钢截面特性计算：面积、惯性矩、截面模量与扭转

钢截面特性所衡量的内容

几何特性与材料特性

钢截面特性是对横截面的一种几何描述。它根据材料相对于指定轴线的形状、尺寸和位置计算得出，并不是对钢材强度的衡量。

总横截面积 $A$ 是最简单的例子。对于矩形，$A=\mathrm{bh}$；对于空心圆，它等于外圆面积减去内圆面积。在尺寸保持不变的前提下，将截面钢级从 S275 改为 S355，并不会改变 $A$。同样的区别也适用于面积二次矩、截面模量、回转半径、扭转常数和翘曲常数。

钢级描述的是材料的性能。S275 和 S355 是欧洲标准中使用的牌号，而 ASTM A992 是美国结构钢规范中的一种钢材牌号，通常与宽翼缘型钢相关。它们的屈服强度、抗拉强度、延性、化学成分和可焊性可能不同。这些冶金特性和材料特性会影响承载力及设计验算，但不会使某一给定几何截面的特性数值变大。一个采用某一规定钢级制造的 W310×39，与采用另一钢级制造的相同 W310×39，其名义面积和惯性矩相同。

大多数计算首先通过坐标描述横截面面积。形心根据各组成部分的面积和一次矩确定：

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

对于组合截面，平行轴定理将每个组成部分的局部惯性矩转换到共同的形心轴。例如：

$$I_x=\sum (I_{x,i}+A_i{d}_{y,i}^2).$$

这种方法适用于钢板、角钢、T 形截面、箱形截面以及其他组装几何形状。密歇根大学的截面特性讲义介绍了这种组成面积法，而 Abaqus 则描述了其连续形式：$I_{11}$ 和 $I_{22}$ 对横截面面积上的坐标距离平方进行积分，$I_{12}$ 则对坐标距离的乘积进行积分。按照通常的记号，这些量分别对应于形心面积二次矩和惯性积，但具体仍取决于软件所采用的轴线约定。

必须核对轴线标号，不能想当然。在许多美国钢材表中，$x$ 是形心主轴，$y$ 是形心次轴；而其他软件可能以不同方式标记局部轴 1 和轴 2。对于一对选定的轴线，如果截面的两个主惯性矩不相等，则可能有 $I_{\mathrm{xy}}\ne 0$。旋转到主轴后，惯性积为零，因此弯曲轴之间在该坐标系中不发生耦合。对称性通常会使 $I_{\mathrm{xy}}=0$，但这只在关于对称轴或采用主轴坐标系时成立。

尺寸也存在局限。材料表可能给出名义尺寸，而轧制公差、转角半径、圆角和厚度变化会影响实际制造的形状。仅将截面标识为“工字钢”，对于设计而言并不够精确。

结构钢设计中使用的截面特性集合

主要几何量彼此相关，但用途各不相同。

面积 $A$ 的单位通常为 ${\mathrm{mm}}^2$ 或 ${\mathrm{in}}^2$，可直接用于计算平均轴向应力 $P/A$，并参与轴向受压承载力的确定。形心面积二次矩 $I_x$ 和 $I_y$ 的单位为 ${\mathrm{mm}}^4$ 或 ${\mathrm{in}}^4$，用于描述截面绕相应轴线抵抗弹性曲率的能力。它们是面积积分所得的几何量，而不是材料强度。

弹性截面模量为

\[ S_x=\frac{I_x}{c_x}, \qquad S_y=\frac{I_y}{c_y}, \]

其中，$c$ 是从相关形心轴到最外缘纤维的距离。其单位为 ${\mathrm{mm}}^3$ 或 ${\mathrm{in}}^3$。弹性弯曲应力通常表示为 $M/S$。对于工字形截面，绕强轴的截面模量可能是绕弱轴截面模量的许多倍；因此，即使面积保持不变，截面方向的改变也会改变其抗弯能力。

回转半径为

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}, \qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

其单位为长度。在柱设计中，$\mathrm{KL}/r$ 是长细比，因此 $r_x$ 和 $r_y$ 有助于确定可能发生屈曲的轴线。较大的面积并不一定意味着较大的回转半径：将面积布置在远离某一轴线的位置，比将相同面积集中在该轴线附近更能有效地增大惯性矩。

惯性积 $I_{\mathrm{xy}}$ 的单位为长度的四次方，用于描述两个非主轴之间的耦合。对于相互垂直的形心轴，面积极惯性矩为

$$I_p=I_x+I_y$$

它描述面积相对于该点的总分布情况。不应随意将其替代为扭转常数 $J$。对于圆形截面，极惯性矩与 Saint-Venant 扭转性能之间的关系尤其直接；对于轧制开口截面，$J$ 通常远小于 $I_p$，并且主要取决于壁厚的分布。

扭转常数 $J$ 衡量 Saint-Venant 扭转刚度，通常以 ${\mathrm{mm}}^4$ 或 ${\mathrm{in}}^4$ 表示。工字钢和槽钢等薄壁开口截面的 $J$ 相对较小，而闭口箱形截面通常能更有效地抵抗均匀扭转。翘曲常数 $C_w$ 通常以 ${\mathrm{mm}}^6$ 或 ${\mathrm{in}}^6$ 表示，用于描述与非均匀扭转和纵向翘曲相关的抗力。对于翼缘在扭转载荷作用下可能发生翘曲的开口截面，这一特性尤其重要。

剪切面积是另一种几何量。它的单位为面积，但通常不等于 $A$。剪切面积表示在剪切变形或抗剪计算公式中采用的有效面积，其数值取决于荷载方向和截面形式。塑性截面模量 $Z_x$ 或 $Z_y$，也称为塑性截面系数，可通过确定塑性中性轴并对发生屈服的各部分面积进行一次矩求和得到。它不同于弹性截面模量 $S$：$S$ 与最外缘纤维处的初始屈服有关，而 $Z$ 则与完全屈服的理想化横截面有关。

密苏里科技大学的 MDSolids 资源将形心位置、面积二次矩、截面模量、回转半径、塑性截面模量、极惯性矩和主惯性矩作为通用及标准钢截面的独立输出参数。这种区分是必要的。

为什么同一截面具有多个控制性特性

构件不存在一种适用于所有情况的“承载力特性”，因为不同作用会产生不同的应力和变形分布。

轴向受拉主要与面积以及适用的净面积或连接构造规定有关。轴向受压则取决于面积、材料屈服强度、无支撑长度、计算长度以及相关的较小回转半径。受弯计算使用 $I$、$S$ 或 $Z$，同时还要考虑侧向约束、局部长细比和钢级强度。剪切承载力取决于剪切面积以及承担剪力的腹板或板件。扭转则可能取决于 $J$、$C_w$、翘曲约束和荷载传入方式。不存在一个单一数值可以替代这些验算。

这也是 ANSI/AISC 360-16 将 $I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$ 和 $C_w$ 定义并作为不同截面特性使用的原因。AISC 第 1 部分“尺寸与特性”是《2023 钢结构设计手册》中用于查阅表列尺寸和几何特性的参考部分，AISC Shapes Database v16.0 则以美国惯用单位和公制单位提供这些数据。钢结构研究院的 2024 Blue Book 同样列出了欧洲截面的面积、面积二次矩、弹性和塑性截面模量、回转半径、扭转常数以及翘曲常数。

参考资料必须与截面型号和版本相匹配。EVS-EN 10365:2026 规定了热轧槽钢、工字钢和 H 型钢的名义尺寸及质量；它不能替代截面特性表。Blue Book 提供计算得到的几何特性。ArcelorMittal 指出，欧洲计算所得的特性通常以厘米为单位，而表面积和翘曲常数分别采用以米和分米为基础的单位。单位换算错误可能会掩盖正确公式本身的有效性。

应将表列数值与手算结果或截面特性程序进行核对，尤其是对于组合截面、开孔截面、变截面或组合截面。四舍五入可能影响临界结果，而软件中的轴线标号也可能导致强轴和弱轴特性被颠倒。因此，正确的问题并不是“该截面的强度是多少？”而是：哪一种几何特性对应于所考虑的作用，适用哪条轴线和哪些单位，以及由哪一种材料和设计标准提供承载力计算规则？

坐标系、形心与参考轴

截面属性只有在明确其参考轴之后才具有完整意义。“工字截面的惯性矩”这一说法并不完整：该数值可能指 $I_x$、$I_y$、主惯性矩，或软件中的 $I_{11}$ 等量。同一截面相对于一条轴的面积二次矩可能很大，而相对于另一条轴的数值则小得多。因此，在组合尺寸或将表格中的数值复制到设计计算中之前，必须先确定坐标。

对于平面截面，在图形所在平面内取两条相互垂直的坐标轴，通常称为 $x$ 轴和 $y$ 轴。面积中的一点坐标为 $(x,y)$，微元面积为 $\mathrm{dA}$。总面积为

$$A={\int }_A\mathrm{dA}.$$

面积的一次矩用于确定形心：

\[ \bar{x}=\frac{1}{A}\int_A x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\int_A y\,dA. \]

这些方程表明，形心是所有坐标按面积加权后的平均值。在距离相同的情况下，较大的组成部分比​​较小的组成部分贡献更大。这些方程还说明，形心通常并不是外包矩形的几何中心。槽形截面、角形截面、T形截面或不对称组合截面的形心，可能明显偏离其总高度和总宽度的表观中点。

形心坐标

已知 $(\overline{x},\overline{y})$ 后，定义形心坐标

\[ x'=x-\bar{x},\qquad y'=y-\bar{y}. \]

形心轴通过形心，因此其面积一次矩为零：

\[ \int_A x'\,dA=0,\qquad \int_A y'\,dA=0. \]

这种平移并非仅仅是形式上的处理。形心面积二次矩为

\[ I_x=\int_A y'^2\,dA,\qquad I_y=\int_A x'^2\,dA, \]

惯性积为

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_{A}x\prime y\prime \mathrm{dA}.$$

这里采用的下标约定遵循美国常用的结构工程记号：$I_x$ 表示到 $x$ 轴的距离平方的积分，$I_y$ 表示到 $y$ 轴的距离平方的积分。因此，$I_x$ 使用 $y^2$ 计算，而不是使用 $x^2$。这一差异经常导致电子表格中的数值被对调。

对于组合截面，应先分别计算每个组成部分的面积和形心，然后再进行组合。密歇根大学关于面积属性的讲义采用了这种组成部分法，并结合面积一次矩和轴平行定理进行说明。例如，

$$I_x={\sum }_i(I_{x,i,c}+A_i{d}_{y,i}^2),$$

其中，$I_{x,i,c}$ 是组成部分自身的形心面积二次矩，$d_{y,i}$ 是该组成部分形心到组合截面形心 $x$ 轴的竖直距离。关于 $y$ 轴的相应表达式同样适用。孔洞按负面积处理。因此，矩形、三角形、圆形或空心圆形都可以直接计算，然后组合成更复杂的钢截面。

单位可以揭示物理量的类型。面积的单位是长度的平方，而 $I_x$、$I_y$ 和 $I_{\mathrm{xy}}$ 的单位是长度的四次方。截面模量的单位是长度的立方，回转半径的单位是长度：

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}},\qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

这些量并不是惯性矩的不同名称。它们回答的是不同问题，不能仅仅因为它们描述的是同一截面，就相互替代。

Abaqus 使用了一套相关但并不完全相同的标记系统。其梁截面文档规定，形心截面属性通过对坐标距离的平方进行积分来定义 $I_{11}$ 和 $I_{22}$，而 $I_{12}$ 则对坐标距离的乘积进行积分。只有在将 Abaqus 的局部 1–2 轴映射到工程中的 $x$–$y$ 轴之后，所得数值才能与通常所说的 $I_x$、$I_y$ 或 $I_{\mathrm{xy}}$ 对应。绝不要假定字母后的数字就是美国轴名称。应检查软件对局部坐标轴的定义及其符号约定。

强轴与弱轴

强轴是与较大主面积二次矩对应的形心轴；弱轴则对应较小的主值。对于腹板和翼缘均与坐标轴对齐的双轴对称工字截面，这些轴通常与几何水平形心轴和竖直形心轴重合。如果截面高度相对于翼缘宽度较大，则与强方向弯曲对应的轴具有较大的惯性矩。不过，术语仍必须与明确的轴联系起来，因为当图纸发生旋转时，“强轴”可能被误读。

这一差异会直接影响设计。弹性弯曲应力使用基于所选轴的截面模量：

\[ S_x=\frac{I_x}{c_x},\qquad S_y=\frac{I_y}{c_y}, \]

其中，$c$ 是从该轴到相关最外缘纤维的最大距离。屈曲计算使用相应的回转半径。不能仅仅因为 $r_x$ 和 $r_y$ 都列在同一种钢材截面旁边，就用表中的 $r_y$ 替代 $r_x$。[1][1] AISC Shapes Database v16.0. American Institute of Steel Construction. AISC Shapes Database, 2023.

美国钢结构学会在《钢结构设计手册》第1部分和 AISC Shapes Database v16.0 中列出了这些量。2023 年的 AISC 说明指出，该数据库以美国习惯单位和公制单位提供尺寸及截面属性。ANSI/AISC 360-16 对 $I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$ 和 $C_w$ 等量进行了定义。这些参考资料能够明确数值的含义，但工程师仍必须确认截面规格、版本、单位及轴的方向。

欧洲表格采用自身的编排惯例。钢结构研究所的 2024 Blue Book 列出了面积、面积二次矩、截面模量、回转半径、扭转常数和翘曲常数。EVS-EN 10365:2026 规定了热轧槽钢、工字钢和 H 型钢的公称尺寸及质量；它本身不能替代截面属性表。ArcelorMittal 表示，欧洲计算得到的截面属性通常采用厘米表示，其中表面积和翘曲常数分别使用以米和分米为基础的单位。将这些数值与 AISC 表格进行比较之前，必须先完成单位换算。

对称性与主轴

关于对称轴，质心惯性积为零。 Strong evidence

对称性提供了一种有力的校核方法。如果面积关于 $x$ 轴对称，则位于 $+y$ 处的每个微元都会有一个位于 $-y$ 处的对应微元，因此 ${\int }_A\mathrm{xy}\mathrm{dA}$ 中成对微元的贡献相互抵消。因此，关于该轴有 $I_{\mathrm{xy}}=0$。关于 $y$ 轴对称时也可得到相同结果。具有两条相互垂直对称轴的截面，关于其两条形心轴的惯性积均为零。

主轴主轴 通过旋转获得的质心轴；旋转后惯性积为零，且弯曲性质相互解耦。

不对称截面通常不具备这一便利条件。其形心 $x$ 轴和 $y$ 轴可能产生非零的 $I_{\mathrm{xy}}$，这意味着关于一条轴的弯曲在几何上可能与关于另一条轴的弯曲耦合。主轴是经过旋转后的形心轴，在这些轴上惯性积为零。主面积二次矩为

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2},$$

主轴角度满足

$$\tan 2\theta =\frac{2I_{\mathrm{xy}}}{I_x-I_y},$$

但具体结果取决于所采用的符号约定。较大值是主强轴方向的主惯性矩，较小值是主弱轴方向的主惯性矩。

对于角形截面、槽形截面、偏心板和不规则组合截面，主轴计算可能是必要的，而不是可有可无的步骤。例如，MDSolids 会针对一般形状和标准形状报告形心位置、面积二次矩、主惯性矩及相关属性。软件输出只能作为校核，不能成为忽略坐标的理由。应确认形心，复核一个简单的组成部分计算，检查轴的旋转，并确定所报告的 $I_{12}$ 是否采用与手算相同的符号约定。几何形状决定这些属性；对于形状不变的截面，将材料牌号从 ASTM A36 改为 ASTM A572 Grade 50 会改变材料抗力，但不会改变形心或主轴。

面积与面积的一次矩

毛截面面积

截面面积 $A$ 是一个几何量。它描述的是该截面所占据的平面面积大小，而不是钢材的强度。对于连续形状，

$$A={\int }_A\mathrm{dA}$$

其中，$\mathrm{dA}$ 是截面的无穷小面积元素。对于划分为若干简单部分的截面，同一量可通过求和计算：

$$A={\sum }_{i=1}^n{A}_i$$

对于矩形，$A=\mathrm{bh}$；对于三角形，$A=\mathrm{bh}/2$；对于圆形，$A=\pi d^2/4$；对于空心圆，

$$A=\frac{\pi }{4}(D^2-d^2)$$

其中，$D$ 为外径，$d$ 为内径。这些公式实际上已经完成了对常见形状的积分。

孔洞取负面积。因此，若矩形板的尺寸描述的是去除圆孔之前的材料边界，则带有圆形开口的矩形板为

$$A_{\text{gross}}=\mathrm{bt}-\frac{\pi d^2}{4}$$

负面积约定并不是采用了不同数学原理的简便方法；它是从积分中减去该区域的带符号表达形式。

术语毛面积需要谨慎理解。在截面特性表中，它通常指钢材截面的完整名义截面面积，包括因孔洞、槽口、切口或其他连接细节而在后续被排除的材料。净面积可以根据设计规则扣除孔洞，而有效面积还可能进一步考虑局部屈曲、剪力滞后或其他规范规定。这些后续设计面积不能与几何毛截面面积互换使用。ANSI/AISC 360-16 对截面特性和设计规定作了区分，适用的净面积或有效面积定义必须依据相关极限状态计算确定。

尺寸、公差和舍入都会影响结果。标准中的名义 H 型截面尺寸不一定等于每根轧制构件的实际测量尺寸。EVS-EN 10365:2026 规定了热轧槽钢、工字钢和 H 型钢的名义尺寸及质量；但它并不取代截面特性表。相比之下，Steel Construction Institute 的 Blue Book 提供了欧洲型钢的面积、截面二次矩等计算特性。American Institute of Steel Construction 于 2023 年发布的 AISC Shapes Database v16.0，则以美国惯用单位制和公制单位提供尺寸及截面特性。

钢材牌号不会改变这种几何关系。标注为 ASTM A992 W 型钢的截面，与采用另一牌号标注但几何形状完全相同的截面，具有相同的计算面积。牌号影响承载力、屈服强度和设计验算，而不影响对 $\mathrm{dA}$ 的积分。在适用的产品标准和材料标准下采用欧洲牌号时，同样适用这一划分。

面积的一次矩与形心位置

关于某一轴的面积一次矩，是坐标与微分面积乘积的面积积分：

\[ Q_x=\int_A y\,dA,\qquad Q_y=\int_A x\,dA \]

这里，$y$ 从 $x$ 轴量起，$x$ 从 $y$ 轴量起。$Q_x$ 的单位是长度的三次方，例如 ${\text{mm}}^3$ 或 ${\text{in}}^3$。它不同于截面二次矩 $I$，后者的单位是长度的四次方。

形心坐标可直接由下式得到：

$$\overline{x}=\frac{1}{A}{\int }_{A}x\mathrm{dA}=\frac{\sum A_i{x}_i}{\sum A_i}$$ $$\overline{y}=\frac{1}{A}{\int }_{A}y\mathrm{dA}=\frac{\sum A_i{y}_i}{\sum A_i}$$

这就是 University of Michigan 截面特性课程讲授的分块面积法。每个组成部分的贡献等于其面积乘以自身形心的坐标。远离参考轴的大面积部分，比靠近参考轴的小面积部分具有更大的影响。

计算前应先确定坐标轴和正负号。通常约定向右的 $x$ 和向上的 $y$ 为正。位于 $x$ 轴下方的组成部分具有负的 $y_i$，因此对 $\sum A_i{y}_i$ 产生负贡献。孔洞的 $A_i$ 为负，因此当其坐标为正时，其面积一次矩贡献也为负。如果改变参考原点，各个一次矩会发生变化，但最终的形心不会改变。

对于对称截面，形心位于每一条对称轴上。因此，双对称工字截面的形心位于腹板和翼缘对称轴的交点。对称性是有用的校核手段；但当钢板、开口、焊接附件或偏心加劲件破坏对称性时，不能因此省略计算。

同一个 $Q$ 符号也出现在横向剪切公式中，但必须说明所选取的面积和坐标轴。对于梁，

$$\tau =\frac{\mathrm{VQ}}{\mathrm{Ib}}$$

其中，$Q$ 是剪应力计算点一侧的部分面积关于中性轴的面积一次矩；$I$ 是整个截面关于该轴的截面二次矩；$b$ 是抵抗剪流的局部宽度或厚度。这里的 $Q$ 并不自动等于整个截面关于任意基准轴的面积一次矩。对于整个截面关于其形心轴的面积一次矩，该值为零。

组合截面的分块面积表

对于分解后的截面，采用表格可以使计算过程便于审核。至少应列出每个组成部分的带符号面积、形心坐标以及面积一次矩贡献：

然后计算：

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} \]

整个表格应始终采用同一坐标系和同一单位制。将毫米与米混用，可能会使面积一次矩产生 ${10}^3$ 倍的换算误差，使截面二次矩产生 ${10}^6$ 倍的换算误差。

对于组合截面，在应用平行轴定理计算 $I_x$ 和 $I_y$ 之前，该表格先确定截面形心。它还提供了直接的校核方法：完整截面关于所计算形心的代数面积一次矩必须为零。Missouri S&T 的 MDSolids 等软件可以计算一般钢截面和标准钢截面的形心位置及相关特性，但独立编制的分块面积表仍然是有效的验证手段。

表格中的数值必须与确切的型材、坐标轴约定、版本和单位相匹配。AISC Part 1 是 Steel Construction Manual 中关于美国标准尺寸和几何特性的参考部分。欧洲表格可能以厘米为单位报告计算特性；ArcelorMittal 说明，表面积和翘曲常数分别采用以米和分米为基础的单位。因此，面积和面积一次矩必须标明单位，不能只给出不带单位的数字。

面积二次矩：$I_x$、$I_y$ 和 $I_{\mathrm{xy}}$

面积二次矩描述截面面积相对于指定轴线的分布情况。它们是几何性质，而不是材料强度值。将结构钢从 ASTM A36 更换为 ASTM A572 Grade 50，会改变承载力验算和设计强度，但只要截面尺寸保持不变，就不会改变 $I_x$、$I_y$ 或 $I_{\mathrm{xy}}$。

必须仔细读取轴线标记。按照通常的约定，$I_x$ 表示面积相对于 $x$ 轴的分布，因此平方距离采用 $y$ 坐标。同样，$I_y$ 表示面积相对于 $y$ 轴的分布，并采用平方的 $x$ 坐标。一些软件和标准使用 $I_{11}$ 和 $I_{22}$ 等编号轴线，因此在比较数值之前，必须确认所采用的坐标约定。Abaqus 文档规定，形心性质通过对 $I_{11}$ 和 $I_{22}$ 的坐标距离平方进行积分来定义，而 $I_{12}$ 则通过对坐标距离的乘积进行积分来定义（Abaqus，2024 年）。

积分定义

对于截面面积 $A$，若坐标从选定原点测量，则有

$$I_x={\int }_A{y}^2\mathrm{dA}$$ $$I_y={\int }_A{x}^2\mathrm{dA}$$

以及

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_A\mathrm{xy}\mathrm{dA}.$$

前两个量是面积二次矩，其单位为长度的四次方，例如 ${\text{mm}}^4$、${\text{cm}}^4$ 或 ${\text{in}}^4$。惯性积的单位相同。

平方距离是关键所在。一个距 $x$ 轴为 $y$ 的微小面积元素，其贡献为 $y^2\mathrm{dA}$，而不仅仅是 $\mathrm{ydA}$。如果两个面积相等的元素中，一个距轴线的距离是另一个的两倍，那么它对 $I_x$ 的贡献就是后者的四倍。靠近中性轴的材料贡献很小；布置在远离中性轴位置的材料贡献则大得多。这就是为什么工字截面的翼缘对强轴弯曲刚度有很大贡献，而腹板对弱轴性质的贡献比例会大于仅根据其面积所作的判断。

对于宽度为 $b$、且平行于 $x$ 轴，深度为 $h$、且平行于 $y$ 轴的矩形，若形心轴通过其中心，则

\[ I_x=\frac{bh^3}{12}, \qquad I_y=\frac{hb^3}{12}. \]

尺寸的三次方关系解释了为什么旋转矩形截面会显著改变弯曲刚度。对于宽度相同的矩形，深度为 $200\text{mm}$ 的截面，其 $I_x$ 远大于深度为 $100\text{mm}$ 的截面，尽管前者的面积仅为后者的两倍。

对于三角形，平行于底边的形心面积二次矩为

$$I_x=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{36},$$

其中 $b$ 为底边，$h$ 为垂直高度。半径为 $r$ 的圆，关于任一形心直径都有

$$I_x=I_y=\frac{\pi r^4}{4}.$$

对于空心圆，应将外部和内部部分的贡献相减：

$$I_x=I_y=\frac{\pi }{4}(r_o^4-r_i^4).$$

这些公式可用于核对截面性质软件和数据表；它们不能与极惯性矩、扭转常数或截面模量混用。

平行轴定理

复合截面的手算通常从将截面划分为若干简单组成部分开始。对于每个组成部分，应确定其面积 $A_i$、形心坐标 $(x_i,y_i)$，以及其形心面积二次矩 $I_{x,i,c}$ 和 $I_{y,i,c}$。面积一次矩用于确定整体形心：

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

确定复合截面的形心后，可利用平行轴定理，将每个组成部分的性质转移到复合截面轴线上：

$$I_x=\sum (I_{x,i,c}+A_i(y_i-\overline{y}{)}^2),$$ $$I_y=\sum (I_{y,i,c}+A_i(x_i-\overline{x}{)}^2).$$

对于惯性积，

$$I_{\mathrm{xy}}=\sum (I_{\mathrm{xy},i,c}+A_i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}\left)\right).$$

转移项的重要性通常超过各组成部分自身的形心值。某个翼缘关于自身轴线的惯性矩可能并不大，但它与整体形心之间的距离会产生较大的 $A_i{d}^2$ 贡献。

考虑一个对称 T 形截面，由 $200\text{mm}\times 20\text{mm}$ 的翼缘和 $20\text{mm}\times 180\text{mm}$ 的腹板组成，腹板位于翼缘下方的中心位置。翼缘面积为 $4,000{\text{mm}}^2$，腹板面积为 $3,600{\text{mm}}^2$。以腹板底部为基准向上测量时，两者的形心分别位于 $y_f=190\text{mm}$ 和 $y_w=90\text{mm}$。因此，

$$\overline{y}=\frac{4,000\left(190\right)+3,600\left(90\right)}{7,600}=142.63\text{mm}.$$

对于翼缘，

$$I_{x,f,c}=\frac{200(20{)}^3}{12}=133,333{\text{mm}}^4,$$

对于腹板，

$$I_{x,w,c}=\frac{20(180{)}^3}{12}=9,720,000{\text{mm}}^4.$$

转移后的截面性质约为

$$I_x=133,333+4,000(47.37{)}^2+9,720,000+3,600(52.63{)}^2,$$

从而得到

$$I_x\approx 31.2\times {10}^6{\text{mm}}^4.$$

腹板自身的深度贡献了结果中的很大一部分，而翼缘的偏置仍然增加了相当大的项。忽略平行轴项会低估截面性质。

对于孔洞，同样适用该方法，但应采用负面积和负的组成部分性质。这就是可以通过外部矩形减去内部矩形来计算矩形空心截面的原因，前提是内部尺寸和轴线位置定义正确。

惯性积与旋转轴

惯性积反映面积是否分布在成对的正坐标区域或负坐标区域内。在形心坐标系中，第一象限内的面积元素具有正的 $\mathrm{xy}$；第二象限内的面积元素具有负的 $\mathrm{xy}$。方向相反的贡献可能相互抵消。

当截面具有与 $x$ 轴或 $y$ 轴重合的对称轴，且原点位于形心时，$I_{\mathrm{xy}}$ 为零。关于 $x$ 轴反射会使 $y$ 变为 $-y$，从而改变 $\mathrm{xy}$ 的符号，因此对称位置的成对面积元素会相互抵消。关于 $y$ 轴对称时同样如此。因此，矩形、圆形、工字截面以及中心对称的空心截面，关于其通常的形心对称轴都有 $I_{\mathrm{xy}}=0$。

角钢截面、槽形截面、T 形截面或非对称组合截面通常只有一条对称轴，或者完全没有对称轴。关于任意形心轴线，其惯性积可能不为零。即使截面具有一条对称轴，只有在所选的一条轴线沿该对称轴、另一条轴线与其垂直时，才有 $I_{\mathrm{xy}}=0$。

旋转轴线时，三个量按照下式变化：

$$I_{x\prime }=\frac{I_x+I_y}{2}+\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta -I_{\mathrm{xy}}\sin 2\theta ,$$ $$I_{y\prime }=\frac{I_x+I_y}{2}-\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta +I_{\mathrm{xy}}\sin 2\theta ,$$ $$I_{x\prime y\prime }=\frac{I_x-I_y}{2}\sin 2\theta +I_{\mathrm{xy}}\cos 2\theta .$$

符号取决于所采用的轴线和旋转约定；在整个计算过程中必须保持约定一致。主轴是使 $I_{x\prime y\prime }=0$ 的轴线方向。相应的主惯性矩为

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2}.$$

对于双对称工字截面，通常所说的强轴和弱轴已经是主轴。对于槽形截面或角钢截面，形心几何轴线可能不是主轴，绕其中一条轴线弯曲时，可能产生与另一条轴线相关的曲率或应力效应。非对称组合截面也必须采用相同的处理方法；未经对称性检查就假定 $I_{\mathrm{xy}}=0$，可能导致错误的弯曲响应。

美国钢结构协会于 2023 年发布的 AISC Shapes Database v16.0 提供以美国惯用单位制和公制单位表示的尺寸与性质，而 AISC Part 1 提供表列尺寸和几何性质。Steel Construction Institute 的 2024 Blue Book 提供欧洲截面性质，包括适用情况下的面积二次矩和主轴信息。EVS-EN 10365:2026 规定的是名义尺寸和质量，并不包括所有计算性质。单位约定也存在差异：ArcelorMittal 声明，欧洲计算性质通常以厘米为单位报告，而表面积和翘曲常数则采用基于米和分米的单位。只有在确认具体截面型号、轴线、单位和标准版本之后，从数据表中抄录的数值才具有实际参考价值。

基本几何形状的手算

手算应从边界和坐标系开始，而不是从钢材牌号开始。令 $x$ 和 $y$ 定位截面内的点，原点起初可以选在任意方便的参考位置。截面总面积为

$$A={\int }_A\mathrm{dA}$$

形心由一次面积矩确定：

\[ \bar{x}=\frac{1}{A}\int_A x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\int_A y\,dA \]

确定形心后，关于形心轴的二次面积矩为

\[ I_x=\int_A (y-\bar{y})^2dA,\qquad I_y=\int_A (x-\bar{x})^2dA \]

惯性积为

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_A(x-\overline{x})(y-\overline{y})\mathrm{dA}$$

这与 Abaqus 的约定一致：I11 和 I22 对坐标距离的平方进行积分，而 I12 对坐标距离的乘积进行积分。不同参考资料中的下标标注可能有所不同，因此在使用表格数据之前，必须先确认坐标轴的定义。

矩形和三角形截面

对于宽度为 $b$ 的矩形，$b$ 平行于 $x$ 轴；深度为 $h$，且 $h$ 平行于 $y$ 轴，则

$$A=\mathrm{bh}$$

如果矩形关于两条坐标轴均对称，则其形心位于几何中心，并且根据对称性有 $I_{\mathrm{xy}}=0$。关于形心轴的二次面积矩为

\[ I_x=\frac{bh^3}{12},\qquad I_y=\frac{hb^3}{12} \]

两个尺寸在公式中的作用并不相同。增加 $h$ 会使 $I_x$ 按三次方增加，而增加 $b$ 只会使其线性增加。对于 $I_y$，情况正好相反。这就是为什么将材料布置在远离轴线的位置，对弯曲刚度的影响可能远大于在靠近该轴线的位置增加相同面积的材料。

对于以下边缘作为参考轴的矩形，其形心位于

$$\overline{y}=\frac{h}{2}$$

关于该边缘的二次面积矩为

$$I_{x,\text{edge}}=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{3}$$

利用平行轴定理，可得到关于形心轴的结果：

$$I_{x,\text{edge}}=I_{x,\text{centroid}}+A(\frac{h}{2}{)}^2$$

混淆这两个数值是手算中常见的错误。

对于三角形，令 $b$ 为底边长度，$h$ 为垂直高度。其面积为

$$A=\frac{\mathrm{bh}}{2}$$

形心位于距底边三分之一高度处，或位于距顶点三分之二高度处。对于一条经过形心且平行于底边的轴，

$$I_x=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{36}$$

关于底边本身，

$$I_{x,\text{base}}=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{12}$$

同样，平行轴定理连接了这两个数值。形心轴的 $I_y$ 取决于三角形的水平几何形状。对于对称轴竖直的等腰三角形，

$$I_y=\frac{b^{3}h}{48}$$

并且关于形心水平轴和竖直轴，根据对称性有 $I_{\mathrm{xy}}=0$。一般而言，关于这些轴，不等边三角形具有非零惯性积，因此其主轴会发生旋转。

量纲检查可以立即发现许多错误。面积的单位为 $L^2$，一次面积矩的单位为 $L^3$，二次面积矩的单位为 $L^4$。因此，${\mathrm{bh}}^3$ 在量纲上适用于二次面积矩，而 ${\mathrm{bh}}^2$ 则不适用。如果所有长度均按比例因子 $k$ 进行缩放，则面积变为原来的 $k^2$ 倍，形心坐标变为原来的 $k$ 倍，二次面积矩变为原来的 $k^4$ 倍。

圆形和空心圆形截面

对于半径为 $r$ 或直径为 $d=2r$ 的实心圆，

$$A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}$$

每一条经过形心的直径都是对称轴。因此，

$$I_x=I_y=\frac{\pi r^4}{4}=\frac{\pi d^4}{64}$$

并且

$$I_{\mathrm{xy}}=0$$

关于形心的极二次面积矩为

$$J_p=I_x+I_y=\frac{\pi r^4}{2}=\frac{\pi d^4}{32}$$

对于所有截面而言，这个极二次面积矩并不自动等同于用于梁扭转的 Saint-Venant 扭转常数 $J$。对于圆形截面，实心圆的扭转常数等于极二次面积矩；但不能将这一等同性用于开口工字形截面或槽形截面。

对于外半径为 $r_o$、内半径为 $r_i$ 的空心圆，

$$A=\pi (r_o^2-r_i^2)$$

形心仍位于共同的圆心处，并且

$$I_x=I_y=\frac{\pi }{4}(r_o^4-r_i^4)$$

极二次面积矩为

$$J_p=\frac{\pi }{2}(r_o^4-r_i^4)$$

采用外径 $d_o$ 和内径 $d_i$ 时，也可以将相同公式写为：

\[ A=\frac{\pi}{4}(d_o^2-d_i^2),\qquad I_x=I_y=\frac{\pi}{64}(d_o^4-d_i^4) \]

这里的相减表示从几何截面中去除空腔，而不是对实心截面的近似。它还提供了有用的极限检查。当 $r_i=0$ 时，空心圆公式应退化为实心圆公式。当 $r_i$ 接近 $r_o$ 时，面积和二次面积矩应趋近于零。薄壁截面可以保留具有实际意义的围合面积，但其弯曲和扭转性能会强烈依赖于壁厚，因此不能用具有相同外径的实心圆来替代。

将简单形状组合成钢材截面

组合截面的计算通过增加材料并扣除空腔来完成。将截面划分为矩形、三角形、圆形或其他已知其几何性质的形状。对于每个组成部分 $i$，记录其带符号面积 $A_i$、形心坐标 $(x_i,y_i)$，以及关于自身形心轴的几何性质 $I_{x,i}$、$I_{y,i}$ 和 $I_{\mathrm{xy},i}$。对于切除部分，面积取负值。

组合截面的形心为

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} \]

然后应用平行轴定理：

$$I_x=\sum [I_{x,i}+A_i(y_i-\overline{y}{)}^2]$$ $$I_y=\sum [I_{y,i}+A_i(x_i-\overline{x}{)}^2]$$ $$I_{\mathrm{xy}}=\sum [I_{\mathrm{xy},i}+A_i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}\left)\right]$$

空腔对所有基于面积的项均产生负贡献。例如，只要外矩形和内矩形采用正确的共同参考轴，矩形管就可以按外矩形减去内矩形进行计算。工字形截面可以由一个腹板矩形和两个翼缘矩形组成，并通过平行轴项计入各部分相对于整体形心的偏移量。槽形截面也可以采用类似方法组合，但其形心通常不同时位于两条几何轴上。

对称性是非常有力的检查手段。关于 $x$ 轴对称的截面，在以该轴为参考时必须满足 $\overline{y}=0$，并且其形心轴惯性积为零。双轴对称的工字形截面，其主轴应与形心轴重合。如果对这种截面计算出非零惯性积，则说明组成部分的坐标、符号或轴线标注存在错误。

最终结果还应通过极限检查：去除一个组成部分后，面积必须减小；将材料移至远离某条轴线的位置后，相应的二次面积矩应增大；当空腔尺寸趋近于零时，其影响应消失。整个计算过程中应使用统一的单位制。长度采用毫米时，$A$ 的单位为 ${\mathrm{mm}}^2$，$I$ 的单位为 ${\mathrm{mm}}^4$；将结果换算为米制单位时，面积应除以 ${10}^6$，二次面积矩应除以 ${10}^{12}$。正如 ArcelorMittal 所说明的，欧洲表格通常以厘米为单位报告计算得到的截面性质，而表面积和翘曲常数则采用基于米和分米的单位。

手算结果应作为对精确截面表的校核，而不是替代表格数据。AISC Shapes Database v16.0 和 AISC Part 1 提供美国型钢的尺寸和几何性质；SCI P363，即《蓝皮书》，提供欧洲型钢截面性质。EVS-EN 10365:2026 规定的是名义尺寸和质量，并不包括每一项派生性质。钢板厚度公差、圆角、转角半径和取整方式都可能改变计算结果。在将手工建立的理想化截面与已发布的钢材截面进行比较之前，应确认确切的牌号和版本。

截面模量、回转半径与极惯性性质

截面模量、回转半径和极惯性性质均源自同一截面几何形状，但它们所回答的工程问题不同。它们都不是材料强度值。当实际截面尺寸保持不变时，将 ASTM A36 钢更换为 ASTM A992 钢，并不会改变 $I_x$、$S_x$、$r_x$ 或 $J$；钢材牌号改变的是承载能力、在相关情况下通过材料弹性模量进行的刚度验算，以及许用强度或设计强度。几何性质仍由截面形状决定。

从表格中复制任何数值之前，必须先确认轴线标注。AISC、SCI 以及欧洲标准表格都不能替代这一步。American Institute of Steel Construction（美国钢结构协会）说明，AISC Shapes Database v16.0 提供以美国惯用单位制和公制单位表示的尺寸及截面性质，而 AISC Part 1 是表列尺寸和几何性质的参考部分。在欧洲，EVS-EN 10365:2026 规定了热轧槽钢、工字钢和 H 型钢的名义尺寸与质量；计算得到的截面性质则由 Steel Construction Institute 的 Blue Book 等参考资料提供。

弹性截面模量

弹性截面模量等于相关形心轴的截面二次矩除以该形心轴至最外纤维的距离。对于绕 $x$ 轴弯曲，

$$S_x=\frac{I_x}{c_y}$$

其中，$c_y$ 是从 $x$ 轴到受拉或受压最外纤维的最大距离。对于绕 $y$ 轴弯曲，

$$S_y=\frac{I_y}{c_x}$$

其中，$c_x$ 是从 $y$ 轴到最外纤维的最大距离。$S$ 的下标表示弯曲轴，而不是分子中最外纤维距离的方向。

对于不等翼缘工字形截面、槽钢、角钢或其他非对称截面，这一区分十分重要。截面到两个最外纤维的距离可能不同，因此截面可能具有分别对应正、负弯曲的弹性截面模量。表格中可能列出 $S_{x,\mathrm{top}}$ 和 $S_{x,\mathrm{bottom}}$，或 $S_{x,\max }$ 和 $S_{x,\min }$，而不是单一数值。如果在两个表面都使用较大的数值，而实际由较小数值控制，可能会导致不安全的抗弯承载力。

单位可直接由公式确定。$I_x$ 和 $I_y$ 的量纲为长度的四次方，$c$ 的量纲为长度，因此 $S_x$ 和 $S_y$ 的量纲为长度的三次方。典型单位制使用 ${\mathrm{mm}}^3$、${\mathrm{cm}}^3$ 或 ${\mathrm{in}}^3$。在 ${\mathrm{cm}}^3$ 和 ${\mathrm{mm}}^3$ 之间发生换算错误时，结果会相差 1,000 倍，而不是 100 倍。

对于宽度为 $b$、高度为 $h$ 的矩形截面，

\[ I_x=\frac{bh^3}{12},\qquad S_x=\frac{bh^2}{6}. \]

在 $I_x$ 中，高度以三次方出现；在 $S_x$ 中，高度以二次方出现。这解释了为什么旋转矩形杆件可能会显著改变其抗弯承载力。相同面积的截面旋转 90 度后，并不具有相同的抗弯截面性能。

弹性截面模量适用于弹性应力分布，此时弯曲应力从中性轴处的零值沿线性变化，在最外纤维处达到最大值：

$${\sigma }_{\max }=\frac{M}{S}.$$

它不应与塑性截面模量 $Z$ 混淆。塑性截面模量 $Z$ 基于整个截面达到屈服后，截面两侧产生大小相等的受拉和受压合力。$Z$ 同样是长度三次方的几何性质，但不能与 $S$ 互换使用。

回转半径

回转半径以等效数学方式描述面积相对于指定形心轴的分布距离。对于 $x$ 轴，

$$r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}},$$

对于 $y$ 轴，

$$r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}.$$

其中，$A$ 是毛截面面积。由于 $I$ 的单位为 $L^4$，而 $A$ 的单位为 $L^2$，因此每个回转半径的单位均为长度，例如毫米、厘米或英寸。

较大的 $r$ 表示有更多面积分布在远离相关轴的位置。这就是为什么工字形截面可能具有较大的 $r_x$，但 $r_y$ 小得多：其翼缘将大量面积布置在远离强轴的位置，而腹板和翼缘厚度使得相对于弱轴的面积分布较少。

回转半径的主要设计用途是轴向构件的屈曲验算。对于长度为 $L$、有效长度系数为 $K$ 的构件，绕两个轴的长细比分别为

\[ \frac{KL_x}{r_x} \quad\text{和}\quad \frac{KL_y}{r_y}. \]

较大的数值通常表示更不利的屈曲方向，但仍需结合端部约束、支撑条件、扭转—弯曲效应以及设计标准的分类规则进行判断。仅比较面积无法反映这一行为。两个截面可能具有相同的毛截面面积和相近的质量，但其弱轴回转半径可能明显不同，从而具有不同的受压性能。

回转半径并不是钢材轮廓上可以直接看到的半径，而是根据面积分布计算得到的量。Missouri S&T 的 MDSolids 资源将形心位置、截面二次矩、截面模量、回转半径、塑性模量、极惯性矩和主惯性矩分别列为不同的输出项，这有助于提醒使用者：这些名称对应不同的计算结果。

对于组合截面，在开平方之前，需要先使用面积 $A$、形心坐标、各组成部分的截面二次矩以及平行轴定理进行计算。计算结果应结合轴线约定进行核对。Abaqus 通过面积积分描述形心截面性质：$I_{11}$ 和 $I_{22}$ 对坐标距离的平方进行积分，而 $I_{12}$ 对坐标距离的乘积进行积分。这与手算中采用的几何基础相同，但软件所采用的轴线标注可能不同于钢材表格中的标注。

极惯性矩及其局限性

关于垂直于截面平面的某一点，面积的极惯性矩为

$$I_p={\int }_A{r}^2\mathrm{dA}.$$

对于相互垂直的形心 $x$ 轴和 $y$ 轴，

$$I_p=I_x+I_y.$$

其单位为 $L^4$，例如 ${\mathrm{mm}}^4$ 或 ${\mathrm{in}}^4$。对于半径为 $R$ 的实心圆形面积，

$$I_p=\frac{\pi R^4}{2},$$

对于外半径为 $R_o$、内半径为 $R_i$ 的圆环形面积，

$$I_p=\frac{\pi }{2}(R_o^4-R_i^4).$$

这些公式使极惯性矩适用于圆轴扭转，以及几何形状和荷载具有旋转对称性的相关问题。对于处于弹性扭转状态的圆轴，极惯性矩通常记作 $J$，常用关系式为

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

这种记号容易引发一个常见错误：对于所有钢结构截面，面积极惯性矩 $I_p$ 并不会自动等同于扭转常数 $J$。

Saint-Venant 扭转常数 $J$ 描述截面对均匀扭转的抵抗能力，其取值取决于截面的翘曲和剪切流特性。对于实心圆截面或薄壁圆形截面，$J=I_p$。但对于一般开口截面，两者是不同的量。对于宽度为 $b$、厚度为 $t$，且 $b$ 远大于 $t$ 的薄矩形条，其扭转常数近似为 ${\mathrm{bt}}^3/3$ 这一量级；而其对 $I_p$ 的贡献则可能主要由该条带相对于形心的距离平方所控制。因此，开口工字形截面可能具有看起来相当大的极惯性矩，却具有相对较小的 Saint-Venant 扭转常数。

封闭箱形截面的抗扭效率通常远高于开口截面，因为剪切流可以围绕封闭单元循环流动。如果扭转约束导致纵向翘曲，仅使用 $J$ 是不充分的；此时还需在分析中引入量纲为 $L^6$ 的翘曲常数 $C_w$。ANSI/AISC 360-16 将 $I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$ 和 $C_w$ 定义并应用为彼此独立的截面性质。Blue Book 同样将弹性模量和塑性模量、回转半径、扭转常数及翘曲常数分别列出。

欧洲参考资料中的单位约定需要特别注意。ArcelorMittal 指出，计算得到的截面性质通常以厘米为单位，而表面积和翘曲常数分别采用基于米和分米的单位。因此，从 Blue Book 或制造商表格中抄录任何数值时，必须根据截面性质名称和单位进行确认，而不能仅凭数值大小判断。在使用任何表列的 $S$、$r$、$I_p$ 或 $J$ 之前，应核实确切的截面型号、轴线约定、标准版本，以及该数值所对应的是毛截面、名义几何形状还是其他特定几何形状。

弹性与塑性截面特性

弹性中和轴与最外纤维

弹性截面特性描述的是屈服前的应力分布。对于受绕形心轴弯矩作用的棱柱形均质钢截面，弹性中和轴通过形心。该轴一侧的纤维受压，另一侧的纤维受拉；在中和轴处，纵向弯曲应力为零。其分布呈线性：

$$\sigma =\frac{\mathrm{My}}{I}$$

其中，$M$ 为施加的弯矩，$y$ 为距中和轴的距离，$I$ 为相应形心轴的截面二次矩。

因此，弹性截面模量为

$$S=\frac{I}{c}$$

其中，$c$ 为从中和轴到所验算最外纤维的距离。形心上下两侧距离不相等的截面具有两个弹性截面模量，例如 $S_{x,\text{top}}$ 和 $S_{x,\text{bottom}}$。二者不可互换。在下挠弯矩和上拱弯矩作用下，由于 $c$ 不同，可能由不同的最外纤维控制。

对于槽钢、角钢、T 形钢或非对称组合截面，这一区分十分重要。对于均质截面，形心轴仍定义了弹性中和轴，但一侧最远纤维到该轴的距离可能远大于另一侧。直接从表格中抄取一个数值可能掩盖这种不对称性。双轴对称的 I 形和 H 形截面关于强轴通常具有相等的正、负弹性截面模量，而单轴对称截面通常并非如此。

其几何基础是截面二次矩。Abaqus 文档将 $I_{11}$ 和 $I_{22}$ 描述为对截面面积上的坐标距离平方进行积分，而 $I_{12}$ 则对坐标距离的乘积进行积分（Abaqus，2024）。这一定义说明，将翼缘面积移至距形心更远的位置，可以在增加很少钢材的情况下显著提高 $I$。它也说明，$S$ 是几何量，而不是取决于钢材牌号的强度值。

弹性截面模量的单位为长度的三次方：${\text{mm}}^3$、${\text{cm}}^3$ 或 ${\text{in}}^3$。它不能与回转半径混淆，后者的单位是长度；也不能与塑性截面模量混淆，尽管后者同样具有长度三次方的单位，但其计算方式不同。

塑性中和轴与塑性截面模量

塑性中和轴（PNA）根据完全屈服后的应力状态确定，而不是根据线弹性应力状态确定。对于纯弯作用下的均质钢截面，塑性中和轴将截面面积分为相等的受压面积和受拉面积：

$$A_c=A_t=\frac{A}{2}$$

理想化情况下，中和轴一侧受压区的应力为屈服应力，另一侧受拉区的应力也为屈服应力。因此，合轴向力相互平衡。对于材料强度可变的截面或组合材料截面，仅有相等的几何面积通常并不足够；必须根据适用的材料应力使受压合力与受拉合力相平衡。

塑性截面模量通常记作 $Z$，它是屈服区域关于塑性中和轴的一次矩：

\[ Z=\int_A |y-y_p|\,dA \]

对于各组成面积，可将每个面积乘以其形心到塑性中和轴的距离后求和。相应的全塑性弯矩通常写作

$$M_p=F_{y}Z$$

对于统一钢材牌号，该式适用；但 $F_{y}Z$ 是承载力表达式，而不是仅由几何决定的恒等关系。从 ASTM A992 改用 ASTM A36，会改变设计验算中所采用的规定屈服强度；但对于尺寸相同的截面，根据几何计算得到的 $Z$ 并不会改变。对于相关产品标准和设计标准下的 S275 和 S355 等欧洲牌号，同样适用这一划分。

弹性截面模量和塑性截面模量回答的是不同问题。$S$ 将弯矩与弹性应力分布下最外纤维首次屈服时的状态联系起来。$Z$ 将弯矩与受压和受拉应力块相互平衡、且整个截面完全屈服的状态联系起来。二者之比

$$Z/S$$

是针对指定弯曲轴和控制最外纤维的形状系数。它表示塑性应力重分布所带来的附加弯矩承载能力，但不能据此证明构件可以达到或持续承受该承载能力。

仅凭较大的塑性截面模量，不能将截面归类为紧凑截面。非紧凑、紧凑和纤细截面的分类，主要取决于板件宽厚比、边界条件、应力梯度以及适用设计标准中的限值规定。纤细腹板可能对计算得到的 $Z$ 作出较大贡献，但在完整塑性应力状态形成之前，仍可能发生局部屈曲。相反，紧凑截面也可能具有较小的形状系数。截面分类是对稳定性和延性的判断，而不是依据某一个表列数值进行排序。

表列数值不同时

对于看似相同的截面，两个可信的表格可能给出略有不同的弹性或塑性截面特性。首先应确认型材标 designation 和版本是否完全相同。美国钢结构学会指出，2023 年发布的 AISC Shapes Database v16.0 提供美制和公制单位下的尺寸与特性，而《第 16 版钢结构手册》第一部分是标准型材尺寸和几何特性的参考部分。其中列出的 W 形钢不应与名义上相近的欧洲 HE 型钢随意比较。

由 Steel Construction Institute 维护、本文采用其 2024 年版本的 Blue Book，报告了面积、截面二次矩、弹性和塑性截面模量、回转半径、扭转常数以及翘曲常数。EVS-EN 10365:2026 规定了热轧槽钢、I 形钢和 H 形钢的名义尺寸与质量；但它本身并不能替代所有计算得到的截面特性表。这一区分十分重要。产品标准中的名义翼缘厚度、制造商表格中的建模厚度以及设计数据库中的四舍五入尺寸，可能会产生略有不同的结果。

型材几何还包括简化手绘图可能省略的细节：翼缘与腹板圆角、根部半径、锥度、角部半径以及轧制公差。基于矩形的近似可以再现 I 形截面的大致行为，但可能无法准确得到面积、形心、$I$、$S$ 或 $Z$。四舍五入会进一步造成差异。例如，表格可能显示 $I_x=1,130{\text{cm}}^4$，而软件在内部保留更多位数。

单位会造成本可避免的错误。ArcelorMittal 在 2024 年指出，欧洲计算得到的截面特性通常以厘米为基准报告；表面积采用以米为基准的单位，而翘曲常数采用以分米为基准的单位。因此，以 ${\text{cm}}^3$ 表示的 $W_{\mathrm{el}}$ 和以 ${\text{dm}}^6$ 表示的 $I_w$，不能未经换算直接用于英制英磅制计算。

Missouri S&T 的 MDSolids 列出了通用及标准钢材截面的形心位置、截面二次矩、截面模量、回转半径、塑性截面模量、极惯性矩和主惯性矩（2024）。它可用于核对手算结果，但塑性截面模量与其一致，并不能证明截面满足紧凑性限值或设计承载力要求。在接受表列数值之前，应确认轴的约定、采用毛截面还是净截面、圆角的处理方式、单位以及资料版本。几何决定截面特性；适用的设计标准则决定该特性如何使用。

扭转常数 $J$ 与翘曲常数 $C_w$

圣维南扭转与 $J$

扭转常数 $J$ 用于衡量截面对圣维南扭转的抵抗能力：当截面能够沿其长度方向自由翘曲时，扭矩会使截面发生扭转。它是一个几何性质，而不是钢材强度指标。在简单弹性模型中，扭转剪应力和扭转角通过材料剪切模量 $G$、施加的扭矩 $T$ 以及 $J$ 相关联：

$$\theta \prime =\frac{T}{\mathrm{GJ}}$$

其中，$\theta \prime$ 是单位长度上的扭转角。若材料、荷载和边界条件均相同，则 $J$ 越大，在相同扭矩作用下的扭转越小。$J$ 的量纲为长度的四次方，例如 ${\text{mm}}^4$、${\text{in}}^4$ 或 ${\text{cm}}^4$。

“扭转常数”这一术语并不意味着在所有截面中都等同于“极惯性矩”。关于相互垂直的形心轴，面积的极二次矩为

$$I_p=I_x+I_y$$

对于圆形或环形截面，$J=I_p$，因为圆形几何形状允许圣维南应力函数产生这种直接等价关系。对于大多数非圆形截面，尤其是薄壁开口截面，\(J\ne I_p\)。将这两个量视为可以互换，可能会导致对扭转角和扭转应力的预测出现重大误差。

对于长度为 $b$、厚度为 $t$ 的薄矩形条带，当 $b$ 远大于 $t$ 时，其圣维南扭转常数近似为

$$J\approx \frac{1}{3}{\mathrm{bt}}^3.$$

厚度以三次方的形式出现。因此，与仅根据其到形心的距离进行圆形截面计算所得的结果相比，薄翼缘或腹板对圣维南扭转刚度的贡献要小得多。极惯性矩反映的是面积相对于某一轴的分布；$J$ 反映的是截面在扭转过程中形成相容剪应力场的能力。这些是相互关联的几何概念，但并不是同一种计算。

ANSI/AISC 360-16 将 $J$ 确定为钢结构设计中使用的截面性质之一，与 $I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$ 和 $C_w$ 并列。由 American Institute of Steel Construction 于 2023 年发布的 AISC Shapes Database v16.0，提供了美国惯用单位制和公制单位下标准型钢的尺寸及截面性质。AISC Part 1, Dimensions and Properties 是第 16 版 Steel Construction Manual 中表列截面性质的参考依据。所采用的数值必须与确切的 W、S、M、HP、C、MC、WT、L、HSS 或其他型材标号相匹配；仅有相近的公称高度是不够的。

翘曲抵抗与 $C_w$

$C_w$ 即翘曲常数，用于描述截面在非均匀扭转作用下抵抗纵向翘曲的能力。其量纲为长度的六次方，常用单位包括 ${\text{mm}}^6$、${\text{in}}^6$ 或 ${\text{cm}}^6$。它不应与 $J$ 混淆，后者描述的是截面的圣维南响应。

当梁发生扭转时，开口截面的不同部分通常会试图产生不同程度的纵向位移。例如，在工字形截面中，两侧翼缘可能向相反方向发生翘曲。如果两端是自由的，且施加的扭矩均匀，则相当一部分响应可以通过 $J$ 所描述的圣维南扭转来表示。如果横隔板、端板、连接、楼面系统、焊缝或支座阻止这种纵向位移，就会产生翘曲应力。由此形成的扭转响应包括翘曲扭转，此时 $C_w$ 便变得重要。

这种效应的大小取决于约束条件，而不仅仅取决于截面标号。对于允许翼缘翘曲的构造细节，简支构件的翘曲贡献可能较小。同一截面若固定于刚性连接中，或与刚性横隔板连接，则可能产生显著的双力矩和纵向正应力。在未定义端部条件的情况下，直接代入 $C_w$ 的计算是不完整的。

对于双轴对称的工字形和 H 形截面，其主轴翘曲常数通常较大，因为相互分离的翼缘为相反方向的纵向翘曲提供了较长的力臂。对于翼缘较薄的工字形截面，一个简化表达式与翼缘面积乘以两翼缘形心间距离的平方成正比：

$$C_w\sim A_f{h}_o^2,$$

其中，精确表达式取决于翼缘几何形状、腹板厚度以及所选取的轴。该近似关系说明，即使 $J$ 仍相对较小，$C_w$ 也可能很大。

AISC 表格和 SCI Blue Book 为许多标准截面列出了 $C_w$。由 Steel Construction Institute 编制的 Blue Book，SCI 于 2024 年将其确定为欧洲尺寸和截面性质的资料来源，其中包括面积、面积二次矩、弹性和塑性截面模量、回转半径、扭转常数以及翘曲常数。这些都是通过计算得到的几何性质。EVS-EN 10365:2026 规定了热轧槽钢、工字钢和 H 型钢的公称尺寸及质量；它不能替代截面性质表。

对 $C_w$ 而言，单位核对尤其重要。ArcelorMittal 的 2024 年说明指出，欧洲计算得到的截面性质通常采用以厘米为基础的单位约定，而表面积采用以米为基础的单位，翘曲常数则采用以分米为基础的单位。因此，某些表格可能以 ${\text{cm}}^4$ 表示 $J$，以 ${\text{dm}}^6$ 表示 $C_w$。如果只换算力单位或长度单位，却不对六次方量进行相应换算，结果可能失效。

开口钢截面与闭口钢截面

开口工字形截面、槽形截面、T 形截面和角形截面，在其大部分周边范围内具有不连续的薄壁路径。因此，与其 $I_x$、$I_y$ 或极惯性矩相比，它们的圣维南扭转常数通常较小。工字形截面在绕强轴弯曲时可能具有极高的刚度，但当荷载作用线不通过剪切中心时，仍可能很容易发生扭转。槽形截面还存在另一项复杂因素：其剪切中心位于截面外部，因此通过形心作用的横向荷载可能产生扭转。

角形截面和 T 形截面同样是不对称截面。与双轴对称工字形截面相比，它们的形心、主轴、剪切中心和翘曲响应并不以同样简单的方式重合。在所选坐标系中，惯性积 $I_{\mathrm{xy}}$ 可能不为零，因此在正确评估弯曲和扭转之前，需要进行主轴变换。

闭口管截面的行为不同，因为其壁板形成了连续的单元。扭矩可以通过围绕封闭面积循环流动的剪切流来传递。对于薄壁单室闭口截面，扭转常数近似为

$$J\approx \frac{4A_m^2}{\oint \mathrm{ds}/t},$$

其中，$A_m$ 是由壁板中线围成的面积，积分项考虑了壁板长度和厚度。通过这一机制，闭口矩形或圆形 HSS 通常比质量相近的开口截面具有高得多的圣维南扭转刚度。在集中荷载、不连续部位和连接附近，闭口截面仍可能发生翘曲；但与开口工字形截面相比，自由均匀翘曲通常不占主导地位。

这些差异不仅关系到手算，也关系到分析软件中的计算。Abaqus 通过对坐标距离平方进行积分来定义形心截面性质 $I_{11}$ 和 $I_{22}$，并通过对坐标乘积进行积分来定义 $I_{12}$；这种积分框架并不会将 $I_p$ 转化为 $J$。Missouri S&T 的 MDSolids 资源则分别计算通用截面和标准截面的极惯性矩及扭转性质。因此，可靠的模型应从相匹配的标准资料中导入 $J$ 和 $C_w$，或者采用适合该截面拓扑结构的方法进行计算；随后，在将这些数值应用于钢结构设计之前，还应核验单位、坐标轴、约束条件和连接细节。

剪切面积、剪切中心与非对称截面

有效剪切面积

总面积 $A$ 用于轴力计算以及若干几何性质的计算。它并不自动等同于抵抗横向剪切的面积。剪切面积是一个独立的性质，通常记为 $A_{\mathrm{vx}}$、$A_{\mathrm{vy}}$、$A_v$，或通过剪切修正系数表示。其单位为面积，但数值取决于剪切方向以及所假定的截面剪应力分布。

对于承受平行于高度方向剪切的矩形截面，剪应力并非常数。在顶部和底部自由表面处，剪应力为零；向中性轴方向逐渐增大，并在中性轴处达到最大值。因此，平均应力 $V/A$ 不等于实际峰值应力。剪切面积表示法用等效的平均关系替代非均匀应力场，通常写作

$${\tau }_{\mathrm{avg}}=\frac{V}{A_v}.$$

由于峰值应力与平均应力不同，$A_v$ 并不简单等于总面积。对于宽度为 $b$、高度为 $h$ 的实心矩形截面，熟知的弹性分布给出的最大剪应力为 $1.5V/\left(\mathrm{bh}\right)$，因此，基于该最大应力得到的等效面积为 $2\mathrm{bh}/3$。其他定义——包括梁有限元中采用的定义——可能给出不同的有效面积，因为这些定义与剪切应变能相关，而不仅仅取决于最大应力。

对于薄壁工字形截面，这一区别更加重要。在竖向剪切作用下，大部分剪力由腹板承担；翼缘所承担的剪力相对较小，这是因为其材料远离腹板的剪力流路径，并且翼缘剪应力沿翼缘宽度方向变化。若将整个截面面积视为均匀剪切面积，可能会低估腹板剪应力。对于水平剪切，翼缘的布置更加重要。槽形、角形或 T 形截面没有一对相等且相向的翼缘来平衡剪力流，因此必须根据实际几何形状计算剪力流分布。

常用的薄壁截面关系式

$$q=\frac{\mathrm{VQ}}{I},$$

表示某一位置处的剪力流 $q$。其中，$Q$ 是该位置外侧面积对相关轴的面积一次矩，$I$ 则取关于相关形心轴的截面二次矩。该式说明，不能仅根据面积分数来分配翼缘和腹板中的应力。材料的位置由 $Q$ 表征，因此十分重要。在腹板与翼缘的连接处，剪力流还必须满足平衡条件与相容条件。

因此，计算得到的剪切面积应标明其方向和定义。不能用它替代 $A$、$I_x$、$I_y$ 或截面模量。Georgia Tech 的不锈钢设计指南在这方面很有参考价值，因为其计算得到的截面性质输出分别列出了面积、形心轴惯性矩、截面模量、回转半径、扭转量以及剪切相关量，而不是将某一个数值作为衡量截面形状效率的通用指标。同样的几何处理方法也适用于碳素结构钢和低合金结构钢。将钢材牌号从 ASTM A36 更改为 ASTM A572 Grade 50，或从一种不锈钢牌号更改为另一种牌号，只会改变承载力数值和设计限值；在尺寸不变的情况下，由几何尺寸计算得到的剪切面积并不会改变。

剪切中心位置

剪切中心剪切中心 横向力作用线的位置；在该位置施加载荷时，横向力不会在截面内产生额外的扭矩。

剪切中心是截面上的一个点：横向荷载必须通过该点作用，才能产生弯曲而不产生扭转。对于双轴对称的工字形截面，剪切中心与形心重合。对于仅具有一条对称轴的截面，剪切中心位于该对称轴上，但不一定与形心重合。对于没有对称轴的截面，剪切中心可能在两个坐标方向上均偏离形心。

其原因在于剪力流。横向力会在截面周围产生分布式微元剪力。这些剪力的合力等于外加剪力，但它们合成后的作用线可能不通过形心。该偏心会产生扭矩。将荷载施加在剪切中心处，可以使作用线位置正确，并消除这一扭矩。

槽形截面是一个典型的警示例子。其翼缘向腹板的一侧伸出，因此，竖向剪切会在翼缘中产生不相等的剪力流，其合力通常作用在偏离形心的位置。剪切中心通常位于材料截面之外，在腹板上与翼缘相反的一侧。因此，若荷载通过形心作用，就可能同时引起弯曲和扭转。角形截面则更加复杂：在通常的等边腿或不等边腿情况下，由于不存在对称轴，必须根据完整截面几何形状确定形心坐标和剪切中心坐标。T 形截面具有一条对称轴，这使剪切中心受限于该轴，但在许多情况下，腹板和翼缘的布置仍会使剪切中心偏离形心。

计算所需的不仅是 $A$、$I_x$ 和 $I_y$。必须确定剪力流，积分计算剪力流关于参考点的力矩，并确定净扭矩为零的点。在薄壁开口截面中，理想化的壁厚和连接部位几何形状会影响结果。圆角、过渡圆角、卷边以及局部焊缝都可能使结果发生偏移，尤其是在截面尺寸较小或壁较薄时。

阅读已发布的截面表时，也必须注意其坐标轴约定。AISC Shapes Database v16.0 由 American Institute of Steel Construction 于 2023 年确认，提供以美国惯用单位制和公制单位表示的尺寸与性质；该数据库与特定截面牌号及坐标轴相对应。Steel Construction Institute 的 Blue Book 同样提供欧洲截面性质。EN 10365:2026 规定了热轧槽钢、工字钢和 H 形钢的名义尺寸与质量，但并不取代截面性质表。Blue Book 提供计算得到的截面性质，而 ArcelorMittal 指出，欧洲计算得到的截面性质通常以厘米为单位，其中表面积和翘曲常数采用以米和分米为基础的单位。剪切中心距离必须分别核对单位、坐标轴原点和符号约定。

弯曲与扭转之间的耦合

在非对称截面中，弯曲与扭转通过两种相关方式发生耦合。第一，荷载通过形心作用时，其作用线可能不通过剪切中心，从而产生扭矩

$$T=Ve,$$

其中，$e$ 是荷载作用线与剪切中心线之间的垂直距离。第二，如果选定的 $x$ 轴和 $y$ 轴不是主轴，则惯性积 $I_{\mathrm{xy}}$ 不为零。此时，绕一个坐标轴的弯曲会产生包含另一坐标轴分量的曲率。这是坐标系与几何形状造成的效应，而不是材料强度效应。

Abaqus 文档指出，形心轴惯性矩 $I_{11}$ 和 $I_{22}$ 是通过对面积上的坐标距离平方进行积分得到的，而 $I_{12}$ 则是对坐标距离乘积进行积分得到的。该乘积正是表明非对称轴耦合的量。旋转到主轴后，可以消除惯性积，但这并不会使槽形截面的剪切中心与形心重合，也不会消除荷载作用线错误时产生的扭转响应。

开口截面对这一差异尤其敏感，因为与面积相近的闭口箱形截面相比，其扭转常数 $J$ 通常较小。因此，翘曲可能产生显著影响，需要使用翘曲常数 $C_w$ 以及适当的约束翘曲分析。即使外加力看似“居中”，通过形心加载的槽形截面仍可能发生扭转、翘曲，并绕多个轴发生弯曲。

应当根据这一物理图像检查软件输出。例如，MDSolids 会针对一般截面和标准钢截面报告形心位置、主惯性矩、极惯性矩以及相关截面性质。这些输出有助于验证，但不能替代对荷载作用线、剪切方向、坐标轴约定和边界约束的识别。对于角形、T 形或槽形截面，当扭转或侧向稳定性十分重要时，仅报告 $A$、$I_x$ 和 $I_y$ 是不完整的。几何形状决定耦合关系，而规定的钢材牌号则在后续通过强度、刚度假定和适用设计规范发挥作用。

标准钢截面表：AISC、SCI 和 EN 参考资料

标准截面表是用于重复几何计算的快捷工具，不能替代工程判断。已发布的表格可以免去工程师对每个轧制构件重新计算面积、形心、面积二次矩、截面模量、回转半径、扭转常数和翘曲常数的工作。但它不能判断所选截面是否属于正确的截面系列，所列坐标轴是否与屈曲或弯曲方向一致，也不能判断这些数值是否与设计标准和单位制相容。

这一点很重要，因为这些量并非可以相互替代。总面积 $A$ 的单位是长度的平方。$I_x$ 和 $I_y$ 是关于形心轴的面积二次矩，单位为长度的四次方；其数值描述截面绕指定轴抵抗弯曲相关曲率的能力。弹性截面模量 $S$ 是用面积二次矩除以最外缘纤维距离得到的，而塑性截面模量 $Z$ 则来自塑性中和轴两侧面积相等的受压块和受拉块。回转半径 $r_x$ 和 $r_y$ 是 $I/A$ 的平方根。它们在长细比计算中尤其重要，但并不是惯性矩。

扭转常数 $J$ 描述 Saint-Venant 扭转响应，不应与极惯性矩混淆；极惯性矩是针对相关坐标系，将相互正交的面积二次矩相加得到的几何量。翘曲常数 $C_w$ 通常与开口薄壁截面相关，具有不同的量纲形式，并用于受约束翘曲分析。因此，同时列出所有这些数值的表格，实际上是在报告不同的几何特性，而不是用多个名称表示“截面强度”。

AISC Shapes Database v16.0 与第 16 版手册

根据 AISC（2023），美国钢结构协会的 AISC Shapes Database v16.0 提供结构钢截面的尺寸和截面特性，单位同时采用美国惯用单位制和公制单位制。该数据库旨在配合第 16 版《钢结构施工手册》使用，并为标准美国轧制截面和焊制截面的名称提供一致的数字化参考。[2][2] 16th Edition Steel Construction Manual, Part 1. American Institute of Steel Construction. Steel Construction Manual, 2023.

在该体系中，AISC 第 1 部分“尺寸与特性”是标准结构钢构件尺寸和截面特性的列表参考。它给出描述截面所需的尺寸，以及设计中使用的计算特性，包括面积、重量、适用时的形心信息、$I_x$、$I_y$、$S_x$、$S_y$、$Z_x$、$Z_y$、$r_x$、$r_y$、$J$ 和 $C_w$ 等。该数据库减少了重复积分和​​平行轴定理计算，但工程师仍必须选择准确的 W、S、M、HP、C、MC、L、WT、HSS 或其他所列截面，并确认其名称。

坐标轴标签绝非装饰性信息。对于双轴对称的 W 截面，$x$ 轴通常是较强的形心轴，$y$ 轴是较弱的形心轴，因此 $I_x$ 通常远大于 $I_y$。当构件绕 $x$ 轴弯曲时却在设计计算中使用 $I_y$，所得结果可能在数值上十分精确，但在物理上是错误的。侧向扭转屈曲中也存在同样的问题，此时必须结合弯曲方向共同解释 $J$、$C_w$ 和无支撑长度。

ANSI/AISC 360-16 规定了钢结构设计中使用的截面特性量，包括 $I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$ 和 $C_w$（AISC，2021）。该规范并不会使列表中的截面特性变成材料强度值。由 ASTM A992 钢轧制而成的 W 截面，与采用 ASTM A36 钢、且几何尺寸相同的同一 W 截面相比，在理想情况下具有相同的几何面积和惯性矩。二者的屈服强度、抗拉强度、承载力计算结果和适用的材料要求则不同。因此，ASTM A992 属于冶金和规范符合性范畴，而不属于 $I_x$ 的几何定义。

AISC 数值还需要进行版本控制。截面名称可能保持不变，但不同参考资料之间的尺寸、所列特性、舍入方式或数据库内容可能发生变化。资料来源应记录“AISC Shapes Database v16.0”或相应的《手册》版本，而不应在未注明版本的情况下笼统引用“AISC 截面表”。软件输出应与同一来源进行核对，尤其是在模型导入公制数值或自动换算以英寸为基础的截面特性时。

SCI P363《蓝皮书》

SCI P363，通常称为《蓝皮书》，是英国钢结构研究院关于欧洲结构钢截面尺寸和特性的参考资料。根据 SCI（2024），《蓝皮书》提供面积、面积二次矩、弹性和塑性截面模量、回转半径、扭转常数以及翘曲常数。因此，它不仅仅是 nominal 截面高度和翼缘宽度的目录。

其表格涵盖 IPE、HE、HL、HD、HP、UB、UC、UPE 和 UPN 等欧洲截面系列。在识别截面时，必须准确保留这些名称。IPE 和 HE 系列不能仅因二者都是工字形截面就相互替代。UB 和 UC 同样代表源自英国的不同轧制截面系列，具有不同的比例和截面特性关系。UPE 和 UPN 槽钢的翼缘布置不同，不能仅依据 nominal 截面高度进行替换。

《蓝皮书》中的弹性和塑性特性用于不同的设计验算。弹性模量 $W_{\mathrm{el}}$ 通常在用途上相当于 $S$，基于最外侧弹性纤维确定，用于弹性应力计算。塑性模量 $W_{\mathrm{pl}}$ 描述完全屈服状态下的塑性应力分布，在适用的截面分类和设计规则允许时用于塑性承载力计算。一个截面可以具有较大的弹性模量和不同的塑性形状系数；不能通过简单更换名称从一个量推导出另一个量。

欧洲截面表还要求严格遵守单位制。ArcelorMittal 说明，计算得到的欧洲截面特性通常采用以厘米为基础的单位：面积为 ${\text{cm}}^2$，面积二次矩为 ${\text{cm}}^4$，截面模量为 ${\text{cm}}^3$，回转半径为厘米。表面积通常以每米对应的 ${\text{m}}^2$ 表示，而翘曲常数使用以分米为基础的单位，例如 ${\text{cm}}^6$，或采用表格规定的单位约定。必须阅读具体表头，不能想当然地假定单位。将 ${\text{cm}}^4$ 换算为 ${\text{mm}}^4$ 时，数值应乘以 ${10}^4$；将 ${\text{cm}}^3$ 换算为 ${\text{mm}}^3$ 时，数值应乘以 ${10}^3$。遗漏一个指数，可能使后续计算中的任何精度都失去意义。

SCI 截面特性是根据截面几何形状和标准型材尺寸计算得到的。构件指定为 S275、S355 或 EN 10025 系列中的其他钢材牌号时，这些几何特性不会因此改变。钢材牌号的变化会影响屈服强度、抗拉强度、焊接性要求以及承载力方程，但不会增加尺寸不变截面的几何 $I$、$J$、$C_w$ 或 $A$。

EVS-EN 10365:2026 的截面名称与质量

根据 EVS（2026），EVS-EN 10365:2026 规定热轧钢槽钢、工字钢和 H 型钢的 nominal 尺寸与质量。它是产品和名称参考标准，而不是完整的截面特性数据库。基于该标准的表格可以告知用户 nominal 截面高度、翼缘宽度、各部分厚度、根部尺寸、截面名称以及单位长度质量。但仅凭这一点，并不能提供设计所需的所有 $I$、$S$、$Z$、$J$ 或 $C_w$ 数值。

当 IPE 300、HE 200 B 或 UPN 240 这样的名称被输入分析软件时，这一区别尤为重要。截面名称表示一个标准化的 nominal 型材，而截面特性必须取自相容的截面特性表，或根据给定几何尺寸计算得到。nominal 尺寸也不等同于某一具体钢材的实测尺寸。轧制公差、根部半径、圆角以及厚度变化都会影响计算特性、质量和装配适配性。对于常规设计，通常采用适用标准和表列 nominal 数值；对于评估、制造核验或特殊组合截面细节，则可能需要采用实测几何尺寸。

EN 10365:2026 也不应与材料规范混淆。截面名称描述形状和 nominal 尺寸。适用产品标准中的 S355 等名称则描述钢材牌号要求。在设计表中可能同时出现这两类标签，但它们回答的是不同问题：EN 10365 确定轧制截面的几何形状和质量约定，而材料标准涉及化学成分、力学性能、交货状态和试验要求。

当没有权威截面特性表与准确的截面型号相匹配时，可以根据 nominal 尺寸重建截面特性：将截面划分为若干矩形，确定组合截面的形心，并应用平行轴定理。Abaqus 说明了相同的几何基础：$I_{11}$ 和 $I_{22}$ 是在整个面积上对坐标距离平方进行积分，而 $I_{12}$ 则对坐标距离的乘积进行积分。MDSolids 同样可以计算通用截面和标准钢截面的形心位置、面积二次矩、截面模量、回转半径、塑性模量、极惯性矩和主惯性矩。这类核算很有价值，但当翼缘根部、圆角、孔洞、变截面腹板或开口截面的翘曲对结果产生实质性影响时，不能据此以近似矩形替代一个已有名称的标准截面。

单位、符号表示与量纲检查

截面性质是几何量，因此其单位能够揭示实际计算得到的量。钢材牌号不会改变固定形状的面积或截面二次矩：从 ASTM A992 更换为 ASTM A572，并不会使同一个 W 形截面获得更大的 $I_x$。钢材牌号会影响承载力和设计验算。截面尺寸、轴线位置以及数学定义决定截面性质。

每项计算都应在输入尺寸和输出性质旁边标明单位。仅写 $b=200$ 和 $t=10$ 是不完整的；应写成 $b=200\text{mm}$、$t=10\text{mm}$，并报告 $A=3,800{\text{mm}}^2$。这一简单的规范可以在错误进入电子表格或设计模型之前发现许多问题。

美国惯用制与公制

在美国惯用制计算中，尺寸通常以英寸表示，面积以 ${\text{in}}^2$ 表示，截面二次矩以 ${\text{in}}^4$ 表示，截面模量以 ${\text{in}}^3$ 表示，回转半径以英寸表示，扭转常数 $J$ 以 ${\text{in}}^4$ 表示，翘曲常数 $C_w$ 以 ${\text{in}}^6$ 表示。质量或名义重量通常用单位长度重量表示，例如 lb/ft，而不是用单位长度质量表示。二者的区别很重要：lb/ft 是力/长度的惯用表示，而 kg/m 是质量/长度的表示。

公制计算可以全程使用毫米：$A$ 以 ${\text{mm}}^2$ 表示，$I_x$ 和 $I_y$ 以 ${\text{mm}}^4$ 表示，$W_x$ 和 $W_y$ 以 ${\text{mm}}^3$ 表示，$r_x$ 和 $r_y$ 以 mm 表示，$J$ 以 ${\text{mm}}^4$ 表示，$C_w$ 以 ${\text{mm}}^6$ 表示。也可以使用米、厘米，或采用已发布表格所选定的混合单位。两种单位制本身都不更安全。危险在于切换单位制时没有同时改变长度的幂次。

美国钢结构协会指出，AISC Shapes Database v16.0 同时以美国惯用单位和公制单位提供尺寸与截面性质（AISC，2023）。AISC 第 1 部分“尺寸与性质”（“Dimensions and Properties”）是第 16 版《钢结构设计手册》中用于查阅表列尺寸和几何性质的参考部分。ANSI/AISC 360-16 定义了包括 $I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$ 和 $C_w$ 在内的量。计算时应明确每个数值由 AISC 的哪一列以及哪种单位制提供，而不应在没有列标题的情况下直接抄录数值。

一种有用的核查方式如下：

\[ \begin{array}{lll} \text{长度：} & L & \text{in、mm 或 m}\\ \text{面积：} & A & \text{in}^2\text{ 或 mm}^2\\ \text{截面二次矩：} & I_x,I_y & \text{in}^4\text{ 或 mm}^4\\ \text{截面模量：} & W_x,W_y & \text{in}^3\text{ 或 mm}^3\\ \text{半径：} & r_x,r_y & \text{in 或 mm}\\ \text{扭转常数：} & J & \text{in}^4\text{ 或 mm}^4\\ \text{翘曲常数：} & C_w & \text{in}^6\text{ 或 mm}^6\\ \text{单位长度质量：} & m' & \text{lb/ft 或 kg/m} \end{array} \]

不同参考资料对截面模量所使用的确切符号可能不同；除非资料来源对其进行了定义，否则 $S$、$W$ 和 $Z$ 不可互换。弹性截面模量和塑性截面模量的量纲相同，均为 ${\text{length}}^3$，但二者是不同的性质。

截面性质中的长度幂次

这些幂次直接来自定义。面积是 $\mathrm{dA}$ 的积分，因此按 $L^2$ 缩放。形心轴截面二次矩的定义例如为

$$I_x={\int }_A{y}^2\mathrm{dA},$$

因此按 $L^4$ 缩放。Abaqus 通过对横截面面积内的坐标距离平方进行积分来描述 $I_{11}$ 和 $I_{22}$；其惯性积 $I_{12}$ 则使用两个坐标距离的乘积。相同的量纲逻辑也适用于 $I_{\mathrm{xy}}$ 和极惯性矩。

截面模量为 $W_x=I_x/c_x$，量纲为 $L^3$。回转半径为 $r_x=\sqrt{I_x/A}$，量纲为 $L$。Saint-Venant 扭转常数 $J$ 的量纲为 $L^4$，而翘曲常数 $C_w$ 的量纲为 $L^6$。单位长度质量的量纲为质量除以长度，例如 kg/m。

这就是长度换算错误会变得非常严重的原因。由于 $1\text{in}=25.4\text{mm}$，

$$1{\text{in}}^4=(25.4{)}^4{\text{mm}}^4\approx 416,232{\text{mm}}^4.$$

线性换算中因子 25.4 的错误，会在 $I$ 或 $J$ 中转化为约 416,000 倍的四次方误差，并在 $C_w$ 中转化为约 2.68 亿倍的六次方误差。截面模量带有三次方，因此其误差因子为 ${25.4}^3$，约为 16,387。不要在保持单位标签不变的情况下仅“换算数值”。

对于组合截面，在应用形心公式或平行轴定理之前，应列出每个组成部分的全部尺寸及其单位。偏移项 $A{d}^2$ 必须与组成部分惯性矩具有相同的 $L^4$ 单位。软件核查可以提供帮助：Missouri S&T 的 MDSolids 可报告形心位置、截面二次矩、截面模量、回转半径、塑性模量、极惯性矩和主惯性矩，因此适合用于独立完成量纲标注后的对比核查。

欧洲表格中的表示惯例

欧洲表格通常使用厘米表示计算得到的截面性质。Steel Construction Institute 的 Blue Book 列出了欧洲型钢的面积、截面二次矩、弹性和塑性截面模量、回转半径、扭转常数以及翘曲常数。典型表头为：$A$ 的单位为 ${\text{cm}}^2$，$I$ 的单位为 ${\text{cm}}^4$，$W$ 的单位为 ${\text{cm}}^3$，$i$ 的单位为 cm，$J$ 的单位为 ${\text{cm}}^4$，而 $C_w$ 的单位为 ${\text{dm}}^6$。ArcelorMittal 表示，欧洲计算得到的性质通常以厘米为单位报告，而表面积采用以米为基础的单位，翘曲常数采用以分米为基础的单位。因此，一张表中可能在以厘米为基础的截面性质旁边，同时列出 kg/m 的质量、${\text{m}}^2/\text{m}$ 的表面积以及 ${\text{dm}}^6$ 的 $C_w$。

不要将 EN 10365:2026 与截面性质表混淆。EVS 指出，该标准规定了热轧槽钢、工字钢和 H 型钢的名义尺寸与质量。Blue Book 则根据截面尺寸计算并列表给出几何性质。在使用任一资料来源之前，应确认确切的型材标 designation、标准、版本、轴线约定以及单位表头。随后，应在抄录的输入值和计算得到的输出值旁边重复标明这些单位。量纲核查不是文书工作的装饰；它是验证所选截面及其报告几何性质确实为设计中所采用对象的一部分。

组合钢截面的完整计算流程

组合截面在作为钢构件进行处理之前，应先按照几何形状进行计算。对于给定的一组尺寸，钢材牌号不会改变毛截面面积、形心、截面二次矩或弹性截面模量。ASTM A992 或 S355 等牌号会影响承载力和设计验算，但不会使相同的截面在几何上变大或刚度更高。

下面的示例采用由三个矩形焊接组装而成的对称工形截面：

• 上翼缘：$200\times 20$ mm
• 腹板：$20\times 160$ mm
• 下翼缘：$200\times 20$ mm
• 总高度：$200$ mm

这些尺寸仅描述几何形状。钢材是 ASTM A992、S275、S355 还是其他牌号，是另一个独立问题。

分解截面

首先绘制带尺寸标注的草图。标明总宽度和总高度、各板件厚度、原点以及坐标轴的正方向。令 $x$ 轴为水平方向，$y$ 轴为竖直方向，原点位于整体外包矩形的左下角。对于截面特性计算，标出最终的形心轴 $x_c$ 和 $y_c$ 也很有帮助。

将截面划分为互不重叠的矩形。对于本例：

腹板从 $y=20$ 延伸至 $y=180$，因此其形心位于 $y=100$。总面积为

$$A=\sum A_i=\mathrm{4,000}+\mathrm{3,200}+\mathrm{4,000}=\mathrm{11,200}{\text{mm}}^2.$$

这种划分方式有意避免了重叠。一个常见错误是采用整体 $200\times 200$ 矩形，然后仅扣除两侧空缺，而不检查所得区域是否与实际焊接组装截面相符。对于含有孔洞、槽口、切口或其他开孔的截面，应将缺失区域表示为负面积。其静矩和惯性项也必须带负号。

当三角形、圆形、空心圆或其他基本图形能够更准确地描述形状时，也可以采用这些图形进行分解。例如，空心圆孔可表示为一个外部正圆和一个内部负圆。相同的符号约定适用于后续的所有求和计算。

计算形心和惯性矩

首先根据静矩计算形心：

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

对于本截面，

$$\overline{x}=\frac{\mathrm{4,000}\left(100\right)+\mathrm{3,200}\left(100\right)+\mathrm{4,000}\left(100\right)}{\mathrm{11,200}}=100\text{mm}.$$

由于上、下翼缘完全相同且对称布置，

$$\overline{y}=\frac{\mathrm{4,000}\left(10\right)+\mathrm{3,200}\left(100\right)+\mathrm{4,000}\left(190\right)}{\mathrm{11,200}}=100\text{mm}.$$

因此，形心位于几何中心。对于不对称的组合截面，不要直接假定这一结果，应进行计算。

对于每个矩形，先计算其自身形心轴的截面惯性矩：

\[ I_{x,i,\text{local}}=\frac{b h^3}{12}, \qquad I_{y,i,\text{local}}=\frac{h b^3}{12}. \]

然后利用平行轴定理，将各项转换到共同的形心轴：

$$I_x=\sum (I_{x,i,\text{local}}+A_i{d}_{y,i}^2),$$ $$I_y=\sum (I_{y,i,\text{local}}+A_i{d}_{x,i}^2),$$

其中 \(d_{y,i}=y_i-\bar y\)，\(d_{x,i}=x_i-\bar x\)。

对于 $I_x$，两个翼缘的形心距离均为 $90$ mm，而腹板的距离为零。翼缘自身的惯性矩为

$$\frac{200(20{)}^3}{12}=\mathrm{133,333}{\text{mm}}^4,$$

腹板自身的惯性矩为

$$\frac{20(160{)}^3}{12}=\mathrm{6,826,667}{\text{mm}}^4.$$

因此，

$$I_x=2[\mathrm{133,333}+\mathrm{4,000}(90{)}^2]+\mathrm{6,826,667}$$ $$I_x=\mathrm{71,893,333}{\text{mm}}^4.$$

对于 $I_y$，所有构件均满足 \(x_i=\bar x=100\) mm，因此不需要进行水平方向的平行轴转换：

$$I_y=2\left[\frac{20(200{)}^3}{12}\right]+\frac{160(20{)}^3}{12}$$ $$I_y=\mathrm{26,773,333}{\text{mm}}^4.$$

惯性积为

$$I_{\mathrm{xy}}=\sum (I_{\mathrm{xy},i,\text{local}}+A_i{d}_{x,i}{d}_{y,i}).$$

当矩形的边平行于坐标轴时，其自身形心惯性积为零。在本例中，三个构件均满足 $d_x=0$，因此

$$I_{\mathrm{xy}}=0.$$

这一结果具有重要意义。对于该双轴对称截面，所选的形心轴同时也是主轴。

计算值

弹性截面模量由最外纤维到形心轴的距离确定：

\[ S_x=\frac{I_x}{c_y}, \qquad S_y=\frac{I_y}{c_x}. \]

最外纤维到两个形心轴的距离均为 $100$ mm：

$$S_x=\frac{\mathrm{71,893,333}}{100}=\mathrm{718,933}{\text{mm}}^3,$$ $$S_y=\frac{\mathrm{26,773,333}}{100}=\mathrm{267,733}{\text{mm}}^3.$$

上述数值是弹性截面模量，不是塑性截面模量。塑性截面模量需要通过塑性中和轴计算和面积重新分配确定。它们也不同于回转半径：

$$r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}=\sqrt{\frac{\mathrm{71,893,333}}{\mathrm{11,200}}}=80.1\text{mm},$$ $$r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}=\sqrt{\frac{\mathrm{26,773,333}}{\mathrm{11,200}}}=48.9\text{mm}.$$

对于这两个相互垂直的 $x$ 轴和 $y$ 轴，关于形心的极惯性矩为

$$I_p=I_x+I_y=\mathrm{98,666,666}{\text{mm}}^4.$$

这一恒等式并不意味着可以将 $I_p$ 当作扭转常数 $J$。对于相同的薄壁开口工形截面，圣维南扭转常数的初步估算为

$$J\approx \sum \frac{b_i{t}_i^3}{3}.$$

采用两个翼缘板和一块腹板计算，

$$J\approx 2\left(\frac{200(20{)}^3}{3}\right)+\frac{160(20{)}^3}{3}=\mathrm{1,493,333}{\text{mm}}^4.$$

对于开口截面而言，该数值远小于 $I_p$，这是符合预期的。该近似忽略了部分连接部位和厚度细节，因此不能替代规范表、经验证的薄壁计算或有限元截面特性计算方法。翘曲常数 $C_w$ 需要单独进行翘曲计算，或采用有文件依据的参考值；不能通过重新标记 $I_x$、$I_y$ 或 $J$ 来得到。

对于标准轧制截面，应将手算结果与相关表格中对应版本和精确截面形式的数据进行比较。美国钢结构学会指出，2023 年发布的 AISC Shapes Database v16.0 提供以美国惯用单位和公制单位表示的尺寸与截面特性；第 16 版《钢结构设计手册》第 1 部分则是标准尺寸和几何特性的参考部分。在欧洲，SCI P363（通常称为《蓝皮书》）列出面积、截面二次矩、弹性和塑性截面模量、回转半径、$J$ 以及 $C_w$。EVS-EN 10365:2026 规定公称尺寸和质量；其本身不能替代截面特性表。

根据对称性和软件进行验证

在信任计算结果之前，先检查对称性。相等的翼缘使形心位于截面中部，而左右宽度相等则使形心位于竖直中心线上。由于该截面对两个轴均对称，当坐标轴为形心轴且与对称轴重合时，$I_{\mathrm{xy}}$ 必须为零。若计算结果不为零，则说明可能存在构件坐标放置错误、重叠、漏板或符号错误。

接下来检查单位。如果尺寸以毫米输入，则面积单位为 ${\text{mm}}^2$，截面二次矩和 $J$ 的单位为 ${\text{mm}}^4$，截面模量的单位为 ${\text{mm}}^3$，回转半径的单位为毫米。欧洲表格通常使用厘米表示计算所得的截面特性；ArcelorMittal 2024 年的说明文件指出，表面积采用以米为基础的单位，而翘曲常数采用以分米为基础的单位。未经换算直接比较，可能因 $10$、${10}^2$、${10}^3$ 或更大的倍数而产生错误。

可以使用 Missouri S&T 的 MDSolids 截面特性模块进行独立校核，该模块的相关文档于 2024 年发布。将三个矩形作为一个通用组合形状输入；如果所选分解方式与之相符，也可以输入外部矩形并扣除两个空缺区域。比较面积 $A$、形心坐标、$I_x$、$I_y$、$I_{\mathrm{xy}}$、截面模量、回转半径以及主惯性矩。MDSolids 可针对通用截面和标准钢截面报告这些量。

Abaqus 提供了有用的定义检查：其 2024 年文档将 $I_{11}$ 和 $I_{22}$ 描述为在截面面积上对坐标距离平方进行积分，并将 $I_{12}$ 描述为对坐标距离乘积进行积分。不同软件可能会调换轴标签、改变 $I_{\mathrm{xy}}$ 的符号约定，或报告关于不同原点的截面特性。因此，结果不一致可能是由于坐标轴错误、漏掉负面积、形心计算错误、单位不一致，或采用了不同的定义，例如毛面积与净面积、弹性模量与塑性模量，或者圣维南扭转常数 $J$ 与极惯性矩之间的区别。在修改手算结果之前，应先检查输入几何形状和截面特性的定义。

软件、数值积分与主要特性

通用截面计算器

通用截面计算器用于评估几何特性。它不会判断钢构件是否通过设计验算、由哪一种极限状态控制，也不会判断某一特定钢材牌号是否适用。将牌号从 ASTM A992 更改为 ASTM A572 Grade 50，会改变设计标准规定的材料承载力；但对于几何形状未变的截面，它不会改变面积、形心、面积二次矩或扭转常数。这些量由边界坐标和材料区域的几何形状决定。

密苏里科技大学（Missouri S&T）的 MDSolids 截面特性模块展示了计算器可能提供的输出范围。其 2024 年文档列出了通用截面和标准钢截面的形心位置、面积二次矩、截面模量、回转半径、塑性截面模量、极惯性矩以及主惯性矩。这些结果分别回答不同的问题。面积 $A$ 表示截面中存在多少材料。$I_x$ 和 $I_y$ 表示该面积相对于指定形心轴的分布程度。弹性截面模量 $S=I/c$ 将这种分布与最外纤维距离联系起来，而塑性截面模量 $Z$ 则来自完全塑化的应力块构造。回转半径 $r=\sqrt{I/A}$ 是一个导出长度，并不是另一种惯性矩。

同样的警示也适用于极惯性矩和扭转相关输出。极惯性矩 $I_p=I_x+I_y$ 描述面积相对于某一点的分布；它本身并不等同于 Saint-Venant 扭转常数 $J$。对于开口截面和闭口截面，$J$ 取决于扭转问题及边界条件；翘曲常数 $C_w$ 描述受到约束的纵向翘曲，其单位也不同。软件窗口将这些数值并列显示，并不意味着它们可以相互替代。

对于组合截面，仍然可以通过手算进行校核。计算每个组成部分的面积和形心，根据面积一次矩求出组合形心，然后对每个组成部分的局部惯性矩应用平行轴定理。密歇根大学的习题课资料介绍了这种组成部分面积法。在信任具有变截面翼缘、圆角、孔洞或切口的截面轮廓之前，可以先使用矩形、三角形、圆形和空心圆形作为有用的测试案例。与美国钢结构协会（American Institute of Steel Construction）于 2023 年发布的 AISC Shapes Database v16.0 进行比较时，应采用完全一致的截面牌号和版本。AISC 声明，该数据库以美国惯用单位制和公制单位提供尺寸及截面特性；这并不意味着可以据此推断外观相似截面的特性。

单位检查不可省略。面积可以采用 ${\mathrm{mm}}^2$，惯性矩采用 ${\mathrm{mm}}^4$，截面模量采用 ${\mathrm{mm}}^3$，回转半径采用毫米。ArcelorMittal 在其 2024 年说明性注释中指出，欧洲计算所得的特性通常以厘米为单位报告，其中表面积和翘曲常数分别采用基于米和分米的单位。Steel Construction Institute 发布的 Blue Book 为欧洲截面报告了面积、面积二次矩、弹性和塑性截面模量、回转半径、扭转常数及翘曲常数。EVS-EN 10365:2026 规定了热轧槽钢、工字钢和 H 型钢的名义尺寸及质量；它并不是计算所得截面特性表的同一份文件。

有限元梁截面定义

有限元程序通常通过对离散化区域进行数值积分来推导梁截面特性。Abaqus 文档于 2024 年更新，其中通过对坐标距离的平方进行积分定义 $I_{11}$ 和 $I_{22}$ 的形心特性，并通过对坐标距离的乘积进行积分定义 $I_{12}$。其示意形式为：

\[ I_{11}=\int_A y^2\,dA,\qquad I_{22}=\int_A x^2\,dA,\qquad I_{12}=\int_A xy\,dA. \]

这些符号的具体含义取决于程序采用的局部坐标系。某一求解器中的 $I_{11}$ 可能对应通常称为 $I_y$ 的量，因此仅凭标签不足以确定其含义。应检查坐标示意图和符号约定。

对于曲线边界、轧制圆角、带孔板、导入的 CAD 轮廓以及由许多材料区域组成的截面，数值积分尤其有用。程序将区域划分为单元或截面元素，计算所需的坐标和权重，并累加各部分的贡献。网格细化应使形心、面积和惯性矩的数值逐渐收敛。粗网格可能抹去小孔、使圆角失真，或使形心发生足以影响薄壁截面的偏移。网格视觉上平滑，并不能证明截面特性已经收敛。

有限元梁定义还包含一些仅凭几何形状无法确定的选择。应检查截面被定义为实体、薄壁、开口还是闭口；剪切面积是由程序计算还是由用户输入；以及扭转和翘曲特性是否基于同一离散化方式推导。必须确认每个材料区域。钢翼缘、灌浆槽、焊缝理想化区域、空隙、涂层或复合材料嵌件都必须明确指定。在组合截面中，如果某个区域被遗漏、重复计算，或被赋予错误的材料，则即使外部轮廓看起来正确，报告的刚度和质量也可能是错误的。

最重要的是，确定特性的基础：毛截面、净截面、有效截面、弹性截面还是塑性截面。毛截面面积包括所定义的完整截面。净面积可能扣除螺栓孔或其他扣减部分。有效截面特性可能反映局部屈曲规定，而弹性和塑性截面模量描述的是不同的应力分布。截面特性求解器通常只计算所要求的数学量；它不会根据 ANSI/AISC 360-16 确定有效宽度，不会依据 Eurocode 规则对板件进行分类，也不会进行构件屈曲验算。ANSI/AISC 360-16 将 $I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$ 和 $C_w$ 确定为钢结构设计中的相关量，但设计条文决定了这些量应如何使用。

主惯性矩与旋转轴

当 $I_{\mathrm{xy}}\ne 0$ 时，所选的形心轴并不是主轴。将坐标轴旋转角度 $\theta$ 后，可以在主方向上消除惯性积。主惯性矩是形心惯性矩阵的特征值：

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2}.$$

$I_{\mathrm{xy}}$ 的符号约定会影响报告的角度，因此必须结合程序的轴定义解读软件结果。对于双轴对称的工字截面，通常的形心对称轴已经是主轴，并且 $I_{\mathrm{xy}}=0$。不等边角钢、槽钢、倾斜板或不对称切口通常需要进行旋转变换。

主特性并不自动等同于设计所需的特性。柱可能绕弱主轴屈曲，而梁的弯曲可能规定在建筑轴线或构件轴线上。壳模型或梁模型还可能使局部截面轴相对于整体坐标系发生旋转。应同时记录这两套坐标系，然后以一致的方式变换内力、弯矩和截面特性。在接受结果之前，应细化网格、核实方向、检查材料区域的分配、确认单位，并将简单极限情况与 MDSolids 或标准表格进行比较。软件负责执行算术运算；工程师仍需定义几何形状、选择特性基础，并决定这些数值的含义。

精度、舍入、公差与截面型号识别

只有在已知截面几何定义的情况下，截面特性值才具有实际意义。例如，$I_x$ 的数值取决于横截面形状、参考轴以及单位制。它并不是附加在工字形构件上的通用标签。出版资料中的 $I_x$ 可能描述的是热轧欧洲 HEA 截面、美国 W 形截面、理想化薄壁截面，或经过测量的试件。这些描述不能相互替代。

标称尺寸与实测尺寸

标准型号通常对应标称尺寸。EVS-EN 10365:2026 规定了热轧槽钢、工字钢截面和 H 形截面的标称尺寸与质量；但它并未声称每个制造出的截面都具有完全尖锐的转角、绝对恒定的厚度，或无限精确的尺寸。例如，标称 HE 200 A 通过其标准型号和标称尺寸系列进行识别，而实际翼缘厚度、腹板厚度、截面高度及转角几何形状则受制造公差影响。

这一差异解释了为什么即使算术过程正确，手算结果仍可能与表格数值不一致。简单计算可能将工字形截面理想化为两个翼缘矩形和一个腹板矩形。实际制造的截面包含腹板与翼缘之间的圆角、翼缘或腹板的锥度，以及转角半径。去除或增加这些区域会改变面积和形心位置，进而改变 $I_x$、$I_y$、截面模量以及回转半径。对于面积而言，这种影响通常较小；但对于截面二次矩，影响可能更为显著，因为距离形心较远的材料，其贡献取决于距离的平方。

应将以下三种几何形状明确区分：

1. 标称标准几何形状： 由型材标准或截面表规定的尺寸。 2. 实测轧制件几何形状： 从某个特定轧制构件上记录的尺寸，包括其实际半径、厚度、锥度和偏差。 3. 理想化分析几何形状： 为手算、有限元模型或初步设计而选定的简化模型。

表列特性值通常对应于基于标称尺寸和型材几何形状所建立的明确计算模型，而不是对某根梁进行随机卷尺测量的结果。如果实测翼缘比标称值厚 1.5 mm，则所得面积和惯性矩可能与出版值不同。实测值并不自动意味着更加正确；它回答的是不同的问题。

同样的问题也适用于组合截面。如果将两块钢板建模为彼此接触的矩形，计算可能会忽略焊缝金属、间隙、掏角切口、螺栓孔或连接板。对于组合截面，必须根据所声明的几何形状，应用各组成部分的面积、一次矩、形心坐标以及平行轴定理。所得结果属于该模型，不一定适用于目录中的轧制截面。

软件并不能免除定义几何形状的必要性。Abaqus 文档通过面积积分定义形心特性：$I_{11}$ 和 $I_{22}$ 对坐标距离的平方进行积分，而 $I_{12}$ 对坐标距离的乘积进行积分。Missouri S&T 的 MDSolids 同样会针对指定形状报告形心位置、截面二次矩、截面模量、回转半径、塑性截面模量、极惯性矩和主惯性矩。这些输出结果对于输入几何形状而言是精确的，但显示精度并不能使不确定的输入尺寸变得准确。

舍入与有效数字

舍入应在计算完成后进行，而不应在每个中间步骤中进行。在计算截面二次矩之前，将 9.8 mm 的翼缘厚度替换为 10 mm 可能导致明显差异，尤其是在翼缘远离形心的情况下。将最终结果舍入到数据源所支持的精度，比根据仅精确到毫米的尺寸报告 $I_x=\mathrm{12,847,391.672}{\text{mm}}^4$ 更为合理。

有效数字应同时反映尺寸精度和计算目的。设计校核在内部计算中可能需要保留比图纸注释更多的数字，而初步比较则可以合理地表示为 $I_x=1.28\times {10}^8{\text{mm}}^4$。不要根据电子表格中多余的小数位推断制造精度。

单位换算需要特别谨慎，因为截面特性具有不同的量纲。面积按长度的平方缩放，截面二次矩和扭转常数按长度的四次方缩放，截面模量按长度的三次方缩放，而回转半径按长度的一次方缩放。因此，$I_x$ 的换算错误远不只是简单的毫米到米的换算错误。欧洲表格通常以厘米为单位报告计算所得的截面特性；ArcelorMittal 说明，其表面面积和翘曲常数分别采用以米和分米为基础的单位。必须读取每一列旁边标注的单位，而不能想当然。

舍入也会影响不同来源之间的比较。一张表可能将 $I_x$ 保留三位有效数字，另一张表则保留六位，尽管两者采用了相同的几何形状。在将细小差异视为错误证据之前，应首先核对单位、轴的方向、圆角的处理方式以及显示精度。

版本与型号控制

计算中使用的每个截面特性值都应附带五项标识：确切的截面型号、适用标准、版本或数据库版本、轴的约定，以及表格或来源位置。还应注明单位制。“W310 $I_x$”是不完整的；“W310×97，AISC Shapes Database v16.0，美国惯用单位，强轴形心轴，第 1 部分表格”则具有可追溯性。

美国钢结构协会指出，2023 年发布的 AISC Shapes Database v16.0 以美国惯用单位和公制单位提供尺寸与特性。AISC 第 1 部分是第 16 版《钢结构施工手册》中关于表列尺寸和几何特性的参考部分。ANSI/AISC 360-16 对包括 $I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$ 和 $C_w$ 在内的量作出了定义，但该规范不会使一个未明确的截面型号具备可识别性。

对于欧洲截面，SCI P363《The Blue Book》提供尺寸和截面特性，包括面积、截面二次矩、弹性和塑性截面模量、回转半径、扭转常数以及翘曲常数。必须保留其截面系列和型号。不要仅仅因为标称高度看起来相近，就将 HEA 表中的 $I_x$ 数值复制到 HEB、W 形截面或其他截面系列的计算中。不要在未核对基础几何形状和轴定义的情况下，将 EN 10365 的标称尺寸与美国表格中的特性约定混用。

钢材牌号不会改变几何截面特性。S275、S355、ASTM A572 Grade 50 和 ASTM A992 描述的是材料或产品要求；改变牌号会改变承载力计算和设计校核，但不会改变同一截面的面积或惯性矩。如果某一来源针对不同牌号列出了不同的几何尺寸，这种差异源于所选产品或制造标准，而不是因为钢材在几何意义上变得更强。

截面特性如何进入钢结构设计验算

只有在确定了截面、材料、荷载、约束条件以及适用标准之后，截面特性才会进入设计验算。截面特性描述的是几何性质，而不是强度。无论钢材是 ASTM A992 还是 ASTM A36，毛截面面积 $10,000{\text{mm}}^2$ 都保持不变；钢材牌号改变的是屈服应力 $F_y$ 和抗拉强度 $F_u$ 等参数，而不是计算得到的截面尺寸。

这一点可以避免一种常见错误：在未确认数值所代表的物理量之前，仅仅因为某个数值“看起来更强”就选择较大的数值。面积 $A$、截面二次矩 $I_x$ 和 $I_y$、截面模量 $S_x$、$S_y$、$Z_x$ 和 $Z_y$、回转半径 $r_x$ 和 $r_y$、扭转常数 $J$，以及翘曲常数 $C_w$ 的单位各不相同，并且分别用于不同的极限状态。

ANSI/AISC 360-16 规定了美国截面特性中所使用的相关量，包括 $I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$ 和 $C_w$。AISC《钢结构施工手册》第16版中的第1部分“尺寸与特性”（Dimensions and Properties）是查阅表列尺寸和几何特性的参考部分。American Institute of Steel Construction 于2023年发布的 AISC Shapes Database v16.0，以美国惯用单位和公制单位提供这些尺寸和特性。准确的截面标 designation 和数据库版本仍然十分重要：W14×90 不能与另一种 W14 截面互换，即使其名义高度看起来相近。

轴心受压与回转半径

对于同心轴力，毛截面面积是首先考虑的几何量。平均直接应力可用 $P/A$ 表示，但仍须遵循适用的抗力系数、屈服或断裂条文，以及针对孔洞、纤细构件或其他规定条件所要求的折减。因而，面积直接反映了承担轴力的材料数量，但不能说明这些材料如何分布在形心周围。

这种分布控制柱的屈曲。回转半径为

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}, \qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

对于构件长度 $L$，相应的长细比通常采用 $\mathrm{KL}/r_x$ 和 $\mathrm{KL}/r_y$ 表示，其中 $K$ 代表有效长度条件。较小的回转半径通常对应更不利的弯曲屈曲轴，因为相同的构件长度会产生更大的长细比。宽翼缘截面可能具有较大的面积，但由于 $r_y$ 远小于 $r_x$，仍可能容易绕弱轴发生屈曲。

这就是面积与回转半径不能相互替代的原因。增大翼缘宽度可以提高 $I_x$、$I_y$ 或两者，而在形心附近增加材料可能只会增加 $A$，却无法同等程度地改善屈曲抗力。边界条件、支撑、残余应力、初始弯曲、荷载偏心以及局部长细比也会影响受压承载力。几何特性只是设计输入之一；它本身不能决定构件的最终抗力。

弯曲抗力与截面模量

截面二次矩衡量的是对曲率的抵抗能力，即抗弯刚度，而不是材料的直接强度。绕 $x$ 轴发生弹性弯曲时，

$$\sigma =\frac{M_{x}y}{I_x},$$

其中 $y$ 是距中性轴的距离。弹性截面模量为

$$S_x=\frac{I_x}{c_x},$$

其中 $c_x$ 等于中性轴到最外缘纤维的距离。相应的弯曲应力关系为 $M_x/S_x$。绕 $y$ 轴的定义相同。

由于 $I_x$ 包含距轴距离的平方，布置在远离中性轴位置的材料对抗弯刚度和弹性弯曲抗力贡献很大。这解释了工字形截面的高效性：其翼缘将大部分面积布置在远离强轴中性轴的位置，而腹板连接两侧翼缘并承担剪力。

塑性弯曲使用不同的截面特性。塑性截面模量 $Z_x$ 基于由塑性中性轴分隔的全截面屈服应力分布，而不是基于 $S_x$ 所采用的最外缘纤维距离。对于能够发展塑性性能的塑性或紧凑截面，设计表达式可能包含 $F_y{Z}_x$；而弹性极限表达式则包含 $F_y{S}_x$，具体取决于适用标准的规定。$Z_x$ 不能替代 $S_x$，二者也都不是材料强度值。

适用的抗弯抗力还取决于翼缘和腹板的长细比、侧向支撑、无支撑长度 $L_b$、荷载作用位置、端部约束以及弯扭屈曲。即使某截面具有较大的 $Z_x$，如果其受压翼缘支撑不足，弯曲抗力仍可能降低。因此，应结合 ANSI/AISC 360-16 的相关条文阅读 AISC 表格，而不能将表格直接视为完整的设计结果。

欧洲截面表格采用不同的编排惯例，但所反映的物理区别相同。Steel Construction Institute 的 Blue Book 为欧洲截面提供面积、截面二次矩、弹性和塑性截面模量、回转半径、$J$ 以及 $C_w$。EVS 说明，EVS-EN 10365:2026 规定了热轧槽钢、工字钢和 H 型钢的名义尺寸与质量；该标准本身并不能替代截面特性表。ArcelorMittal 报告称，计算得到的欧洲截面特性通常以厘米为单位，而表面积和翘曲常数分别采用以米和分米为基础的单位。单位换算错误可能使结果相差数个数量级。

扭转、屈曲与相互作用

扭转会引入在简化梁讨论中经常被忽略的截面特性。扭转常数 $J$ 描述 Saint-Venant 扭转行为，并且受截面是开口还是闭口的影响很大。与面积相近的开口工字形、槽形或角形截面相比，薄壁闭口截面通常能够更有效地抵抗均匀扭转，因为闭合壁可以形成环流剪应力流。

翘曲常数 $C_w$ 描述受约束纵向翘曲所对应的抗力。当开口截面承受扭转时，尤其是在端部条件、横隔板、支撑或集中荷载阻止截面自由翘曲的情况下，$C_w$ 变得十分重要。因此，$J$ 与 $C_w$ 的含义不同，二者不能相互作为一般替代量。它们的单位也不同。$C_w$ 通常以长度的六次方表示；若其换算不一致，可能导致扭转或弯扭屈曲计算失效。

弯扭屈曲将强轴弯曲与侧向位移和扭转耦合起来。其响应取决于 $I_y$、$J$、$C_w$、无支撑长度、弯矩梯度、荷载作用点以及端部约束。梁即使具有较大的强轴截面模量，其抗力仍可能受到限制，因为其受压翼缘可以自由侧移，截面也可能发生扭转。受压构件中的扭转屈曲和弯扭屈曲同样不仅取决于 $A$、$I_x$ 和 $I_y$。

轴力、弯矩和扭矩的组合作用需要按照适用设计标准规定的相互作用验算进行检查。连接偏心、螺栓或焊缝布置、局部荷载传递、剪切面积以及构件连续性，都可能改变用于这些验算的内力。当几何轴与主轴不重合时，惯性积 $I_{\mathrm{xy}}$ 和主轴特性也会变得重要，尤其对于不对称角钢、槽钢和组合构件而言。

为进行复核，基于组成部分面积、形心坐标、一次矩和等效轴定理的手算结果，应与可靠表格或软件结果一致。Abaqus 文档通过对面积内坐标距离的平方进行积分定义 $I_{11}$ 和 $I_{22}$，并通过对坐标距离乘积进行积分定义 $I_{12}$；Missouri S&T 的 MDSolids 则独立报告形心、惯性矩、截面模量、回转半径、极惯性矩和主轴特性。这类复核可以在几何量进入钢结构设计验算之前，发现轴向混淆、单位错误以及截面尺寸误读等问题。

钢材牌号、冶金学与几何形状无法告知的信息

截面代号与钢材牌号

截面代号用于标识几何形状；钢材牌号用于标识材料要求。二者不可互换。HEA 200、W14×90 或 L 100 × 100 × 10 描述的是轧制型材及其名义尺寸。仅凭这些信息，无法确定钢材的屈服强度、抗拉强度、化学成分、冲击韧性要求或焊接性分类。

对于截面形状不变的构件，改变牌号并不会改变其几何截面特性。如果同一工字形截面具有相同的翼缘宽度、腹板高度、翼缘厚度和腹板厚度，那么其毛截面面积 $A$、形心、$I_x$、$I_y$、弹性截面模量、回转半径、扭转常数 $J$、翘曲常数 $C_w$ 以及惯性积 $I_{\mathrm{xy}}$ 仍然是相同的几何量。规定屈服强度提高，并不会使该截面获得更大的 $I_x$，也不会增大其回转半径。

这一点虽然是基础概念，但在表格和软件菜单中却经常被忽略。截面特性根据截面内材料的位置和分布计算得到。Abaqus 通过对面积上的坐标距离平方进行积分来表示关于形心轴的二次矩：$I_{11}$ 和 $I_{22}$ 表示这些距离的平方，而 $I_{12}$ 则对坐标距离的乘积进行积分（Abaqus Documentation，2024）。该计算包含几何形状、坐标轴和单位，而不包含屈服强度数值。

截面代号本身也可能不完整。“200 工字截面”可能未注明截面系列、制造标准、质量代号、公差以及标准版本。美国 W14×90 与欧洲 HE 360 B 不会仅仅因为二者都是工字形截面，就被视为具有可比性的标识。在接受表列面积或惯性矩之前，必须记录确切的型材标准。

与几何无关的输入和取决于牌号的输入

尺寸、单位长度名义质量、毛截面面积、形心坐标、面积二次矩、截面模量、回转半径、极惯性矩、$J$、$C_w$、$I_{\mathrm{xy}}$、剪切面积以及塑性截面模量，主要属于截面描述输入。对于均质棱柱形截面，这些量由其横截面几何形状和所选参考坐标轴决定。组合截面的计算使用各组成部分的面积、一次矩、形心坐标以及平行轴定理。相关计算并不要求钢材必须是 S275 而不是 S355，也不要求是 ASTM A36 而不是 ASTM A992/A992M。

质量需要作出一项限定。横截面面积属于几何量；单位长度质量还取决于密度，以及表列数值是否基于名义尺寸。因而，制造公差、角部半径、圆角、孔洞、涂层和腐蚀，都可能导致名义计算值与实际测量构件之间出现差异。这些差异属于几何因素或实际物理状态的影响，并不表明钢材牌号的强度改变了截面特性。

材料规范控制的是另一组输入。这些输入包括规定屈服强度、抗拉强度、延伸率或其他延性指标、断裂韧性、化学成分、交货状态、与焊接性相关的要求以及耐腐蚀性能。它们的影响体现在承载力计算、连接验算、断裂评定、焊接工艺、耐久性评估以及与火灾或温度相关的设计验算中，而不会取代 $I_x$、$I_y$、$J$ 或 $C_w$。

当适用的材料规范不同时，设计可以采用相同的几何形状，但对应不同的承载力数值。这一结论必须依据所引用的材料规范和设计标准得出；不应仅凭牌号名称推断。例如，标明 ASTM A992/A992M 的记录，必须依据该规范的要求进行核查；标明 EN 10025-2 S355 的记录，则必须依据适用版本的 EN 10025-2 及其产品要求进行核查。仅有“S355”或“A992”，而没有适用标准和产品形式，不能作为设计假设的充分依据。

腐蚀需要单独处理，因为它最终可能改变几何形状。原始牌号不会导致 $A$ 或 $I_x$ 发生变化，但金属损失会减小厚度，并可能降低面积、刚度、截面模量和扭转特性。工程师必须对剩余截面进行建模，并分别评估材料要求和环境要求。

结构钢文件

完整的设计记录应同时标明截面标准和材料规范。记录应说明型材代号、名义尺寸或质量代号、标准及其版本、坐标轴约定、单位以及截面特性的来源。同时还应说明钢材牌号、产品标准、规范版本，以及设计所适用的任何补充韧性要求或交货要求。

对于美国项目，美国钢结构协会指出，AISC Shapes Database v16.0 以美国惯用单位和公制单位提供尺寸及截面特性（AISC，2023）。AISC Part 1, Dimensions and Properties 是《第16版钢结构设计手册》中用于查阅表列尺寸和几何特性的参考部分。ANSI/AISC 360-16 定义了包括 $I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$ 和 $C_w$ 在内的相关量（AISC，2021）。这些参考资料提供几何数据和设计定义；材料规范则提供钢材性能。

欧洲记录同样需要作出这种区分。Steel Construction Institute 的 Blue Book 提供面积、面积二次矩、弹性和塑性截面模量、回转半径、扭转常数以及翘曲常数等计算特性（SCI，2024）。EVS-EN 10365:2026 规定了热轧槽钢、工字钢和 H 型钢的名义尺寸及质量；它不能替代截面特性表，也不能替代材料牌号规范。单位同样需要核查：ArcelorMittal 指出，欧洲计算得到的截面特性通常以厘米为单位报告，而表面积和翘曲常数分别采用以米和分米为基础的单位（ArcelorMittal，2024）。

软件输出应保留这一审计追溯链。只有在明确导入的型材、坐标轴、单位制和几何假设后，计算得到的 $I_x$ 才具有明确意义。在同一模型中加入材料牌号，会改变承载力输入，而不会改变截面几何形状。

常见错误与核查清单

使用错误的面积二次矩可能会显著扭曲对屈曲或挠度的预测。 Limited evidence

截面属性错误通常在输入任何方程之前就已经开始了。图纸可能显示了正确的截面轮廓，但由于坐标轴、单位、标准版本或属性定义与设计验算不一致，计算仍可能失败。其结果并非轻微的电子表格误差：使用错误的截面二次矩，可能使屈曲或挠度预测值相差一个数量级。

坐标轴和单位错误

最常见的错误是将 $I_x$ 和 $I_y$ 混淆。对于典型的工字形截面，强轴的截面二次矩远大于弱轴的数值。如果构件绕弱轴弯曲，却输入了强轴的数值，则计算得到的曲率和挠度将远小于实际值。同样的错误也会影响回转半径、弹性截面模量、塑性截面模量，以及所有基于所选坐标轴的屈曲计算。

不同的表格或软件包对坐标轴的标注并不统一。某个资料来源可能将水平质心轴称为 $x$ 轴，而另一个来源可能使用 2 轴；有限元程序则可能根据截面方向定义局部 1 轴和 2 轴。Abaqus 说明，质心轴 $I_{11}$ 和 $I_{22}$ 对坐标距离的平方进行积分，而 $I_{12}$ 对坐标距离的乘积进行积分（Abaqus Documentation, 2024）。在复制数值之前，必须将该定义与图纸进行对应。

单位是第二个容易导致错误的环节。面积以 ${\mathrm{cm}}^2$ 表示、截面二次矩以 ${\mathrm{cm}}^4$ 表示、截面模量以 ${\mathrm{cm}}^3$ 表示时，不能直接与以毫米输入的尺寸结合使用而不进行换算。由于 $1{\mathrm{cm}}^4={10}^4{\mathrm{mm}}^4$，如果在电子表格中遗漏表格换算，就可能产生 10,000 倍的误差。欧洲表格通常以厘米为单位报告计算属性；ArcelorMittal 指出，表面积和翘曲常数也分别采用基于米和分米的单位（ArcelorMittal, 2024）。务必阅读每一列的标题。

质量表并不是属性表。EVS-EN 10365:2026 规定了热轧槽钢、工字形截面和 H 形截面的名义尺寸及质量；该标准本身并不提供弯曲、扭转或屈曲所需的全部计算值。Steel Construction Institute 的 Blue Book 提供截面属性，包括 $I$、弹性和塑性截面模量、回转半径、$J$ 以及 $C_w$。在美国，AISC Shapes Database v16.0 以美国惯用单位和公制单位提供尺寸及属性，而 AISC Part 1 是 Steel Construction Manual 中关于表列尺寸和几何属性的参考部分（AISC, 2023）。

混淆 $J$、$I_p$、$I$、$S$ 和 $Z$

单独使用符号 $I$ 的含义并不完整。它可能表示绕指定坐标轴的质心截面二次矩，例如 $I_x$ 或 $I_y$，也可能出现在 $I_{11}$ 这类软件约定中。截面二次矩的单位是长度的四次方，并通过 $\mathrm{EI}$ 控制弯曲刚度。它不是强度值。

面积极惯性矩通常写作 $I_p$，当 $x$ 和 $y$ 为相互垂直的质心轴时，有

$$I_p=I_x+I_y$$

它表示面积绕某一点的分布情况，可用于某些圆轴和旋转计算。它通常不等同于扭转常数。

扭转常数 $J$ 描述 Saint-Venant 扭转响应。对于实心圆形截面，$J=I_p$，但不应将这一等式推广到工字形截面、槽钢、角钢或薄壁开口截面。对于这些截面，$J$ 可能远小于 $I_p$。闭口截面还会表现出不同的扭转行为，因为剪切流可以沿封闭单元循环流动。翘曲常数 $C_w$ 的单位是长度的六次方，与非均匀扭转和受约束翘曲有关；它不是 $J$ 的另一种形式。ANSI/AISC 360-16 将 $I_x$、$I_y$、$r_x$、$r_y$、$J$ 和 $C_w$ 定义并应用为彼此独立的截面属性（AISC, 2021）。

截面模量术语还会导致另一种反复出现的混淆。弹性截面模量由弹性截面二次矩得到，例如

$$S_x=\frac{I_x}{c_x},$$

其中 $c_x$ 是从中性轴到最外侧纤维的距离。塑性截面模量通常表示为 $Z_x$ 或 $W_{\mathrm{pl},x}$，其依据是完全屈服的塑性应力分布。它不同于 $S_x$，不能仅仅因为二者的单位都是长度的三次方就相互替代。对于对称矩形截面，二者具有简单的关系；但对于翼缘和腹板几何形状不相等的轧制截面，这一区别十分重要。

在面积计算中，孔洞、切角和空隙必须扣除。在将手算模型与轧制型钢表格进行比较时，也不能随意忽略圆角。对于组合截面，平行轴项为 $A{d}^2$，其中 $d$ 是组成部分的质心与组合截面质心轴之间的垂直距离。使用总高度、翼缘厚度，或使用相对于错误基准轴测量的距离，都会产生看似合理但实际错误的结果。

设计使用前的独立核查

一个属性在进入设计模型之前，应通过不止一项检验。首先，应绘制准确的截面草图，包括孔洞、圆角、钢板、焊接附加部分，以及构件中采用的方向。标出质心轴，并确定这些坐标轴是否为主轴。对于对称轴，当坐标轴与该对称性一致时，惯性积应为零。

接下来，应独立计算一个简单的基准值。矩形、三角形、圆形和空心圆形可用于核查面积、质心、$I$、$I_p$ 和截面模量。对于组合截面，应计算各组成部分的面积和一次矩，确定质心位置，然后分别对每条坐标轴应用平行轴定理。如果电子表格和截面属性程序用于独立比较，则二者不应共享相同的隐藏输入或公式。以 Missouri S&T 的 MDSolids 资源为例，它可针对通用及标准钢截面报告质心、截面二次矩、截面模量、回转半径、塑性截面模量、面积极惯性矩和主惯性矩（Missouri S&T, 2024）。

最后，应记录确切的资料来源、截面型号、标准版本、单位、坐标轴标注，以及这些数值属于毛截面、净截面、弹性、塑性、Saint-Venant 或翘曲属性中的哪一种。ASTM A992 或 ASTM A36 这类牌号会改变材料抗力和设计验算，但不会改变相同截面尺寸的几何属性。同样，根据适用的欧洲产品标准和设计标准，S355 不会使几何形状完全相同的截面获得不同的 $I$ 或 $J$。

在计算结果用于实际结构之前，核查清单应要求：

• 标注尺寸的草图，包括方向、孔洞、圆角和质心轴；
• 表格资料来源或计算方法的引用；
• 适用的标准及版本，例如 AISC Shapes Database v16.0、16th Edition Steel Construction Manual、SCI P363 或 EVS-EN 10365:2026；
• 明确标示每个输入值和输出值的单位；
• 清楚标注 $x$、$y$、主轴、局部轴或整体坐标轴；
• 独立的手算、软件计算或表格数据对比；以及
• 当该数值会影响实际结构构件或连接时，由具备资质的工程师进行审核。

参考文献

1. [1]American Institute of Steel Construction. AISC Shapes Database v16.0. AISC Shapes Database, 2023. https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/aisc-shapes-database-v160/
2. [2]American Institute of Steel Construction. 16th Edition Steel Construction Manual, Part 1. Steel Construction Manual, 2023. https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/