Elastische constanten en modulusrelaties van staal

Wat elastische constanten van staal betekenen — en wat ze niet betekenen

Elastische constanten zijn parameters die de aangelegde spanning verbinden met de daaruit resulterende rek zolang een materiaal binnen zijn elastische bereik blijft. Binnen dat bereik kan het proefstuk, wanneer de belasting wordt verwijderd, ten minste bij benadering terugkeren naar zijn oorspronkelijke afmetingen. Bij een eenvoudige trekproef is de elasticiteitsmodulus van Young de verhouding tussen axiale spanning en axiale rek,

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }.$$

Deze relatie beschrijft de helling van het eerste, herstelbare deel van een spanning-rekcurve. Ze beschrijft niet de volledige curve en geeft niet aan hoeveel spanning het staal kan weerstaan voordat permanente vervorming of breuk optreedt.

Voor een isotrope, lineair elastische vaste stof zijn slechts twee elastische constanten onafhankelijk. Strong evidence

Voor een isotrope, lineair-elastische vaste stof zijn slechts twee elastische constanten onafhankelijk. Een veelgebruikte verzameling omvat de elasticiteitsmodulus van Young $E$, de Poisson-verhouding $\nu$, de volumemodulus $K$ of $B$, de glijdingsmodulus $G$, de eerste parameter van Lamé $\lambda$ en $2\mu$, waarbij $\mu =G$. Sandia National Laboratories vermeldt deze zes onderling gerelateerde grootheden en stelt dat $E$ en $\nu$ de overige bepalen. Bijvoorbeeld:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

en

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

VolumemodulusVolumemodulus Een maat voor de weerstand tegen uniforme volumeverandering onder druk; gewoonlijk geschreven als K of B.

De notatie varieert: NIST en andere bronnen gebruiken vaak $B$ voor de volumemodulus, terwijl technische leerboeken en eindige-elementensoftware vaak $K$ gebruiken. Ze beschrijven dezelfde isotrope materiaaleigenschap.

Elastische respons versus sterkte en plasticiteit

Elasticiteit beantwoordt een beperkte vraag: hoeveel rek gaat gepaard met een bepaalde spanning voordat permanente vervorming begint? Sterkte beantwoordt andere vragen. De vloeigrens geeft de spanning aan die gepaard gaat met het begin van een gespecificeerde plastische rek; de treksterkte is de maximale technische spanning die tijdens een trekproef wordt bereikt; de breuksterkte heeft betrekking op het bezwijken en scheiden van het proefstuk. Geen van deze grootheden is een andere benaming voor de elasticiteitsmodulus van Young.

Een staalsoort kan een hoge vloeigrens hebben en vrijwel dezelfde elasticiteitsmodulus van Young als een staal met lagere sterkte en een vergelijkbare samenstelling. Koudvervorming, precipitatieharding of martensitische transformatie kan de vloeigrens en hardheid sterk verhogen, terwijl de trekmodulus bij kleine rek veel minder verandert. De reden is dat versterkingsmechanismen de dislocatiebeweging belemmeren, terwijl de initiële elastische respons voornamelijk de stijfheid van atoomverbindingen en de geaggregeerde kristalstructuur weerspiegelt. Dit onderscheid is essentieel bij het vergelijken van bijvoorbeeld een gehard en ontlaten laaggelegeerd staal met een gegloeid product met een verwante chemische samenstelling.

Plasticiteit begint wanneer de spanning-rekrelatie niet langer de oorspronkelijke lineair-elastische helling volgt. Een plastisch constitutief model heeft dan informatie nodig zoals vloeicriteria, een verhardingswet, een vloeiingsregel, rekgevoeligheid voor de reksnelheid en temperatuurafhankelijkheid. De elasticiteitsmodulus van Young levert op zichzelf geen van deze gegevens. Een eindige-elementenmodel met een nauwkeurige $E$, maar met een ongeschikt vloeivlak, kan permanente vervorming nog steeds onjuist voorspellen.

Andere mechanische eigenschappen beantwoorden weer andere vragen. Hardheid meet de weerstand tegen plaatselijke indrukking en correleert binnen een gecontroleerde staalfamilie vaak met de sterkte, maar het is geen modulus. Taaiheid heeft betrekking op energieabsorptie en scheurweerstand onder een gespecificeerde proefconditie. Vermoeiingsweerstand betreft de opeenhoping van schade onder herhaalde of wisselende belasting. Een staal kan een vergelijkbare elasticiteitsmodulus hebben als een andere kwaliteit, maar een andere hardheid, kerftaaiheid, scheurgroeigedrag of vermoeiingslevensduur.

Elasticiteit betekent ook niet dat elke belastingscyclus volkomen omkeerbaar is. Echt staal kan microplasticiteit, anelasticiteit, effecten van restspanningen, hysterese of schade vertonen voordat een conventioneel vloeipunt duidelijk zichtbaar is. De modulus die voor een bepaalde proef wordt gerapporteerd, hangt daarom samen met het rekbereik, de belastingssnelheid, de cyclusgeschiedenis en de methode voor gegevensreductie.

Modulus als maat voor stijfheid, niet voor breukspanning

Een modulus meet de stijfheid: de spanning die nodig is om in een bepaalde vervormingsmodus een gespecificeerde elastische rek te veroorzaken. De elasticiteitsmodulus van Young heeft betrekking op axiale verlenging of verkorting. De glijdingsmodulus beschrijft de weerstand tegen vormverandering onder schuifspanning. De volumemodulus beschrijft de weerstand tegen een uniforme volumeverandering onder druk. OpenStax geeft deze overeenkomstige fysische interpretaties voor trek-, schuif- en volumetrische vervorming.

Een grote modulus betekent dat een bepaalde spanning een kleinere elastische rek veroorzaakt. Dit betekent niet dat het materiaal een grotere spanning kan verdragen voordat vloeien of breuk optreedt. Beschouw twee stalen componenten met dezelfde $E$, maar met verschillende vloeigrenzen. Onder dezelfde bedrijfsbelasting ondergaan ze ongeveer dezelfde elastische verlenging. De component met de hogere sterkte kan een grotere spanning verdragen voordat plastische vervorming optreedt, maar is in de initiële elastische respons niet merkbaar stijver enkel omdat zijn vloeigrens hoger is.

De volumemodulus heeft een bijzonder duidelijke thermodynamische definitie. In het handboekhoofdstuk uit 1982 schrijft het National Institute of Standards and Technology:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$[1][1] Bulk modulus definition. National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

waarbij $V$ het volume is, $P$ de druk en de afgeleide bij constante temperatuur wordt genomen. Dit is een volumetrische eigenschap, geen grens voor trekbreuk. Staal is moeilijk uniform samen te drukken en heeft daarom een hoge volumemodulus; dat zegt op zichzelf weinig over de taaiheid bij trek of de breuktaaiheid.

Een modulus mag ook niet worden verward met veerkracht. De elastische energie die per volume-eenheid wordt opgeslagen, hangt af van de spanning en de modulus, en de herstelbare energie tot aan het vloeien hangt af van zowel de modulus als de vloeigrens. Een verhoging van de vloeigrens kan de capaciteit voor elastische energie daarom vergroten, ook wanneer $E$ slechts weinig verandert.

Waarom een staalsoort niet één universele modulus heeft

Een aanduiding zoals ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, EN 10025-2 S355JR of AISI 304 identificeert een specificatie, een bereik van samenstellingen, een producttoestand of een vereiste combinatie van prestaties; ze definieert niet één onveranderlijk elastisch getal voor elk proefstuk dat volgens die aanduiding is vervaardigd. De gemeten respons hangt af van de materiaaltoestand en de proefomstandigheden.

Temperatuur is een belangrijke variabele. Elastische constanten veranderen over het algemeen met de temperatuur, en fasetransformaties kunnen grotere veranderingen veroorzaken wanneer ze de kristalstructuur of fasemengeling wijzigen. Een rapport van het National Bureau of Standards uit 1981 bepaalde de elastische constanten van austenitisch Fe-5Cr-26Mn-staal bij 76 tot 400 K met behulp van geluidssnelheden in longitudinale en transversale modi. Alleen al dit temperatuurbereik laat zien waarom een waarde zonder proef temperatuur onvolledig is.

Quasi-isotroopQuasi-isotroop Een effectieve materiaalrespons die voor een gedefinieerde berekening, richtingsreeks en schaal voldoende dicht bij isotroop ligt, hoewel afzonderlijke korrels anisotroop blijven.

Ook textuur en richting zijn van belang. Afzonderlijke ferriet-, austeniet- of martensietkristallen zijn elastisch anisotroop, wat betekent dat hun stijfheid afhangt van de kristallografische richting. Gewalste plaat, gesmede staaf, getrokken draad en additief vervaardigd materiaal kunnen voorkeursoriëntaties ontwikkelen. Een polykristallijn aggregaat kan zich bij voldoende verspreide kristaloriëntaties bij benadering isotroop gedragen, maar voor een sterk getextureerd product kunnen richtingsafhankelijke constanten nodig zijn. De longitudinale modulus in de walsrichting hoeft niet gelijk te zijn aan de waarde door de dikte heen.

Ook de fasesamenstelling, insluitsels, porositeit, restspanningen, korrelstructuur en productvorm beïnvloeden de gemeten geaggregeerde respons. Lasmetaal en warmte-beïnvloede zones kunnen verschillen van de moedermateriaalplaat, zelfs wanneer ze onder dezelfde projectspecificatie vallen. Constanten voor een monokristal kunnen niet zomaar worden vervangen door ontwerpwaarden voor een polykristallijn materiaal. Het NIST-handboek legt uit hoe quasi-isotrope Young-, glijdings-, volume- en verwante moduli kunnen worden afgeleid uit gegevens over de elastische stijfheid van monokristallen voor kubische en hexagonale materialen, maar die berekening hangt af van de kristalsymmetrie en van aannames over het middelen van oriëntaties.

[2][2] Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.

ASTM E1875-20a specificeert de dynamische meting van de elasticiteitsmodulus van Young, de schuifmodulus en de Poissonverhouding door middel van sonische resonantie. Strong evidence

De meetmethode verandert het gerapporteerde resultaat. Een langzame trekproef levert een statische modulus of een sequestiële/tangentiële modulus op, gebaseerd op kracht en verplaatsing, terwijl ultrasone of resonantiemethoden een dynamische modulus bepalen aan de hand van golfsnelheid of eigenfrequentie. ASTM E1875-20 specificeert de bepaling van de dynamische elasticiteitsmodulus van Young, de glijdingsmodulus en de Poisson-verhouding “door middel van sonische resonantie”. Dynamische waarden kunnen verschillen van statische waarden door frequentie, demping, machinecompliantie, rekamplitude en de wijze waarop niet-ideale delen van het proefstuk worden behandeld.

Een bruikbaar modulusrapport vermeldt daarom ten minste de staalaanduiding, de productvorm en -toestand, de temperatuur, de belastingsrichting, de vervormingsmodus en de meetmethode. Het moet ook aangeven of de waarde gemeten is, uit andere constanten is berekend of als ontwerpaanname is overgenomen. Engineering ToolBox geeft een geschatte volumemodulus van 163 GPa voor “roestvast staal”, maar dat is een secundaire referentieschatting en geen universele waarde voor elke roestvaststaalsoort, warmtebehandeling, textuur, temperatuur of meetmethode. Het gebruik van één getal voor elk product kan aanvaardbaar zijn voor een voorlopige isotrope berekening wanneer de aanname expliciet wordt vermeld. Het presenteren ervan als een materiaaleigenschap die onafhankelijk is van de staalsoort, is dat niet.

De basis met twee constanten van isotrope lineaire elasticiteit

Lineaire elasticiteit beschrijft het omkeerbare deel van de respons van een materiaal, zolang spanning en rek voldoende klein blijven om een lineaire relatie toe te passen. Het woord isotroop voegt een afzonderlijke voorwaarde toe: er wordt aangenomen dat de respons in elke richting hetzelfde is. Onder deze twee aannames heeft de elastische stijfheidstensor veel minder onafhankelijke termen dan een algemeen anisotroop vast lichaam. Zes veel gerapporteerde grootheden—de elasticiteitsmodulus van Young $E$, de Poisson-verhouding $\nu$, de volumemodulus $K$ of $B$, de schuifmodulus $G$, de eerste parameter van Lamé $\lambda$ en $2\mu$—kunnen daarom worden uitgedrukt met slechts twee gekozen constanten.

Dit resultaat is van toepassing op het constitutieve model en niet automatisch op iedere gemeten waarde die voor staal wordt gerapporteerd. Temperatuur, fasebestanddelen, kristallografische textuur, porositeit, restspanning, de oriëntatie van het proefstuk, frequentie en de beproevingsmethode kunnen allemaal invloed hebben op de gemeten respons. Een waarde die in een isotroop eindige-elementenmodel wordt gebruikt, is vaak een effectieve technische materiaaleigenschap en geen volledige beschrijving van de microstructuur van het materiaal.

Waarom slechts twee onafhankelijke constanten nodig zijn

Spanning en rek zijn tensoren van de tweede orde. In het meest algemene lineair elastische vaste lichaam vereist de relatie daartussen een stijfheidstensor van de vierde orde, met veel mogelijke directionele koppelingen. De symmetrie van de spannings- en rektensoren vermindert het aantal onafhankelijke termen, en materiaalsymmetrie vermindert dit aantal verder. Isotropie legt de sterkste gebruikelijke materiaalsymmetrie op: geen enkele richting is mechanisch bijzonder.

De isotrope spanning-rekrelatie kan worden geschreven als

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

waarbij ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ de spanningstensor is, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ de rektensor, ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ de Kronecker-delta en $\lambda$ en $\mu$ de parameters van Lamé zijn. $\lambda$ en $\mu$ vormen dus een geldig paar onafhankelijke constanten. De schuifmodulus is $G=\mu$, zodat het gebruik van $G$ en $\lambda$ equivalent is.

Springer’s Elasticity of Solids (2020) vermeldt het centrale resultaat rechtstreeks: voor een isotroop vast lichaam zijn slechts twee elastische constanten onafhankelijk. De Sierra-documentatie van Sandia National Laboratories vermeldt de gerelateerde isotrope verzameling als de elasticiteitsmodulus van Young $E$, de Poisson-verhouding $\nu$, de volumemodulus $K$, de schuifmodulus $G$, de eerste parameter van Lamé $\lambda$ en $2\mu$, en stelt dat $E$ en $\nu$ de overige grootheden bepalen. Het voorkomen van zes benamingen betekent niet dat er zes afzonderlijk instelbare materiaaleigenschappen zijn.

Voor het gebruikelijke paar $E,\nu$ zijn de omzettingen

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )},$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )},$$

en

$$2\mu =2G=\frac{E}{1+\nu }.$$

Ook de inverse relaties zijn nuttig:

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G},$$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}.$$

Deze vergelijkingen zijn geen empirische correlaties die beperkt zijn tot één staalfamilie. Ze volgen uit de constitutieve wet van isotrope lineaire elasticiteit. Ze leggen ook consistentievoorwaarden op. Voor een stabiel, gewoon isotroop vast lichaam geldt $G>0$, $K>0$ en $-1<\nu <0.5$. Naarmate $\nu$ 0.5 nadert, wordt het materiaal in het model nagenoeg onsamendrukbaar: $K$ wordt veel groter dan $G$, terwijl $E$ aan beide gekoppeld blijft.

De fysische betekenissen verschillen, ook al zijn de constanten wiskundig met elkaar verbonden. OpenStax beschrijft de elasticiteitsmodulus van Young als de verhouding die de trekrespons bepaalt, de volumemodulus als de respons op volumetrische compressie en de schuifmodulus als de respons op schuifvervorming. Een trekproef levert voornamelijk $E$, maar de dwarsrek die naast de axiale rek wordt gemeten, levert $\nu$. Een druk-volume-experiment is gericht op $K$, terwijl torsie of een meting van schuifgolven gericht is op $G$. Zodra een consistent paar bekend is, worden de overige moduli berekend in plaats van onafhankelijk gekozen.

De thermodynamische definitie van de volumemodulus maakt het onderscheid met de elasticiteitsmodulus van Young expliciet:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Deze uitdrukking, die in 1982 door het National Institute of Standards and Technology werd gegeven, beschrijft de weerstand tegen volumeverandering onder druk bij constante temperatuur. Dit betekent niet dat een in een tabel opgenomen volumemodulus uitwisselbaar is met een trekmodulus. Hun numerieke relatie bestaat pas nadat de isotrope constitutieve aannames zijn toegepast.

E en ν als praktisch invoerpaar

Bij technische berekeningen worden $E$ en $\nu$ vaak gebruikt, omdat zij van nature aansluiten bij een uniaxiale trekproef en rechtstreeks worden ondersteund door gestandaardiseerde gegevens over constructiematerialen. In een driedimensionaal isotroop model kan de software na invoer van deze twee grootheden $G$, $K$, $\lambda$ en $2\mu$ bepalen zonder aanvullende materiaalconstanten. Het invoeren van alle zes grootheden kan een inconsistent model opleveren als de waarden niet aan de omzettingsvergelijkingen voldoen.

Dit is vooral belangrijk wanneer de waarden uit verschillende bronnen afkomstig zijn. Een statische trekmodulus, een dynamische modulus uit resonantie en een schatting van de volumemodulus kunnen elk geldig zijn voor hun eigen meetomstandigheden, terwijl zij elkaar via de isotrope vergelijkingen niet exact reproduceren. ASTM E1875-20a specificeert de bepaling van de dynamische elasticiteitsmodulus van Young, de schuifmodulus en de Poisson-verhouding “by sonic resonance”. In de praktijk zijn dit frequentieafhankelijke of snelheidsgevoelige metingen, zelfs wanneer het materiaal binnen zijn elastische bereik blijft. Zonder controle van de beproevingsomstandigheden mogen zij niet als identiek aan waarden uit trekproeven bij lage belastingssnelheid worden beschouwd.

Een secundaire bron, Engineering ToolBox, vermeldt een geschatte volumemodulus van 163 GPa voor roestvast staal. Dat getal is een referentieschatting en geen universele constante voor iedere soort roestvast staal, warmtebehandeling, temperatuur, productvorm of beproevingsmethode. Het mag niet zonder meer worden gecombineerd met een niet-gerelateerde waarde van $E$ of $\nu$ en vervolgens worden gepresenteerd als een gemeten eigenschap die specifiek is voor een bepaalde staalsoort. Dezelfde voorzichtigheid geldt voor waarden in het ASM Steel Castings Handbook, waarin de elasticiteitsmodulus, de Poisson-verhouding, de schuifmodulus en verwante fysische eigenschappen worden gepresenteerd als kenmerkende gegevens voor stalen gietstukken. “Staal” is geen enkel vast elastisch proefstuk.

Het onderscheid tussen statische en dynamische eigenschappen is van belang bij het ontwerp. Dynamische proeven leiden elastische constanten af uit resonantiefrequenties of golfsnelheden; statische proeven leiden ze af uit kracht, verplaatsing en rek. Een dynamische modulus kan verschillen door frequentie, demping, microstructurele mechanismen, temperatuur en meetapparatuur. Het rapport van het National Bureau of Standards over austenitisch Fe-5Cr-26Mn-staal bepaalde elastische constanten over 76–400 K aan de hand van geluidssnelheden in longitudinale en transversale modi. Dat bereik laat zien waarom een waarde zonder temperatuur en methode onvolledig kan zijn, zelfs wanneer de materiaalaanduiding nauwkeurig is.

De rol van isotropie en quasi-isotropie

Een polykr otroon staal kan zich bij benadering isotroop gedragen wanneer de korrels klein en talrijk zijn en hun oriëntaties voldoende willekeurig verdeeld zijn. De afzonderlijke kristallen blijven anisotroop, maar directionele effecten kunnen over een representatief volume gemiddeld worden. Dit vormt de basis voor het gebruik van één effectieve $E$ en één effectieve $\nu$ in veel constructieberekeningen.

De benadering wordt minder nauwkeurig wanneer het bewerkingsproces een sterke textuur veroorzaakt. Walsen, smeden, additive manufacturing, gerichte stolling en thermische cycli bij het lassen kunnen voorkeursoriëntaties van kristallen veroorzaken. Een plaat kan dan verschillende eigenschappen hebben in de langsrichting, dwarsrichting en door-dikte-richting. Een gegoten product kan een ander patroon vertonen door dendritische structuur, segregatie, porositeit en lokale korreloriëntatie. Ook de fasesamenstelling is van belang: ferriet, austeniet, martensiet, bainiet en achtergebleven austeniet dragen niet op identieke wijze bij aan het elastische gedrag van afzonderlijke kristallen.

Quasi-isotroop beschrijft een effectieve respons die voor een bepaald doel, een bepaald richtingsbereik en een bepaalde schaal voldoende dicht bij isotroop ligt. Het heft kristal-anisotropie niet op en garandeert niet dat iedere modulus die in iedere oriëntatie wordt gemeten, overeenkomt. Het hoofdstuk over elastische constanten van monokristallen in het NIST-handbook legt uit hoe polykr ystallijne $E$, $G$, $B$, de longitudinale modulus en $\nu$ kunnen worden afgeleid uit stijfheidsgegevens van afzonderlijke kristallen voor kubische en hexagonale elementen. Deze benadering maakt de aanname van middeling zichtbaar, in plaats van de daaruit resulterende polykr ystallijne constanten als fundamentele waarden te behandelen.

Voor sterk getextureerd staal kan een anisotroop elasticiteitsmodel meer dan twee onafhankelijke constanten vereisen en moet de oriëntatie van het proefstuk behouden blijven. Voor een quasi-isotrope stalen component kunnen twee effectieve constanten voldoende zijn voor de beoogde berekening, mits de aanname aan de hand van metingen is gecontroleerd. Ook het hoofdstuk Constitutive Response van Oxford Academic benadert isotrope lineaire elasticiteit vanuit twee onafhankelijke constanten. De praktische vraag is daarom niet of staal zes onafhankelijke elastische moduli heeft. Binnen het isotrope model is dat niet het geval. De vraag is of de gekozen twee constanten het materiaal, de temperatuur, de richting en het meetregime vertegenwoordigen die relevant zijn voor de berekening.

Young-modulus $E$ in staal

De Young-modulus, $E$, beschrijft de stijfheid van een materiaal bij eenassige trek of druk. Volgens de toepasselijke lineair-elastische definitie is dit de verhouding tussen de axiale spanning en de axiale rek:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

Hierbij is $\sigma$ de normale spanning die langs de as van het proefstuk werkt en $\epsilon$ de overeenkomstige axiale rek. Bij een perfect lineaire respons is de spanning-rekdiagram een rechte lijn door de oorsprong en is $E$ de helling daarvan. De eenheid is pascal; voor staal wordt de waarde doorgaans uitgedrukt in gigapascal.

Deze definitie geldt alleen voor het gedeelte van de belasting waarbij de materiaalrespons lineair en herstelbaar is. Dit betekent niet dat elke tijdens een staalproef gemeten verhouding tussen spanning en rek de Young-modulus is. Zodra plastische rek, een fasetransformatie, schade of aanzienlijke niet-lineariteit optreedt, beschrijft de gekozen helling of verhouding een andere materiaaleigenschap.

Eenassige spanning en axiale rek

Bij een eenassige trekproef wordt een kracht aangebracht in één hoofdrichting van een proefstuk. De technische axiale spanning wordt gewoonlijk berekend door de aangebrachte kracht te delen door de oorspronkelijke dwarsdoorsnede:

$$\sigma =\frac{F}{A_0}$$

De technische axiale rek is de verandering van de meetlengte gedeeld door de oorspronkelijke lengte:

$$\epsilon =\frac{L-L_0}{L_0}$$

Bij kleine rek leveren deze definities de gebruikelijke technische waarde van $E$. Een extensometer of rekstrookje meet de verlenging over een bepaalde meetlengte, terwijl de proefmachine kracht en verplaatsing registreert. De gemeten helling kan worden beïnvloed door de compliantie van de machine, beweging van de klemmen, uitlijning van het proefstuk, de toestand van het oppervlak en de methode waarmee het beginstuk van de kromme wordt bepaald.

In het elastische gebied trekt een trekproefstuk ook zijdelings samen. De contractiecoëfficiënt van Poisson, $\nu$, relateert de laterale rek aan de axiale rek, doorgaans als

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}$$[3][3] Elasticity of Solids. Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

Voor een isotrope lineair-elastische vaste stof bepalen $E$ en $\nu$ de overige elastische constanten. De documentatie van Sandia Sierra vermeldt de gerelateerde isotrope verzameling als de Young-modulus $E$, de contractiecoëfficiënt van Poisson $\nu$, de volumemodulus $K$, de schuifmodulus $G$, de eerste Lamé-parameter $\lambda$ en $2\mu$; de vermelding dat $E$ en $\nu$ de overige grootheden bepalen, weerspiegelt de structuur van isotrope elasticiteit met twee constanten. Springer’s Elasticity of Solids stelt eveneens dat voor een isotrope vaste stof slechts twee elastische constanten onafhankelijk zijn.

De in de constructieleer vaak gebruikte relaties zijn

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

en

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

waarbij $G$ de schuifmodulus is en $K$, ook geschreven als $B$, de volumemodulus. Deze vergelijkingen maken $E$, $G$, $K$ en $\nu$ niet tot vier onafhankelijke materiaaleigenschappen. Ze verbinden metingen bij verschillende vervormingswijzen wanneer de aannames van isotropie en lineair-elastisch gedrag van toepassing zijn.

Het onderscheid tussen vervormingswijzen is van belang. De Young-modulus heeft betrekking op axiale verlenging of verkorting, de schuifmodulus op hoekverdraaiing onder afschuiving en de volumemodulus op volumeverandering onder hydrostatische druk. OpenStax presenteert deze als afzonderlijke fysische interpretaties van de elastische respons. De behandeling in het NIST-handboek uit 1982 definieert de volumemodulus thermodynamisch als

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

De waarde ervan heeft dus betrekking op een door druk veroorzaakte volumeverandering bij een gespecificeerde temperatuur, en niet simpelweg op de helling van een trekproef- spanning-rekcurve.

In gewone technische berekeningen wordt staal vaak als isotroop beschouwd, omdat een polykristallijn product veel kristallografische oriëntaties kan bevatten. Deze benadering kan tekortschieten bij sterk getextureerd plaatmateriaal, zwaar bewerkt stafmateriaal, gewalste plaat, lasverbindingen, additief vervaardigd materiaal of monokristallijne onderzoeksproefstukken. Kubisch ferriet en austeniet hebben kristallen met richtingsafhankelijke elastische stijfheden, hoewel een aggregaat met passend verdeelde oriëntaties quasi-isotroop kan lijken. NIST legt uit hoe de polykristallijne waarden van $E$, $G$, $B$, de longitudinale modulus en de contractiecoëfficiënt van Poisson kunnen worden berekend uit gegevens over de elastische stijfheid van afzonderlijke kristallen van kubische en hexagonale materialen.

Een voor “staal” gerapporteerde waarde is bijgevolg niet automatisch een universele constante voor elke productvorm. De chemische samenstelling, ferriet, perliet, bainiet, martensiet, achtergebleven austeniet, de aanwezigheid van carbiden, porositeit, textuur en restspanning kunnen de gemeten respons beïnvloeden. Het effect kan in de ene proefopstelling klein zijn en in een andere belangrijk.

Secansmodulus, tangentmodulus en initiële elasticiteitsmodulus

De initiële elasticiteitsmodulus is de helling van de spanning-rekcurve bij, of zeer dicht bij, nul spanning en nul rek. In differentiële vorm geldt

$$E_{\text{initial}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }{|}_{\epsilon \to 0}$$

op voorwaarde dat de curve voldoende lineair is en het meetsysteem is gecorrigeerd. Dit is de waarde die het nauwst aansluit bij de leerboekdefinitie van de Young-modulus.

Een tangentmodulus is de lokale helling in een geselecteerd punt:

$$E_{\text{tan}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }$$

Als de curve lineair blijft, is de tangentmodulus gelijk aan de initiële modulus. In de buurt van de vloeigrens kan staal echter een kromming vertonen door het begin van plasticiteit, dislocatiebeweging, Lüders-rek, transformatie-effecten of artefacten van de proef. De tangentmodulus verandert dan met spanning en rek. Bij rapportage moet het punt of rekinterval worden vermeld waarin deze is gemeten.

Een secansmodulus is de helling van een lijn vanuit een gekozen oorsprong naar een geselecteerd punt op de curve:

$$E_{\text{sec}}=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

voor dat geselecteerde punt. Deze modulus middelt de respons over het interval uit en beschrijft niet de lokale helling. Als de curve van lineariteit afwijkt, verschillen de secans- en tangentwaarden. Een secansmodulus die wordt bepaald bij een spanning boven de eerste vloeigrens kan veel lager zijn dan de initiële elasticiteitsmodulus, omdat de totale rek plastische rek omvat.

Deze termen zijn daarom niet onderling uitwisselbaar. Een secanswaarde zonder vermelding van het rek- of spanningsbereik aanduiden als “Young-modulus” kan een constructieberekening misleiden. Hetzelfde probleem ontstaat wanneer een machine een helling rapporteert op basis van de verplaatsing van de dwarsbalk in plaats van rechtstreeks gemeten rek over de meetlengte. Het zetten van de klemmen en vervorming van het frame kunnen het begin van de curve vervormen, terwijl plasticiteit een later gedeelte kan vervormen.

Ook voorafgaande vervorming is van belang. Koudwalsen, trekken, richten, voorrekken en cyclische belasting veranderen de dislocatiestructuur en de restspanningen. Ze kunnen de schijnbare initiële helling wijzigen, trek-drukasymmetrie veroorzaken en verschillende hellingen bij ontlasten en herbelasten creëren. Een proefstuk dat plastisch is vervormd, is niet gelijkwaardig aan een onvervormd proefstuk alleen omdat beide dezelfde nominale materiaalaanduiding hebben.

Ook de temperatuur moet worden gespecificeerd. De elastische stijfheid verandert over het algemeen met de temperatuur en de fasensamenstelling kan over een groter temperatuurbereik veranderen. Een rapport van het National Bureau of Standards uit 1981 bepaalde elastische constanten voor austenitisch Fe-5Cr-26Mn-staal bij 76–400 K met behulp van geluidssnelheden in longitudinale en transversale modi. Dat temperatuurbereik laat zien waarom een trekwaarde bij kamertemperatuur niet zonder meer mag worden overgedragen naar cryogene toepassingen of analyses bij verhoogde temperatuur.

Statische versus dynamische Young-modulus

Een statische Young-modulus wordt verkregen uit een langzaam aangebrachte mechanische belasting, doorgaans door tijdens een trek- of drukproef de kracht en axiale rek te meten. “Langzaam” betekent niet dat het resultaat onafhankelijk is van de belastingssnelheid. Rektempo, belastingsgeschiedenis, verblijftijd, temperatuurstijging en het reksmeetsysteem kunnen de gerapporteerde helling beïnvloeden. Visco-elastische effecten zijn bij gewoon staal onder omgevingsomstandigheden meestal beperkt, maar snelheidsafhankelijke plasticiteit, demping, thermische effecten en de compliantie van de proefmachine kunnen het resultaat nabij de elastisch-plastische overgang nog steeds beïnvloeden.

Een dynamische Young-modulus wordt afgeleid uit een meting van trillingen, golfvoortplanting of resonantie. ASTM E1875-20a specificeert de bepaling van de dynamische Young-modulus, schuifmodulus en contractiecoëfficiënt van Poisson “door sonische resonantie”. De methode gebruikt resonantiefrequenties en proefstukafmetingen, waarbij dichtheid en relaties voor de trilling van balken of staven in de berekening worden opgenomen. Omdat de vervorming met een eindige frequentie en doorgaans met een zeer kleine amplitude oscilleert, is het resultaat niet simpelweg de waarde van een sneller uitgevoerde trekproef.

Dynamische metingen kunnen sterk gevoelig zijn voor de geometrie van het proefstuk, de opleggingscondities, frequentie, dichtheid, demping en interne discontinuïteiten. Statische metingen zijn gevoelig voor uitlijning, plaatsing van de extensometer, meetlengte en reksnelheid. Wanneer beide methoden correct binnen hetzelfde elastische gebied worden uitgevoerd, kunnen de resultaten dicht bij elkaar liggen, maar overeenstemming is niet gegarandeerd. Een gerapporteerde modulus moet daarom de methode, temperatuur, oriëntatie, toestand van het proefstuk en de vraag vermelden of de waarde initieel, tangentieel, secantieel, statisch of dynamisch is.

Engineering ToolBox vermeldt soms een geschatte referentiewaarde van 163 GPa voor de volumemodulus van roestvast staal, maar dit is een secundaire schatting en geen universele waarde voor elke soort roestvast staal, standaardaanduiding, temperatuur, textuur of productvorm. Dezelfde voorzichtigheid geldt voor opgegeven waarden van de Young-modulus. In isotrope rekenmodellen is één zorgvuldig gekozen paar elastische constanten voldoende; de gemeten materiaalgegevens moeten echter nog steeds overeenkomen met de toestand van het staal en met de vervormingswijze die in de berekening wordt gebruikt.

Schuifmodulus G en vervormingsstijfheid

De schuifmodulus, $G$, meet de weerstand van een vaste stof tegen vormverandering veroorzaakt door schuifspanning. Hij beschrijft niet in de eerste plaats de weerstand tegen een volumeverandering. Bij ideale zuivere afschuiving schuift één paar materiaalvlakken ten opzichte van een ander paar, waardoor de hoeken in het lichaam veranderen terwijl het volume vrijwel onveranderd blijft. Dit onderscheidt $G$ van de volumemodulus, $K$ of $B$, die de weerstand tegen hydrostatische compressie beschrijft.

Voor staal is $G$ geen afzonderlijke aanduiding van een staalsoort die onafhankelijk van alle andere elastische eigenschappen kan variëren. In homogene, isotrope, lineair elastische materialen zijn slechts twee elastische constanten onafhankelijk. Een tabel kan de elasticiteitsmodulus van Young $E$, de Poisson-verhouding $\nu$, de schuifmodulus $G$, de volumemodulus $K$, de eerste Lamé-parameter $\lambda$ en $2\mu$ vermelden, maar deze grootheden zijn wiskundig met elkaar verbonden. Sandia National Laboratories vermeldt deze isotrope verzameling van zes grootheden en stelt dat $E$ en $\nu$ de overige bepalen. Dezelfde beperking tot twee constanten wordt beschreven in Springers Elasticity of Solids (2020).

Schuifspanning en hoekrek

Schuifspanning, conventioneel geschreven als $\tau$, werkt evenwijdig aan een oppervlak. Wanneer een rechthoekig element wordt afgeschoven, veranderen de aanvankelijk rechte hoeken met een hoekrek $\gamma$. Bij kleine vervormingen wordt $\gamma$ uitgedrukt in radialen en kan deze worden benaderd als de laterale verplaatsing gedeeld door de hoogte:

$$\gamma \approx \frac{\Delta x}{h}.$$

De lineair elastische relatie is

$$\tau =G\gamma ,$$

of

$$G=\frac{\tau }{\gamma }.$$

Hoe groter $G$, des te groter de schuifspanning die nodig is om een bepaalde hoekvervorming te veroorzaken. Dit is een stijfheidsrelatie en geen uitspraak over vloeien of breuk. Een stalen proefstuk kan een hoge elastische schuifmodulus hebben en toch blijvend vervormen zodra de lokale schuifspanning de toepasselijke vloeivoorwaarde overschrijdt.

Zuivere afschuiving illustreert het verschil tussen vormveranderingsrespons en volumetrische respons. Een kubus kan veranderen in een scheef parallelepipedum, terwijl de ribbeafmetingen en het volume zeer weinig veranderen. In reële vaste stoffen treden tijdens afschuiving ook normale rekken op. In een isotroop materiaal worden deze begeleidende rekken bepaald via de Poisson-verhouding en de volledige constitutieve vergelijkingen, maar de voornaamste gemeten vervorming is hoekvervorming.

Een materiaal onder hydrostatische druk gedraagt zich anders. De druk werkt in alle richtingen gelijk en verandert het volume zonder een voorkeursrichting voor afschuiving te veroorzaken. De overeenkomstige modulus wordt door NIST thermodynamisch gedefinieerd als

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

waarbij $V$ het volume is, $P$ de druk en de afgeleide wordt genomen bij constante temperatuur. Deze definitie, geciteerd in een NIST-handboekhoofdstuk uit 1982, laat zien waarom een volumemodulus niet in plaats van $G$ mag worden gebruikt in een torsie- of schuifberekening.

Voor een isotrope benadering van staal is de dichtheid van de schuifrekenergie

$$u_s=\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{{\tau }^2}{2G}=\frac{1}{2}G{\gamma }^2.$$

Deze opgeslagen energie komt vrij wanneer de belasting wordt verwijderd, mits de vervorming binnen het elastische bereik blijft en geen tijdsafhankelijk of beschadigingsmechanisme is opgetreden.

Torsie, transversale golven en schuifrespons

Torsie is een praktische uiting van schuifelasticiteit. Wanneer een ronde stalen as wordt getordeerd, draaien dwarsdoorsneden ten opzichte van elkaar en ondergaan materiaalelementen een schuifrek die toeneemt met de afstand tot de as. Voor een cirkelvormige as bij torsie volgens Saint-Venant geldt

$$T=\mathrm{GJ}\frac{\phi }{L},$$

waarbij $T$ het torsiemoment is, $J$ het polaire oppervlaktetraagheidsmoment, $\phi$ de torsiehoek en $L$ de lengte van de as. Herschrijven geeft

$$\frac{\phi }{L}=\frac{T}{\mathrm{GJ}}.$$

Een as met een grotere $G$ verdraait minder onder hetzelfde torsiemoment, mits de geometrie en randvoorwaarden ongewijzigd blijven. Voor een massieve cirkelvormige as geldt $J=\pi d^4/32$; voor een holle cirkelvormige as geldt $J=\pi (d_o^4-d_i^4)/32$. Deze vergelijkingen zijn van toepassing op het elastische torsiebereik en vereisen een aanvullende behandeling voor niet-cirkelvormige doorsneden, welving, plasticiteit, restspanning en anisotrope producten.

De schuifmodulus wordt ook bepaald aan de hand van de snelheid van transversale elastische golven. In een isotroop medium is de snelheid van de transversale of schuifgolf

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }},$$

zodat

$$G=\rho v_T^2,$$

waarbij $\rho$ de dichtheid is. Een transversale golf veroorzaakt een deeltjesbeweging loodrecht op de voortplantingsrichting. De herstellende kracht ervan is schuifstijfheid, terwijl een longitudinale golf wordt bepaald door een combinatie van volumetrische en schuifstijfheid:

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}.$$

Het meten van beide golfsnelheden maakt het daarom mogelijk om, wanneer de dichtheid bekend is, meer dan één elastische constante te berekenen. Dit is een dynamische meting: het resultaat weerspiegelt de respons bij de testfrequentie, de temperatuur, de toestand van het proefstuk en de golfamplitude.

ASTM E1875-20a specificeert de bepaling van de dynamische elasticiteitsmodulus van Young, de schuifmodulus en de Poisson-verhouding “door middel van sonische resonantie”. De methode gebruikt resonantiefrequenties die verband houden met longitudinale en buig- of torsierespons, in plaats van een langzame, monotone belastingscurve. Dynamische en statische waarden kunnen voor een homogeen stalen proefstuk binnen een beperkt elastisch bereik dicht bij elkaar liggen, maar ze mogen niet automatisch als identiek worden beschouwd.

Het rapport van het National Bureau of Standards over austenitisch Fe-5Cr-26Mn-staal laat zien hoe belangrijk de testomstandigheden zijn. In het rapport werden elastische constanten bepaald aan de hand van de geluidsnelheden van longitudinale en transversale modi over 76–400 K. Temperatuurveranderingen beïnvloeden de atomaire binding, thermische uitzetting, fasestabiliteit en defectgerelateerde demping; bijgevolg hoeft een bij cryogene temperatuur gemeten modulus niet gelijk te zijn aan een modulus die nabij kamertemperatuur is gemeten. Ook de faseconstitutie en kristallografische textuur van staal zijn van belang. Een eenkristal is richtingsafhankelijk, terwijl een polykristal alleen isotroop kan lijken wanneer de korreloriëntaties voldoende willekeurig verdeeld zijn. Walsen, smeden, lassen, transformatieproducten en behouden textuur kunnen een richtingsafhankelijke schuifrespons veroorzaken.

Relatie tussen G, E en ν

Voor homogene, isotrope, lineair elastische materialen is de centrale relatie

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Hierbij is $E$ de elasticiteitsmodulus van Young en $\nu$ de Poisson-verhouding. Wanneer twee onafhankelijke constanten bekend zijn, kunnen de overige isotrope constanten worden afgeleid. Het rapporteren van $E$, $G$ en $\nu$ als drie onderling onafhankelijke, soortspecifieke getallen is daarom mechanisch inconsistent, tenzij meetonzekerheid, anisotropie, temperatuur of een afwijking van het model wordt besproken.

De overeenkomstige relatie voor de volumemodulus is

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

en het directe verband tussen $K$ en $G$ is

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Deze vergelijkingen zijn modelrelaties en geen universele omzettingsregels voor elk staalproduct. Ze veronderstellen kleine rekken, omkeerbaar gedrag, materiaalhomogeniteit, isotropie en een temperatuur- en belastingsconditie waarbij de elastische constanten effectief constant blijven. Ook wordt verondersteld dat de gerapporteerde waarden betrekking hebben op onderling verenigbare definities. Een statische trekmodulus, een resonantie-dynamische modulus en een uit golven afgeleide modulus kunnen verschillen doordat hun frequenties en reksamplitudes verschillen.

Een benaderde referentiewaarde van 163 GPa voor de volumemodulus van roestvast staal wordt in 2024 vermeld door Engineering ToolBox, maar dit getal is geen universele waarde voor elke soort roestvast staal, temperatuur, productvorm, faseverhouding of testmethode. Dezelfde voorzichtigheid geldt voor $G$. Austenitisch, ferritisch, martensitisch en duplex staal kan verschillen in textuur, fasefractie, magnetische toestand en voorgeschiedenis van verwerking. Normen en ontwerpspecificaties kunnen voor berekeningen een representatieve isotrope waarde toekennen, terwijl een onderzoeksmeting richtingsafhankelijke constanten kan onderscheiden.

Voor isotrope ontwerpberekeningen is $G=E/[2(1+\nu \left)\right]$ de geschikte koppeling tussen trek- en schuifstijfheid. Voor plaatmateriaal met textuur, lasbeïnvloed materiaal, gietstructuren, eenkristallen of meerfasig staal met uitgesproken richtingsafhankelijk gedrag kan daarentegen de volledige anisotrope stijfheidsmatrix vereist zijn. In dat geval kan één scalaire schuifmodulus niet elke schuifrichting beschrijven.

Volumemodulus K of B en volumetrische compressie

De volumemodulus beschrijft de weerstand tegen een uniforme verandering van het volume. Hij beschrijft niet de weerstand van een stalen staaf tegen uitrekking langs één as en is niet uitwisselbaar met de modulus van Young. Een trekproef bepaalt voornamelijk een uniaxiale modulus; een drukproef bepaalt een volumemodulus. De twee zijn alleen aan elkaar gerelateerd nadat een elastisch model en de bijbehorende aannames zijn vastgelegd.

Voor isotrope lineaire elasticiteit zijn de gebruikelijke symbolen $K$ of $B$ voor de volumemodulus, $E$ voor de modulus van Young, $G$ voor de schuifmodulus en $\nu$ voor de Poisson-verhouding. Dit zijn geen vier onafhankelijk instelbare materiaaleigenschappen. Zoals Elasticity of Solids van Springer uitlegt, heeft een isotroop vast lichaam slechts twee onafhankelijke elastische constanten. De documentatie van Sierra van Sandia vermeldt de gerelateerde verzameling als de modulus van Young $E$, de Poisson-verhouding $\nu$, de volumemodulus $K$, de schuifmodulus $G$, de eerste parameter van Lamé $\lambda$ en $2\mu$; wanneer $E$ en $\nu$ zijn gespecificeerd, liggen de overige waarden vast.

Thermodynamische definitie van de volumemodulus

Het National Institute of Standards and Technology definieert de isotherme volumemodulus als

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

waarbij $V$ het volume is, $P$ de druk en het subscript $T$ betekent dat de afgeleide bij constante temperatuur wordt genomen. Het minteken is noodzakelijk omdat een toenemende druk het volume normaal gesproken verkleint, zodat $\partial P/\partial V$ negatief is.

Deze definitie beschrijft de lokale helling van de druk-volumecurve. Het is een differentiële grootheid en niet eenvoudigweg de druk gedeeld door het volume over een willekeurig grote compressie. Voor een kleine verandering geldt

$$\frac{\Delta V}{V}\approx -\frac{\Delta P}{B}.$$

Een grotere $B$ betekent dus dat een grotere drukverandering nodig is om dezelfde relatieve volumeverandering te veroorzaken. De SI-eenheid is de pascal, hoewel gegevens voor staal normaal gesproken in gigapascal worden gerapporteerd.

De kwalificatie “bij constante temperatuur” is van belang. Een materiaal dat langzaam wordt gecomprimeerd, kan warmte uitwisselen met zijn omgeving, terwijl een snelle geluidsgolf vrijwel adiabatische vervorming kan veroorzaken. Dynamische metingen kunnen daardoor overeenkomen met een andere effectieve modulus dan een langzame mechanische proef. Ook kan de druk zelf de helling veranderen, vooral wanneer de compressie zo groot is dat de elastische constanten niet langer adequaat door één constante worden weergegeven.

Voor een vast lichaam onder hydrostatische druk zijn de normale spanningen in alle drie richtingen gelijk:

$${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=-P.$$

De bijbehorende rek is een volumerek,

$${\epsilon }_v=\frac{\Delta V}{V}={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,$$

voor kleine vervormingen. De constitutieve relatie is dan

$$P=-K{\epsilon }_v.$$

Het minteken volgt uit de tekenconventie waarbij trekspanning en trekrek positief zijn, terwijl drukkende druk als scalaire druk positief is.

Hydrostatiche druk en volumerek

Hydrostatische compressie verschilt van uniaxiale belasting, ook al veroorzaken beide normale spanningen. Beschouw een stalen proefstuk dat tijdens een trekproef wordt belast. De aangelegde axiale spanning veroorzaakt een verlenging in axiale richting, terwijl in de twee dwarsrichtingen contractie volgens Poisson optreedt. De modulus van Young wordt gedefinieerd aan de hand van de axiale spanning en axiale rek in die belastingssituatie:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

binnen het lineair elastische bereik.[4][4] Stress, Strain, and Elastic Modulus. OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

Onder hydrostatische druk wordt geen voorkeursrichting geselecteerd. Het proefstuk krimpt in de lengterichting langs alle drie assen, en de relevante respons is de som van de drie normale rekken. OpenStax maakt dit fysische onderscheid rechtstreeks: de modulus van Young geldt voor trekbelasting, de volumemodulus voor volumetrische compressie en de schuifmodulus voor schuifvervorming. Een uniaxiale trekproef legt niet rechtstreeks de toestand op die nodig is om $K$ te meten.

Voor een isotroop lineair elastisch vast lichaam zijn de moduli met elkaar verbonden door

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

en

$$E=3K(1-2\nu ).$$

De andere veelgebruikte relatie is

$$E=2G(1+\nu ).$$

Een gerapporteerde $E$ en $\nu$ kunnen dus worden omgerekend naar $K$, maar het resultaat neemt de omstandigheden en onzekerheden over die aan beide invoerwaarden verbonden zijn. Als $E$ een dynamische resonantiemodulus is, terwijl $\nu$ afkomstig is uit een langzame trekproef, vertegenwoordigt de berekende volumemodulus mogelijk niet één intern consistente meettoestand.

De formule laat ook zien waarom de volumemodulus sterk gevoelig is voor de Poisson-verhouding in de buurt van onsamendrukbaarheid. Voor een nominale staalwaarde van $E=200$ GPa en $\nu =0.30$ geldt

$$K=\frac{200}{3(1-0.60)}\approx 167\text{GPa}.$$

Wanneer $\nu$ wordt gewijzigd in 0.49 en dezelfde $E$ wordt gehandhaafd, geldt

$$K=\frac{200}{3(1-0.98)}\approx 3333\text{GPa}.$$

Deze zeer grote verandering is geen klein afrondingseffect. Zij ontstaat doordat de noemer nul nadert wanneer $\nu$ 0.5 nadert. Een kleine fout in $\nu$, of een waarde die afkomstig is van een andere temperatuur, frequentie, fasesamenstelling of meetmethode, kan een aanzienlijke verandering veroorzaken in de berekende $K$.

Waarom metalen vaak als vrijwel onsamendrukbaar worden beschreven

Metalen worden vaak vrijwel onsamendrukbaar genoemd omdat hun volumerek onder normale mechanische druk klein is vergeleken met hun vormverandering onder afschuiving of uniaxiale spanning. Hun volumemodulus is over het algemeen veel groter dan hun schuifmodulus. Druk kan het volume slechts in geringe mate veranderen, terwijl een vergelijkbare spanningstoestand die vormvervorming toestaat een duidelijkere verandering van de geometrie kan veroorzaken.

“Vrijwel onsamendrukbaar” betekent niet volkomen onsamendrukbaar. Staal heeft nog steeds een eindige volumemodulus en de dichtheid ervan verandert onder druk. De benadering is bruikbaar bij vervormingsanalyse, plasticiteit, vloeistof-structuurberekeningen en andere situaties waarin volumeveranderingen klein zijn, maar zij mag niet worden toegepast zonder het materiaalmodel te controleren. Plastische vervorming, fasetransformatie, porositeit, beschadiging en verhoogde temperatuur kunnen allemaal de volumetrische respons veranderen. Een poreus stalen gietstuk kan bijvoorbeeld niet als een ideaal dicht isotroop vast lichaam worden behandeld alleen omdat de metalen matrix stijf is.

De benadering wordt ook gecompliceerd door de microstructuur van staal. Elastische constanten van een eenkristal hangen af van de kristallografische richting. Een polykristallijn aggregaat kan zich bij willekeurig georiënteerde korrels bij benadering isotroop gedragen, maar walsen, smeden, fasetransformatie en textuur kunnen richtingsafhankelijke eigenschappen veroorzaken. Het hoofdstuk van het NIST-handboek over elastische constanten van monokristallen laat zien hoe quasi-isotrope polykristallijne waarden voor $E$, $G$, $B$, de longitudinale modulus en $\nu$ kunnen worden afgeleid uit stijfheidsgegevens van eenkristallen voor kubische en hexagonale materialen. “Quasi-isotroop” is een beschrijving van een model en geen garantie dat iedere productvorm in elke richting identieke eigenschappen heeft.

Ook temperatuur en fasesamenstelling zijn van belang. Een rapport van het National Bureau of Standards bepaalde de elastische constanten van austenitisch Fe-5Cr-26Mn-staal in het bereik van 76–400 K aan de hand van geluidssnelheden van longitudinale en transversale modi. Dat temperatuurbereik alleen al laat zien waarom niet aan iedere staaltoestand één waarde bij kamertemperatuur kan worden toegekend. Austenitisch, ferritisch, martensitisch en meerfasig staal kunnen verschillen in elastische respons, terwijl koudvervorming en textuur de gemeten richtingswaarden kunnen veranderen.

Een secundaire bron, Engineering ToolBox, vermeldt een benaderende waarde van 163 GPa voor “roestvast staal”. Dat getal kan handig zijn voor een voorlopige berekening, maar het is geen universele volumemodulus voor iedere roestvaststaalsoort, temperatuur, productvorm, faseverhouding, textuur of testomstandigheid. Het mag niet worden gepresenteerd als een gemeten constante die door alle roestvaste staalsoorten wordt gedeeld.

De meetmethode is een andere bron van variatie. ASTM E1875-20a specificeert de bepaling van de dynamische modulus van Young, de schuifmodulus en de Poisson-verhouding “door middel van sonische resonantie”. Dergelijke waarden worden verkregen uit trillingsfrequenties en zijn gevoelig voor dichtheid, geometrie, demping, temperatuur en frequentie. Statische trekgegevens beantwoorden een andere experimentele vraag. Ontwerpberekeningen moeten daarom aangeven of de modulus gemeten of afgeleid is, statisch of dynamisch, isotroop of richtingsafhankelijk, en aan welke temperatuur en materiaaltoestand deze is gekoppeld. Zonder die informatie is een vermelde $K$ of $B$ slechts een voorwaardelijke schatting.

De contractiecoëfficiënt van Poisson ν en dwarsrek in staal

De contractiecoëfficiënt van Poisson, geschreven als ν (nu), beschrijft de elastische rek die loodrecht op een aangebrachte belasting ontstaat. Bij een trekproef wordt deze gedefinieerd als

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\mathrm{transverse}}}{{\epsilon }_{\mathrm{longitudinal}}}$$

waarbij de langsrek de belastingsrichting volgt en de dwarsrek over het proefstuk wordt gemeten. Het minteken zorgt ervoor dat ν positief is voor de gebruikelijke trekrespons van staal: de meetlengte neemt toe, terwijl de breedte en dikte afnemen.

Deze definitie geldt voor een specifieke elastische test- en belastingsrichting, temperatuur, belastingssnelheid en materiaaltoestand. Het is geen afzonderlijk kwaliteitslabel dat onafhankelijk van de elasticiteitsmodulus van Young, de schuifmodulus of de volumemodulus kan worden gekozen. Voor een isotrope, homogene, lineair elastische vaste stof zijn slechts twee elastische constanten onafhankelijk. Sandia National Laboratories vermeldt de gerelateerde isotrope constanten als de elasticiteitsmodulus van Young $E$, de contractiecoëfficiënt van Poisson $\nu$, de volumemodulus $K$, de schuifmodulus $G$, de eerste Lamé-parameter $\lambda$ en $2\mu$; door $E$ en $\nu$ vast te leggen, worden de overige constanten bepaald. Springer’s Elasticity of Solids stelt eveneens dat een isotrope vaste stof “slechts twee” onafhankelijke elastische constanten heeft.

Voor isotroop staal bij kleine elastische rekken zijn de belangrijkste verbanden

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

en

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Dezelfde relaties kunnen worden herschikt tot

$$\nu =\frac{E}{2G}-1$$

of

$$\nu =\frac{3K-E}{6K}.$$

Deze vergelijkingen zijn constitutieve relaties en geen onafhankelijke manieren om willekeurige materiaalgegevens toe te kennen. Als een tabel waarden voor $E$, $G$, $K$ en ν vermeldt die hier niet aan voldoen, kunnen de waarden met verschillende methoden, bij verschillende temperaturen of onder verschillende aannamen zijn gemeten. Ze kunnen ook anisotroop materiaal beschrijven met behulp van isotrope benaderingen.

Axiale contractie tijdens trekbelasting

Beschouw een stalen trekproefstuk waarvan de as is uitgelijnd met de belastingsrichting. Een trekspanning veroorzaakt een positieve axiale rek,

$${\epsilon }_L=\frac{\Delta L}{L},$$

terwijl de diameter afneemt. Als de oorspronkelijke diameter $d$ is, bedraagt de dwarsrek bij benadering

$${\epsilon }_T=\frac{\Delta d}{d}.$$

Binnen het elastische gebied geldt

$${\epsilon }_T=-\nu {\epsilon }_L.$$

Als een proefstuk dus een axiale elastische rek van $0,001$ heeft en ν gelijk is aan 0,30, bedraagt de dwarsrek ongeveer $-0,0003$. De lengte neemt met 0,10% toe, terwijl de diameter met 0,03% afneemt. Dit numerieke voorbeeld beschrijft uitsluitend de rek; het kent geen universele waarde toe aan elke staalsoort of productvorm.

De verhouding is dimensieloos, omdat zowel de teller als de noemer rekken zijn. De waarde hangt ook af van de manier waarop de rekken worden gedefinieerd. Technische rek, ware rek, componenten van de kleine-rek-tensor en secantr ekken kunnen enigszins verschillende resultaten opleveren zodra de vervorming niet langer zeer klein is. De contractiecoëfficiënt van Poisson die in lineair-elastische ontwerpen wordt gebruikt, verwijst normaal gesproken naar de initiële helling binnen het herstelbare gebied, vóór het optreden van vloei, Lüders-vervorming, plastische stroming, scheurvorming of andere niet-lineaire effecten.

De axiale en laterale respons zijn gekoppeld. Een trekproefstuk wordt niet eenvoudigweg langer terwijl de oorspronkelijke afmetingen van de dwarsdoorsnede behouden blijven. Bij een rechthoekige of cilindrische doorsnede draagt de afname van de breedte en dikte bij aan een volumeverandering. Bij kleine rekken is de volumerek bij benadering

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L+{\epsilon }_{T1}+{\epsilon }_{T2}.$$

Voor een isotrope trektoestand met gelijke dwarsrekken geldt

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L(1-2\nu ).$$

Deze uitdrukking laat zien waarom ν van belang is in eindige-elementenmodellen en constructieberekeningen. Het verkeerd instellen van ν verandert de voorspelde laterale contractie, volumetrische respons, hydrostatische spanning en soms de schijnbare stijfheid van ingesloten gebieden.

Staal is niet op elke schaal één enkele isotrope substantie. Een willekeurig georiënteerd polykristal kan isotroop gedrag benaderen wanneer veel korrels bijdragen en de textuur zwak is. Gewalste plaat, getrokken draad, gesmede staaf, laszones en additief vervaardigd materiaal kunnen voorkeursoriëntaties van kristallen of ruimtelijk variërende faseverdelingen behouden. In die gevallen hangt de dwarsrek af van de belastings- en meetrichtingen. Eén enkele scalaire waarde voor ν kan dan een handige technische gemiddelde waarde zijn, maar geen volledige materiaalbeschrijving.

Volumeverandering en de grens ν = 0,5

De volumemodulus beschrijft de weerstand tegen uniforme compressie, terwijl de elasticiteitsmodulus van Young betrekking heeft op axiale trek of druk en de schuifmodulus de vormverandering onder afschuiving beschrijft. OpenStax maakt dit onderscheid rechtstreeks: de elasticiteitsmodulus van Young geldt voor trekbelasting, de volumemodulus voor volumetrische compressie en de schuifmodulus voor schuifvervorming.

De thermodynamische definitie van de volumemodulus is

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

zoals in 1982 is vermeld door het National Institute of Standards and Technology. Hierin is $P$ de druk, $V$ het volume en wordt de afgeleide genomen bij constante temperatuur. De isotrope lineair-elastische vergelijking $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$ koppelt deze volumetrische respons aan uniaxiale elastische gegevens, maar alleen wanneer de isotrope aannamen van toepassing zijn.

Wanneer ν 0,5 nadert, nadert de noemer $1-2\nu$ naar nul en neigt de berekende volumemodulus voor een eindige $E$ naar oneindig. Dit is de onsamendrukbare grens: de vervorming kan de vorm veranderen, maar niet het volume. Rubberachtige materialen kunnen deze toestand benaderen, omdat hun volumetrische respons veel stijver is dan hun schuifrespons. Gewone staalsoorten zijn niet onsamendrukbaar, hoewel hun volumemodulus aanzienlijk groter is dan hun schuifmodulus.

Deze grens brengt ook een numeriek probleem aan het licht. Omdat $K$ de term $1-2\nu$ bevat, kan een kleine fout in ν een grote relatieve fout in de berekende $K$ veroorzaken, vooral wanneer ν dicht bij 0,5 ligt. Differentiatie van de relatie geeft

$$\frac{\partial K}{\partial \nu }=\frac{2E}{3(1-2\nu {)}^2}$$

wanneer $E$ constant wordt gehouden. De gekwadrateerde noemer versterkt de gevoeligheid. Een onzekerheid van slechts enkele duizendsten in ν kan weinig effect hebben op een globale axiale berekening, maar wel een aanzienlijk effect op een gerapporteerde volumemodulus.

Een verwijzing van Engineering ToolBox geeft voor roestvast staal een geschatte volumemodulus van 163 GPa. Dit cijfer is een secundaire referentieschatting en geen universele waarde voor elke soort roestvast staal, temperatuur, productvorm, fasesamenstelling of testmethode. Austenitische, ferritische, martensitische, duplex- en precipitatiehardende staalsoorten kunnen verschillen in textuur, fasebalans, defecten en temperatuurrespons.

Meting en interpretatie van ν

De contractiecoëfficiënt van Poisson kan worden bepaald uit gelijktijdige metingen van de axiale en dwarsrek tijdens een trek- of drukproef. Extensometers, aangebrachte rekstroken, optische systemen en digitale beeldcorrelatie kunnen beide rekcomponenten meten, maar het dwarssignaal is vaak kleiner en gevoeliger voor uitlijning, oppervlaktevoorbereiding, meetlengtegeometrie en ruis. Een verkeerde uitlijning kan buiging veroorzaken, terwijl een onjuiste plaatsing van de meetelementen de langs- en dwarsrichtingen kan vermengen.

Een tweede methode leidt ν af uit onafhankelijk gemeten elastische golf­snelheden. Longitudinale en schuifgolfsnelheden leveren dynamische elastische informatie; voor een isotrope vaste stof geldt

$$G=\rho v_S^2$$

en

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_S^2),$$

waarbij $\rho$ de dichtheid is, $v_S$ de schuifgolfsnelheid en $v_L$ de longitudinale golfsnelheid. De daaruit verkregen $E$ en ν beschrijven een respons met kleine amplitude en eindige frequentie en komen niet noodzakelijk overeen met de waarde uit een langzame trekproef. ASTM E1875-20a specificeert de bepaling van de dynamische elasticiteitsmodulus van Young, schuifmodulus en contractiecoëfficiënt van Poisson “door sonische resonantie”.[5][5] Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

Temperatuurveranderingen beïnvloeden zowel de elastische stijfheid als de golfsnelheid. Een rapport van het National Bureau of Standards beschreef metingen van elastische constanten voor Fe-5Cr-26Mn-austenitisch staal bij 76–400 K, met gebruik van geluidsnelheden in de longitudinale en transversale modus. Dit bereik illustreert waarom een waarde die nabij kamertemperatuur is gemeten niet automatisch mag worden overgedragen naar cryogene toepassingen of ontwerpen bij verhoogde temperatuur.

Textuur en kristallografische anisotropie vormen een aanvullende beperking. De elastische stijfheden van een eenkristal kunnen alleen via een middelingsmodel dat rekening houdt met de kristalsymmetrie en de oriëntatieverdeling worden omgerekend naar quasi-isotrope polykristallijne waarden van $E$, $G$, $K$ en ν. Een gewalste plaat kan daarom verschillende verhoudingen vertonen voor belasting in de walsrichting, de dwarsrichting en de richting door de dikte. Dynamische resonantie kan bovendien een ander effectief volume en een andere rekamplitude bemonsteren dan een statische trekproef.

Voor ontwerpdoeleinden moet ν overeenkomen met het beoogde constitutieve model en de testconditie. Gebruik een scalaire isotrope waarde alleen wanneer de productvorm, textuur, temperatuur, rekzone en vereiste nauwkeurigheid deze vereenvoudiging ondersteunen. In andere gevallen zijn richtingsafhankelijke elastische constanten of een volledige anisotrope stijfheidsmatrix beter verdedigbaar dan vier gerapporteerde moduli te behandelen als onderling losstaande, kwaliteitsspecifieke getallen.

De volledige relatieverzameling voor isotrope elasticiteitsmoduli

Voor een homogeen, lineair-elastisch, isotroop vast lichaam zijn de vier vaak gerapporteerde moduli geen vier onafhankelijke materiaaleigenschappen. De elasticiteitsmodulus van Young $E$, de schuifmodulus $G$, de volumemodulus $K$ of $B$, en de Poissonverhouding $\nu$ beschrijven verschillende vervormingswijzen, maar hun waarden zijn aan elkaar gekoppeld. Elke twee geschikte constanten bepalen de overige grootheden.

Aan deze uitspraak zijn voorwaarden verbonden. Het materiaal moet als isotroop worden beschouwd, de spanning-rekrelatie moet lineair zijn binnen het beschouwde bereik, en de moduli moeten betrekking hebben op dezelfde temperatuur, dichtheid, fase- of microstructuursamenstelling, textuurgemiddelde, frequentie en meetconventie. Een modulus die is gemeten met een trekproef bij lage rek is niet automatisch uitwisselbaar met een dynamische modulus die uit de geluidssnelheid is afgeleid. Voor een anisotroop monokristal reproduceren de onderstaande isotrope vergelijkingen niet de volledige richtingsafhankelijke respons.

OpenStax (2020) kent de fysische rollen duidelijk toe: $E$ beschrijft trek- of uniaxiale vervorming, $G$ beschrijft schuifvervorming en de volumemodulus beschrijft volumetrische compressie. De behandeling van NIST uit 1982 definieert de thermodynamische volumemodulus als

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

waarbij $V$ het volume is, $P$ de druk en de afgeleide bij constante temperatuur wordt genomen. In de lineaire elasticiteit bij kleine rek komt deze thermodynamische definitie overeen met de volumetrische stijfheid die in de onderstaande relaties wordt gebruikt, mits dezelfde toestand en dezelfde elastische benadering worden gehanteerd.

Conversies tussen $E$, $G$, $K$ en $\nu$

De volledige vergelijkingsverzameling voor isotrope lineaire elasticiteit is:

\[ \boxed{G=\frac{E}{2(1+\nu)}} \]

\[ \boxed{K\ \text{of}\ B=\frac{E}{3(1-2\nu)}} \]

\[ \boxed{E=\frac{9KG}{3K+G}} \]

\[ \boxed{\nu=\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \]

\[ \boxed{\lambda=K-\frac{2G}{3}} \]

\[ \boxed{\mu=G} \]

De eerste vergelijking zet de elasticiteitsmodulus van Young en de Poissonverhouding om in de schuifmodulus. Zij veronderstelt een isotrope constitutieve wet en een infinitesimale, lineair-elastische rek. De tweede vergelijking zet $E$ en $\nu$ om in de volumemodulus. Ook deze vergelijking veronderstelt dat de gemeten Poissonverhouding de isotrope elastische verhouding is en niet een richtingsafhankelijke waarde van een anisotroop proefstuk.

De derde vergelijking berekent $E$ uit $K$ en $G$, terwijl de vierde $\nu$ uit dezelfde twee moduli berekent. Deze vergelijkingen zijn algebraïsche herschikkingen van hetzelfde isotrope constitutieve model; zij leveren geen onafhankelijke experimentele controles op, tenzij de invoerwaarden uit afzonderlijke metingen afkomstig zijn. Als $E$, $G$ en $\nu$ allemaal worden gerapporteerd, zijn kleine afwijkingen te verwachten als gevolg van meetonzekerheid, afronding, temperatuurverschillen, porositeit, textuur of afwijkingen van isotropie.

Voor een stabiel, gebruikelijk isotroop elastisch vast lichaam gelden in het algemeen de beperkingen

\[ G>0,\qquad K>0,\qquad -1<\nu<\frac{1}{2}. \]

De bovengrens voor $\nu$ is bijzonder belangrijk. Naarmate $\nu$ 0,5 nadert, nadert de term $1-2\nu$ nul en wordt de berekende volumemodulus zeer groot ten opzichte van $E$. Een vrijwel onsamendrukbaar materiaal kan dus een eindige trekmodulus hebben, maar een veel grotere volumetrische stijfheid. Staal is samendrukbaar. Daarom zou het behandelen van $\nu =0,5$ als een exacte staalwaarde de conversie singulier maken in plaats van informatief.

De vergelijkingen zijn van toepassing op effectieve isotrope eigenschappen van een polykr User wrote monocrystal maybe monokristal. Continue. Need no truncation. Ensure "product form" etc.

Let's formulate rest. Use "Lamé-parameters". "eerste Lamé-parameter". "Kroneckerdelta". "Sierra-documentatie". "software- en eindige-elementennotatie". "grade properties" materiaalgradeselect? "materiaalklasse-eigenschappen".

Need output only. Continue from paragraph.

Maybe Dutch uses volumemodulus (bulkmodulus also common). Translate all headings. Markdown italic preserved. Fine. Ensure "Young's modulus" maybe elasticiteitsmodulus van Young.

Let's produce complete from remaining, but final needs include whole text. I'll output all (already first part) seamlessly.

Elasticiteit van eenkristallen, staal- en kristallografie en gemiddelden voor polykristallijne materialen

Staal is niet op elke structurele schaal elastisch in exact dezelfde wiskundige betekenis. Een afzonderlijk kristal heeft eigenschappen die zijn gekoppeld aan de richtingen van zijn rooster, terwijl een technisch staalproduct doorgaans uit vele korrels bestaat met verschillende oriëntaties, fasen, defecten en restspanningen. Wanneer een gemeten modulus uit het tweede geval wordt behandeld alsof deze een universele eigenschap van het eerste geval is, kan dat tot een misleidende berekening leiden.

Het onderscheid begint bij de kristalsymmetrie. Ferritische staalsoorten hebben een lichaamsgecentreerde kubische (BCC) kristalstructuur, austenitische staalsoorten hebben een vlakgecentreerde kubische (FCC) structuur, en martensiet wordt doorgaans beschreven als een lichaamsgecentreerde tetragonale structuur, hoewel de tetragonaliteit afhankelijk is van het koolstofgehalte en de ontlaatgeschiedenis. Deze structuren dragen elastische rek niet in elke kristallografische richting op identieke wijze. Een polykristallijn materiaal kan pas vrijwel isotroop lijken nadat de richtingsafhankelijke reacties van vele korrels zijn gemiddeld.

Elastische stijfheidstensoren in kubische kristallen

De lineaire elasticiteit relateert spanning aan rek via een tensor van de vierde orde:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=C_{\mathrm{ijkl}}{\epsilon }_{\mathrm{kl}}.$$

De tensor bevat de elastische stijfheden $C_{\mathrm{ijkl}}$, terwijl zijn inverse de elastische compliances $S_{\mathrm{ijkl}}$ bevat. De kristalsymmetrie vermindert het aantal onafhankelijke termen. Een volledig algemeen anisotroop vast lichaam kan 21 onafhankelijke elastische constanten vereisen, maar een kubisch kristal heeft er slechts drie nodig: $C_{11}$, $C_{12}$ en $C_{44}$.

In gecontracteerde matrixnotatie is de kubische stijfheidsmatrix

\[ \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2\\ \sigma_3\\ \sigma_4\\ \sigma_5\\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\ 0&0&0&C_{44}&0&0\\ 0&0&0&0&C_{44}&0\\ 0&0&0&0&0&C_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \varepsilon_3\\ \varepsilon_4\\ \varepsilon_5\\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}. \]

De drie constanten hebben verschillende functies. $C_{11}$ beschrijft de respons van de normale spanning langs een kubische as, $C_{12}$ koppelt de normale vervorming tussen loodrechte assen, en $C_{44}$ beschrijft de schuifrespons op een voornaam kristallografisch vlak. Het zijn stijfheden en geen onderling uitwisselbare varianten van de elasticiteitsmodulus of de schuifmodulus.

Een bruikbare indicator voor de anisotropie van een kubisch kristal is de Zener-verhouding,

$$A=\frac{2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}.$$

Wanneer $A=1$, heeft de elastische respons van het kubische kristal dezelfde richtingsvorm als die van een isotroop vast lichaam. Waarden die van één afwijken, wijzen op oriëntatieafhankelijkheid. De verhouding geeft op zichzelf niet de modulus van een staalproduct; zij beschrijft de elastische symmetrie van een kristal wanneer de relevante eenkristalconstanten zijn gemeten of berekend.

Het monokristalhoofdstuk van NIST, gepubliceerd in 1982, laat zien hoe deze stijfheidsgegevens kunnen worden omgerekend naar aggregaateigenschappen voor kubische en hexagonale materialen. Voor een kubisch kristal is de volumemodulus die samenhangt met een uniforme hydrostatische rek

$$B=\frac{C_{11}+2C_{12}}{3}.$$

Dit is consistent met de door NIST vermelde thermodynamische definitie,

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

De schuifmodulus en elasticiteitsmodulus van een eenkristal blijven afhankelijk van de richting, ook al wordt de hydrostatische volumereactie van een kubisch kristal door de symmetrie beperkt. Een richting zoals $\left[100\right]$, $\left[110\right]$ of $\left[111\right]$ kan een verschillende trekmodulus opleveren, omdat de aangelegde spanning op verschillende wijze ten opzichte van het rooster wordt ontbonden.

Voor een isotroop materiaal zijn slechts twee elastische constanten onafhankelijk, zoals beschreven in het hoofdstuk Elasticity of Solids van Springer uit 2020. De documentatie van Sierra van Sandia vermeldt de bijbehorende isotrope verzameling als de elasticiteitsmodulus $E$, de Poisson-verhouding $\nu$, de volumemodulus $K$, de schuifmodulus $G$, de eerste Lamé-parameter $\lambda$ en $2\mu$; iedere twee geschikte leden bepalen de overige. Die reductie geldt niet voor een kristal alleen omdat het kristal klein is of omdat de vervorming elastisch blijft. Zij volgt uit isotrope symmetrie.

Textuur en richtingsafhankelijke modulus

Een kristaloriëntatie wordt doorgaans uitgedrukt door de kristallografische richting en het kristallografische vlak ten opzichte van de assen van het proefstuk. In een polykristallijne plaat legt de oriëntatiefunctie vast hoe de oriëntaties van de korrels zijn verdeeld. Textuur ontstaat wanneer bewerking bepaalde roosterrotaties bevoordeelt, vooral tijdens walsen, herkristallisatie en daaropvolgende fasetransformatie.

De gemeten trekmodulus in de walsrichting hoeft daarom niet gelijk te zijn aan de modulus dwars op de walsrichting of door de plaatdikte heen. Het verschil ontstaat door de oriëntatiegewogen som van de reacties van de korrels, en niet door een nieuwe, onafhankelijke “elasticiteitsmodulus in de walsrichting” die de onderliggende stijfheidstensor vervangt. Een eindige-elementenmodel kan dit gedrag weergeven door een anisotrope stijfheidstensor aan de materiaalcoördinaten toe te kennen, of door eigenschappen op kristalniveau toe te kennen aan vele oriëntaties.

Gewalst koolstofarm staal, ferritisch roestvast staal en plaatmateriaal dat transformatiebewerkingen heeft ondergaan, kunnen textuur vertonen als gevolg van vervorming en herkristallisatie. Gesmeed staal kan richtingsafhankelijke korrelstroming en textuur rond de smeedas ontwikkelen. Gegoten staal heeft vaak een gevarieerdere oriëntatieverdeling, maar stollen kan nog steeds leiden tot kolomvormige korrels, segregatie, fasegradiënten of voorkeursoriëntaties. Geen van deze bewerkingsroutes garandeert isotropie of een bepaalde mate van anisotropie.

Additief vervaardigd staal vormt een ander oriëntatieprobleem. Thermische cycli van laag tot laag kunnen kolomvormige korrels veroorzaken die met een opbouwrichting zijn uitgelijnd, terwijl de scanstrategie, de geometrie van het smeltbad, herverhitting en warmtebehandeling de oriëntatieverdeling en fasesamenstelling wijzigen. Een modulus die parallel aan de opbouwrichting is gemeten, kan daardoor verschillen van een modulus die dwars daarop is gemeten. De richting, de locatie van het proefstuk, de warmtebehandeling, de porositeit en de beproevingsmethode moeten samen met de gerapporteerde waarde worden vermeld.

Textuur beïnvloedt ook de Poisson-verhouding en de schuifmodulus. Een trekproef kan een axiale rekrespons rapporteren, terwijl een resonantiemethode verschillende dynamische constanten afleidt uit trillingsmodi. ASTM E1875-20a specificeert de bepaling van de dynamische elasticiteitsmodulus, schuifmodulus en Poisson-verhouding “door middel van sonische resonantie”. Deze dynamische waarden zijn niet automatisch identiek aan statische waarden uit een langzame trekproef, vooral wanneer demping, microbarsten, porositeit, temperatuur of frequentie de respons beïnvloedt.

Quasi-isotrope schattingen voor polykristallijne materialen

Wanneer de korreloriëntaties voldoende verspreid zijn, kunnen richtingsverschillen op de schaal van het proefstuk tot kleine waarden worden gemiddeld. Ingenieurs beschrijven het aggregaat dan als quasi-isotroop: niet perfect isotroop in elke korrel of elk lokaal volume, maar voor de beoogde berekening voldoende goed weergegeven door isotrope constanten. Het woord is van belang. Het duidt op een benadering en niet op de bewering dat alle kristallografische anisotropie is verdwenen.

Schattingen voor polykristallijne materialen kunnen worden gevormd uit stijfheids- of compliancegegevens van eenkristallen met behulp van begrenzingen en middelingsmethoden. Een Voigt-schatting veronderstelt een uniforme rek in alle korrels; een Reuss-schatting veronderstelt een uniforme spanning. Hun voorspellingen verschillen doorgaans, omdat geen van beide voorwaarden elk heterogeen aggregaat exact weergeeft. De Hill-schatting, die gewoonlijk wordt opgevat als het rekenkundige gemiddelde van de Voigt- en Reuss-resultaten, dient vaak als een praktische tussenbenadering. Voor deze schattingen zijn een gespecificeerde kristalsymmetrie, oriëntatieverdeling en fasesamenstelling vereist.

Voor een quasi-isotroop aggregaat voldoen de resulterende $E$, $G$, $B$ en $\nu$ aan de bekende isotrope relaties:

$$E=2G(1+\nu ),$$

$$E=3B(1-2\nu ),$$

en

$$E=\frac{9\mathrm{BG}}{3B+G}.$$

Zodra twee onafhankelijke aggregaatconstanten zijn gekozen, worden de overige dus afgeleid. Een referentietabel kan een geschatte volumemodulus van 163 GPa voor roestvast staal vermelden, zoals Engineering ToolBox in 2024 deed, maar die waarde is een secundaire schatting en geen universele waarde voor elke soort roestvast staal, temperatuur, productvorm, faseverhouding of meetmethode.

Het rapport van het National Bureau of Standards over austenitisch Fe-5Cr-26Mn-staal illustreert het meetprobleem rechtstreeks: elastische constanten werden bepaald tussen 76 en 400 K uit geluidssnelheden in longitudinale en transversale modi. Temperatuur verandert de roosterafstand, de fasestabiliteit, de mobiliteit van defecten en de geluidssnelheid, zodat de resulterende constanten betrekking hebben op gespecificeerde beproevingsomstandigheden. Voor ontwerpdoeleinden kan een quasi-isotrope verzameling geschikt zijn voor een gegoten of gegloeid product met een zwakke textuur. Een sterk gewalste plaat, een gesmeed onderdeel, een las of een additief vervaardigd onderdeel kan daarentegen richtingsgegevens vereisen. De juiste modulus is dus niet eenvoudigweg het getal dat aan een staalsoort is gekoppeld; het is de waarde die hoort bij de vervormingswijze, oriëntatie, temperatuur, microstructuur en beproevingsmethode.

Hoe elastische constanten van staal worden gemeten

Elastische constanten van staal worden gemeten aan de hand van een kracht-verplaatsingsrespons of via de voortplanting en resonantie van mechanische golven. Deze benaderingen leveren niet altijd dezelfde numerieke modulus op. Een trekproef registreert een bijna-statische helling bij een bepaalde belastingssnelheid, terwijl sonische en ultrasone methoden een hoogfrequente respons met kleine amplitude meten. Temperatuur, korrelstructuur, kristallografische textuur, porositeit, faseconstitutie, restspanning, de geometrie van het proefstuk en de definitie van de gemeten modus kunnen het resultaat allemaal beïnvloeden.

Voor een isotrope, lineair elastische vaste stof zijn slechts twee elastische constanten onafhankelijk. De elasticiteitsmodulus van Young $E$, de schuifmodulus $G$, de volumemodulus $K$ of $B$, de Poissonverhouding $\nu$, de eerste parameter van Lamé $\lambda$ en $2\mu$ beschrijven verwante aspecten van dezelfde constitutieve respons; Sandia National Laboratories vermeldt deze verzameling en stelt dat $E$ en $\nu$ de overige grootheden bepalen. De meetmethode is daarom van belang, ook wanneer de gerapporteerde grootheden vertrouwde namen hebben. De elasticiteitsmodulus van Young beschrijft axiale verlenging, de volumemodulus beschrijft volumeverandering onder hydrostatische druk en de schuifmodulus beschrijft hoekvervorming.

Mechanische trek- en drukmethoden

De conventionele trekmethode bepaalt een statische of quasi-statische elasticiteitsmodulus van Young uit de helling van het aanvankelijk lineaire deel van een spanning-rekcurve:

$$E=\frac{d\sigma }{d\epsilon }.$$

Een vervaardigd stalen proefstuk wordt op trek belast, terwijl een extensometer, rekstrookje of optisch systeem de axiale rek meet. De bruikbare helling wordt bepaald voordat plasticiteit, Lüders-deformatie, scheurvorming of ander niet-lineair gedrag begint. Het gekozen rekinterval moet worden vermeld, omdat kleine afwijkingen van lineariteit, machinecompliantie, zittingseffecten en beperkingen in de rekresolutie de gefitte waarde kunnen veranderen.

Een trekproef kan ook de Poissonverhouding bepalen door de gelijktijdige dwarsrek te meten:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{dwars}}}{{\epsilon }_{\text{axiaal}}}.$$

De axiale en dwarsmetingen moeten worden gesynchroniseerd en binnen hetzelfde elastische interval worden uitgevoerd. Zodra $E$ en $\nu$ bekend zijn, geven isotrope relaties

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

en

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Deze berekende waarden zijn geen afzonderlijke metingen van schuifstijfheid of volumestijfheid. Ze erven de afhankelijkheid van temperatuur, reksnelheid, textuur en testrichting van de oorspronkelijke trekgegevens.

Drukproeven bieden een andere route naar een axiale modulus, maar introduceren andere fouten. Het proefstuk moet kort genoeg zijn om knik te voorkomen, maar lang genoeg om een meetbare verplaatsing te leveren. Wrijving aan de uiteinden kan de laterale uitzetting beperken en een tonvormig proefstuk veroorzaken; daardoor kan de gemeten helling van de kracht-verplaatsingscurve ook effecten van wrijving en uitlijning van de drukplaten bevatten. Smering, evenwijdigheid van de uiteinden, oppervlakteafwerking, stijfheid van de drukplaten en de verhouding tussen proefstukhoogte en diameter zijn allemaal van belang. Extensometers of verplaatsingssensoren moeten de vervorming over de meetlengte van het proefstuk meten, in plaats van uitsluitend te vertrouwen op de verplaatsing van de traverse.

Hydrostatische compressie ligt conceptueel dichter bij een directe meting van de volumemodulus, omdat in alle richtingen druk wordt uitgeoefend en de volumeverandering wordt gevolgd:

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Dit is de thermodynamische definitie die het National Institute of Standards and Technology in 1982 gaf. Gewone uniaxiale compressie is geen hydrostatische compressie; deze combineert axiale en laterale vervorming en meet $K$ daarom niet rechtstreeks. Voor een directe bepaling van de volumemodulus zijn drukvaten, een nauwkeurige volume- of rekmeting, drukkalibratie en temperatuurregeling vereist. Voor de karakterisering van de meeste constructiestalen wordt $K$ in plaats daarvan berekend uit onafhankelijk gemeten $E$ en $\nu$, of bepaald uit geluidssnelheden.

Statische mechanische hellingen zijn bijzonder gevoelig voor de testsnelheid en de toestand van het proefstuk. Een trekresultaat van een gepolijste, spanningsarm gegloeide staaf die bij kamertemperatuur is getest, is niet automatisch de modulus van een gewalste plaat met textuur, lasmetaal of een warmtebehandeld tweefasenproduct. In een kubisch eenkristal varieert de stijfheid met de kristallografische richting. Een polykristallijn aggregaat kan quasi-isotroop lijken wanneer de korrels willekeurig zijn georiënteerd, maar wals- of stollingstextuur kan richtingafhankelijke moduli veroorzaken.

Sonische resonantie volgens ASTM E1875-20a

ASTM E1875-20a is een genoemde norm voor het bepalen van de dynamische elasticiteitsmodulus van Young, schuifmodulus en Poissonverhouding “door middel van sonische resonantie”. In plaats van een lange, langzaam bepaalde kracht-rekhelling te meten, brengt de methode een proefstuk in trilling en bepaalt zij de natuurlijke resonantiefrequenties. De resonantiefrequentie hangt af van de elastische stijfheid, massadichtheid, afmetingen van het proefstuk en trillingsmodus.

Het proefstuk wordt zodanig ondersteund dat een vrije randvoorwaarde wordt benaderd, meestal door de steunen nabij knooppuntgebieden te plaatsen, zodat zij zo weinig mogelijk vibratie-energie verwijderen. Een aandrijving brengt het proefstuk in trilling en een microfoon, versnellingsopnemer, laserinstrument of andere detector registreert de respons. De resonantiefrequentie wordt vastgesteld aan de hand van een scherpe amplitudemaximum, een faseverandering of een piek in de frequentierespons. De gemeten frequentie moet aan de juiste buig-, torsie- of longitudinale modus worden toegewezen; het verwarren van aangrenzende modi kan een plausibele maar onjuiste modulus opleveren.

De lengte, breedte, dikte, massa en dichtheid van het proefstuk zijn daarom cruciale invoergegevens. De afmetingen moeten worden gemeten bij de testtemperatuur wanneer thermische uitzetting aanzienlijk is, of vanuit de afmetingen bij kamertemperatuur worden gecorrigeerd met een geschikte uitzettingscoëfficiënt. De dichtheid moet overeenkomen met het daadwerkelijke proefstuk en niet met een veronderstelde handboekwaarde, vooral bij gietstaal, poreus materiaal, deeltjesinsluitingen of meerfasige microstructuren. ASTM E1875-20a houdt rekening met de geometrie van het proefstuk en resonantievergelijkingen, in plaats van elk monster als een oneindige staaf te behandelen. Eindvoorwaarden, steunlocatie, aspectratio, demping en geometrische correcties beïnvloeden de berekende dynamische constanten.

Een torsieresonantie levert voornamelijk informatie over de schuifstijfheid, terwijl een buig- of longitudinale resonantie een modulus oplevert die verband houdt met axiale stijfheid. Door de dynamische waarden van $E$ en $G$ te combineren, kan

$$\nu =\frac{E}{2G}-1,$$

worden berekend, mits de aanname van isotroop, lineair elastisch gedrag van toepassing is. De resulterende Poissonverhouding is een dynamische waarde bij de testfrequentie. Zij mag niet worden gepresenteerd als een universele constante van een staalsoort die onafhankelijk is van frequentie of temperatuur.

Temperatuurregeling maakt deel uit van de meting en is geen bijkomstigheid. De oven of klimaatkamer moet het proefstuk op een stabiele, bekende temperatuur brengen, en bij het bepalen van de resonantie moet rekening worden gehouden met thermische uitzetting, veranderende dichtheid en de temperatuurafhankelijkheid van de stijfheid. Een frequentie die wordt gemeten terwijl het proefstuk nog opwarmt, vertegenwoordigt geen eenduidig gedefinieerde elastische toestand. Ook de randvoorwaarden veranderen met de temperatuur wanneer steunen uitzetten, zachter worden, verschuiven of de contactdruk veranderen.

Longitudinale en transversale geluidssnelheden

Ultrasone metingen bepalen elastische constanten uit de voortplantingssnelheid van golven. Een longitudinale golf veroorzaakt een beweging van de deeltjes evenwijdig aan de voortplantingsrichting; een transversale of schuifgolf veroorzaakt een beweging van de deeltjes loodrecht daarop. Voor een homogeen isotroop materiaal met dichtheid $\rho$ zijn de ideale relaties

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}$$

en

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}.$$

Daaruit volgen

$$G=\rho v_T^2,$$

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_T^2),$$

en

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

De Poissonverhouding kan vervolgens uit $E$ en $G$ worden bepaald, of rechtstreeks uit de verhouding van de geluidssnelheden onder dezelfde isotrope aanname. Deze vergelijkingen zijn eenvoudig, maar de metingen zijn dat niet. De afgelegde weg moet nauwkeurig bekend zijn, echo’s moeten correct worden toegewezen en de transducer moet de bedoelde polarisatie opwekken en detecteren. Een schijnbare longitudinale aankomst kan modeconversie, oppervlaktegolven, reflecties of dispersie omvatten.

Een rapport van het National Bureau of Standards uit 1981 gebruikte geluidssnelheden van longitudinale en transversale modi om elastische constanten te bepalen voor austenitisch Fe-5Cr-26Mn-staal over 76–400 K. Dat temperatuurbereik is belangrijk: het laat zien dat elastische constanten meetbare functies van de thermische toestand zijn en geen vaste labels die aan de legeringsaanduiding zijn gekoppeld. De procedure in het rapport was afhankelijk van gecontroleerde temperatuur, bekende dichtheid, een gedefinieerde proefstukgeometrie en betrouwbare identificatie van beide golfmodi. Wanneer men de vergelijkingen voor kamertemperatuur bij cryogene of verhoogde temperatuur toepast zonder deze grootheden aan te passen, wordt de werkelijke temperatuurafhankelijkheid verhuld.

Engineering ToolBox vermeldt voor roestvast staal een geschatte volumemodulus van 163 GPa. Limited evidence

Dezelfde voorzichtigheid geldt voor technische referentietabellen. Engineering ToolBox vermeldt een geschatte volumemodulus van 163 GPa voor roestvast staal, maar dat getal is een secundaire referentieschatting en geen universele waarde voor elke soort roestvast staal, productvorm, textuur, faseverhouding, temperatuur of testmethode. Een gemeten dynamische waarde voor austenitisch Fe-5Cr-26Mn, een statische waarde uit een trekproefstuk van een ferritische staalsoort en een berekende waarde die uit $E$ en $\nu$ is afgeleid, beantwoorden aan verschillende experimentele vragen. Het vermelden van de methode, proefstukafmetingen, dichtheid, temperatuur, resonantie- of golfmodus en randvoorwaarden is daarom even belangrijk als het rapporteren van de modulus zelf.

Effecten van Temperatuur, Fase, Samenstelling en Verwerking

De elastische constanten van staal zijn geen vaste labels die permanent aan een staalsoort verbonden zijn. Ze beschrijven een materiaaltoestand, een vervormingswijze en een meetconditie. Temperatuur, fasesamenstelling, chemische samenstelling, kristallografische textuur, porositeit, insluitsels, restspanningen en thermische voorgeschiedenis kunnen allemaal de gemeten respons veranderen. De sterkte kan tijdens een transformatie of ontlaatbehandeling met honderden procenten veranderen, terwijl de Young-modulus met een veel kleiner percentage verandert; maar “kleiner” betekent niet verwaarloosbaar bij precisieanalyses.

Voor een isotrope lineair-elastische vaste stof zijn slechts twee elastische constanten onafhankelijk. De Young-modulus $E$, de afschuifmodulus $G$, de volumemodulus $K$ of $B$, de Poisson-verhouding $\nu$, de eerste Lamé-parameter $\lambda$ en $2\mu$ zijn onderling gerelateerde grootheden, zoals beschreven in Elasticity of Solids van Springer en in de Sierra-documentatie van Sandia National Laboratories. Als temperatuur of microstructuur één onafhankelijke constante verandert, moeten de overige constanten die daaruit worden berekend consistent worden bijgewerkt. Aan een gerapporteerde modulus moeten daarom een temperatuur, producttoestand, richting en beproevingsmethode worden gekoppeld.

Temperatuurafhankelijkheid van elastische constanten

De elastische stijfheid neemt doorgaans af naarmate de temperatuur stijgt. Atomaire trillingen nemen toe, interatomaire bindingen bieden minder weerstand tegen kleine verplaatsingen en thermische uitzetting verandert de evenwichtsafstand tussen atomen. Het effect verloopt binnen één fase vaak geleidelijk, hoewel magnetische overgangen, herstel, herkristallisatie en fasetransformaties scherpere veranderingen kunnen veroorzaken. In de buurt van een transformatietemperatuur is één waarde bij kamertemperatuur bijzonder ongeschikt als vervanging voor een temperatuurafhankelijk materiaalmodel.

Het rapport van het National Bureau of Standards over Fe-5Cr-26Mn-austenitisch staal biedt een nuttig voorbeeld. Het rapport, gepubliceerd in 1981, bepaalde elastische constanten tussen 76 en 400 K aan de hand van geluidssnelheden in longitudinale en transversale modi. Dit is een dynamische meting: de golfsnelheden leveren de longitudinale en afschuifstijfheid, waaruit gerelateerde constanten kunnen worden berekend. Het resultaat toont aan dat zelfs een austenitisch staal dat gedurende het testinterval behouden blijft, niet beschikt over één temperatuuronafhankelijke verzameling elastische constanten. Het temperatuurbereik loopt van cryogene omstandigheden tot boven kamertemperatuur, zodat de gemeten waarden een curve beschrijven en geen enkele eigenschap van een bepaalde staalsoort.

Het onderscheid tussen sterkte en stijfheid is hier van belang. De vloeigrens kan bij lage temperatuur sterk toenemen doordat dislocatiebeweging moeilijker wordt, terwijl de elastische helling veel minder drastisch verandert. Omgekeerd kan een kleine verandering in $E$ de voorspelde doorbuiging, knikbelasting, contactdruk of verdeling van thermische spanningen beïnvloeden. Plastische sterkte en elastische stijfheid beantwoorden verschillende vragen. Een staal kan veel sterker worden zonder evenredig stijver te worden.

Dynamische en statische beproevingen kunnen eveneens verschillende gerapporteerde waarden opleveren. ASTM E1875-20a specificeert de bepaling van de dynamische Young-modulus, afschuifmodulus en Poisson-verhouding door middel van sonische resonantie. Resonantieproeven worden uitgevoerd bij kleine rek en hoge frequentie, terwijl een trekproef een statische of quasistatische helling bepaalt over een voorgeschreven rekinterval. Microplasticiteit, anelasticiteit, instrumentcompliantie, proefstukgeometrie, oppervlakteconditie en frequentie kunnen de vergelijking beïnvloeden. Geen van beide resultaten mag worden beschouwd als universeel uitwisselbaar met het andere.

De volumemodulus heeft een specifieke fysische betekenis: hij meet de weerstand tegen volumetrische compressie. NIST definieert deze thermodynamisch als $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$. Engineering ToolBox vermeldt een benaderende volumemodulus van 163 GPa voor roestvast staal, maar dit getal is een secundaire referentieschatting en geen universele waarde voor elke soort roestvast staal, temperatuur, productvorm, fasesamenstelling of testconditie. Dezelfde voorzichtigheid geldt voor getabelleerde waarden van $E$, $G$ en $\nu$.

Austeniet, ferriet, martensiet en meerfasige staalsoorten

De fasesamenstelling beïnvloedt de elastische respons omdat elke fase haar eigen kristalstructuur, samenstelling, roosterparameter, magnetische toestand, defectenpopulatie en stijfheidstensor van het éénkristal heeft. Ferriet heeft een lichaamsgecentreerde kubische structuur, austeniet een vlakkengecentreerde kubische structuur en martensiet doorgaans een lichaamsgecentreerde tetragonale of sterk vervormde lichaamsgecentreerde structuur wanneer koolstof een aanzienlijke tetragonaliteit veroorzaakt. Deze aanduidingen specificeren niet één unieke modulus. Het koolstofgehalte, substitutionele legeringselementen, ordening, dislocatiedichtheid en resterende defecten veranderen de stijfheid van elke fase.

Austenitische staalsoorten vormen een duidelijke waarschuwing tegen het toekennen van een generieke “austenietmodulus”. De studie van Fe-5Cr-26Mn onderzocht een specifieke chemische samenstelling en een specifiek temperatuurbereik, niet elke Fe-Cr-Mn-legering of elk staal dat als austenitisch wordt omschreven. Mangaan en chroom beïnvloeden de stabiliteit van het rooster en het magnetische gedrag, terwijl temperatuur de magnetische ordening kan veranderen, ook wanneer de kristalstructuur austenitisch blijft. Zulke veranderingen beïnvloeden de interatomaire krachten en daarmee de elastische constanten.

Ferritische staalsoorten kunnen temperatuurafhankelijk elastisch gedrag vertonen dat samenhangt met hun ferromagnetische toestand en de overgang daarvan naar paramagnetisme. Deze verandering hoeft niet samen te vallen met een zichtbare fasetransformatie. Martensitische staalsoorten voegen daar nog een laag aan toe: afschrikken veroorzaakt oververzadiging, een hoge dislocatiedichtheid, interne spanningen en vaak koolstofafhankelijke tetragonaliteit. Ontlaten leidt vervolgens tot carbideprecipitatie, herstel en herverdeling van koolstof. De elastische respons die na het ontlaten wordt gemeten, is daarom niet eenvoudigweg de respons van een ideaal martensietkristal.

Meerfasige staalsoorten vereisen een interpretatie in termen van effectieve eigenschappen. Bij ferritisch-martensitische, dual-phase-, bainitische of staalsoorten met behouden austeniet weerspiegelt een schijnbare modulus de fasefracties, faseconnectiviteit, kristallografische oriëntatie, grensvlakken, porositeit en de richting en schaal van het geteste volume. Een schatting op basis van een mengregel kan een eerste benadering opleveren, maar lokale begrenzing betekent dat niet alle fasen dezelfde rek of spanning dragen. Een stijve martensitische zone in ferriet kan de gemeten helling door lastoverdracht veranderen, terwijl behouden austeniet tijdens het belasten kan transformeren en de respons kan laten afwijken van lineaire elasticiteit.

Op het niveau van éénkristallen hebben kubische en hexagonale kristallen richtingsafhankelijke stijfheden. Polykristallijn staal benadert isotropie pas wanneer de korreloriëntaties voldoende willekeurig zijn en het proefstuk genoeg korrels bevat om middeling mogelijk te maken. Gewalste plaat, band en staf kunnen textuur behouden, waardoor verschillende longitudinale, transversale en door-de-dikte-moduli ontstaan. In dat geval kan het opleggen van één isotrope $E$ en één isotrope $G$ aan een berekening een werkelijke richtingsafhankelijke respons verhullen.

Gieten, walsen, warmtebehandeling en restspanningen

Verwerking verandert zowel de intrinsieke fase-eigenschappen als de effectieve stijfheid van het vervaardigde lichaam. Gegoten staal kan krimpporositeit, gasporiën, oxidefilms, segregatie, een dendritische structuur, insluitsels en grove of niet-uniforme korrels bevatten. Zelfs een kleine volumefractie verbonden porositeit kan de effectieve modulus sterker verlagen dan een handboekwaarde voor volledig dicht staal zou doen vermoeden. Insluitsels kunnen ten opzichte van de matrix stijf of compliant zijn, en slecht gebonden insluitsels gedragen zich tijdens een dynamische of statische proef als spanningsconcentratoren of scheurachtige defecten.

Walsen verfijnt en verlengt de korrels, breekt de gegoten structuur op en introduceert kristallografische textuur. De daaruit voortvloeiende elastische anisotropie kan voor sommige producten gering en voor andere aanzienlijk zijn. Reductieschema, walstemperatuur, herkristallisatie en einddikte spelen allemaal een rol. Een modulus die in de walsrichting is gemeten, mag niet automatisch aan de transversale of normale richting worden toegekend.

Warmtebehandeling verandert de fasefracties, korrelgrootte, dislocatiedichtheid, precipitaties, carbide- morfologie en behouden spanningen. Normaliseren kan een ferriet-perlietstructuur verfijnen; afschrikken kan martensiet en restspanningen veroorzaken; ontlaten vermindert een deel van die spanning en verandert tegelijkertijd de precipitatie en het herstel. Gloeien kan door herkristallisatie de dislocatiedichtheid en textuurgerelateerde effecten verminderen. Deze behandelingen kunnen aanzienlijke veranderingen in vloeigrens en taaiheid veroorzaken, terwijl de modulus bij kleine rek relatief dicht bij de eerdere waarde blijft. Toch kan de gemeten effectieve modulus nog steeds verschuiven door defecten, fasetransformatie of textuur.

Restspanningen verdienen een afzonderlijke behandeling. Een zelfevenwicht houdend spanningsveld verandert niet noodzakelijk de ideale tangentmodulus van een foutloos, homogeen, lineair-elastisch kristal. Het kan echter wel veranderen wat een experiment registreert. Restspanningen beïnvloeden golfvoortplanting, kromming van het proefstuk, contactcondities, scheursluiting en het begin van microplasticiteit. Bij een trekproef kan een schijnbare beginhelling worden beïnvloed door het rechtmaken, uitlijning in de klemmen, spanningsherverdeling of het onvolledig verwijderen van bewerkingsspanningen. Bij resonantieproeven kunnen spanning en anisotropie de eigenfrequenties verschuiven.

Een verdedigbare uitspraak over de modulus van staal vermeldt daarom de fasetoestand, thermische toestand, productrichting, dichtheids- of defectentoestand en meetmethode. Het getal is een eigenschap van die gedefinieerde toestand — geen permanente constante van de staalsoort.

Aanduidingen van staalsoorten en verantwoord opgestelde tabellen met materiaaleigenschappen

Een staalaanduiding identificeert een samenstelling, productklasse of specificatievereiste; op zichzelf verschaft zij geen volledige registratie van elastische eigenschappen. “304 stainless steel”, “AISI 1045” en “ASTM A572 Grade 50” zijn bruikbare materiaalreferenties, maar geen van deze benamingen vermeldt op zichzelf de productvorm, thermische voorgeschiedenis, kristallografische textuur, testtemperatuur of methode waarmee een elasticiteitsmodulus is bepaald.

Dat onderscheid is van belang omdat isotrope lineaire elasticiteit slechts twee onafhankelijke constanten heeft. De verzameling die in de techniek vaak wordt gerapporteerd, omvat de elasticiteitsmodulus van Young $E$, de Poissonverhouding $\nu$, de volumemodulus $K$ of $B$, de schuifmodulus $G$, de eerste parameter van Lamé $\lambda$ en $2\mu$. Sandia National Laboratories stelt dat $E$ en $\nu$ de overige constanten bepalen wanneer isotrope relaties van toepassing zijn. OpenStax kent aan de belangrijkste moduli verschillende fysische betekenissen toe: $E$ beschrijft trek- of uniaxiaal gedrag, $K$ beschrijft volumetrische compressie en $G$ beschrijft afschuifvervorming. Een tabel die vier ogenschijnlijk onafhankelijke getallen presenteert zonder hun bron toe te lichten, kan daardoor een precisie of onafhankelijkheid suggereren die het materiaalmodel niet bezit.

Austenitisch, ferritisch, martensitisch en precipitatiehardend roestvast staal

Benamingen van roestvaststaalfamilies beschrijven de metallurgische structuur, niet één universele elastische respons. Austenitische kwaliteiten zoals Type 304, Type 304L, Type 316 en Type 316L worden in ASTM-productspecificaties gewoonlijk aangeduid met de relevante “Type”-aanduiding en, waar van toepassing, met UNS-nummers zoals UNS S30400, UNS S30403, UNS S31600 en UNS S31603. De aanduiding moet worden overgenomen zoals deze in de toepasselijke norm is geschreven. “304L stainless” mag niet zonder meer worden omgezet in “304”, omdat de koolstofarme kwaliteit andere samenstellingseisen heeft en een andere bewerking kan hebben ondergaan.

Ferritische kwaliteiten omvatten Type 430 en Type 409, terwijl martensitische kwaliteiten Type 410, Type 420 en Type 440C omvatten. Deze benamingen identificeren families met verschillende fasestabiliteit, koolstofgehalten, legeringstoevoegingen, hardingsreacties en magnetisch gedrag. Hun elastische eigenschappen kunnen worden beïnvloed door koudwalsreductie, gloeien, afschrikken, ontlaten, achtergehouden austeniet, carbidepopulaties en de meetrichting. Een gesmeed of gewalst product hoeft zich niet te gedragen als een gietproduct met een chemisch vergelijkbare aanduiding.

Voor precipitatiehardende roestvaste staalsoorten is nog grotere zorgvuldigheid vereist. 17-4 PH is een veelgebruikte aanduiding, maar een specificatie kan het materiaal identificeren als UNS S17400 en toestanden definiëren zoals H900, H1025 of H1150. Deze toestandaanduidingen verwijzen naar warmtebehandelingstoestanden en zijn geen onderling uitwisselbare namen voor staalsoorten. Een tabel waarin “17-4 PH modulus” wordt vermeld zonder de toestand aan te geven, laat een belangrijk deel van de materiaalbeschrijving weg. De matrix, precipitatietoestand, restspanning en voorafgaande vervorming kunnen tussen de verschillende toestanden verschillen, ook wanneer de nominale legeringsaanduiding ongewijzigd blijft.

Het ASM Steel Castings Handbook behandelt de elasticiteitsmodulus, Poissonverhouding, schuifmodulus en verwante fysische eigenschappen als gegevens voor stalen gietstukken. Dat kader is belangrijk: een tabel voor gietstaal beschrijft een gespecificeerd gietmateriaal en een bepaalde testbasis, niet elk gewalst, gelast, additief vervaardigd of warmtebehandeld product met een vergelijkbare chemische samenstelling. Gietstukken kunnen segregatie, porositeit, insluitsels en lokale microstructurele variatie bevatten, die de gemeten resultaten en de spreiding ervan beïnvloeden.

Ook mogen aanduidingen van roestvaststaalfamilies niet worden gebruikt om één exacte modulus toe te kennen. Een benaderende secundaire referentiewaarde van 163 GPa voor roestvast staal wordt vermeld in Engineering ToolBox, maar dit getal is geen universele waarde voor elke roestvaste staalsoort, temperatuur, productvorm of testconditie. Het is een referentieschatting en geen vervanging voor een gegevensblad dat op een specifieke norm is gebaseerd, of voor een gemeten waarde.

Aanduidingen van koolstofstaal en laaggelegeerd staal

Ook voor koolstofstaal en laaggelegeerd staal is een exacte aanduidingspraktijk vereist. AISI/SAE 1045 identificeert een koolstofstaal in het SAE/AISI-nummeringssysteem; het is niet dezelfde aanduiding als ASTM A36, een productspecificatie voor constructiestaal. ASTM A572 Grade 50 identificeert een kwaliteit binnen ASTM A572/A572M, terwijl AISI/SAE 4130 een chroom-molybdeen-gelegeerde staalcompositie identificeert. Deze aanduidingen mogen niet worden samengevoegd tot informele vormen zoals “4130-grade A572”, tenzij een toepasselijke specificatie die beschrijving uitdrukkelijk ondersteunt.

Europese aanduidingen vormen een ander voorbeeld. S355J2 en S355JR zijn aanduidingen binnen EN 10025-2, en de achtervoegsels hebben een gespecificeerde betekenis met betrekking tot kerfslagproeven of leveringscondities. Het zijn niet slechts alternatieve namen voor ASTM A572 Grade 50. Chemische gelijkenis bewijst geen gelijkwaardigheid van specificatievereisten, productafmetingen, inspectievoorschriften of gegevens over elastische eigenschappen.

Een tabel moet ook onderscheid maken tussen een aanduiding van de samenstelling en een leveringsconditie. AISI/SAE 4140 kan gegloeid, genormaliseerd en ontlaten, afgeschrikt en ontlaten, gesmeed of in een andere gespecificeerde toestand worden geleverd. ASTM A36-plaat, -staaf en constructievormen vallen onder een productspecificatie, maar hun gemeten respons kan nog steeds afhangen van de dikte, walsrichting, restspanning en testmethode. De nominale kwaliteit stelt grenzen of vereisten vast; zij wist de productiegeschiedenis niet uit.

Dezelfde voorzichtigheid geldt voor “mild steel”, “tool steel”, “high-strength low-alloy steel” en vergelijkbare familiebeschrijvingen. Dit zijn brede categorieën, geen volledige aanduidingen van staalsoorten. Een verantwoordelijke tabel vermeldt het normnummer, de kwaliteit of het type, de revisie waar relevant, de UNS- of AISI/SAE-aanduiding indien van toepassing, de productvorm en de warmtebehandelingstoestand. Als een aanduiding een interne bedrijfsnaam is, moet dat als zodanig worden aangegeven in plaats van haar te presenteren als een ASTM-, ASME-, SAE-, AISI-, EN- of UNS-aanduiding.

Waarom normen en productspecificaties samen met waarden moeten worden vermeld

Waarden van elastische eigenschappen zijn alleen betekenisvol in combinatie met hun meetcontext. Een tabel moet ten minste het volgende identificeren:

• de productvorm: plaat, blad, staaf, buis, draad, smeedstuk, lasmetaal, poederverwerkt onderdeel of gietstuk;
• de warmtebehandeling en toestand, waaronder ontlaten, verouderen, oplosgloeien of de toestand na precipitatieharding;
• de testoriëntatie ten opzichte van de wals-, smeed-, extrusie- of opbouwrichting;
• de temperatuur en omgevingsconditie;
• de belastingssnelheid of frequentie;
• de geometrie van het proefstuk en de relevante afmetingen;
• de testnorm en revisie;
• of het resultaat statisch, quasistatisch of dynamisch is;
• het aantal proefstukken, het bereik, het gemiddelde en de spreiding indien beschikbaar.

Statische en dynamische moduli zijn niet automatisch onderling uitwisselbaar. ASTM E1875-20a specificeert de bepaling van de dynamische elasticiteitsmodulus van Young, de schuifmodulus en de Poissonverhouding “by sonic resonance”. Resonantiemetingen maken gebruik van golfvoortplanting en trillingsfrequentie, terwijl een trekproef een helling kan bepalen uit een spanning-rek-curve bij een gedefinieerde belastingssnelheid. Beide methoden hebben betrekking op elastische respons, maar kunnen verschillende gerapporteerde waarden opleveren omdat frequentie, demping, microstructurele defecten, instrumentatie en procedures voor gegevensreductie verschillen.

De temperatuur moet worden vermeld, vooral bij cryogeen werk of werk bij verhoogde temperaturen. Een rapport uit 1981 van het National Bureau of Standards bepaalde elastische constanten voor Fe-5Cr-26Mn austenitic steel over 76–400 K met behulp van geluidssnelheden in longitudinale en transversale modi. Dat bereik laat zien waarom een waarde bij kamertemperatuur niet zonder kwalificatie in een cryogene ontwerptabel mag worden overgenomen. Textuur en kristalanisotropie vormen een bijkomend aandachtspunt: het hoofdstuk over elastische constanten van monokristallen in het NIST-handboek legt uit hoe quasi-isotrope polycrystallijne $E$, $G$, $B$, de longitudinale modulus en $\nu$ kunnen worden afgeleid uit stijfheidsgegevens van monokristallen, maar dergelijke afleidingen zijn afhankelijk van kristalsymmetrie, oriëntatieverdeling en aannames over middeling.

Voor isotrope berekeningen is één zorgvuldig geïdentificeerd paar constanten voldoende; de overige constanten moeten met de vermelde vergelijkingen worden berekend of op consistentie worden gecontroleerd. Voor anisotroop gewalst, gesmeed, getextureerd, gelast of additief vervaardigd staal kan één scalaire modulus een benadering zijn in plaats van een volledige constitutieve beschrijving. Normen en productspecificaties voorkomen dat een tabel deze beperking verhult. Zij koppelen elk getal aan een gedefinieerd materiaal, een bepaalde toestand, richting, temperatuur en methode—de informatie die nodig is voordat de waarde verantwoord in een ontwerpberekening kan worden gebruikt.

Ontwerpgebruik: de juiste modulusrelatie selecteren

Een elasticiteitsmodulus hoort bij een vervormingswijze. De modulus van Young $E$ beschrijft de normale rek die door een eenassige spanning wordt veroorzaakt; de schuifmodulus $G$ beschrijft vervorming bij vrijwel constant volume; en de bulkmodulus $K$, ook geschreven als $B$, beschrijft de weerstand tegen uniforme compressie. De Poissonverhouding $\nu$ verbindt de normale rek met de dwarsrek. Deze grootheden houden verband met elkaar, maar zijn niet onderling uitwisselbaar alleen omdat ze allemaal in gigapascal worden opgegeven of voor staal vaak gezamenlijk worden vermeld.

Voor een homogeen, lineair, isotroop vast lichaam zijn slechts twee elasticiteitsconstanten onafhankelijk. Springer’s Elasticity of Solids vermeldt dit rechtstreeks in zijn behandeling van isotrope elasticiteit uit 2020. Sandia National Laboratories vermeldt de bijbehorende verzameling als de modulus van Young $E$, de Poissonverhouding $\nu$, de bulkmodulus $K$, de schuifmodulus $G$, de eerste parameter van Lamé $\lambda$ en $2\mu$, waarbij $E$ en $\nu$ de overige grootheden bepalen. De omzettingsvergelijkingen zijn daarom voorwaardelijke relaties en geen onafhankelijke metingen van zes onderling losstaande materiaaleigenschappen:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$$

en

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

De aannames zijn van belang. Deze vergelijkingen gelden voor kleine rekken, lineair elastisch gedrag en isotroop gedrag. Een staalplaat met walsstructuur, een door laswarmte beïnvloede zone, een gietproduct met gerichte stolling of een tweefasenmicrostructuur voldoet mogelijk niet voldoende aan de isotrope aanname om één omgerekende waarde representatief te laten zijn voor elke belastingsrichting.

Eenassige onderdelen en E

Voor een recht trekonderdeel, drukonderdeel, trekstang, stang of slank segment van een ligger onder een axiale kracht is $E$ de primaire modulus. De basisrelatie is

$$\sigma =E\epsilon ,$$

zodat de elastische verlenging van een prismatisch onderdeel wordt gegeven door

$$\delta =\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AE}},$$

waarbij $P$ de axiale kracht is, $L$ de oorspronkelijke lengte en $A$ het doorsnedeoppervlak. Dit is het juiste uitgangspunt voor het schatten van elastische verlenging, verkorting en axiale stijfheid $\mathrm{AE}/L$.

De Poissonverhouding speelt een rol wanneer dwarscontractie of multiaxiale inklemming van belang is. Een vrij uitgerekte stalen staaf trekt in dwarsrichting samen volgens

$${\epsilon }_{\text{transverse}}=-\nu {\epsilon }_{\text{axial}}.$$

Bij een volledig ingeklemd proefstuk wordt de axiale respons echter niet uitsluitend door $E$ weergegeven. Er kan geen dwarsrek ontstaan, waardoor de spanningstoestand driedimensionaal wordt en de schijnbare stijfheid toeneemt. Een eindige-elementenmodel van een gelijmd inzetstuk, een ingeklemde sluitring of een perspassing moet met deze koppeling rekening houden, in plaats van het onderdeel te behandelen als een geïsoleerde eendimensionale staaf.

De voor $E$ gebruikte waarde moet bovendien overeenkomen met de meet- en gebruiksomstandigheden. De helling van een statische trekproef, een resonantiedynamische modulus en een modulus die uit ultrasone snelheid wordt afgeleid, kunnen van elkaar verschillen als gevolg van frequentie, temperatuur, proefstukgeometrie, porositeit, restspanning en defecten. ASTM E1875-20a specificeert de bepaling van de dynamische modulus van Young, de schuifmodulus en de Poissonverhouding “by sonic resonance”. Die methode levert niet automatisch hetzelfde getal op als een langzame trekproef bij de ontwerptemperatuur.

Staal is niet in elke metallurgische toestand hetzelfde elastische materiaal. Ferritische, martensitische, bainitische en austenitische structuren kunnen van elkaar verschillen, terwijl textuur ervoor kan zorgen dat de walsrichting en de dwarsrichting verschillend reageren. Het rapport van het National Bureau of Standards over austenitisch Fe-5Cr-26Mn-staal bepaalde elasticiteitsconstanten uit geluidssnelheden in de longitudinale en transversale modus over 76–400 K. Dit temperatuurbereik herinnert eraan dat een elasticiteitsconstante die nabij kamertemperatuur is gemeten, niet als temperatuuronafhankelijke informatie mag worden behandeld voor cryogene toepassingen of toepassingen bij verhoogde temperatuur.

Torsie en G

Voor een cirkelvormige as in elastische torsie bepaalt $G$ de verdraaiingshoek:

$$\theta =\frac{\mathrm{TL}}{\mathrm{JG}},$$

waarbij $T$ het torsiemoment is, $J$ het polaire tweede oppervlaktemoment en $L$ de aslengte. De torsiestijfheid is $\mathrm{JG}/L$. De bijbehorende schuifspanning in een cirkelvormige as is

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

Het rechtstreeks gebruiken van $E$ in deze berekening geeft de verkeerde stijfheid, tenzij $E$ eerst wordt omgerekend met behulp van een verdedigbare waarde van $\nu$. Voor isotroop staal geldt

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Deze omzetting is nuttig wanneer alleen $E$ en $\nu$ beschikbaar zijn, maar maakt een trekmeting niet tot een directe torsiemeting. Een materiaal kan richtingsafhankelijk schuifgedrag vertonen, ook wanneer een gemiddelde trekmodulus aanvaardbaar lijkt.

Dit onderscheid wordt belangrijk bij dunwandige buizen, vertandingen, gelaste assen en onderdelen met een anisotrope productiegeschiedenis. In een algemene doorsnede kan torsie welving en een niet-uniform schuifveld veroorzaken, zodat de vergelijking van Saint-Venant voor cirkelvormige assen zelf ontoereikend kan zijn. De materiaaleigenschap die als invoer nodig is, blijft een constitutieve schuifparameter, maar de doorsnedeanalyse moet de werkelijke geometrie weergeven.

Ook voor dynamische schuifgegevens is zorgvuldigheid vereist. Resonantiemethoden meten de respons bij een bepaalde frequentie en kleine rekamplitude. Een uit een geluidstest berekende waarde kan geschikt zijn voor trillings- of golfanalyses, maar niet identiek zijn aan de secans- of tangentstijfheid die in een constructieberekening met langzame belasting wordt gebruikt. De aanduiding “dynamisch” is geen onbeduidend label; zij identificeert een andere experimentele conditie.

Hydrostatica, contact- en golfproblemen

De bulkmodulus $K$ of $B$ is de geschikte parameter voor volumetrische respons. Onder hydrostatische druk verandert de druk het volume volgens

$$K=B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

de thermodynamische definitie die het National Institute of Standards and Technology in 1982 gaf. Een hoge $K$ betekent dat een aanzienlijke druk slechts een kleine relatieve volumeverandering veroorzaakt. Dit verschilt van weerstand tegen vormverandering, die voornamelijk door $G$ wordt bepaald.

Engineering ToolBox vermeldt een benaderende bulkmodulus van 163 GPa voor roestvast staal. Dit getal kan dienen als secundaire referentieschatting, maar niet als universele waarde voor elke soort roestvast staal, temperatuur, productvorm, fasesamenstelling of beproevingsmethode. Omdat $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$, kunnen kleine fouten in $\nu$ een merkbare verandering in de berekende bulkmodulus veroorzaken wanneer $\nu$ de waarde 0,5 nadert.

Contactberekeningen vereisen zowel normaal als tangentieel gedrag. Bij Hertz-contact wordt de effectieve normale modulus voor twee lichamen doorgaans geschreven als

\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}. \]

Hier bepaalt \(E^*\), en niet $E$ van slechts één staalsoort, de lokale elastische indrukking. Glijdende wrijving en tangentiële tractie brengen ook $G$ en $\nu$ in beeld. Een model dat $K$ in plaats van \(E^*\) gebruikt, kan wiskundig stabiel blijven en gladde contactdrukken opleveren, maar toch het verkeerde vervormingsmechanisme weergeven.

Voor golfproblemen wordt weer een andere combinatie gebruikt. Voor een isotroop vast lichaam is de longitudinale golfmodulus

$$M=K+\frac{4G}{3},$$

met de longitudinale en schuifgolfsnelheden

\[ v_L=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}}, \qquad v_S=\sqrt{\frac{G}{\rho}}. \]

De longitudinale snelheid alleen identificeert dus niet elke elasticiteitsconstante; er is een meting van een transversale golf nodig om $K$ en $G$ van elkaar te scheiden. In een eenkristal of getextureerd polykristallijn materiaal hangt de golfsnelheid bovendien af van de voortplantingsrichting en polarisatie, zodat isotrope formules werkelijke elastische anisotropie kunnen verhullen.

Driedimensionale eindige-elementenformuleringen gebruiken doorgaans $E$ en $\nu$, $K$ en $G$, of de parameters van Lamé $\lambda$ en $\mu$. De keuze is wiskundig van aard en verandert het fysische materiaal niet. In de buurt van onsamendrukbaarheid kan een formulering met $E$ en $\nu$, waarbij $\nu$ dicht bij 0,5 ligt, echter last hebben van volumetrische locking, terwijl een gemengde formulering met druk en deviatorische respons beter kan presteren. Omgekeerd kan het invoeren van onafhankelijk afgeronde waarden voor $E$, $G$ en $K$ de isotrope omzettingsvergelijkingen schenden en een intern inconsistente stijfheidsmatrix creëren.

Dat is het centrale ontwerprisico: een omgerekende constante kan numeriek consistent zijn met een vergelijking, maar fysisch ongeschikt zijn voor het probleem, de temperatuur, de frequentie, de richting of de staalmicrostructuur die wordt gemodelleerd. Selecteer de modulus daarom eerst op basis van de vervormingswijze en controleer vervolgens of de meetomstandigheden en isotrope aannames overeenkomen met het onderdeel en de analyse.

Veelgemaakte fouten bij berekeningen van elasticiteitsmoduli van staal

Berekeningen van elasticiteitsmoduli van staal mislukken vaak omdat grootheden met verschillende fysische betekenissen als onderling uitwisselbaar worden behandeld. De elasticiteitsmodulus van Young $E$, de schuifmodulus $G$, de volumemodulus $K$ of $B$, en de Poisson-verhouding $\nu$ beschrijven elastische vervorming. De vloeigrens beschrijft het begin van aanzienlijke permanente vervorming. Deze grootheden behoren tot verschillende onderdelen van een materiaalmodel.

Voor een isotrope, lineair-elastische vaste stof zijn slechts twee elastische constanten onafhankelijk. Het hoofdstuk Elasticity of Solids van Springer (2020) vermeldt dit rechtstreeks. Sandia National Laboratories noemt de bijbehorende verzameling: de elasticiteitsmodulus van Young $E$, de Poisson-verhouding $\nu$, de volumemodulus $K$, de schuifmodulus $G$, de eerste parameter van Lamé $\lambda$, en $2\mu$; het specificeren van $E$ en $\nu$ bepaalt de overige grootheden. Veelgebruikte omzettingen zijn

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

en

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Deze vergelijkingen zijn geen onafhankelijke experimentele feiten. Ze zijn het gevolg van de aanname van isotrope lineair-elastische eigenschappen. Het gebruik ervan vereist onderling verenigbare waarden, consistente eenheden en een materiaaltoestand waarvoor isotropie een redelijke benadering is.

Elasticiteitsmodulus verwarren met vloeigrens

De hardnekkigste fout is om een hoogsterk staal “stijver” te noemen omdat de vloeigrens hoger is. De vloeigrens meet de spanning waarbij plastische rek begint volgens een gespecificeerd criterium, vaak een rek bij een bepaalde proefspanning, zoals 0,2%. De elasticiteitsmodulus van Young meet de helling van de elastische spanning-rekrespons vóór die overgang. Een warmtebehandeling, een schema voor koudvervorming, een precipitatieproces of een verandering in het koolstofgehalte kan de vloeigrens aanzienlijk verhogen zonder een vergelijkbare verandering in de initiële elastische helling te veroorzaken.

Dit onderscheid is van belang bij het ontwerp. Doorbuiging onder een bedrijfsbelasting wordt hoofdzakelijk bepaald door $E$, de geometrie, de randvoorwaarden en de belasting; voor de controle van de toelaatbare spanning is daarnaast de vloeigrens of een andere sterktelimiet nodig. Het vervangen van $E$ door de vloeigrens van een staalkwaliteit levert dimensiegetrouw ogende maar fysisch betekenisloze resultaten op. Een berekening waarin spanning wordt gedeeld door de vloeigrens kan een benuttingsgraad schatten. Zij berekent geen elastische rek.

Dezelfde fout doet zich voor bij afschuiving. De schuifmodulus wordt gedefinieerd door de elastische relatie tussen schuifspanning en schuifrek,

$$\tau =G\gamma .$$

De schuifvloeigrens is een plastische limiet. Deze kan worden geschat aan de hand van een vloeicriterium, zoals de von Mises-relatie, maar zij is niet $G$ en wordt niet verkregen door de eenheden van spanning aan een modulus toe te kennen en de naam ervan te veranderen. OpenStax (2020) onderscheidt de vervormingsmodi duidelijk: de elasticiteitsmodulus van Young beschrijft de trekrespons, de volumemodulus beschrijft volumetrische compressie en de schuifmodulus beschrijft schuifvervorming.

Een staalspecificatie kan dus zowel een vereiste vloeigrens als een aanname over elastische eigenschappen bevatten, zonder dat deze waarden door een eenvoudige omzetting tussen staalkwaliteiten met elkaar verbonden zijn. Voor constructieberekeningen moeten de relevante aanduiding en productnorm worden vastgelegd—bijvoorbeeld plaat of band volgens ASTM A240/A240M, materiaal EN 10025-2 S355 of roestvast staal ASTM A276 Type 304—samen met de dikte, de productvorm en de testrichting. De aanduiding identificeert de materiaalvereiste; zij maakt een generieke moduluswaarde niet exact voor elk product.

Een andere fout is om ervan uit te gaan dat elke staalkwaliteit één exacte waarde voor $E$ heeft. Ferritische, martensitische, bainitische, austenitische en duplexstalen kunnen verschillende fasefracties, texturen, porositeitsniveaus in gietproducten en restspanningen hebben. Deze factoren beïnvloeden de gemeten elastische respons. Voor veel technische schattingen is een conventionele isotrope waarde toereikend, maar het blijft een aanname of een overgenomen ontwerpwaarde en geen universele fysische constante die aan het woord “staal” verbonden is.

Statische en dynamische waarden vermengen

Statische en dynamische moduli houden verband met elkaar, maar zijn niet automatisch onderling uitwisselbaar. Een statische modulus wordt verkregen uit een langzaam uitgevoerde mechanische proef, doorgaans uit de helling van een spanning-rekcurve bij trek of druk over een aangegeven rekinterval. Het resultaat kan worden beïnvloed door de compliantie van de machine, de uitlijning van de klemmen, de toestand van het oppervlak, de reksnelheid, hysterese, microplasticiteit en de manier waarop de helling wordt gefit.

Een dynamische modulus wordt afgeleid uit golfvoortplanting, resonantie of een andere tijdsafhankelijke meting. ASTM E1875-20a specificeert de bepaling van de dynamische elasticiteitsmodulus van Young, de schuifmodulus en de Poisson-verhouding “door middel van sonische resonantie”. De resonantiefrequenties en afmetingen van het proefstuk worden gebruikt om elastische constanten af te leiden. Deze methode kan nauwkeurige gegevens bij kleine rek leveren, maar het resultaat heeft betrekking op vervorming met hoge frequentie en zeer kleine amplitude en moet dienovereenkomstig worden aangeduid.

Dynamische metingen zijn bovendien afhankelijk van de dichtheid, de geometrie van het proefstuk, de frequentie, de temperatuur en de identificatie van de trillingsmodus. Een waarde die uit een longitudinale resonantie is afgeleid, mag niet zonder de passende relatie en een compatibele Poisson-verhouding in een schuifberekening worden ingevoerd. Evenzo kan de “elasticiteitsmodulus” in een handboek een ontwerpconventie zijn, terwijl in een resonantierapport een dynamische modulus wordt vermeld. Deze twee waarden mogen niet worden vergeleken alsof ze uit dezelfde proef afkomstig zijn.

Geef bij het omrekenen tussen $E$, $G$ en $K$ aan of de invoerwaarden statisch of dynamisch zijn. Het combineren van een $E$ uit een trekproef met een $\nu$ uit een sonische-resonantiemeting kan een intern inconsistente verzameling opleveren, ook wanneer beide waarden afzonderlijk geloofwaardig zijn. De berekening kan algebraïsch correct zijn en toch geen afzonderlijke gemeten materiaaltoestand weergeven.

Aan de Poisson-verhouding moet bijzondere aandacht worden besteed, omdat onzekerheid in $\nu$ belangrijk wordt in de vergelijking voor de volumemodulus. Als $E=200$ GPa en $\nu =0.30$, geeft de isotrope relatie $K=166.7$ GPa. Als dezelfde $E$ wordt gecombineerd met $\nu =0.29$, is $K=158.7$ GPa; met $\nu =0.31$ wordt dit $K=175.4$ GPa. Een verandering van slechts 0.01 in $\nu$ verandert de berekende $K$ met ongeveer 5%. In de buurt van $\nu =0.5$ is de gevoeligheid veel groter, omdat $1-2\nu$ naar nul nadert. Vermeld de aangenomen waarde, de bron ervan en een gevoeligheidsinterval, in plaats van de resulterende $K$ als een gemeten constante te presenteren.

Eenheden veroorzaken een eenvoudiger maar veelvoorkomende fout. Omdat $1\text{GPa}=1000\text{MPa}$, kan het invoeren van een $E$-waarde in MPa naast een $G$-waarde in GPa een factor-1000-fout veroorzaken. Houd alle moduli tijdens de berekening in één eenhedensysteem en vermeld de eenheid naast het eindresultaat.

Waarden voor de volumemodulus vereisen een herleidbare bron. Engineering ToolBox vermeldt voor roestvast staal een geschatte waarde van 163 GPa, maar dit is een schatting uit een secundaire referentie en geen universele waarde voor elke soort roestvast staal, productvorm, temperatuur of testomstandigheid. Een verdedigbare bronvermelding moet de oorspronkelijke meting of berekening, de samenstelling, de fasetoestand, de temperatuur, het drukbereik, de grondslag voor de dichtheid en de methode identificeren. De thermodynamische definitie van het National Institute of Standards and Technology (1982), $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$, maakt de temperatuurconditie expliciet. Een getal dat zonder deze voorwaarden uit een tabel is overgenomen, moet als benadering worden aangemerkt.

Anisotropie en temperatuur negeren

De isotrope vergelijkingen nemen aan dat de respons in elke richting hetzelfde is. Gewalste plaat, getrokken draad, gesmede staaf en additief vervaardigd staal ontwikkelen vaak een kristallografische textuur. Hun elastische respons kan variëren met de belastingsrichting, ook wanneer het materiaal met het blote oog uniform lijkt. Voor een sterk getextureerde plaat kunnen richtingsspecifieke constanten nodig zijn in plaats van één $E$, $G$ en $\nu$.

De elasticiteit van een monokristal wordt beschreven met een matrix van elastische stijfheidscoëfficiënten, niet met één scalaire modulus. Het handboekhoofdstuk van NIST uit 1982 legt uit hoe quasi-isotrope constanten voor polykristallijne materialen kunnen worden afgeleid uit stijfheidsgegevens van monokristallen voor kubische en hexagonale elementen. Die middeling is een model. Zij wordt minder geschikt wanneer de textuur sterk is, de faseverhoudingen ruimtelijk variëren of het product georiënteerde insluitsels of poriën bevat.

Temperatuur is een andere variabele die vaak wordt weggelaten. Elastische constanten veranderen doorgaans met de temperatuur, en fasetransformaties kunnen grotere discontinuïteiten veroorzaken dan gewone thermische verwekingsverschijnselen. Een rapport van het National Bureau of Standards (1981) bepaalde elastische constanten voor austenitisch Fe-5Cr-26Mn-staal van 76 tot 400 K met behulp van geluidssnelheden in longitudinale en transversale modi. Alleen al het temperatuurbereik laat zien waarom een waarde bij kamertemperatuur niet stilzwijgend mag worden overgedragen naar cryogene toepassingen of apparatuur voor verhoogde temperaturen.

Een berekening moet daarom de materiaalaanduiding, de productvorm, de testrichting, de temperatuur, de vervormingsmodus, de meetmethode en de vraag vermelden of de constanten statisch, dynamisch, isotroop of richtingsspecifiek zijn. Als deze gegevens niet beschikbaar zijn, moet het resultaat als een technische schatting worden aangeduid en moet worden getoond hoe onzekerheid in $E$, $G$, $K$ en $\nu$ het antwoord beïnvloedt. Dat is nauwkeuriger dan één exacte modulus aan alle staal toe te kennen en een niet-uitgesproken aanname het ontwerp te laten bepalen.

Bronnen

1. [1]National Institute of Standards and Technology. Bulk modulus definition. NIST handbook chapter, 1982. https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172
2. [2]ASTM International. Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM E1875-20a, 2020. https://www.astm.org/e1875-20a.html
3. [3]Springer Nature. Elasticity of Solids. Springer book chapter, 2020. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4
4. [4]OpenStax. Stress, Strain, and Elastic Modulus. University Physics Volume 1, 2020. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
5. [5]National Bureau of Standards. Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards report, 1981. https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf