Berechnungen von Querschnittseigenschaften von Stahl: Flächen, Trägheitsmomente, Widerstandsmomente und Torsion

Was Querschnittseigenschaften von Stahlprofilen messen

Geometrie im Vergleich zu Werkstoffeigenschaften

Eine Querschnittseigenschaft eines Stahlprofils ist eine geometrische Beschreibung eines Querschnitts. Sie wird aus der Form, den Abmessungen und der Lage des Materials bezüglich bestimmter Achsen berechnet. Sie ist kein Maß für die Festigkeit des Stahls.

Die gesamte Querschnittsfläche $A$ ist das einfachste Beispiel. Für ein Rechteck gilt $A=\mathrm{bh}$; bei einem Hohlkreis entspricht sie der Fläche des Außenkreises abzüglich der Fläche des Innenkreises. Die Änderung eines Profils von S275 zu S355 verändert $A$ nicht, sofern die Abmessungen gleich bleiben. Die gleiche Unterscheidung gilt für das Flächenträgheitsmoment zweiter Ordnung, das Widerstandsmoment, den Trägheitsradius, die Torsionskonstante und die Wölbkonstante.

Die Stahlgüte beschreibt das Werkstoffverhalten. S275 und S355 sind Bezeichnungen, die in europäischen Normen verwendet werden, während ASTM A992 eine US-amerikanische Spezifikation für Baustahl ist, die üblicherweise mit Breitflanschprofilen verbunden wird. Streckgrenze, Zugfestigkeit, Duktilität, chemische Zusammensetzung und Schweißeignung können sich unterscheiden. Diese metallurgischen und werkstofflichen Eigenschaften beeinflussen den Widerstand und die Nachweise, machen jedoch eine bestimmte geometrische Querschnittseigenschaft nicht größer. Ein W310×39 mit einer bestimmten Stahlgüte besitzt dieselbe nominelle Fläche und dasselbe Flächenträgheitsmoment wie ein gleiches W310×39, das nach einer anderen Stahlgüte hergestellt wurde.

Die meisten Berechnungen beginnen mit der Beschreibung der Querschnittsfläche durch Koordinaten. Der Schwerpunkt wird aus den Teilflächen und den statischen Momenten erster Ordnung bestimmt:

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

Bei zusammengesetzten Querschnitten überträgt der Satz von Steiner das lokale Flächenträgheitsmoment jeder Teilfläche auf die gemeinsame Schwerpunktachse. Beispielsweise gilt:

$$I_x=\sum (I_{x,i}+A_i{d}_{y,i}^2).$$

Dieses Verfahren gilt für Bleche, Winkelprofile, T-Profile, Kastenprofile und andere zusammengesetzte Geometrien. Die Übung zu Querschnittseigenschaften der University of Michigan stellt diese Methode über Teilflächen vor, während Abaqus die kontinuierliche Form beschreibt: $I_{11}$ und $I_{22}$ integrieren die quadrierten Koordinatenabstände über die Querschnittsfläche, und $I_{12}$ integriert das Produkt der Koordinatenabstände. In der üblichen Bezeichnung entsprechen diese Größen den Flächenträgheitsmomenten zweiter Ordnung im Schwerpunkt und dem Deviationsmoment, vorbehaltlich der Achsenkonvention der Software.

Die Achsenbezeichnungen müssen überprüft und dürfen nicht vorausgesetzt werden. In vielen US-amerikanischen Stahltabellen ist $x$ die Hauptschwerpunktachse und $y$ die Nebenachse; andere Software kann die lokalen Achsen 1 und 2 anders bezeichnen. Ein Querschnitt mit unterschiedlichen Hauptträgheitsmomenten kann für ein gewähltes Achsenpaar $I_{\mathrm{xy}}\ne 0$ aufweisen. Durch die Drehung in die Hauptachsen verschwindet das Deviationsmoment, sodass die Biegeachsen dort entkoppelt sind. Symmetrie führt häufig zu $I_{\mathrm{xy}}=0$, jedoch nur bezüglich einer Symmetrieachse oder eines Hauptachsensystems.

Auch Abmessungen unterliegen Einschränkungen. Eine Tabelle kann Nennabmessungen angeben, während Walztoleranzen, Eckradien, Ausrundungen und Dickenabweichungen die hergestellte Form beeinflussen. Ein Profil, das lediglich als „I-Träger“ bezeichnet wird, ist für eine Bemessung nicht hinreichend genau.

Der bei der Bemessung von Stahltragwerken verwendete Eigenschaftensatz

Die wesentlichen geometrischen Größen stehen miteinander in Beziehung, erfüllen jedoch unterschiedliche Aufgaben.

Die Fläche $A$, mit Einheiten wie ${\mathrm{mm}}^2$ oder ${\mathrm{in}}^2$, wird direkt bei der mittleren Normalspannung aus Normalkraft, $P/A$, verwendet und trägt zum Druckwiderstand bei. Die Schwerpunkt-Flächenträgheitsmomente zweiter Ordnung $I_x$ und $I_y$, angegeben in ${\mathrm{mm}}^4$ oder ${\mathrm{in}}^4$, beschreiben den Widerstand gegen elastische Krümmung um die jeweiligen Achsen. Es handelt sich um Flächenintegrale und nicht um Werkstofffestigkeiten.

Die elastischen Widerstandsmomente sind

\[ S_x=\frac{I_x}{c_x}, \qquad S_y=\frac{I_y}{c_y}, \]

wobei $c$ der Abstand von der jeweiligen Schwerpunktachse zur äußersten Randfaser ist. Die Einheiten sind ${\mathrm{mm}}^3$ oder ${\mathrm{in}}^3$. Die elastische Biegespannung wird üblicherweise als $M/S$ angegeben. Bei einem I-Profil kann das Widerstandsmoment um die Hauptachse ein Vielfaches des Wertes um die Nebenachse betragen. Deshalb verändert die Ausrichtung den Biegewiderstand, selbst wenn die Fläche konstant bleibt.

Die Trägheitsradien sind

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}, \qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

Sie besitzen die Einheit einer Länge. Bei der Bemessung von Stützen ist $\mathrm{KL}/r$ ein Schlankheitsverhältnis; daher helfen $r_x$ und $r_y$, die wahrscheinliche Knickachse zu bestimmen. Eine große Fläche gewährleistet keinen großen Trägheitsradius: Wenn Fläche weit von einer Achse entfernt angeordnet wird, erhöht sich das Flächenträgheitsmoment wesentlich wirksamer, als wenn dieselbe Fläche nahe an dieser Achse konzentriert wird.

Das Deviationsmoment $I_{\mathrm{xy}}$, mit Einheiten der vierten Potenz einer Länge, erfasst die Kopplung zwischen zwei Nicht-Hauptachsen. Das polare Flächenträgheitsmoment

$$I_p=I_x+I_y$$

für zueinander senkrechte Schwerpunktachsen beschreibt die summierte Flächenverteilung um den Punkt. Es darf nicht ohne Weiteres anstelle der Torsionskonstante $J$ verwendet werden. Bei einem Kreisquerschnitt ist der Zusammenhang zwischen dem polaren Flächenträgheitsmoment und dem Torsionsverhalten nach Saint-Venant besonders unmittelbar; bei offenen Walzprofilen ist $J$ gewöhnlich deutlich kleiner als $I_p$ und wird durch die Verteilung der Wanddicken bestimmt.

Die Torsionskonstante $J$ misst die Torsionssteifigkeit nach Saint-Venant und wird üblicherweise in ${\mathrm{mm}}^4$ oder ${\mathrm{in}}^4$ angegeben. Dünnwandige offene Querschnitte wie I-Träger und U-Profile besitzen ein relativ kleines $J$, während geschlossene Kastenprofile einer gleichmäßigen Torsion im Allgemeinen wirksamer widerstehen. Die Wölbkonstante $C_w$, die häufig in ${\mathrm{mm}}^6$ oder ${\mathrm{in}}^6$ angegeben wird, beschreibt den Widerstand im Zusammenhang mit ungleichmäßiger Torsion und Längswölbung. Sie ist insbesondere bei offenen Querschnitten von Bedeutung, deren Flansche sich unter Torsionsbeanspruchung verwölben können.

Die Schubfläche ist eine weitere geometrische Größe. Sie besitzt Flächeneinheiten, ist jedoch im Allgemeinen nicht gleich $A$. Sie stellt die wirksame Fläche dar, die in Formulierungen für Schubverformung oder Schubwiderstand verwendet wird; ihre Werte hängen von der Belastungsrichtung und der Querschnittsform ab. Das plastische Widerstandsmoment $Z_x$ oder $Z_y$, auch plastisches Querschnittswiderstandsmoment genannt, wird bestimmt, indem die plastische Neutralachse lokalisiert und die statischen Momente erster Ordnung der plastifizierten Teilflächen summiert werden. Es unterscheidet sich vom elastischen Widerstandsmoment $S$: $S$ bezieht sich auf das erstmalige Fließen an einer äußersten Randfaser, während $Z$ sich auf einen vollständig plastifizierten, idealisierten Querschnitt bezieht.

Die Ressource MDSolids der Missouri S&T führt die Schwerpunktlage, Flächenträgheitsmomente zweiter Ordnung, das Widerstandsmoment, den Trägheitsradius, das plastische Widerstandsmoment, das polare Flächenträgheitsmoment und die Hauptträgheitsmomente als getrennte Ergebnisse für allgemeine und genormte Stahlprofile auf. Diese Trennung ist erforderlich.

Warum bei demselben Querschnitt mehrere maßgebende Eigenschaften existieren

Ein Bauteil besitzt keine universelle „Tragfähigkeitseigenschaft“, da unterschiedliche Einwirkungen unterschiedliche Spannungs- und Verformungsverteilungen erzeugen.

Zug infolge einer Normalkraft steht in erster Linie mit der Fläche sowie mit den maßgebenden Bestimmungen zur Nettofläche und zu den Anschlüssen in Zusammenhang. Druck infolge einer Normalkraft hängt von der Fläche, der Streckgrenze des Werkstoffs, der nicht ausgesteiften Länge, der Knicklänge und dem kleineren maßgebenden Trägheitsradius ab. Bei Biegung werden $I$, $S$ oder $Z$ zusammen mit der seitlichen Halterung, der lokalen Schlankheit und der Stahlgüte verwendet. Schub hängt von der Schubfläche sowie von den Steg- oder Plattenelementen ab, die den Schub übertragen. Torsion kann von $J$, $C_w$, der Wölbbehinderung und der Lasteinleitung abhängen. Kein einzelner Wert kann diese Nachweise ersetzen.

Aus diesem Grund definiert und verwendet ANSI/AISC 360-16 $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ und $C_w$ als unterschiedliche Querschnittseigenschaften. AISC Part 1, Dimensions and Properties, ist der Referenzabschnitt des Steel Construction Manual 2023 für tabellierte Abmessungen und geometrische Eigenschaften; die AISC Shapes Database v16.0 stellt diese Daten sowohl in US-amerikanischen als auch in metrischen Einheiten bereit. Das Blue Book 2024 des Steel Construction Institute gibt für europäische Profile ebenfalls Flächen, Flächenträgheitsmomente zweiter Ordnung, elastische und plastische Widerstandsmomente, Trägheitsradien, Torsionskonstanten und Wölbkonstanten an.

Die Referenz muss zum Profil und zur Ausgabe passen. EVS-EN 10365:2026 legt Nennabmessungen und Massen für warmgewalzte U-Profile, I-Profile und H-Profile fest; sie ersetzt keine Tabelle der Querschnittseigenschaften. Das Blue Book enthält berechnete geometrische Eigenschaften. ArcelorMittal weist darauf hin, dass berechnete europäische Eigenschaften im Allgemeinen in Zentimetern angegeben werden, während die Oberflächenfläche beziehungsweise die Wölbkonstante Einheiten auf Meter- beziehungsweise Dezimeterbasis verwenden. Ein Fehler bei der Einheitenumrechnung kann eine korrekte Formel überlagern.

Tabellierte Werte sollten durch eine Handrechnung oder ein Programm zur Bestimmung von Querschnittseigenschaften überprüft werden, insbesondere bei zusammengesetzten, gelochten, verjüngten oder Verbundquerschnitten. Rundungen können Grenzfälle beeinflussen, und die Achsenbezeichnungen der Software können Haupt- und Nebeneigenschaften vertauschen. Die richtige Frage lautet daher nicht: „Wie groß ist die Festigkeit des Querschnitts?“ Sie lautet: Welche geometrische Eigenschaft gehört zur Einwirkung, welche Achse und welche Einheiten sind maßgebend, und welcher Werkstoff sowie welche Bemessungsnorm liefern die Regeln für den Widerstand?

Das Koordinatensystem, der Schwerpunkt und die Bezugsachsen

Eine Querschnittseigenschaft hat keine vollständige Bedeutung, solange ihre Bezugsachse nicht angegeben ist. „Das Flächenträgheitsmoment eines I-Querschnitts“ ist unvollständig: Der Wert kann sich auf $I_x$, $I_y$, ein Hauptträgheitsmoment oder eine Softwaregröße wie $I_{11}$ beziehen. Derselbe Querschnitt kann bezüglich einer Achse ein großes Flächenträgheitsmoment und bezüglich einer anderen Achse einen wesentlich kleineren Wert besitzen. Daher müssen die Koordinaten festgelegt werden, bevor Abmessungen kombiniert oder Tabellenwerte in eine Bemessungsrechnung übernommen werden.

Für einen ebenen Querschnitt werden in der Querschnittsebene zwei senkrecht aufeinander stehende Koordinaten, üblicherweise $x$ und $y$, gewählt. Ein Punkt in der Fläche hat die Koordinaten $(x,y)$, und eine infinitesimale Fläche wird mit $\mathrm{dA}$ bezeichnet. Die Gesamtfläche ist

$$A={\int }_A\mathrm{dA}.$$

Die statischen Momente der Fläche bestimmen die Lage des Schwerpunkts:

\[ \bar{x}=\frac{1}{A}\int_A x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\int_A y\,dA. \]

Diese Gleichungen besagen, dass der Schwerpunkt ein flächengewichteter Mittelwert aller Koordinaten ist. Ein größerer Bestandteil trägt stärker bei als ein kleinerer Bestandteil im gleichen Abstand. Sie zeigen außerdem, weshalb der Schwerpunkt im Allgemeinen nicht mit dem geometrischen Mittelpunkt des umschließenden Rechtecks übereinstimmt. Ein U-, Winkel-, T- oder unsymmetrischer zusammengesetzter Querschnitt kann einen Schwerpunkt besitzen, der deutlich von der scheinbaren Mitte seiner Gesamttiefe und Gesamtbreite entfernt liegt.

Schwerpunktbezogene Koordinaten

Sobald $(\overline{x},\overline{y})$ bekannt ist, werden schwerpunktbezogene Koordinaten definiert:

\[ x'=x-\bar{x},\qquad y'=y-\bar{y}. \]

Die Schwerpunktachsen verlaufen durch den Schwerpunkt, daher verschwinden ihre statischen Momente:

\[ \int_A x'\,dA=0,\qquad \int_A y'\,dA=0. \]

Diese Verschiebung ist nicht lediglich von formaler Bedeutung. Die schwerpunktbezogenen Flächenträgheitsmomente sind

\[ I_x=\int_A y'^2\,dA,\qquad I_y=\int_A x'^2\,dA, \]

und das Flächenträgheitsprodukt ist

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_{A}x\prime y\prime \mathrm{dA}.$$

Die hier verwendete Indexkonvention folgt der üblichen US-amerikanischen notation im Stahlbau: $I_x$ misst den quadrierten Abstand von der $x$-Achse, und $I_y$ misst den quadrierten Abstand von der $y$-Achse. Daher wird $I_x$ mit $y^2$ und nicht mit $x^2$ berechnet. Diese Unterscheidung ist eine häufige Ursache für vertauschte Werte in Tabellenkalkulationen.

Bei einem zusammengesetzten Querschnitt werden zunächst die Fläche und der Schwerpunkt jedes Bestandteils berechnet und anschließend zusammengeführt. Die Universität Michigan stellt diese Methode der Teilflächen mit statischen Momenten und dem Steinerschen Satz in einer Lehrveranstaltung zu Flächeneigenschaften vor. Beispielsweise gilt

$$I_x={\sum }_i(I_{x,i,c}+A_i{d}_{y,i}^2),$$

wobei $I_{x,i,c}$ der eigene schwerpunktbezogene Wert des Bestandteils und $d_{y,i}$ der vertikale Abstand von dessen Schwerpunkt zur zusammengesetzten Schwerpunkt-$x$-Achse ist. Der entsprechende Ausdruck gilt für die $y$-Achse. Aussparungen werden als negative Flächen behandelt. Ein Rechteck, ein Dreieck, ein Kreis oder ein Hohlkreis kann daher direkt berechnet und anschließend zu einem komplizierteren Stahlquerschnitt zusammengesetzt werden.

Die Einheiten geben Aufschluss über die Art der Größe. Die Fläche hat die Einheit Länge zum Quadrat, während $I_x$, $I_y$ und $I_{\mathrm{xy}}$ die Einheit Länge hoch vier besitzen. Ein Widerstandsmoment hat die Einheit Länge hoch drei, und ein Trägheitsradius hat die Einheit Länge:

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}},\qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

Dies sind keine alternativen Bezeichnungen für das Flächenträgheitsmoment. Sie beantworten unterschiedliche Fragen und können nicht allein deshalb gegeneinander ausgetauscht werden, weil sie dasselbe Profil beschreiben.

Abaqus verwendet ein verwandtes, jedoch nicht identisches Bezeichnungssystem. Die Dokumentation zu Balkenquerschnitten definiert schwerpunktbezogene Eigenschaften durch die Integration quadrierter Koordinatenabstände für $I_{11}$ und $I_{22}$, während $I_{12}$ das Produkt der Koordinatenabstände integriert. Das numerische Ergebnis kann erst dann einem bekannten $I_x$, $I_y$ oder $I_{\mathrm{xy}}$ entsprechen, wenn die lokalen 1–2-Achsen von Abaqus den technischen $x$–$y$-Achsen zugeordnet wurden. Es darf niemals angenommen werden, dass die Zahl nach dem Buchstaben eine US-amerikanische Achsenbezeichnung ist. Die Definition der lokalen Achsen und die Vorzeichenkonvention der Software sind zu überprüfen.

Haupt- und Nebenachsen

Die Hauptachse ist die Schwerpunktachse, die dem größeren Hauptflächenträgheitsmoment zugeordnet ist; die Nebenachse besitzt den kleineren Hauptwert. Bei einem zweifach symmetrischen, an Steg und Flanschen ausgerichteten I-Querschnitt fallen diese Achsen normalerweise mit den geometrischen horizontalen und vertikalen Schwerpunktachsen zusammen. Wenn der Querschnitt im Verhältnis zu seiner Flanschbreite hoch ist, besitzt die mit der Biegung in der starken Richtung verbundene Achse das größere Flächenträgheitsmoment. Die Bezeichnungen müssen dennoch stets an die angegebene Achse gebunden werden, da „starke Achse“ missverstanden werden kann, wenn eine Zeichnung gedreht ist.

Diese Unterscheidung hat unmittelbare Auswirkungen auf die Bemessung. Die elastische Biegespannung verwendet ein auf die gewählte Achse bezogenes Widerstandsmoment:

\[ S_x=\frac{I_x}{c_x},\qquad S_y=\frac{I_y}{c_y}, \]

wobei $c$ der größte Abstand von dieser Achse zur maßgebenden äußersten Faser ist. Knickberechnungen verwenden den entsprechenden Trägheitsradius. Ein tabellarischer Wert für $r_y$ darf nicht durch $r_x$ ersetzt werden, nur weil beide Werte neben derselben Stahlform aufgeführt sind.[1][1] AISC Shapes Database v16.0. American Institute of Steel Construction. AISC Shapes Database, 2023.

Das American Institute of Steel Construction führt diese Größen in Teil 1 des Steel Construction Manual und in der AISC Shapes Database v16.0 auf. Die Beschreibung von AISC aus dem Jahr 2023 besagt, dass die Datenbank Abmessungen und Querschnittseigenschaften in US-amerikanischen und metrischen Einheiten bereitstellt. ANSI/AISC 360-16 definiert unter anderem $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ und $C_w$. Diese Quellen kennzeichnen die Werte, der Ingenieur muss jedoch weiterhin die Profilbezeichnung, die Ausgabe, die Einheiten und die Achsorientierung bestätigen.

Europäische Tabellen verwenden eigene Darstellungs­konventionen. Das Blue Book 2024 des Steel Construction Institute führt Fläche, Flächenträgheitsmomente, Widerstandsmomente, Trägheitsradien, Torsionskonstanten und Wölbkonstanten auf. EVS-EN 10365:2026 legt Nennabmessungen und Massen für warmgewalzte U-, I- und H-Profile fest; die Norm ist selbst kein Ersatz für eine Tabelle mit Querschnittseigenschaften. ArcelorMittal berichtet, dass europäische berechnete Eigenschaften im Allgemeinen unter Verwendung von Zentimetern angegeben werden, wobei die Oberfläche beziehungsweise die Wölbkonstante jeweils Einheiten auf Meter- beziehungsweise Dezimeterbasis besitzen. Vor dem Vergleich dieser Werte mit einer AISC-Tabelle muss eine Einheitenumrechnung vorgenommen werden.

Symmetrie und Hauptachsen

Das Flächenträgheitsprodukt im Schwerpunkt ist bezüglich einer Symmetrieachse gleich null. Strong evidence

Die Symmetrie bietet eine leistungsfähige Prüfmöglichkeit. Wenn eine Fläche bezüglich der $x$-Achse symmetrisch ist, besitzt jedes Flächenelement bei $+y$ ein entsprechendes Element bei $-y$, sodass sich die paarweisen Beiträge zu ${\int }_A\mathrm{xy}\mathrm{dA}$ aufheben. Daher gilt bezüglich dieser Achse $I_{\mathrm{xy}}=0$. Dasselbe Ergebnis folgt für eine Symmetrie bezüglich der $y$-Achse. Ein Querschnitt mit zwei senkrecht aufeinander stehenden Symmetrieachsen besitzt bezüglich beider Schwerpunktachsen ein gleich null gehendes Flächenträgheitsprodukt.

HauptachsenHauptachsen Schwerpunktachsen, die durch Drehung so bestimmt werden, dass das Flächenträgheitsprodukt verschwindet und die Biegeeigenschaften entkoppelt sind.

Bei einem unsymmetrischen Querschnitt gilt diese Vereinfachung im Allgemeinen nicht. Seine Schwerpunktachsen $x$ und $y$ können ein von null verschiedenes $I_{\mathrm{xy}}$ ergeben, was bedeutet, dass die Biegung um eine Achse geometrisch mit der Biegung um die andere Achse gekoppelt sein kann. Die Hauptachsen sind die gedrehten Schwerpunktachsen, für die das Flächenträgheitsprodukt null ist. Die Hauptflächenträgheitsmomente sind

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2},$$

und der Winkel der Hauptachsen erfüllt

$$\tan 2\theta =\frac{2I_{\mathrm{xy}}}{I_x-I_y},$$

vorbehaltlich der verwendeten Vorzeichenkonvention. Der größere Wert ist das Hauptflächenträgheitsmoment der Hauptachse, der kleinere Wert das Hauptflächenträgheitsmoment der Nebenachse.

Für Winkelprofile, U-Profile, exzentrische Bleche und unregelmäßige zusammengesetzte Querschnitte können Berechnungen der Hauptachsen erforderlich und nicht lediglich optional sein. MDSolids gibt beispielsweise die Schwerpunktlage, Flächenträgheitsmomente, Hauptflächenträgheitsmomente und verwandte Eigenschaften für allgemeine und standardisierte Formen aus. Die Softwareausgabe bleibt jedoch eine Prüfung und ist kein Grund, die Koordinaten zu ignorieren. Der Schwerpunkt ist zu bestätigen, eine einfache Teilflächenberechnung ist nachzuvollziehen, die Achsrotation ist zu prüfen, und es ist festzustellen, ob das ausgegebene $I_{12}$ dieselbe Vorzeichenkonvention wie die Handrechnung verwendet. Die Geometrie bestimmt diese Eigenschaften; eine Änderung der Bezeichnung von ASTM A36 zu ASTM A572 Grade 50 ändert den Materialwiderstand, nicht jedoch den Schwerpunkt oder die Hauptachsen eines unveränderten Querschnitts.

Fläche und Flächenmomente erster Ordnung

Bruttoquerschnittsfläche

Die Querschnittsfläche $A$ ist eine geometrische Größe. Sie beschreibt, wie viel ebene Fläche vom Querschnitt eingenommen wird, nicht, wie fest der Stahl ist. Für eine stetige Form gilt:

$$A={\int }_A\mathrm{dA}$$

wobei $\mathrm{dA}$ ein infinitesimales Element des Querschnitts ist. Für einen in einfache Teilflächen unterteilten Querschnitt wird dieselbe Größe durch Addition berechnet:

$$A={\sum }_{i=1}^n{A}_i$$

Für ein Rechteck gilt $A=\mathrm{bh}$; für ein Dreieck $A=\mathrm{bh}/2$; für einen Kreis $A=\pi d^2/4$; und für einen Hohlkreis gilt:

$$A=\frac{\pi }{4}(D^2-d^2)$$

wobei $D$ der Außendurchmesser und $d$ der Innendurchmesser ist. Bei diesen Formeln handelt es sich um bereits für bekannte Formen ausgeführte Integrationen.

Einer Öffnung wird eine negative Fläche zugewiesen. Eine rechteckige Platte mit einer kreisförmigen Öffnung hat daher

$$A_{\text{gross}}=\mathrm{bt}-\frac{\pi d^2}{4}$$

wenn die Plattenabmessungen die Materialbegrenzung vor dem Herausnehmen der Öffnung beschreiben. Die Konvention der negativen Fläche ist kein Rechentrick mit einer anderen Mathematik, sondern die vorzeichenbehaftete Form der Subtraktion des Bereichs aus dem Integral.

Der Begriff Bruttofläche erfordert eine sorgfältige Einordnung. In Tabellen mit Querschnittseigenschaften bezeichnet er üblicherweise die vollständige nominelle Querschnittsfläche der Stahlform einschließlich des Materials, das später durch eine Öffnung, einen Schlitz, eine Ausklinkung oder ein anderes Anschlussdetail ausgeschlossen wird. Eine Nettofläche kann Öffnungen gemäß einer Bemessungsregel abziehen, während eine wirksame Fläche zusätzlich lokales Beulen, Schubverzögerung oder eine andere Regelung berücksichtigen kann. Diese späteren Bemessungsflächen sind nicht mit der geometrischen Bruttofläche gleichzusetzen. ANSI/AISC 360-16 verwendet unterschiedliche Regelungen für Querschnittseigenschaften und Bemessung; die jeweils geltende Definition der Netto- oder wirksamen Fläche ist der maßgebenden Grenzzustandsberechnung zu entnehmen.

Abmessungen, Toleranzen und Rundungen beeinflussen das Ergebnis. Eine nominelle Abmessung eines H-Querschnitts aus einer Norm ist nicht notwendigerweise die exakt gemessene Abmessung jedes Walzprofils. EVS-EN 10365:2026 legt nominelle Abmessungen und Massen für warmgewalzte U-Profile, I-Profile und H-Profile fest; sie ersetzt keine Tabelle mit Querschnittseigenschaften. Das Blue Book des Steel Construction Institute stellt dagegen berechnete Eigenschaften wie die Fläche und Flächenträgheitsmomente für europäische Profile bereit. Die AISC Shapes Database v16.0, die 2023 vom American Institute of Steel Construction herausgegeben wurde, enthält Abmessungen und Querschnittseigenschaften sowohl in US-amerikanischen als auch in metrischen Einheiten.

Die Stahlsorte verändert diese Geometrie nicht. Ein als ASTM A992 W-Querschnitt bezeichneter Querschnitt und ein geometrisch identischer Querschnitt mit einer anderen Stahlsortenbezeichnung haben dieselbe berechnete Fläche. Die Stahlsorte beeinflusst den Widerstand, die Streckgrenze und die Bemessungsnachweise – nicht jedoch das Integral von $\mathrm{dA}$. Dieselbe Trennung gilt für europäische Bezeichnungen nach den jeweils geltenden Produkt- und Werkstoffnormen.

Flächenmomente erster Ordnung und Lage des Schwerpunkts

Das Flächenmoment erster Ordnung bezüglich einer Achse ist das Flächenintegral der mit der Koordinate multiplizierten differentiellen Fläche:

\[ Q_x=\int_A y\,dA,\qquad Q_y=\int_A x\,dA \]

Dabei wird $y$ von der $x$-Achse und $x$ von der $y$-Achse aus gemessen. $Q_x$ hat die Einheit Länge hoch drei, beispielsweise ${\text{mm}}^3$ oder ${\text{in}}^3$. Es ist nicht das Flächenträgheitsmoment zweiter Ordnung $I$, dessen Einheit Länge hoch vier ist.

Die Schwerpunktkoordinaten ergeben sich unmittelbar:

$$\overline{x}=\frac{1}{A}{\int }_{A}x\mathrm{dA}=\frac{\sum A_i{x}_i}{\sum A_i}$$ $$\overline{y}=\frac{1}{A}{\int }_{A}y\mathrm{dA}=\frac{\sum A_i{y}_i}{\sum A_i}$$

Dies ist die in der Lehrveranstaltung zu Querschnittseigenschaften der University of Michigan vermittelte Methode der Teilflächen. Jede Teilfläche trägt mit ihrer Fläche multipliziert mit der Koordinate ihres eigenen Schwerpunkts bei. Eine große Fläche in großer Entfernung von der Bezugsachse hat einen größeren Einfluss als eine kleine Fläche in geringer Entfernung.

Vor der Berechnung sind Achsen und Vorzeichen festzulegen. Eine übliche Konvention nimmt die positive $x$-Richtung nach rechts und die positive $y$-Richtung nach oben an. Eine Teilfläche unterhalb der $x$-Achse hat dann ein negatives $y_i$, wodurch sie einen negativen Beitrag zu $\sum A_i{y}_i$ liefert. Eine Öffnung hat ein negatives $A_i$, sodass ihr Beitrag zum Flächenmoment erster Ordnung ebenfalls negativ ist, wenn ihre Koordinate positiv ist. Wird der Bezugsursprung geändert, ändern sich die einzelnen Momente, nicht jedoch die endgültige Schwerpunktlage.

Bei einem symmetrischen Querschnitt liegt der Schwerpunkt auf jeder Symmetrieachse. Ein doppelt symmetrischer I-Querschnitt hat daher seinen Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen von Steg und Flanschen. Die Symmetrie ist eine nützliche Kontrolle, aber kein Grund, auf die Berechnung zu verzichten, wenn eine Platte, eine Öffnung, ein Schweißanschluss oder ein exzentrischer Aussteifer die Symmetrie aufhebt.

Dieselbe Bezeichnung $Q$ erscheint in Formeln für Querkraftschub, doch die ausgewählte Fläche und die Achse müssen angegeben werden. Für einen Träger gilt:

$$\tau =\frac{\mathrm{VQ}}{\mathrm{Ib}}$$

wobei $Q$ das Flächenmoment erster Ordnung des auf einer Seite des Punktes liegenden Flächenanteils, an dem die Schubspannung ausgewertet wird, bezüglich der neutralen Achse ist; $I$ ist das Flächenträgheitsmoment zweiter Ordnung des gesamten Querschnitts bezüglich dieser Achse; und $b$ ist die örtliche Breite oder Dicke, die den Schubfluss aufnimmt. Dieses $Q$ ist nicht automatisch das Flächenmoment erster Ordnung des gesamten Querschnitts bezüglich einer beliebigen Bezugsachse. Bezüglich seiner Schwerpunktachse ist das Flächenmoment erster Ordnung der vollständigen Fläche gleich null.

Tabellen der Teilflächen für zusammengesetzte Querschnitte

Eine Tabelle macht die Berechnung eines zerlegten Querschnitts nachvollziehbar. Sie sollte mindestens die vorzeichenbehaftete Fläche, die Schwerpunktkoordinaten und die Beiträge zu den Flächenmomenten erster Ordnung jeder Teilfläche enthalten:

Anschließend wird berechnet:

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} \]

Die Tabelle sollte durchgehend ein einziges Koordinatensystem und ein einziges Einheitensystem verwenden. Die Vermischung von Millimetern und Metern kann bei Flächenmomenten erster Ordnung Faktoren von ${10}^3$ und bei Flächenträgheitsmomenten zweiter Ordnung Faktoren von ${10}^6$ verursachen.

Bei einem zusammengesetzten Querschnitt bestimmt die Tabelle zunächst den Schwerpunkt, bevor der Steiner’sche Satz auf $I_x$ und $I_y$ angewendet wird. Sie liefert außerdem eine direkte Kontrolle: Das algebraische Flächenmoment erster Ordnung der vollständigen Fläche bezüglich des berechneten Schwerpunkts muss null sein. Software wie MDSolids von Missouri S&T kann die Schwerpunktlage und zugehörige Eigenschaften allgemeiner und genormter Stahlprofile berechnen; eine unabhängige Teilflächentabelle bleibt jedoch eine wirksame Überprüfung.

Tabellierte Werte müssen zum exakten Profil, zur Achsenkonvention, zur Ausgabe und zu den Einheiten passen. AISC Part 1 ist der maßgebende Abschnitt des Steel Construction Manual für genormte US-amerikanische Abmessungen und geometrische Eigenschaften. Europäische Tabellen können berechnete Eigenschaften in Zentimetern angeben; ArcelorMittal erklärt, dass die Flächenmaße und die Wölbkonstante jeweils Einheiten auf Meter- beziehungsweise Dezimeterbasis verwenden. Flächen und Flächenmomente erster Ordnung benötigen daher Einheitenangaben und dürfen nicht als bloße Zahlen angegeben werden.

Flächenträgheitsmomente: $I_x$, $I_y$ und $I_{\mathrm{xy}}$

Flächenträgheitsmomente beschreiben, wie eine Querschnittsfläche bezüglich bestimmter Achsen verteilt ist. Sie sind geometrische Eigenschaften und keine Festigkeitswerte des Materials. Die Änderung von Baustahl von ASTM A36 zu ASTM A572 Grade 50 verändert zwar die Nachweise für den Tragwiderstand und die Bemessungsfestigkeiten, nicht jedoch $I_x$, $I_y$ oder $I_{\mathrm{xy}}$, solange die Abmessungen des Profils unverändert bleiben.

Die Bezeichnungen der Achsen müssen sorgfältig gelesen werden. Nach der üblichen Konvention beschreibt $I_x$ die Flächenverteilung bezüglich der $x$-Achse; der quadrierte Abstand ist daher die $y$-Koordinate. Entsprechend beschreibt $I_y$ die Verteilung bezüglich der $y$-Achse und verwendet die quadrierte $x$-Koordinate. Manche Softwareprogramme und Normen verwenden nummerierte Achsen wie $I_{11}$ und $I_{22}$. Daher muss die Koordinatenkonvention überprüft werden, bevor Werte miteinander verglichen werden. Die Dokumentation von Abaqus definiert die auf den Schwerpunkt bezogenen Eigenschaften durch die Integration quadrierter Koordinatenabstände für $I_{11}$ und $I_{22}$ sowie des Produkts der Koordinatenabstände für $I_{12}$ (Abaqus, 2024).

Integraldefinitionen

Für eine Querschnittsfläche $A$ mit Koordinaten, die vom ausgewählten Ursprung aus gemessen werden, gilt:

$$I_x={\int }_A{y}^2\mathrm{dA}$$ $$I_y={\int }_A{x}^2\mathrm{dA}$$

und

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_A\mathrm{xy}\mathrm{dA}.$$

Die ersten beiden Größen sind Flächenträgheitsmomente. Ihre Einheiten sind Längen hoch vier: ${\text{mm}}^4$, ${\text{cm}}^4$ oder ${\text{in}}^4$. Das Flächenträgheitsprodukt hat dieselben Einheiten.

Der quadrierte Abstand ist der entscheidende Punkt. Ein kleines Flächenelement im Abstand $y$ von der $x$-Achse trägt $y^2\mathrm{dA}$ bei, nicht lediglich $\mathrm{ydA}$. Befindet sich ein Flächenelement gleicher Größe doppelt so weit von der Achse entfernt wie ein anderes, trägt es viermal so viel zu $I_x$ bei. Material in der Nähe der neutralen Achse leistet nur einen geringen Beitrag; weit entfernt angeordnetes Material trägt wesentlich mehr bei. Deshalb leisten die Gurte eines I-Profils einen großen Beitrag zur Biegesteifigkeit um die starke Achse, während der Steg einen größeren Anteil an der Eigenschaft um die schwache Achse beisteuert, als es allein aufgrund seiner Fläche zu erwarten wäre.

Für ein Rechteck mit der Breite $b$ parallel zur $x$-Achse und der Höhe $h$ parallel zur $y$-Achse sowie mit Schwerpunktachsen durch seine Mitte gilt:

\[ I_x=\frac{bh^3}{12}, \qquad I_y=\frac{hb^3}{12}. \]

Die kubische Abhängigkeit von der Abmessung erklärt, warum das Drehen eines rechteckigen Querschnitts die Biegesteifigkeit erheblich verändern kann. Ein Rechteck mit einer Höhe von $200\text{mm}$ besitzt ein deutlich größeres $I_x$ als ein Rechteck mit einer Höhe von $100\text{mm}$ und gleicher Breite, obwohl seine Fläche lediglich doppelt so groß ist.

Für ein Dreieck lautet das auf den Schwerpunkt bezogene Flächenträgheitsmoment parallel zu seiner Grundseite:

$$I_x=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{36},$$

wobei $b$ die Grundseite und $h$ die dazu senkrechte Höhe ist. Ein Kreis mit dem Radius $r$ besitzt bezüglich jedes Schwerpunktdurchmessers:

$$I_x=I_y=\frac{\pi r^4}{4}.$$

Bei einem Hohlkreis werden die Beiträge des äußeren und des inneren Kreises voneinander abgezogen:

$$I_x=I_y=\frac{\pi }{4}(r_o^4-r_i^4).$$

Diese Formeln eignen sich zur Überprüfung von Softwareprogrammen und Tabellen für Querschnittswerte. Sie sind jedoch nicht mit dem polaren Flächenträgheitsmoment, der Torsionskonstante oder dem Widerstandsmoment gleichzusetzen.

Der Satz von Steiner

Handrechnungen für einen zusammengesetzten Querschnitt beginnen mit der Aufteilung der Form in einfache Bestandteile. Für jeden Bestandteil werden seine Fläche $A_i$, seine Schwerpunktkoordinaten $(x_i,y_i)$ sowie seine auf den eigenen Schwerpunkt bezogenen Flächenträgheitsmomente $I_{x,i,c}$ und $I_{y,i,c}$ bestimmt. Die statischen Momente dienen zur Bestimmung des Gesamtschwerpunkts:

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

Nachdem der Schwerpunkt des zusammengesetzten Querschnitts bekannt ist, überträgt der Satz von Steiner die Eigenschaft jedes Bestandteils auf die Achsen des Gesamtquerschnitts:

$$I_x=\sum (I_{x,i,c}+A_i(y_i-\overline{y}{)}^2),$$ $$I_y=\sum (I_{y,i,c}+A_i(x_i-\overline{x}{)}^2).$$

Für das Flächenträgheitsprodukt gilt:

$$I_{\mathrm{xy}}=\sum (I_{\mathrm{xy},i,c}+A_i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}\left)\right).$$

Die Übertragungsterme sind häufig wichtiger als die auf den Schwerpunkt bezogenen Eigenwerte der Bestandteile. Ein Gurt kann ein vergleichsweise geringes Flächenträgheitsmoment um seine eigene Achse besitzen; sein Abstand vom Gesamtschwerpunkt kann jedoch einen großen Beitrag $A_i{d}^2$ erzeugen.

Betrachtet wird ein symmetrischer T-Querschnitt aus einem $200\text{mm}\times 20\text{mm}$ großen Gurt und einem $20\text{mm}\times 180\text{mm}$ großen Steg, wobei der Steg mittig unter dem Gurt angeordnet ist. Die Gurtfläche beträgt $4,000{\text{mm}}^2$, die Stegfläche $3,600{\text{mm}}^2$. Werden die Höhen von der Unterseite des Stegs aus nach oben gemessen, liegen die Schwerpunkte bei $y_f=190\text{mm}$ und $y_w=90\text{mm}$. Daher gilt:

$$\overline{y}=\frac{4,000\left(190\right)+3,600\left(90\right)}{7,600}=142,63\text{mm}.$$

Für den Gurt gilt:

$$I_{x,f,c}=\frac{200(20{)}^3}{12}=133,333{\text{mm}}^4,$$

und für den Steg:

$$I_{x,w,c}=\frac{20(180{)}^3}{12}=9,720,000{\text{mm}}^4.$$

Die übertragene Eigenschaft beträgt näherungsweise:

$$I_x=133,333+4,000(47,37{)}^2+9,720,000+3,600(52,63{)}^2,$$

woraus folgt:

$$I_x\approx 31,2\times {10}^6{\text{mm}}^4.$$

Die eigene Höhe des Stegs liefert einen großen Teil des Ergebnisses, während der Versatz des Gurts dennoch einen erheblichen Term beiträgt. Das Weglassen der Steiner-Terme würde die Querschnittseigenschaft unterschätzen.

Für einen Hohlraum gilt dieselbe Methode, wobei die Fläche und die Eigenschaften des betreffenden Bestandteils mit negativem Vorzeichen angesetzt werden. Auf diese Weise kann ein rechteckiges Hohlprofil als äußerer Rechteckquerschnitt abzüglich eines inneren Rechteckquerschnitts berechnet werden, sofern die Abmessungen und die Lage der Achsen des inneren Rechtecks korrekt definiert sind.

Flächenträgheitsprodukt und gedrehte Achsen

Das Flächenträgheitsprodukt gibt an, ob Flächenanteile in miteinander gekoppelten positiven oder negativen Koordinatenbereichen liegen. Bei Schwerpunktkoordinaten besitzt ein Flächenelement im ersten Quadranten ein positives $\mathrm{xy}$; ein Flächenelement im zweiten Quadranten besitzt ein negatives $\mathrm{xy}$. Entgegengesetzte Beiträge können sich aufheben.

$I_{\mathrm{xy}}$ verschwindet, wenn der Querschnitt eine Symmetrieachse besitzt, die mit der $x$- oder der $y$-Achse zusammenfällt, vorausgesetzt, der Ursprung liegt im Schwerpunkt. Eine Spiegelung an der $x$-Achse ändert $y$ in $-y$ und kehrt dadurch das Vorzeichen von $\mathrm{xy}$ um, sodass sich symmetrische Beiträge aufheben. Dasselbe Argument gilt für die Symmetrie bezüglich der $y$-Achse. Rechtecke, Kreise, I-Profile und zentrisch angeordnete Hohlprofile besitzen daher bezüglich ihrer üblichen Schwerpunkt-Symmetrieachsen $I_{\mathrm{xy}}=0$.

Ein Winkelprofil, U-Profil, T-Profil oder unsymmetrischer zusammengesetzter Querschnitt besitzt im Allgemeinen nur eine Symmetrieachse oder überhaupt keine. Sein Flächenträgheitsprodukt muss bezüglich beliebiger Schwerpunktachsen nicht verschwinden. Selbst bei einem Querschnitt mit nur einer Symmetrieachse gilt $I_{\mathrm{xy}}=0$ nur dann, wenn eine der ausgewählten Achsen entlang dieser Symmetrieachse liegt und die andere senkrecht zu ihr verläuft.

Durch eine Drehung der Achsen ändern sich die drei Größen gemäß:

$$I_{x\prime }=\frac{I_x+I_y}{2}+\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta -I_{\mathrm{xy}}\sin 2\theta ,$$ $$I_{y\prime }=\frac{I_x+I_y}{2}-\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta +I_{\mathrm{xy}}\sin 2\theta ,$$ $$I_{x\prime y\prime }=\frac{I_x-I_y}{2}\sin 2\theta +I_{\mathrm{xy}}\cos 2\theta .$$

Die Vorzeichen hängen von der verwendeten Achsen- und Drehkonvention ab; diese Konvention muss während der gesamten Berechnung einheitlich beibehalten werden. Hauptachsen sind solche Achsrichtungen, für die $I_{x\prime y\prime }=0$ gilt. Die zugehörigen Hauptflächenträgheitsmomente sind:

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2}.$$

Bei einem doppelt symmetrischen I-Profil sind die bekannten starken und schwachen Achsen bereits Hauptachsen. Bei einem U-Profil oder Winkelprofil müssen die Schwerpunkt-Geometrieachsen dagegen nicht mit den Hauptachsen übereinstimmen; eine Biegung um eine Achse kann dann Krümmungs- oder Spannungseffekte hervorrufen, die mit der anderen Achse verbunden sind. Unsymmetrische zusammengesetzte Querschnitte erfordern dieselbe Behandlung. Die Annahme $I_{\mathrm{xy}}=0$, ohne die Symmetrie zu überprüfen, kann zu einer falschen Biegeantwort führen.

Die AISC Shapes Database v16.0, die 2023 vom American Institute of Steel Construction herausgegeben wurde, stellt Abmessungen und Eigenschaften in US-amerikanischen und metrischen Einheiten bereit, während AISC Part 1 tabellierte Abmessungen und geometrische Eigenschaften enthält. Das Blue Book 2024 des Steel Construction Institute enthält europäische Querschnittswerte, einschließlich Flächenträgheitsmomenten und Angaben zu Hauptachsen, sofern zutreffend. EVS-EN 10365:2026 legt Nennabmessungen und Massen fest, jedoch nicht jede berechnete Eigenschaft. Auch die Einheitensysteme unterscheiden sich: ArcelorMittal gibt an, dass europäische berechnete Eigenschaften im Allgemeinen in Zentimetern angegeben werden, während die Oberfläche und die Wölbkonstante Einheiten auf Meter- beziehungsweise Dezimeterbasis verwenden. Ein aus einer Tabelle übernommener Wert ist erst dann brauchbar, wenn das genaue Profil, die Achse, die Einheiten und die Ausgabe der Norm überprüft wurden.

Handberechnungen für grundlegende Geometrien

Eine Handberechnung beginnt mit einer Begrenzung und einem Koordinatensystem, nicht mit einer Stahlsorte. $x$ und $y$ legen Punkte im Querschnitt fest, und der Ursprung kann zunächst an jedem zweckmäßigen Bezugspunkt liegen. Die Bruttofläche ist

$$A={\int }_A\mathrm{dA}$$

Der Schwerpunkt ergibt sich aus den statischen Momenten:

\[ \bar{x}=\frac{1}{A}\int_A x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\int_A y\,dA \]

Sobald der Schwerpunkt bekannt ist, lauten die achsenbezogenen Flächenträgheitsmomente

\[ I_x=\int_A (y-\bar{y})^2dA,\qquad I_y=\int_A (x-\bar{x})^2dA \]

und das Flächenträgheitsprodukt lautet

$$I_{\mathrm{xy}}={\int }_A(x-\overline{x})(y-\overline{y})\mathrm{dA}$$

Dies entspricht der Abaqus-Konvention: I11 und I22 integrieren die quadrierten Koordinatenabstände, während I12 das Produkt der Koordinatenabstände integriert. Die Indexbezeichnungen können sich zwischen verschiedenen Quellen unterscheiden. Daher muss die Achsdefinition gelesen werden, bevor eine Tabelle verwendet wird.

Rechteckige und dreieckige Querschnitte

Für ein Rechteck mit der parallel zur $x$-Achse gemessenen Breite $b$ und der parallel zur $y$-Achse gemessenen Tiefe $h$ gilt:

$$A=\mathrm{bh}$$

Wenn das Rechteck zu beiden Achsen symmetrisch liegt, befindet sich sein Schwerpunkt in seinem geometrischen Mittelpunkt, und aufgrund der Symmetrie gilt $I_{\mathrm{xy}}=0$. Die achsenbezogenen Flächenträgheitsmomente lauten:

\[ I_x=\frac{bh^3}{12},\qquad I_y=\frac{hb^3}{12} \]

Die Abmessungen gehen nicht auf gleiche Weise in die Gleichungen ein. Eine Vergrößerung von $h$ erhöht $I_x$ mit der dritten Potenz, während eine Vergrößerung von $b$ dieses nur linear erhöht. Für $I_y$ gilt das Umgekehrte. Deshalb kann das Anordnen von Material in größerem Abstand von der Achse einen wesentlich größeren Einfluss auf die Biegesteifigkeit haben als das Hinzufügen derselben Fläche in der Nähe dieser Achse.

Für ein Rechteck, dessen untere Kante als Bezugsachse verwendet wird, liegt der Schwerpunkt bei

$$\overline{y}=\frac{h}{2}$$

Das Flächenträgheitsmoment bezüglich dieser Kante ist

$$I_{x,\text{edge}}=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{3}$$

Das Ergebnis bezüglich des Schwerpunktes folgt aus dem Satz von Steiner:

$$I_{x,\text{edge}}=I_{x,\text{centroid}}+A(\frac{h}{2}{)}^2$$

Die Verwechslung dieser beiden Werte ist ein häufiger Fehler bei Handberechnungen.

Für ein Dreieck seien $b$ die Grundseite und $h$ die dazu senkrechte Höhe. Seine Fläche beträgt

$$A=\frac{\mathrm{bh}}{2}$$

Der Schwerpunkt liegt ein Drittel der Höhe von der Grundseite beziehungsweise zwei Drittel der Höhe von der Spitze entfernt. Für eine durch den Schwerpunkt verlaufende Achse parallel zur Grundseite gilt:

$$I_x=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{36}$$

Bezüglich der Grundseite selbst gilt:

$$I_{x,\text{base}}=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{12}$$

Auch hier verbindet der Satz von Steiner die beiden Werte. Das auf den Schwerpunkt bezogene $I_y$ hängt von der horizontalen Geometrie des Dreiecks ab. Für ein gleichschenkliges Dreieck mit vertikaler Symmetrieachse gilt:

$$I_y=\frac{b^{3}h}{48}$$

Aufgrund der Symmetrie muss für die horizontalen und vertikalen Schwerpunktachsen außerdem $I_{\mathrm{xy}}=0$ gelten. Ein ungleichseitiges Dreieck besitzt bezüglich dieser Achsen im Allgemeinen ein von null verschiedenes Flächenträgheitsprodukt, sodass seine Hauptachsen gedreht sind.

Eine Dimensionsprüfung deckt viele Fehler unmittelbar auf. Die Fläche hat die Einheit $L^2$, das statische Moment die Einheit $L^3$ und das Flächenträgkeitsmoment die Einheit $L^4$. Daher ist ${\mathrm{bh}}^3$ dimensionsmäßig für ein Flächenträgkeitsmoment geeignet, während ${\mathrm{bh}}^2$ dies nicht ist. Werden alle Längen mit dem Skalierungsfaktor $k$ verändert, ändert sich die Fläche mit $k^2$, die Schwerpunktkoordinaten mit $k$ und die Flächenträgheitsmomente mit $k^4$.

Kreisförmige und hohlkreisförmige Querschnitte

Für einen Vollkreis mit dem Radius $r$ beziehungsweise dem Durchmesser $d=2r$ gilt:

$$A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}$$

Jeder durch den Schwerpunkt verlaufende Durchmesser ist eine Symmetrieachse. Daher gilt:

$$I_x=I_y=\frac{\pi r^4}{4}=\frac{\pi d^4}{64}$$

und

$$I_{\mathrm{xy}}=0$$

Das polare Flächenträgheitsmoment bezüglich des Schwerpunktes ist

$$J_p=I_x+I_y=\frac{\pi r^4}{2}=\frac{\pi d^4}{32}$$

Diese polare Größe ist nicht bei jedem Querschnitt automatisch gleich der Saint-Venant-Torsionskonstante $J$, die bei der Torsion von Balken verwendet wird. Für einen kreisförmigen Querschnitt ist die Torsionskonstante des Vollkreises gleich dem polaren Flächenträgheitsmoment. Diese Gleichheit darf jedoch nicht auf offene I-förmige Querschnitte oder U-Profile übertragen werden.

Für einen Hohlkreis mit dem Außenradius $r_o$ und dem Innenradius $r_i$ gilt:

$$A=\pi (r_o^2-r_i^2)$$

Der Schwerpunkt bleibt im gemeinsamen Mittelpunkt, und es gilt:

$$I_x=I_y=\frac{\pi }{4}(r_o^4-r_i^4)$$

Das polare Flächenträgheitsmoment ist

$$J_p=\frac{\pi }{2}(r_o^4-r_i^4)$$

Dieselben Gleichungen können mit den Außen- und Innendurchmessern $d_o$ und $d_i$ geschrieben werden:

\[ A=\frac{\pi}{4}(d_o^2-d_i^2),\qquad I_x=I_y=\frac{\pi}{64}(d_o^4-d_i^4) \]

Die Subtraktion beschreibt die geometrische Entfernung des Hohlraums und ist keine Näherung eines Vollquerschnitts. Sie liefert außerdem nützliche Grenzfallprüfungen. Für $r_i=0$ gehen die Gleichungen des Hohlkreises in die Gleichungen des Vollkreises über. Nähert sich $r_i$ dem Wert $r_o$, gehen die Fläche und die Flächenträgheitsmomente gegen null. Eine dünne Wand kann eine bedeutende eingeschlossene Fläche aufweisen, während ihre Biege- und Torsionseigenschaften stark von der Wanddicke abhängen. Daher ist es unzulässig, sie durch einen Vollkreis mit demselben Außendurchmesser zu ersetzen.

Kombination einfacher Formen zu Stahlprofilen

Zusammengesetzte Querschnitte werden durch das Addieren von Material und das Subtrahieren von Hohlräumen berechnet. Der Querschnitt wird in Rechtecke, Dreiecke, Kreise oder andere Formen mit bekannten Eigenschaften unterteilt. Für jedes Teil $i$ werden seine vorzeichenbehaftete Fläche $A_i$, seine Schwerpunktkoordinaten $(x_i,y_i)$ sowie seine Schwerpunktwerte $I_{x,i}$, $I_{y,i}$ und $I_{\mathrm{xy},i}$ erfasst. Für eine Aussparung ist eine negative Fläche zu verwenden.

Der Schwerpunkt des zusammengesetzten Querschnitts ist

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} \]

Anschließend wird der Satz von Steiner angewendet:

$$I_x=\sum [I_{x,i}+A_i(y_i-\overline{y}{)}^2]$$ $$I_y=\sum [I_{y,i}+A_i(x_i-\overline{x}{)}^2]$$ $$I_{\mathrm{xy}}=\sum [I_{\mathrm{xy},i}+A_i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}\left)\right]$$

Ein Hohlraum trägt zu jedem flächenbezogenen Term mit negativem Vorzeichen bei. Beispielsweise kann ein Rechteckrohr als äußeres Rechteck minus inneres Rechteck behandelt werden, sofern beide Rechtecke auf dieselben korrekten Bezugsachsen bezogen sind. Ein I-Profil kann aus einem Stegrechteck und zwei Flanschrechtecken zusammengesetzt werden, wobei die Abstände vom Gesamtschwerpunkt durch die Steiner-Terme berücksichtigt werden. Ein U-Profil kann auf ähnliche Weise zusammengesetzt werden, sein Schwerpunkt liegt jedoch im Allgemeinen nicht auf beiden geometrischen Achsen.

Die Symmetrie ist eine wichtige Prüfmöglichkeit. Ein bezüglich der $x$-Achse symmetrischer Querschnitt muss $\overline{y}=0$ aufweisen, wenn diese Achse als Bezug verwendet wird, und sein auf den Schwerpunkt bezogenes $I_{\mathrm{xy}}$ ist null. Bei einem doppelt symmetrischen I-Profil fallen die Hauptachsen mit den Schwerpunktachsen zusammen. Ergibt eine Berechnung für einen solchen Querschnitt ein von null verschiedenes Flächenträgheitsprodukt, sind die Teilkoordinaten, Vorzeichen oder Achsenbezeichnungen falsch.

Die Endwerte sollten außerdem Grenzfallprüfungen bestehen: Das Entfernen eines Teils muss die Fläche verringern; das Verschieben von Material in größeren Abstand von einer Achse sollte das entsprechende Flächenträgheitsmoment erhöhen; und ein Hohlraum, dessen Größe gegen null geht, sollte keinen Einfluss haben. Alle Abmessungen sind durchgehend in einem Einheitensystem anzugeben. Bei Längen in Millimetern wird $A$ in ${\mathrm{mm}}^2$ und $I$ in ${\mathrm{mm}}^4$ angegeben. Für die Umrechnung des Ergebnisses in Meter muss die Fläche durch ${10}^6$ und das Flächenträgkeitsmoment durch ${10}^{12}$ geteilt werden. Europäische Tabellen geben die berechneten Eigenschaften häufig in Zentimetern an, während die Oberfläche und die Wölbkonstante Einheiten auf Meter- beziehungsweise Dezimeterbasis verwenden, wie ArcelorMittal erläutert.

Handberechnungen dienen als Prüfungen und nicht als Ersatz für die exakte Profiltabelle. Die AISC Shapes Database v16.0 und AISC Part 1 enthalten Abmessungen und geometrische Eigenschaften amerikanischer Profile; SCI P363, The Blue Book, enthält europäische Querschnittswerte. EVS-EN 10365:2026 legt Nennabmessungen und Massen fest, jedoch nicht jede abgeleitete Eigenschaft. Toleranzen der Blechdicke, Kehlen, Eckradien und Rundungen können das Ergebnis verändern. Vor dem Vergleich einer von Hand erstellten idealisierten Geometrie mit einem veröffentlichten Stahlprofil sind die genaue Bezeichnung und die Ausgabe zu überprüfen.

Widerstandsmoment, Trägheitsradius und polare Eigenschaften

Das Widerstandsmoment, der Trägheitsradius und die polaren Eigenschaften werden aus derselben Querschnittsgeometrie abgeleitet, beantworten jedoch unterschiedliche ingenieurtechnische Fragen. Keine dieser Größen ist ein Festigkeitswert des Materials. Ein Wechsel von Stahl ASTM A36 zu Stahl ASTM A992 verändert $I_x$, $S_x$, $r_x$ oder $J$ nicht, solange die Abmessungen des realen Querschnitts gleich bleiben; die Stahlsorte verändert den Widerstand, die Steifigkeitsnachweise über den Werkstoffmodul, soweit relevant, sowie die zulässigen oder rechnerischen Festigkeiten. Die Geometrie ergibt sich weiterhin aus der Form.

Vor dem Übernehmen einer Zahl aus einer Tabelle müssen die Achsbezeichnungen gelesen werden. Tabellen von AISC, SCI und europäischen Quellen ersetzen diese Prüfung nicht. Das American Institute of Steel Construction gibt an, dass die AISC Shapes Database v16.0 Abmessungen und Querschnittswerte in US-amerikanischen und metrischen Einheiten bereitstellt, während AISC Part 1 das Referenzkapitel für tabellierte Abmessungen und geometrische Eigenschaften ist. In Europa legt EVS-EN 10365:2026 Nennabmessungen und Massen für warmgewalzte U-Profile, I-Profile und H-Profile fest; berechnete Eigenschaften werden anschließend von Quellen wie dem Blue Book des Steel Construction Institute bereitgestellt.

Elastisches Widerstandsmoment

Das elastische Widerstandsmoment ist das maßgebende Flächenträgheitsmoment bezogen auf den Abstand von der zugehörigen Schwerpunktachse zur äußersten Faser. Für die Biegung um die $x$-Achse gilt:

$$S_x=\frac{I_x}{c_y}$$

wobei $c_y$ der größte Abstand von der $x$-Achse zur äußersten Zug- oder Druckfaser ist. Für die Biegung um die $y$-Achse gilt:

$$S_y=\frac{I_y}{c_x}$$

wobei $c_x$ der größte Abstand von der $y$-Achse zur äußersten Faser ist. Der Index an $S$ bezeichnet die Biegeachse und nicht die Richtung des Abstands zur äußersten Faser im Zähler.

Dieser Unterschied ist bei einem I-Profil mit ungleichen Flanschen, einem U-Profil, einem Winkelprofil oder einer anderen unsymmetrischen Form von Bedeutung. Die Abstände zu den beiden äußersten Fasern können unterschiedlich sein, sodass der Querschnitt getrennte positive und negative elastische Widerstandsmomente besitzen kann. Eine Tabelle kann $S_{x,\mathrm{top}}$ und $S_{x,\mathrm{bottom}}$ oder $S_{x,\max }$ und $S_{x,\min }$ anstelle eines einzigen Wertes aufführen. Wird für beide Seiten der größere Wert verwendet, kann dies zu einem unsicheren Biegewiderstand führen, wenn der kleinere Wert maßgebend ist.

Die Einheiten ergeben sich unmittelbar aus der Gleichung. $I_x$ und $I_y$ haben die Dimension einer Länge hoch vier, während $c$ die Dimension einer Länge besitzt; daher haben $S_x$ und $S_y$ die Dimension einer Länge hoch drei. Typische Einheitensysteme verwenden ${\mathrm{mm}}^3$, ${\mathrm{cm}}^3$ oder ${\mathrm{in}}^3$. Ein Umrechnungsfehler zwischen ${\mathrm{cm}}^3$ und ${\mathrm{mm}}^3$ führt zu einem Faktor von 1.000, nicht von 100.

Für einen Rechteckquerschnitt mit der Breite $b$ und der Höhe $h$ gilt:

\[ I_x=\frac{bh^3}{12},\qquad S_x=\frac{bh^2}{6}. \]

Die Höhe geht in $I_x$ mit der dritten Potenz und in $S_x$ mit dem Quadrat ein. Dies erklärt, warum das Drehen eines rechteckigen Stabes den Biegewiderstand stark verändern kann. Dieselbe um 90 Grad gedrehte Fläche ist kein identischer Biegequerschnitt.

Das elastische Widerstandsmoment gilt für die elastische Spannungsverteilung, bei der sich die Biegespannung von null an der neutralen Achse linear bis zu ihrem Maximum an der äußersten Faser verändert:

$${\sigma }_{\max }=\frac{M}{S}.$$

Es darf nicht mit dem plastischen Widerstandsmoment $Z$ verwechselt werden, das auf gleich großen Zug- und Druckresultierenden beruht, nachdem der gesamte Querschnitt das Fließen erreicht hat. Auch $Z$ ist eine Querschnittsgröße mit der Dimension einer Länge hoch drei, jedoch nicht mit $S$ austauschbar.

Trägheitsradius

Der Trägheitsradius beschreibt, in welchem Abstand von einer bestimmten Schwerpunktachse die Fläche in einem gleichwertigen mathematischen Sinn verteilt ist. Für die $x$-Achse gilt:

$$r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}},$$

und für die $y$-Achse:

$$r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}.$$

Dabei ist $A$ die gesamte Querschnittsfläche. Da $I$ die Einheit $L^4$ und $A$ die Einheit $L^2$ besitzt, hat jeder Trägheitsradius die Einheit einer Länge: Millimeter, Zentimeter oder Zoll.

Ein größerer Wert von $r$ bedeutet, dass mehr Fläche in größerem Abstand von der maßgebenden Achse verteilt ist. Deshalb kann ein I-Profil einen großen Wert von $r_x$, aber einen deutlich kleineren Wert von $r_y$ besitzen: Seine Flansche legen eine beträchtliche Fläche in großer Entfernung von der starken Achse an, während Steg und Flanschdicken bezogen auf die schwache Achse eine geringere Flächenverteilung bewirken.

Die wichtigste konstruktive Anwendung liegt beim Knicken von Druckstäben. Für eine Stablänge $L$ und den Beiwert für die wirksame Länge $K$ lautet das Schlankheitsverhältnis um die beiden Achsen:

\[ \frac{KL_x}{r_x} \quad\text{und}\quad \frac{KL_y}{r_y}. \]

Der größere Wert kennzeichnet gewöhnlich die kritischere Knickrichtung, vorbehaltlich der Einspannung an den Enden, der Aussteifung, torsionsbiegungsgekoppelter Effekte und der Einstufungsregeln der jeweiligen Bemessungsnorm. Ein Vergleich, der nur die Fläche berücksichtigt, erfasst dieses Verhalten nicht. Zwei Querschnitte können dieselbe gesamte Fläche und eine ähnliche Masse besitzen, jedoch sehr unterschiedliche Trägheitsradien um die schwache Achse und damit eine unterschiedliche Drucktragfähigkeit aufweisen.

Der Trägheitsradius ist kein am Stahlprofil sichtbarer Radius. Er wird aus der Flächenverteilung berechnet. Die Ressource MDSolids der Missouri S&T führt die Schwerpunktlage, Flächenträgheitsmomente, das Widerstandsmoment, den Trägheitsradius, das plastische Widerstandsmoment, das polare Flächenträgheitsmoment und die Hauptträgheitsmomente als getrennte Ausgabewerte auf. Dies ist eine nützliche Erinnerung daran, dass diese Bezeichnungen unterschiedliche Berechnungen beschreiben.

Bei zusammengesetzten Querschnitten werden zunächst $A$, die Schwerpunktkoordinaten, die Flächenträgheitsmomente der Einzelteile und der Satz von den parallelen Achsen verwendet, bevor die Quadratwurzel gezogen wird. Das Ergebnis sollte anhand der Achsenkonvention überprüft werden. Abaqus beschreibt Schwerpunkteigenschaften durch Flächenintegration: $I_{11}$ und $I_{22}$ integrieren die quadrierten Koordinatenabstände, während $I_{12}$ das Produkt der Koordinatenabstände integriert. Dies ist dieselbe geometrische Grundlage wie bei Handberechnungen, auch wenn die Software die Achsen anders bezeichnen kann als eine Stahltabelle.

Polares Flächenträgheitsmoment und seine Grenzen

Das polare Flächenträgheitsmoment um einen Punkt senkrecht zur Querschnittsebene ist:

$$I_p={\int }_A{r}^2\mathrm{dA}.$$

Für aufeinander senkrecht stehende Schwerpunktachsen $x$ und $y$ gilt:

$$I_p=I_x+I_y.$$

Es hat die Einheit $L^4$, beispielsweise ${\mathrm{mm}}^4$ oder ${\mathrm{in}}^4$. Für eine vollkreisförmige Fläche mit dem Radius $R$ gilt:

$$I_p=\frac{\pi R^4}{2},$$

und für einen Kreisring mit dem Außenradius $R_o$ und dem Innenradius $R_i$:

$$I_p=\frac{\pi }{2}(R_o^4-R_i^4).$$

Diese Gleichungen machen das polare Flächenträgheitsmoment bei der Torsion von Kreiswellen sowie bei Problemen mit rotationssymmetrischer Geometrie und Belastung nützlich. Für eine Kreiswelle unter elastischer Torsion wird das polare Flächenträgheitsmoment üblicherweise mit $J$ bezeichnet; die bekannte Beziehung lautet:

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

Diese Bezeichnung führt häufig zu einem Fehler: Das polare Flächenträgheitsmoment $I_p$ ist nicht für jeden Stahlquerschnitt automatisch gleich der Torsionskonstante $J$.

Die Torsionskonstante nach Saint-Venant beschreibt den Widerstand gegen gleichförmige Torsion und hängt vom Wölb- und Schubflussverhalten des Querschnitts ab. Für einen vollen oder dünnwandigen Kreisquerschnitt gilt $J=I_p$. Für einen allgemeinen offenen Querschnitt handelt es sich um unterschiedliche Größen. Ein dünner rechteckiger Streifen mit der Breite $b$ und der Dicke $t$, wobei $b$ deutlich größer als $t$ ist, besitzt eine Torsionskonstante in der Größenordnung von ${\mathrm{bt}}^3/3$, während sein Beitrag zu $I_p$ durch den quadrierten Abstand des Streifens vom Schwerpunkt bestimmt sein kann. Ein offenes I-Profil kann daher ein beträchtliches polares Flächenträgheitsmoment besitzen, während seine Torsionskonstante nach Saint-Venant vergleichsweise klein ist.

Geschlossene Kastenquerschnitte sind im Allgemeinen wesentlich torsionseffizienter als offene Querschnitte, da sich um die eingeschlossene Zelle ein umlaufender Schubfluss ausbilden kann. Wenn eine Torsionsbehinderung eine Längswölbung verursacht, ist $J$ allein nicht ausreichend; dann geht die Wölbkonstante $C_w$ mit der Dimension $L^6$ in die Berechnung ein. ANSI/AISC 360-16 definiert und verwendet $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ und $C_w$ als getrennte Querschnittswerte. Auch das Blue Book führt elastische und plastische Widerstandsmomente, Trägheitsradien, Torsionskonstanten und Wölbkonstanten getrennt auf.

Bei europäischen Quellen ist besondere Sorgfalt hinsichtlich der Einheitensysteme erforderlich. ArcelorMittal weist darauf hin, dass berechnete Querschnittswerte im Allgemeinen in Zentimetern angegeben werden, während die Oberfläche beziehungsweise die Wölbkonstante Einheiten auf Meter- beziehungsweise Dezimeterbasis verwenden. Ein aus einem Blue Book oder einer Herstellertabelle übernommener Wert muss daher nach Querschnittswert und Einheit identifiziert werden und nicht lediglich anhand seiner numerischen Größe. Vor der Verwendung eines tabellierten Wertes für $S$, $r$, $I_p$ oder $J$ sind die genaue Profilbezeichnung, die Achsenkonvention, die Ausgabe der Norm sowie die Frage zu überprüfen, ob der Wert eine Brutto-, Nenn- oder eine anderweitig festgelegte Geometrie repräsentiert.

Elastische und plastische Querschnittswerte

Elastische neutrale Achse und äußerste Fasern

Elastische Querschnittswerte beschreiben die Spannungsverteilung vor dem Erreichen des Fließens. Bei einem prismatischen, homogenen Stahlquerschnitt unter einem Biegemoment um eine Schwerpunktachse verläuft die elastische neutrale Achse durch den Schwerpunkt. Die Fasern auf der einen Seite dieser Achse stehen unter Druck, die Fasern auf der anderen Seite unter Zug; an der neutralen Achse ist die longitudinale Biegespannung gleich null. Die Verteilung ist linear:

$$\sigma =\frac{\mathrm{My}}{I}$$

Dabei ist $M$ das aufgebrachte Moment, $y$ der Abstand von der neutralen Achse und $I$ das relevante auf die Schwerpunktachse bezogene Flächenträgheitsmoment.

Das elastische Widerstandsmoment ist daher

$$S=\frac{I}{c}$$

wobei $c$ der Abstand von der neutralen Achse bis zur jeweils betrachteten äußersten Faser ist. Ein Querschnitt mit unterschiedlichen Abständen oberhalb und unterhalb seines Schwerpunkts besitzt zwei elastische Widerstandsmomente, beispielsweise $S_{x,\text{top}}$ und $S_{x,\text{bottom}}$. Sie sind nicht austauschbar. Bei positiven und negativen Biegemomenten können unterschiedliche äußerste Fasern maßgebend sein, weil sich $c$ unterscheidet.

Diese Unterscheidung ist für einen U-Querschnitt, Winkelquerschnitt, T-Querschnitt oder unsymmetrischen zusammengesetzten Querschnitt von Bedeutung. Die Schwerpunktachse definiert bei einem homogenen Querschnitt weiterhin die elastische neutrale Achse, jedoch kann die am weitesten entfernte Faser auf einer Seite deutlich weiter von dieser Achse entfernt sein. Ein einzelner Tabellenwert kann diese Asymmetrie verdecken. Doppelt symmetrische I- und H-Querschnitte besitzen um die Hauptachse häufig gleiche positive und negative elastische Widerstandsmomente, während einfach symmetrische Querschnitte dies im Allgemeinen nicht tun.

Die geometrische Grundlage ist das Flächenträgheitsmoment. Die Dokumentation von Abaqus beschreibt $I_{11}$ und $I_{22}$ als Integrale der quadrierten Koordinatenabstände über die Querschnittsfläche, während $I_{12}$ das Produkt der Koordinatenabstände integriert (Abaqus, 2024). Diese Definition erklärt, warum eine Verlagerung von Flächenanteilen eines Flansches weiter vom Schwerpunkt entfernt $I$ erheblich vergrößern kann, ohne viel Stahl hinzuzufügen. Sie erklärt außerdem, warum $S$ eine geometrische Größe und kein festigkeitsabhängiger Wert des Stahlgütegrads ist.

Das elastische Widerstandsmoment hat die Einheit einer Länge hoch drei: ${\text{mm}}^3$, ${\text{cm}}^3$ oder ${\text{in}}^3$. Es darf nicht mit dem Trägheitsradius verwechselt werden, der die Einheit einer Länge besitzt, und auch nicht mit dem plastischen Widerstandsmoment, das ebenfalls die Einheit einer Länge hoch drei hat, jedoch anders berechnet wird.

Plastische neutrale Achse und plastisches Widerstandsmoment

Die plastische neutrale Achse (PNA) wird aus einem vollständig plastizierten Spannungszustand und nicht aus einem linear-elastischen Spannungszustand bestimmt. Bei einem homogenen Stahlquerschnitt unter reiner Biegung teilt die PNA die Querschnittsfläche in gleich große Druck- und Zugflächen:

$$A_c=A_t=\frac{A}{2}$$

Die Spannung wird auf der einen Seite idealisiert als Fließspannung unter Druck und auf der anderen Seite als Fließspannung unter Zug angesetzt. Die resultierende Normalkraft ist damit ausgeglichen. Bei einem Querschnitt mit unterschiedlichen Werkstofffestigkeiten oder bei Verbundwerkstoffen sind gleiche geometrische Flächen im Allgemeinen nicht ausreichend; die Druck- und Zugresultierenden müssen unter Verwendung der jeweils maßgebenden Werkstoffspannungen im Gleichgewicht stehen.

Das plastische Widerstandsmoment, üblicherweise mit $Z$ bezeichnet, ist das statische Moment der plastizierten Flächen bezüglich der PNA:

\[ Z=\int_A |y-y_p|\,dA \]

Bei Teilflächen kann es berechnet werden, indem jede Fläche mit dem Abstand ihres Schwerpunkts von der PNA multipliziert und anschließend summiert wird. Das zugehörige vollplastische Moment wird häufig als

$$M_p=F_{y}Z$$

angegeben, und zwar für einen einheitlichen Stahlgütegrad. $F_{y}Z$ ist jedoch ein Widerstandsausdruck und keine rein geometrische Identität. Ein Wechsel von ASTM A992 zu ASTM A36 ändert die in einer Bemessungsprüfung verwendete festgelegte Streckgrenze; er ändert nicht das geometrische $Z$, das aus denselben Abmessungen berechnet wird. Dasselbe gilt für europäische Bezeichnungen wie S275 und S355 gemäß den jeweils maßgebenden Produkt- und Bemessungsnormen.

Das elastische und das plastische Widerstandsmoment beantworten unterschiedliche Fragen. $S$ setzt das Moment bei einer elastischen Spannungsverteilung mit dem erstmaligen Fließen an der äußersten Faser in Beziehung. $Z$ setzt das Moment eines vollständig plastizierten Querschnitts mit ausgeglichenen Druck- und Zugblöcken in Beziehung. Ihr Verhältnis,

$$Z/S$$

ist der Formfaktor für die angegebene Biegeachse und die maßgebende äußerste Faser. Er gibt die zusätzliche Momententragfähigkeit an, die mit einer plastischen Spannungsumlagerung verbunden ist, bestätigt jedoch nicht, dass das Bauteil diese Tragfähigkeit erreichen oder aufrechterhalten darf.

Ein großes plastisches Widerstandsmoment allein kann einen Querschnitt nicht als kompakt klassifizieren. Die Klassifizierungen als schlank, nicht kompakt oder kompakt hängen im Wesentlichen von den Breite-zu-Dicke-Verhältnissen der Plattenelemente, den Randbedingungen, den Spannungsgradienten und den Grenzbestimmungen der maßgebenden Bemessungsnorm ab. Ein schlanker Steg kann erheblich zu einem berechneten $Z$ beitragen, während örtliches Beulen auftreten kann, bevor sich der vollständige plastische Spannungszustand entwickelt. Umgekehrt kann ein kompakter Querschnitt einen mäßigen Formfaktor besitzen. Die Klassifizierung ist eine Beurteilung der Stabilität und Duktilität und keine Rangfolge auf Grundlage einer einzelnen Tabellenzahl.

Wenn Tabellenwerte voneinander abweichen

Zwei glaubwürdige Tabellen können geringfügig unterschiedliche elastische oder plastische Querschnittswerte für einen Querschnitt ausweisen, der scheinbar derselbe ist. Zunächst ist zu prüfen, ob die Profilbezeichnung und die Ausgabe identisch sind. Das American Institute of Steel Construction gibt an, dass die 2023 veröffentlichte AISC Shapes Database v16.0 Abmessungen und Eigenschaften in US-amerikanischen und metrischen Einheiten bereitstellt, während Teil 1 der 16. Ausgabe des Steel Construction Manual die maßgebende Referenz für Abmessungen und geometrische Eigenschaften von Standardprofilen ist. Ein dort aufgeführtes W-Profil sollte nicht ohne Weiteres mit einem nominell ähnlichen europäischen HE-Profil verglichen werden.

Das vom Steel Construction Institute gepflegte Blue Book, hier in seiner Fassung von 2024 herangezogen, enthält Angaben zur Fläche, zu Flächenträgheitsmomenten, elastischen und plastischen Widerstandsmomenten, Trägheitsradien, Torsionskonstanten und Wölbkonstanten. EVS-EN 10365:2026 legt Nennabmessungen und Massen für warmgewalzte U-, I- und H-Profile fest; die Norm ist selbst kein Ersatz für jede Tabelle berechneter Querschnittswerte. Diese Unterscheidung ist wichtig. Eine nominale Flanschdicke in einer Produktnorm, eine modellierte Dicke in einer Hersteller-Tabelle und eine gerundete Abmessung in einer Bemessungsdatenbank können geringfügig unterschiedliche Ergebnisse liefern.

Zur Profilgeometrie gehören außerdem Einzelheiten, die eine vereinfachte Handskizze möglicherweise nicht berücksichtigt: Flansch- und Stegausrundungen, Wurzelradien, Verjüngungen, Eckradien und Walztoleranzen. Eine auf Rechtecken basierende Näherung kann das grundlegende Verhalten eines I-Querschnitts wiedergeben, während sie die exakte Fläche, den Schwerpunkt, $I$, $S$ oder $Z$ verfehlt. Durch Rundungen entsteht anschließend eine weitere Abweichung. Eine Tabelle kann $I_x=1,130{\text{cm}}^4$ anzeigen, während die Software intern mehr Stellen berücksichtigt.

Einheiten verursachen vermeidbare Fehler. ArcelorMittal weist 2024 darauf hin, dass die berechneten europäischen Querschnittswerte im Allgemeinen in Zentimetern angegeben werden; die Oberfläche verwendet auf Metern basierende Einheiten und die Wölbkonstante auf Dezimetern basierende Einheiten. Daher können $W_{\mathrm{el}}$ in ${\text{cm}}^3$ und $I_w$ in ${\text{dm}}^6$ nicht ohne Umrechnung in eine Berechnung im Inch-Pound-System übernommen werden.

MDSolids von Missouri S&T führt für allgemeine und standardisierte Stahlprofile die Schwerpunktlage, Flächenträgheitsmomente, Widerstandsmomente, Trägheitsradien, das plastische Widerstandsmoment, das polare Flächenträgheitsmoment und die Hauptflächenträgheitsmomente auf (2024). Das Programm ist für die Überprüfung einer Handberechnung nützlich; eine Übereinstimmung mit einem plastischen Widerstandsmoment beweist jedoch nicht, dass ein Querschnitt einen Grenzwert der Querschnittskompaktheit oder einen Bemessungswiderstand erfüllt. Vor der Übernahme eines Tabellenwerts sind die Achsenkonvention, die Grundlage als Brutto- oder Nettoquerschnitt, die Behandlung der Ausrundungen, die Einheiten und die Ausgabe der Quelle zu überprüfen. Die Geometrie bestimmt den Querschnittswert; die maßgebende Bemessungsnorm legt fest, wie dieser Wert verwendet werden darf.

Torsionskonstante J und Wölbkonstante Cw

Saint-Venant-Torsion und J

Die Torsionskonstante $J$ beschreibt den Widerstand eines Querschnitts gegen Saint-Venant-Torsion: eine Verdrehung, die durch ein Torsionsmoment erzeugt wird, wenn sich der Querschnitt entlang seiner Länge frei verwölben kann. Sie ist eine geometrische Eigenschaft und kein Wert für die Stahlfestigkeit. In einem einfachen elastischen Modell stehen die Torsionsschubspannung und die Verdrehung über den Schubmodul $G$ des Werkstoffs, das aufgebrachte Torsionsmoment $T$ und $J$ miteinander in Beziehung:

$$\theta \prime =\frac{T}{\mathrm{GJ}}$$

Dabei ist $\theta \prime$ der Verdrehwinkel pro Längeneinheit. Ein größeres $J$ bedeutet bei gleichem Torsionsmoment eine geringere Verdrehung, vorausgesetzt, Werkstoff, Belastung und Randbedingungen sind ansonsten identisch. Die Dimension von $J$ ist die vierte Potenz einer Länge, beispielsweise ${\text{mm}}^4$, ${\text{in}}^4$ oder ${\text{cm}}^4$.

Der Begriff „Torsionskonstante“ bedeutet nicht bei jedem Querschnitt „polares Flächenträgheitsmoment“. Das polare Flächenträgheitsmoment ist

$$I_p=I_x+I_y$$

bezogen auf zueinander senkrechte Schwerpunktachsen. Bei einem kreisförmigen oder ringförmigen Querschnitt gilt $J=I_p$, weil die Kreisgeometrie ermöglicht, dass die Saint-Venant-Spannungsfunktion diese direkte Gleichheit hervorbringt. Für die meisten nichtkreisförmigen Querschnitte, insbesondere für dünnwandige offene Querschnitte, gilt \(J\ne I_p\). Werden die beiden Größen als austauschbar behandelt, kann dies zu einem erheblichen Fehler bei der Vorhersage von Verdrehung und Torsionsspannung führen.

Für einen dünnen rechteckigen Streifen mit der Länge $b$ und der Dicke $t$, wobei $b$ wesentlich größer als $t$ ist, beträgt die Saint-Venant-Torsionskonstante näherungsweise

$$J\approx \frac{1}{3}{\mathrm{bt}}^3.$$

Die Dicke geht in der dritten Potenz ein. Deshalb trägt ein dünner Flansch oder Steg wesentlich weniger zur Saint-Venant-Torsionssteifigkeit bei, als eine kreisförmige Berechnung, die lediglich auf seinem Abstand vom Schwerpunkt basiert, vermuten lassen könnte. Das polare Flächenträgheitsmoment beschreibt die Verteilung der Fläche um eine Achse; $J$ beschreibt die Fähigkeit des Querschnitts, während der Verdrehung ein verträgliches Schubspannungsfeld auszubilden. Dies sind miteinander verbundene geometrische Konzepte, aber nicht dieselbe Berechnung.

ANSI/AISC 360-16 führt $J$ als Querschnittskenngröße auf, die im Stahlbau zusammen mit $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$ und $C_w$ verwendet wird. Die AISC Shapes Database v16.0, die 2023 vom American Institute of Steel Construction veröffentlicht wurde, enthält Abmessungen und Querschnittswerte für Standardprofile in US-amerikanischen und metrischen Einheiten. AISC Part 1, Dimensions and Properties, dient als tabellarische Referenz für Querschnittswerte im Steel Construction Manual, 16. Ausgabe. Der angegebene Wert muss mit der exakten Profilbezeichnung W, S, M, HP, C, MC, WT, L, HSS oder eines anderen Profils übereinstimmen; eine ähnliche Nennhöhe ist nicht ausreichend.

Wölbwiderstand und Cw

$C_w$, die Wölbkonstante, beschreibt den Widerstand eines Querschnitts gegen die Längsverwölbung bei nichtgleichförmiger Torsion. Ihre Dimension ist die sechste Potenz einer Länge, üblicherweise ${\text{mm}}^6$, ${\text{in}}^6$ oder ${\text{cm}}^6$. Sie darf nicht mit $J$ verwechselt werden, das die Saint-Venant-Reaktion des Querschnitts beschreibt.

Wenn sich ein Träger verdreht, möchten sich verschiedene Teile eines offenen Querschnitts im Allgemeinen um unterschiedliche Beträge in Längsrichtung bewegen. Bei einem I-Querschnitt können sich beispielsweise die Flansche in entgegengesetzte Richtungen verwölben. Sind die Enden frei und wirkt das Torsionsmoment gleichmäßig, kann ein großer Teil der Reaktion durch Saint-Venant-Torsion über $J$ dargestellt werden. Verhindern jedoch Diaphragmen, Endplatten, Verbindungen, Deckensysteme, Schweißnähte oder Lagerungen diese Längsbewegung, entstehen Wölbspannungen. Die daraus resultierende Torsionsreaktion umfasst Wölbkrafttorsion, und $C_w$ wird maßgebend.

Das Ausmaß dieses Effekts hängt von der Behinderung und nicht allein von der Profilbezeichnung ab. Ein einfach gelagertes Bauteil mit Details, die eine Verwölbung der Flansche zulassen, kann einen geringen Beitrag der Wölbung aufweisen. Derselbe Querschnitt kann bei einer Einspannung in eine steife Verbindung oder bei einer Anbindung an ein steifes Diaphragma ein erhebliches Bimoment und eine longitudinale Normalspannung entwickeln. Eine Berechnung, in der $C_w$ eingesetzt wird, ohne die Randbedingungen festzulegen, ist unvollständig.

Bei doppelt symmetrischen I- und H-Querschnitten ist die Wölbkonstante um die Hauptachse häufig groß, weil die voneinander getrennten Flansche einen langen Hebelarm für gegenläufige Längsverwölbungen bilden. Eine vereinfachte Form für einen I-Querschnitt mit dünnen Flanschen ist proportional zur Flanschfläche multipliziert mit dem Quadrat des Abstands zwischen den Flanschschwerpunkten:

$$C_w\sim A_f{h}_o^2,$$

wobei der genaue Ausdruck von der Flanschgeometrie, der Stegdicke und der gewählten Achse abhängt. Diese Näherung erklärt, weshalb $C_w$ groß sein kann, obwohl $J$ vergleichsweise klein bleibt.

Die AISC-Tabellen und das SCI Blue Book geben für viele Standardprofile $C_w$ an. Das Blue Book des Steel Construction Institute, das vom SCI 2024 als Quelle für europäische Abmessungen und Querschnittswerte bezeichnet wurde, enthält Flächen, Flächenträgheitsmomente zweiter Ordnung, elastische und plastische Widerstandsmomente, Trägheitsradien, Torsionskonstanten und Wölbkonstanten. Dabei handelt es sich um berechnete geometrische Eigenschaften. EVS-EN 10365:2026 legt Nennabmessungen und Massen für warmgewalzte U-Profile, I-Profile und H-Profile fest; sie ist kein Ersatz für eine Tabelle mit Querschnittswerten.

Die Einheitenprüfung ist bei $C_w$ besonders wichtig. In den Erläuterungen von ArcelorMittal aus dem Jahr 2024 wird angegeben, dass die berechneten europäischen Querschnittswerte im Allgemeinen auf Zentimeter-Einheiten basieren, während die Oberfläche in Einheiten bezogen auf Meter und die Wölbkonstante in Einheiten bezogen auf Dezimeter angegeben wird. Eine Tabelle kann daher $J$ in ${\text{cm}}^4$ und $C_w$ in ${\text{dm}}^6$ ausweisen. Wird nur die Kraft- oder Längeneinheit umgerechnet, während die Größe mit der sechsten Potenz unverändert bleibt, kann das Ergebnis ungültig werden.

Offene und geschlossene Stahlquerschnitte

Offene I-Querschnitte, U-Profile, T-Profile und Winkelprofile weisen entlang eines großen Teils ihres Umfangs unterbrochene dünnwandige Bereiche auf. Ihre Saint-Venant-Torsionskonstante ist daher im Vergleich zu $I_x$, $I_y$ oder dem polaren Flächenträgheitsmoment häufig klein. Ein I-Querschnitt kann bei Biegung um die Hauptachse äußerst steif sein und sich dennoch leicht verdrehen, wenn seine Belastung nicht durch den Schubmittelpunkt verläuft. Bei einem U-Profil kommt eine weitere Besonderheit hinzu: Sein Schubmittelpunkt liegt außerhalb des Querschnitts, sodass eine durch den Schwerpunkt verlaufende Querlast Torsion erzeugen kann.

Winkelprofile und T-Profile sind ebenfalls unsymmetrisch. Ihr Schwerpunkt, ihre Hauptachsen, ihr Schubmittelpunkt und ihr Wölbverhalten fallen nicht in der einfachen Weise zusammen, wie dies bei einem doppelt symmetrischen I-Querschnitt der Fall ist. Das Deviationsmoment $I_{\mathrm{xy}}$ kann im gewählten Koordinatensystem ungleich null sein, sodass vor einer korrekten Bewertung von Biegung und Torsion eine Transformation auf die Hauptachsen erforderlich ist.

Geschlossene Hohlprofile verhalten sich anders, da ihre Wände eine durchgehende Zelle bilden. Ein Torsionsmoment kann durch einen umlaufenden Schubfluss um die eingeschlossene Fläche übertragen werden. Für einen dünnwandigen, einzelligen geschlossenen Querschnitt beträgt die Torsionskonstante näherungsweise

$$J\approx \frac{4A_m^2}{\oint \mathrm{ds}/t},$$

wobei $A_m$ die von der Mittellinie der Wand eingeschlossene Fläche ist und das Integral die Wandlänge und -dicke berücksichtigt. Dieser Mechanismus verleiht einem geschlossenen rechteckigen oder kreisförmigen HSS gewöhnlich eine wesentlich höhere Saint-Venant-Torsionssteifigkeit als einem offenen Querschnitt ähnlicher Masse. Auch geschlossene Querschnitte können sich in der Nähe konzentrierter Lasten, an Unstetigkeiten und bei Verbindungen verwölben; eine freie gleichförmige Verwölbung ist jedoch häufig weniger maßgebend als bei einem offenen I-Querschnitt.

Diese Unterschiede sind sowohl bei der Analyse mit Software als auch bei Handberechnungen von Bedeutung. Abaqus definiert Schwerpunktkenngrößen, indem für $I_{11}$ und $I_{22}$ die quadrierten Koordinatenabstände und für $I_{12}$ die Koordinatenprodukte integriert werden; dieser Integrationsrahmen macht aus $I_p$ nicht $J$. Die Ressource MDSolids der Missouri S&T berechnet das polare Flächenträgheitsmoment und Torsionseigenschaften für allgemeine und standardisierte Querschnitte getrennt. Ein zuverlässiges Modell übernimmt daher $J$ und $C_w$ aus einer passenden Norm- oder Standardquelle oder berechnet sie mit einem für die Querschnittstopologie geeigneten Verfahren. Anschließend müssen Einheiten, Achsen, Lagerungen und Verbindungsdetails überprüft werden, bevor die Werte im Stahlbau angewendet werden.

Schubfläche, Schubmittelpunkt und unsymmetrische Querschnitte

Wirksame Schubflächen

Die Bruttofläche $A$ ist die Fläche, die bei Berechnungen der Normalkraft und bei mehreren geometrischen Eigenschaften verwendet wird. Sie ist nicht automatisch die Fläche, die den Querschub aufnimmt. Die Schubfläche ist eine eigenständige Eigenschaft und wird üblicherweise mit $A_{\mathrm{vx}}$, $A_{\mathrm{vy}}$ oder $A_v$ angegeben oder durch einen Schubkorrekturfaktor beschrieben. Ihre Einheit ist eine Flächeneinheit, ihr Zahlenwert hängt jedoch von der Schubrichtung und von der angenommenen Verteilung der Schubspannung über den Querschnitt ab.

Bei einem rechteckigen Querschnitt, der Schub parallel zu seiner Tiefe überträgt, ist die Schubspannung nicht konstant. Sie ist an den freien oberen und unteren Oberflächen null, steigt zur neutralen Achse hin an und erreicht dort ihr Maximum. Die mittlere Spannung $V/A$ entspricht daher nicht der tatsächlichen maximalen Spannung. Eine Darstellung über die Schubfläche ersetzt das nichtgleichförmige Spannungsfeld durch eine äquivalente Beziehung für die mittlere Spannung, die häufig wie folgt geschrieben wird:

$${\tau }_{\mathrm{avg}}=\frac{V}{A_v}.$$

Da sich maximale und mittlere Spannung unterscheiden, ist $A_v$ nicht einfach die Bruttofläche. Für ein Vollrechteck mit der Breite $b$ und der Tiefe $h$ ergibt die bekannte elastische Verteilung eine maximale Schubspannung von $1.5V/\left(\mathrm{bh}\right)$. Eine auf dieser Maximalspannung basierende äquivalente Fläche wäre daher $2\mathrm{bh}/3$. Andere Definitionen, einschließlich der in finiten Balkenelementen verwendeten, können eine andere wirksame Fläche ergeben, da sie an die Schubverformungsenergie und nicht ausschließlich an die maximale Spannung gekoppelt sind.

Bei dünnwandigen I-Querschnitten ist diese Unterscheidung besonders bedeutsam. Bei vertikalem Schub wird der größte Teil der Kraft vom Steg aufgenommen, während die Flansche vergleichsweise wenig beitragen, weil ihr Material weit vom Schubflussweg des Stegs entfernt liegt und weil die Flanschschubspannung über die Flanschbreite variiert. Wird die gesamte Fläche als gleichförmige Schubfläche behandelt, kann dies zu einer Unterschätzung der Schubspannung im Steg führen. Bei horizontalem Schub wird die Anordnung der Flansche wichtiger. Ein U-, Winkel- oder T-Querschnitt besitzt kein Paar gleich großer, entgegengesetzt angeordneter Flansche, das den Schubfluss ausgleichen könnte. Daher muss die Verteilung anhand der tatsächlichen Geometrie berechnet werden.

Die übliche Beziehung für dünnwandige Querschnitte,

$$q=\frac{\mathrm{VQ}}{I},$$

drückt den Schubfluss $q$ an einer bestimmten Stelle durch das statische Moment $Q$ der außerhalb dieser Stelle liegenden Fläche aus; $I$ wird dabei um die maßgebende Schwerpunktachse angesetzt. Sie zeigt, warum die Spannungen in Flansch und Steg nicht allein anhand von Flächenanteilen zugeordnet werden können. Die Lage des Materials, ausgedrückt durch $Q$, ist entscheidend. An den Verbindungen zwischen Steg und Flansch muss der Schubfluss außerdem sowohl das Gleichgewicht als auch die Kompatibilität erfüllen.

Eine berechnete Schubfläche sollte daher nach Richtung und Definition gekennzeichnet werden. Sie darf nicht anstelle von $A$, $I_x$, $I_y$ oder einem Widerstandsmoment eingesetzt werden. Die Edelstahlbemessungsrichtlinie von Georgia Tech ist in dieser Hinsicht nützlich, weil ihre berechneten Querschnittseigenschaften Fläche, Trägheitsmomente bezogen auf den Schwerpunkt, Widerstandsmomente, Trägheitsradien, Torsionsgrößen und schubbezogene Größen getrennt ausweist, anstatt eine einzige Zahl als allgemeines Maß für die Formeffizienz anzugeben. Dieselbe geometrische Behandlung gilt für Kohlenstoffstahl und niedriglegierten Baustahl. Eine Änderung der Bezeichnung von ASTM A36 zu ASTM A572 Grade 50 oder von einer Edelstahlsorte zu einer anderen ändert die Widerstandswerte und Bemessungsgrenzen, nicht jedoch die aus unveränderten Abmessungen berechnete Schubfläche.

Lage des Schubmittelpunkts

SchubmittelpunktSchubmittelpunkt Die Lage der Wirkungslinie, bei der eine Querkraft im Querschnitt kein zusätzliches Torsionsmoment erzeugt.

Der Schubmittelpunkt ist der Punkt in einem Querschnitt, durch den eine Querlast wirken muss, damit sie Biegung ohne Verdrehung erzeugt. Bei einem doppelt symmetrischen I-Querschnitt fällt der Schubmittelpunkt mit dem Schwerpunkt zusammen. Bei einem Querschnitt mit nur einer Symmetrieachse liegt er auf dieser Symmetrieachse, muss jedoch nicht mit dem Schwerpunkt zusammenfallen. Bei einem Querschnitt ohne Symmetrie kann der Schubmittelpunkt in beiden Koordinatenrichtungen exzentrisch liegen.

Der Grund dafür ist der Schubfluss. Eine Querlast erzeugt über den Querschnitt verteilte elementare Schubkräfte. Ihre Resultierende entspricht der aufgebrachten Schubkraft, ihre gemeinsame Wirkungslinie muss jedoch nicht durch den Schwerpunkt verlaufen. Die Exzentrizität erzeugt ein Torsionsmoment. Wird die Last am Schubmittelpunkt angesetzt, verläuft ihre Wirkungslinie korrekt und dieses Torsionsmoment entfällt.

Ein U-Querschnitt ist das typische Warnbeispiel. Seine Flansche ragen auf einer Seite des Stegs hervor, sodass der vertikale Schub ungleiche Schubflüsse in den Flanschen erzeugt, deren Resultierende im Allgemeinen außerhalb des Schwerpunkts angreift. Der Schubmittelpunkt liegt häufig außerhalb des Materials auf der den Flanschen gegenüberliegenden Seite des Stegs. Eine durch den Schwerpunkt aufgebrachte Last kann daher gleichzeitig Biegung und Verdrehung verursachen. Bei einem Winkelquerschnitt ist die Situation noch schwieriger: Da bei den üblichen gleich- oder ungleichschenkligen Ausführungen keine Symmetrieachse vorhanden ist, müssen sowohl die Schwerpunktkoordinaten als auch die Koordinaten des Schubmittelpunkts aus der vollständigen Querschnittsgeometrie bestimmt werden. Ein T-Querschnitt besitzt eine Symmetrieachse, die den Schubmittelpunkt auf diese Achse festlegt; Steg und Flansch bewirken jedoch in vielen Fällen dennoch eine Lage außerhalb des Schwerpunkts.

Die Berechnung erfordert mehr als $A$, $I_x$ und $I_y$. Der Schubfluss muss bestimmt, die Momente dieses Schubflusses um einen Bezugspunkt müssen integriert und anschließend der Punkt ermittelt werden, an dem das resultierende Torsionsmoment null ist. Bei dünnwandigen offenen Querschnitten beeinflussen die idealisierte Wanddicke und die Geometrie der Verbindungsstellen das Ergebnis. Abgerundete Ecken, Kehlen, Lippen und lokale Schweißnähte können die Lage verändern, insbesondere wenn der Querschnitt klein oder die Wand dünn ist.

Veröffentlichte Tabellen müssen außerdem unter Berücksichtigung ihrer Achsenkonventionen gelesen werden. Die AISC Shapes Database v16.0, die vom American Institute of Steel Construction im Jahr 2023 als Datenbank mit Abmessungen und Eigenschaften in US-amerikanischen und metrischen Einheiten bezeichnet wurde, ist an bestimmte Querschnittsbezeichnungen und Achsen gebunden. Das Blue Book des Steel Construction Institute weist in ähnlicher Weise europäische Querschnittseigenschaften aus. EN 10365:2026 legt Nennabmessungen und Massen für warmgewalzte U-, I- und H-Querschnitte fest; sie ersetzt keine Tabelle mit Querschnittseigenschaften. Das Blue Book enthält berechnete Eigenschaften, während ArcelorMittal darauf hinweist, dass europäische berechnete Eigenschaften im Allgemeinen in Zentimetern angegeben werden, wobei Oberfläche und Wölbkonstante Einheiten auf Meter- beziehungsweise Dezimeterbasis verwenden. Ein Abstand des Schubmittelpunkts muss gesondert hinsichtlich Einheit, Ursprung des Koordinatensystems und Vorzeichen geprüft werden.

Kopplung zwischen Biegung und Torsion

Bei einem unsymmetrischen Querschnitt sind Biegung und Torsion auf zwei miteinander verbundenen Arten gekoppelt. Erstens verläuft eine durch den Schwerpunkt führende Last möglicherweise nicht durch den Schubmittelpunkt, wodurch ein Torsionsmoment entsteht:

$$T=Ve,$$

wobei $e$ der senkrechte Abstand zwischen der Wirkungslinie der Last und der Wirkungslinie durch den Schubmittelpunkt ist. Zweitens ist das Flächenträgheitsprodukt $I_{\mathrm{xy}}$ ungleich null, wenn die gewählten $x$- und $y$-Achsen keine Hauptachsen sind. Eine Biegung um eine Koordinatenachse erzeugt dann eine Krümmung, die auch die andere Achse einbezieht. Dies ist ein Effekt der Koordinatenwahl und der Geometrie, nicht der Werkstofffestigkeit.

Die Dokumentation von Abaqus erklärt, dass die Schwerpunktträgheitsmomente $I_{11}$ und $I_{22}$ durch Integration der quadrierten Koordinatenabstände über die Fläche bestimmt werden, während $I_{12}$ das Produkt der Koordinatenabstände integriert. Dieses Produkt ist die maßgebende Größe, die auf eine Kopplung infolge unsymmetrischer Achsen hinweist. Eine Drehung in die Hauptachsen kann das Flächenträgheitsprodukt beseitigen; sie bewirkt jedoch weder, dass der Schubmittelpunkt eines U-Querschnitts mit seinem Schwerpunkt zusammenfällt, noch beseitigt sie die Torsionsreaktion einer auf der falschen Wirkungslinie aufgebrachten Last.

Offene Querschnitte reagieren auf diese Unterscheidung besonders empfindlich, weil ihre Torsionskonstante $J$ im Vergleich zu der eines geschlossenen Kastens ähnlicher Fläche häufig klein ist. Die Wölbung kann dann einen erheblichen Beitrag leisten, sodass die Wölbkonstante $C_w$ und eine geeignete Analyse mit behinderter Wölbung erforderlich werden. Ein durch seinen Schwerpunkt belasteter U-Querschnitt kann sich verdrehen, verwölben und um mehr als eine Achse biegen, selbst wenn die aufgebrachte Kraft scheinbar „zentriert“ ist.

Die Softwareausgabe sollte anhand dieses physikalischen Zusammenhangs überprüft werden. MDSolids gibt beispielsweise die Schwerpunktlage, Hauptträgheitsmomente, das polare Flächenträgheitsmoment und weitere Querschnittseigenschaften für allgemeine und genormte Stahlquerschnitte aus. Diese Ergebnisse unterstützen die Überprüfung, ersetzen jedoch nicht die Notwendigkeit, die Wirkungslinie der Last, die Schubrichtung, die Achsenkonvention und die Randbehinderung zu bestimmen. Für einen Winkel-, T- oder U-Querschnitt ist die alleinige Angabe von $A$, $I_x$ und $I_y$ unvollständig, wenn Torsion oder die Stabilität gegen seitliches Ausweichen von Bedeutung ist. Die Geometrie bestimmt die Kopplung, während die angegebene Stahlsorte erst anschließend über die Festigkeit, die Annahmen zur Steifigkeit und die maßgebende Bemessungsnorm eingeht.

Tabellen standardisierter Stahlprofile: Referenzen von AISC, SCI und EN

Tabellen standardisierter Profilformen sind Hilfsmittel für wiederkehrende Geometrien, jedoch kein Ersatz für ingenieurtechnisches Ermessen. Eine veröffentlichte Tabelle kann dem Ingenieur die erneute Berechnung der Fläche, des Schwerpunkts, der Flächenträgheitsmomente, der Widerstandsmomente, der Trägheitsradien, der Torsionskonstante und der Wölbkonstante jedes gewalzten Bauteils ersparen. Sie kann jedoch nicht feststellen, ob das ausgewählte Profil der richtigen Profilfamilie angehört, ob die angegebene Achse der Knick- oder Biegerichtung entspricht oder ob die Werte mit der Bemessungsnorm und dem Einheitensystem kompatibel sind.

Diese Unterscheidung ist wichtig, weil diese Größen nicht austauschbar sind. Die Bruttofläche $A$ hat die Einheit einer Länge zum Quadrat. $I_x$ und $I_y$ sind auf den Schwerpunkt bezogene Flächenträgheitsmomente mit der Einheit einer Länge zur vierten Potenz; ihre Werte beschreiben den Widerstand gegen biegebedingte Krümmung um festgelegte Achsen. Das elastische Widerstandsmoment $S$ ergibt sich aus der Division eines Flächenträgheitsmoments durch den Abstand zur äußersten Faser, während das plastische Widerstandsmoment $Z$ aus gleich großen Druck- und Zugblöcken bezogen auf eine plastische neutrale Achse hervorgeht. Die Trägheitsradien $r_x$ und $r_y$ sind die Quadratwurzeln aus $I/A$. Sie sind insbesondere für Schlankheitsberechnungen von Bedeutung, stellen jedoch keine Flächenträgheitsmomente dar.

Die Torsionskonstante $J$ beschreibt das Torsionsverhalten nach Saint-Venant und darf nicht mit dem polaren Flächenträgheitsmoment verwechselt werden, das für das betreffende Koordinatensystem die geometrische Summe orthogonaler Flächenträgheitsmomente ist. Die Wölbkonstante $C_w$, die gewöhnlich mit offenen dünnwandigen Querschnitten verbunden ist, besitzt eine andere Dimensionsform und geht in die Analyse behinderter Wölbung ein. Eine Tabelle, die all diese Werte aufführt, gibt daher voneinander getrennte geometrische Kennwerte an und nicht mehrere Bezeichnungen für die „Profilfestigkeit“.

AISC Shapes Database v16.0 und das Handbuch der 16. Ausgabe

Die AISC Shapes Database v16.0 des American Institute of Steel Construction stellt gemäß AISC (2023) Abmessungen und Querschnittswerte für Stahlbauprofile sowohl in US-amerikanischen als auch in metrischen Einheiten bereit. Sie ist als Ergänzung zum Steel Construction Manual der 16. Ausgabe vorgesehen und bietet eine einheitliche digitale Referenz für standardisierte gewalzte und gefertigte US-amerikanische Profilbezeichnungen.[2][2] 16th Edition Steel Construction Manual, Part 1. American Institute of Steel Construction. Steel Construction Manual, 2023.

Innerhalb dieses Systems ist AISC Part 1, „Dimensions and Properties“, die tabellarische Referenz für Abmessungen und Eigenschaften standardisierter Stahlbauteile. Sie enthält die zur Beschreibung eines Querschnitts erforderlichen Abmessungen sowie die bei der Bemessung verwendeten berechneten Eigenschaften: Fläche, Gewicht, gegebenenfalls Schwerpunktangaben, $I_x$, $I_y$, $S_x$, $S_y$, $Z_x$, $Z_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ und $C_w$ sowie weitere Werte. Die Datenbank reduziert die wiederholte Durchführung von Integrationen und Berechnungen nach dem Steinerschen Satz. Der Ingenieur muss jedoch weiterhin das genaue Profil W, S, M, HP, C, MC, L, WT, HSS oder ein anderes aufgeführtes Profil auswählen und dessen Bezeichnung bestätigen.

Die Achsenbezeichnungen sind nicht bloß dekorativ. Bei einem doppelt symmetrischen W-Profil ist $x$ normalerweise die große Schwerpunktachse und $y$ die kleine Schwerpunktachse, sodass $I_x$ üblicherweise deutlich größer als $I_y$ ist. Eine Bemessungsberechnung, bei der $I_y$ verwendet wird, obwohl das Bauteil um $x$ biegt, kann numerisch präzise und physikalisch falsch sein. Dasselbe Problem tritt beim Biegedrillknicken auf, bei dem $J$, $C_w$, die unversteifte Länge und die Biegerichtung gemeinsam interpretiert werden müssen.

ANSI/AISC 360-16 definiert die im Stahlbau verwendeten Querschnittswerte, darunter $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ und $C_w$ (AISC, 2021). Diese Spezifikation macht aus einem tabellierten Querschnittswert keinen Materialfestigkeitswert. Ein aus ASTM A992-Stahl gewalztes W-Profil und dasselbe geometrische W-Profil, das für ASTM A36-Stahl betrachtet wird, besitzen bei identischen Abmessungen dieselbe ideale geometrische Fläche und dieselben Flächenträgheitsmomente. Ihre Streckgrenze, Zugfestigkeit, Widerstandsberechnungen und geltenden Materialanforderungen unterscheiden sich jedoch. Die Bezeichnung ASTM A992 gehört daher zur Metallurgie und zur Einhaltung der Spezifikation, nicht zur geometrischen Definition von $I_x$.

Auch AISC-Werte erfordern eine Kontrolle der Ausgabe. Eine Profilbezeichnung kann fortbestehen, während sich Abmessungen, aufgeführte Eigenschaften, Rundungen oder Datenbankinhalte zwischen verschiedenen Referenzen ändern. In der Quelle sollte „AISC Shapes Database v16.0“ oder die maßgebliche Ausgabe des Manuals angegeben werden, anstatt ohne Versionsangabe lediglich auf „AISC-Tabellen“ zu verweisen. Softwareausgaben sollten mit derselben Quelle verglichen werden, insbesondere wenn ein Modell metrische Werte importiert oder zollbasierte Querschnittswerte automatisch umrechnet.

SCI P363: The Blue Book

SCI P363, gemeinhin The Blue Book genannt, ist die Referenz des Steel Construction Institute für Abmessungen und Querschnittswerte europäischer Stahlbauprofile. The Blue Book enthält gemäß SCI (2024) Flächen, Flächenträgheitsmomente, elastische und plastische Widerstandsmomente, Trägheitsradien, Torsionskonstanten und Wölbkonstanten. Es ist daher mehr als ein Katalog nominaler Profilhöhen und Flanschbreiten.

Seine Tabellen decken europäische Profilfamilien wie IPE, HE, HL, HD, HP, UB, UC, UPE und UPN ab. Diese Bezeichnungen müssen bei der Identifizierung eines Profils exakt beibehalten werden. IPE- und HE-Familien sind nicht allein deshalb austauschbar, weil beide I-förmig sind. UB und UC bezeichnen ebenfalls unterschiedliche, ursprünglich britische Reihen gewalzter Profile mit unterschiedlichen Proportionen und Beziehungen zwischen ihren Querschnittswerten. UPE- und UPN-Profile haben unterschiedliche Flanschanordnungen und können nicht allein aufgrund der nominalen Profilhöhe ersetzt werden.

Die elastischen und plastischen Querschnittswerte des Blue Book dienen unterschiedlichen Nachweisen. Die elastischen Widerstandsmomente $W_{\mathrm{el}}$, deren Zweck häufig dem von $S$ entspricht, beruhen auf der äußersten elastischen Faser und werden bei elastischen Spannungsberechnungen verwendet. Die plastischen Widerstandsmomente $W_{\mathrm{pl}}$ beschreiben die vollständig plastifizierte Spannungsverteilung und werden verwendet, sofern die maßgebende Klassifizierung und die Bemessungsregeln einen plastischen Widerstand zulassen. Ein Querschnitt kann ein großes elastisches Widerstandsmoment und einen davon unterschiedlichen plastischen Formbeiwert besitzen; der eine Wert kann nicht durch bloße Umbenennung aus dem anderen abgeleitet werden.

Europäische Tabellen erfordern außerdem eine konsequente Einheitenkontrolle. ArcelorMittal gibt an, dass berechnete europäische Querschnittswerte im Allgemeinen auf Zentimeter-Einheiten beruhen: Fläche in ${\text{cm}}^2$, Flächenträgheitsmomente in ${\text{cm}}^4$, Widerstandsmomente in ${\text{cm}}^3$ und Trägheitsradien in Zentimetern. Die Oberfläche wird üblicherweise in ${\text{m}}^2$ je Meter angegeben, während die Wölbkonstante eine auf Dezimetern basierende Einheit wie ${\text{cm}}^6$ oder die in der Tabelle angegebene Konvention verwendet. Die genaue Überschrift muss gelesen werden und darf nicht vorausgesetzt werden. Die Umrechnung von ${\text{cm}}^4$ in ${\text{mm}}^4$ multipliziert den Zahlenwert mit ${10}^4$; die Umrechnung von ${\text{cm}}^3$ in ${\text{mm}}^3$ multipliziert ihn mit ${10}^3$. Ein übersehener Exponent kann jede spätere Berechnung überlagern.

SCI-Querschnittswerte werden aus der Querschnittsgeometrie und den standardisierten Profilabmessungen berechnet. Sie ändern sich nicht dadurch, dass ein Bauteil nach der Normenreihe EN 10025 als S275, S355 oder mit einer anderen Güte spezifiziert wird. Änderungen der Güte beeinflussen Streckgrenze, Zugfestigkeit, Anforderungen an die Schweißbarkeit und Widerstandsgleichungen. Sie erhöhen jedoch nicht die geometrischen Werte $I$, $J$, $C_w$ oder $A$ eines unveränderten Profils.

EVS-EN 10365:2026: Bezeichnungen und Massen

EVS-EN 10365:2026 legt gemäß EVS (2026) die nominalen Abmessungen und Massen warmgewalzter Stahlkanäle, I-Profile und H-Profile fest. Sie ist eine Referenz für Produkte und Bezeichnungen, jedoch keine vollständige Datenbank für Querschnittswerte. Eine auf dieser Norm basierende Tabelle kann dem Benutzer die nominale Profilhöhe, Flanschbreite, Dicken, Wurzelabmessungen, Profilbezeichnung und Masse je Längeneinheit nennen. Daraus folgt jedoch nicht, dass sie jeden für die Bemessung erforderlichen Wert von $I$, $S$, $Z$, $J$ oder $C_w$ bereitstellt.

Diese Unterscheidung ist wichtig, wenn eine Bezeichnung wie IPE 300, HE 200 B oder UPN 240 in eine Analysesoftware übertragen wird. Die Bezeichnung identifiziert ein standardisiertes nominales Profil, während die Querschnittswerte aus einer kompatiblen Querschnittswertetabelle entnommen oder aus der angegebenen Geometrie berechnet werden müssen. Nominale Abmessungen entsprechen außerdem nicht den gemessenen Abmessungen eines bestimmten Stahlstücks. Walztoleranzen, Wurzelradien, Ausrundungen und Dickenabweichungen können die berechneten Querschnittswerte, die Masse und die Passung beeinflussen. Für die gewöhnliche Bemessung werden normalerweise die maßgebende Norm und die tabellierten Nominalwerte verwendet; für Bestandsbewertungen, Fertigungsprüfungen oder ungewöhnliche zusammengesetzte Details kann eine vermessene Geometrie erforderlich sein.

EN 10365:2026 darf auch nicht mit der Materialspezifikation verwechselt werden. Eine Profilbezeichnung beschreibt die Form und die nominale Größe. Eine Bezeichnung wie S355 nach der maßgebenden Produktnorm beschreibt Anforderungen an die Stahlgüte. Beide Bezeichnungen können in einem Bemessungsplan erscheinen, beantworten jedoch unterschiedliche Fragen: EN 10365 identifiziert die Geometrie des gewalzten Profils und die Konvention für die Masse, während die Materialnorm die chemische Zusammensetzung, die mechanischen Eigenschaften, den Lieferzustand und die Prüfung behandelt.

Wenn keine maßgebende Querschnittswertetabelle zum exakten Profil passt, können die Werte aus den nominalen Abmessungen rekonstruiert werden, indem der Querschnitt in Rechtecke zerlegt, der Schwerpunkt des zusammengesetzten Querschnitts bestimmt und der Satz von Steiner angewendet wird. Abaqus dokumentiert dieselbe geometrische Grundlage: $I_{11}$ und $I_{22}$ integrieren die quadrierten Koordinatenabstände über die Fläche, während $I_{12}$ das Produkt der Koordinatenabstände integriert. MDSolids berechnet ebenfalls die Schwerpunktlage, Flächenträgheitsmomente, Widerstandsmomente, Trägheitsradien, das plastische Widerstandsmoment, das polare Flächenträgheitsmoment und die Hauptträgheitsmomente für allgemeine und standardisierte Stahlprofile. Solche Prüfungen sind wertvoll, rechtfertigen jedoch nicht den Ersatz eines benannten Standardprofils durch ein angenähertes Rechteck, wenn Flanschansätze, Ausrundungen, Öffnungen, sich verjüngende Stege oder die Wölbung offener Profile das Ergebnis wesentlich beeinflussen.

Einheiten, Schreibweise und Dimensionsprüfungen

Querschnittseigenschaften sind geometrische Größen; ihre Einheiten zeigen daher, was tatsächlich berechnet wurde. Eine Stahlgüte verändert weder die Fläche noch das Flächenträgheitsmoment einer festgelegten Form: Der Wechsel von ASTM A992 zu ASTM A572 bewirkt nicht, dass derselbe W-Querschnitt ein größeres $I_x$ erhält. Die Stahlgüte geht in den Tragfähigkeits- und Bemessungsnachweisen ein. Abmessungen, Achslagen und die mathematische Definition bestimmen die Querschnittseigenschaften.

Bei jeder Berechnung sollten die Einheiten sowohl neben den Eingangsabmessungen als auch neben den ausgegebenen Eigenschaften angegeben werden. Die Schreibweise $b=200$ und $t=10$ ist unvollständig; schreiben Sie $b=200\text{mm}$, $t=10\text{mm}$, und geben Sie $A=3,800{\text{mm}}^2$ an. Diese einfache Vorgehensweise erkennt viele Fehler, bevor sie in eine Tabellenkalkulation oder ein Bemessungsmodell gelangen.

US-amerikanisches und metrisches Einheitensystem

Bei Berechnungen im US-amerikanischen Einheitensystem werden Abmessungen üblicherweise in Zoll, Flächen in ${\text{in}}^2$, Flächenträgheitsmomente in ${\text{in}}^4$, Querschnittsmoduln in ${\text{in}}^3$, Trägheitsradien in Zoll, die Torsionskonstante $J$ in ${\text{in}}^4$ und die Wölbkonstante $C_w$ in ${\text{in}}^6$ angegeben. Die Masse oder das Nenngewicht wird häufig durch das Gewicht je Längeneinheit, beispielsweise lb/ft, und nicht durch die Masse je Längeneinheit dargestellt. Dieser Unterschied ist wesentlich: lb/ft ist eine Konvention für Kraft je Länge, während kg/m eine Konvention für Masse je Länge ist.

Metrische Berechnungen können durchgängig in Millimetern erfolgen: $A$ in ${\text{mm}}^2$, $I_x$ und $I_y$ in ${\text{mm}}^4$, $W_x$ und $W_y$ in ${\text{mm}}^3$, $r_x$ und $r_y$ in mm, $J$ in ${\text{mm}}^4$ und $C_w$ in ${\text{mm}}^6$. Stattdessen können auch Meter, Zentimeter oder eine durch eine veröffentlichte Tabelle vorgegebene Kombination verwendet werden. Kein Einheitensystem ist für sich genommen sicherer. Die Gefahr besteht darin, zwischen Einheitensystemen zu wechseln, ohne die Längenpotenzen anzupassen.

Das American Institute of Steel Construction gibt an, dass die AISC Shapes Database v16.0 Abmessungen und Querschnittseigenschaften sowohl in US-amerikanischen als auch in metrischen Einheiten bereitstellt (AISC, 2023). AISC Part 1, „Abmessungen und Eigenschaften“, ist der Referenzteil des Steel Construction Manual, 16th Edition, für tabellierte Abmessungen und geometrische Eigenschaften. ANSI/AISC 360-16 definiert Größen wie $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ und $C_w$. Bei einer Berechnung sollte angegeben werden, aus welcher AISC-Spalte und welchem Einheitensystem jeder Wert stammt, anstatt einen Zahlenwert ohne seine Spaltenüberschrift zu übernehmen.

Eine zweckmäßige Prüfung ist:

\[ \begin{array}{lll} \text{Länge:} & L & \text{in, mm oder m}\\ \text{Fläche:} & A & \text{in}^2\text{ oder mm}^2\\ \text{Flächenträgheitsmoment:} & I_x,I_y & \text{in}^4\text{ oder mm}^4\\ \text{Querschnittsmodul:} & W_x,W_y & \text{in}^3\text{ oder mm}^3\\ \text{Trägheitsradius:} & r_x,r_y & \text{in oder mm}\\ \text{Torsionskonstante:} & J & \text{in}^4\text{ oder mm}^4\\ \text{Wölbkonstante:} & C_w & \text{in}^6\text{ oder mm}^6\\ \text{Masse je Länge:} & m' & \text{lb/ft oder kg/m} \end{array} \]

Das genaue Symbol für den Querschnittsmodul kann je nach Quelle variieren; $S$, $W$ und $Z$ sind nicht austauschbar, sofern die Quelle sie nicht entsprechend definiert. Elastische und plastische Querschnittsmoduln haben ebenfalls dieselbe Dimension, ${\text{Länge}}^3$, stellen jedoch unterschiedliche Eigenschaften dar.

Längenpotenzen bei Querschnittseigenschaften

Die Potenzen ergeben sich unmittelbar aus den Definitionen. Die Fläche ist ein Integral über $\mathrm{dA}$ und skaliert daher mit $L^2$. Ein auf den Schwerpunkt bezogenes Flächenträgheitsmoment ist ein Integral wie

$$I_x={\int }_A{y}^2\mathrm{dA},$$

und skaliert daher mit $L^4$. Abaqus beschreibt $I_{11}$ und $I_{22}$ mithilfe quadrierter Koordinatenabstände, die über die Querschnittsfläche integriert werden; das Deviationsmoment $I_{12}$ verwendet das Produkt zweier Koordinatenabstände. Dieselbe Dimensionslogik gilt für $I_{\mathrm{xy}}$ und das polare Flächenträgheitsmoment.

Der Querschnittsmodul ist $W_x=I_x/c_x$ und besitzt somit die Dimension $L^3$. Der Trägheitsradius ist $r_x=\sqrt{I_x/A}$ und besitzt die Dimension $L$. Die Saint-Venant-Torsionskonstante $J$ hat die Dimension $L^4$, während die Wölbkonstante $C_w$ die Dimension $L^6$ hat. Eine Masse je Längeneinheit ist die Masse geteilt durch die Länge, beispielsweise kg/m.

Deshalb wird ein Fehler bei der Längenumrechnung besonders gravierend. Da $1\text{in}=25.4\text{mm}$ gilt,

$$1{\text{in}}^4=(25.4{)}^4{\text{mm}}^4\approx 416,232{\text{mm}}^4.$$

Eine fehlerhafte lineare Umrechnung mit dem Faktor 25.4 wird bei $I$ oder $J$ zu einem Fehler vierter Potenz von etwa 416.000 und bei $C_w$ zu einem Fehler sechster Potenz von ungefähr 268 Millionen. Ein Querschnittsmodul enthält eine dritte Potenz; sein Fehlerfaktor beträgt daher ${25.4}^3$, also ungefähr 16.387. Ändern Sie nicht lediglich „die Zahl“, während das Einheitenkürzel unverändert bleibt.

Bei einem zusammengesetzten Querschnitt sind vor der Anwendung von Schwerpunktformeln oder des Satzes von Steiner die Abmessungen sämtlicher Bestandteile einschließlich ihrer Einheiten aufzulisten. Der Verschiebungsterm $A{d}^2$ muss dieselben $L^4$-Einheiten wie das Flächenträgheitsmoment des Bestandteils besitzen. Softwareprüfungen können hilfreich sein: Missouri S&T’s MDSolids gibt die Schwerpunktlage, Flächenträgheitsmomente, Querschnittsmoduln, Trägheitsradien, das plastische Querschnittsmodul, das polare Flächenträgheitsmoment und die Hauptträgheitsmomente aus und eignet sich daher für einen unabhängig dimensionierten Vergleich.

Europäische Tabellenkonventionen

Europäische Tabellen verwenden für berechnete Querschnittseigenschaften häufig Zentimeter. Das Blue Book des Steel Construction Institute führt für europäische Querschnitte Flächen, Flächenträgheitsmomente, elastische und plastische Querschnittsmoduln, Trägheitsradien, Torsionskonstanten und Wölbkonstanten auf. Typische Überschriften sind $A$ in ${\text{cm}}^2$, $I$ in ${\text{cm}}^4$, $W$ in ${\text{cm}}^3$, $i$ in cm, $J$ in ${\text{cm}}^4$ und $C_w$ in ${\text{dm}}^6$. ArcelorMittal gibt an, dass berechnete europäische Eigenschaften im Allgemeinen in Zentimetern angegeben werden, während die Oberfläche Einheiten auf Meterbasis und die Wölbkonstante Einheiten auf Dezimeterbasis verwendet. Eine Tabelle kann daher die Masse in kg/m, die Oberfläche in ${\text{m}}^2/\text{m}$ und $C_w$ in ${\text{dm}}^6$ neben zentimeterbasierten Eigenschaften ausweisen.

Verwechseln Sie EN 10365:2026 nicht mit einer Tabelle für Querschnittseigenschaften. EVS weist darauf hin, dass diese Norm Nennabmessungen und Massen für warmgewalzte U-, I- und H-Profile festlegt. Das Blue Book berechnet und tabelliert geometrische Eigenschaften aus den Querschnittsabmessungen. Vor der Verwendung einer der beiden Quellen sind die genaue Profilbezeichnung, die Norm, die Ausgabe, die Achsenkonvention und die Einheitenüberschrift zu identifizieren. Anschließend sind diese Einheiten neben den übernommenen Eingabewerten und den berechneten Ausgabewerten erneut anzugeben. Eine Dimensionsprüfung ist keine bürokratische Nebensache, sondern Teil der Überprüfung, dass der ausgewählte Querschnitt und seine angegebenen geometrischen Eigenschaften tatsächlich den bei der Bemessung verwendeten entsprechen.

Arbeitsablauf für eine Beispielberechnung eines zusammengesetzten Stahlquerschnitts

Ein zusammengesetzter Querschnitt sollte zunächst geometrisch berechnet werden, bevor er als Stahlbauteil betrachtet wird. Die Stahlgüte verändert bei vorgegebenen Abmessungen weder die Bruttofläche noch den Schwerpunkt, die Flächenträgheitsmomente oder die elastischen Widerstandsmomente. Gütebezeichnungen wie ASTM A992 oder S355 beeinflussen den Widerstand und die Nachweise; sie machen denselben Querschnitt jedoch geometrisch weder größer noch steifer.

Das folgende Beispiel verwendet einen symmetrischen, geschweißten I-Querschnitt, der aus drei Rechtecken zusammengesetzt ist:

• Oberer Flansch: $200\times 20$ mm
• Steg: $20\times 160$ mm
• Unterer Flansch: $200\times 20$ mm
• Gesamthöhe: $200$ mm

Die Abmessungen beschreiben ausschließlich die Geometrie. Ob der Stahl ASTM A992, S275, S355 oder einer anderen Güte entspricht, ist eine davon getrennte Frage.

Zerlegung des Querschnitts

Beginnen Sie mit einer bemaßten Skizze. Stellen Sie die Gesamtbreite und Gesamthöhe, die Dicke jeder Platte, den Ursprung sowie die positiven Richtungen der Achsen dar. Sei $x$ die horizontale und $y$ die vertikale Achse, wobei der Ursprung in der unteren linken Ecke des umschließenden Gesamt-Rechtecks liegt. Für die Ermittlung der Querschnittswerte ist es außerdem sinnvoll, die späteren Schwerpunktachsen $x_c$ und $y_c$ einzuzeichnen.

Teilen Sie den Querschnitt in sich nicht überschneidende Rechtecke auf. Für das Beispiel gilt:

Der Steg beginnt bei $y=20$ und endet bei $y=180$, sodass sein Schwerpunkt bei $y=100$ liegt. Die Gesamtfläche beträgt

$$A=\sum A_i=4.000+3.200+4.000=11.200{\text{mm}}^2.$$

Diese Aufteilung vermeidet absichtlich Überlappungen. Ein häufiger Fehler besteht darin, das gesamte Rechteck $200\times 200$ zu verwenden und anschließend nur die seitlichen Hohlräume abzuziehen, ohne zu prüfen, ob die resultierenden Bereiche tatsächlich der zusammengeschweißten Konstruktion entsprechen. Bei einem Querschnitt mit einer Öffnung, einem Schlitz, einer Ausklinkung oder einem Ausschnitt ist der fehlende Bereich als negative Fläche darzustellen. Auch seine statischen Momente und Trägheitsanteile müssen mit negativem Vorzeichen angesetzt werden.

Für die Zerlegung können Dreiecke, Kreise, Kreisringe oder andere Grundformen verwendet werden, wenn diese die Form besser beschreiben. Eine kreisförmige Öffnung mit Wandung wird beispielsweise als äußerer positiver Kreis und innerer negativer Kreis behandelt. Dieselbe Vorzeichenkonvention gilt für jede nachfolgende Summation.

Schwerpunkt und Trägheitsmomente berechnen

Berechnen Sie zunächst den Schwerpunkt anhand der statischen Momente:

\[ \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}. \]

Für diesen Querschnitt gilt:

$$\overline{x}=\frac{4.000\left(100\right)+3.200\left(100\right)+4.000\left(100\right)}{11.200}=100\text{mm}.$$

Da der obere und der untere Flansch identisch und symmetrisch angeordnet sind,

$$\overline{y}=\frac{4.000\left(10\right)+3.200\left(100\right)+4.000\left(190\right)}{11.200}=100\text{mm}.$$

Der Schwerpunkt liegt somit im geometrischen Mittelpunkt. Dieses Ergebnis darf für einen unsymmetrischen zusammengesetzten Querschnitt nicht einfach vorausgesetzt werden. Berechnen Sie es.

Berechnen Sie für jedes Rechteck zunächst die lokalen Trägheitsmomente bezüglich seiner Schwerpunktachsen:

\[ I_{x,i,\text{local}}=\frac{b h^3}{12}, \qquad I_{y,i,\text{local}}=\frac{h b^3}{12}. \]

Übertragen Sie anschließend jeden Wert mithilfe des Satzes von Steiner auf die gemeinsamen Schwerpunktachsen:

$$I_x=\sum (I_{x,i,\text{local}}+A_i{d}_{y,i}^2),$$ $$I_y=\sum (I_{y,i,\text{local}}+A_i{d}_{x,i}^2),$$

wobei \(d_{y,i}=y_i-\bar y\) und \(d_{x,i}=x_i-\bar x\) gilt.

Für $I_x$ betragen die Abstände der Flanschschwerpunkte $90$ mm, während der Abstand des Stegschwerpunkts null ist. Das lokale Trägheitsmoment eines Flansches beträgt

$$\frac{200(20{)}^3}{12}=133.333{\text{mm}}^4,$$

und das lokale Trägheitsmoment des Stegs beträgt

$$\frac{20(160{)}^3}{12}=\mathrm{6.826.667}{\text{mm}}^4.$$

Daraus folgt:

$$I_x=2[133.333+4.000(90{)}^2]+\mathrm{6.826.667}$$ $$I_x=\mathrm{71.893.333}{\text{mm}}^4.$$

Für $I_y$ gilt für jedes Bauteil \(x_i=\bar x=100\) mm, sodass kein horizontaler Übertragungsterm erforderlich ist:

$$I_y=2\left[\frac{20(200{)}^3}{12}\right]+\frac{160(20{)}^3}{12}$$ $$I_y=\mathrm{26.773.333}{\text{mm}}^4.$$

Das Deviationsmoment ist

$$I_{\mathrm{xy}}=\sum (I_{\mathrm{xy},i,\text{local}}+A_i{d}_{x,i}{d}_{y,i}).$$

Jedes Rechteck besitzt ein lokales Deviationsmoment von null, wenn seine Seiten parallel zu den Achsen liegen. Hier gilt für alle drei Bauteile $d_x=0$, daher

$$I_{\mathrm{xy}}=0.$$

Dieses Ergebnis ist von Bedeutung. Die gewählten Schwerpunktachsen sind bei diesem zweifach symmetrischen Querschnitt zugleich Hauptachsen.

Berechneter Wert

Die elastischen Widerstandsmomente ergeben sich aus den Abständen zu den äußersten Fasern:

\[ S_x=\frac{I_x}{c_y}, \qquad S_y=\frac{I_y}{c_x}. \]

Die äußersten Fasern sind von beiden Schwerpunktachsen jeweils $100$ mm entfernt:

$$S_x=\frac{\mathrm{71.893.333}}{100}=718.933{\text{mm}}^3,$$ $$S_y=\frac{\mathrm{26.773.333}}{100}=267.733{\text{mm}}^3.$$

Dies sind elastische Widerstandsmomente. Sie sind nicht mit plastischen Widerstandsmomenten gleichzusetzen, für deren Ermittlung eine Berechnung der plastischen Neutralachse und eine Umverteilung der Flächen erforderlich sind. Ebenso sind sie nicht mit den Trägheitsradien identisch:

$$r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}=\sqrt{\frac{\mathrm{71.893.333}}{11.200}}=\mathrm{80,1}\text{mm},$$ $$r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}=\sqrt{\frac{\mathrm{26.773.333}}{11.200}}=\mathrm{48,9}\text{mm}.$$

Das polare Flächenträgheitsmoment bezüglich des Schwerpunkts beträgt für diese zueinander senkrechten $x$- und $y$-Achsen:

$$I_p=I_x+I_y=\mathrm{98.666.666}{\text{mm}}^4.$$

Diese Identität macht $I_p$ nicht zur Torsionskonstanten $J$. Für dieselbe dünnwandige offene I-Form ergibt sich als vorläufige Saint-Venant-Näherung:

$$J\approx \sum \frac{b_i{t}_i^3}{3}.$$

Unter Verwendung der beiden Flanschplatten und des Stegs gilt:

$$J\approx 2\left(\frac{200(20{)}^3}{3}\right)+\frac{160(20{)}^3}{3}=\mathrm{1.493.333}{\text{mm}}^4.$$

Dieser Wert ist erwartungsgemäß deutlich kleiner als $I_p$, da es sich um einen offenen Querschnitt handelt. Die Näherung vernachlässigt bestimmte Einzelheiten der Knotenbereiche und Plattendicken. Sie sollte daher nicht anstelle einer Tabellenangabe aus einer Norm, einer validierten dünnwandigen Berechnung oder eines Finite-Elemente-Verfahrens zur Ermittlung von Querschnittswerten verwendet werden. Die Wölbkonstante $C_w$ erfordert eine separate Wölbberechnung oder einen dokumentierten Referenzwert; sie kann nicht durch eine bloße Umbenennung von $I_x$, $I_y$ oder $J$ ermittelt werden.

Bei einem gewalzten Standardprofil ist das Ergebnis der Handrechnung mit dem exakten Profil und der jeweiligen Ausgabe der maßgebenden Tabelle zu vergleichen. Das American Institute of Steel Construction gibt an, dass die AISC Shapes Database v16.0, veröffentlicht im Jahr 2023, Abmessungen und Eigenschaften in US-amerikanischen und metrischen Einheiten enthält. Teil 1 der Steel Construction Manual, 16. Ausgabe, dient als Referenz für Standardabmessungen und geometrische Eigenschaften. In Europa enthält SCI P363, allgemein als The Blue Book bezeichnet, Angaben zur Fläche, zu den Flächenträgheitsmomenten, elastischen und plastischen Widerstandsmomenten, Trägheitsradien, $J$ und $C_w$. EVS-EN 10365:2026 legt Nennabmessungen und Massen fest; diese Norm ist für sich genommen kein Ersatz für eine Tabelle mit Querschnittswerten.

Überprüfung anhand der Symmetrie und mit Software

Überprüfen Sie die Symmetrie, bevor Sie der Rechnung vertrauen. Die gleich großen Flansche legen den Schwerpunkt in die halbe Querschnittshöhe, und die gleichen linken und rechten Breiten legen ihn auf die vertikale Mittellinie. Da der Querschnitt bezüglich beider Achsen symmetrisch ist, muss $I_{\mathrm{xy}}$ bei Schwerpunktachsen, die mit den Symmetrieachsen übereinstimmen, null sein. Ein von null verschiedener Wert weist auf eine falsch angesetzte Bauteilkoordinate, eine Überlappung, eine vergessene Platte oder einen Vorzeichenfehler hin.

Überprüfen Sie anschließend die Einheiten. Werden die Abmessungen in Millimetern eingegeben, wird die Fläche in ${\text{mm}}^2$, die Flächenträgheitsmomente und $J$ in ${\text{mm}}^4$, die Widerstandsmomente in ${\text{mm}}^3$ und die Trägheitsradien in Millimetern angegeben. Europäische Tabellen verwenden für berechnete Eigenschaften häufig Zentimeter. In den Erläuterungen von ArcelorMittal aus dem Jahr 2024 werden flächenbezogene Einheiten auf Meterbasis sowie dezimeterbezogene Einheiten für Wölbkonstanten angegeben. Ein direkter Vergleich ohne Umrechnung kann daher um den Faktor $10$, ${10}^2$, ${10}^3$ oder noch stärker fehlerhaft sein.

Eine unabhängige Überprüfung kann mit dem Querschnittswerte-Modul von MDSolids der Missouri University of Science and Technology vorgenommen werden, das 2024 dokumentiert wurde. Geben Sie die drei Rechtecke als allgemeine zusammengesetzte Form ein oder verwenden Sie das äußere Rechteck und ziehen Sie die beiden Hohlräume ab, sofern dies der gewählten Aufteilung entspricht. Vergleichen Sie $A$, die Schwerpunktkoordinaten, $I_x$, $I_y$, $I_{\mathrm{xy}}$, die Widerstandsmomente, die Trägheitsradien und die Hauptträgheitsmomente. MDSolids gibt diese Größen für allgemeine und standardisierte Stahlprofile aus.

Abaqus bietet eine nützliche Überprüfung der Definitionen: Die Dokumentation aus dem Jahr 2024 beschreibt $I_{11}$ und $I_{22}$ als Integrale der quadrierten Koordinatenabstände über die Querschnittsfläche und $I_{12}$ als Integral des Produkts der Koordinatenabstände. Software kann die Achsenbezeichnungen vertauschen, eine andere Vorzeichenkonvention für $I_{\mathrm{xy}}$ verwenden oder Querschnittswerte bezüglich eines anderen Ursprungs ausgeben. Eine Abweichung kann daher auf eine falsche Achse, eine nicht berücksichtigte negative Fläche, einen Schwerpunktfehler, eine abweichende Einheit oder eine andere Definition hinweisen, etwa Brutto- gegenüber Nettofläche, elastisches gegenüber plastischem Widerstandsmoment oder Saint-Venant-$J$ gegenüber polarem Flächenträgheitsmoment. Überprüfen Sie die eingegebene Geometrie und die Definitionen der Querschnittswerte, bevor Sie die Handrechnung ändern.

Software, numerische Integration und wesentliche Eigenschaften

Rechner für beliebige Querschnitte

Ein Rechner für beliebige Querschnitte bewertet die Geometrie. Er entscheidet nicht, ob ein Stahlbauteil einen Nachweis erfüllt, welcher Grenzzustand maßgebend ist oder ob eine bestimmte Stahlsorte geeignet ist. Die Änderung der Bezeichnung von ASTM A992 zu ASTM A572 Grade 50 verändert den durch die Bemessungsnorm festgelegten Materialwiderstand; sie verändert jedoch nicht die Fläche, den Schwerpunkt, das Flächenträgheitsmoment oder die Torsionskonstante eines unveränderten Querschnitts. Diese Größen ergeben sich aus den Randkoordinaten und der Geometrie der Materialbereiche.

Das Querschnittseigenschaften-Modul von MDSolids der Missouri S&T veranschaulicht den Umfang der Ausgaben, die ein Rechner liefern kann. Die Dokumentation von 2024 nennt die Schwerpunktlage, Flächenträgheitsmomente, Widerstandsmomente, Trägheitsradien, plastische Widerstandsmomente, polare Flächenträgheitsmomente und Hauptträgheitsmomente für beliebige und genormte Stahlprofile. Diese Ergebnisse beantworten unterschiedliche Fragen. Die Fläche $A$ misst, wie viel Querschnittsmaterial vorhanden ist. $I_x$ und $I_y$ messen die Verteilung dieser Fläche um festgelegte Schwerpunktachsen. Das elastische Widerstandsmoment $S=I/c$ stellt diese Verteilung der Entfernung der äußersten Faser gegenüber, während das plastische Widerstandsmoment $Z$ aus einem vollständig plastizierten Spannungsblock hervorgeht. Der Trägheitsradius $r=\sqrt{I/A}$ ist eine abgeleitete Länge und kein weiteres Trägheitsmoment.

Die gleiche Warnung gilt für polare und torsionale Ausgabewerte. Das polare Flächenträgheitsmoment $I_p=I_x+I_y$ beschreibt die Flächenverteilung um einen Punkt und ist für sich genommen nicht die Saint-Venant-Torsionskonstante $J$. Bei offenen und geschlossenen Querschnitten hängt $J$ vom Torsionsproblem und von den Randbedingungen ab; die Wölbkonstante $C_w$ beschreibt behinderte Längswölbung und hat wiederum andere Einheiten. Wenn ein Softwarefenster diese Werte nebeneinander anordnet, sind sie dadurch nicht austauschbar geworden.

Bei einem zusammengesetzten Querschnitt kann die Berechnung weiterhin von Hand überprüft werden. Berechnen Sie die Fläche und den Schwerpunkt jeder Teilkomponente, bestimmen Sie den Gesamtschwerpunkt aus den statischen Momenten und wenden Sie anschließend auf das lokale Trägheitsmoment jeder Komponente den Satz von Steiner an. Die Übung der University of Michigan stellt diese Methode über Teilflächen vor. Rechtecke, Dreiecke, Kreise und Hohlkreise sind geeignete Testfälle, bevor einem Profil mit geneigten Flanschen, Kehlen, Löchern oder Aussparungen vertraut wird. Ein Vergleich mit der AISC Shapes Database v16.0, die 2023 vom American Institute of Steel Construction veröffentlicht wurde, sollte die exakte Profilbezeichnung und Ausgabe verwenden. AISC erklärt, dass die Datenbank Abmessungen und Querschnittseigenschaften in amerikanischen und metrischen Einheiten bereitstellt; sie ist keine Erlaubnis, Eigenschaften für einen ähnlich aussehenden Querschnitt abzuleiten.

Eine Einheitenprüfung ist unverzichtbar. Die Fläche kann in ${\mathrm{mm}}^2$, das Flächenträgheitsmoment in ${\mathrm{mm}}^4$, das Widerstandsmoment in ${\mathrm{mm}}^3$ und der Trägheitsradius in Millimetern angegeben werden. ArcelorMittal erklärt in seinen Erläuterungen von 2024, dass berechnete europäische Eigenschaften im Allgemeinen in Zentimetern angegeben werden, wobei die Querschnittsfläche beziehungsweise die Wölbkonstante Einheiten auf Meter- beziehungsweise Dezimeterbasis verwenden. Das Blue Book des Steel Construction Institute führt für europäische Profile Flächen, Flächenträgheitsmomente, elastische und plastische Widerstandsmomente, Trägheitsradien, Torsionskonstanten und Wölbkonstanten auf. EVS-EN 10365:2026 legt Nennabmessungen und Massen für warmgewalzte U-Profile, I-Profile und H-Profile fest; es handelt sich nicht um dasselbe Dokument wie eine Tabelle berechneter Querschnittseigenschaften.

Definitionen von Balkenquerschnitten in der Finite-Elemente-Methode

Finite-Elemente-Programme leiten Balkenquerschnittseigenschaften häufig durch numerische Integration über einen diskretisierten Bereich ab. Die 2024 aktualisierte Dokumentation von Abaqus definiert Schwerpunktseigenschaften durch die Integration quadrierter Koordinatenabstände für $I_{11}$ und $I_{22}$ sowie des Produkts der Koordinatenabstände für $I_{12}$. Schematisch gilt:

\[ I_{11}=\int_A y^2\,dA,\qquad I_{22}=\int_A x^2\,dA,\qquad I_{12}=\int_A xy\,dA. \]

Die Symbole hängen von den lokalen Koordinaten des Programms ab. Das $I_{11}$ eines Lösers kann der Größe entsprechen, die üblicherweise als $I_y$ bezeichnet wird; allein die Bezeichnung ist daher nicht ausreichend. Prüfen Sie das Koordinatendiagramm und die Vorzeichenkonvention.

Die numerische Integration ist besonders nützlich für gekrümmte Ränder, gewalzte Kehlen, perforierte Bleche, importierte CAD-Konturen und Querschnitte, die aus zahlreichen Materialbereichen zusammengesetzt sind. Das Programm unterteilt den Bereich in Zellen oder Querschnittselemente, wertet die erforderlichen Koordinaten und Gewichtungen aus und summiert deren Beiträge. Eine Verfeinerung des Netzes sollte zu konvergierenden Werten für Schwerpunkt, Fläche und Flächenträgheitsmomente führen. Ein grobes Netz kann ein kleines Loch beseitigen, eine Kehle verzerren oder den Schwerpunkt so weit verschieben, dass ein dünnwandiger Querschnitt beeinflusst wird. Ein optisch glattes Netz ist kein Beleg für die Konvergenz der Eigenschaften.

Eine Balkendefinition in einem Finite-Elemente-Programm enthält außerdem Festlegungen, die allein durch die Geometrie nicht getroffen werden können. Prüfen Sie, ob der Querschnitt als Vollquerschnitt, dünnwandiger, offener oder geschlossener Querschnitt definiert ist, ob Schubflächen berechnet oder eingegeben werden und ob Torsions- und Wölbeigenschaften aus derselben Diskretisierung abgeleitet werden. Bestätigen Sie jeden Materialbereich. Ein Stahlflansch, eine Mörteltasche, eine Schweißnahtidealisierung, ein Hohlraum, eine Beschichtung oder ein Verbundwerkstoff-Einsatz muss bewusst zugewiesen werden. Wird ein Bereich in einem Verbundquerschnitt ausgelassen, doppelt berücksichtigt oder dem falschen Material zugewiesen, können die angegebene Steifigkeit und Masse falsch sein, selbst wenn die äußere Kontur korrekt aussieht.

Am wichtigsten ist die Festlegung der Eigenschaftengrundlage: Brutto-, Netto-, wirksame, elastische oder plastische Eigenschaften. Die Bruttofläche umfasst den vollständig definierten Querschnitt. Die Nettofläche kann Schraubenlöcher oder andere Abzüge unberücksichtigt lassen. Wirksame Eigenschaften können Regeln für lokale Beulung widerspiegeln, während elastische und plastische Widerstandsmomente unterschiedliche Spannungsverteilungen beschreiben. Ein Rechner für Querschnittseigenschaften berechnet im Allgemeinen die angeforderte mathematische Größe; er bestimmt nicht die wirksame Breite nach ANSI/AISC 360-16, klassifiziert kein Blech nach Eurocode-Regeln und führt keinen Stabilitätsnachweis für ein Bauteil durch. ANSI/AISC 360-16 nennt $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ und $C_w$ als Größen für die Stahlbemessung; die Bemessungsbestimmungen regeln jedoch, wie diese Größen verwendet werden.

Hauptträgheitsmomente und gedrehte Achsen

Wenn $I_{\mathrm{xy}}\ne 0$ ist, sind die gewählten Schwerpunktachsen keine Hauptachsen. Durch eine Drehung der Achsen um den Winkel $\theta$ wird das Deviationsmoment in der Hauptachsenlage beseitigt. Die Hauptträgheitsmomente sind die Eigenwerte der Schwerpunktmatrix der Flächenträgheitsmomente:

$$I_{\mathrm{1,2}}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_x-I_y}{2}{)}^2+I_{\mathrm{xy}}^2}.$$

Die Vorzeichenkonvention für $I_{\mathrm{xy}}$ beeinflusst den angegebenen Winkel. Daher müssen Softwareergebnisse zusammen mit der Achsendefinition des Programms gelesen werden. Bei einem doppelt symmetrischen I-Profil sind die üblichen Schwerpunkt-Symmetrieachsen bereits Hauptachsen und $I_{\mathrm{xy}}=0$. Bei einem ungleichschenkligen Winkelprofil, einem U-Profil, einem schräg ausgerichteten Blech oder einer asymmetrischen Aussparung ist im Allgemeinen eine Drehung erforderlich.

Haupteigenschaften sind nicht automatisch die für die Bemessung erforderlichen Eigenschaften. Eine Stütze kann um die schwache Hauptachse ausknicken, während die Biegung eines Balkens um eine Gebäude- oder Bauteilachse vorgegeben wird. Ein Schalen- oder Balkenmodell kann seine lokalen Querschnittsachsen außerdem gegenüber den globalen Koordinaten drehen. Erfassen Sie beide Systeme und transformieren Sie Kräfte, Momente und Querschnittseigenschaften konsistent. Bevor Sie ein Ergebnis akzeptieren, verfeinern Sie das Netz, überprüfen Sie die Orientierung, kontrollieren Sie die Zuordnung der Materialbereiche, prüfen Sie die Einheiten und vergleichen Sie einfache Grenzfälle mit MDSolids oder einer Normtabelle. Die Software führt die Rechenoperationen aus. Der Ingenieur definiert weiterhin die Geometrie, wählt die Eigenschaftengrundlage und entscheidet, was die Zahlen bedeuten.

Genauigkeit, Rundung, Toleranzen und Profilidentifizierung

Ein Querschnittswert ist nur dann aussagekräftig, wenn seine geometrische Definition bekannt ist. Der Wert von $I_x$ hängt beispielsweise von der Querschnittsform, der Bezugsachse und dem Einheitensystem ab. Er ist keine allgemeine Bezeichnung, die einem I-förmigen Bauteil zugeordnet werden kann. Ein veröffentlichtes $I_x$ kann sich auf ein warmgewalztes europäisches HEA-Profil, ein US-amerikanisches W-Profil, einen idealisierten dünnwandigen Querschnitt oder ein vermessenes Prüfstück beziehen. Diese Beschreibungen sind nicht austauschbar.

Nennabmessungen gegenüber gemessenen Abmessungen

Eine Standardbezeichnung bezieht sich normalerweise auf Nennabmessungen. EVS-EN 10365:2026 legt Nennabmessungen und Massen für warmgewalzte U-Profile, I-Profile und H-Profile fest; die Norm behauptet nicht, dass jedes hergestellte Profil vollkommen scharfe Ecken, exakt konstante Dicken oder eine unbegrenzte Maßgenauigkeit aufweist. Ein nominales HE 200 A wird beispielsweise durch seine Standardbezeichnung und Nennmaßreihe identifiziert, während die tatsächliche Flanschdicke, Stegdicke, Profilhöhe und Eckengeometrie Herstellungstoleranzen unterliegen.

Dieser Unterschied erklärt, warum eine Handberechnung von einer Tabelle abweichen kann, obwohl die Arithmetik korrekt ist. Eine einfache Berechnung kann ein I-Profil durch zwei Rechtecke für die Flansche und ein Rechteck für den Steg darstellen. Das hergestellte Profil weist Ausrundungen zwischen Steg und Flansch, Verjüngungen von Flansch oder Steg sowie Eckradien auf. Das Weglassen oder Hinzufügen dieser Bereiche verändert die Fläche und den Schwerpunkt, wodurch sich anschließend $I_x$, $I_y$, Widerstandsmomente und Trägheitsradien ändern. Die Auswirkung ist bei der Fläche häufig gering, bei einem Flächenträgheitsmoment jedoch von größerer Bedeutung, weil Material in größerem Abstand vom Schwerpunkt entsprechend dem Quadrat seines Abstandes beiträgt.

Drei Geometrien sollten getrennt betrachtet werden:

1. Nenngeometrie nach Norm: Abmessungen, die durch die Profilnorm oder eine Profiltabelle festgelegt sind. 2. Gemessene Walzwerksgeometrie: An einem bestimmten gewalzten Bauteil erfasste Abmessungen einschließlich der tatsächlichen Radien, Dicken, Verjüngungen und Abweichungen. 3. Idealisierte Berechnungsgeometrie: Ein vereinfachtes Modell, das für eine Handberechnung, ein Finite-Elemente-Modell oder eine Vorbemessung ausgewählt wurde.

Ein tabellierter Kennwert entspricht normalerweise einem definierten Berechnungsmodell auf Grundlage von Nennabmessungen und Profilgeometrie und nicht einer zufälligen Maßbandmessung an einem einzelnen Träger. Wenn ein gemessener Flansch 1,5 mm dicker als sein Nennwert ist, können die daraus resultierende Fläche und das Flächenträgheitsmoment von den veröffentlichten Werten abweichen. Ein gemessener Wert ist nicht automatisch richtiger; er beantwortet eine andere Frage.

Dasselbe Problem gilt für zusammengesetzte Querschnitte. Wenn zwei Bleche als aneinandergrenzende Rechtecke modelliert werden, kann die Berechnung Schweißgut, Spalte, Ausklinkungen, Schraubenlöcher oder Anschlussbleche unberücksichtigt lassen. Bei einem zusammengesetzten Querschnitt müssen die Teilflächen, statischen Momente, Schwerpunktkoordinaten und der Satz von Steiner auf die angegebene Geometrie angewendet werden. Das Ergebnis gehört zu diesem Modell und nicht notwendigerweise zu einem katalogisierten Walzprofil.

Software macht die Definition der Geometrie nicht überflüssig. Die Dokumentation von Abaqus definiert Schwerpunktkennwerte durch Flächenintegration: $I_{11}$ und $I_{22}$ integrieren die quadrierten Koordinatenabstände, während $I_{12}$ das Produkt der Koordinatenabstände integriert. MDSolids der Missouri S&T gibt für festgelegte Formen ebenfalls die Schwerpunktlage, Flächenträgheitsmomente, Widerstandsmomente, Trägheitsradien, plastischen Widerstandsmomente, polaren Flächenträgheitsmomente und Hauptträgheitsmomente aus. Diese Ausgaben sind für die Eingangsgeometrie präzise, doch eine hohe Anzeigegenauigkeit macht unsichere Eingangsabmessungen nicht genauer.

Rundung und signifikante Stellen

Die Rundung sollte nach der Berechnung erfolgen und nicht bei jedem Zwischenschritt. Wird eine Flanschdicke von 9,8 mm vor der Berechnung eines Flächenträgheitsmoments durch 10 mm ersetzt, kann dies einen merklichen Unterschied verursachen, insbesondere wenn der Flansch weit vom Schwerpunkt entfernt liegt. Es ist besser vertretbar, das Endergebnis auf die durch die Quelle unterstützte Genauigkeit zu runden, als aus Abmessungen, die nur auf den nächsten Millimeter angegeben sind, $I_x=12.847.391,672{\text{mm}}^4$ auszuweisen.

Die Anzahl der signifikanten Stellen sollte sowohl die Maßgenauigkeit als auch den Zweck der Berechnung widerspiegeln. Für einen Nachweis können intern mehr Stellen erforderlich sein als für eine Zeichnungsnotiz, während bei einem vorläufigen Vergleich beispielsweise $I_x=1,28\times {10}^8{\text{mm}}^4$ angemessen dargestellt werden kann. Aus zusätzlichen Dezimalstellen in einer Tabellenkalkulation darf nicht auf eine höhere Fertigungsgenauigkeit geschlossen werden.

Bei der Einheitenumrechnung ist besondere Sorgfalt erforderlich, weil Querschnittswerte unterschiedliche Dimensionen besitzen. Flächen skalieren mit dem Quadrat der Länge, Flächenträgheitsmomente und Torsionskonstanten mit der vierten Potenz der Länge, Widerstandsmomente mit der dritten Potenz der Länge und Trägheitsradien mit der Länge. Ein Umrechnungsfehler bei $I_x$ ist daher wesentlich größer als ein einfacher Fehler bei der Umrechnung von Millimetern in Meter. Europäische Tabellen geben berechnete Kennwerte häufig in Zentimetern an; ArcelorMittal weist darauf hin, dass die Oberfläche beziehungsweise die Wölbkonstante Einheiten auf Meter- beziehungsweise Dezimeterbasis verwenden. Die neben jeder Spalte angegebene Einheit muss gelesen und darf nicht vorausgesetzt werden.

Rundungen beeinflussen auch Vergleiche zwischen Quellen. Eine Tabelle kann $I_x$ mit drei signifikanten Stellen und eine andere mit sechs Stellen angeben, obwohl beide dieselbe Geometrie verwendet haben. Kleine Abweichungen sollten zunächst anhand der Einheiten, der Achsorientierung, der Behandlung von Ausrundungen und der angezeigten Genauigkeit geprüft werden, bevor sie als Beleg für einen Fehler betrachtet werden.

Kontrolle von Ausgabe und Bezeichnung

Jeder bei einer Berechnung verwendete Kennwert sollte fünf Identifikatoren enthalten: die genaue Profilbezeichnung, die maßgebende Norm, die Ausgabe oder Datenbankversion, die Achsenkonvention sowie die Tabellen- oder Quellenangabe. Das Einheitensystem ist ebenfalls anzugeben. „W310 $I_x$“ ist unvollständig; „W310×97, AISC Shapes Database v16.0, US-amerikanische Einheiten, große Schwerpunktachse, Tabelle Teil 1“ ist nachvollziehbar.

Das American Institute of Steel Construction gibt an, dass die 2023 veröffentlichte AISC Shapes Database v16.0 Abmessungen und Kennwerte sowohl in US-amerikanischen als auch in metrischen Einheiten bereitstellt. AISC Part 1 ist der Referenzabschnitt des Steel Construction Manual, 16. Ausgabe, für tabellierte Abmessungen und geometrische Kennwerte. ANSI/AISC 360-16 definiert Größen einschließlich $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ und $C_w$; die Spezifikation macht eine nicht näher bezeichnete Profilbezeichnung jedoch nicht identifizierbar.

Für europäische Profile stellt SCI P363, The Blue Book, Abmessungen und Querschnittswerte bereit, darunter Fläche, Flächenträgheitsmomente, elastische und plastische Widerstandsmomente, Trägheitsradien, Torsionskonstanten und Wölbkonstanten. Profilfamilie und Bezeichnung müssen beibehalten werden. Ein $I_x$-Wert aus einer HEA-Tabelle darf nicht in eine Berechnung für ein HEB-, W-Profil oder eine andere Profilfamilie übernommen werden, nur weil die Nennhöhe ähnlich erscheint. Eine Nennabmessung nach EN 10365 darf nicht mit der Kennwertkonvention einer US-amerikanischen Tabelle vermischt werden, ohne die zugrunde liegende Geometrie und die Achsen zu prüfen.

Die Stahlsorte verändert keinen geometrischen Querschnittswert. S275, S355, ASTM A572 Grade 50 und ASTM A992 beschreiben Werkstoff- oder Produktanforderungen; eine Änderung der Stahlsorte verändert die Tragfähigkeitsberechnungen und Nachweise, nicht jedoch die Fläche oder das Flächenträgheitsmoment eines unveränderten Querschnitts. Wenn eine Quelle für unterschiedliche Stahlsorten verschiedene Geometrien ausweist, beruht der Unterschied auf dem ausgewählten Produkt oder der Herstellungsnorm und nicht darauf, dass Stahl geometrisch stärker wird.

Wie Querschnittswerte in Nachweise für Stahlkonstruktionen eingehen

Querschnittswerte gehen erst dann in einen Nachweis ein, wenn der Querschnitt, der Werkstoff, die Belastung, die Lagerungsbedingungen und die anzuwendende Norm festgelegt wurden. Sie beschreiben die Geometrie, nicht die Festigkeit. Eine Bruttofläche von $10,000{\text{mm}}^2$ bleibt dieselbe Fläche, unabhängig davon, ob der Stahl ASTM A992 oder ASTM A36 entspricht; die Stahlsorte verändert Größen wie die Streckgrenze $F_y$ und die Zugfestigkeit $F_u$, nicht jedoch die berechneten Abmessungen des Querschnitts.

Diese Unterscheidung verhindert einen häufigen Fehler: die Auswahl eines größeren Zahlenwerts, weil er „stärker aussieht“, ohne zu prüfen, wofür der Wert steht. Die Fläche $A$, die Flächenträgheitsmomente $I_x$ und $I_y$, die Widerstandsmomente $S_x$, $S_y$, $Z_x$ und $Z_y$, die Trägheitsradien $r_x$ und $r_y$, die Torsionskonstante $J$ sowie die Wölbkonstante $C_w$ haben unterschiedliche Einheiten und gehen in unterschiedliche Grenzzustände ein.

ANSI/AISC 360-16 definiert die bezeichneten US-amerikanischen Querschnittswerte, darunter $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ und $C_w$. AISC Part 1, Dimensions and Properties, ist der Referenzabschnitt des Steel Construction Manual, 16. Ausgabe, für tabellierte Abmessungen und geometrische Eigenschaften. Die AISC Shapes Database v16.0, die 2023 vom American Institute of Steel Construction herausgegeben wurde, stellt diese Abmessungen und Eigenschaften in US-amerikanischen und metrischen Einheiten bereit. Die genaue Querschnittsbezeichnung und die Ausgabe der Datenbank sind dennoch entscheidend: Ein W14×90 ist nicht ohne Weiteres durch einen anderen W14-Querschnitt ersetzbar, selbst wenn die Nennhöhe ähnlich erscheint.

Axialer Druck und Trägheitsradius

Bei einer zentrischen Axialkraft ist die Bruttofläche die erste berücksichtigte geometrische Größe. Die mittlere Normalspannung wird durch $P/A$ beschrieben, vorbehaltlich der anzuwendenden Widerstandsbeiwertregelungen, der Bestimmungen zu Fließen oder Bruch sowie aller erforderlichen Abminderungen aufgrund von Löchern, schlanken Querschnittsteilen oder anderen festgelegten Bedingungen. Die Fläche steht daher in direktem Zusammenhang mit der Materialmenge, die die Axialkraft trägt; sie beschreibt jedoch nicht, wie dieses Material vom Schwerpunkt entfernt verteilt ist.

Diese Verteilung bestimmt das Knicken von Druckstäben. Der Trägheitsradius ist

\[ r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}, \qquad r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}. \]

Für eine Stablänge $L$ werden die zugehörigen Schlankheitsgrade üblicherweise mit $\mathrm{KL}/r_x$ und $\mathrm{KL}/r_y$ ausgedrückt, wobei $K$ die Bedingung der Knicklänge beziehungsweise der Ersatzstablänge repräsentiert. Der kleinere Trägheitsradius führt gewöhnlich zur maßgebenden Biegeknickachse, da dieselbe Stablänge einen größeren Schlankheitsgrad ergibt. Ein Breitflanschprofil kann zwar eine beträchtliche Fläche aufweisen, um seine Nebenachse jedoch weiterhin knickgefährdet sein, weil $r_y$ wesentlich kleiner als $r_x$ ist.

Deshalb können Fläche und Trägheitsradius nicht gegeneinander ausgetauscht werden. Eine Vergrößerung der Flanschbreite kann $I_x$, $I_y$ oder beide Werte erhöhen, während zusätzliches Material in der Nähe des Schwerpunkts $A$ vergrößern kann, jedoch mit einer geringeren Verbesserung der Knicktragfähigkeit. Lagerungsbedingungen, Aussteifung, Eigenspannungen, Anfangsverkrümmung, Lastausmitte und lokale Schlankheit beeinflussen ebenfalls die Drucktragfähigkeit. Der geometrische Querschnittswert liefert einen Eingangsparameter; allein bestimmt er jedoch nicht die endgültige Tragfähigkeit des Bauteils.

Biegetragfähigkeit und Widerstandsmoment

Das Flächenträgheitsmoment beschreibt den Widerstand gegen Krümmung beziehungsweise die Biegesteifigkeit und nicht die direkte Werkstofffestigkeit. Für die elastische Biegung um die $x$-Achse gilt

$$\sigma =\frac{M_{x}y}{I_x},$$

wobei $y$ der Abstand von der neutralen Achse ist. Das elastische Widerstandsmoment ist

$$S_x=\frac{I_x}{c_x},$$

wobei $c_x$ dem Abstand von der neutralen Achse zur äußersten Faser entspricht. Die zugehörige Beziehung für die Biegespannung lautet $M_x/S_x$. Die gleichen Definitionen gelten für die $y$-Achse.

Da $I_x$ den quadrierten Abstand von der Achse enthält, trägt Material, das weit von der neutralen Achse entfernt liegt, stark zur Biegesteifigkeit und zum elastischen Biegewiderstand bei. Dies erklärt die Effizienz I-förmiger Querschnitte: Ihre Flansche platzieren einen großen Teil der Fläche in großem Abstand von der Neutralachse um die Hauptachse, während der Steg diese Flansche verbindet und Schub trägt.

Für die plastische Biegung wird eine andere Größe verwendet. Das plastische Widerstandsmoment $Z_x$ basiert auf einer vollständig plastizierten Spannungsverteilung, die durch die plastische Neutralachse getrennt ist, und nicht auf dem Abstand zur äußersten Faser, der für $S_x$ verwendet wird. Für einen kompakten Querschnitt, der plastisches Verhalten entwickeln kann, kann ein Bemessungsausdruck $F_y{Z}_x$ enthalten, während ein elastischer Grenzausdruck $F_y{S}_x$ enthält, jeweils vorbehaltlich der Bestimmungen der maßgebenden Norm. $Z_x$ ist kein Ersatz für $S_x$, und keines der beiden Widerstandsmomente ist ein Werkstofffestigkeitswert.

Die maßgebende Tragfähigkeit hängt außerdem von der Schlankheit der Flansche und des Stegs, der seitlichen Aussteifung, der unausgesteiften Länge $L_b$, der Lastangriffslage, der Endhalterung und dem Biegedrillknicken ab. Ein Querschnitt mit hohem $Z_x$ kann dennoch eine verringerte Biegetragfähigkeit aufweisen, wenn sein Druckflansch nicht ausreichend ausgesteift ist. AISC-Tabellen müssen daher zusammen mit den Bestimmungen von ANSI/AISC 360-16 gelesen und dürfen nicht als vollständiges Bemessungsergebnis betrachtet werden.

Europäische Tabellen verwenden dieselben physikalischen Unterscheidungen unter abweichenden Darstellungsgepflogenheiten. Das Blue Book des Steel Construction Institute enthält für europäische Profile die Fläche, Flächenträgheitsmomente, elastische und plastische Widerstandsmomente, Trägheitsradien, $J$ und $C_w$. EVS gibt an, dass EVS-EN 10365:2026 Nennabmessungen und Massen warmgewalzter U-Profile, I-Profile und H-Profile festlegt; die Norm ersetzt jedoch nicht selbst eine Tabelle mit Querschnittswerten. ArcelorMittal berichtet, dass berechnete europäische Querschnittswerte im Allgemeinen in Zentimetern angegeben werden, während die Oberflächenfläche beziehungsweise die Wölbkonstante Einheiten auf Meter- beziehungsweise Dezimeterbasis verwenden. Fehler bei der Einheitenumrechnung können ein Ergebnis um mehrere Größenordnungen verändern.

Torsion, Knicken und Interaktion

Die Torsion führt Querschnittswerte ein, die in vereinfachten Betrachtungen von Balken häufig weggelassen werden. Die Torsionskonstante $J$ beschreibt das Torsionsverhalten nach Saint-Venant und wird stark davon beeinflusst, ob ein Querschnitt offen oder geschlossen ist. Dünnwandige geschlossene Querschnitte widerstehen einer gleichmäßigen Torsion im Allgemeinen wirksamer als offene I-, U- oder L-Profile mit vergleichbarer Fläche, da eine geschlossene Wand einen umlaufenden Schubfluss entwickeln kann.

Die Wölbkonstante $C_w$ beschreibt den Widerstand im Zusammenhang mit behinderter Längswölbung. Sie wird bei offenen, torsionsbeanspruchten Querschnitten wichtig, insbesondere wenn Endbedingungen, Querverbände, Aussteifungen oder konzentrierte Lasten eine freie Wölbung des Querschnitts verhindern. $J$ und $C_w$ haben daher nicht dieselbe Bedeutung: Die eine Größe ist kein allgemeiner Ersatz für die andere. Auch die Einheiten unterscheiden sich. Eine uneinheitliche Umrechnung von $C_w$, das häufig in einer Längeneinheit hoch sechs angegeben wird, kann einen Torsions- oder Biegedrillknicknachweis ungültig machen.

Biegedrillknicken koppelt die Biegung um die Hauptachse mit seitlicher Verschiebung und Verdrehung. Das Verhalten hängt von $I_y$, $J$, $C_w$, der unausgesteiften Länge, dem Momentenverlauf, dem Lastangriffspunkt und der Endhalterung ab. Ein Träger kann ein großes Widerstandsmoment um die Hauptachse besitzen und dennoch eine begrenzte Tragfähigkeit aufweisen, weil sich sein Druckflansch seitlich frei bewegen kann und der Querschnitt sich verdrehen kann. Torsionsknicken und Biegedrillknicken bei Druckstäben hängen ebenfalls von mehr als $A$, $I_x$ und $I_y$ ab.

Die Kombination aus Axialkraft, Biegung und Torsion erfordert Interaktionsnachweise gemäß der jeweils anzuwendenden Bemessungsnorm. Anschlussausmitte, Anordnung von Schrauben oder Schweißnähten, lokale Lasteinleitung, Schubfläche und Durchlaufwirkung des Bauteils können die für diese Nachweise verwendeten Schnittgrößen verändern. Das Deviationsmoment $I_{\mathrm{xy}}$ und die Eigenschaften bezüglich der Hauptachsen werden relevant, wenn die geometrischen Achsen nicht mit den Hauptachsen zusammenfallen, insbesondere bei unsymmetrischen L-, U- und zusammengesetzten Querschnitten.

Zur Überprüfung sollten Handberechnungen auf Grundlage von Teilflächen, Schwerpunktkoordinaten, statischen Momenten und dem Steiner-Anteilssatz mit einer vertrauenswürdigen Tabelle oder einem Softwareergebnis übereinstimmen. Die Dokumentation von Abaqus definiert $I_{11}$ und $I_{22}$ durch die Integration quadrierter Koordinatenabstände über die Fläche und $I_{12}$ durch die Integration des Produkts der Koordinatenabstände; MDSolids der Missouri S&T gibt unabhängig davon Schwerpunkt, Trägheitsmomente, Widerstandsmomente, Trägheitsradien, polares Trägheitsmoment und Haupteigenschaften aus. Solche Überprüfungen erkennen vertauschte Achsen, falsche Einheiten und fehlerhafte Profilabmessungen, bevor ein geometrischer Querschnittswert in einen Nachweis für eine Stahlkonstruktion eingeht.

Stahlgüte, Metallurgie und was die Geometrie nicht aussagt

Profilbezeichnung im Vergleich zur Stahlgüte

Eine Profilbezeichnung kennzeichnet die Geometrie; eine Bezeichnung der Stahlgüte kennzeichnet die Anforderungen an den Werkstoff. Beide sind nicht austauschbar. Ein HEA 200, W14×90 oder L 100 × 100 × 10 beschreibt ein gewalztes Profil und seine Nennabmessungen. Daraus allein gehen weder die Streckgrenze, die Zugfestigkeit, die chemische Zusammensetzung, die Anforderungen an die Kerbschlagzähigkeit noch die Schweißeignungsklassifizierung des Stahls hervor.

Eine Änderung der Gütebezeichnung verändert nicht die geometrischen Querschnittswerte eines unveränderten Querschnitts. Wenn dasselbe I-förmige Profil dieselbe Flanschbreite, Steghöhe, Flanschdicke und Stegdicke aufweist, bleiben seine Bruttofläche $A$, sein Schwerpunkt, $I_x$, $I_y$, die elastischen Widerstandsmomente, die Trägheitsradien, die Torsionskonstante $J$, die Wölbkonstante $C_w$ und das Deviationsmoment $I_{\mathrm{xy}}$ dieselben geometrischen Größen. Eine höhere spezifizierte Streckgrenze führt nicht dazu, dass dieses Profil ein größeres $I_x$ oder einen größeren Trägheitsradius erhält.

Diese Unterscheidung ist grundlegend, geht jedoch in Tabellen und Softwaremenüs häufig verloren. Ein Querschnittswert wird aus der Lage und Verteilung des Werkstoffs im Querschnitt berechnet. Abaqus beschreibt die auf den Schwerpunkt bezogenen Flächenträgheitsmomente durch die Integration quadrierter Koordinatenabstände über die Fläche: $I_{11}$ und $I_{22}$ erfassen diese quadrierten Abstände, während $I_{12}$ das Produkt der Koordinatenabstände integriert (Abaqus Documentation, 2024). Die Berechnung enthält Geometrie, Achsen und Einheiten – jedoch keinen Wert der Streckgrenze.

Eine Profilbezeichnung kann dennoch unvollständig sein. „200 I-Profil“ kann die Profilreihe, die Herstellungsnorm, die Massenbezeichnung, die Toleranzen und die Ausgabe fehlen lassen. Ein US-amerikanisches W14×90 und ein europäisches HE 360 B werden nicht allein deshalb durch vergleichbare Bezeichnungen identifiziert, weil beide I-förmig sind. Die genaue Profilnorm muss erfasst werden, bevor eine tabellierte Fläche oder ein Trägheitsmoment akzeptiert wird.

Geometrieunabhängige und von der Stahlgüte abhängige Eingangsgrößen

Abmessungen, Nennmasse je Längeneinheit, Bruttofläche, Schwerpunktkoordinaten, Flächenträgheitsmomente, Widerstandsmomente, Trägheitsradien, polares Flächenträgheitsmoment, $J$, $C_w$, $I_{\mathrm{xy}}$, Schubflächen und plastische Widerstandsmomente sind in erster Linie Eingangsgrößen der Querschnittsbeschreibung. Bei einem homogenen prismatischen Querschnitt ergeben sie sich aus seiner Querschnittsgeometrie und den gewählten Bezugsachsen. Berechnungen für zusammengesetzte Querschnitte verwenden Teilflächen, statische Momente, Schwerpunktkoordinaten und den Satz von Steiner. Sie erfordern nicht, dass der Stahl S275 statt S355 oder ASTM A36 statt ASTM A992/A992M ist.

Für die Masse ist eine Einschränkung erforderlich. Die Querschnittsfläche ist eine geometrische Größe; die Masse je Längeneinheit hängt außerdem von der Dichte und davon ab, ob der Tabellenwert auf Nennabmessungen beruht. Herstellungstoleranzen, Eckradien, Ausrundungen, Öffnungen, Beschichtungen und Korrosion können daher Unterschiede zwischen einer Nennberechnung und einem tatsächlich vermessenen Bauteil verursachen. Diese Unterschiede sind Auswirkungen der Geometrie oder des physikalischen Zustands und kein Hinweis darauf, dass die Stahlgüte den Querschnittswert verändert hat.

Die Werkstoffspezifikation steuert eine andere Gruppe von Eingangsgrößen. Dazu gehören die spezifizierte Streckgrenze, die Zugfestigkeit, die Bruchdehnung oder andere Duktilitätskennwerte, die Bruchzähigkeit, die chemische Zusammensetzung, der Lieferzustand, Anforderungen im Zusammenhang mit der Schweißeignung sowie das Korrosionsverhalten. Ihre Wirkung zeigt sich in Tragfähigkeitsberechnungen, Nachweisen von Verbindungen, Bruchbewertungen, Schweißverfahren, Dauerhaftigkeitsbewertungen sowie brand- oder temperaturbezogenen Bemessungsnachweisen. Sie ersetzen nicht $I_x$, $I_y$, $J$ oder $C_w$.

Bei einer Bemessung können dieselben geometrischen Abmessungen bei unterschiedlichen Tragfähigkeitswerten verwendet werden, wenn sich die maßgeblichen Werkstoffspezifikationen unterscheiden. Diese Schlussfolgerung muss aus der zitierten Spezifikation und Bemessungsnorm hervorgehen; sie darf nicht allein aus einem Gütenamen abgeleitet werden. Beispielsweise muss ein Datensatz mit der Bezeichnung ASTM A992/A992M anhand der Anforderungen dieser Spezifikation geprüft werden, während ein Datensatz mit der Bezeichnung EN 10025-2 S355 anhand der maßgeblichen Ausgabe und der Produktanforderungen von EN 10025-2 geprüft werden muss. „S355“ oder „A992“ ohne die maßgebliche Norm und die Produktform ist kein ausreichender Nachweis für eine Bemessungsannahme.

Korrosion erfordert eine gesonderte Behandlung, da sie die Geometrie schließlich verändern kann. Die ursprüngliche Gütebezeichnung bewirkt keine Änderung von $A$ oder $I_x$, aber Metallverlust verringert die Dicke und kann die Fläche, die Steifigkeit, das Widerstandsmoment und die Torsionseigenschaften reduzieren. Der Ingenieur muss den verbleibenden Querschnitt modellieren und die Anforderungen an Werkstoff und Umgebung gesondert bewerten.

Dokumentation von Baustahl

Eine vollständige Bemessungsdokumentation benennt sowohl die Profilnorm als auch die Werkstoffspezifikation. Sie sollte die Profilbezeichnung, die Nennabmessungen oder die Massenbezeichnung, die Norm und Ausgabe, die Achsenkonvention, die Einheiten und die Quelle der Querschnittswerte angeben. Außerdem sollte sie die Werkstoffgüte, die Produktnorm, die Ausgabe der Spezifikation sowie alle zusätzlichen Anforderungen an Zähigkeit oder Lieferzustand angeben, die für die Bemessung maßgeblich sind.

Für Arbeiten in den USA erklärt das American Institute of Steel Construction, dass die AISC Shapes Database v16.0 Abmessungen und Querschnittswerte in US-amerikanischen gebräuchlichen und metrischen Einheiten bereitstellt (AISC, 2023). AISC Part 1, Dimensions and Properties, ist der Referenzabschnitt des Steel Construction Manual, 16th Edition, für tabellierte Abmessungen und geometrische Eigenschaften. ANSI/AISC 360-16 definiert Größen einschließlich $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ und $C_w$ (AISC, 2021). Diese Quellen liefern Geometrie- und Bemessungsdefinitionen; die Werkstoffspezifikation liefert die Stahleigenschaften.

Europäische Dokumentationen erfordern dieselbe Trennung. Das Blue Book des Steel Construction Institute enthält berechnete Eigenschaften wie Fläche, Flächenträgheitsmomente, elastische und plastische Widerstandsmomente, Trägheitsradien, Torsionskonstanten und Wölbkonstanten (SCI, 2024). EVS-EN 10365:2026 legt Nennabmessungen und Massen für warmgewalzte U-, I- und H-Profile fest; sie ist kein Ersatz für eine Tabelle der Querschnittswerte oder eine Werkstoffgütenspezifikation. Auch die Einheiten müssen geprüft werden: ArcelorMittal weist darauf hin, dass die berechneten europäischen Eigenschaften im Allgemeinen in Zentimetern angegeben werden, während die Oberfläche beziehungsweise die Wölbkonstante Einheiten auf Meter- beziehungsweise Dezimeterbasis verwenden (ArcelorMittal, 2024).

Die Softwareausgabe sollte diese Nachvollziehbarkeit bewahren. Ein berechnetes $I_x$ ist nur dann aussagekräftig, wenn das importierte Profil, die Achsen, das Einheitensystem und die geometrischen Annahmen bekannt sind. Eine dem gleichen Modell hinzugefügte Werkstoffgüte verändert die Eingangsgrößen der Tragfähigkeit, nicht die Querschnittsgeometrie.

Häufige Fehler und eine Prüfliste

Die Verwendung des falschen Flächenträgheitsmoments kann die vorhergesagte Knicklast oder Durchbiegung erheblich verfälschen. Limited evidence

Fehler bei Querschnittswerten beginnen häufig, bevor überhaupt eine Gleichung eingegeben wird. Eine Zeichnung kann zwar das richtige Profil zeigen, dennoch kann die Berechnung scheitern, weil Achsen, Einheiten, Normausgabe oder Definition der Querschnittswerte nicht mit dem Nachweis übereinstimmen. Das Ergebnis ist keine geringfügige Abweichung in einer Tabellenkalkulation: Die Verwendung des falschen Flächenträgheitsmoments kann die Vorhersage von Knicken oder Durchbiegungen um eine Größenordnung verändern.

Fehler bei Achsen und Einheiten

Der häufigste Fehler ist die Vertauschung von $I_x$ und $I_y$. Bei einem typischen I-Profil ist das Flächenträgheitsmoment um die starke Achse wesentlich größer als der Wert um die schwache Achse. Wenn sich das Bauteil um seine schwache Achse biegt, aber der Wert für die starke Achse eingegeben wird, sind die berechnete Krümmung und Durchbiegung viel zu klein. Derselbe Fehler wirkt sich auf Trägheitsradien, elastische Widerstandsmomente, plastische Widerstandsmomente und jeden auf der ausgewählten Achse beruhenden Knicknachweis aus.

Achsenbezeichnungen sind nicht in jeder Tabelle oder jedem Softwarepaket einheitlich. Eine Quelle kann die horizontale Schwerpunktachse als $x$ bezeichnen, während eine andere dafür 2 verwendet; ein Finite-Elemente-Programm kann lokale 1- und 2-Achsen entsprechend der Profilorientierung definieren. Abaqus stellt fest, dass die Schwerpunktwerte $I_{11}$ und $I_{22}$ die quadrierten Koordinatenabstände integrieren, während $I_{12}$ das Produkt der Koordinatenabstände integriert (Abaqus Documentation, 2024). Diese Definition muss vor der Übernahme von Werten mit der Zeichnung abgeglichen werden.

Einheiten stellen eine zweite Fehlerquelle dar. Flächen in ${\mathrm{cm}}^2$, Flächenträgheitsmomente in ${\mathrm{cm}}^4$ und Widerstandsmomente in ${\mathrm{cm}}^3$ können nicht ohne Umrechnung mit Abmessungen in Millimetern kombiniert werden. Da $1{\mathrm{cm}}^4={10}^4{\mathrm{mm}}^4$ gilt, kann eine in einer Tabellenkalkulation ausgelassene Tabellenumrechnung einen Fehlerfaktor von 10.000 verursachen. Europäische Tabellen geben berechnete Eigenschaften häufig in Zentimetern an; ArcelorMittal weist darauf hin, dass auch die Oberfläche und die Wölbkrafttorsionskonstante Einheiten auf Meter- beziehungsweise Dezimeterbasis verwenden (ArcelorMittal, 2024). Lesen Sie jede Spaltenüberschrift.

Eine Massentabelle ist keine Tabelle mit Querschnittswerten. EVS-EN 10365:2026 legt Nennabmessungen und Massen für warmgewalzte U-Profile, I-Profile und H-Profile fest; sie liefert für sich genommen jedoch nicht jeden berechneten Wert, der für Biegung, Torsion oder Knicken benötigt wird. Das Blue Book des Steel Construction Institute enthält Querschnittswerte, darunter $I$, elastische und plastische Widerstandsmomente, Trägheitsradien, $J$ und $C_w$. In den Vereinigten Staaten stellt die AISC Shapes Database v16.0 Abmessungen und Eigenschaften in US-amerikanischen und metrischen Einheiten bereit, während AISC Part 1 den maßgeblichen Abschnitt des Steel Construction Manual für tabellierte Abmessungen und geometrische Querschnittswerte bildet (AISC, 2023).

Verwechslung von $J$, $I_p$, $I$, $S$ und $Z$

Das Symbol $I$ allein ist unvollständig. Es kann ein Flächenträgheitsmoment des Schwerpunkts um eine bestimmte Achse, $I_x$ oder $I_y$, bedeuten oder in einer Softwarekonvention wie $I_{11}$ auftreten. Das Flächenträgheitsmoment hat die Einheit einer Länge hoch vier und bestimmt die Biegesteifigkeit über $\mathrm{EI}$. Es ist kein Festigkeitswert.

Das polare Flächenträgheitsmoment wird üblicherweise als $I_p$ geschrieben:

$$I_p=I_x+I_y$$

wenn $x$ und $y$ zueinander senkrechte Schwerpunktachsen sind. Es beschreibt die Verteilung der Fläche um einen Punkt und ist bei bestimmten Berechnungen für Kreiswellen und Rotationsbauteile von Nutzen. Es ist im Allgemeinen nicht die Torsionskonstante.

Die Torsionskonstante $J$ beschreibt das Torsionsverhalten nach Saint-Venant. Für einen vollkreisförmigen Querschnitt gilt $J=I_p$, diese Gleichheit darf jedoch nicht auf I-Profile, U-Profile, Winkelprofile oder dünnwandige offene Querschnitte übertragen werden. Bei diesen Profilen können die Werte für $J$ wesentlich kleiner als $I_p$ sein. Geschlossene Querschnitte weisen ebenfalls ein anderes Torsionsverhalten auf, da der Schubfluss um die eingeschlossene Zelle umlaufen kann. Die Wölbkrafttorsionskonstante $C_w$, deren Einheit die sechste Potenz einer Länge ist, betrifft ungleichförmige Torsion und behinderte Verwölbung; sie ist keine weitere Form von $J$. ANSI/AISC 360-16 definiert und verwendet $I_x$, $I_y$, $r_x$, $r_y$, $J$ und $C_w$ als getrennte Querschnittsgrößen (AISC, 2021).

Die Terminologie bei Widerstandsmomenten führt zu einer weiteren häufigen Verwechslung. Das elastische Widerstandsmoment wird aus dem elastischen Flächenträgheitsmoment bestimmt, beispielsweise:

$$S_x=\frac{I_x}{c_x},$$

wobei $c_x$ der Abstand von der neutralen Achse bis zur äußersten Faser ist. Das plastische Widerstandsmoment, häufig mit $Z_x$ oder $W_{\mathrm{pl},x}$ bezeichnet, beruht auf der vollständig plastifizierten Spannungsverteilung. Es ist nicht $S_x$ und darf nicht allein deshalb ersetzt werden, weil beide Größen die Einheit einer Länge hoch drei haben. Bei einem symmetrischen Rechteckquerschnitt besteht zwischen den Werten ein einfacher Zusammenhang; bei gewalzten Profilen mit ungleichen Geometrien von Flanschen und Steg ist die Unterscheidung von Bedeutung.

Löcher, Ausklinkungen und Hohlräume müssen aus den Flächenberechnungen entfernt werden. Kehlen dürfen beim Vergleich eines vereinfachten Handmodells mit einer Tabelle für gewalzte Profile nicht ohne Weiteres ignoriert werden. Bei einem zusammengesetzten Querschnitt lautet der Term des Parallelachsen-Satzes $A{d}^2$, wobei $d$ der senkrechte Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Teilquerschnitts und der Schwerpunktachse des zusammengesetzten Querschnitts ist. Die Verwendung der Gesamthöhe, einer Flanschdicke oder eines von der falschen Bezugsachse gemessenen Abstands führt zu einem plausibel aussehenden, aber falschen Ergebnis.

Unabhängige Prüfungen vor der Verwendung im Nachweis

Ein Querschnittswert sollte mehrere Prüfungen bestehen, bevor er in ein Bemessungsmodell übernommen wird. Zeichnen Sie zunächst den genauen Querschnitt, einschließlich Löchern, Kehlen, Blechen, Schweißnahtzugaben und der im Bauteil verwendeten Orientierung. Tragen Sie die Schwerpunktachsen ein und bestimmen Sie, ob es sich um Hauptachsen handelt. Bei einer Symmetrieachse muss das Deviationsmoment null sein, wenn die Achsen an dieser Symmetrie ausgerichtet sind.

Führen Sie anschließend unabhängig eine einfache Vergleichsberechnung durch. Rechtecke, Dreiecke, Kreise und Hohlkreise liefern nützliche Prüfungen für Fläche, Schwerpunkt, $I$, $I_p$ und Widerstandsmoment. Bei einem zusammengesetzten Querschnitt sind die Teilflächen und statischen Momente zu berechnen, der Schwerpunkt zu bestimmen und anschließend der Parallelachsen-Satz für jede Achse getrennt anzuwenden. Eine Tabellenkalkulation und ein Querschnittsberechnungsprogramm sollten nicht dieselbe verborgene Eingabe oder Formel verwenden, wenn sie als unabhängiger Vergleich dienen sollen. Die Ressource MDSolids von Missouri S&T gibt beispielsweise Schwerpunkt, Flächenträgheitsmomente, Widerstandsmomente, Trägheitsradien, plastisches Widerstandsmoment, polares Flächenträgheitsmoment und Hauptträgheitsmomente für allgemeine und standardisierte Stahlprofile aus (Missouri S&T, 2024).

Dokumentieren Sie schließlich die genaue Quelle, Profilbezeichnung, Normausgabe, Einheiten, Achsenbezeichnungen sowie die Frage, ob es sich bei den Werten um Brutto-, Netto-, elastische, plastische, Saint-Venant- oder Wölbkrafttorsionswerte handelt. Eine Bezeichnung wie ASTM A992 oder ASTM A36 verändert den Materialwiderstand und die Nachweise; sie verändert jedoch nicht die geometrischen Eigenschaften desselben Querschnitts mit denselben Abmessungen. Ebenso führt S355 nach den maßgebenden europäischen Produkt- und Bemessungsnormen nicht dazu, dass ein geometrisch identischer Querschnitt ein anderes $I$ oder $J$ erhält.

Bevor ein Ergebnis für ein reales Tragwerk maßgebend wird, sollte die Prüfliste Folgendes verlangen:

• eine bemaßte Skizze mit Orientierung, Löchern, Kehlen und Schwerpunktachsen;
• eine Quellenangabe für die verwendete Tabelle oder Berechnungsmethode;
• die anzuwendende Norm und Normausgabe, beispielsweise AISC Shapes Database v16.0, die 16th Edition Steel Construction Manual, SCI P363 oder EVS-EN 10365:2026;
• eindeutige Einheiten für jede Eingangs- und Ausgangsgröße;
• eindeutig bezeichnete $x$-, $y$-, Haupt-, lokale oder globale Achsen;
• eine unabhängige Handberechnung, Softwareberechnung oder einen Vergleich mit Tabellenwerten; und
• eine Prüfung durch einen qualifizierten Ingenieur, wenn der Wert ein reales Tragglied oder einen realen Anschluss beeinflusst.

Quellen

1. [1]American Institute of Steel Construction. AISC Shapes Database v16.0. AISC Shapes Database, 2023. https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/aisc-shapes-database-v160/
2. [2]American Institute of Steel Construction. 16th Edition Steel Construction Manual, Part 1. Steel Construction Manual, 2023. https://www.aisc.org/aisc/publications/steel-construction-manual/