इस्पात के प्रत्यास्थता स्थिरांक और मापांकों के बीच संबंध

इस्पात के प्रत्यास्थ स्थिरांकों का अर्थ—और उनका अर्थ क्या नहीं है

प्रत्यास्थ स्थिरांक ऐसे प्राचल हैं जो किसी पदार्थ के प्रत्यास्थ परास में रहने के दौरान लगाए गए तनाव को उससे उत्पन्न विकृति से जोड़ते हैं। इस परास में भार हटाने पर नमूना कम-से-कम लगभग अपनी मूल विमाओं में लौट सकता है। एक सरल तनन परीक्षण के लिए, यंग मापांक अक्षीय तनाव और अक्षीय विकृति का अनुपात होता है,

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }.$$

यह संबंध तनाव–विकृति वक्र के आरंभिक, पुनर्प्राप्य भाग की ढाल को दर्शाता है। यह पूरे वक्र का वर्णन नहीं करता और न ही यह बताता है कि स्थायी विकृति या भंग से पहले इस्पात कितना तनाव सहन कर सकता है।

समदैशिक, समरेखीय-प्रत्यास्थ ठोस के लिए केवल दो प्रत्यास्थता नियतांक स्वतंत्र होते हैं। Strong evidence

एक समदैशिक, रैखिक-प्रत्यास्थ ठोस के लिए केवल दो प्रत्यास्थ स्थिरांक स्वतंत्र होते हैं। सामान्यतः प्रयुक्त एक समुच्चय में यंग मापांक $E$, पॉइसन अनुपात $\nu$, आयतन मापांक $K$ या $B$, अपरूपण मापांक $G$, लैमे का प्रथम प्राचल $\lambda$, और $2\mu$ शामिल होते हैं, जहाँ $\mu =G$ है। Sandia National Laboratories इन छह संबंधित राशियों को सूचीबद्ध करती है और बताती है कि $E$ तथा $\nu$ अन्य राशियों को निर्धारित करते हैं। उदाहरण के लिए,

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

और

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

आयतन प्रत्यास्थता गुणांकआयतन प्रत्यास्थता गुणांक दाब के अंतर्गत समान आयतन परिवर्तन के प्रतिरोध का माप; इसे सामान्यतः K या B लिखा जाता है।

संकेतन में भिन्नता होती है: NIST और अन्य स्रोत आयतन मापांक के लिए प्रायः $B$ का उपयोग करते हैं, जबकि अभियान्त्रिकी की पाठ्यपुस्तकें और परिमित-तत्व सॉफ्टवेयर प्रायः $K$ का उपयोग करते हैं। दोनों एक ही समदैशिक गुण का वर्णन करते हैं।

प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया बनाम सामर्थ्य और प्लास्टिकता

प्रत्यास्थता एक सीमित प्रश्न का उत्तर देती है: स्थायी विकृति शुरू होने से पहले किसी दिए गए तनाव के साथ कितनी विकृति जुड़ी होती है? सामर्थ्य अलग-अलग प्रश्नों का उत्तर देती है। पराभव सामर्थ्य निर्दिष्ट प्लास्टिक विकृति के आरंभ से संबंधित तनाव को दर्शाती है; तनन सामर्थ्य तनन परीक्षण के दौरान प्राप्त अधिकतम अभियान्त्रिक तनाव है; भंग सामर्थ्य नमूने के अलग होने से संबंधित है। इनमें से कोई भी यंग मापांक का दूसरा नाम नहीं है।

किसी इस्पात की पराभव सामर्थ्य अधिक हो सकती है, जबकि उसकी यंग मापांक समान संघटन वाले कम-सामर्थ्य इस्पात के लगभग बराबर हो। शीत-कार्यण, अवक्षेप-कठोरीकरण या मार्टेंसाइटीय रूपांतरण पराभव सामर्थ्य और कठोरता को बहुत बढ़ा सकते हैं, जबकि अल्प-विकृति तनन मापांक में बहुत कम परिवर्तन होता है। इसका कारण यह है कि सुदृढ़ीकरण की क्रियाविधियाँ विस्थापन की गति में बाधा डालती हैं, जबकि आरंभिक प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया मुख्यतः परमाणु बंधों की दृढ़ता और समग्र क्रिस्टलीय संरचना को दर्शाती है। यह भेद महत्त्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, शमन-और-टेम्पर किए गए निम्न-मिश्रधातु इस्पात की तुलना संबंधित रासायनिक संघटन वाले एनीलित उत्पाद से करते समय।

प्लास्टिकता तब शुरू होती है जब तनाव–विकृति संबंध मूल रैखिक-प्रत्यास्थ ढाल का अनुसरण नहीं करता। इसके बाद किसी प्लास्टिक संघटक मॉडल को पराभव मानदंड, सुदृढ़ीकरण नियम, प्रवाह नियम, विकृति-दर संवेदनशीलता और तापमान-निर्भरता जैसी जानकारी की आवश्यकता होती है। अकेला यंग मापांक इनमें से कोई जानकारी उपलब्ध नहीं कराता। किसी परिमित-तत्व मॉडल में $E$ का मान सटीक होने पर भी, यदि उसकी पराभव सतह अनुपयुक्त हो, तो वह स्थायी विकृति का गलत पूर्वानुमान लगा सकता है।

अन्य यांत्रिक गुण अभी भिन्न प्रश्नों का उत्तर देते हैं। कठोरता स्थानीयकृत अंतर्वेशन के प्रति प्रतिरोध को मापती है और नियंत्रित इस्पात-समूह के भीतर प्रायः सामर्थ्य से सहसंबद्ध होती है, लेकिन यह कोई मापांक नहीं है। दृढ़ता किसी निर्दिष्ट परीक्षण दशा में ऊर्जा अवशोषण और दरार-प्रतिरोध से संबंधित है। थकान-प्रतिरोध बार-बार या उतार-चढ़ाव वाले भारण के अंतर्गत क्षति के संचय से संबंधित है। किसी इस्पात का प्रत्यास्थ मापांक दूसरे ग्रेड के समान हो सकता है, लेकिन उसकी कठोरता, आघात दृढ़ता, दरार-वृद्धि व्यवहार या थकान-आयु भिन्न हो सकती है।

प्रत्यास्थता का यह अर्थ भी नहीं है कि प्रत्येक भारण चक्र पूरी तरह प्रतिवर्ती होता है। वास्तविक इस्पात में पारंपरिक पराभव-बिंदु स्पष्ट होने से पहले सूक्ष्म-प्लास्टिकता, एनेलास्टिकता, अवशिष्ट तनाव प्रभाव, हिस्टेरेसिस या क्षति दिखाई दे सकती है। इसलिए किसी विशेष परीक्षण के लिए रिपोर्ट किया गया मापांक उसकी विकृति-सीमा, भारण-दर, चक्र-इतिहास और आँकड़ा-अपचयन विधि से संबद्ध होता है।

विफलता-तनाव नहीं, बल्कि दृढ़ता के रूप में मापांक

मापांक दृढ़ता को मापता है: किसी परिभाषित विकृति-विधा में निर्दिष्ट प्रत्यास्थ विकृति उत्पन्न करने के लिए आवश्यक तनाव। यंग मापांक अक्षीय प्रसार या संकुचन से संबंधित होता है। अपरूपण मापांक अपरूपण तनाव के अंतर्गत आकार-परिवर्तन के प्रतिरोध का वर्णन करता है। आयतन मापांक दाब के अंतर्गत एकसमान आयतन-परिवर्तन के प्रतिरोध का वर्णन करता है। OpenStax तनन, अपरूपण और आयतनात्मक विकृति के लिए इन संबंधित भौतिक अर्थों को प्रस्तुत करता है।

बड़े मापांक का अर्थ है कि किसी दिए गए तनाव से छोटी प्रत्यास्थ विकृति उत्पन्न होती है। इसका अर्थ यह नहीं है कि पदार्थ पराभव या भंग से पहले अधिक तनाव सहन कर सकता है। समान $E$ लेकिन भिन्न पराभव सामर्थ्य वाले इस्पात के दो घटकों पर विचार करें। समान सेवा-तनाव के अंतर्गत दोनों में लगभग समान प्रत्यास्थ प्रसार होगा। अधिक-सामर्थ्य वाला घटक प्लास्टिक विकृति से पहले अधिक तनाव सहन कर सकता है, लेकिन केवल इसलिए कि उसकी पराभव सामर्थ्य अधिक है, उसकी आरंभिक प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया में वह उल्लेखनीय रूप से अधिक दृढ़ नहीं हो जाता।

आयतन मापांक की ऊष्मागतिकीय परिभाषा विशेष रूप से स्पष्ट है। National Institute of Standards and Technology अपने 1982 के हैंडबुक अध्याय में लिखता है,

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$[1][1] Bulk modulus definition. National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

जहाँ $V$ आयतन है, $P$ दाब है और अवकलज को स्थिर तापमान पर लिया जाता है। यह आयतनात्मक गुण है, तनन-विफलता सीमा नहीं। इस्पात को एकसमान रूप से संपीडित करना कठिन होता है, इसलिए उसका आयतन मापांक अधिक होता है; लेकिन यह तथ्य अपने-आप में तनन तन्यता या भंग दृढ़ता के बारे में बहुत कम बताता है।

मापांक को प्रत्यास्थता से भी भ्रमित नहीं करना चाहिए। प्रति इकाई आयतन संचित प्रत्यास्थ ऊर्जा तनाव और मापांक पर निर्भर करती है, जबकि पराभव तक पुनर्प्राप्य ऊर्जा मापांक और पराभव सामर्थ्य दोनों पर निर्भर करती है। इसलिए पराभव सामर्थ्य बढ़ाने से प्रत्यास्थ ऊर्जा-क्षमता बढ़ सकती है, भले ही $E$ में केवल थोड़ा परिवर्तन हो।

इस्पात के किसी ग्रेड का एक सार्वभौमिक मापांक क्यों नहीं होता

ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, EN 10025-2 S355JR या AISI 304 जैसा कोई पदनाम किसी विनिर्देशन, संघटन-परास, उत्पाद-अवस्था या अपेक्षित निष्पादन-समुच्चय की पहचान करता है; यह उस पदनाम के अनुसार बनाए गए प्रत्येक नमूने के लिए एक अपरिवर्तनीय प्रत्यास्थ संख्या निर्धारित नहीं करता। मापी गई प्रतिक्रिया पदार्थ की अवस्था और परीक्षण दशाओं पर निर्भर करती है।

तापमान एक प्रमुख चर है। प्रत्यास्थ स्थिरांक सामान्यतः तापमान के साथ बदलते हैं, और जब प्रावस्था-रूपांतरण क्रिस्टलीय संरचना या प्रावस्था-मिश्रण में परिवर्तन करते हैं, तब बड़े परिवर्तन हो सकते हैं। 1981 में प्रकाशित National Bureau of Standards की एक रिपोर्ट ने 76 से 400 K तक Fe-5Cr-26Mn ऑस्टेनिटिक इस्पात के प्रत्यास्थ स्थिरांकों को अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ-मोड ध्वनि वेगों का उपयोग करके मापा। केवल यह तापमान-परास ही दर्शाता है कि परीक्षण-तापमान के बिना दिया गया मान अपूर्ण होता है।

लगभग-समदैशिकलगभग-समदैशिक एक प्रभावी पदार्थ-प्रतिक्रिया, जो परिभाषित गणना, दिशा-परास और मापमान के लिए पर्याप्त रूप से समदैशिक के निकट हो, भले ही व्यक्तिगत कणिकाएँ अनिसोट्रॉपिक बनी रहें।

बनावट और दिशा भी महत्त्वपूर्ण हैं। फेराइट, ऑस्टेनाइट या मार्टेनसाइट के व्यक्तिगत क्रिस्टल प्रत्यास्थ रूप से विषमदैशिक होते हैं, अर्थात उनकी दृढ़ता क्रिस्टलोग्राफिक दिशा पर निर्भर करती है। रोल्ड प्लेट, फोर्ज्ड बार, खिंचे हुए तार और योज्य-विनिर्मित पदार्थ में पसंदीदा अभिविन्यास विकसित हो सकते हैं। जब क्रिस्टल अभिविन्यास पर्याप्त रूप से वितरित हों, तब बहुक्रिस्टलीय समुच्चय लगभग समदैशिक व्यवहार कर सकता है, लेकिन अत्यधिक बनावट वाले उत्पाद के लिए दिशा-विशिष्ट स्थिरांकों की आवश्यकता हो सकती है। रोलिंग दिशा में अनुदैर्ध्य मापांक का मान मोटाई की दिशा वाले मान के बराबर होना आवश्यक नहीं है।

प्रावस्था-संरचना, समावेशन, रंध्रता, अवशिष्ट तनाव, दाना-संरचना और उत्पाद-रूप भी मापी गई समग्र प्रतिक्रिया को प्रभावित करते हैं। मूल प्लेट और वेल्ड धातु तथा ऊष्मा-प्रभावित क्षेत्र एक ही परियोजना-विनिर्देशन के अंतर्गत आने पर भी एक-दूसरे से भिन्न हो सकते हैं। एकल-क्रिस्टल स्थिरांकों को बहुक्रिस्टलीय डिजाइन मानों के स्थान पर सीधे प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता। NIST हैंडबुक बताती है कि घनीय और षट्कोणीय पदार्थों के लिए एकल-क्रिस्टल प्रत्यास्थ-दृढ़ता आँकड़ों से अर्ध-समदैशिक यंग, अपरूपण, आयतन और संबंधित मापांक कैसे निकाले जा सकते हैं, लेकिन यह गणना क्रिस्टल सममिति और अभिविन्यास-औसत के बारे में धारणाओं पर निर्भर करती है।

[2][2] Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.

ASTM E1875-20a ध्वनिक अनुनाद द्वारा यंग गुणांक, अपरूपण गुणांक और पॉइसन अनुपात के गतिशील मापन को निर्दिष्ट करता है। Strong evidence

मापन-विधि से रिपोर्ट किए गए परिणाम में परिवर्तन आता है। धीमा तनन परीक्षण बल और विस्थापन पर आधारित स्थैतिक या सेकेंट/स्पर्शरेखीय मापांक उत्पन्न करता है, जबकि पराश्रव्य या अनुनाद विधियाँ तरंग-वेग या प्राकृतिक आवृत्ति से गतिशील मापांक निर्धारित करती हैं। ASTM E1875-20 में “sonic resonance” द्वारा गतिशील यंग मापांक, अपरूपण मापांक और पॉइसन अनुपात के निर्धारण को निर्दिष्ट किया गया है। आवृत्ति, अवमंदन, मशीन अनुपालिता, विकृति-आयाम और नमूने के गैर-आदर्श भागों के उपचार के कारण गतिशील मान स्थैतिक मानों से भिन्न हो सकते हैं।

अतः एक उपयोगी मापांक-रिपोर्ट में कम-से-कम इस्पात का पदनाम, उत्पाद-रूप और अवस्था, तापमान, भारण-दिशा, विकृति-विधा और मापन-विधि दी जानी चाहिए। इसमें यह भी स्पष्ट होना चाहिए कि मान मापा गया है, अन्य स्थिरांकों से गणना किया गया है या डिजाइन-धारणा के रूप में अपनाया गया है। Engineering ToolBox “stainless steel” के लिए 163 GPa का अनुमानित आयतन मापांक देता है, लेकिन यह एक द्वितीयक संदर्भ-आकलन है, प्रत्येक स्टेनलेस-स्टील ग्रेड, ऊष्मा-उपचार, बनावट, तापमान या परीक्षण-विधि के लिए सार्वभौमिक मान नहीं। जब धारणा स्पष्ट रूप से घोषित की गई हो, तब प्रारंभिक समदैशिक गणना के लिए प्रत्येक उत्पाद पर एक ही संख्या लागू करना स्वीकार्य हो सकता है। उसे ग्रेड-स्वतंत्र पदार्थ-तथ्य के रूप में प्रस्तुत करना स्वीकार्य नहीं है।

समदैशिक रैखिक प्रत्यास्थता का द्वि-स्थिरांक आधार

रैखिक प्रत्यास्थता किसी पदार्थ की प्रतिक्रिया के उस प्रतिवर्ती भाग का वर्णन करती है, जिसमें प्रतिबल और विकृति इतनी छोटी रहती हैं कि उनके बीच रैखिक संबंध लागू किया जा सके। समदैशिक शब्द एक अलग शर्त जोड़ता है: यह माना जाता है कि प्रत्येक दिशा में प्रतिक्रिया समान है। इन दोनों मान्यताओं के अंतर्गत, प्रत्यास्थ कठोरता टेन्सर में किसी सामान्य विषमदैशिक ठोस की तुलना में बहुत कम स्वतंत्र पद होते हैं। सामान्यतः रिपोर्ट की जाने वाली छह राशियाँ—यंग का मापांक $E$, पॉइसन अनुपात $\nu$, आयतन मापांक $K$ या $B$, अपरूपण मापांक $G$, लैमे का प्रथम पैरामीटर $\lambda$, और $2\mu$—इसलिए केवल चुने गए दो स्थिरांकों से व्यक्त की जा सकती हैं।

यह परिणाम संघटक मॉडल पर लागू होता है, स्टील के लिए रिपोर्ट किए गए प्रत्येक मापे गए मान पर स्वतः नहीं। तापमान, प्रावस्था-संरचना, क्रिस्टलोग्राफिक टेक्सचर, रंध्रता, अवशिष्ट प्रतिबल, नमूने का अभिविन्यास, आवृत्ति और परीक्षण-विधि—ये सभी मापी गई प्रतिक्रिया को प्रभावित कर सकते हैं। समदैशिक परिमित-तत्व मॉडल में प्रयुक्त मान अक्सर पूर्णतः पदार्थ की सूक्ष्मसंरचना का वर्णन करने के बजाय एक प्रभावी इंजीनियरिंग गुण होता है।

केवल दो स्वतंत्र स्थिरांकों की आवश्यकता क्यों होती है

प्रतिबल और विकृति द्वितीय-कोटि के टेन्सर हैं। सबसे सामान्य रैखिक प्रत्यास्थ ठोस में इनके बीच संबंध के लिए चतुर्थ-कोटि के कठोरता टेन्सर की आवश्यकता होती है, जिसमें विभिन्न दिशात्मक युग्मनों की अनेक संभावनाएँ होती हैं। प्रतिबल और विकृति टेन्सरों की सममिति स्वतंत्र पदों की संख्या घटाती है, और पदार्थ की सममिति इसे और कम कर देती है। समदैशिकता सामान्य पदार्थ-सममिति की सबसे कड़ी शर्त लागू करती है: यांत्रिक दृष्टि से कोई भी दिशा विशिष्ट नहीं होती।

समदैशिक प्रतिबल–विकृति संबंध इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

जहाँ ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ प्रतिबल टेन्सर, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ विकृति टेन्सर, ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ क्रोनेकर डेल्टा, तथा $\lambda$ और $\mu$ लैमे पैरामीटर हैं। इस प्रकार, $\lambda$ और $\mu$ स्वतंत्र स्थिरांकों का एक मान्य युग्म बनाते हैं। अपरूपण मापांक $G=\mu$ होता है, इसलिए $G$ और $\lambda$ का उपयोग करना समतुल्य है।

Springer की Elasticity of Solids (2020) में केंद्रीय परिणाम सीधे दिया गया है: समदैशिक ठोस के लिए केवल दो प्रत्यास्थ स्थिरांक स्वतंत्र होते हैं। Sandia National Laboratories के Sierra दस्तावेज़ में संबंधित समदैशिक समुच्चय को यंग के मापांक $E$, पॉइसन अनुपात $\nu$, आयतन मापांक $K$, अपरूपण मापांक $G$, लैमे के प्रथम पैरामीटर $\lambda$, और $2\mu$ के रूप में सूचीबद्ध किया गया है, तथा कहा गया है कि $E$ और $\nu$ अन्य राशियों को निर्धारित करते हैं। छह नामों की उपस्थिति से छह अलग-अलग समायोज्य पदार्थ-गुण उत्पन्न नहीं हो जाते।

सामान्य $E,\nu$ युग्म के लिए रूपांतरण इस प्रकार हैं:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )},$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )},$$

और

$$2\mu =2G=\frac{E}{1+\nu }.$$

प्रतिलोम संबंध भी उपयोगी हैं:

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G},$$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}.$$

ये समीकरण केवल किसी एक स्टील परिवार तक सीमित अनुभवजन्य सहसंबंध नहीं हैं। ये समदैशिक रैखिक-प्रत्यास्थ संघटक नियम से प्राप्त होते हैं। ये संगति-संबंधी आवश्यकताएँ भी लागू करते हैं। किसी स्थिर, सामान्य समदैशिक ठोस के लिए $G>0$, $K>0$, और $-1<\nu <0.5$ होना चाहिए। जैसे-जैसे $\nu$ का मान 0.5 के निकट पहुँचता है, मॉडल में पदार्थ लगभग असंपीड्य हो जाता है: $K$, $G$ की तुलना में बहुत अधिक बढ़ जाता है, जबकि $E$ दोनों से संबद्ध रहता है।

यद्यपि स्थिरांक गणितीय रूप से जुड़े हुए हैं, उनके भौतिक अर्थ अलग-अलग होते हैं। OpenStax के अनुसार, यंग का मापांक तन्य प्रतिक्रिया को नियंत्रित करने वाला अनुपात है, आयतन मापांक आयतनात्मक संपीड़न की प्रतिक्रिया को दर्शाता है, और अपरूपण मापांक अपरूपण-विकृति की प्रतिक्रिया को दर्शाता है। तन्यता परीक्षण मुख्यतः $E$ प्रदान करता है, लेकिन अक्षीय विकृति के साथ मापी गई पार्श्व विकृति $\nu$ प्रदान करती है। दाब–आयतन प्रयोग $K$ को लक्षित करता है, जबकि मरोड़ या अपरूपण-तरंग मापन $G$ को लक्षित करता है। एक बार कोई भी संगत युग्म ज्ञात हो जाए, तो अन्य मापांक स्वतंत्र रूप से चुने नहीं जाते, बल्कि उनकी गणना की जाती है।

आयतन मापांक की ऊष्मागतिक परिभाषा, यंग के मापांक से उसका अंतर स्पष्ट करती है:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

National Institute of Standards and Technology द्वारा 1982 में दिया गया यह व्यंजक, नियत तापमान पर दाब के अधीन आयतन-परिवर्तन के प्रतिरोध का वर्णन करता है। इसका अर्थ यह नहीं है कि सारणीबद्ध आयतन मापांक को तन्य मापांक के साथ परस्पर बदला जा सकता है। दोनों के बीच संख्यात्मक संबंध केवल समदैशिक संघटक मान्यताओं को लागू करने के बाद ही अस्तित्व में आता है।

व्यावहारिक इनपुट युग्म के रूप में E और ν

इंजीनियरिंग गणनाओं में सामान्यतः $E$ और $\nu$ का उपयोग किया जाता है, क्योंकि ये एकअक्षीय तन्यता परीक्षण से स्वाभाविक रूप से संबंधित होते हैं और मानक संरचनात्मक-पदार्थ आँकड़ों से सीधे उपलब्ध होते हैं। त्रिविमीय समदैशिक मॉडल में इन दोनों राशियों को दर्ज करने पर सॉफ़्टवेयर अतिरिक्त पदार्थ-स्थिरांकों के बिना $G$, $K$, $\lambda$, और $2\mu$ का निर्माण कर सकता है। यदि सभी छह राशियाँ दर्ज की जाएँ, लेकिन उनके मान रूपांतरण समीकरणों को संतुष्ट न करें, तो मॉडल असंगत हो सकता है।

यह विशेष रूप से तब महत्त्वपूर्ण है जब मान अलग-अलग स्रोतों से लिए गए हों। स्थैतिक तन्य मापांक, अनुनाद से प्राप्त गतिशील मापांक और आयतन मापांक का कोई अनुमान—इनमें से प्रत्येक अपने मापन-परिस्थितियों के लिए मान्य हो सकता है, फिर भी समदैशिक समीकरणों के माध्यम से एक-दूसरे को ठीक-ठीक पुनरुत्पादित न करे। ASTM E1875-20a “ध्वनिक अनुनाद द्वारा” गतिशील यंग के मापांक, अपरूपण मापांक और पॉइसन अनुपात के निर्धारण को निर्दिष्ट करता है। व्यवहार में ये आवृत्ति-निर्भर या दर-संवेदी मापन होते हैं, भले ही पदार्थ अपनी प्रत्यास्थ सीमा के भीतर रहे। परीक्षण-परिस्थितियों की जाँच किए बिना इन्हें कम-दर वाले तन्यता मानों के समान नहीं मानना चाहिए।

एक द्वितीयक संदर्भ, Engineering ToolBox, स्टेनलेस स्टील के लिए लगभग 163 GPa का आयतन मापांक देता है। यह संख्या एक संदर्भ-आकलन है, प्रत्येक स्टेनलेस-स्टील ग्रेड, ऊष्मा-उपचार, तापमान, उत्पाद-रूप या परीक्षण-विधि के लिए कोई सार्वभौमिक स्थिरांक नहीं। इसे किसी असंबंधित $E$ या $\nu$ मान के साथ बिना सावधानी के जोड़कर ग्रेड-विशिष्ट मापे गए गुण के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जाना चाहिए। यही सावधानी ASM की Steel Castings Handbook में दिए गए मानों पर भी लागू होती है, जहाँ प्रत्यास्थता मापांक, पॉइसन अनुपात, अपरूपण मापांक और संबंधित भौतिक गुणों को स्टील कास्टिंग के विशिष्ट आँकड़ों के रूप में प्रस्तुत किया गया है। “स्टील” कोई एक निश्चित प्रत्यास्थ नमूना नहीं है।

डिज़ाइन में स्थैतिक और गतिशील गुणों के बीच का अंतर महत्त्वपूर्ण है। गतिशील परीक्षण अनुनादी आवृत्तियों या तरंग-वेगों से प्रत्यास्थ स्थिरांकों का अनुमान लगाते हैं; स्थैतिक परीक्षण बल, विस्थापन और विकृति से इन्हें निर्धारित करते हैं। आवृत्ति, अवमंदन, सूक्ष्मसंरचनात्मक क्रियाविधियों, तापमान और उपकरणों के कारण गतिशील मापांक अलग हो सकता है। National Bureau of Standards की Fe-5Cr-26Mn ऑस्टेनिटिक स्टील पर रिपोर्ट में अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ-मोड ध्वनि-वेगों से 76–400 K के बीच प्रत्यास्थ स्थिरांकों का मापन किया गया। यह परास दर्शाता है कि तापमान और विधि के बिना दिया गया मान अपूर्ण हो सकता है, भले ही पदार्थ का नामकरण सटीक हो।

समदैशिकता और लगभग-समदैशिकता की भूमिका

बहुक्रिस्टलीय स्टील लगभग समदैशिक व्यवहार कर सकता है, जब उसके कण छोटे, अनेक और अभिविन्यास की दृष्टि से पर्याप्त रूप से यादृच्छिक हों। प्रत्येक एकल क्रिस्टल विषमदैशिक बना रहता है, लेकिन दिशात्मक प्रभाव प्रतिनिधि आयतन पर औसत होकर समाप्त हो सकते हैं। अनेक संरचनात्मक गणनाओं में एक प्रभावी $E$ और एक प्रभावी $\nu$ के उपयोग का आधार यही है।

जब प्रसंस्करण से मजबूत टेक्सचर उत्पन्न होता है, तो यह सन्निकटन कमज़ोर पड़ जाता है। रोलिंग, फोर्जिंग, योगात्मक विनिर्माण, दिशात्मक ठोसीकरण और वेल्ड के ऊष्मीय चक्र पसंदीदा क्रिस्टलोग्राफिक अभिविन्यास उत्पन्न कर सकते हैं। तब किसी प्लेट में अनुदैर्ध्य, अनुप्रस्थ और मोटाई-दिशा के गुण अलग-अलग हो सकते हैं। डेंड्राइटिक संरचना, वियोजन, रंध्रता और स्थानीय कण-अभिविन्यास के कारण ढलित उत्पाद में अलग प्रकार का व्यवहार दिखाई दे सकता है। प्रावस्था-संरचना भी महत्त्वपूर्ण है: फेराइट, ऑस्टेनाइट, मार्टेंसाइट, बैनाइट और अवशिष्ट ऑस्टेनाइट एकल-क्रिस्टल प्रत्यास्थ व्यवहार में समान योगदान नहीं देते।

लगभग-समदैशिक उस प्रभावी प्रतिक्रिया का वर्णन करता है जो किसी निर्दिष्ट उद्देश्य, दिशा-परास और पैमाने के लिए समदैशिक के पर्याप्त निकट हो। यह क्रिस्टलीय विषमदैशिकता को समाप्त नहीं करता और न ही यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक दिशा में मापा गया प्रत्येक मापांक एक-दूसरे से सहमत होगा। NIST के मोनोक्रिस्टल प्रत्यास्थ स्थिरांकों पर आधारित हैंडबुक अध्याय में बताया गया है कि घनीय और षट्कोणीय तत्वों के लिए एकल-क्रिस्टल कठोरता आँकड़ों से बहुक्रिस्टलीय $E$, $G$, $B$, अनुदैर्ध्य मापांक और $\nu$ कैसे प्राप्त किए जा सकते हैं। यह विधि औसतकरण की मान्यता को स्पष्ट करती है, बजाय इसके कि परिणामी बहुक्रिस्टलीय स्थिरांकों को मूलभूत मान माना जाए।

अत्यधिक टेक्सचर वाले स्टील के लिए विषमदैशिक प्रत्यास्थता मॉडल में दो से अधिक स्वतंत्र स्थिरांकों की आवश्यकता हो सकती है और नमूने का अभिविन्यास भी बनाए रखना पड़ता है। लगभग-समदैशिक स्टील घटक के लिए, इच्छित गणना हेतु दो प्रभावी स्थिरांक पर्याप्त हो सकते हैं, बशर्ते मापों के आधार पर इस मान्यता की जाँच की गई हो। Oxford Academic का Constitutive Response अध्याय भी समदैशिक रैखिक प्रत्यास्थता को दो स्वतंत्र स्थिरांकों के आधार पर प्रस्तुत करता है। इसलिए व्यावहारिक प्रश्न यह नहीं है कि स्टील में छह स्वतंत्र प्रत्यास्थ मापांक होते हैं या नहीं। समदैशिक मॉडल के अंतर्गत ऐसा नहीं होता। वास्तविक प्रश्न यह है कि चुने गए दो स्थिरांक गणना के लिए प्रासंगिक पदार्थ, तापमान, दिशा और मापन-परिस्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं या नहीं।

इस्पात में यंग का मापांक E

यंग का मापांक, $E$, एकदिशीय तनन या संपीड़न में किसी पदार्थ की कठोरता का वर्णन करता है। लागू रैखिक-प्रत्यास्थ परिभाषा के अंतर्गत, यह अक्षीय प्रतिबल और अक्षीय विकृति का अनुपात है:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

यहाँ, $\sigma$ नमूने की अक्ष के अनुदिश लगने वाला सामान्य प्रतिबल है और $\epsilon$ उससे संबंधित अक्षीय विकृति है। पूर्णतः रैखिक प्रतिक्रिया के लिए, प्रतिबल–विकृति ग्राफ मूलबिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा होता है और $E$ उसका ढाल होता है। इसकी इकाई पास्कल है, जिसे इस्पात के लिए सामान्यतः गीगापास्कल में दर्शाया जाता है।

यह परिभाषा केवल उस भारण-सीमा पर लागू होती है जहाँ पदार्थ की प्रतिक्रिया रैखिक और पुनर्प्राप्य होती है। इसका अर्थ यह नहीं है कि इस्पात परीक्षण के दौरान मापा गया प्रत्येक प्रतिबल-से-विकृति अनुपात यंग का मापांक है। जैसे ही प्लास्टिक विकृति, प्रावस्था रूपांतरण, क्षति या पर्याप्त अरैखिकता दिखाई देती है, चुना गया ढाल या अनुपात किसी भिन्न गुण का वर्णन करता है।

एकदिशीय प्रतिबल और अक्षीय विकृति

एकदिशीय तनन परीक्षण में नमूने की एक प्रमुख दिशा के अनुदिश बल लगाया जाता है। इंजीनियरी अक्षीय प्रतिबल की गणना सामान्यतः लगाए गए बल को मूल अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल से विभाजित करके की जाती है:

$$\sigma =\frac{F}{A_0}$$

इंजीनियरी अक्षीय विकृति, गेज लंबाई में परिवर्तन को उसकी मूल लंबाई से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:

$$\epsilon =\frac{L-L_0}{L_0}$$

कम विकृति पर, ये परिभाषाएँ $E$ का सामान्य इंजीनियरी मान प्रदान करती हैं। परीक्षण एक्स्टेंसोमीटर या विकृति-मापी किसी निर्दिष्ट गेज लंबाई पर हुए बढ़ाव को मापता है, जबकि परीक्षण मशीन बल और विस्थापन दर्ज करती है। मापे गए ढाल पर मशीन की अनुपालनशीलता, पकड़ की गति, नमूने का संरेखण, सतह की स्थिति और वक्र के प्रारंभिक भाग को निर्धारित करने की प्रयुक्त विधि का प्रभाव पड़ सकता है।

प्रत्यास्थ सीमा में, तनन नमूना पार्श्व दिशा में भी सिकुड़ता है। पॉइसन अनुपात, $\nu$, पार्श्व विकृति और अक्षीय विकृति के बीच संबंध को सामान्यतः इस प्रकार व्यक्त करता है:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}$$[3][3] Elasticity of Solids. Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

समदैशिक रैखिक-प्रत्यास्थ ठोस के लिए, $E$ और $\nu$ अन्य प्रत्यास्थ स्थिरांकों को निर्धारित करते हैं। Sandia Sierra दस्तावेज़ संबंधित समदैशिक समुच्चय में यंग का मापांक $E$, पॉइसन अनुपात $\nu$, आयतन मापांक $K$, अपरूपण मापांक $G$, लैमे का प्रथम पैरामीटर $\lambda$, और $2\mu$ को सूचीबद्ध करता है; इसका यह कथन कि $E$ और $\nu$ अन्य स्थिरांकों को निर्धारित करते हैं, समदैशिक प्रत्यास्थता की दो-स्थिरांक संरचना को दर्शाता है। Springer की ठोसों की प्रत्यास्थता भी बताती है कि समदैशिक ठोस के लिए केवल दो प्रत्यास्थ स्थिरांक स्वतंत्र होते हैं।

अभिकल्पना में सामान्यतः प्रयुक्त संबंध हैं:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

और

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

जहाँ $G$ अपरूपण मापांक है और $K$, जिसे $B$ के रूप में भी लिखा जाता है, आयतन मापांक है। ये समीकरण $E$, $G$, $K$ और $\nu$ को चार स्वतंत्र ग्रेड-गुण नहीं बनाते। जब समदैशिक और रैखिक-प्रत्यास्थ मान्यताएँ उपयुक्त हों, तब ये विभिन्न विरूपण-विधियों के अंतर्गत किए गए मापों को परस्पर संबद्ध करते हैं।

विरूपण-विधियों के बीच का अंतर महत्वपूर्ण है। यंग का मापांक अक्षीय विस्तार या संकुचन से संबंधित है, अपरूपण मापांक अपरूपण के अंतर्गत कोणीय विकृति से, और आयतन मापांक जलस्थैतिक दाब के अंतर्गत आयतन परिवर्तन से संबंधित है। OpenStax प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया की अलग-अलग भौतिक व्याख्याओं के रूप में इन्हें प्रस्तुत करता है। NIST हैंडबुक के 1982 के विवेचन में आयतन मापांक को ऊष्मागतिकीय रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

इसलिए इसका मान निर्दिष्ट तापमान पर दाब-प्रेरित आयतन परिवर्तन से संबंधित है, न कि केवल तनन प्रतिबल–विकृति वक्र के ढाल से।

साधारण इंजीनियरी गणनाओं में इस्पात को प्रायः समदैशिक माना जाता है, क्योंकि बहुस्फटिकी उत्पाद में अनेक क्रिस्टलोग्राफिक अभिविन्यास हो सकते हैं। अत्यधिक बनावटयुक्त शीट, बहुत अधिक कार्यित छड़, रोल्ड प्लेट, वेल्डेड संरचनाओं, योगात्मक रूप से निर्मित पदार्थ या एकल-स्फटिक अनुसंधान नमूनों में यह सन्निकटन विफल हो सकता है। घनीय फेराइट और ऑस्टेनाइट स्फटिकों की प्रत्यास्थ कठोरताएँ दिशानिर्भर होती हैं, यद्यपि उपयुक्त रूप से वितरित अभिविन्यासों वाला समुच्चय लगभग-समदैशिक दिखाई दे सकता है। NIST बताता है कि घनीय और षट्कोणीय पदार्थों के लिए एकल-स्फटिक प्रत्यास्थ-कठोरता आँकड़ों से बहुस्फटिकी $E$, $G$, $B$, अनुदैर्ध्य मापांक और पॉइसन अनुपात की गणना कैसे की जा सकती है।

अतः “इस्पात” के लिए रिपोर्ट किया गया कोई मान प्रत्येक उत्पाद-रूप के लिए स्वतः सार्वभौमिक स्थिरांक नहीं होता। रासायनिक संघटन, फेराइट, पर्लाइट, बैनाइट, मार्टेंसाइट, अवशिष्ट ऑस्टेनाइट, कार्बाइड का वितरण, सरंध्रता, बनावट और अवशिष्ट प्रतिबल मापी गई प्रतिक्रिया को प्रभावित कर सकते हैं। इसका प्रभाव एक परीक्षण विन्यास में बहुत कम और दूसरे में महत्वपूर्ण हो सकता है।

सेकेंट, स्पर्शरेखीय और प्रारंभिक प्रत्यास्थ मापांक

प्रारंभिक प्रत्यास्थ मापांक, शून्य प्रतिबल और विकृति पर या उसके अत्यंत निकट, प्रतिबल–विकृति वक्र का ढाल होता है। अवकल रूप में:

$$E_{\text{initial}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }{|}_{\epsilon \to 0}$$

बशर्ते वक्र पर्याप्त रूप से रैखिक हो और मापन प्रणाली को सही किया गया हो। यही वह मान है जो यंग के मापांक की पाठ्यपुस्तकीय परिभाषा से सबसे अधिक निकटता से संबंधित है।

स्पर्शरेखीय मापांक किसी चयनित बिंदु पर स्थानीय ढाल होता है:

$$E_{\text{tan}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }$$

यदि वक्र रैखिक बना रहता है, तो स्पर्शरेखीय मापांक प्रारंभिक मापांक के बराबर होता है। हालांकि, उपज के निकट इस्पात में प्लास्टिकता के आरंभ, विस्थापन गति, ल्यूडर्स विकृति, रूपांतरण प्रभाव या परीक्षण-संबंधी त्रुटियों के कारण वक्रता दिखाई दे सकती है। तब स्पर्शरेखीय मापांक प्रतिबल और विकृति के साथ बदलता है। इसे उस बिंदु या विकृति-अंतराल के साथ रिपोर्ट किया जाना चाहिए जहाँ इसे मापा गया था।

सेकेंट मापांक वक्र पर किसी चयनित बिंदु तक, किसी चुने हुए मूल से खींची गई रेखा का ढाल होता है:

$$E_{\text{sec}}=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

यह उस चयनित बिंदु के लिए लागू होता है। यह स्थानीय ढाल का वर्णन करने के बजाय पूरे अंतराल में प्रतिक्रिया का औसत देता है। यदि वक्र रैखिकता से हटकर मुड़ता है, तो सेकेंट और स्पर्शरेखीय मान अलग-अलग होते हैं। प्रथम उपज से अधिक प्रतिबल पर लिया गया सेकेंट मापांक प्रारंभिक प्रत्यास्थ मापांक से काफी कम हो सकता है, क्योंकि कुल विकृति में प्लास्टिक विकृति भी शामिल होती है।

इसलिए ये शब्द परस्पर विनिमेय नहीं हैं। विकृति या प्रतिबल-सीमा बताए बिना किसी सेकेंट मान को “यंग का मापांक” कहना अभिकल्पना गणना को भ्रामक बना सकता है। यही समस्या तब भी उत्पन्न होती है जब मशीन सीधे मापी गई गेज विकृति के बजाय क्रॉसहेड विस्थापन से ढाल रिपोर्ट करती है। पकड़ का बैठना और फ्रेम का विरूपण प्रारंभिक वक्र को विकृत कर सकते हैं, जबकि प्लास्टिकता बाद के वक्र को विकृत कर सकती है।

पूर्व विरूपण भी महत्वपूर्ण है। शीत रोलिंग, ड्रॉइंग, सीधा करना, पूर्व-विकृतिकरण और चक्रीय भारण विस्थापन संरचनाओं तथा अवशिष्ट प्रतिबलों को बदलते हैं। ये प्रत्यक्ष प्रारंभिक ढाल को बदल सकते हैं, तनन–संपीड़न असममिति उत्पन्न कर सकते हैं और भार हटाने तथा पुनःभारण के लिए अलग-अलग ढाल पैदा कर सकते हैं। जिस नमूने में प्लास्टिक विकृति आ चुकी हो, वह केवल समान नाममात्र ग्रेड निर्धारण होने के कारण अविकृत नमूने के समतुल्य नहीं होता।

तापमान भी निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। प्रत्यास्थ कठोरता सामान्यतः तापमान के साथ बदलती है और अधिक विस्तृत तापमान-सीमा में प्रावस्था-संरचना भी बदल सकती है। 1981 में प्रकाशित National Bureau of Standards की एक रिपोर्ट ने 76–400 K के बीच Fe-5Cr-26Mn ऑस्टेनिटिक इस्पात के प्रत्यास्थ स्थिरांकों को अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ-मोड ध्वनि वेगों का उपयोग करके मापा। यह तापमान-सीमा दर्शाती है कि कमरे के तापमान पर प्राप्त तनन मान को निम्नतापीय सेवा या उच्चतापीय विश्लेषण पर बिना सावधानी के लागू नहीं किया जाना चाहिए।

स्थैतिक बनाम गतिशील यंग का मापांक

स्थैतिक यंग का मापांक धीरे-धीरे लगाए गए यांत्रिक भार से प्राप्त किया जाता है, सामान्यतः तनन या संपीड़न परीक्षण के दौरान बल और अक्षीय विकृति को मापकर। “धीरे-धीरे” का अर्थ यह नहीं है कि परिणाम दर से स्वतंत्र है। विकृति-दर, भारण इतिहास, ठहराव समय, तापमान वृद्धि और विकृति-मापन प्रणाली रिपोर्ट किए गए ढाल को प्रभावित कर सकते हैं। परिवेशीय परिस्थितियों में सामान्य इस्पात में श्यान-प्रत्यास्थ प्रभाव सामान्यतः सीमित होते हैं, लेकिन प्रत्यास्थ–प्लास्टिक संक्रमण के निकट दर-निर्भर प्लास्टिकता, अवमंदन, तापीय प्रभाव और परीक्षण मशीन की अनुपालनशीलता फिर भी परिणाम को प्रभावित कर सकती है।

गतिशील यंग का मापांक कंपन, तरंग-प्रसार या अनुनाद मापन से निष्कर्षित किया जाता है। ASTM E1875-20a “ध्वनिक अनुनाद द्वारा” गतिशील यंग का मापांक, अपरूपण मापांक और पॉइसन अनुपात निर्धारित करने की विशिष्टता प्रदान करता है। इस विधि में अनुनादी आवृत्तियों और नमूने के आयामों का उपयोग किया जाता है, तथा घनत्व और बीम या छड़ के कंपन-संबंधी समीकरण गणना में शामिल होते हैं। चूँकि विरूपण सीमित आवृत्ति और सामान्यतः बहुत छोटे आयाम पर दोलन करता है, इसलिए परिणाम केवल तेज गति से किए गए तनन-परीक्षण का मान नहीं होता।

गतिशील मापन नमूने की ज्यामिति, आधार-स्थितियों, आवृत्ति, घनत्व, अवमंदन और आंतरिक असातत्य के प्रति अत्यधिक संवेदनशील हो सकते हैं। स्थैतिक मापन संरेखण, एक्स्टेंसोमीटर की स्थापना, गेज लंबाई और विकृति-दर के प्रति संवेदनशील होते हैं। जब दोनों विधियाँ उसी प्रत्यास्थ सीमा के भीतर सही ढंग से की जाती हैं, तो उनके परिणाम निकट हो सकते हैं, लेकिन समानता की गारंटी नहीं होती। इसलिए रिपोर्ट किए गए मापांक के साथ विधि, तापमान, अभिविन्यास, नमूने की स्थिति और यह जानकारी अवश्य दी जानी चाहिए कि मान प्रारंभिक, स्पर्शरेखीय, सेकेंट, स्थैतिक या गतिशील है।

Engineering ToolBox द्वारा स्टेनलेस स्टील के आयतन मापांक के लिए 163 GPa का लगभग संदर्भ मान कभी-कभी सूचीबद्ध किया जाता है, लेकिन यह द्वितीयक अनुमान है; यह प्रत्येक स्टेनलेस-स्टील ग्रेड, मानक निर्धारण, तापमान, बनावट या उत्पाद-रूप के लिए सार्वभौमिक मान नहीं है। यही सावधानी उद्धृत यंग के मापांक के मानों पर भी लागू होती है। समदैशिक अभिकल्पना मॉडलों में प्रत्यास्थ स्थिरांकों की सावधानीपूर्वक चुनी गई एक जोड़ी पर्याप्त होती है; फिर भी मापे गए पदार्थ-आँकड़े गणना में प्रयुक्त इस्पात की स्थिति और विरूपण-विधि से मेल खाने चाहिए।

अपरूपण मापांक G और विरूपणात्मक कठोरता

अपरूपण मापांक $G$ अपरूपण प्रतिबल के कारण आकार में होने वाले परिवर्तन के प्रति किसी ठोस पदार्थ के प्रतिरोध को मापता है। यह मुख्य रूप से आयतन में परिवर्तन के प्रति प्रतिरोध का वर्णन नहीं करता। आदर्श शुद्ध अपरूपण की स्थिति में, पदार्थ के समतलों की एक जोड़ी दूसरी जोड़ी के सापेक्ष खिसकती है। इससे पिंड के भीतर के कोण बदलते हैं, जबकि उसका आयतन लगभग अपरिवर्तित रहता है। यही अंतर $G$ को आयतन मापांक $K$ या $B$ से अलग करता है, जो जलस्थैतिक संपीड़न के प्रति प्रतिरोध का वर्णन करता है।

इस्पात के लिए $G$ कोई ऐसा अलग ग्रेड-लेबल नहीं है जो अन्य सभी प्रत्यास्थ गुणों से स्वतंत्र रूप से बदल सके। समांगी, समदैशिक, रैखिक प्रत्यास्थता में केवल दो प्रत्यास्थ नियतांक स्वतंत्र होते हैं। किसी सारणी में यंग मापांक $E$, पॉइसन अनुपात $\nu$, अपरूपण मापांक $G$, आयतन मापांक $K$, लामे का प्रथम पैरामीटर $\lambda$, और $2\mu$ दिए जा सकते हैं, लेकिन ये राशियाँ गणितीय रूप से परस्पर संबद्ध होती हैं। Sandia National Laboratories समदैशिक नियतांकों के इस छह-सदस्यीय समूह को सूचीबद्ध करती है और बताती है कि $E$ तथा $\nu$ से अन्य नियतांक निर्धारित हो जाते हैं। यही दो-नियतांक सीमा Springer की Elasticity of Solids (2020) में भी वर्णित है।

अपरूपण प्रतिबल और कोणीय विकृति

अपरूपण प्रतिबल को परंपरागत रूप से $\tau$ द्वारा लिखा जाता है और यह किसी सतह के समानांतर कार्य करता है। यदि किसी आयताकार अवयव पर अपरूपण लगाया जाए, तो उसके प्रारंभिक समकोण कोणीय विकृति $\gamma$ के कारण बदल जाते हैं। छोटे विक्षेपण के लिए $\gamma$ को रेडियन में मापा जाता है और इसे पार्श्व विस्थापन को ऊँचाई से विभाजित करके लगभग व्यक्त किया जा सकता है:

$$\gamma \approx \frac{\Delta x}{h}.$$

रैखिक प्रत्यास्थ संबंध है

$$\tau =G\gamma ,$$

अथवा

$$G=\frac{\tau }{\gamma }.$$

$G$ जितना अधिक होगा, किसी निर्दिष्ट कोणीय विरूपण को उत्पन्न करने के लिए आवश्यक अपरूपण प्रतिबल उतना ही अधिक होगा। यह कठोरता से संबंधित संबंध है, न कि पराभव या भंग के संबंध में कोई कथन। इस्पात का कोई नमूना उच्च प्रत्यास्थ अपरूपण मापांक वाला हो सकता है और फिर भी तब स्थायी विरूपण से गुजर सकता है, जब उसका स्थानीय अपरूपण प्रतिबल लागू पराभव-शर्त से अधिक हो जाए।

शुद्ध अपरूपण विरूपणात्मक और आयतनात्मक प्रतिक्रिया के बीच का अंतर स्पष्ट करता है। कोई घन तिरछे समांतरषट्फलक में बदल सकता है, जबकि उसकी किनारे की लंबाइयाँ और आयतन बहुत कम बदलते हैं। वास्तविक ठोस पदार्थों में अपरूपण के दौरान अभिलंब विकृतियाँ भी उत्पन्न होती हैं। समदैशिक पदार्थ में इन सहवर्ती विकृतियों का नियंत्रण पॉइसन अनुपात और पूर्ण संघटक समीकरणों के माध्यम से होता है, लेकिन मापी जाने वाली प्रमुख विकृति कोणीय विरूपण होती है।

जलस्थैतिक दाब के अधीन पदार्थ का व्यवहार भिन्न होता है। दाब सभी दिशाओं में समान रूप से कार्य करता है और किसी विशिष्ट अपरूपण दिशा को उत्पन्न किए बिना आयतन बदलता है। NIST द्वारा संबंधित मापांक को ऊष्मागतिक रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

जहाँ $V$ आयतन है, $P$ दाब है और अवकलज को नियत तापमान पर लिया जाता है। 1982 के NIST हैंडबुक के एक अध्याय में उद्धृत यह परिभाषा बताती है कि मरोड़ या अपरूपण की गणना में आयतन मापांक को $G$ के स्थान पर क्यों नहीं रखना चाहिए।

समदैशिक इस्पात के सन्निकटन के लिए, अपरूपण विकृति की ऊर्जा-घनता है:

$$u_s=\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{{\tau }^2}{2G}=\frac{1}{2}G{\gamma }^2.$$

यदि विकृति प्रत्यास्थ सीमा के भीतर बनी रहती है और समय-निर्भरता या क्षति की कोई प्रक्रिया हस्तक्षेप नहीं करती, तो भार हटाए जाने पर यह संचित ऊर्जा वापस प्राप्त हो जाती है।

मरोड़, अनुप्रस्थ तरंगें और अपरूपण प्रतिक्रिया

मरोड़, अपरूपण प्रत्यास्थता की एक व्यावहारिक अभिव्यक्ति है। जब किसी गोल इस्पाती शाफ्ट को मरोड़ा जाता है, तो उसके अनुप्रस्थ काट एक-दूसरे के सापेक्ष घूमते हैं और पदार्थ के अवयवों में अपरूपण विकृति उत्पन्न होती है, जो शाफ्ट की धुरी से दूरी बढ़ने के साथ बढ़ती है। Saint-Venant मरोड़ में किसी वृत्ताकार शाफ्ट के लिए,

$$T=\mathrm{GJ}\frac{\phi }{L},$$

जहाँ $T$ बलाघूर्ण है, $J$ क्षेत्रफल का ध्रुवीय द्वितीय आघूर्ण है, $\phi$ मरोड़ का कोण है और $L$ शाफ्ट की लंबाई है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर

$$\frac{\phi }{L}=\frac{T}{\mathrm{GJ}}.$$

समान बलाघूर्ण के अधीन अधिक $G$ वाला शाफ्ट कम मुड़ेगा, बशर्ते उसकी ज्यामिति और सीमा-शर्तें अपरिवर्तित रहें। ठोस वृत्ताकार शाफ्ट के लिए $J=\pi d^4/32$, और खोखले वृत्ताकार शाफ्ट के लिए $J=\pi (d_o^4-d_i^4)/32$ होता है। ये समीकरण प्रत्यास्थ मरोड़ सीमा पर लागू होते हैं और अवृत्ताकार काटों, वक्रण, प्लास्टिसिटी, अवशिष्ट प्रतिबल तथा विषमदैशिक उत्पादों के लिए अतिरिक्त विवेचन आवश्यक होता है।

अपरूपण मापांक को अनुप्रस्थ प्रत्यास्थ तरंगों की गति के माध्यम से भी मापा जाता है। समदैशिक माध्यम में अनुप्रस्थ या अपरूपण-तरंग का वेग है:

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }},$$

अतः

$$G=\rho v_T^2,$$

जहाँ $\rho$ घनत्व है। अनुप्रस्थ तरंग कणों को संचरण की दिशा के लंबवत गति कराती है। इसका पुनर्स्थापन बल अपरूपण कठोरता होती है, जबकि अनुदैर्ध्य तरंग आयतनात्मक और अपरूपण कठोरता के संयुक्त प्रभाव से नियंत्रित होती है:

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}.$$

इसलिए दोनों तरंग-वेगों का मापन, घनत्व ज्ञात होने पर, एक से अधिक प्रत्यास्थ नियतांकों की गणना की अनुमति देता है। यह एक गतिक मापन है: परिणाम परीक्षण आवृत्ति, तापमान, नमूने की स्थिति और तरंग के आयाम पर प्रतिक्रिया को दर्शाता है।

ASTM E1875-20a “ध्वनिक अनुनाद द्वारा” गतिक यंग मापांक, अपरूपण मापांक और पॉइसन अनुपात के निर्धारण को निर्दिष्ट करता है। इस विधि में धीमी, एकदिश भारण-वक्र के बजाय अनुदैर्ध्य तथा नमनीय या मरोड़ संबंधी प्रतिक्रिया से जुड़ी अनुनादी आवृत्तियों का उपयोग किया जाता है। सीमित प्रत्यास्थ सीमा में समांगी इस्पात के नमूने के लिए गतिक और स्थैतिक मान निकट हो सकते हैं, लेकिन उन्हें स्वतः एकसमान नहीं माना जाना चाहिए।

Fe-5Cr-26Mn ऑस्टेनिटिक इस्पात पर National Bureau of Standards की रिपोर्ट परीक्षण-स्थितियों के महत्व को दर्शाती है। इसमें 76–400 K के बीच अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ-मोड ध्वनि-वेगों से प्रत्यास्थ नियतांक निर्धारित किए गए। तापमान में परिवर्तन परमाणु बंधन, ऊष्मीय प्रसार, प्रावस्था-स्थिरता और दोष-संबंधी अवमंदन को प्रभावित करते हैं; इसलिए क्रायोजेनिक तापमान पर मापा गया मापांक कमरे के तापमान के निकट मापे गए मापांक के बराबर होना आवश्यक नहीं है। इस्पात की प्रावस्था-संरचना और क्रिस्टलोग्राफिक बनावट भी महत्वपूर्ण होती है। एकल क्रिस्टल दिशा-निर्भर होता है, जबकि बहुक्रिस्टलीय पदार्थ तभी समदैशिक दिखाई दे सकता है जब उसके दाने की दिशाएँ पर्याप्त रूप से यादृच्छिक हों। रोलिंग, फोर्जिंग, वेल्डिंग, रूपांतरण-उत्पाद और अवशिष्ट बनावट दिशात्मक अपरूपण प्रतिक्रिया उत्पन्न कर सकते हैं।

G, E और ν के बीच संबंध

समांगी, समदैशिक, रैखिक प्रत्यास्थता के लिए केंद्रीय संबंध है:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

यहाँ $E$ यंग मापांक है और $\nu$ पॉइसन अनुपात है। यदि दो स्वतंत्र नियतांक ज्ञात हों, तो शेष समदैशिक नियतांकों को व्युत्पन्न किया जा सकता है। इसलिए $E$, $G$ और $\nu$ को परस्पर असंबद्ध, ग्रेड-विशिष्ट तीन संख्याओं के रूप में प्रस्तुत करना यांत्रिक रूप से असंगत है, जब तक कि मापन-अनिश्चितता, विषमदैशिकता, तापमान या मॉडल से विचलन पर चर्चा न की जा रही हो।

संबंधित आयतन-मापांक समीकरण है:

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

और $K$ तथा $G$ के बीच प्रत्यक्ष संबंध है:

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

ये समीकरण मॉडल-आधारित संबंध हैं, प्रत्येक इस्पाती उत्पाद के लिए सार्वभौमिक रूपांतरण नियम नहीं। इनमें छोटे विक्षेपण, प्रतिवर्ती व्यवहार, पदार्थ की समांगता, समदैशिकता तथा ऐसी तापमान और भारण-स्थितियाँ मानी जाती हैं जिनमें प्रत्यास्थ नियतांक प्रभावी रूप से स्थिर रहें। यह भी माना जाता है कि दिए गए मान संगत परिभाषाओं से संबंधित हैं। स्थैतिक तनन मापांक, अनुनादी गतिक मापांक और तरंग-आधारित मापांक अलग हो सकते हैं, क्योंकि उनकी आवृत्तियाँ और विकृति-आयाम अलग होते हैं।

Engineering ToolBox द्वारा 2024 में स्टेनलेस स्टील के आयतन मापांक के लिए 163 GPa का एक अनुमानित संदर्भ मान दिया गया है, लेकिन यह आँकड़ा प्रत्येक स्टेनलेस-स्टील ग्रेड, तापमान, उत्पाद-रूप, प्रावस्था-संतुलन या परीक्षण-विधि के लिए सार्वभौमिक मान नहीं है। यही सावधानी $G$ पर भी लागू होती है। ऑस्टेनिटिक, फेरिटिक, मार्टेंसिटिक और डुप्लेक्स इस्पात बनावट, प्रावस्था-अंश, चुंबकीय अवस्था और प्रसंस्करण इतिहास में भिन्न हो सकते हैं। मानक और डिजाइन विनिर्देश गणना के लिए एक प्रतिनिधि समदैशिक मान निर्धारित कर सकते हैं, जबकि अनुसंधान-आधारित मापन दिशा-निर्भर नियतांकों को अलग से निर्धारित कर सकता है।

समदैशिक डिजाइन-गणनाओं के लिए $G=E/[2(1+\nu \left)\right]$ तनन और अपरूपण कठोरता के बीच उपयुक्त संबंध है। बनावटयुक्त शीट, वेल्ड-प्रभावित पदार्थ, ढली हुई संरचनाओं, एकल क्रिस्टलों या स्पष्ट दिशात्मक व्यवहार वाले बहुप्रावस्थिक इस्पात के लिए इसके बजाय पूर्ण विषमदैशिक कठोरता मैट्रिक्स आवश्यक हो सकती है। ऐसी स्थिति में एकल अदिश अपरूपण मापांक प्रत्येक अपरूपण तल का वर्णन नहीं कर सकता।

आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $K$ या $B$ और आयतनात्मक संपीड़न

आयतन प्रत्यास्थता गुणांक किसी पदार्थ के आयतन में एकसमान परिवर्तन के प्रतिरोध को व्यक्त करता है। यह किसी इस्पात छड़ को एक अक्ष के अनुदिश खींचे जाने के प्रतिरोध का वर्णन नहीं करता और इसे यंग के गुणांक के साथ परस्पर विनिमेय नहीं माना जा सकता। तनन परीक्षण से मुख्यतः एकअक्षीय प्रत्यास्थता गुणांक निर्धारित होता है, जबकि दाब प्रयोग से आयतनात्मक प्रत्यास्थता गुणांक निर्धारित होता है। दोनों के बीच संबंध तभी स्थापित किया जा सकता है, जब किसी प्रत्यास्थ मॉडल और उसकी मान्यताओं को निर्दिष्ट किया गया हो।

समदैशिक रैखिक प्रत्यास्थता के लिए सामान्य प्रतीक इस प्रकार हैं: आयतन प्रत्यास्थता गुणांक के लिए $K$ या $B$, यंग के गुणांक के लिए $E$, अपरूपण प्रत्यास्थता गुणांक के लिए $G$, और पॉइसन अनुपात के लिए $\nu$। ये चारों स्वतंत्र रूप से समायोजित किए जा सकने वाले पदार्थ-स्थिरांक नहीं हैं। Springer की Elasticity of Solids के अनुसार, किसी समदैशिक ठोस में केवल दो स्वतंत्र प्रत्यास्थता स्थिरांक होते हैं। Sandia के Sierra दस्तावेज़ों में संबंधित समुच्चय को यंग का गुणांक $E$, पॉइसन अनुपात $\nu$, आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $K$, अपरूपण प्रत्यास्थता गुणांक $G$, लैमे का प्रथम पैरामीटर $\lambda$, और $2\mu$ के रूप में दिया गया है; $E$ और $\nu$ निर्दिष्ट करने पर शेष सभी राशियाँ निर्धारित हो जाती हैं।

आयतन प्रत्यास्थता गुणांक की ऊष्मागतिक परिभाषा

National Institute of Standards and Technology समतापीय आयतन प्रत्यास्थता गुणांक को इस प्रकार परिभाषित करता है:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

जहाँ $V$ आयतन है, $P$ दाब है, और अधोलिखित $T$ दर्शाता है कि अवकलज स्थिर तापमान पर लिया गया है। ऋण चिह्न आवश्यक है, क्योंकि दाब बढ़ने पर सामान्यतः आयतन घटता है; इसलिए $\partial P/\partial V$ ऋणात्मक होता है।

यह परिभाषा दाब–आयतन वक्र की स्थानीय ढाल को व्यक्त करती है। यह एक अवकल राशि है, न कि मनमाने रूप से बड़े संपीड़न के लिए केवल दाब को आयतन से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाली मात्रा। छोटे परिवर्तन के लिए,

$$\frac{\Delta V}{V}\approx -\frac{\Delta P}{B}.$$

अतः बड़े $B$ का अर्थ है कि समान भिन्नात्मक आयतन-परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए अधिक बड़े दाब-परिवर्तन की आवश्यकता होगी। इसका SI मात्रक पास्कल है, यद्यपि इस्पात के आँकड़े सामान्यतः गीगापास्कल में दिए जाते हैं।

स्थिर तापमान की शर्त महत्वपूर्ण है। धीमे संपीड़न के अधीन कोई पदार्थ अपने परिवेश के साथ ऊष्मा का आदान-प्रदान कर सकता है, जबकि तीव्र ध्वनि-तरंग लगभग रुद्धोष्म विरूपण उत्पन्न कर सकती है। इसलिए गतिशील मापन से प्राप्त प्रभावी प्रत्यास्थता गुणांक, धीमे यांत्रिक परीक्षण से प्राप्त गुणांक से भिन्न हो सकता है। दाब स्वयं भी ढाल को बदल सकता है, विशेषकर तब जब संपीड़न इतना अधिक हो कि प्रत्यास्थता स्थिरांकों को एक ही स्थिरांक द्वारा पर्याप्त रूप से निरूपित न किया जा सके।

जलस्थैतिक दाब के अधीन किसी ठोस में तीनों दिशाओं के अभिलंब प्रतिबल समान होते हैं:

$${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=-P.$$

इसके अनुरूप विकृति आयतन विकृति होती है:

$${\epsilon }_v=\frac{\Delta V}{V}={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,$$

जहाँ विरूपण छोटा माना गया है। तब संघटक संबंध इस प्रकार होता है:

$$P=-K{\epsilon }_v.$$

ऋण चिह्न उस संकेत-परिपाटी से उत्पन्न होता है जिसमें तन्य प्रतिबल और तन्य विकृति धनात्मक होते हैं, जबकि संपीडनात्मक दाब को अदिश दाब के रूप में धनात्मक माना जाता है।

जलस्थैतिक दाब और आयतन विकृति

जलस्थैतिक संपीड़न एकअक्षीय भारण से भिन्न होता है, यद्यपि दोनों में अभिलंब प्रतिबल उत्पन्न होते हैं। किसी तनन परीक्षण में खींचे जा रहे इस्पात के नमूने पर विचार करें। लगाया गया अक्षीय प्रतिबल अक्षीय विस्तार उत्पन्न करता है, जबकि दो अनुप्रस्थ दिशाओं में पॉइसन संकुचन होता है। इस भारण व्यवस्था में यंग का गुणांक अक्षीय प्रतिबल और अक्षीय विकृति से परिभाषित होता है:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

और यह संबंध रैखिक प्रत्यास्थ सीमा के भीतर लागू होता है।[4][4] Stress, Strain, and Elastic Modulus. OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

जलस्थैतिक दाब के अधीन किसी एक दिशा का चयन नहीं होता। नमूना तीनों अक्षों के अनुदिश लंबाई में संकुचित होता है और प्रासंगिक प्रतिक्रिया तीनों अभिलंब विकृतियों का योग होती है। OpenStax इस भौतिक भेद को स्पष्ट रूप से बताता है: यंग का गुणांक तन्य भारण पर, आयतन प्रत्यास्थता गुणांक आयतनात्मक संपीड़न पर, और अपरूपण प्रत्यास्थता गुणांक अपरूपण विरूपण पर लागू होता है। एकअक्षीय तनन परीक्षण में $K$ मापने के लिए आवश्यक प्रतिबल-अवस्था प्रत्यक्ष रूप से उत्पन्न नहीं होती।

समदैशिक रैखिक प्रत्यास्थ ठोस के लिए इन गुणांकों के बीच संबंध इस प्रकार हैं:

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

और

$$E=3K(1-2\nu ).$$

एक अन्य सामान्यतः प्रयुक्त संबंध है:

$$E=2G(1+\nu ).$$

इस प्रकार, दिए गए $E$ और $\nu$ को $K$ में परिवर्तित किया जा सकता है, लेकिन प्राप्त परिणाम दोनों इनपुट मानों से जुड़ी परिस्थितियों और अनिश्चितताओं को भी ग्रहण करता है। यदि $E$ गतिशील अनुनाद गुणांक है, जबकि $\nu$ धीमे तनन परीक्षण से प्राप्त किया गया है, तो परिकलित आयतन प्रत्यास्थता गुणांक किसी एक आंतरिक रूप से सुसंगत मापन-अवस्था का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता।

यह सूत्र यह भी दर्शाता है कि असंपीड्यता के निकट पहुँचने पर आयतन प्रत्यास्थता गुणांक पॉइसन अनुपात के प्रति अत्यधिक संवेदनशील क्यों हो जाता है। $E=200$ GPa और $\nu =0.30$ के नाममात्र इस्पात मान के लिए,

$$K=\frac{200}{3(1-0.60)}\approx 167\text{GPa}.$$

समान $E$ को बनाए रखते हुए $\nu$ को 0.49 करने पर,

$$K=\frac{200}{3(1-0.98)}\approx 3333\text{GPa}.$$

इतना बड़ा परिवर्तन मामूली पूर्णांकन-प्रभाव नहीं है। इसका कारण यह है कि $\nu$ के 0.5 के निकट पहुँचने पर हर शून्य के निकट पहुँच जाता है। $\nu$ में छोटी-सी त्रुटि, अथवा किसी भिन्न तापमान, आवृत्ति, प्रावस्था-संरचना या मापन-विधि से लिया गया मान, परिकलित $K$ में पर्याप्त परिवर्तन उत्पन्न कर सकता है।

धातुओं को प्रायः लगभग असंपीड्य क्यों कहा जाता है

धातुओं को प्रायः लगभग असंपीड्य कहा जाता है, क्योंकि सामान्य यांत्रिक दाब के अधीन उनकी आयतन विकृति, अपरूपण या एकअक्षीय प्रतिबल के अधीन होने वाले आकार-परिवर्तन की तुलना में बहुत छोटी होती है। उनका आयतन प्रत्यास्थता गुणांक सामान्यतः उनके अपरूपण प्रत्यास्थता गुणांक से बहुत बड़ा होता है। दाब आयतन को केवल थोड़ा बदल सकता है, जबकि ऐसा तुलनीय प्रतिबल-समुच्चय, जो आकार-विकृति की अनुमति देता हो, ज्यामिति में अधिक स्पष्ट परिवर्तन उत्पन्न कर सकता है।

“लगभग असंपीड्य” का अर्थ पूर्णतः असंपीड्य नहीं है। इस्पात का आयतन प्रत्यास्थता गुणांक फिर भी सीमित होता है और दाब के अधीन उसका घनत्व बदलता है। यह सन्निकटन निर्माण विश्लेषण, प्लास्टिसिटी, द्रव–संरचना गणनाओं और उन अन्य परिस्थितियों में उपयोगी है जहाँ आयतन-परिवर्तन छोटे होते हैं, लेकिन पदार्थ-मॉडल की जाँच किए बिना इसे लागू नहीं किया जाना चाहिए। प्लास्टिक विरूपण, प्रावस्था-परिवर्तन, रंध्रता, क्षति और उच्च तापमान—ये सभी आयतनात्मक प्रतिक्रिया को बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, रंध्रयुक्त इस्पात ढलाई को केवल इसलिए आदर्श सघन समदैशिक ठोस नहीं माना जा सकता कि उसका धात्विक मैट्रिक्स कठोर है।

इस्पात की सूक्ष्मसंरचना भी इस सन्निकटन को जटिल बनाती है। एकल-क्रिस्टल प्रत्यास्थता स्थिरांक क्रिस्टलोग्राफिक दिशा पर निर्भर करते हैं। जब कण यादृच्छिक रूप से उन्मुख होते हैं, तब बहुक्रिस्टलीय समुच्चय लगभग समदैशिक व्यवहार कर सकता है, लेकिन रोलिंग, फोर्जिंग, प्रावस्था-परिवर्तन और बनावट दिशात्मक गुण उत्पन्न कर सकते हैं। एकल-क्रिस्टल प्रत्यास्थता स्थिरांकों पर NIST की पुस्तिका का अध्याय दर्शाता है कि घनीय और षट्कोणीय पदार्थों के लिए एकल-क्रिस्टल कठोरता आँकड़ों से लगभग-समदैशिक बहुक्रिस्टलीय $E$, $G$, $B$, अनुदैर्ध्य गुणांक और $\nu$ कैसे निकाले जा सकते हैं। “लगभग-समदैशिक” एक मॉडलिंग-विवरण है; यह इस बात की गारंटी नहीं है कि प्रत्येक उत्पाद-रूप में हर दिशा के गुण समान होंगे।

तापमान और प्रावस्था-संरचना भी महत्वपूर्ण हैं। National Bureau of Standards की एक रिपोर्ट ने 76–400 K के बीच Fe-5Cr-26Mn ऑस्टेनिटिक इस्पात के प्रत्यास्थता स्थिरांक अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ-मोड ध्वनि-वेगों से निर्धारित किए। केवल यह तापमान-सीमा ही दर्शाती है कि प्रत्येक इस्पात-अवस्था के लिए कमरे के तापमान का एक ही मान निर्धारित नहीं किया जा सकता। ऑस्टेनिटिक, फेरिटिक, मार्टेंसिटिक और मिश्रित-प्रावस्था वाले इस्पातों की प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया भिन्न हो सकती है, जबकि शीत-कर्मण और बनावट मापे गए दिशात्मक मानों को बदल सकते हैं।

द्वितीयक संदर्भ Engineering ToolBox “स्टेनलेस स्टील” के लिए 163 GPa का एक अनुमानित मान देता है। यह संख्या प्रारंभिक गणना के लिए सुविधाजनक हो सकती है, लेकिन यह प्रत्येक स्टेनलेस-स्टील ग्रेड, तापमान, उत्पाद-रूप, प्रावस्था-संतुलन, बनावट या परीक्षण-स्थिति के लिए सार्वभौमिक आयतन प्रत्यास्थता गुणांक नहीं है। इसे सभी स्टेनलेस इस्पातों में साझा किए जाने वाले मापे गए स्थिरांक के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जाना चाहिए।

मापन-विधि भी परिवर्तन का एक अन्य स्रोत है। ASTM E1875-20a “ध्वनिक अनुनाद” द्वारा गतिशील यंग के गुणांक, अपरूपण प्रत्यास्थता गुणांक और पॉइसन अनुपात के निर्धारण को निर्दिष्ट करता है। ऐसे मान कंपन आवृत्तियों से प्राप्त किए जाते हैं और घनत्व, ज्यामिति, अवमंदन, तापमान तथा आवृत्ति के प्रति संवेदनशील होते हैं। स्थैतिक तनन आँकड़े एक भिन्न प्रयोगात्मक प्रश्न का उत्तर देते हैं। इसलिए अभिकल्पना गणनाओं में यह स्पष्ट किया जाना चाहिए कि प्रत्यास्थता गुणांक मापा गया है या व्युत्पन्न, स्थैतिक है या गतिशील, समदैशिक है या दिशात्मक, तथा किस तापमान और पदार्थ-अवस्था से संबंधित है। इस जानकारी के बिना उद्धृत $K$ या $B$ केवल एक सशर्त अनुमान है।

पॉइसन अनुपात ν और इस्पात में अनुप्रस्थ विकृति

पॉइसन अनुपात, जिसे ν (न्यू) द्वारा लिखा जाता है, लगाए गए भार के लंबवत उत्पन्न प्रत्यास्थ विकृति का वर्णन करता है। तनन परीक्षण में इसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\mathrm{transverse}}}{{\epsilon }_{\mathrm{longitudinal}}}$$

जहाँ अनुदैर्ध्य विकृति भार लगाने की दिशा में होती है और अनुप्रस्थ विकृति नमूने की चौड़ाई की दिशा में मापी जाती है। ऋण चिह्न के कारण इस्पात की सामान्य तनन प्रतिक्रिया के लिए ν धनात्मक होता है: माप-लंबाई बढ़ती है, जबकि उसकी चौड़ाई और मोटाई घटती हैं।

यह परिभाषा किसी विशिष्ट प्रत्यास्थ परीक्षण-दिशा, तापमान, भारण-दर और पदार्थ-अवस्था पर लागू होती है। यह कोई अलग ग्रेड-सूचक नहीं है, जिसे यंग मापांक, अपरूपण मापांक या आयतन मापांक से स्वतंत्र रूप से चुना जा सके। समदैशिक, समांगी, रैखिक-प्रत्यास्थ ठोस के लिए केवल दो प्रत्यास्थ स्थिरांक स्वतंत्र होते हैं। सैंडिया नेशनल लेबोरेटरीज़ संबंधित समदैशिक स्थिरांकों को यंग मापांक $E$, पॉइसन अनुपात $\nu$, आयतन मापांक $K$, अपरूपण मापांक $G$, लामे का प्रथम पैरामीटर $\lambda$, और $2\mu$ के रूप में सूचीबद्ध करती है; $E$ और $\nu$ निर्दिष्ट करने पर अन्य स्थिरांक निर्धारित हो जाते हैं। स्प्रिंगर की ठोसों की प्रत्यास्थता में भी कहा गया है कि समदैशिक ठोस में स्वतंत्र प्रत्यास्थ स्थिरांक “केवल दो” होते हैं।

छोटी प्रत्यास्थ विकृतियों के अंतर्गत समदैशिक इस्पात के लिए प्रमुख संबंध हैं:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

और

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

इन्हीं संबंधों को पुनर्व्यवस्थित करके प्राप्त किया जा सकता है:

$$\nu =\frac{E}{2G}-1$$

या

$$\nu =\frac{3K-E}{6K}.$$

ये समीकरण संघटक-संबंध हैं, न कि मनमाने पदार्थ-आँकड़े निर्धारित करने के स्वतंत्र तरीके। यदि किसी सारणी में दिए गए $E$, $G$, $K$ और ν इन संबंधों को संतुष्ट नहीं करते, तो संभव है कि इन मानों को अलग-अलग विधियों से, अलग-अलग तापमानों पर या अलग-अलग मान्यताओं के अंतर्गत मापा गया हो। वे समदैशिक सन्निकटनों का उपयोग करके वर्णित विषमदैशिक पदार्थों को भी दर्शा सकते हैं।

तनन भारण के दौरान अक्षीय संकुचन

एक ऐसे इस्पात तनन नमूने पर विचार करें जिसकी धुरी भारण-दिशा के साथ संरेखित हो। तनन प्रतिबल धनात्मक अक्षीय विकृति उत्पन्न करता है,

$${\epsilon }_L=\frac{\Delta L}{L},$$

जबकि व्यास सिकुड़ता है। यदि प्रारंभिक व्यास $d$ है, तो अनुप्रस्थ विकृति लगभग

$${\epsilon }_T=\frac{\Delta d}{d}$$

होती है।

प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,

$${\epsilon }_T=-\nu {\epsilon }_L.$$

अतः यदि किसी नमूने की अक्षीय प्रत्यास्थ विकृति $0.001$ और ν का मान 0.30 है, तो उसकी अनुप्रस्थ विकृति लगभग $-0.0003$ होगी। लंबाई 0.10% बढ़ेगी, जबकि व्यास 0.03% घटेगा। यह संख्यात्मक उदाहरण केवल विकृति का वर्णन करता है; यह प्रत्येक इस्पात ग्रेड या उत्पाद-रूप के लिए कोई सार्वभौमिक मान निर्धारित नहीं करता।

यह अनुपात विमाहीन है, क्योंकि अंश और हर दोनों विकृतियाँ हैं। यह इस बात पर भी निर्भर करता है कि विकृतियों को किस प्रकार परिभाषित किया गया है। जब विरूपण बहुत छोटा नहीं रह जाता, तब इंजीनियरिंग विकृति, वास्तविक विकृति, लघु-विकृति टेन्सर के घटक और सेकेंट विकृतियाँ कुछ भिन्न परिणाम दे सकती हैं। रैखिक-प्रत्यास्थ अभिकल्प में प्रयुक्त पॉइसन अनुपात सामान्यतः पुनर्प्राप्य सीमा के भीतर प्रारंभिक ढाल को संदर्भित करता है—अर्थात् पराभव, ल्यूडर्स विकृति, प्लास्टिक प्रवाह, दरार पड़ने या अन्य अरैखिक प्रभावों से पहले।

अक्षीय और पार्श्व प्रतिक्रियाएँ परस्पर संबद्ध होती हैं। तनन नमूना केवल लंबा नहीं होता और अपने मूल अनुप्रस्थ आयामों को बनाए नहीं रखता। आयताकार या बेलनाकार अनुप्रस्थ काट में चौड़ाई और मोटाई में कमी आयतन-परिवर्तन में योगदान देती है। छोटी विकृतियों के अंतर्गत आयतनात्मक विकृति लगभग

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L+{\epsilon }_{T1}+{\epsilon }_{T2}$$

होती है।

समान अनुप्रस्थ विकृतियों वाली समदैशिक तनन अवस्था में,

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L(1-2\nu ).$$

यह व्यंजक दर्शाता है कि सीमित-तत्व मॉडलों और संरचनात्मक गणनाओं में ν क्यों महत्वपूर्ण है। ν का गलत मान निर्धारित करने पर अनुमानित पार्श्व संकुचन, आयतनात्मक प्रतिक्रिया, जलस्थैतिक प्रतिबल और कभी-कभी प्रतिबंधित क्षेत्रों की आभासी कठोरता बदल जाती है।

हर पैमाने पर इस्पात कोई एकल समदैशिक पदार्थ नहीं होता। जब अनेक क्रिस्टल-कण योगदान करते हैं और बनावट कमजोर होती है, तब यादृच्छिक अभिविन्यास वाला बहुक्रिस्टलीय पदार्थ समदैशिक व्यवहार के निकट पहुँच सकता है। रोल्ड प्लेट, खींचा हुआ तार, फोर्ज किया हुआ बार, वेल्ड किए गए क्षेत्र और योगात्मक रूप से निर्मित पदार्थ अपनी पसंदीदा क्रिस्टलोग्राफिक अभिविन्यासों या स्थान के अनुसार बदलते फेज़-वितरण को बनाए रख सकते हैं। ऐसे मामलों में अनुप्रस्थ विकृति भारण और मापन-दिशाओं पर निर्भर करती है। तब एकल अदिश ν, पदार्थ के पूर्ण वर्णन के बजाय, सुविधाजनक इंजीनियरिंग औसत हो सकता है।

आयतन-परिवर्तन और ν = 0.5 की सीमा

आयतन मापांक समान रूप से होने वाले संपीड़न के प्रतिरोध का वर्णन करता है, जबकि यंग मापांक अक्षीय तनन या संपीड़न का और अपरूपण मापांक अपरूपण के अंतर्गत आकार-परिवर्तन का वर्णन करता है। ओपनस्टैक्स इस भेद को सीधे स्पष्ट करता है: यंग मापांक तनन भारण पर, आयतन मापांक आयतनात्मक संपीड़न पर और अपरूपण मापांक अपरूपण-विरूपण पर लागू होता है।

आयतन मापांक की ऊष्मागतिकीय परिभाषा है:

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

जैसा कि 1982 में नेशनल इंस्टीट्यूट ऑफ स्टैंडर्ड्स एंड टेक्नोलॉजी ने बताया था। यहाँ $P$ दाब, $V$ आयतन है और अवकलज स्थिर तापमान पर लिया जाता है। समदैशिक रैखिक-प्रत्यास्थ समीकरण $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$, आयतनात्मक प्रतिक्रिया को एकदिशीय प्रत्यास्थ आँकड़ों से तभी जोड़ता है जब समदैशिक मान्यताएँ उपयुक्त हों।

जैसे-जैसे ν का मान 0.5 के निकट पहुँचता है, हर $1-2\nu$ शून्य के निकट पहुँचता है और सीमित $E$ के लिए परिकलित आयतन मापांक अनंत की ओर बढ़ता है। यह असंपीड्य सीमा है: विरूपण आकार बदल सकता है, लेकिन आयतन नहीं। रबर-सदृश पदार्थ इस अवस्था के निकट पहुँच सकते हैं, क्योंकि उनकी आयतनात्मक प्रतिक्रिया अपरूपण प्रतिक्रिया की तुलना में बहुत अधिक कठोर होती है। सामान्य इस्पात असंपीड्य नहीं होते, यद्यपि उनका आयतन मापांक उनके अपरूपण मापांक से काफी अधिक होता है।

यह सीमा एक संख्यात्मक समस्या भी उजागर करती है। चूँकि $K$ में $1-2\nu$ शामिल है, इसलिए ν में छोटी त्रुटि परिकलित $K$ में बड़ी सापेक्ष त्रुटि उत्पन्न कर सकती है, विशेषकर तब जब ν का मान 0.5 के निकट हो। इस संबंध का अवकलन करने पर, $E$ को स्थिर रखते हुए, प्राप्त होता है:

$$\frac{\partial K}{\partial \nu }=\frac{2E}{3(1-2\nu {)}^2}$$

हर में मौजूद वर्ग संवेदनशीलता को बढ़ा देता है। ν में केवल कुछ हजारवें भाग की अनिश्चितता का मोटे तौर पर किए गए अक्षीय परिकलन पर बहुत कम प्रभाव हो सकता है, लेकिन रिपोर्ट किए गए आयतन मापांक पर इसका महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ सकता है।

इंजीनियरिंग टूलबॉक्स के एक संदर्भ में स्टेनलेस स्टील के लिए लगभग 163 GPa का आयतन मापांक दिया गया है। यह आँकड़ा द्वितीयक संदर्भ-आधारित अनुमान है, न कि प्रत्येक स्टेनलेस-स्टील ग्रेड, तापमान, उत्पाद-रूप, फेज़-संरचना या परीक्षण-विधि के लिए सार्वभौमिक मान। ऑस्टेनिटिक, फेरिटिक, मार्टेंसिटिक, डुप्लेक्स और अवक्षेप-कठोरीकरण वाले इस्पात बनावट, फेज़-संतुलन, दोषों और तापमान-प्रतिक्रिया में भिन्न हो सकते हैं।

ν का मापन और व्याख्या

तनन या संपीड़न परीक्षण में अक्षीय और अनुप्रस्थ विकृतियों को एक साथ मापकर पॉइसन अनुपात प्राप्त किया जा सकता है। एक्स्टेंसोमीटर, चिपकाए गए विकृति-मापक, प्रकाशीय प्रणालियाँ और डिजिटल इमेज सहसंबंध दोनों विकृति-घटकों को माप सकते हैं, लेकिन अनुप्रस्थ संकेत प्रायः छोटा होता है और संरेखण, सतह की तैयारी, मापक-ज्यामिति तथा शोर के प्रति अधिक संवेदनशील होता है। गलत संरेखण से वंकन उत्पन्न हो सकता है, जबकि मापक की अपूर्ण स्थिति अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ दिशाओं को मिला सकती है।

दूसरी विधि स्वतंत्र रूप से मापे गए प्रत्यास्थ तरंग वेगों से ν प्राप्त करती है। अनुदैर्ध्य और अपरूपण तरंग-गति गतिशील प्रत्यास्थ जानकारी प्रदान करती हैं; समदैशिक ठोस के लिए,

$$G=\rho v_S^2$$

और

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_S^2),$$

जहाँ $\rho$ घनत्व, $v_S$ अपरूपण-तरंग वेग और $v_L$ अनुदैर्ध्य-तरंग वेग है। इस प्रकार प्राप्त $E$ और ν छोटे आयाम तथा सीमित आवृत्ति वाली प्रतिक्रिया का वर्णन करते हैं; वे आवश्यक नहीं कि धीमे तनन-परीक्षण से प्राप्त मान से मेल खाएँ। ASTM E1875-20a “ध्वनिक अनुनाद द्वारा” गतिशील यंग मापांक, अपरूपण मापांक और पॉइसन अनुपात के निर्धारण को निर्दिष्ट करता है।[5][5] Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

तापमान प्रत्यास्थ कठोरता और तरंग-गति दोनों को बदलता है। नेशनल ब्यूरो ऑफ स्टैंडर्ड्स की एक रिपोर्ट ने 76–400 K के बीच Fe-5Cr-26Mn ऑस्टेनिटिक इस्पात के लिए अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ-मोड ध्वनि-वेगों का उपयोग करके प्रत्यास्थ स्थिरांकों का मापन किया। यह सीमा दर्शाती है कि कमरे के तापमान के निकट मापा गया मान क्रायोजेनिक सेवा या उच्च-तापमान अभिकल्प में स्वतः स्थानांतरित नहीं किया जाना चाहिए।

बनावट और क्रिस्टलोग्राफिक विषमदैशिकता एक और महत्वपूर्ण शर्त जोड़ते हैं। एकल-क्रिस्टल प्रत्यास्थ कठोरताओं को $E$, $G$, $K$ और ν वाले लगभग-समदैशिक बहुक्रिस्टलीय मानों में केवल ऐसे औसतकरण मॉडल के माध्यम से बदला जा सकता है, जो क्रिस्टल सममिति और अभिविन्यास-वितरण का लेखा-जोखा रखता हो। इसलिए रोल्ड शीट में रोलिंग-दिशा, अनुप्रस्थ-दिशा और मोटाई-दिशा में भारण के लिए अलग-अलग अनुपात दिखाई दे सकते हैं। गतिशील अनुनाद स्थैतिक तनन-परीक्षण की तुलना में अलग प्रभावी आयतन और विकृति-आयाम का भी नमूना ले सकता है।

अभिकल्प के लिए ν का मान अभिप्रेत संघटक-मॉडल और परीक्षण-स्थिति के अनुरूप होना चाहिए। अदिश समदैशिक मान का उपयोग तभी करें जब उत्पाद-रूप, बनावट, तापमान, विकृति-सीमा और आवश्यक शुद्धता उस सरलीकरण का समर्थन करते हों। अन्यथा, चार रिपोर्ट किए गए मापांकों को परस्पर असंबद्ध, ग्रेड-विशिष्ट संख्याओं की तरह मानने की अपेक्षा दिशा-निर्भर प्रत्यास्थ स्थिरांक या पूर्ण विषमदैशिक कठोरता मैट्रिक्स अधिक तर्कसंगत विकल्प हैं।

समदैशिक मापांकों के संबंधों का पूर्ण समुच्चय

समांगी, रैखिक-प्रत्यास्थ, समदैशिक ठोस के लिए सामान्यतः रिपोर्ट किए जाने वाले चार मापांक चार स्वतंत्र पदार्थ-स्थिरांक नहीं होते। यंग मापांक $E$, शियर मापांक $G$, आयतन मापांक $K$ या $B$, तथा पॉइसन अनुपात $\nu$ विभिन्न विकृति-विधियों का वर्णन करते हैं, लेकिन उनके मान परस्पर संबद्ध होते हैं। कोई भी दो उपयुक्त स्थिरांक शेष राशियों को निर्धारित करते हैं।

इस कथन की कुछ शर्तें हैं। पदार्थ को समदैशिक माना जाना चाहिए, विचाराधीन परास में प्रतिबल–विकृति प्रतिक्रिया रैखिक होनी चाहिए, और मापांक समान तापमान, घनत्व, प्रावस्था-संरचना, बनावट-औसत, आवृत्ति तथा मापन-पद्धति से संबंधित होने चाहिए। कम विकृति पर तनन-परीक्षण से मापा गया मापांक, ध्वनि वेग से अनुमानित गतिशील मापांक के साथ स्वतः विनिमेय नहीं होता। विषमदैशिक एकल क्रिस्टल के लिए नीचे दिए गए समदैशिक समीकरण पूर्ण दिशात्मक प्रतिक्रिया को पुनरुत्पादित नहीं करते।

OpenStax, 2020, भौतिक भूमिकाओं को स्पष्ट रूप से निर्धारित करता है: $E$ तनन या एकअक्षीय विकृति का, $G$ शियर विकृति का, और आयतन मापांक आयतनात्मक संपीड़न का वर्णन करता है। NIST के 1982 के विवेचन में ऊष्मागतिक आयतन मापांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

जहाँ $V$ आयतन है, $P$ दाब है, और अवकलज स्थिर तापमान पर लिया जाता है। लघु-विकृति वाली रैखिक प्रत्यास्थता में, यह ऊष्मागतिक परिभाषा नीचे दिए गए संबंधों में प्रयुक्त आयतनात्मक कठोरता के अनुरूप होती है, बशर्ते समान अवस्था और प्रत्यास्थ सन्निकटन का उपयोग किया जा रहा हो।

$E$, $G$, $K$ और $\nu$ के बीच रूपांतरण

समदैशिक रैखिक प्रत्यास्थता के लिए समीकरणों का पूर्ण समुच्चय है:

\[ \boxed{G=\frac{E}{2(1+\nu)}} \]

\[ \boxed{K\ \text{या}\ B=\frac{E}{3(1-2\nu)}} \]

\[ \boxed{E=\frac{9KG}{3K+G}} \]

\[ \boxed{\nu=\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \]

\[ \boxed{\lambda=K-\frac{2G}{3}} \]

\[ \boxed{\mu=G} \]

पहला समीकरण यंग मापांक और पॉइसन अनुपात को शियर मापांक में परिवर्तित करता है। यह समदैशिक संघटक-नियम तथा अत्यल्प, रैखिक प्रत्यास्थ विकृति पर आधारित है। दूसरा समीकरण $E$ और $\nu$ को आयतन मापांक में परिवर्तित करता है। इसमें यह भी माना जाता है कि मापा गया पॉइसन अनुपात समदैशिक प्रत्यास्थ अनुपात है, न कि विषमदैशिक नमूने से प्राप्त दिशानिर्भर मान।

तीसरा समीकरण $K$ और $G$ से $E$ की गणना करता है, जबकि चौथा उन्हीं दो मापांकों से $\nu$ की गणना करता है। ये समीकरण उसी समदैशिक संघटक मॉडल के बीजीय पुनर्विन्यास हैं; जब तक इनपुट मान स्वतंत्र मापों से प्राप्त न हों, ये स्वतंत्र प्रायोगिक जाँच उपलब्ध नहीं कराते। यदि $E$, $G$ और $\nu$ सभी रिपोर्ट किए गए हों, तो मापन-अनिश्चितता, पूर्णांकन, तापमान-अंतर, सरंध्रता, बनावट या समदैशिकता से विचलन के कारण छोटे अंतर अपेक्षित हैं।

एक स्थिर, सामान्य समदैशिक प्रत्यास्थ ठोस के लिए सामान्यतः प्रतिबंध इस प्रकार हैं:

\[ G>0,\qquad K>0,\qquad -1<\nu<\frac{1}{2}. \]

$\nu$ की ऊपरी सीमा विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। जैसे-जैसे $\nu$ का मान $0.5$ के निकट आता है, $1-2\nu$ पद शून्य के निकट पहुँचता है और परिकलित आयतन मापांक $E$ की तुलना में बहुत बड़ा हो जाता है। इसलिए लगभग असंपीड्य पदार्थ का तनन मापांक सीमित हो सकता है, लेकिन उसकी आयतनात्मक कठोरता इससे बहुत अधिक हो सकती है। इस्पात संपीड्य होता है; अतः $\nu =0.5$ को इस्पात का सटीक मान मानने पर रूपांतरण उपयोगी परिणाम देने के बजाय एकवाची हो जाएगा।

ये समीकरण किसी बहुक्रिस्टलीय पदार्थ के प्रभावी समदैशिक गुणों पर तब लागू होते हैं, जब दिशात्मक भिन्नताओं का पर्याप्त औसत लिया गया हो। एकल-क्रिस्टल प्रत्यास्थ स्थिरांकों पर NIST के हैंडबुक अध्याय से स्पष्ट होता है कि यह योग्यता क्यों महत्वपूर्ण है: घनीय और षट्कोणीय पदार्थों के लिए एकल-क्रिस्टल कठोरता-आँकड़ों से प्रभावी $E$, $G$, $B$, अनुदैर्ध्य मापांक और $\nu$ निकाले जा सकते हैं, लेकिन औसत लेने की प्रक्रिया क्रिस्टल सममिति और बनावट पर निर्भर करती है। तन्य रूप से बेलित शीट, वेल्ड धातु, ढली हुई संरचना और यादृच्छिक अभिविन्यास वाली एनीलित बहुक्रिस्टलीय संरचना की दिशात्मक प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया समान नहीं हो सकती, भले ही उनके रासायनिक विवरण समान हों।

ये स्थिरांक विभिन्न आवृत्ति-परासों का भी वर्णन कर सकते हैं। ASTM International द्वारा 2020 में प्रकाशित ASTM E1875-20a, “सोनिक अनुनाद द्वारा” गतिशील यंग मापांक, शियर मापांक और पॉइसन अनुपात के निर्धारण को निर्दिष्ट करता है। ये गतिशील मान अनुनादी आवृत्तियों से प्राप्त किए जाते हैं और तीव्र, लघु-आयाम भारण से संबद्ध होते हैं। स्थैतिक तनन-परीक्षण से प्राप्त मापांक अलग हो सकता है, जिसका कारण उपकरण का अनुपालन, सूक्ष्म-प्लास्टिकता, आंतरिक घर्षण, सरंध्रता, तापमान या आदर्श प्रत्यास्थ मॉडल से अन्य विचलन हो सकते हैं। रूपांतरण समीकरण तभी मान्य रहते हैं, जब इनपुट स्थिरांक संगत संघटक-विवरण से संबंधित हों।

इसलिए Engineering ToolBox द्वारा स्टेनलेस स्टील के लिए दिए गए लगभग $163\text{GPa}$ के आयतन मापांक जैसे संदर्भ मान को द्वितीयक अनुमान के रूप में पढ़ा जाना चाहिए, न कि प्रत्येक स्टेनलेस-स्टील ग्रेड, उत्पाद-रूप, तापमान, प्रावस्था-संतुलन या परीक्षण-पद्धति के लिए सार्वभौमिक मान के रूप में। “स्टेनलेस स्टील” पद में पर्याप्त रूप से भिन्न पदार्थ सम्मिलित होते हैं, जिनमें ऑस्टेनिटिक, फेरिटिक, मार्टेंसिटिक, अवक्षेपण-कठोरणीय और डुप्लेक्स ग्रेड शामिल हैं। उनकी प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया शीत-कर्मण और तापमान के साथ भी बदल सकती है।

लैमे के पैरामीटर $\lambda$ और $\mu$

लैमे के पैरामीटर उसी समदैशिक प्रत्यास्थ नियम का एक अन्य निरूपण हैं। दूसरा लैमे पैरामीटर है:

$$\mu =G,$$

अतः $\mu$, लैमे संकेत-पद्धति में व्यक्त शियर मापांक ही है। पहला लैमे पैरामीटर है:

$$\lambda =K-\frac{2G}{3}.$$

इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}.$$

टेंसर संकेत-पद्धति में समदैशिक प्रतिबल–विकृति संबंध सामान्यतः इस प्रकार लिखा जाता है:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

जहाँ ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ प्रतिबल टेंसर है, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ विकृति टेंसर है, ${\epsilon }_{\mathrm{kk}}$ आयतनात्मक विकृति है, और ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ क्रोनेकर डेल्टा है। $2\mu$ गुणक विकृति टेंसर के विचलनी और शियर योगदान पर कार्य करता है; यह $G$ से अलग किसी स्वतंत्र भौतिक मापांक को परिभाषित नहीं करता।

Sandia के Sierra दस्तावेज़ में छह संबंधित समदैशिक प्रत्यास्थ स्थिरांक सूचीबद्ध हैं: यंग मापांक $E$, पॉइसन अनुपात $\nu$, आयतन मापांक $K$, शियर मापांक $G$, लैमे का पहला पैरामीटर $\lambda$, और $2\mu$। इससे सॉफ्टवेयर तथा परिमित-तत्व संकेत-पद्धति में होने वाली एक सामान्य त्रुटि स्पष्ट होती है। किसी पदार्थ-कार्ड में “$2\mu$” माँगा जा सकता है, क्योंकि संघटक समीकरण में यही गुणांक प्रयुक्त होता है, जबकि किसी अन्य इंटरफेस में $G$ या $\mu$ माँगा जा सकता है। जहाँ $2\mu$ अपेक्षित हो वहाँ $G$ देने से दो के गुणक की त्रुटि उत्पन्न होगी।

Springer की ठोसों की प्रत्यास्थता, 2020, केंद्रीय नियम को सीधे बताती है: समदैशिक ठोस के लिए केवल दो प्रत्यास्थ स्थिरांक स्वतंत्र होते हैं। इसी प्रकार Sandia का निरूपण भी बताता है कि $E$ और $\nu$ अन्य स्थिरांकों को निर्धारित करते हैं। ये छह नाम छह परस्पर संबद्ध राशियों का वर्णन करते हैं, न कि ग्रेड के छह स्वतंत्र रूप से समायोज्य गुणों का।

इकाइयाँ, संकेत-पद्धति तथा $K$ और $B$ के बीच संकेत-संघर्ष

$E$, $G$, $K$, $B$, $\lambda$ और $\mu$ सभी की इकाइयाँ प्रतिबल की इकाइयाँ होती हैं: SI में पास्कल, और इस्पात के लिए सामान्यतः गिगापास्कल ($\text{GPa}$) में रिपोर्ट की जाती हैं। पॉइसन अनुपात $\nu$ विमाहीन होता है। चूँकि $1\text{GPa}={10}^9\text{Pa}$, किसी भी समीकरण को लागू करने से पहले सभी प्रतिबल-सदृश इनपुटों में समान इकाई होनी चाहिए।

सातत्य यांत्रिकी और परिमित-तत्व दस्तावेज़ों में आयतन मापांक के लिए $K$ संकेत सामान्य है। NIST और अनेक पदार्थ-संदर्भों में $B$ का उपयोग किया जाता है, संभवतः इसलिए कि “bulk modulus” का आरंभिक अक्षर B है। ऊपर दिए गए समीकरणों में ये संकेत सामान्यतः एक ही राशि को दर्शाते हैं:

$$K=B.$$

ये इस्पात के दो अलग-अलग स्थिरांक नहीं हैं। जब कोई पाठ्यपुस्तक आयतन मापांक के लिए $K$ का उपयोग करती है, जबकि कोई अन्य विषय $K$ का उपयोग कठोरता मैट्रिक्स, ऊष्मीय चालकता गुणांक या प्रतिबल-तीव्रता से संबंधित राशि के लिए करता है, तब यह संघर्ष महत्वपूर्ण हो जाता है। व्याख्या के लिए संदर्भित परिभाषा को निर्णायक माना जाना चाहिए।

अंततः, ये संबंध प्रत्यास्थ स्थिरांकों का वर्णन करते हैं, सेवा-स्थितियों के दौरान मापी जाने वाली प्रत्येक कठोरता का नहीं। तापमान-निर्भर आँकड़े, प्रावस्था-रूपांतरण, चुंबकीय प्रभाव, बनावट, अवशिष्ट प्रतिबल और आवृत्ति मापी गई प्रतिक्रिया को बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, Fe-5Cr-26Mn ऑस्टेनिटिक इस्पात पर 1981 की National Bureau of Standards रिपोर्ट ने 76–400 K के बीच अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ-मोड ध्वनि वेगों से प्रत्यास्थ स्थिरांकों का निर्धारण किया। केवल यह तापमान-परास ही दर्शाता है कि बिना किसी शर्त के दिया गया एकल मापांक-मान सभी परिस्थितियों का प्रतिनिधित्व क्यों नहीं कर सकता। समीकरण रूपांतरण का ढाँचा प्रदान करते हैं; परीक्षण की अवस्था यह निर्धारित करती है कि उनमें कौन-से मान प्रयुक्त किए जाने चाहिए।

एकल-क्रिस्टल लोच, इस्पात क्रिस्टलोग्राफी और बहुक्रिस्टलीय औसत

संरचनात्मक पैमाने के प्रत्येक स्तर पर इस्पात गणितीय दृष्टि से समान अर्थ में लोचदार नहीं होता। किसी एकल क्रिस्टल के गुण उसके जालक-दिशाओं से संबद्ध होते हैं, जबकि इंजीनियरी इस्पात उत्पाद में सामान्यतः अलग-अलग अभिविन्यासों, प्रावस्थाओं, दोषों और अवशिष्ट प्रतिबलों वाले अनेक कण होते हैं। दूसरे मामले में मापे गए प्रत्यास्थता गुणांक को पहले मामले के सार्वभौमिक गुण की तरह मानने पर भ्रामक गणना हो सकती है।

यह अंतर क्रिस्टल सममिति से शुरू होता है। फेरिटिक इस्पात में बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक (BCC) क्रिस्टल संरचना, ऑस्टेनिटिक इस्पात में फेस-सेंटर्ड क्यूबिक (FCC) संरचना होती है, जबकि मार्टेंसाइट को सामान्यतः बॉडी-सेंटर्ड टेट्रागोनल संरचना के रूप में वर्णित किया जाता है, यद्यपि इसकी टेट्रागोनैलिटी कार्बन की मात्रा और टेम्परिंग के इतिहास पर निर्भर करती है। ये संरचनाएँ प्रत्येक क्रिस्टलोग्राफिक दिशा में लोचदार विकृति को समान रूप से वहन नहीं करतीं। अनेक कणों की दिशात्मक प्रतिक्रियाओं का औसत लेने के बाद ही कोई बहुक्रिस्टलीय पदार्थ लगभग समदैशिक दिखाई दे सकता है।

घनीय क्रिस्टलों में लोचदार कठोरता टेंसर

रैखिक लोच प्रतिबल और विकृति के बीच संबंध को चतुर्थ-कोटि के कठोरता टेंसर के माध्यम से व्यक्त करती है:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=C_{\mathrm{ijkl}}{\epsilon }_{\mathrm{kl}}.$$

इस टेंसर में लोचदार कठोरताएँ $C_{\mathrm{ijkl}}$ होती हैं, जबकि इसके प्रतिलोम में लोचदार अनुपालन $S_{\mathrm{ijkl}}$ होते हैं। क्रिस्टल सममिति स्वतंत्र पदों की संख्या को कम कर देती है। पूर्णतः सामान्य अनैसमदिश ठोस के लिए 21 स्वतंत्र लोचदार नियतांकों की आवश्यकता हो सकती है, लेकिन घनीय क्रिस्टल के लिए केवल तीन नियतांक पर्याप्त होते हैं: $C_{11}$, $C_{12}$ और $C_{44}$।

संक्षिप्त मैट्रिक्स संकेत में, घनीय कठोरता मैट्रिक्स इस प्रकार है:

\[ \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2\\ \sigma_3\\ \sigma_4\\ \sigma_5\\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\ 0&0&0&C_{44}&0&0\\ 0&0&0&0&C_{44}&0\\ 0&0&0&0&0&C_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \varepsilon_3\\ \varepsilon_4\\ \varepsilon_5\\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}. \]

इन तीनों नियतांकों की भूमिकाएँ अलग-अलग हैं। $C_{11}$ किसी घनीय अक्ष के अनुदिश सामान्य प्रतिबल की प्रतिक्रिया का वर्णन करता है, $C_{12}$ परस्पर लंबवत अक्षों के बीच सामान्य विकृति का युग्मन दर्शाता है, और $C_{44}$ किसी प्रमुख क्रिस्टलोग्राफिक तल पर कतरनी प्रतिक्रिया का वर्णन करता है। ये कठोरताएँ हैं, न कि यंग मापांक या कतरनी मापांक के परस्पर विनिमेय रूप।

घनीय-क्रिस्टल अनैसमदिशता का एक उपयोगी संकेतक ज़ेनर अनुपात है:

$$A=\frac{2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}.$$

जब $A=1$ होता है, तब घनीय लोचदार प्रतिक्रिया का दिशात्मक रूप समदैशिक ठोस के समान होता है। एक से भिन्न मान अभिविन्यास-निर्भरता का संकेत देते हैं। यह अनुपात अपने आप में किसी इस्पात उत्पाद का मापांक नहीं देता; यह तब क्रिस्टल की लोचदार सममिति का वर्णन करता है, जब संबंधित एकल-क्रिस्टल नियतांकों को मापा या परिकलित किया गया हो।

1982 में प्रकाशित NIST के एकल-क्रिस्टल अध्याय में बताया गया है कि इन कठोरता आँकड़ों को घनीय और षट्कोणीय पदार्थों के समग्र गुणों में कैसे बदला जा सकता है। घनीय क्रिस्टल के लिए एकसमान जलस्थैतिक विकृति से संबद्ध आयतन मापांक है:

$$B=\frac{C_{11}+2C_{12}}{3}.$$

यह NIST द्वारा प्रतिवेदित ऊष्मागतिक परिभाषा के अनुरूप है:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

एकल क्रिस्टल के कतरनी और यंग मापांक अभी भी दिशा पर निर्भर करते हैं, यद्यपि घनीय क्रिस्टल की जलस्थैतिक आयतन-प्रतिक्रिया सममिति द्वारा सीमित होती है। $\left[100\right]$, $\left[110\right]$ या $\left[111\right]$ जैसी दिशाओं में अलग-अलग तनन मापांक प्राप्त हो सकते हैं, क्योंकि लगाया गया प्रतिबल जालक के सापेक्ष अलग-अलग प्रकार से अवयवित होता है।

2020 में Springer के Elasticity of Solids अध्याय में वर्णित समदैशिक पदार्थ के लिए केवल दो लोचदार नियतांक स्वतंत्र होते हैं। Sandia के Sierra दस्तावेज़ में संबंधित समदैशिक समुच्चय के रूप में यंग मापांक $E$, पॉइसन अनुपात $\nu$, आयतन मापांक $K$, कतरनी मापांक $G$, लैमे का प्रथम पैरामीटर $\lambda$ और $2\mu$ दिए गए हैं; इनमें से कोई भी दो उपयुक्त सदस्य शेष सभी को निर्धारित कर देते हैं। यह कमी केवल इसलिए किसी क्रिस्टल पर लागू नहीं होती कि क्रिस्टल छोटा है या उसकी विकृति लोचदार बनी रहती है। यह समदैशिक सममिति से उत्पन्न होती है।

टेक्सचर और दिशात्मक मापांक

क्रिस्टल अभिविन्यास को सामान्यतः नमूने की अक्षों के सापेक्ष उसकी क्रिस्टलोग्राफिक दिशा और तल द्वारा व्यक्त किया जाता है। बहुक्रिस्टलीय शीट में अभिविन्यास वितरण फलन यह दर्ज करता है कि कणों के अभिविन्यास किस प्रकार वितरित हैं। जब प्रसंस्करण के दौरान कुछ विशेष जालक-घूर्णनों को प्राथमिकता मिलती है, विशेषकर रोलिंग, पुनःक्रिस्टलीकरण और उसके बाद होने वाले प्रावस्था-रूपांतरण के दौरान, तब टेक्सचर विकसित होता है।

इसलिए रोलिंग-दिशा में मापा गया तनन मापांक आवश्यक नहीं कि रोलिंग के अनुप्रस्थ दिशा या शीट की मोटाई के आर-पार मापांक के बराबर हो। यह अंतर कणों की प्रतिक्रियाओं के अभिविन्यास-भारित योग से उत्पन्न होता है, न कि किसी नए स्वतंत्र “रोलिंग-दिशा यंग मापांक” से, जो मूल कठोरता टेंसर का स्थान लेता हो। परिमित-तत्व मॉडल इस व्यवहार को पदार्थ-निर्देशांकों में अनैसमदिश कठोरता टेंसर निर्दिष्ट करके या अनेक अभिविन्यासों को कण-स्तरीय गुण सौंपकर प्रदर्शित कर सकता है।

रोल्ड निम्न-कार्बन इस्पात, फेरिटिक स्टेनलेस इस्पात और रूपांतरण-प्रसंस्कृत शीट में विकृति तथा पुनःक्रिस्टलीकरण से उत्पन्न टेक्सचर दिखाई दे सकता है। फोर्ज किए गए इस्पात में फोर्जिंग अक्ष के आसपास दिशानिर्भर कण-प्रवाह और टेक्सचर विकसित हो सकता है। ढले हुए इस्पात में अक्सर अधिक विविध अभिविन्यास-वितरण होता है, लेकिन ठोसकरण के कारण फिर भी स्तंभीय कण, संघटनात्मक पृथक्करण, प्रावस्था-प्रवणताएँ या पसंदीदा अभिविन्यास उत्पन्न हो सकते हैं। इनमें से कोई भी प्रसंस्करण मार्ग न तो समदैशिकता की गारंटी देता है और न ही अनैसमदिशता के किसी निश्चित परिमाण की।

योगात्मक रूप से निर्मित इस्पात एक अन्य अभिविन्यास-संबंधी समस्या प्रस्तुत करता है। परत-दर-परत तापीय चक्रण से निर्माण-दिशा के अनुरूप स्तंभीय कण बन सकते हैं, जबकि स्कैन रणनीति, मेल्ट-पूल ज्यामिति, पुनर्तापन और ऊष्मा उपचार अभिविन्यास-वितरण तथा प्रावस्था-संरचना को बदल देते हैं। परिणामस्वरूप, निर्माण-दिशा के समानांतर मापा गया मापांक उसके अनुप्रस्थ दिशा में मापे गए मापांक से भिन्न हो सकता है। रिपोर्ट किए गए मान के साथ दिशा, नमूने का स्थान, ऊष्मा उपचार, रंध्रता और परीक्षण विधि भी दी जानी चाहिए।

टेक्सचर पॉइसन अनुपात और कतरनी मापांक को भी प्रभावित करता है। तनन परीक्षण अक्षीय विकृति की प्रतिक्रिया रिपोर्ट कर सकता है, जबकि अनुनादी विधि कंपन-मोडों से कई गतिशील नियतांकों का अनुमान लगाती है। ASTM E1875-20a “ध्वनिक अनुनाद द्वारा” गतिशील यंग मापांक, कतरनी मापांक और पॉइसन अनुपात के निर्धारण को निर्दिष्ट करता है। ये गतिशील मान धीमे तनन परीक्षण से प्राप्त स्थैतिक मानों के समान स्वतः नहीं होते, विशेषकर तब जब अवमंदन, सूक्ष्म-दरारें, रंध्रता, तापमान या आवृत्ति प्रतिक्रिया को प्रभावित करते हों।

लगभग-समदैशिक बहुक्रिस्टलीय अनुमान

जब कणों के अभिविन्यास पर्याप्त रूप से बिखरे हुए हों, तब नमूना-पैमाने पर दिशात्मक अंतर छोटे मानों तक औसतित हो सकते हैं। ऐसी स्थिति में इंजीनियर समग्र पदार्थ को लगभग-समदैशिक कहते हैं: प्रत्येक कण या स्थानीय आयतन में पूर्णतः समदैशिक नहीं, लेकिन इच्छित गणना के लिए समदैशिक नियतांकों द्वारा पर्याप्त रूप से निरूपित। “लगभग-समदैशिक” शब्द महत्वपूर्ण है। यह एक सन्निकटन को दर्शाता है, न कि इस दावे को कि समस्त क्रिस्टलोग्राफिक अनैसमदिशता समाप्त हो गई है।

एकल-क्रिस्टल कठोरता या अनुपालन आँकड़ों से सीमाओं और औसतकरण योजनाओं का उपयोग करके बहुक्रिस्टलीय अनुमान बनाए जा सकते हैं। वॉइट अनुमान कणों में एकसमान विकृति मानता है; रॉइस अनुमान एकसमान प्रतिबल मानता है। दोनों के पूर्वानुमान सामान्यतः अलग होते हैं, क्योंकि इनमें से कोई भी शर्त प्रत्येक विषम समुच्चय का ठीक-ठीक प्रतिनिधित्व नहीं करती। हिल अनुमान, जिसे सामान्यतः वॉइट और रॉइस परिणामों का अंकगणितीय माध्य माना जाता है, अक्सर व्यावहारिक मध्यवर्ती सन्निकटन के रूप में प्रयुक्त होता है। इन अनुमानों के लिए निर्दिष्ट क्रिस्टल सममिति, अभिविन्यास-वितरण और प्रावस्था-संरचना आवश्यक होती है।

लगभग-समदैशिक समुच्चय के लिए परिणामी $E$, $G$, $B$ और $\nu$ परिचित समदैशिक संबंधों का पालन करते हैं:

$$E=2G(1+\nu ),$$

$$E=3B(1-2\nu ),$$

और

$$E=\frac{9\mathrm{BG}}{3B+G}.$$

अतः, जब दो स्वतंत्र समग्र नियतांकों का चयन कर लिया जाता है, तब शेष नियतांक व्युत्पन्न किए जाते हैं। किसी संदर्भ सारणी में 2024 में Engineering ToolBox द्वारा स्टेनलेस इस्पात के लिए लगभग 163 GPa का आयतन मापांक दिया जा सकता है, लेकिन यह आँकड़ा प्रत्येक स्टेनलेस-इस्पात ग्रेड, तापमान, उत्पाद-रूप, प्रावस्था-संतुलन या मापन-विधि के लिए सार्वभौमिक मान के बजाय एक द्वितीयक अनुमान है।

Fe-5Cr-26Mn ऑस्टेनिटिक इस्पात पर National Bureau of Standards की रिपोर्ट मापन-संबंधी समस्या को सीधे दर्शाती है: अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ-मोड की ध्वनि-वेगों से 76–400 K के बीच लोचदार नियतांक निर्धारित किए गए। तापमान जालक-अंतराल, प्रावस्था-स्थिरता, दोष-गतिशीलता और तरंग-वेग को बदलता है, इसलिए परिणामी नियतांक निर्दिष्ट परीक्षण-स्थितियों का वर्णन करते हैं। डिजाइन के लिए, कमजोर टेक्सचर वाले ढले या एनील किए गए उत्पाद में लगभग-समदैशिक समुच्चय उपयुक्त हो सकता है। इसके विपरीत, अत्यधिक रोल्ड शीट, फोर्ज किए गए घटक, वेल्ड या योगात्मक रूप से निर्मित संरचना के लिए दिशात्मक आँकड़ों की आवश्यकता हो सकती है। इसलिए सही मापांक केवल इस्पात ग्रेड से जुड़ी संख्या नहीं है; यह विकृति-विधि, अभिविन्यास, तापमान, सूक्ष्मसंरचना और परीक्षण-विधि से संबद्ध मान है।

इस्पात के प्रत्यास्थ नियतांकों का मापन

इस्पात के प्रत्यास्थ नियतांकों का मापन या तो बल–विस्थापन प्रतिक्रिया से किया जाता है या यांत्रिक तरंगों के प्रसार और अनुनाद से। इन विधियों से प्राप्त संख्यात्मक मापांक हमेशा समान नहीं होते। तनन परीक्षण किसी विशिष्ट भारण-दर पर लगभग स्थैतिक ढाल दर्ज करता है, जबकि ध्वनिक और पराध्वनिक विधियाँ उच्च-आवृत्ति, लघु-आयाम वाली प्रतिक्रिया मापती हैं। तापमान, कण-संरचना, क्रिस्टलोग्राफिक बनावट, रंध्रता, प्रावस्था-संरचना, अवशिष्ट प्रतिबल, नमूने की ज्यामिति और मापी गई विधा की परिभाषा—ये सभी परिणाम को प्रभावित कर सकते हैं।

एक समदैशिक, रैखिक प्रत्यास्थ ठोस के लिए केवल दो प्रत्यास्थ नियतांक स्वतंत्र होते हैं। यंग का मापांक $E$, अपरूपण मापांक $G$, आयतन मापांक $K$ या $B$, पॉइसन का अनुपात $\nu$, लैमे का प्रथम पैरामीटर $\lambda$, और $2\mu$ एक ही संघटक प्रतिक्रिया के परस्पर संबंधित पहलुओं का वर्णन करते हैं; Sandia National Laboratories इस समूह को सूचीबद्ध करता है और बताता है कि $E$ तथा $\nu$ अन्य नियतांकों को निर्धारित करते हैं। इसलिए मापन-विधि महत्वपूर्ण है, भले ही रिपोर्ट की गई राशियों के नाम परिचित हों। यंग का मापांक अक्षीय विस्तार, आयतन मापांक जलस्थैतिक दाब के अंतर्गत आयतन परिवर्तन, और अपरूपण मापांक कोणीय विकृति का वर्णन करता है।

यांत्रिक तनन और संपीड़न विधियाँ

पारंपरिक तनन विधि प्रतिबल–विकृति वक्र के प्रारंभिक रैखिक भाग की ढाल से स्थैतिक या लगभग-स्थैतिक यंग का मापांक निर्धारित करती है:

$$E=\frac{d\sigma }{d\epsilon }.$$

मशीन से निर्मित इस्पात नमूने को तनन में भारित किया जाता है, जबकि एक एक्सटेन्सोमीटर, विकृति-मापी या प्रकाशीय प्रणाली अक्षीय विकृति मापती है। उपयोगी ढाल प्लास्टिकता, Lüders विकृति, दरार या अन्य अरैखिक व्यवहार शुरू होने से पहले ली जाती है। चयनित विकृति-अंतराल को स्पष्ट रूप से बताया जाना चाहिए, क्योंकि रैखिकता से छोटे विचलन, मशीन का अनुपालन, नमूने का सही स्थान पर बैठना और विकृति-रिज़ॉल्यूशन की सीमाएँ—ये सभी फिट किए गए मान को बदल सकते हैं।

तनन परीक्षण एक साथ होने वाली पार्श्व विकृति को मापकर पॉइसन का अनुपात भी निर्धारित कर सकता है:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}.$$

अक्षीय और अनुप्रस्थ मापों का समकालिक होना तथा उन्हें उसी प्रत्यास्थ अंतराल में लिया जाना आवश्यक है। $E$ और $\nu$ ज्ञात होने पर समदैशिक संबंधों से

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

और

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

प्राप्त किए जा सकते हैं।

ये परिकलित मान अपरूपण या आयतन-कठोरता के अलग-अलग प्रत्यक्ष मापन नहीं हैं। इनमें मूल तनन आँकड़ों की तापमान, विकृति-दर, बनावट और परीक्षण-दिशा पर निर्भरता भी समाहित रहती है।

संपीड़न परीक्षण अक्षीय मापांक प्राप्त करने का एक अन्य मार्ग प्रदान करता है, लेकिन इसमें अलग प्रकार की त्रुटियाँ आती हैं। नमूना इतना छोटा होना चाहिए कि वह बकलिंग से बच सके, फिर भी इतना लंबा हो कि मापने योग्य विस्थापन उपलब्ध हो। सिरों पर घर्षण पार्श्व विस्तार को रोक सकता है और नमूने को बैरल के आकार का बना सकता है; इसलिए मापी गई बल–विस्थापन ढाल में घर्षण और प्लेटन के संरेखण के प्रभाव शामिल हो सकते हैं। स्नेहन, सिरों की समानांतरता, पृष्ठीय परिष्करण, प्लेटन की कठोरता और नमूने की ऊँचाई तथा व्यास का अनुपात—इन सभी का महत्व है। एक्सटेन्सोमीटर या विस्थापन सेंसरों को केवल क्रॉसहेड की गति पर निर्भर रहने के बजाय नमूने की गेज लंबाई पर होने वाली विकृति मापनी चाहिए।

जलस्थैतिक संपीड़न प्रत्यक्ष आयतन मापांक मापन के अधिक निकट है, क्योंकि इसमें सभी दिशाओं में दाब लगाया जाता है और आयतन परिवर्तन दर्ज किया जाता है:

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

यह ऊष्मागतिक परिभाषा National Institute of Standards and Technology ने 1982 में दी थी। साधारण एकअक्षीय संपीड़न, जलस्थैतिक संपीड़न नहीं है; इसमें अक्षीय और पार्श्व विकृति दोनों सम्मिलित होती हैं और इसलिए यह $K$ का प्रत्यक्ष मापन नहीं करता। प्रत्यक्ष आयतन-मापांक मापन के लिए दाब-पात्र, सटीक आयतन या विकृति मापन, दाब अंशांकन और तापमान नियंत्रण आवश्यक होते हैं। अधिकांश संरचनात्मक इस्पात के अभिलक्षणन में $K$ को स्वतंत्र रूप से मापे गए $E$ और $\nu$ से परिकलित किया जाता है या ध्वनि-वेगों से प्राप्त किया जाता है।

स्थैतिक यांत्रिक ढालें परीक्षण-दर और नमूने की अवस्था के प्रति विशेष रूप से संवेदनशील होती हैं। कमरे के तापमान पर पॉलिश किए गए, प्रतिबल-मुक्त किए गए बार से प्राप्त तनन परिणाम को बनावटयुक्त रोल्ड प्लेट, वेल्ड धातु या द्वि-प्रावस्था ऊष्मा-उपचारित उत्पाद का मापांक स्वतः नहीं माना जा सकता। घनीय एकल क्रिस्टल में कठोरता क्रिस्टलोग्राफिक दिशा के अनुसार बदलती है। जब कण यादृच्छिक रूप से उन्मुख हों, तो बहुक्रिस्टलीय समुच्चय लगभग-समदैशिक दिखाई दे सकता है, लेकिन रोलिंग या जमने से उत्पन्न बनावट दिशा-निर्भर मापांक छोड़ सकती है।

ASTM E1875-20a के अंतर्गत ध्वनिक अनुनाद

ASTM E1875-20a गतिशील यंग का मापांक, अपरूपण मापांक और पॉइसन का अनुपात “ध्वनिक अनुनाद द्वारा” निर्धारित करने का एक नामित मानक है। लंबी, धीमी बल–विकृति ढाल मापने के बजाय यह विधि नमूने को उद्दीप्त करती है और उसकी प्राकृतिक अनुनादी आवृत्तियों की पहचान करती है। अनुनाद की आवृत्ति प्रत्यास्थ कठोरता, द्रव्यमान घनत्व, नमूने के आयाम और विधा-आकृति पर निर्भर करती है।

नमूने को इस प्रकार सहारा दिया जाता है कि मुक्त सीमा-स्थिति का निकटानुमान प्राप्त हो। आमतौर पर सहारों को नोडल क्षेत्रों के पास रखा जाता है, ताकि वे यथासंभव कम कंपन-ऊर्जा हटाएँ। एक चालक कंपन उत्पन्न करता है और माइक्रोफोन, एक्सेलेरोमीटर, लेज़र उपकरण या कोई अन्य डिटेक्टर प्रतिक्रिया दर्ज करता है। अनुनादी आवृत्ति की पहचान तीव्र आयाम-अधिकतम, कला-परिवर्तन या आवृत्ति-प्रतिक्रिया शिखर से की जाती है। मापी गई आवृत्ति को सही वक्रण, मरोड़ या अनुदैर्ध्य विधा से संबद्ध करना आवश्यक है; आसन्न विधाओं को आपस में भ्रमित करने पर संभाव्य दिखने वाला, लेकिन गलत मापांक प्राप्त हो सकता है।

इसलिए नमूने की लंबाई, चौड़ाई, मोटाई, द्रव्यमान और घनत्व केंद्रीय इनपुट हैं। जब तापीय प्रसार महत्वपूर्ण हो, तब आयामों को परीक्षण-तापमान पर मापा जाना चाहिए या उपयुक्त प्रसार गुणांक का उपयोग करके कमरे के तापमान के आयामों से सुधारा जाना चाहिए। घनत्व वास्तविक नमूने का होना चाहिए, न कि किसी मानक पुस्तिका से लिया गया अनुमानित मान—विशेषकर ढलवाँ इस्पात, रंध्रयुक्त सामग्री, कणिकीय अंतर्वेशन या बहुप्रावस्था सूक्ष्मसंरचनाओं के मामले में। ASTM E1875-20a में नमूने की ज्यामिति और अनुनाद समीकरणों को शामिल किया गया है; प्रत्येक नमूने को अनंत छड़ मानकर नहीं चला जाता। अंतिम स्थितियाँ, सहारे का स्थान, आकारानुपात, अवमंदन और ज्यामितीय सुधार—ये सभी परिकलित गतिशील नियतांकों को प्रभावित करते हैं।

मरोड़ अनुनाद मुख्यतः अपरूपण संबंधी जानकारी देता है, जबकि वक्रण या अनुदैर्ध्य अनुनाद अक्षीय कठोरता से संबंधित मापांक प्रदान करता है। गतिशील $E$ और $G$ मानों को मिलाकर

$$\nu =\frac{E}{2G}-1,$$

का परिकलन किया जा सकता है, बशर्ते समदैशिक रैखिक-प्रत्यास्थ मान्यता उपयुक्त हो। प्राप्त पॉइसन का अनुपात परीक्षण-आवृत्ति पर एक गतिशील मान होता है। इसे आवृत्ति या तापमान से स्वतंत्र सार्वभौमिक ग्रेड-नियतांक के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जाना चाहिए।

तापमान नियंत्रण मापन का ही एक भाग है, बाद में जोड़ी जाने वाली प्रक्रिया नहीं। भट्ठी या पर्यावरणीय कक्ष को नमूने को स्थिर और ज्ञात तापमान तक लाना चाहिए, तथा अनुनाद की पहचान में तापीय प्रसार, बदलते घनत्व और कठोरता की तापमान-निर्भरता को ध्यान में रखना चाहिए। नमूने के अभी गर्म होने के दौरान मापी गई आवृत्ति किसी अच्छी तरह परिभाषित प्रत्यास्थ अवस्था का प्रतिनिधित्व नहीं करती। यदि सहारे फैलें, नरम हों, खिसकें या संपर्क-दाब बदलें, तो तापमान के साथ सीमा-स्थितियाँ भी बदल जाती हैं।

अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ ध्वनि-वेग

पराध्वनिक मापन तरंग-वेगों से प्रत्यास्थ नियतांक निर्धारित करता है। अनुदैर्ध्य तरंग में कणों की गति प्रसार-दिशा के समानांतर होती है; अनुप्रस्थ या अपरूपण तरंग में कणों की गति प्रसार-दिशा के लंबवत होती है। घनत्व $\rho$ वाले समांगी समदैशिक ठोस के लिए आदर्श संबंध हैं

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}$$

और

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}.$$

अतः,

$$G=\rho v_T^2,$$

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_T^2),$$

और

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

इसके बाद $E$ और $G$ से पॉइसन का अनुपात प्राप्त किया जा सकता है, या उसी समदैशिक मान्यता के अंतर्गत सीधे वेग-अनुपात से निकाला जा सकता है। ये समीकरण सरल हैं, लेकिन मापन सरल नहीं होते। संचरण-दूरी का सटीक ज्ञान आवश्यक है, प्रतिध्वनियों की सही पहचान करनी होती है और ट्रांसड्यूसर को इच्छित ध्रुवण उत्पन्न तथा अभिज्ञात करना चाहिए। प्रतीत होने वाले अनुदैर्ध्य आगमन में विधा-रूपांतरण, पृष्ठीय तरंगें, परावर्तन या परिक्षेपण शामिल हो सकते हैं।

1981 में प्रकाशित National Bureau of Standards की एक रिपोर्ट में 76–400 K के दौरान Fe-5Cr-26Mn ऑस्टेनिटिक इस्पात के प्रत्यास्थ नियतांकों को निर्धारित करने के लिए अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ-विधा वाले ध्वनि-वेगों का उपयोग किया गया था। यह तापमान-सीमा महत्वपूर्ण है: इससे पता चलता है कि प्रत्यास्थ नियतांक तापीय अवस्था के मापे जाने वाले फलन हैं, न कि मिश्रधातु-ग्रेड से जुड़े स्थिर लेबल। रिपोर्ट की प्रक्रिया नियंत्रित तापमान, ज्ञात घनत्व, परिभाषित नमूना-ज्यामिति और दोनों तरंग-विधाओं की विश्वसनीय पहचान पर निर्भर थी। इन राशियों को अद्यतन किए बिना क्रायोजेनिक या उच्च तापमान पर कमरे के तापमान वाले समीकरण लागू करने से वास्तविक तापमान-निर्भरता अस्पष्ट हो जाएगी।

इंजीनियरिंग टूलबॉक्स स्टेनलेस स्टील के लिए लगभग 163 GPa का आयतन प्रत्यास्थता गुणांक देता है। Limited evidence

इंजीनियरिंग संदर्भ-सारिणियों पर भी यही सावधानी लागू होती है। Engineering ToolBox स्टेनलेस स्टील के लिए लगभग 163 GPa का आयतन मापांक देता है, लेकिन यह एक द्वितीयक संदर्भ-आकलन है, प्रत्येक स्टेनलेस-स्टील ग्रेड, उत्पाद-रूप, बनावट, प्रावस्था-संतुलन, तापमान या परीक्षण-विधि के लिए सार्वभौमिक मान नहीं। ऑस्टेनिटिक Fe-5Cr-26Mn का मापा गया गतिशील मान, फेरिटिक ग्रेड के तनन कूपन से प्राप्त स्थैतिक मान और $E$ तथा $\nu$ से निष्कर्षित परिकलित मान—ये अलग-अलग प्रायोगिक प्रश्नों के उत्तर देते हैं। इसलिए विधि, नमूने के आयाम, घनत्व, तापमान, अनुनाद या तरंग-विधा और सीमा-स्थितियों की रिपोर्ट करना उतना ही महत्वपूर्ण है जितना स्वयं मापांक की रिपोर्ट करना।

तापमान, प्रावस्था, संघटन और प्रसंस्करण के प्रभाव

इस्पात के प्रत्यास्थता नियतांक किसी ग्रेड से स्थायी रूप से जुड़े हुए निश्चित लेबल नहीं होते। वे किसी पदार्थ की अवस्था, विरूपण की विधि और मापन की परिस्थितियों का वर्णन करते हैं। तापमान, प्रावस्था-संरचना, संघटन, क्रिस्टलोग्राफिक टेक्सचर, रंध्रता, समावेशन, अवशिष्ट प्रतिबल और तापीय इतिहास—ये सभी मापी गई प्रतिक्रिया को बदल सकते हैं। किसी रूपांतरण या टेम्परिंग उपचार के दौरान सामर्थ्य में सैकड़ों प्रतिशत तक परिवर्तन हो सकता है, जबकि यंग के मापांक में बहुत कम अनुपात में परिवर्तन होता है; लेकिन “कम” का अर्थ परिशुद्ध विश्लेषण में नगण्य नहीं होता।

समदैशिक रैखिक-प्रत्यास्थ ठोस के लिए केवल दो प्रत्यास्थता नियतांक स्वतंत्र होते हैं। यंग का मापांक $E$, अपरूपण मापांक $G$, आयतन मापांक $K$ या $B$, पॉइसन अनुपात $\nu$, लैमे का पहला पैरामीटर $\lambda$, और $2\mu$—ये परस्पर संबंधित राशियाँ हैं, जैसा कि Springer की Elasticity of Solids और Sandia National Laboratories के Sierra दस्तावेज़ीकरण में वर्णित है। यदि तापमान या सूक्ष्मसंरचना एक स्वतंत्र नियतांक को बदलती है, तो उससे गणना किए गए अन्य नियतांकों को भी संगत रूप से अद्यतन किया जाना चाहिए। इसलिए किसी रिपोर्ट किए गए मापांक के साथ तापमान, उत्पाद की अवस्था, दिशा और परीक्षण विधि का उल्लेख आवश्यक है।

प्रत्यास्थता नियतांकों की तापमान-निर्भरता

तापमान बढ़ने पर प्रत्यास्थ कठोरता सामान्यतः घटती है। परमाणुओं का कंपन बढ़ जाता है, अंतरपरमाणुक बंध छोटे विस्थापन के प्रति कम प्रतिरोधी हो जाते हैं और तापीय प्रसार परमाणुओं के बीच साम्य दूरी को बदल देता है। किसी एकल प्रावस्था के भीतर यह प्रभाव प्रायः क्रमिक होता है, यद्यपि चुंबकीय संक्रमण, रिकवरी, पुनर्क्रिय्टलीकरण और प्रावस्था रूपांतरण अधिक तीव्र परिवर्तन उत्पन्न कर सकते हैं। किसी रूपांतरण तापमान के निकट, तापमान-निर्भर पदार्थ मॉडल के स्थान पर कमरे के तापमान का एकल मान विशेष रूप से अनुपयुक्त होता है।

Fe-5Cr-26Mn ऑस्टेनिटिक इस्पात पर National Bureau of Standards की रिपोर्ट इसका उपयोगी उदाहरण प्रस्तुत करती है। 1981 में प्रकाशित इस अध्ययन में अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ मोड की ध्वनि-वेगों से 76 से 400 K के बीच प्रत्यास्थता नियतांकों का निर्धारण किया गया। यह एक गतिक मापन है: तरंग-वेगों से अनुदैर्ध्य और अपरूपण कठोरताएँ प्राप्त होती हैं, जिनसे संबंधित अन्य नियतांकों की गणना की जा सकती है। परिणाम दर्शाता है कि परीक्षण-अंतराल के दौरान बनाए रखे गए ऑस्टेनिटिक इस्पात में भी तापमान से स्वतंत्र प्रत्यास्थता नियतांकों का केवल एक सेट नहीं होता। तापमान-अंतराल क्रायोजेनिक परिस्थितियों से लेकर कमरे के तापमान से ऊपर तक फैला हुआ है; इसलिए मापे गए मान किसी एकल ग्रेड-गुणधर्म के बजाय एक वक्र का वर्णन करते हैं।

यहाँ सामर्थ्य और कठोरता के बीच का अंतर महत्वपूर्ण है। निम्न तापमान पर प्रवाह सामर्थ्य में उल्लेखनीय वृद्धि हो सकती है, क्योंकि विस्थापन-गति अधिक कठिन हो जाती है, जबकि प्रत्यास्थ ढाल में परिवर्तन अपेक्षाकृत कम नाटकीय होता है। इसके विपरीत, $E$ में छोटा-सा परिवर्तन भी अनुमानित विक्षेपण, बकलिंग भार, संपर्क दाब या तापीय-प्रतिबल के विभाजन को बदल सकता है। प्लास्टिक सामर्थ्य और प्रत्यास्थ कठोरता अलग-अलग प्रश्नों का उत्तर देते हैं। कोई इस्पात बहुत अधिक मजबूत हो सकता है, बिना अनुपातिक रूप से अधिक कठोर हुए।

गतिक और स्थैतिक परीक्षणों से रिपोर्ट किए गए मान भी अलग हो सकते हैं। ASTM E1875-20a में सोनिक अनुनाद द्वारा गतिक यंग के मापांक, अपरूपण मापांक और पॉइसन अनुपात के निर्धारण की विधि निर्दिष्ट है। अनुनाद परीक्षण छोटे विकृति और उच्च आवृत्ति पर किए जाते हैं, जबकि तनन परीक्षण निर्धारित विकृति-अंतराल पर स्थैतिक या अर्ध-स्थैतिक ढाल प्राप्त करता है। सूक्ष्म-प्लास्टिकता, अनास्थितिकता, उपकरण की अनुपालना, नमूने की ज्यामिति, सतह की अवस्था और आवृत्ति तुलना को प्रभावित कर सकते हैं। किसी भी परिणाम को दूसरे के साथ सार्वभौमिक रूप से विनिमेय नहीं माना जाना चाहिए।

आयतन मापांक का भौतिक अर्थ अलग है: यह आयतनात्मक संपीड़न के प्रति प्रतिरोध को मापता है। NIST इसे ऊष्मागतिकीय रूप से $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$ के रूप में परिभाषित करता है। Engineering ToolBox स्टेनलेस इस्पात के लिए लगभग 163 GPa का आयतन मापांक सूचीबद्ध करता है, लेकिन यह द्वितीयक संदर्भ-आकलन है, प्रत्येक स्टेनलेस-इस्पात ग्रेड, तापमान, उत्पाद-रूप, प्रावस्था-संरचना या परीक्षण-परिस्थिति के लिए सार्वभौमिक मान नहीं। यही सावधानी सारणीबद्ध $E$, $G$ और $\nu$ पर भी लागू होती है।

ऑस्टेनाइट, फेराइट, मार्टेंसाइट और बहुप्रावस्थीय इस्पात

प्रावस्था-संरचना प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया को प्रभावित करती है, क्योंकि प्रत्येक प्रावस्था की अपनी क्रिस्टल संरचना, संघटन, जालक पैरामीटर, चुंबकीय अवस्था, दोष-संख्या और एकल-क्रिस्टल कठोरता टेन्सर होता है। फेराइट की संरचना अंतःकेंद्रित घन होती है, ऑस्टेनाइट की फलक-केंद्रित घन, और जब कार्बन पर्याप्त चतुष्फलकीयता उत्पन्न करता है, तब मार्टेंसाइट सामान्यतः अंतःकेंद्रित चतुष्फलकीय या अत्यधिक विकृत अंतःकेंद्रित संरचना होती है। ये नाम किसी एक विशिष्ट मापांक को निर्धारित नहीं करते। कार्बन की मात्रा, प्रतिस्थापी मिश्रधातुकरण, क्रमबद्धता, विस्थापन घनत्व और अवशिष्ट दोष प्रत्येक प्रावस्था की कठोरता को बदलते हैं।

ऑस्टेनिटिक इस्पात किसी सामान्य “ऑस्टेनाइट मापांक” को निर्दिष्ट करने के विरुद्ध स्पष्ट चेतावनी देते हैं। Fe-5Cr-26Mn अध्ययन में एक विशिष्ट रासायनिक संघटन और तापमान-सीमा की जाँच की गई थी, न कि प्रत्येक Fe-Cr-Mn मिश्रधातु या ऑस्टेनिटिक कहे जाने वाले प्रत्येक इस्पात की। मैंगनीज़ और क्रोमियम जालक स्थायित्व तथा चुंबकीय व्यवहार को प्रभावित करते हैं, जबकि क्रिस्टल संरचना ऑस्टेनिटिक बनी रहने पर भी तापमान चुंबकीय क्रम को बदल सकता है। ऐसे परिवर्तन अंतरपरमाणुक बलों और इसलिए प्रत्यास्थता नियतांकों को प्रभावित करते हैं।

फेरिटिक इस्पात अपने लौहचुंबकीय अवस्था और अनुचुंबकत्व की ओर उसके संक्रमण से संबंधित तापमान-निर्भर प्रत्यास्थ व्यवहार प्रदर्शित कर सकते हैं। यह परिवर्तन आवश्यक नहीं कि किसी दृश्य प्रावस्था रूपांतरण के साथ ही हो। मार्टेंसिटिक इस्पात एक और जटिलता जोड़ते हैं: शमन से अतिसंतृप्ति, उच्च विस्थापन घनत्व, आंतरिक प्रतिबल और प्रायः कार्बन-निर्भर चतुष्फलकीयता उत्पन्न होती है। इसके बाद टेम्परिंग से कार्बाइड अवक्षेपण, रिकवरी और कार्बन का पुनर्वितरण होता है। इसलिए टेम्परिंग के बाद मापी गई प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया आदर्श मार्टेंसाइट क्रिस्टल की प्रतिक्रिया मात्र नहीं होती।

बहुप्रावस्थीय इस्पात के लिए प्रभावी-गुणधर्म की व्याख्या आवश्यक है। फेरिटिक-मार्टेंसिटिक, द्विप्रावस्थीय, बैनाइटिक या अवशिष्ट-ऑस्टेनाइट युक्त इस्पात में प्रत्यक्ष मापांक प्रावस्था-अंश, प्रावस्था-संपर्कता, क्रिस्टलोग्राफिक अभिविन्यास, अंतरापृष्ठ, रंध्रता तथा परीक्षण आयतन की दिशा और माप पर निर्भर करता है। मिश्रण-नियम का अनुमान प्रथम सन्निकटन दे सकता है, लेकिन स्थानीय प्रतिबंध के कारण सभी प्रावस्थाएँ समान विकृति या प्रतिबल वहन नहीं करतीं। फेराइट में अंतर्निहित कठोर मार्टेंसिटिक क्षेत्र भार-हस्तांतरण के माध्यम से मापी गई ढाल को बदल सकता है, जबकि अवशिष्ट ऑस्टेनाइट भारण के दौरान रूपांतरित होकर प्रतिक्रिया को रैखिक प्रत्यास्थता से विचलित कर सकता है।

एकल-क्रिस्टल स्तर पर घन और षट्कोणीय क्रिस्टलों की कठोरताएँ दिशा-निर्भर होती हैं। बहुक्रिस्टलीय इस्पात तभी समदैशिकता के निकट पहुँचता है, जब कणों के अभिविन्यास पर्याप्त रूप से यादृच्छिक हों और औसत निकालने के लिए नमूने में पर्याप्त संख्या में कण हों। रोल्ड प्लेट, पट्टी और बार में टेक्सचर बना रह सकता है, जिससे अनुदैर्ध्य, अनुप्रस्थ और मोटाई-दिशा के मापांक अलग-अलग हो सकते हैं। ऐसी स्थिति में गणना में एक समदैशिक $E$ और एक समदैशिक $G$ आरोपित करने से वास्तविक दिशात्मक प्रतिक्रिया छिप सकती है।

ढलाई, रोलिंग, ऊष्मा-उपचार और अवशिष्ट प्रतिबल

प्रसंस्करण से निर्मित पिंड के अंतर्निहित प्रावस्था-गुणधर्म और उसकी प्रभावी कठोरता—दोनों बदलते हैं। ढले हुए इस्पात में संकुचन-रंध्रता, गैस-छिद्र, ऑक्साइड फिल्म, पृथक्करण, डेंड्राइटिक संरचना, समावेशन तथा मोटे या असमान कण हो सकते हैं। जुड़े हुए रंध्रों का छोटा-सा आयतन-अंश भी प्रभावी मापांक को उस हैंडबुक मान से अधिक घटा सकता है, जो पूर्णतः सघन इस्पात के लिए दिया गया हो। मैट्रिक्स की तुलना में समावेशन कठोर या अनुपालक हो सकते हैं, और खराब रूप से बंधे समावेशन गतिक या स्थैतिक परीक्षण के दौरान प्रतिबल-सांद्रक अथवा दरार-जैसे दोष के रूप में कार्य करते हैं।

रोलिंग कणों को परिष्कृत और लंबित करती है, ढली हुई संरचना को तोड़ती है और क्रिस्टलोग्राफिक टेक्सचर उत्पन्न करती है। परिणामी प्रत्यास्थ विषमता कुछ उत्पादों में मामूली और अन्य में महत्वपूर्ण हो सकती है। अपचयन-क्रम, रोलिंग तापमान, पुनर्क्रिय्टलीकरण और अंतिम मोटाई—सभी महत्वपूर्ण हैं। रोलिंग दिशा में मापे गए मापांक को स्वतः अनुप्रस्थ या अभिलंब दिशा पर लागू नहीं किया जाना चाहिए।

ऊष्मा-उपचार से प्रावस्था-अंश, कण-आकार, विस्थापन घनत्व, अवक्षेप, कार्बाइड आकृति-विज्ञान और अवशिष्ट प्रतिबल बदलते हैं। नॉर्मलाइजिंग फेराइट-पर्लाइट संरचना को परिष्कृत कर सकता है; शमन मार्टेंसाइट और अवशिष्ट प्रतिबल उत्पन्न कर सकता है; टेम्परिंग उस प्रतिबल के कुछ भाग को कम करते हुए अवक्षेपण और रिकवरी को बदलता है। एनीलिंग पुनर्क्रिय्टलीकरण के माध्यम से विस्थापन घनत्व और टेक्सचर-संबंधी प्रभावों को कम कर सकती है। इन उपचारों से प्रवाह सामर्थ्य और दृढ़ता में पर्याप्त परिवर्तन हो सकते हैं, जबकि छोटे-विकृति वाले मापांक का मान अपनी पूर्व अवस्था के तुलनात्मक रूप से निकट रह सकता है। फिर भी दोष, प्रावस्था रूपांतरण या टेक्सचर के कारण मापा गया प्रभावी मापांक बदल सकता है।

अवशिष्ट प्रतिबल पर अलग से विचार करना आवश्यक है। स्व-संतुलित प्रतिबल-क्षेत्र किसी दोषरहित, समांगी, रैखिक-प्रत्यास्थ क्रिस्टल के आदर्श स्पर्शरेखीय मापांक को आवश्यक रूप से नहीं बदलता। फिर भी यह प्रयोग द्वारा दर्ज परिणाम को बदल सकता है। अवशिष्ट प्रतिबल तरंग-प्रसार, नमूने की वक्रता, संपर्क-परिस्थितियों, दरार-बंदन और सूक्ष्म-प्लास्टिकता के आरंभ को प्रभावित करता है। तनन परीक्षण में प्रारंभिक प्रतीत होने वाली ढाल सीधा करने, ग्रिप-संरेखण, प्रतिबल-पुनर्वितरण या मशीनिंग प्रतिबलों के अपूर्ण निष्कासन से प्रभावित हो सकती है। अनुनाद परीक्षण में प्रतिबल और विषमता प्राकृतिक आवृत्तियों को स्थानांतरित कर सकते हैं।

अतः इस्पात के मापांक का विश्वसनीय विवरण प्रावस्था-अवस्था, तापीय अवस्था, उत्पाद की दिशा, घनत्व या दोष-अवस्था और मापन-विधि को निर्दिष्ट करता है। यह संख्या उस परिभाषित अवस्था का गुणधर्म है—स्थायी ग्रेड-नियतांक नहीं।

इस्पात ग्रेड पदनाम और उत्तरदायी गुणधर्म सारणियाँ

इस्पात का कोई पदनाम उसकी संरचना, उत्पाद-वर्ग या विनिर्देशन की आवश्यकता को दर्शाता है; वह अपने-आप में प्रत्यास्थ गुणधर्मों का पूर्ण अभिलेख प्रदान नहीं करता। “304 stainless steel,” “AISI 1045,” और “ASTM A572 Grade 50” उपयोगी सामग्री-संदर्भ हैं, लेकिन इनमें से कोई भी नाम अकेले उत्पाद के रूप, तापीय इतिहास, क्रिस्टलोग्राफिक बनावट, परीक्षण तापमान या प्रत्यास्थता मापांक प्राप्त करने के लिए प्रयुक्त विधि को निर्दिष्ट नहीं करता।

यह अंतर महत्वपूर्ण है, क्योंकि समदैशिक रैखिक प्रत्यास्थता में केवल दो स्वतंत्र नियतांक होते हैं। अभियांत्रिकी में सामान्यतः बताए जाने वाले समुच्चय में यंग का मापांक $E$, पॉइसन का अनुपात $\nu$, आयतन मापांक $K$ या $B$, कतरनी मापांक $G$, लामे का प्रथम पैरामीटर $\lambda$, और $2\mu$ शामिल हैं। Sandia National Laboratories के अनुसार, जब समदैशिक संबंध लागू होते हैं, तब $E$ और $\nu$ शेष नियतांकों को निर्धारित करते हैं। OpenStax प्रमुख मापांकों के अलग-अलग भौतिक अर्थ बताता है: $E$ तनन या एकअक्षीय प्रतिक्रिया का, $K$ आयतनात्मक संपीड़न का, और $G$ कतरनी विरूपण का वर्णन करता है। इसलिए, यदि कोई सारणी चार ऐसे संख्याएँ प्रस्तुत करती है जो देखने में स्वतंत्र प्रतीत होती हैं, लेकिन उनके स्रोत की व्याख्या नहीं करती, तो वह ऐसी परिशुद्धता या स्वतंत्रता का संकेत दे सकती है जो सामग्री मॉडल में वास्तव में मौजूद नहीं है।

ऑस्टेनिटिक, फेरिटिक, मार्टेंसिटिक और अवक्षेपण-कठोरीकरण वाले स्टेनलेस इस्पात

स्टेनलेस-इस्पात परिवारों के नाम धातुकर्मीय संरचना का वर्णन करते हैं, किसी एक सार्वभौमिक प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया का नहीं। Type 304, Type 304L, Type 316, और Type 316L जैसे ऑस्टेनिटिक ग्रेडों की पहचान ASTM उत्पाद-विनिर्देशों के अंतर्गत सामान्यतः संबंधित “Type” पदनाम से और, जहाँ लागू हो, UNS S30400, UNS S30403, UNS S31600, तथा UNS S31603 जैसे UNS नंबरों से की जाती है। लागू मानक में पदनाम जिस रूप में लिखा गया हो, उसी रूप में उसे पुनरुत्पादित किया जाना चाहिए। “304L stainless” को बिना स्पष्ट उल्लेख के “304” में परिवर्तित नहीं करना चाहिए, क्योंकि निम्न-कार्बन ग्रेड की संरचना संबंधी आवश्यकता अलग होती है और उसका प्रसंस्करण भी अलग हो सकता है।

फेरिटिक ग्रेडों में Type 430 और Type 409 शामिल हैं, जबकि मार्टेंसिटिक ग्रेडों में Type 410, Type 420, और Type 440C शामिल हैं। ये नाम ऐसे परिवारों की पहचान करते हैं जिनमें प्रावस्था-स्थायित्व, कार्बन स्तर, मिश्रधातु योजक, कठोरीकरण प्रतिक्रिया और चुंबकीय व्यवहार अलग-अलग होते हैं। इनके प्रत्यास्थ गुणधर्म शीत अपचयन, एनीलिंग, शमन, टेम्परिंग, अवशिष्ट ऑस्टेनाइट, कार्बाइड के वितरण और मापन की दिशा से प्रभावित हो सकते हैं। किसी रासायनिक रूप से समान पदनाम वाले ढलित उत्पाद का व्यवहार फोर्ज किए गए या रोल किए गए उत्पाद जैसा आवश्यक नहीं है।

अवक्षेपण-कठोरीकरण वाले स्टेनलेस इस्पातों के लिए और भी अधिक सावधानी आवश्यक है। 17-4 PH एक व्यापक रूप से प्रयुक्त पदनाम है, लेकिन किसी विनिर्देशन में सामग्री को UNS S17400 के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है और H900, H1025, या H1150 जैसी अवस्थाएँ परिभाषित की जा सकती हैं। ये अवस्था-पदनाम ताप-उपचार अवस्थाएँ हैं, परस्पर विनिमेय ग्रेड-नाम नहीं। “17-4 PH modulus” लिखने वाली ऐसी गुणधर्म-सारणी, जिसमें अवस्था का उल्लेख न हो, सामग्री के वर्णन का एक महत्वपूर्ण भाग छोड़ देती है। नाममात्र मिश्रधातु पदनाम समान रहने पर भी विभिन्न अवस्थाओं में मैट्रिक्स, अवक्षेप अवस्था, अवशिष्ट तनाव और पूर्वविकृति अलग हो सकते हैं।

ASM Steel Castings Handbook प्रत्यास्थता मापांक, पॉइसन अनुपात, कतरनी मापांक और संबंधित भौतिक गुणधर्मों को इस्पात-कास्टिंग संबंधी आँकड़ों के रूप में प्रस्तुत करता है। यह दृष्टिकोण महत्वपूर्ण है: ढलित इस्पात की सारणी किसी निर्दिष्ट कास्टिंग सामग्री और परीक्षण-आधार का वर्णन करती है, न कि समान रासायनिक संरचना वाले प्रत्येक रॉट, वेल्डेड, योगात्मक-विनिर्मित या ताप-उपचारित उत्पाद का। कास्टिंग में पृथक्करण, रंध्रता, समावेशन और स्थानीय सूक्ष्मसंरचनात्मक विविधता हो सकती है, जो मापे गए परिणामों और उनके प्रसरण को प्रभावित करती है।

स्टेनलेस-इस्पात परिवार के लेबलों का उपयोग किसी एक सटीक मापांक को निर्धारित करने के लिए भी नहीं किया जाना चाहिए। Engineering ToolBox में स्टेनलेस इस्पात के लिए 163 GPa का एक अनुमानित द्वितीयक संदर्भ-मूल्य दिया गया है, लेकिन यह प्रत्येक स्टेनलेस ग्रेड, तापमान, उत्पाद-रूप या परीक्षण-अवस्था के लिए सार्वभौमिक मान नहीं है। यह एक संदर्भात्मक अनुमान है, मानक-विशिष्ट डेटा शीट या मापे गए मान का विकल्प नहीं।

कार्बन और निम्न-मिश्रधातु इस्पात के पदनाम

कार्बन और निम्न-मिश्रधातु इस्पातों के लिए भी सटीक पदनाम-प्रयोग आवश्यक है। AISI/SAE 1045 SAE/AISI संख्या-प्रणाली में एक कार्बन इस्पात की पहचान करता है; यह ASTM A36 के समान पदनाम नहीं है, जो संरचनात्मक इस्पात के लिए एक उत्पाद-विनिर्देशन है। ASTM A572 Grade 50, ASTM A572/A572M के अंतर्गत एक ग्रेड की पहचान करता है, जबकि AISI/SAE 4130 क्रोमियम-मोलिब्डेनम मिश्रधातु इस्पात की संरचना की पहचान करता है। इन लेबलों को “4130-grade A572” जैसे अनौपचारिक रूपों में तब तक नहीं मिलाना चाहिए, जब तक कोई शासकीय विनिर्देशन स्पष्ट रूप से ऐसे वर्णन का समर्थन न करता हो।

यूरोपीय पदनाम इसका एक अन्य उदाहरण प्रस्तुत करते हैं। S355J2 और S355JR का उपयोग EN 10025-2 के अंतर्गत किया जाता है, और इनके प्रत्यय निर्दिष्ट आघात-परीक्षण या आपूर्ति-अवस्था से संबंधित अर्थ रखते हैं। ये केवल ASTM A572 Grade 50 के वैकल्पिक नाम नहीं हैं। रासायनिक समानता से विनिर्देशन की आवश्यकताओं, उत्पाद के आयामों, निरीक्षण नियमों या प्रत्यास्थ गुणधर्मों के आँकड़ों की समानता सिद्ध नहीं होती।

सारणी को संरचना-पदनाम और आपूर्ति-अवस्था के बीच भी अंतर करना चाहिए। AISI/SAE 4140 एनील्ड, नॉर्मलाइज़्ड और टेम्पर्ड, शमित और टेम्पर्ड, फोर्ज किए हुए या किसी अन्य निर्दिष्ट अवस्था में आपूर्ति किया जा सकता है। ASTM A36 प्लेट, बार और संरचनात्मक आकृतियाँ किसी उत्पाद-विनिर्देशन द्वारा नियंत्रित होती हैं, लेकिन उनकी मापी गई प्रतिक्रिया फिर भी मोटाई, रोलिंग दिशा, अवशिष्ट तनाव और परीक्षण-विधि पर निर्भर कर सकती है। नाममात्र ग्रेड सीमाएँ या आवश्यकताएँ निर्धारित करता है; वह विनिर्माण इतिहास को समाप्त नहीं करता।

यही सावधानी “mild steel,” “tool steel,” “high-strength low-alloy steel” और इसी प्रकार के अन्य परिवार-वर्णनों पर भी लागू होती है। ये व्यापक श्रेणियाँ हैं, पूर्ण ग्रेड-पदनाम नहीं। एक उत्तरदायी सारणी में मानक संख्या, ग्रेड या प्रकार, जहाँ प्रासंगिक हो वहाँ संशोधन, लागू होने पर UNS या AISI/SAE पदनाम, उत्पाद-रूप और ताप-उपचार अवस्था दी जानी चाहिए। यदि कोई पदनाम किसी कंपनी का आंतरिक नाम है, तो उसे उसी रूप में चिह्नित किया जाना चाहिए, न कि ASTM, ASME, SAE, AISI, EN या UNS पदनाम के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए।

मानकों और उत्पाद-विनिर्देशों के साथ मान क्यों दिए जाने चाहिए

प्रत्यास्थ गुणधर्मों के मान केवल उनके मापन-संदर्भ के साथ ही सार्थक होते हैं। कम-से-कम, किसी सारणी में निम्नलिखित की पहचान होनी चाहिए:

• उत्पाद का रूप: प्लेट, शीट, बार, ट्यूब, तार, फोर्जिंग, वेल्ड धातु, पाउडर-प्रसंस्कृत भाग या कास्टिंग;
• ताप-उपचार और अवस्था, जिसमें टेम्पर, एजिंग, सॉल्यूशन ट्रीटमेंट या अवक्षेपण-कठोरीकरण अवस्था शामिल हो;
• रोलिंग, फोर्जिंग, एक्सट्रूज़न या निर्माण-दिशा के सापेक्ष परीक्षण की दिशा;
• तापमान और पर्यावरणीय अवस्था;
• भारण दर या आवृत्ति;
• नमूने की ज्यामिति और संबंधित आयाम;
• परीक्षण मानक और उसका संशोधन;
• परिणाम स्थैतिक, अर्ध-स्थैतिक या गतिशील है या नहीं;
• जहाँ उपलब्ध हो, नमूनों की संख्या, परास, माध्य और प्रसरण।

स्थैतिक और गतिशील मापांक स्वतः परस्पर विनिमेय नहीं होते। ASTM E1875-20a “sonic resonance” द्वारा गतिशील यंग मापांक, कतरनी मापांक और पॉइसन अनुपात के निर्धारण को निर्दिष्ट करता है। अनुनाद मापन में तरंग-प्रसार और कंपन-आवृत्ति का उपयोग होता है, जबकि तनन-परीक्षण किसी निर्दिष्ट भारण दर के अंतर्गत तनाव–विकृति वक्र से ढाल निर्धारित कर सकता है। दोनों विधियाँ प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया से संबंधित हैं, लेकिन आवृत्ति, अवमंदन, सूक्ष्मसंरचनात्मक दोष, उपकरण और आँकड़ा-न्यूनन प्रक्रियाओं में अंतर के कारण इनके द्वारा बताए गए मान अलग हो सकते हैं।

तापमान का उल्लेख किया जाना चाहिए, विशेषकर क्रायोजेनिक या उच्च-तापमान वाले कार्यों में। National Bureau of Standards की 1981 की एक रिपोर्ट ने अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ मोड की ध्वनि-वेग विधियों का उपयोग करके Fe-5Cr-26Mn austenitic steel के प्रत्यास्थ नियतांकों को 76–400 K के बीच मापा। यह परास दर्शाता है कि बिना किसी योग्यता-सूचना के कमरे के तापमान के मान को क्रायोजेनिक डिज़ाइन-सारणी में कॉपी नहीं किया जा सकता। बनावट और क्रिस्टल-असमदैशिकता एक अन्य समस्या उत्पन्न करते हैं: एकल-क्रिस्टल की कठोरता-संबंधी आँकड़ों से लगभग-समदैशिक बहुक्रिस्टलीय $E$, $G$, $B$, अनुदैर्ध्य मापांक और $\nu$ कैसे प्राप्त किए जा सकते हैं, इसका वर्णन NIST हैंडबुक के मोनोक क्रिस्टल प्रत्यास्थ नियतांकों संबंधी अध्याय में किया गया है; लेकिन ऐसे व्युत्पादन क्रिस्टल सममिति, अभिविन्यास-वितरण और औसतकरण संबंधी मान्यताओं पर निर्भर करते हैं।

समदैशिक गणनाओं के लिए सावधानीपूर्वक पहचाने गए नियतांकों का एक युग्म पर्याप्त है; अन्य नियतांकों की गणना दिए गए समीकरणों से की जानी चाहिए या उनकी संगति की जाँच की जानी चाहिए। अनदैशिक रोल किए गए, फोर्ज किए गए, बनावटयुक्त, वेल्डेड या योगात्मक-विनिर्मित इस्पात के लिए एकल अदिश मापांक पूर्ण संघटक-वर्णन के बजाय एक सन्निकटन हो सकता है। मानक और उत्पाद-विनिर्देशन किसी सारणी को इस सीमा को छिपाने से रोकते हैं। वे प्रत्येक संख्या को परिभाषित सामग्री, अवस्था, दिशा, तापमान और विधि से जोड़ते हैं—अर्थात वह जानकारी जो किसी मान को उत्तरदायित्वपूर्वक डिज़ाइन-गणना में शामिल करने से पहले आवश्यक होती है।

डिज़ाइन में उपयोग: सही मॉड्यूलस संबंध का चयन

प्रत्यास्थ मॉड्यूलस विकृति की एक विशिष्ट विधा से संबंधित होता है। Young’s modulus $E$ एकअक्षीय प्रतिबल से उत्पन्न सामान्य विकृति का वर्णन करता है; shear modulus $G$ लगभग स्थिर आयतन पर होने वाली विरूपण का वर्णन करता है; और bulk modulus $K$, जिसे $B$ भी लिखा जाता है, समान रूप से संपीड़न के प्रतिरोध का वर्णन करता है। Poisson’s ratio $\nu$ सामान्य और अनुप्रस्थ विकृति को जोड़ता है। ये राशियाँ परस्पर संबंधित हैं, लेकिन केवल इसलिए एक-दूसरे के स्थान पर प्रयुक्त नहीं की जा सकतीं कि इन सभी को gigapascal में व्यक्त किया जाता है या steel के लिए सामान्यतः एक साथ सूचीबद्ध किया जाता है।

एक समरूप, रैखिक, समदैशिक ठोस के लिए केवल दो प्रत्यास्थ नियतांक स्वतंत्र होते हैं। Springer की Elasticity of Solids में समदैशिक प्रत्यास्थता के 2020 के विवेचन में यह बात सीधे कही गई है। Sandia National Laboratories संबंधित समुच्चय में Young’s modulus $E$, Poisson’s ratio $\nu$, bulk modulus $K$, shear modulus $G$, Lamé’s first parameter $\lambda$, और $2\mu$ को सूचीबद्ध करता है; इनमें $E$ और $\nu$ अन्य राशियों को निर्धारित करते हैं। इसलिए रूपांतरण समीकरण छह असंबंधित भौतिक गुणों के स्वतंत्र मापन नहीं, बल्कि सशर्त संबंध हैं:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$$

और

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

मान्यताएँ महत्वपूर्ण हैं। ये समीकरण छोटी विकृतियों, रैखिक प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया और समदैशिक व्यवहार पर लागू होते हैं। रोलिंग टेक्सचर वाली steel प्लेट, वेल्ड का ऊष्मा-प्रभावित क्षेत्र, दिशात्मक ठोसीकरण वाला ढला हुआ उत्पाद, या द्वि-चरणीय सूक्ष्मसंरचना समदैशिकता की धारणा को पर्याप्त रूप से पूरा न कर सकती है। ऐसी स्थिति में एक रूपांतरित मान का प्रत्येक भारण दिशा के लिए प्रतिनिधि होना आवश्यक नहीं है।

एकअक्षीय अवयव और E

सीधे तनाव अवयव, संपीड़न अवयव, टाई, रॉड या अक्षीय बल के अधीन पतले beam खंड के लिए $E$ प्राथमिक मॉड्यूलस होता है। मूल संबंध है

$$\sigma =E\epsilon ,$$

इसलिए प्रिज्मीय अवयव का प्रत्यास्थ विस्तार है

$$\delta =\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AE}},$$

जहाँ $P$ अक्षीय बल, $L$ मूल लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है। प्रत्यास्थ लंबाई-वृद्धि, संकुचन और अक्षीय stiffness $\mathrm{AE}/L$ का अनुमान लगाने के लिए यही सही प्रारंभिक संबंध है।

जब पार्श्व संकुचन या बहुअक्षीय प्रतिबंध महत्वपूर्ण हो, तब Poisson’s ratio शामिल होता है। स्वतंत्र रूप से खींची गई steel की छड़ निम्न संबंध के अनुसार पार्श्व दिशा में संकुचित होती है:

$${\epsilon }_{\text{transverse}}=-\nu {\epsilon }_{\text{axial}}.$$

हालाँकि, पूरी तरह प्रतिबंधित नमूने के लिए अक्षीय प्रतिक्रिया को केवल $E$ द्वारा निरूपित नहीं किया जा सकता। पार्श्व विकृति विकसित नहीं हो सकती, इसलिए प्रतिबल अवस्था त्रिविमीय हो जाती है और आभासी stiffness बढ़ जाती है। बंधित insert, प्रतिबंधित washer या press fit के finite-element model में इस युग्मन को ध्यान में रखना आवश्यक है; अवयव को पृथक एक-विमीय bar की तरह नहीं माना जा सकता।

$E$ के लिए प्रयुक्त मान मापन और सेवा-स्थिति से भी मेल खाना चाहिए। स्थैतिक tensile-test slope, अनुनादी dynamic modulus और ultrasonic velocity से अनुमानित modulus अलग हो सकते हैं, क्योंकि frequency, temperature, नमूने की geometry, porosity, residual stress और defects का प्रभाव पड़ता है। ASTM E1875-20a “sonic resonance” द्वारा dynamic Young’s modulus, shear modulus और Poisson’s ratio के निर्धारण को निर्दिष्ट करता है। यह विधि design temperature पर किए गए धीमे tensile test के समान मान स्वतः प्रदान नहीं करती।

प्रत्येक metallurgical अवस्था में steel एक ही प्रत्यास्थ पदार्थ नहीं होता। Ferritic, martensitic, bainitic और austenitic संरचनाओं में अंतर हो सकता है, जबकि texture के कारण rolling direction और transverse direction की प्रतिक्रियाएँ अलग-अलग हो सकती हैं। National Bureau of Standards की Fe-5Cr-26Mn austenitic steel पर रिपोर्ट में 76–400 K के बीच longitudinal-mode और transverse-mode sound velocities से प्रत्यास्थ नियतांक निर्धारित किए गए। यह temperature range याद दिलाती है कि कमरे के temperature के निकट मापा गया प्रत्यास्थ नियतांक cryogenic या उच्च-temperature सेवा के लिए temperature-independent data नहीं माना जाना चाहिए।

Torsion और G

प्रत्यास्थ torsion में circular shaft के लिए $G$ twist angle को नियंत्रित करता है:

$$\theta =\frac{\mathrm{TL}}{\mathrm{JG}},$$

जहाँ $T$ torque, $J$ polar second moment of area और $L$ shaft की लंबाई है। Torsional stiffness $\mathrm{JG}/L$ होती है। Circular shaft में संबंधित shear stress है

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

इस गणना में सीधे $E$ का उपयोग करने पर गलत stiffness प्राप्त होगी, जब तक कि इसे पहले $\nu$ के किसी विश्वसनीय मान के माध्यम से रूपांतरित न किया जाए। समदैशिक steel के लिए

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

यह रूपांतरण तब उपयोगी है जब केवल $E$ और $\nu$ उपलब्ध हों, लेकिन इससे tensile measurement प्रत्यक्ष torsional measurement नहीं बन जाता। किसी पदार्थ में औसत tensile modulus स्वीकार्य दिखाई देने पर भी direction-dependent shear response हो सकती है।

यह अंतर thin-walled tubes, splines, welded shafts और anisotropic manufacturing histories वाले भागों के लिए महत्वपूर्ण हो जाता है। सामान्य section में torsion के कारण warping और असमान shear field उत्पन्न हो सकता है, इसलिए Saint-Venant का circular-shaft equation स्वयं अपर्याप्त हो सकता है। पदार्थीय input अभी भी shear constitutive parameter ही होता है, लेकिन section analysis में वास्तविक geometry को निरूपित करना आवश्यक है।

Dynamic shear data के लिए भी समान सावधानी आवश्यक है। Resonance methods किसी विशेष frequency और छोटी strain amplitude पर response मापती हैं। Sonic test से गणना किया गया मान vibration या wave analysis के लिए उपयुक्त हो सकता है, लेकिन धीमे भारण वाले structural calculation में प्रयुक्त secant या tangent stiffness के समान होना आवश्यक नहीं है। “Dynamic” designation कोई मामूली label नहीं है; यह भिन्न experimental condition को दर्शाता है।

Hydrostatic, contact और wave problems

Volumetric response के लिए bulk modulus $K$ या $B$ उपयुक्त parameter है। Hydrostatic pressure के अंतर्गत pressure, volume को निम्न संबंध के अनुसार बदलता है:

$$K=B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

यह thermodynamic definition National Institute of Standards and Technology ने 1982 में दी थी। उच्च $K$ का अर्थ है कि पर्याप्त pressure से केवल आयतन में बहुत छोटा fractional change उत्पन्न होता है। यह shape change के प्रतिरोध से भिन्न है, जिसे मुख्यतः $G$ नियंत्रित करता है।

Engineering ToolBox stainless steel के लिए लगभग 163 GPa का bulk modulus देता है। यह आँकड़ा secondary reference estimate के रूप में उपयोगी हो सकता है, लेकिन प्रत्येक stainless-steel grade, temperature, product form, phase constitution या test method के लिए universal value नहीं है। चूँकि $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$, इसलिए $\nu$ में छोटी त्रुटियाँ calculated bulk modulus में उल्लेखनीय परिवर्तन उत्पन्न कर सकती हैं, विशेषकर जब $\nu$, 0.5 के निकट हो।

Contact calculations में normal और tangential दोनों प्रकार के व्यवहार आवश्यक होते हैं। Hertzian contact में दो bodies के लिए effective normal modulus सामान्यतः इस प्रकार लिखा जाता है:

\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}. \]

यहाँ स्थानीय प्रत्यास्थ indentation को किसी एक steel grade के $E$ के बजाय \(E^*\) नियंत्रित करता है। Frictional sliding और tangential traction में $G$ और $\nu$ भी शामिल होते हैं। ऐसा model जो \(E^*\) के स्थान पर $K$ रखता है, गणितीय रूप से stable रह सकता है और smooth contact pressures उत्पन्न कर सकता है, फिर भी गलत deformation mechanism को निरूपित कर सकता है।

Wave problems में एक अन्य combination का उपयोग होता है। समदैशिक ठोस के लिए longitudinal wave modulus है

$$M=K+\frac{4G}{3},$$

तथा longitudinal और shear wave speeds हैं

\[ v_L=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}}, \qquad v_S=\sqrt{\frac{G}{\rho}}. \]

इसलिए केवल longitudinal velocity से प्रत्येक प्रत्यास्थ नियतांक निर्धारित नहीं किया जा सकता; $K$ और $G$ को अलग-अलग निर्धारित करने के लिए transverse-wave measurement आवश्यक है। Single crystal या textured polycrystal में wave speed propagation direction और polarization पर भी निर्भर करती है, इसलिए isotropic formulas वास्तविक elastic anisotropy को छिपा सकते हैं।

त्रिविमीय finite-element formulations में सामान्यतः $E$ और $\nu$, $K$ और $G$, या Lamé parameters $\lambda$ और $\mu$ का उपयोग किया जाता है। चयन गणितीय है, भौतिक पदार्थ में परिवर्तन नहीं। हालाँकि, लगभग incompressible स्थिति में $\nu$ के 0.5 के निकट होने पर $E$-$\nu$ formulation volumetric locking से प्रभावित हो सकती है, जबकि pressure और deviatoric response का उपयोग करने वाली mixed formulation बेहतर प्रदर्शन कर सकती है। इसके विपरीत, स्वतंत्र रूप से rounded किए गए $E$, $G$ और $K$ मान डालने पर isotropic conversion equations का उल्लंघन हो सकता है और internally inconsistent stiffness matrix बन सकती है।

यही केंद्रीय design risk है: कोई converted constant किसी equation के साथ संख्यात्मक रूप से consistent हो सकता है, फिर भी modeled problem, temperature, frequency, direction या steel microstructure के लिए भौतिक रूप से अनुपयुक्त हो सकता है। पहले deformation mode के आधार पर modulus का चयन करें, फिर सत्यापित करें कि उसकी measurement conditions और isotropic assumptions संबंधित component तथा analysis से मेल खाती हैं।

इस्पात के प्रत्यास्थता-मापांक की गणनाओं में सामान्य त्रुटियाँ

इस्पात के प्रत्यास्थता-मापांक की गणनाएँ अक्सर इसलिए गलत हो जाती हैं क्योंकि अलग-अलग भौतिक अर्थ वाली राशियों को परस्पर विनिमेय मान लिया जाता है। यंग का मापांक $E$, अपरूपण मापांक $G$, आयतन मापांक $K$ या $B$, और पॉइसन अनुपात $\nu$ प्रत्यास्थ विरूपण का वर्णन करते हैं। उपज सामर्थ्य पर्याप्त स्थायी विरूपण की शुरुआत को दर्शाता है। ये किसी पदार्थ मॉडल के अलग-अलग भागों से संबंधित राशियाँ हैं।

समदैशिक, रैखिक-प्रत्यास्थ ठोस के लिए केवल दो प्रत्यास्थ नियतांक स्वतंत्र होते हैं। Springer के ठोसों की प्रत्यास्थता अध्याय (2020) में यह बात सीधे कही गई है। Sandia National Laboratories संबंधित समुच्चय को यंग के मापांक $E$, पॉइसन अनुपात $\nu$, आयतन मापांक $K$, अपरूपण मापांक $G$, Lamé के प्रथम पैरामीटर $\lambda$, और $2\mu$ के रूप में सूचीबद्ध करता है; $E$ और $\nu$ निर्दिष्ट करने पर अन्य राशियाँ निर्धारित हो जाती हैं। सामान्य रूपांतरण हैं

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

और

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

ये समीकरण स्वतंत्र प्रयोगात्मक तथ्य नहीं हैं। ये समदैशिक रैखिक-प्रत्यास्थ मान्यता के परिणाम हैं। इनके उपयोग के लिए संगत मान, एकरूप इकाइयाँ और ऐसी पदार्थ-अवस्था आवश्यक है जिसमें समदैशिकता एक उचित सन्निकटन हो।

मापांक को उपज सामर्थ्य समझ लेना

सबसे लगातार होने वाली त्रुटि यह है कि उच्च-सामर्थ्य वाले इस्पात को इसलिए “अधिक कठोर” कहा जाता है क्योंकि उसका उपज सामर्थ्य अधिक होता है। उपज सामर्थ्य उस प्रतिबल को मापता है जिस पर निर्दिष्ट मानदंड के अनुसार प्लास्टिक विकृति शुरू होती है; यह मानदंड प्रायः 0.2% जैसी प्रूफ विकृति होती है। यंग का मापांक उस संक्रमण से पहले प्रत्यास्थ प्रतिबल–विकृति प्रतिक्रिया की ढाल को मापता है। ऊष्मा-उपचार, शीत-अपचयन अनुसूची, अवक्षेपण अभिक्रिया या कार्बन-सामग्री में परिवर्तन उपज सामर्थ्य को पर्याप्त रूप से बढ़ा सकते हैं, जबकि प्रारंभिक प्रत्यास्थ ढाल में तुलनीय परिवर्तन नहीं होता।

यह अंतर अभिकल्प में महत्वपूर्ण है। सेवा-भार के अंतर्गत विक्षेपण मुख्यतः $E$, ज्यामिति, सीमा-शर्तों और भार पर निर्भर करता है; अनुमत प्रतिबल की जाँच के लिए उपज सामर्थ्य या किसी अन्य सामर्थ्य-सीमा की भी आवश्यकता होती है। $E$ के स्थान पर किसी ग्रेड का उपज सामर्थ्य रखने से आयाम की दृष्टि से संभव, लेकिन भौतिक रूप से अर्थहीन परिणाम प्राप्त होते हैं। प्रतिबल को उपज सामर्थ्य से विभाजित करने वाली गणना उपयोग-अनुपात का अनुमान दे सकती है। इससे प्रत्यास्थ विकृति की गणना नहीं होती।

यही त्रुटि अपरूपण में भी दिखाई देती है। अपरूपण मापांक को अपरूपण प्रतिबल और अपरूपण विकृति के बीच प्रत्यास्थ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है,

$$\tau =G\gamma .$$

अपरूपण उपज सामर्थ्य एक प्लास्टिक सीमा है। इसका अनुमान von Mises संबंध जैसे किसी उपज मानदंड से लगाया जा सकता है, लेकिन यह $G$ नहीं है और न ही किसी मापांक को प्रतिबल की इकाइयाँ देकर उसका नाम बदलने से यह प्राप्त होता है। OpenStax (2020) विरूपण की विधियों को स्पष्ट रूप से अलग करता है: यंग का मापांक तन्य प्रतिक्रिया, आयतन मापांक आयतनात्मक संपीड़न और अपरूपण मापांक अपरूपण विरूपण का वर्णन करता है।

इसलिए किसी इस्पात विनिर्देशन में उपज-सामर्थ्य की आवश्यकता और प्रत्यास्थ-गुणधर्म की मान्यता, दोनों शामिल हो सकती हैं, बिना इस बात के कि वे संख्याएँ किसी सरल ग्रेड-रूपांतरण से जुड़ी हों। संरचनात्मक गणनाओं के लिए संबंधित पदनाम और उत्पाद मानक दर्ज किए जाने चाहिए—उदाहरण के लिए ASTM A240/A240M प्लेट या शीट, EN 10025-2 S355 पदार्थ, या ASTM A276 Type 304 stainless steel—साथ ही मोटाई, उत्पाद-रूप और परीक्षण-दिशा भी। पदनाम पदार्थ की आवश्यकता को परिभाषित करता है; इससे प्रत्येक उत्पाद के लिए कोई सामान्य मापांक-मान सटीक नहीं हो जाता।

एक अन्य त्रुटि यह मानना है कि प्रत्येक ग्रेड का $E$ का एक ही सटीक मान होता है। फेरिटिक, मार्टेंसिटिक, बैनिटिक, ऑस्टेनिटिक और डुप्लेक्स इस्पातों में प्रावस्था-अंश, बनावट, ढले हुए उत्पादों में सरंध्रता-स्तर और अवशिष्ट प्रतिबल अलग-अलग हो सकते हैं। ये कारक मापी गई प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया को प्रभावित करते हैं। अनेक अभियांत्रिकी अनुमानों के लिए एक पारंपरिक समदैशिक मान पर्याप्त होता है, लेकिन वह फिर भी एक मान्यता या अपनाया गया अभिकल्प-मान है, “इस्पात” शब्द से जुड़ा कोई सार्वभौमिक भौतिक नियतांक नहीं।

स्थैतिक और गतिक मानों को मिलाना

स्थैतिक और गतिक मापांक परस्पर संबंधित होते हैं, लेकिन उन्हें स्वतः एक-दूसरे के स्थान पर नहीं रखा जा सकता। स्थैतिक मापांक धीमी गति से किए गए यांत्रिक परीक्षण से प्राप्त होता है, जो सामान्यतः निर्दिष्ट विकृति-अंतराल में तन्य या संपीड़न प्रतिबल–विकृति वक्र की ढाल से निर्धारित किया जाता है। परिणाम मशीन के अनुपालन, ग्रिप के संरेखण, सतह की स्थिति, विकृति-दर, हिस्टेरेसिस, सूक्ष्म-प्लास्टिकता और ढाल के फिट किए जाने की विधि से प्रभावित हो सकता है।

गतिक मापांक तरंग-संचरण, अनुनाद या किसी अन्य समय-निर्भर मापन से निकाला जाता है। ASTM E1875-20a “sonic resonance” द्वारा गतिक यंग मापांक, अपरूपण मापांक और पॉइसन अनुपात के निर्धारण को निर्दिष्ट करता है। प्रत्यास्थ नियतांकों का अनुमान लगाने के लिए नमूने की अनुनादी आवृत्तियों और विमाओं का उपयोग किया जाता है। यह विधि लघु-विकृति संबंधी सटीक आँकड़े दे सकती है, लेकिन परिणाम उच्च-आवृत्ति, अत्यंत कम-आयाम वाले विरूपण से संबंधित होता है और इसे उसी के अनुसार चिह्नित किया जाना चाहिए।

गतिक मापन घनत्व, नमूने की ज्यामिति, आवृत्ति, तापमान और मोड की पहचान पर भी निर्भर करते हैं। अनुदैर्ध्य अनुनाद से प्राप्त मान को उचित संबंध और संगत पॉइसन अनुपात के बिना अपरूपण गणना में नहीं डालना चाहिए। इसी प्रकार, किसी हैंडबुक में दिया गया “प्रत्यास्थता-मापांक” एक अभिकल्प परंपरा हो सकता है, जबकि अनुनाद रिपोर्ट किसी गतिक मापांक की पहचान कर सकती है। दोनों की तुलना ऐसे नहीं करनी चाहिए मानो वे एक ही परीक्षण से प्राप्त हुए हों।

$E$, $G$ और $K$ के बीच रूपांतरण करते समय यह बताया जाना चाहिए कि इनपुट स्थैतिक हैं या गतिक। तन्य-परीक्षण से प्राप्त $E$ को सोनिक-अनुनाद से प्राप्त $\nu$ के साथ मिलाने पर आंतरिक रूप से असंगत समुच्चय बन सकता है, भले ही दोनों संख्याएँ अलग-अलग विश्वसनीय हों। गणना बीजगणितीय रूप से सही हो सकती है, फिर भी किसी एक मापी गई पदार्थ-अवस्था का प्रतिनिधित्व करने में विफल हो सकती है।

पॉइसन अनुपात पर विशेष सावधानी आवश्यक है, क्योंकि $\nu$ में अनिश्चितता आयतन मापांक के समीकरण में महत्वपूर्ण हो जाती है। यदि $E=200$ GPa और $\nu =0.30$ हो, तो समदैशिक संबंध से $K=166.7$ GPa प्राप्त होता है। यदि उसी $E$ को $\nu =0.29$ के साथ जोड़ा जाए, तो $K=158.7$ GPa होता है; $\nu =0.31$ के साथ यह $K=175.4$ GPa हो जाता है। $\nu$ में केवल 0.01 का परिवर्तन परिकलित $K$ को लगभग 5% बदल देता है। $\nu =0.5$ के निकट संवेदनशीलता बहुत अधिक होती है, क्योंकि $1-2\nu$ शून्य के निकट पहुँचता है। परिणामी $K$ को मापे गए नियतांक के रूप में प्रस्तुत करने के बजाय मान्यताप्राप्त मान, उसके स्रोत और संवेदनशीलता-परास की सूचना दें।

इकाइयाँ एक सरल, लेकिन बार-बार होने वाली त्रुटि का कारण बनती हैं। चूँकि $1\text{GPa}=1000\text{MPa}$, MPa में दर्ज $E$ मान को GPa में दर्ज $G$ मान के साथ प्रयोग करने पर 1000 के गुणक की त्रुटि हो सकती है। पूरी गणना में सभी मापांकों को एक ही इकाई-प्रणाली में रखें और अंतिम परिणाम के साथ इकाई अवश्य लिखें।

आयतन मापांक के मानों के स्रोत का स्पष्ट होना आवश्यक है। Engineering ToolBox stainless steel के लिए लगभग 163 GPa का मान देता है, लेकिन यह एक द्वितीयक संदर्भ-अनुमान है, प्रत्येक stainless-steel ग्रेड, उत्पाद-रूप, तापमान या परीक्षण-स्थिति के लिए सार्वभौमिक मान नहीं। विश्वसनीय उद्धरण में मूल मापन या गणना, संघटन, प्रावस्था-स्थिति, तापमान, दाब-परास, घनत्व का आधार और विधि का उल्लेख होना चाहिए। National Institute of Standards and Technology (1982) की ऊष्मागतिक परिभाषा, $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$, तापमान-शर्त को स्पष्ट करती है। इन शर्तों के बिना किसी सारणी से नकल की गई संख्या को अनुमानित के रूप में चिह्नित किया जाना चाहिए।

विषमदैशिकता और तापमान की उपेक्षा

समदैशिक समीकरण यह मानते हैं कि प्रतिक्रिया प्रत्येक दिशा में समान होती है। रोल्ड प्लेट, खींचे गए तार, फोर्ज किए गए बार और योगात्मक रूप से निर्मित इस्पात में प्रायः क्रिस्टलोग्राफिक बनावट विकसित हो जाती है। इनकी प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया भार की दिशा के अनुसार बदल सकती है, भले ही पदार्थ बिना सहायक उपकरण के देखने पर एकसमान दिखाई दे। अत्यधिक बनावट वाली शीट के लिए एक $E$, $G$ और $\nu$ के बजाय दिशा-विशिष्ट नियतांकों की आवश्यकता हो सकती है।

एकल-क्रिस्टल प्रत्यास्थता का वर्णन किसी एक अदिश मापांक से नहीं, बल्कि प्रत्यास्थ-कठोरता मैट्रिक्स से किया जाता है। NIST की 1982 की हैंडबुक का अध्याय बताता है कि घनीय और षट्कोणीय तत्वों के लिए एकल-क्रिस्टल कठोरता आँकड़ों से लगभग-समदैशिक बहुक्रिस्टलीय नियतांक कैसे प्राप्त किए जा सकते हैं। यह औसतकरण एक मॉडल है। जब बनावट प्रबल हो, प्रावस्था-अनुपात स्थान के अनुसार बदलता हो, या उत्पाद में संरेखित समावेशन अथवा छिद्र हों, तब यह मॉडल कम उपयुक्त हो जाता है।

तापमान एक अन्य उपेक्षित चर है। प्रत्यास्थ नियतांक सामान्यतः तापमान के साथ बदलते हैं और प्रावस्था-परिवर्तन सामान्य ऊष्मीय मृदुकरण की तुलना में अधिक बड़े असंतत परिवर्तन उत्पन्न कर सकते हैं। National Bureau of Standards की एक रिपोर्ट (1981) ने 76 से 400 K तक Fe-5Cr-26Mn ऑस्टेनिटिक इस्पात के प्रत्यास्थ नियतांकों को अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ मोड के ध्वनि वेगों का उपयोग करके मापा। तापमान-परास स्वयं यह दर्शाता है कि कमरे के तापमान का मान बिना स्पष्ट उल्लेख के क्रायोजेनिक सेवा या उच्च-तापमान उपकरणों पर लागू नहीं किया जा सकता।

इसलिए किसी गणना में पदार्थ-पदनाम, उत्पाद-रूप, परीक्षण-दिशा, तापमान, विरूपण-विधि, मापन-विधि तथा यह जानकारी दी जानी चाहिए कि नियतांक स्थैतिक, गतिक, समदैशिक या दिशा-विशिष्ट हैं। यदि ये विवरण उपलब्ध न हों, तो परिणाम को अभियांत्रिकी अनुमान के रूप में चिह्नित करें और दिखाएँ कि $E$, $G$, $K$ और $\nu$ में अनिश्चितता उत्तर को किस प्रकार प्रभावित करती है। सभी इस्पातों के लिए एक ही सटीक मापांक निर्धारित करने और किसी अनकही मान्यता को अभिकल्प पर नियंत्रण देने की तुलना में यह अधिक सटीक है।

संदर्भ

1. [1]National Institute of Standards and Technology. Bulk modulus definition. NIST handbook chapter, 1982. https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172
2. [2]ASTM International. Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM E1875-20a, 2020. https://www.astm.org/e1875-20a.html
3. [3]Springer Nature. Elasticity of Solids. Springer book chapter, 2020. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4
4. [4]OpenStax. Stress, Strain, and Elastic Modulus. University Physics Volume 1, 2020. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
5. [5]National Bureau of Standards. Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards report, 1981. https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf