Calculs de densité, de masse et de volume de l’acier

Ce que signifie la masse volumique de l’acier en ingénierie

Masse volumique, masse et volume

La masse volumique décrit la quantité de masse contenue dans un volume donné de matériau. Le National Institute of Standards and Technology (NIST) définit la masse volumique comme le quotient de la masse par le volume :

$$\rho =\frac{m}{V}$$

Ici, $\rho$ représente la masse volumique, $m$ la masse et $V$ le volume. L’unité SI est le kilogramme par mètre cube, noté $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Cette unité fait partie du résultat ; ce n’est pas une simple indication décorative facultative. Une affirmation telle que « la masse volumique de l’acier est de 7850 » est incomplète tant que l’unité, la désignation du matériau, la température ou l’état du matériau, le cas échéant, ainsi que l’usage prévu en ingénierie ne sont pas précisés.

La masse volumique est une propriété attribuée à un état du matériau ou à une spécification de matériau. La masse appartient à un objet particulier. Le volume correspond à l’espace occupé par cet objet ou cette section. Une longueur de 2 m de tôle d’acier et une longueur de 20 m fabriquée dans la même nuance peuvent avoir approximativement la même masse volumique, mais la tôle la plus longue a dix fois la masse si sa section transversale est inchangée. De même, deux composants peuvent avoir la même masse tout en occupant des volumes différents si leurs masses volumiques diffèrent.[1][1] Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3rd Edition. Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 2016.

La valeur fréquemment citée de $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ est une valeur conventionnelle utilisée en ingénierie pour les calculs relatifs aux aciers de construction. Le Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3e édition (2016), l’utilise pour calculer la masse par mètre indiquée dans les tableaux. Les recommandations du Conseil national de recherches du Canada publiées en 2019 ainsi que le document UFC 4-023-07 du U.S. Department of Defense indiquent également une masse volumique de l’acier de $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ ; le document UFC donne une valeur d’environ $490\mathrm{lb}/{\mathrm{ft}}^3$. Ces références établissent une convention de conception utile, et non l’affirmation que chaque nuance d’acier possède exactement cette masse volumique.

Densité (kg/m³)

La nuance et la composition peuvent modifier cette valeur. MatWeb indique une masse volumique typique de $7.80\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ pour l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569, tandis que ASM MatWeb indique $7.87\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ pour l’acier à très haute résistance 300M. RoyMech utilise $7830\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ pour l’acier doux, et Engineering ToolBox indique pour l’acier une valeur d’environ $7.82\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$. Ces valeurs ne diffèrent que modestement, mais l’écart peut être important pour des estimations de masse de haute précision, des inventaires de matériaux, des calculs de flottabilité ou des comparaisons portant sur de grandes quantités.

La conversion des unités explique également de nombreux désaccords apparents. Puisque

$$1\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3=1000\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3,$$

$7.85\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ devient $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Dans les unités usuelles anglo-saxonnes, $490\mathrm{lb}/{\mathrm{ft}}^3$ est une approximation du poids volumique dans des conditions gravitationnelles standard, tandis que $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ est une unité de masse volumique. L’annexe B.9 du NIST fournit la base dimensionnelle de telles conversions. Un calcul ne doit pas mélanger des mètres et des millimètres, des kilogrammes et des livres, ou une masse volumique et un poids volumique sans effectuer au préalable les conversions nécessaires.

Pourquoi $\rho =m/V$ est une définition plutôt qu’une simple valeur à consulter

L’équation $\rho =m/V$ définit la relation entre la masse volumique, la masse et le volume. Elle ne permet pas d’identifier la masse volumique numérique correcte d’un objet non spécifié. Pour calculer la masse, on réarrange cette même relation comme suit :

$$m=\rho V.$$

Pour calculer le volume, elle devient :

$$V=\frac{m}{\rho }.$$

Ces trois équations sont fondamentales :

\[ \rho=\frac{m}{V},\qquad m=\rho V,\qquad V=\frac{m}{\rho}. \]

L’algèbre est simple ; c’est l’établissement des données d’entrée qui fait intervenir le jugement d’ingénierie. Une poutre en acier n’a pas un volume égal à sa longueur. Son volume est égal à l’aire de sa section transversale multipliée par sa longueur :

$$V=\mathrm{AL}.$$

Par conséquent, sa masse est :

$$m=\rho \mathrm{AL}.$$

Pour une section uniforme, la masse par unité de longueur est donc :

$$\frac{m}{L}=\rho A.$$

Considérons une barre rectangulaire pleine de 100 mm sur 50 mm et de 10 m de longueur. Après conversion des dimensions, l’aire de la section transversale est :

$$A=0.100\times 0.050=0.005{\mathrm{m}}^2.$$

En utilisant la valeur conventionnelle de $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, sa masse par mètre est :

$$\frac{m}{L}=7850\left(0.005\right)=39.25\mathrm{kg}/\mathrm{m}.$$

Masse (kg)Volume (m³)

La barre de 10 m a un volume de $0.005\times 10=0.05{\mathrm{m}}^3$ et une masse de $7850\times 0.05=392.5\mathrm{kg}$. La masse volumique n’a pas changé parce que la barre est devenue plus longue ; le volume et la masse ont augmenté ensemble.

Pour une section rectangulaire, la même méthode peut s’écrire :

$$m=\rho \mathrm{bhL},$$

où $b$, $h$ et $L$ doivent être exprimés dans des unités compatibles. Les sections creuses nécessitent d’utiliser l’aire d’acier plutôt que l’aire de l’enveloppe extérieure. Les profilés en I laminés, les profilés en U, les cornières et les tubes sont généralement traités à partir de l’aire de leur section transversale publiée ou de leur masse par mètre indiquée dans les tableaux. La géométrie peut également inclure des trous, du métal de soudure, des raidisseurs, une perte due à la corrosion, de la peinture, une protection contre l’incendie ou des composants fixés. Chacun de ces éléments modifie la masse ou le volume évalué.

La température est importante, car l’acier se dilate lorsqu’il est chauffé. À masse constante, une augmentation de la température accroît le volume et diminue donc la masse volumique. Le document NIST NCSTAR 1-3 traite des propriétés physiques des aciers de construction dans le contexte des incendies, où la dilatation thermique et les propriétés dépendantes de la température influent sur l’analyse. La composition de l’alliage, la porosité, les inclusions, l’état de fabrication et les revêtements peuvent également modifier une valeur mesurée ou effective. Pour les calculs courants relatifs aux structures, ces effets sont souvent inférieurs à la tolérance implicite de l’utilisation de $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, mais ils ne doivent pas être négligés sans le signaler lorsque la précision requise est supérieure.

La masse volumique doit également être distinguée du poids volumique et de la densité relative. Le poids volumique est une force par unité de volume :

$$\gamma =\rho g,$$

son unité SI est donc $\mathrm{N}/{\mathrm{m}}^3$, et non $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. La densité relative est un rapport sans dimension, généralement égal à la masse volumique d’une substance divisée par celle de l’eau dans des conditions de référence précisées. Aucune de ces deux grandeurs ne peut remplacer la masse volumique sans la conversion ou la définition appropriée.

Volume massique et relations réciproques

Le NIST définit le volume massique comme le quotient du volume par la masse :

$$v=\frac{V}{m}.$$

Son unité SI est ${\mathrm{m}}^3/\mathrm{kg}$. Puisque la masse volumique est $m/V$, le volume massique en est l’inverse :

\[ v=\frac{1}{\rho}, \qquad \rho=\frac{1}{v}. \]

Pour la valeur conventionnelle de l’acier :

$$v=\frac{1}{7850}=0.0001274{\mathrm{m}}^3/\mathrm{kg},$$

soit approximativement $1.274\times {10}^{-4}{\mathrm{m}}^3/\mathrm{kg}$. Cela signifie qu’un kilogramme d’acier occupe environ $0.0001274{\mathrm{m}}^3$, ou 127.4 centimètres cubes, dans les conditions correspondant à cette masse volumique.

La relation réciproque est utile pour vérifier les dimensions et les calculs. Si une masse volumique de l’acier indiquée est de $7830\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, son volume massique doit être légèrement supérieur à celui associé à $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Un résultat qui donne une masse volumique en $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, mais un volume massique également en $\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, échoue à un contrôle dimensionnel élémentaire.

Pour les travaux d’ingénierie, la pratique la plus sûre consiste à identifier la nuance ou le matériau supposé, à indiquer la masse volumique et ses unités, à calculer le volume géométrique réel et à conserver un arrondi raisonnable jusqu’au résultat final. La valeur de $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ est souvent appropriée, mais sa validité découle de la convention de calcul et de l’application indiquées, et non d’une identité universelle partagée par chaque composant en acier.

La signification technique de 7850 kg/m³

La valeur de 7850 kg/m³ est une masse volumique conventionnelle utilisée dans les calculs pour l’acier de construction courant. Elle ne signifie pas que chaque produit, nuance ou condition de température de l’acier possède exactement cette masse volumique. Selon la définition du National Institute of Standards and Technology (NIST), la masse volumique est

$$\rho =\frac{m}{V}$$

où $m$ est la masse et $V$ le volume. Son unité SI est le kilogramme par mètre cube (kg/m³). Le NIST définit également le volume massique comme $V/m$, c’est-à-dire l’inverse de la masse volumique, exprimé en mètres cubes par kilogramme.

Pour un élément en acier dont le volume est connu, le calcul de base est donc

$$m=\rho V.$$

7850 kg/m³ est une convention d’ingénierie largement utilisée pour les calculs relatifs à l’acier de construction. Strong evidence

L’utilisation de $\rho =7850{\text{kg/m}}^3$ donne un résultat suffisamment cohérent pour de nombreux travaux d’estimation et de conception en construction métallique. Cette valeur est répétée parce qu’elle permet aux tableaux de profils, aux calculs de quantités, aux analyses d’incendie et aux références de construction de rester cohérents entre eux. Il convient de la considérer comme une convention technique présentant un niveau d’approximation connu.

Tableaux de masses des profils en acier de construction

Les tableaux de profils en acier indiquent généralement la masse par mètre plutôt que la masse volumique ou la masse totale. Le lien entre ces grandeurs est l’aire de la section transversale :

$$m\prime =\rho A,$$

où $m\prime$ est la masse par unité de longueur, en kg/m, et $A$ l’aire, en m². Avec la masse volumique conventionnelle,

$$m\prime =7850A.$$

Un profil dont l’aire est de $0.010{\text{m}}^2$, par exemple, a une masse calculée par mètre de

$$7850\left(0.010\right)=78.5\text{kg/m}.$$

Une longueur de 6 m aurait alors une masse nominale de $471\text{kg}$, avant prise en compte des platines rapportées, du métal des soudures, des trous, des revêtements ou des tolérances de fabrication.

Le Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3rd Edition (2016), indique que les masses par mètre des éléments en acier de construction figurant dans les tableaux sont calculées avec une masse volumique de 7850 kg/m³. Cette convention est utile, car elle permet d’établir un tableau de profils à partir de la géométrie, sans nécessiter une mesure distincte de la masse volumique pour chaque profil laminé. Elle permet également aux concepteurs de comparer un profil en I, un profil en U, une cornière, un profil creux ou une plaque en utilisant la même base de calcul.

Pour une barre rectangulaire, l’aire est simplement égale à la largeur multipliée par l’épaisseur :

$$A=\mathrm{bt}.$$

Si la largeur et l’épaisseur sont saisies en millimètres, la formule de la masse par mètre devient

$$m\prime =0.00785\mathrm{bt},$$

avec $b$ et $t$ en mm et $m\prime$ en kg/m. Une barre de 100 mm sur 20 mm a une masse de

$$m\prime =0.00785\left(100\right)\left(20\right)=15.7\text{kg/m}.$$

RoyMech utilise une masse volumique de 7830 kg/m³ pour l’acier doux dans ses calculs relatifs aux barres rectangulaires. Cela donne 15.66 kg/m pour les mêmes dimensions, soit une différence de seulement 0.04 kg/m. Cet écart montre pourquoi les tableaux publiés peuvent présenter de légères différences sans que l’un ou l’autre soit inutilisable : ils peuvent appliquer des masses volumiques conventionnelles, des règles d’arrondi, des dimensions nominales ou des tolérances de produit différentes.

Le Steel Bridge Design Handbook de la Federal Highway Administration et le NIST NCSTAR 1-3, qui traite des propriétés physiques des aciers de construction, fournissent le contexte institutionnel permettant de considérer les propriétés de l’acier comme des données d’entrée techniques plutôt que comme un nombre universel unique. Pour les calculs courants de quantités, 7850 kg/m³ est généralement suffisant. Pour un élément mesuré, une nuance spécifiée ou une analyse dépendant de la température, la valeur choisie doit être adaptée à l’objectif du calcul.

L’équivalent de 490 lb/ft³[2][2] UFC 4-023-07. U.S. Department of Defense. Unified Facilities Criteria, 2008.

Les références utilisant les unités usuelles américaines expriment couramment cette même masse volumique conventionnelle par environ 490 lb/ft³. Le U.S. Department of Defense, dans l’UFC 4-023-07 (2008), indique pour l’acier une masse volumique de 7850 kg/m³, équivalente à environ 490 lb/ft³. Le National Research Council Canada donne la même masse volumique dans ses recommandations relatives à l’ingénierie incendie, et le Construction Cost Handbook 2019 d’Arcadis reprend 7850 kg/m³ et environ 490 lb/ft³ dans son tableau des matériaux de construction.

Le mot « environ » est important. La conversion de 7850 kg/m³ à l’aide des facteurs unitaires usuels donne environ 490,06 lb/ft³ ; écrire 490 lb/ft³ constitue donc une expression arrondie raisonnable, et non une mesure physique plus exacte. La masse volumique équivalente est également d’environ 7,85 g/cm³ et 0,284 lb/in³. L’annexe B.9 du NIST fournit la base dimensionnelle des conversions entre les unités SI et les unités usuelles.

Une conversion d’unités ne modifie pas l’hypothèse sous-jacente. Si un calcul commence par 490 lb/ft³, cette valeur représente toujours la même masse volumique conventionnelle de l’acier que 7850 kg/m³ ; elle ne constitue pas une preuve indépendante qu’une nuance particulière possède cette masse volumique. La confusion apparaît souvent lorsqu’une valeur usuelle arrondie est traitée comme si elle offrait davantage de précision que la valeur SI à partir de laquelle elle a été convertie.

La distinction entre masse et poids est également importante. La masse volumique donne une masse par unité de volume. Le poids volumique est une force par unité de volume :

$$\gamma =\rho g,$$

où $g$ est l’accélération gravitationnelle. Ainsi, 7850 kg/m³ n’est pas en soi une pression ni une intensité de charge. Pour obtenir une charge gravitationnelle, il faut multiplier la masse par $g$, ce qui donne des newtons par mètre cube. Les logiciels de calcul de structures peuvent afficher le « poids » d’un élément, alors que le tableau de profils indique en réalité une masse en kg/m ou en lb/ft.

La densité relative est une autre grandeur distincte. Il s’agit du rapport entre la masse volumique d’un matériau et celle d’une référence donnée, généralement l’eau à une température spécifiée ; elle est donc dépourvue d’unité. Elle ne doit pas être utilisée à la place de la masse volumique dans $m=\rho V$.

Valeur conventionnelle et valeur mesurée pour une nuance donnée

La masse volumique de l’acier varie selon la nuance et l’état, bien que les différences soient modestes pour de nombreuses estimations ordinaires de structures. Limited evidence

La masse volumique réelle varie en fonction de la composition de l’alliage, de la structure cristalline, de la température, de l’historique de fabrication et de la porosité. La variation est modeste pour de nombreux aciers denses, mais elle existe bel et bien. Une fiche MatWeb de 2024 donne une masse volumique typique de 7,80 g/cm³, soit environ 7800 kg/m³, pour l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569. ASM MatWeb indique une masse volumique de 7,87 g/cm³, soit environ 7870 kg/m³, pour l’acier à très haute résistance 300M. Engineering ToolBox indique une masse volumique de l’acier d’environ 7,82 g/cm³, tandis que RoyMech utilise 7830 kg/m³ pour l’acier doux.

Densité (kg/m³)

Ces chiffres s’étendent approximativement de 7800 à 7870 kg/m³. Pour un métré important de structure, l’écart peut être inférieur aux effets des tolérances dimensionnelles, de la surépaisseur de corrosion, des éléments rapportés ou des arrondis. Pour une éprouvette de laboratoire, un composant aéronautique, une balance de précision ou un modèle thermique détaillé, il peut toutefois être significatif.[3][3] Fire Safety Design of Buildings: NRC Short Course Material. National Research Council Canada. National Research Council Canada publication, 2019.

Les variations de température modifient la masse volumique, car la dilatation thermique change le volume alors que la quantité de matière reste essentiellement constante. Chauffer un élément en acier réduit donc sa masse volumique lorsqu’elle est considérée comme une masse par unité de volume actuel. Les recommandations relatives à l’incendie doivent également tenir compte de l’évolution des propriétés mécaniques et thermiques, et non simplement intégrer une masse volumique à température ambiante dans chaque équation. Les recommandations du NRC indiquent une masse volumique de l’acier de 7850 kg/m³ et définissent le facteur de section de l’acier comme le rapport entre le périmètre chauffé et l’aire de la section transversale. Ce rapport géométrique influence le transfert thermique dans l’analyse incendie ; il ne remplace pas la masse volumique et ne signifie pas que deux formes de même masse chaufferont de manière identique.

La peinture, la galvanisation, la calamine, l’humidité, les vides et autres revêtements compliquent davantage une mesure sur site. Un revêtement augmente la masse de l’assemblage, mais ne constitue pas la masse volumique de l’acier. De même, pour les profils creux, il faut utiliser le volume de matière en acier, et non le volume extérieur englobant, sauf si le calcul porte spécifiquement sur le déplacement ou sur une autre propriété liée au volume extérieur.

La pratique défendable est simple : utiliser 7850 kg/m³ comme base conventionnelle de calcul pour l’acier de construction lorsqu’une norme, un manuel ou une spécification de projet le prescrit ; indiquer cette hypothèse ; et la remplacer par une masse volumique documentée, propre à la nuance ou mesurée, lorsque la précision du résultat l’exige. Cette approche préserve l’utilité de la valeur courante sans la confondre avec une constante universelle du matériau.

Systèmes d’unités et conversion de la masse volumique

Les conversions de masse volumique ne sont fiables que lorsque l’unité de masse et l’unité de volume sont toutes deux modifiées. Le NIST définit la masse volumique comme suit :

$$\rho =\frac{m}{V}$$

où $m$ représente la masse et $V$, le volume. L’unité SI est le kilogramme par mètre cube, notée kg/m³. Le NIST définit également le volume massique comme $V/m$, c’est-à-dire l’inverse de la masse volumique, avec des unités telles que m³/kg. L’annexe B.9 du NIST, « Conversion Factors », fournit la base appropriée pour passer des unités SI aux unités usuelles ; ses facteurs doivent avoir priorité sur les valeurs retenues de mémoire, les tableaux Web arrondis ou une conversion qui ne modifie que le numérateur.

kg/m³, g/cm³ et Mg/m³

La masse volumique conventionnelle de l’acier de construction, soit 7850 kg/m³, se convertit directement en 7.850 g/cm³ :

$$7850\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\left(\frac{1000\text{g}}{1\text{kg}}\right)(\frac{1\text{m}}{100\text{cm}}{)}^3=7.850\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$$

La conversion cubique est essentielle. Un mètre équivaut à 100 centimètres, mais un mètre cube équivaut à ${100}^3$, soit 1 000 000, de centimètres cubes. Une erreur courante consiste à ne convertir les mètres en centimètres qu’une seule fois, ce qui produit un résultat erroné d’un facteur 100 ou 10 000.

La même masse volumique vaut 7.850 Mg/m³ :

$$7850\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\left(\frac{1\text{Mg}}{1000\text{kg}}\right)=7.850\frac{\text{Mg}}{{\text{m}}^3}$$

Ainsi, g/cm³ et Mg/m³ ont la même valeur numérique, bien qu’il s’agisse d’expressions d’unités différentes. Cela s’explique par le fait que le numérateur et le dénominateur sont multipliés par le même facteur. Un mégagramme vaut 1000 kg, tandis qu’un mètre cube vaut 1 000 000 cm³ ; un gramme représente un millième de kilogramme, et un centimètre cube représente un millionième de mètre cube. Dans les deux cas,

$$1{\text{g/cm}}^3=1{\text{Mg/m}}^3=1000{\text{kg/m}}^3$$

Cette égalité des valeurs numériques ne signifie pas que tous les aciers ont une masse volumique de 7.850 dans l’une ou l’autre de ces unités. Elle décrit la conversion de la valeur sélectionnée.

Les références relatives à l’acier de construction utilisent fréquemment 7850 kg/m³ pour calculer la masse par mètre indiquée dans les tableaux. Le Handbook of Structural Steelwork, 3e édition (2016), utilise cette valeur pour les masses des profilés, et le Conseil national de recherches du Canada (2019) indique 7850 kg/m³ dans les données relatives aux matériaux destinées au dimensionnement au feu. RoyMech (2024), en revanche, utilise 7830 kg/m³ pour l’acier doux. Les références de données sur les matériaux présentent d’autres variations : MatWeb indique 7.80 g/cm³ pour l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569, tandis qu’ASM MatWeb indique 7.87 g/cm³ pour l’acier à très haute résistance 300M. Engineering ToolBox donne environ 7.82 g/cm³ pour l’acier.

Ces différences sont faibles pour de nombreuses estimations structurelles, mais elles sont réelles. La composition de l’alliage, la température, la porosité, les revêtements ainsi que la nuance ou le produit considéré peuvent modifier la masse volumique. Par conséquent, 7850 kg/m³ est une valeur conventionnelle d’ingénierie, et non une affirmation selon laquelle ASTM A366/A569, 300M et toutes les autres nuances d’acier possèdent une masse volumique identique.

Pour une masse connue, la masse volumique permet de déterminer le volume en réorganisant la définition :

$$V=\frac{m}{\rho }$$

À 7850 kg/m³, 100 kg d’acier occupent

$$V=\frac{100\text{kg}}{7850{\text{kg/m}}^3}=0.01274{\text{m}}^3$$

environ. Le volume massique est l’inverse :

$$\frac{1}{7850{\text{kg/m}}^3}=1.274\times {10}^{-4}{\text{m}}^3/\text{kg}$$

Il ne faut pas confondre la masse volumique avec le poids volumique, qui est une force par unité de volume et s’exprime couramment en N/m³. La masse volumique n’est pas non plus identique à la densité relative, qui est un rapport par rapport à une substance de référence et est donc sans dimension.

lb/ft³ et lb/in³

Dans les unités usuelles, la masse volumique peut s’exprimer en livres par pied cube (lb/ft³) ou en livres par pouce cube (lb/in³). Ces unités ne sont pas des formes interchangeables d’un même nombre. Puisque

$$1\text{ft}=12\text{in}$$

un pied cube contient

$$1{\text{ft}}^3={12}^3=1728{\text{in}}^3$$

Par conséquent,

$$1{\text{lb/ft}}^3=\frac{1}{1728}{\text{lb/in}}^3$$

et

$$1{\text{lb/in}}^3=1728{\text{lb/ft}}^3$$

La valeur conventionnelle de 7850 kg/m³ se convertit, à l’aide des facteurs de l’annexe B.9 du NIST, en environ 490 lb/ft³. L’UFC 4-023-07 (U.S. Department of Defense, 2008) indique 7850 kg/m³ pour l’acier, ce qui équivaut à environ 490 lb/ft³. En livres par pouce cube, la même valeur est d’environ

$$\frac{490.04{\text{lb/ft}}^3}{1728}=0.2836{\text{lb/in}}^3$$

Cette valeur est généralement arrondie à 0.284 lb/in³.

L’avertissement est simple : ne recopiez pas 490 dans un calcul exprimé en lb/in³. Le nombre correspondant correct est d’environ 0.284, et non 490. Inversement, 0.284 lb/in³ ne peut pas être utilisé dans un volume mesuré en pieds cubes sans multiplication par 1728. Les valeurs usuelles de MatWeb montrent l’ampleur des variations propres aux nuances : ASTM A366/A569 est indiqué à 0.282 lb/in³, ce qui correspond à 7.80 g/cm³, tandis que 300M est indiqué à 0.284 lb/in³, ce qui correspond à 7.87 g/cm³.

Analyse dimensionnelle et simplification des unités

L’analyse dimensionnelle rend une conversion vérifiable. Écrivez chaque facteur de conversion sous forme de fraction dont le numérateur et le dénominateur représentent des quantités égales, puis simplifiez les unités avant de calculer les nombres. Par exemple, la conversion de 7.850 g/cm³ en kg/m³ donne

$$7.850\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}\left(\frac{1\text{kg}}{1000\text{g}}\right)(\frac{100\text{cm}}{1\text{m}}{)}^3$$

Les grammes se simplifient, les centimètres cubes se simplifient, et l’unité restante est kg/m³ :

$$7.850\times \frac{1}{1000}\times {100}^3=7850{\text{kg/m}}^3$$

Pour une barre d’acier rectangulaire, la même méthode relie la géométrie à la masse. Si la largeur et l’épaisseur sont exprimées en mètres, l’aire de la section transversale est

$$A=\mathrm{bt}$$

et la masse par unité de longueur est

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Pour une barre de 50 mm sur 10 mm, convertissez d’abord les dimensions :

$$A=\left(0.050\text{m}\right)\left(0.010\text{m}\right)=0.0005{\text{m}}^2$$

Puis, en utilisant 7850 kg/m³,

$$\frac{m}{L}=\left(7850{\text{kg/m}}^3\right)\left(0.0005{\text{m}}^2\right)=3.925\text{kg/m}$$

Le mètre présent dans l’aire simplifie l’un des trois mètres de la masse volumique, ce qui laisse kg/m. Si les dimensions étaient laissées en millimètres tandis que la masse volumique restait en kg/m³, le résultat comporterait des unités incompatibles et serait erroné des puissances de 1000 requises. L’arrondi doit être effectué après la conversion et la multiplication, et non avant, en particulier lorsqu’un tableau de profilés ou une masse cumulée dépend de nombreux mètres de matériau.

Calcul de la masse à partir du volume

Le calcul de base de la masse est simple, mais le résultat n’est aussi fiable que la base de densité, les dimensions et les unités utilisées. Une méthode reproductible comporte cinq étapes :

1. Identifier la valeur de densité et préciser s’il s’agit d’une valeur conventionnelle de conception, d’une valeur propre à une nuance ou d’une valeur mesurée. 2. Convertir chaque dimension dans un système d’unités cohérent. 3. Calculer le volume à partir de la géométrie. 4. Multiplier le volume par la densité. 5. Arrondir la masse indiquée en fonction de la donnée importante la moins précise.

Cette séquence évite une erreur courante : considérer 7850 kg/m³ comme une propriété universelle de tous les aciers. Les références concernant les aciers de construction utilisent couramment cette valeur pour calculer la masse tabulée par mètre. L’ouvrage Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3e édition (2016), utilise 7850 kg/m³ à cette fin. Le Conseil national de recherches du Canada (2019) et le U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 (2008) indiquent également 7850 kg/m³ ; le UFC donne environ 490 lb/ft³. Il s’agit de conventions d’ingénierie utiles, et non d’une preuve que chaque alliage, produit ou condition de température possède exactement cette densité.

L’équation m = ρV

Le NIST définit la masse volumique comme le quotient de la masse par le volume :

$$\rho =\frac{m}{V}$$

En réarrangeant cette relation, on obtient l’équation nécessaire ici :

$$m=\rho V$$

où :

• $m$ est la masse ;
• $\rho$ est la masse volumique ; et
• $V$ est le volume.

Dans le Système international d’unités (SI), la masse volumique se mesure en kilogrammes par mètre cube (kg/m³), le volume en mètres cubes (m³) et la masse en kilogrammes (kg). Les unités se simplifient correctement :

$$\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\times {\text{m}}^3=\text{kg}$$

Cette simplification des unités constitue une vérification utile, et non un simple élément décoratif. Si un calcul multiplie des kg/m³ par un volume encore exprimé en mm³, le résultat numérique est faux d’un facteur ${10}^9$, à moins que le volume en millimètres cubes ne soit converti.

Les recommandations du NIST de 2024 relatives au SI définissent également le volume massique comme $V/m$, c’est-à-dire la relation réciproque de la masse volumique. Le volume massique n’est pas une masse et ne doit pas être utilisé à la place de la masse volumique dans $m=\rho V$. De même, le poids volumique est une force par unité de volume, généralement exprimée en N/m³, tandis que la densité relative est un rapport par rapport à une substance de référence. Aucune de ces grandeurs n’est identique à la masse volumique.

La base de densité doit être précisée avant de commencer les calculs. Une valeur supposée de 7850 kg/m³ peut convenir à une estimation de structure ou à un tableau de profilés standard. Elle doit être présentée comme une hypothèse. Une référence de données de matériaux indique une masse volumique typique de 7,80 g/cm³, soit 7800 kg/m³, pour l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569, tandis qu’une autre indique 7,87 g/cm³, soit 7870 kg/m³, pour l’acier à ultrahaute résistance 300M. RoyMech utilise 7830 kg/m³ pour l’acier doux. Ces différences sont faibles dans de nombreux calculs préliminaires, mais elles deviennent importantes lorsque les tolérances, les masses d’expédition, l’équilibrage ou les calculs de transfert thermique sont déterminants.

La densité peut également varier en fonction de la composition de l’alliage, de la température, de la porosité et du procédé de fabrication. Un revêtement ajoute de la masse, mais ne fait pas partie de la masse volumique de l’acier nu. Pour un objet creux ou perforé, il faut utiliser son volume réel net d’acier, et non le volume de la boîte englobante.

Exemple de calcul pour un bloc plein

Considérons un bloc d’acier rectangulaire dont les dimensions mesurées sont les suivantes :

• longueur : $300\text{mm}$
• largeur : $200\text{mm}$
• épaisseur : $\mathrm{50,0}\text{mm}$

Supposons explicitement une masse volumique conventionnelle de l’acier égale à :

$$\rho =7850{\text{kg/m}}^3$$

Ce calcul n’identifie pas une nuance d’acier particulière et n’affirme pas que la masse volumique réelle du bloc est exactement de 7850 kg/m³.

Convertissons d’abord les dimensions en mètres :

$$300\text{mm}=\mathrm{0,300}\text{m}$$

$$200\text{mm}=\mathrm{0,200}\text{m}$$

$$\mathrm{50,0}\text{mm}=\mathrm{0,0500}\text{m}$$

Pour un solide rectangulaire :

$$V=\mathrm{LWT}$$

Par conséquent :

$$V=\left(\mathrm{0,300}\right)\left(\mathrm{0,200}\right)\left(\mathrm{0,0500}\right)$$

$$V=\mathrm{0,00300}{\text{m}}^3$$

Appliquons maintenant $m=\rho V$ :

$$m=(7850{\text{kg/m}}^3)(\mathrm{0,00300}{\text{m}}^3)$$

$$m=\mathrm{23,55}\text{kg}$$

Les dimensions sont données avec trois chiffres significatifs, tandis que la masse volumique est une valeur conventionnelle supposée plutôt qu’une mesure de haute précision. Un résultat indiqué de manière appropriée est donc :

\[ \boxed{m\approx23,6\text{ kg}} \]

La valeur non arrondie, 23,55 kg, peut néanmoins être conservée dans les relevés de calcul afin que les opérations ultérieures n’accumulent pas les effets d’arrondis prématurés. La valeur finale affichée ne doit pas laisser supposer une précision supérieure à celle justifiée par les dimensions et la masse volumique.

La même méthode peut être appliquée à partir de l’aire de la section transversale. L’aire du bloc vue depuis son extrémité est :

$$A=\mathrm{WT}=\left(\mathrm{0,200}\right)\left(\mathrm{0,0500}\right)=\mathrm{0,0100}{\text{m}}^2$$

Ensuite :

$$V=\mathrm{AL}=\left(\mathrm{0,0100}\right)\left(\mathrm{0,300}\right)=\mathrm{0,00300}{\text{m}}^3$$

Pour une section constante, la masse par unité de longueur est :

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Pour ce bloc :

$$\frac{m}{L}=\left(7850\right)\left(\mathrm{0,0100}\right)=\mathrm{78,5}\text{kg/m}$$

La multiplication de 78,5 kg/m par 0,300 m donne à nouveau 23,55 kg. Cette forme fondée sur l’aire constitue la méthode habituelle pour calculer la masse des barres, des plaques, des poutres et d’autres produits à section constante.

Erreurs liées aux unités mixtes et aux arrondis

Les unités mixtes provoquent davantage d’erreurs que la multiplication elle-même. Une dimension exprimée en millimètres doit être convertie avant l’élévation au cube, ou bien le facteur de conversion doit être appliqué au volume obtenu :

$$1{\text{m}}^3={10}^9{\text{mm}}^3$$

Ainsi, un bloc mesurant $300\times 200\times 50$ mm possède le volume suivant :

$$V=3000000{\text{mm}}^3$$

La conversion de ce résultat donne :

$$V=\frac{3000000}{1000000000}=\mathrm{0,00300}{\text{m}}^3$$

Une erreur courante consiste à diviser chaque dimension linéaire par 1000, puis à diviser une nouvelle fois le volume par 1000. Cela applique une conversion linéaire à une grandeur cubique et produit une masse un million de fois trop faible.

Les unités de masse volumique peuvent également être converties directement. Puisque :

$$1{\text{g/cm}}^3=1000{\text{kg/m}}^3$$

une masse volumique indiquée de 7,80 g/cm³ devient 7800 kg/m³. Il est également possible de conserver les dimensions en centimètres, de calculer le volume en cm³ et de conserver la masse volumique en g/cm³, ce qui donne une masse en grammes. La méthode n’est valide que lorsque toutes les unités de la multiplication appartiennent au même système.

Les arrondis doivent être effectués après le calcul principal, et non après chaque conversion intermédiaire. Si une longueur mesurée est de 0,300 m et une épaisseur de 0,0500 m, indiquer une masse de 23,550000 kg implique une précision injustifiée. À l’inverse, arrondir 7850 kg/m³ à 8000 kg/m³ avant la multiplication introduit une variation évitable de 1,9 %. Conservez des chiffres de garde pendant le calcul, puis indiquez un nombre raisonnable de chiffres significatifs.

Pour effectuer une dernière vérification, comparez le résultat avec une autre base de densité. En utilisant 7800 kg/m³ pour le même bloc de 0,00300 m³, on obtient 23,4 kg au lieu de 23,6 kg. La différence de 0,2 kg reflète l’hypothèse de densité, et non une erreur de calcul. La température, la composition chimique réelle, la précision de la balance, les soudures, les éléments de fixation, la peinture et les composants rapportés peuvent créer d’autres différences entre la masse calculée de l’acier nu et la masse mesurée de l’ensemble.

Calcul du volume à partir de la masse

Une masse mesurée peut être convertie en un volume estimé lorsque la masse volumique du matériau est connue ou choisie. Le calcul est simple, mais son résultat n’est fiable que dans la mesure où la valeur de masse volumique, le système d’unités et l’interprétation de l’objet mesuré sont corrects. Une balance indique la masse totale de l’objet qui y est placé ; elle ne détermine pas quelle partie de cette masse correspond à l’acier nu.

L’équation V = m/ρ

Le NIST définit la masse volumique comme le quotient de la masse par le volume :

$$\rho =\frac{m}{V}$$

En réorganisant cette équation, on obtient la relation recherchée :

$$V=\frac{m}{\rho }$$

Ici, $V$ représente le volume, $m$ la masse et $\rho$ la masse volumique. Dans le système SI, la masse se mesure en kilogrammes, la masse volumique en kilogrammes par mètre cube et le volume en mètres cubes. Les unités se simplifient correctement :

$$V=\frac{\text{kg}}{{\text{kg/m}}^3}={\text{m}}^3$$

Les recommandations du NIST de 2024 relatives au SI définissent également le volume massique comme $V/m$, c’est-à-dire l’inverse de la masse volumique. Le volume massique est utile dans certains calculs thermodynamiques, mais pour les calculs courants de quantité d’acier, $V=m/\rho$ est généralement la forme la plus directe.

Supposons qu’une pièce en acier ait une masse mesurée de 78,5 kg. En utilisant la masse volumique conventionnelle de 7850 kg/m³ pour les calculs d’ingénierie :

$$V=\frac{78.5\text{kg}}{7850{\text{kg/m}}^3}=0.0100{\text{m}}^3$$

Le volume calculé est donc de 0,0100 m³, soit 10,0 litres. Il s’agit d’un volume de matériau, et non automatiquement du volume d’une boîte rectangulaire qui envelopperait la pièce. Les vides, les trous, les surfaces courbes, les profils de soudure et les espaces entre les composants doivent être traités séparément.

La masse volumique choisie est importante. Les références relatives aux aciers de construction calculent couramment la masse par mètre à l’aide de la valeur 7850 kg/m³. Le Conseil national de recherches du Canada a indiqué la valeur de 7850 kg/m³ en 2019, et le document UFC 4-023-07 du U.S. Department of Defense indiquait la même valeur en 2008, soit environ 490 lb/ft³. Ces valeurs constituent des conventions pratiques d’ingénierie. Elles ne doivent pas être présentées comme la preuve que toutes les nuances d’acier ont exactement cette masse volumique.

Densité (g/cm³)

À titre de comparaison, MatWeb indique une masse volumique typique de 7,80 g/cm³ pour l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569, tandis que ASM MatWeb indique 7,87 g/cm³ pour l’acier ultrahaute résistance 300M. Puisque 1 g/cm³ équivaut à 1000 kg/m³, ces valeurs correspondent respectivement à environ 7800 et 7870 kg/m³. RoyMech utilise 7830 kg/m³ pour l’acier doux, et Engineering ToolBox indique pour l’acier une valeur d’environ 7,82 g/cm³. Les différences sont faibles pour de nombreuses estimations de fabrication, mais elles sont réelles.

Pour la même masse de 78,5 kg, l’utilisation de 7800 kg/m³ donne :

$$V=\frac{78.5}{7800}=0.010064{\text{m}}^3$$

Avec 7870 kg/m³, on obtient environ 0,009975 m³. Une valeur indiquée à 0,0100 m³ peut être appropriée lorsque la masse et la masse volumique utilisées ne sont connues qu’à quelques chiffres significatifs. Des décimales supplémentaires laisseraient croire à une précision que les mesures ne permettent pas de justifier.

La cohérence des unités est essentielle. Si la masse est exprimée en grammes et la masse volumique en grammes par centimètre cube, le résultat est obtenu en centimètres cubes. Ainsi, une pièce de 500 g ayant une masse volumique de 7,80 g/cm³ possède le volume suivant :

$$V=\frac{500}{7.80}=64.1{\text{cm}}^3$$

Il ne faut pas introduire 500 g et 7850 kg/m³ dans la même équation sans effectuer de conversion. L’appendice B.9 du NIST fournit les bases dimensionnelles nécessaires à la conversion entre les unités SI et les unités usuelles.

Interprétation d’une masse mesurée

Une indication de masse ne correspond pas automatiquement à la masse de l’acier lui-même. Une tôle peinte, par exemple, comprend le substrat en acier, l’apprêt, la couche intermédiaire et la finition. La galvanisation ajoute du zinc. La calamine ajoute des matières oxydées et peut rester fixée de manière irrégulière. La saleté, l’eau retenue, le fluide de coupe, la glace et l’humidité présentes à l’intérieur de profilés creux peuvent également augmenter la valeur mesurée.

Les éléments fixés constituent une autre source fréquente d’erreur. Les boulons, écrous, rondelles, clips, dispositifs de levage, consoles soudées, isolants et supports temporaires peuvent être inclus dans la masse indiquée par la balance, tout en étant exclus du calcul d’acier prévu. À l’inverse, la corrosion ou la perte de matière peuvent rendre la masse mesurée inférieure à la masse de conception initiale. Un profilé creux peut retenir de l’eau dans une cavité fermée, produisant un résultat qui varie d’une pesée à l’autre.

La balance elle-même introduit une incertitude. La résolution, l’étalonnage, les vibrations, la position de la charge, les mouvements d’air et la dérive du zéro peuvent influencer la lecture. Si un composant de 10 kg est mesuré avec un équipement dont l’incertitude est de ±0,1 kg, cette seule incertitude représente ±1 %, avant même de prendre en compte les variations de masse volumique. Le volume calculé hérite de la même incertitude relative liée à la masse, à laquelle s’ajoute l’incertitude sur la masse volumique.

Pour cette raison, un calcul fondé sur une masse mesurée doit préciser ce qui a été pesé et quelle masse volumique a été utilisée. L’expression « le volume de l’acier » est ambiguë si l’objet comporte un revêtement ou des éléments fixés. Une formulation plus claire serait : « Le volume équivalent estimé d’acier nu est de 0,0100 m³, calculé à partir d’une masse nette de 78,5 kg et de $\rho =7850$ kg/m³. » Si les 78,5 kg correspondent à la masse brute d’un assemblage revêtu, le résultat est un volume équivalent nominal fondé sur la masse volumique choisie, et non une mesure directe du volume d’acier nu.

La température peut également influencer l’interprétation. Le chauffage provoque la dilatation de l’acier, ce qui augmente son volume géométrique alors que sa masse reste essentiellement constante. La masse volumique diminue donc lorsque la température augmente. Les calculs de résistance au feu peuvent utiliser des propriétés dépendant de la température, tandis que les calculs courants de quantité à température ambiante utilisent généralement une valeur de référence conventionnelle. La condition de calcul applicable doit être indiquée.

Détermination rétrospective des dimensions

Une fois le volume estimé, une dimension théorique peut être obtenue à partir de la géométrie appropriée. Pour un élément prismatique de section constante :

$$V=\mathrm{AL}$$

où $A$ représente l’aire de la section transversale et $L$ la longueur. Par conséquent :

$$L=\frac{V}{A}=\frac{m}{\rho A}$$

Une barre en acier de 78,5 kg ayant une aire de section transversale de 1000 mm² possède, avec une masse volumique de 7850 kg/m³, la longueur suivante :

$$A=1000{\text{mm}}^2=0.001000{\text{m}}^2$$

$$L=\frac{0.0100}{0.001000}=10.0\text{m}$$

Il s’agit d’une longueur théorique fondée sur une aire uniforme et sur la masse volumique choisie. Elle ne remplace pas la mesure de la barre, en particulier si ses extrémités sont irrégulières, si sa section est variable ou si sa masse comprend un revêtement et des accessoires.

Pour une tôle rectangulaire, le volume est donné par :

$$V=\mathrm{Lwt}$$

où $L$ représente la longueur, $w$ la largeur et $t$ l’épaisseur. Si la longueur et la largeur sont connues, l’épaisseur peut être calculée rétrospectivement :

$$t=\frac{V}{\mathrm{Lw}}=\frac{m}{\rho \mathrm{Lw}}$$

Une tôle de 50 kg mesurant 2,00 m sur 1,00 m possède, avec une masse volumique de 7850 kg/m³, l’épaisseur suivante :

$$t=\frac{50}{7850\left(2.00\right)\left(1.00\right)}=0.00318\text{m}$$

soit environ 3,18 mm. Le résultat décrit une épaisseur uniforme équivalente. L’épaisseur réelle de la tôle peut différer en raison de la calamine, du revêtement, des tolérances de laminage, de la rugosité de surface ou d’une hypothèse incorrecte concernant la masse nette d’acier.

Le même principe s’applique à la masse par unité de longueur :

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Pour une barre rectangulaire, $A=\mathrm{wt}$, donc :

$$\frac{m}{L}=\rho \mathrm{wt}$$

Le calcul de 2024 de RoyMech relatif aux sections rectangulaires utilise 7830 kg/m³ pour l’acier doux plutôt que 7850 kg/m³, ce qui illustre pourquoi la masse volumique utilisée doit être indiquée lors de la comparaison entre des masses calculées et des masses tabulées. Les sections complexes nécessitent l’aire réelle de la section transversale nette, les trous et les vides étant soustraits. Pour le dimensionnement au feu, il ne faut pas confondre cette aire avec le facteur de massivité de la section en acier, que le Conseil national de recherches du Canada définit comme le rapport entre le périmètre exposé à la chaleur et l’aire de la section transversale. Ce facteur décrit l’exposition thermique, et non le volume ordinaire du matériau.

Masse par unité de longueur des profilés en acier

La masse par unité de longueur d’un profilé en acier découle directement de la définition de la masse volumique. Le NIST définit la masse volumique comme suit :

$$\rho =\frac{m}{V}$$

où $\rho$ est la masse volumique, $m$ la masse et $V$ le volume. Pour un profilé prismatique, le volume est égal à l’aire de la section transversale multipliée par la longueur :

$$V=\mathrm{AL}$$

En substituant cette expression dans l’équation de la masse volumique, on obtient

$$\rho =\frac{m}{\mathrm{AL}}$$

et donc

\[ \boxed{\frac{m}{L}=\rho A} \]

Il s’agit de la relation fondamentale pour la masse par unité de longueur. Si la masse volumique est exprimée en kilogrammes par mètre cube et l’aire en mètres carrés, le résultat est exprimé en kilogrammes par mètre :

$$\left(\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}\right)\left({\mathrm{m}}^2\right)=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}$$

Aire de la section transversaleAire de la section transversale Aire nette du matériau dans une coupe perpendiculaire à la longueur d’un élément; elle détermine le volume par unité de longueur et, avec la masse volumique, la masse par unité de longueur.

L’aire est la grandeur géométrique déterminante. Une pièce plus longue possède une masse totale plus élevée, mais sa masse par mètre demeure inchangée tant que la section transversale et la masse volumique restent constantes.

La valeur de $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ est largement utilisée pour les calculs relatifs à l’acier de construction. Le Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3e édition (2016), indique que les masses par mètre de l’acier de construction figurant dans les tableaux sont calculées à partir de cette masse volumique. Le National Research Council Canada (2019) et le U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 indiquent également $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, l’UFC l’exprimant sous la forme d’environ $490\mathrm{lb}/{\mathrm{ft}}^3$. Il s’agit de conventions d’ingénierie utilisées pour les calculs et les tableaux, et non d’une garantie que chaque nuance d’acier possède exactement cette masse volumique.

m/L = ρA

La formule est simple, mais la cohérence des unités est importante. Un profilé rectangulaire mesurant $50\mathrm{mm}$ sur $25\mathrm{mm}$ possède une aire de

$$A=50\times 25=1250{\mathrm{mm}}^2$$

Puisque

$$1{\mathrm{m}}^2=1,000,000{\mathrm{mm}}^2$$

l’aire est

$$A=0.00125{\mathrm{m}}^2$$

En utilisant la masse volumique conventionnelle de l’acier de construction, on obtient

$$\frac{m}{L}=7850\left(0.00125\right)=9.8125\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

Ainsi, une barre en acier uniforme de $50\mathrm{mm}\times 25\mathrm{mm}$ possède une masse nominale par mètre d’environ $9.81\mathrm{kg}/\mathrm{m}$, avant prise en compte des tolérances, des revêtements, de la calamine ou de toute autre matière fixée.

Le choix de la masse volumique peut modifier les derniers chiffres. Le calcul de section rectangulaire de RoyMech utilise $7830\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ pour l’acier doux. Avec cette valeur, la même barre donne

$$7830\left(0.00125\right)=9.7875\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

ce qui s’arrondit à $9.79\mathrm{kg}/\mathrm{m}$. La différence est faible pour de nombreuses estimations de structures, mais elle montre pourquoi un résultat doit préciser la base de masse volumique utilisée, plutôt que de présenter un nombre arrondi comme une constante physique indépendante de la nuance d’acier.

Les références de matériaux fournies pour certains aciers montrent également une variation réelle. MatWeb indique une masse volumique typique de $7.80\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ pour l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569, soit $7800\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. ASM MatWeb indique $7.87\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$, soit $7870\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, pour l’acier 300M à ultra haute résistance. Engineering ToolBox donne environ $7.82\mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3$ pour l’acier. Ces valeurs diffèrent les unes des autres et de $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, tout en restant suffisamment proches pour que de nombreux tableaux de conception adoptent une convention commune.

Le NIST définit également le volume massique comme $V/m$, c’est-à-dire l’inverse de la masse volumique. Il ne faut pas confondre le volume massique avec la masse par unité de longueur : le premier décrit le volume de matériau par unité de masse, tandis que la seconde combine la masse volumique du matériau avec l’aire d’une section donnée.

Pour une longueur totale de l’élément $L$, la masse correspondante est

$$m=\rho \mathrm{AL}$$

Par exemple, une barre de $6\mathrm{m}$ dont la masse calculée par mètre est de $9.8125\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ possède une masse nominale de

$$m=9.8125\times 6=58.875\mathrm{kg}$$

La même relation s’applique à une plaque. Une plaque de $2.0\mathrm{m}$ de largeur et de $10\mathrm{mm}$ d’épaisseur possède une aire de section transversale, prise perpendiculairement à sa longueur, de

$$A=2.0\times 0.010=0.020{\mathrm{m}}^2$$

Sa masse par mètre est donc

$$\frac{m}{L}=7850\left(0.020\right)=157\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

Si la plaque mesure $4\mathrm{m}$ de long, sa masse nominale est de $628\mathrm{kg}$. Pour les calculs relatifs aux plaques, la largeur et l’épaisseur doivent être mesurées dans les directions normales à la longueur considérée. L’aire en plan d’une plaque n’est pas l’aire à utiliser dans $m/L=\rho A$, sauf si la direction de longueur choisie rend cette interprétation appropriée.

La masse par mètre n’est pas identique au poids linéique. La masse par mètre s’exprime en $\mathrm{kg}/\mathrm{m}$, tandis que le poids linéique est une force par unité de longueur, normalement exprimée en $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ou en $\mathrm{kN}/\mathrm{m}$. Dans le champ de la pesanteur standard,

$$w=\frac{m}{L}g$$

où $g$ vaut environ $9.80665\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$. La barre de $9.8125\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ possède donc un poids linéique d’environ

$$9.8125\times 9.80665=96.2\mathrm{N}/\mathrm{m}$$

soit $0.0962\mathrm{kN}/\mathrm{m}$. Dans les documents d’ingénierie, les valeurs en kilogrammes par mètre sont parfois appelées « poids », mais la distinction techniquement correcte est utile dans les calculs de charges.

Profilés laminés et caractéristiques tabulées

Pour les profilés laminés en I, les profilés en U, les cornières, les profilés en T, les profilés creux et autres profils, le calcul de l’aire à partir de chaque semelle, âme, rayon et angle peut être fastidieux. Les tableaux de profilés évitent de répéter ce travail géométrique en publiant une aire nominale de section transversale et une masse correspondante par mètre. L’opération sous-jacente demeure la même :

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

Un tableau peut indiquer directement l’aire en ${\mathrm{cm}}^2$ ou en ${\mathrm{mm}}^2$, suivie de la masse en $\mathrm{kg}/\mathrm{m}$. Si une aire est donnée en centimètres carrés, la conversion est

$$1{\mathrm{cm}}^2={10}^{-4}{\mathrm{m}}^2$$

Ainsi, un profilé laminé ayant une aire nominale de $25.0{\mathrm{cm}}^2$ possède

$$A=0.00250{\mathrm{m}}^2$$

et, en utilisant $7850\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$,

$$\frac{m}{L}=7850\left(0.00250\right)=19.625\mathrm{kg}/\mathrm{m}$$

Un tableau publié peut arrondir cette valeur à $19.6\mathrm{kg}/\mathrm{m}$. La valeur indiquée doit être interprétée en tenant compte de la masse volumique, de la base dimensionnelle et de la politique d’arrondissement spécifiées dans le tableau.

Les dimensions du profilé restent importantes même lorsque le calcul n’est pas visible. La largeur et l’épaisseur des semelles, l’épaisseur de l’âme, la hauteur totale et les rayons de raccordement d’un profilé en I déterminent son aire. Deux profilés ayant la même hauteur nominale peuvent avoir des aires différentes et donc des masses différentes par mètre. Une désignation telle qu’une dimension nominale ne constitue pas, à elle seule, une valeur de masse. Il convient de vérifier l’édition pertinente du tableau et la norme applicable au profilé.

L’aire tabulée peut être théorique ou nominale, plutôt que l’aire mesurée d’une pièce particulière. Les tolérances de fabrication, les congés, les rayons d’angle, la cambrure et les écarts par rapport à l’épaisseur nominale peuvent entraîner une légère différence entre la masse calculée et la masse réelle. Les revêtements de surface ajoutent également de la masse, bien qu’ils soient normalement exclus de la valeur correspondant à la section en acier nu dans les tableaux de profilés. Un élément galvanisé, peint ou protégé contre l’incendie ne doit pas se voir attribuer la masse non spécifiée de l’acier nu si le revêtement fait partie de la masse de l’assemblage requise.

La température introduit une autre distinction. L’acier chauffé se dilate ; ses dimensions et son volume changent donc, et la masse volumique exprimée comme le quotient de la masse par le volume dilaté change en conséquence, même si la quantité d’acier demeure la même. Les calculs d’incendie peuvent également utiliser le facteur de section de l’acier, défini par le National Research Council Canada comme le périmètre chauffé divisé par l’aire de la section transversale. Ce facteur régit l’exposition thermique et ne remplace pas la masse par mètre.

Pour un élément de structure, la séquence fiable consiste donc à identifier le profilé réel, à obtenir ou calculer son aire nominale, à sélectionner la convention de masse volumique exigée par la référence de conception et à maintenir la cohérence des unités. Le résultat est une masse par unité de longueur ; ce n’est qu’après multiplication par l’accélération due à la pesanteur qu’il doit être considéré comme un poids linéique.

Géométrie : sections pleines, creuses et profils irréguliers

La masse de l’acier dépend du volume de matériau, et non de la taille apparente du contour. Pour un élément uniforme, le calcul déterminant est

$$m=\rho V=\rho AL$$

où $m$ est la masse, $\rho$ la masse volumique, $A$ l’aire nette de la section transversale et $L$ la longueur. Si $\rho$ est exprimée en kilogrammes par mètre cube, $A$ doit être exprimée en mètres carrés et $L$ en mètres. Le résultat est obtenu en kilogrammes.

Les tableaux de construction métallique calculent couramment la masse par mètre en utilisant $7850{\text{kg/m}}^3$. Ainsi, une section d’une aire de $0.001{\text{m}}^2$ possède une masse tabulée de

$$7850\left(0.001\right)=7.85\text{kg/m}.$$

Il s’agit d’un calcul conventionnel d’ingénierie, et non d’un substitut à la détermination de l’aire réelle de la section ni d’une affirmation selon laquelle toutes les nuances d’acier ont exactement cette masse volumique. La géométrie vient en premier.

Sections rectangulaires et circulaires pleines

Pour un rectangle plein,

$$A=\mathrm{bh}$$

où $b$ est la largeur et $h$ la hauteur. Une barre d’acier de $50\text{mm}\times 100\text{mm}$ possède

$$A=50\left(100\right)=5000{\text{mm}}^2.$$

Comme $1{\text{m}}^2=1,000,000{\text{mm}}^2$,

$$A=0.005{\text{m}}^2.$$

Avec une masse volumique de $7850{\text{kg/m}}^3$, sa masse par mètre est de $39.25\text{kg/m}$. En utilisant la valeur de $7830{\text{kg/m}}^3$ pour l’acier doux, rapportée par RoyMech, on obtient $39.15\text{kg/m}$. La faible différence provient de la masse volumique retenue, et non d’une formule géométrique différente.

Pour une barre circulaire pleine,

$$A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4},$$

où $r$ est le rayon et $d$ le diamètre. Une barre de diamètre $40\text{mm}$ possède

$$A=\frac{\pi (40{)}^2}{4}=1256.6{\text{mm}}^2=0.0012566{\text{m}}^2.$$

Avec une masse volumique de $7850{\text{kg/m}}^3$, la masse par mètre est d’environ $9.86\text{kg/m}$.

Le diamètre doit être élevé au carré. Doubler le diamètre d’une barre circulaire ne double pas son aire ; cela multiplie l’aire, et donc la masse par unité de longueur, par quatre. Le même principe s’applique aux dimensions rectangulaires : doubler une dimension double l’aire, tandis que doubler les deux dimensions multiplie l’aire par quatre.

Les dimensions doivent également être exprimées dans une unité commune avant la multiplication. Une erreur fréquente consiste à introduire des dimensions en millimètres dans une formule tout en conservant la masse volumique en kilogrammes par mètre cube. Une méthode directe consiste à calculer l’aire en ${\text{mm}}^2$, à la diviser par $1,000,000$, puis à la multiplier par la masse volumique. Une autre consiste à convertir d’abord toutes les dimensions en mètres.

Sections creuses et soustraction des vides

Une section creuse se calcule à partir de l’aire de matériau, obtenue en soustrayant le vide de l’aire extérieure. Pour une section rectangulaire creuse de largeur extérieure $B$, de hauteur extérieure $H$ et d’épaisseur de paroi uniforme $t$,

$$A=\mathrm{BH}-(B-2t)(H-2t).$$

Les dimensions intérieures sont réduites de $2t$, puisque la paroi occupe de l’espace sur chacun des deux côtés opposés. Cette expression peut également être développée comme suit :

$$A=2t(B+H-2t).$$

Pour une section rectangulaire creuse de $100\text{mm}\times 50\text{mm}$, avec une paroi de $5\text{mm}$,

$$A=\left(100\right)\left(50\right)-\left(90\right)\left(40\right)=5000-3600=1400{\text{mm}}^2.$$

La masse par mètre, avec une masse volumique de $7850{\text{kg/m}}^3$, est donc

$$0.0014\left(7850\right)=10.99\text{kg/m}.$$

Le rectangle extérieur seul donnerait $39.25\text{kg/m}$, soit plus de trois fois cette valeur. Compter l’enveloppe au lieu de soustraire l’ouverture revient à considérer l’air comme de l’acier.

Pour une section circulaire creuse, ou un tube, de diamètre extérieur $D$, de diamètre intérieur $d$ et d’épaisseur de paroi $t$,

$$A=\frac{\pi }{4}(D^2-d^2)$$

et, lorsque la paroi est uniforme,

$$d=D-2t.$$

Un tube avec $D=60\text{mm}$ et $t=5\text{mm}$ possède $d=50\text{mm}$, d’où

$$A=\frac{\pi }{4}({60}^2-{50}^2)=863.9{\text{mm}}^2=0.0008639{\text{m}}^2.$$

Sa masse conventionnelle par mètre est d’environ $6.78\text{kg}$. Une barre pleine de $60\text{mm}$ aurait une aire de $2827{\text{mm}}^2$ et une masse proche de $22.2\text{kg/m}$.

La dimension extérieure ne détermine donc pas la masse. Un tube carré de $100\text{mm}$ avec une paroi de $2\text{mm}$ et un autre avec une paroi de $10\text{mm}$ ont la même largeur extérieure, mais des aires nettes très différentes. Les ouvertures, perforations, noyaux, fentes et cavités internes doivent tous être retirés du calcul du volume. À l’inverse, les rayons d’angle, les cordons de soudure, les rebords pliés et les parois non uniformes peuvent ajouter du matériau qu’une formule simple à angles vifs ne prend pas en compte. Pour les sections manufacturées, l’aire nominale ou la masse par mètre publiées peuvent être plus fiables que le fait de considérer le profil comme un rectangle idéalisé.

Une masse volumique propre à une nuance peut modifier légèrement le résultat. MatWeb indique $7.80{\text{g/cm}}^3$ pour l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569, tandis que ASM MatWeb indique $7.87{\text{g/cm}}^3$ pour l’acier ultrahaute résistance 300M. L’application de ces deux masses volumiques à la même aire calculée produit des masses différentes. L’écart est modeste, mais il devient important lorsque des tolérances, des stocks, des charges de levage ou de grandes longueurs sont concernés.

Confusion entre périmètre, aire et propriétés de section

L’aire de la section transversale mesure la quantité d’acier présente dans une coupe perpendiculaire à la longueur de l’élément. Elle détermine le volume par unité de longueur :

$$V/L=A$$

et détermine donc la masse par unité de longueur lorsque la masse volumique est connue.

Le périmètre est différent. Le périmètre extérieur d’un rectangle plein est

$$P=2(b+h),$$

et la circonférence d’un cercle plein est $P=\pi d$. Ces grandeurs décrivent une longueur de contour, et non une aire d’acier. Un carré de $100\text{mm}$ et un cercle de $20\text{mm}$ de diamètre peuvent avoir des dimensions de contour comparables tout en contenant des quantités d’acier très différentes. Pour une section creuse, les ingénieurs peuvent avoir besoin de plusieurs périmètres : le périmètre extérieur, le périmètre intérieur ou le périmètre exposé au feu ou à l’air. Aucun ne peut remplacer l’aire nette de la section transversale dans un calcul de masse.

La surface est l’aire de l’enveloppe extérieure longitudinale de l’élément, approximativement égale à $\mathrm{PL}$ pour un profil constant. Elle est pertinente pour les quantités de revêtement, les transferts thermiques, l’exposition à la corrosion et la réponse en température. Il ne s’agit pas de l’aire de la section transversale. Un tube à paroi mince peut avoir une surface importante par mètre tout en contenant relativement peu d’acier.

Le moment quadratique de la section, également appelé moment d’inertie de la surface, est une autre grandeur totalement différente. Pour un rectangle par rapport à son axe passant par le centre de gravité et parallèle à sa largeur,

$$I=\frac{{\mathrm{bh}}^3}{12}.$$

La dimension au cube montre pourquoi la hauteur influence fortement la rigidité en flexion, mais $I$ n’est pas une masse et ne peut pas être introduit dans $m=\rho \mathrm{AL}$. Les valeurs relatives aux sections creuses s’obtiennent en soustrayant le moment quadratique du vide de celui de la forme extérieure, en utilisant l’axe approprié et, si nécessaire, le théorème des axes parallèles.

Les calculs de résistance au feu introduisent encore un autre rapport. Le Conseil national de recherches du Canada définit le facteur de section de l’acier comme le périmètre chauffé divisé par l’aire de la section transversale. Selon l’exposition et la disposition de la protection, le périmètre chauffé peut inclure des surfaces qui ne correspondent pas au périmètre extérieur géométrique. Ce facteur de section décrit le transfert thermique par unité de volume d’acier ; il ne détermine pas la masse de l’élément.

Les profils irréguliers sont traités par décomposition en formes simples, par soustraction des vides ou par intégration directe de l’aire délimitée par le contour. Pour un profilé en I laminé, par exemple, les rectangles des semelles et celui de l’âme peuvent être additionnés, en ne comptant les zones de recouvrement qu’une seule fois. L’aire nette finale, et non le contour apparent, est la grandeur à multiplier par la longueur et la masse volumique.

Pourquoi les nuances d’acier n’ont pas toutes la même masse volumique

La valeur de 7850 kg/m³ est utile, mais il ne s’agit pas d’une constante universelle pour toutes les nuances d’acier. Les tableaux relatifs aux aciers de construction adoptent couramment 7850 kg/m³ pour calculer la masse par mètre, et le Conseil national de recherches du Canada ainsi que le U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 indiquent tous deux l’acier à cette valeur. Le UFC donne également environ 490 lb/ft³. Ces valeurs sont des données d’ingénierie conventionnelles, généralement arrondies pour la conception et la présentation sous forme de tableaux. Elles ne doivent pas être interprétées comme affirmant que tous les aciers ont exactement la même masse volumique.

Le NIST définit la masse volumique par ρ = m/V, mesurée en kilogrammes par mètre cube, et définit le volume massique par V/m. Une masse volumique propre à une nuance donnée modifie donc la masse calculée lorsque le volume est maintenu constant. La différence peut être faible dans les ouvrages courants en acier de construction, mais elle devient pertinente pour les estimations de masse de précision, les composants aéronautiques, les équipements sous pression, les mesures en laboratoire et les comparaisons entre grandes sections.

Les données publiées illustrent clairement ce point. MatWeb indique une masse volumique typique de 7.80 g/cm³ pour l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569, soit 7800 kg/m³. ASM MatWeb indique 7.87 g/cm³ pour l’acier ultrarésistant 300M, soit 7870 kg/m³. La différence est de 70 kg/m³, soit environ 0,9 % par rapport à la valeur la plus faible. Aucun de ces nombres ne devrait remplacer le certificat matière ou une mesure contrôlée lorsqu’une grande précision est requise, mais aucun ne permet non plus de considérer 7850 kg/m³ comme une valeur exacte pour ces deux nuances.

Composition chimique et éléments d’alliage

L’acier est principalement constitué de fer, mais sa masse volumique dépend de la composition complète et de l’état physique du matériau. Le carbone, le manganèse, le silicium, le chrome, le nickel, le molybdène, le vanadium et d’autres éléments d’addition modifient la masse et le volume du solide. Leurs effets ne se déterminent pas simplement en ajoutant la masse volumique de chaque élément pur à celle du fer. Les atomes d’alliage occupent des positions dans le réseau cristallin du fer, déforment ce réseau, en modifient le volume et peuvent favoriser la formation de phases ou de précipités différents.

Le fer lui-même présente différents états associés à des masses volumiques distinctes. À température ordinaire, le fer ferritique possède une structure cristalline cubique centrée, tandis que l’austénite possède une structure cubique à faces centrées à des températures plus élevées. La trempe, le revenu, le laminage et d’autres traitements peuvent modifier les proportions de ferrite, de perlite, de bainite, de martensite et d’austénite retenue. Ces modifications microstructurales sont généralement moins importantes pour la masse volumique globale que la composition chimique d’ensemble, mais elles peuvent avoir une incidence lorsqu’un calcul exige davantage qu’une valeur arrondie de catalogue.

Les éléments d’alliage présentent également des masses atomiques et des volumes atomiques différents. Le nickel et le molybdène, par exemple, sont des éléments relativement denses ; l’aluminium et le silicium sont moins denses que le fer. Une faible addition ne produit pas un résultat simple et proportionnel, car l’espacement du réseau, l’équilibre entre les phases et l’histoire thermique de l’alliage évoluent également. La masse volumique finale est une propriété de l’alliage tel qu’il a été fabriqué, et non une valeur qui peut être déduite de la seule résistance à la traction.

La porosité, les inclusions, les zones décarburées, la calamine, le métal fondu, le revêtement métallique, la peinture et l’humidité adhérente peuvent également influer sur la masse mesurée d’un composant. Une masse volumique nominale de l’acier décrit normalement le matériau métallique solide, et non chaque revêtement ou dépôt présent sur une pièce finie. Cette distinction est importante lorsque la masse est mesurée sur un assemblage complet plutôt que calculée à partir de dimensions certifiées et d’une masse volumique du matériau.

Une désignation de résistance ne fournit à elle seule aucune masse volumique. « Haute résistance » décrit une performance mécanique ou une catégorie de spécification ; elle n’identifie pas la masse par unité de volume. Deux aciers peuvent avoir une limite d’élasticité similaire, mais des systèmes d’alliage, des traitements thermiques et des masses volumiques différents. Inversement, un acier à plus haute résistance peut avoir une masse volumique proche de celle d’une nuance à plus faible résistance. La masse volumique doit provenir d’une fiche technique du matériau, d’informations propres à une norme, d’un certificat du fournisseur ou d’une mesure.

Acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569

MatWeb indique une masse volumique typique de 7.80 g/cm³ pour l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569, également indiqué à 0.282 lb/in³. En unités SI, 7.80 g/cm³ équivaut à 7800 kg/m³, car 1 g/cm³ équivaut à 1000 kg/m³. Le mot « typique » est important. Il s’agit d’une valeur de référence issue de données sur le matériau, et non d’une exigence universelle de masse volumique à laquelle chaque tôle ou chaque bobine identifiée par cette désignation devrait correspondre au kilogramme par mètre cube près.

La désignation ASTM identifie une catégorie de produits en acier à faible teneur en carbone ainsi que les exigences qui lui sont associées, mais elle ne doit pas être considérée comme une spécification directe de masse volumique, sauf si l’édition applicable en fournit explicitement une. Les normes portent généralement sur des éléments tels que les limites de composition chimique, les dimensions, l’état de surface, les caractéristiques de mise en forme et les exigences mécaniques. Une norme peut autoriser une plage de composition plutôt qu’une composition chimique unique et exacte ; une seule masse volumique ne peut donc pas représenter avec une précision absolue chaque coulée et chaque condition de transformation autorisées.

Pour un calcul de volume, la valeur de MatWeb donne un résultat direct. Considérons une plaque rectangulaire de 2.00 m de longueur, 1.00 m de largeur et 10.0 mm d’épaisseur. Son volume est :

V = 2.00 × 1.00 × 0.0100 = 0.0200 m³.

En utilisant 7800 kg/m³ :

m = ρV = 7800 × 0.0200 = 156 kg.

L’utilisation de la valeur conventionnelle de 7850 kg/m³ donne 157 kg. La différence d’un kilogramme est modeste pour cette plaque, ce qui explique pourquoi les tableaux de conception peuvent utiliser une valeur commune arrondie. Il s’agit néanmoins d’une différence causée par la masse volumique sélectionnée, et non par une modification de la géométrie.

Le même principe s’applique à la masse par unité de longueur. Pour une barre rectangulaire, l’aire de la section transversale doit être exprimée en mètres carrés avant d’être multipliée par la masse volumique :

m′ = ρA.

Une barre de 100 mm × 20 mm possède une aire de 0.0020 m². À 7800 kg/m³, sa masse calculée par mètre est de 15.6 kg/m. RoyMech utilise 7830 kg/m³ pour l’acier doux dans un calcul relatif à une barre rectangulaire, tandis qu’Engineering ToolBox indique pour l’acier environ 7.82 g/cm³. L’écart entre ces références reflète des données conventionnelles ou typiques différentes, et non une contradiction dans la définition de la masse volumique.

Acier ultrarésistant 300M

ASM MatWeb indique une masse volumique typique de 7.87 g/cm³ pour l’acier ultrarésistant 300M, soit 0.284 lb/in³ ou environ 7870 kg/m³. Cette valeur est supérieure à celle de 7.80 g/cm³ indiquée pour l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569, et également légèrement supérieure à la convention de 7850 kg/m³ utilisée dans de nombreux calculs relatifs aux structures.

La désignation 300M fait référence à une famille précise d’aciers alliés ultrarésistants dont les propriétés dépendent d’une composition chimique contrôlée et d’un traitement thermique. Sa résistance provient de l’alliage et de la transformation, notamment de la formation d’une microstructure trempée et revenue ; le nombre figurant dans une désignation de résistance ne signifie pas « masse volumique exprimée dans une unité particulière ». Un calcul qui sait seulement qu’une pièce est fabriquée en « 300M » nécessite toujours la spécification applicable du matériau, l’état du produit et la valeur de masse volumique retenue.

Pour le même volume de plaque de 0.0200 m³ utilisé précédemment, l’acier 300M à 7870 kg/m³ donne une masse de 157.4 kg. La valeur de référence de l’acier ASTM A366/A569 donne 156 kg. Cette différence de 1.4 kg est faible pour une seule plaque, mais elle augmente avec le volume. Dans un composant aéronautique, une barre longue ou un lot important de pièces, l’utilisation d’une valeur incorrecte propre à la nuance peut affecter un bilan de masse.

La température exige également une attention particulière. Lorsque l’acier chauffe, la dilatation thermique augmente son volume ; sa masse restant constante, sa masse volumique diminue généralement. Les calculs de résistance au feu peuvent donc combiner des propriétés du matériau dépendant de la température avec un facteur de section fondé sur le rapport entre le périmètre chauffé et l’aire de la section transversale. Les valeurs à température ambiante présentées ci-dessus ne conviennent que lorsque leurs hypothèses de température et d’application correspondent au calcul. Utilisez 7850 kg/m³ comme une convention d’ingénierie explicitement indiquée, et non comme la preuve que l’ASTM A366/A569, le 300M et toutes les autres nuances d’acier possèdent une masse volumique identique.

Masse volumique, poids spécifique et densité relative ne sont pas interchangeables

Les tableaux relatifs à l’acier placent souvent la masse volumique, le poids et la densité relative dans des colonnes adjacentes, puis utilisent des intitulés abrégés tels que « poids de l’acier ». Cette présentation peut dissimuler trois grandeurs différentes. La masse volumique décrit la quantité de masse contenue dans un volume. Le poids spécifique décrit la force exercée par la gravité sur cette masse. La densité relative compare la masse volumique d’un matériau à une masse volumique de référence. Leurs valeurs numériques peuvent sembler similaires dans certains systèmes d’unités, mais ces grandeurs ne sont pas identiques.

Masse volumique et poids volumique

Le National Institute of Standards and Technology (NIST, 2024) définit la masse volumique comme suit :

$$\rho =\frac{m}{V}$$

où $m$ est la masse et $V$ le volume. Son unité SI est le kilogramme par mètre cube, noté kg/m³. Une valeur de $7850{\text{kg/m}}^3$ signifie donc qu’un volume d’un mètre cube a une masse d’environ 7850 kg lorsque la masse volumique technique indiquée est utilisée.

La masse volumique n’est pas la masse elle-même. Une plaque d’acier peut avoir une masse volumique de $7850{\text{kg/m}}^3$, mais sa masse dépend de son volume :

$$m=\rho V$$

Pour une plaque rectangulaire homogène,

$$V=\mathrm{Lbt}$$

donc

$$m=\rho \mathrm{Lbt}$$

où la longueur $L$, la largeur $b$ et l’épaisseur $t$ sont exprimées dans des unités compatibles entre elles. Si les dimensions sont saisies en mètres, la masse volumique peut être utilisée directement en kg/m³ et le résultat est obtenu en kilogrammes. Si les dimensions sont saisies en millimètres, elles doivent d’abord être converties, ou bien la masse volumique doit être convertie dans une unité compatible.

Le NIST définit également le volume massique comme $V/m$, c’est-à-dire l’inverse de la masse volumique. Pour l’acier représenté par $7850{\text{kg/m}}^3$,

$$v=\frac{1}{7850}\approx 1.27\times {10}^{-4}{\text{m}}^3/\text{kg}$$

Le volume massique est utile en thermodynamique et dans les calculs relatifs aux matériaux, mais il ne désigne pas le poids spécifique.

Le poids spécifique, généralement noté $\gamma$, est le poids par unité de volume :

$$\gamma =\frac{W}{V}$$

Son unité SI est le newton par mètre cube (N/m³). Comme le poids est une force et non une masse, le poids spécifique s’obtient en multipliant la masse volumique par l’accélération gravitationnelle :

$$\gamma =\rho g$$

En utilisant $7850{\text{kg/m}}^3$ et l’accélération gravitationnelle standard $g=9.80665{\text{m/s}}^2$, on obtient

$$\gamma =7850\left(9.80665\right)\approx 76982{\text{N/m}}^3$$

soit environ $77.0{\text{kN/m}}^3$. Ainsi, $7850{\text{kg/m}}^3$ et $77.0{\text{kN/m}}^3$ peuvent décrire le même état hypothétique de l’acier, mais ils décrivent des propriétés différentes.

Cette distinction est importante dans les calculs. Utilisez les kg/m³ pour calculer la masse à partir du volume. Utilisez les N/m³ pour calculer la charge gravitationnelle à partir du volume. Un bloc d’acier d’un mètre cube, sur la base de la masse volumique conventionnelle, a une masse d’environ 7850 kg et un poids gravitationnel d’environ 77.0 kN dans les conditions de la gravité standard. Appeler ces deux valeurs « poids » masque l’opération qui a été effectuée.

Les anciens tableaux techniques créent une confusion supplémentaire, car le terme « poids » était souvent utilisé de manière informelle pour désigner la masse par unité de volume, en particulier dans les unités usuelles. Le U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 (2008), par exemple, indique pour l’acier $7850{\text{kg/m}}^3$, ce qui équivaut à environ $490{\text{lb/ft}}^3$. La même valeur figure dans l’Arcadis Construction Cost Handbook (2019). Dans l’emploi rigoureux des unités usuelles, la masse volumique s’exprimerait en lbm/ft³ et le poids spécifique en lbf/ft³. Dans les conditions de la gravité standard, toutefois, les valeurs numériques sont presque égales : $7850{\text{kg/m}}^3$ se convertit en environ $490{\text{lbm/ft}}^3$, tandis que le poids spécifique correspondant est d’environ $490{\text{lbf/ft}}^3$.

Cette coïncidence numérique est à l’origine de nombreuses conversions erronées. La livre-masse (lbm) et la livre-force (lbf) ne sont pas interchangeables. La notation doit être conservée lorsque la distinction influe sur une charge, un équilibre des forces ou une conversion. L’appendice B.9 du NIST fournit le cadre dimensionnel permettant de convertir les unités SI et les unités usuelles ; il ne dispense pas de déterminer si un tableau fournit une masse volumique ou une densité de force.

Rôle de l’accélération gravitationnelle

La gravité n’est pas une propriété du matériau. C’est une accélération qui agit sur la masse. Le poids spécifique varie donc avec la valeur locale de $g$, même lorsque le matériau et sa masse volumique restent inchangés.

Pour un objet en acier,

$$W=\mathrm{mg}$$

et, après substitution de $m=\rho V$,

$$W=\rho \mathrm{Vg}$$

La division par le volume donne $\gamma =\rho g$. Dans le système SI, $g=9.80665{\text{m/s}}^2$ exactement par définition pour la gravité standard. L’accélération gravitationnelle locale varie légèrement selon la latitude et l’altitude, bien que la plupart des calculs de structures utilisent la gravité standard, sauf lorsqu’un modèle physique plus précis est nécessaire.

C’est pourquoi la masse volumique constitue généralement la donnée d’entrée la plus sûre pour les calculs de masse. Un bureau d’études peut utiliser la même masse volumique tout en modifiant l’accélération gravitationnelle pour un calcul de charge particulier. Confondre les deux reviendrait à attribuer à une grandeur qui devrait être une propriété du matériau une force dépendant du lieu.

La masse volumique retenue doit également être vérifiée. Les manuels consacrés à l’acier de construction calculent couramment la masse par mètre à l’aide de $7850{\text{kg/m}}^3$, et le National Research Council Canada (2019) utilise cette valeur dans le contexte de l’ingénierie incendie. RoyMech (2024), en revanche, utilise $7830{\text{kg/m}}^3$ pour l’acier doux dans les calculs relatifs aux barres rectangulaires. Des références sur les matériaux indiquent $7.80{\text{g/cm}}^3$ pour l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569 et $7.87{\text{g/cm}}^3$ pour l’acier ultrahaute résistance 300M. Ces valeurs correspondent respectivement à environ 7800 et 7870 kg/m³. La différence est faible pour de nombreuses estimations, mais elle montre que $7850{\text{kg/m}}^3$ est une valeur technique conventionnelle, et non une constante universelle applicable à chaque nuance, coulée, température ou état du produit.

La densité relative comme rapport

La densité relative, souvent notée $\mathrm{SG}$, est sans dimension :

$$\mathrm{SG}=\frac{{\rho }_{\text{matériau}}}{{\rho }_{\text{référence}}}$$

Pour les solides et les liquides, la référence est généralement l’eau à une température proche de $4^{\circ }\text{C}$, dont la masse volumique est approximativement de $1000{\text{kg/m}}^3$. Une masse volumique de l’acier de $7850{\text{kg/m}}^3$ donne donc une densité relative d’environ 7.85 selon cette convention. Aucune unité ne subsiste, car le numérateur et le dénominateur ont les mêmes dimensions.

Engineering ToolBox indique pour l’acier environ $7.82{\text{g/cm}}^3$, ce qui correspondrait à une densité relative d’environ 7.82 par rapport à l’eau dans les conditions de référence indiquées. Cette valeur n’est pas $7.82{\text{kg/m}}^3$, et il ne s’agit pas non plus d’un poids spécifique. C’est une masse volumique exprimée en g/cm³, ou un rapport sans dimension uniquement après division par la masse volumique de référence de l’eau exprimée dans des unités correspondantes.

Une spécification devrait donc indiquer explicitement la grandeur et l’unité : masse volumique en kg/m³, poids spécifique en N/m³ ou densité relative sous forme de rapport. Cette simple habitude évite l’erreur courante qui consiste à traiter 7850 comme un « poids » non spécifié, puis à appliquer une seconde fois la gravité — ou à ne pas l’appliquer lorsqu’une force est requise.

Température, ingénierie incendie et facteur de massivité de la section en acier

Masse volumique dans les calculs de l’acier chauffé

À température ambiante, la masse de l’acier est généralement calculée à partir de

$$m=\rho V$$

où $\rho$ est la masse volumique. Pour un élément prismatique de longueur $L$ et de section transversale $A$,

$$m=\rho AL$$

et sa masse par unité de longueur est

$$\frac{m}{L}=\rho A.$$

La valeur conventionnelle de $7850{\text{kg/m}}^3$ donne donc $78.5\text{kg/m}$ pour une section en acier d’une aire de $0.010{\text{m}}^2$. Il s’agit d’un calcul de masse, et non d’un calcul d’exposition au feu.

NIST définit la masse volumique comme $\rho =m/V$, avec pour unité SI le kilogramme par mètre cube, et définit le volume massique comme $V/m$ (NIST, 2024). Ces définitions restent valables lorsque l’acier est chauffé, mais la masse volumique numérique peut changer en raison de la dilatation de l’acier. Si la masse reste essentiellement constante tandis que le volume augmente, la masse volumique instantanée diminue. Un modèle d’incendie peut donc utiliser une masse volumique, une dilatation thermique, une chaleur spécifique et une conductivité thermique dépendant de la température, plutôt qu’une unique valeur à température ambiante.

Pour de nombreux calculs de structures, l’utilisation de $7850{\text{kg/m}}^3$ constitue une convention d’ingénierie raisonnable. Le Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3rd Edition (2016), utilise cette valeur pour calculer la masse par mètre indiquée dans les tableaux. Le Conseil national de recherches du Canada (CNRC) donne $7850{\text{kg/m}}^3$ dans ses documents de 2019 consacrés à l’ingénierie incendie, tandis que le document UFC 4-023-07 du U.S. Department of Defense indique la même valeur, soit environ $490{\text{lb/ft}}^3$. Ces références établissent une base de calcul standard; elles ne démontrent pas que chaque nuance possède précisément cette masse volumique.

Les données relatives aux nuances et aux produits montrent cette distinction. MatWeb indique une masse volumique type de $7.80{\text{g/cm}}^3$ pour l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569, tandis que ASM MatWeb indique $7.87{\text{g/cm}}^3$ pour l’acier ultrarésistant 300M. RoyMech utilise $7830{\text{kg/m}}^3$ pour l’acier doux, et Engineering ToolBox indique une valeur d’environ $7.82{\text{g/cm}}^3$ pour l’acier. Ces écarts sont modestes pour les estimations ordinaires de masse, mais ils deviennent importants lorsqu’une spécification exige des données matériaux traçables ou lorsque plusieurs hypothèses sont combinées.

Dans un calcul portant sur un élément chauffé, la masse volumique contribue à l’inertie thermique. Pour une longueur unitaire d’acier, la capacité thermique est approximativement

$$C\prime =\rho A{c}_p,$$

où $c_p$ est la capacité thermique massique. Si $\rho$, $A$ ou $c_p$ varie avec la température, la capacité thermique varie également. La masse volumique intervient aussi dans les formulations des transferts thermiques faisant appel à la capacité thermique volumique et, selon la méthode numérique, à la diffusivité thermique. Il s’agit de l’une des nombreuses données d’entrée.

Ce n’est pas le facteur de massivité de la section.

Périmètre chauffé divisé par l’aire de la section transversale

Facteur de section de l’acierFacteur de section de l’acier Paramètre d’exposition au feu couramment écrit F = Hp/A ou Am/V, avec des unités d’inverse de longueur; il décrit le périmètre chauffé par rapport au volume d’acier, et non la masse volumique.

Le cours abrégé du CNRC présente le facteur de massivité de la section en acier comme le rapport entre le périmètre chauffé et l’aire de la section transversale. Il s’écrit couramment

$$F=\frac{H_p}{A}$$

ou, dans la notation de l’ingénierie incendie,

$$\frac{A_m}{V}.$$

Ici, $H_p$ ou $A_m$ représente le périmètre exposé ou chauffé, et $A$ représente l’aire de l’acier pour un élément de longueur unitaire. Comme le volume d’acier contenu dans un mètre d’élément est $A\times 1$, les deux formes sont dimensionnellement équivalentes. Le facteur de massivité de la section a pour unité l’inverse d’une longueur, par exemple ${\text{m}}^{-1}$.

Supposons qu’un élément ait une aire d’acier de $0.010{\text{m}}^2$ et un périmètre chauffé de $2.0\text{m}$ par mètre de longueur. Son facteur de massivité est

$$F=\frac{2.0}{0.010}=200{\text{m}}^{-1}.$$

Le remplacement de la masse volumique supposée de $7850$ par $7830{\text{kg/m}}^3$ modifie légèrement la masse calculée par mètre, mais ne modifie pas ce rapport géométrique. Le facteur de massivité ne change que lorsque le périmètre chauffé ou l’aire d’acier change.

Cela explique pourquoi deux éléments en acier auxquels est attribuée la même masse volumique nominale peuvent atteindre des températures différentes dans un incendie normalisé. Une section compacte possède une surface exposée relativement faible par rapport à la quantité d’acier située derrière cette surface. Une section à paroi mince ou au profil fortement marqué présente un périmètre chauffé plus important pour une même aire d’acier et réagit généralement plus rapidement. Le premier élément a un facteur de massivité plus faible; le second en a un plus élevé.

L’exposition doit être définie avec soin. Une poutre chauffée sur trois côtés possède un périmètre chauffé inférieur à celui de la même poutre chauffée sur quatre côtés. Une dalle peut protéger la semelle supérieure, tandis qu’un poteau isolé peut être exposé sur toute sa circonférence. Les angles rentrants, les bords de semelles, les lèvres, les raidisseurs et les ouvertures peuvent modifier le périmètre utilisé par la méthode de calcul. Le périmètre géométrique de l’acier n’est pas automatiquement identique au périmètre recevant la chaleur du feu.

La protection introduit une autre convention. Pour une protection suivant le contour, la chaleur atteint l’acier à travers un matériau qui épouse le profil de l’acier; l’interface acier–protection et l’épaisseur de la protection influent donc sur le trajet du transfert thermique. Une protection en caisson remplace un profil détaillé par un rectangle enveloppant ou par une autre frontière simplifiée. Ce caisson peut avoir un périmètre différent et contenir des espaces d’air ou des volumes inutilisés. Un vide n’est pas de l’acier: il n’ajoute ni masse d’acier ni capacité thermique de l’acier, mais il peut influer sur le rayonnement, la convection et la distance que la chaleur doit parcourir à travers la protection.

L’épaisseur de la protection ajoute principalement une résistance thermique et une capacité thermique à l’extérieur de l’acier. Elle peut également modifier le périmètre utilisé dans une formule de facteur de massivité applicable aux sections protégées. La norme ou le modèle de calcul applicable doit préciser si le rapport utilise le périmètre de l’acier nu, l’interface avec la protection ou le périmètre d’un caisson enveloppant. L’application d’une valeur correspondant à une section nue à un système en caisson, sans vérifier la définition, peut produire un résultat physiquement incohérent.

Masse et réponse thermique

La masse et l’élévation de température sont liées, mais elles ne sont pas interchangeables. Pour une aire d’acier donnée, la masse par mètre est

$$m\prime =\rho A.$$

La réponse thermique dépend également de la quantité de surface exposée par mètre, représentée par $H_p$, ainsi que de la chaleur entrant par cette surface. Une première comparaison utile consiste à constater que la capacité thermique par unité de longueur est proportionnelle à $\rho A{c}_p$, tandis que la chaleur reçue dépend globalement du périmètre chauffé et des conditions de transfert thermique. Leur rapport contient donc la même relation géométrique que celle exprimée par le facteur de massivité.

Une section lourde peut contenir davantage de masse thermique et néanmoins chauffer rapidement si elle possède un périmètre exposé important. À l’inverse, un élément ayant une masse par mètre plus faible peut chauffer plus lentement si son périmètre exposé est faible par rapport à son aire et s’il est recouvert d’une protection importante. Le résultat dépend également de la conductivité thermique de l’acier, de la chaleur spécifique, de l’émissivité, de la convection, de la température du four, de l’humidité présente dans la protection, de la résistance de contact et des effets d’ombrage entre surfaces adjacentes.

La température modifie davantage encore l’interprétation. La dilatation de l’acier modifie ses dimensions et sa masse volumique, tandis que sa résistance et sa rigidité diminuent avec la température. L’oxydation peut entraîner une faible perte de matière; les revêtements peuvent ajouter de la masse sans ajouter de capacité thermique d’acier; les sections creuses peuvent contenir de l’air qui participe au transfert thermique, mais qui ne contribue pas à la même masse thermique que l’acier. Aucun de ces effets n’est pris en compte en remplaçant chaque masse volumique par $7850{\text{kg/m}}^3$.

Utilisez $7850{\text{kg/m}}^3$ comme convention d’ingénierie explicitement indiquée lorsque le tableau ou la norme applicable le demande. Utilisez des données propres à la nuance lorsque le calcul l’exige. Pour la réponse au feu, calculez ou déterminez le périmètre chauffé et le facteur de massivité appropriés, puis appliquez le modèle de protection et le modèle de matériau dépendant de la température spécifiés par la norme incendie applicable. La masse volumique indique la quantité d’acier présente. Le facteur de massivité aide à décrire la facilité avec laquelle cet acier est chauffé.

Références de conception et données relatives aux propriétés physiques

Un calcul de la masse volumique de l’acier n’est défendable que dans la mesure où la valeur de propriété qui le sous-tend l’est également. La valeur souvent répétée de 7850 kg/m³ est utile, mais elle devrait être présentée comme une valeur conventionnelle d’ingénierie plutôt que comme une constante matérielle exacte et indépendante de la nuance. Le National Institute of Standards and Technology (NIST) définit la masse volumique comme suit :

$$\rho =\frac{m}{V}$$

où $\rho$ est la masse volumique, $m$ la masse et $V$ le volume. Le NIST donne le kilogramme par mètre cube (kg/m³) comme unité SI et définit le volume massique comme $V/m$, c’est-à-dire l’inverse de la masse volumique. Ces définitions, publiées dans l’édition 2024 du NIST Guide to the SI, constituent le point de départ de toute conversion et de tout calcul.

Pour un élément uniforme, la masse se déduit de

$$m=\rho V$$

et le volume peut être obtenu en multipliant la longueur par l’aire de la section transversale :

$$V=\mathrm{AL}$$

En combinant ces expressions, on obtient la masse par unité de longueur :

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

C’est pourquoi les tableaux relatifs aux aciers de construction peuvent indiquer des kilogrammes par mètre sans mentionner séparément le volume de chaque mètre de profilé. Si une barre rectangulaire mesure 50 mm de largeur et 20 mm d’épaisseur, son aire est $0.050\times 0.020=0.0010{\text{m}}^2$. Avec une masse volumique de 7850 kg/m³, on obtient $7.85\text{kg/m}$. Avec une masse volumique de 7830 kg/m³, on obtient $7.83\text{kg/m}$. La différence est faible dans cet exemple, mais la valeur retenue demeure un élément du dossier de calcul.

NIST NCSTAR 1-3e

Le document NIST NCSTAR 1-3e, Physical Properties of Structural Steels, est une référence institutionnelle produite dans le cadre de l’enquête sur les effondrements du World Trade Center. Son objectif n’est pas d’établir une masse volumique universelle unique pour tous les aciers. Il rassemble des informations sur les propriétés physiques pertinentes des aciers de construction, notamment leur comportement en fonction de la température et les propriétés nécessaires pour comprendre la réponse des structures en situation d’incendie et à températures élevées.

Cette distinction est importante. La masse volumique n’est qu’une propriété physique parmi d’autres, et le comportement de l’acier à haute température ne peut pas être représenté par la seule masse volumique à température ambiante. La dilatation thermique modifie les dimensions et donc le volume ; la température influe également sur le module d’élasticité, la limite d’élasticité, la conductivité thermique et la chaleur massique. Un calcul d’incendie peut donc nécessiter des données de matériau dépendant de la température plutôt qu’une seule valeur à température ambiante copiée d’un tableau général de conversion.

Le document NCSTAR 1-3e doit être consulté conjointement avec la désignation du matériau et les informations d’essai applicables à l’élément analysé. L’expression « acier de construction » peut recouvrir différentes compositions chimiques, différents procédés de production, traitements thermiques et formes de produits. Une tôle laminée, un composant en acier à haute résistance trempé et revenu et un produit en acier inoxydable ne sont pas interchangeables simplement parce que chacun est décrit de manière informelle comme de l’acier.

La valeur couramment utilisée de 7850 kg/m³ demeure raisonnable pour de nombreux calculs ordinaires de construction. Elle est également cohérente avec plusieurs références d’ingénierie. L’édition 2016 du Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3e édition, indique que les masses par mètre des aciers de construction figurant dans les tableaux sont calculées avec une masse volumique de 7850 kg/m³. Le National Research Council Canada indique également une masse volumique de l’acier de 7850 kg/m³ dans son document de 2019 consacré à la conception au feu, où le facteur de massivité de la section en acier est défini comme le périmètre chauffé divisé par l’aire de la section transversale. Cette définition du facteur de massivité est distincte de la masse volumique : $A_m/V$, ou le périmètre divisé par le volume d’acier pour une longueur unitaire, décrit l’exposition thermique et non la masse.

Directives de la Federal Highway Administration relatives aux aciers de pont

Le Steel Bridge Design Handbook de la Federal Highway Administration constitue une autre référence institutionnelle, mais son rôle diffère de celui d’un tableau général de masses volumiques. Ce manuel traite de la conception des ponts en acier et du comportement structural des composants en acier, des assemblages, des tôles, des poutres, des détails relatifs à la fatigue, des considérations liées à la rupture et d’autres aspects connexes de la conception. Il constitue donc une source appropriée lorsque le calcul concerne un élément de pont routier et que le contexte de conception applicable est celui d’un projet de transport aux États-Unis.

Pour un élément de pont, le manuel peut aider à établir la nuance, la forme du produit, l’état limite et la convention de conception applicables. La désignation doit être conservée exactement comme spécifiée : par exemple, ASTM A709 Grade 50W n’est pas la même désignation que ASTM A572 Grade 50, même si toutes deux peuvent apparaître dans des discussions sur les aciers de construction. Les propriétés mécaniques et les exigences environnementales peuvent différer, et les documents du projet peuvent imposer des restrictions supplémentaires concernant la ténacité, le soudage ou l’inspection.

Le manuel ne doit pas être utilisé pour écarter une exigence propre au projet. Si les documents contractuels indiquent ASTM A709 Grade 50, utilisez cette désignation ainsi que la documentation associée au matériau. S’ils indiquent ASTM A709 Grade 50W, ne remplacez pas implicitement cette nuance par une autre au motif qu’un calculateur générique donne la même masse volumique. La masse volumique influe sur la masse et le volume ; elle ne permet pas d’établir la limite d’élasticité, la ténacité à la rupture, la soudabilité, la résistance à la corrosion ou les performances en fatigue.

Pour les quantités préliminaires d’un pont, 7850 kg/m³ constitue une hypothèse conventionnelle et traçable. Le UFC 4-023-07 du U.S. Department of Defense, publié en 2008, indique 7850 kg/m³ et donne environ 490 lb/ft³. Ces deux valeurs sont des équivalents arrondis : la conversion de 7850 kg/m³ donne environ 490.1 lb/ft³. L’arrondi est acceptable lorsque la précision requise le permet, mais le calcul devrait préciser le système d’unités et la précision utilisés.

Choisir une source pour un calcul

Utilisez une hiérarchie claire des sources. La spécification applicable au projet, la norme relative au matériau ou l’exigence contractuelle prévaut. Vient ensuite un code de conception ou un manuel institutionnel. En troisième lieu vient une fiche technique vérifiée du fabricant ou du laboratoire. Un calculateur général en ligne ou un tableau de référence dépourvu de source vient en dernier, principalement pour un examen préliminaire ou une vérification arithmétique.

Cet ordre empêche une valeur pratique de prendre le pas sur la base de conception réelle. Un projet peut spécifier ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, ASTM A709 Grade 50, ASTM A709 Grade 50W ou une autre désignation. Une fiche technique relative à l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569 indique une masse volumique typique de 7.80 g/cm³, équivalente à 7800 kg/m³ ou 0.282 lb/in³. Une fiche technique relative à un acier à ultrahaute résistance 300M indique 7.87 g/cm³, soit 7870 kg/m³ et 0.284 lb/in³. Ces valeurs montrent pourquoi 7850 kg/m³ ne devrait pas être présenté comme une valeur exacte pour toutes les nuances.

D’autres références montrent la même dispersion dans la pratique courante de l’ingénierie. RoyMech utilise 7830 kg/m³ pour l’acier doux lors du calcul de la masse par unité de longueur d’une barre rectangulaire, tandis qu’Engineering ToolBox indique pour l’acier environ 7.82 g/cm³. Aucune de ces valeurs ne prévaut automatiquement sur une spécification applicable. Chacune constitue une valeur de référence déclarée, avec sa propre précision et son propre domaine d’application.

Consignez la source, la date de publication ou de consultation, la désignation du matériau, les unités, la température de référence lorsqu’elle est disponible et la masse volumique retenue. Indiquez également si le résultat concerne l’acier nu ou s’il comprend la peinture, la galvanisation, la protection contre l’incendie, les éléments de fixation, le métal de soudure ou d’autres matériaux fixés. La géométrie doit également être précisée : dimensions nominales, dimensions mesurées ou aire de la section transversale indiquée dans un tableau. Pour un profilé laminé, utilisez la masse indiquée dans le tableau du fabricant ou de la norme lorsque celle-ci tient déjà compte des congés, des rayons d’angle et des tolérances d’épaisseur ; multiplier uniquement la largeur hors tout par la hauteur hors tout peut surestimer ou représenter incorrectement l’aire réelle.

Enfin, distinguez la masse volumique du poids volumique et de la densité relative. Le poids volumique est le poids par unité de volume et dépend de l’accélération de la pesanteur ; la densité relative est un rapport par rapport à une substance de référence, généralement l’eau. Aucun de ces termes ne peut remplacer la masse volumique dans $m=\rho V$. Pour les estimations ordinaires de structures à température ambiante, 7850 kg/m³ constitue souvent une convention fiable. Cette hypothèse devient inappropriée lorsque la nuance, la température, la géométrie, la porosité, le système de revêtement ou la précision requise indiquent le contraire.

Protocole de calcul destiné aux ingénieurs, aux fabricants et aux étudiants

Un calcul fiable de l’acier commence par l’identification de la grandeur demandée, et non par la saisie de 7850 dans une calculatrice. La masse volumique, la masse, le volume, la masse par unité de longueur, le volume massique, le poids volumique et la densité relative sont liés, mais ils ne sont pas interchangeables.

Définir la grandeur demandée

Le NIST définit la masse volumique comme la masse divisée par le volume :

$$\rho =\frac{m}{V}$$

Son unité SI est le kilogramme par mètre cube, kg/m³. Le NIST définit également le volume massique comme le volume divisé par la masse :

$$v=\frac{V}{m}=\frac{1}{\rho }$$

Le volume massique s’exprime donc dans des unités telles que m³/kg, et non en kg/m³. Cette distinction est importante lors de la consultation de tableaux de propriétés thermophysiques ou de la conversion d’une équation provenant d’un manuel.

Si le résultat demandé est une masse, on réarrange l’équation de la masse volumique :

$$m=\rho V$$

Si le résultat demandé est un volume :

$$V=\frac{m}{\rho }$$

Pour un élément structural, la grandeur recherchée est généralement la masse par unité de longueur :

$$\frac{m}{L}=\rho A$$

où $A$ est l’aire de la section transversale perpendiculaire à l’axe de l’élément. Cette équation explique pourquoi un tableau de profils peut indiquer des kilogrammes par mètre sans préciser le volume tridimensionnel complet de chaque longueur possible d’élément.

Le poids est différent de la masse. Le poids volumique est une force par unité de volume :

$$\gamma =\rho g$$

où $g$ est l’accélération de la pesanteur. Une valeur en N/m³ ou en kN/m³ n’est pas une masse volumique en kg/m³. La densité relative est un rapport, généralement la masse volumique du matériau divisée par celle d’une substance de référence, couramment l’eau à une température donnée. Elle n’a pas d’unité. Appeler 7850 kg/m³ une « densité relative » constitue donc une erreur de catégorie.

L’objet considéré doit également être défini. La « masse de la plaque d’acier » peut désigner l’acier nu uniquement, tandis que la « masse d’expédition de l’ensemble revêtu » peut inclure la peinture, la galvanisation, le métal de soudage, les boulons, les plaques d’appui et les éléments de fixation. Un calcul au feu peut nécessiter le périmètre chauffé exposé divisé par l’aire de la section transversale en acier, c’est-à-dire le facteur de massivité de la section en acier utilisé par le Conseil national de recherches du Canada dans ses recommandations de 2019. Il s’agit d’un paramètre géométrique d’exposition, et non d’une masse volumique ni d’une masse par mètre.

Sélectionnez la valeur du matériau en fonction de l’application. Les références de conception des structures en acier utilisent couramment 7850 kg/m³ pour établir des tableaux de masses par mètre. Le Conseil national de recherches du Canada indique une masse volumique de l’acier de 7850 kg/m³, et le U.S. Department of Defense, dans l’UFC 4-023-07, indique la même valeur, soit environ 490 lb/ft³. Le Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3e édition (2016), utilise également 7850 kg/m³ pour les masses tabulées des aciers de construction.

Ces références établissent une convention d’ingénierie utile, et non une valeur immuable pour chaque nuance. MatWeb indique une masse volumique typique de 7,80 g/cm³ pour l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569, soit l’équivalent de 7800 kg/m³. ASM MatWeb indique 7,87 g/cm³ pour l’acier à très haute résistance 300M, soit 7870 kg/m³. RoyMech utilise 7830 kg/m³ pour l’acier doux, tandis qu’Engineering ToolBox indique pour l’acier environ 7,82 g/cm³. Les différences sont modestes pour de nombreuses estimations de fabrication, mais elles sont réelles et peuvent être importantes dans les bilans de masse de haute précision, l’identification des matériaux, l’analyse thermique et les calculs certifiés.

Vérifier les dimensions et les unités

Avant d’effectuer le calcul, inscrivez chaque dimension avec son unité. Convertissez toutes les grandeurs géométriques dans un système cohérent avant de les multiplier. Pour les calculs en unités SI, utilisez les mètres pour les longueurs, les mètres carrés pour les aires et les mètres cubes pour les volumes. Les recommandations SI 2024 du NIST, notamment l’appendice B.9, fournissent les relations dimensionnelles et le cadre de conversion nécessaires à cette vérification.

L’erreur la plus courante consiste à utiliser 7,85 comme s’il s’agissait de kg/m³. Le nombre 7,85 est couramment utilisé comme abréviation de 7,85 g/cm³. Ces deux valeurs sont équivalentes à 7850 kg/m³, car :

$$1{\text{g/cm}}^3=1000{\text{kg/m}}^3$$

Ainsi, pour une barre rectangulaire de 50 mm de largeur, de 20 mm d’épaisseur et de 3,0 m de longueur, convertissez d’abord les dimensions :

$$A=\left(0.050\right)\left(0.020\right)=0.00100{\text{m}}^2$$

$$V=\mathrm{AL}=\left(0.00100\right)\left(3.0\right)=0.00300{\text{m}}^3$$

En utilisant la valeur conventionnelle applicable aux structures :

$$m=\left(7850\right)\left(0.00300\right)=23.55\text{kg}$$

Le même résultat peut être obtenu à partir de la masse par unité de longueur :

$$m/L=\left(7850\right)\left(0.00100\right)=7.85\text{kg/m}$$

$$m=\left(7.85\right)\left(3.0\right)=23.55\text{kg}$$

Conservez les unités à chaque ligne intermédiaire. Elles permettent de révéler les erreurs qu’une calculatrice dissimulera. La multiplication d’une largeur par une épaisseur donne une aire, et non un volume. L’aire ne devient un volume qu’après multiplication par une longueur. Un rectangle de 50 mm sur 20 mm ne représente pas « 1000 mm³ » ; il représente 1000 mm². La longueur manquante n’est pas une omission négligeable.

Pour les profils creux, calculez l’aire d’acier plutôt que l’aire de l’enveloppe extérieure lorsque le résultat concerne la masse d’acier. Pour un profil creux rectangulaire, soustrayez l’aire du vide intérieur de l’aire extérieure, en tenant compte des rayons de raccordement et de l’épaisseur réelle de la paroi lorsque le tableau de profils les fournit. Pour un profil en I, utilisez l’aire de la section transversale publiée par le fabricant ou la norme lorsqu’elle est disponible ; l’addition des rectangles nominaux des semelles et de l’âme peut introduire des erreurs au niveau des congés, des changements d’épaisseur et des profils laminés.

Soyez explicite quant à la température et à l’état du matériau. La dilatation thermique modifie les dimensions, et la masse volumique varie inversement avec le volume si la masse reste constante. Un calcul effectué à température ambiante peut ne pas représenter un composant de four, un assemblage cryogénique ou un élément exposé à un incendie. Le NIST NCSTAR 1-3 fournit des informations sur les propriétés physiques des aciers de construction, tandis que le Steel Bridge Design Handbook de la Federal Highway Administration traite des aciers pour ponts et de leurs propriétés mécaniques. Aucune de ces sources ne transforme une masse volumique arrondie en constante universelle indépendante de la nuance.

Les revêtements exigent la même rigueur. Une plaque d’acier de 10 mm recouverte de peinture possède pratiquement le même volume d’acier que la plaque non peinte, mais la masse totale de l’ensemble est supérieure. Le revêtement de zinc, la protection contre l’incendie, les produits de corrosion, le métal de soudage, les boulons et l’humidité retenue peuvent tous devoir être inclus dans un calcul de masse d’ensemble. Précisez si le résultat correspond à la masse de l’acier nu, à la masse de la pièce finie ou à la masse de transport.

Vérifier le résultat par rapport aux données de profil

La dernière étape consiste à effectuer une comparaison indépendante. Utilisez un tableau de profils fiable, une fiche technique du laminoir, un plan de fabrication ou un certificat de matériau, et comparez des éléments équivalents : même désignation de profil, même base de longueur, même épaisseur nominale, même convention de masse volumique et mêmes règles d’inclusion. Une masse par mètre publiée peut inclure la géométrie nominale, tout en excluant les revêtements et les éléments rapportés.

Pour l’exemple ci-dessus, un tableau de profils devrait être cohérent avec une valeur de 7,85 kg/m pour un rectangle plein de 50 mm × 20 mm selon la convention de 7850 kg/m³. S’il indique 78,5 kg/m, vérifiez la conversion des millimètres en mètres. S’il indique 0,00785 kg/m, vérifiez les unités de l’aire. Si le tableau présente une légère différence, contrôlez les rayons de raccordement, les dimensions réelles, les tolérances de laminage et la masse volumique retenue.

N’arrondissez qu’après avoir terminé le calcul et la comparaison. Conservez des chiffres supplémentaires dans les dimensions converties, l’aire, le volume et la masse par mètre ; indiquez ensuite une précision justifiée par les données d’entrée. Un résultat de 23,55 kg ne doit pas être présenté sous la forme 23,550000 kg simplement parce qu’un tableur affiche six décimales.

Enfin, consignez l’hypothèse à côté du résultat : « 23,6 kg, acier rectangulaire nu équivalent à l’ASTM A366/A569, avec une masse volumique de 7850 kg/m³, dimensions nominales et longueur de 3,0 m. » Cette formulation rend le résultat reproductible et montre précisément dans quelles conditions une nuance, une température, un revêtement, une géométrie ou une convention de masse volumique différente le modifierait.

Limites du calcul simplifié de la masse volumique

L’utilisation de

$$m=\rho V$$

avec $\rho =7850{\text{kg/m}}^3$ est souvent suffisante pour un métré préliminaire de l’acier ou pour un calcul structural fondé sur des tableaux de profils publiés. Elle ne constitue toutefois pas une description complète d’un élément en acier fabriqué. Le résultat dépend du volume utilisé, du matériau que ce volume représente et du fait que le calcul porte sur de l’acier nu, un assemblage revêtu ou un composant fini.

Le National Institute of Standards and Technology (NIST) définit la masse volumique comme le quotient de la masse par le volume, $\rho =m/V$, et le volume massique comme $V/m$ dans ses recommandations SI de 2024. Ces définitions n’attribuent pas une masse volumique unique à chaque nuance d’acier. La valeur de 7850 kg/m³ est une donnée conventionnelle d’ingénierie : le Handbook of Structural Steelwork, 3e édition (2016), l’utilise pour la masse par mètre des aciers de construction figurant dans les tableaux, tandis que le National Research Council Canada (2019) et le U.S. Department of Defense UFC 4-023-07 (2008) indiquent également 7850 kg/m³, l’UFC donnant environ 490 lb/ft³. Ces références établissent une base de calcul pratique, et non une constante universelle du matériau.

Dimensions nominales et dimensions après fabrication

Les tableaux de profils décrivent normalement les dimensions nominales. Une barre rectangulaire nominale de 200 mm sur 100 mm, par exemple, présente une aire théorique de $0.020{\text{m}}^2$, de sorte que sa masse estimée par mètre est

$$0.020\times 7850=157\text{kg/m}.$$

Cette valeur suppose que le profil est un rectangle plein présentant exactement ces dimensions. La barre fabriquée peut toutefois être légèrement supérieure ou inférieure à la dimension nominale, dans les limites de tolérance autorisées par sa norme produit. L’épaisseur de la tôle, la largeur des semelles, l’épaisseur de l’âme, le diamètre extérieur, le rayon des angles, la rectitude et la longueur peuvent toutes différer de la valeur indiquée sur le dessin tout en restant conformes.

La différence devient plus importante pour les grandes quantités. Une faible variation d’épaisseur répétée sur de nombreuses tôles peut modifier la masse totale de plusieurs centaines de kilogrammes. Un bureau d’études peut donc effectuer ses calculs à partir des dimensions nominales, parce que la spécification applicable, la nomenclature ou le tableau de profils repose sur une masse nominale. En revanche, un relevé de fabrication, un plan de levage, un document de transport ou une expertise peuvent exiger les dimensions effectivement mesurées.

La même distinction s’applique aux profils creux. Pour un profil creux rectangulaire, le volume d’acier n’est pas simplement celui du rectangle extérieur : il correspond à l’aire extérieure diminuée du vide intérieur, en tenant compte, lorsque cela est nécessaire, des rayons d’angle et des tolérances d’épaisseur de paroi. L’intérieur vide ne contribue pas à la masse d’acier. Il peut toutefois contenir de l’eau, du coulis, une protection contre l’incendie, un isolant ou un autre matériau qui doit être inclus dans la masse de l’assemblage. Un écart apparent entre la masse calculée et la masse pesée peut donc résulter de l’inclusion ou de l’exclusion du volume occupé par ces contenus.

La température constitue une autre réserve. L’acier se dilate lorsqu’il est chauffé ; les dimensions et le volume utilisés pour un élément chaud ne sont donc pas les mêmes que ceux mesurés à la température de référence utilisée pour un dessin à température ambiante. La masse volumique varie également avec la température, car la masse reste essentiellement constante tandis que le volume change. Pour une estimation ordinaire à température ambiante, cet effet est généralement faible, mais les calculs de résistance au feu ne peuvent pas mélanger implicitement des dimensions à froid avec une géométrie chauffée. La source du National Research Council Canada définit également le facteur de massivité d’une section en acier comme le rapport entre le périmètre chauffé et l’aire de la section transversale ; ce rapport géométrique est distinct de la masse volumique et peut varier selon la manière dont les revêtements, les espaces et les surfaces exposées sont représentés.

Revêtements, calamine, soudures et éléments rapportés

Un calcul de masse volumique du substrat en acier n’inclut pas automatiquement la peinture, la galvanisation, la calamine, le métal de soudure, les boulons, les clips, les raidisseurs ou autres éléments rapportés. Les traitements de surface sont souvent minces par rapport à l’acier de base, mais leur masse totale peut devenir significative sur de grandes surfaces revêtues ou sur des composants comportant plusieurs couches. La galvanisation ajoute du zinc, et non de l’acier ; lorsque la masse finie est recherchée, il convient d’utiliser l’épaisseur de revêtement et la masse volumique du zinc appropriées. Pour les systèmes de peinture, il faut connaître l’épaisseur du film sec et la masse volumique du revêtement ; la quantité appliquée à l’état humide n’est pas identique à la masse après durcissement.

La calamine pose un problème différent. Il s’agit d’une couche superficielle oxydée formée pendant la fabrication, qui peut rester sur le produit, être éliminée par grenaillage ou être partiellement perdue lors de la manutention. La considérer comme faisant partie du volume nominal d’acier peut surestimer la masse du métal de base, tandis que l’ignorer peut sous-estimer la masse pesée d’un élément non décapé. Le traitement correct dépend de la question de savoir si la spécification définit la masse du produit nu, du produit revêtu ou de l’assemblage livré.

Les soudures constituent elles aussi une matière réelle. Les cordons d’angle, le renfort des soudures bout à bout, les soudures de pointage et les soudures de réparation occupent un volume absent d’un simple calcul fondé sur la longueur de l’élément. Leur masse est généralement estimée à partir de la dimension et de la longueur de la soudure ainsi que de la masse volumique du métal de soudure, ou déterminée à partir des dossiers de fabrication. Le métal de soudure peut présenter une composition différente de celle de la tôle ou du profil ; lui attribuer la masse volumique de l’acier de base constitue donc une approximation, même lorsque l’effet numérique est modeste.

Les éléments de fixation et les accessoires peuvent être plus importants que les soudures. Les boulons, écrous, rondelles, couvre-joints, échelles, oreilles de levage, plaques d’appui, raidisseurs, garde-corps et accessoires de drainage doivent être ajoutés en tant que masses distinctes lorsque la question porte sur l’assemblage fini. À l’inverse, la masse par mètre indiquée dans un tableau de profils exclut généralement les assemblages et la quincaillerie installée sur le chantier. Le double comptage est aussi fréquent que l’omission : un raidisseur peut être inclus dans un modèle détaillé, puis ajouté de nouveau au titre d’une tolérance de fabrication.

Quand une mesure ou une certification est nécessaire

Une masse calculée à partir de 7850 kg/m³ n’est appropriée que lorsque le contexte de conception ou d’estimation applicable autorise cette hypothèse. Elle convient à de nombreuses quantités préliminaires, aux nomenclatures de profils normalisés et aux calculs qui adoptent explicitement une masse conventionnelle issue des tableaux. Le choix doit être consigné, notamment les dimensions, le système d’unités, l’arrondi et le fait que le résultat représente de l’acier nu ou un assemblage.

Une détermination propre au matériau exige des éléments plus probants. Utilisez les données relatives à la nuance applicable ou la norme produit lorsque la composition chimique, la certification, la masse contractuelle ou un bilan massique précis revêt une importance particulière. Les données publiées illustrent cette nécessité : MatWeb indique une masse volumique typique de 7.80 g/cm³ pour l’acier à faible teneur en carbone ASTM A366/A569, tandis que ASM MatWeb indique 7.87 g/cm³ pour l’acier ultrahaute résistance 300M. RoyMech utilise 7830 kg/m³ pour l’acier doux, et Engineering ToolBox indique environ 7.82 g/cm³ pour l’acier. Ces valeurs sont proches de 7850 kg/m³, mais elles ne permettent pas de conclure que tous les produits présentent une masse volumique identique.

La mesure doit prévaloir lorsque la géométrie après fabrication est accessible et que les conséquences d’une erreur sont importantes. Relevez la longueur, les épaisseurs, les diamètres, les rayons, les ouvertures et les dimensions intérieures des profils creux, puis comptabilisez séparément les revêtements, la calamine, les soudures, les éléments de fixation, les contenus piégés et les éléments rapportés. La pesée peut être préférable pour un assemblage achevé, à condition que la balance soit étalonnée et que les conditions de pesée soient documentées. Un certificat de coulée ou un certificat d’essai peut établir la nuance fournie et la norme produit, mais il ne permet pas toujours d’établir la masse de la peinture, des soudures, des boulons ou de l’humidité ajoutés ultérieurement.

La limite est d’ordre pratique : 7850 kg/m³ fournit une estimation d’ingénierie utile lorsque le modèle autorisé est nominal, établi à température ambiante et fondé sur des données conventionnelles de profils en acier. Dès que la masse volumique propre à la nuance, la géométrie dépendant de la température, les tolérances de fabrication, le traitement de surface ou la masse de l’assemblage fini déterminent la décision, ce sont les données relatives à la nuance applicable, la norme produit, les informations certifiées ou la géométrie mesurée qui doivent prévaloir.

Références

1. [1]Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 3rd Edition. Steel Handbook: Handbook of Structural Steelwork, 2016. https://www.uceb.eu/DATA/CivBook/50.%20HandBook%20of%20Structural%20Steel%20Work.pdf
2. [2]U.S. Department of Defense. UFC 4-023-07. Unified Facilities Criteria, 2008. https://www.wbdg.org/FFC/DOD/UFC/ARCHIVES/ufc_4_023_07_2008.pdf
3. [3]National Research Council Canada. Fire Safety Design of Buildings: NRC Short Course Material. National Research Council Canada publication, 2019. https://nrc-publications.canada.ca/eng/view/accepted/?id=dd58a59c-70f5-45d8-a05b-332d6d62a83c