के गुणधर्मों की गणना: क्षेत्रफल, जड़त्व, मॉड्यूलस और मरोड़](/images/uploads/c2211b9d-e281-44c7-8eec-4dbb714d4ef3/wiki-inline-the-worked-symmetric-welded-steel-i-section-assembled-from-two-200-by-20-millime-1920x1920.jpg)[](/images/uploads/c2211b9d-e281-44c7-8eec-4dbb714d4ef3/wiki-inline-the-worked-symmetric-welded-steel-i-section-assembled-from-two-200-by-20-millime-1920x1920.avif "छवि बड़ी करें — स्टील सेक्शन के गुणधर्मों की गणना: क्षेत्रफल, जड़त्व, मॉड्यूलस और मरोड़")A component-area model makes the centroid and transferred inertias auditable.

## निर्मित इस्पात अनुभाग के लिए गणना की एक उदाहरणात्मक कार्यप्रणाली

किसी निर्मित अनुभाग को इस्पात सदस्य के रूप में देखने से पहले उसका ज्यामितीय विश्लेषण किया जाना चाहिए। इस्पात का ग्रेड किसी दिए गए आयाम-समुच्चय के लिए सकल क्षेत्रफल, केन्द्रक, क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण या लोचदार अनुभाग गुणांकों को नहीं बदलता। ASTM A992 या S355 जैसे ग्रेड-निर्देशन प्रतिरोध और डिजाइन-जाँच को प्रभावित करते हैं; वे समान अनुप्रस्थ काट को ज्यामितीय रूप से बड़ा या अधिक कठोर नहीं बनाते।

**उदाहरण सहित आई-खंड की ज्यामिति**

ऊपरी निकला हुआ भाग

200 × 20 mm

जालिका

20 × 160 mm

निचला निकला हुआ भाग

200 × 20 mm

समग्र गहराई

200 mm

कुल क्षेत्रफल

11,200 mm²

निम्नलिखित उदाहरण तीन आयतों से निर्मित एक सममित वेल्डेड I-अनुभाग पर आधारित है:

- ऊपरी फ्लैंज: 200×20 mm
- वेब: 20×160 mm
- निचला फ्लैंज: 200×20 mm
- कुल गहराई: 200 mm

ये आयाम केवल ज्यामिति का वर्णन करते हैं। इस्पात ASTM A992, S275, S355 या किसी अन्य ग्रेड का है या नहीं, यह एक अलग प्रश्न है।

### अनुप्रस्थ काट को घटकों में विभाजित करें

आयामयुक्त रेखाचित्र से प्रारम्भ करें। कुल चौड़ाई और गहराई, प्रत्येक प्लेट की मोटाई, मूल-बिन्दु तथा अक्षों की धनात्मक दिशाएँ दर्शाएँ। x को क्षैतिज और y को ऊर्ध्वाधर मानें तथा मूल-बिन्दु को समग्र परिसीमक आयत के निचले-बाएँ कोने पर रखें। अनुभाग-गुणधर्मों के लिए अन्ततः केन्द्रकीय अक्षों xc और yc को भी चिह्नित करना उपयोगी है।

सममित वेल्डित आई-खंड का घटक-विभाजन।
| घटक | चौड़ाई (mm) | ऊँचाई (mm) | क्षेत्रफल (mm²) | केंद्रक x,y (mm) |
|---|---|---|---|---|
| निचला निकला हुआ भाग | 200 | 20 | 4,000 | 100, 10 |
| जालिका | 20 | 160 | 3,200 | 100, 100 |
| ऊपरी निकला हुआ भाग | 200 | 20 | 4,000 | 100, 190 |

अनुभाग को ऐसे आयतों में विभाजित करें जो एक-दूसरे पर अध्यारोपित न हों। इस उदाहरण के लिए:

| घटक | चौड़ाई b (mm) | ऊँचाई h (mm) | क्षेत्रफल Ai (mm²) | केन्द्रक xi,yi (mm) |
|---|---|---|---|---|
| निचला फ्लैंज | 200 | 20 | 4,000 | 100, 10 |
| वेब | 20 | 160 | 3,200 | 100, 100 |
| ऊपरी फ्लैंज | 200 | 20 | 4,000 | 100, 190 |

वेब y=20 से प्रारम्भ होकर y=180 पर समाप्त होता है, इसलिए उसका केन्द्रक y=100 पर है। कुल क्षेत्रफल है

A=∑Ai=4,000+3,200+4,000=11,200mm2.यह विभाजन जानबूझकर किसी भी अध्यारोपण से बचता है। एक सामान्य त्रुटि यह है कि समग्र 200×200 आयत का उपयोग करके केवल पार्श्व रिक्तियों को घटा दिया जाए, बिना यह जाँचे कि प्राप्त क्षेत्र वास्तविक वेल्डेड संयोजन से मेल खाते हैं या नहीं। ऐसे अनुभाग में जिसमें छेद, स्लॉट, कोप या कट-आउट हो, हटाए गए क्षेत्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल के रूप में दर्शाएँ। इसके प्रथम आघूर्ण और जड़त्व-पदों पर भी ऋणात्मक चिह्न होना चाहिए।

जब त्रिभुज, वृत्त, खोखले वृत्त या अन्य मूल आकृतियाँ आकार का बेहतर वर्णन करती हों, तो अपघटन में उनका उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी खोखले वृत्ताकार छेद को एक बाहरी धनात्मक वृत्त और एक आन्तरिक ऋणात्मक वृत्त के रूप में लिया जाता है। यही चिह्न-परिपाटी प्रत्येक आगामी योग पर लागू होती है।

### केन्द्रक और जड़त्व की गणना करें

पहले प्रथम आघूर्णों से केन्द्रक की गणना करें:

\\\[ \\bar{x}=\\frac{\\sum A\_i x\_i}{\\sum A\_i}, \\qquad \\bar{y}=\\frac{\\sum A\_i y\_i}{\\sum A\_i}. \\\]

इस अनुभाग के लिए,

x¯=4,000⁢(100)+3,200⁢(100)+4,000⁢(100)11,200=100mm.ऊपरी और निचले फ्लैंज समान तथा सममित रूप से स्थित हैं, इसलिए

y¯=4,000⁢(10)+3,200⁢(100)+4,000⁢(190)11,200=100mm.अतः केन्द्रक ज्यामितीय केन्द्र पर है। असममित निर्मित अनुभाग के लिए इस परिणाम को पहले से न मानें। इसकी गणना करें।

प्रत्येक आयत के लिए उसके स्थानीय केन्द्रकीय जड़त्वों की गणना करें:

\\\[ I\_{x,i,\\text{local}}=\\frac{b h^3}{12}, \\qquad I\_{y,i,\\text{local}}=\\frac{h b^3}{12}. \\\]

इसके बाद समान केन्द्रकीय अक्षों पर समानान्तर-अक्ष प्रमेय का उपयोग करके प्रत्येक मान का स्थानान्तरण करें:

Ix=∑(Ix,i,local+Ai⁢dy,i2),Iy=∑(Iy,i,local+Ai⁢dx,i2),जहाँ \\(d\_{y,i}=y\_i-\\bar y\\) और \\(d\_{x,i}=x\_i-\\bar x\\) हैं।

Ix के लिए फ्लैंज केन्द्रकों की दूरियाँ 90 mm हैं और वेब की दूरी शून्य है। फ्लैंज का स्थानीय जड़त्व है

200⁢(20)312=133,333mm4,और वेब का स्थानीय जड़त्व है

20⁢(160)312=6,826,667mm4.अतः,

Ix=2⁢\[133,333+4,000⁢(90)2\]+6,826,667Ix=71,893,333mm4.Iy के लिए प्रत्येक घटक का \\(x\_i=\\bar x=100\\) mm है, इसलिए क्षैतिज स्थानान्तरण-पद की आवश्यकता नहीं है:

Iy=2⁢\[20⁢(200)312\]+160⁢(20)312Iy=26,773,333mm4.जड़त्व-गुणनफल है

Ixy=∑(Ixy,i,local+Ai⁢dx,i⁢dy,i).जब आयत की भुजाएँ अक्षों के समानान्तर हों, तो प्रत्येक आयत का स्थानीय जड़त्व-गुणनफल शून्य होता है। यहाँ तीनों घटकों के लिए dx=0 है, इसलिए

Ixy=0.यह परिणाम महत्वपूर्ण है। चयनित केन्द्रकीय अक्ष इस द्वि-सममित अनुभाग के प्रमुख अक्ष भी हैं।

परिकलित मान

उदाहरण सहित आई-खंड के व्युत्पन्न प्रत्यास्थ खंड-मापांक और जड़त्व-त्रिज्याएँ।

लोचदार अनुभाग गुणांक चरम तन्तु की दूरियों से प्राप्त होते हैं:

\\\[ S\_x=\\frac{I\_x}{c\_y}, \\qquad S\_y=\\frac{I\_y}{c\_x}. \\\]

चरम तन्तु दोनों केन्द्रकीय अक्षों से 100 mm दूर हैं:

Sx=71,893,333100=718,933mm3,Sy=26,773,333100=267,733mm3.ये लोचदार अनुभाग गुणांक हैं। ये प्लास्टिक गुणांक नहीं हैं, जिनके लिए प्लास्टिक-तटस्थ-अक्ष की गणना और क्षेत्रफल का पुनर्वितरण आवश्यक होता है। ये परिभ्रमण त्रिज्याओं के समान भी नहीं हैं:

rx=IxA=71,893,33311,200=80.1mm,ry=IyA=26,773,33311,200=48.9mm.इन परस्पर लम्बवत x और y अक्षों के लिए केन्द्रक के बारे में ध्रुवीय जड़त्व है

Ip=Ix+Iy=98,666,666mm4.यह सर्वसमिका Ip को मरोड़ स्थिरांक J में परिवर्तित नहीं करती। इसी पतली-भित्ति वाले खुले I-आकार के लिए प्रारम्भिक Saint-Venant आकलन है

J≈∑bi⁢ti33.दोनों फ्लैंज प्लेटों और वेब का उपयोग करने पर,

J≈2⁢(200⁢(20)33)+160⁢(20)33=1,493,333mm4.खुले अनुभाग के लिए अपेक्षित रूप से यह Ip से बहुत छोटा है। यह सन्निकटन कुछ जंक्शन और मोटाई-संबंधी विवरणों की उपेक्षा करता है, इसलिए इसे कोड तालिका, मान्य पतली-भित्ति गणना या परिमित-तत्व अनुभाग-गुणधर्म विधि का विकल्प नहीं माना जाना चाहिए। वार्पिंग स्थिरांक Cw के लिए अलग वार्पिंग गणना या किसी प्रलेखित संदर्भ-मान की आवश्यकता होती है; इसे Ix, Iy या J का नाम बदलकर प्राप्त नहीं किया जा सकता।

मानक रोल्ड अनुभाग के लिए हाथ से प्राप्त परिणाम की तुलना संबंधित तालिका में दिए गए सटीक प्रोफाइल और संस्करण से करें। American Institute of Steel Construction के अनुसार, 2023 में प्रकाशित AISC Shapes Database v16.0, अमेरिकी प्रचलित और मीट्रिक दोनों इकाइयों में आयाम और गुणधर्म प्रदान करता है, जबकि 16th Edition Steel Construction Manual का Part 1 मानक आयामों और ज्यामितीय गुणधर्मों के लिए संदर्भ अनुभाग है। यूरोप में SCI P363, जिसे सामान्यतः The Blue Book कहा जाता है, क्षेत्रफल, क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण, लोचदार और प्लास्टिक गुणांक, परिभ्रमण त्रिज्याएँ, J और Cw प्रदान करता है। EVS-EN 10365:2026 नाममात्र आयाम और द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है; यह अपने-आप में किसी अनुभाग-गुणधर्म तालिका का विकल्प नहीं है।

### सममिति और सॉफ्टवेयर के विरुद्ध सत्यापन करें

अंकगणित पर भरोसा करने से पहले सममिति की जाँच करें। समान फ्लैंज केन्द्रक को मध्य-गहराई पर रखते हैं और बाएँ तथा दाएँ समान चौड़ाइयाँ उसे ऊर्ध्वाधर केन्द्ररेखा पर रखती हैं। चूँकि अनुभाग दोनों अक्षों के बारे में सममित है, इसलिए जब अक्ष केन्द्रकीय हों और सममिति-अक्षों के साथ संरेखित हों, तब Ixy शून्य होना चाहिए। कोई अशून्य परिणाम गलत घटक-निर्देशांक, अध्यारोपण, छूटी हुई प्लेट या चिह्न-त्रुटि का संकेत देता है।

इसके बाद इकाइयों की जाँच करें। यदि आयाम millimetres में दर्ज किए जाते हैं, तो क्षेत्रफल mm2, क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण और J, mm4, अनुभाग गुणांक mm3, तथा त्रिज्याएँ millimetres में होंगी। यूरोपीय तालिकाएँ प्रायः गणना किए गए गुणधर्मों के लिए centimetres का उपयोग करती हैं; ArcelorMittal के 2024 के व्याख्यात्मक नोट्स सतह-क्षेत्र के लिए metre-आधारित इकाइयों और वार्पिंग स्थिरांकों के लिए decimetre-आधारित इकाइयों को निर्दिष्ट करते हैं। रूपान्तरण के बिना सीधी तुलना 10, 102, 103 या उससे अधिक के गुणकों से गलत हो सकती है।

एक स्वतंत्र जाँच Missouri S&T के MDSolids अनुभाग-गुणधर्म मॉड्यूल में की जा सकती है, जिसका दस्तावेजीकरण 2024 में किया गया है। तीन आयतों को एक सामान्य संयुक्त आकृति के रूप में दर्ज करें, या बाहरी आयत दर्ज करके दो रिक्तियों को घटाएँ, यदि यही चुने गए विभाजन से मेल खाता हो। A, केन्द्रक निर्देशांक, Ix, Iy, Ixy, अनुभाग गुणांकों, परिभ्रमण त्रिज्याओं और प्रमुख आघूर्णों की तुलना करें। MDSolids सामान्य और मानक इस्पात आकृतियों के लिए इन राशियों की रिपोर्ट करता है।

Abaqus एक उपयोगी परिभाषा-जाँच प्रदान करता है: इसके 2024 के दस्तावेजीकरण में I11 और I22 को अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर निर्देशांक-दूरियों के वर्ग के समाकलन तथा I12 को निर्देशांक-दूरियों के गुणनफल के समाकलन के रूप में वर्णित किया गया है। सॉफ्टवेयर अक्ष-लेबल उलट सकता है, Ixy के लिए चिह्न-परिपाटी बदल सकता है या किसी भिन्न मूल-बिन्दु के बारे में गुणधर्मों की रिपोर्ट कर सकता है। इसलिए असहमति गलत अक्ष, ऋणात्मक क्षेत्रफल को छोड़ देने, केन्द्रक-त्रुटि, इकाई-असंगति या सकल बनाम शुद्ध क्षेत्रफल, लोचदार बनाम प्लास्टिक गुणांक अथवा Saint-Venant J बनाम ध्रुवीय जड़त्व जैसी भिन्न परिभाषा को प्रकट कर सकती है। हाथ से की गई गणना बदलने से पहले इनपुट ज्यामिति और गुणधर्मों की परिभाषाओं की जाँच करें।

## सॉफ़्टवेयर, संख्यात्मक समाकलन और प्रमुख गुणधर्म

### सामान्य अनुप्रस्थ-खंड कैलकुलेटर

सामान्य अनुप्रस्थ-खंड कैलकुलेटर ज्यामिति का मूल्यांकन करता है। यह तय नहीं करता कि कोई इस्पात सदस्य डिज़ाइन जाँच में सफल है या नहीं, कौन-सी सीमा-अवस्था नियंत्रक है, अथवा कोई विशेष ग्रेड उपयुक्त है या नहीं। पदनाम को ASTM A992 से ASTM A572 Grade 50 में बदलने से डिज़ाइन मानक द्वारा निर्दिष्ट सामग्री-प्रतिरोध बदलता है; अपरिवर्तित अनुप्रस्थ-खंड का क्षेत्रफल, केंद्रक, क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण या मरोड़ नियतांक नहीं बदलता। ये राशियाँ सीमा-निर्देशांकों और सामग्री-क्षेत्र की ज्यामिति से प्राप्त होती हैं।

Missouri S&T का MDSolids अनुप्रस्थ-खंड-गुणधर्म मॉड्यूल उन परिणामों की श्रेणी का उदाहरण प्रस्तुत करता है जो कोई कैलकुलेटर दे सकता है। इसके 2024 के दस्तावेज़ में सामान्य और मानक इस्पात आकृतियों के लिए केंद्रकीय स्थिति, क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण, अनुप्रस्थ-खंड मापांक, परिभ्रमण त्रिज्या, प्लास्टिक मापांक, ध्रुवीय जड़त्वाघूर्ण और प्रमुख आघूर्ण निर्दिष्ट किए गए हैं। ये परिणाम अलग-अलग प्रश्नों के उत्तर देते हैं। क्षेत्रफल A यह मापता है कि अनुप्रस्थ-खंड में कितनी सामग्री मौजूद है। Ix और Iy निर्दिष्ट केंद्रकीय अक्षों के बारे में उस क्षेत्रफल के फैलाव को मापते हैं। प्रत्यास्थ अनुप्रस्थ-खंड मापांक S=I/c इस फैलाव को चरम-तंतु की दूरी से संबंधित करता है, जबकि प्लास्टिक मापांक Z पूर्णतः प्रवाहित प्रतिबल-ब्लॉक संरचना से प्राप्त होता है। परिभ्रमण त्रिज्या r=I/A एक व्युत्पन्न लंबाई है, कोई अन्य जड़त्वाघूर्ण नहीं।

यही चेतावनी ध्रुवीय और मरोड़ संबंधी परिणामों पर भी लागू होती है। ध्रुवीय जड़त्वाघूर्ण Ip=Ix+Iy किसी बिंदु के चारों ओर क्षेत्रफल के वितरण का वर्णन करता है और अपने-आप में Saint-Venant मरोड़ नियतांक J नहीं है। खुले और बंद अनुप्रस्थ-खंडों के लिए J मरोड़ की समस्या और सीमा-शर्तों पर निर्भर करता है; वॉर्पिंग नियतांक Cw प्रतिबंधित अनुदैर्ध्य वॉर्पिंग का वर्णन करता है और इसकी इकाइयाँ भी भिन्न होती हैं। किसी सॉफ़्टवेयर विंडो में इन मानों को एक-दूसरे के पास प्रदर्शित किए जाने का अर्थ यह नहीं है कि वे परस्पर विनिमेय हैं।

संयोजित अनुप्रस्थ-खंड के लिए गणना की हाथ से भी जाँच की जा सकती है। प्रत्येक घटक का क्षेत्रफल और केंद्रक निकालें, प्रथम आघूर्णों से संयुक्त केंद्रक ज्ञात करें, फिर प्रत्येक घटक के स्थानीय जड़त्वाघूर्ण पर समानांतर-अक्ष प्रमेय लागू करें। University of Michigan की पुनरावृत्ति-पाठ सामग्री इस घटक-क्षेत्रफल विधि को प्रस्तुत करती है। आयत, त्रिभुज, वृत्त और खोखले वृत्त उपयोगी परीक्षण-प्रकरण प्रदान करते हैं, इससे पहले कि पतले होते फ्लैंज, फ़िलेट, छिद्र या कट-आउट वाले किसी प्रोफ़ाइल पर भरोसा किया जाए। American Institute of Steel Construction द्वारा 2023 में प्रकाशित AISC Shapes Database v16.0 से तुलना करते समय सटीक आकृति-पदनाम और संस्करण का उपयोग किया जाना चाहिए। AISC के अनुसार, डेटाबेस अमेरिकी प्रचलित और मीट्रिक इकाइयों में विमाएँ और अनुप्रस्थ-खंड गुणधर्म प्रदान करता है; यह समान दिखाई देने वाले किसी अनुप्रस्थ-खंड के गुणधर्मों का अनुमान लगाने का अधिकार नहीं देता।

इकाइयों की जाँच अनिवार्य है। क्षेत्रफल mm2 में, जड़त्वाघूर्ण mm4 में, अनुप्रस्थ-खंड मापांक mm3 में और त्रिज्या मिलीमीटर में हो सकती है। ArcelorMittal ने अपने 2024 के व्याख्यात्मक नोट्स में कहा है कि यूरोपीय परिकलित गुणधर्म सामान्यतः सेंटीमीटर में बताए जाते हैं, जबकि पृष्ठीय क्षेत्रफल और वॉर्पिंग नियतांक के लिए क्रमशः मीटर- और डेसीमीटर-आधारित इकाइयों का उपयोग किया जाता है। Steel Construction Institute की Blue Book यूरोपीय अनुप्रस्थ-खंडों के लिए क्षेत्रफल, द्वितीय आघूर्ण, प्रत्यास्थ और प्लास्टिक मापांक, परिभ्रमण त्रिज्याएँ, मरोड़ नियतांक और वॉर्पिंग नियतांक प्रस्तुत करती है। EVS-EN 10365:2026 हॉट-रोल्ड चैनलों, I-खंडों और H-खंडों के लिए नाममात्र विमाएँ और द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है; यह परिकलित अनुप्रस्थ-खंड गुणधर्मों की सारणी वाले दस्तावेज़ के समान नहीं है।

### परिमित-तत्व बीम-अनुप्रस्थ-खंड परिभाषाएँ

परिमित-तत्व प्रोग्राम सामान्यतः विभक्त क्षेत्र पर संख्यात्मक समाकलन द्वारा बीम-अनुप्रस्थ-खंड के गुणधर्म प्राप्त करते हैं। 2024 में अद्यतन किए गए Abaqus दस्तावेज़ में I11 और I22 के लिए वर्गित निर्देशांक-दूरियों तथा I12 के लिए निर्देशांक-दूरियों के गुणनफल का समाकलन करके केंद्रकीय गुणधर्म परिभाषित किए गए हैं। योजनाबद्ध रूप में,

\\\[ I\_{11}=\\int\_A y^2\\,dA,\\qquad I\_{22}=\\int\_A x^2\\,dA,\\qquad I\_{12}=\\int\_A xy\\,dA. \\\]

संकेतक प्रोग्राम के स्थानीय निर्देशांकों पर निर्भर करते हैं। किसी एक सॉल्वर का I11 उस राशि के अनुरूप हो सकता है जिसे सामान्यतः Iy कहा जाता है, इसलिए केवल संकेतक पर्याप्त नहीं है। निर्देशांक-आरेख और चिह्न-परिपाटी का निरीक्षण करें।

वक्र सीमाओं, रोल्ड फ़िलेट, छिद्रित प्लेटों, आयातित CAD सीमारेखाओं और अनेक सामग्री-क्षेत्रों से संयोजित अनुप्रस्थ-खंडों के लिए संख्यात्मक समाकलन विशेष रूप से उपयोगी है। प्रोग्राम क्षेत्र को कोशिकाओं या अनुप्रस्थ-खंड तत्वों में विभाजित करता है, आवश्यक निर्देशांकों और भारों का मूल्यांकन करता है और उनके योगदानों का योग करता है। जाल-सूक्ष्मीकरण से केंद्रक, क्षेत्रफल और जड़त्वाघूर्ण के मानों में अभिसरण होना चाहिए। मोटा जाल किसी छोटे छिद्र को मिटा सकता है, फ़िलेट को विकृत कर सकता है या केंद्रक को इतना स्थानांतरित कर सकता है कि पतली-दीवार वाले अनुप्रस्थ-खंड पर प्रभाव पड़े। देखने में चिकना जाल गुणधर्मों के अभिसरण का प्रमाण नहीं है।

परिमित-तत्व बीम-परिभाषा में ऐसे विकल्प भी होते हैं जिन्हें केवल ज्यामिति से निर्धारित नहीं किया जा सकता। जाँच करें कि अनुप्रस्थ-खंड को ठोस, पतली-दीवार वाला, खुला या बंद किस रूप में निर्दिष्ट किया गया है; कतरनी क्षेत्रफल परिकलित किए गए हैं या दर्ज किए गए हैं; और मरोड़ तथा वॉर्पिंग गुणधर्म उसी विभक्तीकरण से प्राप्त किए गए हैं या नहीं। प्रत्येक सामग्री-क्षेत्र की पुष्टि करें। इस्पात फ्लैंज, ग्राउट पॉकेट, वेल्ड का आदर्शीकरण, रिक्ति, कोटिंग या संयोजित अंतःस्थापित भाग को जानबूझकर निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। यदि किसी संयोजित अनुप्रस्थ-खंड में कोई क्षेत्र छोड़ दिया गया हो, दोहराया गया हो या गलत सामग्री सौंपी गई हो, तो बाहरी रूपरेखा सही दिखाई देने पर भी रिपोर्ट की गई कठोरता और द्रव्यमान गलत हो सकते हैं।

सबसे महत्वपूर्ण बात, गुणधर्मों का आधार पहचानें: सकल, शुद्ध, प्रभावी, प्रत्यास्थ या प्लास्टिक। सकल क्षेत्रफल में परिभाषित पूर्ण अनुप्रस्थ-खंड शामिल होता है। शुद्ध क्षेत्रफल में बोल्ट-छिद्र या अन्य कटौतियाँ हटाई जा सकती हैं। प्रभावी गुणधर्म स्थानीय-बकलिंग नियमों को प्रतिबिंबित कर सकते हैं, जबकि प्रत्यास्थ और प्लास्टिक अनुप्रस्थ-खंड मापांक विभिन्न प्रतिबल-वितरणों का वर्णन करते हैं। अनुप्रस्थ-खंड-गुणधर्म सॉल्वर सामान्यतः माँगी गई गणितीय राशि की गणना करता है; वह ANSI/AISC 360-16 के अंतर्गत प्रभावी चौड़ाई निर्धारित नहीं करता, Eurocode नियमों के अनुसार प्लेट का वर्गीकरण नहीं करता और न ही सदस्य बकलिंग जाँच करता है। ANSI/AISC 360-16 Ix, Iy, rx, ry, J और Cw को इस्पात-डिज़ाइन की राशियों के रूप में पहचानता है, लेकिन डिज़ाइन प्रावधान यह निर्धारित करते हैं कि इन राशियों का उपयोग कैसे किया जाए।

### प्रमुख आघूर्ण और घुमाई गई अक्षें

जब Ixy≠0, तब चुनी गई केंद्रकीय अक्षें प्रमुख अक्षें नहीं होतीं। अक्षों को θ कोण से घुमाने पर प्रमुख अभिविन्यास में जड़त्व का गुणनफल समाप्त हो जाता है। प्रमुख आघूर्ण केंद्रकीय जड़त्व मैट्रिक्स के आइगेनमान होते हैं:

I1,2=Ix+Iy2±(Ix−Iy2)2+Ixy2.Ixy की चिह्न-परिपाटी रिपोर्ट किए गए कोण को प्रभावित करती है, इसलिए सॉफ़्टवेयर परिणामों को प्रोग्राम की अक्ष-परिभाषा के साथ पढ़ा जाना चाहिए। द्वि-सममित I-खंड के लिए सामान्य केंद्रकीय सममिति अक्षें पहले से ही प्रमुख अक्षें होती हैं और Ixy=0 होता है। असमान कोण, चैनल, तिरछी प्लेट या असममित कट-आउट के लिए सामान्यतः घूर्णन आवश्यक होता है।

प्रमुख गुणधर्म अपने-आप डिज़ाइन के लिए आवश्यक गुणधर्म नहीं होते। कोई स्तंभ दुर्बल प्रमुख अक्ष के बारे में बकल कर सकता है, जबकि बीम का बंकन भवन या सदस्य-अक्ष के बारे में निर्दिष्ट किया गया हो सकता है। कोई शेल या बीम मॉडल अपनी स्थानीय अनुप्रस्थ-खंड अक्षों को वैश्विक निर्देशांकों के सापेक्ष घुमा भी सकता है। दोनों प्रणालियों को दर्ज करें, फिर बलों, आघूर्णों और अनुप्रस्थ-खंड गुणधर्मों का सुसंगत रूप से रूपांतरण करें। किसी परिणाम को स्वीकार करने से पहले जाल को परिष्कृत करें, अभिविन्यास सत्यापित करें, सामग्री-क्षेत्रों के नियतन का निरीक्षण करें, इकाइयों की जाँच करें और सरल सीमित-प्रकरणों की तुलना MDSolids या किसी मानक सारणी से करें। सॉफ़्टवेयर अंकगणित करता है। अभियंता अब भी ज्यामिति परिभाषित करता है, गुणधर्मों का आधार चुनता है और तय करता है कि इन संख्याओं का अर्थ क्या है।

## शुद्धता, पूर्णांकन, सहनशीलताएँ और प्रोफ़ाइल पहचान

किसी अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म का मान तभी सार्थक होता है, जब उसकी ज्यामितीय परिभाषा ज्ञात हो। उदाहरण के लिए, Ix का मान अनुप्रस्थ-काट के आकार, संदर्भ अक्ष और इकाई-प्रणाली पर निर्भर करता है। यह I-आकार वाले सदस्य से जुड़ा कोई सामान्य लेबल नहीं है। प्रकाशित Ix किसी हॉट-रोल्ड यूरोपीय HEA अनुप्रस्थ-काट, U.S. W-आकार, आदर्शीकृत पतली-दीवार वाले अनुप्रस्थ-काट या मापे गए नमूने का वर्णन कर सकता है। ये विवरण परस्पर विनिमेय नहीं हैं।

### नाममात्र आयाम बनाम मापे गए आयाम

मानक पदनाम सामान्यतः नाममात्र आयामों को संदर्भित करता है। EVS-EN 10365:2026 हॉट-रोल्ड चैनलों, I अनुप्रस्थ-काटों और H अनुप्रस्थ-काटों के लिए नाममात्र आयाम और द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है; यह दावा नहीं करता कि प्रत्येक निर्मित अनुप्रस्थ-काट में बिल्कुल तीखे कोने, बिल्कुल स्थिर मोटाई या असीमित परिशुद्धता वाले आयाम होंगे। उदाहरण के लिए, नाममात्र HE 200 A की पहचान उसके मानक पदनाम और नाममात्र आयामी श्रेणी से होती है, जबकि वास्तविक फ्लैंज मोटाई, वेब मोटाई, गहराई और कोने की ज्यामिति विनिर्माण सहनशीलताओं के अधीन होती है।

यह अंतर बताता है कि अंकगणित सही होने पर भी हाथ से की गई गणना किसी सारणी से अलग क्यों हो सकती है। एक सरल गणना में I-अनुप्रस्थ-काट को फ्लैंजों के लिए दो आयतों और वेब के लिए एक आयत के रूप में निरूपित किया जा सकता है। निर्मित प्रोफ़ाइल में वेब और फ्लैंज के बीच फिलेट, फ्लैंज या वेब का टेपर और कोने की त्रिज्याएँ होती हैं। इन क्षेत्रों को हटाने या जोड़ने से क्षेत्रफल और केन्द्रक बदलते हैं, जिससे Ix, Iy, अनुप्रस्थ-काट मापांक और परिक्रमण त्रिज्याएँ भी बदलती हैं। क्षेत्रफल पर प्रभाव प्रायः छोटा होता है, लेकिन द्वितीय क्षेत्रफल आघूर्ण पर इसका प्रभाव अधिक महत्वपूर्ण हो सकता है, क्योंकि केन्द्रक से दूर स्थित पदार्थ का योगदान उसकी दूरी के वर्ग के अनुसार होता है।

तीन ज्यामितियों को अलग-अलग रखा जाना चाहिए:

1\. **नाममात्र मानक ज्यामिति:** प्रोफ़ाइल मानक या अनुप्रस्थ-काट सारणी द्वारा निर्दिष्ट आयाम। 2. **मापी गई मिल ज्यामिति:** किसी विशिष्ट रोल्ड सदस्य से दर्ज किए गए आयाम, जिनमें उसकी वास्तविक त्रिज्याएँ, मोटाइयाँ, टेपर और विचलन शामिल हैं। 3. **आदर्शीकृत विश्लेषण ज्यामिति:** हाथ से की गई गणना, परिमित-तत्व मॉडल या प्रारंभिक डिज़ाइन के लिए चुना गया सरलीकृत मॉडल।

सारणीबद्ध गुणधर्म सामान्यतः नाममात्र आयामों और प्रोफ़ाइल ज्यामिति पर आधारित किसी परिभाषित गणना-मॉडल से संबंधित होता है, न कि किसी एक बीम से किए गए यादृच्छिक फीते के माप से। यदि किसी मापे गए फ्लैंज की मोटाई उसके नाममात्र मान से 1.5 mm अधिक है, तो परिणामी क्षेत्रफल और जड़त्व प्रकाशित मानों से भिन्न हो सकते हैं। मापा गया मान स्वतः अधिक सही नहीं होता; वह एक अलग प्रश्न का उत्तर देता है।

यही समस्या निर्मित अनुप्रस्थ-काटों पर भी लागू होती है। यदि दो प्लेटों को स्पर्श करती हुई आयतों के रूप में मॉडल किया जाए, तो गणना में वेल्ड धातु, अंतराल, कोप कट, बोल्ट छेद या कनेक्शन प्लेटें छूट सकती हैं। निर्मित अनुप्रस्थ-काट के लिए घटक क्षेत्रों, प्रथम आघूर्णों, केन्द्रक निर्देशांकों और समानांतर-अक्ष प्रमेय को निर्दिष्ट ज्यामिति पर लागू किया जाना चाहिए। परिणाम उसी मॉडल से संबंधित होता है, आवश्यक नहीं कि किसी सूचीबद्ध रोल्ड अनुप्रस्थ-काट से।

सॉफ़्टवेयर ज्यामिति को परिभाषित करने की आवश्यकता समाप्त नहीं करता। Abaqus दस्तावेज़ीकरण क्षेत्रीय समाकलन के माध्यम से केन्द्रकीय गुणधर्मों को परिभाषित करता है: I11 और I22 निर्देशांक दूरियों के वर्गों का समाकलन करते हैं, जबकि I12 निर्देशांक दूरियों के गुणनफल का समाकलन करता है। Missouri S&T का MDSolids भी निर्दिष्ट आकृतियों के लिए केन्द्रक का स्थान, द्वितीय आघूर्ण, अनुप्रस्थ-काट मापांक, परिक्रमण त्रिज्या, प्लास्टिक मापांक, ध्रुवीय आघूर्ण और प्रधान आघूर्ण प्रदर्शित करता है। ये आउटपुट दिए गए इनपुट-ज्यामिति के लिए परिशुद्ध होते हैं, लेकिन प्रदर्शन में दिखाई गई परिशुद्धता अनिश्चित इनपुट आयामों को सटीक नहीं बना देती।

### पूर्णांकन और सार्थक अंक

पूर्णांकन गणना के बाद किया जाना चाहिए, प्रत्येक मध्यवर्ती चरण में नहीं। द्वितीय आघूर्ण की गणना से पहले 9.8 mm की फ्लैंज मोटाई को 10 mm से बदलने पर उल्लेखनीय अंतर उत्पन्न हो सकता है, विशेषकर तब जब फ्लैंज केन्द्रक से काफी दूर स्थित हो। स्रोत द्वारा समर्थित परिशुद्धता तक अंतिम परिणाम को पूर्णांकित करना, केवल निकटतम मिलीमीटर तक दिए गए आयामों से Ix=12,847,391.672mm4 लिखने की अपेक्षा अधिक उचित है।

सार्थक अंक आयामी शुद्धता और गणना के उद्देश्य—दोनों को प्रतिबिंबित करने चाहिए। किसी डिज़ाइन जाँच में आंतरिक रूप से किसी ड्रॉइंग टिप्पणी की तुलना में अधिक अंक सुरक्षित रखने पड़ सकते हैं, जबकि प्रारंभिक तुलना में Ix=1.28×108mm4 दिखाना उचित हो सकता है। स्प्रेडशीट में अतिरिक्त दशमलव स्थानों से विनिर्माण शुद्धता का अनुमान न लगाएँ।

इकाई-रूपांतरण में विशेष सावधानी आवश्यक है, क्योंकि अनुप्रस्थ-काट गुणधर्मों की विमाएँ अलग-अलग होती हैं। क्षेत्रफल लंबाई के वर्ग के साथ, द्वितीय आघूर्ण और मरोड़ नियतांक लंबाई की चौथी घात के साथ, अनुप्रस्थ-काट मापांक लंबाई के घन के साथ और परिक्रमण त्रिज्याएँ लंबाई के साथ स्केल होती हैं। इसलिए Ix में रूपांतरण की गलती साधारण मिलीमीटर-से-मीटर गलती की तुलना में बहुत बड़ी होती है। यूरोपीय सारणियाँ प्रायः गणना किए गए गुणधर्मों को सेंटीमीटर में प्रस्तुत करती हैं; ArcelorMittal बताता है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल और वार्पिंग नियतांक क्रमशः मीटर- और डेसीमीटर-आधारित इकाइयों का उपयोग करते हैं। प्रत्येक स्तंभ के साथ छपी इकाई को पढ़ना चाहिए, उसका अनुमान नहीं लगाना चाहिए।

पूर्णांकन स्रोतों के बीच की तुलनाओं को भी प्रभावित करता है। एक सारणी Ix को तीन सार्थक अंकों तक और दूसरी छह अंकों तक छाप सकती है, जबकि दोनों में वही ज्यामिति प्रयुक्त हुई हो। छोटे अंतर को त्रुटि का प्रमाण मानने से पहले इकाइयों, अक्ष की दिशा, फिलेट के उपचार और प्रदर्शित परिशुद्धता की जाँच करनी चाहिए।

### संस्करण और पदनाम नियंत्रण

गणना में प्रयुक्त प्रत्येक गुणधर्म मान के साथ पाँच पहचान-सूचक होने चाहिए: सटीक आकृति-पदनाम, लागू मानक, संस्करण या डेटाबेस संस्करण, अक्ष परिपाटी और सारणी या स्रोत का स्थान। इसमें इकाई-प्रणाली भी जोड़ें। “W310 Ix” अधूरा है; “W310×97, AISC Shapes Database v16.0, U.S. प्रचलित इकाइयाँ, प्रमुख केन्द्रकीय अक्ष, Part 1 सारणी” का स्रोत स्पष्ट रूप से खोजा जा सकता है।

American Institute of Steel Construction बताता है कि 2023 में प्रकाशित AISC Shapes Database v16.0, U.S. प्रचलित और मीट्रिक इकाइयों में आयाम और गुणधर्म प्रदान करता है। AISC Part 1, 16th Edition Steel Construction Manual का संदर्भ अनुप्रस्थ-काट है, जिसमें सारणीबद्ध आयाम और ज्यामितीय गुणधर्म दिए गए हैं। ANSI/AISC 360-16 में Ix, Iy, rx, ry, J और Cw जैसी राशियाँ परिभाषित की गई हैं, लेकिन यह विनिर्देशन किसी अस्पष्ट प्रोफ़ाइल पदनाम को पहचानने योग्य नहीं बनाता।

यूरोपीय अनुप्रस्थ-काटों के लिए SCI P363, *The Blue Book*, क्षेत्रफल, द्वितीय आघूर्ण, प्रत्यास्थ और प्लास्टिक अनुप्रस्थ-काट मापांक, परिक्रमण त्रिज्याएँ, मरोड़ नियतांक और वार्पिंग नियतांक सहित आयाम और अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म प्रदान करता है। इसकी प्रोफ़ाइल श्रेणी और पदनाम को सुरक्षित रखना आवश्यक है। केवल इसलिए कि नाममात्र गहराई समान दिखाई देती है, HEA सारणी से Ix का मान लेकर उसे HEB, W-आकार या किसी अन्य प्रोफ़ाइल श्रेणी की गणना में न डालें। अंतर्निहित ज्यामिति और अक्षों की जाँच किए बिना EN 10365 के नाममात्र आयाम को U.S. सारणी के गुणधर्म परिपाटी के साथ न मिलाएँ।

इस्पात ग्रेड किसी ज्यामितीय अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म को नहीं बदलता। S275, S355, ASTM A572 Grade 50 और ASTM A992 पदार्थ या उत्पाद संबंधी आवश्यकताओं का वर्णन करते हैं; ग्रेड बदलने से प्रतिरोध संबंधी गणनाएँ और डिज़ाइन जाँच बदलती हैं, अपरिवर्तित अनुप्रस्थ-काट का क्षेत्रफल या जड़त्व नहीं। यदि कोई स्रोत अलग-अलग ग्रेडों के लिए अलग ज्यामिति दर्शाता है, तो अंतर चयनित उत्पाद या विनिर्माण मानक से उत्पन्न होता है, इस कारण से नहीं कि इस्पात ज्यामितीय रूप से अधिक मजबूत हो गया है।

## स्टील डिज़ाइन जाँचों में अनुभागीय गुणों का उपयोग कैसे होता है

डिज़ाइन जाँच में अनुभागीय गुणों का उपयोग तभी किया जाता है, जब अनुभाग, सामग्री, भारण, प्रतिबंधों और लागू मानक की पहचान कर ली गई हो। ये गुण सामर्थ्य का नहीं, बल्कि ज्यामिति का वर्णन करते हैं। 10,000mm2 का सकल क्षेत्रफल, स्टील ASTM A992 का हो या ASTM A36 का, क्षेत्रफल ही रहता है; ग्रेड Fy जैसे उपज प्रतिबल और Fu जैसे तन्य सामर्थ्य को बदलता है, न कि अनुप्रस्थ काट के परिकलित आयामों को।

यह अंतर एक सामान्य त्रुटि को रोकता है: किसी बड़े संख्यात्मक मान को केवल इसलिए चुन लेना कि वह “अधिक मजबूत” दिखाई देता है, बिना यह जाँचे कि वह मान वास्तव में किस चीज़ को दर्शाता है। क्षेत्रफल A, क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण Ix और Iy, अनुभाग मापांक Sx, Sy, Zx और Zy, जड़त्व त्रिज्याएँ rx और ry, मरोड़ नियतांक J, तथा वॉर्पिंग नियतांक Cw की इकाइयाँ अलग-अलग होती हैं और ये विभिन्न सीमा-अवस्थाओं में प्रयुक्त होते हैं।

ANSI/AISC 360-16 में नामित U.S. अनुभागीय गुणों की परिभाषाएँ दी गई हैं, जिनमें Ix, Iy, rx, ry, J और Cw शामिल हैं। AISC Part 1, Dimensions and Properties, 16वें संस्करण के Steel Construction Manual का संदर्भ अनुभाग है, जिसमें सारणीबद्ध आयाम और ज्यामितीय गुण दिए गए हैं। American Institute of Steel Construction द्वारा 2023 में जारी AISC Shapes Database v16.0, U.S. प्रचलित तथा मीट्रिक इकाइयों में ये आयाम और गुण उपलब्ध कराता है। सटीक अनुभाग-पदनाम और डेटाबेस संस्करण फिर भी महत्वपूर्ण रहते हैं: W14×90 को किसी अन्य W14 अनुभाग के स्थान पर नहीं लिया जा सकता, भले ही नाममात्र गहराई समान दिखाई दे।

### अक्षीय संपीड़न और जड़त्व त्रिज्या

संकेंद्रीय अक्षीय बल के लिए सकल क्षेत्रफल पहला ज्यामितीय परिमाण होता है जिस पर विचार किया जाता है। औसत प्रत्यक्ष प्रतिबल को P/A द्वारा व्यक्त किया जाता है, जो लागू प्रतिरोध गुणांकों, उपज या विखंडन संबंधी प्रावधानों तथा छिद्रों, पतले अवयवों या अन्य निर्दिष्ट परिस्थितियों के कारण आवश्यक कटौतियों के अधीन होता है। इसलिए क्षेत्रफल अक्षीय बल वहन करने वाली सामग्री की मात्रा से सीधे संबंधित है, लेकिन यह यह नहीं बताता कि वह सामग्री केंद्रक से कितनी दूर वितरित है।

यही वितरण स्तंभ के बकलन को नियंत्रित करता है। जड़त्व त्रिज्या है

\\\[ r\_x=\\sqrt{\\frac{I\_x}{A}}, \\qquad r\_y=\\sqrt{\\frac{I\_y}{A}}. \\\]

किसी सदस्य की लंबाई L के लिए संबंधित slenderness अनुपात सामान्यतः KL/rx और KL/ry के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, जहाँ K प्रभावी-लंबाई की स्थिति को दर्शाता है। छोटी त्रिज्या सामान्यतः अधिक निर्णायक फ्लेक्सरल-बकलन अक्ष उत्पन्न करती है, क्योंकि समान सदस्य लंबाई से बड़ा slenderness अनुपात प्राप्त होता है। चौड़े-फ्लैंज वाले अनुभाग का क्षेत्रफल पर्याप्त हो सकता है, फिर भी वह अपनी लघु-अक्ष के बारे में बकलन के प्रति संवेदनशील रह सकता है, क्योंकि ry, rx से बहुत छोटी होती है।

इसी कारण क्षेत्रफल और जड़त्व त्रिज्या को एक-दूसरे के स्थान पर नहीं रखा जा सकता। फ्लैंज की चौड़ाई बढ़ाने से Ix, Iy या दोनों बढ़ सकते हैं, जबकि केंद्रक के निकट सामग्री जोड़ने से A बढ़ सकता है, पर बकलन-प्रतिरोध में अपेक्षाकृत कम सुधार हो सकता है। सीमा-स्थितियाँ, ब्रेसिंग, अवशिष्ट प्रतिबल, प्रारंभिक वक्रता, भार की उत्केन्द्रता और स्थानीय slenderness भी संपीड़न-प्रतिरोध को प्रभावित करते हैं। ज्यामितीय गुण एक इनपुट प्रदान करता है; वह अपने-आप अंतिम सदस्य प्रतिरोध निर्धारित नहीं करता।

### बंकन प्रतिरोध और अनुभाग मापांक

क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण वक्रता के प्रतिरोध, अर्थात् फ्लेक्सरल कठोरता, को मापता है; यह प्रत्यक्ष सामग्री-सामर्थ्य को नहीं मापता। x-अक्ष के बारे में प्रत्यास्थ बंकन के लिए,

σ=Mx⁢yIx,जहाँ y उदासीन अक्ष से दूरी है। प्रत्यास्थ अनुभाग मापांक है

Sx=Ixcx,जहाँ cx, उदासीन अक्ष से चरम तंतु तक की दूरी है। संबंधित बंकन-प्रतिबल संबंध Mx/Sx है। यही परिभाषाएँ y-अक्ष के बारे में भी लागू होती हैं।

क्योंकि Ix में अक्ष से दूरी का वर्ग शामिल होता है, इसलिए उदासीन अक्ष से दूर रखी गई सामग्री फ्लेक्सरल कठोरता और प्रत्यास्थ बंकन प्रतिरोध में महत्वपूर्ण योगदान देती है। यही I-आकार के अनुभागों की दक्षता को स्पष्ट करता है: उनके फ्लैंज, प्रमुख-अक्ष की उदासीन अक्ष से बड़ी दूरियों पर क्षेत्रफल का एक बड़ा भाग रखते हैं, जबकि वेब उन फ्लैंजों को जोड़ता है और कतरन वहन करता है।

प्लास्टिक बंकन में एक अलग गुण का उपयोग होता है। प्लास्टिक अनुभाग मापांक Zx, प्लास्टिक उदासीन अक्ष द्वारा अलग किए गए पूर्णतः उपजित प्रतिबल-वितरण पर आधारित होता है, न कि Sx के लिए प्रयुक्त चरम-तंतु दूरी पर। ऐसे सघन अनुभाग के लिए, जो प्लास्टिक व्यवहार विकसित करने में सक्षम हो, डिज़ाइन व्यंजक में Fy⁢Zx शामिल हो सकता है, जबकि प्रत्यास्थ सीमा का व्यंजक Fy⁢Sx पर आधारित होता है; यह सब नियंत्रक मानक के प्रावधानों के अधीन है। Zx, \\(S\_x का विकल्प नहीं है, और न ही इनमें से कोई सामग्री-सामर्थ्य का मान है।

लागू प्रतिरोध फ्लैंज और वेब की slenderness, पार्श्व ब्रेसिंग, अब्रेस्ड लंबाई Lb, भार लगाने की स्थिति, सिरों के प्रतिबंध और पार्श्व-मरोड़ी बकलन पर भी निर्भर करता है। उच्च Zx वाला अनुभाग भी कम बंकन प्रतिरोध रख सकता है, यदि उसका संपीड़न फ्लैंज पर्याप्त रूप से ब्रेस्ड न हो। इसलिए AISC सारणियों को ANSI/AISC 360-16 के प्रावधानों के साथ पढ़ना चाहिए, न कि उन्हें पूर्ण डिज़ाइन परिणाम मानना चाहिए।

यूरोपीय सारणियाँ भिन्न प्रस्तुति-पद्धतियों के अंतर्गत इन्हीं भौतिक भेदों का उपयोग करती हैं। Steel Construction Institute की Blue Book यूरोपीय अनुभागों के लिए क्षेत्रफल, क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण, प्रत्यास्थ और प्लास्टिक मापांक, जड़त्व त्रिज्याएँ, J और Cw प्रदान करती है। EVS के अनुसार EVS-EN 10365:2026 हॉट-रोल्ड चैनलों, I अनुभागों और H अनुभागों के नाममात्र आयामों तथा द्रव्यमानों को निर्दिष्ट करता है; यह अपने-आप में अनुभागीय-गुण सारणी का स्थान नहीं लेता। ArcelorMittal के अनुसार परिकलित यूरोपीय गुण सामान्यतः सेंटीमीटर में दिए जाते हैं, जबकि पृष्ठीय क्षेत्रफल और वॉर्पिंग नियतांक के लिए क्रमशः मीटर- और डेसीमीटर-आधारित इकाइयाँ प्रयुक्त होती हैं। इकाई-रूपांतरण की त्रुटियाँ परिणाम को कई क्रमों के परिमाण तक बदल सकती हैं।

### मरोड़, बकलन और अंतःक्रिया

मरोड़ ऐसे गुणों को सामने लाता है जिन्हें सरल बीम चर्चाओं में अक्सर छोड़ दिया जाता है। मरोड़ नियतांक J, Saint-Venant मरोड़ व्यवहार का वर्णन करता है और यह इस बात से अत्यधिक प्रभावित होता है कि अनुभाग खुला है या बंद। समान क्षेत्रफल वाले खुले I, चैनल या कोण अनुभागों की तुलना में पतली-दीवार वाले बंद अनुभाग सामान्यतः समान मरोड़ का अधिक प्रभावी ढंग से प्रतिरोध करते हैं, क्योंकि बंद दीवार परिसंचारी कतरनी-प्रवाह विकसित कर सकती है।

वॉर्पिंग नियतांक Cw, प्रतिबंधित अनुदैर्ध्य वॉर्पिंग से संबंधित प्रतिरोध का वर्णन करता है। खुले अनुभागों पर मरोड़ लगने की स्थिति में यह महत्वपूर्ण हो जाता है, विशेषकर तब जब अंतिम स्थितियाँ, डायफ्राम, ब्रेसिंग या संकेंद्रित भार अनुप्रस्थ काट को स्वतंत्र रूप से वॉर्प करने से रोकते हैं। इसलिए J और Cw का अर्थ समान नहीं है: इनमें से किसी एक को दूसरे के सामान्य विकल्प के रूप में नहीं लिया जा सकता। इनकी इकाइयाँ भी अलग होती हैं। Cw का असंगत रूपांतरण, जिसे अक्सर लंबाई की छठी घात में व्यक्त किया जाता है, मरोड़ या पार्श्व-मरोड़ी गणना को अमान्य कर सकता है।

पार्श्व-मरोड़ी बकलन प्रमुख-अक्ष बंकन को पार्श्व विस्थापन और घूर्णन के साथ जोड़ता है। प्रतिक्रिया Iy, J, Cw, अब्रेस्ड लंबाई, आघूर्ण-ढाल, भार लगाने के बिंदु और अंतिम प्रतिबंध पर निर्भर करती है। किसी बीम में प्रमुख-अक्ष का अनुभाग मापांक बड़ा हो सकता है, फिर भी उसका प्रतिरोध सीमित हो सकता है, क्योंकि उसका संपीड़न फ्लैंज पार्श्व दिशा में स्वतंत्र रूप से हिल सकता है और अनुभाग मरोड़ सकता है। संपीड़न सदस्यों में मरोड़ी बकलन और फ्लेक्सरल-मरोड़ी बकलन भी केवल A, Ix और Iy पर निर्भर नहीं करते।

संयुक्त अक्षीय बल, बंकन और मरोड़ के लिए लागू डिज़ाइन मानक द्वारा निर्धारित अंतःक्रिया जाँच आवश्यक होती हैं। संयोजन की उत्केन्द्रता, बोल्ट या वेल्ड की व्यवस्था, स्थानीय भार-प्रवेश, कतरन क्षेत्रफल और सदस्य की निरंतरता इन जाँचों में प्रयुक्त आंतरिक क्रियाओं को बदल सकते हैं। उत्पाद आघूर्ण Ixy और प्रधान-अक्ष गुण तब प्रासंगिक हो जाते हैं जब ज्यामितीय अक्ष प्रधान-अक्षों से मेल नहीं खाते, विशेषकर असममित कोणों, चैनलों और संयोजित सदस्यों के लिए।

सत्यापन के लिए अवयव क्षेत्रफलों, केंद्रक निर्देशांकों, प्रथम आघूर्णों और समानांतर-अक्ष प्रमेय पर आधारित हस्त-गणनाएँ किसी विश्वसनीय सारणी या सॉफ़्टवेयर परिणाम से मेल खानी चाहिए। Abaqus documentation, I11 और I22 को क्षेत्रफल पर निर्देशांक दूरियों के वर्ग के समाकलन द्वारा तथा I12 को निर्देशांक दूरियों के गुणनफल के समाकलन द्वारा परिभाषित करता है; Missouri S&T का MDSolids स्वतंत्र रूप से केंद्रक, जड़त्व, मापांक, त्रिज्याएँ, ध्रुवीय जड़त्व और प्रधान गुणों की रिपोर्ट करता है। ऐसी जाँचें किसी ज्यामितीय परिमाण के स्टील डिज़ाइन जाँच में प्रवेश करने से पहले बदली हुई अक्षों, गलत इकाइयों और गलत प्रोफ़ाइल आयामों को पकड़ लेती हैं।

## इस्पात ग्रेड, धातुकर्म, और ज्यामिति से प्राप्त न होने वाली जानकारी

### आकार पदनाम बनाम इस्पात ग्रेड

आकार पदनाम ज्यामिति की पहचान करता है; इस्पात ग्रेड पदनाम सामग्री की आवश्यकताओं की पहचान करता है। ये परस्पर विनिमेय नहीं हैं। HEA 200, W14×90 या L 100 × 100 × 10 किसी रोल्ड प्रोफ़ाइल और उसके नाममात्र आयामों का वर्णन करते हैं। अपने-आप में यह इस्पात की उपज शक्ति, तन्य शक्ति, रासायनिक संघटन, आघात-दृढ़ता की आवश्यकता या वेल्डनीयता वर्गीकरण नहीं बताता।

ग्रेड पदनाम बदलने से अपरिवर्तित अनुप्रस्थ काट के ज्यामितीय सेक्शन गुणधर्म नहीं बदलते। यदि समान I-आकार वाली प्रोफ़ाइल की फ्लैंज चौड़ाई, वेब गहराई, फ्लैंज मोटाई और वेब मोटाई समान हैं, तो उसका सकल क्षेत्रफल A, केन्द्रक, Ix, Iy, प्रत्यास्थ सेक्शन मॉड्यूलस, जड़त्व-त्रिज्याएँ, मरोड़ नियतांक J, वॉर्पिंग नियतांक Cw और जड़त्व गुणनफल Ixy समान ज्यामितीय राशियाँ बने रहते हैं। अधिक निर्दिष्ट उपज शक्ति उस प्रोफ़ाइल को बड़ा Ix प्रदान नहीं करती और न ही उसकी जड़त्व-त्रिज्या बढ़ाती है।

यह भेद मूलभूत है, लेकिन सारणियों और सॉफ़्टवेयर मेनू में अक्सर खो जाता है। किसी अनुप्रस्थ काट का गुणधर्म अनुप्रस्थ काट में सामग्री के स्थान और वितरण से परिकलित होता है। Abaqus केन्द्रकीय द्वितीय आघूर्णों का वर्णन क्षेत्रफल पर निर्देशांक-दूरियों के वर्ग का समाकलन करके करता है: I11 और I22 उन वर्गित दूरियों को मापते हैं, जबकि I12 निर्देशांक-दूरियों के गुणनफल का समाकलन करता है (Abaqus Documentation, 2024)। इस परिकलन में ज्यामिति, अक्ष और इकाइयाँ होती हैं—उपज शक्ति का कोई मान नहीं।

आकार पदनाम फिर भी अपूर्ण हो सकता है। “200 I-section” में सेक्शन शृंखला, निर्माण मानक, द्रव्यमान पदनाम, सहनशीलताएँ और संस्करण का उल्लेख न हो सकता है। केवल इसलिए कि दोनों I-आकार वाले हैं, U.S. W14×90 और यूरोपीय HE 360 B की पहचान तुलनीय लेबलों से नहीं होती। सारणीबद्ध क्षेत्रफल या जड़त्व को स्वीकार करने से पहले सटीक प्रोफ़ाइल मानक दर्ज किया जाना चाहिए।

### ज्यामिति-स्वतंत्र और ग्रेड-निर्भर इनपुट

आयाम, प्रति इकाई लंबाई नाममात्र द्रव्यमान, सकल क्षेत्रफल, केन्द्रक निर्देशांक, क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण, सेक्शन मॉड्यूलस, जड़त्व-त्रिज्याएँ, ध्रुवीय आघूर्ण, J, Cw, Ixy, अपरूपण क्षेत्रफल और प्लास्टिक सेक्शन मॉड्यूलस मुख्यतः अनुप्रस्थ-काट विवरण से संबंधित इनपुट होते हैं। समरूप प्रिज़्मीय अनुप्रस्थ काट के लिए ये उसके अनुप्रस्थ-काट की ज्यामिति और चुने गए संदर्भ अक्षों से प्राप्त होते हैं। निर्मित अनुप्रस्थ काटों के परिकलन में घटक क्षेत्रफल, प्रथम आघूर्ण, केन्द्रक निर्देशांक और समानांतर-अक्ष प्रमेय का उपयोग किया जाता है। इनके लिए यह आवश्यक नहीं है कि इस्पात S275 हो, न कि S355, या ASTM A36 हो, न कि ASTM A992/A992M।

द्रव्यमान के संबंध में एक स्पष्टीकरण आवश्यक है। अनुप्रस्थ-काट का क्षेत्रफल ज्यामितीय होता है; प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान घनत्व पर और इस बात पर भी निर्भर करता है कि सारणीबद्ध मान नाममात्र आयामों पर आधारित है या नहीं। इसलिए निर्माण सहनशीलताएँ, कोने की त्रिज्याएँ, फ़िलेट, छिद्र, लेप और संक्षारण नाममात्र परिकलन तथा वास्तविक रूप से मापे गए सदस्य के बीच अंतर उत्पन्न कर सकते हैं। ये अंतर ज्यामितीय या भौतिक-स्थिति के प्रभाव हैं, न कि इस बात का प्रमाण कि ग्रेड की शक्ति ने अनुप्रस्थ-काट के गुणधर्म को बदल दिया है।

सामग्री विनिर्देशन इनपुट के एक अलग समूह को नियंत्रित करता है। इनमें निर्दिष्ट उपज शक्ति, तन्य शक्ति, दीर्घता या अन्य तन्यता-माप, भंगुरता-दृढ़ता, रासायनिक संघटन, आपूर्ति-अवस्था, वेल्डनीयता से संबंधित आवश्यकताएँ और संक्षारण व्यवहार शामिल हैं। इनका प्रभाव प्रतिरोध परिकलनों, संयोजन जाँचों, भंगुरता आकलन, वेल्डिंग प्रक्रियाओं, टिकाऊपन आकलनों तथा अग्नि या तापमान-संबंधी डिज़ाइन जाँचों में दिखाई देता है। ये Ix, Iy, J या Cw का स्थान नहीं लेते।

जब लागू सामग्री विनिर्देशन अलग-अलग हों, तो किसी डिज़ाइन में समान ज्यामिति के लिए अलग-अलग प्रतिरोध मान उपयोग किए जा सकते हैं। यह निष्कर्ष उद्धृत विनिर्देशन और डिज़ाइन मानक से प्राप्त होना चाहिए; इसे केवल ग्रेड के नाम से अनुमानित नहीं किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, ASTM A992/A992M का उल्लेख करने वाले अभिलेख की जाँच उस विनिर्देशन की आवश्यकताओं के विरुद्ध की जानी चाहिए, जबकि EN 10025-2 S355 का उल्लेख करने वाले अभिलेख की जाँच EN 10025-2 के लागू संस्करण और उत्पाद आवश्यकताओं के विरुद्ध की जानी चाहिए। लागू मानक और उत्पाद-रूप के बिना “S355” या “A992” डिज़ाइन संबंधी धारणा के लिए अपर्याप्त प्रमाण हैं।

संक्षारण के लिए अलग से उपचार आवश्यक है, क्योंकि समय के साथ यह ज्यामिति को बदल सकता है। मूल ग्रेड पदनाम A या Ix में परिवर्तन नहीं करता, लेकिन धातु का क्षय मोटाई को कम कर सकता है और क्षेत्रफल, कठोरता, सेक्शन मॉड्यूलस तथा मरोड़ संबंधी गुणधर्मों को घटा सकता है। इंजीनियर को शेष अनुप्रस्थ काट का मॉडल बनाना चाहिए और सामग्री तथा पर्यावरणीय आवश्यकताओं का अलग से आकलन करना चाहिए।

### संरचनात्मक इस्पात का दस्तावेज़ीकरण

एक पूर्ण डिज़ाइन अभिलेख में अनुप्रस्थ-काट मानक और सामग्री विनिर्देशन, दोनों की पहचान होनी चाहिए। इसमें प्रोफ़ाइल पदनाम, नाममात्र आयाम या द्रव्यमान पदनाम, मानक और संस्करण, अक्ष परिपाटी, इकाइयाँ तथा अनुप्रस्थ-काट गुणधर्मों का स्रोत बताया जाना चाहिए। इसमें सामग्री ग्रेड, उत्पाद मानक, विनिर्देशन का संस्करण तथा डिज़ाइन को नियंत्रित करने वाली कोई अतिरिक्त दृढ़ता या आपूर्ति-संबंधी आवश्यकताएँ भी बताई जानी चाहिए।

U.S. के कार्यों के लिए, American Institute of Steel Construction बताता है कि AISC Shapes Database v16.0 U.S. प्रचलित और मीट्रिक इकाइयों में आयाम तथा अनुप्रस्थ-काट गुणधर्म प्रदान करता है (AISC, 2023)। AISC Part 1, Dimensions and Properties, सारणीबद्ध आयामों और ज्यामितीय गुणधर्मों के लिए 16th Edition Steel Construction Manual का संदर्भ खंड है। ANSI/AISC 360-16 में Ix, Iy, rx, ry, J और Cw सहित राशियों को परिभाषित किया गया है (AISC, 2021)। ये संदर्भ ज्यामिति और डिज़ाइन परिभाषाएँ प्रदान करते हैं; सामग्री विनिर्देशन इस्पात के गुणधर्म प्रदान करता है।

यूरोपीय अभिलेखों में भी यही पृथक्करण आवश्यक है। Steel Construction Institute की Blue Book में क्षेत्रफल, क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण, प्रत्यास्थ और प्लास्टिक सेक्शन मॉड्यूलस, जड़त्व-त्रिज्याएँ, मरोड़ नियतांक और वॉर्पिंग नियतांक जैसे परिकलित गुणधर्म दिए जाते हैं (SCI, 2024)। EVS-EN 10365:2026 हॉट-रोल्ड चैनलों, I-सेक्शनों और H-सेक्शनों के नाममात्र आयाम तथा द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है; यह किसी सेक्शन-गुणधर्म सारणी या सामग्री-ग्रेड विनिर्देशन का विकल्प नहीं है। इकाइयों की भी जाँच आवश्यक है: ArcelorMittal के अनुसार, यूरोपीय परिकलित गुणधर्म सामान्यतः सेंटीमीटर में रिपोर्ट किए जाते हैं, जबकि सतह क्षेत्रफल और वॉर्पिंग नियतांक के लिए क्रमशः मीटर- और डेसीमीटर-आधारित इकाइयों का उपयोग किया जाता है (ArcelorMittal, 2024)।

सॉफ़्टवेयर आउटपुट में इस ऑडिट-ट्रेल को सुरक्षित रखा जाना चाहिए। परिकलित Ix तभी सार्थक होता है जब आयातित प्रोफ़ाइल, अक्ष, इकाई-प्रणाली और ज्यामितीय धारणाएँ ज्ञात हों। उसी मॉडल में जोड़ा गया सामग्री ग्रेड प्रतिरोध संबंधी इनपुट बदलता है, अनुप्रस्थ-काट की ज्यामिति नहीं।

## सामान्य त्रुटियाँ और सत्यापन-जाँच सूची

गलत द्वितीय आघूर्ण का उपयोग अनुमानित बकलन या विक्षेपण को काफी हद तक विकृत कर सकता है। Limited evidence

अनुप्रस्थ-काट के गुणों से संबंधित त्रुटियाँ प्रायः किसी समीकरण में मान दर्ज करने से पहले ही शुरू हो जाती हैं। किसी आरेख में सही प्रोफ़ाइल दिखाई दे सकती है, फिर भी गणना विफल हो सकती है, क्योंकि अक्ष, इकाइयाँ, मानक का संस्करण या गुण की परिभाषा डिज़ाइन-जाँच से मेल नहीं खाती। इसका परिणाम कोई मामूली स्प्रेडशीट-विसंगति नहीं होता: गलत द्वितीय क्षेत्रफल आघूर्ण का उपयोग करने से बकलन या विक्षेपण का अनुमान परिमाण के एक क्रम तक बदल सकता है।

### अक्ष और इकाइयों से संबंधित त्रुटियाँ

सबसे सामान्य त्रुटि Ix और Iy को आपस में बदल देना है। किसी सामान्य I-अनुप्रस्थ काट के लिए प्रमुख-अक्ष का द्वितीय क्षेत्रफल आघूर्ण लघु-अक्ष के मान से बहुत अधिक होता है। यदि सदस्य अपने दुर्बल अक्ष के बारे में मुड़ता है, लेकिन प्रबल-अक्ष का मान दर्ज कर दिया जाता है, तो गणना की गई वक्रता और विक्षेपण वास्तविक मान से बहुत कम होंगे। यही त्रुटि जड़त्व-त्रिज्याओं, प्रत्यास्थ अनुप्रस्थ-काट गुणांकों, प्लास्टिक गुणांकों और चुने गए अक्ष पर आधारित किसी भी बकलन-गणना को प्रभावित करती है।

अक्षों के लेबल प्रत्येक सारणी या सॉफ़्टवेयर पैकेज में सार्वभौमिक नहीं होते। कोई स्रोत क्षैतिज केन्द्रक-अक्ष को x कह सकता है, जबकि दूसरा उसे 2 कह सकता है; कोई परिमित-तत्व प्रोग्राम अनुप्रस्थ काट के अभिविन्यास के अनुसार स्थानीय 1 और 2 अक्ष परिभाषित कर सकता है। Abaqus के अनुसार, केन्द्रक-संबंधी I11 और I22 निर्देशांक-दूरियों के वर्ग का समाकलन करते हैं, जबकि I12 निर्देशांक-दूरियों के गुणनफल का समाकलन करता है (Abaqus Documentation, 2024)। मानों को कॉपी करने से पहले इस परिभाषा का आरेख के साथ मिलान करना आवश्यक है।

इकाइयाँ त्रुटि का दूसरा प्रमुख स्रोत हैं। cm2 में क्षेत्रफल, cm4 में द्वितीय क्षेत्रफल आघूर्ण और cm3 में अनुप्रस्थ-काट गुणांक को मिलीमीटर में दर्ज आयामों के साथ बिना रूपांतरण के संयोजित नहीं किया जा सकता। चूँकि 1cm4=104mm4, इसलिए स्प्रेडशीट में सारणी-रूपांतरण छूट जाने पर 10,000 के गुणक की त्रुटि उत्पन्न हो सकती है। यूरोपीय सारणियाँ प्रायः गणना किए गए गुणों को सेंटीमीटर में प्रस्तुत करती हैं; ArcelorMittal उल्लेख करता है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल और वॉर्पिंग नियतांक के लिए क्रमशः मीटर- और डेसीमीटर-आधारित इकाइयाँ भी प्रयुक्त होती हैं (ArcelorMittal, 2024)। प्रत्येक स्तम्भ-शीर्षक ध्यानपूर्वक पढ़ें।

द्रव्यमान-सारणी, गुण-सारणी नहीं होती। EVS-EN 10365:2026 हॉट-रोल्ड चैनलों, I-अनुप्रस्थ काटों और H-अनुप्रस्थ काटों के नाममात्र आयाम और द्रव्यमान निर्दिष्ट करता है; यह अपने-आप में बंकन, मरोड़ या बकलन के लिए आवश्यक प्रत्येक गणना-मान उपलब्ध नहीं कराता। Steel Construction Institute की Blue Book में अनुप्रस्थ-काट के गुण दिए गए हैं, जिनमें I, प्रत्यास्थ और प्लास्टिक गुणांक, जड़त्व-त्रिज्याएँ, J और Cw शामिल हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में AISC Shapes Database v16.0 अमेरिकी प्रचलित और मीट्रिक इकाइयों में आयाम तथा गुण उपलब्ध कराता है, जबकि AISC Part 1, Steel Construction Manual में सारणीबद्ध आयामों और ज्यामितीय गुणों के लिए संदर्भित अनुभाग है (AISC, 2023)।

### J, Ip, I, S और Z को आपस में भ्रमित करना

केवल I प्रतीक अपने-आप में अपूर्ण है। इसका अर्थ किसी निर्दिष्ट अक्ष के बारे में केन्द्रक-संबंधी द्वितीय क्षेत्रफल आघूर्ण, Ix या Iy, हो सकता है, अथवा यह I11 जैसे किसी सॉफ़्टवेयर-अभिसमय में दिखाई दे सकता है। द्वितीय क्षेत्रफल आघूर्ण की इकाई लंबाई की चौथी घात होती है और यह EI के माध्यम से बंकन-कठोरता को नियंत्रित करता है। यह सामर्थ्य का मान नहीं है।

ध्रुवीय क्षेत्रफल आघूर्ण को सामान्यतः Ip लिखा जाता है, जहाँ

Ip=Ix+Iyजब x और y परस्पर लंबवत केन्द्रक-अक्ष हों। यह किसी बिंदु के चारों ओर क्षेत्रफल के वितरण को मापता है और कुछ वृत्ताकार-शाफ्ट तथा घूर्णी गणनाओं में उपयोगी होता है। सामान्यतः यह मरोड़ नियतांक नहीं होता।

मरोड़ नियतांक J, Saint-Venant मरोड़-प्रतिक्रिया का वर्णन करता है। ठोस वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट के लिए J=Ip, लेकिन इस समानता को I-अनुप्रस्थ काटों, चैनलों, कोणों या पतली-दीवार वाले खुले अनुप्रस्थ काटों पर लागू नहीं करना चाहिए। इनके J मान Ip से बहुत कम हो सकते हैं। बंद अनुप्रस्थ काटों में मरोड़ का व्यवहार भी भिन्न होता है, क्योंकि अपरूपण-प्रवाह घिरी हुई सेल के चारों ओर परिसंचरित हो सकता है। लंबाई की छठी घात की इकाई वाला वॉर्पिंग नियतांक Cw, असमान मरोड़ और प्रतिबंधित वॉर्पिंग से संबंधित है; यह J का कोई दूसरा रूप नहीं है। ANSI/AISC 360-16 Ix, Iy, rx, ry, J और Cw को पृथक अनुप्रस्थ-काट गुणों के रूप में परिभाषित और उपयोग करता है (AISC, 2021)।

अनुप्रस्थ-काट गुणांक से संबंधित शब्दावली भी बार-बार भ्रम उत्पन्न करती है। प्रत्यास्थ अनुप्रस्थ-काट गुणांक प्रत्यास्थ द्वितीय क्षेत्रफल आघूर्ण से प्राप्त होता है, उदाहरण के लिए

Sx=Ixcx,जहाँ cx उदासीन अक्ष से चरम तंतु तक की दूरी है। प्लास्टिक अनुप्रस्थ-काट गुणांक, जिसे प्रायः Zx या Wpl,x लिखा जाता है, पूर्णतः प्रवाहित प्लास्टिक प्रतिबल-वितरण पर आधारित होता है। यह Sx नहीं है और केवल इसलिए इसका स्थानापन्न नहीं किया जा सकता कि दोनों की इकाई लंबाई की घन है। सममित आयताकार अनुप्रस्थ काट के लिए इन मानों के बीच सरल संबंध होता है; असमान फ्लैंज और वेब ज्यामिति वाले रोल्ड अनुप्रस्थ काटों में यह अंतर महत्वपूर्ण होता है।

क्षेत्रफल की गणनाओं में छिद्रों, कोप-कटों और रिक्तियों को हटाना आवश्यक है। रोल्ड-आकार की सारणी से हाथ से बनाए गए मॉडल की तुलना करते समय फिलेटों को बिना विचार किए अनदेखा नहीं करना चाहिए। निर्मित अनुप्रस्थ काट के लिए समानांतर-अक्ष पद A⁢d2 होता है, जहाँ d घटक के केन्द्रक और संयुक्त केन्द्रकीय अक्ष के बीच लंबवत दूरी है। समग्र गहराई, फ्लैंज की मोटाई या गलत संदर्भ-अक्ष से मापी गई दूरी का उपयोग करने पर परिणाम देखने में विश्वसनीय, लेकिन वास्तव में गलत हो सकता है।

### डिज़ाइन में उपयोग से पहले स्वतंत्र जाँचें

किसी गुण को डिज़ाइन मॉडल में शामिल करने से पहले उसे एक से अधिक परीक्षणों में सफल होना चाहिए। पहले, सटीक अनुप्रस्थ काट का आरेख बनाएँ, जिसमें छिद्र, फिलेट, प्लेटें, वेल्ड से जुड़े अतिरिक्त भाग और सदस्य में प्रयुक्त अभिविन्यास शामिल हों। केन्द्रकीय अक्षों को चिह्नित करें और निर्धारित करें कि वे प्रमुख अक्ष हैं या नहीं। सममिति-अक्ष के लिए, जब अक्ष उस सममिति के अनुरूप संरेखित हों, तो जड़त्व-गुणनफल शून्य होना चाहिए।

इसके बाद किसी सरल बेंचमार्क की स्वतंत्र रूप से गणना करें। आयत, त्रिभुज, वृत्त और खोखले वृत्त क्षेत्रफल, केन्द्रक, I, Ip और अनुप्रस्थ-काट गुणांक की उपयोगी जाँच प्रदान करते हैं। निर्मित आकृति के लिए घटक क्षेत्रों और प्रथम आघूर्णों की गणना करें, केन्द्रक का स्थान निर्धारित करें, फिर प्रत्येक अक्ष के लिए समानांतर-अक्ष प्रमेय अलग-अलग लागू करें। यदि स्प्रेडशीट और अनुप्रस्थ-काट गुणों का प्रोग्राम स्वतंत्र तुलना के लिए उपयोग किए जा रहे हों, तो दोनों में एक ही छिपा हुआ इनपुट या सूत्र साझा नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, Missouri S&T का MDSolids संसाधन सामान्य और मानक इस्पात आकृतियों के लिए केन्द्रक, द्वितीय क्षेत्रफल आघूर्ण, अनुप्रस्थ-काट गुणांक, जड़त्व-त्रिज्याएँ, प्लास्टिक गुणांक, ध्रुवीय आघूर्ण और प्रमुख आघूर्ण प्रस्तुत करता है (Missouri S&T, 2024)।

अंततः, सटीक स्रोत, प्रोफ़ाइल पदनाम, मानक का संस्करण, इकाइयाँ, अक्ष-लेबल और यह विवरण दर्ज करें कि मान सकल, शुद्ध, प्रत्यास्थ, प्लास्टिक, Saint-Venant या वॉर्पिंग गुण हैं। ASTM A992 या ASTM A36 जैसा पदनाम पदार्थ की प्रतिरोध-क्षमता और डिज़ाइन-जाँच को बदलता है; यह समान अनुप्रस्थ काट आयामों के ज्यामितीय गुणों को नहीं बदलता। इसी प्रकार, संबंधित यूरोपीय उत्पाद और डिज़ाइन मानकों के अंतर्गत S355 होने से ज्यामितीय रूप से समान अनुप्रस्थ काट का I या J अलग नहीं हो जाता।

#### सत्यापन-जाँच सूची

- **ज्यामिति** अभिविन्यास, छिद्रों, वक्रित कोनों और केंद्रकीय अक्षों सहित विमांकित रेखाचित्र का उपयोग करें।
- **स्रोत** सारणी या गणना-विधि तथा लागू मानक के संस्करण को दर्ज करें।
- **इकाइयाँ** प्रत्येक निवेश और निर्गम को स्पष्ट रूप से इकाई सहित लिखें।
- **अक्ष** x, y, प्रधान, स्थानीय और वैश्विक अक्षों की पहचान करें।
- **स्वतंत्र जाँच** हस्त-गणना, सॉफ्टवेयर परिणाम या अनुरूप सारणी से तुलना करें।
- **समीक्षा** जब मान किसी वास्तविक सदस्य या संयोजन को प्रभावित करता हो, तब योग्य अभियान्त्रिकी समीक्षा प्राप्त करें।

किसी परिणाम से वास्तविक संरचना प्रभावित होने से पहले, जाँच सूची में निम्नलिखित आवश्यक होने चाहिए:

- अभिविन्यास, छिद्रों, फिलेटों और केन्द्रकीय अक्षों सहित आयामयुक्त आरेख;
- स्रोत-सारणी या गणना-विधि का संदर्भ;
- लागू मानक और उसका संस्करण, जैसे AISC Shapes Database v16.0, 16th Edition Steel Construction Manual, SCI P363 या EVS-EN 10365:2026;
- प्रत्येक इनपुट और आउटपुट के लिए स्पष्ट इकाइयाँ;
- स्पष्ट रूप से लेबल किए गए x, y, प्रमुख, स्थानीय या वैश्विक अक्ष;
- स्वतंत्र हाथ से की गई गणना, सॉफ़्टवेयर गणना या सारणीबद्ध तुलना; और
- जब मान किसी वास्तविक संरचनात्मक सदस्य या कनेक्शन को प्रभावित करता हो, तब योग्य अभियंता द्वारा समीक्षा।

## संदर्भ

1. \[1\] American Institute of Steel Construction. [AISC Shapes Database v16.0](https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/aisc-shapes-database-v160/). AISC Shapes Database, 2023. [](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#wiki-cite-ref-1) https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/aisc-shapes-database-v160/
2. \[2\] American Institute of Steel Construction. [16th Edition Steel Construction Manual, Part 1](https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/). Steel Construction Manual, 2023. [](/hi/%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%BF%E0%A4%A4-%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8/%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%80%E0%A4%B2-%E0%A4%B8%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8-%E0%A4%95%E0%A5%87-%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A7%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AE%E0%A5%8B%E0%A4%82-%E0%A4%95%E0%A5%80-%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE-%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2-%E0%A4%9C%E0%A4%A1%E0%A4%BC%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B5-%E0%A4%AE%E0%A5%89%E0%A4%A1%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B2%E0%A4%B8-%E0%A4%94%E0%A4%B0-%E0%A4%AE%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A1%E0%A4%BC#wiki-cite-ref-2) https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/

 **एक नज़र में अनुप्रस्थ काट के गुण**

क्षेत्रफल की इकाइयाँ

mm² या in²

द्वितीय आघूर्ण की इकाइयाँ

mm⁴ या in⁴

खंड-मापांक की इकाइयाँ

mm³ या in³

विकृति-स्थिरांक की इकाइयाँ

mm⁶ या in⁶

प्राथमिक अंतर

ज्यामितीय गुणधर्म इस्पात-सामर्थ्य के मान नहीं होते

 [वापस परिकलित मान](/hi/विकी/परिकलित-मान "परिकलित मान — Steel Wiki")