Elastické konstanty oceli a vztahy mezi moduly pružnosti

Co znamenají elastické konstanty oceli — a co neznamenají

Elastické konstanty jsou parametry, které propojují působící napětí s výslednou deformací, pokud materiál zůstává v mezích pružnosti. V tomto rozsahu umožní odstranění zatížení zkušebnímu tělesu návrat alespoň přibližně k původním rozměrům. Při jednoduché zkoušce tahem je Youngův modul poměrem osového napětí k osové deformaci,

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }.$$

Tento vztah popisuje směrnici počáteční, vratné části křivky napětí–deformace. Nepopisuje celou křivku a neuvádí, jak velké napětí může ocel snést před vznikem trvalé deformace nebo lomem.

Pro izotropní lineárně pružné těleso jsou nezávislé pouze dvě pružné konstanty. Strong evidence

U izotropní lineárně elastické pevné látky jsou nezávislé pouze dvě elastické konstanty. Běžně používaná soustava zahrnuje Youngův modul $E$, Poissonův poměr $\nu$, objemový modul $K$ nebo $B$, modul smyku $G$, první Lamého parametr $\lambda$ a $2\mu$, kde $\mu =G$. Sandia National Laboratories uvádí těchto šest vzájemně souvisejících veličin a konstatuje, že $E$ a $\nu$ určují ostatní. Například

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

a

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Objemový modulObjemový modul Míra odolnosti proti rovnoměrné změně objemu pod tlakem; běžně se zapisuje jako K nebo B.

Značení se liší: NIST a další zdroje často používají pro objemový modul symbol $B$, zatímco učebnice inženýrství a software pro metodu konečných prvků často používají $K$. Označují tutéž izotropní vlastnost.

Elastická odezva versus pevnost a plasticita

Elasticita odpovídá na úzkou otázku: jak velká deformace doprovází dané napětí, než začne trvalá deformace? Pevnost odpovídá na jiné otázky. Mez kluzu určuje napětí spojené se vznikem specifikované plastické deformace; pevnost v tahu je nejvyšší technické napětí dosažené během zkoušky tahem; lomová pevnost se týká oddělení zkušebního tělesa. Nic z toho není jiným názvem pro Youngův modul.

Ocel může mít vysokou mez kluzu a téměř stejný Youngův modul jako ocel s nižší pevností a podobným složením. Tvářené za studena, precipitační vytvrzování nebo martenzitická transformace mohou výrazně zvýšit mez kluzu a tvrdost, přičemž modul v tahu při malých deformacích se změní mnohem méně. Důvodem je, že mechanismy zpevnění brání pohybu dislokací, zatímco počáteční elastická odezva odráží především tuhost atomových vazeb a celkovou krystalovou strukturu. Toto rozlišení je zásadní například při porovnávání zušlechtěné nízkolegované oceli s žíhaným výrobkem podobného chemického složení.

Plasticita začíná v okamžiku, kdy vztah mezi napětím a deformací již nesleduje původní lineární elastickou směrnici. Plastický konstitutivní model pak potřebuje informace, jako jsou kritéria kluzu, zákon zpevnění, pravidlo toku, citlivost na rychlost deformace a teplotní závislost. Samotný Youngův modul neposkytuje žádnou z těchto informací. Model metodou konečných prvků, který obsahuje přesnou hodnotu $E$, ale nevhodnou plochu kluzu, může přesto špatně předpovídat trvalou deformaci.

Jiné mechanické vlastnosti odpovídají na další odlišné otázky. Tvrdost měří odolnost vůči lokalizovanému vtlačení a v rámci kontrolované skupiny ocelí často koreluje s pevností, není však modulem. Houževnatost se týká absorpce energie a odolnosti proti šíření trhlin za stanovených zkušebních podmínek. Odolnost proti únavě se týká hromadění poškození při opakovaném nebo proměnlivém zatěžování. Ocel může mít podobný elastický modul jako jiná jakost, ale odlišnou tvrdost, rázovou houževnatost, chování při růstu trhlin nebo únavovou životnost.

Elasticita také neznamená, že každý cyklus zatěžování je dokonale vratný. Skutečná ocel může vykazovat mikroplasticitu, anelasticitu, účinky zbytkového napětí, hysterezi nebo poškození ještě předtím, než je zřejmá konvenční mez kluzu. Modul uváděný pro konkrétní zkoušku je proto spojen s rozsahem deformace, rychlostí zatěžování, historií cyklů a metodou zpracování dat.

Modul jako tuhost, nikoli napětí při porušení

Modul měří tuhost: napětí potřebné k vyvolání stanovené elastické deformace v definovaném režimu deformace. Youngův modul se týká osového prodloužení nebo zkrácení. Modul smyku popisuje odolnost vůči změně tvaru působením smykového napětí. Objemový modul popisuje odolnost vůči rovnoměrné změně objemu působením tlaku. OpenStax uvádí tyto odpovídající fyzikální interpretace pro tahovou, smykovou a objemovou deformaci.

Velký modul znamená, že dané napětí vyvolá menší elastickou deformaci. Neznamená to, že materiál snese větší napětí před kluzem nebo lomem. Uvažujme dvě ocelové součásti se stejnou hodnotou $E$, ale s odlišnými mezemi kluzu. Při stejném provozním napětí se elasticky prodlouží přibližně stejně. Součást s vyšší pevností může snést větší napětí před vznikem plastické deformace, není však v počáteční elastické odezvě významně tužší jen proto, že má vyšší mez kluzu.

Objemový modul má zvláště jasnou termodynamickou definici. V kapitole své příručky z roku 1982 National Institute of Standards and Technology uvádí

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$[1][1] Bulk modulus definition. National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

kde $V$ je objem, $P$ tlak a derivace se provádí při konstantní teplotě. Jde o objemovou vlastnost, nikoli o mez pevnosti v tahu při porušení. Ocel se obtížně rovnoměrně stlačuje, takže její objemový modul je vysoký; tato skutečnost sama o sobě vypovídá jen málo o tažnosti nebo lomové houževnatosti při tahu.

Modul by se také neměl zaměňovat s pružnou energií. Elastická energie uložená na jednotku objemu závisí na napětí a modulu a vratná energie do meze kluzu závisí jak na modulu, tak na mezi kluzu. Zvýšení meze kluzu proto může zvýšit kapacitu pro akumulaci elastické energie, i když se $E$ změní jen nepatrně.

Proč jakost oceli nemá jeden univerzální modul

Označení, jako jsou ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, EN 10025-2 S355JR nebo AISI 304, identifikuje specifikaci, rozsah chemického složení, stav výrobku nebo soubor požadovaných vlastností; nedefinuje však jedno neměnné elastické číslo pro každé zkušební těleso vyrobené podle daného označení. Naměřená odezva závisí na stavu materiálu a zkušebních podmínkách.

Teplota je jednou z hlavních proměnných. Elastické konstanty se obecně s teplotou mění a fázové transformace mohou způsobit výraznější změny, pokud mění krystalovou strukturu nebo podíl jednotlivých fází. Zpráva National Bureau of Standards vydaná v roce 1981 stanovila elastické konstanty austenitické oceli Fe-5Cr-26Mn v rozmezí 76 až 400 K pomocí rychlostí zvuku v podélném a příčném režimu. Již tento teplotní rozsah ukazuje, proč je hodnota bez uvedení zkušební teploty neúplná.

KvaziizotropníKvaziizotropní Efektivní odezva materiálu, která je pro definovaný výpočet, rozsah směrů a měřítko dostatečně blízká izotropní odezvě, přestože jednotlivá zrna zůstávají anizotropní.

Význam mají také textura a směr. Jednotlivé krystaly feritu, austenitu nebo martenzitu jsou elasticky anizotropní, což znamená, že jejich tuhost závisí na krystalografickém směru. Válcovaný plech, kovaná tyč, tažený drát a aditivně vyrobený materiál mohou získat přednostní orientace. Polykrystalický agregát se může chovat přibližně izotropně, pokud jsou orientace krystalů dostatečně rovnoměrně rozloženy, avšak silně texturovaný výrobek může vyžadovat konstanty specifické pro daný směr. Podélný modul ve směru válcování nemusí být stejný jako hodnota ve směru tloušťky.

Naměřenou celkovou odezvu ovlivňuje také fázové složení, vměstky, pórovitost, zbytkové napětí, struktura zrn a forma výrobku. Svarový kov a tepelně ovlivněné oblasti se mohou lišit od základního plechu, i když se na ně vztahuje stejná projektová specifikace. Konstanty pro monokrystal nelze jednoduše nahradit návrhovými hodnotami pro polykrystal. Příručka NIST vysvětluje, jak lze z údajů o elastické tuhosti monokrystalů kubických a hexagonálních materiálů odvodit kvaziizotropní Youngův modul, modul smyku, objemový modul a související moduly, tento výpočet však závisí na krystalové symetrii a předpokladech týkajících se průměrování orientací.

[2][2] Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.

ASTM E1875-20a stanovuje dynamické měření Youngova modulu, smykového modulu a Poissonova poměru metodou rezonanční zkoušky. Strong evidence

Výsledek uváděný měřením se mění také podle použité metody. Pomalá zkouška tahem poskytuje statický nebo sečnový/tečný modul založený na síle a posunutí, zatímco ultrazvukové nebo rezonanční metody určují dynamický modul z rychlosti vlnění nebo vlastní frekvence. Norma ASTM E1875-20 specifikuje stanovení dynamického Youngova modulu, modulu smyku a Poissonova poměru „pomocí akustické rezonance“. Dynamické hodnoty se mohou od statických lišit vlivem frekvence, tlumení, poddajnosti zkušebního zařízení, amplitudy deformace a způsobu zpracování neideálních částí zkušebního tělesa.

Užitečné uvedení modulu proto obsahuje alespoň označení oceli, formu a stav výrobku, teplotu, směr zatěžování, režim deformace a metodu měření. Mělo by také uvádět, zda je hodnota naměřená, vypočtená z jiných konstant, nebo převzatá jako návrhový předpoklad. Engineering ToolBox uvádí přibližný objemový modul 163 GPa pro „nerezovou ocel“, jde však o odhad zprostředkovaný sekundárním zdrojem, nikoli o univerzální hodnotu pro každou jakost nerezové oceli, tepelné zpracování, texturu, teplotu nebo zkušební metodu. Použití jednoho čísla pro všechny výrobky může být přijatelné při předběžném izotropním výpočtu, pokud je tento předpoklad výslovně uveden. Prezentovat je jako na jakosti nezávislou materiálovou skutečnost však přijatelné není.

Základ izotropní lineární pružnosti na dvou konstantách

Lineární pružnost popisuje vratnou část odezvy materiálu, pokud napětí a deformace zůstávají dostatečně malé, aby platil lineární vztah. Pojem izotropní přidává samostatnou podmínku: předpokládá se, že odezva je ve všech směrech stejná. Za těchto dvou předpokladů má tenzor elastické tuhosti podstatně méně nezávislých členů než obecné anizotropní těleso. Šest běžně uváděných veličin — Youngův modul pružnosti $E$, Poissonovo číslo $\nu$, objemový modul $K$ nebo $B$, smykový modul $G$, první Lamého parametr $\lambda$ a $2\mu$ — lze proto vyjádřit pouze pomocí dvou zvolených konstant.

Tento výsledek se vztahuje na konstitutivní model, nikoli automaticky na každou naměřenou hodnotu uváděnou pro ocel. Naměřenou odezvu mohou ovlivnit teplota, fázové složení, krystalografická textura, pórovitost, zbytkové napětí, orientace vzorku, frekvence i zkušební metoda. Hodnota použitá v izotropním modelu metody konečných prvků je často efektivní technickou vlastností, nikoli úplným popisem mikrostruktury materiálu.

Proč jsou zapotřebí pouze dvě nezávislé konstanty

Napětí a deformace jsou tenzory druhého řádu. V nejobecnějším lineárně pružném tělese vyžaduje vztah mezi nimi tenzor tuhosti čtvrtého řádu s mnoha možnými směrovými vazbami. Symetrie tenzorů napětí a deformace snižuje počet nezávislých členů a symetrie materiálu jej dále redukuje. Izotropie představuje nejsilnější běžnou symetrii materiálu: žádný směr není mechanicky význačný.

Izotropní vztah mezi napětím a deformací lze zapsat jako

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

kde ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ je tenzor napětí, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ tenzor deformace, ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ Kroneckerovo delta a $\lambda$ a $\mu$ jsou Lamého parametry. $\lambda$ a $\mu$ tedy tvoří jednu platnou dvojici nezávislých konstant. Smykový modul je $G=\mu$, takže použití $G$ a $\lambda$ je ekvivalentní.

Kniha Elasticity of Solids (2020) vydaná nakladatelstvím Springer uvádí ústřední výsledek přímo: u izotropního tělesa jsou nezávislé pouze dvě elastické konstanty. Dokumentace Sierra laboratoří Sandia National Laboratories uvádí související izotropní soubor jako Youngův modul pružnosti $E$, Poissonovo číslo $\nu$, objemový modul $K$, smykový modul $G$, první Lamého parametr $\lambda$ a $2\mu$ a konstatuje, že $E$ a $\nu$ určují ostatní veličiny. Výskyt šesti názvů tedy neznamená existenci šesti samostatně nastavitelných vlastností materiálu.

Pro běžnou dvojici $E,\nu$ jsou převodní vztahy následující:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )},$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )},$$

a

$$2\mu =2G=\frac{E}{1+\nu }.$$

Užitečné jsou také inverzní vztahy:

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G},$$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}.$$

Tyto rovnice nejsou empirickými korelacemi omezenými na jednu skupinu ocelí. Vyplývají z konstitutivního zákona izotropní lineární pružnosti. Zároveň stanovují požadavky na vzájemnou konzistenci veličin. Pro stabilní běžné izotropní těleso platí $G>0$, $K>0$ a $-1<\nu <0.5$. Jak se $\nu$ blíží hodnotě 0.5, stává se materiál v modelu téměř nestlačitelným: $K$ výrazně roste oproti $G$, zatímco $E$ zůstává svázán s oběma veličinami.

Fyzikální význam jednotlivých konstant se liší, přestože jsou matematicky propojené. OpenStax popisuje Youngův modul pružnosti jako poměr určující odezvu při tahu, objemový modul jako odezvu na objemové stlačení a smykový modul jako odezvu na smykovou deformaci. Tahová zkouška poskytuje především $E$, avšak měření příčné deformace současně s podélnou deformací poskytuje $\nu$. Experiment tlak–objem je zaměřen na $K$, zatímco zkouška v krutu nebo měření smykových vln na $G$. Jakmile je známa libovolná konzistentní dvojice, ostatní moduly se vypočítají, nikoli nezávisle zvolí.

Termodynamická definice objemového modulu výslovně ukazuje jeho rozdíl oproti Youngovu modulu pružnosti:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Tento vztah, který v roce 1982 uvedl National Institute of Standards and Technology, popisuje odpor proti změně objemu působením tlaku při konstantní teplotě. Neznamená však, že tabulkový objemový modul lze zaměňovat za tahový modul. Jejich číselný vztah existuje až po uplatnění izotropních konstitutivních předpokladů.

$E$ a $\nu$ jako praktická dvojice vstupních hodnot

Technické výpočty běžně používají $E$ a $\nu$, protože tyto veličiny přirozeně odpovídají jednoosé tahové zkoušce a jsou přímo podporovány standardními údaji o konstrukčních materiálech. V trojrozměrném izotropním modelu umožní zadání těchto dvou veličin softwaru odvodit $G$, $K$, $\lambda$ a $2\mu$ bez dalších konstant materiálu. Zadání všech šesti veličin může vést ke nekonzistentnímu modelu, pokud hodnoty nesplňují převodní rovnice.

To je obzvláště důležité, pokud hodnoty pocházejí z různých zdrojů. Statický tahový modul, dynamický modul získaný rezonanční metodou a odhad objemového modulu mohou být každý platné pro vlastní podmínky měření, přesto nemusí prostřednictvím izotropních rovnic přesně reprodukovat jeden druhý. Norma ASTM E1875-20a specifikuje stanovení dynamického Youngova modulu pružnosti, smykového modulu a Poissonova čísla „sonickou rezonancí“. V praxi jde o měření závislá na frekvenci nebo citlivá na rychlost zatěžování, i když materiál zůstává v elastickém rozsahu. Bez ověření zkušebních podmínek by se neměla považovat za totožná s hodnotami získanými při pomalé tahové zkoušce.

Sekundární zdroj Engineering ToolBox uvádí pro nerezovou ocel přibližný objemový modul 163 GPa. Toto číslo je referenční odhad, nikoli univerzální konstanta platná pro každou jakost nerezové oceli, tepelné zpracování, teplotu, formu výrobku nebo zkušební metodu. Nemělo by se bez rozmyslu kombinovat s nesouvisející hodnotou $E$ nebo $\nu$ a následně prezentovat jako vlastnost naměřená pro konkrétní jakost. Stejná opatrnost platí pro hodnoty v publikaci ASM Steel Castings Handbook, kde jsou modul pružnosti, Poissonovo číslo, smykový modul a související fyzikální vlastnosti uvedeny jako charakteristické údaje pro ocelové odlitky. „Ocel“ není jeden pevně definovaný elastický vzorek.

Rozlišení mezi statickými a dynamickými vlastnostmi je při navrhování důležité. Dynamické zkoušky určují elastické konstanty z rezonančních frekvencí nebo rychlostí šíření vln; statické zkoušky je určují ze síly, posunutí a deformace. Dynamický modul se může lišit v důsledku frekvence, tlumení, mikrostrukturních mechanismů, teploty a použité měřicí techniky. Zpráva National Bureau of Standards o austenitické oceli Fe-5Cr-26Mn stanovila elastické konstanty v rozmezí 76–400 K z rychlostí zvuku v podélném a příčném režimu. Tento rozsah ukazuje, proč může být hodnota bez uvedení teploty a metody neúplná, i když je označení materiálu přesné.

Úloha izotropie a kvaziizotropie

Polykrystalická ocel se může chovat přibližně izotropně, pokud jsou její zrna malá, početná a jejich orientace dostatečně náhodná. Jednotlivé krystaly zůstávají anizotropní, avšak směrové účinky se mohou v reprezentativním objemu zprůměrovat. Na tomto základě se v mnoha konstrukčních výpočtech používá jeden efektivní $E$ a jedno efektivní $\nu$.

Toto přiblížení se zhoršuje, pokud zpracování vytváří výraznou texturu. Válcování, kování, aditivní výroba, směrová tuhnutí a tepelné cykly při svařování mohou vést k přednostním krystalografickým orientacím. Deska pak může mít odlišné vlastnosti v podélném, příčném směru a ve směru tloušťky. Odlitek může vykazovat jiný charakter v důsledku dendritické struktury, segregace, pórovitosti a lokální orientace zrn. Důležité je také fázové složení: ferit, austenit, martenzit, bainit a zbytkový austenit nemají shodné elastické chování monokrystalu.

Pojem kvaziizotropní popisuje efektivní odezvu, která je pro určitý účel, rozsah směrů a měřítko dostatečně blízká izotropní odezvě. Neodstraňuje anizotropii krystalů ani nezaručuje, že se každý modul naměřený v každé orientaci bude shodovat. Kapitola příručky NIST o elastických konstantách monokrystalů vysvětluje, jak lze z údajů o tuhosti monokrystalů kubických a hexagonálních prvků odvodit polykrystalický $E$, $G$, $B$, podélný modul a $\nu$. Tento postup zviditelňuje předpoklad průměrování, místo aby výsledné polykrystalické konstanty považoval za fundamentální hodnoty.

U silně texturované oceli může anizotropní model pružnosti vyžadovat více než dvě nezávislé konstanty a musí zohledňovat orientaci vzorku. U kvaziizotropní ocelové součásti mohou pro zamýšlený výpočet postačovat dvě efektivní konstanty, pokud byl tento předpoklad ověřen měřením. Kapitola Constitutive Response vydaná Oxford Academic rovněž vymezuje izotropní lineární pružnost pomocí dvou nezávislých konstant. Praktická otázka tedy nezní, zda má ocel šest nezávislých elastických modulů. V izotropním modelu je nemá. Otázkou je, zda zvolené dvě konstanty reprezentují materiál, teplotu, směr a režim měření relevantní pro daný výpočet.

Youngův modul pružnosti E v oceli

Youngův modul pružnosti, $E$, popisuje tuhost materiálu při jednoosém tahu nebo tlaku. Podle příslušné lineárně elastické definice jde o poměr normálového napětí k osovému přetvoření:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

Zde $\sigma$ představuje normálové napětí působící ve směru osy zkušebního tělesa a $\epsilon$ je příslušné osové přetvoření. Při dokonale lineární odezvě je graf napětí–přetvoření přímkou procházející počátkem a $E$ je její směrnice. Jednotkou je pascal; u oceli se obvykle uvádí v gigapascalech.

Tato definice platí pouze pro část zatěžování, v níž je odezva materiálu lineární a vratná. Neznamená to, že každý poměr napětí k přetvoření naměřený během zkoušky oceli představuje Youngův modul. Jakmile se objeví plastické přetvoření, fázová transformace, poškození nebo výrazná nelinearita, zvolená směrnice či poměr popisuje jinou vlastnost.

Jednoosé napětí a osové přetvoření

Při jednoosé tahové zkoušce působí na zkušební těleso síla v jednom hlavním směru. Technické osové napětí se běžně vypočítává jako podíl působící síly a původní plochy příčného průřezu:

$$\sigma =\frac{F}{A_0}$$

Technické osové přetvoření je změna délky měřené části vydělená její původní délkou:

$$\epsilon =\frac{L-L_0}{L_0}$$

Při malém přetvoření poskytují tyto definice obvyklou technickou hodnotu $E$. Zkušební extenzometr nebo tenzometr měří prodloužení na stanovené měřené délce, zatímco zkušební stroj zaznamenává sílu a posunutí. Naměřená směrnice může být ovlivněna poddajností stroje, pohybem čelistí, nesouosostí zkušebního tělesa, stavem povrchu a metodou použitou ke stanovení počáteční části křivky.

V elastické oblasti se tahové zkušební těleso také příčně smršťuje. Poissonův poměr, $\nu$, vyjadřuje vztah mezi příčným a osovým přetvořením, obvykle ve tvaru

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}$$[3][3] Elasticity of Solids. Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

U izotropního lineárně elastického tělesa určují $E$ a $\nu$ ostatní elastické konstanty. Dokumentace Sandia Sierra uvádí související izotropní soubor jako Youngův modul pružnosti $E$, Poissonův poměr $\nu$, objemový modul $K$, modul ve smyku $G$, první Lamého parametr $\lambda$ a $2\mu$; její tvrzení, že $E$ a $\nu$ určují ostatní konstanty, odráží strukturu izotropní pružnosti založenou na dvou konstantách. Kniha Springer Pružnost těles rovněž uvádí, že u izotropního tělesa jsou nezávislé pouze dvě elastické konstanty.

V konstrukční praxi se běžně používají vztahy

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

a

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

kde $G$ je modul ve smyku a $K$, zapisovaný také jako $B$, je objemový modul. Tyto rovnice neznamenají, že $E$, $G$, $K$ a $\nu$ jsou čtyři nezávislé vlastnosti dané jakostí materiálu. Propojují měření při různých typech deformace, pokud jsou vhodné předpoklady izotropie a lineární elasticity.

Rozlišení mezi typy deformace je důležité. Youngův modul se týká osového prodloužení nebo zkrácení, modul ve smyku se týká úhlové deformace při smykovém namáhání a objemový modul se týká změny objemu při hydrostatickém tlaku. OpenStax tyto veličiny uvádí jako odlišné fyzikální interpretace elastické odezvy. Příručka NIST z roku 1982 definuje objemový modul z termodynamického hlediska jako

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

jeho hodnota tedy popisuje změnu objemu vyvolanou tlakem při stanovené teplotě, nikoli jednoduše směrnici tahové křivky napětí–přetvoření.

Ocel se při běžných technických výpočtech často považuje za izotropní, protože polykrystalický výrobek může obsahovat mnoho krystalografických orientací. Tento předpoklad však může selhat u silně texturovaného plechu, intenzivně tvářené tyče, válcované desky, svarových spojů, aditivně vyrobeného materiálu nebo výzkumných vzorků z monokrystalu. Krystaly kubického feritu a austenitu mají elastickou tuhost závislou na směru, přestože soubor s vhodně rozdělenými orientacemi může působit téměř izotropně. NIST vysvětluje, jak lze z údajů o elastické tuhosti monokrystalů kubických a hexagonálních materiálů vypočítat polykrystalické hodnoty $E$, $G$, $B$, podélného modulu a Poissonova poměru.

Hodnota uváděná pro „ocel“ proto není automaticky univerzální konstantou pro každou formu výrobku. Naměřenou odezvu může ovlivnit chemické složení, ferit, perlit, bainit, martenzit, zbytkový austenit, množství karbidů, pórovitost, textura a zbytkové napětí. Vliv může být při jedné konfiguraci zkoušky malý, ale při jiné významný.

Sečnový, tečný a počáteční elastický modul

Počáteční elastický modul je směrnice křivky napětí–přetvoření při nulovém nebo velmi blízkém nulovém napětí a přetvoření. V diferenciálním tvaru platí

$$E_{\text{initial}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }{|}_{\epsilon \to 0}$$

za předpokladu, že je křivka dostatečně lineární a měřicí systém byl korigován. Jde o hodnotu, která nejvíce odpovídá učebnicové definici Youngova modulu pružnosti.

Tečný modul je lokální směrnice v určitém zvoleném bodě:

$$E_{\text{tan}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }$$

Zůstává-li křivka lineární, tečný modul se rovná počátečnímu modulu. V blízkosti meze kluzu se však u oceli může objevit zakřivení způsobené počátkem plasticity, pohybem dislokací, Lüdersovou deformací, transformačními účinky nebo artefakty zkoušky. Tečný modul se pak mění s napětím a přetvořením. Musí být uveden společně s bodem nebo intervalem přetvoření, v němž byl naměřen.

Sečnový modul je směrnice přímky vedené ze zvoleného počátku do vybraného bodu na křivce:

$$E_{\text{sec}}=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

pro tento vybraný bod. Udává průměrnou odezvu v daném intervalu, nikoli lokální směrnici. Pokud se křivka odchyluje od linearity, hodnoty sečnového a tečného modulu se liší. Sečnový modul stanovený při napětí za první mezí kluzu může být výrazně nižší než počáteční elastický modul, protože celkové přetvoření zahrnuje také plastické přetvoření.

Tyto pojmy proto nejsou zaměnitelné. Označení sečnové hodnoty jako „Youngův modul“ bez uvedení rozsahu přetvoření nebo napětí může vést k nesprávnému návrhovému výpočtu. Stejný problém vzniká, když stroj uvádí směrnici odvozenou z posunutí příčníku namísto přímo změřeného přetvoření měřené části. Usazení čelistí a deformace rámu mohou zkreslit počáteční část křivky, zatímco plasticita může zkreslit její pozdější část.

Důležité je také předchozí přetvoření. Válcování za studena, tažení, rovnání, předběžné zatížení a cyklické zatěžování mění strukturu dislokací a zbytková napětí. Mohou změnit zdánlivou počáteční směrnici, způsobit asymetrii mezi tahem a tlakem a vést k odlišným směrnicím při odlehčování a opětovném zatěžování. Zkušební těleso, které bylo plasticky deformováno, není ekvivalentní nedeformovanému tělesu pouze proto, že má stejné nominální označení jakosti.

Je třeba uvést také teplotu. Elastická tuhost se obecně s teplotou mění a v širším teplotním rozsahu se může měnit i fázové složení. Zpráva National Bureau of Standards vydaná v roce 1981 stanovila elastické konstanty austenitické oceli Fe-5Cr-26Mn v rozsahu 76–400 K pomocí rychlostí zvuku v podélném a příčném módu. Tento teplotní rozsah ukazuje, proč nelze hodnotu tahové zkoušky při pokojové teplotě bez dalšího přenášet na kryogenní provoz nebo analýzu při zvýšené teplotě.

Statický a dynamický Youngův modul

Statický Youngův modul se stanovuje při pomalu působícím mechanickém zatížení, obvykle měřením síly a osového přetvoření během tahové nebo tlakové zkoušky. „Pomalu“ neznamená, že výsledek nezávisí na rychlosti. Uváděnou směrnici může ovlivnit rychlost přetvoření, historie zatěžování, doba prodlevy, nárůst teploty a měřicí systém přetvoření. Viskózně elastické účinky jsou u běžné oceli za okolních podmínek obvykle omezené, přesto mohou výsledek v blízkosti elasticko-plastického přechodu ovlivnit rychlostně závislá plasticita, tlumení, tepelné účinky a poddajnost zkušebního stroje.

Dynamický Youngův modul se odvozuje z měření vibrací, šíření vln nebo rezonance. Norma ASTM E1875-20a stanovuje určování dynamického Youngova modulu, modulu ve smyku a Poissonova poměru „pomocí zvukové rezonance“. Metoda využívá rezonanční frekvence a rozměry zkušebního tělesa, přičemž do výpočtu vstupuje hustota a vztahy pro vibrace nosníku nebo tyče. Protože deformace kmitá při konečné frekvenci a obecně s velmi malou amplitudou, není výsledek jednoduše hodnotou z rychlejší tahové zkoušky.

Dynamická měření mohou být velmi citlivá na geometrii zkušebního tělesa, podmínky uložení, frekvenci, hustotu, tlumení a vnitřní nespojitosti. Statická měření jsou citlivá na vyrovnání, umístění extenzometru, měřenou délku a rychlost přetvoření. Pokud jsou obě metody správně provedeny ve stejné elastické oblasti, jejich výsledky mohou být blízké, shoda však není zaručena. Uváděný modul by proto měl specifikovat metodu, teplotu, orientaci, stav zkušebního tělesa a to, zda jde o počáteční, tečný, sečnový, statický nebo dynamický modul.

Engineering ToolBox někdy uvádí přibližnou referenční hodnotu 163 GPa pro objemový modul nerezové oceli, jedná se však o sekundární odhad, nikoli o univerzální hodnotu platnou pro každou jakost nerezové oceli, normalizované označení, teplotu, texturu nebo formu výrobku. Stejná opatrnost je nutná i u uváděných hodnot Youngova modulu. V izotropních návrhových modelech postačuje jeden pečlivě zvolený pár elastických konstant; naměřené údaje o materiálu však musí stále odpovídat stavu oceli a typu deformace použitému ve výpočtu.

Smykový modul G a deformační tuhost

Smykový modul $G$ vyjadřuje odpor pevné látky vůči změně tvaru způsobené smykovým napětím. Primárně nepopisuje odpor vůči změně objemu. Při ideálním čistém smyku se jedna dvojice materiálových rovin posouvá vůči druhé, čímž se mění úhly uvnitř tělesa, zatímco jeho objem zůstává téměř nezměněn. Toto rozlišení odlišuje $G$ od objemového modulu $K$ nebo $B$, který popisuje odpor vůči hydrostatickému stlačení.

U oceli není $G$ samostatným označením jakosti, které by se mohlo nezávisle měnit vůči všem ostatním elastickým vlastnostem. V homogenní, izotropní, lineární teorii pružnosti jsou nezávislé pouze dvě elastické konstanty. Tabulka může uvádět Youngův modul $E$, Poissonův poměr $\nu$, smykový modul $G$, objemový modul $K$, první Lamého parametr $\lambda$ a $2\mu$, avšak tyto veličiny jsou matematicky propojeny. Sandia National Laboratories uvádějí tuto šestici izotropních konstant a konstatují, že $E$ a $\nu$ určují ostatní. Stejné omezení na dvě konstanty popisuje také Springer v publikaci Elasticity of Solids (2020).

Smykové napětí a úhlové přetvoření

Smykové napětí, obvykle označované $\tau$, působí rovnoběžně s povrchem. Pokud je obdélníkový element vystaven smyku, jeho původně pravé úhly se změní o úhlové přetvoření $\gamma$. Při malém přetvoření se $\gamma$ udává v radiánech a lze je aproximovat jako podíl příčného posunutí a výšky:

$$\gamma \approx \frac{\Delta x}{h}.$$

Lineární elastický vztah je

$$\tau =G\gamma ,$$

nebo

$$G=\frac{\tau }{\gamma }.$$

Čím větší je $G$, tím větší smykové napětí je zapotřebí k vyvolání dané úhlové deformace. Jedná se o vztah vyjadřující tuhost, nikoli o tvrzení týkající se kluzu nebo lomu. Ocelový vzorek může mít vysoký elastický smykový modul a přesto se trvale deformovat, jakmile jeho lokální smykové napětí překročí příslušnou podmínku kluzu.

Čistý smyk názorně ukazuje rozdíl mezi deformační a objemovou odezvou. Krychle se může změnit na šikmý rovnoběžnostěn, zatímco délky jejích hran a její objem se změní jen nepatrně. Reálné pevné látky při smyku rovněž vykazují normálová přetvoření. U izotropního materiálu jsou tato doprovodná přetvoření řízena Poissonovým poměrem a úplnými konstitutivními rovnicemi, avšak hlavní sledovanou deformací je úhlová deformace.

Materiál vystavený hydrostatickému tlaku se chová odlišně. Tlak působí stejně ve všech směrech a mění objem, aniž by vytvářel preferovaný smykový směr. Příslušný modul je termodynamicky definován organizací NIST takto:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

kde $V$ je objem, $P$ tlak a derivace se provádí při konstantní teplotě. Tato definice, citovaná v kapitole příručky NIST z roku 1982, ukazuje, proč by objemový modul neměl být v torsním nebo smykovém výpočtu zaměňován za $G$.

Pro izotropní aproximaci oceli je hustota deformační energie ve smyku

$$u_s=\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{{\tau }^2}{2G}=\frac{1}{2}G{\gamma }^2.$$

Tato akumulovaná energie se po odstranění zatížení uvolní, pokud deformace zůstane v elastické oblasti a nezasáhne žádný časově závislý mechanismus nebo mechanismus poškození.

Torsní namáhání, příčné vlny a smyková odezva

Torsní namáhání je praktickým projevem smykové elasticity. Při kroucení kruhového ocelového hřídele se průřezy vzájemně otáčejí a materiálové elementy jsou vystaveny smykovému přetvoření, které roste se vzdáleností od osy hřídele. Pro kruhový hřídel při Saint-Venantově torsním namáhání platí

$$T=\mathrm{GJ}\frac{\phi }{L},$$

kde $T$ je krouticí moment, $J$ polární kvadratický moment plochy, $\phi$ úhel zkroucení a $L$ délka hřídele. Po úpravě dostaneme

$$\frac{\phi }{L}=\frac{T}{\mathrm{GJ}}.$$

Hřídel s větším $G$ se při stejném krouticím momentu zkroutí méně, pokud se jeho geometrie a okrajové podmínky nezmění. Pro plný kruhový hřídel platí $J=\pi d^4/32$; pro dutý kruhový hřídel $J=\pi (d_o^4-d_i^4)/32$. Tyto rovnice platí v elastickém rozsahu torsního namáhání; pro nekruhové průřezy, deplanaci, plasticitu, zbytková napětí a anizotropní výrobky je nutné provést další analýzu.

Smykový modul se rovněž měří prostřednictvím rychlosti příčných elastických vln. V izotropním prostředí je rychlost příčné neboli smykové vlny

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }},$$

takže

$$G=\rho v_T^2,$$

kde $\rho$ je hustota. Příčná vlna vyvolává pohyb částic kolmý ke směru šíření. Její vratná síla je dána smykovou tuhostí, zatímco podélná vlna je řízena kombinací objemové a smykové tuhosti:

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}.$$

Měření obou rychlostí vln proto umožňuje vypočítat více než jednu elastickou konstantu, pokud je známa hustota. Jedná se o dynamické měření: výsledek odráží odezvu při dané zkušební frekvenci, teplotě, stavu vzorku a amplitudě vlny.

Norma ASTM E1875-20a stanovuje určování dynamického Youngova modulu, smykového modulu a Poissonova poměru „pomocí akustické rezonance“. Metoda využívá rezonanční frekvence spojené s podélnou a ohybovou nebo torzní odezvou, nikoli pomalou monotónní zatěžovací křivku. Dynamické a statické hodnoty mohou být u homogenního ocelového vzorku v omezeném elastickém rozsahu blízké, neměly by však být automaticky považovány za totožné.

Zpráva National Bureau of Standards o austenitické oceli Fe-5Cr-26Mn demonstruje význam zkušebních podmínek. Elastické konstanty byly stanoveny z rychlostí zvuku v podélném a příčném módu v rozmezí 76–400 K. Změny teploty ovlivňují atomové vazby, tepelnou roztažnost, stabilitu fází a útlum související s poruchami; modul naměřený při kryogenní teplotě se proto nemusí rovnat modulu naměřenému při teplotě blízké pokojové teplotě. Významné jsou také fázové složení a krystalografická textura oceli. Monokrystal je směrově závislý, zatímco polykrystal se může jevit jako izotropní pouze tehdy, jsou-li orientace zrn dostatečně náhodné. Válcování, kování, svařování, transformační produkty a zachovaná textura mohou vyvolat směrově závislou smykovou odezvu.

Vztah mezi G, E a ν

Pro homogenní, izotropní, lineární teorii pružnosti je základním vztahem

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Zde $E$ představuje Youngův modul a $\nu$ Poissonův poměr. Jsou-li známy dvě nezávislé konstanty, lze odvodit zbývající izotropní konstanty. Uvádět $E$, $G$ a $\nu$ jako tři navzájem nesouvisející hodnoty specifické pro danou jakost je proto z mechanického hlediska nekonzistentní, pokud se nehovoří o nejistotě měření, anizotropii, teplotě nebo odchylce od daného modelu.

Odpovídající vztah pro objemový modul je

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

a přímá souvislost mezi $K$ a $G$ je

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Tyto rovnice jsou modelovými vztahy, nikoli univerzálními převodními pravidly pro každý ocelový výrobek. Předpokládají malá přetvoření, vratné chování, homogenitu materiálu, izotropii a teplotní i zatěžovací podmínky, při nichž elastické konstanty zůstávají v podstatě neměnné. Předpokládají rovněž, že uváděné hodnoty odpovídají kompatibilním definicím. Statický modul z tahové zkoušky, rezonanční dynamický modul a modul odvozený z vln se mohou lišit, protože se liší jejich frekvence a amplitudy přetvoření.

Přibližnou referenční hodnotu objemového modulu 163 GPa pro nerezovou ocel uvádí Engineering ToolBox v roce 2024, tato hodnota však není univerzální pro každou jakost nerezové oceli, teplotu, formu výrobku, fázové složení nebo zkušební metodu. Stejná výhrada platí pro $G$. Austenitické, feritické, martenzitické a duplexní oceli se mohou lišit texturou, podílem fází, magnetickým stavem a historií zpracování. Normy a konstrukční specifikace mohou pro výpočty přiřazovat reprezentativní izotropní hodnotu, zatímco výzkumné měření může stanovovat konstanty závislé na směru.

Pro izotropní konstrukční výpočty je $G=E/[2(1+\nu \left)\right]$ vhodným spojením mezi tahovou a smykovou tuhostí. U texturovaných plechů, materiálu ovlivněného svařováním, odlitků, monokrystalů nebo vícefázové oceli s výrazně směrovým chováním může být namísto toho zapotřebí úplná anizotropní matice tuhosti. V takovém případě nemůže jediný skalární smykový modul popsat všechny smykové roviny.

Objemový modul pružnosti K nebo B a objemová komprese

Objemový modul pružnosti popisuje odpor proti rovnoměrné změně objemu. Nepopisuje odpor ocelové tyče proti protažení podél jedné osy a nelze jej zaměňovat s Youngovým modulem pružnosti. Tahová zkouška primárně určuje jednoosý modul pružnosti, zatímco tlakový experiment určuje objemový modul. Tyto dva moduly spolu souvisejí teprve po stanovení elastického modelu a jeho předpokladů.

Pro izotropní lineární elasticitu se obvykle používají symboly $K$ nebo $B$ pro objemový modul pružnosti, $E$ pro Youngův modul pružnosti, $G$ pro smykový modul pružnosti a $\nu$ pro Poissonův poměr. Nejde o čtyři nezávisle nastavitelné materiálové konstanty. Jak vysvětluje Springer v publikaci Elasticity of Solids, izotropní pevná látka má pouze dvě nezávislé elastické konstanty. Dokumentace Sandia Sierra uvádí související soubor veličin: Youngův modul pružnosti $E$, Poissonův poměr $\nu$, objemový modul pružnosti $K$, smykový modul pružnosti $G$, první Lamého parametr $\lambda$ a $2\mu$; zadáním $E$ a $\nu$ jsou určeny všechny ostatní.

Termodynamická definice objemového modulu pružnosti

National Institute of Standards and Technology definuje izotermický objemový modul pružnosti vztahem

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

kde $V$ je objem, $P$ je tlak a dolní index $T$ znamená, že derivace se provádí při konstantní teplotě. Záporné znaménko je nutné, protože rostoucí tlak obvykle zmenšuje objem, takže $\partial P/\partial V$ je záporné.

Tato definice popisuje lokální směrnici tlakově-objemové křivky. Jde o diferenciální veličinu, nikoli jednoduše o tlak dělený objemem při libovolně velké kompresi. Pro malou změnu platí

$$\frac{\Delta V}{V}\approx -\frac{\Delta P}{B}.$$

Větší hodnota $B$ tedy znamená, že k dosažení stejné relativní změny objemu je zapotřebí větší změna tlaku. Jednotkou SI je pascal, údaje pro ocel se však běžně uvádějí v gigapascalech.

Podmínka konstantní teploty je významná. Materiál vystavený pomalé kompresi si může vyměňovat teplo s okolím, zatímco rychlá zvuková vlna může vyvolat téměř adiabatickou deformaci. Dynamická měření proto mohou odpovídat jinému efektivnímu modulu než pomalá mechanická zkouška. Samotný tlak může rovněž měnit směrnici, zejména když je komprese natolik velká, že elastické konstanty již nelze dostatečně popsat jedinou konstantou.

U tělesa vystaveného hydrostatickému tlaku jsou normálová napětí stejná ve všech třech směrech:

$${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=-P.$$

Odpovídající deformace je objemová deformace,

$${\epsilon }_v=\frac{\Delta V}{V}={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,$$

pro malé deformace. Konstitutivní vztah je potom

$$P=-K{\epsilon }_v.$$

Záporné znaménko vyplývá z konvence znamének, podle níž jsou tahové napětí a tahová deformace kladné, zatímco tlaková síla je jako skalární tlak kladná.

Hydrostatický tlak a objemová deformace

Hydrostatická komprese se liší od jednoosého zatížení, přestože obě situace vytvářejí normálová napětí. Uvažujme ocelový vzorek namáhaný tahem při tahové zkoušce. Působící axiální napětí vyvolává axiální prodloužení, zatímco ve dvou příčných směrech dochází k příčné kontrakci v důsledku Poissonova jevu. Youngův modul pružnosti je v tomto uspořádání zatížení definován z axiálního napětí a axiální deformace:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

v mezích lineárně elastické oblasti.[4][4] Stress, Strain, and Elastic Modulus. OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

Při hydrostatickém tlaku není zvýhodněn žádný směr. Vzorek se zkracuje ve všech třech osách a rozhodující odezvou je součet tří normálových deformací. OpenStax tento fyzikální rozdíl uvádí přímo: Youngův modul pružnosti se vztahuje k tahovému zatížení, objemový modul pružnosti k objemové kompresi a smykový modul pružnosti ke smykové deformaci. Jednoosá tahová zkouška přímo nevytváří stav potřebný k měření $K$.

Pro izotropní lineárně elastické těleso jsou moduly propojeny vztahy

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

a

$$E=3K(1-2\nu ).$$

Dalším běžně používaným vztahem je

$$E=2G(1+\nu ).$$

Z uvedených hodnot $E$ a $\nu$ tedy lze vypočítat $K$, výsledek však přebírá podmínky a nejistoty spojené s oběma vstupními hodnotami. Pokud je $E$ dynamický rezonanční modul, zatímco $\nu$ pochází z pomalé tahové zkoušky, vypočtený objemový modul nemusí představovat jediný vnitřně konzistentní stav měření.

Vzorec také ukazuje, proč je objemový modul pružnosti v blízkosti nestlačitelnosti vysoce citlivý na Poissonův poměr. Pro jmenovitou hodnotu oceli $E=200$ GPa a $\nu =0.30$ platí

$$K=\frac{200}{3(1-0.60)}\approx 167\text{GPa}.$$

Při změně $\nu$ na 0.49 a zachování stejné hodnoty $E$ dostaneme

$$K=\frac{200}{3(1-0.98)}\approx 3333\text{GPa}.$$

Takto velká změna není pouze důsledkem drobného zaokrouhlení. Je způsobena tím, že jmenovatel se při přibližování $\nu$ k hodnotě 0.5 blíží nule. Malá chyba v $\nu$, případně hodnota převzatá z jiné teploty, frekvence, fázového složení nebo metody měření, může vést k podstatné změně vypočteného $K$.

Proč jsou kovy často popisovány jako téměř nestlačitelné

Kovy se často označují jako téměř nestlačitelné, protože jejich objemová deformace při běžném mechanickém tlaku je malá ve srovnání se změnou tvaru při smyku nebo jednoosém namáhání. Jejich objemový modul pružnosti je obecně mnohem větší než jejich smykový modul pružnosti. Tlak může objem změnit jen nepatrně, zatímco srovnatelný stav napětí umožňující změnu tvaru může vyvolat výraznější změnu geometrie.

„Téměř nestlačitelný“ neznamená dokonale nestlačitelný. Ocel má stále konečný objemový modul pružnosti a její hustota se pod tlakem mění. Toto přiblížení je užitečné při analýze tváření, v teorii plasticity, při výpočtech interakce tekutiny a konstrukce a v dalších situacích, kde jsou změny objemu malé, nesmí se však používat bez ověření materiálového modelu. Plastická deformace, fázová transformace, pórovitost, poškození a zvýšená teplota mohou objemovou odezvu změnit. Například porézní ocelový odlitek nelze považovat za ideální hutné izotropní těleso pouze proto, že jeho kovová matrice je tuhá.

Toto přiblížení dále komplikuje mikrostruktura oceli. Elastické konstanty monokrystalu závisejí na krystalografickém směru. Polykrystalický agregát se může při náhodné orientaci zrn chovat přibližně izotropně, avšak válcování, kování, fázová transformace a textura mohou vytvořit směrově závislé vlastnosti. Kapitola příručky NIST věnovaná elastickým konstantám monokrystalů ukazuje, jak lze z údajů o tuhosti monokrystalu pro kubické a hexagonální materiály odvodit kvaziizotropní hodnoty $E$, $G$, $B$, podélného modulu a $\nu$ polykrystalického materiálu. „Kvaziizotropní“ je popis použitého modelu, nikoli záruka, že každý typ výrobku má ve všech směrech totožné vlastnosti.

Význam mají také teplota a fázové složení. Zpráva National Bureau of Standards stanovila elastické konstanty austenitické oceli Fe-5Cr-26Mn v rozsahu 76–400 K na základě rychlostí podélných a příčných zvukových vln. Již tento teplotní rozsah ukazuje, proč nelze jednu hodnotu při pokojové teplotě přiřadit každému stavu oceli. Austenitické, feritické, martenzitické a vícefázové oceli se mohou v elastické odezvě lišit, přičemž tváření za studena a textura mohou měnit naměřené směrové hodnoty.

Sekundární zdroj Engineering ToolBox uvádí přibližnou hodnotu 163 GPa pro „nerezovou ocel“. Toto číslo může být vhodné pro předběžný výpočet, nejde však o univerzální objemový modul pružnosti pro jakoukoli jakost nerezové oceli, teplotu, formu výrobku, fázové zastoupení, texturu nebo podmínky zkoušky. Nemělo by být prezentováno jako naměřená konstanta společná všem nerezovým ocelím.

Dalším zdrojem variability je metoda měření. Norma ASTM E1875-20a stanovuje určování dynamického Youngova modulu pružnosti, smykového modulu pružnosti a Poissonova poměru „pomocí rezonanční metody“. Tyto hodnoty se získávají z frekvencí kmitání a jsou citlivé na hustotu, geometrii, tlumení, teplotu a frekvenci. Statická data z tahové zkoušky odpovídají jiné experimentální otázce. Výpočty pro návrh by proto měly uvádět, zda je modul naměřený nebo odvozený, statický nebo dynamický, izotropní nebo směrově závislý a ke které teplotě a jakému stavu materiálu se vztahuje. Bez těchto informací je uvedená hodnota $K$ nebo $B$ pouze podmíněným odhadem.

Poissonův poměr ν a příčná deformace v oceli

Poissonův poměr, označovaný jako ν (ný), popisuje pružnou deformaci vznikající kolmo ke směru působícího zatížení. Při tahové zkoušce je definován jako

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\mathrm{transverse}}}{{\epsilon }_{\mathrm{longitudinal}}}$$

kde podélná deformace probíhá ve směru zatížení a příčná deformace se měří napříč zkušebním tělesem. Záporné znaménko zajišťuje, že ν je při obvyklé tahové odezvě oceli kladné: měrná délka se zvětšuje, zatímco šířka a tloušťka se zmenšují.

Tato definice se vztahuje ke konkrétnímu směru pružné zkoušky, teplotě, rychlosti zatěžování a stavu materiálu. Nejde o samostatné označení jakosti, které lze volit nezávisle na Youngově modulu, modulu pružnosti ve smyku nebo objemovém modulu. U izotropního, homogenního, lineárně pružného tělesa jsou nezávislé pouze dvě elastické konstanty. Sandia National Laboratories uvádí související izotropní konstanty jako Youngův modul $E$, Poissonův poměr $\nu$, objemový modul $K$, modul pružnosti ve smyku $G$, první Lamého parametr $\lambda$ a $2\mu$; zadáním $E$ a $\nu$ jsou určeny všechny ostatní. Springer ve své publikaci Elasticity of Solids obdobně uvádí, že izotropní těleso má „pouze dvě“ nezávislé elastické konstanty.

Pro izotropní ocel při malých pružných deformacích platí především vztahy

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

a

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Stejné vztahy lze upravit na tvar

$$\nu =\frac{E}{2G}-1$$

nebo

$$\nu =\frac{3K-E}{6K}.$$

Tyto rovnice jsou konstitutivními vztahy, nikoli nezávislými způsoby přiřazení libovolných materiálových údajů. Pokud tabulka uvádí hodnoty $E$, $G$, $K$ a ν, které tyto vztahy nesplňují, mohly být hodnoty naměřeny různými metodami, při různých teplotách nebo za odlišných předpokladů. Mohou také popisovat anizotropní materiál pomocí izotropních aproximací.

Axiální kontrakce při tahovém zatěžování

Uvažujme ocelové zkušební těleso v tahu, jehož osa je orientována ve směru zatížení. Tahové napětí vyvolává kladnou axiální deformaci,

$${\epsilon }_L=\frac{\Delta L}{L},$$

zatímco průměr se zmenšuje. Je-li původní průměr $d$, příčná deformace je přibližně

$${\epsilon }_T=\frac{\Delta d}{d}.$$

V pružné oblasti platí

$${\epsilon }_T=-\nu {\epsilon }_L.$$

Má-li tedy zkušební těleso axiální pružnou deformaci $0,001$ a ν je rovno 0,30, jeho příčná deformace je přibližně $-0,0003$. Délka se zvětší o 0,10 %, zatímco průměr se zmenší o 0,03 %. Tento číselný příklad popisuje pouze deformaci; nepřiřazuje univerzální hodnotu každé jakosti oceli ani každé formě výrobku.

Poměr je bezrozměrný, protože čitatel i jmenovatel jsou deformace. Závisí také na způsobu definice deformací. Technická deformace, skutečná deformace, složky tenzoru malých deformací a sečnové deformace mohou při již nikoli velmi malých deformacích poskytovat mírně odlišné výsledky. Poissonův poměr používaný v lineárně pružném návrhu se obvykle vztahuje k počátečnímu sklonu v oblasti vratných deformací, před mezí kluzu, Lüdersovou deformací, plastickým tokem, vznikem trhlin nebo jinými nelineárními účinky.

Axiální a boční odezva jsou vzájemně spojeny. Tahové zkušební těleso se jednoduše neprodlužuje při zachování původních rozměrů příčného průřezu. U obdélníkového nebo válcového průřezu přispívá zmenšení šířky a tloušťky ke změně objemu. Při malých deformacích je objemová deformace přibližně

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L+{\epsilon }_{T1}+{\epsilon }_{T2}.$$

Pro izotropní tahový stav se stejnými příčnými deformacemi platí

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L(1-2\nu ).$$

Tento výraz ukazuje, proč je ν důležité v modelech metodou konečných prvků a ve stavebních výpočtech. Nesprávné nastavení ν mění předpovídanou příčnou kontrakci, objemovou odezvu, hydrostatické napětí a někdy i zdánlivou tuhost omezených oblastí.

Ocel není v každém měřítku jedinou izotropní látkou. Náhodně orientovaný polykrystal se může přiblížit izotropnímu chování, pokud se uplatňuje velké množství zrn a textura je slabá. Válcovaný plech, tažený drát, kovaná tyč, oblasti svarů a aditivně vyráběný materiál si mohou zachovat přednostní krystalografické orientace nebo prostorově proměnlivé rozložení fází. V takových případech závisí příčná deformace na směru zatěžování a měření. Jediná skalární hodnota ν pak může představovat vhodný inženýrský průměr, nikoli úplný popis materiálu.

Změna objemu a mez ν = 0,5

Objemový modul popisuje odpor proti rovnoměrnému stlačení, zatímco Youngův modul popisuje axiální tah nebo tlak a modul pružnosti ve smyku popisuje změnu tvaru při smykovém namáhání. OpenStax tento rozdíl uvádí přímo: Youngův modul se vztahuje k tahovému zatěžování, objemový modul k objemovému stlačení a modul pružnosti ve smyku ke smykové deformaci.

Termodynamická definice objemového modulu je

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

jak uvedl National Institute of Standards and Technology v roce 1982. Zde $P$ představuje tlak, $V$ objem a derivace se provádí při konstantní teplotě. Izotropní rovnice lineární pružnosti $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$ spojuje tuto objemovou odezvu s jednoosými pružnými údaji pouze tehdy, jsou-li izotropní předpoklady odpovídající.

Jak se ν blíží hodnotě 0,5, jmenovatel $1-2\nu$ se blíží nule a vypočtený objemový modul při konečném $E$ směřuje k nekonečnu. Jde o limit nestlačitelnosti: deformace může měnit tvar, nikoli však objem. Materiály podobné kaučuku se tomuto stavu mohou přiblížit, protože jejich objemová odezva je výrazně tužší než jejich smyková odezva. Běžné oceli nejsou nestlačitelné, ačkoli jejich objemový modul je podstatně větší než jejich modul pružnosti ve smyku.

Tento limit rovněž odhaluje numerický problém. Protože $K$ obsahuje člen $1-2\nu$, může malá chyba v ν způsobit velkou relativní chybu ve vypočteném $K$, zejména když se ν blíží hodnotě 0,5. Derivací tohoto vztahu získáme

$$\frac{\partial K}{\partial \nu }=\frac{2E}{3(1-2\nu {)}^2}$$

při konstantním $E$. Umocněný jmenovatel zesiluje citlivost. Nejistota v řádu několika tisícin u ν může mít malý vliv na hrubý axiální výpočet, ale významně ovlivnit uvedený objemový modul.

Odkaz Engineering ToolBox uvádí pro nerezovou ocel přibližný objemový modul 163 GPa. Tato hodnota je odhadem z sekundárního zdroje, nikoli univerzální hodnotou pro každou jakost nerezové oceli, teplotu, formu výrobku, fázové složení nebo zkušební metodu. Austenitické, feritické, martenzitické, duplexní a precipitačně vytvrzované oceli se mohou lišit texturou, poměrem fází, defekty a teplotní odezvou.

Měření a interpretace ν

Poissonův poměr lze získat ze současného měření axiální a příčné deformace při tahové nebo tlakové zkoušce. Extenzometry, nalepené tenzometry, optické systémy a digitální korelace obrazu mohou měřit obě složky deformace, avšak příčný signál bývá menší a citlivější na nesouosost, přípravu povrchu, geometrii měřicí délky a šum. Nesouosost může vyvolat ohyb, zatímco nepřesné umístění tenzometru může kombinovat podélný a příčný směr.

Druhá možnost spočívá v odvození ν z nezávisle změřených rychlostí elastických vln. Rychlosti podélných a smykových vln poskytují dynamické informace o pružnosti; pro izotropní těleso platí

$$G=\rho v_S^2$$

a

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_S^2),$$

kde $\rho$ je hustota, $v_S$ rychlost smykové vlny a $v_L$ rychlost podélné vlny. Výsledné hodnoty $E$ a ν popisují odezvu při malé amplitudě a konečné frekvenci, která nemusí odpovídat hodnotě získané pomalou tahovou zkouškou. Norma ASTM E1875-20a specifikuje stanovení dynamického Youngova modulu, modulu pružnosti ve smyku a Poissonova poměru „pomocí rezonanční metody“.[5][5] Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

Změny teploty ovlivňují jak pružnou tuhost, tak rychlost šíření vln. Zpráva National Bureau of Standards stanovila elastické konstanty austenitické oceli Fe-5Cr-26Mn v rozsahu 76–400 K s využitím rychlostí zvuku v podélném a příčném režimu. Tento rozsah ukazuje, proč by hodnota naměřená v blízkosti pokojové teploty neměla být automaticky přenášena na kryogenní provoz nebo návrh pro zvýšené teploty.

Další omezení představuje textura a krystalografická anizotropie. Elastické tuhosti monokrystalu lze převést na kvaziizotropní polykrystalické hodnoty $E$, $G$, $K$ a ν pouze pomocí průměrovacího modelu, který zohledňuje krystalovou symetrii a rozložení orientací. Válcovaný plech proto může vykazovat odlišné poměry při zatěžování ve směru válcování, v příčném směru a ve směru tloušťky. Dynamická rezonanční metoda může rovněž vzorkovat jiný efektivní objem a amplitudu deformace než statická tahová zkouška.

Pro návrh by ν mělo odpovídat zamýšlenému konstitutivnímu modelu a zkušebním podmínkám. Skalární izotropní hodnotu používejte pouze tehdy, pokud forma výrobku, textura, teplota, rozsah deformací a požadovaná přesnost podporují takové zjednodušení. V opačném případě jsou směrově závislé elastické konstanty nebo úplná anizotropní matice tuhosti obhajitelnější než zacházet se čtyřmi uváděnými moduly jako s navzájem nesouvisejícími údaji specifickými pro danou jakost.

Úplný soubor vztahů mezi izotropními moduly

Pro homogenní, lineárně elastické, izotropní pevné těleso nejsou čtyři běžně uváděné moduly čtyřmi nezávislými materiálovými konstantami. Youngův modul $E$, smykový modul $G$, objemový modul $K$ nebo $B$ a Poissonův poměr $\nu$ popisují různé režimy deformace, jejich hodnoty jsou však vzájemně provázány. Libovolné dvě vhodné konstanty určují zbývající veličiny.

Toto tvrzení má určité podmínky. Materiál musí být považován za izotropní, odezva napětí–deformace musí být v uvažovaném rozsahu lineární a moduly se musí vztahovat ke stejné teplotě, hustotě, fázovému složení, průměrování textury, frekvenci a konvenci měření. Modul naměřený při tahové zkoušce za malých deformací nelze automaticky zaměňovat s dynamickým modulem odvozeným z rychlosti zvuku. U anizotropního monokrystalu níže uvedené izotropní rovnice nereprodukují úplnou směrovou odezvu.

OpenStax (2020) jasně vymezuje fyzikální úlohy jednotlivých veličin: $E$ popisuje tahovou neboli jednoosou deformaci, $G$ popisuje smykovou deformaci a objemový modul popisuje objemovou kompresi. Zpracování NIST z roku 1982 definuje termodynamický objemový modul jako

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

kde $V$ je objem, $P$ tlak a derivace se provádí při konstantní teplotě. V rámci lineární elasticity pro malé deformace tato termodynamická definice odpovídá objemové tuhosti použité ve vztazích níže, pokud se používá stejný stav a stejná elastická aproximace.

Převody mezi $E$, $G$, $K$ a $\nu$

Úplný soubor rovnic pro izotropní lineární elasticitu je:

\[ \boxed{G=\frac{E}{2(1+\nu)}} \]

\[ \boxed{K\ \text{nebo}\ B=\frac{E}{3(1-2\nu)}} \]

\[ \boxed{E=\frac{9KG}{3K+G}} \]

\[ \boxed{\nu=\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \]

\[ \boxed{\lambda=K-\frac{2G}{3}} \]

\[ \boxed{\mu=G} \]

První rovnice převádí Youngův modul a Poissonův poměr na smykový modul. Předpokládá izotropní konstitutivní zákon a infinitezimální, lineárně elastickou deformaci. Druhá převádí $E$ a $\nu$ na objemový modul. Také předpokládá, že naměřený Poissonův poměr je izotropní elastický poměr, nikoli hodnota závislá na směru získaná z anizotropního vzorku.

Třetí rovnice vypočítává $E$ z $K$ a $G$, zatímco čtvrtá vypočítává $\nu$ ze stejných dvou modulů. Tyto rovnice jsou algebraickými úpravami téhož izotropního konstitutivního modelu; neposkytují nezávislé experimentální ověření, pokud vstupní hodnoty nepocházejí ze samostatných měření. Pokud jsou uvedeny $E$, $G$ i $\nu$, lze očekávat malé rozdíly způsobené nejistotou měření, zaokrouhlováním, rozdíly teplot, pórovitostí, texturou nebo odchylkami od izotropie.

Pro stabilní, běžné izotropní elastické těleso obecně platí

\[ G>0,\qquad K>0,\qquad -1<\nu<\frac{1}{2}. \]

Horní mez pro $\nu$ je obzvláště důležitá. Jak se $\nu$ blíží hodnotě $0,5$, člen $1-2\nu$ se blíží nule a vypočtený objemový modul se stává velmi velkým ve srovnání s $E$. Téměř nestlačitelný materiál proto může mít konečný tahový modul, avšak mnohem větší objemovou tuhost. Ocel je stlačitelná, takže považovat $\nu =0,5$ za přesnou hodnotu pro ocel by vedlo k singulárnímu převodu, nikoli k informativnímu výsledku.

Rovnice lze použít pro efektivní izotropní vlastnosti polykrystalu, pokud byly směrové odchylky dostatečně zprůměrovány. Kapitola příručky NIST o elastických konstantách monokrystalů ukazuje, proč je tato podmínka důležitá: efektivní hodnoty $E$, $G$, $B$, podélného modulu a $\nu$ lze odvodit z tuhostních údajů monokrystalu u kubických a hexagonálních materiálů, avšak postup průměrování závisí na krystalové symetrii a textuře. Válcovaný plech, svarový kov, odlitá struktura a náhodně orientovaný žíhaný polykrystal nemusí mít stejnou směrovou elastickou odezvu, i když jsou jejich chemické popisy podobné.

Konstanty mohou také popisovat různé frekvenční režimy. Norma ASTM E1875-20a, vydaná organizací ASTM International v roce 2020, stanovuje určování dynamického Youngova modulu, smykového modulu a Poissonova poměru „pomocí akustické rezonance“. Tyto dynamické hodnoty se získávají z rezonančních frekvencí a vztahují se k rychlému zatěžování s malou amplitudou. Modul ze statické tahové zkoušky se může lišit v důsledku poddajnosti přístroje, mikroplasticity, vnitřního tření, pórovitosti, teploty nebo jiných odchylek od ideálního elastického modelu. Převodní rovnice zůstávají platné pouze tehdy, pokud vstupní konstanty náležejí ke kompatibilnímu konstitutivnímu popisu.

Referenční hodnota, jako je přibližná hodnota objemového modulu nerezové oceli $163\text{GPa}$ uvedená v Engineering ToolBox, by proto měla být chápána jako sekundární odhad, nikoli jako univerzální hodnota platná pro každý druh nerezové oceli, formu výrobku, teplotu, fázové zastoupení nebo zkušební metodu. Označení „nerezová ocel“ zahrnuje výrazně odlišné materiály, včetně austenitických, feritických, martenzitických, precipitačně vytvrzovaných a duplexních jakostí. Jejich elastická odezva se může měnit také v důsledku tváření za studena a teploty.

Laméovy parametry $\lambda$ a $\mu$

Laméovy parametry představují další způsob popisu téhož izotropního elastického zákona. Druhý Lamého parametr je

$$\mu =G,$$

takže $\mu$ je jednoduše smykový modul vyjádřený v Lamého notaci. První Lamého parametr je

$$\lambda =K-\frac{2G}{3}.$$

Lze jej také zapsat jako

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}.$$

V tenzorové notaci se vztah mezi napětím a deformací pro izotropní materiál běžně zapisuje jako

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

kde ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ je tenzor napětí, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ tenzor deformace, ${\epsilon }_{\mathrm{kk}}$ objemová deformace a ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ Kroneckerovo delta. Násobitel $2\mu$ působí na deviatorickou a smykovou složku tenzoru deformace; nedefinuje samostatný fyzikální modul odlišný od $G$.

Dokumentace Sandia Sierra uvádí šest souvisejících izotropních elastických konstant: Youngův modul $E$, Poissonův poměr $\nu$, objemový modul $K$, smykový modul $G$, první Lamého parametr $\lambda$ a $2\mu$. To vysvětluje častý problém s notací v softwaru a metodě konečných prvků. Materiálová karta může požadovat „$2\mu$“, protože konstitutivní rovnice používá tento koeficient, zatímco jiné rozhraní požaduje $G$ nebo $\mu$. Zadání $G$ tam, kde je vyžadováno $2\mu$, by vedlo k chybě o faktor dva.

Publikace Elasticity of Solids vydaná nakladatelstvím Springer v roce 2020 uvádí základní pravidlo přímo: pro izotropní těleso jsou nezávislé pouze dvě elastické konstanty. Stejně tak formulace Sandia uvádí, že $E$ a $\nu$ určují ostatní konstanty. Šest názvů tedy označuje šest vzájemně provázaných veličin, nikoli šest samostatně nastavitelných vlastností jakosti materiálu.

Jednotky, notace a konflikty v notaci mezi $K$ a $B$

$E$, $G$, $K$, $B$, $\lambda$ a $\mu$ mají všechny jednotky napětí: v SI pascaly, u oceli se běžně uvádějí v gigapascalech ($\text{GPa}$). Poissonův poměr $\nu$ je bezrozměrný. Protože $1\text{GPa}={10}^9\text{Pa}$, musí všechny vstupní veličiny typu napětí před použitím kterékoli rovnice používat stejnou jednotku.

Symbol $K$ je v mechanice kontinua a dokumentaci k metodě konečných prvků běžným označením objemového modulu. NIST a mnoho materiálových příruček používají $B$, často proto, že anglické označení „bulk modulus“ začíná písmenem B. Tyto symboly v uvedených rovnicích obvykle označují tutéž veličinu:

$$K=B.$$

Nejde o dvě různé konstanty oceli. Ke konfliktu dochází tehdy, když jedna učebnice používá $K$ pro objemový modul, zatímco jiný obor používá $K$ pro matici tuhosti, součinitel tepelné vodivosti nebo veličinu související s intenzitou napětí. Výklad musí být řízen okolní definicí.

Vztahy nakonec popisují elastické konstanty, nikoli každou tuhost naměřenou během provozu. Teplotně závislá data, fázové přeměny, magnetické účinky, textura, zbytkové napětí a frekvence mohou měřenou odezvu měnit. Zpráva National Bureau of Standards z roku 1981 o austenitické oceli Fe-5Cr-26Mn například stanovila elastické konstanty v rozsahu 76–400 K z rychlostí zvuku v podélném a příčném módu. Už tento teplotní rozsah ukazuje, proč jediné nekvalifikované číslo pro modul nemůže reprezentovat všechny podmínky. Rovnice poskytují rámec pro převod; zkušební stav určuje, které hodnoty do něj patří.

Pružnost monokrystalu, krystalografie oceli a průměrování polykrystalů

Ocel není elastická v přesně stejném matematickém smyslu na každé strukturní úrovni. Jednotlivý krystal má vlastnosti spojené se směry své mřížky, zatímco technický ocelový výrobek obvykle obsahuje mnoho zrn s různou orientací, fázemi, defekty a zbytkovými napětími. Považovat modul naměřený ve druhém případě za univerzální vlastnost prvního případu může vést k zavádějícímu výpočtu.

Toto rozlišení vychází ze symetrie krystalu. Feritické oceli mají prostorově centrovanou kubickou (BCC) krystalovou strukturu, austenitické oceli mají plošně centrovanou kubickou (FCC) strukturu a martenzit se obvykle popisuje jako prostorově centrovaná tetragonální struktura, ačkoli její tetragonalita závisí na obsahu uhlíku a průběhu popouštění. Tyto struktury nepřenášejí elastickou deformaci ve všech krystalografických směrech shodně. Polykrystal může působit téměř izotropně až poté, co se směrové odezvy mnoha zrn zprůměrují.

Tenzory elastické tuhosti v kubických krystalech

Lineární pružnost vyjadřuje vztah mezi napětím a deformací pomocí tenzoru tuhosti čtvrtého řádu:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=C_{\mathrm{ijkl}}{\epsilon }_{\mathrm{kl}}.$$

Tenzor obsahuje elastické tuhosti $C_{\mathrm{ijkl}}$, zatímco jeho inverze obsahuje elastické poddajnosti $S_{\mathrm{ijkl}}$. Krystalová symetrie snižuje počet nezávislých členů. Zcela obecně anizotropní pevná látka může vyžadovat 21 nezávislých elastických konstant, kubický krystal však vyžaduje pouze tři: $C_{11}$, $C_{12}$ a $C_{44}$.

Ve zkráceném maticovém zápisu má matice tuhosti kubického krystalu tvar

\[ \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2\\ \sigma_3\\ \sigma_4\\ \sigma_5\\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\ 0&0&0&C_{44}&0&0\\ 0&0&0&0&C_{44}&0\\ 0&0&0&0&0&C_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \varepsilon_3\\ \varepsilon_4\\ \varepsilon_5\\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}. \]

Tyto tři konstanty mají odlišné úlohy. $C_{11}$ popisuje odezvu normálového napětí ve směru kubické osy, $C_{12}$ vyjadřuje vazbu mezi normálními deformacemi kolmých os a $C_{44}$ popisuje smykovou odezvu na hlavní krystalografické rovině. Jedná se o tuhosti, nikoli o vzájemně zaměnitelné varianty Youngova modulu nebo modulu smyku.

Užitečným ukazatelem anizotropie kubického krystalu je Zenerův poměr,

$$A=\frac{2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}.$$

Když $A=1$, má elastická odezva kubického krystalu stejný směrový charakter jako izotropní pevná látka. Hodnoty odlišné od jedné ukazují na závislost na orientaci. Tento poměr sám o sobě neurčuje modul ocelového výrobku; popisuje elastickou symetrii krystalu v případě, že byly změřeny nebo vypočteny příslušné konstanty monokrystalu.

Kapitola NIST o monokrystalech, vydaná v roce 1982, ukazuje, jak lze tyto údaje o tuhosti převést na souhrnné vlastnosti kubických a hexagonálních materiálů. Pro kubický krystal je objemový modul spojený s rovnoměrnou hydrostatickou deformací

$$B=\frac{C_{11}+2C_{12}}{3}.$$

To je v souladu s termodynamickou definicí uváděnou organizací NIST,

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Modul smyku a Youngův modul monokrystalu jsou stále závislé na směru, přestože hydrostatická objemová odezva kubického krystalu je omezena jeho symetrií. Směr, jako například $\left[100\right]$, $\left[110\right]$ nebo $\left[111\right]$, může vést k odlišnému tahovému modulu, protože působící napětí se vůči mřížce rozkládá odlišným způsobem.

U izotropního materiálu jsou nezávislé pouze dvě elastické konstanty, jak popisuje kapitola Elasticity of Solids vydaná nakladatelstvím Springer v roce 2020. Dokumentace Sierra společnosti Sandia uvádí související izotropní soubor: Youngův modul $E$, Poissonův poměr $\nu$, objemový modul $K$, modul smyku $G$, první Lamého parametr $\lambda$ a $2\mu$; libovolné dvě vhodné veličiny určují všechny ostatní. Toto zjednodušení se nevztahuje na krystal jen proto, že je krystal malý nebo že jeho deformace zůstává elastická. Vyplývá z izotropní symetrie.

Textura a směrový modul

Orientace krystalu se běžně vyjadřuje jeho krystalografickým směrem a rovinou vzhledem k osám vzorku. U polykrystalického plechu funkce rozdělení orientací zaznamenává rozložení orientací zrn. Textura vzniká tehdy, když zpracování zvýhodňuje určité rotace mřížky, zejména během válcování, rekrystalizace a následné fázové přeměny.

Naměřený tahový modul ve směru válcování se proto nemusí rovnat modulu ve směru kolmém na válcování ani modulu ve směru tloušťky plechu. Rozdíl vyplývá ze součtu odezev jednotlivých zrn váženého jejich orientací, nikoli z existence nové nezávislé veličiny „Youngova modulu ve směru válcování“, která by nahrazovala základní tenzor tuhosti. Model metodou konečných prvků může toto chování reprezentovat přiřazením anizotropního tenzoru tuhosti materiálovým souřadnicím nebo přiřazením vlastností na úrovni krystalů mnoha různým orientacím.

Válcovaná nízkouhlíková ocel, feritická korozivzdorná ocel a plech zpracovaný s využitím fázových přeměn mohou vykazovat texturu vzniklou deformací a rekrystalizací. Kovaná ocel může v okolí kovací osy vytvářet směrově závislý tok zrn a texturu. Odlévaná ocel má často rozmanitější rozložení orientací, tuhnutí však stále může vést ke vzniku sloupcových zrn, segregace, fázových gradientů nebo přednostních orientací. Žádný z těchto způsobů zpracování nezaručuje izotropii ani konkrétní velikost anizotropie.

Další problém s orientací představuje aditivně vyráběná ocel. Tepelné cyklování po jednotlivých vrstvách může vytvářet sloupcová zrna orientovaná ve směru výroby, zatímco strategie skenování, geometrie tavné lázně, opakovaný ohřev a tepelné zpracování mění rozložení orientací i fázové složení. Modul naměřený rovnoběžně se směrem výroby se proto může lišit od modulu naměřeného kolmo na tento směr. Uváděnou hodnotu musí doprovázet informace o směru, poloze vzorku, tepelném zpracování, pórovitosti a zkušební metodě.

Textura ovlivňuje také Poissonův poměr a modul smyku. Tahová zkouška může uvádět odezvu axiální deformace, zatímco rezonanční metoda odvozuje několik dynamických konstant z vibračních módů. Norma ASTM E1875-20a stanovuje určování dynamického Youngova modulu, modulu smyku a Poissonova poměru „pomocí akustické rezonance“. Tyto dynamické hodnoty nejsou automaticky totožné se statickými hodnotami z pomalé tahové zkoušky, zejména pokud odezvu ovlivňuje tlumení, mikrotrhliny, pórovitost, teplota nebo frekvence.

Přibližné odhady kvaziizotropních polykrystalů

Pokud jsou orientace zrn dostatečně rozptýlené, mohou se směrové rozdíly na úrovni vzorku zprůměrovat na malé hodnoty. Inženýři pak agregát popisují jako kvaziizotropní: není dokonale izotropní v každém zrnu ani v každém lokálním objemu, pro zamýšlený výpočet jej však lze dostatečně přesně reprezentovat izotropními konstantami. Toto slovo je významné. Označuje aproximaci, nikoli tvrzení, že veškerá krystalografická anizotropie zmizela.

Odhady vlastností polykrystalu lze získat z údajů o tuhosti nebo poddajnosti monokrystalu pomocí mezních odhadů a průměrovacích postupů. Voigtův odhad předpokládá rovnoměrnou deformaci ve všech zrnech, zatímco Reussův odhad předpokládá rovnoměrné napětí. Jejich předpovědi se obecně liší, protože žádná z těchto podmínek přesně nereprezentuje každý heterogenní agregát. Hillův odhad, běžně definovaný jako aritmetický průměr Voigtova a Reussova výsledku, často slouží jako praktická mezilehlá aproximace. Tyto odhady vyžadují stanovení krystalové symetrie, rozložení orientací a fázového složení.

Pro kvaziizotropní agregát platí pro výsledné hodnoty $E$, $G$, $B$ a $\nu$ známé izotropní vztahy:

$$E=2G(1+\nu ),$$

$$E=3B(1-2\nu ),$$

a

$$E=\frac{9\mathrm{BG}}{3B+G}.$$

Jakmile jsou zvoleny dvě nezávislé konstanty agregátu, ostatní se odvodí. Referenční tabulka může uvádět přibližný objemový modul 163 GPa pro korozivzdornou ocel, jak v roce 2024 uvedl Engineering ToolBox, avšak tato hodnota představuje sekundární odhad, nikoli univerzální hodnotu platnou pro každý druh korozivzdorné oceli, každou teplotu, formu výrobku, fázové složení nebo metodu měření.

Zpráva National Bureau of Standards o austenitické oceli Fe-5Cr-26Mn přímo ilustruje problém měření: elastické konstanty byly stanoveny v rozmezí 76–400 K z rychlostí zvuku v podélném a příčném módu. Teplota mění mřížkovou vzdálenost, stabilitu fází, pohyblivost defektů i rychlost šíření vln, takže výsledné konstanty popisují konkrétní zkušební podmínky. Pro návrh může být kvaziizotropní soubor vhodný pro odlitý nebo žíhaný výrobek se slabou texturou. Silně válcovaný plech, kovaný díl, svar nebo aditivně vyrobený díl mohou naopak vyžadovat směrové údaje. Správný modul proto není jednoduše číslo přiřazené určité třídě oceli; jde o hodnotu spojenou s režimem deformace, orientací, teplotou, mikrostrukturou a zkušební metodou.

Jak se měří pružnostní konstanty oceli

Pružnostní konstanty oceli se měří buď z odezvy síla–posunutí, nebo z šíření a rezonance mechanických vln. Tyto přístupy neposkytují vždy stejný číselný modul. Tahová zkouška zaznamenává kvazistatický sklon při určité rychlosti zatěžování, zatímco sonické a ultrazvukové metody měří vysokofrekvenční odezvu s malou amplitudou. Výsledek mohou ovlivnit teplota, struktura zrn, krystalografická textura, pórovitost, fázové složení, zbytkové napětí, geometrie vzorku a definice měřeného módu.

U izotropní, lineárně pružné pevné látky jsou nezávislé pouze dvě pružnostní konstanty. Youngův modul $E$, modul smykové pružnosti $G$, modul objemové pružnosti $K$ nebo $B$, Poissonův poměr $\nu$, první Lamého parametr $\lambda$ a $2\mu$ popisují související aspekty téže konstitutivní odezvy; Sandia National Laboratories uvádějí tuto soustavu a konstatují, že $E$ a $\nu$ určují ostatní veličiny. Na metodě měření tedy záleží, i když mají uváděné veličiny známé názvy. Youngův modul popisuje axiální prodloužení, modul objemové pružnosti popisuje změnu objemu při hydrostatickém tlaku a modul smykové pružnosti popisuje úhlovou deformaci.

Mechanické metody tahových a tlakových zkoušek

Konvenční tahová metoda určuje statický nebo kvazistatický Youngův modul ze sklonu počáteční lineární části křivky napětí–poměrné deformace:

$$E=\frac{d\sigma }{d\epsilon }.$$

Obrobený ocelový vzorek se zatěžuje tahem, zatímco extenzometr, tenzometr nebo optický systém měří axiální poměrnou deformaci. Užitečný sklon se určuje před vznikem plasticity, Lüdersovy deformace, trhlin nebo jiného nelineárního chování. Zvolený interval deformace musí být uveden, protože malé odchylky od linearity, poddajnost zkušebního stroje, účinky dosednutí a omezení rozlišení měření deformace mohou změnit výslednou proloženou hodnotu.

Tahová zkouška může rovněž určit Poissonův poměr měřením současné příčné deformace:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}.$$

Axiální a příčná měření musí být synchronizována a prováděna ve stejném pružném intervalu. Jakmile jsou známy hodnoty $E$ a $\nu$, poskytují izotropní vztahy

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

a

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Tyto vypočtené hodnoty nepředstavují samostatná měření smykové nebo objemové tuhosti. Převádějí závislost původních tahových údajů na teplotě, rychlosti deformace, textuře a směru zkoušky také na výsledné hodnoty.

Tlaková zkouška poskytuje další způsob určení axiálního modulu, ale přináší jiné zdroje chyb. Vzorek musí být dostatečně krátký, aby nedošlo k vybočení, a zároveň dostatečně dlouhý, aby bylo možné měřitelně zaznamenat posunutí. Tření na koncích může omezovat příčné rozpínání a vést k soudkovitému tvaru vzorku, takže naměřený sklon závislosti síla–posunutí může zahrnovat vliv tření a nesouososti tlakových desek. Záleží na mazání, rovnoběžnosti konců, jakosti povrchu, tuhosti tlakových desek a poměru výšky vzorku k jeho průměru. Extenzometry nebo snímače posunutí by měly měřit deformaci v měřené délce vzorku, nikoli se spoléhat pouze na dráhu příčníku.

Hydrostatické stlačování je z koncepčního hlediska bližší přímému měření modulu objemové pružnosti, protože působí tlakem ve všech směrech a sleduje změnu objemu:

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Jde o termodynamickou definici uvedenou National Institute of Standards and Technology v roce 1982. Běžné jednoosé stlačování není hydrostatické stlačování; kombinuje axiální a příčnou deformaci, a proto neměří $K$ přímo. Přímé stanovení modulu objemové pružnosti vyžaduje tlakové nádoby, přesné měření objemu nebo deformace, kalibraci tlaku a regulaci teploty. Pro většinu charakterizací konstrukčních ocelí se $K$ místo toho vypočítává z nezávisle změřených hodnot $E$ a $\nu$, případně se získává z rychlostí zvuku.

Statické mechanické sklony jsou zvláště citlivé na rychlost zkoušky a stav vzorku. Výsledek tahové zkoušky leštěné tyče zbavené zbytkových napětí při pokojové teplotě nepředstavuje automaticky modul texturovaného válcovaného plechu, svarového kovu nebo tepelně zpracovaného dvoufázového výrobku. V kubickém monokrystalu se tuhost mění v závislosti na krystalografickém směru. Polykrystalický agregát se může jevit jako kvaziizotropní, pokud jsou zrna náhodně orientována, avšak textura vzniklá válcováním nebo tuhnutím může zachovat směrovou závislost modulů.

Sonická rezonance podle ASTM E1875-20a

ASTM E1875-20a je označená norma pro stanovení dynamického Youngova modulu, modulu smykové pružnosti a Poissonova poměru „pomocí sonické rezonance“. Namísto měření dlouhodobého, pomalého sklonu závislosti síla–deformace se vzorek rozkmitá a stanoví se jeho vlastní rezonanční frekvence. Rezonanční frekvence závisí na pružné tuhosti, hustotě materiálu, rozměrech vzorku a tvaru módu.

Vzorek je uložen způsobem, který přibližně odpovídá volné okrajové podmínce; podpěry se obvykle umísťují poblíž uzlových oblastí, aby odebíraly co nejméně vibrační energie. Budicí zařízení vyvolá vibrace a mikrofon, akcelerometr, laserový přístroj nebo jiný detektor zaznamenává odezvu. Rezonanční frekvence se určuje z výrazného maxima amplitudy, změny fáze nebo vrcholu frekvenční odezvy. Naměřená frekvence musí být přiřazena správnému ohybovému, torznímu nebo podélnému módu; záměna sousedních módů může vést k věrohodnému, ale nesprávnému modulu.

Délka, šířka, tloušťka, hmotnost a hustota vzorku jsou proto zásadní vstupní údaje. Pokud je významná tepelná roztažnost, měly by být rozměry měřeny při zkušební teplotě nebo korigovány z rozměrů při pokojové teplotě pomocí vhodného koeficientu roztažnosti. Hustota by měla odpovídat skutečnému vzorku, nikoli předpokládané tabulkové hodnotě, zejména u lité oceli, pórovitého materiálu, částicových vměstků nebo vícefázových mikrostruktur. ASTM E1875-20a zahrnuje geometrii vzorku a rovnice rezonance, místo aby každý vzorek považovala za nekonečnou tyč. Vypočtené dynamické konstanty ovlivňují koncové podmínky, poloha podpěr, poměr stran, tlumení a geometrické korekce.

Torzní rezonance poskytuje především informace o smykových vlastnostech, zatímco ohybová nebo podélná rezonance poskytuje modul související s axiální tuhostí. Kombinace dynamických hodnot $E$ a $G$ umožňuje výpočet

$$\nu =\frac{E}{2G}-1,$$

pokud je vhodný předpoklad izotropní lineární pružnosti. Výsledný Poissonův poměr je dynamická hodnota při zkušební frekvenci. Neměl by být uváděn jako univerzální konstanta jakosti nezávislá na frekvenci nebo teplotě.

Regulace teploty je součástí měření, nikoli dodatečným krokem. Pec nebo klimatická komora musí vzorek přivést ke stabilní a známé teplotě a při identifikaci rezonance je nutné zohlednit tepelnou roztažnost, změnu hustoty a teplotní závislost tuhosti. Frekvence naměřená v době, kdy se vzorek stále zahřívá, nepředstavuje jednoznačně definovaný pružný stav. S teplotou se mění také okrajové podmínky, pokud se podpěry rozpínají, měknou, prokluzují nebo mění kontaktní tlak.

Podélné a příčné rychlosti zvuku

Ultrazvuková měření určují pružnostní konstanty z rychlostí vln. Podélná vlna vyvolává pohyb částic rovnoběžný se směrem šíření; příčná neboli smyková vlna vyvolává pohyb částic kolmý ke směru šíření. Pro homogenní izotropní pevnou látku s hustotou $\rho$ platí ideální vztahy

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}$$

a

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}.$$

Z toho vyplývá

$$G=\rho v_T^2,$$

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_T^2),$$

a

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Poissonův poměr lze následně získat z hodnot $E$ a $G$, případně přímo z poměru rychlostí při stejném předpokladu izotropie. Tyto rovnice jsou jednoduché, samotná měření však nikoli. Dráha průchodu musí být známa s vysokou přesností, echa musí být správně přiřazena a převodník musí vytvářet a detekovat požadovanou polarizaci. Zdánlivý příchod podélné vlny může zahrnovat převod módu, povrchové vlny, odrazy nebo disperzi.

Ve zprávě National Bureau of Standards vydané v roce 1981 byly rychlosti zvuku v podélném a příčném módu použity ke stanovení pružnostních konstant austenitické oceli Fe-5Cr-26Mn v rozmezí 76–400 K. Toto teplotní rozmezí je významné: ukazuje, že pružnostní konstanty jsou funkcemi tepelného stavu, nikoli pevně danými označeními připojenými ke značení slitiny. Postup ve zprávě závisel na regulované teplotě, známé hustotě, definované geometrii vzorku a spolehlivé identifikaci obou vlnových módů. Použití rovnic pro pokojovou teplotu při kryogenní nebo zvýšené teplotě bez aktualizace těchto veličin by zakrylo skutečnou teplotní závislost.

Engineering ToolBox uvádí přibližný objemový modul nerezové oceli 163 GPa. Limited evidence

Stejná opatrnost je nutná u technických referenčních tabulek. Engineering ToolBox uvádí pro nerezovou ocel přibližný modul objemové pružnosti 163 GPa, avšak tato hodnota je odhadem ze sekundárního zdroje, nikoli univerzální hodnotou platnou pro každou jakost nerezové oceli, formu výrobku, texturu, fázové složení, teplotu nebo metodu zkoušky. Naměřená dynamická hodnota pro austenitickou ocel Fe-5Cr-26Mn, statická hodnota z tahové zkušební tyče z feritické jakosti a vypočtená hodnota odvozená z $E$ a $\nu$ odpovídají různým experimentálním otázkám. Uvedení metody, rozměrů vzorku, hustoty, teploty, rezonančního nebo vlnového módu a okrajových podmínek je proto stejně důležité jako uvedení samotného modulu.

Vliv teploty, fázového složení, chemického složení a zpracování

Elastické konstanty oceli nejsou neměnné hodnoty trvale spojené s konkrétní jakostí. Popisují stav materiálu, způsob deformace a podmínky měření. Naměřenou odezvu mohou změnit teplota, fázové složení, chemické složení, krystalografická textura, pórovitost, vměstky, zbytkové napětí a tepelná historie. Pevnost se může v průběhu transformačního nebo popouštěcího procesu změnit o stovky procent, zatímco Youngův modul se změní v mnohem menší míře; „menší“ však v analýze s vysokými nároky na přesnost neznamená zanedbatelný.

U izotropního lineárně elastického tělesa jsou nezávislé pouze dvě elastické konstanty. Youngův modul $E$, modul smykové pružnosti $G$, objemový modul $K$ nebo $B$, Poissonovo číslo $\nu$, první Lamého parametr $\lambda$ a $2\mu$ jsou vzájemně související veličiny, jak popisují Elasticity of Solids vydané nakladatelstvím Springer a dokumentace Sierra od Sandia National Laboratories. Pokud teplota nebo mikrostruktura změní jednu nezávislou konstantu, musí být odpovídajícím způsobem konzistentně aktualizovány i ostatní konstanty z ní vypočtené. Uvedený modul proto musí být vždy vztažen ke konkrétní teplotě, stavu výrobku, směru a zkušební metodě.

Teplotní závislost elastických konstant

Elastická tuhost se s rostoucí teplotou obvykle snižuje. Zvyšují se atomové vibrace, meziatomové vazby kladou menší odpor malému posunutí a tepelná roztažnost mění rovnovážnou vzdálenost mezi atomy. V rámci jediné fáze bývá tento účinek často pozvolný, avšak magnetické přechody, zotavení, rekrystalizace a fázové transformace mohou způsobit výraznější změny. V blízkosti transformační teploty je jediná hodnota při pokojové teplotě obzvláště nevhodnou náhradou za materiálový model závislý na teplotě.

Zpráva National Bureau of Standards o austenitické oceli Fe-5Cr-26Mn poskytuje užitečný příklad. Studie publikovaná v roce 1981 stanovila elastické konstanty v rozmezí 76 až 400 K z rychlostí zvuku v podélném a příčném módu. Jedná se o dynamické měření: rychlosti šíření vln poskytují podélnou a smykovou tuhost, z nichž lze vypočítat související konstanty. Výsledek ukazuje, že ani austenitická ocel zachovaná v celém rozsahu zkoušky nemá jedinou na teplotě nezávislou soustavu elastických konstant. Teplotní interval sahá od kryogenních podmínek až nad pokojovou teplotu, takže naměřené hodnoty popisují křivku, nikoli jedinou vlastnost jakosti.

V tomto kontextu je důležité rozlišovat mezi pevností a tuhostí. Mez kluzu může při nízké teplotě výrazně vzrůst, protože pohyb dislokací je obtížnější, zatímco sklon elastické části křivky se mění méně výrazně. Naopak i malá změna $E$ může ovlivnit předpovězený průhyb, kritické zatížení při vzpěru, kontaktní tlak nebo rozdělení tepelných napětí. Plastická pevnost a elastická tuhost odpovídají na různé otázky. Ocel může výrazně zesílit, aniž by se úměrně zvýšila její tuhost.

Dynamické a statické zkoušky mohou rovněž poskytovat odlišné uvedené hodnoty. Norma ASTM E1875-20a stanovuje určování dynamického Youngova modulu, modulu smykové pružnosti a Poissonova čísla pomocí sonické rezonance. Rezonanční zkoušky probíhají při malé deformaci a vysoké frekvenci, zatímco tahová zkouška určuje statický nebo kvazistatický sklon v předepsaném intervalu deformace. Porovnání mohou ovlivnit mikroplasticita, anelasticita, poddajnost přístroje, geometrie zkušebního tělesa, stav povrchu a frekvence. Žádný z těchto výsledků by neměl být považován za obecně zaměnitelný s druhým.

Objemový modul má odlišný fyzikální význam: vyjadřuje odpor proti objemovému stlačení. NIST jej termodynamicky definuje jako $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$. Engineering ToolBox uvádí pro nerezovou ocel přibližný objemový modul 163 GPa, tato hodnota je však sekundárním referenčním odhadem, nikoli univerzální hodnotou platnou pro každou jakost nerezové oceli, teplotu, formu výrobku, fázové složení nebo podmínky zkoušky. Stejná opatrnost je nutná i u tabulkových hodnot $E$, $G$ a $\nu$.

Austenit, ferit, martenzit a vícefázové oceli

Fázové složení ovlivňuje elastickou odezvu, protože každá fáze má vlastní krystalovou strukturu, chemické složení, mřížkový parametr, magnetický stav, koncentraci poruch a tenzor tuhosti monokrystalu. Ferit má prostorově centrovanou kubickou strukturu, austenit plošně centrovanou kubickou strukturu a martenzit má při významné tetragonalitě způsobené uhlíkem obvykle prostorově centrovanou tetragonální nebo silně deformovanou prostorově centrovanou strukturu. Tyto názvy neurčují jeden jedinečný modul. Obsah uhlíku, substituční legování, uspořádání, hustota dislokací a zachované poruchy mění tuhost každé fáze.

Austenitické oceli jasně ukazují, proč nelze přiřazovat obecný „modul austenitu“. Studie Fe-5Cr-26Mn se zabývala konkrétním chemickým složením a rozsahem teplot, nikoli každou slitinou Fe-Cr-Mn nebo každou ocelí označovanou jako austenitická. Mangan a chrom ovlivňují stabilitu mřížky a magnetické chování, zatímco teplota může měnit magnetické uspořádání, i když krystalová struktura zůstává austenitická. Tyto změny ovlivňují meziatomové síly a tím i elastické konstanty.

Feritické oceli mohou vykazovat teplotně závislé elastické chování související s jejich feromagnetickým stavem a přechodem k paramagnetismu. Tato změna se nemusí shodovat s viditelnou fázovou transformací. Martenzitické oceli přidávají další faktor: kalením vzniká přesycení, vysoká hustota dislokací, vnitřní napětí a často tetragonalita závislá na obsahu uhlíku. Při popouštění následně dochází k precipitaci karbidů, zotavení a redistribuci uhlíku. Elastická odezva měřená po popouštění proto není jednoduše odezvou ideálního krystalu martenzitu.

Vícefázové oceli vyžadují interpretaci pomocí efektivních vlastností. U feriticko-martenzitických, dvoufázových, bainitických ocelí nebo ocelí obsahujících zbytkový austenit je zdánlivý modul určen podílem jednotlivých fází, jejich propojením, krystalografickou orientací, rozhraními, pórovitostí a směrem i měřítkem zkušebního objemu. Odhad pomocí pravidla směsí může poskytnout první aproximaci, avšak místní omezení deformace znamená, že všechny fáze nenesou stejnou deformaci ani stejné napětí. Tuhá martenzitická oblast uložená ve feritu může prostřednictvím přenosu zatížení změnit naměřený sklon, zatímco zbytkový austenit se může během zatěžování transformovat a způsobit odchylku odezvy od lineární elasticity.

Na úrovni monokrystalu mají kubické a hexagonální krystaly směrově závislou tuhost. Polykrystalická ocel se blíží izotropii pouze tehdy, jsou-li orientace zrn dostatečně náhodné a vzorek obsahuje dostatečný počet zrn pro zprůměrování. Válcovaný plech, pás a tyč mohou zachovávat texturu, která způsobuje rozdílné moduly v podélném, příčném a tloušťkovém směru. V takovém případě může dosazení jediného izotropního $E$ a jediného izotropního $G$ do výpočtu zakrýt skutečnou směrovou odezvu.

Odlévání, válcování, tepelné zpracování a zbytkové napětí

Zpracování mění jak vlastní vlastnosti fází, tak efektivní tuhost vyrobeného tělesa. Odlévaná ocel může obsahovat staženinovou pórovitost, plynové póry, oxidické vrstvy, segregaci, dendritickou strukturu, vměstky a hrubá či nestejnoměrná zrna. I malý objemový podíl propojené pórovitosti může snížit efektivní modul více, než by naznačovala příručka pro zcela hutnou ocel. Vměstky mohou být ve srovnání s matricí tuhé nebo poddajné a špatně spojené vměstky působí během dynamické nebo statické zkoušky jako koncentrátory napětí či trhlinám podobné vady.

Válcování zjemňuje a prodlužuje zrna, rozrušuje odlitou strukturu a vytváří krystalografickou texturu. Výsledná elastická anizotropie může být u některých výrobků malá, u jiných však významná. Důležité jsou režim úběru, teplota válcování, rekrystalizace i konečná tloušťka. Modul naměřený ve směru válcování by neměl být automaticky přiřazen příčnému nebo normálovému směru.

Tepelné zpracování mění podíly fází, velikost zrn, hustotu dislokací, precipitáty, morfologii karbidů a zachované napětí. Normalizace může zjemnit feriticko-perlitickou strukturu; kalení může vytvořit martenzit a zbytkové napětí; popouštění část tohoto napětí sníží a současně změní precipitaci a zotavení. Žíhání může rekrystalizací snížit hustotu dislokací a účinky související s texturou. Tato zpracování mohou způsobit značné změny meze kluzu a houževnatosti, přičemž modul při malých deformacích zůstane v porovnání s předchozím stavem relativně blízký; naměřený efektivní modul se však stále může změnit vlivem vad, fázové transformace nebo textury.

Zbytkové napětí si zaslouží samostatné posouzení. Samovyvážené napěťové pole nemusí nutně měnit ideální tečný modul bezvadného homogenního lineárně elastického krystalu. Může však ovlivnit to, co experiment zaznamená. Zbytkové napětí mění šíření vln, zakřivení vzorku, kontaktní podmínky, uzavírání trhlin a začátek mikroplasticity. Při tahové zkoušce může být zdánlivý počáteční sklon ovlivněn narovnáním, vyrovnáním v úchopových čelistech, redistribucí napětí nebo neúplným odstraněním napětí vzniklého obráběním. Při rezonanční zkoušce mohou napětí a anizotropie posunout vlastní frekvence.

Obhajitelné uvedení modulu oceli proto specifikuje stav fáze, teplotní stav, směr ve výrobku, stav z hlediska hustoty nebo vad a metodu měření. Číslo je vlastností takto definovaného stavu, nikoli trvalou konstantou jakosti.

Označení jakosti oceli a odpovědné tabulky vlastností

Označení oceli identifikuje složení, třídu výrobku nebo požadavek specifikace; samo o sobě však neposkytuje úplný soubor elastických vlastností. „Nerezová ocel 304“, „AISI 1045“ a „ASTM A572 Grade 50“ jsou užitečné odkazy na materiál, ale žádný z těchto názvů samostatně neuvádí tvar výrobku, tepelnou historii, krystalografickou texturu, zkušební teplotu ani metodu použitou ke stanovení modulu pružnosti.

Toto rozlišení je důležité, protože izotropní lineární pružnost má pouze dvě nezávislé konstanty. Soubor veličin běžně uváděných v technické praxi zahrnuje Youngův modul $E$, Poissonův poměr $\nu$, objemový modul $K$ nebo $B$, modul smyku $G$, první Lamého parametr $\lambda$ a $2\mu$. Sandia National Laboratories uvádí, že při platnosti izotropních vztahů určují $E$ a $\nu$ zbývající konstanty. OpenStax připisuje hlavním modulům odlišné fyzikální významy: $E$ popisuje tahovou neboli jednoosou odezvu, $K$ objemovou kompresi a $G$ smykovou deformaci. Tabulka, která uvádí čtyři zdánlivě nezávislá čísla, aniž vysvětluje jejich původ, může proto vyvolat dojem přesnosti nebo nezávislosti, které daný materiálový model ve skutečnosti nemá.

Austenitické, feritické, martenzitické a precipitačně vytvrzované nerezové oceli

Názvy skupin nerezových ocelí popisují metalurgickou strukturu, nikoli jednu univerzální elastickou odezvu. Austenitické jakosti, jako jsou Type 304, Type 304L, Type 316 a Type 316L, se ve specifikacích výrobků ASTM běžně identifikují příslušným označením „Type“ a případně také čísly UNS, například UNS S30400, UNS S30403, UNS S31600 a UNS S31603. Označení musí být reprodukováno přesně tak, jak je uvedeno v příslušné normě. „304L stainless“ by nemělo být bez upozornění převedeno na „304“, protože jakost s nízkým obsahem uhlíku má jiné požadavky na složení a může být zpracována odlišným způsobem.

Mezi feritické jakosti patří Type 430 a Type 409, zatímco mezi martenzitické jakosti patří Type 410, Type 420 a Type 440C. Tato označení identifikují skupiny s odlišnou stabilitou fází, obsahem uhlíku, legujícími přísadami, odezvou na vytvrzování a magnetickými vlastnostmi. Jejich elastické vlastnosti mohou být ovlivněny tvářením za studena, žíháním, kalením, popouštěním, zadrženým austenitem, množstvím karbidů a směrem měření. Kovaný nebo válcovaný výrobek se nemusí chovat stejně jako odlitek s chemicky podobným označením.

Precipitačně vytvrzované nerezové oceli vyžadují ještě větší obezřetnost. 17-4 PH je široce používané označení, avšak specifikace může materiál identifikovat jako UNS S17400 a definovat stavy, jako jsou H900, H1025 nebo H1150. Tato označení stavů představují stavy tepelného zpracování, nikoli vzájemně zaměnitelná označení jakosti. Tabulka vlastností uvádějící „modul 17-4 PH“ bez uvedení stavu tak postrádá významnou část popisu materiálu. Matrice, stav precipitátů, zbytková napětí a předchozí deformace se mohou mezi jednotlivými stavy lišit, i když jmenovité označení slitiny zůstává nezměněno.

Příručka ASM Steel Castings Handbook pojednává o modulu pružnosti, Poissonově poměru, modulu smyku a souvisejících fyzikálních vlastnostech jako o údajích pro ocelové odlitky. Tento kontext je důležitý: tabulka pro litou ocel popisuje specifikovaný odlitý materiál a zkušební základ, nikoli každý tvářený, svařovaný, aditivně vyrobený nebo tepelně zpracovaný výrobek s podobným chemickým složením. Odlitky mohou obsahovat segregaci, pórovitost, vměstky a lokální odchylky mikrostruktury, které ovlivňují naměřené výsledky i jejich rozptyl.

Označení skupiny nerezových ocelí by také nemělo být používáno k přiřazení jediného přesného modulu. Sekundární referenční hodnota 163 GPa pro nerezovou ocel se objevuje v Engineering ToolBox, avšak tato hodnota není univerzální pro každou nerezovou jakost, teplotu, formu výrobku ani zkušební podmínky. Jde o referenční odhad, nikoli o náhradu datového listu podle konkrétní normy nebo naměřené hodnoty.

Označení uhlíkových a nízkolegovaných ocelí

Uhlíkové a nízkolegované oceli rovněž vyžadují přesné používání označení. AISI/SAE 1045 identifikuje uhlíkovou ocel v číselném systému SAE/AISI; nejde o stejné označení jako ASTM A36, což je specifikace výrobku pro konstrukční ocel. ASTM A572 Grade 50 identifikuje jakost v rámci ASTM A572/A572M, zatímco AISI/SAE 4130 identifikuje složení chrom-molybdenové legované oceli. Tato označení by neměla být spojována do neformálních podob, jako je „4130-grade A572“, pokud takový popis výslovně nepodporuje příslušná závazná specifikace.

Evropská označení představují další příklad. S355J2 a S355JR jsou označení používaná v rámci EN 10025-2 a přípony vyjadřují stanovený význam související s rázovou zkouškou nebo dodacím stavem. Nejde pouze o alternativní názvy pro ASTM A572 Grade 50. Chemická podobnost neprokazuje rovnocennost požadavků specifikace, rozměrů výrobku, pravidel kontroly ani údajů o elastických vlastnostech.

Tabulka by také měla rozlišovat označení složení od dodacího stavu. AISI/SAE 4140 může být dodávána ve stavu po žíhání, ve stavu normalizovaném a popuštěném, zušlechtěném, kovaném nebo v jiném specifikovaném stavu. ASTM A36 pro plechy, tyče a konstrukční profily podléhá specifikaci výrobku, avšak její naměřená odezva může stále záviset na tloušťce, směru válcování, zbytkovém napětí a zkušební metodě. Jmenovitá jakost stanovuje meze nebo požadavky; neodstraňuje však historii výroby.

Stejná obezřetnost se vztahuje na označení „mild steel“, „tool steel“, „high-strength low-alloy steel“ a podobné popisy skupin. Jde o široké kategorie, nikoli o úplná označení jakosti. Odpovědná tabulka uvádí číslo normy, jakost nebo typ, případnou revizi, označení UNS nebo AISI/SAE, pokud je relevantní, formu výrobku a stav tepelného zpracování. Pokud je označení interním názvem společnosti, mělo by tak být označeno, nikoli prezentováno jako označení podle ASTM, ASME, SAE, AISI, EN nebo UNS.

Proč musí být hodnoty doplněny normami a specifikacemi výrobků

Hodnoty elastických vlastností mají význam pouze v kontextu jejich měření. Tabulka by měla minimálně identifikovat:

• formu výrobku: plech, tabuli, tyč, trubku, drát, výkovek, svarový kov, díl zpracovaný z prášku nebo odlitek;
• tepelné zpracování a stav, včetně popuštění, stárnutí, rozpouštěcího žíhání nebo stavu precipitačního vytvrzení;
• směr zkoušky vzhledem ke směru válcování, kování, protlačování nebo stavby;
• teplotu a podmínky prostředí;
• rychlost nebo frekvenci zatěžování;
• geometrii zkušebního tělesa a relevantní rozměry;
• zkušební normu a její revizi;
• zda je výsledek statický, kvazistatický nebo dynamický;
• počet zkušebních těles, rozsah, střední hodnotu a rozptyl, pokud jsou k dispozici.

Statické a dynamické moduly nejsou automaticky zaměnitelné. ASTM E1875-20a specifikuje stanovení dynamického Youngova modulu, modulu smyku a Poissonova poměru „pomocí rezonanční metody“. Rezonanční měření využívá šíření vln a frekvenci kmitání, zatímco tahová zkouška může stanovit směrnici z křivky napětí–deformace při definované rychlosti zatěžování. Obě metody se týkají elastické odezvy, mohou však poskytovat odlišné uváděné hodnoty, protože se liší frekvence, tlumení, mikrostrukturní vady, přístrojové vybavení a postupy zpracování dat.

Teplota musí být uvedena, zejména při kryogenních nebo vysokoteplotních aplikacích. Zpráva National Bureau of Standards z roku 1981 stanovila elastické konstanty austenitické oceli Fe-5Cr-26Mn v rozmezí 76–400 K pomocí rychlostí zvuku v podélném a příčném módu. Tento rozsah ukazuje, proč nelze bez uvedení omezení jednoduše převzít hodnotu při pokojové teplotě do tabulky pro kryogenní konstrukci. Textura a krystalová anizotropie představují další problém: kapitola příručky NIST o elastických konstantách monokrystalů vysvětluje, jak lze z údajů o tuhosti monokrystalu odvodit kvaziizotropní polykrystalické hodnoty $E$, $G$, $B$, podélného modulu a $\nu$, avšak taková odvození závisí na krystalové symetrii, rozložení orientací a předpokladech průměrování.

Pro izotropní výpočty postačuje jeden pečlivě identifikovaný pár konstant; ostatní by měly být vypočteny podle uvedených rovnic nebo ověřeny z hlediska vzájemné konzistence. U anizotropní válcované, kované, texturované, svařované nebo aditivně vyrobené oceli může být jediný skalární modul pouze aproximací, nikoli úplným konstitutivním popisem. Normy a specifikace výrobků brání tomu, aby tabulka toto omezení zakrývala. Propojují každé číslo s definovaným materiálem, stavem, směrem, teplotou a metodou — tedy s informacemi potřebnými k tomu, aby hodnota mohla být odpovědně použita ve výpočtu konstrukce.

Volba pro návrh: Výběr správného vztahu mezi moduly

Modul pružnosti náleží ke konkrétnímu způsobu deformace. Youngův modul $E$ popisuje normálové přetvoření vyvolané jednoosým napětím; modul smyku $G$ popisuje deformaci při téměř konstantním objemu a objemový modul $K$, označovaný také jako $B$, popisuje odpor proti rovnoměrnému stlačení. Poissonovo číslo $\nu$ propojuje normálové a příčné přetvoření. Tyto veličiny spolu souvisejí, nejsou však vzájemně zaměnitelné jen proto, že se všechny uvádějí v gigapascalech nebo se běžně společně uvádějí pro ocel.

Pro homogenní, lineární a izotropní pevnou látku jsou nezávislé pouze dvě elastické konstanty. Springerova publikace Elasticity of Solids to přímo uvádí ve svém zpracování izotropní elasticity z roku 2020. Sandia National Laboratories uvádí související soubor veličin jako Youngův modul $E$, Poissonovo číslo $\nu$, objemový modul $K$, modul smyku $G$, první Lamého parametr $\lambda$ a $2\mu$, přičemž $E$ a $\nu$ určují ostatní veličiny. Převodní rovnice jsou tedy podmíněnými vztahy, nikoli nezávislými měřeními šesti vzájemně nesouvisejících vlastností materiálu:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$$

a

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Předpoklady jsou důležité. Tyto rovnice platí pro malá přetvoření, lineárně elastickou odezvu a izotropní chování. Ocelový plech s texturou po válcování, tepelně ovlivněná oblast svaru, odlitek s usměrněnou krystalizací nebo dvoufázová mikrostruktura nemusí izotropnímu předpokladu vyhovovat natolik, aby jedna převedená hodnota reprezentovala všechny směry zatěžování.

Jednoosé pruty a $E$

U přímého tahového nebo tlačeného prutu, táhla, tyče nebo štíhlého úseku nosníku zatíženého axiální silou je $E$ hlavním modulem. Základní vztah je

$$\sigma =E\epsilon ,$$

takže elastické prodloužení prizmatického prutu je

$$\delta =\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AE}},$$

kde $P$ je axiální síla, $L$ původní délka a $A$ plocha průřezu. To je správný výchozí vztah pro odhad elastického prodloužení, zkrácení a axiální tuhosti $\mathrm{AE}/L$.

Poissonovo číslo vstupuje do úvahy tehdy, když je důležité příčné zúžení nebo víceosé omezení deformace. Volně natahovaná ocelová tyč se příčně smršťuje podle vztahu

$${\epsilon }_{\text{transverse}}=-\nu {\epsilon }_{\text{axial}}.$$

U zcela omezeného zkušebního tělesa však axiální odezvu nelze popsat pouze pomocí $E$. Příčné přetvoření se nemůže rozvinout, takže napěťový stav se stává trojrozměrným a zdánlivá tuhost roste. Model metodou konečných prvků pro lepenou vložku, omezenou podložku nebo nalisovaný spoj musí tuto vazbu zohlednit, místo aby součást považoval za izolovaný jednorozměrný prut.

Hodnota $E$ použitá ve výpočtu musí rovněž odpovídat podmínkám měření a provozu. Směrnice statické tahové zkoušky, dynamický modul určený rezonanční metodou a modul odvozený z rychlosti ultrazvuku se mohou lišit v důsledku frekvence, teploty, geometrie zkušebního tělesa, pórovitosti, zbytkového napětí a vad. Norma ASTM E1875-20a stanovuje určování dynamického Youngova modulu, modulu smyku a Poissonova čísla „pomocí sonické rezonance“. Tato metoda automaticky neposkytuje stejné číslo jako pomalá tahová zkouška při návrhové teplotě.

Ocel není ve všech metalurgických stavech jediným elastickým materiálem. Feritické, martenzitické, bainitické a austenitické struktury se mohou lišit, přičemž textura může způsobit odlišnou odezvu ve směru válcování a v příčném směru. Zpráva National Bureau of Standards o austenitické oceli Fe-5Cr-26Mn stanovila elastické konstanty z rychlostí zvuku v podélném a příčném módu v rozsahu 76–400 K. Tento teplotní rozsah připomíná, že elastická konstanta naměřená přibližně při pokojové teplotě by neměla být považována za teplotně nezávislý údaj pro kryogenní provoz nebo provoz při zvýšené teplotě.

Krut a $G$

U kruhového hřídele při elastickém krutu určuje $G$ úhel zkroucení:

$$\theta =\frac{\mathrm{TL}}{\mathrm{JG}},$$

kde $T$ je krouticí moment, $J$ polární kvadratický moment plochy a $L$ délka hřídele. Tuhost v krutu je $\mathrm{JG}/L$. Související smykové napětí v kruhovém hřídeli je

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

Použití $E$ přímo v tomto výpočtu poskytne nesprávnou tuhost, pokud není nejprve převeden prostřednictvím odůvodněné hodnoty $\nu$. Pro izotropní ocel platí

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Tento převod je užitečný, pokud jsou k dispozici pouze $E$ a $\nu$, neznamená však, že se tahové měření stává přímým měřením v krutu. Materiál může vykazovat směrově závislou odezvu ve smyku, i když se průměrný tahový modul jeví jako vyhovující.

Tento rozdíl je důležitý u tenkostěnných trubek, drážkovaných hřídelů, svařovaných hřídelů a součástí s anizotropní výrobní historií. U obecného průřezu může krut vyvolávat vázání a nehomogenní rozložení smykového pole, takže samotná Saint-Venantova rovnice pro kruhový hřídel nemusí být dostačující. Materiálovým vstupem je stále konstitutivní parametr ve smyku, analýza průřezu však musí reprezentovat skutečnou geometrii.

Dynamická data o smyku vyžadují obdobnou opatrnost. Rezonanční metody měří odezvu při určité frekvenci a malé amplitudě přetvoření. Hodnota vypočtená ze sonické zkoušky může být vhodná pro analýzu vibrací nebo vlnění, nemusí však být totožná se sečnovou nebo tečnou tuhostí používanou při pomalém zatěžování konstrukce. Označení „dynamický“ není pouze nepodstatným dodatkem; identifikuje odlišné experimentální podmínky.

Hydrostatické, kontaktní a vlnové úlohy

Objemový modul $K$ nebo $B$ je vhodným parametrem pro objemovou odezvu. Při hydrostatickém tlaku se změna tlaku promítá do změny objemu podle vztahu

$$K=B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

což je termodynamická definice uvedená National Institute of Standards and Technology v roce 1982. Vysoká hodnota $K$ znamená, že značný tlak způsobí pouze malou relativní změnu objemu. To se liší od odporu proti změně tvaru, který je řízen především modulem $G$.

Engineering ToolBox uvádí přibližný objemový modul nerezové oceli 163 GPa. Tato hodnota může sloužit jako druhotný referenční odhad, nikoli jako univerzální hodnota pro každý druh nerezové oceli, teplotu, formu výrobku, fázové složení nebo zkušební metodu. Protože $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$, mohou malé chyby v $\nu$ způsobit znatelnou změnu vypočteného objemového modulu, když se $\nu$ blíží hodnotě 0.5.

Kontaktní výpočty vyžadují zohlednění normálového i tečného chování. V Hertzově kontaktu se efektivní normálový modul pro dvě tělesa běžně zapisuje jako

\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}. \]

Zde lokální elastický vtisk určuje \(E^*\), nikoli samotné $E$ jednoho druhu oceli. Kluzné tření a tečné trakce rovněž zavádějí $G$ a $\nu$. Model, který místo \(E^*\) dosadí $K$, může zůstat matematicky stabilní a vytvářet plynulé kontaktní tlaky, přesto však může reprezentovat nesprávný mechanismus deformace.

Vlnové úlohy používají další kombinaci. Pro izotropní pevnou látku je podélný vlnový modul

$$M=K+\frac{4G}{3},$$

přičemž rychlosti podélných a smykových vln jsou

\[ v_L=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}}, \qquad v_S=\sqrt{\frac{G}{\rho}}. \]

Samotná podélná rychlost tedy neurčuje všechny elastické konstanty; k oddělení $K$ a $G$ je zapotřebí měření příčné vlny. U monokrystalu nebo texturovaného polykrystalu závisí rychlost vlnění také na směru šíření a polarizaci, takže izotropní vzorce mohou zakrývat skutečnou elastickou anizotropii.

Trojrozměrné formulace metody konečných prvků obecně používají $E$ a $\nu$, $K$ a $G$ nebo Lamého parametry $\lambda$ a $\mu$. Volba je matematická, nikoli změna fyzikálního materiálu. V blízkosti nestlačitelnosti však může formulace $E$-$\nu$ s $\nu$ blízkým hodnotě 0.5 trpět objemovým uzamčením, zatímco smíšená formulace využívající tlak a deviatorickou odezvu může fungovat lépe. Naopak nezávislé dosazení zaokrouhlených hodnot $E$, $G$ a $K$ může porušit izotropní převodní rovnice a vytvořit vnitřně nekonzistentní matici tuhosti.

To je hlavní konstrukční riziko: převedená konstanta může být číselně konzistentní s rovnicí, avšak fyzikálně nevhodná pro řešený problém, teplotu, frekvenci, směr nebo mikrostrukturu modelované oceli. Nejprve vyberte modul podle způsobu deformace a poté ověřte, zda podmínky jeho měření a izotropní předpoklady odpovídají součásti a prováděné analýze.

Běžné chyby při výpočtech modulů oceli

Výpočty modulů oceli často selhávají proto, že se s veličinami s odlišným fyzikálním významem zachází jako se vzájemně zaměnitelnými. Youngův modul $E$, smykový modul $G$, objemový modul $K$ nebo $B$ a Poissonův poměr $\nu$ popisují pružnou deformaci. Mez kluzu popisuje začátek výrazné trvalé deformace. Tyto veličiny patří do různých částí materiálového modelu.

U izotropního lineárně pružného tělesa jsou nezávislé pouze dvě elastické konstanty. Kapitola Elasticity of Solids (Pružnost pevných těles) vydaná nakladatelstvím Springer (2020) to uvádí přímo. Sandia National Laboratories uvádí související soubor veličin: Youngův modul $E$, Poissonův poměr $\nu$, objemový modul $K$, smykový modul $G$, první Lamého parametr $\lambda$ a $2\mu$; zadáním $E$ a $\nu$ jsou ostatní veličiny určeny. Běžné převody jsou

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

a

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Tyto rovnice nejsou nezávislými experimentálními skutečnostmi. Jsou důsledkem předpokladu izotropního lineárně pružného materiálu. Jejich použití vyžaduje vzájemně kompatibilní hodnoty, konzistentní jednotky a stav materiálu, pro který je izotropie přiměřeným přiblížením.

Záměna modulu za mez kluzu

Nejčastější chybou je označovat vysokopevnostní ocel za „tužší“ proto, že má vyšší mez kluzu. Mez kluzu měří napětí, při kterém podle stanoveného kritéria začíná plastická deformace, často při smluvní plastické deformaci, například 0,2 %. Youngův modul měří směrnici pružné závislosti napětí na deformaci před tímto přechodem. Tepelné zpracování, režim tváření za studena, precipitační reakce nebo změna obsahu uhlíku mohou výrazně zvýšit mez kluzu, aniž by došlo ke srovnatelné změně počáteční směrnice pružnosti.

Toto rozlišení je důležité při navrhování. Průhyb při provozním zatížení je určován především hodnotou $E$, geometrií, okrajovými podmínkami a zatížením; kontrola dovoleného napětí však vyžaduje také mez kluzu nebo jinou mez pevnosti. Nahrazení $E$ mezí kluzu dané jakosti vede k výsledkům, které jsou z hlediska rozměrů zdánlivě věrohodné, ale fyzikálně bezvýznamné. Výpočet, při němž se napětí vydělí mezí kluzu, může odhadnout míru využití materiálu. Neurčuje však pružnou deformaci.

Stejná chyba se objevuje u smyku. Smykový modul je definován pružným vztahem mezi smykovým napětím a smykovou deformací,

$$\tau =G\gamma .$$

Smyková mez kluzu je plastickou mezí. Lze ji odhadnout pomocí kritéria kluzu, například vztahu von Mises, není však totožná s $G$ a nezíská se tím, že se modulu přiřadí jednotky napětí a změní se jeho název. OpenStax (2020) jasně rozlišuje jednotlivé režimy deformace: Youngův modul popisuje tahovou odezvu, objemový modul objemovou kompresi a smykový modul smykovou deformaci.

Specifikace oceli proto může současně obsahovat požadavek na mez kluzu a předpoklad týkající se elastických vlastností, aniž by tyto hodnoty byly propojeny jednoduchým převodem mezi jakostmi. Pro konstrukční výpočty by mělo být uvedeno příslušné označení a výrobková norma — například plech nebo tabule podle ASTM A240/A240M, materiál S355 podle EN 10025-2 nebo nerezová ocel ASTM A276 Type 304 — spolu s tloušťkou, formou výrobku a směrem zkoušení. Označení identifikuje požadavek na materiál; neznamená však, že obecná hodnota modulu bude přesná pro každý výrobek.

Další chybou je považovat každou jakost za materiál s jednou přesnou hodnotou $E$. Feritické, martenzitické, bainitické, austenitické a duplexní oceli mohou mít odlišné podíly fází, textury, úrovně pórovitosti u odlitků a zbytková napětí. Tyto faktory ovlivňují naměřenou elastickou odezvu. Pro mnoho technických odhadů je konvenční izotropní hodnota dostačující, stále však jde o předpokládanou nebo přijatou návrhovou hodnotu, nikoli o univerzální fyzikální konstantu spojenou se slovem „ocel“.

Směšování statických a dynamických hodnot

Statické a dynamické moduly spolu souvisejí, nejsou však automaticky vzájemně zaměnitelné. Statický modul se získává pomalu prováděnou mechanickou zkouškou, obvykle ze směrnice tahové nebo tlakové křivky napětí–deformace v uvedeném intervalu deformace. Výsledek může být ovlivněn poddajností zkušebního zařízení, vyrovnáním upínacích čelistí, stavem povrchu, rychlostí deformace, hysterezí, mikroplasticitou a způsobem proložení směrnice.

Dynamický modul se odvozuje ze šíření vln, rezonance nebo jiného časově závislého měření. Norma ASTM E1875-20a specifikuje stanovení dynamického Youngova modulu, smykového modulu a Poissonova poměru „pomocí akustické rezonance“. K odvození elastických konstant se využívají rezonanční frekvence a rozměry vzorku. Tato metoda může poskytnout přesné údaje při malých deformacích, výsledek však odpovídá deformaci s vysokou frekvencí a velmi malou amplitudou a měl by být takto označen.

Dynamická měření závisí také na hustotě, geometrii vzorku, frekvenci, teplotě a identifikaci příslušného kmitového režimu. Hodnota odvozená z podélné rezonance by neměla být vložena do výpočtu smyku bez použití odpovídajícího vztahu a kompatibilního Poissonova poměru. Stejně tak může být „modul pružnosti“ uvedený v příručce konvenční návrhovou hodnotou, zatímco protokol z rezonanční zkoušky může uvádět dynamický modul. Tyto dvě hodnoty by neměly být porovnávány, jako by pocházely ze stejné zkoušky.

Při převodu mezi $E$, $G$ a $K$ uveďte, zda jsou vstupní hodnoty statické, nebo dynamické. Kombinace hodnoty $E$ z tahové zkoušky s hodnotou $\nu$ ze zkoušky akustickou rezonancí může vytvořit vnitřně nekonzistentní soubor, i když jsou obě hodnoty jednotlivě věrohodné. Výpočet může algebraicky vyhovovat, ale nemusí představovat jediný naměřený stav materiálu.

Poissonův poměr vyžaduje zvláštní pozornost, protože nejistota v $\nu$ se stává významnou ve vztahu pro objemový modul. Pokud $E=200$ GPa a $\nu =0.30$, izotropní vztah dává $K=166.7$ GPa. Pokud je stejná hodnota $E$ zkombinována s $\nu =0.29$, činí $K=158.7$ GPa; při $\nu =0.31$ vzroste na $K=175.4$ GPa. Změna $\nu$ pouze o 0,01 změní vypočtenou hodnotu $K$ přibližně o 5 %. V blízkosti $\nu =0.5$ je citlivost výrazně vyšší, protože $1-2\nu$ se blíží nule. Uveďte předpokládanou hodnotu, její zdroj a rozsah citlivosti, místo abyste výslednou hodnotu $K$ prezentovali jako naměřenou konstantu.

Jednotky představují jednodušší, ale častý zdroj chyb. Protože $1\text{GPa}=1000\text{MPa}$, může zadání hodnoty $E$ v MPa společně s hodnotou $G$ v GPa způsobit chybu s faktorem 1000. Během výpočtu používejte u všech modulů jednu soustavu jednotek a jednotku uveďte také u konečného výsledku.

Hodnoty objemového modulu vyžadují doložení původu. Engineering ToolBox uvádí pro nerezovou ocel přibližnou hodnotu 163 GPa, jde však o odhad z druhotného zdroje, nikoli o univerzální hodnotu platnou pro každou jakost nerezové oceli, formu výrobku, teplotu nebo zkušební podmínky. Obhajitelná citace by měla identifikovat původní měření nebo výpočet, složení, fázový stav, teplotu, rozsah tlaků, základ hustoty a použitou metodu. Termodynamická definice zpracovaná National Institute of Standards and Technology (1982), $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$, výslovně uvádí teplotní podmínku. Číslo převzaté z tabulky bez těchto podmínek by mělo být označeno jako přibližné.

Opomíjení anizotropie a teploty

Izotropní rovnice předpokládají, že odezva je ve všech směrech stejná. U válcovaných plechů, tažených drátů, kovaných tyčí a aditivně vyráběných ocelí se běžně vytváří krystalografická textura. Jejich elastická odezva se může měnit v závislosti na směru zatížení, i když materiál pouhým okem působí homogenně. Silně texturovaný plech může vyžadovat směrově specifické konstanty namísto jediné hodnoty $E$, $G$ a $\nu$.

Pružnost monokrystalu se popisuje maticí elastické tuhosti, nikoli jedním skalárním modulem. Kapitola příručky NIST z roku 1982 vysvětluje, jak lze z údajů o tuhosti monokrystalu odvodit kvaziizotropní konstanty polykrystalických materiálů pro kubické a hexagonální prvky. Toto zprůměrování je modelem. Jeho vhodnost klesá v případě silné textury, prostorově proměnlivých podílů fází nebo přítomnosti orientovaných vměstků či pórů ve výrobku.

Další vynechávanou proměnnou je teplota. Elastické konstanty se obecně s teplotou mění a fázové přeměny mohou způsobit větší nespojitosti než běžné tepelné změknutí. Zpráva National Bureau of Standards (1981) uvádí měření elastických konstant austenitické oceli Fe-5Cr-26Mn v rozmezí 76 až 400 K s využitím rychlostí zvuku v podélném a příčném režimu. Samotný teplotní rozsah ukazuje, proč nelze hodnotu při pokojové teplotě bez dalšího přenést na kryogenní provoz nebo zařízení pracující při zvýšené teplotě.

Výpočet by proto měl uvádět označení materiálu, formu výrobku, směr zkoušení, teplotu, režim deformace, metodu měření a informaci, zda jsou konstanty statické, dynamické, izotropní nebo směrově specifické. Pokud tyto údaje nejsou k dispozici, označte výsledek jako technický odhad a uveďte, jak nejistota v hodnotách $E$, $G$, $K$ a $\nu$ ovlivňuje výsledek. To je přesnější než přiřadit jednu přesnou hodnotu modulu veškeré oceli a ponechat nevyjádřenému předpokladu kontrolu nad návrhem.

Zdroje

1. [1]National Institute of Standards and Technology. Bulk modulus definition. NIST handbook chapter, 1982. https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172
2. [2]ASTM International. Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM E1875-20a, 2020. https://www.astm.org/e1875-20a.html
3. [3]Springer Nature. Elasticity of Solids. Springer book chapter, 2020. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4
4. [4]OpenStax. Stress, Strain, and Elastic Modulus. University Physics Volume 1, 2020. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
5. [5]National Bureau of Standards. Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards report, 1981. https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf