Výpočty hustoty, hmotnosti a objemu oceli

Co znamená hustota oceli ve strojírenství

Hmotnostní hustota, hmotnost a objem

Hmotnostní hustota popisuje, jaké množství hmoty je obsaženo v daném objemu materiálu. National Institute of Standards and Technology (NIST) definuje hmotnostní hustotu jako podíl hmotnosti a objemu:

$$\rho =\frac{m}{V}$$

Zde $\rho$ označuje hmotnostní hustotu, $m$ hmotnost a $V$ objem. Jednotkou SI je kilogram na metr krychlový, zapisovaný jako $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Tato jednotka je součástí výsledku, nikoli volitelnou ozdobou. Tvrzení typu „hustota oceli je 7850“ je neúplné, dokud není jasná jednotka, popis materiálu, teplota nebo stav materiálu, pokud jsou relevantní, a zamýšlené použití ve strojírenství.

Hustota je vlastnost přiřazená určitému stavu materiálu nebo specifikaci materiálu. Hmotnost náleží konkrétnímu předmětu. Objem náleží prostoru, který tento předmět nebo jeho část zaujímá. Ocelová deska o délce 2 m a deska o délce 20 m vyrobená ze stejné jakosti mohou mít přibližně stejnou hustotu, delší deska však při nezměněném průřezu bude mít desetinásobnou hmotnost. Stejně tak mohou mít dvě součásti stejnou hmotnost, ale zaujímat rozdílné objemy, pokud se jejich hustoty liší.[1][1] Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3rd Edition. Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 2016.

Často uváděná hodnota $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ je konvenční hodnota používaná ve strojírenství při výpočtech konstrukční oceli. Publikace Příručka oceli: Příručka konstrukční oceli, 3. vydání (2016), ji používá k výpočtu tabulkové hmotnosti na metr. Pokyny National Research Council Canada z roku 2019 a dokument U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 rovněž uvádějí hustotu oceli $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$; dokument UFC uvádí přibližně $490\mathrm{lb}/{\mathrm{ft}}^3$. Tyto zdroje stanovují užitečnou konstrukční konvenci, nikoli tvrzení, že každá jakost oceli má přesně tuto hustotu.

Hustota (kg/m³)

Hodnotu může ovlivnit jakost a složení. MatWeb uvádí typickou hustotu $7.80\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ pro nízkouhlíkovou ocel ASTM A366/A569, zatímco ASM MatWeb uvádí $7.87\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ pro ultrapevnou ocel 300M. RoyMech používá pro běžnou ocel hodnotu $7830\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ a Engineering ToolBox uvádí pro ocel přibližně $7.82\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$. Tyto hodnoty se liší jen mírně, rozdíl však může být významný při vysoce přesných odhadech hmotnosti, evidenci materiálu, výpočtech vztlaku nebo porovnávání velkých množství.

Mnoho zdánlivých rozporů vysvětluje také převod jednotek. Platí totiž:

$$1\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3=1000\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3,$$

$7.85\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ tedy odpovídá $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. V běžně používaných anglosaských jednotkách je $490\mathrm{lb}/{\mathrm{ft}}^3$ přibližným vyjádřením měrné tíhy za standardních gravitačních podmínek, zatímco $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ je jednotka hmotnostní hustoty. Příloha B.9 dokumentu NIST uvádí rozměrový základ pro tyto převody. Při výpočtu se nesmějí bez předchozího převodu kombinovat metry s milimetry, kilogramy s librami ani hmotnostní hustota s měrnou tíhou.

Proč je $\rho =m/V$ definicí, nikoli zkratkou pro vyhledání hodnoty

Rovnice $\rho =m/V$ definuje vztah mezi hustotou, hmotností a objemem. Neurčuje správnou číselnou hodnotu hustoty pro blíže nespecifikovaný předmět. Pro výpočet hmotnosti se tentýž vztah upraví na

$$m=\rho V.$$

Pro výpočet objemu má podobu

$$V=\frac{m}{\rho }.$$

Tři základní rovnice jsou:

\[ \rho=\frac{m}{V},\qquad m=\rho V,\qquad V=\frac{m}{\rho}. \]

Algebra je jednoduchá; právě při stanovení vstupních údajů se uplatňuje technický úsudek. Objem ocelového nosníku se nerovná jeho délce. Jeho objem je součinem plochy průřezu a délky:

$$V=\mathrm{AL}.$$

Jeho hmotnost je proto

$$m=\rho \mathrm{AL}.$$

U průřezu s konstantními rozměry je hmotnost na jednotku délky tedy

$$\frac{m}{L}=\rho A.$$

Uvažujme plnou obdélníkovou tyč o rozměrech 100 mm × 50 mm a délce 10 m. Po převedení rozměrů je plocha průřezu

$$A=0.100\times 0.050=0.005{\mathrm{m}}^2.$$

Při použití konvenční hodnoty $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ je její hmotnost na metr

$$\frac{m}{L}=7850\left(0.005\right)=39.25\mathrm{kg}/\mathrm{m}.$$

Hmotnost (kg)Objem (m³)

Tyč o délce 10 m má objem $0.005\times 10=0.05{\mathrm{m}}^3$ a hmotnost $7850\times 0.05=392.5\mathrm{kg}$. Hustota se nezměnila proto, že se tyč prodloužila; objem a hmotnost se změnily společně.

U obdélníkového průřezu lze stejný postup zapsat jako

$$m=\rho \mathrm{bhL},$$

kde $b$, $h$ a $L$ musí být vyjádřeny v kompatibilních jednotkách. U dutých profilů je třeba použít plochu oceli, nikoli plochu vnějšího obrysu. Válcované profily I, U, L a trubky se obvykle posuzují pomocí zveřejněné plochy průřezu nebo tabulkové hmotnosti na metr. Geometrie může zahrnovat také otvory, svarový kov, výztuhy, úbytek způsobený korozí, nátěr, protipožární ochranu nebo připojené součásti. Každý z těchto prvků mění posuzovanou hmotnost nebo objem.

Na teplotě záleží, protože se ocel při zahřívání rozpíná. Při konstantní hmotnosti vede zvýšení teploty ke zvětšení objemu, a tím ke snížení hustoty. NIST NCSTAR 1-3 se zabývá fyzikálními vlastnostmi konstrukčních ocelí v souvislosti s požárem, při němž tepelná roztažnost a vlastnosti závislé na teplotě ovlivňují analýzu. Naměřenou nebo efektivní hodnotu mohou měnit také chemické složení slitiny, pórovitost, vměstky, stav po výrobě a povlaky. Pro běžné konstrukční výpočty jsou tyto vlivy často menší než tolerance vyplývající z použití hodnoty $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, při požadavku na vyšší přesnost je však nelze bez uvedení důvodu ignorovat.

Hustotu je třeba rovněž odlišovat od měrné tíhy a relativní hustoty. Měrná tíha je síla na jednotku objemu:

$$\gamma =\rho g,$$

její jednotkou SI je tedy $\mathrm{N}/{\mathrm{m}}^3$, nikoli $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Relativní hustota je bezrozměrný poměr, obvykle hustota látky dělená hustotou vody při stanovených referenčních podmínkách. Ani jedna z těchto veličin nemůže nahradit hmotnostní hustotu bez příslušného převodu nebo definice.

Měrný objem a převrácené vztahy

NIST definuje měrný objem jako podíl objemu a hmotnosti:

$$v=\frac{V}{m}.$$

Jeho jednotkou SI je ${\mathrm{m}}^3/\mathrm{kg}$. Protože hustota je dána poměrem $m/V$, je měrný objem její převrácenou hodnotou:

\[ v=\frac{1}{\rho}, \qquad \rho=\frac{1}{v}. \]

Pro konvenční hodnotu hustoty oceli platí

$$v=\frac{1}{7850}=0.0001274{\mathrm{m}}^3/\mathrm{kg},$$

což je přibližně $1.274\times {10}^{-4}{\mathrm{m}}^3/\mathrm{kg}$. To znamená, že jeden kilogram oceli zaujímá za podmínek odpovídajících této hustotě přibližně $0.0001274{\mathrm{m}}^3$, tedy 127,4 kubických centimetrů.

Převrácený vztah je užitečný při kontrole rozměrů a výpočtů. Je-li uvedená hustota oceli $7830\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, musí být její měrný objem o něco větší než měrný objem odpovídající hodnotě $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Výsledek, který uvádí hustotu v $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, ale měrný objem rovněž v $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, neprošel základní rozměrovou kontrolou.

Pro technické výpočty je nejbezpečnější určit jakost nebo předpokládaný materiál, uvést hustotu a její jednotky, vypočítat skutečný geometrický objem a až do konečného výsledku zachovat rozumné zaokrouhlení. Číslo $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ je často vhodné, jeho platnost však vyplývá z uvedené výpočetní konvence a použití, nikoli z univerzální identity sdílené každou ocelovou součástí.

Technický význam hodnoty 7850 kg/m³

Hodnota 7850 kg/m³ je konvenční výpočtová hustota běžné konstrukční oceli. Nejde o prohlášení, že každý ocelový výrobek, jakost nebo teplotní stav má přesně tuto hustotu. Podle definice National Institute of Standards and Technology (NIST) je hmotnostní hustota

$$\rho =\frac{m}{V}$$

kde $m$ je hmotnost a $V$ je objem. Její jednotkou SI je kilogram na metr krychlový (kg/m³). NIST rovněž definuje měrný objem jako $V/m$, tedy převrácenou hodnotu hustoty, s jednotkou metr krychlový na kilogram.

Pro ocelový prvek o známém objemu je tedy základní výpočet

$$m=\rho V.$$

7850 kg/m³ je široce používaná technická konvence pro výpočty konstrukční oceli. Strong evidence

Použití hodnoty $\rho =7850{\text{kg/m}}^3$ poskytuje dostatečně konzistentní výsledek pro mnoho výpočtů množství a návrhových úloh týkajících se konstrukční oceli. Tato hodnota se opakuje proto, že umožňuje vzájemný soulad tabulek průřezů, výpočtů množství, požárních analýz a stavebních referencí. Je třeba ji chápat jako technickou konvenci se známou mírou přiblížení.

Tabulky hmotností konstrukčních ocelových průřezů

Tabulky ocelových průřezů běžně uvádějí hmotnost na metr, nikoli hustotu nebo celkovou hmotnost. Spojení mezi těmito veličinami představuje plocha průřezu:

$$m\prime =\rho A,$$

kde $m\prime$ je hmotnost na jednotku délky v kg/m a $A$ je plocha v m². Při použití konvenční hustoty platí

$$m\prime =7850A.$$

Průřez s plochou $0.010{\text{m}}^2$ má například vypočtenou hmotnost na metr

$$7850\left(0.010\right)=78.5\text{kg/m}.$$

Úsek délky 6 m by tedy měl jmenovitou hmotnost $471\text{kg}$, před započtením připojených plechů, svarového kovu, otvorů, povlaků nebo výrobních tolerancí.

Publikace Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3. vydání (2016), uvádí, že tabulkové hmotnosti konstrukční oceli na metr se vypočítávají s hustotou 7850 kg/m³. Tato konvence je užitečná, protože tabulku průřezů lze vytvořit z geometrie bez nutnosti samostatného měření hustoty každého válcovaného průřezu. Umožňuje také projektantům porovnávat I-profil, U-profil, úhelník, dutý průřez nebo plech na stejném výpočtovém základě.

U obdélníkové tyče se plocha jednoduše vypočítá jako součin šířky a tloušťky:

$$A=\mathrm{bt}.$$

Pokud jsou šířka a tloušťka zadány v milimetrech, vzorec pro hmotnost na metr má tvar

$$m\prime =0.00785\mathrm{bt},$$

kde $b$ a $t$ jsou v mm a $m\prime$ v kg/m. Tyč o rozměrech 100 mm × 20 mm má

$$m\prime =0.00785\left(100\right)\left(20\right)=15.7\text{kg/m}.$$

RoyMech používá pro měkkou ocel ve svých výpočtech obdélníkových tyčí hodnotu 7830 kg/m³. Pro stejné rozměry to dává 15,66 kg/m, tedy rozdíl pouze 0,04 kg/m. Tento rozdíl ukazuje, proč se zveřejněné tabulky mohou mírně lišit, aniž by některá z nich byla nepoužitelná: mohou používat různé konvenční hustoty, pravidla zaokrouhlování, jmenovité rozměry nebo výrobní tolerance.

Steel Bridge Design Handbook vydaná Federal Highway Administration a dokument NIST NCSTAR 1-3, který se zabývá fyzikálními vlastnostmi konstrukčních ocelí, poskytují institucionální kontext pro chápání vlastností oceli jako technických vstupních údajů, nikoli jako jediného univerzálního čísla. Pro běžné výpočty množství je hodnota 7850 kg/m³ obvykle dostačující. U měřeného prvku, stanovené jakosti nebo analýzy závislé na teplotě by zvolená hodnota měla odpovídat účelu výpočtu.

Ekvivalent 490 lb/ft³[2][2] UFC 4-023-07. U.S. Department of Defense. Unified Facilities Criteria, 2008.

Reference používající americké měrné jednotky běžně vyjadřují stejnou konvenční hustotu jako přibližně 490 lb/ft³. U.S. Department of Defense v dokumentu UFC 4-023-07 (2008) uvádí pro ocel hodnotu 7850 kg/m³, což odpovídá přibližně 490 lb/ft³. National Research Council Canada uvádí stejnou hustotu ve svých pokynech pro požární inženýrství a publikace Construction Cost Handbook 2019 společnosti Arcadis opakuje hodnoty 7850 kg/m³ a přibližně 490 lb/ft³ ve své tabulce stavebních materiálů.

Slovo „přibližně“ je důležité. Převod hodnoty 7850 kg/m³ pomocí standardních převodních faktorů dává přibližně 490,06 lb/ft³, takže zápis 490 lb/ft³ je rozumně zaokrouhlené vyjádření, nikoli přesnější fyzikální měření. Ekvivalentní hustota činí rovněž přibližně 7,85 g/cm³ a 0,284 lb/in³. Příloha B.9 dokumentu NIST poskytuje rozměrový základ pro převody mezi jednotkami SI a běžnými americkými jednotkami.

Převod jednotek nemění výchozí předpoklad. Pokud výpočet začíná hodnotou 490 lb/ft³, stále představuje tutéž konvenční hustotu oceli jako hodnota 7850 kg/m³; neposkytuje nezávislý důkaz, že konkrétní jakost má právě tuto hustotu. K nejasnostem často dochází tehdy, když je zaokrouhlená hodnota v běžných amerických jednotkách považována za přesnější, než je hodnota SI, ze které byla převedena.

Důležité je také rozlišovat mezi hmotností a tíhou. Hustota udává hmotnost na jednotku objemu. Měrná tíha je síla na jednotku objemu:

$$\gamma =\rho g,$$

kde $g$ je gravitační zrychlení. Hodnota 7850 kg/m³ tedy sama o sobě není tlakem ani intenzitou zatížení. Pro získání gravitačního zatížení je nutné hmotnost vynásobit hodnotou $g$, čímž vznikne veličina v newtonech na metr krychlový. Konstrukční software může zobrazovat „tíhu“ prvku, zatímco tabulka průřezu ve skutečnosti uvádí hmotnost v kg/m nebo lb/ft.

Relativní hustota je další odlišná veličina. Jde o poměr hustoty materiálu k hustotě stanovené referenční látky, obvykle vody při stanovené teplotě, a proto nemá jednotku. Ve vztahu $m=\rho V$ ji nelze zaměňovat za hmotnostní hustotu.

Konvenční hodnota versus hodnota hustoty konkrétní jakosti z měření

Hustota oceli se liší podle jakosti a stavu, ačkoli rozdíly jsou u mnoha běžných odhadů konstrukcí mírné. Limited evidence

Skutečná hustota se mění v závislosti na chemickém složení slitiny, krystalové struktuře, teplotě, historii výroby a pórovitosti. U mnoha hutných ocelí je tato odchylka malá, ale je reálná. Záznam MatWeb z roku 2024 uvádí typickou hustotu nízkouhlíkové oceli ASTM A366/A569 7,80 g/cm³, tedy přibližně 7800 kg/m³. ASM MatWeb uvádí u ultravysokopevnostní oceli 300M hodnotu 7,87 g/cm³, tedy přibližně 7870 kg/m³. Engineering ToolBox uvádí pro ocel přibližně 7,82 g/cm³, zatímco RoyMech používá pro měkkou ocel hodnotu 7830 kg/m³.

Hustota (kg/m³)

Tyto hodnoty pokrývají přibližně rozmezí 7800 až 7870 kg/m³. U rozsáhlého výkazu množství konstrukce může být tento rozdíl menší než vliv rozměrových tolerancí, přídavku na korozi, připojených prvků nebo zaokrouhlování. U laboratorního vzorku, letecké součásti, přesného vážení nebo podrobného tepelného modelu však může být významný.[3][3] Fire Safety Design of Buildings: NRC Short Course Material. National Research Council Canada. National Research Council Canada publication, 2019.

Změny teploty ovlivňují hustotu, protože tepelná roztažnost mění objem, zatímco množství materiálu zůstává v podstatě konstantní. Zahřívání ocelového prvku proto snižuje jeho hustotu vyjádřenou jako hmotnost na okamžitý objem. Požární pokyny musí zohledňovat také změny mechanických a tepelných vlastností, nikoli pouze dosazovat pokojovou hustotu oceli do každé rovnice. Pokyny NRC uvádějí hustotu oceli 7850 kg/m³ a definují součinitel průřezu oceli jako podíl ohřívaného obvodu a plochy průřezu. Tento geometrický poměr ovlivňuje přenos tepla při požární analýze; nenahrazuje hustotu a neznamená, že dva tvary se stejnou hmotností se budou zahřívat stejně.

Nátěr, galvanizace, okuje, vlhkost, dutiny a další povlaky dále komplikují měření v terénu. Povlak zvyšuje hmotnost sestavy, ale není součástí hustoty oceli. U dutých průřezů je podobně nutné použít objem ocelového materiálu, nikoli vnější obalový objem, pokud se výpočet výslovně netýká vytlačeného objemu nebo jiné vlastnosti vnějšího objemu.

Obhajitelný postup je jednoduchý: použijte hodnotu 7850 kg/m³ jako konvenční výpočtový základ pro konstrukční ocel, pokud ji vyžaduje norma, příručka nebo projektová specifikace; uveďte tento předpoklad a v případech, kdy přesnost výsledku vyžaduje vyšší přesnost, nahraďte jej zdokumentovanou hustotou konkrétní jakosti nebo hustotou stanovenou měřením. Tím se zachová užitečnost běžné hodnoty, aniž by byla mylně považována za univerzální materiálovou konstantu.

Systémy jednotek a převody hustoty

Převody hustoty jsou spolehlivé pouze tehdy, když se mění jednotka hmotnosti i jednotka objemu. NIST definuje hustotu jako

$$\rho =\frac{m}{V}$$

kde $m$ je hmotnost a $V$ je objem. Jednotkou SI je kilogram na metr krychlový, zapisovaný jako kg/m³. NIST rovněž definuje měrný objem jako $V/m$, tedy převrácenou hodnotu hustoty, s jednotkami, jako je m³/kg. Dodatek B.9 NIST, „Převodní faktory“, poskytuje odpovídající základ pro převody mezi jednotkami SI a běžně používanými jednotkami; jeho faktory by měly mít přednost před hodnotami zapamatovanými z paměti, zaokrouhlenými tabulkami na webu nebo převodem, při němž se mění pouze čitatel.

kg/m³, g/cm³ a Mg/m³

Konvenční hustota konstrukční oceli 7850 kg/m³ se přímo převádí na 7.850 g/cm³:

$$7850\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\left(\frac{1000\text{g}}{1\text{kg}}\right)(\frac{1\text{m}}{100\text{cm}}{)}^3=7.850\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$$

Krychlový převod je důležitý. Jeden metr se rovná 100 centimetrům, ale jeden metr krychlový se rovná ${100}^3$, tedy 1 000 000, centimetrů krychlových. Častou chybou je převést metry na centimetry pouze jednou, čímž vznikne výsledek chybný o faktor 100 nebo 10 000.

Stejná hustota činí 7.850 Mg/m³:

$$7850\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\left(\frac{1\text{Mg}}{1000\text{kg}}\right)=7.850\frac{\text{Mg}}{{\text{m}}^3}$$

g/cm³ a Mg/m³ tedy mají stejnou číselnou hodnotu, přestože jde o odlišné zápisy jednotek. Důvodem je, že čitatel i jmenovatel se mění stejným faktorem. Megagram je 1000 kg, zatímco metr krychlový je 1 000 000 cm³; gram je tisícina kilogramu a centimetr krychlový je miliontina metru krychlového. V obou případech platí

$$1{\text{g/cm}}^3=1{\text{Mg/m}}^3=1000{\text{kg/m}}^3$$

Tato shoda číselných hodnot neznamená, že každá ocel má v kterékoli z těchto jednotek hustotu 7.850. Popisuje převod zvolené hodnoty.

Odkazy na konstrukční ocel často používají hodnotu 7850 kg/m³ při výpočtu tabulkové hmotnosti na metr. Handbook of Structural Steelwork, 3. vydání (2016), tuto hodnotu používá pro hmotnosti průřezů a National Research Council Canada (2019) uvádí 7850 kg/m³ v materiálových údajích pro požární návrh. Naproti tomu RoyMech (2024) používá pro měkkou ocel hodnotu 7830 kg/m³. Materiálové databáze uvádějí další rozdíly: MatWeb uvádí 7.80 g/cm³ pro nízkouhlíkovou ocel ASTM A366/A569, zatímco ASM MatWeb uvádí 7.87 g/cm³ pro ultra-vysokopevnostní ocel 300M. Engineering ToolBox uvádí pro ocel přibližně 7.82 g/cm³.

Tyto rozdíly jsou pro mnohé konstrukční odhady malé, ale jsou skutečné. Hustotu mohou ovlivnit chemické složení slitiny, teplota, pórovitost, povlaky a konkrétní jakost nebo výrobek. Hodnota 7850 kg/m³ je proto konvenční inženýrská hodnota, nikoli tvrzení, že ASTM A366/A569, 300M a každá další jakost oceli mají totožnou hustotu.

U známé hmotnosti lze objem určit úpravou definice hustoty:

$$V=\frac{m}{\rho }$$

Při hustotě 7850 kg/m³ zaujímá 100 kg oceli objem

$$V=\frac{100\text{kg}}{7850{\text{kg/m}}^3}=0.01274{\text{m}}^3$$

přibližně. Měrný objem je převrácenou hodnotou hustoty:

$$\frac{1}{7850{\text{kg/m}}^3}=1.274\times {10}^{-4}{\text{m}}^3/\text{kg}$$

Hustota se nesmí zaměňovat s měrnou tíhou, která je síla na jednotku objemu a běžně se vyjadřuje v N/m³. Hustota také není totéž co relativní hustota, tedy poměr vzhledem k referenční látce, a je proto bezrozměrná.

lb/ft³ a lb/in³

V běžně používaných jednotkách lze hustotu zapisovat jako libry na stopu krychlovou (lb/ft³) nebo libry na palec krychlový (lb/in³). Nejde o vzájemně zaměnitelné zápisy téhož čísla. Protože

$$1\text{ft}=12\text{in}$$

jedna stopa krychlová obsahuje

$$1{\text{ft}}^3={12}^3=1728{\text{in}}^3$$

V důsledku toho platí

$$1{\text{lb/ft}}^3=\frac{1}{1728}{\text{lb/in}}^3$$

a

$$1{\text{lb/in}}^3=1728{\text{lb/ft}}^3$$

Konvenční hodnota 7850 kg/m³ se s použitím faktorů z dodatku B.9 NIST převádí přibližně na 490 lb/ft³. UFC 4-023-07 (U.S. Department of Defense, 2008) uvádí pro ocel hodnotu 7850 kg/m³, což odpovídá přibližně 490 lb/ft³. V librách na palec krychlový je stejná hodnota přibližně

$$\frac{490.04{\text{lb/ft}}^3}{1728}=0.2836{\text{lb/in}}^3$$

Obvykle se zaokrouhluje na 0.284 lb/in³.

Varování je jednoduché: nekopírujte hodnotu 490 do výpočtu vyjádřeného v lb/in³. Správná odpovídající hodnota je přibližně 0.284, nikoli 490. Naopak hodnotu 0.284 lb/in³ nelze vložit do výpočtu s objemem měřeným v krychlových stopách bez vynásobení číslem 1728. Typické hodnoty společnosti MatWeb ukazují rozsah rozdílů mezi jednotlivými jakostmi: ASTM A366/A569 je uvedena s hodnotou 0.282 lb/in³, která odpovídá 7.80 g/cm³, zatímco 300M je uvedena s hodnotou 0.284 lb/in³, která odpovídá 7.87 g/cm³.

Rozměrová analýza a krácení jednotek

Rozměrová analýza umožňuje kontrolovat převod. Každý převodní faktor zapište jako zlomek, jehož čitatel a jmenovatel představují stejné veličiny, a před dosazením čísel jednotky zkraťte. Například převod hodnoty 7.850 g/cm³ na kg/m³ je

$$7.850\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}\left(\frac{1\text{kg}}{1000\text{g}}\right)(\frac{100\text{cm}}{1\text{m}}{)}^3$$

Gramy se zkrátí, centimetry krychlové se zkrátí a výslednou jednotkou je kg/m³:

$$7.850\times \frac{1}{1000}\times {100}^3=7850{\text{kg/m}}^3$$

U obdélníkové ocelové tyče propojuje stejná metoda geometrii s hmotností. Pokud jsou šířka a tloušťka vyjádřeny v metrech, plocha průřezu je

$$A=\mathrm{bt}$$

a hmotnost na jednotku délky je

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

U tyče o rozměrech 50 mm × 10 mm nejprve převedeme rozměry:

$$A=\left(0.050\text{m}\right)\left(0.010\text{m}\right)=0.0005{\text{m}}^2$$

Poté při použití hodnoty 7850 kg/m³ dostaneme

$$\frac{m}{L}=\left(7850{\text{kg/m}}^3\right)\left(0.0005{\text{m}}^2\right)=3.925\text{kg/m}$$

Metr v ploše se zkrátí s jedním ze tří metrů v hustotě a zůstane kg/m. Pokud by rozměry zůstaly v milimetrech, zatímco hustota by byla nadále v kg/m³, výsledek by měl nekompatibilní jednotky a byl by chybný o příslušné mocniny čísla 1000. Zaokrouhlovat by se mělo až po převodu a násobení, nikoli před nimi, zejména když na celkové hmotnosti závisí rozpis průřezů nebo součet hmotnosti za mnoho metrů materiálu.

Výpočet Hmotnosti z Objemu

Základní výpočet hmotnosti je jednoduchý, ale výsledek je pouze tak spolehlivý, jak spolehlivý je podklad pro hustotu, rozměry a použité jednotky. Reprodukovatelný postup má pět kroků:

1. Určete hodnotu hustoty a uveďte, zda jde o konvenční návrhovou hodnotu, hodnotu specifickou pro danou jakost, nebo naměřenou hodnotu. 2. Převeďte všechny rozměry do jedné soustavy jednotek. 3. Vypočítejte objem z geometrie. 4. Vynásobte objem hustotou. 5. Zaokrouhlete uváděnou hmotnost podle nejméně přesného důležitého vstupního údaje.

Tato posloupnost předchází časté chybě: považování hodnoty 7850 kg/m³ za univerzální vlastnost veškeré oceli. Podklady pro konstrukční ocel běžně používají tuto hodnotu při výpočtu tabulkové hmotnosti na metr. Publikace Příručka oceli: Příručka konstrukčních ocelových konstrukcí, 3. vydání (2016), používá pro tento účel hodnotu 7850 kg/m³. National Research Council Canada (2019) a U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 (2008) rovněž uvádějí hodnotu 7850 kg/m³; dokument UFC uvádí přibližně 490 lb/ft³. Jedná se o užitečné inženýrské konvence, nikoli o důkaz, že každá slitina, výrobek nebo teplotní stav má přesně tuto hustotu.

Rovnice m = ρV

NIST definuje hustotu jako hmotnost dělenou objemem:

$$\rho =\frac{m}{V}$$

Úpravou získáme rovnici potřebnou v tomto případě:

$$m=\rho V$$

kde:

• $m$ je hmotnost;
• $\rho$ je hustota; a
• $V$ je objem.

V jednotkách SI se hustota měří v kilogramech na metr krychlový (kg/m³), objem v metrech krychlových (m³) a hmotnost v kilogramech (kg). Jednotky se správně vykrátí:

$$\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\times {\text{m}}^3=\text{kg}$$

Toto krácení jednotek je užitečnou kontrolou, nikoli pouhou dekorací. Pokud výpočet násobí kg/m³ objemem, který je stále vyjádřen v mm³, je číselný výsledek bez převodu objemu z krychlových milimetrů chybný o faktor ${10}^9$.

Pokyny NIST k SI z roku 2024 rovněž definují měrný objem jako $V/m$, tedy převrácený vztah k hustotě. Měrný objem není hmotnost a v rovnici $m=\rho V$ jím nelze nahradit hustotu. Obdobně měrná tíha je síla na jednotku objemu, obvykle vyjádřená v N/m³, zatímco relativní hustota je poměr k referenční látce. Ani jedna z těchto veličin není totožná s hustotou.

Podklad pro hustotu musí být uveden ještě před zahájením výpočtu. Předpokládaná hodnota 7850 kg/m³ může být vhodná pro konstrukční odhad nebo tabulku standardních profilů. Měla by být označena jako předpoklad. Jeden materiálový podklad uvádí typickou hustotu nízkouhlíkové oceli ASTM A366/A569 jako 7,80 g/cm³, což odpovídá 7800 kg/m³, zatímco jiný uvádí pro ultrapevnou ocel 300M hodnotu 7,87 g/cm³ neboli 7870 kg/m³. RoyMech používá pro měkkou ocel hodnotu 7830 kg/m³. Tyto rozdíly jsou při mnoha předběžných výpočtech malé, ale mohou být významné při řešení tolerancí, přepravních hmotností, vyvažování nebo přenosu tepla.

Hustota se může měnit také v závislosti na chemickém složení slitiny, teplotě, pórovitosti a způsobu zpracování. Povlak přidává hmotnost, ale není součástí hustoty základní oceli. Dutému nebo perforovanému předmětu musí být přiřazen jeho skutečný čistý objem oceli, nikoli objem obalového kvádru.

Ukázkový Výpočet Plného Bloku

Uvažujme obdélníkový ocelový blok s těmito naměřenými rozměry:

• délka: $300\text{mm}$
• šířka: $200\text{mm}$
• tloušťka: $50,0\text{mm}$

Výslovně předpokládejme konvenční hustotu oceli:

$$\rho =7850{\text{kg/m}}^3$$

Tento výpočet neurčuje konkrétní jakost oceli a netvrdí, že skutečná hustota bloku je přesně 7850 kg/m³.

Nejprve převeďte rozměry na metry:

$$300\text{mm}=0,300\text{m}$$

$$200\text{mm}=0,200\text{m}$$

$$50,0\text{mm}=0,0500\text{m}$$

Pro obdélníkové těleso platí:

$$V=\mathrm{LWT}$$

Tedy:

$$V=(0,300)(0,200)(0,0500)$$

$$V=0,00300{\text{m}}^3$$

Nyní použijte $m=\rho V$:

$$m=(7850{\text{kg/m}}^3)(0,00300{\text{m}}^3)$$

$$m=23,55\text{kg}$$

Rozměry jsou uvedeny na tři platné číslice, zatímco hustota je předpokládaná konvenční hodnota, nikoli vysoce přesné měření. Vhodně uvedený výsledek je proto:

\[ \boxed{m\approx23{,}6\text{ kg}} \]

Nezaokrouhlená hodnota 23,55 kg může být stále uchována v záznamech výpočtu, aby pozdější operace nebyly zatíženy kumulací předčasného zaokrouhlování. Konečně zobrazená hodnota by neměla naznačovat vyšší přesnost, než jakou podporují rozměry a hustota.

Stejná metoda funguje také prostřednictvím plochy průřezu. Plocha bloku při pohledu na čelní stranu je:

$$A=\mathrm{WT}=(0,200)(0,0500)=0,0100{\text{m}}^2$$

Potom:

$$V=\mathrm{AL}=(0,0100)(0,300)=0,00300{\text{m}}^3$$

Pro konstantní průřez platí hmotnost na jednotku délky:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Pro tento blok:

$$\frac{m}{L}=\left(7850\right)(0,0100)=78,5\text{kg/m}$$

Vynásobením hodnoty 78,5 kg/m délkou 0,300 m opět získáme 23,55 kg. Tato forma založená na ploše je obvyklým postupem při výpočtu hmotnosti tyčí, plechů, nosníků a dalších výrobků s konstantním průřezem.

Chyby při Smíšených Jednotkách a Zaokrouhlování

Smíšené jednotky způsobují více chyb než samotné násobení. Rozměr v milimetrech musí být převeden před umocněním na třetí, nebo musí být převodní faktor použit na již vypočtený objem:

$$1{\text{m}}^3={10}^9{\text{mm}}^3$$

Blok o rozměrech $300\times 200\times 50$ mm má tedy:

$$V=3000000{\text{mm}}^3$$

Po převodu získáme:

$$V=\frac{3000000}{1000000000}=0,00300{\text{m}}^3$$

Častou chybou je vydělit každý lineární rozměr číslem 1000 a poté objem znovu vydělit číslem 1000. Tím se lineární převod použije na krychlovou veličinu a výsledkem je hmotnost milionkrát menší, než má být.

Jednotky hustoty lze rovněž převést přímo. Platí:

$$1{\text{g/cm}}^3=1000{\text{kg/m}}^3$$

Uvedená hustota 7,80 g/cm³ se tedy převede na 7800 kg/m³. Alternativně mohou rozměry zůstat v centimetrech, objem lze vypočítat v cm³ a hustota může zůstat v g/cm³, čímž získáme hmotnost v gramech. Metoda je platná pouze tehdy, když všechny jednotky v násobení náležejí do stejné soustavy.

Zaokrouhlování by mělo proběhnout až po hlavním výpočtu, nikoli po každém mezilehlém převodu. Pokud je naměřená délka 0,300 m a tloušťka 0,0500 m, uvedení hmotnosti 23,550000 kg naznačuje nepodloženou přesnost. Naopak zaokrouhlení hodnoty 7850 kg/m³ na 8000 kg/m³ před násobením způsobí zbytečnou změnu o 1,9 %. Během výpočtu zachovejte pomocné číslice a poté uveďte rozumný počet platných číslic.

Pro závěrečnou kontrolu porovnejte výsledek s alternativním podkladem pro hustotu. Při použití hustoty 7800 kg/m³ pro stejný blok o objemu 0,00300 m³ získáme 23,4 kg namísto 23,6 kg. Rozdíl 0,2 kg odráží předpoklad hustoty, nikoli chybu ve výpočtu. Teplota, skutečné chemické složení, přesnost váhy, svary, spojovací materiál, nátěr a připojené součásti mohou způsobit další rozdíly mezi vypočtenou hmotností samotné oceli a naměřenou hmotností celé sestavy.

Výpočet objemu z hmotnosti

Naměřenou hmotnost lze převést na odhadovaný objem, pokud je známa nebo zvolena hustota materiálu. Výpočet je jednoduchý, ale jeho výsledek je pouze tak spolehlivý jako použitá hodnota hustoty, soustava jednotek a interpretace měřeného objektu. Váha udává hmotnost celého předmětu, který je na ní umístěn; neurčuje, která část této hmotnosti náleží samotné oceli.

Rovnice V = m/ρ

NIST definuje hmotnostní hustotu jako podíl hmotnosti a objemu:

$$\rho =\frac{m}{V}$$

Po úpravě získáme požadovaný vztah:

$$V=\frac{m}{\rho }$$

Zde $V$ označuje objem, $m$ hmotnost a $\rho$ hmotnostní hustotu. V soustavě SI se hmotnost měří v kilogramech, hustota v kilogramech na metr krychlový a objem v metrech krychlových. Jednotky se správně zkrátí:

$$V=\frac{\text{kg}}{{\text{kg/m}}^3}={\text{m}}^3$$

Pokyny NIST k soustavě SI z roku 2024 rovněž definují měrný objem jako $V/m$, tedy převrácenou hodnotu hustoty. Měrný objem je užitečný při některých termodynamických výpočtech, ale pro běžné výpočty množství oceli je obvykle přímější použít vztah $V=m/\rho$.

Předpokládejme, že ocelová součást má naměřenou hmotnost 78,5 kg. Při použití běžné technické hustoty 7850 kg/m³ platí:

$$V=\frac{78.5\text{kg}}{7850{\text{kg/m}}^3}=0.0100{\text{m}}^3$$

Vypočtený objem je tedy 0,0100 m³ neboli 10,0 litru. Jedná se o objem materiálu, nikoli automaticky o objem pravoúhlého kvádru, který by součást obklopoval. Dutiny, otvory, zakřivené povrchy, profily svarů a mezery mezi součástmi je nutné posuzovat samostatně.

Zvolená hustota je důležitá. V odborných podkladech pro konstrukční ocel se pro výpočet tabulkové hmotnosti na metr běžně používá hodnota 7850 kg/m³. National Research Council Canada uvedla v roce 2019 hodnotu 7850 kg/m³ a americké Department of Defense UFC 4-023-07 uvádělo v roce 2008 stejnou hodnotu, přibližně 490 lb/ft³. Jedná se o praktické technické konvence. Neměly by být prezentovány jako důkaz, že každá jakost oceli má přesně tuto hustotu.

Hustota (g/cm³)

Pro srovnání, MatWeb uvádí typickou hustotu 7,80 g/cm³ pro nízkouhlíkovou ocel ASTM A366/A569, zatímco ASM MatWeb uvádí 7,87 g/cm³ pro ultravysokopevnostní ocel 300M. Protože 1 g/cm³ odpovídá 1000 kg/m³, tyto hodnoty odpovídají přibližně 7800 a 7870 kg/m³. RoyMech používá pro měkkou ocel hodnotu 7830 kg/m³ a Engineering ToolBox uvádí pro ocel přibližně 7,82 g/cm³. Pro mnoho odhadů ve výrobě jsou tyto rozdíly malé, ale jsou skutečné.

Pro stejnou hmotnost 78,5 kg dává použití hodnoty 7800 kg/m³:

$$V=\frac{78.5}{7800}=0.010064{\text{m}}^3$$

Při použití hustoty 7870 kg/m³ získáme přibližně 0,009975 m³. Uvedení hodnoty 0,0100 m³ může být vhodné, pokud jsou vstupní hmotnost a hustota známy pouze na několik platných číslic. Další desetinná místa by naznačovala přesnost, kterou měření nepodporují.

Zásadní je používat vzájemně konzistentní jednotky. Je-li hmotnost uvedena v gramech a hustota v gramech na centimetr krychlový, bude výsledek v centimetrech krychlových. Kus o hmotnosti 500 g a hustotě 7,80 g/cm³ má tedy:

$$V=\frac{500}{7.80}=64.1{\text{cm}}^3$$

Nevkládejte do stejné rovnice hodnoty 500 g a 7850 kg/m³ bez převodu jednotek. Příloha B.9 dokumentu NIST uvádí rozměrový základ pro převody mezi jednotkami SI a běžnými angloamerickými jednotkami.

Interpretace naměřené hmotnosti

Naměřená hmotnost automaticky nepředstavuje hmotnost samotné oceli. Lakovaný plech například zahrnuje ocelový podklad, základní nátěr, mezivrstvu a vrchní nátěr. Žárové zinkování přidává zinek. Okuje přidávají oxidovaný materiál a mohou zůstat přichycené nerovnoměrně. Naměřenou hodnotu mohou zvýšit také nečistoty, zadržená voda, řezná kapalina, led a vlhkost uvnitř dutých profilů.

Další běžnou chybou je započtení připevněného příslušenství. Šrouby, matice, podložky, spony, zdvihací přípravky, navařené konzoly, izolace a dočasné podpěry mohou být na váze zahrnuty, přestože nejsou součástí zamýšleného výpočtu oceli. Naopak koroze nebo chybějící materiál mohou způsobit, že naměřená hmotnost bude nižší než původní projektovaná hmotnost. Dutý profil může zadržovat vodu v uzavřené dutině, což vede k výsledku, který se mezi jednotlivými váženími mění.

Nejistotu přináší také samotná váha. Naměřenou hodnotu může ovlivnit rozlišení, kalibrace, vibrace, poloha zatížení, proudění vzduchu a posun nulové hodnoty. Pokud je součást o hmotnosti 10 kg měřena na zařízení s nejistotou ±0,1 kg, představuje tato nejistota sama o sobě ±1 %, ještě před zohledněním proměnlivosti hustoty. Vypočtený objem přebírá stejnou relativní nejistotu vyplývající z hmotnosti a přispívá k ní také nejistota hustoty.

Z tohoto důvodu by měl výpočet založený na naměřené hmotnosti uvádět, co bylo zváženo a jaká hustota byla použita. Výraz „objem oceli“ je nejednoznačný, pokud má objekt povlak nebo připevněné součásti. Přesnější formulace zní: „Odhadovaný ekvivalentní objem samotné oceli činí 0,0100 m³; byl vypočten z čisté hmotnosti 78,5 kg a $\rho =7850$ kg/m³.“ Pokud je 78,5 kg celkovou hmotností lakované sestavy, jedná se při zvolené hustotě o jmenovitý ekvivalentní objem, nikoli o přímé měření objemu samotné oceli.

Teplota může ovlivnit také interpretaci výsledku. Zahříváním se ocel rozpíná, čímž se zvětšuje její geometrický objem, zatímco její hmotnost zůstává v podstatě konstantní. Hustota se proto se zvyšující se teplotou snižuje. Výpočty požární bezpečnosti mohou používat vlastnosti závislé na teplotě, zatímco při běžných výpočtech množství za pokojové teploty se obecně používá konvenční referenční hodnota. Je nutné uvést příslušné návrhové podmínky.

Zpětný výpočet rozměrů

Po odhadu objemu lze z příslušné geometrie určit teoretický rozměr. U prizmatického prvku s konstantním průřezem platí:

$$V=\mathrm{AL}$$

kde $A$ je plocha průřezu a $L$ délka. Proto:

$$L=\frac{V}{A}=\frac{m}{\rho A}$$

Ocelová tyč o hmotnosti 78,5 kg a ploše průřezu 1000 mm² má při použití hustoty 7850 kg/m³:

$$A=1000{\text{mm}}^2=0.001000{\text{m}}^2$$

$$L=\frac{0.0100}{0.001000}=10.0\text{m}$$

Jedná se o teoretickou délku založenou na konstantní ploše průřezu a zvolené hustotě. Nenahrazuje měření tyče, zejména pokud jsou konce nepravidelné, průřez se zužuje nebo hmotnost zahrnuje povlak a kování.

Pro pravoúhlý plech platí objem:

$$V=\mathrm{Lwt}$$

kde $L$ je délka, $w$ šířka a $t$ tloušťka. Jsou-li délka a šířka známé, lze tloušťku vypočítat zpětně:

$$t=\frac{V}{\mathrm{Lw}}=\frac{m}{\rho \mathrm{Lw}}$$

Plech o hmotnosti 50 kg a rozměrech 2,00 m × 1,00 m má při použití hustoty 7850 kg/m³:

$$t=\frac{50}{7850\left(2.00\right)\left(1.00\right)}=0.00318\text{m}$$

tedy přibližně 3,18 mm. Výsledek popisuje ekvivalentní konstantní tloušťku. Skutečná tloušťka plechu se může lišit v důsledku okují, povlaku, válcovacích tolerancí, drsnosti povrchu nebo nesprávného předpokladu o čisté hmotnosti oceli.

Stejný princip platí pro hmotnost na jednotku délky:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

U pravoúhlé tyče je $A=\mathrm{wt}$, takže:

$$\frac{m}{L}=\rho \mathrm{wt}$$

Výpočet pravoúhlého průřezu společnosti RoyMech z roku 2024 používá pro měkkou ocel hodnotu 7830 kg/m³ namísto 7850 kg/m³, což ukazuje, proč je při porovnávání vypočtených a tabulkových hmotností nutné uvést použitou hustotu. U složitých průřezů je nutné použít skutečnou čistou plochu průřezu a odečíst otvory a dutiny. Při požárním návrhu tuto plochu nezaměňujte se součinitelem průřezu oceli, který National Research Council Canada definuje jako podíl ohřívaného obvodu a plochy průřezu. Tento součinitel popisuje působení tepla, nikoli běžný objem materiálu.

Hmotnost ocelových průřezů na jednotku délky

Hmotnost ocelového průřezu na jednotku délky přímo vyplývá z definice hustoty. NIST definuje hustotu jako

$$\rho =\frac{m}{V}$$

kde $\rho$ je hustota, $m$ je hmotnost a $V$ je objem. U hranolového průřezu se objem rovná ploše průřezu vynásobené délkou:

$$V=\mathrm{AL}$$

Dosazením do rovnice pro hustotu získáme

$$\rho =\frac{m}{\mathrm{AL}}$$

a tedy

\[ \boxed{\frac{m}{L}=\rho A} \]

Toto je základní vztah pro hmotnost na jednotku délky. Je-li hustota uvedena v kilogramech na metr krychlový a plocha v metrech čtverečních, výsledkem jsou kilogramy na metr:

$$\left(\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}\right)\left({\mathrm{m}}^2\right)=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}$$

Plocha průřezuPlocha průřezu Čistá plocha materiálu v řezu kolmém k délce prvku; určuje objem na jednotku délky a spolu s hustotou také hmotnost na jednotku délky.

Rozhodující geometrickou veličinou je plocha. Delší kus má větší celkovou hmotnost, ale jeho hmotnost na metr zůstává nezměněna, pokud se průřez a hustota nemění.

Hodnota $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ se široce používá při výpočtech konstrukční oceli. Publikace Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3. vydání (2016), uvádí, že tabelované hmotnosti konstrukční oceli na metr se počítají s použitím této hustoty. National Research Council Canada (2019) a U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 rovněž uvádějí hodnotu $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, přičemž UFC ji vyjadřuje přibližně jako $490\mathrm{lb}/{\mathrm{ft}}^3$. Jedná se o inženýrské konvence používané pro výpočty a tabulky, nikoli o záruku, že každá jakost oceli má přesně tuto hustotu.

m/L = ρA

Vzorec je jednoduchý, ale rozhodující je soulad jednotek. Obdélníkový průřez o rozměrech $50\mathrm{mm}$ a $25\mathrm{mm}$ má plochu

$$A=50\times 25=1250{\mathrm{mm}}^2$$

Protože

$$1{\mathrm{m}}^2=1,000,000{\mathrm{mm}}^2$$

je plocha

$$A=0,00125{\mathrm{m}}^2$$

Při použití konvenční hustoty konstrukční oceli dostaneme

$$\frac{m}{L}=7850(0,00125)=9,8125\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

Rovnoměrná ocelová tyč o rozměrech $50\mathrm{mm}\times 25\mathrm{mm}$ má tedy nominální hmotnost na metr přibližně $9,81\mathrm{kg}/\mathrm{m}$, a to bez zohlednění tolerancí, povlaků, okují nebo jiného připojeného materiálu.

Volba hustoty může ovlivnit poslední číslice výsledku. Výpočet obdélníkového průřezu na webu RoyMech používá pro měkkou ocel hodnotu $7830\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Při této hodnotě vychází pro stejnou tyč

$$7830(0,00125)=9,7875\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

což po zaokrouhlení činí $9,79\mathrm{kg}/\mathrm{m}$. Rozdíl je u mnoha odhadů pro konstrukční účely malý, ukazuje však, proč by měl výsledek uvádět použitý základ hustoty, místo aby zaokrouhlené číslo prezentoval jako fyzikální konstantu nezávislou na jakosti oceli.

Materiálové údaje uvedené pro konkrétní oceli rovněž ukazují skutečnou variabilitu. MatWeb uvádí typickou hustotu $7,80\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ pro nízkouhlíkovou ocel ASTM A366/A569, což odpovídá $7800\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. ASM MatWeb uvádí pro ultravysokopevnostní ocel 300M hodnotu $7,87\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$, tedy $7870\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Engineering ToolBox uvádí pro ocel přibližně $7,82\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$. Tyto hodnoty se navzájem liší i liší od hodnoty $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, zároveň jsou však natolik blízké, že mnoho konstrukčních tabulek používá společnou konvenci.

NIST rovněž definuje měrný objem jako $V/m$, tedy převrácenou hodnotu hustoty. Měrný objem by neměl být zaměňován s hmotností na jednotku délky: první veličina popisuje objem materiálu na jednotku hmotnosti, zatímco druhá kombinuje hustotu materiálu s konkrétní plochou průřezu.

Pro celkovou délku prvku $L$ je odpovídající hmotnost

$$m=\rho \mathrm{AL}$$

Například tyč délky $6\mathrm{m}$ s vypočtenou hmotností na metr $9,8125\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ má nominální hmotnost

$$m=9,8125\times 6=58,875\mathrm{kg}$$

Stejný vztah platí také pro plech. Plech o šířce $2,0\mathrm{m}$ a tloušťce $10\mathrm{mm}$ má plochu průřezu, vedeného kolmo k jeho délce,

$$A=2,0\times 0,010=0,020{\mathrm{m}}^2$$

Jeho hmotnost na metr je tedy

$$\frac{m}{L}=7850(0,020)=157\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

Je-li plech dlouhý $4\mathrm{m}$, jeho nominální hmotnost činí $628\mathrm{kg}$. Při výpočtech plechů musí být šířka a tloušťka měřeny ve směrech kolmých k uvažované délce. Půdorysná plocha plechu není plochou používanou ve vztahu $m/L=\rho A$, pokud zvolený směr délky neumožňuje takovou interpretaci.

Hmotnost na metr není totéž co liniová tíha. Hmotnost na metr má jednotky $\mathrm{kg}/\mathrm{m}$, zatímco liniová tíha je síla na jednotku délky, obvykle v $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ nebo $\mathrm{kN}/\mathrm{m}$. Při standardním gravitačním zrychlení platí

$$w=\frac{m}{L}g$$

kde $g$ je přibližně $9,80665\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$. Tyč s hmotností $9,8125\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ má proto liniovou tíhu přibližně

$$9,8125\times 9,80665=96,2\mathrm{N}/\mathrm{m}$$

nebo $0,0962\mathrm{kN}/\mathrm{m}$. V technických dokumentech se hodnoty v kilogramech na metr někdy označují jako „hmotnost“ či „tíha“, technicky správné rozlišení je však užitečné při výpočtech zatížení.

Válcované profily a tabelované vlastnosti

U válcovaných profilů I, U, L, T, dutých profilů a dalších průřezů může být výpočet plochy ze všech pásnic, stojiny, zaoblení a rohů nepraktický. Profilové tabulky se tomuto opakovanému geometrickému výpočtu vyhýbají tím, že uvádějí nominální plochu průřezu a odpovídající hmotnost na metr. Základní postup však zůstává stejný:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Tabulka může uvádět plochu přímo v ${\mathrm{cm}}^2$ nebo ${\mathrm{mm}}^2$, po níž následuje hmotnost v $\mathrm{kg}/\mathrm{m}$. Je-li plocha uvedena v centimetrech čtverečních, převod je

$$1{\mathrm{cm}}^2={10}^{-4}{\mathrm{m}}^2$$

Válcovaný profil s nominální plochou $25,0{\mathrm{cm}}^2$ má tedy

$$A=0,00250{\mathrm{m}}^2$$

a při použití hustoty $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$

$$\frac{m}{L}=7850(0,00250)=19,625\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

Publikovaná tabulka může tuto hodnotu zaokrouhlit na $19,6\mathrm{kg}/\mathrm{m}$. Uvedená hodnota by měla být interpretována s ohledem na hustotu, rozměrový základ a pravidla zaokrouhlování uvedené v tabulce.

Rozměry profilu jsou důležité i tehdy, když je samotný výpočet skrytý. Šířka pásnic, tloušťka pásnic, tloušťka stojiny, celková výška a poloměry kořenového zaoblení I-profilu určují jeho plochu. Dva profily se stejnou nominální výškou mohou mít různé plochy a tedy i různé hmotnosti na metr. Označení, jako je nominální rozměr, samo o sobě nepředstavuje hodnotu hmotnosti. Je nutné ověřit příslušné vydání tabulky a normu pro daný profil.

Tabelovaná plocha může být teoretická nebo nominální, nikoli plocha naměřená u konkrétního kusu. Výrobní tolerance, výstupky, poloměry rohů, průhyb a odchylky od nominální tloušťky mohou způsobit malý rozdíl mezi vypočtenou a skutečnou hmotností. Povrchové povlaky rovněž přidávají hmotnost, ačkoli z hodnoty pro holý ocelový profil v tabulkách jsou obvykle vyloučeny. Pozinkovanému, natřenému nebo protipožárně chráněnému prvku by neměla být přiřazena nekorigovaná hmotnost holé oceli, pokud je povlak součástí požadované hmotnosti celého prvku.

Teplota přináší další rozlišení. Zahřátá ocel se rozpíná, takže se mění její rozměry a objem; hustota vyjádřená jako hmotnost dělená rozšířeným objemem se proto mění, přestože množství oceli zůstává stejné. Při požárních výpočtech se může používat také faktor profilu oceli, který National Research Council Canada definuje jako poměr ohřívaného obvodu k ploše průřezu. Tento faktor určuje působení tepla a nenahrazuje hmotnost na metr.

U konstrukčního prvku je tedy spolehlivým postupem identifikovat skutečný profil, získat nebo vypočítat jeho nominální plochu, zvolit konvenci hustoty požadovanou návrhovým podkladem a zachovat jednotnost jednotek. Výsledkem je hmotnost na jednotku délky; teprve po vynásobení gravitačním zrychlením ji lze považovat za liniovou tíhu.

Geometrie: Plné průřezy, duté profily a nepravidelné průřezy

Hmotnost oceli odpovídá objemu materiálu, nikoli zdánlivé velikosti obrysu. U homogenního prvku je rozhodující výpočet

$$m=\rho V=\rho AL$$

kde $m$ je hmotnost, $\rho$ je hustota, $A$ je čistá plocha průřezu a $L$ je délka. Pokud je $\rho$ uvedena v kilogramech na metr krychlový, musí být $A$ v metrech čtverečních a $L$ v metrech. Výsledkem jsou kilogramy.

Tabulky konstrukčních ocelových profilů běžně počítají hmotnost na metr s použitím hodnoty $7850{\text{kg/m}}^3$, takže profil s plochou $0.001{\text{m}}^2$ má tabulkovou hmotnost

$$7850\left(0.001\right)=7.85\text{kg/m}.$$

Jde o běžný technický výpočet, nikoli o náhradu za stanovení skutečné plochy průřezu ani o tvrzení, že každá jakost oceli má přesně tuto hustotu. Nejdříve je nutné určit geometrii.

Plné obdélníkové a kruhové průřezy

U plného obdélníku platí

$$A=\mathrm{bh}$$

kde $b$ je šířka a $h$ je výška. Ocelová tyč o rozměrech $50\text{mm}\times 100\text{mm}$ má

$$A=50\left(100\right)=5000{\text{mm}}^2.$$

Protože $1{\text{m}}^2=1,000,000{\text{mm}}^2$,

$$A=0.005{\text{m}}^2.$$

Při použití hustoty $7850{\text{kg/m}}^3$ činí její hmotnost na metr $39.25\text{kg/m}$. Při použití hodnoty $7830{\text{kg/m}}^3$ pro měkkou ocel, kterou uvádí RoyMech, činí $39.15\text{kg/m}$. Malý rozdíl vyplývá ze zvolené hustoty, nikoli z odlišného geometrického vzorce.

U plné kruhové tyče platí

$$A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4},$$

kde $r$ je poloměr a $d$ je průměr. Tyč o průměru $40\text{mm}$ má

$$A=\frac{\pi (40{)}^2}{4}=1256.6{\text{mm}}^2=0.0012566{\text{m}}^2.$$

Při hustotě $7850{\text{kg/m}}^3$ činí hmotnost na metr přibližně $9.86\text{kg/m}$.

Průměr je nutné umocnit na druhou. Zdvojnásobení průměru kruhové tyče nevede ke zdvojnásobení její plochy; plocha, a tedy i hmotnost na jednotku délky, se zvětší čtyřnásobně. Stejný princip platí pro rozměry obdélníku: zdvojnásobení jednoho rozměru zdvojnásobí plochu, zatímco zdvojnásobení obou rozměrů plochu vynásobí čtyřmi.

Před násobením musí být rozměry rovněž převedeny na společnou jednotku. Častou chybou je dosadit rozměry v milimetrech do vzorce a současně ponechat hustotu v kilogramech na metr krychlový. Jedním přímým postupem je vypočítat plochu v ${\text{mm}}^2$, vydělit ji $1,000,000$ a poté ji vynásobit hustotou. Jinou možností je nejprve převést všechny rozměry na metry.

Duté profily a odečítání dutin

Dutý profil se vypočítá z plochy materiálu, která se získá odečtením dutiny od vnější plochy. U obdélníkového dutého profilu s vnější šířkou $B$, vnější výškou $H$ a konstantní tloušťkou stěny $t$ platí

$$A=\mathrm{BH}-(B-2t)(H-2t).$$

Vnitřní rozměry se zmenší o $2t$, protože stěna zabírá prostor na obou protilehlých stranách. Výraz lze také upravit na

$$A=2t(B+H-2t).$$

U obdélníkového dutého profilu o rozměrech $100\text{mm}\times 50\text{mm}$ a tloušťce stěny $5\text{mm}$ platí

$$A=\left(100\right)\left(50\right)-\left(90\right)\left(40\right)=5000-3600=1400{\text{mm}}^2.$$

Hmotnost na metr při hustotě $7850{\text{kg/m}}^3$ tedy činí

$$0.0014\left(7850\right)=10.99\text{kg/m}.$$

Samotný vnější obdélník by poskytl hodnotu $39.25\text{kg/m}$, která je více než třikrát vyšší. Započítání vnějšího obrysu namísto odečtení otvoru považuje vzduch za ocel.

U kruhového dutého profilu neboli trubky s vnějším průměrem $D$, vnitřním průměrem $d$ a tloušťkou stěny $t$ platí

$$A=\frac{\pi }{4}(D^2-d^2)$$

a při konstantní tloušťce stěny

$$d=D-2t.$$

Trubka s $D=60\text{mm}$ a $t=5\text{mm}$ má $d=50\text{mm}$, takže

$$A=\frac{\pi }{4}({60}^2-{50}^2)=863.9{\text{mm}}^2=0.0008639{\text{m}}^2.$$

Její konvenční hmotnost na metr činí přibližně $6.78\text{kg}$. Plná tyč o průměru $60\text{mm}$ by měla plochu $2827{\text{mm}}^2$ a hmotnost přibližně $22.2\text{kg/m}$.

Vnější rozměr tedy neurčuje hmotnost. Čtvercová trubka o rozměru $100\text{mm}$ s tloušťkou stěny $2\text{mm}$ a trubka se stejným vnějším rozměrem, ale s tloušťkou stěny $10\text{mm}$, mají stejnou vnější šířku, avšak velmi odlišné čisté plochy. Z výpočtu objemu je nutné odečíst všechny otvory, perforace, jádra, drážky a vnitřní dutiny. Naopak zaoblení rohů, svarové housenky, zahnuté lemy a nerovnoměrné stěny mohou přidávat materiál, který jednoduchý vzorec s ostrými rohy nezohledňuje. U vyráběných profilů může být zveřejněná jmenovitá plocha nebo hmotnost na metr spolehlivější než považovat profil za idealizovaný obdélník.

Hustota specifická pro danou jakost může výsledek mírně změnit. MatWeb uvádí pro nízkouhlíkovou ocel ASTM A366/A569 hodnotu $7.80{\text{g/cm}}^3$, zatímco ASM MatWeb uvádí pro ultra vysoce pevnou ocel 300M hodnotu $7.87{\text{g/cm}}^3$. Použití obou hustot na stejnou vypočtenou plochu vede k různým hmotnostem. Rozdíl je malý, ale může být významný při zohlednění tolerancí, skladových zásob, zatížení při zdvihání nebo velkých délek.

Záměna obvodu, plochy a průřezových charakteristik

Plocha průřezu udává, kolik oceli se nachází v řezu kolmém k podélné ose prvku. Určuje objem na jednotku délky:

$$V/L=A$$

a tím při známé hustotě také hmotnost na jednotku délky.

Obvod je jiná veličina. Vnější obvod plného obdélníku je

$$P=2(b+h),$$

zatímco obvodem plného kruhu je $P=\pi d$. Tyto veličiny popisují délku hranice, nikoli plochu oceli. Čtverec o straně $100\text{mm}$ a kruh o průměru $20\text{mm}$ mohou mít související rozměry hranice, přesto však obsahují velmi rozdílné množství oceli. U dutého profilu mohou konstruktéři potřebovat několik obvodů: vnější obvod, vnitřní obvod nebo obvod vystavený požáru či vzduchu. Žádný z nich nemůže při výpočtu hmotnosti nahradit čistou plochu průřezu.

Povrchová plocha je plocha podélného vnějšího povrchu prvku, která u konstantního profilu přibližně odpovídá hodnotě $\mathrm{PL}$. Je důležitá pro výpočet množství nátěru, přenosu tepla, expozice korozi a teplotní odezvy. Nejde však o plochu průřezu. Tenkostěnná trubka může mít na metr značnou povrchovou plochu, přestože obsahuje poměrně málo oceli.

Moment plochy druhého řádu, nazývaný také plošný moment setrvačnosti, je zcela jiná veličina. U obdélníku vzhledem k těžišťové ose rovnoběžné s jeho šířkou platí

$$I=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{12}.$$

Krychlový rozměr ukazuje, proč výška výrazně ovlivňuje ohybovou tuhost, avšak $I$ není hmotnost a nelze jej dosadit do vztahu $m=\rho \mathrm{AL}$. Hodnoty pro duté profily se získají odečtením momentu plochy druhého řádu dutiny od hodnoty vnějšího tvaru, přičemž je nutné použít správnou osu a v případě potřeby také Steinerovu větu.

Výpočty požární odolnosti zavádějí ještě další poměr. National Research Council Canada definuje součinitel průřezu oceli jako podíl ohřívaného obvodu a plochy průřezu. V závislosti na expozici a uspořádání ochrany může ohřívaný obvod zahrnovat povrchy, které nejsou totožné s geometrickým vnějším obvodem. Tento součinitel průřezu popisuje přenos tepla na jednotku objemu oceli; neurčuje však hmotnost prvku.

Nepravidelné profily se řeší rozkladem na jednoduché tvary, odečtením dutin nebo přímou integrací plochy vymezené hranicí. Například u válcovaného profilu I lze sečíst plochy obdélníků pásnic a stojiny, přičemž překryvy se započítají pouze jednou. Konečná čistá plocha, nikoli silueta, je veličinou, která se násobí délkou a hustotou.

Proč nemají všechny jakosti oceli stejnou hustotu

Hodnota 7850 kg/m³ je užitečná, ale není univerzální materiálovou konstantou pro každou jakost oceli. Tabulky konstrukčních ocelí běžně používají 7850 kg/m³ k výpočtu hmotnosti na metr a jak National Research Council Canada, tak U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 uvádějí pro ocel tuto hodnotu. UFC rovněž uvádí přibližně 490 lb/ft³. Tyto údaje jsou konvenčními vstupními hodnotami ve strojírenství, obvykle zaokrouhlenými pro projektování a tabulkové výpočty. Neměly by být chápány jako tvrzení, že všechny oceli mají přesně stejnou hustotu.

NIST definuje hustotu jako ρ = m/V, vyjádřenou v kilogramech na metr krychlový, a specifický objem definuje jako V/m. Hustota konkrétní jakosti proto mění vypočtenou hmotnost, pokud je objem konstantní. Rozdíl může být při běžných konstrukčních pracích malý, ale stává se významným při přesných odhadech hmotnosti, u leteckých součástí, tlakových zařízení, laboratorních měření a při porovnávání velkých průřezů.

Uvedené údaje tento fakt jasně ukazují. MatWeb uvádí typickou hustotu 7,80 g/cm³ pro nízkouhlíkovou ocel ASTM A366/A569, což odpovídá 7800 kg/m³. ASM MatWeb uvádí 7,87 g/cm³ pro ultravysokopevnostní ocel 300M, což odpovídá 7870 kg/m³. Rozdíl činí 70 kg/m³, tedy přibližně 0,9 % vzhledem k nižší hodnotě. Pokud je požadována vysoká přesnost, neměla by ani jedna z těchto hodnot nahradit materiálový certifikát nebo řízené měření, avšak ani jedna nepodporuje zacházení s hodnotou 7850 kg/m³ jako s přesnou hodnotou pro obě jakosti.

Chemické složení a legování

Ocel je tvořena především železem, její hustota však závisí na celkovém složení a fyzikálním stavu materiálu. Uhlík, mangan, křemík, chrom, nikl, molybden, vanad a další přísady mění hmotnost a objem pevné látky. Jejich účinek nelze určit jednoduše tak, že se k hustotě železa přičte hustota každého čistého prvku. Atomy legujících prvků zaujímají pozice v krystalové mřížce železa, deformují ji, mění její objem a mohou podporovat vznik různých fází nebo precipitátů.

Samotné železo existuje v různých stavech souvisejících s hustotou. Při běžných teplotách má feritické železo krystalovou strukturu s prostorově centrovanou kubickou mřížkou, zatímco austenit má při vyšších teplotách plošně centrovanou kubickou strukturu. Kalení, popouštění, válcování a další zpracování mohou měnit podíl feritu, perlitu, bainitu, martenzitu a zbytkového austenitu. Tyto mikrostrukturní změny jsou pro objemovou hustotu obvykle méně významné než celkové chemické složení, mohou však hrát roli, pokud výpočet vyžaduje více než zaokrouhlenou katalogovou hodnotu.

Legující přísady mají také různé atomové hmotnosti a atomové objemy. Například nikl a molybden jsou poměrně husté prvky, zatímco hliník a křemík mají nižší hustotu než železo. Malé množství přísady nevede k jednoduchému výsledku odpovídajícímu jejímu podílu, protože se mění také rozměry mřížky slitiny, fázové složení a tepelná historie. Konečná hustota je vlastností slitiny ve stavu, v jakém byla vyrobena, nikoli hodnotou, kterou lze odvodit pouze z pevnosti v tahu.

Naměřenou hmotnost součásti mohou dále ovlivnit pórovitost, vměstky, oduhličené oblasti, okuje, svarový kov, pokovování, nátěr a přítomná vlhkost. Jmenovitá hustota oceli obvykle popisuje pevný kovový materiál, nikoli každý povlak nebo nános na hotovém dílu. Toto rozlišení je důležité, když se hmotnost měří u kompletní sestavy namísto výpočtu z certifikovaných rozměrů a hustoty materiálu.

Označení pevnostní třídy samo o sobě hustotu neurčuje. „Vysokopevnostní“ popisuje mechanické vlastnosti nebo kategorii podle určité specifikace; neudává hmotnost na jednotku objemu. Dvě oceli mohou mít podobnou mez kluzu, ale odlišný systém legování, tepelné zpracování a hustotu. Naopak ocel s vyšší pevností může mít hustotu blízkou hustotě jakosti s nižší pevností. Hustota musí vycházet z technického listu materiálu, informací uvedených v konkrétní normě, certifikátu dodavatele nebo z měření.

Nízkouhlíková ocel ASTM A366/A569

MatWeb uvádí pro nízkouhlíkovou ocel ASTM A366/A569 typickou hustotu 7,80 g/cm³, která je rovněž uvedena jako 0,282 lb/in³. V jednotkách SI odpovídá 7,80 g/cm³ hodnotě 7800 kg/m³, protože 1 g/cm³ se rovná 1000 kg/m³. Slovo „typická“ je důležité. Jedná se o referenční hodnotu z údajů o materiálu, nikoli o univerzální požadavek na hustotu, kterému musí přesně do posledního kilogramu na metr krychlový odpovídat každý plech nebo svitek označený touto jakostí.

Označení ASTM identifikuje kategorii výrobku z nízkouhlíkové oceli a související požadavky, nemělo by však být považováno za přímou specifikaci hustoty, pokud příslušné vydání normy takovou specifikaci výslovně neuvádí. Normy se obecně zaměřují na takové aspekty, jako jsou chemické limity, rozměry, stav povrchu, vlastnosti při tváření a mechanické požadavky. Norma může povolovat rozsah složení namísto jednoho přesného chemického složení, takže jediná hustota nemůže s absolutní přesností reprezentovat každou přípustnou tavbu a podmínku zpracování.

Pro výpočet objemu poskytuje hodnota z MatWebu přímý výsledek. Uvažujme obdélníkovou desku o délce 2,00 m, šířce 1,00 m a tloušťce 10,0 mm. Její objem je:

V = 2,00 × 1,00 × 0,0100 = 0,0200 m³.

Při použití hodnoty 7800 kg/m³ dostaneme:

m = ρV = 7800 × 0,0200 = 156 kg.

Při použití konvenční hodnoty 7850 kg/m³ vyjde 157 kg. Rozdíl jednoho kilogramu je u této desky malý, což vysvětluje, proč mohou projektové tabulky používat zaokrouhlenou společnou hodnotu. Stále se však jedná o rozdíl způsobený zvolenou hustotou, nikoli změnou geometrie.

Stejný princip platí pro hmotnost na jednotku délky. U obdélníkové tyče musí být plocha průřezu před vynásobením hustotou uvedena v metrech čtverečních:

m′ = ρA.

Tyč o rozměrech 100 mm × 20 mm má plochu 0,0020 m². Při hustotě 7800 kg/m³ činí její vypočtená hmotnost na metr 15,6 kg/m. RoyMech používá při výpočtu pro obdélníkovou tyč hodnotu 7830 kg/m³ pro měkkou ocel, zatímco Engineering ToolBox uvádí pro ocel přibližně 7,82 g/cm³. Rozdíly mezi těmito zdroji odrážejí odlišné konvenční nebo typické vstupní hodnoty, nikoli rozpor v definici hustoty.

Ultr vysokopevnostní ocel 300M

ASM MatWeb uvádí pro ultravysokopevnostní ocel 300M typickou hustotu 7,87 g/cm³, což odpovídá 0,284 lb/in³ neboli přibližně 7870 kg/m³. Tato hodnota je vyšší než hodnota 7,80 g/cm³ uváděná pro nízkouhlíkovou ocel ASTM A366/A569 a také o něco vyšší než konvenční hodnota 7850 kg/m³ používaná v mnoha konstrukčních výpočtech.

Označení 300M označuje konkrétní skupinu legovaných ocelí s velmi vysokou pevností, jejíž vlastnosti závisí na řízeném chemickém složení a tepelném zpracování. Její pevnost je výsledkem legování a zpracování, včetně vzniku zakalené a popuštěné mikrostruktury; číslo v označení pevnostní třídy neznamená „hustotu v konkrétní jednotce“. Výpočet, který ví pouze to, že součást je vyrobena z oceli „300M“, stále vyžaduje příslušnou materiálovou specifikaci, stav výrobku a zvolenou hodnotu hustoty.

Pro stejný objem desky 0,0200 m³ použitý výše dává ocel 300M při hustotě 7870 kg/m³ hmotnost 157,4 kg. Referenční hodnota pro ASTM A366/A569 dává 156 kg. Rozdíl 1,4 kg je u jediné desky malý, s rostoucím objemem se však úměrně zvětšuje. U letecké součásti, dlouhé tyče nebo velké série dílů může použití nesprávné hodnoty pro konkrétní jakost ovlivnit hmotnostní bilanci.

Pozornost je třeba věnovat také teplotě. Při zahřívání oceli tepelná roztažnost zvětšuje její objem, takže hustota se při konstantní hmotnosti obecně snižuje. Výpočty v požárním inženýrství proto mohou kombinovat teplotně závislé vlastnosti materiálu s tvarovým faktorem založeným na poměru ohřívaného obvodu k ploše průřezu. Výše uvedené hodnoty při pokojové teplotě jsou vhodné pouze tehdy, pokud jejich teplotní a aplikační předpoklady odpovídají danému výpočtu. Hodnotu 7850 kg/m³ používejte jako uvedenou konvenční hodnotu ve strojírenství, nikoli jako důkaz, že ASTM A366/A569, 300M a každá jiná jakost oceli mají totožnou hustotu.

Hustota, měrná tíha a relativní hustota nejsou zaměnitelné

Ocelové tabulky často uvádějí hustotu, hmotnost a relativní hustotu v sousedních sloupcích a následně používají zkrácená označení, jako je „hmotnost oceli“. Takové uspořádání může zakrýt skutečnost, že jde o tři různé veličiny. Hmotnostní hustota popisuje, kolik hmoty zaujímá určitý objem. Měrná tíha popisuje sílu, kterou gravitace působí na danou hmotu. Relativní hustota porovnává hustotu jednoho materiálu s referenční hustotou. Jejich číselné hodnoty mohou být v některých soustavách jednotek podobné, avšak tyto veličiny nejsou totožné.

Hmotnostní hustota versus měrná tíha

National Institute of Standards and Technology (NIST, 2024) definuje hmotnostní hustotu jako

$$\rho =\frac{m}{V}$$

kde $m$ je hmotnost a $V$ je objem. Její jednotkou v SI je kilogram na metr krychlový, zapisovaný jako kg/m³. Hodnota $7850{\text{kg/m}}^3$ tedy znamená, že objem jednoho metru krychlového má při použití uvedené technické hustoty hmotnost přibližně 7850 kg.

Hmotnostní hustota sama o sobě není hmotnost. Ocelová deska může mít hustotu $7850{\text{kg/m}}^3$, ale její hmotnost závisí na jejím objemu:

$$m=\rho V$$

U homogenní obdélníkové desky platí

$$V=\mathrm{Lbt}$$

tedy

$$m=\rho \mathrm{Lbt}$$

kde délka $L$, šířka $b$ a tloušťka $t$ musí být vyjádřeny ve vzájemně kompatibilních jednotkách. Jsou-li rozměry zadány v metrech, lze hustotu zadat přímo v kg/m³ a výsledek bude v kilogramech. Jsou-li rozměry zadány v milimetrech, je nutné je nejprve převést, nebo převést hustotu na kompatibilní jednotku.

NIST rovněž definuje měrný objem jako $V/m$, tedy převrácenou hodnotu hmotnostní hustoty. Pro ocel reprezentovanou hodnotou $7850{\text{kg/m}}^3$ platí

$$v=\frac{1}{7850}\approx 1.27\times {10}^{-4}{\text{m}}^3/\text{kg}$$

Měrný objem je užitečný v termodynamice a při výpočtech materiálů, neznamená však měrnou tíhu.

Měrná tíha, obvykle zapisovaná jako $\gamma$, je tíha na jednotku objemu:

$$\gamma =\frac{W}{V}$$

Její jednotkou v SI je newton na metr krychlový (N/m³). Protože tíha je síla, nikoli hmotnost, získá se měrná tíha vynásobením hmotnostní hustoty gravitačním zrychlením:

$$\gamma =\rho g$$

Při použití hodnoty $7850{\text{kg/m}}^3$ a standardního gravitačního zrychlení $g=9.80665{\text{m/s}}^2$ dostaneme

$$\gamma =7850\left(9.80665\right)\approx 76982{\text{N/m}}^3$$

neboli přibližně $77.0{\text{kN/m}}^3$. Hodnoty $7850{\text{kg/m}}^3$ a $77.0{\text{kN/m}}^3$ tedy mohou popisovat tentýž předpokládaný stav oceli, avšak vyjadřují různé vlastnosti.

Toto rozlišení je při výpočtech důležité. Jednotku kg/m³ používejte při výpočtu hmotnosti z objemu. Jednotku N/m³ používejte při výpočtu gravitačního zatížení z objemu. Ocelový blok o objemu jednoho metru krychlového, vycházející z konvenční hustoty, má hmotnost přibližně 7850 kg a při standardní gravitaci gravitační tíhu přibližně 77,0 kN. Označovat obě hodnoty jako „hmotnost“ nebo „tíha“ znejasňuje, jaká operace byla provedena.

Starší technické tabulky způsobují další nejasnosti, protože výraz „weight“ se často neformálně používal pro hmotnost na jednotku objemu, zejména v tradičních jednotkách. Například U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 (2008) uvádí pro ocel hodnotu $7850{\text{kg/m}}^3$, což odpovídá přibližně $490{\text{lb/ft}}^3$. Stejná hodnota se objevuje také v Arcadis Construction Cost Handbook (2019). Při přesném používání tradičních jednotek by se hmotnostní hustota vyjadřovala v lbm/ft³ a měrná tíha v lbf/ft³. Při standardní gravitaci jsou však číselné hodnoty téměř stejné: $7850{\text{kg/m}}^3$ se převede přibližně na $490{\text{lbm/ft}}^3$, zatímco odpovídající měrná tíha činí přibližně $490{\text{lbf/ft}}^3$.

Tato číselná shoda je zdrojem mnoha chybných převodů. Libra hmotnosti (lbm) a libra síly (lbf) nejsou zaměnitelné. Zápis jednotek by měl být zachován vždy, když rozlišení ovlivňuje zatížení, rovnováhu sil nebo převod. NIST Appendix B.9 poskytuje rozměrový rámec pro převod mezi jednotkami SI a tradičními jednotkami; neodstraňuje však nutnost určit, zda tabulka uvádí hmotnostní hustotu, nebo hustotu síly.

Úloha gravitačního zrychlení

Gravitace není vlastností materiálu. Je to zrychlení, které působí na hmotu. Měrná tíha se proto mění s místní hodnotou $g$, i když materiál a jeho hmotnostní hustota zůstávají nezměněny.

Pro ocelový objekt platí

$$W=\mathrm{mg}$$

a po dosazení $m=\rho V$

$$W=\rho \mathrm{Vg}$$

Po vydělení objemem získáme $\gamma =\rho g$. Při standardní gravitaci je $g=9.80665{\text{m/s}}^2$ přesně, podle definice v soustavě SI. Místní gravitační zrychlení se mírně mění v závislosti na zeměpisné šířce a nadmořské výšce, avšak ve většině konstrukčních výpočtů se používá standardní gravitace, pokud není vyžadován přesnější fyzikální model.

Proto je hustota obvykle bezpečnějším vstupním údajem pro výpočty hmotnosti. Projekční kancelář může používat stejnou hmotnostní hustotu a zároveň měnit gravitační zrychlení pro konkrétní výpočet zatížení. Záměna těchto veličin by přisoudila vlastnosti materiálu sílu závislou na místě.

Pozornost si zaslouží také předpokládaná hustota. Příručky pro konstrukční ocel běžně vypočítávají tabulkovou hmotnost na metr s použitím hodnoty $7850{\text{kg/m}}^3$ a National Research Council Canada (2019) používá tuto hodnotu pro ocel v kontextu požárního inženýrství. RoyMech (2024) naproti tomu používá pro měkkou ocel při výpočtech obdélníkových tyčí hodnotu $7830{\text{kg/m}}^3$. Materiálové příručky uvádějí $7.80{\text{g/cm}}^3$ pro nízkouhlíkovou ocel ASTM A366/A569 a $7.87{\text{g/cm}}^3$ pro ultravysokopevnostní ocel 300M. Tyto hodnoty odpovídají přibližně 7800, respektive 7870 kg/m³. Rozdíl je u mnoha odhadů malý, ukazuje však, že $7850{\text{kg/m}}^3$ je konvenční technická hodnota, nikoli univerzální konstanta platná pro každou jakost, tavbu, teplotu nebo stav výrobku.

Relativní hustota jako poměr

Relativní hustota, často zapisovaná jako $\mathrm{SG}$, je bezrozměrová veličina:

$$\mathrm{SG}=\frac{{\rho }_{\text{material}}}{{\rho }_{\text{reference}}}$$

U pevných látek a kapalin je referencí obvykle voda při teplotě přibližně $4^{\circ }\text{C}$, jejíž hustota je přibližně $1000{\text{kg/m}}^3$. Hustota oceli $7850{\text{kg/m}}^3$ tedy při této konvenci dává relativní hustotu přibližně 7,85. Žádná jednotka nezůstává, protože čitatel a jmenovatel mají stejné rozměry.

Engineering ToolBox uvádí pro ocel přibližně $7.82{\text{g/cm}}^3$, což by při uvedených referenčních podmínkách odpovídalo relativní hustotě přibližně 7,82 vzhledem k vodě. Toto číslo není $7.82{\text{kg/m}}^3$ a nejde ani o měrnou tíhu. Jde o hustotu vyjádřenou v g/cm³, případně o bezrozměrový poměr až po vydělení referenční hustotou vody ve shodných jednotkách.

Specifikace by proto měla vždy výslovně uvádět veličinu a jednotku: hustotu v kg/m³, měrnou tíhu v N/m³ nebo relativní hustotu jako poměr. Tento jediný návyk předchází běžné chybě, kdy je hodnota 7850 považována za nekvalifikovanou „hmotnost“ či „tíhu“ a následně se na ni gravitace použije podruhé — nebo se nepoužije vůbec, přestože je požadována síla.

Teplota, požární inženýrství a průřezový faktor oceli

Hustota ve výpočtech ohřívané oceli

Při pokojové teplotě se hmotnost oceli běžně vypočítá ze vztahu

$$m=\rho V$$

kde $\rho$ je hustota. Pro prizmatický prvek délky $L$ a plochy průřezu $A$ platí

$$m=\rho AL$$

a jeho hmotnost na jednotku délky je

$$\frac{m}{L}=\rho A.$$

Konvenční hodnota $7850{\text{kg/m}}^3$ proto dává $78,5\text{kg/m}$ pro ocelový průřez s plochou $0,010{\text{m}}^2$. Jedná se o výpočet hmotnosti, nikoli o výpočet působení požáru.

NIST definuje hustotu jako $\rho =m/V$, přičemž jednotkou v soustavě SI je kilogram na metr krychlový, a měrný objem definuje jako $V/m$ (NIST, 2024). Tyto definice zůstávají platné i při ohřevu oceli, avšak číselná hodnota hustoty se může měnit v důsledku tepelné roztažnosti oceli. Pokud hmotnost zůstává v zásadě konstantní, zatímco objem se zvětšuje, okamžitá hustota klesá. Požární model proto může místo jediné hodnoty při pokojové teplotě používat hustotu, tepelnou roztažnost, měrnou tepelnou kapacitu a tepelnou vodivost závislé na teplotě.

Pro mnoho konstrukčních výpočtů je použití hodnoty $7850{\text{kg/m}}^3$ rozumnou inženýrskou konvencí. Publikace Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3. vydání (2016), tuto hodnotu používá pro výpočet tabulkové hmotnosti na metr. National Research Council Canada (NRC) uvádí hodnotu $7850{\text{kg/m}}^3$ ve svých materiálech o požárním inženýrství z roku 2019, zatímco U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 uvádí stejnou hodnotu, přibližně $490{\text{lb/ft}}^3$. Tyto zdroje stanovují standardní základ pro výpočty; nedokládají však, že každý druh oceli má přesně tuto hustotu.

Údaje o druzích a výrobcích ukazují tento rozdíl. MatWeb uvádí typickou hustotu $7,80{\text{g/cm}}^3$ pro nízkouhlíkovou ocel ASTM A366/A569, zatímco ASM MatWeb uvádí $7,87{\text{g/cm}}^3$ pro ultravysokopevnostní ocel 300M. RoyMech používá pro běžnou konstrukční ocel hodnotu $7830{\text{kg/m}}^3$ a Engineering ToolBox uvádí pro ocel přibližně $7,82{\text{g/cm}}^3$. Pro běžné odhady hmotnosti jsou tyto rozdíly malé, avšak význam mají v případech, kdy specifikace vyžaduje dohledatelné údaje o materiálu nebo kdy se kombinuje několik předpokladů.

Ve výpočtu ohřívaného prvku přispívá hustota k tepelné kapacitě. Pro jednotkovou délku oceli je tepelná kapacita přibližně

$$C\prime =\rho A{c}_p,$$

kde $c_p$ je měrná tepelná kapacita. Pokud se $\rho$, $A$ nebo $c_p$ mění s teplotou, mění se také tepelná kapacita. Hustota se objevuje i ve vztazích pro přenos tepla zahrnujících objemovou tepelnou kapacitu a v závislosti na použité numerické metodě také tepelnou difuzivitu. Je jedním z několika vstupních údajů.

Nejedná se však o průřezový faktor.

Ohřívaný obvod dělený plochou průřezu

Součinitel průřezu oceliSoučinitel průřezu oceli Parametr požární expozice běžně zapisovaný jako F = Hp/A nebo Am/V, s jednotkami převrácené délky; popisuje ohřívaný obvod ve vztahu k objemu oceli, nikoli hustotu.

Kurz NRC Short Course uvádí průřezový faktor oceli jako podíl ohřívaného obvodu a plochy průřezu. Běžně se zapisuje jako

$$F=\frac{H_p}{A}$$

nebo v požárně-inženýrském značení jako

$$\frac{A_m}{V}.$$

Zde $H_p$ nebo $A_m$ představuje vystavený nebo ohřívaný obvod a $A$ představuje plochu průřezu oceli prvku o jednotkové délce. Protože objem oceli v jednom metru prvku je $A\times 1$, jsou oba tvary rozměrově ekvivalentní. Průřezový faktor má jednotku převrácené délky, například ${\text{m}}^{-1}$.

Předpokládejme, že prvek má plochu průřezu oceli $0,010{\text{m}}^2$ a ohřívaný obvod $2,0\text{m}$ na metr délky. Jeho průřezový faktor je

$$F=\frac{2,0}{0,010}=200{\text{m}}^{-1}.$$

Změna předpokládané hustoty z $7850$ na $7830{\text{kg/m}}^3$ mírně změní vypočtenou hmotnost na metr, nezmění však tento geometrický poměr. Průřezový faktor se mění pouze tehdy, když se změní ohřívaný obvod nebo plocha průřezu oceli.

To vysvětluje, proč mohou dva prvky vyrobené z oceli, které je přiřazena stejná jmenovitá hustota, dosáhnout při normovém požáru různých teplot. Kompaktní průřez má ve srovnání s množstvím oceli za touto plochou relativně malou exponovanou plochu. Tenkostěnný nebo výrazně profilovaný průřez má při stejné ploše oceli větší ohřívaný obvod a obvykle reaguje rychleji. První prvek má nižší průřezový faktor, druhý vyšší.

Působení požáru musí být přesně definováno. Trám ohřívaný ze tří stran má menší ohřívaný obvod než stejný trám ohřívaný ze čtyř stran. Stropní deska může chránit horní pásnici, zatímco samostatně stojící sloup může být vystaven po celém svém obvodu. Vnitřní kouty, hrany pásnic, břity, výztuhy a otvory mohou měnit obvod používaný danou výpočtovou metodou. Geometrický obvod oceli není automaticky totožný s obvodem, na který působí teplo požáru.

Další konvenci představuje ochrana. U obrysové ochrany se teplo dostává k oceli přes materiál kopírující profil oceli, takže rozhraní mezi ocelí a ochranou i tloušťka ochrany ovlivňují dráhu přenosu tepla. Skříňová ochrana nahrazuje podrobný profil obdélníkovým nebo jiným zjednodušeným uzavírajícím obrysem. Taková skříň může mít jiný obvod a může uzavírat vzduchové mezery nebo nevyužitý prostor. Dutina není ocel: nepřidává žádnou hmotnost oceli ani tepelnou kapacitu oceli, může však ovlivňovat sálání, proudění a vzdálenost, kterou musí teplo projít ochranným materiálem.

Tloušťka ochrany především zvyšuje tepelný odpor a tepelnou kapacitu mimo ocel. Může také změnit obvod používaný ve vzorci průřezového faktoru chráněného průřezu. Příslušná norma nebo výpočtový model musí uvádět, zda poměr používá obvod nechráněné oceli, rozhraní ochrany, nebo obvod uzavírající skříně. Použití hodnoty pro nechráněný průřez u skříňového systému bez ověření definice může vést k fyzikálně nekonzistentnímu výsledku.

Hmotnost versus tepelná odezva

Hmotnost a nárůst teploty spolu souvisejí, nelze je však zaměňovat. Pro danou plochu průřezu oceli je hmotnost na metr

$$m\prime =\rho A.$$

Tepelná odezva závisí také na množství exponované plochy na metr, které je vyjádřeno veličinou $H_p$, a na množství tepla vstupujícího touto plochou. Užitečné první srovnání spočívá v tom, že tepelná kapacita na jednotku délky je úměrná $\rho A{c}_p$, zatímco přiváděné teplo obecně závisí na ohřívaném obvodu a podmínkách přenosu tepla. Jejich poměr proto obsahuje stejný geometrický vztah vyjádřený průřezovým faktorem.

Těžký průřez může obsahovat větší množství tepelné hmoty, a přesto se rychle ohřívat, pokud má velký exponovaný obvod. Naopak prvek s menší hmotností na metr se může ohřívat pomaleji, pokud je jeho exponovaný obvod malý vzhledem k ploše průřezu a pokud je opatřen dostatečně silnou ochranou. Výsledek závisí také na tepelné vodivosti oceli, měrné tepelné kapacitě, emisivitě, proudění, teplotě v peci, vlhkosti v ochranném materiálu, kontaktním odporu a účincích zastínění mezi sousedními povrchy.

Teplota dále mění interpretaci. Roztažnost oceli mění rozměry a hustotu, zatímco pevnost a tuhost s rostoucí teplotou klesají. Oxidace může odstranit malé množství materiálu; povlaky mohou přidat hmotnost, aniž by přidaly tepelnou kapacitu oceli; duté průřezy mohou obsahovat vzduch, který se účastní přenosu tepla, nepřispívá však ke stejné tepelné hmotě jako ocel. Žádný z těchto účinků není zachycen prostým nahrazením každé hustoty hodnotou $7850{\text{kg/m}}^3$.

Hodnotu $7850{\text{kg/m}}^3$ používejte jako uvedenou inženýrskou konvenci, pokud ji vyžaduje příslušná tabulka nebo norma. Pokud to výpočet vyžaduje, používejte údaje specifické pro daný druh oceli. Pro posouzení požární odezvy vypočítejte nebo zjistěte správný ohřívaný obvod a průřezový faktor a poté použijte model ochrany a materiálu závislý na teplotě, který stanoví příslušná požární norma. Hustota udává, kolik oceli je přítomno. Průřezový faktor pomáhá popsat, jak snadno se tato ocel ohřívá.

Odkazy na konstrukční normy a údaje o fyzikálních vlastnostech

Výpočet hustoty oceli je obhajitelný jen natolik, nakolik je obhajitelná hodnota vlastnosti, z níž vychází. Často opakovaný údaj 7850 kg/m³ je užitečný, měl by však být označen za konvenční inženýrskou hodnotu, nikoli považován za přesnou materiálovou konstantu nezávislou na jakosti. National Institute of Standards and Technology (NIST) definuje hmotnostní hustotu jako

$$\rho =\frac{m}{V}$$

kde $\rho$ je hmotnostní hustota, $m$ je hmotnost a $V$ je objem. NIST uvádí kilogram na metr krychlový (kg/m³) jako jednotku SI a definuje měrný objem jako $V/m$, tedy převrácenou hodnotu hustoty. Tyto definice, zveřejněné ve vydání NIST Guide to the SI z roku 2024, představují výchozí bod pro každý převod a výpočet.

U homogenního prvku lze hmotnost určit ze vztahu

$$m=\rho V$$

a objem lze získat vynásobením délky plochou průřezu:

$$V=\mathrm{AL}$$

Kombinací těchto výrazů získáme hmotnost na jednotku délky:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Proto tabulky konstrukční oceli mohou uvádět kilogramy na metr, aniž by samostatně uváděly objem každého metru průřezu. Pokud má obdélníková tyč šířku 50 mm a tloušťku 20 mm, její plocha je $0.050\times 0.020=0.0010{\text{m}}^2$. Při použití hodnoty 7850 kg/m³ získáme $7.85\text{kg/m}$. Při použití hodnoty 7830 kg/m³ získáme $7.83\text{kg/m}$. Rozdíl je v tomto příkladu malý, zvolená hodnota však zůstává součástí záznamu o výpočtu.

NIST NCSTAR 1-3e

NIST NCSTAR 1-3e, Physical Properties of Structural Steels, je institucionální zdroj zpracovaný během vyšetřování zhroucení budov World Trade Center. Jeho účelem není stanovit jednu univerzální hustotu pro všechny druhy oceli. Shromažďuje informace o fyzikálních vlastnostech relevantních pro konstrukční oceli, včetně chování závislého na teplotě a vlastností potřebných k pochopení odezvy konstrukcí při požáru a za zvýšených teplot.

Toto rozlišení je důležité. Hustota je pouze jednou z fyzikálních vlastností a chování oceli při vysoké teplotě nelze popsat pouze hustotou při pokojové teplotě. Tepelná roztažnost mění rozměry, a tím i objem; teplota rovněž ovlivňuje modul pružnosti, mez kluzu, tepelnou vodivost a měrnou tepelnou kapacitu. Požární výpočet proto může vyžadovat údaje o materiálu závislé na teplotě namísto jediné hodnoty při pokojové teplotě převzaté z obecné převodní tabulky.

NIST NCSTAR 1-3e je třeba číst společně s označením materiálu a informacemi o zkouškách platnými pro analyzovaný prvek. Označení „konstrukční ocel“ může zahrnovat různé chemické složení, výrobní postupy, tepelné zpracování a formy výrobků. Válcovaný plech, zušlechtěný vysokopevnostní prvek a výrobek z nerezové oceli nejsou vzájemně zaměnitelné jen proto, že každý z nich bývá neformálně označován jako ocel.

Běžně používaná hodnota 7850 kg/m³ zůstává přiměřená pro mnoho běžných konstrukčních výpočtů. Je rovněž v souladu s několika inženýrskými zdroji. Vydání Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3. vydání, z roku 2016 uvádí, že tabelární hmotnosti konstrukční oceli na metr se počítají s použitím hodnoty 7850 kg/m³. National Research Council Canada ve svém materiálu pro požární návrh z roku 2019 rovněž uvádí hustotu oceli 7850 kg/m³, přičemž součinitel průřezu oceli je definován jako ohřívaný obvod dělený plochou průřezu. Tato definice součinitele průřezu je od hustoty oddělena: $A_m/V$, tedy obvod dělený objemem oceli pro jednotkovou délku, popisuje tepelnou expozici, nikoli hmotnost.

Pokyny Federal Highway Administration pro ocel mostů

Steel Bridge Design Handbook vydaný Federal Highway Administration je dalším institucionálním zdrojem, jeho úloha se však liší od úlohy obecné tabulky hustot. Příručka se zabývá návrhem ocelových mostů a konstrukčním chováním ocelových prvků, spojů, plechů, nosníků, únavových detailů, otázkami lomu a souvisejícími návrhovými záležitostmi. Je proto vhodným zdrojem, pokud se výpočet týká silničního mostu a rozhodným návrhovým kontextem je dopravní projekt ve Spojených státech.

U mostního prvku může příručka pomoci určit, která jakost, forma výrobku, mezní stav a návrhová konvence se použijí. Označení musí být zachováno přesně podle specifikace — například ASTM A709 Grade 50W není stejné označení jako ASTM A572 Grade 50, přestože se obě mohou objevovat v diskusích o konstrukční oceli. Mechanické vlastnosti a požadavky na prostředí se mohou lišit a projektová dokumentace může ukládat další omezení týkající se houževnatosti, svařování nebo kontrol.

Příručka nesmí být použita k potlačení požadavku specifického pro daný projekt. Pokud smluvní dokumentace uvádí ASTM A709 Grade 50, použijte toto označení a související dokumentaci k materiálu. Pokud uvádí ASTM A709 Grade 50W, nenahrazujte je mlčky jinou jakostí jen proto, že obecná kalkulačka uvádí stejnou hustotu. Hustota ovlivňuje hmotnost a objem; neurčuje mez kluzu, lomovou houževnatost, svařitelnost, odolnost proti korozi ani únavovou životnost.

Pro předběžné výpočty množství oceli v mostech je hodnota 7850 kg/m³ konvenčním a dohledatelným předpokladem. U.S. Department of Defense UFC 4-023-07, vydaná v roce 2008, uvádí 7850 kg/m³ a přibližně 490 lb/ft³. Obě hodnoty jsou zaokrouhlenými ekvivalenty: převodem hodnoty 7850 kg/m³ získáme přibližně 490.1 lb/ft³. Zaokrouhlení je přijatelné, pokud to požadovaná přesnost dovoluje, výpočet by však měl uvádět, jaká soustava jednotek a jaká přesnost byly použity.

Volba zdroje pro výpočet

Používejte jasnou hierarchii zdrojů. Na prvním místě je rozhodující projektová specifikace, materiálová norma nebo smluvní požadavek. Na druhém místě je návrhový předpis nebo institucionální příručka. Na třetím místě je ověřený technický list výrobce nebo laboratoře. Obecná online kalkulačka nebo tabulka bez uvedení zdroje patří na poslední místo a měla by sloužit především k orientačnímu posouzení nebo kontrole aritmetiky.

Toto pořadí brání tomu, aby praktické číslo převážilo nad skutečným návrhovým základem. Projekt může specifikovat ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, ASTM A709 Grade 50, ASTM A709 Grade 50W nebo jiné označení. Technický list pro nízkouhlíkovou ocel ASTM A366/A569 uvádí typickou hustotu 7.80 g/cm³, což odpovídá hodnotě 7800 kg/m³ nebo 0.282 lb/in³. Technický list pro ultravysokopevnostní ocel 300M uvádí 7.87 g/cm³, tedy 7870 kg/m³ a 0.284 lb/in³. Tyto hodnoty ukazují, proč by hodnota 7850 kg/m³ neměla být prezentována jako přesná pro každou jakost.

Stejný rozptyl v běžné inženýrské praxi dokládají i další zdroje. RoyMech používá pro nelegovanou ocel při výpočtu hmotnosti obdélníkové tyče na jednotku délky hodnotu 7830 kg/m³, zatímco Engineering ToolBox uvádí pro ocel přibližně 7.82 g/cm³. Žádná z těchto hodnot automaticky nenahrazuje rozhodující specifikaci. Každá představuje uvedenou referenční hodnotu s vlastní zamýšlenou přesností a rozsahem použití.

Zaznamenejte zdroj, datum vydání nebo přístupu, označení materiálu, jednotky, teplotní základ, je-li k dispozici, a předpokládanou hustotu. Rovněž zaznamenejte, zda se výsledek týká holé oceli, nebo zda zahrnuje nátěr, galvanické pokovení, protipožární ochranu, spojovací materiál, svarový kov či jiné připojené materiály. Musí být uvedena také geometrie: jmenovité rozměry, naměřené rozměry nebo tabelární plocha průřezu. U válcovaného průřezu použijte tabelární hmotnost uvedenou výrobcem nebo normou, pokud tato hmotnost již zahrnuje zaoblení, poloměry rohů a tolerance tloušťky; vynásobení pouze celkové šířky celkovou výškou může skutečnou plochu nadhodnotit nebo zkreslit.

Nakonec oddělujte hustotu od měrné tíhy a relativní hustoty. Měrná tíha je tíha na jednotku objemu a závisí na gravitačním zrychlení; relativní hustota je poměr k referenční látce, obvykle k vodě. Ani jeden z těchto pojmů nemůže v rovnici $m=\rho V$ nahradit hmotnostní hustotu. Pro běžné odhady konstrukcí při pokojové teplotě je 7850 kg/m³ často vhodnou konvencí. Stává se však nevhodným předpokladem, pokud jakost, teplota, geometrie, pórovitost, systém povrchové ochrany nebo požadovaná přesnost vyžadují jiný přístup.

Výpočtový postup pro inženýry, výrobce a studenty

Spolehlivý výpočet oceli začíná určením požadované veličiny, nikoli zadáním hodnoty 7850 do kalkulačky. Hustota, hmotnost, objem, hmotnost na jednotku délky, měrný objem, měrná tíha a relativní hustota spolu souvisejí, ale nejsou vzájemně zaměnitelné.

Určete požadovanou veličinu

NIST definuje hustotu jako podíl hmotnosti a objemu:

$$\rho =\frac{m}{V}$$

Její jednotkou v soustavě SI je kilogram na metr krychlový, kg/m³. NIST rovněž definuje měrný objem jako podíl objemu a hmotnosti:

$$v=\frac{V}{m}=\frac{1}{\rho }$$

Měrný objem má proto jednotky, jako je m³/kg, nikoli kg/m³. Toto rozlišení je důležité při čtení tabulek termofyzikálních vlastností nebo při převádění rovnice z učebnice.

Pokud je požadovaným výsledkem hmotnost, upravíme rovnici pro hustotu:

$$m=\rho V$$

Pokud je požadovaným výsledkem objem:

$$V=\frac{m}{\rho }$$

U konstrukčního prvku je obvyklou požadovanou veličinou hmotnost na jednotku délky:

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

kde $A$ je plocha průřezu kolmá k ose prvku. Tato rovnice vysvětluje, proč může tabulka profilů uvádět kilogramy na metr, aniž by uváděla úplný trojrozměrný objem pro každou možnou délku prvku.

Tíha se od hmotnosti liší. Měrná tíha je síla na jednotku objemu:

$$\gamma =\rho g$$

kde $g$ je gravitační zrychlení. Hodnota v N/m³ nebo kN/m³ není hustota vyjádřená v kg/m³. Relativní hustota je poměr, obvykle hustota materiálu dělená hustotou referenční látky, nejčastěji vody při uvedené teplotě. Je bezrozměrná. Označovat hodnotu 7850 kg/m³ jako „relativní hustotu“ je proto záměna kategorií.

Je také nutné přesně definovat, čeho se požadovaná veličina týká. „Hmotnost ocelové desky“ může znamenat pouze samotnou ocel, zatímco „přepravní hmotnost povrchově upravené sestavy“ může zahrnovat barvu, galvanický povlak, svarový kov, šrouby, podkladové desky a připojené součásti. Požární výpočet může vyžadovat obvod vystavený ohřevu dělený plochou průřezu oceli, tedy součinitel průřezu oceli používaný National Research Council Canada v jeho pokynech z roku 2019. Jde o geometrický parametr vystavení, nikoli o hustotu ani o hmotnost na metr.

Hodnotu materiálu vybírejte s ohledem na zamýšlené použití. Podklady pro navrhování ocelových konstrukcí běžně používají hodnotu 7850 kg/m³ pro tvorbu tabulkové hmotnosti na metr. National Research Council Canada uvádí hustotu oceli 7850 kg/m³ a U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 uvádí stejnou hodnotu jako přibližně 490 lb/ft³. Publikace Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3. vydání (2016), rovněž používá pro tabulkové hmotnosti konstrukční oceli hodnotu 7850 kg/m³.

Tyto zdroje stanovují užitečnou inženýrskou konvenci, nikoli neměnnou hodnotu platnou pro každou jakost. MatWeb uvádí typickou hustotu 7.80 g/cm³ pro nízkouhlíkovou ocel ASTM A366/A569, což odpovídá 7800 kg/m³. ASM MatWeb uvádí hodnotu 7.87 g/cm³ pro ultrapevnou ocel 300M, tedy 7870 kg/m³. RoyMech používá pro měkkou ocel hodnotu 7830 kg/m³, zatímco Engineering ToolBox uvádí pro ocel přibližně 7.82 g/cm³. Pro mnoho orientačních výrobních odhadů jsou tyto rozdíly malé, jsou však skutečné a mohou být významné při vysoce přesných hmotnostních bilancích, identifikaci materiálu, tepelné analýze a certifikovaných výpočtech.

Zkontrolujte rozměry a jednotky

Před výpočtem zapište každý rozměr včetně jednotky. Před násobením převeďte všechny geometrické veličiny do jedné konzistentní soustavy. Pro práci v SI používejte metry pro délku, metry čtvereční pro plochu a metry krychlové pro objem. Pokyny NIST k soustavě SI z roku 2024, včetně přílohy B.9, poskytují pro tuto kontrolu potřebné vztahy mezi rozměry a rámec pro převody.

Nejčastější chybou je použití hodnoty 7.85, jako by šlo o kg/m³. Číslo 7.85 je běžnou zkrácenou podobou hodnoty 7.85 g/cm³. Ta odpovídá hodnotě 7850 kg/m³, protože:

$$1{\text{g/cm}}^3=1000{\text{kg/m}}^3$$

U obdélníkové tyče o šířce 50 mm, tloušťce 20 mm a délce 3.0 m nejprve převedeme rozměry:

$$A=\left(0.050\right)\left(0.020\right)=0.00100{\text{m}}^2$$

$$V=\mathrm{AL}=\left(0.00100\right)\left(3.0\right)=0.00300{\text{m}}^3$$

Při použití obvyklé konstrukční hodnoty:

$$m=\left(7850\right)\left(0.00300\right)=23.55\text{kg}$$

Stejného výsledku lze dosáhnout pomocí hmotnosti na jednotku délky:

$$m/L=\left(7850\right)\left(0.00100\right)=7.85\text{kg/m}$$

$$m=\left(7.85\right)\left(3.0\right)=23.55\text{kg}$$

Jednotky zachovávejte v každém mezikroku. Odhalí chyby, které kalkulačka skryje. Vynásobením šířky a tloušťky získáme plochu, nikoli objem. Plocha se stane objemem teprve po vynásobení délkou. Obdélník o rozměrech 50 mm × 20 mm není „1000 mm³“, ale 1000 mm². Chybějící délka není zanedbatelné opomenutí.

U dutých profilů počítejte plochu oceli, nikoli plochu vnějšího obrysu, pokud se výsledek týká hmotnosti oceli. U obdélníkového dutého profilu odečtěte plochu vnitřní dutiny od vnější plochy a zohledněte poloměry rohů a skutečnou tloušťku stěny, pokud je tabulka profilu uvádí. U profilu I použijte dostupnou publikovanou plochu průřezu od výrobce nebo z příslušné normy; sčítání jmenovitých ploch obdélníků pásnic a stojiny může vést k chybám v místech zaoblení, zúžení a u válcovaných profilů.

Výslovně uveďte teplotu a stav materiálu. Tepelná roztažnost mění rozměry a hustota se při konstantní hmotnosti mění nepřímo úměrně objemu. Výpočet při pokojové teplotě nemusí odpovídat součásti pece, kryogenní sestavě nebo požárem vystavenému prvku. Dokument NIST NCSTAR 1-3 poskytuje kontext fyzikálních vlastností konstrukčních ocelí, zatímco Steel Bridge Design Handbook od Federal Highway Administration se zabývá oceli pro mostní konstrukce a jejich mechanickými vlastnostmi. Ani jeden z těchto zdrojů nemění jednu zaokrouhlenou hustotu na univerzální konstantu nezávislou na jakosti.

Stejnou pečlivost vyžadují i povrchové úpravy. Ocelová deska tloušťky 10 mm opatřená nátěrem má téměř stejný objem oceli jako nenatřená deska, její celková hmotnost sestavy je však vyšší. Do výpočtu hmotnosti sestavy může patřit zinkový povlak, protipožární ochrana, korozní produkty, svarový kov, šrouby a zachycená vlhkost. Uveďte, zda výsledek představuje hmotnost samotné oceli bez povrchové úpravy, hmotnost hotového dílu, nebo přepravní hmotnost.

Ověřte výsledek pomocí údajů o profilu

Posledním krokem je nezávislé porovnání. Použijte důvěryhodnou tabulku profilů, technický list hutního výrobce, výrobní výkres nebo materiálový certifikát a porovnávejte srovnatelné údaje: stejné označení profilu, délkový základ, jmenovitou tloušťku, konvenci hustoty a pravidla pro zahrnuté součásti. Publikovaná hmotnost na metr může zahrnovat jmenovitou geometrii, ale vylučovat povrchové úpravy a připojené součásti.

U výše uvedeného příkladu by tabulka profilů měla být v souladu s hodnotou 7.85 kg/m pro plný obdélník 50 mm × 20 mm při použití konvenční hustoty 7850 kg/m³. Pokud uvádí 78.5 kg/m, zkontrolujte převod milimetrů na metry. Pokud uvádí 0.00785 kg/m, zkontrolujte jednotky plochy. Pokud se tabulka mírně liší, ověřte poloměry rohů, skutečné rozměry, tolerance válcování a zvolenou hustotu.

Zaokrouhlujte až po dokončení výpočtu a porovnání. V převedených rozměrech, ploše, objemu a hmotnosti na metr zachovávejte další číslice; poté uvádějte přesnost odůvodněnou vstupními údaji. Výsledek 23.55 kg by neměl být uváděn jako 23.550000 kg jen proto, že tabulkový procesor zobrazuje šest desetinných míst.

Nakonec uveďte předpoklad vedle výsledku: „23.6 kg, obdélníková ocel odpovídající ASTM A366/A569 bez povrchové úpravy, při použití 7850 kg/m³, jmenovitých rozměrech a délce 3.0 m.“ Toto konstatování činí výsledek reprodukovatelným a přesně ukazuje, kde by jej změnila jiná jakost, teplota, povrchová úprava, geometrie nebo konvence hustoty.

Omezení zjednodušeného výpočtu pomocí hustoty

Použití vztahu

$$m=\rho V$$

s hodnotou $\rho =7850{\text{kg/m}}^3$ je často dostačující pro předběžný výkaz výměr oceli nebo pro statický výpočet založený na zveřejněných tabulkách průřezů. Nejde však o úplný popis vyrobeného ocelového prvku. Výsledek závisí na tom, jaký objem byl použit, jaký materiál tento objem představuje a zda se výpočet týká holé oceli, povrchově upravené sestavy nebo dokončené součásti.

National Institute of Standards and Technology (NIST) definuje ve svých pokynech k soustavě SI z roku 2024 hustotu jako podíl hmotnosti a objemu, $\rho =m/V$, a měrný objem jako $V/m$. Tyto definice nepřiřazují jednu jedinou hustotu každé jakosti oceli. Hodnota 7850 kg/m³ je konvenčním vstupním údajem pro technické výpočty: Příručka konstrukční oceli, 3. vydání (2016), ji používá pro tabulkovou hmotnost konstrukční oceli na metr, zatímco National Research Council Canada (2019) a U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 (2008) rovněž uvádějí hodnotu 7850 kg/m³, přičemž UFC uvádí přibližně 490 lb/ft³. Takové zdroje stanovují vhodný výpočtový základ, nikoli univerzální materiálovou konstantu.

Jmenovité rozměry versus skutečné rozměry po výrobě

Tabulky průřezů obvykle uvádějí jmenovité rozměry. Například jmenovitý obdélníkový prut o rozměrech 200 mm × 100 mm má teoretickou plochu $0.020{\text{m}}^2$, takže jeho odhadovaná hmotnost na metr činí

$$0.020\times 7850=157\text{kg/m}.$$

Tento údaj předpokládá, že průřez je plný obdélník s přesně těmito rozměry. Vyrobený prut však může mít v mezích tolerance stanovené příslušnou výrobkovou normou rozměry o něco větší nebo menší než jmenovité. Tloušťka plechu, šířka pásnice, tloušťka stojiny, vnější průměr, poloměr zaoblení, přímost i délka se mohou od hodnoty ve výkresu lišit, aniž by výrobek přestal vyhovovat.

Rozdíl je významnější u velkých množství. Malá odchylka tloušťky opakovaná u mnoha plechů může změnit celkovou hmotnost o stovky kilogramů. Projekční kancelář proto může počítat z jmenovitých rozměrů, protože rozhodující specifikace, soupis materiálu nebo tabulka průřezů vychází ze jmenovité hmotnosti. Pro výrobní kontrolu, plán zdvihání, přepravní dokumentaci nebo forenzní posouzení však mohou být vyžadovány skutečně naměřené rozměry.

Stejné rozlišení platí pro duté průřezy. U obdélníkového dutého průřezu není objem oceli dán pouze vnějším obdélníkem; jedná se o vnější plochu zmenšenou o vnitřní dutinu, přičemž je v případě potřeby nutné zohlednit poloměry zaoblení a tolerance tloušťky stěny. Prázdný vnitřní prostor nepřispívá k hmotnosti oceli. Může však obsahovat vodu, zálivkovou hmotu, protipožární ochranu, izolaci nebo jiný materiál, který patří do hmotnosti sestavy. Zjevný rozdíl mezi vypočtenou a zváženou hmotností může vzniknout tím, že objem obsahu byl zahrnut nebo vyloučen.

Další výhrada se týká teploty. Ocel se při zahřívání rozpíná, takže rozměry a objem použité pro zahřátý prvek nejsou stejné jako rozměry naměřené při referenční teplotě použité ve výkresu pro běžnou teplotu. S teplotou se mění také hustota, protože hmotnost zůstává v zásadě konstantní, zatímco objem se mění. Pro běžné odhady za okolní teploty je tento účinek obvykle malý, ve výpočtech požární odolnosti však nelze bez dalšího kombinovat rozměry za studena s geometrií za zvýšené teploty. Zdroj National Research Council Canada také definuje součinitel průřezu oceli jako podíl ohřívaného obvodu a plochy průřezu; tento geometrický poměr je od hustoty oddělený a může se měnit podle toho, jak jsou znázorněny povlaky, mezery nebo exponované povrchy.

Povlaky, okuje, svary a připojené části

Výpočet hustoty ocelového základního materiálu automaticky nezahrnuje nátěr, zinkový povlak, okuje, svarový kov, šrouby, příchytky, výztuhy ani jiné připojené části. Povrchové úpravy jsou ve srovnání se základní ocelí často tenké, jejich celková hmotnost však může být významná u rozsáhlých povrchů nebo u součástí s několika vrstvami. Žárové zinkování přidává zinek, nikoli ocel, a pokud je požadována hmotnost dokončeného výrobku, je nutné použít příslušnou tloušťku povlaku a hustotu zinku. U nátěrových systémů je třeba znát tloušťku suchého filmu a hustotu nátěru; množství nanesené za mokra není totožné s hmotností vytvrzeného nátěru.

Okuje představují jiný problém. Jde o zoxidovanou povrchovou vrstvu vznikající při výrobě, která může na výrobku zůstat, být odstraněna tryskáním nebo se částečně ztratit při manipulaci. Pokud se s nimi zachází jako se součástí jmenovitého objemu oceli, může dojít k nadhodnocení hmotnosti základního kovu, zatímco jejich ignorování může vést k podhodnocení zvážené hmotnosti neočištěného prvku. Správný postup závisí na tom, zda specifikace definuje hmotnost holého výrobku, povrchově upraveného výrobku nebo dodané sestavy.

Skutečným materiálem jsou také svary. Koutové svary, převýšení tupých svarů, stehové svary i opravné svary zaujímají objem, který není zahrnut v jednoduchém výpočtu založeném pouze na délce prvku. Jejich hmotnost se obvykle odhaduje z rozměru svaru, jeho délky a hustoty svarového kovu nebo se přebírá z výrobní dokumentace. Svarový kov může mít jiné složení než plech nebo průřez, takže přiřazení hustoty základní oceli představuje aproximaci, i když je číselný vliv obvykle malý.

Spojovací materiál a připojené části mohou mít větší význam než svary. Pokud se otázka týká hmotnosti dokončené sestavy, měly by se šrouby, matice, podložky, styčníkové plechy, žebříky, zdvihací oka, ložné desky, výztuhy, zábradlí a odvodňovací prvky přičíst jako samostatné hmotnosti. Hmotnost průřezu na metr uvedená v tabulkách naopak obvykle nezahrnuje spoje ani montážní materiál instalovaný na stavbě. Dvojí započtení je stejně časté jako opomenutí: výztuha může být zahrnuta v podrobném modelu a následně znovu přičtena jako výrobní přirážka.

Kdy je vyžadováno měření nebo certifikace

Vypočtená hmotnost založená na hodnotě 7850 kg/m³ je vhodná pouze tehdy, pokud daný návrhový nebo odhadový kontext takový předpoklad dovoluje. Je vhodná pro mnoho předběžných výkazů množství, standardní seznamy průřezů a výpočty, které výslovně přijímají konvenční tabulkovou hmotnost. Zvolený postup by měl být zaznamenán včetně rozměrů, soustavy jednotek, zaokrouhlení a informace, zda výsledek představuje holou ocel, nebo sestavu.

Určení vlastností konkrétního materiálu vyžaduje přesvědčivější podklady. Pokud záleží na chemickém složení, certifikaci, smluvně stanovené hmotnosti nebo přesné hmotnostní bilanci, použijte údaje pro příslušnou jakost nebo výrobkovou normu. Publikované údaje ukazují, proč je to důležité: MatWeb uvádí typickou hustotu 7.80 g/cm³ pro nízkouhlíkovou ocel ASTM A366/A569, zatímco ASM MatWeb uvádí 7.87 g/cm³ pro ultrapevnou ocel 300M. RoyMech používá pro měkkou ocel hodnotu 7830 kg/m³ a Engineering ToolBox uvádí pro ocel přibližně 7.82 g/cm³. Tyto hodnoty jsou blízké hodnotě 7850 kg/m³, nepředstavují však zaměnitelný důkaz, že každý výrobek má totožnou hustotu.

Měření by mělo mít přednost, pokud je geometrie skutečně vyrobeného prvku přístupná a důsledky chyby jsou významné. Změřte délku, tloušťky, průměry, poloměry, otvory a vnitřní prostory dutých průřezů a samostatně zohledněte povlaky, okuje, svary, spojovací materiál, zachycený obsah a připojené části. U dokončené sestavy může být vhodnější vážení, pokud je váha kalibrovaná a podmínky vážení jsou zdokumentovány. Hutní atest nebo zkušební certifikát může potvrdit dodanou jakost a výrobkovou normu, ne vždy však stanoví hmotnost později přidaného nátěru, svarů, šroubů nebo vlhkosti.

Hranice je praktická: hodnota 7850 kg/m³ poskytuje užitečný technický odhad, pokud je přípustný model jmenovitý, vztahuje se k okolní teplotě a vychází z konvenčních údajů o ocelových průřezech. Jakmile rozhodnutí závisí na hustotě konkrétní jakosti, teplotně závislé geometrii, výrobních tolerancích, povrchové úpravě nebo hmotnosti dokončené sestavy, měly by být rozhodující příslušné údaje o jakosti, výrobková norma, certifikované informace nebo skutečně naměřená geometrie.

Zdroje

1. [1]Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3rd Edition. Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 2016. https://www.uceb.eu/DATA/CivBook/50.%20HandBook%20of%20Structural%20Steel%20Work.pdf
2. [2]U.S. Department of Defense. UFC 4-023-07. Unified Facilities Criteria, 2008. https://www.wbdg.org/FFC/DOD/UFC/ARCHIVES/ufc_4_023_07_2008.pdf
3. [3]National Research Council Canada. Fire Safety Design of Buildings: NRC Short Course Material. National Research Council Canada publication, 2019. https://nrc-publications.canada.ca/eng/view/accepted/?id=dd58a59c-70f5-45d8-a05b-332d6d62a83c