Расчёт характеристик стального сечения: площади, моменты инерции, моменты сопротивления и кручение

Что характеризуют геометрические параметры стального сечения

Геометрия и свойства материала

Геометрический параметр стального сечения описывает геометрию поперечного сечения. Он рассчитывается по форме, размерам и расположению материала относительно заданных осей. Это не показатель прочности стали.

Полная площадь поперечного сечения $A$ — простейший пример. Для прямоугольника $A=\mathrm{bh}$; для полого круга она равна площади внешнего круга за вычетом площади внутреннего круга. Переход от марки стали S275 к S355 не изменяет $A$, если размеры остаются теми же. То же различие относится к осевому моменту инерции, моменту сопротивления, радиусу инерции, крутильной постоянной и константе депланации.

Марка стали характеризует поведение материала. S275 и S355 — обозначения, используемые в европейских стандартах, тогда как ASTM A992 — американская спецификация конструкционной стали, обычно применяемая к широкополочным профилям. Их предел текучести, прочность при растяжении, пластичность, химический состав и свариваемость могут различаться. Эти металлургические и механические свойства влияют на сопротивление и проверки при проектировании, но не делают заданный геометрический параметр сечения больше. Профиль W310×39 одной указанной марки имеет ту же номинальную площадь и тот же момент инерции, что и такой же профиль W310×39, изготовленный из стали другой марки.

Большинство расчётов начинается с описания площади поперечного сечения координатами. Координаты центра тяжести определяются по площадям составляющих элементов и их статическим моментам:

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

Для составных форм теорема о параллельных осях переносит локальный момент инерции каждого элемента на общую центральную ось. Например,

$$I_x=\sum (I_{x,i}+A_i{d}_{y,i}^2).$$

Этот подход применяется к пластинам, уголкам, таврам, коробчатым сечениям и другим составным геометрическим формам. В учебных материалах University of Michigan по характеристикам сечений представлен этот метод площадей составляющих элементов, тогда как Abaqus описывает непрерывную форму: $I_{11}$ и $I_{22}$ представляют собой интегралы квадратов координатных расстояний по площади поперечного сечения, а $I_{12}$ — интеграл произведения координатных расстояний. В общепринятых обозначениях эти величины соответствуют центральным осевым моментам инерции и центробежному моменту инерции с учётом принятой в программном обеспечении системы осей.

Обозначения осей необходимо проверять, а не принимать по умолчанию. Во многих американских таблицах стальных профилей $x$ — большая центральная ось, а $y$ — малая ось; в другом программном обеспечении локальные оси 1 и 2 могут обозначаться иначе. Для сечения с неодинаковыми главными моментами инерции может выполняться $I_{\mathrm{xy}}\ne 0$ для выбранной пары осей. При повороте к главным осям центробежный момент инерции исчезает, поэтому изгиб относительно этих осей становится независимым. Симметрия часто приводит к $I_{\mathrm{xy}}=0$, но только относительно оси симметрии или в системе главных осей.

Размеры также имеют свои ограничения. В таблице могут приводиться номинальные размеры, тогда как допуски прокатки, радиусы углов, галтели и изменение толщины влияют на фактическую форму изготовленного профиля. Обозначение профиля только как «двутавр» недостаточно точно для проектирования.

Набор характеристик, используемых при проектировании стальных конструкций

Основные геометрические величины связаны между собой, но выполняют разные функции.

Площадь $A$, выражаемая, например, в ${\mathrm{mm}}^2$ или ${\mathrm{in}}^2$, непосредственно используется при определении среднего осевого напряжения $P/A$ и учитывается при расчёте сопротивления сжатию. Центральные осевые моменты инерции $I_x$ и $I_y$, измеряемые в ${\mathrm{mm}}^4$ или ${\mathrm{in}}^4$, характеризуют сопротивление упругому изгибу относительно соответствующих осей. Это интегральные геометрические характеристики площади, а не показатели прочности материала.

Упругие моменты сопротивления определяются как

\[ S_x=\frac{I_x}{c_x}, \qquad S_y=\frac{I_y}{c_y}, \]

где $c$ — расстояние от соответствующей центральной оси до наиболее удалённого волокна. Единицы измерения — ${\mathrm{mm}}^3$ или ${\mathrm{in}}^3$. Упругое изгибное напряжение обычно записывается как $M/S$. Момент сопротивления относительно большой оси двутаврового сечения может во много раз превышать момент сопротивления относительно малой оси, поэтому изменение ориентации изменяет сопротивление изгибу даже при неизменной площади.

Радиусы инерции определяются как

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}, \qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

Они имеют размерность длины. При расчёте колонн $\mathrm{KL}/r$ представляет собой коэффициент гибкости, поэтому $r_x$ и $r_y$ помогают определить вероятную ось потери устойчивости. Большая площадь не гарантирует большого радиуса инерции: размещение площади на большом расстоянии от оси увеличивает момент инерции значительно эффективнее, чем сосредоточение той же площади вблизи этой оси.

Центробежный момент инерции $I_{\mathrm{xy}}$, имеющий размерность длины в четвёртой степени, отражает взаимосвязь между двумя непринципиальными осями. Полярный момент площади,

$$I_p=I_x+I_y$$

для взаимно перпендикулярных центральных осей характеризует суммарное распределение площади относительно точки. Его не следует безоговорочно подменять крутильной постоянной $J$. Для круглого сечения связь между полярным моментом инерции и кручением по Сен-Венану особенно непосредственна; для открытых прокатных профилей $J$, как правило, значительно меньше $I_p$ и определяется распределением толщины стенок.

Крутильная постоянная $J$ характеризует жёсткость при кручении по Сен-Венану и обычно выражается в ${\mathrm{mm}}^4$ или ${\mathrm{in}}^4$. Тонкостенные открытые профили, такие как двутавры и швеллеры, имеют относительно небольшое значение $J$, тогда как замкнутые коробчатые сечения обычно эффективнее сопротивляются равномерному кручению. Константа депланации $C_w$, часто выражаемая в ${\mathrm{mm}}^6$ или ${\mathrm{in}}^6$, характеризует сопротивление, связанное с неравномерным кручением и продольной депланацией. Она особенно важна для открытых профилей, полки которых могут депланировать под действием крутящей нагрузки.

Площадь сдвига — ещё одна геометрическая характеристика. Она имеет размерность площади, но, как правило, не равна $A$. Она представляет собой эффективную площадь, используемую в расчётах деформаций или сопротивления сдвигу; её значение зависит от направления нагрузки и формы сечения. Пластический момент сопротивления $Z_x$ или $Z_y$, также называемый пластическим моментом сопротивления сечения, определяется после нахождения пластической нейтральной оси и суммирования статических моментов пластически деформированных областей. Он отличается от упругого момента сопротивления $S$: $S$ связан с началом текучести в наиболее удалённом волокне, тогда как $Z$ — с полностью пластифицированным идеализированным поперечным сечением.

Ресурс Missouri S&T MDSolids приводит координаты центра тяжести, осевые моменты инерции, момент сопротивления, радиус инерции, пластический момент сопротивления, полярный момент и главные моменты как отдельные выходные параметры для типовых и стандартных стальных профилей. Такое разделение необходимо.

Почему для одного и того же сечения определяющими могут быть разные характеристики

У элемента нет единственной универсальной «характеристики несущей способности», поскольку разные виды воздействий создают различные распределения напряжений и деформаций.

Растяжение по оси в основном связано с площадью и соответствующими требованиями к расчётной площади нетто и соединениям. Сжатие по оси зависит от площади, предела текучести материала, длины без раскрепления, расчётной длины и меньшего из соответствующих радиусов инерции. При изгибе используются $I$, $S$ или $Z$ наряду с боковым раскреплением, местной гибкостью и прочностью стали. Сдвиг зависит от площади сдвига, а также от стенки или элементов пластины, воспринимающих сдвиг. При кручении могут учитываться $J$, $C_w$, степень стеснения депланации и способ приложения нагрузки. Ни одна отдельная величина не может заменить эти проверки.

Именно поэтому ANSI/AISC 360-16 определяет и использует $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ и $C_w$ как различные характеристики сечения. Часть 1 AISC «Размеры и характеристики» является справочным разделом издания Steel Construction Manual 2023 и содержит табличные размеры и геометрические характеристики, а AISC Shapes Database v16.0 предоставляет эти данные в американской и метрической системах единиц. В справочнике Steel Construction Institute Blue Book 2024 также приведены площадь, осевые моменты инерции, упругие и пластические моменты сопротивления, радиусы инерции, крутильные постоянные и константы депланации для европейских профилей.

Справочный источник должен соответствовать профилю и редакции стандарта. EVS-EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы горячекатаных швеллеров, двутавров и Н-образных профилей; он не заменяет таблицу характеристик сечения. Blue Book содержит рассчитанные геометрические характеристики. ArcelorMittal отмечает, что рассчитанные европейские характеристики обычно приводятся в сантиметрах, тогда как площадь поверхности и константа депланации используют соответственно единицы, основанные на метрах и дециметрах. Ошибка в переводе единиц может полностью нивелировать правильность формулы.

Табличные значения следует проверять ручным расчётом или с помощью программы для определения характеристик сечения, особенно для составных, перфорированных, конических или композитных форм. Округление может повлиять на результаты, находящиеся на границе допустимого, а обозначения осей в программном обеспечении могут поменять местами большую и малую характеристики. Поэтому правильный вопрос заключается не в том, «какова прочность сечения», а в следующем: какая геометрическая характеристика соответствует данному виду воздействия, какие ось и единицы измерения применяются и какой материал и стандарт проектирования задают правила определения сопротивления?

Система координат, центр тяжести и исходные оси

Геометрическая характеристика поперечного сечения не имеет полного смысла, пока не указана исходная ось. Формулировка «момент инерции двутаврового сечения» неполна: это значение может относиться к $I_x$, $I_y$, главному моменту или к такой величине, используемой программным обеспечением, как $I_{11}$. Одно и то же поперечное сечение может иметь большой осевой момент инерции относительно одной оси и значительно меньшее значение относительно другой. Поэтому координаты необходимо задать до объединения размеров или переноса табличных значений в расчёт конструкции.

Для плоского поперечного сечения введём две взаимно перпендикулярные координаты, обычно $x$ и $y$, в плоскости фигуры. Точка площади имеет координаты $(x,y)$, а бесконечно малый элемент площади обозначается $\mathrm{dA}$. Полная площадь равна

$$A={\int }_A\mathrm{dA}.$$

Статические моменты площади определяют положение центра тяжести:

\[ \bar{x}=\frac{1}{A}\int_A x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\int_A y\,dA. \]

Эти уравнения показывают, что центр тяжести представляет собой средневзвешенное по площади значение всех координат. Компонент большей площади вносит больший вклад, чем компонент меньшей площади, находящийся на таком же расстоянии. Они также показывают, почему центр тяжести, как правило, не совпадает с геометрическим центром ограничивающего прямоугольника. Швеллерное, уголковое, тавровое или несимметричное составное сечение может иметь центр тяжести, существенно смещённый относительно кажущейся середины его общей высоты и ширины.

Координаты относительно центра тяжести

После определения $(\overline{x},\overline{y})$ введём координаты относительно центра тяжести:

\[ x'=x-\bar{x},\qquad y'=y-\bar{y}. \]

Центральные оси проходят через центр тяжести, поэтому их статические моменты равны нулю:

\[ \int_A x'\,dA=0,\qquad \int_A y'\,dA=0. \]

Этот перенос координат не является формальностью. Осевые моменты инерции относительно центральных осей равны

\[ I_x=\int_A y'^2\,dA,\qquad I_y=\int_A x'^2\,dA, \]

а произведение инерции имеет вид

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_{A}x\prime y\prime \mathrm{dA}.$$

Используемое здесь обозначение соответствует распространённой американской практике в области расчёта конструкций: $I_x$ характеризует квадрат расстояния до оси $x$, а $I_y$ — квадрат расстояния до оси $y$. Поэтому $I_x$ вычисляется с использованием $y^2$, а не $x^2$. Эта особенность часто приводит к перестановке значений в электронных таблицах.

Для составного сечения сначала определяют площадь и центр тяжести каждого компонента, а затем объединяют их результаты. В учебных материалах University of Michigan по геометрическим характеристикам площади этот метод компонентов рассматривается вместе со статическими моментами и теоремой о параллельных осях. Например,

$$I_x={\sum }_i(I_{x,i,c}+A_i{d}_{y,i}^2),$$

где $I_{x,i,c}$ — собственный момент инерции компонента относительно его центральной оси, а $d_{y,i}$ — вертикальное расстояние от его центра тяжести до общей центральной оси $x$. Соответствующее выражение применяется и относительно оси $y$. Отверстия рассматриваются как отрицательные площади. Поэтому прямоугольник, треугольник, круг или кольцо можно рассчитать непосредственно, а затем объединить в более сложное стальное сечение.

Единицы измерения позволяют определить тип величины. Площадь имеет единицы длины в квадрате, тогда как $I_x$, $I_y$ и $I_{\mathrm{xy}}$ имеют единицы длины в четвёртой степени. Момент сопротивления имеет единицы длины в кубе, а радиус инерции — единицы длины:

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}},\qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

Это не альтернативные названия момента инерции. Они характеризуют разные величины и не могут заменять друг друга только потому, что относятся к одному и тому же профилю.

Abaqus использует связанную, но не идентичную систему обозначений. В документации Abaqus по балочным сечениям центральные характеристики определяются интегрированием квадратов координатных расстояний для $I_{11}$ и $I_{22}$, тогда как $I_{12}$ получают интегрированием произведения координатных расстояний. Численный результат можно сопоставить с привычным $I_x$, $I_y$ или $I_{\mathrm{xy}}$ только после отображения локальных осей 1–2 Abaqus на инженерные оси $x$–$y$. Никогда не следует предполагать, что цифра после буквы обозначает американское название оси. Проверьте определение локальных осей и соглашение о знаках, используемые программой.

Главные и второстепенные оси

Главная ось — это центральная ось, которой соответствует большее главное значение осевого момента инерции; второстепенной является ось с меньшим главным значением. Для двоякосимметричного двутаврового сечения, ориентированного по стенке и полкам, эти оси обычно совпадают с геометрическими горизонтальной и вертикальной центральными осями. Если высота сечения велика по сравнению с шириной полки, ось, соответствующая изгибу в направлении большей жёсткости, имеет больший момент инерции. Тем не менее терминологию необходимо связывать с конкретной указанной осью, поскольку выражение «ось сильного направления» может быть неверно истолковано при повороте чертежа.

Это различие непосредственно влияет на расчёт. Напряжение при упругом изгибе определяется через момент сопротивления относительно выбранной оси:

\[ S_x=\frac{I_x}{c_x},\qquad S_y=\frac{I_y}{c_y}, \]

где $c$ — наибольшее расстояние от этой оси до соответствующего крайнего волокна. В расчётах на потерю устойчивости используется соответствующий радиус инерции. Табличное значение $r_y$ нельзя подставлять вместо $r_x$ только потому, что оба значения приведены рядом для одного и того же стального профиля.[1][1] AISC Shapes Database v16.0. American Institute of Steel Construction. AISC Shapes Database, 2023.

American Institute of Steel Construction приводит эти величины в части 1 Steel Construction Manual и в базе данных профилей AISC Shapes Database v16.0. В описании AISC от 2023 года указано, что база данных содержит размеры и геометрические характеристики сечений в американской и метрической системах единиц. ANSI/AISC 360-16 определяет такие величины, как $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ и $C_w$. Эти источники идентифицируют значения, однако инженер всё равно должен проверить обозначение профиля, редакцию документа, единицы измерения и ориентацию осей.

Европейские таблицы используют собственные правила представления данных. В Blue Book 2024 года Steel Construction Institute приведены площадь, осевые моменты инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции, крутильные постоянные и постоянные депланации. EVS-EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы горячекатаных швеллеров, двутавровых и H-образных профилей; этот стандарт сам по себе не заменяет таблицу геометрических характеристик сечений. ArcelorMittal сообщает, что рассчитанные европейские характеристики обычно выражаются в сантиметрах, при этом площадь поверхности и постоянная депланации используют соответственно единицы, основанные на метрах и дециметрах. Перед сравнением этих значений с таблицей AISC необходимо выполнить преобразование единиц.

Симметрия и главные оси

Центральное произведение инерции равно нулю относительно оси симметрии. Strong evidence

Симметрия служит эффективной проверкой результатов. Если площадь симметрична относительно оси $x$, каждому элементу при $+y$ соответствует такой же элемент при $-y$, поэтому парные слагаемые в ${\int }_A\mathrm{xy}\mathrm{dA}$ взаимно уничтожаются. Следовательно, относительно этой оси $I_{\mathrm{xy}}=0$. Тот же результат имеет место при симметрии относительно оси $y$. У сечения с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии произведение инерции относительно обеих центральных осей равно нулю.

Главные осиГлавные оси Центральные оси, полученные поворотом таким образом, чтобы произведение инерции обращалось в ноль, а характеристики изгиба становились независимыми.

Для несимметричного сечения это свойство, как правило, отсутствует. Его центральные оси $x$ и $y$ могут давать ненулевое $I_{\mathrm{xy}}$, то есть изгиб относительно одной оси может геометрически быть связан с изгибом относительно другой. Главные оси — это повёрнутые центральные оси, для которых произведение инерции равно нулю. Главные осевые моменты инерции определяются по формуле

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2},$$

а угол поворота главных осей удовлетворяет соотношению

$$\tan 2\theta =\frac{2I_{\mathrm{xy}}}{I_x-I_y},$$

с учётом принятого соглашения о знаках. Большее значение является главным моментом инерции относительно большой оси, а меньшее — главным моментом относительно малой оси.

Для уголков, швеллеров, эксцентрично расположенных пластин и нерегулярных составных сечений расчёт относительно главных осей может быть необходимым, а не просто желательным. Например, MDSolids выдаёт положение центра тяжести, осевые моменты инерции, главные моменты и другие связанные характеристики для типовых и произвольных фигур. Результаты программного обеспечения следует использовать как проверку, а не как основание для игнорирования координат. Проверьте положение центра тяжести, воспроизведите расчёт одного простого компонента, изучите поворот осей и установите, использует ли приведённое $I_{12}$ то же соглашение о знаках, что и расчёт вручную. Эти характеристики определяются геометрией; замена обозначения материала с ASTM A36 на ASTM A572 Grade 50 изменяет сопротивление материала, но не центр тяжести и главные оси неизменившейся формы.

Площадь и статические моменты площади

Полная площадь поперечного сечения

Площадь поперечного сечения $A$ является геометрической величиной. Она описывает, какую площадь на плоскости занимает сечение, а не прочность стали. Для сплошной фигуры

$$A={\int }_A\mathrm{dA}$$

где $\mathrm{dA}$ — бесконечно малый элемент поперечного сечения. Для сечения, разделённого на простые части, эта же величина вычисляется сложением:

$$A={\sum }_{i=1}^n{A}_i$$

Для прямоугольника $A=\mathrm{bh}$; для треугольника $A=\mathrm{bh}/2$; для круга $A=\pi d^2/4$; для полого круга

$$A=\frac{\pi }{4}(D^2-d^2)$$

где $D$ — наружный диаметр, а $d$ — внутренний диаметр. Эти формулы представляют собой уже выполненное интегрирование для известных геометрических фигур.

Отверстию приписывается отрицательная площадь. Поэтому для прямоугольной пластины с круглым отверстием

$$A_{\text{gross}}=\mathrm{bt}-\frac{\pi d^2}{4}$$

если размеры пластины описывают границу материала до удаления отверстия. Соглашение об отрицательной площади не является упрощением с иной математикой; это знаковая форма вычитания области из интеграла.

Термин площадь брутто требует осторожного применения. В таблицах характеристик сечений он обычно означает полную номинальную площадь поперечного сечения стального профиля, включая материал, который впоследствии исключается из-за отверстия, прорези, выреза или другой детали соединения. Площадь нетто может определяться с вычитанием отверстий в соответствии с расчётным правилом, тогда как эффективная площадь может дополнительно учитывать местную потерю устойчивости, сдвиговое запаздывание или другое нормативное положение. Эти расчётные площади не следует отождествлять с геометрической площадью брутто. ANSI/AISC 360-16 содержит отдельные положения о характеристиках сечения и расчёте, а применимое определение площади нетто или эффективной площади должно приниматься из расчёта соответствующего предельного состояния.

Размеры, допуски и округление влияют на результат. Номинальный размер Н-профиля, приведённый в стандарте, не обязательно совпадает с фактически измеренным размером каждого горячекатаного элемента. EVS-EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы горячекатаных швеллеров, двутавров и Н-профилей; он не заменяет таблицу характеристик сечения. В отличие от этого, Blue Book Института стальных конструкций предоставляет рассчитанные характеристики, такие как площадь и моменты инерции, для европейских профилей. База данных профилей AISC Shapes Database v16.0, выпущенная American Institute of Steel Construction в 2023 году, содержит размеры и характеристики сечений в американской системе единиц и в метрических единицах.

Марка стали не изменяет эту геометрию. Профиль двутаврового типа W, обозначенный как ASTM A992, и геометрически идентичный профиль с обозначением другой марки имеют одинаковую расчётную площадь. Марка влияет на сопротивление, предел текучести и расчётные проверки, но не на интеграл $\mathrm{dA}$. То же разграничение применяется к европейским обозначениям, используемым в соответствии с применимыми стандартами на продукцию и материалы.

Статические моменты и положение центра тяжести

Статический момент площади относительно оси представляет собой интеграл площади от произведения координаты на дифференциальную площадь:

\[ Q_x=\int_A y\,dA,\qquad Q_y=\int_A x\,dA \]

Здесь $y$ отсчитывается от оси $x$, а $x$ — от оси $y$. $Q_x$ имеет размерность длины в кубе, например ${\text{мм}}^3$ или ${\text{дюйм}}^3$. Это не момент инерции $I$, размерность которого соответствует длине в четвёртой степени.

Координаты центра тяжести непосредственно определяются по формулам:

$$\overline{x}=\frac{1}{A}{\int }_{A}x\mathrm{dA}=\frac{\sum A_i{x}_i}{\sum A_i}$$ $$\overline{y}=\frac{1}{A}{\int }_{A}y\mathrm{dA}=\frac{\sum A_i{y}_i}{\sum A_i}$$

Это метод составных площадей, изучаемый на занятиях по характеристикам сечений в University of Michigan. Каждая составная часть вносит вклад, равный её площади, умноженной на координату собственного центра тяжести. Большая площадь, расположенная далеко от исходной оси, оказывает большее влияние, чем малая площадь, расположенная рядом с ней.

Перед расчётом необходимо выбрать оси и знаки. Обычно положительными принимают направления $x$ вправо и $y$ вверх. Для составной части, расположенной ниже оси $x$, $y_i$ будет отрицательной, что создаёт отрицательный вклад в $\sum A_i{y}_i$. Отверстие имеет отрицательное $A_i$, поэтому его вклад в статический момент также будет отрицательным, если его координата положительна. При изменении начала координат отдельные моменты изменяются, но окончательное положение центра тяжести остаётся тем же.

Для симметричного сечения центр тяжести лежит на каждой оси симметрии. Поэтому центр тяжести двоякосимметричного двутаврового сечения находится на пересечении осей симметрии стенки и полок. Симметрия является полезной проверкой, но не основанием для отказа от расчёта, если её нарушают пластина, отверстие, приварное присоединение или эксцентричное ребро жёсткости.

То же обозначение $Q$ используется в формулах для поперечного сдвига, однако выбранная область и ось должны быть указаны. Для балки

$$\tau =\frac{\mathrm{VQ}}{\mathrm{Ib}}$$

где $Q$ — статический момент части площади, расположенной по одну сторону от точки, в которой определяется касательное напряжение, относительно нейтральной оси; $I$ — момент инерции всего сечения относительно этой оси; $b$ — местная ширина или толщина, воспринимающая поток сдвига. Этот $Q$ не является автоматически статическим моментом всего поперечного сечения относительно произвольной исходной оси. Относительно центральной оси статический момент всей площади равен нулю.

Таблицы составных площадей для составных сечений

Таблица делает расчёт разложенного на части сечения проверяемым. Как минимум, в неё следует включить знаковую площадь каждой составной части, координаты её центра тяжести и вклады в статические моменты:

Затем вычисляют

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} \]

Во всей таблице следует использовать одну систему координат и одну систему единиц. Смешение миллиметров с метрами может привести к появлению множителей ${10}^3$ в статических моментах и ${10}^6$ в моментах инерции.

Для составного сечения таблица устанавливает положение центра тяжести до применения теоремы о параллельных осях для определения $I_x$ и $I_y$. Она также предоставляет прямую проверку: алгебраический статический момент всей площади относительно рассчитанного центра тяжести должен быть равен нулю. Программное обеспечение, такое как MDSolids от Missouri S&T, может вычислять положение центра тяжести и связанные с ним характеристики для произвольных и стандартных стальных профилей, однако независимая таблица составных частей остаётся эффективным средством проверки.

Табличные значения должны соответствовать точному профилю, принятому соглашению об осях, редакции документа и единицам измерения. Раздел 1 AISC является справочным разделом Steel Construction Manual по стандартным размерам и геометрическим характеристикам профилей США. В европейских таблицах рассчитанные характеристики могут приводиться в сантиметрах; ArcelorMittal указывает, что площадь поверхности и постоянная депланации используют соответственно единицы, основанные на метрах и дециметрах. Поэтому для площади и статических моментов необходимо указывать единицы измерения, а не приводить только числовые значения.

Вторые моменты площади: $I_x$, $I_y$ и $I_{\mathrm{xy}}$

Вторые моменты площади описывают распределение площади поперечного сечения относительно заданных осей. Это геометрические характеристики, а не показатели прочности материала. Замена конструкционной стали ASTM A36 на ASTM A572 Grade 50 изменяет проверки сопротивления и расчетные прочностные характеристики, но не изменяет $I_x$, $I_y$ или $I_{\mathrm{xy}}$, если размеры профиля остаются прежними.

Обозначения осей необходимо читать внимательно. Согласно распространенной системе обозначений, $I_x$ характеризует распределение площади относительно оси $x$, поэтому в квадрате используется координата $y$. Аналогично, $I_y$ характеризует распределение относительно оси $y$, и в квадрате используется координата $x$. Некоторые программные комплексы и стандарты используют нумерованные оси, например $I_{11}$ и $I_{22}$, поэтому перед сравнением значений необходимо проверить принятую систему координат. В документации Abaqus центроидальные характеристики определяются интегрированием квадратов координатных расстояний для $I_{11}$ и $I_{22}$, а также произведений координатных расстояний для $I_{12}$ (Abaqus, 2024).

Интегральные определения

Для площади поперечного сечения $A$, при измерении координат от выбранного начала,

$$I_x={\int }_A{y}^2\mathrm{dA}$$ $$I_y={\int }_A{x}^2\mathrm{dA}$$

и

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_A\mathrm{xy}\mathrm{dA}.$$

Первые две величины являются вторыми моментами площади. Их единицы измерения — длина в четвертой степени: ${\text{мм}}^4$, ${\text{см}}^4$ или ${\text{дюйм}}^4$. Произведение инерции имеет те же единицы измерения.

Ключевое значение имеет квадрат расстояния. Малый элемент площади, расположенный на расстоянии $y$ от оси $x$, вносит вклад $y^2\mathrm{dA}$, а не просто $\mathrm{ydA}$. Если один элемент равной площади расположен вдвое дальше от оси, чем другой, его вклад в $I_x$ будет в четыре раза больше. Материал вблизи нейтральной оси вносит небольшой вклад; материал, расположенный далеко от нее, вносит значительно больший вклад. Поэтому полки двутаврового сечения дают значительный вклад в жесткость при изгибе относительно сильной оси, тогда как стенка вносит большую долю характеристики относительно слабой оси, чем можно было бы предположить только по ее площади.

Для прямоугольника шириной $b$, параллельной оси $x$, и глубиной $h$, параллельной оси $y$, с центроидальными осями, проходящими через его середину,

\[ I_x=\frac{bh^3}{12}, \qquad I_y=\frac{hb^3}{12}. \]

Кубическая зависимость от размера объясняет, почему поворот прямоугольного сечения может существенно изменить жесткость при изгибе. Прямоугольник глубиной $200\text{мм}$ имеет значительно большее значение $I_x$, чем прямоугольник глубиной $100\text{мм}$ той же ширины, хотя его площадь всего вдвое больше.

Для треугольника второй момент площади относительно центроидальной оси, параллельной основанию, равен

$$I_x=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{36},$$

где $b$ — основание, а $h$ — перпендикулярная высота. Для круга радиусом $r$

$$I_x=I_y=\frac{\pi r^4}{4}$$

относительно любого центроидального диаметра. Для полого круга вклад внутренней части вычитается из вклада наружной:

$$I_x=I_y=\frac{\pi }{4}(r_o^4-r_i^4).$$

Эти формулы полезны для проверки программ и таблиц характеристик сечений; их нельзя отождествлять с полярным моментом, крутильной постоянной или моментом сопротивления сечения.

Теорема о параллельных осях

Ручной расчет составного сечения начинают с разделения формы на простые компоненты. Для каждого компонента определяют его площадь $A_i$, координаты центроида $(x_i,y_i)$, а также центроидальные вторые моменты площади $I_{x,i,c}$ и $I_{y,i,c}$. Первые моменты площади позволяют определить общий центроид:

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

После определения центроида составного сечения теорема о параллельных осях позволяет перенести характеристику каждого компонента на оси составного сечения:

$$I_x=\sum (I_{x,i,c}+A_i(y_i-\overline{y}{)}^2),$$ $$I_y=\sum (I_{y,i,c}+A_i(x_i-\overline{x}{)}^2).$$

Для произведения инерции:

$$I_{\mathrm{xy}}=\sum (I_{\mathrm{xy},i,c}+A_i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}\left)\right).$$

Слагаемые переноса часто оказываются важнее собственных центроидальных характеристик компонентов. Полка может иметь относительно небольшой собственный момент инерции относительно своей оси, однако ее расстояние от общего центроида может создать значительный вклад $A_i{d}^2$.

Рассмотрим симметричное Т-образное сечение, состоящее из полки $200\text{мм}\times 20\text{мм}$ и стенки $20\text{мм}\times 180\text{мм}$, причем стенка расположена по центру под полкой. Площадь полки составляет $4,000{\text{мм}}^2$, а площадь стенки — $3,600{\text{мм}}^2$. При измерении вверх от нижней грани стенки центроиды расположены на уровнях $y_f=190\text{мм}$ и $y_w=90\text{мм}$. Следовательно,

$$\overline{y}=\frac{4,000\left(190\right)+3,600\left(90\right)}{7,600}=142.63\text{мм}.$$

Для полки

$$I_{x,f,c}=\frac{200(20{)}^3}{12}=133,333{\text{мм}}^4,$$

а для стенки

$$I_{x,w,c}=\frac{20(180{)}^3}{12}=9,720,000{\text{мм}}^4.$$

Перенесенная характеристика приблизительно равна

$$I_x=133,333+4,000(47.37{)}^2+9,720,000+3,600(52.63{)}^2,$$

откуда

$$I_x\approx 31.2\times {10}^6{\text{мм}}^4.$$

Значительная часть результата обусловлена собственной глубиной стенки, однако смещение полки также добавляет существенный вклад. Пренебрежение слагаемыми переноса привело бы к занижению характеристики сечения.

Для пустоты применяется тот же метод, но с отрицательной площадью и отрицательными характеристиками компонента. Так, прямоугольное полое сечение можно рассчитать как наружный прямоугольник минус внутренний прямоугольник, если внутренние размеры и положение осей определены правильно.

Произведение инерции и повернутые оси

Произведение инерции показывает, располагается ли площадь в парных областях с положительными или отрицательными координатами. При использовании центроидальных координат элемент площади в первом квадранте имеет положительное значение $\mathrm{xy}$, а элемент во втором квадранте — отрицательное. Противоположные вклады могут взаимно сокращаться.

$I_{\mathrm{xy}}$ равняется нулю, если сечение имеет ось симметрии, совпадающую с осью $x$ или $y$, при условии, что начало координат находится в центроиде. При отражении относительно оси $x$ координата $y$ изменяется на $-y$, что меняет знак $\mathrm{xy}$; поэтому симметричные пары взаимно компенсируются. Аналогичное рассуждение применимо к симметрии относительно оси $y$. Поэтому для прямоугольников, кругов, двутавровых сечений и центрированных полых сечений $I_{\mathrm{xy}}=0$ относительно обычных центроидальных осей симметрии.

Уголок, швеллер, тавровое или несимметричное составное сечение обычно имеют только одну ось симметрии либо не имеют ее вовсе. Их произведение инерции может не равняться нулю относительно произвольных центроидальных осей. Даже для сечения с одной осью симметрии $I_{\mathrm{xy}}=0$ только в том случае, когда одна из выбранных осей совпадает с этой осью симметрии, а другая перпендикулярна ей.

При повороте осей три величины изменяются согласно формулам

$$I_{x\prime }=\frac{I_x+I_y}{2}+\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta -I_{\mathrm{xy}}\sin 2\theta ,$$ $$I_{y\prime }=\frac{I_x+I_y}{2}-\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta +I_{\mathrm{xy}}\sin 2\theta ,$$ $$I_{x\prime y\prime }=\frac{I_x-I_y}{2}\sin 2\theta +I_{\mathrm{xy}}\cos 2\theta .$$

Знаки зависят от принятой системы осей и соглашения о направлении поворота; это соглашение должно оставаться неизменным на протяжении всего расчета. Главные оси — это такие направления, для которых $I_{x\prime y\prime }=0$. Соответствующие главные моменты площади равны

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2}.$$

Для двоякосимметричного двутаврового сечения привычные сильная и слабая оси уже являются главными осями. Для швеллера или уголка центроидальные геометрические оси могут не быть главными, и изгиб относительно одной оси может вызывать кривизну или напряжения, связанные с другой осью. Для несимметричных составных сечений применяется тот же подход; предположение $I_{\mathrm{xy}}=0$ без проверки симметрии может привести к неправильному определению отклика при изгибе.

База данных профилей AISC Shapes Database v16.0, выпущенная American Institute of Steel Construction в 2023 году, содержит размеры и характеристики в американских и метрических единицах, а AISC Part 1 предоставляет табличные размеры и геометрические характеристики. Справочник Steel Construction Institute 2024 Blue Book содержит характеристики европейских профилей, включая вторые моменты площади и сведения о главных осях, если они применимы. Стандарт EVS-EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы, но не каждую рассчитанную характеристику. Системы единиц также различаются: ArcelorMittal указывает, что рассчитанные характеристики европейских профилей обычно приводятся в сантиметрах, причем площадь поверхности и постоянная депланации используют единицы, основанные на метрах и дециметрах. Значение, скопированное из таблицы, можно использовать только после подтверждения точного профиля, оси, единиц измерения и редакции стандарта.

Расчёты вручную для простых геометрических форм

Расчёт вручную начинается с контура и системы координат, а не с марки стали. Пусть $x$ и $y$ определяют положение точек в поперечном сечении, а начало координат первоначально выбирается в любой удобной опорной точке. Полная площадь равна

$$A={\int }_A\mathrm{dA}$$

Координаты центра тяжести определяются через статические моменты площади:

\[ \bar{x}=\frac{1}{A}\int_A x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\int_A y\,dA \]

После определения центра тяжести центральные осевые моменты инерции площади равны

\[ I_x=\int_A (y-\bar{y})^2dA,\qquad I_y=\int_A (x-\bar{x})^2dA \]

а произведение инерции имеет вид

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_A(x-\overline{x})(y-\overline{y})\mathrm{dA}$$

Это соответствует соглашению Abaqus: I11 и I22 рассчитываются интегрированием квадратов координатных расстояний, тогда как I12 рассчитывается интегрированием произведения координатных расстояний. Обозначения индексов могут различаться в разных источниках, поэтому перед использованием таблицы необходимо ознакомиться с определением осей.

Прямоугольные и треугольные сечения

Для прямоугольника шириной $b$, измеренной параллельно оси $x$, и высотой $h$, измеренной параллельно оси $y$,

$$A=\mathrm{bh}$$

Если прямоугольник симметричен относительно обеих осей, его центр тяжести находится в геометрическом центре, а из симметрии следует $I_{\mathrm{xy}}=0$. Центральные осевые моменты инерции равны

\[ I_x=\frac{bh^3}{12},\qquad I_y=\frac{hb^3}{12} \]

Размеры входят в эти выражения неодинаково. Увеличение $h$ повышает $I_x$ пропорционально третьей степени, тогда как увеличение $b$ повышает его только линейно. Для $I_y$ действует обратная зависимость. Именно поэтому размещение материала дальше от оси может оказывать значительно большее влияние на жёсткость при изгибе, чем добавление той же площади вблизи этой оси.

Для прямоугольника, нижняя грань которого используется в качестве опорной оси, центр тяжести находится на расстоянии

$$\overline{y}=\frac{h}{2}$$

Момент инерции относительно этой грани равен

$$I_{x,\text{edge}}=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{3}$$

Центральное значение получается из теоремы о параллельных осях:

$$I_{x,\text{edge}}=I_{x,\text{centroid}}+A(\frac{h}{2}{)}^2$$

Смешение этих двух значений является распространённой ошибкой при расчётах вручную.

Для треугольника обозначим через $b$ основание, а через $h$ — перпендикулярную высоту. Его площадь равна

$$A=\frac{\mathrm{bh}}{2}$$

Центр тяжести находится на расстоянии одной трети высоты от основания или двух третей высоты от вершины. Для оси, параллельной основанию и проходящей через центр тяжести,

$$I_x=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{36}$$

Относительно самого основания

$$I_{x,\text{base}}=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{12}$$

И в этом случае два значения связаны теоремой о параллельных осях. Центральный момент $I_y$ зависит от горизонтальной геометрии треугольника. Для равнобедренного треугольника с вертикальной осью симметрии

$$I_y=\frac{b^{3}h}{48}$$

а симметрия требует, чтобы относительно проходящих через центр тяжести горизонтальной и вертикальной осей выполнялось $I_{\mathrm{xy}}=0$. Для разностороннего треугольника произведение инерции относительно этих осей, как правило, отлично от нуля, поэтому его главные оси повернуты.

Проверка размерностей позволяет сразу выявить многие ошибки. Площадь имеет размерность $L^2$, статический момент — $L^3$, а момент инерции площади — $L^4$. Поэтому ${\mathrm{bh}}^3$ имеет подходящую для момента инерции размерность, тогда как ${\mathrm{bh}}^2$ — нет. Если все длины изменяются в $k$ раз, площадь изменяется в $k^2$ раз, координаты центра тяжести — в $k$ раз, а моменты инерции площади — в $k^4$ раз.

Круглые и кольцевые сечения

Для сплошного круга радиусом $r$ или диаметром $d=2r$

$$A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}$$

Любой диаметр, проходящий через центр тяжести, является осью симметрии. Поэтому

$$I_x=I_y=\frac{\pi r^4}{4}=\frac{\pi d^4}{64}$$

и

$$I_{\mathrm{xy}}=0$$

Полярный момент инерции относительно центра тяжести равен

$$J_p=I_x+I_y=\frac{\pi r^4}{2}=\frac{\pi d^4}{32}$$

Эта полярная величина не является автоматически константой кручения Сен-Венана $J$, используемой для расчёта кручения балки при любом поперечном сечении. Для круглого сечения константа кручения сплошного круга совпадает с полярным моментом инерции, однако переносить это равенство на открытые двутавровые или швеллерные сечения нельзя.

Для кольцевого сечения с наружным радиусом $r_o$ и внутренним радиусом $r_i$

$$A=\pi (r_o^2-r_i^2)$$

Центр тяжести остаётся в общем центре, а

$$I_x=I_y=\frac{\pi }{4}(r_o^4-r_i^4)$$

Полярный момент инерции равен

$$J_p=\frac{\pi }{2}(r_o^4-r_i^4)$$

Те же уравнения можно записать через наружный и внутренний диаметры $d_o$ и $d_i$:

\[ A=\frac{\pi}{4}(d_o^2-d_i^2),\qquad I_x=I_y=\frac{\pi}{64}(d_o^4-d_i^4) \]

Вычитание описывает геометрическое удаление пустоты, а не приближение кольцевого сечения сплошным. Эти выражения также дают полезные предельные проверки. При $r_i=0$ уравнения для кольцевого сечения переходят в уравнения для сплошного круга. При приближении $r_i$ к $r_o$ площадь и моменты инерции стремятся к нулю. Тонкая стенка может сохранять значительную ограниченную площадь, тогда как её изгибные и крутильные характеристики сильно зависят от толщины стенки. Поэтому замена такого сечения сплошным кругом с тем же наружным диаметром недопустима.

Объединение простых форм в стальные профили

Составные сечения рассчитывают путём сложения материала и вычитания пустот. Профиль разделяют на прямоугольники, треугольники, круги или другие формы, свойства которых известны. Для каждого компонента $i$ записывают его алгебраическую площадь $A_i$, координаты центра тяжести $(x_i,y_i)$, а также центральные характеристики $I_{x,i}$, $I_{y,i}$ и $I_{\mathrm{xy},i}$. Для выреза используют отрицательную площадь.

Координаты центра тяжести составного сечения определяются по формулам

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} \]

Затем применяют теорему о параллельных осях:

$$I_x=\sum [I_{x,i}+A_i(y_i-\overline{y}{)}^2]$$ $$I_y=\sum [I_{y,i}+A_i(x_i-\overline{x}{)}^2]$$ $$I_{\mathrm{xy}}=\sum [I_{\mathrm{xy},i}+A_i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}\left)\right]$$

Пустота вносит отрицательный вклад во все величины, зависящие от площади. Например, прямоугольную трубу можно рассматривать как наружный прямоугольник за вычетом внутреннего, если оба прямоугольника имеют корректные опорные оси. Двутавровое сечение можно составить из прямоугольника стенки и двух прямоугольников полок, учитывая смещения относительно общего центра тяжести в слагаемых теоремы о параллельных осях. Швеллер собирают аналогичным образом, однако его центр тяжести, как правило, не лежит одновременно на обеих геометрических осях.

Симметрия является эффективной проверкой. Сечение, симметричное относительно оси $x$, должно иметь $\overline{y}=0$, если эта ось используется в качестве опорной, а его центральное произведение инерции должно быть равно нулю. Дважды симметричное двутавровое сечение имеет главные оси, совпадающие с центральными осями. Если расчёт даёт ненулевое произведение инерции для такого сечения, значит, неверно заданы координаты компонентов, знаки или обозначения осей.

Итоговые значения также должны проходить предельные проверки: удаление компонента должно уменьшать площадь; перемещение материала дальше от оси должно увеличивать соответствующий момент инерции; пустота, размеры которой стремятся к нулю, не должна оказывать влияния. На всём протяжении расчёта используйте одну систему единиц. Если длины заданы в миллиметрах, $A$ выражается в ${\mathrm{mm}}^2$, а $I$ — в ${\mathrm{mm}}^4$; для перевода результата в метры площадь необходимо разделить на ${10}^6$, а момент инерции — на ${10}^{12}$. В европейских таблицах расчётные характеристики часто приводятся в сантиметрах, тогда как площадь поверхности и константа депланации используют единицы, основанные на метрах и дециметрах, как объясняет ArcelorMittal.

Результаты ручного расчёта служат проверкой точной табличной характеристики профиля, а не её заменой. AISC Shapes Database v16.0 и AISC Part 1 содержат размеры и геометрические характеристики американских профилей; SCI P363, The Blue Book — характеристики европейских поперечных сечений. EVS-EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы, но не все производные характеристики. Допуски на толщину листа, галтели, радиусы углов и округление значений могут изменить результат. Перед сопоставлением построенной вручную идеализированной модели с опубликованным стальным профилем необходимо подтвердить точное обозначение и редакцию документа.

Момент сопротивления сечения, радиус инерции и полярные характеристики

Момент сопротивления сечения, радиус инерции и полярные характеристики выводятся из одной и той же геометрии поперечного сечения, однако отвечают на разные инженерные вопросы. Ни одна из этих величин не является характеристикой прочности материала. При замене стали ASTM A36 на сталь ASTM A992 величины $I_x$, $S_x$, $r_x$ или $J$ не изменяются, если физические размеры сечения остаются теми же; марка стали изменяет сопротивление, проверки жесткости через модуль материала, где это применимо, а также допускаемые или расчетные прочности. Геометрические характеристики по-прежнему определяются формой сечения.

Перед тем как переносить какое-либо число из таблицы, необходимо проверить обозначения осей. Таблицы AISC, SCI и европейские таблицы не отменяют необходимости такой проверки. American Institute of Steel Construction указывает, что AISC Shapes Database v16.0 содержит размеры и характеристики сечений в американских обычных и метрических единицах, тогда как AISC Part 1 является справочным разделом для табличных размеров и геометрических характеристик. В Европе стандарт EVS-EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы горячекатаных швеллеров, двутавров и Н-образных профилей; расчетные характеристики затем приводятся в таких источниках, как Blue Book, изданная Steel Construction Institute.

Упругий момент сопротивления сечения

Упругий момент сопротивления сечения представляет собой соответствующий осевой момент инерции относительно центральной оси, деленный на расстояние от этой центральной оси до крайнего волокна. При изгибе относительно оси $x$:

$$S_x=\frac{I_x}{c_y}$$

где $c_y$ — наибольшее расстояние от оси $x$ до крайнего волокна, испытывающего растяжение или сжатие. При изгибе относительно оси $y$:

$$S_y=\frac{I_y}{c_x}$$

где $c_x$ — наибольшее расстояние от оси $y$ до крайнего волокна. Индекс у $S$ обозначает ось изгиба, а не направление расстояния до крайнего волокна в числителе.

Это различие имеет значение для двутаврового сечения с неравными полками, швеллера, уголка или другой несимметричной формы. Расстояния до двух крайних волокон могут различаться, поэтому сечение может иметь отдельные положительный и отрицательный упругие моменты сопротивления. В таблице могут быть указаны $S_{x,\mathrm{top}}$ и $S_{x,\mathrm{bottom}}$, либо $S_{x,\max }$ и $S_{x,\min }$, а не одно значение. Использование большего значения для обеих граней может привести к небезопасной оценке изгибающего сопротивления, если определяющим является меньшее значение.

Единицы измерения непосредственно следуют из уравнения. $I_x$ и $I_y$ имеют размерность длины в четвертой степени, а $c$ — размерность длины, поэтому $S_x$ и $S_y$ имеют размерность длины в кубе. Обычно используются ${\mathrm{mm}}^3$, ${\mathrm{cm}}^3$ или ${\mathrm{in}}^3$. Ошибка при переводе между ${\mathrm{cm}}^3$ и ${\mathrm{mm}}^3$ приводит к множителю 1 000, а не 100.

Для прямоугольного сечения шириной $b$ и высотой $h$:

\[ I_x=\frac{bh^3}{12},\qquad S_x=\frac{bh^2}{6}. \]

Высота входит в $I_x$ в третьей степени, а в $S_x$ — во второй. Это объясняет, почему поворот прямоугольного стержня может резко изменить его изгибное сопротивление. Одна и та же площадь, повернутая на 90 градусов, не образует того же изгибающего сечения.

Упругий момент сопротивления сечения применяется к упругому распределению напряжений, при котором изгибающее напряжение линейно изменяется от нуля на нейтральной оси до максимума у крайнего волокна:

$${\sigma }_{\max }=\frac{M}{S}.$$

Его не следует путать с пластическим моментом сопротивления $Z$, который основан на равенстве результирующих сил растяжения и сжатия после достижения текучести по всему поперечному сечению. $Z$ также имеет размерность длины в кубе, однако эти величины не являются взаимозаменяемыми.

Радиус инерции

Радиус инерции описывает, насколько далеко от заданной центральной оси распределена площадь, в эквивалентном математическом смысле. Относительно оси $x$:

$$r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}},$$

а относительно оси $y$:

$$r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}.$$

Здесь $A$ — полная площадь поперечного сечения. Поскольку $I$ имеет единицы $L^4$, а $A$ — единицы $L^2$, каждый радиус инерции имеет единицы длины: миллиметры, сантиметры или дюймы.

Больший $r$ означает, что большая часть площади распределена дальше от соответствующей оси. Поэтому двутавровое сечение может иметь большой $r_x$, но значительно меньший $r_y$: его полки размещают значительную площадь далеко от сильной оси, тогда как стенка и толщина полок обеспечивают меньшее удаление площади от слабой оси.

Основное расчетное применение радиуса инерции связано с потерей устойчивости сжатых элементов. Для длины элемента $L$ и коэффициента расчетной длины $K$ гибкость относительно каждой оси определяется выражениями

\[ \frac{KL_x}{r_x} \quad\text{и}\quad \frac{KL_y}{r_y}. \]

Большее значение обычно указывает на более критичное направление потери устойчивости с учетом закрепления концов, раскрепления, крутильно-изгибных эффектов и правил классификации, установленных расчетным стандартом. Сравнение только по площади не отражает этого поведения. Два сечения могут иметь одинаковую полную площадь и близкую массу, но существенно различающиеся радиусы инерции относительно слабой оси и, следовательно, различную работу при сжатии.

Радиус инерции не является радиусом, который можно увидеть на стальном профиле. Он рассчитывается на основе распределения площади. Ресурс MDSolids, разработанный Missouri S&T, выводит отдельно положение центра тяжести, осевые моменты инерции, момент сопротивления сечения, радиус инерции, пластический момент сопротивления, полярный момент и главные моменты инерции. Это полезно напоминает о том, что данные обозначения относятся к различным расчетам.

Для составных сечений сначала определяют $A$, координаты центра тяжести и осевые моменты инерции составляющих, применяя теорему о параллельных осях, и только затем извлекают квадратный корень. Полученный результат следует проверить с учетом принятого соглашения об обозначении осей. Abaqus описывает характеристики относительно центра тяжести посредством интегрирования по площади: $I_{11}$ и $I_{22}$ представляют собой интегралы квадратов координатных расстояний, а $I_{12}$ — интеграл произведения координатных расстояний. Это та же геометрическая основа, которая используется в ручных расчетах, хотя в программном обеспечении оси могут обозначаться иначе, чем в таблице стальных профилей.

Полярный момент и его ограничения

Полярный момент площади относительно точки, расположенной перпендикулярно плоскости сечения, определяется как

$$I_p={\int }_A{r}^2\mathrm{dA}.$$

Для взаимно перпендикулярных центральных осей $x$ и $y$:

$$I_p=I_x+I_y.$$

Он имеет единицы $L^4$, например ${\mathrm{mm}}^4$ или ${\mathrm{in}}^4$. Для сплошной круговой площади радиусом $R$:

$$I_p=\frac{\pi R^4}{2},$$

а для кольцевой площади с наружным радиусом $R_o$ и внутренним радиусом $R_i$:

$$I_p=\frac{\pi }{2}(R_o^4-R_i^4).$$

Эти выражения делают полярный момент полезным при расчете кручения круглых валов и задач, в которых геометрия и нагрузка обладают осевой симметрией. Для круглого вала при упругом кручении полярный момент обычно обозначают $J$, и используется известное соотношение

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

Такая система обозначений часто приводит к ошибке: полярный момент $I_p$ не является автоматически крутильной постоянной $J$ для любого стального сечения.

Крутильная постоянная Сен-Венана $J$ характеризует сопротивление равномерному кручению и зависит от условий депланации сечения и распределения потока сдвига. Для сплошного или тонкостенного круглого сечения $J=I_p$. Для общего открытого сечения это разные величины. Тонкая прямоугольная полоска шириной $b$ и толщиной $t$, где $b$ значительно больше $t$, имеет приближенную крутильную постоянную порядка ${\mathrm{bt}}^3/3$, тогда как ее вклад в $I_p$ может определяться квадратом расстояния полоски от центра тяжести. Поэтому открытое двутавровое сечение может иметь значительный полярный момент, одновременно обладая сравнительно небольшой крутильной постоянной Сен-Венана.

Замкнутые коробчатые сечения, как правило, значительно эффективнее открытых при кручении, поскольку вокруг замкнутой ячейки может формироваться циркулирующий поток сдвига. Если крутильное закрепление вызывает продольную депланацию, одной величины $J$ недостаточно; в расчет входит постоянная депланации $C_w$, имеющая размерность $L^6$. ANSI/AISC 360-16 определяет и использует $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ и $C_w$ как отдельные характеристики сечения. В Blue Book также отдельно приводятся упругие и пластические моменты сопротивления, радиусы инерции, крутильные постоянные и постоянные депланации.

В европейских источниках необходимо особенно внимательно относиться к единицам измерения. ArcelorMittal отмечает, что расчетные характеристики сечения обычно приводятся в сантиметрах, тогда как площадь поверхности и постоянная депланации используют соответственно единицы, основанные на метрах и дециметрах. Поэтому значение, перенесенное из Blue Book или таблицы производителя, необходимо идентифицировать по характеристике и единице измерения, а не только по его числовой величине. Перед использованием любого табличного значения $S$, $r$, $I_p$ или $J$ следует проверить точное обозначение профиля, соглашение об осях, редакцию стандарта и то, относится ли значение к полной, номинальной или иной указанной геометрии.

Упругие и пластические характеристики поперечного сечения

Упругая нейтральная ось и крайние волокна

Упругие характеристики поперечного сечения описывают распределение напряжений до достижения текучести. Для призматического однородного стального сечения, подвергаемого воздействию изгибающего момента относительно центральной оси, упругая нейтральная ось проходит через центр тяжести. Волокна по одну сторону от этой оси испытывают сжатие, а волокна по другую сторону — растяжение; на нейтральной оси продольное изгибное напряжение равно нулю. Распределение является линейным:

$$\sigma =\frac{\mathrm{My}}{I}$$

где $M$ — приложенный момент, $y$ — расстояние от нейтральной оси, а $I$ — соответствующий центральный момент инерции площади.

Поэтому упругий момент сопротивления равен

$$S=\frac{I}{c}$$

где $c$ — расстояние от нейтральной оси до рассматриваемого крайнего волокна. У сечения с неодинаковыми расстояниями от центра тяжести до верхней и нижней границ имеются два упругих момента сопротивления, например $S_{x,\text{top}}$ и $S_{x,\text{bottom}}$. Они не являются взаимозаменяемыми. При положительном и отрицательном изгибающем моменте определяющими могут быть разные крайние волокна, поскольку значения $c$ различаются.

Это различие имеет значение для швеллера, уголка, тавра или несимметричного составного сечения. Центральная ось по-прежнему определяет упругую нейтральную ось однородного сечения, однако наиболее удалённое волокно с одной стороны может находиться значительно дальше от этой оси. Единственное значение, переписанное из таблицы, может скрывать такую асимметрию. Двоякосимметричные двутавровые сечения обычно имеют одинаковые положительный и отрицательный упругие моменты сопротивления относительно главной оси, тогда как односамметричные сечения, как правило, их не имеют.

Геометрической основой является момент инерции площади. В документации Abaqus $I_{11}$ и $I_{22}$ описываются как интегралы квадратов координатных расстояний по площади поперечного сечения, тогда как $I_{12}$ представляет собой интеграл произведения координатных расстояний (Abaqus, 2024). Это определение объясняет, почему удаление площади полки от центра тяжести может значительно увеличить $I$ без существенного добавления стали. Оно также объясняет, почему $S$ является геометрической характеристикой, а не зависящей от марки стали характеристикой прочности.

Упругий момент сопротивления имеет размерность длины в третьей степени: ${\text{мм}}^3$, ${\text{см}}^3$ или ${\text{дюйм}}^3$. Его не следует путать с радиусом инерции, имеющим размерность длины, или с пластическим моментом сопротивления, который также имеет размерность длины в третьей степени, но рассчитывается иначе.

Пластическая нейтральная ось и пластический момент сопротивления

Пластическая нейтральная ось (PNA) определяется на основе полностью пластического распределения напряжений, а не линейно-упругого распределения. Для однородного стального сечения при чистом изгибе PNA делит площадь поперечного сечения на равные площади сжатой и растянутой зон:

$$A_c=A_t=\frac{A}{2}$$

Напряжение идеализируется как равное пределу текучести при сжатии с одной стороны и пределу текучести при растяжении — с другой. Поэтому результирующая продольная сила уравновешивается. Для сечения с различными характеристиками прочности материалов или для составных материалов равенства геометрических площадей, как правило, недостаточно; результирующие силы в сжатой и растянутой зонах должны быть уравновешены с учётом соответствующих напряжений материалов.

Пластический момент сопротивления, обычно обозначаемый $Z$, представляет собой статический момент полностью пластичных площадей относительно PNA:

\[ Z=\int_A |y-y_p|\,dA \]

Для составных площадей его можно рассчитать суммированием произведений площади каждого элемента на расстояние от его центра тяжести до PNA. Соответствующий полностью пластический момент часто записывают в виде

$$M_p=F_{y}Z$$

для стали одной марки, однако $F_{y}Z$ является выражением для сопротивления, а не тождеством, зависящим только от геометрии. Переход от ASTM A992 к ASTM A36 изменяет заданный предел текучести, используемый при проверке конструкции; он не изменяет геометрический $Z$, рассчитанный по тем же размерам. То же разделение применимо к европейским обозначениям S275 и S355 в соответствии с соответствующими стандартами на продукцию и проектирование.

Упругий и пластический моменты сопротивления отвечают на разные вопросы. $S$ связывает момент с началом текучести в крайнем волокне при упругом распределении напряжений. $Z$ связывает момент с полностью пластичным поперечным сечением, в котором уравновешены сжатая и растянутая зоны. Их отношение,

$$Z/S$$

является коэффициентом формы для заданной оси изгиба и определяющего крайнего волокна. Оно указывает на дополнительную несущую способность по моменту, связанную с перераспределением пластических напряжений, но само по себе не подтверждает, что элемент может достичь или длительно воспринимать эту способность.

Большое значение пластического момента сопротивления само по себе не позволяет классифицировать поперечное сечение как компактное. Классификация сечений как гибких, компактных или некомпактных в первую очередь зависит от отношений ширины элементов пластинчатого типа к их толщине, условий закрепления границ, градиентов напряжений и предельных требований применяемого расчётного стандарта. Гибкая стенка может существенно увеличивать рассчитанный $Z$, однако местная потеря устойчивости может произойти до формирования полного пластического распределения напряжений. И наоборот, компактное сечение может иметь относительно небольшой коэффициент формы. Классификация является оценкой устойчивости и пластичности, а не ранжированием по одному табличному числу.

Когда табличные значения различаются

Две достоверные таблицы могут содержать несколько отличающиеся упругие или пластические характеристики для сечения, которое внешне кажется одинаковым. В первую очередь необходимо проверить, совпадают ли обозначение профиля и редакция источника. Американский институт стальных конструкций указывает, что база данных AISC Shapes Database v16.0, опубликованная в 2023 году, содержит размеры и характеристики в американской традиционной и метрической системах единиц, тогда как часть 1 Steel Construction Manual, 16-е издание, является справочным разделом для размеров и геометрических характеристик стандартных профилей. Профиль W, приведённый там, не следует бездумно сравнивать с номинально похожим европейским профилем HE.

Blue Book, которую ведёт Steel Construction Institute и которая здесь рассматривается в редакции 2024 года, содержит площадь, моменты инерции площади, упругие и пластические моменты сопротивления, радиусы инерции, постоянные кручения и постоянные депланации. EVS-EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы горячекатаных швеллеров, двутавровых и H-профилей; сам по себе этот стандарт не заменяет каждую таблицу рассчитанных характеристик поперечного сечения. Это различие существенно. Номинальная толщина полки в стандарте на продукцию, принятая при моделировании толщина в таблице производителя и округлённый размер в проектной базе данных могут давать несколько отличающиеся результаты.

Геометрия профиля также включает детали, которые могут отсутствовать на упрощённом эскизе, выполненном вручную: галтели полок и стенки, радиусы сопряжения, уклон, радиусы углов и допуски прокатки. Приближение на основе прямоугольников может правильно воспроизводить общую работу двутаврового сечения, но не учитывать точные значения площади, положения центра тяжести, $I$, $S$ или $Z$. Дополнительное расхождение создаёт округление. В таблице может быть указано $I_x=1,130{\text{см}}^4$, тогда как программное обеспечение сохраняет внутри расчёта больше знаков.

Единицы измерения приводят к ошибкам, которых можно избежать. ArcelorMittal отмечает в 2024 году, что рассчитанные характеристики европейских профилей обычно приводятся в сантиметрах; площадь поверхности указывается в единицах, основанных на метре, а постоянная депланации — в единицах, основанных на дециметре. Поэтому $W_{\mathrm{el}}$ в ${\text{см}}^3$ и $I_w$ в ${\text{дм}}^6$ нельзя переносить в расчёт в дюйм-фунтовой системе без преобразования единиц.

MDSolids, разработанная в Missouri S&T, содержит положение центра тяжести, моменты инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции, пластический момент сопротивления, полярный момент и главные моменты для общих и стандартных стальных профилей (2024). Она полезна для проверки расчёта, выполненного вручную, однако совпадение пластического момента сопротивления не доказывает, что сечение соответствует предельному отношению для классификации или расчётному сопротивлению. Перед принятием табличного значения необходимо подтвердить принятую систему осей, расчётную основу по полной или нетто-площади, учёт галтелей, единицы измерения и редакцию источника. Геометрия определяет характеристику; применимый расчётный стандарт устанавливает, каким образом эту характеристику можно использовать.

Крутильная постоянная J и постоянная депланации Cw

Кручение по Сен-Венану и J

Крутильная постоянная $J$ характеризует сопротивление поперечного сечения кручению по Сен-Венану — закручиванию, вызванному крутящим моментом, когда сечение может свободно депланировать по своей длине. Это геометрическая характеристика, а не показатель прочности стали. В простой упругой модели касательное напряжение при кручении и угол закручивания связаны с модулем сдвига материала $G$, приложенным крутящим моментом $T$ и величиной $J$:

$$\theta \prime =\frac{T}{\mathrm{GJ}}$$

где $\theta \prime$ — угол закручивания на единицу длины. Чем больше $J$, тем меньше закручивание при одном и том же крутящем моменте, если материал, нагрузка и граничные условия во всех остальных отношениях одинаковы. Размерность $J$ — длина в четвёртой степени, например ${\text{мм}}^4$, ${\text{дюйм}}^4$ или ${\text{см}}^4$.

Термин «крутильная постоянная» не означает «полярный момент инерции» для любого сечения. Полярный момент инерции площади равен

$$I_p=I_x+I_y$$

относительно взаимно перпендикулярных центральных осей. Для круглого или кольцевого сечения $J=I_p$, поскольку круговая геометрия позволяет функции напряжений Сен-Венана обеспечить такое прямое равенство. Для большинства некруглых сечений, особенно тонкостенных открытых, \(J\ne I_p\). Рассмотрение этих двух величин как взаимозаменяемых может привести к существенной ошибке в прогнозе закручивания и касательных напряжений при кручении.

Для тонкой прямоугольной полосы длиной $b$ и толщиной $t$, где $b$ значительно больше $t$, крутильная постоянная Сен-Венана приблизительно равна

$$J\approx \frac{1}{3}{\mathrm{bt}}^3.$$

Толщина входит в выражение в третьей степени. Поэтому тонкий пояс или стенка вносит значительно меньший вклад в крутильную жёсткость по Сен-Венану, чем может следовать из расчёта по кругу, учитывающего только расстояние до центра тяжести. Полярный момент описывает распределение площади относительно оси; $J$ характеризует способность сечения формировать совместимое поле касательных напряжений при закручивании. Это связанные геометрические понятия, но это не одна и та же расчётная величина.

ANSI/AISC 360-16 определяет $J$ как характеристику сечения, используемую при проектировании стальных конструкций наряду с $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$ и $C_w$. База данных профилей AISC Shapes Database v16.0, опубликованная American Institute of Steel Construction в 2023 году, содержит размеры и характеристики сечений стандартных профилей в американской и метрической системах единиц. Раздел AISC Part 1, Dimensions and Properties служит справочным источником табличных характеристик в 16-м издании Steel Construction Manual. Указанное значение должно соответствовать точному обозначению профиля W, S, M, HP, C, MC, WT, L, HSS или другого профиля; одного лишь близкого номинального размера по высоте недостаточно.

Сопротивление депланации и Cw

$C_w$, постоянная депланации, характеризует сопротивление продольной депланации поперечного сечения при неоднородном кручении. Его размерность — длина в шестой степени, обычно ${\text{мм}}^6$, ${\text{дюйм}}^6$ или ${\text{см}}^6$. Не следует путать эту величину с $J$, которая описывает реакцию поперечного сечения на кручение по Сен-Венану.

При закручивании балки различные части открытого сечения, как правило, стремятся перемещаться в продольном направлении на разные величины. Например, в двутавровом сечении пояса могут депланировать в противоположных направлениях. Если концы свободны, а приложенный крутящий момент постоянен, значительная часть реакции может быть описана кручением по Сен-Венану через $J$. Если диафрагмы, торцевые пластины, соединения, плиты перекрытий, сварные швы или опоры препятствуют этому продольному перемещению, возникают напряжения депланации. В результате реакция на кручение включает кручение с депланацией, и $C_w$ приобретает важное значение.

Величина этого эффекта зависит от закрепления, а не только от обозначения сечения. В шарнирно опёртом элементе, конструктивные детали которого допускают депланацию поясов, вклад депланации может быть умеренным. То же сечение, заделанное в жёсткое соединение или связанное с жёсткой диафрагмой, может развивать значительный бимомент и продольное нормальное напряжение. Расчёт, в котором используется $C_w$ без определения условий закрепления концов, является неполным.

Для двутавровых и Н-образных сечений с двумя осями симметрии постоянная депланации относительно главной оси часто имеет большое значение, поскольку разнесённые пояса обеспечивают большое плечо для противоположной продольной депланации. Упрощённое выражение для тонкополочного двутаврового сечения пропорционально площади пояса, умноженной на квадрат расстояния между центрами тяжести поясов:

$$C_w\sim A_f{h}_o^2,$$

при этом точное выражение зависит от геометрии поясов, толщины стенки и выбранной оси. Эта аппроксимация объясняет, почему $C_w$ может быть большим, хотя $J$ остаётся сравнительно небольшим.

Таблицы AISC и SCI Blue Book приводят значения $C_w$ для многих стандартных сечений. Blue Book, выпущенная Steel Construction Institute и обозначенная SCI в 2024 году как источник европейских размеров и характеристик сечений, содержит площадь, осевые моменты инерции, упругие и пластические моменты сопротивления, радиусы инерции, крутильные постоянные и постоянные депланации. Это рассчитанные геометрические характеристики. EVS-EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы горячекатаных швеллеров, двутавровых и Н-образных профилей; этот стандарт не заменяет таблицы характеристик сечений.

Проверка единиц особенно важна для $C_w$. В пояснительных материалах ArcelorMittal за 2024 год указано, что рассчитанные европейские характеристики, как правило, приводятся с использованием соглашений, основанных на сантиметрах, тогда как площадь поверхности выражается в единицах, основанных на метрах, а постоянная депланации — в единицах, основанных на дециметрах. Поэтому в таблице $J$ может быть указана в ${\text{см}}^4$, а $C_w$ — в ${\text{дм}}^6$. Преобразование только единицы силы или длины при сохранении неизменной величины, имеющей размерность длины в шестой степени, может сделать результат недействительным.

Открытые и закрытые стальные сечения

Открытые двутавровые сечения, швеллеры, тавровые профили и уголки имеют разомкнутые тонкостенные участки по значительной части периметра. Поэтому их крутильная постоянная Сен-Венана часто мала по сравнению с $I_x$, $I_y$ или полярным моментом. Двутавровое сечение может обладать чрезвычайно высокой жёсткостью при изгибе относительно главной оси и при этом легко закручиваться, если линия действия нагрузки не проходит через центр сдвига. Швеллер создаёт дополнительную сложность: его центр сдвига расположен вне сечения, поэтому поперечная нагрузка, приложенная через центр тяжести, может вызвать кручение.

Уголки и тавровые профили также несимметричны. Их центр тяжести, главные оси, центр сдвига и реакция на депланацию не совпадают так просто, как у двутаврового сечения с двумя осями симметрии. Произведение инерции $I_{\mathrm{xy}}$ может быть ненулевым в выбранной системе координат, поэтому перед корректной оценкой изгиба и кручения требуется преобразование к главным осям.

Замкнутые трубы ведут себя иначе, поскольку их стенки образуют непрерывную ячейку. Крутящий момент может передаваться циркулирующим потоком касательных напряжений вокруг охватываемой площади. Для тонкостенного замкнутого односекционного профиля крутильная постоянная приблизительно равна

$$J\approx \frac{4A_m^2}{\oint \mathrm{ds}/t},$$

где $A_m$ — площадь, ограниченная срединной линией стенки, а интеграл учитывает длину и толщину стенки. Благодаря этому механизму замкнутое прямоугольное или круглое сечение HSS обычно обладает значительно большей крутильной жёсткостью по Сен-Венану, чем открытое сечение сопоставимой массы. Замкнутые сечения всё же могут депланировать вблизи сосредоточенных нагрузок, разрывов и соединений, однако свободная равномерная депланация обычно играет меньшую роль, чем в открытом двутавровом сечении.

Эти различия важны как для расчётов вручную, так и для анализа в программном обеспечении. Abaqus определяет характеристики относительно центра тяжести посредством интегрирования квадратов координатных расстояний для $I_{11}$ и $I_{22}$, а также произведений координат для $I_{12}$; такая схема интегрирования не превращает $I_p$ в $J$. Ресурс MDSolids Университета науки и технологий Миссури отдельно рассчитывает полярный момент и крутильные характеристики для произвольных и стандартных сечений. Поэтому обоснованная расчётная модель должна импортировать $J$ и $C_w$ из соответствующего стандартного источника либо рассчитывать их методом, подходящим для топологии сечения, а затем проверить единицы, оси, закрепления и детали соединений перед применением этих значений в проектировании стальных конструкций.

Площадь сдвига, центр сдвига и несимметричные сечения

Эффективные площади сдвига

Полная площадь $A$ используется при расчётах продольных сил и при определении ряда геометрических характеристик. Она не является автоматически площадью, воспринимающей поперечный сдвиг. Площадь сдвига представляет собой отдельную характеристику, которую обычно обозначают $A_{\mathrm{vx}}$, $A_{\mathrm{vy}}$, $A_v$ или задают через коэффициент коррекции на сдвиг. Её единицы измерения — единицы площади, однако численное значение зависит от направления сдвига и принятого распределения касательных напряжений по сечению.

Для прямоугольного сечения, воспринимающего сдвиг параллельно его высоте, касательное напряжение не является постоянным. На свободных верхней и нижней поверхностях оно равно нулю, увеличивается по направлению к нейтральной оси и достигает там максимума. Поэтому среднее напряжение $V/A$ не равно фактическому максимальному напряжению. Представление через площадь сдвига заменяет неоднородное поле напряжений эквивалентной зависимостью для среднего значения, которую часто записывают в виде

$${\tau }_{\mathrm{avg}}=\frac{V}{A_v}.$$

Поскольку максимальное и среднее напряжения различаются, $A_v$ не равна просто полной площади. Для сплошного прямоугольника шириной $b$ и высотой $h$ известное упругое распределение даёт максимальное касательное напряжение $1.5V/\left(\mathrm{bh}\right)$, поэтому эквивалентная площадь, определённая на основе этого максимального напряжения, составит $2\mathrm{bh}/3$. Другие определения, включая используемые в балочных конечных элементах, могут давать иную эффективную площадь, поскольку основаны на энергии деформации при сдвиге, а не только на максимальном напряжении.

Для тонкостенных двутавров различие имеет ещё большее значение. При вертикальном сдвиге основная часть силы воспринимается стенкой, тогда как полки вносят сравнительно небольшой вклад, поскольку их материал расположен далеко от траектории потока сдвига в стенке, а касательное напряжение в полке изменяется по её ширине. Если принять всю площадь за равномерную площадь сдвига, это может привести к занижению касательного напряжения в стенке. При горизонтальном сдвиге расположение полок становится более значимым. У швеллера, уголка или тавра нет пары равных и противоположно расположенных полок, уравновешивающих поток сдвига, поэтому распределение необходимо рассчитывать исходя из фактической геометрии.

Обычная зависимость для тонкостенных элементов

$$q=\frac{\mathrm{VQ}}{I},$$

выражает поток сдвига $q$ в данной точке через статический момент $Q$ площади, расположенной за этой точкой, при этом $I$ берётся относительно соответствующей центральной оси. Она показывает, почему касательные напряжения в полках и стенке нельзя распределять только пропорционально площадям. Важное значение имеет расположение материала, представленное величиной $Q$. В местах соединения стенки и полки поток сдвига также должен удовлетворять условиям равновесия и совместности деформаций.

Поэтому рассчитанную площадь сдвига следует обозначать с указанием направления и принятого определения. Её нельзя подставлять вместо $A$, $I_x$, $I_y$ или момента сопротивления сечения. В этом отношении полезно руководство Georgia Tech по проектированию конструкций из нержавеющей стали, поскольку в его расчётных результатах характеристики сечения разделены на площадь, центральные моменты инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции, характеристики кручения и параметры, связанные со сдвигом, вместо представления одного числа как универсальной меры эффективности формы. Такой же геометрический подход применяется к конструкционной углеродистой и низколегированной стали. Замена обозначения стали с ASTM A36 на ASTM A572 Grade 50 или переход от одной марки нержавеющей стали к другой изменяет значения сопротивления и расчётные предельные условия, но не площадь сдвига, рассчитанную по неизменным размерам.

Расположение центра сдвига

Центр сдвигаЦентр сдвига Положение линии приложения нагрузки, при котором поперечная сила не создаёт дополнительного крутящего момента в поперечном сечении.

Центр сдвига — это точка в поперечном сечении, через которую должна проходить линия действия поперечной нагрузки, чтобы вызвать изгиб без кручения. Для двоякосимметричного двутаврового сечения центр сдвига совпадает с центроидом. Для сечения, имеющего только одну ось симметрии, он лежит на этой оси симметрии, но не обязательно совпадает с центроидом. Для сечения без симметрии центр сдвига может быть смещён по обоим координатным направлениям.

Причина заключается в потоке сдвига. Поперечная сила создаёт распределённые по сечению элементарные силы сдвига. Их равнодействующая равна приложенной поперечной силе, однако общая линия действия этих сил может не проходить через центроид. Возникающее смещение создаёт крутящий момент. Приложение нагрузки в центре сдвига обеспечивает правильную линию действия и устраняет этот момент.

Швеллер является классическим примером, требующим особого внимания. Его полки выступают с одной стороны стенки, поэтому вертикальный сдвиг создаёт неодинаковые потоки сдвига в полках, равнодействующая которых обычно действует на некотором расстоянии от центроида. Центр сдвига обычно находится за пределами материала — с противоположной относительно полок стороны стенки. Поэтому нагрузка, приложенная через центроид, может одновременно вызвать изгиб и кручение. Для уголка задача ещё сложнее: в обычных случаях с равными или неравными полками отсутствует ось симметрии, поэтому координаты как центроида, так и центра сдвига необходимо определять по полной геометрии сечения. Тавр имеет одну ось симметрии, которая ограничивает положение центра сдвига этой осью, однако стенка и полка во многих случаях всё же смещают его относительно центроида.

Расчёт требует большего, чем знание $A$, $I_x$ и $I_y$. Необходимо определить поток сдвига, проинтегрировать моменты этого потока относительно опорной точки и найти точку, в которой результирующий крутящий момент равен нулю. В тонкостенных открытых сечениях на результат влияют принятые идеализированные толщина стенки и геометрия соединений. Скруглённые углы, галтели, отгибы и локальные сварные швы могут смещать полученное положение, особенно если сечение имеет небольшие размеры или тонкие стенки.

Опубликованные таблицы также необходимо использовать с учётом принятых в них соглашений об осях. База данных профилей AISC Shapes Database v16.0, которую в 2023 году American Institute of Steel Construction обозначил как источник размеров и характеристик в американской и метрической системах единиц, связана с конкретными обозначениями профилей и осями. Аналогичным образом Blue Book, изданная Steel Construction Institute, содержит европейские характеристики сечений. Стандарт EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы горячекатаных швеллеров, двутавров и Н-образных профилей; он не заменяет таблицу характеристик сечений. Blue Book содержит рассчитанные характеристики, тогда как ArcelorMittal отмечает, что европейские расчётные характеристики обычно приводятся в сантиметрах, при этом площадь поверхности и постоянная депланации используют единицы, основанные на метрах и дециметрах. Расстояние до центра сдвига необходимо отдельно проверять с точки зрения единиц измерения, начала координат осей и знака.

Взаимосвязь изгиба и кручения

В несимметричном сечении изгиб и кручение связаны двумя взаимодополняющими способами. Во-первых, нагрузка, проходящая через центроид, может не проходить через центр сдвига, создавая крутящий момент

$$T=Ve,$$

где $e$ — перпендикулярное расстояние между линией действия нагрузки и линией, проходящей через центр сдвига. Во-вторых, если выбранные оси $x$ и $y$ не являются главными осями, произведение инерции $I_{\mathrm{xy}}$ отлично от нуля. В этом случае изгиб относительно одной координатной оси вызывает кривизну, связанную с другой осью. Это эффект, обусловленный системой координат и геометрией, а не прочностью материала.

В документации Abaqus указано, что центральные моменты инерции $I_{11}$ и $I_{22}$ получают интегрированием квадратов координатных расстояний по площади, тогда как $I_{12}$ определяется интегрированием произведения координатных расстояний. Именно это произведение указывает на взаимосвязь, обусловленную несимметричностью осей. Поворот к главным осям может устранить произведение инерции, но не приводит к совпадению центра сдвига швеллера с его центроидом и не устраняет реакцию на кручение при нагрузке, приложенной не по надлежащей линии действия.

Открытые сечения особенно чувствительны к этому различию, поскольку их постоянная кручения $J$ часто мала по сравнению с постоянной кручения замкнутой коробчатой конструкции аналогичной площади. В этом случае депланация может вносить значительный вклад, что требует использования постоянной депланации $C_w$ и соответствующего анализа с учётом стеснённой депланации. Швеллер, нагруженный через центроид, может закручиваться, депланировать и изгибаться относительно нескольких осей, даже если приложенная сила кажется «центрированной».

Результаты программного обеспечения следует проверять с учётом этой физической картины. Например, MDSolids выдаёт положение центроида, главные моменты, полярный момент и другие характеристики для произвольных и стандартных стальных профилей. Эти результаты помогают выполнять проверку, но не отменяют необходимости определить линию действия нагрузки, направление сдвига, соглашение об осях и условия закрепления, ограничивающие деформации. Для уголка, тавра или швеллера представление только $A$, $I_x$ и $I_y$ является неполным, если существенны кручение или боковая устойчивость. Взаимосвязь определяется геометрией, тогда как заданная марка стали учитывается позднее — через прочностные характеристики, принятые предпосылки относительно жёсткости и применимый норматив проектирования.

Стандартные таблицы прокатных профилей: ссылки на AISC, SCI и EN

Стандартные таблицы профилей — это средство ускорения повторяющихся геометрических расчётов, а не замена инженерной оценке. Опубликованная таблица избавляет инженера от необходимости заново вычислять площадь, координаты центра тяжести, осевые моменты инерции, моменты сопротивления сечения, радиусы инерции, крутильную постоянную и постоянную депланации каждого прокатного элемента. Однако таблица не может определить, относится ли выбранный профиль к правильному семейству, соответствует ли указанная ось направлению потери устойчивости или изгиба, а также совместимы ли приведённые значения с применяемым стандартом проектирования и системой единиц.

Это различие важно, поскольку указанные величины не являются взаимозаменяемыми. Полная площадь $A$ имеет размерность длины в квадрате. $I_x$ и $I_y$ — осевые моменты инерции относительно центральных осей, имеющие размерность длины в четвёртой степени; их значения характеризуют сопротивление кривизне, связанной с изгибом относительно заданных осей. Упругий момент сопротивления сечения $S$ получают делением осевого момента инерции на расстояние до наиболее удалённого волокна, тогда как пластический момент сопротивления $Z$ определяется равновеликими зонами сжатия и растяжения относительно пластической нейтральной оси. Радиусы инерции $r_x$ и $r_y$ являются квадратными корнями из $I/A$. Они особенно важны при расчётах гибкости, но не являются моментами инерции.

Крутильная постоянная $J$ характеризует кручение по Сен-Венану, и её не следует путать с полярным моментом инерции, который представляет собой геометрическую сумму взаимно перпендикулярных осевых моментов инерции для соответствующей системы координат. Постоянная депланации $C_w$, обычно используемая для открытых тонкостенных сечений, имеет другую размерность и входит в расчёт кручения с ограниченной депланацией. Поэтому таблица, в которой приведены все эти значения, содержит отдельные геометрические характеристики, а не несколько названий для «прочности профиля».

База данных профилей AISC Shapes Database v16.0 и Руководство 16-го издания

AISC Shapes Database v16.0, подготовленная American Institute of Steel Construction, содержит размеры и характеристики поперечных сечений конструкционных стальных профилей в американской традиционной и метрической системах единиц согласно AISC (2023). Она предназначена для использования совместно с Steel Construction Manual 16-го издания и служит согласованным цифровым справочником стандартных американских обозначений прокатных и изготовленных профилей.[2][2] 16th Edition Steel Construction Manual, Part 1. American Institute of Steel Construction. Steel Construction Manual, 2023.

В рамках этой системы часть AISC Part 1, «Dimensions and Properties», является табличным справочником размеров и характеристик стандартных конструкционных стальных элементов. В ней приведены размеры, необходимые для описания сечения, и расчётные характеристики, используемые при проектировании: площадь, масса, данные о центре тяжести, если применимо, $I_x$, $I_y$, $S_x$, $S_y$, $Z_x$, $Z_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ и $C_w$, а также другие параметры. База данных устраняет необходимость в повторном интегрировании и расчётах по теореме о параллельных осях, однако инженер по-прежнему должен выбрать точный профиль W, S, M, HP, C, MC, L, WT, HSS или другой профиль из списка и подтвердить его обозначение.

Обозначения осей не являются условностью, которую можно игнорировать. Для двоякосимметричного профиля W ось $x$ обычно является главной центральной осью, а ось $y$ — второстепенной центральной осью, поэтому $I_x$, как правило, значительно больше $I_y$. Расчёт, в котором используется $I_y$, хотя элемент изгибается относительно оси $x$, может быть численно точным, но физически ошибочным. Та же проблема возникает при расчёте изгибно-крутильной потери устойчивости, где $J$, $C_w$, длину без промежуточных связей и направление изгиба необходимо рассматривать совместно.

ANSI/AISC 360-16 определяет характеристики сечения, используемые в расчётах стальных конструкций, включая $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ и $C_w$ (AISC, 2021). Этот стандарт не превращает табличную характеристику сечения в значение прочности материала. Профиль W, прокатанный из стали ASTM A992, и такой же по геометрии профиль W, рассматриваемый для стали ASTM A36, имеют одинаковые идеализированные геометрические площадь и моменты инерции, если их размеры идентичны. Однако их предел текучести, прочность при растяжении, расчётные сопротивления и применимые требования к материалу различаются. Поэтому обозначение ASTM A992 относится к металлургии и соответствию спецификации, а не к геометрическому определению $I_x$.

Значения AISC также требуют контроля редакции документа. Обозначение профиля может сохраняться, тогда как размеры, приведённые характеристики, округления или содержание базы данных могут изменяться в разных справочных источниках. В источнике следует указывать «AISC Shapes Database v16.0» или соответствующую редакцию Руководства, а не ссылаться неопределённо на «таблицы AISC» без указания версии. Результаты, выдаваемые программным обеспечением, следует проверять по тому же источнику, особенно если модель импортирует метрические значения или автоматически преобразует характеристики, заданные в дюймовой системе.

SCI P363 The Blue Book

SCI P363, обычно называемая The Blue Book, является справочным изданием Steel Construction Institute по размерам и характеристикам европейских конструкционных стальных профилей. The Blue Book содержит площадь, осевые моменты инерции, упругие и пластические моменты сопротивления сечения, радиусы инерции, крутильные постоянные и постоянные депланации, как указано в SCI (2024). Следовательно, это не просто каталог номинальной высоты и ширины полки.

В таблицах представлены такие европейские семейства, как IPE, HE, HL, HD, HP, UB, UC, UPE и UPN. Эти обозначения необходимо сохранять в точности при идентификации профиля. Семейства IPE и HE не являются взаимозаменяемыми только потому, что оба имеют двутавровую форму. Аналогично, UB и UC представляют разные серии прокатных профилей британского происхождения, имеющие различные пропорции и соотношения характеристик. Швеллеры UPE и UPN имеют различное устройство полок и не могут заменять друг друга только на основании номинальной высоты профиля.

Упругие и пластические характеристики, приведённые в The Blue Book, используются для разных расчётных проверок. Упругие моменты сопротивления $W_{\mathrm{el}}$, часто эквивалентные по назначению $S$, определяются по наиболее удалённому упругому волокну и используются при расчёте упругих напряжений. Пластические моменты сопротивления $W_{\mathrm{pl}}$ описывают полностью пластическое распределение напряжений и применяются в случаях, когда соответствующая классификация сечения и правила проектирования допускают расчёт пластического сопротивления. Сечение может иметь большой упругий момент сопротивления и другой коэффициент формы; один из этих параметров нельзя получить из другого простым переименованием.

Европейские таблицы также требуют строгого соблюдения системы единиц. ArcelorMittal указывает, что расчётные характеристики европейских профилей обычно приводятся в единицах, основанных на сантиметре: площадь — в ${\text{cm}}^2$, осевые моменты инерции — в ${\text{cm}}^4$, моменты сопротивления сечения — в ${\text{cm}}^3$, а радиусы — в сантиметрах. Площадь поверхности обычно указывается в ${\text{m}}^2$ на метр длины, тогда как постоянная депланации может приводиться в единицах, основанных на дециметре, например ${\text{cm}}^6$, либо в соответствии с соглашением, установленным таблицей. Необходимо читать точный заголовок столбца, а не делать предположения. Перевод ${\text{cm}}^4$ в ${\text{mm}}^4$ увеличивает числовое значение в ${10}^4$ раз; перевод ${\text{cm}}^3$ в ${\text{mm}}^3$ — в ${10}^3$ раз. Пропущенный показатель степени может полностью исказить последующий расчёт.

Характеристики SCI рассчитываются по геометрии сечения и стандартным размерам профиля. Они не изменяются из-за того, что элемент изготовлен из стали S275, S355 или другой марки по серии EN 10025. Изменение марки стали влияет на предел текучести, прочность при растяжении, требования к свариваемости и уравнения расчётного сопротивления. Оно не увеличивает геометрические значения $I$, $J$, $C_w$ или $A$ неизменённого профиля.

Обозначения и массы по EVS-EN 10365:2026

EVS-EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы горячекатаных стальных швеллеров, двутавровых и H-образных профилей согласно EVS (2026). Это справочник по продукции и обозначениям, а не полная база характеристик поперечных сечений. Таблица, основанная на этом стандарте, может сообщить пользователю номинальную высоту, ширину полки, толщины элементов, размеры корневых участков, обозначение профиля и массу единицы длины. Однако само по себе наличие таких данных не означает, что в таблице приведены все значения $I$, $S$, $Z$, $J$ или $C_w$, необходимые для проектирования.

Это различие важно, когда обозначение, такое как IPE 300, HE 200 B или UPN 240, переносится в программное обеспечение для анализа. Обозначение идентифицирует стандартизированный номинальный профиль, тогда как характеристики сечения должны быть взяты из совместимой таблицы характеристик или рассчитаны по указанной геометрии. Номинальные размеры также не совпадают с фактическими размерами конкретного стального элемента. Прокатные допуски, радиусы корневых участков, галтели и отклонения толщины могут влиять на расчётные характеристики, массу и монтажную стыкуемость. При обычном проектировании, как правило, используют требования применяемого стандарта и табличные номинальные значения; при обследовании, проверке изготовления или анализе необычных составных деталей может потребоваться измеренная геометрия.

EN 10365:2026 также не следует путать со спецификацией материала. Обозначение профиля описывает форму и номинальный размер. Обозначение S355 согласно применяемому стандарту на продукцию описывает требования к марке стали. Оба обозначения могут присутствовать в проектной ведомости, но отвечают на разные вопросы: EN 10365 определяет геометрию прокатного профиля и правила указания его массы, тогда как стандарт на материал устанавливает химический состав, механические свойства, состояние поставки и требования к испытаниям.

Если авторитетная таблица характеристик не соответствует точному профилю, характеристики можно восстановить по номинальным размерам, разделив сечение на прямоугольники, определив положение общего центра тяжести и применив теорему о параллельных осях. В документации Abaqus указана та же геометрическая основа: $I_{11}$ и $I_{22}$ получают интегрированием квадратов координатных расстояний по площади, тогда как $I_{12}$ получают интегрированием произведений координатных расстояний. MDSolids также рассчитывает положение центра тяжести, осевые моменты инерции, моменты сопротивления сечения, радиусы инерции, пластический момент сопротивления, полярный момент и главные моменты инерции для произвольных и стандартных стальных профилей. Такие проверки полезны, однако они не оправдывают замену указанного стандартного профиля приближённым прямоугольником, если корневые участки полок, галтели, отверстия, сужающиеся стенки или депланация открытого сечения существенно влияют на результат.

Единицы измерения, обозначения и проверка размерностей

Свойства сечения являются геометрическими величинами, поэтому их единицы измерения показывают, что именно было рассчитано. Марка стали не изменяет площадь или осевой момент инерции фиксированной формы: переход от ASTM A992 к ASTM A572 не приводит к тому, что одно и то же двутавровое сечение W приобретает большее значение $I_x$. Марка стали учитывается при определении сопротивления и выполнении расчетных проверок. Размеры, положения осей и математическое определение определяют свойства сечения.

В каждом расчете единицы измерения следует указывать рядом как с исходными размерами, так и с выходными характеристиками. Запись $b=200$ и $t=10$ является неполной; следует писать $b=200\text{мм}$, $t=10\text{мм}$ и приводить результат $A=3,800{\text{мм}}^2$. Такая простая дисциплина позволяет выявить множество ошибок до того, как они попадут в электронную таблицу или расчетную модель.

Американская и метрическая системы единиц

В расчетах в американской системе размеры обычно задаются в дюймах, площадь — в ${\text{дюйм}}^2$, осевые моменты инерции — в ${\text{дюйм}}^4$, моменты сопротивления — в ${\text{дюйм}}^3$, радиусы инерции — в дюймах, крутильная постоянная $J$ — в ${\text{дюйм}}^4$, а секториальная постоянная $C_w$ — в ${\text{дюйм}}^6$. Масса или номинальный вес часто выражаются через вес на единицу длины, например lb/ft, а не через массу на единицу длины. Это различие важно: lb/ft — это соглашение для силы на единицу длины, тогда как kg/m — соглашение для массы на единицу длины.

В метрических расчетах миллиметры могут использоваться для всех величин: $A$ — в ${\text{мм}}^2$, $I_x$ и $I_y$ — в ${\text{мм}}^4$, $W_x$ и $W_y$ — в ${\text{мм}}^3$, $r_x$ и $r_y$ — в мм, $J$ — в ${\text{мм}}^4$, а $C_w$ — в ${\text{мм}}^6$. Вместо этого могут использоваться метры, сантиметры или их сочетание, выбранное в опубликованной таблице. Сама по себе ни одна из систем не является более безопасной. Опасность возникает при переходе между системами без изменения степеней длины.

Американский институт стальных конструкций указывает, что AISC Shapes Database v16.0 содержит размеры и свойства сечений как в американской, так и в метрической системе единиц (AISC, 2023). Часть 1 AISC — «Dimensions and Properties» («Размеры и свойства») — является справочным разделом 16-го издания Steel Construction Manual для табличных размеров и геометрических характеристик. ANSI/AISC 360-16 определяет такие величины, как $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ и $C_w$. В расчете следует указывать, какой именно столбец AISC и какая система единиц были использованы для получения каждого значения, а не копировать числовое значение без его заголовка.

Полезная проверка выглядит следующим образом:

\[ \begin{array}{lll} \text{длина:} & L & \text{дюйм, мм или м}\\ \text{площадь:} & A & \text{дюйм}^2\text{ или мм}^2\\ \text{осевой момент инерции:} & I_x,I_y & \text{дюйм}^4\text{ или мм}^4\\ \text{момент сопротивления:} & W_x,W_y & \text{дюйм}^3\text{ или мм}^3\\ \text{радиус инерции:} & r_x,r_y & \text{дюйм или мм}\\ \text{крутильная постоянная:} & J & \text{дюйм}^4\text{ или мм}^4\\ \text{секториальная постоянная:} & C_w & \text{дюйм}^6\text{ или мм}^6\\ \text{масса на единицу длины:} & m' & \text{lb/ft или kg/m} \end{array} \]

Точное обозначение момента сопротивления может различаться в разных источниках; $S$, $W$ и $Z$ нельзя считать взаимозаменяемыми, если источник не дает соответствующего определения. Упругий и пластический моменты сопротивления также имеют одинаковую размерность, ${\text{длина}}^3$, но являются различными характеристиками.

Степени длины в свойствах сечения

Степени непосредственно следуют из определений. Площадь является интегралом $\mathrm{dA}$, поэтому изменяется пропорционально $L^2$. Осевой момент инерции относительно центральной оси представляет собой интеграл вида

$$I_x={\int }_A{y}^2\mathrm{dA},$$

и поэтому изменяется пропорционально $L^4$. Abaqus описывает $I_{11}$ и $I_{22}$ как интегралы квадратов расстояний до координатных осей по площади поперечного сечения; его центробежный момент инерции $I_{12}$ использует произведение двух координатных расстояний. Та же размерностная логика применима к $I_{\mathrm{xy}}$ и полярному моменту инерции.

Момент сопротивления определяется как $W_x=I_x/c_x$, поэтому имеет размерность $L^3$. Радиус инерции определяется как $r_x=\sqrt{I_x/A}$, поэтому имеет размерность $L$. Крутильная постоянная Сен-Венана $J$ имеет размерность $L^4$, тогда как секториальная постоянная $C_w$ имеет размерность $L^6$. Масса на единицу длины имеет размерность массы, деленной на длину, например kg/m.

Именно поэтому ошибка при переводе длины может иметь серьезные последствия. Поскольку $1\text{дюйм}=25.4\text{мм}$,

$$1{\text{дюйм}}^4=(25.4{)}^4{\text{мм}}^4\approx 416,232{\text{мм}}^4.$$

Ошибочный линейный перевод с коэффициентом 25.4 превращается в ошибку четвертой степени — примерно в 416 000 раз — для $I$ или $J$, а для $C_w$ дает ошибку шестой степени, примерно в 268 миллионов раз. Момент сопротивления содержит третью степень, поэтому коэффициент ошибки равен ${25.4}^3$, то есть примерно 16 387. Нельзя «переводить числовое значение», оставляя обозначение единиц без изменений.

Для составного сечения перед применением формул для координат центра тяжести или теоремы о параллельных осях следует перечислить размеры всех компонентов с указанием единиц. Слагаемое $A{d}^2$ должно иметь те же единицы $L^4$, что и момент инерции компонента. Программные проверки также могут быть полезны: MDSolids, разработанная Missouri S&T, определяет положение центра тяжести, осевые моменты инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции, пластический момент сопротивления, полярный момент и главные моменты инерции, что делает ее полезным инструментом для независимого сравнения с корректно заданными размерностями.

Европейские соглашения для табличных данных

В европейских таблицах для рассчитанных свойств сечений часто используются сантиметры. Blue Book, опубликованная Steel Construction Institute, содержит площади, осевые моменты инерции, упругие и пластические моменты сопротивления, радиусы инерции, крутильные постоянные и секториальные постоянные для европейских профилей. Типичные заголовки имеют следующий вид: $A$ — в ${\text{см}}^2$, $I$ — в ${\text{см}}^4$, $W$ — в ${\text{см}}^3$, $i$ — в см, $J$ — в ${\text{см}}^4$, а $C_w$ — в ${\text{дм}}^6$. ArcelorMittal указывает, что рассчитанные европейские характеристики обычно приводятся в сантиметрах, тогда как площадь поверхности выражается в единицах, основанных на метре, а секториальная постоянная — в единицах, основанных на дециметре. Поэтому в одной таблице рядом со свойствами, заданными в сантиметрах, могут быть указаны масса в kg/m, площадь поверхности в ${\text{м}}^2/\text{м}$ и $C_w$ в ${\text{дм}}^6$.

Не следует путать EN 10365:2026 с таблицей свойств сечения. Согласно данным EVS, этот стандарт устанавливает номинальные размеры и массы горячекатаных швеллеров, двутавров и широкополочных двутавров. Blue Book рассчитывает и табулирует геометрические характеристики на основе размеров сечения. Перед использованием любого из этих источников необходимо определить точное обозначение профиля, стандарт, издание, соглашение о направлениях осей и заголовок с единицами измерения. Затем те же единицы следует повторить рядом со скопированными исходными данными и рассчитанными результатами. Проверка размерностей — это не формальная канцелярская процедура, а часть подтверждения того, что выбранное сечение и приведенная для него геометрия действительно использованы в расчете.

Пошаговый расчёт составного стального сечения

Составное сечение следует сначала рассчитывать как геометрическую фигуру, и лишь затем рассматривать как стальной элемент. Марка стали не изменяет площадь брутто, положение центра тяжести, осевые моменты инерции или упругие моменты сопротивления сечения для заданного набора размеров. Обозначения марок, такие как ASTM A992 или S355, влияют на сопротивление и расчётные проверки, но не делают одно и то же поперечное сечение геометрически больше или жёстче.

В следующем примере используется симметричное сварное двутавровое сечение, собранное из трёх прямоугольников:

• Верхняя полка: $200\times 20$ мм
• Стенка: $20\times 160$ мм
• Нижняя полка: $200\times 20$ мм
• Общая высота: $200$ мм

Размеры описывают только геометрию. Является ли сталь ASTM A992, S275, S355 или другой маркой — отдельный вопрос.

Разложение поперечного сечения

Начните с эскиза с нанесёнными размерами. Покажите общую ширину и высоту, толщину каждой пластины, начало координат и положительные направления осей. Пусть $x$ будет горизонтальной, а $y$ — вертикальной осью; начало координат расположим в нижнем левом углу общего габаритного прямоугольника. При расчёте характеристик сечения также полезно обозначить будущие центральные оси $x_c$ и $y_c$.

Разделите сечение на неперекрывающиеся прямоугольники. Для данного примера:

Стенка начинается на уровне $y=20$ и заканчивается на уровне $y=180$, поэтому её центр тяжести находится на уровне $y=100$. Общая площадь равна

$$A=\sum A_i=\mathrm{4,000}+\mathrm{3,200}+\mathrm{4,000}=\mathrm{11,200}{\text{мм}}^2.$$

Такое разбиение намеренно исключает перекрытия. Распространённая ошибка состоит в использовании общего прямоугольника $200\times 200$ с последующим вычитанием только боковых пустот без проверки того, соответствуют ли полученные области фактической сварной сборке. Для сечения с отверстием, пазом, вырезом или другим удалённым участком отсутствующую область следует представить отрицательной площадью. Её статические моменты и слагаемые моментов инерции также должны иметь отрицательные знаки.

При разложении можно использовать треугольники, круги, кольца или другие простые геометрические фигуры, если они лучше описывают форму. Круглое отверстие, например, представляется как внешний круг с положительной площадью и внутренний круг с отрицательной площадью. То же соглашение о знаках применяется ко всем последующим суммированиям.

Расчёт центра тяжести и моментов инерции

Сначала рассчитайте центр тяжести по статическим моментам:

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

Для данного сечения

$$\overline{x}=\frac{\mathrm{4,000}\left(100\right)+\mathrm{3,200}\left(100\right)+\mathrm{4,000}\left(100\right)}{\mathrm{11,200}}=100\text{мм}.$$

Поскольку верхняя и нижняя полки идентичны и расположены симметрично,

$$\overline{y}=\frac{\mathrm{4,000}\left(10\right)+\mathrm{3,200}\left(100\right)+\mathrm{4,000}\left(190\right)}{\mathrm{11,200}}=100\text{мм}.$$

Таким образом, центр тяжести находится в геометрическом центре. Не следует предполагать такой результат для несимметричного составного сечения. Его необходимо рассчитать.

Для каждого прямоугольника рассчитайте его собственные центральные моменты инерции:

\[ I_{x,i,\text{local}}=\frac{b h^3}{12}, \qquad I_{y,i,\text{local}}=\frac{h b^3}{12}. \]

Затем перенесите каждое значение на общие центральные оси с помощью теоремы о параллельных осях:

$$I_x=\sum (I_{x,i,\text{local}}+A_i{d}_{y,i}^2),$$ $$I_y=\sum (I_{y,i,\text{local}}+A_i{d}_{x,i}^2),$$

где \(d_{y,i}=y_i-\bar y\), а \(d_{x,i}=x_i-\bar x\).

Для $I_x$ расстояния от центров тяжести полок до центральной оси равны $90$ мм, а для стенки это расстояние равно нулю. Собственный момент инерции полки равен

$$\frac{200(20{)}^3}{12}=\mathrm{133,333}{\text{мм}}^4,$$

а собственный момент инерции стенки равен

$$\frac{20(160{)}^3}{12}=\mathrm{6,826,667}{\text{мм}}^4.$$

Следовательно,

$$I_x=2[\mathrm{133,333}+\mathrm{4,000}(90{)}^2]+\mathrm{6,826,667}$$ $$I_x=\mathrm{71,893,333}{\text{мм}}^4.$$

Для $I_y$ у всех составных частей \(x_i=\bar x=100\) мм, поэтому слагаемые переноса по горизонтали отсутствуют:

$$I_y=2\left[\frac{20(200{)}^3}{12}\right]+\frac{160(20{)}^3}{12}$$ $$I_y=\mathrm{26,773,333}{\text{мм}}^4.$$

Центробежный момент инерции равен

$$I_{\mathrm{xy}}=\sum (I_{\mathrm{xy},i,\text{local}}+A_i{d}_{x,i}{d}_{y,i}).$$

У каждого прямоугольника собственный центробежный момент инерции равен нулю, если его стороны параллельны осям. В данном случае $d_x=0$ для всех трёх составных частей, поэтому

$$I_{\mathrm{xy}}=0.$$

Этот результат имеет значение. Выбранные центральные оси одновременно являются главными осями для данного сечения, симметричного относительно двух осей.

Расчётное значение

Упругие моменты сопротивления сечения определяются через расстояния до наиболее удалённых волокон:

\[ S_x=\frac{I_x}{c_y}, \qquad S_y=\frac{I_y}{c_x}. \]

Наиболее удалённые волокна находятся на расстоянии $100$ мм от обеих центральных осей:

$$S_x=\frac{\mathrm{71,893,333}}{100}=\mathrm{718,933}{\text{мм}}^3,$$ $$S_y=\frac{\mathrm{26,773,333}}{100}=\mathrm{267,733}{\text{мм}}^3.$$

Это упругие моменты сопротивления сечения. Они не являются пластическими моментами сопротивления, для определения которых требуется расчёт положения пластической нейтральной оси и перераспределения площадей. Они также не совпадают с радиусами инерции:

$$r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}=\sqrt{\frac{\mathrm{71,893,333}}{\mathrm{11,200}}}=80.1\text{мм},$$ $$r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}=\sqrt{\frac{\mathrm{26,773,333}}{\mathrm{11,200}}}=48.9\text{мм}.$$

Полярный момент инерции относительно центра тяжести для этих взаимно перпендикулярных осей $x$ и $y$ равен

$$I_p=I_x+I_y=\mathrm{98,666,666}{\text{мм}}^4.$$

Это тождество не превращает $I_p$ в крутильную постоянную $J$. Для того же тонкостенного открытого двутаврового сечения предварительная оценка по Saint-Venant имеет вид

$$J\approx \sum \frac{b_i{t}_i^3}{3}.$$

С учётом двух пластин полок и стенки

$$J\approx 2\left(\frac{200(20{)}^3}{3}\right)+\frac{160(20{)}^3}{3}=\mathrm{1,493,333}{\text{мм}}^4.$$

Это значение значительно меньше $I_p$, что ожидаемо для открытого сечения. Приближение не учитывает некоторые особенности сопряжений и толщины, поэтому оно не должно заменять табличное значение по нормативному документу, проверенный расчёт тонкостенного сечения или метод определения характеристик сечения методом конечных элементов. Постоянная депланации $C_w$ требует отдельного расчёта депланации или документированного справочного значения; её нельзя получить простым переименованием $I_x$, $I_y$ или $J$.

Для стандартного прокатного профиля сопоставьте результат ручного расчёта с точным профилем и изданием, указанными в соответствующей таблице. American Institute of Steel Construction указывает, что AISC Shapes Database v16.0, опубликованная в 2023 году, содержит размеры и характеристики в американских обычных и метрических единицах, а часть 1 Steel Construction Manual, 16-е издание, является справочным разделом для стандартных размеров и геометрических характеристик. В Европе SCI P363, обычно называемый The Blue Book, содержит площадь, осевые моменты инерции, упругие и пластические моменты сопротивления, радиусы инерции, $J$ и $C_w$. EVS-EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы; сам по себе этот стандарт не заменяет таблицу характеристик сечений.

Проверка по симметрии и с помощью программного обеспечения

Проверьте симметрию, прежде чем доверять арифметическим результатам. Равные полки располагают центр тяжести на половине высоты, а одинаковая ширина слева и справа — на вертикальной оси симметрии. Поскольку сечение симметрично относительно обеих осей, $I_{\mathrm{xy}}$ должен быть равен нулю, если оси проходят через центр тяжести и совпадают с осями симметрии. Ненулевой результат указывает на ошибку в координатах составной части, перекрытие, пропущенную пластину или ошибку знака.

Затем проверьте единицы измерения. Если размеры введены в миллиметрах, площадь выражается в ${\text{мм}}^2$, осевые моменты инерции и $J$ — в ${\text{мм}}^4$, моменты сопротивления сечения — в ${\text{мм}}^3$, а радиусы — в миллиметрах. В европейских таблицах для расчётных характеристик часто используются сантиметры; в пояснительных материалах ArcelorMittal за 2024 год указаны единицы площади поверхности на основе метров и единицы для постоянных депланации на основе дециметров. Прямое сравнение без пересчёта может привести к ошибке в $10$, ${10}^2$, ${10}^3$ раз или более.

Независимую проверку можно выполнить в модуле характеристик сечения MDSolids от Missouri S&T, описание которого опубликовано в 2024 году. Введите три прямоугольника как составную фигуру общего вида либо введите внешний прямоугольник и вычтите две пустоты, если это соответствует выбранному разбиению. Сравните $A$, координаты центра тяжести, $I_x$, $I_y$, $I_{\mathrm{xy}}$, моменты сопротивления сечения, радиусы инерции и главные моменты инерции. MDSolids выдаёт эти величины для составных фигур общего вида и стандартных стальных профилей.

Abaqus даёт полезную проверку определений: в документации 2024 года $I_{11}$ и $I_{22}$ описываются как интегралы квадратов расстояний до координатных осей по площади поперечного сечения, а $I_{12}$ — как интеграл произведения координатных расстояний. Программное обеспечение может менять местами обозначения осей, использовать другое соглашение о знаке $I_{\mathrm{xy}}$ или выдавать характеристики относительно другой точки начала координат. Поэтому расхождение может указывать на неправильную ось, неучтённую отрицательную площадь, ошибку в положении центра тяжести, несоответствие единиц или другое определение — например, площадь брутто вместо нетто, упругий вместо пластического момента сопротивления или $J$ Saint-Venant вместо полярного момента инерции. Прежде чем изменять ручной расчёт, проверьте исходную геометрию и определения характеристик.

Программное обеспечение, численное интегрирование и основные свойства

Калькуляторы для сечений общего вида

Калькулятор для сечения общего вида вычисляет геометрические характеристики. Он не определяет, проходит ли стальной элемент проверку по проектным требованиям, какое предельное состояние является определяющим или подходит ли конкретная марка стали. Замена обозначения с ASTM A992 на ASTM A572 Grade 50 изменяет сопротивление материала, заданное нормами проектирования; она не изменяет площадь, положение центра тяжести, осевой момент инерции или крутильную постоянную неизменного поперечного сечения. Эти величины определяются координатами границы и геометрией областей материала.

Модуль свойств сечений MDSolids, разработанный Missouri S&T, демонстрирует диапазон характеристик, которые может выдавать калькулятор. В его документации за 2024 год для сечений общего вида и стандартных стальных профилей указаны положение центра тяжести, осевые моменты инерции, момент сопротивления сечения, радиус инерции, пластический момент сопротивления, полярный момент инерции и главные моменты инерции. Эти результаты отвечают на разные вопросы. Площадь $A$ характеризует количество материала в поперечном сечении. $I_x$ и $I_y$ характеризуют распределение этой площади относительно заданных центральных осей. Упругий момент сопротивления сечения $S=I/c$ связывает это распределение с расстоянием до наиболее удалённого волокна, тогда как пластический момент сопротивления $Z$ определяется из построения полностью пластического блока напряжений. Радиус инерции $r=\sqrt{I/A}$ является производной длиной, а не ещё одним моментом инерции.

То же предостережение относится к полярным и крутильным характеристикам. Полярный момент инерции $I_p=I_x+I_y$ описывает распределение площади относительно точки и сам по себе не является крутильной постоянной Сен-Венана $J$. Для открытых и замкнутых сечений $J$ зависит от задачи кручения и граничных условий; крутильная постоянная при стеснённом депланационном изгибе $C_w$ описывает стеснённую продольную депланацию и также имеет другие единицы измерения. Если окно программного обеспечения размещает эти значения рядом, это не означает, что они взаимозаменяемы.

Для составного сечения расчёт всё ещё можно проверить вручную. Определите площадь и координаты центра тяжести каждого компонента, найдите общий центр тяжести по статическим моментам, а затем примените теорему о параллельных осях к локальному моменту инерции каждого компонента. На занятии University of Michigan представлен этот метод, основанный на площадях компонентов. Прямоугольники, треугольники, круги и кольца служат полезными тестовыми случаями, прежде чем доверять профилю с наклонными полками, галтельными переходами, отверстиями или вырезами. Сопоставление с AISC Shapes Database v16.0, опубликованной American Institute of Steel Construction в 2023 году, следует выполнять с использованием точного обозначения профиля и соответствующего издания. AISC указывает, что база данных содержит размеры и характеристики сечений в американской традиционной и метрической системах единиц; это не даёт оснований выводить характеристики для похожего по виду сечения.

Проверка единиц измерения обязательна. Площадь может быть выражена в ${\mathrm{mm}}^2$, момент инерции — в ${\mathrm{mm}}^4$, момент сопротивления сечения — в ${\mathrm{mm}}^3$, а радиус — в миллиметрах. ArcelorMittal указывает в своих пояснительных материалах за 2024 год, что рассчитанные европейские характеристики обычно приводятся в сантиметрах, причём площадь поверхности и крутильная постоянная при стеснённой депланации выражаются соответственно в единицах, основанных на метрах и дециметрах. Blue Book, выпущенная Steel Construction Institute, содержит площадь, осевые моменты инерции, упругие и пластические моменты сопротивления, радиусы инерции, крутильные постоянные и постоянные депланации для европейских профилей. EVS-EN 10365:2026 задаёт номинальные размеры и массы горячекатаных швеллеров, двутавров и Н-образных профилей; это не тот же документ, что таблица рассчитанных характеристик сечений.

Определения сечений балки в методе конечных элементов

Программы для расчёта методом конечных элементов обычно получают характеристики сечения балки посредством численного интегрирования по дискретизированной области. В документации Abaqus, обновлённой в 2024 году, центральные характеристики определяются интегрированием квадратов координатных расстояний для $I_{11}$ и $I_{22}$, а также произведения координатных расстояний для $I_{12}$. В схематическом виде:

\[ I_{11}=\int_A y^2\,dA,\qquad I_{22}=\int_A x^2\,dA,\qquad I_{12}=\int_A xy\,dA. \]

Обозначения зависят от локальной системы координат программы. $I_{11}$ в одном решателе может соответствовать величине, обычно обозначаемой $I_y$, поэтому одного обозначения недостаточно. Необходимо проверить схему координат и соглашение о знаках.

Численное интегрирование особенно полезно для криволинейных границ, галтельных переходов прокатных профилей, перфорированных пластин, импортированных контуров CAD и сечений, составленных из множества областей материала. Программа делит область на ячейки или элементы сечения, вычисляет необходимые координаты и веса, а затем суммирует их вклады. Уточнение сетки должно приводить к сходящимся значениям центра тяжести, площади и моментов инерции. Грубая сетка может не учесть небольшое отверстие, исказить галтель или настолько сместить центр тяжести, что это повлияет на тонкостенное сечение. Визуально гладкая сетка не свидетельствует о сходимости характеристик.

Определение балки в программе конечных элементов также включает решения, которые нельзя установить только по геометрии. Проверьте, задано ли сечение как сплошное, тонкостенное, открытое или замкнутое; вычисляются ли площади сдвига или вводятся вручную; выводятся ли крутильные характеристики и характеристики депланации на основе той же дискретизации. Необходимо подтвердить назначение каждой области материала. Стальная полка, гнездо для раствора, идеализированный сварной шов, пустота, покрытие или композитная вставка должны назначаться намеренно. Если область пропущена, продублирована или ей ошибочно назначен материал в составном сечении, сообщаемые жёсткость и масса могут оказаться неверными, даже если внешний контур выглядит правильно.

Прежде всего необходимо определить основу характеристик: брутто, нетто, эффективные, упругие или пластические. Площадь брутто включает всю заданную площадь сечения. Из площади нетто могут вычитаться площади болтовых отверстий или другие вычеты. Эффективные характеристики могут учитывать правила местной потери устойчивости, тогда как упругие и пластические моменты сопротивления сечения описывают разные распределения напряжений. Решатель характеристик сечения, как правило, вычисляет заданную математическую величину; он не определяет эффективную ширину по ANSI/AISC 360-16, не классифицирует пластину по правилам Еврокода и не выполняет проверку устойчивости элемента. ANSI/AISC 360-16 рассматривает $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ и $C_w$ как величины, используемые при проектировании стальных конструкций, однако именно положения норм определяют порядок их применения.

Главные моменты инерции и повернутые оси

Если $I_{\mathrm{xy}}\ne 0$, выбранные центральные оси не являются главными осями. Поворот осей на угол $\theta$ устраняет произведение инерции при главной ориентации. Главные моменты инерции являются собственными значениями центральной матрицы инерции:

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2}.$$

Соглашение о знаке $I_{\mathrm{xy}}$ влияет на сообщаемый угол, поэтому результаты программного обеспечения необходимо интерпретировать с учётом определения осей в конкретной программе. Для двоякосимметричного двутаврового сечения обычные центральные оси симметрии уже являются главными осями, и $I_{\mathrm{xy}}=0$. Для неравнополочного уголка, швеллера, косо ориентированной пластины или асимметричного выреза обычно требуется поворот осей.

Главные характеристики не являются автоматически теми характеристиками, которые требуются для проектирования. Колонна может потерять устойчивость относительно слабой главной оси, тогда как изгиб балки задаётся относительно оси здания или элемента. Модель оболочки или балки также может иметь локальные оси сечения, повернутые относительно глобальных координат. Зафиксируйте обе системы, а затем согласованно преобразуйте силы, моменты и характеристики сечения. Перед принятием результата уточните сетку, проверьте ориентацию, проанализируйте назначения областей материала, проверьте единицы измерения и сопоставьте простые предельные случаи с MDSolids или стандартной таблицей. Программа выполняет арифметические операции. Инженер по-прежнему задаёт геометрию, выбирает основу характеристик и решает, что означают полученные числа.

Точность, округление, допуски и идентификация профиля

Значение геометрической характеристики поперечного сечения имеет смысл только при известном геометрическом определении этой характеристики. Например, значение $I_x$ зависит от формы поперечного сечения, опорной оси и системы единиц. Это не универсальная метка, относящаяся к любому двутавровому профилю. Опубликованное значение $I_x$ может описывать горячекатаный европейский профиль HEA, американский профиль W, идеализированное тонкостенное сечение или измеренный образец. Это не взаимозаменяемые описания.

Номинальные размеры и измеренные размеры

Стандартное обозначение обычно относится к номинальным размерам. EVS-EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы горячекатаных швеллеров, двутавровых и широкополочных двутавровых профилей; этот стандарт не утверждает, что каждый изготовленный профиль имеет идеально острые углы, строго постоянную толщину или размеры с неограниченной точностью. Например, номинальный HE 200 A определяется своим стандартным обозначением и рядом номинальных размеров, тогда как фактические толщины полок и стенки, высота профиля и геометрия углов зависят от производственных допусков.

Это различие объясняет, почему результат ручного расчёта может отличаться от табличного значения даже при правильной арифметике. В простом расчёте двутавровое сечение может быть представлено двумя прямоугольниками для полок и одним прямоугольником для стенки. Изготовленный профиль содержит закругления между стенкой и полками, уклоны полок или стенки, а также радиусы в углах. Удаление или добавление этих участков изменяет площадь и положение центра тяжести, что, в свою очередь, изменяет $I_x$, $I_y$, моменты сопротивления сечения и радиусы инерции. Для площади эффект часто невелик, однако для осевого момента инерции он может быть более существенным, поскольку вклад материала, расположенного далеко от центра тяжести, определяется квадратом расстояния до него.

Следует различать три вида геометрии:

1. Номинальная геометрия по стандарту: размеры, заданные стандартом профиля или таблицей характеристик сечения. 2. Измеренная геометрия проката: размеры, полученные для конкретного прокатанного элемента, включая его фактические радиусы, толщины, уклоны и отклонения. 3. Идеализированная расчётная геометрия: упрощённая модель, выбранная для ручного расчёта, конечно-элементной модели или предварительного проектирования.

Табличная характеристика обычно соответствует определённой расчётной модели, основанной на номинальных размерах и геометрии профиля, а не случайному измерению рулеткой одной балки. Если измеренная толщина полки на 1,5 мм превышает номинальное значение, соответствующие площадь и момент инерции могут отличаться от опубликованных значений. Измеренное значение не является автоматически более правильным; оно отвечает на другой вопрос.

Та же проблема относится к составным сечениям. Если две пластины моделируются как соприкасающиеся прямоугольники, расчёт может не учитывать металл сварных швов, зазоры, вырезы, отверстия под болты или соединительные пластины. Для составного сечения необходимо применять к заданной геометрии площади его элементов, статические моменты, координаты центра тяжести и теорему о параллельных осях. Полученный результат относится к этой модели и не обязательно соответствует стандартному прокатному профилю из каталога.

Программное обеспечение не устраняет необходимость определить геометрию. В документации Abaqus характеристики относительно центра тяжести определяются интегрированием по площади: $I_{11}$ и $I_{22}$ представляют собой интегралы квадратов координатных расстояний, тогда как $I_{12}$ представляет собой интеграл произведения координатных расстояний. Аналогично, MDSolids Университета науки и технологий Миссури определяет для заданных форм положение центра тяжести, осевые моменты инерции, момент сопротивления сечения, радиус инерции, пластический момент сопротивления, полярный момент и главные моменты инерции. Эти результаты точны для введённой геометрии, однако высокая точность отображения не делает неточные исходные размеры достоверными.

Округление и значащие цифры

Округление следует выполнять после расчёта, а не на каждом промежуточном этапе. Замена толщины полки 9,8 мм на 10 мм до вычисления осевого момента инерции может привести к заметной разнице, особенно если полка расположена далеко от центра тяжести. Округление окончательного результата с учётом точности, поддерживаемой исходными данными, более обоснованно, чем указание $I_x=\mathrm{12,847,391.672}{\text{мм}}^4$ при размерах, заданных только с точностью до миллиметра.

Количество значащих цифр должно отражать как точность размеров, так и цель расчёта. При проверке проектного решения может потребоваться сохранять внутри расчёта больше цифр, чем указывается в примечании на чертеже, тогда как для предварительного сравнения вполне уместно записать $I_x=1.28\times {10}^8{\text{мм}}^4$. Не следует делать вывод о точности изготовления на основании дополнительных десятичных знаков в электронной таблице.

При переводе единиц требуется особая осторожность, поскольку характеристики сечения имеют разные размерности. Площадь изменяется пропорционально квадрату единицы длины, осевые моменты инерции и постоянные кручения — четвёртой степени длины, моменты сопротивления сечения — кубу длины, а радиусы инерции — первой степени длины. Поэтому ошибка при переводе единиц для $I_x$ значительно больше обычной ошибки преобразования миллиметров в метры. В европейских таблицах расчётные характеристики часто приводятся в сантиметрах; ArcelorMittal указывает, что для площади поверхности и постоянной депланации используются соответственно единицы, основанные на метрах и дециметрах. Единицу, указанную рядом с каждым столбцом, необходимо прочитать, а не предполагать.

Округление также влияет на сравнение источников. В одной таблице значение $I_x$ может быть приведено с тремя значащими цифрами, а в другой — с шестью, хотя обе таблицы основаны на одной и той же геометрии. Перед тем как считать небольшие расхождения свидетельством ошибки, следует проверить единицы, ориентацию осей, учёт закруглений и отображаемую точность.

Контроль редакции и обозначения

Каждое значение характеристики, используемое в расчёте, должно сопровождаться пятью идентификаторами: точным обозначением профиля, применяемым стандартом, редакцией или версией базы данных, соглашением об обозначении осей и расположением таблицы или источника. Следует также указать систему единиц. Запись «W310 $I_x$» неполна; запись «W310×97, AISC Shapes Database v16.0, американская система единиц, главная центральная ось, таблица части 1» позволяет отследить источник.

Американский институт стальных конструкций указывает, что AISC Shapes Database v16.0, опубликованная в 2023 году, содержит размеры и характеристики в американской и метрической системах единиц. Часть 1 представляет собой справочный раздел 16-го издания Steel Construction Manual, содержащий табличные размеры и геометрические характеристики. ANSI/AISC 360-16 определяет такие величины, как $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ и $C_w$, однако сам стандарт не позволяет идентифицировать профиль, если его обозначение не указано.

Для европейских профилей в документе SCI P363, The Blue Book, приведены размеры и характеристики сечения, включая площадь, осевые моменты инерции, упругие и пластические моменты сопротивления сечения, радиусы инерции, постоянные кручения и постоянные депланации. Необходимо сохранять сведения о семействе профиля и его обозначении. Не следует переносить значение $I_x$ из таблицы HEA в расчёт для HEB, профиля W или другого семейства профилей только потому, что номинальная высота кажется похожей. Не следует также смешивать номинальный размер по EN 10365 с соглашением об обозначении характеристик в американской таблице без проверки исходной геометрии и осей.

Марка стали не изменяет геометрическую характеристику сечения. S275, S355, ASTM A572 Grade 50 и ASTM A992 описывают требования к материалу или изделию; изменение марки изменяет расчёты сопротивления и проверки проектных решений, но не площадь или момент инерции неизменённого сечения. Если источник показывает различия в геометрии для разных марок, они обусловлены выбранным изделием или стандартом производства, а не тем, что сталь становится геометрически прочнее.

Как характеристики сечения используются в проверках стальных конструкций

Характеристики сечения используются в расчетной проверке только после определения сечения, материала, нагрузок, закреплений и применимого стандарта. Они описывают геометрию, а не прочность. Валовая площадь $10,000{\text{мм}}^2$ остается такой же независимо от того, изготовлена ли сталь по ASTM A992 или ASTM A36; марка стали изменяет такие величины, как предел текучести $F_y$ и предел прочности при растяжении $F_u$, но не расчетные размеры поперечного сечения.

Это различие позволяет избежать распространенной ошибки: выбора численно большего значения только потому, что оно «выглядит более прочным», без проверки того, что именно представляет собой эта величина. Площадь $A$, моменты инерции площади $I_x$ и $I_y$, моменты сопротивления сечения $S_x$, $S_y$, $Z_x$ и $Z_y$, радиусы инерции $r_x$ и $r_y$, крутильная постоянная $J$ и постоянная депланации $C_w$ имеют разные единицы измерения и используются для проверки различных предельных состояний.

ANSI/AISC 360-16 определяет используемые в США обозначения характеристик сечения, включая $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ и $C_w$. Раздел AISC Part 1, Dimensions and Properties является справочным разделом 16-го издания Steel Construction Manual и содержит табличные размеры и геометрические характеристики. База данных профилей AISC Shapes Database v16.0, выпущенная American Institute of Steel Construction в 2023 году, содержит эти размеры и характеристики в американской традиционной и метрической системах единиц. Конкретное обозначение профиля и редакция базы данных по-прежнему имеют значение: W14×90 нельзя считать взаимозаменяемым с другим профилем W14, даже если их номинальная высота примерно одинакова.

Осевое сжатие и радиус инерции

При действии центральной осевой силы первой рассматриваемой геометрической величиной является валовая площадь. Среднее прямое напряжение выражается как $P/A$ с учетом применимых коэффициентов сопротивления, положений о текучести или разрушении, а также любых уменьшений, требуемых для отверстий, гибких элементов или других установленных условий. Поэтому площадь непосредственно связана с количеством материала, воспринимающего осевую силу, но не описывает распределение этого материала относительно центра тяжести.

Именно это распределение определяет устойчивость колонны. Радиус инерции равен

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}, \qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

Для длины элемента $L$ соответствующие коэффициенты гибкости обычно выражаются через $\mathrm{KL}/r_x$ и $\mathrm{KL}/r_y$, где $K$ характеризует условие приведенной длины. Меньший радиус обычно соответствует более критичной оси изгибной потери устойчивости, поскольку при одинаковой длине элемента приводит к большему коэффициенту гибкости. Двутавровое сечение может иметь значительную площадь, но оставаться уязвимым относительно своей малой оси, поскольку $r_y$ намного меньше $r_x$.

Именно поэтому площадь и радиус инерции нельзя заменять друг другом. Увеличение ширины полок может повысить $I_x$, $I_y$ или обе величины, тогда как добавление материала вблизи центра тяжести может увеличить $A$, обеспечив гораздо меньшее повышение сопротивления потере устойчивости. На сопротивление сжатию также влияют граничные условия, связи, остаточные напряжения, начальная кривизна, эксцентриситет приложения нагрузки и местная гибкость. Геометрическая характеристика является исходным параметром, но сама по себе не определяет итоговое сопротивление элемента.

Сопротивление изгибу и момент сопротивления сечения

Момент инерции площади характеризует сопротивление искривлению, то есть изгибную жесткость, а не непосредственную прочность материала. При упругом изгибе относительно оси $x$

$$\sigma =\frac{M_{x}y}{I_x},$$

где $y$ — расстояние от нейтральной оси. Упругий момент сопротивления сечения равен

$$S_x=\frac{I_x}{c_x},$$

где $c_x$ — расстояние от нейтральной оси до крайнего волокна. Соответствующее соотношение для изгибающего напряжения имеет вид $M_x/S_x$. Те же определения применимы к оси $y$.

Поскольку $I_x$ включает квадрат расстояния до оси, материал, расположенный далеко от нейтральной оси, вносит значительный вклад в изгибную жесткость и упругое сопротивление изгибу. Это объясняет эффективность двутавровых сечений: их полки размещают значительную часть площади на больших расстояниях от нейтральной оси относительно главной оси, а стенка соединяет эти полки и воспринимает поперечную силу.

При пластическом изгибе используется другая характеристика. Пластический момент сопротивления сечения $Z_x$ определяется полностью развитым распределением напряжений текучести, разделенным пластической нейтральной осью, а не расстоянием до крайнего волокна, используемым для $S_x$. Для компактного сечения, способного развивать пластическое поведение, расчетное выражение может включать $F_y{Z}_x$, тогда как выражение для упругого предела включает $F_y{S}_x$, с учетом положений применимого стандарта. $Z_x$ не заменяет $S_x$, и ни одна из этих величин не является характеристикой прочности материала.

Применимое сопротивление также зависит от гибкости полок и стенки, бокового раскрепления, длины незакрепленного участка $L_b$, положения нагрузки, закрепления концов и изгибно-крутильной потери устойчивости. Сечение с высоким $Z_x$ все же может иметь сниженное сопротивление изгибу, если его сжатая полка недостаточно раскреплена. Поэтому таблицы AISC следует использовать совместно с положениями ANSI/AISC 360-16, а не рассматривать как полный результат расчета.

В европейских таблицах используются те же физические различия, но при других правилах представления данных. Blue Book, подготовленная Steel Construction Institute, содержит площадь, моменты инерции площади, упругие и пластические моменты сопротивления, радиусы инерции, $J$ и $C_w$ для европейских профилей. EVS указывает, что EVS-EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы горячекатаных швеллеров, двутавровых и Н-образных профилей; сам по себе этот стандарт не заменяет таблицу характеристик сечения. ArcelorMittal сообщает, что расчетные характеристики европейских профилей обычно приводятся в сантиметрах, тогда как площадь поверхности и постоянная депланации используют соответственно единицы, основанные на метрах и дециметрах. Ошибки при переводе единиц могут изменить результат на несколько порядков.

Кручение, потеря устойчивости и взаимодействие

Кручение вводит характеристики, которые часто не рассматриваются в упрощенных обсуждениях работы балки. Крутильная постоянная $J$ описывает поведение при кручении Сен-Венана и в значительной степени зависит от того, является ли сечение открытым или замкнутым. Тонкостенные замкнутые сечения обычно эффективнее сопротивляются равномерному кручению, чем открытые двутавровые, швеллерные или уголковые сечения сопоставимой площади, поскольку замкнутая стенка может развивать циркулирующий поток касательных напряжений.

Постоянная депланации $C_w$ описывает сопротивление, связанное с ограничением продольной депланации. Она становится важной для открытых сечений, подвергающихся кручению, особенно когда условия закрепления концов, диафрагмы, связи или сосредоточенные нагрузки не позволяют поперечному сечению свободно депланировать. Поэтому $J$ и $C_w$ имеют различный смысл: одна величина не является универсальной заменой другой. Единицы измерения также различаются. Несогласованный перевод $C_w$, часто приводимой в единицах длины в шестой степени, может сделать расчет на кручение или изгибно-крутильную устойчивость недействительным.

Изгибно-крутильная потеря устойчивости связывает изгиб относительно главной оси с боковым перемещением и поворотом. Поведение зависит от $I_y$, $J$, $C_w$, длины незакрепленного участка, градиента изгибающих моментов, точки приложения нагрузки и закрепления концов. Балка может обладать большим моментом сопротивления относительно главной оси, но иметь ограниченное сопротивление, если ее сжатая полка свободна для бокового перемещения и сечение может закручиваться. Крутильная и изгибно-крутильная потеря устойчивости сжатых элементов аналогичным образом зависят не только от $A$, $I_x$ и $I_y$.

Совместное действие осевой силы, изгиба и кручения требует выполнения проверок взаимодействия, предусмотренных применимым расчетным стандартом. Эксцентриситет в соединении, расположение болтов или сварных швов, местная передача нагрузки, площадь среза и неразрезность элемента могут изменить внутренние усилия, используемые в этих проверках. Произведение инерции $I_{\mathrm{xy}}$ и характеристики относительно главных осей становятся существенными, когда геометрические оси не совпадают с главными осями, особенно для несимметричных уголков, швеллеров и составных элементов.

Для проверки расчетов результаты ручных вычислений на основе площадей отдельных частей, координат центра тяжести, статических моментов и теоремы о параллельных осях должны согласовываться с данными надежных таблиц или программного обеспечения. Документация Abaqus определяет $I_{11}$ и $I_{22}$ интегрированием квадратов координатных расстояний по площади, а $I_{12}$ — интегрированием произведения координатных расстояний; программа MDSolids университета Missouri S&T независимо выдает координаты центра тяжести, моменты инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции, полярный момент инерции и характеристики относительно главных осей. Такие проверки позволяют выявить перепутанные оси, неправильные единицы измерения и ошибочные размеры профиля до того, как геометрическая характеристика будет использована в расчетной проверке стальной конструкции.

Обозначение профиля, марка стали и то, чего не позволяет определить геометрия

Обозначение формы профиля и марка стали

Обозначение профиля определяет геометрию; обозначение марки стали определяет требования к материалу. Эти понятия не взаимозаменяемы. HEA 200, W14×90 или L 100 × 100 × 10 описывает прокатный профиль и его номинальные размеры. Само по себе такое обозначение не указывает предел текучести, предел прочности при растяжении, химический состав, требование к ударной вязкости или классификацию свариваемости стали.

Изменение обозначения марки стали не изменяет геометрические характеристики сечения неизменного поперечного сечения. Если один и тот же двутавровый профиль имеет одинаковые ширину полок, высоту стенки, толщину полок и толщину стенки, его полная площадь $A$, центр тяжести, $I_x$, $I_y$, упругие моменты сопротивления сечения, радиусы инерции, крутильная постоянная $J$, постоянная секториального изгиба $C_w$ и центробежный момент инерции $I_{\mathrm{xy}}$ остаются теми же геометрическими величинами. Более высокий установленный предел текучести не приводит к увеличению $I_x$ такого профиля и не увеличивает его радиус инерции.

Это различие является основополагающим, но в таблицах и меню программного обеспечения его часто упускают. Характеристика сечения рассчитывается исходя из положения и распределения материала в поперечном сечении. В документации Abaqus центральные осевые моменты инерции описываются интегрированием квадратов координатных расстояний по площади: $I_{11}$ и $I_{22}$ характеризуют эти квадраты расстояний, тогда как $I_{12}$ представляет собой интеграл произведения координатных расстояний (Abaqus Documentation, 2024). Расчёт включает геометрию, оси и единицы измерения, но не значение предела текучести.

Обозначение профиля также может быть неполным. Обозначение «200 I-section» может не содержать серию профиля, стандарт изготовления, обозначение массы, допуски и сведения о редакции стандарта. Американский W14×90 и европейский HE 360 B не идентифицируются сопоставимыми обозначениями только потому, что оба имеют двутавровую форму. Прежде чем принимать табличное значение площади или момента инерции, необходимо зафиксировать точный стандарт профиля.

Входные данные, не зависящие от геометрии и зависящие от марки стали

Размеры, номинальная масса единицы длины, полная площадь, координаты центра тяжести, осевые моменты инерции площади, моменты сопротивления сечения, радиусы инерции, полярный момент инерции, $J$, $C_w$, $I_{\mathrm{xy}}$, площади сдвига и пластический момент сопротивления являются прежде всего исходными данными описания сечения. Для однородного призматического сечения они определяются его геометрией поперечного сечения и выбранными базовыми осями. При расчёте составных сечений используются площади компонентов, статические моменты, координаты центров тяжести и теорема о параллельных осях. Для этого не требуется, чтобы сталь была S275, а не S355, или ASTM A36, а не ASTM A992/A992M.

Для массы необходимо сделать одно уточнение. Площадь поперечного сечения является геометрической величиной; масса единицы длины также зависит от плотности и от того, основано ли табличное значение на номинальных размерах. Поэтому производственные допуски, радиусы углов, закругления, отверстия, покрытия и коррозия могут приводить к различиям между номинальным расчётом и фактически измеренным элементом. Такие различия обусловлены геометрией или физическим состоянием элемента, а не свидетельствуют о том, что прочность марки стали изменила характеристику сечения.

Спецификация материала регулирует другую группу исходных данных. К ним относятся установленный предел текучести, предел прочности при растяжении, относительное удлинение или другие показатели пластичности, трещиностойкость, химический состав, состояние поставки, требования, связанные со свариваемостью, и коррозионные характеристики. Их влияние проявляется в расчётах сопротивления, проверках соединений, оценке разрушения, процедурах сварки, оценке долговечности, а также в расчётных проверках при пожаре или воздействии температуры. Они не заменяют $I_x$, $I_y$, $J$ или $C_w$.

В проекте одна и та же геометрия может использоваться с различными значениями сопротивления, если применимые спецификации материала различаются. Этот вывод должен основываться на указанной спецификации и стандарте проектирования; его не следует делать только по названию марки. Например, запись с обозначением ASTM A992/A992M необходимо проверять на соответствие требованиям этой спецификации, а запись с обозначением EN 10025-2 S355 — на соответствие применимой редакции и требованиям к продукции стандарта EN 10025-2. Обозначения «S355» или «A992» без указания регулирующего стандарта и формы изделия являются недостаточным основанием для проектного допущения.

Коррозия требует отдельного рассмотрения, поскольку со временем она может изменить геометрию. Исходное обозначение марки стали не вызывает изменения $A$ или $I_x$, однако потеря металла уменьшает толщину и может привести к уменьшению площади, жёсткости, момента сопротивления сечения и крутильных характеристик. Инженер должен моделировать сохранившееся поперечное сечение и отдельно оценивать требования к материалу и окружающей среде.

Документирование конструкционной стали

Полная проектная документация должна содержать как стандарт профиля, так и спецификацию материала. В ней следует указывать обозначение профиля, номинальные размеры или обозначение массы, стандарт и его редакцию, принятую систему осей, единицы измерения и источник характеристик сечения. Также необходимо указывать марку стали, стандарт на продукцию, редакцию спецификации и любые дополнительные требования к ударной вязкости или состоянию поставки, регулирующие проектирование.

Для работ в США American Institute of Steel Construction указывает, что AISC Shapes Database v16.0 содержит размеры и характеристики сечений в американской обычной и метрической системах единиц (AISC, 2023). Раздел AISC Part 1, Dimensions and Properties является справочным разделом Steel Construction Manual, 16th Edition, для табличных размеров и геометрических характеристик. ANSI/AISC 360-16 определяет такие величины, как $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ и $C_w$ (AISC, 2021). Эти источники предоставляют геометрические данные и определения, используемые при проектировании; спецификация материала предоставляет характеристики стали.

В европейской документации необходимо проводить такое же разграничение. Blue Book, опубликованный Steel Construction Institute, содержит расчётные характеристики, включая площадь, осевые моменты инерции, упругие и пластические моменты сопротивления сечения, радиусы инерции, крутильные постоянные и постоянные секториального изгиба (SCI, 2024). EVS-EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы горячекатаных швеллеров, двутавров и широкополочных двутавров; он не заменяет таблицу характеристик сечения или спецификацию марки материала. Необходимо также проверять единицы измерения: ArcelorMittal отмечает, что расчётные характеристики европейских профилей обычно приводятся в сантиметрах, тогда как площадь поверхности и постоянная секториального изгиба выражаются соответственно в единицах, основанных на метрах и дециметрах (ArcelorMittal, 2024).

Результаты программного обеспечения должны сохранять эту цепочку проверяемых данных. Рассчитанное значение $I_x$ имеет смысл только в том случае, если известны импортированный профиль, оси, система единиц и геометрические допущения. Добавление марки материала к той же модели изменяет исходные данные для расчёта сопротивления, но не геометрию сечения.

Распространённые ошибки и контрольный перечень

Использование неправильного второго момента площади может существенно исказить прогнозируемую потерю устойчивости или прогиб. Limited evidence

Ошибки в свойствах сечения часто возникают ещё до ввода какого-либо уравнения. На чертеже может быть показан правильный профиль, однако расчёт всё равно окажется неверным, если оси, единицы измерения, редакция стандарта или определение свойства не соответствуют проверке проектного решения. Речь идёт не о незначительном расхождении в электронной таблице: использование неправильного осевого момента инерции может изменить прогноз потери устойчивости или прогиба на порядок.

Ошибки в обозначении осей и единицах измерения

Наиболее распространённая ошибка — перестановка $I_x$ и $I_y$. Для типичного двутаврового сечения осевой момент инерции относительно сильной оси значительно больше значения относительно слабой оси. Если элемент изгибается относительно слабой оси, но введено значение для сильной оси, рассчитанные кривизна и прогиб окажутся значительно заниженными. Та же ошибка влияет на радиусы инерции, упругие и пластические моменты сопротивления сечения, а также на любой расчёт устойчивости, основанный на выбранной оси.

Обозначения осей не являются универсальными во всех таблицах или программных пакетах. Один источник может обозначать горизонтальную центральную ось как $x$, тогда как другой использует обозначение 2; программа конечно-элементного анализа может определять локальные оси 1 и 2 в соответствии с ориентацией сечения. В документации Abaqus указано, что центральные моменты $I_{11}$ и $I_{22}$ получают интегрированием квадратов координатных расстояний, тогда как $I_{12}$ получают интегрированием произведения координатных расстояний (Abaqus Documentation, 2024). Это определение необходимо сопоставить с чертежом до переноса значений.

Единицы измерения создают второй источник ошибок. Площадь в ${\mathrm{cm}}^2$, осевой момент инерции в ${\mathrm{cm}}^4$ и момент сопротивления сечения в ${\mathrm{cm}}^3$ нельзя сочетать с размерами, введёнными в миллиметрах, без пересчёта. Поскольку $1{\mathrm{cm}}^4={10}^4{\mathrm{mm}}^4$, пропущенное в электронной таблице преобразование единиц может привести к ошибке в 10 000 раз. В европейских таблицах расчётные свойства часто приводятся в сантиметрах; ArcelorMittal отмечает, что площадь поверхности и константа депланации также выражаются в единицах, основанных соответственно на метрах и дециметрах (ArcelorMittal, 2024). Проверяйте заголовок каждого столбца.

Таблица масс не является таблицей свойств. EVS-EN 10365:2026 устанавливает номинальные размеры и массы горячекатаных швеллеров, двутавровых и H-образных профилей; сама по себе она не содержит всех расчётных значений, необходимых для расчёта изгиба, кручения или устойчивости. Blue Book Института стальных конструкций содержит свойства сечений, включая $I$, упругие и пластические моменты сопротивления, радиусы инерции, $J$ и $C_w$. В Соединённых Штатах AISC Shapes Database v16.0 содержит размеры и свойства в американской и метрической системах единиц, а AISC Part 1 является справочным разделом Steel Construction Manual для табличных размеров и геометрических свойств (AISC, 2023).

Ошибочное смешение $J$, $I_p$, $I$, $S$ и $Z$

Само по себе обозначение $I$ является неполным. Оно может означать центральный момент инерции относительно заданной оси — $I_x$ или $I_y$ — либо использоваться в соответствии с программным соглашением, например в виде $I_{11}$. Осевой момент инерции имеет единицы длины в четвёртой степени и определяет жёсткость при изгибе через $\mathrm{EI}$. Это не характеристика прочности.

Полярный момент инерции площади обычно обозначают $I_p$:

$$I_p=I_x+I_y$$

если $x$ и $y$ являются взаимно перпендикулярными центральными осями. Он характеризует распределение площади относительно точки и используется в некоторых расчётах круглых валов и вращения. Как правило, он не является константой кручения.

Константа кручения $J$ описывает кручение по Сен-Венану. Для сплошного круглого сечения $J=I_p$, однако это равенство не следует распространять на двутавровые сечения, швеллеры, уголки или тонкостенные открытые сечения. Для них значения $J$ могут быть значительно меньше $I_p$. Замкнутые сечения также имеют иное поведение при кручении, поскольку поток касательных напряжений может циркулировать вокруг замкнутой ячейки. Константа депланации $C_w$, имеющая единицы длины в шестой степени, относится к неравномерному кручению и стеснённой депланации; это не другая форма $J$. ANSI/AISC 360-16 определяет и использует $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ и $C_w$ как отдельные величины, характеризующие свойства сечения (AISC, 2021).

Терминология, связанная с моментом сопротивления сечения, также часто становится источником путаницы. Упругий момент сопротивления получают из упругого осевого момента инерции, например:

$$S_x=\frac{I_x}{c_x},$$

где $c_x$ — расстояние от нейтральной оси до крайнего волокна. Пластический момент сопротивления, часто обозначаемый $Z_x$ или $W_{\mathrm{pl},x}$, основан на полностью развившемся пластическом распределении напряжений. Он не равен $S_x$, и его нельзя подставлять вместо $S_x$ только потому, что обе величины имеют единицы длины в кубе. Для симметричного прямоугольного сечения между этими значениями существует простое соотношение; для прокатных профилей с неодинаковой геометрией полок и стенки это различие имеет значение.

Отверстия, вырезы и пустоты необходимо исключать из расчёта площади. Скругления нельзя бездумно игнорировать при сопоставлении расчётной модели с таблицей прокатного профиля. Для составного сечения слагаемое, обусловленное переносом оси, имеет вид $A{d}^2$, где $d$ — перпендикулярное расстояние между центроидом компонента и общей центральной осью составного сечения. Использование общей высоты сечения, толщины полки или расстояния, измеренного от неправильной исходной оси, даёт внешне правдоподобный, но неверный результат.

Независимые проверки перед использованием в проектировании

Перед включением свойства в расчётную модель оно должно пройти более одной проверки. Сначала вычертите точное сечение, включая отверстия, скругления, пластины, добавленные сваркой элементы и ориентацию, используемую в элементе конструкции. Нанесите центральные оси и определите, являются ли они главными осями. Для оси симметрии произведение инерции должно быть равно нулю, если оси совмещены с этой осью симметрии.

Затем независимо выполните простой проверочный расчёт. Прямоугольники, треугольники, круги и кольцевые сечения позволяют проверить площадь, положение центроида, $I$, $I_p$ и момент сопротивления. Для составного сечения вычислите площади компонентов и их статические моменты, определите центроид, а затем примените теорему о параллельных осях отдельно для каждой оси. Электронная таблица и программа расчёта свойств сечения не должны использовать одни и те же скрытые исходные данные или формулу, если их применяют для независимого сопоставления. Например, ресурс MDSolids Университета науки и технологий Миссури выдаёт центроид, осевые моменты инерции, моменты сопротивления сечения, радиусы инерции, пластический момент сопротивления, полярный момент и главные моменты для типовых и стандартных стальных профилей (Missouri S&T, 2024).

Наконец, зафиксируйте точный источник, обозначение профиля, редакцию стандарта, единицы измерения, обозначения осей, а также то, относятся ли значения к брутто-, нетто-, упругим, пластическим, сен-венановским или депланационным свойствам. Обозначение, например ASTM A992 или ASTM A36, изменяет сопротивление материала и проектные проверки, но не изменяет геометрические свойства сечения с теми же размерами. Аналогично, марка S355 в соответствии с применимыми европейскими стандартами на продукцию и проектирование не приводит к появлению у геометрически идентичного сечения другого значения $I$ или $J$.

До того как результат будет использован для реального сооружения, контрольный перечень должен требовать наличия:

• размерного эскиза с указанием ориентации, отверстий, скруглений и центральных осей;
• ссылки на исходную таблицу или методику расчёта;
• применимого стандарта и его редакции, например AISC Shapes Database v16.0, 16th Edition Steel Construction Manual, SCI P363 или EVS-EN 10365:2026;
• явно указанных единиц измерения для каждого исходного и выходного параметра;
• чётко обозначенных $x$-, $y$-, главных, локальных или глобальных осей;
• независимого ручного расчёта, расчёта в программном обеспечении или сопоставления с табличными данными; и
• проверки квалифицированным инженером, если значение влияет на реальный элемент конструкции или соединение.

Источники

1. [1]American Institute of Steel Construction. AISC Shapes Database v16.0. AISC Shapes Database, 2023. https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/aisc-shapes-database-v160/
2. [2]American Institute of Steel Construction. 16th Edition Steel Construction Manual, Part 1. Steel Construction Manual, 2023. https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/