鋼の弾性定数と弾性率の関係

鋼の弾性定数が意味すること、意味しないこと

弾性定数は、材料が弾性範囲内にある間、加えられた応力と、それによって生じるひずみを結び付けるパラメータです。この範囲では、荷重を除去すると、試験片は少なくとも近似的には元の寸法に戻ります。単純な引張試験では、ヤング率は軸方向応力と軸方向ひずみの比として表されます。

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }.$$

この関係は、応力–ひずみ曲線における初期の、回復可能な部分の傾きを表します。曲線全体を表すものではなく、永久変形または破断が生じる前に鋼がどの程度の応力に耐えられるかを示すものでもありません。

等方的で線形弾性の固体では、独立な弾性定数は2つだけである。 Strong evidence

等方的な線形弾性固体では、独立な弾性定数は2つだけです。一般的に用いられる組合せには、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$、体積弾性率 $K$ または $B$、せん断弾性率 $G$、ラメの第1パラメータ $\lambda$、および $2\mu$ が含まれます。ここで $\mu =G$ です。Sandia National Laboratoriesは、これら6つの相互に関連する量を列挙し、$E$ と $\nu$ によって他の量が決まると述べています。例えば、

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

および

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

体積弾性係数体積弾性係数 圧力下における一様な体積変化への抵抗の尺度であり、通常 K または B と表記される。

記号法には違いがあります。NISTなどの情報源では体積弾性率に $B$ を使うことが多い一方、工学系の教科書や有限要素ソフトウェアでは $K$ がよく使われます。どちらも同じ等方的性質を表します。

弾性応答と強度・塑性

弾性が答えるのは、永久変形が始まる前に、所定の応力に対してどの程度のひずみが伴うかという限定的な問いです。強度は別の問いに答えます。降伏強度は、指定された塑性ひずみが始まるときの応力を示します。引張強さは、引張試験中に到達する最大の工学応力です。破断強度は、試験片の分離に関係します。これらのいずれも、ヤング率の別名ではありません。

ある鋼は高い降伏強度を持ちながら、同様の組成を持つ低強度鋼とヤング率がほぼ同じである場合があります。冷間加工、析出硬化、またはマルテンサイト変態によって、降伏強度と硬さは大幅に増加しても、小ひずみ領域の引張弾性率の変化ははるかに小さいことがあります。その理由は、強化機構が転位の移動を妨げるのに対し、初期の弾性応答は主として原子結合の剛性と結晶構造全体を反映するためです。この違いは、例えば、焼入れ焼戻し低合金鋼と、関連する化学組成を持つ焼なまし材を比較する際に重要です。

応力–ひずみ関係が、もともとの線形弾性の傾きに従わなくなったとき、塑性が始まります。その後の塑性構成モデルには、降伏条件、硬化則、流動則、ひずみ速度依存性、温度依存性などの情報が必要になります。ヤング率だけでは、これらの情報は一切得られません。正確な $E$ を含む有限要素モデルでも、適切でない降伏曲面を用いれば、永久変形を誤って予測する可能性があります。

その他の機械的性質は、さらに異なる問いに答えます。硬さは局所的な押込みに対する抵抗を測定するもので、管理された一群の鋼の中では強度と相関することが多いものの、弾性率ではありません。靭性は、所定の試験条件下におけるエネルギー吸収とき裂抵抗に関係します。疲労抵抗は、繰返し荷重または変動荷重の下での損傷蓄積に関係します。ある鋼が別の鋼種と同程度の弾性率を持っていても、硬さ、衝撃靭性、き裂進展挙動、または疲労寿命は異なる可能性があります。

また、弾性であることは、すべての荷重サイクルが完全に可逆的であることを意味しません。実際の鋼では、従来の降伏点が明確になる前に、微小塑性、非弾性、残留応力の影響、ヒステリシス、または損傷が現れることがあります。したがって、特定の試験で報告される弾性率は、そのひずみ範囲、載荷速度、サイクル履歴、およびデータ処理方法と結び付いています。

破壊応力ではなく剛性としての弾性率

弾性率は剛性を測定する量です。すなわち、定義された変形モードにおいて、所定の弾性ひずみを生じさせるために必要な応力を表します。ヤング率は軸方向の伸びまたは縮みに関係します。せん断弾性率は、せん断応力下での形状変化に対する抵抗を表します。体積弾性率は、圧力下での一様な体積変化に対する抵抗を表します。OpenStaxは、引張変形、せん断変形、体積変形について、これらに対応する物理的解釈を示しています。

大きな弾性率は、所定の応力によって生じる弾性ひずみが小さいことを意味します。しかし、それは材料が降伏または破断する前に、より大きな応力を支えられることを意味しません。同じ $E$ を持つ一方で降伏強度が異なる2つの鋼製部品を考えてみましょう。同じ使用応力を受ける場合、両者はほぼ同じ弾性伸びを示します。高強度の部品は塑性変形が生じる前により大きな応力に耐えられますが、降伏強度が高いというだけで、初期の弾性応答における剛性が大幅に高くなるわけではありません。

体積弾性率には、特に明確な熱力学的定義があります。1982年のハンドブックの章で、National Institute of Standards and Technologyは次のように記しています。

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$[1][1] Bulk modulus definition. National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

ここで $V$ は体積、$P$ は圧力、微分は温度一定の条件で取られます。これは体積に関する性質であり、引張破壊限界ではありません。鋼は一様に圧縮することが難しいため、体積弾性率は高くなります。しかし、この事実だけから、引張延性や破壊靭性について多くを推論することはできません。

弾性率は、反発性とも混同すべきではありません。単位体積当たりに蓄えられる弾性エネルギーは応力と弾性率に依存し、降伏までの回復可能なエネルギーは弾性率と降伏強度の両方に依存します。したがって、$E$ がわずかしか変化しない場合でも、降伏強度を高めることで弾性エネルギー容量を増加させることができます。

ある鋼種に唯一普遍的な弾性率が存在しない理由

ASTM A36、ASTM A572 Grade 50、EN 10025-2 S355JR、または AISI 304のような呼称は、規格、組成範囲、製品状態、または要求性能の組合せを特定するものです。しかし、その呼称に従って製造されたすべての試験片について、変わることのない単一の弾性値を定義するものではありません。測定される応答は、材料の状態と試験条件に依存します。

温度は主要な変数の1つです。弾性定数は一般に温度によって変化し、結晶構造または相の混合状態が変化する場合には、相変態によってより大きな変化が生じることがあります。1981年に公表されたNational Bureau of Standardsの報告書では、縦波および横波の音速を用いて、76～400 Kの範囲でFe-5Cr-26Mnオーステナイト鋼の弾性定数を測定しました。この温度範囲だけを見ても、試験温度を伴わない値が不完全である理由が分かります。

準等方性準等方性 個々の結晶粒が異方性を保っている場合でも、定義された計算、方向範囲、およびスケールに対して十分に等方的に近い有効な材料応答。

集合組織と方向も重要です。個々のフェライト、オーステナイト、またはマルテンサイト結晶は弾性的に異方性を持つため、その剛性は結晶学的方向によって異なります。圧延板、鍛造棒、引抜き線材、積層造形材では、特定の方位が優先的に形成されることがあります。結晶方位が十分に分散している場合、多結晶集合体は近似的に等方的に挙動することがあります。しかし、強い集合組織を持つ製品では、方向別の定数が必要になる場合があります。圧延方向の長手方向弾性率は、板厚方向の値と等しいとは限りません。

相構成、介在物、気孔、残留応力、結晶粒構造、製品形状も、測定される集合体としての応答に影響します。同じプロジェクト仕様の対象であっても、溶接金属および熱影響部は母材と異なる場合があります。単結晶の定数を、多結晶材料の設計値に単純に置き換えることはできません。NISTのハンドブックは、立方晶および六方晶材料について、単結晶の弾性剛性データから準等方的なヤング率、せん断弾性率、体積弾性率、および関連する弾性率を導出する方法を説明しています。しかし、その計算は結晶対称性と、方位平均に関する仮定に依存します。

[2][2] Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.

ASTM E1875-20a は、音響共鳴によるヤング率、せん断弾性係数、およびポアソン比の動的測定を規定している。 Strong evidence

測定方法によっても、報告される結果は変わります。低速の引張試験では、力と変位に基づく静的弾性率、または割線弾性率・接線弾性率が得られます。一方、超音波法や共振法では、波速または固有振動数から動的弾性率を求めます。ASTM E1875-20は、「音響共振によって」動的ヤング率、せん断弾性率、およびポアソン比を求める方法を規定しています。周波数、減衰、試験機のコンプライアンス、ひずみ振幅、ならびに試験片の非理想的な部分の扱いにより、動的値は静的値と異なることがあります。

したがって、有用な弾性率の報告には、少なくとも鋼の呼称、製品形状と状態、温度、載荷方向、変形モード、および測定方法を記載する必要があります。また、その値が測定値なのか、他の定数から計算された値なのか、あるいは設計上の仮定として採用された値なのかも明示すべきです。Engineering ToolBoxは、「stainless steel（ステンレス鋼）」について約163 GPaの体積弾性率を示していますが、これは二次資料に基づく参考推定値であり、すべてのステンレス鋼種、熱処理、集合組織、温度、または試験方法に普遍的に適用できる値ではありません。仮定を明示したうえで、予備的な等方性計算にすべての製品について1つの数値を用いることは許容される場合があります。しかし、それを鋼種に依存しない材料固有の事実として提示することは適切ではありません。

等方線形弾性の二定数基礎

線形弾性は、応力とひずみが線形関係を適用できるほど十分に小さい範囲での、材料応答の可逆的な部分を記述する。「等方性」という語は別の条件を加える。すなわち、応答があらゆる方向で同じであると仮定する。この二つの仮定の下では、弾性剛性テンソルの独立項は、一般的な異方性固体の場合よりもはるかに少なくなる。一般に報告される六つの量、すなわちヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$、体積弾性率 $K$ または $B$、せん断弾性率 $G$、Laméの第1パラメータ $\lambda$、および $2\mu$ は、選択した二つの定数だけから表すことができる。

この結果が適用されるのは構成モデルであり、鋼について報告されるすべての測定値に自動的に適用されるわけではない。温度、相組成、結晶学的集合組織、気孔率、残留応力、試験片の方向、周波数、および試験方法は、いずれも測定される応答に影響を及ぼし得る。等方性有限要素モデルで用いられる値は、材料の微細構造を完全に記述するものではなく、有効工学特性であることが多い。

独立な定数が二つだけ必要な理由

応力とひずみは2階テンソルである。最も一般的な線形弾性固体では、両者の関係を記述するために4階の剛性テンソルが必要となり、多数の方向間結合が考えられる。応力テンソルとひずみテンソルの対称性によって独立項の数は減少し、さらに材料対称性によって少なくなる。等方性は、通常の材料対称性として最も強い条件を課す。すなわち、力学的に特別な方向が存在しない。

等方的な応力–ひずみ関係は、次のように記述できる。

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

ここで、${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ は応力テンソル、${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ はひずみテンソル、${\delta }_{\mathrm{ij}}$ はKroneckerのデルタ、$\lambda$ および $\mu$ はLaméパラメータである。したがって、$\lambda$ と $\mu$ は独立定数の有効な一組を構成する。せん断弾性率は $G=\mu$ であるため、$G$ と $\lambda$ を用いることは同値である。

Springerの Elasticity of Solids（2020年）は、中心的な結論を直接述べている。等方性固体では、独立な弾性定数は二つだけである。Sandia National LaboratoriesのSierra文書では、関連する等方性の定数群として、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$、体積弾性率 $K$、せん断弾性率 $G$、Laméの第1パラメータ $\lambda$、および $2\mu$ を挙げ、$E$ と $\nu$ が他の定数を決定すると説明している。六つの名称が登場するからといって、個別に調整可能な材料特性が六つ存在するわけではない。

一般的な $E,\nu$ の組について、変換式は次のとおりである。

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )},$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )},$$

および

$$2\mu =2G=\frac{E}{1+\nu }.$$

逆変換の関係も有用である。

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G},$$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}.$$

これらの式は、特定の一系列の鋼に限定された経験的相関ではない。等方線形弾性の構成則から導かれるものである。また、これらの式は整合性の要件も課す。安定な通常の等方性固体では、$G>0$、$K>0$、および $-1<\nu <0.5$ である。モデル上、$\nu$ が0.5に近づくと、材料はほぼ非圧縮性となる。すなわち、$K$ は $G$ よりはるかに大きくなる一方、$E$ は両者と関係したままである。

これらの定数は数学的には相互に関連しているが、物理的な意味は異なる。OpenStaxは、ヤング率を引張応答を支配する比、体積弾性率を体積圧縮に対する応答、せん断弾性率をせん断変形に対する応答として説明している。引張試験から主に得られるのは $E$ であるが、軸方向ひずみとともに横方向ひずみを測定すれば $\nu$ も得られる。圧力–体積実験は $K$ を対象とし、ねじり試験またはせん断波測定は $G$ を対象とする。一貫性のある任意の一組が既知であれば、他の弾性率は独立に選択するのではなく、計算によって求められる。

体積弾性率の熱力学的定義は、体積弾性率とヤング率の違いを明確にする。

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

1982年にNational Institute of Standards and Technologyが示したこの式は、一定温度において圧力を受けた際の体積変化に対する抵抗を表す。これは、表に記載された体積弾性率が引張弾性率と互換的に扱えることを意味しない。両者の数値的関係が成立するのは、等方性の構成仮定を適用した後に限られる。

実用的な入力の組としての E と ν

工学計算では、$E$ と $\nu$ が一般的に用いられる。これは、両者が一軸引張試験に自然に対応し、標準的な構造材料データによって直接支えられているためである。3次元の等方性モデルでは、この二つの量を入力すれば、追加の材料定数なしにソフトウェアが $G$、$K$、$\lambda$、および $2\mu$ を構成できる。六つすべてを入力すると、各値が変換式を満たしていない場合に、整合性のないモデルが生じる可能性がある。

これは、値を異なる情報源から取得する場合に特に重要である。静的引張弾性率、共振から得られた動的弾性率、体積弾性率の推定値は、それぞれの測定条件において妥当であっても、等方性の式を通じて互いに完全には再現できない場合がある。ASTM E1875-20aは、「音響共鳴による」動的ヤング率、せん断弾性率、およびポアソン比の決定方法を規定している。実際には、材料が弾性範囲内にとどまっている場合でも、これらは周波数依存または速度依存の測定値である。試験条件を確認せずに、低速度の引張試験値と同一であると仮定すべきではない。

二次資料であるEngineering ToolBoxは、ステンレス鋼の体積弾性率として約163 GPaを示している。この数値は参考推定値であり、すべてのステンレス鋼の鋼種、熱処理、温度、製品形態、または試験方法に共通する普遍定数ではない。関連性のない $E$ または $\nu$ の値と安易に組み合わせ、それを特定鋼種について測定された特性として提示すべきではない。同じ注意は、ASMの Steel Castings Handbook に掲載された値にも当てはまる。同書では、弾性係数、ポアソン比、せん断弾性率、および関連する物理特性が、鋳鋼の代表的データとして示されている。「鋼」は一つの固定された弾性試験片ではない。

静的特性と動的特性の区別は、設計において重要である。動的試験では、共振周波数または波速から弾性定数を推定する。静的試験では、力、変位、およびひずみから弾性定数を推定する。動的弾性率は、周波数、減衰、微細構造に関わる機構、温度、および計測機器の影響によって異なる場合がある。National Bureau of StandardsのFe-5Cr-26Mnオーステナイト鋼に関する報告では、縦波モードおよび横波モードの音速から、76–400 Kの範囲で弾性定数を測定している。この温度範囲は、材料の呼称が明確であっても、温度と方法を伴わない値は不完全になり得ることを示している。

等方性と準等方性の役割

多結晶鋼は、結晶粒が小さく、数が多く、方位が十分にランダム化されている場合、近似的に等方性として振る舞うことがある。個々の結晶は異方性を保っているが、代表体積にわたって平均化することで、方向による影響が相殺される場合がある。これは、多くの構造計算で有効ヤング率 $E$ と有効ポアソン比 $\nu$ を一つずつ用いる根拠となる。

加工によって強い集合組織が形成されると、この近似は弱くなる。圧延、鍛造、積層造形、方向性凝固、および溶接熱サイクルは、特定の結晶学的方位を形成する可能性がある。その場合、板材は長手方向、横方向、および板厚方向で異なる特性を示すことがある。鋳造品では、デンドライト組織、偏析、気孔、および局所的な結晶粒方位のために、別の傾向が現れる場合がある。相組成も重要である。フェライト、オーステナイト、マルテンサイト、ベイナイト、および残留オーステナイトは、単結晶としての弾性挙動に同一の寄与をするわけではない。

準等方性 とは、特定の目的、方向範囲、およびスケールにおいて、等方性に十分近い有効応答を表す。これは結晶の異方性を消去するものでも、あらゆる方向で測定したすべての弾性率が一致することを保証するものでもない。NISTの単結晶弾性定数に関するハンドブックの章では、立方晶系および六方晶系の元素について、単結晶の剛性データから多結晶体の $E$、$G$、$B$、縦弾性率、および $\nu$ を導出する方法を説明している。この方法では、得られた多結晶定数を基本値として扱うのではなく、平均化の仮定を明示できる。

強い集合組織を持つ鋼では、異方性弾性モデルに二つを超える独立定数が必要となる場合があり、試験片の方向も保持しなければならない。準等方性の鋼製部品では、その仮定が測定結果に照らして検証されている限り、意図する計算に対して二つの有効定数で十分な場合がある。Oxford Academicの Constitutive Response の章も、等方線形弾性を二つの独立定数に基づいて捉えている。したがって、実務上の問いは、鋼が六つの独立した弾性率を持つかどうかではない。等方性モデルの下では、持たない。問うべきなのは、選択した二つの定数が、計算に関係する材料、温度、方向、および測定領域を代表しているかどうかである。

鋼におけるヤング率 E

ヤング率 $E$ は、一軸引張りまたは圧縮における材料の剛性を表します。適用可能な線形弾性の定義では、軸方向応力と軸方向ひずみの比です。

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

ここで、$\sigma$ は試験片の軸に沿って作用する垂直応力、$\epsilon$ はそれに対応する軸方向ひずみです。完全に線形な応答の場合、応力–ひずみ曲線は原点を通る直線となり、$E$ はその傾きです。単位はパスカルで、鋼については通常ギガパスカルで示されます。

この定義が適用されるのは、材料の応答が線形かつ回復可能である荷重範囲に限られます。鋼の試験で測定されたすべての応力とひずみの比がヤング率であることを意味するわけではありません。塑性ひずみ、相変態、損傷、または顕著な非線形性が現れた後では、選択した傾きや比は別の物性を表します。

一軸応力と軸方向ひずみ

一軸引張試験では、試験片の一つの主方向に沿って力を加えます。工学的軸方向応力は、通常、加えた力を元の断面積で割って計算します。

$$\sigma =\frac{F}{A_0}$$

工学的軸方向ひずみは、標点距離の変化を元の長さで割ったものです。

$$\epsilon =\frac{L-L_0}{L_0}$$

小ひずみの範囲では、これらの定義により通常の工学的な $E$ の値が得られます。試験用伸び計またはひずみゲージは、指定された標点距離にわたる伸びを測定し、試験機は力と変位を記録します。測定された傾きは、試験機のコンプライアンス、つかみ部の移動、試験片のアライメント、表面状態、および曲線の初期部分を決定する方法の影響を受ける可能性があります。

弾性範囲では、引張試験片は横方向にも収縮します。ポアソン比 $\nu$ は、通常、横ひずみと軸方向ひずみを次のように関連付けます。

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}$$[3][3] Elasticity of Solids. Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

等方線形弾性体では、$E$ と $\nu$ によって他の弾性定数が定まります。Sandia Sierra の文書では、関連する等方性の組として、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$、体積弾性率 $K$、せん断弾性率 $G$、ラメの第1パラメータ $\lambda$、および $2\mu$ が挙げられています。ここで、$E$ と $\nu$ により他の定数が定まるという記述は、等方弾性における二定数構造を反映しています。Springer の Elasticity of Solids でも、等方性固体では独立な弾性定数は2つだけであると述べられています。

設計で一般的に用いられる関係式は次のとおりです。

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

および

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

ここで、$G$ はせん断弾性率、$K$ は体積弾性率であり、$B$ と表記されることもあります。これらの式は、$E$、$G$、$K$、$\nu$ が、材料等級に固有の独立した4つの物性であることを意味しません。等方性および線形弾性の仮定が適切な場合に、異なる変形モードでの測定値を相互に関連付けるものです。

変形モードの区別は重要です。ヤング率は軸方向の伸長または収縮に関係し、せん断弾性率はせん断による角度変形に関係し、体積弾性率は静水圧下での体積変化に関係します。OpenStax は、これらを弾性応答に関する別個の物理的解釈として示しています。NIST のハンドブックによる1982年の扱いでは、体積弾性率を次のように熱力学的に定義しています。

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

したがって、その値は指定された温度における圧力による体積変化に関係するものであり、単純に引張応力–ひずみ曲線の傾きを表すものではありません。

鋼は、一般的な工学計算では等方性として扱われることが多くあります。これは、多結晶製品が多数の結晶学的方位を含む場合があるためです。しかし、強い集合組織を持つ薄板、高度に加工された棒材、圧延板、溶接部、積層造形材料、または単結晶の研究用試験片では、この近似が成り立たないことがあります。立方晶のフェライトおよびオーステナイト結晶は方向によって異なる弾性剛性を持ちますが、方位が適切に分布した集合体では、準等方的に見えることがあります。NIST は、立方晶および六方晶材料について、単結晶の弾性剛性データから多結晶の $E$、$G$、$B$、縦弾性率、およびポアソン比を計算する方法を説明しています。

したがって、「鋼」について報告された値が、あらゆる製品形態に共通する普遍定数であるとは限りません。化学組成、フェライト、パーライト、ベイナイト、マルテンサイト、残留オーステナイト、炭化物の分布、気孔率、集合組織、および残留応力は、測定された応答に影響を及ぼす可能性があります。その影響は、ある試験構成では小さくても、別の構成では重要になることがあります。

割線弾性率、接線弾性率、初期弾性率

初期弾性率は、応力およびひずみがゼロ、またはゼロに極めて近い位置における応力–ひずみ曲線の傾きです。微分形式では、次のように表されます。

$$E_{\text{initial}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }{|}_{\epsilon \to 0}$$

これは、曲線が十分に線形であり、測定系が補正されている場合に成立します。この値が、教科書的なヤング率の定義に最も近いものです。

接線弾性率は、選択した点における局所的な傾きです。

$$E_{\text{tan}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }$$

曲線が線形性を保っている場合、接線弾性率は初期弾性率と等しくなります。しかし降伏点付近では、塑性の開始、転位運動、リューダースひずみ、変態の影響、または試験上のアーティファクトによって、鋼に曲率が現れることがあります。その場合、接線弾性率は応力およびひずみに伴って変化します。したがって、測定した点またはひずみ区間を併記して報告する必要があります。

割線弾性率は、選択した原点から曲線上の特定の点へ引いた直線の傾きです。

$$E_{\text{sec}}=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

これは、選択した点について定義されます。割線弾性率は局所的な傾きではなく、その区間全体の応答を平均的に表します。曲線が線形性から外れて曲がる場合、割線弾性率と接線弾性率は異なります。初回降伏を超える応力で求めた割線弾性率は、全ひずみに塑性ひずみが含まれるため、初期弾性率より大幅に低くなることがあります。

したがって、これらの用語は互換的に使用できません。ひずみまたは応力の範囲を示さずに、割線弾性率の値を「ヤング率」と呼ぶと、設計計算を誤らせる可能性があります。同じ問題は、実際に測定した標点ひずみではなく、クロスヘッド変位から試験機が傾きを算出する場合にも生じます。つかみ部のなじみやフレームの変形は曲線の初期部分を歪める可能性があり、一方、塑性変形は曲線の後半部分を歪める可能性があります。

事前の変形も重要です。冷間圧延、引抜き、矯正、予ひずみ、および繰返し荷重は、転位組織と残留応力を変化させます。その結果、見かけの初期傾きが変化したり、引張り–圧縮非対称性が生じたり、除荷時と再負荷時で異なる傾きが生じたりすることがあります。塑性ひずみを受けた試験片は、同じ公称の鋼種 обознач designation を持つというだけで、未変形の試験片と同等になるわけではありません。

温度も指定する必要があります。弾性剛性は一般に温度によって変化し、より広い温度範囲では相組成も変化する可能性があります。1981年に発行された National Bureau of Standards の報告書では、縦波および横波の音速を用いて、Fe-5Cr-26Mn オーステナイト系鋼の弾性定数を 76～400 K の範囲で測定しています。この温度範囲は、室温での引張値を極低温での使用や高温解析に無批判に適用すべきでない理由を示しています。

静的ヤング率と動的ヤング率

静的ヤング率は、ゆっくり加えた機械的荷重から求められます。一般には、引張試験または圧縮試験中に力と軸方向ひずみを測定します。ただし、「ゆっくり」とは、結果が速度に依存しないという意味ではありません。ひずみ速度、荷重履歴、保持時間、温度上昇、およびひずみ測定系は、報告される傾きに影響を及ぼす可能性があります。常温の通常の鋼では粘弾性的影響は一般に限定的ですが、弾塑性遷移付近では、速度依存性の塑性、減衰、熱的影響、および試験機のコンプライアンスが結果に影響することがあります。

動的ヤング率は、振動、波の伝播、または共鳴の測定から推定されます。ASTM E1875-20a は、「音響共鳴による」動的ヤング率、せん断弾性率、およびポアソン比の測定方法を規定しています。この方法では、共鳴周波数と試験片寸法を使用し、密度ならびに梁または棒の振動関係式を計算に組み込みます。変形は有限の周波数で、通常は極めて小さい振幅で振動するため、その結果は単に高速で行った引張試験の値ではありません。

動的測定は、試験片の形状、支持条件、周波数、密度、減衰、および内部不連続部の影響を強く受ける可能性があります。静的測定は、アライメント、伸び計の設置位置、標点距離、およびひずみ速度の影響を受けます。両方の方法を同じ弾性範囲内で適切に実施した場合、結果が近くなることはありますが、一致するとは限りません。したがって、報告する弾性率には、測定方法、温度、試験片の方位および状態、ならびにその値が初期、接線、割線、静的、動的のいずれであるかを明記する必要があります。

Engineering ToolBox では、ステンレス鋼の体積弾性率について、163 GPa という近似的な参考値が記載されることがあります。しかし、これは二次的な推定値であり、あらゆるステンレス鋼の鋼種、規格上の材質記号、温度、集合組織、または製品形態に普遍的に適用できる値ではありません。引用されたヤング率の値についても、同じ注意が必要です。等方性設計モデルでは、慎重に選択した一組の弾性定数で十分ですが、測定された材料データが、計算で使用する鋼の状態および変形モードに適合していることを確認する必要があります。

せん断弾性係数 G と形状変形剛性

せん断弾性係数 $G$ は、せん断応力によって生じる形状変化に対する固体の抵抗を表す。これは、体積変化に対する抵抗を主に表すものではない。理想的な純せん断では、材料内部の一組の平面が別の平面に対して滑ることで、物体内部の角度が変化する一方、体積はほぼ変化しない。この点で、$G$ は静水圧縮に対する抵抗を表す体積弾性係数 $K$ または $B$ と区別される。

鋼において、$G$ は他のすべての弾性特性から独立して変化できる、別個の鋼種等級表示ではない。均質・等方・線形弾性体では、独立な弾性定数は2つだけである。表には、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$、せん断弾性係数 $G$、体積弾性係数 $K$、ラメの第1定数 $\lambda$、および $2\mu$ が記載されることがあるが、これらの量は数学的に相互に関連している。サンディア国立研究所は、この6つからなる等方性の組を示し、$E$ と $\nu$ によって他の定数が決まると述べている。同じ2定数の制約は、Springerの Elasticity of Solids（2020年）にも記載されている。

せん断応力と角ひずみ

せん断応力は通常 $\tau$ と表され、表面に平行に作用する。直方体要素にせん断変形を与えると、もともと直角であった角度が角ひずみ $\gamma$ によって変化する。小変形の場合、$\gamma$ はラジアンで測定され、横方向の変位を高さで割った値として、次のように近似できる。

$$\gamma \approx \frac{\Delta x}{h}.$$

線形弾性の関係は、

$$\tau =G\gamma ,$$

または、

$$G=\frac{\tau }{\gamma }.$$

$G$ が大きいほど、所定の角度変形を生じさせるために必要なせん断応力は大きくなる。これは剛性に関する関係であり、降伏や破壊について述べたものではない。鋼製試験片は、高い弾性せん断弾性係数を持っていても、その局所的なせん断応力が適用される降伏条件を超えれば、永久変形を生じる可能性がある。

純せん断は、形状変形応答と体積変形応答の違いを示す。立方体は、辺の長さと体積がほとんど変化しないまま、傾いた平行六面体になることがある。実際の固体では、せん断中に法線ひずみも生じる。等方性材料では、これらの付随するひずみはポアソン比および完全な構成方程式を通じて定められるが、測定の主対象となる変形は角度変形である。

静水圧を受ける材料は、異なる挙動を示す。圧力はあらゆる方向に等しく作用し、特定のせん断方向を生じさせることなく体積を変化させる。対応する弾性係数は、NISTによって熱力学的に次のように定義されている。

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

ここで、$V$ は体積、$P$ は圧力を表し、微分は温度一定の条件で取られる。1982年のNISTハンドブックの章に引用されたこの定義は、ねじりまたはせん断の計算において、体積弾性係数を $G$ の代わりに用いるべきでない理由を示している。

等方性鋼の近似では、せん断ひずみエネルギー密度は次のように表される。

$$u_s=\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{{\tau }^2}{2G}=\frac{1}{2}G{\gamma }^2.$$

この蓄積エネルギーは、変形が弾性範囲内にとどまり、時間依存の機構や損傷機構が介在しない限り、荷重を除去したときに回復する。

ねじり、横波、せん断応答

ねじりは、せん断弾性の実用的な現れである。丸鋼軸をねじると、断面同士が相対的に回転し、材料要素にはせん断ひずみが生じる。このせん断ひずみは、軸中心から離れるほど大きくなる。サン＝ブナンのねじり理論における円形軸では、

$$T=\mathrm{GJ}\frac{\phi }{L},$$

ここで、$T$ はトルク、$J$ は断面の極二次モーメント、$\phi$ はねじれ角、$L$ は軸の長さである。整理すると、

$$\frac{\phi }{L}=\frac{T}{\mathrm{GJ}}.$$

形状と境界条件が変わらなければ、$G$ が大きい軸ほど、同じトルクに対するねじれは小さくなる。中実円形軸では $J=\pi d^4/32$、中空円形軸では $J=\pi (d_o^4-d_i^4)/32$ である。これらの式は弾性ねじり範囲に適用されるものであり、非円形断面、反り、塑性、残留応力、異方性製品については追加の取り扱いが必要となる。

せん断弾性係数は、横方向の弾性波の速度からも測定できる。等方性媒質では、横波またはせん断波の速度は、

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }},$$

したがって、

$$G=\rho v_T^2,$$

となる。ここで、$\rho$ は密度である。横波では、粒子は伝播方向に垂直に運動する。その復元力はせん断剛性によるものである。一方、縦波は体積剛性とせん断剛性の組み合わせによって支配される。

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}.$$

したがって、密度が既知であれば、両方の波速を測定することで複数の弾性定数を算出できる。これは動的測定であり、その結果は試験周波数、温度、試験片の状態、および波の振幅における応答を反映する。

ASTM E1875-20a は、「音響共鳴による」動的ヤング率、せん断弾性係数、およびポアソン比の測定を規定している。この方法では、ゆっくりと単調に荷重を加えた曲線ではなく、縦方向ならびに曲げまたはねじり応答に関連する共鳴周波数を用いる。均質な鋼製試験片を限られた弾性範囲で測定する場合、動的値と静的値は近いことがあるが、自動的に同一のものとして扱うべきではない。

National Bureau of StandardsによるFe-5Cr-26Mnオーステナイト鋼の報告書は、試験条件の重要性を示している。この報告書では、76～400 Kの範囲における縦モードおよび横モードの音速から弾性定数を求めている。温度変化は、原子間結合、熱膨張、相安定性、および欠陥に関連する減衰に影響を及ぼす。そのため、極低温で測定された弾性係数は、室温付近で測定された値と必ずしも一致しない。鋼の相構成と結晶学的集合組織も重要である。単結晶は方向依存性を示す一方、多結晶は、結晶粒の方位が十分に無作為化されている場合にのみ、見かけ上等方的になることがある。圧延、鍛造、溶接、変態生成物、および残留集合組織によって、方向依存性のあるせん断応答が生じる可能性がある。

G、E、νの関係

均質・等方・線形弾性では、中心的な関係は次のとおりである。

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

ここで、$E$ はヤング率、$\nu$ はポアソン比である。独立した2つの弾性定数が分かれば、残りの等方性弾性定数を導出できる。したがって、測定の不確かさ、異方性、温度、またはモデルからの逸脱について議論しているのでない限り、$E$、$G$、$\nu$ を相互に無関係な3つの鋼種固有の数値として報告することは、力学的に整合しない。

対応する体積弾性係数の関係は、

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

また、$K$ と $G$ の直接的な関係は、

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

である。

これらの式はモデルに基づく関係であり、あらゆる鋼製品に適用できる普遍的な換算規則ではない。これらは、小ひずみ、可逆的挙動、材料の均質性、等方性、ならびに弾性定数が実質的に一定に保たれる温度および荷重条件を仮定している。また、報告された値が互換性のある定義に基づくことも仮定している。静的引張弾性係数、共鳴法による動的弾性係数、波動から導出された弾性係数は、周波数とひずみ振幅が異なるため、互いに異なる場合がある。

ステンレス鋼の体積弾性係数について、Engineering ToolBoxは2024年に163 GPaという近似的な参考値を示している。しかし、この数値は、すべてのステンレス鋼種、温度、製品形状、相バランス、または試験方法に共通する普遍的な値ではない。同じ注意は $G$ にも当てはまる。オーステナイト系、フェライト系、マルテンサイト系、および二相系の鋼は、集合組織、相分率、磁気状態、加工履歴において異なる可能性がある。規格や設計仕様では、計算のために代表的な等方性の値を割り当てることがある一方、研究測定では方向依存性のある弾性定数を分離して求めることがある。

等方性の設計計算では、$G=E/[2(1+\nu \left)\right]$ が引張剛性とせん断剛性を結び付ける適切な関係式である。集合組織を有する薄板、溶接の影響を受けた材料、鋳造組織、単結晶、または顕著な方向依存性を示す多相鋼では、代わりに完全な異方性剛性マトリックスが必要となる場合がある。そのような場合、1つのスカラー量としてのせん断弾性係数だけでは、あらゆるせん断面を記述することはできない。

体積弾性率 K または B と体積圧縮

体積弾性率は、体積が一様に変化することに対する抵抗を表します。これは、鋼棒が一つの軸方向に引き伸ばされることに対する抵抗を表すものではなく、ヤング率と互換的に扱うこともできません。引張試験で主に求められるのは一軸弾性率であり、圧力実験で求められるのは体積弾性率です。この二つが関係づけられるのは、弾性モデルとその前提条件を指定した後に限られます。

等方線形弾性では、体積弾性率には通常 $K$ または $B$、ヤング率には $E$、せん断弾性率には $G$、ポアソン比には $\nu$ が用いられます。これらは、独立に調整できる4つの材料定数ではありません。Springer の 固体の弾性 が説明しているように、等方性固体が持つ独立な弾性定数は2つだけです。Sandia の Sierra 文書では、関連する一式として、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$、体積弾性率 $K$、せん断弾性率 $G$、ラメの第1パラメータ $\lambda$、および $2\mu$ が挙げられており、$E$ と $\nu$ を指定すれば残りが決まります。

体積弾性率の熱力学的定義

National Institute of Standards and Technology は、等温体積弾性率を次のように定義しています。

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

ここで、$V$ は体積、$P$ は圧力、添字 $T$ は温度一定の条件で微分を行うことを意味します。通常、圧力が増加すると体積は減少するため、$\partial P/\partial V$ は負になります。したがって、負号が必要です。

この定義は、圧力–体積曲線の局所的な傾きを表します。これは微分量であり、任意に大きな圧縮について単純に圧力を体積で割ったものではありません。微小変化に対しては、

$$\frac{\Delta V}{V}\approx -\frac{\Delta P}{B}.$$

したがって、同じ割合の体積変化を生じさせるには、$B$ が大きいほど大きな圧力変化が必要になります。SI 単位はパスカルですが、鋼のデータは通常ギガパスカルで報告されます。

温度一定という条件は重要です。材料をゆっくり圧縮する場合、材料は周囲と熱を交換できます。一方、急速に伝わる音波では、ほぼ断熱的な変形が生じる可能性があります。したがって、動的測定で得られる実効弾性率は、低速の機械試験で得られるものとは異なる場合があります。また、圧縮が大きくなって弾性定数を単一の定数で十分に表せなくなる場合には、圧力そのものによって曲線の傾きが変化することもあります。

静水圧下にある固体では、3方向すべての垂直応力が等しくなります。

$${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=-P.$$

これに対応するひずみは体積ひずみであり、小変形の場合には次のように表されます。

$${\epsilon }_v=\frac{\Delta V}{V}={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,$$

構成関係は次のようになります。

$$P=-K{\epsilon }_v.$$

この負号は、引張応力および引張ひずみを正とし、圧縮圧力をスカラー量として正とする符号規約に基づいています。

静水圧と体積ひずみ

静水圧縮は、どちらも垂直応力を生じるという点では一軸荷重と共通していますが、両者は異なります。引張試験で鋼製試験片を引っ張る場合を考えます。加えられた軸方向応力によって軸方向には伸びが生じる一方、2つの横方向にはポアソン収縮が生じます。この荷重状態において、ヤング率は軸方向応力と軸方向ひずみから次のように定義されます。

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

これは線形弾性範囲内で成立します。[4][4] Stress, Strain, and Elastic Modulus. OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

静水圧下では、特定の方向が選ばれることはありません。試験片は3つの軸すべてに沿って長さ方向に収縮し、関係する応答は3つの垂直ひずみの総和になります。OpenStax はこの物理的な違いを直接説明しており、ヤング率は引張荷重、体積弾性率は体積圧縮、せん断弾性率はせん断変形に適用されるとしています。一軸引張試験では、$K$ を測定するために必要な応力状態を直接与えることはできません。

等方線形弾性固体では、弾性率は次の関係で結ばれます。

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

および

$$E=3K(1-2\nu ).$$

もう一つの一般的な関係式は次のとおりです。

$$E=2G(1+\nu ).$$

したがって、報告された $E$ と $\nu$ から $K$ を算出することはできますが、その結果には両方の入力値に付随する条件および不確かさが引き継がれます。$E$ が動的共振弾性率であり、$\nu$ が低速引張試験から得られた値である場合、計算された体積弾性率は、相互に整合した一つの測定状態を表さない可能性があります。

この式は、非圧縮性に近い領域で体積弾性率がポアソン比に非常に敏感になる理由も示しています。鋼の代表値として $E=200$ GPa、$\nu =0.30$ とすると、

$$K=\frac{200}{3(1-0.60)}\approx 167\text{GPa}.$$

同じ $E$ を維持したまま $\nu$ を 0.49 に変更すると、

$$K=\frac{200}{3(1-0.98)}\approx 3333\text{GPa}.$$

この非常に大きな変化は、単なる丸め誤差によるものではありません。これは、$\nu$ が 0.5 に近づくにつれて分母がゼロに近づくことによって生じます。$\nu$ の小さな誤差、あるいは異なる温度、周波数、相構成、測定方法から得られた値によって、計算される $K$ は大きく変化する可能性があります。

金属がほぼ非圧縮性と表現されることが多い理由

金属は、通常の機械的圧力下で生じる体積ひずみが、せん断応力または一軸応力下で生じる形状変化に比べて小さいため、ほぼ非圧縮性であると表現されることがよくあります。一般に、金属の体積弾性率はせん断弾性率よりもはるかに大きくなります。圧力による体積変化はわずかですが、形状変化が可能な同程度の応力状態では、より目立つ幾何学的変化が生じる可能性があります。

「ほぼ非圧縮性」とは、完全に非圧縮性であることを意味しません。鋼にも有限の体積弾性率があり、圧力によって密度は変化します。この近似は、成形解析、塑性学、流体–構造連成計算など、体積変化が小さい状況では有用ですが、材料モデルを確認せずに適用してはなりません。塑性変形、相変態、気孔率、損傷、および高温は、いずれも体積応答を変化させる可能性があります。例えば、多孔質の鋳鋼は、金属母相が剛性を持つという理由だけで、理想的な緻密等方性固体として扱うことはできません。

この近似は、鋼の微細組織によっても複雑になります。単結晶の弾性定数は結晶学的方向に依存します。結晶粒がランダムに配向した多結晶集合体は、おおむね等方的に挙動する可能性がありますが、圧延、鍛造、相変態、および集合組織によって方向依存性が生じることがあります。単結晶の弾性定数に関する NIST のハンドブックの章では、立方晶系および六方晶系材料について、単結晶の剛性データから準等方的な多結晶の $E$、$G$、$B$、縦弾性率、および $\nu$ を導出する方法が示されています。「準等方的」という表現はモデル化上の説明であり、あらゆる製品形態がすべての方向で同一の特性を持つことを保証するものではありません。

温度と相構成も重要です。National Bureau of Standards の報告書では、縦波および横波の音速を用いて、Fe-5Cr-26Mn オーステナイト鋼の弾性定数を 76～400 K の範囲で測定しています。この温度範囲だけを見ても、すべての鋼の状態に一つの室温値を割り当てることができない理由が分かります。オーステナイト鋼、フェライト鋼、マルテンサイト鋼、および混相鋼では弾性応答が異なる可能性があり、冷間加工や集合組織によって測定される方向別の値が変化することもあります。

二次資料である Engineering ToolBox には、「ステンレス鋼」の近似値として 163 GPa が示されています。この数値は予備計算には便利かもしれませんが、すべてのステンレス鋼の鋼種、温度、製品形態、相の割合、集合組織、または試験条件に共通する普遍的な体積弾性率ではありません。すべてのステンレス鋼に共通する測定定数として提示すべきではありません。

測定方法も変動要因の一つです。ASTM E1875-20a は、「音響共鳴による」動的ヤング率、せん断弾性率、およびポアソン比の測定方法を規定しています。このような値は振動周波数から得られるため、密度、形状、減衰、温度、および周波数の影響を受けます。静的引張データは、異なる実験上の問いに答えるものです。したがって、設計計算では、その弾性率が測定値なのか導出値なのか、静的なのか動的なのか、等方的なのか方向依存的なのか、またどの温度および材料状態に対応するものなのかを明示する必要があります。その情報がなければ、提示された $K$ または $B$ は条件付きの推定値にすぎません。

ポアソン比 ν と鋼の横ひずみ

ポアソン比は ν（ニュー）で表され、加えられた荷重に対して垂直方向に生じる弾性ひずみを示す。引張試験では、次のように定義される。

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\mathrm{transverse}}}{{\epsilon }_{\mathrm{longitudinal}}}$$

ここで、縦ひずみは荷重方向に沿ったひずみであり、横ひずみは試験片を横切る方向に測定されるひずみである。通常の鋼の引張応答では、標点距離が増加する一方で幅と厚さが減少するため、負号によって ν は正の値になる。

この定義は、特定の弾性試験方向、温度、負荷速度、および材料状態に対して適用される。これは、ヤング率、せん断弾性係数、体積弾性率とは独立に選択できる別個の等級表示ではない。等方的で均質な線形弾性体では、独立な弾性定数は2つだけである。Sandia National Laboratories は、関連する等方性弾性定数として、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$、体積弾性率 $K$、せん断弾性係数 $G$、Lamé の第1パラメータ $\lambda$、および $2\mu$ を挙げており、$E$ と $\nu$ を指定すれば他の定数が決まる。Springer の Elasticity of Solids も、等方性固体には独立な弾性定数が「2つだけ」存在すると述べている。

小さな弾性ひずみを受ける等方性鋼について、主要な関係式は次のとおりである。

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

および

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

同じ関係式を変形すると、次の式が得られる。

$$\nu =\frac{E}{2G}-1$$

または

$$\nu =\frac{3K-E}{6K}.$$

これらの式は構成関係であり、任意の材料データを独立に割り当てるための別々の方法ではない。ある表に記載された $E$、$G$、$K$、および ν がこれらの関係を満たしていない場合、それらの値は異なる方法、異なる温度、または異なる仮定のもとで測定された可能性がある。また、等方性近似を用いて異方性材料を記述している場合もある。

引張荷重中の軸方向収縮

軸が荷重方向に一致した鋼製引張試験片を考える。引張応力によって正の軸方向ひずみが生じる。

$${\epsilon }_L=\frac{\Delta L}{L},$$

一方、直径は収縮する。初期直径を $d$ とすると、横ひずみはおよそ次のようになる。

$${\epsilon }_T=\frac{\Delta d}{d}.$$

弾性範囲内では、

$${\epsilon }_T=-\nu {\epsilon }_L.$$

したがって、試験片の軸方向弾性ひずみが $0.001$ で、ν が 0.30 である場合、横ひずみはおよそ $-0.0003$ となる。長さは 0.10% 増加し、直径は 0.03% 減少する。この数値例はひずみだけを示すものであり、すべての鋼種または製品形態に普遍的な値を割り当てるものではない。

分子と分母がいずれもひずみであるため、この比は無次元である。また、ひずみをどのように定義するかにも依存する。変形がもはや十分に小さくない場合、工学ひずみ、真ひずみ、小ひずみテンソル成分、および割線ひずみでは、わずかに異なる結果が得られる可能性がある。線形弾性設計で用いられるポアソン比は通常、降伏、リューダース変形、塑性流動、き裂発生、その他の非線形効果が生じる前の、回復可能な範囲内における初期勾配を指す。

軸方向の応答と横方向の応答は連成している。引張試験片は、元の断面寸法を保ったまま単純に伸びるわけではない。長方形断面または円形断面では、幅と厚さの減少が体積変化に寄与する。小ひずみのもとでは、体積ひずみはおよそ次のように表される。

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L+{\epsilon }_{T1}+{\epsilon }_{T2}.$$

横方向のひずみが等しい等方性引張状態では、

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L(1-2\nu ).$$

この式は、有限要素モデルや構造計算において ν が重要である理由を示している。ν を誤って設定すると、横収縮、体積応答、静水圧応力、さらに拘束された領域の見かけの剛性が変化する場合がある。

鋼は、あらゆるスケールで単一の等方性物質であるわけではない。多くの結晶粒が寄与し、集合組織が弱い場合、結晶粒の方位がランダムな多結晶体は等方的挙動に近づくことがある。一方、圧延板、伸線材、鍛造棒、溶接部、および積層造形材では、結晶学的な優先方位や、空間的に変化する相分布が残ることがある。その場合、横ひずみは荷重方向と測定方向に依存する。したがって、単一のスカラー量としての ν は、完全な材料記述ではなく、実用上便利な工学的平均値にすぎない場合がある。

体積変化と ν = 0.5 の極限

体積弾性率は一様圧縮に対する抵抗を表し、ヤング率は軸方向の引張または圧縮を表す。また、せん断弾性係数はせん断による形状変化を表す。OpenStax はこの違いを直接的に説明しており、ヤング率は引張荷重、体積弾性率は体積圧縮、せん断弾性係数はせん断変形に適用されるとしている。

体積弾性率の熱力学的定義は、次のとおりである。

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

これは National Institute of Standards and Technology が 1982 年に示した定義である。ここで $P$ は圧力、$V$ は体積であり、微分は温度一定の条件で取られる。等方性線形弾性の式 $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$ は、等方性の仮定が適切な場合に限り、その体積応答を一軸弾性データと結び付ける。

ν が 0.5 に近づくと、分母 $1-2\nu$ はゼロに近づき、有限の $E$ に対して計算上の体積弾性率は無限大に近づく。これが非圧縮極限である。この状態では、変形によって形状は変化しても体積は変化しない。ゴム状材料は、体積応答がせん断応答よりはるかに剛性が高いため、この条件に近づくことがある。通常の鋼は非圧縮性ではないが、その体積弾性率はせん断弾性係数よりかなり大きい。

この極限は数値上の問題も明らかにする。$K$ は $1-2\nu$ を含むため、特に ν が 0.5 に近い場合、ν の小さな誤差が計算上の $K$ の大きな相対誤差を引き起こす可能性がある。$E$ を一定とすると、この関係を微分して次式が得られる。

$$\frac{\partial K}{\partial \nu }=\frac{2E}{3(1-2\nu {)}^2}$$

分母が二乗されているため、感度が増幅される。ν に数千分の数程度の不確かさしかなくても、大まかな軸方向計算にはほとんど影響しない一方、報告される体積弾性率には大きな影響を及ぼす可能性がある。

Engineering ToolBox の資料では、ステンレス鋼の体積弾性率として約 163 GPa という値が示されている。この値は二次資料に基づく推定値であり、すべてのステンレス鋼種、温度、製品形態、相構成、または試験方法に対する普遍的な値ではない。オーステナイト系、フェライト系、マルテンサイト系、二相系、および析出硬化系の鋼は、集合組織、相のバランス、欠陥、温度応答において異なる可能性がある。

ν の測定と解釈

ポアソン比は、引張試験または圧縮試験において、軸方向ひずみと横方向ひずみを同時に測定することで求められる。伸び計、接着型ひずみゲージ、光学システム、デジタル画像相関法によって2つのひずみ成分を測定できるが、横方向の信号は小さいことが多く、位置合わせ、表面処理、ゲージ形状、ノイズの影響を受けやすい。位置合わせのずれは曲げを生じさせる可能性があり、ゲージの設置が不適切であると、縦方向と横方向の成分が混在することがある。

もう1つの方法は、独立に測定した弾性波速度から ν を導出するものである。縦波速度とせん断波速度から動的弾性情報が得られる。等方性固体では、

$$G=\rho v_S^2$$

および

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_S^2),$$

となる。ここで $\rho$ は密度、$v_S$ はせん断波速度、$v_L$ は縦波速度である。ここから得られる $E$ と ν は、小振幅かつ有限周波数における応答を表すものであり、低速の引張試験で得られる値と必ずしも一致しない。ASTM E1875-20a は、「音響共鳴による」動的ヤング率、せん断弾性係数、およびポアソン比の測定を規定している。[5][5] Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

温度は弾性剛性と波速の両方を変化させる。National Bureau of Standards の報告書では、縦モードおよび横モードの音速を用いて、Fe-5Cr-26Mn オーステナイト鋼の弾性定数を 76～400 K の範囲で測定している。この範囲は、室温付近で測定された値を、極低温用途や高温設計に自動的に適用すべきではない理由を示している。

集合組織と結晶学的異方性も、別の注意点となる。単結晶の弾性剛性から準等方性多結晶体の $E$、$G$、$K$、および ν を求めるには、結晶対称性と方位分布を考慮した平均化モデルが必要である。したがって、圧延板では、圧延方向、圧延直角方向、板厚方向に荷重を加えた場合に、それぞれ異なる比が得られる可能性がある。動的共鳴試験では、静的引張試験とは異なる有効体積やひずみ振幅がサンプリングされる場合もある。

設計においては、ν を目的とする構成モデルおよび試験条件に適合させる必要がある。製品形態、集合組織、温度、ひずみ範囲、および要求精度がその単純化を支持する場合に限り、スカラーの等方性値を使用すべきである。それ以外の場合は、報告された4つの弾性係数を相互に無関係な鋼種固有の数値として扱うよりも、方向依存の弾性定数、または完全な異方性剛性マトリックスを用いる方が妥当である。

等方弾性係数の完全な関係式群

均質で線形弾性を示す等方性固体では、一般に報告される4つの弾性係数は、4つの独立した材料定数ではありません。ヤング率 $E$、せん断弾性係数 $G$、体積弾性係数 $K$ または $B$、およびポアソン比 $\nu$ は、それぞれ異なる変形様式を表しますが、それらの値は相互に関連しています。適切な任意の2つの定数が分かれば、残りの量を決定できます。

ただし、この記述には条件があります。材料は等方性として扱われなければならず、考慮する範囲における応力–ひずみ応答は線形でなければなりません。また、弾性係数は、同じ温度、密度、相構成、結晶方位組織の平均状態、周波数、および測定規約に対応していなければなりません。低ひずみで引張試験から測定された弾性係数は、音速から推定された動的弾性係数と自動的に置き換えられるものではありません。異方性単結晶の場合、以下の等方性の式では、全方向の応答を再現できません。

OpenStax（2020年）は、各物理量の役割を明確に示しています。$E$ は引張変形または一軸変形、$G$ はせん断変形、体積弾性係数は体積圧縮を表します。NISTによる1982年の取り扱いでは、熱力学的体積弾性係数を次のように定義しています。

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

ここで、$V$ は体積、$P$ は圧力であり、微分は温度一定の条件で行われます。微小ひずみの線形弾性では、同じ状態および同じ弾性近似を用いる限り、この熱力学的定義は、以下の関係式で用いられる体積剛性に対応します。

$E$、$G$、$K$、$\nu$ の相互変換

等方線形弾性に関する完全な方程式系は、次のとおりです。

\[ \boxed{G=\frac{E}{2(1+\nu)}} \]

\[ \boxed{K\ \text{または}\ B=\frac{E}{3(1-2\nu)}} \]

\[ \boxed{E=\frac{9KG}{3K+G}} \]

\[ \boxed{\nu=\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \]

\[ \boxed{\lambda=K-\frac{2G}{3}} \]

\[ \boxed{\mu=G} \]

第1式は、ヤング率とポアソン比からせん断弾性係数を変換します。この式は、等方性の構成則と、微小で線形な弾性ひずみを仮定しています。第2式は、$E$ と $\nu$ から体積弾性係数を求めます。この式も、測定されたポアソン比が、異方性試験片から得られた方向依存値ではなく、等方弾性体の弾性ポアソン比であることを仮定しています。

第3式は $K$ と $G$ から $E$ を計算し、第4式は同じ2つの弾性係数から $\nu$ を計算します。これらの式は、同一の等方性構成モデルを代数的に変形したものであり、入力値が別々の測定から得られたものでない限り、独立した実験的検証にはなりません。$E$、$G$、$\nu$ がすべて報告されている場合、測定不確かさ、丸め、温度差、気孔率、結晶方位組織、または等方性からの逸脱によって、わずかな不一致が生じることがあります。

安定した通常の等方弾性固体では、一般に次の制約が成立します。

\[ G>0,\qquad K>0,\qquad -1<\nu<\frac{1}{2}. \]

$\nu$ の上限は特に重要です。$\nu$ が $0.5$ に近づくと、$1-2\nu$ はゼロに近づき、計算される体積弾性係数は $E$ に対して非常に大きくなります。したがって、ほぼ非圧縮性の材料は有限の引張弾性係数を持ちながら、はるかに大きな体積剛性を示すことがあります。鋼は圧縮性を有するため、$\nu =0.5$ を鋼の厳密な値として扱うと、変換は有益な結果を与えるのではなく特異になります。

これらの式は、方向による変動が十分に平均化された多結晶体の有効等方性特性に適用できます。NISTの単結晶弾性定数に関するハンドブックの章は、この但し書きが重要である理由を示しています。実効的な $E$、$G$、$B$、縦弾性係数、および $\nu$ は、立方晶系および六方晶系の材料について、単結晶の剛性データから導出できますが、平均化の手順は結晶対称性と結晶方位組織に依存します。圧延板、溶接金属、鋳造組織、ランダムな方位を持つ焼なまし多結晶体は、化学組成の記述が類似していても、同じ方向別弾性応答を示すとは限りません。

これらの定数は、異なる周波数領域を表すこともあります。ASTM Internationalが2020年に発行した ASTM E1875-20a は、「音響共鳴によって」動的ヤング率、せん断弾性係数、およびポアソン比を求める方法を規定しています。これらの動的値は共鳴周波数から得られ、急速かつ微小振幅の荷重に対応します。静的引張試験による弾性係数は、試験装置のコンプライアンス、微小塑性、内部摩擦、気孔率、温度、または理想的な弾性モデルからのその他の逸脱によって異なる場合があります。変換式が有効であるのは、入力する定数が互換性のある構成記述に属している場合に限られます。

したがって、Engineering ToolBoxに記載されたステンレス鋼の体積弾性係数の近似値 $163\text{GPa}$ のような参考値は、あらゆるステンレス鋼の鋼種、製品形態、温度、相バランス、または試験方法に普遍的に適用できる値ではなく、二次的な推定値として解釈すべきです。「ステンレス鋼」という呼称は、オーステナイト系、フェライト系、マルテンサイト系、析出硬化系、および二相系を含む、実質的に異なる材料を包含します。それらの弾性応答は、冷間加工や温度によっても変化します。

ラメのパラメータ $\lambda$ と $\mu$

ラメのパラメータは、同じ等方弾性則を別の形で表したものです。第2ラメパラメータは

$$\mu =G,$$

であり、$\mu$ は単に、ラメの表記法で表したせん断弾性係数です。第1ラメパラメータは

$$\lambda =K-\frac{2G}{3}.$$

また、次のようにも表せます。

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}.$$

テンソル表記では、等方性の応力–ひずみ関係は一般に次のように記述されます。

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

ここで、${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ は応力テンソル、${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ はひずみテンソル、${\epsilon }_{\mathrm{kk}}$ は体積ひずみ、${\delta }_{\mathrm{ij}}$ はクロネッカーのデルタです。$2\mu$ という乗数は、ひずみテンソルの偏差成分およびせん断成分に作用するものであり、$G$ とは別の物理的弾性係数を定義するものではありません。

SandiaのSierra文書では、関連する6つの等方弾性定数として、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$、体積弾性係数 $K$、せん断弾性係数 $G$、第1ラメパラメータ $\lambda$、および $2\mu$ を挙げています。これは、ソフトウェアや有限要素法において頻繁に生じる表記上の落とし穴を説明します。構成方程式がその係数を用いるため、材料カードが「$2\mu$」を要求する場合がある一方で、別のインターフェースは $G$ または $\mu$ を要求することがあります。$2\mu$ が必要な箇所に $G$ を入力すると、係数が2分の1になる誤りが生じます。

Springerの Elasticity of Solids（2020年）は、中心的な規則を直接述べています。等方性固体では、独立な弾性定数は2つだけです。Sandiaの定式化でも同様に、$E$ と $\nu$ によって他の定数が決まると説明されています。6つの名称は、6つの相互に関連した量を表しているのであって、個別に調整できる6つの鋼種特性を表しているのではありません。

単位、記号、および $K$ と $B$ の表記上の競合

$E$、$G$、$K$、$B$、$\lambda$、および $\mu$ は、すべて応力と同じ単位を持ちます。SIではパスカルであり、鋼については通常、ギガパスカル（$\text{GPa}$）で報告されます。ポアソン比 $\nu$ は無次元です。$1\text{GPa}={10}^9\text{Pa}$ であるため、いずれの応力と同じ次元を持つ入力値も、式を適用する前に同じ単位にそろえなければなりません。

記号 $K$ は、連続体力学および有限要素法の文書で、体積弾性係数を表すためによく使われます。NISTや多くの材料関連資料では、「bulk modulus」が B で始まることから、$B$ を使うことが多くあります。これらの記号は通常、上記の式では同じ量を意味します。

$$K=B.$$

これらは、2つの異なる鋼の定数ではありません。ある教科書が体積弾性係数に $K$ を用い、別の分野が剛性マトリックス、熱伝導率係数、または応力拡大係数に関連する量に $K$ を用いる場合、この表記の競合は重大な影響を及ぼします。解釈は、周囲の定義に基づいて行わなければなりません。

最後に、これらの関係式が表すのは弾性定数であり、使用中に測定されるあらゆる剛性ではありません。温度依存データ、相変態、磁気的効果、結晶方位組織、残留応力、および周波数によって、測定される応答は変化することがあります。例えば、Fe-5Cr-26Mnオーステナイト鋼に関する1981年のNational Bureau of Standardsの報告では、縦波および横波モードの音速から、76～400 Kの範囲で弾性定数が決定されました。この温度範囲だけを見ても、限定条件のない単一の弾性係数の数値が、あらゆる条件を表すことはできない理由が分かります。これらの式は変換の枠組みを示すものであり、どの値を代入すべきかは試験状態によって決まります。

単結晶の弾性、鋼の結晶学、および多結晶体の平均化

鋼は、あらゆる構造スケールにおいて、同じ数学的意味で弾性を示すわけではない。個々の結晶は格子方向に結び付いた性質を持つ一方、工業用鋼製品には通常、異なる方位、相、欠陥、残留応力を持つ多数の結晶粒が含まれている。後者で測定した弾性係数を、前者の普遍的な物性であるかのように扱うと、誤解を招く計算につながる可能性がある。

この区別は、結晶対称性から始まる。フェライト鋼は体心立方（BCC）結晶構造を持ち、オーステナイト鋼は面心立方（FCC）構造を持つ。マルテンサイトは一般に体心正方晶構造として説明されるが、その正方晶性は炭素含有量および焼戻し履歴に依存する。これらの構造では、すべての結晶学的方向に沿って弾性ひずみを同じように伝達するわけではない。多結晶体がほぼ等方的に見えるのは、多数の結晶粒が示す方向依存応答を平均化した後に限られる場合がある。

立方晶における弾性剛性テンソル

線形弾性では、4階の剛性テンソルを通じて応力とひずみの関係を表す。

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=C_{\mathrm{ijkl}}{\epsilon }_{\mathrm{kl}}.$$

このテンソルは弾性剛性 $C_{\mathrm{ijkl}}$ を含み、その逆テンソルは弾性コンプライアンス $S_{\mathrm{ijkl}}$ を含む。結晶対称性により、独立な項の数は減少する。完全に一般的な異方性固体では21個の独立な弾性定数が必要となる場合があるが、立方晶では $C_{11}$、$C_{12}$、$C_{44}$ の3個だけで足りる。

縮約行列表記では、立方晶の剛性マトリックスは次のように表される。

\[ \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2\\ \sigma_3\\ \sigma_4\\ \sigma_5\\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\ 0&0&0&C_{44}&0&0\\ 0&0&0&0&C_{44}&0\\ 0&0&0&0&0&C_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \varepsilon_3\\ \varepsilon_4\\ \varepsilon_5\\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}. \]

この3つの定数は、それぞれ異なる役割を持つ。$C_{11}$ は立方軸に沿った垂直応力応答を表し、$C_{12}$ は直交する軸間の垂直変形を結合し、$C_{44}$ は主要結晶面におけるせん断応答を表す。これらは剛性であり、ヤング率やせん断弾性率を単に置き換えたものではない。

立方晶の異方性を示す有用な指標として、Zener比がある。

$$A=\frac{2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}.$$

$A=1$ のとき、立方晶の弾性応答は等方性固体と同じ方向依存の形を持つ。1から離れた値は、方位依存性を示す。ただし、この比だけから鋼製品の弾性係数が得られるわけではない。この比は、関連する単結晶定数が測定または計算されている場合に、結晶の弾性対称性を表すものである。

1982年に刊行されたNISTの単結晶に関する章では、これらの剛性データを立方晶および六方晶材料の集合体物性へ変換する方法が示されている。立方晶において、一様な静水圧ひずみに対応する体積弾性率は次のようになる。

$$B=\frac{C_{11}+2C_{12}}{3}.$$

これは、NISTが示す熱力学的定義とも整合する。

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

立方晶の静水圧に対する体積応答は対称性によって制約されるものの、単結晶のせん断弾性率およびヤング率は依然として方向に依存する。[100]、[110]、[111] などの方向では、加えられた応力が格子に対して異なる形で分解されるため、異なる引張弾性率が得られる可能性がある。

2020年のSpringer刊 Elasticity of Solids の章で説明されているように、等方性材料では独立な弾性定数は2つだけである。SandiaのSierra文書では、これに関連する等方性の定数群として、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$、体積弾性率 $K$、せん断弾性率 $G$、Laméの第1パラメータ $\lambda$、および $2\mu$ が挙げられている。適切なものを2つ選べば、残りはすべて決定できる。この縮約は、結晶が小さいから、あるいは変形が弾性範囲にとどまるからといって結晶に適用できるわけではない。これは等方性対称性に基づくものである。

集合組織と方向別弾性率

結晶方位は通常、試験片の座標軸に対する結晶学的方向および結晶面によって表される。多結晶板材では、方位分布関数によって結晶粒方位の分布が記録される。集合組織は、特定の格子回転が加工によって選択されると形成される。特に、圧延、再結晶、およびその後の相変態で顕著である。

したがって、圧延方向で測定した引張弾性率は、圧延と垂直な方向や板厚方向の弾性率と一致するとは限らない。この差は、結晶粒の応答を方位に応じて重み付けして合計した結果であり、基礎となる剛性テンソルに取って代わる新たな独立の「圧延方向ヤング率」によるものではない。有限要素モデルでは、材料座標に異方性剛性テンソルを割り当てるか、多数の方位に対して結晶レベルの物性を割り当てることで、この挙動を表現できる。

圧延された低炭素鋼、フェライト系ステンレス鋼、および相変態を伴う加工を受けた板材には、変形および再結晶に起因する集合組織が現れることがある。鍛鋼では、鍛造軸の周囲に方向依存性を持つ結晶粒の流れや集合組織が形成される可能性がある。鋳鋼では、方位分布がより多様になることが多いが、凝固によって柱状晶、偏析、相の勾配、または優先方位が生じる場合もある。これらの加工経路のいずれも、等方性または特定の異方性の大きさを保証するものではない。

積層造形された鋼では、別の方位の問題が生じる。層ごとの熱サイクルによって、造形方向に沿った柱状晶が形成されることがある。一方、走査戦略、溶融プール形状、再加熱、および熱処理は、方位分布と相構成を変化させる。その結果、造形方向に平行に測定した弾性率は、それと垂直な方向で測定した弾性率と異なる可能性がある。報告値には、方向、試験片の位置、熱処理、気孔率、および試験方法を併記しなければならない。

集合組織は、ポアソン比およびせん断弾性率にも影響を与える。引張試験では軸方向のひずみ応答が報告されることがある一方、共振法では振動モードから複数の動的定数が推定される。ASTM E1875-20a は、「音響共鳴による」動的ヤング率、せん断弾性率、およびポアソン比の測定を規定している。これらの動的値は、低速引張試験から得られる静的値と自動的に同一になるわけではない。特に、減衰、微小き裂、気孔率、温度、または周波数が応答に影響する場合は、その差が生じ得る。

準等方性多結晶体の推定

結晶粒の方位が十分に分散している場合、方向による差は試験片スケールで小さな値に平均化される可能性がある。その場合、技術者は集合体を準等方性と表現する。これは、すべての結晶粒または局所体積が完全に等方的であるという意味ではなく、目的とする計算に対して等方性定数で十分に表現できるという意味である。この言葉は重要である。これは近似を示すものであり、すべての結晶学的異方性が消失したという主張ではない。

多結晶体の推定値は、単結晶の剛性またはコンプライアンスのデータから、上下界および平均化手法を用いて求めることができる。Voigt推定では結晶粒間でひずみが一様であると仮定し、Reuss推定では応力が一様であると仮定する。どちらの条件も不均一な集合体のすべてを正確に表すわけではないため、両者の予測値は一般に異なる。Hill推定は、Voigt結果とReuss結果の算術平均として一般に扱われ、実用的な中間近似として用いられることが多い。これらの推定には、結晶対称性、方位分布、および相構成の指定が必要である。

準等方性集合体では、得られる $E$、$G$、$B$、$\nu$ は、よく知られた等方性の関係式に従う。

$$E=2G(1+\nu ),$$

$$E=3B(1-2\nu ),$$

および

$$E=\frac{9\mathrm{BG}}{3B+G}.$$

したがって、独立な集合体定数を2つ選べば、残りは導出される。Engineering ToolBoxが2024年に示したように、参考表にはステンレス鋼の体積弾性率として約163 GPaという値が掲載されている場合がある。しかし、この数値は二次的な推定値であり、あらゆるステンレス鋼の鋼種、温度、製品形状、相バランス、または測定方法に対する普遍的な値ではない。

Fe-5Cr-26Mnオーステナイト鋼に関するNational Bureau of Standardsの報告書は、測定上の問題を直接示している。そこでは、縦波および横波の音速から、76～400 Kの範囲で弾性定数が決定された。温度は格子間隔、相の安定性、欠陥の移動性、および波の速度を変化させるため、得られた定数は特定の試験条件を表している。設計においては、集合組織が弱い鋳造材または焼鈍材に対して、準等方性の定数群が適切な場合がある。一方、強く圧延された板材、鍛造部品、溶接部、または積層造形された造形体では、方向別データが必要になることがある。したがって、適切な弾性率は単に鋼種に付随する数値ではなく、変形モード、方向、温度、微細組織、および試験方法に対応する値である。

鋼の弾性定数の測定方法

鋼の弾性定数は、力–変位応答、または機械波の伝播・共鳴のいずれかから測定されます。これらの方法では、必ずしも同じ数値の弾性率が得られるとは限りません。引張試験では、特定の載荷速度における準静的な勾配が記録されるのに対し、音波法および超音波法では、高周波・微小振幅の応答が測定されます。温度、結晶粒組織、結晶学的集合組織、気孔率、相構成、残留応力、試験片形状、ならびに測定対象モードの定義は、いずれも結果に影響を及ぼします。

等方的な線形弾性体では、独立な弾性定数は2つだけです。ヤング率 $E$、せん断弾性率 $G$、体積弾性率 $K$ または $B$、ポアソン比 $\nu$、Laméの第1パラメータ $\lambda$、および $2\mu$ は、同一の構成応答の相互に関連する側面を表します。Sandia National Laboratoriesはこれらを列挙し、$E$ と $\nu$ によって他の定数が決まると述べています。したがって、報告される量に馴染みのある名称が付いている場合でも、測定方法は重要です。ヤング率は軸方向の伸び、体積弾性率は静水圧下での体積変化、せん断弾性率は角度変形を表します。

機械的な引張および圧縮方法

従来の引張法では、応力–ひずみ曲線の初期直線部分の勾配から、静的または準静的なヤング率を求めます。

$$E=\frac{d\sigma }{d\epsilon }.$$

機械加工した鋼製試験片に引張荷重を加え、伸び計、ひずみゲージ、または光学システムによって軸方向ひずみを測定します。塑性変形、リューダース変形、き裂、その他の非線形挙動が始まる前の有効な勾配を用います。非線形性からの小さな偏差、試験機のコンプライアンス、着座の影響、ひずみ分解能の限界によってフィッティング値が変化する可能性があるため、選択したひずみ範囲を明記しなければなりません。

引張試験では、横方向ひずみを同時に測定することによってポアソン比も求められます。

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}.$$

軸方向および横方向の測定は同期させ、同じ弾性変形範囲内で行う必要があります。$E$ と $\nu$ が既知であれば、等方性の関係式から次のように求められます。

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

および

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

これらの計算値は、せん断剛性または体積剛性を別途測定したものではありません。元の引張データが持つ温度、ひずみ速度、集合組織、および試験方向への依存性を、そのまま引き継ぎます。

圧縮試験は軸方向弾性率を求める別の方法ですが、異なる誤差要因を伴います。試験片は座屈を避けるために十分短くする必要がある一方、測定可能な変位が得られる程度の長さも必要です。端面摩擦によって横方向の膨張が拘束され、樽状の試験片が形成されることがあるため、測定された力–変位勾配には摩擦および加圧板のアライメントの影響が含まれる可能性があります。潤滑、端面の平行度、表面仕上げ、加圧板の剛性、ならびに試験片の高さと直径の比がすべて重要です。変形の測定には、クロスヘッドの移動量だけに依存せず、試験片の標点距離にわたる変形を測定する伸び計または変位センサーを用いるべきです。

静水圧圧縮は、全方向から圧力を加えて体積変化を追跡するため、直接的な体積弾性率測定に概念的にはより近い方法です。

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

これは、1982年にNational Institute of Standards and Technologyが示した熱力学的定義です。通常の一軸圧縮は静水圧圧縮ではありません。一軸圧縮では軸方向と横方向の変形が組み合わさるため、$K$ を直接測定することはできません。体積弾性率を直接求めるには、圧力容器、正確な体積またはひずみ測定、圧力校正、温度制御が必要です。ほとんどの構造用鋼の特性評価では、$K$ は独立に測定した $E$ と $\nu$ から計算するか、音速から求めます。

静的な機械的勾配は、試験速度および試験片の状態に特に敏感です。室温で試験した研磨・応力除去済み棒材の引張試験結果は、集合組織を有する圧延板、溶接金属、または二相熱処理材の弾性率と自動的に同一になるわけではありません。立方晶の単結晶では、剛性は結晶学的方向によって異なります。結晶粒が無作為に配向した多結晶集合体は準等方的に見えることがありますが、圧延集合組織または凝固集合組織によって、方向依存性を持つ弾性率が残る場合があります。

ASTM E1875-20aに基づく音響共鳴

ASTM E1875-20aは、「音響共鳴」によって動的ヤング率、せん断弾性率、およびポアソン比を求めるための規格です。長時間かけて測定する力–ひずみ勾配の代わりに、この方法では試験片を加振し、その固有共鳴周波数を特定します。共鳴時の周波数は、弾性剛性、質量密度、試験片の寸法、およびモード形状に依存します。

試験片は、自由境界条件を近似する方法で支持します。一般には、振動エネルギーをできるだけ取り除かないよう、節の近傍に支持部を配置します。加振器が振動を発生させ、マイクロホン、加速度計、レーザー装置、またはその他の検出器が応答を記録します。共鳴周波数は、振幅の鋭い最大値、位相変化、または周波数応答のピークから特定します。測定周波数は、正しい曲げ、ねじり、または縦振動モードに割り当てなければなりません。隣接するモードを取り違えると、もっともらしく見えるものの誤った弾性率が得られる可能性があります。

したがって、試験片の長さ、幅、厚さ、質量、および密度は重要な入力値です。熱膨張が顕著な場合は、寸法を試験温度で測定するか、適切な膨張係数を用いて室温寸法から補正する必要があります。密度には、特に鋳鋼、気孔を含む材料、粒子状介在物を含む材料、または多相組織の場合、便覧に記載された仮定値ではなく、実際の試験片の値を用いるべきです。ASTM E1875-20aでは、すべての試料を無限長の棒として扱うのではなく、試験片の形状および共鳴方程式を考慮します。端部条件、支持位置、アスペクト比、減衰、および形状補正は、算出される動的定数に影響を与えます。

ねじり共鳴は主としてせん断に関する情報を与え、曲げ共鳴または縦共鳴は軸方向剛性に関連する弾性率を与えます。動的な $E$ と $G$ を組み合わせることで、次式からポアソン比を計算できます。

$$\nu =\frac{E}{2G}-1,$$

ただし、等方的な線形弾性の仮定が適切であることが条件です。得られるポアソン比は、試験周波数における動的な値です。周波数や温度に依存しない普遍的な鋼種固有定数として提示すべきではありません。

温度制御は測定の一部であり、後から付け加えるものではありません。炉または環境チャンバーによって試験片を安定した既知の温度まで到達させる必要があり、共鳴の特定では、熱膨張、密度の変化、剛性の温度依存性を考慮しなければなりません。試験片がまだ加熱中に測定された周波数は、明確に定義された弾性状態を表しません。支持部が膨張、軟化、滑り、または接触圧を変化させる場合には、温度によって境界条件も変化します。

縦波および横波の音速

超音波測定では、波の速度から弾性定数を求めます。縦波では粒子運動が伝播方向と平行になり、横波またはせん断波では粒子運動が伝播方向と垂直になります。密度 $\rho$ を持つ均質な等方性固体について、理想的な関係式は次のとおりです。

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}$$

および

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}.$$

したがって、

$$G=\rho v_T^2,$$

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_T^2),$$

および

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

その後、ポアソン比は $E$ と $G$ から求めることも、同じ等方性の仮定のもとで速度比から直接求めることもできます。これらの式は単純ですが、測定は単純ではありません。伝播距離を正確に把握し、エコーを正しく識別し、トランスデューサーが意図した偏波を発生・検出しなければなりません。見かけ上の縦波到達信号には、モード変換、表面波、反射、または分散が含まれる可能性があります。

1981年に発行されたNational Bureau of Standardsの報告書では、縦モードおよび横モードの音速を用いて、76～400 KにおけるFe-5Cr-26Mnオーステナイト鋼の弾性定数を求めています。この温度範囲は重要です。弾性定数が合金の名称に付随する固定的なラベルではなく、熱状態の関数として測定されることを示しているからです。この報告書の手順では、制御された温度、既知の密度、定義された試験片形状、ならびに両方の波動モードの信頼できる識別が必要でした。これらの量を更新せずに、極低温または高温で室温用の式を適用すると、実際の温度依存性が見えなくなります。

エンジニアリング・ツールボックスは、ステンレス鋼の近似的な体積弾性係数として 163 GPa を示している。 Limited evidence

同じ注意は、工学用の参考表にも当てはまります。Engineering ToolBoxは、ステンレス鋼の体積弾性率として約163 GPaを示していますが、この数値は二次資料に基づく推定値であり、すべてのステンレス鋼種、製品形状、集合組織、相の割合、温度、または試験方法に共通する普遍的な値ではありません。オーステナイト系Fe-5Cr-26Mnで測定された動的値、フェライト系鋼種の引張試験片から得られた静的値、$E$ と $\nu$ から推定した計算値は、それぞれ異なる実験上の問いに答えるものです。したがって、弾性率そのものを報告することと同様に、方法、試験片寸法、密度、温度、共鳴または波動モード、ならびに境界条件を報告することが重要です。

温度、相、組成、および加工の影響

鋼の弾性定数は、鋼種に恒久的に付随する固定的なラベルではない。弾性定数は、材料の状態、変形様式、および測定条件を表す。温度、相構成、組成、結晶学的集合組織、気孔率、介在物、残留応力、熱履歴は、いずれも測定される応答を変化させる可能性がある。変態または焼戻し処理をまたぐと強度は数百パーセント変化することがある一方、ヤング率の変化はそれよりはるかに小さい割合にとどまる。しかし、「小さい」ことは、精密解析において無視できることを意味しない。

等方線形弾性体では、独立な弾性定数は2つだけである。ヤング率 $E$、せん断弾性係数 $G$、体積弾性係数 $K$ または $B$、ポアソン比 $\nu$、ラメの第1定数 $\lambda$、および $2\mu$ は、Springer の Elasticity of Solids および Sandia National Laboratories の Sierra 文書に記載されているように、相互に関係する量である。温度または微細組織によって1つの独立な定数が変化する場合、それから計算される他の定数も整合的に更新しなければならない。したがって、報告された弾性係数には、温度、製品状態、方向、および試験方法を付記する必要がある。

弾性定数の温度依存性

弾性剛性は通常、温度の上昇に伴って低下する。原子振動が増大し、原子間結合は微小な変位に対して抵抗しにくくなり、熱膨張によって原子間の平衡距離が変化するためである。単一相の範囲内では、この影響は緩やかであることが多いが、磁気転移、回復、再結晶、および相変態によって、より急激な変化が生じる場合がある。変態温度付近では、温度依存の材料モデルの代わりに室温での単一の値を用いることは、特に不適切である。

National Bureau of Standards が Fe-5Cr-26Mn オーステナイト鋼について行った報告は、有用な例を示している。1981年に公表されたこの報告では、縦波および横波の音速から、76～400 K の範囲で弾性定数が求められた。これは動的測定である。波の速度から縦方向およびせん断方向の剛性が得られ、そこから関連する定数を計算できる。この結果は、試験範囲全体でオーステナイト相が保持された鋼であっても、温度に依存しない単一の弾性定数一式を持つわけではないことを示している。温度範囲は極低温状態から室温を超える領域まで及ぶため、測定値は単一の鋼種特性ではなく、曲線を表している。

ここでは、強度と剛性の違いが重要である。低温では転位運動が困難になるため、降伏強さは大きく上昇し得る一方、弾性勾配の変化はそれほど劇的ではない。逆に、$E$ のわずかな変化でも、予測されるたわみ、座屈荷重、接触圧力、または熱応力の分担に影響を及ぼす可能性がある。塑性強度と弾性剛性は、異なる問いに答えるものである。鋼は、比例的に剛性が高くならなくても、はるかに高強度になることがある。

動的試験と静的試験でも、報告される値が異なる場合がある。ASTM E1875-20a は、音響共鳴によって動的ヤング率、せん断弾性係数、およびポアソン比を求める方法を規定している。共鳴試験は微小ひずみかつ高周波数で行われるのに対し、引張試験では、規定されたひずみ範囲にわたる静的または準静的な勾配が得られる。微小塑性、非弾性、試験機のコンプライアンス、試験片形状、表面状態、および周波数が、両者の比較に影響する可能性がある。いずれの結果も、他方と普遍的に置き換え可能なものとして扱うべきではない。

体積弾性係数は、固有の物理的意味を持つ。これは体積圧縮に対する抵抗を表す。NIST は、熱力学的に $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$ と定義している。Engineering ToolBox は、ステンレス鋼の近似的な体積弾性係数として 163 GPa を挙げているが、この値は二次資料に基づく参考推定値であり、すべてのステンレス鋼種、温度、製品形態、相構成、または試験条件に普遍的に適用できる値ではない。同じ注意は、表に掲載された $E$、$G$、および $\nu$ にも当てはまる。

オーステナイト、フェライト、マルテンサイト、および多相鋼

相構成が弾性応答に影響するのは、それぞれの相が固有の結晶構造、組成、格子定数、磁気状態、欠陥分布、および単結晶剛性テンソルを持つためである。フェライトは体心立方構造、オーステナイトは面心立方構造を持つ。マルテンサイトは、炭素によって顕著な正方晶性が生じる場合、一般に体心正方構造または大きくひずんだ体心構造を持つ。これらの名称だけでは、唯一の弾性係数を特定できない。炭素含有量、置換型合金元素、規則化、転位密度、および残存欠陥は、各相の剛性を変化させる。

オーステナイト鋼は、一般的な「オーステナイトの弾性係数」を割り当てることへの明確な警告となる。Fe-5Cr-26Mn の研究は、特定の化学組成と温度範囲を対象としたものであり、すべての Fe-Cr-Mn 合金、またはオーステナイト鋼と呼ばれるすべての鋼を対象としたものではない。マンガンとクロムは格子の安定性および磁気的挙動に影響し、結晶構造がオーステナイトのままであっても、温度によって磁気秩序が変化する可能性がある。このような変化は原子間力に影響し、その結果として弾性定数にも影響する。

フェライト鋼では、強磁性状態および常磁性への転移に関連して、温度依存の弾性挙動が現れることがある。この変化は、目に見える相変態と一致するとは限らない。マルテンサイト鋼には、さらに別の要因が加わる。焼入れによって過飽和、高い転位密度、内部応力、およびしばしば炭素依存の正方晶性が生じる。その後の焼戻しでは、炭化物の析出、回復、および炭素の再分配が起こる。したがって、焼戻し後に測定される弾性応答は、理想的なマルテンサイト結晶の応答に単純に一致するものではない。

多相鋼では、有効物性として解釈する必要がある。フェライト・マルテンサイト鋼、二相鋼、ベイナイト鋼、または残留オーステナイトを含む鋼では、見かけの弾性係数は、相分率、相の連結性、結晶方位、界面、気孔率、ならびに試験体積の方向と大きさを反映する。複合則による推定は、第一近似として有用な場合がある。しかし、局所的な拘束によって、すべての相が同じひずみまたは応力を負担するわけではない。フェライト中に埋め込まれた高剛性のマルテンサイト領域は、荷重移行を通じて測定される勾配を変化させる可能性がある。一方、残留オーステナイトは荷重中に変態し、応答を線形弾性から逸脱させることがある。

単結晶レベルでは、立方晶および六方晶の結晶は方向依存の剛性を持つ。多結晶鋼が等方性に近づくのは、結晶粒方位が十分に無作為であり、平均化に必要な数の結晶粒を試験片が含む場合に限られる。圧延板、帯鋼、および棒鋼には集合組織が残存することがあり、その結果、長手方向、横方向、および板厚方向の弾性係数が異なる場合がある。このような場合、等方的な $E$ と等方的な $G$ を1つずつ計算に強制的に適用すると、実在する方向依存の応答が隠れてしまう可能性がある。

鋳造、圧延、熱処理、および残留応力

加工は、相固有の物性と、製造された部材の有効剛性の両方を変化させる。鋳鋼には、収縮気孔、ガスポロシティ、酸化物皮膜、偏析、デンドライト組織、介在物、ならびに粗大または不均一な結晶粒が含まれることがある。連結した気孔の体積分率が小さくても、完全緻密な鋼を前提とした便覧値が示唆する以上に、有効弾性係数を低下させる可能性がある。介在物は母相に対して高剛性または低剛性であり得る。また、結合が不十分な介在物は、動的試験または静的試験中に応力集中部やき裂状欠陥として作用する。

圧延は、結晶粒を微細化および伸長させ、鋳造組織を分断し、結晶学的集合組織を導入する。その結果生じる弾性異方性は、製品によって小さい場合もあれば、顕著な場合もある。圧下スケジュール、圧延温度、再結晶、および最終板厚は、いずれも重要である。圧延方向に沿って測定した弾性係数を、横方向または法線方向に自動的に割り当ててはならない。

熱処理は、相分率、結晶粒径、転位密度、析出物、炭化物形態、および残留応力を変化させる。焼ならしはフェライト・パーライト組織を微細化し、焼入れはマルテンサイトと残留応力を生成し、焼戻しは析出と回復を変化させながら、その応力の一部を低減する。焼鈍では、再結晶を通じて転位密度および集合組織に関連する影響が低減することがある。これらの処理は、降伏強さと靱性に大きな変化をもたらす一方で、小ひずみ域の弾性係数は処理前の値に比較的近いままの場合がある。ただし、欠陥、相変態、または集合組織によって、測定される有効弾性係数が変化することは依然としてあり得る。

残留応力については、別途扱う必要がある。自己平衡する応力場は、完全で均質な線形弾性結晶の理想的な接線弾性係数を必ずしも変化させない。しかし、実験で記録される値を変化させる可能性はある。残留応力は、波の伝播、試験片の反り、接触条件、き裂閉口、および微小塑性の開始に影響する。引張試験では、見かけの初期勾配が、矯正、つかみ具のアライメント、応力再分配、または機械加工応力の除去不足によって影響を受けることがある。共鳴試験では、応力と異方性によって固有振動数が変化する可能性がある。

したがって、信頼性のある鋼の弾性係数に関する記述では、相の状態、熱状態、製品の方向、密度または欠陥の状態、および測定方法を明示する必要がある。その数値は、定義された状態における物性であり、恒久的な鋼種定数ではない。

鋼材の等級表示と責任ある物性表

鋼材の designation は、化学組成、製品区分、または仕様上の要求事項を示すものであり、それだけで完全な弾性物性データを提供するものではない。「304 stainless steel」、「AISI 1045」、「ASTM A572 Grade 50」は有用な材料参照情報であるが、これらの名称だけでは、製品形状、熱履歴、結晶学的集合組織、試験温度、または弾性係数の取得方法は示されない。

この区別が重要なのは、等方線形弾性では独立な定数が2つしかないためである。工学分野で一般的に報告される組には、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$、体積弾性率 $K$ または $B$、せん断弾性率 $G$、Lamé の第1パラメータ $\lambda$、および $2\mu$ が含まれる。Sandia National Laboratories は、等方性の関係式が適用される場合、$E$ と $\nu$ によって残りの定数が決まると述べている。OpenStax は主要な弾性率に異なる物理的意味を与えており、$E$ は引張または一軸応答、$K$ は体積圧縮、$G$ はせん断変形を表すとしている。したがって、出典を説明せずに一見独立した4つの数値を示す表は、材料モデルが実際には有していない精度や独立性を示唆する可能性がある。

オーステナイト系、フェライト系、マルテンサイト系、および析出硬化系ステンレス鋼

ステンレス鋼の系統名は、単一の普遍的な弾性応答ではなく、冶金学的な組織を表す。Type 304、Type 304L、Type 316、Type 316L などのオーステナイト系鋼種は、ASTM の製品仕様では、通常、該当する「Type」 designation によって識別され、該当する場合には UNS S30400、UNS S30403、UNS S31600、UNS S31603 などの UNS 番号も用いられる。designation は、適用される規格に記載されたとおりに再現しなければならない。「304L stainless」を、明示的な根拠なく「304」に置き換えてはならない。低炭素鋼種では組成要件が異なり、加工条件も異なる場合があるためである。

フェライト系鋼種には Type 430 および Type 409 があり、マルテンサイト系鋼種には Type 410、Type 420、Type 440C がある。これらの名称は、相安定性、炭素量、合金添加元素、硬化応答、磁気的挙動が異なる系統を識別するものである。それらの弾性特性は、冷間圧下、焼鈍、焼入れ、焼戻し、残留オーステナイト、炭化物の分布、および測定方向の影響を受ける可能性がある。化学的に類似した designation を持つ鋳造製品は、鍛造品または圧延品と同じ挙動を示すとは限らない。

析出硬化系ステンレス鋼では、さらに慎重な取り扱いが必要である。17-4 PH は広く使用される designation であるが、仕様書では材料を UNS S17400 と識別し、H900、H1025、H1150 などの状態を定義する場合がある。これらの状態 designation は熱処理状態を示すものであり、互いに置き換え可能な鋼種名ではない。「17-4 PH modulus」とだけ記載し、状態を示さない物性表では、材料記述の重要な部分が欠落している。公称合金 designation が同じであっても、状態によって母相、析出物の状態、残留応力、過去の塑性変形が異なる可能性がある。

ASM の Steel Castings Handbook は、弾性係数、ポアソン比、せん断弾性率、および関連する物理特性を、鋳鋼のデータとして扱っている。この位置づけは重要である。鋳鋼の表は、指定された鋳造材料および試験条件に関するものであり、類似した化学組成を持つすべての展伸材、溶接材、積層造形材、または熱処理材を対象とするものではない。鋳造品には、測定結果およびそのばらつきに影響を及ぼす偏析、気孔、介在物、局所的な組織変動が存在する場合がある。

また、ステンレス鋼の系統ラベルから、単一の正確な弾性係数を割り当てるべきでもない。Engineering ToolBox には、ステンレス鋼の近似的な二次資料値として 163 GPa が記載されているが、この値は、すべてのステンレス鋼種、温度、製品形状、または試験条件に普遍的に適用できるものではない。これは参考推定値であり、個別規格に基づくデータシートまたは実測値の代替ではない。

炭素鋼および低合金鋼の designation

炭素鋼および低合金鋼についても、designation を正確に扱う必要がある。AISI/SAE 1045 は SAE/AISI の番号体系における炭素鋼を示すものであり、構造用鋼の製品仕様である ASTM A36 と同じ designation ではない。ASTM A572 Grade 50 は ASTM A572/A572M における鋼種を示し、AISI/SAE 4130 はクロム・モリブデン合金鋼の化学組成を示す。これらのラベルは、適用される仕様が明示的にその表現を認めていない限り、「4130-grade A572」のような非公式な形に統合してはならない。

欧州の designation も別の例を示している。S355J2 および S355JR は EN 10025-2 で使用される designation であり、接尾辞は規定された衝撃試験または納入状態の意味を持つ。これらは、ASTM A572 Grade 50 の単なる別名ではない。化学的類似性だけでは、仕様要求、製品寸法、検査規則、または弾性物性データの同等性は確立されない。

表では、組成 designation と納入状態も区別しなければならない。AISI/SAE 4140 は、焼鈍状態、焼ならし・焼戻し状態、焼入れ・焼戻し状態、鍛造状態、または別途指定された状態で供給される場合がある。ASTM A36 の鋼板、棒鋼、構造用形鋼は製品仕様によって規定されるが、実測応答は、厚さ、圧延方向、残留応力、試験方法にも依存し得る。公称鋼種は限界値または要求事項を定めるものであり、製造履歴を無効にするものではない。

同じ注意は、「mild steel」、「tool steel」、「high-strength low-alloy steel」などの系統的な記述にも当てはまる。これらは広範な分類であって、完全な鋼種 designation ではない。責任ある表には、規格番号、鋼種または Type、必要に応じた改訂版、該当する場合の UNS または AISI/SAE designation、製品形状、および熱処理状態を記載する。designation が企業内の名称である場合は、その旨を明記し、ASTM、ASME、SAE、AISI、EN、または UNS の designation であるかのように提示してはならない。

なぜ規格および製品仕様を数値に付記しなければならないのか

弾性物性値は、測定条件と併記されて初めて意味を持つ。少なくとも、表には次の事項を明示すべきである。

• 製品形状：鋼板、薄板、棒鋼、管、線材、鍛造品、溶接金属、粉末加工部品、または鋳造品；
• 焼入れ・焼戻し、時効、溶体化処理、析出硬化状態などを含む熱処理および材料状態；
• 圧延、鍛造、押出し、または造形方向に対する試験方向；
• 温度および環境条件；
• 荷重速度または周波数；
• 試験片の形状および関連寸法；
• 試験規格およびその改訂版；
• 結果が静的、準静的、または動的のいずれであるか；
• 利用可能な場合には、試験片数、範囲、平均値、およびばらつき。

静的弾性係数と動的弾性係数は、当然に相互置換できるものではない。ASTM E1875-20a は、「sonic resonance（音響共鳴）」による動的ヤング率、せん断弾性率、ポアソン比の測定方法を規定している。共鳴測定では波の伝播と振動周波数を利用するのに対し、引張試験では、規定された荷重速度の下で応力–ひずみ曲線の傾きを求めることができる。いずれの方法も弾性応答を扱うが、周波数、減衰、微細組織上の欠陥、計測機器、データ処理手順が異なるため、報告される値が異なる場合がある。

特に極低温または高温で使用する場合は、温度を明記しなければならない。1981 年の National Bureau of Standards の報告書では、Fe-5Cr-26Mn austenitic steel の弾性定数が、縦波モードおよび横波モードの音速を用いて 76–400 K の範囲で測定されている。この温度範囲は、室温の値を注記なしに極低温設計用の表へ転記できない理由を示している。集合組織および結晶異方性も別の問題をもたらす。NIST の単結晶弾性定数に関するハンドブックの章では、単結晶の剛性データから、準等方性多結晶体の $E$、$G$、$B$、縦弾性係数、および $\nu$ を導出する方法が説明されているが、そのような導出は、結晶対称性、方位分布、および平均化の仮定に依存する。

等方性計算では、注意深く特定した1組の定数で十分であり、その他の定数は、明示した式によって計算するか、整合性を確認すべきである。異方性を持つ圧延材、鍛造材、集合組織材、溶接材、または積層造形鋼では、単一のスカラー弾性係数は完全な構成則記述ではなく、近似にすぎない場合がある。規格および製品仕様は、表がこの限界を隠すことを防ぐ。それらは各数値を、定義された材料、状態、方向、温度、方法に結び付ける。これは、その値を設計計算に責任を持って使用する前に必要な情報である。

設計上の用途：適切な弾性係数の関係式の選択

弾性係数は、変形モードに対応する。ヤング率 $E$ は一軸応力によって生じる垂直ひずみを表し、せん断弾性係数 $G$ は体積がほぼ一定の状態における形状変化を表す。また、体積弾性係数 $K$ は $B$ とも表記され、一様な圧縮に対する抵抗を表す。ポアソン比 $\nu$ は、垂直ひずみと横ひずみを関連付ける。これらの量は相互に関係しているが、すべてがギガパスカル単位で報告され、鋼材について一般に併記されるからといって、単純に置き換えられるものではない。

均質で線形、かつ等方的な固体では、独立な弾性定数は2つだけである。Springer の Elasticity of Solids は、2020年の等方弾性に関する記述でこの点を直接示している。Sandia National Laboratories は、関連する一式として、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$、体積弾性係数 $K$、せん断弾性係数 $G$、ラメの第1定数 $\lambda$、および $2\mu$ を挙げており、$E$ と $\nu$ によって他の値が決まるとしている。したがって、以下の換算式は、相互に独立した6種類の材料特性の測定値ではなく、条件付きの関係式である。

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$$

および

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

前提条件は重要である。これらの式は、小ひずみ、線形弾性応答、および等方的挙動に適用される。圧延組織を有する鋼板、溶接熱影響部、方向性凝固を含む鋳造品、または二相組織を有する材料は、等方性の仮定を十分に満たさない場合がある。その場合、換算した1つの値で、あらゆる荷重方向における挙動を表すことはできない。

一軸部材と E

軸力を受ける直線状の引張部材、圧縮部材、タイ、ロッド、または細長い梁の区間では、$E$ が主要な弾性係数となる。基本関係式は

$$\sigma =E\epsilon ,$$

であり、したがって角柱状部材の弾性伸びは

$$\delta =\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AE}},$$

で表される。ここで、$P$ は軸力、$L$ は初期長さ、$A$ は断面積である。これは、弾性伸び、短縮、および軸剛性 $\mathrm{AE}/L$ を見積もる際の正しい出発点である。

横収縮または多軸拘束が問題となる場合は、ポアソン比が関係する。自由に引っ張られた鋼製棒は、次式に従って横方向に収縮する。

$${\epsilon }_{\text{transverse}}=-\nu {\epsilon }_{\text{axial}}.$$

しかし、試験片が完全に拘束されている場合、軸方向の応答は $E$ だけでは表せない。横ひずみが発生できないため、応力状態は三次元となり、見かけの剛性は上昇する。接着されたインサート、拘束されたワッシャー、または圧入部品の有限要素モデルでは、部品を孤立した一次元棒として扱うのではなく、この連成を考慮しなければならない。

また、$E$ に使用する値は、測定条件および使用条件と一致していなければならない。静的引張試験の傾き、共振による動的弾性係数、超音波速度から推定された弾性係数は、周波数、温度、試験片形状、気孔率、残留応力、および欠陥の影響により異なる場合がある。ASTM E1875-20a は、「音響共鳴によって」動的ヤング率、せん断弾性係数、およびポアソン比を求める方法を規定している。この方法で得られる値は、設計温度における低速引張試験で得られる値と自動的に同一になるわけではない。

鋼は、あらゆる冶金状態において単一の弾性材料ではない。フェライト組織、マルテンサイト組織、ベイナイト組織、およびオーステナイト組織では特性が異なる場合があり、さらに集合組織によって圧延方向と横方向の応答が異なることもある。National Bureau of Standards の Fe-5Cr-26Mn オーステナイト鋼に関する報告では、76～400 K の範囲で、縦モードおよび横モードの音速から弾性定数を求めている。この温度範囲は、室温付近で測定された弾性定数を、極低温または高温で使用する際の温度非依存データとして扱うべきではないことを示している。

ねじりと G

弾性ねじりを受ける円形軸では、ねじれ角を支配するのは $G$ である。

$$\theta =\frac{\mathrm{TL}}{\mathrm{JG}},$$

ここで、$T$ はトルク、$J$ は断面二次極モーメント、$L$ は軸の長さである。ねじり剛性は $\mathrm{JG}/L$ となる。円形軸に生じる対応するせん断応力は

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

この計算に $E$ を直接使用すると、妥当な $\nu$ を用いてあらかじめ換算しない限り、剛性を誤って評価することになる。等方的な鋼では、

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

この換算は、$E$ と $\nu$ しか得られない場合に有用である。しかし、引張測定が直接的なねじり測定になるわけではない。平均化された引張弾性係数が許容できる値を示していても、材料が方向依存のせん断応答を示す場合がある。

この区別は、薄肉管、スプライン、溶接軸、および異方的な製造履歴を有する部品で重要になる。一般断面では、ねじりによって反りや不均一なせん断場が生じる可能性があるため、Saint-Venant の円形軸に対する式自体が不十分な場合もある。材料入力として必要なのは依然としてせん断に関する構成パラメータだが、断面解析では実際の形状を表現しなければならない。

動的せん断データにも同様の注意が必要である。共振法では、特定の周波数および小さなひずみ振幅における応答を測定する。音響試験から算出された値は、振動解析や波動解析には適していても、低速荷重による構造計算で使用される割線剛性または接線剛性と同一とは限らない。「動的」という обозначения は単なる付加的なラベルではなく、異なる実験条件を示すものである。

静水圧、接触、および波動の問題

体積応答に適したパラメータは、体積弾性係数 $K$ または $B$ である。静水圧下では、圧力による体積変化は次式で表される。

$$K=B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

これは、National Institute of Standards and Technology が1982年に示した熱力学的定義である。高い $K$ は、大きな圧力を加えても体積の相対変化が小さいことを意味する。これは、主に $G$ によって支配される形状変化に対する抵抗とは異なる。

Engineering ToolBox は、ステンレス鋼のおおよその体積弾性係数として163 GPaを示している。この値は二次的な参考推定値として利用できるが、あらゆるステンレス鋼の鋼種、温度、製品形態、相構成、または試験方法に対する普遍的な値ではない。$K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$ であるため、$\nu$ が0.5に近づくと、その小さな誤差が計算上の体積弾性係数に顕著な変化を生じさせる可能性がある。

接触計算では、法線方向および接線方向の両方の挙動が必要となる。ヘルツ接触では、2つの物体に対する有効法線弾性係数は一般に次式で表される。

\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}. \]

ここで局所的な弾性押込みを支配するのは、単一の鋼種に対する $E$ ではなく \(E^*\) である。摩擦を伴う滑りおよび接線方向のトラクションでは、$G$ と $\nu$ も関係する。$K$ を \(E^*\) の代わりに用いたモデルは、数学的には安定し、滑らかな接触圧力を生成する可能性がある。しかし、実際とは異なる変形メカニズムを表すことになる。

波動の問題では、さらに別の組合せが用いられる。等方的な固体では、縦波弾性係数は

$$M=K+\frac{4G}{3},$$

であり、縦波およびせん断波の速度は

\[ v_L=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}}, \qquad v_S=\sqrt{\frac{G}{\rho}}. \]

したがって、縦波速度だけではすべての弾性定数を特定できず、$K$ と $G$ を分離するには横波の測定が必要となる。単結晶または集合組織を有する多結晶体では、波速は伝播方向および偏りにも依存するため、等方性の式によって実際の弾性異方性が見えなくなる可能性がある。

三次元有限要素定式化では、一般に $E$ と $\nu$、$K$ と $G$、またはラメのパラメータ $\lambda$ と $\mu$ が用いられる。選択の違いは数学的なものであり、物理的な材料が変わるわけではない。ただし、非圧縮性に近い場合、$\nu$ が0.5に近い $E$-$\nu$ 定式化では体積ロッキングが発生する可能性がある。その場合、圧力と偏差応答を用いる混合定式化の方が良好に機能することがある。逆に、独立に丸められた $E$、$G$、および $K$ の値を挿入すると、等方性の換算式に違反し、内部的に整合しない剛性マトリックスを生成する可能性がある。

これが設計上の中心的なリスクである。換算された定数は、ある式とは数値的に整合していても、解析対象の問題、温度、周波数、方向、または鋼の微細組織に対して物理的に不適切な場合がある。まず変形モードに基づいて弾性係数を選択し、次に、その測定条件および等方性の仮定が、対象部品と解析条件に適合していることを確認しなければならない。

鋼の弾性係数計算でよくある誤り

鋼の弾性係数計算では、物理的な意味が異なる量を互換可能なものとして扱うために、しばしば誤りが生じます。ヤング率 $E$、せん断弾性係数 $G$、体積弾性係数 $K$ または $B$、およびポアソン比 $\nu$ は、弾性変形を表します。一方、降伏強さは、顕著な永久変形が始まる時点を表します。これらは、材料モデルの異なる部分に属する量です。

等方線形弾性体では、独立な弾性定数は2つだけです。Springer の Elasticity of Solids の章（2020年）では、この点が直接述べられています。Sandia National Laboratories は、関連する一式として、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$、体積弾性係数 $K$、せん断弾性係数 $G$、Lamé の第1パラメータ $\lambda$、および $2\mu$ を挙げており、$E$ と $\nu$ を指定すれば、その他の量が決まります。一般的な換算式は次のとおりです。

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

および

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

これらの式は、互いに独立した実験事実ではありません。等方線形弾性という仮定の帰結です。使用するには、値が相互に整合していること、単位が統一されていること、さらに等方性を妥当な近似とみなせる材料状態であることが必要です。

弾性係数と降伏強さの混同

最も根強い誤りは、降伏強さが高い高強度鋼を「より剛性が高い」と表現することです。降伏強さは、通常は0.2%などの耐力ひずみを含む、指定された基準に従って塑性ひずみが始まる応力を表します。ヤング率は、その移行が起こる前の弾性応力–ひずみ応答の勾配を表します。熱処理、冷間圧下の工程、析出反応、または炭素含有量の変化によって降伏強さが大幅に上昇しても、初期の弾性勾配が同程度に変化するとは限りません。

この区別は設計上重要です。使用荷重下のたわみは、主として $E$、形状、境界条件、および荷重によって決まります。一方、許容応力の照査には、降伏強さまたは別の強度限界も必要です。$E$ を鋼種の降伏強さで置き換えると、次元上はもっともらしくても、物理的には意味のない結果になります。応力を降伏強さで割る計算は、使用率を推定する場合がありますが、弾性ひずみを計算するものではありません。

同じ誤りはせん断の場合にも現れます。せん断弾性係数は、せん断応力とせん断ひずみの間の弾性関係によって定義されます。

$$\tau =G\gamma .$$

せん断降伏強さは塑性限界です。von Mises の関係などの降伏条件から推定できる場合はありますが、せん断降伏強さは $G$ ではありません。また、弾性係数に応力の単位を割り当て、名称を変更することで得られるものでもありません。OpenStax（2020年）は変形モードを明確に区別しており、ヤング率は引張応答、体積弾性係数は体積圧縮、せん断弾性係数はせん断変形を表すと説明しています。

したがって、鋼の仕様書には、降伏強さの要求値と弾性特性に関する仮定の両方が記載されていても、それらの数値が単純な鋼種換算によって結び付けられているとは限りません。構造計算では、該当する材料記号と製品規格を記録する必要があります。例えば、ASTM A240/A240M の板またはシート、EN 10025-2 の S355 材、または ASTM A276 Type 304 ステンレス鋼などです。これらに加えて、厚さ、製品形状、および試験方向も記録します。材料記号は材料要件を特定するものですが、あらゆる製品に対して一般的な弾性係数の値を正確なものにするわけではありません。

もう一つの誤りは、すべての鋼種が単一の正確な $E$ を持つと考えることです。フェライト系、マルテンサイト系、ベイナイト系、オーステナイト系、および二相系の鋼では、相分率、集合組織、鋳造製品における気孔率、残留応力が異なる場合があります。これらの要因は、測定される弾性応答に影響します。多くの工学的推定では、従来の等方性の値で十分ですが、それは依然として仮定または採用設計値であり、「鋼」という語に付随する普遍的な物理定数ではありません。

静的値と動的値の混同

静的弾性係数と動的弾性係数には関連性がありますが、自動的に相互交換できるわけではありません。静的弾性係数は、ゆっくりと加えられる機械試験から得られます。一般には、指定されたひずみ区間における引張または圧縮の応力–ひずみ曲線の勾配から求めます。結果は、試験機のコンプライアンス、つかみ具の位置合わせ、表面状態、ひずみ速度、ヒステリシス、微小塑性、および勾配の近似方法の影響を受ける可能性があります。

動的弾性係数は、波の伝播、共振、またはその他の時間依存測定から推定されます。ASTM E1875-20a は、「音響共振によって」動的ヤング率、せん断弾性係数、およびポアソン比を決定する方法を規定しています。試験片の共振周波数と寸法を用いて、弾性定数を推定します。この方法は、微小ひずみにおける精密なデータを得られる可能性がありますが、その結果は高周波かつ非常に小振幅の変形に対応するため、その旨を明示すべきです。

動的測定は、密度、試験片の形状、周波数、温度、およびモードの同定にも依存します。縦共振から導出した値を、適切な関係式と整合するポアソン比なしに、せん断計算へそのまま代入してはなりません。同様に、便覧に記載された「弾性係数」は設計上の慣例値である可能性がある一方、共振試験の報告書では動的弾性係数が示されている場合があります。両者を同じ試験から得られたかのように比較すべきではありません。

$E$、$G$、および $K$ の間で換算する場合、入力値が静的値か動的値かを明記してください。引張試験による $E$ と音響共振による $\nu$ を組み合わせると、個々の数値は信頼できるものであっても、内部的に整合しない組になる可能性があります。計算は代数的には成立していても、単一の測定材料状態を表さない場合があります。

ポアソン比には特に注意が必要です。これは、$\nu$ の不確かさが体積弾性係数の式で重要になるためです。$E=200$ GPa、$\nu =0.30$ の場合、等方性の関係式から $K=166.7$ GPa が得られます。同じ $E$ に $\nu =0.29$ を組み合わせると $K=158.7$ GPa、$\nu =0.31$ では $K=175.4$ GPa になります。$\nu$ がわずか0.01変化するだけで、計算上の $K$ はおよそ5%変化します。$\nu =0.5$ 付近では、$1-2\nu$ がゼロに近づくため、感度ははるかに大きくなります。結果として得られた $K$ を測定定数として示すのではなく、仮定した値、その出典、および感度範囲を報告してください。

単位の問題は、より単純でありながら頻繁に起こる失敗です。$1\text{GPa}=1000\text{MPa}$ であるため、MPa で入力した $E$ と GPa で入力した $G$ を組み合わせると、1000倍の誤差が生じる可能性があります。計算中はすべての弾性係数を一つの単位系に統一し、最終結果の横に単位を明記してください。

体積弾性係数の値には、出典と測定条件の裏付けが必要です。Engineering ToolBox はステンレス鋼について約163 GPaという値を掲載していますが、これは二次資料による推定値であり、すべてのステンレス鋼種、製品形状、温度、または試験条件に普遍的に適用できる値ではありません。信頼できる引用では、元の測定または計算、組成、相の状態、温度、圧力範囲、密度の基準、および方法を特定すべきです。National Institute of Standards and Technology（1982年）による熱力学的定義 $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$ は、温度条件を明示しています。これらの条件を伴わずに表から転記した数値は、近似値として扱うべきです。

異方性と温度の無視

等方性の式は、応答があらゆる方向で同じであることを仮定しています。圧延板、伸線材、鍛造棒、および積層造形による鋼では、結晶学的集合組織が形成されることが一般的です。肉眼では均一に見える材料であっても、荷重方向によって弾性応答が異なる場合があります。強い集合組織を持つ板材では、単一の $E$、$G$、$\nu$ ではなく、方向ごとの定数が必要になることがあります。

単結晶の弾性は、1つのスカラー弾性係数ではなく、弾性剛性マトリックスによって記述されます。NIST の1982年の便覧の章では、立方晶系および六方晶系元素の単結晶剛性データから、準等方性多結晶体の弾性定数を導出する方法が説明されています。この平均化はモデルです。集合組織が強い場合、相の割合が空間的に変化する場合、または製品に配向した介在物や気孔が含まれる場合には、その適用性は低下します。

温度も省略されがちな変数です。弾性定数は一般に温度によって変化し、相変態によって、通常の熱軟化を上回る大きな不連続変化が生じることがあります。National Bureau of Standards の報告書（1981年）では、Fe-5Cr-26Mn オーステナイト鋼について、縦波モードおよび横波モードの音速を用い、76～400 K の範囲で弾性定数を測定しています。この温度範囲自体が、室温の値を極低温用途や高温機器へ黙って適用できない理由を示しています。

したがって、計算では、材料記号、製品形状、試験方向、温度、変形モード、測定方法、さらに弾性定数が静的、動的、等方性、または方向依存性のいずれであるかを明記すべきです。これらの詳細が得られない場合は、結果を工学的推定値として表示し、$E$、$G$、$K$、および $\nu$ の不確かさが答えに及ぼす影響を示してください。これは、すべての鋼に単一の正確な弾性係数を割り当て、明示されていない仮定に設計を左右させるよりも正確です。

参考文献

1. [1]National Institute of Standards and Technology. Bulk modulus definition. NIST handbook chapter, 1982. https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172
2. [2]ASTM International. Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM E1875-20a, 2020. https://www.astm.org/e1875-20a.html
3. [3]Springer Nature. Elasticity of Solids. Springer book chapter, 2020. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4
4. [4]OpenStax. Stress, Strain, and Elastic Modulus. University Physics Volume 1, 2020. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
5. [5]National Bureau of Standards. Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards report, 1981. https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf