حسابات خصائص المقاطع الفولاذية: المساحات، وعزوم العطالة، والمعاملات، والالتواء

ما الذي تقيسه خواص المقاطع الفولاذية؟

الهندسة مقابل خواص المواد

خاصية المقطع الفولاذي هي وصف هندسي للمقطع العرضي. وتُحسب انطلاقًا من شكل المادة وأبعادها وموقعها بالنسبة إلى محاور محددة. وهي ليست مقياسًا لمقاومة الفولاذ.

تُعد المساحة الإجمالية للمقطع العرضي $A$ أبسط مثال على ذلك. فبالنسبة إلى المستطيل، $A=\mathrm{bh}$؛ أما بالنسبة إلى الدائرة المجوفة، فهي مساحة الدائرة الخارجية مطروحًا منها مساحة الدائرة الداخلية. إن تغيير درجة المقطع من S275 إلى S355 لا يغير $A$، شريطة بقاء الأبعاد نفسها. وينطبق التمييز نفسه على عزم المساحة الثاني، ومعامل المقطع، ونصف قطر الدوران، والثابت الالتوائي، وثابت الالتواء التموجي.

تصف درجة الفولاذ سلوك المادة. وتُعد S275 وS355 تسميتين مستخدمتين في المعايير الأوروبية، في حين أن ASTM A992 هي مواصفة أمريكية للفولاذ الإنشائي ترتبط عادةً بالمقاطع ذات الجناح العريض. وقد تختلف مقاومة الخضوع، ومقاومة الشد، والمطيلية، والتركيب الكيميائي، وقابلية اللحام بينها. وتؤثر تلك الخصائص المعدنية وخواص المادة في المقاومة وفحوص التصميم، لكنها لا تجعل خاصية مقطع هندسية معينة أكبر. فالمقطع W310×39 المصنّع وفق درجة محددة له المساحة الاسمية والعطالة الاسمية نفسيهما اللتان للمقطع W310×39 نفسه المصنّع وفق درجة أخرى.

تبدأ معظم الحسابات بوصف مساحة المقطع العرضي باستخدام الإحداثيات. ويُحدَّد المركز الهندسي انطلاقًا من مساحات المكونات والعزوم الأولى:

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

بالنسبة إلى الأشكال المركبة، تنقل مبرهنة المحاور المتوازية عطالة كل مكوّن حول محوره المحلي إلى المحور المشترك المار بالمركز الهندسي. فعلى سبيل المثال:

$$I_x=\sum (I_{x,i}+A_i{d}_{y,i}^2).$$

ينطبق هذا الأسلوب على الصفائح، والزوايا، والمقاطع على شكل حرف T، والمقاطع الصندوقية، وغيرها من الهندسيات المركبة. ويعرض شرح خواص المقاطع في جامعة ميشيغان طريقة مساحات المكونات هذه، بينما تصف Abaqus الصيغة المستمرة: إذ يدمج $I_{11}$ و$I_{22}$ مربعات مسافات الإحداثيات على مساحة المقطع العرضي، في حين يدمج $I_{12}$ حاصل ضرب مسافات الإحداثيات. ووفق الاصطلاح التقليدي، تقابل هذه الكميات العزوم الثانية للمساحة حول المركز الهندسي وحاصل ضرب العطالة، مع مراعاة اصطلاح المحاور المستخدم في البرنامج.

يجب التحقق من تسميات المحاور بدل افتراضها. ففي كثير من جداول الفولاذ الأمريكية، يكون $x$ هو المحور الرئيسي المار بالمركز الهندسي، ويكون $y$ هو المحور الثانوي؛ غير أن بعض البرامج الأخرى قد تستخدم تسميات مختلفة للمحورين المحليين 1 و2. وقد يكون لمقطع ذي عطالتين رئيسيتين غير متساويتين $I_{\mathrm{xy}}\ne 0$ بالنسبة إلى زوج محاور مختار. ويؤدي الدوران إلى المحاور الرئيسية إلى إزالة حاصل ضرب العطالة، وبذلك تصبح محاور الانحناء غير مقترنة هناك. وغالبًا ما تؤدي التماثلية إلى $I_{\mathrm{xy}}=0$، لكن ذلك لا يحدث إلا حول محور تماثل أو ضمن نظام محاور رئيسية.

للأبعاد حدودها أيضًا. فقد يورد الجدول أبعادًا اسمية، في حين تؤثر سماحات الدرفلة وأنصاف أقطار الزوايا واللُّحْمات والتفاوت في السماكة في الشكل المصنّع. ولا يكفي تحديد المقطع بأنه «كمرة I» فقط لأغراض التصميم.

مجموعة الخواص المستخدمة في تصميم المنشآت الفولاذية

ترتبط الكميات الهندسية الرئيسية بعضها ببعض، لكنها تؤدي وظائف مختلفة.

تُستخدم المساحة $A$، بوحدات مثل ${\mathrm{mm}}^2$ أو ${\mathrm{in}}^2$، مباشرةً في حساب الإجهاد المحوري المتوسط $P/A$، كما تسهم في مقاومة الضغط المحوري. ويصف العزمان الثانيان للمساحة حول المركز الهندسي $I_x$ و$I_y$، المقاسان بـ ${\mathrm{mm}}^4$ أو ${\mathrm{in}}^4$، مقاومة الانحناء المرن حول محوريهما المعنيين. وهما تكاملان للمساحة، وليسا مقاومتي مادة.

معاملا المقطع المرنان هما:

\[ S_x=\frac{I_x}{c_x}, \qquad S_y=\frac{I_y}{c_y}, \]

حيث إن $c$ هي المسافة من المحور المعني المار بالمركز الهندسي إلى الليف الأقصى. وتكون الوحدات ${\mathrm{mm}}^3$ أو ${\mathrm{in}}^3$. ويُكتب إجهاد الانحناء المرن عادةً على الصورة $M/S$. وقد يكون معامل المقطع حول المحور الرئيسي أكبر بأضعاف كثيرة من قيمته حول المحور الثانوي في مقطع I، ولذلك فإن تغيير الاتجاه يغير مقاومة الانحناء حتى عندما تبقى المساحة ثابتة.

أنصاف أقطار الدوران هي:

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}, \qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

ووحداتها هي وحدات الطول. وفي تصميم الأعمدة، تمثل $\mathrm{KL}/r$ نسبة النحافة، ولذلك يساعد $r_x$ و$r_y$ في تحديد محور الانبعاج المحتمل. ولا تضمن المساحة الكبيرة نصف قطر دوران كبيرًا؛ إذ إن وضع المساحة بعيدًا عن محور ما يزيد عطالتها بدرجة أكبر بكثير من تركيز المساحة نفسها بالقرب من ذلك المحور.

يقيس حاصل ضرب العطالة $I_{\mathrm{xy}}$، بوحدات القوة الرابعة للطول، الاقتران بين محورين غير رئيسيين. أما العزم القطبي للمساحة،

$$I_p=I_x+I_y$$

بالنسبة إلى محورين متعامدين مارّين بالمركز الهندسي، فيصف التوزيع الإجمالي للمساحة حول النقطة. ولا ينبغي استبداله بالثابت الالتوائي $J$ دون تمييز. وبالنسبة إلى المقطع الدائري، تكون العلاقة بين العطالة القطبية وسلوك الالتواء وفق Saint-Venant مباشرة بوجه خاص؛ أما بالنسبة إلى المقاطع المدرفلة المفتوحة، فعادةً ما يكون $J$ أصغر بكثير من $I_p$، وتتحكم في قيمته كيفية توزيع سماكات الجدران.

يقيس الثابت الالتوائي $J$ الصلابة الالتوائية وفق Saint-Venant، ويُدرج عادةً بوحدات ${\mathrm{mm}}^4$ أو ${\mathrm{in}}^4$. وتمتلك المقاطع المفتوحة رقيقة الجدران، مثل المقاطع I والقنوات، قيمًا صغيرة نسبيًا لـ $J$، في حين تقاوم المقاطع الصندوقية المغلقة الالتواء المنتظم بفاعلية أكبر عمومًا. أما ثابت الالتواء التموجي $C_w$، الذي يُدرج غالبًا بوحدات ${\mathrm{mm}}^6$ أو ${\mathrm{in}}^6$، فيصف المقاومة المرتبطة بالالتواء غير المنتظم والالتواء التموجي الطولي. وتبرز أهميته خصوصًا في المقاطع المفتوحة التي يمكن أن تتموج أجنحتها تحت تأثير الأحمال الالتوائية.

تُعد مساحة القص كمية هندسية أخرى. ولها وحدات المساحة، لكنها لا تساوي $A$ عمومًا. وهي تمثل المساحة الفعالة المستخدمة في صيغ تشوه القص أو مقاومة القص، وتختلف قيمتها باختلاف اتجاه التحميل وشكل المقطع. أما معامل المقطع اللدن $Z_x$ أو $Z_y$، المعروف أيضًا باسم معامل المقطع البلاستيكي، فيُحدَّد بتعيين المحور المحايد اللدن وجمع العزوم الأولى للمساحات التي وصلت إلى الخضوع. وهو يختلف عن المعامل المرن $S$: إذ يرتبط $S$ ببدء الخضوع عند ليف أقصى، بينما يرتبط $Z$ بمقطع عرضي مثالي وصل بأكمله إلى الخضوع.

يسرد مورد MDSolids التابع لجامعة Missouri S&T موقع المركز الهندسي، والعزوم الثانية، ومعامل المقطع، ونصف قطر الدوران، والمعامل اللدن، والعزم القطبي، والعزوم الرئيسية كمخرجات منفصلة للأشكال الفولاذية العامة والقياسية. وهذا الفصل ضروري.

لماذا يمتلك المقطع نفسه خواص حاكمة متعددة؟

لا يمتلك العضو خاصية واحدة شاملة لـ«المقاومة»؛ لأن الأفعال المختلفة تُنشئ أنماطًا مختلفة من الإجهاد والتشوه.

يرتبط الشد المحوري أساسًا بالمساحة وبأحكام المساحة الصافية أو الوصلات المنطبقة. ويعتمد الضغط المحوري على المساحة، ومقاومة خضوع المادة، والطول غير المدعّم، والطول الفعال، وأصغر نصف قطر دوران ذي صلة. ويستخدم الانحناء $I$ أو $S$ أو $Z$، إلى جانب التقييد الجانبي، والنحافة المحلية، ومقاومة الدرجة الفولاذية. ويعتمد القص على مساحة القص وعلى عناصر الجِسر أو الصفيحة التي تحمل القص. وقد يعتمد الالتواء على $J$، و$C_w$، وتقييد الالتواء التموجي، وطريقة إدخال الحمل. ولا يمكن لقيمة واحدة أن تحل محل هذه الفحوص.

ولهذا يعرّف معيار ANSI/AISC 360-16 ويستخدم $I_x$، و$I_y$، و$r_x$، و$r_y$، و$J$، و$C_w$ بوصفها كميات مختلفة من خواص المقاطع. ويُعد الجزء 1 من AISC، «الأبعاد والخواص»، القسم المرجعي من دليل Steel Construction Manual لعام 2023 الخاص بالأبعاد والخواص الهندسية المدرجة في الجداول، كما توفر قاعدة بيانات مقاطع AISC Shapes Database v16.0 هذه البيانات بالوحدات الأمريكية التقليدية والوحدات المترية. وبالمثل، يورد Blue Book لعام 2024 الصادر عن Steel Construction Institute المساحة، والعزوم الثانية، والمعاملين المرن واللدن، وأنصاف أقطار الدوران، والثوابت الالتوائية، وثوابت الالتواء التموجي للمقاطع الأوروبية.

يجب أن يطابق المرجع المقطع والإصدار. إذ تحدد EVS-EN 10365:2026 الأبعاد والكتل الاسمية للقنوات المدرفلة على الساخن، ومقاطع I، ومقاطع H؛ لكنها لا تحل محل جدول خواص المقاطع. ويوفر Blue Book الخواص الهندسية المحسوبة. وتشير ArcelorMittal إلى أن الخواص المحسوبة الأوروبية تُدرج عمومًا بالسنتيمترات، في حين تُستخدم وحدات قائمة على المتر لمساحة السطح، ووحدات قائمة على الديسيمتر للثابت التموجي، على التوالي. وقد يطغى خطأ في تحويل الوحدات على صيغة صحيحة.

ينبغي التحقق من القيم المدرجة في الجداول بمقارنتها بحساب يدوي أو ببرنامج لحساب خواص المقاطع، ولا سيما في الأشكال المركبة أو المثقبة أو المتدرجة أو المركبة من مواد متعددة. وقد يؤثر التقريب في النتائج الحدّية، كما يمكن لتسميات المحاور في البرامج أن تعكس الخاصيتين الرئيسية والثانوية. ولذلك فالسؤال الصحيح ليس: «ما مقاومة المقطع؟» بل: ما الخاصية الهندسية الموافقة للفعل المؤثر، وما المحور والوحدات المنطبقة، وأي مادة وأي معيار تصميم يحددان قواعد المقاومة؟

نظام الإحداثيات، والمركز الهندسي، والمحاور المرجعية

لا تكون خاصية المقطع ذات معنى كامل حتى يُحدَّد محورها المرجعي. فعبارة «عزم المساحة لمقطع I» غير مكتملة؛ إذ قد تشير القيمة إلى $I_x$، أو $I_y$، أو إلى عزم رئيسي، أو إلى كمية برمجية مثل $I_{11}$. ويمكن للمقطع نفسه أن يمتلك عزم مساحة ثانياً كبيراً حول أحد المحاور وقيمة أصغر بكثير حول محور آخر. لذلك يجب تثبيت الإحداثيات قبل دمج الأبعاد أو نقل القيم المدرجة في الجداول إلى حسابات التصميم.

بالنسبة إلى مقطع مستوٍ، نختار إحداثيين متعامدين، هما عادةً $x$ و$y$، في مستوى الشكل. للنقطة الواقعة ضمن المساحة إحداثيات $(x,y)$، وعنصر المساحة المتناهي في الصغر هو $\mathrm{dA}$. وتكون المساحة الكلية

$$A={\int }_A\mathrm{dA}.$$

تحدد العزوم الأولى للمساحة موضع المركز الهندسي:

\[ \bar{x}=\frac{1}{A}\int_A x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\int_A y\,dA. \]

توضح هذه المعادلات أن المركز الهندسي هو متوسط موزون بالمساحة لجميع الإحداثيات. ويسهم المكوّن الأكبر بدرجة أكبر من المكوّن الأصغر الواقع على المسافة نفسها. كما توضح هذه المعادلات سبب عدم كون المركز الهندسي عموماً هو المركز الهندسي للمستطيل المحيط. فقد يكون للمقطع القنوي، أو الزاوي، أو على شكل T، أو للمقطع المركب غير المتماثل، مركز هندسي منزاح بدرجة كبيرة عن منتصف العمق والعرض الكليين الظاهرين.

الإحداثيات المركزية

بعد معرفة $(\overline{x},\overline{y})$، نعرّف الإحداثيات المركزية كما يلي:

\[ x'=x-\bar{x},\qquad y'=y-\bar{y}. \]

تمر المحاور المركزية عبر المركز الهندسي، ولذلك تنعدم عزومها الأولى:

\[ \int_A x'\,dA=0,\qquad \int_A y'\,dA=0. \]

وهذا الانتقال ليس إجراءً شكلياً. فعزما المساحة الثانيان المركزيان هما

\[ I_x=\int_A y'^2\,dA,\qquad I_y=\int_A x'^2\,dA, \]

وحاصل ضرب العطالة هو

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_{A}x\prime y\prime \mathrm{dA}.$$

تتبع اصطلاحات الرموز السفلية المستخدمة هنا اصطلاحات هندسة الإنشاءات الشائعة في الولايات المتحدة: إذ يقيس $I_x$ مربع المسافة من المحور $x$، بينما يقيس $I_y$ مربع المسافة من المحور $y$. ولذلك يُحسب $I_x$ باستخدام $y^2$، وليس $x^2$. ويُعد هذا الفرق مصدراً شائعاً لتبديل القيم في جداول البيانات.

في المقطع المركب، احسب أولاً مساحة كل مكوّن ومركزه الهندسي، ثم اجمع المكوّنات. ويعرض درس مراجعة خصائص المساحة في University of Michigan هذه الطريقة المعتمدة على المكوّنات، باستخدام العزوم الأولى ونظرية المحاور المتوازية. فعلى سبيل المثال،

$$I_x={\sum }_i(I_{x,i,c}+A_i{d}_{y,i}^2),$$

حيث إن $I_{x,i,c}$ هي قيمة المكوّن الذاتية بالنسبة إلى محوره المركزي، و$d_{y,i}$ هي المسافة الرأسية من مركزه الهندسي إلى المحور $x$ المركزي للمقطع المركب. وينطبق التعبير المناظر على المحور $y$. وتُعامل الفتحات باعتبارها مساحات سالبة. ومن ثم يمكن حساب المستطيل أو المثلث أو الدائرة أو الدائرة المجوفة مباشرة، ثم تجميعها لتكوين مقطع فولاذي أكثر تعقيداً.

تكشف الوحدات عن نوع الكمية. فالمساحة وحداتها مربع الطول، بينما وحدات $I_x$، و$I_y$، و$I_{\mathrm{xy}}$ هي القوة الرابعة للطول. أما معامل المقطع فوحداته مكعب الطول، ونصف قطر القصور الدوراني فوحداته الطول:

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}},\qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

وليست هذه تسميات بديلة للعطالة؛ فهي تجيب عن أسئلة مختلفة، ولا يمكن استبدال إحداها بالأخرى لمجرد أنها تصف المقطع نفسه.

تستخدم Abaqus نظاماً مرتبطاً بالرموز، لكنه ليس مطابقاً له تماماً. إذ تحدد وثائقها الخاصة بمقاطع العوارض الخصائص المركزية من خلال تكامل مربعات مسافات الإحداثيات بالنسبة إلى $I_{11}$ و$I_{22}$، بينما يدمج $I_{12}$ حاصل ضرب مسافات الإحداثيات. ولا يمكن اعتبار الناتج العددي مساوياً لـ $I_x$، أو $I_y$، أو $I_{\mathrm{xy}}$ المألوف إلا بعد مواءمة المحورين المحليين 1–2 في Abaqus مع محوري الهندسة $x$–$y$. لا تفترض أبداً أن الرقم الذي يلي الحرف يمثل اسم محور وفق الاصطلاح الأمريكي. تحقق من تعريف المحاور المحلية للبرنامج ومن اصطلاح الإشارة المستخدم.

المحاور الرئيسية والثانوية

المحور الرئيسي هو المحور المركزي المرتبط بعزم المساحة الثاني الرئيسي الأكبر، بينما يمتلك المحور الثانوي القيمة الرئيسية الأصغر. وبالنسبة إلى مقطع I متماثل حول محورين ومتوافق مع الجِسر والشفّات، تتطابق هذه المحاور عادةً مع المحورين الهندسيين الأفقي والرأسي المارين بالمركز الهندسي. وإذا كان المقطع عميقاً مقارنةً بعرض شفّته، فإن المحور المرتبط بالانحناء في الاتجاه القوي يمتلك العطالة الأكبر. ومع ذلك، يجب ربط المصطلحات دائماً بالمحور المحدد، لأن عبارة «المحور القوي» قد تُفهم خطأً عند تدوير الرسم.

ولهذا التمييز نتائج مباشرة في التصميم. إذ يستخدم إجهاد الانحناء المرن معامل مقطع يستند إلى المحور المختار:

\[ S_x=\frac{I_x}{c_x},\qquad S_y=\frac{I_y}{c_y}, \]

حيث إن $c$ هي أكبر مسافة من ذلك المحور إلى الليف الأقصى ذي الصلة. وتستخدم حسابات الانبعاج نصف قطر القصور الدوراني المناظر. ولا يجوز استبدال $r_y$ المدرج في جدول بـ $r_x$ لمجرد أن كليهما مدرج بجوار الشكل الفولاذي نفسه.[1][1] AISC Shapes Database v16.0. American Institute of Steel Construction. AISC Shapes Database, 2023.

تدرج American Institute of Steel Construction هذه الكميات في الجزء الأول من Steel Construction Manual وفي AISC Shapes Database v16.0. ويذكر وصف AISC لعام 2023 أن قاعدة البيانات توفر الأبعاد وخصائص المقاطع بوحدات القياس الأمريكية والوحدات المترية. ويعرّف ANSI/AISC 360-16 كميات تشمل $I_x$، و$I_y$، و$r_x$، و$r_y$، و$J$، و$C_w$. وتحدد هذه المراجع القيم، لكن يجب على المهندس مع ذلك التحقق من تسمية المقطع، والإصدار، والوحدات، واتجاه المحاور.

تستخدم الجداول الأوروبية اصطلاحاتها الخاصة في العرض. إذ يسرد Steel Construction Institute في كتابه الأزرق لعام 2024 المساحة، وعزمي المساحة الثانيين، ومعاملات المقاطع، وأنصاف أقطار القصور الدوراني، وثوابت الالتواء، وثوابت التشوه الملتوي. ويحدد EVS-EN 10365:2026 الأبعاد الاسمية والكتل للقنوات المدرفلة على الساخن، ومقاطع I، ومقاطع H؛ لكنه لا يُعد بحد ذاته بديلاً عن جدول خصائص المقطع. وتذكر ArcelorMittal أن الخصائص المحسوبة أوروبياً تُعبَّر عموماً بالسنتيمترات، مع استخدام وحدات قائمة على المتر والديسيمتر على التوالي لمساحة السطح وثابت التشوه الملتوي. ولذلك يجب إجراء تحويل للوحدات قبل مقارنة هذه القيم بجدول AISC.

التناظر والمحاور الرئيسية

يكون حاصل ضرب العطالة المار بالمركز الهندسي صفراً حول محور تناظر. Strong evidence

يوفر التناظر وسيلة تحقق قوية. فإذا كانت المساحة متماثلة حول المحور $x$، فإن كل عنصر عند $+y$ يقابله عنصر عند $-y$، ولذلك تتلاشى مساهمات العنصرين في التكامل ${\int }_A\mathrm{xy}\mathrm{dA}$. ومن ثم يكون $I_{\mathrm{xy}}=0$ حول ذلك المحور. وتنطبق النتيجة نفسها على التناظر حول المحور $y$. ويكون حاصل ضرب العطالة لمقطع يمتلك محوري تناظر متعامدين مساوياً للصفر حول كلا المحورين المركزيين.

المحاور الرئيسيةالمحاور الرئيسية محاور مارّة بالمركز الهندسي تُستحصل بالدوران بحيث ينعدم حاصل ضرب العطالة وتصبح خصائص الانحناء غير مقترنة.

لا يمتلك المقطع غير المتماثل هذه الخاصية عموماً. فقد ينتج عن محوريه المركزيين $x$ و$y$ حاصل ضرب عطالة غير صفري $I_{\mathrm{xy}}$، ما يعني أن الانحناء حول أحد المحاور قد يقترن هندسياً بالانحناء حول المحور الآخر. والمحاور الرئيسية هي المحاور المركزية المدورة التي يصبح عندها حاصل ضرب العطالة صفراً. وتكون عزوم المساحة الثانية الرئيسية

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2},$$

وتحقق زاوية المحور الرئيسي العلاقة

$$\tan 2\theta =\frac{2I_{\mathrm{xy}}}{I_x-I_y},$$

مع مراعاة اصطلاح الإشارة المعتمد. والقيمة الأكبر هي عزم المساحة الرئيسي الأكبر، والقيمة الأصغر هي عزم المساحة الرئيسي الأصغر.

وبالنسبة إلى المقاطع الزاوية، والقنوات، والصفائح اللامركزية، والمقاطع المركبة غير المنتظمة، قد تكون حسابات المحاور الرئيسية ضرورية وليست اختيارية. فعلى سبيل المثال، يعرض MDSolids موضع المركز الهندسي، وعزمي المساحة الثانيين، والعزوم الرئيسية، والخصائص ذات الصلة للأشكال العامة والقياسية. ويظل ناتج البرنامج وسيلة للتحقق، وليس سبباً لتجاهل الإحداثيات. تحقق من المركز الهندسي، وأعد حساباً بسيطاً لمكوّن واحد، وافحص دوران المحاور، وحدد ما إذا كان $I_{12}$ المبلغ عنه يستخدم اصطلاح الإشارة نفسه المستخدم في الحساب اليدوي. تحدد الهندسة هذه الخصائص؛ أما تغيير التسمية من ASTM A36 إلى ASTM A572 Grade 50 فيغيّر مقاومة المادة، ولا يغيّر المركز الهندسي أو المحاور الرئيسية لشكل لم يتغير.

المساحة وعزوم المساحة الأولى

المساحة الإجمالية للمقطع العرضي

المساحة المقطعية $A$ كمية هندسية. وهي تصف مقدار المساحة المستوية التي يشغلها المقطع، ولا تصف مدى مقاومة الفولاذ. بالنسبة إلى شكل متصل:

$$A={\int }_A\mathrm{dA}$$

حيث إن $\mathrm{dA}$ عنصر متناهي الصغر من المقطع العرضي. وبالنسبة إلى مقطع مقسّم إلى أجزاء بسيطة، تُحسب الكمية نفسها بالجمع:

$$A={\sum }_{i=1}^n{A}_i$$

بالنسبة إلى المستطيل، $A=\mathrm{bh}$؛ وبالنسبة إلى المثلث، $A=\mathrm{bh}/2$؛ وبالنسبة إلى الدائرة، $A=\pi d^2/4$؛ وبالنسبة إلى الدائرة المجوفة:

$$A=\frac{\pi }{4}(D^2-d^2)$$

حيث تمثل $D$ القطر الخارجي وتمثل $d$ القطر الداخلي. وهذه الصيغ هي تكاملات أُجريت مسبقًا للأشكال المألوفة.

تُسنَد إلى الفتحة مساحة سالبة. ولذلك، فإن صفيحة مستطيلة تحتوي على فتحة دائرية تكون مساحتها:

$$A_{\text{gross}}=\mathrm{bt}-\frac{\pi d^2}{4}$$

إذا كانت أبعاد الصفيحة تصف حدود المادة قبل إزالة الفتحة. ولا يُعد اصطلاح المساحة السالبة اختصارًا ذا رياضيات مختلفة؛ بل هو الصيغة الجبرية الموقعة لطرح المنطقة من التكامل.

يتطلب مصطلح المساحة الإجمالية بعض الحذر. ففي جداول خصائص المقاطع، يعني هذا المصطلح عادةً المساحة المقطعية الاسمية الكاملة للمقطع الفولاذي، بما في ذلك المادة التي ستُستبعد لاحقًا بسبب فتحة أو شق أو تفصيل وصلة آخر. وقد تزيل المساحة الصافية الفتحات وفقًا لقاعدة تصميم، في حين قد تراعي المساحة الفعالة أيضًا الانبعاج الموضعي أو تأخر القص أو حكمًا آخر. ولا يجوز اعتبار مساحات التصميم اللاحقة هذه بدائل للمساحة الهندسية الإجمالية. تستخدم ANSI/AISC 360-16 أحكامًا متميزة لخصائص المقاطع وللتصميم، ويجب أخذ تعريف المساحة الصافية أو الفعالة المنطبق من حساب حالة الحد ذات الصلة.

تؤثر الأبعاد والسماحات والتقريب في النتيجة. فالبعد الاسمي لمقطع H الوارد في مواصفة قياسية ليس بالضرورة البعد المقاس الفعلي لكل مقطع مدرفل. تحدد EVS-EN 10365:2026 الأبعاد الاسمية والكتل للقنوات والمقاطع I والمقاطع H المدرفلة على الساخن؛ لكنها لا تحل محل جدول خصائص المقطع. أما الكتاب الأزرق الصادر عن معهد البناء الفولاذي، فيوفر، على النقيض من ذلك، خصائص محسوبة مثل المساحة وعزوم المساحة الثانية للمقاطع الأوروبية. كما توفر قاعدة بيانات مقاطع AISC الإصدار v16.0، التي أصدرها المعهد الأمريكي للإنشاءات الفولاذية في عام 2023، الأبعاد وخصائص المقاطع بوحدات القياس الأمريكية والوحدات المترية.

لا تغيّر درجة الفولاذ هذه الهندسة. فمقطع من نوع ASTM A992 W، ومقطع مماثل هندسيًا موصوف بتعيين درجة آخر، لهما المساحة المحسوبة نفسها. تؤثر الدرجة في المقاومة ومقاومة الخضوع وفحوص التصميم، لا في تكامل $\mathrm{dA}$. وينطبق الفصل نفسه على التعيينات الأوروبية المكتوبة وفقًا لمواصفات المنتج والمواد المنطبقة.

عزوم المساحة الأولى وموقع المركز الهندسي

عزم المساحة الأول حول محور هو تكامل المساحة لإحداثي مضروبًا في مساحة تفاضلية:

\[ Q_x=\int_A y\,dA,\qquad Q_y=\int_A x\,dA \]

هنا، يُقاس $y$ من المحور $x$، ويُقاس $x$ من المحور $y$. ووحدات $Q_x$ هي مكعب الطول، مثل ${\text{mm}}^3$ أو ${\text{in}}^3$. وهو ليس عزم المساحة الثاني $I$، الذي تكون وحداته القوة الرابعة للطول.

تتبع إحداثيات المركز الهندسي مباشرةً:

$$\overline{x}=\frac{1}{A}{\int }_{A}x\mathrm{dA}=\frac{\sum A_i{x}_i}{\sum A_i}$$ $$\overline{y}=\frac{1}{A}{\int }_{A}y\mathrm{dA}=\frac{\sum A_i{y}_i}{\sum A_i}$$

وهذه هي طريقة مساحات الأجزاء التي تُدرَّس في حصة مراجعة خصائص المقاطع في جامعة ميشيغان. يساهم كل جزء بمساحته مضروبةً في إحداثي مركزه الهندسي. وتكون للمساحة الكبيرة البعيدة عن المحور المرجعي تأثيرات أكبر من المساحة الصغيرة القريبة منه.

يجب اختيار المحاور والإشارات قبل إجراء الحساب. ويأخذ الاصطلاح الشائع الاتجاه الموجب لمحور $x$ نحو اليمين، والاتجاه الموجب لمحور $y$ إلى الأعلى. ولذلك يكون للجزء الواقع أسفل المحور $x$ إحداثي $y_i$ سالب، مما ينتج مساهمة سالبة في $\sum A_i{y}_i$. وللفتحة قيمة $A_i$ سالبة، ولذلك تكون مساهمتها في عزم المساحة الأول سالبة أيضًا عندما يكون إحداثيها موجبًا. وإذا تغير أصل الإحداثيات المرجعي، تتغير العزوم الفردية، لكن المركز الهندسي النهائي لا يتغير.

بالنسبة إلى مقطع متماثل، يقع المركز الهندسي على كل محور من محاور التماثل. ولذلك فإن مقطع I متماثل حول محورين يكون مركزه الهندسي عند تقاطع محوري تماثل الج web والفلنجات. ويُعد التماثل وسيلة تحقق مفيدة، لكنه ليس سببًا لإغفال الحساب عندما تكسر التماثل صفيحة أو فتحة أو مرفق لحام أو مقوٍّ لا مركزي.

يظهر الرمز $Q$ نفسه في صيغ القص العرضي، لكن يجب تحديد المساحة والمحور المختارين. وبالنسبة إلى كمرة:

$$\tau =\frac{\mathrm{VQ}}{\mathrm{Ib}}$$

حيث إن $Q$ هو عزم المساحة الأول للجزء الواقع من المساحة على أحد جانبي النقطة التي يُقيَّم عندها إجهاد القص، وذلك حول المحور المحايد؛ و$I$ هو عزم المساحة الثاني للمقطع بأكمله حول ذلك المحور؛ و$b$ هو العرض أو السماكة المحلية التي تقاوم تدفق القص. ولا يُعد هذا $Q$ تلقائيًا عزم المساحة الأول للمقطع العرضي بأكمله حول مرجع اعتباطي. أما حول محوره المار بمركزه الهندسي، فعزم المساحة الأول للمساحة الكاملة يساوي صفرًا.

جداول مساحات الأجزاء للمقاطع المركبة

يجعل الجدول حساب المقطع المفكك قابلًا للمراجعة والتدقيق. ويجب أن يتضمن، في الحد الأدنى، المساحة الموقعة لكل جزء، وإحداثيات مركزه الهندسي، ومساهماته في عزم المساحة الأول:

ثم يُحسب:

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} \]

يجب أن يستخدم الجدول نظام إحداثيات واحدًا ونظام وحدات واحدًا طوال الحساب. فقد يؤدي خلط المليمترات بالأمتار إلى إدخال عوامل مقدارها ${10}^3$ في عزوم المساحة الأولى، وعوامل مقدارها ${10}^6$ في عزوم المساحة الثانية.

بالنسبة إلى المقطع المركب، يحدد الجدول المركز الهندسي قبل تطبيق مبرهنة المحاور المتوازية على $I_x$ و$I_y$. كما يوفر تحققًا مباشرًا: يجب أن يساوي عزم المساحة الأول الجبري للمساحة الكاملة حول المركز الهندسي المحسوب صفرًا. ويمكن لبرمجيات مثل MDSolids التابعة لجامعة ميزوري للعلوم والتكنولوجيا حساب الموقع المار بالمركز الهندسي والخصائص ذات الصلة للأشكال الفولاذية العامة والقياسية، لكن يظل جدول الأجزاء المستقل وسيلة فعالة للتحقق.

يجب أن تتوافق القيم الجدولية مع المقطع الدقيق، واصطلاح المحاور، والإصدار، والوحدات. ويُعد الجزء 1 من AISC القسم المرجعي في دليل الإنشاءات الفولاذية للمعهد الأمريكي للأبعاد القياسية الأمريكية والخصائص الهندسية. وقد تعرض الجداول الأوروبية الخصائص المحسوبة بالسنتيمترات؛ وتذكر ArcelorMittal أن مساحة السطح وثابت الالتواء الملتوي يستخدمان وحدات قائمة على المتر والديسيمتر، على التوالي. ولذلك تحتاج المساحة وعزوم المساحة الأولى إلى بيان الوحدات، لا إلى أرقام مجردة.

عزوم المساحة الثانية: $I_x$، و$I_y$، و$I_{\mathrm{xy}}$

تصف عزوم المساحة الثانية كيفية توزّع مساحة المقطع العرضي حول محاور محددة. وهي خواص هندسية وليست قيماً لمقاومة المادة. إن تغيير الفولاذ الإنشائي من ASTM A36 إلى ASTM A572 Grade 50 يغيّر فحوصات المقاومة ومقاومات التصميم، لكنه لا يغيّر $I_x$، أو $I_y$، أو $I_{\mathrm{xy}}$ عندما تظل أبعاد المقطع كما هي.

يجب قراءة تسميات المحاور بعناية. وفق الاصطلاح الشائع، يقيس $I_x$ توزّع المساحة حول المحور $x$، ولذلك تكون المسافة المربعة هي الإحداثي $y$. وبالمثل، يقيس $I_y$ التوزّع حول المحور $y$، ويستخدم الإحداثي $x$ مرفوعاً إلى التربيع. تستخدم بعض البرمجيات والمعايير محاور مرقّمة مثل $I_{11}$ و$I_{22}$، ولذلك يجب التحقق من اصطلاح الإحداثيات قبل مقارنة القيم. تحدد وثائق Abaqus الخواص المارة بالمركز الهندسي من خلال تكامل مربعات مسافات الإحداثيات بالنسبة إلى $I_{11}$ و$I_{22}$، وحاصل ضرب مسافات الإحداثيات بالنسبة إلى $I_{12}$ (Abaqus، 2024).

التعريفات التكاملية

بالنسبة إلى مساحة مقطع عرضي $A$، مع قياس الإحداثيات من نقطة الأصل المختارة،

$$I_x={\int }_A{y}^2\mathrm{dA}$$ $$I_y={\int }_A{x}^2\mathrm{dA}$$

و

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_A\mathrm{xy}\mathrm{dA}.$$

الكميتان الأوليان هما عزما المساحة الثانية. ووحداتهما هي الطول مرفوعاً إلى القوة الرابعة: ${\text{mm}}^4$، أو ${\text{cm}}^4$، أو ${\text{in}}^4$. ولحاصل ضرب العطالة الوحدات نفسها.

المسافة المربعة هي النقطة الأساسية. فعنصر مساحة صغير يقع على مسافة $y$ من المحور $x$ يسهم بمقدار $y^2\mathrm{dA}$، وليس بمجرد $\mathrm{ydA}$. وإذا كان أحد العنصرين يبعد عن المحور ضعفي بُعد عنصر آخر ذي المساحة نفسها، فإنه يسهم بأربعة أضعاف ذلك العنصر في $I_x$. تسهم المادة القريبة من المحور المحايد إسهاماً صغيراً، بينما تسهم المادة الموضوعة بعيداً عنه إسهاماً أكبر بكثير. ولهذا السبب تسهم الجناحان في المقطع I إسهاماً كبيراً في صلابة الانحناء حول المحور القوي، في حين تسهم الجسأة بدرجة أكبر في الخاصية حول المحور الضعيف مقارنة بما قد توحي به مساحتها وحدها.

بالنسبة إلى مستطيل عرضه $b$ موازٍ للمحور $x$، وعمقه $h$ موازٍ للمحور $y$، مع محاور مركزية تمر بمنتصفه،

\[ I_x=\frac{bh^3}{12}, \qquad I_y=\frac{hb^3}{12}. \]

يفسّر بُعد التكعيب سبب إمكان أن يؤدي تدوير مقطع مستطيل إلى تغيير صلابة الانحناء بدرجة كبيرة. فمستطيل عمقه $200\text{mm}$ له $I_x$ أكبر بكثير من مستطيل عمقه $100\text{mm}$ وله العرض نفسه، رغم أن مساحته لا تزيد إلا إلى الضعف.

بالنسبة إلى مثلث، فإن عزم المساحة الثانية المار بالمركز والموازي لقاعدته هو

$$I_x=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{36},$$

حيث إن $b$ هي القاعدة و$h$ هو الارتفاع العمودي. وللدائرة ذات نصف القطر $r$،

$$I_x=I_y=\frac{\pi r^4}{4}$$

حول أي قطر مار بالمركز. وبالنسبة إلى دائرة مجوّفة، تُطرح مساهمة الجزء الداخلي من مساهمة الجزء الخارجي:

$$I_x=I_y=\frac{\pi }{4}(r_o^4-r_i^4).$$

تُعد هذه الصيغ فحوصاً مفيدة في مقابل برمجيات وجداول خواص المقاطع؛ لكنها لا تُستبدل بعزم المساحة القطبي، أو ثابت الالتواء، أو معامل المقطع.

مبرهنة المحاور المتوازية

تبدأ الحسابات اليدوية للمقطع المركب بتقسيم الشكل إلى مكونات بسيطة. ولكل مكوّن، تُحدد مساحته $A_i$، وإحداثيات مركزه الهندسي $(x_i,y_i)$، وعزما المساحة الثانيان الماران بمركزه $I_{x,i,c}$ و$I_{y,i,c}$. وتحدد عزوم المساحة الأولى المركز الهندسي الكلي:

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

بعد معرفة المركز الهندسي للمقطع المركب، تنقل مبرهنة المحاور المتوازية خاصية كل مكوّن إلى محاور المقطع المركب:

$$I_x=\sum (I_{x,i,c}+A_i(y_i-\overline{y}{)}^2),$$ $$I_y=\sum (I_{y,i,c}+A_i(x_i-\overline{x}{)}^2).$$

وبالنسبة إلى حاصل ضرب العطالة،

$$I_{\mathrm{xy}}=\sum (I_{\mathrm{xy},i,c}+A_i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}\left)\right).$$

غالباً ما تكون حدود النقل أهم من قيم المكونات حول محاورها المركزية. فقد يكون عزم عطالة الجناح حول محوره الخاص متواضعاً، لكن بُعده عن المركز الهندسي الكلي يمكن أن يولّد مساهمة كبيرة مقدارها $A_i{d}^2$.

لنأخذ مقطع T متماثلاً مكوّناً من جناح أبعاده $200\text{mm}\times 20\text{mm}$، وجذع أبعاده $20\text{mm}\times 180\text{mm}$، بحيث يكون الجذع متمركزاً أسفل الجناح. تبلغ مساحة الجناح $4,000{\text{mm}}^2$، وتبلغ مساحة الجذع $3,600{\text{mm}}^2$. وبالقياس إلى أعلى من أسفل الجذع، يقع مركزا المكوّنين عند $y_f=190\text{mm}$ و$y_w=90\text{mm}$. ولذلك،

$$\overline{y}=\frac{4,000\left(190\right)+3,600\left(90\right)}{7,600}=142.63\text{mm}.$$

بالنسبة إلى الجناح،

$$I_{x,f,c}=\frac{200(20{)}^3}{12}=133,333{\text{mm}}^4,$$

وبالنسبة إلى الجذع،

$$I_{x,w,c}=\frac{20(180{)}^3}{12}=9,720,000{\text{mm}}^4.$$

تكون الخاصية المنقولة تقريباً

$$I_x=133,333+4,000(47.37{)}^2+9,720,000+3,600(52.63{)}^2,$$

مما يعطي

$$I_x\approx 31.2\times {10}^6{\text{mm}}^4.$$

ينتج جزء كبير من القيمة عن عمق الجذع نفسه، في حين أن إزاحة الجناح تضيف مع ذلك حداً مهماً. وإغفال حدود المحاور المتوازية يؤدي إلى التقليل من قيمة خاصية المقطع.

وبالنسبة إلى الفراغ، تُطبّق الطريقة نفسها باستخدام مساحة سالبة وخواص مكوّن سالبة. وبهذه الطريقة يمكن حساب مقطع مستطيل مجوّف من خلال مستطيل خارجي مطروحاً منه مستطيل داخلي، شريطة تعريف الأبعاد الداخلية ومواقع المحاور تعريفاً صحيحاً.

حاصل ضرب العطالة والمحاور المدارة

يسجل حاصل ضرب العطالة ما إذا كانت المساحة تقع في مناطق متقابلة ذات إحداثيات موجبة أو سالبة. وباستخدام إحداثيات مركزية، يكون $\mathrm{xy}$ موجباً لعنصر مساحة يقع في الربع الأول، وسالباً لعنصر يقع في الربع الثاني. ويمكن للمساهمات المتعاكسة أن تلغي بعضها بعضاً.

ينعدم $I_{\mathrm{xy}}$ عندما يكون للمقطع محور تماثل منطبق على المحور $x$ أو المحور $y$، شريطة أن تكون نقطة الأصل عند المركز الهندسي. فالانعكاس حول المحور $x$ يحوّل $y$ إلى $-y$، فيعكس إشارة $\mathrm{xy}$، ولذلك تلغي الأزواج المتماثلة بعضها بعضاً. وينطبق الاستدلال نفسه على التماثل حول المحور $y$. ومن ثم يكون $I_{\mathrm{xy}}=0$ للمستطيلات والدوائر والمقاطع I والمقاطع المجوّفة المتمركزة حول محاور تماثلها المركزية المعتادة.

أما مقطع الزاوية، أو المقطع القنوي، أو مقطع T، أو المقطع المركب غير المتماثل، فعادةً ما يكون له محور تماثل واحد فقط أو لا يكون له محور تماثل. وقد لا ينعدم حاصل ضرب عطلته حول محاور مركزية اعتباطية. وحتى المقطع ذي محور التماثل الواحد لا يكون $I_{\mathrm{xy}}=0$ إلا عندما يقع أحد المحورين المختارين على محور التماثل، ويكون الآخر عمودياً عليه.

يغيّر تدوير المحاور الكميات الثلاث وفقاً للعلاقات التالية:

$$I_{x\prime }=\frac{I_x+I_y}{2}+\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta -I_{\mathrm{xy}}\sin 2\theta ,$$ $$I_{y\prime }=\frac{I_x+I_y}{2}-\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta +I_{\mathrm{xy}}\sin 2\theta ,$$ $$I_{x\prime y\prime }=\frac{I_x-I_y}{2}\sin 2\theta +I_{\mathrm{xy}}\cos 2\theta .$$

تعتمد الإشارات على اصطلاح المحاور والدوران المعتمد؛ ولذلك يجب الحفاظ على الاتساق في الاصطلاح طوال الحساب. والمحاور الرئيسية هي الاتجاهات التي يتحقق عندها $I_{x\prime y\prime }=0$. أما عزما المساحة الرئيسيان المناظران فهما

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2}.$$

بالنسبة إلى مقطع I ذي التماثل المزدوج، يكون المحوران المألوفان القوي والضعيف محورين رئيسيين بالفعل. أما في حالة المقطع القنوي أو مقطع الزاوية، فقد لا تكون المحاور الهندسية المركزية محاور رئيسية، وقد يؤدي الانحناء حول أحد المحاور إلى توليد تأثيرات انحناء أو إجهاد مرتبطة بالمحور الآخر. وتتطلب المقاطع المركبة غير المتماثلة المعالجة نفسها؛ إذ إن افتراض $I_{\mathrm{xy}}=0$ من دون التحقق من التماثل قد يؤدي إلى نتيجة خاطئة لاستجابة الانحناء.

توفر قاعدة بيانات مقاطع AISC Shapes Database v16.0، الصادرة عن American Institute of Steel Construction في عام 2023، الأبعاد والخواص بوحدات النظام الأمريكي المعتاد والوحدات المترية، بينما يقدم AISC Part 1 أبعاداً وخواص هندسية مجدولة. ويقدم الكتاب الأزرق لعام 2024 الصادر عن Steel Construction Institute خواص المقاطع الأوروبية، بما في ذلك عزوم المساحة الثانية ومعلومات المحاور الرئيسية عند انطباقها. ويحدد EVS-EN 10365:2026 الأبعاد الاسمية والكتل، وليس كل خاصية محسوبة. كما تختلف اصطلاحات الوحدات: إذ تذكر ArcelorMittal أن الخواص المحسوبة الأوروبية تُبلّغ عموماً بالسنتيمترات، مع استخدام وحدات قائمة على المتر والديسيمتر لمساحة السطح وثابت الالتواء. ولا تكون القيمة المنسوخة من جدول مفيدة إلا بعد التحقق من المقطع المحدد والمحور والوحدات وإصدار المعيار بدقة.

الحسابات اليدوية للأشكال الهندسية الأساسية

تبدأ الحسابات اليدوية بحدود المقطع ونظام إحداثيات، وليس بدرجة الفولاذ. لنفترض أن $x$ و$y$ يحددان مواضع النقاط في المقطع، وأن نقطة الأصل في البداية هي أي نقطة مرجعية مناسبة. تكون المساحة الكلية

$$A={\int }_A\mathrm{dA}$$

ويُحدَّد المركز الهندسي من العزوم الأولى:

\[ \bar{x}=\frac{1}{A}\int_A x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\int_A y\,dA \]

بعد معرفة المركز الهندسي، تكون عزوم المساحة الثانية حول المحاور المارة بالمركز الهندسي كما يلي:

\[ I_x=\int_A (y-\bar{y})^2dA,\qquad I_y=\int_A (x-\bar{x})^2dA \]

ويكون حاصل ضرب العطالة

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_A(x-\overline{x})(y-\overline{y})\mathrm{dA}$$

ويتوافق ذلك مع اصطلاح Abaqus: إذ يدمج كل من I11 وI22 مربعات المسافات الإحداثية، بينما يدمج I12 حاصل ضرب المسافتين الإحداثيتين. وقد تتغير تسميات المؤشرات بين المراجع، لذلك يجب قراءة تعريف المحاور قبل استخدام أي جدول.

المقاطع المستطيلة والمثلثة

بالنسبة إلى مستطيل عرضه $b$ مقاسًا موازيًا للمحور $x$، وعمقه $h$ مقاسًا موازيًا للمحور $y$، تكون المساحة

$$A=\mathrm{bh}$$

إذا كان المستطيل متمركزًا حول كلا المحورين، فإن مركزه الهندسي يقع عند مركزه الهندسي، وبسبب التناظر يكون $I_{\mathrm{xy}}=0$. وتكون عزوم المساحة الثانية حول المحاور المارة بالمركز الهندسي

\[ I_x=\frac{bh^3}{12},\qquad I_y=\frac{hb^3}{12} \]

لا تدخل الأبعاد بالطريقة نفسها. فزيادة $h$ تزيد $I_x$ بمعامل تكعيبي، في حين أن زيادة $b$ تزيده خطيًا فقط. وينطبق العكس على $I_y$. ولهذا فإن وضع مادة على مسافة أبعد من المحور قد يكون له تأثير أكبر بكثير في صلابة الانحناء من إضافة المساحة نفسها بالقرب من ذلك المحور.

بالنسبة إلى مستطيل يُستخدم حدّه السفلي محورًا مرجعيًا، يقع المركز الهندسي عند

$$\overline{y}=\frac{h}{2}$$

ويكون عزم المساحة الثاني حول ذلك الحد

$$I_{x,\text{الحافة}}=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{3}$$

وتُستخلص القيمة حول المحور المار بالمركز الهندسي من مبرهنة المحاور المتوازية:

$$I_{x,\text{الحافة}}=I_{x,\text{المركز الهندسي}}+A(\frac{h}{2}{)}^2$$

يُعد الخلط بين هاتين القيمتين خطأً شائعًا في الحسابات اليدوية.

بالنسبة إلى مثلث، لنفترض أن $b$ هو طول القاعدة وأن $h$ هو الارتفاع العمودي. تكون مساحته

$$A=\frac{\mathrm{bh}}{2}$$

ويقع المركز الهندسي على بُعد ثلث الارتفاع من القاعدة، أو على بُعد ثلثي الارتفاع من الرأس. وبالنسبة إلى محور موازٍ للقاعدة ويمر بالمركز الهندسي،

$$I_x=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{36}$$

أما حول القاعدة نفسها،

$$I_{x,\text{القاعدة}}=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{12}$$

ومرة أخرى، تربط مبرهنة المحاور المتوازية بين القيمتين. يعتمد $I_y$ حول المحور المار بالمركز الهندسي على الهندسة الأفقية للمثلث. وبالنسبة إلى مثلث متساوي الساقين يكون محور تناظره رأسيًا،

$$I_y=\frac{b^{3}h}{48}$$

ويقتضي التناظر أن يكون $I_{\mathrm{xy}}=0$ حول المحورين الأفقي والرأسي المارين بالمركز الهندسي. أما المثلث مختلف الأضلاع فعادةً ما يكون له حاصل ضرب عطالة غير صفري حول هذين المحورين، ولذلك تكون محاوره الرئيسية مائلة.

يكشف الفحص البُعدي كثيرًا من الأخطاء فورًا. فالمساحة أبعادها $L^2$، والعزم الأول أبعاده $L^3$، وعزم المساحة الثاني أبعاده $L^4$. ولذلك فإن ${\mathrm{bh}}^3$ مناسب بُعديًا لعزم المساحة الثاني، في حين أن ${\mathrm{bh}}^2$ غير مناسب. وإذا غُيّرت جميع الأطوال بمعامل مقياس $k$، فإن المساحة تتغير بمعامل $k^2$، وإحداثيات المركز الهندسي بمعامل $k$، وعزوم المساحة الثانية بمعامل $k^4$.

المقاطع الدائرية والدائرية المجوفة

بالنسبة إلى دائرة مصمتة نصف قطرها $r$، أو قطرها $d=2r$، تكون المساحة

$$A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}$$

يُعد كل قطر مارّ بالمركز الهندسي محور تناظر. ولذلك،

$$I_x=I_y=\frac{\pi r^4}{4}=\frac{\pi d^4}{64}$$

و

$$I_{\mathrm{xy}}=0$$

ويكون عزم المساحة القطبي الثاني حول المركز الهندسي

$$J_p=I_x+I_y=\frac{\pi r^4}{2}=\frac{\pi d^4}{32}$$

ولا تمثل هذه الكمية القطبية تلقائيًا ثابت الالتواء $J$ لسان-فنان المستخدم في التواء الكمرات لكل مقطع عرضي. ففي المقطع الدائري يساوي ثابت الالتواء للدائرة المصمتة عزم المساحة القطبي الثاني، إلا أنه لا ينبغي تعميم هذا التكافؤ على المقاطع المفتوحة على شكل I أو المقاطع القنوية.

بالنسبة إلى دائرة مجوفة نصف قطرها الخارجي $r_o$ ونصف قطرها الداخلي $r_i$، تكون المساحة

$$A=\pi (r_o^2-r_i^2)$$

ويبقى المركز الهندسي عند المركز المشترك، وتكون

$$I_x=I_y=\frac{\pi }{4}(r_o^4-r_i^4)$$

ويكون عزم المساحة القطبي الثاني

$$J_p=\frac{\pi }{2}(r_o^4-r_i^4)$$

ويمكن كتابة المعادلات نفسها باستخدام القطرين الخارجي والداخلي $d_o$ و$d_i$:

\[ A=\frac{\pi}{4}(d_o^2-d_i^2),\qquad I_x=I_y=\frac{\pi}{64}(d_o^4-d_i^4) \]

ويمثل الطرح إزالةً هندسية للفراغ، وليس تقريبًا لمقطع مصمت. كما يوفر فحوصات حدية مفيدة. فإذا كان $r_i=0$، تختزل معادلات الدائرة المجوفة إلى معادلات الدائرة المصمتة. وإذا اقترب $r_i$ من $r_o$، تقترب المساحة وعزوم المساحة الثانية من الصفر. وقد يحتفظ جدار رقيق بمساحة محاطة ذات قيمة مهمة، في حين تعتمد خصائصه في الانحناء والالتواء بدرجة كبيرة على سماكة الجدار؛ ولذلك فإن استبداله بدائرة مصمتة لها القطر الخارجي نفسه أمر غير مقبول.

تجميع الأشكال البسيطة في مقاطع فولاذية

تُحسب المقاطع المركبة بإضافة المادة وطرح الفراغات. قسّم المقطع إلى مستطيلات أو مثلثات أو دوائر أو أشكال أخرى تكون خصائصها معلومة. ولكل مكوّن $i$، سجّل مساحته الموقعة $A_i$، وإحداثيات مركزه الهندسي $(x_i,y_i)$، وخصائصه حول المحاور المارة بالمركز الهندسي، وهي $I_{x,i}$ و$I_{y,i}$ و$I_{\mathrm{xy},i}$. استخدم مساحة سالبة للفتحة أو الجزء المقتطع.

يكون مركز المساحة الهندسي المركب

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} \]

ثم تُطبَّق مبرهنة المحاور المتوازية:

$$I_x=\sum [I_{x,i}+A_i(y_i-\overline{y}{)}^2]$$ $$I_y=\sum [I_{y,i}+A_i(x_i-\overline{x}{)}^2]$$ $$I_{\mathrm{xy}}=\sum [I_{\mathrm{xy},i}+A_i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}\left)\right]$$

يسهم الفراغ بقيمة سالبة في كل حد يعتمد على المساحة. فعلى سبيل المثال، يمكن تمثيل الأنبوب المستطيل بمستطيل خارجي ناقص مستطيل داخلي، شريطة أن يشترك المستطيلان في المحاور المرجعية الصحيحة. ويمكن تجميع المقطع على شكل I من مستطيل للجِسر ومستطيلين للشفّتين، مع إدراج الإزاحات عن المركز الهندسي الكلي من خلال حدود المحاور المتوازية. ويمكن تجميع المقطع القنوي بطريقة مماثلة، إلا أن مركزه الهندسي لا يقع عمومًا على كلا المحورين الهندسيين.

يمثل التناظر فحصًا قويًا. فالمقطع المتناظر حول المحور $x$ يجب أن يحقق $\overline{y}=0$ عندما يُستخدم ذلك المحور مرجعًا، كما يكون $I_{\mathrm{xy}}$ حول المحاور المارة بالمركز الهندسي مساويًا للصفر. ويكون للمقطع على شكل I ذي التناظر المزدوج محاور رئيسية منطبقة على محاوره المارة بالمركز الهندسي. فإذا نتج عن الحساب حاصل ضرب عطالة غير صفري لمثل هذا المقطع، فهذا يعني أن إحداثيات المكونات أو إشاراتها أو تسميات المحاور غير صحيحة.

ينبغي أن تجتاز القيم النهائية أيضًا الفحوصات الحدية: إذ يجب أن تؤدي إزالة أحد المكونات إلى تقليل المساحة؛ كما ينبغي أن تؤدي إزاحة المادة بعيدًا عن أحد المحاور إلى زيادة عزم المساحة الثاني المقابل؛ وألا يكون لفراغ يقترب حجمه من الصفر أي تأثير. حافظ على استخدام نظام وحدات واحد لجميع الأبعاد. فعند استخدام الملليمتر للأطوال، تكون $A$ بوحدة ${\mathrm{mm}}^2$ و$I$ بوحدة ${\mathrm{mm}}^4$؛ ويتطلب تحويل النتيجة إلى المتر القسمة على ${10}^6$ للمساحة وعلى ${10}^{12}$ لعزم المساحة الثاني. وتورد الجداول الأوروبية عادةً الخصائص المحسوبة بالسنتيمتر، في حين تستخدم المساحة السطحية وثابت الالتواء وحدات قائمة على المتر والديسيمتر، كما توضح ArcelorMittal.

تُستخدم النتائج اليدوية للتحقق من جدول المقطع الدقيق، لا لتحل محله. توفر AISC Shapes Database v16.0 وAISC Part 1 أبعاد المقاطع الأمريكية وخصائصها الهندسية، بينما يوفر SCI P363، المعروف باسم The Blue Book، خصائص المقاطع الأوروبية. ويحدد EVS-EN 10365:2026 الأبعاد الاسمية والكتل، وليس كل خاصية مشتقة. ويمكن أن تغير سماحات سماكة الصفائح، واللحامات المنحنية، وأنصاف أقطار الزوايا، والتدوير نتائج الحساب. تحقّق من التعيين الدقيق والإصدار قبل مقارنة نموذج مثالي مبني يدويًا بمقطع فولاذي منشور.

معامل المقطع، ونصف قطر الدوران، والخواص القطبية

يُشتق معامل المقطع، ونصف قطر الدوران، والخواص القطبية من الهندسة نفسها للمقطع العرضي، لكنها تجيب عن أسئلة هندسية مختلفة. ولا تُعدّ أيٌّ منها قيمة لمقاومة المادة. فعند الانتقال من فولاذ ASTM A36 إلى فولاذ ASTM A992، لا تتغير قيم $I_x$ أو $S_x$ أو $r_x$ أو $J$ عندما تظل أبعاد المقطع الفعلية كما هي؛ إذ تغيّر رتبة الفولاذ المقاومة، وفحوصات الصلابة من خلال معامل المادة حيثما كان ذلك مناسبًا، وكذلك المقاومات المسموح بها أو التصميمية. أما الهندسة فتظل مستمدة من الشكل.

يجب قراءة تسميات المحاور قبل نسخ أي رقم من جدول. ولا تُغني جداول AISC أو SCI أو الجداول الأوروبية عن هذا التحقق. يوضح المعهد الأمريكي للإنشاءات الفولاذية أن قاعدة بيانات قطاعات AISC، الإصدار v16.0، توفر الأبعاد وخواص المقاطع بوحدات النظام العرفي الأمريكي والوحدات المترية، بينما يُعد الجزء 1 من AISC المرجع الخاص بالأبعاد والخواص الهندسية المدرجة في الجداول. وفي أوروبا، تحدد المواصفة EVS-EN 10365:2026 الأبعاد الاسمية والكتل للقنوات المدرفلة على الساخن، ومقاطع I، ومقاطع H؛ ثم تُوفر الخواص المحسوبة مراجع مثل الكتاب الأزرق الصادر عن معهد الإنشاءات الفولاذية.

معامل المقطع المرن

معامل المقطع المرن هو عزم المساحة الثاني ذي الصلة حول المحور المار بالمركز، مقسومًا على المسافة من ذلك المحور المركزي إلى الليف الأقصى. وعند الانحناء حول المحور $x$:

$$S_x=\frac{I_x}{c_y}$$

حيث إن $c_y$ هي أكبر مسافة من المحور $x$ إلى ليف الشد أو الضغط الأقصى. وعند الانحناء حول المحور $y$:

$$S_y=\frac{I_y}{c_x}$$

حيث إن $c_x$ هي أكبر مسافة من المحور $y$ إلى الليف الأقصى. ويحدد الرمز السفلي في $S$ محور الانحناء، وليس اتجاه مسافة الليف الأقصى الموجودة في البسط.

وتكتسب هذه التفرقة أهمية في مقطع I ذي الجناحين غير المتساويين، أو في القناة، أو الزاوية، أو أي شكل آخر غير متماثل. فقد تختلف المسافتان إلى الليفين الأقصيين، ولذلك يمكن أن يكون للمقطع معاملان مرنان منفصلان، موجب وسالب. وقد يعرض الجدول $S_{x,\mathrm{top}}$ و$S_{x,\mathrm{bottom}}$، أو $S_{x,\max }$ و$S_{x,\min }$، بدلًا من قيمة واحدة. وقد يؤدي استخدام القيمة الأكبر لكلا الوجهين إلى مقاومة انحناء غير آمنة إذا كانت القيمة الأصغر هي الحاكمة.

تتبع الوحدات مباشرة من المعادلة. فـ $I_x$ و$I_y$ لهما أبعاد طول مرفوعًا إلى القوة الرابعة، بينما لـ $c$ أبعاد طول؛ ولذلك تكون أبعاد $S_x$ و$S_y$ طولًا مرفوعًا إلى القوة الثالثة. وتستخدم الأنظمة الشائعة ${\mathrm{mm}}^3$ أو ${\mathrm{cm}}^3$ أو ${\mathrm{in}}^3$. ويؤدي خطأ التحويل بين ${\mathrm{cm}}^3$ و${\mathrm{mm}}^3$ إلى عامل قدره 1,000، وليس 100.

ولمقطع مستطيل عرضه $b$ وعمقه $h$:

\[ I_x=\frac{bh^3}{12},\qquad S_x=\frac{bh^2}{6}. \]

يظهر العمق مرفوعًا إلى القوة الثالثة في $I_x$، وإلى القوة الثانية في $S_x$، وهو ما يفسر سبب إمكانية أن يؤدي تدوير قضيب مستطيل إلى تغيير كبير في مقاومة الانحناء. فالمساحة نفسها عند تدويرها بزاوية 90 درجة لا تمثل مقطع الانحناء نفسه.

ينطبق معامل المقطع المرن على توزيع الإجهاد المرن، حيث يتغير إجهاد الانحناء خطيًا من الصفر عند المحور المحايد إلى قيمته العظمى عند الليف الأقصى:

$${\sigma }_{\max }=\frac{M}{S}.$$

ولا ينبغي الخلط بينه وبين معامل المقطع اللدن $Z$، الذي يستند إلى تساوي محصلتي قوى الشد والضغط بعد وصول كامل المقطع العرضي إلى الخضوع. كما أن $Z$ خاصية ذات أبعاد طول مرفوعًا إلى القوة الثالثة، لكنه لا يُستبدل بـ $S$.

نصف قطر الدوران

يصف نصف قطر الدوران كيفية توزع المساحة بعيدًا عن محور مركزي محدد، بالمعنى الرياضي المكافئ. وحول المحور $x$:

$$r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}},$$

وحول المحور $y$:

$$r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}.$$

تمثل $A$ مساحة المقطع العرضي الإجمالية. وبما أن أبعاد $I$ هي $L^4$، وأبعاد $A$ هي $L^2$، فإن أبعاد كل نصف قطر دوران هي أبعاد طول: ملليمترات أو سنتيمترات أو بوصات.

يعني ارتفاع قيمة $r$ أن مساحة أكبر موزعة بعيدًا عن المحور المعني. ولهذا يمكن أن يمتلك مقطع I قيمة كبيرة لـ $r_x$، لكن قيمة أصغر بكثير لـ $r_y$: إذ تضع الجناحان مساحة كبيرة بعيدًا عن المحور القوي، في حين تترك سماكتا الج web والجناحين مساحة أقل موزعة حول المحور الضعيف.

الاستخدام التصميمي الأساسي هو انبعاج العناصر المحورية. فعنصر طوله $L$ ومعامل طول فعال $K$ تكون نسبة النحافة حول كل محور:

\[ \frac{KL_x}{r_x} \quad\text{و}\quad \frac{KL_y}{r_y}. \]

وتحدد القيمة الأكبر عادةً اتجاه الانبعاج الأكثر حرجًا، مع مراعاة تقييد النهايات، والتدعيم، والتأثيرات الالتوائية-الانحنائية، وقواعد التصنيف الواردة في معيار التصميم. وتفوت المقارنة القائمة على المساحة وحدها هذه السلوكيات. فقد يكون لمقطعين المساحة الإجمالية نفسها والكتلة المتقاربة، ومع ذلك يختلف نصف قطر كل منهما حول المحور الضعيف اختلافًا كبيرًا، ومن ثم يختلف أداؤهما تحت الضغط.

نصف قطر الدوران ليس نصف قطر مرئيًا على هيئة المقطع الفولاذي، بل يُحسب من توزيع المساحة. ويعرض مورد MDSolids التابع لجامعة ميزوري للعلوم والتكنولوجيا موقع المركز، وعزوم المساحة الثانية، ومعامل المقطع، ونصف قطر الدوران، والمعامل اللدن، والعزم القطبي، والعزوم الرئيسية، بوصفها مخرجات منفصلة؛ وهو تذكير مفيد بأن هذه التسميات تصف حسابات مختلفة.

وبالنسبة إلى المقاطع المركبة، تُستخدم المساحة $A$، وإحداثيات المركز، وعزوم المساحة الثانية للمكونات، ونظرية المحاور المتوازية قبل أخذ الجذر التربيعي. وينبغي التحقق من النتيجة بمقارنتها مع اصطلاح المحاور. ويصف Abaqus الخواص المركزية من خلال تكامل المساحة: إذ يدمج $I_{11}$ و$I_{22}$ مربعات مسافات الإحداثيات، بينما يدمج $I_{12}$ حاصل ضرب مسافات الإحداثيات. وهذه هي الأسس الهندسية نفسها المستخدمة في الحسابات اليدوية، وإن كان البرنامج قد يضع تسميات للمحاور تختلف عن تلك المستخدمة في جدول فولاذي.

العزم القطبي وحدوده

العزم القطبي للمساحة حول نقطة عمودية على مستوى المقطع هو:

$$I_p={\int }_A{r}^2\mathrm{dA}.$$

وبالنسبة إلى محوري $x$ و$y$ المركزيين المتعامدين:

$$I_p=I_x+I_y.$$

وله أبعاد $L^4$، مثل ${\mathrm{mm}}^4$ أو ${\mathrm{in}}^4$. وبالنسبة إلى مساحة دائرية مصمتة نصف قطرها $R$:

$$I_p=\frac{\pi R^4}{2},$$

وبالنسبة إلى حلقة دائرية نصف قطرها الخارجي $R_o$ ونصف قطرها الداخلي $R_i$:

$$I_p=\frac{\pi }{2}(R_o^4-R_i^4).$$

وتجعل هذه العلاقات العزم القطبي مفيدًا في التواء الأعمدة الدائرية وفي المسائل التي تكون فيها الهندسة والأحمال متماثلة دورانيًا. وبالنسبة إلى عمود دائري تحت الالتواء المرن، يُكتب العزم القطبي عادةً بالرمز $J$، وتكون العلاقة المعروفة:

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

ويؤدي هذا الترميز إلى خطأ شائع: فالعزم القطبي للمساحة $I_p$ ليس تلقائيًا الثابت الالتوائي $J$ لكل مقطع فولاذي.

يصف ثابت الالتواء Saint-Venant‏ $J$ مقاومة الالتواء المنتظم، ويعتمد على سلوك التواء المقطع وتدفق القص فيه. وبالنسبة إلى مقطع دائري مصمت أو رقيق الجدران، يكون $J=I_p$. أما في المقطع المفتوح العام، فهما كميتان مختلفتان. فالشريط المستطيل الرقيق ذي العرض $b$ والسماكة $t$، حيث يكون $b$ أكبر بكثير من $t$، يمتلك ثابتًا التوائيًا تقريبيًا من رتبة ${\mathrm{bt}}^3/3$، بينما قد تسهم المسافة التربيعية للشريط عن المركز في تحديد مساهمته في $I_p$. ولذلك يمكن أن يمتلك مقطع I مفتوح عزمًا قطبيًا يبدو كبيرًا، مع امتلاكه في الوقت نفسه ثابت التواء Saint-Venant صغيرًا نسبيًا.

تتمتع المقاطع الصندوقية المغلقة عمومًا بكفاءة التوائية أكبر بكثير من المقاطع المفتوحة، لأن تدفق القص الدائري يمكن أن يتطور حول الخلية المغلقة. وإذا تسبب تقييد الالتواء في التواء طولي، فإن $J$ وحده لا يكفي؛ إذ يدخل ثابت الالتواء الناتج عن التشوه، $C_w$، في التحليل، وتكون أبعاده $L^6$. ويعرّف ANSI/AISC 360-16 كلًا من $I_x$ و$I_y$ و$r_x$ و$r_y$ و$J$ و$C_w$ ويستخدمها بوصفها كميات منفصلة من خواص المقطع. كما يسرد الكتاب الأزرق معاملات المقطع المرنة واللدنة، وأنصاف الأقطار، وثوابت الالتواء، وثوابت التشوه الالتوائي، كلًّا على حدة.

تتطلب اصطلاحات الوحدات عناية خاصة في المراجع الأوروبية. إذ تشير ArcelorMittal إلى أن خواص المقاطع المحسوبة تُعرض عمومًا بالسنتيمترات، بينما تستخدم مساحة السطح وثابت التشوه الالتوائي وحدات قائمة على المتر والديسيمتر، على التوالي. ولذلك يجب تحديد الخاصية والوحدة عند نسخ قيمة من الكتاب الأزرق أو من جدول الشركة المصنّعة، لا الاكتفاء بحجمها العددي. وقبل استخدام أي قيمة مدرجة لـ $S$ أو $r$ أو $I_p$ أو $J$، يجب التحقق من التعيين الدقيق للمقطع، واصطلاح المحاور، وإصدار المعيار، وما إذا كانت القيمة تمثل هندسة إجمالية أو اسمية أو هندسة محددة بطريقة أخرى.

خواص المقطع المرنة واللدنة

المحور المحايد المرن والألياف القصوى

تصف خواص المقطع المرنة توزيع الإجهاد قبل الخضوع. بالنسبة إلى مقطع فولاذي منشوري ومتجانس تحت تأثير عزم انحناء حول محور مارّ بالمركز الهندسي، يمر المحور المحايد المرن عبر المركز الهندسي. تكون الألياف الواقعة على أحد جانبي ذلك المحور تحت الضغط، بينما تكون الألياف الواقعة على الجانب الآخر تحت الشد؛ وعند المحور المحايد يكون إجهاد الانحناء الطولي صفراً. ويكون التوزيع خطياً:

$$\sigma =\frac{\mathrm{My}}{I}$$

حيث إن $M$ هو العزم المؤثر، و$y$ هي المسافة من المحور المحايد، و$I$ هي عزمة المساحة الثانية ذات الصلة حول المحور المار بالمركز الهندسي.

ومن ثم فإن معامل المقطع المرن هو

$$S=\frac{I}{c}$$

حيث إن $c$ هي المسافة من المحور المحايد إلى الليف الأقصى قيد التحقق. وللمقطع ذي المسافتين غير المتساويتين أعلى مركزه الهندسي وأسفله معاملان مرنان للمقطع، مثل $S_{x,\text{top}}$ و$S_{x,\text{bottom}}$. وهما غير قابلين للاستبدال. وتحت تأثير عزم الانحناء الموجب أو السالب، قد تكون ألياف قصوى مختلفة هي الحاكمة، لأن قيمة $c$ تختلف.

وتكتسب هذه الميزة أهمية في المقاطع ذات القناة أو الزاوية أو المقطع T، وكذلك في المقاطع المركبة غير المتماثلة. فما زال المحور المار بالمركز الهندسي يحدد المحور المحايد المرن للمقطع المتجانس، إلا أن أبعد ليف قد يكون أبعد بكثير عن ذلك المحور في أحد الجانبين. وقد تخفي قيمة واحدة منسوخة من جدول هذا اللاتناظر. وعادةً ما تمتلك المقاطع I وH المتماثلة تماثلاً مزدوجاً معاملات مرنة متساوية موجبة وسالبة حول المحور الرئيسي، في حين لا تمتلك المقاطع المتماثلة تماثلاً أحادياً ذلك عادةً.

ويتمثل الأساس الهندسي في عزمة المساحة الثانية. يصف توثيق Abaqus كلاً من $I_{11}$ و$I_{22}$ بأنهما تكاملان لمربعات المسافات الإحداثية على مساحة المقطع، في حين أن $I_{12}$ يدمج حاصل ضرب المسافات الإحداثية (Abaqus، 2024). ويوضح هذا التعريف سبب إمكانية زيادة $I$ بدرجة كبيرة عند نقل مساحة شفة إلى مسافة أبعد من المركز الهندسي، من دون إضافة كمية كبيرة من الفولاذ. كما يوضح سبب كون $S$ كمية هندسية، وليس قيمة مقاومة تعتمد على درجة الفولاذ.

تكون وحدات معامل المقطع المرن مكعبة الطول: ${\text{mm}}^3$ أو ${\text{cm}}^3$ أو ${\text{in}}^3$. ولا يجوز الخلط بينه وبين نصف قطر الدوران، الذي تكون وحداته وحدات طول، أو مع معامل المقطع اللدن، الذي تكون وحداته أيضاً مكعبة الطول، لكنه يُحسب بطريقة مختلفة.

المحور المحايد اللدن ومعامل المقطع اللدن

يُحدَّد المحور المحايد اللدن (PNA) انطلاقاً من نمط إجهاد بلغ الخضوع الكامل، وليس من نمط مرن خطي. وبالنسبة إلى مقطع فولاذي متجانس تحت الانحناء الخالص، يقسم المحور المحايد اللدن مساحة المقطع إلى مساحتين متساويتين للضغط والشد:

$$A_c=A_t=\frac{A}{2}$$

ويُفترض أن الإجهاد يساوي إجهاد الخضوع في الضغط على أحد الجانبين، وإجهاد الخضوع في الشد على الجانب الآخر. ولذلك تكون محصلة القوة المحورية متوازنة. أما في المقاطع ذات مقاومات المواد المتغيرة أو المصنوعة من مواد مركبة، فلا تكفي عموماً المساحات الهندسية المتساوية؛ بل يجب أن تتوازن محصلتا الضغط والشد باستخدام إجهادات المواد المنطبقة.

ويُكتب معامل المقطع اللدن عادةً بالرمز $Z$، وهو العزم الأول لمساحات الخضوع حول المحور المحايد اللدن:

\[ Z=\int_A |y-y_p|\,dA \]

وبالنسبة إلى المساحات المكوِّنة للمقطع، يمكن حسابه بجمع حاصل ضرب كل مساحة في المسافة من مركزها الهندسي إلى المحور المحايد اللدن. وغالباً ما يُكتب العزم اللدن الكامل على النحو الآتي:

$$M_p=F_{y}Z$$

وذلك لدرجة فولاذ موحدة، إلا أن $F_{y}Z$ هو تعبير عن المقاومة، وليس علاقة هُوية هندسية بحتة. ويؤدي الانتقال من ASTM A992 إلى ASTM A36 إلى تغيير مقاومة الخضوع المحددة المستخدمة في التحقق التصميمي، لكنه لا يغير القيمة الهندسية لـ $Z$ المحسوبة من الأبعاد نفسها. وينطبق الفصل نفسه على التسميات الأوروبية مثل S275 وS355 وفقاً لمعايير المنتجات والتصميم ذات الصلة.

يجيب المعامل المرن والمعامل اللدن عن سؤالين مختلفين. إذ يربط $S$ العزم ببدء الخضوع عند الليف الأقصى في ظل توزيع إجهاد مرن. أما $Z$ فيربط العزم بمقطع بلغ الخضوع الكامل، مع توازن منطقتي الضغط والشد. وتُعد النسبة بينهما:

$$Z/S$$

معامل الشكل لمحور الانحناء المحدد ولليف الأقصى الحاكم. وهي تشير إلى الزيادة في قدرة العزم المرتبطة بإعادة توزيع الإجهادات لدناً، لكنها لا تثبت أن العنصر يمكنه بلوغ هذه القدرة أو الاستمرار في تحملها.

ولا يكفي ارتفاع معامل المقطع اللدن وحده لتصنيف المقطع على أنه مدمج. إذ تعتمد تصنيفات المقاطع غير المدمجة والمدمجة والنحيلة أساساً على نسب العرض إلى السماكة لعناصر الصفائح، وشروط الحدود، وتدرجات الإجهاد، والأحكام الحدية الواردة في معيار التصميم الحاكم. وقد تسهم الروح الرقيقة بدرجة كبيرة في قيمة $Z$ المحسوبة، إلا أن الانبعاج الموضعي قد يحدث قبل تشكل نمط الإجهاد اللدن الكامل. وعلى العكس، قد يمتلك المقطع المدمج معامل شكل متواضعاً. فالتصنيف هو حكم يتعلق بالاستقرار والمطيلية، وليس ترتيباً يستند إلى رقم واحد وارد في جدول.

متى تختلف القيم الواردة في الجداول

قد يعرض جدولان موثوقان خواصاً مرنة أو لدنة مختلفة قليلاً لما يبدو أنه المقطع نفسه. والسؤال الأول هو ما إذا كانت تسمية المقطع وإصداره متطابقين. يذكر المعهد الأمريكي للإنشاءات الفولاذية أن قاعدة بيانات مقاطع AISC، الإصدار v16.0، المنشورة في عام 2023، توفر الأبعاد والخواص بوحدات النظام الأمريكي المعتاد والوحدات المترية، في حين أن الجزء الأول من دليل الإنشاءات الفولاذية، الإصدار السادس عشر، هو المرجع الخاص بأبعاد المقاطع القياسية وخواصها الهندسية. ولا ينبغي مقارنة مقطع W مدرج هناك بصورة عفوية مع مقطع HE أوروبي مماثل اسمياً.

أما الكتاب الأزرق، الذي يديره معهد الإنشاءات الفولاذية ويُشار إليه هنا بصيغته لعام 2024، فيورد المساحة، وعزوم المساحة الثانية، ومعاملات المقطع المرنة واللدنة، وأنصاف أقطار الدوران، وثوابت الالتواء، وثوابت التشوه الملتوي. ويحدد EVS-EN 10365:2026 الأبعاد الاسمية والكتل للقنوات المدرفلة على الساخن ومقاطع I ومقاطع H؛ لكنه لا يُعد بحد ذاته بديلاً عن كل جدول محسوب لخواص المقاطع. وهذا التمييز مهم. فقد ينتج عن سماكة الشفة الاسمية في معيار منتج، أو السماكة الممثلة في جدول جهة تصنيع، أو البعد المقرب في قاعدة بيانات تصميمية، نتائج مختلفة قليلاً.

وتشمل هندسة المقطع أيضاً تفاصيل قد تُغفلها الرسمة اليدوية المبسطة، مثل تقويسات الشفة والروح، وأنصاف أقطار الجذور، والميل، وأنصاف أقطار الزوايا، وسماحات الدرفلة. ويمكن لتقريب قائم على المستطيلات أن يعيد السلوك العام لمقطع I، مع عدم تمثيله للمساحة الدقيقة أو المركز الهندسي أو $I$ أو $S$ أو $Z$. ثم يضيف التقريب العددي فرقاً آخر. فقد يعرض جدول ما $I_x=1,130{\text{cm}}^4$، في حين يحتفظ البرنامج بعدد أكبر من الخانات داخلياً.

وتسبب الوحدات أخطاء يمكن تجنبها. ويشير ArcelorMittal في عام 2024 إلى أن الخواص المحسوبة الأوروبية تُعرض عموماً بالسنتيمتر؛ إذ تُستخدم وحدات قائمة على المتر لمساحة السطح، بينما يُستخدم الديسيمتر كوحدة أساس لثابت التشوه الملتوي. ولذلك لا يجوز نسخ $W_{\mathrm{el}}$ بوحدة ${\text{cm}}^3$ و$I_w$ بوحدة ${\text{dm}}^6$ إلى حساب بوحدات البوصة والرطل من دون تحويل.

يعرض MDSolids من Missouri S&T موضع المركز الهندسي، وعزوم المساحة الثانية، ومعاملات المقطع، وأنصاف أقطار الدوران، ومعامل المقطع اللدن، والعزم القطبي، والعزوم الرئيسية للأشكال الفولاذية العامة والقياسية (2024). وهو مفيد للتحقق من الحساب اليدوي، إلا أن التوافق مع معامل مقطع لدن لا يثبت استيفاء المقطع لحد من حدود النحافة أو لمقاومة تصميمية. ويجب تأكيد اصطلاح المحاور، والأساس الإجمالي أو الصافي، ومعالجة التقويسات، والوحدات، وإصدار المصدر قبل اعتماد قيمة واردة في جدول. فالهندسة تحدد الخاصية؛ أما معيار التصميم المنطبق فيحدد كيفية استخدام تلك الخاصية.

ثابت الالتواء J وثابت التشوه الالتوائي Cw

التواء Saint-Venant وJ

يقيس ثابت الالتواء، $J$، مقاومة المقطع العرضي للالتواء من نوع Saint-Venant، أي الالتواء الناتج عن عزم ليّ عندما يكون المقطع حراً على التشوه الالتوائي على امتداد طوله. وهذه خاصية هندسية وليست قيمة لمقاومة الفولاذ. في نموذج مرن بسيط، يرتبط إجهاد القص الالتوائي وزاوية الالتواء بمعامل القص للمادة $G$، وعزم الليّ المطبق $T$، والثابت $J$، وفقاً للعلاقة:

$$\theta \prime =\frac{T}{\mathrm{GJ}}$$

حيث إن $\theta \prime$ هي زاوية الالتواء لكل وحدة طول. وتؤدي القيمة الأكبر لـ $J$ إلى التواء أقل للعزم نفسه، شريطة أن تكون المادة وظروف التحميل والقيود الحدية الأخرى متماثلة. وأبعاد $J$ هي القوة الرابعة للطول، مثل ${\text{mm}}^4$ أو ${\text{in}}^4$ أو ${\text{cm}}^4$.

لا تعني عبارة «ثابت الالتواء» أن المقصود هو «العزم القطبي الثاني للمساحة» في جميع المقاطع. فالعزم القطبي الثاني للمساحة هو

$$I_p=I_x+I_y$$

حول محاور مركزية متعامدة. وبالنسبة إلى المقطع الدائري أو الحلقي، يكون $J=I_p$، لأن الهندسة الدائرية تتيح لدالة إجهاد Saint-Venant أن تنتج هذا التكافؤ المباشر. أما في معظم المقاطع غير الدائرية، ولا سيما المقاطع المفتوحة رقيقة الجدران، فإن \(J\ne I_p\). وقد يؤدي التعامل مع الكميتين على أنهما قابلتان للاستبدال إلى خطأ كبير في التنبؤ بزاوية الالتواء وإجهاد الالتواء.

بالنسبة إلى شريحة مستطيلة رقيقة طولها $b$ وسماكتها $t$، حيث إن $b$ أكبر بكثير من $t$، يكون ثابت الالتواء من نوع Saint-Venant تقريباً:

$$J\approx \frac{1}{3}{\mathrm{bt}}^3.$$

وتظهر السماكة مرفوعة إلى القوة الثالثة. ولهذا يسهم الجناح أو الج web الرقيق بدرجة أقل بكثير في الصلابة الالتوائية من نوع Saint-Venant مما قد توحي به عملية حساب دائرية تعتمد فقط على بُعده عن المركز الهندسي. فالعزم القطبي يصف توزيع المساحة حول محور، في حين يصف $J$ قدرة المقطع على تكوين مجال متوافق من إجهادات القص أثناء الالتواء. وهذه أفكار هندسية مترابطة، لكنها لا تمثل الحساب نفسه.

يحدد ANSI/AISC 360-16 قيمة $J$ باعتبارها خاصية مقطعية تُستخدم في تصميم الفولاذ، إلى جانب $I_x$ و$I_y$ و$r_x$ و$r_y$ و$C_w$. وتوفر قاعدة بيانات مقاطع AISC الإصدار v16.0، التي نشرها American Institute of Steel Construction عام 2023، الأبعاد والخواص المقطعية للمقاطع القياسية بوحدات القياس الأمريكية والعشرية. ويُعد الجزء 1 من AISC، الخاص بالأبعاد والخواص، مرجع الخواص المجدولة في الإصدار السادس عشر من دليل المنشآت الفولاذية. ويجب أن تتطابق القيمة المدرجة مع تسمية المقطع الدقيقة، سواء كان W أو S أو M أو HP أو C أو MC أو WT أو L أو HSS أو أي مقطع آخر؛ فالتشابه في العمق الاسمي لا يكفي.

مقاومة التشوه الالتوائي وCw

يصف $C_w$، وهو ثابت التشوه الالتوائي، مقاومة المقطع العرضي للتشوه الطولي تحت الالتواء غير المنتظم. وأبعاده هي القوة السادسة للطول، وتُعبَّر عنها عادةً بوحدات ${\text{mm}}^6$ أو ${\text{in}}^6$ أو ${\text{cm}}^6$. ولا ينبغي الخلط بينه وبين $J$، الذي يصف استجابة المقطع العرضي لالتواء Saint-Venant.

عندما تلتوي الكمرة، تميل الأجزاء المختلفة من المقطع المفتوح عموماً إلى التحرك طولياً بمقادير مختلفة. ففي مقطع I، على سبيل المثال، يمكن أن يتشوه الجناحان في اتجاهين متعاكسين. وإذا كانت النهايات حرة وكان عزم الليّ المطبق منتظماً، فقد يمكن تمثيل جزء كبير من الاستجابة بالالتواء من نوع Saint-Venant من خلال $J$. أما إذا منعت الحواجز الغشائية أو الصفائح الطرفية أو الوصلات أو أنظمة الأرضيات أو اللحامات أو المساند هذه الحركة الطولية، فتتولد إجهادات تشوه التوائي. وتشمل الاستجابة الالتوائية الناتجة التواءً تشوهياً، وعندئذ يصبح $C_w$ مهماً.

وتعتمد شدة هذا التأثير على درجة التقييد، لا على تسمية المقطع وحدها. فقد تكون مساهمة التشوه الالتوائي محدودة في عنصر بسيط الارتكاز تكون تفاصيله مهيأة للسماح بتشوه الأجنحة. أما المقطع نفسه إذا كان مثبتاً ضمن وصلة صلبة أو مرتبطاً بحاجز غشائي صلب، فقد يطور عزماً ثنائياً وإجهاداً عادياً طولياً كبيرين. ويكون الحساب الذي يُدخل $C_w$ من دون تحديد الشروط الحدية غير مكتمل.

وبالنسبة إلى المقاطع I وH ذات التناظر المزدوج، يكون ثابت التشوه الالتوائي حول المحور الرئيسي كبيراً غالباً، لأن تباعد الجناحين يوفر ذراعاً طويلاً لتشوه طولي متعاكس. وتتناسب صيغة مبسطة لمقطع I ذي الأجنحة الرقيقة مع مساحة الجناح مضروبة في مربع المسافة بين مركزي الجناحين:

$$C_w\sim A_f{h}_o^2,$$

مع اعتماد التعبير الدقيق على هندسة الجناحين وسماكة الج web والمحور المختار. ويوضح هذا التقريب سبب إمكانية كون $C_w$ كبيراً، رغم بقاء $J$ صغيراً نسبياً.

تورد جداول AISC وSCI Blue Book قيمة $C_w$ للعديد من المقاطع القياسية. ويتضمن كتاب SCI Blue Book الصادر عن Steel Construction Institute، والذي حدده SCI عام 2024 مصدراً للأبعاد والخواص المقطعية الأوروبية، المساحة والعزوم الثانية للمساحة ومعاملات المقطع المرنة واللدنة وأنصاف أقطار الدوران وثوابت الالتواء والتشوه الالتوائي. وهذه خواص هندسية محسوبة. ويحدد EVS-EN 10365:2026 الأبعاد والكتل الاسمية للقنوات المدرفلة على الساخن ومقاطع I ومقاطع H؛ وهو ليس بديلاً عن جدول الخواص المقطعية.

ويكتسب التحقق من الوحدات أهمية خاصة بالنسبة إلى $C_w$. إذ تذكر الملاحظات التوضيحية الصادرة عن ArcelorMittal عام 2024 أن الخواص المحسوبة الأوروبية تُعرض عموماً وفق اصطلاحات تعتمد السنتيمتر، في حين تُستخدم وحدات قائمة على المتر لمساحة السطح، ووحدات قائمة على الديسيمتر لثابت التشوه الالتوائي. ولذلك قد يعرض أحد الجداول $J$ بوحدة ${\text{cm}}^4$ و$C_w$ بوحدة ${\text{dm}}^6$. وقد يؤدي تحويل وحدة القوة أو الطول فقط، مع ترك الكمية ذات القوة السادسة دون تغيير، إلى إبطال النتيجة.

المقاطع الفولاذية المفتوحة مقابل المغلقة

تحتوي المقاطع I والقنوات والمقاطع T والزوايا المفتوحة على مسارات رقيقة الجدران غير متصلة حول جزء كبير من محيطها. ولذلك يكون ثابت الالتواء من نوع Saint-Venant فيها صغيراً غالباً مقارنةً بـ $I_x$ أو $I_y$ أو العزم القطبي. وقد يتمتع مقطع I بصلابة عالية جداً في الانحناء حول المحور الرئيسي، لكنه يلتوي بسهولة عندما لا يمر الحمل عبر مركز القص. ويضيف المقطع القنوي تعقيداً آخر، إذ يقع مركز القص خارج المقطع، ولذلك يمكن لحمل عرضي يمر عبر المركز الهندسي أن يولد التواءً.

كما أن الزوايا والمقاطع T غير متناظرة. فلا تتطابق مراكزها الهندسية ومحاورها الرئيسية ومراكز قصها واستجابتها للتشوه الالتوائي بالطريقة البسيطة الموجودة في مقطع I ذي التناظر المزدوج. وقد يكون جداء العطالة $I_{\mathrm{xy}}$ غير صفري في نظام الإحداثيات المختار، مما يتطلب التحويل إلى المحاور الرئيسية قبل تقييم الانحناء والالتواء تقييماً صحيحاً.

وتتصرف الأنابيب المغلقة بصورة مختلفة، لأن جدرانها تشكل خلية مستمرة. ويمكن نقل العزم من خلال تدفق قص دائري حول المساحة المحصورة. وبالنسبة إلى مقطع مغلق رقيق الجدران أحادي الخلية، يكون ثابت الالتواء تقريباً:

$$J\approx \frac{4A_m^2}{\oint \mathrm{ds}/t},$$

حيث إن $A_m$ هي المساحة المحصورة بخط منتصف الجدار، ويمثل التكامل طول الجدار وسماكته. وتمنح هذه الآلية عادةً مقطع HSS مستطيلاً أو دائرياً صلابة التواء من نوع Saint-Venant أعلى بكثير من صلابة مقطع مفتوح ذي كتلة مماثلة. ولا تزال المقاطع المغلقة قابلة للتشوه الالتوائي بالقرب من الأحمال المركزة ومواضع الانقطاع والوصلات، لكن التشوه الالتوائي الحر المنتظم يكون غالباً أقل هيمنة مما هو عليه في مقطع I المفتوح.

وتهم هذه الفروق في برامج التحليل كما تهم في الحسابات اليدوية. إذ يعرّف Abaqus الخواص المركزية من خلال تكامل مربعات مسافات الإحداثيات لحساب $I_{11}$ و$I_{22}$، وحواصل ضرب الإحداثيات لحساب $I_{12}$؛ ولا يحول إطار التكامل هذا $I_p$ إلى $J$. كما يحسب مورد MDSolids التابع لـ Missouri S&T العزم القطبي وخواص الالتواء بصورة منفصلة للأشكال العامة والقياسية. ولذلك يستورد النموذج السليم $J$ و$C_w$ من مقطع قياسي مطابق، أو يحسبهما باستخدام طريقة ملائمة لطوبولوجيا المقطع، ثم يتحقق من الوحدات والمحاور والقيود وتفاصيل الوصلات قبل تطبيق القيم في تصميم الفولاذ.

مساحة القص، ومركز القص، والمقاطع غير المتماثلة

مساحات القص الفعّالة

المساحة الإجمالية $A$ هي المساحة المستخدمة في حسابات القوة المحورية وفي العديد من الخصائص الهندسية. ولا تمثل تلقائيًا المساحة التي تقاوم القص المستعرض. فمساحة القص خاصية مستقلة، ويُرمز إليها عادةً بـ $A_{\mathrm{vx}}$ أو $A_{\mathrm{vy}}$ أو $A_v$، أو يُعبَّر عنها من خلال معامل تصحيح القص. ووحدتها هي وحدات المساحة، غير أن قيمتها العددية تعتمد على اتجاه القص وعلى التوزيع المفترض لإجهاد القص على المقطع.

بالنسبة إلى مقطع مستطيل يتعرض للقص الموازي لعمقه، لا يكون إجهاد القص ثابتًا. فهو يساوي صفرًا عند السطحين العلوي والسفلي الحرين، ثم يزداد باتجاه المحور المتعادل، ويبلغ قيمة عظمى عنده. ولذلك فإن الإجهاد المتوسط $V/A$ لا يساوي إجهاد الذروة الفعلي. ويستبدل تمثيل مساحة القص مجال الإجهاد غير المنتظم بعلاقة متوسطة مكافئة، تُكتب غالبًا على النحو الآتي:

$${\tau }_{\mathrm{avg}}=\frac{V}{A_v}.$$

وبما أن إجهادي الذروة والمتوسط مختلفان، فإن $A_v$ ليست ببساطة المساحة الإجمالية. ففي مستطيل مصمت عرضه $b$ وعمقه $h$، يعطي التوزيع المرن المألوف إجهاد قص أعظميًا مقداره $1.5V/\left(\mathrm{bh}\right)$، ولذلك تكون المساحة المكافئة المستندة إلى هذا الإجهاد الأعظمي مساوية لـ $2\mathrm{bh}/3$. وقد تعطي التعريفات الأخرى، بما في ذلك التعريفات المستخدمة في العناصر المحددة للكمرات، مساحة فعّالة مختلفة، لأنها ترتبط بطاقة انفعال القص، لا بإجهاد الذروة وحده.

وتصبح هذه التفرقة أكثر أهمية في المقاطع I ذات الجدران الرقيقة. فعند التعرض للقص الرأسي، يحمل الجِسْر الرأسي معظم القوة، بينما تسهم الجناحان إسهامًا قليلًا نسبيًا، لأن مادتهما تقع بعيدًا عن مسار تدفق القص في الجسر، ولأن إجهاد القص في الجناح يتغير عبر عرضه. وقد يؤدي اعتبار المساحة الكاملة مساحة قص منتظمة إلى التقليل من تقدير إجهاد القص في الجسر. أما في حالة القص الأفقي، فيصبح ترتيب الجناحين أكثر أهمية. فالمقطع ذو القناة أو الزاوية أو المقطع T لا يملك زوجًا من الجناحين المتساويين والمتعاكسين لموازنة تدفق القص؛ ولذلك يجب حساب التوزيع انطلاقًا من الهندسة الفعلية للمقطع.

وتعبّر العلاقة المعتادة للمقاطع ذات الجدران الرقيقة،

$$q=\frac{\mathrm{VQ}}{I},$$

عن تدفق القص $q$ عند موضع معين، باستخدام العزم الأول $Q$ لمساحة الجزء الواقع خارج ذلك الموضع، مع أخذ $I$ حول المحور المركزي ذي الصلة. وتوضح هذه العلاقة سبب عدم إمكان تحديد إجهادات الجناح والجسر اعتمادًا على نسب المساحات وحدها. فموضع المادة، الذي يمثله $Q$، له أهمية. وعند الوصلات بين الجسر والجناح، يجب أن يحقق تدفق القص أيضًا شرطي الاتزان والتوافق.

ولذلك ينبغي تسمية مساحة القص المحسوبة وفق اتجاهها وتعريفها. ولا يجوز إحلالها محل $A$ أو $I_x$ أو $I_y$ أو معامل المقطع. ويُعد دليل التصميم الخاص بالفولاذ غير القابل للصدأ الصادر عن Georgia Tech مفيدًا في هذا الصدد، لأن مخرجاته المحسوبة لخصائص المقطع تفصل بين المساحة، وعزوم العطالة المركزية، ومعاملات المقطع، وأنصاف أقطار الدوران، والكميات الالتوائية، والكميات المرتبطة بالقص، بدلًا من عرض رقم واحد بوصفه مقياسًا عامًا لكفاءة الشكل. وينطبق المعالجة الهندسية نفسها على الفولاذ الإنشائي الكربوني والمنخفض السبيكة. فاستبدال التصنيف من ASTM A36 إلى ASTM A572 Grade 50، أو من درجة من درجات الفولاذ غير القابل للصدأ إلى درجة أخرى، يغير قيم المقاومة وحدود التصميم، ولا يغير مساحة القص المحسوبة من أبعاد لم تتغير.

موضع مركز القص

مركز القصمركز القص موضع خط التحميل الذي لا تُحدث عنده قوة مستعرضة أي عزم التوائي إضافي في المقطع العرضي.

مركز القص هو النقطة في المقطع العرضي التي يجب أن يمر بها الحمل المستعرض لكي يُحدث انحناءً من دون التواء. وفي مقطع I متماثل حول محورين، يتطابق مركز القص مع المركز الهندسي. أما في المقطع ذي محور تماثل واحد، فيقع مركز القص على محور التماثل، لكنه لا يلزم أن يتطابق مع المركز الهندسي. وفي المقطع غير المتماثل حول أي محور، قد يكون مركز القص مزاحًا في اتجاهي الإحداثيين كليهما.

ويرجع ذلك إلى تدفق القص. فالقوة المستعرضة تولد قوى قص عنصرية موزعة حول المقطع. وتساوي محصلتها القص المطبق، لكن خط تأثيرها المشترك قد لا يمر بالمركز الهندسي. وينشأ عن هذا الانحراف عزم. ويؤدي تطبيق الحمل عند مركز القص إلى توفير خط التأثير الصحيح وإلغاء ذلك العزم.

وتُعد القناة المثال التحذيري القياسي. فجناحاها يمتدان إلى أحد جانبي الجسر، ولذلك يولد القص الرأسي تدفقات قص غير متساوية في الجناحين، وتؤثر محصلتهما عمومًا بعيدًا عن المركز الهندسي. ويقع مركز القص عادةً خارج المادة، على الجانب المقابل من الجسر بالنسبة إلى الجناحين. ومن ثم فإن تطبيق الحمل عبر المركز الهندسي قد يسبب الانحناء والالتواء في الوقت نفسه. أما المقطع الزاوي فأكثر تعقيدًا؛ إذ لا يملك محور تماثل في حالات الأرجل المتساوية أو غير المتساوية المعتادة، ولذلك يجب تحديد إحداثيات المركز الهندسي ومركز القص من الهندسة الكاملة للمقطع. وللمقطع T محور تماثل واحد، مما يقيد مركز القص على ذلك المحور، إلا أن الجِذع والجناح يضعانه بعيدًا عن المركز الهندسي في كثير من الحالات.

ويتطلب الحساب أكثر من $A$ و$I_x$ و$I_y$. إذ يجب تحديد تدفق القص، وتكامل عزوم هذا التدفق حول نقطة مرجعية، وتحديد النقطة التي يساوي عندها عزم الالتواء الصافي صفرًا. وفي المقاطع المفتوحة ذات الجدران الرقيقة، يؤثر سُمك الجدار المثالي وهندسة الوصلات في النتيجة. وقد تؤدي الزوايا المستديرة، والأنصاف الدائرية، والحواف، واللحامات الموضعية إلى إزاحة النتيجة، ولا سيما عندما يكون المقطع صغيرًا أو يكون الجدار رقيقًا.

كما يجب قراءة الجداول المنشورة مع مراعاة اصطلاحاتها الخاصة بالمحاور. فقواعد بيانات مقاطع AISC الإصدار v16.0، التي حددها المعهد الأمريكي للإنشاءات الفولاذية في عام 2023 بوصفها توفر الأبعاد والخصائص بوحدات النظام الأمريكي والوحدات المترية، مرتبطة بتصنيفات مقاطع ومحاور محددة. وبالمثل، يعرض الكتاب الأزرق الصادر عن معهد الإنشاءات الفولاذية الخصائص المقطعية الأوروبية. وتحدد EN 10365:2026 الأبعاد والكتل الاسمية للقنوات المدرفلة على الساخن، ومقاطع I، ومقاطع H؛ لكنها لا تحل محل جدول خصائص المقطع. ويوفر الكتاب الأزرق الخصائص المحسوبة، بينما تشير ArcelorMittal إلى أن الخصائص المحسوبة الأوروبية تُعرض عمومًا بالسنتيمترات، مع استخدام وحدات قائمة على المتر والديسيمتر لمساحة السطح وثابت التشوه الالتوائي. ولذلك يجب التحقق من مسافة مركز القص بصورة مستقلة من حيث الوحدات، وأصل المحاور، والإشارة.

الاقتران بين الانحناء والالتواء

في المقطع غير المتماثل، يقترن الانحناء والالتواء بطريقتين مترابطتين. أولًا، قد لا يمر الحمل المطبق عبر المركز الهندسي بمركز القص، مما ينشئ عزم التواء

$$T=Ve,$$

حيث $e$ هي المسافة العمودية بين خط الحمل وخط مركز القص. وثانيًا، إذا لم يكن المحوران المختاران $x$ و$y$ محورين رئيسيين، فإن جداء العطالة $I_{\mathrm{xy}}$ لا يساوي صفرًا. وعندئذ ينتج الانحناء حول أحد المحورين الإحداثيين تقوسًا يتضمن المحور الآخر. وهذا تأثير ناتج عن الإحداثيات والهندسة، وليس عن مقاومة المادة.

وتوضح وثائق Abaqus أن $I_{11}$ و$I_{22}$ المركزيين يُحصل عليهما بتكامل مربعات مسافات الإحداثيات على المساحة، في حين يدمج $I_{12}$ حاصل ضرب مسافات الإحداثيات. وهذا الجداء هو الكمية التي تشير إلى الاقتران الناتج عن عدم تماثل المحاور. ويمكن للدوران إلى المحاور الرئيسية أن يلغي جداء العطالة، لكنه لا يجعل مركز قص القناة متطابقًا مع مركزها الهندسي، ولا يلغي الاستجابة الالتوائية الناتجة عن تطبيق الحمل على خط غير صحيح.

وتكون المقاطع المفتوحة حساسة بصفة خاصة لهذا التمييز، لأن ثابت الالتواء $J$ فيها غالبًا ما يكون صغيرًا مقارنةً بقيمته في صندوق مغلق ذي مساحة مماثلة. وقد يسهم التشوه الملتوي عندئذ إسهامًا كبيرًا، مما يتطلب استخدام ثابت التشوه الالتوائي $C_w$ وتحليل مناسب للتشوه الملتوي المقيَّد. فالقناة المحملة عبر مركزها الهندسي يمكن أن تلتوي وتتْشوه ملتويًا وتنحني حول أكثر من محور واحد، حتى عندما تبدو القوة المطبقة «متمركزة».

وينبغي فحص مخرجات البرمجيات في ضوء هذا التصور الفيزيائي. فعلى سبيل المثال، يعرض MDSolids موضع المركز الهندسي، والعزوم الرئيسية، والعزم القطبي، وخصائص المقطع ذات الصلة للأشكال الفولاذية العامة والقياسية. وتدعم هذه المخرجات عملية التحقق، لكنها لا تلغي ضرورة تحديد خط الحمل، واتجاه القص، واصطلاح المحاور، وقيد الحدود. وبالنسبة إلى المقطع الزاوي أو المقطع T أو القناة، فإن عرض $A$ و$I_x$ و$I_y$ فقط يكون غير مكتمل عندما يكون الالتواء أو الاستقرار الجانبي مهمًا. فالهندسة تحدد الاقتران، بينما تدخل درجة الفولاذ المحددة لاحقًا من خلال المقاومة، وافتراضات الصلابة، ومعيار التصميم المنطبق.

جداول المقاطع الفولاذية القياسية: مراجع AISC وSCI وEN

تُعد جداول المقاطع القياسية وسائل مختصرة لتكرار الحسابات الهندسية للهندسة، وليست بدائل عن الحكم الهندسي. إذ يمكن لجدول منشور أن يجنّب المهندس إعادة حساب المساحة، ومركز المساحة، وعزوم المساحة الثانية، ومعاملات المقطع، وأنصاف أقطار العطالة، وثابت الالتواء، وثابت الالتواء الحدي لكل عضو مدرفل. لكنه لا يستطيع تحديد ما إذا كان المقطع المختار ينتمي إلى العائلة الصحيحة، أو ما إذا كان المحور المذكور يطابق اتجاه الانبعاج أو الانحناء، أو ما إذا كانت القيم متوافقة مع معيار التصميم ونظام الوحدات.

وتكتسب هذه التفرقة أهمية لأن هذه الكميات ليست قابلة للاستبدال فيما بينها. فالمساحة الإجمالية $A$ وحداتها مربع الطول. أما $I_x$ و$I_y$ فهما عزما المساحة الثانيان حول محوري المركز، ووحداتهما القوة الرابعة للطول؛ وتصف قيمتهما مقاومة الانحناء المرتبط بالتقوس حول محاور محددة. ويُحسب معامل المقطع المرن $S$ بقسمة عزم مساحة ثانٍ على المسافة إلى أبعد ليف، في حين ينتج معامل المقطع اللدن $Z$ من منطقتي ضغط وشد متساويتي المساحة حول المحور المحايد اللدن. أما نصفا قطر العطالة $r_x$ و$r_y$ فهما الجذران التربيعيان لـ $I/A$. وهما مهمان بصفة خاصة في حسابات النحافة، لكنهما ليسا عزمي عطالة.

يصف ثابت الالتواء $J$ الاستجابة الالتوائية وفق نظرية Saint-Venant، ولا ينبغي الخلط بينه وبين العزم القطبي للعطالة، وهو مجموع هندسي لعزمي المساحة الثانيين المتعامدين بالنسبة إلى نظام الإحداثيات المعني. أما ثابت الالتواء الحدي $C_w$، المرتبط عادةً بالمقاطع المفتوحة رقيقة الجدران، فله صيغة أبعادية مختلفة ويدخل في تحليل الالتواء الحدي المقيّد. ولذلك فإن الجدول الذي يسرد جميع هذه القيم يورد خصائص هندسية منفصلة، وليس عدة تسميات لـ«مقاومة المقطع».

قاعدة بيانات مقاطع AISC الإصدار v16.0 ودليل الإصدار السادس عشر

توفر قاعدة بيانات مقاطع AISC الإصدار v16.0 التابعة للمعهد الأمريكي للإنشاءات الفولاذية أبعاد وخصائص مقاطع الفولاذ الإنشائي بالوحدات الأمريكية المعتادة والوحدات المترية، وفقًا لـ AISC (2023). وقد أُعدّت لتكون مرافقة لدليل الإنشاءات الفولاذية، الإصدار السادس عشر، كما توفر مرجعًا رقميًا متسقًا لتسميات المقاطع القياسية المدرفلة والمصنّعة في الولايات المتحدة.[2][2] 16th Edition Steel Construction Manual, Part 1. American Institute of Steel Construction. Steel Construction Manual, 2023.

وضمن هذا النظام، يُعد الجزء 1 من AISC، «الأبعاد والخصائص»، مرجع الأبعاد والخصائص المجدول للمقاطع الفولاذية الإنشائية القياسية. وهو يورد الأبعاد اللازمة لوصف المقطع والخصائص المحسوبة المستخدمة في التصميم، ومنها: المساحة، والوزن، ومعلومات مركز المساحة عند انطباقها، و$I_x$، و$I_y$، و$S_x$، و$S_y$، و$Z_x$، و$Z_y$، و$r_x$، و$r_y$، و$J$، و$C_w$، وغير ذلك. وتقلل قاعدة البيانات من الحسابات المتكررة للتكامل ونظرية المحاور المتوازية، لكن لا يزال يتعين على المهندس اختيار المقطع المحدد تمامًا من نوع W أو S أو M أو HP أو C أو MC أو L أو WT أو HSS أو أي مقطع آخر مدرج، والتأكد من تسميته.

إن تسميات المحاور ليست شكلية. ففي مقطع W ذي التماثل المزدوج، يكون $x$ عادةً المحور المركزي الرئيسي، بينما يكون $y$ المحور المركزي الثانوي، ولذلك يكون $I_x$ عادةً أكبر بكثير من $I_y$. وقد يكون حساب تصميم يستخدم $I_y$ عندما ينحني العضو حول $x$ دقيقًا عدديًا وخاطئًا من الناحية الفيزيائية. وتظهر المشكلة نفسها في الانبعاج الالتوائي الجانبي، حيث يجب تفسير $J$ و$C_w$ وطول الجزء غير المدعّم واتجاه الانحناء معًا.

يحدد ANSI/AISC 360-16 كميات خصائص المقاطع المستخدمة في تصميم الفولاذ، بما في ذلك $I_x$، و$I_y$، و$r_x$، و$r_y$، و$J$، و$C_w$ (AISC, 2021). ولا يحوّل هذا المعيار الخاصية المجدولة إلى قيمة لمقاومة المادة. فمقطع W مدرفل من فولاذ ASTM A992 والمقطع الهندسي نفسه المصنوع من فولاذ ASTM A36 لهما المساحة الهندسية المثالية نفسها وعزم العطالة نفسه إذا كانت أبعادهما متماثلة. لكن مقاومة الخضوع، ومقاومة الشد، وحسابات المقاومة، ومتطلبات المادة المنطبقة تختلف بينها. ولذلك فإن التسمية ASTM A992 تخص علم المعادن والامتثال للمواصفة، ولا تخص التعريف الهندسي لـ $I_x$.

وتتطلب قيم AISC كذلك ضبط الإصدار. فقد تستمر تسمية المقطع نفسها، بينما تتغير الأبعاد أو الخصائص المدرجة أو التقريب أو محتوى قاعدة البيانات بين المراجع. وينبغي أن يسجل المصدر عبارة «قاعدة بيانات مقاطع AISC الإصدار v16.0» أو إصدار الدليل ذي الصلة، بدلًا من الاستشهاد بـ«جداول AISC» من دون ذكر الإصدار. كما ينبغي التحقق من مخرجات البرامج مقارنةً بالمصدر نفسه، ولا سيما عندما يستورد النموذج قيمًا مترية أو يحوّل الخصائص المعتمدة على البوصة تلقائيًا.

SCI P363 الكتاب الأزرق

يُعد SCI P363، المعروف شائعًا باسم الكتاب الأزرق، مرجع معهد الإنشاءات الفولاذية لأبعاد وخصائص المقاطع الفولاذية الإنشائية الأوروبية. ويوفر الكتاب الأزرق المساحة، وعزوم المساحة الثانية، ومعاملات المقاطع المرنة واللدنة، وأنصاف أقطار العطالة، وثوابت الالتواء، وثوابت الالتواء الحدي، وفقًا لـ SCI (2024). ولذلك فهو أكثر من مجرد فهرس للعمق الاسمي وعرض الجناح.

وتغطي جداوله عائلات أوروبية مثل IPE وHE وHL وHD وHP وUB وUC وUPE وUPN. ويجب الإبقاء على هذه التسميات كما هي تمامًا عند تحديد المقطع. فعائلتا IPE وHE ليستا قابلتين للاستبدال لمجرد أن كلتيهما على شكل I. وبالمثل، تمثل UB وUC سلسلتين مختلفتين من المقاطع المدرفلة ذات الأصل البريطاني، ولهما نسب وأوجه ارتباط مختلفة بين الخصائص. كما أن القناتين UPE وUPN لهما ترتيبات مختلفة للجنحة، ولا يجوز استبدالهما استنادًا إلى العمق الاسمي وحده.

وتخدم الخصائص المرنة واللدنة في الكتاب الأزرق فحوصات تصميم مختلفة. فمعاملات المقطع المرنة $W_{\mathrm{el}}$، التي تعادل غالبًا $S$ من حيث الغرض، تستند إلى أبعد ليف مرن وتُستخدم في حسابات الإجهاد المرن. أما معاملات المقطع اللدن $W_{\mathrm{pl}}$، فتصف توزيع الإجهاد اللدن بعد الوصول الكامل إلى الخضوع، وتُستخدم عندما تسمح قواعد التصنيف والتصميم المنطبقة بمقاومة لدنة. وقد يمتلك المقطع معامل مقطع مرن كبيرًا ومعامل شكل لدن مختلفًا؛ ولا يمكن استنتاج أحدهما من الآخر بمجرد إعادة التسمية.

وتتطلب الجداول الأوروبية كذلك انضباطًا في الوحدات. إذ تذكر ArcelorMittal أن الخصائص الأوروبية المحسوبة تُعرض عمومًا باستخدام وحدات قائمة على السنتيمتر: المساحة بوحدة ${\text{cm}}^2$، وعزوم المساحة الثانية بوحدة ${\text{cm}}^4$، ومعاملات المقاطع بوحدة ${\text{cm}}^3$، وأنصاف الأقطار بالسنتيمتر. وتُعطى مساحة السطح عادةً بوحدة ${\text{m}}^2$ لكل متر، في حين يستخدم ثابت الالتواء الحدي وحدة قائمة على الديسيمتر، مثل ${\text{cm}}^6$، أو الاصطلاح المحدد في الجدول. ويجب قراءة عنوان العمود أو الحقل بدقة بدلًا من افتراضه. فتحويل ${\text{cm}}^4$ إلى ${\text{mm}}^4$ يضاعف القيمة العددية في ${10}^4$، وتحويل ${\text{cm}}^3$ إلى ${\text{mm}}^3$ يضاعفها في ${10}^3$. وقد يؤدي إغفال أحد الأسس إلى إفساد أي حساب لاحق مهما كان دقيقًا.

وتُحسب خصائص SCI من هندسة المقطع وأبعاد الملامح القياسية. ولا تتغير هذه الخصائص لأن العضو محدد بالدرجة S275 أو S355 أو بدرجة أخرى وفق سلسلة EN 10025. فتغيّر الدرجة يؤثر في مقاومة الخضوع، ومقاومة الشد، ومتطلبات قابلية اللحام، ومعادلات المقاومة، لكنه لا يزيد $I$ أو $J$ أو $C_w$ أو $A$ الهندسية لمقطع لم تتغير أبعاده.

تسميات وكتل EVS-EN 10365:2026

تحدد EVS-EN 10365:2026 الأبعاد والكتل الاسمية للقنوات الفولاذية المدرفلة على الساخن، والمقاطع I، والمقاطع H، وفقًا لـ EVS (2026). وهي مرجع للمنتج والتسمية، وليست قاعدة بيانات كاملة لخصائص المقاطع. ويمكن لجدول يستند إلى هذا المعيار أن يبيّن للمستخدم العمق الاسمي، وعرض الجناح، والسماكات، وأبعاد الجذور، وتسمية المقطع، والكتلة لكل وحدة طول. لكنه لا يوفر، لمجرد استناده إلى هذا المعيار، كل قيم $I$ أو $S$ أو $Z$ أو $J$ أو $C_w$ اللازمة للتصميم.

وتكتسب هذه التفرقة أهمية عند نقل تسمية مثل IPE 300 أو HE 200 B أو UPN 240 إلى برنامج تحليل. فالتسمية تحدد ملامح اسمية قياسية، بينما يجب الحصول على خصائص المقطع من جدول خصائص متوافق أو حسابها من الهندسة المذكورة. كما أن الأبعاد الاسمية لا تساوي الأبعاد المقاسة لقطعة فولاذ معينة. فقد تؤثر سماحات الدرفلة، وأنصاف أقطار الجذور، والفلّيات، وتغير السماكة في الخصائص المحسوبة والكتلة وملاءمة التجميع. وفي التصميم العادي، تُستخدم عادةً القيم الاسمية الحاكمة والمجدولة في المعيار؛ أما في التقييم أو التحقق من التصنيع أو التفاصيل المركبة غير المعتادة، فقد تكون هندسة المقطع المقاسة ضرورية.

ولا ينبغي كذلك الخلط بين EN 10365:2026 ومواصفة المادة. فتسمية المقطع تصف الشكل والحجم الاسمي. أما تسمية مثل S355، بموجب معيار المنتج المنطبق، فتصف متطلبات درجة الفولاذ. وقد تظهر التسميتان في جدول التصميم نفسه، لكنهما تجيبان عن سؤالين مختلفين: يحدد EN 10365 هندسة المقطع المدرفل واصطلاح الكتلة، بينما يتناول معيار المادة التركيب الكيميائي، والخصائص الميكانيكية، وحالة التسليم، والاختبارات.

وعندما لا يتوافر جدول خصائص موثوق يطابق المقطع المحدد تمامًا، يمكن إعادة بناء الخصائص من الأبعاد الاسمية بتقسيم الشكل إلى مستطيلات، وتحديد مركز المساحة المركب، وتطبيق نظرية المحاور المتوازية. ويوثق Abaqus الأساس الهندسي نفسه: إذ يدمج $I_{11}$ و$I_{22}$ مربعات مسافات الإحداثيات على المساحة، بينما يدمج $I_{12}$ حاصل ضرب مسافات الإحداثيات. كما يحسب MDSolids موقع مركز المساحة، وعزمي المساحة الثانيين، ومعاملات المقاطع، وأنصاف أقطار العطالة، ومعامل المقطع اللدن، والعزم القطبي، والعزوم الرئيسية للأشكال الفولاذية العامة والقياسية. وتُعد مثل هذه الفحوصات مفيدة، لكنها لا تبرر استبدال مقطع قياسي مسمى بمستطيل تقريبي عندما تؤثر جذور الأجنحة أو الفلّيات أو الثقوب أو الجسور المتدرجة أو الالتواء الحدي للمقاطع المفتوحة تأثيرًا جوهريًا في النتيجة.

الوحدات، والترميز، والتحققات البُعدية

خصائص المقطع كميات هندسية، ولذلك تكشف وحداتها عما جرى حسابه فعليًا. لا تغيّر درجة الفولاذ مساحة الشكل الثابت أو عزمه الثاني للمساحة؛ فالتغيير من ASTM A992 إلى ASTM A572 لا يجعل المقطع نفسه من النوع W يكتسب قيمة أكبر لـ $I_x$. تدخل درجة الفولاذ في مقاومة المقطع وتحققات التصميم. أما الأبعاد، ومواضع المحاور، والتعريف الرياضي فهي التي تحدد خصائص المقطع.

ينبغي أن تضع كل عملية حسابية الوحدات بجانب أبعاد الإدخال وخصائص الإخراج على حد سواء. فكتابة $b=200$ و$t=10$ غير مكتملة؛ بل اكتب $b=200\text{mm}$، و$t=10\text{mm}$، واذكر $A=3,800{\text{mm}}^2$. هذا الانضباط البسيط يكتشف كثيرًا من الأخطاء قبل وصولها إلى جدول بيانات أو نموذج تصميم.

النظامان الأمريكي المعتاد والمتري

في الأعمال وفق النظام الأمريكي المعتاد، تُعطى الأبعاد عادةً بالبوصة، والمساحة بوحدة ${\text{in}}^2$، وعزوم المساحة الثانية بوحدة ${\text{in}}^4$، ومعاملات المقطع بوحدة ${\text{in}}^3$، وأنصاف أقطار القصور الذاتي بالبوصة، وثابت الالتواء $J$ بوحدة ${\text{in}}^4$، وثابت التشوه الالتوائي $C_w$ بوحدة ${\text{in}}^6$. وغالبًا ما تُمثَّل الكتلة أو الوزن الاسمي بالوزن لكل وحدة طول، مثل lb/ft، بدلًا من الكتلة لكل وحدة طول. وهذا التمييز مهم: إذ إن lb/ft اصطلاح للقوة لكل طول، في حين أن kg/m اصطلاح للكتلة لكل طول.

قد تستخدم الحسابات المترية المليمترات في جميع المواضع: $A$ بوحدة ${\text{mm}}^2$، و$I_x$ و$I_y$ بوحدة ${\text{mm}}^4$، و$W_x$ و$W_y$ بوحدة ${\text{mm}}^3$، و$r_x$ و$r_y$ بوحدة mm، و$J$ بوحدة ${\text{mm}}^4$، و$C_w$ بوحدة ${\text{mm}}^6$. وقد تستخدم بدلًا من ذلك الأمتار أو السنتيمترات، أو مزيجًا تختاره جداول منشورة. ولا يُعد أيٌّ من النظامين أكثر أمانًا في حد ذاته؛ فالخطر يكمن في تبديل النظامين دون تغيير أسس الطول.

يذكر American Institute of Steel Construction أن قاعدة بيانات المقاطع AISC Shapes Database v16.0 توفر الأبعاد وخصائص المقاطع بكلٍّ من الوحدات الأمريكية المعتادة والوحدات المترية (AISC, 2023). ويُعد الجزء 1 من AISC، المعنون «الأبعاد والخصائص»، القسم المرجعي من دليل Steel Construction Manual، الإصدار السادس عشر، للأبعاد المجدولة والخصائص الهندسية. ويعرّف ANSI/AISC 360-16 كميات تشمل $I_x$ و$I_y$ و$r_x$ و$r_y$ و$J$ و$C_w$. وينبغي أن تحدد عملية الحساب عمود AISC ونظام الوحدات اللذين زوّدا كل قيمة، بدلًا من نسخ قيمة عددية دون عنوانها.

ومن المراجعات المفيدة:

\[ \begin{array}{lll} \text{الطول:} & L & \text{in أو mm أو m}\\ \text{المساحة:} & A & \text{in}^2\text{ أو mm}^2\\ \text{عزم المساحة الثاني:} & I_x,I_y & \text{in}^4\text{ أو mm}^4\\ \text{معامل المقطع:} & W_x,W_y & \text{in}^3\text{ أو mm}^3\\ \text{نصف القطر:} & r_x,r_y & \text{in أو mm}\\ \text{ثابت الالتواء:} & J & \text{in}^4\text{ أو mm}^4\\ \text{ثابت التشوه الالتوائي:} & C_w & \text{in}^6\text{ أو mm}^6\\ \text{الكتلة لكل وحدة طول:} & m' & \text{lb/ft أو kg/m} \end{array} \]

قد يختلف الرمز الدقيق لمعامل المقطع باختلاف المرجع؛ فالرموز $S$ و$W$ و$Z$ ليست قابلة للتبادل ما لم يعرّفها المصدر على هذا النحو. كما أن معاملي المقطع المرن واللدن لهما الأبعاد نفسها، أي ${\text{length}}^3$، لكنهما خاصيتان مختلفتان.

أسس الطول في خصائص المقطع

تتبع الأسس مباشرةً من التعريفات. فالمساحة تكامل لـ $\mathrm{dA}$، ولذلك تتناسب مع $L^2$. أما عزم المساحة الثاني حول مركز الثقل فهو تكامل من الشكل

$$I_x={\int }_A{y}^2\mathrm{dA},$$

ولذلك يتناسب مع $L^4$. ويصف Abaqus الكميتين $I_{11}$ و$I_{22}$ من خلال مسافات إحداثية مربعة مدمجة على مساحة المقطع؛ أما جداء العطالة $I_{12}$ فيستخدم حاصل ضرب مسافتين إحداثيتين. وينطبق المنطق البُعدي نفسه على $I_{\mathrm{xy}}$ والعزم القطبي.

معامل المقطع هو $W_x=I_x/c_x$، ولذلك تكون أبعاده $L^3$. ونصف قطر القصور الذاتي هو $r_x=\sqrt{I_x/A}$، ولذلك تكون أبعاده $L$. أما ثابت الالتواء Saint-Venant ‏$J$ فأبعاده $L^4$، في حين أن ثابت التشوه الالتوائي $C_w$ أبعاده $L^6$. وللكتلة لكل وحدة طول أبعاد كتلة مقسومة على طول، مثل kg/m.

ولهذا يصبح خطأ تحويل الطول جسيمًا. فبما أن $1\text{in}=25.4\text{mm}$،

$$1{\text{in}}^4=(25.4{)}^4{\text{mm}}^4\approx 416,232{\text{mm}}^4.$$

إن خطأ التحويل الخطي بعامل 25.4 يتحول إلى خطأ مرفوع للقوة الرابعة، يبلغ نحو 416,000 في $I$ أو $J$، وإلى خطأ مرفوع للقوة السادسة يبلغ نحو $268$ مليونًا في $C_w$. ويحمل معامل المقطع قوة تكعيبية، ولذلك يكون عامل الخطأ فيه هو ${25.4}^3$، أي نحو 16,387. لا «تحوّل الرقم» مع إبقاء تسمية الوحدة دون تغيير.

بالنسبة إلى مقطع مركب، أدرج أبعاد كل مكوّن مع وحداتها قبل تطبيق معادلات مركز الثقل أو مبرهنة المحاور المتوازية. ويجب أن تكون عبارة الإزاحة $A{d}^2$ بوحدات $L^4$ نفسها الخاصة بعزم عطالة المكوّن. ويمكن أن تساعد عمليات التحقق البرمجية؛ إذ يعرض MDSolids التابع لـ Missouri S&T موضع مركز الثقل، وعزوم المساحة الثانية، ومعاملات المقاطع، وأنصاف الأقطار، ومعامل المقطع اللدن، والعزم القطبي، والعزوم الرئيسية، مما يجعله مفيدًا للمقارنة المستقلة مع توحيد الوحدات.

اصطلاحات الجداول الأوروبية

غالبًا ما تستخدم الجداول الأوروبية السنتيمترات لخصائص المقاطع المحسوبة. ويسرد Blue Book الصادر عن Steel Construction Institute المساحة، وعزوم المساحة الثانية، ومعاملات المقاطع المرنة واللدنة، وأنصاف أقطار القصور الذاتي، وثوابت الالتواء، وثوابت التشوه الالتوائي للمقاطع الأوروبية. وتكون العناوين النموذجية هي $A$ بوحدة ${\text{cm}}^2$، و$I$ بوحدة ${\text{cm}}^4$، و$W$ بوحدة ${\text{cm}}^3$، و$i$ بوحدة cm، و$J$ بوحدة ${\text{cm}}^4$، و$C_w$ بوحدة ${\text{dm}}^6$. وتذكر ArcelorMittal أن الخصائص الأوروبية المحسوبة تُبلَّغ عمومًا بالسنتيمترات، في حين تستخدم مساحة السطح وحدات قائمة على المتر، ويستخدم ثابت التشوه الالتوائي وحدات قائمة على الديسيمتر. ولذلك قد يعرض الجدول الكتلة بوحدة kg/m، ومساحة السطح بوحدة ${\text{m}}^2/\text{m}$، و$C_w$ بوحدة ${\text{dm}}^6$، إلى جانب خصائص قائمة على السنتيمتر.

لا تخلط بين EN 10365:2026 وجدول خصائص المقاطع. إذ يحدد EVS أن ذلك المعيار يختص بالأبعاد الاسمية والكتل للقنوات المدرفلة على الساخن، ومقاطع I، ومقاطع H. أما Blue Book فيحسب الخصائص الهندسية ويجدولها انطلاقًا من أبعاد المقطع. وقبل استخدام أيٍّ من المصدرين، حدّد تعيين المقطع الدقيق، والمعيار، والإصدار، واصطلاح المحاور، وعنوان الوحدة. ثم كرر تلك الوحدات بجانب المدخلات المنسوخة والمخرجات المحسوبة. فالمراجعة البُعدية ليست مظهرًا شكليًا إداريًا؛ بل هي جزء من التحقق من أن المقطع المختار وهندسته المبلّغ عنها هما بالفعل المقطع والهندسة المستخدمان في التصميم.

منهجية حسابية تطبيقية لمقطع فولاذي مركب

ينبغي حساب المقطع المركب باعتباره هندسة أولًا، قبل التعامل معه كعنصر فولاذي. لا تغيّر رتبة الفولاذ المساحة الإجمالية، أو مركز الثقل، أو عزوم المساحة الثانية، أو معاملات المقطع المرنة لمجموعة معينة من الأبعاد. تؤثر تسميات الرتب مثل ASTM A992 أو S355 في المقاومة وفحوصات التصميم؛ لكنها لا تجعل المقطع العرضي نفسه أكبر هندسيًا أو أكثر صلابة.

يستخدم المثال التالي مقطعًا متماثلًا ملحومًا على شكل I، ومكوّنًا من ثلاثة مستطيلات:

• الجناح العلوي: $200\times 20$ مم
• الجائز الرأسي: $20\times 160$ مم
• الجناح السفلي: $200\times 20$ مم
• العمق الكلي: $200$ مم

تصف الأبعاد الهندسة فقط. أما كون الفولاذ من رتبة ASTM A992 أو S275 أو S355 أو أي رتبة أخرى، فهو مسألة منفصلة.

تقسيم المقطع العرضي

ابدأ برسم تخطيطي موضّح الأبعاد. أظهر العرض والعمق الكليين، وسُمك كل صفيحة، ونقطة الأصل، والاتجاهات الموجبة للمحاور. لتكن $x$ أفقية و$y$ رأسية، مع وضع نقطة الأصل عند الزاوية السفلية اليسرى لمستطيل الإحاطة الكلي. وفي أعمال خصائص المقطع، من المفيد أيضًا تحديد المحورين المارين بمركز الثقل النهائيين $x_c$ و$y_c$.

قسّم المقطع إلى مستطيلات غير متداخلة. بالنسبة إلى المثال:

يبدأ الجائز الرأسي عند $y=20$ وينتهي عند $y=180$، ولذلك يقع مركز ثقله عند $y=100$. وتكون المساحة الكلية

$$A=\sum A_i=\mathrm{4,000}+\mathrm{3,200}+\mathrm{4,000}=\mathrm{11,200}{\text{mm}}^2.$$

يتجنب هذا التقسيم التداخل عمدًا. ومن الأخطاء الشائعة استخدام المستطيل الكلي ذي الأبعاد $200\times 200$، ثم طرح الفراغين الجانبيين فقط دون التحقق مما إذا كانت المناطق الناتجة تطابق التجميع الملحوم الفعلي. وبالنسبة إلى مقطع يحتوي على ثقب أو شق أو تفريغ أو جزء مقصوص، مثّل المنطقة المفقودة بمساحة سالبة. ويجب أن تحمل عزومها المساحية الأولى وحدود عزم المساحة أيضًا إشارات سالبة.

يمكن أن يستخدم التفكيك مثلثات أو دوائر أو دوائر مجوفة أو أشكالًا أولية أخرى عندما تكون هذه الأشكال أكثر ملاءمة لوصف الشكل. فعلى سبيل المثال، تُعالج الفتحة الدائرية المجوفة باعتبارها دائرة خارجية موجبة ودائرة داخلية سالبة. وينطبق اصطلاح الإشارات نفسه على كل عملية جمع لاحقة.

حساب مركز الثقل وعزوم المساحة

احسب أولًا مركز الثقل من العزوم المساحية الأولى:

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

بالنسبة إلى هذا المقطع،

$$\overline{x}=\frac{\mathrm{4,000}\left(100\right)+\mathrm{3,200}\left(100\right)+\mathrm{4,000}\left(100\right)}{\mathrm{11,200}}=100\text{mm}.$$

وبما أن الجناحين العلوي والسفلي متماثلان وموضوعان بصورة متماثلة،

$$\overline{y}=\frac{\mathrm{4,000}\left(10\right)+\mathrm{3,200}\left(100\right)+\mathrm{4,000}\left(190\right)}{\mathrm{11,200}}=100\text{mm}.$$

وبالتالي يقع مركز الثقل عند المركز الهندسي. لا تفترض هذه النتيجة في مقطع مركب غير متماثل؛ بل احسبها.

لكل مستطيل، احسب عزوم المساحة المحلية المارة بمركز ثقله:

\[ I_{x,i,\text{local}}=\frac{b h^3}{12}, \qquad I_{y,i,\text{local}}=\frac{h b^3}{12}. \]

ثم انقل كل قيمة إلى المحورين المشتركين المارين بمركز الثقل باستخدام مبرهنة المحاور المتوازية:

$$I_x=\sum (I_{x,i,\text{local}}+A_i{d}_{y,i}^2),$$ $$I_y=\sum (I_{y,i,\text{local}}+A_i{d}_{x,i}^2),$$

حيث \(d_{y,i}=y_i-\bar y\) و\(d_{x,i}=x_i-\bar x\).

بالنسبة إلى $I_x$، تبلغ مسافتا مركزي ثقلي الجناحين $90$ مم، بينما تكون مسافة مركز الجائز الرأسي صفرًا. ويكون عزم المساحة المحلي للجناح

$$\frac{200(20{)}^3}{12}=\mathrm{133,333}{\text{mm}}^4,$$

ويكون عزم المساحة المحلي للجائز الرأسي

$$\frac{20(160{)}^3}{12}=\mathrm{6,826,667}{\text{mm}}^4.$$

ومن ثم،

$$I_x=2[\mathrm{133,333}+\mathrm{4,000}(90{)}^2]+\mathrm{6,826,667}$$ $$I_x=\mathrm{71,893,333}{\text{mm}}^4.$$

أما بالنسبة إلى $I_y$، فلدى كل مكوّن \(x_i=\bar x=100\) مم، ولذلك لا يلزم حد نقل أفقي:

$$I_y=2\left[\frac{20(200{)}^3}{12}\right]+\frac{160(20{)}^3}{12}$$ $$I_y=\mathrm{26,773,333}{\text{mm}}^4.$$

يكون جداء عزم المساحة

$$I_{\mathrm{xy}}=\sum (I_{\mathrm{xy},i,\text{local}}+A_i{d}_{x,i}{d}_{y,i}).$$

لكل مستطيل جداء عزم مساحة محلي يساوي صفرًا عندما تكون أضلاعه موازية للمحاور. وهنا، $d_x=0$ لجميع المكوّنات الثلاثة، ولذلك

$$I_{\mathrm{xy}}=0.$$

ولهذه النتيجة أهمية. فالمحوران المختاران الماران بمركز الثقل هما أيضًا المحوران الرئيسيان لهذا المقطع المتماثل حول محوريه.

القيمة المحسوبة

تُستخلص معاملات المقطع المرنة من مسافات الألياف القصوى:

\[ S_x=\frac{I_x}{c_y}, \qquad S_y=\frac{I_y}{c_x}. \]

تقع الألياف القصوى على بُعد $100$ مم من كلا المحورين المارين بمركز الثقل:

$$S_x=\frac{\mathrm{71,893,333}}{100}=\mathrm{718,933}{\text{mm}}^3,$$ $$S_y=\frac{\mathrm{26,773,333}}{100}=\mathrm{267,733}{\text{mm}}^3.$$

هذه معاملات مقطع مرنة، وليست معاملات مقطع لدنة؛ إذ تتطلب معاملات المقطع اللدنة حساب المحور المحايد اللدن وإعادة توزيع المساحة. كما أنها ليست مماثلة لأنصاف أقطار القصور:

$$r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}=\sqrt{\frac{\mathrm{71,893,333}}{\mathrm{11,200}}}=80.1\text{mm},$$ $$r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}=\sqrt{\frac{\mathrm{26,773,333}}{\mathrm{11,200}}}=48.9\text{mm}.$$

يكون العزم القطبي للمساحة حول مركز الثقل، بالنسبة إلى المحورين المتعامدين $x$ و$y$،

$$I_p=I_x+I_y=\mathrm{98,666,666}{\text{mm}}^4.$$

ولا تعني هذه العلاقة أن $I_p$ يتحول إلى الثابت الالتوائي $J$. وبالنسبة إلى الشكل المفتوح نفسه ذي الجدران الرقيقة على هيئة I، يكون التقدير الأولي وفق سان-فنان

$$J\approx \sum \frac{b_i{t}_i^3}{3}.$$

وباستخدام صفائح الجناحين والجائز الرأسي،

$$J\approx 2\left(\frac{200(20{)}^3}{3}\right)+\frac{160(20{)}^3}{3}=\mathrm{1,493,333}{\text{mm}}^4.$$

وهذه القيمة أصغر بكثير من $I_p$، كما هو متوقع في مقطع مفتوح. ويتجاهل هذا التقريب بعض تفاصيل الوصلات والسُّمك، ولذلك لا ينبغي أن يحل محل جدول معياري، أو حساب موثّق للجدران الرقيقة، أو طريقة العناصر المحددة للتحقق من خصائص المقطع. ويتطلب ثابت الالتواء الناتج عن الالتواء الممنوع $C_w$ حسابًا منفصلًا للالتواء أو قيمة مرجعية موثّقة؛ ولا يمكن الحصول عليه بإعادة تسمية $I_x$ أو $I_y$ أو $J$.

بالنسبة إلى مقطع مدرفل قياسي، قارن النتيجة اليدوية بالقطاع الفعلي وبالإصدار الوارد في الجدول ذي الصلة. يذكر المعهد الأمريكي للإنشاءات الفولاذية أن قاعدة بيانات قطاعات AISC Shapes Database v16.0، المنشورة في عام 2023، تقدم الأبعاد والخصائص بوحدات النظام الأمريكي والوحدات المترية، بينما يُعد الجزء الأول من دليل الإنشاءات الفولاذية، الإصدار السادس عشر، مرجعه للأبعاد القياسية والخصائص الهندسية. وفي أوروبا، يعرض SCI P363، المعروف عادة باسم The Blue Book، المساحة، وعزوم المساحة الثانية، والمعاملات المرنة واللدنة، وأنصاف أقطار القصور، و$J$، و$C_w$. ويحدد EVS-EN 10365:2026 الأبعاد الاسمية والكتل؛ لكنه لا يُعد بمفرده بديلًا عن جدول خصائص المقطع.

التحقق من التناظر والبرمجيات

تحقق من التناظر قبل الوثوق بالحسابات العددية. فالجناحان المتساويان يضعان مركز الثقل عند منتصف العمق، كما أن تساوي العرضين الأيسر والأيمن يضعه على خط التناظر الرأسي. وبما أن المقطع متماثل حول كلا المحورين، فلا بد أن يكون $I_{\mathrm{xy}}$ مساويًا للصفر عندما تكون المحاور مارّة بمركز الثقل ومصطفة مع محوري التناظر. وتشير أي نتيجة غير صفرية إلى احتمال وجود إحداثي غير صحيح لأحد المكوّنات، أو تداخل، أو صفيحة مفقودة، أو خطأ في الإشارة.

تحقق من الوحدات بعد ذلك. فإذا أُدخلت الأبعاد بالملليمتر، تكون المساحة بوحدة ${\text{mm}}^2$، وعزوم المساحة الثانية و$J$ بوحدة ${\text{mm}}^4$، ومعاملات المقطع بوحدة ${\text{mm}}^3$، وأنصاف الأقطار بالملليمتر. وغالبًا ما تستخدم الجداول الأوروبية السنتيمتر للخصائص المحسوبة؛ إذ توضح المذكرات التفسيرية لشركة ArcelorMittal لعام 2024 وحدات قائمة على المتر لمساحة السطح، ووحدات قائمة على الديسيمتر لثوابت الالتواء الممنوع. وقد تؤدي المقارنة المباشرة دون تحويل إلى أخطاء بعوامل مقدارها $10$ أو ${10}^2$ أو ${10}^3$ أو أكثر.

يمكن إجراء تحقق مستقل باستخدام وحدة خصائص المقاطع في MDSolids التابعة لجامعة Missouri S&T، والموثقة في عام 2024. أدخل المستطيلات الثلاثة باعتبارها شكلًا مركبًا عامًا، أو أدخل المستطيل الخارجي واطرح الفراغين إذا كان ذلك يتوافق مع التقسيم المختار. وقارن بين $A$، وإحداثيات مركز الثقل، و$I_x$، و$I_y$، و$I_{\mathrm{xy}}$، ومعاملات المقطع، وأنصاف أقطار القصور، والعزوم الرئيسية. وتعرض MDSolids هذه الكميات للأشكال الفولاذية العامة والقياسية.

توفر Abaqus فحصًا مفيدًا للتعريفات: إذ توضح وثائقها لعام 2024 أن $I_{11}$ و$I_{22}$ يمثلان تكاملات مربعات مسافات الإحداثيات على مساحة المقطع العرضي، وأن $I_{12}$ يمثل تكامل حاصل ضرب مسافات الإحداثيات. وقد تعكس البرمجيات تسميات المحاور، أو تغيّر اصطلاح الإشارة الخاص بـ$I_{\mathrm{xy}}$، أو تعرض الخصائص حول نقطة أصل مختلفة. ولذلك قد يكشف الاختلاف عن محور غير صحيح، أو مساحة سالبة مفقودة، أو خطأ في مركز الثقل، أو عدم تطابق في الوحدات، أو تعريف مختلف مثل المساحة الإجمالية مقابل الصافية، أو المعامل المرن مقابل اللدن، أو $J$ وفق سان-فنان مقابل العزم القطبي للمساحة. افحص هندسة الإدخال وتعريفات الخصائص قبل تغيير الحساب اليدوي.

البرمجيات والتكامل العددي والخصائص الرئيسية

حاسبات المقاطع العامة

تقيّم حاسبة المقطع العام هندسة المقطع، لكنها لا تقرر ما إذا كان العنصر الفولاذي يجتاز فحص التصميم، أو أي حالة حدية هي الحاكمة، أو ما إذا كانت رتبة معينة مناسبة. إن تغيير التعيين من ASTM A992 إلى ASTM A572 Grade 50 يغيّر مقاومة المادة المحددة في معيار التصميم؛ لكنه لا يغيّر المساحة، أو مركز المساحة، أو عزم المساحة الثاني، أو ثابت الالتواء لمقطع عرضي لم يتغير. وتنبع هذه الكميات من إحداثيات الحدود وهندسة مناطق المادة.

توضح وحدة خصائص المقاطع في MDSolids التابعة لجامعة Missouri S&T نطاق المخرجات التي قد توفرها الحاسبة. وتحدد وثائقها لعام 2024 موضع مركز المساحة، وعزوم المساحة الثانية، ومعامل المقطع، ونصف قطر الدوران، والمعامل اللدن، وعزم القصور القطبي، والعزوم الرئيسية للأشكال الفولاذية العامة والقياسية. وتجيب هذه النتائج عن أسئلة منفصلة. تقيس المساحة $A$ مقدار مادة المقطع العرضي الموجودة. ويقيس كل من $I_x$ و$I_y$ مدى توزع تلك المساحة حول محاور مركزية محددة. ويربط معامل المقطع المرن $S=I/c$ ذلك التوزع بالمسافة إلى الليف الأقصى، في حين ينتج المعامل اللدن $Z$ من بناء كتلة إجهاد متهلّكة بالكامل. أما نصف قطر الدوران $r=\sqrt{I/A}$ فهو طول مشتق، وليس عزماً آخر.

وينطبق التحذير نفسه على المخرجات القطبية ومخرجات الالتواء. يصف عزم المساحة القطبي $I_p=I_x+I_y$ توزيع المساحة حول نقطة، وليس هو بحد ذاته ثابت الالتواء لسان-فنان $J$. وبالنسبة إلى المقاطع المفتوحة والمغلقة، يعتمد $J$ على مسألة الالتواء وشروط الحدود؛ أما ثابت الالتواء بالالتواء الطولي المقيّد $C_w$ فيصف الالتواء الطولي المقيّد، وله وحدات مختلفة أيضاً. إن وضع نافذة برمجية لهذه القيم جنباً إلى جنب لا يجعلها قابلة للتبادل.

وبالنسبة إلى المقطع المركب من عدة أجزاء، لا يزال بالإمكان التحقق من الحساب يدوياً. احسب مساحة مركز المساحة لكل مكوّن، ثم أوجد مركز المساحة المركب باستخدام العزوم الأولى، وبعد ذلك طبّق مبرهنة المحاور المتوازية على عزم القصور المحلي لكل مكوّن. ويعرض درس المراجعة في جامعة Michigan طريقة مساحة المكوّنات هذه. وتوفر المستطيلات والمثلثات والدوائر والدوائر المجوفة حالات اختبار مفيدة قبل الوثوق بمقطع ذي أجنحة متدرجة، أو تدويرات، أو ثقوب، أو فتحات مقتطعة. وينبغي أن تستخدم المقارنة مع AISC Shapes Database v16.0، المنشورة من قبل American Institute of Steel Construction في عام 2023، التعيين الدقيق للشكل والإصدار. وتذكر AISC أن قاعدة البيانات توفر الأبعاد وخصائص المقاطع بوحدات القياس العرفية الأمريكية والوحدات المترية؛ وهي لا تبرر استنتاج خصائص مقطع يشبهه شكلياً.

والتحقق من الوحدات أمر لا يقبل التفاوض. فقد تكون المساحة بوحدة ${\mathrm{mm}}^2$، وعزم القصور بوحدة ${\mathrm{mm}}^4$، ومعامل المقطع بوحدة ${\mathrm{mm}}^3$، ونصف القطر بالملليمتر. وتذكر ArcelorMittal في ملاحظاتها التفسيرية لعام 2024 أن الخصائص المحسوبة الأوروبية تُعرض عموماً بالسنتيمترات، مع استخدام وحدات قائمة على المتر والديسيمتر لمساحة السطح وثابت الالتواء بالالتواء الطولي، على التوالي. ويعرض Blue Book الصادر عن Steel Construction Institute المساحة، وعزوم المساحة الثانية، والمعاملين المرن واللدن، وأنصاف أقطار الدوران، وثوابت الالتواء، وثوابت الالتواء بالالتواء الطولي للمقاطع الأوروبية. ويحدد EVS-EN 10365:2026 الأبعاد الاسمية والكتل للقنوات والمقاطع I والمقاطع H المدرفلة على الساخن؛ وهو ليس الوثيقة نفسها التي تتضمن جدولاً لخصائص المقاطع المحسوبة.

تعريفات مقاطع العوارض بالعناصر المحددة

تشتق برامج العناصر المحددة عادةً خصائص مقاطع العوارض بواسطة التكامل العددي على منطقة مقسمة إلى عناصر. وتعرّف وثائق Abaqus، التي حُدّثت في عام 2024، الخصائص المركزية من خلال تكامل مربعات مسافات الإحداثيات من أجل $I_{11}$ و$I_{22}$، وحاصل ضرب مسافات الإحداثيات من أجل $I_{12}$. وبصورة تخطيطية:

\[ I_{11}=\int_A y^2\,dA,\qquad I_{22}=\int_A x^2\,dA,\qquad I_{12}=\int_A xy\,dA. \]

وتعتمد الرموز على الإحداثيات المحلية للبرنامج. فقد يقابل $I_{11}$ في أحد الم Solvers الكمية التي تُسمى عادةً $I_y$، ولذلك لا يكفي الاعتماد على التسمية وحدها. افحص مخطط الإحداثيات واصطلاح الإشارة.

ويكون التكامل العددي مفيداً بوجه خاص للحدود المنحنية، والتدويرات المدرفلة، والصفائح المثقبة، ومخططات حدود CAD المستوردة، والمقاطع المركبة من مناطق مادية كثيرة. يقسم البرنامج المنطقة إلى خلايا أو عناصر مقطع، ويقيّم الإحداثيات والأوزان المطلوبة، ثم يجمع مساهماتها. وينبغي أن يؤدي تحسين الشبكة إلى تقارب قيم مركز المساحة والمساحة وعزم القصور. فقد تؤدي شبكة خشنة إلى محو ثقب صغير، أو تشويه تدويرة، أو إزاحة مركز المساحة بما يكفي للتأثير في مقطع رقيق الجدران. كما أن المظهر الأملس للشبكة ليس دليلاً على تقارب الخصائص.

ويتضمن تعريف مقطع العارضة بالعناصر المحددة أيضاً اختيارات لا يمكن للهندسة وحدها حسمها. تحقق مما إذا كان المقطع معيناً على أنه مصمت، أو رقيق الجدران، أو مفتوح، أو مغلق؛ وما إذا كانت مساحات القص محسوبة أو مُدخلة؛ وما إذا كانت خصائص الالتواء والالتواء بالالتواء الطولي مشتقة من التقسيم نفسه. وتحقق من كل منطقة مادية. إذ يجب تعيين الجناح الفولاذي، أو جيب المونة، أو تمثيل اللحام المثالي، أو الفراغ، أو الطلاء، أو الإضافة المركبة بصورة مقصودة. فإذا حُذفت منطقة، أو تكررت، أو أُسندت إليها مادة خاطئة في مقطع مركب، فقد تكون الصلابة والكتلة المبلغ عنهما خاطئتين حتى عندما يبدو المحيط الخارجي صحيحاً.

والأهم من ذلك، حدّد أساس الخاصية: الإجمالي، أو الصافي، أو الفعال، أو المرن، أو اللدن. تشمل المساحة الإجمالية كامل المقطع المحدد. وقد تزيل المساحة الصافية ثقوب البراغي أو الاستقطاعات الأخرى. وقد تعكس الخصائص الفعالة قواعد الانبعاج الموضعي، في حين يصف معاملا المقطع المرن واللدن توزيعين مختلفين للإجهاد. وتحسب حاسبة خصائص المقطع عموماً الكمية الرياضية المطلوبة؛ لكنها لا تحدد العرض الفعال وفق ANSI/AISC 360-16، ولا تصنف صفيحة وفق قواعد Eurocode، ولا تجري فحص انبعاج العنصر. ويحدد ANSI/AISC 360-16 كلاً من $I_x$ و$I_y$ و$r_x$ و$r_y$ و$J$ و$C_w$ بوصفها كميات خاصة بتصميم الفولاذ، لكن أحكام التصميم هي التي تحكم كيفية استخدام تلك الكميات.

العزوم الرئيسية والمحاور المدارة

عندما يكون $I_{\mathrm{xy}}\ne 0$، فإن المحاور المركزية المختارة ليست محاور رئيسية. ويؤدي تدوير المحاور بزاوية $\theta$ إلى إزالة حاصل ضرب عزم المساحة عند الاتجاه الرئيسي. والعزوم الرئيسية هي القيم الذاتية لمصفوفة عزم المساحة المركزية:

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2}.$$

ويؤثر اصطلاح الإشارة الخاص بـ $I_{\mathrm{xy}}$ في الزاوية المبلغ عنها، ولذلك يجب قراءة نتائج البرنامج مع تعريف محاوره. وبالنسبة إلى مقطع I ذي تناظر مزدوج، تكون محاور التناظر المركزية المعتادة محاور رئيسية بالفعل، ويكون $I_{\mathrm{xy}}=0$. أما الزاوية غير المتساوية، أو القناة، أو الصفيحة المائلة، أو الفتحة المقتطعة غير المتماثلة، فتتطلب عموماً تدويراً.

ولا تمثل الخصائص الرئيسية تلقائياً الخصائص المطلوبة للتصميم. فقد ينـبعج العمود حول المحور الرئيسي الضعيف، في حين يحدد انحناء العارضة حول محور إنشائي أو محور للعنصر. كما يمكن لنموذج القشرة أو العارضة أن يدير محاور المقطع المحلية بالنسبة إلى الإحداثيات العامة. سجّل النظامين معاً، ثم حوّل القوى والعزوم وخصائص المقطع بصورة متسقة. وقبل قبول النتيجة، حسّن الشبكة، وتحقق من الاتجاه، وافحص تعيينات المناطق المادية، وتحقق من الوحدات، وقارن الحالات الحدية البسيطة مع MDSolids أو مع جدول قياسي. تنفذ البرمجيات العمليات الحسابية، لكن المهندس لا يزال هو من يحدد الهندسة، ويختار أساس الخاصية، ويقرر معنى الأرقام.

الدقة والتقريب والتفاوتات وتحديد المقطع

لا تكون قيمة من خواص المقطع ذات معنى إلا عند معرفة تعريفه الهندسي. فعلى سبيل المثال، تعتمد قيمة $I_x$ على شكل المقطع العرضي، والمحور المرجعي، ونظام الوحدات. وهي ليست تسمية عامة تُلحق بعضو ذي مقطع على شكل I. فقد تصف قيمة $I_x$ المنشورة مقطعًا أوروبيًا مدرفلًا على الساخن من نوع HEA، أو مقطعًا أمريكيًا من نوع W، أو مقطعًا مثاليًا رقيق الجدران، أو عينة مقاسة. وهذه أوصاف غير قابلة للاستبدال.

الأبعاد الاسمية مقابل الأبعاد المقاسة

تشير التسمية القياسية عادةً إلى الأبعاد الاسمية. تحدد المواصفة EVS-EN 10365:2026 الأبعاد والكتل الاسمية للقنوات المدرفلة على الساخن، ومقاطع I، ومقاطع H؛ لكنها لا تدعي أن كل مقطع مُصنَّع يمتلك زوايا حادة تمامًا، أو سماكة ثابتة بدقة، أو أبعادًا ذات دقة غير محدودة. فعلى سبيل المثال، يُعرَّف المقطع الاسمي HE 200 A من خلال تسميته القياسية وسلسلة أبعاده الاسمية، في حين تخضع السماكة الفعلية للجناح، وسماكة الجذع، والعمق، وهندسة الزوايا لتفاوتات التصنيع.

يوضح هذا الفرق سبب إمكانية اختلاف الحساب اليدوي عن قيمة واردة في جدول حتى عندما تكون العمليات الحسابية صحيحة. فقد يمثل الحساب البسيط مقطع I على أنه مستطيلان للجناحين ومستطيل واحد للجذع. أما المقطع المصنَّع فيحتوي على أنصاف أقطار عند الوصلات بين الجذع والجناح، وتدرجات في الجناح أو الجذع، وأنصاف أقطار للزوايا. ويؤدي حذف هذه المناطق أو إضافتها إلى تغيير المساحة ومركز المساحة، مما يغيّر بدوره $I_x$، و$I_y$، ومعاملات المقطع، وأنصاف أقطار الدوران. وغالبًا ما يكون التأثير صغيرًا بالنسبة إلى المساحة، لكنه يكون أكثر أهمية بالنسبة إلى عزم المساحة الثاني، لأن المادة البعيدة عن مركز المساحة تسهم وفق مربع بعدها عنه.

ينبغي إبقاء الأشكال الهندسية الثلاثة التالية منفصلة:

1. الهندسة الاسمية القياسية: الأبعاد التي تحددها مواصفة المقطع أو جدول المقاطع. 2. هندسة المقطع المقاسة في مصنع الدرفلة: الأبعاد المسجلة لعضو مدرفل معين، بما في ذلك أنصاف أقطاره الفعلية، وسماكاته، وتدرجه، وانحرافاته. 3. هندسة التحليل المثالية: نموذج مبسط يُختار لإجراء حساب يدوي، أو نموذج العناصر المحددة، أو التصميم الأولي.

تتوافق الخاصية المدرجة في الجدول عادةً مع نموذج حساب محدد يستند إلى الأبعاد الاسمية وهندسة المقطع، وليس مع قياس عشوائي بشريط قياس لكمرة واحدة. فإذا كانت سماكة الجناح المقاسة أكبر من قيمتها الاسمية بمقدار 1.5 mm، فقد تختلف المساحة والعطالة الناتجتان عن القيم المنشورة. ولا تكون القيمة المقاسة صحيحة تلقائيًا بدرجة أكبر؛ فهي تجيب عن سؤال مختلف.

وينطبق الأمر نفسه على المقاطع المركبة. فإذا نُمذج لوحان على أنهما مستطيلان متلامسان، فقد يُهمل الحساب معدن اللحام، أو الفجوات، أو تفريغات القص، أو ثقوب البراغي، أو ألواح الوصل. وبالنسبة إلى المقطع المركب، يجب تطبيق مساحات المكونات، والعزوم المساحية الأولى، وإحداثيات مركز المساحة، ونظرية المحاور المتوازية على الهندسة المحددة. وتخص النتيجة ذلك النموذج، وليس بالضرورة مقطعًا مدرفلًا مدرجًا في كتالوج.

لا تلغي البرمجيات الحاجة إلى تعريف الهندسة. إذ تحدد وثائق Abaqus خواص مركز المساحة من خلال التكامل على المساحة: حيث يدمج $I_{11}$ و$I_{22}$ مربعات مسافات الإحداثيات، بينما يدمج $I_{12}$ حاصل ضرب مسافات الإحداثيات. كما يعرض MDSolids التابع لـ Missouri S&T موقع مركز المساحة، وعزوم المساحة الثانية، ومعامل المقطع، ونصف قطر الدوران، ومعامل المقطع اللدن، والعزم القطبي، والعزوم الرئيسية للأشكال المحددة. وتكون هذه المخرجات دقيقة بالنسبة إلى الهندسة المُدخلة، لكن دقة العرض لا تجعل أبعاد الإدخال غير المؤكدة دقيقة.

التقريب والأرقام المعنوية

ينبغي إجراء التقريب بعد إتمام الحساب، لا أثناء كل خطوة وسيطة. فقد يؤدي استبدال سماكة جناح مقدارها 9.8 mm بـ 10 mm قبل حساب عزم المساحة الثاني إلى فرق ملحوظ، ولا سيما عندما يكون الجناح بعيدًا عن مركز المساحة. ويكون تقريب النتيجة النهائية إلى الدقة التي يسمح بها المصدر أكثر قابلية للدفاع عنه من الإبلاغ عن $I_x=\mathrm{12,847,391.672}{\text{mm}}^4$ استنادًا إلى أبعاد معطاة لأقرب millimetre.

ينبغي أن تعكس الأرقام المعنوية كلاً من دقة الأبعاد والغرض من الحساب. فقد يتطلب فحص التصميم الاحتفاظ بعدد من الأرقام أثناء الحساب الداخلي أكبر مما تحتاج إليه ملاحظة على رسم، في حين يمكن لمقارنة أولية أن تعرض بصورة معقولة $I_x=1.28\times {10}^8{\text{mm}}^4$. ولا تستنتج دقة التصنيع من الخانات العشرية الإضافية في جدول بيانات.

يتطلب تحويل الوحدات عناية خاصة لأن لخواص المقاطع أبعادًا مختلفة. فالمساحة تتناسب مع مربع الطول، وعزوم المساحة الثانية وثوابت الالتواء تتناسب مع القوة الرابعة للطول، ومعاملات المقطع تتناسب مع مكعب الطول، وأنصاف أقطار الدوران تتناسب مع الطول. ولذلك فإن خطأ تحويل $I_x$ أكبر بكثير من خطأ بسيط في التحويل من millimetre إلى metre. وتعرض الجداول الأوروبية عادةً الخواص المحسوبة بوحدة السنتيمتر؛ وتذكر ArcelorMittal أن مساحة السطح وثابت التشوه الالتوائي يستخدمان وحدات قائمة على المتر والديسيمتر، على التوالي. ويجب قراءة الوحدة المطبوعة بجانب كل عمود، لا افتراضها.

ويؤثر التقريب أيضًا في المقارنات بين المصادر. فقد يعرض أحد الجداول $I_x$ بثلاثة أرقام معنوية، بينما يعرضه جدول آخر بستة أرقام، رغم استخدام الهندسة نفسها في كليهما. وينبغي أولًا التحقق من الوحدات، واتجاه المحور، ومعالجة أنصاف أقطار الوصلات، ودقة العرض، قبل اعتبار الفروق الصغيرة دليلًا على وجود خطأ.

ضبط الإصدار والتسمية

ينبغي أن تحمل كل قيمة خاصية مستخدمة في الحساب خمسة معرّفات: التسمية الدقيقة للمقطع، والمواصفة الحاكمة، والإصدار أو نسخة قاعدة البيانات، واصطلاح المحاور، وموضع الجدول أو المصدر. ويجب إضافة نظام الوحدات. فعبارة «W310 $I_x$» غير مكتملة؛ أما العبارة «W310×97، قاعدة بيانات مقاطع AISC الإصدار v16.0، الوحدات الأمريكية، المحور الرئيسي المار بمركز المساحة، جدول الجزء 1» فهي قابلة للتتبع.

يذكر المعهد الأمريكي للإنشاءات الفولاذية أن قاعدة بيانات مقاطع AISC الإصدار v16.0، المنشورة في عام 2023، توفر الأبعاد والخواص بالوحدات الأمريكية والوحدات المترية. ويُعد الجزء 1 من الدليل المرجعي، ضمن دليل الإنشاءات الفولاذية، الإصدار السادس عشر، مرجعَ الأبعاد والخواص الهندسية المدرجة في الجداول. وتعرّف ANSI/AISC 360-16 كميات تشمل $I_x$، و$I_y$، و$r_x$، و$r_y$، و$J$، و$C_w$، لكن المواصفة لا تجعل تسمية مقطع غير محددة قابلة للتعيين.

وبالنسبة إلى المقاطع الأوروبية، يوفر SCI P363، The Blue Book، الأبعاد وخواص المقاطع، بما في ذلك المساحة، وعزوم المساحة الثانية، ومعاملات المقطع المرنة واللدنة، وأنصاف أقطار الدوران، وثوابت الالتواء، وثوابت التشوه الالتوائي. ويجب الاحتفاظ بسلسلة المقطع وتسمية المقطع. فلا تنسخ قيمة $I_x$ من جدول HEA إلى حساب خاص بمقطع HEB، أو مقطع W، أو سلسلة مقاطع أخرى لمجرد أن العمق الاسمي يبدو متشابهًا. ولا تخلط بين بُعد اسمي وفق EN 10365 واصطلاح خواص وارد في جدول أمريكي دون التحقق من الهندسة والمحاور الأساسيين.

لا تغيّر درجة الفولاذ خاصيةً هندسيةً للمقطع. فـ S275 وS355 وASTM A572 Grade 50 وASTM A992 تصف متطلبات المادة أو المنتج؛ ويؤدي تغيير الدرجة إلى تغيير حسابات المقاومة وفحوص التصميم، لا إلى تغيير مساحة مقطع أو عطالته إذا ظل المقطع نفسه دون تغيير. وإذا أظهر مصدر ما هندسة مختلفة لدرجات مختلفة، فإن الفرق يرجع إلى المنتج المختار أو مواصفة التصنيع، وليس إلى أن الفولاذ أصبح أقوى هندسيًا.

كيف تدخل خصائص المقطع في تحقّقات تصميم الفولاذ

لا تدخل خصائص المقطع في تحقّق التصميم إلا بعد تحديد المقطع، والمادة، والأحمال، وقيود الحركة، والمواصفة المطبقة. فهي تصف الهندسة، لا المقاومة. فمساحة إجمالية مقدارها $10,000{\text{mm}}^2$ تظل تلك المساحة نفسها سواء كان الفولاذ ASTM A992 أو ASTM A36؛ إذ تغيّر رتبة الفولاذ كمياتٍ مثل إجهاد الخضوع $F_y$ ومقاومة الشد $F_u$، ولا تغيّر الأبعاد المحسوبة للمقطع العرضي.

يمنع هذا التمييز خطأً شائعاً، وهو اختيار قيمة عددية أكبر لأنها «تبدو أقوى» من دون التحقق مما تمثله القيمة. فالمساحة $A$، وعزما المساحة الثانيان $I_x$ و$I_y$، ومعاملات المقطع $S_x$، و$S_y$، و$Z_x$، و$Z_y$، وأنصاف أقطار القصور $r_x$ و$r_y$، وثابت الالتواء $J$، وثابت الالتواء الملتوي $C_w$، لها وحدات مختلفة وتدخل في حالات حدية مختلفة.

تعرّف ANSI/AISC 360-16 كميات خصائص المقاطع الأمريكية المسماة، بما في ذلك $I_x$، و$I_y$، و$r_x$، و$r_y$، و$J$، و$C_w$. ويُعد الجزء 1 من AISC، «الأبعاد والخصائص»، القسم المرجعي في دليل الإنشاءات الفولاذية، الإصدار السادس عشر، للأبعاد والخصائص الهندسية المجدولة. وتوفر قاعدة بيانات المقاطع AISC Shapes Database v16.0، الصادرة عن American Institute of Steel Construction في عام 2023، تلك الأبعاد والخصائص بالوحدات الأمريكية المعتادة والوحدات المترية. ولا يزال تعيين المقطع الدقيق وإصدار قاعدة البيانات مهمين؛ فالمقطع W14×90 لا يمكن اعتباره قابلاً للاستبدال بمقطع W14 آخر، حتى عندما يبدو العمق الاسمي متشابهاً.

الضغط المحوري ونصف قطر القصور

بالنسبة إلى قوة محورية مركزية، تكون المساحة الإجمالية أول كمية هندسية تؤخذ في الاعتبار. ويمثَّل الإجهاد المباشر المتوسط بالعلاقة $P/A$، مع مراعاة معاملات المقاومة المطبقة، وأحكام الخضوع أو الانقطاع، وأي تخفيضات مطلوبة بسبب الثقوب أو العناصر النحيلة أو غيرها من الشروط المحددة. ولذلك ترتبط المساحة مباشرة بكمية المادة التي تحمل القوة المحورية، لكنها لا تصف كيفية توزيع تلك المادة بعيداً عن المركز الهندسي.

ويتحكم ذلك التوزيع في انبعاج الأعمدة. ويُعطى نصف قطر القصور بالعلاقة

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}, \qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

وبالنسبة إلى طول عضو $L$، تُعبَّر نسب النحافة المناظرة عادةً باستخدام $\mathrm{KL}/r_x$ و$\mathrm{KL}/r_y$، حيث يمثّل $K$ حالة الطول الفعّال. وينتج نصف القطر الأصغر عادةً المحور الأكثر حرجاً للانبعاج الانحنائي، لأن طول العضو نفسه يولّد نسبة نحافة أكبر. وقد يمتلك مقطع ذو جناحين عريضين مساحة كبيرة، ومع ذلك يظل معرضاً للانبعاج حول محوره الثانوي لأن $r_y$ أصغر بكثير من $r_x$.

ولهذا لا يمكن إحلال المساحة محل نصف قطر القصور أو العكس. فقد تؤدي زيادة عرض الجناح إلى رفع $I_x$، أو $I_y$، أو كليهما، في حين أن إضافة مادة قرب المركز الهندسي قد تزيد $A$ مع تحسن أقل في مقاومة الانبعاج. كما تؤثر شروط الحدود، والتدعيم، والإجهادات المتبقية، والتقوس الابتدائي، ولا مركزية الحمل، والنحافة الموضعية في مقاومة الضغط. وتوفر الخاصية الهندسية مدخلاً إلى الحساب؛ لكنها لا تحدد مقاومة العضو النهائية بمفردها.

مقاومة الانحناء ومعامل المقطع

يقيس عزم المساحة الثاني مقاومة الانحناء، أو الصلابة الانحنائية، وليس مقاومة المادة المباشرة. وبالنسبة إلى الانحناء المرن حول المحور $x$،

$$\sigma =\frac{M_{x}y}{I_x},$$

حيث إن $y$ هي المسافة من المحور المحايد. ويُعطى معامل المقطع المرن بالعلاقة

$$S_x=\frac{I_x}{c_x},$$

حيث إن $c_x$ تساوي المسافة من المحور المحايد إلى الليف الأقصى. وتكون علاقة إجهاد الانحناء المناظرة هي $M_x/S_x$. وتنطبق التعريفات نفسها حول المحور $y$.

ولأن $I_x$ يتضمن مربع المسافة من المحور، فإن المادة الموضوعة بعيداً عن المحور المحايد تسهم بقوة في الصلابة الانحنائية ومقاومة الانحناء المرن. وهذا يفسر كفاءة المقاطع ذات الشكل I؛ إذ تضع أجنحتها جزءاً كبيراً من المساحة على مسافات كبيرة من المحور المحايد للمحور الرئيسي، في حين يصل الجِسر بين تلك الأجنحة ويحمل القص.

ويستخدم الانحناء اللدن خاصية مختلفة. فمعامل المقطع اللدن $Z_x$ يستند إلى توزيع إجهاد وصل إلى الخضوع الكامل، يفصل بين جزأيه المحور المحايد اللدن، وليس إلى المسافة من الليف الأقصى المستخدمة في $S_x$. وبالنسبة إلى مقطع مدمج قادر على تطوير سلوك لدن، قد تتضمن معادلة التصميم $F_y{Z}_x$، في حين تتضمن معادلة حد المرونة $F_y{S}_x$، مع مراعاة أحكام المواصفة الحاكمة. ولا يُعد $Z_x$ بديلاً عن $S_x$، كما أن أياً منهما ليس قيمة لمقاومة المادة.

وتعتمد المقاومة المطبقة أيضاً على نحافة الجناح والجِسر، والتدعيم الجانبي، وطول عدم التدعيم $L_b$، وموضع الحمل، وتقييد النهايات، والانبعاج الالتوائي الجانبي. فقد يمتلك مقطع ذو $Z_x$ مرتفع مقاومة انحناء منخفضة رغم ذلك إذا كان جناح الضغط غير مدعّم بما يكفي. ولذلك ينبغي قراءة جداول AISC إلى جانب أحكام ANSI/AISC 360-16، لا اعتبارها نتيجة تصميم مكتملة.

وتستخدم الجداول الأوروبية التمييزات الفيزيائية نفسها وفق اصطلاحات عرض مختلفة. ويوفر الكتاب الأزرق الصادر عن معهد الإنشاءات الفولاذية المساحة، وعزمي المساحة الثاني، والمعاملين المرن واللدن، وأنصاف أقطار القصور، و$J$، و$C_w$ للمقاطع الأوروبية. وتذكر EVS أن EVS-EN 10365:2026 تحدد الأبعاد والكتل الاسمية للقنوات المدرفلة على الساخن، ومقاطع I، ومقاطع H؛ لكنها لا تحل بحد ذاتها محل جدول خصائص المقاطع. وتفيد ArcelorMittal بأن الخصائص الأوروبية المحسوبة تُعطى عموماً بالسنتيمتر، في حين تستخدم مساحة السطح وثابت الالتواء الملتوي وحدات قائمة على المتر والديسيمتر، على التوالي. ويمكن لأخطاء تحويل الوحدات أن تغيّر النتيجة بمقادير رتبية.

الالتواء والانبعاج والتأثيرات المتبادلة

يُدخل الالتواء خصائص كثيراً ما تُهمل في المناقشات المبسطة للعوارض. ويصف ثابت الالتواء $J$ سلوك الالتواء وفق Saint-Venant، ويتأثر بشدة بكون المقطع مفتوحاً أو مغلقاً. وتقاوم المقاطع الرقيقة الجدران والمغلقة الالتواء المنتظم عموماً بفاعلية أكبر من مقاطع I أو القنوات أو الزوايا المفتوحة ذات المساحة المماثلة، لأن الجدار المغلق يستطيع توليد تدفق قص دائري.

ويصف ثابت الالتواء الملتوي $C_w$ المقاومة المرتبطة بالالتواء الطولي المقيّد. وتصبح هذه الخاصية مهمة للمقاطع المفتوحة المعرضة للالتواء، ولا سيما عندما تمنع شروط النهايات أو الحواجز أو التدعيم أو الأحمال المركزة المقطعَ العرضي من الالتواء بحرية. ولذلك لا يحمل $J$ و$C_w$ المعنى نفسه؛ فلا يُعد أحدهما بديلاً عاماً عن الآخر. كما تختلف وحداتهما. ويمكن للتحويل غير المتسق لـ $C_w$، الذي يُعبَّر عنه غالباً بوحدة طول مرفوعة إلى القوة السادسة، أن يبطل حساباً للالتواء أو للانبعاج الالتوائي الجانبي.

ويربط الانبعاج الالتوائي الجانبي بين الانحناء حول المحور الرئيسي والإزاحة الجانبية والالتواء. وتعتمد الاستجابة على $I_y$، و$J$، و$C_w$، وطول عدم التدعيم، وتدرج العزم، ونقطة تطبيق الحمل، وتقييد النهايات. وقد يمتلك الجسر معامل مقطع كبيراً حول محوره الرئيسي، مع امتلاكه مقاومة محدودة، لأن جناح الضغط حر في التحرك جانبياً ولأن المقطع يستطيع الالتواء. وبالمثل، يعتمد الانبعاج الالتوائي والانبعاج الانحنائي-الالتوائي في أعضاء الضغط على ما هو أكثر من $A$، و$I_x$، و$I_y$.

وتتطلب القوة المحورية والانحناء والالتواء المتزامنة إجراء تحقّقات للتأثيرات المتبادلة وفق ما تنص عليه مواصفة التصميم المطبقة. وقد تغيّر لا مركزية الوصلة، وترتيب المسامير أو اللحامات، وإدخال الحمل موضعياً، ومساحة القص، واستمرارية العضو، القوىَ الداخلية المستخدمة في تلك التحقّقات. وتصبح جداءات المساحات $I_{\mathrm{xy}}$ وخصائص المحاور الرئيسية ذات صلة عندما لا تتطابق المحاور الهندسية مع المحاور الرئيسية، ولا سيما في الزوايا والقنوات غير المتماثلة والأعضاء المركبة.

ولأغراض التحقق، ينبغي أن تتوافق الحسابات اليدوية المستندة إلى مساحات المكونات، وإحداثيات المركز الهندسي، والعزوم الأولى، ونظرية المحاور المتوازية، مع نتيجة جدول موثوق أو برنامج موثوق. وتعرّف وثائق Abaqus $I_{11}$ و$I_{22}$ من خلال تكامل مربعات مسافات الإحداثيات على المساحة، كما تعرّف $I_{12}$ من خلال تكامل حاصل ضرب مسافات الإحداثيات؛ بينما يعرض MDSolids التابع لـ Missouri S&T بصورة مستقلة المركز الهندسي، والعزوم، والمعاملات، وأنصاف الأقطار، والعزم القطبي، والخصائص الرئيسية. وتكشف مثل هذه التحقّقات تبديل المحاور، والوحدات الخاطئة، وأبعاد المقاطع غير الصحيحة قبل إدخال كمية هندسية في تحقّق تصميم الفولاذ.

درجة الفولاذ، وعلم الفلزات، وما لا تخبرك به الهندسة

تعيين الشكل مقابل درجة الفولاذ

يحدد تعيين الشكل الهندسة، بينما يحدد تعيين درجة الفولاذ متطلبات المادة. وهما ليسا قابلين للاستبدال. فالمقطع HEA 200 أو W14×90 أو L 100 × 100 × 10 يصف مقطعًا مدرفلًا وأبعاده الاسمية. لكنه لا يحدد، بحد ذاته، إجهاد الخضوع، أو مقاومة الشد، أو التركيب الكيميائي، أو متطلبات متانة الصدم، أو تصنيف قابلية اللحام للفولاذ.

لا يؤدي تغيير تعيين الدرجة إلى تغيير الخصائص الهندسية للمقطع العرضي لمقطع لم تتغير هندسته. فإذا كان للمقطع ذي الشكل I نفسه عرض الجناح، وعمق الجِسر، وسماكة الجناح، وسماكة الجِسر، فإن مساحته الإجمالية $A$، ومركزه الهندسي، و$I_x$، و$I_y$، ومعاملات المقطع المرنة، وأنصاف أقطار الدوران، وثابت الالتواء $J$، وثابت الالتواء الناتج عن التحدب $C_w$، وعزم القصور الذاتي الناتج عن حاصل ضرب الإحداثيين $I_{\mathrm{xy}}$، تظل جميعها كميات هندسية كما هي. ولا تجعل مقاومة الخضوع المحددة الأعلى ذلك المقطع يكتسب قيمة أكبر لـ $I_x$، كما أنها لا تزيد نصف قطر دورانه.

هذا التمييز أساسي، لكنه كثيرًا ما يضيع في الجداول وقوائم البرامج. تُحسب خاصية المقطع من موضع المادة وتوزيعها في المقطع العرضي. ويصف Abaqus عزوم القصور الذاتي الثانية حول المركز الهندسي بالتكامل على مساحة المقطع لمربعات مسافات الإحداثيات: إذ يقيس $I_{11}$ و$I_{22}$ تلك المسافات المربعة، بينما يدمج $I_{12}$ حاصل ضرب مسافات الإحداثيات (Abaqus Documentation, 2024). ويتضمن الحساب الهندسة والمحاور والوحدات، وليس قيمة لمقاومة الخضوع.

وقد يكون تعيين الشكل غير مكتمل رغم ذلك. فقد يحذف وصف «مقطع I بارتفاع 200» سلسلة المقطع، ومعيار التصنيع، وتعيين الكتلة، والسماحات، والإصدار. ولا يُعرَّف مقطع W14×90 أمريكي ومقطع HE 360 B أوروبي بتعيينات قابلة للمقارنة لمجرد أن كليهما على شكل I. ويجب تسجيل معيار المقطع الدقيق قبل قبول قيمة المساحة أو عزم القصور الذاتي الواردة في جدول.

المدخلات المستقلة عن الهندسة والمدخلات المعتمدة على الدرجة

تُعد الأبعاد، والكتلة الاسمية لكل وحدة طول، والمساحة الإجمالية، وإحداثيات المركز الهندسي، وعزوم القصور الذاتي الثانية للمساحة، ومعاملات المقطع، وأنصاف أقطار الدوران، والعزم القطبي، و$J$، و$C_w$، و$I_{\mathrm{xy}}$، ومساحات القص، ومعامل المقطع اللدن، مدخلات مرتبطة أساسًا بوصف المقطع. وبالنسبة إلى مقطع موشوري متجانس، فإنها تنتج من هندسته العرضية ومحاور المرجع المختارة. وتستخدم حسابات المقاطع المركبة مساحات المكونات، والعزوم الأولى، وإحداثيات المركز الهندسي، ونظرية المحاور المتوازية. ولا تتطلب معرفة ما إذا كان الفولاذ S275 بدلًا من S355، أو ASTM A36 بدلًا من ASTM A992/A992M.

وتتطلب الكتلة توضيحًا واحدًا. فمساحة المقطع العرضي كمية هندسية، أما الكتلة لكل وحدة طول فتعتمد أيضًا على الكثافة وعلى ما إذا كانت القيمة الواردة في الجدول تستند إلى الأبعاد الاسمية. ولذلك يمكن أن تؤدي سماحات التصنيع، وأنصاف أقطار الزوايا، والأنصاف الدائرية، والفتحات، والطلاءات، والتآكل إلى فروق بين الحساب الاسمي والعنصر المقاس فعليًا. وهذه الفروق آثار هندسية أو آثار مرتبطة بالحالة الفيزيائية، وليست دليلًا على أن مقاومة الدرجة غيّرت خاصية المقطع.

وتتحكم مواصفة المادة في مجموعة مختلفة من المدخلات. وتشمل هذه المجموعة مقاومة الخضوع المحددة، ومقاومة الشد، والاستطالة أو غيرها من مقاييس المطيلية، ومتانة الكسر، والتركيب الكيميائي، وحالة التسليم، والمتطلبات المرتبطة بقابلية اللحام، وسلوك التآكل. ويظهر تأثيرها في حسابات المقاومة، وفحوصات الوصلات، وتقييم الكسر، وإجراءات اللحام، وتقييمات المتانة، وفحوصات التصميم المتعلقة بالحريق أو بدرجة الحرارة. لكنها لا تحل محل $I_x$، أو $I_y$، أو $J$، أو $C_w$.

قد يستخدم التصميم الهندسة نفسها مع قيم مقاومة مختلفة عندما تختلف مواصفات المادة المنطبقة. ويجب أن يستند هذا الاستنتاج إلى المواصفة ومعيار التصميم المشار إليهما، لا إلى اسم الدرجة وحده. فعلى سبيل المثال، يجب التحقق من سجل يذكر ASTM A992/A992M مقابل متطلبات تلك المواصفة، في حين يجب التحقق من سجل يذكر EN 10025-2 S355 مقابل الإصدار المنطبق ومتطلبات المنتج في EN 10025-2. ولا يُعد ذكر «S355» أو «A992» من دون المعيار الحاكم وشكل المنتج دليلًا كافيًا لافتراض تصميمي.

ويتطلب التآكل معالجة منفصلة لأنه قد يغير الهندسة في نهاية المطاف. فتعيين الدرجة الأصلي لا يسبب تغيرًا في $A$ أو $I_x$، لكن فقدان المعدن يقلل السماكة، وقد يقلل المساحة، والصلابة، ومعامل المقطع، وخصائص الالتواء. ويجب على المهندس نمذجة المقطع العرضي المتبقي وتقييم متطلبات المادة والبيئة بصورة منفصلة.

توثيق الفولاذ الإنشائي

يحدد سجل التصميم الكامل كلاً من معيار المقطع ومواصفة المادة. وينبغي أن يذكر تعيين المقطع، والأبعاد الاسمية أو تعيين الكتلة، والمعيار وإصداره، واصطلاح المحاور، والوحدات، ومصدر خصائص المقطع. كما ينبغي أن يذكر درجة المادة، ومعيار المنتج، وإصدار المواصفة، وأي متطلبات تكميلية للمتانة أو التسليم تحكم التصميم.

وبالنسبة إلى الأعمال في الولايات المتحدة، يذكر American Institute of Steel Construction أن AISC Shapes Database v16.0 يوفر الأبعاد وخصائص المقطع بالوحدات العرفية الأمريكية والوحدات المترية (AISC, 2023). ويُعد AISC Part 1, Dimensions and Properties، القسم المرجعي من الإصدار السادس عشر من Steel Construction Manual، للأبعاد المجدولة والخصائص الهندسية. ويحدد ANSI/AISC 360-16 كميات تشمل $I_x$، و$I_y$، و$r_x$، و$r_y$، و$J$، و$C_w$ (AISC, 2021). وتوفر هذه المراجع الهندسة وتعريفات التصميم، بينما توفر مواصفة المادة خصائص الفولاذ.

وتحتاج السجلات الأوروبية إلى الفصل نفسه. إذ يوفر Steel Construction Institute’s Blue Book خصائص محسوبة مثل المساحة، وعزوم القصور الذاتي الثانية، ومعاملات المقطع المرنة واللدنة، وأنصاف أقطار الدوران، وثوابت الالتواء، وثوابت التحدب (SCI, 2024). وتحدد EVS-EN 10365:2026 الأبعاد والكتل الاسمية للقنوات المدرفلة على الساخن، ومقاطع I، ومقاطع H؛ وهي ليست بديلًا عن جدول خصائص المقطع أو مواصفة درجة المادة. كما يجب التحقق من الوحدات: إذ تشير ArcelorMittal إلى أن الخصائص المحسوبة الأوروبية تُذكر عمومًا بالسنتيمترات، في حين تستخدم المساحة السطحية وثابت التحدب وحدات قائمة على المتر والديسيمتر على التوالي (ArcelorMittal, 2024).

وينبغي أن تحافظ مخرجات البرامج على مسار التدقيق هذا. ولا تكون قيمة $I_x$ المحسوبة ذات معنى إلا عندما يكون المقطع المستورد، والمحاور، ونظام الوحدات، والافتراضات الهندسية معروفة. وتؤدي إضافة درجة مادة إلى النموذج نفسه إلى تغيير مدخلات المقاومة، لا هندسة المقطع.

الأخطاء الشائعة وقائمة التحقق

يمكن أن يؤدي استخدام عزم المساحة الثاني الخاطئ إلى تشويه كبير في التنبؤ بالانبعاج أو الترخيم. Limited evidence

غالبًا ما تبدأ أخطاء خصائص المقطع قبل إدخال أي معادلة. فقد يُظهر الرسم المقطع الصحيح، ومع ذلك قد يفشل الحساب لأن المحاور أو الوحدات أو إصدار المواصفة أو تعريف الخاصية لا يتوافق مع فحص التصميم. والنتيجة ليست مجرد اختلاف بسيط في جدول بيانات؛ إذ إن استخدام عزم المساحة الثاني الخطأ يمكن أن يغيّر التنبؤ بالانبعاج أو الترخيم بمقدار رتبة عشرية كاملة.

أخطاء المحاور والوحدات

أكثر الأخطاء شيوعًا هو تبديل $I_x$ و$I_y$. ففي مقطع I نموذجي، يكون عزم المساحة الثاني حول المحور الرئيسي أكبر بكثير من قيمته حول المحور الثانوي. وإذا كان العنصر ينحني حول محوره الضعيف، ولكن أُدخلت قيمة المحور القوي، فستكون الانحنائية والترخيم المحسوبان أصغر بكثير من اللازم. ويؤثر الخطأ نفسه في أنصاف أقطار الدوران، ومعاملات المقطع المرنة، ومعاملات المقطع اللدنة، وأي حساب للانبعاج يستند إلى المحور المختار.

ليست تسميات المحاور موحّدة في جميع الجداول أو حزم البرمجيات. فقد يطلق أحد المصادر على المحور الأفقي المار بالمركز $x$، بينما يستخدم مصدر آخر الرمز 2؛ وقد يعرّف برنامج العناصر المحددة المحورين المحليين 1 و2 وفقًا لاتجاه المقطع. وتذكر وثائق Abaqus أن $I_{11}$ و$I_{22}$ المركزيين يمثلان تكامل مربعات مسافات الإحداثيات، في حين يمثل $I_{12}$ تكامل حاصل ضرب مسافات الإحداثيات (Abaqus، 2024). ويجب التوفيق بين هذا التعريف والرسم قبل نسخ القيم.

تشكّل الوحدات نقطة فشل ثانية. فلا يمكن الجمع بين المساحة بوحدة ${\mathrm{cm}}^2$، وعزم المساحة الثاني بوحدة ${\mathrm{cm}}^4$، ومعامل المقطع بوحدة ${\mathrm{cm}}^3$، وبين أبعاد أُدخلت بالميليمتر، من دون إجراء التحويل. وبما أن $1{\mathrm{cm}}^4={10}^4{\mathrm{mm}}^4$، فإن إغفال تحويل وارد في جدول داخل جدول بيانات قد يؤدي إلى خطأ بعامل 10,000. وتورد الجداول الأوروبية عادةً الخصائص المحسوبة بالسنتيمتر؛ كما تشير ArcelorMittal إلى أن مساحة السطح وثابت التشوه الملتوي يستخدمان أيضًا وحدات قائمة على المتر والديسيمتر، على التوالي (ArcelorMittal، 2024). اقرأ عنوان كل عمود.

جدول الكتلة ليس جدولًا للخصائص. تحدد EVS-EN 10365:2026 الأبعاد الاسمية والكتل للقنوات المدرفلة على الساخن ومقاطع I ومقاطع H؛ لكنها لا توفر، بمفردها، كل قيمة محسوبة لازمة للانحناء أو الالتواء أو الانبعاج. ويوفر الكتاب الأزرق لمعهد إنشاءات الفولاذ خصائص المقاطع، بما في ذلك $I$، والمعاملات المرنة واللدنة، وأنصاف أقطار الدوران، و$J$، و$C_w$. وفي الولايات المتحدة، توفر قاعدة بيانات مقاطع AISC الإصدار v16.0 الأبعاد والخصائص بالوحدات العرفية الأمريكية والوحدات المترية، بينما يمثل الجزء 1 من AISC القسم المرجعي في دليل إنشاءات الفولاذ فيما يتعلق بالأبعاد والخصائص الهندسية المجدولة (AISC، 2023).

الخلط بين $J$ و$I_p$ و$I$ و$S$ و$Z$

الرمز $I$ وحده غير مكتمل الدلالة. فقد يعني عزم المساحة الثاني المركزي حول محور محدد، مثل $I_x$ أو $I_y$، أو قد يظهر وفق اصطلاح برمجي مثل $I_{11}$. وتكون وحدات عزم المساحة بطول مرفوع إلى القوة الرابعة، وهو يتحكم في صلابة الانحناء من خلال $\mathrm{EI}$. وليس قيمة مقاومة.

يُكتب العزم القطبي للمساحة عادةً على الصورة $I_p$، حيث

$$I_p=I_x+I_y$$

عندما يكون $x$ و$y$ محورين مركزيين متعامدين. وهو يقيس توزّع المساحة حول نقطة، ويُستخدم في بعض حسابات الأعمدة الدائرية والعمليات الدورانية. ولا يمثل عمومًا ثابت الالتواء.

يصف ثابت الالتواء $J$ استجابة الالتواء وفق نظرية Saint-Venant. وبالنسبة إلى مقطع دائري مصمت، يكون $J=I_p$، لكن لا ينبغي تعميم هذه المساواة على مقاطع I أو القنوات أو الزوايا أو المقاطع المفتوحة رقيقة الجدران. فقد تكون قيم $J$ لهذه المقاطع أصغر بكثير من $I_p$. كما تُظهر المقاطع المغلقة سلوكًا التوائيًا مختلفًا، لأن تدفق القص يمكن أن يدور حول الخلية المحاطة. أما ثابت التشوه الملتوي $C_w$، الذي تكون وحداته بطول مرفوع إلى القوة السادسة، فيتعلق بالالتواء غير المنتظم والتشوه الملتوي المقيّد؛ وليس شكلًا آخر من $J$. وتعرّف ANSI/AISC 360-16 كلًا من $I_x$ و$I_y$ و$r_x$ و$r_y$ و$J$ و$C_w$ وتستخدمها باعتبارها كميات منفصلة من خصائص المقطع (AISC، 2021).

وتسبب مصطلحات معامل المقطع خلطًا متكررًا آخر. إذ يُستخرج معامل المقطع المرن من عزم المساحة الثاني المرن، مثلًا:

$$S_x=\frac{I_x}{c_x},$$

حيث $c_x$ هي المسافة من المحور المحايد إلى الليف الأقصى. أما معامل المقطع اللدن، الذي يُرمز إليه غالبًا بـ $Z_x$ أو $W_{\mathrm{pl},x}$، فيستند إلى توزيع إجهادات لدنة بلغ مرحلة الخضوع الكامل. وهو ليس $S_x$، ولا يجوز استبداله به لمجرد أن كليهما له وحدات الطول المكعب. وبالنسبة إلى مقطع مستطيل متماثل، توجد علاقة بسيطة بين القيمتين؛ أما في المقاطع المدرفلة ذات هندسة الجناح والجسر غير المتساوية، فلهذا التمييز أهمية.

يجب استبعاد الثقوب وقطوع النهايات والفراغات من حسابات المساحة. كما لا يجوز تجاهل أنصاف أقطار التدوير بصورة عفوية عند مقارنة نموذج يدوي بجدول مقطع مدرفل. وبالنسبة إلى مقطع مركب، يكون حد المحاور المتوازية هو $A{d}^2$، حيث $d$ هي المسافة العمودية بين مركز مساحة المكوّن والمحور المركزي للمقطع المركب. ويؤدي استخدام العمق الكلي أو سُمك الجناح أو مسافة مقاسة من محور مرجعي خطأ إلى نتيجة تبدو معقولة، لكنها غير صحيحة.

الفحوص المستقلة قبل استخدام التصميم

ينبغي أن تجتاز الخاصية أكثر من اختبار واحد قبل إدخالها في نموذج التصميم. ابدأ برسم المقطع الفعلي، بما في ذلك الثقوب وأنصاف أقطار التدوير والصفائح والإضافات الملحومة والاتجاه المستخدم في العنصر. حدّد المحاور المركزية وبيّن ما إذا كانت محاور رئيسية. وبالنسبة إلى محور تماثل، ينبغي أن يساوي حاصل ضرب العطالة صفرًا عندما تكون المحاور منطبقة على ذلك التماثل.

بعد ذلك، احسب مثالًا مرجعيًا بسيطًا بصورة مستقلة. فالمستطيلات والمثلثات والدوائر والدوائر المجوفة توفر فحوصًا مفيدة للمساحة والمركز وعزم المساحة الثاني $I$ والعزم القطبي للمساحة $I_p$ ومعامل المقطع. وبالنسبة إلى شكل مركب، احسب مساحات المكونات وعزومها الأولى، وحدد المركز، ثم طبّق نظرية المحاور المتوازية بصورة منفصلة لكل محور. وينبغي ألا يشترك جدول البيانات وبرنامج خصائص المقطع في المدخلات أو الصيغ المخفية نفسها إذا كان الغرض استخدامهما كمقارنة مستقلة. فعلى سبيل المثال، يعرض مورد MDSolids التابع لجامعة Missouri S&T المركز، وعزوم المساحة الثانية، ومعاملات المقطع، وأنصاف أقطار الدوران، ومعامل المقطع اللدن، والعزم القطبي، والعزوم الرئيسية للأشكال الفولاذية العامة والقياسية (Missouri S&T، 2024).

وأخيرًا، سجّل المصدر الدقيق، وتعيين المقطع، وإصدار المواصفة، والوحدات، وتسميات المحاور، وما إذا كانت القيم تمثل خصائص كلية أو صافية أو مرنة أو لدنة أو وفق Saint-Venant أو خصائص التشوه الملتوي. ويؤثر تعيين مثل ASTM A992 أو ASTM A36 في مقاومة المادة وفحوص التصميم؛ لكنه لا يغيّر الخصائص الهندسية للمقطع ذي الأبعاد نفسها. وبالمثل، لا تجعل S355، وفق مواصفات المنتجات والتصميم الأوروبية ذات الصلة، مقطعًا مطابقًا هندسيًا يكتسب قيمة مختلفة لـ $I$ أو $J$.

قبل أن تُستخدم نتيجة في توجيه تصميم منشأ حقيقي، ينبغي أن تتطلب قائمة التحقق ما يلي:

• رسمًا موضّح الأبعاد يبيّن الاتجاه والثقوب وأنصاف أقطار التدوير والمحاور المركزية؛
• مرجعًا لجدول المصدر أو لطريقة الحساب؛
• المواصفة المطبقة وإصدارها، مثل AISC Shapes Database v16.0 أو الإصدار السادس عشر من Steel Construction Manual أو SCI P363 أو EVS-EN 10365:2026؛
• وحدات محددة بوضوح لكل مدخل وخرج؛
• محاور $x$ و$y$ أو المحاور الرئيسية أو المحلية أو العامة، مع تسميتها بوضوح؛
• حسابًا يدويًا مستقلًا أو حسابًا برمجيًا أو مقارنة مع قيم مجدولة؛ و
• مراجعة من مهندس مؤهل عندما تؤثر القيمة في عنصر إنشائي حقيقي أو وصلة إنشائية.

المراجع

1. [1]American Institute of Steel Construction. AISC Shapes Database v16.0. AISC Shapes Database, 2023. https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/aisc-shapes-database-v160/
2. [2]American Institute of Steel Construction. 16th Edition Steel Construction Manual, Part 1. Steel Construction Manual, 2023. https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/