Constantes elásticas y relaciones entre módulos del acero

Qué significan las constantes elásticas del acero y qué no significan

Las constantes elásticas son parámetros que relacionan la tensión aplicada con la deformación resultante mientras un material permanece dentro de su intervalo elástico. En ese intervalo, retirar la carga permite que la probeta vuelva, al menos aproximadamente, a sus dimensiones originales. En un ensayo de tracción simple, el módulo de Young es la relación entre la tensión axial y la deformación axial:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }.$$

Esta relación describe la pendiente de la parte inicial y recuperable de una curva tensión-deformación. No describe la curva completa ni indica cuánta tensión puede soportar el acero antes de que se produzca una deformación permanente o una fractura.

Solo dos constantes elásticas son independientes para un sólido isotrópico y linealmente elástico. Strong evidence

Para un sólido isótropo y linealmente elástico, solo dos constantes elásticas son independientes. Un conjunto de uso habitual contiene el módulo de Young $E$, el coeficiente de Poisson $\nu$, el módulo volumétrico $K$ o $B$, el módulo de corte $G$, el primer parámetro de Lamé $\lambda$ y $2\mu$, donde $\mu =G$. Sandia National Laboratories enumera estas seis magnitudes relacionadas y afirma que $E$ y $\nu$ determinan las demás. Por ejemplo,

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

y

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Módulo volumétricoMódulo volumétrico Medida de la resistencia al cambio uniforme de volumen bajo presión; se escribe habitualmente K o B.

La notación varía: NIST y otras fuentes suelen utilizar $B$ para el módulo volumétrico, mientras que los textos de ingeniería y los programas de elementos finitos suelen utilizar $K$. Ambos describen la misma propiedad isótropa.

Respuesta elástica frente a resistencia y plasticidad

La elasticidad responde a una pregunta concreta: ¿cuánta deformación acompaña a una tensión determinada antes de que comience la deformación permanente? La resistencia responde a preguntas diferentes. El límite elástico identifica la tensión asociada con el inicio de una deformación plástica especificada; la resistencia a la tracción es la máxima tensión de ingeniería alcanzada durante un ensayo de tracción; la resistencia a la fractura se refiere a la separación de la probeta. Ninguna de estas magnitudes es otro nombre para el módulo de Young.

Un acero puede tener un límite elástico elevado y prácticamente el mismo módulo de Young que un acero de menor resistencia y composición similar. El trabajo en frío, el endurecimiento por precipitación o la transformación martensítica pueden aumentar considerablemente el límite elástico y la dureza, al tiempo que modifican mucho menos el módulo de tracción a pequeñas deformaciones. La razón es que los mecanismos de endurecimiento obstaculizan el movimiento de las dislocaciones, mientras que la respuesta elástica inicial refleja principalmente la rigidez de los enlaces atómicos y la estructura cristalina global. Esta distinción es fundamental al comparar, por ejemplo, un acero de baja aleación templado y revenido con un producto recocido de composición química relacionada.

La plasticidad comienza cuando la relación tensión-deformación deja de seguir la pendiente lineal elástica original. En ese momento, un modelo constitutivo plástico necesita información como los criterios de fluencia, la ley de endurecimiento, la regla de flujo, la sensibilidad a la velocidad de deformación y la dependencia de la temperatura. El módulo de Young, por sí solo, no proporciona ninguna de esa información. Un modelo de elementos finitos que contenga un $E$ preciso, pero una superficie de fluencia inadecuada, todavía puede predecir mal la deformación permanente.

Otras propiedades mecánicas responden a preguntas aún diferentes. La dureza mide la resistencia a la indentación localizada y suele correlacionarse con la resistencia dentro de una familia de aceros controlada, pero no es un módulo. La tenacidad se refiere a la absorción de energía y a la resistencia a la propagación de grietas bajo una condición de ensayo especificada. La resistencia a la fatiga se refiere a la acumulación de daño bajo cargas repetidas o fluctuantes. Un acero puede tener un módulo elástico similar al de otro grado, pero distinta dureza, tenacidad al impacto, comportamiento de crecimiento de grietas o vida a la fatiga.

La elasticidad tampoco significa que cada ciclo de carga sea perfectamente reversible. El acero real puede presentar microplasticidad, anelasticidad, efectos de las tensiones residuales, histéresis o daño antes de que resulte evidente un punto de fluencia convencional. Por tanto, el módulo notificado para un ensayo concreto está ligado a su intervalo de deformación, velocidad de carga, historial de ciclos y método de reducción de datos.

El módulo como rigidez, no como tensión de fallo

Un módulo mide la rigidez: la tensión necesaria para producir una deformación elástica especificada en un modo de deformación definido. El módulo de Young se refiere a la extensión o contracción axial. El módulo de corte describe la resistencia al cambio de forma bajo una tensión de corte. El módulo volumétrico describe la resistencia al cambio uniforme de volumen bajo presión. OpenStax proporciona estas interpretaciones físicas correspondientes para la deformación por tracción, por corte y volumétrica.

Un módulo elevado significa que una tensión determinada produce una deformación elástica menor. No significa que el material soporte una tensión mayor antes de alcanzar la fluencia o fracturarse. Considérese dos componentes de acero con el mismo $E$, pero con distintos límites elásticos. Bajo la misma tensión de servicio, experimentan aproximadamente la misma extensión elástica. El componente de mayor resistencia puede tolerar una tensión mayor antes de sufrir deformación plástica, pero no es apreciablemente más rígido en la respuesta elástica inicial simplemente porque su límite elástico sea mayor.

El módulo volumétrico tiene una definición termodinámica particularmente clara. En su capítulo de manual de 1982, el National Institute of Standards and Technology escribe

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$[1][1] Bulk modulus definition. National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

donde $V$ es el volumen, $P$ es la presión y la derivada se toma a temperatura constante. Esta es una propiedad volumétrica, no un límite de fallo por tracción. El acero es difícil de comprimir uniformemente, por lo que su módulo volumétrico es elevado; este hecho, por sí solo, dice poco sobre la ductilidad a la tracción o la tenacidad a la fractura.

El módulo tampoco debe confundirse con la resiliencia. La energía elástica almacenada por unidad de volumen depende de la tensión y del módulo, y la energía recuperable hasta la fluencia depende tanto del módulo como del límite elástico. Por tanto, aumentar el límite elástico puede incrementar la capacidad de almacenamiento de energía elástica incluso cuando $E$ cambia solo ligeramente.

Por qué un grado de acero no tiene un único módulo universal

Una designación como ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, EN 10025-2 S355JR o AISI 304 identifica una especificación, un intervalo de composición, una condición del producto o un conjunto de prestaciones requeridas; no define un único valor elástico inmutable para todas las probetas fabricadas conforme a dicha designación. La respuesta medida depende del estado del material y de las condiciones del ensayo.

La temperatura es una variable importante. Las constantes elásticas generalmente cambian con la temperatura, y las transformaciones de fase pueden producir cambios mayores cuando alteran la estructura cristalina o la mezcla de fases. Un informe del National Bureau of Standards publicado en 1981 midió las constantes elásticas del acero austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 y 400 K utilizando velocidades acústicas de los modos longitudinal y transversal. Este intervalo de temperatura, por sí solo, demuestra por qué un valor sin una temperatura de ensayo está incompleto.

CuasiisotrópicoCuasiisotrópico Respuesta efectiva de un material suficientemente próxima a la isotrópica para un cálculo, intervalo direccional y escala definidos, aunque los granos individuales sigan siendo anisotrópicos.

La textura y la dirección también importan. Los cristales individuales de ferrita, austenita o martensita son elásticamente anisótropos, lo que significa que su rigidez depende de la dirección cristalográfica. Las chapas laminadas, las barras forjadas, los alambres trefilados y los materiales fabricados aditivamente pueden desarrollar orientaciones preferentes. Un agregado policristalino puede comportarse aproximadamente de forma isótropa cuando las orientaciones cristalinas están suficientemente distribuidas, pero un producto con una textura marcada puede requerir constantes específicas para cada dirección. El módulo longitudinal en la dirección de laminación no tiene por qué ser igual al valor a través del espesor.

La constitución de fases, las inclusiones, la porosidad, las tensiones residuales, la estructura de grano y la forma del producto también influyen en la respuesta agregada medida. El metal de soldadura y las zonas afectadas térmicamente pueden diferir de la chapa base incluso cuando están contemplados por la misma especificación del proyecto. Las constantes de un monocristal no pueden sustituirse directamente por valores de diseño policristalinos. El manual de NIST explica cómo pueden derivarse los módulos cuasiisótropos de Young, de corte, volumétrico y otros módulos relacionados a partir de datos de rigidez elástica de monocristales para materiales cúbicos y hexagonales, pero ese cálculo depende de la simetría cristalina y de los supuestos sobre el promediado de las orientaciones.

[2][2] Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.

ASTM E1875-20a especifica la medición dinámica del módulo de Young, el módulo cortante y el coeficiente de Poisson mediante resonancia sónica. Strong evidence

El método de medición modifica el resultado notificado. Un ensayo de tracción lento produce un módulo estático o un módulo secante/tangente basado en la fuerza y el desplazamiento, mientras que los métodos ultrasónicos o de resonancia determinan un módulo dinámico a partir de la velocidad de onda o de la frecuencia natural. ASTM E1875-20 especifica la determinación del módulo dinámico de Young, el módulo de corte y el coeficiente de Poisson «mediante resonancia sónica». Los valores dinámicos pueden diferir de los valores estáticos debido a la frecuencia, el amortiguamiento, la deformación de la máquina, la amplitud de deformación y el tratamiento de las partes no ideales de la probeta.

En consecuencia, un informe útil del módulo debe indicar, como mínimo, la designación del acero, la forma y condición del producto, la temperatura, la dirección de carga, el modo de deformación y el método de medición. También debe identificar si el valor se ha medido, calculado a partir de otras constantes o adoptado como supuesto de diseño. Engineering ToolBox proporciona un módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para el «acero inoxidable», pero se trata de una estimación de referencia secundaria, no de un valor universal para todos los grados de acero inoxidable, tratamientos térmicos, texturas, temperaturas o métodos de ensayo. Utilizar un único número para todos los productos puede ser aceptable en un cálculo isotrópico preliminar cuando se declara el supuesto. Presentarlo como un hecho material independiente del grado no lo es.

La base de dos constantes de la elasticidad lineal isotrópica

La elasticidad lineal describe la parte reversible de la respuesta de un material mientras la tensión y la deformación se mantengan suficientemente pequeñas como para que pueda aplicarse una relación lineal. La palabra isotrópica añade una condición independiente: se supone que la respuesta es la misma en todas las direcciones. Bajo estas dos hipótesis, el tensor de rigidez elástica tiene muchos menos términos independientes que un sólido anisótropo general. Por tanto, seis magnitudes de uso común —el módulo de Young $E$, el coeficiente de Poisson $\nu$, el módulo volumétrico $K$ o $B$, el módulo de cizallamiento $G$, el primer parámetro de Lamé $\lambda$ y $2\mu$— pueden expresarse a partir de solo dos constantes seleccionadas.

Este resultado se aplica al modelo constitutivo, no automáticamente a todos los valores medidos que se publican para el acero. La temperatura, la constitución de fases, la textura cristalográfica, la porosidad, la tensión residual, la orientación de la probeta, la frecuencia y el método de ensayo pueden afectar a la respuesta medida. Un valor utilizado en un modelo isotrópico de elementos finitos suele ser una propiedad de ingeniería efectiva, más que una descripción completa de la microestructura del material.

Por qué solo se necesitan dos constantes independientes

La tensión y la deformación son tensores de segundo orden. En el sólido elástico lineal más general, la relación entre ambas requiere un tensor de rigidez de cuarto orden, con numerosos acoplamientos direccionales posibles. La simetría de los tensores de tensión y deformación reduce el número de términos independientes, y la simetría del material lo reduce aún más. La isotropía impone la simetría material ordinaria más estricta: ninguna dirección se distingue mecánicamente.

La relación isotrópica entre tensión y deformación puede escribirse como

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

donde ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ es el tensor de tensiones, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ es el tensor de deformaciones, ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ es la delta de Kronecker, y $\lambda$ y $\mu$ son parámetros de Lamé. Por tanto, $\lambda$ y $\mu$ constituyen un par válido de constantes independientes. El módulo de cizallamiento es $G=\mu$, por lo que utilizar $G$ y $\lambda$ es equivalente.

Elasticity of Solids (2020), de Springer, expone directamente el resultado central: para un sólido isotrópico, solo dos constantes elásticas son independientes. La documentación Sierra de Sandia National Laboratories enumera el conjunto isotrópico relacionado como el módulo de Young $E$, el coeficiente de Poisson $\nu$, el módulo volumétrico $K$, el módulo de cizallamiento $G$, el primer parámetro de Lamé $\lambda$ y $2\mu$, y establece que $E$ y $\nu$ determinan las demás. La existencia de seis denominaciones no crea seis propiedades materiales ajustables por separado.

Para el par común $E,\nu$, las conversiones son

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )},$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )},$$

y

$$2\mu =2G=\frac{E}{1+\nu }.$$

Las relaciones inversas también son útiles:

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G},$$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}.$$

Estas ecuaciones no son correlaciones empíricas limitadas a una sola familia de aceros. Se derivan de la ley constitutiva elástica lineal isotrópica. También imponen requisitos de coherencia. Para un sólido isotrópico estable y ordinario, $G>0$, $K>0$ y $-1<\nu <0.5$. Cuando $\nu$ se aproxima a 0.5, el material se vuelve casi incompresible en el modelo: $K$ aumenta mucho más que $G$, mientras que $E$ sigue estando vinculado a ambos.

Los significados físicos difieren, aunque las constantes estén matemáticamente relacionadas. OpenStax describe el módulo de Young como la relación que gobierna la respuesta a la tracción, el módulo volumétrico como la respuesta a la compresión volumétrica y el módulo de cizallamiento como la respuesta a la deformación por cizallamiento. Un ensayo de tracción proporciona principalmente $E$, pero la deformación lateral medida junto con la deformación axial proporciona $\nu$. Un experimento de presión-volumen determina $K$, mientras que un ensayo de torsión o una medición de ondas de cizallamiento determina $G$. Una vez conocido cualquier par coherente, los demás módulos se calculan en lugar de seleccionarse de forma independiente.

La definición termodinámica del módulo volumétrico hace explícita su diferencia respecto del módulo de Young:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Esta expresión, proporcionada por el National Institute of Standards and Technology en 1982, describe la resistencia al cambio de volumen bajo presión a temperatura constante. No significa que un módulo volumétrico tabulado sea intercambiable con un módulo de tracción. Su relación numérica solo existe después de aplicar las hipótesis constitutivas isotrópicas.

E y ν como par práctico de entrada

Los cálculos de ingeniería utilizan habitualmente $E$ y $\nu$ porque se corresponden naturalmente con un ensayo de tracción uniaxial y están respaldados directamente por los datos normalizados de materiales estructurales. En un modelo tridimensional isotrópico, introducir esas dos magnitudes permite al programa construir $G$, $K$, $\lambda$ y $2\mu$ sin constantes materiales adicionales. Introducir las seis puede crear un modelo incoherente si los valores no satisfacen las ecuaciones de conversión.

Esto es especialmente importante cuando los valores proceden de fuentes diferentes. Un módulo de tracción estático, un módulo dinámico obtenido mediante resonancia y una estimación del módulo volumétrico pueden ser válidos para sus respectivas condiciones de medición, pero no reproducirse exactamente entre sí mediante las ecuaciones isotrópicas. ASTM E1875-20a especifica la determinación del módulo de Young dinámico, el módulo de cizallamiento y el coeficiente de Poisson «mediante resonancia sónica». En la práctica, se trata de mediciones dependientes de la frecuencia o sensibles a la velocidad de deformación, incluso cuando el material permanece dentro de su intervalo elástico. No debe suponerse que son idénticas a los valores obtenidos en ensayos de tracción a baja velocidad sin comprobar las condiciones del ensayo.

Una fuente secundaria, Engineering ToolBox, proporciona un módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para el acero inoxidable. Ese número es una estimación de referencia, no una constante universal para todos los grados de acero inoxidable, tratamientos térmicos, temperaturas, formas de producto o métodos de ensayo. No debe combinarse sin más con un valor no relacionado de $E$ o $\nu$ para luego presentarlo como una propiedad medida específica de un grado. La misma cautela se aplica a los valores del Steel Castings Handbook de ASM, donde el módulo de elasticidad, el coeficiente de Poisson, el módulo de cizallamiento y otras propiedades físicas relacionadas se presentan como datos característicos de las piezas de acero fundido. «Acero» no designa una única probeta elástica fija.

La distinción entre propiedades estáticas y dinámicas es importante en el diseño. Los ensayos dinámicos infieren las constantes elásticas a partir de frecuencias de resonancia o velocidades de onda; los ensayos estáticos las infieren a partir de la fuerza, el desplazamiento y la deformación. Un módulo dinámico puede diferir debido a la frecuencia, el amortiguamiento, los mecanismos microestructurales, la temperatura y la instrumentación. El informe del National Bureau of Standards sobre el acero austenítico Fe-5Cr-26Mn midió constantes elásticas entre 76 y 400 K a partir de las velocidades del sonido en los modos longitudinal y transversal. Ese intervalo demuestra por qué un valor sin temperatura ni método puede resultar incompleto, incluso cuando la designación del material es precisa.

El papel de la isotropía y de la cuasiisotropía

Un acero policristalino puede comportarse de manera aproximadamente isotrópica cuando sus granos son pequeños, numerosos y tienen una orientación suficientemente aleatoria. Los cristales individuales siguen siendo anisótropos, pero los efectos direccionales pueden promediarse en un volumen representativo. Esta es la base para utilizar un $E$ efectivo y un $\nu$ efectivo en muchos cálculos estructurales.

La aproximación se debilita cuando el procesamiento genera una textura marcada. La laminación, la forja, la fabricación aditiva, la solidificación direccional y los ciclos térmicos de soldadura pueden producir orientaciones cristalográficas preferentes. En ese caso, una chapa puede presentar propiedades longitudinales, transversales y de espesor diferentes. Un producto fundido puede mostrar otro patrón debido a la estructura dendrítica, la segregación, la porosidad y la orientación local de los granos. La constitución de fases también es importante: la ferrita, la austenita, la martensita, la bainita y la austenita retenida no contribuyen con un comportamiento elástico de monocristal idéntico.

Cuasiisotrópico describe una respuesta efectiva suficientemente próxima a la isotrópica para un propósito, intervalo direccional y escala determinados. No elimina la anisotropía cristalina ni garantiza que todos los módulos medidos en todas las orientaciones coincidan. El capítulo del manual del NIST sobre constantes elásticas de monocristales explica cómo pueden derivarse $E$, $G$, $B$, el módulo longitudinal y $\nu$ policristalinos a partir de datos de rigidez de monocristales para elementos cúbicos y hexagonales. Este procedimiento hace visible la hipótesis de promediado, en lugar de tratar las constantes policristalinas resultantes como valores fundamentales.

Para un acero con una textura marcada, un modelo de elasticidad anisotrópica puede requerir más de dos constantes independientes y debe conservar la orientación de la probeta. Para un componente de acero cuasiisotrópico, dos constantes efectivas pueden ser suficientes para el cálculo previsto, siempre que la hipótesis se haya comprobado mediante mediciones. El capítulo Constitutive Response de Oxford Academic también plantea la elasticidad lineal isotrópica en torno a dos constantes independientes. Por tanto, la cuestión práctica no es si el acero tiene seis módulos elásticos independientes. No los tiene bajo el modelo isotrópico. La cuestión es si las dos constantes elegidas representan el material, la temperatura, la dirección y el régimen de medición pertinentes para el cálculo.

Módulo de Young $E$ en el acero

El módulo de Young, $E$, describe la rigidez de un material sometido a tracción o compresión uniaxial. Según la definición lineal-elástica aplicable, es la relación entre la tensión axial y la deformación axial:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

Aquí, $\sigma$ es la tensión normal que actúa a lo largo del eje de la probeta y $\epsilon$ es la deformación axial correspondiente. Para una respuesta perfectamente lineal, la gráfica tensión–deformación es una línea recta que pasa por el origen, y $E$ es su pendiente. Las unidades son pascales, aunque para el acero normalmente se expresa en gigapascales.

Esta definición solo se aplica a la parte de la carga en la que la respuesta del material es lineal y recuperable. Esto no significa que toda relación entre tensión y deformación medida durante un ensayo de acero sea el módulo de Young. Una vez que aparece deformación plástica, transformación de fase, daño o una no linealidad considerable, la pendiente o relación seleccionada describe una propiedad diferente.

Tensión uniaxial y deformación axial

Un ensayo de tracción uniaxial aplica una fuerza a lo largo de una dirección principal de la probeta. La tensión axial de ingeniería se calcula habitualmente dividiendo la fuerza aplicada entre el área original de la sección transversal:

$$\sigma =\frac{F}{A_0}$$

La deformación axial de ingeniería es el cambio en la longitud calibrada dividido entre su longitud original:

$$\epsilon =\frac{L-L_0}{L_0}$$

A pequeñas deformaciones, estas definiciones proporcionan el valor de ingeniería habitual de $E$. Un extensómetro de ensayo o una galga extensométrica mide el alargamiento a lo largo de una longitud calibrada especificada, mientras que la máquina de ensayo registra la fuerza y el desplazamiento. La pendiente medida puede verse afectada por la conformidad de la máquina, el movimiento de las mordazas, la alineación de la probeta, el estado superficial y el método utilizado para determinar la parte inicial de la curva.

En el intervalo elástico, una probeta sometida a tracción también se contrae lateralmente. El coeficiente de Poisson, $\nu$, relaciona la deformación lateral con la deformación axial, normalmente mediante

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}$$[3][3] Elasticity of Solids. Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

Para un sólido isótropo lineal-elástico, $E$ y $\nu$ determinan las demás constantes elásticas. La documentación de Sandia Sierra enumera el conjunto isótropo relacionado: módulo de Young $E$, coeficiente de Poisson $\nu$, módulo volumétrico $K$, módulo de corte $G$, primer parámetro de Lamé $\lambda$ y $2\mu$; su afirmación de que $E$ y $\nu$ determinan las demás constantes refleja la estructura de dos constantes de la elasticidad isótropa. Elasticity of Solids, de Springer, afirma igualmente que solo dos constantes elásticas son independientes para un sólido isótropo.

Las relaciones utilizadas habitualmente en diseño son

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

y

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

donde $G$ es el módulo de corte y $K$, también escrito $B$, es el módulo volumétrico. Estas ecuaciones no hacen que $E$, $G$, $K$ y $\nu$ sean cuatro propiedades independientes del material. Relacionan mediciones realizadas bajo distintos modos de deformación cuando son adecuadas las hipótesis de isotropía y comportamiento lineal-elástico.

La distinción entre los modos de deformación es importante. El módulo de Young se refiere a la extensión o contracción axial; el módulo de corte, a la distorsión angular bajo cizallamiento; y el módulo volumétrico, al cambio de volumen bajo presión hidrostática. OpenStax presenta estos conceptos como interpretaciones físicas distintas de la respuesta elástica. El tratamiento de 1982 del manual del NIST define termodinámicamente el módulo volumétrico como

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

por lo que su valor se refiere al cambio de volumen impulsado por la presión a una temperatura especificada, no simplemente a la pendiente de una curva de tensión–deformación en tracción.

A menudo se considera que el acero es isótropo en los cálculos de ingeniería ordinarios porque un producto policristalino puede contener muchas orientaciones cristalográficas. Esta aproximación puede fallar en chapas con una textura marcada, barras sometidas a un intenso trabajo mecánico, placas laminadas, uniones soldadas, materiales fabricados aditivamente o probetas de investigación monocristalinas. Los cristales de ferrita y austenita cúbicas presentan rigideces elásticas dependientes de la dirección, aunque un agregado con orientaciones distribuidas adecuadamente puede comportarse de forma cuasiisótropa. El NIST explica cómo pueden calcularse $E$, $G$, $B$, el módulo longitudinal y el coeficiente de Poisson de materiales policristalinos a partir de datos de rigidez elástica de monocristales para materiales cúbicos y hexagonales.

Por consiguiente, un valor comunicado para el «acero» no es automáticamente una constante universal para todas las formas de producto. La composición química, la ferrita, la perlita, la bainita, la martensita, la austenita retenida, las poblaciones de carburos, la porosidad, la textura y las tensiones residuales pueden afectar la respuesta medida. El efecto puede ser pequeño en una configuración de ensayo e importante en otra.

Módulo elástico secante, tangente e inicial

El módulo elástico inicial es la pendiente de la curva de tensión–deformación en, o muy cerca de, una tensión y deformación nulas. En forma diferencial,

$$E_{\text{initial}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }{|}_{\epsilon \to 0}$$

siempre que la curva sea suficientemente lineal y se haya corregido el sistema de medición. Este es el valor más estrechamente asociado con la definición teórica del módulo de Young.

El módulo tangente es la pendiente local en un punto seleccionado:

$$E_{\text{tan}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }$$

Si la curva permanece lineal, el módulo tangente es igual al módulo inicial. Sin embargo, cerca del límite elástico, el acero puede mostrar una curvatura causada por el inicio de la plasticidad, el movimiento de dislocaciones, la deformación de Lüders, efectos de transformación o artefactos del ensayo. En ese caso, el módulo tangente cambia con la tensión y la deformación. Debe comunicarse junto con el punto o intervalo de deformación en el que se midió.

El módulo secante es la pendiente de una recta que va desde un origen elegido hasta un punto seleccionado de la curva:

$$E_{\text{sec}}=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

para ese punto seleccionado. Promedia la respuesta a lo largo del intervalo, en lugar de describir la pendiente local. Si la curva se desvía de la linealidad, los valores secante y tangente son diferentes. Un módulo secante tomado a una tensión superior al primer límite elástico puede ser mucho menor que el módulo elástico inicial, porque la deformación total incluye deformación plástica.

Por tanto, estos términos no son intercambiables. Llamar «módulo de Young» a un valor secante sin indicar el intervalo de deformación o tensión puede inducir a error en un cálculo de diseño. El mismo problema surge cuando una máquina comunica una pendiente basada en el desplazamiento del travesaño, en lugar de una deformación medida directamente en la longitud calibrada. El asentamiento de las mordazas y la deformación del bastidor pueden distorsionar la curva inicial, mientras que la plasticidad puede distorsionar una curva posterior.

La deformación previa también es importante. El laminado en frío, el trefilado, el enderezado, la predeformación y la carga cíclica alteran las estructuras de dislocaciones y las tensiones residuales. Pueden modificar la pendiente inicial aparente, producir asimetría entre tracción y compresión y generar pendientes distintas durante la descarga y la recarga. Una probeta que ha sido deformada plásticamente no es equivalente a una probeta no deformada simplemente porque tenga la misma designación nominal de grado.

También debe especificarse la temperatura. La rigidez elástica generalmente cambia con la temperatura, y la constitución de fases puede cambiar en un intervalo de temperaturas más amplio. Un informe de la National Bureau of Standards publicado en 1981 midió las constantes elásticas del acero austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 y 400 K utilizando velocidades del sonido en los modos longitudinal y transversal. Este intervalo de temperaturas demuestra por qué un valor de tracción a temperatura ambiente no debe transferirse sin más a un servicio criogénico o a un análisis a temperatura elevada.

Módulo de Young estático frente a dinámico

El módulo de Young estático se obtiene mediante una carga mecánica aplicada lentamente, normalmente midiendo la fuerza y la deformación axial durante un ensayo de tracción o compresión. «Lentamente» no significa que el resultado sea independiente de la velocidad. La velocidad de deformación, el historial de carga, el tiempo de permanencia, el aumento de temperatura y el sistema de medición de la deformación pueden influir en la pendiente comunicada. Los efectos viscoelásticos suelen ser limitados en el acero ordinario en condiciones ambientales, pero la plasticidad dependiente de la velocidad, el amortiguamiento, los efectos térmicos y la conformidad de la máquina de ensayo todavía pueden afectar el resultado cerca de la transición elastoplástica.

El módulo de Young dinámico se infiere a partir de una medición de vibración, propagación de ondas o resonancia. ASTM E1875-20a especifica la determinación del módulo de Young dinámico, el módulo de corte y el coeficiente de Poisson «mediante resonancia sónica». El método utiliza las frecuencias de resonancia y las dimensiones de la probeta, incorporando en el cálculo la densidad y las relaciones de vibración de vigas o barras. Puesto que la deformación oscila a una frecuencia finita y, por lo general, con una amplitud muy pequeña, el resultado no es simplemente el valor obtenido en un ensayo de tracción más rápido.

Las mediciones dinámicas pueden ser muy sensibles a la geometría de la probeta, las condiciones de apoyo, la frecuencia, la densidad, el amortiguamiento y las discontinuidades internas. Las mediciones estáticas son sensibles a la alineación, la colocación del extensómetro, la longitud calibrada y la velocidad de deformación. Cuando ambos métodos se realizan correctamente dentro del mismo régimen elástico, sus resultados pueden ser próximos, pero no se garantiza que coincidan. Por tanto, un módulo comunicado debe identificar el método, la temperatura, la orientación, el estado de la probeta y si el valor es inicial, tangente, secante, estático o dinámico.

Engineering ToolBox incluye a veces un valor de referencia aproximado de 163 GPa para el módulo volumétrico del acero inoxidable, pero se trata de una estimación secundaria, no de un valor universal para todos los grados de acero inoxidable, designaciones normalizadas, temperaturas, texturas o formas de producto. La misma precaución se aplica a los valores citados del módulo de Young. En modelos de diseño isótropos, un par de constantes elásticas cuidadosamente seleccionado es suficiente; aun así, los datos medidos del material deben corresponder al estado del acero y al modo de deformación utilizados en el cálculo.

Módulo de cizalladura G y rigidez distorsional

El módulo de cizalladura, $G$, mide la resistencia de un sólido al cambio de forma causado por un esfuerzo cortante. No describe principalmente la resistencia a un cambio de volumen. En condiciones ideales de cizalladura pura, un par de planos del material se desliza con respecto a otro, modificando los ángulos dentro del cuerpo mientras su volumen permanece prácticamente inalterado. Esta distinción diferencia $G$ del módulo volumétrico, $K$ o $B$, que describe la resistencia a la compresión hidrostática.

En el caso del acero, $G$ no es una designación de grado independiente que pueda variar sin relación con las demás propiedades elásticas. En la elasticidad lineal, homogénea e isótropa, solo dos constantes elásticas son independientes. Una tabla puede indicar el módulo de Young $E$, el coeficiente de Poisson $\nu$, el módulo de cizalladura $G$, el módulo volumétrico $K$, el primer parámetro de Lamé $\lambda$ y $2\mu$, pero estas magnitudes están relacionadas matemáticamente. Sandia National Laboratories enumera este conjunto isotrópico de seis magnitudes y afirma que $E$ y $\nu$ determinan las demás. La misma restricción a dos constantes se describe en Elasticity of Solids (2020), de Springer.

Esfuerzo cortante y deformación angular

El esfuerzo cortante, escrito convencionalmente como $\tau$, actúa en paralelo a una superficie. Si un elemento rectangular se somete a cizalladura, sus ángulos inicialmente rectos cambian debido a una deformación angular $\gamma$. Para pequeñas deformaciones, $\gamma$ se mide en radianes y puede aproximarse mediante el desplazamiento lateral dividido por la altura:

$$\gamma \approx \frac{\Delta x}{h}.$$

La relación elástica lineal es

$$\tau =G\gamma ,$$

o bien

$$G=\frac{\tau }{\gamma }.$$

Cuanto mayor sea $G$, mayor será el esfuerzo cortante necesario para producir una distorsión angular determinada. Esta es una relación de rigidez, no una afirmación sobre la fluencia o la fractura. Una probeta de acero puede tener un módulo de cizalladura elástico elevado y, aun así, sufrir una deformación permanente cuando su esfuerzo cortante local supera la condición de fluencia aplicable.

La cizalladura pura ilustra la diferencia entre la respuesta distorsional y la volumétrica. Un cubo puede transformarse en un paralelepípedo oblicuo mientras sus longitudes de arista y su volumen cambian muy poco. Los sólidos reales también experimentan deformaciones normales durante la cizalladura. En un material isótropo, esas deformaciones acompañantes están determinadas mediante el coeficiente de Poisson y las ecuaciones constitutivas completas, pero la deformación principal que se mide es la distorsión angular.

Un material sometido a presión hidrostática se comporta de manera diferente. La presión actúa por igual en todas las direcciones y cambia el volumen sin producir una dirección de cizalladura preferente. NIST define termodinámicamente el módulo correspondiente como

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

donde $V$ es el volumen, $P$ es la presión y la derivada se toma a temperatura constante. Esta definición, citada en un capítulo de un manual de NIST de 1982, muestra por qué no debe sustituirse el módulo volumétrico por $G$ en un cálculo de torsión o cizalladura.

Para una aproximación isotrópica del acero, la densidad de energía de deformación por cizalladura es

$$u_s=\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{{\tau }^2}{2G}=\frac{1}{2}G{\gamma }^2.$$

Esta energía almacenada se recupera al retirar la carga, siempre que la deformación permanezca dentro del intervalo elástico y no haya intervenido ningún mecanismo dependiente del tiempo ni de daño.

Torsión, ondas transversales y respuesta a la cizalladura

La torsión es una manifestación práctica de la elasticidad a la cizalladura. Cuando se retuerce un eje de acero circular, las secciones transversales giran unas con respecto a otras y los elementos del material experimentan una deformación cortante que aumenta con la distancia al eje del árbol. Para un eje circular en torsión de Saint-Venant,

$$T=\mathrm{GJ}\frac{\phi }{L},$$

donde $T$ es el momento torsor, $J$ es el segundo momento polar de área, $\phi$ es el ángulo de torsión y $L$ es la longitud del eje. Al reordenar,

$$\frac{\phi }{L}=\frac{T}{\mathrm{GJ}}.$$

Un eje con mayor $G$ se retuerce menos bajo el mismo momento torsor, siempre que su geometría y sus condiciones de contorno no cambien. Para un eje circular macizo, $J=\pi d^4/32$; para un eje circular hueco, $J=\pi (d_o^4-d_i^4)/32$. Estas ecuaciones se aplican al intervalo torsional elástico y requieren un tratamiento adicional para secciones no circulares, alabeo, plasticidad, tensión residual y productos anisótropos.

El módulo de cizalladura también se mide mediante la velocidad de las ondas elásticas transversales. En un medio isótropo, la velocidad de la onda transversal o de cizalladura es

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }},$$

por lo que

$$G=\rho v_T^2,$$

donde $\rho$ es la densidad. Una onda transversal provoca un movimiento de las partículas perpendicular a la dirección de propagación. Su fuerza restauradora es la rigidez a la cizalladura, mientras que una onda longitudinal está controlada por una combinación de rigidez volumétrica y de cizalladura:

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}.$$

Por tanto, la medición de ambas velocidades de onda permite calcular más de una constante elástica cuando se conoce la densidad. Se trata de una medición dinámica: el resultado refleja la respuesta a la frecuencia de ensayo, la temperatura, el estado de la probeta y la amplitud de la onda.

ASTM E1875-20a especifica la determinación del módulo de Young dinámico, el módulo de cizalladura y el coeficiente de Poisson «mediante resonancia sónica». El método utiliza frecuencias de resonancia asociadas con respuestas longitudinales y flexionales o torsionales, en lugar de una curva de carga lenta y monótona. Los valores dinámicos y estáticos pueden ser similares para una probeta de acero homogénea en un intervalo elástico limitado, pero no deben considerarse automáticamente idénticos.

El informe de la National Bureau of Standards sobre el acero austenítico Fe-5Cr-26Mn demuestra la importancia de las condiciones de ensayo. En él se determinaron constantes elásticas a partir de las velocidades del sonido en los modos longitudinal y transversal entre 76 y 400 K. Los cambios de temperatura afectan al enlace atómico, la expansión térmica, la estabilidad de fase y la amortiguación relacionada con los defectos; por consiguiente, un módulo medido a temperatura criogénica no tiene por qué ser igual al medido cerca de la temperatura ambiente. La constitución de fase y la textura cristalográfica del acero también son relevantes. Un monocristal depende de la dirección, mientras que un policristal puede parecer isótropo solo cuando las orientaciones de los granos están suficientemente aleatorizadas. El laminado, la forja, la soldadura, los productos de transformación y la textura remanente pueden producir una respuesta direccional a la cizalladura.

Relación entre G, E y ν

Para la elasticidad lineal, homogénea e isótropa, la relación fundamental es

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Aquí, $E$ es el módulo de Young y $\nu$ es el coeficiente de Poisson. Si se conocen dos constantes independientes, las demás constantes isotrópicas pueden derivarse. Por tanto, indicar $E$, $G$ y $\nu$ como tres valores independientes específicos de un grado es mecánicamente incoherente, a menos que se estén analizando la incertidumbre de medición, la anisotropía, la temperatura o una desviación respecto del modelo.

La relación correspondiente para el módulo volumétrico es

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

y la conexión directa entre $K$ y $G$ es

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Estas ecuaciones son relaciones del modelo, no reglas universales de conversión aplicables a todos los productos de acero. Suponen pequeñas deformaciones, comportamiento reversible, homogeneidad e isotropía del material, así como una temperatura y una condición de carga para las que las constantes elásticas permanezcan efectivamente constantes. También suponen que los valores indicados corresponden a definiciones compatibles. Un módulo estático de tracción, un módulo dinámico obtenido por resonancia y un módulo derivado de ondas pueden diferir porque sus frecuencias y amplitudes de deformación son distintas.

Engineering ToolBox proporciona en 2024 un valor de referencia aproximado de 163 GPa para el módulo volumétrico del acero inoxidable, pero esa cifra no es un valor universal para todos los grados de acero inoxidable, temperaturas, formas de producto, proporciones de fase o métodos de ensayo. La misma cautela se aplica a $G$. Los aceros austeníticos, ferríticos, martensíticos y dúplex pueden diferir en textura, fracción de fase, estado magnético e historial de procesamiento. Las normas y especificaciones de diseño pueden asignar un valor isotrópico representativo para los cálculos, mientras que una medición de investigación puede resolver constantes dependientes de la dirección.

Para los cálculos de diseño isotrópico, $G=E/[2(1+\nu \left)\right]$ es el vínculo adecuado entre la rigidez a la tracción y la rigidez a la cizalladura. En el caso de chapas texturizadas, material afectado por la soldadura, estructuras coladas, monocristales o aceros multifásicos con un comportamiento direccional marcado, puede ser necesaria, en cambio, la matriz completa de rigidez anisótropa. En ese contexto, un único módulo escalar de cizalladura no puede describir todos los planos de cizalladura.

Módulo volumétrico K o B y compresión volumétrica

El módulo volumétrico describe la resistencia a un cambio uniforme de volumen. No describe la resistencia de una barra de acero a estirarse a lo largo de un eje, y no es intercambiable con el módulo de Young. Un ensayo de tracción determina principalmente un módulo uniaxial; un experimento de presión determina un módulo volumétrico. Ambos están relacionados únicamente después de especificar un modelo elástico y sus supuestos.

Para la elasticidad lineal isotrópica, los símbolos habituales son $K$ o $B$ para el módulo volumétrico, $E$ para el módulo de Young, $G$ para el módulo de cizalladura y $\nu$ para el coeficiente de Poisson. Estas no son cuatro constantes materiales que puedan ajustarse de forma independiente. Como explica Elasticity of Solids de Springer, un sólido isotrópico solo tiene dos constantes elásticas independientes. La documentación Sierra de Sandia enumera el conjunto relacionado como el módulo de Young $E$, el coeficiente de Poisson $\nu$, el módulo volumétrico $K$, el módulo de cizalladura $G$, el primer parámetro de Lamé $\lambda$ y $2\mu$; especificar $E$ y $\nu$ determina el resto.

Definición termodinámica del módulo volumétrico

El National Institute of Standards and Technology define el módulo volumétrico isotérmico como

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

donde $V$ es el volumen, $P$ es la presión y el subíndice $T$ indica que la derivada se toma a temperatura constante. El signo negativo es necesario porque, normalmente, el aumento de la presión disminuye el volumen, por lo que $\partial P/\partial V$ es negativo.

Esta definición describe la pendiente local de la curva presión–volumen. Es una magnitud diferencial, no simplemente la presión dividida por el volumen a lo largo de una compresión arbitrariamente grande. Para un cambio pequeño,

$$\frac{\Delta V}{V}\approx -\frac{\Delta P}{B}.$$

Por lo tanto, un $B$ mayor significa que se requiere un cambio de presión mayor para producir el mismo cambio fraccionario de volumen. La unidad del SI es el pascal, aunque los datos del acero normalmente se expresan en gigapascales.

La condición de temperatura constante es importante. Un material sometido a una compresión lenta puede intercambiar calor con su entorno, mientras que una onda sonora rápida puede producir una deformación casi adiabática. Por ello, las mediciones dinámicas pueden corresponder a un módulo efectivo diferente del obtenido mediante un ensayo mecánico lento. La propia presión también puede cambiar la pendiente, especialmente cuando la compresión es suficientemente grande como para que las constantes elásticas ya no puedan representarse adecuadamente mediante una sola constante.

Para un sólido sometido a presión hidrostática, las tensiones normales son iguales en las tres direcciones:

$${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=-P.$$

La deformación correspondiente es una deformación volumétrica,

$${\epsilon }_v=\frac{\Delta V}{V}={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,$$

para pequeñas deformaciones. La relación constitutiva es entonces

$$P=-K{\epsilon }_v.$$

El signo negativo se debe a la convención de signos según la cual la tensión y la deformación de tracción son positivas, mientras que la presión compresiva es positiva como magnitud escalar.

Presión hidrostática y deformación volumétrica

La compresión hidrostática es diferente de la carga uniaxial, aunque ambas producen tensiones normales. Consideremos una probeta de acero sometida a tracción en un ensayo de tracción. La tensión axial aplicada produce un alargamiento axial, mientras que la contracción de Poisson ocurre en las dos direcciones transversales. El módulo de Young se define a partir de la tensión axial y la deformación axial en esa configuración de carga:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

dentro del intervalo elástico lineal.[4][4] Stress, Strain, and Elastic Modulus. OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

Bajo presión hidrostática, no se selecciona ninguna dirección. La probeta se contrae longitudinalmente a lo largo de los tres ejes, y la respuesta relevante es la suma de las tres deformaciones normales. OpenStax establece directamente esta distinción física: el módulo de Young se aplica a la carga de tracción, el módulo volumétrico a la compresión volumétrica y el módulo de cizalladura a la deformación por cizalladura. Un ensayo de tracción uniaxial no impone directamente el estado necesario para medir $K$.

Para un sólido elástico lineal isotrópico, los módulos están relacionados mediante

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

y

$$E=3K(1-2\nu ).$$

La otra relación utilizada habitualmente es

$$E=2G(1+\nu ).$$

Por lo tanto, un $E$ y un $\nu$ publicados pueden convertirse en $K$, pero el resultado hereda las condiciones y las incertidumbres asociadas a ambos valores de entrada. Si $E$ es un módulo dinámico obtenido mediante resonancia, mientras que $\nu$ procede de un ensayo de tracción lento, el módulo volumétrico calculado puede no representar un único estado de medición internamente coherente.

La fórmula también muestra por qué el módulo volumétrico es muy sensible al coeficiente de Poisson cerca de la incomprensibilidad. Para un valor nominal del acero de $E=200$ GPa y $\nu =0.30$,

$$K=\frac{200}{3(1-0.60)}\approx 167\text{GPa}.$$

Si $\nu$ cambia a 0.49 y se mantiene el mismo $E$,

$$K=\frac{200}{3(1-0.98)}\approx 3333\text{GPa}.$$

Este cambio tan grande no es un simple efecto de redondeo. Se debe a que el denominador se aproxima a cero cuando $\nu$ se aproxima a 0.5. Un pequeño error en $\nu$, o un valor obtenido a otra temperatura, frecuencia, constitución de fases o mediante otro método de medición, puede producir un cambio considerable en el $K$ calculado.

Por qué los metales suelen describirse como casi incompresibles

A menudo se denomina a los metales casi incompresibles porque su deformación volumétrica bajo una presión mecánica ordinaria es pequeña en comparación con el cambio de forma producido por la cizalladura o por una tensión uniaxial. En general, su módulo volumétrico es mucho mayor que su módulo de cizalladura. La presión solo puede modificar ligeramente el volumen, mientras que un estado de tensiones comparable que permita la distorsión de la forma puede producir un cambio geométrico más apreciable.

«Casi incompresible» no significa perfectamente incompresible. El acero sigue teniendo un módulo volumétrico finito y su densidad cambia bajo presión. La aproximación resulta útil en el análisis de conformado, la plasticidad, los cálculos de interacción fluido–estructura y otras situaciones en las que los cambios de volumen son pequeños, pero no debe aplicarse sin comprobar el modelo material. La deformación plástica, la transformación de fases, la porosidad, el daño y las temperaturas elevadas pueden alterar la respuesta volumétrica. Por ejemplo, una fundición de acero porosa no puede tratarse como un sólido isotrópico denso ideal simplemente porque su matriz metálica sea rígida.

La microestructura del acero también complica esta aproximación. Las constantes elásticas de un monocristal dependen de la dirección cristalográfica. Un agregado policristalino puede comportarse aproximadamente de forma isotrópica cuando los granos están orientados al azar, pero el laminado, la forja, la transformación de fases y la textura pueden producir propiedades direccionales. El capítulo del manual de NIST sobre las constantes elásticas de monocristales muestra cómo pueden derivarse $E$, $G$, $B$, el módulo longitudinal y $\nu$ cuasiisotrópicos de un material policristalino a partir de datos de rigidez de monocristales para materiales cúbicos y hexagonales. «Cuasiisotrópico» es una descripción del modelo, no una garantía de que todas las formas de producto tengan propiedades idénticas en todas las direcciones.

La temperatura y la constitución de fases también son importantes. Un informe del National Bureau of Standards determinó las constantes elásticas del acero austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 y 400 K a partir de las velocidades del sonido en los modos longitudinal y transversal. Ese intervalo de temperatura por sí solo demuestra por qué no puede asignarse una única cifra a temperatura ambiente a todas las condiciones del acero. Los aceros austeníticos, ferríticos, martensíticos y de fases mixtas pueden diferir en su respuesta elástica, mientras que el trabajo en frío y la textura pueden modificar los valores direccionales medidos.

Una referencia secundaria, Engineering ToolBox, proporciona un valor aproximado de 163 GPa para el «acero inoxidable». Ese número puede resultar conveniente para un cálculo preliminar, pero no es un módulo volumétrico universal para todos los grados de acero inoxidable, temperaturas, formas de producto, proporciones de fases, texturas o condiciones de ensayo. No debe presentarse como una constante medida compartida por todos los aceros inoxidables.

El método de medición es otra fuente de variación. ASTM E1875-20a especifica la determinación del módulo de Young dinámico, el módulo de cizalladura y el coeficiente de Poisson «mediante resonancia sónica». Estos valores se obtienen a partir de frecuencias de vibración y son sensibles a la densidad, la geometría, el amortiguamiento, la temperatura y la frecuencia. Los datos estáticos de tracción responden a una pregunta experimental diferente. Por lo tanto, los cálculos de diseño deben indicar si el módulo es medido o derivado, estático o dinámico, isotrópico o direccional, y a qué temperatura y condición del material corresponde. Sin esa información, un $K$ o $B$ citado no es más que una estimación condicionada.

Coeficiente de Poisson ν y deformación lateral en el acero

El coeficiente de Poisson, representado por ν (nu), describe la deformación elástica producida perpendicularmente a una carga aplicada. En un ensayo de tracción, se define como

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\mathrm{transverse}}}{{\epsilon }_{\mathrm{longitudinal}}}$$

donde la deformación longitudinal sigue la dirección de la carga y la deformación transversal se mide a través de la probeta. El signo negativo hace que ν sea positivo para la respuesta habitual del acero sometido a tracción: la longitud de referencia aumenta, mientras que su anchura y espesor disminuyen.

Esta definición se aplica a una dirección de ensayo elástico, una temperatura, una velocidad de carga y un estado del material determinados. No es una designación de grado independiente que pueda seleccionarse al margen del módulo de Young, el módulo de corte o el módulo volumétrico. Para un sólido isótropo, homogéneo y linealmente elástico, solo dos constantes elásticas son independientes. Sandia National Laboratories enumera las constantes isotrópicas relacionadas como el módulo de Young $E$, el coeficiente de Poisson $\nu$, el módulo volumétrico $K$, el módulo de corte $G$, el primer parámetro de Lamé $\lambda$ y $2\mu$; especificar $E$ y $\nu$ determina las demás. Elasticity of Solids, de Springer, afirma igualmente que un sólido isótropo tiene «solo dos» constantes elásticas independientes.

Para el acero isótropo sometido a pequeñas deformaciones elásticas, las relaciones principales son

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

y

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Las mismas relaciones pueden reordenarse para obtener

$$\nu =\frac{E}{2G}-1$$

o

$$\nu =\frac{3K-E}{6K}.$$

Estas ecuaciones son relaciones constitutivas, no formas independientes de asignar datos arbitrarios del material. Si una tabla presenta valores de $E$, $G$, $K$ y ν que no las satisfacen, es posible que los valores se hayan medido mediante métodos diferentes, a temperaturas distintas o bajo supuestos diferentes. También pueden describir un material anisótropo mediante aproximaciones isotrópicas.

Contracción axial durante la carga de tracción

Considérese una probeta de tracción de acero cuyo eje está alineado con la dirección de carga. Una tensión de tracción produce una deformación axial positiva,

$${\epsilon }_L=\frac{\Delta L}{L},$$

mientras que el diámetro se contrae. Si el diámetro original es $d$, la deformación transversal es aproximadamente

$${\epsilon }_T=\frac{\Delta d}{d}.$$

Dentro del intervalo elástico,

$${\epsilon }_T=-\nu {\epsilon }_L.$$

Por tanto, si una probeta tiene una deformación elástica axial de $0.001$ y ν es 0.30, su deformación transversal es aproximadamente $-0.0003$. La longitud aumenta un 0.10 %, mientras que el diámetro disminuye un 0.03 %. El ejemplo numérico describe únicamente la deformación; no asigna un valor universal a todos los grados de acero ni a todas las formas de producto.

La razón es adimensional porque tanto el numerador como el denominador son deformaciones. También depende de cómo se definan las deformaciones. La deformación ingenieril, la deformación verdadera, las componentes del tensor de pequeñas deformaciones y las deformaciones secantes pueden producir resultados ligeramente diferentes cuando la deformación deja de ser muy pequeña. El coeficiente de Poisson utilizado en el diseño linealmente elástico normalmente se refiere a la pendiente inicial dentro del intervalo recuperable, antes de la fluencia, la deformación de Lüders, el flujo plástico, la fisuración u otros efectos no lineales.

Las respuestas axial y lateral están acopladas. Una probeta de tracción no se alarga simplemente conservando sus dimensiones originales de sección transversal. En una sección rectangular o cilíndrica, la reducción de la anchura y el espesor contribuye a un cambio de volumen. Para pequeñas deformaciones, la deformación volumétrica es aproximadamente

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L+{\epsilon }_{T1}+{\epsilon }_{T2}.$$

Para un estado de tracción isotrópico con deformaciones transversales iguales,

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L(1-2\nu ).$$

Esta expresión muestra por qué ν es importante en los modelos de elementos finitos y en los cálculos estructurales. Establecer incorrectamente ν cambia la contracción lateral prevista, la respuesta volumétrica, la tensión hidrostática y, en ocasiones, la rigidez aparente de las regiones restringidas.

El acero no es una sustancia isotrópica única a cualquier escala. Un policristal orientado aleatoriamente puede aproximarse al comportamiento isotrópico cuando contribuyen muchos granos y la textura es débil. Las chapas laminadas, los alambres trefilados, las barras forjadas, las zonas soldadas y los materiales fabricados aditivamente pueden conservar orientaciones cristalográficas preferentes o distribuciones de fases variables espacialmente. En esos casos, la deformación transversal depende de las direcciones de carga y de medición. Por tanto, un único valor escalar de ν puede ser un promedio de ingeniería conveniente, pero no una descripción completa del material.

Cambio de volumen y el límite ν = 0.5

El módulo volumétrico describe la resistencia a la compresión uniforme, mientras que el módulo de Young describe la tracción o compresión axial y el módulo de corte describe el cambio de forma debido al corte. OpenStax establece directamente esta distinción: el módulo de Young se aplica a la carga de tracción, el módulo volumétrico a la compresión volumétrica y el módulo de corte a la deformación por corte.

La definición termodinámica del módulo volumétrico es

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

tal como indicó el National Institute of Standards and Technology en 1982. Aquí $P$ es la presión, $V$ es el volumen y la derivada se toma a temperatura constante. La ecuación de elasticidad lineal isotrópica $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$ relaciona esa respuesta volumétrica con los datos elásticos uniaxiales únicamente cuando son apropiados los supuestos de isotropía.

Cuando ν se aproxima a 0.5, el denominador $1-2\nu$ se aproxima a cero y el módulo volumétrico calculado tiende a infinito para un $E$ finito. Este es el límite de incomprensibilidad: la deformación puede cambiar la forma, pero no el volumen. Los materiales similares al caucho pueden aproximarse a esta condición porque su respuesta volumétrica es mucho más rígida que su respuesta al corte. Los aceros comunes no son incompresibles, aunque su módulo volumétrico es considerablemente mayor que su módulo de corte.

El límite también pone de manifiesto un problema numérico. Puesto que $K$ contiene $1-2\nu$, un pequeño error en ν puede causar un gran error relativo en el $K$ calculado, especialmente cuando ν se encuentra cerca de 0.5. Al derivar la relación se obtiene

$$\frac{\partial K}{\partial \nu }=\frac{2E}{3(1-2\nu {)}^2}$$

cuando $E$ se mantiene constante. El denominador al cuadrado amplifica la sensibilidad. Una incertidumbre de tan solo unas milésimas en ν puede tener poco efecto en un cálculo axial aproximado, pero un efecto significativo en un módulo volumétrico declarado.

Una referencia de Engineering ToolBox proporciona un módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para el acero inoxidable. Esta cifra es una estimación de referencia secundaria, no un valor universal para todos los grados de acero inoxidable, temperaturas, formas de producto, composiciones de fase o métodos de ensayo. Los aceros austeníticos, ferríticos, martensíticos, dúplex y endurecibles por precipitación pueden diferir en textura, equilibrio de fases, defectos y respuesta a la temperatura.

Medición e interpretación de ν

El coeficiente de Poisson puede obtenerse mediante mediciones simultáneas de las deformaciones axial y transversal en un ensayo de tracción o compresión. Los extensómetros, las galgas extensométricas adheridas, los sistemas ópticos y la correlación digital de imágenes pueden medir las dos componentes de deformación, pero la señal transversal suele ser menor y más sensible a la alineación, la preparación superficial, la geometría de la longitud de referencia y el ruido. Una desalineación puede introducir flexión, mientras que una colocación imperfecta de las galgas puede mezclar las direcciones longitudinal y transversal.

Una segunda vía consiste en obtener ν a partir de velocidades de ondas elásticas medidas independientemente. Las velocidades de las ondas longitudinales y de corte proporcionan información elástica dinámica; para un sólido isótropo,

$$G=\rho v_S^2$$

y

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_S^2),$$

donde $\rho$ es la densidad, $v_S$ es la velocidad de la onda de corte y $v_L$ es la velocidad de la onda longitudinal. Los valores resultantes de $E$ y ν describen una respuesta de pequeña amplitud y frecuencia finita, que no necesariamente coincide con el valor obtenido en un ensayo de tracción lento. ASTM E1875-20a especifica la determinación del módulo de Young dinámico, el módulo de corte y el coeficiente de Poisson «mediante resonancia sónica».[5][5] Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

La temperatura modifica tanto la rigidez elástica como la velocidad de las ondas. Un informe del National Bureau of Standards midió las constantes elásticas del acero austenítico Fe-5Cr-26Mn en el intervalo de 76–400 K utilizando velocidades acústicas de los modos longitudinal y transversal. Ese intervalo ilustra por qué un valor medido cerca de la temperatura ambiente no debe transferirse automáticamente a un servicio criogénico o a un diseño a temperatura elevada.

La textura y la anisotropía cristalográfica añaden otra consideración. Las rigideces elásticas de un monocristal pueden convertirse en valores cuasiisotrópicos policristalinos de $E$, $G$, $K$ y ν únicamente mediante un modelo de promediado que tenga en cuenta la simetría cristalina y la distribución de orientaciones. Por tanto, una chapa laminada puede presentar razones diferentes para una carga aplicada en la dirección de laminación, en la dirección transversal y en la dirección del espesor. La resonancia dinámica también puede muestrear un volumen efectivo y una amplitud de deformación diferentes de los de un ensayo de tracción estático.

Para el diseño, ν debe corresponderse con el modelo constitutivo previsto y con las condiciones de ensayo. Utilice un valor isotrópico escalar únicamente cuando la forma del producto, la textura, la temperatura, el intervalo de deformación y la precisión requerida respalden esa simplificación. De lo contrario, las constantes elásticas dependientes de la dirección o una matriz de rigidez anisotrópica completa son opciones más defendibles que tratar cuatro módulos declarados como números independientes y específicos de cada grado.

Conjunto completo de relaciones entre los módulos isotrópicos

Para un sólido homogéneo, lineal-elástico e isotrópico, los cuatro módulos que se suelen indicar no son cuatro constantes independientes del material. El módulo de Young $E$, el módulo de corte $G$, el módulo volumétrico $K$ o $B$, y el coeficiente de Poisson $\nu$ describen distintos modos de deformación, pero sus valores están relacionados. Dos constantes adecuadas cualesquiera determinan las cantidades restantes.

Esta afirmación está sujeta a ciertas condiciones. El material debe tratarse como isotrópico, la respuesta tensión-deformación debe ser lineal en el intervalo considerado, y los módulos deben corresponder a la misma temperatura, densidad, composición de fases, promedio de textura, frecuencia y convención de medición. Un módulo medido mediante un ensayo de tracción a baja deformación no es automáticamente intercambiable con un módulo dinámico inferido a partir de la velocidad del sonido. En un monocristal anisotrópico, las ecuaciones isotrópicas que aparecen a continuación no reproducen la respuesta direccional completa.

OpenStax, 2020, asigna claramente las funciones físicas: $E$ describe la deformación por tracción o uniaxial, $G$ describe la deformación por corte y el módulo volumétrico describe la compresión volumétrica. El tratamiento de NIST de 1982 define el módulo volumétrico termodinámico como

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

donde $V$ es el volumen, $P$ es la presión y la derivada se toma a temperatura constante. En la elasticidad lineal para pequeñas deformaciones, esta definición termodinámica corresponde a la rigidez volumétrica utilizada en las relaciones siguientes, siempre que se empleen el mismo estado y la misma aproximación elástica.

Conversiones entre $E$, $G$, $K$ y $\nu$

El conjunto completo de ecuaciones para la elasticidad lineal isotrópica es:

\[ \boxed{G=\frac{E}{2(1+\nu)}} \]

\[ \boxed{K\ \text{o}\ B=\frac{E}{3(1-2\nu)}} \]

\[ \boxed{E=\frac{9KG}{3K+G}} \]

\[ \boxed{\nu=\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \]

\[ \boxed{\lambda=K-\frac{2G}{3}} \]

\[ \boxed{\mu=G} \]

La primera ecuación convierte el módulo de Young y el coeficiente de Poisson en el módulo de corte. Supone una ley constitutiva isotrópica y una deformación elástica lineal infinitesimal. La segunda convierte $E$ y $\nu$ en el módulo volumétrico. También supone que el coeficiente de Poisson medido es el coeficiente elástico isotrópico, y no un valor dependiente de la dirección obtenido de una probeta anisotrópica.

La tercera ecuación calcula $E$ a partir de $K$ y $G$, mientras que la cuarta calcula $\nu$ a partir de esos mismos dos módulos. Estas ecuaciones son reorganizaciones algebraicas del mismo modelo constitutivo isotrópico; no proporcionan verificaciones experimentales independientes, a menos que los valores de entrada procedan de mediciones separadas. Si se indican $E$, $G$ y $\nu$, es de esperar que existan pequeñas discrepancias debidas a la incertidumbre de medición, el redondeo, las diferencias de temperatura, la porosidad, la textura o las desviaciones respecto de la isotropía.

Para un sólido elástico isotrópico estable y ordinario, las restricciones son generalmente

\[ G>0,\qquad K>0,\qquad -1<\nu<\frac{1}{2}. \]

El límite superior de $\nu$ es especialmente importante. A medida que $\nu$ se aproxima a $0.5$, el término $1-2\nu$ se aproxima a cero y el módulo volumétrico calculado se vuelve muy grande en relación con $E$. Por tanto, un material casi incompresible puede tener un módulo de tracción finito, pero una rigidez volumétrica mucho mayor. El acero es compresible, por lo que tratar $\nu =0.5$ como un valor exacto del acero haría que la conversión fuera singular, en lugar de informativa.

Las ecuaciones se aplican a propiedades isotrópicas efectivas de un policristal cuando las variaciones direccionales se han promediado suficientemente. El capítulo del manual de NIST sobre constantes elásticas de monocristales muestra por qué esta salvedad es importante: a partir de los datos de rigidez de un monocristal pueden derivarse $E$, $G$, $B$, el módulo longitudinal y $\nu$ efectivos para materiales cúbicos y hexagonales, pero el procedimiento de promediado depende de la simetría cristalina y de la textura. Una chapa laminada, un metal de soldadura, una estructura colada y un policristal recocido de orientación aleatoria pueden no presentar la misma respuesta elástica direccional, aunque sus descripciones químicas sean similares.

Las constantes también pueden describir distintos regímenes de frecuencia. ASTM E1875-20a, publicada por ASTM International en 2020, especifica la determinación del módulo de Young dinámico, el módulo de corte y el coeficiente de Poisson «mediante resonancia sónica». Estos valores dinámicos se obtienen a partir de frecuencias de resonancia y están vinculados a una carga rápida y de pequeña amplitud. Un módulo obtenido mediante un ensayo de tracción estático puede diferir debido a la flexibilidad del instrumento, la microplasticidad, la fricción interna, la porosidad, la temperatura u otras desviaciones respecto del modelo elástico ideal. Las ecuaciones de conversión siguen siendo válidas únicamente cuando las constantes de entrada pertenecen a una descripción constitutiva compatible.

Por tanto, un valor de referencia como el módulo volumétrico aproximado de $163\text{GPa}$ para el acero inoxidable indicado por Engineering ToolBox debe interpretarse como una estimación secundaria, no como un valor universal para todos los grados de acero inoxidable, formas de producto, temperaturas, equilibrios de fases o métodos de ensayo. La denominación «acero inoxidable» abarca materiales sustancialmente diferentes, incluidos los grados austeníticos, ferríticos, martensíticos, de endurecimiento por precipitación y dúplex. Su respuesta elástica también puede cambiar con el trabajo en frío y la temperatura.

Parámetros de Lamé $\lambda$ y $\mu$

Los parámetros de Lamé constituyen otra representación de la misma ley elástica isotrópica. El segundo parámetro de Lamé es

$$\mu =G,$$

por lo que $\mu$ es simplemente el módulo de corte expresado en la notación de Lamé. El primer parámetro de Lamé es

$$\lambda =K-\frac{2G}{3}.$$

También puede escribirse como

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}.$$

En notación tensorial, la relación tensión-deformación isotrópica se escribe habitualmente como

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

donde ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ es el tensor de tensiones, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ es el tensor de deformaciones, ${\epsilon }_{\mathrm{kk}}$ es la deformación volumétrica y ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ es la delta de Kronecker. El multiplicador $2\mu$ actúa sobre la contribución desviadora y de corte del tensor de deformaciones; no define un módulo físico independiente de $G$.

La documentación Sierra de Sandia enumera seis constantes elásticas isotrópicas relacionadas: el módulo de Young $E$, el coeficiente de Poisson $\nu$, el módulo volumétrico $K$, el módulo de corte $G$, el primer parámetro de Lamé $\lambda$ y $2\mu$. Esto explica una confusión frecuente de notación en el software y en los elementos finitos. Una tarjeta de material puede solicitar «$2\mu$» porque la ecuación constitutiva utiliza ese coeficiente, mientras que otra interfaz solicita $G$ o $\mu$. Introducir $G$ cuando se requiere $2\mu$ produciría un error de un factor de dos.

Elasticity of Solids de Springer, 2020, expone directamente la regla central: para un sólido isotrópico, solo dos constantes elásticas son independientes. La formulación de Sandia señala igualmente que $E$ y $\nu$ determinan las demás constantes. Los seis nombres describen seis cantidades relacionadas, no seis propiedades del grado que puedan ajustarse por separado.

Unidades, notación y conflictos de notación entre $K$ y $B$

$E$, $G$, $K$, $B$, $\lambda$ y $\mu$ tienen todos unidades de tensión: pascales en el SI, normalmente expresados para el acero como gigapascales ($\text{GPa}$). El coeficiente de Poisson $\nu$ es adimensional. Puesto que $1\text{GPa}={10}^9\text{Pa}$, todas las entradas relacionadas con la tensión deben utilizar la misma unidad antes de aplicar cualquier ecuación.

El símbolo $K$ es habitual en la mecánica del continuo y en la documentación de elementos finitos para designar el módulo volumétrico. NIST y muchas referencias de materiales utilizan $B$, a menudo porque «bulk modulus» comienza con B. En las ecuaciones anteriores, estos símbolos normalmente significan la misma cantidad:

$$K=B.$$

No son dos constantes diferentes del acero. El conflicto se vuelve relevante cuando un libro de texto utiliza $K$ para el módulo volumétrico, mientras que otra disciplina utiliza $K$ para una matriz de rigidez, un coeficiente de conductividad térmica o una cantidad relacionada con la intensidad de tensiones. La definición contextual debe controlar la interpretación.

Por último, estas relaciones describen constantes elásticas, no toda rigidez medida durante el servicio. Los datos dependientes de la temperatura, las transformaciones de fase, los efectos magnéticos, la textura, las tensiones residuales y la frecuencia pueden modificar la respuesta medida. El informe de 1981 del National Bureau of Standards sobre el acero austenítico Fe-5Cr-26Mn, por ejemplo, determinó constantes elásticas en el intervalo de 76–400 K a partir de las velocidades del sonido en los modos longitudinal y transversal. Ese intervalo de temperatura por sí solo muestra por qué un único valor de módulo sin especificar las condiciones no puede representar todas las situaciones. Las ecuaciones proporcionan el marco de conversión; el estado de ensayo determina qué valores deben introducirse en él.

Elasticidad de monocristales, cristalografía del acero y promedios policristalinos

El acero no es elástico en el mismo sentido matemático a todas las escalas estructurales. Un cristal individual posee propiedades vinculadas a las direcciones de su red, mientras que un producto de acero de ingeniería suele contener muchos granos con diferentes orientaciones, fases, defectos y tensiones residuales. Tratar un módulo medido en el segundo caso como si fuera una propiedad universal del primero puede producir un cálculo engañoso.

La distinción comienza con la simetría cristalina. Los aceros ferríticos tienen una estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (BCC), los aceros austeníticos tienen una estructura cúbica centrada en las caras (FCC), y la martensita suele describirse como una estructura tetragonal centrada en el cuerpo, aunque su tetragonalidad depende del contenido de carbono y del historial de revenido. Estas estructuras no transmiten la deformación elástica de manera idéntica en todas las direcciones cristalográficas. Un policristal puede parecer casi isótropo solo después de promediar las respuestas direccionales de muchos granos.

Tensores de rigidez elástica en cristales cúbicos

La elasticidad lineal relaciona la tensión con la deformación mediante un tensor de rigidez de cuarto orden:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=C_{\mathrm{ijkl}}{\epsilon }_{\mathrm{kl}}.$$

El tensor contiene las rigideces elásticas $C_{\mathrm{ijkl}}$, mientras que su inverso contiene las compliancias elásticas $S_{\mathrm{ijkl}}$. La simetría cristalina reduce el número de términos independientes. Un sólido anisótropo completamente general puede requerir 21 constantes elásticas independientes, pero un cristal cúbico solo requiere tres: $C_{11}$, $C_{12}$ y $C_{44}$.

En notación matricial contraída, la matriz de rigidez cúbica es

\[ \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2\\ \sigma_3\\ \sigma_4\\ \sigma_5\\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\ 0&0&0&C_{44}&0&0\\ 0&0&0&0&C_{44}&0\\ 0&0&0&0&0&C_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \varepsilon_3\\ \varepsilon_4\\ \varepsilon_5\\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}. \]

Las tres constantes desempeñan funciones diferentes. $C_{11}$ describe la respuesta de tensión normal a lo largo de un eje cúbico, $C_{12}$ acopla la deformación normal entre ejes perpendiculares y $C_{44}$ describe una respuesta de cizallamiento en un plano cristalográfico principal. Son rigideces, no versiones intercambiables del módulo de Young o del módulo de cizallamiento.

Un indicador útil de la anisotropía de un cristal cúbico es la razón de Zener,

$$A=\frac{2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}.$$

Cuando $A=1$, la respuesta elástica cúbica tiene la misma forma direccional que la de un sólido isótropo. Los valores diferentes de uno indican dependencia de la orientación. La razón, por sí sola, no proporciona el módulo de un producto de acero; describe la simetría elástica de un cristal cuando se han medido o calculado las constantes correspondientes del monocristal.

El capítulo del NIST sobre monocristales, publicado en 1982, muestra cómo estos datos de rigidez pueden convertirse en propiedades agregadas para materiales cúbicos y hexagonales. Para un cristal cúbico, el módulo volumétrico asociado con una deformación hidrostática uniforme es

$$B=\frac{C_{11}+2C_{12}}{3}.$$

Esto es coherente con la definición termodinámica comunicada por el NIST,

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Los módulos de cizallamiento y de Young de un monocristal siguen dependiendo de la dirección, aunque la respuesta volumétrica hidrostática de un cristal cúbico esté restringida por la simetría. Una dirección como $\left[100\right]$, $\left[110\right]$ o $\left[111\right]$ puede producir un módulo de tracción diferente porque la tensión aplicada se proyecta de manera distinta respecto de la red.

Para un material isótropo, solo dos constantes elásticas son independientes, como se describe en el capítulo de Elasticity of Solids de Springer, publicado en 2020. La documentación Sierra de Sandia enumera el conjunto isótropo relacionado: módulo de Young $E$, coeficiente de Poisson $\nu$, módulo volumétrico $K$, módulo de cizallamiento $G$, primer parámetro de Lamé $\lambda$ y $2\mu$; cualquier par adecuado determina el resto. Esta reducción no se aplica a un cristal simplemente porque sea pequeño o porque su deformación permanezca en el régimen elástico. Se deriva de la simetría isótropa.

Textura y módulo direccional

La orientación de un cristal suele expresarse mediante su dirección y su plano cristalográficos con respecto a los ejes de la probeta. En una chapa policristalina, la función de distribución de orientaciones registra cómo se distribuyen las orientaciones de los granos. La textura se desarrolla cuando el procesamiento favorece determinadas rotaciones de la red, especialmente durante la laminación, la recristalización y la transformación de fase posterior.

Por tanto, el módulo de tracción medido en la dirección de laminación no tiene por qué ser igual al módulo transversal a la laminación o a través del espesor de la chapa. La diferencia resulta de la suma ponderada por la orientación de las respuestas de los granos, no de un nuevo «módulo de Young en la dirección de laminación» independiente que sustituya al tensor de rigidez subyacente. Un modelo de elementos finitos puede representar este comportamiento asignando un tensor de rigidez anisótropo a las coordenadas del material o asignando propiedades a nivel de cristal para muchas orientaciones.

El acero laminado de bajo contenido de carbono, el acero inoxidable ferrítico y las chapas procesadas mediante transformación pueden presentar textura derivada de la deformación y la recristalización. El acero forjado puede desarrollar un flujo de grano y una textura dependientes de la dirección alrededor del eje de forja. El acero colado suele tener una distribución de orientaciones más variada, pero la solidificación aún puede producir granos columnares, segregación, gradientes de fase u orientaciones preferentes. Ninguna de estas rutas de procesamiento garantiza isotropía ni una magnitud particular de anisotropía.

El acero fabricado aditivamente presenta otro problema de orientación. Los ciclos térmicos capa por capa pueden producir granos columnares alineados con la dirección de fabricación, mientras que la estrategia de escaneado, la geometría del baño de fusión, el recalentamiento y el tratamiento térmico modifican la distribución de orientaciones y la constitución de fases. En consecuencia, un módulo medido paralelo a la dirección de fabricación puede diferir de otro medido transversalmente a ella. La dirección, la ubicación de la probeta, el tratamiento térmico, la porosidad y el método de ensayo deben acompañar al valor comunicado.

La textura también afecta al coeficiente de Poisson y al módulo de cizallamiento. Un ensayo de tracción puede comunicar una respuesta de deformación axial, mientras que un método resonante infiere varias constantes dinámicas a partir de los modos de vibración. ASTM E1875-20a especifica la determinación del módulo de Young dinámico, el módulo de cizallamiento y el coeficiente de Poisson «mediante resonancia sónica». Estos valores dinámicos no son automáticamente idénticos a los valores estáticos obtenidos en un ensayo de tracción lento, especialmente cuando el amortiguamiento, la microfisuración, la porosidad, la temperatura o la frecuencia afectan a la respuesta.

Estimaciones policristalinas cuasiisótropas

Cuando las orientaciones de los granos están suficientemente dispersas, las diferencias direccionales pueden promediarse hasta alcanzar valores pequeños a escala de la probeta. En ese caso, los ingenieros describen el agregado como cuasiisótropo: no perfectamente isótropo en cada grano o volumen local, pero representable adecuadamente mediante constantes isótropas para el cálculo previsto. El término es importante. Identifica una aproximación, no afirma que haya desaparecido toda anisotropía cristalográfica.

Las estimaciones policristalinas pueden formarse a partir de datos de rigidez o compliancia del monocristal mediante cotas y métodos de promediado. Una estimación de Voigt supone una deformación uniforme en todos los granos; una estimación de Reuss supone una tensión uniforme. Sus predicciones generalmente difieren porque ninguna de estas condiciones representa exactamente todos los agregados heterogéneos. La estimación de Hill, que suele tomarse como la media aritmética de los resultados de Voigt y Reuss, se utiliza a menudo como aproximación intermedia práctica. Estas estimaciones requieren especificar la simetría cristalina, la distribución de orientaciones y la constitución de fases.

Para un agregado cuasiisótropo, los valores resultantes de $E$, $G$, $B$ y $\nu$ obedecen las relaciones isótropas conocidas:

$$E=2G(1+\nu ),$$

$$E=3B(1-2\nu ),$$

y

$$E=\frac{9\mathrm{BG}}{3B+G}.$$

Por tanto, una vez seleccionadas dos constantes independientes del agregado, las demás se derivan. Una tabla de referencia puede indicar un módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para el acero inoxidable, como hizo Engineering ToolBox en 2024, pero esa cifra es una estimación secundaria y no un valor universal para todos los grados de acero inoxidable, temperaturas, formas de producto, equilibrios de fases o métodos de medición.

El informe de la National Bureau of Standards sobre el acero austenítico Fe-5Cr-26Mn ilustra directamente el problema de la medición: las constantes elásticas se determinaron entre 76 y 400 K a partir de las velocidades del sonido en los modos longitudinal y transversal. La temperatura modifica el espaciado de la red, la estabilidad de las fases, la movilidad de los defectos y la velocidad de propagación de las ondas, por lo que las constantes resultantes describen condiciones de ensayo específicas. Para el diseño, un conjunto cuasiisótropo puede ser apropiado para un producto colado o recocido con textura débil. Una chapa fuertemente laminada, un componente forjado, una soldadura o una pieza fabricada aditivamente pueden requerir, en cambio, datos direccionales. Por tanto, el módulo correcto no es simplemente el número asociado a un grado de acero; es el valor correspondiente al modo de deformación, la orientación, la temperatura, la microestructura y el método de ensayo.

Cómo se miden las constantes elásticas del acero

Las constantes elásticas del acero se miden a partir de una respuesta fuerza–desplazamiento o mediante la propagación y la resonancia de ondas mecánicas. Estos enfoques no siempre producen el mismo módulo numérico. Un ensayo de tracción registra una pendiente casi estática a una determinada velocidad de carga, mientras que los métodos sónicos y ultrasónicos miden una respuesta de alta frecuencia y pequeña amplitud. La temperatura, la estructura granular, la textura cristalográfica, la porosidad, la constitución de fases, la tensión residual, la geometría de la probeta y la definición del modo medido pueden afectar al resultado.

Para un sólido isotrópico y elástico lineal, solo dos constantes elásticas son independientes. El módulo de Young $E$, el módulo de cizalladura $G$, el módulo volumétrico $K$ o $B$, el coeficiente de Poisson $\nu$, el primer parámetro de Lamé $\lambda$ y $2\mu$ describen aspectos relacionados de la misma respuesta constitutiva; Sandia National Laboratories enumera este conjunto y afirma que $E$ y $\nu$ determinan las demás. Por tanto, el método de medición es importante incluso cuando las magnitudes notificadas tienen nombres conocidos. El módulo de Young describe la extensión axial, el módulo volumétrico describe el cambio de volumen bajo presión hidrostática y el módulo de cizalladura describe la distorsión angular.

Métodos mecánicos de tracción y compresión

El método convencional de tracción determina un módulo de Young estático o cuasiestático a partir de la pendiente de la parte lineal inicial de una curva de tensión–deformación:

$$E=\frac{d\sigma }{d\epsilon }.$$

Una probeta de acero mecanizada se somete a tracción mientras un extensómetro, una galga extensométrica o un sistema óptico mide la deformación axial. La pendiente útil se obtiene antes de que comiencen la plasticidad, la deformación de Lüders, el agrietamiento u otro comportamiento no lineal. Debe indicarse el intervalo de deformación seleccionado, porque pequeñas desviaciones de la linealidad, la deformación de la máquina, los efectos de asentamiento y los límites de resolución de la deformación pueden modificar el valor ajustado.

Un ensayo de tracción también puede determinar el coeficiente de Poisson mediante la medición simultánea de la deformación lateral:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}.$$

Las mediciones axial y transversal deben estar sincronizadas y realizarse dentro del mismo intervalo elástico. Una vez conocidos $E$ y $\nu$, las relaciones isotrópicas proporcionan

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

y

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Estos valores calculados no constituyen mediciones independientes de la rigidez a la cizalladura o de la rigidez volumétrica. Heredan la dependencia respecto de la temperatura, la velocidad de deformación, la textura y la dirección de ensayo propia de los datos originales de tracción.

Los ensayos de compresión ofrecen otra vía para obtener un módulo axial, pero introducen errores diferentes. La probeta debe ser lo bastante corta para evitar el pandeo, pero suficientemente larga para proporcionar un desplazamiento medible. La fricción en los extremos puede restringir la expansión lateral y producir una probeta abarrilada, por lo que la pendiente medida de fuerza–desplazamiento puede incluir efectos de fricción y de alineación de los platos. La lubricación, el paralelismo de los extremos, el acabado superficial, la rigidez de los platos y la relación entre la altura y el diámetro de la probeta son factores importantes. Los extensómetros o sensores de desplazamiento deben medir la deformación a lo largo de la longitud calibrada de la probeta, en lugar de basarse únicamente en el desplazamiento del travesaño.

La compresión hidrostática es conceptualmente más próxima a una medición directa del módulo volumétrico, porque aplica presión en todas las direcciones y registra el cambio de volumen:

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Esta es la definición termodinámica proporcionada por el National Institute of Standards and Technology en 1982. La compresión uniaxial ordinaria no es una compresión hidrostática; combina la deformación axial y lateral y, por tanto, no mide directamente $K$. La determinación directa del módulo volumétrico requiere recipientes a presión, una medición precisa del volumen o de la deformación, calibración de la presión y control de la temperatura. Para la mayoría de las caracterizaciones de aceros estructurales, $K$ se calcula a partir de valores medidos independientemente de $E$ y $\nu$, o se obtiene a partir de las velocidades del sonido.

Las pendientes mecánicas estáticas son especialmente sensibles a la velocidad de ensayo y al estado de la probeta. Un resultado de tracción obtenido con una barra pulida y aliviada de tensiones, ensayada a temperatura ambiente, no constituye automáticamente el módulo de una chapa laminada con textura, de un metal de soldadura o de un producto tratado térmicamente y formado por dos fases. En un monocristal cúbico, la rigidez varía con la dirección cristalográfica. Un agregado policristalino puede parecer cuasiisotrópico cuando los granos están orientados aleatoriamente, pero la textura de laminación o de solidificación puede dejar módulos dependientes de la dirección.

Resonancia sónica conforme a ASTM E1875-20a

ASTM E1875-20a es una norma designada para determinar el módulo de Young dinámico, el módulo de cizalladura y el coeficiente de Poisson «mediante resonancia sónica». En lugar de medir una pendiente fuerza–deformación larga y lenta, el método excita una probeta e identifica sus frecuencias naturales de resonancia. La frecuencia de resonancia depende de la rigidez elástica, la densidad másica, las dimensiones de la probeta y la forma modal.

La probeta se sostiene de manera que se aproxime a una condición de contorno libre, normalmente colocando los soportes cerca de regiones nodales para que retiren la menor cantidad posible de energía vibratoria. Un excitador produce la vibración, y un micrófono, un acelerómetro, un instrumento láser u otro detector registra la respuesta. La frecuencia de resonancia se identifica a partir de un máximo pronunciado de amplitud, un cambio de fase o un pico en la respuesta en frecuencia. La frecuencia medida debe asignarse al modo flexional, torsional o longitudinal correcto; confundir modos adyacentes puede producir un módulo aparentemente plausible, pero incorrecto.

Por tanto, la longitud, la anchura, el espesor, la masa y la densidad de la probeta son datos de entrada fundamentales. Las dimensiones deben medirse a la temperatura de ensayo cuando la expansión térmica sea significativa, o corregirse a partir de las dimensiones a temperatura ambiente mediante un coeficiente de expansión adecuado. La densidad debe corresponder a la probeta real y no a un valor supuesto de un manual, especialmente en el caso de acero colado, material poroso, inclusiones particuladas o microestructuras multifásicas. ASTM E1875-20a incorpora la geometría de la probeta y las ecuaciones de resonancia, en lugar de tratar cada muestra como una varilla infinita. Las condiciones de los extremos, la ubicación de los soportes, la relación de aspecto, el amortiguamiento y las correcciones geométricas influyen en las constantes dinámicas calculadas.

Una resonancia torsional proporciona principalmente información sobre la cizalladura, mientras que una resonancia flexional o longitudinal proporciona un módulo relacionado con la rigidez axial. La combinación de los valores dinámicos de $E$ y $G$ permite calcular

$$\nu =\frac{E}{2G}-1,$$

siempre que sea apropiada la hipótesis de elasticidad lineal e isotrópica. El coeficiente de Poisson resultante es un valor dinámico a la frecuencia de ensayo. No debe presentarse como una constante universal del grado, independiente de la frecuencia o de la temperatura.

El control de la temperatura forma parte de la medición; no es un aspecto secundario. El horno o la cámara ambiental debe llevar la probeta a una temperatura estable y conocida, y la identificación de la resonancia debe tener en cuenta la expansión térmica, los cambios de densidad y la dependencia de la rigidez respecto de la temperatura. Una frecuencia medida mientras la probeta todavía se está calentando no representa un estado elástico bien definido. Las condiciones de contorno también cambian con la temperatura si los soportes se expanden, se ablandan, se deslizan o modifican la presión de contacto.

Velocidades longitudinales y transversales del sonido

Las mediciones ultrasónicas determinan las constantes elásticas a partir de las velocidades de las ondas. Una onda longitudinal produce un movimiento de las partículas paralelo a la propagación; una onda transversal o de cizalladura produce un movimiento de las partículas perpendicular a la propagación. Para un sólido homogéneo e isotrópico con densidad $\rho$, las relaciones ideales son

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}$$

y

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}.$$

Por tanto,

$$G=\rho v_T^2,$$

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_T^2),$$

y

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

A continuación, el coeficiente de Poisson puede obtenerse a partir de $E$ y $G$, o directamente de la relación entre velocidades bajo la misma hipótesis isotrópica. Estas ecuaciones son sencillas, pero las mediciones no lo son. La distancia de tránsito debe conocerse con precisión, los ecos deben identificarse correctamente y el transductor debe generar y detectar la polarización prevista. Una llegada longitudinal aparente puede incluir conversión de modos, ondas superficiales, reflexiones o dispersión.

Un informe del National Bureau of Standards publicado en 1981 utilizó velocidades del sonido de los modos longitudinal y transversal para determinar las constantes elásticas de un acero austenítico Fe-5Cr-26Mn en el intervalo de 76–400 K. Ese intervalo de temperatura es importante: muestra que las constantes elásticas son funciones medidas del estado térmico, no etiquetas fijas asociadas a la designación de la aleación. El procedimiento del informe dependía de una temperatura controlada, una densidad conocida, una geometría de probeta definida y una identificación fiable de ambos modos de onda. Aplicar las ecuaciones correspondientes a temperatura ambiente a temperaturas criogénicas o elevadas sin actualizar estas magnitudes ocultaría la verdadera dependencia respecto de la temperatura.

La Caja de herramientas de ingeniería proporciona un módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para el acero inoxidable. Limited evidence

La misma precaución se aplica a las tablas de referencia para ingeniería. Engineering ToolBox proporciona un módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para el acero inoxidable, pero esa cifra es una estimación de referencia secundaria, no un valor universal para todos los grados de acero inoxidable, formas de producto, texturas, proporciones de fases, temperaturas o métodos de ensayo. Un valor dinámico medido para Fe-5Cr-26Mn austenítico, un valor estático obtenido de una probeta de tracción de un grado ferrítico y un valor calculado inferido a partir de $E$ y $\nu$ responden a preguntas experimentales diferentes. Por tanto, informar del método, las dimensiones de la probeta, la densidad, la temperatura, el modo de resonancia o de onda y las condiciones de contorno es tan importante como informar del propio módulo.

Efectos de la temperatura, la fase, la composición y el procesamiento

Las constantes elásticas del acero no son valores fijos asociados permanentemente a un grado. Describen un estado del material, un modo de deformación y una condición de medición. La temperatura, la constitución de fases, la composición, la textura cristalográfica, la porosidad, las inclusiones, la tensión residual y el historial térmico pueden modificar la respuesta medida. La resistencia puede cambiar en cientos de puntos porcentuales a través de una transformación o un tratamiento de revenido, mientras que el módulo de Young cambia en una proporción mucho menor; sin embargo, «menor» no significa despreciable en los análisis de precisión.

Para un sólido lineal-elástico e isótropo, solo dos constantes elásticas son independientes. El módulo de Young $E$, el módulo de cizalladura $G$, el módulo volumétrico $K$ o $B$, el coeficiente de Poisson $\nu$, el primer parámetro de Lamé $\lambda$ y $2\mu$ son magnitudes relacionadas, tal como se describe en Elasticity of Solids de Springer y en la documentación Sierra de los Sandia National Laboratories. Si la temperatura o la microestructura modifica una constante independiente, las demás calculadas a partir de ella deben actualizarse de forma coherente. Por tanto, todo módulo reportado debe ir asociado a una temperatura, una condición del producto, una dirección y un método de ensayo.

Dependencia de las constantes elásticas con la temperatura

La rigidez elástica normalmente disminuye al aumentar la temperatura. Las vibraciones atómicas se intensifican, los enlaces interatómicos ofrecen menor resistencia a pequeños desplazamientos y la expansión térmica modifica la separación de equilibrio entre los átomos. El efecto suele ser gradual dentro de una misma fase, aunque las transiciones magnéticas, la recuperación, la recristalización y las transformaciones de fase pueden introducir cambios más bruscos. Cerca de una temperatura de transformación, un único valor a temperatura ambiente constituye una aproximación especialmente deficiente como sustituto de un modelo de material dependiente de la temperatura.

El informe de la National Bureau of Standards sobre el acero austenítico Fe-5Cr-26Mn proporciona un ejemplo útil. Publicado en 1981, determinó las constantes elásticas entre 76 y 400 K a partir de las velocidades del sonido en los modos longitudinal y transversal. Se trata de una medición dinámica: las velocidades de onda proporcionan las rigideces longitudinal y de cizalladura, a partir de las cuales pueden calcularse las constantes relacionadas. El resultado demuestra que incluso un acero austenítico conservado durante todo el intervalo de ensayo no posee un único conjunto de constantes elásticas independiente de la temperatura. El intervalo de temperaturas se extiende desde condiciones criogénicas hasta valores superiores a la temperatura ambiente, por lo que los valores medidos describen una curva, no una propiedad única del grado.

La distinción entre resistencia y rigidez es importante en este contexto. El límite elástico puede aumentar considerablemente a baja temperatura porque el movimiento de las dislocaciones se vuelve más difícil, mientras que la pendiente elástica cambia de forma menos pronunciada. A la inversa, un pequeño cambio en $E$ puede modificar la deflexión prevista, la carga de pandeo, la presión de contacto o la distribución de las tensiones térmicas. La resistencia plástica y la rigidez elástica responden a preguntas diferentes. Un acero puede volverse mucho más resistente sin volverse proporcionalmente más rígido.

Los ensayos dinámicos y estáticos también pueden producir valores reportados diferentes. ASTM E1875-20a especifica la determinación del módulo de Young dinámico, el módulo de cizalladura y el coeficiente de Poisson mediante resonancia sónica. Los ensayos de resonancia operan con deformaciones pequeñas y frecuencias elevadas, mientras que un ensayo de tracción obtiene una pendiente estática o cuasiestática en un intervalo de deformación establecido. La microplasticidad, la anelasticidad, la conformidad del instrumento, la geometría de la probeta, el estado superficial y la frecuencia pueden influir en la comparación. Ningún resultado debe considerarse universalmente intercambiable con el otro.

El módulo volumétrico tiene un significado físico específico: mide la resistencia a la compresión volumétrica. NIST lo define termodinámicamente como $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$. Engineering ToolBox indica un módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para el acero inoxidable, pero esa cifra es una estimación de referencia secundaria, no un valor universal para todos los grados de acero inoxidable, temperaturas, formas de producto, constituciones de fase o condiciones de ensayo. La misma precaución se aplica a los valores tabulados de $E$, $G$ y $\nu$.

Aceros austeníticos, ferríticos, martensíticos y multifásicos

La constitución de fases afecta a la respuesta elástica porque cada fase posee su propia estructura cristalina, composición, parámetro de red, estado magnético, población de defectos y tensor de rigidez monocristalina. La ferrita presenta una estructura cúbica centrada en el cuerpo, la austenita una estructura cúbica centrada en las caras y la martensita suele presentar una estructura tetragonal centrada en el cuerpo o una estructura centrada en el cuerpo muy distorsionada cuando el carbono produce una tetragonalidad apreciable. Estas denominaciones no especifican un único módulo. El contenido de carbono, la aleación sustitucional, el ordenamiento, la densidad de dislocaciones y los defectos retenidos modifican la rigidez de cada fase.

Los aceros austeníticos proporcionan una advertencia clara contra la asignación de un «módulo de la austenita» genérico. El estudio de Fe-5Cr-26Mn examinó una composición química y un intervalo de temperaturas concretos, no todas las aleaciones Fe-Cr-Mn ni todos los aceros descritos como austeníticos. El manganeso y el cromo afectan a la estabilidad de la red y al comportamiento magnético, mientras que la temperatura puede modificar el orden magnético incluso cuando la estructura cristalina sigue siendo austenítica. Estos cambios influyen en las fuerzas interatómicas y, por tanto, en las constantes elásticas.

Los aceros ferríticos pueden mostrar un comportamiento elástico dependiente de la temperatura asociado a su estado ferromagnético y a su transición hacia el paramagnetismo. El cambio no tiene por qué coincidir con una transformación de fase visible. Los aceros martensíticos añaden otro nivel de complejidad: el temple genera sobresaturación, una elevada densidad de dislocaciones, tensiones internas y, a menudo, tetragonalidad dependiente del carbono. El revenido provoca posteriormente precipitación de carburos, recuperación y redistribución del carbono. Por tanto, la respuesta elástica medida después del revenido no es simplemente la respuesta de un cristal de martensita ideal.

Los aceros multifásicos requieren una interpretación basada en propiedades efectivas. En los aceros ferrítico-martensíticos, de doble fase, bainíticos o que contienen austenita retenida, un módulo aparente refleja las fracciones de fase, la conectividad entre fases, la orientación cristalográfica, las interfaces, la porosidad y la dirección y escala del volumen ensayado. Una estimación mediante la regla de las mezclas puede proporcionar una primera aproximación, pero las restricciones locales hacen que no todas las fases soporten la misma deformación ni la misma tensión. Una región martensítica rígida embebida en ferrita puede modificar la pendiente medida mediante la transferencia de carga, mientras que la austenita retenida puede transformarse durante la carga y hacer que la respuesta se aparte de la elasticidad lineal.

A escala monocristalina, los cristales cúbicos y hexagonales presentan rigideces dependientes de la dirección. El acero policristalino se aproxima a la isotropía únicamente cuando las orientaciones de los granos son suficientemente aleatorias y la probeta contiene un número de granos suficiente para efectuar el promedio. Las chapas, las bandas y las barras laminadas pueden conservar textura, produciendo módulos longitudinales, transversales y a través del espesor diferentes. En ese caso, imponer un único $E$ isótropo y un único $G$ isótropo en un cálculo puede ocultar una respuesta direccional real.

Fundición, laminación, tratamiento térmico y tensión residual

El procesamiento modifica tanto las propiedades intrínsecas de las fases como la rigidez efectiva del cuerpo fabricado. El acero fundido puede contener porosidad de contracción, poros de gas, películas de óxido, segregación, estructura dendrítica, inclusiones y granos gruesos o no uniformes. Incluso una pequeña fracción volumétrica de porosidad conectada puede reducir el módulo efectivo más de lo que sugeriría un valor de manual correspondiente a un acero completamente denso. Las inclusiones pueden ser más rígidas o más deformables que la matriz, y las inclusiones mal adheridas actúan como concentradores de tensión o defectos similares a grietas durante un ensayo dinámico o estático.

La laminación refina y alarga los granos, descompone la estructura de colada e introduce textura cristalográfica. La anisotropía elástica resultante puede ser moderada en algunos productos y significativa en otros. El programa de reducciones, la temperatura de laminación, la recristalización y el espesor final son factores relevantes. Un módulo medido en la dirección de laminación no debe asignarse automáticamente a la dirección transversal o normal.

El tratamiento térmico modifica las fracciones de fase, el tamaño de grano, la densidad de dislocaciones, los precipitados, la morfología de los carburos y las tensiones retenidas. La normalización puede refinar una estructura de ferrita y perlita; el temple puede crear martensita y tensión residual; el revenido reduce parte de esa tensión al tiempo que modifica la precipitación y la recuperación. El recocido puede reducir la densidad de dislocaciones y los efectos relacionados con la textura mediante la recristalización. Estos tratamientos pueden producir cambios sustanciales en el límite elástico y la tenacidad, aunque el módulo a pequeñas deformaciones permanezca relativamente próximo a su valor anterior; aun así, el módulo efectivo medido puede desplazarse debido a defectos, transformaciones de fase o textura.

La tensión residual merece un tratamiento separado. Un campo de tensiones autoequilibrado no modifica necesariamente el módulo tangente ideal de un cristal homogéneo, perfecto y lineal-elástico. Sin embargo, puede modificar lo que registra un experimento. La tensión residual altera la propagación de ondas, la curvatura de la probeta, las condiciones de contacto, el cierre de grietas y el inicio de la microplasticidad. En un ensayo de tracción, la pendiente inicial aparente puede verse afectada por el enderezamiento, la alineación de las mordazas, la redistribución de tensiones o la eliminación incompleta de las tensiones de mecanizado. En los ensayos de resonancia, la tensión y la anisotropía pueden desplazar las frecuencias naturales.

En consecuencia, una afirmación defendible sobre el módulo de un acero debe identificar la condición de fase, el estado térmico, la dirección del producto, la densidad o condición de defectos y el método de medición. El número es una propiedad de ese estado definido, no una constante permanente del grado.

Designaciones de grados de acero y tablas de propiedades técnicamente responsables

Una designación de acero identifica una composición, una clase de producto o un requisito de especificación; por sí sola, no proporciona un registro completo de propiedades elásticas. «Acero inoxidable 304», «AISI 1045» y «ASTM A572 Grade 50» son referencias útiles de materiales, pero ninguno de esos nombres indica por sí solo la forma del producto, su historial térmico, la textura cristalográfica, la temperatura de ensayo o el método utilizado para obtener un módulo elástico.

Esta distinción es importante porque la elasticidad lineal isotrópica solo tiene dos constantes independientes. El conjunto que se suele comunicar en ingeniería incluye el módulo de Young $E$, el coeficiente de Poisson $\nu$, el módulo volumétrico $K$ o $B$, el módulo de cizallamiento $G$, el primer parámetro de Lamé $\lambda$ y $2\mu$. Sandia National Laboratories afirma que $E$ y $\nu$ determinan las constantes restantes cuando son aplicables las relaciones isotrópicas. OpenStax asigna distintos significados físicos a los principales módulos: $E$ describe la respuesta a tracción o uniaxial, $K$ describe la compresión volumétrica y $G$ describe la deformación por cizallamiento. Por lo tanto, una tabla que presente cuatro valores aparentemente independientes sin explicar su origen puede dar a entender una precisión o independencia que el modelo del material no posee.

Aceros inoxidables austeníticos, ferríticos, martensíticos y de endurecimiento por precipitación

Los nombres de las familias de aceros inoxidables describen una estructura metalúrgica, no una única respuesta elástica universal. Los grados austeníticos, como Type 304, Type 304L, Type 316 y Type 316L, suelen identificarse en las especificaciones de producto ASTM mediante la designación «Type» correspondiente y, cuando procede, mediante números UNS como UNS S30400, UNS S30403, UNS S31600 y UNS S31603. La designación debe reproducirse tal como aparece en la norma aplicable. «304L stainless» no debe convertirse silenciosamente en «304», porque el grado bajo en carbono tiene un requisito de composición diferente y puede recibir un procesamiento distinto.

Los grados ferríticos incluyen Type 430 y Type 409, mientras que los grados martensíticos incluyen Type 410, Type 420 y Type 440C. Estos nombres identifican familias con distinta estabilidad de fase, contenidos de carbono, adiciones de aleación, respuesta al endurecimiento y comportamiento magnético. Sus propiedades elásticas pueden verse afectadas por la reducción en frío, el recocido, el temple, el revenido, la austenita retenida, las poblaciones de carburos y la dirección de medición. Un producto forjado o laminado puede no comportarse como un producto colado con una designación químicamente similar.

Los aceros inoxidables de endurecimiento por precipitación requieren aún más cuidado. 17-4 PH es una designación ampliamente utilizada, pero una especificación puede identificar el material como UNS S17400 y definir condiciones como H900, H1025 o H1150. Esas designaciones de condición corresponden a estados de tratamiento térmico, no a nombres de grados intercambiables. Una tabla de propiedades que indique «módulo de 17-4 PH» sin especificar la condición omite una parte importante de la descripción del material. La matriz, el estado de los precipitados, la tensión residual y la deformación previa pueden diferir entre condiciones, incluso cuando la designación nominal de la aleación no cambia.

El Steel Castings Handbook de ASM considera el módulo de elasticidad, el coeficiente de Poisson, el módulo de cizallamiento y otras propiedades físicas relacionadas como datos de piezas de acero colado. Este enfoque es importante: una tabla de acero colado describe un material de fundición especificado y una base de ensayo determinada, no todos los productos laminados, soldados, fabricados aditivamente o tratados térmicamente que tengan una composición química similar. Las piezas coladas pueden contener segregación, porosidad, inclusiones y variaciones microestructurales locales que afectan a los resultados medidos y a su dispersión.

Tampoco deben utilizarse las denominaciones de las familias de aceros inoxidables para asignar un único módulo exacto. En Engineering ToolBox aparece un valor de referencia secundario aproximado de 163 GPa para el acero inoxidable, pero esa cifra no es un valor universal para todos los grados de acero inoxidable, temperaturas, formas de producto o condiciones de ensayo. Es una estimación de referencia, no un sustituto de una ficha técnica específica de una norma ni de un valor medido.

Designaciones de aceros al carbono y de baja aleación

Los aceros al carbono y de baja aleación también requieren una práctica precisa de designación. AISI/SAE 1045 identifica un acero al carbono dentro del sistema de numeración SAE/AISI; no es la misma designación que ASTM A36, que es una especificación de producto para acero estructural. ASTM A572 Grade 50 identifica un grado dentro de ASTM A572/A572M, mientras que AISI/SAE 4130 identifica la composición de un acero aleado al cromo-molibdeno. Estas designaciones no deben fusionarse en formas informales como «4130-grade A572», salvo que una especificación rectora respalde explícitamente esa descripción.

Las designaciones europeas ofrecen otro ejemplo. S355J2 y S355JR son designaciones utilizadas en EN 10025-2, y los sufijos tienen un significado especificado relacionado con el ensayo de impacto o la condición de suministro. No son simplemente nombres alternativos para ASTM A572 Grade 50. La similitud química no establece la equivalencia de los requisitos de especificación, las dimensiones del producto, las reglas de inspección ni los datos de propiedades elásticas.

Una tabla también debe distinguir entre una designación de composición y una condición de suministro. AISI/SAE 4140 puede suministrarse recocido, normalizado y revenido, templado y revenido, forjado o en otra condición especificada. Las placas, barras y perfiles estructurales de ASTM A36 están regulados por una especificación de producto, pero su respuesta medida también puede depender del espesor, la dirección de laminación, la tensión residual y el método de ensayo. El grado nominal establece límites o requisitos; no elimina el historial de fabricación.

La misma precaución se aplica a «acero dulce», «acero para herramientas», «acero de alta resistencia y baja aleación» y otras descripciones de familias similares. Son categorías amplias, no designaciones completas de grados. Una tabla responsable proporciona el número de la norma, el grado o tipo, la revisión cuando sea pertinente, la designación UNS o AISI/SAE cuando corresponda, la forma del producto y la condición de tratamiento térmico. Si una designación es un nombre interno de una empresa, debe indicarse como tal, en lugar de presentarse como una designación ASTM, ASME, SAE, AISI, EN o UNS.

Por qué las normas y las especificaciones de producto deben acompañar a los valores

Los valores de propiedades elásticas solo son significativos junto con su contexto de medición. Como mínimo, una tabla debe identificar:

• la forma del producto: placa, chapa, barra, tubo, alambre, pieza forjada, metal de soldadura, pieza procesada a partir de polvo o pieza colada;
• el tratamiento térmico y la condición, incluidos el revenido, el envejecimiento, el tratamiento de solubilización o el estado de endurecimiento por precipitación;
• la dirección de ensayo con respecto a la dirección de laminación, forja, extrusión o fabricación;
• la temperatura y la condición ambiental;
• la velocidad o frecuencia de carga;
• la geometría de la probeta y sus dimensiones pertinentes;
• la norma de ensayo y su revisión;
• si el resultado es estático, cuasiestático o dinámico;
• el número de probetas, el intervalo, la media y la dispersión, cuando estén disponibles.

Los módulos estáticos y dinámicos no son automáticamente intercambiables. ASTM E1875-20a especifica la determinación del módulo de Young dinámico, el módulo de cizallamiento y el coeficiente de Poisson «mediante resonancia sónica». Las mediciones de resonancia utilizan la propagación de ondas y la frecuencia de vibración, mientras que un ensayo de tracción puede determinar una pendiente a partir de una curva de tensión-deformación bajo una velocidad de carga definida. Ambos métodos se refieren a la respuesta elástica, pero pueden producir valores comunicados diferentes debido a las diferencias en frecuencia, amortiguamiento, defectos microestructurales, instrumentación y procedimientos de reducción de datos.

Debe indicarse la temperatura, especialmente en trabajos criogénicos o a temperaturas elevadas. Un informe de 1981 de la National Bureau of Standards midió constantes elásticas para el Fe-5Cr-26Mn austenitic steel entre 76–400 K, utilizando velocidades del sonido en modos longitudinal y transversal. Ese intervalo demuestra por qué un valor a temperatura ambiente no puede copiarse en una tabla de diseño criogénico sin la debida cualificación. La textura y la anisotropía cristalina plantean otra cuestión: el capítulo del manual de NIST sobre constantes elásticas de monocristales explica cómo pueden derivarse $E$, $G$, $B$, el módulo longitudinal y $\nu$ cuasi-isotrópicos de materiales policristalinos a partir de datos de rigidez de monocristales, pero dichas derivaciones dependen de la simetría cristalina, la distribución de orientaciones y las hipótesis de promediado.

Para los cálculos isotrópicos, basta con un par de constantes cuidadosamente identificado; las demás deben calcularse mediante las ecuaciones indicadas o comprobarse para verificar su coherencia. En el caso de aceros laminados, forjados, texturizados, soldados o fabricados aditivamente que sean anisotrópicos, un único módulo escalar puede ser una aproximación en lugar de una descripción constitutiva completa. Las normas y las especificaciones de producto impiden que una tabla oculte esa limitación. Vinculan cada número con un material, una condición, una dirección, una temperatura y un método definidos: la información necesaria antes de que el valor pueda incorporarse responsablemente a un cálculo de diseño.

Uso en diseño: selección de la relación de módulos correcta

Un módulo elástico corresponde a un modo de deformación. El módulo de Young $E$ describe la deformación normal producida por un esfuerzo uniaxial; el módulo de corte $G$ describe la distorsión a volumen casi constante; y el módulo volumétrico $K$, también escrito como $B$, describe la resistencia a la compresión uniforme. El coeficiente de Poisson $\nu$ relaciona la deformación normal con la lateral. Estas magnitudes están relacionadas, pero no son intercambiables simplemente porque todas se expresen en gigapascales o porque se enumeren habitualmente juntas para el acero.

Para un sólido homogéneo, lineal e isotrópico, solo dos constantes elásticas son independientes. Springer’s Elasticidad de los sólidos lo afirma directamente en su tratamiento de 2020 sobre elasticidad isotrópica. Sandia National Laboratories enumera el conjunto asociado como el módulo de Young $E$, el coeficiente de Poisson $\nu$, el módulo volumétrico $K$, el módulo de corte $G$, el primer parámetro de Lamé $\lambda$ y $2\mu$, siendo $E$ y $\nu$ los que determinan los demás. Por tanto, las ecuaciones de conversión son relaciones condicionales, no mediciones independientes de seis propiedades materiales no relacionadas:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$$

y

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Las hipótesis son importantes. Estas ecuaciones se aplican a pequeñas deformaciones, respuesta elástica lineal y comportamiento isotrópico. Una placa de acero con textura de laminación, una zona afectada por el calor de una soldadura, un producto colado que contenga solidificación direccional o una microestructura bifásica pueden no cumplir la hipótesis de isotropía con suficiente aproximación como para que un único valor convertido represente todas las direcciones de carga.

Elementos uniaxiales y E

Para un elemento recto sometido a tracción, un elemento comprimido, un tirante, una varilla o un segmento de viga esbelta sometido a una fuerza axial, $E$ es el módulo principal. La relación básica es

$$\sigma =E\epsilon ,$$

por lo que la extensión elástica de un elemento prismático es

$$\delta =\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AE}},$$

donde $P$ es la fuerza axial, $L$ es la longitud original y $A$ es el área de la sección transversal. Este es el punto de partida correcto para estimar el alargamiento elástico, el acortamiento y la rigidez axial $\mathrm{AE}/L$.

El coeficiente de Poisson interviene cuando son importantes la contracción lateral o la restricción multiaxial. Una barra de acero sometida libremente a tracción se contrae lateralmente según

$${\epsilon }_{\text{transverse}}=-\nu {\epsilon }_{\text{axial}}.$$

Sin embargo, en una probeta completamente restringida, la respuesta axial no está representada únicamente por $E$. La deformación lateral no puede desarrollarse, por lo que el estado de esfuerzos se vuelve tridimensional y la rigidez aparente aumenta. Un modelo de elementos finitos de un inserto adherido, una arandela restringida o un ajuste a presión debe tener en cuenta este acoplamiento, en lugar de tratar el componente como una barra unidimensional aislada.

El valor utilizado para $E$ también debe corresponder a las condiciones de medición y de servicio. La pendiente de un ensayo de tracción estático, un módulo dinámico de resonancia y un módulo inferido a partir de la velocidad ultrasónica pueden diferir debido a la frecuencia, la temperatura, la geometría de la probeta, la porosidad, las tensiones residuales y los defectos. ASTM E1875-20a especifica la determinación del módulo de Young dinámico, el módulo de corte y el coeficiente de Poisson “mediante resonancia sónica”. Ese método no produce automáticamente el mismo valor que un ensayo de tracción lento realizado a la temperatura de diseño.

El acero no es un único material elástico en todos sus estados metalúrgicos. Las estructuras ferríticas, martensíticas, bainíticas y austeníticas pueden diferir, mientras que la textura puede hacer que la dirección de laminación y la dirección transversal respondan de manera distinta. El informe de National Bureau of Standards sobre el acero austenítico Fe-5Cr-26Mn determinó las constantes elásticas a partir de las velocidades acústicas de los modos longitudinal y transversal en el intervalo de 76–400 K. Este intervalo de temperaturas recuerda que una constante elástica medida cerca de la temperatura ambiente no debe tratarse como un dato independiente de la temperatura para servicio criogénico o a temperaturas elevadas.

Torsión y G

Para un eje circular sometido a torsión elástica, $G$ controla el ángulo de torsión:

$$\theta =\frac{\mathrm{TL}}{\mathrm{JG}},$$

donde $T$ es el momento torsor, $J$ es el segundo momento polar de área y $L$ es la longitud del eje. La rigidez torsional es $\mathrm{JG}/L$. El esfuerzo cortante asociado en un eje circular es

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

Utilizar directamente $E$ en este cálculo produce una rigidez incorrecta, a menos que primero se convierta mediante un valor defendible de $\nu$. Para el acero isotrópico,

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Esta conversión es útil cuando solo se dispone de $E$ y $\nu$, pero no convierte una medición de tracción en una medición torsional directa. Un material puede mostrar una respuesta al corte dependiente de la dirección incluso cuando un módulo de tracción promedio parece aceptable.

La distinción adquiere importancia en tubos de pared delgada, estriados, ejes soldados y piezas con historiales de fabricación anisotrópicos. En una sección general, la torsión puede producir alabeo y un campo de corte no uniforme, por lo que la ecuación de Saint-Venant para ejes circulares puede resultar insuficiente. El parámetro constitutivo del material sigue siendo un parámetro de corte, pero el análisis de la sección debe representar la geometría real.

Los datos dinámicos de corte requieren un cuidado similar. Los métodos de resonancia miden la respuesta a una frecuencia determinada y con una amplitud de deformación pequeña. Un valor calculado a partir de un ensayo sónico puede ser adecuado para el análisis de vibraciones u ondas, pero no ser idéntico a la rigidez secante o tangente utilizada en un cálculo estructural con carga lenta. La designación “dinámico” no es una etiqueta menor; identifica una condición experimental diferente.

Problemas hidrostáticos, de contacto y de ondas

El módulo volumétrico $K$ o $B$ es el parámetro apropiado para la respuesta volumétrica. Bajo presión hidrostática, la presión modifica el volumen según

$$K=B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

la definición termodinámica proporcionada por el National Institute of Standards and Technology en 1982. Un $K$ elevado significa que una presión considerable produce solo un pequeño cambio fraccional de volumen. Esto es diferente de la resistencia al cambio de forma, que está gobernada principalmente por $G$.

Engineering ToolBox proporciona un módulo volumétrico aproximado de 163 GPa para el acero inoxidable. Esta cifra puede servir como estimación de referencia secundaria, no como un valor universal para todos los grados de acero inoxidable, temperaturas, formas de producto, constituciones de fase o métodos de ensayo. Puesto que $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$, pequeños errores en $\nu$ pueden producir un cambio apreciable en el módulo volumétrico calculado cuando $\nu$ se aproxima a 0.5.

Los cálculos de contacto requieren considerar tanto el comportamiento normal como el tangencial. En el contacto hertziano, el módulo normal efectivo para dos cuerpos se expresa habitualmente como

\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}. \]

Aquí, \(E^*\), y no $E$ correspondiente únicamente a un grado de acero, controla la indentación elástica local. El deslizamiento por fricción y la tracción tangencial también introducen $G$ y $\nu$. Un modelo que sustituya $K$ por \(E^*\) puede seguir siendo matemáticamente estable y producir presiones de contacto uniformes, pero representar el mecanismo de deformación equivocado.

Los problemas de ondas utilizan otra combinación. Para un sólido isotrópico, el módulo de ondas longitudinales es

$$M=K+\frac{4G}{3},$$

con velocidades de ondas longitudinales y de corte

\[ v_L=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}}, \qquad v_S=\sqrt{\frac{G}{\rho}}. \]

Por tanto, la velocidad longitudinal por sí sola no identifica todas las constantes elásticas; se necesita una medición de ondas transversales para separar $K$ y $G$. En un monocristal o un policristal texturizado, la velocidad de onda también depende de la dirección de propagación y de la polarización, por lo que las fórmulas isotrópicas pueden ocultar una anisotropía elástica real.

Las formulaciones tridimensionales de elementos finitos utilizan generalmente $E$ y $\nu$, $K$ y $G$, o los parámetros de Lamé $\lambda$ y $\mu$. La elección es matemática, no un cambio en el material físico. Sin embargo, cerca de la incomprensibilidad, una formulación $E$-$\nu$ con $\nu$ próximo a 0.5 puede sufrir bloqueo volumétrico, mientras que una formulación mixta que utilice la presión y la respuesta desviadora puede funcionar mejor. Por el contrario, introducir valores de $E$, $G$ y $K$ redondeados de manera independiente puede infringir las ecuaciones de conversión isotrópicas y crear una matriz de rigidez internamente incoherente.

Ese es el riesgo central del diseño: una constante convertida puede ser numéricamente coherente con una ecuación y, aun así, ser físicamente inadecuada para el problema, la temperatura, la frecuencia, la dirección o la microestructura del acero que se está modelando. Seleccione primero el módulo según el modo de deformación y, a continuación, verifique que sus condiciones de medición y sus hipótesis de isotropía coincidan con el componente y el análisis.

Errores comunes en los cálculos de los módulos del acero

Los cálculos de los módulos del acero suelen fallar porque se tratan como intercambiables cantidades con significados físicos diferentes. El módulo de Young $E$, el módulo de corte $G$, el módulo volumétrico $K$ o $B$, y el coeficiente de Poisson $\nu$ describen la deformación elástica. El límite elástico describe el inicio de una deformación permanente considerable. Estas magnitudes pertenecen a distintas partes de un modelo de material.

Para un sólido isotrópico y lineal-elástico, solo dos constantes elásticas son independientes. El capítulo Elasticity of Solids de Springer (2020) lo afirma directamente. Sandia National Laboratories enumera el conjunto relacionado como el módulo de Young $E$, el coeficiente de Poisson $\nu$, el módulo volumétrico $K$, el módulo de corte $G$, el primer parámetro de Lamé $\lambda$ y $2\mu$; especificar $E$ y $\nu$ determina las demás. Las conversiones habituales son

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

y

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Estas ecuaciones no son hechos experimentales independientes. Son consecuencias de la hipótesis de comportamiento isotrópico y lineal-elástico. Su uso requiere valores compatibles, unidades coherentes y un estado del material para el que la isotropía constituya una aproximación razonable.

Confundir el módulo con el límite elástico

El error más persistente consiste en llamar “más rígido” a un acero de alta resistencia porque su límite elástico es mayor. El límite elástico mide la tensión a la que comienza la deformación plástica conforme a un criterio especificado, a menudo una deformación remanente, como el 0,2 %. El módulo de Young mide la pendiente de la respuesta elástica tensión-deformación antes de esa transición. Un tratamiento térmico, un ciclo de reducción en frío, una reacción de precipitación o un cambio en el contenido de carbono pueden aumentar considerablemente el límite elástico sin producir un cambio comparable en la pendiente elástica inicial.

Esta distinción es importante en el diseño. La deflexión bajo una carga de servicio depende principalmente de $E$, la geometría, las condiciones de contorno y la carga; la verificación de la tensión admisible también requiere el límite elástico u otro límite de resistencia. Sustituir $E$ por el límite elástico de un grado produce resultados dimensionalmente plausibles, pero físicamente carentes de significado. Un cálculo que divide la tensión por el límite elástico puede estimar una relación de utilización. No calcula la deformación elástica.

El mismo error aparece en el corte. El módulo de corte se define mediante la relación elástica entre la tensión cortante y la deformación cortante,

$$\tau =G\gamma .$$

El límite elástico a cortante es un límite plástico. Puede estimarse a partir de un criterio de fluencia, como la relación de von Mises, pero no es $G$ ni se obtiene asignando a un módulo las unidades de una tensión y cambiándole el nombre. OpenStax (2020) separa claramente los modos de deformación: el módulo de Young describe la respuesta a tracción, el módulo volumétrico describe la compresión volumétrica y el módulo de corte describe la deformación por corte.

Por tanto, una especificación de acero puede contener tanto un requisito de límite elástico como una hipótesis sobre las propiedades elásticas, sin que esos valores estén vinculados por una conversión sencilla entre grados. Para los cálculos estructurales, deben registrarse la designación pertinente y la norma del producto —por ejemplo, chapa o lámina ASTM A240/A240M, material S355 conforme a EN 10025-2 o acero inoxidable ASTM A276 Type 304— junto con el espesor, la forma del producto y la dirección de ensayo. La designación identifica el requisito del material; no hace que un valor genérico del módulo sea exacto para todos los productos.

Otro error consiste en tratar cada grado como si tuviera un único valor exacto de $E$. Los aceros ferríticos, martensíticos, bainíticos, austeníticos y dúplex pueden presentar diferentes fracciones de fase, texturas, niveles de porosidad en productos colados y tensiones residuales. Estos factores afectan la respuesta elástica medida. Para muchas estimaciones de ingeniería, un valor isotrópico convencional es adecuado, pero sigue siendo una hipótesis o un valor de diseño adoptado, no una constante física universal asociada a la palabra “acero”.

Mezclar valores estáticos y dinámicos

Los módulos estáticos y dinámicos están relacionados, pero no son automáticamente intercambiables. Un módulo estático se obtiene mediante un ensayo mecánico aplicado lentamente, normalmente a partir de la pendiente de una curva tensión-deformación de tracción o compresión en un intervalo de deformación establecido. El resultado puede verse afectado por la flexibilidad de la máquina, la alineación de las mordazas, el estado superficial, la velocidad de deformación, la histéresis, la microplasticidad y el modo en que se ajusta la pendiente.

Un módulo dinámico se infiere a partir de la propagación de ondas, la resonancia u otra medición dependiente del tiempo. ASTM E1875-20a especifica la determinación del módulo de Young dinámico, el módulo de corte y el coeficiente de Poisson “mediante resonancia sónica”. Las frecuencias de resonancia y las dimensiones de la probeta se utilizan para inferir las constantes elásticas. Este método puede proporcionar datos precisos a pequeñas deformaciones, pero el resultado corresponde a una deformación de alta frecuencia y amplitud muy pequeña, por lo que debe etiquetarse en consecuencia.

Las mediciones dinámicas también dependen de la densidad, la geometría de la probeta, la frecuencia, la temperatura y la identificación del modo. Un valor obtenido a partir de una resonancia longitudinal no debe introducirse en un cálculo de corte sin aplicar la relación adecuada y utilizar un coeficiente de Poisson compatible. Del mismo modo, el “módulo de elasticidad” de un manual puede ser una convención de diseño, mientras que un informe de resonancia puede identificar un módulo dinámico. No deben compararse como si procedieran del mismo ensayo.

Al convertir entre $E$, $G$ y $K$, debe indicarse si los valores de entrada son estáticos o dinámicos. Combinar un $E$ obtenido en un ensayo de tracción con un $\nu$ obtenido mediante resonancia sónica puede generar un conjunto internamente incoherente, aunque ambos valores sean individualmente creíbles. El cálculo puede satisfacer el álgebra y, aun así, no representar un único estado medido del material.

El coeficiente de Poisson requiere especial atención porque la incertidumbre en $\nu$ adquiere importancia en la ecuación del módulo volumétrico. Si $E=200$ GPa y $\nu =0.30$, la relación isotrópica da $K=166.7$ GPa. Si el mismo $E$ se combina con $\nu =0.29$, $K=158.7$ GPa; con $\nu =0.31$, se convierte en $K=175.4$ GPa. Un cambio de solo 0.01 en $\nu$ modifica el $K$ calculado aproximadamente un 5 %. Cerca de $\nu =0.5$, la sensibilidad es mucho mayor porque $1-2\nu$ se aproxima a cero. Deben indicarse el valor supuesto, su fuente y un intervalo de sensibilidad, en lugar de presentar el $K$ resultante como una constante medida.

Las unidades generan un error más sencillo, pero frecuente. Puesto que $1\text{GPa}=1000\text{MPa}$, introducir un valor de $E$ en MPa junto con un valor de $G$ en GPa puede producir un error de un factor de 1000. Todos los módulos deben mantenerse en un único sistema de unidades durante el cálculo, y la unidad debe indicarse junto al resultado final.

Los valores del módulo volumétrico requieren conocer su procedencia. Engineering ToolBox indica un valor aproximado de 163 GPa para el acero inoxidable, pero se trata de una estimación de una fuente secundaria, no de un valor universal para todos los grados de acero inoxidable, formas de producto, temperaturas o condiciones de ensayo. Una cita defendible debe identificar la medición o el cálculo original, la composición, el estado de las fases, la temperatura, el intervalo de presiones, la base de densidad y el método. La definición termodinámica del National Institute of Standards and Technology (1982), $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$, explicita la condición de temperatura. Un número copiado de una tabla sin esas condiciones debe marcarse como aproximado.

Ignorar la anisotropía y la temperatura

Las ecuaciones isotrópicas suponen que la respuesta es la misma en todas las direcciones. Las chapas laminadas, los alambres trefilados, las barras forjadas y los aceros fabricados aditivamente desarrollan comúnmente una textura cristalográfica. Su respuesta elástica puede variar con la dirección de carga, aunque el material parezca uniforme a simple vista. Una lámina con una textura intensa puede requerir constantes específicas de cada dirección, en lugar de un único $E$, $G$ y $\nu$.

La elasticidad de un monocristal se describe mediante una matriz de rigidez elástica, no mediante un único módulo escalar. El capítulo del manual de NIST de 1982 explica cómo pueden derivarse constantes cuasi-isotrópicas de materiales policristalinos a partir de datos de rigidez de monocristales para elementos cúbicos y hexagonales. Ese promediado es un modelo. Resulta menos adecuado cuando la textura es intensa, las proporciones de fase varían espacialmente o el producto contiene inclusiones o poros alineados.

La temperatura es otra variable que suele omitirse. Por lo general, las constantes elásticas cambian con la temperatura, y las transformaciones de fase pueden producir discontinuidades mayores que el simple ablandamiento térmico. Un informe del National Bureau of Standards (1981) midió las constantes elásticas del acero austenítico Fe-5Cr-26Mn entre 76 y 400 K utilizando velocidades acústicas de los modos longitudinal y transversal. El propio intervalo de temperatura muestra por qué un valor a temperatura ambiente no puede transferirse sin más a un servicio criogénico o a equipos que operen a temperatura elevada.

Por tanto, un cálculo debe indicar la designación del material, la forma del producto, la dirección de ensayo, la temperatura, el modo de deformación, el método de medición y si las constantes son estáticas, dinámicas, isotrópicas o específicas de una dirección. Si esos detalles no están disponibles, el resultado debe etiquetarse como una estimación de ingeniería y debe mostrarse cómo la incertidumbre en $E$, $G$, $K$ y $\nu$ afecta la respuesta. Esto es más exacto que asignar un único módulo exacto a todo el acero y permitir que una hipótesis no declarada controle el diseño.

Referencias

1. [1]National Institute of Standards and Technology. Bulk modulus definition. NIST handbook chapter, 1982. https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172
2. [2]ASTM International. Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM E1875-20a, 2020. https://www.astm.org/e1875-20a.html
3. [3]Springer Nature. Elasticity of Solids. Springer book chapter, 2020. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4
4. [4]OpenStax. Stress, Strain, and Elastic Modulus. University Physics Volume 1, 2020. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
5. [5]National Bureau of Standards. Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards report, 1981. https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf