Stałe sprężystości stali i zależności między modułami

Co oznaczają stałe sprężystości stali — a czego nie oznaczają

Stałe sprężystości to parametry wiążące przyłożone naprężenie z powstającym odkształceniem, gdy materiał pozostaje w zakresie sprężystym. W tym zakresie usunięcie obciążenia pozwala próbce powrócić, przynajmniej w przybliżeniu, do pierwotnych wymiarów. W prostym badaniu rozciągania moduł Younga jest stosunkiem naprężenia osiowego do odkształcenia osiowego,

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }.$$

Zależność ta opisuje nachylenie początkowej, odwracalnej części krzywej naprężenie–odkształcenie. Nie opisuje całej krzywej i nie określa, jakie naprężenie stal może wytrzymać przed wystąpieniem odkształcenia trwałego lub pęknięciem.

Dla izotropowego ciała liniowo sprężystego niezależne są tylko dwie stałe sprężystości. Strong evidence

Dla izotropowego ciała stałego o liniowej sprężystości niezależne są tylko dwie stałe sprężystości. Często stosowany zestaw obejmuje moduł Younga $E$, współczynnik Poissona $\nu$, moduł objętościowy $K$ lub $B$, moduł ścinania $G$, pierwszą stałą Lamégo $\lambda$ oraz $2\mu$, przy czym $\mu =G$. Sandia National Laboratories wymienia te sześć powiązanych wielkości i stwierdza, że $E$ oraz $\nu$ wyznaczają pozostałe. Na przykład,

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

oraz

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Moduł objętościowyModuł objętościowy Miara odporności na jednorodną zmianę objętości pod ciśnieniem; jest zwykle oznaczany jako K lub B.

Notacja jest różna: NIST i inne źródła często stosują oznaczenie $B$ dla modułu objętościowego, natomiast w podręcznikach inżynierskich i oprogramowaniu do metody elementów skończonych często używa się oznaczenia $K$. Oba symbole opisują tę samą właściwość izotropową.

Odpowiedź sprężysta a wytrzymałość i plastyczność

Sprężystość odpowiada na wąskie pytanie: jak duże odkształcenie towarzyszy danemu naprężeniu, zanim rozpocznie się odkształcenie trwałe? Wytrzymałość dotyczy innych zagadnień. Granica plastyczności wskazuje naprężenie związane z początkiem określonego odkształcenia plastycznego; wytrzymałość na rozciąganie to maksymalne naprężenie inżynierskie osiągnięte podczas badania rozciągania; wytrzymałość na pękanie dotyczy rozdzielenia próbki. Żadna z tych wielkości nie jest inną nazwą modułu Younga.

Stal może mieć wysoką granicę plastyczności i niemal taki sam moduł Younga jak stal o mniejszej wytrzymałości i podobnym składzie. Zgniot na zimno, utwardzanie wydzieleniowe lub przemiana martenzytyczna mogą znacznie zwiększyć granicę plastyczności i twardość, zmieniając przy tym moduł sprężystości przy rozciąganiu w zakresie małych odkształceń w znacznie mniejszym stopniu. Wynika to z faktu, że mechanizmy umacniania utrudniają ruch dyslokacji, podczas gdy początkowa odpowiedź sprężysta odzwierciedla głównie sztywność wiązań atomowych i uśrednioną strukturę krystaliczną. Rozróżnienie to ma zasadnicze znaczenie na przykład przy porównywaniu niskostopowej stali ulepszanej cieplnie — hartowanej i odpuszczanej — z wyrobem wyżarzonym o zbliżonym składzie chemicznym.

Plastyczność rozpoczyna się, gdy zależność naprężenie–odkształcenie przestaje przebiegać zgodnie z początkowym liniowym nachyleniem sprężystym. Model konstytutywny plastyczności wymaga wówczas takich informacji, jak kryteria plastyczności, prawo umocnienia, reguła płynięcia, wrażliwość na szybkość odkształcenia oraz zależność od temperatury. Sam moduł Younga nie dostarcza żadnej z tych informacji. Model metody elementów skończonych zawierający dokładną wartość $E$, lecz niewłaściwą powierzchnię plastyczności, nadal może błędnie przewidywać odkształcenie trwałe.

Inne właściwości mechaniczne odpowiadają na jeszcze inne pytania. Twardość mierzy odporność na miejscowe wciskanie i często koreluje z wytrzymałością w obrębie kontrolowanej grupy stali, ale nie jest modułem sprężystości. Udarność dotyczy pochłaniania energii i odporności na pękanie w określonych warunkach badania. Odporność zmęczeniowa dotyczy kumulacji uszkodzeń podczas powtarzalnego lub zmiennego obciążenia. Stal może mieć moduł sprężystości podobny do innego gatunku, a jednocześnie różnić się twardością, udarnością, sposobem propagacji pęknięć lub trwałością zmęczeniową.

Sprężystość nie oznacza również, że każdy cykl obciążenia jest doskonale odwracalny. Rzeczywista stal może wykazywać mikrótwardnienie plastyczne, anelastyczność, skutki naprężeń własnych, histerezę lub uszkodzenia, zanim konwencjonalna granica plastyczności stanie się wyraźna. Zgłoszona wartość modułu dla konkretnego badania jest zatem związana z zakresem odkształcenia, szybkością obciążenia, historią cykli oraz metodą redukcji danych.

Moduł jako miara sztywności, a nie naprężenia niszczącego

Moduł mierzy sztywność: naprężenie wymagane do wywołania określonego odkształcenia sprężystego w zdefiniowanym trybie deformacji. Moduł Younga dotyczy osiowego wydłużenia lub skrócenia. Moduł ścinania opisuje odporność na zmianę kształtu pod wpływem naprężenia ścinającego. Moduł objętościowy opisuje odporność na jednorodną zmianę objętości pod wpływem ciśnienia. OpenStax przedstawia te odpowiadające im interpretacje fizyczne dla deformacji rozciąganej, postaciowej i objętościowej.

Duża wartość modułu oznacza, że dane naprężenie powoduje mniejsze odkształcenie sprężyste. Nie oznacza natomiast, że materiał wytrzymuje większe naprężenie przed uplastycznieniem lub pęknięciem. Rozważmy dwa stalowe elementy o takim samym $E$, lecz różnych granicach plastyczności. Pod wpływem tego samego naprężenia eksploatacyjnego ulegają one w przybliżeniu takiemu samemu wydłużeniu sprężystemu. Element o większej wytrzymałości może tolerować większe naprężenie przed odkształceniem plastycznym, ale nie jest istotnie sztywniejszy w początkowej odpowiedzi sprężystej tylko dlatego, że ma wyższą granicę plastyczności.

Moduł objętościowy ma szczególnie jasną definicję termodynamiczną. W rozdziale podręcznika z 1982 roku National Institute of Standards and Technology podaje

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$[1][1] Bulk modulus definition. National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

gdzie $V$ oznacza objętość, $P$ — ciśnienie, a pochodna jest wyznaczana przy stałej temperaturze. Jest to właściwość objętościowa, a nie granica zniszczenia przy rozciąganiu. Stal trudno jest równomiernie ściskać, dlatego jej moduł objętościowy jest wysoki; fakt ten sam w sobie niewiele mówi o ciągliwości przy rozciąganiu ani odporności na pękanie.

Modułu nie należy również mylić z udarnością sprężystą. Energia sprężysta zgromadzona w jednostce objętości zależy od naprężenia i modułu, natomiast energia możliwa do odzyskania do chwili osiągnięcia granicy plastyczności zależy zarówno od modułu, jak i od granicy plastyczności. Zwiększenie granicy plastyczności może zatem zwiększyć zdolność magazynowania energii sprężystej, nawet jeśli $E$ zmienia się tylko nieznacznie.

Dlaczego gatunek stali nie ma jednej uniwersalnej wartości modułu

Oznaczenie takie jak ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, EN 10025-2 S355JR lub AISI 304 identyfikuje specyfikację, zakres składu chemicznego, stan wyrobu albo wymagany zestaw parametrów użytkowych; nie definiuje jednej niezmiennej wartości sprężystości dla każdej próbki wykonanej zgodnie z tym oznaczeniem. Zmierzona odpowiedź zależy od stanu materiału i warunków badania.

Temperatura jest jedną z głównych zmiennych. Stałe sprężystości zasadniczo zmieniają się wraz z temperaturą, a przemiany fazowe mogą powodować większe zmiany, gdy modyfikują strukturę krystaliczną lub udział poszczególnych faz. W opublikowanym w 1981 roku raporcie National Bureau of Standards zmierzono stałe sprężystości austenitycznej stali Fe-5Cr-26Mn w zakresie od 76 do 400 K, wykorzystując prędkości fal wzdłużnych i poprzecznych. Sam ten zakres temperatur pokazuje, dlaczego wartość podana bez temperatury badania jest niepełna.

Quasi-izotropowyQuasi-izotropowy Efektywna reakcja materiału wystarczająco zbliżona do izotropowej dla określonego obliczenia, zakresu kierunków i skali, mimo że poszczególne ziarna pozostają anizotropowe.

Tekstura i kierunek również mają znaczenie. Pojedyncze kryształy ferrytu, austenitu lub martenzytu są sprężyście anizotropowe, co oznacza, że ich sztywność zależy od kierunku krystalograficznego. Blacha walcowana, pręt kuty, drut ciągniony i materiał wytwarzany addytywnie mogą uzyskiwać uprzywilejowane orientacje. Agregat polikrystaliczny może zachowywać się w przybliżeniu izotropowo, gdy orientacje kryształów są dostatecznie rozproszone, lecz wyrób o silnej teksturze może wymagać stałych zależnych od kierunku. Moduł wzdłużny w kierunku walcowania nie musi być równy wartości w kierunku przez grubość.

Na zmierzoną odpowiedź uśrednioną dla materiału wpływają również skład fazowy, wtrącenia, porowatość, naprężenia własne, struktura ziaren i postać wyrobu. Spoina i strefy wpływu ciepła mogą różnić się od materiału rodzimego, nawet jeśli są objęte tą samą specyfikacją projektową. Stałych dla monokryształu nie można po prostu zastępować wartościami projektowymi dla materiału polikrystalicznego. Podręcznik NIST wyjaśnia, jak na podstawie danych dotyczących sprężystej sztywności monokryształów materiałów kubicznych i heksagonalnych można wyznaczać quasi-izotropowe moduły Younga, ścinania, objętościowy i powiązane z nimi moduły, lecz obliczenie to zależy od symetrii kryształu i założeń dotyczących uśredniania orientacji.

[2][2] Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.

ASTM E1875-20a określa dynamiczny pomiar modułu Younga, modułu ścinania i współczynnika Poissona za pomocą rezonansu akustycznego. Strong evidence

Metoda pomiaru zmienia zgłaszaną wartość. Powolne badanie rozciągania daje statyczny moduł sieczny lub styczny, wyznaczany na podstawie siły i przemieszczenia, natomiast metody ultradźwiękowe lub rezonansowe określają moduł dynamiczny na podstawie prędkości fali lub częstotliwości drgań własnych. Wartości dynamiczne mogą różnić się od statycznych z powodu częstotliwości, tłumienia, podatności maszyny, amplitudy odkształcenia oraz sposobu traktowania nieidealnych części próbki. Norma ASTM E1875-20 określa wyznaczanie dynamicznego modułu Younga, modułu ścinania i współczynnika Poissona „metodą rezonansu akustycznego”.

W konsekwencji użyteczny raport dotyczący modułu powinien podawać co najmniej oznaczenie stali, postać i stan wyrobu, temperaturę, kierunek obciążenia, tryb deformacji oraz metodę pomiaru. Powinien również wskazywać, czy wartość została zmierzona, obliczona na podstawie innych stałych, czy przyjęta jako założenie projektowe. Engineering ToolBox podaje przybliżony moduł objętościowy wynoszący 163 GPa dla „stali nierdzewnej”, lecz jest to szacunkowa wartość z wtórnego źródła, a nie uniwersalna wartość dla każdego gatunku stali nierdzewnej, obróbki cieplnej, tekstury, temperatury ani metody badania. Użycie jednej liczby dla każdego wyrobu może być dopuszczalne wstępnie, w obliczeniach izotropowych, jeśli założenie to zostanie wyraźnie wskazane. Przedstawianie jej jako niezależnej od gatunku cechy materiału — nie.

Podstawa izotropowej liniowej sprężystości oparta na dwóch stałych

Sprężystość liniowa opisuje odwracalną część odpowiedzi materiału, gdy naprężenia i odkształcenia pozostają na tyle małe, że można zastosować zależność liniową. Słowo izotropowa dodaje odrębny warunek: zakłada się, że odpowiedź jest taka sama we wszystkich kierunkach. Przy tych dwóch założeniach tensor sztywności sprężystej ma znacznie mniej niezależnych składników niż w przypadku ogólnego ciała anizotropowego. Sześć powszechnie podawanych wielkości — moduł Younga $E$, współczynnik Poissona $\nu$, moduł objętościowy $K$ lub $B$, moduł ścinania $G$, pierwsza stała Lamégo $\lambda$ oraz $2\mu$ — można zatem wyrazić za pomocą jedynie dwóch wybranych stałych.

Wynik ten dotyczy modelu konstytutywnego, a nie automatycznie każdej wartości zmierzonej i podanej dla stali. Na mierzoną odpowiedź mogą wpływać między innymi temperatura, skład fazowy, tekstura krystalograficzna, porowatość, naprężenia własne, orientacja próbki, częstotliwość oraz metoda badania. Wartość stosowana w izotropowym modelu elementów skończonych jest często efektywną właściwością inżynierską, a nie pełnym opisem mikrostruktury materiału.

Dlaczego potrzebne są tylko dwie niezależne stałe

Naprężenie i odkształcenie są tensorami drugiego rzędu. W najbardziej ogólnym liniowo sprężystym ciele zależność między nimi wymaga tensora sztywności czwartego rzędu, obejmującego wiele możliwych sprzężeń kierunkowych. Symetria tensorów naprężenia i odkształcenia zmniejsza liczbę niezależnych składników, a symetria materiału ogranicza ją jeszcze bardziej. Izotropia narzuca najsilniejszą spośród zwykłych symetrii materiałowych: żaden kierunek nie jest mechanicznie wyróżniony.

Izotropową zależność naprężenie–odkształcenie można zapisać jako

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

gdzie ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ jest tensorem naprężenia, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ tensorem odkształcenia, \(\delta_{ij}\ deltą Kroneckera, a \(\lambda\) i $\mu$ są stałymi Lamégo. Zatem $\lambda$ i $\mu$ tworzą jedną prawidłową parę niezależnych stałych. Moduł ścinania wynosi $G=\mu$, dlatego użycie pary $G$ i $\lambda$ jest równoważne.

Publikacja Springera Elasticity of Solids (2020) stwierdza bezpośrednio zasadę centralną: dla ciała izotropowego tylko dwie stałe sprężystości są niezależne. Dokumentacja Sierra opracowana przez Sandia National Laboratories wymienia powiązany zestaw wielkości izotropowych: moduł Younga $E$, współczynnik Poissona $\nu$, moduł objętościowy $K$, moduł ścinania $G$, pierwszą stałą Lamégo $\lambda$ oraz $2\mu$, a także stwierdza, że $E$ i $\nu$ wyznaczają pozostałe wielkości. Występowanie sześciu nazw nie oznacza, że istnieje sześć niezależnie dobieranych właściwości materiału.

Dla często stosowanej pary $E,\nu$ przeliczenia mają postać

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )},$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )},$$

oraz

$$2\mu =2G=\frac{E}{1+\nu }.$$

Przydatne są również zależności odwrotne:

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G},$$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}.$$

Równania te nie są korelacjami empirycznymi ograniczonymi do jednej rodziny stali. Wynikają z konstytutywnego prawa izotropowej sprężystości liniowej. Nakładają również wymagania dotyczące spójności danych. Dla stabilnego, zwykłego ciała izotropowego $G>0$, $K>0$ oraz $-1<\nu <0,5$. Gdy $\nu$ zbliża się do 0,5, materiał staje się w modelu niemal nieściśliwy: $K$ rośnie do wartości znacznie większej niż $G$, podczas gdy $E$ pozostaje powiązany z obiema tymi wielkościami.

Znaczenie fizyczne poszczególnych stałych jest różne, mimo że matematycznie są one ze sobą powiązane. OpenStax opisuje moduł Younga jako stosunek charakteryzujący odpowiedź na rozciąganie, moduł objętościowy jako odpowiedź na ściskanie objętościowe, a moduł ścinania jako odpowiedź na odkształcenie postaciowe. Próba rozciągania dostarcza przede wszystkim wartości $E$, natomiast pomiar odkształcenia poprzecznego obok odkształcenia osiowego dostarcza wartości $\nu$. Doświadczenie ciśnienie–objętość służy do wyznaczania $K$, a skręcanie lub pomiar fali poprzecznej — do wyznaczania $G$. Gdy znana jest dowolna spójna para, pozostałe moduły oblicza się, a nie wybiera niezależnie.

Termodynamiczna definicja modułu objętościowego wyraźnie pokazuje jego odmienność od modułu Younga:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Wyrażenie to, podane przez National Institute of Standards and Technology w 1982 roku, opisuje odporność na zmianę objętości pod wpływem ciśnienia przy stałej temperaturze. Nie oznacza ono, że tabelaryczna wartość modułu objętościowego może być utożsamiana z modułem wyznaczonym w próbie rozciągania. Ich zależność liczbowa obowiązuje dopiero po zastosowaniu założeń izotropowego prawa konstytutywnego.

$E$ i $\nu$ jako praktyczna para danych wejściowych

W obliczeniach inżynierskich często stosuje się $E$ i $\nu$, ponieważ naturalnie odpowiadają one jednoosiowej próbie rozciągania i są bezpośrednio dostępne w standardowych danych dotyczących materiałów konstrukcyjnych. W trójwymiarowym modelu izotropowym wprowadzenie tych dwóch wielkości pozwala oprogramowaniu wyznaczyć $G$, $K$, $\lambda$ oraz $2\mu$ bez dodatkowych stałych materiałowych. Wprowadzenie wszystkich sześciu wielkości może prowadzić do niespójności modelu, jeśli wartości nie spełniają równań przeliczeniowych.

Ma to szczególne znaczenie, gdy wartości pochodzą z różnych źródeł. Statyczny moduł wyznaczony w próbie rozciągania, dynamiczny moduł uzyskany metodą rezonansową oraz oszacowanie modułu objętościowego mogą być prawidłowe dla własnych warunków pomiaru, a mimo to nie odtwarzać się wzajemnie dokładnie za pomocą równań izotropowych. Norma ASTM E1875-20a określa wyznaczanie dynamicznego modułu Younga, modułu ścinania i współczynnika Poissona „metodą rezonansu akustycznego”. W praktyce są to pomiary zależne od częstotliwości lub wrażliwe na szybkość obciążenia, nawet gdy materiał pozostaje w zakresie sprężystym. Nie należy zakładać, że są one identyczne z wartościami uzyskanymi w próbach rozciągania przy małej szybkości obciążenia, bez sprawdzenia warunków badania.

Drugie źródło, Engineering ToolBox, podaje przybliżoną wartość modułu objętościowego stali nierdzewnej równą 163 GPa. Jest to wartość szacunkowa do celów referencyjnych, a nie uniwersalna stała obowiązująca dla każdego gatunku stali nierdzewnej, każdego stanu obróbki cieplnej, zakresu temperatur, postaci wyrobu czy metody badania. Nie należy jej bezrefleksyjnie łączyć z niezależną wartością $E$ lub $\nu$, a następnie przedstawiać jako właściwości zmierzonej dla konkretnego gatunku. Ta sama ostrożność dotyczy wartości zawartych w publikacji ASM Steel Castings Handbook, gdzie moduł sprężystości, współczynnik Poissona, moduł ścinania i powiązane właściwości fizyczne przedstawiono jako dane charakterystyczne dla staliwa. „Stal” nie jest jedną, niezmienną próbką sprężystą.

Rozróżnienie między właściwościami statycznymi i dynamicznymi ma znaczenie w projektowaniu. Badania dynamiczne wyznaczają stałe sprężystości na podstawie częstotliwości rezonansowych lub prędkości fal, natomiast badania statyczne — na podstawie siły, przemieszczenia i odkształcenia. Moduł dynamiczny może się różnić ze względu na częstotliwość, tłumienie, mechanizmy mikrostrukturalne, temperaturę i aparaturę pomiarową. W raporcie National Bureau of Standards dotyczącym austenitycznej stali Fe-5Cr-26Mn zmierzono stałe sprężystości w zakresie 76–400 K na podstawie prędkości dźwięku w modzie podłużnym i poprzecznym. Zakres ten pokazuje, dlaczego wartość podana bez temperatury i metody pomiaru może być niepełna, nawet gdy oznaczenie materiału jest precyzyjne.

Rola izotropii i quasi-izotropii

Stal polikrystaliczna może zachowywać się w przybliżeniu izotropowo, gdy jej ziarna są małe, liczne i mają dostatecznie losową orientację. Poszczególne kryształy pozostają anizotropowe, lecz efekty kierunkowe mogą uśredniać się w reprezentatywnej objętości. Jest to podstawa stosowania jednej efektywnej wartości $E$ i jednej efektywnej wartości $\nu$ w wielu obliczeniach konstrukcyjnych.

Przybliżenie to jest mniej trafne, gdy proces technologiczny wytwarza silną teksturę. Walcowanie, kucie, wytwarzanie przyrostowe, krzepnięcie kierunkowe i cykle cieplne podczas spawania mogą prowadzić do powstania uprzywilejowanych orientacji krystalograficznych. Wówczas blacha może mieć różne właściwości w kierunku wzdłużnym, poprzecznym i poprzez grubość. Wyrób odlewany może wykazywać inny układ właściwości ze względu na strukturę dendrytyczną, segregację, porowatość i lokalną orientację ziaren. Znaczenie ma również skład fazowy: ferryt, austenit, martenzyt, bainit i austenit szczątkowy nie wnoszą identycznego wkładu w sprężyste zachowanie pojedynczego kryształu.

Quasi-izotropowość opisuje efektywną odpowiedź wystarczająco zbliżoną do izotropowej dla określonego celu, zakresu kierunków i skali. Nie usuwa ona anizotropii kryształów ani nie gwarantuje, że każdy moduł zmierzony w dowolnej orientacji będzie zgodny z pozostałymi. Rozdział podręcznika NIST dotyczący stałych sprężystości monokryształów wyjaśnia, w jaki sposób polikrystaliczne wartości $E$, $G$, $B$, modułu podłużnego i $\nu$ można wyprowadzić z danych dotyczących sztywności monokryształów pierwiastków o strukturze regularnej i heksagonalnej. Takie podejście uwidacznia założenie uśredniania, zamiast traktować uzyskane stałe polikrystaliczne jako wartości fundamentalne.

W przypadku stali o silnej teksturze model sprężystości anizotropowej może wymagać więcej niż dwóch niezależnych stałych i musi uwzględniać orientację próbki. W przypadku elementu stalowego o charakterze quasi-izotropowym dwie stałe efektywne mogą wystarczyć do zamierzonego obliczenia, pod warunkiem że założenie to zostało zweryfikowane pomiarami. Rozdział Constitutive Response opublikowany przez Oxford Academic również przedstawia izotropową sprężystość liniową w oparciu o dwie niezależne stałe. Praktyczne pytanie nie brzmi więc, czy stal ma sześć niezależnych modułów sprężystości. W modelu izotropowym tak nie jest. Pytanie brzmi, czy wybrane dwie stałe reprezentują materiał, temperaturę, kierunek i zakres warunków pomiaru właściwe dla danego obliczenia.

Moduł Younga E w stali

Moduł Younga, $E$, opisuje sztywność materiału przy jednoosiowym rozciąganiu lub ściskaniu. Zgodnie ze stosowaną definicją liniowo-sprężystą jest to stosunek naprężenia osiowego do odkształcenia osiowego:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

$\sigma$ oznacza naprężenie normalne działające wzdłuż osi próbki, a $\epsilon$ — odpowiadające mu odkształcenie osiowe. Przy idealnie liniowej odpowiedzi wykres naprężenie–odkształcenie jest prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych, a $E$ jest jej nachyleniem. Jednostką są paskale, przy czym dla stali wartość tę zazwyczaj podaje się w gigapaskalach.

Ta definicja ma zastosowanie wyłącznie w części obciążenia, w której odpowiedź materiału jest liniowa i odwracalna. Nie oznacza to, że każdy stosunek naprężenia do odkształcenia zmierzony podczas badania stali jest modułem Younga. Gdy pojawia się odkształcenie plastyczne, przemiana fazowa, uszkodzenie lub znaczna nieliniowość, wybrane nachylenie albo stosunek opisuje inną właściwość.

Naprężenie jednoosiowe i odkształcenie osiowe

Jednoosiowa próba rozciągania polega na przyłożeniu siły wzdłuż jednego z głównych kierunków próbki. Inżynierskie naprężenie osiowe oblicza się zazwyczaj jako iloraz przyłożonej siły i początkowego pola przekroju poprzecznego:

$$\sigma =\frac{F}{A_0}$$

Inżynierskie odkształcenie osiowe jest zmianą długości pomiarowej podzieloną przez jej długość początkową:

$$\epsilon =\frac{L-L_0}{L_0}$$

Przy małym odkształceniu definicje te dają zwykłą inżynierską wartość $E$. Ekstensometr lub tensometr mierzy wydłużenie na określonej długości pomiarowej, natomiast maszyna wytrzymałościowa rejestruje siłę i przemieszczenie. Zmierzone nachylenie może zależeć od podatności maszyny, przemieszczenia uchwytów, ustawienia próbki, stanu jej powierzchni oraz metody zastosowanej do wyznaczenia początkowej części krzywej.

W zakresie sprężystym próbka rozciągana kurczy się również poprzecznie. Współczynnik Poissona, $\nu$, wiąże odkształcenie poprzeczne z odkształceniem osiowym, zwykle zgodnie z zależnością

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}$$[3][3] Elasticity of Solids. Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

Dla izotropowego ciała liniowo-sprężystego $E$ i $\nu$ wyznaczają pozostałe stałe sprężystości. Dokumentacja Sandia Sierra wymienia powiązany izotropowy zestaw obejmujący moduł Younga $E$, współczynnik Poissona $\nu$, moduł objętościowy $K$, moduł ścinania $G$, pierwszy parametr Lamégo $\lambda$ oraz $2\mu$; stwierdzenie, że $E$ i $\nu$ wyznaczają pozostałe wielkości, odzwierciedla strukturę sprężystości izotropowej opartą na dwóch stałych. Springer w publikacji Elasticity of Solids również stwierdza, że dla ciała izotropowego niezależne są tylko dwie stałe sprężystości.

W projektowaniu powszechnie stosuje się zależności

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

oraz

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

gdzie $G$ jest modułem ścinania, a $K$, oznaczany również symbolem $B$, jest modułem objętościowym. Równania te nie oznaczają, że $E$, $G$, $K$ i $\nu$ są czterema niezależnymi właściwościami gatunku stali. Łączą one wyniki pomiarów wykonanych dla różnych rodzajów odkształcenia, gdy odpowiednie są założenia izotropowości i liniowej sprężystości.

Rozróżnienie rodzajów odkształcenia ma znaczenie. Moduł Younga dotyczy osiowego wydłużenia lub skrócenia, moduł ścinania — deformacji kątowej podczas ścinania, a moduł objętościowy — zmiany objętości pod wpływem ciśnienia hydrostatycznego. OpenStax przedstawia je jako odrębne interpretacje fizyczne odpowiedzi sprężystej. Podręcznik NIST z 1982 roku definiuje moduł objętościowy termodynamicznie jako

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

zatem jego wartość dotyczy napędzanej ciśnieniem zmiany objętości w określonej temperaturze, a nie po prostu nachylenia krzywej naprężenie–odkształcenie uzyskanej w próbie rozciągania.

Stal jest często traktowana jako izotropowa w zwykłych obliczeniach inżynierskich, ponieważ produkt polikrystaliczny może zawierać wiele orientacji krystalograficznych. Przybliżenie to może być niesłuszne w przypadku silnie teksturowanej blachy, intensywnie przerabianego pręta, blachy walcowanej, złączy spawanych, materiału wytwarzanego przyrostowo lub próbek monokrystalicznych stosowanych w badaniach. Kryształy ferrytu i austenitu o strukturze sześciennej mają zależne od kierunku sztywności sprężyste, mimo że agregat o odpowiednio rozłożonych orientacjach może wykazywać pozorną quasi-izotropowość. NIST wyjaśnia, w jaki sposób można obliczać polikrystaliczne wartości $E$, $G$, $B$, modułu podłużnego i współczynnika Poissona na podstawie danych dotyczących sprężystej sztywności pojedynczych kryształów materiałów o strukturze sześciennej i heksagonalnej.

W konsekwencji wartość podana dla „stali” nie jest automatycznie uniwersalną stałą dla każdej postaci wyrobu. Na zmierzoną odpowiedź mogą wpływać skład chemiczny, ferryt, perlit, bainit, martenzyt, austenit szczątkowy, populacje węglików, porowatość, tekstura i naprężenia szczątkowe. Wpływ ten może być niewielki w jednej konfiguracji badania, a istotny w innej.

Sieczny, styczny i początkowy moduł sprężystości

Początkowy moduł sprężystości jest nachyleniem krzywej naprężenie–odkształcenie przy zerowym naprężeniu i odkształceniu lub bardzo blisko tego punktu. W postaci różniczkowej

$$E_{\text{initial}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }{|}_{\epsilon \to 0}$$

pod warunkiem że krzywa jest dostatecznie liniowa, a układ pomiarowy został skorygowany. Jest to wartość najściślej związana z podręcznikową definicją modułu Younga.

Moduł styczny jest lokalnym nachyleniem w wybranym punkcie:

$$E_{\text{tan}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }$$

Jeżeli krzywa pozostaje liniowa, moduł styczny jest równy modułowi początkowemu. W pobliżu granicy plastyczności może jednak wystąpić zakrzywienie krzywej stali spowodowane początkiem plastyczności, ruchem dyslokacji, odkształceniem Lüdersa, efektami przemian fazowych lub artefaktami badania. Moduł styczny zmienia się wówczas wraz z naprężeniem i odkształceniem. Należy go podawać wraz z punktem lub przedziałem odkształcenia, w którym został zmierzony.

Moduł sieczny jest nachyleniem prostej poprowadzonej od wybranego początku układu do wybranego punktu na krzywej:

$$E_{\text{sec}}=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

dla tego wybranego punktu. Uśrednia on odpowiedź w całym przedziale, zamiast opisywać nachylenie lokalne. Jeżeli krzywa odchyla się od liniowości, wartości modułu siecznego i stycznego różnią się. Moduł sieczny wyznaczony przy naprężeniu przekraczającym pierwszą granicę plastyczności może być znacznie niższy od początkowego modułu sprężystości, ponieważ odkształcenie całkowite obejmuje odkształcenie plastyczne.

Terminy te nie są zatem wzajemnie zamienne. Nazwanie wartości siecznej „modułem Younga” bez podania zakresu odkształcenia lub naprężenia może prowadzić do błędów w obliczeniach projektowych. Ten sam problem występuje, gdy maszyna podaje nachylenie wyznaczone na podstawie przemieszczenia trawersy zamiast bezpośrednio zmierzonego odkształcenia na długości pomiarowej. Osadzenie uchwytów i deformacja ramy mogą zniekształcać początkową część krzywej, podczas gdy plastyczność może zniekształcać jej późniejszą część.

Znaczenie ma również wcześniejsze odkształcenie. Walcowanie na zimno, przeciąganie, prostowanie, wstępne odkształcanie i obciążenia cykliczne zmieniają struktury dyslokacyjne oraz naprężenia szczątkowe. Mogą zmienić pozorne początkowe nachylenie, wywołać asymetrię rozciąganie–ściskanie oraz prowadzić do różnych nachyleń podczas odciążania i ponownego obciążania. Próbka, która została odkształcona plastycznie, nie jest równoważna próbce nieodkształconej tylko dlatego, że ma to samo nominalne oznaczenie gatunku.

Należy również określić temperaturę. Sztywność sprężysta na ogół zmienia się wraz z temperaturą, a skład fazowy może ulec zmianie w szerszym zakresie temperatur. W raporcie National Bureau of Standards opublikowanym w 1981 roku zmierzono stałe sprężystości austenitycznej stali Fe-5Cr-26Mn w zakresie 76–400 K, wykorzystując prędkości dźwięku dla modów podłużnego i poprzecznego. Ten zakres temperatur pokazuje, dlaczego wartości uzyskanej w próbie rozciągania w temperaturze pokojowej nie należy bezkrytycznie przenosić do zastosowań kriogenicznych ani analiz w podwyższonej temperaturze.

Statyczny i dynamiczny moduł Younga

Statyczny moduł Younga uzyskuje się przy powoli przykładanym obciążeniu mechanicznym, zazwyczaj mierząc siłę i odkształcenie osiowe podczas próby rozciągania lub ściskania. „Powoli” nie oznacza, że wynik jest niezależny od szybkości. Na podane nachylenie mogą wpływać szybkość odkształcenia, historia obciążenia, czas podtrzymania obciążenia, wzrost temperatury oraz układ pomiaru odkształcenia. W zwykłej stali w warunkach otoczenia efekty lepkosprężyste są na ogół ograniczone, jednak czułość plastyczności na szybkość odkształcenia, tłumienie, efekty cieplne i podatność maszyny badawczej nadal mogą wpływać na wynik w pobliżu przejścia sprężysto-plastycznego.

Dynamiczny moduł Younga wyznacza się pośrednio na podstawie pomiaru drgań, propagacji fal lub rezonansu. Norma ASTM E1875-20a określa wyznaczanie dynamicznego modułu Younga, modułu ścinania i współczynnika Poissona „metodą rezonansu dźwiękowego”. Metoda wykorzystuje częstotliwości rezonansowe i wymiary próbki, a do obliczeń wprowadza się również gęstość oraz zależności dotyczące drgań belek lub prętów. Ponieważ odkształcenie oscyluje ze skończoną częstotliwością i na ogół ma bardzo małą amplitudę, wynik nie jest po prostu wartością uzyskaną w szybszej próbie rozciągania.

Pomiary dynamiczne mogą być bardzo wrażliwe na geometrię próbki, warunki podparcia, częstotliwość, gęstość, tłumienie i nieciągłości wewnętrzne. Pomiary statyczne są wrażliwe na ustawienie próbki, umiejscowienie ekstensometru, długość pomiarową i szybkość odkształcenia. Jeżeli obie metody są prawidłowo wykonane w tym samym zakresie sprężystym, ich wyniki mogą być zbliżone, lecz zgodność nie jest gwarantowana. Wartość modułu należy zatem podawać wraz z metodą, temperaturą, orientacją, stanem próbki oraz informacją, czy jest to wartość początkowa, styczna, sieczna, statyczna czy dynamiczna.

Engineering ToolBox podaje czasami przybliżoną wartość referencyjną 163 GPa dla modułu objętościowego stali nierdzewnej, jednak jest to szacunek wtórny, a nie wartość uniwersalna dla każdego gatunku stali nierdzewnej, oznaczenia normowego, zakresu temperatur, tekstury czy postaci wyrobu. Ta sama ostrożność dotyczy cytowanych wartości modułu Younga. W izotropowych modelach projektowych wystarczy jedna starannie dobrana para stałych sprężystości; dane materiałowe uzyskane w pomiarach nadal muszą odpowiadać stanowi stali i rodzajowi odkształcenia zastosowanemu w obliczeniach.

Moduł ścinania G i sztywność odkształcenia postaciowego

Moduł ścinania, $G$, mierzy odporność ciała stałego na zmianę kształtu wywołaną naprężeniem ścinającym. Nie opisuje przede wszystkim odporności na zmianę objętości. W warunkach idealnego czystego ścinania jedna para płaszczyzn materiału przesuwa się względem drugiej, zmieniając kąty wewnątrz ciała, podczas gdy jego objętość pozostaje niemal niezmieniona. To rozróżnienie odróżnia $G$ od modułu objętościowego, $K$ lub $B$, który opisuje odporność na ściskanie hydrostatyczne.

W przypadku stali $G$ nie jest odrębnym oznaczeniem gatunku, które może zmieniać się niezależnie od wszystkich pozostałych właściwości sprężystych. W jednorodnej, izotropowej sprężystości liniowej tylko dwie stałe sprężyste są niezależne. Tabela może przedstawiać moduł Younga $E$, współczynnik Poissona $\nu$, moduł ścinania $G$, moduł objętościowy $K$, pierwszą stałą Lamégo $\lambda$ oraz $2\mu$, lecz wielkości te są matematycznie powiązane. Sandia National Laboratories wymienia ten sześcioelementowy zestaw dla materiału izotropowego i stwierdza, że $E$ i $\nu$ wyznaczają pozostałe wielkości. To samo ograniczenie do dwóch stałych opisano w publikacji Springera Elasticity of Solids (2020).

Naprężenie ścinające i odkształcenie kątowe

Naprężenie ścinające, konwencjonalnie oznaczane symbolem $\tau$, działa równolegle do powierzchni. Jeśli prostokątny element zostaje poddany ścinaniu, jego początkowo proste kąty zmieniają się wskutek odkształcenia kątowego $\gamma$. Dla małych odkształceń $\gamma$ mierzy się w radianach i można je przybliżyć jako iloraz przemieszczenia bocznego i wysokości:

$$\gamma \approx \frac{\Delta x}{h}.$$

Zależność liniowo-sprężysta ma postać

$$\tau =G\gamma ,$$

czyli

$$G=\frac{\tau }{\gamma }.$$

Im większa jest wartość $G$, tym większe naprężenie ścinające jest wymagane do wywołania określonego odkształcenia kątowego. Jest to zależność dotycząca sztywności, a nie stwierdzenie odnoszące się do uplastycznienia lub pękania. Próbka stali może mieć wysoki sprężysty moduł ścinania, a mimo to ulegać trwałemu odkształceniu, gdy lokalne naprężenie ścinające przekroczy odpowiedni warunek plastyczności.

Czyste ścinanie ilustruje różnicę między odpowiedzią postaciową a objętościową. Sześcian może stać się skośnym równoległościanem, podczas gdy długości jego krawędzi i objętość zmieniają się bardzo nieznacznie. Rzeczywiste ciała stałe podczas ścinania doświadczają również odkształceń normalnych. W materiale izotropowym tym towarzyszącym odkształceniom podlegają współczynnik Poissona i pełne równania konstytutywne, jednak głównym mierzonym rodzajem odkształcenia pozostaje odkształcenie kątowe.

Materiał poddany ciśnieniu hydrostatycznemu zachowuje się inaczej. Ciśnienie działa jednakowo we wszystkich kierunkach i zmienia objętość, nie powodując uprzywilejowanego kierunku ścinania. Odpowiedni moduł jest definiowany termodynamicznie przez NIST jako

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

gdzie $V$ oznacza objętość, $P$ — ciśnienie, a pochodna jest obliczana przy stałej temperaturze. Definicja ta, przytoczona w rozdziale podręcznika NIST z 1982 roku, pokazuje, dlaczego modułu objętościowego nie należy zastępować modułem $G$ w obliczeniach dotyczących skręcania lub ścinania.

Dla przybliżenia izotropowej stali gęstość energii odkształcenia sprężystego przy ścinaniu wynosi

$$u_s=\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{{\tau }^2}{2G}=\frac{1}{2}G{\gamma }^2.$$

Zmagazynowana energia jest odzyskiwana po usunięciu obciążenia, pod warunkiem że odkształcenie pozostaje w zakresie sprężystym i nie wystąpił żaden mechanizm zależny od czasu ani mechanizm uszkodzenia.

Skręcanie, fale poprzeczne i odpowiedź na ścinanie

Skręcanie jest praktycznym przejawem sprężystości na ścinanie. Gdy okrągły wał stalowy zostaje skręcony, przekroje poprzeczne obracają się względem siebie, a elementy materiału doświadczają odkształcenia ścinającego, które zwiększa się wraz z odległością od osi wału. Dla wału kołowego w warunkach skręcania Saint-Venanta obowiązuje zależność

$$T=\mathrm{GJ}\frac{\phi }{L},$$

gdzie $T$ oznacza moment skręcający, $J$ — biegunowy geometryczny moment bezwładności pola, $\phi$ — kąt skręcenia, a $L$ — długość wału. Po przekształceniu otrzymujemy

$$\frac{\phi }{L}=\frac{T}{\mathrm{GJ}}.$$

Wał o większej wartości $G$ skręca się mniej pod działaniem tego samego momentu skręcającego, pod warunkiem że jego geometria i warunki brzegowe pozostają niezmienione. Dla pełnego wału kołowego $J=\pi d^4/32$, natomiast dla pustego wału kołowego $J=\pi (d_o^4-d_i^4)/32$. Równania te mają zastosowanie w sprężystym zakresie skręcania i wymagają dodatkowego uwzględnienia w przypadku przekrojów niekołowych, deplanacji, plastyczności, naprężeń resztkowych oraz produktów anizotropowych.

Moduł ścinania można również wyznaczać na podstawie prędkości sprężystych fal poprzecznych. W ośrodku izotropowym prędkość fali poprzecznej, czyli fali ścinania, wynosi

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }},$$

a zatem

$$G=\rho v_T^2,$$

gdzie $\rho$ oznacza gęstość. Fala poprzeczna powoduje ruch cząstek prostopadły do kierunku propagacji. Jej siłą przywracającą jest sztywność na ścinanie, podczas gdy fala podłużna jest kontrolowana przez kombinację sztywności objętościowej i sztywności na ścinanie:

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}.$$

Pomiar obu prędkości fal pozwala zatem obliczyć więcej niż jedną stałą sprężystą, jeśli znana jest gęstość. Jest to pomiar dynamiczny: wynik odzwierciedla odpowiedź przy danej częstotliwości badania, temperaturze, stanie próbki i amplitudzie fali.

Norma ASTM E1875-20a określa wyznaczanie dynamicznego modułu Younga, modułu ścinania i współczynnika Poissona „metodą rezonansu akustycznego”. Metoda wykorzystuje częstotliwości rezonansowe związane z odpowiedzią podłużną oraz zginającą lub skrętną, a nie powolną, monotoniczną krzywą obciążenia. Wartości dynamiczne i statyczne mogą być zbliżone dla jednorodnej próbki stali w ograniczonym zakresie sprężystym, lecz nie należy automatycznie uznawać ich za identyczne.

Raport National Bureau of Standards dotyczący austenitycznej stali Fe-5Cr-26Mn pokazuje znaczenie warunków badania. Stałe sprężyste wyznaczono na podstawie prędkości dźwięku w trybie podłużnym i poprzecznym w zakresie 76–400 K. Zmiany temperatury wpływają na wiązania atomowe, rozszerzalność cieplną, stabilność fazową oraz tłumienie związane z defektami; w konsekwencji moduł zmierzony w temperaturze kriogenicznej nie musi być równy modułowi zmierzonemu w pobliżu temperatury pokojowej. Znaczenie mają również skład fazowy stali i jej tekstura krystalograficzna. Monokryształ wykazuje zależność od kierunku, podczas gdy polikryształ może zachowywać się jak materiał izotropowy tylko wtedy, gdy orientacje ziaren są dostatecznie losowe. Walcowanie, kucie, spawanie, produkty przemian fazowych i zachowana tekstura mogą powodować kierunkową odpowiedź na ścinanie.

Zależność między G, E i ν

Dla jednorodnej, izotropowej sprężystości liniowej podstawowa zależność ma postać

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Tutaj $E$ oznacza moduł Younga, a $\nu$ — współczynnik Poissona. Jeśli znane są dwie niezależne stałe, pozostałe stałe izotropowe można wyznaczyć. Zatem przedstawianie $E$, $G$ i $\nu$ jako trzech niezależnych, specyficznych dla gatunku liczb jest mechanicznie niespójne, chyba że omawiane są niepewność pomiaru, anizotropia, temperatura lub odstępstwo od przyjętego modelu.

Odpowiednia zależność dla modułu objętościowego wynosi

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

a bezpośredni związek między $K$ i $G$ ma postać

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Równania te są zależnościami wynikającymi z modelu, a nie uniwersalnymi regułami przeliczania dla każdego produktu stalowego. Zakładają małe odkształcenia, odwracalne zachowanie, jednorodność materiału, izotropię oraz temperaturę i warunki obciążenia, przy których stałe sprężyste pozostają w praktyce niezmienne. Zakładają również, że podane wartości odnoszą się do zgodnych definicji. Statyczny moduł wyznaczony w próbie rozciągania, dynamiczny moduł wyznaczony metodą rezonansową oraz moduł wyprowadzony z pomiaru fal mogą się różnić, ponieważ różne są ich częstotliwości i amplitudy odkształcenia.

Przybliżoną wartość referencyjną modułu objętościowego stali nierdzewnej, wynoszącą 163 GPa, podaje Engineering ToolBox w 2024 roku, jednak wartość ta nie jest uniwersalna dla każdego gatunku stali nierdzewnej, każdej temperatury, postaci wyrobu, równowagi fazowej ani metody badania. Ta sama ostrożność dotyczy $G$. Stale austenityczne, ferrytyczne, martenzytyczne i duplex mogą różnić się teksturą, udziałem faz, stanem magnetycznym i historią przetwarzania. Normy i specyfikacje projektowe mogą przypisywać reprezentatywną wartość izotropową do celów obliczeniowych, podczas gdy pomiar badawczy może ujawniać stałe zależne od kierunku.

W izotropowych obliczeniach projektowych $G=E/[2(1+\nu \left)\right]$ stanowi właściwe powiązanie między sztywnością na rozciąganie a sztywnością na ścinanie. W przypadku blach o wyraźnej teksturze, materiału w strefie oddziaływania spoiny, struktur odlewanych, monokryształów lub stali wielofazowej o wyraźnie kierunkowym zachowaniu może być natomiast konieczne zastosowanie pełnej anizotropowej macierzy sztywności. W takim ujęciu jedna skalarna wartość modułu ścinania nie może opisywać każdej płaszczyzny ścinania.

Moduł objętościowy K lub B a ściskanie objętościowe

Moduł objętościowy opisuje opór przeciwko jednorodnej zmianie objętości. Nie opisuje on oporu stalowego pręta przeciwko rozciąganiu wzdłuż jednej osi i nie jest wymienny z modułem Younga. Próba rozciągania wyznacza przede wszystkim moduł jednoosiowy, natomiast eksperyment ciśnieniowy wyznacza moduł objętościowy. Oba te moduły są ze sobą powiązane dopiero po określeniu modelu sprężystego i przyjętych w nim założeń.

W przypadku izotropowej sprężystości liniowej zwykle stosuje się symbole $K$ lub $B$ dla modułu objętościowego, $E$ dla modułu Younga, $G$ dla modułu ścinania oraz $\nu$ dla współczynnika Poissona. Nie są to cztery niezależnie regulowane stałe materiałowe. Jak wyjaśnia Elasticity of Solids wydawnictwa Springer, ciało izotropowe ma tylko dwie niezależne stałe sprężystości. Dokumentacja Sierra firmy Sandia wymienia powiązany zestaw parametrów: moduł Younga $E$, współczynnik Poissona $\nu$, moduł objętościowy $K$, moduł ścinania $G$, pierwszy parametr Lamégo $\lambda$ oraz $2\mu$; określenie $E$ i $\nu$ wyznacza wszystkie pozostałe.

Termodynamiczna definicja modułu objętościowego

National Institute of Standards and Technology definiuje izotermiczny moduł objętościowy jako

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

gdzie $V$ oznacza objętość, $P$ — ciśnienie, a indeks dolny $T$ oznacza, że pochodna jest wyznaczana przy stałej temperaturze. Znak minus jest konieczny, ponieważ wzrost ciśnienia zwykle powoduje zmniejszenie objętości, a więc $\partial P/\partial V$ jest ujemne.

Definicja ta opisuje lokalne nachylenie krzywej ciśnienie–objętość. Jest to wielkość różniczkowa, a nie po prostu iloraz ciśnienia i objętości dla dowolnie dużego zakresu sprężania. Dla małej zmiany:

$$\frac{\Delta V}{V}\approx -\frac{\Delta P}{B}.$$

Większa wartość $B$ oznacza zatem, że do uzyskania takiej samej względnej zmiany objętości potrzebna jest większa zmiana ciśnienia. Jednostką SI jest paskal, choć dane dla stali zwykle podaje się w gigapaskalach.

Kwalifikator „przy stałej temperaturze” ma istotne znaczenie. Materiał poddawany powolnemu ściskaniu może wymieniać ciepło z otoczeniem, podczas gdy szybka fala dźwiękowa może powodować odkształcenie niemal adiabatyczne. Pomiary dynamiczne mogą zatem odpowiadać innemu efektywnemu modułowi niż powolna próba mechaniczna. Samo ciśnienie również może zmieniać nachylenie krzywej, zwłaszcza gdy ściskanie jest na tyle duże, że stałe sprężystości nie mogą już być odpowiednio opisane za pomocą jednej stałej.

W przypadku ciała stałego poddanego ciśnieniu hydrostatycznemu naprężenia normalne są jednakowe we wszystkich trzech kierunkach:

$${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=-P.$$

Odpowiadające im odkształcenie jest odkształceniem objętościowym:

$${\epsilon }_v=\frac{\Delta V}{V}={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,$$

dla małego odkształcenia. Zależność konstytutywna ma wówczas postać

$$P=-K{\epsilon }_v.$$

Znak minus wynika z konwencji znaków, zgodnie z którą naprężenie rozciągające i odkształcenie rozciągające są dodatnie, natomiast ciśnienie ściskające jest dodatnie jako wielkość skalarna.

Ciśnienie hydrostatyczne a odkształcenie objętościowe

Ściskanie hydrostatyczne różni się od obciążenia jednoosiowego, mimo że w obu przypadkach występują naprężenia normalne. Rozważmy stalową próbkę rozciąganą podczas próby rozciągania. Przyłożone naprężenie osiowe powoduje wydłużenie wzdłuż osi, natomiast w dwóch kierunkach poprzecznych występuje skurcz wynikający z efektu Poissona. Moduł Younga definiuje się na podstawie naprężenia osiowego i odkształcenia osiowego w takim układzie obciążenia:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

w zakresie sprężystości liniowej.[4][4] Stress, Strain, and Elastic Modulus. OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

W warunkach ciśnienia hydrostatycznego żaden kierunek nie jest wyróżniony. Próbka kurczy się wzdłuż wszystkich trzech osi, a istotną miarą odpowiedzi jest suma trzech odkształceń normalnych. OpenStax wyraźnie wskazuje tę różnicę fizyczną: moduł Younga dotyczy obciążenia rozciągającego, moduł objętościowy — ściskania objętościowego, a moduł ścinania — odkształcenia ścinającego. Jednoosiowa próba rozciągania nie narzuca bezpośrednio stanu potrzebnego do pomiaru $K$.

Dla izotropowego ciała stałego w zakresie sprężystości liniowej moduły są powiązane zależnościami

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

oraz

$$E=3K(1-2\nu ).$$

Inna często stosowana zależność ma postać

$$E=2G(1+\nu ).$$

Zatem na podstawie podanych wartości $E$ i $\nu$ można obliczyć $K$, lecz wynik przejmuje uwarunkowania i niepewności związane z obiema wartościami wejściowymi. Jeżeli $E$ jest dynamicznym modułem wyznaczonym metodą rezonansową, a $\nu$ pochodzi z powolnej próby rozciągania, obliczony moduł objętościowy może nie odpowiadać jednemu wewnętrznie spójnemu stanowi pomiarowemu.

Wzór pokazuje również, dlaczego moduł objętościowy jest bardzo wrażliwy na współczynnik Poissona w pobliżu nieściśliwości. Dla nominalnej wartości $E=200$ GPa i $\nu =0.30$ dla stali:

$$K=\frac{200}{3(1-0.60)}\approx 167\text{GPa}.$$

Zmiana $\nu$ na 0.49 przy zachowaniu tej samej wartości $E$ daje

$$K=\frac{200}{3(1-0.98)}\approx 3333\text{GPa}.$$

Tak duża zmiana nie jest drobnym efektem zaokrąglenia. Wynika ona z tego, że mianownik zbliża się do zera, gdy $\nu$ zbliża się do 0.5. Niewielki błąd wartości $\nu$, a także wartość pobrana dla innej temperatury, częstotliwości, składu fazowego lub metody pomiaru, może spowodować znaczną zmianę obliczonego $K$.

Dlaczego metale często opisuje się jako prawie nieściśliwe

Metale często określa się jako prawie nieściśliwe, ponieważ ich odkształcenie objętościowe pod wpływem typowych ciśnień mechanicznych jest małe w porównaniu ze zmianą kształtu wywołaną ścinaniem lub naprężeniem jednoosiowym. Ich moduł objętościowy jest na ogół znacznie większy niż moduł ścinania. Ciśnienie może tylko nieznacznie zmienić objętość, podczas gdy porównywalny stan naprężenia umożliwiający zmianę kształtu może powodować bardziej zauważalną zmianę geometrii.

Określenie „prawie nieściśliwe” nie oznacza idealnej nieściśliwości. Stal nadal ma skończony moduł objętościowy, a jej gęstość zmienia się pod wpływem ciśnienia. Przybliżenie to jest użyteczne w analizie procesów kształtowania, mechanice plastyczności, obliczeniach oddziaływań płyn–konstrukcja oraz w innych sytuacjach, w których zmiany objętości są małe, lecz nie należy go stosować bez sprawdzenia modelu materiałowego. Odkształcenie plastyczne, przemiana fazowa, porowatość, uszkodzenie i podwyższona temperatura mogą zmieniać odpowiedź objętościową. Na przykład odlewu ze stali porowatej nie można traktować jako idealnego, zwartego i izotropowego ciała stałego wyłącznie dlatego, że jego osnowa metaliczna jest sztywna.

Przybliżenie to komplikuje również mikrostruktura stali. Stałe sprężystości monokryształu zależą od kierunku krystalograficznego. Polikrystaliczny agregat może zachowywać się w przybliżeniu izotropowo, gdy ziarna są losowo zorientowane, jednak walcowanie, kucie, przemiana fazowa i tekstura mogą prowadzić do powstania właściwości kierunkowych. Rozdział podręcznika NIST dotyczący stałych sprężystości monokryształów pokazuje, w jaki sposób na podstawie danych o sztywności monokryształów materiałów o strukturze regularnej i heksagonalnej można wyznaczyć quasi-izotropowe wartości $E$, $G$, $B$, modułu podłużnego oraz $\nu$ dla polikryształów. „Quasi-izotropowy” jest określeniem modelowym, a nie gwarancją, że każda postać wyrobu ma identyczne właściwości we wszystkich kierunkach.

Znaczenie mają również temperatura i skład fazowy. W raporcie National Bureau of Standards wyznaczono stałe sprężystości austenitycznej stali Fe-5Cr-26Mn w zakresie 76–400 K na podstawie prędkości propagacji fal dźwiękowych w trybie podłużnym i poprzecznym. Sam ten zakres temperatur pokazuje, dlaczego jednej wartości w temperaturze pokojowej nie można przypisać każdemu stanowi stali. Stale austenityczne, ferrytyczne, martenzytyczne i stale o mieszanym składzie fazowym mogą różnić się odpowiedzią sprężystą, a zgniot i tekstura mogą zmieniać zmierzone wartości kierunkowe.

Drugie źródło, Engineering ToolBox, podaje przybliżoną wartość 163 GPa dla „stali nierdzewnej”. Liczba ta może być wygodna do wstępnych obliczeń, ale nie jest uniwersalnym modułem objętościowym dla każdego gatunku stali nierdzewnej, każdej temperatury, postaci wyrobu, proporcji faz, tekstury ani warunków badania. Nie należy przedstawiać jej jako zmierzonej stałej wspólnej dla wszystkich stali nierdzewnych.

Kolejnym źródłem zmienności jest metoda pomiaru. Norma ASTM E1875-20a określa wyznaczanie dynamicznego modułu Younga, modułu ścinania i współczynnika Poissona „metodą rezonansu akustycznego”. Wartości te uzyskuje się na podstawie częstotliwości drgań i są one wrażliwe na gęstość, geometrię, tłumienie, temperaturę oraz częstotliwość. Statyczne dane z próby rozciągania odpowiadają na inne pytanie eksperymentalne. Dlatego w obliczeniach projektowych należy wskazać, czy moduł został zmierzony, czy wyprowadzony, czy jest statyczny, czy dynamiczny, czy dotyczy materiału izotropowego, czy kierunkowego, a także z jaką temperaturą i stanem materiału jest związany. Bez tych informacji podana wartość $K$ lub $B$ jest jedynie oszacowaniem warunkowym.

Współczynnik Poissona ν i odkształcenie poprzeczne w stali

Współczynnik Poissona, oznaczany symbolem ν (nu), opisuje sprężyste odkształcenie powstające prostopadle do przyłożonego obciążenia. W próbie rozciągania definiuje się go jako

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\mathrm{poprzeczna}}}{{\epsilon }_{\mathrm{podłużna}}}$$

gdzie odkształcenie podłużne zachodzi w kierunku obciążenia, a odkształcenie poprzeczne mierzy się w poprzek próbki. Znak minus sprawia, że ν ma wartość dodatnią dla typowej reakcji stali na rozciąganie: długość pomiarowa zwiększa się, natomiast szerokość i grubość maleją.

Definicja ta odnosi się do określonego kierunku badania sprężystego, temperatury, szybkości obciążania i stanu materiału. Nie jest to odrębne oznaczenie gatunku, które można dobierać niezależnie od modułu Younga, modułu ścinania czy modułu objętościowego. W przypadku izotropowego, jednorodnego i liniowo sprężystego ciała tylko dwie stałe sprężystości są niezależne. Sandia National Laboratories wymienia powiązane stałe izotropowe: moduł Younga $E$, współczynnik Poissona $\nu$, moduł objętościowy $K$, moduł ścinania $G$, pierwszą stałą Lamégo $\lambda$ oraz $2\mu$; podanie wartości $E$ i $\nu$ wyznacza pozostałe. Publikacja Springera Elasticity of Solids również stwierdza, że ciało izotropowe ma „tylko dwie” niezależne stałe sprężystości.

Dla izotropowej stali przy małych odkształceniach sprężystych podstawowe zależności mają postać

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

oraz

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Te same zależności można przekształcić do postaci

$$\nu =\frac{E}{2G}-1$$

lub

$$\nu =\frac{3K-E}{6K}.$$

Są to zależności konstytutywne, a nie niezależne sposoby przypisywania dowolnych danych materiałowych. Jeżeli tabela podaje wartości $E$, $G$, $K$ i ν, które nie spełniają tych zależności, wartości te mogły zostać zmierzone różnymi metodami, w różnych temperaturach lub przy odmiennych założeniach. Mogą również opisywać materiał anizotropowy za pomocą przybliżeń izotropowych.

Skurcz osiowy podczas rozciągania

Rozważmy stalową próbkę rozciąganą, której oś jest zgodna z kierunkiem obciążenia. Naprężenie rozciągające powoduje dodatnie odkształcenie osiowe,

$${\epsilon }_L=\frac{\Delta L}{L},$$

podczas gdy średnica ulega zmniejszeniu. Jeżeli początkowa średnica wynosi $d$, odkształcenie poprzeczne jest w przybliżeniu równe

$${\epsilon }_T=\frac{\Delta d}{d}.$$

W zakresie sprężystym

$${\epsilon }_T=-\nu {\epsilon }_L.$$

Zatem jeżeli próbka ma osiowe odkształcenie sprężyste równe $0,001$, a ν wynosi 0,30, jej odkształcenie poprzeczne wynosi w przybliżeniu $-0,0003$. Długość zwiększa się o 0,10%, natomiast średnica zmniejsza się o 0,03%. Przykład liczbowy opisuje wyłącznie odkształcenie; nie przypisuje uniwersalnej wartości każdemu gatunkowi stali ani każdej postaci wyrobu.

Stosunek ten jest bezwymiarowy, ponieważ zarówno licznik, jak i mianownik są odkształceniami. Zależy on również od sposobu zdefiniowania odkształceń. Odkształcenie inżynierskie, odkształcenie rzeczywiste, składowe tensora odkształcenia przy małych odkształceniach oraz odkształcenia sieczne mogą prowadzić do nieco odmiennych wyników, gdy deformacja przestaje być bardzo mała. W projektowaniu liniowo sprężystym współczynnik Poissona zwykle odnosi się do początkowego nachylenia charakterystyki w zakresie odkształceń odzyskiwalnych, przed wystąpieniem płynięcia, deformacji Lüdersa, płynięcia plastycznego, pękania lub innych efektów nieliniowych.

Reakcje osiowa i boczna są ze sobą sprzężone. Próbka rozciągana nie wydłuża się po prostu przy zachowaniu początkowych wymiarów przekroju. W przypadku przekroju prostokątnego lub cylindrycznego zmniejszenie szerokości i grubości wpływa na zmianę objętości. Przy małych odkształceniach odkształcenie objętościowe wynosi w przybliżeniu

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L+{\epsilon }_{T1}+{\epsilon }_{T2}.$$

Dla izotropowego stanu rozciągania, w którym odkształcenia poprzeczne są równe,

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L(1-2\nu ).$$

Wyrażenie to pokazuje, dlaczego ν ma znaczenie w modelach elementów skończonych i obliczeniach konstrukcyjnych. Nieprawidłowe przyjęcie ν zmienia przewidywany skurcz poprzeczny, reakcję objętościową, naprężenie hydrostatyczne, a niekiedy także pozorną sztywność obszarów o ograniczonej swobodzie odkształcenia.

Stal nie jest pojedynczą izotropową substancją w każdej skali. Polikryształ o losowej orientacji ziaren może zbliżać się do zachowania izotropowego, gdy uczestniczy w nim wiele ziaren, a tekstura jest słaba. Blacha walcowana, drut ciągniony, pręt kuty, strefy spawane i materiały wytwarzane przyrostowo mogą zachowywać uprzywilejowane orientacje krystalograficzne lub przestrzennie zmienne rozkłady faz. W takich przypadkach odkształcenie poprzeczne zależy od kierunku obciążenia i pomiaru. Pojedyncza skalarna wartość ν może być wówczas dogodną średnią inżynierską, a nie pełnym opisem materiału.

Zmiana objętości i granica ν = 0,5

Moduł objętościowy opisuje odporność na równomierne ściskanie, podczas gdy moduł Younga opisuje rozciąganie lub ściskanie osiowe, a moduł ścinania — zmianę kształtu pod wpływem ścinania. OpenStax przedstawia to rozróżnienie bezpośrednio: moduł Younga odnosi się do obciążenia rozciągającego, moduł objętościowy do ściskania objętościowego, a moduł ścinania do deformacji ścinającej.

Termodynamiczna definicja modułu objętościowego ma postać

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

jak podaje National Institute of Standards and Technology w publikacji z 1982 roku. $P$ oznacza ciśnienie, $V$ — objętość, a pochodna jest wyznaczana przy stałej temperaturze. Izotropowe równanie liniowej sprężystości $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$ wiąże tę reakcję objętościową z jednoosiowymi danymi sprężystymi tylko wtedy, gdy założenia izotropowości są właściwe.

Gdy ν zbliża się do 0,5, mianownik $1-2\nu$ zbliża się do zera, a obliczony moduł objętościowy dąży do nieskończoności dla skończonej wartości $E$. Jest to granica nieściśliwości: deformacja może zmieniać kształt, ale nie objętość. Materiały podobne do gumy mogą zbliżać się do tego stanu, ponieważ ich reakcja objętościowa jest znacznie sztywniejsza niż reakcja na ścinanie. Zwykłe stale nie są nieściśliwe, chociaż ich moduł objętościowy jest znacznie większy od modułu ścinania.

Granica ta ujawnia również problem numeryczny. Ponieważ $K$ zawiera czynnik $1-2\nu$, niewielki błąd wartości ν może powodować duży błąd względny obliczonego $K$, szczególnie gdy ν jest bliskie 0,5. Różniczkowanie zależności daje

$$\frac{\partial K}{\partial \nu }=\frac{2E}{3(1-2\nu {)}^2}$$

przy stałym $E$. Mianownik podniesiony do kwadratu zwiększa wrażliwość. Niepewność wynosząca zaledwie kilka tysięcznych w wartości ν może mieć niewielki wpływ na przybliżone obliczenia osiowe, ale znacząco wpłynąć na podany moduł objętościowy.

W opracowaniu Engineering ToolBox podano przybliżony moduł objętościowy stali nierdzewnej wynoszący 163 GPa. Wartość ta jest szacunkiem pochodzącym ze źródła wtórnego, a nie uniwersalną wartością dla każdego gatunku stali nierdzewnej, każdej temperatury, postaci wyrobu, składu fazowego ani metody badania. Stale austenityczne, ferrytyczne, martenzytyczne, duplex oraz stale utwardzane wydzieleniowo mogą różnić się teksturą, udziałem faz, liczbą defektów i reakcją na temperaturę.

Pomiar i interpretacja ν

Współczynnik Poissona można wyznaczyć na podstawie jednoczesnych pomiarów odkształcenia osiowego i poprzecznego podczas próby rozciągania lub ściskania. Ekstensometry, naklejane tensometry, układy optyczne i cyfrowa korelacja obrazu mogą mierzyć obie składowe odkształcenia, jednak sygnał poprzeczny jest często mniejszy i bardziej wrażliwy na niewspółosiowość, przygotowanie powierzchni, geometrię odcinka pomiarowego oraz szum. Niewspółosiowość może powodować zginanie, a nieprawidłowe umieszczenie czujnika może łączyć kierunki podłużny i poprzeczny.

Druga metoda polega na wyznaczeniu ν na podstawie niezależnie zmierzonych prędkości fal sprężystych. Prędkości fal podłużnych i ścinających dostarczają dynamicznych informacji o właściwościach sprężystych; dla ciała izotropowego

$$G=\rho v_S^2$$

oraz

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_S^2),$$

gdzie $\rho$ oznacza gęstość, $v_S$ — prędkość fali ścinającej, a $v_L$ — prędkość fali podłużnej. Otrzymane wartości $E$ i ν opisują reakcję o małej amplitudzie i skończonej częstotliwości, która nie musi odpowiadać wartości uzyskanej w powolnej próbie rozciągania. Norma ASTM E1875-20a określa wyznaczanie dynamicznego modułu Younga, modułu ścinania i współczynnika Poissona „metodą rezonansu akustycznego”.[5][5] Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

Zmiany temperatury wpływają zarówno na sztywność sprężystą, jak i na prędkość fal. W raporcie National Bureau of Standards zmierzono stałe sprężystości austenitycznej stali Fe-5Cr-26Mn w zakresie 76–400 K, wykorzystując prędkości fal dźwiękowych w trybie podłużnym i poprzecznym. Zakres ten pokazuje, dlaczego wartości zmierzonej w pobliżu temperatury pokojowej nie należy automatycznie przenosić na zastosowania kriogeniczne ani na projektowanie w podwyższonej temperaturze.

Tekstura i anizotropia krystalograficzna stanowią dodatkowe czynniki wymagające uwzględnienia. Sprężyste sztywności monokryształów można przeliczyć na quasi-izotropowe wartości $E$, $G$, $K$ i ν dla polikryształu wyłącznie za pomocą modelu uśredniania uwzględniającego symetrię kryształu i rozkład orientacji. Blacha walcowana może zatem wykazywać różne stosunki dla obciążenia w kierunku walcowania, w kierunku poprzecznym oraz w kierunku przez grubość. Rezonans dynamiczny może również obejmować inną efektywną objętość i amplitudę odkształcenia niż statyczna próba rozciągania.

W projektowaniu wartość ν powinna odpowiadać zamierzonemu modelowi konstytutywnemu i warunkom badania. Skalarnej wartości izotropowej należy używać tylko wtedy, gdy postać wyrobu, tekstura, temperatura, zakres odkształcenia i wymagana dokładność uzasadniają takie uproszczenie. W przeciwnym razie kierunkowe stałe sprężystości lub pełna anizotropowa macierz sztywności są bardziej uzasadnione niż traktowanie czterech podanych modułów jako niezależnych liczb specyficznych dla gatunku.

Pełny zestaw zależności między modułami dla materiału izotropowego

Dla jednorodnego, liniowo sprężystego ciała stałego o właściwościach izotropowych cztery powszechnie podawane moduły nie są czterema niezależnymi stałymi materiałowymi. Moduł Younga $E$, moduł ścinania $G$, moduł objętościowy $K$ lub $B$ oraz współczynnik Poissona $\nu$ opisują różne rodzaje odkształcenia, lecz ich wartości są ze sobą powiązane. Dowolne dwie odpowiednie stałe wyznaczają pozostałe wielkości.

Stwierdzenie to wymaga spełnienia określonych warunków. Materiał należy traktować jako izotropowy, zależność naprężenie–odkształcenie musi być liniowa w rozpatrywanym zakresie, a moduły muszą odnosić się do tej samej temperatury, gęstości, składu fazowego, uśrednienia tekstury krystalograficznej, częstotliwości oraz konwencji pomiarowej. Moduł zmierzony podczas próby rozciągania przy małym odkształceniu nie jest automatycznie równoważny modułowi dynamicznemu wyznaczonemu na podstawie prędkości dźwięku. W przypadku anizotropowego monokryształu poniższe równania izotropowe nie odtwarzają pełnej odpowiedzi kierunkowej.

OpenStax (2020) jasno przypisuje poszczególnym wielkościom ich role fizyczne: $E$ opisuje odkształcenie rozciągające lub jednoosiowe, $G$ opisuje odkształcenie ścinające, a moduł objętościowy opisuje ściskanie objętościowe. Opracowanie NIST z 1982 roku definiuje termodynamiczny moduł objętościowy jako

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

gdzie $V$ oznacza objętość, $P$ — ciśnienie, a pochodna jest wyznaczana przy stałej temperaturze. W zakresie małych odkształceń i liniowej teorii sprężystości ta definicja termodynamiczna odpowiada sztywności objętościowej stosowanej w poniższych zależnościach, pod warunkiem że rozpatruje się ten sam stan i to samo przybliżenie sprężyste.

Przeliczanie między $E$, $G$, $K$ i $\nu$

Pełny zestaw równań liniowej teorii sprężystości dla materiału izotropowego ma postać:

\[ \boxed{G=\frac{E}{2(1+\nu)}} \]

\[ \boxed{K\ \text{lub}\ B=\frac{E}{3(1-2\nu)}} \]

\[ \boxed{E=\frac{9KG}{3K+G}} \]

\[ \boxed{\nu=\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \]

\[ \boxed{\lambda=K-\frac{2G}{3}} \]

\[ \boxed{\mu=G} \]

Pierwsze równanie przelicza moduł Younga i współczynnik Poissona na moduł ścinania. Zakłada ono izotropowe prawo konstytutywne oraz nieskończenie małe, liniowe odkształcenie sprężyste. Drugie równanie przelicza $E$ i $\nu$ na moduł objętościowy. Zakłada ono również, że zmierzony współczynnik Poissona jest izotropowym współczynnikiem sprężystym, a nie wartością zależną od kierunku, uzyskaną dla próbki anizotropowej.

Trzecie równanie pozwala obliczyć $E$ na podstawie $K$ i $G$, natomiast czwarte — $\nu$ na podstawie tych samych dwóch modułów. Równania te są przekształceniami algebraicznymi tego samego izotropowego modelu konstytutywnego; nie stanowią niezależnych kontroli eksperymentalnych, chyba że wartości wejściowe pochodzą z odrębnych pomiarów. Jeżeli podawane są jednocześnie $E$, $G$ i $\nu$, należy oczekiwać niewielkich rozbieżności wynikających z niepewności pomiarowej, zaokrągleń, różnic temperatury, porowatości, tekstury krystalograficznej lub odstępstw od izotropii.

Dla stabilnego, zwykłego izotropowego ciała sprężystego ograniczenia mają na ogół postać

\[ G>0,\qquad K>0,\qquad -1<\nu<\frac{1}{2}. \]

Szczególnie istotna jest górna granica wartości $\nu$. Gdy $\nu$ zbliża się do $0,5$, wyrażenie $1-2\nu$ dąży do zera, a obliczony moduł objętościowy staje się bardzo duży w porównaniu z $E$. Materiał prawie nieściśliwy może zatem mieć skończony moduł rozciągania, lecz znacznie większą sztywność objętościową. Stal jest ściśliwa, dlatego przyjęcie $\nu =0,5$ jako dokładnej wartości dla stali prowadziłoby do osobliwości przeliczenia, a nie do użytecznej informacji.

Równania te mają zastosowanie do efektywnych właściwości izotropowych polikryształu, gdy różnice kierunkowe zostały dostatecznie uśrednione. Rozdział podręcznika NIST dotyczący sprężystych stałych monokryształów pokazuje, dlaczego to zastrzeżenie ma znaczenie: efektywne wartości $E$, $G$, $B$, modułu podłużnego i $\nu$ można wyznaczyć na podstawie danych o sztywności monokryształu dla materiałów o strukturze regularnej i heksagonalnej, jednak procedura uśredniania zależy od symetrii kryształu i tekstury. Blacha walcowana, metal spoiny, struktura odlewnicza oraz wyżarzony polikryształ o losowej orientacji mogą wykazywać różne kierunkowe odpowiedzi sprężyste, nawet gdy ich opisy chemiczne są podobne.

Stałe te mogą również opisywać różne zakresy częstotliwości. Norma ASTM E1875-20a, opublikowana przez ASTM International w 2020 roku, określa wyznaczanie dynamicznego modułu Younga, modułu ścinania i współczynnika Poissona „metodą rezonansu dźwiękowego”. Wartości dynamiczne uzyskuje się na podstawie częstotliwości rezonansowych i są one związane z szybkim obciążeniem o małej amplitudzie. Moduł ze statycznej próby rozciągania może się różnić z powodu podatności aparatury, mikrolepkoplastyczności, tarcia wewnętrznego, porowatości, temperatury lub innych odstępstw od idealnego modelu sprężystego. Równania przeliczeniowe pozostają prawidłowe tylko wtedy, gdy stałe wejściowe należą do zgodnego opisu konstytutywnego.

Wartość referencyjną, taką jak przybliżony moduł objętościowy stali nierdzewnej wynoszący $163\text{GPa}$, podawany przez Engineering ToolBox, należy zatem traktować jako oszacowanie wtórne, a nie jako wartość uniwersalną dla każdego gatunku stali nierdzewnej, każdej postaci wyrobu, temperatury, proporcji faz lub metody badania. Oznaczenie „stal nierdzewna” obejmuje znacząco różne materiały, w tym gatunki austenityczne, ferrytyczne, martenzytyczne, utwardzane wydzieleniowo oraz duplex. Ich odpowiedź sprężysta może również zmieniać się pod wpływem zgniotu i temperatury.

Parametry Lamégo $\lambda$ i $\mu$

Parametry Lamégo stanowią inny sposób przedstawienia tego samego izotropowego prawa sprężystości. Drugi parametr Lamégo wynosi

$$\mu =G,$$

zatem $\mu$ jest po prostu modułem ścinania zapisanym w notacji Lamégo. Pierwszy parametr Lamégo ma postać

$$\lambda =K-\frac{2G}{3}.$$

Można go również zapisać jako

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}.$$

W notacji tensorowej izotropową zależność naprężenie–odkształcenie zapisuje się zwykle jako

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

gdzie ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ jest tensorem naprężenia, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ — tensorem odkształcenia, ${\epsilon }_{\mathrm{kk}}$ — odkształceniem objętościowym, a ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ — deltą Kroneckera. Mnożnik $2\mu$ działa na dewiatorową i ścinającą składową tensora odkształcenia; nie definiuje on odrębnego modułu fizycznego względem $G$.

Dokumentacja Sandia dotycząca Sierra wymienia sześć powiązanych izotropowych stałych sprężystych: moduł Younga $E$, współczynnik Poissona $\nu$, moduł objętościowy $K$, moduł ścinania $G$, pierwszy parametr Lamégo $\lambda$ oraz $2\mu$. Wyjaśnia to częstą pułapkę w oprogramowaniu i notacji elementów skończonych. Karta materiałowa może wymagać wartości „$2\mu$”, ponieważ równanie konstytutywne wykorzystuje właśnie ten współczynnik, podczas gdy inny interfejs wymaga $G$ lub $\mu$. Wprowadzenie $G$ w miejscu, w którym wymagane jest $2\mu$, prowadziłoby do błędu o współczynniku dwa.

Publikacja Springera Sprężystość ciał stałych z 2020 roku formułuje zasadę podstawową bezpośrednio: dla izotropowego ciała stałego niezależne są tylko dwie stałe sprężyste. Sformułowanie Sandia również wskazuje, że $E$ i $\nu$ wyznaczają pozostałe stałe. Sześć nazw opisuje sześć powiązanych wielkości, a nie sześć niezależnie regulowanych właściwości gatunku materiału.

Jednostki, oznaczenia oraz konflikty oznaczeń między $K$ i $B$

$E$, $G$, $K$, $B$, $\lambda$ i $\mu$ mają jednostki naprężenia: w układzie SI są to paskale, a w przypadku stali wartości są zwykle podawane w gigapaskalach ($\text{GPa}$). Współczynnik Poissona $\nu$ jest bezwymiarowy. Ponieważ $1\text{GPa}={10}^9\text{Pa}$, wszystkie wielkości wejściowe o charakterze naprężenia muszą być wyrażone w tej samej jednostce przed zastosowaniem dowolnego równania.

Symbol $K$ jest powszechnie stosowany w mechanice ośrodków ciągłych i dokumentacji dotyczącej elementów skończonych na oznaczenie modułu objętościowego. NIST i wiele opracowań materiałoznawczych stosują symbol $B$, często dlatego, że angielska nazwa „bulk modulus” zaczyna się od litery B. W powyższych równaniach symbole te oznaczają zwykle tę samą wielkość:

$$K=B.$$

Nie są to dwie różne stałe stali. Konflikt oznaczeń nabiera znaczenia, gdy jeden podręcznik stosuje $K$ na moduł objętościowy, a inna dziedzina używa $K$ na macierz sztywności, współczynnik przewodnictwa cieplnego lub wielkość związaną z intensywnością naprężenia. O interpretacji musi decydować definicja podana w danym kontekście.

Na koniec należy podkreślić, że zależności te opisują stałe sprężyste, a nie każdą sztywność mierzoną podczas eksploatacji. Dane zależne od temperatury, przemiany fazowe, efekty magnetyczne, tekstura krystalograficzna, naprężenia szczątkowe i częstotliwość mogą zmieniać mierzoną odpowiedź. Raport National Bureau of Standards z 1981 roku dotyczący austenitycznej stali Fe-5Cr-26Mn wyznaczał na przykład stałe sprężyste w zakresie 76–400 K na podstawie prędkości dźwięku w trybie podłużnym i poprzecznym. Już sam ten zakres temperatur pokazuje, dlaczego pojedyncza, nieopatrzona dodatkowymi warunkami liczba opisująca moduł nie może reprezentować wszystkich warunków. Równania zapewniają ramy przeliczeniowe, natomiast stan, w którym przeprowadzono badanie, decyduje o tym, które wartości należy w nich zastosować.

Sprężystość monokryształów, krystalografia stali i uśrednianie właściwości polikrystalicznych

Stal nie jest sprężysta w dokładnie tym samym sensie matematycznym na każdej skali strukturalnej. Pojedynczy kryształ ma właściwości związane z kierunkami swojej sieci krystalicznej, podczas gdy wyrób stalowy stosowany w inżynierii zwykle zawiera wiele ziaren o różnej orientacji, faz, defektów i naprężeń własnych. Traktowanie modułu zmierzonego w tym drugim przypadku tak, jakby był uniwersalną właściwością pierwszego, może prowadzić do mylących obliczeń.

Rozróżnienie to wynika z symetrii kryształu. Stale ferrytyczne mają strukturę krystaliczną regularną przestrzennie centrowaną (BCC), stale austenityczne mają strukturę regularną ściennie centrowaną (FCC), natomiast martenzyt jest powszechnie opisywany jako struktura tetragonalna przestrzennie centrowana, choć jej tetragonalność zależy od zawartości węgla i historii odpuszczania. Struktury te nie przenoszą odkształcenia sprężystego identycznie w każdym kierunku krystalograficznym. Polikryształ może wydawać się niemal izotropowy dopiero po uśrednieniu kierunkowych odpowiedzi wielu ziaren.

Tensory sztywności sprężystej w kryształach regularnych

Sprężystość liniowa wiąże naprężenie z odkształceniem za pomocą tensora sztywności czwartego rzędu:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=C_{\mathrm{ijkl}}{\epsilon }_{\mathrm{kl}}.$$

Tensor zawiera składowe sztywności sprężystej $C_{\mathrm{ijkl}}$, natomiast jego odwrotność zawiera składowe podatności sprężystej $S_{\mathrm{ijkl}}$. Symetria kryształu zmniejsza liczbę niezależnych składników. Całkowicie ogólny anizotropowy ośrodek stały może wymagać 21 niezależnych stałych sprężystych, lecz kryształ regularny wymaga tylko trzech: $C_{11}$, $C_{12}$ i $C_{44}$.

W skróconym zapisie macierzowym macierz sztywności kryształu regularnego ma postać

\[ \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2\\ \sigma_3\\ \sigma_4\\ \sigma_5\\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\ 0&0&0&C_{44}&0&0\\ 0&0&0&0&C_{44}&0\\ 0&0&0&0&0&C_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \varepsilon_3\\ \varepsilon_4\\ \varepsilon_5\\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}. \]

Trzy stałe pełnią różne funkcje. $C_{11}$ opisuje odpowiedź na naprężenie normalne wzdłuż osi kryształu regularnego, $C_{12}$ opisuje sprzężenie odkształcenia normalnego między osiami prostopadłymi, a $C_{44}$ opisuje odpowiedź na ścinanie na głównej płaszczyźnie krystalograficznej. Są to sztywności, a nie wzajemnie zamienne odpowiedniki modułu Younga lub modułu ścinania.

Użytecznym wskaźnikiem anizotropii kryształu regularnego jest współczynnik Zenera:

$$A=\frac{2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}.$$

Gdy $A=1$, sprężysta odpowiedź kryształu regularnego ma taką samą postać kierunkową jak odpowiedź ośrodka izotropowego. Wartości odbiegające od jedności wskazują na zależność od orientacji. Sam współczynnik nie określa modułu wyrobu stalowego; opisuje symetrię sprężystą kryształu, gdy odpowiednie stałe monokryształu zostały zmierzone lub obliczone.

Rozdział NIST dotyczący monokryształów, opublikowany w 1982 roku, pokazuje, w jaki sposób dane dotyczące sztywności można przekształcić w właściwości uśrednione dla materiałów regularnych i heksagonalnych. Dla kryształu regularnego moduł objętości związany z jednorodnym odkształceniem hydrostatycznym wynosi

$$B=\frac{C_{11}+2C_{12}}{3}.$$

Jest to zgodne z definicją termodynamiczną podaną przez NIST:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Moduł ścinania i moduł Younga monokryształu nadal zależą od kierunku, mimo że hydrostatyczna odpowiedź objętościowa kryształu regularnego jest ograniczona przez jego symetrię. Kierunek taki jak $\left[100\right]$, $\left[110\right]$ lub $\left[111\right]$ może dawać inną wartość modułu przy rozciąganiu, ponieważ przyłożone naprężenie rozkłada się w odmienny sposób względem sieci krystalicznej.

W przypadku materiału izotropowego niezależne są tylko dwie stałe sprężyste, jak opisano w rozdziale Elasticity of Solids wydawnictwa Springer z 2020 roku. Dokumentacja Sierra firmy Sandia wymienia powiązany izotropowy zestaw obejmujący moduł Younga $E$, współczynnik Poissona $\nu$, moduł objętości $K$, moduł ścinania $G$, pierwszy parametr Lamégo $\lambda$ oraz $2\mu$; dowolne dwie odpowiednie wielkości wyznaczają pozostałe. Redukcja ta nie ma zastosowania do kryształu tylko dlatego, że kryształ jest mały albo że jego odkształcenie pozostaje sprężyste. Wynika ona z symetrii izotropowej.

Tekstura i moduł zależny od kierunku

Orientację kryształu zwykle wyraża się za pomocą jego kierunku krystalograficznego i płaszczyzny w odniesieniu do osi próbki. W polikrystalicznej blasze funkcja rozkładu orientacji opisuje rozkład orientacji ziaren. Tekstura rozwija się, gdy proces technologiczny sprzyja określonym obrotom sieci krystalicznej, szczególnie podczas walcowania, rekrystalizacji i późniejszej przemiany fazowej.

Zmierzony moduł przy rozciąganiu w kierunku walcowania nie musi zatem być równy modułowi w kierunku poprzecznym do kierunku walcowania ani w kierunku przez grubość blachy. Różnica wynika z ważonego orientacją sumowania odpowiedzi ziaren, a nie z istnienia nowego, niezależnego „modułu Younga w kierunku walcowania”, który zastępowałby podstawowy tensor sztywności. Model elementów skończonych może uwzględniać to zachowanie poprzez przypisanie materiałowi w układzie współrzędnych anizotropowego tensora sztywności albo poprzez przypisanie właściwości na poziomie kryształów wielu orientacjom.

Walcowana stal niskowęglowa, ferrytyczna stal nierdzewna oraz blacha przetwarzana z wykorzystaniem przemian fazowych mogą wykazywać teksturę powstałą w wyniku odkształcenia i rekrystalizacji. W stali kutej może rozwinąć się zależny od kierunku przepływ ziaren i tekstura wokół osi odkuwki. Stal odlewana często ma bardziej zróżnicowany rozkład orientacji, jednak krzepnięcie nadal może prowadzić do powstawania ziaren słupkowych, segregacji, gradientów fazowych lub uprzywilejowanych orientacji. Żadna z tych metod przetwarzania nie gwarantuje ani izotropii, ani określonej wartości anizotropii.

Stal wytwarzana addytywnie stwarza kolejny problem związany z orientacją. Cykliczne oddziaływanie cieplne warstwa po warstwie może powodować powstawanie ziaren słupkowych ustawionych wzdłuż kierunku budowania, podczas gdy strategia skanowania, geometria jeziorka ciekłego metalu, ponowne nagrzewanie i obróbka cieplna zmieniają rozkład orientacji oraz skład fazowy. Moduł zmierzony równolegle do kierunku budowania może zatem różnić się od modułu zmierzonego poprzecznie do tego kierunku. Zgłaszanej wartości powinny towarzyszyć informacje o kierunku, położeniu próbki, obróbce cieplnej, porowatości i metodzie badania.

Tekstura wpływa również na współczynnik Poissona i moduł ścinania. Próba rozciągania może podawać odpowiedź odkształcenia osiowego, podczas gdy metoda rezonansowa wyznacza kilka stałych dynamicznych na podstawie modów drgań. Norma ASTM E1875-20a określa wyznaczanie dynamicznego modułu Younga, modułu ścinania i współczynnika Poissona „metodą rezonansu akustycznego”. Te wartości dynamiczne nie są automatycznie identyczne z wartościami statycznymi uzyskanymi w powolnej próbie rozciągania, zwłaszcza gdy na odpowiedź wpływają tłumienie, mikropęknięcia, porowatość, temperatura lub częstotliwość.

Przybliżone wartości dla quasi-izotropowych polikryształów

Gdy orientacje ziaren są dostatecznie rozproszone, różnice kierunkowe mogą uśredniać się do małych wartości w skali próbki. Inżynierowie opisują wówczas uśredniony materiał jako quasi-izotropowy: nie jest on doskonale izotropowy w każdym ziarnie ani w każdej objętości lokalnej, lecz może być odpowiednio reprezentowany przez stałe izotropowe na potrzeby danego obliczenia. To określenie ma znaczenie. Wskazuje na przybliżenie, a nie na twierdzenie, że cała anizotropia krystalograficzna zanikła.

Wartości dla polikryształów można szacować na podstawie danych dotyczących sztywności lub podatności monokryształów, wykorzystując granice i schematy uśredniania. Oszacowanie Voigta zakłada jednorodne odkształcenie we wszystkich ziarnach, natomiast oszacowanie Reussa zakłada jednorodne naprężenie. Ich przewidywania na ogół się różnią, ponieważ żaden z tych warunków nie reprezentuje dokładnie każdego niejednorodnego uśrednionego materiału. Oszacowanie Hilla, zwykle przyjmowane jako średnia arytmetyczna wyników Voigta i Reussa, często służy jako praktyczne przybliżenie pośrednie. Oszacowania te wymagają określenia symetrii kryształu, rozkładu orientacji i składu fazowego.

Dla uśrednionego materiału quasi-izotropowego wynikające wartości $E$, $G$, $B$ i $\nu$ spełniają znane zależności izotropowe:

$$E=2G(1+\nu ),$$

$$E=3B(1-2\nu ),$$

oraz

$$E=\frac{9\mathrm{BG}}{3B+G}.$$

Zatem po wybraniu dwóch niezależnych stałych uśrednionego materiału pozostałe można wyznaczyć. Tabela referencyjna może podawać przybliżony moduł objętości równy 163 GPa dla stali nierdzewnej, jak zrobiło to Engineering ToolBox w 2024 roku, lecz wartość ta jest oszacowaniem wtórnym, a nie uniwersalną wartością dla każdego gatunku stali nierdzewnej, każdej temperatury, postaci wyrobu, równowagi fazowej czy metody pomiaru.

Raport National Bureau of Standards dotyczący austenitycznej stali Fe-5Cr-26Mn bezpośrednio ilustruje problem pomiaru: stałe sprężyste wyznaczono w zakresie 76–400 K na podstawie prędkości dźwięku w modzie podłużnym i poprzecznym. Temperatura zmienia odstępy międzyatomowe w sieci, stabilność faz, ruchliwość defektów i prędkość fali, dlatego uzyskane stałe opisują określone warunki badania. W projektowaniu zestaw quasi-izotropowy może być odpowiedni dla odlewu lub wyrobu wyżarzonego o słabej teksturze. Silnie walcowana blacha, element kuty, spoina lub wyrób wytworzony addytywnie mogą natomiast wymagać danych kierunkowych. Właściwy moduł nie jest więc po prostu liczbą przypisaną do gatunku stali; jest to wartość związana z rodzajem odkształcenia, orientacją, temperaturą, mikrostrukturą i metodą badania.

Jak mierzy się stałe sprężystości stali

Stałe sprężystości stali mierzy się albo na podstawie odpowiedzi siła–przemieszczenie, albo na podstawie propagacji i rezonansu fal mechanicznych. Metody te nie zawsze dają tę samą wartość liczbową modułu. Próba rozciągania rejestruje nachylenie przy niemal statycznym obciążeniu o określonej szybkości, podczas gdy metody akustyczne i ultradźwiękowe mierzą odpowiedź o wysokiej częstotliwości i małej amplitudzie. Na wynik mogą wpływać temperatura, struktura ziaren, tekstura krystalograficzna, porowatość, skład fazowy, naprężenia resztkowe, geometria próbki oraz definicja mierzonego rodzaju drgań.

Dla izotropowego, liniowo sprężystego ciała stałego tylko dwie stałe sprężystości są niezależne. Moduł Younga $E$, moduł ścinania $G$, moduł objętościowy $K$ lub $B$, współczynnik Poissona $\nu$, pierwszy parametr Lamégo $\lambda$ oraz $2\mu$ opisują powiązane aspekty tej samej odpowiedzi konstytutywnej; Sandia National Laboratories wymienia ten zestaw i stwierdza, że $E$ oraz $\nu$ wyznaczają pozostałe wielkości. Metoda pomiaru ma zatem znaczenie nawet wtedy, gdy raportowane wielkości mają dobrze znane nazwy. Moduł Younga opisuje wydłużenie osiowe, moduł objętościowy opisuje zmianę objętości pod wpływem ciśnienia hydrostatycznego, a moduł ścinania opisuje odkształcenie kątowe.

Mechaniczne metody rozciągania i ściskania

Konwencjonalna metoda rozciągania pozwala wyznaczyć statyczny lub quasi-statyczny moduł Younga na podstawie nachylenia początkowego liniowego odcinka krzywej naprężenie–odkształcenie:

$$E=\frac{d\sigma }{d\epsilon }.$$

Obrobiona mechanicznie próbka stalowa jest obciążana rozciągająco, podczas gdy ekstensometr, tensometr lub układ optyczny mierzy odkształcenie osiowe. Użyteczne nachylenie wyznacza się przed rozpoczęciem płynięcia plastycznego, odkształcenia Lüdersa, pękania lub innego zachowania nieliniowego. Należy podać wybrany przedział odkształcenia, ponieważ niewielkie odchylenia od liniowości, podatność maszyny, efekty osadzenia oraz ograniczenia rozdzielczości pomiaru odkształcenia mogą zmienić dopasowaną wartość.

Próba rozciągania może również służyć do wyznaczenia współczynnika Poissona przez pomiar jednoczesnego odkształcenia poprzecznego:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}.$$

Pomiary osiowe i poprzeczne muszą być zsynchronizowane i wykonywane w tym samym zakresie sprężystym. Gdy znane są $E$ i $\nu$, zależności dla materiału izotropowego dają

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

oraz

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Obliczone w ten sposób wartości nie są odrębnymi pomiarami sztywności na ścinanie ani sztywności objętościowej. Dziedziczą one zależność od temperatury, szybkości odkształcenia, tekstury i kierunku badania obecną w pierwotnych danych z próby rozciągania.

Badanie w ściskaniu zapewnia inną drogę do wyznaczenia modułu osiowego, lecz wprowadza odmienne błędy. Próbka musi być wystarczająco krótka, aby uniknąć wyboczenia, a jednocześnie dostatecznie długa, by można było zmierzyć przemieszczenie. Tarcie na końcach może ograniczać rozszerzanie poprzeczne i powodować beczkowaty kształt próbki, dlatego nachylenie zależności siła–przemieszczenie może obejmować także wpływ tarcia i niewspółosiowości płyt dociskowych. Znaczenie mają smarowanie, równoległość końców, stan powierzchni, sztywność płyt dociskowych oraz stosunek wysokości próbki do jej średnicy. Ekstensometry lub czujniki przemieszczenia powinny mierzyć odkształcenie na długości pomiarowej próbki, zamiast opierać się wyłącznie na przemieszczeniu trawersy.

Ściskanie hydrostatyczne jest koncepcyjnie bliższe bezpośredniemu pomiarowi modułu objętościowego, ponieważ ciśnienie jest przykładane we wszystkich kierunkach, a następnie śledzi się zmianę objętości:

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Jest to definicja termodynamiczna podana przez National Institute of Standards and Technology w 1982 roku. Zwykłe ściskanie jednoosiowe nie jest ściskaniem hydrostatycznym; łączy ono odkształcenie osiowe i poprzeczne, a zatem nie mierzy bezpośrednio $K$. Bezpośrednie badania modułu objętościowego wymagają komór ciśnieniowych, dokładnego pomiaru objętości lub odkształcenia, kalibracji ciśnienia oraz kontroli temperatury. W większości badań stali konstrukcyjnych $K$ oblicza się na podstawie niezależnie zmierzonych $E$ i $\nu$ albo wyznacza z prędkości dźwięku.

Statyczne nachylenia mechaniczne są szczególnie wrażliwe na szybkość badania i stan próbki. Wynik próby rozciągania uzyskany dla wypolerowanego, odprężonego pręta badanego w temperaturze pokojowej nie jest automatycznie modułem teksturowanej blachy walcowanej, metalu spoiny ani wyrobu dwufazowego po obróbce cieplnej. W monokrysztale o strukturze regularnej sztywność zależy od kierunku krystalograficznego. Agregat polikrystaliczny może wydawać się quasi-izotropowy, gdy ziarna są zorientowane losowo, jednak tekstura walcowania lub krzepnięcia może powodować kierunkową zależność modułów.

Rezonans akustyczny zgodnie z ASTM E1875-20a

ASTM E1875-20a jest normą dotyczącą wyznaczania dynamicznego modułu Younga, modułu ścinania i współczynnika Poissona „metodą rezonansu akustycznego”. Zamiast mierzyć długotrwałe, powolne nachylenie zależności siła–odkształcenie, metoda ta wzbudza próbkę i identyfikuje jej naturalne częstotliwości rezonansowe. Częstotliwość rezonansowa zależy od sztywności sprężystej, gęstości masy, wymiarów próbki oraz kształtu postaci drgań.

Próbkę podpiera się w sposób przybliżający warunek swobodnej granicy, zwykle umieszczając podpory w pobliżu obszarów węzłowych, aby odbierały jak najmniej energii drgań. Wzbudnik wywołuje drgania, a mikrofon, akcelerometr, przyrząd laserowy lub inny detektor rejestruje odpowiedź. Częstotliwość rezonansową identyfikuje się na podstawie wyraźnego maksimum amplitudy, zmiany fazy lub maksimum odpowiedzi częstotliwościowej. Zmierzoną częstotliwość należy przypisać właściwej postaci drgań: zginaniu, skręcaniu lub drganiom podłużnym; pomylenie sąsiednich postaci drgań może dać wiarygodny, lecz nieprawidłowy moduł.

Długość, szerokość, grubość, masa i gęstość próbki są zatem podstawowymi danymi wejściowymi. Wymiary należy mierzyć w temperaturze badania, gdy rozszerzalność cieplna ma istotne znaczenie, albo korygować wymiary zmierzone w temperaturze pokojowej, stosując odpowiedni współczynnik rozszerzalności. Gęstość powinna odpowiadać rzeczywistej próbce, a nie przyjętej wartości tabelarycznej, szczególnie w przypadku staliwa, materiału porowatego, wtrąceń cząsteczkowych lub mikrostruktur wielofazowych. ASTM E1875-20a uwzględnia geometrię próbki i równania rezonansowe, zamiast traktować każdą próbkę jak pręt nieskończony. Warunki na końcach, położenie podpór, smukłość, tłumienie i poprawki geometryczne wpływają na obliczone dynamiczne stałe sprężystości.

Rezonans skrętny dostarcza przede wszystkim informacji o ścinaniu, natomiast rezonans zginający lub podłużny dostarcza modułu związanego ze sztywnością osiową. Połączenie dynamicznych wartości $E$ i $G$ umożliwia obliczenie

$$\nu =\frac{E}{2G}-1,$$

pod warunkiem że właściwe jest założenie izotropowości i liniowej sprężystości. Otrzymany współczynnik Poissona jest wartością dynamiczną przy częstotliwości badania. Nie należy przedstawiać go jako uniwersalnej stałej gatunku, niezależnej od częstotliwości lub temperatury.

Kontrola temperatury jest częścią pomiaru, a nie kwestią drugorzędną. Piec lub komora środowiskowa musi doprowadzić próbkę do stabilnej, znanej temperatury, a identyfikacja rezonansu musi uwzględniać rozszerzalność cieplną, zmiany gęstości oraz zależność sztywności od temperatury. Częstotliwość zmierzona, gdy próbka nadal się nagrzewa, nie opisuje jednoznacznie określonego stanu sprężystego. Warunki brzegowe również zmieniają się wraz z temperaturą, jeśli podpory rozszerzają się, miękną, przesuwają lub zmieniają nacisk kontaktowy.

Prędkości podłużnych i poprzecznych fal dźwiękowych

Pomiary ultradźwiękowe pozwalają wyznaczać stałe sprężystości na podstawie prędkości fal. Fala podłużna powoduje ruch cząstek równoległy do kierunku propagacji; fala poprzeczna lub ścinająca powoduje ruch cząstek prostopadły do tego kierunku. Dla jednorodnego, izotropowego ciała stałego o gęstości $\rho$ idealne zależności mają postać

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}$$

oraz

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}.$$

Stąd

$$G=\rho v_T^2,$$

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_T^2),$$

oraz

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Współczynnik Poissona można następnie wyznaczyć z $E$ i $G$ albo bezpośrednio ze stosunku prędkości, przy tym samym założeniu izotropowości. Równania te są proste, lecz pomiary już nie. Droga propagacji musi być dokładnie znana, echa należy prawidłowo zidentyfikować, a przetwornik musi wzbudzać i wykrywać zamierzoną polaryzację. Pozorne nadejście fali podłużnej może obejmować konwersję rodzaju fali, fale powierzchniowe, odbicia lub dyspersję.

W opublikowanym w 1981 roku raporcie National Bureau of Standards wykorzystano prędkości fal dźwiękowych w rodzaju podłużnym i poprzecznym do wyznaczenia stałych sprężystości austenitycznej stali Fe-5Cr-26Mn w zakresie 76–400 K. Ten zakres temperatur ma istotne znaczenie: pokazuje, że stałe sprężystości są funkcjami stanu cieplnego, a nie stałymi etykietami przypisanymi oznaczeniu stopu. Procedura opisana w raporcie wymagała kontrolowanej temperatury, znanej gęstości, określonej geometrii próbki oraz wiarygodnej identyfikacji obu rodzajów fal. Zastosowanie równań dla temperatury pokojowej w temperaturze kriogenicznej lub podwyższonej, bez aktualizacji tych wielkości, zacierałoby rzeczywistą zależność od temperatury.

Engineering ToolBox podaje przybliżony moduł objętościowy stali nierdzewnej o wartości 163 GPa. Limited evidence

Ta sama ostrożność dotyczy tabel wartości referencyjnych stosowanych w inżynierii. Engineering ToolBox podaje przybliżony moduł objętościowy stali nierdzewnej równy 163 GPa, lecz jest to szacunkowa wartość pochodząca ze źródła wtórnego, a nie uniwersalna wartość dla każdego gatunku stali nierdzewnej, postaci wyrobu, tekstury, udziału faz, temperatury czy metody badania. Zmierzona wartość dynamiczna dla austenitycznej stali Fe-5Cr-26Mn, wartość statyczna uzyskana z próbki do próby rozciągania ze stali ferrytycznej oraz wartość obliczona na podstawie $E$ i $\nu$ odpowiadają na różne pytania eksperymentalne. Podanie metody, wymiarów próbki, gęstości, temperatury, rodzaju rezonansu lub fali oraz warunków brzegowych jest zatem równie ważne jak podanie samego modułu.

Wpływ temperatury, fazy, składu i przetwarzania

Stałe sprężystości stali nie są stałymi oznaczeniami przypisanymi trwale do określonego gatunku. Opisują stan materiału, sposób odkształcenia oraz warunki pomiaru. Temperatura, skład fazowy, skład chemiczny, tekstura krystalograficzna, porowatość, wtrącenia, naprężenia resztkowe i historia cieplna mogą zmieniać mierzoną odpowiedź. Wytrzymałość może zmienić się o setki procent w wyniku przemiany fazowej lub obróbki odpuszczającej, podczas gdy moduł Younga zmienia się w znacznie mniejszym stopniu, jednak „mniejszy” nie oznacza pomijalny w analizie precyzyjnej.

Dla izotropowego ciała liniowo sprężystego niezależne są tylko dwie stałe sprężystości. Moduł Younga $E$, moduł ścinania $G$, moduł objętościowy $K$ lub $B$, współczynnik Poissona $\nu$, pierwsza stała Lamégo $\lambda$ oraz $2\mu$ są wielkościami powiązanymi, jak opisano w publikacji Springera Sprężystość ciał stałych oraz w dokumentacji Sierra laboratoriów Sandia National Laboratories. Jeżeli temperatura lub mikrostruktura zmienia jedną niezależną stałą, pozostałe stałe obliczane na jej podstawie należy odpowiednio i spójnie zaktualizować. Podana wartość modułu wymaga zatem określenia temperatury, stanu wyrobu, kierunku oraz metody badania.

Zależność stałych sprężystości od temperatury

Sztywność sprężysta zwykle maleje wraz ze wzrostem temperatury. Drgania atomów nasilają się, wiązania międzyatomowe stają się mniej odporne na niewielkie przemieszczenia, a rozszerzalność cieplna zmienia równowagowe odległości między atomami. W obrębie jednej fazy wpływ ten często ma charakter stopniowy, choć przemiany magnetyczne, zdrowienie, rekrystalizacja i przemiany fazowe mogą powodować bardziej gwałtowne zmiany. W pobliżu temperatury przemiany pojedyncza wartość w temperaturze pokojowej jest szczególnie niedoskonałym substytutem temperaturowego modelu materiału.

Raport National Bureau of Standards dotyczący austenitycznej stali Fe-5Cr-26Mn stanowi użyteczny przykład. Opublikowany w 1981 roku, określał stałe sprężystości w zakresie od 76 do 400 K na podstawie prędkości dźwięku w modzie podłużnym i poprzecznym. Jest to pomiar dynamiczny: prędkości rozchodzenia się fal wyznaczają sztywność podłużną i ścinającą, na podstawie których można obliczyć powiązane stałe. Wynik pokazuje, że nawet stal austenityczna zachowana w całym zakresie badania nie ma jednego, niezależnego od temperatury zestawu stałych sprężystości. Zakres temperatur rozciąga się od warunków kriogenicznych do temperatury powyżej pokojowej, dlatego zmierzone wartości opisują krzywą, a nie pojedynczą właściwość gatunku.

W tym kontekście istotne jest rozróżnienie między wytrzymałością a sztywnością. Granica plastyczności może silnie wzrastać w niskiej temperaturze, ponieważ ruch dyslokacji staje się trudniejszy, podczas gdy nachylenie sprężyste zmienia się mniej gwałtownie. Z drugiej strony niewielka zmiana $E$ może wpłynąć na przewidywane ugięcie, obciążenie wyboczeniowe, nacisk kontaktowy lub rozkład naprężeń cieplnych. Wytrzymałość plastyczna i sztywność sprężysta odpowiadają na różne pytania. Stal może stać się znacznie wytrzymalsza bez proporcjonalnego zwiększenia jej sztywności.

Badania dynamiczne i statyczne mogą również dawać różne podawane wartości. Norma ASTM E1875-20a określa wyznaczanie dynamicznego modułu Younga, modułu ścinania i współczynnika Poissona metodą rezonansu akustycznego. Badania rezonansowe prowadzi się przy małym odkształceniu i wysokiej częstotliwości, natomiast próba rozciągania wyznacza nachylenie statyczne lub quasistatyczne w określonym przedziale odkształcenia. Na porównanie mogą wpływać mikrodopasowanie plastyczne, anelastyczność, podatność układu pomiarowego, geometria próbki, stan powierzchni oraz częstotliwość. Żadnego z tych wyników nie należy traktować jako uniwersalnie zamiennego z drugim.

Moduł objętościowy ma odrębne znaczenie fizyczne: mierzy odporność na ściskanie objętościowe. NIST definiuje go termodynamicznie jako $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$. Engineering ToolBox podaje przybliżoną wartość modułu objętościowego stali nierdzewnej równą 163 GPa, lecz jest to szacunkowa wartość referencyjna pochodząca ze źródła wtórnego, a nie uniwersalna wartość dla każdego gatunku stali nierdzewnej, każdej temperatury, postaci wyrobu, struktury fazowej lub warunków badania. Ta sama ostrożność dotyczy tabelarycznych wartości $E$, $G$ i $\nu$.

Austenit, ferryt, martenzyt i stale wielofazowe

Skład fazowy wpływa na odpowiedź sprężystą, ponieważ każda faza ma własną strukturę krystaliczną, skład chemiczny, parametr sieci, stan magnetyczny, populację defektów oraz tensor sztywności monokryształu. Ferryt ma strukturę regularną przestrzennie centrowaną, austenit — regularną ściennie centrowaną, natomiast martenzyt jest zazwyczaj strukturą regularną przestrzennie centrowaną tetragonalną lub silnie zniekształconą strukturą regularną przestrzennie centrowaną, gdy węgiel powoduje znaczną tetragonalność. Oznaczenia te nie definiują jednej, unikalnej wartości modułu. Zawartość węgla, domieszki substytucyjne, uporządkowanie, gęstość dyslokacji i zachowane defekty zmieniają sztywność każdej fazy.

Stale austenityczne wyraźnie pokazują, dlaczego należy unikać przypisywania ogólnego „modułu austenitu”. Badanie Fe-5Cr-26Mn dotyczyło określonego składu chemicznego i zakresu temperatur, a nie każdego stopu Fe-Cr-Mn ani każdej stali określanej jako austenityczna. Mangan i chrom wpływają na stabilność sieci oraz zachowanie magnetyczne, natomiast temperatura może zmieniać uporządkowanie magnetyczne, nawet gdy struktura krystaliczna pozostaje austenityczna. Zmiany te wpływają na siły międzyatomowe, a tym samym na stałe sprężystości.

Stale ferrytyczne mogą wykazywać zależne od temperatury zachowanie sprężyste związane ze stanem ferromagnetycznym i jego przejściem w kierunku paramagnetyzmu. Zmiana ta nie musi pokrywać się z widoczną przemianą fazową. Stale martenzytyczne wprowadzają dodatkową złożoność: hartowanie powoduje przesycenie, dużą gęstość dyslokacji, naprężenia wewnętrzne i często tetragonalność zależną od zawartości węgla. Odpuszczanie prowadzi następnie do wydzielania węglików, zdrowienia i redystrybucji węgla. Odpowiedź sprężysta mierzona po odpuszczaniu nie jest zatem po prostu odpowiedzią idealnego kryształu martenzytu.

Stale wielofazowe wymagają interpretacji w kategoriach właściwości efektywnych. W stalach ferrytyczno-martenzytycznych, dwufazowych, bainitycznych lub zawierających austenit szczątkowy pozorny moduł odzwierciedla udziały faz, ich wzajemne połączenie, orientację krystalograficzną, granice międzyfazowe, porowatość oraz kierunek i skalę objętości badanej. Oszacowanie na podstawie reguły mieszanin może stanowić pierwsze przybliżenie, jednak lokalne ograniczenie odkształcenia oznacza, że poszczególne fazy nie przenoszą jednakowych odkształceń ani naprężeń. Sztywny obszar martenzytyczny osadzony w ferrycie może zmieniać mierzone nachylenie wskutek przenoszenia obciążenia, natomiast austenit szczątkowy może przemieniać się podczas obciążania i powodować odejście odpowiedzi od liniowej sprężystości.

Na poziomie monokryształu kryształy regularne i heksagonalne mają zależne od kierunku sztywności. Polikrystaliczna stal zbliża się do izotropii tylko wtedy, gdy orientacje ziaren są dostatecznie losowe, a próbka zawiera wystarczającą liczbę ziaren do uśrednienia. Blacha, taśma i pręt po walcowaniu mogą zachowywać teksturę, powodując różne moduły w kierunku wzdłużnym, poprzecznym i przez grubość. W takim przypadku narzucenie w obliczeniach jednej izotropowej wartości $E$ i jednej izotropowej wartości $G$ może ukryć rzeczywistą odpowiedź kierunkową.

Odlewanie, walcowanie, obróbka cieplna i naprężenia resztkowe

Przetwarzanie zmienia zarówno właściwości własne faz, jak i efektywną sztywność wytworzonego elementu. Stal odlewana może zawierać porowatość skurczową, pory gazowe, błony tlenkowe, segregację, strukturę dendrytyczną, wtrącenia oraz ziarna grube lub niejednorodne. Nawet niewielki udział objętościowy połączonej porowatości może zmniejszyć moduł efektywny bardziej, niż sugerowałaby wartość poradnikowa dla całkowicie gęstej stali. Wtrącenia mogą być sztywniejsze lub bardziej podatne niż osnowa, a wtrącenia słabo związane z osnową działają podczas badania dynamicznego lub statycznego jak koncentratory naprężeń albo defekty przypominające pęknięcia.

Walcowanie rozdrabnia i wydłuża ziarna, rozbija strukturę odlewniczą oraz wprowadza teksturę krystalograficzną. Powstała anizotropia sprężysta może być niewielka w przypadku niektórych wyrobów, a znacząca w przypadku innych. Znaczenie mają harmonogram redukcji, temperatura walcowania, rekrystalizacja oraz końcowa grubość. Modułu zmierzonego w kierunku walcowania nie należy automatycznie przypisywać kierunkowi poprzecznemu ani normalnemu.

Obróbka cieplna zmienia udziały faz, wielkość ziarna, gęstość dyslokacji, wydzielenia, morfologię węglików oraz zachowane naprężenia. Normalizowanie może rozdrobnąć strukturę ferrytyczno-perlityczną; hartowanie może wytworzyć martenzyt i naprężenia resztkowe; odpuszczanie zmniejsza część tych naprężeń, jednocześnie zmieniając wydzielanie i zdrowienie. Wyżarzanie może zmniejszyć gęstość dyslokacji oraz wpływ tekstury poprzez rekrystalizację. Obróbki te mogą powodować znaczne zmiany granicy plastyczności i udarności, pozostawiając moduł przy małych odkształceniach stosunkowo zbliżony do wcześniejszej wartości, choć mierzony moduł efektywny nadal może się zmieniać wskutek defektów, przemiany fazowej lub tekstury.

Naprężenia resztkowe wymagają odrębnego omówienia. Samorównoważne pole naprężeń nie musi zmieniać idealnego modułu stycznego bezbłędnego, jednorodnego i liniowo sprężystego kryształu. Może jednak zmienić to, co rejestruje eksperyment. Naprężenia resztkowe wpływają na propagację fal, krzywiznę próbki, warunki kontaktu, zamykanie pęknięć oraz początek mikrodopasowania plastycznego. W próbie rozciągania pozorne nachylenie początkowe może być zmienione przez prostowanie, ustawienie uchwytów, redystrybucję naprężeń lub niecałkowite usunięcie naprężeń powstałych podczas obróbki. W badaniu rezonansowym naprężenia i anizotropia mogą przesuwać częstotliwości własne.

W konsekwencji rzetelne określenie modułu stali powinno identyfikować stan fazowy, stan cieplny, kierunek w wyrobie, stan gęstości lub defektów oraz metodę pomiaru. Liczba ta jest właściwością tak zdefiniowanego stanu, a nie stałą przypisaną trwale do gatunku.

Oznaczenia gatunków stali i rzetelne tabele właściwości

Oznaczenie stali identyfikuje skład chemiczny, klasę wyrobu lub wymagania specyfikacji; samo w sobie nie zawiera pełnego zestawu danych dotyczących właściwości sprężystych. „304 stainless steel”, „AISI 1045” i „ASTM A572 Grade 50” są użytecznymi oznaczeniami materiału, lecz żadna z tych nazw nie określa samodzielnie postaci wyrobu, historii cieplnej, tekstury krystalograficznej, temperatury badania ani metody zastosowanej do wyznaczenia modułu sprężystości.

To rozróżnienie ma znaczenie, ponieważ izotropowa sprężystość liniowa ma tylko dwie niezależne stałe. Zestaw wielkości powszechnie podawanych w inżynierii obejmuje moduł Younga $E$, współczynnik Poissona $\nu$, moduł objętościowy $K$ lub $B$, moduł ścinania $G$, pierwszym parametr Lamégo $\lambda$ oraz $2\mu$. Sandia National Laboratories stwierdza, że $E$ i $\nu$ wyznaczają pozostałe stałe, gdy obowiązują zależności dla materiału izotropowego. OpenStax przypisuje głównym modułom różne znaczenia fizyczne: $E$ opisuje odpowiedź na rozciąganie lub obciążenie jednoosiowe, $K$ opisuje ściskanie objętościowe, a $G$ opisuje odkształcenie postaciowe. Tabela przedstawiająca cztery pozornie niezależne liczby bez wyjaśnienia ich źródła może zatem sugerować precyzję lub niezależność, których nie posiada zastosowany model materiału.

Austenityczne, ferrytyczne, martenzytyczne i umacniane wydzieleniowo stale nierdzewne

Nazwy rodzin stali nierdzewnych opisują strukturę metalurgiczną, a nie jedną uniwersalną odpowiedź sprężystą. Gatunki austenityczne, takie jak Type 304, Type 304L, Type 316 i Type 316L, są zwykle identyfikowane w specyfikacjach wyrobów ASTM za pomocą odpowiedniego oznaczenia „Type”, a w stosownych przypadkach także numerów UNS, takich jak UNS S30400, UNS S30403, UNS S31600 i UNS S31603. Oznaczenie należy odtwarzać w formie zapisanej w odpowiedniej normie. „304L stainless” nie powinno być bez wyjaśnienia zamieniane na „304”, ponieważ gatunek niskowęglowy ma inne wymagania dotyczące składu i może być poddawany innemu przetwarzaniu.

Do gatunków ferrytycznych należą Type 430 i Type 409, natomiast do gatunków martenzytycznych — Type 410, Type 420 i Type 440C. Nazwy te identyfikują rodziny różniące się stabilnością faz, zawartością węgla, dodatkami stopowymi, podatnością na hartowanie oraz właściwościami magnetycznymi. Na ich właściwości sprężyste mogą wpływać zgniot na zimno, wyżarzanie, hartowanie, odpuszczanie, austenit szczątkowy, udział węglików oraz kierunek pomiaru. Wyrób kuty lub walcowany może zachowywać się inaczej niż odlew o podobnym składzie chemicznym.

Stale nierdzewne umacniane wydzieleniowo wymagają jeszcze większej ostrożności. 17-4 PH jest szeroko stosowanym oznaczeniem, lecz specyfikacja może identyfikować ten materiał jako UNS S17400 i określać stany, takie jak H900, H1025 lub H1150. Oznaczenia tych stanów odnoszą się do stanów obróbki cieplnej i nie są zamiennymi nazwami gatunku. Tabela podająca „moduł dla 17-4 PH” bez określenia stanu pozostawia bez opisu istotną część charakterystyki materiału. Osnowa, stan wydzieleń, naprężenia własne i wcześniejsze odkształcenie mogą różnić się między poszczególnymi stanami, nawet gdy nominalne oznaczenie stopu pozostaje niezmienione.

Publikacja ASM Steel Castings Handbook traktuje moduł sprężystości, współczynnik Poissona, moduł ścinania i powiązane właściwości fizyczne jako dane dotyczące stali odlewniczych. To ujęcie ma istotne znaczenie: tabela dotycząca staliwa opisuje określony materiał odlewniczy i podstawę badania, a nie każdy wyrób kuty, spawany, wytwarzany addytywnie lub obrabiany cieplnie o podobnym składzie chemicznym. Odlewy mogą zawierać segregację, porowatość, wtrącenia i lokalne zróżnicowanie mikrostruktury, które wpływają na wyniki pomiarów oraz ich rozrzut.

Nie należy również wykorzystywać nazw rodzin stali nierdzewnych do przypisywania im jednej dokładnej wartości modułu. Przybliżona wartość referencyjna 163 GPa dla stali nierdzewnej pojawia się w Engineering ToolBox, lecz nie jest to wartość uniwersalna dla każdego gatunku stali nierdzewnej, każdej temperatury, postaci wyrobu ani warunków badania. Jest to wartość szacunkowa do celów odniesienia, a nie zamiennik karty danych opracowanej zgodnie z określoną normą ani wartości zmierzonej.

Oznaczenia stali węglowych i niskostopowych

Stale węglowe i niskostopowe również wymagają dokładnego stosowania oznaczeń. AISI/SAE 1045 identyfikuje stal węglową w systemie numeracji SAE/AISI; nie jest to to samo oznaczenie co ASTM A36, które jest specyfikacją wyrobu ze stali konstrukcyjnej. ASTM A572 Grade 50 identyfikuje gatunek w ramach ASTM A572/A572M, natomiast AISI/SAE 4130 identyfikuje skład chemiczny stopowej stali chromowo-molibdenowej. Oznaczeń tych nie należy łączyć w nieformalne określenia, takie jak „4130-grade A572”, chyba że właściwa specyfikacja jednoznacznie dopuszcza taki opis.

Oznaczenia europejskie stanowią kolejny przykład. S355J2 i S355JR są oznaczeniami stosowanymi w ramach EN 10025-2, a przyrostki określają wymagania dotyczące próby udarności lub warunki dostawy. Nie są one jedynie alternatywnymi nazwami dla ASTM A572 Grade 50. Podobieństwo składu chemicznego nie ustanawia równoważności wymagań specyfikacji, wymiarów wyrobu, zasad kontroli ani danych dotyczących właściwości sprężystych.

Tabela powinna również odróżniać oznaczenie składu chemicznego od stanu dostawy. AISI/SAE 4140 może być dostarczana w stanie wyżarzonym, normalizowanym i odpuszczonym, zahartowanym i odpuszczonym, kutym lub w innym określonym stanie. Płyty, pręty i kształtowniki ze stali ASTM A36 podlegają specyfikacji wyrobu, lecz ich zmierzona odpowiedź może nadal zależeć od grubości, kierunku walcowania, naprężeń własnych i metody badania. Gatunek nominalny określa granice lub wymagania; nie usuwa historii wytwarzania.

Ta sama ostrożność dotyczy określeń „mild steel”, „tool steel”, „high-strength low-alloy steel” i podobnych opisów rodzin materiałów. Są to szerokie kategorie, a nie kompletne oznaczenia gatunków. Rzetelna tabela podaje numer normy, gatunek lub typ, odpowiednią wersję normy, oznaczenie UNS lub AISI/SAE, gdy ma zastosowanie, postać wyrobu oraz stan obróbki cieplnej. Jeżeli oznaczenie jest wewnętrzną nazwą firmową, należy to zaznaczyć, zamiast przedstawiać je jako oznaczenie ASTM, ASME, SAE, AISI, EN lub UNS.

Dlaczego normom i specyfikacjom wyrobów muszą towarzyszyć wartości

Wartości właściwości sprężystych mają znaczenie wyłącznie w określonym kontekście pomiarowym. Tabela powinna co najmniej identyfikować:

• postać wyrobu: płytę, blachę, pręt, rurę, drut, odkuwkę, metal spoiny, element wytworzony z proszku lub odlew;
• obróbkę cieplną i stan materiału, w tym odpuszczanie, starzenie, przesycanie lub stan umacniania wydzieleniowego;
• kierunek badania względem kierunku walcowania, kucia, wyciskania lub budowania warstw;
• temperaturę i warunki środowiskowe;
• szybkość obciążania lub częstotliwość;
• geometrię próbki i istotne wymiary;
• normę badania i jej wersję;
• czy wynik ma charakter statyczny, quasi-statyczny czy dynamiczny;
• liczbę próbek, zakres, średnią i rozrzut, jeżeli są dostępne.

Moduły statyczne i dynamiczne nie są automatycznie zamienne. Norma ASTM E1875-20a określa wyznaczanie dynamicznego modułu Younga, modułu ścinania i współczynnika Poissona „metodą rezonansu akustycznego”. Pomiary rezonansowe wykorzystują propagację fal i częstotliwość drgań, podczas gdy próba rozciągania może wyznaczać nachylenie z krzywej naprężenie–odkształcenie przy określonej szybkości obciążania. Obie metody dotyczą odpowiedzi sprężystej, lecz mogą dawać różne wartości, ponieważ różnią się częstotliwością, tłumieniem, defektami mikrostruktury, oprzyrządowaniem i procedurami redukcji danych.

Należy podać temperaturę, zwłaszcza w przypadku zastosowań kriogenicznych lub pracy w podwyższonej temperaturze. W raporcie National Bureau of Standards z 1981 roku zmierzono stałe sprężystości dla Fe-5Cr-26Mn austenitic steel w zakresie 76–400 K, wykorzystując prędkości dźwięku w modzie podłużnym i poprzecznym. Zakres ten pokazuje, dlaczego wartości w temperaturze pokojowej nie można bez odpowiedniego zastrzeżenia przenosić do tabeli projektowej dla zastosowań kriogenicznych. Tekstura i anizotropia kryształów stanowią dodatkowy problem: rozdział podręcznika NIST dotyczący stałych sprężystości monokryształów wyjaśnia, w jaki sposób można wyprowadzać quasi-izotropowe wartości polikrystaliczne $E$, $G$, $B$, modułu podłużnego i $\nu$ z danych dotyczących sztywności monokryształu, lecz takie wyprowadzenia zależą od symetrii kryształu, rozkładu orientacji i przyjętych założeń uśredniania.

W obliczeniach dla materiałów izotropowych wystarczy jedna starannie określona para stałych; pozostałe należy obliczyć za pomocą podanych równań lub sprawdzić pod kątem zgodności. W przypadku stali walcowanej, kutej, teksturowanej, spawanej lub wytwarzanej addytywnie pojedynczy skalarny moduł może być przybliżeniem, a nie kompletnym opisem konstytutywnym. Normy i specyfikacje wyrobów zapobiegają ukrywaniu tego ograniczenia w tabeli. Łączą każdą liczbę ze zdefiniowanym materiałem, stanem, kierunkiem, temperaturą i metodą — czyli z informacjami niezbędnymi, zanim dana wartość będzie mogła w sposób rzetelny zostać wykorzystana w obliczeniach projektowych.

Zastosowanie projektowe: wybór właściwej zależności między modułami

Moduł sprężystości odnosi się do określonego rodzaju deformacji. Moduł Younga $E$ opisuje odkształcenie normalne wywołane naprężeniem jednoosiowym; moduł ścinania $G$ opisuje odkształcenie postaciowe przy prawie stałej objętości; natomiast moduł objętościowy $K$, zapisywany również jako $B$, opisuje opór przeciwko jednorodnemu ściskaniu. Współczynnik Poissona $\nu$ wiąże odkształcenie normalne z odkształceniem poprzecznym. Wielkości te są ze sobą powiązane, ale nie można ich wzajemnie zastępować tylko dlatego, że wszystkie są podawane w gigapaskalach lub są często zestawiane razem dla stali.

Dla jednorodnego, liniowego i izotropowego ciała stałego tylko dwie stałe sprężystości są niezależne. Springer’s Elasticity of Solids stwierdza to bezpośrednio w opracowaniu dotyczącym sprężystości izotropowej z 2020 roku. Sandia National Laboratories wymienia powiązany zestaw obejmujący moduł Younga $E$, współczynnik Poissona $\nu$, moduł objętościowy $K$, moduł ścinania $G$, pierwszą stałą Lamégo $\lambda$ oraz $2\mu$, przy czym $E$ i $\nu$ wyznaczają pozostałe wielkości. Równania przeliczeniowe są zatem zależnościami warunkowymi, a nie niezależnymi pomiarami sześciu niepowiązanych właściwości materiału:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$$

oraz

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Założenia mają znaczenie. Równania te mają zastosowanie do małych odkształceń, liniowej odpowiedzi sprężystej i zachowania izotropowego. Blacha stalowa z teksturą walcowania, strefa wpływu ciepła spawalniczego, odlew zawierający ukierunkowane krzepnięcie lub mikrostruktura dwufazowa mogą nie spełniać założenia izotropowości w stopniu wystarczającym, aby jedna przeliczona wartość reprezentowała każdy kierunek obciążenia.

Elementy jednoosiowe i $E$

W przypadku prostego elementu rozciąganego, elementu ściskanego, cięgna, pręta lub smukłego odcinka belki poddanego działaniu siły osiowej $E$ jest podstawowym modułem. Zasadnicza zależność ma postać

$$\sigma =E\epsilon ,$$

a zatem sprężyste wydłużenie elementu pryzmatycznego wynosi

$$\delta =\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AE}},$$

gdzie $P$ jest siłą osiową, $L$ początkową długością, a $A$ polem przekroju poprzecznego. Jest to właściwy punkt wyjścia do szacowania sprężystego wydłużenia, skrócenia oraz sztywności osiowej $\mathrm{AE}/L$.

Współczynnik Poissona uwzględnia się wtedy, gdy znaczenie ma skurcz poprzeczny lub ograniczenie wieloosiowe. Swobodnie rozciągany pręt stalowy kurczy się poprzecznie zgodnie z zależnością

$${\epsilon }_{\text{transverse}}=-\nu {\epsilon }_{\text{axial}}.$$

Jednak w przypadku całkowicie skrępowanej próbki odpowiedź osiowa nie jest opisywana wyłącznie przez $E$. Odkształcenie poprzeczne nie może się rozwinąć, dlatego stan naprężenia staje się trójwymiarowy, a pozorna sztywność wzrasta. Model elementów skończonych połączonej wkładki, skrępowanej podkładki lub połączenia wciskowego musi uwzględniać to sprzężenie, zamiast traktować element jako odizolowany, jednowymiarowy pręt.

Wartość $E$ stosowana w obliczeniach musi również odpowiadać warunkom pomiaru i eksploatacji. Nachylenie statycznej próby rozciągania, dynamiczny moduł wyznaczony metodą rezonansową oraz moduł wywnioskowany z prędkości ultradźwięków mogą się różnić z powodu częstotliwości, temperatury, geometrii próbki, porowatości, naprężeń własnych i wad. ASTM E1875-20a określa wyznaczanie dynamicznego modułu Younga, modułu ścinania i współczynnika Poissona „metodą rezonansu akustycznego”. Metoda ta nie daje automatycznie takiej samej wartości jak powolna próba rozciągania przeprowadzona w temperaturze projektowej.

Stal nie jest jednym materiałem sprężystym w każdym stanie metalurgicznym. Struktury ferrytyczne, martenzytyczne, bainityczne i austenityczne mogą się różnić, a tekstura może powodować odmienne zachowanie w kierunku walcowania i w kierunku poprzecznym. W raporcie National Bureau of Standards dotyczącym austenitycznej stali Fe-5Cr-26Mn wyznaczono stałe sprężystości na podstawie prędkości dźwięku w podłużnym i poprzecznym trybie propagacji w zakresie 76–400 K. Zakres ten przypomina, że stałej sprężystości zmierzonej w pobliżu temperatury pokojowej nie należy traktować jako danych niezależnych od temperatury w przypadku eksploatacji kriogenicznej lub w podwyższonej temperaturze.

Skręcanie i $G$

W przypadku wału o przekroju kołowym poddanego sprężystemu skręcaniu moduł $G$ decyduje o kącie skręcenia:

$$\theta =\frac{\mathrm{TL}}{\mathrm{JG}},$$

gdzie $T$ jest momentem skręcającym, $J$ biegunowym geometrycznym momentem bezwładności pola, a $L$ długością wału. Sztywność skrętna wynosi $\mathrm{JG}/L$. Związane z tym naprężenie styczne w wale o przekroju kołowym ma postać

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

Bezpośrednie użycie $E$ w tym obliczeniu prowadzi do błędnej wartości sztywności, chyba że wcześniej zostanie ono przeliczone z wykorzystaniem uzasadnionej wartości $\nu$. Dla stali izotropowej

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Przeliczenie to jest użyteczne, gdy dostępne są tylko $E$ i $\nu$, ale nie sprawia, że pomiar rozciągania staje się bezpośrednim pomiarem skręcania. Materiał może wykazywać zależną od kierunku odpowiedź na ścinanie, nawet gdy uśredniony moduł rozciągania wydaje się odpowiedni.

Rozróżnienie to nabiera znaczenia w przypadku cienkościennych rur, wielowypustów, wałów spawanych oraz części o anizotropowej historii wytwarzania. W przypadku przekroju ogólnego skręcanie może powodować paczenie i niejednorodne pole naprężeń stycznych, dlatego samo równanie Saint-Venanta dla wału o przekroju kołowym może być niewystarczające. Parametrem materiałowym pozostaje konstytutywna stała ścinania, ale analiza przekroju musi uwzględniać rzeczywistą geometrię.

Dynamiczne dane dotyczące ścinania wymagają podobnej ostrożności. Metody rezonansowe mierzą odpowiedź przy określonej częstotliwości i małej amplitudzie odkształcenia. Wartość obliczona na podstawie badania akustycznego może być odpowiednia do analizy drgań lub fal, ale nie musi być identyczna ze sztywnością sieczną lub styczną stosowaną w powolnych obliczeniach konstrukcyjnych. Określenie „dynamiczny” nie jest nieistotnym dodatkiem; wskazuje ono na odmienny warunek doświadczalny.

Problemy hydrostatyczne, kontaktowe i falowe

Moduł objętościowy $K$ lub $B$ jest właściwym parametrem do opisu odpowiedzi objętościowej. Pod wpływem ciśnienia hydrostatycznego zmiana ciśnienia powoduje zmianę objętości zgodnie z zależnością

$$K=B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

czyli zgodnie z definicją termodynamiczną podaną przez National Institute of Standards and Technology w 1982 roku. Wysoka wartość $K$ oznacza, że znaczne ciśnienie powoduje jedynie niewielką względną zmianę objętości. Różni się to od oporu przeciwko zmianie kształtu, za który odpowiada głównie $G$.

Engineering ToolBox podaje przybliżoną wartość modułu objętościowego stali nierdzewnej równą 163 GPa. Wartość ta może służyć jako pomocnicze oszacowanie referencyjne, a nie jako uniwersalna wartość dla każdego gatunku stali nierdzewnej, każdej temperatury, postaci wyrobu, składu fazowego lub metody badania. Ponieważ $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$, niewielkie błędy w $\nu$ mogą powodować zauważalną zmianę obliczonego modułu objętościowego, gdy $\nu$ zbliża się do 0,5.

Obliczenia kontaktowe wymagają uwzględnienia zarówno zachowania normalnego, jak i stycznego. W kontakcie Hertza efektywny moduł normalny dwóch ciał zapisuje się zwykle jako

\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}. \]

W tym przypadku o lokalnym sprężystym wciskaniu decyduje \(E^*\), a nie samo $E$ jednego gatunku stali. Tarcie ślizgowe i styczne siły trakcyjne wprowadzają również $G$ i $\nu$. Model, w którym $K$ zostanie podstawiony za \(E^*\), może pozostać matematycznie stabilny i generować gładkie rozkłady nacisków kontaktowych, a mimo to opisywać niewłaściwy mechanizm deformacji.

W problemach falowych stosuje się jeszcze inną kombinację. Dla ciała izotropowego moduł fali podłużnej wynosi

$$M=K+\frac{4G}{3},$$

a prędkości fal podłużnych i poprzecznych są równe

\[ v_L=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}}, \qquad v_S=\sqrt{\frac{G}{\rho}}. \]

Zatem sama prędkość fali podłużnej nie pozwala wyznaczyć wszystkich stałych sprężystości; do rozdzielenia $K$ i $G$ potrzebny jest pomiar fali poprzecznej. W krysztale monokrystalicznym lub polikrysztale o teksturze prędkość fali zależy również od kierunku propagacji i polaryzacji, dlatego wzory dla materiału izotropowego mogą ukrywać rzeczywistą anizotropię sprężystą.

Trójwymiarowe sformułowania metody elementów skończonych zasadniczo wykorzystują $E$ i $\nu$, $K$ i $G$ albo parametry Lamégo $\lambda$ i $\mu$. Wybór ten ma charakter matematyczny i nie oznacza zmiany fizycznego opisu materiału. W pobliżu nieściśliwości sformułowanie $E$-$\nu$, w którym $\nu$ jest bliskie 0,5, może jednak cierpieć z powodu blokady objętościowej, podczas gdy lepsze wyniki może dawać sformułowanie mieszane wykorzystujące ciśnienie i odpowiedź dewiatorową. Z drugiej strony niezależne zaokrąglenie wartości $E$, $G$ i $K$ może naruszyć izotropowe równania przeliczeniowe i doprowadzić do wewnętrznie niespójnej macierzy sztywności.

To jest główne ryzyko projektowe: przeliczona stała może być liczbowo zgodna z równaniem, a jednocześnie fizycznie nieodpowiednia dla analizowanego problemu, temperatury, częstotliwości, kierunku lub mikrostruktury stali. Najpierw należy wybrać moduł odpowiedni dla danego rodzaju deformacji, a następnie sprawdzić, czy warunki jego pomiaru i założenia dotyczące izotropowości odpowiadają elementowi oraz prowadzonej analizie.

Typowe błędy w obliczeniach modułów sprężystości stali

Obliczenia modułów sprężystości stali często zawodzą, ponieważ wielkości o różnym znaczeniu fizycznym traktuje się jako wzajemnie wymienne. Moduł Younga $E$, moduł ścinania $G$, moduł objętościowy $K$ lub $B$ oraz współczynnik Poissona $\nu$ opisują odkształcenia sprężyste. Granica plastyczności opisuje początek znacznych odkształceń trwałych. Wielkości te należą do różnych części modelu materiału.

Dla izotropowego ciała stałego o liniowej charakterystyce sprężystej tylko dwie stałe sprężystości są niezależne. Rozdział Elasticity of Solids firmy Springer (2020) stwierdza to bezpośrednio. Sandia National Laboratories wymienia powiązany zestaw obejmujący moduł Younga $E$, współczynnik Poissona $\nu$, moduł objętościowy $K$, moduł ścinania $G$, pierwszą stałą Lamégo $\lambda$ oraz $2\mu$; podanie wartości $E$ i $\nu$ wyznacza pozostałe wielkości. Typowe przeliczenia mają postać

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

oraz

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Równania te nie są niezależnymi faktami doświadczalnymi. Wynikają z założenia izotropowej liniowej sprężystości. Ich zastosowanie wymaga zgodnych wartości, spójnych jednostek oraz takiego stanu materiału, dla którego izotropię można uznać za rozsądne przybliżenie.

Mylenie modułu sprężystości z granicą plastyczności

Najbardziej uporczywym błędem jest określanie stali o wysokiej wytrzymałości jako „sztywniejszej” tylko dlatego, że ma wyższą granicę plastyczności. Granica plastyczności określa naprężenie, przy którym rozpoczyna się odkształcenie plastyczne zgodnie z określonym kryterium, często przy umownym odkształceniu trwałym wynoszącym 0,2%. Moduł Younga określa nachylenie sprężystej charakterystyki naprężenie–odkształcenie przed tym przejściem. Obróbka cieplna, harmonogram zgniotu na zimno, reakcja wydzieleniowa lub zmiana zawartości węgla mogą znacznie zwiększyć granicę plastyczności bez porównywalnej zmiany początkowego nachylenia charakterystyki sprężystej.

Rozróżnienie to ma znaczenie w projektowaniu. Ugięcie pod obciążeniem użytkowym zależy przede wszystkim od $E$, geometrii, warunków brzegowych i obciążenia; sprawdzenie naprężeń dopuszczalnych wymaga również znajomości granicy plastyczności lub innego ograniczenia wytrzymałościowego. Zastąpienie $E$ granicą plastyczności danego gatunku prowadzi do wyników pozornie poprawnych wymiarowo, lecz pozbawionych sensu fizycznego. Obliczenie polegające na podzieleniu naprężenia przez granicę plastyczności może oszacować stopień wykorzystania materiału. Nie oblicza ono odkształcenia sprężystego.

Ten sam błąd występuje w przypadku ścinania. Moduł ścinania definiuje sprężysta zależność między naprężeniem stycznym a odkształceniem postaciowym,

$$\tau =G\gamma .$$

Granica plastyczności przy ścinaniu jest ograniczeniem plastycznym. Można ją oszacować na podstawie kryterium plastyczności, takiego jak zależność von Misesa, ale nie jest ona równa $G$ i nie uzyskuje się jej przez przypisanie modułowi jednostek naprężenia i zmianę jego nazwy. OpenStax (2020) wyraźnie rozdziela tryby odkształcenia: moduł Younga opisuje odpowiedź na rozciąganie, moduł objętościowy opisuje ściskanie objętościowe, a moduł ścinania opisuje odkształcenie postaciowe.

Specyfikacja stali może zatem zawierać zarówno wymaganie dotyczące granicy plastyczności, jak i założenie dotyczące właściwości sprężystych, przy czym wartości te nie muszą być powiązane prostym przelicznikiem dla danego gatunku. W obliczeniach konstrukcyjnych należy odnotować właściwe oznaczenie materiału i normę wyrobu — na przykład blachę lub arkusz zgodne z ASTM A240/A240M, materiał S355 zgodny z EN 10025-2 albo stal nierdzewną ASTM A276 Type 304 — wraz z grubością, postacią wyrobu i kierunkiem badania. Oznaczenie identyfikuje wymagania dotyczące materiału; nie sprawia jednak, że ogólna wartość modułu jest dokładna dla każdego wyrobu.

Innym błędem jest traktowanie każdego gatunku tak, jakby miał jedną dokładną wartość $E$. Stale ferrytyczne, martenzytyczne, bainityczne, austenityczne i duplex mogą różnić się udziałem faz, teksturą, poziomem porowatości w wyrobach odlewanych oraz naprężeniami własnymi. Czynniki te wpływają na zmierzoną odpowiedź sprężystą. W wielu oszacowaniach inżynierskich konwencjonalna wartość izotropowa jest wystarczająca, lecz nadal pozostaje założeniem lub przyjętą wartością projektową, a nie uniwersalną stałą fizyczną przypisaną słowu „stal”.

Mieszanie wartości statycznych i dynamicznych

Moduły statyczne i dynamiczne są ze sobą powiązane, ale nie można automatycznie traktować ich jako wzajemnie wymiennych. Moduł statyczny wyznacza się w powoli przeprowadzanym badaniu mechanicznym, zwykle na podstawie nachylenia krzywej naprężenie–odkształcenie przy rozciąganiu lub ściskaniu w określonym przedziale odkształcenia. Na wynik mogą wpływać podatność maszyny badawczej, ustawienie uchwytów, stan powierzchni, szybkość odkształcenia, histereza, mikrodyslokacje plastyczne oraz sposób dopasowania nachylenia.

Moduł dynamiczny wyznacza się na podstawie propagacji fal, rezonansu lub innego pomiaru zależnego od czasu. Norma ASTM E1875-20a określa wyznaczanie dynamicznego modułu Younga, modułu ścinania i współczynnika Poissona „metodą rezonansu akustycznego”. Częstotliwości rezonansowe i wymiary próbki służą do wyznaczenia stałych sprężystości. Metoda ta może dostarczać precyzyjnych danych dla małych odkształceń, lecz wynik odpowiada odkształceniu o wysokiej częstotliwości i bardzo małej amplitudzie, dlatego należy go odpowiednio oznaczyć.

Pomiary dynamiczne zależą również od gęstości, geometrii próbki, częstotliwości, temperatury i identyfikacji postaci drgań. Wartości wyznaczonej na podstawie rezonansu podłużnego nie należy wprowadzać do obliczeń dotyczących ścinania bez zastosowania odpowiedniej zależności i zgodnej wartości współczynnika Poissona. Podobnie, „moduł sprężystości” podany w poradniku może być konwencją projektową, podczas gdy w raporcie z badania rezonansowego może być wskazany moduł dynamiczny. Nie należy porównywać tych wartości tak, jakby pochodziły z tego samego badania.

Przy przeliczaniu między $E$, $G$ i $K$ należy podać, czy wartości wejściowe są statyczne, czy dynamiczne. Połączenie wartości $E$ z badania rozciągania z wartością $\nu$ z badania rezonansu akustycznego może utworzyć wewnętrznie niespójny zestaw, nawet jeśli obie wartości są indywidualnie wiarygodne. Obliczenie może spełniać zależność algebraiczną, a jednocześnie nie opisywać jednego zmierzonego stanu materiału.

Współczynnik Poissona wymaga szczególnej uwagi, ponieważ niepewność $\nu$ staje się istotna w równaniu na moduł objętościowy. Jeśli $E=200$ GPa i $\nu =0.30$, zależność izotropowa daje $K=166.7$ GPa. Jeśli tę samą wartość $E$ połączy się z $\nu =0.29$, otrzyma się $K=158.7$ GPa; dla $\nu =0.31$ wartość ta wynosi $K=175.4$ GPa. Zmiana $\nu$ o zaledwie 0.01 zmienia obliczoną wartość $K$ o około 5%. W pobliżu $\nu =0.5$ wrażliwość jest znacznie większa, ponieważ $1-2\nu$ zbliża się do zera. Zamiast przedstawiać wynikową wartość $K$ jako zmierzoną stałą, należy podać przyjętą wartość, jej źródło oraz zakres analizy wrażliwości.

Jednostki powodują prostszy, lecz częsty błąd. Ponieważ $1\text{GPa}=1000\text{MPa}$, wprowadzenie wartości $E$ w MPa obok wartości $G$ w GPa może spowodować błąd o współczynnik 1000. W całym obliczeniu należy używać jednego układu jednostek dla wszystkich modułów i podać jednostkę obok wyniku końcowego.

Wartości modułu objętościowego wymagają podania pochodzenia. Engineering ToolBox podaje dla stali nierdzewnej przybliżoną wartość 163 GPa, lecz jest to oszacowanie z wtórnego źródła, a nie wartość uniwersalna dla każdego gatunku stali nierdzewnej, postaci wyrobu, temperatury czy warunków badania. Rzetelne źródło powinno wskazywać pierwotny pomiar lub obliczenie, skład chemiczny, stan fazowy, temperaturę, zakres ciśnienia, podstawę określenia gęstości oraz metodę. Definicja termodynamiczna z National Institute of Standards and Technology (1982), $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$, wyraźnie uwzględnia warunek temperaturowy. Liczbę skopiowaną z tabeli bez podania tych warunków należy oznaczyć jako przybliżoną.

Pomijanie anizotropii i temperatury

Równania izotropowe zakładają, że odpowiedź materiału jest taka sama we wszystkich kierunkach. W walcowanej blasze, ciągnionym drucie, kutym pręcie i stali wytwarzanej przyrostowo często powstaje tekstura krystalograficzna. Ich odpowiedź sprężysta może zmieniać się w zależności od kierunku obciążenia, nawet jeśli materiał sprawia wrażenie jednorodnego gołym okiem. Silnie steksturowana blacha może wymagać stałych zależnych od kierunku zamiast jednej wartości $E$, $G$ i $\nu$.

Sprężystość monokryształu opisuje się macierzą sztywności sprężystej, a nie jednym skalarnym modułem. Rozdział w podręczniku NIST z 1982 roku wyjaśnia, jak wyznaczać quasi-izotropowe stałe polikrystaliczne na podstawie danych o sztywności monokryształów pierwiastków o strukturze regularnej i heksagonalnej. Uśrednianie to jest modelem. Staje się ono mniej odpowiednie, gdy tekstura jest silna, udział faz zmienia się przestrzennie lub wyrób zawiera ukierunkowane wtrącenia albo pory.

Temperatura jest kolejną pomijaną zmienną. Stałe sprężystości na ogół zmieniają się wraz z temperaturą, a przemiany fazowe mogą powodować większe nieciągłości niż zwykłe zmiękczenie cieplne. W raporcie National Bureau of Standards (1981) zmierzono stałe sprężystości austenitycznej stali Fe-5Cr-26Mn w zakresie od 76 do 400 K, wykorzystując prędkości dźwięku dla modów podłużnego i poprzecznego. Sam zakres temperatur pokazuje, dlaczego wartości w temperaturze pokojowej nie można bez dodatkowego wyjaśnienia przenosić na warunki kriogeniczne ani na urządzenia pracujące w podwyższonej temperaturze.

Obliczenia powinny zatem określać oznaczenie materiału, postać wyrobu, kierunek badania, temperaturę, tryb odkształcenia, metodę pomiaru oraz to, czy stałe są statyczne, dynamiczne, izotropowe czy zależne od kierunku. Jeśli tych szczegółów brakuje, wynik należy oznaczyć jako oszacowanie inżynierskie i przedstawić, jak niepewność wartości $E$, $G$, $K$ i $\nu$ wpływa na odpowiedź. Jest to dokładniejsze niż przypisywanie jednej ścisłej wartości modułu całej stali i pozwalanie, aby nieujawnione założenie decydowało o projekcie.

Źródła

1. [1]National Institute of Standards and Technology. Bulk modulus definition. NIST handbook chapter, 1982. https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172
2. [2]ASTM International. Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM E1875-20a, 2020. https://www.astm.org/e1875-20a.html
3. [3]Springer Nature. Elasticity of Solids. Springer book chapter, 2020. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4
4. [4]OpenStax. Stress, Strain, and Elastic Modulus. University Physics Volume 1, 2020. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
5. [5]National Bureau of Standards. Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards report, 1981. https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf