Berechnungen zu Dichte, Masse und Volumen von Stahl

Was die Stahldichte im Ingenieurwesen bedeutet

Massendichte, Masse und Volumen

Die Massendichte beschreibt, wie viel Masse in einem bestimmten Volumen eines Materials enthalten ist. Das National Institute of Standards and Technology (NIST) definiert die Massendichte als Quotienten aus Masse und Volumen:

$$\rho =\frac{m}{V}$$

Dabei ist $\rho$ die Massendichte, $m$ die Masse und $V$ das Volumen. Die SI-Einheit ist das Kilogramm pro Kubikmeter, geschrieben als $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Diese Einheit ist Bestandteil des Ergebnisses und keine optionale Ausschmückung. Eine Aussage wie „Die Dichte von Stahl beträgt 7850“ ist unvollständig, solange nicht die Einheit, die Materialbezeichnung, gegebenenfalls die Temperatur oder der Zustand sowie die vorgesehene ingenieurtechnische Anwendung geklärt sind.

Die Dichte ist eine Eigenschaft, die einem Materialzustand oder einer Materialspezifikation zugeordnet wird. Die Masse gehört zu einem bestimmten Gegenstand. Das Volumen gehört zu dem Raum, den dieser Gegenstand oder Abschnitt einnimmt. Ein 2 m langes Stahlblech und ein 20 m langes Blech derselben Güte können annähernd dieselbe Dichte haben; bei unverändertem Querschnitt besitzt das längere Blech jedoch die zehnfache Masse. Ebenso können zwei Bauteile dieselbe Masse haben, aber aufgrund unterschiedlicher Dichten verschiedene Volumina einnehmen.[1][1] Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3rd Edition. Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 2016.

Der häufig zitierte Wert $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ ist ein konventioneller ingenieurtechnischer Wert für Berechnungen mit Baustahl. Das Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3. Auflage (2016), verwendet ihn zur Berechnung der tabellierten Masse pro Meter. Leitlinien des National Research Council Canada aus dem Jahr 2019 sowie das UFC 4-023-07 des U.S. Department of Defense führen die Stahldichte ebenfalls mit $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ an; das UFC nennt annähernd $490\mathrm{lb}/{\mathrm{ft}}^3$. Diese Quellen legen eine nützliche Auslegungskonvention fest, stellen jedoch nicht die Behauptung auf, dass jede Stahlsorte exakt diese Dichte besitzt.

Dichte (kg/m³)

Güte und Zusammensetzung können den Wert verändern. MatWeb gibt für kohlenstoffarmen Stahl nach ASTM A366/A569 eine typische Dichte von $7.80\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ an, während ASM MatWeb für den ultrahochfesten Stahl 300M $7.87\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ nennt. RoyMech verwendet für Baustahl $7830\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, und Engineering ToolBox führt Stahl mit ungefähr $7.82\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ auf. Diese Werte unterscheiden sich nur geringfügig, doch die Differenz kann bei hochpräzisen Massenschätzungen, Materialbestandsaufnahmen, Auftriebsberechnungen oder Vergleichen großer Mengen relevant sein.

Auch die Einheitenumrechnung erklärt viele scheinbare Abweichungen. Da

$$1\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3=1000\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3,$$

wird $7.85\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ zu $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. In gebräuchlichen angloamerikanischen Einheiten ist $490\mathrm{lb}/{\mathrm{ft}}^3$ unter standardisierten Bedingungen der Erdbeschleunigung eine Näherung für das spezifische Gewicht, während $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ eine Einheit der Massendichte ist. Der Anhang B.9 des NIST liefert die dimensionsbezogene Grundlage für solche Umrechnungen. Bei einer Berechnung sollten Meter nicht mit Millimetern, Kilogramm nicht mit Pfund und Massendichte nicht mit spezifischem Gewicht vermischt werden, ohne zuvor eine Umrechnung vorzunehmen.

Warum $\rho =m/V$ eine Definition und kein Nachschlagekürzel ist

Die Gleichung $\rho =m/V$ definiert den Zusammenhang zwischen Dichte, Masse und Volumen. Sie bestimmt nicht die korrekte numerische Dichte eines nicht näher bezeichneten Gegenstands. Zur Berechnung der Masse wird derselbe Zusammenhang umgestellt:

$$m=\rho V.$$

Zur Berechnung des Volumens ergibt sich:

$$V=\frac{m}{\rho }.$$

Dies sind die drei zentralen Gleichungen:

\[ \rho=\frac{m}{V},\qquad m=\rho V,\qquad V=\frac{m}{\rho}. \]

Die Algebra ist einfach; die Festlegung der Eingangsgrößen erfordert jedoch ingenieurtechnische Beurteilung. Ein Stahlträger besitzt kein Volumen, das seiner Länge entspricht. Sein Volumen ist das Produkt aus Querschnittsfläche und Länge:

$$V=\mathrm{AL}.$$

Folglich beträgt seine Masse:

$$m=\rho \mathrm{AL}.$$

Bei einem gleichförmigen Querschnitt ergibt sich somit die Masse pro Längeneinheit zu:

$$\frac{m}{L}=\rho A.$$

Betrachten wir einen massiven rechteckigen Stab mit den Abmessungen 100 mm × 50 mm und einer Länge von 10 m. Nach der Umrechnung der Abmessungen beträgt die Querschnittsfläche:

$$A=0.100\times 0.050=0.005{\mathrm{m}}^2.$$

Unter Verwendung des konventionellen Werts $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ beträgt seine Masse pro Meter:

$$\frac{m}{L}=7850\left(0.005\right)=39.25\mathrm{kg}/\mathrm{m}.$$

Masse (kg)Volumen (m³)

Der 10 m lange Stab besitzt ein Volumen von $0.005\times 10=0.05{\mathrm{m}}^3$ und eine Masse von $7850\times 0.05=392.5\mathrm{kg}$. Die Dichte hat sich nicht verändert, weil der Stab länger geworden ist; Volumen und Masse haben sich gemeinsam verändert.

Für einen rechteckigen Querschnitt kann dieselbe Methode wie folgt geschrieben werden:

$$m=\rho \mathrm{bhL},$$

wobei $b$, $h$ und $L$ in zueinander kompatiblen Einheiten angegeben werden müssen. Bei Hohlprofilen ist die Stahlfläche und nicht die von den Außenabmessungen eingeschlossene Fläche zu verwenden. Gewalzte I-Profile, U-Profile, Winkelprofile und Rohre werden normalerweise anhand der veröffentlichten Querschnittsfläche oder der tabellierten Masse pro Meter behandelt. Die Geometrie kann außerdem Bohrungen, Schweißmetall, Aussteifungen, Korrosionsabtrag, Anstriche, Brandschutz oder befestigte Bauteile umfassen. Jeder dieser Faktoren verändert die zu bewertende Masse oder das zu bewertende Volumen.

Die Temperatur ist relevant, weil sich Stahl bei Erwärmung ausdehnt. Bei gleichbleibender Masse führt eine Temperaturerhöhung zu einer Volumenzunahme und damit zu einer Verringerung der Dichte. NIST NCSTAR 1-3 behandelt die physikalischen Eigenschaften von Baustählen im Zusammenhang mit Bränden, bei denen die thermische Ausdehnung und temperaturabhängige Eigenschaften die Analyse beeinflussen. Auch die Legierungschemie, Porosität, Einschlüsse, der Herstellungszustand und Beschichtungen können einen gemessenen oder effektiven Wert verändern. Bei gewöhnlichen statischen Berechnungen sind diese Effekte häufig geringer als die Toleranz, die durch die Verwendung von $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ impliziert wird. Wenn jedoch eine höhere Genauigkeit erforderlich ist, dürfen sie nicht stillschweigend außer Acht gelassen werden.

Die Dichte sollte außerdem vom spezifischen Gewicht und von der relativen Dichte getrennt betrachtet werden. Das spezifische Gewicht ist die Kraft pro Volumeneinheit:

$$\gamma =\rho g,$$

seine SI-Einheit ist daher $\mathrm{N}/{\mathrm{m}}^3$ und nicht $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Die relative Dichte ist einheitenlos und entspricht üblicherweise dem Verhältnis der Dichte eines Stoffes zur Dichte von Wasser bei einer angegebenen Bezugsbedingung. Keine dieser Größen kann die Massendichte ohne die entsprechende Umrechnung oder Definition ersetzen.

Spezifisches Volumen und reziproke Zusammenhänge

Das NIST definiert das spezifische Volumen als Volumen dividiert durch Masse:

$$v=\frac{V}{m}.$$

Seine SI-Einheit ist ${\mathrm{m}}^3/\mathrm{kg}$. Da die Dichte $m/V$ entspricht, ist das spezifische Volumen ihr Kehrwert:

\[ v=\frac{1}{\rho}, \qquad \rho=\frac{1}{v}. \]

Für den konventionellen Stahlwert gilt:

$$v=\frac{1}{7850}=0.0001274{\mathrm{m}}^3/\mathrm{kg},$$

also ungefähr $1.274\times {10}^{-4}{\mathrm{m}}^3/\mathrm{kg}$. Das bedeutet, dass ein Kilogramm Stahl unter den durch diese Dichte repräsentierten Bedingungen etwa $0.0001274{\mathrm{m}}^3$ oder 127,4 Kubikzentimeter einnimmt.

Der reziproke Zusammenhang ist nützlich, um Dimensionen und Berechnungen zu überprüfen. Wenn eine Stahldichte mit $7830\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ angegeben wird, muss ihr spezifisches Volumen geringfügig größer sein als dasjenige, das zu $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ gehört. Ein Ergebnis, das die Dichte in $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, das spezifische Volumen jedoch ebenfalls in $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ angibt, hat eine grundlegende Dimensionsprüfung nicht bestanden.

Für ingenieurtechnische Arbeiten besteht die sicherste Vorgehensweise darin, die Güte oder das angenommene Material zu bestimmen, die Dichte und ihre Einheiten anzugeben, das tatsächliche geometrische Volumen zu berechnen und bis zum Endergebnis mit einer angemessenen Rundung zu arbeiten. Der Wert $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ ist häufig angemessen; seine Gültigkeit ergibt sich jedoch aus der angegebenen Berechnungskonvention und Anwendung – nicht aus einer universellen Identität, die für jedes Stahlbauteil gilt.

Die technische Bedeutung von 7850 kg/m³

Der Wert 7850 kg/m³ ist eine konventionelle Berechnungsdichte für gewöhnlichen Baustahl. Er stellt keine Erklärung dar, dass jedes Stahlerzeugnis, jede Stahlsorte oder jeder Temperaturzustand exakt diese Dichte aufweist. Nach der Definition des National Institute of Standards and Technology (NIST) ist die Massendichte

$$\rho =\frac{m}{V}$$

wobei $m$ die Masse und $V$ das Volumen bezeichnet. Ihre SI-Einheit ist Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³). NIST definiert außerdem das spezifische Volumen als $V/m$, also als Kehrwert der Dichte, mit der Einheit Kubikmeter pro Kilogramm.

Für ein Stahlbauteil mit bekanntem Volumen lautet die grundlegende Berechnung daher

$$m=\rho V.$$

7850 kg/m³ ist eine weithin verwendete ingenieurtechnische Konvention für Berechnungen zu Baustahl. Strong evidence

Die Verwendung von $\rho =7850\text{kg}/{\text{m}}^3$ liefert für viele Abschätzungen und Bemessungsaufgaben im Stahlbau ein hinreichend konsistentes Ergebnis. Der Wert wird wiederholt verwendet, weil dadurch Profiltafeln, Mengenermittlungen, Brandbemessungen und Baureferenzen miteinander übereinstimmen. Er ist als technische Konvention mit einem bekannten Näherungsgrad zu verstehen.

Massentabellen für Baustahl

Stahlprofiltabellen geben üblicherweise die Masse pro Meter und nicht die Dichte oder die Gesamtmasse an. Der Zusammenhang wird durch die Querschnittsfläche des Profils hergestellt:

$$m\prime =\rho A,$$

wobei $m\prime$ die Masse pro Längeneinheit in kg/m und $A$ die Fläche in m² bezeichnet. Mit der konventionellen Dichte gilt

$$m\prime =7850A.$$

Ein Profil mit einer Fläche von beispielsweise $0.010{\text{m}}^2$ hat somit eine berechnete Masse pro Meter von

$$7850\left(0.010\right)=78.5\text{kg/m}.$$

Eine Länge von 6 m hätte dann eine Nennmasse von $471\text{kg}$, bevor Anbaubleche, Schweißgut, Löcher, Beschichtungen oder Fertigungstoleranzen berücksichtigt werden.

Das Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3. Auflage (2016), gibt an, dass die tabellierten Massen von Baustahl pro Meter mit einer Dichte von 7850 kg/m³ berechnet werden. Diese Konvention ist nützlich, weil eine Profiltafel anhand der Geometrie erstellt werden kann, ohne für jedes gewalzte Profil eine separate Dichtemessung zu benötigen. Außerdem können Konstrukteure ein I-Profil, einen U-Kanal, einen Winkel, ein Hohlprofil oder ein Blech auf derselben Berechnungsgrundlage vergleichen.

Bei einem Rechteckstab ergibt sich die Fläche einfach aus der Multiplikation von Breite und Dicke:

$$A=\mathrm{bt}.$$

Wenn Breite und Dicke in Millimetern eingegeben werden, lautet die Formel für die Masse pro Meter

$$m\prime =0.00785\mathrm{bt},$$

wobei $b$ und $t$ in mm und $m\prime$ in kg/m angegeben werden. Ein Stab mit den Abmessungen 100 mm × 20 mm hat

$$m\prime =0.00785\left(100\right)\left(20\right)=15.7\text{kg/m}.$$

RoyMech verwendet für seine Berechnungen von Rechteckstäben 7830 kg/m³ für Baustahl. Für dieselben Abmessungen ergibt sich daraus eine Masse von 15,66 kg/m, also eine Differenz von lediglich 0,04 kg/m. Die Abweichung zeigt, weshalb veröffentlichte Tabellen geringfügig voneinander abweichen können, ohne dass eine der Tabellen unbrauchbar ist: Es können unterschiedliche konventionelle Dichten, Rundungsregeln, Nennabmessungen oder Produkttoleranzen zugrunde liegen.

Das Steel Bridge Design Handbook der Federal Highway Administration und NIST NCSTAR 1-3, das sich mit den physikalischen Eigenschaften von Baustählen befasst, liefern den institutionellen Kontext dafür, Stahleigenschaften als technische Eingangsgrößen und nicht als eine einzige universelle Zahl zu behandeln. Für gewöhnliche Mengenermittlungen sind 7850 kg/m³ in der Regel ausreichend. Für ein vermessenes Bauteil, eine spezifizierte Stahlsorte oder eine temperaturabhängige Analyse sollte der gewählte Wert dem Zweck der Berechnung entsprechen.

Das Äquivalent von 490 lb/ft³[2][2] UFC 4-023-07. U.S. Department of Defense. Unified Facilities Criteria, 2008.

Referenzen in US-amerikanischen gebräuchlichen Einheiten geben dieselbe konventionelle Dichte häufig mit ungefähr 490 lb/ft³ an. Das U.S. Department of Defense führt in UFC 4-023-07 (2008) für Stahl 7850 kg/m³ auf, entsprechend ungefähr 490 lb/ft³. Der National Research Council Canada nennt in seinen Leitlinien zur Brandbemessung dieselbe Dichte, und das Construction Cost Handbook 2019 von Arcadis wiederholt in seiner Tabelle für Baustoffe 7850 kg/m³ und ungefähr 490 lb/ft³.

Das Wort „ungefähr“ ist von Bedeutung. Die Umrechnung von 7850 kg/m³ mit standardisierten Umrechnungsfaktoren ergibt etwa 490,06 lb/ft³. Die Angabe 490 lb/ft³ ist daher eine sinnvolle gerundete Darstellung und keine genauere physikalische Messung. Die entsprechende Dichte beträgt außerdem etwa 7,85 g/cm³ und 0,284 lb/in³. NIST Appendix B.9 liefert die dimensionsbezogene Grundlage für Umrechnungen zwischen SI-Einheiten und gebräuchlichen Einheiten.

Eine Einheitenumrechnung verändert die zugrunde liegende Annahme nicht. Beginnt eine Berechnung mit 490 lb/ft³, repräsentiert dieser Wert weiterhin dieselbe konventionelle Stahldichte wie 7850 kg/m³. Er liefert keinen unabhängigen Nachweis dafür, dass eine bestimmte Stahlsorte diese Dichte besitzt. Verwirrung entsteht häufig, wenn ein gerundeter Wert in gebräuchlichen Einheiten so behandelt wird, als hätte er eine höhere Genauigkeit als der SI-Wert, aus dem er umgerechnet wurde.

Die Unterscheidung zwischen Masse und Gewicht ist ebenfalls wichtig. Die Dichte gibt die Masse pro Volumen an. Das spezifische Gewicht ist eine Kraft pro Volumen:

$$\gamma =\rho g,$$

wobei $g$ die Erdbeschleunigung bezeichnet. 7850 kg/m³ ist daher selbst weder ein Druck noch eine Lastintensität. Um eine Gewichtskraft zu erhalten, muss die Masse mit $g$ multipliziert werden; das Ergebnis wird in Newton pro Kubikmeter angegeben. Statiksoftware kann das „Gewicht“ eines Bauteils anzeigen, während die Profiltafel tatsächlich die Masse in kg/m oder lb/ft ausweist.

Die relative Dichte ist eine weitere, davon verschiedene Größe. Sie ist das Verhältnis der Dichte eines Materials zur Dichte eines festgelegten Referenzstoffs, üblicherweise von Wasser bei einer bestimmten Temperatur, und besitzt daher keine Einheit. Sie darf bei $m=\rho V$ nicht anstelle der Massendichte eingesetzt werden.

Konventioneller Wert im Vergleich zum gemessenen Wert einer Stahlsorte

Die Stahldichte variiert je nach Güte und Zustand, obwohl die Unterschiede bei vielen üblichen Schätzungen für Baustahl gering sind. Limited evidence

Die tatsächliche Dichte variiert abhängig von Legierungschemie, Kristallstruktur, Temperatur, Herstellungsgeschichte und Porosität. Bei vielen dichten Stählen ist die Abweichung gering, aber sie ist real. Ein MatWeb-Eintrag aus dem Jahr 2024 gibt für den kohlenstoffarmen Stahl ASTM A366/A569 eine typische Dichte von 7,80 g/cm³ beziehungsweise ungefähr 7800 kg/m³ an. ASM MatWeb führt für den ultrahochfesten Stahl 300M eine Dichte von 7,87 g/cm³ beziehungsweise ungefähr 7870 kg/m³ auf. Engineering ToolBox nennt für Stahl ungefähr 7,82 g/cm³, während RoyMech für Baustahl 7830 kg/m³ verwendet.

Dichte (kg/m³)

Diese Werte liegen ungefähr zwischen 7800 und 7870 kg/m³. Bei einer umfangreichen Mengenermittlung im Stahlbau kann die Differenz geringer sein als die Auswirkungen von Maßtoleranzen, Korrosionszuschlägen, Anbauteilen oder Rundungen. Bei einem Laborprüfkörper, einem Flugzeugbauteil, einer Präzisionswaage oder einem detaillierten thermischen Modell kann sie jedoch von Bedeutung sein.[3][3] Fire Safety Design of Buildings: NRC Short Course Material. National Research Council Canada. National Research Council Canada publication, 2019.

Temperaturänderungen beeinflussen die Dichte, weil die Wärmeausdehnung das Volumen verändert, während die Stoffmenge im Wesentlichen konstant bleibt. Beim Erwärmen eines Stahlbauteils sinkt daher seine Dichte als Masse bezogen auf das aktuelle Volumen. Leitlinien für die Brandbemessung müssen außerdem veränderliche mechanische und thermische Eigenschaften berücksichtigen, anstatt in jede Gleichung lediglich eine Raumtemperaturdichte einzusetzen. Die Leitlinien des NRC geben für Stahl eine Dichte von 7850 kg/m³ an und definieren den Profilfaktor des Stahlquerschnitts als beheizten Umfang geteilt durch die Querschnittsfläche. Dieses geometrische Verhältnis beeinflusst den Wärmeübergang bei der Brandanalyse; es ersetzt nicht die Dichte und bedeutet nicht, dass sich zwei Profile mit gleicher Masse identisch erwärmen.

Farbe, Verzinkung, Zunder, Feuchtigkeit, Hohlräume und andere Beschichtungen erschweren eine Messung vor Ort zusätzlich. Eine Beschichtung erhöht die Masse der Baugruppe, ist jedoch kein Bestandteil der Stahldichte. Ebenso ist bei Hohlprofilen das Volumen des Stahlwerkstoffs maßgebend und nicht das umschließende Außenvolumen, sofern sich die Berechnung nicht ausdrücklich auf die Verdrängung oder eine andere Eigenschaft des Außenvolumens bezieht.

Die fachlich vertretbare Vorgehensweise ist eindeutig: 7850 kg/m³ ist als konventionelle Berechnungsgrundlage für Baustahl zu verwenden, wenn eine Norm, ein Handbuch oder eine Projektspezifikation dies vorsieht; die Annahme ist kenntlich zu machen; und ein dokumentierter stahlsortenbezogener oder gemessener Dichtewert ist einzusetzen, wenn die erforderliche Genauigkeit des Ergebnisses dies verlangt. Dadurch bleibt der gebräuchliche Wert nützlich, ohne ihn mit einer universellen Materialkonstanten zu verwechseln.

Einheitensysteme und Umrechnung der Dichte

Umrechnungen von Dichten sind nur dann zuverlässig, wenn sowohl die Masseneinheit als auch die Volumeneinheit geändert werden. NIST definiert die Massendichte als

$$\rho =\frac{m}{V}$$

wobei $m$ die Masse und $V$ das Volumen ist. Die SI-Einheit ist Kilogramm pro Kubikmeter, geschrieben als kg/m³. NIST definiert außerdem das spezifische Volumen als $V/m$, den Kehrwert der Dichte, mit Einheiten wie m³/kg. NIST Appendix B.9, „Conversion Factors“, bietet die geeignete Grundlage für die Umrechnung zwischen SI-Einheiten und konventionellen Einheiten; seine Umrechnungsfaktoren sollten Vorrang vor dem Erinnerungsvermögen, gerundeten Tabellen aus dem Internet oder einer Umrechnung haben, bei der nur der Zähler geändert wird.

kg/m³, g/cm³ und Mg/m³

Die konventionelle Dichte von Baustahl von 7850 kg/m³ lässt sich direkt in 7,850 g/cm³ umrechnen:

$$7850\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\left(\frac{1000\text{g}}{1\text{kg}}\right)(\frac{1\text{m}}{100\text{cm}}{)}^3=7.850\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$$

Die kubische Umrechnung ist entscheidend. Ein Meter entspricht 100 Zentimetern, aber ein Kubikmeter entspricht ${100}^3$, also 1.000.000, Kubikzentimetern. Ein häufiger Fehler besteht darin, Meter nur einmal in Zentimeter umzurechnen. Dadurch entsteht ein Ergebnis, das um den Faktor 100 oder 10.000 falsch ist.

Dieselbe Dichte beträgt 7,850 Mg/m³:

$$7850\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\left(\frac{1\text{Mg}}{1000\text{kg}}\right)=7.850\frac{\text{Mg}}{{\text{m}}^3}$$

Somit haben g/cm³ und Mg/m³ denselben Zahlenwert, obwohl es sich um unterschiedliche Einheitenausdrücke handelt. Der Grund ist, dass sich sowohl der Zähler als auch der Nenner um denselben Faktor ändern. Eine Megagramm entspricht 1000 kg, während ein Kubikmeter 1.000.000 cm³ entspricht; ein Gramm ist ein Tausendstel eines Kilogramms, und ein Kubikzentimeter ist ein Millionstel eines Kubikmeters. In beiden Fällen gilt:

$$1{\text{g/cm}}^3=1{\text{Mg/m}}^3=1000{\text{kg/m}}^3$$

Die Gleichheit der Zahlenwerte bedeutet nicht, dass jeder Stahl in einer der beiden Einheiten eine Dichte von 7,850 aufweist. Sie beschreibt die Umrechnung des ausgewählten Wertes.

Referenzen für Baustahl verwenden bei der Berechnung tabellierter Massen pro Meter häufig 7850 kg/m³. Das Handbook of Structural Steelwork, 3. Auflage (2016), verwendet diesen Wert für Profilgewichte, und der National Research Council Canada (2019) gibt in Werkstoffdaten für den Brandschutzentwurf 7850 kg/m³ an. RoyMech (2024) verwendet dagegen 7830 kg/m³ für unlegierten Baustahl. Werkstoffdatenreferenzen weisen auf weitere Abweichungen hin: MatWeb gibt für kohlenstoffarmen Stahl nach ASTM A366/A569 7,80 g/cm³ an, während ASM MatWeb für ultrahochfesten Stahl 300M 7,87 g/cm³ aufführt. Engineering ToolBox gibt für Stahl ungefähr 7,82 g/cm³ an.

Für viele bautechnische Abschätzungen sind diese Unterschiede gering, aber sie sind real. Legierungszusammensetzung, Temperatur, Porosität, Beschichtungen sowie die jeweilige Güte oder das jeweilige Produkt können die Dichte verändern. Daher ist 7850 kg/m³ ein konventioneller Ingenieurwert und keine Aussage, dass ASTM A366/A569, 300M und jede andere Stahlsorte eine identische Dichte besitzen.

Bei einer bekannten Masse ergibt sich das Volumen durch Umstellen der Definition:

$$V=\frac{m}{\rho }$$

Bei 7850 kg/m³ nehmen 100 kg Stahl ungefähr folgendes Volumen ein:

$$V=\frac{100\text{kg}}{7850{\text{kg/m}}^3}=0.01274{\text{m}}^3$$

Das spezifische Volumen ist der Kehrwert:

$$\frac{1}{7850{\text{kg/m}}^3}=1.274\times {10}^{-4}{\text{m}}^3/\text{kg}$$

Die Dichte darf nicht mit dem spezifischen Gewicht verwechselt werden, das die Kraft pro Volumen angibt und üblicherweise in N/m³ ausgedrückt wird. Ebenso ist die Dichte nicht dasselbe wie die relative Dichte, ein Verhältnis zu einem Referenzstoff, das daher dimensionslos ist.

lb/ft³ und lb/in³

In konventionellen Einheitensystemen kann die Dichte als Pfund pro Kubikfuß (lb/ft³) oder Pfund pro Kubikzoll (lb/in³) angegeben werden. Diese Einheiten sind keine austauschbaren Darstellungen desselben Zahlenwertes. Da

$$1\text{ft}=12\text{in}$$

enthält ein Kubikfuß

$$1{\text{ft}}^3={12}^3=1728{\text{in}}^3$$

Daraus folgt:

$$1{\text{lb/ft}}^3=\frac{1}{1728}{\text{lb/in}}^3$$

und

$$1{\text{lb/in}}^3=1728{\text{lb/ft}}^3$$

Der konventionelle Wert 7850 kg/m³ entspricht unter Verwendung der Faktoren aus NIST Appendix B.9 ungefähr 490 lb/ft³. UFC 4-023-07 (U.S. Department of Defense, 2008) gibt für Stahl 7850 kg/m³ an, entsprechend ungefähr 490 lb/ft³. In Pfund pro Kubikzoll beträgt derselbe Wert ungefähr

$$\frac{490.04{\text{lb/ft}}^3}{1728}=0.2836{\text{lb/in}}^3$$

Üblicherweise wird dies auf 0,284 lb/in³ gerundet.

Die Warnung ist einfach: Der Wert 490 darf nicht in eine Berechnung eingesetzt werden, die in lb/in³ ausgedrückt ist. Der korrekte entsprechende Zahlenwert beträgt ungefähr 0,284 und nicht 490. Umgekehrt kann 0,284 lb/in³ nicht ohne Multiplikation mit 1728 in ein Volumen in Kubikfuß eingesetzt werden. Die typischen Werte von MatWeb zeigen das Ausmaß der gütespezifischen Unterschiede: ASTM A366/A569 wird mit 0,282 lb/in³ angegeben, entsprechend 7,80 g/cm³, während 300M mit 0,284 lb/in³ angegeben wird, entsprechend 7,87 g/cm³.

Dimensionsanalyse und Kürzen von Einheiten

Eine Dimensionsanalyse macht eine Umrechnung überprüfbar. Jeder Umrechnungsfaktor sollte als Bruch geschrieben werden, dessen Zähler und Nenner gleiche Größen darstellen. Anschließend sollten die Einheiten vor der Berechnung der Zahlenwerte gekürzt werden. Beispielsweise ergibt die Umrechnung von 7,850 g/cm³ in kg/m³:

$$7.850\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}\left(\frac{1\text{kg}}{1000\text{g}}\right)(\frac{100\text{cm}}{1\text{m}}{)}^3$$

Die Gramm kürzen sich, die Kubikzentimeter kürzen sich, und als verbleibende Einheit ergibt sich kg/m³:

$$7.850\times \frac{1}{1000}\times {100}^3=7850{\text{kg/m}}^3$$

Bei einem rechteckigen Stahlstab verbindet dieselbe Methode die Geometrie mit der Masse. Wenn Breite und Dicke in Metern angegeben sind, beträgt die Querschnittsfläche

$$A=\mathrm{bt}$$

und die Masse pro Längeneinheit ist

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Für einen Stab mit 50 mm × 10 mm müssen die Abmessungen zunächst umgerechnet werden:

$$A=\left(0.050\text{m}\right)\left(0.010\text{m}\right)=0.0005{\text{m}}^2$$

Anschließend ergibt sich mit 7850 kg/m³:

$$\frac{m}{L}=\left(7850{\text{kg/m}}^3\right)\left(0.0005{\text{m}}^2\right)=3.925\text{kg/m}$$

Der Meter in der Flächeneinheit kürzt sich mit einem der drei Meter in der Dichte, sodass kg/m verbleibt. Wenn die Abmessungen in Millimetern belassen werden, während die Dichte weiterhin in kg/m³ angegeben ist, hätte das Ergebnis inkompatible Einheiten und wäre aufgrund der erforderlichen Potenzen von 1000 falsch. Das Runden sollte erst nach der Umrechnung und Multiplikation erfolgen, insbesondere wenn ein Profilverzeichnis oder eine kumulierte Masse von vielen Metern Material abhängt.

Berechnung der Masse aus dem Volumen

Die grundlegende Massenberechnung ist einfach, aber das Ergebnis ist nur so zuverlässig wie die zugrunde liegende Dichtebasis, die Abmessungen und die verwendeten Einheiten. Ein reproduzierbarer Ablauf umfasst fünf Schritte:

1. Den Dichtewert bestimmen und angeben, ob es sich um einen konventionellen Auslegungswert, einen werkstoffgütenspezifischen Wert oder einen Messwert handelt. 2. Jede Abmessung in ein einheitliches Einheitensystem umrechnen. 3. Das Volumen aus der Geometrie berechnen. 4. Das Volumen mit der Dichte multiplizieren. 5. Die angegebene Masse entsprechend der ungenauesten wesentlichen Eingangsgröße runden.

Diese Abfolge verhindert einen häufigen Fehler: 7850 kg/m³ als universelle Eigenschaft jedes Stahls zu behandeln. Referenzen für Baustahl verwenden diesen Wert häufig zur Berechnung der tabellarischen Masse pro Meter. Das Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3. Auflage (2016), verwendet zu diesem Zweck 7850 kg/m³. Auch der National Research Council Canada (2019) und das U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 (2008) geben 7850 kg/m³ an; das UFC nennt ungefähr 490 lb/ft³. Dabei handelt es sich um nützliche ingenieurtechnische Konventionen und nicht um einen Beleg dafür, dass jede Legierung, jedes Produkt oder jeder Temperaturzustand genau diese Dichte aufweist.

Die Gleichung m = ρV

Das NIST definiert die Massendichte als Masse dividiert durch Volumen:

$$\rho =\frac{m}{V}$$

Durch Umstellen ergibt sich die hier benötigte Gleichung:

$$m=\rho V$$

wobei:

• $m$ die Masse ist;
• $\rho$ die Massendichte ist; und
• $V$ das Volumen ist.

In SI-Einheiten wird die Dichte in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³), das Volumen in Kubikmetern (m³) und die Masse in Kilogramm (kg) angegeben. Die Einheiten kürzen sich korrekt:

$$\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\times {\text{m}}^3=\text{kg}$$

Diese Einheitenkürzung ist eine nützliche Kontrolle und keine bloße Dekoration. Wenn bei einer Berechnung kg/m³ mit einem Volumen multipliziert wird, das noch in mm³ angegeben ist, ist das numerische Ergebnis um den Faktor ${10}^9$ falsch, sofern das Volumen in Kubikmillimetern nicht umgerechnet wird.

Die SI-Leitlinien des NIST aus dem Jahr 2024 definieren außerdem das spezifische Volumen als $V/m$, also als den Kehrwert der Dichte. Das spezifische Volumen ist keine Masse und darf in $m=\rho V$ nicht anstelle der Dichte eingesetzt werden. Ebenso ist das spezifische Gewicht eine Kraft pro Volumeneinheit, üblicherweise angegeben in N/m³, während die relative Dichte ein Verhältnis zu einem Referenzstoff darstellt. Keine dieser Größen ist identisch mit der Massendichte.

Die Dichtebasis muss vor Beginn der Berechnung angegeben werden. Ein angenommener Wert von 7850 kg/m³ kann für eine baustatische Abschätzung oder eine Tabelle für Standardprofile geeignet sein. Er sollte als Annahme gekennzeichnet werden. Eine Werkstoffdatenreferenz gibt für kohlenstoffarmen Stahl nach ASTM A366/A569 eine typische Dichte von 7,80 g/cm³ an, entsprechend 7800 kg/m³, während eine andere für ultrahochfesten Stahl 300M eine Dichte von 7,87 g/cm³ beziehungsweise 7870 kg/m³ angibt. RoyMech verwendet für Baustahl 7830 kg/m³. Diese Unterschiede sind bei vielen Vorabberechnungen gering, können jedoch bei Toleranzen, Versandmassen, Auswuchtungen oder Wärmeübertragungsberechnungen relevant sein.

Die Dichte kann sich außerdem durch die Legierungszusammensetzung, die Temperatur, die Porosität und die Verarbeitung ändern. Eine Beschichtung erhöht die Masse, ist jedoch nicht Bestandteil der Dichte des blanken Stahls. Ein hohler oder perforierter Gegenstand muss mit seinem tatsächlichen Nettovolumen an Stahl angesetzt werden, nicht mit dem Volumen des ihn umschließenden Quaders.

Durchgerechnete Berechnung eines massiven Blocks

Betrachten wir einen rechteckigen Stahlblock mit den folgenden gemessenen Abmessungen:

• Länge: $300\text{mm}$
• Breite: $200\text{mm}$
• Dicke: $50,0\text{mm}$

Es wird ausdrücklich eine konventionelle Stahldichte von

$$\rho =7850{\text{kg/m}}^3$$

angenommen.

Diese Berechnung identifiziert keine bestimmte Stahlsorte und erhebt nicht den Anspruch, dass die tatsächliche Dichte des Blocks genau 7850 kg/m³ beträgt.

Zunächst werden die Abmessungen in Meter umgerechnet:

$$300\text{mm}=0,300\text{m}$$

$$200\text{mm}=0,200\text{m}$$

$$50,0\text{mm}=0,0500\text{m}$$

Für einen rechteckigen Körper gilt:

$$V=\mathrm{LWT}$$

Daher:

$$V=(0,300)(0,200)(0,0500)$$

$$V=0,00300{\text{m}}^3$$

Nun wird $m=\rho V$ angewendet:

$$m=(7850{\text{kg/m}}^3)(0,00300{\text{m}}^3)$$

$$m=23,55\text{kg}$$

Die Abmessungen sind mit drei signifikanten Stellen angegeben, während die Dichte ein angenommener konventioneller Wert und keine hochpräzise Messung ist. Ein geeignetes angegebenes Ergebnis ist daher:

\[ \boxed{m\approx23{,}6\text{ kg}} \]

Der nicht gerundete Wert von 23,55 kg kann weiterhin in den Berechnungsunterlagen beibehalten werden, damit spätere Rechenschritte nicht durch vorzeitiges Runden zusätzliche Fehler enthalten. Der endgültig angezeigte Wert sollte keine größere Genauigkeit suggerieren, als durch Abmessungen und Dichte gerechtfertigt ist.

Dieselbe Methode kann über die Querschnittsfläche angewendet werden. Die vom Ende aus betrachtete Fläche des Blocks beträgt:

$$A=\mathrm{WT}=(0,200)(0,0500)=0,0100{\text{m}}^2$$

Dann gilt:

$$V=\mathrm{AL}=(0,0100)(0,300)=0,00300{\text{m}}^3$$

Für einen konstanten Querschnitt beträgt die Masse pro Längeneinheit:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Für diesen Block:

$$\frac{m}{L}=\left(7850\right)(0,0100)=78,5\text{kg/m}$$

Die Multiplikation von 78,5 kg/m mit 0,300 m ergibt erneut 23,55 kg. Diese flächenbasierte Form ist der übliche Weg zur Berechnung der Masse von Stäben, Blechen, Trägern und anderen Produkten mit konstantem Querschnitt.

Fehler durch gemischte Einheiten und Rundung

Gemischte Einheiten verursachen mehr Fehler als die Multiplikation selbst. Eine Abmessung in Millimetern muss vor dem Potenzieren umgerechnet werden, oder der Umrechnungsfaktor muss auf das bereits berechnete Volumen angewendet werden:

$$1{\text{m}}^3={10}^9{\text{mm}}^3$$

Ein Block mit den Abmessungen $300\times 200\times 50$ mm hat somit:

$$V=3.000.000{\text{mm}}^3$$

Durch Umrechnung ergibt sich:

$$V=\frac{3.000.000}{1.000.000.000}=0,00300{\text{m}}^3$$

Ein häufiger Fehler besteht darin, jede lineare Abmessung durch 1000 zu teilen und anschließend das Volumen nochmals durch 1000 zu teilen. Dadurch wird eine lineare Umrechnung auf eine kubische Größe angewendet, wodurch eine Masse entsteht, die um den Faktor eine Million zu klein ist.

Auch Dichteeinheiten können direkt umgerechnet werden. Da gilt:

$$1{\text{g/cm}}^3=1000{\text{kg/m}}^3$$

wird eine angegebene Dichte von 7,80 g/cm³ zu 7800 kg/m³. Alternativ können die Abmessungen in Zentimetern beibehalten, das Volumen in cm³ berechnet und die Dichte weiterhin in g/cm³ angegeben werden, wodurch sich die Masse in Gramm ergibt. Die Methode ist nur dann gültig, wenn jede Einheit in der Multiplikation demselben Einheitensystem angehört.

Das Runden sollte nach der Hauptberechnung erfolgen und nicht nach jeder Zwischenumrechnung. Wenn eine gemessene Länge mit 0,300 m und eine Dicke mit 0,0500 m angegeben sind, suggeriert eine Massenangabe von 23,550000 kg eine nicht gerechtfertigte Genauigkeit. Umgekehrt führt das Runden von 7850 kg/m³ auf 8000 kg/m³ vor der Multiplikation zu einer vermeidbaren Änderung von 1,9 %. Während der Berechnung sollten zusätzliche Stellen beibehalten und anschließend sinnvolle signifikante Stellen angegeben werden.

Für eine abschließende Kontrolle kann das Ergebnis mit einer alternativen Dichtebasis verglichen werden. Bei Verwendung von 7800 kg/m³ für denselben Block mit einem Volumen von 0,00300 m³ ergibt sich eine Masse von 23,4 kg statt 23,6 kg. Die Differenz von 0,2 kg ist auf die Dichteannahme und nicht auf einen Rechenfehler zurückzuführen. Temperatur, tatsächliche chemische Zusammensetzung, Genauigkeit der Waage, Schweißnähte, Befestigungselemente, Lackierung und montierte Komponenten können weitere Unterschiede zwischen der berechneten Masse des blanken Stahls und der gemessenen Masse der Baugruppe verursachen.

Volumenberechnung aus der Masse

Eine gemessene Masse kann in ein geschätztes Volumen umgerechnet werden, wenn die Materialdichte bekannt ist oder ausgewählt wird. Die Berechnung ist einfach, aber ihr Ergebnis ist nur so zuverlässig wie der Dichtewert, das Einheitensystem und die Interpretation des gemessenen Gegenstands. Eine Waage zeigt die Masse des vollständigen darauf platzierten Gegenstands an; sie identifiziert nicht, welcher Anteil dieser Masse auf den blanken Stahl entfällt.

Die Gleichung V = m/ρ

NIST definiert die Massendichte als Masse geteilt durch Volumen:

$$\rho =\frac{m}{V}$$

Durch Umstellen ergibt sich die erforderliche Beziehung:

$$V=\frac{m}{\rho }$$

Hierbei ist $V$ das Volumen, $m$ die Masse und $\rho$ die Massendichte. Im SI-System wird die Masse in Kilogramm, die Dichte in Kilogramm pro Kubikmeter und das Volumen in Kubikmetern angegeben. Die Einheiten kürzen sich korrekt:

$$V=\frac{\text{kg}}{{\text{kg/m}}^3}={\text{m}}^3$$

Die SI-Leitlinien von NIST aus dem Jahr 2024 definieren das spezifische Volumen außerdem als $V/m$, also als Kehrwert der Dichte. Das spezifische Volumen ist für bestimmte thermodynamische Berechnungen nützlich. Für gewöhnliche Mengenberechnungen bei Stahl ist $V=m/\rho$ jedoch in der Regel die unmittelbarere Form.

Angenommen, ein Stahlbauteil hat eine gemessene Masse von 78,5 kg. Bei Verwendung der konventionellen technischen Dichte von 7850 kg/m³ ergibt sich:

$$V=\frac{78.5\text{kg}}{7850{\text{kg/m}}^3}=0.0100{\text{m}}^3$$

Das berechnete Volumen beträgt somit 0,0100 m³ oder 10,0 Liter. Dabei handelt es sich um ein Materialvolumen und nicht automatisch um das Volumen eines rechteckigen Quaders, der das Bauteil umschließt. Hohlräume, Öffnungen, gekrümmte Oberflächen, Schweißnahtprofile und Zwischenräume zwischen Komponenten müssen gesondert berücksichtigt werden.

Die gewählte Dichte ist von Bedeutung. In Referenzwerken für Baustahl wird die tabellierte Masse pro Meter häufig mit 7850 kg/m³ berechnet. Der National Research Council Canada gab 2019 einen Wert von 7850 kg/m³ an, und das U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 führte 2008 denselben Wert auf, entsprechend ungefähr 490 lb/ft³. Diese Werte sind praktische technische Konventionen. Sie dürfen nicht als Beleg dafür dargestellt werden, dass jede Stahlsorte exakt diese Dichte besitzt.

Dichte (g/cm³)

Zum Vergleich gibt MatWeb für kohlenstoffarmen Stahl ASTM A366/A569 eine typische Dichte von 7,80 g/cm³ an, während ASM MatWeb für den ultrahochfesten Stahl 300M 7,87 g/cm³ angibt. Da 1 g/cm³ 1000 kg/m³ entspricht, entsprechen diese Werte ungefähr 7800 beziehungsweise 7870 kg/m³. RoyMech verwendet für Baustahl 7830 kg/m³, und Engineering ToolBox führt für Stahl ungefähr 7,82 g/cm³ auf. Die Unterschiede sind für viele Fertigungsschätzungen gering, aber sie sind real.

Für dieselbe Masse von 78,5 kg ergibt sich bei Verwendung von 7800 kg/m³:

$$V=\frac{78.5}{7800}=0.010064{\text{m}}^3$$

Bei Verwendung von 7870 kg/m³ ergibt sich ungefähr 0,009975 m³. Ein angegebener Wert von 0,0100 m³ kann angemessen sein, wenn Masse und Dichte nur auf wenige signifikante Stellen genau bekannt sind. Zusätzliche Dezimalstellen würden eine Genauigkeit suggerieren, die von den Messungen nicht unterstützt wird.

Die Einheitengleichheit ist entscheidend. Wenn die Masse in Gramm und die Dichte in Gramm pro Kubikzentimeter angegeben wird, lautet das Ergebnis Kubikzentimeter. Ein Körper mit einer Masse von 500 g und einer Dichte von 7,80 g/cm³ hat somit:

$$V=\frac{500}{7.80}=64.1{\text{cm}}^3$$

Setzen Sie nicht 500 g und 7850 kg/m³ ohne Umrechnung in dieselbe Gleichung ein. Anhang B.9 von NIST liefert die dimensionsbezogene Grundlage für die Umrechnung zwischen SI-Einheiten und üblichen angloamerikanischen Einheiten.

Interpretation einer gemessenen Masse

Ein Messwert der Masse entspricht nicht automatisch der Masse des Stahls selbst. Eine lackierte Platte umfasst beispielsweise das Stahlsubstrat, die Grundierung, die Zwischenbeschichtung und die Deckbeschichtung. Eine Verzinkung fügt Zink hinzu. Zunder fügt oxidiertes Material hinzu und kann ungleichmäßig anhaften. Schmutz, eingeschlossenes Wasser, Schneidflüssigkeit, Eis und Feuchtigkeit im Inneren von Hohlprofilen können den Messwert ebenfalls erhöhen.

Anhaftende Bauteile verursachen einen weiteren häufigen Fehler. Schrauben, Muttern, Unterlegscheiben, Clips, Hebevorrichtungen, angeschweißte Halterungen, Isolierungen und temporäre Abstützungen können auf der Waage enthalten sein, obwohl sie bei der vorgesehenen Stahlberechnung ausgeschlossen werden sollen. Umgekehrt können Korrosion oder fehlendes Material dazu führen, dass die gemessene Masse geringer ist als die ursprüngliche Konstruktionsmasse. Ein Hohlprofil kann Wasser in einem geschlossenen Hohlraum zurückhalten, wodurch sich das Ergebnis zwischen verschiedenen Wägungen ändert.

Auch die Waage selbst führt zu Unsicherheiten. Auflösung, Kalibrierung, Vibrationen, Position der Last, Luftbewegungen und Nullpunktdrift können den Messwert beeinflussen. Wenn ein Bauteil mit einer Masse von 10 kg auf einem Gerät mit einer Unsicherheit von ±0,1 kg gemessen wird, beträgt allein diese Unsicherheit ±1 %, bevor die Dichtevariation berücksichtigt wird. Die berechnete Volumenunsicherheit übernimmt dieselbe relative Unsicherheit der Masse; zusätzlich trägt die Unsicherheit der Dichte bei.

Aus diesem Grund sollte eine Berechnung auf Grundlage einer gemessenen Masse angeben, was gewogen wurde und welche Dichte verwendet wurde. „Das Volumen des Stahls“ ist mehrdeutig, wenn der Gegenstand eine Beschichtung oder anhaftende Bauteile besitzt. Eine klarere Formulierung lautet: „Das geschätzte äquivalente Volumen des blanken Stahls beträgt 0,0100 m³ und wurde aus einer Nettomasse von 78,5 kg und $\rho =7850$ kg/m³ berechnet.“ Wenn es sich bei den 78,5 kg um die Bruttomasse einer beschichteten Baugruppe handelt, ist das Ergebnis ein nominales äquivalentes Volumen für die ausgewählte Dichte und keine direkte Messung des blanken Stahls.

Auch die Temperatur kann die Interpretation beeinflussen. Eine Erwärmung führt dazu, dass sich Stahl ausdehnt, wodurch sein geometrisches Volumen zunimmt, während seine Masse im Wesentlichen konstant bleibt. Die Dichte nimmt daher mit steigender Temperatur ab. Bei brandschutztechnischen Berechnungen können temperaturabhängige Eigenschaften verwendet werden, während bei routinemäßigen Mengenberechnungen bei Raumtemperatur im Allgemeinen ein konventioneller Referenzwert verwendet wird. Die maßgebende Bemessungssituation muss angegeben werden.

Rückrechnung von Abmessungen

Nachdem das Volumen geschätzt wurde, kann anhand der maßgebenden Geometrie eine theoretische Abmessung ermittelt werden. Für ein prismatisches Bauteil mit konstantem Querschnitt gilt:

$$V=\mathrm{AL}$$

Dabei ist $A$ die Querschnittsfläche und $L$ die Länge. Daher gilt:

$$L=\frac{V}{A}=\frac{m}{\rho A}$$

Ein Stahlstab mit einer Masse von 78,5 kg und einer Querschnittsfläche von 1000 mm² hat bei Verwendung von 7850 kg/m³ folgende Länge:

$$A=1000{\text{mm}}^2=0.001000{\text{m}}^2$$

$$L=\frac{0.0100}{0.001000}=10.0\text{m}$$

Dies ist eine theoretische Länge auf Grundlage einer gleichmäßigen Querschnittsfläche und der ausgewählten Dichte. Sie ersetzt keine Messung des Stabs, insbesondere wenn die Enden unregelmäßig geformt sind, der Querschnitt sich verjüngt oder die Masse Beschichtungen und Anbauteile umfasst.

Für eine rechteckige Platte gilt:

$$V=\mathrm{Lwt}$$

Dabei ist $L$ die Länge, $w$ die Breite und $t$ die Dicke. Wenn Länge und Breite bekannt sind, kann die Dicke rückgerechnet werden:

$$t=\frac{V}{\mathrm{Lw}}=\frac{m}{\rho \mathrm{Lw}}$$

Eine 50 kg schwere Platte mit den Abmessungen 2,00 m × 1,00 m hat bei Verwendung von 7850 kg/m³ folgende Dicke:

$$t=\frac{50}{7850\left(2.00\right)\left(1.00\right)}=0.00318\text{m}$$

Das entspricht ungefähr 3,18 mm. Das Ergebnis beschreibt eine äquivalente gleichmäßige Dicke. Die tatsächliche Plattendicke kann aufgrund von Zunder, Beschichtung, Walztoleranzen, Oberflächenrauheit oder einer falschen Annahme hinsichtlich der Nettomasse des Stahls abweichen.

Dasselbe Prinzip gilt für die Masse pro Längeneinheit:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Für einen rechteckigen Stab gilt $A=\mathrm{wt}$, somit:

$$\frac{m}{L}=\rho \mathrm{wt}$$

Die Berechnung von RoyMech für rechteckige Querschnitte verwendet für Baustahl 7830 kg/m³ anstelle von 7850 kg/m³. Dies verdeutlicht, warum bei einem Vergleich berechneter und tabellierter Massen die verwendete Dichte angegeben werden muss. Bei komplexen Querschnitten ist die tatsächliche Nettoquerschnittsfläche erforderlich, wobei Öffnungen und Hohlräume abzuziehen sind. Bei der Brandschutzbemessung darf diese Fläche nicht mit dem Profilfaktor des Stahlquerschnitts verwechselt werden, den der National Research Council Canada als beheizten Umfang geteilt durch die Querschnittsfläche definiert. Dieser Faktor beschreibt die Wärmebeanspruchung und nicht das gewöhnliche Materialvolumen.

Masse pro Längeneinheit von Stahlprofilen

Die Masse pro Längeneinheit eines Stahlprofils ergibt sich unmittelbar aus der Definition der Dichte. NIST definiert die Massendichte als

$$\rho =\frac{m}{V}$$

wobei $\rho$ die Dichte, $m$ die Masse und $V$ das Volumen bezeichnet. Bei einem prismatischen Profil entspricht das Volumen dem Produkt aus Querschnittsfläche und Länge:

$$V=\mathrm{AL}$$

Durch Einsetzen in die Dichtegleichung ergibt sich

$$\rho =\frac{m}{\mathrm{AL}}$$

und somit

\[ \boxed{\frac{m}{L}=\rho A} \]

Dies ist die maßgebende Beziehung für die Masse pro Längeneinheit. Wenn die Dichte in Kilogramm pro Kubikmeter und die Fläche in Quadratmetern angegeben wird, ergibt sich die Einheit Kilogramm pro Meter:

$$\left(\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}\right)\left({\mathrm{m}}^2\right)=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}$$

QuerschnittsflächeQuerschnittsfläche Die Nettomaterialfläche in einem Schnitt senkrecht zur Länge eines Bauteils; sie bestimmt das Volumen pro Längeneinheit und zusammen mit der Dichte die Masse pro Längeneinheit.

Die Fläche ist die entscheidende geometrische Größe. Ein längeres Stück hat zwar eine größere Gesamtmasse, seine Masse pro Meter bleibt jedoch unverändert, solange Querschnitt und Dichte unverändert bleiben.

Der Wert $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ wird häufig für Berechnungen mit Baustahl verwendet. Das Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3. Auflage (2016), stellt fest, dass tabellierte Massen von Baustahl pro Meter unter Verwendung dieser Dichte berechnet werden. Der National Research Council Canada (2019) und das U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 geben ebenfalls $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ an, wobei das UFC diesen Wert als ungefähr $490\mathrm{lb}/{\mathrm{ft}}^3$ ausdrückt. Dabei handelt es sich um ingenieurtechnische Konventionen für Berechnungen und Tabellen, nicht um eine Garantie dafür, dass jede Stahlsorte genau diese Dichte besitzt.

m/L = ρA

Die Formel ist einfach, aber die Einheitengleichheit ist entscheidend. Ein rechteckiger Querschnitt mit den Abmessungen $50\mathrm{mm}$ mal $25\mathrm{mm}$ hat eine Fläche von

$$A=50\times 25=1250{\mathrm{mm}}^2$$

Da

$$1{\mathrm{m}}^2=1,000,000{\mathrm{mm}}^2$$

beträgt die Fläche

$$A=0.00125{\mathrm{m}}^2$$

Unter Verwendung der üblichen Dichte für Baustahl ergibt sich

$$\frac{m}{L}=7850\left(0.00125\right)=9.8125\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

Ein gleichförmiger Stahlstab mit den Abmessungen $50\mathrm{mm}\times 25\mathrm{mm}$ besitzt somit eine nominelle Masse pro Meter von ungefähr $9.81\mathrm{kg}/\mathrm{m}$, bevor Toleranzen, Beschichtungen, Zunder oder sonstiges anhaftendes Material berücksichtigt werden.

Die Wahl der Dichte kann die letzten Stellen des Ergebnisses verändern. Die Berechnung für rechteckige Querschnitte von RoyMech verwendet für Baustahl $7830\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Mit diesem Wert ergibt sich für denselben Stab

$$7830\left(0.00125\right)=9.7875\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

was auf $9.79\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ gerundet wird. Für viele überschlägige Tragwerksberechnungen ist der Unterschied gering. Er zeigt jedoch, weshalb ein Ergebnis seine zugrunde gelegte Dichte angeben sollte, anstatt eine gerundete Zahl als eine von der Stahlsorte unabhängige physikalische Konstante darzustellen.

Die für bestimmte Stähle angegebenen Werkstoffreferenzen zeigen ebenfalls eine tatsächliche Streuung. MatWeb führt für kohlenstoffarmen Stahl nach ASTM A366/A569 eine typische Dichte von $7.80\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ auf, was $7800\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ entspricht. ASM MatWeb gibt für hochfesten 300M-Stahl $7.87\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ beziehungsweise $7870\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ an. Engineering ToolBox nennt für Stahl ungefähr $7.82\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$. Diese Werte unterscheiden sich voneinander und von $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, liegen jedoch nahe genug beieinander, dass viele Bemessungstabellen eine gemeinsame Konvention verwenden.

NIST definiert außerdem das spezifische Volumen als $V/m$, also als Kehrwert der Dichte. Das spezifische Volumen darf nicht mit der Masse pro Längeneinheit verwechselt werden: Ersteres beschreibt das Materialvolumen pro Masseneinheit, während Letztere die Materialdichte mit der Fläche eines bestimmten Querschnitts kombiniert.

Für eine Gesamtlänge $L$ des Bauteils ergibt sich die entsprechende Masse zu

$$m=\rho \mathrm{AL}$$

Ein $6\mathrm{m}$ langer Stab mit einer berechneten Masse pro Meter von $9.8125\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ besitzt beispielsweise eine nominelle Masse von

$$m=9.8125\times 6=58.875\mathrm{kg}$$

Dieselbe Beziehung gilt für eine Platte. Eine $2.0\mathrm{m}$ breite und $10\mathrm{mm}$ dicke Platte besitzt, bezogen auf einen Querschnitt senkrecht zu ihrer Länge, die Fläche

$$A=2.0\times 0.010=0.020{\mathrm{m}}^2$$

Ihre Masse pro Meter beträgt daher

$$\frac{m}{L}=7850\left(0.020\right)=157\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

Ist die Platte $4\mathrm{m}$ lang, beträgt ihre nominelle Masse $628\mathrm{kg}$. Bei Plattenberechnungen müssen Breite und Dicke in Richtungen gemessen werden, die senkrecht zur betrachteten Länge verlaufen. Die Grundrissfläche einer Platte ist nicht die in $m/L=\rho A$ verwendete Fläche, sofern die gewählte Längsrichtung eine solche Interpretation nicht zulässt.

Die Masse pro Meter ist nicht dasselbe wie das Liniengewicht. Die Masse pro Meter hat die Einheit $\mathrm{kg}/\mathrm{m}$; das Liniengewicht ist eine Kraft pro Längeneinheit und wird normalerweise in $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ oder $\mathrm{kN}/\mathrm{m}$ angegeben. Unter Standardfallbeschleunigung gilt

$$w=\frac{m}{L}g$$

wobei $g$ ungefähr $9.80665\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ beträgt. Der Stab mit $9.8125\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ besitzt daher ein Liniengewicht von ungefähr

$$9.8125\times 9.80665=96.2\mathrm{N}/\mathrm{m}$$

beziehungsweise $0.0962\mathrm{kN}/\mathrm{m}$. In technischen Dokumenten werden Werte in Kilogramm pro Meter manchmal als „Gewicht“ bezeichnet. Die technisch korrekte Unterscheidung ist bei Lastberechnungen jedoch hilfreich.

Walzprofile und tabellierte Eigenschaften

Bei gewalzten I-Profilen, U-Profilen, Winkeln, T-Profilen, Hohlprofilen und anderen Profilen kann es umständlich sein, die Fläche aus jedem Flansch, Steg, Übergangsradius und Eckbereich zu berechnen. Profiltabellen vermeiden diese wiederholte geometrische Arbeit, indem sie eine nominelle Querschnittsfläche und die entsprechende Masse pro Meter angeben. Die zugrunde liegende Berechnung bleibt dieselbe:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Eine Tabelle kann die Fläche direkt in ${\mathrm{cm}}^2$ oder ${\mathrm{mm}}^2$ angeben, gefolgt von der Masse in $\mathrm{kg}/\mathrm{m}$. Wenn eine Fläche in Quadratzentimetern angegeben ist, gilt für die Umrechnung

$$1{\mathrm{cm}}^2={10}^{-4}{\mathrm{m}}^2$$

Ein Walzprofil mit einer nominellen Fläche von $25.0{\mathrm{cm}}^2$ besitzt somit

$$A=0.00250{\mathrm{m}}^2$$

und unter Verwendung von $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$

$$\frac{m}{L}=7850\left(0.00250\right)=19.625\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

Eine veröffentlichte Tabelle kann diesen Wert auf $19.6\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ runden. Der angegebene Wert sollte unter Berücksichtigung der in der Tabelle genannten Dichte, Maßgrundlage und Rundungsregel interpretiert werden.

Die Profilabmessungen bleiben auch dann entscheidend, wenn die Berechnung nicht sichtbar ist. Die Flanschbreite, Flanschdicke, Stegdicke, Gesamthöhe und Wurzelradien eines I-Profils bestimmen seine Fläche. Zwei Profile mit derselben Nennhöhe können unterschiedliche Flächen und daher unterschiedliche Massen pro Meter besitzen. Eine Bezeichnung wie eine Nennabmessung ist für sich genommen kein Massenwert. Die einschlägige Ausgabe der Tabelle und die entsprechende Profilnorm müssen überprüft werden.

Die tabellierte Fläche kann theoretischer oder nominaler Natur sein und muss nicht der gemessenen Fläche eines einzelnen Stücks entsprechen. Fertigungstoleranzen, Kehlen, Eckradien, Überhöhungen und Abweichungen von der Nenndicke können einen geringfügigen Unterschied zwischen berechneter und tatsächlicher Masse verursachen. Oberflächenbeschichtungen erhöhen ebenfalls die Masse, werden in Tabellenwerten für blanke Stahlprofile jedoch normalerweise nicht berücksichtigt. Ein verzinktes, lackiertes oder brandschutzgeschütztes Bauteil darf nicht mit der uneingeschränkten Masse des blanken Stahlprofils angesetzt werden, wenn die Beschichtung Bestandteil der erforderlichen Baugruppenmasse ist.

Die Temperatur führt zu einer weiteren Unterscheidung. Erwärmter Stahl dehnt sich aus, sodass sich seine Abmessungen und sein Volumen ändern. Die als Masse dividiert durch das expandierte Volumen ausgedrückte Dichte ändert sich folglich, obwohl die Stahlmenge gleich bleibt. Bei Brandschutzberechnungen kann außerdem der Profilfaktor des Stahls verwendet werden, den der National Research Council Canada als das Verhältnis des erwärmten Umfangs zur Querschnittsfläche definiert. Dieser Faktor bestimmt die Wärmebeanspruchung und ist kein Ersatz für die Masse pro Meter.

Für ein Tragwerksbauteil besteht die zuverlässige Vorgehensweise daher darin, zunächst das tatsächliche Profil zu bestimmen, seine nominelle Fläche zu entnehmen oder zu berechnen, die gemäß der Bemessungsgrundlage erforderliche Dichtekonvention auszuwählen und die Einheiten einheitlich zu halten. Das Ergebnis ist die Masse pro Längeneinheit. Erst nach der Multiplikation mit der Erdbeschleunigung darf es als Liniengewicht behandelt werden.

Geometrie: Vollquerschnitte, Hohlprofile und unregelmäßige Profile

Die Stahlmasse hängt vom Materialvolumen ab, nicht von der scheinbaren Größe des Umrisses. Für ein gleichmäßiges Bauteil lautet die maßgebliche Berechnung

$$m=\rho V=\rho AL$$

wobei $m$ die Masse, $\rho$ die Massendichte, $A$ die Nettoquerschnittsfläche und $L$ die Länge ist. Wenn $\rho$ in Kilogramm pro Kubikmeter angegeben wird, müssen $A$ in Quadratmetern und $L$ in Metern eingesetzt werden. Das Ergebnis wird in Kilogramm angegeben.

Tabellen für Baustahl berechnen die Masse pro Meter üblicherweise mit $7850{\text{kg/m}}^3$. Daher hat ein Profil mit einer Fläche von $0.001{\text{m}}^2$ eine tabellarische Masse von

$$7850\left(0.001\right)=7.85\text{kg/m}.$$

Dies ist eine konventionelle ingenieurtechnische Berechnung und kein Ersatz für die Ermittlung der tatsächlichen Querschnittsfläche des Profils. Außerdem bedeutet dies nicht, dass jede Stahlsorte genau diese Dichte besitzt. Die Geometrie steht an erster Stelle.

Vollquerschnitte mit rechteckiger und kreisförmiger Geometrie

Für ein Vollrechteck gilt

$$A=\mathrm{bh}$$

wobei $b$ die Breite und $h$ die Höhe ist. Ein Stahlstab mit den Abmessungen $50\text{mm}\times 100\text{mm}$ hat

$$A=50\left(100\right)=5000{\text{mm}}^2.$$

Da $1{\text{m}}^2=1,000,000{\text{mm}}^2$ gilt,

$$A=0.005{\text{m}}^2.$$

Bei Verwendung von $7850{\text{kg/m}}^3$ beträgt seine Masse pro Meter $39.25\text{kg/m}$. Bei Verwendung des von RoyMech angegebenen Wertes von $7830{\text{kg/m}}^3$ für Baustahl ergibt sich eine Masse von $39.15\text{kg/m}$. Der geringe Unterschied entsteht durch die gewählte Dichte und nicht durch eine andere geometrische Formel.

Für einen Vollrundstab gilt

$$A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4},$$

wobei $r$ der Radius und $d$ der Durchmesser ist. Ein Stab mit einem Durchmesser von $40\text{mm}$ hat

$$A=\frac{\pi (40{)}^2}{4}=1256.6{\text{mm}}^2=0.0012566{\text{m}}^2.$$

Bei $7850{\text{kg/m}}^3$ beträgt die Masse pro Meter ungefähr $9.86\text{kg/m}$.

Der Durchmesser muss quadriert werden. Eine Verdoppelung des Durchmessers eines Rundstabs verdoppelt nicht seine Fläche, sondern erhöht die Fläche und damit die Masse pro Längeneinheit um den Faktor vier. Dasselbe Prinzip gilt für rechteckige Abmessungen: Wird eine Abmessung verdoppelt, verdoppelt sich die Fläche; werden beide Abmessungen verdoppelt, vervierfacht sich die Fläche.

Vor der Multiplikation müssen die Abmessungen außerdem in einer gemeinsamen Einheit vorliegen. Ein häufiger Fehler besteht darin, Abmessungen in Millimetern in eine Formel einzusetzen, während die Dichte in Kilogramm pro Kubikmeter angegeben ist. Eine direkte Vorgehensweise besteht darin, die Fläche in ${\text{mm}}^2$ zu berechnen, durch $1,000,000$ zu teilen und anschließend mit der Dichte zu multiplizieren. Alternativ können zunächst alle Abmessungen in Meter umgerechnet werden.

Hohlprofile und Subtraktion von Hohlräumen

Ein Hohlprofil wird anhand der Materialfläche berechnet, die sich ergibt, indem der Hohlraum von der Außenfläche subtrahiert wird. Für ein rechteckiges Hohlprofil mit der Außenbreite $B$, der Außenhöhe $H$ und einer gleichmäßigen Wanddicke $t$ gilt

$$A=\mathrm{BH}-(B-2t)(H-2t).$$

Die Innenabmessungen werden jeweils um $2t$ reduziert, da die Wand auf beiden gegenüberliegenden Seiten Raum einnimmt. Die Formel kann auch zu

$$A=2t(B+H-2t)$$

ausmultipliziert werden.

Für ein rechteckiges Hohlprofil mit den Außenabmessungen $100\text{mm}\times 50\text{mm}$ und einer Wanddicke von $5\text{mm}$ gilt

$$A=\left(100\right)\left(50\right)-\left(90\right)\left(40\right)=5000-3600=1400{\text{mm}}^2.$$

Somit beträgt die Masse pro Meter bei $7850{\text{kg/m}}^3$

$$0.0014\left(7850\right)=10.99\text{kg/m}.$$

Das Außenrechteck allein würde $39.25\text{kg/m}$ ergeben, also mehr als das Dreifache. Wenn man anstelle des Hohlraums die äußere Umgrenzung berücksichtigt, behandelt man Luft so, als wäre sie Stahl.

Für ein kreisförmiges Hohlprofil beziehungsweise ein Rohr mit dem Außendurchmesser $D$, dem Innendurchmesser $d$ und der Wanddicke $t$ gilt

$$A=\frac{\pi }{4}(D^2-d^2)$$

und bei gleichmäßiger Wanddicke

$$d=D-2t.$$

Ein Rohr mit $D=60\text{mm}$ und $t=5\text{mm}$ hat $d=50\text{mm}$. Daher gilt

$$A=\frac{\pi }{4}({60}^2-{50}^2)=863.9{\text{mm}}^2=0.0008639{\text{m}}^2.$$

Seine konventionelle Masse pro Meter beträgt ungefähr $6.78\text{kg}$. Ein Vollstab mit einem Durchmesser von $60\text{mm}$ hätte dagegen eine Fläche von $2827{\text{mm}}^2$ und eine Masse von ungefähr $22.2\text{kg/m}$.

Die Außenabmessung bestimmt daher nicht die Masse. Ein Vierkantrohr mit einer Außenbreite von $100\text{mm}$ und einer Wanddicke von $2\text{mm}$ hat dieselbe Außenbreite wie ein Rohr mit einer Wanddicke von $10\text{mm}$, jedoch eine deutlich andere Nettofläche. Öffnungen, Perforationen, Kerne, Schlitze und innere Hohlräume müssen sämtlich aus der Volumenberechnung entfernt werden. Umgekehrt können Eckradien, Schweißraupen, umgelegte Lippen und ungleichmäßige Wände Material hinzufügen, das eine einfache Formel mit scharfen Ecken nicht berücksichtigt. Bei gefertigten Profilen können die veröffentlichte Nennfläche oder die Masse pro Meter zuverlässiger sein, als das Profil als idealisiertes Rechteck zu behandeln.

Eine stahlspezifische Dichte kann das Ergebnis geringfügig verändern. MatWeb gibt für kohlenstoffarmen Stahl ASTM A366/A569 eine Dichte von $7.80{\text{g/cm}}^3$ an, während ASM MatWeb für ultrahochfesten Stahl 300M eine Dichte von $7.87{\text{g/cm}}^3$ angibt. Werden beide Dichten auf dieselbe berechnete Fläche angewendet, ergeben sich unterschiedliche Massen. Der Unterschied ist gering, kann jedoch bei Toleranzen, Lagerbeständen, Hebelasten oder großen Längen von Bedeutung sein.

Verwechslung von Umfang, Fläche und Querschnittseigenschaften

Die Querschnittsfläche gibt an, wie viel Stahl in einem senkrecht zur Längsrichtung des Bauteils liegenden Schnitt vorhanden ist. Sie bestimmt das Volumen pro Längeneinheit:

$$V/L=A$$

und damit bei bekannter Dichte die Masse pro Längeneinheit.

Der Umfang ist etwas anderes. Der Außenumfang eines Vollrechtecks beträgt

$$P=2(b+h),$$

und der Kreisumfang eines Vollkreises beträgt $P=\pi d$. Diese Größen beschreiben die Länge der Begrenzung und nicht die Stahlfläche. Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von $100\text{mm}$ und ein Kreis mit einem Durchmesser von $20\text{mm}$ können ähnliche Randabmessungen aufweisen, jedoch sehr unterschiedliche Stahlmengen enthalten. Bei einem Hohlprofil benötigen Ingenieure möglicherweise mehrere Umfänge: den Außenumfang, den Innenumfang oder den dem Feuer oder der Luft ausgesetzten Umfang. Keiner dieser Umfänge kann bei einer Massenberechnung die Nettoquerschnittsfläche ersetzen.

Die Oberfläche ist die Fläche der längs verlaufenden Außenfläche des Bauteils und beträgt bei einem konstanten Profil näherungsweise $\mathrm{PL}$. Sie ist für Beschichtungsmengen, Wärmeübertragung, Korrosionsbeanspruchung und das Temperaturverhalten relevant. Sie ist nicht mit der Querschnittsfläche gleichzusetzen. Ein dünnwandiges Rohr kann pro Meter eine beträchtliche Oberfläche besitzen und dennoch relativ wenig Stahl enthalten.

Das Flächenträgheitsmoment, auch als zweites Flächenmoment bezeichnet, ist wiederum eine vollständig andere Größe. Für ein Rechteck bezüglich seiner Schwerpunktachse parallel zur Breite gilt

$$I=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{12}.$$

Die kubische Abmessung zeigt, warum die Höhe die Biegesteifigkeit stark beeinflusst. $I$ ist jedoch keine Masse und kann nicht in $m=\rho \mathrm{AL}$ eingesetzt werden. Werte für Hohlprofile werden ermittelt, indem das Flächenträgheitsmoment des Hohlraums vom Wert der Außenform subtrahiert wird, wobei die richtige Achse und gegebenenfalls der Satz von Steiner berücksichtigt werden müssen.

Bei Brandberechnungen wird ein weiteres Verhältnis eingeführt. Der National Research Council Canada definiert den Profilfaktor des Stahls als das Verhältnis des erhitzten Umfangs zur Querschnittsfläche. Abhängig von der Einwirkung und der Anordnung des Brandschutzes kann der erhitzte Umfang Oberflächen einschließen, die nicht mit dem geometrischen Außenumfang identisch sind. Dieser Profilfaktor beschreibt die Wärmeübertragung pro Stahlvolumen und bestimmt nicht die Masse des Bauteils.

Unregelmäßige Profile werden durch Zerlegung in einfache Formen, durch Subtraktion von Hohlräumen oder durch direkte Integration der durch die Begrenzung definierten Fläche behandelt. Bei einem gewalzten I-Profil können beispielsweise die Rechtecke der Flansche und des Stegs addiert werden, wobei Überlappungen nur einmal berücksichtigt werden. Die endgültige Nettofläche und nicht die Silhouette ist die Größe, die mit der Länge und der Dichte multipliziert wird.

Warum Nicht Alle Stahlsorten dieselbe Dichte haben

Der Wert 7850 kg/m³ ist nützlich, stellt jedoch keine universelle Materialkonstante für jede Stahlsorte dar. Tabellen für Baustahl verwenden üblicherweise 7850 kg/m³ zur Berechnung der Masse pro Meter. Sowohl das National Research Council Canada als auch das U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 führen Stahl mit diesem Wert auf. Das UFC gibt außerdem ungefähr 490 lb/ft³ an. Diese Angaben sind konventionelle ingenieurtechnische Eingabewerte, die für die Auslegung und tabellarische Darstellung gewöhnlich gerundet werden. Sie sollten nicht als Behauptung verstanden werden, dass alle Stähle exakt dieselbe Dichte besitzen.

Das NIST definiert die Massendichte als ρ = m/V, gemessen in Kilogramm pro Kubikmeter, und definiert das spezifische Volumen als V/m. Eine werkstoffspezifische Dichte verändert daher die berechnete Masse, wenn das Volumen konstant gehalten wird. Für gewöhnliche Tragwerksarbeiten kann der Unterschied gering sein, relevant wird er jedoch bei präzisen Massenschätzungen, Bauteilen für die Luft- und Raumfahrt, Druckgeräten, Labormessungen und Vergleichen zwischen großen Querschnitten.

Die angegebenen Daten machen diesen Punkt deutlich. MatWeb gibt für kohlenstoffarmen Stahl nach ASTM A366/A569 eine typische Dichte von 7.80 g/cm³ an, entsprechend 7800 kg/m³. ASM MatWeb gibt für ultrahochfesten 300M-Stahl 7.87 g/cm³ an, entsprechend 7870 kg/m³. Der Unterschied beträgt 70 kg/m³ oder etwa 0,9 % bezogen auf den niedrigeren Wert. Keine der beiden Zahlen sollte bei hohen Genauigkeitsanforderungen das Materialzeugnis oder eine kontrollierte Messung ersetzen. Dennoch rechtfertigt keine der beiden Angaben, 7850 kg/m³ für beide Stahlsorten als exakten Wert zu behandeln.

Chemische Zusammensetzung und Legierungselemente

Stahl besteht hauptsächlich aus Eisen, seine Dichte hängt jedoch von der vollständigen Zusammensetzung und dem physikalischen Zustand des Werkstoffs ab. Kohlenstoff, Mangan, Silizium, Chrom, Nickel, Molybdän, Vanadium und weitere Zusätze verändern die Masse und das Volumen des Festkörpers. Ihre Auswirkungen werden nicht einfach dadurch bestimmt, dass man die Dichte jedes reinen Elements zur Dichte des Eisens addiert. Legierungsatome nehmen Positionen in einem Eisenkristallgitter ein, verzerren dieses Gitter, verändern sein Volumen und können die Bildung anderer Phasen oder Ausscheidungen begünstigen.

Auch Eisen selbst weist verschiedene dichtebezogene Zustände auf. Bei gewöhnlichen Temperaturen besitzt ferritisches Eisen eine kubisch raumzentrierte Kristallstruktur, während Austenit bei höheren Temperaturen eine kubisch flächenzentrierte Struktur aufweist. Abschrecken, Anlassen, Walzen und andere Behandlungen können die Anteile von Ferrit, Perlit, Bainit, Martensit und Restaustenit verändern. Diese mikrostrukturellen Veränderungen sind für die Gesamtdichte gewöhnlich weniger bedeutend als die chemische Gesamtzusammensetzung. Sie können jedoch relevant werden, wenn eine Berechnung mehr als einen gerundeten Katalogwert erfordert.

Legierungselemente weisen außerdem unterschiedliche Atommassen und Atomvolumina auf. Nickel und Molybdän sind beispielsweise relativ dichte Elemente, während Aluminium und Silizium eine geringere Dichte als Eisen besitzen. Ein kleiner Zusatz führt nicht zu einem einfachen Eins-zu-eins-Ergebnis, da sich auch der Gitterabstand, das Phasengleichgewicht und die thermische Vorgeschichte der Legierung verändern. Die endgültige Dichte ist eine Eigenschaft der hergestellten Legierung und kein Wert, der allein aus der Zugfestigkeit abgeleitet werden kann.

Porosität, Einschlüsse, entkohlte Zonen, Zunder, Schweißgut, Beschichtungen, Lack und anhaftende Feuchtigkeit können die gemessene Masse eines Bauteils zusätzlich beeinflussen. Eine nominale Stahldichte beschreibt normalerweise den festen metallischen Werkstoff, nicht jede Beschichtung oder Ablagerung auf einem fertigen Bauteil. Diese Unterscheidung ist wichtig, wenn die Masse einer vollständigen Baugruppe gemessen wird, anstatt sie aus zertifizierten Abmessungen und einer Werkstoffdichte zu berechnen.

Eine Festigkeitsbezeichnung liefert für sich genommen keine Dichte. „Hochfest“ beschreibt die mechanische Leistungsfähigkeit oder eine Spezifikationskategorie; es bezeichnet nicht die Masse pro Volumeneinheit. Zwei Stähle können eine ähnliche Streckgrenze, jedoch unterschiedliche Legierungssysteme, Wärmebehandlungen und Dichten aufweisen. Umgekehrt kann ein höherfester Stahl eine Dichte besitzen, die derjenigen einer niedrigerfesten Stahlsorte nahekommt. Die Dichte muss einem Werkstoffdatenblatt, stoffspezifischen Angaben in einer Norm, einem Lieferantenzertifikat oder einer Messung entnommen werden.

Kohlenstoffarmer Stahl nach ASTM A366/A569

MatWeb gibt für kohlenstoffarmen Stahl nach ASTM A366/A569 eine typische Dichte von 7.80 g/cm³ an, die außerdem als 0.282 lb/in³ aufgeführt wird. In SI-Einheiten entsprechen 7.80 g/cm³ 7800 kg/m³, da 1 g/cm³ gleich 1000 kg/m³ ist. Das Wort „typisch“ ist wichtig. Es handelt sich um einen Referenzwert aus Werkstoffdaten und nicht um eine universelle Dichteanforderung, der jedes Blech oder Coil mit dieser Bezeichnung bis auf das letzte Kilogramm pro Kubikmeter entsprechen muss.

Die ASTM-Bezeichnung kennzeichnet eine Produktkategorie für kohlenstoffarmen Stahl und die damit verbundenen Anforderungen. Sie sollte jedoch nicht als unmittelbare Dichtespezifikation verstanden werden, sofern die anzuwendende Ausgabe nicht ausdrücklich eine solche vorgibt. Normen befassen sich im Allgemeinen mit Fragen wie chemischen Grenzwerten, Abmessungen, Oberflächenzustand, Umformeigenschaften und mechanischen Anforderungen. Eine Norm kann einen Zusammensetzungsbereich anstelle einer exakt festgelegten Chemie zulassen. Daher kann eine einzige Dichte nicht jede zulässige Schmelze und jeden Verarbeitungszustand mit absoluter Genauigkeit repräsentieren.

Für eine Volumenberechnung liefert der MatWeb-Wert ein unmittelbares Ergebnis. Betrachten wir eine rechteckige Platte mit einer Länge von 2,00 m, einer Breite von 1,00 m und einer Dicke von 10,0 mm. Ihr Volumen beträgt:

V = 2,00 × 1,00 × 0,0100 = 0,0200 m³.

Bei Verwendung von 7800 kg/m³ ergibt sich:

m = ρV = 7800 × 0,0200 = 156 kg.

Bei Verwendung des konventionellen Werts von 7850 kg/m³ ergibt sich 157 kg. Der Unterschied von einem Kilogramm ist für diese Platte gering. Das erklärt, warum Auslegungstabellen einen gerundeten gemeinsamen Wert verwenden können. Dennoch handelt es sich um einen Unterschied, der durch die gewählte Dichte und nicht durch eine Änderung der Geometrie verursacht wird.

Dasselbe Prinzip gilt für die Masse pro Längeneinheit. Bei einem Rechteckstab muss die Querschnittsfläche in Quadratmetern angegeben werden, bevor sie mit der Dichte multipliziert wird:

m′ = ρA.

Ein Stab mit den Abmessungen 100 mm × 20 mm besitzt eine Fläche von 0,0020 m². Bei 7800 kg/m³ beträgt seine berechnete Masse pro Meter 15,6 kg/m. RoyMech verwendet für eine Berechnung an einem Rechteckstab aus Baustahl 7830 kg/m³, während Engineering ToolBox für Stahl ungefähr 7,82 g/cm³ angibt. Die Streuung zwischen diesen Referenzen spiegelt unterschiedliche konventionelle oder typische Eingabewerte wider und stellt keinen Widerspruch zur Definition der Dichte dar.

Ultrahochfester 300M-Stahl

ASM MatWeb gibt für ultrahochfesten 300M-Stahl eine typische Dichte von 7.87 g/cm³ an, entsprechend 0.284 lb/in³ oder ungefähr 7870 kg/m³. Dieser Wert liegt über dem für kohlenstoffarmen Stahl nach ASTM A366/A569 angegebenen Wert von 7.80 g/cm³ und außerdem geringfügig über dem in vielen statischen Berechnungen verwendeten konventionellen Wert von 7850 kg/m³.

Die Bezeichnung 300M verweist auf eine bestimmte Familie ultrahochfester legierter Stähle, deren Eigenschaften von einer kontrollierten chemischen Zusammensetzung und Wärmebehandlung abhängen. Ihre Festigkeit beruht auf der Legierung und der Verarbeitung, einschließlich der Bildung eines gehärteten und angelassenen Gefüges. Die Zahl in einer Festigkeitsbezeichnung bedeutet nicht „Dichte in einer bestimmten Einheit“. Eine Berechnung, die lediglich weiß, dass ein Bauteil aus „300M“ besteht, benötigt weiterhin die zutreffende Werkstoffspezifikation, den Produktzustand und den ausgewählten Dichtewert.

Für dasselbe oben verwendete Plattenvolumen von 0,0200 m³ ergibt 300M bei 7870 kg/m³ eine Masse von 157,4 kg. Der Referenzwert für ASTM A366/A569 ergibt 156 kg. Dieser Unterschied von 1,4 kg ist bei einer einzelnen Platte gering, nimmt jedoch proportional mit dem Volumen zu. Bei einem Bauteil für ein Luftfahrzeug, einem langen Stab oder einer großen Charge von Bauteilen kann die Verwendung eines falschen werkstoffspezifischen Werts das Massenbudget beeinflussen.

Auch die Temperatur erfordert sorgfältige Betrachtung. Beim Erwärmen von Stahl nimmt das Volumen infolge der Wärmeausdehnung zu, sodass die Dichte im Allgemeinen abnimmt, wenn die Masse konstant bleibt. Berechnungen im Brandingenieurwesen können daher temperaturabhängige Werkstoffeigenschaften mit einem Profilfaktor kombinieren, der als Verhältnis des erwärmten Umfangs zur Querschnittsfläche definiert ist. Die oben genannten Raumtemperaturwerte sind nur dann geeignet, wenn ihre Temperatur- und Anwendungsannahmen zur Berechnung passen. Verwenden Sie 7850 kg/m³ als ausdrücklich angegebene ingenieurtechnische Konvention und nicht als Beleg dafür, dass ASTM A366/A569, 300M und jede andere Stahlsorte dieselbe Dichte besitzen.

Dichte, spezifisches Gewicht und relative Dichte sind nicht austauschbar

Stahltabellen führen Dichte, Gewicht und relative Dichte häufig in benachbarten Spalten auf und verwenden anschließend verkürzte Bezeichnungen wie „Gewicht von Stahl“. Diese Anordnung kann drei unterschiedliche Größen verschleiern. Die Massendichte beschreibt, wie viel Masse ein Volumen einnimmt. Das spezifische Gewicht beschreibt die durch die Gravitation auf diese Masse ausgeübte Kraft. Die relative Dichte vergleicht die Dichte eines Materials mit einer Bezugsdichte. Ihre Zahlenwerte können in manchen Einheitensystemen ähnlich erscheinen, aber die Größen sind nicht identisch.

Massendichte im Vergleich zur Gewichtsdichte

Das National Institute of Standards and Technology (NIST, 2024) definiert die Massendichte als

$$\rho =\frac{m}{V}$$

wobei $m$ die Masse und $V$ das Volumen bezeichnet. Ihre SI-Einheit ist Kilogramm pro Kubikmeter, geschrieben als kg/m³. Ein Wert von $7850{\text{kg/m}}^3$ bedeutet daher, dass ein Volumen von einem Kubikmeter bei Verwendung der angegebenen technischen Dichte eine Masse von ungefähr 7850 kg besitzt.

Die Massendichte ist nicht mit der Masse selbst gleichzusetzen. Eine Stahlplatte kann eine Dichte von $7850{\text{kg/m}}^3$ haben, ihre Masse hängt jedoch von ihrem Volumen ab:

$$m=\rho V$$

Für eine gleichförmige rechteckige Platte gilt:

$$V=\mathrm{Lbt}$$

somit:

$$m=\rho \mathrm{Lbt}$$

wobei die Länge $L$, die Breite $b$ und die Dicke $t$ in zueinander konsistenten Einheiten angegeben werden. Werden die Abmessungen in Metern eingegeben, kann die Dichte direkt in kg/m³ eingesetzt werden, und das Ergebnis wird in Kilogramm angegeben. Werden die Abmessungen in Millimetern eingegeben, müssen sie zunächst umgerechnet werden, oder die Dichte muss in eine kompatible Einheit umgerechnet werden.

NIST definiert außerdem das spezifische Volumen als $V/m$, also als Kehrwert der Massendichte. Für Stahl mit einer Dichte von $7850{\text{kg/m}}^3$ gilt:

$$v=\frac{1}{7850}\approx 1.27\times {10}^{-4}{\text{m}}^3/\text{kg}$$

Das spezifische Volumen ist in der Thermodynamik und bei Materialberechnungen nützlich, bedeutet jedoch nicht spezifisches Gewicht.

Das spezifische Gewicht, üblicherweise mit $\gamma$ bezeichnet, ist das Gewicht pro Volumeneinheit:

$$\gamma =\frac{W}{V}$$

Seine SI-Einheit ist Newton pro Kubikmeter (N/m³). Da das Gewicht eine Kraft und keine Masse ist, erhält man das spezifische Gewicht durch Multiplikation der Massendichte mit der Fallbeschleunigung:

$$\gamma =\rho g$$

Die Verwendung von $7850{\text{kg/m}}^3$ und der Standardfallbeschleunigung $g=9.80665{\text{m/s}}^2$ ergibt:

$$\gamma =7850\left(9.80665\right)\approx 76982{\text{N/m}}^3$$

oder ungefähr $77.0{\text{kN/m}}^3$. Somit können $7850{\text{kg/m}}^3$ und $77.0{\text{kN/m}}^3$ denselben angenommenen Zustand von Stahl beschreiben, sie beschreiben jedoch unterschiedliche Eigenschaften.

Die Unterscheidung ist bei Berechnungen von Bedeutung. Verwenden Sie kg/m³, wenn Sie die Masse aus dem Volumen berechnen. Verwenden Sie N/m³, wenn Sie die durch die Gravitation verursachte Last aus dem Volumen berechnen. Ein Stahlblock mit einem Volumen von einem Kubikmeter besitzt auf Grundlage der konventionellen Dichte eine Masse von etwa 7850 kg und bei Standardgravitation ein Gravitationsgewicht von etwa 77,0 kN. Wenn beide Werte als „Gewicht“ bezeichnet werden, bleibt verborgen, welcher Rechenschritt durchgeführt wurde.

Ältere Technische Tabellen führen zu weiterer Verwirrung, weil „Gewicht“ insbesondere in den konventionellen Einheitensystemen häufig umgangssprachlich für Masse pro Volumeneinheit verwendet wurde. Das U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 (2008) gibt beispielsweise für Stahl $7850{\text{kg/m}}^3$ an, entsprechend ungefähr $490{\text{lb/ft}}^3$. Derselbe Wert erscheint im Arcadis Construction Cost Handbook (2019). Bei strenger Verwendung konventioneller Einheiten würde die Massendichte in lbm/ft³ und das spezifische Gewicht in lbf/ft³ angegeben. Unter Standardgravitation sind die Zahlenwerte jedoch nahezu gleich: $7850{\text{kg/m}}^3$ entsprechen ungefähr $490{\text{lbm/ft}}^3$, während das entsprechende spezifische Gewicht etwa $490{\text{lbf/ft}}^3$ beträgt.

Diese zahlenmäßige Übereinstimmung ist die Ursache vieler fehlerhafter Umrechnungen. Pound-Mass (lbm) und Pound-Force (lbf) sind nicht austauschbar. Die Bezeichnungen sollten beibehalten werden, wenn die Unterscheidung eine Last, ein Kräftegleichgewicht oder eine Umrechnung beeinflusst. NIST Appendix B.9 stellt den dimensionalen Rahmen für die Umrechnung zwischen SI-Einheiten und konventionellen Einheiten bereit; dadurch entfällt jedoch nicht die Notwendigkeit festzustellen, ob eine Tabelle die Massendichte oder die Kraftdichte angibt.

Die Rolle der Fallbeschleunigung

Die Gravitation ist keine Materialeigenschaft. Sie ist eine Beschleunigung, die auf eine Masse wirkt. Daher ändert sich das spezifische Gewicht mit dem örtlichen Wert von $g$, auch wenn das Material und seine Massendichte unverändert bleiben.

Für einen Gegenstand aus Stahl gilt:

$$W=\mathrm{mg}$$

und nach Einsetzen von $m=\rho V$:

$$W=\rho \mathrm{Vg}$$

Durch Division durch das Volumen erhält man $\gamma =\rho g$. Bei Standardgravitation gilt im SI-System definitionsgemäß exakt $g=9.80665{\text{m/s}}^2$. Die örtliche Fallbeschleunigung variiert geringfügig mit der geografischen Breite und der Höhe, obwohl bei den meisten Tragwerksberechnungen die Standardgravitation verwendet wird, sofern kein präziseres physikalisches Modell erforderlich ist.

Aus diesem Grund ist die Dichte normalerweise die sicherere Eingangsgröße für Massenberechnungen. Ein Planungsbüro kann dieselbe Massendichte verwenden und für eine bestimmte Lastberechnung die Fallbeschleunigung ändern. Eine Verwechslung der beiden Größen würde eine ortsabhängige Kraft an eine Größe binden, die eigentlich eine Materialgröße sein sollte.

Auch die angenommene Dichte sollte überprüft werden. Handbücher für Baustahl berechnen die tabellierte Masse pro Meter häufig mit $7850{\text{kg/m}}^3$, und der National Research Council Canada (2019) verwendet diesen Wert im Zusammenhang mit der Brandschutztechnik. RoyMech (2024) verwendet dagegen für Baustahl mit niedrigem Kohlenstoffgehalt bei Berechnungen von Rechteckstäben $7830{\text{kg/m}}^3$. Materialreferenzen geben für kohlenstoffarmen Stahl ASTM A366/A569 $7.80{\text{g/cm}}^3$ und für ultrahochfesten Stahl 300M $7.87{\text{g/cm}}^3$ an. Diese Werte entsprechen ungefähr 7800 beziehungsweise 7870 kg/m³. Der Unterschied ist für viele Abschätzungen gering, zeigt jedoch, dass $7850{\text{kg/m}}^3$ ein konventioneller technischer Wert und keine universelle Konstante für jede Güte, jede Schmelze, jede Temperatur oder jeden Produktzustand ist.

Die relative Dichte als Verhältnis

Die relative Dichte, häufig mit $\mathrm{SG}$ bezeichnet, ist dimensionslos:

$$\mathrm{SG}=\frac{{\rho }_{\text{material}}}{{\rho }_{\text{reference}}}$$

Bei Feststoffen und Flüssigkeiten ist Wasser nahe $4^{\circ }\text{C}$ der übliche Bezugsstoff; seine Dichte beträgt ungefähr $1000{\text{kg/m}}^3$. Eine Stahldichte von $7850{\text{kg/m}}^3$ ergibt daher nach dieser Konvention eine relative Dichte von ungefähr 7,85. Es bleibt keine Einheit übrig, weil Zähler und Nenner dieselben Dimensionen besitzen.

Engineering ToolBox gibt für Stahl ungefähr $7.82{\text{g/cm}}^3$ an. Dies würde bei einem Vergleich mit Wasser unter der angegebenen Referenzbedingung einer relativen Dichte von etwa 7,82 entsprechen. Diese Zahl ist weder $7.82{\text{kg/m}}^3$ noch ein spezifisches Gewicht. Sie ist eine in g/cm³ ausgedrückte Dichte oder erst nach der Division durch die Dichte des Referenzwassers in übereinstimmenden Einheiten ein dimensionsloses Verhältnis.

Eine Spezifikation sollte daher die Größe und die Einheit ausdrücklich angeben: Dichte in kg/m³, spezifisches Gewicht in N/m³ oder relative Dichte als Verhältnis. Diese einfache Vorgehensweise verhindert den häufigen Fehler, 7850 als nicht näher bezeichnetes „Gewicht“ zu behandeln und anschließend die Gravitation ein zweites Mal anzuwenden – oder sie nicht anzuwenden, wenn eine Kraft benötigt wird.

Temperatur, Brandschutztechnik und der Stahlprofilfaktor

Dichte bei Berechnungen für erwärmten Stahl

Bei Raumtemperatur wird die Stahlmasse üblicherweise berechnet mit

$$m=\rho V$$

wobei $\rho$ die Massendichte ist. Für ein prismatisches Bauteil der Länge $L$ und der Querschnittsfläche $A$ gilt

$$m=\rho AL$$

und seine Masse je Längeneinheit beträgt

$$\frac{m}{L}=\rho A.$$

Der konventionelle Wert $7850{\text{kg/m}}^3$ ergibt daher für ein Stahlprofil mit einer Fläche von $0.010{\text{m}}^2$ eine Masse von $78.5\text{kg/m}$. Dies ist eine Massenberechnung und keine Berechnung der Brandeinwirkung.

NIST definiert die Massendichte als $\rho =m/V$ mit der SI-Einheit Kilogramm je Kubikmeter und das spezifische Volumen als $V/m$ (NIST, 2024). Diese Definitionen bleiben auch bei Erwärmung des Stahls gültig, aber die numerische Dichte kann sich ändern, weil sich der Stahl ausdehnt. Wenn die Masse im Wesentlichen konstant bleibt, während das Volumen zunimmt, sinkt die momentane Dichte. Ein Brandmodell kann daher temperaturabhängige Werte für Dichte, Wärmeausdehnung, spezifische Wärmekapazität und Wärmeleitfähigkeit verwenden, anstatt nur einen Wert bei Raumtemperatur anzusetzen.

Für viele Tragwerksberechnungen ist die Verwendung von $7850{\text{kg/m}}^3$ eine angemessene ingenieurmäßige Konvention. Das Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3. Auflage (2016), verwendet diesen Wert zur Berechnung der tabellierten Masse je Meter. Der National Research Council Canada (NRC) gibt in seinen brandschutztechnischen Unterlagen von 2019 ebenfalls $7850{\text{kg/m}}^3$ an, während das U.S. Department of Defense im UFC 4-023-07 denselben Wert, ungefähr $490{\text{lb/ft}}^3$, aufführt. Diese Literaturstellen bilden eine standardisierte Berechnungsgrundlage; sie belegen jedoch nicht, dass jede Güte genau diese Dichte besitzt.

Daten zu Güten und Produkten zeigen diesen Unterschied. MatWeb gibt für kohlenstoffarmen Stahl nach ASTM A366/A569 eine typische Dichte von $7.80{\text{g/cm}}^3$ an, während ASM MatWeb für den hochfesten Stahl 300M eine Dichte von $7.87{\text{g/cm}}^3$ angibt. RoyMech verwendet für Baustahl $7830{\text{kg/m}}^3$, und Engineering ToolBox führt für Stahl ungefähr $7.82{\text{g/cm}}^3$ auf. Für gewöhnliche Massenschätzungen sind diese Unterschiede gering, sie werden jedoch relevant, wenn eine Spezifikation nachvollziehbare Werkstoffdaten verlangt oder wenn mehrere Annahmen miteinander kombiniert werden.

Bei einer Berechnung für ein erwärmtes Bauteil trägt die Dichte zur thermischen Masse bei. Für eine Längeneinheit Stahl beträgt die Wärmekapazität näherungsweise

$$C\prime =\rho A{c}_p,$$

wobei $c_p$ die spezifische Wärmekapazität ist. Wenn sich $\rho$, $A$ oder $c_p$ mit der Temperatur ändert, ändert sich auch die Wärmekapazität. Die Dichte tritt außerdem in Wärmeübertragungsformulierungen auf, die die volumetrische Wärmekapazität und, abhängig vom numerischen Verfahren, die Temperaturleitfähigkeit betreffen. Sie ist eine Eingangsgröße unter mehreren.

Sie ist nicht der Profilfaktor.

Erwärmter Umfang geteilt durch die Querschnittsfläche

Profilfaktor von StahlProfilfaktor von Stahl Ein Parameter für die Brandeinwirkung, der üblicherweise als F = Hp/A oder Am/V geschrieben wird und die Einheit inverse Länge besitzt; er beschreibt den erwärmten Umfang im Verhältnis zum Stahlvolumen und nicht die Massendichte.

Der NRC-Kurzlehrgang führt den Stahlprofilfaktor als den erwärmten Umfang geteilt durch die Querschnittsfläche ein. Er wird üblicherweise geschrieben als

$$F=\frac{H_p}{A}$$

oder in der brandschutztechnischen Schreibweise als

$$\frac{A_m}{V}.$$

Dabei bezeichnet $H_p$ oder $A_m$ den beflammten oder erwärmten Umfang, während $A$ die Stahlfläche eines Bauteils je Längeneinheit bezeichnet. Da das Stahlvolumen in einem Meter Bauteil $A\times 1$ beträgt, sind beide Formen dimensionsmäßig gleichwertig. Der Profilfaktor hat die Einheit des Kehrwerts einer Länge, beispielsweise ${\text{m}}^{-1}$.

Angenommen, ein Bauteil besitzt eine Stahlfläche von $0.010{\text{m}}^2$ und einen erwärmten Umfang von $2.0\text{m}$ je Meter Länge. Sein Profilfaktor beträgt

$$F=\frac{2.0}{0.010}=200{\text{m}}^{-1}.$$

Die Änderung der angenommenen Dichte von $7850$ auf $7830{\text{kg/m}}^3$ verändert die berechnete Masse je Meter geringfügig, nicht jedoch dieses geometrische Verhältnis. Der Profilfaktor ändert sich nur, wenn sich der erwärmte Umfang oder die Stahlfläche ändert.

Dies erklärt, warum zwei Bauteile aus Stahl, denen dieselbe Nenndichte zugewiesen wird, bei einem Normbrand unterschiedliche Temperaturen erreichen können. Ein kompaktes Profil besitzt im Verhältnis zur dahinterliegenden Stahlmenge eine relativ kleine exponierte Oberfläche. Ein dünnwandiges oder stark profiliertes Bauteil besitzt bei gleicher Stahlfläche einen größeren erwärmten Umfang und reagiert normalerweise schneller. Das erste Bauteil hat einen niedrigeren Profilfaktor, das zweite einen höheren.

Die Beflammung muss sorgfältig definiert werden. Ein an drei Seiten erwärmter Träger besitzt einen kleineren erwärmten Umfang als derselbe Träger bei Erwärmung an vier Seiten. Eine Decke kann den oberen Flansch abschirmen, während eine freistehende Stütze an ihrem gesamten Umfang beflammt sein kann. Hinterschnittene Ecken, Flanschkanten, Lippen, Steifen und Öffnungen können den für das Berechnungsverfahren verwendeten Umfang verändern. Der geometrische Umfang des Stahls ist nicht automatisch identisch mit dem Umfang, der die Brandwärme aufnimmt.

Der Brandschutz führt zu einer weiteren Konvention. Bei einem konturfolgenden Brandschutz gelangt die Wärme durch ein Material zum Stahl, das dem Stahlprofil folgt; daher beeinflussen die Stahl-Schutzschicht-Grenzfläche und die Dicke der Schutzschicht den Wärmeübertragungsweg. Ein Kastenbrandschutz ersetzt ein detailliertes Profil durch ein umschließendes Rechteck oder eine andere vereinfachte Begrenzung. Dieser Kasten kann einen anderen Umfang besitzen und Luftspalte oder ungenutzten Raum einschließen. Ein Hohlraum ist kein Stahl: Er trägt weder zur Stahlmasse noch zur Wärmekapazität des Stahls bei, kann jedoch die Strahlung, die Konvektion und die Strecke beeinflussen, die die Wärme durch den Brandschutz zurücklegen muss.

Die Dicke des Brandschutzes fügt außerhalb des Stahls hauptsächlich Wärmewiderstand und Wärmekapazität hinzu. Sie kann außerdem den Umfang verändern, der in einer Formel für den Profilfaktor eines geschützten Querschnitts verwendet wird. Die maßgebende Norm oder das Berechnungsmodell muss festlegen, ob das Verhältnis den Umfang des ungeschützten Stahls, die Grenzfläche zum Brandschutz oder den Umfang eines umschließenden Kastens verwendet. Die Anwendung eines Wertes für einen ungeschützten Querschnitt auf ein Kastensystem, ohne die Definition zu überprüfen, kann zu einem physikalisch inkonsistenten Ergebnis führen.

Masse im Vergleich zum thermischen Verhalten

Masse und Temperaturanstieg stehen miteinander in Beziehung, sind jedoch nicht austauschbar. Für eine bestimmte Stahlfläche beträgt die Masse je Meter

$$m\prime =\rho A.$$

Das thermische Verhalten hängt außerdem davon ab, wie viel Oberfläche je Meter exponiert ist, dargestellt durch $H_p$, sowie von der über diese Oberfläche zugeführten Wärme. Ein sinnvoller erster Vergleich besteht darin, dass die Wärmekapazität je Längeneinheit mit $\rho A{c}_p$ skaliert, während die zugeführte Wärme im Allgemeinen mit dem erwärmten Umfang und den Wärmeübertragungsbedingungen skaliert. Ihr Verhältnis enthält daher dieselbe geometrische Beziehung, die durch den Profilfaktor ausgedrückt wird.

Ein schweres Profil kann mehr thermische Masse enthalten und sich dennoch schnell erwärmen, wenn es einen großen exponierten Umfang besitzt. Umgekehrt kann sich ein Bauteil mit geringerer Masse je Meter langsamer erwärmen, wenn sein exponierter Umfang im Verhältnis zu seiner Fläche klein ist und es durch einen ausreichenden Brandschutz geschützt wird. Das Ergebnis hängt außerdem von der Wärmeleitfähigkeit des Stahls, der spezifischen Wärmekapazität, dem Emissionsgrad, der Konvektion, der Ofentemperatur, der Feuchtigkeit im Brandschutz, dem Kontaktwiderstand und Abschattungseffekten zwischen benachbarten Oberflächen ab.

Die Temperatur verändert die Betrachtung zusätzlich. Die Ausdehnung des Stahls verändert Abmessungen und Dichte, während Festigkeit und Steifigkeit mit zunehmender Temperatur abnehmen. Durch Oxidation kann eine geringe Materialmenge verloren gehen; Beschichtungen können Masse hinzufügen, ohne die Wärmekapazität des Stahls zu erhöhen; Hohlprofile können Luft enthalten, die am Wärmeübergang beteiligt ist, jedoch nicht dieselbe thermische Masse wie Stahl beiträgt. Keine dieser Wirkungen wird erfasst, indem jede Dichte durch $7850{\text{kg/m}}^3$ ersetzt wird.

Verwenden Sie $7850{\text{kg/m}}^3$ als angegebene ingenieurmäßige Konvention, wenn die maßgebende Tabelle oder Norm dies vorsieht. Verwenden Sie gütespezifische Daten, wenn die Berechnung dies erfordert. Für das Brandverhalten sind anschließend der korrekte erwärmte Umfang und der Profilfaktor zu berechnen oder zu ermitteln; danach ist das in der maßgebenden Brandschutznorm festgelegte Schutz- und temperaturabhängige Werkstoffmodell anzuwenden. Die Dichte gibt an, wie viel Stahl vorhanden ist. Der Profilfaktor beschreibt, wie leicht dieser Stahl erwärmt wird.

Konstruktionsreferenzen und Daten zu physikalischen Eigenschaften

Eine Berechnung der Stahldichte ist nur so belastbar wie der zugrunde gelegte Eigenschaftswert. Der häufig wiederholte Wert von 7850 kg/m³ ist nützlich, sollte jedoch als konventioneller Ingenieurwert und nicht als exakte, unabhängig von der Güte geltende Werkstoffkonstante bezeichnet werden. Das National Institute of Standards and Technology (NIST) definiert die Massendichte als

$$\rho =\frac{m}{V}$$

wobei $\rho$ die Massendichte, $m$ die Masse und $V$ das Volumen bezeichnet. NIST gibt Kilogramm je Kubikmeter (kg/m³) als SI-Einheit an und definiert das spezifische Volumen als $V/m$, also als Kehrwert der Dichte. Diese Definitionen, die in der Ausgabe 2024 des NIST Guide to the SI veröffentlicht wurden, bilden den Ausgangspunkt für jede Umrechnung und Berechnung.

Für ein gleichförmiges Bauteil ergibt sich die Masse aus

$$m=\rho V$$

und das Volumen kann sich aus der mit der Querschnittsfläche multiplizierten Länge ergeben:

$$V=\mathrm{AL}$$

Durch Kombination der Ausdrücke ergibt sich die Masse pro Längeneinheit:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Daher können Tabellen für Baustahl Kilogramm je Meter angeben, ohne das Volumen jedes einzelnen Meterstücks des Profils gesondert aufzuführen. Wenn ein rechteckiger Stab 50 mm breit und 20 mm dick ist, beträgt seine Fläche $0.050\times 0.020=0.0010{\text{m}}^2$. Bei Verwendung von 7850 kg/m³ ergibt sich $7.85\text{kg/m}$. Bei Verwendung von 7830 kg/m³ ergibt sich $7.83\text{kg/m}$. Der Unterschied ist in diesem Beispiel gering, doch der ausgewählte Wert bleibt Bestandteil der Berechnungsdokumentation.

NIST NCSTAR 1-3e

NIST NCSTAR 1-3e, Physikalische Eigenschaften von Baustählen, ist eine institutionelle Referenz, die im Rahmen der Untersuchung der Einstürze des World Trade Centers erstellt wurde. Ihr Zweck besteht nicht darin, eine universelle Dichte für alle Stähle festzulegen. Sie stellt Informationen zu physikalischen Eigenschaften zusammen, die für Baustähle relevant sind, einschließlich des temperaturabhängigen Verhaltens und der Eigenschaften, die zum Verständnis des Tragwerksverhaltens unter Brand- und erhöhten Temperaturbedingungen erforderlich sind.

Diese Unterscheidung ist wichtig. Die Dichte ist nur eine physikalische Eigenschaft, und das Verhalten von Stahl bei hohen Temperaturen kann nicht allein durch die Dichte bei Raumtemperatur dargestellt werden. Die Wärmeausdehnung verändert die Abmessungen und damit das Volumen; außerdem beeinflusst die Temperatur den Elastizitätsmodul, die Streckgrenze, die Wärmeleitfähigkeit und die spezifische Wärmekapazität. Für eine Brandberechnung können daher temperaturabhängige Werkstoffdaten anstelle eines einzelnen Raumtemperaturwerts erforderlich sein, der aus einer allgemeinen Umrechnungstabelle übernommen wurde.

NIST NCSTAR 1-3e sollte zusammen mit der für das untersuchte Bauteil geltenden Werkstoffbezeichnung und den Prüfinformationen gelesen werden. „Baustahl“ kann unterschiedliche chemische Zusammensetzungen, Herstellungsverfahren, Wärmebehandlungen und Produktformen umfassen. Ein gewalztes Blech, ein vergütetes hochfestes Bauteil und ein nichtrostendes Stahlerzeugnis sind nicht allein deshalb austauschbar, weil sie umgangssprachlich jeweils als Stahl bezeichnet werden.

Der häufig verwendete Wert von 7850 kg/m³ bleibt für viele gewöhnliche Tragwerksberechnungen angemessen. Er stimmt außerdem mit mehreren Ingenieurreferenzen überein. Das Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3. Ausgabe von 2016, gibt an, dass die tabellierten Massen von Baustahl je Meter unter Verwendung von 7850 kg/m³ berechnet werden. Der National Research Council Canada führt in seiner Veröffentlichung zur Brandbemessung von 2019 ebenfalls eine Stahldichte von 7850 kg/m³ auf; dort ist der Stahlquerschnittsfaktor als beheizter Umfang dividiert durch die Querschnittsfläche definiert. Diese Definition des Querschnittsfaktors ist von der Dichte unabhängig: $A_m/V$, beziehungsweise der Umfang dividiert durch das Stahlvolumen bei einer Einheitslänge, beschreibt die Wärmebeanspruchung und nicht die Masse.

Leitlinien der Federal Highway Administration für Brückenstahl

Das Steel Bridge Design Handbook der Federal Highway Administration ist eine weitere institutionelle Referenz, hat jedoch eine andere Funktion als eine allgemeine Dichtetabelle. Das Handbuch behandelt die Bemessung von Stahlbrücken und das Tragverhalten von Stahlbauteilen, Verbindungen, Blechen, Trägern, Ermüdungsdetails, Bruchbetrachtungen und damit zusammenhängende Bemessungsfragen. Es ist daher eine geeignete Quelle, wenn die Berechnung ein Autobahnbrückenbauteil betrifft und der maßgebliche Bemessungskontext ein US-amerikanisches Verkehrsinfrastrukturprojekt ist.

Für ein Brückenbauteil kann das Handbuch dabei helfen, die anzuwendende Güte, Produktform, Grenzzustandsart und Bemessungskonvention festzulegen. Die Bezeichnung muss exakt gemäß den Vorgaben beibehalten werden — beispielsweise ist ASTM A709 Grade 50W nicht dieselbe Bezeichnung wie ASTM A572 Grade 50, auch wenn beide in Diskussionen über Baustahl vorkommen können. Die mechanischen Eigenschaften und Umweltanforderungen können sich unterscheiden, und die Projektdokumente können zusätzliche Anforderungen an Zähigkeit, Schweißen oder Prüfung enthalten.

Das Handbuch sollte nicht dazu verwendet werden, eine projektspezifische Anforderung außer Kraft zu setzen. Wenn die Vertragsunterlagen ASTM A709 Grade 50 ausweisen, ist diese Bezeichnung zusammen mit der zugehörigen Werkstoffdokumentation zu verwenden. Wenn sie ASTM A709 Grade 50W ausweisen, darf nicht stillschweigend eine andere Güte eingesetzt werden, nur weil ein allgemeiner Rechner dieselbe Dichte ausgibt. Die Dichte beeinflusst Masse und Volumen; sie legt jedoch weder Streckgrenze, Bruchzähigkeit, Schweißbarkeit, Korrosionsbeständigkeit noch Ermüdungsverhalten fest.

Für vorläufige Mengenermittlungen im Brückenbau ist 7850 kg/m³ eine konventionelle und nachvollziehbare Annahme. Das U.S. Department of Defense UFC 4-023-07, veröffentlicht im Jahr 2008, führt 7850 kg/m³ auf und gibt ungefähr 490 lb/ft³ an. Die beiden Werte sind gerundete Äquivalente: Die Umrechnung von 7850 kg/m³ ergibt etwa 490.1 lb/ft³. Eine Rundung ist zulässig, wenn die erforderliche Genauigkeit dies erlaubt; in der Berechnung sollte jedoch angegeben werden, welches Einheitensystem und welche Genauigkeit verwendet wurden.

Auswahl einer Quelle für eine Berechnung

Verwenden Sie eine klare Quellenhierarchie. Die maßgebliche Projektspezifikation, der Werkstoffstandard oder die Vertragsanforderung steht an erster Stelle. An zweiter Stelle folgt ein Bemessungscode oder institutionelles Handbuch. An dritter Stelle steht ein verifiziertes Werkstoffdatenblatt eines Herstellers oder Labors. Ein allgemeiner Online-Rechner oder eine Referenztabelle ohne Quellenangabe steht an letzter Stelle und sollte hauptsächlich zur Vorprüfung oder zur Kontrolle der Rechenarithmetik verwendet werden.

Diese Reihenfolge verhindert, dass eine bequeme Zahl die tatsächliche Bemessungsgrundlage außer Kraft setzt. Ein Projekt kann ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, ASTM A709 Grade 50, ASTM A709 Grade 50W oder eine andere Bezeichnung vorgeben. Ein Datenblatt für ASTM A366/A569 kohlenstoffarmen Stahl gibt eine typische Dichte von 7.80 g/cm³ an, entsprechend 7800 kg/m³ oder 0.282 lb/in³. Ein Datenblatt für ultrahochfesten 300M-Stahl gibt 7.87 g/cm³ beziehungsweise 7870 kg/m³ und 0.284 lb/in³ an. Diese Werte zeigen, warum 7850 kg/m³ nicht für jede Güte als exakt dargestellt werden sollte.

Andere Referenzen zeigen dieselbe Spannbreite in der gewöhnlichen Ingenieurpraxis. RoyMech verwendet bei der Berechnung der Masse rechteckiger Stäbe je Längeneinheit 7830 kg/m³ für Baustahl, während Engineering ToolBox Stahl mit ungefähr 7.82 g/cm³ angibt. Keine der beiden Angaben setzt automatisch eine maßgebliche Spezifikation außer Kraft. Jede Angabe ist ein ausdrücklich genannter Referenzwert mit eigener vorgesehener Genauigkeit und eigenem Geltungsbereich.

Dokumentieren Sie die Quelle, das Veröffentlichungs- oder Zugriffsdatum, die Werkstoffbezeichnung, die Einheiten, sofern verfügbar die Temperaturgrundlage sowie die angenommene Dichte. Halten Sie außerdem fest, ob sich das Ergebnis auf blanken Stahl bezieht oder Anstrich, Verzinkung, Brandschutz, Verbindungsmittel, Schweißgut oder andere angebrachte Werkstoffe einschließt. Auch die Geometrie muss angegeben werden: Nennabmessungen, gemessene Abmessungen oder tabellierte Querschnittsfläche. Verwenden Sie bei einem gewalzten Profil die tabellierte Masse des Herstellers oder Standards, wenn diese Masse bereits Kehlen, Eckradien und Dickentoleranzen berücksichtigt; die Multiplikation nur der Gesamtabmessungen von Breite und Höhe kann die tatsächliche Fläche überschätzen oder unzutreffend darstellen.

Halten Sie schließlich Dichte, spezifisches Gewicht und relative Dichte getrennt. Das spezifische Gewicht ist das Gewicht pro Volumen und hängt von der Erdbeschleunigung ab; die relative Dichte ist ein Verhältnis zu einem Referenzstoff, in der Regel Wasser. Keiner dieser Begriffe kann die Massendichte in $m=\rho V$ ersetzen. Für gewöhnliche Schätzungen von Tragwerken bei Raumtemperatur ist 7850 kg/m³ häufig eine zweckmäßige Konvention. Die Annahme wird jedoch ungeeignet, wenn Güte, Temperatur, Geometrie, Porosität, Beschichtungssystem oder erforderliche Genauigkeit etwas anderes verlangen.

Berechnungsprotokoll für Ingenieure, Fertigungsfachleute und Studierende

Eine zuverlässige Berechnung für Stahl beginnt mit der Bestimmung der gesuchten Größe und nicht mit der Eingabe von 7850 in einen Taschenrechner. Dichte, Masse, Volumen, Masse je Längeneinheit, spezifisches Volumen, spezifisches Gewicht und relative Dichte stehen miteinander in Beziehung, sind jedoch nicht austauschbar.

Die gesuchte Größe definieren

Das NIST definiert die Massendichte als Masse geteilt durch Volumen:

$$\rho =\frac{m}{V}$$

Die SI-Einheit ist Kilogramm je Kubikmeter, kg/m³. Das NIST definiert außerdem das spezifische Volumen als Volumen geteilt durch Masse:

$$v=\frac{V}{m}=\frac{1}{\rho }$$

Das spezifische Volumen hat daher Einheiten wie m³/kg und nicht kg/m³. Diese Unterscheidung ist beim Lesen thermophysikalischer Eigenschaftstabellen oder bei der Umstellung einer Gleichung aus einem Lehrbuch von Bedeutung.

Wenn die gesuchte Größe die Masse ist, wird die Dichtegleichung umgestellt:

$$m=\rho V$$

Wenn die gesuchte Größe das Volumen ist:

$$V=\frac{m}{\rho }$$

Bei einem Tragwerkselement ist normalerweise die Masse je Längeneinheit von Interesse:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Dabei ist $A$ die Querschnittsfläche senkrecht zur Längsachse des Elements. Diese Gleichung erklärt, warum eine Profiltafel Kilogramm je Meter angeben kann, ohne das vollständige dreidimensionale Volumen für jede mögliche Elementlänge aufzuführen.

Gewicht ist etwas anderes als Masse. Das spezifische Gewicht ist die Kraft je Volumeneinheit:

$$\gamma =\rho g$$

Dabei ist $g$ die Erdbeschleunigung. Ein Wert in N/m³ oder kN/m³ ist keine Massendichte in kg/m³. Die relative Dichte ist ein Verhältnis, üblicherweise die Dichte des Materials geteilt durch die Dichte eines Bezugsstoffs, meist Wasser bei einer angegebenen Temperatur. Sie ist einheitslos. 7850 kg/m³ als „relative Dichte“ zu bezeichnen, ist daher ein Kategorienfehler.

Auch der zu berechnende Gegenstand muss definiert werden. „Masse der Stahlplatte“ kann ausschließlich den blanken Stahl bedeuten, während „Versandmasse der beschichteten Baugruppe“ Farbe, Verzinkung, Schweißgut, Schrauben, Unterlegplatten und angebautes Zubehör einschließen kann. Für eine Brandberechnung kann der dem Brand ausgesetzte beheizte Umfang geteilt durch die Stahlquerschnittsfläche erforderlich sein – der Profilfaktor, der vom National Research Council Canada in seinen Leitlinien von 2019 verwendet wird. Dabei handelt es sich um einen geometrischen Expositionsparameter, nicht um eine Dichte und nicht um eine Masse je Meter.

Wählen Sie den Materialwert mit Blick auf die Anwendung. Konstruktionsnormen und Fachliteratur für Stahl verwenden häufig 7850 kg/m³ zur Erstellung tabellierter Massen je Meter. Der National Research Council Canada gibt die Stahldichte mit 7850 kg/m³ an, und das U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 führt denselben Wert als ungefähr 490 lb/ft³ auf. Das Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3. Auflage (2016), verwendet für tabellierte Massen von Baustahl ebenfalls 7850 kg/m³.

Diese Quellen legen eine nützliche ingenieurtechnische Konvention fest, jedoch keinen unveränderlichen Wert für jede Stahlsorte. MatWeb gibt für kohlenstoffarmen Stahl nach ASTM A366/A569 eine typische Dichte von 7,80 g/cm³ an, entsprechend 7800 kg/m³. ASM MatWeb gibt für ultrahochfesten Stahl 300M 7,87 g/cm³ beziehungsweise 7870 kg/m³ an. RoyMech verwendet für Baustahl 7830 kg/m³, während Engineering ToolBox für Stahl ungefähr 7,82 g/cm³ angibt. Für viele Fertigungsschätzungen sind die Unterschiede gering, sie sind jedoch real und können bei Massenbilanzen mit hoher Genauigkeit, bei der Werkstoffidentifikation, bei thermischen Analysen und bei zertifizierten Berechnungen von Bedeutung sein.

Abmessungen und Einheiten überprüfen

Schreiben Sie vor der Berechnung jede Abmessung mit ihrer Einheit auf. Wandeln Sie alle geometrischen Größen vor der Multiplikation in ein einheitliches System um. Verwenden Sie bei Berechnungen im SI-System Meter für Längen, Quadratmeter für Flächen und Kubikmeter für Volumen. Die SI-Leitlinien des NIST aus dem Jahr 2024, einschließlich Anhang B.9, stellen die für diese Überprüfung erforderlichen Dimensionsbeziehungen und Umrechnungsgrundlagen bereit.

Der häufigste Fehler besteht darin, 7,85 so zu verwenden, als wäre es kg/m³. Die Zahl 7,85 ist üblicherweise eine Kurzschreibweise für 7,85 g/cm³. Dies entspricht 7850 kg/m³, da gilt:

$$1{\text{g/cm}}^3=1000{\text{kg/m}}^3$$

Für einen rechteckigen Stab mit einer Breite von 50 mm, einer Dicke von 20 mm und einer Länge von 3,0 m werden die Abmessungen daher zunächst umgerechnet:

$$A=\left(0.050\right)\left(0.020\right)=0.00100{\text{m}}^2$$

$$V=\mathrm{AL}=\left(0.00100\right)\left(3.0\right)=0.00300{\text{m}}^3$$

Unter Verwendung des üblichen Wertes für Konstruktionsstahl:

$$m=\left(7850\right)\left(0.00300\right)=23.55\text{kg}$$

Dasselbe Ergebnis lässt sich mithilfe der Masse je Längeneinheit ermitteln:

$$m/L=\left(7850\right)\left(0.00100\right)=7.85\text{kg/m}$$

$$m=\left(7.85\right)\left(3.0\right)=23.55\text{kg}$$

Behalten Sie die Einheiten in jeder Zwischenzeile bei. Sie machen Fehler sichtbar, die ein Taschenrechner verbergen würde. Die Multiplikation einer Breite mit einer Dicke ergibt eine Fläche und kein Volumen. Erst durch die Multiplikation mit einer Länge wird aus einer Fläche ein Volumen. Ein Rechteck mit 50 mm × 20 mm ist nicht „1000 mm³“, sondern 1000 mm². Die fehlende Länge ist keine geringfügige Auslassung.

Bei Hohlprofilen ist die Stahlfläche und nicht die äußere Umhüllungsfläche zu berechnen, wenn das Ergebnis die Stahlmasse betrifft. Bei einem rechteckigen Hohlprofil ist die innere Hohlraumfläche von der äußeren Fläche abzuziehen; dabei sind Eckradien und die tatsächliche Wanddicke zu berücksichtigen, sofern die Profiltabelle diese angibt. Bei einem I-Profil sollte, sofern verfügbar, die vom Hersteller oder in der Norm veröffentlichte Querschnittsfläche verwendet werden. Das Aufsummieren von Nennflächen für Flansche und Steg kann an Ausrundungen, Verjüngungen und Walzprofilen zu Fehlern führen.

Machen Sie Angaben zu Temperatur und Zustand. Die Wärmeausdehnung verändert die Abmessungen, und die Dichte verändert sich umgekehrt zum Volumen, wenn die Masse konstant bleibt. Eine Berechnung bei Raumtemperatur muss nicht für ein Ofenbauteil, eine kryogene Baugruppe oder ein brandbeanspruchtes Element repräsentativ sein. NIST NCSTAR 1-3 liefert physikalische Eigenschaftsdaten im Zusammenhang mit Baustählen, während das Steel Bridge Design Handbook der Federal Highway Administration Brückenstähle und deren mechanische Eigenschaften behandelt. Keine der beiden Quellen macht aus einer gerundeten Dichte eine universelle, von der Stahlsorte unabhängige Konstante.

Für Beschichtungen gilt dieselbe Sorgfalt. Eine 10 mm starke Stahlplatte mit Farbbeschichtung hat nahezu dasselbe Stahlvolumen wie die unbeschichtete Platte, ihre Gesamtmasse als Baugruppe ist jedoch höher. Zinkbeschichtung, Brandschutz, Korrosionsprodukte, Schweißgut, Schrauben und eingeschlossene Feuchtigkeit können bei einer Berechnung der Baugruppenmasse ebenfalls zu berücksichtigen sein. Geben Sie an, ob es sich beim Ergebnis um die Masse des blanken Stahls, die Masse des fertigen Bauteils oder die Transportmasse handelt.

Das Ergebnis mit Profildaten abgleichen

Der letzte Schritt ist ein unabhängiger Vergleich. Verwenden Sie eine zuverlässige Profiltabelle, ein Walzwerksdatenblatt, eine Fertigungszeichnung oder ein Materialzeugnis und vergleichen Sie Gleiches mit Gleichem: dieselbe Profilbezeichnung, dieselbe Längengrundlage, dieselbe Nenndicke, dieselbe Dichtekonvention und dieselben Einschlussregeln. Eine veröffentlichte Masse je Meter kann die Nenngeometrie einschließen, Beschichtungen und Anbauteile jedoch ausschließen.

Für das oben angeführte Beispiel sollte eine Profiltabelle bei Anwendung der Konvention 7850 kg/m³ mit 7,85 kg/m für ein massives Rechteck von 50 mm × 20 mm übereinstimmen. Wenn sie 78,5 kg/m angibt, überprüfen Sie die Umrechnung von Millimetern in Meter. Wenn sie 0,00785 kg/m angibt, überprüfen Sie die Flächeneinheiten. Bei einer geringfügigen Abweichung der Tabelle sind Eckradien, tatsächliche Abmessungen, Walztoleranzen und die ausgewählte Dichte zu überprüfen.

Runden Sie erst nach Abschluss der Berechnung und des Vergleichs. Behalten Sie bei umgerechneten Abmessungen, Fläche, Volumen und Masse je Meter zusätzliche Stellen bei und geben Sie anschließend eine durch die Eingangsdaten gerechtfertigte Genauigkeit an. Ein Ergebnis von 23,55 kg sollte nicht als 23,550000 kg angegeben werden, nur weil eine Tabellenkalkulation sechs Dezimalstellen anzeigt.

Halten Sie abschließend die Annahme neben dem Ergebnis fest: „23,6 kg, blanker rechteckiger Stahl entsprechend ASTM A366/A569, unter Verwendung von 7850 kg/m³, Nennabmessungen, Länge 3,0 m.“ Dadurch wird das Ergebnis reproduzierbar, und es wird genau ersichtlich, an welcher Stelle eine andere Stahlsorte, Temperatur, Beschichtung, Geometrie oder Dichtekonvention zu einer Änderung führen würde.

Grenzen der vereinfachten Dichteberechnung

Die Verwendung von

$$m=\rho V$$

mit $\rho =7850{\text{kg/m}}^3$ ist für eine vorläufige Stahlerfassung oder eine Tragwerksberechnung auf Grundlage veröffentlichter Profiltafeln häufig ausreichend. Sie stellt jedoch keine vollständige Beschreibung eines gefertigten Stahlbauteils dar. Das Ergebnis hängt davon ab, welches Volumen verwendet wurde, welches Material dieses Volumen repräsentiert und ob sich die Berechnung auf blanken Stahl, eine beschichtete Konstruktion oder ein fertiges Bauteil bezieht.

Das National Institute of Standards and Technology (NIST) definiert die Massendichte in seinen SI-Leitlinien von 2024 als Quotienten aus Masse und Volumen, $\rho =m/V$, und das spezifische Volumen als $V/m$. Diese Definitionen weisen nicht jeder Stahlsorte eine einheitliche Dichte zu. Der Wert 7850 kg/m³ ist ein konventioneller Ingenieurwert: Das Handbook of Structural Steelwork, 3. Auflage (2016), verwendet ihn für das tabellierte Stahlgewicht pro Meter, während auch der National Research Council Canada (2019) und das U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 (2008) 7850 kg/m³ angeben; das UFC nennt außerdem ungefähr 490 lb/ft³. Solche Quellen legen eine zweckmäßige Berechnungsgrundlage fest, jedoch keine universelle Materialkonstante.

Nennabmessungen im Vergleich zu tatsächlich gefertigten Abmessungen

Profiltafeln beschreiben normalerweise Nennabmessungen. Ein rechteckiger Stab mit den Nennabmessungen 200 mm × 100 mm besitzt beispielsweise theoretisch eine Fläche von $0,020{\text{m}}^2$, sodass sich seine geschätzte Masse pro Meter wie folgt ergibt:

$$0,020\times 7850=157\text{kg/m}.$$

Dieser Wert setzt voraus, dass das Profil ein Vollrechteck mit genau diesen Abmessungen ist. Der gefertigte Stab kann innerhalb der durch seine Produktnorm zulässigen Toleranz jedoch geringfügig über oder unter dem Nennmaß liegen. Blechdicke, Flanschbreite, Stegdicke, Außendurchmesser, Eckenradius, Geradheit und Länge können von den Angaben in der Zeichnung abweichen, während das Produkt weiterhin den Anforderungen entspricht.

Bei großen Mengen ist diese Abweichung von größerer Bedeutung. Eine geringfügige Abweichung der Dicke, die sich über zahlreiche Bleche wiederholt, kann die Gesamtmasse um mehrere Hundert Kilogramm verändern. Ein Konstruktionsbüro kann daher mit Nennabmessungen rechnen, weil die maßgebende Spezifikation, die Materialliste oder die Profiltafel auf Nennmassen basiert. Eine Fertigungsaufnahme, ein Hebeplan, ein Transportdokument oder eine forensische Untersuchung kann dagegen die tatsächlich gemessenen Abmessungen erfordern.

Die gleiche Unterscheidung gilt für Hohlprofile. Bei einem rechteckigen Hohlprofil entspricht das Stahlvolumen nicht allein dem Außenrechteck, sondern der Außenfläche abzüglich des inneren Hohlraums; bei Bedarf sind Eckenradien und Wandtoleranzen zu berücksichtigen. Der leere Innenraum trägt nicht zur Stahlmasse bei. Er kann jedoch Wasser, Vergussmörtel, Brandschutz, Dämmstoff oder anderes Material enthalten, das zur Masse der Konstruktion gehört. Eine scheinbare Abweichung zwischen berechneter und gewogener Masse kann dadurch entstehen, dass dieses Füllvolumen einbezogen oder ausgeschlossen wurde.

Die Temperatur bringt eine weitere Einschränkung mit sich. Stahl dehnt sich bei Erwärmung aus; daher sind die für ein heißes Bauteil verwendeten Abmessungen und Volumina nicht identisch mit den bei der Bezugstemperatur gemessenen Werten einer Zeichnung für Raumtemperatur. Auch die Dichte ändert sich mit der Temperatur, weil die Masse im Wesentlichen konstant bleibt, während sich das Volumen ändert. Für gewöhnliche Schätzungen unter Umgebungsbedingungen ist dieser Effekt normalerweise gering. In brandschutztechnischen Berechnungen dürfen jedoch Abmessungen im kalten Zustand nicht stillschweigend mit einer erwärmten Geometrie kombiniert werden. Die Quelle des National Research Council Canada definiert außerdem den Profilfaktor eines Stahlquerschnitts als das Verhältnis des erwärmten Umfangs zur Querschnittsfläche. Dieses geometrische Verhältnis ist von der Dichte unabhängig und kann sich ändern, wenn Beschichtungen, Spalte oder exponierte Oberflächen berücksichtigt werden.

Beschichtungen, Zunder, Schweißnähte und Anbauteile

Eine Dichteberechnung für den Stahlgrundwerkstoff schließt nicht automatisch Farbe, Verzinkung, Walzhaut, Schweißgut, Schrauben, Klammern, Versteifungen oder andere angebundene Teile ein. Oberflächenbehandlungen sind im Verhältnis zum Grundwerkstoff häufig dünn. Bei großen beschichteten Flächen oder Bauteilen mit mehreren Schichten kann ihre Gesamtmasse jedoch relevant werden. Eine Verzinkung fügt Zink und keinen Stahl hinzu. Wenn die Masse des fertigen Bauteils benötigt wird, sind daher die entsprechende Beschichtungsdicke und die Dichte von Zink anzusetzen. Bei Farbsystemen müssen die Trockenschichtdicke und die Dichte der Beschichtung berücksichtigt werden; die aufgebrachte Nassmenge entspricht nicht der ausgehärteten Masse.

Walzhaut stellt ein anderes Problem dar. Sie ist eine während der Herstellung gebildete oxidierte Oberflächenschicht und kann am Produkt verbleiben, durch Strahlreinigen entfernt oder bei der Handhabung teilweise abgetragen werden. Wird sie als Bestandteil des nominalen Stahlvolumens behandelt, kann dies die Masse des Grundmetalls überschätzen; wird sie ignoriert, kann dies die gewogene Masse eines ungereinigten Bauteils unterschätzen. Die korrekte Behandlung hängt davon ab, ob die Spezifikation die Masse des blanken Produkts, des beschichteten Produkts oder der gelieferten Konstruktion definiert.

Auch Schweißnähte bestehen aus realem Material. Kehlnahtschenkel, die Verstärkung von Stumpfnähten, Heftnähte und Reparaturschweißungen nehmen ein Volumen ein, das in einer einfachen Berechnung auf Grundlage der Bauteillänge fehlt. Ihre Masse wird üblicherweise aus Schweißnahtgröße, Länge und Dichte des Schweißguts geschätzt oder den Fertigungsunterlagen entnommen. Schweißgut kann eine andere Zusammensetzung als das Blech oder Profil besitzen. Daher ist die Zuordnung der Dichte des Grundstahls selbst dann eine Näherung, wenn der numerische Einfluss gering ist.

Verbindungsmittel und Anbauteile können von größerer Bedeutung sein als Schweißnähte. Schrauben, Muttern, Unterlegscheiben, Stoßbleche, Leitern, Lastaufnahmelaschen, Lagerplatten, Versteifungen, Handläufe und Entwässerungsarmaturen sollten als separate Massen addiert werden, wenn sich die Fragestellung auf die fertige Konstruktion bezieht. Dagegen schließt die Profilmasse pro Meter aus einer Profiltafel Verbindungen und auf der Baustelle montierte Verbindungsteile normalerweise nicht ein. Doppelte Berücksichtigung ist ebenso häufig wie das Weglassen: Eine Versteifung kann in einem detaillierten Modell enthalten und anschließend nochmals als Fertigungszuschlag addiert worden sein.

Wann eine Messung oder Zertifizierung erforderlich ist

Eine auf 7850 kg/m³ basierende Massenberechnung ist nur dann angemessen, wenn der maßgebende Planungs- oder Schätzkontext diese Annahme zulässt. Sie eignet sich für viele vorläufige Mengenermittlungen, Standardprofilverzeichnisse und Berechnungen, in denen eine konventionelle Tabellenmasse ausdrücklich angesetzt wird. Die Wahl sollte dokumentiert werden, einschließlich der Abmessungen, des Einheitensystems, der Rundung und der Frage, ob das Ergebnis blanken Stahl oder eine Konstruktion repräsentiert.

Eine materialspezifische Bestimmung erfordert belastbarere Nachweise. Wenn die chemische Zusammensetzung, die Zertifizierung, die vertraglich maßgebende Masse oder eine genaue Massenbilanz von Bedeutung ist, sind die Daten der zutreffenden Stahlsorte oder die Produktnorm zu verwenden. Veröffentlichte Daten verdeutlichen den Grund: MatWeb gibt für kohlenstoffarmen Stahl nach ASTM A366/A569 eine typische Dichte von 7,80 g/cm³ an, während ASM MatWeb für ultrahochfesten Stahl 300M 7,87 g/cm³ angibt. RoyMech verwendet für Baustahl 7830 kg/m³, und Engineering ToolBox führt Stahl mit ungefähr 7,82 g/cm³ auf. Diese Werte liegen nahe bei 7850 kg/m³, sind jedoch kein austauschbarer Nachweis dafür, dass jedes Produkt dieselbe Dichte besitzt.

Eine Messung sollte maßgebend sein, wenn die tatsächlich gefertigte Geometrie zugänglich ist und die Folgen eines Fehlers erheblich sind. Zu erfassen sind Länge, Dicken, Durchmesser, Radien, Öffnungen und Innenräume von Hohlprofilen. Anschließend sind Beschichtungen, Walzhaut, Schweißnähte, Verbindungsmittel, eingeschlossene Inhalte und Anbauteile separat zu berücksichtigen. Bei einer fertiggestellten Konstruktion kann das Wiegen vorzuziehen sein, sofern die Waage kalibriert ist und die Bedingungen des Wiegevorgangs dokumentiert wurden. Ein Werkszeugnis oder Prüfzeugnis kann die gelieferte Stahlsorte und Produktnorm bestätigen, legt jedoch nicht immer die Masse von nachträglich aufgebrachter Farbe, Schweißnähten, Schrauben oder Feuchtigkeit fest.

Die Abgrenzung ist praktischer Natur: 7850 kg/m³ liefert eine zweckmäßige technische Schätzung, wenn das zulässige Modell auf Nennabmessungen, Umgebungsbedingungen und konventionellen Daten für Stahlprofile beruht. Sobald die Entscheidung durch stahlsortenspezifische Dichte, temperaturabhängige Geometrie, Fertigungstoleranzen, Oberflächenbehandlung oder die Masse der fertigen Konstruktion bestimmt wird, sollten die zutreffenden Daten der Stahlsorte, die Produktnorm, zertifizierte Angaben oder die gemessene Geometrie maßgebend sein.

Quellen

1. [1]Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3rd Edition. Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 2016. https://www.uceb.eu/DATA/CivBook/50.%20HandBook%20of%20Structural%20Steel%20Work.pdf
2. [2]U.S. Department of Defense. UFC 4-023-07. Unified Facilities Criteria, 2008. https://www.wbdg.org/FFC/DOD/UFC/ARCHIVES/ufc_4_023_07_2008.pdf
3. [3]National Research Council Canada. Fire Safety Design of Buildings: NRC Short Course Material. National Research Council Canada publication, 2019. https://nrc-publications.canada.ca/eng/view/accepted/?id=dd58a59c-70f5-45d8-a05b-332d6d62a83c