강철의 탄성 상수와 탄성 계수의 관계

강의 탄성 상수가 의미하는 것과 의미하지 않는 것

탄성 상수는 재료가 탄성 범위 내에 있는 동안 가해진 응력과 그 결과로 발생하는 변형률을 연결하는 매개변수이다. 이 범위에서는 하중을 제거하면 시험편이 적어도 근사적으로 원래 치수로 돌아간다. 단순 인장시험에서 영률은 축응력과 축변형률의 비이다.

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }.$$

이 관계는 응력–변형률 곡선에서 초기의 회복 가능한 부분의 기울기를 나타낸다. 곡선 전체를 설명하는 것은 아니며, 영구 변형이나 파괴가 발생하기 전에 강이 견딜 수 있는 응력의 크기를 나타내지도 않는다.

등방성 선형 탄성 고체에서는 탄성 상수 중 독립적인 것이 두 개뿐이다. Strong evidence

등방성 선형 탄성 고체에서는 탄성 상수 중 독립적인 것은 두 개뿐이다. 일반적으로 사용되는 상수 집합에는 영률 $E$, 포아송비 $\nu$, 체적 탄성률 $K$ 또는 $B$, 전단 탄성률 $G$, Lamé의 제1 매개변수 $\lambda$, 그리고 $2\mu$가 포함되며, 여기서 $\mu =G$이다. Sandia National Laboratories는 서로 관련된 이 여섯 가지 양을 제시하며, $E$와 $\nu$가 나머지 값을 결정한다고 설명한다. 예를 들면 다음과 같다.

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

및

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

체적 탄성률체적 탄성률 압력에 따른 균일한 체적 변화에 대한 저항을 나타내는 값으로, 일반적으로 K 또는 B로 표기한다.

표기법은 자료에 따라 다르다. NIST와 기타 자료에서는 체적 탄성률에 $B$를 사용하는 경우가 많지만, 공학 교재와 유한요소 소프트웨어에서는 $K$를 사용하는 경우가 많다. 두 기호는 동일한 등방성 물성을 나타낸다.

탄성 응답과 강도 및 소성의 차이

탄성은 다음과 같은 좁은 범위의 질문에 답한다. 영구 변형이 시작되기 전에 주어진 응력에 수반되는 변형률은 얼마인가? 강도는 이와 다른 질문에 답한다. 항복강도는 특정 소성 변형률이 시작될 때의 응력을 나타내며, 인장강도는 인장시험 중 도달하는 최대 공칭응력이다. 파괴강도는 시험편의 분리에 관한 것이다. 이들 중 어느 것도 영률의 다른 명칭이 아니다.

강은 높은 항복강도를 가지면서도 조성이 유사하고 강도가 더 낮은 강과 거의 동일한 영률을 가질 수 있다. 냉간가공, 석출경화 또는 마르텐사이트 변태는 항복강도와 경도를 크게 증가시킬 수 있지만, 작은 변형률 영역의 인장 탄성률은 훨씬 적게 변화시킬 수 있다. 그 이유는 강화 기구가 전위의 이동을 방해하는 반면, 초기 탄성 응답은 주로 원자 결합의 강성과 전체 결정 구조를 반영하기 때문이다. 이러한 차이는 예를 들어 담금질 및 뜨임 처리한 저합금강과 화학 조성이 유사한 풀림 제품을 비교할 때 핵심적이다.

응력–변형률 관계가 더 이상 원래의 선형 탄성 기울기를 따르지 않을 때 소성이 시작된다. 따라서 소성 구성 모델에는 항복 기준, 경화 법칙, 유동 법칙, 변형률 속도 민감도 및 온도 의존성과 같은 정보가 필요하다. 영률만으로는 이러한 정보를 전혀 제공할 수 없다. 정확한 $E$를 포함하더라도 부적절한 항복면을 사용하는 유한요소 모델은 영구 변형을 여전히 잘못 예측할 수 있다.

다른 기계적 물성은 또 다른 질문에 답한다. 경도는 국부적인 압입에 대한 저항을 측정하며, 관리된 동일 계열의 강에서는 강도와 상관관계를 보이는 경우가 많지만 탄성률은 아니다. 인성은 특정 시험 조건에서의 에너지 흡수 및 균열 저항과 관련된다. 피로 저항은 반복 또는 변동 하중에 따른 손상 누적과 관련된다. 어떤 강은 다른 강종과 탄성률이 유사할 수 있지만, 경도, 충격 인성, 균열 성장 거동 또는 피로 수명은 다를 수 있다.

탄성이라고 해서 모든 하중 사이클이 완벽하게 가역적이라는 뜻도 아니다. 실제 강에서는 통상적인 항복점이 뚜렷해지기 전에 미소소성, 비탄성, 잔류응력 효과, 히스테리시스 또는 손상이 나타날 수 있다. 따라서 특정 시험에서 보고되는 탄성률은 해당 시험의 변형률 범위, 하중 속도, 사이클 이력 및 데이터 산출 방법과 연관되어 있다.

파괴 응력이 아니라 강성을 나타내는 탄성률

탄성률은 강성을 측정한다. 즉, 정의된 변형 모드에서 특정 탄성 변형률을 발생시키는 데 필요한 응력을 나타낸다. 영률은 축방향 신장 또는 수축과 관련된다. 전단 탄성률은 전단응력에 의한 형상 변화에 대한 저항을 나타낸다. 체적 탄성률은 압력에 의한 균일한 체적 변화에 대한 저항을 나타낸다. OpenStax는 인장, 전단 및 체적 변형에 대해 이에 상응하는 물리적 의미를 제시한다.

탄성률이 크다는 것은 동일한 응력이 더 작은 탄성 변형률을 발생시킨다는 뜻이다. 재료가 항복이나 파괴 전에 더 큰 응력을 지지한다는 뜻은 아니다. 항복강도가 서로 다른 두 강 부품의 $E$가 동일하다고 가정해 보자. 동일한 사용 응력에서 두 부품은 거의 동일한 탄성 신장을 겪는다. 강도가 더 높은 부품은 소성 변형이 발생하기 전에 더 큰 응력을 견딜 수 있지만, 단지 항복강도가 더 높다는 이유만으로 초기 탄성 응답에서 눈에 띄게 더 큰 강성을 갖는 것은 아니다.

체적 탄성률은 특히 명확한 열역학적 정의를 가진다. National Institute of Standards and Technology는 1982년 핸드북의 한 장에서 다음과 같이 기술한다.

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$[1][1] Bulk modulus definition. National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

여기서 $V$는 체적, $P$는 압력이며, 편미분은 일정한 온도에서 취한다. 이는 체적 물성이며 인장 파괴 한계가 아니다. 강은 균일하게 압축하기 어렵기 때문에 체적 탄성률이 높다. 그러나 이 사실만으로 인장 연성이나 파괴 인성에 대해 많은 것을 알 수는 없다.

탄성률은 복원력과도 혼동해서는 안 된다. 단위 체적당 저장되는 탄성 에너지는 응력과 탄성률에 따라 달라지며, 항복점까지 회복 가능한 에너지는 탄성률과 항복강도 모두에 따라 달라진다. 따라서 $E$가 약간만 변하더라도 항복강도를 높이면 탄성 에너지 저장 능력이 증가할 수 있다.

강종에 하나의 보편적인 탄성률이 존재하지 않는 이유

ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, EN 10025-2 S355JR 또는 AISI 304와 같은 지정은 규격, 조성 범위, 제품 상태 또는 요구 성능 집합을 식별한다. 그러나 해당 지정에 따라 제조된 모든 시험편에 적용되는 하나의 불변 탄성 수치를 정의하는 것은 아니다. 측정된 응답은 재료 상태와 시험 조건에 따라 달라진다.

온도는 주요 변수 중 하나이다. 탄성 상수는 일반적으로 온도에 따라 변하며, 결정 구조나 상의 혼합 상태를 변화시키는 상변태가 발생하면 더 큰 변화가 나타날 수 있다. 1981년에 발행된 National Bureau of Standards 보고서는 종파 및 횡파 음속을 사용하여 76~400 K에서 Fe-5Cr-26Mn 오스테나이트강의 탄성 상수를 측정했다. 이 온도 범위만으로도 시험 온도가 명시되지 않은 값이 불완전한 이유를 알 수 있다.

준등방성준등방성 개별 결정립은 여전히 이방성이더라도, 정의된 계산, 방향 범위 및 규모에서 등방성에 충분히 가까운 유효 재료 응답.

집합조직과 방향도 중요하다. 개별 페라이트, 오스테나이트 또는 마르텐사이트 결정은 탄성적으로 이방성이므로 강성은 결정학적 방향에 따라 달라진다. 압연 판재, 단조 봉재, 인발 와이어 및 적층 제조 재료에는 우선 방위가 형성될 수 있다. 결정 방위가 충분히 분산되어 있을 때 다결정 집합체는 대략 등방성으로 거동할 수 있지만, 강한 집합조직을 가진 제품에는 방향별 상수가 필요할 수 있다. 압연 방향의 종방향 탄성률은 두께 방향을 통한 값과 같을 필요가 없다.

상 구성, 개재물, 기공률, 잔류응력, 결정립 구조 및 제품 형태도 측정된 집합체 응답에 영향을 준다. 동일한 프로젝트 규격이 적용되더라도 용접 금속과 열영향부는 모재와 다를 수 있다. 단결정 상수를 다결정 설계값으로 단순히 대체할 수는 없다. NIST 핸드북은 입방정 및 육방정 재료의 단결정 탄성 강성 데이터로부터 준등방성 영률, 전단 탄성률, 체적 탄성률 및 관련 탄성률을 도출하는 방법을 설명한다. 그러나 이 계산은 결정 대칭성과 방위 평균에 관한 가정에 따라 달라진다.

[2][2] Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.

ASTM E1875-20a는 음향 공진에 의한 영률, 전단 탄성률 및 푸아송비의 동적 측정을 규정한다. Strong evidence

측정 방법에 따라 보고되는 결과도 달라진다. 느린 인장시험은 힘과 변위를 바탕으로 정적 탄성률 또는 시컨트/접선 탄성률을 산출하는 반면, 초음파 또는 공진 방법은 파동 속도나 고유진동수로부터 동적 탄성률을 결정한다. ASTM E1875-20은 “음향 공진에 의한” 동적 영률, 전단 탄성률 및 포아송비의 결정을 규정한다. 주파수, 감쇠, 시험기의 순응도, 변형률 진폭 및 시험편의 비이상적 부분을 처리하는 방식 때문에 동적 값은 정적 값과 다를 수 있다.

따라서 유용한 탄성률 보고서에는 최소한 강의 지정, 제품 형태와 상태, 온도, 하중 방향, 변형 모드 및 측정 방법이 명시되어야 한다. 또한 해당 값이 측정값인지, 다른 상수로부터 계산한 값인지, 또는 설계 가정으로 채택한 값인지 밝혀야 한다. Engineering ToolBox는 “스테인리스강”의 근사 체적 탄성률로 163 GPa를 제시하지만, 이는 2차 참고자료의 추정값일 뿐 모든 스테인리스강 강종, 열처리, 집합조직, 온도 또는 시험 방법에 적용되는 보편적 값은 아니다. 가정을 명시한 예비 등방성 계산에서 모든 제품에 하나의 수치를 사용하는 것은 허용될 수 있다. 그러나 이를 강종과 무관한 재료의 사실로 제시하는 것은 적절하지 않다.

등방성 선형 탄성의 두 상수 기반

선형 탄성은 응력과 변형률이 선형 관계가 성립할 만큼 충분히 작게 유지되는 동안 재료가 보이는 응답 중 가역적인 부분을 설명한다. 등방성이라는 말은 별도의 조건을 추가한다. 즉, 모든 방향에서 응답이 동일하다고 가정한다. 이 두 가지 가정하에서는 탄성 강성 텐서가 일반적인 이방성 고체에 비해 독립적인 항을 훨씬 적게 갖는다. 따라서 흔히 보고되는 여섯 가지 물리량—Young 계수 $E$, Poisson 비 $\nu$, 체적 탄성률 $K$ 또는 $B$, 전단 탄성률 $G$, Lamé의 제1 매개변수 $\lambda$, 그리고 $2\mu$—은 선택한 두 상수만으로 표현할 수 있다.

이 결과는 구성 모델에 적용되는 것이며, 강철에 대해 보고된 모든 측정값에 자동으로 적용되는 것은 아니다. 온도, 상 조성, 결정학적 집합조직, 기공률, 잔류응력, 시험편 방향, 주파수 및 시험 방법은 모두 측정된 응답에 영향을 줄 수 있다. 등방성 유한요소 모델에 사용되는 값은 재료의 미세조직을 완전히 설명하는 물성이 아니라, 흔히 유효 공학 물성이다.

독립 상수가 두 개만 필요한 이유

응력과 변형률은 2차 텐서이다. 가장 일반적인 선형 탄성 고체에서는 이들 사이의 관계를 나타내기 위해 4차 강성 텐서가 필요하며, 여기에는 다양한 방향성 결합이 포함될 수 있다. 응력 텐서와 변형률 텐서의 대칭성은 독립 항의 수를 줄이고, 재료의 대칭성은 이를 더욱 줄인다. 등방성은 일반적인 재료 대칭성 중 가장 강한 조건을 부과한다. 즉, 역학적으로 특별히 구별되는 방향이 없다는 뜻이다.

등방성 응력–변형률 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

여기서 ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$는 응력 텐서, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$는 변형률 텐서, ${\delta }_{\mathrm{ij}}$는 Kronecker 델타이며, $\lambda$와 $\mu$는 Lamé 매개변수이다. 따라서 $\lambda$와 $\mu$는 독립 상수의 유효한 한 쌍을 이룬다. 전단 탄성률은 $G=\mu$이므로 $G$와 $\lambda$를 사용하는 것도 동등하다.

Springer의 Elasticity of Solids (2020)는 핵심 결과를 직접적으로 서술한다. 등방성 고체에서는 독립적인 탄성 상수가 두 개뿐이다. Sandia National Laboratories의 Sierra 문서에서는 관련된 등방성 물성 집합으로 Young 계수 $E$, Poisson 비 $\nu$, 체적 탄성률 $K$, 전단 탄성률 $G$, Lamé의 제1 매개변수 $\lambda$, 그리고 $2\mu$를 제시하며, $E$와 $\nu$가 나머지 물성들을 결정한다고 설명한다. 여섯 가지 명칭이 등장한다고 해서 서로 독립적으로 조정할 수 있는 재료 물성이 여섯 개가 되는 것은 아니다.

일반적으로 사용하는 $E,\nu$ 쌍에 대해서 변환식은 다음과 같다.

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )},$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )},$$

그리고

$$2\mu =2G=\frac{E}{1+\nu }.$$

역관계식도 유용하다.

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G},$$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}.$$

이 식들은 특정 강철 계열에 한정된 경험적 상관식이 아니다. 등방성 선형 탄성 구성 법칙으로부터 도출된다. 또한 이 식들은 일관성 조건을 부과한다. 안정적인 일반 등방성 고체에서는 $G>0$, $K>0$, $-1<\nu <0.5$가 성립한다. $\nu$가 0.5에 가까워질수록 모델상 재료는 거의 비압축성이 된다. 이때 $K$는 $G$보다 훨씬 커지는 반면, $E$는 두 물성과 계속 연계된다.

상수들은 수학적으로 연결되어 있지만 물리적 의미는 서로 다르다. OpenStax는 Young 계수를 인장 응답을 지배하는 비로, 체적 탄성률을 체적 압축에 대한 응답으로, 전단 탄성률을 전단 변형에 대한 응답으로 설명한다. 인장 시험은 주로 $E$를 제공하지만, 축방향 변형률과 함께 측정한 횡방향 변형률은 $\nu$를 제공한다. 압력–체적 실험은 $K$를 측정하는 데 사용되며, 비틀림 시험이나 전단파 측정은 $G$를 측정하는 데 사용된다. 일관된 물성 한 쌍을 알고 있다면 나머지 탄성률은 독립적으로 선택하는 것이 아니라 계산할 수 있다.

체적 탄성률의 열역학적 정의는 Young 계수와의 차이를 명확히 보여 준다.

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

1982년 National Institute of Standards and Technology가 제시한 이 식은 일정한 온도에서 압력이 가해질 때 체적 변화에 저항하는 정도를 설명한다. 이것은 표에 제시된 체적 탄성률이 인장 탄성률과 서로 바꿔 쓸 수 있다는 뜻이 아니다. 두 물성 사이의 수치적 관계는 등방성 구성 가정을 적용한 뒤에만 성립한다.

실용적인 입력 물성 쌍으로서의 E와 ν

공학 계산에서는 $E$와 $\nu$를 흔히 사용한다. 이 두 물성이 단축 인장 시험과 자연스럽게 대응하고, 표준 구조 재료 데이터에서도 직접적으로 제공되기 때문이다. 3차원 등방성 모델에서는 이 두 값을 입력하면 소프트웨어가 추가적인 재료 상수 없이 $G$, $K$, $\lambda$, $2\mu$를 구성할 수 있다. 여섯 가지 값을 모두 입력하면 값들이 변환식을 만족하지 않을 경우 일관성이 없는 모델이 만들어질 수 있다.

값이 서로 다른 출처에서 얻어진 경우에는 특히 중요하다. 정적 인장 탄성률, 공진으로부터 얻은 동적 탄성률, 체적 탄성률 추정값은 각각의 측정 조건에서는 유효할 수 있지만, 등방성 식을 통해 서로를 정확하게 재현하지 못할 수 있다. ASTM E1875-20a는 “음향 공진에 의한” 동적 Young 계수, 전단 탄성률 및 Poisson 비의 결정을 규정한다. 실제로 이러한 물성은 재료가 탄성 범위 안에 있더라도 주파수 의존적이거나 변형 속도에 민감한 측정값이다. 시험 조건을 확인하지 않고 저속 인장 시험값과 동일하다고 가정해서는 안 된다.

보조 자료인 Engineering ToolBox는 스테인리스강의 체적 탄성률로 약 163 GPa라는 값을 제시한다. 이 수치는 참고용 추정값이지, 모든 스테인리스강 등급, 열처리 상태, 온도, 제품 형태 또는 시험 방법에 적용되는 보편적인 상수가 아니다. 이 값을 관련성이 없는 $E$ 또는 $\nu$ 값과 무비판적으로 결합한 뒤, 특정 등급에서 측정된 고유 물성인 것처럼 제시해서는 안 된다. ASM Steel Castings Handbook에 수록된 값에도 동일한 주의가 필요하다. 이 문헌에서는 탄성계수, Poisson 비, 전단 탄성률 및 관련 물리적 물성을 강 주물의 특성 데이터로 제시한다. “강철”은 하나의 고정된 탄성 시험편이 아니다.

정적 물성과 동적 물성의 차이는 설계에서 중요하다. 동적 시험은 공진 주파수나 파동 속도로부터 탄성 상수를 추정하고, 정적 시험은 힘, 변위 및 변형률로부터 탄성 상수를 추정한다. 주파수, 감쇠, 미세조직적 메커니즘, 온도 및 계측 장비의 영향으로 동적 탄성률은 달라질 수 있다. National Bureau of Standards의 Fe-5Cr-26Mn 오스테나이트계 강 보고서는 종파 및 횡파의 음속으로부터 76–400 K 범위에서 탄성 상수를 측정했다. 이 범위는 재료 지정이 정확하더라도 온도와 시험 방법이 없는 값은 불완전할 수 있음을 보여 준다.

등방성과 준등방성의 역할

다결정 강철은 결정립이 작고 많으며 결정립 방향이 충분히 무작위화되어 있을 때 대략적으로 등방성 거동을 보일 수 있다. 개별 결정은 여전히 이방성이지만, 대표 체적에서 방향성 효과가 평균화될 수 있다. 많은 구조 계산에서 하나의 유효 $E$와 하나의 유효 $\nu$를 사용하는 근거가 바로 여기에 있다.

가공으로 강한 집합조직이 형성되면 이러한 근사는 약화된다. 압연, 단조, 적층 제조, 방향성 응고 및 용접 열사이클은 특정 결정학적 방향을 선호하는 집합조직을 만들 수 있다. 그러면 판재는 길이 방향, 폭 방향 및 두께 방향에서 서로 다른 물성을 가질 수 있다. 주조 제품은 수지상 조직, 편석, 기공률 및 국부적인 결정립 방향 때문에 또 다른 양상을 보일 수 있다. 상 조성도 영향을 미친다. 페라이트, 오스테나이트, 마르텐사이트, 베이나이트 및 잔류 오스테나이트는 단결정 탄성 거동에 동일하게 기여하지 않는다.

준등방성은 특정 목적, 방향 범위 및 규모에서 등방성에 충분히 가까운 유효 응답을 설명하는 말이다. 이 개념이 결정의 이방성을 없애거나 모든 방향에서 측정한 모든 탄성률이 일치함을 보장하는 것은 아니다. NIST의 단결정 탄성 상수에 관한 핸드북 장에서는 입방정 및 육방정 원소의 단결정 강성 데이터로부터 다결정 $E$, $G$, $B$, 종탄성률 및 $\nu$를 도출하는 방법을 설명한다. 이러한 방법은 도출된 다결정 상수를 근본적인 값으로 취급하는 대신 평균화 가정을 명시적으로 드러낸다.

강한 집합조직을 가진 강철에서는 이방성 탄성 모델이 두 개를 초과하는 독립 상수를 필요로 할 수 있으며, 시험편의 방향도 유지해야 한다. 준등방성 강철 부품에서는 해당 계산의 목적에 적합하다는 가정이 측정으로 확인된 경우 두 개의 유효 상수만으로 충분할 수 있다. Oxford Academic의 Constitutive Response 장 역시 등방성 선형 탄성을 두 개의 독립 상수를 중심으로 설명한다. 따라서 실질적인 질문은 강철이 독립적인 탄성률을 여섯 개 갖는지 여부가 아니다. 등방성 모델에서는 그렇지 않다. 중요한 질문은 선택한 두 상수가 계산과 관련된 재료, 온도, 방향 및 측정 조건을 대표하는지 여부이다.

강철의 영률 $E$

영률 $E$는 일축 인장 또는 압축 상태에서 재료의 강성을 나타낸다. 적용 가능한 선형 탄성 정의에 따르면, 영률은 축방향 응력과 축방향 변형률의 비이다.

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

여기서 $\sigma$는 시험편의 축을 따라 작용하는 수직 응력이고, $\epsilon$은 이에 대응하는 축방향 변형률이다. 응답이 완전히 선형이라면 응력–변형률 그래프는 원점을 지나는 직선이며, $E$는 그 직선의 기울기이다. 단위는 파스칼이며, 강철의 경우 일반적으로 기가파스칼로 표시한다.

이 정의는 재료의 응답이 선형이고 회복 가능한 하중 구간에만 적용된다. 강철 시험에서 측정되는 모든 응력 대 변형률 비가 영률을 의미하는 것은 아니다. 소성 변형률, 상변태, 손상 또는 상당한 비선형성이 나타나면 선택한 기울기나 비는 다른 물성을 나타낸다.

일축 응력과 축방향 변형률

일축 인장시험에서는 시험편의 한 주방향을 따라 힘을 가한다. 공학적 축방향 응력은 일반적으로 가해진 힘을 초기 단면적으로 나누어 계산한다.

$$\sigma =\frac{F}{A_0}$$

공학적 축방향 변형률은 표점거리의 변화량을 초기 표점거리로 나눈 값이다.

$$\epsilon =\frac{L-L_0}{L_0}$$

작은 변형률 범위에서는 이러한 정의를 통해 일반적인 공학적 $E$ 값을 얻을 수 있다. 시험용 신장계 또는 변형률 게이지는 지정된 표점거리에서의 신장을 측정하고, 시험기는 힘과 변위를 기록한다. 측정된 기울기는 시험기의 컴플라이언스, 그립의 이동, 시험편의 정렬, 표면 상태, 그리고 곡선의 초기 구간을 결정하는 방법의 영향을 받을 수 있다.

탄성 범위에서 인장 시험편은 횡방향으로도 수축한다. 푸아송비 $\nu$는 횡방향 변형률과 축방향 변형률의 관계를 나타내며, 일반적으로 다음과 같이 정의한다.

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}$$[3][3] Elasticity of Solids. Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

등방성 선형 탄성 고체에서는 $E$와 $\nu$가 다른 탄성상수를 결정한다. Sandia Sierra 문서에서는 관련된 등방성 탄성상수 집합으로 영률 $E$, 푸아송비 $\nu$, 체적탄성률 $K$, 전단탄성률 $G$, Lamé의 제1 매개변수 $\lambda$, 그리고 $2\mu$를 제시한다. 또한 $E$와 $\nu$가 나머지 상수를 결정한다는 설명은 등방성 탄성에서 두 개의 상수만 독립적이라는 구조를 반영한다. Springer의 Elasticity of Solids 역시 등방성 고체에서는 두 개의 탄성상수만 독립적이라고 설명한다.

설계에서 일반적으로 사용하는 관계식은 다음과 같다.

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

및

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

여기서 $G$는 전단탄성률이고, $K$는 $B$로도 표기되는 체적탄성률이다. 이 식들이 $E$, $G$, $K$, $\nu$를 서로 독립적인 네 가지 강종 물성으로 만드는 것은 아니다. 이 식들은 등방성 및 선형 탄성 가정이 적절할 때 서로 다른 변형 방식에서 측정된 값들을 연결한다.

변형 방식의 구분은 중요하다. 영률은 축방향 신장 또는 수축과 관련되고, 전단탄성률은 전단에 따른 각변형과 관련되며, 체적탄성률은 정수압에 의한 체적 변화와 관련된다. OpenStax는 이를 탄성 응답에 대한 서로 다른 물리적 해석으로 제시한다. NIST 핸드북은 1982년 자료에서 체적탄성률을 다음과 같이 열역학적으로 정의한다.

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

따라서 이 값은 지정된 온도에서 압력에 의해 유발되는 체적 변화와 관련되며, 단순히 인장 응력–변형률 곡선의 기울기를 의미하는 것은 아니다.

강철은 다결정 제품에 다양한 결정학적 방위가 포함될 수 있기 때문에 일반적인 공학 계산에서 흔히 등방성으로 취급된다. 그러나 강한 집합조직을 가진 판재, 가공량이 큰 봉재, 압연판, 용접 구조물, 적층 제조 재료 또는 단결정 연구용 시험편에서는 이러한 근사가 성립하지 않을 수 있다. 입방정 페라이트와 오스테나이트 결정은 방향에 따라 탄성 강성이 달라진다. 다만 결정 방위가 적절히 분포된 집합체는 준등방성으로 나타날 수 있다. NIST는 입방정 및 육방정 재료의 단결정 탄성강성 데이터로부터 다결정 $E$, $G$, $B$, 종탄성률 및 푸아송비를 계산하는 방법을 설명한다.

따라서 “강철”에 대해 보고된 값이 모든 제품 형태에 적용되는 보편적인 상수라고 자동으로 간주해서는 안 된다. 화학 조성, 페라이트, 펄라이트, 베이나이트, 마르텐사이트, 잔류 오스테나이트, 탄화물 분포, 기공률, 집합조직 및 잔류응력은 측정된 응답에 영향을 줄 수 있다. 어떤 시험 구성에서는 그 영향이 작을 수 있지만, 다른 구성에서는 중요할 수 있다.

할선 탄성률, 접선 탄성률 및 초기 탄성률

초기 탄성률은 응력과 변형률이 0이거나 0에 매우 가까운 지점에서의 응력–변형률 곡선 기울기이다. 미분 형태로는 다음과 같이 나타낸다.

$$E_{\text{initial}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }{|}_{\epsilon \to 0}$$

단, 곡선이 충분히 선형이고 측정 시스템에 대한 보정이 이루어져야 한다. 이 값이 교과서적인 영률 정의와 가장 밀접하게 관련된다.

접선 탄성률은 선택한 지점에서의 국부적인 기울기이다.

$$E_{\text{tan}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }$$

곡선이 계속 선형이라면 접선 탄성률은 초기 탄성률과 같다. 그러나 항복점 부근에서는 소성의 시작, 전위 이동, Lüders 변형, 상변태 효과 또는 시험상의 인공적 요인으로 인해 강철에 곡률이 나타날 수 있다. 이 경우 접선 탄성률은 응력과 변형률에 따라 변한다. 따라서 접선 탄성률은 측정된 지점 또는 변형률 구간과 함께 보고해야 한다.

할선 탄성률은 선택한 원점과 곡선상의 특정 지점을 연결하는 직선의 기울기이다.

$$E_{\text{sec}}=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

여기서 $\sigma$와 $\epsilon$은 선택한 지점의 값이다. 할선 탄성률은 국부적인 기울기를 나타내는 것이 아니라 해당 구간 전체의 응답을 평균적으로 나타낸다. 곡선이 선형성에서 벗어나 휘어지면 할선 탄성률과 접선 탄성률은 서로 달라진다. 최초 항복을 넘어선 응력에서 구한 할선 탄성률은 전체 변형률에 소성 변형률이 포함되기 때문에 초기 탄성률보다 훨씬 낮을 수 있다.

따라서 이 용어들은 서로 바꾸어 사용할 수 없다. 변형률 또는 응력 범위를 명시하지 않고 할선 값을 “영률”이라고 부르면 설계 계산을 오도할 수 있다. 시험기가 게이지 변형률을 직접 측정하지 않고 크로스헤드 변위로부터 기울기를 보고하는 경우에도 같은 문제가 발생한다. 그립의 안착과 프레임 변형은 곡선의 초기 부분을 왜곡할 수 있고, 소성은 이후 부분을 왜곡할 수 있다.

이전의 변형 이력도 중요하다. 냉간 압연, 인발, 교정, 예비 변형 및 반복 하중은 전위 구조와 잔류응력을 변화시킨다. 이러한 과정은 겉보기 초기 기울기를 변화시키고, 인장–압축 비대칭을 유발하며, 제하 및 재하 과정에서 서로 다른 기울기를 만들 수 있다. 소성 변형을 겪은 시험편은 명목상 동일한 강종으로 표시되어 있다는 이유만으로 미변형 시험편과 동등하지 않다.

온도도 명시해야 한다. 탄성 강성은 일반적으로 온도에 따라 변하며, 더 넓은 온도 범위에서는 상 구성도 변할 수 있다. 1981년에 발행된 National Bureau of Standards 보고서는 종파 및 횡파 음속을 사용하여 76–400 K에서 Fe-5Cr-26Mn 오스테나이트계 강철의 탄성상수를 측정했다. 이 온도 범위는 실온 인장시험값을 극저온 사용 조건이나 고온 해석에 아무런 검토 없이 적용해서는 안 되는 이유를 보여 준다.

정적 영률과 동적 영률

정적 영률은 천천히 가해지는 기계적 하중으로부터 구하며, 일반적으로 인장 또는 압축시험 중 힘과 축방향 변형률을 측정하여 계산한다. 여기서 “천천히” 가한다는 것이 결과가 하중 속도와 무관하다는 뜻은 아니다. 변형률 속도, 하중 이력, 유지 시간, 온도 상승 및 변형률 측정 시스템은 보고되는 기울기에 영향을 줄 수 있다. 상온의 일반적인 강철에서는 점탄성 효과가 대체로 제한적이지만, 탄성–소성 전이 부근에서는 속도 의존적 소성, 감쇠, 열적 효과 및 시험기 컴플라이언스가 결과에 여전히 영향을 줄 수 있다.

동적 영률은 진동, 파동 전파 또는 공진 측정으로부터 추정한다. ASTM E1875-20a는 “음향 공진에 의한” 동적 영률, 전단탄성률 및 푸아송비의 측정을 규정한다. 이 방법은 공진 주파수와 시험편 치수를 사용하며, 밀도와 보 또는 봉의 진동 관계식이 계산에 포함된다. 변형이 유한한 주파수에서, 일반적으로 매우 작은 진폭으로 진동하기 때문에 그 결과를 단순히 더 빠르게 수행한 인장시험값으로 볼 수는 없다.

동적 측정은 시험편 형상, 지지 조건, 주파수, 밀도, 감쇠 및 내부 불연속에 매우 민감할 수 있다. 정적 측정은 정렬, 신장계의 설치 위치, 표점거리 및 변형률 속도에 민감하다. 두 방법을 동일한 탄성 영역에서 올바르게 수행하면 결과가 서로 가까울 수 있지만, 일치가 보장되는 것은 아니다. 따라서 보고되는 탄성률에는 시험 방법, 온도, 방향, 시험편의 상태, 그리고 해당 값이 초기 탄성률인지, 접선 탄성률인지, 할선 탄성률인지, 정적 값인지 또는 동적 값인지를 명시해야 한다.

Engineering ToolBox는 스테인리스강의 체적탄성률에 대해 약 163 GPa라는 참고값을 제시하는 경우가 있지만, 이는 2차적인 추정값일 뿐 모든 스테인리스강 강종, 표준 지정, 온도, 집합조직 또는 제품 형태에 적용되는 보편적인 값은 아니다. 인용되는 영률 값에도 동일한 주의가 필요하다. 등방성 설계 모델에서는 신중하게 선택한 하나의 탄성상수 쌍으로 충분하지만, 측정된 재료 데이터는 여전히 해당 강철의 상태 및 계산에 사용되는 변형 방식과 일치해야 한다.

전단탄성계수 $G$와 왜곡 강성

전단탄성계수 $G$는 전단응력으로 인해 발생하는 형상 변화에 대한 고체의 저항을 나타낸다. 이는 주로 체적 변화에 대한 저항을 설명하는 값이 아니다. 이상적인 순수 전단에서는 한 쌍의 재료 평면이 다른 평면에 대해 미끄러지면서 물체 내부의 각도가 변하지만, 체적은 거의 변하지 않는다. 이러한 차이로 인해 $G$는 정수압 압축에 대한 저항을 나타내는 체적탄성계수 $K$ 또는 $B$와 구별된다.

강철에서 $G$는 다른 모든 탄성 특성과 독립적으로 변할 수 있는 별도의 강종 등급 표시가 아니다. 균질하고 등방성이며 선형 탄성인 경우, 독립적인 탄성 상수는 두 개뿐이다. 표에는 영률 $E$, 푸아송비 $\nu$, 전단탄성계수 $G$, 체적탄성계수 $K$, 라메의 제1 매개변수 $\lambda$, $2\mu$가 모두 제시될 수 있지만, 이 양들은 수학적으로 서로 연결되어 있다. Sandia National Laboratories는 이 여섯 가지로 이루어진 등방성 탄성 상수 집합을 제시하며, $E$와 $\nu$가 나머지 값을 결정한다고 설명한다. 동일한 두 상수의 제약은 Springer의 Elasticity of Solids (2020)에도 기술되어 있다.

전단응력과 각변형률

전단응력은 일반적으로 $\tau$로 나타내며, 표면과 평행하게 작용한다. 직사각형 요소에 전단변형이 발생하면, 처음에 직각이었던 각도가 각변형률 $\gamma$만큼 변한다. 작은 변형에서는 $\gamma$를 라디안 단위로 측정하며, 수평 변위를 높이로 나눈 값으로 근사할 수 있다.

$$\gamma \approx \frac{\Delta x}{h}.$$

선형 탄성 관계식은 다음과 같다.

$$\tau =G\gamma ,$$

또는

$$G=\frac{\tau }{\gamma }.$$

$G$가 클수록 특정한 각왜곡을 일으키는 데 필요한 전단응력이 커진다. 이는 강성에 관한 관계이지, 항복이나 파괴에 관한 진술은 아니다. 강철 시험편은 높은 탄성 전단탄성계수를 가질 수 있지만, 국부 전단응력이 적용 가능한 항복 조건을 초과하면 영구변형을 일으킬 수 있다.

순수 전단은 왜곡 응답과 체적 응답의 차이를 보여 준다. 정육면체는 모서리 길이와 체적이 거의 변하지 않은 채 기울어진 평행육면체로 변할 수 있다. 실제 고체에서는 전단 중에 수직변형률도 발생한다. 등방성 재료에서는 이러한 수반 변형이 푸아송비와 전체 구성방정식을 통해 결정되지만, 측정되는 주된 변형은 각왜곡이다.

정수압을 받는 재료는 다르게 거동한다. 압력은 모든 방향으로 동일하게 작용하며, 특정한 전단 방향을 만들지 않고 체적을 변화시킨다. 이에 대응하는 탄성계수는 NIST에 의해 다음과 같이 열역학적으로 정의된다.

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

여기서 $V$는 체적, $P$는 압력이며, 미분은 일정한 온도에서 취한다. 1982년 NIST 핸드북의 한 장에서 인용된 이 정의는 비틀림 또는 전단 계산에서 체적탄성계수를 $G$ 대신 사용해서는 안 되는 이유를 보여 준다.

등방성 강철 근사에서 전단 변형 에너지 밀도는 다음과 같다.

$$u_s=\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{{\tau }^2}{2G}=\frac{1}{2}G{\gamma }^2.$$

변형이 탄성 범위 내에 유지되고 시간 의존적 메커니즘이나 손상 메커니즘이 개입하지 않는다면, 하중을 제거할 때 저장된 에너지는 회복된다.

비틀림, 횡파 및 전단 응답

비틀림은 전단 탄성의 실용적인 표현이다. 원형 강철 축을 비틀면 단면들이 서로에 대해 회전하고, 재료 요소에는 축으로부터의 거리가 커질수록 증가하는 전단변형률이 발생한다. Saint-Venant 비틀림을 받는 원형 축에 대해서는 다음과 같다.

$$T=\mathrm{GJ}\frac{\phi }{L},$$

여기서 $T$는 토크, $J$는 단면의 극2차모멘트, $\phi$는 비틀림각, $L$은 축의 길이이다. 이를 정리하면 다음과 같다.

$$\frac{\phi }{L}=\frac{T}{\mathrm{GJ}}.$$

형상과 경계 조건이 동일하다면, $G$가 큰 축은 동일한 토크에서 더 적게 비틀린다. 실심 원형 축의 경우 $J=\pi d^4/32$이고, 중공 원형 축의 경우 $J=\pi (d_o^4-d_i^4)/32$이다. 이러한 식은 탄성 비틀림 범위에 적용되며, 비원형 단면, 뒤틀림, 소성, 잔류응력 및 이방성 제품에 대해서는 추가적인 해석이 필요하다.

전단탄성계수는 횡방향 탄성파의 속도를 통해서도 측정할 수 있다. 등방성 매질에서 횡파 또는 전단파의 속도는 다음과 같다.

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }},$$

따라서

$$G=\rho v_T^2,$$

여기서 $\rho$는 밀도이다. 횡파에서는 입자가 전파 방향에 수직으로 운동한다. 이때 복원력은 전단 강성에 의해 결정되는 반면, 종파는 체적 강성과 전단 강성의 조합에 의해 결정된다.

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}.$$

따라서 밀도를 알고 있을 때 두 파동 속도를 측정하면 둘 이상의 탄성 상수를 계산할 수 있다. 이는 동적 측정이므로, 그 결과는 시험 주파수, 온도, 시험편의 상태 및 파동 진폭에서의 응답을 반영한다.

ASTM E1875-20a는 “음향 공명에 의한” 동적 영률, 전단탄성계수 및 푸아송비의 측정을 규정한다. 이 방법은 느리고 단조로운 하중-변위 곡선을 사용하는 대신 종방향 및 굽힘 또는 비틀림 응답과 관련된 공진 주파수를 이용한다. 제한된 탄성 범위에서 균질한 강철 시험편의 동적 값과 정적 값은 서로 가까울 수 있지만, 두 값을 자동으로 동일한 것으로 취급해서는 안 된다.

National Bureau of Standards의 Fe-5Cr-26Mn 오스테나이트계 강철 보고서는 시험 조건의 중요성을 보여 준다. 이 보고서는 76–400 K에서 종방향 및 횡방향 모드의 음속으로부터 탄성 상수를 결정했다. 온도 변화는 원자 결합, 열팽창, 상 안정성 및 결함 관련 감쇠에 영향을 미치므로, 극저온에서 측정한 탄성계수가 실온 부근에서 측정한 값과 같을 필요는 없다. 강철의 상 구성과 결정학적 집합조직도 중요하다. 단결정은 방향에 따라 특성이 달라지는 반면, 다결정은 결정립 방향이 충분히 무작위화된 경우에만 겉보기 등방성을 나타낼 수 있다. 압연, 단조, 용접, 변태 생성물 및 잔류 집합조직은 방향성을 갖는 전단 응답을 만들 수 있다.

$G$, $E$ 및 $\nu$의 관계

균질하고 등방성이며 선형 탄성인 경우, 핵심 관계식은 다음과 같다.

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

여기서 $E$는 영률이고 $\nu$는 푸아송비이다. 독립적인 상수 두 개를 알고 있으면 나머지 등방성 탄성 상수를 유도할 수 있다. 따라서 $E$, $G$, $\nu$를 서로 무관한 세 개의 강종별 수치로 제시하는 것은 측정 불확도, 이방성, 온도 또는 모델로부터의 이탈을 논의하는 경우가 아니라면 역학적으로 일관되지 않는다.

이에 대응하는 체적탄성계수 관계식은 다음과 같다.

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

또한 $K$와 $G$ 사이의 직접적인 관계는 다음과 같다.

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

이 식들은 모델에 따른 관계식이지, 모든 강철 제품에 적용되는 보편적인 변환 규칙은 아니다. 이 식들은 작은 변형, 가역적 거동, 재료의 균질성, 등방성, 그리고 탄성 상수가 사실상 일정하게 유지되는 온도 및 하중 조건을 가정한다. 또한 보고된 값들이 서로 양립 가능한 정의를 가리킨다고 가정한다. 정적 인장 탄성계수, 공진에 의한 동적 탄성계수 및 파동으로부터 유도된 탄성계수는 주파수와 변형률 진폭이 서로 다르기 때문에 차이가 날 수 있다.

Engineering ToolBox는 2024년에 스테인리스강의 체적탄성계수에 대한 근사 기준값으로 163 GPa를 제시했지만, 이 수치는 모든 스테인리스강 등급, 온도, 제품 형태, 상 분율 또는 시험 방법에 적용되는 보편적인 값이 아니다. $G$에도 동일한 주의가 적용된다. 오스테나이트계, 페라이트계, 마르텐사이트계 및 이중상 강철은 집합조직, 상 분율, 자기 상태 및 가공 이력에서 차이가 날 수 있다. 표준과 설계 사양은 계산을 위해 대표적인 등방성 값을 지정할 수 있지만, 연구 측정에서는 방향에 따른 탄성 상수를 구분하여 측정할 수 있다.

등방성 설계 계산에서는 $G=E/[2(1+\nu \left)\right]$가 인장 강성과 전단 강성을 연결하는 적절한 관계식이다. 집합조직이 발달한 판재, 용접의 영향을 받은 재료, 주조 조직, 단결정 또는 방향성 거동이 뚜렷한 다상 강철의 경우에는 대신 완전한 이방성 강성 행렬이 필요할 수 있다. 이러한 경우 하나의 스칼라 전단탄성계수만으로는 모든 전단면을 설명할 수 없다.

체적탄성률 K 또는 B와 체적 압축

체적탄성률은 체적의 균일한 변화에 대한 저항을 나타낸다. 이는 강철 막대가 한 축을 따라 늘어나는 데 대한 저항을 나타내는 것이 아니며, 영률과 서로 바꾸어 사용할 수 있는 값도 아니다. 인장 시험은 주로 일축 탄성률을 결정하는 반면, 압력 실험은 체적 탄성률을 결정한다. 두 값의 관계는 탄성 모델과 그 가정이 명시된 이후에만 정립된다.

등방성 선형 탄성에서 일반적으로 사용하는 기호는 체적탄성률에 $K$ 또는 $B$, 영률에 $E$, 전단탄성률에 $G$, 푸아송비에 $\nu$이다. 이 네 값은 서로 독립적으로 조정할 수 있는 네 개의 재료 상수가 아니다. Springer의 Elasticity of Solids에서 설명하듯이, 등방성 고체에는 독립적인 탄성 상수가 두 개뿐이다. Sandia의 Sierra 문서에서는 관련된 상수 집합을 영률 $E$, 푸아송비 $\nu$, 체적탄성률 $K$, 전단탄성률 $G$, Lamé의 제1 매개변수 $\lambda$, 그리고 $2\mu$로 제시하며, $E$와 $\nu$를 지정하면 나머지 값이 결정된다.

체적탄성률의 열역학적 정의

미국 국립표준기술연구소(NIST)는 등온 체적탄성률을 다음과 같이 정의한다.

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

여기서 $V$는 체적, $P$는 압력이며, 아래 첨자 $T$는 온도가 일정한 상태에서 미분한다는 뜻이다. 압력이 증가하면 일반적으로 체적이 감소하므로 $\partial P/\partial V$는 음수가 된다. 따라서 앞의 음의 부호가 필요하다.

이 정의는 압력–체적 곡선의 국소 기울기를 나타낸다. 이는 미분량이며, 임의로 큰 압축 구간에서 단순히 압력을 체적으로 나눈 값이 아니다. 작은 변화에 대해서는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\frac{\Delta V}{V}\approx -\frac{\Delta P}{B}.$$

따라서 동일한 체적 분율 변화를 일으키려면 $B$가 클수록 더 큰 압력 변화가 필요하다. SI 단위는 파스칼이지만, 강철의 데이터는 일반적으로 기가파스칼로 보고된다.

일정한 온도라는 조건은 중요하다. 천천히 압축되는 재료는 주변과 열을 교환할 수 있지만, 빠르게 진행되는 음파는 거의 단열적인 변형을 일으킬 수 있다. 따라서 동적 측정에서 얻는 유효 탄성률은 느린 기계적 시험에서 얻는 값과 다를 수 있다. 또한 압축이 충분히 커져 탄성 상수를 하나의 상수로 더 이상 적절하게 나타낼 수 없게 되면, 압력 자체가 기울기를 변화시킬 수 있다.

정수압을 받는 고체에서는 세 방향의 수직응력이 모두 같다.

$${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=-P.$$

이에 대응하는 변형률은 작은 변형 조건에서 체적 변형률이다.

$${\epsilon }_v=\frac{\Delta V}{V}={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,$$

따라서 구성 관계식은 다음과 같다.

$$P=-K{\epsilon }_v.$$

이 음의 부호는 인장응력과 인장변형률을 양수로 하고, 압축 압력을 스칼라 압력으로서 양수로 취하는 부호 규약에서 비롯된다.

정수압과 체적 변형률

정수압 압축은 두 경우 모두 수직응력을 발생시키지만 일축 하중과는 다르다. 인장 시험에서 강철 시편을 당기는 경우를 생각해 보자. 가해진 축방향 응력은 축방향 신장을 일으키는 반면, 두 횡방향에서는 푸아송 수축이 발생한다. 영률은 이러한 하중 조건에서 축방향 응력과 축방향 변형률의 관계로 정의된다.

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

이는 선형 탄성 범위에서 성립한다.[4][4] Stress, Strain, and Elastic Modulus. OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

정수압에서는 특정 방향이 선택되지 않는다. 시편은 세 축 모두를 따라 길이가 수축하며, 관련된 반응은 세 수직변형률의 합이다. OpenStax는 이러한 물리적 차이를 직접적으로 설명한다. 영률은 인장 하중에, 체적탄성률은 체적 압축에, 전단탄성률은 전단 변형에 적용된다. 일축 인장 시험은 $K$를 측정하는 데 필요한 응력 상태를 직접 부과하지 않는다.

등방성 선형 탄성 고체에서는 탄성률 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

및

$$E=3K(1-2\nu ).$$

널리 사용되는 또 다른 관계식은 다음과 같다.

$$E=2G(1+\nu ).$$

따라서 주어진 $E$와 $\nu$를 $K$로 변환할 수 있지만, 그 결과에는 두 입력값에 수반되는 조건과 불확실성이 그대로 반영된다. 예를 들어 $E$가 동적 공진 탄성률이고 $\nu$가 느린 인장 시험에서 얻어진 값이라면, 계산된 체적탄성률은 하나의 일관된 측정 상태를 나타내지 않을 수 있다.

이 공식은 비압축성에 가까워질수록 체적탄성률이 푸아송비에 매우 민감해지는 이유도 보여 준다. 명목상 강철 값으로 $E=200$ GPa 및 $\nu =0.30$을 사용하면,

$$K=\frac{200}{3(1-0.60)}\approx 167\text{GPa}.$$

같은 $E$를 유지하면서 $\nu$를 0.49로 바꾸면,

$$K=\frac{200}{3(1-0.98)}\approx 3333\text{GPa}.$$

이처럼 큰 변화는 단순한 반올림 오차가 아니다. $\nu$가 0.5에 가까워질수록 분모가 0에 접근하기 때문에 발생한다. $\nu$의 작은 오차, 또는 다른 온도·주파수·상 구성·측정 방법에서 얻은 값을 사용하면 계산된 $K$가 크게 달라질 수 있다.

금속을 흔히 거의 비압축성이라고 설명하는 이유

금속을 흔히 거의 비압축성이라고 부르는 이유는 일반적인 기계적 압력에서 발생하는 체적 변형률이 전단 또는 일축응력에 따른 형상 변화에 비해 작기 때문이다. 금속의 체적탄성률은 일반적으로 전단탄성률보다 훨씬 크다. 압력은 체적을 약간만 변화시키는 반면, 형상 왜곡을 허용하는 유사한 응력 상태에서는 기하학적 형상이 더욱 뚜렷하게 변할 수 있다.

“거의 비압축성”이라는 말은 완전히 비압축성이라는 뜻이 아니다. 강철에도 유한한 체적탄성률이 있으며, 압력에 따라 밀도가 변한다. 체적 변화가 작은 성형 해석, 소성론, 유체–구조 연성 계산 및 그 밖의 상황에서는 이 근사가 유용하지만, 재료 모델을 확인하지 않고 적용해서는 안 된다. 소성 변형, 상변태, 기공률, 손상 및 고온은 모두 체적 응답을 변화시킬 수 있다. 예를 들어 다공성 강철 주물은 금속 기지의 강성이 높다는 이유만으로 이상적인 치밀 등방성 고체로 취급할 수 없다.

이 근사는 강철의 미세조직 때문에 더욱 복잡해진다. 단결정의 탄성 상수는 결정학적 방향에 따라 달라진다. 다결정 집합체는 결정립이 무작위로 배향되어 있을 때 대략적으로 등방성 거동을 보일 수 있지만, 압연, 단조, 상변태 및 집합조직에 의해 방향성이 있는 물성이 나타날 수 있다. 단결정 탄성 상수에 관한 NIST 핸드북의 장에서는 입방정 및 육방정 재료의 단결정 강성 데이터로부터 준등방성 다결정 $E$, $G$, $B$, 종탄성률 및 $\nu$를 도출하는 방법을 보여 준다. “준등방성”은 모델링상의 설명이지, 모든 제품 형태가 모든 방향에서 동일한 물성을 갖는다는 보장은 아니다.

온도와 상 구성도 중요하다. 미국 국립표준국의 한 보고서는 종파 및 횡파의 음속을 이용하여 Fe-5Cr-26Mn 오스테나이트계 강철의 탄성 상수를 76–400 K 범위에서 결정했다. 이 온도 범위만 보더라도 모든 강철 조건에 하나의 실온 수치를 적용할 수 없는 이유를 알 수 있다. 오스테나이트계, 페라이트계, 마르텐사이트계 및 혼합상 강철은 서로 다른 탄성 응답을 보일 수 있으며, 냉간가공과 집합조직은 측정되는 방향별 값을 변화시킬 수 있다.

보조 자료인 Engineering ToolBox는 “스테인리스강”에 대해 약 163 GPa라는 값을 제시한다. 이 수치는 예비 계산에 편리할 수 있지만, 모든 스테인리스강 등급, 온도, 제품 형태, 상 분율, 집합조직 또는 시험 조건에 적용되는 보편적인 체적탄성률은 아니다. 이를 모든 스테인리스강이 공유하는 측정 상수로 제시해서는 안 된다.

측정 방법도 변동의 또 다른 원인이다. ASTM E1875-20a는 “음향 공진에 의한” 동적 영률, 전단탄성률 및 푸아송비의 결정을 규정한다. 이러한 값은 진동 주파수로부터 얻어지며 밀도, 형상, 감쇠, 온도 및 주파수에 민감하다. 정적 인장 데이터는 다른 실험적 질문에 답한다. 따라서 설계 계산에서는 탄성률이 측정값인지 유도값인지, 정적인지 동적인지, 등방성인지 방향성인지, 그리고 어떤 온도와 재료 조건에 해당하는지를 명시해야 한다. 이러한 정보가 없으면 제시된 $K$ 또는 $B$는 조건부 추정치에 불과하다.

강에서의 푸아송비 ν와 횡변형률

푸아송비는 ν(뉴)로 표시하며, 가해진 하중에 수직으로 발생하는 탄성 변형률을 나타낸다. 인장시험에서는 다음과 같이 정의된다.

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\mathrm{transverse}}}{{\epsilon }_{\mathrm{longitudinal}}}$$

여기서 종방향 변형률은 하중 방향을 따르는 변형률이며, 횡방향 변형률은 시험편을 가로지르는 방향으로 측정한 변형률이다. 강의 일반적인 인장 거동에서는 게이지 길이가 증가하는 동시에 폭과 두께가 감소하므로, 앞의 음수 부호에 의해 ν는 양수가 된다.

이 정의는 특정한 탄성 시험 방향, 온도, 하중 속도 및 재료 상태에 적용된다. 이는 영률, 전단탄성계수 또는 체적탄성계수와 독립적으로 선택할 수 있는 별도의 강종 표시가 아니다. 등방성·균질·선형탄성 고체에서는 두 개의 탄성 상수만이 독립적이다. Sandia National Laboratories는 관련 등방성 상수를 영률 $E$, 푸아송비 $\nu$, 체적탄성계수 $K$, 전단탄성계수 $G$, Lamé의 제1 매개변수 $\lambda$, 그리고 $2\mu$로 제시하며, $E$와 $\nu$를 지정하면 나머지 값들이 결정된다. Springer의 Elasticity of Solids 역시 등방성 고체에는 독립적인 탄성 상수가 “단 두 개”만 있다고 설명한다.

작은 탄성 변형률을 받는 등방성 강의 주요 관계식은 다음과 같다.

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

및

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

동일한 관계식을 변형하면 다음을 얻을 수 있다.

$$\nu =\frac{E}{2G}-1$$

또는

$$\nu =\frac{3K-E}{6K}.$$

이 방정식들은 구성 관계식이며, 임의의 재료 데이터를 독립적으로 부여하는 서로 다른 방법이 아니다. 어떤 표에 제시된 $E$, $G$, $K$, ν가 이 관계식을 만족하지 않는다면, 해당 값들은 서로 다른 방법이나 온도에서 측정되었거나 서로 다른 가정을 적용했을 가능성이 있다. 또한 등방성 근사로 표현된 이방성 재료를 나타내는 값일 수도 있다.

인장 하중 중 축방향 수축

축이 하중 방향과 일치하는 강 인장시험편을 생각해 보자. 인장응력은 양의 축방향 변형률을 발생시킨다.

$${\epsilon }_L=\frac{\Delta L}{L},$$

한편 직경은 수축한다. 원래 직경이 $d$라면 횡방향 변형률은 근사적으로 다음과 같다.

$${\epsilon }_T=\frac{\Delta d}{d}.$$

탄성 범위 내에서는

$${\epsilon }_T=-\nu {\epsilon }_L.$$

따라서 시험편의 축방향 탄성 변형률이 $0.001$이고 ν가 0.30이라면, 횡방향 변형률은 약 $-0.0003$이다. 길이는 0.10% 증가하고 직경은 0.03% 감소한다. 이 수치 예시는 변형률만 설명하는 것이며, 모든 강종이나 제품 형태에 적용되는 보편적인 값을 부여하는 것은 아니다.

분자는 모두 변형률이고 분모 역시 변형률이므로 이 비는 무차원이다. 또한 변형률을 어떻게 정의하는지에 따라 달라진다. 공학적 변형률, 진변형률, 소변형률 텐서 성분 및 할선 변형률은 변형이 더 이상 매우 작지 않을 때 서로 약간 다른 결과를 낼 수 있다. 선형탄성 설계에서 사용하는 푸아송비는 일반적으로 항복, Lüders 변형, 소성 유동, 균열 또는 기타 비선형 효과가 발생하기 전, 복원 가능한 범위 내 초기 기울기를 의미한다.

축방향 응답과 횡방향 응답은 서로 연성되어 있다. 인장시험편은 원래의 단면 치수를 유지한 채 단순히 길어지는 것이 아니다. 직사각형 또는 원통형 단면에서는 폭과 두께의 감소가 체적 변화에 기여한다. 작은 변형률에서 체적변형률은 근사적으로 다음과 같다.

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L+{\epsilon }_{T1}+{\epsilon }_{T2}.$$

횡방향 변형률이 서로 같은 등방성 인장 상태에서는

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L(1-2\nu ).$$

이 식은 유한요소 모델과 구조 계산에서 ν가 중요한 이유를 보여 준다. ν를 잘못 설정하면 예측되는 횡방향 수축, 체적 응답, 정수압 응력, 그리고 구속된 영역의 겉보기 강성이 달라진다.

강은 모든 길이 척도에서 단일한 등방성 물질이 아니다. 결정립이 많이 기여하고 집합조직이 약한 경우, 무작위로 배향된 다결정체는 등방성 거동에 가까워질 수 있다. 압연 판재, 인발 와이어, 단조 봉재, 용접부 및 적층제조 재료는 우선적인 결정학적 배향이나 공간적으로 변화하는 상 분포를 유지할 수 있다. 이러한 경우 횡방향 변형률은 하중 방향과 측정 방향에 따라 달라진다. 따라서 단일 스칼라 ν는 완전한 재료 설명이라기보다 편리한 공학적 평균값일 수 있다.

체적 변화와 ν = 0.5 한계

체적탄성계수는 균일 압축에 대한 저항을 나타내며, 영률은 축방향 인장 또는 압축을 나타내고, 전단탄성계수는 전단에 의한 형상 변화를 나타낸다. OpenStax는 이러한 차이를 직접 설명한다. 즉, 영률은 인장 하중에, 체적탄성계수는 체적 압축에, 전단탄성계수는 전단 변형에 적용된다.

체적탄성계수의 열역학적 정의는 다음과 같다.

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

이는 1982년에 National Institute of Standards and Technology가 제시한 식이다. 여기서 $P$는 압력, $V$는 체적이며, 미분은 일정한 온도에서 취한다. 등방성 선형탄성 방정식 $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$은 등방성 가정이 적절한 경우에만 이러한 체적 응답을 일축 탄성 데이터와 연결한다.

ν가 0.5에 가까워지면 분모 $1-2\nu$가 0에 가까워지고, 유한한 $E$에 대해 계산된 체적탄성계수는 무한대로 접근한다. 이것이 비압축성 한계이다. 즉, 변형으로 형상은 바뀔 수 있지만 체적은 변하지 않는다. 고무와 유사한 재료는 체적 응답이 전단 응답보다 훨씬 더 강하기 때문에 이 조건에 가까워질 수 있다. 일반적인 강은 비압축성이 아니지만, 체적탄성계수는 전단탄성계수보다 상당히 크다.

이 한계는 수치적인 문제도 드러낸다. $K$는 $1-2\nu$를 포함하므로, 특히 ν가 0.5에 가까울 때 ν의 작은 오차가 계산된 $K$에 큰 상대 오차를 일으킬 수 있다. $E$를 일정하게 유지하고 이 관계식을 미분하면 다음과 같다.

$$\frac{\partial K}{\partial \nu }=\frac{2E}{3(1-2\nu {)}^2}$$

분모가 제곱되어 있으므로 민감도가 증폭된다. ν의 불확도가 수천분의 몇 정도에 불과하더라도 대략적인 축방향 계산에는 영향이 작을 수 있지만, 보고되는 체적탄성계수에는 상당한 영향을 줄 수 있다.

Engineering ToolBox의 참고 자료는 스테인리스강의 체적탄성계수를 약 163 GPa로 제시한다. 이 수치는 2차 참고 자료에 근거한 추정값이며, 모든 스테인리스강 강종, 온도, 제품 형태, 상 구성 또는 시험 방법에 적용되는 보편적인 값은 아니다. 오스테나이트계, 페라이트계, 마르텐사이트계, 듀플렉스계 및 석출경화계 강은 집합조직, 상 균형, 결함 및 온도 응답에서 서로 다를 수 있다.

ν의 측정과 해석

푸아송비는 인장 또는 압축시험에서 축방향과 횡방향 변형률을 동시에 측정하여 구할 수 있다. 신율계, 부착형 변형률 게이지, 광학 시스템 및 디지털 이미지 상관법은 두 변형률 성분을 측정할 수 있지만, 횡방향 신호는 일반적으로 더 작고 정렬 상태, 표면 준비, 게이지 형상 및 잡음에 더 민감하다. 정렬이 잘못되면 굽힘이 발생할 수 있으며, 게이지 설치 위치가 부정확하면 종방향과 횡방향이 혼합될 수 있다.

두 번째 방법은 독립적으로 측정한 탄성파 속도로부터 ν를 도출하는 것이다. 종파와 전단파의 속도는 동적 탄성 정보를 제공하며, 등방성 고체에서는 다음과 같다.

$$G=\rho v_S^2$$

및

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_S^2),$$

여기서 $\rho$는 밀도, $v_S$는 전단파 속도, $v_L$은 종파 속도이다. 이렇게 얻은 $E$와 ν는 작은 진폭과 유한 주파수에서의 응답을 나타내며, 반드시 느린 인장시험에서 얻은 값과 일치하는 것은 아니다. ASTM E1875-20a는 “음향 공진에 의한” 동적 영률, 전단탄성계수 및 푸아송비의 측정을 규정한다.[5][5] Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

온도는 탄성 강성과 파속을 모두 변화시킨다. National Bureau of Standards의 한 보고서는 종파 및 횡파 모드의 음속을 사용하여 76–400 K에서 Fe-5Cr-26Mn 오스테나이트계 강의 탄성 상수를 측정했다. 이 범위는 실온 부근에서 측정한 값을 극저온 사용 조건이나 고온 설계에 자동으로 적용해서는 안 되는 이유를 보여 준다.

집합조직과 결정학적 이방성은 또 다른 고려 사항을 추가한다. 단결정의 탄성 강성은 결정 대칭성과 배향 분포를 고려하는 평균화 모델을 통해서만 준등방성 다결정체의 $E$, $G$, $K$, ν로 변환할 수 있다. 따라서 압연 판재는 압연 방향, 횡방향 및 두께 방향으로 하중을 가할 때 서로 다른 비를 나타낼 수 있다. 또한 동적 공진시험은 정적 인장시험과 다른 유효 체적과 변형률 진폭을 반영할 수 있다.

설계 시에는 ν가 의도한 구성 모델 및 시험 조건과 일치해야 한다. 제품 형태, 집합조직, 온도, 변형률 범위 및 요구 정확도가 이러한 단순화를 뒷받침하는 경우에만 스칼라 등방성 값을 사용해야 한다. 그렇지 않다면 보고된 네 가지 탄성계수를 서로 관련 없는 강종별 수치로 취급하기보다는, 방향 의존적 탄성 상수 또는 완전한 이방성 강성 행렬을 사용하는 편이 더 타당하다.

완전한 등방성 탄성계수 관계식 체계

균질한 선형 탄성 등방성 고체의 경우, 일반적으로 보고되는 네 가지 탄성계수는 서로 독립적인 네 개의 재료 상수가 아니다. 영률 $E$, 전단탄성계수 $G$, 체적탄성계수 $K$ 또는 $B$, 그리고 푸아송비 $\nu$는 서로 다른 변형 양상을 나타내지만, 그 값들은 서로 연관되어 있다. 적절한 두 상수만 알면 나머지 양들을 결정할 수 있다.

이러한 설명에는 조건이 따른다. 재료는 등방성으로 취급되어야 하며, 고려하는 범위에서 응력–변형률 응답은 선형이어야 하고, 탄성계수는 동일한 온도, 밀도, 상 구성, 조직 평균, 주파수 및 측정 관례를 기준으로 해야 한다. 낮은 변형률에서 인장시험으로 측정한 탄성계수가 음속으로부터 추정한 동적 탄성계수와 자동으로 서로 치환될 수 있는 것은 아니다. 이방성 단결정의 경우 아래의 등방성 방정식으로는 모든 방향의 응답을 재현할 수 없다.

OpenStax(2020)는 물리적 역할을 명확히 구분한다. $E$는 인장 또는 일축 변형을 나타내고, $G$는 전단 변형을 나타내며, 체적탄성계수는 체적 압축을 나타낸다. NIST의 1982년 처리에서는 열역학적 체적탄성계수를 다음과 같이 정의한다.

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

여기서 $V$는 체적, $P$는 압력이며, 미분은 일정한 온도에서 취한다. 소변형 선형 탄성학에서는 동일한 상태와 탄성 근사를 적용하는 경우, 이 열역학적 정의가 아래 관계식에서 사용되는 체적 강성과 대응한다.

$E$, $G$, $K$, $\nu$ 사이의 변환

등방성 선형 탄성학의 완전한 방정식 체계는 다음과 같다.

\[ \boxed{G=\frac{E}{2(1+\nu)}} \]

\[ \boxed{K\ \text{또는}\ B=\frac{E}{3(1-2\nu)}} \]

\[ \boxed{E=\frac{9KG}{3K+G}} \]

\[ \boxed{\nu=\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \]

\[ \boxed{\lambda=K-\frac{2G}{3}} \]

\[ \boxed{\mu=G} \]

첫 번째 식은 영률과 푸아송비를 전단탄성계수로 변환한다. 이 식은 등방성 구성 법칙과 무한소 선형 탄성 변형을 가정한다. 두 번째 식은 $E$와 $\nu$를 체적탄성계수로 변환한다. 이 식 역시 측정된 푸아송비가 이방성 시편에서 얻은 방향 의존적 값이 아니라 등방성 탄성비라는 점을 전제로 한다.

세 번째 식은 $K$와 $G$로부터 $E$를 계산하고, 네 번째 식은 동일한 두 탄성계수로부터 $\nu$를 계산한다. 이 식들은 동일한 등방성 구성 모델을 대수적으로 변형한 것이므로, 입력값이 별도의 측정에서 얻어진 것이 아니라면 독립적인 실험 검증을 제공하지 않는다. $E$, $G$, $\nu$가 모두 보고된 경우에도 측정 불확도, 반올림, 온도 차이, 기공률, 조직, 또는 등방성에서의 이탈로 인해 작은 불일치가 발생하는 것은 정상이다.

안정적인 일반 등방성 탄성 고체의 경우, 일반적으로 다음의 제한 조건이 적용된다.

\[ G>0,\qquad K>0,\qquad -1<\nu<\frac{1}{2}. \]

특히 $\nu$의 상한은 중요하다. $\nu$가 $0.5$에 가까워지면 $1-2\nu$ 항은 0에 가까워지고, 계산된 체적탄성계수는 $E$에 비해 매우 커진다. 따라서 거의 비압축성인 재료는 유한한 인장탄성계수를 가지면서도 훨씬 큰 체적 강성을 가질 수 있다. 강철은 압축 가능한 재료이므로 $\nu =0.5$를 강철의 정확한 값으로 취급하면 유용한 변환 결과가 아니라 특이한 변환이 발생한다.

이 방정식들은 방향별 변동이 충분히 평균화된 다결정체의 유효 등방성 물성에 적용된다. 단결정 탄성 상수에 관한 NIST 핸드북의 장은 이 조건이 중요한 이유를 보여준다. 유효 $E$, $G$, $B$, 종탄성계수 및 $\nu$는 입방정 및 육방정 재료의 단결정 강성 데이터로부터 도출할 수 있지만, 평균화 절차는 결정 대칭성과 조직에 따라 달라진다. 압연 판재, 용접 금속, 주조 조직, 무작위 배향의 어닐링 다결정체는 화학적 설명이 유사하더라도 방향별 탄성 응답이 서로 다를 수 있다.

이 상수들은 서로 다른 주파수 영역을 나타낼 수도 있다. ASTM International이 2020년에 발행한 ASTM E1875-20a는 “음향 공명에 의한” 동적 영률, 전단탄성계수 및 푸아송비의 측정을 규정한다. 이러한 동적 값은 공진 주파수로부터 얻어지며, 빠른 소진폭 하중과 관련된다. 정적 인장시험 탄성계수는 시험기 순응도, 미세소성, 내부 마찰, 기공률, 온도 또는 이상적인 탄성 모델에서의 기타 이탈 때문에 달라질 수 있다. 변환 방정식은 입력 상수들이 서로 호환되는 구성적 설명에 속할 때에만 유효하다.

따라서 Engineering ToolBox가 제시하는 스테인리스강의 약 $163\text{GPa}$라는 체적탄성계수의 근사값은 모든 스테인리스강 등급, 제품 형태, 온도, 상 균형 또는 시험 방법에 적용되는 보편적 값이 아니라 2차적 추정값으로 이해해야 한다. “스테인리스강”이라는 명칭은 오스테나이트계, 페라이트계, 마르텐사이트계, 석출경화계 및 이중상 등 상당히 다양한 재료를 포괄한다. 이들의 탄성 응답은 냉간가공과 온도에 따라서도 변할 수 있다.

Lamé 매개변수 $\lambda$와 $\mu$

Lamé 매개변수는 동일한 등방성 탄성 법칙을 나타내는 또 다른 표현이다. 두 번째 Lamé 매개변수는 다음과 같다.

$$\mu =G,$$

따라서 $\mu$는 단순히 Lamé 표기법으로 표현한 전단탄성계수이다. 첫 번째 Lamé 매개변수는 다음과 같다.

$$\lambda =K-\frac{2G}{3}.$$

이는 다음과 같이도 쓸 수 있다.

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}.$$

텐서 표기법에서 등방성 응력–변형률 관계는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

여기서 ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$는 응력 텐서, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$는 변형률 텐서, ${\epsilon }_{\mathrm{kk}}$는 체적 변형률, ${\delta }_{\mathrm{ij}}$는 Kronecker 델타이다. $2\mu$라는 배율은 변형률 텐서의 편차 성분 및 전단 성분에 작용하며, $G$와 별개의 물리적 탄성계수를 정의하는 것은 아니다.

Sandia의 Sierra 문서에는 영률 $E$, 푸아송비 $\nu$, 체적탄성계수 $K$, 전단탄성계수 $G$, Lamé의 첫 번째 매개변수 $\lambda$, $2\mu$라는 서로 연관된 여섯 가지 등방성 탄성 상수가 제시되어 있다. 이는 소프트웨어 및 유한요소 표기에서 자주 발생하는 함정을 설명해 준다. 구성 방정식이 해당 계수를 사용하기 때문에 재료 카드에서 “$2\mu$”를 요구할 수 있는 반면, 다른 인터페이스에서는 $G$ 또는 $\mu$를 요구할 수 있다. $2\mu$가 필요한 곳에 $G$를 입력하면 2배의 오차가 발생한다.

Springer의 Elasticity of Solids(2020)는 핵심 규칙을 직접적으로 제시한다. 등방성 고체에서는 탄성 상수 중 독립적인 것이 두 개뿐이다. Sandia의 정식화 역시 $E$와 $\nu$가 나머지 상수들을 결정한다고 설명한다. 여섯 가지 명칭은 서로 연관된 여섯 양을 나타낼 뿐, 별도로 조정할 수 있는 여섯 개의 등급별 물성값을 의미하지 않는다.

$K$와 $B$ 사이의 단위, 표기법 및 표기 충돌

$E$, $G$, $K$, $B$, $\lambda$, $\mu$는 모두 응력의 단위를 갖는다. SI 단위에서는 파스칼이며, 강철의 경우 일반적으로 기가파스칼($\text{GPa}$)로 보고된다. 푸아송비 $\nu$는 무차원이다. $1\text{GPa}={10}^9\text{Pa}$이므로, 어떤 방정식을 적용하기 전에 응력과 같은 차원을 갖는 모든 입력값을 동일한 단위로 맞춰야 한다.

기호 $K$는 연속체 역학 및 유한요소 문서에서 체적탄성계수에 흔히 사용된다. NIST와 많은 재료 참고문헌에서는 “bulk modulus”가 B로 시작하기 때문에 $B$를 사용하는 경우가 많다. 위의 방정식에서 이 두 기호는 일반적으로 동일한 양을 의미한다.

$$K=B.$$

이들은 서로 다른 두 개의 강철 상수가 아니다. 교재에서는 $K$를 체적탄성계수에 사용하는 반면, 다른 분야에서는 $K$를 강성 행렬, 열전도도 계수 또는 응력확대와 관련된 양에 사용하는 경우 이러한 충돌이 중요해진다. 해석은 주변의 정의를 기준으로 해야 한다.

마지막으로, 이러한 관계식은 사용 중 측정되는 모든 강성을 의미하는 것이 아니라 탄성 상수를 설명한다. 온도 의존성 데이터, 상변태, 자기적 효과, 조직, 잔류응력 및 주파수는 측정된 응답을 변화시킬 수 있다. 예를 들어 National Bureau of Standards가 1981년에 발표한 Fe-5Cr-26Mn 오스테나이트계 강철에 관한 보고서는 종파 및 횡파 음속으로부터 76–400 K 범위에서 탄성 상수를 결정했다. 이 온도 범위만 보더라도, 조건이 명시되지 않은 단일 탄성계수 값이 모든 조건을 나타낼 수 없는 이유를 알 수 있다. 방정식은 변환의 틀을 제공하며, 실제 시험 상태가 그 틀에 어떤 값을 넣어야 하는지를 결정한다.

단결정 탄성, 강의 결정학 및 다결정 평균

강은 모든 구조 규모에서 동일한 수학적 의미로 탄성적인 것은 아니다. 개별 결정은 격자 방향과 연관된 특성을 가지는 반면, 공학용 강 제품은 일반적으로 서로 다른 방위, 상, 결함 및 잔류응력을 지닌 다수의 결정립으로 구성된다. 후자의 경우에서 측정한 탄성률을 전자의 보편적인 물성인 것처럼 취급하면 잘못된 계산이 이루어질 수 있다.

이러한 구분은 결정 대칭에서 시작된다. 페라이트계 강은 체심입방(BCC) 결정구조를 가지며, 오스테나이트계 강은 면심입방(FCC) 구조를 가진다. 마르텐사이트는 일반적으로 체심정방 구조로 설명되지만, 그 정방성은 탄소 함량과 뜨임 이력에 따라 달라진다. 이러한 구조들은 모든 결정학적 방향에서 탄성 변형을 동일하게 전달하지 않는다. 다결정체는 여러 결정립의 방향별 응답을 평균한 후에야 거의 등방성으로 나타날 수 있다.

입방정 결정의 탄성 강성 텐서

선형 탄성학에서는 다음과 같은 4차 강성 텐서를 통해 응력과 변형률의 관계를 나타낸다.

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=C_{\mathrm{ijkl}}{\epsilon }_{\mathrm{kl}}.$$

이 텐서는 탄성 강성 $C_{\mathrm{ijkl}}$을 포함하며, 그 역텐서는 탄성 컴플라이언스 $S_{\mathrm{ijkl}}$을 포함한다. 결정 대칭은 독립 항의 수를 줄인다. 완전히 일반적인 이방성 고체에는 21개의 독립 탄성 상수가 필요할 수 있지만, 입방정 결정에는 $C_{11}$, $C_{12}$, $C_{44}$의 세 가지 상수만 필요하다.

축약 행렬 표기법에서 입방정 강성 행렬은 다음과 같다.

\[ \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2\\ \sigma_3\\ \sigma_4\\ \sigma_5\\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\ 0&0&0&C_{44}&0&0\\ 0&0&0&0&C_{44}&0\\ 0&0&0&0&0&C_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \varepsilon_3\\ \varepsilon_4\\ \varepsilon_5\\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}. \]

세 상수는 서로 다른 역할을 한다. $C_{11}$은 입방정 축을 따른 법선 응력 응답을 나타내고, $C_{12}$는 서로 수직인 축 사이에서 법선 변형을 결합하며, $C_{44}$는 주요 결정학적 면에서의 전단 응답을 나타낸다. 이들은 강성값이지 영률이나 전단탄성률을 서로 바꾸어 표현한 값이 아니다.

입방정 결정의 이방성을 나타내는 유용한 지표로 제너 비가 있다.

$$A=\frac{2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}.$$

$A=1$이면 입방정의 탄성 응답은 등방성 고체와 동일한 방향 의존 형태를 갖는다. 1에서 벗어난 값은 방위 의존성을 나타낸다. 그러나 이 비만으로는 강 제품의 탄성률을 알 수 없다. 이 비는 관련 단결정 상수가 측정되거나 계산되었을 때 결정의 탄성 대칭을 설명하는 값이다.

1982년에 발행된 NIST 단결정 장에서는 이러한 강성 데이터를 입방정 및 육방정 재료의 집합체 물성으로 변환하는 방법을 제시한다. 입방정 결정에서 균일한 정수압 변형과 관련된 체적탄성률은 다음과 같다.

$$B=\frac{C_{11}+2C_{12}}{3}.$$

이는 NIST가 제시한 다음 열역학적 정의와 일치한다.

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

단결정의 전단탄성률과 영률은 방향에 따라 여전히 달라진다. 입방정 결정의 정수압 체적 응답은 대칭성에 의해 제약되지만, $\left[100\right]$, $\left[110\right]$, $\left[111\right]$과 같은 방향에서는 인장 탄성률이 서로 다를 수 있다. 이는 가해진 응력이 격자에 대해 서로 다르게 분해되기 때문이다.

2020년 Springer의 Elasticity of Solids 장에서 설명한 것처럼, 등방성 재료에서는 독립적인 탄성 상수가 두 개뿐이다. Sandia의 Sierra 문서에서는 이와 관련된 등방성 물성 집합으로 영률 $E$, 푸아송비 $\nu$, 체적탄성률 $K$, 전단탄성률 $G$, 라메의 제1 매개변수 $\lambda$, 그리고 $2\mu$를 제시하며, 적절한 두 항을 선택하면 나머지를 결정할 수 있다. 이러한 축약은 단순히 결정이 작거나 변형이 탄성 범위에 머문다고 해서 결정에 적용되는 것이 아니다. 이는 등방성 대칭에서 비롯된다.

집합조직과 방향별 탄성률

결정 방위는 일반적으로 시편의 기준축에 대한 결정학적 방향과 면으로 표현된다. 다결정 판재에서는 방위분포함수가 결정립 방위의 분포를 나타낸다. 특히 압연, 재결정 및 그에 뒤따르는 상변태 과정에서 특정한 격자 회전을 선호하게 되면 집합조직이 형성된다.

따라서 압연 방향에서 측정한 인장 탄성률은 압연에 수직인 방향이나 판 두께 방향의 탄성률과 같을 필요가 없다. 이러한 차이는 결정립 응답의 방위 가중 합에서 발생하는 것이지, 기초 강성 텐서를 대체하는 새로운 독립적 “압연 방향 영률”에서 비롯되는 것이 아니다. 유한요소 모델에서는 재료 좌표계에 이방성 강성 텐서를 지정하거나, 여러 방위에 결정 수준의 물성을 할당하여 이러한 거동을 표현할 수 있다.

압연된 저탄소강, 페라이트계 스테인리스강 및 상변태 공정을 거친 판재는 변형과 재결정으로 인해 집합조직을 나타낼 수 있다. 단조강은 단조축 주변에 방향 의존적인 결정립 흐름과 집합조직을 형성할 수 있다. 주강은 흔히 더 다양한 방위 분포를 보이지만, 응고 과정에서 주상 결정립, 편석, 상 구배 또는 우선 방위가 형성될 수 있다. 이러한 제조 공정 중 어느 것도 등방성이나 특정 크기의 이방성을 보장하지 않는다.

적층 제조 강에서는 또 다른 방위 문제가 발생한다. 층별 열순환은 적층 방향과 평행한 주상 결정립을 형성할 수 있으며, 스캔 전략, 용융풀 형상, 재가열 및 열처리는 방위 분포와 상 구성을 변화시킨다. 따라서 적층 방향과 평행하게 측정한 탄성률은 그 방향에 수직으로 측정한 값과 다를 수 있다. 보고되는 값에는 방향, 시편 위치, 열처리, 기공률 및 시험 방법이 함께 명시되어야 한다.

집합조직은 푸아송비와 전단탄성률에도 영향을 미친다. 인장시험은 축방향 변형률 응답을 보고할 수 있는 반면, 공진법은 진동 모드로부터 여러 동적 상수를 추론한다. ASTM E1875-20a는 “음향 공진에 의한” 동적 영률, 전단탄성률 및 푸아송비의 측정을 규정한다. 이러한 동적 값은 느린 인장시험에서 얻은 정적 값과 자동으로 동일하지 않으며, 특히 감쇠, 미세균열, 기공률, 온도 또는 주파수가 응답에 영향을 미치는 경우에는 더욱 그렇다.

준등방성 다결정체의 추정값

결정립의 방위가 충분히 분산되어 있으면 시편 규모에서 방향 차이가 작은 값으로 평균될 수 있다. 이때 공학자들은 해당 집합체를 준등방성이라고 표현한다. 즉 모든 결정립이나 국부 체적에서 완전히 등방성인 것은 아니지만, 의도한 계산에서는 등방성 상수로 충분히 나타낼 수 있다는 의미이다. 이 용어는 중요하다. 이는 근사임을 나타내는 것이지, 모든 결정학적 이방성이 사라졌다는 주장이 아니다.

다결정체의 추정값은 단결정의 강성 또는 컴플라이언스 데이터를 사용하여 상한·하한 및 평균화 기법으로 계산할 수 있다. Voigt 추정은 결정립 전체에서 변형률이 균일하다고 가정하고, Reuss 추정은 응력이 균일하다고 가정한다. 어느 가정도 모든 불균질 집합체를 정확히 나타내지는 못하므로 두 추정의 결과는 일반적으로 서로 다르다. Voigt 결과와 Reuss 결과의 산술평균으로 흔히 취하는 Hill 추정은 실용적인 중간 근사값으로 사용되는 경우가 많다. 이러한 추정에는 결정 대칭, 방위 분포 및 상 구성이 명시되어야 한다.

준등방성 집합체에서는 그 결과로 얻은 $E$, $G$, $B$, $\nu$가 다음과 같은 익숙한 등방성 관계를 따른다.

$$E=2G(1+\nu ),$$

$$E=3B(1-2\nu ),$$

및

$$E=\frac{9\mathrm{BG}}{3B+G}.$$

따라서 독립적인 집합체 상수 두 개를 선택하면 나머지 값은 유도된다. 참고 표에는 Engineering ToolBox가 2024년에 제시한 것처럼 스테인리스강의 체적탄성률을 약 163 GPa로 기재할 수 있지만, 이 수치는 모든 스테인리스강 등급, 온도, 제품 형태, 상 분율 또는 측정 방법에 적용되는 보편적인 값이 아니라 2차적인 추정값이다.

Fe-5Cr-26Mn 오스테나이트계 강에 관한 National Bureau of Standards 보고서는 이러한 측정 문제를 직접 보여 준다. 이 보고서에서는 종파 및 횡파의 음속을 사용하여 76–400 K 범위에서 탄성 상수를 결정했다. 온도는 격자 간격, 상 안정성, 결함 이동성 및 파속을 변화시키므로, 그 결과로 얻은 상수는 특정 시험 조건을 나타낸다. 설계에서는 집합조직이 약한 주조 제품이나 어닐링 제품에 준등방성 물성 집합이 적절할 수 있다. 그러나 강하게 압연된 판재, 단조 부품, 용접부 또는 적층 제조된 적층체에는 방향별 데이터가 필요할 수 있다. 따라서 올바른 탄성률은 단순히 강종에 부여된 숫자가 아니라, 변형 모드, 방향, 온도, 미세조직 및 시험 방법과 연관된 값이다.

강의 탄성 상수를 측정하는 방법

강의 탄성 상수는 힘–변위 응답 또는 기계적 파동의 전파와 공진을 통해 측정한다. 이러한 접근법은 항상 동일한 수치의 탄성률을 산출하지는 않는다. 인장 시험은 특정 하중 속도에서 거의 정적인 기울기를 기록하는 반면, 음향 및 초음파 방법은 고주파·소진폭 응답을 측정한다. 온도, 결정립 구조, 결정학적 집합조직, 기공률, 상 구성, 잔류응력, 시험편 형상, 그리고 측정 모드의 정의는 모두 결과에 영향을 줄 수 있다.

등방성 선형 탄성 고체에서는 두 개의 탄성 상수만 독립적이다. 영률 $E$, 전단 탄성률 $G$, 체적 탄성률 $K$ 또는 $B$, 푸아송비 $\nu$, Lamé의 제1 매개변수 $\lambda$, 그리고 $2\mu$는 동일한 구성적 응답의 서로 관련된 측면을 나타낸다. Sandia National Laboratories는 이 상수들을 열거하고 $E$와 $\nu$가 나머지 상수를 결정한다고 설명한다. 따라서 보고된 물성량의 명칭이 익숙하더라도 측정 방법은 중요하다. 영률은 축 방향 신장을, 체적 탄성률은 정수압에 따른 체적 변화를, 전단 탄성률은 각변형을 나타낸다.

기계적 인장 및 압축 방법

일반적인 인장 방법은 응력–변형률 곡선에서 초기 선형 부분의 기울기로부터 정적 또는 준정적 영률을 결정한다.

$$E=\frac{d\sigma }{d\epsilon }.$$

가공한 강 시험편에 인장 하중을 가하면서 신장계, 변형률 게이지 또는 광학 시스템으로 축 변형률을 측정한다. 유용한 기울기는 소성 변형, 뤼더스 변형, 균열 또는 기타 비선형 거동이 시작되기 전에 취한다. 선형성에서 벗어나는 작은 편차, 시험기 컴플라이언스, 안착 효과 및 변형률 분해능의 한계가 피팅된 값에 영향을 줄 수 있으므로, 선택한 변형률 구간을 명시해야 한다.

인장 시험에서는 동시에 발생하는 횡방향 변형률을 측정하여 푸아송비도 결정할 수 있다.

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}.$$

축 방향 및 횡방향 측정은 동기화되어야 하며 동일한 탄성 구간에서 수행되어야 한다. $E$와 $\nu$를 알면 등방성 관계식으로 다음을 구할 수 있다.

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

및

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

이렇게 계산된 값은 전단 강성 또는 체적 강성에 대한 별도의 측정값이 아니다. 이 값들은 원래 인장 데이터가 갖는 온도, 변형률 속도, 집합조직 및 시험 방향 의존성을 그대로 물려받는다.

압축 시험은 축 방향 탄성률을 구하는 또 다른 방법이지만, 서로 다른 오차를 유발한다. 시험편은 좌굴을 방지할 만큼 짧아야 하지만 측정 가능한 변위를 확보할 만큼 길어야 한다. 단부 마찰은 횡방향 팽창을 억제하여 시험편을 배럴 형태로 만들 수 있으므로, 측정된 힘–변위 기울기에는 마찰과 가압판 정렬의 영향이 포함될 수 있다. 윤활, 단부의 평행도, 표면 마감, 가압판 강성, 시험편 높이와 직경의 비가 모두 중요하다. 변형은 크로스헤드 이동량에만 의존하지 말고, 신장계 또는 변위 센서로 시험편의 유효 게이지 길이에 걸쳐 측정해야 한다.

정수압 압축은 모든 방향으로 압력을 가하고 체적 변화를 추적하므로 개념적으로 직접적인 체적 탄성률 측정에 더 가깝다.

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

이는 1982년에 National Institute of Standards and Technology가 제시한 열역학적 정의이다. 일반적인 일축 압축은 정수압 압축이 아니다. 일축 압축은 축 방향 및 횡방향 변형을 함께 포함하므로 $K$를 직접 측정하지 않는다. 직접적인 체적 탄성률 측정에는 압력 용기, 정확한 체적 또는 변형률 측정, 압력 보정 및 온도 제어가 필요하다. 대부분의 구조용 강 특성 분석에서는 독립적으로 측정한 $E$와 $\nu$로부터 $K$를 계산하거나 음속으로부터 구한다.

정적 기계적 기울기는 시험 속도와 시험편 상태에 특히 민감하다. 실온에서 연마되고 응력 제거된 봉을 시험하여 얻은 인장 결과가 집합조직을 가진 압연 판재, 용접 금속 또는 2상 열처리 제품의 탄성률과 자동으로 동일한 것은 아니다. 입방정 단결정에서는 결정학적 방향에 따라 강성이 달라진다. 결정립이 무작위로 배향된 다결정 집합체는 준등방성으로 보일 수 있지만, 압연 또는 응고 집합조직으로 인해 방향 의존적인 탄성률이 나타날 수 있다.

ASTM E1875-20a에 따른 음향 공진

ASTM E1875-20a는 “음향 공진에 의한” 동적 영률, 전단 탄성률 및 푸아송비를 결정하기 위한 표준이다. 길고 느린 힘–변형률 기울기를 측정하는 대신, 이 방법에서는 시험편을 가진하고 고유 공진 주파수를 식별한다. 공진 주파수는 탄성 강성, 질량 밀도, 시험편 치수 및 모드 형상에 따라 달라진다.

시험편은 자유 경계 조건을 근사하도록 지지하며, 일반적으로 진동 에너지를 가능한 한 적게 제거하도록 절점 부근에 지지대를 배치한다. 가진기가 진동을 발생시키고, 마이크로폰, 가속도계, 레이저 계측기 또는 다른 검출기가 응답을 기록한다. 공진 주파수는 뚜렷한 진폭 최대값, 위상 변화 또는 주파수 응답 피크로 식별한다. 측정된 주파수는 정확한 굽힘, 비틀림 또는 종방향 모드에 할당되어야 한다. 인접한 모드를 혼동하면 그럴듯하지만 잘못된 탄성률이 산출될 수 있다.

따라서 시험편의 길이, 폭, 두께, 질량 및 밀도는 핵심 입력값이다. 열팽창이 유의미한 경우 치수는 시험 온도에서 측정하거나, 적절한 열팽창 계수를 사용하여 실온 치수로부터 보정해야 한다. 특히 주강, 다공성 재료, 입자상 개재물 또는 다상 미세조직의 경우 밀도는 가정한 참고서 값이 아니라 실제 시험편에 해당해야 한다. ASTM E1875-20a는 모든 시료를 무한 봉으로 취급하지 않고 시험편 형상과 공진 방정식을 반영한다. 단부 조건, 지지 위치, 형상비, 감쇠 및 형상 보정은 계산된 동적 상수에 영향을 준다.

비틀림 공진은 주로 전단 정보를 제공하는 반면, 굽힘 또는 종방향 공진은 축 방향 강성과 관련된 탄성률을 제공한다. 동적 $E$와 $G$를 결합하면 다음 식으로 $\nu$를 계산할 수 있다.

$$\nu =\frac{E}{2G}-1,$$

단, 등방성 선형 탄성 가정이 적절해야 한다. 이렇게 얻은 푸아송비는 시험 주파수에서의 동적 값이다. 이를 주파수나 온도와 무관한 보편적인 강종 상수로 제시해서는 안 된다.

온도 제어는 사후적인 고려 사항이 아니라 측정의 일부이다. 노 또는 환경 챔버는 시험편을 안정되고 알려진 온도까지 유지해야 하며, 공진 식별 시 열팽창, 밀도 변화 및 강성의 온도 의존성을 고려해야 한다. 시험편이 아직 가열 중인 동안 측정한 주파수는 잘 정의된 탄성 상태를 나타내지 않는다. 지지대가 팽창하거나 연화되거나 미끄러지거나 접촉 압력을 변화시키면 온도에 따라 경계 조건도 달라진다.

종방향 및 횡방향 음속

초음파 측정에서는 파동 속도로부터 탄성 상수를 결정한다. 종파는 전파 방향과 평행한 입자 운동을 유발하고, 횡파 또는 전단파는 전파 방향에 수직인 입자 운동을 유발한다. 밀도가 $\rho$인 균질 등방성 고체에 대한 이상적인 관계식은 다음과 같다.

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}$$

및

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}.$$

따라서,

$$G=\rho v_T^2,$$

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_T^2),$$

및

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

그런 다음 동일한 등방성 가정하에서 $E$와 $G$로부터 푸아송비를 구하거나, 속도비로부터 직접 구할 수 있다. 방정식은 단순하지만 측정은 그렇지 않다. 전파 거리를 정확히 알아야 하고, 에코를 올바르게 식별해야 하며, 변환기는 의도한 편파를 발생시키고 검출해야 한다. 겉보기 종방향 도달 신호에는 모드 변환, 표면파, 반사 또는 분산의 영향이 포함될 수 있다.

1981년에 발행된 National Bureau of Standards 보고서는 76–400 K에서 Fe-5Cr-26Mn 오스테나이트 강의 탄성 상수를 결정하기 위해 종방향 및 횡방향 모드의 음속을 사용했다. 이 온도 범위는 중요한 의미를 갖는다. 즉, 탄성 상수는 합금 지정에 붙어 있는 고정된 명칭이 아니라 열적 상태에 따라 측정되는 함수임을 보여 준다. 이 보고서의 절차는 제어된 온도, 알려진 밀도, 정의된 시험편 형상 및 두 파동 모드의 신뢰성 있는 식별에 의존했다. 이러한 값을 갱신하지 않고 극저온 또는 고온에서 실온 방정식을 적용하면 실제 온도 의존성이 가려질 수 있다.

엔지니어링 툴박스는 스테인리스강의 체적 탄성률을 약 163 GPa로 제시한다. Limited evidence

공학 참고표에도 동일한 주의가 적용된다. Engineering ToolBox는 스테인리스강의 대략적인 체적 탄성률로 163 GPa를 제시하지만, 이 수치는 모든 스테인리스강 강종, 제품 형태, 집합조직, 상 분율, 온도 또는 시험 방법에 보편적으로 적용되는 값이 아니라 2차 참고 자료의 추정치이다. 오스테나이트 Fe-5Cr-26Mn에서 측정한 동적 값, 페라이트계 강종의 인장 시험편에서 얻은 정적 값, 그리고 $E$와 $\nu$로부터 추론하여 계산한 값은 서로 다른 실험적 질문에 답한다. 따라서 탄성률 자체를 보고하는 것만큼이나 시험 방법, 시험편 치수, 밀도, 온도, 공진 또는 파동 모드 및 경계 조건을 보고하는 것이 중요하다.

온도, 상, 조성 및 가공 효과

강의 탄성 상수는 특정 강종에 영구적으로 부착된 고정된 표지가 아니다. 탄성 상수는 재료의 상태, 변형 방식 및 측정 조건을 나타낸다. 온도, 상 구성, 조성, 결정학적 집합조직, 기공률, 개재물, 잔류응력 및 열 이력은 모두 측정 응답을 변화시킬 수 있다. 변태 또는 뜨임 처리 전후로 강도는 수백 퍼센트까지 변할 수 있는 반면, 영률은 훨씬 작은 비율로 변한다. 그러나 “더 작다”는 것이 정밀 해석에서 무시해도 된다는 뜻은 아니다.

등방성 선형 탄성 고체에서는 탄성 상수 중 독립적인 것은 두 개뿐이다. 영률 $E$, 전단 탄성계수 $G$, 체적 탄성계수 $K$ 또는 $B$, 푸아송비 $\nu$, Lamé의 제1 매개변수 $\lambda$, 그리고 $2\mu$는 서로 연관된 양이며, Springer의 Elasticity of Solids와 Sandia National Laboratories의 Sierra 문서에 설명되어 있다. 온도나 미세조직의 변화로 독립적인 상수 하나가 변하면, 그로부터 계산되는 다른 상수들도 일관되게 갱신해야 한다. 따라서 보고된 탄성계수에는 온도, 제품 상태, 방향 및 시험 방법이 함께 명시되어야 한다.

탄성 상수의 온도 의존성

탄성 강성은 일반적으로 온도가 상승하면 감소한다. 원자 진동이 증가하고, 원자 간 결합이 작은 변위에 대해 덜 저항하게 되며, 열팽창으로 원자 사이의 평형 간격이 변하기 때문이다. 단일 상 내부에서는 이러한 효과가 대체로 점진적으로 나타나지만, 자성 변태, 회복, 재결정 및 상변태가 더 급격한 변화를 일으킬 수 있다. 변태 온도 부근에서는 단일한 실온값을 온도 의존 재료 모델 대신 사용하는 것이 특히 부적절하다.

National Bureau of Standards가 발표한 Fe-5Cr-26Mn 오스테나이트계 강 보고서는 유용한 사례를 제공한다. 1981년에 발표된 이 연구는 종파 및 횡파의 음속으로부터 76~400 K 범위의 탄성 상수를 결정했다. 이는 동적 측정이다. 파동 속도로부터 종방향 및 전단 강성을 구하고, 이를 통해 관련 상수들을 계산할 수 있기 때문이다. 이 결과는 시험 구간 동안 오스테나이트 상태로 유지된 강이라 하더라도 온도와 무관한 하나의 탄성 상수 집합을 갖지 않음을 보여 준다. 온도 범위가 극저온 조건에서 실온보다 높은 온도까지 이어지므로, 측정값은 단일 강종의 고정된 물성이 아니라 곡선을 나타낸다.

여기서는 강도와 강성의 차이가 중요하다. 저온에서는 전위의 이동이 어려워지기 때문에 항복강도가 크게 증가할 수 있지만, 탄성 구간의 기울기는 그보다 훨씬 덜 극적으로 변한다. 반대로 $E$의 작은 변화도 예측 처짐, 좌굴 하중, 접촉 압력 또는 열응력 분담에 영향을 줄 수 있다. 소성 강도와 탄성 강성은 서로 다른 질문에 답한다. 강은 훨씬 강해질 수 있지만, 그에 비례하여 더 단단해지는 것은 아니다.

동적 시험과 정적 시험에서도 서로 다른 값이 보고될 수 있다. ASTM E1875-20a는 음향 공진에 의한 동적 영률, 전단 탄성계수 및 푸아송비의 결정을 규정한다. 공진 시험은 작은 변형률과 높은 주파수에서 수행되는 반면, 인장시험은 규정된 변형률 구간에서 정적 또는 준정적 기울기를 구한다. 미소 소성, 비탄성, 시험기의 순응도, 시험편 형상, 표면 상태 및 주파수는 두 결과의 비교에 영향을 줄 수 있다. 어느 결과도 다른 결과와 모든 경우에 상호 교환 가능한 것으로 취급해서는 안 된다.

체적 탄성계수는 고유한 물리적 의미를 갖는다. 이는 체적 압축에 대한 저항을 측정한다. NIST는 이를 열역학적으로 $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$로 정의한다. Engineering ToolBox는 스테인리스강의 체적 탄성계수로 약 163 GPa를 제시하지만, 이 수치는 모든 스테인리스강 강종, 온도, 제품 형태, 상 구성 또는 시험 조건에 적용되는 보편적인 값이 아니라 2차 자료에 근거한 참고 추정치이다. 표로 제시된 $E$, $G$ 및 $\nu$에도 동일한 주의가 적용된다.

오스테나이트, 페라이트, 마르텐사이트 및 다상강

각 상은 고유한 결정 구조, 조성, 격자상수, 자기 상태, 결함 분포 및 단결정 강성 텐서를 가지므로, 상 구성은 탄성 응답에 영향을 준다. 페라이트는 체심입방 구조를, 오스테나이트는 면심입방 구조를 가지며, 마르텐사이트는 탄소로 인해 상당한 정방정성이 발생하는 경우 일반적으로 체심정방 구조 또는 크게 왜곡된 체심 구조를 갖는다. 이러한 명칭만으로 하나의 고유한 탄성계수가 정해지는 것은 아니다. 탄소 함량, 치환형 합금 원소, 규칙화, 전위 밀도 및 잔류 결함은 각 상의 강성을 변화시킨다.

오스테나이트계 강은 일반적인 “오스테나이트 탄성계수”를 부여해서는 안 된다는 점을 분명히 보여 준다. Fe-5Cr-26Mn 연구는 특정한 화학 조성과 온도 범위를 대상으로 한 것이지, 모든 Fe-Cr-Mn 합금이나 오스테나이트계라고 분류되는 모든 강을 대상으로 한 것이 아니다. 망가니즈와 크로뮴은 격자 안정성과 자기적 거동에 영향을 주며, 결정 구조가 오스테나이트로 유지되는 경우에도 온도는 자기 질서를 변화시킬 수 있다. 이러한 변화는 원자 간 힘에 영향을 주고, 결과적으로 탄성 상수에도 영향을 준다.

페라이트계 강은 강자성 상태 및 상자성으로의 전이와 관련된 온도 의존적 탄성 거동을 나타낼 수 있다. 이러한 변화가 눈에 보이는 상변태와 반드시 일치하는 것은 아니다. 마르텐사이트계 강에는 또 다른 요인이 추가된다. 담금질은 과포화, 높은 전위 밀도, 내부응력 및 흔히 탄소 의존적인 정방정성을 발생시킨다. 이어지는 뜨임은 탄화물 석출, 회복 및 탄소 재분포를 유발한다. 따라서 뜨임 후 측정되는 탄성 응답은 이상적인 마르텐사이트 결정의 응답과 단순히 동일하지 않다.

다상강에는 유효 물성의 관점에서 해석이 필요하다. 페라이트-마르텐사이트계, 복합상, 베이나이트계 또는 잔류 오스테나이트를 포함하는 강에서 겉보기 탄성계수는 상분율, 상의 연결성, 결정학적 배향, 계면, 기공률, 시험 체적의 방향 및 크기를 반영한다. 혼합법칙에 의한 추정은 첫 번째 근사로 활용할 수 있지만, 국부 구속 때문에 모든 상이 동일한 변형률이나 응력을 부담하지는 않는다. 페라이트에 포함된 고강성 마르텐사이트 영역은 하중 전달을 통해 측정 기울기를 변화시킬 수 있으며, 잔류 오스테나이트는 하중 중에 변태하여 응답을 선형 탄성에서 벗어나게 만들 수 있다.

단결정 수준에서 입방정 및 육방정 결정은 방향에 따라 강성이 달라진다. 다결정강은 결정립 배향이 충분히 무작위이고 시편에 평균화에 필요한 충분한 수의 결정립이 포함될 때에만 등방성에 가까워진다. 압연판, 스트립 및 봉재에는 집합조직이 남아 있을 수 있으며, 이로 인해 길이 방향, 폭 방향 및 두께 방향의 탄성계수가 서로 달라질 수 있다. 이러한 경우 계산에 하나의 등방성 $E$와 하나의 등방성 $G$를 억지로 적용하면 실제 방향성 응답이 가려질 수 있다.

주조, 압연, 열처리 및 잔류응력

가공은 고유한 상의 물성과 제조된 부품의 유효 강성을 모두 변화시킨다. 주강에는 수축 기공, 가스 기공, 산화물 막, 편석, 수지상 조직, 개재물 및 조대하거나 불균일한 결정립이 포함될 수 있다. 연결된 기공의 체적분율이 작더라도 완전 치밀한 강에 대한 핸드북 값이 시사하는 것보다 유효 탄성계수를 더 크게 낮출 수 있다. 개재물은 기지에 비해 강성이 높거나 낮을 수 있으며, 결합이 불량한 개재물은 동적 또는 정적 시험 중 응력 집중원이나 균열과 유사한 결함으로 작용한다.

압연은 결정립을 미세화하고 연신시키며, 주조 조직을 분쇄하고 결정학적 집합조직을 형성한다. 그 결과 발생하는 탄성 이방성은 일부 제품에서는 작을 수 있지만, 다른 제품에서는 상당할 수 있다. 압하 스케줄, 압연 온도, 재결정 및 최종 두께가 모두 영향을 준다. 압연 방향을 따라 측정한 탄성계수를 폭 방향이나 법선 방향에 자동으로 적용해서는 안 된다.

열처리는 상분율, 결정립 크기, 전위 밀도, 석출물, 탄화물 형상 및 잔류응력을 변화시킨다. 노멀라이징은 페라이트-펄라이트 조직을 미세화할 수 있고, 담금질은 마르텐사이트와 잔류응력을 형성할 수 있으며, 뜨임은 석출과 회복을 변화시키면서 그 응력의 일부를 감소시킨다. 어닐링은 재결정을 통해 전위 밀도와 집합조직 관련 효과를 줄일 수 있다. 이러한 처리는 항복강도와 인성에 상당한 변화를 일으키면서도 작은 변형률에서의 탄성계수는 이전 값과 비교적 가까운 수준으로 유지할 수 있다. 그러나 결함, 상변태 또는 집합조직으로 인해 측정된 유효 탄성계수는 여전히 변할 수 있다.

잔류응력은 별도로 다룰 필요가 있다. 자기 평형을 이루는 응력장은 결함이 없고 균질한 선형 탄성 결정의 이상적인 접선 탄성계수를 반드시 변화시키는 것은 아니다. 그러나 실험에서 기록되는 값은 변화시킬 수 있다. 잔류응력은 파동 전파, 시험편의 곡률, 접촉 조건, 균열 폐쇄 및 미소 소성의 시작에 영향을 준다. 인장시험에서는 교정 과정, 그립 정렬, 응력 재분포 또는 가공 응력의 불완전한 제거로 인해 겉보기 초기 기울기가 영향을 받을 수 있다. 공진 시험에서는 응력과 이방성이 고유 진동수를 변화시킬 수 있다.

따라서 신뢰성 있게 제시된 강의 탄성계수 값에는 상의 상태, 열적 상태, 제품의 방향, 밀도 또는 결함 상태 및 측정 방법이 명시되어야 한다. 그 수치는 영구적인 강종 상수가 아니라, 그렇게 정의된 상태의 물성이다.

강종 명칭과 신뢰성 있는 물성 표

강종 명칭은 화학 조성, 제품 분류 또는 규격 요구사항을 식별하지만, 그 자체로 완전한 탄성 물성 데이터를 제공하지는 않는다. “304 stainless steel”, “AISI 1045”, “ASTM A572 Grade 50”은 유용한 재료 참조 명칭이지만, 이러한 명칭만으로는 제품 형태, 열 이력, 결정학적 집합조직, 시험 온도 또는 탄성 계수를 얻는 데 사용된 방법을 알 수 없다.

이러한 구분이 중요한 이유는 등방성 선형 탄성에서 독립적인 상수가 두 개뿐이기 때문이다. 공학에서 일반적으로 보고되는 값에는 영률 $E$, 푸아송비 $\nu$, 체적 탄성 계수 $K$ 또는 $B$, 전단 탄성 계수 $G$, Lamé의 제1 매개변수 $\lambda$, 그리고 $2\mu$가 포함된다. Sandia National Laboratories는 등방성 관계가 적용될 때 $E$와 $\nu$로 나머지 상수를 결정할 수 있다고 설명한다. OpenStax는 주요 탄성 계수에 서로 다른 물리적 의미를 부여한다. $E$는 인장 또는 일축 응답을, $K$는 체적 압축을, $G$는 전단 변형을 나타낸다. 따라서 출처를 설명하지 않은 채 겉보기에는 독립적인 네 개의 수치를 제시하는 표는 재료 모델이 실제로 갖지 않는 정밀도나 독립성을 암시할 수 있다.

오스테나이트계, 페라이트계, 마르텐사이트계 및 석출경화계 스테인리스강

스테인리스강의 계열 명칭은 하나의 보편적인 탄성 응답이 아니라 야금학적 조직을 설명한다. Type 304, Type 304L, Type 316, Type 316L과 같은 오스테나이트계 강종은 관련 ASTM 제품 규격에서 일반적으로 해당 “Type” 명칭으로 식별되며, 해당하는 경우 UNS S30400, UNS S30403, UNS S31600, UNS S31603과 같은 UNS 번호도 사용된다. 명칭은 적용되는 규격에 기재된 그대로 재현해야 한다. “304L stainless”를 별도의 설명 없이 “304”로 바꾸어서는 안 된다. 저탄소 강종은 조성 요구사항이 다르며, 다른 방식으로 가공될 수 있기 때문이다.

페라이트계 강종에는 Type 430과 Type 409가 포함되며, 마르텐사이트계 강종에는 Type 410, Type 420, Type 440C가 포함된다. 이러한 명칭은 상 안정성, 탄소 함량, 합금 첨가 원소, 경화 거동 및 자성 특성이 서로 다른 계열을 식별한다. 탄성 물성은 냉간 압하, 어닐링, 담금질, 뜨임, 잔류 오스테나이트, 탄화물 분포 및 측정 방향의 영향을 받을 수 있다. 화학 조성이 유사한 명칭을 가진 주조 제품은 단조 또는 압연 제품과 다르게 거동할 수 있다.

석출경화계 스테인리스강은 더욱 신중하게 다루어야 한다. 17-4 PH는 널리 사용되는 명칭이지만, 규격에서는 이 재료를 UNS S17400으로 식별하고 H900, H1025 또는 H1150과 같은 상태를 규정할 수 있다. 이러한 상태 명칭은 열처리 상태를 나타내며, 서로 대체 가능한 강종 명칭이 아니다. 물성 표에 상태를 명시하지 않고 “17-4 PH modulus”라고만 기재하면 재료 설명의 중요한 부분이 빠지게 된다. 공칭 합금 명칭이 동일하더라도 상태에 따라 기지 조직, 석출물 상태, 잔류 응력 및 이전 변형 이력이 달라질 수 있다.

ASM의 Steel Castings Handbook은 탄성 계수, 푸아송비, 전단 탄성 계수 및 관련 물성을 주강 데이터로 다룬다. 이 관점은 중요하다. 주강 표는 특정 주조 재료와 시험 근거를 설명하는 것이지, 화학 조성이 유사한 모든 압연재, 용접재, 적층 제조 제품 또는 열처리 제품을 설명하는 것이 아니다. 주조품에는 편석, 기공, 개재물 및 국부적인 미세조직 편차가 존재할 수 있으며, 이러한 요소는 측정 결과와 그 산포에 영향을 줄 수 있다.

또한 스테인리스강 계열 명칭을 사용하여 하나의 정확한 탄성 계수를 지정해서는 안 된다. Engineering ToolBox에는 스테인리스강의 탄성 계수 163 GPa라는 근사적인 2차 참조값이 제시되어 있지만, 이 수치는 모든 스테인리스 강종, 온도, 제품 형태 또는 시험 조건에 적용되는 보편적인 값이 아니다. 이는 참고용 추정값일 뿐, 특정 규격의 데이터시트나 측정값을 대신할 수 없다.

탄소강 및 저합금강의 강종 명칭

탄소강과 저합금강 역시 정확한 명칭 관행을 따라야 한다. AISI/SAE 1045는 SAE/AISI 번호 체계에서 탄소강을 식별하는 명칭이며, 구조용 강재의 제품 규격인 ASTM A36과 동일한 명칭이 아니다. ASTM A572 Grade 50은 ASTM A572/A572M 내의 한 등급을 식별하는 반면, AISI/SAE 4130은 크롬-몰리브덴 합금강의 조성을 식별한다. 적용되는 규격이 명시적으로 그러한 설명을 뒷받침하지 않는 한, 이러한 명칭을 “4130-grade A572”와 같은 비공식 형태로 결합해서는 안 된다.

유럽식 명칭은 또 다른 예를 제공한다. S355J2와 S355JR은 EN 10025-2에서 사용되는 명칭이며, 접미사는 규정된 충격 시험 또는 납품 상태의 의미를 지닌다. 이들은 단순히 ASTM A572 Grade 50의 다른 명칭이 아니다. 화학적 유사성만으로는 규격 요구사항, 제품 치수, 검사 규정 또는 탄성 물성 데이터의 동등성이 확립되지 않는다.

표는 조성 명칭과 납품 상태도 구분해야 한다. AISI/SAE 4140은 어닐링 상태, 노멀라이징 및 뜨임 상태, 담금질 및 뜨임 상태, 단조 상태 또는 기타 규정된 상태로 공급될 수 있다. ASTM A36 판재, 봉재 및 구조용 형강은 제품 규격의 적용을 받지만, 측정된 응답은 여전히 두께, 압연 방향, 잔류 응력 및 시험 방법에 따라 달라질 수 있다. 공칭 강종은 한계값이나 요구사항을 설정할 뿐이며, 제조 이력을 없애 주지는 않는다.

“mild steel”, “tool steel”, “high-strength low-alloy steel”과 같은 계열 설명에도 같은 주의가 적용된다. 이러한 표현은 완전한 강종 명칭이 아니라 광범위한 범주를 나타낸다. 신뢰성 있는 표에는 규격 번호, 등급 또는 Type, 해당하는 경우 개정판, 적용 가능한 UNS 또는 AISI/SAE 명칭, 제품 형태 및 열처리 상태를 기재해야 한다. 명칭이 회사 내부 명칭이라면 ASTM, ASME, SAE, AISI, EN 또는 UNS 명칭인 것처럼 제시하지 말고 내부 명칭임을 표시해야 한다.

규격 및 제품 사양이 물성값과 함께 제시되어야 하는 이유

탄성 물성값은 측정 맥락이 있을 때에만 의미를 갖는다. 최소한 표에는 다음 사항을 식별해야 한다.

• 제품 형태: 판재, 시트, 봉재, 튜브, 와이어, 단조품, 용접 금속, 분말 공정 부품 또는 주조품
• 뜨임, 시효, 용체화 처리 또는 석출경화 상태를 포함한 열처리 및 상태
• 압연, 단조, 압출 또는 적층 제조 방향에 대한 시험 방향
• 온도 및 환경 조건
• 하중 속도 또는 주파수
• 시험편 형상 및 관련 치수
• 시험 규격 및 개정판
• 결과가 정적, 준정적 또는 동적인지 여부
• 가능한 경우 시험편 수, 범위, 평균 및 산포

정적 탄성 계수와 동적 탄성 계수는 자동으로 서로 대체할 수 없다. ASTM E1875-20a는 “음향 공진에 의한” 동적 영률, 전단 탄성 계수 및 푸아송비의 측정을 규정한다. 공진 측정은 파동 전파와 진동 주파수를 이용하는 반면, 인장 시험은 규정된 하중 속도에서 응력-변형률 곡선의 기울기를 결정할 수 있다. 두 방법 모두 탄성 응답을 다루지만, 주파수, 감쇠, 미세조직 결함, 계측 장비 및 데이터 환산 절차가 서로 다르기 때문에 보고되는 값이 달라질 수 있다.

특히 극저온 또는 고온 작업에서는 온도를 명시해야 한다. 1981년에 발행된 National Bureau of Standards 보고서는 종방향 및 횡방향 모드의 음속을 사용하여 Fe-5Cr-26Mn 오스테나이트계 강의 탄성 상수를 76–400 K 범위에서 측정했다. 이 범위는 별도의 조건 설명 없이 실온 값을 극저온 설계 표에 그대로 옮길 수 없는 이유를 보여 준다. 집합조직과 결정 이방성은 또 다른 문제를 제기한다. 단결정 탄성 상수에 관한 NIST 핸드북의 장에서는 단결정 강성 데이터로부터 준등방성 다결정 $E$, $G$, $B$, 종탄성 계수 및 $\nu$를 도출하는 방법을 설명하지만, 이러한 도출은 결정 대칭성, 방위 분포 및 평균화 가정에 좌우된다.

등방성 계산에서는 주의 깊게 식별된 두 개의 상수만으로 충분하며, 나머지 값은 제시된 방정식으로 계산하거나 일관성을 확인해야 한다. 이방성을 갖는 압연강, 단조강, 집합조직을 가진 강, 용접강 또는 적층 제조 강에서는 하나의 스칼라 탄성 계수가 완전한 구성 방정식 설명이 아니라 근사값일 수 있다. 규격과 제품 사양은 표가 이러한 한계를 감추지 않도록 한다. 또한 각각의 수치를 정의된 재료, 상태, 방향, 온도 및 방법과 연결해 준다. 이러한 정보가 갖추어져야 해당 값을 설계 계산에 책임 있게 사용할 수 있다.

설계에서의 사용: 올바른 탄성계수 관계 선택

탄성계수는 변형 모드에对应하는 물성입니다. 영률 $E$는 일축 응력으로 발생하는 수직 변형률을 나타내고, 전단탄성계수 $G$는 체적이 거의 일정한 상태에서의 형상 변형을 나타내며, 체적탄성계수 $K$는 균일 압축에 대한 저항을 나타냅니다. 체적탄성계수는 $B$로 표기하기도 합니다. 푸아송비 $\nu$는 수직 변형률과 횡변형률을 연결합니다. 이 물리량들은 서로 관련되어 있지만, 모두 기가파스칼 단위로 표시되거나 강재에 대해 함께 제시된다는 이유만으로 서로 대체할 수 있는 것은 아닙니다.

균질하고 선형이며 등방성인 고체에서는 독립적인 탄성상수가 두 개뿐입니다. Springer의 Elasticity of Solids는 2020년 등방성 탄성 해석에서 이를 직접적으로 설명합니다. Sandia National Laboratories는 관련 탄성상수 집합으로 영률 $E$, 푸아송비 $\nu$, 체적탄성계수 $K$, 전단탄성계수 $G$, 라메 제1상수 $\lambda$, 그리고 $2\mu$를 제시하며, $E$와 $\nu$가 나머지 물리량을 결정한다고 설명합니다. 따라서 다음 변환식은 서로 독립적인 여섯 가지 재료 물성에 대한 독립 측정값이 아니라, 조건부 관계식입니다.

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$$

그리고

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

가정 조건이 중요합니다. 이 식들은 작은 변형률, 선형 탄성 거동, 등방성 거동에 적용됩니다. 압연 조직을 가진 강판, 용접 열영향부, 방향성 응고를 포함하는 주조 제품 또는 2상 미세조직은 등방성 가정을 충분히 만족하지 않을 수 있습니다. 따라서 하나의 변환값이 모든 하중 방향을 대표한다고 보기 어려울 수 있습니다.

일축 부재와 E

직선 인장 부재, 압축 부재, 타이, 로드 또는 축력이 작용하는 세장 보 구간에서는 $E$가 주요 탄성계수입니다. 기본 관계식은 다음과 같습니다.

$$\sigma =E\epsilon ,$$

따라서 균일 단면 부재의 탄성 신장은 다음과 같습니다.

$$\delta =\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AE}},$$

여기서 $P$는 축력, $L$은 원래 길이, $A$는 단면적입니다. 이는 탄성 신장, 단축 및 축강성 $\mathrm{AE}/L$을 추정할 때 올바른 출발점입니다.

횡방향 수축이나 다축 구속이 중요한 경우에는 푸아송비가 관여합니다. 자유롭게 인장되는 강재 봉은 다음 관계에 따라 횡방향으로 수축합니다.

$${\epsilon }_{\text{transverse}}=-\nu {\epsilon }_{\text{axial}}.$$

그러나 시험편이 완전히 구속된 경우 축방향 거동은 $E$만으로 나타낼 수 없습니다. 횡변형률이 발생할 수 없으므로 응력 상태는 3차원이 되고, 겉보기 강성은 증가합니다. 접착된 인서트, 구속된 와셔 또는 압입 결합을 유한요소로 모델링할 때에는 부품을 고립된 1차원 봉으로 취급하지 말고 이러한 연성 효과를 고려해야 합니다.

$E$에 사용되는 값은 측정 조건 및 사용 조건과도 일치해야 합니다. 정적 인장시험의 기울기, 공진 동적 영률 및 초음파 속도에서 추정한 영률은 주파수, 온도, 시험편 형상, 기공률, 잔류응력 및 결함의 영향으로 서로 다를 수 있습니다. ASTM E1875-20a는 “음향 공진에 의한” 동적 영률, 전단탄성계수 및 푸아송비의 측정을 규정합니다. 이 방법으로 얻은 값이 설계 온도에서 수행한 저속 인장시험과 자동으로 동일해지는 것은 아닙니다.

강재는 모든 야금학적 상태에서 하나의 동일한 탄성 재료가 아닙니다. 페라이트, 마르텐사이트, 베이나이트 및 오스테나이트 조직은 서로 다를 수 있으며, 조직 방향성으로 인해 압연 방향과 횡방향의 거동이 달라질 수 있습니다. National Bureau of Standards의 Fe-5Cr-26Mn 오스테나이트계 강 보고서는 76–400 K 범위에서 종파 및 횡파 음속으로부터 탄성상수를 결정했습니다. 이 온도 범위는 실온 부근에서 측정한 탄성상수를 극저온 또는 고온 사용 조건에서 온도와 무관한 데이터로 취급해서는 안 된다는 점을 보여 줍니다.

비틀림과 G

탄성 비틀림을 받는 원형 축에서는 $G$가 비틀림각을 지배합니다.

$$\theta =\frac{\mathrm{TL}}{\mathrm{JG}},$$

여기서 $T$는 토크, $J$는 극2차모멘트, $L$은 축의 길이입니다. 비틀림 강성은 $\mathrm{JG}/L$입니다. 원형 축에서 이에 대응하는 전단응력은 다음과 같습니다.

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

이 계산에 $E$를 직접 사용하면, 신뢰할 수 있는 $\nu$ 값을 사용하여 먼저 변환하지 않는 한 잘못된 강성이 산출됩니다. 등방성 강재의 경우에는 다음과 같습니다.

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

$E$와 $\nu$만 उपलब्ध한 경우 이 변환은 유용하지만, 그렇다고 인장 측정이 직접적인 비틀림 측정으로 바뀌는 것은 아닙니다. 평균 인장탄성계수가 허용 가능한 수준으로 보이더라도 재료는 방향에 따라 다른 전단 거동을 나타낼 수 있습니다.

이 차이는 박벽 튜브, 스플라인, 용접 축 및 이방성 제조 이력을 가진 부품에서 중요해집니다. 일반 단면에서는 비틀림으로 인해 뒤틀림과 불균일한 전단장이 발생할 수 있으므로 Saint-Venant의 원형 축 방정식만으로는 충분하지 않을 수 있습니다. 재료 입력값은 여전히 전단 구성방정식의 매개변수이지만, 단면 해석은 실제 형상을 반영해야 합니다.

동적 전단 데이터에도 유사한 주의가 필요합니다. 공진법은 특정 주파수와 작은 변형률 진폭에서의 응답을 측정합니다. 음향시험으로 계산한 값은 진동 또는 파동 해석에는 적합할 수 있지만, 저속 하중 구조해석에 사용되는 할선강성 또는 접선강성과 동일하지 않을 수 있습니다. “동적”이라는 명칭은 사소한 표기가 아니라 서로 다른 실험 조건을 나타냅니다.

정수압, 접촉 및 파동 문제

체적 거동에는 체적탄성계수 $K$ 또는 $B$가 적절한 매개변수입니다. 정수압 조건에서 압력은 다음 관계에 따라 체적을 변화시킵니다.

$$K=B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

이는 1982년 National Institute of Standards and Technology가 제시한 열역학적 정의입니다. $K$가 크다는 것은 큰 압력이 가해져도 상대적인 체적 변화가 작다는 의미입니다. 이는 주로 $G$가 지배하는 형상 변화에 대한 저항과는 다릅니다.

Engineering ToolBox는 스테인리스강의 근사 체적탄성계수로 163 GPa를 제시합니다. 이 수치는 모든 스테인리스강 등급, 온도, 제품 형상, 상 구성 또는 시험 방법에 적용되는 보편적 값이 아니라, 보조적인 기준 추정값으로 사용할 수 있습니다. $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$이므로 $\nu$가 0.5에 가까워질수록 $\nu$의 작은 오차도 계산된 체적탄성계수에 뚜렷한 변화를 일으킬 수 있습니다.

접촉 해석에는 수직방향 및 접선방향 거동이 모두 필요합니다. Hertz 접촉에서 두 물체의 유효 수직탄성계수는 일반적으로 다음과 같이 표현됩니다.

\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}. \]

여기서 국부 탄성 압입을 지배하는 것은 하나의 강재 등급에 대한 $E$만이 아니라 \(E^*\)입니다. 마찰 미끄럼과 접선 견인력에는 $G$와 $\nu$도 관여합니다. \(E^*\) 대신 $K$를 사용하는 모델은 수치적으로 안정적이고 매끄러운 접촉압을 산출할 수 있지만, 실제와 다른 변형 메커니즘을 나타낼 수 있습니다.

파동 문제에는 또 다른 조합이 사용됩니다. 등방성 고체에서 종파 탄성계수는 다음과 같습니다.

$$M=K+\frac{4G}{3},$$

종파 및 전단파 속도는 다음과 같습니다.

\[ v_L=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}}, \qquad v_S=\sqrt{\frac{G}{\rho}}. \]

따라서 종파 속도만으로는 모든 탄성상수를 결정할 수 없습니다. $K$와 $G$를 분리하려면 횡파 측정이 필요합니다. 단결정 또는 조직 방향성이 있는 다결정체에서는 파동 속도가 전파 방향과 편광에도 의존하므로, 등방성 공식이 실제 탄성 이방성을 가릴 수 있습니다.

3차원 유한요소 정식화에서는 일반적으로 $E$와 $\nu$, $K$와 $G$, 또는 라메 매개변수 $\lambda$와 $\mu$를 사용합니다. 선택은 수학적 표현의 문제이지 물리적 재료가 바뀌는 것은 아닙니다. 그러나 비압축성에 가까운 경우 $\nu$가 0.5에 가까운 $E$-$\nu$ 정식화에서는 체적 잠김이 발생할 수 있으며, 압력과 편차 응답을 사용하는 혼합 정식화가 더 나은 성능을 보일 수 있습니다. 반대로 서로 독립적으로 반올림한 $E$, $G$, $K$ 값을 입력하면 등방성 변환식을 위반하여 내부적으로 일관되지 않은 강성 행렬이 생성될 수 있습니다.

이것이 핵심적인 설계 위험입니다. 변환된 탄성상수는 어떤 방정식과 수치적으로 일치할 수 있지만, 모델링 대상인 문제, 온도, 주파수, 방향 또는 강재 미세조직에 물리적으로 부적절할 수 있습니다. 먼저 변형 모드에 따라 탄성계수를 선택한 다음, 해당 탄성계수의 측정 조건과 등방성 가정이 부품 및 해석 조건과 일치하는지 확인해야 합니다.

강의 탄성계수 계산에서 흔히 발생하는 오류

강의 탄성계수 계산은 서로 다른 물리적 의미를 지닌 물리량을 서로 바꾸어 사용할 수 있는 것처럼 취급하기 때문에 오류가 발생하는 경우가 많다. 영률 $E$, 전단탄성계수 $G$, 체적탄성계수 $K$ 또는 $B$, 포아송비 $\nu$는 탄성 변형을 나타낸다. 항복강도는 상당한 영구 변형이 시작되는 시점을 나타낸다. 이들은 재료 모델의 서로 다른 부분에 속한다.

등방성 선형 탄성 고체에서는 탄성상수 중 독립적인 것은 두 개뿐이다. Springer의 고체의 탄성 장(2020)은 이를 직접적으로 설명한다. Sandia National Laboratories는 관련 물리량을 영률 $E$, 포아송비 $\nu$, 체적탄성계수 $K$, 전단탄성계수 $G$, Lamé의 제1 매개변수 $\lambda$, 그리고 $2\mu$로 제시하며, $E$와 $\nu$를 지정하면 나머지 값들이 결정된다. 일반적인 변환식은 다음과 같다.

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

및

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

이 식들은 서로 독립적인 실험 사실이 아니다. 등방성 선형 탄성이라는 가정에서 도출되는 결과이다. 따라서 이 식을 사용하려면 서로 양립하는 값, 일관된 단위, 그리고 등방성 근사가 합리적으로 적용될 수 있는 재료 상태가 필요하다.

탄성계수와 항복강도의 혼동

가장 지속적으로 나타나는 오류는 항복강도가 더 높다는 이유로 고강도강을 “더 단단하다”고 부르는 것이다. 항복강도는 지정된 기준에 따라 소성 변형률이 시작되는 응력을 의미하며, 흔히 0.2%와 같은 내력 변형률이 기준으로 사용된다. 영률은 이러한 전이 이전의 탄성 응력–변형률 응답의 기울기를 나타낸다. 열처리, 냉간 압하 공정, 석출 반응 또는 탄소 함량의 변화는 초기 탄성 기울기에 상응하는 변화를 일으키지 않으면서도 항복강도를 크게 높일 수 있다.

이 구분은 설계에서 중요하다. 사용 하중에서의 처짐은 주로 $E$, 형상, 경계 조건 및 하중에 의해 결정되며, 허용응력 검토에는 항복강도 또는 다른 강도 한계도 필요하다. $E$를 강종의 항복강도로 대체하면 차원상으로는 그럴듯하지만 물리적으로 의미 없는 결과가 나온다. 응력을 항복강도로 나누는 계산은 사용률을 추정할 수는 있다. 그러나 이는 탄성 변형률을 계산하는 것이 아니다.

같은 오류는 전단에서도 나타난다. 전단탄성계수는 전단응력과 전단변형률 사이의 탄성 관계로 정의된다.

$$\tau =G\gamma .$$

전단 항복강도는 소성 한계이다. 이는 von Mises 관계와 같은 항복 기준으로 추정할 수 있지만, $G$가 아니며 탄성계수에 응력 단위를 부여한 뒤 이름만 바꾼다고 해서 얻어지는 값도 아니다. OpenStax (2020)는 변형 양식을 명확히 구분한다. 영률은 인장 응답을, 체적탄성계수는 체적 압축을, 전단탄성계수는 전단 변형을 나타낸다.

따라서 강재 규격에는 항복강도 요구사항과 탄성 특성에 대한 가정이 모두 포함될 수 있지만, 이 두 수치가 단순한 강종 변환식으로 연결되는 것은 아니다. 구조 계산에서는 관련 재료 지정과 제품 규격을 기록해야 한다. 예를 들어 ASTM A240/A240M 판재 또는 박판, EN 10025-2 S355 재료, ASTM A276 Type 304 스테인리스강 등을 명시하고, 두께, 제품 형태 및 시험 방향도 함께 기록해야 한다. 재료 지정은 요구되는 재료 조건을 식별하는 것이며, 모든 제품에 대해 일반적인 탄성계수 값이 정확해지는 것을 의미하지는 않는다.

또 다른 오류는 모든 강종이 하나의 정확한 $E$ 값을 갖는다고 보는 것이다. 페라이트계, 마르텐사이트계, 베이나이트계, 오스테나이트계 및 듀플렉스강은 서로 다른 상분율, 집합조직, 주조 제품의 기공률 및 잔류응력을 가질 수 있다. 이러한 요인들은 측정된 탄성 응답에 영향을 준다. 많은 공학적 추정에서는 관례적인 등방성 값을 사용해도 충분하지만, 이는 여전히 가정 또는 채택된 설계값이며, “강”이라는 단어에 보편적으로 부여된 물리 상수는 아니다.

정적 값과 동적 값의 혼용

정적 탄성계수와 동적 탄성계수는 서로 관련되어 있지만 자동으로 서로 대체할 수 있는 것은 아니다. 정적 탄성계수는 천천히 가해지는 기계적 시험에서 얻으며, 일반적으로 지정된 변형률 구간에서 인장 또는 압축 응력–변형률 곡선의 기울기로 구한다. 그 결과는 시험기의 컴플라이언스, 그립 정렬, 표면 상태, 변형률 속도, 히스테리시스, 미세 소성 변형 및 기울기 적합 방법의 영향을 받을 수 있다.

동적 탄성계수는 파동 전파, 공진 또는 다른 시간 의존적 측정으로부터 추론된다. ASTM E1875-20a는 “음향 공진에 의한” 동적 영률, 전단탄성계수 및 포아송비의 측정을 규정한다. 시편의 공진 주파수와 치수를 사용하여 탄성상수를 추론한다. 이 방법은 정밀한 소변형률 데이터를 제공할 수 있지만, 그 결과는 고주파수 및 매우 작은 진폭의 변형에 해당하므로 그에 맞게 표시해야 한다.

동적 측정은 밀도, 시편 형상, 주파수, 온도 및 진동 모드의 식별에도 의존한다. 종방향 공진으로부터 도출한 값을 적절한 관계식과 양립 가능한 포아송비 없이 전단 계산에 삽입해서는 안 된다. 마찬가지로, 참고편람의 “탄성계수”는 설계 관례에 따른 값일 수 있는 반면, 공진 시험 보고서는 동적 탄성계수를 제시할 수 있다. 이 두 값은 동일한 시험에서 얻어진 것처럼 비교해서는 안 된다.

$E$, $G$, $K$ 사이를 변환할 때는 입력값이 정적인지 동적인지를 보고해야 한다. 인장시험으로 얻은 $E$와 음향 공진으로 얻은 $\nu$를 결합하면 두 수치가 각각 신뢰할 만하더라도 내부적으로 일관되지 않은 값의 조합이 될 수 있다. 계산이 대수적으로는 성립하더라도 하나의 동일한 측정 재료 상태를 나타내지 못할 수 있다.

포아송비는 체적탄성계수 방정식에서 $\nu$의 불확실성이 중요해지므로 특히 주의해야 한다. $E=200$ GPa이고 $\nu =0.30$이면 등방성 관계식에 따라 $K=166.7$ GPa가 된다. 같은 $E$에 $\nu =0.29$를 결합하면 $K=158.7$ GPa이고, $\nu =0.31$이면 $K=175.4$ GPa가 된다. $\nu$가 0.01만 변해도 계산된 $K$는 약 5% 변한다. $\nu =0.5$에 가까워지면 $1-2\nu$가 0에 가까워지므로 민감도는 훨씬 커진다. 결과로 얻은 $K$를 측정된 상수인 것처럼 제시하기보다는 가정한 값, 그 출처 및 민감도 범위를 보고해야 한다.

단위는 더 단순하지만 빈번한 오류의 원인이다. $1\text{GPa}=1000\text{MPa}$이므로, MPa로 입력한 $E$ 값과 GPa로 입력한 $G$ 값을 함께 사용하면 1000배의 오류가 발생할 수 있다. 계산 과정 전체에서 모든 탄성계수를 하나의 단위계로 통일하고 최종 결과 옆에 단위를 표시해야 한다.

체적탄성계수 값은 출처와 측정 조건을 확인해야 한다. Engineering ToolBox는 스테인리스강의 근사값으로 163 GPa를 제시하지만, 이는 모든 스테인리스강 강종, 제품 형태, 온도 또는 시험 조건에 적용되는 보편적인 값이 아니라 2차 참고자료에 기반한 추정치이다. 방어 가능한 인용을 위해서는 원래의 측정 또는 계산, 조성, 상 상태, 온도, 압력 범위, 밀도 기준 및 방법을 밝혀야 한다. National Institute of Standards and Technology (1982)의 열역학적 정의 $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$는 온도 조건을 명시적으로 포함한다. 이러한 조건 없이 표에서 복사한 수치는 근사값으로 표시해야 한다.

이방성과 온도의 무시

등방성 방정식은 모든 방향에서 응답이 동일하다고 가정한다. 압연 판재, 인발 선재, 단조 봉재 및 적층 제조 강재는 일반적으로 결정학적 집합조직을 형성한다. 이러한 재료는 육안으로 균일해 보이더라도 하중 방향에 따라 탄성 응답이 달라질 수 있다. 집합조직이 강한 판재에는 하나의 $E$, $G$, $\nu$ 대신 방향별 상수가 필요할 수 있다.

단결정 탄성은 하나의 스칼라 탄성계수가 아니라 탄성강성 행렬로 설명한다. NIST의 1982년 참고편람 장에서는 입방정 및 육방정 원소의 단결정 강성 데이터로부터 준등방성 다결정 탄성상수를 도출하는 방법을 설명한다. 이러한 평균화는 하나의 모델이다. 집합조직이 강하거나, 상의 비율이 공간적으로 변하거나, 제품에 배향된 개재물 또는 기공이 포함되어 있으면 이 모델의 적합성은 낮아진다.

온도 역시 자주 누락되는 변수이다. 탄성상수는 일반적으로 온도에 따라 변하며, 상변태는 일반적인 열적 연화보다 더 큰 불연속을 일으킬 수 있다. National Bureau of Standards 보고서(1981)는 종방향 및 횡방향 모드의 음속을 사용하여 76~400 K에서 Fe-5Cr-26Mn 오스테나이트계 강의 탄성상수를 측정했다. 이 온도 범위 자체가 상온의 값을 극저온 사용 또는 고온 장비에 아무런 설명 없이 적용해서는 안 되는 이유를 보여준다.

따라서 계산에서는 재료 지정, 제품 형태, 시험 방향, 온도, 변형 양식, 측정 방법, 그리고 탄성상수가 정적인지 동적인지, 등방성인지 방향별 값인지를 명시해야 한다. 이러한 세부 정보가 없는 경우에는 결과를 공학적 추정치로 표시하고, $E$, $G$, $K$, $\nu$의 불확실성이 답에 미치는 영향을 제시해야 한다. 이는 모든 강재에 하나의 정확한 탄성계수를 부여하고 명시되지 않은 가정이 설계를 좌우하게 하는 것보다 정확한 방법이다.

참고 문헌

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