Az acél rugalmassági állandói és a modulusok közötti összefüggések

Mit jelentenek az acél rugalmassági állandói — és mit nem jelentenek?

A rugalmassági állandók olyan paraméterek, amelyek kapcsolatot teremtenek az alkalmazott feszültség és az ennek hatására kialakuló alakváltozás között mindaddig, amíg az anyag a rugalmas tartományon belül marad. Ebben a tartományban a terhelés megszüntetése lehetővé teszi, hogy a próbatest legalább megközelítőleg visszatérjen eredeti méreteihez. Egy egyszerű szakítóvizsgálat esetén a Young-modulus a tengelyirányú feszültség és a tengelyirányú alakváltozás hányadosa:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }.$$

Ez az összefüggés a feszültség–alakváltozás görbe kezdeti, visszaalakulásra képes szakaszának meredekségét írja le. Nem írja le a teljes görbét, és nem mondja meg, hogy az acél mekkora feszültséget képes elviselni maradó alakváltozás vagy törés bekövetkezése előtt.

Izotróp, lineárisan rugalmas szilárd test esetén csupán két rugalmassági állandó független. Strong evidence

Egy izotróp, lineárisan rugalmas szilárd anyag esetében mindössze két rugalmassági állandó független egymástól. Egy gyakran használt készlet a Young-modulust $E$, a Poisson-tényezőt $\nu$, a térfogati modulust $K$ vagy $B$, a nyírási modulust $G$, a Lamé-féle első paramétert $\lambda$, valamint a $2\mu$ mennyiséget tartalmazza, ahol $\mu =G$. A Sandia National Laboratories felsorolja ezt a hat, egymással összefüggő mennyiséget, és megállapítja, hogy $E$ és $\nu$ meghatározza a többit. Például:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

és

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Térfogati modulusTérfogati modulus A nyomás alatti egyenletes térfogatváltozással szembeni ellenállás mértéke; jelölése általában K vagy B.

A jelölés változó: a NIST és más források gyakran a $B$ jelet használják a térfogati modulusra, míg a mérnöki szakkönyvek és a végeselemes szoftverek gyakran a $K$ jelet alkalmazzák. Ugyanazt az izotróp anyagjellemzőt írják le.

Rugalmas viselkedés, szilárdság és képlékenység

A rugalmasság egy szűkebb kérdésre ad választ: mekkora alakváltozás tartozik egy adott feszültséghez a maradó alakváltozás megkezdődése előtt? A szilárdság más kérdésekre vonatkozik. A folyáshatár a meghatározott képlékeny alakváltozás kezdetéhez tartozó feszültséget jelöli; a szakítószilárdság a szakítóvizsgálat során elért legnagyobb mérnöki feszültség; a törési szilárdság pedig a próbatest szétválásával kapcsolatos. Ezek egyike sem a Young-modulus másik elnevezése.

Egy acél nagy folyáshatárral rendelkezhet, miközben Young-modulusa közel azonos egy hasonló összetételű, kisebb szilárdságú acéléval. A hidegalakítás, a kiválásos keményítés vagy a martenzites átalakulás jelentősen növelheti a folyáshatárt és a keménységet, miközben a kis alakváltozásokhoz tartozó húzási moduluszt sokkal kisebb mértékben változtatja meg. Ennek oka, hogy a szilárdítási mechanizmusok akadályozzák a diszlokációk mozgását, míg a kezdeti rugalmas válasz elsősorban az atomok közötti kötések merevségét és a kristályszerkezet összhatását tükrözi. Ez a különbség alapvető fontosságú például egy edzett és megeresztett, gyengén ötvözött acél, valamint egy hasonló kémiai összetételű, lágyított termék összehasonlításakor.

A képlékenység akkor kezdődik, amikor a feszültség–alakváltozás kapcsolat már nem követi az eredeti lineáris rugalmas meredekséget. A képlékeny anyagmodellen belül ezután olyan információkra van szükség, mint a folyási kritériumok, a keményedési törvény, a folyási szabály, az alakváltozási sebességre való érzékenység és a hőmérsékletfüggés. A Young-modulus önmagában ezek egyikéről sem szolgáltat információt. Egy olyan végeselemes modell, amely pontos $E$ értéket tartalmaz, de nem megfelelő folyási felületet alkalmaz, továbbra is hibásan jelezheti előre a maradó alakváltozást.

Más mechanikai tulajdonságok ismét más kérdésekre adnak választ. A keménység a lokalizált benyomódással szembeni ellenállást méri, és ellenőrzött acélcsaládokon belül gyakran korrelál a szilárdsággal, de nem modulus. A szívósság az energiaelnyeléssel és a repedéssel szembeni ellenállással kapcsolatos, meghatározott vizsgálati feltételek mellett. A kifáradási ellenállás az ismételt vagy változó terhelés hatására felhalmozódó károsodással kapcsolatos. Egy acél rugalmas modulusa hasonló lehet egy másik acélminőségéhez, miközben keménysége, ütőszívóssága, repedésterjedési viselkedése vagy kifáradási élettartama eltérő.

A rugalmasság azt sem jelenti, hogy minden terhelési ciklus tökéletesen reverzibilis. A valóságos acélban már a hagyományos folyáspont egyértelmű megjelenése előtt is felléphet mikroképlékenység, anelaszticitás, maradó feszültségek hatása, hiszterézis vagy károsodás. Ezért egy adott vizsgálathoz megadott modulus az alakváltozás-tartományhoz, a terhelési sebességhez, a cikluselőzményekhez és az adatredukció módszeréhez is kötődik.

A modulus mint merevség, nem pedig törési feszültség

A modulus a merevséget méri: azt a feszültséget, amely egy meghatározott deformációs módban meghatározott rugalmas alakváltozás létrehozásához szükséges. A Young-modulus a tengelyirányú megnyúlással vagy összehúzódással kapcsolatos. A nyírási modulus a nyírófeszültség hatására bekövetkező alakváltozással szembeni ellenállást írja le. A térfogati modulus a nyomás hatására bekövetkező egyenletes térfogatváltozással szembeni ellenállást jellemzi. Az OpenStax ezeknek a húzó-, nyíró- és térfogati deformációknak megfelelő fizikai értelmezését ismerteti.

Nagy modulus esetén adott feszültség kisebb rugalmas alakváltozást hoz létre. Ez nem jelenti azt, hogy az anyag nagyobb feszültséget képes elviselni folyás vagy törés előtt. Vegyünk két, azonos $E$ értékű, de eltérő folyáshatárú acélalkatrészt. Azonos üzemi feszültség mellett megközelítőleg azonos rugalmas megnyúlást szenvednek. A nagyobb szilárdságú alkatrész nagyobb feszültséget képes elviselni a képlékeny alakváltozás előtt, de a kezdeti rugalmas válaszban pusztán a nagyobb folyáshatár miatt nem lesz számottevően merevebb.

A térfogati modulusnak különösen egyértelmű termodinamikai definíciója van. A National Institute of Standards and Technology 1982-ben kiadott kézikönyvének egyik fejezetében a következőket írja:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$[1][1] Bulk modulus definition. National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

ahol $V$ a térfogat, $P$ a nyomás, a deriváltat pedig állandó hőmérsékleten kell venni. Ez térfogati anyagjellemző, nem pedig szakítási törési határérték. Az acél nehezen összenyomható egyenletesen, ezért nagy a térfogati modulusa; ez a tény önmagában keveset mond a szakítási képlékenységről vagy a törési szívósságról.

A modulust nem szabad összetéveszteni a rugalmassággal sem. Az egységnyi térfogatra jutó tárolt rugalmas energia a feszültségtől és a modulustól függ, míg a folyáshatárig visszanyerhető energia mind a modulustól, mind a folyáshatártól függ. A folyáshatár növelése ezért növelheti a rugalmas energiatároló képességet akkor is, ha $E$ csak csekély mértékben változik.

Miért nincs egy acélminőségnek egyetlen univerzális modulusa?

Az olyan jelölés, mint az ASTM A36, az ASTM A572 Grade 50, az EN 10025-2 S355JR vagy az AISI 304, egy szabványt, összetételi tartományt, termékállapotot vagy előírt teljesítménykövetelményeket azonosít; nem határoz meg egyetlen változtathatatlan rugalmas értéket minden, az adott jelölésnek megfelelő próbatest számára. A mért válasz az anyag állapotától és a vizsgálati körülményektől függ.

A hőmérséklet az egyik fontos változó. A rugalmassági állandók általában változnak a hőmérséklettel, és a fázisátalakulások nagyobb változásokat okozhatnak, ha megváltoztatják a kristályszerkezetet vagy a fázisok arányát. A National Bureau of Standards 1981-ben közzétett jelentése a Fe-5Cr-26Mn ausztenites acél rugalmassági állandóit 76–400 K között mérte hosszanti és keresztirányú módusú hangsebességek alkalmazásával. Már ez a hőmérséklet-tartomány is megmutatja, miért hiányos egy olyan érték, amelyhez nem tartozik vizsgálati hőmérséklet.

KváziizotrópKváziizotróp Olyan effektív anyagválasz, amely egy meghatározott számításhoz, iránytartományhoz és léptékhez kellően közel áll az izotróphoz, annak ellenére, hogy az egyes szemcsék továbbra is anizotrópok.

A textúra és az irány is számít. Az egyes ferrit-, ausztenit- vagy martenzitkristályok rugalmasan anizotrópok, ami azt jelenti, hogy merevségük a kristallográfiai iránytól függ. A hengerelt lemez, a kovácsolt rúd, a húzott huzal és az additív gyártással előállított anyagok előnyös kristályorientációkat alakíthatnak ki. A polikristályos aggregátum megközelítőleg izotróp módon viselkedhet, ha a kristályorientációk kellően egyenletesen oszlanak el, az erősen texturált termékhez azonban irányfüggő állandókra lehet szükség. A hosszirányú modulus a hengerlés irányában nem feltétlenül egyezik meg a vastagság irányában mért értékkel.

A fázisösszetétel, a zárványok, a porozitás, a maradó feszültség, a szemcseszerkezet és a termékforma szintén befolyásolja a mért aggregált választ. A hegesztési fém és a hőhatásövezet eltérhet az alaplemeztől még akkor is, ha ugyanazon projekt-előírás hatálya alá tartoznak. Az egykristályra vonatkozó állandók nem helyettesíthetők egyszerűen a polikristályos tervezési értékekkel. A NIST kézikönyve ismerteti, hogyan származtathatók közel izotróp Young-, nyírási, térfogati és kapcsolódó modulusok köbös és hexagonális anyagok egykristályos rugalmasmerevségi adataiból, ez a számítás azonban a kristályszimmetriától és az orientációk átlagolására vonatkozó feltevésektől függ.

[2][2] Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.

Az ASTM E1875-20a a Young-modulus, a nyírási modulus és a Poisson-tényező dinamikus mérését határozza meg hangrezonancia útján. Strong evidence

A mérési módszer megváltoztatja a jelentett eredményt. A lassú szakítóvizsgálat erő- és elmozdulásadatokon alapuló statikus, illetve szelő- vagy érintőmodulust eredményez, míg az ultrahangos vagy rezonanciás módszerek a hullámsebességből vagy a sajátfrekvenciából határoznak meg dinamikus modulust. Az ASTM E1875-20 szabvány a dinamikus Young-modulus, a nyírási modulus és a Poisson-tényező „akusztikus rezonanciával” történő meghatározását írja elő. A dinamikus értékek eltérhetnek a statikus értékektől a frekvencia, a csillapítás, a vizsgálógép megfelelősége, az alakváltozás amplitúdója, valamint a próbatest nem ideális szakaszainak kezelése miatt.

Következésképpen egy hasznos modulusjelentés legalább az acél jelölését, a termékformát és -állapotot, a hőmérsékletet, a terhelés irányát, a deformáció módját és a mérési módszert megadja. Azt is fel kell tüntetnie, hogy az értéket mérték, más állandókból számították, vagy tervezési feltételezésként vették át. Az Engineering ToolBox a „rozsdamentes acélra” hozzávetőlegesen 163 GPa értékű térfogati modulust ad meg, ez azonban másodlagos referenciaérték, nem pedig minden rozsdamentesacél-minőségre, hőkezelésre, textúrára, hőmérsékletre vagy vizsgálati módszerre érvényes univerzális érték. Egyetlen szám alkalmazása minden termékre elfogadható lehet előzetes izotróp számításokhoz, ha a feltételezést egyértelműen megadják. Anyagminőségtől független anyagtényként bemutatni azonban nem helyes.

Az izotróp lineáris rugalmasság kétállandós alapja

A lineáris rugalmasság egy anyag válaszának azt a reverzibilis részét írja le, amely akkor érvényesül, amikor a feszültség és az alakváltozás elég kicsi ahhoz, hogy lineáris kapcsolat álljon fenn közöttük. Az izotróp szó egy további feltételt jelent: feltételezzük, hogy a válasz minden irányban azonos. E két feltétel mellett a rugalmas merevségi tenzor sokkal kevesebb független tagot tartalmaz, mint egy általános anizotróp szilárd anyag esetében. Ezért hat, gyakran megadott mennyiség — a Young-modulus $E$, a Poisson-tényező $\nu$, a térfogati modulus $K$ vagy $B$, a nyírási modulus $G$, a Lamé-féle első paraméter $\lambda$, valamint a $2\mu$ — mindössze két kiválasztott állandóból kifejezhető.

Ez az eredmény a konstitutív modellre vonatkozik, és nem alkalmazható automatikusan minden acélra megadott mért értékre. A hőmérséklet, a fázisösszetétel, a kristálytani textúra, a porozitás, a maradó feszültség, a próbatest orientációja, a frekvencia és a vizsgálati módszer egyaránt befolyásolhatja a mért választ. Az izotróp végeselemes modellben használt érték gyakran effektív mérnöki anyagjellemző, nem pedig az anyag mikrostruktúrájának teljes leírása.

Miért van szükség mindössze két független állandóra?

A feszültség és az alakváltozás másodrendű tenzorok. A legáltalánosabb lineárisan rugalmas szilárd anyagban a közöttük fennálló kapcsolat megadásához negyedrendű merevségi tenzorra van szükség, amely számos lehetséges irányfüggő csatolást tartalmaz. A feszültség- és alakváltozási tenzorok szimmetriája csökkenti a független tagok számát, az anyagszimmetria pedig tovább csökkenti azt. Az izotrópia a szokásos anyagszimmetriák közül a legerősebb feltételt szabja meg: mechanikai szempontból egyetlen irány sem kitüntetett.

Az izotróp feszültség–alakváltozás kapcsolat a következőképpen írható fel:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

ahol ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ a feszültségi tenzor, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ az alakváltozási tenzor, ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ a Kronecker-delta, $\lambda$ és $\mu$ pedig a Lamé-paraméterek. Így $\lambda$ és $\mu$ a független állandók egyik érvényes párját alkotja. A nyírási modulus $G=\mu$, ezért a $G$ és $\lambda$ használata ezzel egyenértékű.

A Springer Elasticity of Solids (2020) című műve közvetlenül megfogalmazza az alapvető eredményt: izotróp szilárd anyag esetében mindössze két rugalmas állandó független. A Sandia National Laboratories Sierra-dokumentációja a kapcsolódó izotróp mennyiségek között felsorolja a Young-modulust $E$, a Poisson-tényezőt $\nu$, a térfogati modulust $K$, a nyírási modulust $G$, a Lamé-féle első paramétert $\lambda$, valamint a $2\mu$ mennyiséget, és kijelenti, hogy $E$ és $\nu$ meghatározza a többi mennyiséget. Hat megnevezés megjelenése nem jelent hat külön beállítható anyagjellemzőt.

A gyakran használt $E,\nu$ pár esetén az átszámítási összefüggések:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )},$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )},$$

valamint

$$2\mu =2G=\frac{E}{1+\nu }.$$

A fordított összefüggések szintén hasznosak:

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G},$$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}.$$

Ezek az egyenletek nem egyetlen acélcsaládra korlátozott empirikus korrelációk. Az izotróp lineárisan rugalmas konstitutív törvényből következnek. Egyúttal konzisztenciakövetelményeket is előírnak. Stabil, szokásos izotróp szilárd anyag esetén $G>0$, $K>0$, valamint $-1<\nu <0.5$. Ahogy $\nu$ a 0,5 értékhez közelít, az anyag a modellben közel összenyomhatatlanná válik: $K$ sokkal nagyobb lesz, mint $G$, miközben $E$ továbbra is mindkettőhöz kapcsolódik.

A fizikai jelentések eltérnek egymástól, noha az állandók matematikailag összefüggnek. Az OpenStax a Young-modulust a húzási válasz meghatározó arányaként, a térfogati modulust a térfogati összenyomással szembeni válaszként, a nyírási modulust pedig a nyírási alakváltozásra adott válaszként írja le. A húzóvizsgálat elsősorban $E$-t szolgáltatja, azonban a tengelyirányú alakváltozás mellett mért keresztirányú alakváltozás $\nu$-t is megadja. A nyomás–térfogat kísérlet a $K$ meghatározását célozza, míg a csavarási vizsgálat vagy a nyíróhullám mérése a $G$-ét. Ha bármely konzisztens állandópár ismert, a többi modulus kiszámítható, nem pedig egymástól függetlenül választható ki.

A térfogati modulus termodinamikai definíciója egyértelműen megmutatja annak különbségét a Young-modulushoz képest:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Ez a National Institute of Standards and Technology által 1982-ben közölt kifejezés az állandó hőmérsékleten, nyomás hatására bekövetkező térfogatváltozással szembeni ellenállást írja le. Nem jelenti azt, hogy egy táblázatban szereplő térfogati modulus felcserélhető lenne egy húzási modulussal. A közöttük fennálló számszerű kapcsolat csak az izotróp konstitutív feltevések alkalmazása után létezik.

E és ν mint gyakorlati bemeneti pár

A mérnöki számításokban gyakran használják az $E$ és $\nu$ értékét, mivel ezek természetes módon kapcsolódnak az egytengelyű húzóvizsgálathoz, és közvetlenül rendelkezésre állnak a szabványos szerkezetianyag-adatokban. Háromdimenziós izotróp modellben e két mennyiség megadásával a szoftver további anyagállandók nélkül létre tudja hozni a $G$, $K$, $\lambda$ és $2\mu$ értékét. Mind a hat mennyiség megadása inkonzisztens modellt eredményezhet, ha az értékek nem elégítik ki az átszámítási egyenleteket.

Ez különösen fontos akkor, amikor az értékek különböző forrásokból származnak. Egy statikus húzási modulus, egy rezonanciából meghatározott dinamikus modulus és egy térfogatimodulus-becslés egyaránt érvényes lehet a saját mérési körülményei között, miközben az izotróp egyenletek alapján nem reprodukálják egymást pontosan. Az ASTM E1875-20a a dinamikus Young-modulus, a nyírási modulus és a Poisson-tényező meghatározását „szonikus rezonancia alapján” írja elő. A gyakorlatban ezek frekvenciafüggő vagy sebességérzékeny mérések, még akkor is, ha az anyag a rugalmas tartományon belül marad. A vizsgálati körülmények ellenőrzése nélkül nem szabad feltételezni, hogy értékeik azonosak az alacsony terhelési sebességű húzóvizsgálatok eredményeivel.

Egy másodlagos hivatkozás, az Engineering ToolBox, rozsdamentes acélra körülbelül 163 GPa értékű térfogati modulust ad meg. Ez az érték referencia-becslés, nem pedig minden rozsdamentesacél-minőségre, hőkezelésre, hőmérsékletre, termékformára vagy vizsgálati módszerre érvényes univerzális állandó. Nem szabad gondolkodás nélkül egy tőle független $E$- vagy $\nu$-értékkel kombinálni, majd mért, minőségspecifikus anyagjellemzőként bemutatni. Ugyanez az óvatosság érvényes az ASM Steel Castings Handbook című kiadványában szereplő értékekre is, ahol a rugalmassági modulus, a Poisson-tényező, a nyírási modulus és a kapcsolódó fizikai jellemzők acélöntvények karakterisztikus adataiként szerepelnek. Az „acél” nem egyetlen, rögzített rugalmassági tulajdonságú próbatest.

A statikus és dinamikus tulajdonságok közötti különbség fontos a tervezésben. A dinamikus vizsgálatok a rugalmas állandókat rezonanciafrekvenciákból vagy hullámsebességekből következtetik ki; a statikus vizsgálatok erőből, elmozdulásból és alakváltozásból határozzák meg őket. A dinamikus modulus eltérhet a frekvencia, a csillapítás, a mikrostrukturális mechanizmusok, a hőmérséklet és a mérőműszerek miatt. A National Bureau of Standards Fe-5Cr-26Mn ausztenites acélról szóló jelentése 76–400 K között határozott meg rugalmas állandókat hosszanti és keresztirányú módusú hangsebességek alapján. Ez a tartomány jól szemlélteti, hogy a hőmérséklet és a módszer megadása nélkül egy érték hiányos lehet, még akkor is, ha az anyagmegjelölés pontos.

Az izotrópia és a kváziizotrópia szerepe

Egy polikristályos acél közel izotróp módon viselkedhet, ha szemcséi kicsik, nagy számúak és orientációjuk kellően véletlenszerű. Az egyes kristályok továbbra is anizotrópok, de az irányfüggő hatások egy reprezentatív térfogaton átlagolódhatnak. Ez alapozza meg azt, hogy számos szerkezeti számításban egy effektív $E$ és egy effektív $\nu$ használható.

A közelítés érvényessége gyengül, ha a feldolgozás erős textúrát hoz létre. A hengerlés, a kovácsolás, az additív gyártás, az irányított dermedés és a hegesztés hőciklusai előnyben részesített kristálytani orientációkat alakíthatnak ki. Ekkor egy lemez hosszirányú, keresztirányú és vastagságirányú tulajdonságai eltérhetnek egymástól. Az öntött termékek más mintázatot mutathatnak a dendrites szerkezet, a szegregáció, a porozitás és a helyi szemcseorientáció miatt. A fázisösszetétel szintén számít: a ferrit, az ausztenit, a martenzit, a bainit és a visszamaradt ausztenit nem azonos módon járul hozzá az egykristály rugalmas viselkedéséhez.

A kváziizotróp olyan effektív választ ír le, amely egy meghatározott cél, iránytartomány és lépték szempontjából kellően közel áll az izotróphoz. Ez nem szünteti meg a kristályanizotrópiát, és nem garantálja, hogy minden irányban, minden mérés során minden modulus megegyezik. A NIST monokristályos rugalmas állandókról szóló kézikönyvfejezete bemutatja, hogyan vezethetők le a polikristályos $E$, $G$, $B$, hosszirányú modulus és $\nu$ az elemi köbös és hexagonális kristályok egykristályos merevségi adataiból. Ez az eljárás láthatóvá teszi az átlagolási feltevést, ahelyett hogy az így kapott polikristályos állandókat fundamentális értékekként kezelné.

Erősen textúrált acél esetében az anizotróp rugalmassági modell kettőnél több független állandót igényelhet, és meg kell őriznie a próbatest orientációját. Egy kváziizotróp acélalkatrész esetében két effektív állandó elegendő lehet a kitűzött számításhoz, feltéve, hogy a feltevést mérésekkel ellenőrizték. Az Oxford Academic Constitutive Response című fejezete hasonlóképpen két független állandó köré építi az izotróp lineáris rugalmasság tárgyalását. A gyakorlati kérdés tehát nem az, hogy az acélnak hat független rugalmas modulusa van-e. Az izotróp modellben nincs neki. A kérdés az, hogy a kiválasztott két állandó reprezentálja-e a számítás szempontjából releváns anyagot, hőmérsékletet, irányt és mérési tartományt.

Az acél Young-modulusa, $E$

A Young-modulus, $E$, az anyag merevségét írja le egytengelyű húzás vagy nyomás esetén. Az alkalmazandó lineárisan rugalmas definíció szerint ez a tengelyirányú feszültség és a tengelyirányú alakváltozás hányadosa:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

Itt $\sigma$ a próbatest tengelye mentén ható normálfeszültség, $\epsilon$ pedig a hozzá tartozó tengelyirányú alakváltozás. Tökéletesen lineáris viselkedés esetén a feszültség–alakváltozás görbéje az origón áthaladó egyenes, amelynek meredeksége $E$. A mértékegység pascal; az acél esetében az értéket rendszerint gigapascalban adják meg.

Ez a definíció csak a terhelés azon tartományára érvényes, amelyben az anyag viselkedése lineáris és visszaalakuló. Nem jelenti azt, hogy az acélvizsgálat során mért minden feszültség–alakváltozás hányados a Young-modulust adja meg. Amint képlékeny alakváltozás, fázisátalakulás, károsodás vagy jelentős nemlinearitás jelenik meg, a kiválasztott meredekség vagy hányados más anyagjellemzőt ír le.

Egytengelyű feszültség és tengelyirányú alakváltozás

Az egytengelyű húzóvizsgálat során a próbatestre az egyik fő irányban erőt alkalmaznak. A mérnöki tengelyirányú feszültséget rendszerint az alkalmazott erő és a kezdeti keresztmetszeti terület hányadosaként számítják:

$$\sigma =\frac{F}{A_0}$$

A mérnöki tengelyirányú alakváltozás a mérési hossz megváltozásának és a kezdeti hosszának hányadosa:

$$\epsilon =\frac{L-L_0}{L_0}$$

Kis alakváltozásoknál ezek a definíciók adják a $E$ szokásos mérnöki értékét. A vizsgálati extenzométer vagy nyúlásmérő bélyeg egy meghatározott mérési hosszon méri a megnyúlást, miközben a vizsgálógép rögzíti az erőt és az elmozdulást. A mért meredekséget befolyásolhatja a gép engedékenysége, a befogók elmozdulása, a próbatest beállítása, a felület állapota, valamint a görbe kezdeti szakaszának meghatározására alkalmazott módszer.

A rugalmas tartományban a húzópróbatest oldalirányban is összehúzódik. A Poisson-tényező, $\nu$, az oldalirányú alakváltozást kapcsolja össze a tengelyirányú alakváltozással, általában a következőképpen:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}$$[3][3] Elasticity of Solids. Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

Izotróp, lineárisan rugalmas szilárd anyag esetén $E$ és $\nu$ meghatározza a többi rugalmas állandót. A Sandia Sierra dokumentációja a kapcsolódó izotróp készletként a Young-modulust ($E$), a Poisson-tényezőt ($\nu$), a térfogati modulust ($K$), a nyírási modulust ($G$), a Lamé-féle első paramétert ($\lambda$) és a $2\mu$ mennyiséget sorolja fel; az az állítás, hogy $E$ és $\nu$ meghatározza a többi állandót, az izotróp rugalmasságtan kétállandós szerkezetét tükrözi. A Springer Elasticity of Solids című műve hasonlóképpen kimondja, hogy izotróp szilárd anyag esetén csak két rugalmas állandó független.

A tervezésben általánosan alkalmazott összefüggések:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

valamint

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

ahol $G$ a nyírási modulus, $K$, más jelöléssel $B$, pedig a térfogati modulus. Ezek az egyenletek nem jelentik azt, hogy $E$, $G$, $K$ és $\nu$ négy egymástól független anyagjellemző lenne. Különböző deformációs módusokban végzett méréseket kapcsolnak össze akkor, amikor az izotróp, lineárisan rugalmas feltevések alkalmazhatók.

A deformációs módusok közötti különbség fontos. A Young-modulus a tengelyirányú megnyúláshoz vagy összehúzódáshoz kapcsolódik, a nyírási modulus a nyírás hatására bekövetkező szögdeformációt írja le, a térfogati modulus pedig a hidrosztatikus nyomás alatti térfogatváltozást. Az OpenStax ezeket a rugalmas viselkedés különálló fizikai értelmezéseiként mutatja be. A NIST kézikönyvének 1982-es tárgyalása termodinamikailag a következőképpen definiálja a térfogati modulust:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

értéke tehát a megadott hőmérsékleten a nyomás által kiváltott térfogatváltozáshoz kapcsolódik, nem pedig egyszerűen egy húzóvizsgálat feszültség–alakváltozás görbéjének meredekségéhez.

Az acélt a szokásos mérnöki számításokban gyakran izotrópnak tekintik, mivel egy polikristályos termék sokféle kristálytani orientációt tartalmazhat. Ez a közelítés nem feltétlenül érvényes erősen texturált lemezek, jelentősen megmunkált rudak, hengerelt lemezek, hegesztett szerkezetek, additív gyártással előállított anyagok vagy egykristályos kutatási próbatestek esetén. A köbös ferrit- és ausztenitkristályok rugalmas merevsége irányfüggő, még akkor is, ha megfelelően eloszló orientációjú aggregátumuk közel izotrópnak tűnhet. A NIST ismerteti, hogyan számítható ki a polikristályos $E$, $G$, $B$, a hosszirányú modulus és a Poisson-tényező köbös, illetve hexagonális anyagok egykristályos rugalmasmerevségi adataiból.

Következésképpen az „acélra” megadott érték nem automatikusan univerzális állandó minden termékformára. A kémiai összetétel, a ferrit, a perlit, a bainit, a martenzit, a visszamaradt ausztenit, a karbidfázisok mennyisége és eloszlása, a porozitás, a szöveti textúra, valamint a maradó feszültség befolyásolhatja a mért viselkedést. A hatás az egyik vizsgálati elrendezésben csekély, egy másikban viszont jelentős lehet.

Szelvény-, érintő- és kezdeti rugalmassági modulus

A kezdeti rugalmassági modulus a feszültség–alakváltozás görbéjének meredeksége nulla vagy ahhoz közeli feszültségnél és alakváltozásnál. Differenciális alakban:

$$E_{\text{initial}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }{|}_{\epsilon \to 0}$$

feltéve, hogy a görbe kellően lineáris, és a mérőrendszer korrekcióját elvégezték. Ez az érték áll a legközelebb a Young-modulus tankönyvi definíciójához.

Az érintőmodulus a görbe egy kiválasztott pontjában vett lokális meredekség:

$$E_{\text{tan}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }$$

Ha a görbe lineáris marad, az érintőmodulus megegyezik a kezdeti modulussal. Folyáshoz közel azonban az acél görbületet mutathat, amelyet a képlékenység megindulása, a diszlokációk mozgása, a Lüders-alakváltozás, az átalakulási hatások vagy vizsgálati műtermékek okozhatnak. Az érintőmodulus ekkor a feszültséggel és az alakváltozással változik. A mérés helyét vagy azt az alakváltozási intervallumot is meg kell adni, amelyben meghatározták.

A szelvénymodulus egy kiválasztott origóból a görbe egy meghatározott pontjához húzott egyenes meredeksége:

$$E_{\text{sec}}=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

a kiválasztott pontban. Ez az intervallumon belüli viselkedést átlagolja, nem pedig a lokális meredekséget írja le. Ha a görbe eltér a linearitástól, a szelvény- és az érintőmodulus különbözik. Az első folyáshatáron túli feszültségnél meghatározott szelvénymodulus lényegesen kisebb lehet a kezdeti rugalmassági modulusnál, mivel a teljes alakváltozás képlékeny alakváltozást is tartalmaz.

Ezek a fogalmak ezért nem felcserélhetők. Ha egy szelvényértéket a hozzá tartozó alakváltozási vagy feszültségtartomány megadása nélkül „Young-modulusnak” neveznek, az félrevezető lehet egy tervezési számításban. Ugyanez a probléma merül fel akkor, amikor a gép a keresztfej elmozdulásából számított meredekséget adja meg a közvetlenül mért mérőhosszi alakváltozás helyett. A befogók beülése és a gépkeret deformációja torzíthatja a görbe kezdeti szakaszát, míg a képlékenység a későbbi szakaszt torzíthatja.

A korábbi deformáció szintén fontos. A hideghengerlés, a húzás, az egyengetés, az előzetes alakváltoztatás és a ciklikus terhelés módosítja a diszlokációs szerkezeteket és a maradó feszültségeket. Megváltoztathatják a látszólagos kezdeti meredekséget, húzás–nyomás aszimmetriát hozhatnak létre, valamint eltérő tehermentesítési és újraterhelési meredekségeket eredményezhetnek. A képlékenyen alakváltoztatott próbatest nem tekinthető azonosnak egy alakváltozatlan próbatesttel pusztán azért, mert ugyanaz a névleges anyagminőség-jelölése.

A hőmérsékletet szintén meg kell adni. A rugalmas merevség általában változik a hőmérséklettel, és szélesebb hőmérséklet-tartományban a fázisösszetétel is megváltozhat. A National Bureau of Standards 1981-ben közzétett jelentése Fe-5Cr-26Mn ausztenites acél rugalmas állandóit mérte 76–400 K között, hosszirányú és keresztirányú módusú hangsebességek alkalmazásával. Ez a hőmérséklet-tartomány jól szemlélteti, miért nem vihető át kritikátlanul egy szobahőmérsékleten végzett húzóvizsgálati érték kriogén üzemi körülményekre vagy magas hőmérsékletű elemzésre.

Statikus és dinamikus Young-modulus

A statikus Young-modulust lassan alkalmazott mechanikai terhelésből határozzák meg, rendszerint a húzó- vagy nyomóvizsgálat során mért erő és tengelyirányú alakváltozás alapján. A „lassan” nem jelenti azt, hogy az eredmény független lenne a terhelési sebességtől. Az alakváltozási sebesség, a terhelési előzmények, a várakozási idő, a hőmérséklet-emelkedés és az alakváltozásmérő rendszer befolyásolhatja a megadott meredekséget. A viszkoelasztikus hatások közönséges acéloknál környezeti hőmérsékleten általában korlátozottak, azonban a sebességfüggő képlékenység, a csillapítás, a termikus hatások és a vizsgálógép engedékenysége továbbra is hatással lehet az eredményre a rugalmas–képlékeny átmenet közelében.

A dinamikus Young-modulust rezgés-, hullámterjedési vagy rezonanciamérésből következtetik ki. Az ASTM E1875-20a a dinamikus Young-modulus, a nyírási modulus és a Poisson-tényező meghatározását „akusztikus rezonancia alapján” írja elő. A módszer rezonanciafrekvenciákat és próbatestméreteket használ; a számításban a sűrűség, valamint a gerendákra vagy rudakra vonatkozó rezgési összefüggések is szerepet kapnak. Mivel a deformáció véges frekvencián, rendszerint nagyon kis amplitúdóval rezeg, az eredmény nem egyszerűen egy gyorsabban elvégzett húzóvizsgálat értéke.

A dinamikus mérések igen érzékenyek lehetnek a próbatest geometriájára, a megtámasztási feltételekre, a frekvenciára, a sűrűségre, a csillapításra és a belső folytonossági hiányokra. A statikus mérések érzékenyek a beállításra, az extenzométer elhelyezésére, a mérési hosszra és az alakváltozási sebességre. Ha mindkét módszert megfelelően, ugyanabban a rugalmas tartományban alkalmazzák, az eredmények közel lehetnek egymáshoz, de az egyezés nem garantált. A megadott modulusnál ezért fel kell tüntetni a módszert, a hőmérsékletet, az orientációt, a próbatest állapotát, valamint azt, hogy a megadott érték kezdeti, érintő-, szelvény-, statikus vagy dinamikus modulus-e.

Az Engineering ToolBox néha 163 GPa körüli referenciaértéket ad meg a rozsdamentes acél térfogati modulusára, ez azonban másodlagos becslés, nem pedig minden rozsdamentesacél-minőségre, szabványos jelölésre, hőmérsékletre, textúrára vagy termékformára érvényes univerzális érték. Ugyanez az óvatosság szükséges a megadott Young-modulusértékek esetén is. Izotróp tervezési modellekben a gondosan kiválasztott rugalmasállandó-pár elegendő; a mért anyagadatoknak azonban továbbra is összhangban kell lenniük az acél állapotával és a számításban alkalmazott deformációs móddal.

A G nyírási modulus és az alakváltozási merevség

A nyírási modulus, $G$, azt méri, hogy egy szilárd test mennyire áll ellen a nyírófeszültség által okozott alakváltozásnak. Elsősorban nem a térfogat megváltozásával szembeni ellenállást írja le. Ideális tiszta nyírás esetén az anyag egyik síkpárja a másikhoz képest elcsúszik, így a testen belüli szögek megváltoznak, miközben a térfogat közel változatlan marad. Ez a különbség választja el $G$-t a térfogati modulustól, $K$-tól vagy $B$-től, amely a hidrosztatikus összenyomással szembeni ellenállást írja le.

Acél esetében $G$ nem olyan különálló anyagminőségi jelölés, amely a többi rugalmas tulajdonságtól függetlenül változhatna. Homogén, izotróp, lineárisan rugalmas anyag esetében csak két rugalmas állandó független. Egy táblázat feltüntetheti a Young-modulust, $E$-t, a Poisson-tényezőt, $\nu$-t, a nyírási modulust, $G$-t, a térfogati modulust, $K$-t, a Lamé-féle első paramétert, $\lambda$-t, valamint a $2\mu$ értékét, ezek a mennyiségek azonban matematikailag össze vannak kapcsolva. A Sandia National Laboratories felsorolja ezt a hat, izotróp anyagokra vonatkozó mennyiséget, és kijelenti, hogy $E$ és $\nu$ meghatározza a többi értéket. Ugyanezt a kétállandós korlátozást ismerteti a Springer által kiadott Szilárd testek rugalmassága (2020) című mű is.

Nyírófeszültség és szögdeformáció

A nyírófeszültség, amelyet hagyományosan $\tau$-val jelölnek, egy felülettel párhuzamosan hat. Ha egy téglatest alakú elemet nyírás ér, eredetileg derékszögei $\gamma$ szögdeformáció következtében megváltoznak. Kis deformáció esetén $\gamma$-t radiánban mérjük, és a magassághoz viszonyított oldalirányú elmozdulással közelíthetjük:

$$\gamma \approx \frac{\Delta x}{h}.$$

A lineárisan rugalmas összefüggés:

$$\tau =G\gamma ,$$

vagy

$$G=\frac{\tau }{\gamma }.$$

Minél nagyobb $G$, annál nagyobb nyírófeszültség szükséges egy adott szögdeformáció létrehozásához. Ez merevségi összefüggés, nem pedig a folyásra vagy a törésre vonatkozó kijelentés. Egy acél próbatestnek lehet nagy rugalmas nyírási modulusa, és mégis maradó deformációt szenvedhet, amikor a helyi nyírófeszültség meghaladja az alkalmazandó folyási feltétel által megszabott értéket.

A tiszta nyírás jól szemlélteti az alakváltozási és a térfogati válasz közötti különbséget. Egy kocka ferde paralelepipedonná válhat úgy, hogy élhosszúságai és térfogata csak nagyon kis mértékben változnak. A valós szilárd testek nyírás közben normálirányú deformációkat is szenvednek. Izotróp anyagban ezeket a kísérő deformációkat a Poisson-tényező és a teljes konstitutív egyenletrendszer határozza meg, de a mért fő deformáció a szögdeformáció.

A hidrosztatikus nyomás alatt álló anyag másképpen viselkedik. A nyomás minden irányban azonosan hat, és térfogatváltozást okoz anélkül, hogy kitüntetett nyírási irányt hozna létre. A hozzá tartozó modulust az NIST termodinamikailag a következőképpen definiálja:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

ahol $V$ a térfogat, $P$ a nyomás, a deriváltat pedig állandó hőmérsékleten kell venni. Ez az 1982-es NIST-kézikönyv egyik fejezetében idézett definíció megmutatja, miért nem helyettesíthető a térfogati modulus $G$-vel csavarási vagy nyírási számításokban.

Izotróp acél közelítése esetén a nyírási alakváltozási energiasűrűség:

$$u_s=\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{{\tau }^2}{2G}=\frac{1}{2}G{\gamma }^2.$$

Ez a tárolt energia a terhelés megszüntetésekor visszanyerhető, feltéve, hogy a deformáció a rugalmas tartományon belül marad, és nem lépett fel időfüggő vagy károsodási mechanizmus.

Csavarás, transzverzális hullámok és nyírási válasz

A csavarás a nyírási rugalmasság gyakorlati megnyilvánulása. Amikor egy kör keresztmetszetű acéltengelyt megcsavarunk, a keresztmetszetek egymáshoz képest elfordulnak, és az anyagelemek olyan nyírási deformációt szenvednek, amely a tengelytől mért távolsággal nő. Saint-Venant-féle csavarás esetén egy kör keresztmetszetű tengelyre:

$$T=\mathrm{GJ}\frac{\phi }{L},$$

ahol $T$ a nyomaték, $J$ a terület poláris másodrendű nyomatéka, $\phi$ a csavarodási szög, $L$ pedig a tengely hossza. Átrendezve:

$$\frac{\phi }{L}=\frac{T}{\mathrm{GJ}}.$$

A nagyobb $G$-vel rendelkező tengely ugyanazon nyomaték hatására kevésbé csavarodik el, feltéve, hogy geometriája és peremfeltételei változatlanok. Tömör kör keresztmetszetű tengely esetén $J=\pi d^4/32$, üreges kör keresztmetszetű tengely esetén pedig $J=\pi (d_o^4-d_i^4)/32$. Ezek az egyenletek a rugalmas csavarási tartományban érvényesek; nem kör keresztmetszetek, vetemedés, képlékenység, maradó feszültség és anizotróp termékek esetén további vizsgálatra van szükség.

A nyírási modulus a transzverzális rugalmas hullámok terjedési sebességén keresztül is meghatározható. Izotróp közegben a transzverzális vagy nyíróhullám sebessége:

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }},$$

ezért

$$G=\rho v_T^2,$$

ahol $\rho$ a sűrűség. A transzverzális hullám részecskemozgása merőleges a terjedés irányára. Visszatérítő erejét a nyírási merevség biztosítja, míg a longitudinális hullámot a térfogati és a nyírási merevség kombinációja határozza meg:

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}.$$

Mindkét hullámsebesség mérése ezért egynél több rugalmas állandó kiszámítását teszi lehetővé, ha a sűrűség ismert. Ez dinamikus mérés: az eredmény a vizsgálati frekvencián, hőmérsékleten, a próbatest állapotában és a hullám amplitúdóján fennálló válaszreakciót tükrözi.

Az ASTM E1875-20a szabvány a dinamikus Young-modulus, a nyírási modulus és a Poisson-tényező meghatározását írja elő „akusztikus rezonancia alapján”. A módszer a longitudinális, valamint a hajlítási vagy csavarási válaszhoz kapcsolódó rezonanciafrekvenciákat használja, nem pedig lassú, monoton terhelési görbét. Egy homogén acél próbatest esetében, korlátozott rugalmas tartományban, a dinamikus és a statikus értékek közel lehetnek egymáshoz, de nem tekinthetők automatikusan azonosnak.

A Fe-5Cr-26Mn ausztenites acélról készült National Bureau of Standards-jelentés jól szemlélteti a vizsgálati körülmények jelentőségét. A rugalmas állandókat longitudinális és transzverzális módusú hangsebességek alapján határozta meg 76–400 K között. A hőmérsékletváltozások befolyásolják az atomok közötti kötéseket, a hőtágulást, a fázisstabilitást és a hibákhoz kapcsolódó csillapítást; következésképpen a kriogén hőmérsékleten mért modulus nem feltétlenül egyezik meg a szobahőmérséklet közelében mért értékkel. Az acél fázisösszetétele és kristálytani textúrája szintén fontos. Az egykristály tulajdonságai irányfüggők, míg a polikristály csak akkor tűnhet izotrópnak, ha a szemcseorientációk kellően véletlenszerűen oszlanak el. A hengerlés, a kovácsolás, a hegesztés, az átalakulási termékek és a megmaradó textúra irányfüggő nyírási választ hozhatnak létre.

A G, az E és a ν közötti kapcsolat

Homogén, izotróp, lineárisan rugalmas anyag esetén a központi összefüggés:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Itt $E$ a Young-modulus, $\nu$ pedig a Poisson-tényező. Ha két független állandó ismert, a többi izotróp állandó levezethető. Ezért az $E$, $G$ és $\nu$ értékének három, egymástól független, anyagminőség-specifikus számként való megadása mechanikailag inkonzisztens, kivéve, ha a mérési bizonytalanságot, az anizotrópiát, a hőmérsékletet vagy a modelltől való eltérést tárgyalják.

A térfogati modulushoz tartozó összefüggés:

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

a $K$ és $G$ közötti közvetlen kapcsolat pedig:

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Ezek modellből következő összefüggések, nem pedig minden acéltermékre alkalmazható univerzális átszámítási szabályok. Kis deformációkat, reverzibilis viselkedést, anyagi homogenitást, izotrópiát, valamint olyan hőmérsékleti és terhelési körülményeket feltételeznek, amelyek mellett a rugalmas állandók lényegében állandók maradnak. Azt is feltételezik, hogy a közölt értékek összeegyeztethető definíciókra vonatkoznak. A statikus húzási modulus, a rezonanciával meghatározott dinamikus modulus és a hullámokból levezetett modulus eltérhet egymástól, mivel frekvenciájuk és alakváltozási amplitúdójuk különböző.

Az Engineering ToolBox 2024-ben 163 GPa hozzávetőleges referenciaértéket ad meg a rozsdamentes acél térfogati modulusára, ez az érték azonban nem univerzális valamennyi rozsdamentesacél-minőségre, hőmérsékletre, termékformára, fázisegyensúlyra vagy vizsgálati módszerre. Ugyanez az óvatosság szükséges $G$ esetében is. Az ausztenites, ferrites, martenzites és duplex acélok textúrájukban, fázisarányukban, mágneses állapotukban és feldolgozási előéletükben eltérhetnek egymástól. A szabványok és tervezési előírások számítási célokra hozzárendelhetnek egy reprezentatív izotróp értéket, míg egy kutatási mérés irányfüggő állandókat is felbonthat.

Izotróp tervezési számításokhoz a $G=E/[2(1+\nu \left)\right]$ összefüggés biztosítja a megfelelő kapcsolatot a húzási és a nyírási merevség között. Texturált lemez, hegesztés által érintett anyag, öntött szerkezet, egykristály vagy kifejezetten irányfüggő viselkedést mutató többfázisú acél esetén ehelyett a teljes anizotróp merevségi mátrixra lehet szükség. Ilyen esetben egyetlen skaláris nyírási modulus nem képes minden nyírási sík viselkedését leírni.

A térfogati modulus, K vagy B, és a térfogati összenyomódás

A térfogati modulus az egyenletes térfogatváltozással szembeni ellenállást írja le. Nem az acélrúd egyetlen tengely menti megnyújtással szembeni ellenállását jellemzi, és nem cserélhető fel a Young-modulussal. A húzóvizsgálat elsősorban egytengelyű modulust határoz meg, míg a nyomásvizsgálat térfogati modulust. A kettő csak akkor kapcsolható össze, ha előzetesen meghatároztuk a rugalmas modellt és annak feltevéseit.

Az izotróp lineáris rugalmasságtanban a térfogati modulus szokásos jele $K$ vagy $B$, a Young-modulusé $E$, a nyírási modulusé $G$, a Poisson-tényezőé pedig $\nu$. Ez a négy anyagállandó nem állítható be egymástól függetlenül. Ahogyan a Springer Elasticity of Solids című műve kifejti, egy izotróp szilárd testnek csupán két független rugalmassági állandója van. A Sandia Sierra dokumentációja az összefüggő mennyiségek között a Young-modulust $E$, a Poisson-tényezőt $\nu$, a térfogati modulust $K$, a nyírási modulust $G$, Lamé első paraméterét, $\lambda$-t, valamint a $2\mu$ mennyiséget sorolja fel; az $E$ és $\nu$ megadása meghatározza a többit.

A térfogati modulus termodinamikai definíciója

A National Institute of Standards and Technology az izoterm térfogati modulust a következőképpen definiálja:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

ahol $V$ a térfogat, $P$ a nyomás, a $T$ alsó index pedig azt jelenti, hogy a deriválást állandó hőmérsékleten kell elvégezni. A negatív előjel azért szükséges, mert a nyomás növekedése rendszerint a térfogat csökkenésével jár, ezért a $\partial P/\partial V$ mennyiség negatív.

Ez a definíció a nyomás–térfogat görbe lokális meredekségét írja le. Differenciális mennyiségről van szó, nem pedig egyszerűen a nyomás és a térfogat hányadosáról tetszőlegesen nagy összenyomódás esetén. Kis változásra:

$$\frac{\Delta V}{V}\approx -\frac{\Delta P}{B}.$$

A nagyobb $B$ ezért azt jelenti, hogy ugyanakkora relatív térfogatváltozás előidézéséhez nagyobb nyomásváltozás szükséges. Az SI-mértékegység a pascal, az acélra vonatkozó adatokat azonban rendszerint gigapascalban adják meg.

Az állandó hőmérsékletre vonatkozó kikötés fontos. A lassú összenyomásnak kitett anyag hőt cserélhet a környezetével, míg egy gyors hanghullám közel adiabatikus deformációt okozhat. A dinamikus mérések ezért a lassú mechanikai vizsgálattól eltérő effektív modulusnak felelhetnek meg. Maga a nyomás is megváltoztathatja a meredekséget, különösen akkor, ha az összenyomódás olyan mértékű, hogy a rugalmas állandók már nem írhatók le megfelelően egyetlen állandóval.

Hidrosztatikus nyomás alatt álló szilárd testben a normálfeszültségek mindhárom irányban egyenlők:

$${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=-P.$$

Az ehhez tartozó alakváltozás a térfogati alakváltozás:

$${\epsilon }_v=\frac{\Delta V}{V}={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,$$

kis deformáció esetén. Az anyagtörvény ekkor:

$$P=-K{\epsilon }_v.$$

A negatív előjel abból az előjel-konvencióból következik, amely szerint a húzófeszültség és a húzóalakváltozás pozitív, míg a nyomónyomás skaláris nyomásként pozitív.

Hidrosztatikus nyomás és térfogati alakváltozás

A hidrosztatikus összenyomás különbözik az egytengelyű terheléstől, noha mindkettő normálfeszültségeket hoz létre. Vegyünk egy húzóvizsgálatban megnyújtott acélpróbatestet. Az alkalmazott axiális feszültség axiális megnyúlást okoz, miközben a Poisson-összehúzódás a két keresztirányú irányban következik be. A Young-modulust ebben a terhelési elrendezésben az axiális feszültség és az axiális alakváltozás alapján definiáljuk:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

a lineárisan rugalmas tartományon belül.[4][4] Stress, Strain, and Elastic Modulus. OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

Hidrosztatikus nyomás alatt nincs kitüntetett irány. A próbatest mindhárom tengely mentén összehúzódik, és a releváns válasz a három normálalakváltozás összege. Az OpenStax közvetlenül megfogalmazza ezt a fizikai különbséget: a Young-modulus húzóterhelésre, a térfogati modulus a térfogati összenyomódásra, a nyírási modulus pedig a nyírási deformációra vonatkozik. Az egytengelyű húzóvizsgálat nem hozza létre közvetlenül a $K$ méréséhez szükséges feszültségi állapotot.

Izotróp, lineárisan rugalmas szilárd test esetén a modulusok között a következő összefüggések állnak fenn:

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

és

$$E=3K(1-2\nu ).$$

A másik gyakran alkalmazott összefüggés:

$$E=2G(1+\nu ).$$

Így egy megadott $E$ és $\nu$ értékből kiszámítható $K$, de az eredmény magában hordozza mindkét bemeneti értékhez kapcsolódó feltételeket és bizonytalanságokat. Ha például $E$ dinamikus rezonanciamodulus, míg $\nu$ lassú húzóvizsgálatból származik, akkor a kiszámított térfogati modulus nem feltétlenül ugyanazon, belsőleg konzisztens mérési állapotot képviseli.

A képlet azt is megmutatja, miért rendkívül érzékeny a térfogati modulus a Poisson-tényezőre az összenyomhatatlanság közelében. Egy névleges, $E=200$ GPa és $\nu =0,30$ értékű acél esetén:

$$K=\frac{200}{3(1-0.60)}\approx 167\text{GPa}.$$

Ha $\nu$ értékét 0,49-re változtatjuk, miközben $E$ változatlan marad:

$$K=\frac{200}{3(1-0.98)}\approx 3333\text{GPa}.$$

Ez a rendkívül nagy változás nem egyszerű kerekítési hatás. Abból ered, hogy a nevező nullához közelít, amikor $\nu$ megközelíti a 0,5-öt. A $\nu$ értékében lévő csekély hiba, illetve az eltérő hőmérsékletről, frekvenciáról, fázisösszetételről vagy mérési módszerből származó érték jelentős változást okozhat a kiszámított $K$-ban.

Miért tekintik a fémeket gyakran közel összenyomhatatlannak?

A fémeket gyakran azért nevezik közel összenyomhatatlannak, mert térfogati alakváltozásuk szokásos mechanikai nyomás alatt csekély a nyírás vagy az egytengelyű feszültség hatására bekövetkező alakváltozásukhoz képest. Térfogati modulusuk általában jóval nagyobb a nyírási modulusuknál. A nyomás csak kismértékben változtatja meg a térfogatot, míg egy olyan, hasonló feszültségi állapot, amely lehetővé teszi az alakváltozást, észrevehetőbb geometriai változást okozhat.

A „közel összenyomhatatlan” nem jelent tökéletes összenyomhatatlanságot. Az acélnak továbbra is véges térfogati modulusa van, és sűrűsége nyomás hatására változik. Ez a közelítés hasznos lehet alakítási elemzésben, képlékenységtanban, folyadék–szerkezet kölcsönhatási számításokban és más olyan helyzetekben, ahol a térfogatváltozások kicsik, de nem alkalmazható az anyagmodell ellenőrzése nélkül. A képlékeny deformáció, a fázisátalakulás, a porozitás, a károsodás és a megemelt hőmérséklet mind módosíthatják a térfogati választ. Egy porózus acélöntvény például nem kezelhető ideális, tömör és izotróp szilárd testként pusztán azért, mert fémes mátrixa merev.

A közelítés összetettségét az acél mikroszerkezete is növeli. Az egykristály rugalmas állandói a kristálytani iránytól függenek. Egy polikristályos aggregátum véletlenszerű szemcseorientáció esetén közelítőleg izotróp módon viselkedhet, a hengerlés, a kovácsolás, a fázisátalakulás és a textúra azonban irányfüggő tulajdonságokat hozhat létre. A NIST egykristályos rugalmas állandókról szóló kézikönyvfejezete bemutatja, hogyan vezethetők le közel izotróp polikristályos $E$, $G$, $B$, longitudinális modulus- és $\nu$-értékek köbös és hexagonális anyagok egykristályos merevségi adataiból. A „közel izotróp” modellezési leírás, nem pedig annak garanciája, hogy minden termékforma minden irányban azonos tulajdonságokkal rendelkezik.

A hőmérséklet és a fázisösszetétel szintén fontos. A National Bureau of Standards egyik jelentése az Fe-5Cr-26Mn ausztenites acél rugalmas állandóit határozta meg 76–400 K között longitudinális és transzverzális módusú hangsebességek alapján. Már ez a hőmérséklet-tartomány is bizonyítja, miért nem rendelhető egyetlen szobahőmérsékleti érték minden acélállapothoz. Az ausztenites, ferrites, martenzites és többfázisú acélok rugalmas válasza eltérhet egymástól, miközben a hidegalakítás és a textúra a mért irányfüggő értékeket is módosíthatja.

Egy másodlagos forrás, az Engineering ToolBox, a „rozsdamentes acélra” körülbelül 163 GPa értéket ad meg. Ez a szám kényelmes lehet előzetes számításhoz, de nem tekinthető minden rozsdamentesacél-minőségre, hőmérsékletre, termékformára, fázisegyensúlyra, textúrára vagy vizsgálati feltételre érvényes, univerzális térfogati modulusnak. Nem szabad úgy bemutatni, mint valamennyi rozsdamentes acél által közösen birtokolt, mért állandót.

A mérési módszer szintén a változatosság egyik forrása. Az ASTM E1875-20a a dinamikus Young-modulus, a nyírási modulus és a Poisson-tényező „hangrezonancia útján” történő meghatározását írja elő. Ezeket az értékeket rezgési frekvenciákból nyerik, és érzékenyek a sűrűségre, a geometriára, a csillapításra, a hőmérsékletre és a frekvenciára. A statikus húzóvizsgálatból származó adatok más kísérleti kérdésre adnak választ. A tervezési számításokban ezért meg kell adni, hogy a modulus mért vagy származtatott, statikus vagy dinamikus, izotróp vagy irányfüggő-e, továbbá hogy mely hőmérséklethez és anyagállapothoz kapcsolódik. Ezen információk hiányában a megadott $K$ vagy $B$ csupán feltételes becslés.

A Poisson-tényező ν és a keresztirányú alakváltozás acélban

A ν-val (nü) jelölt Poisson-tényező az alkalmazott terhelésre merőlegesen létrejövő rugalmas alakváltozást írja le. Húzóvizsgálat során definíciója:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\mathrm{transverse}}}{{\epsilon }_{\mathrm{longitudinal}}}$$

ahol a hosszirányú alakváltozás a terhelés irányában, a keresztirányú alakváltozás pedig a próbatesten keresztben mérhető. A mínuszjel miatt ν értéke pozitív az acél szokásos húzási reakciója esetén: a mérési hossz növekszik, miközben a szélesség és a vastagság csökken.

Ez a definíció egy adott rugalmas vizsgálati irányra, hőmérsékletre, terhelési sebességre és anyagállapotra vonatkozik. Nem különálló anyagminőség-jelölés, amely a Young-modultól, a nyírási modultól vagy a térfogati modultól függetlenül választható. Izotróp, homogén, lineárisan rugalmas szilárd test esetében csak két rugalmas állandó független. A Sandia National Laboratories a kapcsolódó izotróp állandókat Young-modulként $E$, Poisson-tényezőként $\nu$, térfogati modulusként $K$, nyírási modulus­ként $G$, Lamé első paramétereként $\lambda$, valamint $2\mu$ formájában sorolja fel; $E$ és $\nu$ megadása meghatározza a többi értéket. A Springer Elasticity of Solids című műve szintén kijelenti, hogy egy izotróp szilárd testnek „csak két” független rugalmas állandója van.

Kis rugalmas alakváltozások esetén az izotróp acélra vonatkozó fő összefüggések:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

valamint

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Ugyanezek az összefüggések átrendezhetők a következő alakokra:

$$\nu =\frac{E}{2G}-1$$

vagy

$$\nu =\frac{3K-E}{6K}.$$

Ezek az egyenletek konstitutív összefüggések, nem pedig egymástól független módszerek tetszőleges anyagadatok hozzárendelésére. Ha egy táblázatban szereplő $E$, $G$, $K$ és ν értékek nem tesznek eleget ezeknek az összefüggéseknek, akkor az értékeket különböző módszerekkel, eltérő hőmérsékleten vagy eltérő feltételezések mellett mérhették. Az is előfordulhat, hogy anizotróp anyagot írnak le izotróp közelítésekkel.

Tengelyirányú összehúzódás húzóterhelés során

Tekintsünk egy olyan acél húzópróbatestet, amelynek tengelye egybeesik a terhelés irányával. A húzófeszültség pozitív tengelyirányú alakváltozást hoz létre:

$${\epsilon }_L=\frac{\Delta L}{L},$$

miközben az átmérő csökken. Ha az eredeti átmérő $d$, akkor a keresztirányú alakváltozás közelítőleg:

$${\epsilon }_T=\frac{\Delta d}{d}.$$

A rugalmas tartományban:

$${\epsilon }_T=-\nu {\epsilon }_L.$$

Ha tehát egy próbatest tengelyirányú rugalmas alakváltozása $0.001$, ν értéke pedig 0.30, akkor a keresztirányú alakváltozás hozzávetőlegesen $-0.0003$. A hossz 0,10%-kal növekszik, míg az átmérő 0,03%-kal csökken. A numerikus példa kizárólag az alakváltozást szemlélteti; nem rendel univerzális értéket minden acélminőséghez vagy termékformához.

Az arány dimenzió nélküli, mivel a számláló és a nevező egyaránt alakváltozás. Az eredmény attól is függ, hogyan definiálják az alakváltozásokat. A mérnöki alakváltozás, a valódi alakváltozás, a kis alakváltozások tenzorának komponensei és a szelőalakváltozás kissé eltérő eredményeket adhatnak, amikor a deformáció már nem nagyon kicsi. A lineárisan rugalmas méretezésben használt Poisson-tényező rendszerint a visszanyerhető tartományon belüli kezdeti meredekségre vonatkozik, még a folyás, a Lüders-alakváltozás, a képlékeny folyás, a repedezés vagy más nemlineáris hatások megjelenése előtt.

A tengelyirányú és az oldalirányú reakciók össze vannak kapcsolva. A húzópróbatest nem egyszerűen megnyúlik úgy, hogy közben eredeti keresztmetszeti méretei változatlanok maradnak. Téglalap vagy hengeres keresztmetszet esetén a szélesség és a vastagság csökkenése hozzájárul a térfogatváltozáshoz. Kis alakváltozások mellett a térfogati alakváltozás közelítőleg:

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L+{\epsilon }_{T1}+{\epsilon }_{T2}.$$

Azonos keresztirányú alakváltozásokkal jellemezhető izotróp húzási állapotban:

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L(1-2\nu ).$$

Ez a kifejezés megmutatja, miért fontos ν a végeselemes modellekben és a szerkezeti számításokban. A ν helytelen megválasztása megváltoztatja a számított oldalirányú összehúzódást, a térfogati reakciót, a hidrosztatikus feszültséget, valamint esetenként a kényszerített tartományok látszólagos merevségét.

Az acél nem minden léptékben egyetlen izotróp anyag. A véletlenszerűen orientált polikristály az izotróp viselkedéshez közelíthet, ha sok kristályszemcse járul hozzá, és a textúra gyenge. A hengerelt lemez, a húzott huzal, a kovácsolt rúd, a hegesztett zónák és az additív gyártással előállított anyag megőrizhetik a kristálytani orientációk előnyben részesített irányait vagy a fázisok térben változó eloszlását. Ilyen esetekben a keresztirányú alakváltozás a terhelés és a mérés irányától függ. Egyetlen skaláris ν ezért kényelmes mérnöki átlag lehet, nem pedig az anyag teljes körű leírása.

Térfogatváltozás és a ν = 0,5 határérték

A térfogati modulus az egyenletes összenyomással szembeni ellenállást írja le, míg a Young-modulus a tengelyirányú húzást vagy nyomást, a nyírási modulus pedig a nyírás hatására bekövetkező alakváltozást jellemzi. Az OpenStax közvetlenül megkülönbözteti ezeket: a Young-modulus húzóterhelésre, a térfogati modulus térfogati összenyomásra, a nyírási modulus pedig nyírásos deformációra vonatkozik.

A térfogati modulus termodinamikai definíciója:

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

amint azt a National Institute of Standards and Technology 1982-ben megadta. Itt $P$ a nyomás, $V$ a térfogat, a deriváltat pedig állandó hőmérsékleten kell venni. A lineárisan rugalmas izotróp egyenlet, $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$, csak akkor kapcsolja össze ezt a térfogati reakciót az egytengelyű rugalmas adatokkal, ha az izotróp feltételezések alkalmazhatók.

Amint ν megközelíti a 0,5 értéket, az $1-2\nu$ nevező nullához közelít, és véges $E$ mellett a számított térfogati modulus a végtelenhez tart. Ez az összenyomhatatlan határállapot: a deformáció megváltoztathatja az alakot, de a térfogatot nem. A gumiszerű anyagok megközelíthetik ezt az állapotot, mivel térfogati reakciójuk sokkal merevebb, mint a nyírási reakciójuk. A közönséges acélok nem összenyomhatatlanok, bár térfogati modulusuk jelentősen nagyobb a nyírási modulusuknál.

A határérték numerikus problémát is feltár. Mivel $K$ tartalmazza az $1-2\nu$ tényezőt, a ν kis hibája nagy relatív hibát okozhat a számított $K$ értékében, különösen akkor, amikor ν közel van a 0,5-höz. Az összefüggés deriválása alapján:

$$\frac{\partial K}{\partial \nu }=\frac{2E}{3(1-2\nu {)}^2}$$

ha $E$ állandó. A négyzetes nevező felerősíti az érzékenységet. A ν mindössze néhány ezrednyi bizonytalansága csekély hatással lehet egy hozzávetőleges tengelyirányú számításra, ugyanakkor jelentősen befolyásolhatja a közölt térfogati modulus értékét.

Az Engineering ToolBox egyik hivatkozása rozsdamentes acélra hozzávetőlegesen 163 GPa térfogati modult ad meg. Ez az érték másodlagos hivatkozásból származó becslés, nem pedig minden rozsdamentesacél-minőségre, hőmérsékletre, termékformára, fázisösszetételre vagy vizsgálati módszerre érvényes univerzális érték. Az ausztenites, ferrites, martenzites, duplex és kiválásosan keményedő acélok textúrája, fázisegyensúlya, hibái és hőmérsékletfüggő reakciója eltérhet egymástól.

A ν mérése és értelmezése

A Poisson-tényező egyidejű tengelyirányú és keresztirányú alakváltozásmérésekből határozható meg húzó- vagy nyomóvizsgálat során. A nyúlásmérők, a ragasztott nyúlásmérő bélyegek, az optikai rendszerek és a digitális képkorreláció egyaránt mérhetik a két alakváltozási komponenst, de a keresztirányú jel gyakran kisebb, és érzékenyebb az igazításra, a felület-előkészítésre, a mérőhossz geometriájára és a zajra. Az igazítási hiba hajlítást vezethet be, míg a mérőbélyeg nem megfelelő elhelyezése összekeverheti a hosszirányú és a keresztirányú irányokat.

Egy másik módszer a ν meghatározása a függetlenül mért rugalmas hullámsebességekből indul ki. A hosszanti és a nyírási hullám sebessége dinamikus rugalmas információt szolgáltat; izotróp szilárd test esetén:

$$G=\rho v_S^2$$

és

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_S^2),$$

ahol $\rho$ a sűrűség, $v_S$ a nyíráshullám sebessége, $v_L$ pedig a hosszanti hullám sebessége. Az így kapott $E$ és ν kis amplitúdójú, véges frekvenciájú reakciót ír le, amely nem feltétlenül egyezik meg egy lassú húzóvizsgálat értékével. Az ASTM E1875-20a a dinamikus Young-modulus, nyírási modulus és Poisson-tényező meghatározását „szonikus rezonancia útján” írja elő.[5][5] Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

A hőmérséklet mind a rugalmas merevséget, mind a hullámsebességet megváltoztatja. A National Bureau of Standards egyik jelentése az Fe-5Cr-26Mn ausztenites acél rugalmas állandóit 76–400 K között mérte hosszanti és keresztirányú módusú hangsebességek alkalmazásával. Ez a tartomány szemlélteti, miért nem szabad egy szobahőmérséklet közelében mért értéket automatikusan kriogén alkalmazásokra vagy emelt hőmérsékletű méretezésre átvinni.

A textúra és a kristálytani anizotrópia további korlátozó tényezőt jelent. Az egykristályok rugalmas merevségi állandói csak olyan átlagolási modellel alakíthatók át kváziizotróp polikristályos $E$, $G$, $K$ és ν értékekké, amely figyelembe veszi a kristályszimmetriát és az orientációeloszlást. Egy hengerelt lemez ezért eltérő arányokat mutathat a hengerlési irányban, a keresztirányban és a lemezvastagság irányában történő terhelés esetén. A dinamikus rezonancia továbbá a statikus húzóvizsgálattól eltérő effektív térfogatot és alakváltozási amplitúdót is vizsgálhat.

A méretezés során ν értékének összhangban kell lennie a választott konstitutív modellel és a vizsgálati feltételekkel. Skaláris izotróp értéket csak akkor használjunk, ha a termékforma, a textúra, a hőmérséklet, az alakváltozási tartomány és a megkövetelt pontosság indokolja ezt az egyszerűsítést. Ellenkező esetben az irányfüggő rugalmas állandók vagy a teljes anizotróp merevségi mátrix megalapozottabb választás, mint négy közölt modulus egymástól független, anyagminőség-specifikus számként való kezelése.

Az izotróp rugalmassági modulusok teljes összefüggésrendszere

Homogén, lineárisan rugalmas, izotróp szilárd test esetében a négy gyakran megadott modulus nem négy egymástól független anyagállandó. A Young-modulus $E$, a nyírási modulus $G$, a térfogati modulus $K$ vagy $B$, valamint a Poisson-tényező $\nu$ különböző deformációs módokat írnak le, értékeik azonban összefüggenek. Bármely két megfelelő állandó meghatározza a többi mennyiséget.

Ennek az állításnak vannak feltételei. Az anyagot izotrópként kell kezelni, a feszültség–deformáció válasznak a vizsgált tartományban lineárisnak kell lennie, továbbá a modulusoknak ugyanarra a hőmérsékletre, sűrűségre, fázisösszetételre, textúraátlagra, frekvenciára és mérési konvencióra kell vonatkozniuk. Az alacsony deformációnál végzett szakítóvizsgálattal meghatározott modulus nem cserélhető fel automatikusan a hangsebességből következtetett dinamikus modulussal. Anizotróp egykristály esetében az alábbi izotróp egyenletek nem írják le a teljes irányfüggő viselkedést.

Az OpenStax 2020-as kiadványa világosan meghatározza a fizikai szerepeket: az $E$ a húzó- vagy egytengelyű deformációt, a $G$ a nyírási deformációt, a térfogati modulus pedig a térfogati összenyomást írja le. A NIST 1982-es tárgyalása a termodinamikai térfogati modulust a következőképpen definiálja:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

ahol $V$ a térfogat, $P$ a nyomás, a deriváltat pedig állandó hőmérsékleten kell képezni. Kis deformációjú lineáris rugalmasságtanban ez a termodinamikai definíció megfelel az alábbi összefüggésekben használt térfogati merevségnek, feltéve, hogy ugyanazt az állapotot és ugyanazt a rugalmas közelítést alkalmazzuk.

Az $E$, $G$, $K$ és $\nu$ közötti átszámítások

Az izotróp lineáris rugalmasságtan teljes egyenletrendszere:

\[ \boxed{G=\frac{E}{2(1+\nu)}} \]

\[ \boxed{K\ \text{vagy}\ B=\frac{E}{3(1-2\nu)}} \]

\[ \boxed{E=\frac{9KG}{3K+G}} \]

\[ \boxed{\nu=\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \]

\[ \boxed{\lambda=K-\frac{2G}{3}} \]

\[ \boxed{\mu=G} \]

Az első egyenlet a Young-modulusból és a Poisson-tényezőből határozza meg a nyírási modulust. Ez izotróp konstitutív törvényt, valamint infinitézimális, lineárisan rugalmas deformációt feltételez. A második az $E$ és $\nu$ értékéből számítja ki a térfogati modulust. Ehhez szintén az szükséges, hogy a mért Poisson-tényező izotróp rugalmas arány legyen, ne pedig egy anizotróp próbatest irányfüggő értéke.

A harmadik egyenlet a $K$ és $G$ alapján számítja ki az $E$-t, míg a negyedik ugyanezen két modulus alapján a $\nu$-t. Ezek az egyenletek ugyanazon izotróp konstitutív modell algebrai átrendezései; önmagukban nem szolgálnak független kísérleti ellenőrzésként, kivéve, ha a bemeneti értékek külön mérésekből származnak. Ha az $E$, $G$ és $\nu$ értékét egyaránt megadják, a mérési bizonytalanságból, kerekítésből, hőmérséklet-különbségekből, porozitásból, textúrából vagy az izotrópiától való eltérésekből adódó kisebb eltérések várhatók.

Stabil, közönséges izotróp rugalmas szilárd test esetében a korlátozások általában a következők:

\[ G>0,\qquad K>0,\qquad -1<\nu<\frac{1}{2}. \]

A $\nu$ felső határa különösen fontos. Ahogy a $\nu$ megközelíti a $0,5$-öt, az $1-2\nu$ kifejezés nullához közelít, és a számított térfogati modulus az $E$-hez képest nagyon naggyá válik. Egy közel összenyomhatatlan anyagnak ezért lehet véges húzási modulusa, miközben a térfogati merevsége sokkal nagyobb. Az acél összenyomható, ezért a $\nu =0,5$ érték pontos acélértékként való kezelése az átszámítást szingulárissá, nem pedig informatívvá tenné.

Az egyenletek egy polikristály effektív izotróp tulajdonságaira alkalmazhatók, ha az irányfüggő eltéréseket megfelelő mértékben átlagolták. A NIST egykristályos rugalmas állandókról szóló kézikönyvfejezete megmutatja, miért fontos ez a minősítés: az effektív $E$, $G$, $B$, hosszirányú modulus és $\nu$ köbös és hexagonális anyagok esetében levezethető az egykristály merevségi adataiból, az átlagolási eljárás azonban a kristályszimmetriától és a textúrától függ. A hengerelt lemez, a hegesztési fém, az öntött szerkezet és a véletlenszerű orientációjú, izzított polikristály irányfüggő rugalmas válasza eltérhet egymástól akkor is, ha kémiai leírásuk hasonló.

Az állandók különböző frekvenciatartományokat is leírhatnak. Az ASTM International által 2020-ban közzétett ASTM E1875-20a a dinamikus Young-modulus, nyírási modulus és Poisson-tényező meghatározását „hangrezonancia alapján” írja elő. Ezeket a dinamikus értékeket rezonanciafrekvenciákból határozzák meg, és gyors, kis amplitúdójú terheléshez kapcsolódnak. A statikus szakítóvizsgálattal meghatározott modulus ettől eltérhet a műszer megfelelősége, mikroműanyagosság, belső súrlódás, porozitás, hőmérséklet vagy az ideális rugalmas modelltől való egyéb eltérések miatt. Az átszámítási egyenletek csak akkor érvényesek, ha a bemeneti állandók kompatibilis konstitutív leíráshoz tartoznak.

Az Engineering ToolBox által a rozsdamentes acélra megadott hozzávetőleges, $163\text{GPa}$ értékű térfogati modulushoz hasonló referenciaértéket ezért másodlagos becslésként kell értelmezni, nem pedig minden rozsdamentesacél-minőségre, termékformára, hőmérsékletre, fázisegyensúlyra vagy vizsgálati módszerre érvényes univerzális értékként. A „rozsdamentes acél” megnevezés lényegesen eltérő anyagokat foglal magában, köztük ausztenites, ferrites, martenzites, kiválásosan keményedő és duplex minőségeket. Rugalmas válaszuk a hidegalakítás és a hőmérséklet hatására szintén változhat.

A Lamé-féle $\lambda$ és $\mu$ paraméterek

A Lamé-féle paraméterek ugyanazon izotróp rugalmas törvény egy másik reprezentációját adják. A második Lamé-paraméter:

$$\mu =G,$$

tehát a $\mu$ egyszerűen a Lamé-féle jelöléssel kifejezett nyírási modulus. Az első Lamé-paraméter:

$$\lambda =K-\frac{2G}{3}.$$

Felírható továbbá a következő alakban is:

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}.$$

Ten­zoros jelöléssel az izotróp feszültség–deformáció kapcsolatot rendszerint a következőképpen írják fel:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

ahol ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ a feszültségtenzor, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ a deformációtenzor, ${\epsilon }_{\mathrm{kk}}$ a térfogati deformáció, ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ pedig a Kronecker-delta. A $2\mu$ szorzó a deformációtenzor deviátoros és nyírási hozzájárulására hat; nem definiál a $G$-től különálló fizikai modulust.

A Sandia Sierra dokumentációja hat egymással összefüggő izotróp rugalmas állandót sorol fel: a Young-modulust $E$, a Poisson-tényezőt $\nu$, a térfogati modulust $K$, a nyírási modulust $G$, a Lamé-féle első paramétert $\lambda$, valamint a $2\mu$-t. Ez magyarázza a szoftverekben és a végeselemes jelölésben gyakran előforduló buktatót. Egy anyagkártya azért kérheti a „$2\mu$” értékét, mert a konstitutív egyenlet ezt az együtthatót használja, míg egy másik interfész $G$-t vagy $\mu$-t kér. Ha ott adunk meg $G$-t, ahol $2\mu$ szükséges, az kétszeres tényezőjű hibát okoz.

A Springer Elasticity of Solids című, 2020-as műve közvetlenül kimondja az alapvető szabályt: izotróp szilárd test esetében csak két rugalmas állandó független. A Sandia-féle megfogalmazás hasonlóképpen megjegyzi, hogy az $E$ és $\nu$ meghatározza a többi állandót. A hat megnevezés hat egymással összefüggő mennyiséget jelöl, nem pedig hat külön-külön beállítható anyagminőségi tulajdonságot.

Mértékegységek, jelölések, valamint a $K$ és $B$ közötti jelölési ütközések

Az $E$, $G$, $K$, $B$, $\lambda$ és $\mu$ mind feszültségdimenziójú mennyiségek: SI-mértékegységük a pascal, acél esetében pedig gyakran gigapascalban ($\text{GPa}$) adják meg őket. A Poisson-tényező $\nu$ dimenzió nélküli. Mivel $1\text{GPa}={10}^9\text{Pa}$, minden feszültségjellegű bemeneti értéket ugyanabban a mértékegységben kell megadni bármely egyenlet alkalmazása előtt.

A $K$ jelölés a kontinuummechanikában és a végeselemes dokumentációban gyakori a térfogati modulus megjelölésére. A NIST és számos anyagtudományi hivatkozás a $B$ jelet használja, gyakran azért, mert a „bulk modulus” B betűvel kezdődik. A fenti egyenletekben e jelek rendszerint ugyanazt a mennyiséget jelentik:

$$K=B.$$

Nem két különböző acélállandóról van szó. Az eltérés akkor válik jelentőssé, amikor egy tankönyv a $K$ jelet a térfogati modulusra használja, egy másik szakterület pedig $K$-val jelöl egy merevségi mátrixot, egy hővezetési együtthatót vagy egy feszültségintenzitással kapcsolatos mennyiséget. Az értelmezést mindig a környező definíciónak kell meghatároznia.

Végül ezek az összefüggések rugalmas állandókat írnak le, nem pedig minden, üzemi körülmények között mért merevséget. A hőmérsékletfüggő adatok, a fázisátalakulások, a mágneses hatások, a textúra, a maradó feszültség és a frekvencia módosíthatják a mért választ. A National Bureau of Standards Fe-5Cr-26Mn ausztenites acélról szóló, 1981-es jelentése például a rugalmas állandókat 76–400 K között, hossz- és keresztirányú módusú hangsebességekből határozta meg. Már ez a hőmérséklet-tartomány is megmutatja, miért nem képviselhet egyetlen, minősítés nélküli modulusérték minden körülményt. Az egyenletek biztosítják az átszámítási keretet; a vizsgálati állapot határozza meg, hogy mely értékek illeszthetők bele.

Egykristályok rugalmassága, az acél kristálytan és a polikristályos átlagok

Az acél nem minden szerkezeti léptékben rugalmas ugyanabban a matematikai értelemben. Egy egyedi kristály tulajdonságai a rácsirányokhoz kötődnek, míg egy mérnöki acéltermék rendszerint számos, eltérő orientációjú szemcsét, fázist, hibát és maradó feszültséget tartalmaz. A második esetben mért modulus úgy történő kezelése, mintha az az első esetben univerzális tulajdonság lenne, félrevezető számításhoz vezethet.

A megkülönböztetés a kristályszimmetriával kezdődik. A ferrites acélok térközepes köbös (BCC) kristályszerkezetűek, az ausztenites acélok lapközepes köbös (FCC) szerkezetűek, a martenzitet pedig általában térközepes tetragonális szerkezetűként írják le, bár tetragonalitása a széntartalomtól és a megeresztés előzményeitől függ. Ezek a szerkezetek nem azonos módon viselik a rugalmas alakváltozást minden kristálytani irányban. Egy polikristály csak akkor mutathat közelítőleg izotróp viselkedést, ha számos szemcse irányfüggő válaszát átlagoljuk.

Rugalmas merevségi tenzorok köbös kristályokban

A lineáris rugalmasságtan a feszültséget egy negyedrendű merevségi tenzoron keresztül kapcsolja össze az alakváltozással:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=C_{\mathrm{ijkl}}{\epsilon }_{\mathrm{kl}}.$$

A tenzor a $C_{\mathrm{ijkl}}$ rugalmas merevségi állandókat tartalmazza, míg inverze az $S_{\mathrm{ijkl}}$ rugalmas engedékenységi állandókat. A kristályszimmetria csökkenti a független tagok számát. Egy teljesen általános anizotrop szilárd testhez 21 független rugalmas állandóra lehet szükség, egy köbös kristályhoz azonban csak háromra: $C_{11}$, $C_{12}$ és $C_{44}$.

A kontrahált mátrixos jelölésben a köbös merevségi mátrix:

\[ \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2\\ \sigma_3\\ \sigma_4\\ \sigma_5\\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\ 0&0&0&C_{44}&0&0\\ 0&0&0&0&C_{44}&0\\ 0&0&0&0&0&C_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \varepsilon_3\\ \varepsilon_4\\ \varepsilon_5\\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}. \]

A három állandónak eltérő szerepe van. A $C_{11}$ egy köbös tengely mentén fellépő normálfeszültségre adott választ írja le, a $C_{12}$ a merőleges tengelyek közötti normálirányú alakváltozást kapcsolja össze, a $C_{44}$ pedig egy fő kristálytani síkon fellépő nyírási választ jellemzi. Ezek merevségi állandók, nem pedig a Young-modulus vagy a nyírási modulus egymással felcserélhető változatai.

A köbös kristályok anizotrópiájának hasznos jellemzője a Zener-hányados:

$$A=\frac{2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}.$$

Ha $A=1$, akkor a köbös kristály rugalmas válasza irányfüggési szempontból megegyezik egy izotróp szilárd testéval. Az ettől eltérő értékek orientációfüggést jeleznek. A hányados önmagában nem adja meg egy acéltermék modulusát; a kristály rugalmas szimmetriáját írja le, ha a vonatkozó egykristályos állandókat megmérték vagy kiszámították.

Az 1982-ben kiadott NIST-egykristályos fejezet bemutatja, hogyan alakíthatók át ezek a merevségi adatok köbös és hexagonális anyagok aggregált tulajdonságaivá. Köbös kristály esetén az egyenletes hidrosztatikus alakváltozáshoz kapcsolódó térfogati modulus:

$$B=\frac{C_{11}+2C_{12}}{3}.$$

Ez összhangban áll a NIST által megadott termodinamikai definícióval:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Az egykristály nyírási modulusa és Young-modulusa továbbra is irányfüggő, még akkor is, ha egy köbös kristály hidrosztatikus térfogati válaszát a szimmetria korlátozza. Egy olyan irányban, mint a $\left[100\right]$, $\left[110\right]$ vagy $\left[111\right]$, eltérő húzási modulus adódhat, mivel az alkalmazott feszültség eltérő módon vetül a rácsra.

Az izotróp anyagok esetében csak két rugalmas állandó független, ahogyan azt a Springer Szilárd testek rugalmassága című, 2020-as fejezete ismerteti. A Sandia Sierra-dokumentációja a kapcsolódó izotróp paraméterkészletként felsorolja a Young-modulust $E$, a Poisson-tényezőt $\nu$, a térfogati modulust $K$, a nyírási modulust $G$, a Lamé-féle első paramétert $\lambda$, valamint a $2\mu$ mennyiséget; bármely két megfelelő elem meghatározza a többit. Ez a redukció nem alkalmazható egy kristályra pusztán azért, mert a kristály kicsi, vagy mert alakváltozása rugalmas marad. Ez az izotróp szimmetriából következik.

Textúra és irányfüggő modulus

A kristályorientációt rendszerint a kristálytani irány és sík próbatest-tengelyekhez viszonyított helyzetével fejezik ki. Egy polikristályos lemezben az orientációs eloszlásfüggvény rögzíti, hogyan oszlanak meg a szemcseorientációk. A textúra akkor alakul ki, amikor a feldolgozás bizonyos rácsforgásokat részesít előnyben, különösen hengerlés, újrakristályosodás és az azt követő fázisátalakulás során.

Ezért a hengerlés irányában mért húzási modulusnak nem kell megegyeznie a hengerlésre merőleges irányban vagy a lemez vastagságának irányában mért modulussal. A különbség a szemcsék válaszainak orientációval súlyozott összegzéséből ered, nem pedig egy új, független „hengerlési irányú Young-modulusból”, amely felváltaná az alapul szolgáló merevségi tenzort. Egy végeselemes modell ezt a viselkedést úgy írhatja le, hogy anizotrop merevségi tenzort rendel az anyagkoordinátákhoz, vagy kristályszintű tulajdonságokat rendel számos orientációhoz.

A hengerelt kis széntartalmú acél, a ferrites rozsdamentes acél és a fázisátalakulással feldolgozott lemez a deformáció és az újrakristályosodás következtében textúrát mutathat. A kovácsolt acélban irányfüggő szemcsefolyás és textúra alakulhat ki a kovácsolási tengely körül. Az öntött acél orientációeloszlása gyakran változatosabb, de a megszilárdulás így is oszlopos szemcséket, szegregációt, fázisgradienseket vagy preferált orientációkat eredményezhet. E feldolgozási eljárások egyike sem garantál sem izotrópiát, sem az anizotrópia meghatározott mértékét.

Az additív módon gyártott acél újabb orientációs problémát jelent. A rétegenként ismétlődő hőciklusok a felépítés irányával párhuzamosan orientált oszlopos szemcséket hozhatnak létre, miközben a pásztázási stratégia, az olvadékfürdő geometriája, az újramelegítés és a hőkezelés módosítja az orientációeloszlást és a fázisösszetételt. Következésképpen a felépítés irányával párhuzamosan mért modulus eltérhet a rá merőleges irányban mért értéktől. A közölt értékhez meg kell adni az irányt, a próbatest helyét, a hőkezelést, a porozitást és a vizsgálati módszert.

A textúra a Poisson-tényezőt és a nyírási modulust is befolyásolja. Egy húzóvizsgálat tengelyirányú alakváltozási választ adhat meg, míg egy rezonanciaalapú módszer több dinamikus állandót következtet ki a rezgési módusokból. Az ASTM E1875-20a előírja a dinamikus Young-modulus, a nyírási modulus és a Poisson-tényező meghatározását „hangrezonancia alapján”. Ezek a dinamikus értékek nem feltétlenül azonosak a lassú húzóvizsgálatból származó statikus értékekkel, különösen akkor, ha a csillapítás, a mikrorepedések, a porozitás, a hőmérséklet vagy a frekvencia befolyásolja a választ.

Közelítőleg izotróp polikristályos becslések

Ha a szemcseorientációk kellően szétszórtak, az irányfüggő különbségek próbatestléptékben kis értékre átlagolódhatnak. A mérnökök ilyenkor az aggregátumot közelítőleg izotrópnak írják le: nem tökéletesen izotróp minden szemcsében vagy lokális térfogatban, de a tervezett számításhoz megfelelően ábrázolható izotróp állandókkal. A kifejezés fontos. Közelítést jelöl, nem pedig azt az állítást, hogy minden kristálytani anizotrópia eltűnt.

A polikristályos becslések egykristályos merevségi vagy engedékenységi adatokból, korlátok és átlagolási sémák alkalmazásával képezhetők. A Voigt-becslés a szemcsék közötti egyenletes alakváltozást feltételez, míg a Reuss-becslés egyenletes feszültséget feltételez. Előrejelzéseik általában eltérnek, mivel egyik feltétel sem ír le pontosan minden heterogén aggregátumot. A Hill-becslést, amelyet rendszerint a Voigt- és Reuss-eredmények számtani középértékeként vesznek, gyakran gyakorlati köztes közelítésként alkalmazzák. Ezekhez a becslésekhez meg kell adni a kristályszimmetriát, az orientációeloszlást és a fázisösszetételt.

Egy közelítőleg izotróp aggregátum esetében az így kapott $E$, $G$, $B$ és $\nu$ értékekre a jól ismert izotróp összefüggések érvényesek:

$$E=2G(1+\nu ),$$

$$E=3B(1-2\nu ),$$

valamint

$$E=\frac{9\mathrm{BG}}{3B+G}.$$

Ezért két független aggregált állandó kiválasztása után a többi levezethető. Egy referencia-táblázat a rozsdamentes acél hozzávetőleges térfogati modulusaként 163 GPa értéket adhat meg, ahogyan azt az Engineering ToolBox tette 2024-ben, ez az érték azonban másodlagos becslés, nem pedig minden rozsdamentesacél-minőségre, hőmérsékletre, termékformára, fázisarányra vagy mérési módszerre érvényes univerzális érték.

A Fe-5Cr-26Mn ausztenites acélról szóló National Bureau of Standards-jelentés közvetlenül szemlélteti a mérés kérdését: a rugalmas állandókat 76–400 K között, hosszanti és transzverzális módusú hangsebességek alapján határozták meg. A hőmérséklet módosítja a rácstávolságot, a fázisstabilitást, a hibák mobilitását és a hullámterjedési sebességet, ezért a kapott állandók meghatározott vizsgálati feltételekre vonatkoznak. Tervezési célokra megfelelő lehet egy közelítőleg izotróp paraméterkészlet gyengén textúrált öntött vagy izzított termék esetében. Erősen hengerelt lemezhez, kovácsolt alkatrészhez, hegesztéshez vagy additív módon gyártott darabhoz azonban ehelyett irányfüggő adatokra lehet szükség. A helyes modulus ezért nem egyszerűen az acélminőséghez hozzárendelt szám; hanem a deformációs módhoz, az orientációhoz, a hőmérséklethez, a mikroszerkezethez és a vizsgálati módszerhez tartozó érték.

Az acél rugalmas állandóinak mérése

Az acél rugalmas állandóit vagy az erő–elmozdulás válaszból, vagy a mechanikai hullámok terjedéséből és rezonanciájából határozzák meg. Ezek a megközelítések nem mindig eredményeznek azonos számszerű modulusértéket. A szakítóvizsgálat egy adott terhelési sebesség mellett, közel statikus meredekséget rögzít, míg a hang- és ultrahangos módszerek nagyfrekvenciás, kis amplitúdójú választ mérnek. A hőmérséklet, a szemcseszerkezet, a kristálytani textúra, a porozitás, a fázisösszetétel, a maradó feszültség, a próbatest geometriája és a mérési mód definíciója egyaránt befolyásolhatja az eredményt.

Izotróp, lineárisan rugalmas szilárd test esetében csak két rugalmas állandó független. A Young-modulus $E$, a nyírási modulus $G$, a térfogati modulus $K$ vagy $B$, a Poisson-tényező $\nu$, a Lamé-féle első paraméter $\lambda$, valamint a $2\mu$ ugyanazon konstitutív válasz egymással összefüggő jellemzőit írják le; a Sandia National Laboratories felsorolja ezt a készletet, és kijelenti, hogy $E$ és $\nu$ meghatározza a többi mennyiséget. A mérési módszer ezért akkor is fontos, ha a jelentett mennyiségek megszokott elnevezéseket viselnek. A Young-modulus a tengelyirányú megnyúlást, a térfogati modulus a hidrosztatikus nyomás alatti térfogatváltozást, a nyírási modulus pedig a szögtorzulást írja le.

Mechanikai szakító- és nyomóvizsgálati módszerek

A hagyományos szakítóvizsgálati módszer a statikus vagy kvázistatikus Young-modulust a feszültség–alakváltozás görbe kezdeti lineáris szakaszának meredekségéből határozza meg:

$$E=\frac{d\sigma }{d\epsilon }.$$

Egy megmunkált acél próbatestet húzásnak vetnek alá, miközben egy extenzométer, nyúlásmérő bélyeg vagy optikai rendszer méri a tengelyirányú alakváltozást. A hasznos meredekséget még a képlékenység, a Lüders-alakváltozás, a repedés vagy más nemlineáris viselkedés megjelenése előtt határozzák meg. A kiválasztott alakváltozási intervallumot meg kell adni, mivel a linearitástól való kis eltérések, a vizsgálógép megfelelősége, a befogási és felfekvési hatások, valamint az alakváltozás-felbontás korlátai módosíthatják az illesztett értéket.

A szakítóvizsgálat a Poisson-tényező meghatározására is alkalmas az egyidejű keresztirányú alakváltozás mérésével:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}.$$

A tengelyirányú és keresztirányú méréseket szinkronizálni kell, és ugyanabban a rugalmas tartományban kell elvégezni. Ha $E$ és $\nu$ ismert, az izotróp összefüggések alapján:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

és

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Ezek a számított értékek nem jelentik a nyírási vagy térfogati merevség külön mérését. Öröklik az eredeti szakítóvizsgálati adatok hőmérséklet-, alakváltozási sebesség-, textúra- és vizsgálati irány szerinti függését.

A nyomóvizsgálat egy másik lehetőséget kínál a tengelyirányú modulus meghatározására, de eltérő hibaforrásokat vezet be. A próbatestnek elég rövidnek kell lennie a kihajlás elkerüléséhez, ugyanakkor elég hosszúnak ahhoz, hogy mérhető elmozdulást biztosítson. A végek közötti súrlódás korlátozhatja a keresztirányú tágulást, és hordós alakú próbatestet eredményezhet, ezért a mért erő–elmozdulás meredeksége a súrlódás és a nyomólapok beállításának hatásait is tartalmazhatja. A kenés, a végek párhuzamossága, a felületi minőség, a nyomólapok merevsége, valamint a próbatest magasságának és átmérőjének aránya mind fontos. Az extenzométereknek vagy elmozdulásérzékelőknek a próbatest mérési hosszán bekövetkező alakváltozást kell mérniük, nem pedig kizárólag a keresztszán elmozdulására szabad hagyatkozni.

A hidrosztatikus összenyomás elvileg közelebb áll a térfogati modulus közvetlen méréséhez, mivel minden irányban nyomást fejt ki, és követi a térfogatváltozást:

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Ez a National Institute of Standards and Technology által 1982-ben megadott termodinamikai definíció. A szokásos egytengelyű nyomás nem hidrosztatikus összenyomás; az axiális és a laterális alakváltozást egyaránt magában foglalja, ezért nem méri közvetlenül a $K$ értékét. A közvetlen térfogatimodulus-méréshez nyomástartó edényekre, pontos térfogat- vagy alakváltozásmérésre, nyomáskalibrálásra és a hőmérséklet szabályozására van szükség. A legtöbb szerkezeti acél jellemzésekor a $K$ értékét ehelyett függetlenül mért $E$ és $\nu$ alapján számítják ki, vagy a hangsebességekből határozzák meg.

A statikus mechanikai meredekségek különösen érzékenyek a vizsgálati sebességre és a próbatest állapotára. Egy polírozott, feszültségmentesített rúdon, szobahőmérsékleten végzett szakítóvizsgálat eredménye nem tekinthető automatikusan egy texturált hengerelt lemez, egy hegesztési fém vagy egy kétfázisú, hőkezelt termék modulusának. Köbös egykristályban a merevség a kristálytani iránytól függően változik. A polikristályos aggregátum közel izotrópnak tűnhet, ha a szemcsék véletlenszerűen orientáltak, azonban a hengerlési vagy dermedési textúra irányfüggő modulusokat eredményezhet.

Hangrezonancia az ASTM E1875-20a szerint

Az ASTM E1875-20a olyan megnevezett szabvány, amely a dinamikus Young-modulus, a nyírási modulus és a Poisson-tényező „hangrezonancia alapján” történő meghatározására szolgál. Hosszú, lassú erő–alakváltozás meredekségének mérése helyett a módszer gerjeszti a próbatestet, majd meghatározza annak sajátrezgési frekvenciáit. A rezonanciafrekvencia a rugalmas merevségtől, a tömegsűrűségtől, a próbatest méreteitől és a módusalaktól függ.

A próbatestet olyan módon támasztják alá, amely megközelíti a szabad peremfeltételt; rendszerint a csomóponti tartományok közelében helyezik el a támaszokat, hogy azok a lehető legkevesebb rezgési energiát vonják el. Egy gerjesztő rezgést kelt, egy mikrofon, gyorsulásérzékelő, lézeres műszer vagy más érzékelő pedig rögzíti a választ. A rezonanciafrekvenciát éles amplitúdómaximum, fázisváltozás vagy frekvenciaválasz-csúcs alapján azonosítják. A mért frekvenciát a megfelelő hajlítási, torziós vagy longitudinális módushoz kell rendelni; a szomszédos módusok összetévesztése hihető, de hibás modulusértéket eredményezhet.

Ezért a próbatest hossza, szélessége, vastagsága, tömege és sűrűsége alapvető bemeneti adatok. A méreteket akkor kell a vizsgálati hőmérsékleten megmérni, amikor a hőtágulás jelentős, vagy a szobahőmérsékleten mért méreteket megfelelő hőtágulási együtthatóval korrigálni kell. A sűrűségnek a tényleges próbatestre kell vonatkoznia, nem pedig egy feltételezett kézikönyvi értékre, különösen öntött acél, porózus anyag, részecskeszerű zárványok vagy többfázisú mikroszerkezet esetén. Az ASTM E1875-20a figyelembe veszi a próbatest geometriáját és a rezonanciaegyenleteket, nem kezel minden mintát végtelen rúdként. A végi peremfeltételek, a támaszok helye, a karcsúsági arány, a csillapítás és a geometriai korrekciók befolyásolják a számított dinamikus állandókat.

A torziós rezonancia elsősorban nyírási információt szolgáltat, míg a hajlítási vagy longitudinális rezonancia a tengelyirányú merevséghez kapcsolódó modulust ad. A dinamikus $E$ és $G$ értékek kombinálásával kiszámítható:

$$\nu =\frac{E}{2G}-1,$$

feltéve, hogy az izotróp, lineárisan rugalmas közelítés megfelelő. Az így kapott Poisson-tényező a vizsgálati frekvencián érvényes dinamikus érték. Nem szabad úgy bemutatni, mint minden frekvenciától és hőmérséklettől független, univerzális anyagminőségi állandót.

A hőmérséklet szabályozása a mérés része, nem utólagos szempont. A kemencének vagy klímakamrának a próbatestet stabil, ismert hőmérsékletre kell hoznia, a rezonancia azonosításakor pedig figyelembe kell venni a hőtágulást, a változó sűrűséget és a merevség hőmérsékletfüggését. Az a frekvencia, amelyet a még felmelegedő próbatesten mérnek, nem képvisel jól meghatározott rugalmas állapotot. A peremfeltételek is változnak a hőmérséklettel, ha a támaszok kitágulnak, meglágyulnak, elcsúsznak vagy módosítják az érintkezési nyomást.

Longitudinális és transzverzális hangsebességek

Az ultrahangos mérések a rugalmas állandókat a hullámsebességekből határozzák meg. A longitudinális hullám részecskemozgása párhuzamos a terjedés irányával; a transzverzális vagy nyíróhullám részecskemozgása merőleges arra. Homogén, izotróp szilárd testben, $\rho$ sűrűség mellett, az ideális összefüggések:

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}$$

és

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}.$$

Így:

$$G=\rho v_T^2,$$

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_T^2),$$

és

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

A Poisson-tényező ezután meghatározható $E$ és $G$ alapján, vagy közvetlenül a sebességek arányából ugyanazon izotróp feltevés mellett. Ezek az egyenletek egyszerűek, a mérések azonban nem azok. A terjedési távolságot pontosan kell ismerni, a visszhangokat helyesen kell azonosítani, a jeladónak pedig a kívánt polarizációt kell létrehoznia és érzékelnie. A látszólagos longitudinális érkezés móduskonverziót, felületi hullámokat, visszaverődéseket vagy diszperziót is tartalmazhat.

A National Bureau of Standards egy 1981-ben közzétett jelentésében longitudinális és transzverzális módusú hangsebességeket használt a Fe-5Cr-26Mn ausztenites acél rugalmas állandóinak meghatározására 76–400 K között. Ez a hőmérséklet-tartomány fontos: azt mutatja, hogy a rugalmas állandók a termikus állapot mérési függvényei, nem pedig az ötvözet megnevezéséhez kapcsolt rögzített címkék. A jelentés eljárása szabályozott hőmérsékleten, ismert sűrűségen, meghatározott próbatest-geometrián és mindkét hullámmódus megbízható azonosításán alapult. Ha szobahőmérsékleti egyenleteket alkalmazunk kriogén vagy emelt hőmérsékleten e mennyiségek frissítése nélkül, az elfedheti a tényleges hőmérsékletfüggést.

A Mérnöki eszköztár hozzávetőlegesen 163 GPa értékű térfogati modulust ad meg rozsdamentes acélra. Limited evidence

Ugyanez az óvatosság érvényes a mérnöki referencia-táblázatokra is. Az Engineering ToolBox a rozsdamentes acél térfogati modulusára hozzávetőlegesen 163 GPa értéket ad meg, ez azonban másodlagos referenciaérték, nem pedig minden rozsdamentesacél-minőségre, termékformára, textúrára, fázisarányra, hőmérsékletre vagy vizsgálati módszerre érvényes univerzális érték. Az ausztenites Fe-5Cr-26Mn mért dinamikus értéke, egy ferrites anyagminőség szakítópróbatestéből származó statikus érték, valamint az $E$ és $\nu$ alapján kikövetkeztetett számított érték eltérő kísérleti kérdésekre ad választ. Ezért a módszer, a próbatest méretei, a sűrűség, a hőmérséklet, a rezonancia- vagy hullámmódus, valamint a peremfeltételek közlése legalább olyan fontos, mint magának a modulusnak a jelentése.

A hőmérséklet, a fázis, az összetétel és a feldolgozás hatásai

Az acél rugalmas állandói nem olyan, egy anyagminőséghez véglegesen hozzárendelt, változatlan értékek. Egy anyagállapotot, egy deformációs módot és egy mérési feltételt írnak le. A hőmérséklet, a fázisösszetétel, a kémiai összetétel, a kristálytani textúra, a porozitás, a zárványok, a maradó feszültség és a hőelőélet egyaránt megváltoztathatják a mért választ. A szilárdság egy átalakulás vagy hőkezelési megeresztés során akár több száz százalékkal is változhat, miközben a Young-modulus ennél jóval kisebb mértékben módosul; a „kisebb mértékű” változás azonban nem jelent elhanyagolhatót precíziós elemzés esetén.

Izotróp, lineárisan rugalmas szilárd test esetében mindössze két rugalmas állandó független. A Young-modulus $E$, a nyírási modulus $G$, a térfogati modulus $K$ vagy $B$, a Poisson-tényező $\nu$, a Lamé-féle első paraméter $\lambda$ és a $2\mu$ egymással összefüggő mennyiségek, amint azt a Springer Szilárd testek rugalmassága című műve és a Sandia National Laboratories Sierra-dokumentációja ismerteti. Ha a hőmérséklet vagy a mikrostruktúra megváltoztat egy független állandót, akkor a belőle számított többi állandót is következetesen frissíteni kell. Ezért egy megadott modulushoz hozzá kell rendelni a hőmérsékletet, a termékállapotot, az irányt és a vizsgálati módszert.

A rugalmas állandók hőmérsékletfüggése

A rugalmas merevség általában csökken a hőmérséklet emelkedésével. Az atomok rezgései fokozódnak, az atomközi kötések kevésbé állnak ellen a kis elmozdulásoknak, a hőtágulás pedig megváltoztatja az atomok közötti egyensúlyi távolságot. Egyetlen fázison belül a hatás gyakran fokozatos, bár a mágneses átalakulások, a helyreállás, az újrakristályosodás és a fázisátalakulások élesebb változásokat is előidézhetnek. Egy átalakulási hőmérséklet közelében egyetlen szobahőmérsékleti érték különösen rosszul helyettesít egy hőmérsékletfüggő anyagmodellt.

A National Bureau of Standards Fe-5Cr-26Mn ausztenites acélról szóló jelentése hasznos példát nyújt. Az 1981-ben közzétett vizsgálat 76 és 400 K között határozta meg a rugalmas állandókat longitudinális és transzverzális módusú hangsebességek alapján. Ez dinamikus mérés: a hullámsebességek adják a longitudinális és a nyírási merevséget, amelyekből a kapcsolódó állandók kiszámíthatók. Az eredmény azt mutatja, hogy még a vizsgálati intervallumban ausztenites állapotban megmaradó acél sem rendelkezik egyetlen, hőmérséklettől független rugalmasállandó-készlettel. A hőmérséklet-tartomány a kriogén körülményektől a szobahőmérséklet feletti tartományig terjed, ezért a mért értékek egy görbét, nem pedig egyetlen anyagminőségi jellemzőt írnak le.

Itt fontos különbséget tenni a szilárdság és a merevség között. A folyáshatár alacsony hőmérsékleten jelentősen növekedhet, mivel a diszlokációk mozgása nehezebbé válik, miközben a rugalmas meredekség kevésbé drámai módon változik. Ezzel szemben az $E$ kis mértékű változása is módosíthatja az előre jelzett lehajlást, kihajlási terhelést, kontaktusnyomást vagy a termikus feszültségek megoszlását. A képlékeny szilárdság és a rugalmas merevség eltérő kérdésekre ad választ. Egy acél sokkal szilárdabbá válhat anélkül, hogy arányosan merevebbé válna.

A dinamikus és a statikus vizsgálatok eltérő megadott értékeket is eredményezhetnek. Az ASTM E1875-20a szabvány a dinamikus Young-modulus, a nyírási modulus és a Poisson-tényező hangrezonancia útján történő meghatározását írja elő. A rezonanciavizsgálatok kis alakváltozás és nagy frekvencia mellett működnek, míg a húzóvizsgálat statikus vagy kvázisztatikus meredekséget határoz meg egy előírt alakváltozási intervallumon belül. A mikroplaszticitás, az anelaszticitás, a műszer deformálhatósága, a próbatest geometriája, a felület állapota és a frekvencia befolyásolhatja az összehasonlítást. Egyik eredményt sem szabad a másikkal általánosan felcserélhetőnek tekinteni.

A térfogati modulus sajátos fizikai jelentéssel bír: a térfogati összenyomással szembeni ellenállást méri. A NIST termodinamikai értelemben $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$ alakban definiálja. Az Engineering ToolBox rozsdamentes acélra körülbelül 163 GPa értékű térfogati modulust ad meg, ez azonban másodlagos referenciaérték, nem pedig minden rozsdamentesacél-anyagminőségre, hőmérsékletre, termékformára, fázisösszetételre vagy vizsgálati feltételre érvényes egyetemes érték. Ugyanez az óvatosság szükséges a táblázatokban szereplő $E$, $G$ és $\nu$ értékek esetén is.

Ausztenit, ferrit, martenzit és többfázisú acélok

A fázisösszetétel azért befolyásolja a rugalmas választ, mert minden fázisnak saját kristályszerkezete, kémiai összetétele, rácsparamétere, mágneses állapota, hibaállománya és egykristályos merevségi tenzora van. A ferrit térközepes köbös, az ausztenit lapközepes köbös szerkezetű, a martenzit pedig általában térközepes tetragonális vagy erősen torzult térközepes szerkezetű, amikor a szén számottevő tetragonalitást hoz létre. Ezek az elnevezések nem határoznak meg egyetlen, egyértelmű modulust. A széntartalom, a helyettesítéses ötvözés, a rendezettség, a diszlokációsűrűség és a visszamaradt hibák módosítják az egyes fázisok merevségét.

Az ausztenites acélok egyértelműen figyelmeztetnek az általános „ausztenitmodulus” hozzárendelésének veszélyére. A Fe-5Cr-26Mn vizsgálat egy meghatározott kémiai összetételű anyagot és hőmérséklet-tartományt vizsgált, nem pedig minden Fe-Cr-Mn ötvözetet vagy minden ausztenitesként leírt acélt. A mangán és a króm befolyásolja a rácsstabilitást és a mágneses viselkedést, miközben a hőmérséklet akkor is megváltoztathatja a mágneses rendezettséget, ha a kristályszerkezet ausztenites marad. Az ilyen változások hatással vannak az atomközi erőkre, ezáltal a rugalmas állandókra is.

A ferrites acélok rugalmas viselkedése hőmérsékletfüggő lehet ferromágneses állapotukkal és a paramágnesesség felé történő átmenetükkel összefüggésben. A változásnak nem kell egybeesnie látható fázisátalakulással. A martenzites acélok további összetettséget jelentenek: az edzés túltelítettséget, nagy diszlokációsűrűséget, belső feszültségeket és gyakran széntartalom-függő tetragonalitást hoz létre. A megeresztés ezt követően karbidkiválást, helyreállást és a szén újraeloszlását idézi elő. A megeresztés után mért rugalmas válasz ezért nem egyszerűen egy ideális martenzitkristály válasza.

A többfázisú acélok értelmezéséhez effektív tulajdonságokra vonatkozó megközelítés szükséges. Ferrites-martenzites, kétfázisú, bainites vagy visszamaradt ausztenitet tartalmazó acélok esetében a látszólagos modulus a fázisarányokat, a fázisok kapcsolódását, a kristálytani orientációt, a határfelületeket, a porozitást, valamint a vizsgálati térfogat irányát és méretskáláját tükrözi. A keverékszabály szerinti becslés első közelítésként használható, a helyi kényszerhatás miatt azonban a fázisok nem mind ugyanazt az alakváltozást vagy feszültséget viselik. A ferritbe ágyazott merev martenzites tartomány a terhelésátadás révén módosíthatja a mért meredekséget, miközben a visszamaradt ausztenit a terhelés során átalakulhat, és a választ eltérítheti a lineáris rugalmasságtól.

Egykristályos szinten a köbös és a hexagonális kristályok merevsége irányfüggő. A polikristályos acél csak akkor közelíti meg az izotrópiát, ha a szemcseorientációk kellően véletlenszerűek, és a próbatest elegendő számú szemet tartalmaz az átlagoláshoz. A hengerelt lemez, szalag és rúd megőrizheti a textúrát, ami eltérő longitudinális, transzverzális és lemezvastagság-irányú modulusokat eredményezhet. Ilyen esetben egyetlen izotróp $E$ és egyetlen izotróp $G$ kényszerített alkalmazása elrejtheti a valós irányfüggő választ.

Öntés, hengerlés, hőkezelés és maradó feszültség

A feldolgozás mind a fázisok belső tulajdonságait, mind a gyártott test effektív merevségét megváltoztatja. Az öntött acél zsugorodási porozitást, gázpórusokat, oxidfilmeket, szegregációt, dendrites szerkezetet, zárványokat, valamint durva vagy nem egyenletes szemcséket tartalmazhat. Már a kapcsolódó porozitás kis térfogathányada is nagyobb mértékben csökkentheti az effektív modulust, mint amit a teljesen tömör acélra vonatkozó kézikönyvi érték sugallna. A zárványok a mátrixhoz képest lehetnek merevek vagy deformálhatók, a rosszul kötődő zárványok pedig dinamikus vagy statikus vizsgálat során feszültségkoncentrátorként vagy repedésszerű hibaként viselkedhetnek.

A hengerlés finomítja és megnyújtja a szemcséket, feldarabolja az öntött szerkezetet, és kristálytani textúrát hoz létre. Az így kialakuló rugalmas anizotrópia egyes termékeknél mérsékelt, másoknál jelentős lehet. Fontos a redukciós ütemezés, a hengerlési hőmérséklet, az újrakristályosodás és a végső vastagság is. A hengerlési irányban mért modulust nem szabad automatikusan a keresztirányhoz vagy a normálirányhoz rendelni.

A hőkezelés módosítja a fázisarányokat, a szemcseméretet, a diszlokációsűrűséget, a kiválásokat, a karbidmorfológiát és a visszamaradt feszültséget. A normalizálás finomíthatja a ferrit-perlites szerkezetet; az edzés martenzitet és maradó feszültséget hozhat létre; a megeresztés e feszültség egy részét csökkenti, miközben módosítja a kiválást és a helyreállást. A lágyítás az újrakristályosodás révén csökkentheti a diszlokációsűrűséget és a textúrához kapcsolódó hatásokat. Ezek a kezelések jelentős változásokat eredményezhetnek a folyáshatárban és a szívósságban, miközben a kis alakváltozásokhoz tartozó modulus viszonylag közel marad a korábbi értékéhez; a mért effektív modulus azonban a hibák, a fázisátalakulás vagy a textúra miatt továbbra is eltolódhat.

A maradó feszültség külön tárgyalást érdemel. Egy önkiegyensúlyozó feszültségmező nem feltétlenül változtatja meg egy hibátlan, homogén, lineárisan rugalmas kristály ideális érintőmodulusát. Azt azonban megváltoztathatja, amit a kísérlet rögzít. A maradó feszültség módosítja a hullámterjedést, a próbatest görbületét, a kontaktusfeltételeket, a repedészáródást és a mikroplaszticitás kezdetét. Húzóvizsgálat során a kezdeti látszólagos meredekséget befolyásolhatja a kiegyenesedés, a befogópofák beállítása, a feszültség újraeloszlása vagy a megmunkálási feszültségek hiányos eltávolítása. Rezonanciavizsgálat során a feszültség és az anizotrópia eltolhatja a sajátfrekvenciákat.

Következésképpen egy védhető acélmodulus-meghatározás megadja a fázisállapotot, a termikus állapotot, a termék irányát, a sűrűségi vagy hibafeltételt, valamint a mérési módszert. A szám az így definiált állapot tulajdonsága — nem pedig az anyagminőség állandó, végleges jellemzője.

Acélminőség-jelölések és felelősen összeállított anyagtulajdonság-táblázatok

Az acéljelölés egy összetételt, termékosztályt vagy specifikációs követelményt azonosít; önmagában azonban nem ad teljes adatokat a rugalmas tulajdonságokról. A „304 stainless steel”, az „AISI 1045” és az „ASTM A572 Grade 50” hasznos anyaghivatkozások, de önmagában egyik megnevezés sem határozza meg a termék alakját, hőtörténetét, kristálytani textúráját, a vizsgálati hőmérsékletet vagy a rugalmassági modulus meghatározásához alkalmazott módszert.

Ez a megkülönböztetés azért fontos, mert az izotróp lineáris rugalmasságtannak csupán két független állandója van. A mérnöki gyakorlatban általában megadott mennyiségek közé tartozik a Young-modulus $E$, a Poisson-tényező $\nu$, a térfogati modulus $K$ vagy $B$, a nyírási modulus $G$, a Lamé-féle első paraméter $\lambda$, valamint a $2\mu$. A Sandia National Laboratories megállapítása szerint az $E$ és a $\nu$ izotróp összefüggések fennállása esetén meghatározza a többi állandót. Az OpenStax eltérő fizikai jelentést rendel a fő modulusokhoz: az $E$ a húzó- vagy egytengelyű terhelésre adott választ, a $K$ a térfogati összenyomást, a $G$ pedig a nyírási deformációt írja le. Ezért egy olyan táblázat, amely négy látszólag független számértéket közöl forrásuk megjelölése nélkül, olyan pontosságot vagy függetlenséget sugallhat, amellyel az anyagmodell valójában nem rendelkezik.

Ausztenites, ferrites, martenzites és kiválásosan keményedő rozsdamentes acélok

A rozsdamentesacél-családok megnevezései a metallurgiai szerkezetet, nem pedig egyetlen univerzális rugalmas viselkedést írnak le. Az olyan ausztenites minőségeket, mint a Type 304, Type 304L, Type 316 és Type 316L, az ASTM termékszabványokban általában a vonatkozó „Type” jelöléssel, valamint adott esetben olyan UNS-számokkal azonosítják, mint UNS S30400, UNS S30403, UNS S31600 és UNS S31603. A jelölést az alkalmazandó szabványban szereplő formában kell reprodukálni. A „304L stainless” megnevezést nem szabad hallgatólagosan „304”-re módosítani, mivel a kis széntartalmú minőség eltérő összetételi követelményekkel rendelkezik, és eltérő feldolgozást kaphat.

A ferrites minőségek közé tartozik a Type 430 és a Type 409, míg a martenzites minőségek közé a Type 410, a Type 420 és a Type 440C sorolható. Ezek a megnevezések eltérő fázisstabilitású, széntartalmú, ötvözőanyag-tartalmú, keményedési reakciójú és mágneses viselkedésű családokat azonosítanak. Rugalmas tulajdonságaikat befolyásolhatja a hidegalakítás, a lágyítás, az edzés, a megeresztés, a visszamaradt ausztenit, a karbidfázisok mennyisége és eloszlása, valamint a mérés iránya. Egy kovácsolt vagy hengerelt termék nem feltétlenül viselkedik úgy, mint egy kémiailag hasonló jelölésű öntött termék.

A kiválással keményíthető rozsdamentes acélok esetében még nagyobb körültekintés szükséges. A 17-4 PH széles körben használt jelölés, de a specifikáció az anyagot UNS S17400 néven is azonosíthatja, és olyan állapotokat határozhat meg, mint a H900, a H1025 vagy a H1150. Ezek az állapotjelölések hőkezelési állapotokat jelölnek, nem pedig egymással felcserélhető minőségneveket. Egy olyan tulajdonságtáblázat, amely „17-4 PH modulus” értéket közöl az állapot megadása nélkül, az anyagleírás jelentős részét hiányosan hagyja. A mátrix, a kiválási állapot, a maradó feszültség és a korábbi alakváltozás az egyes állapotok között eltérhet, még akkor is, ha a névleges ötvözetjelölés változatlan marad.

Az ASM Steel Castings Handbook című kézikönyve a rugalmassági modulust, a Poisson-tényezőt, a nyírási modulust és a kapcsolódó fizikai tulajdonságokat acélöntvény-adatként kezeli. Ez a megközelítés fontos: egy öntött acélra vonatkozó táblázat meghatározott öntvényanyagot és vizsgálati alapot ír le, nem pedig minden olyan kovácsolt, hegesztett, additív gyártással előállított vagy hőkezelt terméket, amelynek hasonló a kémiai összetétele. Az öntvényekben szegregáció, porozitás, zárványok és helyi mikroszerkezeti eltérések fordulhatnak elő, amelyek befolyásolják a mért eredményeket és azok szórását.

A rozsdamentesacél-családok megnevezései alapján sem szabad egyetlen pontos modulust hozzárendelni. Az Engineering ToolBox oldalán a 163 GPa rozsdamentes acélra vonatkozó hozzávetőleges másodlagos referenciaérték szerepel, ez az érték azonban nem univerzális valamennyi rozsdamentesacél-minőségre, hőmérsékletre, termékformára vagy vizsgálati körülményre. Referenciabecslésről van szó, nem pedig szabványspecifikus adatlap vagy mért érték helyettesítőjéről.

Szénacél- és gyengén ötvözött acéljelölések

A szénacélok és a gyengén ötvözött acélok esetében szintén pontos jelölési gyakorlatra van szükség. Az AISI/SAE 1045 az SAE/AISI számozási rendszerében egy szénacélt azonosít; ez nem azonos az ASTM A36 jelöléssel, amely szerkezeti acélra vonatkozó termékspecifikáció. Az ASTM A572 Grade 50 az ASTM A572/A572M szabványon belüli minőséget azonosít, míg az AISI/SAE 4130 króm-molibdén ötvözött acél összetételét jelöli. Ezeket a jelöléseket nem szabad olyan informális formákban összevonni, mint például a „4130-grade A572”, kivéve, ha az irányadó specifikáció kifejezetten alátámasztja ezt a leírást.

Az európai jelölések további példát szolgáltatnak. Az S355J2 és az S355JR az EN 10025-2 szabványban használt jelölések, és az utótagok meghatározott ütővizsgálati vagy szállítási állapotra vonatkozó jelentést hordoznak. Ezek nem egyszerűen az ASTM A572 Grade 50 alternatív elnevezései. A kémiai hasonlóság nem bizonyítja a specifikációs követelmények, a termékméretek, az ellenőrzési szabályok vagy a rugalmas tulajdonságokra vonatkozó adatok egyenértékűségét.

A táblázatnak különbséget kell tennie az összetételi jelölés és a szállítási állapot között is. Az AISI/SAE 4140 szállítható lágyított, normalizált és megeresztett, edzett és megeresztett, kovácsolt vagy más meghatározott állapotban. Az ASTM A36 szerinti lemezeket, rudakat és szerkezeti szelvényeket termékspecifikáció szabályozza, mért viselkedésük azonban továbbra is függhet a vastagságtól, a hengerlési iránytól, a maradó feszültségtől és a vizsgálati módszertől. A névleges minőség határértékeket vagy követelményeket rögzít; a gyártási előzményeket nem törli el.

Ugyanez az óvatosság vonatkozik az olyan családmegnevezésekre is, mint a „mild steel”, a „tool steel”, a „high-strength low-alloy steel” és más hasonló kifejezések. Ezek tág kategóriák, nem pedig teljes értékű minőségjelölések. Egy felelősen összeállított táblázat megadja a szabványszámot, a minőséget vagy típust, az adott esetben releváns kiadást, az UNS- vagy AISI/SAE-jelölést, ha alkalmazható, a termékformát és a hőkezelési állapotot. Ha egy jelölés vállalaton belüli megnevezés, ezt annak megfelelően kell feltüntetni, nem pedig ASTM-, ASME-, SAE-, AISI-, EN- vagy UNS-jelölésként bemutatni.

Miért kell a szabványokat és a termékspecifikációkat az értékekkel együtt megadni?

A rugalmas tulajdonságok értékei csak a mérési körülmények ismeretében értelmezhetők. A táblázatnak legalább a következőket kell azonosítania:

• a termékformát: lemez, szalag, rúd, cső, huzal, kovácsdarab, hegesztési fém, poralapú eljárással gyártott alkatrész vagy öntvény;
• a hőkezelést és az állapotot, beleértve a megeresztést, az öregítést, az oldó hőkezelést vagy a kiválással keményedő állapotot;
• a vizsgálat irányát a hengerlési, kovácsolási, extrudálási vagy építési irányhoz viszonyítva;
• a hőmérsékletet és a környezeti állapotot;
• a terhelési sebességet vagy frekvenciát;
• a próbatest geometriáját és a releváns méreteket;
• a vizsgálati szabványt és annak kiadását;
• azt, hogy az eredmény statikus, kvázistatikus vagy dinamikus-e;
• a próbatestek számát, valamint – ha rendelkezésre áll – a tartományt, az átlagot és a szórást.

A statikus és a dinamikus modulusok nem cserélhetők fel automatikusan. Az ASTM E1875-20a a dinamikus Young-modulus, a nyírási modulus és a Poisson-tényező meghatározását írja elő „hangrezonancia alapján”. A rezonanciamérések hullámterjedést és rezgési frekvenciát alkalmaznak, míg a szakítóvizsgálat egy meghatározott terhelési sebesség mellett a feszültség–alakváltozás görbéből határozhatja meg a meredekséget. Mindkét módszer a rugalmas viselkedést vizsgálja, mégis eltérő közölt értékeket eredményezhetnek, mivel különböznek a frekvencia, a csillapítás, a mikroszerkezeti hibák, a műszerezés és az adatfeldolgozási eljárások.

A hőmérsékletet mindig meg kell adni, különösen kriogén vagy magas hőmérsékleten végzett munkák esetében. A National Bureau of Standards egy 1981-es jelentésében Fe-5Cr-26Mn ausztenites acél rugalmas állandóit határozta meg 76–400 K között, hosszanti és keresztirányú módusú hangsebességek alkalmazásával. Ez a tartomány jól mutatja, miért nem másolható be egy szobahőmérsékleten érvényes érték minősítés nélkül egy kriogén tervezési táblázatba. A textúra és a kristálytani anizotrópia további kérdést vet fel: a NIST egykristályos rugalmas állandókról szóló kézikönyvfejezete bemutatja, hogyan származtatható az egykristályos merevségi adatokból a közel izotróp polikristályos $E$, $G$, $B$, hosszanti modulus és $\nu$, de ezek a levezetések a kristályszerkezeti szimmetriától, a kristályorientációk eloszlásától és az átlagolási feltevésektől függenek.

Izotróp számításokhoz elegendő egy gondosan azonosított állandópár; a többi értéket a megadott egyenletekkel kell kiszámítani, vagy konzisztenciájukat ellenőrizni kell. Anizotróp, hengerelt, kovácsolt, textúrált, hegesztett vagy additív gyártással előállított acél esetében egyetlen skaláris modulus inkább közelítés lehet, mint teljes konstitutív leírás. A szabványok és a termékspecifikációk megakadályozzák, hogy egy táblázat elrejtse ezt a korlátozást. Minden számértéket meghatározott anyaghoz, állapothoz, irányhoz, hőmérséklethez és módszerhez kapcsolnak – vagyis azokhoz az információkhoz, amelyekre szükség van ahhoz, hogy az érték felelősen bekerülhessen egy tervezési számításba.

Tervezési alkalmazás: A megfelelő modulus-összefüggés kiválasztása

Egy rugalmas modulus egy adott alakváltozási módhoz tartozik. A Young-modulus $E$ az egytengelyű feszültség által létrehozott normálalakváltozást írja le; a nyírási modulus $G$ a közel állandó térfogat mellett bekövetkező torzulást jellemzi; a térfogati modulus $K$, amelyet $B$-vel is jelölnek, pedig az egyenletes összenyomással szembeni ellenállást írja le. A Poisson-tényező $\nu$ a normál- és a keresztirányú alakváltozást kapcsolja össze. Ezek a mennyiségek összefüggenek egymással, de nem felcserélhetők pusztán azért, mert mindegyiket gigapascalban adják meg, vagy mert gyakran együtt sorolják fel őket az acél esetében.

Homogén, lineáris, izotróp szilárd test esetén csak két rugalmas állandó független. A Springer Elasticity of Solids című műve ezt közvetlenül kimondja az izotróp rugalmasságról szóló, 2020-as tárgyalásában. A Sandia National Laboratories az összetartozó mennyiségek között a Young-modulust $E$, a Poisson-tényezőt $\nu$, a térfogati modulust $K$, a nyírási modulust $G$, Lamé első paraméterét $\lambda$, valamint a $2\mu$ mennyiséget sorolja fel; ezek közül $E$ és $\nu$ meghatározza a többit. Az átszámítási egyenletek ezért feltételes összefüggések, nem pedig hat egymástól független anyagtulajdonság független mérései:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$$

valamint

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

A feltevések fontosak. Ezek az egyenletek kis alakváltozásokra, lineárisan rugalmas válaszra és izotróp viselkedésre érvényesek. Egy hengerlési textúrával rendelkező acéllemez, egy hegesztési hőhatásövezet, egy irányított kristályosodást tartalmazó öntött termék vagy egy kétfázisú mikroszerkezet nem feltétlenül teljesíti kellő pontossággal az izotrópia feltételét ahhoz, hogy egyetlen átszámított érték minden terhelési irányt megfelelően jellemezzen.

Egytengelyű terhelésű szerkezeti elemek és az E

Egy egyenes húzott vagy nyomott szerkezeti elem, kötőrúd, rúd, illetve egy karcsú gerenda axiális erő alatti szakasza esetén $E$ az elsődlegesen alkalmazandó modulus. Az alapösszefüggés:

$$\sigma =E\epsilon ,$$

így egy prizmatikus szerkezeti elem rugalmas megnyúlása

$$\delta =\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AE}},$$

ahol $P$ az axiális erő, $L$ az eredeti hossz, $A$ pedig a keresztmetszeti terület. Ez a helyes kiindulópont a rugalmas megnyúlás, rövidülés és az $\mathrm{AE}/L$ axiális merevség becsléséhez.

A Poisson-tényező akkor válik fontossá, amikor a keresztirányú összehúzódás vagy a többtengelyű kényszer hatása számít. Egy szabadon megnyújtott acélrúd a következő összefüggés szerint húzódik össze keresztirányban:

$${\epsilon }_{\text{transverse}}=-\nu {\epsilon }_{\text{axial}}.$$

Teljesen kényszerített próbatest esetén azonban az axiális válasz nem írható le kizárólag $E$-vel. Mivel a keresztirányú alakváltozás nem tud kialakulni, a feszültségi állapot háromdimenzióssá válik, és a látszólagos merevség megnő. Egy ragasztott betét, egy kényszerített alátét vagy egy sajtolt illesztés végeselemes modelljének ezt a csatolást figyelembe kell vennie, nem pedig elszigetelt, egydimenziós rúdként kell kezelnie az alkatrészt.

Az $E$ értékének a mérési és az üzemi feltételekhez is illeszkednie kell. A statikus szakítóvizsgálat meredeksége, a rezonancián alapuló dinamikus modulus és az ultrahangos terjedési sebességből meghatározott modulus eltérhet egymástól a frekvencia, a hőmérséklet, a próbatest geometriája, a porozitás, a maradó feszültség és a hibák miatt. Az ASTM E1875-20a meghatározza a dinamikus Young-modulus, a nyírási modulus és a Poisson-tényező „hangrezonancia alapján” történő meghatározását. Ez a módszer nem eredményez automatikusan azonos számértéket a tervezési hőmérsékleten végzett lassú szakítóvizsgálattal.

Az acél nem minden metallurgiai állapotában ugyanaz a rugalmas anyag. A ferrites, martenzites, bainites és ausztenites szerkezetek eltérhetnek egymástól, miközben a textúra miatt a hengerlési irány és a keresztirány eltérő módon reagálhat. A National Bureau of Standards Fe-5Cr-26Mn ausztenites acélról szóló jelentése a rugalmassági állandókat a longitudinális és transzverzális módusú hangsebességek alapján határozta meg 76–400 K között. Ez a hőmérséklet-tartomány arra emlékeztet, hogy a szobahőmérséklet közelében mért rugalmas állandót nem szabad hőmérséklettől független adatként kezelni kriogén vagy emelt hőmérsékletű üzemben.

Csavarás és a G

Egy kör keresztmetszetű tengely rugalmas csavarása esetén $G$ határozza meg a csavarodási szöget:

$$\theta =\frac{\mathrm{TL}}{\mathrm{JG}},$$

ahol $T$ a nyomaték, $J$ a poláris másodrendű területnyomaték, $L$ pedig a tengely hossza. A csavarási merevség $\mathrm{JG}/L$. A kör keresztmetszetű tengelyben kialakuló kapcsolódó nyírófeszültség:

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

Ha ebben a számításban közvetlenül $E$-t alkalmazunk, hibás merevséget kapunk, kivéve, ha azt előzőleg a $\nu$ indokolható értékén keresztül átszámítottuk. Izotróp acél esetében:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Ez az átszámítás hasznos, ha csak $E$ és $\nu$ áll rendelkezésre, de nem teszi a szakítóvizsgálatot közvetlen csavarási méréssé. Egy anyag irányfüggő nyírási választ mutathat akkor is, ha az átlagolt húzómodulus elfogadhatónak tűnik.

A különbség fontossá válik vékony falú csövek, bordás tengelyek, hegesztett tengelyek és anizotrop gyártási előzményekkel rendelkező alkatrészek esetén. Általános keresztmetszetnél a csavarás vetemedést és nem egyenletes nyírási mezőt hozhat létre, ezért a Saint-Venant-féle kör keresztmetszetű tengelyre vonatkozó egyenlet önmagában nem feltétlenül elegendő. Az anyagmodell bemenő adata továbbra is egy nyírási konstitutív paraméter, de a keresztmetszeti számításnak a tényleges geometriát kell megjelenítenie.

A dinamikus nyírási adatok hasonló körültekintést igényelnek. A rezonanciaalapú módszerek egy meghatározott frekvencián és kis alakváltozási amplitúdó mellett mérik a választ. A hangvizsgálatból számított érték alkalmas lehet rezgés- vagy hullámelemzéshez, de nem feltétlenül azonos a lassú terhelésű szerkezeti számításban alkalmazott szelő- vagy érintőmerevséggel. A „dinamikus” megjelölés nem jelentéktelen címke; más kísérleti feltételt azonosít.

Hidrosztatikai, érintkezési és hullámterjedési problémák

A térfogati válasz megfelelő paramétere a $K$ vagy $B$ térfogati modulus. Hidrosztatikai nyomás alatt a nyomás a térfogatot a következő összefüggés szerint változtatja:

$$K=B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

amely a National Institute of Standards and Technology által 1982-ben megadott termodinamikai definíció. Nagy $K$ érték azt jelenti, hogy jelentős nyomás csak kis relatív térfogatváltozást idéz elő. Ez eltér az alakváltozással szembeni ellenállástól, amelyet elsősorban $G$ határoz meg.

Az Engineering ToolBox rozsdamentes acélra hozzávetőleg 163 GPa térfogati modulust ad meg. Ez az érték másodlagos becslési referenciaként használható, nem pedig minden rozsdamentesacél-minőségre, hőmérsékletre, termékformára, fázisösszetételre vagy vizsgálati módszerre érvényes univerzális értékként. Mivel $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$, a $\nu$ értékében fellépő kis hibák is észrevehető változást okozhatnak a számított térfogati modulusban, amikor $\nu$ megközelíti a 0,5-öt.

Az érintkezési számításokhoz mind a normál-, mind az érintőirányú viselkedést figyelembe kell venni. Hertz-féle érintkezés esetén két test effektív normálmodulusa általában a következőképpen írható fel:

\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}. \]

Itt nem önmagában egy adott acélminőség $E$ értéke, hanem \(E^*\) határozza meg a lokális rugalmas benyomódást. A súrlódásos csúszás és az érintőirányú tapadási feszültség $G$ és $\nu$ alkalmazását is szükségessé teszi. Az a modell, amely $K$-t helyettesít \(E^*\) helyére, matematikailag stabil maradhat és sima érintkezési nyomásokat eredményezhet, mégis helytelen alakváltozási mechanizmust reprezentálhat.

A hullámterjedési problémákban egy további kombinációt alkalmazunk. Izotróp szilárd test esetén a longitudinális hullámmodulus:

$$M=K+\frac{4G}{3},$$

a longitudinális és a nyíróhullám terjedési sebessége pedig:

\[ v_L=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}}, \qquad v_S=\sqrt{\frac{G}{\rho}}. \]

Ezért a longitudinális sebesség önmagában nem határozza meg az összes rugalmas állandót; a $K$ és $G$ szétválasztásához transzverzális hullám mérése is szükséges. Egyetlen kristályban vagy textúrált polikristályban a hullámsebesség a terjedési iránytól és a polarizációtól is függ, ezért az izotróp képletek elfedhetik a tényleges rugalmas anizotrópiát.

A háromdimenziós végeselemes formulációk általában $E$ és $\nu$, $K$ és $G$, vagy a Lamé-paraméterek $\lambda$ és $\mu$ alkalmazásával dolgoznak. A választás matematikai természetű, és nem jelenti a fizikai anyag megváltozását. Közel összenyomhatatlan anyagok esetén azonban a 0,5-höz közeli $\nu$-t használó $E$-$\nu$ formuláció térfogati reteszeléstől szenvedhet, míg a nyomást és a deviatorikus választ alkalmazó vegyes formuláció jobb teljesítményt nyújthat. Ezzel szemben a függetlenül kerekített $E$, $G$ és $K$ értékek beillesztése sértheti az izotróp átszámítási egyenleteket, és belsőleg inkonzisztens merevségi mátrixot hozhat létre.

Ez a központi tervezési kockázat: egy átszámított állandó számszerűen összhangban lehet egy egyenlettel, miközben fizikailag nem megfelelő az adott problémához, hőmérséklethez, frekvenciához, irányhoz vagy a modellezett acél mikroszerkezetéhez. Először az alakváltozási mód alapján válassza ki a modulust, majd ellenőrizze, hogy annak mérési feltételei és izotrópiára vonatkozó feltevései megfelelnek-e az alkatrésznek és az elemzésnek.

Az acél rugalmassági modulusainak számításakor előforduló gyakori hibák

Az acél modulusainak számítása gyakran azért hibás, mert eltérő fizikai jelentésű mennyiségeket felcserélhetőként kezelnek. A Young-modulus $E$, a nyírási modulus $G$, a térfogati modulus $K$ vagy $B$, valamint a Poisson-tényező $\nu$ a rugalmas alakváltozást írják le. A folyáshatár a jelentős maradó alakváltozás kezdetét jellemzi. Ezek az anyagmodell különböző részeihez tartoznak.

Izotróp, lineárisan rugalmas szilárd test esetében csak két rugalmas állandó független. A Springer Elasticity of Solids című fejezete (2020) ezt közvetlenül kimondja. A Sandia National Laboratories a kapcsolódó mennyiségek körét a Young-modulusként $E$, Poisson-tényezőként $\nu$, térfogati modulusaként $K$, nyírási modulusaként $G$, Lamé első paramétereként $\lambda$, valamint $2\mu$ formájában adja meg; $E$ és $\nu$ megadása meghatározza a többi mennyiséget. A gyakori átszámítások:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

és

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Ezek az egyenletek nem egymástól független kísérleti tények. Az izotróp, lineárisan rugalmas feltételezés következményei. Alkalmazásukhoz összeegyeztethető értékekre, következetes mértékegységekre, valamint olyan anyagállapotra van szükség, amelyre az izotrópia ésszerű közelítésnek tekinthető.

A modulus és a folyáshatár összetévesztése

A leggyakrabban előforduló hiba, hogy a nagy szilárdságú acélt azért nevezik „merevebbnek”, mert nagyobb a folyáshatára. A folyáshatár azt a feszültséget méri, amelynél egy meghatározott kritérium szerint megkezdődik a képlékeny alakváltozás; ez gyakran olyan konvencionális alakváltozás, mint a 0,2%-os érték. A Young-modulus a rugalmas feszültség–alakváltozás kapcsolat kezdeti meredekségét méri, még az átmenet előtt. Hőkezelés, hidegalakítási redukciós eljárás, kiválási reakció vagy a széntartalom megváltoztatása jelentősen növelheti a folyáshatárt anélkül, hogy a kezdeti rugalmas meredekség hasonló mértékben változna.

Ez a különbségtétel a tervezésben fontos. Üzemi terhelés alatti elmozdulást elsősorban az $E$, a geometria, a peremfeltételek és a terhelés határozza meg; a megengedett feszültség ellenőrzéséhez azonban a folyáshatárra vagy más szilárdsági határértékre is szükség van. Ha egy anyagminőség folyáshatárával helyettesítik az $E$-t, dimenzióhelyesnek tűnő, de fizikailag értelmetlen eredményt kapnak. A feszültség folyáshatárral való elosztása kihasználtsági arányt becsülhet. Rugalmas alakváltozást azonban nem számít ki.

Ugyanez a hiba nyírás esetén is előfordul. A nyírási modulust a nyírófeszültség és a nyírási alakváltozás közötti rugalmas kapcsolat határozza meg:

$$\tau =G\gamma .$$

A nyírási folyáshatár képlékeny határérték. Folyási kritériummal, például a von Mises-féle összefüggéssel becsülhető, de nem azonos a $G$-vel, és nem úgy határozható meg, hogy egy modulushoz a feszültség mértékegységeit rendeljük, majd megváltoztatjuk az elnevezését. Az OpenStax (2020) világosan elkülöníti az alakváltozási módokat: a Young-modulus a húzási választ, a térfogati modulus a térfogati összenyomást, a nyírási modulus pedig a nyírási alakváltozást írja le.

Egy acélszabvány ezért egyaránt tartalmazhat folyáshatárra vonatkozó követelményt és rugalmas tulajdonságokra vonatkozó feltételezést anélkül, hogy ezek a számértékek egyszerű anyagminőség-átváltással összekapcsolhatók lennének. Szerkezeti számítások esetén rögzíteni kell a releváns anyagmegjelölést és termékszabványt — például az ASTM A240/A240M szerinti lemezt vagy lemezes terméket, az EN 10025-2 szerinti S355 anyagot vagy az ASTM A276 szerinti Type 304 rozsdamentes acélt —, továbbá a vastagságot, a termékformát és a vizsgálati irányt. A megjelölés az anyagkövetelményt azonosítja; nem tesz egy általános modulusértéket minden termék esetében pontossá.

További hiba minden anyagminőséghez egyetlen pontos $E$-értéket rendelni. A ferrites, martenzites, bainites, ausztenites és duplex acélok fázisarányai, textúrái, öntött termékek esetén porozitási szintjei, valamint maradó feszültségei eltérhetnek. Ezek a tényezők befolyásolják a mért rugalmas választ. Számos mérnöki becsléshez megfelelő lehet egy szokásos izotróp érték, de ez továbbra is feltételezés vagy elfogadott tervezési érték, nem pedig az „acél” szóhoz kapcsolódó univerzális fizikai állandó.

A statikus és dinamikus értékek keverése

A statikus és dinamikus modulusok kapcsolatban állnak egymással, de nem cserélhetők fel automatikusan. A statikus modulust lassan végrehajtott mechanikai vizsgálattal határozzák meg, rendszerint a húzó- vagy nyomóvizsgálat során felvett feszültség–alakváltozás görbe meredekségéből, egy megadott alakváltozási intervallumban. Az eredményt befolyásolhatja a vizsgálógép megfelelősége, a befogás beállítása, a felület állapota, az alakváltozási sebesség, a hiszterézis, a mikroképlékenység, valamint a meredekségillesztés módja.

A dinamikus modulust hullámterjedésből, rezonanciából vagy más időfüggő mérésből következtetik ki. Az ASTM E1875-20a a dinamikus Young-modulus, nyírási modulus és Poisson-tényező meghatározását „akusztikus rezonancia alapján” írja elő. A rugalmas állandók meghatározásához a próbatest rezonanciafrekvenciáit és méreteit használják fel. Ez a módszer pontos, kis alakváltozásokra vonatkozó adatokat szolgáltathat, de az eredmény nagy frekvenciájú, nagyon kis amplitúdójú alakváltozásnak felel meg, ezért ennek megfelelően kell megnevezni.

A dinamikus mérések a sűrűségtől, a próbatest geometriájától, a frekvenciától, a hőmérséklettől és a rezgési mód azonosításától is függenek. A longitudinális rezonanciából származó értéket nem szabad megfelelő összefüggés és kompatibilis Poisson-tényező nélkül nyírási számításba behelyettesíteni. Hasonlóképpen, egy kézikönyvben szereplő „rugalmassági modulus” lehet tervezési konvenció, míg egy rezonanciavizsgálati jelentés dinamikus modulust adhat meg. A két értéket nem szabad úgy összehasonlítani, mintha ugyanabból a vizsgálatból származnának.

Az $E$, $G$ és $K$ közötti átszámításkor meg kell adni, hogy a bemeneti értékek statikusak vagy dinamikusak-e. Egy húzóvizsgálatból származó $E$ és egy akusztikus rezonanciából származó $\nu$ kombinálása belsőleg inkonzisztens értékkészletet eredményezhet még akkor is, ha mindkét szám önmagában hiteles. A számítás algebrailag helyes lehet, miközben nem ír le egyetlen mért anyagállapotot.

A Poisson-tényező különös figyelmet érdemel, mert a $\nu$-ban fennálló bizonytalanság fontossá válik a térfogati modulus egyenletében. Ha $E=200$ GPa és $\nu =0.30$, akkor az izotróp összefüggés szerint $K=166.7$ GPa. Ha ugyanezt az $E$-t $\nu =0.29$ értékkel kombináljuk, akkor $K=158.7$ GPa; $\nu =0.31$ esetén pedig $K=175.4$ GPa. A $\nu$ mindössze 0.01-es változása a számított $K$-t hozzávetőleg 5%-kal módosítja. $\nu =0.5$ közelében az érzékenység sokkal nagyobb, mivel az $1-2\nu$ kifejezés nullához közelít. A feltételezett értéket, annak forrását és egy érzékenységi tartományt kell megadni, ahelyett hogy a kapott $K$-t mért állandóként tüntetnénk fel.

A mértékegységek egyszerűbb, de gyakori hibaforrást jelentenek. Mivel $1\text{GPa}=1000\text{MPa}$, ha az $E$-értéket MPa-ban, a $G$-értéket pedig GPa-ban adjuk meg, ez ezerszeres hibát okozhat. A számítás teljes során minden modulust ugyanabban a mértékegységrendszerben kell tartani, és a végső eredmény mellett fel kell tüntetni a mértékegységet.

A térfogati modulus értékei esetében fontos a forrás és a meghatározás körülményeinek dokumentálása. Az Engineering ToolBox a rozsdamentes acélra körülbelül 163 GPa értéket ad meg, de ez másodlagos referenciaérték, nem pedig minden rozsdamentesacél-minőségre, termékformára, hőmérsékletre vagy vizsgálati körülményre érvényes univerzális érték. Megalapozott hivatkozás esetén meg kell adni az eredeti mérés vagy számítás forrását, az összetételt, a fázisállapotot, a hőmérsékletet, a nyomástartományt, a sűrűség alapjául szolgáló adatot és az alkalmazott módszert. A National Institute of Standards and Technology (1982) termodinamikai definíciója, $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$, egyértelművé teszi a hőmérsékleti feltételt. Az ilyen feltételek nélküli táblázatból átvett számértéket hozzávetőlegesnek kell minősíteni.

Az anizotrópia és a hőmérséklet figyelmen kívül hagyása

Az izotróp egyenletek azt feltételezik, hogy az anyag válasza minden irányban azonos. A hengerelt lemez, a húzott huzal, a kovácsolt rúd és az additív gyártással előállított acél gyakran kristálytani textúrát alakít ki. Rugalmas válaszuk a terhelés irányától függően változhat akkor is, ha az anyag szabad szemmel egyneműnek tűnik. Erősen textúrált lemez esetén egyetlen $E$, $G$ és $\nu$ helyett irányfüggő állandókra lehet szükség.

Az egykristályok rugalmasságát rugalmasmerevségi mátrix írja le, nem egyetlen skaláris modulus. A NIST 1982-es kézikönyvfejezete ismerteti, hogyan vezethetők le közel izotróp polikristályos állandók egykristályos merevségi adatokból köbös és hexagonális elemek esetében. Ez az átlagolás modell. Kevésbé alkalmas, ha a textúra erős, a fázisarányok térben változnak, vagy a termék orientált zárványokat vagy pórusokat tartalmaz.

A hőmérséklet egy másik gyakran figyelmen kívül hagyott változó. A rugalmas állandók általában változnak a hőmérséklettel, és a fázisátalakulások nagyobb ugrásokat okozhatnak, mint a szokásos termikus lágyulás. A National Bureau of Standards egyik jelentése (1981) Fe-5Cr-26Mn ausztenites acél rugalmas állandóit mérte 76 és 400 K között, longitudinális és transzverzális módban mért hangsebességek felhasználásával. Már maga a hőmérséklet-tartomány is megmutatja, miért nem vihető át hallgatólagosan egy szobahőmérsékleten meghatározott érték kriogén üzemre vagy magas hőmérsékleten működő berendezésre.

A számításnak ezért meg kell adnia az anyagmegjelölést, a termékformát, a vizsgálati irányt, a hőmérsékletet, az alakváltozás módját, a mérési módszert, valamint azt, hogy az állandók statikusak, dinamikusak, izotrópnak tekintettek vagy irányfüggők-e. Ha ezek az adatok nem állnak rendelkezésre, az eredményt mérnöki becslésként kell megjelölni, és be kell mutatni, hogy az $E$, $G$, $K$ és $\nu$ bizonytalansága hogyan befolyásolja a választ. Ez pontosabb annál, mint ha minden acélhoz egyetlen pontos modulust rendelnénk, és egy ki nem mondott feltételezésre bíznánk a tervezést.

Hivatkozások

1. [1]National Institute of Standards and Technology. Bulk modulus definition. NIST handbook chapter, 1982. https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172
2. [2]ASTM International. Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM E1875-20a, 2020. https://www.astm.org/e1875-20a.html
3. [3]Springer Nature. Elasticity of Solids. Springer book chapter, 2020. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4
4. [4]OpenStax. Stress, Strain, and Elastic Modulus. University Physics Volume 1, 2020. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
5. [5]National Bureau of Standards. Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards report, 1981. https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf