Constantes Elásticas do Aço e Relações entre Módulos

O que significam as constantes elásticas do aço — e o que elas não significam

As constantes elásticas são parâmetros que relacionam a tensão aplicada à deformação resultante enquanto um material permanece dentro de seu regime elástico. Nesse regime, a remoção da carga permite que o corpo de prova retorne, pelo menos aproximadamente, às suas dimensões originais. Em um ensaio simples de tração, o módulo de Young é a razão entre a tensão axial e a deformação axial,

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }.$$

Essa relação descreve a inclinação da parte inicial e recuperável de uma curva tensão–deformação. Ela não descreve a curva inteira nem informa quanta tensão o aço pode suportar antes da deformação permanente ou da fratura.

Apenas duas constantes elásticas são independentes para um sólido isotrópico linearmente elástico. Strong evidence

Para um sólido isotrópico e linearmente elástico, apenas duas constantes elásticas são independentes. Um conjunto comumente utilizado contém o módulo de Young $E$, o coeficiente de Poisson $\nu$, o módulo volumétrico $K$ ou $B$, o módulo de cisalhamento $G$, o primeiro parâmetro de Lamé $\lambda$ e $2\mu$, em que $\mu =G$. O Sandia National Laboratories lista essas seis grandezas relacionadas e afirma que $E$ e $\nu$ determinam as demais. Por exemplo,

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

e

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Módulo volumétricoMódulo volumétrico Medida da resistência à variação uniforme de volume sob pressão; é comumente representado por K ou B.

A notação varia: o NIST e outras fontes frequentemente usam $B$ para o módulo volumétrico, enquanto textos de engenharia e softwares de elementos finitos frequentemente usam $K$. Eles descrevem a mesma propriedade isotrópica.

Resposta elástica versus resistência mecânica e plasticidade

A elasticidade responde a uma pergunta restrita: qual deformação acompanha uma determinada tensão antes do início da deformação permanente? A resistência mecânica responde a perguntas diferentes. O limite de escoamento identifica a tensão associada ao início de uma deformação plástica especificada; a resistência à tração é a tensão de engenharia máxima atingida durante um ensaio de tração; e a resistência à fratura diz respeito à separação do corpo de prova. Nenhuma dessas propriedades é outro nome para o módulo de Young.

Um aço pode ter um limite de escoamento elevado e praticamente o mesmo módulo de Young que um aço de menor resistência e composição semelhante. O encruamento, o endurecimento por precipitação ou a transformação martensítica podem aumentar significativamente o limite de escoamento e a dureza, alterando muito menos o módulo de tração em pequenas deformações. Isso ocorre porque os mecanismos de endurecimento dificultam o movimento das discordâncias, enquanto a resposta elástica inicial reflete principalmente a rigidez das ligações atômicas e a estrutura cristalina agregada. Essa distinção é fundamental ao comparar, por exemplo, um aço de baixa liga temperado e revenido com um produto recozido de composição química relacionada.

A plasticidade começa quando a relação tensão–deformação deixa de seguir a inclinação elástica linear original. Um modelo constitutivo plástico precisa então de informações como critérios de escoamento, lei de encruamento, regra de escoamento, sensibilidade à taxa de deformação e dependência da temperatura. O módulo de Young, por si só, não fornece nenhuma dessas informações. Um modelo de elementos finitos que contenha um $E$ preciso, mas uma superfície de escoamento inadequada, ainda pode prever incorretamente a deformação permanente.

Outras propriedades mecânicas respondem a perguntas ainda diferentes. A dureza mede a resistência à indentação localizada e frequentemente se correlaciona com a resistência mecânica dentro de uma família controlada de aços, mas não é um módulo. A tenacidade diz respeito à absorção de energia e à resistência à propagação de trincas sob uma condição de ensaio especificada. A resistência à fadiga diz respeito ao acúmulo de danos sob carregamentos repetidos ou flutuantes. Um aço pode ter módulo elástico semelhante ao de outro grau, mas apresentar dureza, tenacidade ao impacto, comportamento de crescimento de trincas ou vida em fadiga diferentes.

A elasticidade também não significa que todo ciclo de carregamento seja perfeitamente reversível. O aço real pode apresentar microplasticidade, anelasticidade, efeitos de tensões residuais, histerese ou danos antes que um ponto de escoamento convencional seja evidente. Portanto, o módulo informado para um determinado ensaio está relacionado à sua faixa de deformação, taxa de carregamento, histórico de ciclos e método de redução dos dados.

Módulo como rigidez, não como tensão de falha

Um módulo mede a rigidez: a tensão necessária para produzir uma deformação elástica especificada em um modo de deformação definido. O módulo de Young diz respeito à extensão ou contração axial. O módulo de cisalhamento descreve a resistência à mudança de forma sob tensão de cisalhamento. O módulo volumétrico descreve a resistência à mudança uniforme de volume sob pressão. O OpenStax apresenta essas interpretações físicas correspondentes para deformações de tração, de cisalhamento e volumétricas.

Um módulo elevado significa que uma determinada tensão produz uma deformação elástica menor. Isso não significa que o material suporte uma tensão maior antes do escoamento ou da fratura. Considere dois componentes de aço com o mesmo $E$, mas com limites de escoamento diferentes. Sob a mesma tensão de serviço, eles sofrem aproximadamente a mesma extensão elástica. O componente de maior resistência pode tolerar uma tensão maior antes da deformação plástica, mas não é significativamente mais rígido na resposta elástica inicial apenas porque seu limite de escoamento é maior.

O módulo volumétrico tem uma definição termodinâmica particularmente clara. Em seu capítulo de manual de 1982, o National Institute of Standards and Technology escreve

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$[1][1] Bulk modulus definition. National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

em que $V$ é o volume, $P$ é a pressão, e a derivada é tomada a temperatura constante. Trata-se de uma propriedade volumétrica, não de um limite de falha à tração. O aço é difícil de comprimir uniformemente, portanto seu módulo volumétrico é elevado; esse fato, por si só, diz pouco sobre a ductilidade à tração ou a tenacidade à fratura.

O módulo também não deve ser confundido com a resiliência. A energia elástica armazenada por unidade de volume depende da tensão e do módulo, e a energia recuperável até o escoamento depende tanto do módulo quanto do limite de escoamento. Assim, elevar o limite de escoamento pode aumentar a capacidade de armazenamento de energia elástica mesmo quando $E$ varia apenas ligeiramente.

Por que um grau de aço não possui um único módulo universal

Uma designação como ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, EN 10025-2 S355JR ou AISI 304 identifica uma especificação, uma faixa de composição, uma condição do produto ou um conjunto de desempenho exigido; ela não define um único valor elástico imutável para todo corpo de prova produzido de acordo com essa designação. A resposta medida depende do estado do material e das condições do ensaio.

A temperatura é uma variável importante. As constantes elásticas geralmente variam com a temperatura, e as transformações de fase podem produzir alterações maiores quando modificam a estrutura cristalina ou a mistura de fases. Um relatório do National Bureau of Standards publicado em 1981 mediu as constantes elásticas do aço austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 e 400 K, utilizando as velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Essa faixa de temperatura, por si só, demonstra por que um valor sem a temperatura de ensaio é incompleto.

Quase isotrópicoQuase isotrópico Uma resposta efetiva do material suficientemente próxima da isotropia para um cálculo, intervalo de direções e escala definidos, embora os grãos individuais permaneçam anisotrópicos.

A textura e a direção também são importantes. Cristais individuais de ferrita, austenita ou martensita são elasticamente anisotrópicos, o que significa que sua rigidez depende da direção cristalográfica. Chapas laminadas, barras forjadas, fios trefilados e materiais fabricados aditivamente podem desenvolver orientações preferenciais. Um agregado policristalino pode comportar-se aproximadamente de forma isotrópica quando as orientações cristalinas estão suficientemente distribuídas, mas um produto fortemente texturizado pode exigir constantes específicas para cada direção. O módulo longitudinal na direção de laminação não precisa ser igual ao valor na direção da espessura.

A constituição de fases, as inclusões, a porosidade, as tensões residuais, a estrutura dos grãos e a forma do produto também influenciam a resposta agregada medida. O metal de solda e as zonas termicamente afetadas podem diferir da chapa de base mesmo quando estão abrangidos pela mesma especificação do projeto. As constantes de um monocristal não podem simplesmente ser substituídas por valores de projeto para um material policristalino. O manual do NIST explica como os módulos quase isotrópicos de Young, de cisalhamento, volumétrico e outros módulos relacionados podem ser obtidos a partir de dados de rigidez elástica de monocristais de materiais cúbicos e hexagonais, mas esse cálculo depende da simetria cristalina e de hipóteses sobre a média das orientações.

[2][2] Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.

A ASTM E1875-20a especifica a medição dinâmica do módulo de Young, do módulo de cisalhamento e da razão de Poisson por ressonância sônica. Strong evidence

O método de medição altera o resultado informado. Um ensaio de tração lento produz um módulo estático ou secante/tangente baseado em força e deslocamento, enquanto os métodos ultrassônicos ou de ressonância determinam um módulo dinâmico a partir da velocidade de propagação das ondas ou da frequência natural. A norma ASTM E1875-20 especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de cisalhamento e do coeficiente de Poisson “por ressonância sônica”. Os valores dinâmicos podem diferir dos valores estáticos devido à frequência, ao amortecimento, à complacência da máquina, à amplitude de deformação e ao tratamento das partes não ideais do corpo de prova.

Consequentemente, um relatório útil sobre o módulo deve informar pelo menos a designação do aço, a forma e a condição do produto, a temperatura, a direção do carregamento, o modo de deformação e o método de medição. Também deve identificar se o valor foi medido, calculado a partir de outras constantes ou adotado como uma hipótese de projeto. O Engineering ToolBox apresenta um módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para “aço inoxidável”, mas essa é uma estimativa de referência secundária, não um valor universal para todo grau de aço inoxidável, tratamento térmico, textura, temperatura ou método de ensaio. Usar um único número para todo produto pode ser aceitável em um cálculo isotrópico preliminar quando a hipótese é declarada. Apresentá-lo como um fato material independente do grau não é.

A base de duas constantes da elasticidade linear isotrópica

A elasticidade linear descreve a parte reversível da resposta de um material enquanto a tensão e a deformação permanecem suficientemente pequenas para que uma relação linear seja aplicável. A palavra isotrópica acrescenta uma condição separada: presume-se que a resposta seja a mesma em todas as direções. Sob essas duas hipóteses, o tensor de rigidez elástica tem muito menos termos independentes do que um sólido anisotrópico geral. Assim, seis grandezas comumente relatadas — módulo de Young $E$, coeficiente de Poisson $\nu$, módulo volumétrico $K$ ou $B$, módulo de cisalhamento $G$, primeiro parâmetro de Lamé $\lambda$ e $2\mu$ — podem ser expressas a partir de apenas duas constantes escolhidas.

Esse resultado se aplica ao modelo constitutivo, e não automaticamente a todo valor medido e relatado para o aço. A temperatura, a constituição das fases, a textura cristalográfica, a porosidade, a tensão residual, a orientação do corpo de prova, a frequência e o método de ensaio podem afetar a resposta medida. Um valor utilizado em um modelo isotrópico de elementos finitos frequentemente é uma propriedade de engenharia efetiva, e não uma descrição completa da microestrutura do material.

Por que apenas duas constantes independentes são necessárias

Tensão e deformação são tensores de segunda ordem. No sólido elástico linear mais geral, a relação entre elas requer um tensor de rigidez de quarta ordem, com diversos acoplamentos direcionais possíveis. A simetria dos tensores de tensão e deformação reduz o número de termos independentes, e a simetria do material o reduz ainda mais. A isotropia impõe a simetria material ordinária mais forte: nenhuma direção é mecanicamente diferenciada.

A relação isotrópica entre tensão e deformação pode ser escrita como

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

onde ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ é o tensor de tensão, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ é o tensor de deformação, ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ é o delta de Kronecker, e $\lambda$ e $\mu$ são parâmetros de Lamé. Portanto, $\lambda$ e $\mu$ formam um par válido de constantes independentes. O módulo de cisalhamento é $G=\mu$, de modo que utilizar $G$ e $\lambda$ é equivalente.

A obra Elasticity of Solids, da Springer (2020), declara diretamente o resultado central: para um sólido isotrópico, apenas duas constantes elásticas são independentes. A documentação Sierra dos Sandia National Laboratories lista o conjunto isotrópico relacionado como módulo de Young $E$, coeficiente de Poisson $\nu$, módulo volumétrico $K$, módulo de cisalhamento $G$, primeiro parâmetro de Lamé $\lambda$ e $2\mu$, e afirma que $E$ e $\nu$ determinam os demais. A existência de seis denominações não cria seis propriedades materiais ajustáveis de forma independente.

Para o par comum $E,\nu$, as conversões são

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )},$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )},$$

e

$$2\mu =2G=\frac{E}{1+\nu }.$$

As relações inversas também são úteis:

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G},$$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}.$$

Essas equações não são correlações empíricas limitadas a uma única família de aços. Elas decorrem da lei constitutiva elástica linear isotrópica. Também impõem requisitos de consistência. Para um sólido isotrópico estável e comum, $G>0$, $K>0$ e $-1<\nu <0.5$. À medida que $\nu$ se aproxima de 0.5, o material se torna quase incompressível no modelo: $K$ cresce muito mais do que $G$, enquanto $E$ permanece relacionado a ambos.

Os significados físicos diferem, embora as constantes estejam matematicamente conectadas. A OpenStax descreve o módulo de Young como a razão que governa a resposta à tração, o módulo volumétrico como a resposta à compressão volumétrica e o módulo de cisalhamento como a resposta à deformação por cisalhamento. Um ensaio de tração fornece principalmente $E$, mas a deformação lateral medida juntamente com a deformação axial fornece $\nu$. Um experimento de pressão–volume determina $K$, enquanto a torção ou uma medição de ondas de cisalhamento determina $G$. Uma vez conhecido qualquer par consistente, os demais módulos são calculados, em vez de selecionados de forma independente.

A definição termodinâmica do módulo volumétrico explicita sua distinção em relação ao módulo de Young:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Essa expressão, apresentada pelo National Institute of Standards and Technology em 1982, descreve a resistência à variação de volume sob pressão a temperatura constante. Isso não significa que um módulo volumétrico tabelado seja intercambiável com um módulo de tração. A relação numérica entre eles existe somente depois que as hipóteses constitutivas isotrópicas são aplicadas.

E e ν como um par prático de entrada

Os cálculos de engenharia utilizam comumente $E$ e $\nu$ porque essas grandezas se relacionam naturalmente com um ensaio de tração uniaxial e são diretamente respaldadas por dados padronizados de materiais estruturais. Em um modelo tridimensional isotrópico, inserir essas duas grandezas permite que o software construa $G$, $K$, $\lambda$ e $2\mu$ sem constantes materiais adicionais. Inserir as seis grandezas pode criar um modelo inconsistente se os valores não satisfizerem as equações de conversão.

Isso é especialmente importante quando os valores provêm de fontes diferentes. Um módulo de tração estático, um módulo dinâmico obtido por ressonância e uma estimativa do módulo volumétrico podem ser válidos para suas respectivas condições de medição, embora não reproduzam exatamente uns aos outros por meio das equações isotrópicas. A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de cisalhamento e do coeficiente de Poisson “por ressonância sônica”. Na prática, essas medições dependem da frequência ou da taxa de aplicação, mesmo quando o material permanece dentro de sua faixa elástica. Não se deve presumir que sejam idênticas aos valores obtidos em ensaios de tração a baixa taxa sem verificar as condições do ensaio.

Uma referência secundária, a Engineering ToolBox, fornece um módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para aço inoxidável. Esse número é uma estimativa de referência, e não uma constante universal para todo grau de aço inoxidável, tratamento térmico, temperatura, forma do produto ou método de ensaio. Ele não deve ser combinado de maneira casual com um valor não relacionado de $E$ ou $\nu$ e então apresentado como uma propriedade medida específica do grau. A mesma cautela se aplica aos valores do Steel Castings Handbook, da ASM, no qual o módulo de elasticidade, o coeficiente de Poisson, o módulo de cisalhamento e propriedades físicas relacionadas são apresentados como dados característicos para peças fundidas de aço. “Aço” não corresponde a um único corpo de prova elástico fixo.

A distinção entre propriedades estáticas e dinâmicas é importante no projeto. Ensaios dinâmicos inferem constantes elásticas a partir de frequências de ressonância ou velocidades de onda; ensaios estáticos as inferem a partir de força, deslocamento e deformação. Um módulo dinâmico pode diferir devido à frequência, ao amortecimento, aos mecanismos microestruturais, à temperatura e à instrumentação. O relatório do National Bureau of Standards sobre o aço austenítico Fe-5Cr-26Mn mediu constantes elásticas entre 76–400 K a partir das velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Essa faixa demonstra por que um valor sem temperatura e método pode ser incompleto, mesmo quando a designação do material é precisa.

O papel da isotropia e da quase-isotropia

Um aço policristalino pode comportar-se de maneira aproximadamente isotrópica quando seus grãos são pequenos, numerosos e suficientemente aleatorizados quanto à orientação. Os cristais individuais permanecem anisotrópicos, mas os efeitos direcionais podem se compensar em um volume representativo. Essa é a base para utilizar um $E$ efetivo e um $\nu$ efetivo em muitos cálculos estruturais.

A aproximação se enfraquece quando o processamento cria uma textura intensa. Laminação, forjamento, manufatura aditiva, solidificação direcional e ciclos térmicos de soldagem podem produzir orientações cristalográficas preferenciais. Nesse caso, uma chapa pode apresentar propriedades longitudinais, transversais e na direção da espessura diferentes. Um produto fundido pode apresentar outro padrão devido à estrutura dendrítica, à segregação, à porosidade e à orientação local dos grãos. A constituição das fases também é importante: ferrita, austenita, martensita, bainita e austenita retida não contribuem com comportamentos elásticos de cristal individual idênticos.

Quase-isotrópico descreve uma resposta efetiva suficientemente próxima da isotrópica para uma finalidade, uma faixa direcional e uma escala especificadas. Isso não elimina a anisotropia cristalina nem garante que todo módulo medido em toda orientação esteja de acordo. O capítulo do manual do NIST sobre constantes elásticas de monocristais explica como $E$, $G$, $B$, o módulo longitudinal e $\nu$ policristalinos podem ser derivados de dados de rigidez de cristais individuais para elementos cúbicos e hexagonais. Esse procedimento torna visível a hipótese de média, em vez de tratar as constantes policristalinas resultantes como valores fundamentais.

Para um aço fortemente texturizado, um modelo de elasticidade anisotrópica pode exigir mais de duas constantes independentes e deve preservar a orientação do corpo de prova. Para um componente de aço quase isotrópico, duas constantes efetivas podem ser suficientes para o cálculo pretendido, desde que a hipótese tenha sido verificada por meio de medições. O capítulo Constitutive Response, da Oxford Academic, também estrutura a elasticidade linear isotrópica em torno de duas constantes independentes. Portanto, a questão prática não é se o aço possui seis módulos elásticos independentes. Sob o modelo isotrópico, não possui. A questão é se as duas constantes escolhidas representam o material, a temperatura, a direção e o regime de medição relevantes para o cálculo.

Módulo de Young E no aço

O módulo de Young, $E$, descreve a rigidez de um material sob tração ou compressão uniaxial. De acordo com a definição linear-elástica aplicável, ele é a razão entre a tensão axial e a deformação axial:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

Aqui, $\sigma$ é a tensão normal que atua ao longo do eixo do corpo de prova, e $\epsilon$ é a deformação axial correspondente. Para uma resposta perfeitamente linear, o gráfico tensão–deformação é uma linha reta que passa pela origem, e $E$ é sua inclinação. A unidade é o pascal, normalmente expressa para o aço em gigapascals.

Essa definição se aplica somente à parte do carregamento em que a resposta do material é linear e recuperável. Isso não significa que toda razão entre tensão e deformação medida durante um ensaio de aço seja o módulo de Young. Quando surge deformação plástica, transformação de fase, dano ou não linearidade substancial, a inclinação ou razão selecionada descreve uma propriedade diferente.

Tensão uniaxial e deformação axial

Um ensaio de tração uniaxial aplica uma força ao longo de uma das direções principais de um corpo de prova. A tensão axial de engenharia é normalmente calculada dividindo-se a força aplicada pela área original da seção transversal:

$$\sigma =\frac{F}{A_0}$$

A deformação axial de engenharia é a variação do comprimento útil dividida pelo seu comprimento original:

$$\epsilon =\frac{L-L_0}{L_0}$$

Em pequenas deformações, essas definições fornecem o valor de engenharia usual de $E$. Um extensômetro de ensaio ou um extensômetro elétrico mede o alongamento ao longo de um comprimento útil especificado, enquanto a máquina de ensaio registra a força e o deslocamento. A inclinação medida pode ser afetada pela complacência da máquina, pelo movimento das garras, pelo alinhamento do corpo de prova, pelas condições superficiais e pelo método utilizado para determinar a parte inicial da curva.

Na faixa elástica, um corpo de prova submetido à tração também se contrai lateralmente. O coeficiente de Poisson, $\nu$, relaciona a deformação lateral à deformação axial, geralmente como

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}$$[3][3] Elasticity of Solids. Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

Para um sólido isotrópico linear-elástico, $E$ e $\nu$ determinam as demais constantes elásticas. A documentação do Sandia Sierra lista o conjunto isotrópico relacionado como o módulo de Young $E$, o coeficiente de Poisson $\nu$, o módulo volumétrico $K$, o módulo de cisalhamento $G$, o primeiro parâmetro de Lamé $\lambda$ e $2\mu$; a afirmação de que $E$ e $\nu$ determinam as demais constantes reflete a estrutura de duas constantes da elasticidade isotrópica. O livro Elasticity of Solids, da Springer, também afirma que apenas duas constantes elásticas são independentes para um sólido isotrópico.

As relações comumente utilizadas em projeto são

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

e

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

onde $G$ é o módulo de cisalhamento e $K$, também representado por $B$, é o módulo volumétrico. Essas equações não fazem de $E$, $G$, $K$ e $\nu$ quatro propriedades independentes do material. Elas relacionam medições realizadas sob diferentes modos de deformação quando as hipóteses isotrópica e linear-elástica são apropriadas.

A distinção entre os modos de deformação é importante. O módulo de Young diz respeito à extensão ou contração axial; o módulo de cisalhamento diz respeito à distorção angular sob cisalhamento; e o módulo volumétrico diz respeito à variação de volume sob pressão hidrostática. A OpenStax apresenta essas grandezas como interpretações físicas distintas da resposta elástica. O tratamento de 1982 do manual do NIST define termodinamicamente o módulo volumétrico como

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

portanto, seu valor diz respeito à variação de volume provocada pela pressão a uma temperatura especificada, e não simplesmente à inclinação de uma curva de tensão–deformação em tração.

O aço é frequentemente tratado como isotrópico em cálculos de engenharia convencionais porque um produto policristalino pode conter muitas orientações cristalográficas. Essa aproximação pode falhar em chapas fortemente texturizadas, barras submetidas a intenso trabalho mecânico, placas laminadas, conjuntos soldados, materiais produzidos por manufatura aditiva ou corpos de prova monocristalinos utilizados em pesquisa. Os cristais de ferrita e austenita cúbicas apresentam rigidez elástica dependente da direção, embora um agregado com orientações adequadamente distribuídas possa parecer quase isotrópico. O NIST explica como $E$, $G$, $B$, o módulo longitudinal e o coeficiente de Poisson policristalinos podem ser calculados a partir de dados de rigidez elástica de monocristais para materiais cúbicos e hexagonais.

Consequentemente, um valor informado para “aço” não é automaticamente uma constante universal para todas as formas de produto. A composição química, a ferrita, a perlita, a bainita, a martensita, a austenita retida, as populações de carbonetos, a porosidade, a textura e as tensões residuais podem afetar a resposta medida. O efeito pode ser pequeno em uma configuração de ensaio e importante em outra.

Módulos elásticos secante, tangente e inicial

O módulo elástico inicial é a inclinação da curva tensão–deformação em, ou muito próximo de, tensão e deformação nulas. Na forma diferencial,

$$E_{\text{initial}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }{|}_{\epsilon \to 0}$$

desde que a curva seja suficientemente linear e o sistema de medição tenha sido corrigido. Esse é o valor mais estreitamente associado à definição convencional do módulo de Young.

O módulo tangente é a inclinação local em um ponto selecionado:

$$E_{\text{tan}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }$$

Se a curva permanecer linear, o módulo tangente será igual ao módulo inicial. Próximo ao escoamento, porém, o aço pode apresentar uma curvatura causada pelo início da plasticidade, pelo movimento de discordâncias, pela deformação de Lüders, por efeitos de transformação ou por artefatos do ensaio. O módulo tangente então varia com a tensão e a deformação. Ele deve ser informado juntamente com o ponto ou intervalo de deformação em que foi medido.

O módulo secante é a inclinação de uma linha que vai de uma origem escolhida até um ponto selecionado da curva:

$$E_{\text{sec}}=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

para esse ponto selecionado. Ele representa uma média da resposta ao longo do intervalo, em vez de descrever a inclinação local. Se a curva se afastar da linearidade, os valores secante e tangente serão diferentes. Um módulo secante obtido em uma tensão acima do primeiro escoamento pode ser muito menor que o módulo elástico inicial, pois a deformação total inclui deformação plástica.

Portanto, esses termos não são intercambiáveis. Chamar um valor secante de “módulo de Young” sem informar o intervalo de deformação ou tensão pode induzir a erro em um cálculo de projeto. O mesmo problema ocorre quando uma máquina informa uma inclinação calculada a partir do deslocamento do travessão, em vez da deformação medida diretamente no comprimento útil. O assentamento das garras e a deformação da estrutura podem distorcer a parte inicial da curva, enquanto a plasticidade pode distorcer uma parte posterior.

A deformação prévia também é importante. A laminação a frio, a trefilação, o endireitamento, a pré-deformação e o carregamento cíclico alteram as estruturas de discordâncias e as tensões residuais. Esses processos podem modificar a inclinação inicial aparente, produzir assimetria entre tração e compressão e gerar diferentes inclinações durante o descarregamento e o recarregamento. Um corpo de prova que tenha sido deformado plasticamente não é equivalente a um corpo de prova não deformado simplesmente porque possui a mesma designação nominal do material.

A temperatura também deve ser especificada. A rigidez elástica geralmente varia com a temperatura, e a constituição de fases pode mudar em uma faixa de temperatura mais ampla. Um relatório do National Bureau of Standards publicado em 1981 mediu constantes elásticas de um aço austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 e 400 K, utilizando velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Essa faixa de temperatura demonstra por que um valor de tração medido à temperatura ambiente não deve ser transferido sem análise crítica para aplicações criogênicas ou análises em temperaturas elevadas.

Módulo de Young estático versus dinâmico

Um módulo de Young estático é obtido a partir de uma carga mecânica aplicada lentamente, geralmente medindo-se a força e a deformação axial durante um ensaio de tração ou compressão. “Lentamente” não significa que o resultado seja independente da taxa. A taxa de deformação, o histórico de carregamento, o tempo de permanência, o aumento de temperatura e o sistema de medição da deformação podem influenciar a inclinação informada. Os efeitos viscoelásticos geralmente são limitados no aço comum em condições ambientais, mas a plasticidade dependente da taxa, o amortecimento, os efeitos térmicos e a complacência da máquina de ensaio ainda podem afetar o resultado próximo à transição elástico-plástica.

Um módulo de Young dinâmico é inferido a partir de uma medição de vibração, propagação de ondas ou ressonância. A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de cisalhamento e do coeficiente de Poisson “por ressonância sônica”. O método utiliza frequências de ressonância e as dimensões do corpo de prova, com a densidade e as relações de vibração de vigas ou barras entrando no cálculo. Como a deformação oscila em uma frequência finita e, em geral, com amplitude muito pequena, o resultado não é simplesmente o valor obtido em um ensaio de tração mais rápido.

As medições dinâmicas podem ser altamente sensíveis à geometria do corpo de prova, às condições de apoio, à frequência, à densidade, ao amortecimento e às descontinuidades internas. As medições estáticas são sensíveis ao alinhamento, ao posicionamento do extensômetro, ao comprimento útil e à taxa de deformação. Quando ambos os métodos são realizados corretamente dentro do mesmo regime elástico, seus resultados podem ser próximos, mas não há garantia de concordância. Portanto, um módulo informado deve identificar o método, a temperatura, a orientação, a condição do corpo de prova e se o valor é inicial, tangente, secante, estático ou dinâmico.

Um valor de referência aproximado de 163 GPa é algumas vezes listado para o módulo volumétrico do aço inoxidável pela Engineering ToolBox, mas trata-se de uma estimativa secundária, e não de um valor universal para todos os graus de aço inoxidável, designações normativas, temperaturas, texturas ou formas de produto. A mesma cautela se aplica aos valores citados para o módulo de Young. Em modelos de projeto isotrópicos, um par de constantes elásticas cuidadosamente selecionado é suficiente; ainda assim, os dados medidos do material devem corresponder à condição do aço e ao modo de deformação utilizados no cálculo.

Módulo de cisalhamento G e rigidez distorcional

O módulo de cisalhamento, $G$, mede a resistência de um sólido à mudança de forma causada por uma tensão de cisalhamento. Ele não descreve principalmente a resistência a uma mudança de volume. Sob cisalhamento puro ideal, um par de planos do material desliza em relação a outro, alterando os ângulos no interior do corpo enquanto seu volume permanece praticamente inalterado. Essa distinção separa $G$ do módulo volumétrico, $K$ ou $B$, que descreve a resistência à compressão hidrostática.

No caso do aço, $G$ não é uma designação de classe independente que possa variar separadamente de todas as outras propriedades elásticas. Na elasticidade linear, homogênea e isotrópica, apenas duas constantes elásticas são independentes. Uma tabela pode apresentar o módulo de Young $E$, o coeficiente de Poisson $\nu$, o módulo de cisalhamento $G$, o módulo volumétrico $K$, o primeiro parâmetro de Lamé $\lambda$ e $2\mu$, mas essas grandezas estão matematicamente relacionadas. O Sandia National Laboratories lista esse conjunto isotrópico de seis grandezas e afirma que $E$ e $\nu$ determinam as demais. A mesma restrição a duas constantes é descrita em Elasticity of Solids (2020), da Springer.

Tensão de cisalhamento e deformação angular

A tensão de cisalhamento, convencionalmente escrita como $\tau$, atua paralelamente a uma superfície. Quando um elemento retangular sofre cisalhamento, seus ângulos inicialmente retos se alteram por uma deformação angular $\gamma$. Para pequenas deformações, $\gamma$ é medida em radianos e pode ser aproximada pelo deslocamento lateral dividido pela altura:

$$\gamma \approx \frac{\Delta x}{h}.$$

A relação elástica linear é

$$\tau =G\gamma ,$$

ou

$$G=\frac{\tau }{\gamma }.$$

Quanto maior for $G$, maior será a tensão de cisalhamento necessária para produzir uma distorção angular especificada. Essa é uma relação de rigidez, não uma afirmação sobre escoamento ou fratura. Um corpo de prova de aço pode ter um módulo de cisalhamento elástico elevado e, ainda assim, sofrer deformação permanente quando sua tensão de cisalhamento local exceder a condição de escoamento aplicável.

O cisalhamento puro ilustra a diferença entre a resposta distorcional e a resposta volumétrica. Um cubo pode se transformar em um paralelepípedo inclinado, enquanto os comprimentos de suas arestas e seu volume mudam muito pouco. Os sólidos reais também sofrem deformações normais durante o cisalhamento. Em um material isotrópico, essas deformações acompanhadoras são governadas pelo coeficiente de Poisson e pelas equações constitutivas completas, mas a deformação principal que está sendo medida é a distorção angular.

Um material sob pressão hidrostática se comporta de maneira diferente. A pressão atua igualmente em todas as direções e altera o volume sem produzir uma direção preferencial de cisalhamento. O módulo correspondente é definido termodinamicamente pelo NIST como

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

em que $V$ é o volume, $P$ é a pressão e a derivada é calculada a temperatura constante. Essa definição, citada em um capítulo de um manual do NIST de 1982, mostra por que um módulo volumétrico não deve ser substituído por $G$ em um cálculo de torção ou cisalhamento.

Para uma aproximação isotrópica do aço, a densidade de energia de deformação de cisalhamento é

$$u_s=\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{{\tau }^2}{2G}=\frac{1}{2}G{\gamma }^2.$$

Essa energia armazenada é recuperada quando a carga é removida, desde que a deformação permaneça dentro da faixa elástica e nenhum mecanismo dependente do tempo ou de dano tenha ocorrido.

Torção, ondas transversais e resposta ao cisalhamento

A torção é uma manifestação prática da elasticidade ao cisalhamento. Quando um eixo de aço circular é torcido, as seções transversais giram umas em relação às outras, e os elementos do material sofrem uma deformação de cisalhamento que aumenta com a distância em relação ao eixo do eixo. Para um eixo circular em torção de Saint-Venant,

$$T=\mathrm{GJ}\frac{\phi }{L},$$

em que $T$ é o torque, $J$ é o segundo momento polar de área, $\phi$ é o ângulo de torção e $L$ é o comprimento do eixo. Reorganizando, obtém-se

$$\frac{\phi }{L}=\frac{T}{\mathrm{GJ}}.$$

Um eixo com $G$ maior sofre menor torção sob o mesmo torque, desde que sua geometria e suas condições de contorno permaneçam inalteradas. Para um eixo circular maciço, $J=\pi d^4/32$; para um eixo circular vazado, $J=\pi (d_o^4-d_i^4)/32$. Essas equações se aplicam à faixa elástica de torção e exigem tratamento adicional para seções não circulares, empenamento, plasticidade, tensão residual e produtos anisotrópicos.

O módulo de cisalhamento também é medido por meio da velocidade de ondas elásticas transversais. Em um meio isotrópico, a velocidade da onda transversal, ou onda de cisalhamento, é

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }},$$

de modo que

$$G=\rho v_T^2,$$

em que $\rho$ é a densidade. Uma onda transversal provoca o movimento das partículas perpendicularmente à direção de propagação. Sua força restauradora é a rigidez ao cisalhamento, enquanto uma onda longitudinal é controlada por uma combinação da rigidez volumétrica e da rigidez ao cisalhamento:

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}.$$

Portanto, a medição de ambas as velocidades de onda permite calcular mais de uma constante elástica quando a densidade é conhecida. Trata-se de uma medição dinâmica: o resultado reflete a resposta na frequência de ensaio, na temperatura, na condição do corpo de prova e na amplitude da onda.

A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de cisalhamento e do coeficiente de Poisson “por ressonância sônica”. O método utiliza frequências de ressonância associadas à resposta longitudinal e flexional ou torsional, em vez de uma curva lenta de carregamento monotônico. Os valores dinâmicos e estáticos podem ser próximos para um corpo de prova de aço homogêneo em uma faixa elástica limitada, mas não devem ser tratados automaticamente como idênticos.

O relatório do National Bureau of Standards sobre o aço austenítico Fe-5Cr-26Mn demonstra a importância das condições de ensaio. O estudo determinou constantes elásticas a partir das velocidades do som nos modos longitudinal e transversal entre 76 e 400 K. As mudanças de temperatura afetam as ligações atômicas, a expansão térmica, a estabilidade de fases e o amortecimento relacionado a defeitos; consequentemente, um módulo medido em temperatura criogênica não precisa ser igual ao medido próximo à temperatura ambiente. A constituição de fases e a textura cristalográfica do aço também são importantes. Um monocristal depende da direção, enquanto um policristal pode parecer isotrópico somente quando as orientações dos grãos estão suficientemente randomizadas. Laminação, forjamento, soldagem, produtos de transformação e textura residual podem produzir uma resposta direcional ao cisalhamento.

Relação entre G, E e ν

Para a elasticidade linear, homogênea e isotrópica, a relação central é

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Aqui, $E$ é o módulo de Young e $\nu$ é o coeficiente de Poisson. Quando duas constantes independentes são conhecidas, as demais constantes isotrópicas podem ser derivadas. Assim, relatar $E$, $G$ e $\nu$ como três números independentes e específicos de uma classe é mecanicamente inconsistente, a menos que estejam sendo discutidas a incerteza de medição, a anisotropia, a temperatura ou uma divergência em relação ao modelo.

A relação correspondente para o módulo volumétrico é

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

e a conexão direta entre $K$ e $G$ é

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Essas equações são relações de modelo, não regras universais de conversão para todo produto de aço. Elas pressupõem pequenas deformações, comportamento reversível, homogeneidade do material, isotropia e uma condição de temperatura e carregamento na qual as constantes elásticas permaneçam efetivamente fixas. Também pressupõem que os valores relatados se refiram a definições compatíveis. Um módulo estático de tração, um módulo dinâmico de ressonância e um módulo derivado de ondas podem diferir porque suas frequências e amplitudes de deformação são diferentes.

Um valor de referência aproximado de 163 GPa para o módulo volumétrico do aço inoxidável é apresentado pela Engineering ToolBox em 2024, mas esse valor não é universal para todas as classes de aço inoxidável, temperaturas, formas de produto, equilíbrios de fases ou métodos de ensaio. A mesma ressalva se aplica a $G$. Aços austeníticos, ferríticos, martensíticos e duplex podem diferir quanto à textura, à fração de fases, ao estado magnético e ao histórico de processamento. Normas e especificações de projeto podem atribuir um valor isotrópico representativo para fins de cálculo, enquanto uma medição de pesquisa pode determinar constantes dependentes da direção.

Para cálculos de projeto isotrópicos, $G=E/[2(1+\nu \left)\right]$ é a relação apropriada entre a rigidez à tração e a rigidez ao cisalhamento. Para chapas texturizadas, material afetado pela soldagem, estruturas fundidas, monocristais ou aço multifásico com comportamento direcional acentuado, pode ser necessária a matriz completa de rigidez anisotrópica. Nesse contexto, um único módulo de cisalhamento escalar não pode descrever todos os planos de cisalhamento.

Módulo volumétrico K ou B e compressão volumétrica

O módulo volumétrico descreve a resistência a uma mudança uniforme de volume. Ele não descreve a resistência de uma barra de aço ao ser alongada ao longo de um único eixo e não é intercambiável com o módulo de Young. Um ensaio de tração determina principalmente um módulo uniaxial; um experimento de pressão determina um módulo volumétrico. Os dois só estão relacionados depois que um modelo elástico e suas premissas foram especificados.

Para a elasticidade linear isotrópica, os símbolos usuais são $K$ ou $B$ para o módulo volumétrico, $E$ para o módulo de Young, $G$ para o módulo de cisalhamento e $\nu$ para o coeficiente de Poisson. Essas não são quatro constantes de material ajustáveis independentemente. Conforme explica Elasticity of Solids, da Springer, um sólido isotrópico possui apenas duas constantes elásticas independentes. A documentação Sierra, da Sandia, lista o conjunto relacionado como módulo de Young $E$, coeficiente de Poisson $\nu$, módulo volumétrico $K$, módulo de cisalhamento $G$, primeiro parâmetro de Lamé $\lambda$ e $2\mu$; especificar $E$ e $\nu$ determina os demais.

Definição termodinâmica do módulo volumétrico

O National Institute of Standards and Technology define o módulo volumétrico isotérmico como

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

em que $V$ é o volume, $P$ é a pressão e o índice $T$ significa que a derivada é calculada a temperatura constante. O sinal negativo é necessário porque o aumento da pressão normalmente reduz o volume; portanto, $\partial P/\partial V$ é negativo.

Essa definição descreve a inclinação local da curva pressão–volume. Trata-se de uma grandeza diferencial, e não simplesmente da pressão dividida pelo volume ao longo de uma compressão arbitrariamente grande. Para uma pequena variação,

$$\frac{\Delta V}{V}\approx -\frac{\Delta P}{B}.$$

Portanto, um $B$ maior significa que é necessária uma variação de pressão maior para produzir a mesma variação fracionária de volume. A unidade do SI é o pascal, embora os dados referentes ao aço normalmente sejam expressos em gigapascals.

O qualificador de temperatura constante é importante. Um material submetido a uma compressão lenta pode trocar calor com o ambiente, enquanto uma onda sonora rápida pode produzir uma deformação quase adiabática. Assim, medições dinâmicas podem corresponder a um módulo efetivo diferente daquele obtido em um ensaio mecânico lento. A própria pressão também pode alterar a inclinação, especialmente quando a compressão é suficientemente grande para que as constantes elásticas já não sejam adequadamente representadas por uma única constante.

Para um sólido sob pressão hidrostática, as tensões normais são iguais nas três direções:

$${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=-P.$$

A deformação correspondente é uma deformação volumétrica,

$${\epsilon }_v=\frac{\Delta V}{V}={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,$$

para pequenas deformações. A relação constitutiva é então

$$P=-K{\epsilon }_v.$$

O sinal negativo decorre da convenção de sinais segundo a qual a tensão e a deformação de tração são positivas, enquanto a pressão de compressão é positiva como grandeza escalar.

Pressão hidrostática e deformação volumétrica

A compressão hidrostática é diferente do carregamento uniaxial, embora ambas produzam tensões normais. Considere um corpo de prova de aço tracionado em um ensaio de tração. A tensão axial aplicada produz uma extensão axial, enquanto ocorre contração de Poisson nas duas direções transversais. O módulo de Young é definido a partir da tensão axial e da deformação axial nessa configuração de carregamento:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

dentro do regime elástico linear.[4][4] Stress, Strain, and Elastic Modulus. OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

Sob pressão hidrostática, nenhuma direção é privilegiada. O corpo de prova se contrai longitudinalmente ao longo dos três eixos, e a resposta relevante é a soma das três deformações normais. A OpenStax estabelece diretamente essa distinção física: o módulo de Young se aplica ao carregamento de tração, o módulo volumétrico à compressão volumétrica e o módulo de cisalhamento à deformação por cisalhamento. Um ensaio de tração uniaxial não impõe diretamente o estado necessário para medir $K$.

Para um sólido elástico linear isotrópico, os módulos estão relacionados por

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

e

$$E=3K(1-2\nu ).$$

A outra relação comumente utilizada é

$$E=2G(1+\nu ).$$

Assim, um $E$ e um $\nu$ informados podem ser convertidos em $K$, mas o resultado incorpora as condições e incertezas associadas a ambos os valores de entrada. Se $E$ for um módulo dinâmico obtido por ressonância, enquanto $\nu$ tiver sido obtido em um ensaio de tração lento, o módulo volumétrico calculado poderá não representar um único estado de medição internamente consistente.

A fórmula também mostra por que o módulo volumétrico é altamente sensível ao coeficiente de Poisson próximo da incompressibilidade. Para um valor nominal do aço de $E=200$ GPa e $\nu =0.30$,

$$K=\frac{200}{3(1-0.60)}\approx 167\text{GPa}.$$

Alterar $\nu$ para 0.49, mantendo o mesmo $E$, resulta em

$$K=\frac{200}{3(1-0.98)}\approx 3333\text{GPa}.$$

Essa mudança muito grande não é um simples efeito de arredondamento. Ela resulta do fato de o denominador se aproximar de zero à medida que $\nu$ se aproxima de 0,5. Um pequeno erro em $\nu$, ou um valor obtido em temperatura, frequência, constituição de fases ou método de medição diferentes, pode produzir uma alteração substancial no $K$ calculado.

Por que os metais são frequentemente descritos como quase incompressíveis

Os metais são frequentemente chamados de quase incompressíveis porque sua deformação volumétrica sob pressões mecânicas usuais é pequena em comparação com sua mudança de forma sob cisalhamento ou tensão uniaxial. Seu módulo volumétrico é geralmente muito maior que seu módulo de cisalhamento. A pressão pode alterar o volume apenas ligeiramente, enquanto um estado de tensão comparável que permita a distorção da forma pode produzir uma mudança mais perceptível na geometria.

“Quase incompressível” não significa perfeitamente incompressível. O aço ainda possui um módulo volumétrico finito, e sua densidade muda sob pressão. A aproximação é útil na análise de conformação, na plasticidade, em cálculos de interação fluido–estrutura e em outras situações nas quais as variações de volume são pequenas, mas não deve ser aplicada sem verificar o modelo de material. A deformação plástica, a transformação de fase, a porosidade, o dano e a temperatura elevada podem alterar a resposta volumétrica. Uma fundição de aço porosa, por exemplo, não pode ser tratada como um sólido isotrópico denso ideal apenas porque sua matriz metálica é rígida.

A aproximação também se torna mais complexa devido à microestrutura do aço. As constantes elásticas de um monocristal dependem da direção cristalográfica. Um agregado policristalino pode comportar-se aproximadamente de forma isotrópica quando os grãos estão orientados aleatoriamente, mas a laminação, o forjamento, a transformação de fase e a textura podem produzir propriedades direcionais. O capítulo do manual do NIST sobre constantes elásticas de monocristais mostra como $E$, $G$, $B$, o módulo longitudinal e $\nu$ quase isotrópicos de materiais policristalinos podem ser derivados de dados de rigidez de monocristais para materiais cúbicos e hexagonais. “Quase isotrópico” é uma descrição de modelagem, não uma garantia de que todas as formas de produto tenham propriedades idênticas em todas as direções.

A temperatura e a constituição de fases também são importantes. Um relatório do National Bureau of Standards determinou constantes elásticas para o aço austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 e 400 K, a partir das velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Essa faixa de temperatura, por si só, demonstra por que um único valor à temperatura ambiente não pode ser atribuído a todas as condições do aço. Aços austeníticos, ferríticos, martensíticos e de fases mistas podem diferir em sua resposta elástica, enquanto o trabalho a frio e a textura podem alterar os valores direcionais medidos.

Uma referência secundária, a Engineering ToolBox, fornece um valor aproximado de 163 GPa para “aço inoxidável”. Esse número pode ser conveniente para um cálculo preliminar, mas não constitui um módulo volumétrico universal para todos os graus de aço inoxidável, temperaturas, formas de produto, proporções de fases, texturas ou condições de ensaio. Ele não deve ser apresentado como uma constante medida compartilhada por todos os aços inoxidáveis.

O método de medição é outra fonte de variação. A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de cisalhamento e do coeficiente de Poisson “por ressonância sônica”. Esses valores são obtidos a partir de frequências de vibração e são sensíveis à densidade, à geometria, ao amortecimento, à temperatura e à frequência. Os dados estáticos de tração respondem a uma questão experimental diferente. Portanto, os cálculos de projeto devem identificar se o módulo é medido ou derivado, estático ou dinâmico, isotrópico ou direcional, e a qual temperatura e condição do material está associado. Sem essas informações, um $K$ ou $B$ citado é apenas uma estimativa condicional.

Coeficiente de Poisson ν e deformação transversal no aço

O coeficiente de Poisson, representado por ν (nu), descreve a deformação elástica produzida perpendicularmente a uma carga aplicada. Em um ensaio de tração, ele é definido como

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\mathrm{transverse}}}{{\epsilon }_{\mathrm{longitudinal}}}$$

em que a deformação longitudinal acompanha a direção do carregamento, enquanto a deformação transversal é medida através do corpo de prova. O sinal negativo torna ν positivo para a resposta usual do aço sob tração: o comprimento de referência aumenta, enquanto a largura e a espessura diminuem.

Essa definição se aplica a uma determinada direção de ensaio elástico, temperatura, taxa de carregamento e condição do material. Ela não é uma designação de grau independente que possa ser selecionada separadamente do módulo de Young, do módulo de cisalhamento ou do módulo de compressibilidade. Para um sólido isotrópico, homogêneo e linearmente elástico, apenas duas constantes elásticas são independentes. O Sandia National Laboratories lista as constantes isotrópicas relacionadas como módulo de Young $E$, coeficiente de Poisson $\nu$, módulo de compressibilidade $K$, módulo de cisalhamento $G$, primeiro parâmetro de Lamé $\lambda$ e $2\mu$; a especificação de $E$ e $\nu$ determina as demais. O livro Elasticity of Solids, da Springer, também afirma que um sólido isotrópico possui “apenas duas” constantes elásticas independentes.

Para o aço isotrópico sob pequenas deformações elásticas, as principais relações são

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

e

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

As mesmas relações podem ser rearranjadas para obter

$$\nu =\frac{E}{2G}-1$$

ou

$$\nu =\frac{3K-E}{6K}.$$

Essas equações são relações constitutivas, e não maneiras independentes de atribuir dados materiais arbitrários. Se uma tabela apresentar $E$, $G$, $K$ e ν que não satisfaçam essas relações, os valores podem ter sido medidos por métodos diferentes, em temperaturas diferentes ou sob hipóteses distintas. Eles também podem descrever um material anisotrópico utilizando aproximações isotrópicas.

Contração axial durante o carregamento de tração

Considere um corpo de prova de aço para ensaio de tração com seu eixo alinhado à direção do carregamento. Uma tensão de tração produz uma deformação axial positiva,

$${\epsilon }_L=\frac{\Delta L}{L},$$

enquanto o diâmetro se contrai. Se o diâmetro original for $d$, a deformação transversal será aproximadamente

$${\epsilon }_T=\frac{\Delta d}{d}.$$

Dentro do regime elástico,

$${\epsilon }_T=-\nu {\epsilon }_L.$$

Assim, se um corpo de prova apresentar uma deformação elástica axial de $0,001$ e ν for igual a 0,30, sua deformação transversal será aproximadamente $-0,0003$. O comprimento aumenta 0,10%, enquanto o diâmetro diminui 0,03%. O exemplo numérico descreve apenas a deformação; ele não atribui um valor universal a todos os graus de aço ou formas de produto.

A razão é adimensional, pois tanto o numerador quanto o denominador são deformações. Ela também depende da forma como as deformações são definidas. A deformação de engenharia, a deformação verdadeira, os componentes do tensor de pequenas deformações e as deformações secantes podem produzir resultados ligeiramente diferentes quando a deformação deixa de ser muito pequena. O coeficiente de Poisson utilizado em projetos linearmente elásticos normalmente se refere à inclinação inicial dentro do regime recuperável, antes do escoamento, da deformação de Lüders, do fluxo plástico, da formação de trincas ou de outros efeitos não lineares.

As respostas axial e lateral são acopladas. Um corpo de prova sob tração não se estende simplesmente enquanto preserva as dimensões originais de sua seção transversal. Para uma seção retangular ou cilíndrica, a redução da largura e da espessura contribui para uma variação de volume. Sob pequenas deformações, a deformação volumétrica é aproximadamente

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L+{\epsilon }_{T1}+{\epsilon }_{T2}.$$

Para um estado de tração isotrópico com deformações transversais iguais,

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L(1-2\nu ).$$

Essa expressão mostra por que ν é importante em modelos de elementos finitos e em cálculos estruturais. Definir ν incorretamente altera a contração lateral prevista, a resposta volumétrica, a tensão hidrostática e, às vezes, a rigidez aparente de regiões restringidas.

O aço não é uma substância isotrópica única em todas as escalas. Um policristal orientado aleatoriamente pode se aproximar do comportamento isotrópico quando muitos grãos contribuem e a textura é fraca. Chapas laminadas, fios trefilados, barras forjadas, zonas soldadas e materiais fabricados aditivamente podem manter orientações cristalográficas preferenciais ou distribuições de fases que variam espacialmente. Nesses casos, a deformação transversal depende das direções de carregamento e medição. Um único ν escalar pode então ser uma média conveniente para fins de engenharia, e não uma descrição completa do material.

Variação de volume e o limite ν = 0,5

O módulo de compressibilidade descreve a resistência à compressão uniforme, enquanto o módulo de Young descreve a tração ou compressão axial, e o módulo de cisalhamento descreve a mudança de forma sob cisalhamento. A OpenStax faz essa distinção diretamente: o módulo de Young se aplica ao carregamento de tração, o módulo de compressibilidade à compressão volumétrica e o módulo de cisalhamento à deformação por cisalhamento.

A definição termodinâmica do módulo de compressibilidade é

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

conforme declarado pelo National Institute of Standards and Technology em 1982. Aqui, $P$ é a pressão, $V$ é o volume, e a derivada é tomada a temperatura constante. A equação da elasticidade linear isotrópica $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$ relaciona essa resposta volumétrica aos dados elásticos uniaxiais somente quando as hipóteses de isotropia são apropriadas.

À medida que ν se aproxima de 0,5, o denominador $1-2\nu$ se aproxima de zero e o módulo de compressibilidade calculado tende ao infinito para um $E$ finito. Esse é o limite incompressível: a deformação pode alterar a forma, mas não o volume. Materiais semelhantes à borracha podem se aproximar dessa condição porque sua resposta volumétrica é muito mais rígida que sua resposta ao cisalhamento. Os aços comuns não são incompressíveis, embora seu módulo de compressibilidade seja substancialmente maior que seu módulo de cisalhamento.

O limite também evidencia um problema numérico. Como $K$ contém $1-2\nu$, um pequeno erro em ν pode causar um grande erro relativo no $K$ calculado, especialmente quando ν está próximo de 0,5. Diferenciando a relação, obtém-se

$$\frac{\partial K}{\partial \nu }=\frac{2E}{3(1-2\nu {)}^2}$$

quando $E$ é mantido constante. O denominador ao quadrado amplifica a sensibilidade. Uma incerteza de apenas alguns milésimos em ν pode ter pouco efeito em um cálculo axial aproximado, mas um efeito significativo em um módulo de compressibilidade reportado.

Uma referência da Engineering ToolBox fornece um módulo de compressibilidade aproximado de 163 GPa para o aço inoxidável. Esse valor é uma estimativa de uma fonte secundária, e não um valor universal para todos os graus de aço inoxidável, temperaturas, formas de produto, constituições de fase ou métodos de ensaio. Aços austeníticos, ferríticos, martensíticos, duplex e endurecíveis por precipitação podem diferir quanto à textura, ao equilíbrio de fases, aos defeitos e à resposta à temperatura.

Medição e interpretação de ν

O coeficiente de Poisson pode ser obtido por meio de medições simultâneas das deformações axial e transversal em um ensaio de tração ou compressão. Extensômetros, extensômetros de resistência colados, sistemas ópticos e correlação digital de imagens podem medir os dois componentes de deformação, mas o sinal transversal costuma ser menor e mais sensível ao alinhamento, à preparação da superfície, à geometria do comprimento de referência e ao ruído. O desalinhamento pode introduzir flexão, enquanto o posicionamento imperfeito dos extensômetros pode misturar as direções longitudinal e transversal.

Uma segunda abordagem deriva ν das velocidades de ondas elásticas medidas independentemente. As velocidades das ondas longitudinais e de cisalhamento fornecem informações elásticas dinâmicas; para um sólido isotrópico,

$$G=\rho v_S^2$$

e

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_S^2),$$

em que $\rho$ é a densidade, $v_S$ é a velocidade da onda de cisalhamento e $v_L$ é a velocidade da onda longitudinal. Os valores resultantes de $E$ e ν descrevem uma resposta de pequena amplitude e frequência finita, que necessariamente não coincide com o valor obtido em um ensaio de tração lento. A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young, do módulo de cisalhamento e do coeficiente de Poisson dinâmicos “por ressonância sônica”.[5][5] Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

As mudanças de temperatura alteram tanto a rigidez elástica quanto a velocidade das ondas. Um relatório do National Bureau of Standards mediu constantes elásticas do aço austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 e 400 K, utilizando velocidades de ondas sonoras nos modos longitudinal e transversal. Essa faixa ilustra por que um valor medido próximo à temperatura ambiente não deve ser automaticamente transferido para aplicações criogênicas ou projetos em temperaturas elevadas.

A textura e a anisotropia cristalográfica acrescentam outra ressalva. As rigidezes elásticas de um monocristal podem ser convertidas em valores quase isotrópicos de $E$, $G$, $K$ e ν para um policristal somente por meio de um modelo de média que considere a simetria cristalina e a distribuição de orientações. Uma chapa laminada pode, portanto, apresentar razões diferentes para carregamento na direção de laminação, na direção transversal e na direção da espessura. A ressonância dinâmica também pode amostrar um volume efetivo e uma amplitude de deformação diferentes daqueles de um ensaio de tração estático.

Para fins de projeto, ν deve corresponder ao modelo constitutivo pretendido e à condição de ensaio. Utilize um valor isotrópico escalar somente quando a forma do produto, a textura, a temperatura, a faixa de deformação e a precisão necessária justificarem essa simplificação. Caso contrário, constantes elásticas dependentes da direção ou uma matriz completa de rigidez anisotrópica são mais defensáveis do que tratar quatro módulos reportados como números independentes e específicos de cada grau.

Conjunto Completo de Relações entre os Módulos Isotrópicos

Para um sólido homogêneo, linear-elástico e isotrópico, os quatro módulos geralmente reportados não são quatro constantes materiais independentes. O módulo de Young $E$, o módulo de cisalhamento $G$, o módulo volumétrico $K$ ou $B$ e o coeficiente de Poisson $\nu$ descrevem diferentes modos de deformação, mas seus valores estão relacionados. Quaisquer duas constantes adequadas determinam as demais grandezas.

Essa afirmação depende de algumas condições. O material deve ser tratado como isotrópico, a resposta tensão–deformação deve ser linear no intervalo considerado, e os módulos devem se referir à mesma temperatura, densidade, constituição de fases, média de textura, frequência e convenção de medição. Um módulo medido em um ensaio de tração com baixa deformação não é automaticamente intercambiável com um módulo dinâmico inferido a partir da velocidade do som. Para um monocristal anisotrópico, as equações isotrópicas abaixo não reproduzem a resposta direcional completa.

A OpenStax, em 2020, atribui claramente as funções físicas: $E$ descreve a deformação por tração ou uniaxial, $G$ descreve a deformação por cisalhamento, e o módulo volumétrico descreve a compressão volumétrica. O tratamento da NIST de 1982 define o módulo volumétrico termodinâmico como

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

onde $V$ é o volume, $P$ é a pressão, e a derivada é tomada a temperatura constante. Na elasticidade linear com pequenas deformações, essa definição termodinâmica corresponde à rigidez volumétrica utilizada nas relações abaixo, desde que o mesmo estado e a mesma aproximação elástica estejam sendo considerados.

Conversões entre $E$, $G$, $K$ e $\nu$

O conjunto completo de equações da elasticidade linear isotrópica é:

\[ \boxed{G=\frac{E}{2(1+\nu)}} \]

\[ \boxed{K\ \text{ou}\ B=\frac{E}{3(1-2\nu)}} \]

\[ \boxed{E=\frac{9KG}{3K+G}} \]

\[ \boxed{\nu=\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \]

\[ \boxed{\lambda=K-\frac{2G}{3}} \]

\[ \boxed{\mu=G} \]

A primeira equação converte o módulo de Young e o coeficiente de Poisson em módulo de cisalhamento. Ela pressupõe uma lei constitutiva isotrópica e uma deformação elástica infinitesimal e linear. A segunda converte $E$ e $\nu$ em módulo volumétrico. Ela também pressupõe que o coeficiente de Poisson medido seja o coeficiente elástico isotrópico, e não um valor dependente da direção obtido de um corpo de prova anisotrópico.

A terceira equação calcula $E$ a partir de $K$ e $G$, enquanto a quarta calcula $\nu$ a partir desses mesmos dois módulos. Essas equações são rearranjos algébricos do mesmo modelo constitutivo isotrópico; elas não fornecem verificações experimentais independentes, a menos que os valores de entrada provenham de medições distintas. Se $E$, $G$ e $\nu$ forem todos reportados, pequenas discrepâncias são esperadas devido à incerteza de medição, ao arredondamento, a diferenças de temperatura, à porosidade, à textura ou a desvios em relação à isotropia.

Para um sólido elástico isotrópico estável e convencional, as restrições são geralmente

\[ G>0,\qquad K>0,\qquad -1<\nu<\frac{1}{2}. \]

O limite superior de $\nu$ é especialmente importante. À medida que $\nu$ se aproxima de $0,5$, o termo $1-2\nu$ se aproxima de zero e o módulo volumétrico calculado se torna muito grande em relação a $E$. Portanto, um material quase incompressível pode ter um módulo de tração finito, mas uma rigidez volumétrica muito maior. O aço é compressível; assim, tratar $\nu =0,5$ como um valor exato para o aço tornaria a conversão singular, em vez de informativa.

As equações se aplicam às propriedades isotrópicas efetivas de um policristal quando as variações direcionais tiverem sido suficientemente promediadas. O capítulo do manual da NIST sobre constantes elásticas de monocristais mostra por que essa ressalva é importante: $E$, $G$, $B$, o módulo longitudinal e $\nu$ efetivos podem ser derivados dos dados de rigidez de monocristais para materiais cúbicos e hexagonais, mas o procedimento de média depende da simetria cristalina e da textura. Uma chapa laminada, um metal de solda, uma estrutura fundida e um policristal recozido com orientação aleatória podem não apresentar a mesma resposta elástica direcional, mesmo quando suas descrições químicas são semelhantes.

As constantes também podem descrever diferentes regimes de frequência. A ASTM E1875-20a, publicada pela ASTM International em 2020, especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de cisalhamento e do coeficiente de Poisson “por ressonância sônica”. Esses valores dinâmicos são obtidos a partir de frequências de ressonância e estão associados a um carregamento rápido e de pequena amplitude. Um módulo obtido em um ensaio de tração estático pode diferir devido à complacência do instrumento, à microplasticidade, ao atrito interno, à porosidade, à temperatura ou a outros desvios em relação ao modelo elástico ideal. As equações de conversão permanecem válidas somente quando as constantes de entrada pertencem a uma descrição constitutiva compatível.

Um valor de referência como o módulo volumétrico aproximado de $163\text{GPa}$ para aço inoxidável apresentado pelo Engineering ToolBox deve, portanto, ser interpretado como uma estimativa secundária, e não como um valor universal para todos os graus de aço inoxidável, formas de produto, temperaturas, equilíbrios de fases ou métodos de ensaio. A designação “aço inoxidável” abrange materiais substancialmente diferentes, incluindo graus austeníticos, ferríticos, martensíticos, endurecíveis por precipitação e duplex. Sua resposta elástica também pode variar com o trabalho a frio e a temperatura.

Parâmetros de Lamé $\lambda$ e $\mu$

Os parâmetros de Lamé são outra representação da mesma lei elástica isotrópica. O segundo parâmetro de Lamé é

$$\mu =G,$$

portanto, $\mu$ é simplesmente o módulo de cisalhamento expresso na notação de Lamé. O primeiro parâmetro de Lamé é

$$\lambda =K-\frac{2G}{3}.$$

Ele também pode ser escrito como

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}.$$

Na notação tensorial, a relação isotrópica entre tensão e deformação é comumente escrita como

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

onde ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ é o tensor de tensões, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ é o tensor de deformações, ${\epsilon }_{\mathrm{kk}}$ é a deformação volumétrica e ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ é o delta de Kronecker. O multiplicador $2\mu$ atua sobre a contribuição desviadora e de cisalhamento do tensor de deformações; ele não define um módulo físico separado de $G$.

A documentação Sierra da Sandia lista seis constantes elásticas isotrópicas relacionadas: o módulo de Young $E$, o coeficiente de Poisson $\nu$, o módulo volumétrico $K$, o módulo de cisalhamento $G$, o primeiro parâmetro de Lamé $\lambda$ e $2\mu$. Isso explica uma armadilha frequente de notação em softwares e no método dos elementos finitos. Um cartão de material pode solicitar “$2\mu$” porque a equação constitutiva utiliza esse coeficiente, enquanto outra interface solicita $G$ ou $\mu$. Fornecer $G$ quando $2\mu$ é necessário introduziria um erro de fator dois.

A obra Elasticity of Solids, da Springer, de 2020, afirma diretamente a regra central: somente duas constantes elásticas são independentes para um sólido isotrópico. A formulação da Sandia também observa que $E$ e $\nu$ determinam as demais constantes. Os seis nomes descrevem seis grandezas relacionadas, e não seis propriedades do grau do material que possam ser ajustadas separadamente.

Unidades, notação e conflitos de notação entre $K$ e $B$

$E$, $G$, $K$, $B$, $\lambda$ e $\mu$ têm todos unidades de tensão: pascais no SI, normalmente reportados para o aço como gigapascais ($\text{GPa}$). O coeficiente de Poisson $\nu$ é adimensional. Como $1\text{GPa}={10}^9\text{Pa}$, todas as grandezas de entrada semelhantes à tensão devem usar a mesma unidade antes da aplicação de qualquer equação.

O símbolo $K$ é comum na mecânica do contínuo e na documentação de elementos finitos para designar o módulo volumétrico. A NIST e muitas referências de materiais utilizam $B$, frequentemente porque “bulk modulus” começa com B. Em geral, esses símbolos representam a mesma grandeza nas equações acima:

$$K=B.$$

Eles não são duas constantes diferentes do aço. O conflito se torna relevante quando um livro utiliza $K$ para o módulo volumétrico, enquanto outra área utiliza $K$ para uma matriz de rigidez, um coeficiente de condutividade térmica ou uma grandeza relacionada ao fator de intensidade de tensão. A definição apresentada no contexto deve determinar a interpretação.

Por fim, as relações descrevem constantes elásticas, e não toda e qualquer rigidez medida durante o serviço. Dados dependentes da temperatura, transformações de fase, efeitos magnéticos, textura, tensão residual e frequência podem alterar a resposta medida. O relatório de 1981 do National Bureau of Standards sobre o aço austenítico Fe-5Cr-26Mn, por exemplo, determinou constantes elásticas no intervalo de 76–400 K a partir das velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Esse intervalo de temperatura, por si só, mostra por que um único número de módulo sem condições especificadas não pode representar todas as situações. As equações fornecem a estrutura de conversão; o estado do ensaio determina quais valores devem ser inseridos nela.

Elasticidade de Monocristais, Cristalografia do Aço e Médias Policristalinas

O aço não é elástico no mesmo sentido matemático em todas as escalas estruturais. Um cristal individual possui propriedades vinculadas às direções de sua rede, enquanto um produto de aço para engenharia geralmente contém muitos grãos com diferentes orientações, fases, defeitos e tensões residuais. Tratar um módulo medido no segundo caso como se fosse uma propriedade universal do primeiro pode produzir um cálculo enganoso.

A distinção começa com a simetria cristalina. Os aços ferríticos têm uma estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (BCC), os aços austeníticos têm uma estrutura cúbica de face centrada (FCC), e a martensita é comumente descrita como uma estrutura tetragonal de corpo centrado, embora sua tetragonalidade dependa do teor de carbono e do histórico de revenimento. Essas estruturas não suportam a deformação elástica de maneira idêntica em todas as direções cristalográficas. Um policristal pode parecer quase isotrópico somente depois que as respostas direcionais de muitos grãos são submetidas a uma média.

Tensores de rigidez elástica em cristais cúbicos

A elasticidade linear relaciona a tensão à deformação por meio de um tensor de rigidez de quarta ordem:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=C_{\mathrm{ijkl}}{\epsilon }_{\mathrm{kl}}.$$

O tensor contém as rigidezes elásticas $C_{\mathrm{ijkl}}$, enquanto seu inverso contém as flexibilidades elásticas $S_{\mathrm{ijkl}}$. A simetria cristalina reduz o número de termos independentes. Um sólido anisotrópico completamente geral pode exigir 21 constantes elásticas independentes, mas um cristal cúbico requer apenas três: $C_{11}$, $C_{12}$ e $C_{44}$.

Na notação matricial contraída, a matriz de rigidez cúbica é

\[ \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2\\ \sigma_3\\ \sigma_4\\ \sigma_5\\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\ 0&0&0&C_{44}&0&0\\ 0&0&0&0&C_{44}&0\\ 0&0&0&0&0&C_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \varepsilon_3\\ \varepsilon_4\\ \varepsilon_5\\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}. \]

As três constantes desempenham funções diferentes. $C_{11}$ descreve a resposta de tensão normal ao longo de um eixo cúbico, $C_{12}$ acopla a deformação normal entre eixos perpendiculares, e $C_{44}$ descreve uma resposta ao cisalhamento em um plano cristalográfico principal. Elas são rigidezes, e não versões intercambiáveis do módulo de Young ou do módulo de cisalhamento.

Um indicador útil da anisotropia de um cristal cúbico é a razão de Zener,

$$A=\frac{2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}.$$

Quando $A=1$, a resposta elástica cúbica tem a mesma forma direcional que a de um sólido isotrópico. Valores diferentes de um indicam dependência da orientação. A razão, por si só, não fornece o módulo de um produto de aço; ela descreve a simetria elástica de um cristal quando as constantes do monocristal relevantes foram medidas ou calculadas.

O capítulo sobre monocristais do NIST, publicado em 1982, mostra como esses dados de rigidez podem ser convertidos em propriedades agregadas para materiais cúbicos e hexagonais. Para um cristal cúbico, o módulo volumétrico associado a uma deformação hidrostática uniforme é

$$B=\frac{C_{11}+2C_{12}}{3}.$$

Isso é consistente com a definição termodinâmica apresentada pelo NIST,

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Os módulos de cisalhamento e de Young de um monocristal ainda dependem da direção, embora a resposta volumétrica hidrostática de um cristal cúbico seja limitada pela simetria. Uma direção como $\left[100\right]$, $\left[110\right]$ ou $\left[111\right]$ pode produzir um módulo de tração diferente, pois a tensão aplicada se decompõe de maneira distinta em relação à rede.

Para um material isotrópico, apenas duas constantes elásticas são independentes, conforme descrito pelo capítulo Elasticity of Solids da Springer, de 2020. A documentação Sierra da Sandia relaciona o conjunto isotrópico correspondente como o módulo de Young $E$, o coeficiente de Poisson $\nu$, o módulo volumétrico $K$, o módulo de cisalhamento $G$, o primeiro parâmetro de Lamé $\lambda$ e $2\mu$; quaisquer dois membros adequados determinam os demais. Essa redução não se aplica a um cristal simplesmente porque ele é pequeno ou porque sua deformação permanece elástica. Ela decorre da simetria isotrópica.

Textura e módulo direcional

A orientação de um cristal é comumente expressa por sua direção e seu plano cristalográficos em relação aos eixos do corpo de prova. Em uma chapa policristalina, a função de distribuição de orientações registra como as orientações dos grãos estão distribuídas. A textura se desenvolve quando o processamento favorece determinadas rotações da rede, especialmente durante a laminação, a recristalização e a subsequente transformação de fase.

Portanto, o módulo de tração medido na direção de laminação não precisa ser igual ao módulo transversal à laminação ou ao módulo através da espessura da chapa. A diferença resulta da soma ponderada pela orientação das respostas dos grãos, e não de um novo “módulo de Young na direção de laminação” independente que substitua o tensor de rigidez subjacente. Um modelo de elementos finitos pode representar esse comportamento atribuindo um tensor de rigidez anisotrópico às coordenadas do material ou atribuindo propriedades em nível cristalino a muitas orientações.

O aço de baixo carbono laminado, o aço inoxidável ferrítico e as chapas processadas por transformação podem apresentar textura decorrente da deformação e da recristalização. O aço forjado pode desenvolver fluxo de grãos e textura dependentes da direção ao redor do eixo de forjamento. O aço fundido frequentemente apresenta uma distribuição de orientações mais variada, mas a solidificação ainda pode produzir grãos colunares, segregação, gradientes de fase ou orientações preferenciais. Nenhuma dessas rotas de processamento garante isotropia ou uma magnitude específica de anisotropia.

O aço produzido por manufatura aditiva apresenta outro problema de orientação. Os ciclos térmicos camada a camada podem produzir grãos colunares alinhados com a direção de construção, enquanto a estratégia de varredura, a geometria da poça de fusão, o reaquecimento e o tratamento térmico alteram a distribuição de orientações e a constituição de fases. Consequentemente, um módulo medido paralelo à direção de construção pode diferir de um medido transversalmente a ela. A direção, a localização do corpo de prova, o tratamento térmico, a porosidade e o método de ensaio devem acompanhar o valor relatado.

A textura também afeta o coeficiente de Poisson e o módulo de cisalhamento. Um ensaio de tração pode relatar uma resposta de deformação axial, enquanto um método ressonante infere várias constantes dinâmicas a partir dos modos de vibração. A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de cisalhamento e do coeficiente de Poisson “por ressonância sônica”. Esses valores dinâmicos não são automaticamente idênticos aos valores estáticos obtidos em um ensaio de tração lento, especialmente quando o amortecimento, a microfissuração, a porosidade, a temperatura ou a frequência afetam a resposta.

Estimativas quase isotrópicas para policristais

Quando as orientações dos grãos estão suficientemente dispersas, as diferenças direcionais podem resultar em valores pequenos na escala do corpo de prova. Nesse caso, os engenheiros descrevem o agregado como quase isotrópico: não perfeitamente isotrópico em cada grão ou volume local, mas adequadamente representado por constantes isotrópicas para o cálculo pretendido. O termo é importante. Ele identifica uma aproximação, e não uma afirmação de que toda a anisotropia cristalográfica tenha desaparecido.

Estimativas policristalinas podem ser obtidas a partir de dados de rigidez ou de flexibilidade de monocristais usando limites e métodos de média. Uma estimativa de Voigt pressupõe uma deformação uniforme entre os grãos; uma estimativa de Reuss pressupõe uma tensão uniforme. Em geral, suas previsões diferem porque nenhuma dessas condições representa exatamente todos os agregados heterogêneos. A estimativa de Hill, geralmente considerada a média aritmética dos resultados de Voigt e Reuss, costuma servir como uma aproximação intermediária prática. Essas estimativas exigem uma simetria cristalina, uma distribuição de orientações e uma constituição de fases especificadas.

Para um agregado quase isotrópico, os valores resultantes de $E$, $G$, $B$ e $\nu$ obedecem às conhecidas relações isotrópicas:

$$E=2G(1+\nu ),$$

$$E=3B(1-2\nu ),$$

e

$$E=\frac{9\mathrm{BG}}{3B+G}.$$

Assim, uma vez selecionadas duas constantes agregadas independentes, as demais são derivadas. Uma tabela de referência pode apresentar um módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para o aço inoxidável, como fez a Engineering ToolBox em 2024, mas esse valor é uma estimativa secundária, e não um valor universal para todos os graus de aço inoxidável, temperaturas, formas de produto, equilíbrios de fases ou métodos de medição.

O relatório do National Bureau of Standards sobre o aço austenítico Fe-5Cr-26Mn ilustra diretamente a questão da medição: as constantes elásticas foram determinadas entre 76 e 400 K a partir das velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. As variações de temperatura alteram o espaçamento da rede, a estabilidade de fases, a mobilidade dos defeitos e a velocidade das ondas; portanto, as constantes resultantes descrevem condições de ensaio especificadas. Para o projeto, um conjunto quase isotrópico pode ser adequado para um produto fundido ou recozido com textura fraca. Uma chapa fortemente laminada, um componente forjado, uma solda ou uma peça produzida por manufatura aditiva pode exigir dados direcionais. Portanto, o módulo correto não é simplesmente o número associado a um grau de aço; é o valor relacionado ao modo de deformação, à orientação, à temperatura, à microestrutura e ao método de ensaio.

Como as Constantes Elásticas do Aço São Medidas

As constantes elásticas do aço são medidas a partir de uma resposta força–deslocamento ou da propagação e da ressonância de ondas mecânicas. Essas abordagens nem sempre produzem o mesmo módulo numérico. Um ensaio de tração registra uma inclinação quase estática sob uma determinada taxa de carregamento, enquanto os métodos sônicos e ultrassônicos medem uma resposta de alta frequência e pequena amplitude. Temperatura, estrutura dos grãos, textura cristalográfica, porosidade, constituição das fases, tensão residual, geometria do corpo de prova e definição do modo medido podem afetar o resultado.

Para um sólido isotrópico e linearmente elástico, apenas duas constantes elásticas são independentes. O módulo de Young $E$, o módulo de cisalhamento $G$, o módulo volumétrico $K$ ou $B$, o coeficiente de Poisson $\nu$, o primeiro parâmetro de Lamé $\lambda$ e $2\mu$ descrevem aspectos relacionados da mesma resposta constitutiva; o Sandia National Laboratories lista esse conjunto e afirma que $E$ e $\nu$ determinam os demais. Portanto, o método de medição é importante mesmo quando as grandezas relatadas têm nomes conhecidos. O módulo de Young descreve a extensão axial, o módulo volumétrico descreve a variação de volume sob pressão hidrostática e o módulo de cisalhamento descreve a distorção angular.

Métodos mecânicos de tração e compressão

O método convencional de tração determina um módulo de Young estático ou quase estático a partir da inclinação da parte linear inicial de uma curva tensão–deformação:

$$E=\frac{d\sigma }{d\epsilon }.$$

Um corpo de prova de aço usinado é submetido à tração enquanto um extensômetro, um extensômetro de resistência ou um sistema óptico mede a deformação axial. A inclinação útil é obtida antes do início da plasticidade, da deformação de Lüders, da formação de trincas ou de outro comportamento não linear. O intervalo de deformação selecionado deve ser informado, pois pequenos desvios da linearidade, a complacência da máquina, os efeitos de assentamento e os limites de resolução da deformação podem alterar o valor ajustado.

Um ensaio de tração também pode determinar o coeficiente de Poisson medindo simultaneamente a deformação lateral:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}.$$

As medições axial e transversal devem ser sincronizadas e realizadas no mesmo intervalo elástico. Uma vez conhecidos $E$ e $\nu$, as relações isotrópicas fornecem

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

e

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Esses valores calculados não são medições independentes da rigidez ao cisalhamento ou volumétrica. Eles incorporam a dependência em relação à temperatura, à taxa de deformação, à textura e à direção de ensaio presente nos dados originais de tração.

O ensaio de compressão oferece outra forma de obter um módulo axial, mas introduz erros diferentes. O corpo de prova deve ser suficientemente curto para evitar a flambagem, mas suficientemente longo para proporcionar um deslocamento mensurável. O atrito nas extremidades pode restringir a expansão lateral e produzir um corpo de prova abaulado; assim, a inclinação medida da relação força–deslocamento pode incluir efeitos de atrito e de alinhamento dos pratos. Lubrificação, paralelismo das extremidades, acabamento superficial, rigidez dos pratos e a razão entre a altura e o diâmetro do corpo de prova são fatores importantes. Extensômetros ou sensores de deslocamento devem medir a deformação ao longo do comprimento de referência do corpo de prova, em vez de depender apenas do deslocamento da travessa.

A compressão hidrostática é conceitualmente mais próxima de uma medição direta do módulo volumétrico, pois aplica pressão em todas as direções e acompanha a variação de volume:

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Essa é a definição termodinâmica apresentada pelo National Institute of Standards and Technology em 1982. A compressão uniaxial comum não é uma compressão hidrostática; ela combina deformação axial e lateral e, portanto, não mede $K$ diretamente. A determinação direta do módulo volumétrico exige vasos de pressão, medição precisa de volume ou deformação, calibração de pressão e controle de temperatura. Para a maioria das caracterizações de aços estruturais, $K$ é calculado a partir de $E$ e $\nu$ medidos independentemente ou obtido a partir das velocidades do som.

As inclinações mecânicas estáticas são particularmente sensíveis à taxa de ensaio e à condição do corpo de prova. Um resultado de tração obtido de uma barra polida e aliviada de tensões, ensaiada à temperatura ambiente, não é automaticamente o módulo de uma chapa laminada com textura, de um metal de solda ou de um produto tratado termicamente com duas fases. Em um monocristal cúbico, a rigidez varia com a direção cristalográfica. Um agregado policristalino pode parecer quase isotrópico quando os grãos estão orientados aleatoriamente, mas a textura de laminação ou de solidificação pode deixar os módulos dependentes da direção.

Ressonância sônica segundo a ASTM E1875-20a

A ASTM E1875-20a é uma norma específica para determinar o módulo de Young dinâmico, o módulo de cisalhamento e o coeficiente de Poisson “por ressonância sônica”. Em vez de medir uma inclinação força–deformação longa e lenta, o método excita um corpo de prova e identifica suas frequências naturais de ressonância. A frequência de ressonância depende da rigidez elástica, da densidade de massa, das dimensões do corpo de prova e da forma do modo.

O corpo de prova é apoiado de maneira a aproximar uma condição de contorno livre, geralmente colocando os apoios próximos às regiões nodais, para que removam o mínimo possível de energia vibracional. Um excitador produz a vibração, e um microfone, acelerômetro, instrumento a laser ou outro detector registra a resposta. A frequência de ressonância é identificada por um máximo acentuado de amplitude, uma mudança de fase ou um pico na resposta em frequência. A frequência medida deve ser atribuída ao modo flexural, torcional ou longitudinal correto; confundir modos adjacentes pode produzir um módulo plausível, porém incorreto.

O comprimento, a largura, a espessura, a massa e a densidade do corpo de prova são, portanto, dados fundamentais. As dimensões devem ser medidas na temperatura de ensaio quando a expansão térmica for significativa ou corrigidas a partir das dimensões à temperatura ambiente usando um coeficiente de expansão apropriado. A densidade deve corresponder ao corpo de prova real, e não a um valor presumido de manual, especialmente no caso de aço fundido, material poroso, inclusões particuladas ou microestruturas multifásicas. A ASTM E1875-20a incorpora a geometria do corpo de prova e as equações de ressonância, em vez de tratar todas as amostras como barras infinitas. As condições das extremidades, a posição dos apoios, a razão de aspecto, o amortecimento e as correções geométricas influenciam as constantes dinâmicas calculadas.

Uma ressonância torcional fornece principalmente informações sobre o cisalhamento, enquanto uma ressonância flexural ou longitudinal fornece um módulo relacionado à rigidez axial. A combinação dos valores dinâmicos de $E$ e $G$ permite calcular

$$\nu =\frac{E}{2G}-1,$$

desde que a hipótese de isotropia e elasticidade linear seja apropriada. O coeficiente de Poisson resultante é um valor dinâmico na frequência de ensaio. Ele não deve ser apresentado como uma constante universal do grau, independente da frequência ou da temperatura.

O controle de temperatura faz parte da medição, não é um aspecto secundário. O forno ou a câmara ambiental deve levar o corpo de prova a uma temperatura estável e conhecida, e a identificação da ressonância deve considerar a expansão térmica, a variação da densidade e a dependência da rigidez em relação à temperatura. Uma frequência medida enquanto o corpo de prova ainda está aquecendo não representa um estado elástico bem definido. As condições de contorno também mudam com a temperatura se os apoios se expandirem, amolecerem, escorregarem ou alterarem a pressão de contato.

Velocidades longitudinais e transversais do som

As medições ultrassônicas determinam constantes elásticas a partir das velocidades das ondas. Uma onda longitudinal produz movimento das partículas paralelo à propagação; uma onda transversal ou de cisalhamento produz movimento das partículas perpendicular à propagação. Para um sólido homogêneo e isotrópico com densidade $\rho$, as relações ideais são

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}$$

e

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}.$$

Assim,

$$G=\rho v_T^2,$$

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_T^2),$$

e

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

O coeficiente de Poisson pode então ser obtido a partir de $E$ e $G$ ou diretamente da razão entre as velocidades, sob a mesma hipótese de isotropia. Essas equações são simples, mas as medições não são. A distância de percurso deve ser conhecida com precisão, os ecos devem ser identificados corretamente e o transdutor deve gerar e detectar a polarização pretendida. Uma chegada longitudinal aparente pode incluir conversão de modo, ondas superficiais, reflexões ou dispersão.

Um relatório do National Bureau of Standards publicado em 1981 utilizou velocidades do som nos modos longitudinal e transversal para determinar constantes elásticas do aço austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 e 400 K. Essa faixa de temperatura é importante: ela mostra que as constantes elásticas são grandezas medidas em função do estado térmico, e não rótulos fixos associados à designação da liga. O procedimento do relatório dependia de temperatura controlada, densidade conhecida, geometria definida do corpo de prova e identificação confiável de ambos os modos de onda. Aplicar as equações à temperatura ambiente em temperaturas criogênicas ou elevadas sem atualizar essas grandezas ocultaria a dependência real em relação à temperatura.

A Engineering ToolBox fornece um módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para aço inoxidável. Limited evidence

A mesma cautela se aplica às tabelas de referência de engenharia. A Engineering ToolBox apresenta um módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para aço inoxidável, mas esse valor é uma estimativa de referência secundária, não um valor universal para todos os graus de aço inoxidável, formas de produto, texturas, equilíbrios de fases, temperaturas ou métodos de ensaio. Um valor dinâmico medido para o Fe-5Cr-26Mn austenítico, um valor estático obtido de um corpo de prova de tração de um grau ferrítico e um valor calculado inferido de $E$ e $\nu$ respondem a questões experimentais diferentes. Portanto, relatar o método, as dimensões do corpo de prova, a densidade, a temperatura, o modo de ressonância ou de onda e as condições de contorno é tão importante quanto relatar o próprio módulo.

Efeitos da Temperatura, da Fase, da Composição e do Processamento

As constantes elásticas do aço não são rótulos fixos permanentemente associados a uma classe de aço. Elas descrevem um estado do material, um modo de deformação e uma condição de medição. A temperatura, a constituição de fases, a composição, a textura cristalográfica, a porosidade, as inclusões, as tensões residuais e o histórico térmico podem alterar a resposta medida. A resistência pode variar em centenas de por cento ao longo de uma transformação ou de um tratamento de revenimento, enquanto o módulo de Young varia em uma proporção muito menor; contudo, “menor” não significa desprezível em análises de precisão.

Para um sólido isotrópico linear-elástico, apenas duas constantes elásticas são independentes. O módulo de Young $E$, o módulo de cisalhamento $G$, o módulo volumétrico $K$ ou $B$, o coeficiente de Poisson $\nu$, o primeiro parâmetro de Lamé $\lambda$ e $2\mu$ são grandezas relacionadas, conforme descrito em Elasticity of Solids, da Springer, e na documentação Sierra dos Sandia National Laboratories. Se a temperatura ou a microestrutura alterar uma constante independente, as demais, calculadas a partir dela, deverão ser atualizadas de forma consistente. Portanto, um módulo informado precisa estar associado a uma temperatura, uma condição do produto, uma direção e um método de ensaio.

Dependência das constantes elásticas em relação à temperatura

A rigidez elástica geralmente diminui à medida que a temperatura aumenta. As vibrações atômicas se intensificam, as ligações interatômicas se tornam menos resistentes a pequenos deslocamentos e a expansão térmica altera o espaçamento de equilíbrio entre os átomos. O efeito costuma ser gradual dentro de uma única fase, embora transições magnéticas, recuperação, recristalização e transformações de fase possam introduzir mudanças mais acentuadas. Próximo a uma temperatura de transformação, um único valor medido à temperatura ambiente é especialmente inadequado como substituto de um modelo de material dependente da temperatura.

O relatório do National Bureau of Standards sobre o aço austenítico Fe-5Cr-26Mn fornece um exemplo útil. Publicado em 1981, o estudo determinou constantes elásticas entre 76 e 400 K a partir das velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Trata-se de uma medição dinâmica: as velocidades das ondas fornecem as rigidezes longitudinal e de cisalhamento, a partir das quais podem ser calculadas constantes relacionadas. O resultado demonstra que mesmo um aço austenítico mantido ao longo do intervalo de ensaio não possui um único conjunto de constantes elásticas independente da temperatura. O intervalo de temperatura se estende de condições criogênicas até acima da temperatura ambiente; portanto, os valores medidos descrevem uma curva, e não uma única propriedade da classe de aço.

A distinção entre resistência e rigidez é importante neste contexto. O limite de escoamento pode aumentar significativamente em baixas temperaturas porque o movimento das discordâncias se torna mais difícil, enquanto a inclinação elástica sofre uma alteração menos dramática. Por outro lado, uma pequena alteração em $E$ pode modificar a deflexão prevista, a carga de flambagem, a pressão de contato ou a distribuição das tensões térmicas. A resistência plástica e a rigidez elástica respondem a perguntas diferentes. Um aço pode se tornar muito mais resistente sem se tornar proporcionalmente mais rígido.

Ensaios dinâmicos e estáticos também podem produzir valores informados diferentes. A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de cisalhamento e do coeficiente de Poisson por ressonância sônica. Ensaios de ressonância operam com pequena deformação e alta frequência, enquanto um ensaio de tração obtém uma inclinação estática ou quase estática ao longo de um intervalo de deformação especificado. Microplasticidade, anelasticidade, conformidade do instrumento, geometria do corpo de prova, condição superficial e frequência podem influenciar a comparação. Nenhum dos resultados deve ser tratado como universalmente intercambiável com o outro.

O módulo volumétrico possui um significado físico distinto: ele mede a resistência à compressão volumétrica. A NIST o define termodinamicamente como $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$. A Engineering ToolBox apresenta um módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para o aço inoxidável, mas esse valor é uma estimativa de referência secundária, não um valor universal para toda classe de aço inoxidável, temperatura, forma do produto, constituição de fases ou condição de ensaio. A mesma cautela se aplica aos valores tabelados de $E$, $G$ e $\nu$.

Austenita, ferrita, martensita e aços multifásicos

A constituição de fases afeta a resposta elástica porque cada fase possui sua própria estrutura cristalina, composição, parâmetro de rede, estado magnético, população de defeitos e tensor de rigidez de cristal único. A ferrita possui uma estrutura cúbica de corpo centrado, a austenita possui uma estrutura cúbica de face centrada, e a martensita é geralmente uma estrutura tetragonal de corpo centrado ou uma estrutura de corpo centrado altamente distorcida quando o carbono produz uma tetragonalidade apreciável. Esses rótulos não especificam um único módulo. O teor de carbono, a adição de elementos de liga substitucionais, a ordenação, a densidade de discordâncias e os defeitos retidos alteram a rigidez de cada fase.

Os aços austeníticos fornecem um alerta claro contra a atribuição de um “módulo da austenita” genérico. O estudo de Fe-5Cr-26Mn examinou uma composição química e um intervalo de temperatura específicos, não toda liga Fe-Cr-Mn nem todo aço descrito como austenítico. O manganês e o cromo afetam a estabilidade da rede cristalina e o comportamento magnético, enquanto a temperatura pode alterar a ordem magnética mesmo quando a estrutura cristalina permanece austenítica. Essas mudanças influenciam as forças interatômicas e, portanto, as constantes elásticas.

Os aços ferríticos podem apresentar comportamento elástico dependente da temperatura associado ao seu estado ferromagnético e à transição deste para o paramagnetismo. A mudança não precisa coincidir com uma transformação de fase visível. Os aços martensíticos acrescentam outra camada de complexidade: a têmpera cria supersaturação, alta densidade de discordâncias, tensões internas e, frequentemente, tetragonalidade dependente do carbono. O revenimento provoca então precipitação de carbonetos, recuperação e redistribuição do carbono. Portanto, a resposta elástica medida após o revenimento não é simplesmente a resposta de um cristal ideal de martensita.

Os aços multifásicos exigem uma interpretação baseada em propriedades efetivas. Em aços ferrítico-martensíticos, bifásicos, bainíticos ou contendo austenita retida, um módulo aparente reflete as frações de fase, a conectividade entre as fases, a orientação cristalográfica, as interfaces, a porosidade e a direção e escala do volume ensaiado. Uma estimativa pela regra das misturas pode fornecer uma primeira aproximação, mas a restrição local significa que nem todas as fases suportam a mesma deformação ou tensão. Uma região martensítica rígida incorporada à ferrita pode alterar a inclinação medida por meio da transferência de carga, enquanto a austenita retida pode se transformar durante o carregamento e fazer com que a resposta se afaste da elasticidade linear.

No nível de cristal único, cristais cúbicos e hexagonais possuem rigidezes dependentes da direção. O aço policristalino se aproxima da isotropia somente quando as orientações dos grãos são suficientemente aleatórias e o corpo de prova contém grãos em quantidade suficiente para permitir a média. Chapas, tiras e barras laminadas podem manter textura, produzindo módulos longitudinais, transversais e na direção da espessura diferentes. Nesse caso, impor um único $E$ isotrópico e um único $G$ isotrópico em um cálculo pode ocultar uma resposta direcional real.

Fundição, laminação, tratamento térmico e tensão residual

O processamento altera tanto as propriedades intrínsecas das fases quanto a rigidez efetiva do corpo fabricado. O aço fundido pode conter porosidade de contração, poros de gás, filmes de óxido, segregação, estrutura dendrítica, inclusões e grãos grosseiros ou não uniformes. Mesmo uma pequena fração volumétrica de porosidade interconectada pode reduzir o módulo efetivo mais do que sugeriria um valor de manual para um aço totalmente denso. As inclusões podem ser mais rígidas ou mais deformáveis que a matriz, e inclusões mal aderidas atuam como concentradores de tensão ou defeitos semelhantes a trincas durante um ensaio dinâmico ou estático.

A laminação refina e alonga os grãos, fragmenta a estrutura fundida e introduz textura cristalográfica. A anisotropia elástica resultante pode ser modesta em alguns produtos e significativa em outros. O esquema de redução, a temperatura de laminação, a recristalização e a espessura final são fatores relevantes. Um módulo medido ao longo da direção de laminação não deve ser automaticamente atribuído à direção transversal ou normal.

O tratamento térmico altera as frações de fase, o tamanho dos grãos, a densidade de discordâncias, os precipitados, a morfologia dos carbonetos e as tensões retidas. A normalização pode refinar uma estrutura ferrita-perlita; a têmpera pode criar martensita e tensão residual; o revenimento reduz parte dessa tensão, ao mesmo tempo que altera a precipitação e a recuperação. O recozimento pode reduzir a densidade de discordâncias e os efeitos relacionados à textura por meio da recristalização. Esses tratamentos podem produzir mudanças substanciais no limite de escoamento e na tenacidade, deixando o módulo em pequenas deformações comparativamente próximo de seu valor anterior, embora o módulo efetivo medido ainda possa sofrer alterações por meio de defeitos, transformação de fase ou textura.

A tensão residual merece tratamento separado. Um campo de tensões autoequilibrado não altera necessariamente o módulo tangente ideal de um cristal homogêneo, perfeito e linear-elástico. Contudo, ele pode alterar o que um experimento registra. A tensão residual modifica a propagação de ondas, a curvatura do corpo de prova, as condições de contato, o fechamento de trincas e o início da microplasticidade. Em um ensaio de tração, uma inclinação inicial aparente pode ser afetada pelo endireitamento, pelo alinhamento das garras, pela redistribuição de tensões ou pela remoção incompleta das tensões de usinagem. Em ensaios de ressonância, a tensão e a anisotropia podem deslocar as frequências naturais.

Consequentemente, uma declaração defensável sobre o módulo do aço identifica a condição de fase, o estado térmico, a direção do produto, a condição de densidade ou de defeitos e o método de medição. O número é uma propriedade desse estado definido — não uma constante permanente da classe de aço.

Designações de Graus de Aço e Tabelas de Propriedades Responsáveis

Uma designação de aço identifica uma composição, uma classe de produto ou um requisito de especificação; por si só, ela não fornece um registro completo das propriedades elásticas. “Aço inoxidável 304”, “AISI 1045” e “ASTM A572 Grade 50” são referências úteis de materiais, mas nenhum desses nomes, isoladamente, informa a forma do produto, o histórico térmico, a textura cristalográfica, a temperatura de ensaio ou o método utilizado para obter um módulo de elasticidade.

Essa distinção é importante porque a elasticidade linear isotrópica possui apenas duas constantes independentes. O conjunto comumente apresentado na engenharia inclui o módulo de Young $E$, o coeficiente de Poisson $\nu$, o módulo volumétrico $K$ ou $B$, o módulo de cisalhamento $G$, o primeiro parâmetro de Lamé $\lambda$ e $2\mu$. O Sandia National Laboratories afirma que $E$ e $\nu$ determinam as demais constantes quando se aplicam relações isotrópicas. A OpenStax atribui diferentes significados físicos aos principais módulos: $E$ descreve a resposta à tração ou uniaxial, $K$ descreve a compressão volumétrica e $G$ descreve a deformação por cisalhamento. Portanto, uma tabela que apresente quatro números aparentemente independentes sem explicar sua origem pode sugerir uma precisão ou independência que o modelo material não possui.

Aços inoxidáveis austeníticos, ferríticos, martensíticos e endurecíveis por precipitação

Os nomes das famílias de aços inoxidáveis descrevem a estrutura metalúrgica, não uma única resposta elástica universal. Graus austeníticos como Type 304, Type 304L, Type 316 e Type 316L são comumente identificados nas especificações de produtos ASTM pela designação “Type” correspondente e, quando aplicável, por números UNS como UNS S30400, UNS S30403, UNS S31600 e UNS S31603. A designação deve ser reproduzida conforme escrita na norma aplicável. “304L stainless” não deve ser convertido silenciosamente em “304”, porque o grau de baixo carbono possui um requisito de composição diferente e pode receber processamento distinto.

Os graus ferríticos incluem Type 430 e Type 409, enquanto os graus martensíticos incluem Type 410, Type 420 e Type 440C. Esses nomes identificam famílias com diferentes estabilidades de fase, teores de carbono, adições de elementos de liga, respostas ao endurecimento e comportamentos magnéticos. Suas propriedades elásticas podem ser afetadas por redução a frio, recozimento, têmpera, revenimento, austenita retida, populações de carbonetos e direção de medição. Um produto forjado ou laminado pode não se comportar como um produto fundido com uma designação quimicamente semelhante.

Os aços inoxidáveis endurecíveis por precipitação exigem ainda mais cuidado. 17-4 PH é uma designação amplamente utilizada, mas uma especificação pode identificar o material como UNS S17400 e definir condições como H900, H1025 ou H1150. Essas designações de condição correspondem a estados de tratamento térmico, não a nomes de graus intercambiáveis. Uma tabela de propriedades que liste “módulo do 17-4 PH” sem indicar a condição deixa de fora uma parte significativa da descrição do material. A matriz, o estado dos precipitados, as tensões residuais e a deformação prévia podem diferir entre as condições, mesmo quando a designação nominal da liga permanece inalterada.

O Steel Castings Handbook, da ASM, trata o módulo de elasticidade, o coeficiente de Poisson, o módulo de cisalhamento e propriedades físicas relacionadas como dados de peças fundidas de aço. Essa abordagem é importante: uma tabela de aço fundido descreve um material fundido especificado e uma base de ensaio definida, não todo produto conformado, soldado, fabricado aditivamente ou tratado termicamente com composição química semelhante. As peças fundidas podem conter segregação, porosidade, inclusões e variações microestruturais locais que afetam os resultados medidos e sua dispersão.

Tampouco se devem utilizar os rótulos de famílias de aços inoxidáveis para atribuir um único módulo exato. Um valor aproximado de referência secundária de 163 GPa para aço inoxidável aparece no Engineering ToolBox, mas esse valor não é universal para todos os graus de aço inoxidável, temperaturas, formas de produto ou condições de ensaio. Trata-se de uma estimativa de referência, não de um substituto para uma ficha técnica específica da norma ou para um valor medido.

Designações de aços carbono e de baixa liga

Os aços carbono e de baixa liga também exigem uma prática precisa de designação. AISI/SAE 1045 identifica um aço carbono no sistema de numeração SAE/AISI; não é a mesma designação que ASTM A36, que é uma especificação de produto para aço estrutural. ASTM A572 Grade 50 identifica um grau dentro da ASTM A572/A572M, enquanto AISI/SAE 4130 identifica a composição de um aço-liga de cromo-molibdênio. Essas designações não devem ser combinadas em formas informais, como “4130-grade A572”, a menos que uma especificação normativa aplicável sustente explicitamente essa descrição.

As designações europeias fornecem outro exemplo. S355J2 e S355JR são designações utilizadas na EN 10025-2, e os sufixos têm significado especificado relacionado ao ensaio de impacto ou à condição de fornecimento. Elas não são simplesmente nomes alternativos para ASTM A572 Grade 50. A semelhança química não estabelece equivalência entre requisitos de especificação, dimensões do produto, regras de inspeção ou dados de propriedades elásticas.

Uma tabela também deve distinguir uma designação de composição de uma condição de fornecimento. AISI/SAE 4140 pode ser fornecido recozido, normalizado e revenido, temperado e revenido, forjado ou em outra condição especificada. Chapas, barras e perfis estruturais de ASTM A36 são regidos por uma especificação de produto, mas sua resposta medida ainda pode depender da espessura, da direção de laminação, das tensões residuais e do método de ensaio. O grau nominal estabelece limites ou requisitos; ele não elimina o histórico de fabricação.

A mesma cautela se aplica a “aço carbono comum”, “aço-ferramenta”, “aço de alta resistência e baixa liga” e descrições semelhantes de famílias. Essas são categorias amplas, não designações completas de graus. Uma tabela responsável informa o número da norma, o grau ou tipo, a revisão quando relevante, a designação UNS ou AISI/SAE quando aplicável, a forma do produto e a condição de tratamento térmico. Se uma designação for um nome interno de uma empresa, isso deve ser indicado, em vez de apresentá-la como uma designação ASTM, ASME, SAE, AISI, EN ou UNS.

Por que as normas e especificações de produtos devem acompanhar os valores

Os valores de propriedades elásticas só são significativos quando acompanhados do contexto de medição. No mínimo, uma tabela deve identificar:

• a forma do produto: chapa, folha, barra, tubo, fio, forjado, metal de solda, peça processada a partir de pó ou peça fundida;
• o tratamento térmico e a condição, incluindo revenimento, envelhecimento, tratamento de solubilização ou estado de endurecimento por precipitação;
• a direção do ensaio em relação à direção de laminação, forjamento, extrusão ou construção;
• a temperatura e a condição ambiental;
• a taxa ou frequência de carregamento;
• a geometria do corpo de prova e as dimensões relevantes;
• a norma de ensaio e sua revisão;
• se o resultado é estático, quase estático ou dinâmico;
• o número de corpos de prova, a faixa, a média e a dispersão, quando disponíveis.

Módulos estáticos e dinâmicos não são automaticamente intercambiáveis. A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de cisalhamento e do coeficiente de Poisson “por ressonância sônica”. As medições por ressonância utilizam propagação de ondas e frequência de vibração, enquanto um ensaio de tração pode determinar uma inclinação a partir de uma curva tensão–deformação sob uma taxa de carregamento definida. Ambos os métodos tratam da resposta elástica, mas podem produzir valores relatados diferentes porque frequência, amortecimento, defeitos microestruturais, instrumentação e procedimentos de redução de dados são distintos.

A temperatura deve ser informada, especialmente em trabalhos criogênicos ou em temperaturas elevadas. Um relatório de 1981 do National Bureau of Standards mediu constantes elásticas de Fe-5Cr-26Mn austenitic steel entre 76–400 K, utilizando velocidades do som nos modos longitudinal e transversal. Essa faixa demonstra por que um valor à temperatura ambiente não pode ser copiado para uma tabela de projeto criogênico sem a devida qualificação. A textura e a anisotropia cristalina acrescentam outra questão: o capítulo do manual do NIST sobre constantes elásticas de monocristais explica como $E$, $G$, $B$, o módulo longitudinal e $\nu$ quase isotrópicos de materiais policristalinos podem ser derivados de dados de rigidez de monocristais, mas essas derivações dependem da simetria cristalina, da distribuição de orientações e das hipóteses de média.

Para cálculos isotrópicos, um par de constantes cuidadosamente identificado é suficiente; as demais devem ser calculadas com as equações declaradas ou verificadas quanto à consistência. Para aços laminados, forjados, texturizados, soldados ou fabricados aditivamente e anisotrópicos, um único módulo escalar pode ser uma aproximação, e não uma descrição constitutiva completa. As normas e especificações de produtos impedem que uma tabela disfarce essa limitação. Elas conectam cada número a um material, uma condição, uma direção, uma temperatura e um método definidos — as informações necessárias antes que o valor possa ser utilizado de forma responsável em um cálculo de projeto.

Uso no Projeto: Seleção da Relação Correta entre Módulos

Um módulo elástico está associado a um modo de deformação. O módulo de Young $E$ descreve a deformação normal produzida por uma tensão uniaxial; o módulo de cisalhamento $G$ descreve a distorção a volume quase constante; e o módulo volumétrico $K$, também escrito como $B$, descreve a resistência à compressão uniforme. O coeficiente de Poisson $\nu$ relaciona a deformação normal à deformação lateral. Essas grandezas estão relacionadas, mas não são intercambiáveis simplesmente porque todas são expressas em gigapascals ou porque são comumente apresentadas em conjunto para o aço.

Para um sólido homogêneo, linear e isotrópico, apenas duas constantes elásticas são independentes. A obra Elasticity of Solids, da Springer, afirma isso diretamente em seu tratamento de 2020 sobre elasticidade isotrópica. Os Sandia National Laboratories listam o conjunto correspondente como módulo de Young $E$, coeficiente de Poisson $\nu$, módulo volumétrico $K$, módulo de cisalhamento $G$, primeiro parâmetro de Lamé $\lambda$ e $2\mu$, sendo que $E$ e $\nu$ determinam os demais. Portanto, as equações de conversão são relações condicionais, e não medições independentes de seis propriedades de materiais não relacionadas:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$$

e

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

As hipóteses são importantes. Essas equações se aplicam a pequenas deformações, resposta elástica linear e comportamento isotrópico. Uma chapa de aço com textura de laminação, uma zona termicamente afetada pela soldagem, um produto fundido contendo solidificação direcional ou uma microestrutura bifásica podem não atender suficientemente à hipótese de isotropia para que um único valor convertido represente todas as direções de carregamento.

Elementos Uniaxiais e $E$

Para um elemento reto submetido à tração, um elemento comprimido, um tirante, uma barra ou um segmento de viga esbelta sob uma força axial, $E$ é o módulo principal. A relação básica é

$$\sigma =E\epsilon ,$$

portanto, o alongamento elástico de um elemento prismático é

$$\delta =\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AE}},$$

em que $P$ é a força axial, $L$ é o comprimento original e $A$ é a área da seção transversal. Esse é o ponto de partida correto para estimar o alongamento elástico, o encurtamento e a rigidez axial $\mathrm{AE}/L$.

O coeficiente de Poisson entra em consideração quando a contração lateral ou a restrição multiaxial são relevantes. Uma barra de aço tracionada livremente sofre contração lateral de acordo com

$${\epsilon }_{\text{transverse}}=-\nu {\epsilon }_{\text{axial}}.$$

Entretanto, para um corpo de prova totalmente restringido, a resposta axial não é representada apenas por $E$. Como a deformação lateral não pode se desenvolver, o estado de tensão torna-se tridimensional e a rigidez aparente aumenta. Um modelo de elementos finitos de um inserto aderido, uma arruela restringida ou um ajuste por pressão deve considerar esse acoplamento, em vez de tratar o componente como uma barra unidimensional isolada.

O valor utilizado para $E$ também deve corresponder à condição de medição e de serviço. A inclinação de um ensaio de tração estático, um módulo dinâmico obtido por ressonância e um módulo inferido a partir da velocidade ultrassônica podem diferir em razão da frequência, temperatura, geometria do corpo de prova, porosidade, tensão residual e defeitos. A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de cisalhamento e do coeficiente de Poisson “por ressonância sônica”. Esse método não produz automaticamente o mesmo número que um ensaio de tração lento realizado na temperatura de projeto.

O aço não é um único material elástico em todos os estados metalúrgicos. Estruturas ferríticas, martensíticas, bainíticas e austeníticas podem diferir, enquanto a textura pode fazer com que as direções de laminação e transversal respondam de maneira diferente. O relatório do National Bureau of Standards sobre o aço austenítico Fe-5Cr-26Mn determinou constantes elásticas a partir das velocidades do som nos modos longitudinal e transversal na faixa de 76–400 K. Essa faixa de temperatura é um lembrete de que uma constante elástica medida próxima à temperatura ambiente não deve ser tratada como um dado independente da temperatura para aplicações criogênicas ou em temperaturas elevadas.

Torção e $G$

Para um eixo circular em torção elástica, $G$ controla o ângulo de torção:

$$\theta =\frac{\mathrm{TL}}{\mathrm{JG}},$$

em que $T$ é o torque, $J$ é o segundo momento polar de área e $L$ é o comprimento do eixo. A rigidez à torção é $\mathrm{JG}/L$. A tensão de cisalhamento correspondente em um eixo circular é

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

Usar $E$ diretamente nesse cálculo fornece a rigidez incorreta, a menos que ele seja primeiro convertido por meio de um valor defensável de $\nu$. Para aço isotrópico,

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Essa conversão é útil quando apenas $E$ e $\nu$ estão disponíveis, mas não transforma uma medição de tração em uma medição direta de torção. Um material pode apresentar uma resposta ao cisalhamento dependente da direção mesmo quando um módulo de tração médio parece aceitável.

A distinção torna-se importante para tubos de paredes finas, estrias, eixos soldados e peças com históricos de fabricação anisotrópicos. Em uma seção genérica, a torção pode produzir empenamento e um campo de cisalhamento não uniforme, de modo que a equação de eixo circular de Saint-Venant pode, por si só, ser insuficiente. A propriedade constitutiva do material ainda é um parâmetro de cisalhamento, mas a análise da seção deve representar a geometria real.

Dados dinâmicos de cisalhamento exigem cuidado semelhante. Métodos de ressonância medem a resposta em uma frequência específica e com pequena amplitude de deformação. Um valor calculado a partir de um ensaio sônico pode ser adequado para análises de vibração ou de ondas, mas não ser idêntico à rigidez secante ou tangente utilizada em um cálculo estrutural com aplicação lenta de carga. A designação “dinâmico” não é um rótulo secundário; ela identifica uma condição experimental diferente.

Problemas Hidrostáticos, de Contato e de Ondas

O módulo volumétrico $K$ ou $B$ é o parâmetro apropriado para a resposta volumétrica. Sob pressão hidrostática, a pressão altera o volume de acordo com

$$K=B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

a definição termodinâmica apresentada pelo National Institute of Standards and Technology em 1982. Um $K$ elevado significa que uma pressão substancial produz apenas uma pequena variação fracionária de volume. Isso é diferente da resistência à mudança de forma, que é governada principalmente por $G$.

A Engineering ToolBox apresenta um módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para aço inoxidável. Esse valor pode servir como uma estimativa de referência secundária, e não como um valor universal para todos os graus de aço inoxidável, temperaturas, formas de produto, constituições de fase ou métodos de ensaio. Como $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$, pequenos erros em $\nu$ podem produzir uma alteração perceptível no módulo volumétrico calculado quando $\nu$ se aproxima de 0,5.

Os cálculos de contato exigem considerar tanto o comportamento normal quanto o tangencial. No contato hertziano, o módulo normal efetivo para dois corpos é comumente escrito como

\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}. \]

Aqui, é \(E^*\), e não o $E$ de um único grau de aço, que controla a indentação elástica local. O deslizamento por atrito e a tração tangencial também introduzem $G$ e $\nu$. Um modelo que substitua $K$ por \(E^*\) pode permanecer matematicamente estável e produzir pressões de contato suaves, mas representar o mecanismo de deformação incorreto.

Os problemas de ondas utilizam ainda outra combinação. Para um sólido isotrópico, o módulo de onda longitudinal é

$$M=K+\frac{4G}{3},$$

com velocidades de onda longitudinal e de cisalhamento

\[ v_L=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}}, \qquad v_S=\sqrt{\frac{G}{\rho}}. \]

Assim, a velocidade longitudinal, sozinha, não identifica todas as constantes elásticas; é necessária uma medição de onda transversal para separar $K$ e $G$. Em um monocristal ou policristal texturizado, a velocidade da onda também depende da direção de propagação e da polarização, de modo que as fórmulas isotrópicas podem ocultar uma anisotropia elástica real.

As formulações tridimensionais de elementos finitos geralmente utilizam $E$ e $\nu$, $K$ e $G$, ou os parâmetros de Lamé $\lambda$ e $\mu$. A escolha é matemática, não uma mudança no material físico. Próximo da incompressibilidade, contudo, uma formulação $E$-$\nu$ com $\nu$ próximo de 0,5 pode sofrer travamento volumétrico, enquanto uma formulação mista que utilize a pressão e a resposta desviatória pode apresentar melhor desempenho. Por outro lado, inserir valores de $E$, $G$ e $K$ arredondados de forma independente pode violar as equações de conversão isotrópica e criar uma matriz de rigidez internamente inconsistente.

Esse é o risco central de projeto: uma constante convertida pode ser numericamente consistente com uma equação e, ainda assim, ser fisicamente inadequada para o problema, a temperatura, a frequência, a direção ou a microestrutura do aço que está sendo modelada. Selecione primeiro o módulo com base no modo de deformação e, em seguida, verifique se as condições de medição e as hipóteses de isotropia correspondem ao componente e à análise.

Erros comuns em cálculos de módulos do aço

Os cálculos de módulos do aço frequentemente falham porque grandezas com significados físicos diferentes são tratadas como intercambiáveis. O módulo de Young $E$, o módulo de cisalhamento $G$, o módulo volumétrico $K$ ou $B$ e o coeficiente de Poisson $\nu$ descrevem a deformação elástica. O limite de escoamento descreve o início de uma deformação permanente substancial. Essas grandezas pertencem a partes diferentes de um modelo de material.

Para um sólido isotrópico e linearmente elástico, apenas duas constantes elásticas são independentes. O capítulo Elasticity of Solids da Springer (2020) afirma isso diretamente. O Sandia National Laboratories lista o conjunto relacionado como módulo de Young $E$, coeficiente de Poisson $\nu$, módulo volumétrico $K$, módulo de cisalhamento $G$, primeiro parâmetro de Lamé $\lambda$ e $2\mu$; especificar $E$ e $\nu$ determina as demais. As conversões comuns são

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

e

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Essas equações não são fatos experimentais independentes. Elas são consequências da hipótese de elasticidade linear isotrópica. Seu uso exige valores compatíveis, unidades consistentes e um estado do material para o qual a isotropia seja uma aproximação razoável.

Confundir módulo com limite de escoamento

O erro mais persistente é chamar um aço de alta resistência de “mais rígido” porque seu limite de escoamento é maior. O limite de escoamento mede a tensão na qual a deformação plástica se inicia segundo um critério especificado, frequentemente uma deformação de prova, como 0,2%. O módulo de Young mede a inclinação da resposta elástica tensão–deformação antes dessa transição. Um tratamento térmico, um processo de redução a frio, uma reação de precipitação ou uma alteração no teor de carbono pode elevar substancialmente o limite de escoamento sem produzir uma mudança comparável na inclinação elástica inicial.

Essa distinção é importante no projeto. A deflexão sob uma carga de serviço é governada principalmente por $E$, pela geometria, pelas condições de contorno e pela carga; a verificação da tensão admissível também exige o limite de escoamento ou outro limite de resistência. Substituir $E$ pelo limite de escoamento de uma classe de aço produz resultados dimensionalmente plausíveis, mas fisicamente sem significado. Um cálculo que divide a tensão pelo limite de escoamento pode estimar um índice de utilização. Ele não calcula a deformação elástica.

O mesmo erro aparece no cisalhamento. O módulo de cisalhamento é definido pela relação elástica entre a tensão de cisalhamento e a deformação de cisalhamento,

$$\tau =G\gamma .$$

O limite de escoamento ao cisalhamento é um limite plástico. Ele pode ser estimado a partir de um critério de escoamento, como a relação de von Mises, mas não é $G$ e não é obtido atribuindo a um módulo as unidades de tensão e mudando seu nome. A OpenStax (2020) separa claramente os modos de deformação: o módulo de Young descreve a resposta à tração, o módulo volumétrico descreve a compressão volumétrica e o módulo de cisalhamento descreve a deformação por cisalhamento.

Uma especificação de aço pode, portanto, conter tanto um requisito de limite de escoamento quanto uma hipótese sobre propriedades elásticas, sem que esses números estejam relacionados por uma conversão simples entre classes. Para cálculos estruturais, a designação pertinente e a norma do produto devem ser registradas — por exemplo, chapa ou folha ASTM A240/A240M, material S355 conforme a EN 10025-2 ou aço inoxidável ASTM A276 Tipo 304 — juntamente com a espessura, a forma do produto e a direção do ensaio. A designação identifica o requisito do material; ela não torna um valor genérico de módulo exato para todos os produtos.

Outro erro é tratar toda classe de aço como se tivesse um único $E$ exato. Aços ferríticos, martensíticos, bainíticos, austeníticos e duplex podem apresentar diferentes frações de fase, texturas, níveis de porosidade em produtos fundidos e tensões residuais. Esses fatores afetam a resposta elástica medida. Para muitas estimativas de engenharia, um valor isotrópico convencional é adequado, mas ele continua sendo uma hipótese ou um valor de projeto adotado, e não uma constante física universal associada à palavra “aço”.

Misturar valores estáticos e dinâmicos

Os módulos estático e dinâmico estão relacionados, mas não são automaticamente intercambiáveis. Um módulo estático é obtido por meio de um ensaio mecânico aplicado lentamente, normalmente a partir da inclinação de uma curva tensão–deformação de tração ou compressão ao longo de um intervalo de deformação especificado. O resultado pode ser afetado pela complacência da máquina, pelo alinhamento das garras, pelas condições da superfície, pela taxa de deformação, pela histerese, pela microplasticidade e pela forma como a inclinação é ajustada.

Um módulo dinâmico é inferido a partir da propagação de ondas, da ressonância ou de outra medição dependente do tempo. A ASTM E1875-20a especifica a determinação do módulo de Young dinâmico, do módulo de cisalhamento e do coeficiente de Poisson “por ressonância sônica”. As frequências de ressonância e as dimensões do corpo de prova são usadas para inferir as constantes elásticas. Esse método pode fornecer dados precisos para pequenas deformações, mas o resultado corresponde a uma deformação de alta frequência e amplitude muito pequena e deve ser identificado de acordo com isso.

As medições dinâmicas também dependem da densidade, da geometria do corpo de prova, da frequência, da temperatura e da identificação do modo. Um valor derivado de uma ressonância longitudinal não deve ser inserido em um cálculo de cisalhamento sem a relação apropriada e um coeficiente de Poisson compatível. Da mesma forma, o “módulo de elasticidade” de um manual pode ser uma convenção de projeto, enquanto um relatório de ressonância pode identificar um módulo dinâmico. Os dois não devem ser comparados como se tivessem sido obtidos no mesmo ensaio.

Ao converter entre $E$, $G$ e $K$, informe se os valores de entrada são estáticos ou dinâmicos. Combinar um $E$ obtido em um ensaio de tração com um $\nu$ obtido por ressonância sônica pode criar um conjunto internamente inconsistente, mesmo quando ambos os números são individualmente confiáveis. O cálculo pode satisfazer a álgebra e, ainda assim, não representar um único estado material medido.

O coeficiente de Poisson requer atenção especial, porque a incerteza em $\nu$ se torna importante na equação do módulo volumétrico. Se $E=200$ GPa e $\nu =0.30$, a relação isotrópica fornece $K=166.7$ GPa. Se o mesmo $E$ for combinado com $\nu =0.29$, $K=158.7$ GPa; com $\nu =0.31$, ele se torna $K=175.4$ GPa. Uma mudança de apenas 0,01 em $\nu$ altera o $K$ calculado em aproximadamente 5%. Próximo de $\nu =0.5$, a sensibilidade é muito maior, porque $1-2\nu$ se aproxima de zero. Informe o valor assumido, sua fonte e uma faixa de sensibilidade, em vez de apresentar o $K$ resultante como uma constante medida.

As unidades criam uma falha mais simples, porém frequente. Como $1\text{GPa}=1000\text{MPa}$, um valor de $E$ inserido em MPa junto com um valor de $G$ inserido em GPa pode introduzir um erro de um fator de 1000. Mantenha todos os módulos em um único sistema de unidades durante o cálculo e informe a unidade ao lado do resultado final.

Os valores do módulo volumétrico exigem rastreabilidade. A Engineering ToolBox apresenta um valor aproximado de 163 GPa para aço inoxidável, mas essa é uma estimativa de referência secundária, não um valor universal para todas as classes de aço inoxidável, formas de produto, temperaturas ou condições de ensaio. Uma citação defensável deve identificar a medição ou o cálculo original, a composição, a condição de fase, a temperatura, a faixa de pressão, a base de densidade e o método. A definição termodinâmica do National Institute of Standards and Technology (1982), $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$, torna explícita a condição de temperatura. Um número copiado de uma tabela sem essas condições deve ser marcado como aproximado.

Ignorar a anisotropia e a temperatura

As equações isotrópicas pressupõem que a resposta seja a mesma em todas as direções. Chapas laminadas, fios trefilados, barras forjadas e aços fabricados por manufatura aditiva frequentemente desenvolvem textura cristalográfica. Sua resposta elástica pode variar com a direção da carga, mesmo quando o material parece uniforme a olho nu. Uma chapa fortemente texturizada pode exigir constantes específicas para cada direção, em vez de um único $E$, $G$ e $\nu$.

A elasticidade de um monocristal é descrita por uma matriz de rigidez elástica, e não por um único módulo escalar. O capítulo do manual do NIST de 1982 explica como constantes policristalinas quase isotrópicas podem ser derivadas de dados de rigidez de monocristais para elementos cúbicos e hexagonais. Essa média é um modelo. Ela se torna menos adequada quando a textura é forte, as proporções de fase variam espacialmente ou o produto contém inclusões ou poros alinhados.

A temperatura é outra variável frequentemente omitida. As constantes elásticas geralmente mudam com a temperatura, e as transformações de fase podem produzir descontinuidades maiores do que o amolecimento térmico comum. Um relatório do National Bureau of Standards (1981) mediu constantes elásticas para o aço austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 e 400 K, utilizando velocidades de ondas nos modos longitudinal e transversal. A própria faixa de temperatura mostra por que um valor à temperatura ambiente não pode ser transferido silenciosamente para um serviço criogênico ou para equipamentos submetidos a temperaturas elevadas.

Um cálculo deve, portanto, informar a designação do material, a forma do produto, a direção do ensaio, a temperatura, o modo de deformação, o método de medição e se as constantes são estáticas, dinâmicas, isotrópicas ou específicas para uma direção. Se esses detalhes não estiverem disponíveis, classifique o resultado como uma estimativa de engenharia e mostre como a incerteza em $E$, $G$, $K$ e $\nu$ afeta a resposta. Isso é mais preciso do que atribuir um único módulo exato a todo aço e permitir que uma hipótese não declarada controle o projeto.

Referências

1. [1]National Institute of Standards and Technology. Bulk modulus definition. NIST handbook chapter, 1982. https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172
2. [2]ASTM International. Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM E1875-20a, 2020. https://www.astm.org/e1875-20a.html
3. [3]Springer Nature. Elasticity of Solids. Springer book chapter, 2020. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4
4. [4]OpenStax. Stress, Strain, and Elastic Modulus. University Physics Volume 1, 2020. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
5. [5]National Bureau of Standards. Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards report, 1981. https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf