Расчёты плотности, массы и объёма стали

Что означает плотность стали в инженерных расчётах

Массовая плотность, масса и объём

Массовая плотность показывает, какая масса содержится в заданном объёме материала. Национальный институт стандартов и технологий (NIST) определяет массовую плотность как отношение массы к объёму:

$$\rho =\frac{m}{V}$$

Здесь $\rho$ — массовая плотность, $m$ — масса, а $V$ — объём. Единицей СИ является килограмм на кубический метр, записываемый как $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Эта единица является частью результата, а не необязательным дополнением. Утверждение вроде «плотность стали равна 7850» является неполным, пока не установлены единица измерения, описание материала, температура или состояние материала, если это имеет значение, а также предполагаемое инженерное применение.

Плотность — это свойство определённого состояния материала или его спецификации. Масса относится к конкретному объекту. Объём соответствует пространству, занимаемому этим объектом или его частью. Стальная плита длиной 2 м и плита длиной 20 м, изготовленные из стали одной и той же марки, могут иметь примерно одинаковую плотность, но масса более длинной плиты при неизменном поперечном сечении будет в десять раз больше. Аналогично, два компонента могут иметь одинаковую массу, занимая при этом разные объёмы, если их плотности различаются.[1][1] Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3rd Edition. Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 2016.

Часто приводимое значение $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ является принятой инженерной величиной для расчётов конструкционной стали. В издании Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3-е издание (2016), это значение используется для расчёта табличной массы на метр длины. В руководстве Национального исследовательского совета Канады, опубликованном в 2019 году, и в документе Министерства обороны США UFC 4-023-07 плотность стали также указана как $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$; в UFC приведено приблизительное значение $490\mathrm{lb}/{\mathrm{ft}}^3$. Эти источники устанавливают полезную расчётную конвенцию, но не утверждают, что плотность каждой марки стали составляет именно это значение.

Плотность (kg/m³)

Марка и состав могут изменять это значение. MatWeb указывает типичную плотность $7.80\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ для низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569, тогда как ASM MatWeb приводит значение $7.87\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ для сверхвысокопрочной стали 300M. RoyMech использует значение $7830\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ для мягкой стали, а Engineering ToolBox указывает для стали приблизительно $7.82\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$. Эти значения различаются незначительно, однако разница может иметь значение при высокоточных оценках массы, учёте запасов материалов, расчётах плавучести или сравнениях, связанных с большими объёмами материала.

Пересчёт единиц также объясняет многие кажущиеся расхождения. Поскольку

$$1\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3=1000\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3,$$

$7.85\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ преобразуется в $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. В традиционной системе единиц значение $490\mathrm{lb}/{\mathrm{ft}}^3$ представляет собой приближённую удельную силу тяжести при стандартных гравитационных условиях, тогда как $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ является единицей массовой плотности. Приложение B.9 NIST содержит размерностную основу для таких преобразований. В расчёте нельзя смешивать метры с миллиметрами, килограммы с фунтами или массовую плотность с удельным весом без предварительного пересчёта.

Почему $\rho =m/V$ является определением, а не упрощённым способом поиска значения в справочнике

Уравнение $\rho =m/V$ определяет взаимосвязь между плотностью, массой и объёмом. Оно не определяет правильное числовое значение плотности для объекта с неуказанными характеристиками. Для расчёта массы это соотношение преобразуется следующим образом:

$$m=\rho V.$$

Для расчёта объёма оно принимает вид:

$$V=\frac{m}{\rho }.$$

Это три основных уравнения:

\[ \rho=\frac{m}{V},\qquad m=\rho V,\qquad V=\frac{m}{\rho}. \]

Алгебра проста; инженерная оценка требуется прежде всего при определении исходных данных. Объём стальной балки не равен её длине. Он равен произведению площади поперечного сечения на длину:

$$V=\mathrm{AL}.$$

Следовательно, её масса равна:

$$m=\rho \mathrm{AL}.$$

Для балки с постоянным сечением масса на единицу длины определяется следующим образом:

$$\frac{m}{L}=\rho A.$$

Рассмотрим сплошной прямоугольный стержень размером 100 мм × 50 мм и длиной 10 м. После перевода размеров площадь поперечного сечения составит:

$$A=0.100\times 0.050=0.005{\mathrm{m}}^2.$$

При использовании принятого значения $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ его масса на метр длины равна:

$$\frac{m}{L}=7850\left(0.005\right)=39.25\mathrm{kg}/\mathrm{m}.$$

Масса (kg)Объём (m³)

Объём стержня длиной 10 м составляет $0.005\times 10=0.05{\mathrm{m}}^3$, а масса — $7850\times 0.05=392.5\mathrm{kg}$. Плотность не изменилась из-за увеличения длины стержня; объём и масса изменились одновременно.

Для прямоугольного сечения тот же метод можно записать в виде:

$$m=\rho \mathrm{bhL},$$

где $b$, $h$ и $L$ должны быть выражены в совместимых единицах. Для полых профилей необходимо использовать площадь стали, а не площадь внешнего контура. Для прокатных двутавров, швеллеров, уголков и труб обычно используют опубликованную площадь поперечного сечения или табличную массу на метр длины. Геометрия также может включать отверстия, сварной металл, рёбра жёсткости, потери материала из-за коррозии, лакокрасочное покрытие, огнезащиту или присоединённые компоненты. Каждый из этих факторов изменяет рассчитываемую массу или объём.

Температура имеет значение, поскольку при нагреве сталь расширяется. При постоянной массе повышение температуры увеличивает объём и, следовательно, уменьшает плотность. Документ NIST NCSTAR 1-3 рассматривает физические свойства конструкционных сталей в контексте пожара, при котором тепловое расширение и зависящие от температуры свойства влияют на анализ. Химический состав сплава, пористость, включения, состояние после изготовления и покрытия также могут изменять измеренное или эффективное значение. Для обычных расчётов конструкций эти эффекты часто меньше погрешности, подразумеваемой использованием значения $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, однако при более высоких требованиях к точности их нельзя безоговорочно игнорировать.

Плотность также следует отличать от удельного веса и относительной плотности. Удельный вес — это сила на единицу объёма:

$$\gamma =\rho g,$$

поэтому его единицей СИ является $\mathrm{N}/{\mathrm{m}}^3$, а не $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Относительная плотность представляет собой безразмерное отношение, обычно плотность вещества, делённую на плотность воды при установленном исходном состоянии. Ни одна из этих величин не может заменить массовую плотность без соответствующего преобразования или определения.

Удельный объём и обратные зависимости

NIST определяет удельный объём как отношение объёма к массе:

$$v=\frac{V}{m}.$$

Его единицей СИ является ${\mathrm{m}}^3/\mathrm{kg}$. Поскольку плотность равна $m/V$, удельный объём является величиной, обратной плотности:

\[ v=\frac{1}{\rho}, \qquad \rho=\frac{1}{v}. \]

Для принятого значения плотности стали:

$$v=\frac{1}{7850}=0.0001274{\mathrm{m}}^3/\mathrm{kg},$$

то есть приблизительно $1.274\times {10}^{-4}{\mathrm{m}}^3/\mathrm{kg}$. Это означает, что один килограмм стали занимает около $0.0001274{\mathrm{m}}^3$, или 127,4 кубического сантиметра, при условиях, соответствующих указанной плотности.

Обратная зависимость полезна для проверки размерностей и расчётов. Если приведённая плотность стали равна $7830\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, её удельный объём должен быть немного больше удельного объёма, соответствующего $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Результат, в котором плотность указана в $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, а удельный объём — также в $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, не проходит базовую проверку размерностей.

В инженерных расчётах наиболее надёжный подход заключается в том, чтобы указать марку или принятую модель материала, привести плотность и единицы измерения, рассчитать фактический геометрический объём и сохранять разумное количество знаков после запятой до получения окончательного результата. Значение $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ часто является подходящим, однако его применимость определяется указанной расчётной конвенцией и областью применения, а не универсальным тождеством, действующим для каждого стального компонента.

Инженерный смысл значения 7850 кг/м³

Значение 7850 кг/м³ представляет собой условную расчётную плотность обычной конструкционной стали. Это не означает, что каждый стальной прокат, марка стали или температурное состояние характеризуются именно такой плотностью. Согласно определению Национального института стандартов и технологий (NIST), массовая плотность выражается как

$$\rho =\frac{m}{V}$$

где $m$ — масса, а $V$ — объём. Единицей измерения в системе СИ является килограмм на кубический метр (кг/м³). NIST также определяет удельный объём как $V/m$ — величину, обратную плотности, — с единицами измерения кубический метр на килограмм.

Поэтому для стального элемента с известным объёмом базовый расчёт имеет вид

$$m=\rho V.$$

7850 kg/m³ — широко используемое инженерное принятое значение для расчётов конструкционной стали. Strong evidence

Использование $\rho =7850\text{кг}/{\text{м}}^3$ даёт достаточно согласованный результат для большинства расчётов количества материалов и проектных расчётов, связанных с конструкционной сталью. Это значение повторяется потому, что оно обеспечивает согласованность таблиц профилей, расчётов объёмов, расчётов при пожаре и строительной справочной документации. Его следует рассматривать как инженерную условность с известной степенью приближения.

Таблицы массы конструкционной стали

В таблицах стальных профилей обычно приводится масса на метр, а не плотность или полная масса. Связь между этими величинами устанавливается через площадь поперечного сечения:

$$m\prime =\rho A,$$

где $m\prime$ — масса единицы длины в кг/м, а $A$ — площадь в м². При использовании условной плотности:

$$m\prime =7850A.$$

Например, профиль с площадью поперечного сечения $0,010{\text{м}}^2$ имеет расчётную массу на метр

$$7850(0,010)=78,5\text{кг/м}.$$

Таким образом, отрезок длиной 6 м будет иметь номинальную массу $471\text{кг}$ без учёта прикреплённых пластин, сварочного металла, отверстий, покрытий и производственных допусков.

В издании Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3-е издание (2016), указано, что табличная масса конструкционной стали на метр рассчитывается исходя из плотности 7850 кг/м³. Такая условность полезна, поскольку позволяет составлять таблицы профилей на основе геометрии без необходимости отдельно измерять плотность каждого прокатного профиля. Она также даёт проектировщикам возможность сравнивать двутавровый профиль, швеллер, уголок, гнутый замкнутый профиль или лист, используя единую расчётную основу.

Для прямоугольного прутка площадь определяется простым умножением ширины на толщину:

$$A=\mathrm{bt}.$$

Если ширина и толщина заданы в миллиметрах, формула массы на метр принимает вид

$$m\prime =0,00785\mathrm{bt},$$

где $b$ и $t$ выражены в мм, а $m\prime$ — в кг/м. Для прутка размером 100 × 20 мм:

$$m\prime =0,00785\left(100\right)\left(20\right)=15,7\text{кг/м}.$$

В расчётах для прямоугольных прутков RoyMech использует значение 7830 кг/м³ для низкоуглеродистой стали. Для тех же размеров это даёт 15,66 кг/м — всего на 0,04 кг/м меньше. Это расхождение показывает, почему опубликованные таблицы могут немного отличаться друг от друга, не становясь при этом непригодными: в них могут использоваться разные условные значения плотности, правила округления, номинальные размеры или производственные допуски.

Steel Bridge Design Handbook Федерального управления автомобильных дорог США и документ NIST NCSTAR 1-3, посвящённый физическим свойствам конструкционных сталей, создают институциональную основу для рассмотрения свойств стали как исходных инженерных параметров, а не как единственного универсального числа. Для обычных расчётов количества материалов обычно достаточно значения 7850 кг/м³. Для измеренного компонента, конкретной марки стали или расчёта, учитывающего зависимость от температуры, выбранное значение должно соответствовать цели расчёта.

Эквивалентное значение 490 фунт-силы/фут³[2][2] UFC 4-023-07. U.S. Department of Defense. Unified Facilities Criteria, 2008.

В источниках, использующих американскую систему единиц, ту же условную плотность обычно выражают как приблизительно 490 lb/ft³. Министерство обороны США в документе UFC 4-023-07 (2008) приводит для стали значение 7850 кг/м³, эквивалентное приблизительно 490 lb/ft³. Национальный исследовательский совет Канады приводит ту же плотность в своих рекомендациях по расчётам при пожаре, а Construction Cost Handbook 2019 компании Arcadis повторяет значения 7850 кг/м³ и приблизительно 490 lb/ft³ в таблице строительных материалов.

Слово «приблизительно» имеет значение. Пересчёт 7850 кг/м³ с использованием стандартных коэффициентов перевода даёт около 490,06 lb/ft³, поэтому запись 490 lb/ft³ является разумным округлённым выражением, а не более точным физическим измерением. Эквивалентная плотность также составляет около 7,85 г/см³ и 0,284 lb/in³. В приложении B.9 NIST приведена размерностная основа для преобразований между единицами СИ и американской системой единиц.

Перевод единиц не изменяет исходного допущения. Если расчёт начинается со значения 490 lb/ft³, оно по-прежнему представляет ту же условную плотность стали, что и 7850 кг/м³; это не является независимым свидетельством того, что конкретная марка стали имеет именно такую плотность. Путаница часто возникает, когда округлённое значение в американской системе единиц рассматривают так, будто оно обладает большей точностью, чем значение в системе СИ, из которого оно было получено.

Важно также различать массу и вес. Плотность представляет собой массу единицы объёма. Удельный вес — это сила, приходящаяся на единицу объёма:

$$\gamma =\rho g,$$

где $g$ — ускорение свободного падения. Следовательно, 7850 кг/м³ само по себе не является ни давлением, ни интенсивностью нагрузки. Для определения гравитационной нагрузки массу необходимо умножить на $g$, получив ньютоны на кубический метр. В строительном программном обеспечении может отображаться «вес» элемента, тогда как таблица профилей фактически может приводить его массу в кг/м или lb/ft.

Удельная плотность — это ещё одна отличающаяся величина. Она представляет собой отношение плотности материала к плотности заданного эталонного вещества, обычно воды при определённой температуре, и поэтому является безразмерной. Её не следует подставлять вместо массовой плотности в формулу $m=\rho V$.

Условное значение и измеренное значение для конкретной марки

Выбор источника данных о плотности Limited evidence

Фактическая плотность зависит от химического состава сплава, кристаллической структуры, температуры, истории изготовления и пористости. Для многих плотных сталей эти изменения невелики, но они существуют. В записи MatWeb за 2024 год типичная плотность низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569 указана как 7,80 г/см³, или приблизительно 7800 кг/м³. В MatWeb ASM для сверхвысокопрочной стали 300M приведено значение 7,87 г/см³, или приблизительно 7870 кг/м³. Engineering ToolBox указывает для стали приблизительно 7,82 г/см³, тогда как RoyMech использует для низкоуглеродистой стали значение 7830 кг/м³.

Плотность (kg/m³)

Эти значения охватывают диапазон примерно от 7800 до 7870 кг/м³. При расчёте большого объёма конструкционной стали это различие может оказаться меньше влияния размерных допусков, припуска на коррозию, прикреплённых элементов или округления. Однако для лабораторного образца, авиационного компонента, прецизионных весов или подробной тепловой модели оно может иметь значение.[3][3] Fire Safety Design of Buildings: NRC Short Course Material. National Research Council Canada. National Research Council Canada publication, 2019.

Изменение температуры приводит к изменению плотности, поскольку тепловое расширение изменяет объём, тогда как количество материала остаётся практически постоянным. Поэтому при нагревании стального элемента его плотность как масса, приходящаяся на текущий объём, уменьшается. В рекомендациях по расчётам при пожаре необходимо также учитывать изменение механических и тепловых свойств, а не просто подставлять комнатную плотность стали во все уравнения. В рекомендациях NRC плотность стали указана как 7850 кг/м³, а коэффициент профиля сечения при пожаре определяется как отношение обогреваемого периметра к площади поперечного сечения. Это геометрическое отношение влияет на теплопередачу при расчёте воздействия пожара; оно не заменяет плотность и не означает, что два профиля одинаковой массы будут нагреваться одинаково.

Краска, оцинковка, окалина, влага, пустоты и другие покрытия дополнительно усложняют измерения на месте. Покрытие увеличивает массу конструкции, но не является плотностью стали. Аналогично, для замкнутых профилей необходимо учитывать объём стального материала, а не габаритный внешний объём, если только расчёт специально не относится к вытесненному объёму или другой характеристике внешнего объёма.

Обоснованный подход прост: использовать значение 7850 кг/м³ как условную расчётную основу для конструкционной стали, если этого требует стандарт, справочник или проектная спецификация; явно указывать принятое допущение; и заменять его документально подтверждённой плотностью для конкретной марки или измеренной плотностью, когда этого требует точность результата. Это позволяет сохранить практическую пользу общепринятого значения, не принимая его за универсальную постоянную материала.

Системы единиц и преобразование плотности

Преобразование плотности надёжно только в том случае, если изменяются и единица массы, и единица объёма. NIST определяет массовую плотность как

$$\rho =\frac{m}{V}$$

где $m$ — масса, а $V$ — объём. Единицей СИ является килограмм на кубический метр, обозначаемый кг/м³. NIST также определяет удельный объём как $V/m$, то есть величину, обратную плотности, с такими единицами, как м³/кг. Приложение B.9 NIST, «Коэффициенты пересчёта», содержит соответствующую основу для перехода между единицами СИ и общепринятыми единицами; его коэффициенты должны иметь приоритет перед значениями, сохранёнными в памяти, округлёнными таблицами из интернета или преобразованием, при котором изменяется только числитель.

кг/м³, г/см³ и Мг/м³

Принятая в расчётах плотность конструкционной стали 7850 кг/м³ непосредственно преобразуется в 7,850 г/см³:

$$7850\frac{\text{кг}}{{\text{м}}^3}\left(\frac{1000\text{г}}{1\text{кг}}\right)(\frac{1\text{м}}{100\text{см}}{)}^3=7,850\frac{\text{г}}{{\text{см}}^3}$$

Кубическое преобразование имеет значение. Один метр равен 100 сантиметрам, но один кубический метр равен ${100}^3$, то есть 1 000 000, кубических сантиметров. Распространённая ошибка заключается в том, что метры переводят в сантиметры только один раз, получая результат, ошибочный в 100 или 10 000 раз.

Та же плотность равна 7,850 Мг/м³:

$$7850\frac{\text{кг}}{{\text{м}}^3}\left(\frac{1\text{Мг}}{1000\text{кг}}\right)=7,850\frac{\text{Мг}}{{\text{м}}^3}$$

Таким образом, г/см³ и Мг/м³ имеют одинаковое числовое значение, хотя представляют собой разные выражения единиц. Причина заключается в том, что и числитель, и знаменатель масштабируются одним и тем же коэффициентом. Мегаграмм равен 1000 кг, тогда как кубический метр равен 1 000 000 см³; грамм составляет одну тысячную килограмма, а кубический сантиметр — одну миллионную кубического метра. В обоих случаях

$$1{\text{г/см}}^3=1{\text{Мг/м}}^3=1000{\text{кг/м}}^3$$

Равенство числовых значений не означает, что плотность любой стали в каждой из этих единиц равна 7,850. Оно описывает преобразование выбранного значения.

В справочных материалах по конструкционной стали часто используется значение 7850 кг/м³ при расчёте табличной массы на метр. В Справочнике по конструкционной стали, 3-е издание (2016), это значение применяется для расчёта массы профилей, а National Research Council Canada (2019) указывает 7850 кг/м³ в данных о материалах для расчёта огнестойкости. В отличие от этого, RoyMech (2024) использует значение 7830 кг/м³ для низкоуглеродистой стали. Справочники по свойствам материалов также приводят другие значения: MatWeb указывает 7,80 г/см³ для низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569, тогда как ASM MatWeb указывает 7,87 г/см³ для сверхвысокопрочной стали 300M. Engineering ToolBox приводит для стали значение приблизительно 7,82 г/см³.

Для многих конструкционных оценок эти различия невелики, однако они реальны. Химический состав сплава, температура, пористость, покрытия, а также конкретная марка или изделие могут изменять плотность. Поэтому значение 7850 кг/м³ является общепринятым инженерным значением, а не утверждением о том, что ASTM A366/A569, 300M и все прочие марки стали имеют одинаковую плотность.

Для известной массы плотность позволяет определить объём посредством преобразования определения:

$$V=\frac{m}{\rho }$$

При плотности 7850 кг/м³ 100 кг стали занимают объём

$$V=\frac{100\text{кг}}{7850{\text{кг/м}}^3}=0,01274{\text{м}}^3$$

приблизительно. Удельный объём является обратной величиной:

$$\frac{1}{7850{\text{кг/м}}^3}=1,274\times {10}^{-4}{\text{м}}^3/\text{кг}$$

Плотность не следует путать с удельным весом, который представляет собой силу на единицу объёма и обычно выражается в Н/м³. Плотность также не совпадает с относительной плотностью — отношением к эталонному веществу, поэтому относительная плотность является безразмерной величиной.

фунт/фут³ и фунт/дюйм³

В общепринятой системе единиц плотность может выражаться в фунтах на кубический фут (lb/ft³) или фунтах на кубический дюйм (lb/in³). Это не взаимозаменяемые формы одного и того же числа. Поскольку

$$1\text{фут}=12\text{дюймов}$$

один кубический фут содержит

$$1{\text{фут}}^3={12}^3=1728{\text{дюйм}}^3$$

Следовательно,

$$1{\text{lb/ft}}^3=\frac{1}{1728}{\text{lb/in}}^3$$

и

$$1{\text{lb/in}}^3=1728{\text{lb/ft}}^3$$

Принятое значение 7850 кг/м³ при использовании коэффициентов из приложения B.9 NIST преобразуется приблизительно в 490 lb/ft³. В документе UFC 4-023-07 (Министерство обороны США, 2008) для стали указано значение 7850 кг/м³, эквивалентное приблизительно 490 lb/ft³. В фунтах на кубический дюйм то же значение составляет приблизительно

$$\frac{490,04{\text{lb/ft}}^3}{1728}=0,2836{\text{lb/in}}^3$$

Обычно его округляют до 0,284 lb/in³.

Предупреждение предельно простое: не следует подставлять 490 в расчёт, выраженный в lb/in³. Соответствующее правильное число составляет примерно 0,284, а не 490. И наоборот, значение 0,284 lb/in³ нельзя использовать для объёма, измеренного в кубических футах, без умножения на 1728. Типичные значения MatWeb показывают масштаб различий, связанных с конкретной маркой: для ASTM A366/A569 указано 0,282 lb/in³, что соответствует 7,80 г/см³, а для 300M — 0,284 lb/in³, что соответствует 7,87 г/см³.

Анализ размерностей и сокращение единиц

Анализ размерностей делает преобразование проверяемым. Каждый коэффициент пересчёта следует записывать в виде дроби, числитель и знаменатель которой представляют равные величины, а затем до вычисления чисел сокращать единицы. Например, преобразование 7,850 г/см³ в кг/м³ записывается так:

$$7,850\frac{\text{г}}{{\text{см}}^3}\left(\frac{1\text{кг}}{1000\text{г}}\right)(\frac{100\text{см}}{1\text{м}}{)}^3$$

Граммы сокращаются, кубические сантиметры сокращаются, и остающейся единицей является кг/м³:

$$7,850\times \frac{1}{1000}\times {100}^3=7850{\text{кг/м}}^3$$

Для прямоугольного стального прутка тот же метод связывает геометрию с массой. Если ширина и толщина выражены в метрах, площадь поперечного сечения равна

$$A=\mathrm{bt}$$

а масса на единицу длины определяется как

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Для прутка размером 50 мм × 10 мм сначала преобразуем размеры:

$$A=(0,050\text{м})(0,010\text{м})=0,0005{\text{м}}^2$$

Затем, используя плотность 7850 кг/м³, получаем

$$\frac{m}{L}=\left(7850{\text{кг/м}}^3\right)(0,0005{\text{м}}^2)=3,925\text{кг/м}$$

Один метр в единице площади сокращается с одной из трёх степеней метра в плотности, в результате чего остаётся кг/м. Если оставить размеры в миллиметрах, а плотность выразить в кг/м³, результат будет иметь несовместимые единицы и окажется ошибочным на соответствующие степени 1000. Округление следует выполнять после преобразования и умножения, а не до них, особенно когда от длины материала в несколько метров зависит ведомость профилей или суммарная масса.

Расчёт массы по объёму

Базовый расчёт массы прост, однако его результат настолько надёжен, насколько надёжны использованные плотность, размеры и единицы измерения. Воспроизводимая последовательность действий включает пять шагов:

1. Определить значение плотности и указать, является ли оно условным расчётным значением, значением для конкретной марки или измеренным значением. 2. Перевести все размеры в одну согласованную систему единиц. 3. Рассчитать объём по геометрическим размерам. 4. Умножить объём на плотность. 5. Округлить указанную массу с учётом наименее точного из важных исходных данных.

Такая последовательность предотвращает распространённую ошибку: восприятие значения 7850 кг/м³ как универсального свойства любой стали. В справочных данных по конструкционной стали это значение часто используется при расчёте табличной массы на метр. В издании Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3-е издание (2016), плотность 7850 кг/м³ используется именно с этой целью. Национальный исследовательский совет Канады (2019) и документ Министерства обороны США UFC 4-023-07 (2008) также указывают значение 7850 кг/м³; в UFC приведено приблизительно 490 фунт-сила/фут³. Это полезные инженерные условности, но не доказательство того, что каждый сплав, изделие или температурное состояние имеют плотность, в точности равную этому значению.

Уравнение m = ρV

NIST определяет массовую плотность как отношение массы к объёму:

$$\rho =\frac{m}{V}$$

После преобразования получаем необходимое здесь уравнение:

$$m=\rho V$$

где:

• $m$ — масса;
• $\rho$ — массовая плотность;
• $V$ — объём.

В единицах SI плотность измеряется в килограммах на кубический метр (кг/м³), объём — в кубических метрах (м³), а масса — в килограммах (кг). Единицы корректно сокращаются:

$$\frac{\text{кг}}{{\text{м}}^3}\times {\text{м}}^3=\text{кг}$$

Такое сокращение единиц — полезная проверка, а не формальность. Если при расчёте кг/м³ умножаются на объём, всё ещё выраженный в мм³, численный результат будет неверным в ${10}^9$ раз, если только объём в кубических миллиметрах предварительно не переведён в кубические метры.

В руководстве NIST по SI за 2024 год удельный объём также определяется как $V/m$, то есть величина, обратная плотности. Удельный объём не является массой и не должен подставляться вместо плотности в уравнение $m=\rho V$. Аналогично, удельный вес представляет собой силу на единицу объёма и обычно выражается в Н/м³, тогда как относительная плотность представляет собой отношение к плотности эталонного вещества. Ни одна из этих величин не совпадает с массовой плотностью.

Основание для выбора плотности должно быть указано до начала арифметических операций. Принятое значение 7850 кг/м³ может подходить для предварительной оценки конструкционной массы или стандартной таблицы профилей. Его следует обозначить как допущение. В одном справочнике материальных данных типичная плотность низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569 указана как 7,80 г/см³, что соответствует 7800 кг/м³, тогда как в другом для сверхвысокопрочной стали 300M приведено значение 7,87 г/см³, или 7870 кг/м³. В RoyMech для мягкой стали используется значение 7830 кг/м³. Для многих предварительных расчётов эти различия невелики, однако они имеют значение при анализе допусков, расчёте массы при транспортировке, балансировке или теплопередаче.

Плотность также может изменяться в зависимости от химического состава сплава, температуры, пористости и технологии обработки. Покрытие добавляет массу, но не является частью плотности чистой стали. Для полого или перфорированного объекта следует использовать фактический чистый объём стали, а не объём ограничивающего его параллелепипеда.

Пример расчёта для сплошного блока

Рассмотрим прямоугольный стальной блок со следующими измеренными размерами:

• длина: $300\text{мм}$
• ширина: $200\text{мм}$
• толщина: $50,0\text{мм}$

Явно примем условную плотность стали:

$$\rho =7850{\text{кг/м}}^3$$

Этот расчёт не идентифицирует конкретную марку стали и не утверждает, что фактическая плотность блока в точности равна 7850 кг/м³.

Сначала переведём размеры в метры:

$$300\text{мм}=0,300\text{м}$$

$$200\text{мм}=0,200\text{м}$$

$$50,0\text{мм}=0,0500\text{м}$$

Для прямоугольного тела:

$$V=\mathrm{LWT}$$

Следовательно:

$$V=(0,300)(0,200)(0,0500)$$

$$V=0,00300{\text{м}}^3$$

Теперь применим $m=\rho V$:

$$m=(7850{\text{кг/м}}^3)(0,00300{\text{м}}^3)$$

$$m=23,55\text{кг}$$

Размеры заданы с тремя значащими цифрами, тогда как плотность является условным принятым значением, а не измерением высокой точности. Поэтому подходящий результат следует представить так:

\[ \boxed{m\approx23{,}6\text{ кг}} \]

Неокруглённое значение 23,55 кг всё же можно сохранять в расчётной документации, чтобы последующие операции не накапливали погрешность из-за преждевременного округления. Итоговое отображаемое значение не должно создавать впечатление большей точности, чем допускают размеры и плотность.

Тот же метод можно применить через площадь поперечного сечения. Площадь блока, видимая с торца, равна:

$$A=\mathrm{WT}=(0,200)(0,0500)=0,0100{\text{м}}^2$$

Тогда:

$$V=\mathrm{AL}=(0,0100)(0,300)=0,00300{\text{м}}^3$$

Для постоянного поперечного сечения масса на единицу длины определяется так:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Для этого блока:

$$\frac{m}{L}=\left(7850\right)(0,0100)=78,5\text{кг/м}$$

Умножение 78,5 кг/м на 0,300 м снова даёт 23,55 кг. Такой подход через площадь обычно используется для расчёта массы прутков, листов, балок и других изделий с постоянным поперечным сечением.

Ошибки, связанные со смешением единиц и округлением

Смешение единиц приводит к большему числу ошибок, чем сама операция умножения. Размер, заданный в миллиметрах, необходимо перевести до возведения в куб, либо следует применить коэффициент пересчёта к уже рассчитанному объёму:

$$1{\text{м}}^3={10}^9{\text{мм}}^3$$

Таким образом, блок размером $300\times 200\times 50$ мм имеет объём:

$$V=3,000,000{\text{мм}}^3$$

После перевода получаем:

$$V=\frac{3,000,000}{1,000,000,000}=0,00300{\text{м}}^3$$

Распространённая ошибка заключается в том, что каждый линейный размер делят на 1000, а затем объём дополнительно делят на 1000. В результате линейный коэффициент пересчёта применяется к кубической величине, и полученная масса оказывается в миллион раз меньше правильной.

Единицы плотности также можно переводить напрямую. Поскольку:

$$1{\text{г/см}}^3=1000{\text{кг/м}}^3$$

указанная плотность 7,80 г/см³ соответствует 7800 кг/м³. В качестве альтернативы размеры можно оставить в сантиметрах, рассчитать объём в см³ и сохранить плотность в г/см³, получив массу в граммах. Метод корректен только в том случае, если все единицы в произведении принадлежат одной и той же системе.

Округление следует выполнять после основного расчёта, а не после каждого промежуточного перевода. Если измеренная длина составляет 0,300 м, а толщина — 0,0500 м, указание массы 23,550000 кг создаёт неоправданное впечатление точности. С другой стороны, округление 7850 кг/м³ до 8000 кг/м³ перед умножением приводит к предотвратимому изменению на 1,9 %. Во время расчёта следует сохранять дополнительные цифры, а затем указывать разумное количество значащих цифр.

Для итоговой проверки сравним результат с использованием другой основы для выбора плотности. При плотности 7800 кг/м³ масса того же блока объёмом 0,00300 м³ составит 23,4 кг, а не 23,6 кг. Разница в 0,2 кг отражает допущение о плотности, а не арифметическую ошибку. Температура, фактический химический состав, точность весов, сварные швы, крепёж, краска и присоединённые компоненты могут дополнительно создавать различия между рассчитанной массой чистой стали и измеренной массой собранного изделия.

Расчёт объёма по массе

Измеренную массу можно преобразовать в оценочный объём, если плотность материала известна или выбрана. Расчёт прост, однако его результат настолько надёжен, насколько надёжны значение плотности, используемая система единиц и интерпретация измеряемого объекта. Весы показывают массу всего предмета, помещённого на них; они не определяют, какая часть этой массы приходится на чистую сталь.

Уравнение V = m/ρ

NIST определяет массовую плотность как отношение массы к объёму:

$$\rho =\frac{m}{V}$$

После преобразования получаем требуемое соотношение:

$$V=\frac{m}{\rho }$$

Здесь $V$ — объём, $m$ — масса, а $\rho$ — массовая плотность. В системе SI масса измеряется в килограммах, плотность — в килограммах на кубический метр, а объём — в кубических метрах. Единицы корректно сокращаются:

$$V=\frac{\text{кг}}{{\text{кг/м}}^3}={\text{м}}^3$$

Руководство NIST по системе SI за 2024 год также определяет удельный объём как $V/m$, то есть величину, обратную плотности. Удельный объём используется в некоторых термодинамических расчётах, однако для обычных расчётов количества стали обычно более непосредственно применять форму $V=m/\rho$.

Предположим, что измеренная масса стальной детали составляет 78,5 кг. При использовании общепринятой инженерной плотности 7850 кг/м³:

$$V=\frac{78.5\text{кг}}{7850{\text{кг/м}}^3}=0.0100{\text{м}}^3$$

Таким образом, рассчитанный объём составляет 0,0100 м³, или 10,0 литра. Это объём материала, а не автоматически объём прямоугольного короба, описывающего деталь. Пустоты, отверстия, криволинейные поверхности, профили сварных швов и зазоры между компонентами необходимо учитывать отдельно.

Выбранная плотность имеет значение. В справочных материалах по конструкционной стали для расчёта табличной массы на метр обычно используется значение 7850 кг/м³. В 2019 году Национальный исследовательский совет Канады указал значение 7850 кг/м³, а американский документ Министерства обороны UFC 4-023-07 в 2008 году приводил то же значение — приблизительно 490 фунтов/фут³. Это практические инженерные соглашения. Их не следует представлять как доказательство того, что плотность любой марки стали составляет ровно это значение.

Плотность (g/cm³)

Для сравнения: MatWeb указывает типичную плотность 7,80 г/см³ для низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569, тогда как ASM MatWeb приводит значение 7,87 г/см³ для сверхвысокопрочной стали 300M. Поскольку 1 г/см³ равен 1000 кг/м³, этим значениям соответствуют приблизительно 7800 и 7870 кг/м³. RoyMech использует значение 7830 кг/м³ для мягкой стали, а Engineering ToolBox указывает для стали приблизительно 7,82 г/см³. Для многих оценочных расчётов при изготовлении эти различия невелики, но они существуют.

Для той же массы 78,5 кг при использовании плотности 7800 кг/м³ получаем:

$$V=\frac{78.5}{7800}=0.010064{\text{м}}^3$$

При использовании плотности 7870 кг/м³ объём составляет приблизительно 0,009975 м³. Значение 0,0100 м³ может быть уместным, если исходные масса и плотность известны лишь с точностью до нескольких значащих цифр. Дополнительные десятичные знаки создавали бы впечатление точности, которую измерения не обеспечивают.

Согласованность единиц имеет принципиальное значение. Если масса выражена в граммах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр, результат будет выражен в кубических сантиметрах. Поэтому для детали массой 500 г при плотности 7,80 г/см³:

$$V=\frac{500}{7.80}=64.1{\text{см}}^3$$

Не следует подставлять в одно уравнение 500 г и 7850 кг/м³ без предварительного преобразования единиц. В приложении B.9 NIST приведена размерностная основа для преобразования между единицами SI и традиционными единицами.

Интерпретация измеренной массы

Показание весов не обязательно соответствует массе самой стали. Например, окрашенная пластина включает стальную основу, грунтовку, промежуточное покрытие и финишный слой. Оцинковка добавляет цинк. Прокатная окалина добавляет окисленный материал и может оставаться прикреплённой неравномерно. Грязь, скопившаяся вода, смазочно-охлаждающая жидкость, лёд и влага внутри полых профилей также могут увеличивать показание.

Прикреплённые элементы создают ещё одну распространённую ошибку. Болты, гайки, шайбы, зажимы, грузоподъёмные приспособления, приварные кронштейны, изоляция и временные опоры могут находиться на весах, но не входить в расчёт предполагаемой массы стали. И наоборот, коррозия или утрата материала могут привести к тому, что измеренная масса окажется ниже исходной расчётной массы. В полом профиле вода может удерживаться в замкнутой полости, из-за чего результат будет меняться при повторных взвешиваниях.

Неопределённость вносит и само измерительное оборудование. На показание могут влиять разрешение, калибровка, вибрация, положение груза, движение воздуха и дрейф нуля. Если компонент массой 10 кг измеряется на оборудовании с неопределённостью ±0,1 кг, то только эта неопределённость составляет ±1 % — ещё до учёта вариации плотности. Рассчитанный объём наследует ту же относительную неопределённость массы, а неопределённость плотности вносит дополнительный вклад.

По этой причине в расчёте по измеренной массе следует указывать, что именно взвешивалось и какая плотность использовалась. Формулировка «объём стали» неоднозначна, если объект имеет покрытие или прикреплённые детали. Более ясным будет утверждение: «Оценочный эквивалентный объём стали без покрытий составляет 0,0100 м³; он рассчитан по массе нетто 78,5 кг и $\rho =7850$ кг/м³». Если 78,5 кг — это масса брутто окрашенной сборки, результат представляет собой номинальный эквивалентный объём для выбранной плотности, а не прямое измерение объёма стали без покрытий.

Температура также может влиять на интерпретацию. При нагревании сталь расширяется, увеличивая свой геометрический объём, тогда как её масса остаётся практически постоянной. Поэтому с повышением температуры плотность уменьшается. В расчётах пожарной безопасности могут использоваться зависящие от температуры свойства, тогда как в обычных расчётах количества при комнатной температуре, как правило, применяется условное справочное значение. Следует указывать соответствующее расчётное состояние.

Обратный расчёт размеров

После оценки объёма теоретический размер можно получить из соответствующей геометрии. Для призматического элемента с постоянным поперечным сечением:

$$V=\mathrm{AL}$$

где $A$ — площадь поперечного сечения, а $L$ — длина. Следовательно:

$$L=\frac{V}{A}=\frac{m}{\rho A}$$

Стальной стержень массой 78,5 кг с площадью поперечного сечения 1000 мм² при использовании плотности 7850 кг/м³ имеет:

$$A=1000{\text{мм}}^2=0.001000{\text{м}}^2$$

$$L=\frac{0.0100}{0.001000}=10.0\text{м}$$

Это теоретическая длина, основанная на постоянной площади сечения и выбранной плотности. Она не заменяет измерение стержня, особенно если его торцы имеют неправильную форму, сечение сужается или масса включает покрытие и дополнительные детали.

Для прямоугольной пластины объём определяется так:

$$V=\mathrm{Lwt}$$

где $L$ — длина, $w$ — ширина, а $t$ — толщина. Если длина и ширина известны, толщину можно рассчитать обратным методом:

$$t=\frac{V}{\mathrm{Lw}}=\frac{m}{\rho \mathrm{Lw}}$$

Для пластины массой 50 кг, размером 2,00 м на 1,00 м и при использовании плотности 7850 кг/м³:

$$t=\frac{50}{7850\left(2.00\right)\left(1.00\right)}=0.00318\text{м}$$

или приблизительно 3,18 мм. Результат описывает эквивалентную равномерную толщину. Фактическая толщина пластины может отличаться из-за окалины, покрытия, допусков прокатки, шероховатости поверхности или неверного предположения о массе стали нетто.

Тот же принцип применяется к массе на единицу длины:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Для прямоугольного стержня $A=\mathrm{wt}$, поэтому:

$$\frac{m}{L}=\rho \mathrm{wt}$$

В расчёте для прямоугольного сечения RoyMech за 2024 год использует для мягкой стали значение 7830 кг/м³, а не 7850 кг/м³, что показывает необходимость указывать плотность при сравнении расчётной и табличной массы. Для сложных сечений требуется фактическая площадь поперечного сечения нетто с вычитанием отверстий и пустот. При расчётах пожарной безопасности не следует путать эту площадь с коэффициентом сечения стали, который Национальный исследовательский совет Канады определяет как отношение обогреваемого периметра к площади поперечного сечения. Этот коэффициент описывает воздействие тепла, а не обычный объём материала.

Масса на единицу длины стальных профилей

Масса на единицу длины стального профиля непосредственно следует из определения плотности. NIST определяет массовую плотность как

$$\rho =\frac{m}{V}$$

где $\rho$ — плотность, $m$ — масса, а $V$ — объём. Для призматического профиля объём равен площади поперечного сечения, умноженной на длину:

$$V=\mathrm{AL}$$

Подставляя это выражение в уравнение плотности, получаем

$$\rho =\frac{m}{\mathrm{AL}}$$

и, следовательно,

\[ \boxed{\frac{m}{L}=\rho A} \]

Это основное соотношение для определения массы на единицу длины. Если плотность выражена в килограммах на кубический метр, а площадь — в квадратных метрах, результат получается в килограммах на метр:

$$\left(\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}\right)\left({\mathrm{m}}^2\right)=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}$$

Площадь поперечного сеченияПлощадь поперечного сечения Чистая площадь материала в срезе, перпендикулярном длине элемента; она определяет объём на единицу длины и вместе с плотностью — массу на единицу длины.

Площадь является определяющей геометрической величиной. Более длинная деталь имеет большую общую массу, однако её масса на метр остаётся неизменной, пока площадь поперечного сечения и плотность не меняются.

Значение $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ широко используется в расчётах конструкционной стали. В издании Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3-е издание (2016), указано, что табличные значения массы конструкционной стали на метр рассчитаны с использованием этой плотности. National Research Council Canada (2019) и U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 также приводят значение $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, причём в UFC оно выражено как приблизительно $490\mathrm{lb}/{\mathrm{ft}}^3$. Это инженерные соглашения, используемые для расчётов и составления таблиц, а не гарантия того, что плотность любой марки стали в точности равна этому значению.

m/L = ρA

Формула проста, однако согласованность единиц имеет большое значение. Прямоугольный профиль размером $50\mathrm{mm}$ на $25\mathrm{mm}$ имеет площадь

$$A=50\times 25=1250{\mathrm{mm}}^2$$

Поскольку

$$1{\mathrm{m}}^2=1,000,000{\mathrm{mm}}^2$$

площадь равна

$$A=0.00125{\mathrm{m}}^2$$

При использовании условной плотности конструкционной стали получаем

$$\frac{m}{L}=7850\left(0.00125\right)=9.8125\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

Таким образом, однородный стальной пруток размером $50\mathrm{mm}\times 25\mathrm{mm}$ имеет номинальную массу на метр около $9.81\mathrm{kg}/\mathrm{m}$, без учёта допусков, покрытий, окалины и других прикреплённых материалов.

Выбор плотности может повлиять на последние знаки результата. В расчёте прямоугольного профиля RoyMech использует значение $7830\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ для мягкой стали. При этом значении для того же прутка получаем

$$7830\left(0.00125\right)=9.7875\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

что после округления составляет $9.79\mathrm{kg}/\mathrm{m}$. Для многих предварительных конструкционных оценок эта разница невелика, однако она показывает, почему в результате следует указывать использованное значение плотности, а не представлять округлённое число как физическую постоянную, не зависящую от марки стали.

Материалы, приведённые для отдельных марок стали, также демонстрируют реальный разброс значений. MatWeb указывает типичную плотность $7.80\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ для низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569, что эквивалентно $7800\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. ASM MatWeb приводит значение $7.87\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$, или $7870\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, для сверхвысокопрочной стали 300M. Engineering ToolBox указывает приблизительно $7.82\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ для стали. Эти значения отличаются друг от друга и от $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, но остаются достаточно близкими, поэтому во многих расчётных таблицах используется единое условное значение.

NIST также определяет удельный объём как $V/m$, то есть величину, обратную плотности. Удельный объём не следует путать с массой на единицу длины: первый характеризует объём материала на единицу массы, тогда как вторая является сочетанием плотности материала и площади конкретного профиля.

Для общей длины элемента $L$ соответствующая масса определяется выражением

$$m=\rho \mathrm{AL}$$

Например, пруток длиной $6\mathrm{m}$ с расчётной массой на метр $9.8125\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ имеет номинальную массу

$$m=9.8125\times 6=58.875\mathrm{kg}$$

То же соотношение применяется к листу. Лист шириной $2.0\mathrm{m}$ и толщиной $10\mathrm{mm}$ имеет площадь поперечного сечения, измеренную перпендикулярно его длине, равную

$$A=2.0\times 0.010=0.020{\mathrm{m}}^2$$

Поэтому его масса на метр составляет

$$\frac{m}{L}=7850\left(0.020\right)=157\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

Если длина листа равна $4\mathrm{m}$, его номинальная масса составляет $628\mathrm{kg}$. При расчётах для листа ширину и толщину следует измерять в направлениях, нормальных к рассматриваемой длине. Планарная площадь листа не является площадью, используемой в формуле $m/L=\rho A$, если только выбранное направление длины не делает такую интерпретацию уместной.

Масса на метр — не то же самое, что погонный вес. Масса на метр имеет единицы $\mathrm{kg}/\mathrm{m}$, а погонный вес представляет собой силу на единицу длины и обычно выражается в $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ или $\mathrm{kN}/\mathrm{m}$. При стандартном ускорении свободного падения

$$w=\frac{m}{L}g$$

где $g$ приблизительно равно $9.80665\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$. Поэтому пруток с массой $9.8125\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ имеет погонный вес приблизительно

$$9.8125\times 9.80665=96.2\mathrm{N}/\mathrm{m}$$

или $0.0962\mathrm{kN}/\mathrm{m}$. В инженерной документации значения в килограммах на метр иногда называют «весом», однако технически правильное разграничение этих понятий полезно при расчёте нагрузок.

Прокатные профили и табличные характеристики

Для прокатных двутавров, швеллеров, уголков, тавров, замкнутых профилей и других профилей вычисление площади по каждому поясу, стенке, радиусу и углу может быть неудобным. Сортаментные таблицы устраняют необходимость многократно выполнять такие геометрические расчёты, приводя номинальную площадь поперечного сечения и соответствующую массу на метр. Основное соотношение остаётся тем же:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

В таблице площадь может быть непосредственно указана в ${\mathrm{cm}}^2$ или ${\mathrm{mm}}^2$, а затем приведена масса в $\mathrm{kg}/\mathrm{m}$. Если площадь указана в квадратных сантиметрах, используется пересчёт

$$1{\mathrm{cm}}^2={10}^{-4}{\mathrm{m}}^2$$

Таким образом, прокатный профиль с номинальной площадью $25.0{\mathrm{cm}}^2$ имеет

$$A=0.00250{\mathrm{m}}^2$$

и при использовании плотности $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$

$$\frac{m}{L}=7850\left(0.00250\right)=19.625\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

В опубликованной таблице это значение может быть округлено до $19.6\mathrm{kg}/\mathrm{m}$. Приведённое значение следует рассматривать с учётом указанной в таблице плотности, размерной основы и правил округления.

Размеры профиля сохраняют значение, даже если сам расчёт скрыт. Ширина и толщина поясов двутавра, толщина стенки, общая высота и радиусы сопряжений определяют его площадь. Два профиля одинаковой номинальной высоты могут иметь разные площади и, следовательно, разную массу на метр. Обозначение номинального размера само по себе не является значением массы. Необходимо проверить соответствующее издание таблицы и стандарт профиля.

Площадь, приведённая в таблице, может быть теоретической или номинальной, а не измеренной площадью отдельного изделия. Производственные допуски, галтели, радиусы углов, погибь и отклонения фактической толщины от номинальной могут вызвать небольшую разницу между расчётной и фактической массой. Поверхностные покрытия также увеличивают массу, хотя обычно не включаются в значение массы стального профиля без покрытия, приведённое в сортаментной таблице. Для оцинкованного, окрашенного или огнезащищённого элемента не следует использовать безоговорочное значение массы стали без покрытия, если покрытие входит в требуемую массу конструкции.

Температура вносит ещё одно различие. При нагреве сталь расширяется, поэтому её размеры и объём изменяются; вследствие этого изменяется и плотность, выраженная как отношение массы к расширенному объёму, хотя количество стали остаётся тем же. В расчётах при пожаре также может использоваться коэффициент сечения стали, который National Research Council Canada определяет как отношение обогреваемого периметра к площади поперечного сечения. Этот коэффициент определяет тепловое воздействие и не заменяет массу на метр.

Таким образом, для конструкционного элемента надёжная последовательность действий такова: определить фактический профиль, получить или рассчитать его номинальную площадь, выбрать условное значение плотности, требуемое нормативным или расчётным источником, и обеспечить согласованность единиц. В результате получается масса на единицу длины; только после умножения на ускорение свободного падения её следует рассматривать как погонный вес.

Геометрия: сплошные сечения, полые профили и профили неправильной формы

Масса стали определяется объёмом материала, а не кажущимися размерами внешнего контура. Для однородного элемента расчётная зависимость имеет вид

$$m=\rho V=\rho AL$$

где $m$ — масса, $\rho$ — массовая плотность, $A$ — чистая площадь поперечного сечения, а $L$ — длина. Если $\rho$ выражена в килограммах на кубический метр, $A$ должна быть выражена в квадратных метрах, а $L$ — в метрах. Результат получают в килограммах.

В таблицах для строительной стали обычно рассчитывают массу на метр, используя значение $7850{\text{кг/м}}^3$, поэтому профиль площадью $0.001{\text{м}}^2$ имеет табличную массу

$$7850\left(0.001\right)=7.85\text{кг/м}.$$

Это общепринятый инженерный расчёт, а не замена определению фактической площади сечения и не утверждение, что плотность любой марки стали в точности равна этому значению. Сначала необходимо определить геометрию.

Сплошные прямоугольные и круглые сечения

Для сплошного прямоугольника

$$A=\mathrm{bh}$$

где $b$ — ширина, а $h$ — высота. Стальной пруток размером $50\text{мм}\times 100\text{мм}$ имеет

$$A=50\left(100\right)=5000{\text{мм}}^2.$$

Поскольку $1{\text{м}}^2=1,000,000{\text{мм}}^2$,

$$A=0.005{\text{м}}^2.$$

При использовании плотности $7850{\text{кг/м}}^3$ его масса на метр составляет $39.25\text{кг/м}$. При использовании значения $7830{\text{кг/м}}^3$ для низкоуглеродистой стали, приведённого RoyMech, получается $39.15\text{кг/м}$. Небольшая разница обусловлена выбранным значением плотности, а не применением другой геометрической формулы.

Для сплошного круглого прутка

$$A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4},$$

где $r$ — радиус, а $d$ — диаметр. Пруток диаметром $40\text{мм}$ имеет

$$A=\frac{\pi (40{)}^2}{4}=1256.6{\text{мм}}^2=0.0012566{\text{м}}^2.$$

При плотности $7850{\text{кг/м}}^3$ его масса на метр составляет приблизительно $9.86\text{кг/м}$.

Диаметр необходимо возводить в квадрат. Увеличение диаметра круглого прутка вдвое не удваивает его площадь: площадь и, следовательно, масса на единицу длины увеличиваются в четыре раза. Тот же принцип применим к прямоугольным размерам: увеличение одного размера вдвое удваивает площадь, а увеличение обоих размеров вдвое увеличивает площадь в четыре раза.

Перед умножением размеры также необходимо привести к одной единице измерения. Частая ошибка заключается в подстановке размеров в миллиметрах в формулу при сохранении плотности в килограммах на кубический метр. Один из прямых способов — рассчитать площадь в ${\text{мм}}^2$, разделить её на $1,000,000$, а затем умножить на плотность. Другой способ — сначала перевести все размеры в метры.

Полые профили и вычитание пустот

Площадь полого профиля рассчитывают по площади материала, вычитая пустоту из площади внешнего контура. Для прямоугольного полого профиля с внешней шириной $B$, внешней высотой $H$ и равномерной толщиной стенки $t$

$$A=\mathrm{BH}-(B-2t)(H-2t).$$

Внутренние размеры уменьшаются на $2t$, поскольку стенка занимает пространство с обеих противоположных сторон. Это выражение также можно преобразовать к виду

$$A=2t(B+H-2t).$$

Для прямоугольного полого профиля размером $100\text{мм}\times 50\text{мм}$ со стенкой толщиной $5\text{мм}$

$$A=\left(100\right)\left(50\right)-\left(90\right)\left(40\right)=5000-3600=1400{\text{мм}}^2.$$

Таким образом, масса на метр при плотности $7850{\text{кг/м}}^3$ составляет

$$0.0014\left(7850\right)=10.99\text{кг/м}.$$

Один только внешний прямоугольник дал бы значение $39.25\text{кг/м}$, то есть более чем втрое большее. Если учитывать внешний контур вместо вычитания отверстия, воздух фактически принимается за сталь.

Для круглого полого профиля, или трубы, с внешним диаметром $D$, внутренним диаметром $d$ и толщиной стенки $t$

$$A=\frac{\pi }{4}(D^2-d^2)$$

а при равномерной толщине стенки

$$d=D-2t.$$

Для трубы с $D=60\text{мм}$ и $t=5\text{мм}$ значение $d=50\text{мм}$, поэтому

$$A=\frac{\pi }{4}({60}^2-{50}^2)=863.9{\text{мм}}^2=0.0008639{\text{м}}^2.$$

Её условная масса на метр составляет приблизительно $6.78\text{кг}$. Сплошной пруток диаметром $60\text{мм}$ имел бы площадь $2827{\text{мм}}^2$ и массу около $22.2\text{кг/м}$.

Таким образом, внешний размер не определяет массу. Квадратная труба со стороной $100\text{мм}$ и стенкой толщиной $2\text{мм}$ и труба с такой же внешней шириной, но стенкой толщиной $10\text{мм}$, имеют одинаковую внешнюю ширину, но очень разные чистые площади сечения. Отверстия, перфорация, сердцевины, прорези и внутренние полости необходимо исключать из расчёта объёма. И наоборот, радиусы закругления, сварные валики, отогнутые кромки и стенки неравномерной толщины могут добавлять материал, который простая формула для прямоугольника с острыми углами не учитывает. Для изготовленных профилей опубликованная номинальная площадь или масса на метр может быть надёжнее, чем представление профиля в виде идеализированного прямоугольника.

Плотность, зависящая от марки стали, может немного изменить результат. MatWeb приводит значение $7.80{\text{г/см}}^3$ для низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569, тогда как ASM MatWeb приводит значение $7.87{\text{г/см}}^3$ для сверхвысокопрочной стали 300M. При применении обеих плотностей к одной и той же рассчитанной площади получаются разные значения массы. Разница невелика, но она имеет значение при учёте допусков, управлении запасами, расчёте подъёмных нагрузок или работе с большой длиной элементов.

Путаница между периметром, площадью и характеристиками сечения

Площадь поперечного сечения показывает, сколько стали содержится в срезе, перпендикулярном длине элемента. Она определяет объём на единицу длины:

$$V/L=A$$

и, следовательно, при известной плотности определяет массу на единицу длины.

Периметр — другая величина. Внешний периметр сплошного прямоугольника равен

$$P=2(b+h),$$

а длина окружности сплошного круга равна $P=\pi d$. Эти величины описывают длину границы, а не площадь стали. Квадрат со стороной $100\text{мм}$ и круг диаметром $20\text{мм}$ могут иметь сопоставимые размеры границы, но содержать совершенно разное количество стали. Для полого профиля инженерам может потребоваться несколько периметров: внешний периметр, внутренний периметр или периметр, подвергающийся воздействию огня или воздуха. Ни один из них не может заменить чистую площадь поперечного сечения при расчёте массы.

Площадь поверхности — это площадь продольной внешней поверхности элемента; для профиля постоянного сечения она приблизительно равна $\mathrm{PL}$. Она имеет значение при расчёте количества покрытия, теплопередачи, воздействия коррозии и температурного отклика. Это не площадь поперечного сечения. Тонкостенная труба может иметь значительную площадь поверхности на метр при сравнительно небольшом содержании стали.

Момент инерции площади, также называемый осевым моментом инерции сечения, представляет собой совершенно другую величину. Для прямоугольника относительно проходящей через его центр тяжести оси, параллельной ширине,

$$I=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{12}.$$

Кубическая зависимость от размера показывает, почему высота существенно влияет на изгибную жёсткость, однако $I$ не является массой и не может подставляться в $m=\rho \mathrm{AL}$. Значения для полых профилей находят вычитанием момента инерции пустоты из момента инерции внешней формы с учётом правильной оси и, при необходимости, теоремы о параллельных осях.

При расчётах на огнестойкость используется ещё одно отношение. Национальный исследовательский совет Канады определяет коэффициент сечения стали как отношение обогреваемого периметра к площади поперечного сечения. В зависимости от условий воздействия и схемы огнезащиты обогреваемый периметр может включать поверхности, не совпадающие с геометрическим внешним периметром. Этот коэффициент сечения описывает теплопередачу на единицу объёма стали; он не определяет массу элемента.

Профили неправильной формы рассчитывают разбиением на простые фигуры, вычитанием пустот или непосредственным интегрированием площади, ограниченной контуром. Например, для прокатного двутаврового профиля можно сложить площади прямоугольников полок и стенки, при этом зоны перекрытия учитываются только один раз. В конечном счёте именно чистая площадь, а не внешний силуэт, умножается на длину и плотность.

Почему плотность разных марок стали неодинакова

Значение 7850 кг/м³ полезно, однако оно не является универсальной материальной константой для каждой марки стали. В таблицах по конструкционной стали обычно принимают значение 7850 кг/м³ для расчёта массы на метр; это же значение указывают Национальный исследовательский совет Канады и Министерство обороны США в документе UFC 4-023-07. В UFC также приведено приблизительное значение 490 фунт/фут³. Эти цифры представляют собой общепринятые инженерные исходные данные, обычно округляемые для проектирования и составления таблиц. Их не следует воспринимать как утверждение, что плотность всех сталей абсолютно одинакова.

NIST определяет массовую плотность как ρ = m/V, измеряемую в килограммах на кубический метр, а удельный объём — как V/m. Поэтому плотность, установленная для конкретной марки, изменяет рассчитанную массу при неизменном объёме. Для обычных конструкционных расчётов эта разница может быть небольшой, но она становится существенной при точной оценке массы, расчёте аэрокосмических компонентов, оборудования, работающего под давлением, лабораторных измерениях и сравнении крупных сечений.

Приведённые данные наглядно показывают это обстоятельство. MatWeb указывает типичную плотность 7,80 г/см³ для низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569, что соответствует 7800 кг/м³. ASM MatWeb приводит значение 7,87 г/см³ для высокопрочной стали 300M, что соответствует 7870 кг/м³. Разница составляет 70 кг/м³, или около 0,9% относительно меньшего значения. При необходимости высокой точности ни одно из этих чисел не должно заменять сертификат на материал или контролируемое измерение, однако ни одно из них не подтверждает, что значение 7850 кг/м³ можно считать точным для обеих марок.

Химический состав и легирование

Сталь состоит главным образом из железа, однако её плотность зависит от полного состава и физического состояния материала. Углерод, марганец, кремний, хром, никель, молибден, ванадий и другие добавки изменяют массу и объём твёрдого тела. Их воздействие нельзя определить простым сложением плотности каждого чистого элемента с плотностью железа. Атомы легирующих элементов занимают положения в кристаллической решётке железа, искажают её, изменяют её объём, а также могут способствовать образованию различных фаз или выделений.

Само железо имеет различные состояния, связанные с плотностью. При обычных температурах ферритное железо обладает объёмно-центрированной кубической кристаллической структурой, тогда как аустенит при более высоких температурах имеет гранецентрированную кубическую структуру. Закалка, отпуск, прокатка и другие виды обработки могут изменять соотношение феррита, перлита, бейнита, мартенсита и остаточного аустенита. Эти изменения микроструктуры обычно имеют меньшее значение для объёмной плотности, чем общий химический состав, однако они могут быть важны, когда расчёт требует большей точности, чем округлённое табличное значение.

Легирующие добавки также имеют различные атомные массы и атомные объёмы. Например, никель и молибден относятся к сравнительно плотным элементам, а алюминий и кремний имеют меньшую плотность, чем железо. Небольшая добавка не даёт простого пропорционального результата, поскольку изменяются также параметры кристаллической решётки сплава, фазовый состав и температурно-временная история обработки. Итоговая плотность является свойством изготовленного сплава, а не величиной, которую можно определить только по пределу прочности при растяжении.

Пористость, неметаллические включения, обезуглероженные зоны, окалина, сварной металл, гальваническое покрытие, краска и присутствующая влага могут дополнительно влиять на измеренную массу компонента. Номинальная плотность стали обычно характеризует твёрдый металлический материал, а не все покрытия или отложения на готовой детали. Это различие важно, когда масса измеряется для готовой сборки, а не рассчитывается по сертифицированным размерам и плотности материала.

Обозначение прочности само по себе не определяет плотность. Термин «высокопрочная» описывает механические характеристики или категорию спецификации, но не массу единицы объёма. Две стали могут иметь близкий предел текучести, но различаться легирующими системами, термической обработкой и плотностью. И наоборот, высокопрочная сталь может иметь плотность, близкую к плотности менее прочной марки. Плотность следует брать из паспорта материала, информации, относящейся к конкретному стандарту, сертификата поставщика или результатов измерения.

Низкоуглеродистая сталь ASTM A366/A569

MatWeb указывает типичную плотность 7,80 г/см³ для низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569; также приведено значение 0,282 фунт/дюйм³. В единицах SI 7,80 г/см³ соответствует 7800 кг/м³, поскольку 1 г/см³ равен 1000 кг/м³. Слово «типичная» имеет здесь большое значение. Это справочное значение из базы данных по материалам, а не универсальное требование к плотности, которому каждый лист или рулон с таким обозначением должен соответствовать с точностью до последнего килограмма на кубический метр.

Обозначение ASTM определяет категорию изделия из низкоуглеродистой стали и связанные с ней требования, однако его не следует рассматривать как прямую спецификацию плотности, если соответствующая редакция стандарта явно не устанавливает такое требование. Стандарты обычно сосредоточены на таких характеристиках, как ограничения по химическому составу, размеры, состояние поверхности, способность к формоизменению и механические требования. Стандарт может допускать диапазон состава, а не один строго определённый химический состав, поэтому одна величина плотности не может с абсолютной точностью характеризовать каждую допустимую плавку и каждое состояние после обработки.

Для расчёта объёма значение MatWeb даёт непосредственный результат. Рассмотрим прямоугольную плиту длиной 2,00 м, шириной 1,00 м и толщиной 10,0 мм. Её объём равен:

V = 2,00 × 1,00 × 0,0100 = 0,0200 м³.

При использовании значения 7800 кг/м³ получаем:

m = ρV = 7800 × 0,0200 = 156 кг.

При использовании общепринятого значения 7850 кг/м³ результат составляет 157 кг. Разница в один килограмм для этой плиты невелика, что и объясняет, почему в проектных таблицах можно использовать округлённое общее значение. Тем не менее эта разница вызвана выбранной плотностью, а не изменением геометрии.

Тот же принцип применяется к расчёту массы на единицу длины. Для прямоугольного прутка площадь поперечного сечения перед умножением на плотность должна быть выражена в квадратных метрах:

m′ = ρA.

Пруток размером 100 мм × 20 мм имеет площадь сечения 0,0020 м². При плотности 7800 кг/м³ его расчётная масса на метр составляет 15,6 кг/м. RoyMech использует значение 7830 кг/м³ для мягкой стали в расчёте прямоугольного прутка, тогда как Engineering ToolBox указывает для стали приблизительно 7,82 г/см³. Различия между этими справочными значениями отражают использование различных общепринятых или типичных исходных данных, а не противоречие в определении плотности.

Высокопрочная сталь 300M

ASM MatWeb указывает типичную плотность 7,87 г/см³ для высокопрочной стали 300M, что соответствует 0,284 фунт/дюйм³ или приблизительно 7870 кг/м³. Это значение выше, чем приведённое для низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569 значение 7,80 г/см³, а также немного выше принятого во многих конструкционных расчётах значения 7850 кг/м³.

Обозначение 300M относится к конкретному семейству легированных сталей сверхвысокой прочности, свойства которых зависят от контролируемого химического состава и термической обработки. Прочность такой стали обеспечивается легированием и технологической обработкой, включая формирование закалённой и отпущенной микроструктуры; число в обозначении прочности не означает «плотность в определённых единицах». Если известно только, что деталь изготовлена из «300M», для расчёта всё равно необходимы соответствующая спецификация материала, состояние изделия и выбранное значение плотности.

Для того же объёма плиты 0,0200 м³, который использовался выше, сталь 300M при плотности 7870 кг/м³ даёт массу 157,4 кг. При использовании справочного значения для ASTM A366/A569 получается 156 кг. Разница в 1,4 кг невелика для одной плиты, но увеличивается пропорционально объёму. В авиационном компоненте, длинном прутке или крупной партии деталей использование неправильного значения плотности для конкретной марки может повлиять на расчёт массового баланса.

Температурный фактор также требует внимания. При нагреве стали тепловое расширение увеличивает объём, поэтому при постоянной массе плотность, как правило, уменьшается. Поэтому в расчётах пожарной безопасности могут одновременно использоваться зависящие от температуры свойства материала и коэффициент сечения, определяемый как отношение нагретого периметра к площади поперечного сечения. Приведённые выше значения при комнатной температуре пригодны только в том случае, если их температурные условия и область применения соответствуют расчёту. Используйте значение 7850 кг/м³ как оговорённую инженерную условность, а не как доказательство того, что ASTM A366/A569, 300M и любая другая марка стали имеют одинаковую плотность.

Плотность, удельный вес и относительная плотность — не взаимозаменяемые величины

В таблицах по стали плотность, вес и относительную плотность часто помещают в соседние столбцы, используя при этом сокращённые обозначения, например «вес стали». Такое расположение может скрывать различия между тремя величинами. Массовая плотность показывает, какая масса содержится в данном объёме. Удельный вес характеризует силу, с которой сила тяжести действует на эту массу. Относительная плотность сопоставляет плотность одного материала с эталонной плотностью. В некоторых системах единиц их числовые значения могут выглядеть похожими, однако сами величины различны.

Массовая плотность и плотность веса

Национальный институт стандартов и технологий (National Institute of Standards and Technology, NIST, 2024) определяет массовую плотность как

$$\rho =\frac{m}{V}$$

где $m$ — масса, а $V$ — объём. Единицей измерения в системе SI является килограмм на кубический метр, записываемый как кг/м³. Таким образом, значение $7850{\text{кг/м}}^3$ означает, что объём в один кубический метр имеет массу приблизительно 7850 кг, если используется указанное расчётное значение плотности.

Массовая плотность сама по себе не является массой. Стальная плита может иметь плотность $7850{\text{кг/м}}^3$, однако её масса зависит от объёма:

$$m=\rho V$$

Для однородной прямоугольной плиты

$$V=\mathrm{Lbt}$$

поэтому

$$m=\rho \mathrm{Lbt}$$

где длина $L$, ширина $b$ и толщина $t$ выражены в согласованных единицах. Если размеры заданы в метрах, плотность можно непосредственно подставить в кг/м³, и результат будет получен в килограммах. Если размеры заданы в миллиметрах, их необходимо предварительно перевести в метры либо перевести плотность в совместимую единицу.

NIST также определяет удельный объём как $V/m$, то есть величину, обратную массовой плотности. Для стали, представленной значением $7850{\text{кг/м}}^3$,

$$v=\frac{1}{7850}\approx 1.27\times {10}^{-4}{\text{м}}^3/\text{кг}$$

Удельный объём используется в термодинамике и расчётах материалов, однако он не означает удельный вес.

Удельный вес, обычно обозначаемый $\gamma$, представляет собой вес единицы объёма:

$$\gamma =\frac{W}{V}$$

Его единицей измерения в системе SI является ньютон на кубический метр (Н/м³). Поскольку вес является силой, а не массой, удельный вес получают умножением массовой плотности на ускорение свободного падения:

$$\gamma =\rho g$$

При использовании значения $7850{\text{кг/м}}^3$ и стандартного ускорения свободного падения $g=9.80665{\text{м/с}}^2$ получаем

$$\gamma =7850\left(9.80665\right)\approx 76982{\text{Н/м}}^3$$

или приблизительно $77.0{\text{кН/м}}^3$. Таким образом, значения $7850{\text{кг/м}}^3$ и $77.0{\text{кН/м}}^3$ могут описывать одно и то же принятое состояние стали, но характеризуют разные свойства.

Это различие имеет значение при выполнении расчётов. Единицу кг/м³ следует использовать при расчёте массы по объёму. Единицу Н/м³ — при расчёте гравитационной нагрузки по объёму. Стальной блок объёмом один кубический метр, рассчитанный исходя из общепринятой плотности, имеет массу около 7850 кг и гравитационный вес около 77,0 кН при стандартном ускорении свободного падения. Если называть обе величины «весом», становится непонятно, какая операция была выполнена.

Старые инженерные таблицы создают дополнительную путаницу, поскольку слово «вес» часто неформально использовалось для обозначения массы единицы объёма, особенно в традиционных единицах измерения. Например, документ Министерства обороны США UFC 4-023-07 (2008) указывает для стали значение $7850{\text{кг/м}}^3$, эквивалентное приблизительно $490{\text{фунт-массы/фут}}^3$. То же значение приведено в справочнике Arcadis Construction Cost Handbook (2019). При строгом использовании традиционных единиц массовая плотность выражается в lbm/ft³, а удельный вес — в lbf/ft³. Однако при стандартном ускорении свободного падения числовые значения почти совпадают: $7850{\text{кг/м}}^3$ соответствует примерно $490{\text{lbm/ft}}^3$, тогда как соответствующий удельный вес составляет около $490{\text{lbf/ft}}^3$.

Это численное совпадение является источником множества ошибочных пересчётов. Фунт-массы (lbm) и фунт-силы (lbf) не взаимозаменяемы. Обозначения следует сохранять, если различие влияет на нагрузку, баланс сил или перевод единиц. Приложение B.9 NIST содержит размерностную основу для перевода единиц SI и традиционных единиц; однако оно не отменяет необходимости определить, приведена ли в таблице массовая плотность или плотность силы.

Роль ускорения свободного падения

Гравитация не является свойством материала. Это ускорение, действующее на массу. Поэтому удельный вес изменяется в зависимости от местного значения $g$, даже если материал и его массовая плотность остаются неизменными.

Для стального объекта

$$W=\mathrm{mg}$$

а после подстановки $m=\rho V$

$$W=\rho \mathrm{Vg}$$

Деление на объём даёт выражение $\gamma =\rho g$. В системе SI стандартное ускорение свободного падения $g=9.80665{\text{м/с}}^2$ является точным по определению. Местное ускорение свободного падения незначительно изменяется в зависимости от широты и высоты над уровнем моря, хотя в большинстве конструкционных расчётов используется стандартное значение, если не требуется более точная физическая модель.

Именно поэтому для расчётов массы обычно безопаснее использовать плотность. Проектная организация может использовать одну и ту же массовую плотность, изменяя ускорение свободного падения для конкретного расчёта нагрузки. Если перепутать эти величины, к свойству материала будет ошибочно привязана сила, зависящая от местоположения.

Принятое значение плотности также требует проверки. В справочниках по конструкционной стали массу на единицу длины обычно рассчитывают с использованием значения $7850{\text{кг/м}}^3$, и Национальный исследовательский совет Канады (National Research Council Canada, 2019) использует это значение в контексте пожарно-технических расчётов. В то же время RoyMech (2024) использует значение $7830{\text{кг/м}}^3$ для малоуглеродистой стали при расчётах прямоугольных прутков. В справочных материалах для низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569 указана плотность $7.80{\text{г/см}}^3$, а для сверхвысокопрочной стали 300M — $7.87{\text{г/см}}^3$. Эти значения соответствуют приблизительно 7800 и 7870 кг/м³ соответственно. Для многих оценочных расчётов разница невелика, однако она показывает, что значение 7850 кг/м³ является общепринятым инженерным приближением, а не универсальной константой для любой марки, плавки, температуры или состояния изделия.

Относительная плотность как отношение

Относительная плотность, часто обозначаемая $\mathrm{SG}$, является безразмерной величиной:

$$\mathrm{SG}=\frac{{\rho }_{\text{материала}}}{{\rho }_{\text{эталона}}}$$

Для твёрдых тел и жидкостей в качестве эталона обычно используется вода при температуре около $4^{\circ }\text{C}$, плотность которой составляет приблизительно $1000{\text{кг/м}}^3$. Поэтому плотности стали $7850{\text{кг/м}}^3$ соответствует относительная плотность приблизительно 7,85 при таком соглашении. Единица измерения отсутствует, поскольку числитель и знаменатель имеют одинаковую размерность.

Engineering ToolBox указывает для стали значение приблизительно $7.82{\text{г/см}}^3$, которому соответствовала бы относительная плотность около 7,82 по отношению к воде при указанном эталонном состоянии. Это число не равно $7.82{\text{кг/м}}^3$ и не является удельным весом. Оно представляет собой плотность, выраженную в г/см³, либо безразмерное отношение только после деления на плотность эталонной воды, выраженную в согласованных единицах.

Поэтому в спецификации следует явно указывать величину и единицу измерения: плотность в кг/м³, удельный вес в Н/м³ или относительную плотность как отношение. Эта простая привычка предотвращает распространённую ошибку, когда значение 7850 принимают за неопределённый «вес», а затем повторно умножают его на ускорение свободного падения — либо не умножают на него, когда требуется определить силу.

Температура, пожарная инженерия и коэффициент сечения

Плотность в расчетах нагретой стали

При комнатной температуре массу стали обычно рассчитывают по формуле

$$m=\rho V$$

где $\rho$ — массовая плотность. Для призматического элемента длиной $L$ и площадью поперечного сечения $A$

$$m=\rho AL$$

а его масса на единицу длины составляет

$$\frac{m}{L}=\rho A.$$

Таким образом, общепринятое значение $7850{\text{кг/м}}^3$ дает $78,5\text{кг/м}$ для стального сечения площадью $0,010{\text{м}}^2$. Это расчет массы, а не расчет воздействия пожара.

NIST определяет массовую плотность как $\rho =m/V$, с единицей СИ «килограмм на кубический метр», а удельный объем — как $V/m$ (NIST, 2024). Эти определения остаются действительными при нагреве стали, однако численное значение плотности может изменяться вследствие теплового расширения стали. Если масса остается практически постоянной, а объем увеличивается, мгновенная плотность уменьшается. Поэтому в модели пожара могут использоваться зависящие от температуры плотность, тепловое расширение, удельная теплоемкость и теплопроводность, а не одно значение, соответствующее комнатной температуре.

Для многих конструктивных расчетов использование значения $7850{\text{кг/м}}^3$ является обоснованной инженерной условностью. В издании Справочник по стали: справочник по строительным стальным конструкциям, 3-е издание (2016), это значение используется для расчета табличной массы на метр. Национальный исследовательский совет Канады (NRC) приводит значение $7850{\text{кг/м}}^3$ в своих материалах по пожарной инженерии за 2019 год, а U.S. Department of Defense в документе UFC 4-023-07 указывает то же значение — приблизительно $490{\text{фунт/фут}}^3$. Эти источники устанавливают стандартную основу для расчетов, но не доказывают, что плотность каждой марки стали имеет именно такое значение.

Данные по маркам и изделиям показывают различие между стандартным расчетным значением и фактическими данными. MatWeb указывает типичную плотность $7,80{\text{г/см}}^3$ для низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569, тогда как ASM MatWeb приводит значение $7,87{\text{г/см}}^3$ для сверхвысокопрочной стали 300M. RoyMech использует значение $7830{\text{кг/м}}^3$ для малоуглеродистой стали, а Engineering ToolBox указывает для стали приблизительно $7,82{\text{г/см}}^3$. Для обычных оценок массы эти различия невелики, однако они имеют значение, если спецификация требует прослеживаемых данных о материале или если объединяются несколько расчетных допущений.

В расчете нагретого элемента плотность участвует в определении тепловой массы. Для единицы длины стального элемента теплоемкость приблизительно равна

$$C\prime =\rho A{c}_p,$$

где $c_p$ — удельная теплоемкость. Если $\rho$, $A$ или $c_p$ изменяется с температурой, изменяется и теплоемкость. Плотность также входит в уравнения теплопередачи, содержащие объемную теплоемкость, а в зависимости от численного метода — и температуропроводность. Это лишь один из нескольких исходных параметров.

Это не коэффициент сечения.

Обогреваемый периметр, деленный на площадь поперечного сечения

Параметр воздействия огня, обычно записываемый как F = Hp/A или Am/V, с единицами обратной длины; он описывает соотношение нагреваемого периметра и объёма стали, а не плотность.Параметр воздействия огня, обычно записываемый как F = Hp/A или Am/V, с единицами обратной длины; он описывает соотношение нагреваемого периметра и объёма стали, а не плотность. Величина

В кратком курсе NRC коэффициент сечения стали определяется как отношение обогреваемого периметра к площади поперечного сечения. Обычно он записывается в виде

$$F=\frac{H_p}{A}$$

или в обозначениях пожарной инженерии:

$$\frac{A_m}{V}.$$

Здесь $H_p$ или $A_m$ обозначает открытый или обогреваемый периметр, а $A$ — площадь стали для элемента единичной длины. Поскольку объем стали в одном метре элемента равен $A\times 1$, обе формы имеют одинаковую размерность. Коэффициент сечения имеет единицы обратной длины, например ${\text{м}}^{-1}$.

Предположим, что площадь стали элемента составляет $0,010{\text{м}}^2$, а обогреваемый периметр — $2,0\text{м}$ на метр длины. Тогда коэффициент сечения равен

$$F=\frac{2.0}{0.010}=200{\text{м}}^{-1}.$$

Изменение принятой плотности с $7850$ до $7830{\text{кг/м}}^3$ немного изменяет расчетную массу на метр, но не изменяет это геометрическое отношение. Коэффициент сечения изменяется только при изменении обогреваемого периметра или площади стали.

Это объясняет, почему два элемента, изготовленные из стали с одинаковой номинальной плотностью, могут достигать разных температур при стандартном пожаре. Компактное сечение имеет относительно небольшую открытую поверхность по сравнению с количеством стали, расположенной за этой поверхностью. Тонкостенное или имеющее резко выраженный профиль сечение имеет больший обогреваемый периметр при той же площади стали и обычно нагревается быстрее. У первого элемента коэффициент сечения ниже, у второго — выше.

Условия воздействия необходимо определять тщательно. Балка, нагреваемая с трех сторон, имеет меньший обогреваемый периметр, чем такая же балка, нагреваемая с четырех сторон. Плита может экранировать верхнюю полку, тогда как отдельно стоящая колонна может подвергаться воздействию по всей окружности. Вогнутые углы, кромки полок, отгибы, ребра жесткости и отверстия могут изменять периметр, используемый расчетным методом. Геометрический периметр стали автоматически не считается периметром, воспринимающим тепловое воздействие пожара.

Огнезащита вносит еще одну расчетную условность. При контурной огнезащите тепло поступает к стали через материал, повторяющий профиль стали, поэтому граница раздела «сталь — огнезащита» и толщина огнезащиты влияют на путь теплопередачи. При коробчатой огнезащите сложный профиль заменяется охватывающим прямоугольником или другой упрощенной границей. Такая коробка может иметь другой периметр и включать воздушные зазоры или незаполненное пространство. Пустота не является сталью: она не добавляет ни массы стали, ни теплоемкости стали, однако может влиять на излучение, конвекцию и расстояние, которое тепло должно пройти через огнезащиту.

Толщина огнезащиты в основном увеличивает термическое сопротивление и теплоемкость за пределами стали. Она также может изменять периметр, используемый в формуле коэффициента сечения защищенного элемента. Применимый стандарт или расчетная модель должны устанавливать, используется ли в отношении периметр незащищенной стали, граница раздела с огнезащитой или периметр охватывающей коробки. Применение значения для незащищенного сечения к коробчатой системе без проверки определения может привести к физически несогласованному результату.

Масса и тепловая реакция

Масса и повышение температуры связаны между собой, но не являются взаимозаменяемыми величинами. Для заданной площади стали масса на метр равна

$$m\prime =\rho A.$$

Тепловая реакция также зависит от площади поверхности, открытой воздействию, на единицу длины, которая определяется величиной $H_p$, а также от количества тепла, поступающего через эту поверхность. В качестве первого приближения можно считать, что теплоемкость на единицу длины изменяется пропорционально $\rho A{c}_p$, тогда как поступающий тепловой поток в целом зависит от обогреваемого периметра и условий теплопередачи. Поэтому их отношение содержит ту же геометрическую зависимость, которая выражается коэффициентом сечения.

Массивное сечение может содержать больше тепловой массы и при этом быстро нагреваться, если оно имеет большой открытый периметр. И наоборот, элемент с меньшей массой на метр может нагреваться медленнее, если его открытый периметр мал относительно площади и он покрыт значительным слоем огнезащиты. Результат также зависит от теплопроводности стали, удельной теплоемкости, излучательной способности, конвекции, температуры в печи, содержания влаги в огнезащите, контактного сопротивления и эффектов затенения между соседними поверхностями.

Температура дополнительно меняет интерпретацию. Расширение стали изменяет размеры и плотность, а прочность и жесткость снижаются с повышением температуры. Окисление может привести к удалению небольшого количества материала; покрытия могут добавлять массу, не увеличивая теплоемкость стали; полые сечения могут содержать воздух, участвующий в теплопередаче, но не создающий такой же тепловой массы, как сталь. Ни один из этих эффектов не учитывается простой заменой каждой плотности на $7850{\text{кг/м}}^3$.

Используйте значение $7850{\text{кг/м}}^3$ как явно указанную инженерную условность, если этого требует применимая таблица или стандарт. Используйте данные для конкретной марки, если этого требует расчет. При оценке пожарного воздействия определите или получите корректные значения обогреваемого периметра и коэффициента сечения, а затем примените модель огнезащиты и зависящих от температуры свойств материала, предусмотренную действующим стандартом по пожарной безопасности. Плотность показывает, сколько стали присутствует. Коэффициент сечения помогает описать, насколько легко эта сталь нагревается.

Справочные материалы и данные о физических свойствах

Расчёт плотности стали настолько же обоснован, насколько обосновано лежащее в его основе значение свойства. Часто используемое значение 7850 кг/м³ является полезным, однако его следует рассматривать как условное инженерное значение, а не как точную константу материала, независимую от марки. Национальный институт стандартов и технологий (NIST) определяет массовую плотность следующим образом:

$$\rho =\frac{m}{V}$$

где $\rho$ — массовая плотность, $m$ — масса, а $V$ — объём. NIST указывает килограмм на кубический метр (кг/м³) в качестве единицы СИ и определяет удельный объём как $V/m$, то есть величину, обратную плотности. Эти определения, опубликованные в издании Руководства NIST по СИ за 2024 год, служат исходной точкой для каждого преобразования единиц и расчёта.

Для однородного элемента масса определяется выражением

$$m=\rho V$$

а объём может быть рассчитан как произведение длины на площадь поперечного сечения:

$$V=\mathrm{AL}$$

Объединение этих выражений даёт массу на единицу длины:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Именно поэтому в таблицах для конструкционной стали можно указывать килограммы на метр, не приводя отдельно объём каждого метра профиля. Если прямоугольный стержень имеет ширину 50 мм и толщину 20 мм, его площадь составляет $0.050\times 0.020=0.0010{\text{м}}^2$. При использовании значения 7850 кг/м³ получаем $7.85\text{кг/м}$. При использовании значения 7830 кг/м³ получаем $7.83\text{кг/м}$. В данном примере разница невелика, однако выбранное значение всё равно является частью расчётной документации.

NIST NCSTAR 1-3e

NIST NCSTAR 1-3e, Физические свойства конструкционных сталей, — это институциональный справочный документ, подготовленный в ходе расследования обрушений Всемирного торгового центра. Его цель не состоит в установлении единой универсальной плотности для всех сталей. В документе собрана информация о физических свойствах, имеющая отношение к конструкционным сталям, включая зависящее от температуры поведение и свойства, необходимые для понимания реакции конструкций в условиях пожара и повышенных температур.

Это различие имеет значение. Плотность — лишь одно из физических свойств, и поведение стали при высокой температуре нельзя описать только плотностью при комнатной температуре. Тепловое расширение изменяет размеры и, следовательно, объём; температура также влияет на модуль упругости, предел текучести, теплопроводность и удельную теплоёмкость. Поэтому для расчёта при пожаре могут потребоваться зависящие от температуры данные о материале, а не одно значение при комнатной температуре, скопированное из общей таблицы преобразований.

Документ NCSTAR 1-3e следует рассматривать совместно с обозначением материала и информацией об испытаниях, применимыми к анализируемому элементу. Понятие «конструкционная сталь» может охватывать различные химические составы, способы производства, виды термической обработки и формы выпуска продукции. Катанная плита, высокопрочный компонент после закалки и отпуска и изделие из нержавеющей стали не являются взаимозаменяемыми лишь потому, что каждое из них в общем виде называется сталью.

Часто используемое значение 7850 кг/м³ остаётся обоснованным для многих обычных конструкционных расчётов. Оно также согласуется с рядом инженерных справочных материалов. В издании 2016 года Справочник по стали: справочник по конструкционным стальным конструкциям, 3-е издание, указано, что табличные значения массы конструкционной стали на метр рассчитываются с использованием плотности 7850 кг/м³. Национальный исследовательский совет Канады также приводит плотность стали, равную 7850 кг/м³, в своих материалах 2019 года по проектированию конструкций при пожаре, где коэффициент сечения стали определяется как отношение обогреваемого периметра к площади поперечного сечения. Это определение коэффициента сечения не связано с плотностью: $A_m/V$, или отношение периметра к объёму стали для единицы длины, описывает тепловое воздействие, а не массу.

Руководство Федерального управления автомобильных дорог по стали для мостов

Справочник по проектированию стальных мостов Федерального управления автомобильных дорог США — ещё один институциональный справочный документ, однако его роль отличается от роли общей таблицы плотностей. В справочнике рассматриваются проектирование стальных мостов и конструкционное поведение стальных элементов, соединений, листов, балок, детали, связанные с усталостью, вопросы разрушения и другие аспекты проектирования. Поэтому он является надлежащим источником, когда расчёт относится к автомобильному мосту, а определяющим проектным контекстом является транспортный объект в США.

Для элемента моста справочник может помочь установить применимые марку, форму изделия, предельное состояние и проектную практику. Обозначение необходимо сохранять в точности в соответствии с указанной спецификацией: например, ASTM A709 Grade 50W — это не то же обозначение, что ASTM A572 Grade 50, даже несмотря на то, что оба материала могут упоминаться в связи с конструкционной сталью. Механические свойства и требования к условиям эксплуатации могут различаться, а проектная документация может устанавливать дополнительные ограничения по ударной вязкости, сварке или контролю.

Справочник не следует использовать для отмены требований конкретного проекта. Если в договорной документации указана ASTM A709 Grade 50, необходимо использовать именно это обозначение и соответствующую документацию на материал. Если указана ASTM A709 Grade 50W, нельзя без уведомления заменять её другой маркой только потому, что универсальный калькулятор выдаёт такую же плотность. Плотность влияет на массу и объём; она не определяет предел текучести, трещиностойкость, свариваемость, коррозионную стойкость или усталостную выносливость.

Для предварительного определения объёмов мостовых конструкций значение 7850 кг/м³ является условным и прослеживаемым допущением. Документ Министерства обороны США UFC 4-023-07, опубликованный в 2008 году, приводит значение 7850 кг/м³ и приблизительно 490 фунт/фут³. Эти два значения представляют собой округлённые эквиваленты: преобразование 7850 кг/м³ даёт примерно 490,1 фунт/фут³. Округление допустимо, если требуемая точность это позволяет, однако в расчёте следует указать использованные систему единиц и точность.

Выбор источника для расчёта

Используйте чёткую иерархию источников. На первом месте находятся действующая проектная спецификация, стандарт на материал или договорное требование. На втором — строительная норма или институциональный справочник. На третьем — проверенный паспорт материала изготовителя или лаборатории. Общий онлайн-калькулятор или справочная таблица без указания источника занимают последнее место и предназначены главным образом для предварительной оценки или проверки арифметики.

Такой порядок не позволяет удобному числу подменить фактическую основу проектирования. В проекте могут быть указаны ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, ASTM A709 Grade 50, ASTM A709 Grade 50W или другое обозначение. В паспорте низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569 приведена типичная плотность 7,80 г/см³, что соответствует 7800 кг/м³ или 0,282 фунт/дюйм³. В паспорте сверхвысокопрочной стали 300M указана плотность 7,87 г/см³, то есть 7870 кг/м³ и 0,284 фунт/дюйм³. Эти значения показывают, почему плотность 7850 кг/м³ не следует представлять как точную для любой марки.

Другие источники демонстрируют такой же диапазон в обычной инженерной практике. RoyMech использует значение 7830 кг/м³ для малоуглеродистой стали при расчёте массы прямоугольного стержня на единицу длины, тогда как Engineering ToolBox указывает для стали приблизительно 7,82 г/см³. Ни одно из этих значений автоматически не заменяет значение, установленное действующей спецификацией. Каждое является заявленным справочным значением со своей расчётной точностью и областью применения.

Зафиксируйте источник, дату публикации или обращения к источнику, обозначение материала, единицы измерения, температурную основу, если она указана, и принятую плотность. Также укажите, относится ли результат к стали без покрытия или включает краску, цинковое покрытие, огнезащиту, крепёжные изделия, металл сварного шва или другие присоединённые материалы. Необходимо также указать геометрию: номинальные размеры, измеренные размеры или табличную площадь поперечного сечения. Для катаного профиля используйте табличную массу изготовителя или стандарта, если эта масса уже учитывает галтели, радиусы углов и допуски по толщине; умножение только общей ширины на общую высоту может завысить или исказить фактическую площадь.

Наконец, отделяйте плотность от удельного веса и относительной плотности. Удельный вес — это вес единицы объёма, зависящий от ускорения свободного падения; относительная плотность — это отношение к эталонному веществу, обычно воде. Ни один из этих терминов не может заменить массовую плотность в выражении $m=\rho V$. Для обычных оценочных расчётов конструкций при комнатной температуре значение 7850 кг/м³ часто является обоснованным условным значением. Оно становится ненадлежащим допущением, если иное определяется маркой, температурой, геометрией, пористостью, системой покрытий или требуемой точностью.

Протокол расчёта для инженеров, изготовителей и студентов

Надёжный расчёт стали начинается с определения требуемой величины, а не с ввода числа 7850 в калькулятор. Плотность, масса, объём, масса на единицу длины, удельный объём, удельный вес и относительная плотность связаны между собой, но не являются взаимозаменяемыми.

Определите требуемую величину

NIST определяет массовую плотность как отношение массы к объёму:

$$\rho =\frac{m}{V}$$

Единица измерения в системе SI — килограмм на кубический метр, kg/m³. NIST также определяет удельный объём как отношение объёма к массе:

$$v=\frac{V}{m}=\frac{1}{\rho }$$

Поэтому удельный объём имеет такие единицы, как m³/kg, а не kg/m³. Это различие важно при работе с таблицами теплофизических свойств или при преобразовании уравнения из учебника.

Если требуется определить массу, уравнение плотности преобразуют следующим образом:

$$m=\rho V$$

Если требуется определить объём:

$$V=\frac{m}{\rho }$$

Для конструктивного элемента обычно требуется определить массу на единицу длины:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

где $A$ — площадь поперечного сечения, перпендикулярного оси элемента. Это уравнение объясняет, почему в таблице профилей может указываться масса в килограммах на метр без приведения полного трёхмерного объёма для каждой возможной длины элемента.

Вес отличается от массы. Удельный вес — это сила на единицу объёма:

$$\gamma =\rho g$$

где $g$ — ускорение свободного падения. Величина в N/m³ или kN/m³ не является массовой плотностью в kg/m³. Относительная плотность представляет собой отношение плотности материала к плотности эталонного вещества, обычно воды при заданной температуре. Она не имеет единицы измерения. Поэтому называть 7850 kg/m³ «относительной плотностью» — значит допускать категориальную ошибку.

Необходимо также определить сам объект расчёта. «Масса стальной пластины» может означать только массу чистой стали, тогда как «отгрузочная масса окрашенной сборки» может включать краску, цинковое покрытие, сварочный металл, болты, опорные пластины и присоединённые детали. При расчёте огнестойкости может потребоваться отношение обогреваемого периметра к площади поперечного сечения стали — коэффициент сечения стали, используемый National Research Council Canada в рекомендациях 2019 года. Это геометрический параметр воздействия, а не плотность и не масса на метр.

Выбирайте значение для материала с учётом назначения расчёта. В справочных материалах по проектированию стальных конструкций часто используется значение 7850 kg/m³ для получения табличной массы на метр. National Research Council Canada указывает плотность стали 7850 kg/m³, а U.S. Department of Defense в документе UFC 4-023-07 приводит то же значение — приблизительно 490 lb/ft³. В издании Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3rd edition (2016), также используется значение 7850 kg/m³ для табличной массы конструкционной стали.

Эти источники устанавливают полезную инженерную условность, но не неизменное значение для любой марки стали. MatWeb приводит типичную плотность 7.80 g/cm³ для низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569, что соответствует 7800 kg/m³. ASM MatWeb приводит значение 7.87 g/cm³ для сверхвысокопрочной стали 300M, то есть 7870 kg/m³. RoyMech использует значение 7830 kg/m³ для мягкой стали, тогда как Engineering ToolBox указывает для стали приблизительно 7.82 g/cm³. Для многих ориентировочных расчётов при изготовлении эти различия невелики, однако они реальны и могут иметь значение при высокоточных материальных балансах, идентификации материала, тепловом анализе и сертифицированных расчётах.

Проверьте размеры и единицы измерения

Перед расчётом запишите каждый размер с указанием его единицы измерения. Перед перемножением переведите все геометрические величины в единую согласованную систему. При работе в SI используйте метры для длины, квадратные метры для площади и кубические метры для объёма. Руководство NIST по системе SI за 2024 год, включая приложение B.9, содержит необходимые для такой проверки соотношения размерностей и правила пересчёта единиц.

Наиболее распространённая ошибка — использовать 7.85 так, будто это kg/m³. Число 7.85 обычно является сокращённым обозначением 7.85 g/cm³. Это значение эквивалентно 7850 kg/m³, поскольку:

$$1{\text{g/cm}}^3=1000{\text{kg/m}}^3$$

Таким образом, для прямоугольного прутка шириной 50 mm, толщиной 20 mm и длиной 3.0 m сначала переводят размеры:

$$A=\left(0.050\right)\left(0.020\right)=0.00100{\text{m}}^2$$

$$V=\mathrm{AL}=\left(0.00100\right)\left(3.0\right)=0.00300{\text{m}}^3$$

При использовании принятого для конструкционной стали значения:

$$m=\left(7850\right)\left(0.00300\right)=23.55\text{kg}$$

Тот же результат можно получить через массу на единицу длины:

$$m/L=\left(7850\right)\left(0.00100\right)=7.85\text{kg/m}$$

$$m=\left(7.85\right)\left(3.0\right)=23.55\text{kg}$$

Сохраняйте единицы измерения в каждой промежуточной строке. Они выявляют ошибки, которые калькулятор скрывает. Умножение ширины на толщину даёт площадь, а не объём. Площадь превращается в объём только после умножения на длину. Прямоугольник размером 50 mm × 20 mm — это не «1000 mm³», а 1000 mm². Отсутствующая длина — не незначительная недостающая величина.

Для полых профилей рассчитывайте площадь стали, а не площадь внешнего габарита, если результат должен отражать массу стали. Для прямоугольного полого профиля вычитайте площадь внутренней пустоты из внешней площади, учитывая радиусы закругления и фактическую толщину стенки, если они приведены в таблице профиля. Для двутаврового профиля при наличии такой возможности используйте опубликованную изготовителем или стандартом площадь поперечного сечения; суммирование номинальных площадей прямоугольников полок и стенки может приводить к ошибкам из-за галтелей, уклонов и особенностей прокатного профиля.

Чётко указывайте температуру и состояние материала. Тепловое расширение изменяет размеры, а плотность изменяется обратно пропорционально объёму, если масса остаётся постоянной. Расчёт при комнатной температуре может не соответствовать условиям для детали печи, криогенной сборки или элемента, подвергающегося воздействию огня. Документ NIST NCSTAR 1-3 содержит сведения о физических свойствах конструкционных сталей, а Steel Bridge Design Handbook Федерального управления автомобильных дорог рассматривает мостовые стали и их механические свойства. Ни один из этих источников не превращает одно округлённое значение плотности в универсальную константу, независимую от марки стали.

К покрытиям следует применять тот же строгий подход. Стальная пластина толщиной 10 mm с лакокрасочным покрытием имеет почти тот же объём стали, что и непокрытая пластина, однако общая масса сборки выше. Цинковое покрытие, огнезащитный материал, продукты коррозии, сварочный металл, болты и удерживаемая влага могут учитываться при расчёте массы сборки. Указывайте, идёт ли речь о массе чистой стали, массе готовой детали или транспортной массе.

Сопоставьте результат с данными по профилю

Последний этап — независимое сравнение. Используйте надёжную таблицу профилей, паспорт прокатного изделия, чертёж изготовителя или сертификат материала и сопоставляйте сравнимые величины: одинаковое обозначение профиля, основу расчёта длины, номинальную толщину, принятую плотность и правила включения компонентов. Опубликованная масса на метр может учитывать номинальную геометрию, но не включать покрытия и присоединённые детали.

Для приведённого выше примера таблица профилей должна быть согласована со значением 7.85 kg/m для сплошного прямоугольника размером 50 mm × 20 mm при использовании плотности 7850 kg/m³. Если в ней указано 78.5 kg/m, проверьте перевод миллиметров в метры. Если указано 0.00785 kg/m, проверьте единицы площади. Если таблица содержит немного отличающееся значение, проверьте радиусы закругления, фактические размеры, допуски прокатки и выбранную плотность.

Округляйте результат только после завершения расчёта и сравнения. Сохраняйте дополнительные знаки в пересчитанных размерах, площади, объёме и массе на метр, а затем указывайте точность, обоснованную исходными данными. Результат 23.55 kg не следует представлять как 23.550000 kg только потому, что электронная таблица отображает шесть знаков после запятой.

Наконец, укажите допущение рядом с ответом: «23.6 kg, прямоугольная сталь без покрытия, эквивалентная ASTM A366/A569, при использовании 7850 kg/m³, номинальных размеров и длины 3.0 m». Такая формулировка делает результат воспроизводимым и точно показывает, при каких изменениях марки стали, температуры, покрытия, геометрии или принятой плотности он будет отличаться.

Ограничения упрощённого расчёта по плотности

Использование формулы

$$m=\rho V$$

при $\rho =7850{\text{кг/м}}^3$ часто достаточно для предварительного определения объёмов стали или конструкционного расчёта на основе опубликованных таблиц профилей. Однако это не является полным описанием изготовленного стального изделия. Результат зависит от того, какой объём принят в расчёте, какому материалу соответствует этот объём и относится ли расчёт к незащищённой стали, конструкции с покрытием или готовому компоненту.

Национальный институт стандартов и технологий (NIST) в руководстве по SI за 2024 год определяет массовую плотность как отношение массы к объёму, $\rho =m/V$, а удельный объём — как $V/m$. Эти определения не устанавливают единого значения плотности для всех марок стали. Значение 7850 кг/м³ является условно принятым инженерным исходным параметром: в Handbook of Structural Steelwork, 3-е издание (2016), оно используется для табличной массы конструкционной стали на метр длины; Национальный исследовательский совет Канады (2019) и U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 (2008) также указывают 7850 кг/м³, причём в UFC приведено приблизительное значение 490 фунтов/фут³. Такие источники устанавливают удобную основу для расчёта, но не универсальную материальную константу.

Номинальные размеры и фактические размеры

В таблицах профилей обычно приводятся номинальные размеры. Например, номинальный прямоугольный стержень размером 200 × 100 мм имеет теоретическую площадь $0.020{\text{м}}^2$, поэтому его расчётная масса на метр длины составляет

$$0.020\times 7850=157\text{кг/м}.$$

Это значение предполагает, что профиль представляет собой сплошной прямоугольник с точно такими размерами. В действительности изготовленный стержень может быть немного больше или меньше номинального размера в пределах допуска, установленного стандартом на данный вид продукции. Толщина листа, ширина полки, толщина стенки, наружный диаметр, радиус закругления, прямолинейность и длина могут отличаться от значений на чертеже, при этом изделие всё равно будет соответствовать требованиям стандарта.

Разница становится более существенной при больших объёмах. Небольшое отклонение толщины, повторяющееся на большом количестве листов, может изменить общую массу на сотни килограммов. Поэтому проектная организация может выполнять расчёт по номинальным размерам, если применяемая спецификация, ведомость материалов или таблица профилей основана на номинальной массе. Для обследования изготовленной конструкции, разработки плана подъёма, транспортной документации или экспертно-технической оценки могут потребоваться фактически измеренные размеры.

То же различие относится и к замкнутым профилям. Для прямоугольного замкнутого профиля объём стали определяется не только наружным прямоугольником: необходимо вычесть площадь внутренней полости, а при необходимости учесть радиусы закруглений и допуски по толщине стенки. Внутреннее пустое пространство не создаёт массы стали. Однако в нём могут находиться вода, раствор для заполнения, огнезащитный материал, изоляция или другие материалы, которые относятся к массе конструкции. Видимое расхождение между расчётной и взвешенной массой может быть вызвано включением или исключением объёма такого содержимого.

Температура также вносит дополнительную оговорку. При нагреве сталь расширяется, поэтому размеры и объём, используемые для нагретого элемента, отличаются от размеров, измеренных при расчётной исходной температуре, принятой для чертежа при комнатной температуре. Плотность также изменяется с температурой, поскольку масса остаётся практически постоянной, а объём меняется. Для обычной оценки при температуре окружающей среды этот эффект, как правило, невелик, однако в расчётах пожарной безопасности нельзя безоговорочно сочетать размеры в холодном состоянии с геометрией нагретого элемента. В источнике Национального исследовательского совета Канады коэффициент сечения стали также определяется как отношение обогреваемого периметра к площади поперечного сечения; это геометрическое соотношение не связано напрямую с плотностью и может изменяться в зависимости от того, как представлены покрытия, зазоры или открытые поверхности.

Покрытия, окалина, сварные швы и присоединённые элементы

Расчёт плотности стальной основы автоматически не учитывает краску, цинковое покрытие, прокатную окалину, металл сварных швов, болты, зажимы, рёбра жёсткости и другие присоединённые детали. Защитные покрытия обычно тонки по сравнению с основной сталью, однако их общая масса может стать существенной при большой площади покрытия или наличии нескольких слоёв. При цинковании добавляется цинк, а не сталь; если требуется масса готового изделия, следует учитывать соответствующую толщину покрытия и плотность цинка. Для лакокрасочных систем необходимы толщина сухой плёнки и плотность покрытия; количество материала, нанесённого во влажном состоянии, не равно массе отверждённого покрытия.

Прокатная окалина создаёт иную проблему. Это окисленный поверхностный слой, образующийся в процессе изготовления. Он может оставаться на изделии, удаляться дробеструйной или абразивоструйной очисткой либо частично теряться при транспортировке и обращении с изделием. Если считать окалину частью номинального объёма стали, можно завысить массу основного металла; если же не учитывать её, можно занизить массу неочищенного изделия при взвешивании. Правильный подход зависит от того, определяет ли спецификация массу незащищённого изделия, изделия с покрытием или поставляемой конструкции в сборе.

Сварные швы также являются реальным материалом. Катеты угловых швов, усиление швов с разделкой кромок, прихваточные и ремонтные швы занимают объём, отсутствующий в простом расчёте по длине элемента. Их массу обычно оценивают по размеру и длине шва с использованием плотности металла шва либо определяют по производственной документации. Состав металла шва может отличаться от состава листа или профиля, поэтому использование плотности основного металла является приближением даже при небольшой численной погрешности.

Крепёжные детали и присоединённые элементы могут иметь большую массу, чем сварные швы. Болты, гайки, шайбы, накладные листы, лестницы, подъёмные проушины, опорные плиты, рёбра жёсткости, поручни и элементы водоотвода следует добавлять как отдельные массы, если речь идёт о готовой конструкции в сборе. В то же время табличная масса профиля на метр обычно не включает соединения и устанавливаемые на месте крепёжные детали. Повторный учёт встречается не реже, чем пропуск: например, ребро жёсткости может быть включено в подробную модель, а затем повторно добавлено как производственная прибавка.

Когда требуются измерения или подтверждающая документация

Расчётная масса, полученная при плотности 7850 кг/м³, уместна только тогда, когда соответствующий проектный или сметный контекст допускает такое допущение. Она подходит для многих предварительных количественных оценок, стандартных ведомостей профилей и расчётов, в которых прямо принята условная табличная масса. Принятое допущение следует зафиксировать, указав размеры, систему единиц, правила округления, а также то, относится ли результат к незащищённой стали или к конструкции в сборе.

Для определения параметров конкретного материала требуются более надёжные подтверждения. Если важны химический состав, сертификация, договорная масса или точный баланс масс, следует использовать данные для соответствующей марки либо применимый стандарт на продукцию. Опубликованные данные показывают, почему это важно: MatWeb указывает типичную плотность 7,80 г/см³ для низкоуглеродистой стали ASTM A366/A569, тогда как ASM MatWeb приводит значение 7,87 г/см³ для сверхвысокопрочной стали 300M. RoyMech использует значение 7830 кг/м³ для малоуглеродистой стали, а Engineering ToolBox указывает для стали приблизительно 7,82 г/см³. Эти значения близки к 7850 кг/м³, однако они не являются взаимозаменяемым доказательством того, что плотность любого изделия абсолютно одинакова.

Измерения должны иметь приоритет, если фактическую геометрию изделия можно определить и последствия ошибки существенны. Следует измерить длину, толщины, диаметры, радиусы, отверстия и внутренние размеры замкнутых профилей, а затем отдельно учесть покрытия, окалину, сварные швы, крепёжные детали, удерживаемое содержимое и присоединённые элементы. Для законченной конструкции может быть предпочтительно взвешивание при условии, что весы откалиброваны, а условия взвешивания документально зафиксированы. Заводской сертификат или сертификат испытаний может подтвердить поставленную марку и стандарт на продукцию, но не всегда устанавливает массу краски, сварных швов, болтов или влаги, добавленных впоследствии.

Граница применимости определяется практическими условиями: значение 7850 кг/м³ даёт полезную инженерную оценку, если допустимая модель основана на номинальных размерах, температуре окружающей среды и условных табличных данных для стальных профилей. Если же решение зависит от плотности конкретной марки, температурно-зависимой геометрии, производственных допусков, поверхностной обработки или массы готовой конструкции в сборе, приоритет следует отдавать данным для соответствующей марки, стандарту на продукцию, сертифицированной информации или измеренной геометрии.

Источники

1. [1]Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3rd Edition. Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 2016. https://www.uceb.eu/DATA/CivBook/50.%20HandBook%20of%20Structural%20Steel%20Work.pdf
2. [2]U.S. Department of Defense. UFC 4-023-07. Unified Facilities Criteria, 2008. https://www.wbdg.org/FFC/DOD/UFC/ARCHIVES/ufc_4_023_07_2008.pdf
3. [3]National Research Council Canada. Fire Safety Design of Buildings: NRC Short Course Material. National Research Council Canada publication, 2019. https://nrc-publications.canada.ca/eng/view/accepted/?id=dd58a59c-70f5-45d8-a05b-332d6d62a83c