ثوابت المرونة وعلاقات المعاملات في الفولاذ

ما الذي تعنيه ثوابت مرونة الفولاذ—وما الذي لا تعنيه

ثوابت المرونة هي معلمات تربط بين الإجهاد المطبَّق والانفعال الناتج ما دامت المادة ضمن مجالها المرن. وفي هذا المجال، تتيح إزالة الحمل للعينة أن تعود، على الأقل تقريبًا، إلى أبعادها الأصلية. في اختبار شد بسيط، يكون معامل يونغ هو نسبة الإجهاد المحوري إلى الانفعال المحوري،

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }.$$

تصف هذه العلاقة ميل الجزء الأول القابل للاسترجاع من منحنى الإجهاد–الانفعال. لكنها لا تصف المنحنى بأكمله، ولا تحدد مقدار الإجهاد الذي يستطيع الفولاذ تحمله قبل حدوث التشوه الدائم أو الكسر.

لا يوجد سوى ثابتين مرنين مستقلين لمادة صلبة متساوية الخواص وخطية المرونة. Strong evidence

بالنسبة إلى مادة صلبة متساوية الخواص وخطية المرونة، لا يوجد سوى ثابتين مستقلين للمرونة. وتضم مجموعة شائعة الاستخدام معامل يونغ $E$، ونسبة بواسون $\nu$، ومعامل الحجم $K$ أو $B$، ومعامل القص $G$، ومعلمة لامي الأولى $\lambda$، و$2\mu$، حيث إن $\mu =G$. وتسرد مختبرات سانديا الوطنية هذه الكميات الست المترابطة، وتذكر أن $E$ و$\nu$ يحددان الكميات الأخرى. فعلى سبيل المثال،

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

و

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

معامل الحجممعامل الحجم مقياس لمقاومة التغير الحجمي المنتظم تحت الضغط؛ ويُكتب عادةً K أو B.

يختلف الترميز؛ إذ تستخدم NIST ومصادر أخرى غالبًا الرمز $B$ لمعامل الحجم، في حين تستخدم كتب الهندسة وبرمجيات العناصر المحددة غالبًا الرمز $K$. وهما يصفان الخاصية نفسها في المادة متساوية الخواص.

الاستجابة المرنة في مقابل المقاومة واللدونة

تجيب المرونة عن سؤال ضيق النطاق: ما مقدار الانفعال المصاحب لإجهاد معين قبل بدء التشوه الدائم؟ أما المقاومة فتجيب عن أسئلة مختلفة. تحدد مقاومة الخضوع الإجهاد المرتبط ببدء انفعال لدن محدد؛ ومقاومة الشد هي أقصى إجهاد هندسي يتم بلوغه أثناء اختبار الشد؛ أما مقاومة الكسر فتتعلق بانفصال العينة. ولا يُعد أيٌّ من هذه المصطلحات اسمًا آخر لمعامل يونغ.

يمكن أن يمتلك فولاذ ما مقاومة خضوع عالية ومعامل يونغ يكاد يكون مساويًا لمعامل فولاذ أقل مقاومة ذي تركيب مماثل. وقد تؤدي التشغيلية على البارد، أو التقسية بالترسيب، أو التحول المارتنسيتي إلى زيادة كبيرة في مقاومة الخضوع والصلادة، مع إحداث تغير أصغر بكثير في معامل الشد عند الانفعالات الصغيرة. ويرجع ذلك إلى أن آليات التقوية تعيق حركة الانخلاعات، في حين أن الاستجابة المرنة الأولية تعكس أساسًا صلابة الروابط الذرية والبنية البلورية الكلية. ويكتسب هذا التمييز أهمية محورية عند مقارنة، مثلًا، فولاذ منخفض السبائك مرويًا ومراجعًا بمنتج ملدن ذي تركيب كيميائي مرتبط به.

تبدأ اللدونة عندما لا تعود علاقة الإجهاد–الانفعال تتبع الميل الخطي المرن الأصلي. ويحتاج النموذج الدستوري اللدن عندئذٍ إلى معلومات مثل معايير الخضوع، وقانون التقسية، وقاعدة التدفق، وحساسية معدل الانفعال، والاعتماد على درجة الحرارة. ولا يوفر معامل يونغ وحده أيًّا من هذه المعلومات. فقد يتنبأ نموذج العناصر المحددة الذي يتضمن قيمة دقيقة لـ $E$، لكنه يستخدم سطح خضوع غير ملائم، بالتشوه الدائم تنبؤًا سيئًا.

وتجيب الخواص الميكانيكية الأخرى عن أسئلة مختلفة أيضًا. فالصلادة تقيس مقاومة الانغراز الموضعي، وغالبًا ما ترتبط بالمقاومة ضمن مجموعة مضبوطة من أنواع الفولاذ، لكنها ليست معاملًا. وتتعلق المتانة بامتصاص الطاقة ومقاومة التشقق في ظل حالة اختبار محددة. أما مقاومة الكلال فتتعلق بتراكم الضرر تحت التحميل المتكرر أو المتذبذب. وقد يمتلك فولاذ ما معامل مرونة مشابهًا لفولاذ من درجة أخرى، مع اختلاف الصلادة، أو متانة الصدم، أو سلوك نمو الشقوق، أو عمر الكلال.

كما أن المرونة لا تعني أن كل دورة تحميل قابلة للعكس بصورة مثالية. فقد يُظهر الفولاذ الحقيقي لدونة مجهرية، أو لاتمرنًا، أو تأثيرات للإجهاد المتبقي، أو هسترة، أو ضررًا قبل أن تصبح نقطة الخضوع التقليدية واضحة. ولذلك يرتبط المعامل المبلَّغ عنه لاختبار معين بمدى الانفعال، ومعدل التحميل، وتاريخ الدورات، وطريقة اختزال البيانات المستخدمة في ذلك الاختبار.

المعامل بوصفه صلابة، لا إجهاد فشل

يقيس المعامل الصلابة: أي الإجهاد اللازم لإحداث انفعال مرن محدد في نمط تشوه معين. ويتعلق معامل يونغ بالاستطالة أو التقلص المحوريين. ويصف معامل القص مقاومة تغير الشكل تحت تأثير إجهاد القص. أما معامل الحجم فيصف مقاومة التغير الحجمي المنتظم تحت الضغط. ويقدم OpenStax هذه التفسيرات الفيزيائية المناظرة للتشوه الشدي والقصي والحجمي.

يعني المعامل الكبير أن إجهادًا معينًا يُحدث انفعالًا مرنًا أصغر. لكنه لا يعني أن المادة تتحمل إجهادًا أكبر قبل الخضوع أو الكسر. فلننظر إلى مكوّنين من الفولاذ لهما القيمة نفسها لـ $E$، لكن لهما مقاومتا خضوع مختلفتان. فعند تعرضهما لإجهاد الخدمة نفسه، يحدث لهما تقريبًا التمدد المرن نفسه. ويستطيع المكوّن الأعلى مقاومة تحمل إجهاد أكبر قبل حدوث التشوه اللدن، لكنه ليس أكثر صلابة بدرجة ملحوظة في الاستجابة المرنة الأولية لمجرد أن مقاومة خضوعه أعلى.

ولمعامل الحجم تعريف ترموديناميكي واضح بوجه خاص. ففي فصل من دليله المنشور عام 1982، يكتب المعهد الوطني للمعايير والتقنية

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$[1][1] Bulk modulus definition. National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

حيث إن $V$ هو الحجم، و$P$ هو الضغط، ويُؤخذ الاشتقاق عند درجة حرارة ثابتة. وهذه خاصية حجمية، وليست حدًا لفشل الشد. ومن الصعب ضغط الفولاذ بصورة منتظمة، ولذلك يكون معامل حجمه مرتفعًا؛ لكن هذه الحقيقة لا تقول، بحد ذاتها، إلا القليل عن مطيلية الشد أو متانة الكسر.

ولا ينبغي كذلك الخلط بين المعامل والمرونة الارتدادية. فطاقة المرونة المخزنة لكل وحدة حجم تعتمد على الإجهاد والمعامل، في حين تعتمد الطاقة القابلة للاسترجاع حتى الخضوع على كل من المعامل ومقاومة الخضوع. ولذلك يمكن أن تؤدي زيادة مقاومة الخضوع إلى رفع سعة الطاقة المرنة حتى عندما يتغير $E$ تغيرًا طفيفًا فقط.

لماذا لا يمتلك نوع الفولاذ معاملًا موحدًا شاملًا

إن تسمية مثل ASTM A36 أو ASTM A572 Grade 50 أو EN 10025-2 S355JR أو AISI 304 تحدد مواصفة، أو نطاقًا للتركيب، أو حالة للمنتج، أو مجموعة من متطلبات الأداء؛ لكنها لا تحدد قيمة مرونة واحدة ثابتة لا تتغير لكل عينة مصنوعة وفق تلك التسمية. إذ تعتمد الاستجابة المقاسة على حالة المادة وظروف الاختبار.

وتُعد درجة الحرارة أحد المتغيرات الرئيسية. فثوابت المرونة تتغير عمومًا مع درجة الحرارة، وقد تُحدث التحولات الطورية تغيرات أكبر عندما تؤدي إلى تغيير البنية البلورية أو مزيج الأطوار. وقد قاس تقرير صادر عن المكتب الوطني للمعايير عام 1981 ثوابت مرونة فولاذ أوستنيتي من نوع Fe-5Cr-26Mn ضمن المجال من 76 إلى 400 K، باستخدام سرعات الصوت في النمطين الطولي والعرضي. ويُظهر هذا المجال الحراري وحده سبب عدم اكتمال أي قيمة لا تُذكر معها درجة حرارة الاختبار.

شبه متساوي الخواصشبه متساوي الخواص استجابة مادية فعالة قريبة بما يكفي من الاستجابة متساوية الخواص لحساب محدد ونطاق اتجاه ومقياس محدد، رغم بقاء الحبيبات الفردية متباينة الخواص.

كما أن النسيج والاتجاه مهمان أيضًا. فالبلورات المفردة من الفيريت أو الأوستنيت أو المارتنسيت متباينة الخواص مرنًا، أي إن صلابتها تعتمد على الاتجاه البلوري. وقد تطور الصفائح المدرفلة، والقضبان المطروقة، والأسلاك المسحوبة، والمواد المصنَّعة بالإضافةية اتجاهات مفضلة. وقد تتصرف الكتلة متعددة البلورات بصورة متساوية الخواص تقريبًا عندما تكون اتجاهات البلورات موزعة بدرجة كافية، لكن المنتج ذي النسيج الاتجاهي القوي قد يتطلب ثوابت خاصة بكل اتجاه. وليس من الضروري أن يساوي معامل الطول في اتجاه الدرفلة القيمةَ عبر السماكة.

كما يؤثر تركيب الأطوار، والشوائب، والمسامية، والإجهاد المتبقي، وبنية الحبيبات، وشكل المنتج في الاستجابة الكلية المقاسة. وقد يختلف معدن اللحام والمناطق المتأثرة بالحرارة عن الصفيحة الأساسية حتى عندما تغطيهما المواصفة المشروعَية نفسها. ولا يمكن ببساطة إحلال ثوابت البلورة المفردة محل قيم التصميم الخاصة بالمواد متعددة البلورات. ويوضح دليل NIST كيفية اشتقاق معاملات يونغ والقص والحجم والمعاملات المرتبطة بها، شبه متساوية الخواص، من بيانات صلابة المرونة للبلورات المفردة في المواد المكعبة والسداسية، إلا أن ذلك الحساب يعتمد على التناظر البلوري والافتراضات المتعلقة بأخذ متوسط الاتجاهات.

[2][2] Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.

تحدد المواصفة أستم E1875-20a القياس الديناميكي لمعامل يونغ ومعامل القص ونسبة بواسون بواسطة الرنين الصوتي. Strong evidence

تغير طريقة القياس النتيجة المبلَّغ عنها. إذ ينتج اختبار الشد البطيء معاملًا ساكنًا أو معاملًا قاطعًا/مماسيًا يستند إلى القوة والإزاحة، في حين تحدد طرائق الموجات فوق الصوتية أو الرنين معاملًا ديناميكيًا من سرعة الموجة أو التردد الطبيعي. وتحدد المواصفة ASTM E1875-20 معامل يونغ الديناميكي، ومعامل القص، ونسبة بواسون «بواسطة الرنين الصوتي». وقد تختلف القيم الديناميكية عن القيم الساكنة بسبب التردد، والتخميد، وامتثال آلة الاختبار، وسعة الانفعال، وطريقة التعامل مع الأجزاء غير المثالية من العينة.

وبناءً على ذلك، ينبغي أن يذكر تقرير المعامل المفيد، على الأقل، تسمية الفولاذ، وشكل المنتج وحالته، ودرجة الحرارة، واتجاه التحميل، ونمط التشوه، وطريقة القياس. كما ينبغي أن يحدد ما إذا كانت القيمة مقاسة، أو محسوبة من ثوابت أخرى، أو معتمدة بوصفها افتراضًا تصميميًا. ويورد Engineering ToolBox قيمة تقريبية لمعامل الحجم مقدارها 163 GPa لـ«الفولاذ المقاوم للصدأ»، لكن هذه تقديرات مرجعية ثانوية وليست قيمة شاملة لكل درجة من درجات الفولاذ المقاوم للصدأ، أو لكل معالجة حرارية، أو نسيج، أو درجة حرارة، أو طريقة اختبار. وقد يكون استخدام رقم واحد لكل منتج مقبولًا في حساب أولي متساوي الخواص عندما يُصرَّح بالافتراض. أما تقديمه بوصفه حقيقة مادية مستقلة عن الدرجة فليس مقبولًا.

الأساس ذو الثابتين للمرونة الخطية متساوية الخواص

تصف المرونة الخطية الجزء القابل للعكس من استجابة المادة، ما دام الإجهاد والانفعال صغيرين بدرجة كافية تسمح بتطبيق علاقة خطية بينهما. وتضيف كلمة متساوية الخواص شرطًا منفصلًا، إذ يُفترض أن تكون الاستجابة متماثلة في جميع الاتجاهات. وبموجب هذين الافتراضين، يحتوي موتر الصلابة المرن على عدد أقل بكثير من الحدود المستقلة مقارنةً بجسم صلب عام متباين الخواص. ولذلك يمكن التعبير عن ست كميات شائعة الاستخدام—معامل يونغ $E$، ونسبة بواسون $\nu$، ومعامل الحجم $K$ أو $B$، ومعامل القص $G$، ومعامل لامي الأول $\lambda$، و$2\mu$—انطلاقًا من ثابتين مختارين فقط.

تنطبق هذه النتيجة على النموذج التكويني، ولا تنطبق تلقائيًا على كل قيمة مقاسة ومُبلّغ عنها للفولاذ. إذ يمكن أن تؤثر درجة الحرارة، وتركيب الأطوار، والنسيج البلوري، والمسامية، والإجهاد المتبقي، واتجاه العينة، والتردد، وطريقة الاختبار، جميعًا في الاستجابة المقاسة. وغالبًا ما تكون القيمة المستخدمة في نموذج العناصر المحددة متساوي الخواص خاصية هندسية فعّالة، وليست وصفًا كاملًا للبنية المجهرية للمادة.

لماذا لا يلزم سوى ثابتين مستقلين

الإجهاد والانفعال موتران من الرتبة الثانية. وفي الجسم الصلب المرن الخطي العام، تتطلب العلاقة بينهما موتر صلابة من الرتبة الرابعة، مع العديد من الاقترانات الاتجاهية الممكنة. ويؤدي تناظر موترَي الإجهاد والانفعال إلى تقليل عدد الحدود المستقلة، في حين يقلله تناظر المادة أكثر. وتفرض الخواص المتساوية أقوى درجات التناظر المادي المعتاد: فلا يكون لأي اتجاه تميّز ميكانيكي.

يمكن كتابة علاقة الإجهاد–الانفعال متساوية الخواص على النحو الآتي:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

حيث تمثل ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ موتر الإجهاد، وتمثل ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ موتر الانفعال، وتمثل \(\delta_{ij}\ دلتا كرونيكر، بينما يمثل \(\lambda\) و$\mu$ معاملي لامي. ومن ثم يشكل $\lambda$ و$\mu$ زوجًا صالحًا من الثوابت المستقلة. وبما أن معامل القص هو $G=\mu$، فإن استخدام $G$ و$\lambda$ مكافئ لذلك.

يذكر كتاب Elasticity of Solids الصادر عن Springer عام 2020 النتيجة الأساسية مباشرةً: بالنسبة إلى جسم صلب متساوي الخواص، لا يكون سوى ثابتين مرنين مستقلين. كما تسرد وثائق Sierra التابعة لـ Sandia National Laboratories المجموعة المتساوية الخواص ذات الصلة، وهي معامل يونغ $E$، ونسبة بواسون $\nu$، ومعامل الحجم $K$، ومعامل القص $G$، ومعامل لامي الأول $\lambda$، و$2\mu$، وتذكر أن $E$ و$\nu$ يحددان القيم الأخرى. ولا يؤدي ظهور ستة أسماء إلى إنشاء ست خواص مادية قابلة للضبط بصورة مستقلة.

بالنسبة إلى الزوج الشائع $E,\nu$، تكون التحويلات كما يلي:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )},$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )},$$

و

$$2\mu =2G=\frac{E}{1+\nu }.$$

كما أن العلاقات العكسية مفيدة:

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G},$$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}.$$

هذه المعادلات ليست علاقات تجريبية تقتصر على عائلة واحدة من الفولاذ، بل تنشأ من قانون السلوك التكويني المرن الخطي متساوي الخواص. كما أنها تفرض متطلبات للاتساق. فبالنسبة إلى جسم صلب متساوي الخواص مستقر وعادي، يجب أن يكون $G>0$، و$K>0$، وأن تتحقق العلاقة $-1<\nu <0.5$. وعندما تقترب $\nu$ من 0.5، تصبح المادة شبه غير قابلة للانضغاط في النموذج؛ إذ يزداد $K$ كثيرًا مقارنةً بـ $G$، بينما يظل $E$ مرتبطًا بكليهما.

وتختلف المعاني الفيزيائية لهذه الثوابت، رغم ترابطها رياضيًا. يصف OpenStax معامل يونغ بأنه النسبة التي تحكم الاستجابة للشد، ومعامل الحجم بأنه الاستجابة للانضغاط الحجمي، ومعامل القص بأنه الاستجابة لتشوه القص. ويوفر اختبار الشد أساسًا معامل $E$ بصورة رئيسية، في حين أن الانفعال الجانبي المقاس إلى جانب الانفعال المحوري يوفر $\nu$. ويستهدف اختبار الضغط–الحجم معامل $K$، بينما يستهدف اختبار الالتواء أو قياس موجة القص معامل $G$. وبمجرد معرفة أي زوج متسق، تُحسب معاملات المرونة الأخرى بدلًا من اختيارها بصورة مستقلة.

ويُظهر التعريف الديناميكي الحراري لمعامل الحجم بوضوح الفرق بينه وبين معامل يونغ:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

ويصف هذا التعبير، الوارد عن National Institute of Standards and Technology عام 1982، مقاومة تغير الحجم تحت الضغط عند درجة حرارة ثابتة. ولا يعني ذلك أن معامل الحجم الوارد في الجداول قابل للاستبدال بمعامل الشد. فالعلاقة العددية بينهما لا توجد إلا بعد تطبيق افتراضات السلوك التكويني متساوي الخواص.

$E$ و$\nu$ كزوج عملي من قيم الإدخال

تستخدم الحسابات الهندسية عادةً $E$ و$\nu$، لأنهما يرتبطان طبيعيًا باختبار الشد أحادي المحور، ولأن بيانات مواد المنشآت القياسية تدعمهما مباشرةً. وفي نموذج ثلاثي الأبعاد متساوي الخواص، يتيح إدخال هاتين الكميتين للبرنامج إنشاء $G$ و$K$ و$\lambda$ و$2\mu$ دون ثوابت مادية إضافية. أما إدخال القيم الست جميعها فقد ينشئ نموذجًا غير متسق إذا لم تحقق القيم معادلات التحويل.

وتزداد أهمية ذلك خصوصًا عندما تأتي القيم من مصادر مختلفة. فقد يكون معامل الشد الساكن، والمعامل الديناميكي المستخلص من الرنين، وتقدير معامل الحجم، كلٌّ منها صالحًا لظروف القياس الخاصة به، مع أنها قد لا تعيد إنتاج بعضها بعضًا بدقة من خلال المعادلات المتساوية الخواص. وتحدد ASTM E1875-20a طريقة تعيين معامل يونغ الديناميكي، ومعامل القص، ونسبة بواسون «بواسطة الرنين الصوتي». وعمليًا، تكون هذه قياسات معتمدة على التردد أو حساسة لمعدل التحميل، حتى عندما تظل المادة ضمن نطاقها المرن. ولذلك لا ينبغي افتراض تطابقها مع قيم الشد منخفضة المعدل دون التحقق من ظروف الاختبار.

ويورد مرجع ثانوي هو Engineering ToolBox قيمة تقريبية لمعامل الحجم مقدارها 163 GPa للفولاذ غير القابل للصدأ. وهذه القيمة تقدير مرجعي، وليست ثابتًا كونيًا لكل درجة من درجات الفولاذ غير القابل للصدأ، أو لكل معالجة حرارية، أو درجة حرارة، أو شكل منتج، أو طريقة اختبار. ولا ينبغي جمعها اعتباطيًا مع قيمة غير مرتبطة لـ $E$ أو $\nu$، ثم عرض الناتج بوصفه خاصية مقاسة خاصة بدرجة معينة. وينطبق التحذير نفسه على القيم الواردة في Steel Castings Handbook الصادر عن ASM، حيث تُعرض معامل المرونة، ونسبة بواسون، ومعامل القص، والخواص الفيزيائية ذات الصلة، بوصفها بيانات مميزة لمسبوكات الفولاذ. فـ«الفولاذ» ليس عينة مرنة واحدة ثابتة.

ويكتسب التمييز بين الخواص الساكنة والديناميكية أهمية في التصميم. إذ تستخلص الاختبارات الديناميكية الثوابت المرنة من الترددات الرنانة أو سرعات الموجات، بينما تستخلصها الاختبارات الساكنة من القوة والإزاحة والانفعال. وقد يختلف المعامل الديناميكي بسبب التردد، والتخميد، والآليات المجهرية، ودرجة الحرارة، وأجهزة القياس. وقد قاس تقرير National Bureau of Standards عن الفولاذ الأوستنيتي Fe-5Cr-26Mn الثوابت المرنة ضمن المجال 76–400 K، باستخدام سرعات الصوت في النمطين الطولي والعرضي. ويوضح هذا المجال سبب احتمال عدم اكتمال قيمة لا تُذكر معها درجة الحرارة وطريقة القياس، حتى عندما يكون تعيين المادة دقيقًا.

دور التساوي الخواص وشبه التساوي الخواص

يمكن أن يتصرف الفولاذ متعدد البلورات بصورة متساوية الخواص تقريبًا عندما تكون حبيباته صغيرة وكثيرة وموزعة عشوائيًا بدرجة كافية من حيث الاتجاه. وتظل البلورات الفردية متباينة الخواص، لكن التأثيرات الاتجاهية يمكن أن تتوسط وتتعادل ضمن حجم ممثل. ويشكل ذلك أساس استخدام قيمة فعالة واحدة لـ $E$ وقيمة فعالة واحدة لـ $\nu$ في العديد من الحسابات الإنشائية.

ويضعف هذا التقريب عندما تؤدي المعالجة إلى نشوء نسيج قوي. فقد ينتج عن الدرفلة، والتطريق، والتصنيع الإضافي، والتصلب الاتجاهي، والدورات الحرارية للحام، اتجاهات بلورية مفضلة. وعندئذ قد تمتلك الصفيحة خواص مختلفة في الاتجاه الطولي والعرضي وعبر السمك. كما قد يُظهر المنتج المسبوك نمطًا آخر بسبب البنية التغصنية، والانفصال، والمسامية، واتجاه الحبيبات المحلي. ويؤثر تركيب الأطوار أيضًا؛ فالفيريت، والأوستنيت، والمارتنسيت، والباينيت، والأوستنيت المحتفظ به، لا تسهم بسلوك مرن متماثل للبلورة المفردة.

يصف مصطلح شبه متساوي الخواص استجابة فعالة قريبة بما يكفي من التساوي في الخواص لغرض محدد، ومجال اتجاهات معين، ومقياس محدد. وهو لا يلغي تباين الخواص البلوري، ولا يضمن توافق كل معامل مقاس في كل اتجاه. ويشرح فصل دليل NIST عن ثوابت المرونة للبلورات المفردة كيفية اشتقاق $E$ و$G$ و$B$ ومعامل الطول ونسبة بواسون متعددة البلورات من بيانات صلابة البلورة المفردة للعناصر المكعبة والسداسية. ويجعل هذا المسار افتراض المتوسط واضحًا، بدلًا من التعامل مع ثوابت المادة متعددة البلورات الناتجة بوصفها قيمًا أساسية.

وبالنسبة إلى فولاذ ذي نسيج قوي، قد يتطلب نموذج المرونة متباين الخواص أكثر من ثابتين مستقلين، كما يجب أن يحتفظ باتجاه العينة. أما بالنسبة إلى مكوّن فولاذي شبه متساوي الخواص، فقد يكون ثابتان فعّالان كافيين للحساب المقصود، شريطة التحقق من الافتراض بالاستناد إلى القياسات. كما يعرض فصل Constitutive Response الصادر عن Oxford Academic المرونة الخطية متساوية الخواص انطلاقًا من ثابتين مستقلين. ولذلك لا يتمثل السؤال العملي في ما إذا كان للفولاذ ستة معاملات مرونة مستقلة؛ فهو لا يملك ذلك ضمن النموذج متساوي الخواص. بل يتمثل السؤال في ما إذا كان الثابتان المختاران يمثلان المادة ودرجة الحرارة والاتجاه ونظام القياس ذي الصلة بالحساب.

معامل يونغ $E$ في الفولاذ

يصف معامل يونغ، $E$، صلابة مادة ما تحت الشد أو الضغط أحادي المحور. ووفق التعريف الخطي المرن المعمول به، فهو نسبة الإجهاد المحوري إلى الانفعال المحوري:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

هنا، يمثّل $\sigma$ الإجهاد العمودي المؤثر على امتداد محور العينة، بينما يمثّل $\epsilon$ الانفعال المحوري المقابل. وفي حالة الاستجابة الخطية تمامًا، يكون منحنى الإجهاد–الانفعال خطًا مستقيمًا يمر بنقطة الأصل، ويكون $E$ هو ميله. وتكون الوحدات بالباسكال، ويُعبَّر عنه عادةً بالنسبة إلى الفولاذ بوحدة الجيجاباسكال.

ينطبق هذا التعريف فقط على الجزء من التحميل الذي تكون فيه استجابة المادة خطية وقابلة للاسترداد. ولا يعني ذلك أن كل نسبة بين الإجهاد والانفعال تُقاس أثناء اختبار الفولاذ تمثل معامل يونغ. فعند ظهور انفعال لدن، أو تحوّل طوري، أو تلف، أو لاخطية كبيرة، فإن الميل أو النسبة المختارة يصفان خاصية مختلفة.

الإجهاد أحادي المحور والانفعال المحوري

يطبّق اختبار الشد أحادي المحور قوةً على امتداد اتجاه رئيسي واحد للعينة. ويُحسب الإجهاد المحوري الهندسي عادةً بقسمة القوة المطبقة على مساحة المقطع العرضي الأصلية:

$$\sigma =\frac{F}{A_0}$$

أما الانفعال المحوري الهندسي فهو التغير في طول القياس مقسومًا على طوله الأصلي:

$$\epsilon =\frac{L-L_0}{L_0}$$

عند الانفعالات الصغيرة، تعطي هذه التعريفات القيمة الهندسية المعتادة لـ $E$. ويقيس ممدِّد الاختبار أو مقياس الانفعال الاستطالةَ على امتداد طول قياس محدد، في حين تسجل آلة الاختبار القوة والإزاحة. ويمكن أن يتأثر الميل المقاس بامتثال الآلة، وحركة المقابض، ومحاذاة العينة، وحالة السطح، والطريقة المستخدمة لتحديد الجزء الأولي من المنحنى.

في المجال المرن، تنكمش عينة الشد أيضًا في الاتجاه العرضي. وتربط نسبة بواسون، $\nu$، بين الانفعال العرضي والانفعال المحوري، وعادةً وفقًا للعلاقة

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}$$[3][3] Elasticity of Solids. Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

بالنسبة إلى جسم صلب متساوي الخواص وخطي مرن، يحدد $E$ و$\nu$ الثوابت المرنة الأخرى. وتسرد وثائق Sandia Sierra المجموعة المرتبطة متساوية الخواص على النحو الآتي: معامل يونغ $E$، ونسبة بواسون $\nu$، ومعامل الحجم $K$، ومعامل القص $G$، والمعلمة الأولى للامي $\lambda$، و$2\mu$؛ وتعكس عبارتها بأن $E$ و$\nu$ يحددان الثوابت الأخرى بنيةَ المرونة متساوية الخواص القائمة على ثابتين. كما يذكر كتاب Springer المعنون Elasticity of Solids أن ثابتين مرنين فقط يكونان مستقلين في الجسم الصلب متساوي الخواص.

والعلاقات المستخدمة عادةً في التصميم هي

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

و

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

حيث إن $G$ هو معامل القص، و$K$، الذي يُكتب أيضًا $B$، هو معامل الحجم. ولا تجعل هذه المعادلات من $E$ و$G$ و$K$ و$\nu$ أربع خواص مستقلة لدرجة الفولاذ. بل إنها تربط القياسات التي تُجرى في أنماط تشوه مختلفة عندما تكون افتراضات تساوي الخواص والخطية المرنة مناسبة.

ويكتسب التمييز بين أنماط التشوه أهميةً كبيرة. فمعامل يونغ يتعلق بالاستطالة أو الانكماش المحوري، بينما يتعلق معامل القص بالتشوه الزاوي تحت تأثير القص، ويتعلق معامل الحجم بالتغير في الحجم تحت الضغط الهيدروستاتيكي. ويعرض OpenStax هذه الكميات بوصفها تفسيرات فيزيائية منفصلة للاستجابة المرنة. أما دليل NIST الصادر عام 1982، فيعرّف معامل الحجم ترموديناميكيًا على النحو الآتي:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

ومن ثم، فإن قيمته تتعلق بالتغير الحجمي الناجم عن الضغط عند درجة حرارة محددة، وليس بمجرد ميل منحنى إجهاد–انفعال ناتج عن اختبار الشد.

غالبًا ما يُعامل الفولاذ على أنه متساوي الخواص في الحسابات الهندسية الاعتيادية، لأن المنتج متعدد التبلور قد يحتوي على العديد من الاتجاهات البلورية. غير أن هذا التقريب قد يفشل في الصفائح ذات النسيج البلوري القوي، والقضبان المشكلة بدرجة كبيرة، والألواح المدرفلة، واللحامات، والمواد المُصنَّعة بالإضافة، أو عينات الأبحاث أحادية البلورة. وتمتلك بلورات الفريت والأوستنيت المكعبة صلابةً مرنة تعتمد على الاتجاه، رغم أن تجمعًا ذا اتجاهات موزعة على نحو مناسب يمكن أن يبدو شبه متساوي الخواص. ويوضح NIST كيفية حساب $E$ و$G$ و$B$ ونموذج الطول ونسبة بواسون في المواد متعددة التبلور، انطلاقًا من بيانات الصلابة المرنة للبلورة المفردة في المواد المكعبة والسداسية.

وبناءً على ذلك، فإن القيمة المبلَّغ عنها لـ«الفولاذ» ليست تلقائيًا ثابتًا عالميًا لكل شكل من أشكال المنتجات. فقد يؤثر التركيب الكيميائي، والفريت، والبرليت، والبينيت، والمارتنسيت، والأوستنيت المحتفظ به، وتوزيع الكربيدات، والمسامية، والنسيج البلوري، والإجهاد المتبقي في الاستجابة المقاسة. وقد يكون تأثير ذلك صغيرًا في تكوين اختباري معين ومهمًا في تكوين آخر.

معامل المرونة القاطع، والماسي، والابتدائي

معامل المرونة الابتدائي هو ميل منحنى الإجهاد–الانفعال عند الإجهاد والانفعال الصفريين أو بالقرب الشديد منهما. وبالصيغة التفاضلية،

$$E_{\text{initial}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }{|}_{\epsilon \to 0}$$

بشرط أن يكون المنحنى خطيًا بما يكفي وأن يكون نظام القياس قد خضع للتصحيح. وهذه هي القيمة الأكثر ارتباطًا بتعريف معامل يونغ في الكتب الدراسية.

ومعامل المماس هو الميل الموضعي عند نقطة مختارة:

$$E_{\text{tan}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }$$

فإذا ظل المنحنى خطيًا، تساوى معامل المماس مع المعامل الابتدائي. غير أن الفولاذ قد يُظهر، بالقرب من الخضوع، انحناءً ناجمًا عن بدء اللدونة، أو حركة الانخلاعات، أو انفعال لودرز، أو تأثيرات التحول، أو شوائب الاختبار. وعندئذ يتغير معامل المماس مع الإجهاد والانفعال. ويجب الإبلاغ عنه مع تحديد النقطة أو مجال الانفعال الذي قيس عنده.

أما معامل القاطع فهو ميل الخط الممتد من أصل مختار إلى نقطة مختارة على المنحنى:

$$E_{\text{sec}}=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

بالنسبة إلى تلك النقطة المختارة. وهو يوسّط الاستجابة على امتداد المجال، بدلًا من وصف الميل الموضعي. وإذا انحنى المنحنى مبتعدًا عن الخطية، اختلفت قيمتا معامل القاطع ومعامل المماس. وقد يكون معامل القاطع المقاس عند إجهاد يتجاوز الخضوع الأول أقل بكثير من معامل المرونة الابتدائي، لأن الانفعال الكلي يتضمن انفعالًا لدنًا.

ولذلك، فهذه المصطلحات ليست مترادفة. إن تسمية قيمة قاطعة باسم «معامل يونغ» دون بيان مجال الانفعال أو الإجهاد قد تضلل حسابات التصميم. وتنشأ المشكلة نفسها عندما تُبلغ الآلة عن ميل محسوب من إزاحة رأس التحميل بدلًا من انفعال القياس المقاس مباشرةً. فقد يؤدي استقرار المقابض وتشوه الإطار إلى تشويه الجزء المبكر من المنحنى، في حين يمكن أن تشوه اللدونة جزءًا لاحقًا منه.

كما أن التشوه السابق له أهمية. فالدرفلة على البارد، والسحب، والتقويم، وإحداث الانفعال المسبق، والتحميل الدوري، كلها تغيّر تراكيب الانخلاعات والإجهادات المتبقية. ويمكن أن تغيّر الميل الابتدائي الظاهري، وأن تُحدث عدم تماثل بين الشد والضغط، وأن تنشئ ميولًا مختلفة أثناء التفريغ وإعادة التحميل. والعينة التي تعرضت لانفعال لدن لا تعادل عينة غير مشوهة لمجرد أنها تحمل التعيين الاسمي نفسه لدرجة الفولاذ.

ويجب تحديد درجة الحرارة أيضًا. فالصُّلابة المرنة تتغير عمومًا مع درجة الحرارة، كما يمكن أن يتغير التركيب الطوري ضمن مجال حراري أوسع. وقد قاس تقرير صادر عن المكتب الوطني للمعايير عام 1981 الثوابت المرنة لفولاذ أوستنيتي من نوع Fe-5Cr-26Mn ضمن المجال 76–400 K، باستخدام سرعات الصوت في النمطين الطولي والعرضي. ويوضح هذا المجال الحراري سبب عدم جواز نقل قيمة شد مقاسة عند درجة حرارة الغرفة دون تمحيص إلى الخدمة المبردة أو التحليل عند درجات الحرارة المرتفعة.

معامل يونغ الساكن مقابل الديناميكي

يُستخلص معامل يونغ الساكن من حمل ميكانيكي مطبَّق ببطء، وذلك عادةً بقياس القوة والانفعال المحوري أثناء اختبار الشد أو الضغط. ولا تعني كلمة «ببطء» أن النتيجة مستقلة عن معدل التحميل. فقد يؤثر معدل الانفعال، وتاريخ التحميل، ومدة المكوث، وارتفاع درجة الحرارة، ونظام قياس الانفعال في الميل المبلَّغ عنه. وتكون التأثيرات اللزجة المرنة محدودة عادةً في الفولاذ العادي عند الظروف المحيطة، إلا أن اللدونة الحساسة للمعدل، والتخميد، والتأثيرات الحرارية، وامتثال آلة الاختبار، قد تؤثر مع ذلك في النتيجة بالقرب من الانتقال المرن–اللدن.

ويُستدل على معامل يونغ الديناميكي من قياس الاهتزاز، أو انتشار الموجات، أو الرنين. وتحدد المواصفة ASTM E1875-20a معامل يونغ الديناميكي، ومعامل القص، ونسبة بواسون «بواسطة الرنين الصوتي». وتستخدم الطريقة ترددات الرنين وأبعاد العينة، مع إدخال الكثافة وعلاقات اهتزاز العوارض أو القضبان في الحساب. ولأن التشوه يتذبذب عند تردد محدود وبسعة صغيرة جدًا عمومًا، فإن النتيجة ليست ببساطة قيمة اختبار شد أُجري بسرعة أكبر.

يمكن أن تكون القياسات الديناميكية شديدة الحساسية لهندسة العينة، وظروف الإسناد، والتردد، والكثافة، والتخميد، والانقطاعات الداخلية. أما القياسات الساكنة فتتأثر بالمحاذاة، وموضع ممدِّد الاختبار، وطول القياس، ومعدل الانفعال. وعندما تُجرى الطريقتان على نحو صحيح ضمن المجال المرن نفسه، فقد تكون نتائجهما متقاربة، لكن التطابق ليس مضمونًا. ولذلك، ينبغي أن تحدد قيمة المعامل المبلَّغ عنها الطريقة، ودرجة الحرارة، والاتجاه، وحالة العينة، وما إذا كانت القيمة ابتدائية أو مماسية أو قاطعة أو ساكنة أو ديناميكية.

تُدرج أحيانًا قيمة مرجعية تقريبية قدرها 163 GPa لمعامل حجم الفولاذ المقاوم للصدأ من جانب Engineering ToolBox، غير أن هذه القيمة تقدير ثانوي وليست قيمة عالمية لكل درجة من درجات الفولاذ المقاوم للصدأ، أو كل تعيين معياري، أو كل درجة حرارة، أو كل نسيج بلوري، أو كل شكل من أشكال المنتجات. وينطبق التحفظ نفسه على قيم معامل يونغ المقتبسة. وفي نماذج التصميم متساوية الخواص، يكفي اختيار زوج واحد من الثوابت المرنة بعناية؛ ومع ذلك، يجب أن تتوافق بيانات المادة المقاسة مع حالة الفولاذ ونمط التشوه المستخدمين في الحساب.

معامل القص $G$ والصلابة التشويهية

يقيس معامل القص، $G$، مقاومة الجسم الصلب لتغيّر الشكل الناجم عن إجهاد القص. وهو لا يصف أساسًا مقاومة التغيّر في الحجم. ففي حالة القص النقي المثالي، تنزلق مجموعة من المستويات المادية بالنسبة إلى مجموعة أخرى، فتتغير الزوايا داخل الجسم، بينما يبقى حجمه دون تغيّر يُذكر. ويميز هذا الأمر $G$ عن معامل الحجم، $K$ أو $B$، الذي يصف مقاومة الانضغاط الهيدروستاتيكي.

بالنسبة إلى الفولاذ، لا يُعد $G$ تصنيفًا مستقلًا للدرجة يمكن أن يتغير بصورة مستقلة عن كل خاصية مرنة أخرى. ففي المرونة الخطية المتجانسة ومتساوية الخواص، لا يكون هناك سوى ثابتين مرنين مستقلين. وقد يعرض جدول ما معامل يونغ $E$، ونسبة بواسون $\nu$، ومعامل القص $G$، ومعامل الحجم $K$، ومعامل لامي الأول $\lambda$، و$2\mu$، إلا أن هذه الكميات مترابطة رياضيًا. وتدرج Sandia National Laboratories هذه المجموعة المتساوية الخواص المكوّنة من ستة عناصر، وتذكر أن $E$ و$\nu$ يحددان القيم الأخرى. كما يصف كتاب مرونة المواد الصلبة (2020) القيد نفسه المتمثل في وجود ثابتين فقط.

إجهاد القص والانفعال الزاوي

يؤثر إجهاد القص، الذي يُكتب تقليديًا بالرمز $\tau$، موازيًا لسطح ما. وعندما يتعرض عنصر مستطيل للقص، تتغير زواياه القائمة في البداية بمقدار انفعال زاوي $\gamma$. وعند التشوهات الصغيرة، يُقاس $\gamma$ بالراديان، ويمكن تقريبه بقسمة الإزاحة الجانبية على الارتفاع:

$$\gamma \approx \frac{\Delta x}{h}.$$

وتكون العلاقة المرنة الخطية:

$$\tau =G\gamma ,$$

أو

$$G=\frac{\tau }{\gamma }.$$

وكلما زادت قيمة $G$، ازداد إجهاد القص اللازم لإحداث تشوه زاوي محدد. وهذه علاقة بالصلابة، وليست بيانًا عن الخضوع أو الكسر. فقد تمتلك عينة فولاذية معامل قص مرنًا مرتفعًا، ومع ذلك تتعرض لتشوه دائم عندما يتجاوز إجهاد القص الموضعي فيها شرط الخضوع المنطبق.

يوضح القص النقي الفرق بين الاستجابة التشويهية والاستجابة الحجمية. فقد يتحول مكعب إلى متوازي سطوح مائل، في حين لا تتغير أطوال حوافه وحجمه إلا قليلًا جدًا. كما تتعرض المواد الصلبة الحقيقية لانفعالات عمودية أثناء القص. وفي مادة متساوية الخواص، تُحكم هذه الانفعالات المصاحبة من خلال نسبة بواسون ومعادلات السلوك التكويني الكاملة، إلا أن التشوه الأساسي الذي يجري قياسه هو التشوه الزاوي.

وتتصرف المادة الواقعة تحت ضغط هيدروستاتيكي بصورة مختلفة. إذ يؤثر الضغط بالتساوي في جميع الاتجاهات، ويغير الحجم من دون إنتاج اتجاه قص مفضل. ويُعرَّف المعامل المقابل ترموديناميكيًا من قِبل NIST كما يلي:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

حيث إن $V$ هو الحجم، و$P$ هو الضغط، ويُؤخذ الاشتقاق عند درجة حرارة ثابتة. ويوضح هذا التعريف، الوارد في فصل من دليل NIST لعام 1982، سبب عدم جواز استبدال معامل الحجم بـ $G$ في حسابات الالتواء أو القص.

وبالنسبة إلى تقريب الفولاذ متساوي الخواص، تكون كثافة طاقة انفعال القص:

$$u_s=\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{{\tau }^2}{2G}=\frac{1}{2}G{\gamma }^2.$$

وتُستعاد هذه الطاقة المختزنة عند إزالة الحمل، شريطة أن يظل التشوه ضمن المجال المرن وألا تتدخل آلية تعتمد على الزمن أو آلية إتلاف.

الالتواء والموجات المستعرضة واستجابة القص

يمثل الالتواء تطبيقًا عمليًا للمرونة القصية. فعندما يُلوى عمود فولاذي دائري، تدور المقاطع العرضية بعضها بالنسبة إلى بعض، وتتعرض العناصر المادية لانفعال قص يزداد مع الابتعاد عن محور العمود. وبالنسبة إلى عمود دائري في حالة التواء Saint-Venant:

$$T=\mathrm{GJ}\frac{\phi }{L},$$

حيث إن $T$ هو عزم اللي، و$J$ هو عزم المساحة القطبي الثاني، و$\phi$ هي زاوية الالتواء، و$L$ هو طول العمود. وبإعادة الترتيب نحصل على:

$$\frac{\phi }{L}=\frac{T}{\mathrm{GJ}}.$$

يلتوي العمود ذو قيمة $G$ الأكبر بدرجة أقل تحت عزم اللي نفسه، شريطة ألا تتغير هندسته وشروط حدوده. وبالنسبة إلى عمود دائري مصمت، فإن $J=\pi d^4/32$؛ أما بالنسبة إلى عمود دائري مجوف، فإن $J=\pi (d_o^4-d_i^4)/32$. وتنطبق هذه المعادلات على مجال الالتواء المرن، وتتطلب معالجة إضافية للمقاطع غير الدائرية، والتقوس، واللدونة، والإجهاد المتبقي، والمنتجات متباينة الخواص.

كما يُقاس معامل القص من خلال سرعة الموجات المرنة المستعرضة. ففي وسط متساوي الخواص، تكون سرعة الموجة المستعرضة أو موجة القص:

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }},$$

ومن ثم:

$$G=\rho v_T^2,$$

حيث إن $\rho$ هي الكثافة. وتسبب الموجة المستعرضة حركة للجسيمات عمودية على اتجاه الانتشار. وتتمثل قوة الإرجاع فيها في الصلابة القصية، في حين تتحكم في الموجة الطولية مجموعة من الصلابة الحجمية والصلابة القصية:

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}.$$

وبالتالي، فإن قياس سرعتي الموجتين يتيح حساب أكثر من ثابت مرن واحد عندما تكون الكثافة معلومة. وهذا قياس ديناميكي؛ إذ تعكس النتيجة الاستجابة عند تردد الاختبار ودرجة حرارته وحالة العينة وسعة الموجة.

يحدد ASTM E1875-20a طريقة تعيين معامل يونغ الديناميكي، ومعامل القص، ونسبة بواسون «بواسطة الرنين الصوتي». وتستخدم الطريقة ترددات الرنين المرتبطة بالاستجابة الطولية والانحنائية أو الالتوائية، بدلًا من منحنى تحميل بطيء ورتيب. وقد تكون القيم الديناميكية والساكنة متقاربة بالنسبة إلى عينة فولاذية متجانسة ضمن مجال مرن محدود، لكن لا ينبغي التعامل معها على أنها متطابقة تلقائيًا.

ويوضح تقرير National Bureau of Standards عن الفولاذ الأوستنيتي Fe-5Cr-26Mn أهمية شروط الاختبار. فقد حدد الثوابت المرنة من سرعات الصوت في النمطين الطولي والمستعرض ضمن المجال 76–400 K. وتؤثر تغيرات درجة الحرارة في الترابط الذري، والتمدد الحراري، واستقرار الطور، والتخميد المرتبط بالعيوب؛ ولذلك لا يلزم أن يساوي المعامل المقاس عند درجة حرارة شديدة الانخفاض المعامل المقاس بالقرب من درجة حرارة الغرفة. كما أن البنية الطورية للفولاذ والنسيج البلوري لهما أهمية أيضًا. فالبلورة المفردة تعتمد على الاتجاه، في حين قد تبدو المادة متعددة البلورات متساوية الخواص فقط عندما تكون اتجاهات الحبيبات موزعة عشوائيًا بدرجة كافية. ويمكن أن تؤدي عمليات الدرفلة، والحدادة، واللحام، ونواتج التحول، والنسيج المتبقي إلى إنتاج استجابة قص اتجاهية.

العلاقة بين $G$ و$E$ و$\nu$

في المرونة الخطية المتجانسة ومتساوية الخواص، تكون العلاقة الأساسية:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

هنا، $E$ هو معامل يونغ و$\nu$ هي نسبة بواسون. وإذا عُرف ثابتان مستقلان، أمكن اشتقاق الثوابت المتساوية الخواص المتبقية. ولذلك فإن الإبلاغ عن $E$ و$G$ و$\nu$ على أنها ثلاثة أرقام مستقلة خاصة بالدرجة، وغير مترابطة، لا يتسق ميكانيكيًا، إلا إذا كانت مناقشة عدم اليقين في القياس أو تباين الخواص أو درجة الحرارة أو الخروج عن النموذج هي موضوع البحث.

وتكون العلاقة المناظرة لمعامل الحجم:

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

أما العلاقة المباشرة بين $K$ و$G$ فهي:

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

وهذه المعادلات علاقات نموذجية، وليست قواعد تحويل عامة لكل منتج فولاذي. فهي تفترض انفعالات صغيرة، وسلوكًا عكوسًا، وتجانس المادة، وتساوي الخواص، ودرجة حرارة وحالة تحميل تظل عندهما الثوابت المرنة ثابتة فعليًا. كما تفترض أن القيم المبلّغ عنها تشير إلى تعريفات متوافقة. فقد يختلف معامل الشد الساكن، والمعامل الديناميكي الرنيني، والمعامل المستنتج من الموجات، بسبب اختلاف تردداتها وسعات انفعالاتها.

تورد Engineering ToolBox في عام 2024 قيمة مرجعية تقريبية قدرها 163 GPa لمعامل حجم الفولاذ غير القابل للصدأ، إلا أن هذه القيمة ليست قيمة عامة لكل درجة من درجات الفولاذ غير القابل للصدأ، أو لكل درجة حرارة، أو شكل منتج، أو توازن طوري، أو طريقة اختبار. وينطبق التحذير نفسه على $G$. فقد تختلف الفولاذات الأوستنيتية، والفيريتية، والمارتنسيتية، والثنائية الطور من حيث النسيج، والكسر الطوري، والحالة المغناطيسية، وتاريخ المعالجة. وقد تحدد المعايير ومواصفات التصميم قيمة متساوية الخواص تمثيلية لأغراض الحساب، في حين قد يكشف القياس البحثي عن ثوابت تعتمد على الاتجاه.

وبالنسبة إلى حسابات التصميم متساوية الخواص، فإن $G=E/[2(1+\nu \left)\right]$ هو الصلة المناسبة بين صلابة الشد وصلابة القص. أما بالنسبة إلى الصفائح ذات النسيج البلوري، أو المواد المتأثرة باللحام، أو البنى المسبوكة، أو البلورات المفردة، أو الفولاذ متعدد الأطوار ذي السلوك الاتجاهي الواضح، فقد تكون هناك حاجة بدلًا من ذلك إلى مصفوفة الصلابة الكاملة متباينة الخواص. وفي هذه الحالة، لا يستطيع معامل قص قياسي واحد وصف كل مستوى من مستويات القص.

معامل الحجم $K$ أو $B$ والانضغاط الحجمي

يصف معامل الحجم مقاومة التغير المنتظم في الحجم. وهو لا يصف مقاومة قضيب فولاذي للتمدد على طول محور واحد، كما أنه لا يُعدّ بديلاً عن معامل يونغ. يحدد اختبار الشد أساسًا معاملًا أحادي المحور، بينما تحدد تجربة الضغط معاملًا حجميًا. ولا توجد علاقة بينهما إلا بعد تحديد نموذج مرن وافتراضاته.

في المرونة الخطية متساوية الخواص، تُستخدم عادةً الرموز $K$ أو $B$ لمعامل الحجم، و$E$ لمعامل يونغ، و$G$ لمعامل القص، و$\nu$ لنسبة بواسون. وهذه ليست أربعة ثوابت مادية يمكن ضبطها بصورة مستقلة. وكما يوضح كتاب مرونة المواد الصلبة الصادر عن Springer، لا يملك الجسم الصلب متساوي الخواص سوى ثابتين مرنين مستقلين. وتورد وثائق Sierra التابعة لـ Sandia المجموعة المترابطة التالية: معامل يونغ $E$، ونسبة بواسون $\nu$، ومعامل الحجم $K$، ومعامل القص $G$، والمعامل الأول للامي $\lambda$، و$2\mu$؛ إذ إن تحديد $E$ و$\nu$ يحدد بقية المعاملات.

التعريف الديناميكي الحراري لمعامل الحجم

يعرّف المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا معامل الحجم متساوي الحرارة كما يلي:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

حيث إن $V$ هو الحجم، و$P$ هو الضغط، والرمز السفلي $T$ يعني أن الاشتقاق يُجرى عند درجة حرارة ثابتة. وتلزم الإشارة السالبة لأن زيادة الضغط تؤدي عادةً إلى انخفاض الحجم، ولذلك تكون $\partial P/\partial V$ سالبة.

يصف هذا التعريف الميل المحلي لمنحنى الضغط–الحجم. وهو كمية تفاضلية، وليس ببساطة ناتج قسمة الضغط على الحجم خلال انضغاط كبير اعتباطي. ولتغير صغير:

$$\frac{\Delta V}{V}\approx -\frac{\Delta P}{B}.$$

لذلك يعني ارتفاع قيمة $B$ أن تغيرًا أكبر في الضغط يلزم لإحداث التغير الكسري نفسه في الحجم. ووحدة النظام الدولي هي الباسكال، مع أن بيانات الفولاذ تُ reported عادةً بوحدة الجيغاباسكال.

وتكتسب الإشارة إلى ثبات درجة الحرارة أهمية كبيرة. فالمادة الخاضعة لانضغاط بطيء يمكنها تبادل الحرارة مع محيطها، في حين أن موجة صوتية سريعة قد تؤدي إلى تشوه شبه كظوم. ولذلك قد تتوافق القياسات الديناميكية مع معامل فعّال مختلف عن ذلك الناتج من اختبار ميكانيكي بطيء. كما يمكن للضغط نفسه أن يغير الميل، ولا سيما عندما يكون الانضغاط كبيرًا بما يكفي بحيث لا تعود الثوابت المرنة ممثلة تمثيلًا مناسبًا بثابت واحد.

بالنسبة إلى جسم صلب خاضع لضغط هيدروستاتيكي، تكون الإجهادات العمودية متساوية في الاتجاهات الثلاثة:

$${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=-P.$$

ويكون الانفعال المقابل انفعالًا حجميًا:

$${\epsilon }_v=\frac{\Delta V}{V}={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,$$

وذلك في حالة التشوه الصغير. وتصبح العلاقة المكوِّنة عندئذٍ:

$$P=-K{\epsilon }_v.$$

وتتبع الإشارة السالبة اصطلاح الإشارة الذي تكون فيه إجهادات الشد وانفعالات الشد موجبة، بينما يكون ضغط الانضغاط موجبًا بوصفه ضغطًا قياسيًا.

الضغط الهيدروستاتيكي والانفعال الحجمي

يختلف الانضغاط الهيدروستاتيكي عن التحميل أحادي المحور، رغم أن كليهما يولّد إجهادات عمودية. فلننظر إلى عينة فولاذية تُسحب في اختبار شد. يؤدي الإجهاد المحوري المطبق إلى استطالة محورية، بينما يحدث انكماش بواسون في الاتجاهين العرضيين. ويُعرَّف معامل يونغ من الإجهاد المحوري والانفعال المحوري في ترتيب التحميل هذا:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

وذلك ضمن المجال المرن الخطي.[4][4] Stress, Strain, and Elastic Modulus. OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

أما تحت الضغط الهيدروستاتيكي، فلا يُختار اتجاه بعينه. وتنكمش العينة طوليًا على طول المحاور الثلاثة، وتكون الاستجابة ذات الصلة هي مجموع الانفعالات العمودية الثلاثة. ويوضح OpenStax هذا الفرق الفيزيائي مباشرةً: ينطبق معامل يونغ على تحميل الشد، ومعامل الحجم على الانضغاط الحجمي، ومعامل القص على تشوه القص. ولا يفرض اختبار الشد أحادي المحور مباشرةً الحالة اللازمة لقياس $K$.

بالنسبة إلى جسم صلب مرن خطي متساوي الخواص، ترتبط المعاملات بالعلاقة:

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

وكذلك:

$$E=3K(1-2\nu ).$$

والعلاقة الأخرى الشائعة الاستخدام هي:

$$E=2G(1+\nu ).$$

وعليه، يمكن تحويل قيمتي $E$ و$\nu$ المبلغ عنهما إلى $K$، إلا أن النتيجة ترث الشروط وحالات عدم اليقين المرتبطة بكل من القيمتين المدخلتين. فإذا كان $E$ معامل رنين ديناميكيًا، في حين أن $\nu$ أُخذ من اختبار شد بطيء، فقد لا يمثل معامل الحجم المحسوب حالة قياس واحدة متسقة داخليًا.

وتوضح الصيغة أيضًا سبب الحساسية العالية لمعامل الحجم تجاه نسبة بواسون عند الاقتراب من حالة عدم القابلية للانضغاط. فبالنسبة إلى قيمة اسمية للفولاذ هي $E=200$ GPa و$\nu =0.30$:

$$K=\frac{200}{3(1-0.60)}\approx 167\text{GPa}.$$

أما تغيير $\nu$ إلى 0.49 مع الإبقاء على قيمة $E$ نفسها، فيعطي:

$$K=\frac{200}{3(1-0.98)}\approx 3333\text{GPa}.$$

وهذا التغير الكبير ليس أثرًا طفيفًا للتقريب. بل ينتج من اقتراب المقام من الصفر مع اقتراب $\nu$ من 0.5. ويمكن لخطأ صغير في $\nu$، أو لقيمة مأخوذة عند درجة حرارة أو تردد أو تركيب طوري أو طريقة قياس مختلفة، أن يُحدث تغيرًا كبيرًا في قيمة $K$ المحسوبة.

لماذا توصف المعادن غالبًا بأنها شبه غير قابلة للانضغاط

غالبًا ما توصف المعادن بأنها شبه غير قابلة للانضغاط لأن انفعالها الحجمي تحت الضغط الميكانيكي المعتاد يكون صغيرًا مقارنةً بتغير شكلها تحت إجهاد القص أو الإجهاد أحادي المحور. ويكون معامل حجمها عمومًا أكبر بكثير من معامل قصها. فلا يغير الضغط الحجم إلا قليلًا، في حين يمكن لحالة إجهاد مماثلة تسمح بتشوه الشكل أن تُحدث تغيرًا أكثر وضوحًا في الهندسة.

ولا يعني وصف «شبه غير قابل للانضغاط» أن المادة غير قابلة للانضغاط تمامًا. فما يزال للفولاذ معامل حجم محدود، كما تتغير كثافته تحت الضغط. ويكون هذا التقريب مفيدًا في تحليل التشكيل، واللدونة، وحسابات تفاعل الموائع مع المنشآت، وغيرها من الحالات التي تكون فيها تغيرات الحجم صغيرة، لكنه يجب ألا يُطبق من دون التحقق من النموذج المادي. فقد يغير التشوه اللدن، والتحول الطوري، والمسامية، والضرر، وارتفاع درجة الحرارة جميعًا الاستجابة الحجمية. فعلى سبيل المثال، لا يمكن التعامل مع مسبوك فولاذي مسامي بوصفه جسمًا صلبًا كثيفًا مثاليًا متساوي الخواص لمجرد أن مصفوفتَه المعدنية صلبة.

ويزداد الأمر تعقيدًا بسبب البنية المجهرية للفولاذ. فالثوابت المرنة للبلورة المفردة تعتمد على الاتجاه البلوري. وقد تتصرف الكتلة متعددة البلورات بصورة متساوية الخواص تقريبًا عندما تكون الحبيبات موجهة عشوائيًا، إلا أن الدرفلة، والحدادة، والتحول الطوري، والنسيج البلوري قد تؤدي إلى خصائص اتجاهية. ويوضح فصل الدليل الصادر عن المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا بشأن الثوابت المرنة للبلورات المفردة كيفية اشتقاق قيم $E$ و$G$ و$B$ ومعامل الطول ونسبة $\nu$ شبه متساوية الخواص للمواد المكعبة والسداسية من بيانات صلابة البلورة المفردة. وعبارة «شبه متساوي الخواص» هي وصف لنموذج، وليست ضمانًا بأن لكل شكل من أشكال المنتج خواص متطابقة في جميع الاتجاهات.

كما أن درجة الحرارة والتركيب الطوري عاملان مهمان. فقد حدد تقرير صادر عن المكتب الوطني للمعايير الثوابت المرنة لفولاذ أوستنيتي من نوع Fe-5Cr-26Mn ضمن المجال 76–400 K، وذلك من سرعات الموجات الصوتية الطولية والعرضية. ويوضح هذا المجال الحراري وحده سبب عدم إمكان إسناد قيمة واحدة عند درجة حرارة الغرفة إلى كل حالة من حالات الفولاذ. وقد تختلف الاستجابة المرنة للفولاذ الأوستنيتي، والفيرتيتي، والمارتنسيتي، والفولاذ ذي الأطوار المختلطة، كما يمكن للتشغيل على البارد والنسيج البلوري أن يغيرا القيم الاتجاهية المقاسة.

ويورد مرجع ثانوي، هو Engineering ToolBox، قيمة تقريبية قدرها 163 GPa لـ «الفولاذ غير القابل للصدأ». وقد يكون هذا الرقم ملائمًا لإجراء حساب أولي، لكنه ليس معامل حجم عامًا لكل درجة من درجات الفولاذ غير القابل للصدأ، ولا لكل درجة حرارة أو شكل منتج أو توازن طوري أو نسيج بلوري أو حالة اختبار. ولذلك لا ينبغي عرضه على أنه ثابت مقاس تشترك فيه جميع أنواع الفولاذ غير القابل للصدأ.

وتُعد طريقة القياس مصدرًا آخر للتباين. إذ تحدد المواصفة ASTM E1875-20a معامل يونغ الديناميكي، ومعامل القص، ونسبة بواسون «بواسطة الرنين الصوتي». وتُستخلص هذه القيم من ترددات الاهتزاز، كما تتأثر بالكثافة، والهندسة، والتخميد، ودرجة الحرارة، والتردد. أما بيانات الشد الساكن فتجيب عن سؤال تجريبي مختلف. ولذلك ينبغي أن تحدد حسابات التصميم ما إذا كان المعامل مقاسًا أو مشتقًا، وساكنًا أو ديناميكيًا، ومتساوي الخواص أو اتجاهيًا، وأن تبين درجة الحرارة وحالة المادة المرتبطتين به. ومن دون هذه المعلومات، لا تكون قيمة $K$ أو $B$ المذكورة سوى تقدير مشروط.

نسبة بواسون ν والانفعال العرضي في الفولاذ

تصف نسبة بواسون، التي يُرمز إليها بـ ν (نيو)، الانفعال المرن المتولد عموديًا على الحمل المطبق. وفي اختبار الشد، تُعرَّف كما يلي:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\mathrm{transverse}}}{{\epsilon }_{\mathrm{longitudinal}}}$$

حيث يحدث الانفعال الطولي في اتجاه التحميل، بينما يُقاس الانفعال العرضي عبر العينة. وتجعل إشارة الطرح ν موجبة في استجابة الشد المعتادة للفولاذ: إذ يزداد طول القياس، في حين ينخفض العرض والسُّمك.

ينطبق هذا التعريف على اتجاه اختبار مرن محدد، ودرجة حرارة محددة، ومعدل تحميل محدد، وحالة مادية محددة. وهو ليس تصنيفًا مستقلًا للدرجة يمكن اختياره بمعزل عن معامل يونغ أو معامل القص أو معامل الحجم. وبالنسبة إلى جسم صلب متساوي الخواص ومتجانس وخطي المرونة، لا يوجد سوى ثابتين مرنين مستقلين. وتدرج مختبرات سانديا الوطنية الثوابت المرتبطة بالمواد متساوية الخواص، وهي معامل يونغ $E$، ونسبة بواسون $\nu$، ومعامل الحجم $K$، ومعامل القص $G$، ومعامل لامي الأول $\lambda$، و$2\mu$؛ إذ يحدد تحديد $E$ و$\nu$ بقية الثوابت. كما يذكر كتاب Springer المعنون مرونة المواد الصلبة أن الجسم الصلب متساوي الخواص يمتلك «ثابتين» مرنين مستقلين فقط.

بالنسبة إلى الفولاذ متساوي الخواص عند الانفعالات المرنة الصغيرة، تكون العلاقات الرئيسية كما يلي:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

و

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

ويمكن إعادة ترتيب العلاقات نفسها للحصول على

$$\nu =\frac{E}{2G}-1$$

أو

$$\nu =\frac{3K-E}{6K}.$$

هذه المعادلات علاقات تأسيسية، وليست طرقًا مستقلة لتعيين بيانات مادية اعتباطية. فإذا أظهر جدول ما قيمًا لـ $E$ و$G$ و$K$ وν لا تحقق هذه العلاقات، فقد تكون القيم قد قِيست بطرائق مختلفة، أو عند درجات حرارة مختلفة، أو في ظل افتراضات مختلفة. وقد تصف أيضًا مادة متباينة الخواص باستخدام تقريبات المواد متساوية الخواص.

الانكماش المحوري أثناء التحميل بالشد

لنفترض عينة شد فولاذية محورها محاذٍ لاتجاه التحميل. يُحدث إجهاد الشد انفعالًا محوريًا موجبًا:

$${\epsilon }_L=\frac{\Delta L}{L},$$

في حين ينكمش القطر. فإذا كان القطر الأصلي هو $d$، فإن الانفعال العرضي يكون تقريبًا:

$${\epsilon }_T=\frac{\Delta d}{d}.$$

ضمن المجال المرن،

$${\epsilon }_T=-\nu {\epsilon }_L.$$

وعليه، إذا كانت للعينة قيمة انفعال مرن محوري مقدارها $0.001$ وكانت ν تساوي 0.30، فإن انفعالها العرضي يساوي تقريبًا $-0.0003$. يزداد الطول بنسبة 0.10%، بينما ينخفض القطر بنسبة 0.03%. يصف هذا المثال العددي الانفعال فقط؛ ولا يعيّن قيمة عالمية لكل درجة من درجات الفولاذ أو لكل شكل من أشكال المنتجات.

تكون النسبة بلا أبعاد لأن كلًا من البسط والمقام يمثل انفعالًا. كما تعتمد على كيفية تعريف الانفعالات. فقد تعطي انفعالات الهندسة، والانفعالات الحقيقية، ومكونات موتر الانفعال الصغير، والانفعالات القاطعة نتائج مختلفة قليلًا عندما لا يعود التشوه صغيرًا جدًا. وتشير نسبة بواسون المستخدمة في التصميم الخطي المرن عادةً إلى الميل الابتدائي ضمن المجال القابل للاسترداد، قبل الخضوع، أو تشوه لودرز، أو الجريان اللدن، أو التشقق، أو غير ذلك من التأثيرات اللاخطية.

ترتبط الاستجابتان المحورية والجانبية إحداهما بالأخرى. فعينة الشد لا تستطيل ببساطة مع احتفاظها بأبعاد مقطعها العرضي الأصلية. وبالنسبة إلى مقطع مستطيل أو أسطواني، يسهم الانخفاض في العرض والسُّمك في تغير الحجم. وعند الانفعالات الصغيرة، يكون الانفعال الحجمي تقريبًا:

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L+{\epsilon }_{T1}+{\epsilon }_{T2}.$$

وفي حالة شد متساوية الخواص ذات انفعالات عرضية متساوية،

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L(1-2\nu ).$$

يوضح هذا التعبير سبب أهمية ν في نماذج العناصر المحددة والحسابات الإنشائية. إذ يؤدي تعيين ν بصورة غير صحيحة إلى تغيير الانكماش الجانبي المتوقع، والاستجابة الحجمية، والإجهاد الهيدروستاتيكي، وأحيانًا الصلابة الظاهرية للمناطق المقيدة.

الفولاذ ليس مادة متساوية الخواص واحدة على كل مقياس. فقد تقترب البلورة متعددة الحبيبات ذات الاتجاهات العشوائية من السلوك متساوي الخواص عندما تسهم حبيبات كثيرة ويكون النسيج البلوري ضعيفًا. إلا أن الصفائح المدرفلة، والأسلاك المسحوبة، والقضبان المطروقة، ومناطق اللحام، والمواد المُصنَّعة بالإضافة قد تحتفظ باتجاهات بلورية مفضلة أو بتوزيعات طورية متغيرة مكانيًا. وفي هذه الحالات، يعتمد الانفعال العرضي على اتجاهي التحميل والقياس. وقد تكون قيمة ν المفردة حينئذ متوسطًا هندسيًا ملائمًا، لا وصفًا كاملًا للمادة.

تغير الحجم وحد ν = 0.5

يصف معامل الحجم مقاومة الانضغاط المنتظم، بينما يصف معامل يونغ الشد أو الانضغاط المحوريين، ويصف معامل القص تغير الشكل تحت تأثير القص. ويوضح OpenStax هذا التمييز مباشرةً: ينطبق معامل يونغ على التحميل بالشد، ومعامل الحجم على الانضغاط الحجمي، ومعامل القص على تشوه القص.

والتعريف الديناميكي الحراري لمعامل الحجم هو:

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

كما ذكر المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا في عام 1982. حيث إن $P$ هو الضغط، و$V$ هو الحجم، ويُؤخذ الاشتقاق عند درجة حرارة ثابتة. وتربط معادلة المرونة الخطية متساوية الخواص $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$ تلك الاستجابة الحجمية بالبيانات المرنة أحادية المحور، ولكن فقط عندما تكون افتراضات تساوي الخواص ملائمة.

عندما تقترب ν من 0.5، يقترب المقام $1-2\nu$ من الصفر، ويميل معامل الحجم المحسوب إلى اللانهاية عند ثبات $E$ وقيمته المحدودة. وهذا هو حد عدم الانضغاط: يمكن للتشوه أن يغير الشكل، ولكن لا يغير الحجم. ويمكن للمواد الشبيهة بالمطاط أن تقترب من هذه الحالة لأن استجابتها الحجمية أشد صلابة بكثير من استجابتها للقص. أما أنواع الفولاذ العادية فليست غير قابلة للانضغاط، رغم أن معامل حجمها أكبر بكثير من معامل قصها.

يكشف هذا الحد أيضًا عن مشكلة عددية. فنظرًا إلى أن $K$ يتضمن $1-2\nu$، يمكن لخطأ صغير في ν أن يسبب خطأ نسبيًا كبيرًا في قيمة $K$ المحسوبة، ولا سيما عندما تكون ν قريبة من 0.5. وباشتقاق العلاقة نحصل على:

$$\frac{\partial K}{\partial \nu }=\frac{2E}{3(1-2\nu {)}^2}$$

عندما يُثبَّت $E$. ويؤدي المقام المربع إلى تضخيم الحساسية. وقد يكون لعدم يقين لا يتجاوز بضعة أجزاء من الألف في ν تأثير ضئيل في حساب محوري تقريبي، لكنه قد يؤثر تأثيرًا مهمًا في معامل الحجم المُبلَّغ عنه.

يورد مرجع من Engineering ToolBox قيمة تقريبية لمعامل الحجم مقدارها 163 GPa للفولاذ غير القابل للصدأ. وهذه القيمة تقدير مرجعي ثانوي، وليست قيمة عالمية لكل درجة من درجات الفولاذ غير القابل للصدأ، أو لكل درجة حرارة، أو لكل شكل من أشكال المنتجات، أو لكل تركيب طوري، أو لكل طريقة اختبار. وقد تختلف الفولاذات الأوستنيتية، والفيريتية، والمارتنسيتية، والثنائية الطور، والمتصلبة بالترسيب في النسيج البلوري، وتوازن الأطوار، والعيوب، والاستجابة لدرجة الحرارة.

قياس ν وتفسيرها

يمكن الحصول على نسبة بواسون من قياسات متزامنة للانفعالين المحوري والعرضي في اختبار شد أو ضغط. وتستطيع مقاييس التمدد، ومقاييس الانفعال الملصقة، والأنظمة البصرية، وتقنية الارتباط الرقمي للصور قياس مكوِّني الانفعال، إلا أن الإشارة العرضية غالبًا ما تكون أصغر وأكثر حساسية للمحاذاة، وتجهيز السطح، وهندسة مقياس القياس، والضوضاء. وقد تؤدي عدم المحاذاة إلى إدخال الانحناء، في حين يمكن أن يؤدي الوضع غير المثالي لمقياس الانفعال إلى خلط الاتجاهين الطولي والعرضي.

ويستند مسار ثانٍ إلى اشتقاق ν من سرعات الموجات المرنة المقاسة بصورة مستقلة. إذ توفر سرعات الموجات الطولية والقصية معلومات مرنة ديناميكية؛ وبالنسبة إلى جسم صلب متساوي الخواص:

$$G=\rho v_S^2$$

و

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_S^2),$$

حيث إن $\rho$ هي الكثافة، و$v_S$ سرعة موجة القص، و$v_L$ سرعة الموجة الطولية. وتصف قيمتا $E$ وν الناتجتان استجابة ذات سعة صغيرة وتردد محدود، وقد لا تتطابقان بالضرورة مع قيمة اختبار الشد البطيء. ويحدد المعيار ASTM E1875-20a معامل يونغ الديناميكي، ومعامل القص، ونسبة بواسون «بواسطة الرنين الصوتي».[5][5] Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

تغيرات درجة الحرارة كلًا من الصلابة المرنة وسرعة الموجة. وقد قاس تقرير صادر عن المكتب الوطني للمعايير الثوابت المرنة لفولاذ أوستنيتي من نوع Fe-5Cr-26Mn ضمن المجال 76–400 K، باستخدام سرعات الصوت في النمطين الطولي والعرضي. ويوضح هذا المجال سبب عدم جواز نقل قيمة مقاسة قرب درجة حرارة الغرفة تلقائيًا إلى الخدمة المبردة أو إلى التصميم عند درجات الحرارة المرتفعة.

ويضيف النسيج البلوري والتباين الخواصي البلوري مؤهلًا آخر. فلا يمكن تحويل صلادات المرونة لبلورة مفردة إلى قيم شبه متساوية الخواص لـ $E$ و$G$ و$K$ وν إلا من خلال نموذج متوسط يأخذ تناظر البلورة وتوزيع الاتجاهات في الحسبان. ولذلك قد تُظهر صفيحة مدرفلة نسبًا مختلفة للتحميل على امتداد اتجاه الدرفلة، وفي الاتجاه العرضي، وفي اتجاه السُّمك. كما قد يقيس الرنين الديناميكي حجمًا فعالًا وسعة انفعال مختلفين عن اختبار الشد الساكن.

في التصميم، ينبغي أن تتوافق ν مع النموذج التأسيسي المقصود وظروف الاختبار. ولا تُستخدم قيمة قياسية متساوية الخواص إلا عندما يدعم شكل المنتج، والنسيج البلوري، ودرجة الحرارة، ومجال الانفعال، ومستوى الدقة المطلوب هذا التبسيط. أما بخلاف ذلك، فتكون الثوابت المرنة المعتمدة على الاتجاه أو مصفوفة الصلابة الكاملة المتباينة الخواص أكثر قابلية للدفاع عنها من التعامل مع أربعة معاملات مُبلَّغ عنها بوصفها أرقامًا مستقلة خاصة بدرجة المادة.

مجموعة العلاقات الكاملة للمعاملات المتساوية الخواص

بالنسبة إلى جسم صلب متجانس، خطيّ المرونة، ومتساوي الخواص، فإن المعاملات الأربعة الشائعة الاستخدام ليست أربعة ثوابت مادية مستقلة. يصف معامل يونغ $E$، ومعامل القص $G$، ومعامل الحجم $K$ أو $B$، ونسبة بواسون $\nu$ أنماطًا مختلفة من التشوه، إلا أن قيمها مترابطة. ويكفي تحديد أي ثابتين مناسبين لتعيين الكميات المتبقية.

لكن لهذه العبارة شروطًا. إذ يجب التعامل مع المادة على أنها متساوية الخواص، وأن تكون استجابتها للإجهاد–الانفعال خطية ضمن المجال المدروس، وأن تشير المعاملات إلى درجة الحرارة والكثافة والتركيب الطوري ومتوسط النسيج والتردد واصطلاح القياس نفسه. فالمعامل المقاس من اختبار شد عند انفعال منخفض لا يمكن مبادلته تلقائيًا بمعامل ديناميكي مستنتج من سرعة الصوت. وبالنسبة إلى بلورة مفردة متباينة الخواص، فإن المعادلات المتساوية الخواص الواردة أدناه لا تعيد إنتاج الاستجابة الاتجاهية الكاملة.

يوضح OpenStax، في عام 2020، الأدوار الفيزيائية بوضوح: إذ يصف $E$ التشوه الشدي أو أحادي المحور، ويصف $G$ تشوه القص، بينما يصف معامل الحجم الانضغاط الحجمي. ويعرّف تناول NIST لعام 1982 معامل الحجم الديناميكي حراريًا كما يلي:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

حيث يمثّل $V$ الحجم، ويمثّل $P$ الضغط، ويُؤخذ الاشتقاق عند درجة حرارة ثابتة. وفي مرونة الانفعالات الصغيرة الخطية، يتوافق هذا التعريف الديناميكي الحراري مع الصلابة الحجمية المستخدمة في العلاقات أدناه، شريطة استخدام الحالة نفسها والتقريب المرن نفسه.

التحويلات بين $E$، و$G$، و$K$، و$\nu$

مجموعة المعادلات الكاملة للمرونة الخطية متساوية الخواص هي:

\[ \boxed{G=\frac{E}{2(1+\nu)}} \]

\[ \boxed{K\ \text{أو}\ B=\frac{E}{3(1-2\nu)}} \]

\[ \boxed{E=\frac{9KG}{3K+G}} \]

\[ \boxed{\nu=\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \]

\[ \boxed{\lambda=K-\frac{2G}{3}} \]

\[ \boxed{\mu=G} \]

تحوّل المعادلة الأولى معامل يونغ ونسبة بواسون إلى معامل القص. وهي تفترض قانونًا تأسيسيًا متساوي الخواص وانفعالًا مرنًا خطيًا متناهي الصغر. وتحول المعادلة الثانية $E$ و$\nu$ إلى معامل الحجم. كما تفترض أن نسبة بواسون المقاسة هي النسبة المرنة المتساوية الخواص، وليست قيمة تعتمد على الاتجاه ومقاسة على عينة متباينة الخواص.

تحسب المعادلة الثالثة $E$ انطلاقًا من $K$ و$G$، بينما تحسب المعادلة الرابعة $\nu$ انطلاقًا من معاملي الحجم والقص نفسيهما. وهذه المعادلات ليست إلا إعادة ترتيب جبري للنموذج التأسيسي المتساوي الخواص نفسه؛ ولا توفر اختبارات تجريبية مستقلة ما لم تكن القيم المدخلة ناتجة من قياسات منفصلة. وإذا أُبلغ عن $E$ و$G$ و$\nu$ جميعًا، فمن المتوقع وجود فروق صغيرة بسبب عدم اليقين في القياس، والتقريب، واختلافات درجة الحرارة، والمسامية، والنسيج، أو الخروج عن التساوي في الخواص.

بالنسبة إلى جسم صلب مرن متساوي الخواص ومستقر وعادي، تكون القيود عمومًا:

\[ G>0,\qquad K>0,\qquad -1<\nu<\frac{1}{2}. \]

ويكتسب الحد الأعلى لـ$\nu$ أهمية خاصة. فعندما تقترب $\nu$ من $0.5$، يقترب الحد $1-2\nu$ من الصفر، ويصبح معامل الحجم المحسوب كبيرًا جدًا مقارنةً بـ$E$. ولذلك قد تمتلك مادة شبه غير قابلة للانضغاط معامل شد محدودًا، ولكن صلابة حجمية أكبر بكثير. والفولاذ قابل للانضغاط، ولذلك فإن التعامل مع $\nu =0.5$ بوصفها قيمة دقيقة للفولاذ يجعل التحويل متفردًا بدلًا من أن يكون مفيدًا.

تنطبق المعادلات على الخواص المتساوية الخواص الفعالة لمادة متعددة البلورات عندما تكون الاختلافات الاتجاهية قد أُجري لها متوسط كافٍ. ويوضح فصل الدليل الإرشادي لـNIST بشأن ثوابت المرونة للبلورات المفردة سبب أهمية هذا القيد: إذ يمكن اشتقاق $E$ و$G$ و$B$ الفعالة، ومعامل يونغ الطولي، و$\nu$ من بيانات صلابة البلورة المفردة للمواد المكعبة والسداسية، إلا أن إجراء المتوسط يعتمد على تناظر البلورة والنسيج. فقد لا تكون للصفيحة المدرفلة، ومعدن اللحام، والبنية المسبوكة، ومتعدد البلورات الملدّن ذي التوجهات العشوائية الاستجابة المرنة الاتجاهية نفسها، حتى عندما تكون أوصافها الكيميائية متشابهة.

ويمكن للثوابت أيضًا أن تصف نطاقات ترددية مختلفة. إذ تحدد ASTM E1875-20a، التي نشرتها ASTM International في عام 2020، طرق تعيين معامل يونغ الديناميكي، ومعامل القص، ونسبة بواسون «بواسطة الرنين الصوتي». وتُستخلص هذه القيم الديناميكية من الترددات الرنانة، وترتبط بتحميل سريع ذي سعة صغيرة. وقد يختلف معامل اختبار الشد الساكن بسبب مطاوعة الجهاز، أو اللدونة الدقيقة، أو الاحتكاك الداخلي، أو المسامية، أو درجة الحرارة، أو غير ذلك من أوجه الخروج عن النموذج المرن المثالي. وتظل معادلات التحويل صالحة فقط عندما تنتمي الثوابت المدخلة إلى وصف تأسيسي متوافق.

ولذلك ينبغي قراءة قيمة مرجعية مثل قيمة معامل الحجم التقريبية للفولاذ المقاوم للصدأ، البالغة $163\text{GPa}$ وفقًا لـEngineering ToolBox، باعتبارها تقديرًا ثانويًا، لا قيمة عامة لكل نوع من أنواع الفولاذ المقاوم للصدأ، أو لكل شكل من أشكال المنتج، أو درجة حرارة، أو توازن طوري، أو طريقة اختبار. فالتسمية «الفولاذ المقاوم للصدأ» تشمل مواد مختلفة اختلافًا جوهريًا، منها الأنواع الأوستنيتية، والفريتية، والمارتنسيتية، والمتصلدة بالترسيب، والمزدوجة. كما يمكن أن تتغير استجابتها المرنة بفعل التشغيل على البارد ودرجة الحرارة.

معاملا لامي $\lambda$ و$\mu$

تمثل معاملا لامي صياغة أخرى لقانون المرونة المتساوي الخواص نفسه. فمعامل لامي الثاني هو:

$$\mu =G,$$

ولذلك فإن $\mu$ ليس إلا معامل القص مكتوبًا بترميز لامي. أما معامل لامي الأول فهو:

$$\lambda =K-\frac{2G}{3}.$$

ويمكن كتابته أيضًا كما يلي:

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}.$$

وفي الترميز الموترّي، تُكتب علاقة الإجهاد–الانفعال المتساوية الخواص عادةً على النحو الآتي:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

حيث يمثّل ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ موتر الإجهاد، وتمثّل ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ موتر الانفعال، وتمثّل ${\epsilon }_{\mathrm{kk}}$ الانفعال الحجمي، بينما تمثل ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ دلتا كرونيكر. ويؤثر المعامل $2\mu$ في المساهمة الانحرافية والقصّية لموتر الانفعال؛ وهو لا يعرّف معاملًا فيزيائيًا مستقلًا عن $G$.

تسرد وثائق Sierra التابعة لـSandia ستة ثوابت مرنة متساوية الخواص مترابطة: معامل يونغ $E$، ونسبة بواسون $\nu$، ومعامل الحجم $K$، ومعامل القص $G$، ومعامل لامي الأول $\lambda$، و$2\mu$. وهذا يفسر مصدرًا متكررًا للالتباس في ترميز البرمجيات والعناصر المحددة. فقد تطلب بطاقة مادة «$2\mu$» لأن المعادلة التأسيسية تستخدم هذا المعامل، بينما تطلب واجهة أخرى $G$ أو $\mu$. وإدخال $G$ في موضع يتطلب $2\mu$ يؤدي إلى خطأ بعامل اثنين.

ويذكر كتاب مرونة المواد الصلبة الصادر عن Springer في عام 2020 القاعدة الأساسية مباشرةً: لا يوجد سوى ثابتين مرنين مستقلين لجسم صلب متساوي الخواص. وبالمثل، تشير صياغة Sandia إلى أن $E$ و$\nu$ يحددان الثوابت الأخرى. فالأسماء الستة تصف ست كميات مترابطة، لا ست خواص مستقلة قابلة للضبط لكل نوع من المواد.

الوحدات والترميز والتعارضات الترميزية بين $K$ و$B$

تملك $E$ و$G$ و$K$ و$B$ و$\lambda$ و$\mu$ جميعًا وحدات الإجهاد: الباسكال في النظام الدولي، ويُعبّر عنها عادةً للفولاذ بوحدة الغيغاباسكال $\left(\text{GPa}\right)$. أما نسبة بواسون $\nu$ فهي بلا أبعاد. وبما أن $1\text{GPa}={10}^9\text{Pa}$، فيجب أن تستخدم جميع المدخلات الشبيهة بالإجهاد الوحدة نفسها قبل تطبيق أي معادلة.

يُعد الرمز $K$ شائعًا في ميكانيكا الأوساط المتصلة ووثائق العناصر المحددة للدلالة على معامل الحجم. وتستخدم NIST ومراجع كثيرة للمواد الرمز $B$، غالبًا لأن عبارة «معامل الحجم» تبدأ بحرف B في الإنجليزية. ويدل الرمزان عادةً على الكمية نفسها في المعادلات أعلاه:

$$K=B.$$

وهما ليسا ثابتين مختلفين للفولاذ. ويصبح هذا التعارض مؤثرًا عندما يستخدم كتاب ما $K$ لمعامل الحجم، بينما يستخدم تخصص آخر $K$ لمصفوفة صلابة، أو لمعامل التوصيل الحراري، أو لكمية مرتبطة بشدة الإجهاد. ويجب أن يحدد التعريف المحيط بالرمز كيفية تفسيره.

وأخيرًا، تصف هذه العلاقات الثوابت المرنة، لا كل صلابة تُقاس أثناء الخدمة. فقد تغير البيانات المعتمدة على درجة الحرارة، والتحولات الطورية، والتأثيرات المغناطيسية، والنسيج، والإجهاد المتبقي، والتردد، الاستجابة المقاسة. فعلى سبيل المثال، حدد تقرير المكتب الوطني للمعايير لعام 1981 بشأن الفولاذ الأوستنيتي Fe-5Cr-26Mn الثوابت المرنة ضمن المجال $76\text{–}400\text{K}$ من سرعات الصوت في النمطين الطولي والعرضي. ويوضح نطاق درجات الحرارة هذا وحده سبب عدم إمكانية اعتبار قيمة واحدة غير مقيّدة لمعامل ما ممثلةً لجميع الظروف. توفر المعادلات إطار التحويل؛ أما حالة الاختبار فهي التي تحدد القيم التي ينبغي إدخالها فيه.

المرونة في البلورة الأحادية، وبلورة الفولاذ، ومتوسطات متعدد البلورات

لا يكون الفولاذ مرنًا بالمعنى الرياضي نفسه عند كل مقياس بنيوي. فلكل بلورة مفردة خواص ترتبط باتجاهات شبكتها البلورية، في حين أن منتج الفولاذ الهندسي يحتوي عادةً على حبيبات كثيرة ذات اتجاهات وأطوار وعيوب وإجهادات متبقية مختلفة. وقد يؤدي التعامل مع معامل مقاس في الحالة الثانية كما لو كان خاصية عامة للحالة الأولى إلى حساب مضلل.

يبدأ هذا التمييز من تناظر البلورة. فالفولاذات الفريتية لها بنية بلورية مكعبة متمركزة الجسم (BCC)، والفولاذات الأوستنيتية لها بنية مكعبة متمركزة الوجه (FCC)، بينما توصف المارتنسيت عادةً بأنها ذات بنية رباعية متمركزة الجسم، رغم أن درجة التربّع فيها تعتمد على محتوى الكربون وتاريخ المراجعة الحرارية. ولا تنقل هذه البنى الانفعال المرن بالطريقة نفسها على طول كل اتجاه بلوري. وقد تبدو المادة متعددة البلورات متساوية الخواص تقريبًا فقط بعد أخذ متوسط الاستجابات الاتجاهية لعدد كبير من الحبيبات.

موترات الصلابة المرنة في البلورات المكعبة

تربط المرونة الخطية بين الإجهاد والانفعال من خلال موتر صلابة من الرتبة الرابعة:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=C_{\mathrm{ijkl}}{\epsilon }_{\mathrm{kl}}.$$

يحتوي الموتر على صلادات المرونة $C_{\mathrm{ijkl}}$، بينما يحتوي معكوسه على مطاوِعات المرونة $S_{\mathrm{ijkl}}$. ويؤدي تناظر البلورة إلى تقليل عدد الحدود المستقلة. فقد يحتاج الجسم الصلب متباين الخواص بصورة عامة تمامًا إلى 21 ثابتًا مرنًا مستقلًا، في حين تحتاج البلورة المكعبة إلى ثلاثة ثوابت فقط: $C_{11}$، و$C_{12}$، و$C_{44}$.

وبصيغة المصفوفة المختصرة، تكون مصفوفة الصلابة المكعبة:

\[ \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2\\ \sigma_3\\ \sigma_4\\ \sigma_5\\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\ 0&0&0&C_{44}&0&0\\ 0&0&0&0&C_{44}&0\\ 0&0&0&0&0&C_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \varepsilon_3\\ \varepsilon_4\\ \varepsilon_5\\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}. \]

تؤدي الثوابت الثلاثة أدوارًا مختلفة. يصف $C_{11}$ استجابة الإجهاد العمودي على طول محور مكعّب، بينما يربط $C_{12}$ التشوه العمودي بين المحاور المتعامدة، ويصف $C_{44}$ استجابة القص على مستوى بلوري رئيسي. وهذه الثوابت هي صلادات، وليست صيغًا متبادلة لمعامل يونغ أو معامل القص.

ومن المؤشرات المفيدة لتباين الخواص في البلورة المكعبة نسبة زينر:

$$A=\frac{2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}.$$

عندما تكون $A=1$، تكون للاستجابة المرنة المكعبة الصيغة الاتجاهية نفسها لمادة متساوية الخواص. وتشير القيم المختلفة عن الواحد إلى الاعتماد على الاتجاه. ولا تعطي هذه النسبة بمفردها معامل منتج فولاذي؛ فهي تصف التناظر المرن لبلورة عندما تكون ثوابت البلورة الأحادية ذات الصلة قد قيسَت أو حُسِبت.

يوضح فصل البلورة الأحادية الصادر عن NIST عام 1982 كيفية تحويل بيانات الصلابة هذه إلى خواص كلية للمواد المكعبة والسداسية. وبالنسبة إلى البلورة المكعبة، يكون معامل الحجم المرتبط بالانفعال الهيدروستاتيكي المنتظم:

$$B=\frac{C_{11}+2C_{12}}{3}.$$

ويتوافق ذلك مع التعريف الديناميكي الحراري الذي أورده NIST:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

ولا يزال معاملا القص ويونغ في البلورة الأحادية يعتمدان على الاتجاه، رغم أن الاستجابة الحجمية الهيدروستاتيكية لبلورة مكعبة تكون مقيدة بالتناظر. فقد يؤدي اتجاه مثل $\left[100\right]$، أو $\left[110\right]$، أو $\left[111\right]$ إلى معامل شد مختلف، لأن الإجهاد المطبق يتحلل بصورة مختلفة بالنسبة إلى الشبكة البلورية.

وبالنسبة إلى مادة متساوية الخواص، لا يوجد سوى ثابتين مرنين مستقلين، كما يوضح فصل مرونة المواد الصلبة الصادر عن Springer عام 2020. وتدرج وثائق Sierra التابعة لـ Sandia المجموعة المتساوية الخواص ذات الصلة، وهي معامل يونغ $E$، ونسبة بواسون $\nu$، ومعامل الحجم $K$، ومعامل القص $G$، ومعامل لامي الأول $\lambda$، و$2\mu$؛ ويحدد أي عنصرين مناسبين منها بقية العناصر. ولا ينطبق هذا الاختزال على البلورة لمجرد أن البلورة صغيرة أو لأن تشوهها يظل مرنًا، بل ينتج عن التناظر المتساوي الخواص.

النسيج البلوري والمعامل الاتجاهي

يُعبَّر عن اتجاه البلورة عادةً من خلال اتجاهها ومستواها البلوريين بالنسبة إلى محاور العينة. وفي الصفيحة متعددة البلورات، تسجل دالة توزيع الاتجاهات كيفية توزع اتجاهات الحبيبات. ويتطور النسيج البلوري عندما تفضل المعالجة دورانات شبكية معينة، ولا سيما أثناء الدرفلة وإعادة التبلور والتحول الطوري اللاحق.

ولذلك، لا يلزم أن يساوي معامل الشد المقاس في اتجاه الدرفلة المعاملَ العرضي للدرفلة أو المعاملَ المقاس عبر سمك الصفيحة. وينتج الفرق عن المجموع الموزون باتجاهات الحبيبات لاستجاباتها، وليس عن وجود «معامل يونغ جديد في اتجاه الدرفلة» يحل محل موتر الصلابة الأساسي. ويمكن لنموذج العناصر المحددة تمثيل هذا السلوك من خلال إسناد موتر صلابة متباين الخواص إلى الإحداثيات المادية، أو من خلال إسناد خواص على مستوى البلورة إلى اتجاهات عديدة.

قد يُظهر الفولاذ منخفض الكربون المدرفل، والفولاذ غير القابل للصدأ الفريتي، والصفائح المعالجة بالتحولات، نسيجًا بلوريًا ناتجًا عن التشوه وإعادة التبلور. وقد يطور الفولاذ المطروق تدفقًا حبيبيًا ونسيجًا يعتمدان على الاتجاه حول محور الطرق. وغالبًا ما يمتلك الفولاذ المصبوب توزيعًا أكثر تنوعًا للاتجاهات، إلا أن التصلب قد ينتج مع ذلك حبيبات عمودية، أو انفصالًا، أو تدرجات طورية، أو اتجاهات مفضلة. ولا تضمن أي من مسارات المعالجة هذه التساوي في الخواص أو مقدارًا معينًا من التباين.

ويمثل الفولاذ المُصنَّع بالإضافة مشكلة اتجاهية أخرى. فقد يؤدي التدوير الحراري طبقةً تلو الأخرى إلى تكوين حبيبات عمودية مصطفة مع اتجاه البناء، في حين تغير استراتيجية المسح، وهندسة حوض الانصهار، وإعادة التسخين، والمعالجة الحرارية توزيع الاتجاهات والتركيب الطوري. وبناءً على ذلك، قد يختلف المعامل المقاس موازيًا لاتجاه البناء عن المعامل المقاس عرضيًا له. ولذلك يجب أن ترافق القيمة المبلَّغ عنها معلومات عن الاتجاه، وموقع العينة، والمعالجة الحرارية، والمسامية، وطريقة الاختبار.

ويؤثر النسيج البلوري أيضًا في نسبة بواسون ومعامل القص. فقد يبلّغ اختبار الشد عن استجابة الانفعال المحوري، في حين تستنتج الطريقة الرنانة عدة ثوابت ديناميكية من أنماط الاهتزاز. ويحدد ASTM E1875-20a معامل يونغ الديناميكي، ومعامل القص، ونسبة بواسون «بواسطة الرنين الصوتي». ولا تتطابق هذه القيم الديناميكية تلقائيًا مع القيم الساكنة المستمدة من اختبار شد بطيء، ولا سيما عندما يؤثر التخميد أو التشقق الدقيق أو المسامية أو درجة الحرارة أو التردد في الاستجابة.

تقديرات متعدد البلورات شبه المتساوية الخواص

عندما تكون اتجاهات الحبيبات مبعثرة بدرجة كافية، قد تُختزل الفروق الاتجاهية إلى قيم صغيرة على مقياس العينة. وعندئذ يصف المهندسون المادة الكلية بأنها شبه متساوية الخواص: أي إنها ليست متساوية الخواص تمامًا في كل حبيبة أو حجم محلي، لكنها تمثل تمثيلًا كافيًا بثوابت متساوية الخواص للحساب المقصود. وهذه الكلمة مهمة؛ فهي تحدد تقريبًا، ولا تدعي اختفاء كل التباين البلوري.

يمكن تكوين تقديرات المادة متعددة البلورات من بيانات صلابة البلورة الأحادية أو مطاوعتها باستخدام حدود ومخططات لأخذ المتوسطات. ويفترض تقدير فويت انفعالًا موحدًا عبر الحبيبات، بينما يفترض تقدير رويس إجهادًا موحدًا. وتختلف تنبؤاتهما عمومًا، لأن أيًا من الشرطين لا يمثل تمامًا كل مادة كلية غير متجانسة. أما تقدير هيل، الذي يؤخذ عادةً بوصفه المتوسط الحسابي لنتيجتي فويت ورويس، فكثيرًا ما يُستخدم كتقريب عملي متوسط. وتتطلب هذه التقديرات تحديد تناظر البلورة، وتوزيع الاتجاهات، والتركيب الطوري.

وبالنسبة إلى مادة كلية شبه متساوية الخواص، تحقق القيم الناتجة لـ $E$، و$G$، و$B$، و$\nu$ العلاقات المألوفة للمواد متساوية الخواص:

$$E=2G(1+\nu ),$$

$$E=3B(1-2\nu ),$$

و

$$E=\frac{9\mathrm{BG}}{3B+G}.$$

وبالتالي، بعد اختيار ثابتين كليين مستقلين، تُشتق الثوابت الأخرى. وقد يدرج جدول مرجعي معامل حجم تقريبيًا قدره 163 GPa للفولاذ غير القابل للصدأ، كما فعل Engineering ToolBox عام 2024، إلا أن هذه القيمة تقدير ثانوي وليست قيمة عامة لكل درجة من درجات الفولاذ غير القابل للصدأ، أو لكل درجة حرارة، أو شكل منتج، أو توازن طوري، أو طريقة قياس.

ويوضح تقرير المكتب الوطني للمعايير عن الفولاذ الأوستنيتي Fe-5Cr-26Mn مسألة القياس مباشرةً؛ فقد حُددت الثوابت المرنة ضمن المجال 76–400 K من سرعات الموجات في النمطين الطولي والعرضي. وتغير درجة الحرارة المسافة بين مستويات الشبكة، واستقرار الطور، وحركية العيوب، وسرعة الموجة، ولذلك تصف الثوابت الناتجة شروط اختبار محددة. ولأغراض التصميم، قد تكون مجموعة شبه متساوية الخواص مناسبة لمنتج مصبوب أو مُلدَّن ذي نسيج بلوري ضعيف. أما الصفيحة المدرفلة بشدة، أو المكوّن المطروق، أو اللحام، أو البنية المُصنَّعة بالإضافة، فقد تتطلب بيانات اتجاهية بدلًا من ذلك. ولذلك، فالمعامل الصحيح ليس ببساطة الرقم المرتبط بدرجة فولاذ معينة؛ بل هو القيمة المرتبطة بنمط التشوه، والاتجاه، ودرجة الحرارة، والبنية المجهرية، وطريقة الاختبار.

كيفية قياس ثوابت المرونة للصلب

تُقاس ثوابت المرونة للصلب إما من استجابة القوة–الإزاحة، أو من انتشار الموجات الميكانيكية ورنينها. ولا تعطي هذه الأساليب دائمًا معاملًا عدديًا متماثلًا. يسجل اختبار الشد ميلًا شبه ساكن عند معدل تحميل معين، في حين تقيس الطرق الصوتية وفوق الصوتية استجابة عالية التردد ومنخفضة السعة. ويمكن أن تؤثر درجة الحرارة، وبنية الحبيبات، والنسيج البلوري، والمسامية، وتركيب الأطوار، والإجهاد المتبقي، وهندسة العينة، وتعريف النمط المقاس، كلها في النتيجة.

بالنسبة إلى مادة صلبة متناحية الخواص ومرنة خطيًا، لا يوجد سوى ثابتين مستقلين للمرونة. يصف كل من معامل يونغ $E$، ومعامل القص $G$، ومعامل الحجم $K$ أو $B$، ونسبة بواسون $\nu$، ومعامل لامي الأول $\lambda$، و$2\mu$، جوانب مترابطة من الاستجابة الدستورية نفسها؛ وتدرج مختبرات سانديا الوطنية هذه المجموعة وتذكر أن $E$ و$\nu$ يحددان الثوابت الأخرى. ولذلك تهم طريقة القياس حتى عندما تكون للكميات المبلّغ عنها أسماء مألوفة. يصف معامل يونغ الاستطالة المحورية، ويصف معامل الحجم تغير الحجم تحت الضغط الهيدروستاتيكي، بينما يصف معامل القص التشوه الزاوي.

الطرق الميكانيكية للشد والضغط

تحدد طريقة الشد التقليدية معامل يونغ الساكن أو شبه الساكن من ميل الجزء الخطي الأول من منحنى الإجهاد–الانفعال:

$$E=\frac{d\sigma }{d\epsilon }.$$

تُحمَّل عينة فولاذية مُشغَّلة آليًا بالشد، بينما يقيس مقياس الاستطالة أو مقياس الانفعال أو نظام بصري الانفعال المحوري. ويُؤخذ الميل المفيد قبل بدء اللدونة أو تشوه لودرز أو التشقق أو أي سلوك غير خطي آخر. ويجب بيان مجال الانفعال المختار، لأن الانحرافات الصغيرة عن الخطية، ومطاوعة آلة الاختبار، وتأثيرات التثبيت، وحدود دقة قياس الانفعال، يمكن أن تغير القيمة الملائمة.

ويمكن لاختبار الشد أيضًا تحديد نسبة بواسون من خلال قياس الانفعال الجانبي المتزامن:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}.$$

ويجب مزامنة القياسين المحوري والعرضي وإجراؤهما ضمن المجال المرن نفسه. وعند معرفة $E$ و$\nu$، تعطي العلاقات الخاصة بالمادة المتناحية الخواص

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

و

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

ولا تمثل هذه القيم المحسوبة قياسات مستقلة لصلابة القص أو الصلابة الحجمية، بل ترث اعتماد بيانات الشد الأصلية على درجة الحرارة، ومعدل الانفعال، والنسيج، واتجاه الاختبار.

يوفر اختبار الضغط مسارًا آخر لتحديد معامل محوري، لكنه يُدخل أخطاء مختلفة. فيجب أن تكون العينة قصيرة بما يكفي لتجنب الانبعاج، وطويلة بما يكفي في الوقت نفسه لإتاحة إزاحة قابلة للقياس. وقد يؤدي احتكاك النهايات إلى تقييد التمدد الجانبي وإنتاج عينة برميلية الشكل، ولذلك قد يشتمل ميل القوة–الإزاحة المقاس على تأثيرات الاحتكاك ومحاذاة صفيحتي التحميل. كما تهم عملية التزييت، وتوازي النهايات، وتشطيب السطح، وصلابة صفيحتي التحميل، ونسبة ارتفاع العينة إلى قطرها. وينبغي أن تقيس مقاييس الاستطالة أو حساسات الإزاحة التشوه على طول الجزء المعاير من العينة، بدلًا من الاعتماد فقط على حركة الرأس المتحرك.

يقترب الضغط الهيدروستاتيكي من حيث المفهوم من القياس المباشر لمعامل الحجم، لأنه يطبق الضغط في جميع الاتجاهات ويتتبع تغير الحجم:

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

وهذا هو التعريف الديناميكي الحراري الذي قدمه المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا في عام 1982. أما الضغط أحادي المحور المعتاد فليس ضغطًا هيدروستاتيكيًا؛ إذ يجمع بين التشوه المحوري والجانبي، ولذلك لا يقيس $K$ مباشرة. ويتطلب العمل المباشر على معامل الحجم أوعية ضغط، وقياسًا دقيقًا للحجم أو الانفعال، ومعايرة للضغط، وضبطًا لدرجة الحرارة. وبالنسبة إلى معظم عمليات توصيف الفولاذ الإنشائي، يُحسب $K$ بدلًا من ذلك من $E$ و$\nu$ المقاسين بصورة مستقلة، أو يُستخلص من سرعات الصوت.

تتأثر الميول الميكانيكية الساكنة بوجه خاص بمعدل الاختبار وحالة العينة. فنتيجة شد لقضيب مصقول ومخفف الإجهاد اختُبر في درجة حرارة الغرفة لا تمثل تلقائيًا معامل مرونة صفيحة مدرفلة ذات نسيج، أو معدن لحام، أو منتج معالج حراريًا ذي طورين. وفي البلورة المفردة المكعبة، تختلف الصلابة باختلاف الاتجاه البلوري. وقد تبدو الكتلة متعددة البلورات متناحية الخواص تقريبًا عندما تكون الحبيبات موجهة عشوائيًا، إلا أن نسيج الدرفلة أو التصلب قد يترك معاملات مرونة تعتمد على الاتجاه.

الرنين الصوتي وفقًا للمواصفة ASTM E1875-20a

تُعد ASTM E1875-20a مواصفة مسماة لتحديد معامل يونغ الديناميكي، ومعامل القص، ونسبة بواسون «بواسطة الرنين الصوتي». وبدلًا من قياس ميل طويل وبطيء للقوة–الانفعال، تثير الطريقة اهتزاز العينة وتحدد تردداتها الرنانة الطبيعية. ويعتمد التردد عند الرنين على الصلابة المرنة، والكثافة الحجمية، وأبعاد العينة، وشكل النمط الاهتزازي.

تُسنَد العينة بطريقة تقرّب شرط الحد الحر، وذلك عادةً بوضع المساند بالقرب من مناطق العقد بحيث تزيل أقل قدر ممكن من الطاقة الاهتزازية. ويولد مُشغِّلٌ اهتزازًا، بينما يسجل ميكروفون أو مقياس تسارع أو أداة ليزرية أو كاشف آخر الاستجابة. ويُحدَّد التردد الرنان من أعظمية حادة في السعة، أو من تغير في الطور، أو من قمة في استجابة التردد. ويجب إسناد التردد المقاس إلى النمط الانحنائي أو الالتوائي أو الطولي الصحيح؛ إذ إن الخلط بين الأنماط المتجاورة قد ينتج معاملًا يبدو معقولًا لكنه غير صحيح.

ولذلك تُعد أبعاد العينة، أي طولها وعرضها وسماكتها وكتلتها وكثافتها، مدخلات أساسية. وينبغي قياس الأبعاد عند درجة حرارة الاختبار عندما يكون التمدد الحراري مهمًا، أو تصحيحها انطلاقًا من أبعاد درجة حرارة الغرفة باستخدام معامل تمدد مناسب. ويجب أن تتوافق الكثافة مع العينة الفعلية، لا مع قيمة مفترضة من جداول المراجع، ولا سيما في حالة الفولاذ المسبوك، أو المواد المسامية، أو الشوائب الجسيمية، أو البنى المجهرية متعددة الأطوار. وتُدخل ASTM E1875-20a هندسة العينة ومعادلات الرنين في الحساب، بدلًا من معاملة كل عينة كقضيب لا نهائي. كما تؤثر شروط النهايات، وموقع المساند، ونسبة الأبعاد، والتخميد، والتصحيحات الهندسية في ثوابت المرونة الديناميكية المحسوبة.

يوفر الرنين الالتوائي معلومات عن القص أساسًا، في حين يوفر الرنين الانحنائي أو الطولي معاملًا مرتبطًا بالصلابة المحورية. ويسمح الجمع بين قيمتي $E$ و$G$ الديناميكيتين بحساب

$$\nu =\frac{E}{2G}-1,$$

شريطة أن يكون افتراض التناحي الخواصي والمرونة الخطية مناسبًا. وتكون نسبة بواسون الناتجة قيمة ديناميكية عند تردد الاختبار، ولا ينبغي عرضها على أنها ثابت عالمي لدرجة معينة مستقل عن التردد أو درجة الحرارة.

ويُعد ضبط درجة الحرارة جزءًا من القياس، وليس أمرًا لاحقًا. فيجب أن يرفع الفرن أو الحجرة البيئية درجة حرارة العينة إلى قيمة مستقرة ومعلومة، كما يجب أن يراعي تحديد الرنين التمدد الحراري، وتغير الكثافة، واعتماد الصلابة على درجة الحرارة. ولا يمثل التردد المقاس بينما لا تزال العينة في طور الاحترار حالة مرنة محددة جيدًا. كما تتغير شروط الحدود مع درجة الحرارة إذا تمددت المساند أو لانت أو انزلقت أو غيرت ضغط التلامس.

سرعات الموجات الصوتية الطولية والعرضية

تحدد القياسات فوق الصوتية ثوابت المرونة من سرعات الموجات. وتُحدث الموجة الطولية حركة جسيمات موازية لاتجاه الانتشار، بينما تُحدث الموجة العرضية أو موجة القص حركة جسيمات عمودية على اتجاه الانتشار. وبالنسبة إلى مادة صلبة متجانسة ومتناحية الخواص ذات كثافة $\rho$، تكون العلاقات المثالية

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}$$

و

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}.$$

ومن ثم

$$G=\rho v_T^2,$$

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_T^2),$$

و

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

ويمكن بعد ذلك الحصول على نسبة بواسون من $E$ و$G$، أو مباشرةً من نسبة السرعتين في ظل الافتراض نفسه الخاص بالتناحي الخواصي. وهذه المعادلات بسيطة، لكن القياسات ليست كذلك. إذ يجب معرفة مسافة الانتقال بدقة، وإسناد أصداء الموجات إسنادًا صحيحًا، كما يجب أن يولد المحول الكهروضغطي الاستقطاب المقصود ويكشفه. وقد يتضمن الوصول الظاهري للموجة الطولية تحولًا في النمط، أو موجات سطحية، أو انعكاسات، أو تشتتًا.

واستخدم تقرير صادر عن المكتب الوطني للمعايير ونُشر في عام 1981 سرعات الموجات الصوتية ذات النمطين الطولي والعرضي لتحديد ثوابت المرونة لفولاذ أوستنيتي Fe-5Cr-26Mn ضمن المجال 76–400 K. ومجال درجات الحرارة هذا مهم، لأنه يوضح أن ثوابت المرونة تُقاس بوصفها دوالًا للحالة الحرارية، وليست تسميات ثابتة مرتبطة بتسمية السبيكة. وقد اعتمدت إجراءات التقرير على درجة حرارة مضبوطة، وكثافة معلومة، وهندسة محددة للعينة، وتحديد موثوق لكلا نمطي الموجات. وإن تطبيق معادلات درجة حرارة الغرفة عند درجات الحرارة المبردة أو المرتفعة، من دون تحديث هذه الكميات، سيحجب الاعتماد الفعلي على درجة الحرارة.

يورد موقع صندوق أدوات الهندسة تقديرًا تقريبيًا لمعامل الحجم للفولاذ غير القابل للصدأ قدره 163 GPa. Limited evidence

وينطبق الحذر نفسه على جداول المراجع الهندسية. إذ تورد Engineering ToolBox قيمة تقريبية لمعامل الحجم مقدارها 163 GPa للفولاذ المقاوم للصدأ، لكن هذه القيمة تقدير مرجعي ثانوي، وليست قيمة عالمية لكل درجة من درجات الفولاذ المقاوم للصدأ، أو لكل شكل من أشكال المنتج، أو نسيج، أو توازن أطوار، أو درجة حرارة، أو طريقة اختبار. فالقيمة الديناميكية المقاسة لفولاذ أوستنيتي Fe-5Cr-26Mn، والقيمة الساكنة المستخلصة من عينة شد من درجة فريتية، والقيمة المحسوبة المستنتجة من $E$ و$\nu$، تجيب عن أسئلة تجريبية مختلفة. ولذلك فإن الإبلاغ عن الطريقة، وأبعاد العينة، والكثافة، ودرجة الحرارة، ونمط الرنين أو الموجة، وشروط الحدود، لا يقل أهمية عن الإبلاغ عن المعامل نفسه.

تأثيرات درجة الحرارة، والطور، والتركيب، والمعالجة

ليست الثوابت المرنة للفولاذ تسميات ثابتة مرتبطة نهائيًا بدرجة معينة. فهي تصف حالة مادية، ونمط تشوه، وظروف قياس. ويمكن لدرجة الحرارة، وتركيب الأطوار، والتركيب الكيميائي، والبنية النسيجية البلورية، والمسامية، والشوائب، والإجهاد المتبقي، والتاريخ الحراري، أن تغيّر الاستجابة المقاسة جميعًا. وقد تتغير المقاومة مئات النسب المئوية عبر تحول طوري أو معالجة مراجعة، في حين يتغير معامل يونغ بنسبة أصغر بكثير؛ غير أن كلمة «أصغر» لا تعني أن التغير مهمل في التحليل الدقيق.

بالنسبة إلى جسم صلب متساوي الخواص ومرن خطيًا، لا يوجد سوى ثابتين مرنين مستقلين. ويرتبط معامل يونغ $E$، ومعامل القص $G$، ومعامل الحجم $K$ أو $B$، ونسبة بواسون $\nu$، ومعامل لامي الأول $\lambda$، و$2\mu$، بعضها ببعض، كما هو موضح في كتاب Elasticity of Solids الصادر عن Springer، وفي وثائق Sierra التابعة لـ Sandia National Laboratories. وإذا غيّرت درجة الحرارة أو البنية المجهرية أحد الثوابت المستقلة، فيجب تحديث الثوابت الأخرى المحسوبة منه بصورة متسقة. ولذلك يحتاج أي معامل مُبلّغ عنه إلى تحديد درجة الحرارة، وحالة المنتج، والاتجاه، وطريقة الاختبار.

اعتماد الثوابت المرنة على درجة الحرارة

تنخفض الصلابة المرنة عادةً مع ارتفاع درجة الحرارة. إذ تزداد اهتزازات الذرات، وتصبح الروابط بين الذرية أقل مقاومة للإزاحة الصغيرة، كما يغيّر التمدد الحراري المسافة الاتزانية بين الذرات. وغالبًا ما يكون التأثير تدريجيًا داخل الطور الواحد، مع أن التحولات المغناطيسية، والاسترجاع، وإعادة التبلور، والتحولات الطورية، قد تُحدث تغيرات أكثر حدة. وقرب درجة حرارة التحول، تكون قيمة واحدة مقاسة عند درجة حرارة الغرفة بديلًا ضعيفًا بوجه خاص عن نموذج مادي يعتمد على درجة الحرارة.

يقدم تقرير National Bureau of Standards عن الفولاذ الأوستنيتي Fe-5Cr-26Mn مثالًا مفيدًا. وقد حدد التقرير، المنشور عام 1981، الثوابت المرنة بين 76 و400 K انطلاقًا من سرعات الصوت في النمطين الطولي والعرضي. وهذا قياس ديناميكي؛ إذ توفر سرعات الموجات صلابتي الموجات الطولية والقصية، ويمكن حساب الثوابت المرتبطة بهما. وتوضح النتيجة أن الفولاذ الأوستنيتي، حتى عندما يُحتفظ به ضمن مجال الاختبار، لا يمتلك مجموعة واحدة من الثوابت المرنة المستقلة عن درجة الحرارة. ويمتد مجال درجات الحرارة من الظروف المبردة جدًا إلى ما فوق درجة حرارة الغرفة، ولذلك تصف القيم المقاسة منحنى، لا خاصية واحدة لدرجة فولاذ محددة.

يكتسب التمييز بين المقاومة والصلابة أهمية هنا. فقد ترتفع مقاومة الخضوع بقوة عند درجات الحرارة المنخفضة لأن حركة الانخلاعات تصبح أكثر صعوبة، في حين يتغير الميل المرن بدرجة أقل حدة. وعلى العكس، يمكن لتغير صغير في $E$ أن يغير الإزاحة المتوقعة، أو حمل الانبعاج، أو ضغط التلامس، أو توزيع الإجهادات الحرارية. فالمقاومة اللدنة والصلابة المرنة تجيبان عن سؤالين مختلفين. وقد يصبح الفولاذ أكثر مقاومة بكثير دون أن يصبح أكثر صلابة بالقدر النسبي نفسه.

وقد تنتج الاختبارات الديناميكية والساكنة أيضًا قيمًا مُبلّغًا عنها مختلفة. إذ تحدد ASTM E1875-20a معامل يونغ الديناميكي، ومعامل القص، ونسبة بواسون، باستخدام الرنين الصوتي. وتعمل اختبارات الرنين عند انفعال صغير وتردد مرتفع، في حين يستخلص اختبار الشد ميلًا ساكنًا أو شبه ساكن عبر مجال انفعال محدد. ويمكن أن تؤثر اللدونة المجهرية، والمرونة اللاتامة، وامتثال الجهاز، وهندسة العينة، وحالة السطح، والتردد، في المقارنة. ولا ينبغي التعامل مع أي من النتيجتين على أنه قابل للاستبدال مع الأخرى بصورة عامة.

لمعامل الحجم معنى فيزيائي مميز؛ فهو يقيس مقاومة الانضغاط الحجمي. ويعرّفه NIST ترموديناميكيًا بالعلاقة $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$. ويورد Engineering ToolBox معامل حجم تقريبيًا قدره 163 GPa للفولاذ غير القابل للصدأ، إلا أن هذه القيمة تقدير مرجعي ثانوي، وليست قيمة عامة لكل درجة من درجات الفولاذ غير القابل للصدأ، أو لكل درجة حرارة، أو شكل منتج، أو تركيب أطوار، أو حالة اختبار. وينطبق التحفظ نفسه على القيم الجدولية لكل من $E$ و$G$ و$\nu$.

الأوستنيت، والفريت، والمارتنسيت، والفولاذ متعدد الأطوار

يؤثر تركيب الأطوار في الاستجابة المرنة لأن لكل طور بنيته البلورية، وتركيبه الكيميائي، ومعامل شبكته، وحالته المغناطيسية، وتوزيع عيوبه، وموتر صلابته الخاص بالبلورة. يمتلك الفريت بنية مكعبة مركزية الجسم، ويمتلك الأوستنيت بنية مكعبة مركزية الوجوه، في حين يكون المارتنسيت عادةً ذا بنية رباعية مركزية الجسم أو بنية مركزية الجسم شديدة التشوه عندما يُحدث الكربون تربيعًا ملحوظًا. ولا تحدد هذه التسميات معاملًا واحدًا فريدًا. فمحتوى الكربون، والعناصر السبائكية الإحلالية، والانتظام، وكثافة الانخلاعات، والعيوب المتبقية، كلها تغير صلابة كل طور.

وتقدم الفولاذات الأوستنيتية تحذيرًا واضحًا من إسناد «معامل أوستنيت» عام إليها. فقد درست أبحاث Fe-5Cr-26Mn تركيبًا كيميائيًا ومجالًا حراريًا محددين، وليس كل سبيكة Fe-Cr-Mn أو كل فولاذ يوصف بأنه أوستنيتي. ويؤثر المنغنيز والكروم في استقرار الشبكة والسلوك المغناطيسي، في حين يمكن لدرجة الحرارة أن تغير الترتيب المغناطيسي حتى عندما تظل البنية البلورية أوستنيتية. وتؤثر هذه التغيرات في القوى بين الذرية، ومن ثم في الثوابت المرنة.

وقد تُظهر الفولاذات الفريتية سلوكًا مرنًا يعتمد على درجة الحرارة ويرتبط بحالتها الحديدية المغناطيسية وانتقالها نحو البارامغناطيسية. ولا يلزم أن يتزامن هذا التغير مع تحول طوري ظاهر. وتضيف الفولاذات المارتنسيتية طبقة أخرى من التعقيد؛ إذ يؤدي التبريد السريع إلى فرط الإشباع، وارتفاع كثافة الانخلاعات، والإجهادات الداخلية، وغالبًا إلى تربيع يعتمد على الكربون. ثم تؤدي المراجعة إلى ترسيب الكربيدات، والاسترجاع، وإعادة توزيع الكربون. ولذلك فإن الاستجابة المرنة المقاسة بعد المراجعة ليست ببساطة استجابة بلورة مارتنسيت مثالية.

وتتطلب الفولاذات متعددة الأطوار تفسيرًا قائمًا على الخواص الفعالة. ففي الفولاذات الفريتية-المارتنسيتية، أو ثنائية الطور، أو البينايتية، أو المحتوية على أوستنيت محتجز، يعكس المعامل الظاهري كسور الأطوار، وترابطها، والاتجاه البلوري، والواجهات، والمسامية، واتجاه حجم الاختبار ومقياسه. وقد يوفر تقدير قائم على قاعدة المزج تقريبًا أوليًا، غير أن التقييد الموضعي يعني أن الأطوار لا تتحمل جميعها الانفعال أو الإجهاد نفسه. فقد تغير منطقة مارتنسيتية صلبة مضمّنة في الفريت الميل المقاس من خلال نقل الحمل، في حين قد يتحول الأوستنيت المحتجز أثناء التحميل، مما يجعل الاستجابة تنحرف عن المرونة الخطية.

وعلى مستوى البلورة المفردة، تمتلك البلورات المكعبة والسداسية صلابات تعتمد على الاتجاه. ولا يقترب الفولاذ متعدد البلورات من تساوي الخواص إلا عندما تكون اتجاهات الحبيبات عشوائية بما يكفي، وتحتوي العينة على عدد كافٍ من الحبيبات لإجراء المتوسط. وقد تحتفظ الصفائح والشرائط والقضبان المدرفلة بنسيج بلوري، مما ينتج معاملات مختلفة في الاتجاه الطولي، والعرضي، وعبر السمك. وفي هذه الحالة، قد يؤدي فرض قيمة واحدة متساوية الخواص لـ $E$ وقيمة واحدة متساوية الخواص لـ $G$ في الحساب إلى إخفاء استجابة اتجاهية حقيقية.

الصب، والدرفلة، والمعالجة الحرارية، والإجهاد المتبقي

تغير المعالجة كلًا من خواص الطور الذاتية والصلابة الفعالة للجسم المصنّع. وقد يحتوي الفولاذ المصبوب على مسامية انكماشية، ومسام غازية، وأغشية أكسيدية، وانفصال كيميائي، وبنية شجرية، وشوائب، وحبيبات خشنة أو غير متجانسة. وحتى الكسر الحجمي الصغير من المسامية المترابطة يمكن أن يخفض المعامل الفعال بدرجة أكبر مما توحي به قيمة مرجعية لفولاذ كثيف تمامًا. وقد تكون الشوائب أكثر صلابة أو أكثر قابلية للتشوه من المصفوفة، في حين تعمل الشوائب ضعيفة الترابط كمركزات للإجهاد أو كعيوب شبيهة بالشقوق أثناء الاختبار الديناميكي أو الساكن.

وتعمل الدرفلة على تنقية الحبيبات واستطالتها، وتفكيك البنية المصبوبة، وإحداث نسيج بلوري. وقد يكون التباين المرن الناتج عن الاتجاهات متواضعًا في بعض المنتجات وملحوظًا في منتجات أخرى. ويؤثر كل من برنامج التخفيض، ودرجة حرارة الدرفلة، وإعادة التبلور، والسمك النهائي. ولا ينبغي إسناد معامل مقاس على امتداد اتجاه الدرفلة تلقائيًا إلى الاتجاه العرضي أو الاتجاه العمودي على السطح.

وتغير المعالجة الحرارية كسور الأطوار، وحجم الحبيبات، وكثافة الانخلاعات، والراسبات، وشكل الكربيدات، والإجهاد المتبقي. وقد تؤدي المعالجة بالتطبيع إلى تنقية بنية الفريت-البيرليت؛ كما قد يؤدي التبريد السريع إلى تكوين المارتنسيت والإجهاد المتبقي؛ بينما تخفف المراجعة بعض ذلك الإجهاد، مع تغيير الترسيب والاسترجاع. وقد تخفض عملية التخمير كثافة الانخلاعات والتأثيرات المرتبطة بالنسيج من خلال إعادة التبلور. ويمكن لهذه المعالجات أن تُحدث تغيرات كبيرة في مقاومة الخضوع والمتانة، مع إبقاء معامل الانفعال الصغير قريبًا نسبيًا من قيمته السابقة، رغم أن المعامل الفعال المقاس قد يتغير أيضًا بسبب العيوب، أو التحول الطوري، أو النسيج البلوري.

ويستحق الإجهاد المتبقي معالجة منفصلة. فمجال الإجهاد المتزن ذاتيًا لا يغير بالضرورة معامل المماس المثالي لبلورة متجانسة، مرنة خطيًا، وخالية من العيوب. لكنه قد يغير ما يسجله الاختبار. إذ يغير الإجهاد المتبقي انتشار الموجات، وتقوس العينة، وظروف التلامس، وانغلاق الشقوق، وبدء اللدونة المجهرية. وفي اختبار الشد، قد يتأثر الميل الابتدائي الظاهري بالتقويم، أو محاذاة المقابض، أو إعادة توزيع الإجهاد، أو عدم الإزالة الكاملة لإجهادات التشغيل الآلي. وفي اختبار الرنين، يمكن للإجهاد والتباين الاتجاهي أن يزيحا الترددات الطبيعية.

وبناءً على ذلك، يجب أن يحدد أي بيان يمكن الدفاع عنه بشأن معامل فولاذ ما حالة الطور، والحالة الحرارية، واتجاه المنتج، وحالة الكثافة أو العيوب، وطريقة القياس. فالرقم خاصية لتلك الحالة المحددة، وليس ثابتًا دائمًا لدرجة الفولاذ.

تسميات درجات الفولاذ وجداول الخصائص الموثوقة

تحدد تسمية الفولاذ التركيب أو فئة المنتج أو متطلبات المواصفة؛ لكنها لا تقدم، بمفردها، سجلًا كاملًا لخصائص المرونة. تُعدّ «الفولاذ غير القابل للصدأ 304» و«AISI 1045» و«ASTM A572 Grade 50» مراجع مفيدة للمواد، إلا أن أيًّا من هذه التسميات لا يحدد وحده شكل المنتج، أو تاريخه الحراري، أو النسيج البلوري، أو درجة حرارة الاختبار، أو الطريقة المستخدمة للحصول على معامل المرونة.

وتكتسب هذه التفرقة أهمية لأن المرونة الخطية متساوية الخواص لا تتضمن سوى ثابتين مستقلين. وتشمل مجموعة الثوابت التي يُبلَّغ عنها عادةً في الهندسة معامل يونغ $E$، ونسبة بواسون $\nu$، ومعامل الحجم $K$ أو $B$، ومعامل القص $G$، ومعامل لامي الأول $\lambda$، و$2\mu$. وتذكر مختبرات سانديا الوطنية أن $E$ و$\nu$ يحددان الثوابت المتبقية عند انطباق علاقات الخواص المتساوية الخواص. وتُسند OpenStax معاني فيزيائية مختلفة إلى المعاملات الرئيسية: إذ يصف $E$ الاستجابة الشدية أو أحادية المحور، ويصف $K$ الانضغاط الحجمي، ويصف $G$ تشوه القص. ولذلك، فإن الجدول الذي يعرض أربعة أرقام تبدو مستقلة من دون توضيح مصدرها قد يوحي بدرجة من الدقة أو الاستقلالية لا يمتلكها نموذج المادة.

أنواع الفولاذ غير القابل للصدأ الأوستنيتي والفيريتي والمارتنسيتي والمتصلب بالترسيب

تصف أسماء عائلات الفولاذ غير القابل للصدأ البنية المعدنية، ولا تصف استجابة مرنة عالمية واحدة. وتُعرَّف الدرجات الأوستنيتية مثل Type 304 وType 304L وType 316 وType 316L عادةً ضمن مواصفات منتجات ASTM من خلال تسمية «Type» ذات الصلة، وحيثما ينطبق ذلك، من خلال أرقام UNS مثل UNS S30400 وUNS S30403 وUNS S31600 وUNS S31603. ويجب إعادة إنتاج التسمية كما وردت في المواصفة المطبقة. ولا ينبغي تحويل «304L stainless» ضمنيًا إلى «304»، لأن الدرجة منخفضة الكربون لها متطلبات تركيب مختلفة، وقد تخضع لمعالجة مختلفة.

تشمل الدرجات الفيريتية Type 430 وType 409، بينما تشمل الدرجات المارتنسيتية Type 410 وType 420 وType 440C. وتحدد هذه الأسماء عائلات تختلف في استقرار الأطوار، ومستويات الكربون، والإضافات السبائكية، وقابلية التصلب، والسلوك المغناطيسي. وقد تتأثر خصائصها المرنة بالاختزال على البارد، والتخمير، والتبريد السريع، والمراجعة، والأوستنيت المحتفظ به، وتوزيع الكربيدات، واتجاه القياس. وقد لا يتصرف المنتج المطروق أو المدرفل مثل منتج مسبوك يحمل تسمية كيميائية مشابهة.

وتتطلب أنواع الفولاذ غير القابل للصدأ المتصلب بالترسيب عناية أكبر. فتسمية 17-4 PH مستخدمة على نطاق واسع، إلا أن المواصفة قد تحدد المادة على أنها UNS S17400، كما قد تحدد حالات مثل H900 أو H1025 أو H1150. وهذه التسميات للحالات هي حالات معالجة حرارية، وليست أسماء درجات قابلة للتبادل. ويؤدي إدراج «17-4 PH modulus» في جدول الخصائص من دون تحديد الحالة إلى إغفال جزء مهم من وصف المادة. فقد تختلف المصفوفة، وحالة الرواسب، والإجهاد المتبقي، والتشوه السابق بين الحالات، حتى عندما تبقى تسمية السبيكة الاسمية دون تغيير.

يتعامل كتاب ASM Steel Castings Handbook مع معامل المرونة، ونسبة بواسون، ومعامل القص، والخصائص الفيزيائية ذات الصلة بوصفها بيانات خاصة بمسبوكات الفولاذ. وتكتسب هذه الصياغة أهمية، إذ إن جدول الفولاذ المسبوك يصف مادة مسبوكة محددة وأساس اختبار معين، وليس كل منتج مشغول أو ملحوم أو مصنع بالإضافة أو معالج حراريًا ذي تركيب كيميائي مشابه. وقد تحتوي المسبوكات على انفصال مكوّنات، ومسامية، وشوائب، وتباين موضعي في البنية المجهرية، مما يؤثر في النتائج المقاسة وتشتتها.

ولا ينبغي كذلك استخدام تسميات عائلات الفولاذ غير القابل للصدأ لإسناد معامل دقيق واحد. فتظهر في Engineering ToolBox قيمة مرجعية ثانوية تقريبية مقدارها 163 GPa للفولاذ غير القابل للصدأ، إلا أن هذه القيمة ليست قيمة عالمية لكل درجة من درجات الفولاذ غير القابل للصدأ، أو لكل درجة حرارة، أو شكل منتج، أو حالة اختبار. إنها تقدير مرجعي، وليست بديلًا عن ورقة بيانات خاصة بالمواصفة أو عن قيمة مقاسة.

تسميات فولاذ الكربون والفولاذ منخفض السبائك

يتطلب فولاذ الكربون والفولاذ منخفض السبائك أيضًا الالتزام الدقيق بالتسميات. تحدد AISI/SAE 1045 فولاذًا كربونيًا ضمن نظام ترقيم SAE/AISI؛ وهي ليست التسمية نفسها مثل ASTM A36، التي تمثل مواصفة منتج للفولاذ الإنشائي. وتحدد ASTM A572 Grade 50 درجة ضمن ASTM A572/A572M، بينما تحدد AISI/SAE 4130 تركيب فولاذ سبائكي من الكروم والموليبدينوم. ولا ينبغي دمج هذه التسميات في صيغ غير رسمية مثل «4130-grade A572»، ما لم تدعم مواصفة حاكمة هذا الوصف صراحةً.

وتقدم التسميات الأوروبية مثالًا آخر. فـ S355J2 وS355JR تسميتان مستخدمتان ضمن EN 10025-2، وتحمل اللواحق معنى محددًا يتعلق باختبار الصدم أو بحالة التسليم. وليستا مجرد اسمين بديلين لـ ASTM A572 Grade 50. فالتشابه الكيميائي لا يثبت تكافؤ متطلبات المواصفة، أو أبعاد المنتج، أو قواعد الفحص، أو بيانات الخصائص المرنة.

وينبغي للجدول أيضًا أن يميز بين تسمية التركيب وحالة التسليم. فقد يُورَّد AISI/SAE 4140 في حالة مخمّرة، أو مطبّعة ومراجعة، أو مبرّدة تبريدًا سريعًا ومراجَعة، أو مطروقة، أو في حالة أخرى محددة. وتخضع صفائح وقضبان وأشكال ASTM A36 الإنشائية لمواصفة منتج، إلا أن استجابتها المقاسة قد تظل معتمدة على السُّمك، واتجاه الدرفلة، والإجهاد المتبقي، وطريقة الاختبار. وتضع الدرجة الاسمية حدودًا أو متطلبات؛ لكنها لا تلغي تاريخ التصنيع.

وينطبق الحذر نفسه على عبارات مثل «الفولاذ الطري» و«فولاذ العدد» و«الفولاذ منخفض السبائك عالي المقاومة» وغيرها من أوصاف العائلات المماثلة. فهذه فئات عامة وليست تسميات كاملة للدرجات. ويعرض الجدول الموثوق رقم المواصفة، والدرجة أو النوع، ورقم المراجعة عند الاقتضاء، وتسمية UNS أو AISI/SAE عند انطباقها، وشكل المنتج، وحالة المعالجة الحرارية. وإذا كانت التسمية اسمًا داخليًا لشركة، فينبغي تمييزها على هذا الأساس بدل عرضها كتسمية ASTM أو ASME أو SAE أو AISI أو EN أو UNS.

لماذا يجب أن ترافق المواصفات والمعايير قيم الخصائص؟

لا تكون قيم الخصائص المرنة ذات معنى إلا في سياق قياسها. وينبغي للجدول، كحد أدنى، أن يحدد ما يلي:

• شكل المنتج: صفيحة، أو لوح رقيق، أو قضيب، أو أنبوب، أو سلك، أو مطروقة، أو معدن لحام، أو جزء معالج بالمساحيق، أو مسبوكة؛
• المعالجة الحرارية والحالة، بما في ذلك المراجعة، أو التعتيق، أو المعالجة بالمحلول، أو حالة التصلب بالترسيب؛
• اتجاه الاختبار بالنسبة إلى اتجاه الدرفلة أو الطرق أو البثق أو البناء؛
• درجة الحرارة والحالة البيئية؛
• معدل التحميل أو التردد؛
• هندسة العينة وأبعادها ذات الصلة؛
• معيار الاختبار ورقم مراجعته؛
• ما إذا كانت النتيجة ساكنة أو شبه ساكنة أو ديناميكية؛
• عدد العينات، والمدى، والمتوسط، والتشتت حيثما توفرت هذه البيانات.

ولا يمكن تلقائيًا اعتبار المعاملات الساكنة والديناميكية قابلة للتبادل. إذ تحدد ASTM E1875-20a طريقة تحديد معامل يونغ الديناميكي، ومعامل القص، ونسبة بواسون «بالرنين الصوتي». وتستخدم قياسات الرنين انتشار الموجات وتردد الاهتزاز، بينما يمكن لاختبار الشد تحديد ميل منحنى الإجهاد–الانفعال عند معدل تحميل محدد. وتتعلق الطريقتان بالاستجابة المرنة، لكنهما قد تنتجان قيمًا مُبلَّغًا عنها مختلفة بسبب اختلاف التردد، والتخميد، والعيوب البنيوية المجهرية، وأجهزة القياس، وإجراءات اختزال البيانات.

ويجب تحديد درجة الحرارة، ولا سيما في الأعمال المبردة تبريداً عميقاً أو ذات درجات الحرارة المرتفعة. فقد قاس تقرير صادر عن المكتب الوطني للمعايير في عام 1981 الثوابت المرنة لفولاذ أوستنيتي Fe-5Cr-26Mn ضمن المجال 76–400 K باستخدام سرعات الصوت في النمطين الطولي والعرضي. ويوضح هذا المجال سبب عدم إمكانية نسخ قيمة مقاسة عند درجة حرارة الغرفة إلى جدول تصميم مبرد تبريدًا عميقًا من دون تقييد أو توضيح. ويضيف النسيج واللاتناحي البلوري مسألة أخرى: إذ يشرح فصل دليل NIST الخاص بثوابت المرونة للبلورة المفردة كيفية اشتقاق $E$ و$G$ و$B$ شبه المتساوية الخواص للمواد متعددة البلورات، ومعامل المرونة الطولي، و$\nu$، من بيانات صلابة البلورة المفردة، إلا أن هذه الاشتقاقات تعتمد على تناظر البلورة، وتوزيع الاتجاهات، وافتراضات أخذ المتوسط.

وفي الحسابات المتساوية الخواص، يكفي تحديد زوج واحد من الثوابت بعناية؛ وينبغي حساب الثوابت الأخرى باستخدام المعادلات المذكورة أو التحقق من اتساقها. أما في الفولاذ المدرفل أو المطروق أو ذي النسيج البلوري أو الملحوم أو المصنع بالإضافة، فقد يكون معامل مرونة عددي واحد تقريبًا، لا وصفًا تأسيسيًا كاملًا. وتمنع المعايير ومواصفات المنتجات الجدول من إخفاء هذا القيد. فهي تربط كل رقم بمادة وحالة واتجاه ودرجة حرارة وطريقة محددة، وهي المعلومات اللازمة قبل إدخال القيمة بمسؤولية في حسابات التصميم.

استخدام التصميم: اختيار علاقة معامل المرونة الصحيحة

يرتبط معامل المرونة بنمط التشوه. يصف معامل يونغ $E$ الانفعال العمودي الناتج عن إجهاد أحادي المحور؛ ويصف معامل القص $G$ التشوه عند حجم شبه ثابت؛ بينما يصف معامل الحجم $K$، الذي يُكتب أيضًا $B$، مقاومة الانضغاط المنتظم. وتربط نسبة بواسون $\nu$ بين الانفعال العمودي والانفعال الجانبي. وترتبط هذه الكميات بعضها ببعض، لكنها ليست قابلة للاستبدال لمجرد أنها جميعًا تُعطى بوحدة الغيغاباسكال أو لأنها تُدرج عادةً معًا للفولاذ.

بالنسبة إلى جسم صلب متجانس وخطي ومتساوي الخواص، لا يوجد سوى ثابتين مرنين مستقلين. ويذكر كتاب مرونة المواد الصلبة الصادر عن Springer ذلك مباشرةً في معالجته لمرونة المواد متساوية الخواص عام 2020. وتدرج مختبرات سانديا الوطنية المجموعة المرتبطة بهذه الثوابت على النحو التالي: معامل يونغ $E$، ونسبة بواسون $\nu$، ومعامل الحجم $K$، ومعامل القص $G$، ومعامل لامي الأول $\lambda$، و$2\mu$، حيث يحدد $E$ و$\nu$ القيم الأخرى. ولذلك فإن معادلات التحويل تمثل علاقات مشروطة، وليست قياسات مستقلة لست خصائص مادية غير مترابطة:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$$

و

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

وتكتسب الافتراضات أهمية كبيرة. إذ تنطبق هذه المعادلات على الانفعالات الصغيرة، والاستجابة المرنة الخطية، والسلوك متساوي الخواص. فقد لا تستوفي صفيحة فولاذية ذات نسيج ناتج عن الدرفلة، أو منطقة متأثرة بالحرارة من لحام، أو منتج مسبوك يحتوي على تصلب موجّه، أو بنية مجهرية ثنائية الطور، افتراض تساوي الخواص بدرجة كافية تجعل قيمة محوّلة واحدة ممثلة لكل اتجاهات التحميل.

الأعضاء أحادية المحور و$E$

بالنسبة إلى عضو شد مستقيم، أو عضو ضغط، أو قضيب ربط، أو قضيب، أو مقطع من كمرة نحيلة خاضع لقوة محورية، يكون $E$ هو معامل المرونة الأساسي. والعلاقة الأساسية هي

$$\sigma =E\epsilon ,$$

ومن ثم فإن الاستطالة المرنة لعضو منشوري هي

$$\delta =\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AE}},$$

حيث تمثل $P$ القوة المحورية، و$L$ الطول الأصلي، و$A$ مساحة المقطع العرضي. وهذه هي نقطة البداية الصحيحة لتقدير الاستطالة المرنة، والتقصير، والصلابة المحورية $\mathrm{AE}/L$.

وتدخل نسبة بواسون عندما يكون الانكماش الجانبي أو القيد متعدد المحاور مهمًا. إذ ينكمش قضيب فولاذي ممدود بحرية في الاتجاه الجانبي وفقًا للعلاقة

$${\epsilon }_{\text{transverse}}=-\nu {\epsilon }_{\text{axial}}.$$

أما في العينة المقيدة بالكامل، فلا تُعبَّر الاستجابة المحورية بواسطة $E$ وحده. إذ لا يمكن للانفعال الجانبي أن يتطور، ولذلك تصبح حالة الإجهاد ثلاثية الأبعاد وترتفع الصلابة الظاهرية. ويجب أن يراعي نموذج العناصر المحددة لإدخالة ملتصقة، أو حلقة مقيدة، أو تركيب بالكبس، هذا الاقتران بدلًا من التعامل مع المكوّن على أنه قضيب أحادي البعد معزول.

ويجب أيضًا أن تتوافق قيمة $E$ المستخدمة مع ظروف القياس والخدمة. فقد يختلف ميل اختبار الشد الساكن، ومعامل المرونة الديناميكي الرنيني، والمعامل المستنتج من سرعة الموجات فوق الصوتية، بسبب التردد ودرجة الحرارة وهندسة العينة والمسامية والإجهادات المتبقية والعيوب. وتحدد المواصفة ASTM E1875-20a تعيين معامل يونغ الديناميكي، ومعامل القص، ونسبة بواسون «بواسطة الرنين الصوتي». ولا تنتج هذه الطريقة تلقائيًا الرقم نفسه الذي ينتجه اختبار شد بطيء عند درجة حرارة التصميم.

وليس الفولاذ مادة مرنة واحدة في جميع حالاته المعدنية. فقد تختلف البنى الفريتية والمارتنسيتية والبينيتية والأوستنيتية، كما يمكن للنسيج أن يجعل استجابة اتجاه الدرفلة مختلفة عن استجابة الاتجاه العرضي. وقد حدد تقرير المكتب الوطني للمعايير بشأن الفولاذ الأوستنيتي Fe-5Cr-26Mn الثوابت المرنة من سرعات الصوت في النمطين الطولي والعرضي ضمن المجال 76–400 K. ويذكّرنا هذا المجال الحراري بأن الثابت المرن المقاس بالقرب من درجة حرارة الغرفة لا ينبغي اعتباره بيانات مستقلة عن درجة الحرارة عند استخدامه في الخدمة المبردة جدًا أو الخدمة عند درجات الحرارة المرتفعة.

الالتواء و$G$

في عمود دائري يخضع لالتواء مرن، يتحكم $G$ في زاوية الالتواء:

$$\theta =\frac{\mathrm{TL}}{\mathrm{JG}},$$

حيث تمثل $T$ عزم الدوران، و$J$ عزم المساحة القطبي الثاني، و$L$ طول العمود. وتبلغ صلابة الالتواء $\mathrm{JG}/L$. أما إجهاد القص المرتبط بذلك في عمود دائري فهو

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

ويؤدي استخدام $E$ مباشرةً في هذا الحساب إلى صلابة خاطئة، ما لم يُحوَّل أولًا باستخدام قيمة موثوقة لـ$\nu$. وبالنسبة إلى الفولاذ متساوي الخواص،

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

ويكون هذا التحويل مفيدًا عندما لا تتوافر إلا قيمتا $E$ و$\nu$، لكنه لا يحول قياس الشد إلى قياس مباشر للالتواء. فقد تُظهر مادة ما استجابة قص تعتمد على الاتجاه حتى عندما يبدو معامل الشد المتوسط مقبولًا.

وتصبح هذه التفرقة مهمة في الأنابيب رقيقة الجدران، والتخديدات، والأعمدة الملحومة، والأجزاء ذات التواريخ التصنيعية متباينة الخواص. وفي مقطع عام، قد يؤدي الالتواء إلى التواء خارج المستوى وإلى مجال قص غير منتظم، ولذلك قد تكون معادلة عمود سان-فنان للعمود الدائري غير كافية بحد ذاتها. وتظل مدخلة المادة هي معاملًا إنشائيًا للقص، لكن تحليل المقطع يجب أن يمثل الهندسة الفعلية.

وتتطلب بيانات القص الديناميكي عناية مماثلة. إذ تقيس طرائق الرنين الاستجابة عند تردد معين وسعة انفعال صغيرة. وقد تكون القيمة المحسوبة من اختبار صوتي مناسبة لتحليل الاهتزاز أو الموجات، لكنها لا تكون مطابقة بالضرورة لصلابة القاطع أو المماس المستخدمة في حساب إنشائي بحمل بطيء. ولا تُعد تسمية «ديناميكي» وصفًا ثانويًا؛ فهي تحدد شرطًا تجريبيًا مختلفًا.

المسائل الهيدروستاتيكية ومسائل التلامس والموجات

يُعد معامل الحجم $K$ أو $B$ المعامل المناسب للاستجابة الحجمية. وتحت الضغط الهيدروستاتيكي، يغيّر الضغط الحجم وفقًا للعلاقة

$$K=B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

وهو التعريف الديناميكي الحراري الذي قدمه المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا عام 1982. وتعني قيمة $K$ المرتفعة أن ضغطًا كبيرًا لا ينتج إلا تغيرًا كسريًا صغيرًا في الحجم. ويختلف ذلك عن مقاومة تغير الشكل، التي يحكمها $G$ أساسًا.

وتعطي Engineering ToolBox قيمة تقريبية لمعامل الحجم مقدارها 163 GPa للفولاذ غير القابل للصدأ. ويمكن استخدام هذه القيمة كتقدير مرجعي ثانوي، لا كقيمة عامة صالحة لكل درجة من درجات الفولاذ غير القابل للصدأ، أو لكل درجة حرارة، أو شكل منتج، أو تركيب طوري، أو طريقة اختبار. وبما أن

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

فإن الأخطاء الصغيرة في $\nu$ قد تُحدث تغيرًا ملحوظًا في معامل الحجم المحسوب عندما تقترب $\nu$ من 0.5.

وتتطلب حسابات التلامس سلوكًا عموديًا ومماسيًا معًا. ففي تلامس هرتز، يُكتب معامل المرونة العمودي الفعال لجسمين عادةً على النحو التالي:

\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}. \]

وهنا يتحكم \(E^*\)، وليس $E$ لدرجة فولاذ واحدة، في الانبعاج المرن الموضعي. كما يُدخل الانزلاق الاحتكاكي والجر المماسي $G$ و$\nu$ أيضًا. وقد يظل النموذج الذي يستبدل $K$ بـ\(E^*\) مستقرًا رياضيًا وينتج ضغوط تلامس ملساء، لكنه يمثل آلية التشوه الخطأ.

وتستخدم مسائل الموجات توليفة أخرى. ففي جسم صلب متساوي الخواص، يكون معامل موجة الضغط الطولية

$$M=K+\frac{4G}{3},$$

وتكون سرعات الموجات الطولية وموجات القص

\[ v_L=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}}, \qquad v_S=\sqrt{\frac{G}{\rho}}. \]

وبالتالي، فإن السرعة الطولية وحدها لا تحدد كل ثابت مرن؛ إذ يلزم قياس موجة مستعرضة لفصل $K$ عن $G$. وفي البلورة المفردة أو متعدد البلورات ذي النسيج الموجّه، تعتمد سرعة الموجة أيضًا على اتجاه الانتشار والاستقطاب، ولذلك قد تخفي الصيغ متساوية الخواص تباينًا مرنًا حقيقيًا.

وتستخدم صيغ العناصر المحددة ثلاثية الأبعاد عمومًا $E$ و$\nu$، أو $K$ و$G$، أو ثوابتي لامي $\lambda$ و$\mu$. ويُعد الاختيار رياضيًا، ولا يمثل تغييرًا في المادة الفيزيائية. غير أنه بالقرب من حالة عدم الانضغاط، قد تعاني صياغة $E$-$\nu$ التي تكون فيها $\nu$ قريبة من 0.5 من التقييد الحجمي، في حين قد تحقق صياغة مختلطة تستخدم الضغط والاستجابة الانحرافية أداءً أفضل. وعلى العكس، فإن إدخال قيم مقربة بصورة مستقلة لكل من $E$ و$G$ و$K$ قد يخالف معادلات التحويل متساوي الخواص وينشئ مصفوفة صلابة غير متسقة داخليًا.

وهذا هو الخطر التصميمي الأساسي: فقد يكون الثابت المحوّل متسقًا عدديًا مع معادلة ما، لكنه غير مناسب فيزيائيًا للمسألة أو درجة الحرارة أو التردد أو الاتجاه أو البنية المجهرية للفولاذ التي يجري نمذجتها. اختر المعامل أولًا بناءً على نمط التشوه، ثم تحقّق من أن ظروف قياسه وافتراضات تساوي الخواص تتوافق مع المكوّن والتحليل.

الأخطاء الشائعة في حسابات معامل مرونة الفولاذ

غالبًا ما تفشل حسابات معاملات الفولاذ لأن الكميات ذات المعاني الفيزيائية المختلفة تُعامل كما لو كانت قابلة للاستبدال. يصف معامل يونغ $E$، ومعامل القص $G$، ومعامل الحجم $K$ أو $B$، ونسبة بواسون $\nu$ التشوه المرن. أما مقاومة الخضوع فتصف بدء التشوه الدائم الملحوظ. وتنتمي هذه الكميات إلى أجزاء مختلفة من نموذج المادة.

بالنسبة إلى جسم متجانس الخواص ومرن خطيًا، لا يكون هناك سوى ثابتين مرنين مستقلين. ويذكر فصل مرونة المواد الصلبة الصادر عن سبرينغر عام 2020 ذلك مباشرة. وتدرج المختبرات الوطنية سانديا المجموعة ذات الصلة على النحو الآتي: معامل يونغ $E$، ونسبة بواسون $\nu$، ومعامل الحجم $K$، ومعامل القص $G$، والمعامل الأول للامي $\lambda$، و$2\mu$؛ إذ إن تحديد $E$ و$\nu$ يحدد القيم الأخرى. ومن التحويلات الشائعة:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

و

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

ولا تمثل هذه المعادلات حقائق تجريبية مستقلة، بل هي نتائج مترتبة على افتراض الخواص المتجانسة والمرونة الخطية. ويتطلب استخدامها قيَمًا متوافقة، ووحدات متسقة، وحالة مادية يكون فيها افتراض تجانس الخواص تقريبًا معقولًا.

الخلط بين معامل المرونة ومقاومة الخضوع

أكثر الأخطاء استمرارًا هو وصف الفولاذ عالي المقاومة بأنه «أكثر صلابة» لمجرد أن مقاومة خضوعه أعلى. تقيس مقاومة الخضوع الإجهاد الذي يبدأ عنده الانفعال اللدن وفق معيار محدد، وغالبًا ما يكون ذلك انفعالًا إثباتيًا مثل 0.2%. أما معامل يونغ فيقيس ميل استجابة الإجهاد–الانفعال المرنة قبل حدوث هذا الانتقال. ويمكن للمعالجة الحرارية، أو برنامج الاختزال على البارد، أو تفاعل الترسيب، أو تغير محتوى الكربون أن يرفع مقاومة الخضوع ارتفاعًا كبيرًا من دون إحداث تغير مماثل في الميل المرن الابتدائي.

ويكتسب هذا التمييز أهمية في التصميم. إذ يعتمد الترخيم تحت حمل تشغيلي أساسًا على $E$، والهندسة، وشروط الحدود، والحمل؛ كما يتطلب التحقق من الإجهاد المسموح مقاومة الخضوع أو حدًا آخر من حدود المقاومة. ويؤدي استبدال $E$ بمقاومة خضوع درجة فولاذية إلى نتائج تبدو معقولة من حيث الأبعاد، لكنها عديمة المعنى فيزيائيًا. وقد يقدّر الحساب الذي يقسم الإجهاد على مقاومة الخضوع نسبة الاستفادة. لكنه لا يحسب الانفعال المرن.

ويظهر الخطأ نفسه في القص. إذ يُعرَّف معامل القص بالعلاقة المرنة بين إجهاد القص وانفعال القص:

$$\tau =G\gamma .$$

أما مقاومة الخضوع في القص فهي حد لدني. وقد تُقدَّر باستخدام معيار خضوع، مثل علاقة فون ميزس، لكنها ليست $G$، ولا تُستخرج بإسناد وحدات الإجهاد إلى معامل مرونة وتغيير اسمه. ويفصل موقع OpenStax (2020) بين أنماط التشوه بوضوح: فمعامل يونغ يصف الاستجابة للشد، ومعامل الحجم يصف الانضغاط الحجمي، ومعامل القص يصف تشوه القص.

وبالتالي، يمكن أن تتضمن مواصفة فولاذية متطلبًا لمقاومة الخضوع وافتراضًا لخاصية مرنة، من دون أن تكون القيمتان مرتبطتين بتحويل بسيط خاص بالدرجة الفولاذية. وفي الحسابات الإنشائية، ينبغي تسجيل التعيين ذي الصلة ومعيار المنتج؛ مثل صفيحة أو لوح ASTM A240/A240M، أو مادة EN 10025-2 S355، أو فولاذ مقاوم للصدأ ASTM A276 Type 304، إلى جانب السمك، وشكل المنتج، واتجاه الاختبار. ويحدد التعيين متطلبات المادة، لكنه لا يجعل قيمة معامل مرونة عامة دقيقة لكل منتج.

ومن الأخطاء الأخرى التعامل مع كل درجة فولاذية على أن لها قيمة واحدة دقيقة لـ $E$. فقد تختلف أنواع الفولاذ الفريتي، والمارتنسيتي، والبينيتي، والأوستنيتي، والثنائي الطور في نسب الأطوار، والأنسجة البلورية، ومستويات المسامية في المنتجات المسبوكة، والإجهادات المتبقية. وتؤثر هذه العوامل في الاستجابة المرنة المقاسة. وبالنسبة إلى كثير من التقديرات الهندسية، تكون قيمة تقليدية بافتراض تجانس الخواص كافية، لكنها تظل افتراضًا أو قيمة تصميمية معتمدة، وليست ثابتًا فيزيائيًا كونيًا مرتبطًا بكلمة «فولاذ».

الخلط بين القيم الساكنة والديناميكية

ترتبط معاملات المرونة الساكنة والديناميكية، لكنها ليست قابلة للاستبدال تلقائيًا. ويُستخرج معامل المرونة الساكنة من اختبار ميكانيكي يُطبَّق ببطء، وعادةً من ميل منحنى الإجهاد–الانفعال في الشد أو الضغط ضمن مجال انفعال محدد. ويمكن أن تتأثر النتيجة بمطاوعة آلة الاختبار، ومحاذاة المقابض، وحالة السطح، ومعدل الانفعال، والتباطؤ، واللدونة المجهرية، وطريقة ملاءمة الميل.

أما معامل المرونة الديناميكية فيُستدل عليه من انتشار الموجات، أو الرنين، أو قياس آخر يعتمد على الزمن. ويحدد المعيار ASTM E1875-20a معامل يونغ الديناميكي، ومعامل القص، ونسبة بواسون «بواسطة الرنين الصوتي». وتُستخدم ترددات رنين العينة وأبعادها لاستنتاج الثوابت المرنة. ويمكن لهذه الطريقة أن توفر بيانات دقيقة عند الانفعالات الصغيرة، إلا أن النتيجة تمثل تشوهًا عالي التردد وبالغ الصغر من حيث السعة، ولذلك ينبغي وسمها وفقًا لذلك.

وتعتمد القياسات الديناميكية أيضًا على الكثافة، وهندسة العينة، والتردد، ودرجة الحرارة، وتحديد النمط. ولا ينبغي إدخال قيمة مشتقة من رنين طولي في حساب للقص من دون استخدام العلاقة المناسبة ونسبة بواسون متوافقة. وبالمثل، قد يكون «معامل المرونة» الوارد في مرجع هندسي اصطلاحًا تصميميًا، في حين قد يحدد تقرير الرنين معامل مرونة ديناميكيًا. ولا ينبغي مقارنة القيمتين كما لو أنهما نتجتا عن الاختبار نفسه.

وعند التحويل بين $E$ و$G$ و$K$، يجب توضيح ما إذا كانت المدخلات ساكنة أم ديناميكية. فقد يؤدي الجمع بين قيمة $E$ مستخلصة من اختبار شد وقيمة $\nu$ مستخلصة من رنين صوتي إلى تكوين مجموعة غير متسقة داخليًا، حتى عندما تكون كل قيمة منهما معقولة بمفردها. وقد يحقق الحساب المعادلات الجبرية، لكنه يفشل في تمثيل حالة مادية واحدة مقاسة.

وتتطلب نسبة بواسون عناية خاصة، لأن عدم اليقين فيها يصبح مهمًا في معادلة معامل الحجم. فإذا كان $E=200$ GPa و$\nu =0.30$، فإن العلاقة الخاصة بالخواص المتجانسة تعطي $K=166.7$ GPa. وإذا جُمعت قيمة $E$ نفسها مع $\nu =0.29$، يصبح $K=158.7$ GPa؛ ومع $\nu =0.31$، يصبح $K=175.4$ GPa. ويؤدي تغير قدره 0.01 فقط في $\nu$ إلى تغير في قيمة $K$ المحسوبة يبلغ نحو 5%. وتصبح الحساسية أكبر بكثير عندما تقترب $\nu$ من 0.5، لأن $1-2\nu$ يقترب من الصفر. لذلك ينبغي الإبلاغ عن القيمة المفترضة ومصدرها ونطاق الحساسية، بدل عرض قيمة $K$ الناتجة على أنها ثابت مقاس.

وتسبب الوحدات إخفاقًا أبسط لكنه متكرر. فبما أن $1\text{GPa}=1000\text{MPa}$، فإن إدخال قيمة $E$ بوحدة MPa إلى جانب قيمة $G$ بوحدة GPa قد يؤدي إلى خطأ بعامل 1000. وينبغي إبقاء جميع معاملات المرونة ضمن نظام وحدات واحد طوال الحساب، وذكر الوحدة بجوار النتيجة النهائية.

وتتطلب قيم معامل الحجم توثيق مصدرها. إذ يورد موقع Engineering ToolBox قيمة تقريبية قدرها 163 GPa للفولاذ المقاوم للصدأ، لكنها تقدير مرجعي ثانوي وليست قيمة عامة لكل درجة من درجات الفولاذ المقاوم للصدأ، أو لكل شكل من أشكال المنتج، أو لكل درجة حرارة، أو لكل حالة اختبار. وينبغي أن يحدد الاستشهاد القابل للدفاع عنه القياس أو الحساب الأصلي، والتركيب، وحالة الطور، ودرجة الحرارة، ونطاق الضغط، والأساس المستخدم للكثافة، والطريقة. ويجعل التعريف الديناميكي الحراري الصادر عن المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (1982)، $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$، شرط درجة الحرارة صريحًا. وينبغي وسم أي رقم منقول من جدول من دون هذه الشروط بأنه تقريبي.

تجاهل التباين الاتجاهي ودرجة الحرارة

تفترض معادلات الخواص المتجانسة أن تكون الاستجابة متماثلة في جميع الاتجاهات. وغالبًا ما تطور الصفائح المدرفلة، والأسلاك المسحوبة، والقضبان المطروقة، والفولاذ المُصنَّع بالإضافة، نسيجًا بلوريًا مفضلًا. وقد تختلف استجابتها المرنة باختلاف اتجاه التحميل، حتى عندما تبدو المادة متجانسة للعين المجردة. وقد تتطلب الصفيحة ذات النسيج البلوري القوي ثوابت خاصة بالاتجاه بدلًا من قيمة واحدة لكل من $E$ و$G$ و$\nu$.

ويُوصَف السلوك المرن للبلورة المفردة بمصفوفة صلابة مرنة، لا بمعامل قياسي واحد. ويشرح فصل الدليل الصادر عن NIST عام 1982 كيفية اشتقاق ثوابت المواد متعددة البلورات شبه متجانسة الخواص من بيانات صلابة البلورة المفردة للعناصر المكعبة والسداسية. ويُعد هذا المتوسط نموذجًا. وتقل ملاءمته عندما يكون النسيج البلوري قويًا، أو تتغير نسب الأطوار مكانيًا، أو يحتوي المنتج على شوائب أو مسام مصطفة.

وتُعد درجة الحرارة متغيرًا آخر قد يُغفل. فالثوابت المرنة تتغير عمومًا مع درجة الحرارة، ويمكن لتحولات الطور أن تُحدث انقطاعات أكبر من التليين الحراري العادي. وقد قاس تقرير صادر عن المكتب الوطني للمعايير (1981) الثوابت المرنة لفولاذ أوستنيتي Fe-5Cr-26Mn في المجال من 76 إلى 400 K باستخدام سرعات الصوت في النمطين الطولي والعرضي. ويوضح نطاق درجات الحرارة نفسه سبب عدم إمكانية نقل قيمة مقاسة عند درجة حرارة الغرفة بصمت إلى خدمة مبردة أو إلى معدات تعمل عند درجات حرارة مرتفعة.

ولذلك ينبغي أن يذكر الحساب تعيين المادة، وشكل المنتج، واتجاه الاختبار، ودرجة الحرارة، ونمط التشوه، وطريقة القياس، وما إذا كانت الثوابت ساكنة أم ديناميكية، ومتجانسة الخواص أم خاصة بالاتجاه. وإذا لم تتوافر هذه التفاصيل، فينبغي وسم النتيجة بأنها تقدير هندسي، وبيان كيفية تأثير عدم اليقين في $E$ و$G$ و$K$ و$\nu$ في الإجابة. فهذا أدق من إسناد معامل مرونة واحد دقيق إلى جميع أنواع الفولاذ، والسماح لافتراض غير معلن بالتحكم في التصميم.

المراجع

1. [1]National Institute of Standards and Technology. Bulk modulus definition. NIST handbook chapter, 1982. https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172
2. [2]ASTM International. Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM E1875-20a, 2020. https://www.astm.org/e1875-20a.html
3. [3]Springer Nature. Elasticity of Solids. Springer book chapter, 2020. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4
4. [4]OpenStax. Stress, Strain, and Elastic Modulus. University Physics Volume 1, 2020. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
5. [5]National Bureau of Standards. Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards report, 1981. https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf