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Valores calculados

# Constantes de Elasticidade do Aço e Relações entre Módulos

Saiba como se relacionam E, G, K e ν no aço e por que motivo a temperatura, a textura, a fase e os ensaios influenciam os respetivos valores.

![Retrato de Anders Bergström, repórter da indústria do aço](/images/uploads/a7d8e5bc-7cdf-409b-913b-211e63e8c441/anders-bergstr-m-1920x1920.jpg)

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## O que significam as constantes elásticas do aço — e o que não significam

As constantes elásticas são parâmetros que relacionam a tensão aplicada com a deformação resultante enquanto um material permanece dentro do seu regime elástico. Nesse regime, a remoção da carga permite que o provete retome, pelo menos aproximadamente, as suas dimensões originais. Num ensaio de tração simples, o módulo de Young é a razão entre a tensão axial e a deformação axial,

E=σε.

Esta relação descreve o declive da parte inicial e recuperável de uma curva tensão–deformação. Não descreve a curva completa, nem indica quanta tensão o aço pode suportar antes de ocorrer deformação permanente ou fratura.

#### As seis grandezas isotrópicas relacionadas

Módulo de Young E

Rigidez axial à tração ou à compressão.

Coeficiente de Poisson ν

Razão entre a deformação transversal e a deformação axial sob carga elástica.

Módulo volumétrico K ou B

Resistência à compressão volumétrica uniforme.

Módulo de cisalhamento G

Resistência à distorção angular sob cisalhamento.

Primeiro parâmetro de Lamé λ

Parâmetro na lei constitutiva isotrópica tensão–deformação.

2μ

Dobro do segundo parâmetro de Lamé, em que μ é igual a G.

Apenas duas constantes elásticas são independentes para um sólido isotrópico linearmente elástico. Strong evidence

Para um sólido isotrópico e linearmente elástico, apenas duas constantes elásticas são independentes. Um conjunto frequentemente utilizado inclui o módulo de Young E, o coeficiente de Poisson ν, o módulo de compressibilidade K ou B, o módulo de cisalhamento G, o primeiro parâmetro de Lamé λ e 2⁢μ, onde μ=G. Os Sandia National Laboratories enumeram estas seis grandezas relacionadas e afirmam que E e ν determinam as restantes. Por exemplo,

G=E2⁢(1+ν)

e

K=E3⁢(1−2⁢ν).

Módulo volumétrico **Módulo volumétrico** Medida da resistência à variação uniforme do volume sob pressão; é normalmente representado por K ou B.

A notação varia: o NIST e outras fontes utilizam frequentemente B para o módulo de compressibilidade, enquanto os textos de engenharia e o software de elementos finitos utilizam frequentemente K. Ambos descrevem a mesma propriedade isotrópica.

### Resposta elástica versus resistência e plasticidade

As constantes elásticas descrevem a rigidez ou o modo de deformação, não a resistência geral nem a resistência aos danos.
| Propriedade | Resposta principal | O que não mede |
|---|---|---|
| Módulo de Young E | Deformação elástica axial | Resistência ao escoamento ou resistência à fratura |
| Módulo de cisalhamento G | Distorção angular sob cisalhamento | Resistência ao escoamento por cisalhamento |
| Módulo volumétrico K ou B | Variação uniforme do volume sob pressão | Ductilidade à tração |
| Dureza | Resistência à indentação localizada | Rigidez elástica |
| Tenacidade | Absorção de energia e resistência à propagação de fissuras | Inclinação inicial da curva tensão–deformação |

A elasticidade responde a uma questão específica: que deformação acompanha uma determinada tensão antes do início da deformação permanente? A resistência responde a questões diferentes. A tensão de cedência identifica a tensão associada ao início de uma deformação plástica especificada; a resistência à tração é a tensão de engenharia máxima atingida durante um ensaio de tração; a resistência à fratura diz respeito à separação do provete. Nenhuma destas grandezas é outra designação para o módulo de Young.

Um aço pode ter uma tensão de cedência elevada e praticamente o mesmo módulo de Young que um aço de menor resistência e composição semelhante. A deformação a frio, o endurecimento por precipitação ou a transformação martensítica podem aumentar consideravelmente a tensão de cedência e a dureza, alterando muito menos o módulo de elasticidade à tração para pequenas deformações. Isto deve-se ao facto de os mecanismos de endurecimento dificultarem o movimento das deslocações, enquanto a resposta elástica inicial reflete principalmente a rigidez das ligações atómicas e a estrutura cristalina global. Esta distinção é fundamental ao comparar, por exemplo, um aço de baixa liga temperado e revenido com um produto recozido de composição química relacionada.

A plasticidade começa quando a relação tensão–deformação deixa de seguir o declive elástico linear original. Um modelo constitutivo plástico necessita então de informações como critérios de cedência, lei de endurecimento, regra de escoamento, sensibilidade à velocidade de deformação e dependência da temperatura. O módulo de Young, por si só, não fornece nenhuma dessas informações. Um modelo de elementos finitos que contenha um E exato, mas uma superfície de cedência inadequada, pode ainda assim prever incorretamente a deformação permanente.

Outras propriedades mecânicas respondem a questões ainda diferentes. A dureza mede a resistência à indentação localizada e frequentemente apresenta correlação com a resistência dentro de uma família controlada de aços, mas não é um módulo. A tenacidade diz respeito à absorção de energia e à resistência à propagação de fissuras sob uma condição de ensaio especificada. A resistência à fadiga diz respeito à acumulação de danos sob carregamentos repetidos ou variáveis. Um aço pode ter um módulo de elasticidade semelhante ao de outro grau, mas apresentar dureza, tenacidade ao impacto, comportamento de propagação de fissuras ou vida à fadiga diferentes.

A elasticidade também não significa que todos os ciclos de carga sejam perfeitamente reversíveis. O aço real pode apresentar microplasticidade, anelasticidade, efeitos de tensões residuais, histerese ou danos antes de ser evidente um ponto de cedência convencional. O módulo indicado para um determinado ensaio está, portanto, associado ao seu intervalo de deformação, velocidade de carregamento, historial de ciclos e método de tratamento dos dados.

### O módulo como rigidez, não como tensão de rotura

Um módulo mede a rigidez: a tensão necessária para produzir uma deformação elástica especificada num modo de deformação definido. O módulo de Young diz respeito à extensão ou contração axial. O módulo de cisalhamento descreve a resistência à alteração de forma sob tensão de cisalhamento. O módulo de compressibilidade descreve a resistência à alteração uniforme de volume sob pressão. A OpenStax apresenta estas interpretações físicas correspondentes para a deformação por tração, por cisalhamento e volumétrica.

#### Distinção importante

Um módulo elevado indica maior rigidez, mas não significa que o aço suporte uma tensão mais elevada antes do escoamento ou da fratura.

Um módulo elevado significa que uma determinada tensão produz uma deformação elástica menor. Não significa que o material suporte uma tensão maior antes da cedência ou da fratura. Considerem-se dois componentes de aço com o mesmo E, mas com tensões de cedência diferentes. Sob a mesma tensão de serviço, sofrem aproximadamente a mesma extensão elástica. O componente de maior resistência pode tolerar uma tensão maior antes da deformação plástica, mas não é significativamente mais rígido na resposta elástica inicial apenas por ter uma tensão de cedência superior.

O módulo de compressibilidade tem uma definição termodinâmica particularmente clara. No capítulo do seu manual publicado em 1982, o National Institute of Standards and Technology escreve

B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T, \[1\] \[1\] [**Bulk modulus definition**](https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172). National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

onde V é o volume, P é a pressão e a derivada é calculada a temperatura constante. Trata-se de uma propriedade volumétrica, não de um limite de rotura à tração. É difícil comprimir uniformemente o aço, pelo que o seu módulo de compressibilidade é elevado; esse facto, por si só, diz pouco sobre a ductilidade à tração ou a tenacidade à fratura.

O módulo também não deve ser confundido com a resiliência. A energia elástica armazenada por unidade de volume depende da tensão e do módulo, e a energia recuperável até à cedência depende tanto do módulo como da tensão de cedência. O aumento da tensão de cedência pode, portanto, aumentar a capacidade de armazenamento de energia elástica, mesmo quando E sofre apenas uma alteração ligeira.

### Por que razão um grau de aço não tem um único módulo universal

As designações dos aços identificam especificações ou condições, não constantes elásticas imutáveis.
| Designação ou família | O que identifica | Por que motivo o rótulo é insuficiente para determinar um único módulo |
|---|---|---|
| ASTM A36 | Uma especificação de produto de aço estrutural | A forma do produto, a direção, a temperatura e o método de ensaio continuam a ser relevantes |
| ASTM A572 Grade 50 | Um grau no âmbito de uma especificação de aço estrutural | Os requisitos de resistência não definem um único valor elástico universal |
| EN 10025-2 S355JR | Uma designação europeia de aço estrutural | A condição de fornecimento e os detalhes do produto afetam as propriedades declaradas |
| AISI 304 | Um grau de aço inoxidável austenítico | A textura, a condição de fase, a temperatura e o método podem variar |
| 17-4 PH H900 | Uma condição de aço inoxidável endurecível por precipitação | A condição do tratamento térmico faz parte da descrição do material |

Uma designação como ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, EN 10025-2 S355JR ou AISI 304 identifica uma especificação, um intervalo de composição, uma condição do produto ou um conjunto de requisitos de desempenho; não define um único valor elástico imutável para todos os provetes fabricados segundo essa designação. A resposta medida depende do estado do material e das condições do ensaio.

A temperatura é uma variável importante. As constantes elásticas geralmente variam com a temperatura, e as transformações de fase podem produzir alterações maiores quando modificam a estrutura cristalina ou a mistura de fases. Um relatório do National Bureau of Standards publicado em 1981 mediu as constantes elásticas do aço austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 e 400 K, utilizando as velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Esse intervalo de temperatura, por si só, demonstra por que razão um valor sem temperatura de ensaio é incompleto.

Quase isotrópico **Quase isotrópico** Uma resposta efetiva do material suficientemente próxima da isotropia para um cálculo, intervalo de direções e escala definidos, embora os grãos individuais permaneçam anisotrópicos.

A textura e a direção também são importantes. Os cristais individuais de ferrite, austenite ou martensite são elasticamente anisotrópicos, o que significa que a sua rigidez depende da direção cristalográfica. Chapas laminadas, barras forjadas, fios trefilados e materiais fabricados por adição podem desenvolver orientações preferenciais. Um agregado policristalino pode comportar-se aproximadamente de forma isotrópica quando as orientações cristalinas estão suficientemente distribuídas, mas um produto com textura acentuada pode exigir constantes específicas para cada direção. O módulo longitudinal na direção de laminagem não tem necessariamente de ser igual ao valor através da espessura.

A constituição das fases, as inclusões, a porosidade, as tensões residuais, a estrutura dos grãos e a forma do produto também influenciam a resposta agregada medida. O metal de soldadura e as zonas afetadas pelo calor podem diferir da chapa de base, mesmo quando estão abrangidos pela mesma especificação do projeto. As constantes de um monocristal não podem simplesmente ser substituídas pelos valores de projeto de um material policristalino. O manual do NIST explica como os módulos quase isotrópicos de Young, de cisalhamento, de compressibilidade e outros módulos relacionados podem ser derivados dos dados de rigidez elástica de monocristais para materiais cúbicos e hexagonais, mas esse cálculo depende da simetria cristalina e de pressupostos relativos à média das orientações.

Diferentes ensaios analisam diferentes modos de deformação e regimes de medição.
| Método | Resposta primária medida | Constantes normalmente declaradas | Principais qualificações |
|---|---|---|---|
| Ensaio de tração | Força e deformação axial | E estático ou quase-estático; ν se a deformação lateral for medida | Sensível ao alinhamento, à configuração do extensómetro, à conformidade e ao intervalo de inclinação |
| Ensaio de compressão | Força e deslocamento ou deformação axial | Módulo axial | O atrito nas extremidades, a encurvadura e o alinhamento das placas de compressão podem afetar o resultado |
| Ressonância sónica | Frequências naturais de ressonância | E, G e ν dinâmicos | Depende da geometria, da densidade, das condições de apoio, do amortecimento e da frequência |
| Velocidade de propagação de ondas ultrassónicas | Velocidades das ondas longitudinais e transversais | G, K, E e ν dinâmicos | Depende da densidade, da temperatura, da direção, da polarização e da identificação do modo |
| Compressão hidrostática | Resposta pressão–volume | Módulo volumétrico K ou B | Requer pressão controlada, medição do volume e controlo da temperatura |

\[2\] \[2\] [**Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance**](https://www.astm.org/e1875-20a.html). ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.A ASTM E1875-20a especifica a medição dinâmica do módulo de Young, do módulo de cisalhamento e do coeficiente de Poisson por ressonância sónica. Strong evidence

O método de medição altera o resultado indicado. Um ensaio de tração lento produz um módulo estático ou um módulo secante/tangente baseado na força e no deslocamento, enquanto os métodos ultrassónicos ou de ressonância determinam um módulo dinâmico a partir da velocidade de propagação das ondas ou da frequência natural. A norma ASTM E1875-20 especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de cisalhamento e do coeficiente de Poisson “por ressonância sónica”. Os valores dinâmicos podem diferir dos valores estáticos devido à frequência, ao amortecimento, à rigidez da máquina, à amplitude de deformação e ao tratamento das partes não ideais do provete.

Consequentemente, um relatório útil sobre um módulo deve indicar, pelo menos, a designação do aço, a forma e a condição do produto, a temperatura, a direção de carregamento, o modo de deformação e o método de medição. Deve também identificar se o valor foi medido, calculado a partir de outras constantes ou adotado como pressuposto de projeto. A Engineering ToolBox apresenta um módulo de compressibilidade aproximado de 163 GPa para “stainless steel”, mas trata-se de uma estimativa de referência secundária, não de um valor universal para todos os graus de aço inoxidável, tratamentos térmicos, texturas, temperaturas ou métodos de ensaio. A utilização de um único número para todos os produtos pode ser aceitável num cálculo isotrópico preliminar quando o pressuposto é declarado. Apresentá-lo como um facto material independente do grau não é aceitável.

## A base de duas constantes da elasticidade linear isotrópica

A elasticidade linear descreve a parte reversível da resposta de um material enquanto a tensão e a deformação permanecem suficientemente pequenas para que se possa aplicar uma relação linear. A palavra *isotrópica* acrescenta uma condição distinta: pressupõe-se que a resposta é a mesma em todas as direções. Sob estas duas hipóteses, o tensor de rigidez elástica tem muito menos termos independentes do que um sólido anisotrópico geral. Assim, seis grandezas frequentemente reportadas — o módulo de Young E, o coeficiente de Poisson ν, o módulo de compressibilidade K ou B, o módulo de corte G, o primeiro parâmetro de Lamé λ e 2⁢μ — podem ser expressas a partir de apenas duas constantes escolhidas.

Este resultado aplica-se ao modelo constitutivo, não automaticamente a todos os valores medidos e reportados para o aço. A temperatura, a constituição das fases, a textura cristalográfica, a porosidade, a tensão residual, a orientação do provete, a frequência e o método de ensaio podem afetar a resposta medida. Um valor utilizado num modelo isotrópico de elementos finitos é frequentemente uma propriedade de engenharia efetiva, e não uma descrição completa da microestrutura do material.

![Constantes de Elasticidade do Aço e Relações entre Módulos](/images/uploads/41f0dedf-2ffb-4836-875e-f8d8e37a8117/wiki-inline-a-labelled-tensor-diagram-showing-how-isotropic-stress-and-strain-reduce-to-two-1520x1920.jpg)[](/images/uploads/41f0dedf-2ffb-4836-875e-f8d8e37a8117/wiki-inline-a-labelled-tensor-diagram-showing-how-isotropic-stress-and-strain-reduce-to-two-2027x2560.avif "Ampliar imagem — Constantes de Elasticidade do Aço e Relações entre Módulos")Under isotropic linear elasticity, the named constants are linked rather than independently adjustable.

### Por que razão são necessárias apenas duas constantes independentes

A tensão e a deformação são tensores de segunda ordem. Num sólido elástico linear mais geral, a relação entre ambas exige um tensor de rigidez de quarta ordem, com numerosos acoplamentos direcionais possíveis. A simetria dos tensores de tensão e de deformação reduz o número de termos independentes, e a simetria do material reduz esse número ainda mais. A isotropia impõe a simetria material ordinária mais forte: nenhuma direção é mecanicamente distinguida.

A relação isotrópica entre tensão e deformação pode ser escrita como

σij=2⁢μ⁢εij+λεkk⁢δij,

onde σij é o tensor de tensão, εij é o tensor de deformação, δij é o delta de Kronecker, e λ e μ são os parâmetros de Lamé. Assim, λ e μ constituem um par válido de constantes independentes. O módulo de corte é G=μ, pelo que utilizar G e λ é equivalente.

A obra *Elasticity of Solids* (2020), da Springer, enuncia diretamente o resultado central: para um sólido isotrópico, apenas duas constantes elásticas são independentes. A documentação Sierra dos Sandia National Laboratories apresenta o conjunto isotrópico relacionado como o módulo de Young E, o coeficiente de Poisson ν, o módulo de compressibilidade K, o módulo de corte G, o primeiro parâmetro de Lamé λ e 2⁢μ, afirmando que E e ν determinam as restantes. A existência de seis designações não cria seis propriedades do material ajustáveis separadamente.

Para o par comum E,ν, as conversões são

G=E2⁢(1+ν),

K=B=E3⁢(1−2⁢ν),

λ=E⁢ν(1+ν)⁢(1−2⁢ν),

e

2⁢μ=2⁢G=E1+ν.

As relações inversas também são úteis:

E=9⁢KG3⁢K+G,

ν=3⁢K−2⁢G2⁢(3⁢K+G).

Estas equações não são correlações empíricas limitadas a uma única família de aços. Resultam da lei constitutiva elástica linear isotrópica. Impõem também requisitos de consistência. Para um sólido isotrópico estável e ordinário, G\>0, K\>0 e −1\<ν\<0.5. À medida que ν se aproxima de 0.5, o material torna-se quase incompressível no modelo: K aumenta muito mais do que G, enquanto E permanece relacionado com ambos.

Os significados físicos diferem, embora as constantes estejam matematicamente relacionadas. A OpenStax descreve o módulo de Young como a razão que rege a resposta à tração, o módulo de compressibilidade como a resposta à compressão volumétrica e o módulo de corte como a resposta à deformação de corte. Um ensaio de tração fornece principalmente E, mas a deformação lateral medida juntamente com a deformação axial fornece ν. Uma experiência pressão–volume visa determinar K, enquanto um ensaio de torção ou uma medição de ondas de corte visa determinar G. Uma vez conhecido qualquer par consistente, os restantes módulos são calculados, e não escolhidos independentemente.

A definição termodinâmica do módulo de compressibilidade torna explícita a sua distinção em relação ao módulo de Young:

B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T.

Esta expressão, apresentada pelo National Institute of Standards and Technology em 1982, descreve a resistência à variação de volume sob pressão a temperatura constante. Isto não significa que um módulo de compressibilidade tabelado seja permutável com um módulo de tração. A relação numérica entre ambos só existe depois de aplicadas as hipóteses constitutivas isotrópicas.

### E e ν como par de entrada prático

Os cálculos de engenharia utilizam habitualmente E e ν, porque estas grandezas correspondem naturalmente a um ensaio de tração uniaxial e são diretamente suportadas por dados normalizados relativos a materiais estruturais. Num modelo isotrópico tridimensional, a introdução dessas duas grandezas permite ao software calcular G, K, λ e 2⁢μ sem constantes adicionais do material. A introdução das seis grandezas pode criar um modelo inconsistente se os valores não satisfizerem as equações de conversão.

Isto é especialmente importante quando os valores provêm de fontes diferentes. Um módulo de tração estático, um módulo dinâmico obtido por ressonância e uma estimativa do módulo de compressibilidade podem ser válidos nas respetivas condições de medição, embora não reproduzam exatamente uns aos outros através das equações isotrópicas. A norma ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de corte e do coeficiente de Poisson “por ressonância sónica”. Na prática, estas são medições dependentes da frequência ou sensíveis à taxa de deformação, mesmo quando o material permanece dentro do seu domínio elástico. Não se deve presumir que sejam idênticas aos valores obtidos em ensaios de tração a baixa velocidade sem verificar as condições do ensaio.

Uma referência secundária, Engineering ToolBox, indica um módulo de compressibilidade aproximado de 163 GPa para o aço inoxidável. Esse valor é uma estimativa de referência, não uma constante universal para todos os tipos de aço inoxidável, tratamentos térmicos, temperaturas, formas de produto ou métodos de ensaio. Não deve ser combinado de forma irrefletida com um valor de E ou ν sem relação com ele e depois apresentado como uma propriedade medida específica de um determinado tipo de aço. A mesma precaução aplica-se aos valores do *Steel Castings Handbook*, da ASM, onde o módulo de elasticidade, o coeficiente de Poisson, o módulo de corte e propriedades físicas relacionadas são apresentados como dados característicos de peças de [aço fundido](/pt/categorias/aço-fundido "aço fundido"). “Aço” não corresponde a um único provete elástico fixo.

A distinção entre propriedades estáticas e dinâmicas é importante no projeto. Os ensaios dinâmicos inferem as constantes elásticas a partir de frequências de ressonância ou velocidades de propagação de ondas; os ensaios estáticos inferem-nas a partir da força, do deslocamento e da deformação. Um módulo dinâmico pode diferir devido à frequência, ao amortecimento, aos mecanismos microestruturais, à temperatura e à instrumentação. O relatório do National Bureau of Standards sobre o aço austenítico Fe-5Cr-26Mn mediu constantes elásticas entre 76 e 400 K a partir das velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Esse intervalo demonstra por que razão um valor sem indicação da temperatura e do método pode ser incompleto, mesmo quando a designação do material é precisa.

### O papel da isotropia e da quase-isotropia

Um aço policristalino pode comportar-se aproximadamente de forma isotrópica quando os seus grãos são pequenos, numerosos e apresentam uma orientação suficientemente aleatória. Os cristais individuais permanecem anisotrópicos, mas os efeitos direcionais podem compensar-se numa escala de volume representativa. Esta é a base para utilizar um E efetivo e um ν efetivo em muitos cálculos estruturais.

A aproximação enfraquece quando o processamento cria uma textura forte. A laminagem, a forjagem, o fabrico aditivo, a solidificação direcional e os ciclos térmicos de soldadura podem produzir orientações cristalográficas preferenciais. Nesse caso, uma chapa pode apresentar propriedades longitudinais, transversais e na direção da espessura diferentes. Um produto fundido pode apresentar outro padrão devido à estrutura dendrítica, à segregação, à porosidade e à orientação local dos grãos. A constituição das fases também é importante: a ferrite, a austenite, a martensite, a bainite e a austenite retida não contribuem com um comportamento elástico de cristal individual idêntico.

*Quase-isotrópico* descreve uma resposta efetiva suficientemente próxima da isotropia para uma finalidade, um intervalo direcional e uma escala especificados. Não elimina a anisotropia cristalina nem garante que todos os módulos medidos em todas as orientações estejam de acordo. O capítulo do manual do NIST sobre constantes elásticas de monocristais explica como E, G, B, o módulo longitudinal e ν policristalinos podem ser obtidos a partir de dados de rigidez de cristais individuais para elementos cúbicos e hexagonais. Esse procedimento torna visível a hipótese de média, em vez de tratar as constantes policristalinas resultantes como valores fundamentais.

Para um aço com textura forte, um modelo de elasticidade anisotrópica pode exigir mais de duas constantes independentes e tem de conservar a orientação do provete. Para um componente de aço quase isotrópico, duas constantes efetivas podem ser suficientes para o cálculo pretendido, desde que a hipótese tenha sido verificada através de medições. O capítulo *Constitutive Response*, da Oxford Academic, também enquadra a elasticidade linear isotrópica em torno de duas constantes independentes. A questão prática, portanto, não é saber se o aço possui seis módulos elásticos independentes. No modelo isotrópico, não possui. A questão é saber se as duas constantes escolhidas representam o material, a temperatura, a direção e o regime de medição relevantes para o cálculo.

## Módulo de Young E no aço

O módulo de Young, E, descreve a rigidez de um material à tração ou à compressão uniaxial. Segundo a definição linear-elástica aplicável, corresponde à razão entre a tensão axial e a deformação axial:

E=σε

Aqui, σ é a tensão normal que atua ao longo do eixo do provete e ε é a deformação axial correspondente. Para uma resposta perfeitamente linear, o gráfico tensão–deformação é uma linha reta que passa pela origem, e E é o seu declive. As unidades são pascais, sendo normalmente expressas, para o aço, em gigapascais.

Esta definição aplica-se apenas à parte do carregamento em que a resposta do material é linear e recuperável. Isto não significa que qualquer razão entre tensão e deformação medida durante um ensaio de aço seja o módulo de Young. Quando surge deformação plástica, transformação de fase, dano ou uma não linearidade significativa, o declive ou a razão selecionada descreve uma propriedade diferente.

### Tensão uniaxial e deformação axial

Um ensaio de tração uniaxial aplica uma força ao longo de uma direção principal do provete. A tensão axial convencional é geralmente calculada dividindo a força aplicada pela área original da secção transversal:

σ=FA0

A deformação axial convencional é a variação do comprimento de referência dividida pelo seu comprimento original:

ε=L−L0L0

Para pequenas deformações, estas definições fornecem o valor convencional habitual de E. Um extensómetro de ensaio ou um extensómetro de resistência mede o alongamento ao longo de um comprimento de referência especificado, enquanto a máquina de ensaio regista a força e o deslocamento. O declive medido pode ser afetado pela deformabilidade da máquina, pelo movimento das garras, pelo alinhamento do provete, pelo estado da superfície e pelo método utilizado para determinar a parte inicial da curva.

No regime elástico, um provete de tração também sofre contração lateral. O coeficiente de Poisson, ν, relaciona a deformação lateral com a deformação axial, geralmente através de

ν=−εtransverseεaxial \[3\] \[3\] [**Elasticity of Solids**](https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4). Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

Para um sólido isotrópico linear-elástico, E e ν determinam as restantes constantes elásticas. A documentação Sandia Sierra apresenta o conjunto isotrópico relacionado como o módulo de Young E, o coeficiente de Poisson ν, o módulo volumétrico K, o módulo de corte G, o primeiro parâmetro de Lamé λ e 2⁢μ; a afirmação de que E e ν determinam os restantes reflete a estrutura de duas constantes da elasticidade isotrópica. A obra *Elasticity of Solids*, da Springer, afirma igualmente que, para um sólido isotrópico, apenas duas constantes elásticas são independentes.

As relações habitualmente utilizadas no dimensionamento são

G=E2⁢(1+ν)

e

K=E3⁢(1−2⁢ν)

em que G é o módulo de corte e K, também representado por B, é o módulo volumétrico. Estas equações não fazem de E, G, K e ν quatro propriedades independentes do grau do material. Relacionam medições efetuadas sob diferentes modos de deformação quando são adequadas as hipóteses de isotropia e de comportamento linear-elástico.

A distinção entre os modos de deformação é importante. O módulo de Young diz respeito à extensão ou contração axial, o módulo de corte diz respeito à distorção angular sob corte e o módulo volumétrico diz respeito à variação de volume sob pressão hidrostática. A OpenStax apresenta estas grandezas como interpretações físicas distintas da resposta elástica. O tratamento de 1982 do manual do NIST define termodinamicamente o módulo volumétrico como

B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T

pelo que o seu valor diz respeito à variação de volume provocada pela pressão a uma temperatura especificada, e não simplesmente ao declive de uma curva tensão–deformação de tração.

O aço é frequentemente tratado como isotrópico em cálculos correntes de engenharia, porque um produto policristalino pode conter muitas orientações cristalográficas. Esta aproximação pode falhar em chapa fortemente texturada, barra submetida a elevado grau de deformação, chapa laminada, uniões soldadas, material produzido por fabrico aditivo ou provetes de investigação monocristalinos. Os cristais de ferrite e austenite cúbicas possuem rigidezes elásticas dependentes da direção, embora um agregado com orientações adequadamente distribuídas possa apresentar um comportamento quase isotrópico. O NIST explica como podem ser calculados o E, o G, o B, o módulo longitudinal e o coeficiente de Poisson policristalinos a partir de dados de rigidez elástica de monocristais para materiais cúbicos e hexagonais.

Consequentemente, um valor indicado para “aço” não é automaticamente uma constante universal para todas as formas de produto. A composição química, a ferrite, a perlite, a bainite, a martensite, a austenite retida, as populações de carbonetos, a porosidade, a textura e as tensões residuais podem afetar a resposta medida. O efeito pode ser reduzido numa configuração de ensaio e importante noutra.

### Módulo de elasticidade secante, tangente e inicial

O módulo de elasticidade inicial é o declive da curva tensão–deformação em, ou muito próximo de, tensão e deformação nulas. Na forma diferencial,

Einitial=d⁢σd⁢ε|ε→0

desde que a curva seja suficientemente linear e o sistema de medição tenha sido corrigido. Este é o valor mais estreitamente associado à definição convencional de módulo de Young.

Um módulo tangente é o declive local num ponto selecionado:

Etan=d⁢σd⁢ε

Se a curva permanecer linear, o módulo tangente é igual ao módulo inicial. Contudo, próximo da cedência, o aço pode apresentar uma curvatura causada pelo início da plasticidade, pelo movimento de deslocações, pela deformação de Lüders, por efeitos de transformação ou por artefactos do ensaio. O módulo tangente varia então com a tensão e a deformação. Deve ser indicado juntamente com o ponto ou intervalo de deformação em que foi medido.

Um módulo secante é o declive de uma linha que liga uma origem escolhida a um ponto selecionado da curva:

Esec=σε

para esse ponto selecionado. Representa uma média da resposta ao longo do intervalo, em vez de descrever o declive local. Se a curva se afastar da linearidade, os valores secante e tangente diferem. Um módulo secante determinado numa tensão superior à primeira cedência pode ser muito inferior ao módulo de elasticidade inicial, porque a deformação total inclui deformação plástica.

Estes termos não são, portanto, permutáveis. Designar um valor secante por “módulo de Young” sem indicar o intervalo de deformação ou de tensão pode induzir em erro um cálculo de dimensionamento. O mesmo problema ocorre quando uma máquina apresenta um declive obtido a partir do deslocamento do travessão, em vez de uma deformação medida diretamente no comprimento de referência. O assentamento das garras e a deformação do quadro podem distorcer a parte inicial da curva, enquanto a plasticidade pode distorcer uma parte posterior.

A deformação prévia também é importante. A laminagem a frio, a trefilagem, o endireitamento, a pré-deformação e o carregamento cíclico alteram as estruturas de deslocações e as tensões residuais. Podem modificar o declive inicial aparente, produzir assimetria entre tração e compressão e criar declives diferentes durante a descarga e a recarga. Um provete que tenha sido submetido a deformação plástica não é equivalente a um provete não deformado apenas por possuir a mesma designação nominal do grau do aço.

A temperatura também deve ser especificada. A rigidez elástica varia geralmente com a temperatura, e a constituição das fases pode alterar-se num intervalo de temperaturas mais amplo. Um relatório do National Bureau of Standards publicado em 1981 mediu constantes elásticas de um aço austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76–400 K, utilizando velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Esse intervalo de temperaturas demonstra por que razão um valor de tração à temperatura ambiente não deve ser transferido sem uma análise crítica para aplicações criogénicas ou análises a temperaturas elevadas.

### Módulo de Young estático e dinâmico

Um módulo de Young estático é obtido através da aplicação lenta de uma carga mecânica, geralmente medindo a força e a deformação axial durante um ensaio de tração ou de compressão. “Lenta” não significa que o resultado seja independente da velocidade. A velocidade de deformação, o historial de carregamento, o tempo de permanência, o aumento de temperatura e o sistema de medição da deformação podem influenciar o declive indicado. Os efeitos viscoelásticos são geralmente limitados no aço corrente em condições ambientais, mas a plasticidade dependente da velocidade, o amortecimento, os efeitos térmicos e a deformabilidade da máquina de ensaio podem ainda afetar o resultado próximo da transição elástico-plástica.

Um módulo de Young dinâmico é inferido a partir de uma medição de vibração, propagação de ondas ou ressonância. A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de corte e do coeficiente de Poisson “por ressonância sónica”. O método utiliza frequências de ressonância e dimensões do provete, entrando no cálculo a massa volúmica e as relações de vibração de vigas ou barras. Como a deformação oscila a uma frequência finita e, em geral, com uma amplitude muito pequena, o resultado não é simplesmente o valor obtido num ensaio de tração mais rápido.

#### Advertência relativa aos dados de projeto

Não transfira um módulo estático à temperatura ambiente para condições de serviço criogénicas, a temperatura elevada, com textura, soldadas, porosas ou fabricadas aditivamente sem verificar o estado e a direção relevantes.

As medições dinâmicas podem ser muito sensíveis à geometria do provete, às condições de apoio, à frequência, à massa volúmica, ao amortecimento e às descontinuidades internas. As medições estáticas são sensíveis ao alinhamento, ao posicionamento do extensómetro, ao comprimento de referência e à velocidade de deformação. Quando ambos os métodos são realizados corretamente dentro do mesmo regime elástico, os seus resultados podem ser próximos, mas a concordância não é garantida. Um módulo indicado deve, por conseguinte, identificar o método, a temperatura, a orientação, o estado do provete e se o valor é inicial, tangente, secante, estático ou dinâmico.

Um valor de referência aproximado de 163 GPa é por vezes indicado para o módulo volumétrico do aço inoxidável pela Engineering ToolBox, mas trata-se de uma estimativa secundária, não de um valor universal para todos os graus de aço inoxidável, designações normativas, temperaturas, texturas ou formas de produto. A mesma precaução aplica-se aos valores citados do módulo de Young. Nos modelos de dimensionamento isotrópicos, um par de constantes elásticas cuidadosamente selecionado é suficiente; ainda assim, os dados medidos do material devem corresponder ao estado do aço e ao modo de deformação utilizados no cálculo.

## Módulo de distorção G e rigidez de distorção

O módulo de distorção, G, mede a resistência de um sólido à alteração da sua forma causada por uma tensão de corte. Não descreve principalmente a resistência a uma alteração do volume. Em corte puro ideal, um par de planos do material desliza relativamente a outro, alterando os ângulos no interior do corpo, enquanto o seu volume permanece praticamente inalterado. Esta distinção separa G do módulo de compressibilidade, K ou B, que descreve a resistência à compressão hidrostática.

No caso do aço, G não é uma designação de classe independente que possa variar separadamente de todas as outras propriedades elásticas. Na elasticidade linear, homogénea e isotrópica, apenas duas constantes elásticas são independentes. Uma tabela pode apresentar o módulo de Young E, o coeficiente de Poisson ν, o módulo de distorção G, o módulo de compressibilidade K, o primeiro parâmetro de Lamé λ e 2⁢μ, mas estas grandezas estão matematicamente relacionadas. Os Sandia National Laboratories apresentam este conjunto isotrópico de seis grandezas e afirmam que E e ν determinam as restantes. A mesma restrição a duas constantes é descrita em *Elasticity of Solids* (2020), da Springer.

### Tensão de corte e deformação angular

A tensão de corte, convencionalmente representada por τ, atua paralelamente a uma superfície. Se um elemento retangular for sujeito a corte, os seus ângulos inicialmente retos alteram-se por uma deformação angular γ. Para pequenas deformações, γ é medida em radianos e pode ser aproximada pelo deslocamento lateral dividido pela altura:

γ≈Δxh.

A relação elástica linear é

τ=G⁢γ,

ou

G=τγ.

Quanto maior for G, maior será a tensão de corte necessária para produzir uma determinada distorção angular. Trata-se de uma relação de rigidez, não de uma afirmação sobre cedência ou fratura. Um provete de aço pode ter um módulo de distorção elástico elevado e, ainda assim, sofrer deformação permanente quando a sua tensão de corte local excede a condição de cedência aplicável.

O corte puro ilustra a diferença entre a resposta à distorção e a resposta volumétrica. Um cubo pode transformar-se num paralelepípedo inclinado, enquanto os comprimentos das suas arestas e o seu volume sofrem alterações muito pequenas. Os sólidos reais também experimentam deformações normais durante o corte. Num material isotrópico, essas deformações associadas são determinadas através do coeficiente de Poisson e das equações constitutivas completas, mas a deformação principal que está a ser medida é a distorção angular.

Um material sujeito a pressão hidrostática comporta-se de forma diferente. A pressão atua igualmente em todas as direções e altera o volume sem produzir uma direção de corte preferencial. O módulo correspondente é definido termodinamicamente pelo NIST como

B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T,

onde V é o volume, P é a pressão e a derivada é calculada a temperatura constante. Esta definição, citada num capítulo de um manual do NIST de 1982, demonstra por que razão o módulo de compressibilidade não deve ser substituído por G num cálculo de torção ou de corte.

Para uma aproximação isotrópica do aço, a densidade de energia de deformação de corte é

us=12⁢τ⁢γ=τ22⁢G=12⁢G⁢γ2.

Essa energia armazenada é recuperada quando a carga é removida, desde que a deformação permaneça dentro do domínio elástico e não tenha intervindo nenhum mecanismo dependente do tempo ou de dano.

### Torção, ondas transversais e resposta ao corte

A torção é uma manifestação prática da elasticidade ao corte. Quando um veio de aço circular é torcido, as secções transversais rodam umas em relação às outras e os elementos do material sofrem uma deformação de corte que aumenta com a distância ao eixo do veio. Para um veio circular em torção de Saint-Venant,

T=GJ⁢φL,

onde T é o momento torsor, J é o segundo momento polar da área, φ é o ângulo de torção e L é o comprimento do veio. Reorganizando, obtém-se

φL=TGJ.

Um veio com maior G sofre menor torção sob o mesmo momento torsor, desde que a sua geometria e as suas condições de fronteira permaneçam inalteradas. Para um veio circular maciço, J=π⁢d4/32; para um veio circular oco, J=π⁢(do4−di4)/32. Estas equações aplicam-se ao domínio torsional elástico e requerem tratamento adicional no caso de secções não circulares, empenamento, plasticidade, tensão residual e produtos anisotrópicos.

O módulo de distorção também é medido através da velocidade das ondas elásticas transversais. Num meio isotrópico, a velocidade da onda transversal ou de corte é

vT=Gρ,

pelo que

G=ρ⁢vT2,

onde ρ é a massa volúmica. Uma onda transversal provoca o movimento das partículas perpendicularmente à direção de propagação. A sua força restauradora é a rigidez ao corte, enquanto uma onda longitudinal é controlada por uma combinação da rigidez volumétrica e da rigidez ao corte:

vL=K+43⁢Gρ.

A medição de ambas as velocidades das ondas permite, portanto, calcular mais do que uma constante elástica quando a massa volúmica é conhecida. Trata-se de uma medição dinâmica: o resultado reflete a resposta à frequência de ensaio, à temperatura, ao estado do provete e à amplitude da onda.

A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de distorção e do coeficiente de Poisson “por ressonância sónica”. O método utiliza frequências de ressonância associadas à resposta longitudinal e flexional ou torsional, em vez de uma curva de carregamento lenta e monotónica. Os valores dinâmicos e estáticos podem ser próximos para um provete de aço homogéneo num domínio elástico limitado, mas não devem ser considerados automaticamente idênticos.

O relatório do National Bureau of Standards sobre o aço austenítico Fe-5Cr-26Mn demonstra a importância das condições de ensaio. O relatório determinou constantes elásticas a partir das velocidades do som nos modos longitudinal e transversal entre 76 e 400 K. As alterações de temperatura afetam as ligações atómicas, a expansão térmica, a estabilidade das fases e o amortecimento associado aos defeitos; consequentemente, um módulo medido a temperatura criogénica não tem necessariamente de ser igual a um módulo medido próximo da temperatura ambiente. A constituição das fases e a textura cristalográfica do aço também são relevantes. Um monocristal depende da direção, enquanto um policristal pode aparentar ser isotrópico apenas quando as orientações dos grãos estão suficientemente randomizadas. A laminagem, a forjagem, a soldadura, os produtos de transformação e a textura retida podem produzir uma resposta ao corte direcional.

### Relação entre G, E e ν

Para a elasticidade linear, homogénea e isotrópica, a relação central é

G=E2⁢(1+ν).

Aqui, E é o módulo de Young e ν é o coeficiente de Poisson. Se forem conhecidas duas constantes independentes, as restantes constantes isotrópicas podem ser derivadas. Assim, apresentar E, G e ν como três números independentes específicos de uma classe é mecanicamente inconsistente, salvo se estiverem a ser discutidas a incerteza de medição, a anisotropia, a temperatura ou uma divergência em relação ao modelo.

A relação correspondente para o módulo de compressibilidade é

K=E3⁢(1−2⁢ν),

e a ligação direta entre K e G é

E=9⁢KG3⁢K+G.

Estas equações são relações do modelo, não regras universais de conversão aplicáveis a todos os produtos de aço. Pressupõem pequenas deformações, comportamento reversível, homogeneidade e isotropia do material, bem como uma temperatura e uma condição de carregamento nas quais as constantes elásticas se mantenham efetivamente fixas. Pressupõem também que os valores apresentados correspondem a definições compatíveis. Um módulo de tração estático, um módulo dinâmico obtido por ressonância e um módulo derivado de ondas podem diferir porque as suas frequências e amplitudes de deformação são diferentes.

Um valor de referência aproximado de 163 GPa para o módulo de compressibilidade do aço inoxidável é indicado pela Engineering ToolBox em 2024, mas esse valor não é universal para todas as classes de aço inoxidável, temperaturas, formas de produto, equilíbrios de fases ou métodos de ensaio. A mesma precaução se aplica a G. Os aços austeníticos, ferríticos, martensíticos e dúplex podem diferir quanto à textura, à fração de fases, ao estado magnético e ao historial de processamento. As normas e as especificações de projeto podem atribuir um valor isotrópico representativo para efeitos de cálculo, enquanto uma medição de investigação pode determinar constantes dependentes da direção.

Para cálculos de projeto isotrópicos, G=E/\[2⁢(1+ν)\] constitui a relação adequada entre a rigidez à tração e a rigidez ao corte. No caso de chapa texturada, material afetado pela soldadura, estruturas fundidas, monocristais ou aço multifásico com comportamento direcional acentuado, pode ser necessária, em vez disso, a matriz completa de rigidez anisotrópica. Nesse contexto, um único módulo de distorção escalar não pode descrever todos os planos de corte.

## Módulo de Compressibilidade K ou B e Compressão Volumétrica

O módulo de compressibilidade descreve a resistência a uma alteração uniforme do volume. Não descreve a resistência de uma barra de aço a ser esticada ao longo de um eixo, nem é intercambiável com o módulo de Young. Um ensaio de tração determina principalmente um módulo uniaxial; uma experiência sob pressão determina um módulo volumétrico. Os dois só estão relacionados depois de especificado um modelo elástico e os respetivos pressupostos.

Para a elasticidade linear isotrópica, os símbolos habituais são K ou B para o módulo de compressibilidade, E para o módulo de Young, G para o módulo de corte e ν para o coeficiente de Poisson. Estas não são quatro constantes de material que possam ser ajustadas independentemente. Como explica *Elasticity of Solids*, da Springer, um sólido isotrópico possui apenas duas constantes elásticas independentes. A documentação Sierra, da Sandia, apresenta o conjunto relacionado como o módulo de Young E, o coeficiente de Poisson ν, o módulo de compressibilidade K, o módulo de corte G, o primeiro parâmetro de Lamé λ e 2⁢μ; a especificação de E e ν determina os restantes.

### Definição termodinâmica do módulo de compressibilidade

O National Institute of Standards and Technology define o módulo de compressibilidade isotérmico como

B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T

onde V é o volume, P é a pressão e o índice T significa que a derivada é calculada a temperatura constante. O sinal negativo é necessário porque o aumento da pressão normalmente diminui o volume, pelo que ∂⁢P/∂⁢V é negativo.

Esta definição descreve o declive local da curva pressão–volume. É uma grandeza diferencial, não simplesmente a pressão dividida pelo volume ao longo de uma compressão arbitrariamente grande. Para uma pequena variação,

ΔVV≈−ΔPB.

Um B maior significa, portanto, que é necessária uma maior variação de pressão para produzir a mesma variação fracionária do volume. A unidade SI é o pascal, embora os dados relativos ao aço sejam normalmente apresentados em gigapascais.

A condição de temperatura constante é importante. Um material submetido a uma compressão lenta pode trocar calor com o ambiente, enquanto uma onda sonora rápida pode produzir uma deformação quase adiabática. Por conseguinte, as medições dinâmicas podem corresponder a um módulo efetivo diferente do obtido num ensaio mecânico lento. A própria pressão também pode alterar o declive, sobretudo quando a compressão é suficientemente grande para que as constantes elásticas já não sejam adequadamente representadas por uma única constante.

Para um sólido sob pressão hidrostática, as tensões normais são iguais nas três direções:

σ1=σ2=σ3=−P.

A deformação correspondente é uma deformação volumétrica,

εv=ΔVV=ε1+ε2+ε3,

para pequenas deformações. A relação constitutiva é então

P=−K⁢εv.

O sinal negativo resulta da convenção de sinais segundo a qual a tensão de tração e a deformação de tração são positivas, enquanto a pressão de compressão é positiva enquanto grandeza escalar.

### Pressão hidrostática e deformação volumétrica

A compressão hidrostática é diferente do carregamento uniaxial, embora ambos produzam tensões normais. Considere-se um provete de aço sujeito a tração num ensaio de tração. A tensão axial aplicada produz um alongamento axial, enquanto ocorre contração de Poisson nas duas direções transversais. O módulo de Young é definido a partir da tensão axial e da deformação axial nessa configuração de carregamento:

E=σε

dentro do regime elástico linear. \[4\] \[4\] [**Stress, Strain, and Elastic Modulus**](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus). OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

Sob pressão hidrostática, não é selecionada nenhuma direção. O provete contrai-se longitudinalmente ao longo dos três eixos, e a resposta relevante é a soma das três deformações normais. A OpenStax estabelece diretamente esta distinção física: o módulo de Young aplica-se ao carregamento de tração, o módulo de compressibilidade à compressão volumétrica e o módulo de corte à deformação de corte. Um ensaio de tração uniaxial não impõe diretamente o estado necessário para medir K.

Para um sólido elástico linear isotrópico, os módulos estão relacionados por

K=E3⁢(1−2⁢ν)

e

E=3⁢K⁢(1−2⁢ν).

A outra relação habitualmente utilizada é

E=2⁢G⁢(1+ν).

Assim, um E e um ν conhecidos podem ser convertidos em K, mas o resultado herda as condições e incertezas associadas a ambos os valores de entrada. Se E for um módulo dinâmico obtido por ressonância, enquanto ν provier de um ensaio de tração lento, o módulo de compressibilidade calculado poderá não representar um único estado de medição internamente consistente.

A fórmula também mostra por que razão o módulo de compressibilidade é muito sensível ao coeficiente de Poisson próximo da incompressibilidade. Para um valor nominal do aço de E=200 GPa e ν=0.30,

K=2003⁢(1−0.60)≈167⁢ GPa.

Alterando ν para 0.49 e mantendo o mesmo E, obtém-se

K=2003⁢(1−0.98)≈3333⁢ GPa.

Esta alteração muito significativa não é um simples efeito de arredondamento. Resulta do facto de o denominador tender para zero à medida que ν se aproxima de 0.5. Um pequeno erro em ν, ou um valor obtido a uma temperatura, frequência, constituição de fases ou método de medição diferente, pode produzir uma alteração substancial no K calculado.

### Por que razão os metais são frequentemente descritos como quase incompressíveis

Os metais são frequentemente designados como quase incompressíveis porque a sua deformação volumétrica sob uma pressão mecânica normal é pequena quando comparada com a alteração de forma provocada pelo corte ou por uma tensão uniaxial. O seu módulo de compressibilidade é, em geral, muito superior ao seu módulo de corte. A pressão só pode alterar ligeiramente o volume, enquanto um estado de tensão comparável que permita a distorção da forma pode produzir uma alteração mais percetível da geometria.

“Quase incompressível” não significa perfeitamente incompressível. O aço continua a ter um módulo de compressibilidade finito e a sua densidade varia sob pressão. Esta aproximação é útil na análise de conformação, na plasticidade, nos cálculos de interação fluido–estrutura e noutras situações em que as variações de volume são pequenas, mas não deve ser aplicada sem verificar o modelo de material. A deformação plástica, a transformação de fases, a porosidade, os danos e a temperatura elevada podem todos alterar a resposta volumétrica. Uma peça fundida de aço poroso, por exemplo, não pode ser tratada como um sólido isotrópico denso ideal apenas porque a sua matriz metálica é rígida.

A aproximação também se torna mais complexa devido à microestrutura do aço. As constantes elásticas de um monocristal dependem da direção cristalográfica. Um agregado policristalino pode comportar-se aproximadamente de forma isotrópica quando os grãos estão orientados aleatoriamente, mas a laminagem, a forjagem, a transformação de fases e a textura podem produzir propriedades direcionais. O capítulo do manual do NIST sobre constantes elásticas de monocristais mostra como podem ser obtidos E, G, B, o módulo longitudinal e ν quase isotrópicos de materiais policristalinos a partir de dados de rigidez de monocristais para materiais cúbicos e hexagonais. “Quase isotrópico” é uma descrição de modelação, não uma garantia de que todas as formas de produto tenham propriedades idênticas em todas as direções.

A temperatura e a constituição de fases também são importantes. Um relatório do National Bureau of Standards determinou as constantes elásticas do aço austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 e 400 K, a partir das velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Só esse intervalo de temperatura demonstra por que razão não se pode atribuir um único valor à temperatura ambiente a todas as condições do aço. Os aços austeníticos, ferríticos, martensíticos e de fases mistas podem diferir na sua resposta elástica, enquanto a deformação a frio e a textura podem alterar os valores direcionais medidos.

Uma referência secundária, Engineering ToolBox, apresenta um valor aproximado de 163 GPa para “aço inoxidável”. Esse número pode ser conveniente para um cálculo preliminar, mas não é um módulo de compressibilidade universal para todos os tipos de aço inoxidável, temperaturas, formas de produto, equilíbrios de fases, texturas ou condições de ensaio. Não deve ser apresentado como uma constante medida comum a todos os aços inoxidáveis.

O método de medição é outra fonte de variação. A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de corte e do coeficiente de Poisson “por ressonância sónica”. Estes valores são obtidos a partir de frequências de vibração e são sensíveis à densidade, à geometria, ao amortecimento, à temperatura e à frequência. Os dados de tração estática respondem a uma questão experimental diferente. Por conseguinte, os cálculos de projeto devem indicar se o módulo foi medido ou derivado, se é estático ou dinâmico, se é isotrópico ou direcional e a que temperatura e condição do material está associado. Sem essa informação, um K ou B apresentado é apenas uma estimativa condicional.

## Coeficiente de Poisson ν e extensão transversal no aço

O coeficiente de Poisson, representado por ν (nu), descreve a extensão elástica produzida perpendicularmente a uma carga aplicada. Num ensaio de tração, é definido por

ν=−εtransverseεlongitudinal

em que a extensão longitudinal acompanha a direção do carregamento e a extensão transversal é medida transversalmente ao provete. O sinal negativo faz com que ν seja positivo para a resposta à tração habitual do aço: o comprimento de referência aumenta, enquanto a largura e a espessura diminuem.

Esta definição aplica-se a uma determinada direção de ensaio elástico, temperatura, velocidade de carregamento e estado do material. Não constitui uma designação de classe independente que possa ser selecionada sem relação com o módulo de Young, o módulo de corte ou o módulo volúmico. Num sólido isotrópico, homogéneo e linearmente elástico, apenas duas constantes elásticas são independentes. Os Sandia National Laboratories enumeram as constantes isotrópicas relacionadas como o módulo de Young E, o coeficiente de Poisson ν, o módulo volúmico K, o módulo de corte G, o primeiro parâmetro de Lamé λ e 2⁢μ; a especificação de E e ν determina as restantes. A obra *Elasticity of Solids*, da Springer, afirma igualmente que um sólido isotrópico possui “apenas duas” constantes elásticas independentes.

Para o aço isotrópico sujeito a pequenas extensões elásticas, as principais relações são

G=E2⁢(1+ν)

e

K=E3⁢(1−2⁢ν).

As mesmas relações podem ser rearranjadas para obter

ν=E2⁢G−1

ou

ν=3⁢K−E6⁢K.

Estas equações são relações constitutivas, não formas independentes de atribuir dados arbitrários ao material. Se uma tabela apresentar valores de E, G, K e ν que não as satisfaçam, os valores podem ter sido medidos através de métodos diferentes, a temperaturas diferentes ou sob pressupostos diferentes. Podem também descrever um material anisotrópico utilizando aproximações isotrópicas.

### Contração axial durante o carregamento à tração

Considere-se um provete de tração de aço cujo eixo esteja alinhado com a direção do carregamento. Uma tensão de tração produz uma extensão axial positiva,

εL=ΔLL,

enquanto o diâmetro contrai. Se o diâmetro original for d, a extensão transversal é aproximadamente

εT=Δdd.

Dentro do domínio elástico,

εT=−ν⁢εL.

Assim, se um provete tiver uma extensão axial elástica de 0,001 e ν for igual a 0,30, a sua extensão transversal será aproximadamente −0,0003. O comprimento aumenta 0,10%, enquanto o diâmetro diminui 0,03%. O exemplo numérico descreve apenas a extensão; não atribui um valor universal a todas as classes de aço ou formas de produto.

A razão é adimensional, porque tanto o numerador como o denominador são extensões. Também depende da forma como as extensões são definidas. A extensão de engenharia, a extensão verdadeira, as componentes do tensor das pequenas extensões e as extensões secantes podem produzir resultados ligeiramente diferentes quando a deformação deixa de ser muito pequena. O coeficiente de Poisson utilizado na conceção linearmente elástica refere-se normalmente ao declive inicial dentro do domínio recuperável, antes da cedência, da deformação de Lüders, do escoamento plástico, da fissuração ou de outros efeitos não lineares.

As respostas axial e lateral estão acopladas. Um provete de tração não se limita a alongar-se, mantendo as dimensões originais da sua secção transversal. Numa secção retangular ou cilíndrica, a redução da largura e da espessura contribui para uma variação de volume. Para pequenas extensões, a extensão volumétrica é aproximadamente

εv=εL+εT1+εT2.

Num estado de tração isotrópico com extensões transversais iguais,

εv=εL⁢(1−2⁢ν).

Esta expressão mostra por que razão ν é importante nos modelos de elementos finitos e nos cálculos estruturais. A definição incorreta de ν altera a contração lateral prevista, a resposta volumétrica, a tensão hidrostática e, por vezes, a rigidez aparente de regiões restringidas.

O aço não é uma única substância isotrópica a todas as escalas. Um policristal orientado aleatoriamente pode aproximar-se de um comportamento isotrópico quando participam muitos grãos e a textura é fraca. A chapa laminada, o fio trefilado, a barra forjada, as zonas soldadas e o material fabricado aditivamente podem conservar orientações cristalográficas preferenciais ou distribuições de fases variáveis no espaço. Nesses casos, a extensão transversal depende das direções de carregamento e de medição. Um único valor escalar de ν pode então constituir uma média de engenharia conveniente, e não uma descrição completa do material.

### Variação de volume e o limite ν = 0,5

O módulo volúmico descreve a resistência à compressão uniforme, enquanto o módulo de Young descreve a tração ou compressão axial e o módulo de corte descreve a alteração da forma por corte. A OpenStax estabelece diretamente esta distinção: o módulo de Young aplica-se ao carregamento à tração, o módulo volúmico à compressão volumétrica e o módulo de corte à deformação por corte.

A definição termodinâmica do módulo volúmico é

K=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T,

conforme declarado pelo National Institute of Standards and Technology em 1982. Aqui, P é a pressão, V é o volume e a derivada é calculada a temperatura constante. A equação da elasticidade linear isotrópica K=E/\[3⁢(1−2⁢ν)\] relaciona essa resposta volumétrica com dados elásticos uniaxiais apenas quando os pressupostos isotrópicos são adequados.

À medida que ν se aproxima de 0,5, o denominador 1−2⁢ν aproxima-se de zero e o módulo volúmico calculado tende para infinito para um E finito. Este é o limite incompressível: a deformação pode alterar a forma, mas não o volume. Os materiais semelhantes à borracha podem aproximar-se desta condição, porque a sua resposta volumétrica é muito mais rígida do que a sua resposta ao corte. Os aços comuns não são incompressíveis, embora o seu módulo volúmico seja substancialmente superior ao seu módulo de corte.

Este limite também evidencia um problema numérico. Como K contém 1−2⁢ν, um pequeno erro em ν pode provocar um grande erro relativo no valor calculado de K, sobretudo quando ν está próximo de 0,5. Diferenciando a relação, obtém-se

∂⁢K∂⁢ν=2⁢E3⁢(1−2⁢ν)2

quando E é mantido constante. O denominador elevado ao quadrado amplifica a sensibilidade. Uma incerteza de apenas alguns milésimos em ν pode ter pouco efeito num cálculo axial aproximado, mas um efeito significativo num módulo volúmico apresentado.

Uma referência da Engineering ToolBox indica um módulo volúmico aproximado de 163 GPa para o aço inoxidável. Esse valor é uma estimativa de uma fonte secundária, não um valor universal para todas as classes de aço inoxidável, temperaturas, formas de produto, constituições de fase ou métodos de ensaio. Os aços austeníticos, ferríticos, martensíticos, dúplex e endurecidos por precipitação podem diferir quanto à textura, ao equilíbrio de fases, aos defeitos e à resposta à temperatura.

### Medição e interpretação de ν

O coeficiente de Poisson pode ser obtido através de medições simultâneas das extensões axial e transversal num ensaio de tração ou de compressão. Os extensómetros, os extensómetros de resistência colados, os sistemas óticos e a correlação digital de imagens podem medir as duas componentes da extensão, mas o sinal transversal é frequentemente mais pequeno e mais sensível ao alinhamento, à preparação da superfície, à geometria da base de medida e ao ruído. O desalinhamento pode introduzir flexão, enquanto um posicionamento inadequado do extensómetro pode misturar as direções longitudinal e transversal.

Uma segunda abordagem consiste em determinar ν a partir de velocidades de ondas elásticas medidas de forma independente. As velocidades das ondas longitudinais e de corte fornecem informação elástica dinâmica; para um sólido isotrópico,

G=ρ⁢vS2

e

K=ρ⁢(vL2−43⁢vS2),

em que ρ é a massa volúmica, vS é a velocidade da onda de corte e vL é a velocidade da onda longitudinal. Os valores resultantes de E e ν descrevem uma resposta de pequena amplitude e frequência finita, não coincidindo necessariamente com o valor obtido num ensaio de tração lento. A norma ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de corte e do coeficiente de Poisson “por ressonância sónica”. \[5\] \[5\] [**Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K**](https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf). National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

As variações de temperatura alteram tanto a rigidez elástica como a velocidade das ondas. Um relatório do National Bureau of Standards mediu constantes elásticas do aço austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 e 400 K, utilizando velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Esse intervalo ilustra por que razão um valor medido próximo da temperatura ambiente não deve ser automaticamente transferido para serviço criogénico ou para um projeto a temperatura elevada.

A textura e a anisotropia cristalográfica acrescentam outra ressalva. As rigidezes elásticas de um monocristal só podem ser convertidas em valores quase isotrópicos de E, G, K e ν para um policristal através de um modelo de média que tenha em conta a simetria cristalina e a distribuição de orientações. Uma chapa laminada pode, portanto, apresentar razões diferentes para carregamentos na direção de laminagem, na direção transversal e na direção da espessura. A ressonância dinâmica pode também abranger um volume efetivo e uma amplitude de extensão diferentes dos de um ensaio de tração estático.

Para efeitos de projeto, ν deve corresponder ao modelo constitutivo e à condição de ensaio pretendidos. Utilize um valor escalar isotrópico apenas quando a forma do produto, a textura, a temperatura, o intervalo de extensões e a exatidão necessária justificarem essa simplificação. Caso contrário, constantes elásticas dependentes da direção ou uma matriz completa de rigidez anisotrópica constituem opções mais defensáveis do que tratar quatro módulos apresentados como números independentes e específicos de uma classe.

## Conjunto Completo de Relações entre os Módulos Isotrópicos

Para um sólido homogéneo, linear-elástico e isotrópico, os quatro módulos habitualmente apresentados não são quatro constantes materiais independentes. O módulo de Young E, o módulo de corte G, o módulo volumétrico K ou B, e o coeficiente de Poisson ν descrevem diferentes modos de deformação, mas os seus valores estão relacionados. Quaisquer duas constantes adequadas determinam as restantes grandezas.

Esta afirmação está sujeita a condições. O material deve ser tratado como isotrópico, a resposta tensão–deformação deve ser linear no intervalo considerado e os módulos devem referir-se à mesma temperatura, densidade, constituição de fases, média de textura, frequência e convenção de medição. Um módulo medido num ensaio de tração a baixa deformação não é automaticamente permutável com um módulo dinâmico inferido a partir da velocidade do som. Para um monocristal anisotrópico, as equações isotrópicas abaixo não reproduzem a resposta direcional completa.

A OpenStax, em 2020, atribui claramente as funções físicas: E descreve a deformação à tração ou uniaxial, G descreve a deformação de corte e o módulo volumétrico descreve a compressão volumétrica. O tratamento da NIST de 1982 define o módulo volumétrico termodinâmico como

B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T,

em que V é o volume, P é a pressão e a derivada é calculada a temperatura constante. Na elasticidade linear para pequenas deformações, esta definição termodinâmica corresponde à rigidez volumétrica utilizada nas relações abaixo, desde que sejam utilizados o mesmo estado e a mesma aproximação elástica.

### Conversões entre E, G, K e ν

O conjunto completo de equações para a elasticidade linear isotrópica é:

\\\[ \\boxed{G=\\frac{E}{2(1+\\nu)}} \\\]

\\\[ \\boxed{K\\ \\text{ou}\\ B=\\frac{E}{3(1-2\\nu)}} \\\]

\\\[ \\boxed{E=\\frac{9KG}{3K+G}} \\\]

\\\[ \\boxed{\\nu=\\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \\\]

\\\[ \\boxed{\\lambda=K-\\frac{2G}{3}} \\\]

\\\[ \\boxed{\\mu=G} \\\]

A primeira equação converte o módulo de Young e o coeficiente de Poisson em módulo de corte. Pressupõe uma lei constitutiva isotrópica e uma deformação elástica infinitesimal e linear. A segunda converte E e ν em módulo volumétrico. Também pressupõe que o coeficiente de Poisson medido seja o coeficiente elástico isotrópico, e não um valor dependente da direção obtido a partir de um espécime anisotrópico.

A terceira equação calcula E a partir de K e G, enquanto a quarta calcula ν a partir dos mesmos dois módulos. Estas equações são rearranjos algébricos do mesmo modelo constitutivo isotrópico; não constituem verificações experimentais independentes, a menos que os valores de entrada provenham de medições separadas. Se forem apresentados E, G e ν, são esperadas pequenas discrepâncias decorrentes da incerteza de medição, do arredondamento, de diferenças de temperatura, da porosidade, da textura ou de desvios em relação à isotropia.

Para um sólido elástico isotrópico estável e comum, as restrições são geralmente

\\\[ G\>0,\\qquad K\>0,\\qquad -1\<\\nu\<\\frac{1}{2}. \\\]

O limite superior de ν é especialmente importante. À medida que ν se aproxima de 0.5, o termo 1−2⁢ν aproxima-se de zero e o módulo volumétrico calculado torna-se muito elevado relativamente a E. Um material quase incompressível pode, portanto, ter um módulo de tração finito, mas uma rigidez volumétrica muito maior. O aço é compressível, pelo que tratar ν=0.5 como um valor exato para o aço tornaria a conversão singular, em vez de informativa.

As equações aplicam-se às propriedades isotrópicas efetivas de um policristal quando as variações direcionais tiverem sido suficientemente calculadas em média. O capítulo do manual da NIST sobre constantes elásticas de monocristais mostra por que razão esta qualificação é importante: E, G, B, o módulo longitudinal e ν efetivos podem ser obtidos a partir dos dados de rigidez de monocristais para materiais cúbicos e hexagonais, mas o procedimento de cálculo da média depende da simetria cristalina e da textura. Uma chapa laminada, um metal de soldadura, uma estrutura fundida e um policristal recozido com orientação aleatória podem não apresentar a mesma resposta elástica direcional, mesmo quando as suas descrições químicas são semelhantes.

As constantes também podem descrever diferentes regimes de frequência. A ASTM E1875-20a, publicada pela ASTM International em 2020, especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de corte e do coeficiente de Poisson “por ressonância sónica”. Esses valores dinâmicos são obtidos a partir de frequências de ressonância e estão associados a uma aplicação rápida de carga e de pequena amplitude. Um módulo obtido num ensaio de tração estático pode diferir devido à conformidade do instrumento, à microplasticidade, ao atrito interno, à porosidade, à temperatura ou a outros desvios em relação ao modelo elástico ideal. As equações de conversão continuam a ser válidas apenas quando as constantes de entrada pertencem a uma descrição constitutiva compatível.

Um valor de referência, como o módulo volumétrico aproximado de 163GPa para aço inoxidável apresentado pela Engineering ToolBox, deve, portanto, ser interpretado como uma estimativa secundária e não como um valor universal para todos os graus de aço inoxidável, formas de produto, temperaturas, equilíbrios de fases ou métodos de ensaio. A designação “aço inoxidável” abrange materiais substancialmente diferentes, incluindo graus austeníticos, ferríticos, martensíticos, de endurecimento por precipitação e [duplex](/pt/materiais/número-do-material/1.4460 " — composição, equivalências e normas"). A sua resposta elástica também pode alterar-se com a deformação a frio e a temperatura.

### Parâmetros de Lamé λ e μ

Os parâmetros de Lamé constituem outra representação da mesma lei elástica isotrópica. O segundo parâmetro de Lamé é

μ=G,

pelo que μ é simplesmente o módulo de corte expresso na notação de Lamé. O primeiro parâmetro de Lamé é

λ=K−2⁢G3.

Também pode ser escrito como

λ=E⁢ν(1+ν)⁢(1−2⁢ν).

Na notação tensorial, a relação tensão–deformação isotrópica é habitualmente escrita como

σij=2⁢μ⁢εij+λεkk⁢δij,

em que σij é o tensor das tensões, εij é o tensor das deformações, εkk é a deformação volumétrica e δij é o delta de Kronecker. O multiplicador 2⁢μ atua sobre a contribuição desviadora e de corte do tensor das deformações; não define um módulo físico separado de G.

A documentação Sierra da Sandia apresenta seis constantes elásticas isotrópicas relacionadas: o módulo de Young E, o coeficiente de Poisson ν, o módulo volumétrico K, o módulo de corte G, o primeiro parâmetro de Lamé λ e 2⁢μ. Isto explica uma confusão frequente na notação de software e de elementos finitos. Um cartão de material pode solicitar “2⁢μ” porque a equação constitutiva utiliza esse coeficiente, enquanto outra interface solicita G ou μ. Fornecer G quando é necessário 2⁢μ introduziria um erro por um fator de dois.

A obra *Elasticity of Solids*, da Springer, de 2020, enuncia diretamente a regra central: apenas duas constantes elásticas são independentes para um sólido isotrópico. A formulação da Sandia observa igualmente que E e ν determinam as restantes constantes. Os seis nomes descrevem seis grandezas relacionadas, e não seis propriedades do grau do material que possam ser ajustadas separadamente.

### Unidades, notação e conflitos de notação entre K e B

E, G, K, B, λ e μ têm todos unidades de tensão: pascais no SI, habitualmente apresentados para o aço como gigapascais (GPa). O coeficiente de Poisson ν é adimensional. Como 1GPa=109Pa, todas as grandezas de entrada semelhantes a tensões devem utilizar a mesma unidade antes da aplicação de qualquer equação.

O símbolo K é comum na mecânica do contínuo e na documentação de elementos finitos para designar o módulo volumétrico. A NIST e muitas referências de materiais utilizam B, frequentemente porque “bulk modulus” começa por B. Nas equações acima, estes símbolos significam normalmente a mesma grandeza:

K=B.

Não são duas constantes diferentes do aço. O conflito torna-se relevante quando um manual utiliza K para o módulo volumétrico, enquanto outra disciplina utiliza K para uma matriz de rigidez, um coeficiente de condutividade térmica ou uma grandeza relacionada com a intensidade de tensão. A definição apresentada no contexto deve determinar a interpretação.

Por fim, as relações descrevem constantes elásticas, e não todas as formas de rigidez medidas durante o serviço. Dados dependentes da temperatura, transformações de fase, efeitos magnéticos, textura, tensão residual e frequência podem alterar a resposta medida. O relatório do National Bureau of Standards de 1981 sobre o aço austenítico Fe-5Cr-26Mn, por exemplo, determinou constantes elásticas no intervalo de 76–400 K a partir das velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Só esse intervalo de temperaturas demonstra por que razão um único valor de módulo sem condições especificadas não pode representar todas as situações. As equações fornecem o quadro de conversão; o estado do ensaio determina quais os valores que devem ser nele introduzidos.

## Elasticidade de monocristais, cristalografia do aço e médias policristalinas

O aço não é elástico no mesmo sentido matemático a todas as escalas estruturais. Um cristal individual tem propriedades associadas às direções da sua rede, enquanto um produto de aço para engenharia contém geralmente muitos grãos com diferentes orientações, fases, defeitos e tensões residuais. Tratar um módulo medido no segundo caso como se fosse uma propriedade universal do primeiro pode conduzir a um cálculo enganador.

A distinção começa pela simetria cristalina. Os aços ferríticos têm uma estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (BCC), os aços austeníticos têm uma estrutura cúbica de faces centradas (FCC) e a martensite é habitualmente descrita como uma estrutura tetragonal de corpo centrado, embora a sua tetragonalidade dependa do teor de carbono e do historial de revenido. Estas estruturas não suportam a deformação elástica de forma idêntica em todas as direções cristalográficas. Um policristal pode aparentar ser quase isotrópico apenas depois de as respostas direcionais de muitos grãos terem sido calculadas em média.

![Constantes de Elasticidade do Aço e Relações entre Módulos](/images/uploads/a1932c92-ab2e-495e-99dc-d4fa71940007/wiki-inline-a-cubic-steel-crystal-lattice-showing-direction-dependent-elastic-stiffness-and-1920x1920.jpg)[](/images/uploads/a1932c92-ab2e-495e-99dc-d4fa71940007/wiki-inline-a-cubic-steel-crystal-lattice-showing-direction-dependent-elastic-stiffness-and-1920x1920.avif "Ampliar imagem — Constantes de Elasticidade do Aço e Relações entre Módulos")A single crystal can have direction-dependent stiffness even when a polycrystal is treated as isotropic.

### Tensores de rigidez elástica em cristais cúbicos

A elasticidade linear relaciona a tensão com a deformação através de um tensor de rigidez de quarta ordem:

σij=Cijkl⁢εkl.

O tensor contém as rigidezes elásticas Cijkl, enquanto a sua inversa contém as complacências elásticas Sijkl. A simetria cristalina reduz o número de termos independentes. Um sólido anisotrópico completamente geral pode exigir 21 constantes elásticas independentes, mas um cristal cúbico exige apenas três: C11, C12 e C44.

Na notação matricial contraída, a matriz de rigidez cúbica é

\\\[ \\begin{bmatrix} \\sigma\_1\\\\ \\sigma\_2\\\\ \\sigma\_3\\\\ \\sigma\_4\\\\ \\sigma\_5\\\\ \\sigma\_6 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} C\_{11}&C\_{12}&C\_{12}&0&0&0\\\\ C\_{12}&C\_{11}&C\_{12}&0&0&0\\\\ C\_{12}&C\_{12}&C\_{11}&0&0&0\\\\ 0&0&0&C\_{44}&0&0\\\\ 0&0&0&0&C\_{44}&0\\\\ 0&0&0&0&0&C\_{44} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\varepsilon\_1\\\\ \\varepsilon\_2\\\\ \\varepsilon\_3\\\\ \\varepsilon\_4\\\\ \\varepsilon\_5\\\\ \\varepsilon\_6 \\end{bmatrix}. \\\]

As três constantes desempenham funções diferentes. C11 descreve a resposta a uma tensão normal ao longo de um eixo cúbico, C12 estabelece o acoplamento entre a deformação normal de eixos perpendiculares e C44 descreve uma resposta ao corte num plano cristalográfico principal. São rigidezes, não versões permutáveis do módulo de Young ou do módulo de corte.

Um indicador útil da anisotropia de um cristal cúbico é a razão de Zener,

A=2⁢C44C11−C12.

Quando A=1, a resposta elástica cúbica tem a mesma forma direcional que a de um sólido isotrópico. Valores diferentes de um indicam dependência da orientação. A razão, por si só, não fornece o módulo de um produto de aço; descreve a simetria elástica de um cristal quando as constantes relevantes do monocristal foram medidas ou calculadas.

O capítulo da NIST sobre monocristais, publicado em 1982, mostra como estes dados de rigidez podem ser convertidos em propriedades agregadas para materiais cúbicos e hexagonais. Para um cristal cúbico, o módulo volumétrico associado a uma deformação hidrostática uniforme é

B=C11+2⁢C123.

Isto é consistente com a definição termodinâmica apresentada pela NIST,

B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T.

Os módulos de corte e de Young de um monocristal continuam a depender da direção, embora a resposta volumétrica hidrostática de um cristal cúbico seja condicionada pela simetria. Uma direção como \[100\], \[110\] ou \[111\] pode produzir um módulo de tração diferente, porque a tensão aplicada se projeta de forma diferente relativamente à rede.

Para um material isotrópico, apenas duas constantes elásticas são independentes, tal como descrito no capítulo *Elasticity of Solids* da Springer, de 2020. A documentação Sierra da Sandia enumera o conjunto isotrópico relacionado: módulo de Young E, coeficiente de Poisson ν, módulo volumétrico K, módulo de corte G, primeiro parâmetro de Lamé λ e 2⁢μ; quaisquer dois elementos adequados determinam os restantes. Essa redução não se aplica a um cristal apenas porque o cristal é pequeno ou porque a sua deformação permanece elástica. Resulta da simetria isotrópica.

### Textura e módulo direcional

A orientação de um cristal é habitualmente expressa pela sua direção e pelo seu plano cristalográficos relativamente aos eixos do provete. Numa chapa policristalina, a função de distribuição de orientações regista a forma como as orientações dos grãos se distribuem. A textura desenvolve-se quando o processamento favorece determinadas rotações da rede, especialmente durante a laminagem, a recristalização e a transformação de fase subsequente.

Por conseguinte, o módulo de tração medido na direção de laminagem não tem necessariamente de ser igual ao módulo transversal à laminagem ou através da espessura da chapa. A diferença resulta da soma ponderada pela orientação das respostas dos grãos, e não de um novo “módulo de Young na direção de laminagem” independente que substitua o tensor de rigidez subjacente. Um modelo de elementos finitos pode representar este comportamento atribuindo um tensor de rigidez anisotrópico às coordenadas do material ou atribuindo propriedades ao nível do cristal a muitas orientações.

O aço de baixo teor de carbono laminado, o aço inoxidável ferrítico e as chapas processadas por transformação podem apresentar textura resultante da deformação e da recristalização. O aço forjado pode desenvolver um fluxo de grãos dependente da direção e uma textura em torno do eixo de forjamento. O aço fundido apresenta frequentemente uma distribuição de orientações mais variada, mas a solidificação pode ainda produzir grãos colunares, segregação, gradientes de fase ou orientações preferenciais. Nenhum destes processos garante isotropia ou uma magnitude específica de anisotropia.

O aço produzido por fabrico aditivo apresenta outro problema de orientação. A ciclagem térmica camada a camada pode produzir grãos colunares alinhados com uma direção de construção, enquanto a estratégia de varrimento, a geometria do banho de fusão, o reaquecimento e o tratamento térmico alteram a distribuição de orientações e a constituição das fases. Consequentemente, um módulo medido paralelamente à direção de construção pode diferir de um medido transversalmente a essa direção. A direção, a localização do provete, o tratamento térmico, a porosidade e o método de ensaio devem acompanhar o valor comunicado.

A textura também afeta o coeficiente de Poisson e o módulo de corte. Um ensaio de tração pode comunicar uma resposta de deformação axial, enquanto um método de ressonância infere várias constantes dinâmicas a partir dos modos de vibração. A norma ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de corte e do coeficiente de Poisson “por ressonância sónica”. Esses valores dinâmicos não são automaticamente idênticos aos valores estáticos obtidos num ensaio de tração lento, especialmente quando o amortecimento, a microfissuração, a porosidade, a temperatura ou a frequência afetam a resposta.

### Estimativas policristalinas quase isotrópicas

Quando as orientações dos grãos estão suficientemente dispersas, as diferenças direcionais podem ser reduzidas quando calculadas à escala do provete. Os engenheiros descrevem então o agregado como quase isotrópico: não perfeitamente isotrópico em cada grão ou volume local, mas adequadamente representado por constantes isotrópicas para o cálculo pretendido. A expressão é importante. Identifica uma aproximação, não uma afirmação de que toda a anisotropia cristalográfica tenha desaparecido.

As estimativas policristalinas podem ser obtidas a partir de dados de rigidez ou de complacência de monocristais, utilizando limites e métodos de cálculo de médias. Uma estimativa de Voigt assume uma deformação uniforme em todos os grãos; uma estimativa de Reuss assume uma tensão uniforme. As suas previsões diferem geralmente, porque nenhuma destas condições representa exatamente todos os agregados heterogéneos. A estimativa de Hill, habitualmente considerada a média aritmética dos resultados de Voigt e Reuss, é frequentemente utilizada como aproximação intermédia prática. Estas estimativas exigem uma simetria cristalina, uma distribuição de orientações e uma constituição de fases especificadas.

Para um agregado quase isotrópico, os valores resultantes de E, G, B e ν obedecem às relações isotrópicas conhecidas:

E=2⁢G⁢(1+ν),

E=3⁢B⁢(1−2⁢ν),

e

E=9⁢BG3⁢B+G.

Assim, uma vez selecionadas duas constantes agregadas independentes, as restantes são derivadas. Uma tabela de referência pode indicar um módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para aço inoxidável, tal como fez a Engineering ToolBox em 2024, mas esse valor é uma estimativa secundária e não um valor universal para todas as qualidades de aço inoxidável, temperaturas, formas de produto, equilíbrios de fases ou métodos de medição.

O relatório do National Bureau of Standards sobre o aço austenítico Fe-5Cr-26Mn ilustra diretamente a questão da medição: as constantes elásticas foram determinadas entre 76 e 400 K a partir das velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. A temperatura altera o espaçamento da rede, a estabilidade das fases, a mobilidade dos defeitos e a velocidade das ondas, pelo que as constantes resultantes descrevem condições de ensaio especificadas. Para fins de projeto, um conjunto quase isotrópico pode ser adequado para um produto fundido ou recozido com textura fraca. Uma chapa fortemente laminada, um componente forjado, uma soldadura ou uma construção produzida por fabrico aditivo podem, pelo contrário, exigir dados direcionais. O módulo correto não é, portanto, simplesmente o número associado a uma qualidade de aço; é o valor associado ao modo de deformação, à orientação, à temperatura, à microestrutura e ao método de ensaio.

## Como são medidas as constantes elásticas do aço

As constantes elásticas do aço são medidas a partir de uma resposta força–deslocamento ou através da propagação e da ressonância de ondas mecânicas. Estas abordagens nem sempre produzem o mesmo módulo numérico. Um ensaio de tração regista um declive quase estático a uma determinada taxa de carregamento, enquanto os métodos sónicos e ultrassónicos medem uma resposta de alta frequência e pequena amplitude. A temperatura, a estrutura dos grãos, a textura cristalográfica, a porosidade, a constituição das fases, a tensão residual, a geometria do provete e a definição do modo medido podem todos afetar o resultado.

Para um sólido isotrópico e linearmente elástico, apenas duas constantes elásticas são independentes. O módulo de Young E, o módulo de corte G, o módulo volumétrico K ou B, o coeficiente de Poisson ν, o primeiro parâmetro de Lamé λ e 2⁢μ descrevem aspetos relacionados da mesma resposta constitutiva; os Sandia National Laboratories enumeram este conjunto e afirmam que E e ν determinam as restantes. O método de medição é, portanto, importante, mesmo quando as grandezas comunicadas têm designações familiares. O módulo de Young descreve a extensão axial, o módulo volumétrico descreve a variação de volume sob pressão hidrostática e o módulo de corte descreve a distorção angular.

### Métodos mecânicos de tração e compressão

O método convencional de tração determina um módulo de Young estático ou quase estático a partir do declive da parte linear inicial de uma curva tensão–deformação:

E=d⁢σd⁢ε.

Um provete de aço maquinado é submetido a tração enquanto um extensómetro, um extensómetro de resistência ou um sistema ótico mede a deformação axial. O declive útil é determinado antes do início da plasticidade, da deformação de Lüders, da fissuração ou de outro comportamento não linear. O intervalo de deformação selecionado deve ser indicado, porque pequenos desvios em relação à linearidade, a complacência da máquina, os efeitos de assentamento e os limites de resolução da deformação podem alterar o valor ajustado.

Um ensaio de tração também pode determinar o coeficiente de Poisson através da medição simultânea da deformação lateral:

ν=−εtransverseεaxial.

As medições axial e transversal devem ser sincronizadas e realizadas no mesmo intervalo elástico. Uma vez conhecidos E e ν, as relações isotrópicas dão

G=E2⁢(1+ν)

e

K=E3⁢(1−2⁢ν).

Estes valores calculados não constituem medições independentes da rigidez ao corte ou da rigidez volumétrica. Herdam a dependência em relação à temperatura, à taxa de deformação, à textura e à direção de ensaio dos dados originais de tração.

Os ensaios de compressão proporcionam outra via para determinar um módulo axial, mas introduzem erros diferentes. O provete deve ser suficientemente curto para evitar a encurvadura, mas suficientemente longo para permitir medir um deslocamento. A fricção nas extremidades pode restringir a expansão lateral e produzir um provete abaulado; assim, o declive medido da relação força–deslocamento pode incluir efeitos de fricção e de alinhamento dos pratos. A lubrificação, o paralelismo das extremidades, o acabamento superficial, a rigidez dos pratos e a relação entre a altura e o diâmetro do provete são todos relevantes. Os extensómetros ou sensores de deslocamento devem medir a deformação ao longo do comprimento de referência do provete, em vez de dependerem apenas do deslocamento da travessa.

A compressão hidrostática está conceptualmente mais próxima de uma medição direta do módulo volumétrico, porque aplica pressão em todas as direções e acompanha a variação de volume:

K=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T.

Esta é a definição termodinâmica apresentada pelo National Institute of Standards and Technology em 1982. A compressão uniaxial comum não é compressão hidrostática; combina deformação axial e lateral e, por isso, não mede diretamente K. A determinação direta do módulo volumétrico requer vasos de pressão, uma medição rigorosa do volume ou da deformação, calibração da pressão e controlo da temperatura. Para a maioria das caracterizações de aços estruturais, K é, em vez disso, calculado a partir de E e ν medidos de forma independente, ou obtido a partir das velocidades do som.

Os declives mecânicos estáticos são particularmente sensíveis à taxa de ensaio e ao estado do provete. Um resultado de tração obtido com uma barra polida e aliviada de tensões, ensaiada à temperatura ambiente, não corresponde automaticamente ao módulo de uma chapa laminada com textura, de um metal de soldadura ou de um produto tratado termicamente com duas fases. Num monocristal cúbico, a rigidez varia com a direção cristalográfica. Um agregado policristalino pode parecer quase isotrópico quando os grãos estão orientados aleatoriamente, mas a textura de laminagem ou de solidificação pode deixar módulos dependentes da direção.

![Constantes de Elasticidade do Aço e Relações entre Módulos](/images/uploads/9cfa1581-a398-4bb9-83b8-d4101f1ec318/wiki-inline-a-steel-test-bar-suspended-at-nodal-supports-during-a-sonic-resonance-elastic-mo-1920x1288.jpg)[](/images/uploads/9cfa1581-a398-4bb9-83b8-d4101f1ec318/wiki-inline-a-steel-test-bar-suspended-at-nodal-supports-during-a-sonic-resonance-elastic-mo-1920x1288.avif "Ampliar imagem — Constantes de Elasticidade do Aço e Relações entre Módulos")Sonic resonance determines dynamic elastic constants from specimen vibration.

### Ressonância sónica segundo a ASTM E1875-20a

A ASTM E1875-20a é uma norma designada para determinar o módulo de Young dinâmico, o módulo de corte e o coeficiente de Poisson “por ressonância sónica”. Em vez de medir um declive força–deformação longo e lento, o método excita um provete e identifica as suas frequências naturais de ressonância. A frequência de ressonância depende da rigidez elástica, da massa volúmica, das dimensões do provete e da forma do modo.

O provete é apoiado de forma a aproximar uma condição de fronteira livre, normalmente através da colocação dos apoios junto das regiões nodais, para que removam o mínimo possível de energia vibratória. Um excitador produz a vibração, e um microfone, acelerómetro, instrumento laser ou outro detetor regista a resposta. A frequência de ressonância é identificada a partir de um máximo acentuado da amplitude, de uma alteração de fase ou de um pico na resposta em frequência. A frequência medida deve ser atribuída ao modo correto — flexural, torsional ou longitudinal; a confusão entre modos adjacentes pode produzir um módulo plausível, mas incorreto.

O comprimento, a largura, a espessura, a massa e a densidade do provete são, portanto, dados de entrada fundamentais. As dimensões devem ser medidas à temperatura de ensaio quando a expansão térmica for significativa, ou corrigidas a partir das dimensões à temperatura ambiente utilizando um coeficiente de expansão adequado. A densidade deve corresponder ao provete real e não a um valor presumido de um manual, especialmente no caso de aço vazado, material poroso, inclusões de partículas ou microestruturas multifásicas. A ASTM E1875-20a incorpora a geometria do provete e equações de ressonância, em vez de tratar todas as amostras como barras infinitas. As condições nas extremidades, a localização dos apoios, a relação de aspeto, o amortecimento e as correções geométricas influenciam as constantes dinâmicas calculadas.

Uma ressonância torsional fornece principalmente informação sobre o corte, enquanto uma ressonância flexural ou longitudinal fornece um módulo relacionado com a rigidez axial. A combinação dos valores dinâmicos de E e G permite calcular

ν=E2⁢G−1,

desde que seja adequada a hipótese de isotropia e elasticidade linear. O coeficiente de Poisson resultante é um valor dinâmico à frequência de ensaio. Não deve ser apresentado como uma constante universal do tipo de aço, independente da frequência ou da temperatura.

O controlo da temperatura faz parte da medição e não é um aspeto secundário. O forno ou a câmara ambiental deve levar o provete a uma temperatura estável e conhecida, e a identificação da ressonância deve ter em conta a expansão térmica, a variação da densidade e a dependência da rigidez em relação à temperatura. Uma frequência medida enquanto o provete ainda está a aquecer não representa um estado elástico bem definido. As condições de fronteira também se alteram com a temperatura se os apoios se expandirem, amolecerem, escorregarem ou alterarem a pressão de contacto.

### Velocidades longitudinais e transversais do som

As medições ultrassónicas determinam constantes elásticas a partir das velocidades de onda. Uma onda longitudinal produz um movimento das partículas paralelo à propagação; uma onda transversal ou de corte produz um movimento das partículas perpendicular à propagação. Para um sólido homogéneo e isotrópico com massa volúmica ρ, as relações ideais são

vL=K+43⁢Gρ

e

vT=Gρ.

Assim,

G=ρ⁢vT2,

K=ρ⁢(vL2−43⁢vT2),

e

E=9⁢KG3⁢K+G.

O coeficiente de Poisson pode então ser obtido a partir de E e G, ou diretamente da razão entre as velocidades, sob a mesma hipótese de isotropia. Estas equações são simples, mas as medições não o são. A distância de propagação deve ser conhecida com rigor, os ecos devem ser corretamente identificados e o transdutor deve gerar e detetar a polarização pretendida. Uma chegada longitudinal aparente pode incluir conversão de modos, ondas superficiais, reflexões ou dispersão.

Um relatório do National Bureau of Standards publicado em 1981 utilizou velocidades do som nos modos longitudinal e transversal para determinar constantes elásticas do aço austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 e 400 K. Esse intervalo de temperatura é importante: demonstra que as constantes elásticas são grandezas medidas em função do estado térmico e não rótulos fixos associados à designação da liga. O procedimento do relatório dependia de uma temperatura controlada, de uma densidade conhecida, de uma geometria de provete definida e da identificação fiável de ambos os modos de onda. Aplicar as equações à temperatura ambiente a temperaturas criogénicas ou elevadas sem atualizar estas grandezas ocultaria a verdadeira dependência em relação à temperatura.

A Caixa de Ferramentas de Engenharia fornece um módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para o aço inoxidável. Limited evidence

A mesma precaução se aplica às tabelas de referência de engenharia. A Engineering ToolBox apresenta um módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para o aço inoxidável, mas esse valor é uma estimativa de referência secundária e não um valor universal para todos os tipos de aço inoxidável, formas de produto, texturas, equilíbrios de fases, temperaturas ou métodos de ensaio. Um valor dinâmico medido para Fe-5Cr-26Mn austenítico, um valor estático obtido a partir de um provete de tração de um aço ferrítico e um valor calculado por inferência a partir de E e ν respondem a questões experimentais diferentes. Comunicar o método, as dimensões do provete, a densidade, a temperatura, o modo de ressonância ou de onda e as condições de fronteira é, portanto, tão importante como comunicar o próprio módulo.

## Efeitos da temperatura, da fase, da composição e do processamento

As constantes elásticas do aço não são valores fixos permanentemente associados a uma determinada classe. Descrevem um estado do material, um modo de deformação e uma condição de medição. A temperatura, a constituição das fases, a composição, a textura cristalográfica, a porosidade, as inclusões, as tensões residuais e a história térmica podem alterar a resposta medida. A resistência mecânica pode variar centenas por cento ao longo de uma transformação ou de um tratamento de revenido, enquanto o módulo de Young varia numa proporção muito menor; contudo, “menor” não significa negligenciável numa análise de precisão.

Para um sólido isotrópico linear-elástico, apenas duas constantes elásticas são independentes. O módulo de Young E, o módulo de corte G, o módulo volumétrico K ou B, o coeficiente de Poisson ν, o primeiro parâmetro de Lamé λ e 2⁢μ são grandezas relacionadas, conforme descrito em *Elasticity of Solids*, da Springer, e na documentação Sierra dos Sandia National Laboratories. Se a temperatura ou a microestrutura alterar uma constante independente, as restantes, calculadas a partir dela, têm de ser atualizadas de forma consistente. Assim, um módulo indicado deve ser associado a uma temperatura, a uma condição do produto, a uma direção e a um método de ensaio.

### Dependência das constantes elásticas em relação à temperatura

A rigidez elástica diminui geralmente à medida que a temperatura aumenta. As vibrações atómicas intensificam-se, as ligações interatómicas tornam-se menos resistentes a pequenos deslocamentos e a expansão térmica altera a distância de equilíbrio entre os átomos. O efeito é frequentemente gradual no interior de uma única fase, embora transições magnéticas, recuperação, recristalização e transformações de fase possam introduzir variações mais acentuadas. Nas proximidades de uma temperatura de transformação, um único valor à temperatura ambiente é particularmente inadequado como substituto de um modelo de material dependente da temperatura.

O relatório do National Bureau of Standards sobre o aço austenítico Fe-5Cr-26Mn constitui um exemplo útil. Publicado em 1981, determinou constantes elásticas entre 76 e 400 K a partir das velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Trata-se de uma medição dinâmica: as velocidades de propagação das ondas fornecem as rigidezes longitudinal e de corte, a partir das quais podem ser calculadas constantes relacionadas. O resultado demonstra que mesmo um aço austenítico mantido ao longo do intervalo de ensaio não possui um único conjunto de constantes elásticas independente da temperatura. O intervalo de temperaturas estende-se desde condições criogénicas até acima da temperatura ambiente, pelo que os valores medidos descrevem uma curva, e não uma propriedade única da classe do aço.

A distinção entre resistência mecânica e rigidez é importante neste contexto. A tensão de cedência pode aumentar significativamente a baixa temperatura porque o movimento das deslocações se torna mais difícil, enquanto o declive elástico varia de forma menos dramática. Inversamente, uma pequena alteração de E pode modificar a deformação prevista, a carga de encurvadura, a pressão de contacto ou a repartição das tensões térmicas. A resistência plástica e a rigidez elástica respondem a perguntas diferentes. Um aço pode tornar-se muito mais resistente sem se tornar proporcionalmente mais rígido.

Os ensaios dinâmicos e estáticos também podem produzir valores indicados diferentes. A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de corte e do coeficiente de Poisson por ressonância sónica. Os ensaios de ressonância funcionam com pequenas deformações e alta frequência, enquanto um ensaio de tração obtém um declive estático ou quase-estático ao longo de um intervalo de deformação especificado. A microplasticidade, a anelasticidade, a deformabilidade do equipamento, a geometria do provete, o estado da superfície e a frequência podem influenciar a comparação. Nenhum dos resultados deve ser tratado como universalmente permutável com o outro.

O módulo volumétrico tem um significado físico distinto: mede a resistência à compressão volumétrica. A NIST define-o termodinamicamente como B=−V⁢(∂⁢P/∂⁢V)T. A Engineering ToolBox indica um módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para o aço inoxidável, mas esse valor é uma estimativa de referência secundária, não um valor universal para todas as classes de aço inoxidável, temperaturas, formas de produto, constituições de fase ou condições de ensaio. A mesma cautela aplica-se aos valores tabelados de E, G e ν.

### A austenite, a ferrite, a martensite e os aços multifásicos

A constituição das fases afeta a resposta elástica porque cada fase possui a sua própria estrutura cristalina, composição, parâmetro de rede, estado magnético, população de defeitos e tensor de rigidez monocristalina. A ferrite tem uma estrutura cúbica de corpo centrado, a austenite uma estrutura cúbica de faces centradas, e a martensite apresenta normalmente uma estrutura tetragonal de corpo centrado ou uma estrutura de corpo centrado fortemente distorcida quando o carbono produz uma tetragonalidade apreciável. Estas designações não especificam um único módulo. O teor de carbono, os elementos de liga substitucionais, a ordenação, a densidade de deslocações e os defeitos retidos alteram a rigidez de cada fase.

Os aços austeníticos constituem um aviso claro contra a atribuição de um “módulo da austenite” genérico. O estudo sobre Fe-5Cr-26Mn analisou uma determinada composição química e um determinado intervalo de temperaturas, não todas as ligas Fe-Cr-Mn nem todos os aços descritos como austeníticos. O manganês e o crómio afetam a estabilidade da rede cristalina e o comportamento magnético, enquanto a temperatura pode alterar a ordem magnética mesmo quando a estrutura cristalina permanece austenítica. Estas alterações influenciam as forças interatómicas e, consequentemente, as constantes elásticas.

Os aços ferríticos podem apresentar um comportamento elástico dependente da temperatura associado ao seu estado ferromagnético e à transição deste para o paramagnetismo. A alteração não tem necessariamente de coincidir com uma transformação de fase visível. Os aços martensíticos acrescentam outra dimensão: a têmpera cria sobressaturação, elevada densidade de deslocações, tensões internas e, frequentemente, tetragonalidade dependente do carbono. O revenido provoca depois precipitação de carbonetos, recuperação e redistribuição do carbono. A resposta elástica medida após o revenido não é, portanto, simplesmente a resposta de um cristal de martensite ideal.

Os aços multifásicos exigem uma interpretação baseada em propriedades efetivas. Nos aços ferrítico-martensíticos, bifásicos, bainíticos ou contendo austenite retida, um módulo aparente reflete as frações de fase, a conectividade entre fases, a orientação cristalográfica, as interfaces, a porosidade e a direção e escala do volume ensaiado. Uma estimativa baseada na regra das misturas pode fornecer uma primeira aproximação, mas a restrição local significa que nem todas as fases suportam a mesma deformação ou tensão. Uma região martensítica rígida inserida na ferrite pode alterar o declive medido através da transferência de carga, enquanto a austenite retida pode transformar-se durante o carregamento e fazer com que a resposta se afaste da elasticidade linear.

Ao nível monocristalino, os cristais cúbicos e hexagonais apresentam rigidezes dependentes da direção. O aço policristalino aproxima-se do comportamento isotrópico apenas quando as orientações dos grãos são suficientemente aleatórias e o provete contém um número de grãos suficiente para permitir a média. A chapa, a banda e a barra laminadas podem conservar textura, produzindo módulos longitudinais, transversais e na direção da espessura diferentes. Nesse caso, impor um único E isotrópico e um único G isotrópico num cálculo pode ocultar uma resposta direcional real.

### Fundição, laminagem, tratamentos térmicos e tensão residual

O processamento altera tanto as propriedades intrínsecas das fases como a rigidez efetiva do corpo fabricado. O aço vazado pode conter porosidade de contração, poros gasosos, películas de óxidos, segregação, estrutura dendrítica, inclusões e grãos grosseiros ou não uniformes. Mesmo uma pequena fração volumétrica de porosidade interligada pode reduzir o módulo efetivo mais do que sugeriria um valor de manual para aço totalmente denso. As inclusões podem ser mais rígidas ou mais deformáveis do que a matriz, e as inclusões mal ligadas atuam como concentradores de tensão ou defeitos semelhantes a fissuras durante um ensaio dinâmico ou estático.

A laminagem refina e alonga os grãos, fragmenta a estrutura de vazamento e introduz textura cristalográfica. A anisotropia elástica resultante pode ser modesta em alguns produtos e significativa noutros. O esquema de redução, a temperatura de laminagem, a recristalização e a espessura final são todos relevantes. Um módulo medido na direção de laminagem não deve ser automaticamente atribuído à direção transversal ou normal.

O tratamento térmico altera as frações de fase, o tamanho de grão, a densidade de deslocações, os precipitados, a morfologia dos carbonetos e as tensões retidas. A normalização pode refinar uma estrutura de ferrite-perlite; a têmpera pode criar martensite e tensão residual; o revenido reduz parte dessa tensão, alterando simultaneamente a precipitação e a recuperação. O recozimento pode reduzir a densidade de deslocações e os efeitos associados à textura através da recristalização. Estes tratamentos podem produzir alterações substanciais na tensão de cedência e na tenacidade, deixando o módulo a pequenas deformações comparativamente próximo do seu valor anterior, embora o módulo efetivo medido possa ainda variar devido a defeitos, transformação de fase ou textura.

A tensão residual merece um tratamento separado. Um campo de tensões autoequilibrado não altera necessariamente o módulo tangente ideal de um cristal homogéneo, perfeito e linear-elástico. Pode, contudo, alterar o que um ensaio regista. A tensão residual altera a propagação das ondas, a curvatura do provete, as condições de contacto, o fecho de fissuras e o início da microplasticidade. Num ensaio de tração, um declive inicial aparente pode ser afetado pelo endireitamento, pelo alinhamento das garras, pela redistribuição das tensões ou pela remoção incompleta das tensões introduzidas pela maquinação. Nos ensaios de ressonância, a tensão e a anisotropia podem deslocar as frequências naturais.

Consequentemente, uma indicação defensável do módulo de um aço identifica a condição das fases, o estado térmico, a direção do produto, a condição de densidade ou de defeitos e o método de medição. O número é uma propriedade desse estado definido — não uma constante permanente da classe do aço.

## Designações de classes de aço e tabelas fiáveis de propriedades

Uma designação de aço identifica uma composição, uma classe de produto ou um requisito de especificação; por si só, não fornece um registo completo das propriedades elásticas. “Aço inoxidável 304”, “AISI 1045” e “ASTM A572 Grade 50” são referências úteis de materiais, mas nenhum desses nomes, por si só, indica a forma do produto, o historial térmico, a textura cristalográfica, a temperatura de ensaio ou o método utilizado para obter um módulo de elasticidade.

Esta distinção é importante porque a elasticidade linear isotrópica possui apenas duas constantes independentes. O conjunto habitualmente apresentado em engenharia inclui o módulo de Young E, o coeficiente de Poisson ν, o módulo volumétrico K ou B, o módulo de corte G, o primeiro parâmetro de Lamé λ e 2⁢μ. Os Sandia National Laboratories afirmam que E e ν determinam as restantes constantes quando se aplicam relações isotrópicas. A OpenStax atribui significados físicos diferentes aos principais módulos: E descreve a resposta à tração ou uniaxial, K descreve a compressão volumétrica e G descreve a deformação por corte. Por conseguinte, uma tabela que apresente quatro números aparentemente independentes sem explicar a sua origem pode sugerir um grau de precisão ou de independência que o modelo do material não possui.

### Aços inoxidáveis austeníticos, ferríticos, martensíticos e endurecíveis por precipitação

As designações das famílias de aços inoxidáveis descrevem a estrutura metalúrgica, não uma resposta elástica universal. Os graus austeníticos, como **Type 304**, **Type 304L**, **Type 316** e **Type 316L**, são habitualmente identificados nas especificações de produtos ASTM pela designação “Type” correspondente e, quando aplicável, pelos números UNS, como **UNS S30400**, **UNS S30403**, **UNS S31600** e **UNS S31603**. A designação deve ser reproduzida tal como está escrita na norma aplicável. “304L stainless” não deve ser convertido automaticamente em “304”, porque o grau de baixo teor de carbono tem um requisito de composição diferente e pode ser submetido a um processamento diferente.

Os graus ferríticos incluem **Type 430** e **Type 409**, enquanto os graus martensíticos incluem **Type 410**, **Type 420** e **Type 440C**. Estes nomes identificam famílias com diferente estabilidade de fases, teores de carbono, adições de elementos de liga, resposta ao endurecimento e comportamento magnético. As suas propriedades elásticas podem ser afetadas pela redução a frio, recozimento, têmpera, revenido, austenite retida, populações de carbonetos e direção de medição. Um produto forjado ou laminado pode não se comportar como um produto fundido com uma designação quimicamente semelhante.

Os aços inoxidáveis endurecíveis por precipitação exigem ainda mais cuidado. **17-4 PH** é uma designação amplamente utilizada, mas uma especificação pode identificar o material como **UNS S17400** e definir condições como **H900**, **H1025** ou **H1150**. Essas designações de condição correspondem a estados de tratamento térmico e não são nomes de graus permutáveis. Uma tabela de propriedades que indique “módulo de 17-4 PH” sem especificar a condição deixa em falta uma parte significativa da descrição do material. A matriz, o estado dos precipitados, as tensões residuais e a deformação anterior podem diferir entre condições, mesmo quando a designação nominal da liga permanece inalterada.

O *Steel Castings Handbook* da ASM trata o módulo de elasticidade, o coeficiente de Poisson, o módulo de corte e propriedades físicas relacionadas como dados de peças fundidas de aço. Este enquadramento é importante: uma tabela de aço fundido descreve um material de fundição especificado e uma base de ensaio definida, não todos os produtos trabalhados, soldados, fabricados aditivamente ou tratados termicamente com uma composição química semelhante. As peças fundidas podem conter segregação, porosidade, inclusões e variações microestruturais locais que afetam os resultados medidos e a sua dispersão.

As designações das famílias de aços inoxidáveis também não devem ser utilizadas para atribuir um único módulo exato. Um valor de referência secundário aproximado de **163 GPa para aço inoxidável** surge no Engineering ToolBox, mas esse valor não é universal para todos os graus de aço inoxidável, temperaturas, formas de produto ou condições de ensaio. Trata-se de uma estimativa de referência, não de um substituto para uma ficha técnica específica de uma norma ou para um valor medido.

### Designações de aços ao carbono e de baixa liga

Os aços ao carbono e de baixa liga também exigem uma prática rigorosa na utilização das designações. **AISI/SAE 1045** identifica um aço ao carbono no sistema de numeração SAE/AISI; não é a mesma designação que **ASTM A36**, que é uma especificação de produto para aço estrutural. **ASTM A572 Grade 50** identifica um grau no âmbito da ASTM A572/A572M, enquanto **AISI/SAE 4130** identifica a composição de um aço-liga de crómio-molibdénio. Estas designações não devem ser combinadas em formas informais, como “4130-grade A572”, a menos que uma especificação vinculativa apoie explicitamente essa descrição.

As designações europeias fornecem outro exemplo. **S355J2** e **S355JR** são designações utilizadas no âmbito da **EN 10025-2**, e os sufixos têm um significado especificado relativo ao ensaio de impacto ou à condição de fornecimento. Não são simplesmente nomes alternativos para ASTM A572 Grade 50. A semelhança química não estabelece equivalência entre requisitos de especificação, dimensões do produto, regras de inspeção ou dados de propriedades elásticas.

Uma tabela deve também distinguir uma designação de composição de uma condição de fornecimento. **AISI/SAE 4140** pode ser fornecido recozido, normalizado e revenido, temperado e revenido, forjado ou noutra condição especificada. As chapas, barras e perfis estruturais de **ASTM A36** são abrangidos por uma especificação de produto, mas a sua resposta medida pode ainda depender da espessura, da direção de laminagem, das tensões residuais e do método de ensaio. O grau nominal estabelece limites ou requisitos; não elimina o historial de fabrico.

A mesma cautela aplica-se a expressões como “aço macio”, “aço para ferramentas”, “aço de alta resistência e baixa liga” e outras descrições de famílias semelhantes. Estas são categorias abrangentes, não designações completas de graus. Uma tabela fiável indica o número da norma, o grau ou tipo, a revisão quando relevante, a designação UNS ou AISI/SAE quando aplicável, a forma do produto e a condição de tratamento térmico. Se uma designação for um nome interno de uma empresa, isso deve ser indicado, em vez de ser apresentada como uma designação ASTM, ASME, SAE, AISI, EN ou UNS.

### Por que razão as normas e as especificações de produto devem acompanhar os valores

Os valores das propriedades elásticas só são significativos quando acompanhados do respetivo contexto de medição. No mínimo, uma tabela deve identificar:

- a forma do produto: chapa, folha, barra, tubo, fio, peça forjada, metal de soldadura, peça processada a partir de pó ou peça fundida;
- o tratamento térmico e a condição, incluindo o revenido, o envelhecimento, o tratamento de solubilização ou o estado de endurecimento por precipitação;
- a direção de ensaio relativamente à direção de laminagem, forjamento, extrusão ou construção;
- a temperatura e a condição ambiental;
- a taxa ou frequência de carregamento;
- a geometria do provete e as dimensões relevantes;
- a norma de ensaio e a respetiva revisão;
- se o resultado é estático, quase-estático ou dinâmico;
- o número de provetes, o intervalo, a média e a dispersão, quando disponíveis.

Os módulos estático e dinâmico não são automaticamente permutáveis. A ASTM **E1875-20a** especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de corte e do coeficiente de Poisson “por ressonância sónica”. As medições de ressonância utilizam a propagação de ondas e a frequência de vibração, ao passo que um ensaio de tração pode determinar um declive a partir de uma curva tensão–deformação sob uma taxa de carregamento definida. Ambos os métodos dizem respeito à resposta elástica, mas podem produzir valores diferentes, porque a frequência, o amortecimento, os defeitos microestruturais, a instrumentação e os procedimentos de redução de dados diferem.

A temperatura deve ser indicada, sobretudo em trabalhos criogénicos ou a temperaturas elevadas. Um relatório de 1981 do National Bureau of Standards mediu constantes elásticas de **Fe-5Cr-26Mn austenitic steel** entre **76–400 K**, utilizando velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Esse intervalo demonstra por que razão um valor à temperatura ambiente não pode ser copiado para uma tabela de projeto criogénico sem a devida qualificação. A textura e a anisotropia cristalina introduzem outra questão: o capítulo do manual do NIST sobre constantes elásticas de monocristais explica como E, G, B, o módulo longitudinal e ν quase-isotrópicos de materiais policristalinos podem ser derivados a partir de dados de rigidez de monocristais, mas essas derivações dependem da simetria cristalina, da distribuição das orientações e dos pressupostos de média.

Para cálculos isotrópicos, basta um par de constantes cuidadosamente identificado; as restantes devem ser calculadas com as equações indicadas ou verificadas quanto à sua consistência. No caso de aços laminados, forjados, texturados, soldados ou fabricados aditivamente que sejam anisotrópicos, um único módulo escalar pode ser uma aproximação, e não uma descrição constitutiva completa. As normas e as especificações de produto impedem que uma tabela disfarce essa limitação. Associam cada número a um material, uma condição, uma direção, uma temperatura e um método definidos — a informação necessária antes de o valor poder ser introduzido responsavelmente num cálculo de projeto.

## Utilização em Projeto: Seleção da Relação de Módulos Adequada

Um módulo de elasticidade está associado a um modo de deformação. O módulo de Young E descreve a deformação normal produzida por uma tensão uniaxial; o módulo de corte G descreve a distorção a volume aproximadamente constante; e o módulo volumétrico K, também escrito como B, descreve a resistência à compressão uniforme. O coeficiente de Poisson ν relaciona a deformação normal com a deformação lateral. Estas grandezas estão relacionadas, mas não são intermutáveis apenas porque são todas expressas em gigapascais ou porque são habitualmente apresentadas em conjunto para o aço.

Para um sólido homogéneo, linear e isotrópico, apenas duas constantes elásticas são independentes. A obra *Elasticity of Solids*, da Springer, afirma-o diretamente na sua abordagem de 2020 à elasticidade isotrópica. Os Sandia National Laboratories apresentam o conjunto associado como o módulo de Young E, o coeficiente de Poisson ν, o módulo volumétrico K, o módulo de corte G, o primeiro parâmetro de Lamé λ e 2⁢μ, sendo E e ν determinantes das restantes grandezas. As equações de conversão são, portanto, relações condicionais e não medições independentes de seis propriedades de materiais não relacionadas:

G=E2⁢(1+ν)

K=B=E3⁢(1−2⁢ν)

λ=E⁢ν(1+ν)⁢(1−2⁢ν)

e

E=9⁢KG3⁢K+G.

As hipóteses são importantes. Estas equações aplicam-se a pequenas deformações, a uma resposta elástica linear e a um comportamento isotrópico. Uma chapa de aço com textura de laminagem, uma zona termicamente afetada de uma soldadura, um produto fundido com solidificação direcional ou uma microestrutura bifásica podem não satisfazer suficientemente a hipótese de isotropia para que um único valor convertido represente todas as direções de carregamento.

### Elementos Uniaxiais e E

Para um elemento reto sujeito a tração, um elemento comprimido, um tirante, uma barra ou um segmento esbelto de viga submetido a uma força axial, E é o módulo principal. A relação básica é

σ=E⁢ε,

pelo que o alongamento elástico de um elemento prismático é

δ=PLAE,

onde P é a força axial, L é o comprimento original e A é a área da secção transversal. Este é o ponto de partida correto para estimar o alongamento elástico, o encurtamento e a rigidez axial AE/L.

O coeficiente de Poisson entra em consideração quando a contração lateral ou a restrição multiaxial são relevantes. Uma barra de aço esticada livremente contrai-se lateralmente de acordo com

εtransverse=−ν⁢εaxial.

No entanto, num provete completamente restringido, a resposta axial não é representada apenas por E. Como a deformação lateral não pode ocorrer, o estado de tensão torna-se tridimensional e a rigidez aparente aumenta. Um modelo de elementos finitos de um inserto colado, de uma anilha restringida ou de um ajuste sob pressão deve ter em conta este acoplamento, em vez de tratar o componente como uma barra unidimensional isolada.

O valor utilizado para E também deve corresponder às condições de medição e de serviço. O declive de um ensaio de tração estático, um módulo dinâmico obtido por ressonância e um módulo inferido a partir da velocidade ultrassónica podem diferir devido à frequência, à temperatura, à geometria do provete, à porosidade, às tensões residuais e aos defeitos. A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de corte e do coeficiente de Poisson “por ressonância sónica”. Este método não produz automaticamente o mesmo valor que um ensaio de tração lento à temperatura de projeto.

O aço não constitui um único material elástico em todos os estados metalúrgicos. As estruturas ferrítica, martensítica, bainítica e austenítica podem diferir entre si, enquanto a textura pode fazer com que a direção de laminagem e a direção transversal respondam de forma diferente. O relatório do National Bureau of Standards sobre o aço austenítico Fe-5Cr-26Mn determinou constantes elásticas a partir das velocidades do som nos modos longitudinal e transversal entre 76 e 400 K. Esse intervalo de temperatura recorda que uma constante elástica medida próximo da temperatura ambiente não deve ser tratada como um dado independente da temperatura em condições criogénicas ou a temperaturas elevadas.

### Torção e G

Para um veio circular em torção elástica, G controla o ângulo de torção:

θ=TLJG,

onde T é o momento torsor, J é o segundo momento polar da área e L é o comprimento do veio. A rigidez torsional é JG/L. A tensão de corte associada num veio circular é

τ=TrJ.

A utilização direta de E neste cálculo produz uma rigidez incorreta, a menos que E seja primeiro convertido através de um valor justificável de ν. Para aço isotrópico,

G=E2⁢(1+ν).

Esta conversão é útil quando apenas estão disponíveis E e ν, mas não transforma uma medição de tração numa medição direta de torção. Um material pode apresentar uma resposta ao corte dependente da direção, mesmo quando um módulo de tração médio parece aceitável.

A distinção torna-se importante em tubos de parede fina, estrias, veios soldados e peças com históricos de fabrico anisotrópicos. Numa secção geral, a torção pode produzir empenamento e um campo de corte não uniforme, pelo que a própria equação de Saint-Venant para veios circulares pode ser insuficiente. O parâmetro constitutivo do material continua a ser um parâmetro de corte, mas a análise da secção deve representar a geometria real.

Os dados dinâmicos de corte exigem cuidados semelhantes. Os métodos de ressonância medem a resposta a uma frequência específica e a uma amplitude de deformação pequena. Um valor calculado a partir de um ensaio sónico pode ser adequado para a análise de vibrações ou de ondas, mas não ser idêntico à rigidez secante ou tangente utilizada num cálculo estrutural com aplicação lenta da carga. A designação “dinâmico” não é um pormenor secundário; identifica uma condição experimental diferente.

### Problemas Hidrostáticos, de Contacto e de Ondas

O módulo volumétrico K ou B é o parâmetro adequado para a resposta volumétrica. Sob pressão hidrostática, a pressão altera o volume de acordo com

K=B=−V⁢(∂⁢P∂⁢V)T,

a definição termodinâmica apresentada pelo National Institute of Standards and Technology em 1982. Um valor elevado de K significa que uma pressão substancial produz apenas uma pequena variação fracionária do volume. Isto é diferente da resistência à alteração da forma, que é governada principalmente por G.

A Engineering ToolBox apresenta um módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para aço inoxidável. Esse valor pode servir como estimativa de referência secundária, mas não como valor universal para todas as qualidades de aço inoxidável, temperaturas, formas de produto, constituições de fase ou métodos de ensaio. Uma vez que K=E/\[3⁢(1−2⁢ν)\], pequenos erros em ν podem produzir uma alteração significativa no módulo volumétrico calculado quando ν se aproxima de 0,5.

Os cálculos de contacto exigem considerar tanto o comportamento normal como o tangencial. No contacto hertziano, o módulo normal efetivo para dois corpos é habitualmente escrito como

\\\[ \\frac{1}{E^\*} = \\frac{1-\\nu\_1^2}{E\_1} + \\frac{1-\\nu\_2^2}{E\_2}. \\\]

Neste caso, é \\(E^\*\\), e não E de uma única qualidade de aço, que controla a indentação elástica local. O deslizamento com atrito e a tração tangencial introduzem também G e ν. Um modelo que substitua \\(E^\*\\) por K pode permanecer matematicamente estável e produzir pressões de contacto suaves, mas representar o mecanismo de deformação errado.

Os problemas de ondas utilizam ainda outra combinação. Para um sólido isotrópico, o módulo de ondas longitudinais é

M=K+4⁢G3,

com velocidades de ondas longitudinais e de corte dadas por

\\\[ v\_L=\\sqrt{\\frac{K+4G/3}{\\rho}}, \\qquad v\_S=\\sqrt{\\frac{G}{\\rho}}. \\\]

Assim, a velocidade longitudinal, por si só, não permite identificar todas as constantes elásticas; é necessária uma medição de ondas transversais para separar K e G. Num monocristal ou num policristal texturado, a velocidade da onda também depende da direção de propagação e da polarização, pelo que as fórmulas isotrópicas podem ocultar uma anisotropia elástica real.

As formulações tridimensionais de elementos finitos utilizam geralmente E e ν, K e G, ou os parâmetros de Lamé λ e μ. A escolha é matemática e não representa uma alteração do material físico. No entanto, próximo da incompressibilidade, uma formulação E-ν com ν próximo de 0,5 pode sofrer bloqueio volumétrico, enquanto uma formulação mista que utilize a pressão e a resposta desviadora pode apresentar um desempenho melhor. Inversamente, a introdução de valores de E, G e K arredondados de forma independente pode violar as equações de conversão isotrópicas e criar uma matriz de rigidez internamente inconsistente.

Esse é o risco central no projeto: uma constante convertida pode ser numericamente consistente com uma equação e, ainda assim, ser fisicamente inadequada para o problema, a temperatura, a frequência, a direção ou a microestrutura do aço que está a ser modelada. Selecione primeiro o módulo em função do modo de deformação e, em seguida, verifique se as condições de medição e as hipóteses de isotropia correspondem ao componente e à análise.

## Erros comuns nos cálculos dos módulos do aço

Os cálculos dos módulos do aço falham frequentemente porque se tratam como intercambiáveis grandezas com significados físicos diferentes. O módulo de Young E, o módulo de corte G, o módulo volumétrico K ou B, e o coeficiente de Poisson ν descrevem a deformação elástica. A tensão de cedência descreve o início de uma deformação permanente substancial. Estas grandezas pertencem a partes diferentes de um modelo de material.

Para um sólido isotrópico e linearmente elástico, apenas duas constantes elásticas são independentes. O capítulo *Elasticity of Solids* da Springer (2020) afirma-o diretamente. Os Sandia National Laboratories apresentam o conjunto relacionado como o módulo de Young E, o coeficiente de Poisson ν, o módulo volumétrico K, o módulo de corte G, o primeiro parâmetro de Lamé λ e 2⁢μ; a especificação de E e ν determina os restantes. As conversões comuns são

G=E2⁢(1+ν)

e

K=E3⁢(1−2⁢ν).

Estas equações não são factos experimentais independentes. São consequências da hipótese de comportamento isotrópico e linearmente elástico. A sua utilização requer valores compatíveis, unidades consistentes e um estado do material para o qual a isotropia constitua uma aproximação razoável.

### Confundir o módulo com a tensão de cedência

#### Erros comuns de cálculo

- **Substituição da resistência** Usar a resistência ao escoamento em vez do módulo de Young confunde um limite plástico com a rigidez elástica.
- **Mistura de unidades** Combinar MPa e GPa sem conversão pode introduzir um erro por um fator de 1000.
- **Mistura de métodos** Combinar E estático com ν ou G dinâmicos pode criar um conjunto algebricamente válido, mas fisicamente incoerente.
- **Omissão da direção** Usar um único módulo escalar para uma chapa, fio, soldaduras ou material fabricado aditivamente com textura acentuada pode ocultar a anisotropia.
- **Omissão da temperatura** Aplicar um único valor à temperatura ambiente a condições de serviço criogénicas ou a temperatura elevada pode representar incorretamente a resposta.

O erro mais persistente consiste em chamar “mais rígido” a um aço de elevada resistência porque a sua tensão de cedência é superior. A tensão de cedência mede a tensão à qual se inicia a deformação plástica segundo um critério especificado, frequentemente uma extensão de prova como 0,2%. O módulo de Young mede o declive da resposta elástica tensão–deformação antes dessa transição. Um tratamento térmico, um ciclo de redução a frio, uma reação de precipitação ou uma alteração do teor de carbono podem aumentar substancialmente a tensão de cedência sem produzirem uma alteração comparável no declive elástico inicial.

Esta distinção é importante no projeto. A deformação sob uma carga de serviço é determinada principalmente por E, pela geometria, pelas condições de fronteira e pela carga; a verificação da tensão admissível requer também a tensão de cedência ou outro limite de resistência. Substituir E pela tensão de cedência de uma classe de aço produz resultados dimensionalmente plausíveis, mas fisicamente desprovidos de significado. Um cálculo que divida a tensão pela tensão de cedência pode estimar um rácio de utilização. Não calcula a deformação elástica.

O mesmo erro ocorre no corte. O módulo de corte é definido pela relação elástica entre a tensão de corte e a deformação de corte,

τ=G⁢γ.

A resistência ao corte na cedência é um limite plástico. Pode ser estimada através de um critério de cedência, como a relação de von Mises, mas não é G, nem se obtém atribuindo a um módulo as unidades de tensão e mudando-lhe o nome. A OpenStax (2020) distingue claramente os modos de deformação: o módulo de Young descreve a resposta à tração, o módulo volumétrico descreve a compressão volumétrica e o módulo de corte descreve a deformação de corte.

Uma especificação de aço pode, portanto, conter simultaneamente um requisito relativo à tensão de cedência e uma hipótese sobre uma propriedade elástica, sem que esses valores estejam ligados por uma conversão simples entre classes. Para cálculos estruturais, devem ser registadas a designação relevante e a norma do produto — por exemplo, chapa ou folha ASTM A240/A240M, material S355 segundo a EN 10025-2, ou aço inoxidável ASTM A276 Tipo 304 — juntamente com a espessura, a forma do produto e a direção do ensaio. A designação identifica o requisito aplicável ao material; não torna exato um valor genérico do módulo para todos os produtos.

Outro erro consiste em considerar que cada classe tem um único valor exato de E. Os aços ferríticos, martensíticos, bainíticos, austeníticos e duplex podem apresentar diferentes frações de fase, texturas, níveis de porosidade em produtos fundidos e tensões residuais. Estes fatores afetam a resposta elástica medida. Para muitas estimativas de engenharia, um valor isotrópico convencional é adequado, mas continua a ser uma hipótese ou um valor de projeto adotado, e não uma constante física universal associada à palavra “aço”.

### Misturar valores estáticos e dinâmicos

Os módulos estáticos e dinâmicos estão relacionados, mas não são automaticamente intercambiáveis. Um módulo estático é obtido através de um ensaio mecânico aplicado lentamente, normalmente a partir do declive de uma curva tensão–deformação de tração ou compressão ao longo de um intervalo de deformação especificado. O resultado pode ser afetado pela deformabilidade da máquina, pelo alinhamento das garras, pelo estado da superfície, pela taxa de deformação, pela histerese, pela microplasticidade e pelo modo como o declive é ajustado.

Um módulo dinâmico é inferido a partir da propagação de ondas, da ressonância ou de outra medição dependente do tempo. A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de corte e do coeficiente de Poisson “por ressonância sónica”. As frequências de ressonância e as dimensões do provete são utilizadas para inferir as constantes elásticas. Este método pode fornecer dados precisos para pequenas deformações, mas o resultado corresponde a uma deformação de alta frequência e amplitude muito reduzida, devendo ser identificado em conformidade.

As medições dinâmicas também dependem da densidade, da geometria do provete, da frequência, da temperatura e da identificação do modo. Um valor obtido a partir de uma ressonância longitudinal não deve ser inserido num cálculo de corte sem a relação adequada e um coeficiente de Poisson compatível. Do mesmo modo, o “módulo de elasticidade” de um manual pode ser uma convenção de projeto, enquanto um relatório de ressonância pode identificar um módulo dinâmico. Os dois não devem ser comparados como se proviessem do mesmo ensaio.

Ao converter entre E, G e K, indique se os valores de entrada são estáticos ou dinâmicos. Combinar um E obtido num ensaio de tração com um ν obtido por ressonância sónica pode criar um conjunto internamente inconsistente, mesmo quando ambos os valores são individualmente credíveis. O cálculo pode satisfazer a álgebra e, ainda assim, não representar um único estado material medido.

O coeficiente de Poisson requer especial atenção, porque a incerteza em ν se torna importante na equação do módulo volumétrico. Se E=200 GPa e ν=0.30, a relação isotrópica dá K=166.7 GPa. Se o mesmo E for combinado com ν=0.29, K=158.7 GPa; com ν=0.31, passa a ser K=175.4 GPa. Uma alteração de apenas 0.01 em ν altera o K calculado em aproximadamente 5%. Próximo de ν=0.5, a sensibilidade é muito maior, porque 1−2⁢ν se aproxima de zero. Indique o valor assumido, a sua fonte e um intervalo de sensibilidade, em vez de apresentar o K resultante como uma constante medida.

As unidades originam um erro mais simples, mas frequente. Dado que 1GPa=1000MPa, introduzir um valor de E em MPa juntamente com um valor de G em GPa pode provocar um erro de um fator de 1000. Mantenha todos os módulos num único sistema de unidades durante o cálculo e indique a unidade junto do resultado final.

Os valores do módulo volumétrico exigem informação sobre a sua proveniência. A Engineering ToolBox apresenta um valor aproximado de 163 GPa para o aço inoxidável, mas trata-se de uma estimativa de referência secundária, não de um valor universal para todas as classes de aço inoxidável, formas de produto, temperaturas ou condições de ensaio. Uma citação defensável deve identificar a medição ou o cálculo original, a composição, a condição de fase, a temperatura, o intervalo de pressão, a base de densidade e o método. A definição termodinâmica do National Institute of Standards and Technology (1982), B=−V⁢(∂⁢P/∂⁢V)T, torna explícita a condição de temperatura. Um número copiado de uma tabela sem essas condições deve ser assinalado como aproximado.

### Ignorar a anisotropia e a temperatura

As equações isotrópicas pressupõem que a resposta é igual em todas as direções. A chapa laminada, o fio trefilado, a barra forjada e o aço produzido por fabrico aditivo desenvolvem frequentemente texturas cristalográficas. A sua resposta elástica pode variar com a direção da carga, mesmo quando o material parece uniforme a olho nu. Uma chapa com textura acentuada pode exigir constantes específicas para cada direção, em vez de um único E, G e ν.

A elasticidade de um monocristal é descrita por uma matriz de rigidez elástica, e não por um único módulo escalar. O capítulo do manual do NIST de 1982 explica como podem ser derivadas constantes quase isotrópicas de materiais policristalinos a partir de dados de rigidez de monocristais de elementos cúbicos e hexagonais. Essa média é um modelo. Torna-se menos adequada quando a textura é forte, as proporções de fase variam espacialmente ou o produto contém inclusões ou poros alinhados.

A temperatura é outra variável frequentemente omitida. As constantes elásticas alteram-se geralmente com a temperatura, e as transformações de fase podem produzir descontinuidades maiores do que o amolecimento térmico normal. Um relatório do National Bureau of Standards (1981) mediu constantes elásticas de aço austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 e 400 K, utilizando velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. O próprio intervalo de temperaturas demonstra por que razão um valor à temperatura ambiente não pode ser transferido silenciosamente para serviço criogénico ou para equipamentos que funcionem a temperaturas elevadas.

Um cálculo deve, portanto, indicar a designação do material, a forma do produto, a direção do ensaio, a temperatura, o modo de deformação, o método de medição e se as constantes são estáticas, dinâmicas, isotrópicas ou específicas de uma direção. Se esses pormenores não estiverem disponíveis, classifique o resultado como uma estimativa de engenharia e mostre de que modo a incerteza em E, G, K e ν afeta a resposta. Isso é mais rigoroso do que atribuir um único módulo exato a todo o aço e permitir que uma hipótese não declarada controle o projeto.

## Referências

1. \[1\] National Institute of Standards and Technology. [Bulk modulus definition](https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172). NIST handbook chapter, 1982. [](/pt/wiki/valores-calculados/constantes-de-elasticidade-do-a%C3%A7o-e-rela%C3%A7%C3%B5es-entre-m%C3%B3dulos#wiki-cite-ref-1) https://tsapps.nist.gov/publication/get\_pdf.cfm?pub\_id=851172
2. \[2\] ASTM International. [Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance](https://www.astm.org/e1875-20a.html). ASTM E1875-20a, 2020. [](/pt/wiki/valores-calculados/constantes-de-elasticidade-do-a%C3%A7o-e-rela%C3%A7%C3%B5es-entre-m%C3%B3dulos#wiki-cite-ref-2) https://www.astm.org/e1875-20a.html
3. \[3\] Springer Nature. [Elasticity of Solids](https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4). Springer book chapter, 2020. [](/pt/wiki/valores-calculados/constantes-de-elasticidade-do-a%C3%A7o-e-rela%C3%A7%C3%B5es-entre-m%C3%B3dulos#wiki-cite-ref-3) https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8\_4
4. \[4\] OpenStax. [Stress, Strain, and Elastic Modulus](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus). University Physics Volume 1, 2020. [](/pt/wiki/valores-calculados/constantes-de-elasticidade-do-a%C3%A7o-e-rela%C3%A7%C3%B5es-entre-m%C3%B3dulos#wiki-cite-ref-4) https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
5. \[5\] National Bureau of Standards. [Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K](https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf). National Bureau of Standards report, 1981. [](/pt/wiki/valores-calculados/constantes-de-elasticidade-do-a%C3%A7o-e-rela%C3%A7%C3%B5es-entre-m%C3%B3dulos#wiki-cite-ref-5) https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf

 **À primeira vista**

Constantes independentes na elasticidade isotrópica

2

Símbolo do módulo de Young

E

Símbolo do módulo de cisalhamento

G

Símbolos do módulo volumétrico

K ou B

Símbolo do coeficiente de Poisson

ν

Estimativa de referência do módulo volumétrico para aço inoxidável

163 GPa

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