Constantes élastiques et relations entre les modules de l’acier

Ce que signifient les constantes élastiques de l’acier — et ce qu’elles ne signifient pas

Les constantes élastiques sont des paramètres qui relient la contrainte appliquée à la déformation qui en résulte tant qu’un matériau reste dans son domaine élastique. Dans ce domaine, la suppression de la charge permet à l’éprouvette de retrouver, au moins approximativement, ses dimensions initiales. Dans un essai de traction simple, le module de Young est le rapport entre la contrainte axiale et la déformation axiale,

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }.$$

Cette relation décrit la pente de la partie initiale et réversible de la courbe contrainte–déformation. Elle ne décrit pas la courbe entière et n’indique pas quelle contrainte l’acier peut supporter avant de subir une déformation permanente ou une rupture.

Seules deux constantes élastiques sont indépendantes pour un solide isotrope à comportement linéairement élastique. Strong evidence

Pour un solide isotrope à comportement linéaire élastique, seules deux constantes élastiques sont indépendantes. Un ensemble couramment utilisé comprend le module de Young $E$, le coefficient de Poisson $\nu$, le module de compressibilité $K$ ou $B$, le module de cisaillement $G$, le premier paramètre de Lamé $\lambda$ et $2\mu$, avec $\mu =G$. Sandia National Laboratories répertorie ces six grandeurs liées entre elles et indique que $E$ et $\nu$ déterminent les autres. Par exemple,

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

et

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Module de compressibilitéModule de compressibilité Mesure de la résistance à une variation volumique uniforme sous pression ; il est généralement noté K ou B.

La notation varie : le NIST et d’autres sources utilisent souvent $B$ pour le module de compressibilité, tandis que les ouvrages d’ingénierie et les logiciels de calcul par éléments finis utilisent souvent $K$. Ces deux notations désignent la même propriété isotrope.

Réponse élastique, résistance et plasticité

L’élasticité répond à une question précise : quelle déformation accompagne une contrainte donnée avant le début de la déformation permanente ? La résistance mécanique répond à d’autres questions. La limite d’élasticité identifie la contrainte associée au début d’une déformation plastique spécifiée ; la résistance à la traction est la contrainte nominale maximale atteinte au cours d’un essai de traction ; la résistance à la rupture concerne la séparation de l’éprouvette. Aucune de ces grandeurs n’est un autre nom du module de Young.

Un acier peut avoir une limite d’élasticité élevée et pratiquement le même module de Young qu’un acier de moindre résistance et de composition similaire. L’écrouissage, le durcissement structural ou la transformation martensitique peuvent accroître considérablement la limite d’élasticité et la dureté tout en modifiant beaucoup moins le module de traction aux faibles déformations. Cela s’explique par le fait que les mécanismes de durcissement entravent le mouvement des dislocations, tandis que la réponse élastique initiale reflète principalement la rigidité des liaisons atomiques et la structure cristalline globale. Cette distinction est essentielle lorsqu’on compare, par exemple, un acier faiblement allié trempé et revenu à un produit recuit de composition chimique apparentée.

La plasticité commence lorsque la relation contrainte–déformation ne suit plus la pente élastique linéaire initiale. Un modèle constitutif plastique nécessite alors des informations telles que les critères de plasticité, la loi d’écrouissage, la règle d’écoulement, la sensibilité à la vitesse de déformation et la dépendance à la température. Le module de Young, à lui seul, ne fournit aucune de ces informations. Un modèle par éléments finis qui contient une valeur exacte de $E$, mais une surface de plasticité inadéquate, peut néanmoins prédire très incorrectement la déformation permanente.

D’autres propriétés mécaniques répondent à des questions encore différentes. La dureté mesure la résistance à une pénétration localisée et présente souvent une corrélation avec la résistance mécanique au sein d’une famille d’aciers contrôlée, mais ce n’est pas un module. La ténacité concerne l’absorption d’énergie et la résistance à la propagation des fissures dans des conditions d’essai spécifiées. La résistance à la fatigue concerne l’accumulation des dommages sous des charges répétées ou fluctuantes. Un acier peut avoir un module élastique similaire à celui d’une autre nuance, tout en présentant une dureté, une ténacité aux chocs, un comportement de propagation des fissures ou une durée de vie en fatigue différents.

L’élasticité ne signifie pas non plus que chaque cycle de chargement est parfaitement réversible. L’acier réel peut présenter une microplasticité, une anélasticité, des effets de contraintes résiduelles, une hystérésis ou des dommages avant qu’un point d’écoulement conventionnel ne soit clairement visible. Le module indiqué pour un essai donné dépend donc de son intervalle de déformation, de la vitesse de chargement, de l’historique des cycles et de la méthode de réduction des données.

Le module comme mesure de la rigidité, et non de la contrainte de rupture

Un module mesure la rigidité : la contrainte nécessaire pour produire une déformation élastique donnée dans un mode de déformation défini. Le module de Young concerne l’allongement ou la contraction axiale. Le module de cisaillement décrit la résistance au changement de forme sous l’effet d’une contrainte de cisaillement. Le module de compressibilité décrit la résistance à une variation uniforme de volume sous pression. OpenStax fournit ces interprétations physiques correspondantes pour les déformations en traction, en cisaillement et volumétriques.

Un module élevé signifie qu’une contrainte donnée produit une déformation élastique plus faible. Cela ne signifie pas que le matériau supporte une contrainte plus élevée avant de subir une déformation plastique ou une rupture. Considérons deux composants en acier ayant le même $E$, mais des limites d’élasticité différentes. Sous la même contrainte de service, ils subissent approximativement le même allongement élastique. Le composant de plus haute résistance peut tolérer une contrainte plus élevée avant de subir une déformation plastique, mais sa réponse élastique initiale n’est pas sensiblement plus rigide simplement parce que sa limite d’élasticité est plus élevée.

Le module de compressibilité possède une définition thermodynamique particulièrement claire. Dans son chapitre de manuel publié en 1982, le National Institute of Standards and Technology écrit

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$[1][1] Bulk modulus definition. National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

où $V$ est le volume, $P$ la pression et où la dérivée est prise à température constante. Il s’agit d’une propriété volumétrique, et non d’une limite de rupture en traction. L’acier étant difficile à comprimer uniformément, son module de compressibilité est élevé ; ce fait ne renseigne guère, à lui seul, sur la ductilité en traction ou la ténacité à la rupture.

Il ne faut pas non plus confondre le module avec la résilience. L’énergie élastique stockée par unité de volume dépend de la contrainte et du module, tandis que l’énergie récupérable jusqu’à la limite d’élasticité dépend à la fois du module et de la limite d’élasticité. L’augmentation de la limite d’élasticité peut donc accroître la capacité de stockage d’énergie élastique même lorsque $E$ ne varie que légèrement.

Pourquoi une nuance d’acier n’a pas un module universel unique

Une désignation telle que ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, EN 10025-2 S355JR ou AISI 304 identifie une spécification, une plage de composition, un état du produit ou un ensemble de performances requises ; elle ne définit pas une valeur élastique unique et immuable pour chaque éprouvette fabriquée selon cette désignation. La réponse mesurée dépend de l’état du matériau et des conditions d’essai.

La température est une variable majeure. Les constantes élastiques varient généralement avec la température, et les transformations de phase peuvent entraîner des variations plus importantes lorsqu’elles modifient la structure cristalline ou le mélange de phases. Un rapport du National Bureau of Standards publié en 1981 a mesuré les constantes élastiques d’un acier austénitique Fe-5Cr-26Mn entre 76 et 400 K, en utilisant les vitesses du son dans les modes longitudinal et transversal. Cette plage de température suffit à démontrer pourquoi une valeur fournie sans température d’essai est incomplète.

Quasi-isotropeQuasi-isotrope Réponse effective d’un matériau suffisamment proche de l’isotropie pour un calcul, une plage de directions et une échelle définis, bien que les grains individuels restent anisotropes.

La texture et la direction sont également importantes. Les cristaux individuels de ferrite, d’austénite ou de martensite sont élastiquement anisotropes, ce qui signifie que leur rigidité dépend de la direction cristallographique. Les tôles laminées, les barres forgées, les fils tréfilés et les matériaux fabriqués par fabrication additive peuvent développer des orientations préférentielles. Un agrégat polycristallin peut se comporter de manière approximativement isotrope lorsque les orientations cristallines sont suffisamment réparties, mais un produit fortement texturé peut nécessiter des constantes spécifiques à chaque direction. Le module longitudinal dans la direction de laminage n’est pas nécessairement égal à la valeur mesurée dans l’épaisseur.

La constitution en phases, les inclusions, la porosité, les contraintes résiduelles, la structure des grains et la forme du produit influencent également la réponse globale mesurée. Le métal fondu et les zones affectées thermiquement peuvent différer de la tôle de base, même s’ils relèvent de la même spécification de projet. Les constantes d’un monocristal ne peuvent pas être simplement substituées aux valeurs de dimensionnement d’un matériau polycristallin. Le manuel du NIST explique comment des modules de Young, de cisaillement, de compressibilité et autres modules apparentés quasi isotropes peuvent être dérivés de données de rigidité élastique de monocristaux pour des matériaux cubiques et hexagonaux, mais ce calcul dépend de la symétrie cristalline et des hypothèses concernant la moyenne des orientations.

[2][2] Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.

ASTM E1875-20a spécifie la mesure dynamique du module de Young, du module de cisaillement et du coefficient de Poisson par résonance sonique. Strong evidence

La méthode de mesure modifie le résultat indiqué. Un essai de traction lent produit un module statique ou sécant/tangent fondé sur la force et le déplacement, tandis que les méthodes ultrasonores ou par résonance déterminent un module dynamique à partir de la vitesse de propagation des ondes ou de la fréquence propre. La norme ASTM E1875-20 spécifie la détermination du module de Young dynamique, du module de cisaillement et du coefficient de Poisson « par résonance acoustique ». Les valeurs dynamiques peuvent différer des valeurs statiques en raison de la fréquence, de l’amortissement, de la compliance de la machine, de l’amplitude de déformation et du traitement des parties non idéales de l’éprouvette.

Par conséquent, un rapport utile sur le module doit préciser au moins la désignation de l’acier, la forme et l’état du produit, la température, la direction de chargement, le mode de déformation et la méthode de mesure. Il doit également indiquer si la valeur est mesurée, calculée à partir d’autres constantes ou adoptée comme hypothèse de dimensionnement. Engineering ToolBox donne un module de compressibilité approximatif de 163 GPa pour l’« acier inoxydable », mais il s’agit d’une estimation de référence secondaire et non d’une valeur universelle pour toutes les nuances d’acier inoxydable, tous les traitements thermiques, toutes les textures, toutes les températures ou toutes les méthodes d’essai. L’utilisation d’un seul nombre pour tous les produits peut être acceptable dans le cadre d’un calcul isotrope préliminaire lorsque l’hypothèse est explicitement déclarée. Le présenter comme une propriété matérielle indépendante de la nuance ne l’est pas.

La théorie à deux constantes de l’élasticité linéaire isotrope

L’élasticité linéaire décrit la partie réversible de la réponse d’un matériau lorsque les contraintes et les déformations restent suffisamment faibles pour qu’une relation linéaire s’applique. Le terme isotrope ajoute une condition distincte : on suppose que la réponse est identique dans toutes les directions. Sous ces deux hypothèses, le tenseur de rigidité élastique comporte beaucoup moins de termes indépendants que celui d’un solide anisotrope général. Six grandeurs couramment rapportées — le module d’Young $E$, le coefficient de Poisson $\nu$, le module d’incompressibilité $K$ ou $B$, le module de cisaillement $G$, le premier paramètre de Lamé $\lambda$ et $2\mu$ — peuvent donc être exprimées à partir de seulement deux constantes choisies.

Ce résultat s’applique au modèle constitutif, et non automatiquement à chaque valeur mesurée rapportée pour l’acier. La température, la constitution des phases, la texture cristallographique, la porosité, les contraintes résiduelles, l’orientation de l’éprouvette, la fréquence et la méthode d’essai peuvent toutes influer sur la réponse mesurée. Une valeur utilisée dans un modèle isotrope de calcul par éléments finis est souvent une propriété d’ingénierie effective plutôt qu’une description complète de la microstructure du matériau.

Pourquoi seulement deux constantes indépendantes sont nécessaires

La contrainte et la déformation sont des tenseurs du second ordre. Dans le solide élastique linéaire le plus général, leur relation nécessite un tenseur de rigidité du quatrième ordre, comportant de nombreux couplages directionnels possibles. La symétrie des tenseurs de contrainte et de déformation réduit le nombre de termes indépendants, et la symétrie du matériau le réduit davantage encore. L’isotropie impose la symétrie matérielle ordinaire la plus forte : aucune direction ne se distingue mécaniquement.

La relation isotrope contrainte–déformation peut s’écrire

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

où ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ est le tenseur des contraintes, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ est le tenseur des déformations, ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ est le delta de Kronecker, et $\lambda$ et $\mu$ sont les paramètres de Lamé. Ainsi, $\lambda$ et $\mu$ constituent une paire valide de constantes indépendantes. Le module de cisaillement est $G=\mu$, de sorte que l’utilisation de $G$ et de $\lambda$ est équivalente.

L’ouvrage Elasticity of Solids (2020) publié par Springer énonce directement le résultat central : pour un solide isotrope, seules deux constantes élastiques sont indépendantes. La documentation Sierra des Sandia National Laboratories présente l’ensemble isotrope correspondant comme le module d’Young $E$, le coefficient de Poisson $\nu$, le module d’incompressibilité $K$, le module de cisaillement $G$, le premier paramètre de Lamé $\lambda$ et $2\mu$, et précise que $E$ et $\nu$ déterminent les autres. La présence de six appellations ne crée pas six propriétés de matériau réglables séparément.

Pour la paire courante $E,\nu$, les conversions sont

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )},$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )},$$

et

$$2\mu =2G=\frac{E}{1+\nu }.$$

Les relations inverses sont également utiles :

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G},$$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}.$$

Ces équations ne sont pas des corrélations empiriques limitées à une seule famille d’aciers. Elles découlent de la loi constitutive isotrope élastique linéaire. Elles imposent également des exigences de cohérence. Pour un solide isotrope stable et ordinaire, $G>0$, $K>0$ et $-1<\nu <0.5$. Lorsque $\nu$ tend vers 0.5, le matériau devient presque incompressible dans le modèle : $K$ devient beaucoup plus grand que $G$, tandis que $E$ reste lié aux deux.

Les significations physiques diffèrent, même si les constantes sont mathématiquement liées. OpenStax décrit le module d’Young comme le rapport qui régit la réponse en traction, le module d’incompressibilité comme la réponse à une compression volumique et le module de cisaillement comme la réponse à une déformation de cisaillement. Un essai de traction fournit principalement $E$, mais la mesure de la déformation latérale parallèlement à la déformation axiale fournit $\nu$. Une expérience pression–volume vise à déterminer $K$, tandis qu’un essai de torsion ou une mesure par onde de cisaillement vise à déterminer $G$. Dès lors qu’une paire cohérente est connue, les autres modules sont calculés plutôt que choisis indépendamment.

La définition thermodynamique du module d’incompressibilité explicite sa distinction par rapport au module d’Young :

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Cette expression, donnée par le National Institute of Standards and Technology en 1982, décrit la résistance à une variation de volume sous pression à température constante. Elle ne signifie pas qu’un module d’incompressibilité tabulé est interchangeable avec un module de traction. Leur relation numérique n’existe qu’après application des hypothèses constitutives isotropes.

$E$ et $\nu$ comme paire de paramètres d’entrée pratique

Les calculs d’ingénierie utilisent couramment $E$ et $\nu$, car ces grandeurs correspondent naturellement à un essai de traction uniaxiale et sont directement documentées dans les données normalisées relatives aux matériaux de construction. Dans un modèle tridimensionnel isotrope, la saisie de ces deux grandeurs permet au logiciel de construire $G$, $K$, $\lambda$ et $2\mu$ sans constantes de matériau supplémentaires. La saisie des six valeurs peut créer un modèle incohérent si elles ne satisfont pas les équations de conversion.

Cela est particulièrement important lorsque les valeurs proviennent de sources différentes. Un module de traction statique, un module dynamique obtenu par résonance et une estimation du module d’incompressibilité peuvent chacun être valides dans leurs propres conditions de mesure tout en ne permettant pas de retrouver exactement les autres au moyen des équations isotropes. La norme ASTM E1875-20a spécifie la détermination du module d’Young dynamique, du module de cisaillement et du coefficient de Poisson « par résonance sonique ». En pratique, ces mesures dépendent de la fréquence ou de la vitesse de sollicitation, même lorsque le matériau reste dans son domaine élastique. Il ne faut pas les considérer comme identiques aux valeurs obtenues en traction à faible vitesse sans vérifier les conditions d’essai.

Une référence secondaire, Engineering ToolBox, donne un module d’incompressibilité approximatif de 163 GPa pour l’acier inoxydable. Cette valeur est une estimation de référence, et non une constante universelle applicable à chaque nuance d’acier inoxydable, à chaque traitement thermique, température, forme de produit ou méthode d’essai. Elle ne doit pas être combinée machinalement avec une valeur de $E$ ou de $\nu$ sans rapport, puis présentée comme une propriété mesurée spécifique à une nuance. La même prudence s’applique aux valeurs du Steel Castings Handbook de l’ASM, dans lequel le module d’élasticité, le coefficient de Poisson, le module de cisaillement et les propriétés physiques connexes sont présentés comme des données caractéristiques des pièces moulées en acier. L’« acier » ne constitue pas une éprouvette élastique unique et fixe.

La distinction entre les propriétés statiques et dynamiques est importante en conception. Les essais dynamiques déduisent les constantes élastiques des fréquences de résonance ou des vitesses de propagation des ondes ; les essais statiques les déduisent de la force, du déplacement et de la déformation. Un module dynamique peut différer en raison de la fréquence, de l’amortissement, des mécanismes microstructuraux, de la température et de l’instrumentation. Le rapport du National Bureau of Standards consacré à l’acier austénitique Fe-5Cr-26Mn a mesuré les constantes élastiques entre 76 et 400 K à partir des vitesses du son dans les modes longitudinal et transversal. Cette plage montre pourquoi une valeur dépourvue d’indication de température et de méthode peut être incomplète, même lorsque la désignation du matériau est précise.

Le rôle de l’isotropie et de la quasi-isotropie

Un acier polycristallin peut se comporter de manière approximativement isotrope lorsque ses grains sont petits, nombreux et suffisamment orientés de façon aléatoire. Les cristaux individuels restent anisotropes, mais les effets directionnels peuvent se compenser à l’échelle d’un volume représentatif. C’est sur cette base que l’on utilise un $E$ effectif et un $\nu$ effectif dans de nombreux calculs de structures.

L’approximation devient moins valable lorsque la mise en œuvre crée une texture prononcée. Le laminage, le forgeage, la fabrication additive, la solidification directionnelle et les cycles thermiques de soudage peuvent produire des orientations cristallographiques préférentielles. Une tôle peut alors présenter des propriétés différentes dans les directions longitudinale, transversale et selon l’épaisseur. Un produit moulé peut présenter un autre profil en raison de sa structure dendritique, de la ségrégation, de la porosité et de l’orientation locale des grains. La constitution des phases joue également un rôle : la ferrite, l’austénite, la martensite, la bainite et l’austénite résiduelle ne contribuent pas de manière identique au comportement élastique d’un monocristal.

Le terme quasi-isotrope décrit une réponse effective suffisamment proche de l’isotropie pour une finalité, une plage de directions et une échelle données. Il n’efface pas l’anisotropie cristalline et ne garantit pas que tous les modules mesurés dans toutes les orientations seront concordants. Le chapitre du manuel du NIST consacré aux constantes élastiques des monocristaux explique comment les valeurs polycristallines de $E$, $G$, $B$, du module longitudinal et de $\nu$ peuvent être déduites des données de rigidité des monocristaux pour les éléments cubiques et hexagonaux. Cette démarche rend visible l’hypothèse de moyennage au lieu de traiter les constantes polycristallines obtenues comme des valeurs fondamentales.

Pour un acier fortement texturé, un modèle d’élasticité anisotrope peut nécessiter plus de deux constantes indépendantes et doit conserver l’orientation de l’éprouvette. Pour un composant en acier quasi-isotrope, deux constantes effectives peuvent suffire pour le calcul visé, à condition que cette hypothèse ait été vérifiée par comparaison avec des mesures. Le chapitre Constitutive Response d’Oxford Academic présente lui aussi l’élasticité linéaire isotrope autour de deux constantes indépendantes. La question pratique n’est donc pas de savoir si l’acier possède six modules élastiques indépendants. Ce n’est pas le cas dans le modèle isotrope. La question est de savoir si les deux constantes choisies représentent le matériau, la température, la direction et le régime de mesure pertinents pour le calcul.

Module de Young $E$ dans l’acier

Le module de Young, $E$, décrit la rigidité d’un matériau en traction ou en compression uniaxiale. Selon la définition linéaire-élastique applicable, il correspond au rapport entre la contrainte axiale et la déformation axiale :

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

Ici, $\sigma$ est la contrainte normale agissant suivant l’axe de l’éprouvette et $\epsilon$ est la déformation axiale correspondante. Pour une réponse parfaitement linéaire, le graphique contrainte–déformation est une droite passant par l’origine, et $E$ en est la pente. L’unité est le pascal ; pour l’acier, les valeurs sont normalement exprimées en gigapascals.

Cette définition ne s’applique qu’à la partie du chargement où la réponse du matériau est linéaire et réversible. Cela ne signifie pas que tout rapport contrainte–déformation mesuré au cours d’un essai sur l’acier est le module de Young. Dès qu’une déformation plastique, une transformation de phase, un endommagement ou une non-linéarité importante apparaît, la pente ou le rapport retenu décrit une propriété différente.

Contrainte uniaxiale et déformation axiale

Un essai de traction uniaxiale applique une force suivant une direction principale de l’éprouvette. La contrainte axiale conventionnelle est généralement calculée en divisant la force appliquée par l’aire initiale de la section transversale :

$$\sigma =\frac{F}{A_0}$$

La déformation axiale conventionnelle correspond à la variation de la longueur de référence divisée par sa longueur initiale :

$$\epsilon =\frac{L-L_0}{L_0}$$

À faible déformation, ces définitions fournissent la valeur conventionnelle usuelle de $E$. Un extensomètre d’essai ou une jauge de déformation mesure l’allongement sur une longueur de référence donnée, tandis que la machine d’essai enregistre la force et le déplacement. La pente mesurée peut être influencée par la compliance de la machine, le mouvement des mors, l’alignement de l’éprouvette, l’état de surface et la méthode utilisée pour déterminer la portion initiale de la courbe.

Dans le domaine élastique, une éprouvette de traction se contracte également dans la direction transversale. Le coefficient de Poisson, $\nu$, relie la déformation transversale à la déformation axiale, généralement selon

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}$$[3][3] Elasticity of Solids. Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

Pour un solide isotrope linéaire-élastique, $E$ et $\nu$ déterminent les autres constantes élastiques. La documentation Sandia Sierra répertorie l’ensemble isotrope associé comme comprenant le module de Young $E$, le coefficient de Poisson $\nu$, le module de compressibilité $K$, le module de cisaillement $G$, le premier paramètre de Lamé $\lambda$ et $2\mu$ ; l’affirmation selon laquelle $E$ et $\nu$ déterminent les autres constantes traduit la structure à deux constantes de l’élasticité isotrope. L’ouvrage Elasticity of Solids publié par Springer indique également que seules deux constantes élastiques sont indépendantes pour un solide isotrope.

Les relations couramment utilisées en conception sont

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

et

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

où $G$ est le module de cisaillement et $K$, également noté $B$, est le module de compressibilité. Ces équations ne font pas de $E$, $G$, $K$ et $\nu$ quatre propriétés indépendantes de la nuance. Elles relient des mesures effectuées selon différents modes de déformation lorsque les hypothèses d’isotropie et de comportement linéaire-élastique sont appropriées.

La distinction entre les modes de déformation est importante. Le module de Young concerne l’allongement ou la contraction axiale, le module de cisaillement concerne la distorsion angulaire sous cisaillement, et le module de compressibilité concerne la variation de volume sous pression hydrostatique. OpenStax les présente comme des interprétations physiques distinctes de la réponse élastique. Le traitement de 1982 du manuel du NIST définit thermodynamiquement le module de compressibilité par

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

de sorte que sa valeur concerne une variation de volume induite par la pression à une température donnée, et non simplement la pente d’une courbe de traction contrainte–déformation.

L’acier est souvent considéré comme isotrope dans les calculs d’ingénierie courants, car un produit polycristallin peut contenir de nombreuses orientations cristallographiques. Cette approximation peut devenir inapplicable dans le cas d’une tôle fortement texturée, d’une barre fortement écrouie, d’une plaque laminée, d’assemblages soudés, d’un matériau fabriqué par fabrication additive ou d’éprouvettes monocristallines utilisées en recherche. Les cristaux de ferrite et d’austénite cubiques présentent des rigidités élastiques dépendant de la direction, même si un agrégat dont les orientations sont convenablement réparties peut sembler quasi isotrope. Le NIST explique comment les valeurs polycristallines de $E$, $G$, $B$, du module longitudinal et du coefficient de Poisson peuvent être calculées à partir des données de rigidité élastique des monocristaux pour des matériaux cubiques et hexagonaux.

Par conséquent, une valeur donnée pour « l’acier » n’est pas automatiquement une constante universelle applicable à toutes les formes de produits. La composition chimique, la ferrite, la perlite, la bainite, la martensite, l’austénite résiduelle, les populations de carbures, la porosité, la texture et les contraintes résiduelles peuvent influencer la réponse mesurée. L’effet peut être faible dans une configuration d’essai et important dans une autre.

Module élastique sécant, tangent et initial

Le module élastique initial est la pente de la courbe contrainte–déformation à une contrainte et une déformation nulles, ou très proches de zéro. Sous forme différentielle,

$$E_{\text{initial}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }{|}_{\epsilon \to 0}$$

à condition que la courbe soit suffisamment linéaire et que le système de mesure ait été corrigé. Il s’agit de la valeur qui correspond le plus étroitement à la définition théorique du module de Young.

Un module tangent est la pente locale en un point donné :

$$E_{\text{tan}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }$$

Si la courbe reste linéaire, le module tangent est égal au module initial. Toutefois, au voisinage de la limite d’élasticité, l’acier peut présenter une courbure due au début de la plasticité, au mouvement des dislocations, à la déformation de Lüders, à des effets de transformation ou à des artefacts d’essai. Le module tangent varie alors avec la contrainte et la déformation. Le point ou l’intervalle de déformation auquel il a été mesuré doit être indiqué.

Un module sécant est la pente d’une droite reliant une origine choisie à un point donné de la courbe :

$$E_{\text{sec}}=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

pour ce point donné. Il représente une moyenne de la réponse sur l’intervalle, plutôt que la pente locale. Si la courbe s’écarte de la linéarité, les valeurs sécante et tangente diffèrent. Un module sécant mesuré à une contrainte supérieure à la première limite d’élasticité peut être beaucoup plus faible que le module élastique initial, car la déformation totale comprend alors une déformation plastique.

Ces termes ne sont donc pas interchangeables. Qualifier une valeur sécante de « module de Young » sans préciser l’intervalle de déformation ou de contrainte peut induire en erreur dans un calcul de conception. Le même problème se pose lorsqu’une machine fournit une pente calculée à partir du déplacement de la traverse plutôt qu’à partir d’une déformation mesurée directement sur la longueur de référence. La mise en place des mors et la déformation du bâti peuvent fausser la partie initiale de la courbe, tandis que la plasticité peut fausser une partie ultérieure.

La déformation préalable est également importante. Le laminage à froid, l’étirage, le dressage, la pré-déformation et les chargements cycliques modifient les structures de dislocations et les contraintes résiduelles. Ils peuvent modifier la pente initiale apparente, produire une asymétrie traction–compression et créer des pentes différentes au déchargement et au rechargement. Une éprouvette ayant subi une déformation plastique n’est pas équivalente à une éprouvette non déformée simplement parce qu’elle possède la même désignation nominale de nuance.

La température doit également être précisée. La rigidité élastique varie généralement avec la température, et la constitution des phases peut changer sur une plage de températures plus étendue. Un rapport du National Bureau of Standards publié en 1981 a mesuré les constantes élastiques d’un acier austénitique Fe-5Cr-26Mn entre 76 et 400 K au moyen des vitesses du son en modes longitudinal et transversal. Cette plage de températures montre pourquoi une valeur de traction mesurée à température ambiante ne doit pas être transposée sans précaution à un service cryogénique ou à une analyse à température élevée.

Module de Young statique et dynamique

Un module de Young statique est obtenu à partir d’une charge mécanique appliquée lentement, généralement en mesurant la force et la déformation axiale au cours d’un essai de traction ou de compression. « Lentement » ne signifie pas que le résultat est indépendant de la vitesse. La vitesse de déformation, l’historique de chargement, le temps de maintien, l’élévation de température et le système de mesure de la déformation peuvent influencer la pente rapportée. Les effets viscoélastiques sont généralement limités dans l’acier courant à température ambiante, mais la plasticité sensible à la vitesse, l’amortissement, les effets thermiques et la compliance de la machine d’essai peuvent néanmoins influencer le résultat au voisinage de la transition élastique–plastique.

Un module de Young dynamique est déduit d’une mesure de vibration, de propagation d’ondes ou de résonance. La norme ASTM E1875-20a spécifie la détermination du module de Young dynamique, du module de cisaillement et du coefficient de Poisson « par résonance acoustique ». La méthode utilise les fréquences de résonance et les dimensions de l’éprouvette, la masse volumique ainsi que les relations de vibration des poutres ou des barres intervenant dans le calcul. Comme la déformation oscille à une fréquence finie et généralement avec une très faible amplitude, le résultat n’est pas simplement la valeur obtenue lors d’un essai de traction plus rapide.

Les mesures dynamiques peuvent être très sensibles à la géométrie de l’éprouvette, aux conditions d’appui, à la fréquence, à la masse volumique, à l’amortissement et aux discontinuités internes. Les mesures statiques sont sensibles à l’alignement, au positionnement de l’extensomètre, à la longueur de référence et à la vitesse de déformation. Lorsque les deux méthodes sont correctement mises en œuvre dans le même domaine élastique, leurs résultats peuvent être proches, mais leur concordance n’est pas garantie. Un module rapporté doit donc préciser la méthode, la température, l’orientation, l’état de l’éprouvette et indiquer s’il s’agit d’une valeur initiale, tangente, sécante, statique ou dynamique.

Une valeur de référence approximative de 163 GPa est parfois indiquée par Engineering ToolBox pour le module de compressibilité de l’acier inoxydable, mais il s’agit d’une estimation secondaire et non d’une valeur universelle applicable à toutes les nuances d’acier inoxydable, désignations normalisées, températures, textures ou formes de produits. La même prudence s’applique aux valeurs citées du module de Young. Dans les modèles de conception isotropes, une paire soigneusement sélectionnée de constantes élastiques suffit ; les données mesurées du matériau doivent néanmoins correspondre à l’état de l’acier et au mode de déformation utilisés dans le calcul.

Module de cisaillement G et rigidité distorsionnelle

Le module de cisaillement, $G$, mesure la résistance d’un solide à une modification de forme provoquée par une contrainte de cisaillement. Il ne décrit pas principalement la résistance à une variation de volume. En cisaillement pur idéal, une paire de plans du matériau glisse par rapport à une autre, ce qui modifie les angles au sein du corps tout en laissant son volume presque inchangé. Cette distinction différencie $G$ du module d’incompressibilité, $K$ ou $B$, qui décrit la résistance à une compression hydrostatique.

Pour l’acier, $G$ n’est pas une désignation de nuance distincte qui pourrait varier indépendamment de toutes les autres propriétés élastiques. Dans le cadre de l’élasticité linéaire homogène et isotrope, seules deux constantes élastiques sont indépendantes. Un tableau peut présenter le module de Young $E$, le coefficient de Poisson $\nu$, le module de cisaillement $G$, le module d’incompressibilité $K$, le premier paramètre de Lamé $\lambda$ et $2\mu$, mais ces grandeurs sont mathématiquement liées. Sandia National Laboratories répertorie cet ensemble isotrope de six grandeurs et précise que $E$ et $\nu$ déterminent les autres. La même restriction à deux constantes est décrite dans Élasticité des solides (2020), publié par Springer.

Contrainte de cisaillement et déformation angulaire

La contrainte de cisaillement, généralement notée $\tau$, s’exerce parallèlement à une surface. Lorsqu’un élément rectangulaire est cisaillé, ses angles initialement droits varient d’une quantité correspondant à une déformation angulaire $\gamma$. Pour une faible déformation, $\gamma$ est mesurée en radians et peut être approximée par le déplacement latéral divisé par la hauteur :

$$\gamma \approx \frac{\Delta x}{h}.$$

La relation élastique linéaire est

$$\tau =G\gamma ,$$

ou

$$G=\frac{\tau }{\gamma }.$$

Plus $G$ est élevé, plus la contrainte de cisaillement nécessaire pour produire une distorsion angulaire donnée est importante. Il s’agit d’une relation de rigidité, et non d’une affirmation concernant la limite d’élasticité ou la rupture. Une éprouvette d’acier peut présenter un module de cisaillement élastique élevé et néanmoins subir une déformation permanente dès que sa contrainte locale de cisaillement dépasse la condition d’écoulement plastique applicable.

Le cisaillement pur illustre la différence entre la réponse distorsionnelle et la réponse volumique. Un cube peut devenir un parallélépipède oblique tandis que la longueur de ses arêtes et son volume varient très peu. Les solides réels subissent également des déformations normales pendant le cisaillement. Dans un matériau isotrope, ces déformations concomitantes sont régies par le coefficient de Poisson et par les équations constitutives complètes, mais la déformation principale mesurée est la distorsion angulaire.

Un matériau soumis à une pression hydrostatique se comporte différemment. La pression s’exerce de manière égale dans toutes les directions et modifie le volume sans produire de direction de cisaillement privilégiée. Le module correspondant est défini thermodynamiquement par le NIST comme suit :

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

où $V$ est le volume, $P$ la pression et où la dérivée est prise à température constante. Cette définition, citée dans un chapitre d’un manuel du NIST publié en 1982, montre pourquoi le module d’incompressibilité ne doit pas être substitué à $G$ dans un calcul de torsion ou de cisaillement.

Dans l’approximation d’un acier isotrope, la densité d’énergie de déformation due au cisaillement est

$$u_s=\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{{\tau }^2}{2G}=\frac{1}{2}G{\gamma }^2.$$

Cette énergie emmagasinée est restituée lorsque la charge est supprimée, à condition que la déformation reste dans le domaine élastique et qu’aucun mécanisme dépendant du temps ou lié à l’endommagement ne soit intervenu.

Torsion, ondes transversales et réponse au cisaillement

La torsion constitue une manifestation pratique de l’élasticité au cisaillement. Lorsqu’un arbre rond en acier est soumis à une torsion, les sections transversales tournent les unes par rapport aux autres et les éléments du matériau subissent une déformation de cisaillement qui augmente avec la distance par rapport à l’axe de l’arbre. Pour un arbre circulaire en torsion de Saint-Venant,

$$T=\mathrm{GJ}\frac{\phi }{L},$$

où $T$ est le couple, $J$ le moment quadratique polaire de la section, $\phi$ l’angle de torsion et $L$ la longueur de l’arbre. La réorganisation de cette équation donne

$$\frac{\phi }{L}=\frac{T}{\mathrm{GJ}}.$$

Un arbre présentant un $G$ plus élevé se tord moins sous l’effet du même couple, si sa géométrie et ses conditions aux limites restent inchangées. Pour un arbre circulaire plein, $J=\pi d^4/32$ ; pour un arbre circulaire creux, $J=\pi (d_o^4-d_i^4)/32$. Ces équations s’appliquent au domaine élastique de la torsion et nécessitent un traitement supplémentaire pour les sections non circulaires, le gauchissement, la plasticité, les contraintes résiduelles et les produits anisotropes.

Le module de cisaillement est également mesuré à partir de la vitesse des ondes élastiques transversales. Dans un milieu isotrope, la vitesse de l’onde transversale, ou onde de cisaillement, est

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }},$$

d’où

$$G=\rho v_T^2,$$

où $\rho$ est la masse volumique. Une onde transversale provoque un mouvement des particules perpendiculaire à la direction de propagation. Sa force de rappel est la rigidité au cisaillement, tandis qu’une onde longitudinale est régie par une combinaison de rigidité volumique et de rigidité au cisaillement :

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}.$$

La mesure des deux vitesses d’onde permet donc de calculer plusieurs constantes élastiques lorsque la masse volumique est connue. Il s’agit d’une mesure dynamique : le résultat reflète la réponse à la fréquence d’essai, à la température, à l’état de l’éprouvette et à l’amplitude de l’onde.

La norme ASTM E1875-20a spécifie la détermination du module de Young dynamique, du module de cisaillement et du coefficient de Poisson « par résonance sonique ». La méthode utilise des fréquences de résonance associées à une réponse longitudinale et flexionnelle ou torsionnelle, plutôt qu’une courbe de chargement lente et monotone. Les valeurs dynamiques et statiques peuvent être proches pour une éprouvette d’acier homogène dans un domaine élastique limité, mais elles ne doivent pas être considérées comme automatiquement identiques.

Le rapport du National Bureau of Standards consacré à l’acier austénitique Fe-5Cr-26Mn démontre l’importance des conditions d’essai. Il a déterminé les constantes élastiques à partir des vitesses du son correspondant aux modes longitudinal et transversal sur une plage de 76 à 400 K. Les variations de température influent sur les liaisons atomiques, la dilatation thermique, la stabilité des phases et l’amortissement lié aux défauts ; par conséquent, un module mesuré à une température cryogénique ne doit pas nécessairement être égal à celui mesuré près de la température ambiante. La constitution des phases et la texture cristallographique de l’acier jouent également un rôle. Un monocristal dépend de la direction, tandis qu’un polycristal ne peut apparaître isotrope que lorsque les orientations des grains sont suffisamment désordonnées. Le laminage, le forgeage, le soudage, les produits de transformation et la texture résiduelle peuvent produire une réponse directionnelle au cisaillement.

Relation entre G, E et ν

Pour une élasticité linéaire homogène et isotrope, la relation centrale est

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Ici, $E$ est le module de Young et $\nu$ le coefficient de Poisson. Lorsque deux constantes indépendantes sont connues, les autres constantes isotropes peuvent être déduites. Ainsi, présenter $E$, $G$ et $\nu$ comme trois valeurs propres à une nuance et sans rapport entre elles est mécaniquement incohérent, sauf si l’on traite de l’incertitude de mesure, de l’anisotropie, de la température ou d’un écart par rapport au modèle.

La relation correspondante pour le module d’incompressibilité est

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

et le lien direct entre $K$ et $G$ est

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Ces équations sont des relations issues du modèle, et non des règles universelles de conversion applicables à tous les produits en acier. Elles supposent de petites déformations, un comportement réversible, l’homogénéité et l’isotropie du matériau, ainsi qu’une température et une condition de chargement pour lesquelles les constantes élastiques restent effectivement constantes. Elles supposent également que les valeurs rapportées correspondent à des définitions compatibles. Un module statique en traction, un module dynamique obtenu par résonance et un module déduit d’ondes peuvent différer en raison de leurs fréquences et amplitudes de déformation différentes.

Une valeur de référence approximative de 163 GPa pour le module d’incompressibilité de l’acier inoxydable est donnée par Engineering ToolBox en 2024, mais cette valeur n’est pas universelle pour toutes les nuances d’acier inoxydable, toutes les températures, toutes les formes de produits, toutes les proportions de phases ou toutes les méthodes d’essai. La même prudence s’applique à $G$. Les aciers austénitiques, ferritiques, martensitiques et duplex peuvent différer par leur texture, leur fraction de phase, leur état magnétique et leur historique de mise en œuvre. Les normes et les spécifications de conception peuvent attribuer une valeur isotrope représentative aux fins du calcul, tandis qu’une mesure de recherche peut déterminer des constantes dépendant de la direction.

Pour les calculs de conception isotropes, $G=E/[2(1+\nu \left)\right]$ constitue le lien approprié entre la rigidité en traction et la rigidité au cisaillement. Pour une tôle texturée, un matériau affecté par le soudage, des structures moulées, des monocristaux ou un acier multiphasé présentant un comportement directionnel marqué, la matrice complète de rigidité anisotrope peut être nécessaire. Dans ce cas, un seul module de cisaillement scalaire ne peut pas décrire tous les plans de cisaillement.

Module de compressibilité $K$ ou $B$ et compression volumique

Le module de compressibilité décrit la résistance à une variation uniforme du volume. Il ne décrit pas la résistance d’une barre d’acier à un étirement suivant un seul axe et n’est pas interchangeable avec le module de Young. Un essai de traction détermine principalement un module uniaxial ; une expérience sous pression détermine un module volumique. Les deux ne sont reliés qu’après avoir spécifié un modèle élastique et ses hypothèses.

En élasticité linéaire isotrope, les symboles usuels sont $K$ ou $B$ pour le module de compressibilité, $E$ pour le module de Young, $G$ pour le module de cisaillement et $\nu$ pour le coefficient de Poisson. Ces grandeurs ne constituent pas quatre constantes matérielles réglables indépendamment. Comme l’explique Elasticity of Solids de Springer, un solide isotrope ne possède que deux constantes élastiques indépendantes. La documentation Sierra de Sandia énumère l’ensemble associé : module de Young $E$, coefficient de Poisson $\nu$, module de compressibilité $K$, module de cisaillement $G$, premier paramètre de Lamé $\lambda$ et $2\mu$ ; la spécification de $E$ et de $\nu$ détermine toutes les autres.

Définition thermodynamique du module de compressibilité

Le National Institute of Standards and Technology définit le module de compressibilité isotherme comme suit :

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

où $V$ est le volume, $P$ la pression et l’indice $T$ signifie que la dérivée est prise à température constante. Le signe moins est nécessaire, car une augmentation de la pression diminue normalement le volume ; ainsi, $\partial P/\partial V$ est négatif.

Cette définition décrit la pente locale de la courbe pression–volume. Il s’agit d’une grandeur différentielle, et non simplement du rapport entre la pression et le volume pour une compression arbitrairement importante. Pour une petite variation,

$$\frac{\Delta V}{V}\approx -\frac{\Delta P}{B}.$$

Un $B$ plus élevé signifie donc qu’une variation de pression plus importante est nécessaire pour produire la même variation relative de volume. L’unité SI est le pascal, bien que les données relatives à l’acier soient normalement exprimées en gigapascals.

La précision concernant la température constante est importante. Un matériau soumis à une compression lente peut échanger de la chaleur avec son environnement, tandis qu’une onde sonore rapide peut produire une déformation presque adiabatique. Les mesures dynamiques peuvent donc correspondre à un module effectif différent de celui obtenu lors d’un essai mécanique lent. La pression elle-même peut également modifier la pente, en particulier lorsque la compression est suffisamment importante pour que les constantes élastiques ne puissent plus être représentées de manière adéquate par une seule constante.

Pour un solide soumis à une pression hydrostatique, les contraintes normales sont égales dans les trois directions :

$${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=-P.$$

La déformation correspondante est une déformation volumique,

$${\epsilon }_v=\frac{\Delta V}{V}={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,$$

pour une petite déformation. La relation constitutive est alors

$$P=-K{\epsilon }_v.$$

Le signe moins découle de la convention de signe selon laquelle la contrainte et la déformation de traction sont positives, tandis que la pression de compression est positive en tant que grandeur scalaire.

Pression hydrostatique et déformation volumique

La compression hydrostatique est différente d’un chargement uniaxial, bien que les deux produisent des contraintes normales. Considérons une éprouvette d’acier soumise à un essai de traction. La contrainte axiale appliquée produit un allongement axial, tandis qu’une contraction de Poisson se produit dans les deux directions transversales. Le module de Young est défini à partir de la contrainte et de la déformation axiales dans cette configuration de chargement :

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

dans la plage d’élasticité linéaire.[4][4] Stress, Strain, and Elastic Modulus. OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

Sous l’effet d’une pression hydrostatique, aucune direction n’est privilégiée. L’éprouvette se contracte en longueur suivant les trois axes, et la réponse pertinente est la somme des trois déformations normales. OpenStax établit directement cette distinction physique : le module de Young s’applique au chargement en traction, le module de compressibilité à la compression volumique et le module de cisaillement à la déformation de cisaillement. Un essai de traction uniaxiale n’impose pas directement l’état nécessaire pour mesurer $K$.

Pour un solide élastique linéaire isotrope, les modules sont reliés par

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

et

$$E=3K(1-2\nu ).$$

L’autre relation couramment utilisée est

$$E=2G(1+\nu ).$$

Ainsi, des valeurs données de $E$ et de $\nu$ peuvent être converties en $K$, mais le résultat hérite des conditions et des incertitudes associées aux deux valeurs d’entrée. Si $E$ est un module dynamique obtenu par résonance tandis que $\nu$ provient d’un essai de traction lent, le module de compressibilité calculé peut ne pas représenter un état de mesure unique et cohérent.

La formule montre également pourquoi le module de compressibilité est très sensible au coefficient de Poisson à proximité de l’incompressibilité. Pour une valeur nominale de l’acier $E=200$ GPa et $\nu =0.30$,

$$K=\frac{200}{3(1-0.60)}\approx 167\text{GPa}.$$

En faisant passer $\nu$ à 0.49 tout en conservant la même valeur de $E$, on obtient

$$K=\frac{200}{3(1-0.98)}\approx 3333\text{GPa}.$$

Cette variation très importante n’est pas un simple effet d’arrondi. Elle résulte du fait que le dénominateur tend vers zéro lorsque $\nu$ tend vers 0,5. Une petite erreur sur $\nu$, ou une valeur provenant d’une température, d’une fréquence, d’une constitution de phase ou d’une méthode de mesure différente, peut entraîner une variation substantielle du $K$ calculé.

Pourquoi les métaux sont souvent décrits comme presque incompressibles

Les métaux sont souvent qualifiés de presque incompressibles, car leur déformation volumique sous une pression mécanique ordinaire est faible comparativement à leur changement de forme sous une contrainte de cisaillement ou une contrainte uniaxiale. Leur module de compressibilité est généralement beaucoup plus élevé que leur module de cisaillement. La pression ne peut modifier le volume que légèrement, tandis qu’un état de contrainte comparable permettant une distorsion de forme peut produire une variation géométrique plus perceptible.

« Presque incompressible » ne signifie pas parfaitement incompressible. L’acier possède toujours un module de compressibilité fini et sa masse volumique varie sous l’effet de la pression. Cette approximation est utile pour l’analyse de la mise en forme, la plasticité, les calculs d’interaction fluide–structure et d’autres situations où les variations de volume sont faibles, mais elle ne doit pas être appliquée sans vérifier le modèle de matériau. La déformation plastique, la transformation de phase, la porosité, l’endommagement et l’élévation de température peuvent tous modifier la réponse volumique. Une pièce moulée en acier poreux, par exemple, ne peut pas être considérée comme un solide isotrope dense idéal simplement parce que sa matrice métallique est rigide.

L’approximation se trouve également compliquée par la microstructure de l’acier. Les constantes élastiques d’un monocristal dépendent de la direction cristallographique. Un agrégat polycristallin peut se comporter de manière approximativement isotrope lorsque les grains sont orientés aléatoirement, mais le laminage, le forgeage, la transformation de phase et la texture peuvent produire des propriétés directionnelles. Le chapitre du manuel du NIST consacré aux constantes élastiques des monocristaux montre comment $E$, $G$, $B$, le module longitudinal et $\nu$ d’un matériau polycristallin quasi isotrope peuvent être déduits des données de rigidité d’un monocristal pour des matériaux cubiques et hexagonaux. « Quasi isotrope » est une description de modélisation et ne garantit pas que chaque forme de produit possède des propriétés identiques dans toutes les directions.

La température et la constitution de phase sont également importantes. Un rapport du National Bureau of Standards a déterminé les constantes élastiques d’un acier austénitique Fe-5Cr-26Mn entre 76 et 400 K à partir des vitesses du son en modes longitudinal et transversal. Cette seule plage de température montre pourquoi une valeur unique à température ambiante ne peut pas être attribuée à toutes les nuances d’acier. Les aciers austénitiques, ferritiques, martensitiques et multiphasés peuvent présenter des réponses élastiques différentes, tandis que l’écrouissage et la texture peuvent modifier les valeurs directionnelles mesurées.

Une référence secondaire, Engineering ToolBox, donne une valeur approximative de 163 GPa pour « l’acier inoxydable ». Ce nombre peut être utile pour un calcul préliminaire, mais il ne constitue pas un module de compressibilité universel applicable à toutes les nuances d’acier inoxydable, à toutes les températures, à toutes les formes de produits, à tous les équilibres de phases, à toutes les textures ou à toutes les conditions d’essai. Il ne doit pas être présenté comme une constante mesurée commune à tous les aciers inoxydables.

La méthode de mesure constitue une autre source de variation. La norme ASTM E1875-20a spécifie la détermination du module de Young dynamique, du module de cisaillement et du coefficient de Poisson « par résonance sonique ». Ces valeurs sont obtenues à partir de fréquences de vibration et sont sensibles à la masse volumique, à la géométrie, à l’amortissement, à la température et à la fréquence. Les données statiques de traction répondent à une question expérimentale différente. Les calculs de conception doivent donc préciser si le module est mesuré ou calculé, statique ou dynamique, isotrope ou directionnel, ainsi que la température et l’état du matériau auxquels il se rapporte. En l’absence de ces informations, une valeur citée de $K$ ou de $B$ n’est qu’une estimation conditionnelle.

Coefficient de Poisson ν et déformation transversale dans l’acier

Le coefficient de Poisson, noté ν (nu), décrit la déformation élastique produite perpendiculairement à une charge appliquée. Lors d’un essai de traction, il est défini par

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\mathrm{transverse}}}{{\epsilon }_{\mathrm{longitudinal}}}$$

où la déformation longitudinale suit la direction du chargement et où la déformation transversale est mesurée transversalement à l’éprouvette. Le signe moins rend ν positif dans le cas du comportement en traction habituel de l’acier : la longueur de référence augmente, tandis que la largeur et l’épaisseur diminuent.

Cette définition s’applique à une direction d’essai élastique, une température, une vitesse de chargement et un état du matériau donnés. Il ne s’agit pas d’une désignation de nuance distincte pouvant être sélectionnée indépendamment du module d’Young, du module de cisaillement ou du module de compressibilité. Pour un solide isotrope, homogène et linéairement élastique, seules deux constantes élastiques sont indépendantes. Sandia National Laboratories répertorie les constantes isotropes associées suivantes : le module d’Young $E$, le coefficient de Poisson $\nu$, le module de compressibilité $K$, le module de cisaillement $G$, le premier paramètre de Lamé $\lambda$ et $2\mu$ ; la spécification de $E$ et de $\nu$ détermine les autres. L’ouvrage Elasticity of Solids publié par Springer indique également qu’un solide isotrope ne possède que « deux » constantes élastiques indépendantes.

Pour un acier isotrope soumis à de petites déformations élastiques, les principales relations sont

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

et

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Les mêmes relations peuvent être réarrangées pour obtenir

$$\nu =\frac{E}{2G}-1$$

ou

$$\nu =\frac{3K-E}{6K}.$$

Ces équations sont des relations constitutives, et non des méthodes indépendantes permettant d’attribuer arbitrairement des données au matériau. Si un tableau indique des valeurs de $E$, $G$, $K$ et ν qui ne les respectent pas, ces valeurs peuvent avoir été mesurées par des méthodes différentes, à des températures différentes ou selon des hypothèses différentes. Elles peuvent également décrire un matériau anisotrope au moyen d’approximations isotropes.

Contraction axiale lors d’un chargement en traction

Considérons une éprouvette de traction en acier dont l’axe est aligné avec la direction du chargement. Une contrainte de traction produit une déformation axiale positive,

$${\epsilon }_L=\frac{\Delta L}{L},$$

tandis que le diamètre se contracte. Si le diamètre initial est $d$, la déformation transversale est approximativement

$${\epsilon }_T=\frac{\Delta d}{d}.$$

Dans le domaine élastique,

$${\epsilon }_T=-\nu {\epsilon }_L.$$

Ainsi, si une éprouvette présente une déformation élastique axiale de $0.001$ et si ν vaut 0.30, sa déformation transversale est approximativement égale à $-0.0003$. La longueur augmente de 0,10 %, tandis que le diamètre diminue de 0,03 %. Cet exemple numérique décrit uniquement une déformation ; il n’attribue pas une valeur universelle à toutes les nuances d’acier ou à toutes les formes de produits.

Le rapport est adimensionnel, car le numérateur et le dénominateur sont tous deux des déformations. Il dépend également de la manière dont les déformations sont définies. La déformation nominale, la déformation vraie, les composantes du tenseur des petites déformations et les déformations sécantes peuvent donner des résultats légèrement différents lorsque la déformation n’est plus très faible. En conception linéaire élastique, le coefficient de Poisson désigne normalement la pente initiale dans le domaine récupérable, avant la limite d’élasticité, la déformation de Lüders, l’écoulement plastique, la fissuration ou d’autres effets non linéaires.

Les réponses axiale et latérale sont couplées. Une éprouvette de traction ne s’allonge pas simplement tout en conservant ses dimensions initiales de section. Pour une section rectangulaire ou cylindrique, la réduction de la largeur et de l’épaisseur contribue à une variation de volume. Pour de petites déformations, la déformation volumique est approximativement

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L+{\epsilon }_{T1}+{\epsilon }_{T2}.$$

Dans un état de traction isotrope présentant des déformations transversales égales,

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L(1-2\nu ).$$

Cette expression montre pourquoi ν est important dans les modèles par éléments finis et les calculs de structures. Une valeur incorrecte de ν modifie la contraction latérale, la réponse volumique, la contrainte hydrostatique et, parfois, la rigidité apparente des régions contraintes prédites.

L’acier n’est pas une substance isotrope unique à toutes les échelles. Un polycristal orienté aléatoirement peut présenter un comportement proche de l’isotropie lorsque de nombreux grains contribuent et que la texture est faible. Les tôles laminées, les fils tréfilés, les barres forgées, les zones soudées et les matériaux fabriqués de manière additive peuvent conserver des orientations cristallographiques préférentielles ou des distributions de phases variables dans l’espace. Dans ces cas, la déformation transversale dépend des directions de chargement et de mesure. Un unique ν scalaire peut alors constituer une moyenne d’ingénierie pratique plutôt qu’une description complète du matériau.

Variation de volume et limite ν = 0.5

Le module de compressibilité décrit la résistance à une compression uniforme, tandis que le module d’Young décrit la traction ou la compression axiale et que le module de cisaillement décrit la variation de forme sous l’effet d’un cisaillement. OpenStax établit directement cette distinction : le module d’Young s’applique au chargement en traction, le module de compressibilité à la compression volumique et le module de cisaillement à la déformation de cisaillement.

La définition thermodynamique du module de compressibilité est

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

comme l’a indiqué le National Institute of Standards and Technology en 1982. Ici, $P$ est la pression, $V$ le volume et la dérivée est prise à température constante. L’équation isotrope de l’élasticité linéaire $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$ relie cette réponse volumique aux données élastiques uniaxiales uniquement lorsque les hypothèses d’isotropie sont appropriées.

Lorsque ν tend vers 0.5, le dénominateur $1-2\nu$ tend vers zéro et le module de compressibilité calculé tend vers l’infini pour une valeur finie de $E$. Il s’agit de la limite incompressible : la déformation peut modifier la forme, mais pas le volume. Les matériaux de type caoutchouc peuvent s’approcher de cette condition, car leur réponse volumique est beaucoup plus rigide que leur réponse au cisaillement. Les aciers ordinaires ne sont pas incompressibles, bien que leur module de compressibilité soit nettement supérieur à leur module de cisaillement.

Cette limite met également en évidence un problème numérique. Comme $K$ contient le terme $1-2\nu$, une petite erreur sur ν peut entraîner une grande erreur relative sur $K$ calculé, en particulier lorsque ν est proche de 0.5. La dérivation de la relation donne

$$\frac{\partial K}{\partial \nu }=\frac{2E}{3(1-2\nu {)}^2}$$

lorsque $E$ est maintenu constant. Le dénominateur au carré amplifie la sensibilité. Une incertitude de quelques millièmes seulement sur ν peut avoir peu d’effet sur un calcul axial approximatif, mais un effet important sur un module de compressibilité indiqué.

Une référence d’Engineering ToolBox donne un module de compressibilité approximatif de 163 GPa pour l’acier inoxydable. Cette valeur est une estimation provenant d’une source secondaire, et non une valeur universelle applicable à toutes les nuances d’acier inoxydable, à toutes les températures, à toutes les formes de produits, à toutes les constitutions de phases ou à toutes les méthodes d’essai. Les aciers austénitiques, ferritiques, martensitiques, duplex et à durcissement structural peuvent différer par leur texture, leur équilibre de phases, leurs défauts et leur réponse à la température.

Mesure et interprétation de ν

Le coefficient de Poisson peut être obtenu à partir de mesures simultanées des déformations axiale et transversale lors d’un essai de traction ou de compression. Les extensomètres, les jauges de déformation collées, les systèmes optiques et la corrélation d’images numériques peuvent mesurer les deux composantes de déformation, mais le signal transversal est souvent plus faible et plus sensible à l’alignement, à la préparation de surface, à la géométrie de la longueur de référence et au bruit. Un défaut d’alignement peut introduire une flexion, tandis qu’un positionnement imparfait de la jauge peut mélanger les directions longitudinale et transversale.

Une seconde méthode consiste à déduire ν de vitesses d’ondes élastiques mesurées indépendamment. Les vitesses des ondes longitudinales et de cisaillement fournissent des informations élastiques dynamiques ; pour un solide isotrope,

$$G=\rho v_S^2$$

et

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_S^2),$$

où $\rho$ est la masse volumique, $v_S$ la vitesse de l’onde de cisaillement et $v_L$ la vitesse de l’onde longitudinale. Les valeurs de $E$ et de ν qui en résultent décrivent une réponse de faible amplitude et à fréquence finie, qui ne correspond pas nécessairement à la valeur obtenue lors d’un essai de traction lent. La norme ASTM E1875-20a spécifie la détermination du module d’Young dynamique, du module de cisaillement et du coefficient de Poisson « par résonance sonique ».[5][5] Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

Les variations de température modifient à la fois la rigidité élastique et la vitesse des ondes. Un rapport du National Bureau of Standards a mesuré les constantes élastiques d’un acier austénitique Fe-5Cr-26Mn entre 76 et 400 K au moyen de vitesses sonores en modes longitudinal et transversal. Cette plage montre pourquoi une valeur mesurée près de la température ambiante ne doit pas être automatiquement transposée à un service cryogénique ou à une conception à température élevée.

La texture et l’anisotropie cristallographique constituent une autre réserve. Les rigidités élastiques d’un monocristal ne peuvent être converties en valeurs quasi isotropes de $E$, $G$, $K$ et ν pour un polycristal qu’au moyen d’un modèle de moyennage tenant compte de la symétrie cristalline et de la distribution des orientations. Une tôle laminée peut donc présenter des rapports différents pour un chargement dans la direction de laminage, dans la direction transverse et dans la direction de l’épaisseur. La résonance dynamique peut également sonder un volume effectif et une amplitude de déformation différents de ceux d’un essai de traction statique.

Pour la conception, ν doit correspondre au modèle constitutif et à la condition d’essai visés. N’utilisez une valeur isotrope scalaire que lorsque la forme du produit, la texture, la température, la plage de déformation et la précision requise justifient cette simplification. Dans le cas contraire, des constantes élastiques dépendant de la direction ou une matrice complète de rigidité anisotrope sont plus défendables que le fait de traiter quatre modules rapportés comme des nombres indépendants et spécifiques à une nuance.

Ensemble complet des relations entre les modules isotropes

Pour un solide homogène, linéairement élastique et isotrope, les quatre modules couramment rapportés ne sont pas quatre constantes matérielles indépendantes. Le module d’Young $E$, le module de cisaillement $G$, le module de compressibilité $K$ ou $B$, et le coefficient de Poisson $\nu$ décrivent différents modes de déformation, mais leurs valeurs sont liées. Deux constantes appropriées quelconques permettent de déterminer les autres grandeurs.

Cette affirmation est soumise à certaines conditions. Le matériau doit être considéré comme isotrope, la réponse contrainte–déformation doit être linéaire dans la plage étudiée, et les modules doivent se rapporter à la même température, à la même masse volumique, à la même constitution de phase, à la même moyenne de texture, à la même fréquence et à la même convention de mesure. Un module mesuré lors d’un essai de traction à faible déformation n’est pas automatiquement interchangeable avec un module dynamique déduit de la vitesse du son. Pour un monocristal anisotrope, les équations isotropes ci-dessous ne reproduisent pas la réponse directionnelle complète.

OpenStax, en 2020, attribue clairement les rôles physiques suivants : $E$ décrit la déformation en traction ou uniaxiale, $G$ décrit la déformation en cisaillement et le module de compressibilité décrit la compression volumique. Le traitement publié par le NIST en 1982 définit le module de compressibilité thermodynamique comme suit :

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

où $V$ est le volume, $P$ la pression et où la dérivée est prise à température constante. En élasticité linéaire aux petites déformations, cette définition thermodynamique correspond à la rigidité volumique utilisée dans les relations ci-dessous, à condition d’utiliser le même état et la même approximation élastique.

Conversions entre $E$, $G$, $K$ et $\nu$

L’ensemble complet des équations de l’élasticité linéaire isotrope est le suivant :

\[ \boxed{G=\frac{E}{2(1+\nu)}} \]

\[ \boxed{K\ \text{ou}\ B=\frac{E}{3(1-2\nu)}} \]

\[ \boxed{E=\frac{9KG}{3K+G}} \]

\[ \boxed{\nu=\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \]

\[ \boxed{\lambda=K-\frac{2G}{3}} \]

\[ \boxed{\mu=G} \]

La première équation convertit le module d’Young et le coefficient de Poisson en module de cisaillement. Elle suppose une loi constitutive isotrope ainsi qu’une déformation élastique linéaire infinitésimale. La deuxième convertit $E$ et $\nu$ en module de compressibilité. Elle suppose également que le coefficient de Poisson mesuré est le coefficient élastique isotrope, et non une valeur dépendant de la direction obtenue sur un échantillon anisotrope.

La troisième équation calcule $E$ à partir de $K$ et $G$, tandis que la quatrième calcule $\nu$ à partir de ces mêmes deux modules. Ces équations sont des réarrangements algébriques du même modèle constitutif isotrope ; elles ne fournissent pas de vérifications expérimentales indépendantes, sauf si les valeurs d’entrée proviennent de mesures distinctes. Si $E$, $G$ et $\nu$ sont tous rapportés, de petits écarts sont prévisibles en raison de l’incertitude de mesure, des arrondis, des différences de température, de la porosité, de la texture ou des écarts par rapport à l’isotropie.

Pour un solide élastique isotrope stable et ordinaire, les restrictions sont généralement

\[ G>0,\qquad K>0,\qquad -1<\nu<\frac{1}{2}. \]

La limite supérieure de $\nu$ est particulièrement importante. Lorsque $\nu$ tend vers $0,5$, le terme $1-2\nu$ tend vers zéro et le module de compressibilité calculé devient très élevé par rapport à $E$. Un matériau presque incompressible peut donc avoir un module de traction fini, mais une rigidité volumique bien plus élevée. L’acier est compressible ; considérer $\nu =0,5$ comme une valeur exacte pour l’acier rendrait donc la conversion singulière plutôt qu’informative.

Les équations s’appliquent aux propriétés isotropes effectives d’un polycristal lorsque les variations directionnelles ont été suffisamment moyennées. Le chapitre du manuel du NIST consacré aux constantes élastiques des monocristaux montre pourquoi cette qualification est importante : $E$, $G$, $B$, le module longitudinal et $\nu$ effectifs peuvent être déduits des données de rigidité d’un monocristal pour les matériaux cubiques et hexagonaux, mais la procédure de moyennage dépend de la symétrie cristalline et de la texture. Une tôle laminée, un métal de soudure, une structure moulée et un polycristal recuit à orientation aléatoire peuvent ne pas présenter la même réponse élastique directionnelle, même lorsque leur description chimique est similaire.

Les constantes peuvent également décrire différents régimes de fréquence. La norme ASTM E1875-20a, publiée par ASTM International en 2020, spécifie la détermination du module d’Young dynamique, du module de cisaillement et du coefficient de Poisson « par résonance acoustique ». Ces valeurs dynamiques sont obtenues à partir de fréquences de résonance et sont associées à un chargement rapide de faible amplitude. Le module issu d’un essai de traction statique peut différer en raison de la compliance de l’instrument, de la microplasticité, du frottement interne, de la porosité, de la température ou d’autres écarts par rapport au modèle élastique idéal. Les équations de conversion restent valables uniquement lorsque les constantes d’entrée appartiennent à une description constitutive compatible.

Une valeur de référence telle que le module de compressibilité approximatif de $163\text{GPa}$ pour l’acier inoxydable indiqué par Engineering ToolBox doit donc être considérée comme une estimation secondaire, et non comme une valeur universelle valable pour toutes les nuances d’acier inoxydable, toutes les formes de produits, toutes les températures, tous les équilibres de phases ou toutes les méthodes d’essai. La désignation « acier inoxydable » recouvre des matériaux sensiblement différents, notamment des nuances austénitiques, ferritiques, martensitiques, à durcissement structural et duplex. Leur réponse élastique peut également varier avec l’écrouissage à froid et la température.

Les paramètres de Lamé $\lambda$ et $\mu$

Les paramètres de Lamé constituent une autre représentation de la même loi élastique isotrope. Le second paramètre de Lamé est

$$\mu =G,$$

de sorte que $\mu$ est simplement le module de cisaillement exprimé dans la notation de Lamé. Le premier paramètre de Lamé est

$$\lambda =K-\frac{2G}{3}.$$

Il peut également s’écrire

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}.$$

En notation tensorielle, la relation contrainte–déformation isotrope s’écrit couramment

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

où ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ est le tenseur des contraintes, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ le tenseur des déformations, ${\epsilon }_{\mathrm{kk}}$ la déformation volumique et ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ le symbole de Kronecker. Le multiplicateur $2\mu$ s’applique à la contribution déviatorique et de cisaillement du tenseur des déformations ; il ne définit pas un module physique distinct de $G$.

La documentation Sierra de Sandia répertorie six constantes élastiques isotropes apparentées : le module d’Young $E$, le coefficient de Poisson $\nu$, le module de compressibilité $K$, le module de cisaillement $G$, le premier paramètre de Lamé $\lambda$ et $2\mu$. Cela explique un piège fréquent de notation dans les logiciels et les éléments finis. Une fiche matériau peut demander « $2\mu$ » parce que l’équation constitutive utilise ce coefficient, tandis qu’une autre interface demande $G$ ou $\mu$. Fournir $G$ lorsqu’il faut $2\mu$ introduirait une erreur d’un facteur deux.

L’ouvrage Elasticity of Solids de Springer, publié en 2020, énonce directement la règle centrale : seules deux constantes élastiques sont indépendantes pour un solide isotrope. La formulation de Sandia indique de même que $E$ et $\nu$ déterminent les autres constantes. Les six appellations décrivent six grandeurs liées, et non six propriétés de nuance pouvant être ajustées séparément.

Unités, notation et conflits de notation entre $K$ et $B$

$E$, $G$, $K$, $B$, $\lambda$ et $\mu$ ont tous des unités de contrainte : des pascals dans le SI, généralement exprimés pour l’acier en gigapascals ($\text{GPa}$). Le coefficient de Poisson $\nu$ est sans dimension. Puisque $1\text{GPa}={10}^9\text{Pa}$, toutes les grandeurs d’entrée assimilables à des contraintes doivent être exprimées dans la même unité avant l’application d’une équation.

Le symbole $K$ est couramment utilisé en mécanique des milieux continus et dans la documentation des éléments finis pour désigner le module de compressibilité. Le NIST et de nombreuses références sur les matériaux utilisent $B$, souvent parce que « bulk modulus » commence par B. Ces symboles désignent normalement la même grandeur dans les équations ci-dessus :

$$K=B.$$

Ils ne correspondent pas à deux constantes différentes de l’acier. Le conflit devient important lorsqu’un manuel utilise $K$ pour le module de compressibilité, tandis qu’une autre discipline utilise $K$ pour une matrice de rigidité, un coefficient de conductivité thermique ou une grandeur liée à l’intensité des contraintes. C’est la définition donnée dans le contexte qui doit déterminer l’interprétation.

Enfin, ces relations décrivent des constantes élastiques, et non toutes les rigidités mesurées en conditions de service. Les données dépendant de la température, les transformations de phase, les effets magnétiques, la texture, les contraintes résiduelles et la fréquence peuvent modifier la réponse mesurée. Le rapport du National Bureau of Standards de 1981 consacré à l’acier austénitique Fe-5Cr-26Mn, par exemple, a déterminé les constantes élastiques entre 76 et 400 K à partir des vitesses du son dans les modes longitudinal et transversal. Cette seule plage de températures montre pourquoi une valeur unique de module, dépourvue de toute qualification, ne peut pas représenter toutes les conditions. Les équations fournissent le cadre de conversion ; c’est l’état d’essai qui détermine les valeurs à y introduire.

Élasticité des monocristaux, cristallographie de l’acier et moyennes polycristallines

L’acier n’est pas élastique au sens mathématique du terme de la même manière à toutes les échelles structurales. Un cristal individuel possède des propriétés liées aux directions de son réseau, tandis qu’un produit sidérurgique destiné à l’ingénierie contient généralement de nombreux grains présentant des orientations, des phases, des défauts et des contraintes résiduelles différents. Traiter un module mesuré dans le second cas comme s’il s’agissait d’une propriété universelle du premier peut conduire à un calcul trompeur.

La distinction commence par la symétrie cristalline. Les aciers ferritiques présentent une structure cristalline cubique centrée (BCC), les aciers austénitiques une structure cubique à faces centrées (FCC), et la martensite est généralement décrite comme ayant une structure quadratique centrée, bien que sa tétragonalité dépende de la teneur en carbone et de l’historique du revenu. Ces structures ne transmettent pas la déformation élastique de manière identique dans toutes les directions cristallographiques. Un polycristal peut sembler presque isotrope seulement après que les réponses directionnelles de nombreux grains ont été moyennées.

Tenseurs de rigidité élastique dans les cristaux cubiques

L’élasticité linéaire relie la contrainte à la déformation au moyen d’un tenseur de rigidité du quatrième ordre :

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=C_{\mathrm{ijkl}}{\epsilon }_{\mathrm{kl}}.$$

Le tenseur contient les rigidités élastiques $C_{\mathrm{ijkl}}$, tandis que son inverse contient les compliances élastiques $S_{\mathrm{ijkl}}$. La symétrie cristalline réduit le nombre de termes indépendants. Un solide anisotrope complètement général peut nécessiter 21 constantes élastiques indépendantes, mais un cristal cubique n’en requiert que trois : $C_{11}$, $C_{12}$ et $C_{44}$.

Sous forme matricielle contractée, la matrice de rigidité cubique s’écrit

\[ \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2\\ \sigma_3\\ \sigma_4\\ \sigma_5\\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\ 0&0&0&C_{44}&0&0\\ 0&0&0&0&C_{44}&0\\ 0&0&0&0&0&C_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \varepsilon_3\\ \varepsilon_4\\ \varepsilon_5\\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}. \]

Les trois constantes ont des rôles différents. $C_{11}$ décrit la réponse à une contrainte normale selon un axe cubique, $C_{12}$ couple la déformation normale entre des axes perpendiculaires, et $C_{44}$ décrit une réponse au cisaillement sur un plan cristallographique principal. Ce sont des rigidités, et non des variantes interchangeables du module de Young ou du module de cisaillement.

Un indicateur utile de l’anisotropie d’un cristal cubique est le rapport de Zener,

$$A=\frac{2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}.$$

Lorsque $A=1$, la réponse élastique cubique présente la même forme directionnelle que celle d’un solide isotrope. Les valeurs différentes de un indiquent une dépendance à l’orientation. Ce rapport ne donne pas à lui seul le module d’un produit sidérurgique ; il décrit la symétrie élastique d’un cristal lorsque les constantes pertinentes du monocristal ont été mesurées ou calculées.

Le chapitre de NIST consacré aux monocristaux, publié en 1982, montre comment ces données de rigidité peuvent être converties en propriétés d’agrégats pour les matériaux cubiques et hexagonaux. Pour un cristal cubique, le module de compressibilité associé à une déformation hydrostatique uniforme est

$$B=\frac{C_{11}+2C_{12}}{3}.$$

Cela concorde avec la définition thermodynamique rapportée par NIST,

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Les modules de cisaillement et de Young d’un monocristal dépendent toujours de la direction, même si la réponse hydrostatique globale d’un cristal cubique est contrainte par la symétrie. Une direction telle que $\left[100\right]$, $\left[110\right]$ ou $\left[111\right]$ peut produire un module de traction différent, car la contrainte appliquée se décompose différemment par rapport au réseau.

Pour un matériau isotrope, seules deux constantes élastiques sont indépendantes, comme l’explique le chapitre Elasticity of Solids de Springer en 2020. La documentation Sierra de Sandia répertorie l’ensemble isotrope correspondant : module de Young $E$, coefficient de Poisson $\nu$, module de compressibilité $K$, module de cisaillement $G$, premier paramètre de Lamé $\lambda$ et $2\mu$ ; deux membres appropriés quelconques permettent de déterminer les autres. Cette réduction ne s’applique pas à un cristal simplement parce que celui-ci est petit ou parce que sa déformation reste élastique. Elle découle de la symétrie isotrope.

Texture et module directionnel

L’orientation d’un cristal est généralement exprimée par sa direction et son plan cristallographiques par rapport aux axes de l’éprouvette. Dans une tôle polycristalline, la fonction de distribution des orientations décrit la répartition des orientations des grains. Une texture se développe lorsque la mise en forme favorise certaines rotations du réseau, notamment lors du laminage, de la recristallisation et des transformations de phase ultérieures.

Le module de traction mesuré dans la direction de laminage ne doit donc pas nécessairement être égal au module mesuré transversalement au laminage ou à travers l’épaisseur de la tôle. Cette différence résulte de la somme des réponses des grains pondérées par leur orientation, et non de l’apparition d’un nouveau « module de Young dans la direction de laminage » indépendant qui remplacerait le tenseur de rigidité sous-jacent. Un modèle d’éléments finis peut représenter ce comportement en attribuant au matériau un tenseur de rigidité anisotrope exprimé dans les coordonnées du matériau, ou en attribuant des propriétés au niveau cristallin à de nombreuses orientations.

Les aciers doux laminés, les aciers inoxydables ferritiques et les tôles élaborées par transformation peuvent présenter une texture issue de la déformation et de la recristallisation. L’acier forgé peut développer une orientation directionnelle du flux des grains ainsi qu’une texture autour de l’axe de forgeage. L’acier moulé présente souvent une distribution d’orientations plus variée, mais la solidification peut néanmoins produire des grains colonnaires, de la ségrégation, des gradients de phase ou des orientations préférentielles. Aucun de ces procédés ne garantit l’isotropie ni une amplitude particulière d’anisotropie.

L’acier fabriqué de manière additive présente un autre problème d’orientation. Les cycles thermiques successifs, couche par couche, peuvent produire des grains colonnaires alignés avec la direction de fabrication, tandis que la stratégie de balayage, la géométrie du bain de fusion, le réchauffage et le traitement thermique modifient la distribution des orientations et la constitution des phases. Un module mesuré parallèlement à la direction de fabrication peut donc différer d’un module mesuré transversalement à celle-ci. La direction, l’emplacement de l’éprouvette, le traitement thermique, la porosité et la méthode d’essai doivent accompagner la valeur rapportée.

La texture influence également le coefficient de Poisson et le module de cisaillement. Un essai de traction peut fournir une réponse de déformation axiale, tandis qu’une méthode par résonance déduit plusieurs constantes dynamiques à partir des modes de vibration. La norme ASTM E1875-20a spécifie la détermination du module de Young dynamique, du module de cisaillement et du coefficient de Poisson « par résonance ultrasonique ». Ces valeurs dynamiques ne sont pas automatiquement identiques aux valeurs statiques obtenues lors d’un essai de traction lent, en particulier lorsque l’amortissement, la microfissuration, la porosité, la température ou la fréquence influencent la réponse.

Estimations quasi isotropes des polycristaux

Lorsque les orientations des grains sont suffisamment dispersées, les différences directionnelles peuvent être réduites à de faibles valeurs à l’échelle de l’éprouvette. Les ingénieurs décrivent alors l’agrégat comme quasi isotrope : il n’est pas parfaitement isotrope dans chaque grain ou chaque volume local, mais il peut être représenté de manière adéquate par des constantes isotropes pour le calcul envisagé. Le terme est important. Il désigne une approximation et non l’affirmation que toute anisotropie cristallographique a disparu.

Des estimations polycristallines peuvent être obtenues à partir des données de rigidité ou de compliance des monocristaux au moyen de bornes et de méthodes de moyennage. Une estimation de Voigt suppose une déformation uniforme dans les grains ; une estimation de Reuss suppose une contrainte uniforme. Leurs prédictions diffèrent généralement, car aucune de ces conditions ne représente exactement tout agrégat hétérogène. L’estimation de Hill, généralement considérée comme la moyenne arithmétique des résultats de Voigt et de Reuss, sert souvent d’approximation intermédiaire pratique. Ces estimations nécessitent de préciser la symétrie cristalline, la distribution des orientations et la constitution des phases.

Pour un agrégat quasi isotrope, les valeurs obtenues de $E$, $G$, $B$ et $\nu$ obéissent aux relations isotropes usuelles :

$$E=2G(1+\nu ),$$

$$E=3B(1-2\nu ),$$

et

$$E=\frac{9\mathrm{BG}}{3B+G}.$$

Ainsi, une fois choisies deux constantes indépendantes de l’agrégat, les autres sont dérivées. Un tableau de référence peut indiquer un module de compressibilité approximatif de 163 GPa pour l’acier inoxydable, comme l’a fait Engineering ToolBox en 2024, mais cette valeur constitue une estimation secondaire et non une valeur universelle applicable à chaque nuance d’acier inoxydable, température, forme de produit, équilibre des phases ou méthode de mesure.

Le rapport du National Bureau of Standards consacré à l’acier austénitique Fe-5Cr-26Mn illustre directement la question de la mesure : les constantes élastiques ont été déterminées entre 76 et 400 K à partir des vitesses du son en mode longitudinal et transversal. La température modifie l’espacement du réseau, la stabilité des phases, la mobilité des défauts et la vitesse de propagation des ondes ; les constantes obtenues décrivent donc des conditions d’essai spécifiées. Pour la conception, un ensemble quasi isotrope peut convenir à un produit moulé ou recuit présentant une texture faible. En revanche, une tôle fortement laminée, un composant forgé, une soudure ou une pièce fabriquée de manière additive peut nécessiter des données directionnelles. Le module approprié n’est donc pas simplement le nombre associé à une nuance d’acier ; c’est la valeur correspondant au mode de déformation, à l’orientation, à la température, à la microstructure et à la méthode d’essai.

Comment les constantes élastiques de l’acier sont mesurées

Les constantes élastiques de l’acier sont mesurées soit à partir d’une réponse force–déplacement, soit à partir de la propagation et de la résonance d’ondes mécaniques. Ces approches ne produisent pas toujours le même module numérique. Un essai de traction enregistre une pente quasi statique à une vitesse de chargement donnée, tandis que les méthodes soniques et ultrasonores mesurent une réponse à haute fréquence et de faible amplitude. La température, la structure granulaire, la texture cristallographique, la porosité, la constitution des phases, les contraintes résiduelles, la géométrie de l’éprouvette et la définition du mode mesuré peuvent toutes influer sur le résultat.

Pour un solide isotrope, élastique linéaire, seules deux constantes élastiques sont indépendantes. Le module d’Young $E$, le module de cisaillement $G$, le module d’incompressibilité $K$ ou $B$, le coefficient de Poisson $\nu$, le premier paramètre de Lamé $\lambda$ et $2\mu$ décrivent des aspects liés d’une même réponse constitutive ; Sandia National Laboratories répertorie cet ensemble et précise que $E$ et $\nu$ déterminent les autres constantes. La méthode de mesure est donc importante, même lorsque les grandeurs rapportées portent des noms familiers. Le module d’Young décrit l’allongement axial, le module d’incompressibilité décrit la variation de volume sous pression hydrostatique et le module de cisaillement décrit la distorsion angulaire.

Méthodes mécaniques de traction et de compression

La méthode conventionnelle de traction détermine un module d’Young statique ou quasi statique à partir de la pente de la partie linéaire initiale d’une courbe contrainte–déformation :

$$E=\frac{d\sigma }{d\epsilon }.$$

Une éprouvette en acier usinée est soumise à une traction tandis qu’un extensomètre, une jauge de déformation ou un système optique mesure la déformation axiale. La pente utile est déterminée avant le début de la plasticité, de la déformation de Lüders, de la fissuration ou de tout autre comportement non linéaire. L’intervalle de déformation sélectionné doit être indiqué, car de faibles écarts par rapport à la linéarité, la compliance de la machine, les effets de mise en place et les limites de résolution de la mesure de déformation peuvent modifier la valeur ajustée.

Un essai de traction peut également déterminer le coefficient de Poisson en mesurant simultanément la déformation latérale :

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}.$$

Les mesures axiale et transverse doivent être synchronisées et effectuées dans le même intervalle élastique. Une fois $E$ et $\nu$ connus, les relations isotropes donnent

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

et

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Ces valeurs calculées ne constituent pas des mesures distinctes de la rigidité au cisaillement ou de la rigidité volumique. Elles héritent de la température, de la vitesse de déformation, de la texture et de la dépendance à la direction d’essai des données initiales de traction.

Les essais de compression offrent une autre voie pour déterminer un module axial, mais introduisent des erreurs différentes. L’éprouvette doit être suffisamment courte pour éviter le flambement, tout en étant assez longue pour permettre de mesurer un déplacement. Le frottement aux extrémités peut empêcher l’expansion latérale et produire une éprouvette en forme de tonneau ; la pente force–déplacement mesurée peut donc inclure des effets de frottement et d’alignement des plateaux. La lubrification, le parallélisme des extrémités, l’état de surface, la rigidité des plateaux et le rapport entre la hauteur et le diamètre de l’éprouvette sont tous importants. Les extensomètres ou les capteurs de déplacement doivent mesurer la déformation sur la longueur de référence de l’éprouvette, plutôt que de s’appuyer uniquement sur le déplacement de la traverse.

La compression hydrostatique est conceptuellement plus proche d’une mesure directe du module d’incompressibilité, car elle applique une pression dans toutes les directions et suit la variation de volume :

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Il s’agit de la définition thermodynamique donnée par le National Institute of Standards and Technology en 1982. La compression uniaxiale ordinaire n’est pas une compression hydrostatique ; elle combine une déformation axiale et une déformation latérale et ne mesure donc pas directement $K$. La détermination directe du module d’incompressibilité nécessite des enceintes sous pression, une mesure précise du volume ou de la déformation, un étalonnage de la pression et un contrôle de la température. Pour la plupart des caractérisations des aciers de construction, $K$ est plutôt calculé à partir de $E$ et de $\nu$ mesurés indépendamment, ou obtenu à partir des vitesses du son.

Les pentes mécaniques statiques sont particulièrement sensibles à la vitesse d’essai et à l’état de l’éprouvette. Le résultat d’un essai de traction réalisé à température ambiante sur une barre polie et détensionnée ne correspond pas automatiquement au module d’une tôle laminée texturée, d’un métal fondu de soudage ou d’un produit traité thermiquement biphasé. Dans un monocristal cubique, la rigidité varie selon la direction cristallographique. Un agrégat polycristallin peut sembler quasi isotrope lorsque les grains sont orientés aléatoirement, mais une texture de laminage ou de solidification peut entraîner des modules dépendant de la direction.

Résonance sonique selon ASTM E1875-20a

ASTM E1875-20a est une norme désignée pour déterminer le module d’Young dynamique, le module de cisaillement et le coefficient de Poisson « par résonance sonique ». Au lieu de mesurer une pente force–déformation longue et lente, la méthode excite une éprouvette et identifie ses fréquences naturelles de résonance. La fréquence de résonance dépend de la rigidité élastique, de la masse volumique, des dimensions de l’éprouvette et de la forme du mode.

L’éprouvette est supportée d’une manière qui se rapproche d’une condition aux limites libres, généralement en plaçant les supports près des régions nodales afin qu’ils dissipent le moins possible d’énergie vibratoire. Un excitateur produit la vibration, et un microphone, un accéléromètre, un instrument laser ou un autre détecteur enregistre la réponse. La fréquence de résonance est identifiée à partir d’un maximum d’amplitude marqué, d’un changement de phase ou d’un pic de réponse fréquentielle. La fréquence mesurée doit être attribuée au mode flexionnel, torsionnel ou longitudinal correct ; confondre des modes adjacents peut produire un module plausible, mais erroné.

La longueur, la largeur, l’épaisseur, la masse et la masse volumique de l’éprouvette constituent donc des données d’entrée essentielles. Les dimensions doivent être mesurées à la température d’essai lorsque la dilatation thermique est importante, ou corrigées à partir des dimensions mesurées à température ambiante au moyen d’un coefficient de dilatation approprié. La masse volumique doit correspondre à l’éprouvette réelle plutôt qu’à une valeur supposée provenant d’un manuel de référence, en particulier dans le cas d’un acier moulé, d’un matériau poreux, d’inclusions particulaires ou de microstructures multiphasées. ASTM E1875-20a prend en compte la géométrie de l’éprouvette et les équations de résonance, au lieu de traiter chaque échantillon comme une tige infinie. Les conditions aux extrémités, l’emplacement des supports, le rapport d’aspect, l’amortissement et les corrections géométriques influent sur les constantes dynamiques calculées.

Une résonance torsionnelle fournit principalement des informations sur le cisaillement, tandis qu’une résonance flexionnelle ou longitudinale fournit un module lié à la rigidité axiale. La combinaison des valeurs dynamiques $E$ et $G$ permet de calculer

$$\nu =\frac{E}{2G}-1,$$

à condition que l’hypothèse d’un comportement isotrope, élastique linéaire soit appropriée. Le coefficient de Poisson obtenu est une valeur dynamique à la fréquence d’essai. Il ne doit pas être présenté comme une constante universelle de nuance, indépendante de la fréquence ou de la température.

Le contrôle de la température fait partie intégrante de la mesure ; ce n’est pas une considération secondaire. Le four ou la chambre environnementale doit amener l’éprouvette à une température stable et connue, et l’identification de la résonance doit tenir compte de la dilatation thermique, de la variation de la masse volumique et de la dépendance de la rigidité à la température. Une fréquence mesurée alors que l’éprouvette est encore en train de se réchauffer ne représente pas un état élastique bien défini. Les conditions aux limites changent également avec la température si les supports se dilatent, se ramollissent, glissent ou modifient la pression de contact.

Vitesses longitudinales et transverses du son

Les mesures ultrasonores déterminent les constantes élastiques à partir des vitesses de propagation des ondes. Une onde longitudinale produit un mouvement des particules parallèle à la propagation ; une onde transverse ou de cisaillement produit un mouvement des particules perpendiculaire à celle-ci. Pour un solide homogène isotrope de masse volumique $\rho$, les relations idéales sont

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}$$

et

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}.$$

Ainsi,

$$G=\rho v_T^2,$$

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_T^2),$$

et

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Le coefficient de Poisson peut ensuite être obtenu à partir de $E$ et de $G$, ou directement à partir du rapport des vitesses dans le cadre de la même hypothèse isotrope. Ces équations sont simples, mais les mesures ne le sont pas. La distance de transit doit être connue avec précision, les échos doivent être correctement attribués et le transducteur doit générer et détecter la polarisation souhaitée. Une arrivée longitudinale apparente peut inclure une conversion de mode, des ondes de surface, des réflexions ou de la dispersion.

Un rapport du National Bureau of Standards publié en 1981 a utilisé les vitesses du son des modes longitudinal et transverse pour déterminer les constantes élastiques d’un acier austénitique Fe-5Cr-26Mn entre 76 et 400 K. Cette plage de températures est importante : elle montre que les constantes élastiques sont des fonctions mesurées de l’état thermique, et non des valeurs fixes attachées à la désignation de l’alliage. La procédure du rapport reposait sur une température contrôlée, une masse volumique connue, une géométrie d’éprouvette définie et une identification fiable des deux modes d’onde. Appliquer les équations à température ambiante à une température cryogénique ou élevée sans actualiser ces grandeurs masquerait la véritable dépendance à la température.

Engineering ToolBox donne un module de compressibilité approximatif de 163 GPa pour l’acier inoxydable. Limited evidence

La même prudence s’applique aux tableaux de référence techniques. Engineering ToolBox donne un module d’incompressibilité approximatif de 163 GPa pour l’acier inoxydable, mais cette valeur est une estimation issue d’une référence secondaire et ne constitue pas une valeur universelle pour toutes les nuances d’acier inoxydable, toutes les formes de produits, toutes les textures, tous les équilibres de phases, toutes les températures ou toutes les méthodes d’essai. Une valeur dynamique mesurée pour l’acier austénitique Fe-5Cr-26Mn, une valeur statique issue d’une éprouvette de traction d’une nuance ferritique et une valeur calculée déduite de $E$ et de $\nu$ répondent à des questions expérimentales différentes. Indiquer la méthode, les dimensions de l’éprouvette, la masse volumique, la température, le mode de résonance ou d’onde et les conditions aux limites est donc aussi important que de communiquer le module lui-même.

Effets de la température, de la phase, de la composition et de la mise en œuvre

Les constantes élastiques de l’acier ne sont pas des valeurs fixes attachées de manière permanente à une nuance. Elles décrivent un état du matériau, un mode de déformation et une condition de mesure. La température, la constitution de phases, la composition, la texture cristallographique, la porosité, les inclusions, les contraintes résiduelles et l’historique thermique peuvent tous modifier la réponse mesurée. La résistance peut varier de plusieurs centaines de pour cent au cours d’une transformation ou d’un traitement de revenu, tandis que le module de Young varie dans une proportion beaucoup plus faible ; toutefois, « plus faible » ne signifie pas négligeable dans une analyse de précision.

Pour un solide isotrope linéairement élastique, seules deux constantes élastiques sont indépendantes. Le module de Young $E$, le module de cisaillement $G$, le module de compressibilité $K$ ou $B$, le coefficient de Poisson $\nu$, le premier paramètre de Lamé $\lambda$ et $2\mu$ sont des grandeurs liées, comme l’expliquent Elasticity of Solids de Springer et la documentation Sierra des Sandia National Laboratories. Si la température ou la microstructure modifie une constante indépendante, les autres constantes calculées à partir de celle-ci doivent être mises à jour de manière cohérente. Un module rapporté doit donc être associé à une température, à un état du produit, à une direction et à une méthode d’essai.

Dépendance des constantes élastiques à l’égard de la température

La rigidité élastique diminue généralement lorsque la température augmente. Les vibrations atomiques s’intensifient, les liaisons interatomiques s’opposent moins aux faibles déplacements et la dilatation thermique modifie la distance d’équilibre entre les atomes. L’effet est souvent progressif au sein d’une même phase, bien que les transitions magnétiques, la restauration, la recristallisation et les transformations de phase puissent introduire des variations plus brusques. À proximité d’une température de transformation, une unique valeur à température ambiante constitue un substitut particulièrement médiocre à un modèle de matériau dépendant de la température.

Le rapport du National Bureau of Standards sur l’acier austénitique Fe-5Cr-26Mn fournit un exemple utile. Publié en 1981, il a déterminé les constantes élastiques entre 76 et 400 K à partir des vitesses du son en mode longitudinal et transversal. Il s’agit d’une mesure dynamique : les vitesses de propagation des ondes fournissent les rigidités longitudinale et de cisaillement, à partir desquelles les constantes liées peuvent être calculées. Le résultat montre que même un acier austénitique conservé dans l’intervalle d’essai ne possède pas un ensemble unique de constantes élastiques indépendantes de la température. L’intervalle de température s’étend des conditions cryogéniques à une température supérieure à l’ambiante ; les valeurs mesurées décrivent donc une courbe et non une propriété unique de la nuance.

La distinction entre résistance et rigidité est importante ici. La limite d’élasticité peut augmenter fortement à basse température, car le mouvement des dislocations devient plus difficile, tandis que la pente élastique varie de manière moins spectaculaire. Inversement, une faible variation de $E$ peut modifier la flèche prévue, la charge de flambement, la pression de contact ou la répartition des contraintes thermiques. La résistance plastique et la rigidité élastique répondent à des questions différentes. Un acier peut devenir beaucoup plus résistant sans devenir proportionnellement plus rigide.

Les essais dynamiques et statiques peuvent également produire des valeurs rapportées différentes. La norme ASTM E1875-20a spécifie la détermination du module de Young dynamique, du module de cisaillement et du coefficient de Poisson par résonance sonique. Les essais de résonance s’effectuent à faible déformation et à haute fréquence, tandis qu’un essai de traction fournit une pente statique ou quasi statique sur un intervalle de déformation prescrit. La microplasticité, l’anélasticité, la compliance de l’instrument, la géométrie de l’éprouvette, l’état de surface et la fréquence peuvent influencer la comparaison. Aucun des deux résultats ne doit être considéré comme universellement interchangeable avec l’autre.

Le module de compressibilité possède une signification physique distincte : il mesure la résistance à la compression volumique. Le NIST le définit thermodynamiquement par $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$. Engineering ToolBox indique un module de compressibilité approximatif de 163 GPa pour l’acier inoxydable, mais cette valeur constitue une estimation de référence secondaire et non une valeur universelle applicable à toutes les nuances d’acier inoxydable, à toutes les températures, à toutes les formes de produits, à toutes les constitutions de phases ou à toutes les conditions d’essai. La même prudence s’applique aux valeurs tabulées de $E$, $G$ et $\nu$.

Austénite, ferrite, martensite et aciers multiphasés

La constitution de phases influe sur la réponse élastique, car chaque phase possède sa propre structure cristalline, sa composition, son paramètre de maille, son état magnétique, sa population de défauts et son tenseur de rigidité monocristalline. La ferrite présente une structure cubique centrée, l’austénite une structure cubique à faces centrées, et la martensite possède généralement une structure quadratique centrée ou une structure cubique centrée fortement déformée lorsque le carbone produit une tétragonalité appréciable. Ces désignations ne définissent pas un module unique. La teneur en carbone, les éléments d’alliage de substitution, l’ordre, la densité de dislocations et les défauts résiduels modifient la rigidité de chaque phase.

Les aciers austénitiques mettent clairement en garde contre l’attribution d’un « module de l’austénite » générique. L’étude de Fe-5Cr-26Mn portait sur une composition chimique et une plage de températures particulières, et non sur tous les alliages Fe-Cr-Mn ni sur tous les aciers qualifiés d’austénitiques. Le manganèse et le chrome influent sur la stabilité du réseau et le comportement magnétique, tandis que la température peut modifier l’ordre magnétique même lorsque la structure cristalline reste austénitique. Ces changements influencent les forces interatomiques et, par conséquent, les constantes élastiques.

Les aciers ferritiques peuvent présenter un comportement élastique dépendant de la température, associé à leur état ferromagnétique et à sa transition vers le paramagnétisme. Cette variation ne coïncide pas nécessairement avec une transformation de phase visible. Les aciers martensitiques ajoutent un autre niveau de complexité : la trempe crée une sursaturation, une forte densité de dislocations, des contraintes internes et souvent une tétragonalité dépendante du carbone. Le revenu entraîne ensuite une précipitation de carbures, une restauration et une redistribution du carbone. La réponse élastique mesurée après revenu n’est donc pas simplement celle d’un cristal idéal de martensite.

Les aciers multiphasés nécessitent une interprétation en termes de propriétés effectives. Dans les aciers ferritiques-martensitiques, biphasés, bainitiques ou contenant de l’austénite retenue, un module apparent reflète les fractions de phases, leur connectivité, l’orientation cristallographique, les interfaces, la porosité ainsi que la direction et l’échelle du volume soumis à l’essai. Une estimation par règle des mélanges peut fournir une première approximation, mais les contraintes locales signifient que les phases ne supportent pas toutes la même déformation ni la même contrainte. Une région martensitique rigide incluse dans de la ferrite peut modifier la pente mesurée par transfert de charge, tandis que l’austénite retenue peut se transformer pendant le chargement et entraîner une déviation de la réponse par rapport à l’élasticité linéaire.

À l’échelle du monocristal, les cristaux cubiques et hexagonaux possèdent des rigidités dépendant de la direction. Un acier polycristallin ne se rapproche de l’isotropie que lorsque les orientations des grains sont suffisamment aléatoires et que l’éprouvette contient assez de grains pour permettre une moyenne représentative. Les tôles, feuillards et barres laminés peuvent conserver une texture, ce qui produit des modules différents dans les directions longitudinale, transversale et suivant l’épaisseur. Dans ce cas, imposer un seul $E$ isotrope et un seul $G$ isotrope dans un calcul peut masquer une réponse directionnelle réelle.

Coulée, laminage, traitements thermiques et contraintes résiduelles

La mise en œuvre modifie à la fois les propriétés intrinsèques des phases et la rigidité effective du corps fabriqué. L’acier moulé peut contenir une porosité de retrait, des pores gazeux, des films d’oxyde, de la ségrégation, une structure dendritique, des inclusions ainsi que des grains grossiers ou non uniformes. Même une faible fraction volumique de porosité connectée peut réduire le module effectif davantage que ne le laisserait prévoir une valeur de manuel correspondant à un acier pleinement dense. Les inclusions peuvent être plus rigides ou plus déformables que la matrice, et les inclusions mal liées agissent comme des concentrateurs de contraintes ou des défauts assimilables à des fissures pendant un essai dynamique ou statique.

Le laminage affine et allonge les grains, désagrège la structure de coulée et introduit une texture cristallographique. L’anisotropie élastique qui en résulte peut être modérée pour certains produits et importante pour d’autres. Le programme de réduction, la température de laminage, la recristallisation et l’épaisseur finale jouent tous un rôle. Un module mesuré dans la direction de laminage ne doit pas être automatiquement attribué à la direction transversale ou normale.

Les traitements thermiques modifient les fractions de phases, la taille des grains, la densité de dislocations, les précipités, la morphologie des carbures et les contraintes résiduelles. La normalisation peut affiner une structure ferrite-perlite ; la trempe peut créer de la martensite et des contraintes résiduelles ; le revenu réduit une partie de ces contraintes tout en modifiant la précipitation et la restauration. Le recuit peut réduire la densité de dislocations et les effets liés à la texture par recristallisation. Ces traitements peuvent produire des variations importantes de la limite d’élasticité et de la ténacité tout en laissant le module aux petites déformations relativement proche de sa valeur antérieure, bien que le module effectif mesuré puisse tout de même évoluer sous l’effet des défauts, d’une transformation de phase ou de la texture.

Les contraintes résiduelles méritent un traitement distinct. Un champ de contraintes auto-équilibré ne modifie pas nécessairement le module tangent idéal d’un cristal homogène, parfait et linéairement élastique. Il peut toutefois modifier ce qu’enregistre une expérience. Les contraintes résiduelles influencent la propagation des ondes, la courbure de l’éprouvette, les conditions de contact, la fermeture des fissures et le début de la microplasticité. Dans un essai de traction, une pente initiale apparente peut être influencée par le redressement, l’alignement des mors, la redistribution des contraintes ou l’élimination incomplète des contraintes d’usinage. Lors d’un essai de résonance, les contraintes et l’anisotropie peuvent déplacer les fréquences propres.

Par conséquent, une indication défendable du module d’un acier précise l’état de phase, l’état thermique, la direction du produit, l’état de densité ou de défauts et la méthode de mesure. La valeur est une propriété de cet état défini, et non une constante permanente de la nuance.

Désignations des nuances d’acier et tableaux de propriétés responsables

Une désignation d’acier identifie une composition, une classe de produit ou une exigence de spécification ; à elle seule, elle ne fournit pas un relevé complet des propriétés élastiques. « Acier inoxydable 304 », « AISI 1045 » et « ASTM A572 Grade 50 » sont des références de matériau utiles, mais aucun de ces noms n’indique à lui seul la forme du produit, l’historique thermique, la texture cristallographique, la température d’essai ou la méthode utilisée pour obtenir un module d’élasticité.

Cette distinction est importante, car l’élasticité linéaire isotrope ne comporte que deux constantes indépendantes. L’ensemble couramment indiqué en ingénierie comprend le module d’Young $E$, le coefficient de Poisson $\nu$, le module de compressibilité $K$ ou $B$, le module de cisaillement $G$, le premier paramètre de Lamé $\lambda$ et $2\mu$. Sandia National Laboratories indique que $E$ et $\nu$ déterminent les autres constantes lorsque les relations isotropes s’appliquent. OpenStax attribue des significations physiques différentes aux principaux modules : $E$ décrit la réponse en traction ou uniaxiale, $K$ décrit la compression volumique et $G$ décrit la déformation en cisaillement. Un tableau qui présente quatre nombres apparemment indépendants sans expliquer leur origine peut donc suggérer un niveau de précision ou d’indépendance que le modèle de matériau ne possède pas.

Aciers inoxydables austénitiques, ferritiques, martensitiques et à durcissement par précipitation

Les noms des familles d’aciers inoxydables décrivent une structure métallurgique, et non une réponse élastique universelle. Les nuances austénitiques telles que Type 304, Type 304L, Type 316 et Type 316L sont généralement identifiées, dans les spécifications de produits ASTM, par la désignation « Type » pertinente et, le cas échéant, par des numéros UNS tels que UNS S30400, UNS S30403, UNS S31600 et UNS S31603. La désignation doit être reproduite telle qu’elle figure dans la norme applicable. « 304L stainless » ne doit pas être converti tacitement en « 304 », car la nuance à faible teneur en carbone possède une exigence de composition différente et peut faire l’objet d’un traitement différent.

Les nuances ferritiques comprennent le Type 430 et le Type 409, tandis que les nuances martensitiques comprennent le Type 410, le Type 420 et le Type 440C. Ces noms identifient des familles présentant des stabilités de phase, des teneurs en carbone, des additions d’éléments d’alliage, des aptitudes au durcissement et des comportements magnétiques différents. Leurs propriétés élastiques peuvent être influencées par la réduction à froid, le recuit, la trempe, le revenu, l’austénite résiduelle, les populations de carbures et la direction de mesure. Un produit forgé ou laminé peut ne pas se comporter comme un produit moulé portant une désignation chimiquement similaire.

Les aciers inoxydables à durcissement par précipitation exigent une attention encore plus grande. 17-4 PH est une désignation largement utilisée, mais une spécification peut identifier le matériau comme UNS S17400 et définir des états tels que H900, H1025 ou H1150. Ces désignations d’état correspondent à des états de traitement thermique et ne sont pas des noms de nuances interchangeables. Un tableau de propriétés indiquant « module de 17-4 PH » sans préciser l’état laisse de côté une partie importante de la description du matériau. La matrice, l’état des précipités, les contraintes résiduelles et la déformation antérieure peuvent différer d’un état à l’autre, même lorsque la désignation nominale de l’alliage reste inchangée.

L’ouvrage Steel Castings Handbook de l’ASM traite le module d’élasticité, le coefficient de Poisson, le module de cisaillement et les propriétés physiques connexes comme des données relatives aux aciers moulés. Cette manière de présenter les choses est importante : un tableau consacré à un acier moulé décrit un matériau de moulage spécifié et une base d’essai donnée, et non tout produit corroyé, soudé, fabriqué par addition ou traité thermiquement ayant une composition chimique similaire. Les pièces moulées peuvent contenir de la ségrégation, de la porosité, des inclusions et des variations microstructurales locales qui influencent les résultats mesurés ainsi que leur dispersion.

Les désignations des familles d’aciers inoxydables ne doivent pas non plus servir à attribuer un module exact unique. Une valeur de référence secondaire approximative de 163 GPa pour l’acier inoxydable apparaît dans Engineering ToolBox, mais cette valeur n’est pas universelle pour toutes les nuances d’acier inoxydable, toutes les températures, toutes les formes de produit ou toutes les conditions d’essai. Il s’agit d’une estimation de référence, et non d’un substitut à une fiche technique spécifique à une norme ou à une valeur mesurée.

Désignations des aciers au carbone et faiblement alliés

Les aciers au carbone et les aciers faiblement alliés exigent eux aussi une pratique rigoureuse en matière de désignation. AISI/SAE 1045 identifie un acier au carbone dans le système de numérotation SAE/AISI ; il ne s’agit pas de la même désignation que ASTM A36, qui est une spécification de produit pour l’acier de construction. ASTM A572 Grade 50 identifie une nuance relevant de la norme ASTM A572/A572M, tandis que AISI/SAE 4130 identifie la composition d’un acier allié au chrome-molybdène. Ces désignations ne doivent pas être fusionnées dans des formulations informelles telles que « 4130-grade A572 », sauf si une spécification applicable autorise explicitement cette description.

Les désignations européennes fournissent un autre exemple. S355J2 et S355JR sont des désignations utilisées dans le cadre de la norme EN 10025-2, et les suffixes portent une signification spécifiée concernant l’essai de résilience ou la condition de livraison. Il ne s’agit pas simplement de noms alternatifs pour ASTM A572 Grade 50. Une similarité chimique n’établit pas l’équivalence des exigences de spécification, des dimensions du produit, des règles d’inspection ou des données relatives aux propriétés élastiques.

Un tableau doit également distinguer une désignation de composition d’une condition de livraison. AISI/SAE 4140 peut être fourni à l’état recuit, normalisé et revenu, trempé et revenu, forgé ou dans une autre condition spécifiée. Les tôles, barres et profilés de construction en ASTM A36 sont régis par une spécification de produit, mais leur réponse mesurée peut néanmoins dépendre de l’épaisseur, de la direction de laminage, des contraintes résiduelles et de la méthode d’essai. La nuance nominale fixe des limites ou des exigences ; elle n’efface pas l’historique de fabrication.

La même prudence s’applique à des descriptions de familles telles que « acier doux », « acier à outils », « acier faiblement allié à haute résistance » et autres désignations analogues. Il s’agit de catégories générales, et non de désignations complètes de nuances. Un tableau responsable indique le numéro de la norme, la nuance ou le type, la révision le cas échéant, la désignation UNS ou AISI/SAE lorsqu’elle s’applique, la forme du produit et l’état de traitement thermique. Si une désignation est un nom interne à une entreprise, cela doit être indiqué au lieu de la présenter comme une désignation ASTM, ASME, SAE, AISI, EN ou UNS.

Pourquoi les normes et les spécifications de produits doivent accompagner les valeurs

Les valeurs de propriétés élastiques n’ont de signification qu’avec leur contexte de mesure. Au minimum, un tableau doit préciser :

• la forme du produit : plaque, tôle, barre, tube, fil, pièce forgée, métal fondu, pièce obtenue par transformation de poudres ou pièce moulée ;
• le traitement thermique et la condition, y compris le revenu, le vieillissement, le traitement de mise en solution ou l’état de durcissement par précipitation ;
• la direction d’essai par rapport à la direction de laminage, de forgeage, d’extrusion ou de fabrication ;
• la température et les conditions environnementales ;
• la vitesse ou la fréquence de sollicitation ;
• la géométrie de l’éprouvette et les dimensions pertinentes ;
• la norme d’essai et sa révision ;
• le caractère statique, quasi statique ou dynamique du résultat ;
• le nombre d’éprouvettes, l’intervalle de valeurs, la moyenne et la dispersion lorsqu’ils sont disponibles.

Les modules statiques et dynamiques ne sont pas automatiquement interchangeables. La norme ASTM E1875-20a spécifie la détermination du module d’Young dynamique, du module de cisaillement et du coefficient de Poisson « par résonance sonique ». Les mesures par résonance utilisent la propagation des ondes et la fréquence de vibration, tandis qu’un essai de traction peut déterminer une pente à partir d’une courbe contrainte-déformation pour une vitesse de sollicitation définie. Les deux méthodes concernent la réponse élastique, mais elles peuvent produire des valeurs différentes, car la fréquence, l’amortissement, les défauts microstructuraux, l’instrumentation et les procédures de réduction des données diffèrent.

La température doit être indiquée, en particulier pour les applications cryogéniques ou à température élevée. Un rapport du National Bureau of Standards datant de 1981 a mesuré les constantes élastiques de l’acier austénitique Fe-5Cr-26Mn entre 76 et 400 K, au moyen des vitesses du son en modes longitudinal et transversal. Cette plage montre pourquoi une valeur à température ambiante ne peut pas être copiée dans un tableau de conception cryogénique sans réserve. La texture et l’anisotropie cristalline soulèvent une autre question : le chapitre du manuel du NIST consacré aux constantes élastiques des monocristaux explique comment les valeurs quasi isotropes polycristallines de $E$, $G$, $B$, du module longitudinal et de $\nu$ peuvent être dérivées des données de rigidité de monocristaux, mais ces dérivations dépendent de la symétrie cristalline, de la distribution des orientations et des hypothèses de moyennage.

Pour les calculs isotropes, une paire soigneusement identifiée de constantes suffit ; les autres doivent être calculées au moyen des équations indiquées ou vérifiées pour assurer leur cohérence. Pour les aciers laminés, forgés, texturés, soudés ou fabriqués par addition et présentant un comportement anisotrope, un module scalaire unique peut constituer une approximation plutôt qu’une description constitutive complète. Les normes et les spécifications de produits empêchent un tableau de dissimuler cette limitation. Elles relient chaque nombre à un matériau, un état, une direction, une température et une méthode définis — informations nécessaires avant qu’une valeur puisse être intégrée de manière responsable dans un calcul de conception.

Utilisation en conception : choisir la relation entre modules appropriée

Un module d’élasticité est associé à un mode de déformation. Le module de Young $E$ décrit la déformation normale produite par une contrainte uniaxiale ; le module de cisaillement $G$ décrit la distorsion à volume presque constant ; et le module volumique $K$, également noté $B$, décrit la résistance à une compression uniforme. Le coefficient de Poisson $\nu$ relie la déformation normale à la déformation latérale. Ces grandeurs sont liées, mais elles ne sont pas interchangeables simplement parce qu’elles sont toutes exprimées en gigapascals ou qu’elles sont couramment répertoriées ensemble pour l’acier.

Pour un solide homogène, linéaire et isotrope, seules deux constantes élastiques sont indépendantes. Elasticity of Solids de Springer l’énonce directement dans son traitement de l’élasticité isotrope publié en 2020. Sandia National Laboratories répertorie l’ensemble associé comme suit : module de Young $E$, coefficient de Poisson $\nu$, module volumique $K$, module de cisaillement $G$, premier paramètre de Lamé $\lambda$ et $2\mu$, $E$ et $\nu$ permettant de déterminer les autres. Les équations de conversion sont donc des relations conditionnelles, et non des mesures indépendantes de six propriétés de matériau sans rapport entre elles :

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$$

et

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Les hypothèses sont importantes. Ces équations s’appliquent aux petites déformations, à une réponse élastique linéaire et à un comportement isotrope. Une plaque d’acier présentant une texture de laminage, une zone affectée thermiquement par une soudure, un produit moulé comportant une solidification directionnelle ou une microstructure biphasée peuvent ne pas satisfaire suffisamment l’hypothèse d’isotropie pour qu’une seule valeur convertie représente toutes les directions de chargement.

Éléments uniaxiaux et module $E$

Pour un élément droit soumis à une force axiale — élément en traction ou en compression, tirant, barre ou segment de poutre élancé — $E$ est le module principal. La relation fondamentale est

$$\sigma =E\epsilon ,$$

de sorte que l’allongement élastique d’un élément prismatique est

$$\delta =\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AE}},$$

où $P$ est la force axiale, $L$ la longueur initiale et $A$ l’aire de la section transversale. Il s’agit du point de départ approprié pour estimer l’allongement élastique, le raccourcissement et la rigidité axiale $\mathrm{AE}/L$.

Le coefficient de Poisson intervient lorsque la contraction latérale ou les contraintes multiaxiales sont importantes. Une barre d’acier étirée librement se contracte latéralement selon

$${\epsilon }_{\text{transverse}}=-\nu {\epsilon }_{\text{axial}}.$$

Pour une éprouvette totalement contrainte, toutefois, la réponse axiale n’est pas représentée par $E$ seul. La déformation latérale ne peut pas se développer ; l’état de contrainte devient donc tridimensionnel et la rigidité apparente augmente. Un modèle par éléments finis d’un insert collé, d’une rondelle contrainte ou d’un assemblage fretté doit tenir compte de ce couplage, plutôt que de traiter le composant comme une barre unidimensionnelle isolée.

La valeur utilisée pour $E$ doit également correspondre aux conditions de mesure et de service. La pente issue d’un essai de traction statique, le module dynamique résonant et un module déduit de la vitesse ultrasonore peuvent différer en raison de la fréquence, de la température, de la géométrie de l’éprouvette, de la porosité, des contraintes résiduelles et des défauts. ASTM E1875-20a spécifie la détermination du module de Young dynamique, du module de cisaillement et du coefficient de Poisson « par résonance sonore ». Cette méthode ne produit pas automatiquement le même nombre qu’un essai de traction lent réalisé à la température de conception.

L’acier ne constitue pas un matériau élastique unique dans tous ses états métallurgiques. Les structures ferritique, martensitique, bainitique et austénitique peuvent différer, tandis que la texture peut faire réagir différemment la direction de laminage et la direction transverse. Le rapport du National Bureau of Standards consacré à l’acier austénitique Fe-5Cr-26Mn a déterminé les constantes élastiques à partir des vitesses du son dans les modes longitudinal et transverse sur une plage de 76 à 400 K. Cette plage de températures rappelle qu’une constante élastique mesurée près de la température ambiante ne doit pas être considérée comme une donnée indépendante de la température pour un service cryogénique ou à température élevée.

Torsion et module $G$

Pour un arbre circulaire en torsion élastique, $G$ contrôle l’angle de torsion :

$$\theta =\frac{\mathrm{TL}}{\mathrm{JG}},$$

où $T$ est le couple, $J$ le moment quadratique polaire de la section et $L$ la longueur de l’arbre. La rigidité en torsion est $\mathrm{JG}/L$. La contrainte de cisaillement associée dans un arbre circulaire est

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

L’utilisation directe de $E$ dans ce calcul donne une rigidité incorrecte, à moins de le convertir au préalable au moyen d’une valeur défendable de $\nu$. Pour un acier isotrope,

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Cette conversion est utile lorsque seuls $E$ et $\nu$ sont disponibles, mais elle ne transforme pas une mesure en traction en mesure directe de torsion. Un matériau peut présenter une réponse au cisaillement dépendant de la direction, même lorsqu’un module de traction moyen semble acceptable.

Cette distinction devient importante pour les tubes à paroi mince, les cannelures, les arbres soudés et les pièces dont l’historique de fabrication est anisotrope. Dans une section générale, la torsion peut produire un gauchissement et un champ de cisaillement non uniforme ; l’équation de l’arbre circulaire de Saint-Venant peut donc elle-même être insuffisante. La donnée matériau demeure un paramètre constitutif de cisaillement, mais l’analyse de la section doit représenter la géométrie réelle.

Les données dynamiques de cisaillement exigent une prudence similaire. Les méthodes par résonance mesurent une réponse à une fréquence et une amplitude de déformation faibles données. Une valeur calculée à partir d’un essai sonore peut convenir à l’analyse des vibrations ou des ondes, sans être identique à la rigidité sécante ou tangente utilisée dans un calcul structural sous chargement lent. La désignation « dynamique » n’est pas une simple indication secondaire ; elle identifie une condition expérimentale différente.

Problèmes hydrostatiques, de contact et de propagation des ondes

Le module volumique $K$ ou $B$ est le paramètre approprié pour caractériser la réponse volumique. Sous pression hydrostatique, la pression modifie le volume selon

$$K=B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

qui est la définition thermodynamique donnée par le National Institute of Standards and Technology en 1982. Une valeur élevée de $K$ signifie qu’une pression importante ne produit qu’une faible variation fractionnelle du volume. Cela diffère de la résistance au changement de forme, qui est principalement régie par $G$.

Engineering ToolBox donne un module volumique approximatif de 163 GPa pour l’acier inoxydable. Cette valeur peut servir d’estimation de référence secondaire, mais non de valeur universelle pour toutes les nuances d’acier inoxydable, températures, formes de produits, constitutions de phases ou méthodes d’essai. Puisque $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$, de faibles erreurs sur $\nu$ peuvent entraîner une variation notable du module volumique calculé lorsque $\nu$ s’approche de 0,5.

Les calculs de contact nécessitent de prendre en compte à la fois le comportement normal et tangentiel. Dans le contact hertzien, le module normal effectif de deux corps s’écrit couramment

\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}. \]

Ici, c’est \(E^*\), et non $E$ d’une seule nuance d’acier, qui contrôle l’indentation élastique locale. Le glissement avec frottement et la traction tangentielle font également intervenir $G$ et $\nu$. Un modèle qui substitue $K$ à \(E^*\) peut rester mathématiquement stable et produire des pressions de contact régulières, tout en représentant le mauvais mécanisme de déformation.

Les problèmes de propagation des ondes utilisent encore une autre combinaison. Pour un solide isotrope, le module des ondes longitudinales est

$$M=K+\frac{4G}{3},$$

avec les vitesses des ondes longitudinales et de cisaillement

\[ v_L=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}}, \qquad v_S=\sqrt{\frac{G}{\rho}}. \]

Ainsi, la seule vitesse longitudinale ne permet pas d’identifier toutes les constantes élastiques ; une mesure de l’onde transverse est nécessaire pour séparer $K$ et $G$. Dans un monocristal ou un polycristal texturé, la vitesse des ondes dépend également de la direction de propagation et de la polarisation ; les formules isotropes peuvent donc dissimuler une anisotropie élastique réelle.

Les formulations tridimensionnelles par éléments finis utilisent généralement $E$ et $\nu$, $K$ et $G$, ou les paramètres de Lamé $\lambda$ et $\mu$. Le choix est mathématique et ne constitue pas une modification du matériau physique. À proximité de l’incompressibilité, toutefois, une formulation $E$-$\nu$ avec $\nu$ proche de 0,5 peut souffrir de verrouillage volumique, tandis qu’une formulation mixte utilisant la pression et la réponse déviatorique peut donner de meilleurs résultats. À l’inverse, l’introduction de valeurs de $E$, $G$ et $K$ arrondies indépendamment peut violer les équations de conversion isotropes et créer une matrice de rigidité incohérente en interne.

C’est le risque principal en conception : une constante convertie peut être numériquement cohérente avec une équation tout en étant physiquement inappropriée pour le problème, la température, la fréquence, la direction ou la microstructure de l’acier modélisés. Sélectionnez d’abord le module en fonction du mode de déformation, puis vérifiez que ses conditions de mesure et ses hypothèses d’isotropie correspondent au composant et à l’analyse.

Erreurs courantes dans les calculs des modules de l’acier

Les calculs des modules de l’acier échouent souvent parce que des grandeurs ayant des significations physiques différentes sont traitées comme interchangeables. Le module de Young $E$, le module de cisaillement $G$, le module d’incompressibilité $K$ ou $B$, ainsi que le coefficient de Poisson $\nu$, décrivent la déformation élastique. La limite d’élasticité décrit le début d’une déformation permanente substantielle. Ces grandeurs appartiennent à différentes parties d’un modèle de matériau.

Pour un solide isotrope, linéairement élastique, seules deux constantes élastiques sont indépendantes. Le chapitre Elasticity of Solids de Springer (2020) l’énonce directement. Sandia National Laboratories présente l’ensemble associé comme comprenant le module de Young $E$, le coefficient de Poisson $\nu$, le module d’incompressibilité $K$, le module de cisaillement $G$, le premier paramètre de Lamé $\lambda$ et $2\mu$ ; la spécification de $E$ et de $\nu$ détermine les autres. Les conversions courantes sont

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

et

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Ces équations ne sont pas des faits expérimentaux indépendants. Elles découlent de l’hypothèse d’un comportement isotrope, linéairement élastique. Leur utilisation exige des valeurs compatibles, des unités cohérentes et un état du matériau pour lequel l’isotropie constitue une approximation raisonnable.

Confondre le module et la limite d’élasticité

L’erreur la plus persistante consiste à qualifier un acier à haute résistance de « plus rigide » parce que sa limite d’élasticité est plus élevée. La limite d’élasticité mesure la contrainte à laquelle la déformation plastique commence selon un critère spécifié, souvent une déformation conventionnelle telle que 0,2 %. Le module de Young mesure la pente de la réponse élastique contrainte–déformation avant cette transition. Un traitement thermique, un programme de réduction à froid, une réaction de précipitation ou une variation de la teneur en carbone peuvent augmenter considérablement la limite d’élasticité sans entraîner une variation comparable de la pente élastique initiale.

Cette distinction est importante en conception. La flèche sous une charge de service dépend principalement de $E$, de la géométrie, des conditions aux limites et de la charge ; la vérification de la contrainte admissible exige également la limite d’élasticité ou une autre limite de résistance. Remplacer $E$ par la limite d’élasticité d’une nuance produit des résultats dimensionnellement plausibles, mais dépourvus de signification physique. Un calcul qui divise la contrainte par la limite d’élasticité peut estimer un taux d’utilisation. Il ne calcule pas la déformation élastique.

La même erreur apparaît en cisaillement. Le module de cisaillement est défini par la relation élastique entre la contrainte de cisaillement et la déformation de cisaillement,

$$\tau =G\gamma .$$

La limite d’élasticité en cisaillement est une limite plastique. Elle peut être estimée à partir d’un critère de plasticité, tel que la relation de von Mises, mais ce n’est pas $G$, et elle ne s’obtient pas en attribuant à un module les unités d’une contrainte et en changeant son nom. OpenStax (2020) distingue clairement les modes de déformation : le module de Young décrit la réponse en traction, le module d’incompressibilité décrit la compression volumique et le module de cisaillement décrit la déformation en cisaillement.

Une spécification d’acier peut donc contenir à la fois une exigence relative à la limite d’élasticité et une hypothèse concernant une propriété élastique, sans que ces valeurs soient liées par une simple conversion entre nuances. Pour les calculs de structures, il convient d’enregistrer la désignation pertinente et la norme du produit — par exemple, une tôle ou une feuille ASTM A240/A240M, un matériau S355 selon EN 10025-2 ou un acier inoxydable ASTM A276 Type 304 — ainsi que l’épaisseur, la forme du produit et la direction d’essai. La désignation identifie l’exigence applicable au matériau ; elle ne rend pas exacte une valeur générique du module pour chaque produit.

Une autre erreur consiste à considérer que chaque nuance possède une valeur exacte unique de $E$. Les aciers ferritiques, martensitiques, bainitiques, austénitiques et duplex peuvent présenter des fractions de phase, des textures, des niveaux de porosité dans les produits moulés et des contraintes résiduelles différents. Ces facteurs influent sur la réponse élastique mesurée. Pour de nombreuses estimations d’ingénierie, une valeur isotrope conventionnelle est suffisante, mais elle reste une hypothèse ou une valeur adoptée pour la conception, et non une constante physique universelle associée au mot « acier ».

Mélanger les valeurs statiques et dynamiques

Les modules statiques et dynamiques sont liés, mais ne sont pas automatiquement interchangeables. Un module statique est obtenu au moyen d’un essai mécanique réalisé avec une sollicitation lente, généralement à partir de la pente d’une courbe contrainte–déformation en traction ou en compression sur un intervalle de déformation défini. Le résultat peut être influencé par la compliance de la machine, l’alignement des mors, l’état de surface, la vitesse de déformation, l’hystérésis, la microplasticité et la manière dont la pente est ajustée.

Un module dynamique est déduit de la propagation des ondes, de la résonance ou d’une autre mesure dépendant du temps. ASTM E1875-20a spécifie la détermination du module de Young dynamique, du module de cisaillement et du coefficient de Poisson « par résonance sonique ». Les fréquences de résonance et les dimensions de l’éprouvette sont utilisées pour déduire les constantes élastiques. Cette méthode peut fournir des données précises à très faible déformation, mais le résultat correspond à une déformation de très faible amplitude et à haute fréquence et doit être désigné comme tel.

Les mesures dynamiques dépendent également de la masse volumique, de la géométrie de l’éprouvette, de la fréquence, de la température et de l’identification du mode. Une valeur déduite d’une résonance longitudinale ne doit pas être introduite dans un calcul de cisaillement sans appliquer la relation appropriée et utiliser un coefficient de Poisson compatible. De même, le « module d’élasticité » indiqué dans un manuel peut être une convention de conception, tandis qu’un rapport de résonance peut identifier un module dynamique. Ces deux valeurs ne doivent pas être comparées comme si elles provenaient du même essai.

Lors de la conversion entre $E$, $G$ et $K$, il convient d’indiquer si les données d’entrée sont statiques ou dynamiques. Combiner un $E$ issu d’un essai de traction avec un $\nu$ issu d’une résonance sonique peut créer un ensemble intrinsèquement incohérent, même si chacune des deux valeurs est individuellement crédible. Le calcul peut respecter l’algèbre tout en ne représentant pas un même état matériel mesuré.

Le coefficient de Poisson mérite une attention particulière, car l’incertitude sur $\nu$ devient importante dans l’équation du module d’incompressibilité. Si $E=200$ GPa et $\nu =0.30$, la relation isotrope donne $K=166.7$ GPa. Si le même $E$ est combiné à $\nu =0.29$, $K=158.7$ GPa ; avec $\nu =0.31$, il devient $K=175.4$ GPa. Une variation de seulement 0,01 de $\nu$ modifie le $K$ calculé d’environ 5 %. À proximité de $\nu =0.5$, la sensibilité est beaucoup plus forte, car $1-2\nu$ tend vers zéro. Il convient d’indiquer la valeur supposée, sa source et une plage de sensibilité, plutôt que de présenter le $K$ obtenu comme une constante mesurée.

Les unités constituent une cause d’erreur plus simple, mais fréquente. Puisque $1\text{GPa}=1000\text{MPa}$, une valeur de $E$ saisie en MPa avec une valeur de $G$ saisie en GPa peut introduire un facteur d’erreur de 1 000. Il faut conserver un même système d’unités pour tous les modules pendant le calcul et préciser l’unité à côté du résultat final.

Les valeurs du module d’incompressibilité doivent être accompagnées de leur provenance. Engineering ToolBox indique une valeur approximative de 163 GPa pour l’acier inoxydable, mais il s’agit d’une estimation issue d’une source secondaire, et non d’une valeur universelle applicable à toutes les nuances d’acier inoxydable, à toutes les formes de produits, températures ou conditions d’essai. Une référence défendable devrait identifier la mesure ou le calcul d’origine, la composition, l’état de phase, la température, la plage de pression, la base de masse volumique et la méthode. La définition thermodynamique du National Institute of Standards and Technology (1982), $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$, rend explicite la condition de température. Un nombre recopié d’un tableau sans ces conditions doit être présenté comme approximatif.

Négliger l’anisotropie et la température

Les équations isotropes supposent que la réponse est identique dans toutes les directions. Les tôles laminées, les fils tréfilés, les barres forgées et les aciers fabriqués par fabrication additive développent couramment une texture cristallographique. Leur réponse élastique peut varier selon la direction de sollicitation, même lorsque le matériau paraît uniforme à l’œil nu. Une tôle fortement texturée peut nécessiter des constantes propres à chaque direction plutôt qu’une seule valeur de $E$, $G$ et $\nu$.

L’élasticité d’un monocristal est décrite par une matrice de rigidité élastique, et non par un seul module scalaire. Le chapitre du manuel de NIST publié en 1982 explique comment des constantes quasi isotropes de matériaux polycristallins peuvent être dérivées de données de rigidité de monocristaux pour des éléments cubiques et hexagonaux. Cette moyenne constitue un modèle. Elle devient moins appropriée lorsque la texture est forte, que les proportions de phases varient dans l’espace ou que le produit contient des inclusions ou des pores orientés.

La température est une autre variable souvent omise. Les constantes élastiques varient généralement avec la température, et les transformations de phase peuvent produire des discontinuités plus importantes que le simple adoucissement thermique. Un rapport du National Bureau of Standards (1981) a mesuré les constantes élastiques d’un acier austénitique Fe-5Cr-26Mn entre 76 et 400 K en utilisant les vitesses du son dans les modes longitudinal et transversal. La plage de température montre à elle seule pourquoi une valeur à température ambiante ne peut pas être transposée sans précaution à un service cryogénique ou à un équipement fonctionnant à température élevée.

Un calcul devrait donc préciser la désignation du matériau, la forme du produit, la direction d’essai, la température, le mode de déformation, la méthode de mesure et indiquer si les constantes sont statiques, dynamiques, isotropes ou propres à une direction. Si ces informations ne sont pas disponibles, il convient de qualifier le résultat d’estimation d’ingénierie et de montrer comment l’incertitude sur $E$, $G$, $K$ et $\nu$ influe sur la réponse. Cette approche est plus exacte que d’attribuer un module exact unique à tous les aciers et de laisser une hypothèse implicite orienter la conception.

Références

1. [1]National Institute of Standards and Technology. Bulk modulus definition. NIST handbook chapter, 1982. https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172
2. [2]ASTM International. Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM E1875-20a, 2020. https://www.astm.org/e1875-20a.html
3. [3]Springer Nature. Elasticity of Solids. Springer book chapter, 2020. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4
4. [4]OpenStax. Stress, Strain, and Elastic Modulus. University Physics Volume 1, 2020. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
5. [5]National Bureau of Standards. Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards report, 1981. https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf