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Valori calcolati

# Costanti elastiche dell’acciaio e relazioni tra i moduli

Scopri come i moduli E, G, K e ν dell’acciaio sono correlati e perché la temperatura, la tessitura, la fase e il metodo di prova ne influenzano i valori.

![Ritratto di Anders Bergström, giornalista del settore siderurgico](/images/uploads/a7d8e5bc-7cdf-409b-913b-211e63e8c441/anders-bergstr-m-1920x1920.jpg)

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## Che cosa significano le costanti elastiche dell’acciaio e che cosa non significano

Le costanti elastiche sono parametri che collegano la tensione applicata alla deformazione risultante finché un materiale rimane nel proprio campo elastico. In tale campo, rimuovendo il carico si consente al provino di ritornare, almeno approssimativamente, alle dimensioni originarie. In una semplice prova di trazione, il modulo di Young è il rapporto tra la tensione assiale e la deformazione assiale,

E=σε.

Questa relazione descrive la pendenza della parte iniziale e recuperabile della curva tensione–deformazione. Non descrive l’intera curva e non indica quanta tensione l’acciaio possa sopportare prima della deformazione permanente o della frattura.

#### Le sei grandezze isotrope correlate

Modulo di Young E

Rigidezza assiale a trazione o compressione.

Coefficiente di Poisson ν

Rapporto tra la deformazione trasversale e la deformazione assiale sotto carico elastico.

Modulo di compressibilità K o B

Resistenza alla compressione volumetrica uniforme.

Modulo di taglio G

Resistenza alla distorsione angolare sotto taglio.

Primo parametro di Lamé λ

Parametro nella legge costitutiva isotropa sforzo–deformazione.

2μ

Doppio del secondo parametro di Lamé, dove μ è uguale a G.

Solo due costanti elastiche sono indipendenti per un solido isotropo ed elastico lineare. Strong evidence

Per un solido isotropo e linearmente elastico, solo due costanti elastiche sono indipendenti. Un insieme comunemente utilizzato comprende il modulo di Young E, il coefficiente di Poisson ν, il modulo di comprimibilità K o B, il modulo di taglio G, il primo parametro di Lamé λ e 2⁢μ, dove μ=G. I Sandia National Laboratories elencano queste sei grandezze correlate e affermano che E e ν determinano le altre. Per esempio,

G=E2⁢(1+ν)

e

K=E3⁢(1−2⁢ν).

Modulo di compressibilità **Modulo di compressibilità** Misura della resistenza alla variazione uniforme del volume sotto pressione; è comunemente indicato con K o B.

La notazione varia: NIST e altre fonti utilizzano spesso B per il modulo di comprimibilità, mentre i testi di ingegneria e i software a elementi finiti utilizzano spesso K. Indicano la stessa proprietà isotropa.

### Risposta elastica rispetto a resistenza e plasticità

Le costanti elastiche descrivono la rigidezza o la modalità di deformazione, non la resistenza generale o la resistenza al danneggiamento.
| Proprietà | Risposta principale | Cosa non misura |
|---|---|---|
| Modulo di Young E | Deformazione elastica assiale | Carico di snervamento o resistenza alla frattura |
| Modulo di taglio G | Distorsione angolare sotto taglio | Resistenza allo snervamento a taglio |
| Modulo di compressibilità K o B | Variazione uniforme del volume sotto pressione | Duttilità a trazione |
| Durezza | Resistenza alla penetrazione localizzata | Rigidezza elastica |
| Tenacità | Assorbimento di energia e resistenza alla propagazione delle cricche | Pendenza iniziale della curva sforzo–deformazione |

L’elasticità risponde a una domanda circoscritta: quanta deformazione accompagna una determinata tensione prima che inizi la deformazione permanente? La resistenza risponde a domande diverse. Il carico di snervamento identifica la tensione associata all’inizio di una deformazione plastica specificata; la resistenza a trazione è la massima tensione ingegneristica raggiunta durante una prova di trazione; la resistenza alla frattura riguarda la separazione del provino. Nessuna di queste grandezze è un altro nome del modulo di Young.

Un acciaio può avere un’elevata resistenza allo snervamento e quasi lo stesso modulo di Young di un acciaio di resistenza inferiore e composizione simile. La deformazione a freddo, l’indurimento per precipitazione o la trasformazione martensitica possono aumentare notevolmente la resistenza allo snervamento e la durezza, modificando molto meno il modulo di elasticità a trazione per piccole deformazioni. Il motivo è che i meccanismi di rafforzamento ostacolano il movimento delle dislocazioni, mentre la risposta elastica iniziale riflette principalmente la rigidezza dei legami atomici e la struttura cristallina complessiva. Questa distinzione è fondamentale quando si confrontano, per esempio, un acciaio basso-legato bonificato e un prodotto ricotto di composizione chimica correlata.

La plasticità inizia quando la relazione tensione–deformazione non segue più la pendenza lineare elastica originaria. Un modello costitutivo plastico richiede quindi informazioni quali criteri di snervamento, legge di incrudimento, regola di flusso, sensibilità alla velocità di deformazione e dipendenza dalla temperatura. Il solo modulo di Young non fornisce nessuna di queste informazioni. Un modello a elementi finiti che contenga un valore accurato di E, ma una superficie di snervamento inadeguata, può comunque prevedere in modo errato la deformazione permanente.

Altre proprietà meccaniche rispondono a domande ancora diverse. La durezza misura la resistenza alla penetrazione localizzata e spesso presenta una correlazione con la resistenza all’interno di una famiglia controllata di acciai, ma non è un modulo. La tenacità riguarda l’assorbimento di energia e la resistenza alla propagazione delle cricche in condizioni di prova specificate. La resistenza a fatica riguarda l’accumulo del danno sotto carichi ripetuti o variabili. Un acciaio può avere un modulo elastico simile a quello di un altro grado, ma durezza, tenacità all’urto, comportamento di propagazione delle cricche o durata a fatica differenti.

Elasticità non significa nemmeno che ogni ciclo di carico sia perfettamente reversibile. L’acciaio reale può presentare microplasticità, anelasticità, effetti delle tensioni residue, isteresi o danno prima che sia evidente un punto di snervamento convenzionale. Il modulo riportato per una determinata prova è pertanto legato all’intervallo di deformazione, alla velocità di carico, alla storia dei cicli e al metodo di elaborazione dei dati.

### Il modulo come rigidezza, non come tensione di rottura

Un modulo misura la rigidezza: la tensione necessaria per produrre una determinata deformazione elastica in una modalità di deformazione definita. Il modulo di Young riguarda l’allungamento o la contrazione assiale. Il modulo di taglio descrive la resistenza alla variazione di forma sotto l’azione di una tensione di taglio. Il modulo di comprimibilità descrive la resistenza alla variazione uniforme di volume sotto pressione. OpenStax fornisce queste corrispondenti interpretazioni fisiche per la deformazione a trazione, a taglio e volumetrica.

#### Distinzione importante

Un modulo elevato indica una maggiore rigidezza, ma non significa che l’acciaio sopporti uno sforzo maggiore prima dello snervamento o della frattura.

Un modulo elevato significa che una determinata tensione produce una deformazione elastica minore. Non significa che il materiale possa sopportare una tensione maggiore prima dello snervamento o della frattura. Si considerino due componenti in acciaio con lo stesso E, ma con resistenze allo snervamento differenti. Sotto la stessa tensione di esercizio, essi subiscono all’incirca lo stesso allungamento elastico. Il componente a maggiore resistenza può tollerare una tensione più elevata prima della deformazione plastica, ma non è significativamente più rigido nella risposta elastica iniziale semplicemente perché la sua resistenza allo snervamento è maggiore.

Il modulo di comprimibilità ha una definizione termodinamica particolarmente chiara. Nel capitolo del suo manuale del 1982, il National Institute of Standards and Technology scrive

B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T, \[1\] \[1\] [**Bulk modulus definition**](https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172). National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

dove V è il volume, P è la pressione e la derivata è calcolata a temperatura costante. Si tratta di una proprietà volumetrica, non di un limite di rottura a trazione. L’acciaio è difficile da comprimere uniformemente, quindi il suo modulo di comprimibilità è elevato; questo fatto, di per sé, dice poco sulla duttilità a trazione o sulla tenacità alla frattura.

Il modulo non deve essere confuso nemmeno con la resilienza. L’energia elastica immagazzinata per unità di volume dipende dalla tensione e dal modulo, mentre l’energia recuperabile fino allo snervamento dipende sia dal modulo sia dalla resistenza allo snervamento. L’aumento della resistenza allo snervamento può quindi incrementare la capacità di immagazzinare energia elastica anche quando E cambia solo leggermente.

### Perché un grado di acciaio non possiede un unico modulo universale

Le designazioni degli acciai identificano specifiche o condizioni, non costanti elastiche immutabili.
| Designazione o famiglia | Cosa identifica | Perché l’etichetta è insufficiente per un singolo modulo |
|---|---|---|
| ASTM A36 | Una specifica per un prodotto di acciaio strutturale | La forma del prodotto, la direzione, la temperatura e il metodo di prova restano determinanti |
| ASTM A572 Grado 50 | Un grado all’interno di una specifica per acciaio strutturale | I requisiti di resistenza non definiscono un unico valore elastico universale |
| EN 10025-2 S355JR | Una designazione europea per acciaio strutturale | La condizione di fornitura e i dettagli del prodotto influenzano le proprietà riportate |
| AISI 304 | Un grado di acciaio inossidabile austenitico | La tessitura, la condizione delle fasi, la temperatura e il metodo possono variare |
| 17-4 PH H900 | Una condizione di acciaio inossidabile indurito per precipitazione | La condizione del trattamento termico fa parte della descrizione del materiale |

Una designazione come ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, EN 10025-2 S355JR o AISI 304 identifica una specifica, un intervallo di composizione, una condizione del prodotto o un insieme di prestazioni richieste; non definisce un unico valore elastico immutabile per ogni provino realizzato secondo tale designazione. La risposta misurata dipende dallo stato del materiale e dalle condizioni di prova.

La temperatura è una variabile importante. Le costanti elastiche generalmente cambiano con la temperatura e le trasformazioni di fase possono produrre variazioni più ampie quando modificano la struttura cristallina o la miscela di fasi. Un rapporto del National Bureau of Standards pubblicato nel 1981 ha misurato le costanti elastiche dell’acciaio austenitico Fe-5Cr-26Mn da 76 a 400 K, utilizzando le velocità del suono nelle modalità longitudinale e trasversale. Questo intervallo di temperatura dimostra da solo perché un valore privo della temperatura di prova sia incompleto.

Quasi isotropo **Quasi isotropo** Risposta effettiva del materiale sufficientemente vicina a quella isotropa per un calcolo, un intervallo di direzioni e una scala definiti, anche se i singoli grani restano anisotropi.

Anche la tessitura e la direzione sono importanti. I singoli cristalli di ferrite, austenite o martensite sono elasticamente anisotropi, il che significa che la loro rigidezza dipende dalla direzione cristallografica. Lamiere laminate, barre forgiate, fili trafilati e materiali prodotti mediante fabbricazione additiva possono sviluppare orientamenti preferenziali. Un aggregato policristallino può comportarsi in modo approssimativamente isotropo quando gli orientamenti dei cristalli sono distribuiti in misura sufficiente, ma un prodotto con una tessitura marcata può richiedere costanti specifiche per direzione. Il modulo longitudinale nella direzione di laminazione non deve necessariamente essere uguale al valore attraverso lo spessore.

Anche la costituzione delle fasi, le inclusioni, la porosità, le tensioni residue, la struttura dei grani e la forma del prodotto influenzano la risposta aggregata misurata. Il metallo di saldatura e le zone termicamente alterate possono differire dalla lamiera di base anche quando rientrano nella stessa specifica di progetto. Le costanti di un monocristallo non possono essere semplicemente sostituite ai valori di progetto per materiali policristallini. Il manuale NIST spiega come i moduli quasi isotropi di Young, di taglio, di comprimibilità e i moduli correlati possano essere ricavati dai dati di rigidezza elastica dei monocristalli per materiali cubici ed esagonali, ma tale calcolo dipende dalla simmetria cristallina e dalle ipotesi sulla media degli orientamenti.

Prove diverse esaminano modalità di deformazione e regimi di misurazione differenti.
| Metodo | Risposta misurata principale | Costanti tipicamente riportate | Principali precisazioni |
|---|---|---|---|
| Prova di trazione | Forza e deformazione assiale | E statico o quasi statico; ν se viene misurata la deformazione laterale | Sensibile all’allineamento, alla configurazione dell’estensimetro, alla cedevolezza e all’intervallo di pendenza |
| Prova di compressione | Forza e spostamento o deformazione assiale | Modulo assiale | L’attrito alle estremità, l’instabilità a carico di punta e l’allineamento dei piatti possono influenzare il risultato |
| Risonanza sonica | Frequenze naturali di risonanza | E, G e ν dinamici | Dipende dalla geometria, dalla densità, dalle condizioni di supporto, dallo smorzamento e dalla frequenza |
| Velocità delle onde ultrasoniche | Velocità delle onde longitudinali e trasversali | G, K, E e ν dinamici | Dipende dalla densità, dalla temperatura, dalla direzione, dalla polarizzazione e dall’identificazione del modo |
| Compressione idrostatica | Risposta pressione–volume | Modulo di compressibilità K o B | Richiede pressione controllata, misurazione del volume e temperatura controllata |

\[2\] \[2\] [**Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance**](https://www.astm.org/e1875-20a.html). ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.ASTM E1875-20a specifica la misurazione dinamica del modulo di Young, del modulo di taglio e del coefficiente di Poisson mediante risonanza sonica. Strong evidence

Il metodo di misurazione modifica il risultato riportato. Una prova di trazione lenta produce un modulo statico oppure secante/tangente basato su forza e spostamento, mentre i metodi ultrasonici o di risonanza determinano un modulo dinamico dalla velocità delle onde o dalla frequenza naturale. La norma ASTM E1875-20 specifica la determinazione del modulo di Young dinamico, del modulo di taglio e del coefficiente di Poisson “mediante risonanza sonica”. I valori dinamici possono differire da quelli statici a causa della frequenza, dello smorzamento, della cedevolezza della macchina, dell’ampiezza della deformazione e del trattamento delle porzioni non ideali del provino.

Di conseguenza, un rapporto utile sul modulo dovrebbe indicare almeno la designazione dell’acciaio, la forma e la condizione del prodotto, la temperatura, la direzione di carico, la modalità di deformazione e il metodo di misurazione. Dovrebbe inoltre specificare se il valore è misurato, calcolato a partire da altre costanti oppure adottato come ipotesi di progetto. Engineering ToolBox indica un modulo di comprimibilità approssimativo di 163 GPa per l’“acciaio inossidabile”, ma si tratta di una stima di riferimento secondaria, non di un valore universale per ogni grado di acciaio inossidabile, trattamento termico, tessitura, temperatura o metodo di prova. L’utilizzo di un unico valore per ogni prodotto può essere accettabile per un calcolo isotropo preliminare quando l’ipotesi viene dichiarata. Presentarlo come un fatto materiale indipendente dal grado non lo è.

## La base a due costanti dell’elasticità lineare isotropa

L’elasticità lineare descrive la parte reversibile della risposta di un materiale quando tensione e deformazione rimangono sufficientemente piccole da consentire l’applicazione di una relazione lineare. Il termine *isotropa* aggiunge una condizione distinta: si presume che la risposta sia la stessa in ogni direzione. Sotto queste due ipotesi, il tensore di rigidezza elastica presenta un numero molto inferiore di termini indipendenti rispetto a quello di un solido anisotropo generale. Sei grandezze comunemente riportate — il modulo di Young E, il coefficiente di Poisson ν, il modulo di compressibilità volumetrica K o B, il modulo di taglio G, il primo parametro di Lamé λ e 2⁢μ — possono quindi essere espresse a partire da sole due costanti selezionate.

Questo risultato si applica al modello costitutivo e non automaticamente a ogni valore misurato riportato per l’acciaio. La temperatura, la costituzione delle fasi, la tessitura cristallografica, la porosità, le tensioni residue, l’orientamento del provino, la frequenza e il metodo di prova possono influenzare la risposta misurata. Un valore utilizzato in un modello isotropo agli elementi finiti è spesso una proprietà ingegneristica efficace, piuttosto che una descrizione completa della microstruttura del materiale.

![Costanti elastiche dell’acciaio e relazioni tra i moduli](/images/uploads/41f0dedf-2ffb-4836-875e-f8d8e37a8117/wiki-inline-a-labelled-tensor-diagram-showing-how-isotropic-stress-and-strain-reduce-to-two-1520x1920.jpg)[](/images/uploads/41f0dedf-2ffb-4836-875e-f8d8e37a8117/wiki-inline-a-labelled-tensor-diagram-showing-how-isotropic-stress-and-strain-reduce-to-two-2027x2560.avif "Ingrandisci immagine — Costanti elastiche dell’acciaio e relazioni tra i moduli")Under isotropic linear elasticity, the named constants are linked rather than independently adjustable.

### Perché sono necessarie soltanto due costanti indipendenti

Tensione e deformazione sono tensori del secondo ordine. Nel solido elastico lineare più generale, la relazione tra esse richiede un tensore di rigidezza del quarto ordine, con numerosi possibili accoppiamenti direzionali. La simmetria dei tensori di tensione e deformazione riduce il numero dei termini indipendenti, mentre la simmetria del materiale lo riduce ulteriormente. L’isotropia impone la più forte simmetria ordinaria del materiale: nessuna direzione è meccanicamente distinta.

La relazione isotropa tensione–deformazione può essere scritta come

σij=2⁢μ⁢εij+λεkk⁢δij,

dove σij è il tensore delle tensioni, εij è il tensore delle deformazioni, δij è la delta di Kronecker e λ e μ sono i parametri di Lamé. Pertanto, λ e μ costituiscono una coppia valida di costanti indipendenti. Il modulo di taglio è G=μ, quindi utilizzare G e λ è equivalente.

*Elasticity of Solids* (2020) di Springer enuncia direttamente il risultato fondamentale: per un solido isotropo, soltanto due costanti elastiche sono indipendenti. La documentazione Sierra dei Sandia National Laboratories elenca il relativo insieme isotropo come il modulo di Young E, il coefficiente di Poisson ν, il modulo di compressibilità volumetrica K, il modulo di taglio G, il primo parametro di Lamé λ e 2⁢μ, e afferma che E e ν determinano gli altri. La presenza di sei denominazioni non crea sei proprietà del materiale regolabili separatamente.

Per la comune coppia E,ν, le conversioni sono

G=E2⁢(1+ν),

K=B=E3⁢(1−2⁢ν),

λ=E⁢ν(1+ν)⁢(1−2⁢ν),

e

2⁢μ=2⁢G=E1+ν.

Sono utili anche le relazioni inverse:

E=9⁢KG3⁢K+G,

ν=3⁢K−2⁢G2⁢(3⁢K+G).

Queste equazioni non sono correlazioni empiriche limitate a una sola famiglia di acciai. Derivano dalla legge costitutiva dell’elasticità lineare isotropa. Impongono inoltre requisiti di coerenza. Per un solido isotropo stabile e ordinario, G\>0, K\>0 e −1\<ν\<0.5. Quando ν si avvicina a 0.5, nel modello il materiale diventa quasi incomprimibile: K cresce molto più di G, mentre E rimane legato a entrambi.

I significati fisici sono diversi, anche se le costanti sono matematicamente collegate. OpenStax descrive il modulo di Young come il rapporto che governa la risposta a trazione, il modulo di compressibilità volumetrica come la risposta alla compressione volumetrica e il modulo di taglio come la risposta alla deformazione di taglio. Una prova di trazione fornisce principalmente E, ma la deformazione laterale misurata insieme a quella assiale fornisce ν. Un esperimento pressione–volume determina K, mentre una prova di torsione o una misurazione mediante onde di taglio determina G. Una volta nota una coppia coerente, gli altri moduli vengono calcolati anziché selezionati indipendentemente.

La definizione termodinamica del modulo di compressibilità volumetrica rende esplicita la sua distinzione dal modulo di Young:

B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T.

Questa espressione, fornita dal National Institute of Standards and Technology nel 1982, descrive la resistenza alla variazione di volume sotto pressione a temperatura costante. Non significa che un modulo di compressibilità volumetrica tabulato sia intercambiabile con un modulo di trazione. La loro relazione numerica esiste soltanto dopo avere applicato le ipotesi costitutive isotrope.

### E e ν come coppia pratica di dati di ingresso

I calcoli ingegneristici utilizzano comunemente E e ν perché si collegano naturalmente a una prova di trazione uniassiale e sono direttamente supportati dai dati standard sui materiali strutturali. In un modello tridimensionale isotropo, l’inserimento di queste due grandezze consente al software di ricavare G, K, λ e 2⁢μ senza ulteriori costanti del materiale. L’inserimento di tutte e sei può creare un modello incoerente se i valori non soddisfano le equazioni di conversione.

Ciò è particolarmente importante quando i valori provengono da fonti diverse. Un modulo statico di trazione, un modulo dinamico ricavato dalla risonanza e una stima del modulo di compressibilità volumetrica possono essere tutti validi per le rispettive condizioni di misurazione, pur non riproducendosi esattamente a vicenda attraverso le equazioni isotrope. ASTM E1875-20a specifica la determinazione del modulo di Young dinamico, del modulo di taglio e del coefficiente di Poisson “mediante risonanza sonica”. In pratica, si tratta di misurazioni dipendenti dalla frequenza o sensibili alla velocità di deformazione, anche quando il materiale rimane nel campo elastico. Non si deve presumere che siano identiche ai valori di trazione a bassa velocità senza verificare le condizioni di prova.

Una fonte secondaria, Engineering ToolBox, riporta un modulo di compressibilità volumetrica approssimativo di 163 GPa per l’acciaio inossidabile. Questo valore è una stima di riferimento, non una costante universale per ogni qualità di acciaio inossidabile, trattamento termico, temperatura, forma del prodotto o metodo di prova. Non dovrebbe essere combinato senza criterio con un valore di E o ν non correlato e poi presentato come proprietà misurata specifica di una determinata qualità. La stessa cautela si applica ai valori contenuti nello *Steel Castings Handbook* di ASM, nel quale il modulo di elasticità, il coefficiente di Poisson, il modulo di taglio e le proprietà fisiche correlate sono presentati come dati caratteristici per i getti di acciaio. “Acciaio” non indica un unico provino elastico invariabile.

La distinzione tra proprietà statiche e dinamiche è importante nella progettazione. Le prove dinamiche ricavano le costanti elastiche dalle frequenze di risonanza o dalle velocità delle onde; le prove statiche le ricavano da forza, spostamento e deformazione. Un modulo dinamico può differire a causa della frequenza, dello smorzamento, dei meccanismi microstrutturali, della temperatura e della strumentazione. Il rapporto del National Bureau of Standards sull’acciaio austenitico Fe-5Cr-26Mn ha misurato le costanti elastiche nell’intervallo 76–400 K a partire dalle velocità del suono nelle modalità longitudinale e trasversale. Questo intervallo dimostra perché un valore privo di temperatura e metodo possa essere incompleto, anche quando la designazione del materiale è precisa.

### Il ruolo dell’isotropia e della quasi-isotropia

Un acciaio policristallino può comportarsi in modo approssimativamente isotropo quando i suoi grani sono piccoli, numerosi e sufficientemente randomizzati nell’orientamento. I singoli cristalli rimangono anisotropi, ma gli effetti direzionali possono compensarsi in un volume rappresentativo. Questa è la base per utilizzare un unico E efficace e un unico ν efficace in molti calcoli strutturali.

L’approssimazione si indebolisce quando la lavorazione produce una forte tessitura. Laminazione, forgiatura, produzione additiva, solidificazione direzionale e cicli termici di saldatura possono generare orientamenti cristallografici preferenziali. Una lamiera può quindi presentare proprietà diverse nelle direzioni longitudinale, trasversale e attraverso lo spessore. Un prodotto colato può mostrare un comportamento ancora diverso a causa della struttura dendritica, della segregazione, della porosità e dell’orientamento locale dei grani. Anche la costituzione delle fasi è importante: ferrite, austenite, martensite, bainite e austenite trattenuta non contribuiscono in modo identico al comportamento elastico del singolo cristallo.

*Quasi-isotropo* descrive una risposta efficace sufficientemente vicina a quella isotropa per uno scopo specifico, un determinato intervallo di direzioni e una data scala. Non elimina l’anisotropia cristallina né garantisce che ogni modulo misurato in ogni orientamento sia concorde con gli altri. Il capitolo del manuale NIST sulle costanti elastiche dei monocristalli spiega come E, G, B, il modulo longitudinale e ν policristallini possano essere ricavati dai dati di rigidezza dei singoli cristalli per elementi cubici ed esagonali. Questo approccio rende esplicita l’ipotesi di media, invece di trattare le costanti policristalline risultanti come valori fondamentali.

Per un acciaio fortemente orientato, un modello di elasticità anisotropa può richiedere più di due costanti indipendenti e deve mantenere l’orientamento del provino. Per un componente in acciaio quasi-isotropo, due costanti efficaci possono essere sufficienti per il calcolo previsto, a condizione che l’ipotesi sia stata verificata mediante misurazioni. Anche il capitolo *Constitutive Response* di Oxford Academic inquadra l’elasticità lineare isotropa in termini di due costanti indipendenti. La questione pratica, quindi, non è se l’acciaio possieda sei moduli elastici indipendenti. Nel modello isotropo non li possiede. La questione è se le due costanti scelte rappresentino il materiale, la temperatura, la direzione e il regime di misurazione pertinenti al calcolo.

## Modulo di Young E nell’acciaio

Il modulo di Young, E, descrive la rigidezza di un materiale sottoposto a trazione o compressione uniassiale. Secondo la definizione lineare-elastica applicabile, è il rapporto tra la tensione assiale e la deformazione assiale:

E=σε

Qui, σ è la tensione normale agente lungo l’asse del provino, mentre ε è la corrispondente deformazione assiale. Per una risposta perfettamente lineare, il grafico tensione–deformazione è una retta passante per l’origine, ed E ne rappresenta la pendenza. L’unità di misura è il pascal, normalmente espresso in gigapascal nel caso dell’acciaio.

Questa definizione si applica solo alla parte del carico in cui la risposta del materiale è lineare e reversibile. Ciò non significa che ogni rapporto tensione/deformazione misurato durante una prova sull’acciaio sia il modulo di Young. Quando compaiono deformazione plastica, trasformazione di fase, danneggiamento o una non linearità significativa, la pendenza o il rapporto selezionato descrive una proprietà diversa.

### Tensione uniassiale e deformazione assiale

Una prova di trazione uniassiale applica una forza lungo una direzione principale del provino. La tensione assiale ingegneristica viene comunemente calcolata dividendo la forza applicata per l’area originale della sezione trasversale:

σ=FA0

La deformazione assiale ingegneristica è la variazione della lunghezza di riferimento divisa per la lunghezza originale:

ε=L−L0L0

A basse deformazioni, queste definizioni forniscono il consueto valore ingegneristico di E. Un estensometro o un estensimetro misura l’allungamento su una lunghezza di riferimento specificata, mentre la macchina di prova registra la forza e lo spostamento. La pendenza misurata può essere influenzata dalla cedevolezza della macchina, dal movimento degli afferraggi, dall’allineamento del provino, dalle condizioni superficiali e dal metodo utilizzato per determinare la parte iniziale della curva.

Nel campo elastico, un provino sottoposto a trazione si contrae anche lateralmente. Il coefficiente di Poisson, ν, mette in relazione la deformazione laterale con quella assiale, generalmente secondo

ν=−εtrasversaleεassiale \[3\] \[3\] [**Elasticity of Solids**](https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4). Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

Per un solido isotropo lineare-elastico, E e ν determinano le altre costanti elastiche. La documentazione Sandia Sierra elenca il relativo insieme isotropo come modulo di Young E, coefficiente di Poisson ν, modulo di compressibilità K, modulo di taglio G, primo parametro di Lamé λ e 2⁢μ; l’affermazione secondo cui E e ν determinano gli altri riflette la struttura a due costanti dell’elasticità isotropa. Anche *Elasticity of Solids* di Springer afferma che, per un solido isotropo, solo due costanti elastiche sono indipendenti.

Le relazioni comunemente utilizzate nella progettazione sono

G=E2⁢(1+ν)

e

K=E3⁢(1−2⁢ν)

dove G è il modulo di taglio e K, indicato anche con B, è il modulo di compressibilità. Queste equazioni non fanno di E, G, K e ν quattro proprietà indipendenti del materiale. Esse collegano misure effettuate in diverse modalità di deformazione quando sono appropriate le ipotesi di isotropia e di comportamento lineare-elastico.

La distinzione tra le modalità di deformazione è importante. Il modulo di Young riguarda l’estensione o la contrazione assiale, il modulo di taglio riguarda la distorsione angolare sotto taglio e il modulo di compressibilità riguarda la variazione di volume sotto pressione idrostatica. OpenStax presenta queste grandezze come interpretazioni fisiche distinte della risposta elastica. Il trattamento del 1982 contenuto nel manuale NIST definisce termodinamicamente il modulo di compressibilità come

B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T

pertanto il suo valore riguarda la variazione di volume indotta dalla pressione a temperatura specificata, non semplicemente la pendenza di una curva tensione–deformazione ottenuta in trazione.

L’acciaio viene spesso trattato come isotropo nei normali calcoli ingegneristici, poiché un prodotto policristallino può contenere numerose orientazioni cristallografiche. Questa approssimazione può non essere valida in lamiere fortemente strutturate, barre sottoposte a intensa lavorazione, piastre laminate, giunti saldati, materiali prodotti mediante fabbricazione additiva o provini monocristallini utilizzati nella ricerca. I cristalli di ferrite e austenite cubiche presentano rigidezze elastiche dipendenti dalla direzione, anche se un aggregato con orientazioni distribuite in modo appropriato può apparire quasi isotropo. NIST spiega come i valori policristallini di E, G, B, del modulo longitudinale e del coefficiente di Poisson possano essere calcolati a partire dai dati di rigidezza elastica monocristallina per materiali cubici ed esagonali.

Di conseguenza, un valore riportato per l’“acciaio” non è automaticamente una costante universale per ogni forma di prodotto. La composizione chimica, la ferrite, la perlite, la bainite, la martensite, l’austenite trattenuta, le popolazioni di carburi, la porosità, la struttura cristallografica preferenziale e le tensioni residue possono influenzare la risposta misurata. L’effetto può essere ridotto in una configurazione di prova e importante in un’altra.

### Modulo elastico secante, tangente e iniziale

Il modulo elastico iniziale è la pendenza della curva tensione–deformazione in corrispondenza, o molto vicino, a tensione e deformazione nulle. In forma differenziale,

Einiziale=d⁢σd⁢ε|ε→0

a condizione che la curva sia sufficientemente lineare e che il sistema di misura sia stato corretto. Questo è il valore più strettamente associato alla definizione tradizionale del modulo di Young.

Un modulo tangente è la pendenza locale in un punto selezionato:

Etan=d⁢σd⁢ε

Se la curva rimane lineare, il modulo tangente coincide con il modulo iniziale. In prossimità dello snervamento, tuttavia, l’acciaio può presentare una curvatura causata dall’inizio della plasticità, dal movimento delle dislocazioni, dalla deformazione di Lüders, da effetti di trasformazione o da artefatti della prova. Il modulo tangente varia quindi con la tensione e la deformazione. Deve essere riportato insieme al punto o all’intervallo di deformazione in cui è stato misurato.

Un modulo secante è la pendenza della retta che va da un’origine scelta a un punto selezionato della curva:

Esec=σε

per quel punto selezionato. Esso rappresenta una media della risposta sull’intervallo, anziché descrivere la pendenza locale. Se la curva si discosta dalla linearità, i valori secante e tangente differiscono. Un modulo secante determinato a una tensione superiore al primo snervamento può essere molto inferiore al modulo elastico iniziale, poiché la deformazione totale include la deformazione plastica.

Questi termini non sono pertanto intercambiabili. Definire un valore secante come “modulo di Young” senza indicare l’intervallo di deformazione o di tensione può indurre in errore un calcolo di progettazione. Lo stesso problema si presenta quando una macchina riporta una pendenza ottenuta dallo spostamento della traversa anziché dalla deformazione misurata direttamente sul tratto utile. L’assestamento degli afferraggi e la deformazione del telaio possono alterare la parte iniziale della curva, mentre la plasticità può alterarne una parte successiva.

Anche la deformazione precedente è importante. La laminazione a freddo, la trafilatura, la raddrizzatura, la predeformazione e il carico ciclico modificano le strutture delle dislocazioni e le tensioni residue. Possono cambiare la pendenza iniziale apparente, produrre asimmetria tra trazione e compressione e generare pendenze diverse durante lo scarico e il ricarico. Un provino che è stato deformato plasticamente non è equivalente a un provino non deformato semplicemente perché presenta la stessa designazione nominale del grado di acciaio.

Anche la temperatura deve essere specificata. La rigidezza elastica varia generalmente con la temperatura e, in un intervallo di temperatura più ampio, può cambiare anche la costituzione delle fasi. Un rapporto del National Bureau of Standards pubblicato nel 1981 ha misurato le costanti elastiche dell’acciaio austenitico Fe-5Cr-26Mn tra 76 e 400 K, utilizzando le velocità del suono nelle modalità longitudinale e trasversale. Questo intervallo di temperatura dimostra perché un valore di trazione misurato a temperatura ambiente non debba essere trasferito senza adeguata valutazione a un servizio criogenico o a un’analisi ad alta temperatura.

### Modulo di Young statico e dinamico

Un modulo di Young statico viene ottenuto applicando lentamente un carico meccanico, generalmente misurando la forza e la deformazione assiale durante una prova di trazione o compressione. “Lentamente” non significa che il risultato sia indipendente dalla velocità. La velocità di deformazione, la storia di carico, il tempo di mantenimento, l’aumento di temperatura e il sistema di misurazione della deformazione possono influenzare la pendenza riportata. Gli effetti viscoelastici sono generalmente limitati nell’acciaio comune a condizioni ambientali, ma la plasticità dipendente dalla velocità, lo smorzamento, gli effetti termici e la cedevolezza della macchina di prova possono comunque influenzare il risultato in prossimità della transizione elastico-plastica.

Un modulo di Young dinamico viene dedotto da una misurazione di vibrazione, propagazione di onde o risonanza. ASTM E1875-20a specifica la determinazione del modulo di Young dinamico, del modulo di taglio e del coefficiente di Poisson “mediante risonanza sonica”. Il metodo utilizza le frequenze di risonanza e le dimensioni del provino, mentre nella valutazione entrano la densità e le relazioni relative alla vibrazione di travi o barre. Poiché la deformazione oscilla a una frequenza finita e generalmente con ampiezza molto ridotta, il risultato non è semplicemente il valore ottenuto da una prova di trazione più rapida.

#### Avvertenza sui dati di progettazione

Non trasferire un modulo statico a temperatura ambiente a condizioni criogeniche, ad alta temperatura, con tessitura, saldate, porose o ottenute per fabbricazione additiva senza verificare lo stato e la direzione pertinenti.

Le misure dinamiche possono essere altamente sensibili alla geometria del provino, alle condizioni di supporto, alla frequenza, alla densità, allo smorzamento e alle discontinuità interne. Le misure statiche sono sensibili all’allineamento, al posizionamento dell’estensometro, alla lunghezza di riferimento e alla velocità di deformazione. Quando entrambi i metodi vengono eseguiti correttamente nello stesso regime elastico, i risultati possono essere simili, ma l’accordo non è garantito. Un modulo riportato dovrebbe pertanto indicare il metodo, la temperatura, l’orientamento, le condizioni del provino e se il valore è iniziale, tangente, secante, statico o dinamico.

Engineering ToolBox riporta talvolta un valore di riferimento approssimativo di 163 GPa per il modulo di compressibilità dell’acciaio inossidabile, ma si tratta di una stima secondaria, non di un valore universale per ogni grado di acciaio inossidabile, designazione normativa, temperatura, struttura cristallografica preferenziale o forma di prodotto. La stessa cautela si applica ai valori citati del modulo di Young. Nei modelli di progettazione isotropi, è sufficiente una coppia di costanti elastiche selezionata con cura; tuttavia, i dati misurati del materiale devono comunque corrispondere alle condizioni dell’acciaio e alla modalità di deformazione utilizzata nel calcolo.

## Modulo di taglio G e rigidezza distorsionale

Il modulo di taglio, G, misura la resistenza di un solido alla variazione di forma causata da una tensione di taglio. Non descrive principalmente la resistenza a una variazione di volume. In condizioni ideali di puro taglio, una coppia di piani del materiale scivola rispetto a un’altra, modificando gli angoli all’interno del corpo, mentre il suo volume rimane pressoché invariato. Questa distinzione separa G dal modulo di compressibilità, K o B, che descrive la resistenza alla compressione idrostatica.

Per l’acciaio, G non è una designazione separata del grado che possa variare indipendentemente da ogni altra proprietà elastica. Nell’elasticità lineare, omogenea e isotropa, solo due costanti elastiche sono indipendenti. Una tabella può riportare il modulo di Young E, il coefficiente di Poisson ν, il modulo di taglio G, il modulo di compressibilità K, il primo parametro di Lamé λ e 2⁢μ, ma queste grandezze sono matematicamente collegate. I Sandia National Laboratories elencano questo insieme isotropo di sei grandezze e affermano che E e ν determinano le altre. La stessa limitazione a due costanti è descritta da *Elasticity of Solids* (2020) di Springer.

### Tensione di taglio e deformazione angolare

La tensione di taglio, convenzionalmente indicata con τ, agisce parallelamente a una superficie. Se un elemento rettangolare viene sottoposto a taglio, i suoi angoli inizialmente retti cambiano di una quantità definita deformazione angolare γ. Per piccole deformazioni, γ si misura in radianti e può essere approssimata come lo spostamento laterale diviso per l’altezza:

γ≈Δxh.

La relazione elastica lineare è

τ=G⁢γ,

oppure

G=τγ.

Quanto maggiore è G, tanto maggiore è la tensione di taglio necessaria per produrre una determinata distorsione angolare. Si tratta di una relazione di rigidezza, non di un’affermazione relativa allo snervamento o alla frattura. Un provino di acciaio può avere un modulo di taglio elastico elevato e tuttavia subire una deformazione permanente quando la tensione di taglio locale supera la condizione di snervamento applicabile.

Il puro taglio illustra la differenza tra risposta distorsionale e risposta volumetrica. Un cubo può trasformarsi in un parallelepipedo inclinato mentre la lunghezza dei suoi spigoli e il suo volume cambiano molto poco. I solidi reali sono inoltre soggetti a deformazioni normali durante il taglio. In un materiale isotropo, tali deformazioni concomitanti sono governate dal coefficiente di Poisson e dalle equazioni costitutive complete, ma la deformazione principale misurata è la distorsione angolare.

Un materiale sottoposto a pressione idrostatica si comporta diversamente. La pressione agisce in modo uguale in tutte le direzioni e modifica il volume senza produrre una direzione di taglio privilegiata. Il modulo corrispondente è definito termodinamicamente dal NIST come

B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T,

dove V è il volume, P è la pressione e la derivata è calcolata a temperatura costante. Questa definizione, riportata in un capitolo di un manuale del NIST del 1982, mostra perché un modulo di compressibilità non debba essere sostituito a G in un calcolo di torsione o di taglio.

Per un’approssimazione isotropa dell’acciaio, la densità di energia di deformazione a taglio è

us=12⁢τ⁢γ=τ22⁢G=12⁢G⁢γ2.

Questa energia immagazzinata viene recuperata quando il carico viene rimosso, purché la deformazione rimanga entro il campo elastico e non intervenga alcun meccanismo dipendente dal tempo o associato al danneggiamento.

### Torsione, onde trasversali e risposta al taglio

La torsione è un’espressione pratica dell’elasticità al taglio. Quando un albero circolare in acciaio viene sottoposto a torsione, le sezioni trasversali ruotano l’una rispetto all’altra e gli elementi del materiale subiscono una deformazione di taglio che aumenta con la distanza dall’asse dell’albero. Per un albero circolare in torsione di Saint-Venant,

T=GJ⁢φL,

dove T è il momento torcente, J è il momento d’inerzia polare dell’area, φ è l’angolo di torsione e L è la lunghezza dell’albero. Riordinando l’equazione si ottiene

φL=TGJ.

Un albero con un valore maggiore di G si torce meno sotto lo stesso momento torcente, purché la sua geometria e le condizioni al contorno rimangano invariate. Per un albero circolare pieno, J=π⁢d4/32; per un albero circolare cavo, J=π⁢(do4−di4)/32. Queste equazioni si applicano al campo torsionale elastico e richiedono un trattamento aggiuntivo per le sezioni non circolari, l’ingobbamento, la plasticità, le tensioni residue e i prodotti anisotropi.

Il modulo di taglio viene misurato anche attraverso la velocità delle onde elastiche trasversali. In un mezzo isotropo, la velocità dell’onda trasversale, o onda di taglio, è

vT=Gρ,

da cui

G=ρ⁢vT2,

dove ρ è la densità. Un’onda trasversale provoca il movimento delle particelle perpendicolarmente alla direzione di propagazione. La sua forza di richiamo è la rigidezza a taglio, mentre un’onda longitudinale è controllata da una combinazione di rigidezza volumetrica e rigidezza a taglio:

vL=K+43⁢Gρ.

La misurazione di entrambe le velocità delle onde consente quindi di calcolare più di una costante elastica quando la densità è nota. Si tratta di una misurazione dinamica: il risultato riflette la risposta alla frequenza di prova, alla temperatura, alle condizioni del provino e all’ampiezza dell’onda.

La norma ASTM E1875-20a specifica la determinazione del modulo di Young dinamico, del modulo di taglio e del coefficiente di Poisson “mediante risonanza sonica”. Il metodo utilizza frequenze di risonanza associate alla risposta longitudinale e flessionale o torsionale, anziché una curva di carico lenta e monotona. I valori dinamici e statici possono essere simili per un provino di acciaio omogeneo in un intervallo elastico limitato, ma non devono essere considerati automaticamente identici.

Il rapporto del National Bureau of Standards sull’acciaio austenitico Fe-5Cr-26Mn dimostra l’importanza delle condizioni di prova. In esso le costanti elastiche sono state determinate a partire dalle velocità del suono nelle modalità longitudinale e trasversale nell’intervallo 76–400 K. Le variazioni di temperatura influenzano il legame atomico, l’espansione termica, la stabilità delle fasi e lo smorzamento associato ai difetti; di conseguenza, un modulo misurato a temperatura criogenica non deve necessariamente coincidere con quello misurato vicino alla temperatura ambiente. Sono rilevanti anche la costituzione delle fasi e la tessitura cristallografica dell’acciaio. Un monocristallo dipende dalla direzione, mentre un policristallo può apparire isotropo solo quando gli orientamenti dei grani sono sufficientemente casuali. Laminazione, forgiatura, saldatura, prodotti di trasformazione e tessitura residua possono produrre una risposta al taglio direzionale.

### Relazione tra G, E e ν

Per l’elasticità lineare, omogenea e isotropa, la relazione fondamentale è

G=E2⁢(1+ν).

Qui, E è il modulo di Young e ν è il coefficiente di Poisson. Se sono note due costanti indipendenti, le restanti costanti isotrope possono essere derivate. Pertanto, riportare E, G e ν come tre valori indipendenti e specifici del grado è meccanicamente incoerente, a meno che non si stiano discutendo l’incertezza di misura, l’anisotropia, la temperatura o una deviazione dal modello.

La relazione corrispondente per il modulo di compressibilità è

K=E3⁢(1−2⁢ν),

e il collegamento diretto tra K e G è

E=9⁢KG3⁢K+G.

Queste equazioni sono relazioni proprie del modello, non regole universali di conversione applicabili a ogni prodotto in acciaio. Presuppongono piccole deformazioni, comportamento reversibile, omogeneità e isotropia del materiale, nonché condizioni di temperatura e carico tali per cui le costanti elastiche rimangano effettivamente fisse. Presuppongono inoltre che i valori riportati si riferiscano a definizioni compatibili. Un modulo statico di trazione, un modulo dinamico di risonanza e un modulo ricavato da onde possono differire perché le rispettive frequenze e ampiezze di deformazione sono diverse.

Un valore di riferimento approssimativo di 163 GPa per il modulo di compressibilità dell’acciaio inossidabile è indicato da Engineering ToolBox nel 2024, ma tale valore non è universale per ogni grado di acciaio inossidabile, temperatura, forma del prodotto, equilibrio delle fasi o metodo di prova. La stessa cautela si applica a G. Gli acciai austenitici, ferritici, martensitici e [duplex](/it/materiali/numero-materiale/1.4460 " — composizione, corrispondenze e norme") possono differire per tessitura, frazione di fase, stato magnetico e storia di lavorazione. Le norme e le specifiche di progettazione possono assegnare un valore isotropo rappresentativo per i calcoli, mentre una misurazione di ricerca può determinare costanti dipendenti dalla direzione.

Per i calcoli di progettazione isotropi, G=E/\[2⁢(1+ν)\] costituisce il collegamento appropriato tra rigidezza a trazione e rigidezza a taglio. Per lamiere con tessitura, materiali influenzati dalla saldatura, strutture fuse, monocristalli o acciai multifase con un marcato comportamento direzionale, può essere invece necessaria la matrice completa di rigidezza anisotropa. In questo caso, un unico modulo di taglio scalare non può descrivere ogni piano di taglio.

## Modulo di compressibilità K o B e compressione volumetrica

Il modulo di compressibilità descrive la resistenza a una variazione uniforme del volume. Non descrive la resistenza di una barra d’acciaio a essere allungata lungo un solo asse e non è intercambiabile con il modulo di Young. Una prova di trazione determina principalmente un modulo uniaxiale; un esperimento di pressione determina un modulo volumetrico. I due sono correlati solo dopo aver specificato un modello elastico e le relative ipotesi.

Nell’elasticità lineare isotropa, i simboli usuali sono K o B per il modulo di compressibilità, E per il modulo di Young, G per il modulo di taglio e ν per il coefficiente di Poisson. Queste non sono quattro costanti del materiale regolabili indipendentemente. Come spiega *Elasticity of Solids* di Springer, un solido isotropo possiede soltanto due costanti elastiche indipendenti. La documentazione Sierra di Sandia elenca l’insieme correlato come modulo di Young E, coefficiente di Poisson ν, modulo di compressibilità K, modulo di taglio G, primo parametro di Lamé λ e 2⁢μ; la specificazione di E e ν determina tutti gli altri.

### Definizione termodinamica del modulo di compressibilità

Il National Institute of Standards and Technology definisce il modulo di compressibilità isotermo come

B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T

dove V è il volume, P è la pressione e il pedice T indica che la derivata è calcolata a temperatura costante. Il segno meno è necessario perché l’aumento della pressione normalmente riduce il volume, quindi ∂⁢P/∂⁢V è negativo.

Questa definizione descrive la pendenza locale della curva pressione–volume. È una grandezza differenziale, non semplicemente il rapporto tra pressione e volume calcolato su una compressione arbitrariamente grande. Per una piccola variazione,

ΔVV≈−ΔPB.

Un valore maggiore di B significa quindi che è necessaria una variazione di pressione più grande per produrre la stessa variazione frazionaria del volume. L’unità SI è il pascal, sebbene i dati relativi all’acciaio siano normalmente riportati in gigapascal.

Il qualificatore “a temperatura costante” è importante. Un materiale sottoposto a una compressione lenta può scambiare calore con l’ambiente circostante, mentre un’onda sonora rapida può produrre una deformazione quasi adiabatica. Le misure dinamiche possono quindi corrispondere a un modulo efficace diverso da quello ottenuto in una prova meccanica lenta. Anche la pressione stessa può modificare la pendenza, soprattutto quando la compressione è sufficientemente grande da rendere inadeguata la rappresentazione delle costanti elastiche mediante un unico valore costante.

Per un solido sottoposto a pressione idrostatica, le tensioni normali sono uguali in tutte e tre le direzioni:

σ1=σ2=σ3=−P.

La deformazione corrispondente è una deformazione volumetrica,

εv=ΔVV=ε1+ε2+ε3,

per piccole deformazioni. La relazione costitutiva è quindi

P=−K⁢εv.

Il segno meno deriva dalla convenzione dei segni secondo la quale la tensione e la deformazione di trazione sono positive, mentre la pressione di compressione è positiva come grandezza scalare.

### Pressione idrostatica e deformazione volumetrica

La compressione idrostatica è diversa dal carico uniaxiale, sebbene entrambe producano tensioni normali. Si consideri un provino d’acciaio sottoposto a trazione. La tensione assiale applicata produce un allungamento assiale, mentre nelle due direzioni trasversali si verifica una contrazione di Poisson. Il modulo di Young è definito a partire dalla tensione assiale e dalla deformazione assiale in questa configurazione di carico:

E=σε

nel campo elastico lineare. \[4\] \[4\] [**Stress, Strain, and Elastic Modulus**](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus). OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

In condizioni di pressione idrostatica, nessuna direzione è privilegiata. Il provino si contrae in lunghezza lungo tutti e tre gli assi e la risposta rilevante è la somma delle tre deformazioni normali. OpenStax evidenzia direttamente questa distinzione fisica: il modulo di Young si applica al carico di trazione, il modulo di compressibilità alla compressione volumetrica e il modulo di taglio alla deformazione di taglio. Una prova di trazione uniaxiale non impone direttamente lo stato necessario per misurare K.

Per un solido elastico lineare isotropo, i moduli sono correlati da

K=E3⁢(1−2⁢ν)

e

E=3⁢K⁢(1−2⁢ν).

L’altra relazione comunemente utilizzata è

E=2⁢G⁢(1+ν).

Pertanto, i valori riportati di E e ν possono essere convertiti in K, ma il risultato incorpora le condizioni e le incertezze associate a entrambi i valori di ingresso. Se E è un modulo dinamico determinato mediante risonanza, mentre ν proviene da una prova di trazione lenta, il modulo di compressibilità calcolato potrebbe non rappresentare un’unica condizione di misura internamente coerente.

La formula mostra inoltre perché il modulo di compressibilità sia altamente sensibile al coefficiente di Poisson in prossimità dell’incomprimibilità. Per un valore nominale dell’acciaio pari a E=200 GPa e ν=0.30,

K=2003⁢(1−0.60)≈167⁢ GPa.

Modificando ν a 0.49 e mantenendo invariato E, si ottiene

K=2003⁢(1−0.98)≈3333⁢ GPa.

Questa variazione molto grande non è un semplice effetto di arrotondamento. È dovuta al fatto che il denominatore tende a zero quando ν si avvicina a 0.5. Un piccolo errore in ν, oppure un valore ricavato a una temperatura, frequenza, costituzione di fase o metodo di misura differenti, può produrre una variazione sostanziale nel valore calcolato di K.

### Perché i metalli sono spesso descritti come quasi incomprimibili

I metalli sono spesso definiti quasi incomprimibili perché la loro deformazione volumetrica in condizioni di pressione meccanica ordinaria è ridotta rispetto alla variazione di forma prodotta dal taglio o dalla tensione uniaxiale. Il loro modulo di compressibilità è generalmente molto maggiore del modulo di taglio. La pressione può modificare il volume solo lievemente, mentre uno stato di tensione comparabile che consenta una distorsione della forma può produrre una variazione più evidente della geometria.

“Quasi incomprimibile” non significa perfettamente incomprimibile. L’acciaio ha comunque un modulo di compressibilità finito e la sua densità varia sotto pressione. L’approssimazione è utile nell’analisi dei processi di formatura, nella plasticità, nei calcoli fluido–struttura e in altre situazioni in cui le variazioni di volume sono ridotte, ma non deve essere applicata senza verificare il modello del materiale. La deformazione plastica, la trasformazione di fase, la porosità, il danneggiamento e la temperatura elevata possono modificare la risposta volumetrica. Per esempio, una colata d’acciaio porosa non può essere trattata come un solido isotropo denso ideale soltanto perché la sua matrice metallica è rigida.

L’approssimazione è inoltre complicata dalla microstruttura dell’acciaio. Le costanti elastiche di un monocristallo dipendono dalla direzione cristallografica. Un aggregato policristallino può comportarsi in modo approssimativamente isotropo quando i grani sono orientati casualmente, ma la laminazione, la forgiatura, la trasformazione di fase e la tessitura possono produrre proprietà direzionali. Il capitolo del manuale del NIST sulle costanti elastiche dei monocristalli mostra come E, G, B, il modulo longitudinale e ν quasi isotropi di materiali policristallini possano essere derivati dai dati di rigidezza dei monocristalli per materiali cubici ed esagonali. “Quasi isotropo” è una descrizione modellistica, non una garanzia che ogni forma di prodotto abbia proprietà identiche in tutte le direzioni.

Anche la temperatura e la costituzione di fase sono importanti. Un rapporto del National Bureau of Standards ha determinato le costanti elastiche dell’acciaio austenitico Fe-5Cr-26Mn nell’intervallo 76–400 K a partire dalle velocità del suono delle onde longitudinali e trasversali. Questo intervallo di temperatura dimostra da solo perché non sia possibile assegnare un unico valore a temperatura ambiente a ogni condizione dell’acciaio. Gli acciai austenitici, ferritici, martensitici e a fasi miste possono differire nella risposta elastica, mentre la deformazione a freddo e la tessitura possono modificare i valori direzionali misurati.

Una fonte secondaria, Engineering ToolBox, fornisce un valore approssimativo di 163 GPa per l’“acciaio inossidabile”. Questo numero può essere utile per un calcolo preliminare, ma non è un modulo di compressibilità universale per ogni qualità di acciaio inossidabile, temperatura, forma del prodotto, equilibrio di fase, tessitura o condizione di prova. Non dovrebbe essere presentato come una costante misurata comune a tutti gli [acciai inossidabili](/it/categorie/acciai-inossidabili "acciai inossidabili").

Il metodo di misura è un’altra fonte di variabilità. ASTM E1875-20a specifica la determinazione del modulo di Young dinamico, del modulo di taglio e del coefficiente di Poisson “mediante risonanza sonica”. Tali valori sono ottenuti dalle frequenze di vibrazione e sono sensibili alla densità, alla geometria, allo smorzamento, alla temperatura e alla frequenza. I dati statici di trazione rispondono a una domanda sperimentale diversa. I calcoli progettuali dovrebbero quindi specificare se il modulo è misurato o derivato, statico o dinamico, isotropo o direzionale, nonché a quale temperatura e condizione del materiale si riferisce. In assenza di queste informazioni, un valore citato di K o B è soltanto una stima condizionata.

## Coefficiente di Poisson ν e deformazione trasversale nell’acciaio

Il coefficiente di Poisson, indicato con ν (nu), descrive la deformazione elastica prodotta perpendicolarmente a un carico applicato. In una prova di trazione, è definito come

ν=−εtrasversaleεlongitudinale

dove la deformazione longitudinale segue la direzione del carico e quella trasversale viene misurata attraverso il provino. Il segno meno rende ν positivo per la consueta risposta a trazione dell’acciaio: la lunghezza utile aumenta, mentre larghezza e spessore diminuiscono.

Questa definizione si applica a una specifica direzione di prova elastica, temperatura, velocità di carico e stato del materiale. Non è una designazione distinta del grado di acciaio che possa essere selezionata indipendentemente dal modulo di Young, dal modulo di taglio o dal modulo di compressibilità. Per un solido isotropo, omogeneo e linearmente elastico, solo due costanti elastiche sono indipendenti. I Sandia National Laboratories elencano le costanti isotrope correlate come modulo di Young E, coefficiente di Poisson ν, modulo di compressibilità K, modulo di taglio G, primo parametro di Lamé λ e 2⁢μ; la specificazione di E e ν determina le altre. Anche *Elasticity of Solids* di Springer afferma che un solido isotropo possiede “solo due” costanti elastiche indipendenti.

Per l’acciaio isotropo soggetto a piccole deformazioni elastiche, le relazioni principali sono

G=E2⁢(1+ν)

e

K=E3⁢(1−2⁢ν).

Le stesse relazioni possono essere riordinate per ottenere

ν=E2⁢G−1

oppure

ν=3⁢K−E6⁢K.

Queste equazioni sono relazioni costitutive, non metodi indipendenti per assegnare arbitrariamente i dati del materiale. Se una tabella riporta valori di E, G, K e ν che non le soddisfano, i valori possono essere stati misurati con metodi diversi, a temperature diverse o sulla base di ipotesi differenti. Possono inoltre descrivere un materiale anisotropo mediante approssimazioni isotrope.

### Contrazione assiale durante il carico di trazione

Si consideri un provino di acciaio per trazione con l’asse allineato alla direzione del carico. Una tensione di trazione produce una deformazione assiale positiva,

εL=ΔLL,

mentre il diametro si contrae. Se il diametro iniziale è d, la deformazione trasversale è approssimativamente

εT=Δdd.

Nel campo elastico,

εT=−ν⁢εL.

Pertanto, se un provino presenta una deformazione elastica assiale pari a 0.001 e ν è uguale a 0.30, la sua deformazione trasversale è approssimativamente −0.0003. La lunghezza aumenta dello 0,10%, mentre il diametro diminuisce dello 0,03%. L’esempio numerico descrive soltanto la deformazione; non assegna un valore universale a ogni grado di acciaio o forma di prodotto.

Il rapporto è adimensionale perché numeratore e denominatore sono entrambi deformazioni. Dipende inoltre dal modo in cui le deformazioni vengono definite. La deformazione ingegneristica, la deformazione vera, le componenti del tensore delle piccole deformazioni e le deformazioni secanti possono produrre risultati leggermente diversi quando la deformazione non è più molto piccola. Il coefficiente di Poisson utilizzato nella progettazione lineare elastica si riferisce normalmente alla pendenza iniziale nell’intervallo di deformazione recuperabile, prima dello snervamento, della deformazione di Lüders, del flusso plastico, della fessurazione o di altri effetti non lineari.

Le risposte assiale e laterale sono accoppiate. Un provino sottoposto a trazione non si allunga semplicemente mantenendo inalterate le dimensioni originali della sezione trasversale. Per una sezione rettangolare o cilindrica, la riduzione di larghezza e spessore contribuisce alla variazione di volume. Per piccole deformazioni, la deformazione volumetrica è approssimativamente

εv=εL+εT1+εT2.

In uno stato di trazione isotropo con deformazioni trasversali uguali,

εv=εL⁢(1−2⁢ν).

Questa espressione mostra perché ν sia importante nei modelli agli elementi finiti e nei calcoli strutturali. Impostare ν in modo errato modifica la contrazione laterale prevista, la risposta volumetrica, la tensione idrostatica e talvolta la rigidezza apparente delle regioni vincolate.

L’acciaio non è una singola sostanza isotropa a ogni scala. Un policristallo orientato casualmente può avvicinarsi al comportamento isotropo quando contribuiscono molti grani e la tessitura è debole. Lamiere laminate, fili trafilati, barre forgiate, zone saldate e materiali prodotti mediante fabbricazione additiva possono conservare orientamenti cristallografici preferenziali o distribuzioni delle fasi variabili nello spazio. In questi casi, la deformazione trasversale dipende dalle direzioni di carico e di misurazione. Un singolo valore scalare di ν può quindi rappresentare una comoda media ingegneristica anziché una descrizione completa del materiale.

### Variazione di volume e limite ν = 0.5

Il modulo di compressibilità descrive la resistenza alla compressione uniforme, mentre il modulo di Young descrive la trazione o compressione assiale e il modulo di taglio descrive la variazione di forma dovuta al taglio. OpenStax chiarisce direttamente questa distinzione: il modulo di Young si applica al carico di trazione, il modulo di compressibilità alla compressione volumetrica e il modulo di taglio alla deformazione di taglio.

La definizione termodinamica del modulo di compressibilità è

K=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T,

come indicato dal National Institute of Standards and Technology nel 1982. Qui P è la pressione, V è il volume e la derivata viene calcolata a temperatura costante. L’equazione elastica lineare isotropa K=E/\[3⁢(1−2⁢ν)\] collega tale risposta volumetrica ai dati elastici uniaxiali solo quando le ipotesi di isotropia sono appropriate.

Quando ν si avvicina a 0.5, il denominatore 1−2⁢ν tende a zero e il modulo di compressibilità calcolato tende all’infinito per un valore finito di E. Questo è il limite incomprimibile: la deformazione può modificare la forma, ma non il volume. I materiali simili alla gomma possono avvicinarsi a questa condizione perché la loro risposta volumetrica è molto più rigida della risposta a taglio. Gli acciai ordinari non sono incomprimibili, sebbene il loro modulo di compressibilità sia considerevolmente maggiore del modulo di taglio.

Il limite evidenzia anche un problema numerico. Poiché K contiene 1−2⁢ν, un piccolo errore in ν può causare un grande errore relativo nel valore calcolato di K, soprattutto quando ν è prossimo a 0.5. Derivando la relazione si ottiene

∂⁢K∂⁢ν=2⁢E3⁢(1−2⁢ν)2

mantenendo E costante. Il denominatore al quadrato amplifica la sensibilità. Un’incertezza di appena pochi millesimi in ν può avere un effetto minimo su un calcolo assiale approssimativo, ma un effetto significativo su un modulo di compressibilità riportato.

Un riferimento di Engineering ToolBox indica un modulo di compressibilità approssimativo di 163 GPa per l’acciaio inossidabile. Tale valore è una stima tratta da una fonte secondaria, non un valore universale per ogni grado di acciaio inossidabile, temperatura, forma di prodotto, costituzione delle fasi o metodo di prova. Gli acciai austenitici, ferritici, martensitici, duplex e indurenti per precipitazione possono differire per tessitura, equilibrio delle fasi, difetti e risposta alla temperatura.

### Misurazione e interpretazione di ν

Il coefficiente di Poisson può essere ottenuto mediante misurazioni simultanee delle deformazioni assiale e trasversale durante una prova di trazione o compressione. Estensimetri, estensimetri elettrici incollati, sistemi ottici e correlazione digitale delle immagini possono misurare le due componenti della deformazione, ma il segnale trasversale è spesso più piccolo e più sensibile all’allineamento, alla preparazione della superficie, alla geometria della base di misura e al rumore. Un disallineamento può introdurre flessione, mentre un posizionamento imperfetto dell’estensimetro può combinare le direzioni longitudinale e trasversale.

Un secondo metodo ricava ν dalle velocità delle onde elastiche misurate indipendentemente. Le velocità delle onde longitudinali e di taglio forniscono informazioni elastiche dinamiche; per un solido isotropo,

G=ρ⁢vS2

e

K=ρ⁢(vL2−43⁢vS2),

dove ρ è la densità, vS è la velocità dell’onda di taglio e vL è la velocità dell’onda longitudinale. I valori risultanti di E e ν descrivono una risposta di piccola ampiezza a frequenza finita e non necessariamente coincidono con il valore ottenuto da una prova di trazione lenta. La norma ASTM E1875-20a specifica la determinazione del modulo di Young dinamico, del modulo di taglio e del coefficiente di Poisson “mediante risonanza sonica”. \[5\] \[5\] [**Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K**](https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf). National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

Le variazioni di temperatura modificano sia la rigidezza elastica sia la velocità delle onde. Un rapporto del National Bureau of Standards ha misurato le costanti elastiche dell’acciaio austenitico Fe-5Cr-26Mn nell’intervallo 76–400 K utilizzando le velocità del suono nelle modalità longitudinale e trasversale. Tale intervallo illustra perché un valore misurato vicino alla temperatura ambiente non debba essere trasferito automaticamente a condizioni criogeniche o alla progettazione ad alta temperatura.

La tessitura e l’anisotropia cristallografica aggiungono un’ulteriore precisazione. Le rigidezze elastiche di un monocristallo possono essere convertite in valori quasi isotropi policristallini di E, G, K e ν solo mediante un modello di media che tenga conto della simmetria cristallina e della distribuzione degli orientamenti. Una lamiera laminata può quindi mostrare rapporti diversi per il carico lungo la direzione di laminazione, nella direzione trasversale e attraverso lo spessore. Anche la risonanza dinamica può campionare un volume efficace e un’ampiezza di deformazione diversi da quelli di una prova di trazione statica.

Ai fini della progettazione, ν dovrebbe corrispondere al modello costitutivo e alla condizione di prova previsti. Utilizzare un valore isotropo scalare solo quando la forma del prodotto, la tessitura, la temperatura, l’intervallo di deformazione e l’accuratezza richiesta giustificano tale semplificazione. In caso contrario, costanti elastiche dipendenti dalla direzione o una matrice completa di rigidezza anisotropa sono più difendibili che trattare quattro moduli riportati come numeri indipendenti e specifici di ciascun grado di acciaio.

## L’insieme completo delle relazioni tra i moduli isotropi

Per un solido omogeneo, lineare-elastico e isotropo, i quattro moduli comunemente riportati non sono quattro costanti indipendenti del materiale. Il modulo di Young E, il modulo di taglio G, il modulo di comprimibilità K o B e il coefficiente di Poisson ν descrivono diverse modalità di deformazione, ma i loro valori sono correlati. Due costanti appropriate determinano tutte le quantità rimanenti.

Questa affermazione è soggetta a condizioni. Il materiale deve essere trattato come isotropo, la risposta tensione–deformazione deve essere lineare nell’intervallo considerato e i moduli devono riferirsi alla stessa temperatura, densità, composizione di fase, media della tessitura, frequenza e convenzione di misurazione. Un modulo misurato mediante una prova di trazione a bassa deformazione non è automaticamente intercambiabile con un modulo dinamico ricavato dalla velocità del suono. Per un monocristallo anisotropo, le equazioni isotrope riportate di seguito non riproducono la risposta completa nelle diverse direzioni.

OpenStax, 2020, assegna chiaramente i ruoli fisici: E descrive la deformazione a trazione o uniaxiale, G descrive la deformazione di taglio e il modulo di comprimibilità descrive la compressione volumetrica. Il trattamento NIST del 1982 definisce il modulo di comprimibilità termodinamico come

B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T,

dove V è il volume, P è la pressione e la derivata è calcolata a temperatura costante. Nell’ambito dell’elasticità lineare a piccole deformazioni, questa definizione termodinamica corrisponde alla rigidezza volumetrica utilizzata nelle relazioni seguenti, purché si utilizzino lo stesso stato e la stessa approssimazione elastica.

### Conversioni tra E, G, K e ν

Il sistema completo di equazioni per l’elasticità lineare isotropa è:

\\\[ \\boxed{G=\\frac{E}{2(1+\\nu)}} \\\]

\\\[ \\boxed{K\\ \\text{o}\\ B=\\frac{E}{3(1-2\\nu)}} \\\]

\\\[ \\boxed{E=\\frac{9KG}{3K+G}} \\\]

\\\[ \\boxed{\\nu=\\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \\\]

\\\[ \\boxed{\\lambda=K-\\frac{2G}{3}} \\\]

\\\[ \\boxed{\\mu=G} \\\]

La prima equazione converte il modulo di Young e il coefficiente di Poisson in modulo di taglio. Presuppone una legge costitutiva isotropa e una deformazione elastica infinitesima e lineare. La seconda converte E e ν in modulo di comprimibilità. Presuppone inoltre che il coefficiente di Poisson misurato sia il rapporto elastico isotropo, anziché un valore dipendente dalla direzione ottenuto da un provino anisotropo.

La terza equazione calcola E da K e G, mentre la quarta calcola ν a partire dagli stessi due moduli. Queste equazioni sono riarrangiamenti algebrici dello stesso modello costitutivo isotropo; non forniscono verifiche sperimentali indipendenti, a meno che i valori di input non provengano da misurazioni separate. Se vengono riportati E, G e ν, sono prevedibili piccole discrepanze dovute all’incertezza di misura, all’arrotondamento, a differenze di temperatura, alla porosità, alla tessitura o a deviazioni dall’isotropia.

Per un solido elastico isotropo stabile e ordinario, le restrizioni sono generalmente

\\\[ G\>0,\\qquad K\>0,\\qquad -1\<\\nu\<\\frac{1}{2}. \\\]

Il limite superiore di ν è particolarmente importante. Quando ν si avvicina a 0.5, il termine 1−2⁢ν tende a zero e il modulo di comprimibilità calcolato diventa molto grande rispetto a E. Un materiale quasi incomprimibile può quindi avere un modulo di trazione finito, ma una rigidezza volumetrica molto maggiore. L’acciaio è comprimibile; pertanto, trattare ν=0.5 come valore esatto per l’acciaio renderebbe la conversione singolare anziché informativa.

Le equazioni si applicano alle proprietà isotrope efficaci di un policristallo quando le variazioni direzionali sono state sufficientemente mediate. Il capitolo del manuale NIST sulle costanti elastiche dei monocristalli mostra perché questa precisazione è importante: E, G, B, il modulo longitudinale e ν effettivi possono essere ricavati dai dati di rigidezza dei monocristalli per materiali cubici ed esagonali, ma la procedura di media dipende dalla simmetria cristallina e dalla tessitura. Una lamiera laminata, un metallo di saldatura, una struttura colata e un policristallo ricotto con orientamenti casuali possono non presentare la stessa risposta elastica direzionale, anche quando le loro descrizioni chimiche sono simili.

Le costanti possono inoltre descrivere diversi regimi di frequenza. ASTM E1875-20a, pubblicata da ASTM International nel 2020, specifica la determinazione del modulo di Young dinamico, del modulo di taglio e del coefficiente di Poisson «mediante risonanza sonica». Questi valori dinamici sono ottenuti dalle frequenze di risonanza e sono associati a un carico rapido di piccola ampiezza. Un modulo ricavato da una prova di trazione statica può differire a causa della cedevolezza dello strumento, della microplasticità, dell’attrito interno, della porosità, della temperatura o di altre deviazioni dal modello elastico ideale. Le equazioni di conversione restano valide solo quando le costanti di input appartengono a una descrizione costitutiva compatibile.

Un valore di riferimento come l’approssimativo modulo di comprimibilità di 163GPa per l’acciaio inossidabile riportato da Engineering ToolBox dovrebbe pertanto essere considerato una stima secondaria, non un valore universale per ogni qualità di acciaio inossidabile, forma del prodotto, temperatura, equilibrio di fase o metodo di prova. La denominazione «acciaio inossidabile» comprende materiali sostanzialmente diversi, tra cui qualità austenitiche, ferritiche, martensitiche, indurenti per precipitazione e duplex. Anche la loro risposta elastica può cambiare in funzione della deformazione a freddo e della temperatura.

### I parametri di Lamé λ e μ

I parametri di Lamé costituiscono un’altra rappresentazione della stessa legge elastica isotropa. Il secondo parametro di Lamé è

μ=G,

pertanto μ è semplicemente il modulo di taglio espresso nella notazione di Lamé. Il primo parametro di Lamé è

λ=K−2⁢G3.

Può essere scritto anche come

λ=E⁢ν(1+ν)⁢(1−2⁢ν).

Nella notazione tensoriale, la relazione isotropa tra tensione e deformazione è comunemente scritta come

σij=2⁢μ⁢εij+λεkk⁢δij,

dove σij è il tensore delle tensioni, εij è il tensore delle deformazioni, εkk è la deformazione volumetrica e δij è il delta di Kronecker. Il moltiplicatore 2⁢μ agisce sul contributo deviatorico e di taglio del tensore delle deformazioni; non definisce un modulo fisico distinto da G.

La documentazione Sierra di Sandia elenca sei costanti elastiche isotrope correlate: il modulo di Young E, il coefficiente di Poisson ν, il modulo di comprimibilità K, il modulo di taglio G, il primo parametro di Lamé λ e 2⁢μ. Ciò spiega un frequente problema di notazione nei software e nei codici agli elementi finiti. Una scheda del materiale può richiedere «2⁢μ» perché l’equazione costitutiva utilizza tale coefficiente, mentre un’altra interfaccia richiede G o μ. Fornire G quando è richiesto 2⁢μ introdurrebbe un errore pari a un fattore due.

*Elasticity of Solids* di Springer, 2020, enuncia direttamente la regola fondamentale: per un solido isotropo, solo due costanti elastiche sono indipendenti. Anche la formulazione di Sandia osserva che E e ν determinano le altre costanti. I sei nomi descrivono sei quantità correlate, non sei proprietà della qualità regolabili separatamente.

### Unità, notazione e conflitti di notazione tra K e B

E, G, K, B, λ e μ hanno tutti unità di tensione: pascal nel SI, comunemente riportati per l’acciaio come gigapascal (GPa). Il coefficiente di Poisson ν è adimensionale. Poiché 1GPa=109Pa, tutti i valori di input espressi come tensioni devono utilizzare la stessa unità prima dell’applicazione di qualsiasi equazione.

Il simbolo K è comune nella meccanica dei continui e nella documentazione relativa agli elementi finiti per indicare il modulo di comprimibilità. NIST e numerosi riferimenti sui materiali utilizzano B, spesso perché «bulk modulus» inizia con la lettera B. Nelle equazioni precedenti, questi simboli indicano normalmente la stessa quantità:

K=B.

Non sono due costanti diverse dell’acciaio. Il conflitto diventa rilevante quando un testo utilizza K per il modulo di comprimibilità mentre un’altra disciplina utilizza K per una matrice di rigidezza, un coefficiente di conducibilità termica o una quantità correlata all’intensità delle tensioni. L’interpretazione deve essere determinata dalla definizione fornita nel contesto.

Infine, le relazioni descrivono costanti elastiche, non ogni tipo di rigidezza misurata durante l’esercizio. I dati dipendenti dalla temperatura, le trasformazioni di fase, gli effetti magnetici, la tessitura, le tensioni residue e la frequenza possono modificare la risposta misurata. Il rapporto del National Bureau of Standards del 1981 sull’acciaio austenitico Fe-5Cr-26Mn, per esempio, determinò le costanti elastiche nell’intervallo 76–400 K a partire dalle velocità del suono nelle modalità longitudinale e trasversale. Questo intervallo di temperatura dimostra da solo perché un singolo valore di modulo privo di ulteriori qualificazioni non possa rappresentare tutte le condizioni. Le equazioni forniscono il quadro di conversione; lo stato di prova determina quali valori debbano essere utilizzati.

## Elasticità dei monocristalli, cristallografia dell’acciaio e medie policristalline

L’acciaio non è elastico nello stesso senso matematico a ogni scala strutturale. Un singolo cristallo possiede proprietà legate alle direzioni del suo reticolo, mentre un prodotto siderurgico destinato all’ingegneria contiene generalmente molti grani con orientamenti, fasi, difetti e tensioni residue differenti. Trattare un modulo misurato nel secondo caso come se fosse una proprietà universale del primo può portare a un calcolo fuorviante.

La distinzione comincia dalla simmetria cristallina. Gli acciai ferritici presentano una struttura cristallina cubica a corpo centrato (BCC), gli acciai austenitici hanno una struttura cubica a facce centrate (FCC) e la martensite viene comunemente descritta come avente una struttura tetragonale a corpo centrato, sebbene la sua tetragonalità dipenda dal contenuto di carbonio e dalla storia di rinvenimento. Queste strutture non trasmettono la deformazione elastica in modo identico lungo ogni direzione cristallografica. Un policristallo può apparire quasi isotropo solo dopo aver mediato le risposte direzionali di numerosi grani.

![Costanti elastiche dell’acciaio e relazioni tra i moduli](/images/uploads/a1932c92-ab2e-495e-99dc-d4fa71940007/wiki-inline-a-cubic-steel-crystal-lattice-showing-direction-dependent-elastic-stiffness-and-1920x1920.jpg)[](/images/uploads/a1932c92-ab2e-495e-99dc-d4fa71940007/wiki-inline-a-cubic-steel-crystal-lattice-showing-direction-dependent-elastic-stiffness-and-1920x1920.avif "Ingrandisci immagine — Costanti elastiche dell’acciaio e relazioni tra i moduli")A single crystal can have direction-dependent stiffness even when a polycrystal is treated as isotropic.

### Tensori di rigidezza elastica nei cristalli cubici

L’elasticità lineare mette in relazione la tensione con la deformazione mediante un tensore di rigidezza del quarto ordine:

σij=Cijkl⁢εkl.

Il tensore contiene le rigidezze elastiche Cijkl, mentre il suo inverso contiene le cedevolezze elastiche Sijkl. La simmetria cristallina riduce il numero dei termini indipendenti. Un solido anisotropo completamente generale può richiedere 21 costanti elastiche indipendenti, mentre un cristallo cubico ne richiede soltanto tre: C11, C12 e C44.

Nella notazione matriciale contratta, la matrice di rigidezza cubica è

\\\[ \\begin{bmatrix} \\sigma\_1\\\\ \\sigma\_2\\\\ \\sigma\_3\\\\ \\sigma\_4\\\\ \\sigma\_5\\\\ \\sigma\_6 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} C\_{11}&C\_{12}&C\_{12}&0&0&0\\\\ C\_{12}&C\_{11}&C\_{12}&0&0&0\\\\ C\_{12}&C\_{12}&C\_{11}&0&0&0\\\\ 0&0&0&C\_{44}&0&0\\\\ 0&0&0&0&C\_{44}&0\\\\ 0&0&0&0&0&C\_{44} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\varepsilon\_1\\\\ \\varepsilon\_2\\\\ \\varepsilon\_3\\\\ \\varepsilon\_4\\\\ \\varepsilon\_5\\\\ \\varepsilon\_6 \\end{bmatrix}. \\\]

Le tre costanti svolgono ruoli differenti. C11 descrive la risposta a una tensione normale lungo un asse cubico, C12 accoppia la deformazione normale tra assi perpendicolari e C44 descrive la risposta a taglio su un piano cristallografico principale. Sono rigidezze, non versioni intercambiabili del modulo di Young o del modulo di taglio.

Un indicatore utile dell’anisotropia dei cristalli cubici è il rapporto di Zener,

A=2⁢C44C11−C12.

Quando A=1, la risposta elastica cubica presenta la stessa forma direzionale di quella di un solido isotropo. Valori diversi da uno indicano una dipendenza dall’orientamento. Il rapporto, da solo, non fornisce il modulo di un prodotto siderurgico; descrive la simmetria elastica di un cristallo quando siano state misurate o calcolate le pertinenti costanti del monocristallo.

Il capitolo sui monocristalli del NIST, pubblicato nel 1982, mostra come questi dati di rigidezza possano essere convertiti in proprietà aggregate per materiali cubici ed esagonali. Per un cristallo cubico, il modulo di compressibilità associato a una deformazione idrostatica uniforme è

B=C11+2⁢C123.

Ciò è coerente con la definizione termodinamica riportata dal NIST,

B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T.

I moduli di taglio e di Young di un monocristallo dipendono ancora dalla direzione, anche se la risposta idrostatica complessiva di un cristallo cubico è vincolata dalla simmetria. Una direzione come \[100\], \[110\] o \[111\] può produrre un modulo a trazione differente, perché la tensione applicata si proietta in modo diverso rispetto al reticolo.

Per un materiale isotropo, solo due costanti elastiche sono indipendenti, come descritto nel capitolo *Elasticity of Solids* di Springer del 2020. La documentazione Sierra di Sandia elenca il relativo insieme isotropo come modulo di Young E, coefficiente di Poisson ν, modulo di compressibilità K, modulo di taglio G, primo parametro di Lamé λ e 2⁢μ; due membri adeguati qualsiasi determinano gli altri. Questa riduzione non si applica a un cristallo semplicemente perché il cristallo è piccolo o perché la sua deformazione rimane elastica. Essa deriva dalla simmetria isotropa.

### Tessitura e modulo direzionale

L’orientamento di un cristallo viene comunemente espresso mediante la sua direzione e il suo piano cristallografici rispetto agli assi del provino. In una lamiera policristallina, la funzione di distribuzione degli orientamenti registra come sono distribuiti gli orientamenti dei grani. La tessitura si sviluppa quando la lavorazione favorisce determinate rotazioni del reticolo, in particolare durante la laminazione, la ricristallizzazione e le successive trasformazioni di fase.

Il modulo di trazione misurato nella direzione di laminazione non deve quindi necessariamente coincidere con il modulo trasversale alla laminazione o con quello attraverso lo spessore della lamiera. La differenza deriva dalla somma, pesata in base all’orientamento, delle risposte dei grani, non da un nuovo “modulo di Young nella direzione di laminazione” indipendente che sostituisca il tensore di rigidezza sottostante. Un modello agli elementi finiti può rappresentare questo comportamento assegnando un tensore di rigidezza anisotropo alle coordinate del materiale oppure assegnando proprietà a livello cristallino a numerosi orientamenti.

L’acciaio dolce laminato, l’acciaio inossidabile ferritico e le lamiere sottoposte a processi di trasformazione possono presentare una tessitura dovuta alla deformazione e alla ricristallizzazione. L’acciaio forgiato può sviluppare un flusso dei grani e una tessitura dipendenti dalla direzione attorno all’asse di forgiatura. L’acciaio colato presenta spesso una distribuzione degli orientamenti più variata, ma la solidificazione può comunque produrre grani colonnari, segregazione, gradienti di fase o orientamenti preferenziali. Nessuno di questi processi garantisce né l’isotropia né una particolare entità dell’anisotropia.

L’acciaio prodotto additivamente presenta un ulteriore problema di orientamento. I cicli termici strato per strato possono produrre grani colonnari allineati con la direzione di costruzione, mentre la strategia di scansione, la geometria del bagno di fusione, il riscaldamento successivo e il trattamento termico modificano la distribuzione degli orientamenti e la costituzione delle fasi. Un modulo misurato parallelamente alla direzione di costruzione può quindi differire da quello misurato trasversalmente a essa. La direzione, la posizione del provino, il trattamento termico, la porosità e il metodo di prova devono accompagnare il valore riportato.

La tessitura influenza anche il coefficiente di Poisson e il modulo di taglio. Una prova di trazione può riportare una risposta della deformazione assiale, mentre un metodo risonante ricava diverse costanti dinamiche dalle modalità di vibrazione. La norma ASTM E1875-20a specifica la determinazione del modulo di Young dinamico, del modulo di taglio e del coefficiente di Poisson “mediante risonanza sonica”. Questi valori dinamici non sono automaticamente identici ai valori statici ottenuti da una prova di trazione lenta, soprattutto quando smorzamento, microfessurazione, porosità, temperatura o frequenza influenzano la risposta.

### Stime policristalline quasi isotrope

Quando gli orientamenti dei grani sono sufficientemente dispersi, le differenze direzionali possono mediarsi fino a raggiungere valori ridotti alla scala del provino. Gli ingegneri descrivono allora l’aggregato come quasi isotropo: non perfettamente isotropo in ogni grano o volume locale, ma rappresentabile adeguatamente mediante costanti isotrope per il calcolo previsto. Il termine è importante. Identifica un’approssimazione, non l’affermazione che tutta l’anisotropia cristallografica sia scomparsa.

Le stime policristalline possono essere ottenute dai dati di rigidezza o di cedevolezza del monocristallo mediante limiti e schemi di media. Una stima di Voigt presuppone una deformazione uniforme nei grani; una stima di Reuss presuppone una tensione uniforme. Le loro previsioni generalmente differiscono, perché nessuna delle due condizioni rappresenta esattamente ogni aggregato eterogeneo. La stima di Hill, comunemente assunta come media aritmetica dei risultati di Voigt e Reuss, funge spesso da approssimazione intermedia pratica. Queste stime richiedono una simmetria cristallina, una distribuzione degli orientamenti e una costituzione delle fasi specificate.

Per un aggregato quasi isotropo, i valori risultanti di E, G, B e ν obbediscono alle note relazioni isotrope:

E=2⁢G⁢(1+ν),

E=3⁢B⁢(1−2⁢ν),

e

E=9⁢BG3⁢B+G.

Pertanto, una volta selezionate due costanti aggregate indipendenti, le altre vengono derivate. Una tabella di riferimento può riportare un modulo di compressibilità approssimativo di 163 GPa per l’acciaio inossidabile, come ha fatto Engineering ToolBox nel 2024, ma tale valore è una stima secondaria, non un valore universale per ogni qualità di acciaio inossidabile, temperatura, forma del prodotto, equilibrio delle fasi o metodo di misurazione.

Il rapporto del National Bureau of Standards sull’acciaio austenitico Fe-5Cr-26Mn illustra direttamente il problema della misurazione: le costanti elastiche sono state determinate nell’intervallo 76–400 K a partire dalle velocità del suono nelle modalità longitudinale e trasversale. Le variazioni di temperatura modificano la spaziatura reticolare, la stabilità delle fasi, la mobilità dei difetti e la velocità delle onde; di conseguenza, le costanti risultanti descrivono condizioni di prova specifiche. Per la progettazione, un insieme quasi isotropo può essere appropriato per un prodotto colato o ricotto con tessitura debole. Una lamiera fortemente laminata, un componente forgiato, una saldatura o una costruzione prodotta additivamente possono invece richiedere dati direzionali. Il modulo corretto, quindi, non è semplicemente il numero associato a una qualità di acciaio; è il valore collegato alla modalità di deformazione, all’orientamento, alla temperatura, alla microstruttura e al metodo di prova.

## Come si misurano le costanti elastiche dell’acciaio

Le costanti elastiche dell’acciaio si misurano mediante una risposta forza–spostamento oppure attraverso la propagazione e la risonanza di onde meccaniche. Questi approcci non producono sempre lo stesso valore numerico del modulo. Una prova di trazione registra una pendenza quasi statica a una determinata velocità di carico, mentre i metodi sonici e ultrasonici misurano una risposta ad alta frequenza e piccola ampiezza. La temperatura, la struttura dei grani, la tessitura cristallografica, la porosità, la costituzione delle fasi, le tensioni residue, la geometria del provino e la definizione del modo misurato possono influenzare il risultato.

Per un solido isotropo ed elastico lineare, solo due costanti elastiche sono indipendenti. Il modulo di Young E, il modulo di taglio G, il modulo di compressibilità K o B, il coefficiente di Poisson ν, il primo parametro di Lamé λ e 2⁢μ descrivono aspetti correlati della stessa risposta costitutiva; i Sandia National Laboratories elencano questo insieme e affermano che E e ν determinano gli altri parametri. Il metodo di misura è quindi importante anche quando le grandezze riportate hanno nomi familiari. Il modulo di Young descrive l’allungamento assiale, il modulo di compressibilità descrive la variazione di volume sotto pressione idrostatica e il modulo di taglio descrive la distorsione angolare.

### Metodi meccanici di trazione e compressione

Il metodo convenzionale di trazione determina un modulo di Young statico o quasi statico a partire dalla pendenza del tratto iniziale lineare di una curva tensione–deformazione:

E=d⁢σd⁢ε.

Un provino di acciaio lavorato viene sottoposto a trazione mentre un estensometro, un estensimetro o un sistema ottico misura la deformazione assiale. La pendenza utile viene determinata prima dell’inizio della plasticità, della deformazione di Lüders, della fessurazione o di altri comportamenti non lineari. L’intervallo di deformazione selezionato deve essere indicato, poiché piccole deviazioni dalla linearità, la cedevolezza della macchina, gli effetti di appoggio e i limiti di risoluzione della deformazione possono modificare il valore ottenuto dal fit.

Una prova di trazione può determinare anche il coefficiente di Poisson misurando contemporaneamente la deformazione laterale:

ν=−εtrasversaleεassiale.

Le misure assiale e trasversale devono essere sincronizzate ed effettuate nello stesso intervallo elastico. Una volta noti E e ν, le relazioni isotrope forniscono

G=E2⁢(1+ν)

e

K=E3⁢(1−2⁢ν).

Questi valori calcolati non costituiscono misure separate della rigidezza a taglio o della rigidezza volumetrica. Essi ereditano la dipendenza dalla temperatura, dalla velocità di deformazione, dalla tessitura e dalla direzione di prova propria dei dati originali di trazione.

La prova di compressione offre un altro metodo per determinare un modulo assiale, ma introduce errori differenti. Il provino deve essere abbastanza corto da evitare l’instabilità per carico di punta, ma sufficientemente lungo da consentire la misurazione dello spostamento. L’attrito alle estremità può limitare l’espansione laterale e produrre un provino a forma di botte; pertanto, la pendenza misurata della curva forza–spostamento può includere gli effetti dell’attrito e dell’allineamento delle piastre. La lubrificazione, il parallelismo delle estremità, la finitura superficiale, la rigidezza delle piastre e il rapporto tra altezza e diametro del provino sono tutti fattori importanti. Gli estensometri o i sensori di spostamento dovrebbero misurare la deformazione lungo la lunghezza utile del provino, anziché basarsi esclusivamente sulla corsa della traversa.

La compressione idrostatica è concettualmente più vicina a una misura diretta del modulo di compressibilità, poiché applica la pressione in tutte le direzioni e rileva la variazione di volume:

K=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T.

Questa è la definizione termodinamica fornita dal National Institute of Standards and Technology nel 1982. La normale compressione uniaxiale non è una compressione idrostatica; combina la deformazione assiale e laterale e quindi non misura direttamente K. La determinazione diretta del modulo di compressibilità richiede celle a pressione, una misurazione accurata del volume o della deformazione, la calibrazione della pressione e il controllo della temperatura. Per la maggior parte delle caratterizzazioni degli acciai strutturali, K viene invece calcolato a partire da E e ν misurati indipendentemente, oppure ricavato dalle velocità del suono.

Le pendenze meccaniche statiche sono particolarmente sensibili alla velocità di prova e alle condizioni del provino. Un risultato di trazione ottenuto su una barra lucidata e distesa dalle tensioni, provata a temperatura ambiente, non rappresenta automaticamente il modulo di una lamiera laminata con tessitura, di un metallo di saldatura o di un prodotto sottoposto a trattamento termico bifasico. In un monocristallo cubico, la rigidezza varia in funzione della direzione cristallografica. Un aggregato policristallino può apparire quasi isotropo quando i grani sono orientati casualmente, ma la tessitura dovuta alla laminazione o alla solidificazione può determinare moduli dipendenti dalla direzione.

![Costanti elastiche dell’acciaio e relazioni tra i moduli](/images/uploads/9cfa1581-a398-4bb9-83b8-d4101f1ec318/wiki-inline-a-steel-test-bar-suspended-at-nodal-supports-during-a-sonic-resonance-elastic-mo-1920x1288.jpg)[](/images/uploads/9cfa1581-a398-4bb9-83b8-d4101f1ec318/wiki-inline-a-steel-test-bar-suspended-at-nodal-supports-during-a-sonic-resonance-elastic-mo-1920x1288.avif "Ingrandisci immagine — Costanti elastiche dell’acciaio e relazioni tra i moduli")Sonic resonance determines dynamic elastic constants from specimen vibration.

### Risonanza sonica secondo ASTM E1875-20a

ASTM E1875-20a è una norma specifica per la determinazione del modulo di Young dinamico, del modulo di taglio e del coefficiente di Poisson “mediante risonanza sonica”. Anziché misurare una pendenza forza–deformazione lunga e lenta, il metodo eccita un provino e identifica le sue frequenze naturali di risonanza. La frequenza di risonanza dipende dalla rigidezza elastica, dalla densità, dalle dimensioni del provino e dalla forma modale.

Il provino viene sostenuto in modo da approssimare una condizione al contorno libera, comunemente collocando i supporti in prossimità delle regioni nodali, così da rimuovere la minore quantità possibile di energia vibratoria. Un dispositivo di eccitazione produce la vibrazione e un microfono, un accelerometro, uno strumento laser o un altro rivelatore registra la risposta. La frequenza di risonanza viene identificata a partire da un netto massimo di ampiezza, da una variazione di fase o da un picco nella risposta in frequenza. La frequenza misurata deve essere attribuita al corretto modo flessionale, torsionale o longitudinale; confondere modi adiacenti può produrre un modulo plausibile ma errato.

La lunghezza, la larghezza, lo spessore, la massa e la densità del provino sono quindi dati di ingresso fondamentali. Le dimensioni dovrebbero essere misurate alla temperatura di prova quando l’espansione termica è significativa, oppure corrette rispetto alle dimensioni a temperatura ambiente utilizzando un appropriato coefficiente di dilatazione. La densità dovrebbe corrispondere al provino effettivo e non a un valore presunto ricavato da un manuale, soprattutto nel caso di acciaio colato, materiale poroso, inclusioni particellari o microstrutture multifasiche. ASTM E1875-20a incorpora la geometria del provino e le equazioni della risonanza, anziché trattare ogni campione come una barra infinita. Le condizioni alle estremità, la posizione dei supporti, il rapporto d’aspetto, lo smorzamento e le correzioni geometriche influenzano le costanti dinamiche calcolate.

Una risonanza torsionale fornisce principalmente informazioni sul taglio, mentre una risonanza flessionale o longitudinale fornisce un modulo correlato alla rigidezza assiale. La combinazione dei valori dinamici di E e G consente di calcolare

ν=E2⁢G−1,

purché l’ipotesi di isotropia ed elasticità lineare sia appropriata. Il coefficiente di Poisson così ottenuto è un valore dinamico alla frequenza di prova. Non dovrebbe essere presentato come una costante universale del grado di acciaio, indipendente dalla frequenza o dalla temperatura.

Il controllo della temperatura fa parte della misurazione e non è un aspetto secondario. Il forno o la camera ambientale devono portare il provino a una temperatura stabile e nota, e l’identificazione della risonanza deve tenere conto dell’espansione termica, della variazione della densità e della dipendenza della rigidezza dalla temperatura. Una frequenza misurata mentre il provino si sta ancora riscaldando non rappresenta uno stato elastico ben definito. Anche le condizioni al contorno cambiano con la temperatura se i supporti si dilatano, si ammorbidiscono, scivolano o modificano la pressione di contatto.

### Velocità longitudinali e trasversali del suono

Le misure ultrasoniche determinano le costanti elastiche a partire dalle velocità di propagazione delle onde. Un’onda longitudinale produce un moto delle particelle parallelo alla propagazione; un’onda trasversale o di taglio produce un moto delle particelle perpendicolare alla propagazione. Per un solido omogeneo e isotropo con densità ρ, le relazioni ideali sono

vL=K+43⁢Gρ

e

vT=Gρ.

Pertanto,

G=ρ⁢vT2,

K=ρ⁢(vL2−43⁢vT2),

e

E=9⁢KG3⁢K+G.

Il coefficiente di Poisson può quindi essere ottenuto da E e G, oppure direttamente dal rapporto tra le velocità nell’ambito della stessa ipotesi di isotropia. Le equazioni sono semplici, ma le misure non lo sono. La distanza di propagazione deve essere nota con precisione, gli echi devono essere correttamente identificati e il trasduttore deve generare e rilevare la polarizzazione prevista. Un arrivo apparentemente longitudinale può includere conversione di modo, onde superficiali, riflessioni o dispersione.

Un rapporto del National Bureau of Standards pubblicato nel 1981 utilizzò le velocità del suono dei modi longitudinale e trasversale per determinare le costanti elastiche di un acciaio austenitico Fe-5Cr-26Mn nell’intervallo 76–400 K. Questo intervallo di temperatura è importante: dimostra che le costanti elastiche sono grandezze misurate in funzione dello stato termico, non etichette fisse associate alla designazione della lega. La procedura descritta nel rapporto dipendeva da una temperatura controllata, da una densità nota, da una geometria del provino definita e dall’identificazione affidabile di entrambi i modi d’onda. Applicare le equazioni a temperatura ambiente a temperature criogeniche o elevate senza aggiornare tali grandezze nasconderebbe l’effettiva dipendenza dalla temperatura.

Engineering ToolBox fornisce un modulo di compressibilità approssimativo di 163 GPa per l’acciaio inossidabile. Limited evidence

La stessa cautela si applica alle tabelle di riferimento ingegneristiche. Engineering ToolBox indica un modulo di compressibilità approssimativo di 163 GPa per l’acciaio inossidabile, ma tale valore è una stima di riferimento secondaria, non un valore universale per ogni grado di acciaio inossidabile, forma del prodotto, tessitura, equilibrio delle fasi, temperatura o metodo di prova. Un valore dinamico misurato per l’acciaio austenitico Fe-5Cr-26Mn, un valore statico ottenuto da un provino di trazione di un grado ferritico e un valore calcolato ricavato da E e ν rispondono a domande sperimentali differenti. Riportare il metodo, le dimensioni del provino, la densità, la temperatura, il modo di risonanza o d’onda e le condizioni al contorno è quindi importante quanto riportare il modulo stesso.

## Effetti della temperatura, della fase, della composizione e della lavorazione

Le costanti elastiche dell’acciaio non sono etichette fisse associate permanentemente a una qualità. Esse descrivono uno stato del materiale, una modalità di deformazione e una condizione di misura. La temperatura, la costituzione delle fasi, la composizione, la tessitura cristallografica, la porosità, le inclusioni, le tensioni residue e la storia termica possono modificare la risposta misurata. La resistenza può cambiare di centinaia di punti percentuali durante una trasformazione o un trattamento di rinvenimento, mentre il modulo di Young cambia in proporzione molto minore; tuttavia, “minore” non significa trascurabile nelle analisi di precisione.

Per un solido isotropo, lineare-elastico, solo due costanti elastiche sono indipendenti. Il modulo di Young E, il modulo di taglio G, il modulo di compressibilità K o B, il coefficiente di Poisson ν, il primo parametro di Lamé λ e 2⁢μ sono grandezze correlate, come descritto in *Elasticità dei solidi* di Springer e nella documentazione Sierra dei Sandia National Laboratories. Se la temperatura o la microstruttura modifica una costante indipendente, le altre calcolate a partire da essa devono essere aggiornate in modo coerente. Un modulo riportato deve quindi essere associato a una temperatura, a una condizione del prodotto, a una direzione e a un metodo di prova.

### Dipendenza dalla temperatura delle costanti elastiche

La rigidezza elastica generalmente diminuisce all’aumentare della temperatura. Le vibrazioni atomiche aumentano, i legami interatomici oppongono una resistenza minore a piccoli spostamenti e l’espansione termica modifica la distanza di equilibrio tra gli atomi. L’effetto è spesso graduale all’interno di una singola fase, sebbene le transizioni magnetiche, il recupero, la ricristallizzazione e le trasformazioni di fase possano introdurre variazioni più rapide. In prossimità di una temperatura di trasformazione, un singolo valore a temperatura ambiente è particolarmente inadeguato come sostituto di un modello del materiale dipendente dalla temperatura.

Il rapporto del National Bureau of Standards sull’acciaio austenitico Fe-5Cr-26Mn fornisce un esempio utile. Pubblicato nel 1981, il rapporto determinava le costanti elastiche tra 76 e 400 K a partire dalle velocità del suono nelle modalità longitudinale e trasversale. Si tratta di una misura dinamica: le velocità delle onde forniscono le rigidezze longitudinale e di taglio, dalle quali è possibile calcolare le costanti correlate. Il risultato dimostra che anche un acciaio austenitico mantenuto durante l’intervallo di prova non possiede un unico insieme di costanti elastiche indipendente dalla temperatura. L’intervallo di temperatura si estende dalle condizioni criogeniche fino a valori superiori alla temperatura ambiente; pertanto, i valori misurati descrivono una curva, non una singola proprietà della qualità di acciaio.

La distinzione tra resistenza e rigidezza è importante in questo contesto. La resistenza allo snervamento può aumentare fortemente alle basse temperature perché il movimento delle dislocazioni diventa più difficile, mentre la pendenza elastica cambia in modo meno marcato. Al contrario, una piccola variazione di E può modificare la freccia prevista, il carico di instabilità, la pressione di contatto o la ripartizione delle tensioni termiche. La resistenza plastica e la rigidezza elastica rispondono a domande diverse. Un acciaio può diventare molto più resistente senza diventare proporzionalmente più rigido.

Anche le prove dinamiche e statiche possono produrre valori riportati differenti. ASTM E1875-20a specifica la determinazione del modulo di Young dinamico, del modulo di taglio e del coefficiente di Poisson mediante risonanza sonica. Le prove di risonanza operano a piccole deformazioni e alta frequenza, mentre una prova di trazione determina una pendenza statica o quasi statica su un intervallo di deformazione prescritto. La microplasticità, l’anelasticità, la cedevolezza dello strumento, la geometria del provino, le condizioni superficiali e la frequenza possono influenzare il confronto. Nessuno dei due risultati dovrebbe essere considerato universalmente intercambiabile con l’altro.

Il modulo di compressibilità ha un significato fisico distinto: misura la resistenza alla compressione volumetrica. NIST lo definisce termodinamicamente come B=−V⁢(∂⁢P/∂⁢V)T. Engineering ToolBox riporta un modulo di compressibilità approssimativo di 163 GPa per l’acciaio inossidabile, ma tale valore è una stima di riferimento secondaria, non un valore universale per ogni qualità di acciaio inossidabile, temperatura, forma del prodotto, costituzione delle fasi o condizione di prova. La stessa cautela si applica ai valori tabulati di E, G e ν.

### Austenite, ferrite, martensite e acciai multifase

La costituzione delle fasi influenza la risposta elastica perché ogni fase possiede una propria struttura cristallina, composizione, parametro reticolare, stato magnetico, popolazione di difetti e tensore di rigidezza monocristallina. La ferrite ha una struttura cubica a corpo centrato, l’austenite una struttura cubica a facce centrate e la martensite è comunemente caratterizzata da una struttura tetragonale a corpo centrato o da una struttura a corpo centrato fortemente distorta quando il carbonio produce una tetragonalità apprezzabile. Queste denominazioni non specificano un unico modulo. Il tenore di carbonio, gli elementi di lega sostituzionali, l’ordinamento, la densità delle dislocazioni e i difetti residui modificano la rigidezza di ciascuna fase.

Gli acciai austenitici costituiscono un chiaro avvertimento contro l’assegnazione di un generico “modulo dell’austenite”. Lo studio su Fe-5Cr-26Mn ha esaminato una composizione chimica e un intervallo di temperatura specifici, non ogni lega Fe-Cr-Mn né ogni acciaio definito austenitico. Il manganese e il cromo influenzano la stabilità reticolare e il comportamento magnetico, mentre la temperatura può modificare l’ordine magnetico anche quando la struttura cristallina rimane austenitica. Tali variazioni influenzano le forze interatomiche e quindi le costanti elastiche.

Gli acciai ferritici possono presentare un comportamento elastico dipendente dalla temperatura associato al loro stato ferromagnetico e alla transizione verso il paramagnetismo. La variazione non deve necessariamente coincidere con una trasformazione di fase visibile. Gli acciai martensitici aggiungono un ulteriore livello di complessità: la tempra produce sovrasaturazione, elevata densità di dislocazioni, tensioni interne e spesso tetragonalità dipendente dal carbonio. Il rinvenimento provoca quindi la precipitazione di carburi, il recupero e la ridistribuzione del carbonio. La risposta elastica misurata dopo il rinvenimento non è pertanto semplicemente la risposta di un cristallo ideale di martensite.

Gli acciai multifase richiedono un’interpretazione in termini di proprietà efficaci. Negli acciai ferritico-martensitici, bifasici, bainitici o contenenti austenite trattenuta, un modulo apparente riflette le frazioni di fase, la connettività delle fasi, l’orientamento cristallografico, le interfacce, la porosità, nonché la direzione e la scala del volume sottoposto a prova. Una stima basata sulla regola delle miscele può fornire una prima approssimazione, ma i vincoli locali fanno sì che le fasi non siano tutte soggette alla stessa deformazione o alla stessa tensione. Una regione martensitica rigida inglobata nella ferrite può modificare la pendenza misurata attraverso il trasferimento di carico, mentre l’austenite trattenuta può trasformarsi durante il caricamento e far discostare la risposta dall’elasticità lineare.

A livello di monocristallo, i cristalli cubici ed esagonali presentano rigidezze dipendenti dalla direzione. Un acciaio policristallino si avvicina all’isotropia solo quando gli orientamenti dei grani sono sufficientemente casuali e il provino contiene un numero di grani sufficiente per effettuare la media. Lamiere, nastri e barre laminati possono conservare una tessitura, producendo moduli longitudinali, trasversali e attraverso lo spessore differenti. In tal caso, imporre a un calcolo un unico E isotropo e un unico G isotropo può nascondere una reale risposta direzionale.

### Colata, laminazione, trattamento termico e tensioni residue

La lavorazione modifica sia le proprietà intrinseche delle fasi sia la rigidezza efficace del corpo prodotto. L’acciaio colato può contenere porosità da ritiro, pori gassosi, pellicole di ossido, segregazioni, struttura dendritica, inclusioni e grani grossolani o non uniformi. Anche una piccola frazione volumica di porosità connessa può ridurre il modulo efficace più di quanto suggerirebbe un valore riportato nei manuali per un acciaio completamente denso. Le inclusioni possono essere più rigide o più deformabili rispetto alla matrice, mentre le inclusioni scarsamente aderenti agiscono come concentratori di tensione o difetti simili a cricche durante una prova dinamica o statica.

La laminazione affina e allunga i grani, disgrega la struttura di colata e introduce una tessitura cristallografica. L’anisotropia elastica risultante può essere modesta per alcuni prodotti e significativa per altri. Sono importanti la riduzione per passata, la temperatura di laminazione, la ricristallizzazione e lo spessore finale. Un modulo misurato lungo la direzione di laminazione non dovrebbe essere automaticamente assegnato alla direzione trasversale o normale.

Il trattamento termico modifica le frazioni di fase, la dimensione dei grani, la densità delle dislocazioni, i precipitati, la morfologia dei carburi e le tensioni residue. La normalizzazione può affinare una struttura ferrite-perlite; la tempra può creare martensite e tensioni residue; il rinvenimento riduce una parte di tali tensioni modificando al contempo la precipitazione e il recupero. La ricottura può ridurre la densità delle dislocazioni e gli effetti legati alla tessitura attraverso la ricristallizzazione. Questi trattamenti possono produrre variazioni sostanziali della resistenza allo snervamento e della tenacità, lasciando il modulo a piccole deformazioni relativamente vicino al valore precedente; tuttavia, il modulo efficace misurato può comunque variare a causa di difetti, trasformazioni di fase o tessitura.

Le tensioni residue meritano un trattamento separato. Un campo di tensioni autoequilibrato non modifica necessariamente il modulo tangente ideale di un cristallo omogeneo, privo di difetti e lineare-elastico. Può tuttavia modificare ciò che viene registrato in un esperimento. Le tensioni residue alterano la propagazione delle onde, la curvatura del provino, le condizioni di contatto, la chiusura delle cricche e l’inizio della microplasticità. In una prova di trazione, una pendenza iniziale apparente può essere influenzata dal raddrizzamento, dall’allineamento degli afferraggi, dalla ridistribuzione delle tensioni o dalla rimozione incompleta delle tensioni introdotte dalla lavorazione meccanica. Nelle prove di risonanza, le tensioni e l’anisotropia possono spostare le frequenze naturali.

Di conseguenza, una dichiarazione difendibile sul modulo di un acciaio identifica la condizione delle fasi, lo stato termico, la direzione del prodotto, la densità o la condizione relativa ai difetti e il metodo di misura. Il numero è una proprietà di quello stato definito, non una costante permanente della qualità dell’acciaio.

## Designazioni degli Acciai e Tabelle Affidabili delle Proprietà

Una designazione dell’acciaio identifica una composizione, una classe di prodotto o un requisito di specifica; di per sé, non fornisce una documentazione completa delle proprietà elastiche. “Acciaio inossidabile 304”, “AISI 1045” e “ASTM A572 Grade 50” sono riferimenti utili al materiale, ma nessuna di queste denominazioni, da sola, indica la forma del prodotto, la storia termica, la tessitura cristallografica, la temperatura di prova o il metodo utilizzato per ottenere un modulo elastico.

Questa distinzione è importante perché l’elasticità lineare isotropa presenta soltanto due costanti indipendenti. L’insieme comunemente riportato in ambito ingegneristico comprende il modulo di Young E, il coefficiente di Poisson ν, il modulo di comprimibilità K o B, il modulo di taglio G, il primo parametro di Lamé λ e 2⁢μ. Sandia National Laboratories afferma che E e ν determinano le restanti costanti quando si applicano le relazioni isotrope. OpenStax attribuisce significati fisici diversi ai principali moduli: E descrive la risposta a trazione o uniaxiale, K descrive la compressione volumetrica e G descrive la deformazione a taglio. Di conseguenza, una tabella che presenti quattro numeri apparentemente indipendenti senza spiegarne l’origine può suggerire un livello di precisione o di indipendenza che il modello del materiale non possiede.

### Acciai inossidabili austenitici, ferritici, martensitici e indurenti per precipitazione

I nomi delle famiglie degli acciai inossidabili descrivono la struttura metallurgica, non un’unica risposta elastica universale. I gradi austenitici come **Type 304**, **Type 304L**, **Type 316** e **Type 316L** sono comunemente identificati nelle specifiche ASTM di prodotto mediante la relativa designazione “Type” e, ove applicabile, mediante numeri UNS quali **UNS S30400**, **UNS S30403**, **UNS S31600** e **UNS S31603**. La designazione deve essere riprodotta come riportata nella norma applicabile. “304L stainless” non dovrebbe essere convertito automaticamente in “304”, poiché il grado a basso tenore di carbonio presenta un requisito compositivo diverso e può essere sottoposto a lavorazioni differenti.

I gradi ferritici comprendono **Type 430** e **Type 409**, mentre i gradi martensitici comprendono **Type 410**, **Type 420** e **Type 440C**. Questi nomi identificano famiglie caratterizzate da diversa stabilità delle fasi, tenore di carbonio, aggiunte di lega, risposta all’indurimento e comportamento magnetico. Le loro proprietà elastiche possono essere influenzate da riduzione a freddo, ricottura, tempra, rinvenimento, austenite trattenuta, popolazioni di carburi e direzione di misurazione. Un prodotto forgiato o laminato può non comportarsi come un prodotto colato con una designazione chimicamente simile.

Gli acciai inossidabili indurenti per precipitazione richiedono una cautela ancora maggiore. **17-4 PH** è una designazione ampiamente utilizzata, ma una specifica può identificare il materiale come **UNS S17400** e definire condizioni quali **H900**, **H1025** o **H1150**. Tali designazioni di condizione indicano stati di trattamento termico e non sono denominazioni di grado intercambiabili. Una tabella che riporti il “modulo di 17-4 PH” senza specificare la condizione omette una parte significativa della descrizione del materiale. La matrice, lo stato dei precipitati, le tensioni residue e la deformazione precedente possono differire tra le varie condizioni anche quando la designazione nominale della lega rimane invariata.

L’*Steel Castings Handbook* di ASM tratta il modulo di elasticità, il coefficiente di Poisson, il modulo di taglio e le proprietà fisiche correlate come dati relativi agli acciai da getto. Questa impostazione è importante: una tabella relativa a un acciaio da getto descrive un materiale da fonderia specificato e una base di prova definita, non ogni prodotto lavorato, saldato, fabbricato mediante manifattura additiva o sottoposto a trattamento termico con una chimica simile. I getti possono contenere segregazioni, porosità, inclusioni e variazioni microstrutturali locali che influenzano i risultati misurati e la loro dispersione.

Le designazioni delle famiglie degli acciai inossidabili non dovrebbero neppure essere utilizzate per assegnare un unico modulo esatto. In Engineering ToolBox compare un valore approssimativo di riferimento secondario pari a **163 GPa per l’acciaio inossidabile**, ma tale valore non è universale per ogni grado di acciaio inossidabile, temperatura, forma del prodotto o condizione di prova. Si tratta di una stima di riferimento, non di un sostituto di una scheda tecnica specifica della norma o di un valore misurato.

### Designazioni degli acciai al carbonio e basso-legati

Anche gli acciai al carbonio e basso-legati richiedono una pratica rigorosa nella designazione. **AISI/SAE 1045** identifica un acciaio al carbonio nel sistema di numerazione SAE/AISI; non è la stessa designazione di **ASTM A36**, che è una specifica di prodotto per acciai strutturali. **ASTM A572 Grade 50** identifica un grado nell’ambito della norma ASTM A572/A572M, mentre **AISI/SAE 4130** identifica la composizione di un acciaio legato al cromo-molibdeno. Queste denominazioni non dovrebbero essere fuse in forme informali come “4130-grade A572”, salvo che una specifica vincolante non supporti esplicitamente tale descrizione.

Le designazioni europee forniscono un altro esempio. **S355J2** e **S355JR** sono designazioni utilizzate nell’ambito della **EN 10025-2**, e i suffissi hanno un significato specifico relativo alla prova d’urto o alla condizione di fornitura. Non sono semplicemente denominazioni alternative di ASTM A572 Grade 50. La somiglianza chimica non stabilisce l’equivalenza dei requisiti di specifica, delle dimensioni del prodotto, delle regole di ispezione o dei dati sulle proprietà elastiche.

Una tabella dovrebbe inoltre distinguere una designazione compositiva da una condizione di fornitura. **AISI/SAE 4140** può essere fornito ricotto, normalizzato e rinvenuto, temprato e rinvenuto, forgiato o in un’altra condizione specificata. Le lamiere, le barre e i profilati strutturali in **ASTM A36** sono disciplinati da una specifica di prodotto, ma la loro risposta misurata può comunque dipendere dallo spessore, dalla direzione di laminazione, dalle tensioni residue e dal metodo di prova. Il grado nominale stabilisce limiti o requisiti; non annulla la storia produttiva.

La stessa cautela si applica a “acciaio dolce”, “acciaio per utensili”, “acciaio altoresistenziale basso-legato” e descrizioni analoghe di famiglie di materiali. Si tratta di categorie ampie, non di designazioni complete di grado. Una tabella affidabile indica il numero della norma, il grado o il tipo, l’edizione quando pertinente, la designazione UNS o AISI/SAE ove applicabile, la forma del prodotto e la condizione di trattamento termico. Se una designazione è un nome interno aziendale, dovrebbe essere contrassegnata come tale anziché essere presentata come una designazione ASTM, ASME, SAE, AISI, EN o UNS.

### Perché le norme e le specifiche di prodotto devono accompagnare i valori

I valori delle proprietà elastiche sono significativi soltanto se accompagnati dal contesto di misurazione. Come minimo, una tabella dovrebbe identificare:

- la forma del prodotto: lamiera, foglio, barra, tubo, filo, forgiato, metallo di saldatura, componente ottenuto mediante lavorazione di polveri o getto;
- il trattamento termico e la condizione, inclusi rinvenimento, invecchiamento, trattamento di solubilizzazione o stato di indurimento per precipitazione;
- la direzione di prova rispetto alla direzione di laminazione, forgiatura, estrusione o costruzione;
- la temperatura e la condizione ambientale;
- la velocità o la frequenza di applicazione del carico;
- la geometria del provino e le dimensioni pertinenti;
- la norma di prova e la relativa edizione;
- se il risultato è statico, quasi statico o dinamico;
- il numero di provini, l’intervallo, la media e la dispersione, quando disponibili.

I moduli statici e dinamici non sono automaticamente intercambiabili. La norma ASTM **E1875-20a** specifica la determinazione del modulo di Young dinamico, del modulo di taglio e del coefficiente di Poisson “mediante risonanza sonica”. Le misurazioni di risonanza utilizzano la propagazione delle onde e la frequenza di vibrazione, mentre una prova di trazione può determinare la pendenza di una curva sforzo–deformazione a una velocità di applicazione del carico definita. Entrambi i metodi riguardano la risposta elastica, ma possono produrre valori riportati differenti perché differiscono la frequenza, lo smorzamento, i difetti microstrutturali, la strumentazione e le procedure di elaborazione dei dati.

La temperatura deve essere indicata, soprattutto per applicazioni criogeniche o ad alta temperatura. Un rapporto del National Bureau of Standards del 1981 ha misurato le costanti elastiche dell’**Fe-5Cr-26Mn austenitic steel** nell’intervallo **76–400 K**, utilizzando le velocità del suono nelle modalità longitudinale e trasversale. Tale intervallo dimostra perché un valore a temperatura ambiente non possa essere copiato in una tabella di progettazione criogenica senza le necessarie qualificazioni. La tessitura e l’anisotropia cristallina introducono un ulteriore aspetto: il capitolo del manuale NIST sulle costanti elastiche dei monocristalli spiega come E, G, B, il modulo longitudinale e ν quasi isotropi dei policristalli possano essere derivati dai dati di rigidezza dei monocristalli, ma tali derivazioni dipendono dalla simmetria cristallina, dalla distribuzione degli orientamenti e dalle ipotesi di media.

Per i calcoli isotropi è sufficiente una coppia di costanti identificata con attenzione; le altre dovrebbero essere calcolate mediante le equazioni indicate o verificate per coerenza. Per gli acciai laminati, forgiati, tessiturati, saldati o fabbricati mediante manifattura additiva, un singolo modulo scalare può essere un’approssimazione anziché una descrizione costitutiva completa. Le norme e le specifiche di prodotto impediscono a una tabella di mascherare tale limitazione. Esse collegano ogni numero a un materiale, una condizione, una direzione, una temperatura e un metodo definiti: le informazioni necessarie prima che il valore possa essere utilizzato responsabilmente in un calcolo di progettazione.

## Uso nella progettazione: selezione della corretta relazione tra moduli

Un modulo elastico è associato a una modalità di deformazione. Il modulo di Young E descrive la deformazione normale prodotta da uno stato di sforzo uniassiale; il modulo di taglio G descrive la distorsione a volume pressoché costante; il modulo di compressibilità K, indicato anche con B, descrive la resistenza alla compressione uniforme. Il coefficiente di Poisson ν collega la deformazione normale a quella laterale. Queste grandezze sono correlate, ma non sono intercambiabili semplicemente perché sono tutte espresse in gigapascal o vengono comunemente riportate insieme per l’acciaio.

Per un solido omogeneo, lineare e isotropo, soltanto due costanti elastiche sono indipendenti. *Elasticity of Solids* di Springer lo afferma direttamente nella trattazione del 2020 sull’elasticità isotropa. I Sandia National Laboratories indicano il relativo insieme di grandezze come il modulo di Young E, il coefficiente di Poisson ν, il modulo di compressibilità K, il modulo di taglio G, il primo parametro di Lamé λ e 2⁢μ, con E e ν che determinano gli altri. Le equazioni di conversione sono quindi relazioni condizionali, non misure indipendenti di sei proprietà del materiale non correlate:

G=E2⁢(1+ν)

K=B=E3⁢(1−2⁢ν)

λ=E⁢ν(1+ν)⁢(1−2⁢ν)

e

E=9⁢KG3⁢K+G.

Le ipotesi sono importanti. Queste equazioni si applicano a piccole deformazioni, a una risposta elastica lineare e a un comportamento isotropo. Una piastra di acciaio con tessitura di laminazione, una zona termicamente alterata da saldatura, un prodotto colato contenente solidificazione direzionale o una microstruttura bifasica potrebbero non soddisfare l’ipotesi di isotropia con accuratezza sufficiente affinché un unico valore convertito rappresenti ogni direzione di carico.

### Elementi uniassiali ed E

Per un elemento rettilineo soggetto a trazione, un elemento compresso, un tirante, un’asta o un segmento di trave snella sottoposto a una forza assiale, E è il modulo principale. La relazione di base è

σ=E⁢ε,

perciò l’allungamento elastico di un elemento prismatico è

δ=PLAE,

dove P è la forza assiale, L è la lunghezza iniziale e A è l’area della sezione trasversale. Questo costituisce il punto di partenza corretto per stimare l’allungamento elastico, l’accorciamento e la rigidezza assiale AE/L.

Il coefficiente di Poisson entra in gioco quando sono rilevanti la contrazione laterale o i vincoli multiassiali. Una barra di acciaio sottoposta liberamente a trazione si contrae lateralmente secondo

εtransverse=−ν⁢εaxial.

Per un provino completamente vincolato, tuttavia, la risposta assiale non è rappresentata dal solo E. La deformazione laterale non può svilupparsi, quindi lo stato di sforzo diventa tridimensionale e la rigidezza apparente aumenta. Un modello agli elementi finiti di un inserto incollato, di una rondella vincolata o di un accoppiamento forzato deve tenere conto di questo accoppiamento, invece di trattare il componente come un’asta isolata unidimensionale.

Il valore utilizzato per E deve inoltre corrispondere alle condizioni di misura e di esercizio. La pendenza di una prova di trazione statica, un modulo dinamico risonante e un modulo dedotto dalla velocità ultrasonica possono differire a causa della frequenza, della temperatura, della geometria del provino, della porosità, delle tensioni residue e dei difetti. La norma ASTM E1875-20a specifica la determinazione del modulo di Young dinamico, del modulo di taglio e del coefficiente di Poisson “mediante risonanza sonica”. Tale metodo non produce automaticamente lo stesso valore di una prova di trazione lenta alla temperatura di progetto.

L’acciaio non costituisce un unico materiale elastico in ogni stato metallurgico. Le strutture ferritiche, martensitiche, bainitiche e austenitiche possono differire, mentre la tessitura può far sì che la direzione di laminazione e quella trasversale rispondano in modo diverso. Il rapporto del National Bureau of Standards sull’acciaio austenitico Fe-5Cr-26Mn ha determinato le costanti elastiche a partire dalle velocità del suono nelle modalità longitudinale e trasversale nell’intervallo 76–400 K. Tale intervallo di temperatura ricorda che una costante elastica misurata in prossimità della temperatura ambiente non deve essere trattata come un dato indipendente dalla temperatura per applicazioni criogeniche o ad alta temperatura.

### Torsione e G

Per un albero circolare sottoposto a torsione elastica, G controlla l’angolo di torsione:

θ=TLJG,

dove T è il momento torcente, J è il momento d’inerzia polare dell’area e L è la lunghezza dell’albero. La rigidezza torsionale è JG/L. La tensione di taglio associata in un albero circolare è

τ=TrJ.

L’uso diretto di E in questo calcolo fornisce una rigidezza errata, a meno che E non venga prima convertito mediante un valore giustificato di ν. Per l’acciaio isotropo,

G=E2⁢(1+ν).

Questa conversione è utile quando sono disponibili soltanto E e ν, ma non trasforma una misura a trazione in una misura diretta a torsione. Un materiale può presentare una risposta al taglio dipendente dalla direzione anche quando un modulo di trazione medio appare accettabile.

La distinzione diventa importante per tubi a parete sottile, scanalature, alberi saldati e componenti con processi produttivi anisotropi. In una sezione generica, la torsione può produrre imbarcamento e un campo di taglio non uniforme, per cui l’equazione di Saint-Venant per gli alberi circolari può risultare essa stessa insufficiente. Il parametro costitutivo del materiale resta una grandezza associata al taglio, ma l’analisi della sezione deve rappresentare la geometria effettiva.

I dati dinamici di taglio richiedono la stessa cautela. I metodi basati sulla risonanza misurano la risposta a una determinata frequenza e a una piccola ampiezza di deformazione. Un valore calcolato a partire da una prova sonica può essere adatto all’analisi delle vibrazioni o delle onde, ma non necessariamente identico alla rigidezza secante o tangente utilizzata in un calcolo strutturale a carico lento. La designazione “dinamico” non è un’etichetta secondaria: identifica una diversa condizione sperimentale.

### Problemi idrostatici, di contatto e di propagazione delle onde

Il modulo di compressibilità K o B è il parametro appropriato per la risposta volumetrica. Sotto pressione idrostatica, la pressione modifica il volume secondo

K=B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T,

che è la definizione termodinamica fornita dal National Institute of Standards and Technology nel 1982. Un valore elevato di K significa che una pressione considerevole produce soltanto una piccola variazione frazionaria del volume. Ciò è diverso dalla resistenza alla variazione di forma, che è governata principalmente da G.

Engineering ToolBox indica un modulo di compressibilità approssimativo di 163 GPa per l’acciaio inossidabile. Tale valore può fungere da stima di riferimento secondaria, non da valore universale per ogni qualità di acciaio inossidabile, temperatura, forma del prodotto, costituzione delle fasi o metodo di prova. Poiché K=E/\[3⁢(1−2⁢ν)\], piccoli errori in ν possono produrre una variazione significativa del modulo di compressibilità calcolato quando ν si avvicina a 0,5.

I calcoli di contatto richiedono di considerare sia il comportamento normale sia quello tangenziale. Nel contatto hertziano, il modulo normale efficace per due corpi è comunemente espresso come

\\\[ \\frac{1}{E^\*} = \\frac{1-\\nu\_1^2}{E\_1} + \\frac{1-\\nu\_2^2}{E\_2}. \\\]

In questo caso, è \\(E^\*\\), e non il valore di E di una sola qualità di acciaio, a controllare l’indentazione elastica locale. Anche lo scorrimento con attrito e la trazione tangenziale introducono G e ν. Un modello che sostituisca K a \\(E^\*\\) può rimanere matematicamente stabile e produrre pressioni di contatto regolari, rappresentando tuttavia il meccanismo di deformazione sbagliato.

I problemi di propagazione delle onde utilizzano ancora un’altra combinazione. Per un solido isotropo, il modulo longitudinale delle onde è

M=K+4⁢G3,

con velocità delle onde longitudinali e di taglio pari a

\\\[ v\_L=\\sqrt{\\frac{K+4G/3}{\\rho}}, \\qquad v\_S=\\sqrt{\\frac{G}{\\rho}}. \\\]

Pertanto, la sola velocità longitudinale non consente di identificare tutte le costanti elastiche; per separare K e G è necessaria una misura delle onde trasversali. In un monocristallo o in un policristallo orientato, la velocità delle onde dipende inoltre dalla direzione di propagazione e dalla polarizzazione, per cui le formule isotrope possono nascondere una reale anisotropia elastica.

Le formulazioni tridimensionali agli elementi finiti utilizzano generalmente E e ν, K e G, oppure i parametri di Lamé λ e μ. La scelta è matematica e non costituisce un cambiamento del materiale fisico. In prossimità dell’incomprimibilità, tuttavia, una formulazione E-ν con ν vicino a 0,5 può soffrire di bloccaggio volumetrico, mentre una formulazione mista che utilizzi la pressione e la risposta deviatorica può fornire prestazioni migliori. Al contrario, l’inserimento di valori di E, G e K arrotondati in modo indipendente può violare le equazioni di conversione isotropa e generare una matrice di rigidezza internamente incoerente.

Questo è il rischio progettuale centrale: una costante convertita può essere numericamente coerente con un’equazione, pur risultando fisicamente inappropriata per il problema, la temperatura, la frequenza, la direzione o la microstruttura dell’acciaio oggetto del modello. Selezionare il modulo innanzitutto in base alla modalità di deformazione, quindi verificare che le condizioni di misura e le ipotesi di isotropia siano compatibili con il componente e con l’analisi.

## Errori comuni nei calcoli dei moduli dell’acciaio

I calcoli dei moduli dell’acciaio spesso risultano errati perché grandezze con significati fisici diversi vengono trattate come intercambiabili. Il modulo di Young E, il modulo di taglio G, il modulo di comprimibilità K o B e il coefficiente di Poisson ν descrivono la deformazione elastica. Il limite di snervamento descrive l’inizio di una deformazione permanente sostanziale. Queste grandezze appartengono a parti diverse del modello del materiale.

Per un solido isotropo, lineare-elastico, solo due costanti elastiche sono indipendenti. Il capitolo *Elasticity of Solids* di Springer (2020) lo afferma direttamente. I Sandia National Laboratories elencano l’insieme correlato come modulo di Young E, coefficiente di Poisson ν, modulo di comprimibilità K, modulo di taglio G, primo parametro di Lamé λ e 2⁢μ; la specificazione di E e ν determina gli altri parametri. Le conversioni comuni sono

G=E2⁢(1+ν)

e

K=E3⁢(1−2⁢ν).

Queste equazioni non sono fatti sperimentali indipendenti. Sono conseguenze dell’ipotesi di comportamento isotropo e lineare-elastico. Il loro impiego richiede valori compatibili, unità coerenti e uno stato del materiale per il quale l’isotropia costituisca un’approssimazione ragionevole.

### Confondere il modulo con il limite di snervamento

#### Errori comuni di calcolo

- **Sostituzione della resistenza** Usare il carico di snervamento al posto del modulo di Young confonde un limite plastico con la rigidezza elastica.
- **Mescolanza delle unità** Combinare MPa e GPa senza conversione può introdurre un errore di un fattore 1000.
- **Mescolanza dei metodi** Combinare E statico con ν o G dinamici può creare un insieme algebricamente valido ma fisicamente incoerente.
- **Omissione della direzione** Usare un unico modulo scalare per una lamiera, un filo, saldature o materiale ottenuto per fabbricazione additiva fortemente tessiturati può nascondere l’anisotropia.
- **Omissione della temperatura** Applicare un unico valore a temperatura ambiente a condizioni criogeniche o ad alta temperatura può rappresentare in modo errato la risposta.

L’errore più persistente consiste nel definire un acciaio ad alta resistenza “più rigido” perché il suo limite di snervamento è maggiore. Il limite di snervamento misura la tensione alla quale inizia la deformazione plastica secondo un criterio specificato, spesso una deformazione convenzionale come lo 0,2%. Il modulo di Young misura la pendenza della risposta elastica tensione–deformazione prima di tale transizione. Un trattamento termico, un ciclo di riduzione a freddo, una reazione di precipitazione o una variazione del contenuto di carbonio possono aumentare notevolmente il limite di snervamento senza produrre una variazione comparabile della pendenza elastica iniziale.

Questa distinzione è importante nella progettazione. La deformazione sotto un carico di esercizio è governata principalmente da E, dalla geometria, dalle condizioni al contorno e dal carico; la verifica della tensione ammissibile richiede inoltre il limite di snervamento o un altro limite di resistenza. Sostituire E con il limite di snervamento di una designazione produce risultati dimensionalmente plausibili, ma fisicamente privi di significato. Un calcolo che divide la tensione per il limite di snervamento può stimare un coefficiente di utilizzazione. Non calcola la deformazione elastica.

Lo stesso errore si presenta nel taglio. Il modulo di taglio è definito dalla relazione elastica tra tensione di taglio e deformazione di taglio,

τ=G⁢γ.

Il limite di snervamento a taglio è un limite plastico. Può essere stimato mediante un criterio di snervamento, come la relazione di von Mises, ma non è G e non si ottiene assegnando a un modulo le unità di una tensione e cambiandone il nome. OpenStax (2020) distingue chiaramente le modalità di deformazione: il modulo di Young descrive la risposta a trazione, il modulo di comprimibilità descrive la compressione volumetrica e il modulo di taglio descrive la deformazione a taglio.

Una specifica dell’acciaio può quindi contenere sia un requisito relativo al limite di snervamento sia un’ipotesi sulle proprietà elastiche, senza che tali valori siano collegati da una semplice conversione basata sulla designazione. Per i calcoli strutturali, è opportuno registrare la designazione pertinente e la norma di prodotto, ad esempio lamiera o foglio ASTM A240/A240M, materiale EN 10025-2 S355 oppure acciaio inossidabile ASTM A276 Type 304, insieme allo spessore, alla forma del prodotto e alla direzione di prova. La designazione identifica il requisito relativo al materiale; non rende esatto un valore generico del modulo per ogni prodotto.

Un altro errore consiste nel trattare ogni designazione come se avesse un unico valore esatto di E. Gli acciai ferritici, martensitici, bainitici, austenitici e duplex possono presentare frazioni di fase, tessiture, livelli di porosità nei prodotti fusi e tensioni residue differenti. Questi fattori influenzano la risposta elastica misurata. Per molte stime ingegneristiche, un valore isotropo convenzionale è adeguato, ma rimane un’ipotesi o un valore adottato per la progettazione, non una costante fisica universale associata alla parola “acciaio”.

### Confondere i valori statici e dinamici

I moduli statici e dinamici sono correlati, ma non sono automaticamente intercambiabili. Un modulo statico si ottiene da una prova meccanica applicata lentamente, comunemente dalla pendenza di una curva tensione–deformazione a trazione o a compressione in un intervallo di deformazione specificato. Il risultato può essere influenzato dalla cedevolezza della macchina, dall’allineamento degli afferraggi, dalle condizioni superficiali, dalla velocità di deformazione, dall’isteresi, dalla microplasticità e dal modo in cui viene adattata la pendenza.

Un modulo dinamico viene dedotto dalla propagazione delle onde, dalla risonanza o da un’altra misurazione dipendente dal tempo. La norma ASTM E1875-20a specifica la determinazione del modulo di Young dinamico, del modulo di taglio e del coefficiente di Poisson “mediante risonanza sonica”. Le frequenze di risonanza e le dimensioni del provino vengono utilizzate per dedurre le costanti elastiche. Questo metodo può fornire dati precisi a piccole deformazioni, ma il risultato corrisponde a una deformazione ad alta frequenza e di ampiezza molto ridotta e dovrebbe essere etichettato di conseguenza.

Le misurazioni dinamiche dipendono inoltre dalla densità, dalla geometria del provino, dalla frequenza, dalla temperatura e dall’identificazione del modo di vibrazione. Un valore ricavato da una risonanza longitudinale non dovrebbe essere inserito in un calcolo a taglio senza la relazione appropriata e un coefficiente di Poisson compatibile. Analogamente, il “modulo di elasticità” riportato in un manuale può essere una convenzione progettuale, mentre un rapporto di risonanza può identificare un modulo dinamico. I due valori non dovrebbero essere confrontati come se provenissero dalla stessa prova.

Quando si convertono E, G e K, occorre indicare se i valori di input sono statici o dinamici. La combinazione di un valore di E ottenuto da una prova di trazione con un ν ottenuto mediante risonanza sonica può creare un insieme internamente incoerente, anche se entrambi i valori sono individualmente credibili. Il calcolo può rispettare l’algebra, ma non rappresentare un unico stato misurato del materiale.

Il coefficiente di Poisson richiede particolare attenzione, perché l’incertezza in ν diventa importante nell’equazione del modulo di comprimibilità. Se E=200 GPa e ν=0.30, la relazione isotropa dà K=166.7 GPa. Se allo stesso E si combina ν=0.29, si ottiene K=158.7 GPa; con ν=0.31, il valore diventa K=175.4 GPa. Una variazione di soli 0,01 in ν modifica il valore calcolato di K di circa il 5%. In prossimità di ν=0.5, la sensibilità è molto maggiore, perché 1−2⁢ν tende a zero. È preferibile indicare il valore assunto, la relativa fonte e un intervallo di sensibilità, invece di presentare il K risultante come una costante misurata.

Le unità costituiscono un problema più semplice, ma frequente. Poiché 1GPa=1000MPa, l’inserimento di un valore di E in MPa insieme a un valore di G in GPa può introdurre un errore pari a un fattore 1000. Durante il calcolo, mantenere tutti i moduli in un unico sistema di unità e indicare l’unità accanto al risultato finale.

I valori del modulo di comprimibilità richiedono una tracciabilità della fonte. Engineering ToolBox riporta un valore approssimativo di 163 GPa per l’acciaio inossidabile, ma si tratta di una stima tratta da una fonte secondaria, non di un valore universale per ogni designazione di acciaio inossidabile, forma del prodotto, temperatura o condizione di prova. Una citazione difendibile dovrebbe identificare la misurazione o il calcolo originale, la composizione, la condizione di fase, la temperatura, l’intervallo di pressione, la base di densità e il metodo. La definizione termodinamica del National Institute of Standards and Technology (1982), B=−V⁢(∂⁢P/∂⁢V)T, rende esplicita la condizione di temperatura. Un valore copiato da una tabella senza tali condizioni dovrebbe essere contrassegnato come approssimativo.

### Ignorare l’anisotropia e la temperatura

Le equazioni isotrope presuppongono che la risposta sia la stessa in ogni direzione. La lamiera laminata, il filo trafilato, la barra forgiata e l’acciaio prodotto additivamente sviluppano comunemente una tessitura cristallografica. La loro risposta elastica può variare in funzione della direzione di carico, anche quando il materiale appare uniforme a occhio nudo. Una lamiera fortemente orientata può richiedere costanti specifiche per direzione anziché un unico valore di E, G e ν.

L’elasticità del cristallo singolo è descritta da una matrice di rigidezza elastica, non da un unico modulo scalare. Il capitolo del manuale NIST del 1982 spiega come le costanti quasi isotrope dei policristalli possano essere derivate dai dati di rigidezza dei cristalli singoli per elementi cubici ed esagonali. Tale media costituisce un modello. Diventa meno adatta quando la tessitura è marcata, le proporzioni delle fasi variano nello spazio oppure il prodotto contiene inclusioni o pori orientati.

La temperatura è un’altra variabile spesso omessa. Le costanti elastiche generalmente cambiano con la temperatura e le trasformazioni di fase possono produrre discontinuità più marcate del normale rammollimento termico. Un rapporto del National Bureau of Standards (1981) ha misurato le costanti elastiche dell’acciaio austenitico Fe-5Cr-26Mn da 76 a 400 K, utilizzando le velocità del suono nelle modalità longitudinale e trasversale. L’intervallo di temperatura mostra di per sé perché un valore a temperatura ambiente non possa essere trasferito senza esplicitarlo a un servizio criogenico o ad apparecchiature operanti a temperatura elevata.

Un calcolo dovrebbe quindi indicare la designazione del materiale, la forma del prodotto, la direzione di prova, la temperatura, la modalità di deformazione, il metodo di misurazione e se le costanti siano statiche, dinamiche, isotrope o specifiche per direzione. Se tali dettagli non sono disponibili, il risultato va definito come una stima ingegneristica e si dovrebbe mostrare in che modo l’incertezza in E, G, K e ν influisca sulla risposta. Ciò è più accurato che assegnare un unico modulo esatto a ogni acciaio e permettere che un’ipotesi non dichiarata controlli la progettazione.

## Riferimenti

1. \[1\] National Institute of Standards and Technology. [Bulk modulus definition](https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172). NIST handbook chapter, 1982. [](/it/wiki/valori-calcolati/costanti-elastiche-dell-acciaio-e-relazioni-tra-i-moduli#wiki-cite-ref-1) https://tsapps.nist.gov/publication/get\_pdf.cfm?pub\_id=851172
2. \[2\] ASTM International. [Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance](https://www.astm.org/e1875-20a.html). ASTM E1875-20a, 2020. [](/it/wiki/valori-calcolati/costanti-elastiche-dell-acciaio-e-relazioni-tra-i-moduli#wiki-cite-ref-2) https://www.astm.org/e1875-20a.html
3. \[3\] Springer Nature. [Elasticity of Solids](https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4). Springer book chapter, 2020. [](/it/wiki/valori-calcolati/costanti-elastiche-dell-acciaio-e-relazioni-tra-i-moduli#wiki-cite-ref-3) https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8\_4
4. \[4\] OpenStax. [Stress, Strain, and Elastic Modulus](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus). University Physics Volume 1, 2020. [](/it/wiki/valori-calcolati/costanti-elastiche-dell-acciaio-e-relazioni-tra-i-moduli#wiki-cite-ref-4) https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
5. \[5\] National Bureau of Standards. [Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K](https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf). National Bureau of Standards report, 1981. [](/it/wiki/valori-calcolati/costanti-elastiche-dell-acciaio-e-relazioni-tra-i-moduli#wiki-cite-ref-5) https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf

 **A colpo d’occhio**

Costanti indipendenti nell’elasticità isotropa

2

Simbolo del modulo di Young

E

Simbolo del modulo di taglio

G

Simboli del modulo di compressibilità

K o B

Simbolo del coefficiente di Poisson

ν

Stima di riferimento del modulo di compressibilità per l’acciaio inossidabile

163 GPa

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