Упругие постоянные стали и соотношения между модулями

Что означают упругие константы стали — и чего они не означают

Упругие константы — это параметры, связывающие приложенное напряжение с возникающей деформацией, пока материал остаётся в пределах упругости. В этом диапазоне снятие нагрузки позволяет образцу вернуться, по крайней мере приблизительно, к исходным размерам. В простом испытании на растяжение модуль Юнга представляет собой отношение осевого напряжения к осевой деформации:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }.$$

Это соотношение описывает наклон начального, обратимого участка диаграммы напряжение–деформация. Оно не описывает диаграмму целиком и не показывает, какое напряжение сталь может выдержать до возникновения остаточной деформации или разрушения.

Для изотропного линейно-упругого твёрдого тела независимы только две упругие константы. Strong evidence

Для изотропного линейно-упругого твёрдого тела независимыми являются только две упругие константы. В часто используемый набор входят модуль Юнга $E$, коэффициент Пуассона $\nu$, объёмный модуль $K$ или $B$, модуль сдвига $G$, первый параметр Ламе $\lambda$ и $2\mu$, где $\mu =G$. Sandia National Laboratories приводит эти шесть взаимосвязанных величин и указывает, что $E$ и $\nu$ определяют остальные. Например,

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

и

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Объёмный модульОбъёмный модуль Мера сопротивления равномерному изменению объёма под давлением; обычно обозначается K или B.

Обозначения различаются: NIST и другие источники часто используют $B$ для объёмного модуля, тогда как в инженерной литературе и программном обеспечении для метода конечных элементов часто применяется $K$. Они описывают одно и то же свойство изотропного материала.

Упругий отклик в сравнении с прочностью и пластичностью

Упругость отвечает на узкий вопрос: какая деформация соответствует заданному напряжению до начала остаточной деформации? Прочность отвечает на другие вопросы. Предел текучести определяет напряжение, соответствующее началу заданной пластической деформации; предел прочности при растяжении — это максимальное инженерное напряжение, достигнутое в ходе испытания на растяжение; прочность при разрушении связана с разделением образца. Ни одно из этих понятий не является другим названием модуля Юнга.

Сталь может иметь высокий предел текучести и практически тот же модуль Юнга, что и сталь с более низкой прочностью и близким составом. Холодная обработка, дисперсионное твердение или мартенситное превращение могут значительно повысить предел текучести и твёрдость, при этом гораздо слабее изменив модуль при растяжении в области малых деформаций. Это объясняется тем, что механизмы упрочнения препятствуют движению дислокаций, тогда как начальный упругий отклик главным образом отражает жёсткость атомных связей и совокупную кристаллическую структуру. Это различие имеет принципиальное значение, например, при сравнении низколегированной стали после закалки и отпуска с отожжённым материалом близкого химического состава.

Пластичность начинается, когда зависимость между напряжением и деформацией больше не подчиняется исходному линейному упругому наклону. Для пластической определяющей модели затем требуются такие данные, как критерии текучести, закон упрочнения, правило течения, чувствительность к скорости деформации и температурная зависимость. Один лишь модуль Юнга не предоставляет никакой этой информации. Модель метода конечных элементов, содержащая точное значение $E$, но неподходящую поверхность текучести, всё равно может неправильно предсказывать остаточную деформацию.

Другие механические свойства отвечают на ещё иные вопросы. Твёрдость характеризует сопротивление локальному вдавливанию и часто коррелирует с прочностью в пределах контролируемой группы сталей, но не является модулем. Вязкость разрушения связана с поглощением энергии и сопротивлением распространению трещины в заданных условиях испытания. Сопротивление усталости характеризует накопление повреждений при повторяющейся или переменной нагрузке. Сталь может иметь модуль упругости, сходный с модулем другой марки, но отличаться от неё по твёрдости, ударной вязкости, характеру роста трещин или долговечности при усталости.

Упругость также не означает, что каждый цикл нагружения является идеально обратимым. В реальной стали могут наблюдаться микропластичность, неупругость, влияние остаточных напряжений, гистерезис или повреждение ещё до того, как станет очевидным обычный предел текучести. Поэтому модуль, указанный для конкретного испытания, связан с диапазоном деформаций, скоростью нагружения, историей циклов и методом обработки данных.

Модуль как характеристика жёсткости, а не напряжения разрушения

Модуль характеризует жёсткость: напряжение, необходимое для создания заданной упругой деформации в определённом режиме деформирования. Модуль Юнга относится к осевому удлинению или сжатию. Модуль сдвига описывает сопротивление изменению формы под действием касательного напряжения. Объёмный модуль описывает сопротивление равномерному изменению объёма под давлением. OpenStax приводит соответствующие физические интерпретации для деформаций растяжения, сдвига и изменения объёма.

Большой модуль означает, что заданное напряжение вызывает меньшую упругую деформацию. Это не означает, что материал выдерживает большее напряжение до текучести или разрушения. Рассмотрим два стальных компонента с одинаковым $E$, но разными пределами текучести. При одинаковом рабочем напряжении они претерпевают приблизительно одинаковое упругое удлинение. Компонент с более высокой прочностью способен выдержать большее напряжение до возникновения пластической деформации, но в начальной области упругого отклика он не становится заметно более жёстким лишь потому, что его предел текучести выше.

Объёмный модуль имеет особенно чёткое термодинамическое определение. В главе своего справочника, опубликованного в 1982 году, National Institute of Standards and Technology пишет:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$[1][1] Bulk modulus definition. National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

где $V$ — объём, $P$ — давление, а производная берётся при постоянной температуре. Это объёмное свойство, а не предел прочности при растяжении. Сталь трудно равномерно сжать, поэтому её объёмный модуль велик; само по себе это мало говорит о пластичности при растяжении или вязкости разрушения.

Модуль также не следует путать с упругой энергоёмкостью. Запасённая упругая энергия на единицу объёма зависит от напряжения и модуля, а восстанавливаемая энергия до достижения предела текучести зависит как от модуля, так и от предела текучести. Поэтому повышение предела текучести может увеличить способность накапливать упругую энергию, даже если $E$ изменяется лишь незначительно.

Почему у марки стали нет единственного универсального модуля

Такое обозначение, как ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, EN 10025-2 S355JR или AISI 304, указывает на стандарт, диапазон состава, состояние материала или совокупность требуемых эксплуатационных характеристик; оно не определяет одно неизменное значение упругой характеристики для каждого образца, изготовленного в соответствии с этим обозначением. Измеряемый отклик зависит от состояния материала и условий испытания.

Температура является одной из основных переменных. Упругие константы в целом изменяются с температурой, а фазовые превращения могут вызывать более значительные изменения, если они меняют кристаллическую структуру или соотношение фаз. В отчёте National Bureau of Standards, опубликованном в 1981 году, упругие константы аустенитной стали Fe-5Cr-26Mn измерялись в диапазоне от 76 до 400 K с использованием скоростей продольных и поперечных звуковых волн. Уже этот температурный диапазон показывает, почему значение без указания температуры испытания является неполным.

КвазиизотропныйКвазиизотропный Эффективный отклик материала, достаточно близкий к изотропному для заданных расчёта, диапазона направлений и масштаба, несмотря на то, что отдельные зёрна остаются анизотропными.

Текстура и направление также имеют значение. Отдельные кристаллы феррита, аустенита или мартенсита анизотропны в упругом отношении, то есть их жёсткость зависит от кристаллографического направления. В прокатанном листе, кованом прутке, тянутой проволоке и материале, изготовленном аддитивным способом, могут формироваться предпочтительные ориентации. Поликристаллический агрегат может вести себя приблизительно изотропно, если ориентации кристаллов распределены достаточно равномерно, однако материал с выраженной текстурой может потребовать констант, зависящих от направления. Продольный модуль в направлении прокатки не обязательно равен значению по толщине.

Фазовый состав, включения, пористость, остаточные напряжения, структура зёрен и форма изделия также влияют на измеряемый совокупный отклик. Сварной металл и зоны термического влияния могут отличаться от основного листа, даже если на них распространяется одна и та же спецификация проекта. Константы монокристалла нельзя просто подставлять вместо расчётных значений для поликристаллического материала. В справочнике NIST объясняется, как по данным об упругой жёсткости монокристалла для кубических и гексагональных материалов можно получить квази-изотропные модули Юнга, сдвига, объёмный и связанные с ними модули, однако этот расчёт зависит от симметрии кристалла и допущений относительно усреднения ориентаций.

[2][2] Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.

ASTM E1875-20a устанавливает динамическое измерение модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона методом акустического резонанса. Strong evidence

Метод измерения изменяет сообщаемый результат. Медленное испытание на растяжение даёт статический или секущий/касательный модуль, рассчитанный по силе и перемещению, тогда как ультразвуковые методы или методы резонанса определяют динамический модуль по скорости волн или собственной частоте. Стандарт ASTM E1875-20 устанавливает определение динамического модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона «методом звукового резонанса». Динамические значения могут отличаться от статических из-за частоты, затухания, податливости испытательной машины, амплитуды деформации и способа обработки неидеальных участков образца.

Следовательно, полезное описание модуля должно как минимум указывать обозначение стали, форму и состояние изделия, температуру, направление нагружения, режим деформирования и метод измерения. Также следует указывать, было ли значение измерено, рассчитано по другим константам или принято в качестве расчётного допущения. Engineering ToolBox приводит приблизительное значение объёмного модуля 163 GPa для «нержавеющей стали», однако это вторичная справочная оценка, а не универсальное значение для каждой марки нержавеющей стали, режима термообработки, текстуры, температуры или метода испытания. Использование одного числа для всех изделий может быть приемлемым для предварительного изотропного расчёта, если это допущение явно оговорено. Представлять его как свойство материала, не зависящее от марки, недопустимо.

Двухконстантная основа изотропной линейной упругости

Линейная упругость описывает обратимую часть реакции материала, когда напряжения и деформации остаются достаточно малыми, чтобы применялась линейная зависимость. Слово изотропная добавляет отдельное условие: предполагается, что реакция материала одинакова во всех направлениях. При этих двух допущениях тензор упругих жёсткостей имеет значительно меньше независимых компонент, чем у общего анизотропного твёрдого тела. Поэтому шесть часто приводимых величин — модуль Юнга $E$, коэффициент Пуассона $\nu$, объёмный модуль $K$ или $B$, модуль сдвига $G$, первый параметр Ламе $\lambda$ и $2\mu$ — могут быть выражены через любые две выбранные константы.

Этот результат относится к определяющей модели, но автоматически не распространяется на каждое измеренное значение, приводимое для стали. Температура, фазовый состав, кристаллографическая текстура, пористость, остаточные напряжения, ориентация образца, частота и метод испытания могут влиять на измеряемую реакцию материала. Значение, используемое в изотропной конечно-элементной модели, часто является эффективным инженерным свойством, а не полным описанием микроструктуры материала.

Почему необходимы только две независимые константы

Напряжение и деформация являются тензорами второго порядка. Для наиболее общего линейно-упругого твёрдого тела связь между ними требует тензора жёсткости четвёртого порядка со множеством возможных направленных взаимосвязей. Симметрия тензоров напряжений и деформаций уменьшает число независимых компонент, а симметрия материала сокращает его ещё сильнее. Изотропия задаёт наиболее сильную обычную симметрию материала: ни одно направление не выделяется с механической точки зрения.

Изотропное соотношение между напряжением и деформацией можно записать в виде

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

где ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ — тензор напряжений, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ — тензор деформаций, ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ — дельта Кронекера, а $\lambda$ и $\mu$ — параметры Ламе. Таким образом, $\lambda$ и $\mu$ образуют одну допустимую пару независимых констант. Модуль сдвига равен $G=\mu$, поэтому использование $G$ и $\lambda$ эквивалентно.

В книге Springer Elasticity of Solids (2020) основной результат сформулирован непосредственно: для изотропного твёрдого тела независимыми являются только две упругие константы. В документации Sierra Национальных лабораторий Sandia соответствующий изотропный набор перечислен как модуль Юнга $E$, коэффициент Пуассона $\nu$, объёмный модуль $K$, модуль сдвига $G$, первый параметр Ламе $\lambda$ и $2\mu$; также указано, что $E$ и $\nu$ определяют остальные величины. Наличие шести наименований не означает наличия шести независимо настраиваемых свойств материала.

Для распространённой пары $E,\nu$ преобразования имеют вид

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )},$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )},$$

и

$$2\mu =2G=\frac{E}{1+\nu }.$$

Полезны также обратные соотношения:

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G},$$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}.$$

Эти уравнения не являются эмпирическими корреляциями, ограниченными каким-либо одним семейством сталей. Они следуют из изотропного закона линейно-упругого материала. Они также устанавливают требования согласованности. Для устойчивого обычного изотропного твёрдого тела $G>0$, $K>0$, а $-1<\nu <0.5$. При приближении $\nu$ к 0.5 материал в рамках модели становится почти несжимаемым: $K$ становится значительно больше $G$, тогда как $E$ по-прежнему связан с обеими величинами.

Физический смысл этих констант различается, хотя математически они связаны. OpenStax описывает модуль Юнга как отношение, определяющее реакцию при растяжении, объёмный модуль — как характеристику реакции на объёмное сжатие, а модуль сдвига — как характеристику реакции на сдвиговую деформацию. Испытание на растяжение в первую очередь даёт $E$, однако измерение поперечной деформации наряду с осевой деформацией даёт $\nu$. Эксперимент «давление–объём» направлен на определение $K$, тогда как кручение или измерение скорости сдвиговой волны — на определение $G$. После определения любой согласованной пары остальные модули вычисляются, а не выбираются независимо.

Термодинамическое определение объёмного модуля явно показывает его отличие от модуля Юнга:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Это выражение, приведённое Национальным институтом стандартов и технологий в 1982 году, описывает сопротивление изменению объёма под действием давления при постоянной температуре. Оно не означает, что табличный объёмный модуль можно непосредственно отождествлять с модулем при растяжении. Численная связь между ними возникает только после применения изотропных определяющих допущений.

E и ν как практическая пара исходных параметров

В инженерных расчётах часто используют $E$ и $\nu$, поскольку они естественным образом соответствуют одноосному испытанию на растяжение и непосредственно представлены в стандартных данных для конструкционных материалов. В трёхмерной изотропной модели ввод этих двух величин позволяет программному обеспечению построить $G$, $K$, $\lambda$ и $2\mu$ без дополнительных констант материала. Ввод всех шести величин может привести к несогласованной модели, если значения не удовлетворяют уравнениям преобразования.

Это особенно важно, когда значения взяты из разных источников. Статический модуль при растяжении, динамический модуль, определённый по резонансу, и оценка объёмного модуля могут быть достоверными для соответствующих условий измерения, но при этом не воспроизводить друг друга точно через изотропные уравнения. Стандарт ASTM E1875-20a устанавливает определение динамического модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона «методом акустического резонанса». На практике такие измерения зависят от частоты или скорости деформирования, даже если материал остаётся в пределах упругого диапазона. Не следует считать их идентичными значениям, полученным при испытании на растяжение с низкой скоростью, без проверки условий испытания.

Вторичный источник Engineering ToolBox приводит приблизительное значение объёмного модуля для нержавеющей стали, равное 163 ГПа. Это справочная оценка, а не универсальная константа для любой марки нержавеющей стали, режима термообработки, температуры, вида продукции или метода испытания. Её не следует бездумно сочетать с несвязанным значением $E$ или $\nu$, а затем представлять как измеренное свойство конкретной марки. То же предостережение относится к значениям в справочнике ASM Steel Castings Handbook, где модуль упругости, коэффициент Пуассона, модуль сдвига и связанные с ними физические свойства представлены как характерные данные для стальных отливок. «Сталь» не является одним и тем же фиксированным упругим образцом.

Различие между статическими и динамическими свойствами имеет значение при проектировании. При динамических испытаниях упругие константы определяют по резонансным частотам или скоростям волн; при статических испытаниях — по силе, перемещению и деформации. Динамический модуль может отличаться из-за частоты, демпфирования, микроструктурных механизмов, температуры и особенностей измерительной аппаратуры. В отчёте Национального бюро стандартов по аустенитной стали Fe-5Cr-26Mn упругие константы измерялись в диапазоне 76–400 K по скоростям продольных и поперечных звуковых волн. Этот диапазон показывает, почему значение без указания температуры и метода может быть неполным, даже если обозначение материала приведено точно.

Роль изотропии и квазиизотропии

Поликристаллическая сталь может вести себя приблизительно изотропно, если её зёрна малы, многочисленны и имеют достаточно случайную ориентацию. Отдельные кристаллы при этом остаются анизотропными, однако направленные эффекты могут усредняться в представительном объёме. На этом основано использование одного эффективного $E$ и одного эффективного $\nu$ во многих конструкционных расчётах.

При создании сильной текстуры в результате обработки это приближение становится менее надёжным. Прокатка, ковка, аддитивное производство, направленная кристаллизация и термические циклы при сварке могут приводить к преимущественной кристаллографической ориентации. В таком случае лист может обладать различными свойствами в продольном, поперечном направлениях и по толщине. В литом изделии картина может быть иной из-за дендритной структуры, ликвации, пористости и локальной ориентации зёрен. Имеет значение и фазовый состав: феррит, аустенит, мартенсит, бейнит и остаточный аустенит не характеризуются одинаковым упругим поведением монокристалла.

Квазиизотропный означает эффективную реакцию, достаточно близкую к изотропной для определённой цели, диапазона направлений и масштаба. Это не устраняет анизотропию кристаллов и не гарантирует согласия каждого модуля, измеренного в любой ориентации. В главе справочника NIST, посвящённой упругим константам монокристаллов, объясняется, как поликристаллические $E$, $G$, $B$, продольный модуль и $\nu$ могут быть выведены из данных о жёсткости монокристаллов кубических и гексагональных элементов. Такой подход делает допущение об усреднении явным, вместо того чтобы рассматривать полученные поликристаллические константы как фундаментальные величины.

Для стали с выраженной текстурой анизотропная модель упругости может требовать более двух независимых констант и должна учитывать ориентацию образца. Для квазиизотропного стального компонента двух эффективных констант может быть достаточно для поставленного расчёта, если это допущение проверено по результатам измерений. В главе Constitutive Response, опубликованной Oxford Academic, изотропная линейная упругость также рассматривается через две независимые константы. Поэтому практический вопрос состоит не в том, имеет ли сталь шесть независимых упругих модулей. В рамках изотропной модели — нет. Вопрос заключается в том, представляют ли выбранные две константы материал, температуру, направление и режим измерения, относящиеся к данному расчёту.

Модуль Юнга $E$ для стали

Модуль Юнга, $E$, характеризует жёсткость материала при одноосном растяжении или сжатии. Согласно применимому линейно-упругому определению, он представляет собой отношение осевого напряжения к осевой деформации:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

Здесь $\sigma$ — нормальное напряжение, действующее вдоль оси образца, а $\epsilon$ — соответствующая осевая деформация. При идеально линейном отклике график зависимости напряжения от деформации представляет собой прямую, проходящую через начало координат, а $E$ является её угловым коэффициентом. Единицей измерения служит паскаль; для стали обычно указывают значения в гигапаскалях.

Это определение применимо только к той части нагружения, в пределах которой отклик материала является линейным и обратимым. Оно не означает, что любое отношение напряжения к деформации, измеренное во время испытания стали, представляет собой модуль Юнга. После появления пластической деформации, фазового превращения, повреждения или существенной нелинейности выбранный наклон либо показатель характеризует уже другое свойство.

Одноосное напряжение и осевая деформация

При одноосном испытании на растяжение сила прикладывается к образцу вдоль одного из главных направлений. Инженерное осевое напряжение обычно рассчитывают как отношение приложенной силы к первоначальной площади поперечного сечения:

$$\sigma =\frac{F}{A_0}$$

Инженерная осевая деформация представляет собой изменение расчётной длины, делённое на её первоначальную длину:

$$\epsilon =\frac{L-L_0}{L_0}$$

При малых деформациях эти определения дают обычное инженерное значение $E$. Испытательный экстензометр или тензорезистор измеряет удлинение на заданной расчётной длине, тогда как испытательная машина регистрирует силу и перемещение. На измеренный наклон могут влиять податливость машины, перемещение захватов, соосность образца, состояние поверхности и метод определения начального участка кривой.

В упругой области растягиваемый образец также сжимается в поперечном направлении. Коэффициент Пуассона, $\nu$, связывает поперечную деформацию с осевой, обычно следующим образом:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}$$[3][3] Elasticity of Solids. Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

Для изотропного линейно-упругого твёрдого тела $E$ и $\nu$ определяют остальные упругие постоянные. В документации Sandia Sierra связанный изотропный набор включает модуль Юнга $E$, коэффициент Пуассона $\nu$, объёмный модуль $K$, модуль сдвига $G$, первый параметр Ламе $\lambda$ и $2\mu$; утверждение о том, что $E$ и $\nu$ определяют остальные параметры, отражает структуру изотропной теории упругости с двумя независимыми постоянными. В книге Springer Elasticity of Solids также указано, что для изотропного твёрдого тела независимыми являются только две упругие постоянные.

В расчётах обычно используют следующие соотношения:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

и

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

где $G$ — модуль сдвига, а $K$, также обозначаемый как $B$, — объёмный модуль. Эти уравнения не означают, что $E$, $G$, $K$ и $\nu$ являются четырьмя независимыми свойствами марки материала. Они связывают результаты измерений, выполненных при различных видах деформации, если применимы предположения об изотропности и линейной упругости.

Различие между видами деформации имеет существенное значение. Модуль Юнга характеризует осевое растяжение или сжатие, модуль сдвига — угловое искажение при сдвиге, а объёмный модуль — изменение объёма под действием гидростатического давления. В OpenStax они представлены как отдельные физические интерпретации упругого отклика. В справочнике NIST за 1982 год объёмный модуль термодинамически определяется выражением

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

поэтому его значение относится к обусловленному давлением изменению объёма при заданной температуре, а не просто к наклону кривой растяжения в координатах «напряжение–деформация».

В обычных инженерных расчётах сталь часто рассматривают как изотропный материал, поскольку поликристаллическое изделие может содержать множество кристаллографических ориентаций. Однако это приближение может оказаться неприменимым для сильно текстурированного листа, интенсивно деформированного прутка, прокатанной плиты, сварных соединений, аддитивно изготовленного материала или исследовательских образцов из монокристалла. Кристаллы кубического феррита и аустенита обладают зависящей от направления упругой жёсткостью, хотя совокупность кристаллов с подходящим распределением ориентаций может демонстрировать квази-изотропные свойства. NIST объясняет, как поликристаллические значения $E$, $G$, $B$, продольного модуля и коэффициента Пуассона можно рассчитывать по данным об упругих жёсткостях монокристаллов для материалов с кубической и гексагональной структурами.

Следовательно, значение, указанное для «стали», не является автоматически универсальной константой для изделий любой формы. На измеряемый отклик могут влиять химический состав, феррит, перлит, бейнит, мартенсит, остаточный аустенит, распределение карбидов, пористость, текстура и остаточные напряжения. Влияние каждого из этих факторов может быть небольшим в одной конфигурации испытания и существенным в другой.

Секущий, касательный и начальный модули упругости

Начальный модуль упругости — это наклон кривой «напряжение–деформация» при нулевом или близком к нулю напряжении и деформации. В дифференциальной форме:

$$E_{\text{initial}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }{|}_{\epsilon \to 0}$$

при условии, что кривая достаточно линейна, а измерительная система скорректирована. Это значение наиболее близко к общепринятому учебному определению модуля Юнга.

Касательный модуль представляет собой локальный наклон в выбранной точке:

$$E_{\text{tan}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }$$

Если кривая сохраняет линейность, касательный модуль равен начальному модулю. Однако вблизи предела текучести на стали может проявляться кривизна, обусловленная началом пластичности, движением дислокаций, деформацией Людерса, эффектами превращений или артефактами испытания. В этом случае касательный модуль изменяется в зависимости от напряжения и деформации. Его необходимо указывать вместе с точкой или интервалом деформации, при котором он был измерен.

Секущий модуль — это наклон прямой, проведённой от выбранного начала координат к заданной точке кривой:

$$E_{\text{sec}}=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

для этой выбранной точки. Он усредняет отклик на данном интервале, а не характеризует локальный наклон. Если кривая отклоняется от линейности, значения секущего и касательного модулей различаются. Секущий модуль, определённый при напряжении выше начального предела текучести, может быть значительно ниже начального модуля упругости, поскольку полная деформация включает пластическую составляющую.

Поэтому эти термины не являются взаимозаменяемыми. Если назвать секущее значение «модулем Юнга», не указав диапазон деформации или напряжения, это может привести к ошибкам в расчёте конструкции. Та же проблема возникает, когда машина определяет наклон по перемещению траверсы, а не по непосредственно измеренной деформации на расчётной длине. Посадка захватов и деформация рамы могут искажать начальный участок кривой, тогда как пластичность может искажать её последующий участок.

Предшествующая деформация также имеет значение. Холодная прокатка, волочение, правка, предварительное деформирование и циклическое нагружение изменяют дислокационную структуру и остаточные напряжения. Они могут менять кажущийся начальный наклон, вызывать различие свойств при растяжении и сжатии, а также приводить к различным наклонам при разгрузке и повторном нагружении. Образец, подвергшийся пластической деформации, не эквивалентен недеформированному образцу только потому, что они имеют одинаковое номинальное обозначение марки.

Необходимо также указывать температуру. Упругая жёсткость обычно изменяется с температурой, а фазовый состав может изменяться в более широком температурном диапазоне. В отчёте National Bureau of Standards, опубликованном в 1981 году, приведены результаты измерения упругих постоянных аустенитной стали Fe-5Cr-26Mn в диапазоне 76–400 K с использованием скоростей звука для продольных и поперечных волн. Этот температурный диапазон показывает, почему значение, полученное при растяжении при комнатной температуре, нельзя безоговорочно переносить на криогенные условия или расчёты при повышенной температуре.

Статический и динамический модули Юнга

Статический модуль Юнга получают при медленном приложении механической нагрузки, обычно измеряя силу и осевую деформацию во время испытания на растяжение или сжатие. «Медленное» не означает, что результат не зависит от скорости. На указанное значение наклона могут влиять скорость деформации, история нагружения, время выдержки, повышение температуры и система измерения деформации. Вязкоупругие эффекты обычно ограничены для обычной стали при окружающих условиях, однако зависящая от скорости пластичность, демпфирование, тепловые эффекты и податливость испытательной машины всё же могут влиять на результат вблизи перехода от упругого к пластическому поведению.

Динамический модуль Юнга определяют по результатам измерений вибрации, распространения волн или резонанса. ASTM E1875-20a устанавливает определение динамического модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона «методом звукового резонанса». Метод использует резонансные частоты и размеры образца; при расчёте учитываются плотность, а также соотношения для вибрации балки или стержня. Поскольку деформация происходит с конечной частотой и, как правило, при очень малой амплитуде, полученный результат не является просто значением, измеренным при более быстром испытании на растяжение.

Динамические измерения могут быть очень чувствительны к геометрии образца, условиям его опирания, частоте, плотности, демпфированию и внутренним несплошностям. Статические измерения чувствительны к соосности, установке экстензометра, расчётной длине и скорости деформации. Если оба метода корректно применяются в пределах одной и той же упругой области, их результаты могут быть близкими, но совпадение не гарантируется. Поэтому при указании модуля следует приводить метод измерения, температуру, ориентацию и состояние образца, а также уточнять, является ли значение начальным, касательным, секущим, статическим или динамическим.

В Engineering ToolBox иногда приводится приблизительное справочное значение 163 GPa для объёмного модуля нержавеющей стали, однако это вторичная оценка, а не универсальное значение для любой марки нержавеющей стали, стандартного обозначения, температуры, текстуры или формы изделия. Такая же осторожность необходима при использовании приведённых значений модуля Юнга. В изотропных расчётных моделях достаточно одной тщательно выбранной пары упругих постоянных; однако экспериментальные данные всё равно должны соответствовать состоянию стали и виду деформации, используемому в расчёте.

Модуль сдвига $G$ и жесткость при формоизменении

Модуль сдвига $G$ характеризует сопротивление твердого тела изменению формы под действием касательного напряжения. Он не описывает в первую очередь сопротивление изменению объема. При идеальном чистом сдвиге одна пара плоскостей материала смещается относительно другой, в результате чего изменяются углы внутри тела, тогда как его объем остается практически неизменным. Это отличие отделяет $G$ от модуля объемной деформации $K$ или $B$, который характеризует сопротивление гидростатическому сжатию.

Для стали $G$ не является отдельной маркировкой, способной независимо изменяться относительно всех других упругих свойств. В рамках однородной, изотропной линейной упругости независимыми являются только две упругие константы. В таблице могут быть указаны модуль Юнга $E$, коэффициент Пуассона $\nu$, модуль сдвига $G$, модуль объемной деформации $K$, первый параметр Ламе $\lambda$ и $2\mu$, однако эти величины математически связаны между собой. Национальные лаборатории Sandia приводят этот изотропный набор из шести величин и указывают, что $E$ и $\nu$ определяют остальные. То же ограничение двумя константами описано в издании Springer Elasticity of Solids (2020).

Касательное напряжение и угловая деформация

Касательное напряжение, обычно обозначаемое $\tau$, действует параллельно поверхности. При сдвиге прямоугольного элемента его первоначально прямые углы изменяются на величину угловой деформации $\gamma$. При малой деформации $\gamma$ измеряется в радианах и может быть приближенно определена как отношение поперечного смещения к высоте:

$$\gamma \approx \frac{\Delta x}{h}.$$

Линейная упругая зависимость имеет вид

$$\tau =G\gamma ,$$

или

$$G=\frac{\tau }{\gamma }.$$

Чем больше $G$, тем большее касательное напряжение требуется для создания заданного углового искажения. Это соотношение характеризует жесткость, а не начало текучести или разрушение. Образец стали может иметь высокий упругий модуль сдвига и при этом испытывать остаточную деформацию, если локальное касательное напряжение превышает соответствующее условие текучести.

Чистый сдвиг иллюстрирует различие между формоизменением и изменением объема. Куб может превратиться в наклонный параллелепипед, тогда как длины его ребер и объем изменятся очень незначительно. В реальных твердых телах при сдвиге также возникают нормальные деформации. В изотропном материале эти сопутствующие деформации определяются через коэффициент Пуассона и полные определяющие уравнения, однако основной измеряемой деформацией является угловое искажение.

Материал, находящийся под гидростатическим давлением, ведет себя иначе. Давление действует одинаково во всех направлениях и изменяет объем, не создавая преимущественного направления сдвига. Соответствующий модуль термодинамически определяется NIST следующим образом:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

где $V$ — объем, $P$ — давление, а производная берется при постоянной температуре. Это определение, приведенное в главе справочника NIST 1982 года, показывает, почему модуль объемной деформации нельзя подставлять вместо $G$ при расчете кручения или сдвига.

Для приближения изотропной стали плотность энергии деформации при сдвиге равна

$$u_s=\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{{\tau }^2}{2G}=\frac{1}{2}G{\gamma }^2.$$

Эта запасенная энергия возвращается при снятии нагрузки, если деформация остается в пределах упругости и не возникает механизмов, связанных со временем или повреждением.

Кручение, поперечные волны и реакция на сдвиг

Кручение представляет собой практическое проявление упругости при сдвиге. Когда круглый стальной вал подвергается кручению, поперечные сечения поворачиваются относительно друг друга, а элементы материала испытывают деформацию сдвига, увеличивающуюся с расстоянием от оси вала. Для круглого вала при кручении Сен-Венана:

$$T=\mathrm{GJ}\frac{\phi }{L},$$

где $T$ — крутящий момент, $J$ — полярный момент инерции площади, $\phi$ — угол закручивания, а $L$ — длина вала. После преобразования получаем

$$\frac{\phi }{L}=\frac{T}{\mathrm{GJ}}.$$

Вал с большим значением $G$ закручивается меньше под действием того же крутящего момента, если его геометрия и граничные условия неизменны. Для сплошного круглого вала $J=\pi d^4/32$; для полого круглого вала $J=\pi (d_o^4-d_i^4)/32$. Эти уравнения применимы в упругом диапазоне кручения; для некруглых сечений, депланации, пластичности, остаточных напряжений и анизотропных изделий требуется дополнительный учет.

Модуль сдвига также измеряют по скорости распространения поперечных упругих волн. В изотропной среде скорость поперечной, или сдвиговой, волны равна

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }},$$

откуда

$$G=\rho v_T^2,$$

где $\rho$ — плотность. Поперечная волна вызывает движение частиц перпендикулярно направлению распространения. Ее возвращающей силой служит жесткость при сдвиге, тогда как продольная волна определяется сочетанием жесткости при изменении объема и жесткости при сдвиге:

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}.$$

Таким образом, измерение обеих скоростей волн позволяет рассчитать более одной упругой константы, если плотность известна. Это динамическое измерение: результат отражает реакцию материала на частоте испытания, при данной температуре, состоянии образца и амплитуде волны.

Стандарт ASTM E1875-20a устанавливает определение динамического модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона «методом акустического резонанса». Метод использует резонансные частоты, соответствующие продольным и изгибным или крутильным колебаниям, а не медленную монотонную кривую нагружения. Динамические и статические значения могут быть близкими для однородного стального образца в ограниченном упругом диапазоне, однако их нельзя автоматически считать идентичными.

Отчет Национального бюро стандартов об аустенитной стали Fe-5Cr-26Mn демонстрирует важность условий испытания. В нем упругие константы определялись по скоростям звука для продольной и поперечной мод в диапазоне 76–400 K. Изменение температуры влияет на межатомные связи, тепловое расширение, устойчивость фаз и затухание, связанное с дефектами; поэтому модуль, измеренный при криогенной температуре, не обязательно равен модулю, измеренному вблизи комнатной температуры. Важны также фазовый состав и кристаллографическая текстура стали. Монокристалл обладает зависимостью свойств от направления, тогда как поликристалл может проявлять изотропность только при достаточно случайной ориентации зерен. Прокатка, ковка, сварка, продукты превращения и сохранившаяся текстура могут приводить к направленной реакции на сдвиг.

Связь между $G$, $E$ и $\nu$

Для однородной, изотропной линейной упругости основное соотношение имеет вид

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Здесь $E$ — модуль Юнга, а $\nu$ — коэффициент Пуассона. Если известны две независимые константы, остальные изотропные константы могут быть выведены. Поэтому указание $E$, $G$ и $\nu$ как трех не связанных между собой чисел, специфичных для марки материала, механически противоречиво, если только не обсуждаются погрешность измерения, анизотропия, температура или отклонение от принятой модели.

Соответствующее соотношение для модуля объемной деформации имеет вид

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

а непосредственная связь между $K$ и $G$ выражается формулой

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Эти уравнения являются соотношениями модели, а не универсальными правилами пересчета для любого стального изделия. Они предполагают малые деформации, обратимое поведение, однородность и изотропность материала, а также такую температуру и условия нагружения, при которых упругие константы остаются практически постоянными. Кроме того, предполагается, что приведенные значения относятся к сопоставимым определениям. Статический модуль при растяжении, резонансный динамический модуль и модуль, полученный по скорости волн, могут различаться вследствие различий в частоте и амплитуде деформации.

Приближенное справочное значение модуля объемной деформации нержавеющей стали, равное 163 GPa, приведено Engineering ToolBox в 2024 году, однако это значение не является универсальным для любой марки нержавеющей стали, температуры, формы изделия, фазового соотношения или метода испытания. То же предостережение относится и к $G$. Аустенитные, ферритные, мартенситные и дуплексные стали могут различаться по текстуре, объемной доле фаз, магнитному состоянию и истории обработки. Стандарты и проектные спецификации могут задавать для расчетов репрезентативное изотропное значение, тогда как исследовательское измерение может выявлять константы, зависящие от направления.

Для изотропных расчетов при проектировании соотношение $G=E/[2(1+\nu \left)\right]$ является подходящей связью между жесткостью при растяжении и жесткостью при сдвиге. Для текстурированного листа, материала в зоне воздействия сварки, литых структур, монокристаллов или многофазной стали с выраженной направленностью свойств вместо этого может потребоваться полная анизотропная матрица жесткости. В таком случае один скалярный модуль сдвига не может описать сдвиг по всем плоскостям.

Объёмный модуль $K$ или $B$ и объёмное сжатие

Объёмный модуль описывает сопротивление равномерному изменению объёма. Он не описывает сопротивление стального стержня растяжению вдоль одной оси и не является взаимозаменяемым с модулем Юнга. Испытание на растяжение в основном определяет одноосный модуль, тогда как эксперимент с приложением давления определяет объёмный модуль. Эти два модуля связаны между собой только после задания упругой модели и её допущений.

Для изотропной линейной упругости обычно используются следующие обозначения: $K$ или $B$ — объёмный модуль, $E$ — модуль Юнга, $G$ — модуль сдвига, $\nu$ — коэффициент Пуассона. Это не четыре независимо задаваемые материальные константы. Как объясняется в книге Springer Elasticity of Solids, изотропное твёрдое тело имеет только две независимые упругие константы. В документации Sandia Sierra приведён связанный набор параметров: модуль Юнга $E$, коэффициент Пуассона $\nu$, объёмный модуль $K$, модуль сдвига $G$, первый параметр Ламе $\lambda$ и $2\mu$; задание $E$ и $\nu$ определяет остальные параметры.

Термодинамическое определение объёмного модуля

Национальный институт стандартов и технологий определяет изотермический объёмный модуль следующим образом:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

где $V$ — объём, $P$ — давление, а нижний индекс $T$ означает, что производная берётся при постоянной температуре. Знак «минус» необходим, поскольку повышение давления обычно уменьшает объём, поэтому $\partial P/\partial V$ имеет отрицательное значение.

Это определение описывает локальный наклон кривой «давление–объём». Это дифференциальная величина, а не просто отношение давления к объёму при произвольно большом сжатии. При малом изменении:

$$\frac{\Delta V}{V}\approx -\frac{\Delta P}{B}.$$

Следовательно, большее значение $B$ означает, что для получения такого же относительного изменения объёма требуется большее изменение давления. Единицей СИ является паскаль, хотя данные для стали обычно приводятся в гигапаскалях.

Указание постоянной температуры имеет значение. Материал, подвергаемый медленному сжатию, может обмениваться теплом с окружающей средой, тогда как быстрая звуковая волна может вызывать почти адиабатическую деформацию. Поэтому динамические измерения могут соответствовать эффективному модулю, отличающемуся от модуля, определённого при медленном механическом испытании. Само давление также может изменять наклон кривой, особенно если сжатие достаточно велико, чтобы упругие константы уже нельзя было адекватно представить одной постоянной.

Для твёрдого тела под гидростатическим давлением нормальные напряжения равны во всех трёх направлениях:

$${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=-P.$$

Соответствующая деформация является объёмной деформацией:

$${\epsilon }_v=\frac{\Delta V}{V}={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,$$

при малой деформации. Тогда определяющее соотношение имеет вид:

$$P=-K{\epsilon }_v.$$

Знак «минус» следует из принятого соглашения о знаках, согласно которому растягивающее напряжение и растягивающая деформация положительны, а сжимающее давление как скалярная величина считается положительным.

Гидростатическое давление и объёмная деформация

Гидростатическое сжатие отличается от одноосного нагружения, хотя в обоих случаях возникают нормальные напряжения. Рассмотрим стальной образец, растягиваемый при испытании на растяжение. Приложенное осевое напряжение вызывает удлинение вдоль оси, а в двух поперечных направлениях возникает поперечное сжатие вследствие эффекта Пуассона. Модуль Юнга определяется через осевое напряжение и осевую деформацию при таком виде нагружения:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

в пределах линейно-упругой области.[4][4] Stress, Strain, and Elastic Modulus. OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

При гидростатическом давлении ни одно направление не выделяется. Образец сжимается по длине вдоль всех трёх осей, а соответствующей характеристикой является сумма трёх нормальных деформаций. OpenStax непосредственно проводит это физическое различие: модуль Юнга применяется к растягивающему нагружению, объёмный модуль — к объёмному сжатию, а модуль сдвига — к деформации сдвига. Одноосное испытание на растяжение не создаёт непосредственно состояния, необходимого для измерения $K$.

Для изотропного линейно-упругого твёрдого тела модули связаны соотношениями:

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

и

$$E=3K(1-2\nu ).$$

Другим часто используемым соотношением является:

$$E=2G(1+\nu ).$$

Таким образом, по заданным значениям $E$ и $\nu$ можно рассчитать $K$, однако результат наследует условия и неопределённости, связанные с обоими исходными значениями. Если $E$ представляет собой динамический резонансный модуль, а $\nu$ получен при медленном испытании на растяжение, рассчитанный объёмный модуль может не соответствовать одному внутренне согласованному состоянию измерения.

Эта формула также показывает, почему объёмный модуль чрезвычайно чувствителен к коэффициенту Пуассона вблизи несжимаемости. Для номинальных значений стали $E=200$ ГПа и $\nu =0.30$:

$$K=\frac{200}{3(1-0.60)}\approx 167\text{ГПа}.$$

Если при неизменном $E$ изменить $\nu$ на 0.49, получим:

$$K=\frac{200}{3(1-0.98)}\approx 3333\text{ГПа}.$$

Такое очень большое изменение не является небольшим эффектом округления. Оно возникает из-за приближения знаменателя к нулю при приближении $\nu$ к 0.5. Небольшая ошибка в $\nu$, а также значение, взятое для другой температуры, частоты, фазового состава или метода измерения, может привести к существенному изменению рассчитанного $K$.

Почему металлы часто называют почти несжимаемыми

Металлы часто называют почти несжимаемыми, поскольку их объёмная деформация при обычном механическом давлении мала по сравнению с изменением формы при сдвиге или одноосном напряжении. Их объёмный модуль, как правило, значительно больше модуля сдвига. Давление лишь немного изменяет объём, тогда как сопоставимое напряжённое состояние, допускающее изменение формы, может вызвать более заметное изменение геометрии.

Термин «почти несжимаемый» не означает абсолютно несжимаемый. Сталь по-прежнему имеет конечный объёмный модуль, и её плотность изменяется под давлением. Это приближение полезно при анализе процессов формоизменения, пластичности, расчётах взаимодействия жидкости и конструкции, а также в других ситуациях, где изменения объёма невелики, однако его нельзя применять без проверки материальной модели. Пластическая деформация, фазовые превращения, пористость, повреждение и повышенная температура могут изменять объёмную реакцию материала. Например, пористую стальную отливку нельзя рассматривать как идеальное плотное изотропное твёрдое тело только потому, что её металлическая матрица обладает высокой жёсткостью.

Это приближение также осложняется микроструктурой стали. Упругие константы монокристалла зависят от кристаллографического направления. Поликристаллический агрегат может вести себя приблизительно изотропно, если зёрна ориентированы случайным образом, однако прокатка, ковка, фазовые превращения и текстура могут приводить к появлению направленных свойств. В главе справочника NIST, посвящённой упругим константам монокристаллов, показано, как квази-изотропные значения $E$, $G$, $B$, продольного модуля и $\nu$ для поликристаллических материалов могут быть выведены из данных о жёсткости монокристаллов кубических и гексагональных материалов. Термин «квази-изотропный» описывает модель, но не гарантирует, что каждое изделие будет обладать одинаковыми свойствами во всех направлениях.

Температура и фазовый состав также имеют значение. В отчёте Национального бюро стандартов были определены упругие константы аустенитной стали Fe-5Cr-26Mn в диапазоне 76–400 K по скоростям продольных и поперечных звуковых волн. Уже один этот температурный диапазон показывает, почему нельзя приписывать одно значение, измеренное при комнатной температуре, стали в любом состоянии. Аустенитные, ферритные, мартенситные и многофазные стали могут различаться по упругой реакции, а холодная деформация и текстура могут изменять измеренные значения, зависящие от направления.

Вторичный источник Engineering ToolBox приводит приблизительное значение 163 ГПа для «нержавеющей стали». Это число может быть удобным для предварительного расчёта, однако оно не является универсальным объёмным модулем для любой марки нержавеющей стали, температуры, формы изделия, фазового соотношения, текстуры или условий испытания. Его не следует представлять как измеренную константу, общую для всех нержавеющих сталей.

Метод измерения является ещё одним источником вариаций. Стандарт ASTM E1875-20a устанавливает определение динамического модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона «методом звукового резонанса». Такие значения получают по частотам вибраций; на них влияют плотность, геометрия, демпфирование, температура и частота. Статические данные испытания на растяжение отвечают на другой экспериментальный вопрос. Поэтому в расчётах конструкций следует указывать, является ли модуль измеренным или расчётным, статическим или динамическим, изотропным или направленным, а также для какой температуры и состояния материала он определён. Без этой информации приведённое значение $K$ или $B$ является лишь условной оценкой.

Коэффициент Пуассона ν и поперечная деформация стали

Коэффициент Пуассона, обозначаемый как ν (ню), описывает упругую деформацию, возникающую перпендикулярно приложенной нагрузке. При испытании на растяжение он определяется как

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\mathrm{transverse}}}{{\epsilon }_{\mathrm{longitudinal}}}$$

где продольная деформация направлена вдоль направления нагружения, а поперечная деформация измеряется поперёк образца. Знак минус обеспечивает положительное значение ν при обычном растяжении стали: расчётная длина увеличивается, а ширина и толщина уменьшаются.

Это определение относится к конкретным направлению упругого испытания, температуре, скорости нагружения и состоянию материала. Оно не является отдельной характеристикой марки, которую можно выбирать независимо от модуля Юнга, модуля сдвига или объёмного модуля. Для изотропного, однородного, линейно-упругого твёрдого тела независимыми являются только две упругие константы. Национальная лаборатория Sandia перечисляет следующие связанные изотропные константы: модуль Юнга $E$, коэффициент Пуассона $\nu$, объёмный модуль $K$, модуль сдвига $G$, первый параметр Ламе $\lambda$ и $2\mu$; задание $E$ и $\nu$ определяет остальные величины. В книге Springer Elasticity of Solids также утверждается, что изотропное твёрдое тело имеет «только две» независимые упругие константы.

Для изотропной стали при малых упругих деформациях основными соотношениями являются

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

и

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Эти же соотношения можно преобразовать к виду

$$\nu =\frac{E}{2G}-1$$

или

$$\nu =\frac{3K-E}{6K}.$$

Эти уравнения являются определяющими соотношениями, а не независимыми способами произвольного задания свойств материала. Если в таблице приведены $E$, $G$, $K$ и ν, которые им не удовлетворяют, это может означать, что значения были измерены различными методами, при разных температурах или на основе разных допущений. Они также могут описывать анизотропный материал с использованием изотропных приближений.

Осевое сужение при растяжении

Рассмотрим стальной образец для испытания на растяжение, ось которого совпадает с направлением нагружения. Растягивающее напряжение вызывает положительную осевую деформацию,

$${\epsilon }_L=\frac{\Delta L}{L},$$

тогда как диаметр уменьшается. Если исходный диаметр равен $d$, поперечная деформация приблизительно составляет

$${\epsilon }_T=\frac{\Delta d}{d}.$$

В пределах упругости

$${\epsilon }_T=-\nu {\epsilon }_L.$$

Таким образом, если осевая упругая деформация образца составляет $0.001$, а ν равен 0.30, его поперечная деформация приблизительно равна $-0.0003$. Длина увеличивается на 0,10 %, а диаметр уменьшается на 0,03 %. Этот численный пример описывает только деформацию; он не задаёт универсальное значение для каждой марки стали или каждой формы изделия.

Отношение является безразмерным, поскольку и числитель, и знаменатель представляют собой деформации. Оно также зависит от способа определения деформаций. Инженерная деформация, истинная деформация, компоненты тензора малых деформаций и секущие деформации могут давать несколько разные результаты, если деформация уже не является очень малой. Коэффициент Пуассона, используемый в линейно-упругом проектировании, обычно относится к начальному наклону в пределах обратимой деформации — до начала текучести, деформации Людерса, пластического течения, образования трещин или других нелинейных эффектов.

Осевой и поперечный отклики связаны между собой. Образец при растяжении не просто удлиняется, сохраняя первоначальные размеры поперечного сечения. Для прямоугольного или цилиндрического сечения уменьшение ширины и толщины приводит к изменению объёма. При малых деформациях объёмная деформация приблизительно равна

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L+{\epsilon }_{T1}+{\epsilon }_{T2}.$$

Для изотропного состояния растяжения с одинаковыми поперечными деформациями

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L(1-2\nu ).$$

Это выражение показывает, почему ν имеет значение в моделях методом конечных элементов и при расчётах конструкций. Неправильное задание ν изменяет прогнозируемое поперечное сужение, объёмный отклик, гидростатическое напряжение и иногда кажущуюся жёсткость областей с ограниченной деформацией.

Сталь не является единым изотропным веществом на любом масштабе. Поликристалл со случайной ориентацией зёрен может приближаться к изотропному поведению, когда в отклике участвует большое число зёрен, а текстура выражена слабо. В листе после прокатки, тянутой проволоке, кованом прутке, сварных зонах и аддитивно изготовленном материале могут сохраняться преимущественные кристаллографические ориентации или пространственно неоднородное распределение фаз. В таких случаях поперечная деформация зависит от направлений нагружения и измерения. Поэтому единственное скалярное значение ν может быть удобным инженерным средним, но не полным описанием материала.

Изменение объёма и предел ν = 0.5

Объёмный модуль характеризует сопротивление равномерному сжатию, тогда как модуль Юнга описывает осевое растяжение или сжатие, а модуль сдвига — изменение формы при сдвиге. OpenStax непосредственно проводит это различие: модуль Юнга относится к растягивающей нагрузке, объёмный модуль — к объёмному сжатию, а модуль сдвига — к деформации сдвига.

Термодинамическое определение объёмного модуля имеет вид

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

как указано Национальным институтом стандартов и технологий в 1982 году. Здесь $P$ — давление, $V$ — объём, а производная берётся при постоянной температуре. Изотропное уравнение линейной упругости $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$ связывает этот объёмный отклик с данными одноосной упругости только в тех случаях, когда изотропные допущения применимы.

По мере приближения ν к 0.5 знаменатель $1-2\nu$ стремится к нулю, и рассчитанный объёмный модуль при конечном $E$ стремится к бесконечности. Это предел несжимаемости: деформация может изменять форму, но не объём. Подобные резине материалы могут приближаться к этому состоянию, поскольку их объёмный отклик значительно жёстче сдвигового. Обычные стали не являются несжимаемыми, хотя их объёмный модуль существенно превышает модуль сдвига.

Этот предел также выявляет численную проблему. Поскольку $K$ содержит $1-2\nu$, небольшая ошибка в ν может вызвать большую относительную ошибку в рассчитанном $K$, особенно когда ν близок к 0.5. Дифференцирование соотношения даёт

$$\frac{\partial K}{\partial \nu }=\frac{2E}{3(1-2\nu {)}^2}$$

при постоянном $E$. Возведение знаменателя в квадрат усиливает чувствительность. Неопределённость ν всего в несколько тысячных может незначительно повлиять на приближённый осевой расчёт, но существенно изменить указанное значение объёмного модуля.

В справочнике Engineering ToolBox приведено приблизительное значение объёмного модуля 163 ГПа для нержавеющей стали. Это вторичная справочная оценка, а не универсальное значение для любой марки нержавеющей стали, температуры, формы изделия, фазового состава или метода испытания. Аустенитные, ферритные, мартенситные, дуплексные стали и стали, упрочняемые дисперсионным твердением, могут различаться по текстуре, соотношению фаз, дефектности и реакции на температуру.

Измерение и интерпретация ν

Коэффициент Пуассона можно определить по одновременным измерениям осевой и поперечной деформаций при испытании на растяжение или сжатие. Экстензометры, наклеиваемые тензорезисторы, оптические системы и цифровая корреляция изображений позволяют измерять обе компоненты деформации, однако поперечный сигнал часто оказывается меньше и более чувствителен к соосности, подготовке поверхности, геометрии базы измерения и шуму. Несоосность может вызвать изгиб, а неправильное размещение датчиков — смешение продольного и поперечного направлений.

Другой способ заключается в определении ν по независимо измеренным скоростям упругих волн. Скорости продольных и сдвиговых волн дают динамическую информацию об упругости; для изотропного твёрдого тела

$$G=\rho v_S^2$$

и

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_S^2),$$

где $\rho$ — плотность, $v_S$ — скорость сдвиговой волны, а $v_L$ — скорость продольной волны. Полученные $E$ и ν описывают отклик при малой амплитуде и конечной частоте, который не обязательно совпадает со значением, полученным при медленном испытании на растяжение. Стандарт ASTM E1875-20a устанавливает определение динамических модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона «методом звукового резонанса».[5][5] Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

Изменение температуры влияет как на упругую жёсткость, так и на скорость волн. В отчёте Национального бюро стандартов были измерены упругие константы аустенитной стали Fe-5Cr-26Mn в диапазоне 76–400 K с использованием скоростей звука для продольной и поперечной мод. Этот диапазон показывает, почему значение, измеренное вблизи комнатной температуры, не следует автоматически переносить на криогенные условия эксплуатации или проектирование при повышенной температуре.

Текстура и кристаллографическая анизотропия вносят ещё одно уточнение. Упругие жёсткости монокристалла можно преобразовать в квази-изотропные значения $E$, $G$, $K$ и ν для поликристалла только с помощью модели усреднения, учитывающей симметрию кристалла и распределение ориентаций. Поэтому лист после прокатки может демонстрировать различные соотношения при нагружении вдоль направления прокатки, поперёк направления прокатки и по толщине. Динамический резонанс также может охватывать иной эффективный объём и другую амплитуду деформации, чем статическое испытание на растяжение.

При проектировании значение ν должно соответствовать предполагаемой определяющей модели и условиям испытания. Скалярное изотропное значение следует использовать только тогда, когда форма изделия, текстура, температура, диапазон деформаций и требуемая точность допускают такое упрощение. В противном случае более обоснованным выбором будут зависящие от направления упругие константы или полная анизотропная матрица жёсткости, а не трактовка четырёх приведённых модулей как не связанных между собой характеристик конкретной марки.

Полный набор соотношений для изотропных модулей упругости

Для однородного линейно-упругого изотропного твердого тела четыре обычно указываемых модуля не являются четырьмя независимыми константами материала. Модуль Юнга $E$, модуль сдвига $G$, объёмный модуль $K$ или $B$ и коэффициент Пуассона $\nu$ описывают различные виды деформации, однако их значения взаимосвязаны. Любые две подходящие константы определяют остальные величины.

Это утверждение имеет определённые условия применимости. Материал следует рассматривать как изотропный, зависимость между напряжением и деформацией должна быть линейной в рассматриваемом диапазоне, а модули должны относиться к одной и той же температуре, плотности, фазовому составу, усреднённой текстуре, частоте и методике измерения. Модуль, измеренный при испытании на растяжение при малой деформации, не может автоматически считаться взаимозаменяемым с динамическим модулем, определённым по скорости звука. Для анизотропного монокристалла приведённые ниже изотропные уравнения не воспроизводят полную зависимость отклика от направления.

OpenStax в публикации 2020 года чётко определяет физическую роль этих величин: $E$ описывает растяжение или одноосную деформацию, $G$ — деформацию сдвига, а объёмный модуль — объёмное сжатие. В работе NIST 1982 года термодинамический объёмный модуль определяется как

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

где $V$ — объём, $P$ — давление, а производная берётся при постоянной температуре. В линейной теории упругости при малых деформациях это термодинамическое определение соответствует объёмной жёсткости, используемой в приведённых ниже соотношениях, при условии, что рассматриваются одно и то же состояние и одно и то же упругое приближение.

Соотношения между $E$, $G$, $K$ и $\nu$

Полный набор уравнений для изотропной линейной упругости имеет вид:

\[ \boxed{G=\frac{E}{2(1+\nu)}} \]

\[ \boxed{K\ \text{или}\ B=\frac{E}{3(1-2\nu)}} \]

\[ \boxed{E=\frac{9KG}{3K+G}} \]

\[ \boxed{\nu=\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \]

\[ \boxed{\lambda=K-\frac{2G}{3}} \]

\[ \boxed{\mu=G} \]

Первое уравнение переводит модуль Юнга и коэффициент Пуассона в модуль сдвига. Оно предполагает изотропный определяющий закон и бесконечно малую линейно-упругую деформацию. Второе уравнение переводит $E$ и $\nu$ в объёмный модуль. Оно также предполагает, что измеренный коэффициент Пуассона является изотропным упругим коэффициентом, а не зависящей от направления величиной, полученной для анизотропного образца.

Третье уравнение позволяет вычислить $E$ по $K$ и $G$, а четвёртое — $\nu$ по тем же двум модулям. Эти уравнения являются алгебраическими преобразованиями одной и той же изотропной определяющей модели; они не дают независимой экспериментальной проверки, если исходные значения не получены в результате отдельных измерений. Если указаны $E$, $G$ и $\nu$, небольшие расхождения ожидаемы из-за погрешности измерений, округления, различий температуры, пористости, текстуры или отклонений от изотропии.

Для устойчивого обычного изотропного упругого твердого тела обычно выполняются ограничения

\[ G>0,\qquad K>0,\qquad -1<\nu<\frac{1}{2}. \]

Верхний предел для $\nu$ особенно важен. При приближении $\nu$ к $0.5$ величина $1-2\nu$ стремится к нулю, и рассчитанный объёмный модуль становится очень большим по сравнению с $E$. Поэтому почти несжимаемый материал может иметь конечный модуль растяжения, но значительно более высокую объёмную жёсткость. Сталь является сжимаемым материалом, поэтому принятие $\nu =0.5$ в качестве точного значения для стали сделало бы преобразование сингулярным, а не информативным.

Уравнения применимы к эффективным изотропным свойствам поликристалла, если различия по направлениям достаточно усреднены. Глава справочника NIST, посвящённая упругим константам монокристаллов, показывает важность этой оговорки: эффективные значения $E$, $G$, $B$, продольного модуля и $\nu$ могут быть выведены из данных о жёсткости монокристалла для материалов с кубической и гексагональной структурой, однако процедура усреднения зависит от симметрии кристалла и текстуры. Лист после прокатки, сварной металл, литая структура и отожжённый поликристалл со случайной ориентацией кристаллитов могут иметь различный упругий отклик в разных направлениях, даже если их химическое описание сходно.

Эти константы также могут описывать различные частотные режимы. Стандарт ASTM E1875-20a, опубликованный ASTM International в 2020 году, устанавливает метод определения динамического модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона «методом акустического резонанса». Такие динамические значения получают по резонансным частотам, и они связаны с быстрым нагружением малой амплитуды. Модуль, измеренный при статическом испытании на растяжение, может отличаться из-за податливости измерительной системы, микропластичности, внутреннего трения, пористости, температуры или других отклонений от идеальной упругой модели. Уравнения преобразования остаются справедливыми только тогда, когда исходные константы относятся к совместимому определяющему описанию.

Поэтому справочное значение, такое как приблизительный объёмный модуль нержавеющей стали $163\text{ГПа}$, приведённый в Engineering ToolBox, следует рассматривать как вторичную оценку, а не как универсальное значение для любой марки нержавеющей стали, формы изделия, температуры, фазового соотношения или метода испытания. Обозначение «нержавеющая сталь» охватывает существенно различающиеся материалы, включая аустенитные, ферритные, мартенситные, дисперсионно-твердеющие и дуплексные марки. Их упругий отклик также может изменяться в результате холодной деформации и изменения температуры.

Параметры Ламе $\lambda$ и $\mu$

Параметры Ламе представляют собой ещё один способ описания того же изотропного закона упругости. Второй параметр Ламе равен

$$\mu =G,$$

то есть $\mu$ — это просто модуль сдвига, записанный в обозначениях Ламе. Первый параметр Ламе имеет вид

$$\lambda =K-\frac{2G}{3}.$$

Он также может быть записан как

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}.$$

В тензорной записи соотношение между напряжением и деформацией для изотропного материала обычно выражается следующим образом:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

где ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ — тензор напряжений, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ — тензор деформаций, ${\epsilon }_{\mathrm{kk}}$ — объёмная деформация, а ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ — дельта Кронекера. Множитель $2\mu$ действует на девиаторную и сдвиговую составляющие тензора деформаций; он не определяет отдельный физический модуль, отличный от $G$.

В документации Sandia по Sierra перечислены шесть взаимосвязанных изотропных упругих констант: модуль Юнга $E$, коэффициент Пуассона $\nu$, объёмный модуль $K$, модуль сдвига $G$, первый параметр Ламе $\lambda$ и $2\mu$. Это объясняет часто встречающуюся ловушку в обозначениях программного обеспечения и метода конечных элементов. В карточке материала может запрашиваться «$2\mu$», поскольку в определяющем уравнении используется именно этот коэффициент, тогда как другой интерфейс может запрашивать $G$ или $\mu$. Подстановка $G$ вместо требуемого $2\mu$ приведёт к ошибке в два раза.

В книге Springer Elasticity of Solids, опубликованной в 2020 году, центральное правило сформулировано непосредственно: для изотропного твердого тела независимыми являются только две упругие константы. В формулировке Sandia также отмечается, что $E$ и $\nu$ определяют остальные константы. Шесть наименований описывают шесть взаимосвязанных величин, а не шесть независимо регулируемых свойств марки материала.

Единицы измерения, обозначения и конфликт обозначений $K$ и $B$

$E$, $G$, $K$, $B$, $\lambda$ и $\mu$ имеют единицы измерения напряжения: паскали в системе SI, обычно указываемые для стали в гигапаскалях ($\text{ГПа}$). Коэффициент Пуассона $\nu$ является безразмерной величиной. Поскольку $1\text{ГПа}={10}^9\text{Па}$, перед применением любого уравнения все величины, имеющие размерность напряжения, должны быть выражены в одних и тех же единицах.

Символ $K$ широко используется в механике сплошных сред и документации по методу конечных элементов для обозначения объёмного модуля. NIST и многие источники по материаловедению используют $B$, часто потому, что английское выражение “bulk modulus” начинается с буквы B. В приведённых выше уравнениях эти символы обычно обозначают одну и ту же величину:

$$K=B.$$

Это не две различные константы стали. Конфликт становится существенным, когда один учебник использует $K$ для объёмного модуля, а другая дисциплина — $K$ для матрицы жёсткости, коэффициента теплопроводности или величины, связанной с интенсивностью напряжений. Интерпретация должна определяться окружающим определением.

Наконец, эти соотношения описывают упругие константы, а не любую жёсткость, измеряемую в условиях эксплуатации. Температурно-зависимые данные, фазовые превращения, магнитные эффекты, текстура, остаточные напряжения и частота могут изменять измеряемый отклик. Например, в отчёте Национального бюро стандартов 1981 года для аустенитной стали Fe-5Cr-26Mn упругие константы определялись в диапазоне 76–400 K по скоростям продольных и поперечных акустических волн. Уже этот температурный диапазон показывает, почему одно-единственное значение модуля без указания условий не может описывать все режимы. Уравнения задают основу для преобразования; конкретное состояние при испытании определяет, какие значения следует в неё подставлять.

Упругость монокристаллов, кристаллография стали и усреднённые свойства поликристаллов

Сталь не является упругой в одном и том же математическом смысле на всех структурных масштабах. Отдельный кристалл обладает свойствами, связанными с направлениями его решётки, тогда как промышленное стальное изделие обычно содержит множество зёрен с различной ориентацией, фазами, дефектами и остаточными напряжениями. Если рассматривать измеренный во втором случае модуль как универсальное свойство первого, это может привести к ошибочному расчёту.

Различие начинается с симметрии кристалла. Ферритные стали имеют объёмно-центрированную кубическую (BCC) кристаллическую структуру, аустенитные стали — гранецентрированную кубическую (FCC) структуру, а мартенсит обычно описывают как объёмно-центрированную тетрагональную структуру, хотя степень её тетрагональности зависит от содержания углерода и режима отпуска. Эти структуры неодинаково воспринимают упругую деформацию во всех кристаллографических направлениях. Поликристалл может выглядеть почти изотропным только после усреднения направленных откликов множества зёрен.

Тензоры упругой жёсткости в кубических кристаллах

Линейная теория упругости связывает напряжение с деформацией посредством тензора жёсткости четвёртого порядка:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=C_{\mathrm{ijkl}}{\epsilon }_{\mathrm{kl}}.$$

Тензор содержит упругие жёсткости $C_{\mathrm{ijkl}}$, тогда как его обратный тензор содержит упругие податливости $S_{\mathrm{ijkl}}$. Симметрия кристалла уменьшает число независимых членов. Для полностью анизотропного твёрдого тела могут потребоваться 21 независимая упругая константа, но кубическому кристаллу необходимы только три: $C_{11}$, $C_{12}$ и $C_{44}$.

В сокращённой матричной записи матрица жёсткости кубического кристалла имеет вид

\[ \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2\\ \sigma_3\\ \sigma_4\\ \sigma_5\\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\ 0&0&0&C_{44}&0&0\\ 0&0&0&0&C_{44}&0\\ 0&0&0&0&0&C_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \varepsilon_3\\ \varepsilon_4\\ \varepsilon_5\\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}. \]

Три константы выполняют различные функции. $C_{11}$ описывает отклик на нормальное напряжение вдоль кубической оси, $C_{12}$ связывает нормальную деформацию между перпендикулярными осями, а $C_{44}$ описывает сдвиговой отклик на главной кристаллографической плоскости. Это жёсткости, а не взаимозаменяемые варианты модуля Юнга или модуля сдвига.

Полезным показателем анизотропии кубического кристалла является коэффициент Зенера:

$$A=\frac{2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}.$$

При $A=1$ упругий отклик кубического кристалла имеет такую же направленную форму, как у изотропного твёрдого тела. Значения, отличающиеся от единицы, указывают на зависимость от ориентации. Сам по себе этот коэффициент не даёт модуля стального изделия; он описывает упругую симметрию кристалла, если соответствующие константы монокристалла были измерены или рассчитаны.

Глава о монокристаллах в издании NIST, опубликованная в 1982 году, показывает, как эти данные о жёсткости можно преобразовать в совокупные свойства кубических и гексагональных материалов. Для кубического кристалла объёмный модуль, соответствующий однородной гидростатической деформации, определяется как

$$B=\frac{C_{11}+2C_{12}}{3}.$$

Это согласуется с термодинамическим определением, приведённым NIST:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Модули сдвига и Юнга монокристалла по-прежнему зависят от направления, хотя гидростатический объёмный отклик кубического кристалла ограничен его симметрией. Такое направление, как $\left[100\right]$, $\left[110\right]$ или $\left[111\right]$, может давать различный модуль растяжения, поскольку приложенное напряжение по-разному взаимодействует с решёткой.

Для изотропного материала независимыми являются только две упругие константы, как описано в главе Elasticity of Solids издательства Springer за 2020 год. В документации Sandia Sierra перечисляется связанный с ними изотропный набор: модуль Юнга $E$, коэффициент Пуассона $\nu$, объёмный модуль $K$, модуль сдвига $G$, первый параметр Ламе $\lambda$ и $2\mu$; любые два подходящих параметра определяют остальные. Такое сокращение не применимо к кристаллу только потому, что кристалл мал или его деформация остаётся упругой. Оно является следствием изотропной симметрии.

Текстура и направленный модуль

Ориентацию кристалла обычно выражают через его кристаллографическое направление и плоскость относительно осей образца. В поликристаллическом листе функция распределения ориентаций показывает, как распределены ориентации зёрен. Текстура формируется, когда технологический процесс способствует определённым поворотам решётки, особенно при прокатке, рекристаллизации и последующем фазовом превращении.

Поэтому измеренный модуль растяжения в направлении прокатки не обязательно равен модулю в поперечном направлении или по толщине листа. Различие возникает в результате взвешенного ориентациями суммарного отклика зёрен, а не вследствие появления нового независимого «модуля Юнга в направлении прокатки», заменяющего исходный тензор жёсткости. Модель метода конечных элементов может учитывать такое поведение посредством задания анизотропного тензора жёсткости в материальных координатах либо посредством задания свойств кристаллов для множества ориентаций.

В низкоуглеродистой прокатанной стали, ферритной нержавеющей стали и листовом материале, подвергнутом фазовым превращениям, может возникать текстура вследствие деформации и рекристаллизации. В кованой стали вокруг оси поковки могут формироваться направленный поток зёрен и текстура. В литой стали распределение ориентаций часто более разнообразно, однако затвердевание всё же может приводить к образованию столбчатых зёрен, ликвации, градиентам фаз или преимущественным ориентациям. Ни один из этих технологических процессов не гарантирует ни изотропности, ни определённой степени анизотропии.

Аддитивно изготовленная сталь создаёт ещё одну проблему, связанную с ориентацией. Послойные термические циклы могут приводить к образованию столбчатых зёрен, ориентированных вдоль направления построения, тогда как стратегия сканирования, геометрия ванны расплава, повторный нагрев и термическая обработка изменяют распределение ориентаций и фазовый состав. Поэтому модуль, измеренный параллельно направлению построения, может отличаться от модуля, измеренного поперёк него. Вместе с указанным значением необходимо приводить направление, положение образца, термическую обработку, пористость и метод испытания.

Текстура также влияет на коэффициент Пуассона и модуль сдвига. Испытание на растяжение может давать отклик осевой деформации, тогда как резонансный метод выводит несколько динамических констант из форм колебаний. Стандарт ASTM E1875-20a устанавливает определение динамического модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона «методом звукового резонанса». Эти динамические значения не следует автоматически считать идентичными статическим значениям, полученным при медленном испытании на растяжение, особенно если на отклик влияют демпфирование, микротрещины, пористость, температура или частота.

Оценки квазиизотропных поликристаллов

Если ориентации зёрен достаточно беспорядочно распределены, различия между направлениями могут усредняться до малых значений на уровне образца. В этом случае инженеры описывают совокупность как квазиизотропную: она не является идеально изотропной в каждом зерне или локальном объёме, но для предполагаемого расчёта может быть адекватно представлена изотропными константами. Это слово имеет значение: оно обозначает приближение, а не утверждение, что вся кристаллографическая анизотропия исчезла.

Оценки свойств поликристалла можно получить из данных о жёсткости или податливости монокристалла с использованием оценок границ и схем усреднения. Оценка Фойгта предполагает однородную деформацию во всех зёрнах, а оценка Рейсса — однородное напряжение. Их прогнозы обычно различаются, поскольку ни одно из этих условий в точности не описывает каждую неоднородную совокупность. Оценка Хилла, которую обычно принимают за среднее арифметическое результатов Фойгта и Рейсса, часто используется как практическое промежуточное приближение. Для этих оценок необходимо задать симметрию кристалла, распределение ориентаций и фазовый состав.

Для квазиизотропной совокупности полученные значения $E$, $G$, $B$ и $\nu$ подчиняются известным соотношениям для изотропного материала:

$$E=2G(1+\nu ),$$

$$E=3B(1-2\nu ),$$

и

$$E=\frac{9\mathrm{BG}}{3B+G}.$$

Таким образом, после выбора двух независимых совокупных констант остальные выводятся из них. В справочной таблице может быть приведено приблизительное значение объёмного модуля нержавеющей стали, равное 163 GPa, как это сделал Engineering ToolBox в 2024 году, однако это значение является вторичной оценкой, а не универсальной величиной для любой марки нержавеющей стали, температуры, формы изделия, фазового соотношения или метода измерения.

Отчёт National Bureau of Standards об аустенитной стали Fe-5Cr-26Mn непосредственно иллюстрирует проблему измерений: упругие константы определялись в диапазоне 76–400 K по скоростям продольных и поперечных звуковых волн. Температура изменяет параметры решётки, стабильность фаз, подвижность дефектов и скорость распространения волн, поэтому полученные константы описывают заданные условия испытания. Для расчёта конструкции квазиизотропный набор может быть подходящим для литого или отожжённого изделия со слабой текстурой. Для сильно прокатанного листа, кованой детали, сварного соединения или изделия, изготовленного аддитивным методом, вместо этого могут потребоваться направленные данные. Поэтому правильный модуль — это не просто число, закреплённое за маркой стали; это значение, соответствующее виду деформации, ориентации, температуре, микроструктуре и методу испытания.

Как измеряют упругие константы стали

Упругие константы стали измеряют либо по зависимости «сила–перемещение», либо по распространению и резонансу механических волн. Эти подходы не всегда дают одинаковое численное значение модуля. При испытании на растяжение регистрируется почти статический наклон при определённой скорости нагружения, тогда как звуковые и ультразвуковые методы измеряют высокочастотный отклик малой амплитуды. На результат могут влиять температура, структура зёрен, кристаллографическая текстура, пористость, фазовый состав, остаточные напряжения, геометрия образца и определение измеряемой моды.

Для изотропного линейно-упругого твёрдого тела независимыми являются только две упругие константы. Модуль Юнга $E$, модуль сдвига $G$, объёмный модуль $K$ или $B$, коэффициент Пуассона $\nu$, первый параметр Ламе $\lambda$ и $2\mu$ описывают взаимосвязанные аспекты одной и той же определяющей зависимости; Sandia National Laboratories приводит этот набор и указывает, что $E$ и $\nu$ определяют остальные величины. Поэтому метод измерения имеет значение, даже если сообщаемые величины носят знакомые названия. Модуль Юнга описывает осевое удлинение, объёмный модуль — изменение объёма под действием гидростатического давления, а модуль сдвига — угловую деформацию.

Механические методы растяжения и сжатия

Традиционный метод растяжения позволяет определить статический или квазистатический модуль Юнга по наклону начального линейного участка кривой «напряжение–деформация»:

$$E=\frac{d\sigma }{d\epsilon }.$$

Обработанный стальной образец нагружают растяжением, а экстензометр, тензодатчик или оптическая система измеряет осевую деформацию. Рабочий наклон определяют до начала пластичности, деформации Людерса, образования трещин или другого нелинейного поведения. Выбранный интервал деформаций должен быть указан, поскольку небольшие отклонения от линейности, податливость испытательной машины, эффекты посадки и ограничения разрешения по деформации могут изменить аппроксимированное значение.

Испытание на растяжение также позволяет определить коэффициент Пуассона путём измерения поперечной деформации, возникающей одновременно с осевой:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}.$$

Осевые и поперечные измерения должны быть синхронизированы и проводиться в одном и том же упругом интервале. Если $E$ и $\nu$ известны, изотропные соотношения дают

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

и

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Эти расчётные значения не являются отдельными измерениями жёсткости при сдвиге или объёмной деформации. Они наследуют зависимость от температуры, скорости деформации, текстуры и направления испытания, присущую исходным данным испытания на растяжение.

Испытание на сжатие даёт ещё один способ определения осевого модуля, однако вносит иные погрешности. Образец должен быть достаточно коротким, чтобы избежать потери устойчивости, но достаточно длинным для получения измеримого перемещения. Торцевое трение может ограничивать поперечное расширение и приводить к бочкообразной форме образца, поэтому измеренный наклон зависимости «сила–перемещение» может включать влияние трения и несоосности плит. Имеют значение смазка, параллельность торцов, качество поверхности, жёсткость плит и отношение высоты образца к его диаметру. Экстензометры или датчики перемещения должны измерять деформацию на базе образца, а не только перемещение траверсы.

Гидростатическое сжатие концептуально ближе к прямому измерению объёмного модуля, поскольку давление прикладывается во всех направлениях, а изменение объёма отслеживается:

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Таково термодинамическое определение, приведённое National Institute of Standards and Technology в 1982 году. Обычное одноосное сжатие не является гидростатическим; оно сочетает осевую и поперечную деформации и поэтому не измеряет $K$ напрямую. Для прямого определения объёмного модуля необходимы барокамеры, точное измерение объёма или деформации, калибровка давления и контроль температуры. При характеристике большинства конструкционных сталей $K$ вместо этого рассчитывают по независимо измеренным $E$ и $\nu$ либо получают из скоростей распространения звука.

Статические механические наклоны особенно чувствительны к скорости испытания и состоянию образца. Результат испытания отполированного снятого с остаточных напряжений прутка при комнатной температуре не может автоматически считаться модулем текстурированной катаной плиты, сварного металла или двухфазного термообработанного материала. В кубическом монокристалле жёсткость зависит от кристаллографического направления. Поликристаллический агрегат может демонстрировать квазиизотропные свойства при случайной ориентации зёрен, однако текстура, возникающая при прокатке или затвердевании, способна сохранять зависимость модулей от направления.

Акустический резонанс по ASTM E1875-20a

ASTM E1875-20a — это обозначенный стандарт для определения динамического модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона «методом акустического резонанса». Вместо измерения длительного, медленно изменяющегося наклона зависимости «сила–деформация» метод возбуждает образец и определяет его собственные резонансные частоты. Резонансная частота зависит от упругой жёсткости, массовой плотности, размеров образца и формы колебательной моды.

Образец устанавливают способом, приближающимся к условию свободной границы; обычно опоры размещают вблизи узловых областей, чтобы они отводили как можно меньше колебательной энергии. Возбудитель создаёт вибрацию, а микрофон, акселерометр, лазерный прибор или другой детектор регистрирует отклик. Резонансную частоту определяют по резкому максимуму амплитуды, изменению фазы или пику частотной характеристики. Измеренную частоту необходимо отнести к правильной изгибной, крутильной или продольной моде; смешение соседних мод может дать правдоподобное, но ошибочное значение модуля.

Поэтому длина, ширина, толщина и масса образца, а также его плотность являются основными исходными данными. Если тепловое расширение существенно, размеры следует измерять при температуре испытания либо корректировать размеры, измеренные при комнатной температуре, с использованием подходящего коэффициента расширения. Плотность должна соответствовать фактическому образцу, а не принятому из справочника значению, особенно в случае литой стали, пористого материала, дисперсных включений или многофазной микроструктуры. ASTM E1875-20a учитывает геометрию образца и уравнения резонанса, а не рассматривает каждый образец как бесконечный стержень. На рассчитанные динамические константы влияют граничные условия, положение опор, отношение размеров, затухание и геометрические поправки.

Крутильный резонанс в первую очередь даёт информацию о сдвиге, тогда как изгибный или продольный резонанс даёт модуль, связанный с осевой жёсткостью. Совместное использование динамических значений $E$ и $G$ позволяет рассчитать

$$\nu =\frac{E}{2G}-1,$$

если применимо допущение об изотропности и линейной упругости. Полученный коэффициент Пуассона является динамическим значением при частоте испытания. Его не следует представлять как универсальную константу марки, не зависящую от частоты или температуры.

Контроль температуры является частью измерения, а не второстепенной процедурой. Печь или климатическая камера должны довести образец до стабильной, известной температуры, а при определении резонанса необходимо учитывать тепловое расширение, изменение плотности и температурную зависимость жёсткости. Частота, измеренная во время продолжающегося нагрева образца, не характеризует однозначно определённое упругое состояние. Граничные условия также меняются с температурой, если опоры расширяются, размягчаются, проскальзывают или изменяют контактное давление.

Продольные и поперечные скорости звука

Ультразвуковые измерения позволяют определять упругие константы по скоростям распространения волн. Продольная волна вызывает движение частиц параллельно направлению распространения; поперечная, или сдвиговая, волна — движение частиц перпендикулярно ему. Для однородного изотропного твёрдого тела с плотностью $\rho$ идеальные соотношения имеют вид

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}$$

и

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}.$$

Следовательно,

$$G=\rho v_T^2,$$

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_T^2),$$

и

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Затем коэффициент Пуассона можно получить из $E$ и $G$ либо непосредственно из отношения скоростей при том же допущении об изотропности. Эти уравнения просты, однако сами измерения таковыми не являются. Расстояние прохождения должно быть известно с высокой точностью, эхосигналы необходимо правильно идентифицировать, а преобразователь должен возбуждать и регистрировать требуемую поляризацию. Кажущийся приход продольной волны может включать преобразование мод, поверхностные волны, отражения или дисперсию.

В отчёте National Bureau of Standards, опубликованном в 1981 году, скорости звука для продольной и поперечной мод использовались для определения упругих констант аустенитной стали Fe-5Cr-26Mn в диапазоне 76–400 K. Этот температурный диапазон имеет важное значение: он показывает, что упругие константы являются функциями теплового состояния, а не фиксированными характеристиками, навсегда связанными с обозначением сплава. Методика отчёта основывалась на контролируемой температуре, известной плотности, заданной геометрии образца и надёжной идентификации обеих волновых мод. Применение уравнений для комнатной температуры при криогенной или повышенной температуре без обновления этих параметров скрыло бы фактическую температурную зависимость.

«Инженерный справочник» приводит приблизительный объёмный модуль нержавеющей стали, равный 163 GPa. Limited evidence

Та же осторожность необходима и в отношении справочных инженерных таблиц. Engineering ToolBox приводит приблизительный объёмный модуль нержавеющей стали, равный 163 GPa, однако это значение из вторичного справочного источника, а не универсальная величина для любой марки нержавеющей стали, формы изделия, текстуры, фазового соотношения, температуры или метода испытания. Измеренное динамическое значение для аустенитной Fe-5Cr-26Mn, статическое значение, полученное при испытании на растяжение образца из ферритной марки, и расчётное значение, выведенное из $E$ и $\nu$, отвечают на разные экспериментальные вопросы. Поэтому указание метода, размеров образца, плотности, температуры, резонансной или волновой моды и граничных условий столь же важно, как и указание самого модуля.

Влияние температуры, фазового состава, состава и обработки

Упругие константы стали не являются неизменными обозначениями, навсегда закреплёнными за определённой маркой. Они описывают состояние материала, вид деформации и условия измерения. Температура, фазовый состав, химический состав, кристаллографическая текстура, пористость, включения, остаточные напряжения и термическая история могут изменять измеряемый отклик. Прочность при переходе через превращение или в результате отпуска может измениться на сотни процентов, тогда как модуль Юнга изменяется в значительно меньшей степени, однако «меньшая» не означает пренебрежимо малая при точном анализе.

Для изотропного линейно-упругого твёрдого тела независимыми являются только две упругие константы. Модуль Юнга $E$, модуль сдвига $G$, объёмный модуль $K$ или $B$, коэффициент Пуассона $\nu$, первый параметр Ламе $\lambda$ и $2\mu$ связаны между собой, как описано в труде Springer Elasticity of Solids и документации Sierra Национальных лабораторий Sandia. Если температура или микроструктура изменяет одну независимую константу, остальные константы, рассчитанные на её основе, должны быть согласованно скорректированы. Поэтому для приведённого значения модуля необходимо указывать температуру, состояние изделия, направление и метод испытания.

Температурная зависимость упругих констант

Упругая жёсткость обычно уменьшается с повышением температуры. Атомные колебания усиливаются, межатомные связи становятся менее устойчивыми к малым смещениям, а тепловое расширение изменяет равновесное расстояние между атомами. В пределах одной фазы этот эффект часто развивается постепенно, хотя магнитные переходы, возврат, рекристаллизация и фазовые превращения могут вызывать более резкие изменения. Вблизи температуры превращения одно значение, измеренное при комнатной температуре, особенно плохо подходит в качестве замены температурно-зависимой модели материала.

Отчёт Национального бюро стандартов по аустенитной стали Fe-5Cr-26Mn представляет полезный пример. Опубликованный в 1981 году, он определял упругие константы в диапазоне от 76 до 400 K по скоростям распространения продольных и поперечных звуковых волн. Это динамический метод измерения: скорости волн дают значения продольной и сдвиговой жёсткости, на основе которых можно рассчитать связанные с ними константы. Результат показывает, что даже аустенитная сталь, сохранявшаяся в течение всего интервала испытаний, не обладает единственным, не зависящим от температуры набором упругих констант. Температурный интервал простирается от криогенных условий до температур выше комнатной, поэтому измеренные значения описывают кривую, а не единственное свойство определённой марки.

Здесь важно различать прочность и жёсткость. Предел текучести может значительно возрастать при низкой температуре, поскольку движение дислокаций становится более затруднённым, тогда как наклон упругого участка изменяется менее резко. И наоборот, небольшое изменение $E$ может повлиять на расчётный прогиб, нагрузку потери устойчивости, контактное давление или распределение термических напряжений. Пластическая прочность и упругая жёсткость отвечают на разные вопросы. Сталь может стать значительно прочнее, не став пропорционально более жёсткой.

Динамические и статические испытания также могут давать разные приведённые значения. Стандарт ASTM E1875-20a устанавливает определение динамического модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона методом акустического резонанса. Резонансные испытания проводятся при малой деформации и высокой частоте, тогда как при испытании на растяжение получают статический или квазистатический наклон на заданном интервале деформации. На сопоставление результатов могут влиять микропластичность, неупругость, податливость измерительной системы, геометрия образца, состояние поверхности и частота. Ни один из результатов не следует считать универсально взаимозаменяемым с другим.

Объёмный модуль имеет особый физический смысл: он характеризует сопротивление объёмному сжатию. NIST определяет его термодинамически как $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$. Engineering ToolBox приводит приблизительное значение объёмного модуля 163 GPa для нержавеющей стали, однако это значение представляет собой вторичную справочную оценку, а не универсальную величину для любой марки нержавеющей стали, температуры, формы изделия, фазового состава или условия испытания. Такая же осторожность необходима при использовании табличных значений $E$, $G$ и $\nu$.

Аустенит, феррит, мартенсит и многофазные стали

Фазовый состав влияет на упругий отклик, поскольку каждая фаза обладает собственной кристаллической структурой, химическим составом, параметром решётки, магнитным состоянием, совокупностью дефектов и тензором жёсткости монокристалла. Феррит имеет объёмно-центрированную кубическую структуру, аустенит — гранецентрированную кубическую структуру, а мартенсит обычно имеет объёмно-центрированную тетрагональную структуру либо сильно искажённую объёмно-центрированную структуру, если углерод создаёт заметную тетрагональность. Эти обозначения не определяют единственного значения модуля. Содержание углерода, легирование замещения, упорядочение, плотность дислокаций и остаточные дефекты изменяют жёсткость каждой фазы.

Аустенитные стали наглядно показывают, почему нельзя приписывать им обобщённый «модуль аустенита». Исследование Fe-5Cr-26Mn посвящено конкретному химическому составу и определённому температурному диапазону, а не каждому сплаву Fe-Cr-Mn и не каждой стали, описываемой как аустенитная. Марганец и хром влияют на стабильность решётки и магнитное поведение, а температура может изменять магнитный порядок даже при сохранении аустенитной кристаллической структуры. Такие изменения влияют на межатомные силы и, следовательно, на упругие константы.

Для ферритных сталей может наблюдаться температурно-зависимое упругое поведение, связанное с их ферромагнитным состоянием и переходом к парамагнетизму. Это изменение не обязательно совпадает с видимым фазовым превращением. Мартенситные стали добавляют ещё один фактор: закалка создаёт пересыщение, высокую плотность дислокаций, внутренние напряжения и часто углеродозависимую тетрагональность. Затем при отпуске происходят выделение карбидов, возврат и перераспределение углерода. Поэтому упругий отклик, измеренный после отпуска, не является просто откликом идеального кристалла мартенсита.

Для многофазных сталей необходимо использовать интерпретацию через эффективные свойства. В феррито-мартенситных, двухфазных, бейнитных сталях или сталях с остаточным аустенитом кажущийся модуль отражает объёмные доли фаз, связанность фаз, кристаллографическую ориентацию, границы раздела, пористость, а также направление и масштаб испытательного объёма. Оценка по правилу смесей может дать первое приближение, однако локальное стеснение деформации означает, что не все фазы воспринимают одинаковые деформации или напряжения. Жёсткая мартенситная область, расположенная в феррите, может изменять измеряемый наклон за счёт передачи нагрузки, тогда как остаточный аустенит способен превращаться во время нагружения, из-за чего отклик отклоняется от линейной упругости.

На уровне монокристалла кубические и гексагональные кристаллы обладают зависящей от направления жёсткостью. Поликристаллическая сталь приближается к изотропной только тогда, когда ориентации зёрен достаточно случайны и образец содержит достаточно большое число зёрен для усреднения. В прокате, ленте и прутке может сохраняться текстура, приводящая к различным модулям в продольном, поперечном направлениях и направлении по толщине. В таком случае принудительное введение в расчёт одного изотропного $E$ и одного изотропного $G$ может скрыть реальный направленный отклик.

Литьё, прокатка, термическая обработка и остаточные напряжения

Обработка изменяет как собственные свойства фаз, так и эффективную жёсткость изготовленного тела. В литой стали могут присутствовать усадочная пористость, газовые поры, оксидные плёнки, ликвация, дендритная структура, включения, а также крупные или неоднородные зёрна. Даже небольшая объёмная доля связанной пористости может снизить эффективный модуль сильнее, чем предполагает справочное значение для полностью плотной стали. Включения могут быть более жёсткими или более податливыми по сравнению с матрицей, а плохо связанные включения при динамическом или статическом испытании действуют как концентраторы напряжений или трещиноподобные дефекты.

Прокатка измельчает и вытягивает зёрна, разрушает литую структуру и формирует кристаллографическую текстуру. Возникающая упругая анизотропия для одних изделий может быть небольшой, а для других — существенной. Важны режим обжатия, температура прокатки, рекристаллизация и конечная толщина. Модуль, измеренный вдоль направления прокатки, не следует автоматически приписывать поперечному направлению или направлению по нормали.

Термическая обработка изменяет объёмные доли фаз, размер зёрен, плотность дислокаций, выделения, морфологию карбидов и остаточные напряжения. Нормализация может измельчать феррито-перлитную структуру; закалка может создавать мартенсит и остаточные напряжения; отпуск снижает часть этих напряжений, одновременно изменяя процессы выделения и возврата. Отжиг может уменьшать плотность дислокаций и эффекты, связанные с текстурой, за счёт рекристаллизации. Эти обработки способны существенно изменять предел текучести и вязкость разрушения, оставляя модуль при малых деформациях сравнительно близким к исходному значению, хотя измеряемый эффективный модуль всё же может измениться из-за дефектов, фазовых превращений или текстуры.

Остаточные напряжения заслуживают отдельного рассмотрения. Самоуравновешенное поле напряжений не обязательно изменяет идеальный касательный модуль бездефектного однородного линейно-упругого кристалла. Однако оно может изменить то, что фиксирует эксперимент. Остаточные напряжения влияют на распространение волн, кривизну образца, условия контакта, смыкание трещин и начало микропластичности. При испытании на растяжение на кажущийся начальный наклон могут влиять выпрямление, соосность захватов, перераспределение напряжений или неполное удаление напряжений, возникших при механической обработке. При резонансных испытаниях напряжения и анизотропия могут смещать собственные частоты.

Следовательно, обоснованное утверждение о модуле стали должно указывать фазовое состояние, термическое состояние, направление в изделии, состояние плотности или дефектности и метод измерения. Это число является свойством определённого состояния, а не постоянной характеристикой марки, сохраняющейся навсегда.

Обозначения марок стали и ответственные таблицы свойств

Обозначение стали указывает на состав, класс продукции или требование спецификации; само по себе оно не содержит полной совокупности данных об упругих свойствах. «Нержавеющая сталь 304», «AISI 1045» и «ASTM A572 Grade 50» являются полезными ссылками на материал, однако ни одно из этих обозначений само по себе не указывает форму изделия, историю термической обработки, кристаллографическую текстуру, температуру испытания или метод, использованный для определения модуля упругости.

Это различие существенно, поскольку изотропная линейная упругость определяется только двумя независимыми константами. В инженерной практике обычно приводят модуль Юнга $E$, коэффициент Пуассона $\nu$, объёмный модуль $K$ или $B$, модуль сдвига $G$, первый параметр Ламе $\lambda$ и $2\mu$. Национальные лаборатории Sandia указывают, что при применимости изотропных соотношений по $E$ и $\nu$ можно определить остальные константы. OpenStax приписывает основным модулям различные физические смыслы: $E$ описывает растяжение или одноосное нагружение, $K$ — объёмное сжатие, а $G$ — деформацию сдвига. Поэтому таблица, в которой без объяснения источника представлены четыре якобы независимых числа, может создавать впечатление точности или независимости, которыми используемая модель материала фактически не обладает.

Аустенитные, ферритные, мартенситные и дисперсионно-твердеющие нержавеющие стали

Названия семейств нержавеющих сталей описывают металлургическую структуру, а не единое универсальное упругое поведение. Аустенитные марки, такие как Type 304, Type 304L, Type 316 и Type 316L, в стандартах ASTM на продукцию обычно обозначаются соответствующим обозначением «Type» и, если применимо, номерами UNS, например UNS S30400, UNS S30403, UNS S31600 и UNS S31603. Обозначение необходимо воспроизводить в том виде, в каком оно приведено в соответствующем стандарте. Обозначение «304L stainless» не следует без пояснений заменять на «304», поскольку у низкоуглеродистой марки иное требование к составу и для неё могут применяться другие режимы обработки.

К ферритным маркам относятся Type 430 и Type 409, а к мартенситным — Type 410, Type 420 и Type 440C. Эти обозначения относятся к семействам, различающимся стабильностью фаз, содержанием углерода, легирующими добавками, способностью к упрочнению и магнитными свойствами. На их упругие свойства могут влиять холодная деформация, отжиг, закалка, отпуск, содержание остаточного аустенита, распределение карбидов и направление измерения. Кованое или прокатанное изделие может вести себя иначе, чем литое изделие с аналогичным химическим обозначением.

Для дисперсионно-твердеющих нержавеющих сталей требуется ещё большая осторожность. 17-4 PH — широко используемое обозначение, однако в спецификации материал может быть указан как UNS S17400 с определением состояний, таких как H900, H1025 или H1150. Эти обозначения характеризуют состояния после термической обработки и не являются взаимозаменяемыми названиями марок. Таблица свойств, в которой приведён «модуль 17-4 PH» без указания состояния, не содержит существенной части описания материала. Матрица, состояние выделений, остаточные напряжения и предшествующая деформация могут различаться в разных состояниях, даже если номинальное обозначение сплава остаётся неизменным.

В справочнике ASM Steel Castings Handbook модуль упругости, коэффициент Пуассона, модуль сдвига и связанные с ними физические свойства рассматриваются как данные для стальных отливок. Это важное уточнение: таблица для литой стали описывает определённый литейный материал и основу испытаний, а не любое кованое, сварное, аддитивно изготовленное или термически обработанное изделие с похожим химическим составом. В отливках могут присутствовать ликвация, пористость, включения и локальная неоднородность микроструктуры, влияющие на измеренные результаты и их разброс.

Не следует также использовать обозначения семейств нержавеющих сталей для присвоения одного точного значения модуля. В качестве приблизительного справочного вторичного значения в Engineering ToolBox приводится 163 GPa для нержавеющей стали, однако это число не является универсальным значением для каждой марки нержавеющей стали, температуры, формы изделия или условий испытания. Это ориентировочная оценка, а не замена паспорту материала, составленному в соответствии с конкретным стандартом, или результату измерения.

Обозначения углеродистых и низколегированных сталей

Углеродистые и низколегированные стали также требуют точного использования обозначений. AISI/SAE 1045 обозначает углеродистую сталь в системе нумерации SAE/AISI; это не то же самое обозначение, что ASTM A36, являющееся спецификацией на конструкционную сталь. ASTM A572 Grade 50 обозначает марку в рамках ASTM A572/A572M, тогда как AISI/SAE 4130 обозначает состав хромомолибденовой легированной стали. Эти обозначения не следует объединять в неофициальные формы, такие как «4130-grade A572», если такая формулировка прямо не поддерживается нормативной спецификацией.

Европейские обозначения дают ещё один пример. S355J2 и S355JR — обозначения, используемые в рамках EN 10025-2, причём суффиксы указывают определённые требования к ударным испытаниям или состоянию поставки. Это не просто альтернативные названия для ASTM A572 Grade 50. Химическое сходство не устанавливает эквивалентность требований спецификаций, размеров продукции, правил контроля или данных об упругих свойствах.

В таблице также следует отличать обозначение состава от состояния поставки. AISI/SAE 4140 может поставляться после отжига, нормализации и отпуска, закалки и отпуска, ковки или в другом установленном состоянии. На лист, пруток и фасонные профили из ASTM A36 распространяется спецификация на продукцию, однако их измеренное поведение всё равно может зависеть от толщины, направления прокатки, остаточных напряжений и метода испытания. Номинальная марка устанавливает пределы или требования, но не устраняет влияние истории изготовления.

Та же осторожность необходима в отношении обозначений «мягкая сталь», «инструментальная сталь», «высокопрочная низколегированная сталь» и подобных описаний семейств. Это широкие категории, а не полные обозначения марок. Ответственная таблица должна содержать номер стандарта, марку или тип, редакцию при необходимости, обозначение UNS или AISI/SAE, если оно применимо, форму изделия и состояние после термической обработки. Если обозначение является внутренним наименованием компании, это следует явно указать, а не представлять его как обозначение ASTM, ASME, SAE, AISI, EN или UNS.

Почему стандарты и спецификации на продукцию должны сопровождать числовые значения

Значения упругих свойств имеют смысл только в контексте их измерения. Как минимум, в таблице следует указать:

• форму изделия: лист, тонкий лист, пруток, трубу, проволоку, поковку, металл сварного шва, деталь, изготовленную методом порошковой технологии, или отливку;
• термическую обработку и состояние, включая отпуск, старение, обработку на твёрдый раствор или состояние после дисперсионного твердения;
• направление испытания относительно направления прокатки, ковки, экструзии или построения;
• температуру и условия окружающей среды;
• скорость нагружения или частоту;
• геометрию образца и соответствующие размеры;
• стандарт испытания и его редакцию;
• является ли результат статическим, квазистатическим или динамическим;
• число образцов, диапазон, среднее значение и разброс, если эти данные доступны.

Статические и динамические модули не являются автоматически взаимозаменяемыми. ASTM E1875-20a устанавливает определение динамического модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона «методом звукового резонанса». При резонансных измерениях используются распространение волн и частота колебаний, тогда как при испытании на растяжение наклон может определяться по кривой «напряжение–деформация» при заданной скорости нагружения. Оба метода относятся к упругому отклику, однако они могут давать разные приведённые значения из-за различий в частоте, затухании, микроструктурных дефектах, измерительной аппаратуре и процедурах обработки данных.

Температуру необходимо указывать, особенно при криогенных испытаниях или работе при повышенных температурах. В отчёте Национального бюро стандартов США за 1981 год приведены измеренные упругие константы для Fe-5Cr-26Mn austenitic steel в диапазоне 76–400 K, полученные с использованием скоростей звука для продольных и поперечных мод. Этот диапазон демонстрирует, почему значение для комнатной температуры нельзя без оговорок переносить в таблицу для криогенного проектирования. Текстура и кристаллическая анизотропия создают ещё одну проблему: в главе справочника NIST, посвящённой упругим константам монокристаллов, объясняется, как из данных о жёсткости монокристалла можно получить квази-изотропные значения $E$, $G$, $B$, продольного модуля и $\nu$ для поликристаллического материала, однако такие расчёты зависят от симметрии кристалла, распределения ориентаций и допущений, используемых при усреднении.

Для изотропных расчётов достаточно одной тщательно идентифицированной пары констант; остальные следует рассчитывать по указанным уравнениям или проверять на согласованность. Для анизотропной прокатанной, кованой, текстурированной, сварной или аддитивно изготовленной стали один скалярный модуль может быть лишь приближением, а не полным конститутивным описанием. Стандарты и спецификации на продукцию не позволяют таблице скрывать это ограничение. Они связывают каждое число с определёнными материалом, состоянием, направлением, температурой и методом — то есть с информацией, необходимой для ответственного использования значения в расчётах конструкции.

Применение в проектировании: выбор правильного соотношения между модулями

Упругий модуль относится к определённому виду деформации. Модуль Юнга $E$ описывает нормальную деформацию, возникающую под действием одноосного напряжения; модуль сдвига $G$ описывает изменение формы при практически постоянном объёме; объёмный модуль $K$, также обозначаемый как $B$, описывает сопротивление равномерному сжатию. Коэффициент Пуассона $\nu$ связывает нормальную и поперечную деформации. Эти величины связаны между собой, однако они не являются взаимозаменяемыми лишь потому, что все выражаются в гигапаскалях или обычно приводятся вместе для стали.

Для однородного линейного изотропного твёрдого тела независимыми являются только две упругие константы. Springer прямо указывает это в работе Elasticity of Solids, посвящённой изотропной упругости и опубликованной в 2020 году. Sandia National Laboratories приводит соответствующий набор параметров: модуль Юнга $E$, коэффициент Пуассона $\nu$, объёмный модуль $K$, модуль сдвига $G$, первый параметр Ламе $\lambda$ и $2\mu$, причём $E$ и $\nu$ определяют остальные величины. Поэтому уравнения пересчёта представляют собой условные соотношения, а не независимые измерения шести несвязанных свойств материала:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$$

и

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Условия применимости имеют значение. Эти уравнения действительны для малых деформаций, линейно-упругого отклика и изотропного поведения. Стальная плита с текстурой прокатки, зона термического влияния сварного шва, литое изделие с направленной кристаллизацией или двухфазная микроструктура могут недостаточно точно соответствовать изотропному приближению, чтобы одно пересчитанное значение описывало все направления нагружения.

Одноосные элементы и $E$

Для прямого растягиваемого или сжимаемого элемента, тяги, стержня или участка стройной балки, находящегося под действием осевой силы, основным модулем является $E$. Базовое соотношение имеет вид

$$\sigma =E\epsilon ,$$

поэтому упругое удлинение призматического элемента определяется как

$$\delta =\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AE}},$$

где $P$ — осевая сила, $L$ — первоначальная длина, а $A$ — площадь поперечного сечения. Это правильная исходная формула для оценки упругого удлинения, укорочения и осевой жёсткости $\mathrm{AE}/L$.

Коэффициент Пуассона необходимо учитывать, когда важны поперечное сжатие или многоосное стеснение деформации. Свободно растягиваемый стальной стержень сжимается в поперечном направлении согласно соотношению

$${\epsilon }_{\text{transverse}}=-\nu {\epsilon }_{\text{axial}}.$$

Однако для полностью стеснённого образца осевой отклик нельзя описывать только величиной $E$. Поперечная деформация не может развиваться, поэтому напряжённое состояние становится трёхмерным, а кажущаяся жёсткость возрастает. Конечно-элементная модель соединённой вставки, зажатой шайбы или прессовой посадки должна учитывать это взаимное влияние, а не рассматривать компонент как изолированный одномерный стержень.

Используемое значение $E$ также должно соответствовать условиям измерения и эксплуатации. Наклон кривой при статическом испытании на растяжение, динамический модуль, определённый резонансным методом, и модуль, рассчитанный по скорости ультразвука, могут различаться из-за частоты, температуры, геометрии образца, пористости, остаточных напряжений и дефектов. ASTM E1875-20a устанавливает определение динамического модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона «методом акустического резонанса». Этот метод не обеспечивает автоматически то же значение, что и медленное испытание на растяжение при расчётной температуре.

Сталь не является одним и тем же упругим материалом при любых металлургических состояниях. Ферритные, мартенситные, бейнитные и аустенитные структуры могут различаться, а текстура способна вызывать различный отклик в направлении прокатки и поперечном направлении. В отчёте National Bureau of Standards по аустенитной стали Fe-5Cr-26Mn упругие константы определялись по скоростям продольных и поперечных акустических волн в диапазоне 76–400 K. Этот диапазон температур напоминает о том, что упругую константу, измеренную вблизи комнатной температуры, не следует считать независимой от температуры характеристикой при криогенной эксплуатации или эксплуатации при повышенных температурах.

Кручение и $G$

При упругом кручении круглого вала модуль $G$ определяет угол закручивания:

$$\theta =\frac{\mathrm{TL}}{\mathrm{JG}},$$

где $T$ — крутящий момент, $J$ — полярный момент инерции площади, а $L$ — длина вала. Жёсткость при кручении равна $\mathrm{JG}/L$. Соответствующее касательное напряжение в круглом валу определяется как

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

Прямое использование $E$ в этом расчёте приводит к неправильной жёсткости, если предварительно не выполнить пересчёт с использованием обоснованного значения $\nu$. Для изотропной стали

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Такой пересчёт полезен, когда доступны только $E$ и $\nu$, однако он не превращает измерение при растяжении в прямое измерение при кручении. Материал может демонстрировать зависящий от направления отклик при сдвиге, даже если усреднённый модуль при растяжении представляется приемлемым.

Это различие становится важным для тонкостенных труб, шлицевых соединений, сварных валов и деталей с анизотропией, обусловленной технологией изготовления. В общем случае кручение может вызывать коробление и неоднородное распределение касательных напряжений, поэтому уравнение Сен-Венана для круглого вала может оказаться недостаточным. Материальный параметр по-прежнему должен характеризовать поведение при сдвиге, однако расчёт сечения обязан учитывать фактическую геометрию.

Динамические данные по сдвигу требуют такой же осторожности. Резонансные методы измеряют отклик при определённой частоте и малой амплитуде деформации. Значение, рассчитанное по акустическому испытанию, может подходить для анализа вибраций или распространения волн, но не совпадать с секущей или касательной жёсткостью, используемой в медленном расчёте конструкции под нагрузкой. Обозначение «динамический» — не второстепенная характеристика; оно указывает на другие экспериментальные условия.

Гидростатические, контактные и волновые задачи

Для описания объёмной деформации используется объёмный модуль $K$ или $B$. При гидростатическом давлении изменение давления связано с изменением объёма соотношением

$$K=B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

которое представляет собой термодинамическое определение, приведённое National Institute of Standards and Technology в 1982 году. Высокое значение $K$ означает, что значительное давление вызывает лишь небольшое относительное изменение объёма. Это отличается от сопротивления изменению формы, которое в основном определяется модулем $G$.

Engineering ToolBox приводит приблизительное значение объёмного модуля нержавеющей стали, равное 163 ГПа. Это значение можно использовать как справочную оценку второго уровня, но не как универсальную характеристику для любой марки нержавеющей стали, температуры, формы изделия, фазового состава или метода испытания. Поскольку $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$, небольшие ошибки в $\nu$ могут привести к заметному изменению расчётного объёмного модуля, когда $\nu$ приближается к 0,5.

Контактные расчёты требуют учёта как нормального, так и тангенциального поведения. В контакте Герца эффективный нормальный модуль для двух тел обычно записывается в виде

\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}. \]

Здесь локальное упругое вдавливание определяется \(E^*\), а не одним лишь $E$ для конкретной марки стали. Трение при скольжении и тангенциальные контактные напряжения также вводят в расчёт $G$ и $\nu$. Модель, в которой вместо \(E^*\) подставлен $K$, может оставаться математически устойчивой и давать плавные распределения контактного давления, но при этом описывать неправильный механизм деформации.

В волновых задачах используется ещё одна комбинация параметров. Для изотропного твёрдого тела продольный волновой модуль равен

$$M=K+\frac{4G}{3},$$

а скорости продольной и сдвиговой волн определяются как

\[ v_L=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}}, \qquad v_S=\sqrt{\frac{G}{\rho}}. \]

Таким образом, одной только скорости продольной волны недостаточно для определения всех упругих констант; для разделения $K$ и $G$ необходимо измерение поперечной волны. В монокристалле или текстурированном поликристалле скорость волны также зависит от направления распространения и поляризации, поэтому изотропные формулы могут скрывать реальную упругую анизотропию.

В трёхмерных конечно-элементных постановках обычно используются $E$ и $\nu$, $K$ и $G$ либо параметры Ламе $\lambda$ и $\mu$. Выбор является математическим и не означает изменения физического материала. Однако вблизи несжимаемости постановка через $E$ и $\nu$, где $\nu$ близок к 0,5, может приводить к объёмному запиранию, тогда как смешанная постановка с использованием давления и девиаторного отклика может работать лучше. И наоборот, независимая подстановка округлённых значений $E$, $G$ и $K$ может нарушить изотропные уравнения пересчёта и создать внутренне противоречивую матрицу жёсткости.

В этом заключается основной проектный риск: пересчитанная константа может быть численно согласована с уравнением, но физически не подходить для рассматриваемой задачи, температуры, частоты, направления или микроструктуры моделируемой стали. Сначала выбирайте модуль по виду деформации, а затем проверяйте, соответствуют ли условия его измерения и допущения об изотропии компоненту и выполняемому анализу.

Распространенные ошибки при расчетах модулей упругости стали

Расчеты модулей упругости стали часто оказываются ошибочными, поскольку величины, имеющие разный физический смысл, рассматриваются как взаимозаменяемые. Модуль Юнга $E$, модуль сдвига $G$, объемный модуль $K$ или $B$, а также коэффициент Пуассона $\nu$ описывают упругую деформацию. Предел текучести характеризует начало существенной остаточной деформации. Эти величины относятся к разным частям модели материала.

Для изотропного линейно-упругого твердого тела независимыми являются только две упругие константы. В главе Springer Упругость твердых тел (2020) это утверждение приведено непосредственно. Sandia National Laboratories перечисляет взаимосвязанный набор величин: модуль Юнга $E$, коэффициент Пуассона $\nu$, объемный модуль $K$, модуль сдвига $G$, первый параметр Ламе $\lambda$ и $2\mu$; задание $E$ и $\nu$ определяет остальные величины. Обычно используются следующие соотношения:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

и

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Эти уравнения не являются независимыми экспериментальными фактами. Они следуют из допущения об изотропности и линейной упругости. Их применение требует совместимых значений, согласованных единиц измерения и такого состояния материала, для которого изотропность является приемлемым приближением.

Смешение модуля упругости с пределом текучести

Наиболее устойчивой ошибкой является утверждение, что высокопрочная сталь является «более жесткой» только потому, что ее предел текучести выше. Предел текучести характеризует напряжение, при котором начинается пластическая деформация согласно заданному критерию, часто — при условной деформации, например 0,2 %. Модуль Юнга характеризует наклон упругой зависимости «напряжение–деформация» до перехода к пластическому состоянию. Термическая обработка, режим холодной деформации, выделительная реакция или изменение содержания углерода могут существенно повысить предел текучести, не вызвав сопоставимого изменения начального наклона упругой зависимости.

Это различие имеет значение при проектировании. Прогиб под действием эксплуатационной нагрузки определяется прежде всего $E$, геометрией, граничными условиями и нагрузкой; проверка допустимого напряжения также требует знания предела текучести или другого предела прочности. Замена $E$ пределом текучести марки стали дает результаты, правдоподобные с точки зрения размерности, но лишенные физического смысла. Расчет, в котором напряжение делят на предел текучести, может дать оценку коэффициента использования. Он не вычисляет упругую деформацию.

Та же ошибка встречается и при рассмотрении сдвига. Модуль сдвига определяется упругой зависимостью между касательным напряжением и деформацией сдвига:

$$\tau =G\gamma .$$

Предел текучести при сдвиге является пластическим пределом. Его можно оценить по критерию текучести, например по соотношению фон Мизеса, но это не $G$, и его нельзя получить, присвоив модулю единицы напряжения и просто изменив его название. OpenStax (2020) четко разделяет режимы деформации: модуль Юнга описывает растяжение, объемный модуль — объемное сжатие, а модуль сдвига — деформацию сдвига.

Таким образом, спецификация стали может одновременно содержать требование к пределу текучести и допущение относительно упругих свойств, причем эти значения не обязательно связаны простой зависимостью, определяемой маркой стали. Для конструкционных расчетов следует указывать соответствующее обозначение материала и стандарт на продукцию — например, лист или полоса по ASTM A240/A240M, материал S355 по EN 10025-2 или нержавеющая сталь ASTM A276 Type 304, — а также толщину, форму изделия и направление испытания. Обозначение идентифицирует требования к материалу, но не делает обобщенное значение модуля точным для каждого изделия.

Еще одна ошибка — считать, что для каждой марки существует одно точное значение $E$. Ферритные, мартенситные, бейнитные, аустенитные и дуплексные стали могут иметь различное содержание фаз, текстуру, уровень пористости в литых изделиях и остаточные напряжения. Эти факторы влияют на измеряемый упругий отклик. Для многих инженерных оценок достаточно общепринятого изотропного значения, однако оно остается допущением или принятым расчетным значением, а не универсальной физической константой, относящейся ко всем сталям.

Смешение статических и динамических значений

Статические и динамические модули связаны между собой, но автоматически взаимозаменяемыми не являются. Статический модуль получают при медленно проводимом механическом испытании, обычно по наклону кривой «напряжение–деформация» при растяжении или сжатии на заданном интервале деформаций. На результат могут влиять податливость испытательной машины, соосность захватов, состояние поверхности, скорость деформации, гистерезис, микропластичность и способ аппроксимации наклона.

Динамический модуль определяют по распространению волн, резонансу или другому измерению, зависящему от времени. ASTM E1875-20a устанавливает метод определения динамического модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона «методом звукового резонанса». Для определения упругих констант используют резонансные частоты и размеры образца. Этот метод может давать точные данные при малых деформациях, однако результат соответствует высокочастотной деформации с очень малой амплитудой и должен обозначаться соответствующим образом.

Динамические измерения также зависят от плотности, геометрии образца, частоты, температуры и идентификации колебательной моды. Значение, полученное по продольному резонансу, нельзя подставлять в расчет сдвига без соответствующего соотношения и совместимого значения коэффициента Пуассона. Аналогично, приведенный в справочнике «модуль упругости» может быть расчетной условностью, тогда как в отчете по резонансному испытанию может быть указан динамический модуль. Эти значения нельзя сравнивать так, как если бы они были получены в ходе одного и того же испытания.

При пересчете между $E$, $G$ и $K$ следует указывать, являются ли исходные значения статическими или динамическими. Сочетание $E$, полученного при испытании на растяжение, с $\nu$, определенным методом звукового резонанса, может создать внутренне несогласованный набор, даже если оба значения по отдельности заслуживают доверия. Расчет может удовлетворять алгебраическим соотношениям, но при этом не описывать одно и то же измеренное состояние материала.

Коэффициент Пуассона требует особого внимания, поскольку неопределенность в $\nu$ становится существенной в уравнении для объемного модуля. Если $E=200$ GPa и $\nu =0.30$, изотропное соотношение дает $K=166.7$ GPa. Если то же значение $E$ сочетать с $\nu =0.29$, получим $K=158.7$ GPa; при $\nu =0.31$ оно составит $K=175.4$ GPa. Изменение $\nu$ всего на 0.01 изменяет рассчитанное $K$ приблизительно на 5 %. Вблизи $\nu =0.5$ чувствительность значительно выше, поскольку $1-2\nu$ стремится к нулю. Следует указывать принятое значение, его источник и диапазон чувствительности, а не представлять полученное $K$ как измеренную константу.

Единицы измерения создают более простую, но частую проблему. Поскольку $1\text{GPa}=1000\text{MPa}$, ввод значения $E$ в MPa одновременно со значением $G$ в GPa может привести к ошибке в 1000 раз. В ходе всего расчета следует использовать одну систему единиц для всех модулей и указывать единицу измерения рядом с окончательным результатом.

Значения объемного модуля должны иметь подтвержденное происхождение. Engineering ToolBox приводит приблизительное значение 163 GPa для нержавеющей стали, однако это вторичная справочная оценка, а не универсальное значение для каждой марки нержавеющей стали, формы изделия, температуры или условий испытания. Обоснованная ссылка должна указывать исходное измерение или расчет, состав, фазовое состояние, температуру, диапазон давлений, основу для определения плотности и методику. Термодинамическое определение из публикации National Institute of Standards and Technology (1982), $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$, явно задает условие по температуре. Число, скопированное из таблицы без указания этих условий, следует помечать как приблизительное.

Игнорирование анизотропии и температуры

Изотропные уравнения предполагают, что отклик материала одинаков во всех направлениях. В прокате, тянутой проволоке, кованом прутке и аддитивно изготовленной стали обычно формируется кристаллографическая текстура. Их упругий отклик может зависеть от направления нагружения, даже если невооруженным глазом материал выглядит однородным. Для листа с выраженной текстурой могут потребоваться константы, заданные для конкретного направления, а не одно значение $E$, $G$ и $\nu$.

Упругость монокристалла описывается матрицей упругих жесткостей, а не одним скалярным модулем. В главе справочника NIST за 1982 год объясняется, как по данным о жесткости монокристаллов для кубических и гексагональных элементов получить квази-изотропные константы поликристаллического материала. Такое усреднение является моделью. Оно становится менее пригодным при сильной текстуре, пространственном изменении долей фаз или наличии в изделии ориентированных включений либо пор.

Температура — еще одна часто исключаемая переменная. Упругие константы, как правило, изменяются с температурой, а фазовые превращения могут вызывать более резкие скачки, чем обычное термическое разупрочнение. В отчете National Bureau of Standards (1981) упругие константы аустенитной стали Fe-5Cr-26Mn измерялись в диапазоне от 76 до 400 K с использованием скоростей звука для продольной и поперечной мод. Сам диапазон температур показывает, почему значение при комнатной температуре нельзя без пояснений переносить на криогенную эксплуатацию или оборудование, работающее при повышенной температуре.

Поэтому в расчете следует указывать обозначение материала, форму изделия, направление испытания, температуру, режим деформации, метод измерения, а также то, являются ли константы статическими, динамическими, изотропными или зависящими от направления. Если эти сведения недоступны, результат следует обозначить как инженерную оценку и показать, как неопределенность в $E$, $G$, $K$ и $\nu$ влияет на ответ. Это точнее, чем присваивать одной и той же точной величине модуля все виды стали и позволять неоговоренному допущению определять проектное решение.

Источники

1. [1]National Institute of Standards and Technology. Bulk modulus definition. NIST handbook chapter, 1982. https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172
2. [2]ASTM International. Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM E1875-20a, 2020. https://www.astm.org/e1875-20a.html
3. [3]Springer Nature. Elasticity of Solids. Springer book chapter, 2020. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4
4. [4]OpenStax. Stress, Strain, and Elastic Modulus. University Physics Volume 1, 2020. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
5. [5]National Bureau of Standards. Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards report, 1981. https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf