鋼材断面特性の計算：面積、断面二次モーメント、断面係数、ねじり

鋼材断面の特性が表すもの

幾何学的特性と材料特性の違い

鋼材の断面特性とは、断面の幾何学的な記述量である。これは、指定された軸に対する材料の形状、寸法、および位置から計算されるものであり、鋼材の強度を表すものではない。

総断面積 $A$ は最も単純な例である。長方形の場合は $A=\mathrm{bh}$ であり、中空円の場合は外円の面積から内円の面積を差し引いたものである。寸法が同じである限り、断面を S275 から S355 に変更しても $A$ は変わらない。同じ区別は、断面二次モーメント、断面係数、回転半径、ねじり定数、およびそり定数にも当てはまる。

鋼種は材料の挙動を表す。S275 と S355 は欧州規格で使用される呼称であり、ASTM A992 は、一般にワイドフランジ形鋼に関連付けられる米国の構造用鋼材仕様である。これらは、降伏強度、引張強度、延性、化学成分、および溶接性において異なる場合がある。こうした冶金学的特性および材料特性は、耐力や設計照査に影響するが、特定の幾何学的な断面特性の値を大きくするものではない。指定されたある鋼種で製造された W310×39 は、別の鋼種で製造された同じ W310×39 と、公称断面積および断面二次モーメントが同じである。

ほとんどの計算は、座標を用いて断面積を記述することから始まる。図心は、構成要素の面積と一次モーメントから求められる。

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

組立断面では、平行軸の定理によって、各構成要素の局部的な断面二次モーメントを共通の図心軸へ移行する。例えば、

$$I_x=\sum (I_{x,i}+A_i{d}_{y,i}^2).$$

この方法は、プレート、山形鋼、T形鋼、箱形断面、およびその他の組立形状に適用できる。ミシガン大学の断面特性に関する講義資料では、この構成要素面積法が示されている。一方、Abaqus は連続体としての形式を説明している。すなわち、$I_{11}$ と $I_{22}$ は断面積全体にわたって座標距離の二乗を積分したものであり、$I_{12}$ は座標距離の積を積分したものである。通常の表記では、これらは図心を通る断面二次モーメントおよび断面二次積に相当するが、ソフトウェアの軸の定義には注意が必要である。

軸のラベルは、思い込みで判断せず確認しなければならない。米国の多くの鋼材表では、$x$ は強軸側の図心軸、$y$ は弱軸側の軸を表すが、別のソフトウェアでは局部軸 1 および 2 の定義が異なる場合がある。主断面二次モーメントが等しくない断面では、選択した軸の組合せによっては $I_{\mathrm{xy}}\ne 0$ となる。主軸へ回転すれば断面二次積はゼロとなり、その軸上では曲げ軸が連成しない。対称性により $I_{\mathrm{xy}}=0$ となることは多いが、それは対称軸上、または主軸系においてのみ成り立つ。

寸法にも限界がある。表には公称寸法が記載される場合があるが、圧延公差、隅部半径、フィレット、および板厚の変動は製造された断面形状に影響する。「I形鋼」とだけ特定された形材では、設計に必要な精度を満たさない。

構造用鋼材の設計で用いられる断面特性の体系

主要な幾何学的諸量は相互に関連しているが、それぞれ役割が異なる。

面積 $A$ は、${\mathrm{mm}}^2$ や ${\mathrm{in}}^2$ などの単位で表され、平均軸応力度 $P/A$ に直接使用されるほか、軸方向圧縮耐力にも寄与する。図心を通る断面二次モーメント $I_x$ および $I_y$ は、${\mathrm{mm}}^4$ や ${\mathrm{in}}^4$ で表され、それぞれの軸回りの弾性曲率に対する抵抗を表す。これらは面積分であり、材料強度ではない。

弾性断面係数は次式で表される。

\[ S_x=\frac{I_x}{c_x}, \qquad S_y=\frac{I_y}{c_y}, \]

ここで $c$ は、該当する図心軸から最外縁までの距離である。単位は ${\mathrm{mm}}^3$ または ${\mathrm{in}}^3$ である。弾性曲げ応力度は、一般に $M/S$ と表される。I形断面では、強軸回りの断面係数が弱軸回りの値の何倍にもなる場合がある。そのため、面積が一定であっても、向きを変えると曲げ耐力が変化する。

回転半径は次式で表される。

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}, \qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

単位は長さである。柱の設計では、$\mathrm{KL}/r$ が細長比となるため、$r_x$ および $r_y$ は、座屈が生じやすい軸を特定するのに役立つ。面積が大きいからといって、回転半径も大きいとは限らない。軸から離れた位置に面積を配置する方が、同じ面積を軸の近くに集中させるよりも、断面二次モーメントをはるかに効果的に増加させる。

断面二次積 $I_{\mathrm{xy}}$ は、長さの 4 乗の単位をもち、主軸ではない二つの軸の間の連成を表す。直交する図心軸について、断面の極二次モーメントは

$$I_p=I_x+I_y$$

であり、点回りの面積分布の合計を表す。これは、ねじり定数 $J$ と安易に置き換えてはならない。円形断面では、極二次モーメントと Saint-Venant のねじり挙動との関係は特に直接的である。一方、開断面の圧延形材では、$J$ は通常 $I_p$ よりもはるかに小さく、板厚の分布によって決まる。

ねじり定数 $J$ は Saint-Venant ねじり剛性を表し、通常、${\mathrm{mm}}^4$ または ${\mathrm{in}}^4$ で報告される。I形鋼や溝形鋼などの薄肉開断面は、比較的小さい $J$ を有する。一方、閉断面の箱形断面は、一般に一様ねじりに対してより効果的に抵抗する。そり定数 $C_w$ は、しばしば ${\mathrm{mm}}^6$ または ${\mathrm{in}}^6$ で報告され、不均一ねじりおよび縦方向のそりに関連する抵抗を表す。これは、ねじり荷重を受けたときにフランジがそる可能性のある開断面で特に重要となる。

せん断面積も別の幾何学的諸量である。単位は面積であるが、一般に $A$ と等しいわけではない。せん断変形またはせん断抵抗の定式化で用いられる有効面積を表し、その値は荷重方向および断面形状によって異なる。塑性断面係数とも呼ばれる塑性係数 $Z_x$ または $Z_y$ は、塑性中立軸を求め、降伏した各領域の一次モーメントを合計することによって得られる。これは弾性断面係数 $S$ とは異なる。$S$ は最外縁での初期降伏に関係するのに対し、$Z$ は断面全体が降伏した理想化断面に関係する。

Missouri S&T の MDSolids リソースでは、一般形状および標準鋼材形状について、図心位置、断面二次モーメント、断面係数、回転半径、塑性係数、極二次モーメント、および主断面二次モーメントを別々の出力として掲載している。この区別は必要である。

同じ断面に複数の支配的な特性がある理由

部材には、普遍的な「耐力特性」が一つだけ存在するわけではない。異なる作用は、異なる応力度および変形の分布を生じさせるからである。

軸方向引張は、主として面積ならびに適用される有効断面積または接合部に関する規定に関係する。軸方向圧縮は、面積、材料の降伏強度、座屈長さ、有効長さ、および関係する回転半径のうち小さい方に依存する。曲げでは、横方向の拘束、局部細長比、および鋼種の強度とともに、$I$、$S$、または $Z$ が用いられる。せん断は、せん断面積ならびにせん断を負担するウェブまたはプレート要素に依存する。ねじりは、$J$、$C_w$、そりに対する拘束、および荷重の導入方法に依存する場合がある。一つの数値でこれらの照査を置き換えることはできない。

このため、ANSI/AISC 360-16 では、$I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$、および $C_w$ を異なる断面特性量として定義し、使用している。AISC Part 1「寸法および特性」は、表形式の寸法および幾何学的特性について、2023 Steel Construction Manual の参照部分である。また、AISC Shapes Database v16.0 は、これらのデータを米国慣用単位系およびメートル単位系で提供している。Steel Construction Institute の 2024 Blue Book も同様に、欧州形鋼について、面積、断面二次モーメント、弾性および塑性断面係数、回転半径、ねじり定数、ならびにそり定数を掲載している。

参照資料は、対象となる形材および版に適合していなければならない。EVS-EN 10365:2026 は、熱間圧延溝形鋼、I形鋼、および H形鋼の公称寸法と質量を規定しているが、断面特性表に代わるものではない。Blue Book は、計算によって求めた幾何学的特性を提供している。ArcelorMittal は、欧州で計算された特性は一般にセンチメートル単位で報告され、表面積とそり定数はそれぞれメートルおよびデシメートルを基礎とする単位で表されると説明している。単位換算の誤りは、正しい公式による計算結果を大きく損なう可能性がある。

表の数値は、特に組立断面、孔あき断面、テーパー断面、または合成断面について、手計算または断面特性計算プログラムと照合すべきである。丸め処理は限界的な結果に影響することがあり、ソフトウェアの軸ラベルによって強軸と弱軸の特性が逆になる場合もある。したがって、正しい問いは「その断面の強度はいくらか」ではない。問うべきなのは、作用に対応する幾何学的特性はどれか、どの軸と単位を適用するのか、そしてどの材料および設計規格が耐力の規定を与えるのか、である。

座標系、図心、および基準軸

断面特性は、その基準軸が示されて初めて完全な意味を持つ。「I形断面の断面二次モーメント」という表現だけでは不十分である。その値が $I_x$、$I_y$、主断面二次モーメント、または $I_{11}$ のようなソフトウェア上の量を指している可能性があるためである。同じ断面でも、ある軸まわりの断面二次モーメントは大きく、別の軸まわりでははるかに小さい場合がある。したがって、寸法を組み合わせたり、表の値を設計計算に転記したりする前に、座標を確定しなければならない。

平面断面について、形状の平面内に、通常 $x$ および $y$ とする2本の直交座標軸を設定する。面積内の点の座標を $(x,y)$、微小面積を $\mathrm{dA}$ とする。全断面積は

$$A={\int }_A\mathrm{dA}.$$

面積の一次モーメントにより図心が定まる。

\[ \bar{x}=\frac{1}{A}\int_A x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\int_A y\,dA. \]

これらの式は、図心がすべての座標の面積加重平均であることを示している。同じ距離にある場合、大きな構成要素は小さな構成要素よりも強く寄与する。また、図心が外接矩形の幾何学的中心と一般には一致しない理由も示している。溝形断面、山形断面、T形断面、または非対称な組立断面では、図心が全体のせいおよび幅の見かけ上の中央から大きくずれることがある。

図心座標

$(\overline{x},\overline{y})$ が求まったら、図心座標を次のように定義する。

\[ x'=x-\bar{x},\qquad y'=y-\bar{y}. \]

図心軸は図心を通るため、その面積の一次モーメントはゼロになる。

\[ \int_A x'\,dA=0,\qquad \int_A y'\,dA=0. \]

この平行移動は単なる形式上の操作ではない。図心軸まわりの断面二次モーメントは

\[ I_x=\int_A y'^2\,dA,\qquad I_y=\int_A x'^2\,dA, \]

また、断面二次モーメントの積は

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_{A}x\prime y\prime \mathrm{dA}.$$

ここで用いる添字の規約は、米国の構造工学で一般的な表記法に従っている。すなわち、$I_x$ は $x$ 軸からの距離の二乗を評価し、$I_y$ は $y$ 軸からの距離の二乗を評価する。したがって、$I_x$ は $x^2$ ではなく $y^2$ を用いて計算する。この違いは、スプレッドシートで値を入れ替えてしまう頻繁な原因である。

組立断面では、まず各構成要素の面積と図心を計算し、その後で組み合わせる。ミシガン大学の面積特性に関する講義資料では、面積の一次モーメントと平行軸の定理を用いたこの構成要素法が示されている。例えば、

$$I_x={\sum }_i(I_{x,i,c}+A_i{d}_{y,i}^2),$$

ここで $I_{x,i,c}$ は構成要素自身の図心軸まわりの値、$d_{y,i}$ はその構成要素の図心から、組み合わせた断面の図心 $x$ 軸までの鉛直距離である。$y$ 軸まわりについても対応する式が適用される。孔は負の面積として扱う。したがって、長方形、三角形、円、または中空円の特性を直接計算し、それらをより複雑な鋼断面に組み合わせることができる。

単位によって、その量の種類を識別できる。面積の単位は長さの二乗であるのに対し、$I_x$、$I_y$、および $I_{\mathrm{xy}}$ の単位は長さの4乗である。断面係数の単位は長さの3乗、回転半径の単位は長さである。

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}},\qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

これらは断面二次モーメントの別名ではない。同じ断面形状を表しているからといって、異なる問いに答える量を単純に相互置換することはできない。

Abaqusでは、関連はあるものの同一ではないラベル体系が用いられている。その梁断面に関する文書では、$I_{11}$ および $I_{22}$ について座標距離の二乗を積分して図心特性を定義し、$I_{12}$ については座標距離の積を積分している。Abaqusの局所1–2軸を工学上の $x$–$y$ 軸に対応付けて初めて、その数値結果を通常の $I_x$、$I_y$、または $I_{\mathrm{xy}}$ と対応させることができる。文字の後に続く数字を、米国式の軸名だと決めつけてはならない。ソフトウェアの局所軸の定義と符号規約を確認する必要がある。

強軸と弱軸

強軸は、より大きい主断面二次モーメントに対応する図心軸であり、弱軸はより小さい主値に対応する図心軸である。ウェブおよびフランジに沿って配置された二軸対称のI形断面では、通常、これらの軸は幾何学的な水平および鉛直の図心軸と一致する。断面のせいがフランジ幅に比べて大きい場合、強い方向の曲げに対応する軸の断面二次モーメントが大きくなる。ただし、図面が回転している場合には「強軸」という用語が誤解される可能性があるため、用語は常に明示した軸と結び付けて使用しなければならない。

この区別は設計に直接影響する。弾性曲げ応力度には、選択した軸に基づく断面係数を用いる。

\[ S_x=\frac{I_x}{c_x},\qquad S_y=\frac{I_y}{c_y}, \]

ここで $c$ は、その軸から該当する最外縁までの最大距離である。座屈計算では、対応する回転半径を用いる。同じ鋼材断面の横に $r_y$ と $r_x$ が併記されているからといって、$r_y$ を $r_x$ の代わりに使用してはならない。[1][1] AISC Shapes Database v16.0. American Institute of Steel Construction. AISC Shapes Database, 2023.

American Institute of Steel Constructionは、Steel Construction Manualの第1部およびAISC Shapes Database v16.0にこれらの量を掲載している。2023年のAISCの説明によれば、このデータベースは米国慣用単位系およびメートル単位系で寸法と断面特性を提供している。ANSI/AISC 360-16では、$I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$、および $C_w$ などの量が定義されている。これらの資料は値を特定するためのものであるが、技術者はなお、断面の呼び名、版、単位、および軸の向きを確認しなければならない。

欧州の表では、独自の表示規約が用いられている。Steel Construction Instituteの2024年版Blue Bookには、面積、断面二次モーメント、断面係数、回転半径、ねじり定数、およびそり定数が掲載されている。EVS-EN 10365:2026は、熱間圧延溝形鋼、I形鋼、およびH形鋼の呼び寸法と質量を規定するものであり、それ自体が断面特性表の代替となるものではない。ArcelorMittalによれば、欧州で計算された特性値は一般にセンチメートルを用いて表され、表面積およびそり定数にはそれぞれメートルおよびデシメートルを基準とする単位が用いられる。これらの値をAISCの表と比較する前に、単位換算を行わなければならない。

対称性と主軸

図心を通る慣性乗積は、対称軸に関してゼロになる。 Strong evidence

対称性は強力な検算手段となる。面積が $x$ 軸について対称であれば、$+y$ にある各要素には $-y$ に対応する要素が存在するため、${\int }_A\mathrm{xy}\mathrm{dA}$ への対の寄与は相殺される。したがって、その軸まわりでは $I_{\mathrm{xy}}=0$ となる。$y$ 軸について対称な場合にも同じ結果が得られる。2本の直交する対称軸を持つ断面では、両方の図心軸まわりの断面二次モーメントの積がゼロになる。

主軸主軸 慣性乗積がゼロになり、曲げ特性が連成しないように回転して得られる図心軸。

非対称断面では、一般にこのような簡便性は得られない。その図心 $x$ 軸および $y$ 軸では $I_{\mathrm{xy}}$ がゼロでないことがあり、その場合、一方の軸まわりの曲げが、幾何学的に他方の軸まわりの曲げと連成する可能性がある。主軸とは、断面二次モーメントの積がゼロとなるように回転させた図心軸である。主断面二次モーメントは

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2},$$

であり、主軸の角度は

$$\tan 2\theta =\frac{2I_{\mathrm{xy}}}{I_x-I_y},$$

を満たす。ただし、採用する符号規約に従う必要がある。大きい方の値が主強軸の主断面二次モーメント、小さい方が主弱軸の主断面二次モーメントである。

山形断面、溝形断面、偏心した板、および不規則な組立断面では、主軸計算は任意ではなく必要になる場合がある。例えばMDSolidsは、一般形状および標準形状について、図心位置、断面二次モーメント、主断面二次モーメント、および関連特性を出力する。ソフトウェアの出力は検算として利用すべきものであり、座標を無視する理由にはならない。図心を確認し、単純な構成要素について1つの計算を再現し、軸の回転を調べ、出力された $I_{12}$ が手計算と同じ符号規約を使用しているかを確認する必要がある。これらの特性を決めるのは形状であり、形状が変わらない限り、呼び名をASTM A36からASTM A572 Grade 50に変更しても、材料の耐力は変わるが、図心や主軸は変わらない。

面積と面積一次モーメント

総断面積

断面積 $A$ は幾何学的な量である。これは断面がどれだけの平面領域を占めるかを表すものであり、鋼材がどれだけ強いかを表すものではない。連続した形状の場合、

$$A={\int }_A\mathrm{dA}$$

ここで、$\mathrm{dA}$ は断面の微小面積要素である。断面を単純な部分に分割する場合も、同じ量を加算によって計算できる。

$$A={\sum }_{i=1}^n{A}_i$$

長方形では $A=\mathrm{bh}$、三角形では $A=\mathrm{bh}/2$、円では $A=\pi d^2/4$、中空円では

$$A=\frac{\pi }{4}(D^2-d^2)$$

となる。ここで、$D$ は外径、$d$ は内径である。これらの式は、よく知られた形状について積分をすでに実行したものである。

孔には負の面積を割り当てる。したがって、円形開口を有する長方形の板は、開口を除去する前の材料境界を板の寸法が表している場合、

$$A_{\text{gross}}=\mathrm{bt}-\frac{\pi d^2}{4}$$

となる。負面積の規約は、異なる数学を用いる近道ではない。これは、積分からその領域を差し引くことを符号付きで表したものである。

総断面積（gross area）という用語には注意が必要である。断面特性表では、一般に、孔、スロット、コープ、その他の接合部詳細によって後から除外される材料も含めた、鋼材断面形状の完全な公称断面積を意味する。純断面積は設計規則に従って孔を除外する場合があり、有効断面積はさらに局部座屈、せん断遅れ、その他の規定を考慮する場合がある。これらの後者の設計上の断面積は、幾何学的な総断面積と同じものではなく、相互に置き換えることもできない。ANSI/AISC 360-16 では、断面特性に関する規定と設計に関する規定が区別されており、適用すべき純断面積または有効断面積の定義は、該当する限界状態計算から確認しなければならない。

寸法、公差、丸めは結果に影響する。規格に示された公称 H 形断面の寸法は、すべての圧延部材の実測寸法と必ずしも一致しない。EVS-EN 10365:2026 は、熱間圧延溝形鋼、I 形断面および H 形断面の公称寸法と質量を規定するものであり、断面特性表に代わるものではない。一方、Steel Construction Institute の Blue Book は、ヨーロッパの断面について、断面積や断面二次モーメントなどの計算された特性を示している。American Institute of Steel Construction が 2023 年に発行した AISC Shapes Database v16.0 は、米国慣用単位系およびメートル単位系による寸法と断面特性を提供している。

鋼種はこの幾何形状を変えない。ASTM A992 W 形断面として指定された断面と、別の鋼種指定で表された幾何学的に同一の断面は、計算上、同じ断面積を持つ。鋼種は耐力、降伏強度、設計照査に影響するが、$\mathrm{dA}$ の積分には影響しない。同じ区別は、該当する製品規格および材料規格に基づいて記載されたヨーロッパの鋼材 designation にも当てはまる。

面積一次モーメントと図心位置

ある軸に関する面積一次モーメントは、座標に微小面積を乗じて面積全体について積分したものである。

\[ Q_x=\int_A y\,dA,\qquad Q_y=\int_A x\,dA \]

ここで、$y$ は $x$ 軸から、$x$ は $y$ 軸から測定する。$Q_x$ の単位は長さの 3 乗であり、${\text{mm}}^3$ や ${\text{in}}^3$ などで表す。これは、単位が長さの 4 乗である断面二次モーメント $I$ とは異なる。

図心座標は直接次のように求められる。

$$\overline{x}=\frac{1}{A}{\int }_{A}x\mathrm{dA}=\frac{\sum A_i{x}_i}{\sum A_i}$$ $$\overline{y}=\frac{1}{A}{\int }_{A}y\mathrm{dA}=\frac{\sum A_i{y}_i}{\sum A_i}$$

これは、University of Michigan の断面特性に関する演習で教えられている構成面積法である。各構成部分は、その面積に各部分自身の図心の座標を乗じた量として寄与する。基準軸から遠い大きな面積ほど、基準軸に近い小さな面積よりも大きな影響を持つ。

計算前に、軸と符号を決める。一般的な規約では、右向きの $x$ と上向きの $y$ を正とする。この場合、$x$ 軸より下にある構成部分の $y_i$ は負となり、$\sum A_i{y}_i$ に負の寄与を与える。孔の $A_i$ は負であるため、その座標が正であれば、孔の面積一次モーメントへの寄与も負となる。基準原点を変更すると個々のモーメントは変化するが、最終的な図心は変化しない。

対称断面では、図心はすべての対称軸上に位置する。二軸対称の I 形断面では、図心はウェブとフランジの対称軸の交点にある。対称性は有用な検算方法であるが、板、開口、溶接取付部、偏心補剛材などによって対称性が崩れている場合に計算を省略する理由にはならない。

同じ $Q$ の記号は、横せん断に関する式にも現れるが、対象とする面積と軸を明示しなければならない。梁については、

$$\tau =\frac{\mathrm{VQ}}{\mathrm{Ib}}$$

である。ここで、$Q$ はせん断応力度を評価する点の一方の側にある面積部分について、その面積を中立軸からの距離で重み付けした面積一次モーメントである。$I$ はその軸に関する断面全体の断面二次モーメント、$b$ はせん断流に抵抗する局部的な幅または厚さである。この $Q$ は、任意の基準線に関する断面全体の面積一次モーメントとは限らない。図心軸に関しては、完全な断面全体の面積一次モーメントはゼロである。

組立断面の構成面積表

表を用いると、分割した断面の計算を検証可能な形で整理できる。少なくとも、各構成部分の符号付き面積、図心座標、面積一次モーメントへの寄与を含める。

次に、次式を計算する。

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} \]

表全体を通じて、座標系と単位系を一つに統一する必要がある。ミリメートルとメートルを混在させると、面積一次モーメントでは ${10}^3$、断面二次モーメントでは ${10}^6$ の係数が生じる可能性がある。

組立断面では、この表によって、平行軸の定理を $I_x$ および $I_y$ に適用する前の図心が定まる。また、直接的な検算も可能になる。計算した図心を通る軸に関する、断面全体の代数的な面積一次モーメントはゼロでなければならない。Missouri S&T の MDSolids などのソフトウェアは、一般形状および標準鋼材形状について、図心位置や関連する特性を計算できる。しかし、独立した構成面積表は、依然として有効な検証方法である。

表の数値は、正確な形材形状、軸の規約、版、および単位と一致していなければならない。AISC Part 1 は、標準的な米国寸法および幾何学的特性について、Steel Construction Manual の基準となるセクションである。ヨーロッパの表では、計算された特性がセンチメートル単位で示される場合がある。ArcelorMittal は、表面積とそり定数について、それぞれメートル基準およびデシメートル基準の単位を使用するとしている。したがって、面積および面積一次モーメントには、単位を付記しなければならず、数値だけを示してはならない。

断面二次モーメント：$I_x$、$I_y$、および $I_{\mathrm{xy}}$

断面二次モーメントは、断面積が指定された軸の周りにどのように分布しているかを表します。これは幾何学的特性であり、材料強度の値ではありません。構造用鋼材を ASTM A36 から ASTM A572 Grade 50 に変更すると、耐力照査および設計強度は変わりますが、断面寸法が同じである限り、$I_x$、$I_y$、および $I_{\mathrm{xy}}$ は変わりません。

軸のラベルは注意して読み取る必要があります。一般的な規約では、$I_x$ は $x$ 軸周りの断面積の分布を表すため、二乗される距離は $y$ 座標です。同様に、$I_y$ は $y$ 軸周りの分布を表し、二乗される座標は $x$ 座標です。ソフトウェアや規格によっては、$I_{11}$ や $I_{22}$ のような番号付きの軸を使用するため、値を比較する前に座標の規約を確認する必要があります。Abaqus の文書では、図心に関する特性を、$I_{11}$ および $I_{22}$ については座標距離の二乗を積分することにより、また $I_{12}$ については座標距離の積を積分することにより定義しています（Abaqus, 2024）。

積分による定義

選択した原点から座標を測定した断面積 $A$ について、

$$I_x={\int }_A{y}^2\mathrm{dA}$$ $$I_y={\int }_A{x}^2\mathrm{dA}$$

および

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_A\mathrm{xy}\mathrm{dA}.$$

最初の2つの量は断面二次モーメントです。その単位は長さの4乗であり、${\text{mm}}^4$、${\text{cm}}^4$、または ${\text{in}}^4$ です。断面相乗モーメントも同じ単位を持ちます。

中心となるのは距離の二乗です。$x$ 軸から距離 $y$ にある小さな面積要素は、単に $\mathrm{ydA}$ ではなく、$y^2\mathrm{dA}$ を $I_x$ に寄与します。同じ面積を持つ別の要素の2倍の距離にある要素は、$I_x$ に対して4倍の寄与をします。中立軸の近くにある材料の寄与は小さく、遠くに配置された材料ははるかに大きく寄与します。このため、I形断面のフランジは強軸周りの曲げ剛性に大きく寄与し、ウェブは、その面積だけから予想されるよりも大きな割合で弱軸周りの特性に寄与します。

$x$ 軸に平行な幅 $b$、$y$ 軸に平行なせい $h$ を持つ長方形について、その中央を通る図心軸に関しては、

\[ I_x=\frac{bh^3}{12}, \qquad I_y=\frac{hb^3}{12}. \]

寸法が3乗されることから、長方形断面を回転させると曲げ剛性が大きく変化し得ることが分かります。同じ幅を持つ場合、せい $200\text{mm}$ の長方形は、せい $100\text{mm}$ の長方形に比べて $I_x$ がはるかに大きくなりますが、面積は2倍に過ぎません。

三角形の場合、底辺に平行な図心軸周りの断面二次モーメントは、

$$I_x=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{36},$$

です。ここで、$b$ は底辺、$h$ は垂直な高さです。半径 $r$ の円は、任意の図心直径周りにおいて、

$$I_x=I_y=\frac{\pi r^4}{4}$$

となります。中空円では、外側の寄与から内側の寄与を差し引きます。

$$I_x=I_y=\frac{\pi }{4}(r_o^4-r_i^4).$$

これらの式は、断面特性ソフトウェアや表の値を検算するのに有用ですが、断面極二次モーメント、ねじり定数、または断面係数と置き換えて使用することはできません。

平行軸の定理

合成断面の手計算は、形状を単純な構成要素に分割することから始まります。各構成要素について、その面積 $A_i$、図心座標 $(x_i,y_i)$、および図心軸周りの断面二次モーメント $I_{x,i,c}$ と $I_{y,i,c}$ を求めます。一次モーメントにより、全体の図心位置を求めます。

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

合成断面の図心が分かれば、平行軸の定理によって各構成要素の特性を合成断面の軸へ移行できます。

$$I_x=\sum (I_{x,i,c}+A_i(y_i-\overline{y}{)}^2),$$ $$I_y=\sum (I_{y,i,c}+A_i(x_i-\overline{x}{)}^2).$$

断面相乗モーメントについては、

$$I_{\mathrm{xy}}=\sum (I_{\mathrm{xy},i,c}+A_i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}\left)\right).$$

移行項は、構成要素自身の図心軸周りの値より重要になることがよくあります。フランジ自体の軸周りの断面二次モーメントが比較的小さくても、全体の図心から離れていることにより、大きな $A_i{d}^2$ の寄与を生じる場合があります。

$200\text{mm}\times 20\text{mm}$ のフランジと、$20\text{mm}\times 180\text{mm}$ のウェブから構成され、ウェブがフランジの下に中央配置された対称な T形断面を考えます。フランジの面積は $4,000{\text{mm}}^2$、ウェブの面積は $3,600{\text{mm}}^2$ です。ウェブの底から上向きに測定すると、それぞれの図心位置は $y_f=190\text{mm}$ および $y_w=90\text{mm}$ です。したがって、

$$\overline{y}=\frac{4,000\left(190\right)+3,600\left(90\right)}{7,600}=142.63\text{mm}.$$

フランジについては、

$$I_{x,f,c}=\frac{200(20{)}^3}{12}=133,333{\text{mm}}^4,$$

ウェブについては、

$$I_{x,w,c}=\frac{20(180{)}^3}{12}=9,720,000{\text{mm}}^4.$$

軸移行後の特性は、およそ次のようになります。

$$I_x=133,333+4,000(47.37{)}^2+9,720,000+3,600(52.63{)}^2,$$

したがって、

$$I_x\approx 31.2\times {10}^6{\text{mm}}^4.$$

ウェブ自体のせいが結果の大部分を生み出しますが、フランジの偏心による寄与も相当な大きさになります。平行軸項を省略すると、断面特性を過小評価することになります。

空隙についても、負の面積および負の構成要素特性を用いれば、同じ方法を適用できます。これは、内側の寸法と軸位置が正しく定義されていることを前提として、外側の長方形から内側の長方形を差し引くことにより、長方形中空断面を計算する方法です。

断面相乗モーメントと回転軸

断面相乗モーメントは、面積が正または負の座標領域の組合せのどちらに位置しているかを表します。図心を原点とする座標では、第1象限にある面積要素の $\mathrm{xy}$ は正であり、第2象限にある要素の $\mathrm{xy}$ は負です。反対向きの寄与は相殺されることがあります。

原点が図心にある場合、断面が $x$ 軸または $y$ 軸のいずれかと一致する対称軸を持つと、$I_{\mathrm{xy}}$ はゼロになります。$x$ 軸に関する反射では、$y$ が $-y$ に変わるため $\mathrm{xy}$ の符号が反転し、対称な一対の寄与が相殺されます。$y$ 軸に関する対称性についても同じことが当てはまります。したがって、長方形、円、I形断面、および中央配置された中空断面では、通常の図心対称軸周りの $I_{\mathrm{xy}}=0$ となります。

山形断面、溝形断面、T形断面、または非対称な組立断面は、一般に対称軸を1本だけ持つか、対称軸を持ちません。その断面相乗モーメントは、任意の図心軸周りではゼロにならない場合があります。対称軸を1本持つ断面であっても、選択した一方の軸がその対称軸に沿い、もう一方の軸がそれに直交する場合に限り、$I_{\mathrm{xy}}=0$ となります。

軸を回転させると、3つの量は次のように変化します。

$$I_{x\prime }=\frac{I_x+I_y}{2}+\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta -I_{\mathrm{xy}}\sin 2\theta ,$$ $$I_{y\prime }=\frac{I_x+I_y}{2}-\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta +I_{\mathrm{xy}}\sin 2\theta ,$$ $$I_{x\prime y\prime }=\frac{I_x-I_y}{2}\sin 2\theta +I_{\mathrm{xy}}\cos 2\theta .$$

符号は採用する軸および回転の規約によって異なるため、計算全体を通じて同じ規約を維持する必要があります。主軸とは、$I_{x\prime y\prime }=0$ となる方向です。対応する主断面二次モーメントは、

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2}.$$

二軸対称の I形断面では、一般的な強軸および弱軸がすでに主軸となっています。これに対して、溝形断面や山形断面では、図心を通る幾何学的な軸が主軸とは限りません。また、一方の軸周りの曲げによって、もう一方の軸に関連する曲率または応力の影響が生じることがあります。非対称な組立断面にも同じ扱いが必要であり、対称性を確認せずに $I_{\mathrm{xy}}=0$ と仮定すると、誤った曲げ応答を導く可能性があります。

American Institute of Steel Construction が2023年に発行した AISC Shapes Database v16.0 は、米国慣用単位系およびメートル単位系で寸法と特性を提供しています。また、AISC Part 1 には、表形式の寸法および幾何学的特性が掲載されています。Steel Construction Institute の2024年版 Blue Book には、適用可能な場合、断面二次モーメントおよび主軸情報を含む欧州断面の特性が示されています。EVS-EN 10365:2026 は、公称寸法および質量を規定するものであり、計算されたすべての特性を規定するものではありません。単位の慣例も異なります。ArcelorMittal は、欧州で計算された特性は一般にセンチメートル単位で報告され、表面積およびそり定数にはメートルおよびデシメートルを基準とする単位が使用されると説明しています。表から転記した値は、正確な断面形状、軸、単位、および規格の版を確認して初めて有用になります。

基本形状の手計算

手計算は鋼種ではなく、境界と座標系から始まります。断面内の点の位置を $x$ と $y$ で表し、原点は当初、任意の扱いやすい基準点に取ります。全断面積は

$$A={\int }_A\mathrm{dA}$$

一次モーメントから図心が求まります。

\[ \bar{x}=\frac{1}{A}\int_A x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\int_A y\,dA \]

図心が求まると、図心軸に関する断面二次モーメントは

\[ I_x=\int_A (y-\bar{y})^2dA,\qquad I_y=\int_A (x-\bar{x})^2dA \]

また、断面相乗モーメントは

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_A(x-\overline{x})(y-\overline{y})\mathrm{dA}$$

これはAbaqusの規約と一致します。I11とI22は座標距離の二乗を積分し、I12は座標距離の積を積分します。添字の表記は資料によって異なる場合があるため、表を使用する前に軸の定義を確認する必要があります。

長方形断面と三角形断面

$x$ 軸に平行に測った幅を $b$、$y$ 軸に平行に測ったせいを $h$ とする長方形では、

$$A=\mathrm{bh}$$

長方形が両方の軸に対して対称であれば、その図心は幾何学的中心にあり、対称性から $I_{\mathrm{xy}}=0$ となります。図心軸に関する断面二次モーメントは

\[ I_x=\frac{bh^3}{12},\qquad I_y=\frac{hb^3}{12} \]

寸法は同じようには影響しません。$h$ を増加させると $I_x$ は三乗に比例して増加する一方、$b$ を増加させた場合の増加は一次比例にとどまります。$I_y$ については逆の関係になります。このため、同じ面積を追加する場合でも、軸の近くに追加するより軸から遠い位置に材料を配置した方が、曲げ剛性に大きな効果をもたらすことがあります。

長方形の下辺を基準軸とする場合、図心は

$$\overline{y}=\frac{h}{2}$$

に位置します。

その下辺に関する断面二次モーメントは

$$I_{x,\text{edge}}=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{3}$$

です。

図心軸に関する結果は、平行軸の定理から得られます。

$$I_{x,\text{edge}}=I_{x,\text{centroid}}+A(\frac{h}{2}{)}^2$$

これら二つの値を混同することは、手計算でよくある誤りです。

三角形について、底辺を $b$、垂直高さを $h$ とします。その面積は

$$A=\frac{\mathrm{bh}}{2}$$

です。

図心は、底辺から高さの3分の1、または頂点から高さの3分の2の位置にあります。底辺に平行で図心を通る軸については、

$$I_x=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{36}$$

となります。

底辺そのものに関しては、

$$I_{x,\text{base}}=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{12}$$

です。

ここでも、平行軸の定理によってこの二つの値が関係付けられます。図心軸に関する $I_y$ は、三角形の水平方向の形状に依存します。対称軸が鉛直である二等辺三角形では、

$$I_y=\frac{b^{3}h}{48}$$

となり、対称性から、図心を通る水平軸および鉛直軸に関して $I_{\mathrm{xy}}=0$ となります。一般に不等辺三角形では、これらの軸に関する断面相乗モーメントはゼロではないため、主軸は回転しています。

寸法の確認を行うと、多くの誤りを直ちに発見できます。面積の単位は $L^2$、一次モーメントの単位は $L^3$、断面二次モーメントの単位は $L^4$ です。したがって、${\mathrm{bh}}^3$ は断面二次モーメントとして次元的に適切ですが、${\mathrm{bh}}^2$ は適切ではありません。すべての長さを倍率 $k$ で変更すると、面積は $k^2$、図心座標は $k$、断面二次モーメントは $k^4$ 倍に変化します。

円形断面と中空円形断面

半径 $r$、または直径 $d=2r$ の中実円では、

$$A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}$$

となります。

図心を通る任意の直径は対称軸です。したがって、

$$I_x=I_y=\frac{\pi r^4}{4}=\frac{\pi d^4}{64}$$

および

$$I_{\mathrm{xy}}=0$$

となります。

図心を通る軸に関する極断面二次モーメントは

$$J_p=I_x+I_y=\frac{\pi r^4}{2}=\frac{\pi d^4}{32}$$

です。

この極断面二次モーメントは、すべての断面において、梁のねじりに用いられるSaint-Venantねじり定数 $J$ と自動的に同じになるわけではありません。円形断面では、中実円のねじり定数は極断面二次モーメントと等しくなりますが、この等価関係を開断面であるI形断面や溝形断面に適用してはなりません。

外半径を $r_o$、内半径を $r_i$ とする中空円では、

$$A=\pi (r_o^2-r_i^2)$$

となります。

図心は共通の中心にあり、

$$I_x=I_y=\frac{\pi }{4}(r_o^4-r_i^4)$$

です。

極断面二次モーメントは

$$J_p=\frac{\pi }{2}(r_o^4-r_i^4)$$

となります。

同じ式は、外径 $d_o$ と内径 $d_i$ を用いて次のようにも表せます。

\[ A=\frac{\pi}{4}(d_o^2-d_i^2),\qquad I_x=I_y=\frac{\pi}{64}(d_o^4-d_i^4) \]

この減算は、中実断面に対する近似ではなく、空洞部分を幾何学的に除去することを意味します。また、有用な極限確認にもなります。$r_i=0$ の場合、中空円の式は中実円の式に戻ります。$r_i$ が $r_o$ に近づくと、面積と断面二次モーメントはゼロに近づきます。薄肉断面は意味のある囲まれた面積を維持できる一方、曲げ特性およびねじり特性は肉厚に大きく依存します。したがって、同じ外径を持つ中実円に置き換えることは許容されません。

単純形状を組み合わせた鋼材断面

組立断面は、材料を加算し、空洞を減算して計算します。断面を、特性が既知の長方形、三角形、円、その他の形状に分割します。各構成要素 $i$ について、符号付き面積 $A_i$、図心座標 $(x_i,y_i)$、および図心軸に関する特性 $I_{x,i}$、$I_{y,i}$、$I_{\mathrm{xy},i}$ を記録します。切欠きや空洞には負の面積を使用します。

合成断面の図心は

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} \]

で求められます。

次に、平行軸の定理を適用します。

$$I_x=\sum [I_{x,i}+A_i(y_i-\overline{y}{)}^2]$$ $$I_y=\sum [I_{y,i}+A_i(x_i-\overline{x}{)}^2]$$ $$I_{\mathrm{xy}}=\sum [I_{\mathrm{xy},i}+A_i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}\left)\right]$$

空洞は、面積に基づくすべての項に負の寄与をします。例えば角形鋼管は、外側の長方形から内側の長方形を減算することで扱えます。ただし、両方の長方形が正しい基準軸を共有していることが条件です。I形断面は、ウェブの長方形と2枚のフランジの長方形から構成でき、全体の図心からのオフセットを平行軸の項に含めます。溝形断面も同様に構成できますが、その図心は一般に両方の幾何学的軸上にはありません。

対称性は強力な確認手段です。$x$ 軸に対して対称な断面では、その軸を基準軸とした場合に $\overline{y}=0$ でなければならず、図心軸に関する $I_{\mathrm{xy}}$ はゼロになります。二軸対称のI形断面では、主軸は図心軸と一致します。このような断面について計算結果がゼロでない断面相乗モーメントを示す場合、構成要素の座標、符号、または軸のラベルが誤っています。

最終的な値についても、極限状態の確認を行う必要があります。構成要素を取り除けば面積は減少しなければなりません。材料を軸から遠ざければ、対応する断面二次モーメントは増加するはずです。また、空洞の寸法がゼロに近づけば、その影響はなくなるはずです。寸法は全体を通して一つの単位系で統一してください。長さをミリメートルで表す場合、$A$ は ${\mathrm{mm}}^2$、$I$ は ${\mathrm{mm}}^4$ になります。結果をメートル単位に変換するには、面積については ${10}^6$、断面二次モーメントについては ${10}^{12}$ で割ります。ArcelorMittalが説明しているように、欧州の表では、計算された特性をセンチメートル単位で示すことが一般的である一方、表面積とそり定数にはメートルおよびデシメートルを基準とした単位が用いられます。

手計算による結果は、正確な形鋼表の代替ではなく、その照合のためのものです。AISC Shapes Database v16.0およびAISC Part 1には、米国形鋼の寸法と幾何学的特性が掲載されています。SCI P363（The Blue Book）には、欧州の断面特性が掲載されています。EVS-EN 10365:2026は、公称寸法と質量を規定するものであり、すべての派生特性を規定しているわけではありません。鋼板の厚さ公差、フィレット、角部半径、丸め処理によって、結果が変わることがあります。手計算で構築した理想化断面と公表されている鋼材断面を比較する前に、正確な呼び名と版を確認してください。

断面係数、断面二次半径、および極特性

断面係数、断面二次半径、および極特性は、同じ断面形状から導かれますが、それぞれ異なる工学的問題に答えるものです。いずれも材料強度の値ではありません。物理的な断面寸法が同じであれば、ASTM A36鋼からASTM A992鋼に変更しても、$I_x$、$S_x$、$r_x$、または $J$ は変化しません。鋼種によって変わるのは、抵抗性能、必要に応じて材料の弾性係数を用いて行う剛性照査、ならびに許容強度または設計強度です。形状から決まるのは、あくまで幾何学的な断面特性です。

表から数値を転記する前に、軸ラベルを確認しなければなりません。AISC、SCI、および欧州の諸表を用いる場合でも、この確認を省略してはなりません。American Institute of Steel Constructionは、AISC Shapes Database v16.0が米国慣用単位系およびメートル単位系で寸法と断面特性を提供していること、またAISC Part 1が表形式で示される寸法および幾何学的特性の参照セクションであることを示しています。欧州では、EVS-EN 10365:2026が熱間圧延溝形鋼、I形鋼、およびH形鋼の呼び寸法と質量を規定しており、計算された断面特性は、Steel Construction InstituteのBlue Bookなどの資料によって提供されています。

弾性断面係数

弾性断面係数は、該当する図心軸まわりの断面二次モーメントを、その図心軸から最外縁までの距離で割ったものです。$x$軸まわりの曲げに対しては、

$$S_x=\frac{I_x}{c_y}$$

となります。ここで、$c_y$は$x$軸から引張側または圧縮側の最外縁までの最大距離です。$y$軸まわりの曲げに対しては、

$$S_y=\frac{I_y}{c_x}$$

となります。ここで、$c_x$は$y$軸から最外縁までの最大距離です。$S$の添字は曲げ軸を示すものであり、分子における最外縁までの距離の方向を示すものではありません。

この区別は、不等フランジI形断面、溝形鋼、山形鋼、その他の非対称断面において重要です。二つの最外縁までの距離が異なる場合があるため、断面には正側と負側で別々の弾性断面係数が存在することがあります。表には、単一の値ではなく、$S_{x,\mathrm{top}}$と$S_{x,\mathrm{bottom}}$、または$S_{x,\max }$と$S_{x,\min }$が記載されている場合があります。両面に対して大きい方の値を使用すると、小さい方の値が支配する場合に、危険側の曲げ耐力を算定することになります。

単位は式から直接決まります。$I_x$および$I_y$の次元は長さの4乗であり、$c$の次元は長さです。したがって、$S_x$および$S_y$の次元は長さの3乗となります。一般的な単位系では、${\mathrm{mm}}^3$、${\mathrm{cm}}^3$、または${\mathrm{in}}^3$で表されます。${\mathrm{cm}}^3$と${\mathrm{mm}}^3$の換算を誤ると、100倍ではなく1,000倍の誤差が生じます。

幅$b$、せい$h$の矩形断面では、

\[ I_x=\frac{bh^3}{12},\qquad S_x=\frac{bh^2}{6}. \]

$I_x$ではせいが3乗され、$S_x$では2乗されます。このため、矩形棒を回転させると曲げ耐力が大きく変化することがあります。同じ面積であっても、90度回転させれば同じ曲げ断面になるわけではありません。

弾性断面係数は、弾性応力分布に適用されます。この場合、曲げ応力は中立軸でゼロとなり、最外縁で最大となるように線形に変化します。

$${\sigma }_{\max }=\frac{M}{S}.$$

これは、断面全体が降伏に達した後、引張側と圧縮側の合力が等しくなることを前提とする塑性断面係数$Z$と混同してはなりません。$Z$も長さの3乗を次元とする断面特性ですが、$S$と置き換えて使用することはできません。

断面二次半径

断面二次半径は、指定した図心軸からどの程度離れた位置に面積が分布しているかを、等価な数学的意味で表すものです。$x$軸まわりでは、

$$r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}},$$

$y$軸まわりでは、

$$r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}.$$

ここで、$A$は総断面積です。$I$の単位が$L^4$、$A$の単位が$L^2$であるため、断面二次半径の単位は長さ、すなわちミリメートル、センチメートル、またはインチとなります。

$r$が大きいほど、該当する軸から離れた位置に多くの面積が分布していることを意味します。このため、I形断面では$r_x$が大きく、$r_y$がそれより大幅に小さくなることがあります。フランジは強軸から遠い位置に相当量の面積を配置しますが、弱軸まわりではウェブおよびフランジの厚さによって、分布する面積が少なくなるためです。

主な設計用途は、軸部材の座屈です。部材長さを$L$、有効長さ係数を$K$とすると、各軸まわりの細長比は、

\[ \frac{KL_x}{r_x} \quad\text{および}\quad \frac{KL_y}{r_y}. \]

となります。通常、値が大きい方が、より厳しい座屈方向を示します。ただし、これは端部拘束、ブレース、ねじり・曲げ連成効果、および設計基準の分類規則を考慮した上で判断する必要があります。面積だけで比較すると、この挙動を見落とします。二つの断面が同じ総断面積で質量も近い場合でも、弱軸まわりの断面二次半径が大きく異なり、その結果、圧縮性能が異なることがあります。

断面二次半径は、鋼材断面上で目視できる半径ではありません。面積分布から計算される値です。Missouri S&TのMDSolidsリソースでは、図心位置、断面二次モーメント、断面係数、断面二次半径、塑性断面係数、極二次モーメント、および主断面二次モーメントが別々の出力として示されています。これは、これらの名称が異なる計算を表していることを理解する上で有用です。

組立断面では、平方根を取る前に、$A$、図心座標、各構成要素の断面二次モーメント、および平行軸の定理を用います。得られた結果は、軸の規約と照合して確認する必要があります。Abaqusは、面積積分によって図心に関する断面特性を記述しています。$I_{11}$および$I_{22}$は座標距離の二乗を積分し、$I_{12}$は座標距離の積を積分します。これは手計算で用いる幾何学的基礎と同じですが、ソフトウェアでは鋼材表とは異なる軸ラベルが用いられる場合があります。

極二次モーメントとその限界

断面平面に垂直で、ある点を通る軸まわりの面積極二次モーメントは、

$$I_p={\int }_A{r}^2\mathrm{dA}.$$

互いに直交する図心$x$軸および$y$軸については、

$$I_p=I_x+I_y.$$

その単位は$L^4$、たとえば${\mathrm{mm}}^4$または${\mathrm{in}}^4$です。半径$R$の中実円形断面では、

$$I_p=\frac{\pi R^4}{2},$$

外半径$R_o$、内半径$R_i$の円環断面では、

$$I_p=\frac{\pi }{2}(R_o^4-R_i^4).$$

これらの式により、極二次モーメントは、円形軸のねじりや、形状および荷重が回転対称となる問題において有用です。弾性ねじりを受ける円形軸では、極二次モーメントは一般に$J$と表され、よく知られた関係式は、

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

となります。この表記によって、極二次モーメント$I_p$は、すべての鋼材断面に対して自動的にねじり定数$J$と同じであると誤解されることがあります。しかし、これは正しくありません。

Saint-Venantねじり定数$J$は、一様ねじりに対する抵抗を表し、断面のそりおよびせん断流れの挙動に依存します。中実円形断面または薄肉円形断面では、$J=I_p$となります。一方、一般的な開断面では、両者は異なる量です。幅$b$、厚さ$t$の薄い矩形 stripで、$b$が$t$より十分大きい場合、そのねじり定数はおおよそ${\mathrm{bt}}^3/3$のオーダーとなります。一方、その極二次モーメントへの寄与は、stripが図心から離れている距離の二乗によって支配されることがあります。したがって、開断面のI形断面は、相当大きな極二次モーメントを持つように見えても、Saint-Venantねじり定数は比較的小さい場合があります。

一般に、閉鎖箱形断面は開断面よりもねじり効率がはるかに高くなります。これは、閉じたセルの周囲に循環するせん断流れが形成されるためです。ねじり拘束によって縦方向のそりが生じる場合、$J$だけでは不十分であり、$L^6$を次元とするそり定数$C_w$を解析に導入する必要があります。ANSI/AISC 360-16では、$I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$、および$C_w$を、別個の断面特性量として定義し、使用しています。Blue Bookでも、弾性および塑性断面係数、断面二次半径、ねじり定数、ならびにそり定数がそれぞれ別々に記載されています。

欧州の資料では、単位の規約に特に注意が必要です。ArcelorMittalは、計算された断面特性は一般にセンチメートル単位で表示され、表面積およびそり定数には、それぞれメートルを基準とする単位およびデシメートルを基準とする単位が使用されると説明しています。したがって、Blue Bookまたはメーカーの表から転記した値は、単なる数値の大きさではなく、断面特性の種類と単位によって特定しなければなりません。表に記載された$S$、$r$、$I_p$、または$J$を使用する前に、正確な断面名称、軸の規約、規格の版、およびその値が総断面、呼び断面、またはその他の指定された形状に基づくものかどうかを確認してください。

弾性断面特性と塑性断面特性

弾性中立軸と最外縁

弾性断面特性は、降伏が生じる前の応力分布を表します。一定断面で均質な鋼材断面に対し、図心軸周りに曲げモーメントが作用する場合、弾性中立軸は図心を通ります。その軸の一方側にある断面繊維は圧縮状態、他方側にある断面繊維は引張状態となり、中立軸では長手方向の曲げ応力はゼロです。応力分布は線形です。

$$\sigma =\frac{\mathrm{My}}{I}$$

ここで、$M$ は作用するモーメント、$y$ は中立軸からの距離、$I$ は該当する図心軸周りの断面二次モーメントです。

したがって、弾性断面係数は次式で表されます。

$$S=\frac{I}{c}$$

ここで、$c$ は中立軸から検討対象の最外縁までの距離です。図心の上下で距離が異なる断面は、$S_{x,\text{top}}$ や $S_{x,\text{bottom}}$ のように、2つの弾性断面係数を持ちます。これらは互換的に使用できません。正曲げおよび負曲げモーメントに対しては、$c$ が異なるため、異なる最外縁が支配的になる場合があります。

この区別は、溝形鋼、山形鋼、T形鋼、または非対称な組立断面において重要です。均質断面では、図心軸が引き続き弾性中立軸を定めますが、最も遠い断面繊維は、一方の側でその軸から大幅に遠くなることがあります。表から単一の値をそのまま引用すると、この非対称性が隠れてしまう可能性があります。二軸対称のI形断面およびH形断面は、主軸周りに正負で等しい弾性断面係数を持つのが一般的ですが、一軸対称断面では通常、等しくありません。

幾何学的な基礎となるのは、断面二次モーメントです。Abaqusの文書では、$I_{11}$ および $I_{22}$ は断面積全体にわたる座標距離の二乗の積分として、また $I_{12}$ は座標距離の積の積分として説明されています（Abaqus, 2024）。この定義により、フランジの面積を図心からより遠い位置に移動させると、鋼材を大幅に追加しなくても $I$ が大きく増加する理由が分かります。また、$S$ が鋼種に依存する強度値ではなく、幾何学的な量であることも分かります。

弾性断面係数の単位は長さの3乗です。例えば、${\text{mm}}^3$、${\text{cm}}^3$、または ${\text{in}}^3$ です。これは、単位が長さである回転半径や、同じく長さの3乗の単位を持つものの、異なる方法で算定される塑性断面係数と混同してはなりません。

塑性中立軸と塑性断面係数

塑性中立軸（PNA）は、線形弾性状態ではなく、断面全体が降伏した応力状態に基づいて定められます。均質な鋼材断面が純曲げを受ける場合、塑性中立軸は断面積を圧縮側と引張側の等しい面積に分割します。

$$A_c=A_t=\frac{A}{2}$$

応力は、一方の側では圧縮における降伏応力、他方の側では引張における降伏応力であると理想化されます。したがって、合力としての軸方向力は釣り合います。材料強度が一定でない断面や複合材料断面では、一般に幾何学的な面積を等しくするだけでは不十分であり、適用される材料応力を用いて圧縮側および引張側の合力を釣り合わせる必要があります。

塑性断面係数は、通常 $Z$ と表記され、塑性中立軸周りの降伏領域の一次モーメントです。

\[ Z=\int_A |y-y_p|\,dA \]

構成要素ごとの面積を用いる場合は、各面積に、その図心から塑性中立軸までの距離を乗じて合計することで算定できます。対応する全塑性モーメントは、均一な鋼種の場合、通常次式で表されます。

$$M_p=F_{y}Z$$

ただし、$F_{y}Z$ は耐力を表す式であり、幾何学だけで決まる恒等式ではありません。ASTM A992からASTM A36に変更すると、設計照査で用いる規定降伏強度は変わりますが、同じ寸法から算定される幾何学的な $Z$ は変わりません。同じ区別は、該当する製品規格および設計規格に基づくS275やS355などの欧州規格鋼種にも適用されます。

弾性断面係数と塑性断面係数は、異なる問いに答えるものです。$S$ は、弾性的な応力分布のもとで最外縁が初めて降伏するときのモーメントと関係します。$Z$ は、圧縮側と引張側の応力ブロックが釣り合った、断面全体が完全に降伏した状態のモーメントと関係します。両者の比

$$Z/S$$

は、指定された曲げ軸および支配的な最外縁に対する形状係数です。これは、塑性応力再配分によって生じる追加のモーメント耐力を示しますが、部材がその耐力に到達またはその耐力を維持できることを保証するものではありません。

塑性断面係数が大きいというだけで、断面をコンパクト断面に分類することはできません。非コンパクト断面、コンパクト断面、細長断面の分類は、主として板要素の幅厚比、境界条件、応力勾配、および適用される設計規格の限界規定に依存します。細長いウェブは、算定された $Z$ に大きく寄与する場合がありますが、全塑性応力状態が形成される前に局部座屈が生じる可能性があります。反対に、コンパクト断面であっても形状係数が比較的小さい場合があります。断面分類は安定性および延性に関する判断であり、表に記載された単一の数値に基づく順位付けではありません。

表の数値が異なる場合

同一の断面に見えるものについて、信頼できる2つの表が、弾性または塑性断面特性についてわずかに異なる値を示すことがあります。まず確認すべきなのは、形材の呼称および版が同一かどうかです。American Institute of Steel Constructionは、2023年に発行されたAISC Shapes Database v16.0が、米国慣用単位系およびメートル単位系による寸法と特性を提供しているとしています。また、第16版Steel Construction ManualのPart 1が、標準形材の寸法および幾何学的特性に関する基準資料です。そこに記載されたW形鋼を、呼称が似ているというだけで、欧州規格のHE形鋼と安易に比較してはなりません。

Steel Construction Instituteが管理するBlue Bookは、ここでは2024年版を参照しており、断面積、断面二次モーメント、弾性および塑性断面係数、回転半径、ねじり定数、そり定数を示しています。EVS-EN 10365:2026は、熱間圧延溝形鋼、I形鋼、およびH形鋼の公称寸法と質量を規定していますが、それ自体が、あらゆる算定断面特性表の代替となるものではありません。この区別は重要です。製品規格における公称フランジ厚、メーカー表でモデル化された厚さ、設計データベースにおける丸められた寸法は、わずかに異なる結果をもたらす可能性があります。

形材の幾何形状には、簡略化した手計算用のスケッチでは省略される詳細も含まれます。例えば、フランジおよびウェブのフィレット、ルート半径、テーパー、隅角半径、圧延公差などです。長方形に基づく近似は、I形断面の全体的な挙動を再現できても、正確な断面積、図心、$I$、$S$、または $Z$ を再現できない場合があります。さらに、丸め処理によって別の差異が生じます。表には $I_x=1,130{\text{cm}}^4$ と表示されていても、ソフトウェア内部ではより多くの桁を保持していることがあります。

単位は、回避可能な誤差の原因となります。ArcelorMittalは2024年に、欧州で算定された断面特性は一般にセンチメートルを基準として報告され、表面積にはメートルを基準とする単位、そり定数にはデシメートルを基準とする単位が使用されると記載しています。したがって、${\text{cm}}^3$ 単位の $W_{\mathrm{el}}$ と ${\text{dm}}^6$ 単位の $I_w$ は、換算せずにインチ・ポンド単位系の計算へ転記することはできません。

Missouri S&TのMDSolidsは、一般形状および標準鋼材形状について、図心位置、断面二次モーメント、断面係数、回転半径、塑性断面係数、極二次モーメント、主断面二次モーメントを掲載しています（2024年）。これは手計算の確認に有用ですが、塑性断面係数が一致したからといって、断面がコンパクト性の限界または設計耐力を満たすことが証明されるわけではありません。表の値を採用する前に、軸の定義、全断面または純断面の別、フィレットの扱い、単位、資料の版を確認してください。断面特性は幾何形状によって定まり、その特性をどのように使用できるかは、適用される設計規格によって定まります。

ねじり定数 $J$ とそり定数 $C_w$

サン・ブナンねじりと $J$

ねじり定数 $J$ は、サン・ブナンねじりに対する断面の抵抗を表します。これは、断面が部材長さ方向に自由にそることができる状態で、トルクによって生じるねじりです。$J$ は幾何学的性質であり、鋼材の強度値ではありません。単純な弾性モデルでは、ねじりせん断応力とねじり角は、材料のせん断弾性係数 $G$、作用トルク $T$、および $J$ によって次のように関係付けられます。

$$\theta \prime =\frac{T}{\mathrm{GJ}}$$

ここで、$\theta \prime$ は単位長さ当たりのねじり角です。同じトルクに対して、材料、荷重、および境界条件がその他の点で同一であれば、$J$ が大きいほどねじりは小さくなります。$J$ の次元は長さの4乗であり、たとえば ${\text{mm}}^4$、${\text{in}}^4$、または ${\text{cm}}^4$ です。

「ねじり定数」という語は、すべての断面において「極断面二次モーメント」を意味するわけではありません。極断面二次モーメントは、互いに直交する図心軸について、次式で表されます。

$$I_p=I_x+I_y$$

円形断面または環状断面では、$J=I_p$ となります。これは、円形の幾何形状によって、サン・ブナンの応力関数がこの直接的な等価関係を成立させるためです。一方、ほとんどの非円形断面、特に薄肉開断面では、\(J\ne I_p\) です。この2つの量を互換可能なものとして扱うと、予測されるねじり角やねじり応力に大きな誤差が生じる可能性があります。

長さ $b$、厚さ $t$ の薄肉長方形帯材について、$b$ が $t$ より十分に大きい場合、サン・ブナンねじり定数はおおよそ次式で表されます。

$$J\approx \frac{1}{3}{\mathrm{bt}}^3.$$

厚さは3乗で現れます。そのため、図心からの距離だけに基づく円形断面の計算から想定されるよりも、薄いフランジやウェブがサン・ブナンねじり剛性に寄与する程度ははるかに小さくなります。極断面二次モーメントは、軸まわりの面積分布を表します。一方、$J$ は、ねじり中に適合するせん断応力場を形成する断面の能力を表します。両者は関連する幾何学的概念ですが、同じ計算ではありません。

ANSI/AISC 360-16 は、$I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、および $C_w$ とともに、$J$ を鋼構造設計で使用される断面性能値として示しています。American Institute of Steel Construction が2023年に発行した AISC Shapes Database v16.0 は、米国慣用単位系およびメートル単位系による標準形鋼の寸法と断面性能を提供しています。AISC Part 1, Dimensions and Properties は、第16版 Steel Construction Manual における表形式の断面性能の基準資料です。掲載値は、対象となる W、S、M、HP、C、MC、WT、L、HSS などの正確な形鋼記号と一致していなければなりません。公称せいが類似しているだけでは不十分です。

そりに対する抵抗と $C_w$

$C_w$、すなわちそり定数は、不均一ねじりを受ける断面の長さ方向のそりに対する抵抗を表します。その次元は長さの6乗であり、一般に ${\text{mm}}^6$、${\text{in}}^6$、または ${\text{cm}}^6$ です。断面のサン・ブナンねじり応答を表す $J$ と混同してはなりません。

梁がねじれると、開断面の各部分は一般に、異なる量だけ長さ方向へ移動しようとします。たとえば I 形断面では、フランジが互いに反対方向へそることがあります。端部が自由で、作用トルクが一様であれば、応答の大部分は $J$ によるサン・ブナンねじりとして表せる場合があります。しかし、ダイアフラム、端板、接合部、床システム、溶接部、または支持部がこの長さ方向の移動を拘束すると、そり応力が発生します。その結果生じるねじり応答にはそりねじりが含まれ、$C_w$ が重要になります。

この影響の大きさは、断面記号だけでなく拘束条件に依存します。フランジのそりを許容する詳細を持つ単純支持部材では、そりの寄与は小さい場合があります。同じ断面でも、剛接合部に固定したり、剛性の高いダイアフラムに連結したりすると、大きなバイモーメントと長さ方向の垂直応力が発生する可能性があります。端部条件を定義せずに $C_w$ を計算へ組み込むのは不完全です。

二軸対称の I 形断面および H 形断面では、離れて配置されたフランジが互いに反対方向へそるための長いレバーアームを形成することから、強軸まわりのそり定数は大きくなることがよくあります。薄いフランジを持つ I 形断面についての簡略形は、フランジ面積とフランジ図心間距離の2乗の積に比例し、次のように表されます。

$$C_w\sim A_f{h}_o^2,$$

ただし、厳密な式はフランジ形状、ウェブ厚、および選択する軸によって異なります。この近似式は、$J$ が比較的小さいままであっても、$C_w$ が大きくなり得る理由を説明します。

AISC の表および SCI Blue Book は、多くの標準断面について $C_w$ を掲載しています。SCI が2024年に欧州の寸法および断面性能の資料として示した Steel Construction Institute の Blue Book には、断面積、断面二次モーメント、弾性および塑性断面係数、断面二次半径、ねじり定数、そり定数が収録されています。これらは計算によって得られる幾何学的性質です。EVS-EN 10365:2026 は、熱間圧延溝形鋼、I 形鋼、および H 形鋼の公称寸法と質量を規定するものであり、断面性能表の代替にはなりません。

$C_w$ では、単位の確認が特に重要です。ArcelorMittal の2024年の解説資料によれば、欧州で計算された断面性能は、一般にセンチメートルを基準とする単位慣行で示されます。一方、表面積にはメートルを基準とする単位、そり定数にはデシメートルを基準とする単位が使用されます。したがって、ある表では $J$ が ${\text{cm}}^4$、$C_w$ が ${\text{dm}}^6$ で示されることがあります。力の単位または長さの単位だけを変換し、6乗の量をそのままにすると、結果が無効になる可能性があります。

開断面と閉断面の鋼材

開断面である I 形断面、溝形鋼、T 形鋼、および山形鋼では、周長の大部分に沿う薄肉経路が互いに連続していません。そのため、これらのサン・ブナンねじり定数は、$I_x$、$I_y$、または極断面二次モーメントと比較して小さいことがよくあります。I 形断面は強軸曲げに対して非常に高い剛性を持つ一方、荷重がせん断中心を通らない場合には容易にねじれることがあります。溝形鋼ではさらに複雑になります。せん断中心が断面の外部にあるため、図心を通る横荷重によってねじりが生じる可能性があります。

山形鋼と T 形鋼も非対称断面です。これらでは、図心、主軸、せん断中心、およびそりの応答は、二軸対称の I 形断面で見られるような単純な形では一致しません。選択した座標系において慣性相乗積 $I_{\mathrm{xy}}$ がゼロでない場合があり、曲げとねじりを正しく評価するには、主軸変換が必要になります。

閉断面の管は、壁が連続したセルを形成するため、異なる挙動を示します。トルクは、囲まれた面積の周囲を循環するせん断流によって伝達されます。薄肉単一セル閉断面では、ねじり定数はおおよそ次式で表されます。

$$J\approx \frac{4A_m^2}{\oint \mathrm{ds}/t},$$

ここで、$A_m$ は壁の中央線によって囲まれる面積であり、積分は壁の長さと厚さを考慮するものです。この機構により、同程度の質量を持つ開断面と比べて、閉じた長方形または円形の HSS は通常、はるかに高いサン・ブナンねじり剛性を示します。閉断面でも、集中荷重、不連続部、および接合部の近傍ではそりが生じる可能性があります。しかし、開断面の I 形断面と比べると、自由な一様そりが支配的となることは少ない場合が多いです。

これらの違いは、手計算だけでなく解析ソフトウェアでも重要です。Abaqus は、$I_{11}$ および $I_{22}$ について座標距離の2乗を、$I_{12}$ について座標の積を積分することにより図心断面性能を定義しています。この積分の枠組みは、$I_p$ を $J$ に変えるものではありません。Missouri S&T の MDSolids リソースも、一般形状および標準形状について、極断面二次モーメントとねじり特性を別々に計算します。したがって、適切な解析モデルでは、対象断面に一致する標準資料から $J$ と $C_w$ を取り込むか、断面のトポロジーに適した方法でそれらを計算します。そのうえで、鋼構造設計に値を適用する前に、単位、軸、拘束条件、および接合部の詳細を確認します。

せん断面積、せん断中心、および非対称断面

有効せん断面積

総面積 $A$ は、軸力の計算や複数の幾何学的断面特性に用いられる面積である。しかし、横せん断力に抵抗する面積が自動的に総面積になるわけではない。せん断面積は別個の断面特性であり、一般に $A_{\mathrm{vx}}$、$A_{\mathrm{vy}}$、$A_v$ と表記されるか、せん断補正係数を介して表される。その単位は面積であるが、数値はせん断方向、および断面上のせん断応力分布をどのように仮定するかによって異なる。

深さ方向に平行なせん断力を受ける長方形断面では、せん断応力は一定ではない。自由な上面および下面ではゼロであり、中立軸に向かって増加し、そこで最大値に達する。したがって、平均応力 $V/A$ は実際の最大応力とは一致しない。せん断面積による表現では、不均一な応力場を等価な平均関係に置き換え、しばしば次のように表す。

$${\tau }_{\mathrm{avg}}=\frac{V}{A_v}.$$

最大応力と平均応力は異なるため、$A_v$ は単純に総面積となるわけではない。幅 $b$、深さ $h$ の中実長方形断面では、よく知られた弾性応力分布により最大せん断応力は $1.5V/\left(\mathrm{bh}\right)$ となる。この最大応力に基づく等価面積は $2\mathrm{bh}/3$ である。梁の有限要素で用いられる定義など、他の定義では異なる有効面積が得られることがある。これは、最大応力だけでなく、せん断ひずみエネルギーに基づいて定義されるためである。

薄肉 I 形断面では、この区別がより重要になる。鉛直せん断力を受ける場合、力の大部分はウェブが負担する。一方、フランジの材料はウェブのせん断流の経路から離れており、さらにフランジ幅方向にせん断応力が変化するため、フランジの寄与は比較的小さい。断面全体を一様なせん断面積として扱うと、ウェブのせん断応力を過小評価する可能性がある。水平せん断の場合は、フランジの配置がより重要になる。溝形鋼、山形鋼、または T 形鋼には、せん断流をつり合わせる一対の等しい対向フランジがないため、実際の形状に基づいて分布を計算しなければならない。

通常用いられる薄肉断面の関係式

$$q=\frac{\mathrm{VQ}}{I},$$

は、該当位置の外側にある面積の一次モーメント $Q$ に基づき、その位置におけるせん断流 $q$ を表す。ここで、$I$ は関連する図心軸まわりの断面二次モーメントである。この式は、フランジとウェブの応力を面積比だけで割り当てることができない理由を示している。$Q$ で表される材料の位置が重要になる。ウェブとフランジの接合部では、せん断流はつり合い条件と適合条件も満たさなければならない。

したがって、計算されたせん断面積には、方向と定義を明記すべきである。せん断面積を $A$、$I_x$、$I_y$、または断面係数の代わりに用いてはならない。この点で、Georgia Tech のステンレス鋼設計指針は有用である。同指針では、断面特性の計算結果として、面積、図心軸まわりの断面二次モーメント、断面係数、回転半径、ねじり関連量、およびせん断関連量を分けて示しており、形状効率の一般的な指標として一つの数値だけを提示していない。同じ幾何学的な取り扱いは、炭素鋼および低合金構造用鋼にも適用される。鋼種の designation を ASTM A36 から ASTM A572 Grade 50 に変更した場合、またはあるステンレス鋼種から別の鋼種に変更した場合でも、寸法が変わらなければ、変化するのは耐力などの抵抗値および設計限界であり、寸法から計算されるせん断面積ではない。

せん断中心の位置

せん断中心せん断中心 横方向の力が断面に追加のねじりモーメントを生じさせない荷重線の位置。

せん断中心とは、横荷重を断面に作用させたとき、ねじりを生じさせずに曲げだけを生じさせるために、その荷重線が通らなければならない断面上の点である。二軸対称の I 形断面では、せん断中心は図心と一致する。対称軸が一つだけの断面では、せん断中心はその対称軸上にあるが、図心と一致するとは限らない。対称軸を持たない断面では、せん断中心は両方の座標方向において偏心する可能性がある。

その理由はせん断流にある。横荷重は、断面全体に分布する微小なせん断力を生じさせる。それらの合力は作用せん断力と等しいが、これらを合成した作用線は図心を通らない場合がある。この偏心によりトルクが生じる。せん断中心に荷重を作用させれば、正しい作用線が与えられ、そのトルクが除去される。

溝形鋼は、典型的な注意例である。そのフランジはウェブの片側に伸びているため、鉛直せん断力によってフランジに不等なせん断流が生じ、その合力は一般に図心から離れた位置に作用する。せん断中心は、通常、材料の外側で、フランジとは反対側のウェブ側に位置する。そのため、図心を通して荷重を作用させると、曲げとねじりが同時に生じることがある。山形鋼ではさらに複雑になる。通常の等辺山形鋼または不等辺山形鋼では対称軸がないため、図心座標とせん断中心座標の双方を断面全体の形状から求めなければならない。T 形鋼には一つの対称軸があるため、せん断中心はその軸上に拘束される。しかし、場合によっては、ステムとフランジの配置によってせん断中心は図心から離れた位置になる。

この計算には、$A$、$I_x$、および $I_y$ だけでは不十分である。せん断流を求め、その流れの基準点まわりのモーメントを積分し、正味のねじりモーメントがゼロとなる点を特定しなければならない。薄肉開断面では、理想化した壁厚や接合部の形状が結果に影響する。曲面コーナー、フィレット、リップ、および局部溶接部によっても、特に断面が小さい場合や壁厚が薄い場合には、結果が変化することがある。

公表されている表を使用する際には、軸の規約にも注意しなければならない。American Institute of Steel Construction が 2023 年に、米国慣用単位系およびメートル単位系で寸法と断面特性を提供するものとして示した AISC Shapes Database v16.0 は、特定の形鋼 designation と軸の規約に基づいている。Steel Construction Institute の Blue Book も、欧州の断面特性を同様に報告している。EN 10365:2026 は、熱間圧延溝形鋼、I 形鋼、および H 形鋼の公称寸法と質量を規定するものであり、断面特性表に代わるものではない。Blue Book は計算された断面特性を提供している。一方、ArcelorMittal は、欧州で計算された断面特性は一般にセンチメートル単位で報告され、表面積およびそり定数にはメートルおよびデシメートルを基準とする単位が用いられると説明している。せん断中心までの距離については、単位、軸の原点、および符号を個別に確認しなければならない。

曲げとねじりの連成

非対称断面では、曲げとねじりは関連する二つの形で連成する。第一に、図心を通る荷重線がせん断中心を通らない場合、ねじりモーメント

$$T=Ve,$$

が生じる。ここで、$e$ は荷重線とせん断中心線との垂直距離である。第二に、選択した $x$ 軸および $y$ 軸が主軸でない場合、断面二次モーメントの積 $I_{\mathrm{xy}}$ はゼロではない。その場合、一方の座標軸まわりの曲げによって、他方の軸を含む曲率が生じる。これは材料強度による効果ではなく、座標系と幾何形状による効果である。

Abaqus の文書では、図心を通る $I_{11}$ および $I_{22}$ は、面積全体にわたって座標距離の二乗を積分することによって得られ、$I_{12}$ は座標距離の積を積分することによって得られると説明されている。この積が、非対称軸による連成を示す量である。主軸へ回転すれば断面二次モーメントの積をゼロにできるが、それによって溝形鋼のせん断中心が図心と一致するわけではない。また、誤った作用線上に加えられた荷重によるねじり応答がなくなるわけでもない。

開断面では、同程度の面積を持つ閉箱形断面と比べて、ねじり定数 $J$ が小さいことが多いため、この区別が特に重要になる。その結果、そりが大きく寄与することがあり、そり定数 $C_w$ と、そり拘束を考慮した適切な解析が必要になる。図心を通して荷重を受ける溝形鋼は、作用力が「中央」にあるように見える場合でも、ねじれ、そり、複数の軸まわりの曲げを同時に生じる可能性がある。

ソフトウェアの出力は、この物理的な状況と照合して確認すべきである。例えば MDSolids は、一般形状および標準鋼材断面について、図心位置、主断面二次モーメント、極断面二次モーメント、ならびに関連する断面特性を出力する。これらの出力は検証に役立つが、荷重線、せん断方向、軸の規約、および境界拘束を特定する必要性をなくすものではない。山形鋼、T 形鋼、または溝形鋼では、ねじりや横座屈が重要となる場合、$A$、$I_x$、および $I_y$ だけを報告するのは不十分である。連成を決定するのは幾何形状であり、指定された鋼種は、その後に強度、剛性の仮定、および適用される設計基準を通じて考慮される。

標準鋼材断面形状表：AISC、SCI、ENの参考資料

標準断面形状表は、繰り返し使用する幾何形状の計算を簡略化するためのものであり、技術者の判断に代わるものではない。公開されている表を利用すれば、圧延部材ごとに断面積、図心、断面二次モーメント、断面係数、回転半径、ねじり定数、そり定数を再計算する手間を省ける。しかし、選択した断面形状が適切な系列に属するか、記載された軸が座屈または曲げの方向と一致しているか、また数値が設計基準および単位系と整合しているかまでは判断できない。

この区別が重要なのは、これらの量が互いに置き換え可能ではないためである。全断面積 $A$ の単位は長さの二乗である。$I_x$ および $I_y$ は図心を通る断面二次モーメントであり、単位は長さの四乗である。その値は、指定された軸まわりの曲げに伴う曲率に対する抵抗を表す。弾性断面係数 $S$ は、断面二次モーメントを最外縁までの距離で除したものである。一方、塑性断面係数 $Z$ は、塑性中立軸を基準とする、面積が等しい圧縮領域と引張領域から求められる。回転半径 $r_x$ および $r_y$ は $I/A$ の平方根である。これらは細長比の計算で特に重要であるが、断面二次モーメントそのものではない。

ねじり定数 $J$ はSaint-Venantのねじり応答を表すものであり、極断面二次モーメントと混同してはならない。極断面二次モーメントは、該当する座標系における直交する二つの断面二次モーメントの幾何学的な和である。そり定数 $C_w$ は通常、開断面薄肉部材に関連し、異なる次元形式を持ち、そり拘束を考慮した解析に用いられる。したがって、これらすべての値を記載した表は、個別の幾何学的特性を示しているのであって、「断面強度」を表す複数の名称を列挙しているのではない。

AISC Shapes Database v16.0および第16版マニュアル

American Institute of Steel ConstructionのAISC Shapes Database v16.0は、AISC（2023）によれば、米国慣用単位およびメートル単位の双方で、構造用鋼材断面の寸法と断面特性を提供している。これは第16版Steel Construction Manualと併用することを目的としており、米国で標準的に用いられる圧延断面および製作断面の断面記号について、一貫したデジタル資料を提供する。[2][2] 16th Edition Steel Construction Manual, Part 1. American Institute of Steel Construction. Steel Construction Manual, 2023.

この体系において、AISC Part 1「Dimensions and Properties」は、標準構造用鋼材部材の寸法および断面特性を表形式で示した参考資料である。断面を記述するために必要な寸法に加え、設計で用いる計算断面特性、すなわち断面積、重量、該当する場合の図心情報、$I_x$、$I_y$、$S_x$、$S_y$、$Z_x$、$Z_y$、$r_x$、$r_y$、$J$、$C_w$ などを示している。このデータベースにより、積分計算や平行軸の定理による計算を繰り返す必要は減るが、技術者は依然として、記載されたW、S、M、HP、C、MC、L、WT、HSSなどの断面系列から正確な断面形状を選択し、その断面記号を確認しなければならない。

軸のラベルは単なる装飾ではない。二軸対称のW形断面では、通常、$x$ 軸が図心を通る強軸、$y$ 軸が図心を通る弱軸であるため、一般に $I_x$ は $I_y$ より大きい。部材が $x$ 軸まわりに曲げを受けるにもかかわらず $I_y$ を用いた設計計算は、数値的には精密であっても、物理的には誤っている可能性がある。同じ問題は横ねじれ座屈にも現れる。この場合、$J$、$C_w$、非補剛長さ、および曲げ方向を相互に関連付けて解釈しなければならない。

ANSI/AISC 360-16は、鋼構造設計で用いる断面特性として、$I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$、$C_w$ などを定義している（AISC, 2021）。この仕様書によって、表に記載された断面特性が材料強度の値になるわけではない。ASTM A992鋼から圧延されたW形断面と、寸法が同一でASTM A36鋼として検討される同じ幾何学的W形断面は、理想化した幾何学的断面積および断面二次モーメントが同じである。一方、降伏強度、引張強度、耐力計算、および適用される材料要件は異なる。したがって、ASTM A992という表示は、$I_x$ の幾何学的定義ではなく、冶金学および仕様適合性に属する。

AISCの数値を使用する際には、版の管理も必要である。断面記号が維持されていても、資料間で寸法、記載断面特性、丸め処理、またはデータベースの内容が変更される場合がある。出典には、版を示さずに単に「AISC tables」と記載するのではなく、「AISC Shapes Database v16.0」または該当するManualの版を記録すべきである。特に、モデルがメートル単位の値を読み込む場合や、インチ基準の断面特性を自動変換する場合には、ソフトウェアの出力を同じ出典と照合する必要がある。

SCI P363 The Blue Book

SCI P363（一般にThe Blue Bookと呼ばれる）は、European structural steel sectionの寸法および断面特性に関するSteel Construction Instituteの参考資料である。SCI（2024）が示すように、The Blue Bookは断面積、断面二次モーメント、弾性および塑性断面係数、回転半径、ねじり定数、そり定数を提供している。したがって、これは公称せいおよびフランジ幅だけをまとめたカタログではない。

その表には、IPE、HE、HL、HD、HP、UB、UC、UPE、UPNなど、欧州で用いられる断面系列が掲載されている。断面を特定する際には、これらの記号を正確に保持しなければならない。IPE系列とHE系列は、いずれもI形断面であるという理由だけで互換性があるわけではない。同様に、UBとUCは、寸法比率および断面特性の関係が異なる、英国起源の異なる圧延断面系列である。UPE溝形鋼とUPN溝形鋼もフランジの構成が異なるため、公称せいだけを基準に代用することはできない。

The Blue Bookの弾性特性と塑性特性は、異なる設計照査に用いられる。弾性係数 $W_{\mathrm{el}}$ は、しばしば目的上 $S$ と同等であり、最外弾性縁を基準として、弾性応力度の計算に用いられる。塑性係数 $W_{\mathrm{pl}}$ は、完全に降伏した塑性応力分布を表し、適用される断面分類および設計規則が塑性耐力を認める場合に用いられる。ある断面が大きな弾性係数を持っていても、塑性形状係数は異なる可能性がある。一方を単に別の名称に置き換えて、他方を推定することはできない。

欧州の表を使用する際には、単位の厳密な管理も必要である。ArcelorMittalによれば、計算された欧州断面特性は一般にセンチメートルを基準とする単位で示される。すなわち、断面積は ${\text{cm}}^2$、断面二次モーメントは ${\text{cm}}^4$、断面係数は ${\text{cm}}^3$、回転半径はセンチメートルである。表面積は通常、1メートル当たり ${\text{m}}^2$ で示される一方、そり定数には ${\text{cm}}^6$ などのデシメートル基準の単位、または表で指定された規約が用いられる。正確な見出しを読まずに単位を推測してはならない。${\text{cm}}^4$ を ${\text{mm}}^4$ に変換すると数値は ${10}^4$ 倍になり、${\text{cm}}^3$ を ${\text{mm}}^3$ に変換すると数値は ${10}^3$ 倍になる。指数を一つ見落とすだけで、その後の計算結果を大きく左右し得る。

SCIの断面特性は、断面形状および標準形材の寸法から計算される。部材がEN 10025シリーズに基づきS275、S355、またはその他の鋼種として指定されても、これらの特性は変化しない。鋼種の変更は、降伏強度、引張強度、溶接性に関する要件、および耐力式に影響する。しかし、形状が変わらない限り、幾何学的な $I$、$J$、$C_w$、または $A$ を増加させるものではない。

EVS-EN 10365:2026の断面記号および質量

EVS-EN 10365:2026は、EVS（2026）によれば、熱間圧延された鋼製溝形鋼、I形鋼、およびH形鋼の公称寸法と質量を規定している。これは製品および断面記号に関する参考規格であり、断面特性を網羅したデータベースではない。この規格に基づく表からは、公称せい、フランジ幅、各部の厚さ、ルート寸法、断面記号、および単位長さ当たりの質量を知ることができる。しかし、それだけで設計に必要なすべての $I$、$S$、$Z$、$J$、または $C_w$ の値が得られるわけではない。

この区別は、IPE 300、HE 200 B、またはUPN 240のような断面記号を解析ソフトウェアに入力する場合に重要である。断面記号は標準化された公称形材を特定するものであり、断面特性は、互換性のある断面特性表から取得するか、提示された形状寸法から計算しなければならない。また、公称寸法は、特定の鋼材片で実測された寸法と同じではない。圧延公差、ルート半径、フィレット、および厚さの変動は、計算された断面特性、質量、ならびに取合いに影響する可能性がある。通常の設計では、適用される規格および表に記載された公称値を用いるのが一般的である。一方、評価、製作確認、または特殊な組立詳細の場合には、実測形状が必要になることがある。

EN 10365:2026は、材料規格とも混同してはならない。断面記号は、形状および公称寸法を表す。適用される製品規格に基づくS355のような表示は、鋼種の要件を表す。両方の表示が設計一覧表に現れることはあるが、それぞれが答える問いは異なる。EN 10365は圧延断面の形状および質量の規約を特定し、材料規格は化学成分、機械的性質、納入状態、および試験を扱う。

正確な断面形状に一致する権威ある断面特性表がない場合、公称寸法から形状を複数の長方形に分割し、合成図心を求め、平行軸の定理を適用することで断面特性を再構成できる。Abaqusも同じ幾何学的基礎を記載している。$I_{11}$ および $I_{22}$ は、面積全体にわたって座標距離の二乗を積分するものであり、$I_{12}$ は座標距離の積を積分するものである。MDSolidsも同様に、一般形状および標準鋼材断面について、図心位置、断面二次モーメント、断面係数、回転半径、塑性断面係数、極断面二次モーメント、および主断面二次モーメントを計算する。このような照合計算は有用であるが、フランジのルート、フィレット、孔、テーパーのあるウェブ、または開断面のそりが結果に実質的な影響を及ぼす場合に、名称の付いた標準断面を近似的な長方形で置き換える根拠にはならない。

単位、表記、および次元の確認

断面特性は幾何学的な量であるため、その単位によって実際に何が計算されたのかが分かります。鋼材の等級によって、固定された形状の面積や断面二次モーメントが変わることはありません。ASTM A992からASTM A572に変更しても、同じW形断面の $I_x$ が大きくなるわけではありません。鋼材等級は耐力および設計照査に関係します。断面の寸法、軸の位置、数学的定義によって断面特性が決まります。

すべての計算では、入力寸法と出力される断面特性の両方に単位を付記する必要があります。$b=200$、$t=10$ とだけ記述するのは不十分です。$b=200\text{mm}$、$t=10\text{mm}$ と記述し、$A=3,800{\text{mm}}^2$ と報告してください。この簡単な習慣により、多くの誤りをスプレッドシートや設計モデルに持ち込む前に発見できます。

米国慣用単位系とメートル単位系

米国慣用単位系での計算では、寸法は通常インチ、面積は ${\text{in}}^2$、断面二次モーメントは ${\text{in}}^4$、断面係数は ${\text{in}}^3$、回転半径はインチ、ねじり定数 $J$ は ${\text{in}}^4$、そり定数 $C_w$ は ${\text{in}}^6$ で表されます。質量または公称重量は、単位長さ当たりの質量ではなく、lb/ftのような単位長さ当たりの重量で表されることがよくあります。この違いは重要です。lb/ftは単位長さ当たりの力を表す慣例であるのに対し、kg/mは単位長さ当たりの質量を表す慣例だからです。

メートル単位系の計算では、すべてをミリメートルで統一し、$A$ を ${\text{mm}}^2$、$I_x$ および $I_y$ を ${\text{mm}}^4$、$W_x$ および $W_y$ を ${\text{mm}}^3$、$r_x$ および $r_y$ をmm、$J$ を ${\text{mm}}^4$、$C_w$ を ${\text{mm}}^6$ で表すことがあります。一方で、メートル、センチメートル、または公表された表に合わせて選択した単位の組合せを使用する場合もあります。どちらの単位系自体が安全というわけではありません。危険なのは、長さのべき乗を変更せずに単位系を切り替えることです。

American Institute of Steel Constructionは、AISC Shapes Database v16.0が米国慣用単位とメートル単位の両方で寸法および断面特性を提供していると記載しています（AISC, 2023）。AISC Part 1「Dimensions and Properties」は、第16版Steel Construction Manualにおいて、表形式で示された寸法および幾何学的特性の参照部分です。ANSI/AISC 360-16は、$I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$、$C_w$ などの量を定義しています。計算では、数値を見出しなしで転記するのではなく、それぞれの値がどのAISCの欄および単位系から得られたものかを明示する必要があります。

有用な監査項目は次のとおりです。

\[ \begin{array}{lll} \text{長さ:} & L & \text{in、mm、またはm}\\ \text{面積:} & A & \text{in}^2\text{またはmm}^2\\ \text{断面二次モーメント:} & I_x,I_y & \text{in}^4\text{またはmm}^4\\ \text{断面係数:} & W_x,W_y & \text{in}^3\text{またはmm}^3\\ \text{回転半径:} & r_x,r_y & \text{inまたはmm}\\ \text{ねじり定数:} & J & \text{in}^4\text{またはmm}^4\\ \text{そり定数:} & C_w & \text{in}^6\text{またはmm}^6\\ \text{単位長さ当たりの質量:} & m' & \text{lb/ftまたはkg/m} \end{array} \]

断面係数に用いられる記号は、資料によって異なる場合があります。資料で定義されていない限り、$S$、$W$、$Z$ は互換的に使用できません。弾性断面係数と塑性断面係数は、いずれも ${\text{長さ}}^3$ の次元を持ちますが、異なる断面特性です。

断面特性における長さのべき乗

べき乗は定義から直接導かれます。面積は $\mathrm{dA}$ の積分であるため、$L^2$ に比例します。図心軸まわりの断面二次モーメントは、例えば次のような積分です。

$$I_x={\int }_A{y}^2\mathrm{dA},$$

したがって $L^4$ に比例します。Abaqusは、$I_{11}$ および $I_{22}$ を、断面積全体にわたって座標距離の二乗を積分したものとして説明しています。また、Abaqusの断面相乗モーメント $I_{12}$ は、2つの座標距離の積を用います。同じ次元に関する考え方は、$I_{\mathrm{xy}}$ および極断面二次モーメントにも適用されます。

断面係数は $W_x=I_x/c_x$ であり、$L^3$ となります。回転半径は $r_x=\sqrt{I_x/A}$ であり、$L$ となります。サン・ブナンねじり定数 $J$ は $L^4$、そり定数 $C_w$ は $L^6$ です。単位長さ当たりの質量は、kg/mのように質量を長さで除したものです。

このため、長さの換算誤差は深刻な結果をもたらします。$1\text{in}=25.4\text{mm}$ であるため、

$$1{\text{in}}^4=(25.4{)}^4{\text{mm}}^4\approx 416,232{\text{mm}}^4.$$

線形換算を誤って25.4倍した場合、$I$ または $J$ では約416,000倍の4乗誤差となり、$C_w$ ではおよそ2億6,800万倍の6乗誤差となります。断面係数は3乗を伴うため、その誤差係数は ${25.4}^3$、すなわち約16,387です。単位ラベルを変更しないまま「数値だけを換算」してはいけません。

組立断面の場合は、図心の公式または平行軸の定理を適用する前に、すべての構成要素の寸法を単位付きで列挙してください。オフセット項 $A{d}^2$ は、構成要素の断面二次モーメントと同じ $L^4$ の単位を持たなければなりません。ソフトウェアによる確認も役立ちます。Missouri S&TのMDSolidsは、図心位置、断面二次モーメント、断面係数、回転半径、塑性断面係数、極断面二次モーメント、および主断面二次モーメントを報告するため、単位を独立にそろえた比較に有用です。

欧州の表記規 conventions

欧州の表では、計算された断面特性にセンチメートルを使用することがよくあります。Steel Construction InstituteのBlue Bookには、欧州形鋼について、面積、断面二次モーメント、弾性および塑性断面係数、回転半径、ねじり定数、そり定数が掲載されています。典型的な見出しは、$A$ が ${\text{cm}}^2$、$I$ が ${\text{cm}}^4$、$W$ が ${\text{cm}}^3$、$i$ がcm、$J$ が ${\text{cm}}^4$、$C_w$ が ${\text{dm}}^6$ です。ArcelorMittalは、欧州の計算断面特性は一般にセンチメートル単位で報告される一方、表面積にはメートルを基準とする単位、そり定数にはデシメートルを基準とする単位が使用されると記載しています。したがって、表には、センチメートルを基準とする断面特性の横に、質量をkg/m、表面積を ${\text{m}}^2/\text{m}$、$C_w$ を ${\text{dm}}^6$ で示す場合があります。

EN 10365:2026を断面特性表と混同しないでください。EVSは、この規格を熱間圧延溝形鋼、I形鋼、およびH形鋼の公称寸法と質量を規定するものとして示しています。Blue Bookは、断面寸法から幾何学的特性を算出し、表にまとめたものです。いずれかの資料を使用する前に、正確な断面の呼称、規格、版、軸の規約、および単位見出しを確認してください。そのうえで、転記した入力値および計算結果の横に、それらの単位を改めて記載してください。次元の監査は単なる事務的な装飾ではありません。選択した断面と、報告されたその幾何形状が、実際に設計で使用されたものと一致していることを検証するための一部です。

組立鋼断面の計算手順例

組立断面は、鋼部材として扱う前に、まず幾何形状として計算する必要があります。鋼材の材種は、所定の寸法に対する全断面積、図心、断面二次モーメント、弾性断面係数を変えません。ASTM A992やS355などの材種記号は、耐力および設計照査に影響しますが、同じ断面形状を幾何学的に大きくしたり、剛性を高めたりするものではありません。

以下の例では、3つの長方形から構成される、対称な溶接I形断面を使用します。

• 上フランジ：$200\times 20$ mm
• ウェブ：$20\times 160$ mm
• 下フランジ：$200\times 20$ mm
• 全せい：$200$ mm

ここで示す寸法は、形状だけを表しています。鋼材がASTM A992、S275、S355、または別の材種であるかは、別途検討する問題です。

断面を分割する

まず、寸法を記入したスケッチを作成します。全体の幅およびせい、各プレートの厚さ、原点、軸の正方向を示します。$x$ 軸を水平方向、$y$ 軸を鉛直方向とし、原点は全体の外接長方形の左下隅に置きます。断面諸量を求める場合は、最終的な図心軸 $x_c$ および $y_c$ も記入すると便利です。

断面を重複しない長方形に分割します。この例では次のようになります。

ウェブは $y=20$ から始まり、$y=180$ で終わるため、その図心は $y=100$ にあります。全断面積は

$$A=\sum A_i=\mathrm{4,000}+\mathrm{3,200}+\mathrm{4,000}=\mathrm{11,200}{\text{mm}}^2.$$

この分割では、意図的に重複を避けています。よくある誤りは、全体の $200\times 200$ の長方形を使用し、実際の溶接組立断面と一致するかを確認せずに、側方の空隙だけを差し引くことです。孔、スロット、コープ、切欠きなどを含む断面では、欠損部分を負の面積として表します。その一次モーメントおよび断面二次モーメントの項にも、負の符号を付ける必要があります。

形状をより適切に表せる場合は、三角形、円、円環、その他の基本図形を用いて分割できます。例えば、円環状の孔は、外側の正の円と内側の負の円として扱います。この符号規約は、その後のすべての加算にも適用されます。

図心と断面二次モーメントを計算する

まず、一次モーメントから図心を計算します。

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

この断面では、

$$\overline{x}=\frac{\mathrm{4,000}\left(100\right)+\mathrm{3,200}\left(100\right)+\mathrm{4,000}\left(100\right)}{\mathrm{11,200}}=100\text{mm}.$$

上フランジと下フランジは同一で、対称に配置されているため、

$$\overline{y}=\frac{\mathrm{4,000}\left(10\right)+\mathrm{3,200}\left(100\right)+\mathrm{4,000}\left(190\right)}{\mathrm{11,200}}=100\text{mm}.$$

したがって、図心は幾何学的中心にあります。ただし、非対称な組立断面についてこの結果を仮定してはいけません。必ず計算してください。

各長方形について、局所図心軸に関する断面二次モーメントを計算します。

\[ I_{x,i,\text{local}}=\frac{b h^3}{12}, \qquad I_{y,i,\text{local}}=\frac{h b^3}{12}. \]

次に、平行軸の定理を用いて、それぞれの値を共通の図心軸へ移します。

$$I_x=\sum (I_{x,i,\text{local}}+A_i{d}_{y,i}^2),$$ $$I_y=\sum (I_{y,i,\text{local}}+A_i{d}_{x,i}^2),$$

ここで、\(d_{y,i}=y_i-\bar y\)、\(d_{x,i}=x_i-\bar x\) です。

$I_x$ について、フランジの図心間距離は $90$ mmであり、ウェブの距離はゼロです。フランジの局所断面二次モーメントは

$$\frac{200(20{)}^3}{12}=\mathrm{133,333}{\text{mm}}^4,$$

ウェブの局所断面二次モーメントは

$$\frac{20(160{)}^3}{12}=\mathrm{6,826,667}{\text{mm}}^4.$$

したがって、

$$I_x=2[\mathrm{133,333}+\mathrm{4,000}(90{)}^2]+\mathrm{6,826,667}$$ $$I_x=\mathrm{71,893,333}{\text{mm}}^4.$$

$I_y$ については、すべての構成要素で \(x_i=\bar x=100\) mm であるため、水平方向の移動項は必要ありません。

$$I_y=2\left[\frac{20(200{)}^3}{12}\right]+\frac{160(20{)}^3}{12}$$ $$I_y=\mathrm{26,773,333}{\text{mm}}^4.$$

断面相乗モーメントは

$$I_{\mathrm{xy}}=\sum (I_{\mathrm{xy},i,\text{local}}+A_i{d}_{x,i}{d}_{y,i}).$$

各長方形の辺が軸に平行である場合、局所断面相乗モーメントはゼロです。ここでは、3つの構成要素すべてについて $d_x=0$ であるため、

$$I_{\mathrm{xy}}=0.$$

この結果は重要です。選択した図心軸は、この二軸対称断面の主軸でもあります。

計算値

弾性断面係数は、最外縁までの距離から次のように求められます。

\[ S_x=\frac{I_x}{c_y}, \qquad S_y=\frac{I_y}{c_x}. \]

最外縁は、両方の図心軸から $100$ mm の位置にあります。

$$S_x=\frac{\mathrm{71,893,333}}{100}=\mathrm{718,933}{\text{mm}}^3,$$ $$S_y=\frac{\mathrm{26,773,333}}{100}=\mathrm{267,733}{\text{mm}}^3.$$

これらは弾性断面係数です。塑性中立軸の計算と面積の再配分を必要とする塑性断面係数とは異なります。また、回転半径とも同じではありません。

$$r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}=\sqrt{\frac{\mathrm{71,893,333}}{\mathrm{11,200}}}=80.1\text{mm},$$ $$r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}=\sqrt{\frac{\mathrm{26,773,333}}{\mathrm{11,200}}}=48.9\text{mm}.$$

互いに直交するこの $x$ 軸および $y$ 軸に関する図心まわりの極断面二次モーメントは、

$$I_p=I_x+I_y=\mathrm{98,666,666}{\text{mm}}^4.$$

この関係によって、$I_p$ がねじり定数 $J$ になるわけではありません。同じ薄肉開断面のI形について、Saint-Venantによる予備的な推定値は次のとおりです。

$$J\approx \sum \frac{b_i{t}_i^3}{3}.$$

2枚のフランジプレートとウェブを用いると、

$$J\approx 2\left(\frac{200(20{)}^3}{3}\right)+\frac{160(20{)}^3}{3}=\mathrm{1,493,333}{\text{mm}}^4.$$

開断面では予想されるとおり、この値は $I_p$ より大幅に小さくなります。この近似では、接合部や板厚に関する一部の詳細を無視しているため、規準表、妥当性が検証された薄肉断面計算、または有限要素による断面諸量計算法の代わりに用いるべきではありません。そり定数 $C_w$ には、別途そり計算を行うか、出典が明確な参照値を使用する必要があります。$I_x$、$I_y$、または $J$ の名称を変更するだけで求めることはできません。

標準圧延形鋼については、関連する表に記載された正確な断面形状および版を確認し、手計算の結果と比較してください。American Institute of Steel Constructionは、2023年に発行されたAISC Shapes Database v16.0が、米国慣用単位系およびメートル単位系で寸法と諸性能値を示しているとしています。また、第16版Steel Construction ManualのPart 1は、標準寸法および幾何学的諸量の参照資料です。欧州では、一般にThe Blue Bookと呼ばれるSCI P363が、断面積、断面二次モーメント、弾性および塑性断面係数、回転半径、$J$、$C_w$ を示しています。EVS-EN 10365:2026は、公称寸法および質量を規定するものであり、それ自体が断面諸量表の代替となるものではありません。

対称性とソフトウェアによる検証

計算結果を信頼する前に、対称性を確認してください。等しいフランジにより図心はせいの中央に位置し、左右の幅が等しいため、鉛直中心線上にも位置します。断面が両軸に関して対称であるため、図心を通り対称軸に一致した軸については、$I_{\mathrm{xy}}$ は必ずゼロになります。ゼロでない結果は、構成要素の座標の誤り、重複、プレートの記載漏れ、または符号の誤りを示しています。

次に、単位を確認します。寸法をミリメートルで入力した場合、面積は ${\text{mm}}^2$、断面二次モーメントおよび $J$ は ${\text{mm}}^4$、断面係数は ${\text{mm}}^3$、回転半径はミリメートルになります。欧州の表では、計算された諸量にセンチメートルを用いることがよくあります。ArcelorMittalの2024年の解説資料では、表面積にメートルを基準とする単位、そり定数にデシメートルを基準とする単位が用いられていることが示されています。単位を変換せずに直接比較すると、$10$、${10}^2$、${10}^3$、またはそれ以上の係数の違いにより、誤った結果になる可能性があります。

独立した検証は、2024年に文書化されたMissouri S&TのMDSolids断面諸量モジュールでも実施できます。3つの長方形を一般複合形状として入力するか、選択した分割方法に合う場合は、外側の長方形から2つの空隙を差し引く方法で入力します。$A$、図心座標、$I_x$、$I_y$、$I_{\mathrm{xy}}$、断面係数、回転半径、主断面二次モーメントを比較してください。MDSolidsは、一般形状および標準鋼材形状について、これらの諸量を出力します。

Abaqusは、定義を確認するうえで有用です。2024年の文書では、$I_{11}$ および $I_{22}$ を断面積上で座標距離の二乗を積分したもの、$I_{12}$ を座標距離の積を積分したものとして説明しています。ソフトウェアによっては、軸のラベルが逆になったり、$I_{\mathrm{xy}}$ の符号規約が異なったり、別の原点に関する諸量が出力されたりする場合があります。したがって、不一致が生じた場合は、誤った軸、負の面積の記載漏れ、図心の誤り、単位の不一致、または全断面積と正味断面積、弾性断面係数と塑性断面係数、Saint-Venantの $J$ と極断面二次モーメントの違いなど、定義の相違が原因である可能性があります。手計算を変更する前に、入力形状と断面諸量の定義を確認してください。

ソフトウェア、数値積分、および主要な特性

汎用断面計算機

汎用断面計算機は、幾何形状を評価するものである。鋼部材が設計照査に合格するか、どの限界状態が支配的か、または特定の鋼種が適切かを判断するものではない。呼称を ASTM A992 から ASTM A572 Grade 50 に変更すると、設計基準で規定される材料耐力は変わるが、同一の断面形状について、面積、図心、断面二次モーメント、ねじり定数が変わるわけではない。これらの量は、境界座標および材料領域の幾何形状から定まる。

Missouri S&T の MDSolids 断面特性モジュールは、計算機が提供し得る出力の範囲を示している。2024 年の同モジュールの文書では、汎用および標準鋼材形状について、図心位置、断面二次モーメント、断面係数、回転半径、塑性断面係数、極断面二次モーメント、および主断面二次モーメントが示されている。これらの結果は、それぞれ異なる問いに答えるものである。面積 $A$ は、断面にどれだけの材料が存在するかを表す。$I_x$ および $I_y$ は、指定された図心軸の周りにおける面積の広がりを表す。弾性断面係数 $S=I/c$ は、その広がりを最外縁までの距離と関連付ける一方、塑性断面係数 $Z$ は、断面全体が降伏した応力ブロックの構成から求められる。回転半径 $r=\sqrt{I/A}$ は導出された長さであり、別の断面二次モーメントではない。

同じ注意は、極断面二次モーメントおよびねじりに関する出力にも当てはまる。極断面二次モーメント $I_p=I_x+I_y$ は、ある点の周りにおける面積分布を表すものであり、それだけでサン・ブナンねじり定数 $J$ となるわけではない。開断面および閉断面では、$J$ はねじり問題および境界条件に依存する。そり定数 $C_w$ は、拘束された長手方向のそりを表すものであり、単位も異なる。ソフトウェアの画面上でこれらの値が隣り合わせに表示されていても、相互に置き換え可能になったわけではない。

組立断面であっても、計算結果は手計算で検証できる。各構成要素の面積と図心を計算し、断面一次モーメントから合成断面の図心を求め、続いて各構成要素の局所断面二次モーメントに平行軸の定理を適用する。University of Michigan の演習資料では、この構成要素面積法が示されている。長方形、三角形、円、および中空円は、フランジにテーパーが付いた形状、フィレット、孔、または切欠きを有する断面を信頼する前に用いる有用な検証例となる。2023 年に American Institute of Steel Construction が公開した AISC Shapes Database v16.0 との比較では、正確な形状呼称および版を使用しなければならない。AISC は、このデータベースが米国慣用単位系およびメートル単位系で寸法と断面特性を提供すると述べているが、外観が似ている断面の特性を推定してよいという意味ではない。

単位の確認は必須である。面積は ${\mathrm{mm}}^2$、断面二次モーメントは ${\mathrm{mm}}^4$、断面係数は ${\mathrm{mm}}^3$、回転半径はミリメートルで表される場合がある。ArcelorMittal は、2024 年の解説資料において、欧州の計算断面特性は一般にセンチメートル単位で報告され、表面積およびそり定数にはそれぞれメートル系およびデシメートル系に基づく単位が用いられると説明している。Steel Construction Institute の Blue Book は、欧州形鋼について、面積、断面二次モーメント、弾性および塑性断面係数、回転半径、ねじり定数、ならびにそり定数を報告している。EVS-EN 10365:2026 は、熱間圧延溝形鋼、I 形鋼、および H 形鋼の公称寸法と質量を規定するものであり、計算された断面特性の一覧表と同じ文書ではない。

有限要素による梁断面の定義

有限要素プログラムは、離散化された領域上で数値積分を行うことにより、梁断面の特性を導出するのが一般的である。2024 年に更新された Abaqus の文書では、図心断面特性について、$I_{11}$ および $I_{22}$ は座標距離の二乗を積分し、$I_{12}$ は座標距離の積を積分することによって定義されている。概略的には、

\[ I_{11}=\int_A y^2\,dA,\qquad I_{22}=\int_A x^2\,dA,\qquad I_{12}=\int_A xy\,dA. \]

記号は、プログラムの局所座標系によって異なる。あるソルバーの $I_{11}$ は、一般に $I_y$ と呼ばれる量に対応する場合があるため、ラベルだけでは不十分である。座標図と符号規約を確認しなければならない。

数値積分は、曲線境界、圧延フィレット、有孔板、インポートした CAD 外形、および多数の材料領域から構成される断面に特に有用である。プログラムは領域をセルまたは断面要素に分割し、必要な座標と重みを評価して、それぞれの寄与を合計する。メッシュを細分化すると、図心、面積、および断面二次モーメントの値は収束するはずである。粗いメッシュでは、小さな孔が消失したり、フィレットが歪んだり、図心が移動して薄肉断面に影響を及ぼしたりする可能性がある。見た目が滑らかなメッシュであることは、特性値が収束している証拠ではない。

有限要素による梁の定義には、形状だけでは決められない選択も含まれる。断面がソリッド、薄肉、開断面、または閉断面のいずれとして設定されているか、せん断面積が計算されているか入力されているか、ならびにねじり特性およびそり特性が同じ離散化から導出されているかを確認する。すべての材料領域を確認しなければならない。鋼製フランジ、グラウトポケット、溶接部の理想化領域、空隙、被覆、または複合材料インサートは、意図的に割り当てる必要がある。複合断面において、ある領域が欠落、重複、または誤った材料に割り当てられている場合、外側の輪郭が正しく見えていても、報告される剛性および質量は誤る可能性がある。

最も重要なのは、特性の基準を特定することである。すなわち、全断面、純断面、有効断面、弾性断面、または塑性断面のいずれであるかを確認する。全断面積には、定義された断面全体が含まれる。純断面積では、ボルト孔その他の控除部分を除く場合がある。有効断面特性は局部座屈規則を反映する場合がある一方、弾性断面係数と塑性断面係数は異なる応力分布を表す。断面特性ソルバーは通常、要求された数学的な量を計算するだけであり、ANSI/AISC 360-16 に基づく有効幅を決定したり、Eurocode の規則に従って板を分類したり、部材の座屈照査を実施したりするものではない。ANSI/AISC 360-16 は、$I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$、および $C_w$ を鋼構造設計上の量として特定しているが、これらの量をどのように使用するかは設計規定によって決まる。

主断面二次モーメントと回転軸

$I_{\mathrm{xy}}\ne 0$ の場合、選択した図心軸は主軸ではない。軸を角度 $\theta$ だけ回転させると、主軸方向において断面相乗モーメントはゼロになる。主断面二次モーメントは、図心断面二次モーメント行列の固有値である。

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2}.$$

$I_{\mathrm{xy}}$ の符号規約は、報告される角度に影響するため、ソフトウェアの結果は、そのプログラムにおける軸の定義とともに読み取らなければならない。二軸対称の I 形断面では、通常の図心対称軸がすでに主軸であり、$I_{\mathrm{xy}}=0$ となる。等辺でない山形鋼、溝形鋼、斜めに配置された板、または非対称な切欠きを有する断面では、一般に軸の回転が必要となる。

主断面特性が、設計に必要な特性であるとは限らない。柱は弱軸で座屈する可能性がある一方、梁の曲げは建物軸または部材軸に関して指定される場合がある。シェルモデルまたは梁モデルでは、局所断面軸が全体座標に対して回転している場合もある。両方の座標系を記録し、そのうえで力、モーメント、および断面特性を一貫して変換する必要がある。結果を受け入れる前に、メッシュを細分化し、方向を検証し、材料領域の割当てを確認し、単位を点検し、単純な極限ケースを MDSolids または標準表と比較しなければならない。ソフトウェアは算術計算を実行する。しかし、形状を定義し、特性の基準を選択し、数値が何を意味するかを判断するのは、依然として技術者である。

精度、丸め、公差、および断面形状の識別

断面特性値は、その幾何学的定義が明らかな場合にのみ意味を持ちます。例えば $I_x$ の値は、断面形状、基準軸、および単位系によって異なります。これは、I形部材に付された一般的なラベルではありません。公表された $I_x$ は、熱間圧延された欧州規格のHEA断面、米国規格のW形鋼、理想化された薄肉断面、または実測試験体を表している可能性があります。これらは互換可能な記述ではありません。

公称寸法と実測寸法

標準呼称は通常、公称寸法を指します。EVS-EN 10365:2026は、熱間圧延溝形鋼、I形断面、およびH形断面の公称寸法と質量を規定していますが、製造されたすべての断面について、角部が完全に鋭角であること、厚さが厳密に一定であること、または寸法が無限の精度を持つことを主張しているわけではありません。例えば、公称HE 200 Aは、その標準呼称と公称寸法系列によって識別されますが、実際のフランジ厚、ウェブ厚、せい、および角部形状は製造公差の影響を受けます。

この違いにより、算術が正しくても手計算が表の値と一致しないことがあります。単純な計算では、I形断面をフランジ用の2つの長方形とウェブ用の1つの長方形として表すことがあります。実際に製造された断面には、ウェブとフランジの間のフィレット、フランジまたはウェブのテーパー、および角部の曲率半径が存在します。これらの領域を省略または追加すると、面積と図心が変化し、その結果として $I_x$、$I_y$、断面係数、および回転半径も変化します。面積への影響は小さいことが多い一方、図心から遠い位置にある材料は距離の二乗に応じて寄与するため、断面二次モーメントへの影響はより大きくなる可能性があります。

次の3種類の形状は、区別して扱う必要があります。

1. 公称標準形状： 断面形状の規格または断面表によって割り当てられた寸法。 2. 実測圧延材形状： 個々の圧延部材から記録した寸法。実際の曲率半径、厚さ、テーパー、および偏差を含む。 3. 理想化解析形状： 手計算、有限要素モデル、または予備設計のために選択した簡略化モデル。

表に記載された特性値は通常、無作為に選んだ1本の梁を巻尺で測定した値ではなく、公称寸法と断面形状に基づく、定義された計算モデルに対応しています。実測したフランジが公称値より1.5 mm厚い場合、得られる面積と断面二次モーメントは公表値と異なる可能性があります。実測値が自動的により正確であるとは限りません。実測値は別の問いに答えるものです。

同じ問題は組立断面にも当てはまります。2枚の鋼板を接触する長方形としてモデル化すると、計算では溶接金属、隙間、欠き取り、ボルト孔、または接合板を省略する可能性があります。組立断面では、指定された形状に対して、構成要素の面積、一次モーメント、図心座標、および平行軸の定理を適用しなければなりません。その結果は、そのモデルに属するものであり、必ずしもカタログに掲載された圧延断面に属するものではありません。

ソフトウェアを使用しても、形状を定義する必要がなくなるわけではありません。Abaqusの文書では、図心断面特性を面積積分によって定義しています。$I_{11}$ と $I_{22}$ は座標距離の二乗を積分し、$I_{12}$ は座標距離の積を積分します。Missouri S&TのMDSolidsも同様に、指定された形状について、図心位置、断面二次モーメント、断面係数、回転半径、塑性断面係数、極断面二次モーメント、および主断面二次モーメントを報告します。これらの出力は入力形状に対しては精密ですが、表示上の精度が高くても、不確かな入力寸法が正確になるわけではありません。

丸めと有効数字

丸めは、すべての中間計算で行うのではなく、計算の最後に行うべきです。断面二次モーメントを計算する前に、フランジ厚9.8 mmを10 mmに置き換えると、特にフランジが図心から遠い場合には、無視できない差が生じる可能性があります。寸法が1 mm単位でしか示されていないにもかかわらず、$I_x=\mathrm{12,847,391.672}{\text{mm}}^4$ と報告するよりも、出典が裏付ける精度に合わせて最終結果を丸める方が妥当です。

有効数字は、寸法の精度と計算の目的の両方を反映させる必要があります。設計照査では、図面注記よりも多くの桁を内部計算で保持する必要がある場合があります。一方、予備的な比較では、$I_x=1.28\times {10}^8{\text{mm}}^4$ と示すことが妥当な場合があります。表計算ソフトに余分な小数点以下の桁数が表示されているからといって、製造精度を推測してはなりません。

単位換算には、断面特性値がそれぞれ異なる次元を持つため、特に注意が必要です。面積は長さの二乗に比例し、断面二次モーメントとねじり定数は長さの4乗に比例し、断面係数は長さの3乗に比例し、回転半径は長さに比例します。したがって、$I_x$ の換算ミスは、単純なミリメートルからメートルへの換算ミスよりもはるかに大きくなります。欧州の表では、計算された特性値をセンチメートル単位で示すことが一般的です。ArcelorMittalは、表面積とそり定数について、それぞれメートル系およびデシメートル系に基づく単位を使用していると記載しています。各列の横に印刷された単位は、推測せずに確認しなければなりません。

丸めは、出典間の比較にも影響します。ある表では $I_x$ を有効数字3桁で表示し、別の表では6桁で表示している場合がありますが、両者が同じ形状を使用している可能性もあります。小さな不一致については、誤りの証拠とみなす前に、単位、軸の向き、フィレットの扱い、および表示精度をまず確認すべきです。

版と呼称の管理

計算に使用するすべての特性値には、正確な断面呼称、適用規格、版またはデータベースのバージョン、軸の規約、および表または出典の位置という5つの識別情報を付すべきです。さらに、単位系も追加します。「W310 $I_x$」では不十分です。「W310×97、AISC Shapes Database v16.0、米国慣用単位、強軸（図心軸）、Part 1の表」とすれば、追跡可能になります。

American Institute of Steel Constructionは、2023年に発行されたAISC Shapes Database v16.0が、米国慣用単位およびメートル単位で寸法と特性値を提供していると述べています。AISC Part 1は、第16版Steel Construction Manualにおいて、表形式の寸法および幾何学的特性値を参照するためのセクションです。ANSI/AISC 360-16は、$I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$、および $C_w$ などの量を定義していますが、規格そのものによって、未指定の断面呼称が識別可能になるわけではありません。

欧州断面については、SCI P363、The Blue Bookが、面積、断面二次モーメント、弾性および塑性断面係数、回転半径、ねじり定数、およびそり定数を含む寸法と断面特性値を提供しています。その断面系列と呼称は保持しなければなりません。公称せいが類似しているというだけの理由で、HEAの表から $I_x$ の値をコピーして、HEB、W形鋼、または別の断面系列の計算に使用してはなりません。EN 10365の公称寸法と米国の表の特性値の規約を、基礎となる形状と軸を確認せずに混在させてはなりません。

鋼種は、幾何学的な断面特性値を変えません。S275、S355、ASTM A572 Grade 50、およびASTM A992は、材料または製品に関する要求事項を示すものであり、鋼種を変更しても、同一形状の断面の面積や断面二次モーメントは変わりません。変化するのは耐力計算および設計照査です。ある出典が鋼種ごとに異なる形状を示している場合、その違いは、鋼材が幾何学的に強くなったことによるものではなく、選択された製品または製造規格によるものです。

鋼構造設計の照査における断面特性の適用

断面特性が設計照査に用いられるのは、断面、材料、荷重、拘束条件、および適用規準が特定された後に限られます。断面特性は強度ではなく、形状を表すものです。総断面積 $10,000{\text{mm}}^2$ は、鋼材が ASTM A992 であっても ASTM A36 であっても同じ面積です。鋼種によって変化するのは降伏応力度 $F_y$ や引張強度 $F_u$ などの量であり、計算された断面寸法ではありません。

この区別により、「より強そうに見える」という理由だけで、値が何を表しているかを確認せずに数値の大きい方を選ぶという、よくある誤りを防ぐことができます。面積 $A$、断面二次モーメント $I_x$ および $I_y$、断面係数 $S_x$、$S_y$、$Z_x$、$Z_y$、回転半径 $r_x$ および $r_y$、ねじり定数 $J$、ならびにそり定数 $C_w$ は、それぞれ単位が異なり、異なる限界状態に用いられます。

ANSI/AISC 360-16 は、$I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$、$C_w$ など、米国で用いられる名称付きの断面特性を定義しています。AISC Part 1, Dimensions and Properties は、第16版 Steel Construction Manual において、表形式で示された寸法および幾何学的特性の参照セクションです。American Institute of Steel Construction が2023年に発行した AISC Shapes Database v16.0 は、これらの寸法および特性を米国慣用単位系とメートル単位系で提供しています。正確な断面記号とデータベースの版も依然として重要です。公称せいが近く見える場合でも、W14×90 は別の W14 断面と互換ではありません。

軸方向圧縮と回転半径

同心軸力を受ける場合、最初に考慮される幾何学的量は総断面積です。平均直接応力度は $P/A$ で表されますが、適用される抵抗係数、降伏または破断に関する規定、ならびに孔、細長要素、その他指定された条件による必要な低減を考慮しなければなりません。したがって、面積は軸力を負担する材料の量に直接関係しますが、その材料が図心からどのように離れて配置されているかは表しません。

この配置が柱の座屈を支配します。回転半径は次式で表されます。

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}, \qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

部材長さを $L$ とすると、対応する細長比は一般に $\mathrm{KL}/r_x$ および $\mathrm{KL}/r_y$ を用いて表されます。ここで $K$ は有効長さの条件を表します。通常、半径が小さい方の軸が、より厳しい曲げ座屈軸となります。これは、同じ部材長さであれば、より大きな細長比が生じるためです。広幅フランジ断面は相当な面積を有していても、$r_y$ が $r_x$ よりはるかに小さいため、弱軸まわりで座屈しやすい場合があります。

このため、面積と回転半径を互いに代用することはできません。フランジ幅を増加させると、$I_x$、$I_y$、またはその両方が増加する可能性があります。一方、図心付近に材料を追加すると、座屈耐力の改善が小さいまま $A$ だけが増加することがあります。圧縮耐力には、境界条件、ブレース、残留応力、初期たわみ、荷重偏心、および局部細長比も影響します。幾何学的特性は入力値を与えるものですが、それだけで最終的な部材耐力を決定するものではありません。

曲げ耐力と断面係数

断面二次モーメントは、直接的な材料強度ではなく、曲率に対する抵抗、すなわち曲げ剛性を表します。$x$ 軸まわりの弾性曲げについては、

$$\sigma =\frac{M_{x}y}{I_x},$$

となります。ここで $y$ は中立軸からの距離です。弾性断面係数は、

$$S_x=\frac{I_x}{c_x},$$

で表されます。$c_x$ は中立軸から最外縁までの距離です。対応する曲げ応力度の関係は $M_x/S_x$ となります。同じ定義が $y$ 軸まわりにも適用されます。

$I_x$ には軸からの距離の二乗が含まれるため、中立軸から遠い位置に配置された材料は、曲げ剛性および弾性曲げ耐力に大きく寄与します。I形断面が効率的である理由はここにあります。フランジの大部分の面積が強軸まわりの中立軸から大きく離れて配置され、ウェブがそれらのフランジを連結するとともにせん断を負担するためです。

塑性曲げでは、異なる特性が用いられます。塑性断面係数 $Z_x$ は、$S_x$ に用いられる最外縁までの距離ではなく、塑性中立軸によって分けられた完全塑性化応力分布に基づきます。塑性挙動を発揮できる compact section では、設計式に $F_y{Z}_x$ が含まれる場合があります。一方、弾性限界に関する式には、適用規準の規定に従って $F_y{S}_x$ が含まれます。$Z_x$ は $S_x$ の代替ではなく、いずれも材料強度の値ではありません。

適用される耐力は、フランジおよびウェブの細長比、横補剛、非補剛長さ $L_b$、荷重作用位置、端部拘束、ならびに横ねじれ座屈にも依存します。$Z_x$ が大きい断面であっても、圧縮フランジの補剛が不十分であれば、曲げ耐力が低下する可能性があります。したがって、AISC の表は、完全な設計結果として扱うのではなく、ANSI/AISC 360-16 の規定と併せて読まなければなりません。

欧州の表でも、異なる表示慣行のもとで同じ物理的区別が用いられています。Steel Construction Institute の Blue Book は、欧州断面について、面積、断面二次モーメント、弾性および塑性断面係数、回転半径、$J$、$C_w$ を提供しています。EVS は、EVS-EN 10365:2026 が熱間圧延溝形鋼、I形断面および H形断面の公称寸法と質量を規定していると示していますが、この規格自体が断面特性表に代わるものではありません。ArcelorMittal によれば、計算された欧州断面特性は一般にセンチメートル単位で示され、表面積とそり定数にはそれぞれメートルおよびデシメートルを基準とする単位が用いられます。単位換算の誤りによって、結果が桁違いになることがあります。

ねじり、座屈、および相互作用

ねじりを考慮すると、単純化した梁の議論では省略されがちな特性が導入されます。ねじり定数 $J$ は Saint-Venant ねじり挙動を表し、断面が開断面か閉断面かによって大きく影響されます。薄肉閉断面は、同程度の面積を持つ開断面の I形断面、溝形断面、山形断面と比べ、一般に一様ねじりに対してより効果的に抵抗します。これは、閉じた壁面に循環するせん断流を生じさせることができるためです。

そり定数 $C_w$ は、長手方向のそりが拘束されることに関連する抵抗を表します。これは、特に端部条件、ダイアフラム、ブレース、または集中荷重によって断面の自由なそりが妨げられる場合に、ねじりを受ける開断面で重要になります。したがって、$J$ と $C_w$ は同じ意味を持たず、一方を他方の一般的な代替として用いることはできません。単位も異なります。しばしば長さの6乗で報告される $C_w$ の換算を不整合に行うと、ねじり計算または横ねじれ座屈計算が無効になる可能性があります。

横ねじれ座屈は、強軸曲げと横方向変位およびねじれとを連成させます。その挙動は、$I_y$、$J$、$C_w$、非補剛長さ、曲げモーメント勾配、荷重作用点、および端部拘束に依存します。梁が大きな強軸断面係数を有していても、圧縮フランジが横方向に移動可能で断面がねじれる場合には、耐力が限定される可能性があります。圧縮部材におけるねじり座屈および曲げねじり座屈も、同様に $A$、$I_x$、$I_y$ だけで決まるものではありません。

軸力、曲げ、およびねじりが組み合わさる場合には、適用される設計規準で規定された相互作用照査が必要です。接合部の偏心、ボルトまたは溶接の配置、局部的な荷重導入、せん断面積、および部材の連続性によって、これらの照査に用いる断面力が変化することがあります。断面積の積 $I_{\mathrm{xy}}$ および主軸特性は、幾何学的な軸と主軸が一致しない場合に関係し、特に非対称な山形断面、溝形断面、および組立部材で重要になります。

検証にあたっては、構成要素の面積、図心座標、一次モーメント、および平行軸の定理に基づく手計算が、信頼できる表またはソフトウェアの結果と一致することを確認すべきです。Abaqus の資料では、$I_{11}$ および $I_{22}$ を面積全体にわたる座標距離の二乗の積分として定義し、$I_{12}$ を座標距離の積の積分として定義しています。Missouri S&T の MDSolids は、図心、慣性特性、断面係数、回転半径、極慣性、および主軸特性を独立に報告します。このような照合により、幾何学的な量が鋼構造設計の照査に用いられる前に、軸の取り違え、単位の誤り、および断面寸法の誤認を検出できます。

鋼種、冶金、および形状からは分からない事項

断面形状記号と鋼種記号の違い

断面形状記号は幾何形状を示し、鋼種記号は材料要件を示します。両者は互換的なものではありません。HEA 200、W14×90、または L 100 × 100 × 10 は、圧延形材とその公称寸法を表します。しかし、それだけでは、鋼材の降伏強度、引張強さ、化学成分、衝撃靭性要件、または溶接性の分類は示されません。

変更されていない断面の鋼種記号を変更しても、その断面の幾何学的な断面特性は変わりません。同じ I 形断面が同じフランジ幅、ウェブせい、フランジ厚さ、およびウェブ厚さを有するならば、その総断面積 $A$、図心、$I_x$、$I_y$、弾性断面係数、断面二次半径、ねじり定数 $J$、そり定数 $C_w$、および断面相乗モーメント $I_{\mathrm{xy}}$ は、いずれも同じ幾何学的量のままです。指定降伏強度が高くなっても、その断面の $I_x$ が大きくなることはなく、断面二次半径が増加することもありません。

この区別は基本的なものですが、断面表やソフトウェアのメニューではしばしば見失われます。断面特性は、断面内における材料の位置と分布から計算されます。Abaqus は、面積全体にわたって座標距離の二乗を積分することにより、図心を通る二次モーメントを記述します。$I_{11}$ と $I_{22}$ はそれらの距離の二乗を表し、$I_{12}$ は座標距離の積を積分したものです（Abaqus Documentation, 2024）。この計算に含まれるのは、形状、軸、および単位であり、降伏強度の値ではありません。

断面形状記号だけでは不完全な場合もあります。「200 I 形断面」では、断面系列、製造規格、質量区分、公差、および規格の版が省略されている可能性があります。米国の W14×90 と欧州の HE 360 B は、どちらも I 形であるというだけで、比較可能な記号によって特定されるものではありません。表から断面積や断面二次モーメントを採用する前に、正確な断面規格を記録しなければなりません。

幾何形状に依存する入力と鋼種に依存する入力

寸法、単位長さ当たりの公称質量、総断面積、図心座標、断面二次モーメント、断面係数、断面二次半径、極二次モーメント、$J$、$C_w$、$I_{\mathrm{xy}}$、せん断面積、および塑性断面係数は、主として断面記述に関する入力です。均質な角柱状断面では、これらは断面形状と選択した基準軸から求められます。組立断面の計算では、構成要素の面積、一次モーメント、図心座標、および平行軸の定理を用います。鋼材が S275 であるか S355 であるか、または ASTM A36 であるか ASTM A992/A992M であるかは、これらの計算には必要ありません。

質量については、補足が必要です。断面積は幾何学的量ですが、単位長さ当たりの質量は密度にも依存し、表に示された値が公称寸法に基づくものかどうかにも左右されます。したがって、製造公差、隅部の半径、フィレット、孔、被覆、および腐食によって、公称計算値と実測部材との間に差が生じることがあります。これらの差は、幾何形状または物理的状態による影響であり、鋼種の強度が断面特性を変化させたことの証拠ではありません。

材料仕様は、別の入力群を規定します。これには、指定降伏強度、引張強さ、伸びその他の延性指標、破壊靭性、化学成分、供給状態、溶接性に関連する要件、および腐食挙動が含まれます。これらの影響は、耐力計算、接合部照査、破壊評価、溶接施工手順、耐久性評価、ならびに火災または温度に関連する設計照査に現れます。これらは $I_x$、$I_y$、$J$、または $C_w$ に置き換わるものではありません。

適用される材料仕様が異なる場合、同じ形状であっても設計上の耐力が異なることがあります。この結論は、引用された仕様書および設計規格に基づかなければならず、鋼種名だけから推測してはなりません。例えば、ASTM A992/A992M と記載された記録については、その仕様書の要件との適合を確認する必要があります。一方、EN 10025-2 S355 と記載された記録については、EN 10025-2 の適用版および製品要件との適合を確認しなければなりません。適用される規格と製品形状を伴わない「S355」または「A992」だけでは、設計上の仮定を裏付ける十分な証拠にはなりません。

腐食については、最終的に形状そのものを変化させる可能性があるため、別途取り扱う必要があります。元の鋼種記号が $A$ や $I_x$ を変化させることはありませんが、金属の減肉によって厚さが減少し、断面積、剛性、断面係数、およびねじり特性が低下する可能性があります。技術者は残存断面をモデル化し、材料要件および環境要件を別個に評価しなければなりません。

構造用鋼材の文書化

完全な設計記録では、断面規格と材料仕様の両方を特定します。記録には、断面形状記号、公称寸法または質量区分、規格および版、軸の規約、単位、ならびに断面特性の出典を記載すべきです。また、材料の鋼種、製品規格、仕様書の版、および設計を規定する追加の靭性要件または供給要件も記載すべきです。

米国での設計業務については、American Institute of Steel Construction が、AISC Shapes Database v16.0 は米国慣用単位およびメートル単位で寸法と断面特性を提供すると述べています（AISC, 2023）。AISC Part 1, Dimensions and Properties は、第16版 Steel Construction Manual において、表形式で示された寸法および幾何学的特性の参照章です。ANSI/AISC 360-16 は、$I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$、および $C_w$ などの量を定義しています（AISC, 2021）。これらの資料は形状および設計上の定義を提供し、材料仕様は鋼材の特性を提供します。

欧州の記録でも、同じ区別が必要です。Steel Construction Institute の Blue Book は、断面積、断面二次モーメント、弾性および塑性断面係数、断面二次半径、ねじり定数、ならびにそり定数などの計算特性を提供しています（SCI, 2024）。EVS-EN 10365:2026 は、熱間圧延溝形鋼、I 形鋼、および H 形鋼の公称寸法と質量を規定するものであり、断面特性表または鋼種仕様の代替にはなりません。単位についても確認が必要です。ArcelorMittal は、欧州で計算された特性は一般にセンチメートル単位で報告される一方、表面積とそり定数には、それぞれメートルおよびデシメートルを基準とした単位が用いられると説明しています（ArcelorMittal, 2024）。

ソフトウェアの出力では、この監査証跡を維持すべきです。計算された $I_x$ は、読み込まれた断面形状、軸、単位系、および幾何学的仮定が明らかな場合にのみ意味を持ちます。同じモデルに材料の鋼種を追加しても変化するのは耐力に関する入力であり、断面形状ではありません。

よくある誤りと検証チェックリスト

誤った断面二次モーメントを使用すると、予測される座屈またはたわみが大幅に歪む可能性がある。 Limited evidence

断面特性に関する誤りは、方程式を入力する前に始まっていることが多い。図面に正しい断面形状が示されていても、軸、単位、規格の版、または特性の定義が設計照査と一致していなければ、計算は失敗する可能性がある。これは単なるスプレッドシート上の小さな差異ではない。誤った断面二次モーメントを使用すると、座屈またはたわみの予測値が桁違いに変わることがある。

軸および単位に関する誤り

最も一般的な誤りは、$I_x$ と $I_y$ を入れ替えることである。一般的なI形断面では、強軸まわりの断面二次モーメントは弱軸まわりの値よりはるかに大きい。部材が弱軸まわりに曲げを受けるにもかかわらず、強軸の値を入力すると、計算される曲率およびたわみは過度に小さくなる。同じ誤りは、断面二次半径、弾性断面係数、塑性断面係数、および選択した軸に基づくあらゆる座屈計算にも影響する。

軸の表示方法は、すべての表やソフトウェアパッケージで共通しているわけではない。ある資料では水平方向の重心軸を $x$ と呼ぶ一方、別の資料では 2 を使用することがある。有限要素プログラムでは、断面の向きに応じて局所1軸および2軸を定義する場合がある。Abaqusは、重心まわりの $I_{11}$ および $I_{22}$ が座標距離の二乗を積分するのに対し、$I_{12}$ は座標距離の積を積分すると説明している（Abaqus Documentation, 2024）。値を転記する前に、この定義を図面と照合しなければならない。

単位も、もう一つの誤りが生じる箇所である。面積を ${\mathrm{cm}}^2$、断面二次モーメントを ${\mathrm{cm}}^4$、断面係数を ${\mathrm{cm}}^3$ で表している場合、寸法をミリメートルで入力したまま換算せずに組み合わせることはできない。$1{\mathrm{cm}}^4={10}^4{\mathrm{mm}}^4$ であるため、スプレッドシートで表の換算を省略すると、10,000倍の誤差が生じる可能性がある。欧州の表では、計算された特性をセンチメートル系の単位で示すことが一般的である。ArcelorMittalは、表面積およびそり定数についても、それぞれメートル系およびデシメートル系に基づく単位を使用していると記載している（ArcelorMittal, 2024）。すべての列見出しを確認すること。

質量表は断面特性表ではない。EVS-EN 10365:2026は、熱間圧延溝形鋼、I形鋼、およびH形鋼の公称寸法と質量を規定しているが、それ自体が曲げ、ねじり、または座屈に必要なすべての計算値を提供するものではない。Steel Construction InstituteのBlue Bookは、$I$、弾性断面係数および塑性断面係数、断面二次半径、$J$、$C_w$ などの断面特性を提供している。米国では、AISC Shapes Database v16.0が米国慣用単位およびメートル単位で寸法と特性を提供している。また、AISC Part 1は、表形式の寸法および幾何学的特性について、Steel Construction Manualの基準となるセクションである（AISC, 2023）。

$J$、$I_p$、$I$、$S$、$Z$ の混同

記号 $I$ だけでは不完全である。これは、指定された軸まわりの重心断面二次モーメント、すなわち $I_x$ または $I_y$ を意味することもあれば、$I_{11}$ のようなソフトウェア上の規約として現れることもある。断面二次モーメントの単位は長さの4乗であり、$\mathrm{EI}$ を通じて曲げ剛性を支配する。これは強度を表す値ではない。

断面二次極モーメントは一般に $I_p$ と表され、$x$ 軸と $y$ 軸が互いに直交する重心軸である場合、次式で表される。

$$I_p=I_x+I_y$$

これは、ある点の周囲における面積の分布を表し、円形軸や回転に関する一部の計算に有用である。ただし、一般にねじり定数ではない。

ねじり定数 $J$ は、Saint-Venantねじりに対する応答を表す。中実円形断面では $J=I_p$ となるが、この等式をI形断面、溝形断面、山形断面、または薄肉開断面に拡張してはならない。これらの断面では、$J$ の値が $I_p$ よりはるかに小さくなることがある。閉断面では、せん断流が囲まれたセルの周囲を循環できるため、異なるねじり挙動も生じる。長さの6乗を単位とするそり定数 $C_w$ は、不均一ねじりおよび拘束されたそりに関係するものであり、$J$ の別の形ではない。ANSI/AISC 360-16は、$I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$、および $C_w$ を別個の断面特性量として定義し、使用している（AISC, 2021）。

断面係数に関する用語も、繰り返し混同される。弾性断面係数は、例えば次式のように、弾性断面二次モーメントから求められる。

$$S_x=\frac{I_x}{c_x},$$

ここで、$c_x$ は中立軸から最外縁までの距離である。塑性断面係数は、しばしば $Z_x$ または $W_{\mathrm{pl},x}$ と表され、完全に降伏した塑性応力分布に基づく。これは $S_x$ ではなく、両者の単位がともに長さの3乗であるという理由だけで代用することはできない。対称な矩形断面では両者に単純な関係があるが、フランジとウェブの形状が均一でない圧延形鋼では、この区別が重要になる。

面積の計算では、孔、コープカット、および空隙を除去しなければならない。圧延形鋼の表と手計算モデルを比較する際には、フィレットを安易に無視してはならない。組立断面では、平行軸項は $A{d}^2$ である。ここで、$d$ は構成要素の重心と、組立断面の重心軸との間の垂直距離である。全せい、フランジ厚、または誤った基準軸から測定した距離を使用すると、一見もっともらしく見えるが誤った結果となる。

設計に使用する前の独立検証

断面特性値は、設計モデルに入力する前に複数の検証に合格すべきである。まず、孔、フィレット、プレート、溶接による付加部分、および部材で使用される向きを含め、正確な断面をスケッチする。重心軸を記入し、それらが主軸であるかどうかを確認する。対称軸については、その対称性に沿って軸を配置した場合、断面相乗モーメントはゼロになるはずである。

次に、簡単な基準例を独立に計算する。矩形、三角形、円、および中空円は、面積、重心、$I$、$I_p$、および断面係数を検証するために有用である。組立断面では、各構成要素の面積と一次モーメントを計算して重心を求め、その後、各軸について平行軸の定理を個別に適用する。スプレッドシートと断面特性プログラムを独立した比較に使用する場合、両者が同じ隠れた入力値や数式を共有してはならない。例えば、Missouri S&TのMDSolidsリソースは、一般断面および標準鋼断面について、重心、断面二次モーメント、断面係数、断面二次半径、塑性断面係数、断面二次極モーメント、および主断面二次モーメントを報告している（Missouri S&T, 2024）。

最後に、正確な出典、形材記号、規格の版、単位、軸の表示方法、ならびに値が総断面、純断面、弾性、塑性、Saint-Venant、またはそりに関する特性であるかを記録する。ASTM A992やASTM A36のような鋼材記号は、材料の耐力および設計照査を変えるが、同じ断面寸法の幾何学的特性を変えるものではない。同様に、関連する欧州の製品規格および設計規格におけるS355によって、幾何学的に同一の断面が異なる $I$ や $J$ を持つことになるわけではない。

結果を実構造物に反映する前に、チェックリストには次の事項を含めるべきである。

• 向き、孔、フィレット、および重心軸を示した寸法入りスケッチ；
• 出典表または計算方法の引用；
• AISC Shapes Database v16.0、16th Edition Steel Construction Manual、SCI P363、またはEVS-EN 10365:2026など、適用される規格およびその版；
• すべての入力値および出力値について明示された単位；
• $x$、$y$、主軸、局所軸、または全体軸の明確な表示；
• 独立した手計算、ソフトウェア計算、または表値との比較；および
• その値が実際の構造部材または接合部に影響する場合の、資格を有する技術者による確認。

参考文献

1. [1]American Institute of Steel Construction. AISC Shapes Database v16.0. AISC Shapes Database, 2023. https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/aisc-shapes-database-v160/
2. [2]American Institute of Steel Construction. 16th Edition Steel Construction Manual, Part 1. Steel Construction Manual, 2023. https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/