강재 단면 특성 계산: 면적, 단면2차모멘트, 단면계수 및 비틀림

강재 단면 성질이 나타내는 것

기하학적 성질과 재료 성질의 차이

강재 단면 성질은 단면의 기하학적 특성을 나타내는 지표이다. 이는 지정된 축을 기준으로 재료의 형상, 치수 및 위치를 이용하여 계산된다. 강재의 강도를 나타내는 값은 아니다.

총 단면적 $A$는 가장 간단한 예이다. 직사각형의 경우 $A=\mathrm{bh}$이고, 중공 원의 경우 외부 원의 면적에서 내부 원의 면적을 뺀 값이다. 치수가 동일하게 유지된다면 단면을 S275에서 S355로 변경해도 $A$는 변하지 않는다. 같은 구분은 단면 2차 모멘트, 단면계수, 회전반경, 비틀림 상수 및 워핑 상수에도 적용된다.

강재 등급은 재료 거동을 나타낸다. S275와 S355는 유럽 표준에서 사용하는 지정이고, ASTM A992는 일반적으로 광폭 플랜지 형상과 관련되는 미국 구조용 강재 규격이다. 이들 강재는 항복강도, 인장강도, 연성, 화학 조성 및 용접성이 서로 다를 수 있다. 이러한 야금학적 특성과 재료 성질은 저항능력과 설계 검토에 영향을 주지만, 특정 기하학적 단면 성질의 값을 더 크게 만들지는 않는다. 한 등급으로 지정된 W310×39는 다른 등급으로 제작된 동일한 W310×39와 공칭 단면적 및 단면 2차 모멘트가 같다.

대부분의 계산은 좌표를 사용하여 단면적을 정의하는 것에서 시작한다. 도심은 각 구성요소의 면적과 1차 모멘트로 구한다.

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

조립 단면에서는 평행축 정리를 이용하여 각 구성요소의 국부 단면 2차 모멘트를 공통 도심축으로 옮긴다. 예를 들어,

$$I_x=\sum (I_{x,i}+A_i{d}_{y,i}^2).$$

이 방법은 판, 앵글, T형강, 박스 단면 및 기타 조립 형상에 적용된다. 미시간대학교의 단면 성질 강의 자료는 이러한 구성요소 면적법을 제시하며, Abaqus는 연속체 형식으로 이를 설명한다. 즉, $I_{11}$과 $I_{22}$는 단면적 전체에 걸쳐 좌표 거리의 제곱을 적분하고, $I_{12}$는 좌표 거리의 곱을 적분한다. 일반적인 표기법에서 이 값들은 도심 기준 단면 2차 모멘트와 관성곱에 해당하지만, 구체적인 대응 관계는 소프트웨어의 축 규약에 따른다.

축 표기는 가정하지 말고 확인해야 한다. 많은 미국 강재 표에서 $x$는 도심을 지나는 강축이고 $y$는 약축이지만, 다른 소프트웨어에서는 국부축 1과 2를 다르게 지정할 수 있다. 주축 단면 2차 모멘트가 서로 다른 단면은 선택한 축의 조합에 대해 $I_{\mathrm{xy}}\ne 0$이 될 수 있다. 주축으로 회전하면 관성곱이 0이 되므로, 해당 축에서는 휨축들이 서로 연성되지 않는다. 대칭성 때문에 $I_{\mathrm{xy}}=0$이 되는 경우가 많지만, 이는 대칭축 또는 주축 체계에 대해서만 성립한다.

치수에도 한계가 있다. 표에는 공칭 치수가 제시될 수 있지만, 압연 공차, 모서리 반지름, 필릿 및 두께 변동은 실제 제작 형상에 영향을 준다. 단순히 “I형강”이라고만 식별된 단면은 설계에 사용하기에 충분히 정확하지 않다.

구조용 강재 설계에 사용되는 성질의 종류

주요 기하학적 값들은 서로 관련되어 있지만, 각각의 역할은 다르다.

${\mathrm{mm}}^2$ 또는 ${\mathrm{in}}^2$와 같은 단위를 사용하는 단면적 $A$는 평균 축응력 $P/A$에 직접 사용되며, 축압축 저항능력에도 기여한다. ${\mathrm{mm}}^4$ 또는 ${\mathrm{in}}^4$로 나타내는 도심 기준 단면 2차 모멘트 $I_x$와 $I_y$는 각각의 축에 대한 탄성 곡률에 대한 저항을 나타낸다. 이는 면적 적분값이지 재료 강도가 아니다.

탄성 단면계수는 다음과 같다.

\[ S_x=\frac{I_x}{c_x}, \qquad S_y=\frac{I_y}{c_y}, \]

여기서 $c$는 관련 도심축에서 최외단 섬유까지의 거리이다. 단위는 ${\mathrm{mm}}^3$ 또는 ${\mathrm{in}}^3$이다. 탄성 휨응력은 일반적으로 $M/S$로 나타낸다. I형 단면에서는 강축 단면계수가 약축 단면계수보다 몇 배나 클 수 있으므로, 단면적이 일정하더라도 방향을 바꾸면 휨 저항능력이 달라진다.

회전반경은 다음과 같다.

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}, \qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

회전반경의 단위는 길이이다. 기둥 설계에서 $\mathrm{KL}/r$은 세장비이므로 $r_x$와 $r_y$는 좌굴이 발생할 가능성이 높은 축을 판단하는 데 도움이 된다. 단면적이 크다고 해서 회전반경도 반드시 큰 것은 아니다. 면적을 한 축에서 멀리 배치하면 동일한 면적을 그 축 가까이에 집중하는 것보다 단면 2차 모멘트가 훨씬 효과적으로 증가한다.

길이의 4제곱 단위를 사용하는 관성곱 $I_{\mathrm{xy}}$는 두 비주축 사이의 연성을 나타낸다. 직교하는 도심축에 대해서는 극단면 2차 모멘트가

$$I_p=I_x+I_y$$

로 주어지며, 이는 한 점을 기준으로 한 면적 분포의 합을 나타낸다. 이를 비틀림 상수 $J$와 무심코 대체해서는 안 된다. 원형 단면에서는 극관성 모멘트와 Saint-Venant 비틀림 거동 사이의 관계가 특히 직접적이지만, 개방 압연 단면에서는 일반적으로 $J$가 $I_p$보다 훨씬 작으며 벽 두께의 분포에 의해 좌우된다.

비틀림 상수 $J$는 Saint-Venant 비틀림 강성을 나타내며, 일반적으로 ${\mathrm{mm}}^4$ 또는 ${\mathrm{in}}^4$로 표시된다. I형강과 채널처럼 얇은 벽을 가진 개방 단면은 상대적으로 작은 $J$를 가지는 반면, 폐쇄 박스 단면은 일반적으로 균일 비틀림에 더 효과적으로 저항한다. 흔히 ${\mathrm{mm}}^6$ 또는 ${\mathrm{in}}^6$로 표시되는 워핑 상수 $C_w$는 비균일 비틀림과 종방향 워핑에 관련된 저항을 나타낸다. 이는 비틀림 하중을 받을 때 플랜지가 워핑할 수 있는 개방 단면에서 특히 중요하다.

전단면적도 또 하나의 기하학적 값이다. 단위는 면적이지만 일반적으로 $A$와 같지는 않다. 전단변형 또는 전단저항 공식에서 사용되는 유효 면적을 나타내며, 그 값은 하중 방향과 단면 형상에 따라 달라진다. 소성 단면계수라고도 하는 소성계수 $Z_x$ 또는 $Z_y$는 소성 중립축을 정한 뒤 항복한 면적들의 1차 모멘트를 합하여 구한다. 이는 탄성계수 $S$와 다르다. $S$는 최외단 섬유에서 최초 항복이 발생하는 상태와 관련되고, $Z$는 단면 전체가 항복한 이상화 상태와 관련된다.

Missouri S&T의 MDSolids 자료는 일반 형상 및 표준 강재 형상에 대해 도심 위치, 단면 2차 모멘트, 단면계수, 회전반경, 소성계수, 극관성 모멘트 및 주축 단면 2차 모멘트를 서로 별개의 출력값으로 제시한다. 이러한 구분은 필수적이다.

동일한 단면에 여러 지배 성질이 필요한 이유

부재에는 하나의 보편적인 “용량 성질”이 존재하지 않는다. 작용의 종류에 따라 응력 및 변형 패턴이 달라지기 때문이다.

축인장은 주로 단면적과 적용되는 순단면적 또는 접합부 규정과 관련된다. 축압축은 단면적, 재료의 항복강도, 비지지 길이, 유효길이 및 관련 회전반경 중 작은 값에 좌우된다. 휨에는 $I$, $S$ 또는 $Z$가 사용되며, 횡방향 구속, 국부 세장비 및 강재 등급의 강도도 함께 고려해야 한다. 전단은 전단면적과 전단을 부담하는 웨브 또는 판 요소에 좌우된다. 비틀림은 $J$, $C_w$, 워핑 구속 및 하중 도입 방식에 따라 달라질 수 있다. 따라서 하나의 값으로 이러한 검토를 모두 대신할 수는 없다.

이 때문에 ANSI/AISC 360-16은 $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ 및 $C_w$를 서로 다른 단면 성질로 정의하고 사용한다. AISC Part 1, Dimensions and Properties는 2023 Steel Construction Manual에서 표로 정리된 치수 및 기하학적 성질을 다루는 기준 부분이며, AISC Shapes Database v16.0은 이러한 데이터를 미국 관용 단위와 미터법 단위로 제공한다. Steel Construction Institute의 2024 Blue Book 역시 유럽 형강에 대해 단면적, 단면 2차 모멘트, 탄성 및 소성계수, 회전반경, 비틀림 상수 및 워핑 상수를 제시한다.

참고 자료는 해당 형상과 판본에 맞아야 한다. EVS-EN 10365:2026은 열간 압연 채널, I형강 및 H형강의 공칭 치수와 질량을 규정하지만, 단면 성질 표를 대체하지는 않는다. Blue Book은 계산된 기하학적 성질을 제공한다. ArcelorMittal은 유럽의 계산 성질이 일반적으로 센티미터 단위로 제시되며, 표면적과 워핑 상수는 각각 미터 및 데시미터 기반 단위를 사용한다고 설명한다. 단위 변환 오류는 올바른 공식의 결과를 압도할 수 있다.

특히 조립 단면, 구멍이 있는 단면, 테이퍼 단면 또는 복합 단면은 표의 값을 수계산 또는 단면 성질 프로그램으로 확인해야 한다. 반올림은 경계값에 가까운 결과에 영향을 줄 수 있으며, 소프트웨어의 축 표기는 강축과 약축 성질을 서로 뒤바꿀 수 있다. 따라서 올바른 질문은 “이 단면의 강도는 얼마인가?”가 아니다. 올바른 질문은 작용에 해당하는 기하학적 성질이 무엇인지, 어떤 축과 단위를 적용해야 하는지, 그리고 어떤 재료 및 설계 기준이 저항능력 산정 규칙을 제공하는지이다.

좌표계, 도심 및 기준축

단면 특성은 기준축이 명시되기 전까지 완전한 의미를 갖지 않는다. “I형 단면의 관성모멘트”라는 표현은 불완전하다. 해당 값이 $I_x$, $I_y$, 주관성모멘트 또는 $I_{11}$과 같은 소프트웨어상의 양을 의미할 수 있기 때문이다. 동일한 단면이라도 한 축에 대한 면적 2차 모멘트는 크고 다른 축에 대한 값은 훨씬 작을 수 있다. 따라서 치수를 조합하거나 표에 수록된 값을 설계 계산에 옮기기 전에 좌표를 먼저 확정해야 한다.

평면 단면에 대해서는 일반적으로 도형의 평면 안에서 서로 직교하는 두 좌표축 $x$와 $y$를 설정한다. 면적상의 한 점은 좌표 $(x,y)$를 가지며, 미소 면적은 $\mathrm{dA}$이다. 총면적은 다음과 같다.

$$A={\int }_A\mathrm{dA}.$$

면적의 1차 모멘트는 도심을 결정한다.

\[ \bar{x}=\frac{1}{A}\int_A x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\int_A y\,dA. \]

이 식들은 도심이 모든 좌표의 면적 가중평균임을 의미한다. 같은 거리에 있는 경우, 더 큰 구성요소가 더 작은 구성요소보다 큰 영향을 미친다. 또한 도심이 외접 직사각형의 기하학적 중심과 일반적으로 일치하지 않는 이유도 보여 준다. 채널, 앵글, 티 또는 비대칭 조립 단면은 전체 깊이와 폭의 겉보기 중간 위치에서 도심이 상당히 벗어날 수 있다.

도심 좌표

$(\overline{x},\overline{y})$를 구한 후 다음과 같이 도심 좌표를 정의한다.

\[ x'=x-\bar{x},\qquad y'=y-\bar{y}. \]

도심축은 도심을 통과하므로 해당 축에 대한 면적 1차 모멘트는 0이 된다.

\[ \int_A x'\,dA=0,\qquad \int_A y'\,dA=0. \]

이 평행이동은 단순한 형식상의 조작이 아니다. 도심축에 대한 면적 2차 모멘트는 다음과 같다.

\[ I_x=\int_A y'^2\,dA,\qquad I_y=\int_A x'^2\,dA, \]

그리고 관성곱은 다음과 같다.

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_{A}x\prime y\prime \mathrm{dA}.$$

여기서 사용하는 아래첨자 규약은 일반적인 미국 구조공학 표기법을 따른다. $I_x$는 $x$-축으로부터의 거리의 제곱을 측정하고, $I_y$는 $y$-축으로부터의 거리의 제곱을 측정한다. 따라서 $I_x$는 $x^2$가 아니라 $y^2$를 사용하여 계산한다. 이러한 구분은 스프레드시트에서 값이 서로 뒤바뀌는 흔한 원인이다.

조립 단면에서는 먼저 각 구성요소의 면적과 도심을 계산한 다음 이를 조합한다. University of Michigan의 면적 특성 강의 자료는 면적 1차 모멘트와 평행축 정리를 이용한 이 구성요소법을 제시한다. 예를 들면 다음과 같다.

$$I_x={\sum }_i(I_{x,i,c}+A_i{d}_{y,i}^2),$$

여기서 $I_{x,i,c}$는 구성요소 자체의 도심축에 대한 값이고, $d_{y,i}$는 해당 구성요소의 도심에서 조립 단면의 도심 $x$-축까지의 수직 거리이다. $y$-축에 대해서도 이에 대응하는 식이 적용된다. 구멍은 음의 면적으로 취급한다. 따라서 직사각형, 삼각형, 원 또는 중공원을 직접 계산한 뒤 더 복잡한 강재 단면으로 조합할 수 있다.

단위는 해당 양의 종류를 명확히 보여 준다. 면적의 단위는 길이의 제곱인 반면, $I_x$, $I_y$, $I_{\mathrm{xy}}$의 단위는 길이의 4제곱이다. 단면계수의 단위는 길이의 세제곱이고, 회전반경의 단위는 길이이다.

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}},\qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

이들은 관성모멘트의 다른 명칭이 아니다. 서로 다른 질문에 답하는 서로 다른 양이므로, 동일한 형상을 설명한다는 이유만으로 서로 바꾸어 사용할 수 없다.

Abaqus는 관련되지만 동일하지는 않은 표기 체계를 사용한다. Abaqus의 보 단면 문서에서는 $I_{11}$과 $I_{22}$를 좌표 거리의 제곱을 적분하여 정의하고, $I_{12}$는 좌표 거리의 곱을 적분하여 정의한다. Abaqus의 국부 1–2축을 공학적 $x$–$y$축에 대응시킨 후에야 수치 결과를 익숙한 $I_x$, $I_y$ 또는 $I_{\mathrm{xy}}$와 연결할 수 있다. 문자 뒤의 숫자가 미국식 축 이름이라고 절대 가정해서는 안 된다. 소프트웨어의 국부축 정의와 부호 규약을 확인해야 한다.

장축과 단축

장축은 더 큰 주 면적 2차 모멘트에 대응하는 도심축이고, 단축은 더 작은 주값에 대응하는 도심축이다. 웨브와 플랜지에 맞춰 정렬된 이중대칭 I형 단면에서는 일반적으로 이 축들이 기하학적 수평 및 수직 도심축과 일치한다. 단면이 플랜지 폭에 비해 깊은 경우, 강축 방향의 휨에 대응하는 축이 더 큰 관성모멘트를 갖는다. 그러나 용어는 명시된 축과 연결하여 사용해야 한다. 도면이 회전되어 있을 때 “강축”이라는 표현이 잘못 해석될 수 있기 때문이다.

이 구분은 설계에 직접적인 영향을 준다. 탄성 휨응력에는 선택한 축을 기준으로 한 단면계수가 사용된다.

\[ S_x=\frac{I_x}{c_x},\qquad S_y=\frac{I_y}{c_y}, \]

여기서 $c$는 해당 축에서 관련 최외단 섬유까지의 최대 거리이다. 좌굴 계산에는 이에 대응하는 회전반경이 사용된다. 동일한 강재 형상 옆에 $r_x$와 $r_y$가 모두 표시되어 있다는 이유만으로 표에 수록된 $r_y$를 $r_x$ 대신 사용할 수는 없다.[1][1] AISC Shapes Database v16.0. American Institute of Steel Construction. AISC Shapes Database, 2023.

American Institute of Steel Construction은 Steel Construction Manual의 Part 1과 AISC Shapes Database v16.0에 이러한 양을 수록하고 있다. 2023년 AISC 설명에 따르면 해당 데이터베이스는 미국 관용 단위와 미터법 단위로 치수 및 단면 특성을 제공한다. ANSI/AISC 360-16은 $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$, $C_w$ 등을 포함한 양을 정의한다. 이러한 참고자료는 값을 확인하는 데 도움을 주지만, 기술자는 여전히 형상 지정, 판본, 단위 및 축의 방향을 확인해야 한다.

유럽 표는 자체적인 제시 관례를 사용한다. Steel Construction Institute의 2024 Blue Book은 면적, 면적 2차 모멘트, 단면계수, 회전반경, 비틀림 상수 및 뒤틀림 상수를 수록한다. EVS-EN 10365:2026은 열간압연 채널, I형 단면 및 H형 단면의 공칭 치수와 질량을 규정하며, 그 자체가 단면 특성표를 대체하지는 않는다. ArcelorMittal에 따르면 유럽에서 계산된 특성값은 일반적으로 센티미터를 사용하여 표현되며, 표면적과 뒤틀림 상수는 각각 미터 및 데시미터 기반 단위를 사용한다. 이러한 값을 AISC 표와 비교하기 전에는 단위 변환을 수행해야 한다.

대칭성과 주축

대칭축에 대한 도심 관성곱은 0이다. Strong evidence

대칭성은 강력한 검증 수단을 제공한다. 면적이 $x$-축에 대해 대칭이면 $+y$에 있는 모든 요소에 대응하는 $-y$의 요소가 존재하므로, ${\int }_A\mathrm{xy}\mathrm{dA}$에 대한 두 요소의 기여는 서로 상쇄된다. 따라서 해당 축에 대한 $I_{\mathrm{xy}}=0$이다. $y$-축에 대한 대칭에서도 동일한 결과가 얻어진다. 서로 직교하는 두 대칭축을 갖는 단면은 두 도심축에 대한 관성곱이 모두 0이다.

주축주축 관성곱이 0이 되고 휨 특성이 연성되지 않도록 회전하여 얻은 도심축.

비대칭 단면에는 일반적으로 이러한 편리한 성질이 없다. 그 도심 $x$축과 $y$축은 0이 아닌 $I_{\mathrm{xy}}$를 만들 수 있으며, 이는 한 축에 대한 휨이 다른 축에 대한 휨과 기하학적으로 연성될 수 있음을 의미한다. 주축은 관성곱이 0이 되도록 회전시킨 도심축이다. 주 면적 2차 모멘트는 다음과 같다.

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2},$$

주축의 각도는 채택한 부호 규약에 따라 다음 식을 만족한다.

$$\tan 2\theta =\frac{2I_{\mathrm{xy}}}{I_x-I_y},$$

더 큰 값은 주 장축 모멘트이고 더 작은 값은 주 단축 모멘트이다.

앵글, 채널, 편심판 및 불규칙한 조립 단면에서는 주축 계산이 선택사항이 아니라 필요할 수 있다. 예를 들어 MDSolids는 일반 형상과 표준 형상에 대해 도심 위치, 면적 2차 모멘트, 주관성모멘트 및 관련 특성값을 제시한다. 그러나 소프트웨어 출력은 검산 수단일 뿐, 좌표를 무시할 근거가 될 수 없다. 도심을 확인하고, 간단한 구성요소 계산 하나를 재현하며, 축 회전을 검토하고, 보고된 $I_{12}$가 수계산과 동일한 부호 규약을 사용하는지 확인해야 한다. 이러한 특성은 기하학에 의해 결정된다. 따라서 동일한 형상의 재료 지정만 ASTM A36에서 ASTM A572 Grade 50으로 변경하면 재료 저항은 달라지지만 도심이나 주축은 달라지지 않는다.

면적 및 단면1차모멘트

총단면적

단면적 $A$는 기하학적 양이다. 이는 단면이 차지하는 평면의 면적이 얼마나 되는지를 나타내며, 강재가 얼마나 강한지를 나타내는 값이 아니다. 연속적인 형상에서는

$$A={\int }_A\mathrm{dA}$$

이며, 여기서 $\mathrm{dA}$는 단면의 미소 요소이다. 단면을 단순한 여러 부분으로 나눈 경우에는 동일한 양을 다음과 같이 합산하여 계산한다.

$$A={\sum }_{i=1}^n{A}_i$$

직사각형의 경우 $A=\mathrm{bh}$, 삼각형의 경우 $A=\mathrm{bh}/2$, 원의 경우 $A=\pi d^2/4$이며, 중공원의 경우에는

$$A=\frac{\pi }{4}(D^2-d^2)$$

이다. 여기서 $D$는 외경이고 $d$는 내경이다. 이러한 식은 익숙한 형상에 대해 적분을 이미 수행한 결과이다.

구멍에는 음의 면적을 부여한다. 따라서 원형 개구부가 있는 직사각형 플레이트의 경우, 개구부를 제거하기 전의 재료 경계를 기준으로 플레이트 치수가 정의되어 있다면

$$A_{\text{gross}}=\mathrm{bt}-\frac{\pi d^2}{4}$$

가 된다. 음의 면적을 사용하는 관례는 다른 수학을 적용하는 지름길이 아니다. 이는 적분에서 해당 영역을 빼는 것을 부호를 포함한 형태로 나타낸 것이다.

총면적이라는 용어는 주의해서 사용해야 한다. 단면특성표에서는 일반적으로 구멍, 슬롯, 코프 또는 기타 접합 상세에 의해 나중에 제외될 재료를 포함하여 강재 형상의 전체 공칭 단면적을 의미한다. 순단면적은 설계 규정에 따라 구멍을 제외할 수 있으며, 유효단면적은 국부좌굴, 전단지연 또는 기타 규정의 영향을 추가로 고려할 수 있다. 이러한 후속 설계 면적은 기하학적 총단면적과 서로 바꾸어 사용할 수 없다. ANSI/AISC 360-16은 단면특성 및 설계 규정을 구분하여 제시하므로, 적용 가능한 순단면적 또는 유효단면적의 정의는 해당 한계상태 계산에서 관련 규정을 확인해야 한다.

치수, 허용오차 및 반올림은 결과에 영향을 준다. 표준에 제시된 공칭 H형강 치수가 모든 압연 부재의 실제 측정 치수와 반드시 일치하는 것은 아니다. EVS-EN 10365:2026은 열간압연 채널, I형강 및 H형강의 공칭 치수와 질량을 규정하지만, 단면특성표를 대체하지는 않는다. 반면 Steel Construction Institute의 Blue Book은 유럽 형강에 대해 면적과 단면2차모멘트 등의 계산된 특성을 제공한다. American Institute of Steel Construction이 2023년에 발행한 AISC Shapes Database v16.0은 미국 관용 단위와 미터법 단위로 치수 및 단면특성을 제공한다.

강재 등급은 이 기하학적 특성을 변화시키지 않는다. ASTM A992 W형강으로 지정된 단면과 다른 등급 지정으로 설명되더라도 기하학적으로 동일한 단면은 동일한 계산 면적을 갖는다. 등급은 저항, 항복강도 및 설계 검토에 영향을 주지만 $\mathrm{dA}$의 적분에는 영향을 주지 않는다. 동일한 구분은 적용 가능한 제품 및 재료 표준에 따라 작성된 유럽식 지정에도 적용된다.

단면1차모멘트와 도심 위치

축에 대한 단면1차모멘트는 좌표와 미소면적을 곱한 것을 면적에 대해 적분한 값이다.

\[ Q_x=\int_A y\,dA,\qquad Q_y=\int_A x\,dA \]

여기서 $y$는 $x$축으로부터 측정한 좌표이고, $x$는 $y$축으로부터 측정한 좌표이다. $Q_x$의 단위는 ${\text{mm}}^3$ 또는 ${\text{in}}^3$와 같은 길이의 세제곱이다. 이는 단면2차모멘트 $I$와 다르며, 단면2차모멘트의 단위는 길이의 네제곱이다.

도심 좌표는 다음과 같이 바로 구할 수 있다.

$$\overline{x}=\frac{1}{A}{\int }_{A}x\mathrm{dA}=\frac{\sum A_i{x}_i}{\sum A_i}$$ $$\overline{y}=\frac{1}{A}{\int }_{A}y\mathrm{dA}=\frac{\sum A_i{y}_i}{\sum A_i}$$

이는 University of Michigan의 단면특성 강의에서 가르치는 구성요소 면적법이다. 각 구성요소는 그 면적에 해당 구성요소 자체의 도심 좌표를 곱한 값만큼 기여한다. 기준축에서 멀리 떨어진 큰 면적은 기준축 가까이에 있는 작은 면적보다 더 큰 영향을 미친다.

계산하기 전에 축과 부호를 정해야 한다. 일반적인 관례에서는 오른쪽 방향의 $x$와 위쪽 방향의 $y$를 양의 방향으로 둔다. 그러면 $x$축 아래에 있는 구성요소는 음의 $y_i$를 가지므로 $\sum A_i{y}_i$에 음의 기여를 한다. 구멍의 $A_i$는 음수이므로, 그 좌표가 양수일 때 구멍의 단면1차모멘트 기여도 음수가 된다. 기준 원점을 변경하면 개별 모멘트는 변하지만 최종 도심은 변하지 않는다.

대칭 단면에서 도심은 모든 대칭축 위에 놓인다. 따라서 이중대칭 I형강의 도심은 웨브와 플랜지의 대칭축이 교차하는 지점에 있다. 대칭성은 유용한 검산 방법이지만, 플레이트, 개구부, 용접 부착물 또는 편심 보강재로 인해 대칭이 깨진 경우 계산을 생략할 근거가 되지는 않는다.

동일한 $Q$ 기호는 횡전단 공식에도 사용되지만, 선택한 면적과 축을 명시해야 한다. 보의 경우,

$$\tau =\frac{\mathrm{VQ}}{\mathrm{Ib}}$$

이며, 여기서 $Q$는 전단응력을 평가하는 지점의 한쪽에 있는 면적 부분을 중립축에 대해 취한 단면1차모멘트이다. $I$는 해당 축에 대한 전체 단면의 단면2차모멘트이고, $b$는 전단흐름에 저항하는 국부 폭 또는 두께이다. 이 $Q$는 임의의 기준선에 대한 전체 단면의 단면1차모멘트와 자동으로 같은 것이 아니다. 도심축에 대한 전체 면적의 단면1차모멘트는 0이다.

조립 단면의 구성요소 면적표

표를 사용하면 분할한 단면의 계산을 검증할 수 있다. 최소한 각 구성요소의 부호가 반영된 면적, 도심 좌표 및 단면1차모멘트 기여량을 포함해야 한다.

그런 다음 다음 식을 계산한다.

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} \]

표 전체에서 하나의 좌표계와 하나의 단위계를 사용해야 한다. 밀리미터와 미터를 혼용하면 단면1차모멘트에서 ${10}^3$, 단면2차모멘트에서 ${10}^6$의 계수 차이가 발생할 수 있다.

조립 단면의 경우, 이 표를 통해 $I_x$와 $I_y$에 평행축 정리를 적용하기 전에 도심을 정할 수 있다. 또한 직접적인 검산도 가능하다. 계산된 도심에 대한 전체 면적의 대수적 단면1차모멘트는 0이어야 한다. Missouri S&T의 MDSolids와 같은 소프트웨어는 일반 형상 및 표준 강재 형상에 대해 도심 위치와 관련 특성을 계산할 수 있지만, 독립적으로 작성한 구성요소 표는 여전히 효과적인 검증 방법이다.

표에 기재된 값은 정확한 형상, 축의 관례, 판본 및 단위와 일치해야 한다. AISC Part 1은 표준 미국 치수와 기하학적 특성에 관한 Steel Construction Manual의 참조 부분이다. 유럽 단면표는 계산된 특성을 센티미터 단위로 제시할 수 있으며, ArcelorMittal은 표면적과 뒤틀림상수가 각각 미터 기반 단위와 데시미터 기반 단위를 사용한다고 명시한다. 따라서 면적과 단면1차모멘트에는 단순한 숫자만 기재하지 말고 단위를 표시해야 한다.

단면2차모멘트: $I_x$, $I_y$, $I_{\mathrm{xy}}$

단면2차모멘트는 단면적이 지정된 축을 기준으로 어떻게 분포하는지를 나타낸다. 이는 재료 강도값이 아니라 기하학적 특성이다. 구조용 강재를 ASTM A36에서 ASTM A572 Grade 50으로 변경하면 저항 검토와 설계강도는 달라지지만, 단면 형상 치수가 동일하게 유지되는 경우 $I_x$, $I_y$, $I_{\mathrm{xy}}$는 변하지 않는다.

축의 표기는 주의해서 해석해야 한다. 일반적인 규약에서는 $I_x$가 $x$-축을 기준으로 한 면적 분포를 나타내므로 제곱되는 거리는 $y$ 좌표이다. 마찬가지로 $I_y$는 $y$-축을 기준으로 한 분포를 나타내며 제곱되는 좌표는 $x$이다. 일부 소프트웨어와 표준에서는 $I_{11}$, $I_{22}$와 같은 번호가 매겨진 축을 사용하므로, 값을 비교하기 전에 좌표 규약을 확인해야 한다. Abaqus 문서에서는 $I_{11}$과 $I_{22}$를 제곱된 좌표 거리의 적분으로, $I_{12}$를 좌표 거리의 곱의 적분으로 정의하여 도심 기준 특성을 제시한다(Abaqus, 2024).

적분 정의

선택한 원점으로부터 좌표를 측정하는 단면적 $A$에 대하여,

$$I_x={\int }_A{y}^2\mathrm{dA}$$ $$I_y={\int }_A{x}^2\mathrm{dA}$$

그리고

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_A\mathrm{xy}\mathrm{dA}.$$

앞의 두 양은 단면2차모멘트이다. 단위는 길이의 4제곱으로, ${\text{mm}}^4$, ${\text{cm}}^4$, ${\text{in}}^4$ 등이 사용된다. 단면상승모멘트도 같은 단위를 갖는다.

핵심은 거리의 제곱이다. $x$-축에서 $y$만큼 떨어진 작은 면적 요소는 단순히 $\mathrm{ydA}$가 아니라 $y^2\mathrm{dA}$를 기여한다. 동일한 면적을 가진 한 요소가 다른 요소보다 축에서 두 배 멀리 떨어져 있다면, $I_x$에 네 배 더 크게 기여한다. 중립축 가까이에 있는 재료의 기여는 작고, 멀리 배치된 재료의 기여는 훨씬 크다. 따라서 I형 단면의 플랜지는 강축 휨강성에 크게 기여하며, 웨브는 그 면적만으로 예상하는 것보다 약축 특성에 더 큰 비중으로 기여한다.

$x$-축과 평행한 폭 $b$, $y$-축과 평행한 높이 $h$를 가지며 중앙을 지나는 도심축을 기준으로 하는 직사각형의 경우,

\[ I_x=\frac{bh^3}{12}, \qquad I_y=\frac{hb^3}{12}. \]

치수가 세제곱으로 포함된다는 점은 직사각형 단면을 회전시킬 때 휨강성이 크게 달라지는 이유를 설명한다. 폭이 같은 경우, 깊이 $200\text{mm}$인 직사각형은 깊이 $100\text{mm}$인 직사각형보다 $I_x$가 훨씬 크다. 면적은 두 배에 불과하지만 $I_x$는 그보다 훨씬 크게 증가한다.

삼각형의 경우, 밑변과 평행한 도심 기준 단면2차모멘트는 다음과 같다.

$$I_x=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{36},$$

여기서 $b$는 밑변이고 $h$는 수직 높이이다. 반지름 $r$인 원은 임의의 도심 기준 직경에 대하여

$$I_x=I_y=\frac{\pi r^4}{4}$$

를 갖는다. 중공원의 경우에는 외측 기여분에서 내측 기여분을 뺀다.

$$I_x=I_y=\frac{\pi }{4}(r_o^4-r_i^4).$$

이 식들은 단면 특성 소프트웨어 및 표의 값을 검산하는 데 유용하지만, 극관성모멘트, 비틀림상수 또는 단면계수와 서로 바꾸어 사용할 수는 없다.

평행축 정리

복합 단면의 수계산은 형상을 단순한 구성요소로 나누는 것에서 시작한다. 각 구성요소에 대해 면적 $A_i$, 도심 좌표 $(x_i,y_i)$, 도심 기준 단면2차모멘트 $I_{x,i,c}$ 및 $I_{y,i,c}$를 구한다. 단면1차모멘트를 이용하여 전체 도심을 구한다.

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

복합 단면의 도심을 구한 후에는 평행축 정리를 사용하여 각 구성요소의 특성을 복합 단면의 축으로 옮긴다.

$$I_x=\sum (I_{x,i,c}+A_i(y_i-\overline{y}{)}^2),$$ $$I_y=\sum (I_{y,i,c}+A_i(x_i-\overline{x}{)}^2).$$

단면상승모멘트에 대해서는

$$I_{\mathrm{xy}}=\sum (I_{\mathrm{xy},i,c}+A_i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}\left)\right).$$

이동항은 구성요소 자체의 도심 기준 값보다 더 중요할 때가 많다. 플랜지 자체의 축에 대한 관성모멘트가 크지 않더라도, 전체 도심에서 멀리 떨어져 있으면 $A_i{d}^2$ 항이 크게 나타날 수 있다.

$200\text{mm}\times 20\text{mm}$ 플랜지와 $20\text{mm}\times 180\text{mm}$ 웨브로 구성되고 웨브가 플랜지 아래 중앙에 배치된 대칭 T형 단면을 생각해 보자. 플랜지 면적은 $4,000{\text{mm}}^2$, 웨브 면적은 $3,600{\text{mm}}^2$이다. 웨브 하단에서 위쪽으로 측정할 때 각 도심의 위치는 $y_f=190\text{mm}$, $y_w=90\text{mm}$이다. 따라서,

$$\overline{y}=\frac{4,000\left(190\right)+3,600\left(90\right)}{7,600}=142.63\text{mm}.$$

플랜지에 대해서는

$$I_{x,f,c}=\frac{200(20{)}^3}{12}=133,333{\text{mm}}^4,$$

웨브에 대해서는

$$I_{x,w,c}=\frac{20(180{)}^3}{12}=9,720,000{\text{mm}}^4.$$

평행축 정리를 적용한 값은 대략 다음과 같다.

$$I_x=133,333+4,000(47.37{)}^2+9,720,000+3,600(52.63{)}^2,$$

따라서

$$I_x\approx 31.2\times {10}^6{\text{mm}}^4.$$

웨브의 자체 깊이가 결과의 상당 부분을 차지하지만, 플랜지가 도심에서 벗어나 있는 효과도 큰 항을 추가한다. 평행축 항을 누락하면 단면 특성을 과소평가하게 된다.

빈 공간에 대해서도 같은 방법을 적용할 수 있으며, 이때 면적과 구성요소 특성을 음수로 취급한다. 외측 직사각형에서 내측 직사각형을 빼는 방식으로 직사각형 중공단면을 계산할 수 있는 이유가 여기에 있다. 단, 내측 치수와 축의 위치를 정확하게 정의해야 한다.

단면상승모멘트와 회전축

단면상승모멘트는 면적이 좌표의 양의 영역 또는 음의 영역에 서로 짝을 이루어 어떻게 분포하는지를 나타낸다. 도심 좌표를 사용할 때 제1사분면의 면적 요소는 양의 $\mathrm{xy}$를 갖고, 제2사분면의 면적 요소는 음의 $\mathrm{xy}$를 갖는다. 서로 반대되는 기여분은 상쇄될 수 있다.

원점이 도심에 있고 단면에 $x$-축 또는 $y$-축과 일치하는 대칭축이 있으면 $I_{\mathrm{xy}}$는 0이 된다. $x$-축에 대한 반사는 $y$를 $-y$로 바꾸어 $\mathrm{xy}$의 부호를 반전시키므로 대칭을 이루는 쌍의 기여분은 서로 상쇄된다. $y$-축에 대한 대칭에도 같은 논리가 적용된다. 따라서 직사각형, 원, I형 단면 및 중앙에 배치된 중공단면은 일반적인 도심 기준 대칭축에 대해 $I_{\mathrm{xy}}=0$이다.

ㄱ형강, 채널, T형강 또는 비대칭 조립단면은 일반적으로 대칭축이 하나뿐이거나 대칭축이 전혀 없다. 이러한 단면의 단면상승모멘트는 임의의 도심 기준 축에 대해 0이 아닐 수 있다. 대칭축이 하나인 단면이라도 선택한 한 축이 그 대칭축을 따라가고 다른 축이 이에 수직인 경우에만 $I_{\mathrm{xy}}=0$이다.

축을 회전시키면 세 값은 다음과 같이 변한다.

$$I_{x\prime }=\frac{I_x+I_y}{2}+\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta -I_{\mathrm{xy}}\sin 2\theta ,$$ $$I_{y\prime }=\frac{I_x+I_y}{2}-\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta +I_{\mathrm{xy}}\sin 2\theta ,$$ $$I_{x\prime y\prime }=\frac{I_x-I_y}{2}\sin 2\theta +I_{\mathrm{xy}}\cos 2\theta .$$

부호는 채택한 축 및 회전 규약에 따라 달라지므로, 계산 전체에서 동일한 규약을 유지해야 한다. 주축은 $I_{x\prime y\prime }=0$이 되는 방향이다. 이에 대응하는 주단면2차모멘트는 다음과 같다.

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2}.$$

양축 대칭인 I형 단면에서는 익숙한 강축과 약축이 이미 주축이다. 채널이나 ㄱ형강에서는 도심 기준의 기하학적 축이 주축이 아닐 수 있으며, 한 축에 대한 휨이 다른 축과 관련된 곡률 또는 응력 효과를 유발할 수 있다. 비대칭 조립단면도 동일한 방식으로 처리해야 한다. 대칭성을 확인하지 않고 $I_{\mathrm{xy}}=0$이라고 가정하면 잘못된 휨 응답을 얻을 수 있다.

미국철강건설협회가 2023년에 발행한 AISC Shapes Database v16.0은 미국 관용 단위와 미터법 단위로 치수 및 특성을 제공하며, AISC Part 1은 표로 정리된 치수와 기하학적 특성을 제공한다. Steel Construction Institute의 2024 Blue Book은 해당되는 경우 단면2차모멘트와 주축 정보를 포함한 유럽 단면 특성을 제시한다. EVS-EN 10365:2026은 공칭 치수와 질량을 규정하며, 계산된 모든 특성을 제공하는 것은 아니다. 단위 규약도 서로 다르다. ArcelorMittal은 유럽에서 계산된 특성이 일반적으로 센티미터 단위로 보고되며, 표면적과 뒤틀림상수에는 미터 및 데시미터 기반 단위가 사용된다고 밝히고 있다. 표에서 가져온 값은 정확한 단면 형상, 축, 단위 및 표준 판본을 확인한 후에만 유효하게 사용할 수 있다.

기본 형상에 대한 수계산

수계산은 강재 등급이 아니라 경계와 좌표계에서 시작한다. $x$와 $y$를 사용하여 단면 내 점의 위치를 나타내고, 원점은 처음에는 편리한 임의의 기준점으로 설정할 수 있다. 총 단면적은

$$A={\int }_A\mathrm{dA}$$

1차 모멘트로부터 도심을 구하면 다음과 같다.

\[ \bar{x}=\frac{1}{A}\int_A x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\int_A y\,dA \]

도심을 구한 후, 도심축에 대한 단면2차모멘트는 다음과 같다.

\[ I_x=\int_A (y-\bar{y})^2dA,\qquad I_y=\int_A (x-\bar{x})^2dA \]

단면상승모멘트는

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_A(x-\overline{x})(y-\overline{y})\mathrm{dA}$$

이는 Abaqus의 규약과 일치한다. 즉, I11과 I22는 좌표 거리의 제곱을 적분하고, I12는 좌표 거리의 곱을 적분한다. 참고 자료에 따라 첨자 표기가 달라질 수 있으므로, 표를 사용하기 전에 축의 정의를 확인해야 한다.

직사각형 및 삼각형 단면

$x$축과 평행하게 측정한 폭이 $b$이고 $y$축과 평행하게 측정한 높이가 $h$인 직사각형의 경우,

$$A=\mathrm{bh}$$

직사각형이 두 축에 대해 대칭이면 도심은 기하학적 중심에 위치하며, 대칭성에 의해 $I_{\mathrm{xy}}=0$이다. 도심축에 대한 단면2차모멘트는

\[ I_x=\frac{bh^3}{12},\qquad I_y=\frac{hb^3}{12} \]

치수는 두 단면2차모멘트에 동일한 방식으로 영향을 주지 않는다. $h$를 증가시키면 $I_x$는 세제곱에 비례하여 증가하는 반면, $b$를 증가시키면 $I_x$는 선형적으로만 증가한다. $I_y$에는 반대의 관계가 적용된다. 따라서 동일한 면적을 추가하더라도 축에서 더 멀리 재료를 배치하는 것이 해당 축 가까이에 재료를 추가하는 것보다 휨강성에 훨씬 큰 영향을 줄 수 있다.

직사각형의 하단 모서리를 기준축으로 사용하는 경우, 도심은 다음 위치에 있다.

$$\overline{y}=\frac{h}{2}$$

해당 모서리에 대한 단면2차모멘트는

$$I_{x,\text{edge}}=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{3}$$

도심축에 대한 값은 평행축 정리로부터 다음과 같이 구할 수 있다.

$$I_{x,\text{edge}}=I_{x,\text{centroid}}+A(\frac{h}{2}{)}^2$$

이 두 값을 혼동하는 것은 수계산에서 흔히 발생하는 오류이다.

삼각형의 경우 밑변을 $b$, 수직 높이를 $h$라고 하자. 면적은

$$A=\frac{\mathrm{bh}}{2}$$

도심은 밑변으로부터 높이의 3분의 1 지점, 또는 꼭짓점으로부터 높이의 3분의 2 지점에 위치한다. 도심을 지나고 밑변과 평행한 축에 대한 단면2차모멘트는

$$I_x=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{36}$$

밑변 자체에 대한 단면2차모멘트는

$$I_{x,\text{base}}=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{12}$$

다시 말해, 평행축 정리가 이 두 값을 연결한다. 도심축에 대한 $I_y$는 삼각형의 수평 방향 형상에 따라 달라진다. 대칭축이 수직인 이등변삼각형의 경우,

$$I_y=\frac{b^{3}h}{48}$$

이며, 대칭성에 의해 도심을 지나는 수평축과 수직축에 대해 $I_{\mathrm{xy}}=0$이다. 일반적인 부등변삼각형에서는 이들 축에 대한 단면상승모멘트가 0이 아니므로 주축이 회전되어 있다.

치수 검토를 하면 많은 오류를 즉시 발견할 수 있다. 면적의 단위는 $L^2$, 1차 모멘트의 단위는 $L^3$, 단면2차모멘트의 단위는 $L^4$이다. 따라서 ${\mathrm{bh}}^3$은 단면2차모멘트에 치수상 적합하지만 ${\mathrm{bh}}^2$는 적합하지 않다. 모든 길이가 배율 $k$만큼 변경되면 면적은 $k^2$, 도심 좌표는 $k$, 단면2차모멘트는 $k^4$에 따라 변한다.

원형 및 중공 원형 단면

반지름이 $r$, 또는 지름이 $d=2r$인 실원형의 경우,

$$A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}$$

도심을 지나는 모든 지름은 대칭축이다. 따라서

$$I_x=I_y=\frac{\pi r^4}{4}=\frac{\pi d^4}{64}$$

이며,

$$I_{\mathrm{xy}}=0$$

도심에 대한 극단면2차모멘트는

$$J_p=I_x+I_y=\frac{\pi r^4}{2}=\frac{\pi d^4}{32}$$

이다.

이 극단면2차모멘트가 모든 단면에서 보의 비틀림에 사용되는 Saint-Venant 비틀림상수 $J$와 자동으로 같은 것은 아니다. 원형 단면에서는 실원형의 비틀림상수가 극단면2차모멘트와 같지만, 이러한 등가 관계를 개방형 I형 단면이나 채널 단면에 적용해서는 안 된다.

외측 반지름이 $r_o$, 내측 반지름이 $r_i$인 중공 원형의 경우,

$$A=\pi (r_o^2-r_i^2)$$

도심은 공통 중심에 그대로 위치하며,

$$I_x=I_y=\frac{\pi }{4}(r_o^4-r_i^4)$$

이다.

극단면2차모멘트는

$$J_p=\frac{\pi }{2}(r_o^4-r_i^4)$$

이다.

외측 지름과 내측 지름을 각각 $d_o$, $d_i$로 사용하면 동일한 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[ A=\frac{\pi}{4}(d_o^2-d_i^2),\qquad I_x=I_y=\frac{\pi}{64}(d_o^4-d_i^4) \]

여기서 뺄셈은 실원형 단면에 대한 근사가 아니라 빈 공간을 기하학적으로 제거하는 것이다. 또한 유용한 극한 검토도 가능하다. $r_i=0$이면 중공 원형에 대한 식은 실원형에 대한 식으로 환원된다. $r_i$가 $r_o$에 가까워지면 면적과 단면2차모멘트는 0에 가까워진다. 얇은 벽은 의미 있는 폐쇄 면적을 유지할 수 있지만, 휨 및 비틀림 특성은 벽 두께에 크게 좌우되므로 동일한 외경을 가진 실원형으로 대체하는 것은 허용되지 않는다.

단순 형상을 조합한 강재 형강 단면

조립 단면은 재료를 더하고 빈 공간을 빼는 방식으로 계산한다. 단면을 직사각형, 삼각형, 원 또는 특성이 알려진 기타 형상으로 나눈다. 각 구성요소 $i$에 대해 부호가 포함된 면적 $A_i$, 도심 좌표 $(x_i,y_i)$, 그리고 도심축에 대한 특성값 $I_{x,i}$, $I_{y,i}$, $I_{\mathrm{xy},i}$를 기록한다. 절개부에는 음의 면적을 사용한다.

합성 단면의 도심은

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} \]

이다.

그다음 평행축 정리를 적용한다.

$$I_x=\sum [I_{x,i}+A_i(y_i-\overline{y}{)}^2]$$ $$I_y=\sum [I_{y,i}+A_i(x_i-\overline{x}{)}^2]$$ $$I_{\mathrm{xy}}=\sum [I_{\mathrm{xy},i}+A_i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}\left)\right]$$

빈 공간은 면적에 기반한 모든 항에 음의 값으로 기여한다. 예를 들어 직사각형 튜브는 외측 직사각형에서 내측 직사각형을 빼는 방식으로 취급할 수 있으며, 이때 두 직사각형이 올바른 기준축을 공유해야 한다. I형 단면은 웨브 직사각형과 두 개의 플랜지 직사각형으로 조합할 수 있고, 전체 도심으로부터의 오프셋은 평행축 항에 포함한다. 채널 단면도 유사한 방식으로 조합할 수 있지만, 그 도심은 일반적으로 두 기하학적 축 모두 위에 있지 않다.

대칭성은 강력한 검토 수단이다. $x$축에 대해 대칭인 단면은 해당 축을 기준으로 사용했을 때 $\overline{y}=0$이어야 하며, 도심축에 대한 $I_{\mathrm{xy}}$는 0이다. 두 축에 대해 대칭인 I형 단면은 주축이 도심축과 일치한다. 이러한 단면에서 계산 결과 단면상승모멘트가 0이 아니라면 구성요소의 좌표, 부호 또는 축 표기가 잘못된 것이다.

최종 값은 다음과 같은 극한 검토도 통과해야 한다. 구성요소를 제거하면 면적이 감소해야 하고, 축에서 더 멀리 재료를 이동시키면 해당 단면2차모멘트가 증가해야 하며, 빈 공간의 크기가 0에 가까워지면 그 영향이 없어야 한다. 전체 계산에서 치수는 하나의 단위계로 통일한다. 길이를 밀리미터로 사용하면 $A$는 ${\mathrm{mm}}^2$, $I$는 ${\mathrm{mm}}^4$이다. 결과를 미터 단위로 변환하려면 면적은 ${10}^6$, 단면2차모멘트는 ${10}^{12}$로 나누어야 한다. ArcelorMittal이 설명하듯이 유럽 표에서는 계산된 단면 특성을 센티미터 단위로 제시하는 경우가 일반적이며, 표면적과 뒤틀림상수에는 미터 및 데시미터 기반 단위가 사용된다.

수계산 결과는 정확한 형강 표를 대체하는 것이 아니라 그 결과를 검증하기 위한 것이다. AISC Shapes Database v16.0 및 AISC Part 1은 미국 형강의 치수와 기하학적 특성을 제공하며, SCI P363, The Blue Book은 유럽 단면 특성을 제공한다. EVS-EN 10365:2026은 모든 파생 특성이 아니라 공칭 치수와 질량을 규정한다. 판 두께 공차, 필릿, 모서리 반지름 및 반올림은 결과를 변경할 수 있다. 수계산으로 구성한 이상화 모델과 발행된 강재 형강을 비교하기 전에 정확한 규격명과 판본을 확인해야 한다.

단면계수, 회전반경 및 극단면 특성

단면계수, 회전반경 및 극단면 특성은 동일한 단면 형상에서 유도되지만, 서로 다른 공학적 질문에 답한다. 이들 중 어느 것도 재료 강도값은 아니다. 물리적인 단면 치수가 동일하게 유지되는 경우 ASTM A36 강재를 ASTM A992 강재로 변경해도 $I_x$, $S_x$, $r_x$ 또는 $J$는 변하지 않는다. 강종은 저항성능, 해당되는 경우 재료 탄성계수를 통한 강성 검토, 그리고 허용강도 또는 설계강도를 변경한다. 형상으로부터 결정되는 것은 여전히 기하학적 특성이다.

표에서 어떤 수치를 옮겨 적기 전에 축의 표기를 먼저 확인해야 한다. AISC, SCI 및 유럽의 표도 이러한 확인을 대신할 수 없다. American Institute of Steel Construction은 AISC Shapes Database v16.0이 미국 관용단위 및 미터법 단위로 치수와 단면 특성값을 제공하며, AISC Part 1이 표에 수록된 치수 및 기하학적 특성값의 기준 자료라고 명시한다. 유럽에서는 EVS-EN 10365:2026이 열간압연 채널, I형 단면 및 H형 단면의 공칭 치수와 질량을 규정하며, 계산된 특성값은 Steel Construction Institute의 Blue Book과 같은 참고자료에서 제공된다.

탄성 단면계수

탄성 단면계수는 관련 도심축의 단면2차모멘트를 해당 도심축에서 최외단 섬유까지의 거리로 나눈 값이다. $x$축에 대한 휨의 경우,

$$S_x=\frac{I_x}{c_y}$$

여기서 $c_y$는 $x$축에서 인장 또는 압축 측 최외단 섬유까지의 최대 거리이다. $y$축에 대한 휨의 경우,

$$S_y=\frac{I_y}{c_x}$$

여기서 $c_x$는 $y$축에서 최외단 섬유까지의 최대 거리이다. $S$의 아래첨자는 휨축을 나타내며, 분자의 최외단 섬유 거리 방향을 나타내는 것은 아니다.

이 구분은 플랜지 폭이 서로 다른 I형 단면, 채널, 앵글 또는 그 밖의 비대칭 형상에서 중요하다. 양쪽 최외단 섬유까지의 거리가 서로 다를 수 있으므로, 단면은 서로 다른 양의 탄성 단면계수와 음의 탄성 단면계수를 가질 수 있다. 표에는 하나의 값 대신 $S_{x,\mathrm{top}}$ 및 $S_{x,\mathrm{bottom}}$, 또는 $S_{x,\max }$ 및 $S_{x,\min }$이 제시될 수 있다. 양쪽 면에 더 큰 값을 사용하면 더 작은 값이 지배하는 경우 안전하지 않은 휨 저항능력을 산정할 수 있다.

단위는 식에서 바로 결정된다. $I_x$와 $I_y$는 길이의 4제곱 차원을 가지며 $c$는 길이 차원을 가지므로, $S_x$와 $S_y$는 길이의 3제곱 차원을 갖는다. 일반적인 단위계에서는 ${\mathrm{mm}}^3$, ${\mathrm{cm}}^3$ 또는 ${\mathrm{in}}^3$로 표시한다. ${\mathrm{cm}}^3$와 ${\mathrm{mm}}^3$ 사이의 변환 오류는 100이 아니라 1,000의 배수를 초래한다.

폭 $b$, 높이 $h$인 직사각형 단면의 경우,

\[ I_x=\frac{bh^3}{12},\qquad S_x=\frac{bh^2}{6}. \]

$I_x$에서는 높이가 세제곱으로, $S_x$에서는 제곱으로 적용된다. 따라서 직사각형 봉을 회전시키면 휨 저항능력이 크게 달라질 수 있다. 동일한 면적이라도 90도 회전시키면 동일한 휨 단면이 아니다.

탄성 단면계수는 탄성 응력 분포에 적용된다. 이때 휨응력은 중립축에서 0이고 최외단 섬유에서 최대가 되도록 선형적으로 변한다.

$${\sigma }_{\max }=\frac{M}{S}.$$

이는 전체 단면이 항복에 도달한 후 인장 및 압축의 합력 크기가 같다는 조건에 기반하는 소성 단면계수 $Z$와 혼동해서는 안 된다. $Z$ 역시 길이의 3제곱 차원을 갖는 특성값이지만, $S$와 서로 바꾸어 사용할 수는 없다.

회전반경

회전반경은 수학적으로 등가인 방식으로, 지정된 도심축으로부터 면적이 얼마나 떨어져 분포하는지를 나타낸다. $x$축에 대해서는,

$$r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}},$$

$y$축에 대해서는,

$$r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}.$$

여기서 $A$는 총 단면적이다. $I$의 단위가 $L^4$이고 $A$의 단위가 $L^2$이므로, 각 회전반경의 단위는 길이, 즉 밀리미터, 센티미터 또는 인치이다.

$r$이 클수록 관련 축에서 멀리 떨어져 분포하는 면적이 많다는 뜻이다. 이것이 I형 단면이 큰 $r_x$와 훨씬 작은 $r_y$를 가질 수 있는 이유이다. 플랜지는 강축에서 상당한 면적을 멀리 배치하지만, 복부와 플랜지의 두께로 인해 약축에 대해서는 분포하는 면적이 상대적으로 적다.

주된 설계 용도는 축방향 부재의 좌굴 검토이다. 부재 길이가 $L$, 유효길이계수가 $K$일 때 각 축에 대한 세장비는 다음과 같다.

\[ \frac{KL_x}{r_x} \quad\text{and}\quad \frac{KL_y}{r_y}. \]

일반적으로 더 큰 값이 더 중요한 좌굴 방향을 나타내지만, 단부 구속, 가새, 비틀림-휨 효과 및 설계기준의 분류 규칙을 함께 고려해야 한다. 면적만 비교하면 이러한 거동을 파악할 수 없다. 두 단면의 총 단면적과 질량이 유사하더라도 약축 회전반경은 크게 다를 수 있으며, 그 결과 압축 성능도 달라질 수 있다.

회전반경은 강재 단면에서 눈으로 확인할 수 있는 실제 반지름이 아니다. 이는 면적 분포로부터 계산된다. Missouri S&T의 MDSolids 자료는 도심 위치, 단면2차모멘트, 단면계수, 회전반경, 소성계수, 극단면2차모멘트 및 주단면2차모멘트를 서로 별도의 출력값으로 제시한다. 이는 이러한 명칭들이 서로 다른 계산을 나타낸다는 점을 상기시켜 준다.

조립 단면에서는 제곱근을 취하기 전에 $A$, 도심 좌표, 각 구성요소의 단면2차모멘트 및 평행축 정리를 사용한다. 계산 결과는 축의 표기 관례와 대조하여 확인해야 한다. Abaqus는 면적 적분을 통해 도심 특성값을 설명한다. $I_{11}$과 $I_{22}$는 좌표 거리의 제곱을 적분하며, $I_{12}$는 좌표 거리의 곱을 적분한다. 이는 수계산에 사용되는 것과 동일한 기하학적 기반이지만, 소프트웨어에서 사용하는 축의 명칭은 강재 표의 축 명칭과 다를 수 있다.

극단면2차모멘트와 그 한계

단면 평면에 수직인 한 점을 기준으로 한 극단면2차모멘트는 다음과 같다.

$$I_p={\int }_A{r}^2\mathrm{dA}.$$

서로 수직인 도심 $x$축과 $y$축에 대해서는,

$$I_p=I_x+I_y.$$

단위는 $L^4$, 예를 들어 ${\mathrm{mm}}^4$ 또는 ${\mathrm{in}}^4$이다. 반지름이 $R$인 실체 원형 면적의 경우,

$$I_p=\frac{\pi R^4}{2},$$

외반지름 $R_o$, 내반지름 $R_i$인 원환형 면적의 경우,

$$I_p=\frac{\pi }{2}(R_o^4-R_i^4).$$

이 식들은 극단면2차모멘트가 원형 축의 비틀림과 형상 및 하중이 회전대칭인 문제에 유용함을 보여 준다. 탄성 비틀림을 받는 원형 축에서는 극단면2차모멘트를 흔히 $J$로 표시하며, 잘 알려진 관계식은 다음과 같다.

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

이러한 표기 때문에 자주 발생하는 오류는 모든 강재 단면에서 극단면2차모멘트 $I_p$를 자동으로 비틀림상수 $J$와 동일시하는 것이다.

Saint-Venant 비틀림상수 $J$는 균일 비틀림에 대한 저항을 나타내며, 단면의 워핑 및 전단흐름 거동에 따라 달라진다. 실체 원형 단면 또는 얇은 원형 벽 단면에서는 $J=I_p$이다. 그러나 일반적인 개방 단면에서는 두 값이 서로 다른 물리량이다. 폭 $b$, 두께 $t$인 얇은 직사각형 스트립에서 $b$가 $t$보다 훨씬 큰 경우, 비틀림상수는 대략 ${\mathrm{bt}}^3/3$ 정도이지만, $I_p$에 대한 기여는 스트립이 도심에서 떨어진 거리의 제곱에 의해 지배될 수 있다. 따라서 개방 I형 단면은 상당한 극단면2차모멘트를 가지는 것처럼 보이면서도 Saint-Venant 비틀림상수는 비교적 작을 수 있다.

일반적으로 폐쇄 박스 단면은 폐쇄된 셀 주위로 순환 전단흐름이 형성될 수 있으므로 개방 단면보다 비틀림 효율이 훨씬 높다. 비틀림 구속으로 종방향 워핑이 발생하는 경우에는 $J$만으로 충분하지 않으며, $L^6$ 차원을 갖는 워핑상수 $C_w$가 해석에 포함된다. ANSI/AISC 360-16은 $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ 및 $C_w$를 서로 별도의 단면 특성값으로 정의하고 사용한다. Blue Book 역시 탄성 및 소성 단면계수, 회전반경, 비틀림상수 및 워핑상수를 별도로 제시한다.

유럽 참고자료에서는 단위 관례에 특히 주의해야 한다. ArcelorMittal은 계산된 단면 특성값이 일반적으로 센티미터 단위로 제시되며, 표면적과 워핑상수는 각각 미터 및 데시미터 기반 단위를 사용한다고 설명한다. 따라서 Blue Book 또는 제조업체 표에서 옮겨 적은 값은 단순히 수치의 크기만으로 판단하지 말고, 특성값의 종류와 단위를 확인해야 한다. 표에 수록된 $S$, $r$, $I_p$ 또는 $J$를 사용하기 전에 정확한 단면 형상 명칭, 축의 표기 관례, 적용된 표준의 판본, 그리고 해당 값이 총단면, 공칭 형상 또는 그 밖에 지정된 형상을 나타내는지 확인해야 한다.

탄성 및 소성 단면 특성

탄성 중립축과 최외단 섬유

탄성 단면 특성은 항복이 발생하기 전의 응력 분포를 나타낸다. 균질한 프리즘형 강재 단면에 도심축을 기준으로 휨모멘트가 작용하는 경우, 탄성 중립축은 도심을 지난다. 이 축의 한쪽에 있는 섬유는 압축 상태가 되고 다른 쪽에 있는 섬유는 인장 상태가 되며, 중립축에서는 종방향 휨응력이 0이다. 응력 분포는 선형이다.

$$\sigma =\frac{\mathrm{My}}{I}$$

여기서 $M$은 작용 모멘트, $y$는 중립축으로부터의 거리, $I$는 관련 도심축에 대한 단면 2차 모멘트이다.

따라서 탄성 단면계수는 다음과 같다.

$$S=\frac{I}{c}$$

여기서 $c$는 중립축으로부터 검토 대상 최외단 섬유까지의 거리이다. 도심을 기준으로 위쪽과 아래쪽의 거리가 서로 다른 단면은 $S_{x,\text{top}}$ 및 $S_{x,\text{bottom}}$과 같이 두 개의 탄성 단면계수를 갖는다. 이들은 서로 바꾸어 사용할 수 없다. 정모멘트와 부모멘트가 작용할 때 $c$가 다르므로 서로 다른 최외단 섬유가 지배할 수 있다.

이러한 구분은 채널, 앵글, 티 또는 비대칭 조립 단면에서 중요하다. 균질 단면에서는 여전히 도심축이 탄성 중립축을 정의하지만, 한쪽의 가장 먼 섬유가 그 축으로부터 반대쪽보다 훨씬 멀리 떨어질 수 있다. 표에서 복사한 단일 값은 이러한 비대칭성을 가릴 수 있다. 이중 대칭인 I형 및 H형 단면은 일반적으로 주축에 대한 양의 탄성 단면계수와 음의 탄성 단면계수가 같지만, 단일 대칭 단면은 대체로 그렇지 않다.

기하학적 근거는 단면 2차 모멘트이다. Abaqus 문서에서는 $I_{11}$ 및 $I_{22}$를 단면적 전체에 걸쳐 좌표 거리의 제곱을 적분한 값으로 설명하며, $I_{12}$는 좌표 거리의 곱을 적분한 값으로 설명한다(Abaqus, 2024). 이 정의는 플랜지 면적을 도심에서 더 멀리 배치하면 강재를 많이 추가하지 않고도 $I$를 크게 증가시킬 수 있는 이유를 설명한다. 또한 $S$가 강종에 따른 강도값이 아니라 기하학적 양임을 보여 준다.

탄성 단면계수의 단위는 길이의 세제곱이다. 즉 ${\text{mm}}^3$, ${\text{cm}}^3$ 또는 ${\text{in}}^3$를 사용한다. 이는 길이 단위인 회전반경과 혼동해서는 안 되며, 역시 길이의 세제곱 단위이지만 다른 방식으로 계산되는 소성 단면계수와도 혼동해서는 안 된다.

소성 중립축과 소성 단면계수

소성 중립축(PNA)은 선형 탄성 응력 분포가 아니라 완전 항복한 응력 상태를 기준으로 설정된다. 순수 휨을 받는 균질 강재 단면에서 PNA는 단면적을 동일한 압축 면적과 인장 면적으로 나눈다.

$$A_c=A_t=\frac{A}{2}$$

응력은 한쪽에서 압축 항복응력, 다른 쪽에서 인장 항복응력으로 이상화된다. 따라서 합력인 축력이 평형을 이룬다. 재료 강도가 위치에 따라 다르거나 복합재료로 구성된 단면에서는 기하학적 면적이 같은 것만으로는 일반적으로 충분하지 않으며, 적용되는 재료 응력을 사용하여 압축 합력과 인장 합력이 평형을 이루어야 한다.

일반적으로 $Z$로 표시하는 소성 단면계수는 PNA에 대한 항복 영역의 1차 모멘트이다.

\[ Z=\int_A |y-y_p|\,dA \]

구성 면적별로 계산할 때는 각 면적에 해당 면적의 도심에서 PNA까지의 거리를 곱한 뒤 모두 합산할 수 있다. 이에 대응하는 완전소성 모멘트는 균일한 강종에 대해 다음과 같이 나타내는 경우가 많다.

$$M_p=F_{y}Z$$

그러나 $F_{y}Z$는 저항을 나타내는 식이지, 기하학만으로 결정되는 항등식은 아니다. ASTM A992에서 ASTM A36으로 변경하면 설계 검토에 사용되는 지정 항복강도가 달라지지만, 동일한 치수로 계산한 기하학적 $Z$는 달라지지 않는다. 관련 제품 및 설계 기준에 따른 S275와 S355 같은 유럽 강재 등급에도 동일한 구분이 적용된다.

탄성 단면계수와 소성 단면계수는 서로 다른 질문에 답한다. $S$는 탄성 응력 분포에서 최외단 섬유가 최초로 항복할 때 모멘트와의 관계를 나타낸다. $Z$는 압축 블록과 인장 블록이 평형을 이루는 완전 항복 단면에서의 모멘트와 관계된다. 두 값의 비

$$Z/S$$

는 지정된 휨축과 지배적인 최외단 섬유에 대한 형상계수이다. 이는 소성 응력 재분포에 의해 발생하는 추가 모멘트 저항을 나타내지만, 부재가 그 저항에 도달하거나 이를 지속할 수 있음을 입증하는 것은 아니다.

소성 단면계수가 크다는 사실만으로 단면을 조밀 단면으로 분류할 수는 없다. 비조밀, 조밀 및 세장 단면의 분류는 주로 판 요소의 폭-두께비, 경계조건, 응력 구배 및 적용되는 설계 기준의 한계 규정에 따라 결정된다. 세장 웨브는 계산된 $Z$에 상당히 기여할 수 있지만, 완전한 소성 응력 분포가 형성되기 전에 국부좌굴이 발생할 수 있다. 반대로 조밀 단면도 비교적 작은 형상계수를 가질 수 있다. 단면 분류는 하나의 표 값에 따른 순위 매김이 아니라 안정성과 연성에 대한 판단이다.

표 값이 서로 다를 때

겉보기에는 동일한 단면에 대해 신뢰할 수 있는 두 표가 탄성 또는 소성 단면 특성을 약간 다르게 제시할 수 있다. 첫 번째로 확인할 사항은 형상 designation과 판본이 동일한지 여부이다. American Institute of Steel Construction은 2023년에 발행된 AISC Shapes Database v16.0이 미국 관용 단위와 미터법 단위로 치수 및 특성을 제공한다고 밝히고 있다. 또한 제16판 Steel Construction Manual의 Part 1은 표준 형강 치수와 기하학적 특성을 위한 기준 단면이다. 해당 자료에 수록된 W형강은 명목상 유사한 유럽 HE 형강과 아무런 검토 없이 비교해서는 안 된다.

Steel Construction Institute가 관리하며 여기서는 2024년판을 기준으로 언급하는 Blue Book은 면적, 단면 2차 모멘트, 탄성 및 소성 단면계수, 회전반경, 비틀림 상수 및 뒤틀림 상수를 제시한다. EVS-EN 10365:2026은 열간 압연 채널, I형 단면 및 H형 단면의 공칭 치수와 질량을 규정하지만, 그 자체가 모든 계산 단면 특성표를 대체하는 것은 아니다. 이 구분은 중요하다. 제품 기준의 공칭 플랜지 두께, 제조업체 표에서 모델링에 사용한 두께 및 설계 데이터베이스에서 반올림된 치수는 서로 약간 다른 결과를 낼 수 있다.

형상 기하에는 단순화된 손스케치에서 생략될 수 있는 세부 사항도 포함된다. 여기에는 플랜지와 웨브의 필릿, 루트 반지름, 테이퍼, 모서리 반지름 및 압연 공차가 포함된다. 직사각형에 기반한 근사 방법은 I형 단면의 전반적인 거동을 재현할 수 있지만, 정확한 면적, 도심, $I$, $S$ 또는 $Z$를 놓칠 수 있다. 반올림은 여기에 또 다른 차이를 더한다. 표에는 $I_x=1,130{\text{cm}}^4$로 표시되어 있어도 소프트웨어 내부에서는 더 많은 유효 숫자를 유지할 수 있다.

단위는 피할 수 있는 오류를 일으킨다. ArcelorMittal은 2024년에 유럽식 계산 특성이 일반적으로 센티미터 단위로 제시된다고 설명한다. 표면적은 미터 기반 단위를 사용하고 뒤틀림 상수는 데시미터 기반 단위를 사용한다. 따라서 ${\text{cm}}^3$ 단위의 $W_{\mathrm{el}}$과 ${\text{dm}}^6$ 단위의 $I_w$를 변환 없이 인치-파운드 단위 계산에 사용할 수 없다.

Missouri S&T의 MDSolids는 일반 및 표준 강재 형상에 대해 도심 위치, 단면 2차 모멘트, 단면계수, 회전반경, 소성 단면계수, 극관성모멘트 및 주관성모멘트를 제시한다(2024). 이는 손계산을 확인하는 데 유용하지만, 소성 단면계수가 일치한다는 사실만으로 단면이 조밀성 한계 또는 설계 저항을 만족한다는 것을 입증할 수는 없다. 표 값을 받아들이기 전에 축의 정의, 총단면 또는 유효단면 기준, 필릿 처리, 단위 및 자료의 판본을 확인해야 한다. 기하학이 해당 특성을 결정하고, 적용되는 설계 기준이 그 특성을 어떻게 사용할 수 있는지를 결정한다.

비틀림 상수 J와 뒤틀림 상수 Cw

생베낭 비틀림과 J

비틀림 상수 $J$는 생베낭 비틀림에 대한 단면의 저항을 나타낸다. 생베낭 비틀림은 단면이 길이 방향으로 자유롭게 뒤틀릴 수 있을 때 토크에 의해 발생하는 비틀림이다. $J$는 강재의 강도 값이 아니라 기하학적 특성이다. 단순한 탄성 모델에서는 비틀림 전단응력과 비틀림각이 재료의 전단탄성계수 $G$, 작용 토크 $T$, 그리고 $J$를 통해 다음과 같이 관련된다.

$$\theta \prime =\frac{T}{\mathrm{GJ}}$$

여기서 $\theta \prime$는 단위 길이당 비틀림각이다. 다른 조건, 즉 재료, 하중 및 경계조건이 동일하다면 $J$가 클수록 같은 토크에서 비틀림이 작다. $J$의 차원은 길이의 4제곱이며, 예를 들어 ${\text{mm}}^4$, ${\text{in}}^4$, ${\text{cm}}^4$로 표시된다.

“비틀림 상수”라는 표현이 모든 단면에서 “극관성모멘트”를 의미하는 것은 아니다. 극단면2차모멘트는 서로 직교하는 도심축에 대하여 다음과 같다.

$$I_p=I_x+I_y$$

원형 또는 환형 단면에서는 원형 기하형상으로 인해 생베낭 응력함수가 이러한 직접적인 등가 관계를 성립시키므로 $J=I_p$이다. 그러나 대부분의 비원형 단면, 특히 얇은 벽의 개단면에서는 \(J\ne I_p\)이다. 두 물리량을 서로 바꾸어 사용할 수 있는 것으로 취급하면 예측된 비틀림과 비틀림 응력에 큰 오차가 발생할 수 있다.

길이 $b$, 두께 $t$인 얇은 직사각형 스트립에서 $b$가 $t$보다 훨씬 큰 경우, 생베낭 비틀림 상수는 다음과 같이 근사할 수 있다.

$$J\approx \frac{1}{3}{\mathrm{bt}}^3.$$

두께는 3제곱으로 반영된다. 따라서 얇은 플랜지나 웨브는 도심으로부터의 거리만을 기준으로 한 원형 계산이 암시하는 것보다 생베낭 비틀림 강성에 훨씬 적게 기여한다. 극관성모멘트는 축에 대한 면적의 분포를 나타내는 반면, $J$는 비틀림이 발생할 때 단면이 서로 양립 가능한 전단응력장을 형성하는 능력을 나타낸다. 두 개념은 서로 관련된 기하학적 개념이지만 동일한 계산은 아니다.

ANSI/AISC 360-16은 $J$를 강구조 설계에 사용되는 단면 특성값으로 규정하며, $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $C_w$와 함께 제시한다. American Institute of Steel Construction이 2023년에 발행한 AISC Shapes Database v16.0은 미국 관용 단위와 미터법 단위로 표준 형강의 치수 및 단면 특성값을 제공한다. AISC Part 1, Dimensions and Properties는 16판 Steel Construction Manual에서 표로 정리된 특성값의 기준 자료로 사용된다. 표에 제시된 값은 정확한 W, S, M, HP, C, MC, WT, L, HSS 또는 기타 형강의 기호와 일치해야 하며, 공칭 춤이 비슷하다는 것만으로는 충분하지 않다.

뒤틀림 저항과 Cw

뒤틀림 상수 $C_w$는 비균일 비틀림을 받는 단면의 길이 방향 뒤틀림에 대한 저항을 나타낸다. 그 차원은 길이의 6제곱이며, 일반적으로 ${\text{mm}}^6$, ${\text{in}}^6$, ${\text{cm}}^6$로 표시된다. $C_w$는 단면의 생베낭 응답을 나타내는 $J$와 혼동해서는 안 된다.

보가 비틀리면 개단면의 서로 다른 부분은 일반적으로 서로 다른 크기로 길이 방향 이동을 하려 한다. 예를 들어 I형 단면에서는 플랜지가 서로 반대 방향으로 뒤틀릴 수 있다. 단부가 자유롭고 작용 토크가 균일하다면 응답의 상당 부분은 $J$를 통한 생베낭 비틀림으로 나타낼 수 있다. 그러나 다이어프램, 단부판, 접합부, 바닥 시스템, 용접부 또는 지지부가 이러한 길이 방향 이동을 방지하면 뒤틀림 응력이 발생한다. 그 결과 비틀림 응답에는 뒤틀림 비틀림이 포함되며, $C_w$가 중요해진다.

이 효과의 크기는 단면 기호만이 아니라 구속조건에 따라 달라진다. 플랜지의 뒤틀림을 허용하는 상세를 가진 단순지지 부재에서는 뒤틀림의 기여도가 크지 않을 수 있다. 동일한 단면이라도 강체 접합부에 고정되거나 강성이 큰 다이어프램에 연결되면 상당한 쌍모멘트와 길이 방향 정상응력이 발생할 수 있다. 단부조건을 정의하지 않은 채 $C_w$를 계산에 삽입하는 것은 불완전한 계산이다.

이중대칭 I형 및 H형 단면에서는 분리된 플랜지가 서로 반대 방향의 길이 방향 뒤틀림에 대해 긴 레버암을 제공하므로 주축에 대한 뒤틀림 상수가 큰 경우가 많다. 얇은 플랜지를 가진 I형 단면에 대한 단순화된 식은 플랜지 면적과 플랜지 도심 사이 거리의 제곱을 곱한 값에 비례한다.

$$C_w\sim A_f{h}_o^2,$$

정확한 식은 플랜지 형상, 웨브 두께 및 선택한 축에 따라 달라진다. 이 근사식은 $J$가 비교적 작게 유지되더라도 $C_w$가 큰 값을 가질 수 있는 이유를 설명한다.

AISC 표와 SCI Blue Book은 많은 표준 단면에 대한 $C_w$를 제시한다. SCI가 2024년에 유럽 치수 및 단면 특성값의 자료로 제시한 Steel Construction Institute의 Blue Book에는 면적, 단면2차모멘트, 탄성 및 소성 단면계수, 회전반경, 비틀림 상수 및 뒤틀림 상수가 포함되어 있다. 이러한 값은 계산된 기하학적 특성값이다. EVS-EN 10365:2026은 열간압연 채널, I형 단면 및 H형 단면의 공칭 치수와 질량을 규정하며, 단면 특성값 표를 대신할 수 있는 자료는 아니다.

특히 $C_w$에서는 단위 확인이 중요하다. ArcelorMittal의 2024년 설명 자료에 따르면 유럽에서 계산된 특성값은 일반적으로 센티미터 기반의 단위 관례로 제시되는 반면, 표면적은 미터 기반 단위를 사용하고 뒤틀림 상수는 데시미터 기반 단위를 사용한다. 따라서 어떤 표에서는 $J$가 ${\text{cm}}^4$, $C_w$가 ${\text{dm}}^6$로 표시될 수 있다. 힘 또는 길이 단위만 변환하고 6제곱 단위인 물리량은 그대로 두면 결과가 무효화될 수 있다.

개단면과 폐단면 강재

개방형 I형 단면, 채널, T형 단면 및 앵글은 둘레의 상당 부분에서 얇은 벽의 경로가 서로 연결되지 않는다. 따라서 이들의 생베낭 비틀림 상수는 $I_x$, $I_y$ 또는 극관성모멘트에 비해 작은 경우가 많다. I형 단면은 주축 휨에 대해서는 매우 높은 강성을 가질 수 있지만, 하중이 전단중심을 통과하지 않으면 쉽게 비틀릴 수 있다. 채널은 전단중심이 단면 외부에 위치하므로 추가적인 문제가 발생한다. 따라서 도심을 통과하는 횡하중이 비틀림을 일으킬 수 있다.

앵글과 T형 단면도 비대칭이다. 이들의 도심, 주축, 전단중심 및 뒤틀림 응답은 이중대칭 I형 단면에서처럼 단순한 방식으로 일치하지 않는다. 선택한 좌표계에서 관성곱 $I_{\mathrm{xy}}$가 0이 아닐 수 있으므로, 휨과 비틀림을 올바르게 평가하기 전에 주축 변환이 필요할 수 있다.

폐쇄형 튜브는 벽이 연속적인 셀을 형성하기 때문에 다르게 거동한다. 토크는 둘러싸인 면적 주위를 순환하는 전단흐름에 의해 전달될 수 있다. 얇은 벽의 단일 셀 폐단면에서는 비틀림 상수를 다음과 같이 근사할 수 있다.

$$J\approx \frac{4A_m^2}{\oint \mathrm{ds}/t},$$

여기서 $A_m$은 벽의 중간선이 둘러싸는 면적이고, 적분항은 벽의 길이와 두께를 반영한다. 이 메커니즘으로 인해 일반적으로 폐쇄형 직사각형 또는 원형 HSS는 질량이 비슷한 개단면보다 훨씬 높은 생베낭 비틀림 강성을 갖는다. 폐단면도 집중하중, 불연속부 및 접합부 부근에서는 뒤틀릴 수 있지만, 자유로운 균일 뒤틀림은 개방형 I형 단면에서보다 지배적인 영향이 작은 경우가 많다.

이러한 차이는 수계산뿐만 아니라 해석 소프트웨어에서도 중요하다. Abaqus는 $I_{11}$ 및 $I_{22}$에 대해 제곱 좌표거리의 적분을 사용하고, $I_{12}$에 대해서는 좌표의 곱을 적분하여 도심 특성값을 정의한다. 이러한 적분 체계가 $I_p$를 $J$로 바꾸어 주는 것은 아니다. Missouri S&T의 MDSolids 자료는 일반 형상과 표준 형상에 대해 극관성모멘트와 비틀림 특성값을 별도로 계산한다. 따라서 신뢰할 수 있는 모델은 일치하는 표준 자료에서 $J$와 $C_w$를 가져오거나 단면의 위상에 적합한 방법으로 이를 계산한 다음, 강구조 설계에 값을 적용하기 전에 단위, 축, 구속조건 및 접합부 상세를 확인해야 한다.

전단 면적, 전단 중심, 그리고 비대칭 단면

유효 전단 면적

총면적 $A$는 축력 계산과 여러 기하학적 특성에 사용되는 면적이다. 그러나 총면적이 자동으로 횡전단에 저항하는 면적을 의미하는 것은 아니다. 전단 면적은 별도의 특성이며, 일반적으로 $A_{\mathrm{vx}}$, $A_{\mathrm{vy}}$, $A_v$로 표기하거나 전단 보정계수로 나타낸다. 단위는 면적이지만, 수치값은 전단 방향과 단면에 작용하는 전단응력의 분포를 어떻게 가정하는지에 따라 달라진다.

깊이 방향과 평행한 전단을 받는 직사각형 단면에서는 전단응력이 일정하지 않다. 전단응력은 상부와 하부의 자유 표면에서 0이고, 중립축을 향해 증가하여 그곳에서 최대값에 도달한다. 따라서 평균응력 $V/A$는 실제 최대응력과 같지 않다. 전단 면적을 이용한 표현은 비균일한 응력장을 등가의 평균 관계식으로 대체하며, 흔히 다음과 같이 쓴다.

$${\tau }_{\mathrm{avg}}=\frac{V}{A_v}.$$

최대응력과 평균응력이 서로 다르므로 $A_v$는 단순히 총면적과 같지 않다. 폭이 $b$, 깊이가 $h$인 실심 직사각형의 경우, 익숙한 탄성 분포에 따르면 최대 전단응력은 $1.5V/\left(\mathrm{bh}\right)$이다. 따라서 이 최대응력을 기준으로 한 등가 면적은 $2\mathrm{bh}/3$이 된다. 보 유한요소에서 사용하는 정의를 포함한 다른 정의에서는 유효 면적이 달라질 수 있다. 이러한 정의는 최대응력만이 아니라 전단 변형에너지와 연계되어 있기 때문이다.

얇은 벽 I형 단면에서는 이러한 구분이 더욱 중요해진다. 수직 전단을 받을 때 힘의 대부분은 웨브가 부담하며, 플랜지는 상대적으로 적은 부분만 부담한다. 플랜지의 재료가 웨브의 전단 흐름 경로에서 멀리 떨어져 있고, 플랜지 폭 방향으로 전단응력이 변하기 때문이다. 전체 면적을 균일한 전단 면적으로 취급하면 웨브 전단응력을 과소평가할 수 있다. 수평 전단의 경우에는 플랜지 배치가 더욱 중요해진다. 채널, 앵글 또는 티형 단면에는 전단 흐름의 균형을 맞출 동일하고 서로 반대쪽에 놓인 한 쌍의 플랜지가 없으므로, 실제 형상에 따라 분포를 계산해야 한다.

일반적인 얇은 벽 단면 관계식

$$q=\frac{\mathrm{VQ}}{I},$$

는 해당 위치 바깥쪽 영역의 1차 모멘트 $Q$를 이용하여 그 위치의 전단 흐름 $q$를 나타내며, $I$는 관련 도심축에 대한 값이다. 이 식은 플랜지와 웨브의 응력을 단순히 면적 비율만으로 배분할 수 없는 이유를 보여준다. $Q$로 나타나는 재료의 위치가 중요하다. 웨브와 플랜지가 만나는 접합부에서는 전단 흐름이 평형과 적합 조건도 만족해야 한다.

따라서 계산된 전단 면적에는 방향과 정의를 명시해야 한다. 전단 면적을 $A$, $I_x$, $I_y$, 또는 단면계수 대신 사용해서는 안 된다. 이 점에서 Georgia Tech의 스테인리스강 설계 지침은 유용하다. 이 지침의 계산된 단면 특성 출력은 면적, 도심 관성모멘트, 단면계수, 회전반경, 비틀림 관련 값 및 전단 관련 값을 서로 구분하여 제시하며, 형상 효율의 일반적인 척도로 하나의 숫자만 제시하지 않는다. 동일한 기하학적 처리는 탄소강과 저합금 구조용 강에도 적용된다. ASTM A36에서 ASTM A572 Grade 50으로, 또는 한 스테인리스강 등급에서 다른 등급으로 재질 지정을 변경하면 강도값과 설계 한계가 달라질 뿐, 치수가 변하지 않는 한 계산된 전단 면적은 달라지지 않는다.

전단 중심의 위치

전단중심전단중심 횡력이 단면에 추가적인 비틀림 모멘트를 발생시키지 않는 하중 작용선의 위치.

전단 중심은 횡하중이 그 점을 통과하여 작용할 때 비틀림 없이 휨만 발생하는 단면상의 점이다. 두 축에 대해 대칭인 I형 단면에서는 전단 중심이 도심과 일치한다. 대칭축이 하나뿐인 단면에서는 전단 중심이 해당 대칭축 위에 있지만, 도심과 일치할 필요는 없다. 대칭축이 전혀 없는 단면에서는 전단 중심이 두 좌표 방향 모두에서 치우쳐 있을 수 있다.

그 이유는 전단 흐름에 있다. 횡력은 단면을 따라 분포된 미소 전단력을 발생시킨다. 이들의 합력은 작용 전단력과 같지만, 이들의 합력이 작용하는 선은 도심을 통과하지 않을 수 있다. 이러한 편심은 토크를 발생시킨다. 하중을 전단 중심에 작용시키면 올바른 작용선을 확보하여 이 토크를 제거할 수 있다.

채널은 이를 보여주는 대표적인 예이다. 채널의 플랜지는 웨브의 한쪽으로 뻗어 있으므로, 수직 전단에 의해 서로 같지 않은 플랜지 전단 흐름이 발생하며 그 합력은 일반적으로 도심에서 떨어진 위치에 작용한다. 전단 중심은 대개 재료 영역 바깥쪽, 플랜지와 반대되는 웨브 쪽에 위치한다. 따라서 도심을 통과하여 작용하는 하중은 휨과 비틀림을 동시에 일으킬 수 있다. 앵글은 더욱 복잡하다. 일반적인 등변 및 부등변 앵글에는 대칭축이 없으므로 도심 좌표와 전단 중심 좌표를 모두 전체 단면 형상으로부터 구해야 한다. 티형 단면에는 하나의 대칭축이 있으므로 전단 중심이 그 축 위에 놓이지만, 스템과 플랜지의 배치로 인해 많은 경우 전단 중심은 도심에서 떨어져 있다.

계산에는 $A$, $I_x$, $I_y$ 이상의 정보가 필요하다. 전단 흐름을 구하고, 기준점에 대한 해당 전단 흐름의 모멘트를 적분한 뒤, 순 비틀림 모멘트가 0이 되는 점을 찾아야 한다. 얇은 벽 개방 단면에서는 이상화한 벽 두께와 접합부 형상이 결과에 영향을 준다. 특히 단면이 작거나 벽이 얇은 경우, 둥근 모서리, 필릿, 립 및 국부 용접부가 결과를 변화시킬 수 있다.

발표된 표를 사용할 때에는 축의 정의도 확인해야 한다. American Institute of Steel Construction이 2023년에 미국 관용 단위와 미터법 단위로 치수와 특성을 제공한다고 명시한 AISC Shapes Database v16.0은 특정 단면 지정과 축에 연계되어 있다. Steel Construction Institute의 Blue Book도 마찬가지로 유럽 단면 특성을 제시한다. EN 10365:2026은 열간압연 채널, I형 단면 및 H형 단면의 공칭 치수와 질량을 규정하며, 단면 특성표를 대신하지는 않는다. Blue Book은 계산된 특성을 제공하고, ArcelorMittal은 유럽의 계산된 특성이 일반적으로 센티미터 단위로 보고되며 표면적과 뒤틀림상수에는 미터 및 데시미터 기반 단위가 사용된다고 설명한다. 전단 중심까지의 거리는 단위, 축 원점 및 부호를 별도로 확인해야 한다.

휨과 비틀림의 연성

비대칭 단면에서는 휨과 비틀림이 서로 연계되는 방식이 두 가지 있다. 첫째, 도심을 통과하는 하중이 전단 중심을 통과하지 않을 수 있어 비틀림 모멘트가 발생한다.

$$T=Ve,$$

여기서 $e$는 하중 작용선과 전단 중심선 사이의 수직 거리이다. 둘째, 선택한 $x$축과 $y$축이 주축이 아니면 관성곱 $I_{\mathrm{xy}}$가 0이 아니다. 이 경우 한 좌표축에 대한 휨이 다른 축을 포함하는 곡률을 발생시킨다. 이는 재료 강도에 따른 효과가 아니라 좌표계와 기하 형상에 따른 효과이다.

Abaqus 문서에 따르면 도심을 지나는 $I_{11}$과 $I_{22}$는 면적에 걸쳐 좌표 거리의 제곱을 적분하여 구하며, $I_{12}$는 좌표 거리의 곱을 적분하여 구한다. 이 곱이 비대칭 축에 따른 연성을 나타내는 양이다. 주축으로 회전하면 관성곱을 제거할 수 있지만, 그렇다고 해서 채널의 전단 중심이 도심과 일치하는 것은 아니며, 잘못된 작용선에 가해진 하중으로 인한 비틀림 응답이 없어지는 것도 아니다.

개방 단면은 유사한 면적의 폐쇄 상자형 단면에 비해 비틀림상수 $J$가 작은 경우가 많기 때문에 이러한 구분에 특히 민감하다. 따라서 뒤틀림이 크게 기여할 수 있으며, 뒤틀림상수 $C_w$와 적절한 구속 뒤틀림 해석이 필요할 수 있다. 채널의 도심을 통과하여 하중을 가하면, 작용력이 “중앙에” 가해지는 것처럼 보여도 단면은 비틀리고 뒤틀리며 둘 이상의 축에 대해 휨이 발생할 수 있다.

소프트웨어 출력은 이러한 물리적 해석과 대조하여 확인해야 한다. 예를 들어 MDSolids는 일반 단면과 표준 강재 단면에 대해 도심 위치, 주관성모멘트, 극관성모멘트 및 관련 단면 특성을 제공한다. 이러한 출력은 검증에 도움이 되지만, 하중 작용선, 전단 방향, 축의 정의 및 경계 구속을 확인할 필요성을 없애지는 않는다. 앵글, 티형 단면 또는 채널에서는 비틀림이나 횡안정성이 중요할 때 $A$, $I_x$, $I_y$만 보고하는 것은 불충분하다. 연성은 기하 형상이 결정하며, 지정된 강재 등급은 이후 강도, 강성 가정 및 적용 설계기준에 반영된다.

표준 강재 단면 형상 표: AISC, SCI 및 EN 참고자료

표준 단면 형상표는 반복적인 형상 계산을 위한 지름길이지, 공학적 판단을 대신하는 것이 아니다. 공개된 표를 사용하면 엔지니어는 모든 압연 부재의 면적, 도심, 단면2차모멘트, 단면계수, 회전반경, 비틀림 상수 및 뒤틀림 상수를 매번 다시 계산하지 않아도 된다. 그러나 선택한 형상이 올바른 형상 계열에 속하는지, 표에 제시된 축이 좌굴 또는 휨 방향과 일치하는지, 그리고 해당 값이 설계 기준 및 단위계와 호환되는지는 표가 판단해 주지 않는다.

이러한 구분은 중요하다. 이 물리량들은 서로 대체할 수 없기 때문이다. 총면적 $A$의 단위는 길이의 제곱이다. $I_x$와 $I_y$는 도심축에 대한 단면2차모멘트이며, 단위는 길이의 4제곱이다. 그 값은 지정된 축을 중심으로 휨에 따른 곡률에 저항하는 정도를 나타낸다. 탄성 단면계수 $S$는 단면2차모멘트를 최외단 섬유까지의 거리로 나눈 값이며, 소성 단면계수 $Z$는 소성 중립축을 기준으로 동일한 면적의 압축 블록과 인장 블록으로부터 구한다. 회전반경 $r_x$와 $r_y$는 $I/A$의 제곱근이다. 회전반경은 세장비 계산에서 특히 중요하지만, 관성모멘트는 아니다.

비틀림 상수 $J$는 Saint-Venant 비틀림 거동을 나타내며, 관련 좌표계에서 서로 직교하는 단면2차모멘트의 기하학적 합인 극관성모멘트와 혼동해서는 안 된다. 뒤틀림 상수 $C_w$는 일반적으로 개방형 박판 단면과 관련되며, 차원의 형태가 다르고 구속 뒤틀림 해석에 사용된다. 따라서 이 모든 값을 나열하는 표는 ‘형상 강도’를 여러 이름으로 표현하는 것이 아니라, 서로 구별되는 여러 기하학적 특성을 제시하는 것이다.

AISC Shapes Database v16.0 및 제16판 매뉴얼

American Institute of Steel Construction의 AISC Shapes Database v16.0은 AISC (2023)에 따라 미국 관용 단위와 미터법 단위로 구조용 강재 형상의 치수 및 단면 특성을 제공한다. 이 데이터베이스는 제16판 Steel Construction Manual과 함께 사용하도록 마련되었으며, 미국에서 표준적으로 사용되는 압연 및 제작 단면 형상 명칭에 대한 일관된 디지털 참고자료를 제공한다.[2][2] 16th Edition Steel Construction Manual, Part 1. American Institute of Steel Construction. Steel Construction Manual, 2023.

이 체계에서 AISC Part 1, “Dimensions and Properties”는 표준 구조용 강재 부재의 치수 및 특성을 표 형식으로 제시하는 참고자료이다. 단면을 정의하는 데 필요한 치수와 설계에 사용되는 계산 특성, 즉 면적, 중량, 해당되는 경우 도심 정보, $I_x$, $I_y$, $S_x$, $S_y$, $Z_x$, $Z_y$, $r_x$, $r_y$, $J$, $C_w$ 등을 제공한다. 이 데이터베이스는 반복적인 적분 및 평행축 정리 계산을 줄여 주지만, 엔지니어는 여전히 목록에 제시된 정확한 W, S, M, HP, C, MC, L, WT, HSS 또는 기타 형상을 선택하고 그 명칭을 확인해야 한다.

축 표시는 장식적인 요소가 아니다. 이중대칭 W형 단면에서 $x$축은 일반적으로 주요 도심축이고 $y$축은 부차 도심축이므로, $I_x$는 보통 $I_y$보다 훨씬 크다. 부재가 $x$축을 중심으로 휨을 받는 상황에서 $I_y$를 사용하는 설계 계산은 수치적으로는 정밀할 수 있지만 물리적으로는 잘못된 결과를 낳는다. 이러한 문제는 횡비틀림좌굴에서도 나타나며, 이 경우 $J$, $C_w$, 비지지 길이 및 휨 방향을 함께 해석해야 한다.

ANSI/AISC 360-16은 강재 설계에 사용되는 단면 특성값을 정의하며, 여기에는 $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$, $C_w$ 등이 포함된다(AISC, 2021). 이 규격이 표에 수록된 단면 특성값을 재료 강도값으로 바꾸어 주는 것은 아니다. ASTM A992 강재로 압연된 W형 단면과 ASTM A36 강재로 검토되는 동일한 기하학적 W형 단면은 치수가 동일하다면 이상적인 기하학적 면적과 단면2차모멘트가 같다. 그러나 항복강도, 인장강도, 저항 계산 및 적용되는 재료 요구사항은 서로 다르다. 따라서 ASTM A992라는 명칭은 $I_x$의 기하학적 정의가 아니라 금속 재료 및 규격 적합성에 해당한다.

AISC 값은 판본 관리도 필요로 한다. 단면 명칭은 그대로 유지되더라도 참고자료에 따라 치수, 수록 특성값, 반올림 방식 또는 데이터베이스 내용이 달라질 수 있다. 따라서 출처에는 단순히 “AISC tables”라고 기재하기보다 “AISC Shapes Database v16.0” 또는 해당 매뉴얼 판본을 명시해야 한다. 특히 모델이 미터법 값을 가져오거나 인치 기반 특성값을 자동으로 변환하는 경우에는 소프트웨어 출력값을 동일한 출처와 대조해야 한다.

SCI P363 The Blue Book

일반적으로 The Blue Book이라고 불리는 SCI P363은 Steel Construction Institute가 제공하는 유럽 구조용 강재 단면의 치수 및 특성 참고자료이다. The Blue Book은 SCI (2024)에 명시된 바와 같이 면적, 단면2차모멘트, 탄성 및 소성 단면계수, 회전반경, 비틀림 상수 및 뒤틀림 상수를 제공한다. 따라서 단순히 공칭 깊이와 플랜지 폭을 나열한 카탈로그 이상의 자료이다.

이 표에는 IPE, HE, HL, HD, HP, UB, UC, UPE 및 UPN과 같은 유럽 단면 계열이 수록되어 있다. 단면을 식별할 때 이러한 명칭은 정확히 유지해야 한다. IPE와 HE는 모두 I형 단면이라는 이유만으로 서로 대체할 수 없다. 마찬가지로 UB와 UC는 비례관계와 단면 특성 관계가 서로 다른 영국계 압연 단면 계열이다. UPE 채널과 UPN 채널은 플랜지 배치가 다르므로 공칭 깊이만을 기준으로 서로 대체할 수 없다.

The Blue Book의 탄성 및 소성 특성값은 서로 다른 설계 검토에 사용된다. $W_{\mathrm{el}}$로 표시되는 탄성 단면계수는 흔히 $S$와 목적상 동등하며, 최외단 탄성 섬유를 기준으로 하고 탄성 응력 계산에 사용된다. $W_{\mathrm{pl}}$로 표시되는 소성 단면계수는 완전 항복한 소성 응력 분포를 나타내며, 적용되는 단면 분류 및 설계 규칙이 소성 저항을 허용하는 경우에 사용된다. 어떤 단면은 큰 탄성 단면계수와 그와 다른 소성 형상계수를 가질 수 있으며, 한 값을 단순히 다른 이름으로 바꾸어 다른 값을 추론할 수는 없다.

유럽 표를 사용할 때에는 단위 관리도 필요하다. ArcelorMittal에 따르면, 계산된 유럽 단면 특성값은 일반적으로 센티미터 기반 단위로 제시된다. 즉 면적은 ${\text{cm}}^2$, 단면2차모멘트는 ${\text{cm}}^4$, 단면계수는 ${\text{cm}}^3$, 회전반경은 센티미터로 표시된다. 표면적은 일반적으로 미터당 ${\text{m}}^2$로 제시되며, 뒤틀림 상수는 ${\text{cm}}^6$과 같은 데시미터 기반 단위 또는 해당 표에서 정한 관례를 사용한다. 정확한 표 제목과 단위를 추정하지 말고 직접 확인해야 한다. ${\text{cm}}^4$를 ${\text{mm}}^4$로 변환하면 수치에 ${10}^4$를 곱해야 하며, ${\text{cm}}^3$를 ${\text{mm}}^3$로 변환하면 ${10}^3$을 곱해야 한다. 지수 하나를 잘못 적용하면 이후의 모든 계산을 압도할 정도의 오차가 발생할 수 있다.

SCI의 단면 특성값은 단면 형상과 표준 프로파일 치수로부터 계산된다. 부재가 EN 10025 계열에 따른 S275, S355 또는 다른 강종으로 지정되었다고 해서 그 값이 달라지는 것은 아니다. 강종의 변경은 항복강도, 인장강도, 용접성 요구사항 및 저항식에 영향을 준다. 그러나 동일한 프로파일의 기하학적 $I$, $J$, $C_w$ 또는 $A$를 증가시키지는 않는다.

EVS-EN 10365:2026 명칭 및 질량

EVS-EN 10365:2026은 EVS (2026)에 따라 열간압연 강재 채널, I형 단면 및 H형 단면의 공칭 치수와 질량을 규정한다. 이 표준은 제품 및 명칭에 관한 참고자료이지, 완전한 단면 특성 데이터베이스는 아니다. 이 표준에 근거한 표는 공칭 깊이, 플랜지 폭, 두께, 루트 치수, 단면 명칭 및 단위 길이당 질량을 사용자에게 알려 줄 수 있다. 그러나 그 사실만으로 설계에 필요한 모든 $I$, $S$, $Z$, $J$ 또는 $C_w$ 값을 제공하는 것은 아니다.

이 구분은 IPE 300, HE 200 B 또는 UPN 240과 같은 명칭을 해석 소프트웨어에 입력할 때 중요하다. 명칭은 표준화된 공칭 프로파일을 식별하는 반면, 단면 특성값은 호환되는 단면 특성표에서 가져오거나 제시된 형상으로부터 계산해야 한다. 또한 공칭 치수는 특정 강재 한 개에서 실제로 측정된 치수와 동일하지 않다. 압연 공차, 루트 반지름, 필릿 및 두께 변화는 계산된 특성값, 질량 및 접합 적합성에 영향을 줄 수 있다. 일반적인 설계에서는 적용되는 표준과 표에 수록된 공칭값을 사용하는 것이 보통이다. 그러나 성능 평가, 제작 검증 또는 특수한 조립 상세에서는 실제 형상을 측정해야 할 수 있다.

EN 10365:2026은 재료 규격과도 혼동해서는 안 된다. 프로파일 명칭은 형상과 공칭 크기를 나타낸다. 적용되는 제품 표준에 따른 S355와 같은 명칭은 강재 등급 요구사항을 나타낸다. 두 명칭은 설계 일정표에 함께 표시될 수 있지만 서로 다른 질문에 답한다. EN 10365는 압연 단면의 형상 및 질량 관례를 식별하고, 재료 표준은 화학 조성, 기계적 특성, 납품 상태 및 시험을 다룬다.

정확한 프로파일과 일치하는 권위 있는 단면 특성표가 없는 경우에는 공칭 치수로부터 형상 특성값을 재구성할 수 있다. 이를 위해 단면을 여러 직사각형으로 나누고, 합성 도심을 구한 뒤 평행축 정리를 적용한다. Abaqus도 동일한 기하학적 원리를 문서화하고 있다. $I_{11}$과 $I_{22}$는 면적 전체에 걸쳐 좌표 거리의 제곱을 적분하며, $I_{12}$는 좌표 거리의 곱을 적분한다. MDSolids 역시 일반 형상 및 표준 강재 형상에 대해 도심 위치, 단면2차모멘트, 단면계수, 회전반경, 소성 단면계수, 극관성모멘트 및 주관성모멘트를 계산한다. 이러한 검토는 유용하지만, 플랜지 루트, 필릿, 구멍, 테이퍼 웹 또는 개방형 단면의 뒤틀림이 결과에 중대한 영향을 미치는 경우 명칭이 있는 표준 단면을 근사 직사각형으로 대체하는 근거가 되지는 않는다.

단위, 표기법 및 차원 검토

단면 특성은 기하학적 물리량이므로, 그 단위는 실제로 무엇이 계산되었는지를 보여 줍니다. 강재의 등급은 고정된 형상의 면적이나 단면2차모멘트를 바꾸지 않습니다. ASTM A992에서 ASTM A572로 변경한다고 해서 동일한 W형강의 $I_x$가 더 커지는 것은 아닙니다. 강재 등급은 저항 및 설계 검토에 반영됩니다. 치수, 축의 위치 및 수학적 정의가 단면 특성을 결정합니다.

모든 계산에서는 입력 치수와 출력 특성 양쪽에 단위를 함께 표시해야 합니다. $b=200$, $t=10$이라고만 쓰는 것은 불완전합니다. $b=200\text{mm}$, $t=10\text{mm}$로 쓰고, $A=3,800{\text{mm}}^2$로 보고해야 합니다. 이러한 간단한 원칙만으로도 많은 오류가 스프레드시트나 설계 모델에 반영되기 전에 발견됩니다.

미국 관용 단위계와 미터법 단위계

미국 관용 단위계를 사용하는 경우 치수는 일반적으로 인치, 면적은 ${\text{in}}^2$, 단면2차모멘트는 ${\text{in}}^4$, 단면계수는 ${\text{in}}^3$, 회전반경은 인치, 비틀림 상수 $J$는 ${\text{in}}^4$, 뒤틀림 상수 $C_w$는 ${\text{in}}^6$으로 표시합니다. 질량 또는 명목 중량은 단위 길이당 질량이 아니라 lb/ft와 같은 단위 길이당 중량으로 표시되는 경우가 많습니다. 이 구분은 중요합니다. lb/ft는 길이당 힘을 나타내는 관례인 반면, kg/m은 길이당 질량을 나타내는 관례입니다.

미터법 계산에서는 모든 값을 밀리미터로 사용할 수 있습니다. 즉, $A$는 ${\text{mm}}^2$, $I_x$와 $I_y$는 ${\text{mm}}^4$, $W_x$와 $W_y$는 ${\text{mm}}^3$, $r_x$와 $r_y$는 mm, $J$는 ${\text{mm}}^4$, $C_w$는 ${\text{mm}}^6$로 표시할 수 있습니다. 또는 미터, 센티미터를 사용하거나, 발행된 표에서 정한 혼합 단위계를 사용할 수도 있습니다. 어느 단위계 자체가 더 안전한 것은 아닙니다. 위험한 것은 길이의 거듭제곱을 변경하지 않은 채 단위계를 전환하는 것입니다.

American Institute of Steel Construction은 AISC Shapes Database v16.0이 미국 관용 단위와 미터법 단위 모두로 치수 및 단면 특성을 제공한다고 명시합니다(AISC, 2023). AISC Part 1, “Dimensions and Properties”는 제16판 Steel Construction Manual에서 표로 제시된 치수와 기하학적 특성을 다루는 기준 부분입니다. ANSI/AISC 360-16은 $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$, $C_w$를 포함한 물리량을 정의합니다. 계산서에는 각 값이 AISC의 어느 열과 어느 단위계에서 제공되었는지를 식별해야 하며, 열의 머리글 없이 수치만 복사해서는 안 됩니다.

유용한 점검 항목은 다음과 같습니다.

\[ \begin{array}{lll} \text{길이:} & L & \text{in, mm, 또는 m}\\ \text{면적:} & A & \text{in}^2\text{ 또는 mm}^2\\ \text{단면2차모멘트:} & I_x,I_y & \text{in}^4\text{ 또는 mm}^4\\ \text{단면계수:} & W_x,W_y & \text{in}^3\text{ 또는 mm}^3\\ \text{회전반경:} & r_x,r_y & \text{in 또는 mm}\\ \text{비틀림 상수:} & J & \text{in}^4\text{ 또는 mm}^4\\ \text{뒤틀림 상수:} & C_w & \text{in}^6\text{ 또는 mm}^6\\ \text{단위 길이당 질량:} & m' & \text{lb/ft 또는 kg/m} \end{array} \]

단면계수에 사용되는 정확한 기호는 참고문헌에 따라 달라질 수 있습니다. $S$, $W$, $Z$는 출처에서 그 의미를 정의하지 않은 경우 서로 바꾸어 사용할 수 없습니다. 탄성 단면계수와 소성 단면계수는 모두 ${\text{length}}^3$의 차원을 갖지만, 서로 다른 단면 특성입니다.

단면 특성에서 길이의 거듭제곱

길이의 거듭제곱은 정의에서 직접 도출됩니다. 면적은 $\mathrm{dA}$의 적분이므로 $L^2$에 비례합니다. 도심축에 대한 단면2차모멘트는 다음과 같은 적분입니다.

$$I_x={\int }_A{y}^2\mathrm{dA},$$

따라서 $L^4$에 비례합니다. Abaqus는 $I_{11}$과 $I_{22}$를 단면적 전체에 대해 제곱된 좌표 거리로 적분하여 설명합니다. 또한 Abaqus의 관성곱 $I_{12}$는 두 좌표 거리의 곱을 사용합니다. 동일한 차원 논리는 $I_{\mathrm{xy}}$와 극2차모멘트에도 적용됩니다.

단면계수는 $W_x=I_x/c_x$이므로 $L^3$의 차원을 갖습니다. 회전반경은 $r_x=\sqrt{I_x/A}$이므로 $L$의 차원을 갖습니다. Saint-Venant 비틀림 상수 $J$는 $L^4$, 뒤틀림 상수 $C_w$는 $L^6$의 차원을 갖습니다. 단위 길이당 질량은 kg/m과 같이 질량을 길이로 나눈 값입니다.

이 때문에 길이 변환 오류는 심각한 결과를 초래합니다. $1\text{in}=25.4\text{mm}$이므로,

$$1{\text{in}}^4=(25.4{)}^4{\text{mm}}^4\approx 416,232{\text{mm}}^4.$$

선형 변환 계수 25.4를 잘못 적용하면 $I$ 또는 $J$에서는 약 416,000배에 달하는 4제곱 오류가 발생하고, $C_w$에서는 약 2억 6,800만 배에 이르는 6제곱 오류가 발생합니다. 단면계수는 3제곱의 차원을 가지므로 오류 계수는 ${25.4}^3$, 즉 약 16,387입니다. 단위 표기를 그대로 둔 채 “수치만 변환”해서는 안 됩니다.

조립 단면의 경우 도심 공식이나 평행축 정리를 적용하기 전에 모든 구성 요소의 치수를 단위와 함께 열거해야 합니다. 편심 항 $A{d}^2$는 구성 요소의 단면2차모멘트와 동일한 $L^4$ 단위를 가져야 합니다. 소프트웨어를 이용한 검토도 도움이 될 수 있습니다. Missouri S&T의 MDSolids는 도심 위치, 단면2차모멘트, 단면계수, 회전반경, 소성 단면계수, 극2차모멘트 및 주단면2차모멘트를 제공하므로, 독립적으로 단위를 설정한 비교 검토에 유용합니다.

유럽식 표 작성 관례

유럽의 표에서는 계산된 단면 특성에 센티미터를 사용하는 경우가 많습니다. Steel Construction Institute의 Blue Book은 유럽 형강에 대해 면적, 단면2차모멘트, 탄성 및 소성 단면계수, 회전반경, 비틀림 상수 및 뒤틀림 상수를 제시합니다. 일반적인 표 머리글은 $A$가 ${\text{cm}}^2$, $I$가 ${\text{cm}}^4$, $W$가 ${\text{cm}}^3$, $i$가 cm, $J$가 ${\text{cm}}^4$, $C_w$가 ${\text{dm}}^6$으로 표시됩니다. ArcelorMittal은 유럽에서 계산된 특성이 일반적으로 센티미터 단위로 보고되며, 표면적은 미터 기반 단위, 뒤틀림 상수는 데시미터 기반 단위를 사용한다고 설명합니다. 따라서 한 표에서 질량은 kg/m, 표면적은 ${\text{m}}^2/\text{m}$, $C_w$는 ${\text{dm}}^6$, 그 밖의 특성은 센티미터 기반 단위로 함께 표시될 수 있습니다.

EN 10365:2026을 단면 특성 표와 혼동해서는 안 됩니다. EVS에 따르면 이 표준은 열간압연 채널, I형 단면 및 H형 단면의 공칭 치수와 질량을 규정합니다. Blue Book은 단면 치수로부터 기하학적 특성을 계산하여 표로 제시합니다. 어느 출처를 사용하기 전에 정확한 형상 designation, 표준, 판본, 축의 관례 및 단위 머리글을 확인해야 합니다. 그런 다음 복사한 입력값과 계산된 출력값 옆에 해당 단위를 다시 표시해야 합니다. 차원 검토는 단순한 사무 절차가 아니라, 선택한 단면과 그 단면의 기하학적 특성이 실제 설계에 사용된 것과 일치하는지를 확인하는 과정의 일부입니다.

조립 강재 단면의 계산 절차 예시

조립 단면은 강재 부재로 취급하기 전에 먼저 형상으로 계산해야 합니다. 강재 등급은 주어진 치수에 대한 총면적, 도심, 단면 2차 모멘트 또는 탄성 단면계수를 변경하지 않습니다. ASTM A992 또는 S355와 같은 등급 지정은 저항 및 설계 검토에 영향을 주지만, 동일한 단면이 기하학적으로 더 크거나 더 강성이 높아지게 하지는 않습니다.

다음 예에서는 세 개의 직사각형으로 조립한 대칭 용접 I형 단면을 사용합니다.

• 상부 플랜지: $200\times 20$ mm
• 웨브: $20\times 160$ mm
• 하부 플랜지: $200\times 20$ mm
• 전체 높이: $200$ mm

이 치수는 형상만을 나타냅니다. 강재가 ASTM A992인지, S275인지, S355인지 또는 다른 등급인지는 별개의 문제입니다.

단면 분할

치수가 표시된 스케치부터 시작합니다. 전체 폭과 높이, 각 판의 두께, 원점 및 축의 양의 방향을 표시합니다. $x$축을 수평축, $y$축을 수직축으로 하고, 원점은 전체 외접 직사각형의 좌측 하단 모서리에 둡니다. 단면 특성을 계산할 때에는 최종적으로 구할 도심축 $x_c$와 $y_c$도 표시하는 것이 유용합니다.

단면을 서로 겹치지 않는 직사각형으로 나눕니다. 이 예에서는 다음과 같습니다.

웨브는 $y=20$에서 시작하여 $y=180$에서 끝나므로 도심은 $y=100$에 있습니다. 총면적은

$$A=\sum A_i=\mathrm{4,000}+\mathrm{3,200}+\mathrm{4,000}=\mathrm{11,200}{\text{mm}}^2.$$

이 분할은 의도적으로 겹침을 피한 것입니다. 흔히 발생하는 오류는 전체 $200\times 200$ 직사각형을 사용한 다음, 그 결과로 얻은 영역이 실제 용접 조립 형상과 일치하는지 확인하지 않고 양쪽 빈 공간만 빼는 것입니다. 구멍, 슬롯, 코프 또는 절단부가 포함된 단면의 경우에는 누락된 영역을 음의 면적으로 나타냅니다. 해당 영역의 1차 모멘트와 관성항에도 음의 부호를 적용해야 합니다.

형상을 더 잘 나타낼 수 있다면 삼각형, 원, 중공원 또는 기타 기본 도형을 사용하여 분할할 수 있습니다. 예를 들어 중공 원형 구멍은 외부의 양의 원과 내부의 음의 원으로 처리합니다. 동일한 부호 규약은 이후의 모든 합산에도 적용됩니다.

도심과 관성 계산

먼저 1차 모멘트로부터 도심을 계산합니다.

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

이 단면의 경우,

$$\overline{x}=\frac{\mathrm{4,000}\left(100\right)+\mathrm{3,200}\left(100\right)+\mathrm{4,000}\left(100\right)}{\mathrm{11,200}}=100\text{mm}.$$

상부 플랜지와 하부 플랜지가 동일하고 대칭으로 배치되어 있으므로,

$$\overline{y}=\frac{\mathrm{4,000}\left(10\right)+\mathrm{3,200}\left(100\right)+\mathrm{4,000}\left(190\right)}{\mathrm{11,200}}=100\text{mm}.$$

따라서 도심은 기하학적 중심에 있습니다. 비대칭 조립 단면에서는 이 결과를 가정해서는 안 됩니다. 반드시 계산해야 합니다.

각 직사각형의 국부 도심축 단면 2차 모멘트를 계산합니다.

\[ I_{x,i,\text{local}}=\frac{b h^3}{12}, \qquad I_{y,i,\text{local}}=\frac{h b^3}{12}. \]

그다음 평행축 정리를 사용하여 각 값을 공통 도심축으로 이동합니다.

$$I_x=\sum (I_{x,i,\text{local}}+A_i{d}_{y,i}^2),$$ $$I_y=\sum (I_{y,i,\text{local}}+A_i{d}_{x,i}^2),$$

여기서 \(d_{y,i}=y_i-\bar y\), \(d_{x,i}=x_i-\bar x\)입니다.

$I_x$의 경우 플랜지 도심까지의 거리는 각각 $90$ mm이고, 웨브의 거리는 0입니다. 플랜지의 국부 단면 2차 모멘트는

$$\frac{200(20{)}^3}{12}=\mathrm{133,333}{\text{mm}}^4,$$

웨브의 국부 단면 2차 모멘트는

$$\frac{20(160{)}^3}{12}=\mathrm{6,826,667}{\text{mm}}^4.$$

따라서,

$$I_x=2[\mathrm{133,333}+\mathrm{4,000}(90{)}^2]+\mathrm{6,826,667}$$ $$I_x=\mathrm{71,893,333}{\text{mm}}^4.$$

$I_y$의 경우 모든 구성 요소에서 \(x_i=\bar x=100\) mm이므로 수평 방향 평행축 이동항은 필요하지 않습니다.

$$I_y=2\left[\frac{20(200{)}^3}{12}\right]+\frac{160(20{)}^3}{12}$$ $$I_y=\mathrm{26,773,333}{\text{mm}}^4.$$

단면 상승적은

$$I_{\mathrm{xy}}=\sum (I_{\mathrm{xy},i,\text{local}}+A_i{d}_{x,i}{d}_{y,i}).$$

각 직사각형의 변이 축과 평행할 때 국부 단면 상승적은 0입니다. 여기서는 세 구성 요소 모두 $d_x=0$이므로,

$$I_{\mathrm{xy}}=0.$$

이 결과는 중요합니다. 선택한 도심축은 이 이중 대칭 단면의 주축이기도 합니다.

계산값

탄성 단면계수는 최외단 섬유까지의 거리로부터 다음과 같이 구합니다.

\[ S_x=\frac{I_x}{c_y}, \qquad S_y=\frac{I_y}{c_x}. \]

최외단 섬유는 두 도심축으로부터 각각 $100$ mm 떨어져 있습니다.

$$S_x=\frac{\mathrm{71,893,333}}{100}=\mathrm{718,933}{\text{mm}}^3,$$ $$S_y=\frac{\mathrm{26,773,333}}{100}=\mathrm{267,733}{\text{mm}}^3.$$

이 값들은 탄성 단면계수입니다. 소성 단면계수는 소성 중립축을 계산하고 면적을 재분배해야 하므로 이와 다릅니다. 또한 탄성 단면계수는 회전반경과도 다릅니다.

$$r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}=\sqrt{\frac{\mathrm{71,893,333}}{\mathrm{11,200}}}=80.1\text{mm},$$ $$r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}=\sqrt{\frac{\mathrm{26,773,333}}{\mathrm{11,200}}}=48.9\text{mm}.$$

서로 직교하는 $x$축과 $y$축에 대한 도심 기준 극관성모멘트는 다음과 같습니다.

$$I_p=I_x+I_y=\mathrm{98,666,666}{\text{mm}}^4.$$

이 관계가 $I_p$를 비틀림 상수 $J$로 바꾸어 주는 것은 아닙니다. 동일한 얇은 벽 개방 I형 단면에 대해 예비적인 Saint-Venant 추정값은 다음과 같습니다.

$$J\approx \sum \frac{b_i{t}_i^3}{3}.$$

두 플랜지 판과 웨브를 사용하면,

$$J\approx 2\left(\frac{200(20{)}^3}{3}\right)+\frac{160(20{)}^3}{3}=\mathrm{1,493,333}{\text{mm}}^4.$$

개방 단면에서 예상되는 것처럼 이 값은 $I_p$보다 훨씬 작습니다. 이 근사식은 일부 접합부 및 두께 세부 사항을 무시하므로, 설계기준 표, 검증된 얇은 벽 계산 또는 유한요소 단면 특성 방법을 대체해서는 안 됩니다. 뒤틀림 상수 $C_w$는 별도의 뒤틀림 계산이나 문서화된 참고값이 필요하며, $I_x$, $I_y$ 또는 $J$의 명칭만 바꾸어 얻을 수 없습니다.

표준 압연 단면의 경우에는 관련 표에 수록된 정확한 형상 및 판본과 수계산 결과를 비교합니다. American Institute of Steel Construction에 따르면 2023년에 발행된 AISC Shapes Database v16.0은 미국 관용 단위와 미터법 단위로 치수 및 단면 특성을 제공하며, 16판 Steel Construction Manual의 Part 1은 표준 치수와 기하학적 특성을 위한 참고 단원입니다. 유럽에서는 일반적으로 The Blue Book이라고 불리는 SCI P363이 면적, 단면 2차 모멘트, 탄성 및 소성 단면계수, 회전반경, $J$ 및 $C_w$를 제시합니다. EVS-EN 10365:2026은 공칭 치수와 질량을 규정하며, 그 자체로 단면 특성 표를 대체하지는 않습니다.

대칭성과 소프트웨어를 통한 검증

계산 결과를 신뢰하기 전에 대칭성을 확인합니다. 동일한 플랜지는 도심을 높이의 중간에 위치시키고, 좌우 폭이 같으면 도심은 수직 중심선 위에 놓입니다. 단면이 두 축에 대해 대칭이므로, 도심축이면서 대칭축과 일치하는 경우 $I_{\mathrm{xy}}$는 0이어야 합니다. 0이 아닌 결과는 구성 요소 좌표의 위치 오류, 겹침, 누락된 판 또는 부호 오류를 의미합니다.

다음으로 단위를 확인합니다. 치수를 밀리미터로 입력하면 면적은 ${\text{mm}}^2$, 단면 2차 모멘트와 $J$는 ${\text{mm}}^4$, 단면계수는 ${\text{mm}}^3$, 회전반경은 밀리미터 단위가 됩니다. 유럽 표에서는 계산된 단면 특성에 센티미터 단위를 사용하는 경우가 많습니다. ArcelorMittal의 2024년 설명 자료에서는 표면적에 미터 기반 단위를, 뒤틀림 상수에는 데시미터 기반 단위를 사용한다고 설명합니다. 단위 변환 없이 직접 비교하면 $10$, ${10}^2$, ${10}^3$ 또는 그 이상의 배수만큼 오류가 발생할 수 있습니다.

독립적인 검증은 2024년에 문서화된 Missouri S&T의 MDSolids 단면 특성 모듈을 사용하여 수행할 수 있습니다. 세 개의 직사각형을 일반 복합 형상으로 입력하거나, 선택한 분할 방식에 부합한다면 외부 직사각형에서 두 개의 빈 공간을 빼는 방식으로 입력합니다. $A$, 도심 좌표, $I_x$, $I_y$, $I_{\mathrm{xy}}$, 단면계수, 회전반경 및 주관성모멘트를 비교합니다. MDSolids는 일반 형상과 표준 강재 단면에 대해 이러한 값을 제공합니다.

Abaqus는 정의를 확인하는 데 유용한 기준을 제공합니다. 2024년 문서에서는 $I_{11}$과 $I_{22}$를 단면적에 걸친 좌표 거리 제곱의 적분으로, $I_{12}$를 좌표 거리 곱의 적분으로 설명합니다. 소프트웨어에 따라 축 표기를 반대로 사용하거나 $I_{\mathrm{xy}}$의 부호 규약을 다르게 적용하거나, 다른 원점에 대한 단면 특성을 보고할 수 있습니다. 따라서 결과가 일치하지 않는 경우 잘못된 축, 누락된 음의 면적, 도심 오류, 단위 불일치 또는 총면적과 순면적, 탄성 단면계수와 소성 단면계수, Saint-Venant $J$와 극관성모멘트처럼 서로 다른 정의가 원인일 수 있습니다. 수계산을 변경하기 전에 입력 형상과 단면 특성의 정의를 확인해야 합니다.

소프트웨어, 수치 적분 및 주요 특성

일반 단면 계산기

일반 단면 계산기는 형상을 평가합니다. 이 계산기는 강재 부재가 설계 검토를 통과하는지, 어떤 한계상태가 지배적인지, 또는 특정 강종이 적합한지를 판단하지 않습니다. ASTM A992에서 ASTM A572 Grade 50으로 강종 표시를 변경하면 설계기준에서 정한 재료 저항은 달라지지만, 변하지 않은 단면의 면적, 도심, 단면 2차 모멘트 또는 비틀림 상수는 달라지지 않습니다. 이러한 값은 경계 좌표와 재료 영역의 형상으로부터 결정됩니다.

Missouri S&T의 MDSolids 단면 특성 모듈은 계산기가 제공할 수 있는 출력 범위를 보여 줍니다. 2024년 문서에는 일반 형상 및 표준 강재 형상에 대해 도심 위치, 단면 2차 모멘트, 단면계수, 회전반경, 소성단면계수, 극관성모멘트 및 주단면 2차 모멘트가 제시되어 있습니다. 이러한 결과는 서로 다른 질문에 답합니다. 면적 $A$는 단면에 존재하는 재료의 양을 나타냅니다. $I_x$와 $I_y$는 지정된 도심축을 기준으로 면적이 얼마나 분포하는지를 나타냅니다. 탄성 단면계수 $S=I/c$는 이러한 분포를 최외단 섬유까지의 거리와 관련시키는 반면, 소성단면계수 $Z$는 단면 전체가 항복한 응력 블록 구성으로부터 얻어집니다. 회전반경 $r=\sqrt{I/A}$는 유도된 길이이며, 또 다른 관성값이 아닙니다.

극관성모멘트와 비틀림 관련 출력에도 동일한 주의가 적용됩니다. 극관성모멘트 $I_p=I_x+I_y$는 한 점을 기준으로 한 면적 분포를 나타내며, 그 자체로 Saint-Venant 비틀림 상수 $J$를 의미하지는 않습니다. 개단면과 폐단면에서 $J$는 비틀림 문제와 경계조건에 따라 달라집니다. 뒤틀림 상수 $C_w$는 구속된 종방향 뒤틀림을 나타내며, 단위도 다시 다릅니다. 소프트웨어 화면에서 이러한 값들을 나란히 표시한다고 해서 서로 대체 가능한 것은 아닙니다.

조립 단면의 경우에도 계산 결과는 수작업으로 검증할 수 있습니다. 각 구성요소의 면적과 도심을 계산하고, 1차 모멘트로부터 합성 단면의 도심을 구한 다음, 각 구성요소의 국부 관성에 평행축 정리를 적용합니다. University of Michigan의 연습 강의 자료는 이러한 구성요소 면적법을 제시합니다. 직사각형, 삼각형, 원 및 중공원은 테이퍼 플랜지, 필릿, 구멍 또는 절개부가 있는 형상을 신뢰하기 전에 사용할 수 있는 유용한 검증 사례입니다. 2023년에 American Institute of Steel Construction이 발행한 AISC Shapes Database v16.0과 비교할 때에는 정확한 형상 표시와 판본을 사용해야 합니다. AISC는 이 데이터베이스가 미국 관용 단위와 미터법 단위로 치수 및 단면 특성을 제공한다고 명시합니다. 그러나 이는 외관이 유사한 단면의 특성을 추정할 수 있는 근거가 아닙니다.

단위 검토는 반드시 수행해야 합니다. 면적은 ${\mathrm{mm}}^2$, 관성은 ${\mathrm{mm}}^4$, 단면계수는 ${\mathrm{mm}}^3$, 회전반경은 밀리미터로 표시될 수 있습니다. ArcelorMittal은 2024년 해설 자료에서 유럽식 계산 단면 특성이 일반적으로 센티미터 단위로 보고되며, 표면적과 뒤틀림 상수에는 각각 미터 및 데시미터 기반 단위가 사용된다고 설명합니다. Steel Construction Institute의 Blue Book은 유럽 형강에 대해 면적, 단면 2차 모멘트, 탄성 및 소성 단면계수, 회전반경, 비틀림 상수 및 뒤틀림 상수를 제시합니다. EVS-EN 10365:2026은 열간압연 채널, I형강 및 H형강의 호칭 치수와 질량을 규정하며, 계산된 단면 특성표와 동일한 문서가 아닙니다.

유한요소 보 단면 정의

유한요소 프로그램은 일반적으로 이산화된 영역에 대한 수치 적분을 통해 보 단면 특성을 산정합니다. 2024년에 갱신된 Abaqus 문서에서는 $I_{11}$과 $I_{22}$를 좌표 거리 제곱의 적분으로, $I_{12}$를 좌표 거리의 곱의 적분으로 정의하여 도심 단면 특성을 산정합니다. 개략적으로 나타내면 다음과 같습니다.

\[ I_{11}=\int_A y^2\,dA,\qquad I_{22}=\int_A x^2\,dA,\qquad I_{12}=\int_A xy\,dA. \]

기호의 의미는 프로그램의 국부 좌표계에 따라 달라집니다. 한 해석 프로그램의 $I_{11}$이 일반적으로 $I_y$라고 부르는 값에 해당할 수도 있으므로, 기호만으로는 충분하지 않습니다. 좌표계 그림과 부호 규약을 확인해야 합니다.

수치 적분은 곡선 경계, 압연 필릿, 천공판, 가져온 CAD 윤곽선 및 다수의 재료 영역으로 조립된 단면에 특히 유용합니다. 프로그램은 영역을 셀 또는 단면 요소로 나누고, 필요한 좌표와 가중치를 평가한 후 각 기여분을 합산합니다. 메시를 세분화하면 도심, 면적 및 관성값이 수렴하는 결과를 보여야 합니다. 거친 메시는 작은 구멍을 없애거나, 필릿 형상을 왜곡하거나, 도심을 충분히 이동시켜 얇은 벽 단면의 결과에 영향을 줄 수 있습니다. 시각적으로 매끄러운 메시라고 해서 특성이 수렴했다는 증거는 아닙니다.

유한요소 보 정의에는 형상만으로 결정할 수 없는 선택사항도 포함됩니다. 단면이 실체 단면, 얇은 벽 단면, 개단면 또는 폐단면으로 지정되었는지, 전단면적이 계산되는지 아니면 직접 입력되는지, 비틀림 및 뒤틀림 특성이 동일한 이산화로부터 도출되는지를 확인해야 합니다. 모든 재료 영역을 확인해야 합니다. 강재 플랜지, 그라우트 포켓, 용접부 이상화, 빈 공간, 피복 또는 복합재 삽입부는 의도적으로 지정해야 합니다. 복합 단면에서 어떤 영역이 누락되거나 중복되거나 잘못된 재료로 지정되면, 외곽 윤곽이 올바르게 보이더라도 보고된 강성과 질량이 잘못될 수 있습니다.

무엇보다도 특성의 기준이 총단면, 순단면, 유효단면, 탄성 또는 소성 중 무엇인지 식별해야 합니다. 총면적은 정의된 전체 단면을 포함합니다. 순면적은 볼트 구멍이나 기타 공제 부분을 제외할 수 있습니다. 유효 특성은 국부좌굴 규칙을 반영할 수 있으며, 탄성 및 소성 단면계수는 서로 다른 응력 분포를 나타냅니다. 단면 특성 해석기는 일반적으로 요청된 수학적 양을 계산할 뿐이며, ANSI/AISC 360-16에 따른 유효폭을 결정하거나, Eurocode 규칙에 따라 판을 분류하거나, 부재 좌굴 검토를 수행하지는 않습니다. ANSI/AISC 360-16은 $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ 및 $C_w$를 강구조 설계에 사용되는 양으로 제시하지만, 이러한 값을 어떻게 사용할지는 설계 규정이 정합니다.

주단면 2차 모멘트와 회전축

$I_{\mathrm{xy}}\ne 0$인 경우, 선택한 도심축은 주축이 아닙니다. 축을 $\theta$만큼 회전시키면 주축 방향에서 관성곱이 0이 됩니다. 주단면 2차 모멘트는 도심 관성행렬의 고유값입니다.

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2}.$$

$I_{\mathrm{xy}}$의 부호 규약은 보고되는 각도에 영향을 주므로, 소프트웨어 결과는 해당 프로그램의 축 정의에 따라 해석해야 합니다. 이중 대칭 I형강의 경우 일반적인 도심 대칭축이 이미 주축이며 $I_{\mathrm{xy}}=0$입니다. 비대칭 앵글, 채널, 기울어진 판 또는 비대칭 절개부에는 일반적으로 축 회전이 필요합니다.

주요 단면 특성이 설계에 필요한 특성과 자동으로 일치하는 것은 아닙니다. 기둥은 약한 주축을 기준으로 좌굴할 수 있지만, 보의 휨은 건물축 또는 부재축을 기준으로 지정될 수 있습니다. 쉘 또는 보 모델에서는 국부 단면축이 전역 좌표에 대해 회전되어 있을 수도 있습니다. 두 좌표계 모두를 기록한 다음, 힘, 모멘트 및 단면 특성을 일관되게 변환해야 합니다. 결과를 수용하기 전에 메시를 세분화하고, 방향을 검증하며, 재료 영역 지정을 검사하고, 단위를 확인하고, 간단한 극한 사례를 MDSolids 또는 표준 표와 비교해야 합니다. 소프트웨어는 산술 계산을 수행합니다. 그러나 형상을 정의하고, 특성의 기준을 선택하며, 그 수치가 무엇을 의미하는지를 결정하는 것은 여전히 기술자의 역할입니다.

정확도, 반올림, 허용오차 및 단면 형상 식별

단면 특성값은 그 기하학적 정의가 알려져 있을 때에만 의미가 있습니다. 예를 들어 $I_x$의 값은 단면 형상, 기준축 및 단위계에 따라 달라집니다. 이는 단순히 I형 부재에 붙는 일반적인 명칭이 아닙니다. 공개된 $I_x$ 값은 열간 압연 유럽식 HEA 단면, 미국식 W형 단면, 이상화된 박벽 단면 또는 실제 측정 시편을 나타낼 수 있습니다. 이러한 설명은 서로 바꾸어 사용할 수 없습니다.

공칭 치수와 측정 치수의 차이

표준 지정은 일반적으로 공칭 치수를 의미합니다. EVS-EN 10365:2026은 열간 압연 채널, I형 단면 및 H형 단면의 공칭 치수와 질량을 규정하지만, 제조된 모든 단면이 완전히 날카로운 모서리, 정확히 일정한 두께 또는 무한히 높은 정밀도의 치수를 갖는다고 주장하지는 않습니다. 예를 들어 공칭 HE 200 A는 표준 지정과 공칭 치수 계열로 식별되지만, 실제 플랜지 두께, 웨브 두께, 높이 및 모서리 형상은 제조 허용오차의 영향을 받습니다.

이러한 차이는 계산 과정이 정확하더라도 손계산 결과가 표와 일치하지 않을 수 있는 이유를 설명합니다. 단순 계산에서는 I형 단면을 플랜지용 직사각형 두 개와 웨브용 직사각형 하나로 나타낼 수 있습니다. 그러나 실제 제조 단면에는 웨브와 플랜지 사이의 필릿, 플랜지 또는 웨브의 테이퍼, 모서리 반지름이 포함됩니다. 이러한 영역을 제거하거나 추가하면 면적과 도심이 변하고, 그 결과 $I_x$, $I_y$, 단면계수 및 회전반경도 변합니다. 면적에 미치는 영향은 대체로 작지만, 단면 2차 모멘트에는 더 큰 영향을 줄 수 있습니다. 도심에서 멀리 떨어진 재료는 그 거리를 제곱한 값에 비례하여 기여하기 때문입니다.

다음 세 가지 형상은 서로 구분해야 합니다.

1. 공칭 표준 형상: 단면 표준 또는 단면 표에 의해 지정된 치수. 2. 실측 제조 형상: 특정 압연 부재에서 측정한 치수로서, 실제 반지름, 두께, 테이퍼 및 편차를 포함하는 형상. 3. 이상화된 해석 형상: 손계산, 유한요소 모델 또는 예비 설계를 위해 선택한 단순화된 모델.

표에 수록된 특성값은 일반적으로 한 개의 보에서 무작위로 측정한 값이 아니라, 공칭 치수와 단면 형상에 근거하여 정의된 계산 모델에 해당합니다. 측정한 플랜지가 공칭값보다 1.5 mm 두꺼우면 그에 따른 면적과 단면 2차 모멘트가 공개된 값과 달라질 수 있습니다. 측정값이 자동으로 더 정확한 것은 아닙니다. 측정값은 다른 질문에 답하는 값입니다.

동일한 문제는 조립 단면에도 적용됩니다. 두 개의 판을 서로 맞닿은 직사각형으로 모델링하면 계산에서 용접 금속, 틈새, 코프 절단부, 볼트 구멍 또는 접합판이 누락될 수 있습니다. 조립 단면에서는 명시된 형상에 대해 구성요소의 면적, 1차 모멘트, 도심 좌표 및 평행축 정리를 적용해야 합니다. 그 결과는 해당 모델에 속하는 것이며, 반드시 카탈로그에 수록된 압연 단면에 해당하는 것은 아닙니다.

소프트웨어를 사용한다고 해서 형상을 정의할 필요가 없어지는 것은 아닙니다. Abaqus 문서에서는 면적 적분을 통해 도심 기준 특성을 정의합니다. $I_{11}$ 및 $I_{22}$는 좌표 거리의 제곱을 적분하며, $I_{12}$는 좌표 거리의 곱을 적분합니다. Missouri S&T의 MDSolids도 지정된 형상에 대해 도심 위치, 단면 2차 모멘트, 단면계수, 회전반경, 소성 단면계수, 극관성모멘트 및 주축 단면 2차 모멘트를 보고합니다. 이러한 출력값은 입력 형상에 대해서는 정밀하지만, 표시되는 수치의 정밀도가 불확실한 입력 치수를 정확한 것으로 바꾸지는 않습니다.

반올림 및 유효숫자

반올림은 모든 중간 계산 단계에서 수행하지 말고 계산이 끝난 후에 수행해야 합니다. 단면 2차 모멘트를 계산하기 전에 플랜지 두께 9.8 mm를 10 mm로 바꾸면 상당한 차이가 발생할 수 있으며, 특히 플랜지가 도심에서 멀리 떨어져 있을 때 그 차이가 커집니다. 출처가 뒷받침하는 정밀도에 맞추어 최종 결과를 반올림하는 것이, 밀리미터 단위로만 제시된 치수에서 $I_x=\mathrm{12,847,391.672}{\text{mm}}^4$를 보고하는 것보다 타당합니다.

유효숫자는 치수의 정확도와 계산 목적을 모두 반영해야 합니다. 설계 검토에서는 도면 주기에 필요한 것보다 내부적으로 더 많은 자릿수를 유지해야 할 수 있지만, 예비 비교에서는 $I_x=1.28\times {10}^8{\text{mm}}^4$와 같이 나타내는 것이 합리적일 수 있습니다. 스프레드시트에 소수점 이하 자릿수가 많이 표시된다는 이유만으로 제조 정밀도를 추론해서는 안 됩니다.

단면 특성은 서로 다른 차원을 가지므로 단위 변환에는 특히 주의해야 합니다. 면적은 길이의 제곱에 비례하고, 단면 2차 모멘트와 비틀림 상수는 길이의 4제곱에 비례하며, 단면계수는 길이의 세제곱에, 회전반경은 길이에 비례합니다. 따라서 $I_x$에서의 단위 변환 오류는 단순한 밀리미터-미터 변환 오류보다 훨씬 크게 나타납니다. 유럽 표에서는 계산된 특성값을 일반적으로 센티미터 단위로 표시하며, ArcelorMittal은 표면적과 뒤틀림 상수에 각각 미터 기반 단위와 데시미터 기반 단위를 사용한다고 명시합니다. 각 열 옆에 인쇄된 단위를 추측하지 말고 직접 확인해야 합니다.

반올림은 출처 간 비교에도 영향을 줍니다. 두 표가 동일한 형상을 사용했더라도 한 표는 $I_x$를 유효숫자 세 자리로, 다른 표는 여섯 자리로 표시할 수 있습니다. 작은 차이가 발견되면 오류의 증거로 간주하기 전에 먼저 단위, 축의 방향, 필릿 처리 및 표시 정밀도를 확인해야 합니다.

판본 및 지정 관리

계산에 사용되는 모든 특성값에는 다음 다섯 가지 식별 정보가 함께 기록되어야 합니다. 정확한 형상 지정, 적용 표준, 판본 또는 데이터베이스 버전, 축의 규약, 표 또는 출처의 위치입니다. 여기에 단위계도 추가해야 합니다. “W310 $I_x$”는 불완전한 표기입니다. “W310×97, AISC Shapes Database v16.0, 미국 관용 단위, 도심 주축 중 강축, Part 1 표”와 같이 기록해야 추적이 가능합니다.

American Institute of Steel Construction은 2023년에 발행된 AISC Shapes Database v16.0이 미국 관용 단위와 미터법 단위로 치수 및 특성값을 제공한다고 명시합니다. AISC Part 1은 표에 수록된 치수와 기하학적 특성에 관한 16판 Steel Construction Manual의 참조 단면 부분입니다. ANSI/AISC 360-16은 $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ 및 $C_w$ 등의 양을 정의하지만, 이 규격만으로는 지정되지 않은 단면 형상을 식별할 수 없습니다.

유럽 단면의 경우 SCI P363, The Blue Book은 면적, 단면 2차 모멘트, 탄성 및 소성 단면계수, 회전반경, 비틀림 상수 및 뒤틀림 상수를 포함한 치수와 단면 특성값을 제공합니다. 해당 단면 계열과 지정은 반드시 함께 유지해야 합니다. 공칭 높이가 비슷하다는 이유만으로 HEA 표의 $I_x$ 값을 HEB, W형 단면 또는 다른 단면 계열의 계산에 그대로 사용해서는 안 됩니다. 기초가 되는 형상과 축을 확인하지 않은 채 EN 10365의 공칭 치수와 미국 표의 특성값 규약을 혼용해서도 안 됩니다.

강재 등급은 기하학적 단면 특성값을 변화시키지 않습니다. S275, S355, ASTM A572 Grade 50 및 ASTM A992는 재료 또는 제품 요구사항을 나타냅니다. 등급을 변경하면 저항 계산과 설계 검토는 달라지지만, 동일한 단면의 면적이나 단면 2차 모멘트는 변하지 않습니다. 어떤 출처에서 등급별로 서로 다른 형상을 제시한다면, 그 차이는 강재가 기하학적으로 더 강해졌기 때문이 아니라 선택된 제품 또는 제조 표준이 다르기 때문입니다.

단면 특성이 강구조 설계 검토에 반영되는 방식

단면 특성은 단면, 재료, 하중, 구속 조건 및 적용 표준이 확인된 후에야 설계 검토에 반영된다. 단면 특성은 강도가 아니라 형상을 나타낸다. 총단면적 $10,000{\text{mm}}^2$는 강재가 ASTM A992인지 ASTM A36인지에 관계없이 동일한 면적이다. 강종에 따라 변하는 것은 항복응력 $F_y$ 및 인장강도 $F_u$와 같은 값이지, 계산된 단면 치수가 아니다.

이러한 구분은 “더 강해 보인다”는 이유만으로 해당 값이 무엇을 나타내는지 확인하지 않고 더 큰 수치를 선택하는 흔한 오류를 방지한다. 면적 $A$, 단면2차모멘트 $I_x$ 및 $I_y$, 탄성 및 소성 단면계수 $S_x$, $S_y$, $Z_x$, $Z_y$, 회전반경 $r_x$ 및 $r_y$, 비틀림 상수 $J$, 그리고 뒤틀림 상수 $C_w$는 서로 다른 단위를 가지며 서로 다른 한계상태에 사용된다.

ANSI/AISC 360-16은 $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$, $C_w$를 포함하여 미국에서 명명된 단면 특성량을 정의한다. AISC Part 1, Dimensions and Properties는 제16판 Steel Construction Manual에서 표로 제시된 치수와 기하학적 특성을 확인하기 위한 기준 부분이다. American Institute of Steel Construction이 2023년에 발행한 AISC Shapes Database v16.0은 이러한 치수와 특성을 미국 관용 단위 및 미터법 단위로 제공한다. 정확한 형상 명칭과 데이터베이스 판도 여전히 중요하다. 공칭 깊이가 비슷해 보이더라도 W14×90은 다른 W14 형상과 서로 바꾸어 사용할 수 없다.

축압축과 회전반경

동심 축력이 작용하는 경우, 총단면적은 가장 먼저 고려되는 기하학적 수량이다. 평균 직접응력은 $P/A$로 나타낼 수 있으며, 이때 적용 저항계수, 항복 또는 파단 관련 규정, 그리고 구멍, 세장 요소 또는 기타 규정된 조건에 따른 필요한 감소를 고려해야 한다. 따라서 면적은 축력을 부담하는 재료의 양과 직접 관련되지만, 해당 재료가 도심에서 얼마나 떨어져 분포하는지는 나타내지 않는다.

이러한 분포가 기둥의 좌굴을 지배한다. 회전반경은 다음과 같다.

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}, \qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

부재 길이가 $L$일 때 해당 세장비는 일반적으로 $\mathrm{KL}/r_x$ 및 $\mathrm{KL}/r_y$를 사용하여 나타내며, 여기서 $K$는 유효길이 조건을 나타낸다. 일반적으로 더 작은 회전반경에 해당하는 축에서 휨좌굴이 더 불리하게 발생한다. 동일한 부재 길이에서 더 큰 세장비가 발생하기 때문이다. 와이드플랜지 단면은 상당한 면적을 가질 수 있지만, $r_y$가 $r_x$보다 훨씬 작기 때문에 약축에 대해서는 여전히 취약할 수 있다.

따라서 면적과 회전반경은 서로 대체할 수 없다. 플랜지 폭을 늘리면 $I_x$, $I_y$ 또는 두 값 모두 증가할 수 있지만, 도심 가까이에 재료를 추가하면 좌굴 저항의 향상은 제한적인 반면 $A$는 증가할 수 있다. 경계 조건, 가새, 잔류응력, 초기 휨, 하중 편심 및 국부 세장비 역시 압축 저항에 영향을 준다. 기하학적 특성은 입력값을 제공할 뿐이며, 그 자체로 최종 부재 저항을 결정하지는 않는다.

휨 저항과 단면계수

단면2차모멘트는 직접적인 재료 강도가 아니라 곡률에 대한 저항, 즉 휨강성을 나타낸다. $x$축에 대한 탄성 휨의 경우,

$$\sigma =\frac{M_{x}y}{I_x},$$

여기서 $y$는 중립축으로부터의 거리이다. 탄성 단면계수는 다음과 같다.

$$S_x=\frac{I_x}{c_x},$$

여기서 $c_x$는 중립축에서 최외단 섬유까지의 거리이다. 이에 대응하는 휨응력 관계는 $M_x/S_x$로 나타낼 수 있다. $y$축에 대해서도 동일한 정의가 적용된다.

$I_x$에는 축으로부터의 거리의 제곱이 포함되므로, 중립축에서 멀리 배치된 재료는 휨강성과 탄성 휨 저항에 크게 기여한다. 이것이 I형 단면이 효율적인 이유이다. 플랜지는 대부분의 면적을 강축 중립축에서 먼 위치에 배치하고, 웨브는 이러한 플랜지를 연결하면서 전단을 부담한다.

소성 휨에는 다른 특성이 사용된다. 소성 단면계수 $Z_x$는 $S_x$에 사용되는 최외단 섬유까지의 거리가 아니라, 소성 중립축으로 나뉜 완전 항복 응력 분포를 기준으로 한다. 소성 거동을 발휘할 수 있는 콤팩트 단면의 경우 설계식에 $F_y{Z}_x$가 포함될 수 있는 반면, 탄성 한계식에는 적용 표준의 규정에 따라 $F_y{S}_x$가 포함된다. $Z_x$는 $S_x$를 대체하는 값이 아니며, 어느 것도 재료 강도값이 아니다.

적용 가능한 저항은 플랜지와 웨브의 세장비, 횡가새, 비지지 길이 $L_b$, 하중 작용 위치, 단부 구속 및 횡비틀림좌굴에도 좌우된다. $Z_x$가 큰 단면이라도 압축 플랜지의 가새가 충분하지 않으면 휨 저항이 감소할 수 있다. 따라서 AISC 표는 완전한 설계 결과로 취급하기보다는 ANSI/AISC 360-16의 규정과 함께 검토해야 한다.

유럽 표에서도 다른 제시 방식이 사용될 뿐, 동일한 물리적 구분이 적용된다. Steel Construction Institute의 Blue Book은 유럽 형강에 대해 면적, 단면2차모멘트, 탄성 및 소성 단면계수, 회전반경, $J$, $C_w$를 제공한다. EVS는 EVS-EN 10365:2026이 열간압연 채널, I형 단면 및 H형 단면의 공칭 치수와 질량을 규정한다고 명시한다. 그러나 이 표준 자체가 단면 특성표를 대체하는 것은 아니다. ArcelorMittal은 계산된 유럽 단면 특성이 일반적으로 센티미터 단위로 제시되며, 표면적과 뒤틀림 상수는 각각 미터 및 데시미터 기반 단위를 사용한다고 보고한다. 단위 변환 오류는 결과를 몇 자릿수나 달라지게 할 수 있다.

비틀림, 좌굴 및 상호작용

비틀림을 고려하면 단순화된 보 논의에서 흔히 생략되는 특성들이 추가된다. 비틀림 상수 $J$는 Saint-Venant 비틀림 거동을 나타내며, 단면이 개방형인지 폐쇄형인지에 크게 영향을 받는다. 일반적으로 얇은 폐단면은 비슷한 면적을 가진 개방형 I형, 채널형 또는 앵글형 단면보다 균일 비틀림에 더 효과적으로 저항한다. 폐쇄된 벽체에서는 순환하는 전단흐름이 형성될 수 있기 때문이다.

뒤틀림 상수 $C_w$는 길이 방향 뒤틀림이 구속될 때 발생하는 저항을 나타낸다. 개방형 단면에 비틀림이 작용하는 경우, 특히 단부 조건, 다이어프램, 가새 또는 집중하중이 단면의 자유로운 뒤틀림을 방해할 때 중요해진다. 따라서 $J$와 $C_w$는 같은 의미를 갖지 않으며, 어느 하나를 다른 하나의 일반적인 대체값으로 사용할 수 없다. 단위도 서로 다르다. 흔히 길이의 6제곱 단위로 보고되는 $C_w$를 일관되지 않게 변환하면 비틀림 또는 횡비틀림 계산이 무효화될 수 있다.

횡비틀림좌굴은 강축 휨과 횡변위 및 비틀림을 서로 연계시킨다. 거동은 $I_y$, $J$, $C_w$, 비지지 길이, 모멘트 구배, 하중 작용점 및 단부 구속 조건에 따라 달라진다. 보가 큰 강축 단면계수를 갖고 있더라도 압축 플랜지가 횡방향으로 자유롭게 이동하고 단면이 비틀릴 수 있다면 저항이 제한될 수 있다. 압축 부재에서 발생하는 비틀림좌굴과 휨-비틀림좌굴 역시 $A$, $I_x$, $I_y$만으로 결정되지 않는다.

축력, 휨 및 비틀림이 함께 작용하는 경우에는 적용 설계 표준에서 규정한 상호작용 검토가 필요하다. 접합부 편심, 볼트 또는 용접 배치, 국부적인 하중 도입, 전단면적 및 부재 연속성은 이러한 검토에 사용되는 내부 작용력을 변화시킬 수 있다. 도심축과 주축이 일치하지 않는 경우에는 관성곱 $I_{\mathrm{xy}}$와 주축 특성이 중요해진다. 이는 특히 비대칭 앵글, 채널 및 조립 부재에서 그러하다.

검증을 위해 구성 요소의 면적, 도심 좌표, 1차 모멘트 및 평행축 정리를 이용한 수계산 결과는 신뢰할 수 있는 표 또는 소프트웨어 결과와 일치해야 한다. Abaqus 문서에서는 $I_{11}$ 및 $I_{22}$를 면적에 걸쳐 좌표 거리의 제곱을 적분하여 정의하고, $I_{12}$를 좌표 거리의 곱을 적분하여 정의한다. Missouri S&T의 MDSolids도 도심, 관성, 단면계수, 회전반경, 극관성 및 주축 특성을 독립적으로 제공한다. 이러한 검토는 기하학적 수량이 강구조 설계 검토에 사용되기 전에 축을 서로 바꾸어 적용한 오류, 잘못된 단위 및 잘못된 형상 치수를 발견하는 데 도움이 된다.

강재 등급, 금속공학, 그리고 형상이 알려 주지 않는 것

형상 명칭과 강재 등급의 구분

형상 명칭은 기하학적 형상을 식별하고, 강재 등급 명칭은 재료 요구사항을 식별한다. 이 둘은 서로 바꾸어 사용할 수 없다. HEA 200, W14×90 또는 L 100 × 100 × 10은 압연 형강과 그 공칭 치수를 나타낸다. 그러나 그 자체만으로는 강재의 항복강도, 인장강도, 화학 조성, 충격 인성 요구사항 또는 용접성 분류를 명시하지 않는다.

변하지 않은 단면의 등급 명칭을 변경해도 해당 단면의 기하학적 단면 특성은 변하지 않는다. 동일한 I형 형강이 같은 플랜지 폭, 웨브 깊이, 플랜지 두께 및 웨브 두께를 가진다면, 총단면적 $A$, 도심, $I_x$, $I_y$, 탄성 단면계수, 회전반경, 비틀림 상수 $J$, 뒤틀림 상수 $C_w$, 관성곱 $I_{\mathrm{xy}}$는 모두 동일한 기하학적 양으로 남는다. 지정 항복강도가 더 높다고 해서 해당 형강의 $I_x$가 커지는 것도 아니며, 회전반경이 증가하는 것도 아니다.

이 구분은 기본적인 사항이지만 표와 소프트웨어 메뉴에서 자주 간과된다. 단면 특성은 단면 내 재료의 위치와 분포로부터 계산된다. Abaqus는 면적에 걸쳐 좌표 거리의 제곱을 적분하여 도심 기준 2차 모멘트를 설명한다. $I_{11}$과 $I_{22}$는 이러한 거리의 제곱을 측정하고, $I_{12}$는 좌표 거리의 곱을 적분한다(Abaqus Documentation, 2024). 이 계산에 포함되는 것은 형상, 축 및 단위이지 항복강도 값이 아니다.

형상 명칭만으로는 정보가 불완전할 수 있다. “200 I-section”이라는 명칭에는 단면 계열, 제조 표준, 질량 명칭, 허용오차 및 표준의 판본이 생략될 수 있다. 미국의 W14×90과 유럽의 HE 360 B는 둘 다 I형이라는 이유만으로 서로 비교 가능한 명칭으로 식별되지 않는다. 표에 수록된 면적이나 관성값을 인정하기 전에 정확한 형강 표준을 기록해야 한다.

형상에 독립적인 입력값과 등급에 종속되는 입력값

치수, 단위 길이당 공칭 질량, 총단면적, 도심 좌표, 단면 2차 모멘트, 단면계수, 회전반경, 극2차모멘트, $J$, $C_w$, $I_{\mathrm{xy}}$, 전단면적 및 소성 단면계수는 주로 단면 설명에 해당하는 입력값이다. 균질한 프리즘형 단면의 경우 이러한 값은 단면 형상과 선택한 기준축으로부터 결정된다. 조립 단면 계산에서는 구성요소의 면적, 1차 모멘트, 도심 좌표 및 평행축 정리를 사용한다. 강재가 S275인지 S355인지, 또는 ASTM A36인지 ASTM A992/A992M인지는 이러한 계산에 필요하지 않다.

질량에는 한 가지 조건이 따른다. 단면적은 기하학적 값이지만, 단위 길이당 질량은 밀도와 표에 수록된 값이 공칭 치수를 기준으로 산정되었는지 여부에도 좌우된다. 따라서 제조 허용오차, 모서리 반지름, 필릿, 구멍, 코팅 및 부식으로 인해 공칭 계산값과 실제 측정 부재 사이에 차이가 발생할 수 있다. 이러한 차이는 형상 또는 물리적 상태의 영향이지, 등급의 강도가 단면 특성을 변화시켰다는 증거가 아니다.

재료 규격은 서로 다른 입력값의 집합을 규정한다. 여기에는 지정 항복강도, 인장강도, 연신율 또는 기타 연성 지표, 파괴인성, 화학 조성, 납품 상태, 용접성과 관련된 요구사항 및 부식 거동이 포함된다. 이러한 값의 영향은 내력 계산, 접합부 검토, 파괴 평가, 용접 절차, 내구성 평가, 화재 또는 온도 관련 설계 검토에 나타난다. 이들은 $I_x$, $I_y$, $J$ 또는 $C_w$를 대신하지 않는다.

적용되는 재료 규격이 서로 다르면 동일한 형상을 사용하더라도 설계 내력값은 달라질 수 있다. 이러한 결론은 인용된 규격과 설계 표준에 근거해야 하며, 등급 명칭만으로 추론해서는 안 된다. 예를 들어 ASTM A992/A992M을 명시한 기록은 해당 규격의 요구사항과 대조하여 확인해야 하며, EN 10025-2 S355를 명시한 기록은 EN 10025-2의 적용 판본과 제품 요구사항에 따라 확인해야 한다. 지배 표준과 제품 형식이 제시되지 않은 “S355” 또는 “A992”만으로는 설계 가정의 충분한 근거가 되지 않는다.

부식은 시간이 지나면서 형상을 변화시킬 수 있으므로 별도로 다루어야 한다. 최초의 등급 명칭이 $A$ 또는 $I_x$의 변화를 일으키는 것은 아니지만, 금속 손실은 두께를 감소시키고 면적, 강성, 단면계수 및 비틀림 특성을 감소시킬 수 있다. 구조기술자는 잔존 단면을 모델링하고 재료 및 환경 관련 요구사항을 별도로 평가해야 한다.

구조용 강재 문서화

완전한 설계 기록에는 단면 표준과 재료 규격이 모두 식별되어야 한다. 기록에는 형강 명칭, 공칭 치수 또는 질량 명칭, 표준 및 판본, 축의 관례, 단위, 그리고 단면 특성의 출처가 명시되어야 한다. 또한 설계를 지배하는 강재 등급, 제품 표준, 규격 판본 및 추가적인 인성 또는 납품 요구사항도 명시해야 한다.

미국에서 수행되는 설계의 경우, American Institute of Steel Construction은 AISC Shapes Database v16.0이 미국 관용 단위와 미터법 단위로 치수 및 단면 특성을 제공한다고 명시한다(AISC, 2023). AISC Part 1, Dimensions and Properties는 표에 수록된 치수와 기하학적 특성에 관한 16th Edition Steel Construction Manual의 참조 부문이다. ANSI/AISC 360-16은 $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ 및 $C_w$를 포함한 양을 정의한다(AISC, 2021). 이러한 참고문헌은 형상과 설계상의 정의를 제공하며, 재료 규격은 강재 특성을 제공한다.

유럽의 기록에서도 동일한 구분이 필요하다. Steel Construction Institute의 Blue Book은 면적, 단면 2차 모멘트, 탄성 및 소성 단면계수, 회전반경, 비틀림 상수 및 뒤틀림 상수와 같은 계산 특성을 제공한다(SCI, 2024). EVS-EN 10365:2026은 열간압연 채널, I형 형강 및 H형 형강의 공칭 치수와 질량을 규정하며, 단면 특성 표 또는 재료 등급 규격을 대신하지 않는다. 단위 역시 확인해야 한다. ArcelorMittal은 유럽의 계산 특성이 일반적으로 센티미터 단위로 보고되며, 표면적과 뒤틀림 상수는 각각 미터 및 데시미터 기반 단위를 사용한다고 설명한다(ArcelorMittal, 2024).

소프트웨어 출력에는 이러한 감사 추적 정보가 유지되어야 한다. 계산된 $I_x$는 가져온 형강의 형상, 축, 단위계 및 기하학적 가정을 알고 있을 때에만 의미가 있다. 동일한 모델에 재료 등급을 추가하면 내력 입력값은 변하지만 단면 형상은 변하지 않는다.

일반적인 오류 및 검증 체크리스트

잘못된 단면2차모멘트를 사용하면 예측된 좌굴 또는 처짐이 크게 왜곡될 수 있다. Limited evidence

단면 특성 관련 오류는 방정식을 입력하기 전부터 발생하는 경우가 많습니다. 도면에는 올바른 형상이 표시되어 있어도, 축, 단위, 표준 판본 또는 특성의 정의가 설계 검토와 일치하지 않으면 계산은 여전히 잘못될 수 있습니다. 그 결과는 단순한 스프레드시트상의 작은 불일치가 아닙니다. 잘못된 면적 2차 모멘트를 사용하면 좌굴 또는 처짐 예측값이 한 자릿수 배만큼 달라질 수 있습니다.

축 및 단위 관련 오류

가장 흔한 오류는 $I_x$와 $I_y$를 서로 바꾸는 것입니다. 일반적인 I형 단면에서는 강축에 대한 면적 2차 모멘트가 약축에 대한 값보다 훨씬 큽니다. 부재가 약축을 중심으로 휨을 받는데 강축 값을 입력하면 계산된 곡률과 처짐이 실제보다 훨씬 작아집니다. 동일한 오류는 회전반경, 탄성 단면계수, 소성 단면계수 및 선택한 축을 기준으로 하는 모든 좌굴 계산에도 영향을 줍니다.

축 표기는 모든 표 또는 소프트웨어 패키지에서 보편적으로 동일하지 않습니다. 어떤 자료는 수평 도심축을 $x$라고 표시하는 반면, 다른 자료는 2를 사용합니다. 유한요소 프로그램은 단면의 방향에 따라 국부 1축과 2축을 정의할 수도 있습니다. Abaqus는 도심 기준 $I_{11}$과 $I_{22}$가 좌표 거리의 제곱을 적분하며, $I_{12}$는 좌표 거리의 곱을 적분한다고 설명합니다(Abaqus Documentation, 2024). 값을 옮겨 적기 전에 이 정의를 도면과 대조해야 합니다.

단위는 두 번째 오류 발생 지점입니다. ${\mathrm{cm}}^2$ 단위의 면적, ${\mathrm{cm}}^4$ 단위의 면적 2차 모멘트, ${\mathrm{cm}}^3$ 단위의 단면계수는 밀리미터로 입력된 치수와 변환 없이 함께 사용할 수 없습니다. $1{\mathrm{cm}}^4={10}^4{\mathrm{mm}}^4$이므로 스프레드시트에서 표의 단위 변환을 누락하면 10,000배의 오류가 발생할 수 있습니다. 유럽의 표에서는 계산된 특성을 일반적으로 센티미터 단위로 표시합니다. ArcelorMittal은 표면적과 뒤틀림 상수도 각각 미터 및 데시미터 기반 단위를 사용한다고 설명합니다(ArcelorMittal, 2024). 모든 열 제목을 확인해야 합니다.

질량표는 단면 특성표가 아닙니다. EVS-EN 10365:2026은 열간압연 채널, I형 단면 및 H형 단면의 공칭 치수와 질량을 규정하지만, 휨, 비틀림 또는 좌굴에 필요한 모든 계산값을 그 자체로 제공하지는 않습니다. Steel Construction Institute의 Blue Book은 $I$, 탄성 및 소성 단면계수, 회전반경, $J$, $C_w$를 포함한 단면 특성을 제공합니다. 미국에서는 AISC Shapes Database v16.0이 미국 관용 단위 및 미터법 단위로 치수와 특성을 제공하며, AISC Part 1은 표로 제시된 치수와 기하학적 특성에 관한 Steel Construction Manual의 참조 부문입니다(AISC, 2023).

$J$, $I_p$, $I$, $S$ 및 $Z$의 혼동

기호 $I$만으로는 의미가 완전하지 않습니다. 이는 지정된 축에 대한 도심 기준 면적 2차 모멘트, 즉 $I_x$ 또는 $I_y$를 의미할 수 있으며, $I_{11}$과 같은 소프트웨어 관례로 나타날 수도 있습니다. 면적 2차 모멘트의 단위는 길이의 4승이며 $\mathrm{EI}$를 통해 휨강성을 좌우합니다. 이는 강도값이 아닙니다.

극관성모멘트는 일반적으로 $I_p$로 표기하며, $x$축과 $y$축이 서로 직교하는 도심축일 때 다음과 같습니다.

$$I_p=I_x+I_y$$

이는 한 점을 중심으로 한 면적의 분포를 나타내며, 일부 원형 축 및 회전 계산에 유용합니다. 그러나 일반적으로 비틀림 상수와 동일하지는 않습니다.

비틀림 상수 $J$는 Saint-Venant 비틀림 거동을 나타냅니다. 실원형 단면에서는 $J=I_p$이지만, 이 등식을 I형 단면, 채널, 앵글 또는 얇은 벽 개단면에까지 확대 적용해서는 안 됩니다. 이러한 단면의 $J$ 값은 $I_p$보다 훨씬 작을 수 있습니다. 폐단면은 전단류가 둘러싸인 셀 주위를 순환할 수 있기 때문에 다른 비틀림 거동을 나타냅니다. 길이의 6승 단위를 갖는 뒤틀림 상수 $C_w$는 비균일 비틀림 및 구속된 뒤틀림과 관련된 값이며, $J$의 또 다른 형태가 아닙니다. ANSI/AISC 360-16은 $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$, $C_w$를 서로 별개의 단면 특성량으로 정의하고 사용합니다(AISC, 2021).

단면계수 용어에서도 또 다른 반복적인 혼동이 발생합니다. 탄성 단면계수는 탄성 면적 2차 모멘트로부터 구하며, 예를 들면 다음과 같습니다.

$$S_x=\frac{I_x}{c_x},$$

여기서 $c_x$는 중립축에서 최외단 섬유까지의 거리입니다. 흔히 $Z_x$ 또는 $W_{\mathrm{pl},x}$로 표기되는 소성 단면계수는 완전히 항복한 소성 응력 분포를 기준으로 합니다. 이는 $S_x$와 동일하지 않으며, 두 값의 단위가 모두 길이의 3승이라는 이유만으로 서로 대체할 수 없습니다. 대칭 직사각형 단면에서는 두 값 사이에 간단한 관계가 있지만, 플랜지와 웨브의 형상이 서로 다른 압연 단면에서는 이러한 구분이 중요합니다.

면적 계산에서는 구멍, 코프 절단부 및 빈 공간을 제외해야 합니다. 압연 형상 표와 수기 모델을 비교할 때 필릿을 무심코 무시해서는 안 됩니다. 조립 단면의 경우 평행축 항은 $A{d}^2$이며, 여기서 $d$는 구성요소의 도심과 조립 단면의 도심축 사이의 수직 거리입니다. 전체 높이, 플랜지 두께 또는 잘못된 기준축에서 측정한 거리를 사용하면 그럴듯해 보이지만 잘못된 결과가 나옵니다.

설계에 사용하기 전 독립적인 검토

단면 특성값을 설계 모델에 입력하기 전에 둘 이상의 검증을 통과하도록 해야 합니다. 먼저 구멍, 필릿, 플레이트, 용접 추가부 및 부재에서 사용되는 방향을 포함한 정확한 단면을 스케치합니다. 도심축을 표시하고 해당 축이 주축인지 확인합니다. 대칭축의 경우, 축이 해당 대칭과 일치하면 관성곱은 0이어야 합니다.

다음으로 간단한 기준 사례를 독립적으로 계산합니다. 직사각형, 삼각형, 원 및 중공원은 면적, 도심, $I$, $I_p$ 및 단면계수를 검증하는 데 유용합니다. 조립 형상의 경우 구성요소별 면적과 1차 모멘트를 계산하고 도심을 구한 다음, 각 축에 대해 평행축 정리를 별도로 적용합니다. 스프레드시트와 단면 특성 프로그램을 독립적인 비교에 사용할 경우, 두 도구가 동일한 숨은 입력값이나 공식을 공유해서는 안 됩니다. 예를 들어 Missouri S&T의 MDSolids 자료는 일반 형상 및 표준 강재 형상에 대해 도심, 면적 2차 모멘트, 단면계수, 회전반경, 소성 단면계수, 극관성모멘트 및 주관성모멘트를 제공합니다(Missouri S&T, 2024).

마지막으로 정확한 출처, 형상 기호, 표준 판본, 단위, 축 표기 및 해당 값이 총단면, 순단면, 탄성, 소성, Saint-Venant 또는 뒤틀림 특성인지 기록합니다. ASTM A992 또는 ASTM A36과 같은 재질 지정은 재료 저항 및 설계 검토를 변경하지만, 동일한 단면 치수의 기하학적 특성을 변경하지는 않습니다. 마찬가지로 관련 유럽 제품 및 설계 표준에 따른 S355도 기하학적으로 동일한 단면에 서로 다른 $I$ 또는 $J$를 부여하지 않습니다.

결과가 실제 구조물에 반영되기 전에 체크리스트에는 다음 항목이 포함되어야 합니다.

• 방향, 구멍, 필릿 및 도심축이 표시된 치수 기입 스케치
• 표 출처 또는 계산 방법에 대한 인용
• AISC Shapes Database v16.0, 16th Edition Steel Construction Manual, SCI P363 또는 EVS-EN 10365:2026과 같은 해당 표준 및 판본
• 모든 입력값과 출력값에 대한 명시적 단위
• $x$, $y$, 주축, 국부축 또는 전역축을 명확히 표시한 축 표기
• 독립적인 수기 계산, 소프트웨어 계산 또는 표에 제시된 값과의 비교
• 해당 값이 실제 구조 부재 또는 접합부에 영향을 미치는 경우 자격을 갖춘 엔지니어의 검토

참고 문헌

1. [1]American Institute of Steel Construction. AISC Shapes Database v16.0. AISC Shapes Database, 2023. https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/aisc-shapes-database-v160/
2. [2]American Institute of Steel Construction. 16th Edition Steel Construction Manual, Part 1. Steel Construction Manual, 2023. https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/