Çeliğin Elastik Sabitleri ve Modül İlişkileri

Çeliğin Elastik Sabitleri Ne Anlama Gelir—ve Ne Anlama Gelmez

Elastik sabitler, bir malzeme elastik aralığı içinde kaldığı sürece uygulanan gerilme ile bunun sonucunda oluşan birim şekil değiştirme arasındaki ilişkiyi kuran parametrelerdir. Bu aralıkta yükün kaldırılması, numunenin en azından yaklaşık olarak başlangıç boyutlarına dönmesini sağlar. Basit bir çekme deneyi için Young modülü, eksenel gerilmenin eksenel birim şekil değiştirmeye oranıdır:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }.$$

Bu bağıntı, gerilme–birim şekil değiştirme eğrisinin başlangıçtaki, geri kazanılabilir bölümünün eğimini tanımlar. Eğrinin tamamını tanımlamaz ve kalıcı deformasyon veya kırılma meydana gelmeden önce çeliğin ne kadar gerilmeye dayanabileceğini belirtmez.

İzotropik, doğrusal elastik bir katı için yalnızca iki elastik sabit bağımsızdır. Strong evidence

İzotropik, doğrusal elastik bir katı için yalnızca iki elastik sabit birbirinden bağımsızdır. Yaygın olarak kullanılan bir küme; Young modülü $E$, Poisson oranı $\nu$, hacim modülü $K$ veya $B$, kayma modülü $G$, Lamé’nin birinci parametresi $\lambda$ ve $\mu =G$ olmak üzere $2\mu$ büyüklüklerini içerir. Sandia National Laboratories bu birbiriyle ilişkili altı büyüklüğü listeler ve $E$ ile $\nu$’nun diğerlerini belirlediğini belirtir. Örneğin,

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

ve

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Hacim modülüHacim modülü Basınç altındaki düzgün hacim değişimine karşı direncin ölçüsüdür; yaygın olarak K veya B şeklinde yazılır.

Gösterim değişiklik gösterebilir: NIST ve diğer kaynaklar hacim modülü için çoğunlukla $B$ sembolünü kullanırken mühendislik kaynakları ve sonlu eleman yazılımları genellikle $K$ sembolünü kullanır. Bunlar aynı izotropik özelliği ifade eder.

Elastik tepki ile dayanım ve plastiklik arasındaki fark

Elastisite dar kapsamlı bir soruyu yanıtlar: kalıcı deformasyon başlamadan önce belirli bir gerilmeye ne kadar birim şekil değiştirmenin eşlik ettiği. Dayanım ise farklı soruları yanıtlar. Akma dayanımı, belirli bir plastik birim şekil değiştirmenin başlangıcıyla ilişkili gerilmeyi tanımlar; çekme dayanımı, bir çekme deneyi sırasında ulaşılan en yüksek mühendislik gerilmesidir; kırılma dayanımı ise numunenin ayrılmasıyla ilgilidir. Bunların hiçbiri Young modülünün başka bir adı değildir.

Bir çelik, benzer bileşime sahip daha düşük dayanımlı bir çelikle neredeyse aynı Young modülüne ve yüksek bir akma dayanımına sahip olabilir. Soğuk şekillendirme, çökelme sertleşmesi veya martenzitik dönüşüm, küçük birim şekil değiştirmelerdeki çekme modülünü çok daha az değiştirirken akma dayanımını ve sertliği büyük ölçüde artırabilir. Bunun nedeni, dayanım artırma mekanizmalarının dislokasyon hareketini engellemesine karşılık başlangıçtaki elastik tepkinin esas olarak atomik bağların rijitliğini ve kristal yapının bileşik etkisini yansıtmasıdır. Bu ayrım, örneğin su verilmiş ve temperlenmiş düşük alaşımlı bir çelik ile benzer kimyasal bileşime sahip tavlanmış bir ürünü karşılaştırırken temel önem taşır.

Gerilme–birim şekil değiştirme ilişkisi artık başlangıçtaki doğrusal elastik eğimi izlemediğinde plastiklik başlar. Bu durumda plastik bir yapı modeli; akma kriterleri, pekleşme yasası, akış kuralı, birim şekil değiştirme hızı duyarlılığı ve sıcaklığa bağlılık gibi bilgilere ihtiyaç duyar. Young modülü tek başına bu bilgilerin hiçbirini sağlamaz. Doğru bir $E$ değeri içeren, ancak uygun olmayan bir akma yüzeyine sahip sonlu eleman modeli yine de kalıcı deformasyonu hatalı öngörebilir.

Diğer mekanik özellikler de farklı soruları yanıtlar. Sertlik, yerel girintiye karşı direnci ölçer ve kontrollü bir çelik grubu içinde çoğu zaman dayanımla korelasyon gösterir; ancak bir modül değildir. Tokluk, belirli bir deney koşulu altında enerji soğurumu ve çatlak direnciyle ilgilidir. Yorulma direnci, tekrarlı veya değişken yükleme altındaki hasar birikimiyle ilgilidir. Bir çelik, başka bir kaliteyle benzer elastik modüle sahip olabilir; ancak sertliği, darbe tokluğu, çatlak ilerleme davranışı veya yorulma ömrü farklı olabilir.

Elastisite, her yükleme çevriminin kusursuz biçimde tersinir olduğu anlamına da gelmez. Gerçek çelikte, geleneksel bir akma noktası belirgin hâle gelmeden önce mikroplastiklik, anelastisite, artık gerilme etkileri, histerezis veya hasar görülebilir. Bu nedenle belirli bir deney için bildirilen modül; birim şekil değiştirme aralığına, yükleme hızına, çevrim geçmişine ve verilerin indirgenme yöntemine bağlıdır.

Kırılma gerilmesi değil, rijitlik olarak modül

Bir modül, belirli bir deformasyon kipinde tanımlanmış bir elastik birim şekil değiştirmeyi oluşturmak için gereken gerilmeyi, yani rijitliği ölçer. Young modülü, eksenel uzama veya kısalmayla ilgilidir. Kayma modülü, kayma gerilmesi altındaki şekil değişimine karşı direnci tanımlar. Hacim modülü ise basınç altındaki düzgün hacim değişimine karşı direnci tanımlar. OpenStax, çekme, kayma ve hacimsel deformasyon için bu karşılık gelen fiziksel yorumları verir.

Büyük bir modül, belirli bir gerilmenin daha küçük bir elastik birim şekil değiştirme oluşturduğu anlamına gelir. Malzemenin akmadan veya kırılmadan önce daha büyük bir gerilmeyi taşıyabileceği anlamına gelmez. Aynı $E$ değerine, ancak farklı akma dayanımlarına sahip iki çelik bileşeni ele alalım. Aynı servis gerilmesi altında yaklaşık olarak aynı elastik uzamayı gösterirler. Daha yüksek dayanımlı bileşen plastik deformasyondan önce daha büyük bir gerilmeye dayanabilir; ancak akma dayanımı daha yüksek olduğu için başlangıçtaki elastik tepkide belirgin biçimde daha rijit değildir.

Hacim modülü, özellikle açık bir termodinamik tanıma sahiptir. National Institute of Standards and Technology, 1982 tarihli el kitabı bölümünde şu ifadeyi kullanır:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$[1][1] Bulk modulus definition. National Institute of Standards and Technology. NIST handbook chapter, 1982.

burada $V$ hacim, $P$ basınçtır ve türev sabit sıcaklıkta alınır. Bu, çekme altındaki kırılma sınırı değil, hacimsel bir özelliktir. Çeliğin düzgün biçimde sıkıştırılması zordur; bu nedenle hacim modülü yüksektir. Ancak bu olgu tek başına çekme sünekliği veya kırılma tokluğu hakkında çok az şey söyler.

Modül, rezilyans ile de karıştırılmamalıdır. Birim hacim başına depolanan elastik enerji gerilmeye ve modüle bağlıdır; akmaya kadar geri kazanılabilir enerji ise hem modüle hem de akma dayanımına bağlıdır. Bu nedenle $E$ yalnızca biraz değişse bile akma dayanımının artırılması elastik enerji kapasitesini artırabilir.

Bir çelik kalitesinin neden tek bir evrensel modülü yoktur

ASTM A36, ASTM A572 Grade 50, EN 10025-2 S355JR veya AISI 304 gibi bir gösterim; bir spesifikasyonu, bileşim aralığını, ürün durumunu veya gerekli performans kümesini tanımlar. Ancak bu gösterim, söz konusu gösterime göre üretilen her numune için değişmez tek bir elastik sayı tanımlamaz. Ölçülen tepki, malzemenin durumuna ve deney koşullarına bağlıdır.

Sıcaklık başlıca değişkenlerden biridir. Elastik sabitler genellikle sıcaklıkla değişir ve kristal yapıyı veya faz karışımını değiştiren faz dönüşümleri daha büyük değişikliklere yol açabilir. National Bureau of Standards tarafından 1981’de yayımlanan bir rapor, östenitik Fe-5Cr-26Mn çeliğinin elastik sabitlerini 76–400 K arasında, boyuna ve enine modlardaki ses hızlarını kullanarak ölçmüştür. Yalnızca bu sıcaklık aralığı bile, deney sıcaklığı belirtilmeyen bir değerin neden eksik olduğunu gösterir.

Yarı izotropikYarı izotropik Tek tek taneler anizotropik kalmasına rağmen, tanımlanmış bir hesaplama, yön aralığı ve ölçek için izotropiye yeterince yakın olan etkin malzeme tepkisi.

Doku ve yön de önem taşır. Ferrit, östenit veya martenzitin tek kristalleri elastik olarak anizotropiktir; yani rijitlikleri kristalografik yöne bağlıdır. Haddelenmiş levha, dövülmüş çubuk, çekilmiş tel ve eklemeli imalatla üretilmiş malzeme, tercihli yönlenmeler geliştirebilir. Kristal yönlenmeleri yeterince dağılmış olduğunda polikristalin bir agrega yaklaşık olarak izotropik davranabilir; ancak güçlü dokuya sahip bir ürün, yöne özgü sabitlerin kullanılmasını gerektirebilir. Haddeleme yönündeki boyuna modül, kalınlık yönündeki değere eşit olmak zorunda değildir.

Faz bileşimi, inklüzyonlar, gözeneklilik, artık gerilme, tane yapısı ve ürün biçimi de ölçülen bileşik tepkiyi etkiler. Aynı proje spesifikasyonu kapsamında olsalar bile kaynak metali ve ısıdan etkilenmiş bölgeler ana levhadan farklı olabilir. Tek kristal sabitleri, polikristalin tasarım değerlerinin yerine doğrudan konulamaz. NIST el kitabı; kübik ve hekzagonal malzemeler için tek kristal elastik rijitlik verilerinden yarı izotropik Young, kayma, hacim ve ilişkili modüllerin nasıl türetilebileceğini açıklar; ancak bu hesaplama kristal simetrisine ve yönlenmelerin ortalamasına ilişkin varsayımlara bağlıdır.

[2][2] Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM International. ASTM E1875-20a, 2020.

ASTM E1875-20a, ses rezonansı yoluyla Young modülünün, kayma modülünün ve Poisson oranının dinamik ölçümünü belirtir. Strong evidence

Ölçüm yöntemi, bildirilen sonucu değiştirir. Yavaş bir çekme deneyi, kuvvet ve yer değiştirmeye dayalı statik veya sekant/tanjant modülü verirken ultrasonik ya da rezonans yöntemleri dalga hızından veya doğal frekanstan dinamik bir modül belirler. ASTM E1875-20, dinamik Young modülünün, kayma modülünün ve Poisson oranının “sonik rezonans yoluyla” belirlenmesini tanımlar. Dinamik değerler; frekans, sönüm, cihaz uyumluluğu, birim şekil değiştirme genliği ve numunenin ideal olmayan bölümlerinin nasıl ele alındığı nedeniyle statik değerlerden farklı olabilir.

Sonuç olarak, yararlı bir modül raporu en azından çelik gösterimini, ürün biçimini ve durumunu, sıcaklığı, yükleme yönünü, deformasyon kipini ve ölçüm yöntemini belirtir. Ayrıca değerin ölçülmüş mü, diğer sabitlerden hesaplanmış mı, yoksa bir tasarım varsayımı olarak mı kabul edilmiş olduğunu da belirtmelidir. Engineering ToolBox, “paslanmaz çelik” için yaklaşık 163 GPa’lık bir hacim modülü verir; ancak bu, her paslanmaz çelik kalitesi, ısıl işlem, doku, sıcaklık veya deney yöntemi için evrensel bir değer değil, ikincil bir kaynakta yer alan tahmini bir değerdir. Varsayım açıkça belirtildiğinde, ön nitelikteki bir izotropik hesaplama için her ürün bakımından tek bir sayı kullanılması kabul edilebilir. Bunu kaliteye bağlı olmayan bir malzeme gerçeği olarak sunmak ise kabul edilemez.

İzotropik Doğrusal Elastisitenin İki Sabitli Temeli

Doğrusal elastisite, gerilme ve şekil değiştirme doğrusal bir ilişkinin geçerli olacağı kadar küçük kaldığında, bir malzemenin davranışının geri döndürülebilir bölümünü tanımlar. İzotropik sözcüğü ayrı bir koşul ekler: davranışın her yönde aynı olduğu varsayılır. Bu iki varsayım altında, elastik rijitlik tensörü, genel bir anizotropik katıya kıyasla çok daha az sayıda bağımsız terime sahip olur. Bu nedenle, yaygın olarak raporlanan altı büyüklük—Young modülü $E$, Poisson oranı $\nu$, hacim modülü $K$ veya $B$, kayma modülü $G$, Lamé’nin birinci parametresi $\lambda$ ve $2\mu$—yalnızca seçilen iki sabitten ifade edilebilir.

Bu sonuç kurucu model için geçerlidir; çelik için raporlanan her ölçülmüş değere kendiliğinden uygulanmaz. Sıcaklık, faz yapısı, kristalografik tekstür, gözeneklilik, artık gerilme, numune yönelimi, frekans ve deney yöntemi, ölçülen davranışın tümünü etkileyebilir. İzotropik bir sonlu elemanlar modelinde kullanılan değer, çoğu zaman malzemenin mikroyapısının eksiksiz bir tanımından ziyade etkin bir mühendislik özelliğidir.

Neden yalnızca iki bağımsız sabit gereklidir?

Gerilme ve şekil değiştirme ikinci mertebeden tensörlerdir. En genel doğrusal elastik katıda, bunlar arasındaki ilişki, çok sayıda olası yönsel bağlaşımı içeren dördüncü mertebeden bir rijitlik tensörü gerektirir. Gerilme ve şekil değiştirme tensörlerinin simetrisi bağımsız terimlerin sayısını azaltır; malzeme simetrisi ise bu sayıyı daha da düşürür. İzotropi, olağan malzeme simetrilerinin en güçlüsünü dayatır: hiçbir yön mekanik açıdan ayrıcalıklı değildir.

İzotropik gerilme–şekil değiştirme ilişkisi şu şekilde yazılabilir:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

burada ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ gerilme tensörünü, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ şekil değiştirme tensörünü, ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ Kronecker deltasını, $\lambda$ ve $\mu$ ise Lamé parametrelerini gösterir. Dolayısıyla $\lambda$ ve $\mu$, bağımsız sabitlerin geçerli bir çiftini oluşturur. Kayma modülü $G=\mu$ olduğundan, $G$ ve $\lambda$ kullanmak eşdeğerdir.

Springer’ın Elasticity of Solids (2020) adlı eseri temel sonucu doğrudan ifade eder: izotropik bir katı için yalnızca iki elastik sabit bağımsızdır. Sandia National Laboratories’in Sierra dokümantasyonu, Young modülü $E$, Poisson oranı $\nu$, hacim modülü $K$, kayma modülü $G$, Lamé’nin birinci parametresi $\lambda$ ve $2\mu$ şeklindeki ilişkili izotropik kümeyi listeler ve $E$ ile $\nu$’nun diğerlerini belirlediğini belirtir. Altı farklı adın bulunması, ayrı ayrı ayarlanabilen altı malzeme özelliği olduğu anlamına gelmez.

Yaygın $E,\nu$ çifti için dönüşümler şöyledir:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )},$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )},$$

ve

$$2\mu =2G=\frac{E}{1+\nu }.$$

Ters ilişkiler de yararlıdır:

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G},$$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}.$$

Bu denklemler yalnızca belirli bir çelik ailesiyle sınırlı ampirik bağıntılar değildir. İzotropik doğrusal elastik kurucu yasadan türetilirler. Ayrıca tutarlılık koşulları da getirirler. Kararlı, olağan bir izotropik katı için $G>0$, $K>0$ ve $-1<\nu <0.5$ olmalıdır. $\nu$ değeri 0.5’e yaklaştıkça malzeme model açısından neredeyse sıkıştırılamaz hâle gelir: $K$, $G$’den çok daha büyük olurken $E$ her ikisiyle ilişkili kalır.

Bu sabitlerin matematiksel olarak bağlantılı olmasına rağmen fiziksel anlamları farklıdır. OpenStax, Young modülünü çekme davranışını, hacim modülünü hacimsel sıkıştırmaya verilen tepkiyi ve kayma modülünü kayma deformasyonuna verilen tepkiyi yöneten oranlar olarak açıklar. Çekme deneyi esas olarak $E$ değerini sağlar; ancak eksenel şekil değiştirmeyle birlikte ölçülen yanal şekil değiştirme $\nu$ değerini sağlar. Basınç–hacim deneyi $K$’yi, burulma veya kayma dalgası ölçümü ise $G$’yi hedefler. Tutarlı herhangi bir çift bilindiğinde, diğer modüller bağımsız olarak seçilmek yerine hesaplanır.

Hacim modülünün termodinamik tanımı, onu Young modülünden açıkça ayırır:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

National Institute of Standards and Technology tarafından 1982’de verilen bu ifade, sabit sıcaklıkta basınç altındaki hacim değişimine karşı direnci tanımlar. Tabloda verilen bir hacim modülünün çekme modülüyle birbirinin yerine kullanılabileceği anlamına gelmez. Aralarındaki sayısal ilişki ancak izotropik kurucu varsayımlar uygulandıktan sonra ortaya çıkar.

Pratik bir giriş çifti olarak E ve ν

Mühendislik hesaplarında $E$ ve $\nu$ yaygın olarak kullanılır; çünkü bu değerler tek eksenli çekme deneyiyle doğal biçimde ilişkilidir ve standart yapı malzemesi verileri tarafından doğrudan desteklenir. Üç boyutlu bir izotropik modele bu iki büyüklüğün girilmesi, yazılımın ek malzeme sabitleri olmadan $G$, $K$, $\lambda$ ve $2\mu$ değerlerini oluşturmasını sağlar. Altı değerin tümünü girmek, değerler dönüşüm denklemlerini karşılamıyorsa tutarsız bir model oluşturabilir.

Bu durum özellikle değerler farklı kaynaklardan alındığında önemlidir. Statik çekme modülü, rezonansla elde edilen dinamik modül ve hacim modülü tahmini, kendi ölçüm koşulları açısından geçerli olabilir; ancak izotropik denklemler aracılığıyla birbirlerini tam olarak yeniden üretmeyebilirler. ASTM E1875-20a, dinamik Young modülünün, kayma modülünün ve Poisson oranının “sonik rezonans yoluyla” belirlenmesini tarif eder. Malzeme elastik aralıkta kalsa bile bunlar pratikte frekansa veya yükleme hızına duyarlı ölçümlerdir. Deney koşulları kontrol edilmeden bu değerlerin düşük hızlı çekme değerleriyle aynı olduğu varsayılmamalıdır.

İkincil bir kaynak olan Engineering ToolBox, paslanmaz çelik için yaklaşık 163 GPa’lık bir hacim modülü verir. Bu sayı, her paslanmaz çelik kalite sınıfı, ısıl işlem, sıcaklık, ürün biçimi veya deney yöntemi için geçerli evrensel bir sabit değil, bir referans tahminidir. İlişkisiz bir $E$ veya $\nu$ değeriyle dikkatsizce birleştirilmemeli ve ardından ölçülmüş, kalite sınıfına özgü bir özellik olarak sunulmamalıdır. Aynı uyarı, elastisite modülü, Poisson oranı, kayma modülü ve ilgili fiziksel özelliklerin çelik dökümler için karakteristik veriler olarak sunulduğu ASM Steel Castings Handbook içindeki değerler için de geçerlidir. “Çelik”, elastik özellikleri sabit olan tek bir numune değildir.

Statik ve dinamik özellikler arasındaki ayrım tasarım açısından önemlidir. Dinamik deneyler elastik sabitleri rezonans frekanslarından veya dalga hızlarından çıkarır; statik deneyler ise bunları kuvvet, yer değiştirme ve şekil değiştirmeden çıkarır. Dinamik bir modül; frekans, sönüm, mikroyapısal mekanizmalar, sıcaklık ve ölçüm cihazları nedeniyle farklı olabilir. National Bureau of Standards’ın Fe-5Cr-26Mn östenitik çeliği hakkındaki raporu, elastik sabitleri 76–400 K aralığında boyuna ve enine modlardaki ses hızlarından ölçmüştür. Bu aralık, malzeme tanımı kesin olsa bile sıcaklık ve yöntem belirtilmeden verilen bir değerin neden eksik kalabileceğini gösterir.

İzotropi ve yarı izotropinin rolü

Bir polikristalin çelik, taneleri küçük, çok sayıda ve yönelimleri yeterince rastgele olduğunda yaklaşık olarak izotropik davranabilir. Tek tek kristaller anizotropik kalır; ancak yönsel etkiler temsili bir hacim üzerinde ortalamada birbirini giderebilir. Birçok yapısal hesapta tek bir etkin $E$ ve tek bir etkin $\nu$ kullanılmasının temeli budur.

Üretim, güçlü bir tekstür oluşturduğunda bu yaklaşım zayıflar. Haddeleme, dövme, eklemeli imalat, yönlü katılaşma ve kaynakta ısıl çevrimler, tercihli kristalografik yönelimler oluşturabilir. Bunun sonucunda bir levhanın boyuna, enine ve kalınlık yönündeki özellikleri farklı olabilir. Döküm bir üründe ise dendritik yapı, segregasyon, gözeneklilik ve yerel tane yönelimi nedeniyle farklı bir dağılım görülebilir. Faz yapısı da önemlidir: ferrit, östenit, martensit, beynit ve kalıntı östenit, tek kristal elastik davranışa aynı şekilde katkıda bulunmaz.

Yarı izotropik, belirli bir amaç, yön aralığı ve ölçek için izotropiye yeterince yakın olan etkin bir davranışı tanımlar. Kristal anizotropisini ortadan kaldırmaz ve her yönde ölçülen her modülün birbiriyle uyuşacağını garanti etmez. NIST’in monokristal elastik sabitleri hakkındaki el kitabı bölümü, kübik ve hekzagonal elementler için polikristalin $E$, $G$, $B$, boyuna modül ve $\nu$ değerlerinin tek kristal rijitlik verilerinden nasıl türetilebileceğini açıklar. Bu yaklaşım, ortaya çıkan polikristalin sabitleri temel değerler olarak ele almak yerine, ortalama alma varsayımını görünür kılar.

Güçlü tekstüre sahip bir çelik için anizotropik elastisite modeli ikiden fazla bağımsız sabit gerektirebilir ve numune yönelimini korumalıdır. Yarı izotropik bir çelik bileşen için ise, varsayım ölçümlerle doğrulandığı sürece, amaçlanan hesaplama bakımından iki etkin sabit yeterli olabilir. Oxford Academic’in Constitutive Response bölümü de izotropik doğrusal elastisiteyi iki bağımsız sabit etrafında ele alır. Dolayısıyla pratik soru, çeliğin altı bağımsız elastik modüle sahip olup olmadığı değildir. İzotropik model kapsamında böyle bir durum yoktur. Asıl soru, seçilen iki sabitin hesaplamayla ilgili malzemeyi, sıcaklığı, yönü ve ölçüm rejimini temsil edip etmediğidir.

Çelikte Young Modülü E

Young modülü, $E$, bir malzemenin tek eksenli çekme veya basma altındaki rijitliğini tanımlar. Uygulanabilir doğrusal-elastik tanıma göre bu değer, eksenel gerilmenin eksenel birim şekil değiştirmeye oranıdır:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

Burada $\sigma$, numune ekseni boyunca etkileyen normal gerilme; $\epsilon$ ise buna karşılık gelen eksenel birim şekil değiştirmedir. Tamamen doğrusal bir davranışta gerilme–birim şekil değiştirme grafiği orijinden geçen düz bir doğrudur ve $E$ bu doğrunun eğimidir. Birim pascaldır; çelik için değerler genellikle gigapascal cinsinden raporlanır.

Bu tanım yalnızca malzeme davranışının doğrusal ve geri kazanılabilir olduğu yükleme bölümü için geçerlidir. Çelik testinde ölçülen her gerilme/birim şekil değiştirme oranının Young modülü olduğu anlamına gelmez. Plastik birim şekil değiştirme, faz dönüşümü, hasar veya belirgin doğrusal olmayanlık ortaya çıktığında, seçilen eğim ya da oran farklı bir özelliği tanımlar.

Tek eksenli gerilme ve eksenel birim şekil değiştirme

Tek eksenli çekme testi, bir numunenin asal yönlerinden biri boyunca kuvvet uygular. Mühendislik eksenel gerilmesi genellikle uygulanan kuvvetin başlangıçtaki kesit alanına bölünmesiyle hesaplanır:

$$\sigma =\frac{F}{A_0}$$

Mühendislik eksenel birim şekil değiştirmesi, ölçü boyundaki değişimin başlangıçtaki ölçü boyuna bölünmesidir:

$$\epsilon =\frac{L-L_0}{L_0}$$

Küçük birim şekil değiştirmelerde bu tanımlar, $E$’nin olağan mühendislik değerini verir. Bir test ekstansometresi veya gerinim ölçer, belirli bir ölçü boyu üzerindeki uzamayı ölçerken test makinesi kuvveti ve yer değiştirmeyi kaydeder. Ölçülen eğim; makinenin uyumluluğu, kavrama hareketi, numune hizalaması, yüzey koşulu ve eğrinin başlangıç bölümünü belirlemek için kullanılan yöntemden etkilenebilir.

Elastik bölgede bir çekme numunesi yanal yönde de büzülür. Poisson oranı, $\nu$, yanal birim şekil değiştirmeyi eksenel birim şekil değiştirmeyle ilişkilendirir ve genellikle şu şekilde ifade edilir:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}$$[3][3] Elasticity of Solids. Springer Nature. Springer book chapter, 2020.

İzotropik doğrusal-elastik bir katı için $E$ ve $\nu$, diğer elastik sabitleri belirler. Sandia Sierra dokümantasyonu, ilgili izotropik seti Young modülü $E$, Poisson oranı $\nu$, hacim modülü $K$, kayma modülü $G$, Lamé’nin birinci parametresi $\lambda$ ve $2\mu$ olarak listeler; $E$ ve $\nu$’nun diğerlerini belirlediği ifadesi, izotropik elastisitenin iki sabitli yapısını yansıtır. Springer’ın Katıların Elastisitesi adlı eseri de izotropik bir katı için yalnızca iki elastik sabitin bağımsız olduğunu belirtir.

Tasarımda yaygın olarak kullanılan bağıntılar şunlardır:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

ve

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

Burada $G$ kayma modülü; $K$ ise $B$ olarak da yazılan hacim modülüdür. Bu denklemler $E$, $G$, $K$ ve $\nu$’yu dört bağımsız malzeme sınıfı özelliği hâline getirmez. İzotropik ve doğrusal-elastik varsayımların uygun olduğu durumlarda, farklı deformasyon kipleri altındaki ölçümleri birbirine bağlar.

Deformasyon kipleri arasındaki ayrım önemlidir. Young modülü eksenel uzama veya kısalmayı, kayma modülü kayma altındaki açısal çarpılmayı, hacim modülü ise hidrostatik basınç altındaki hacim değişimini ifade eder. OpenStax bunları elastik davranışın ayrı fiziksel yorumları olarak sunar. NIST el kitabının 1982 tarihli yaklaşımı, hacim modülünü termodinamik olarak şu şekilde tanımlar:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

Dolayısıyla bu değer, yalnızca bir çekme gerilmesi–birim şekil değiştirme eğrisinin eğimini değil, belirli bir sıcaklıkta basınç kaynaklı hacim değişimini ifade eder.

Çelik, sıradan mühendislik hesaplarında çoğunlukla izotropik kabul edilir; bunun nedeni, polikristalin bir ürünün çok sayıda kristalografik yönelim içerebilmesidir. Ancak bu yaklaşım, güçlü tekstüre sahip saclarda, yoğun işlenmiş çubuklarda, haddelenmiş levhalarda, kaynaklı parçalarda, eklemeli olarak üretilmiş malzemelerde veya tek kristal araştırma numunelerinde geçerliliğini yitirebilir. Kübik ferrit ve östenit kristalleri, yönelime bağlı elastik rijitliklere sahiptir; bununla birlikte, yönelimleri uygun biçimde dağılmış bir agregat görünüşte yaklaşık izotropik davranabilir. NIST, kübik ve hekzagonal malzemeler için polikristalin $E$, $G$, $B$, boyuna modül ve Poisson oranının tek kristal elastik rijitlik verilerinden nasıl hesaplanabileceğini açıklar.

Buna bağlı olarak “çelik” için raporlanan bir değer, her ürün biçimi için otomatik olarak evrensel bir sabit değildir. Kimyasal bileşim; ferrit, perlit, beynit, martenzit ve kalıntı östenit oranları; karbür dağılımları; gözeneklilik; tekstür ve artık gerilme, ölçülen davranışı etkileyebilir. Etki, bir test düzeninde küçük olabilirken başka bir düzende önemli olabilir.

Sekant, teğet ve başlangıç elastik modülü

Başlangıç elastik modülü, gerilme–birim şekil değiştirme eğrisinin sıfır gerilme ve birim şekil değiştirme noktasındaki veya bu noktaya çok yakın eğimidir. Diferansiyel biçimde:

$$E_{\text{initial}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }{|}_{\epsilon \to 0}$$

Bu ifade, eğrinin yeterince doğrusal olması ve ölçüm sisteminin gerekli düzeltmelerden geçirilmesi koşuluyla geçerlidir. Bu değer, Young modülünün ders kitaplarındaki tanımıyla en yakından ilişkilendirilen değerdir.

Teğet modülü, seçilen bir noktadaki yerel eğimdir:

$$E_{\text{tan}}=\frac{d\sigma }{d\epsilon }$$

Eğri doğrusal kalırsa teğet modülü başlangıç modülüne eşittir. Ancak akma yakınlarında çelikte plastisitenin başlaması, dislokasyon hareketi, Lüders birim şekil değiştirmesi, dönüşüm etkileri veya test kaynaklı artefaktlar nedeniyle eğrilik görülebilir. Bu durumda teğet modülü gerilme ve birim şekil değiştirmeyle birlikte değişir. Ölçüldüğü nokta veya birim şekil değiştirme aralığıyla birlikte raporlanmalıdır.

Sekant modülü, seçilen bir başlangıç noktasından eğri üzerindeki seçilmiş bir noktaya çizilen doğrunun eğimidir:

$$E_{\text{sec}}=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

Bu ifade, seçilen nokta için geçerlidir. Sekant modülü yerel eğimi tanımlamak yerine, ilgili aralık boyunca ortalama davranışı verir. Eğri doğrusal davranıştan sapıyorsa sekant ve teğet değerleri birbirinden farklı olur. İlk akma noktasının ötesindeki bir gerilmede alınan sekant modülü, toplam birim şekil değiştirme plastik birim şekil değiştirmeyi de içerdiğinden, başlangıç elastik modülünden çok daha düşük olabilir.

Bu nedenle bu terimler birbirinin yerine kullanılamaz. Bir sekant değerini, ölçülen birim şekil değiştirme veya gerilme aralığını belirtmeden “Young modülü” olarak adlandırmak, tasarım hesabını yanıltabilir. Aynı sorun, bir makinenin doğrudan ölçülen ölçü boyu birim şekil değiştirmesi yerine çaprazkafa yer değiştirmesinden bir eğim hesaplaması durumunda da ortaya çıkar. Kavramaların oturması ve çerçevenin deformasyonu başlangıçtaki eğriyi bozabilir; plastisite ise daha sonraki bölümü bozabilir.

Önceki deformasyon da önemlidir. Soğuk haddeleme, tel çekme, doğrultma, ön gerinim verme ve çevrimsel yükleme; dislokasyon yapılarını ve artık gerilmeleri değiştirir. Bunlar görünürdeki başlangıç eğimini değiştirebilir, çekme–basma asimetrisi oluşturabilir ve boşaltma ile yeniden yükleme eğimlerinin farklılaşmasına yol açabilir. Plastik olarak gerinim uygulanmış bir numune, yalnızca aynı nominal kalite tanımına sahip olduğu için deforme edilmemiş bir numuneye eşdeğer değildir.

Sıcaklık da belirtilmelidir. Elastik rijitlik genellikle sıcaklıkla değişir ve daha geniş bir sıcaklık aralığında faz yapısı da değişebilir. National Bureau of Standards tarafından 1981’de yayımlanan bir raporda, Fe-5Cr-26Mn östenitik çeliğinin elastik sabitleri 76–400 K aralığında, boyuna ve enine kiplerdeki ses hızları kullanılarak ölçülmüştür. Bu sıcaklık aralığı, oda sıcaklığındaki bir çekme değerinin kriyojenik hizmete veya yüksek sıcaklık analizine eleştirmeden aktarılmaması gerektiğini gösterir.

Statik ve dinamik Young modülü

Statik Young modülü, yavaşça uygulanan mekanik bir yükten; genellikle çekme veya basma testi sırasında kuvvet ve eksenel birim şekil değiştirme ölçülerek elde edilir. “Yavaşça” ifadesi, sonucun yükleme hızından bağımsız olduğu anlamına gelmez. Birim şekil değiştirme hızı, yükleme geçmişi, bekleme süresi, sıcaklık artışı ve birim şekil değiştirme ölçüm sistemi, raporlanan eğimi etkileyebilir. Viskoelastik etkiler, ortam koşullarındaki sıradan çeliklerde genellikle sınırlıdır; ancak hız duyarlı plastisite, sönüm, termal etkiler ve test makinesinin uyumluluğu, elastik–plastik geçiş yakınlarında sonucu yine de etkileyebilir.

Dinamik Young modülü, titreşim, dalga yayılımı veya rezonans ölçümünden çıkarılır. ASTM E1875-20a, dinamik Young modülünün, kayma modülünün ve Poisson oranının “sonik rezonans yoluyla” belirlenmesini şart koşar. Yöntemde rezonans frekansları ve numune boyutları kullanılır; yoğunluk ile kiriş veya çubuk titreşimi bağıntıları da hesaplamaya dâhil edilir. Deformasyon sonlu bir frekansta ve genellikle çok küçük genlikte salındığından, sonuç yalnızca daha hızlı gerçekleştirilmiş bir çekme testinden elde edilen değer değildir.

Dinamik ölçümler; numune geometrisine, destek koşullarına, frekansa, yoğunluğa, sönüme ve iç süreksizliklere karşı oldukça duyarlı olabilir. Statik ölçümler ise hizalama, ekstansometrenin yerleştirilmesi, ölçü boyu ve birim şekil değiştirme hızına duyarlıdır. Her iki yöntem de aynı elastik rejim içinde doğru biçimde uygulandığında sonuçlar birbirine yakın olabilir; ancak uyum garanti değildir. Bu nedenle raporlanan bir modül; yöntemi, sıcaklığı, numunenin yönelimini, numunenin durumunu ve değerin başlangıç, teğet, sekant, statik veya dinamik olup olmadığını belirtmelidir.

Engineering ToolBox tarafından paslanmaz çeliğin hacim modülü için bazen yaklaşık 163 GPa değerinde bir referans verilir; ancak bu, her paslanmaz çelik kalitesi, standart tanımı, sıcaklık, tekstür veya ürün biçimi için geçerli evrensel bir değer değil, ikincil bir tahmindir. Aynı uyarı, alıntılanan Young modülü değerleri için de geçerlidir. İzotropik tasarım modellerinde dikkatle seçilmiş tek bir elastik sabit çifti yeterlidir; ancak ölçülen malzeme verileri yine de çeliğin durumuyla ve hesaplamada kullanılan deformasyon kipiyle uyuşmalıdır.

Kayma Modülü G ve Distorsiyon Rijitliği

Kayma modülü $G$, bir katının kayma gerilmesinin neden olduğu şekil değişikliğine karşı direncini ölçer. Öncelikle hacim değişikliğine karşı direnci tanımlamaz. İdeal saf kayma durumunda, malzeme düzlemlerinden bir çifti diğerine göre kayar; bu sırada cismin içindeki açılar değişirken hacmi yaklaşık olarak sabit kalır. Bu ayrım, $G$’yi hidrostatik sıkışmaya karşı direnci tanımlayan hacim modülünden, $K$ veya $B$, ayırır.

Çelik için $G$, diğer tüm elastik özelliklerden bağımsız olarak değişebilen ayrı bir kalite sınıfı göstergesi değildir. Homojen, izotropik ve doğrusal elastisite koşullarında yalnızca iki elastik sabit bağımsızdır. Bir tablo Young modülünü $E$, Poisson oranını $\nu$, kayma modülünü $G$, hacim modülünü $K$, Lamé’nin birinci parametresi $\lambda$’yı ve $2\mu$’yü raporlayabilir; ancak bu büyüklükler matematiksel olarak birbiriyle bağlantılıdır. Sandia National Laboratories, bu altı üyeli izotropik kümeyi listeler ve $E$ ile $\nu$’nun diğerlerini belirlediğini belirtir. Aynı iki sabitle sınırlama, Springer’ın Elasticity of Solids (2020) adlı eserinde de açıklanır.

Kayma gerilmesi ve açısal birim şekil değiştirme

Geleneksel olarak $\tau$ ile gösterilen kayma gerilmesi, bir yüzeye paralel olarak etki eder. Dikdörtgen bir eleman kaymaya maruz kaldığında, başlangıçta dik olan açıları $\gamma$ açısal birim şekil değiştirmesi kadar değişir. Küçük deformasyonlar için $\gamma$ radyan cinsinden ölçülür ve yanal yer değiştirmenin yüksekliğe bölünmesiyle yaklaşık olarak ifade edilebilir:

$$\gamma \approx \frac{\Delta x}{h}.$$

Doğrusal elastik ilişki şöyledir:

$$\tau =G\gamma ,$$

veya

$$G=\frac{\tau }{\gamma }.$$

$G$ ne kadar büyükse, belirli bir açısal distorsiyon oluşturmak için gereken kayma gerilmesi de o kadar büyük olur. Bu, akma veya kırılma hakkında bir ifade değil, bir rijitlik ilişkisidir. Bir çelik numune yüksek bir elastik kayma modülüne sahip olabilir; ancak yerel kayma gerilmesi geçerli akma koşulunu aştığında kalıcı deformasyona yine de uğrayabilir.

Saf kayma, distorsiyonel ve hacimsel tepki arasındaki farkı gösterir. Bir küp, kenar uzunlukları ve hacmi çok az değişirken eğik bir paralelyüzlüye dönüşebilir. Gerçek katılar, kayma sırasında normal birim şekil değiştirmelere de maruz kalır. İzotropik bir malzemede bu eşlik eden birim şekil değiştirmeler Poisson oranı ve tam konstitutif denklemler aracılığıyla belirlenir; ancak ölçülen başlıca deformasyon açısal distorsiyondur.

Hidrostatik basınç altındaki bir malzeme farklı davranır. Basınç her yönde eşit olarak etki eder ve tercih edilen bir kayma yönü oluşturmadan hacmi değiştirir. Buna karşılık gelen modül, NIST tarafından termodinamik olarak şu şekilde tanımlanır:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

burada $V$ hacim, $P$ basınçtır ve türev sabit sıcaklıkta alınır. 1982 tarihli bir NIST el kitabı bölümünde aktarılan bu tanım, burulma veya kayma hesaplamasında hacim modülünün neden $G$ yerine kullanılmaması gerektiğini gösterir.

İzotropik bir çelik yaklaşımı için kayma birim şekil değiştirme enerji yoğunluğu şöyledir:

$$u_s=\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{{\tau }^2}{2G}=\frac{1}{2}G{\gamma }^2.$$

Deformasyon elastik aralık içinde kaldığı ve zamana bağlı herhangi bir mekanizma veya hasar mekanizması devreye girmediği sürece, depolanan bu enerji yük kaldırıldığında geri kazanılır.

Burulma, enine dalgalar ve kayma tepkisi

Burulma, kayma elastisitesinin pratik bir ifadesidir. Yuvarlak bir çelik mil burulduğunda, kesitler birbirlerine göre döner ve malzeme elemanları mil ekseninden uzaklıkla artan kayma birim şekil değiştirmesine maruz kalır. Saint-Venant burulması altındaki dairesel bir mil için:

$$T=\mathrm{GJ}\frac{\phi }{L},$$

burada $T$ tork, $J$ alanın polar ikinci momenti, $\phi$ burulma açısı ve $L$ mil uzunluğudur. Yeniden düzenlendiğinde:

$$\frac{\phi }{L}=\frac{T}{\mathrm{GJ}}.$$

Geometrisi ve sınır koşulları değişmediği sürece, $G$ değeri daha büyük olan bir mil aynı tork altında daha az burulur. Dolu dairesel bir mil için $J=\pi d^4/32$; içi boş dairesel bir mil için ise $J=\pi (d_o^4-d_i^4)/32$ olur. Bu denklemler elastik burulma aralığı için geçerlidir; dairesel olmayan kesitler, çarpılma, plastisite, artık gerilme ve anizotropik ürünler için ek değerlendirme gerekir.

Kayma modülü, enine elastik dalgaların hızı aracılığıyla da ölçülür. İzotropik bir ortamda enine veya kayma dalgası hızı:

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }},$$

olduğundan,

$$G=\rho v_T^2,$$

elde edilir; burada $\rho$ yoğunluktur. Enine dalga, parçacıkların yayılma yönüne dik hareket etmesine neden olur. Bu dalganın geri çağırıcı kuvveti kayma rijitliğidir; buna karşılık boyuna dalga, hacimsel ve kayma rijitliklerinin birleşimi tarafından kontrol edilir:

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}.$$

Bu nedenle her iki dalga hızının ölçülmesi, yoğunluk bilindiğinde birden fazla elastik sabitin hesaplanmasını sağlar. Bu dinamik bir ölçümdür: sonuç, test frekansındaki, sıcaklıktaki, numune koşullarındaki ve dalga genliğindeki tepkiyi yansıtır.

ASTM E1875-20a, dinamik Young modülünün, kayma modülünün ve Poisson oranının “sonik rezonans yoluyla” belirlenmesini öngörür. Yöntem, yavaş ve monoton bir yükleme eğrisi yerine boyuna ve eğilme veya burulma tepkileriyle ilişkili rezonans frekanslarını kullanır. Homojen bir çelik numune için sınırlı bir elastik aralıkta dinamik ve statik değerler birbirine yakın olabilir; ancak bunlar otomatik olarak özdeş kabul edilmemelidir.

National Bureau of Standards’ın Fe-5Cr-26Mn östenitik çeliği hakkındaki raporu, test koşullarının önemini ortaya koyar. Raporda elastik sabitler, 76–400 K aralığında boyuna ve enine mod ses hızlarından belirlenmiştir. Sıcaklık değişimleri atomik bağları, ısıl genleşmeyi, faz kararlılığını ve kusurlarla ilişkili sönümü etkiler; dolayısıyla kriyojenik sıcaklıkta ölçülen bir modül, oda sıcaklığına yakın sıcaklıkta ölçülen modüle eşit olmak zorunda değildir. Çeliğin faz yapısı ve kristalografik dokusu da önemlidir. Tek kristal yön bağımlıdır; çok kristalli bir malzeme ise ancak tane yönelimleri yeterince rastgele dağıldığında izotropik görünebilir. Haddeleme, dövme, kaynak, dönüşüm ürünleri ve korunmuş doku, yön bağımlı bir kayma tepkisi oluşturabilir.

G, E ve ν arasındaki ilişki

Homojen, izotropik ve doğrusal elastisite için temel ilişki şöyledir:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Burada $E$, Young modülü; $\nu$ ise Poisson oranıdır. İki bağımsız sabit biliniyorsa, kalan izotropik sabitler türetilebilir. Bu nedenle $E$, $G$ ve $\nu$ değerlerinin birbiriyle ilişkisiz, kalite sınıfına özgü üç sayı olarak raporlanması; ölçüm belirsizliği, anizotropi, sıcaklık veya modelden sapma tartışılmıyorsa mekanik açıdan tutarsızdır.

Buna karşılık gelen hacim modülü ilişkisi:

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )},$$

ve $K$ ile $G$ arasındaki doğrudan bağlantı:

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Bu denklemler model ilişkileridir; her çelik ürünü için geçerli evrensel dönüşüm kuralları değildir. Küçük birim şekil değiştirmeleri, tersinir davranışı, malzeme homojenliğini, izotropiyi ve elastik sabitlerin etkin olarak sabit kaldığı bir sıcaklık ve yükleme koşulunu varsayarlar. Ayrıca raporlanan değerlerin birbiriyle uyumlu tanımlara karşılık geldiğini de varsayarlar. Statik çekme modülü, rezonansla belirlenen dinamik modül ve dalgalardan türetilen modül, frekansları ve birim şekil değiştirme genlikleri farklı olduğu için birbirinden farklı olabilir.

Engineering ToolBox tarafından 2024 yılında paslanmaz çeliğin hacim modülü için yaklaşık 163 GPa değerinde bir referans verilmiştir; ancak bu değer her paslanmaz çelik kalitesi, sıcaklık, ürün biçimi, faz dengesi veya test yöntemi için evrensel bir değer değildir. Aynı uyarı $G$ için de geçerlidir. Östenitik, ferritik, martenzitik ve dubleks çelikler; doku, faz oranı, manyetik durum ve işleme geçmişi bakımından farklılık gösterebilir. Standartlar ve tasarım şartnameleri hesaplamalar için temsili bir izotropik değer belirleyebilirken, araştırma amaçlı bir ölçüm yön bağımlı sabitleri çözümleyebilir.

İzotropik tasarım hesaplamalarında $G=E/[2(1+\nu \left)\right]$, çekme ve kayma rijitliği arasındaki uygun bağlantıdır. Dokulu saclar, kaynak bölgesinden etkilenmiş malzemeler, döküm yapılar, tek kristaller veya belirgin yön bağımlı davranış gösteren çok fazlı çelikler için bunun yerine tam anizotropik rijitlik matrisi gerekebilir. Böyle bir durumda tek bir skaler kayma modülü her kayma düzlemini tanımlayamaz.

Hacim Modülü K veya B ve Hacimsel Sıkışma

Hacim modülü, hacimdeki düzgün bir değişime karşı direnci ifade eder. Bir çelik çubuğun tek bir eksen boyunca gerilmeye karşı direncini açıklamaz ve Young modülü ile birbirinin yerine kullanılamaz. Bir çekme deneyi esas olarak tek eksenli bir modülü belirler; basınç deneyi ise hacimsel bir modülü belirler. Bu ikisi, ancak bir elastik model ve bu modelin varsayımları belirlendikten sonra ilişkilendirilebilir.

İzotropik doğrusal elastisite için hacim modülünde kullanılan yaygın semboller $K$ veya $B$, Young modülünde $E$, kayma modülünde $G$ ve Poisson oranında $\nu$’dür. Bunlar birbirinden bağımsız olarak ayarlanabilen dört malzeme sabiti değildir. Springer’ın Elasticity of Solids adlı çalışmasının açıkladığı gibi, izotropik bir katının yalnızca iki bağımsız elastik sabiti vardır. Sandia’nın Sierra dokümantasyonu, ilişkili küme olarak Young modülü $E$, Poisson oranı $\nu$, hacim modülü $K$, kayma modülü $G$, Lamé’nin birinci parametresi $\lambda$ ve $2\mu$ değerlerini listeler; $E$ ve $\nu$’nun belirlenmesi diğerlerinin tamamını belirler.

Hacim modülünün termodinamik tanımı

National Institute of Standards and Technology, izotermal hacim modülünü şu şekilde tanımlar:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T$$

Burada $V$ hacim, $P$ basınç ve alt indis $T$, türevin sabit sıcaklıkta alındığı anlamına gelir. Negatif işareti gereklidir; çünkü basıncın artması normal olarak hacmi azaltır ve bu nedenle $\partial P/\partial V$ negatiftir.

Bu tanım, basınç–hacim eğrisinin yerel eğimini ifade eder. Bu, diferansiyel bir büyüklüktür; keyfî derecede büyük bir sıkışma için basıncın hacme bölünmesinden ibaret değildir. Küçük bir değişim için,

$$\frac{\Delta V}{V}\approx -\frac{\Delta P}{B}.$$

Dolayısıyla daha büyük bir $B$, aynı oransal hacim değişimini oluşturmak için daha büyük bir basınç değişimi gerektiği anlamına gelir. SI birimi paskaldır; ancak çeliğe ait veriler normal olarak gigapaskal cinsinden raporlanır.

Sabit sıcaklık koşulu önemlidir. Yavaş bir sıkışmaya maruz kalan bir malzeme çevresiyle ısı alışverişi yapabilirken, hızlı bir ses dalgası neredeyse adyabatik bir deformasyon oluşturabilir. Bu nedenle dinamik ölçümler, yavaş bir mekanik deneyden elde edilen etkin modülden farklı bir etkin modüle karşılık gelebilir. Basınç da eğimi değiştirebilir; özellikle sıkışma, elastik sabitlerin artık tek bir sabitle yeterli biçimde temsil edilemeyeceği kadar büyük olduğunda bu etki belirginleşir.

Hidrostatik basınç altındaki bir katıda normal gerilmeler her üç yönde birbirine eşittir:

$${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=-P.$$

Buna karşılık gelen birim şekil değiştirme, küçük deformasyon için hacimsel birim şekil değiştirmedir:

$${\epsilon }_v=\frac{\Delta V}{V}={\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,$$

Bu durumda kurucu bağıntı şöyledir:

$$P=-K{\epsilon }_v.$$

Negatif işaret, çekme gerilmesi ve çekme birim şekil değiştirmesinin pozitif, basınç olarak ifade edilen basma basıncının ise skaler bir büyüklük olarak pozitif kabul edildiği işaret konvansiyonundan kaynaklanır.

Hidrostatik basınç ve hacimsel birim şekil değiştirme

Hidrostatik sıkışma, her ikisi de normal gerilmeler oluştursa da tek eksenli yüklemeden farklıdır. Çekme deneyinde çekilen bir çelik numuneyi ele alalım. Uygulanan eksenel gerilme eksenel bir uzama oluştururken, Poisson daralması iki enine yönde meydana gelir. Young modülü, bu yükleme düzeninde eksenel gerilme ile eksenel birim şekil değiştirmeden tanımlanır:

$$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$$

doğrusal elastik aralık içinde.[4][4] Stress, Strain, and Elastic Modulus. OpenStax. University Physics Volume 1, 2020.

Hidrostatik basınç altında belirli bir yön seçilmez. Numune üç eksenin tamamı boyunca uzunluk bakımından büzülür ve ilgili tepki, üç normal birim şekil değiştirmenin toplamıdır. OpenStax bu fiziksel ayrımı doğrudan ortaya koyar: Young modülü çekme yüklemesi, hacim modülü hacimsel sıkışma ve kayma modülü kayma deformasyonu için geçerlidir. Tek eksenli bir çekme deneyi, $K$’yi ölçmek için gerekli gerilme durumunu doğrudan oluşturmaz.

İzotropik doğrusal elastik bir katı için modüller şu bağıntılarla ilişkilidir:

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

ve

$$E=3K(1-2\nu ).$$

Yaygın olarak kullanılan diğer bağıntı şöyledir:

$$E=2G(1+\nu ).$$

Dolayısıyla raporlanmış bir $E$ ve $\nu$ değeri $K$’ye dönüştürülebilir; ancak sonuç, her iki girdi değerine bağlı koşulları ve belirsizlikleri de içerir. $E$ dinamik bir rezonans modülü iken $\nu$ yavaş bir çekme deneyinden elde edilmişse, hesaplanan hacim modülü tek ve kendi içinde tutarlı bir ölçüm durumunu temsil etmeyebilir.

Formül ayrıca, sıkışmazlığa yakın durumda hacim modülünün Poisson oranına neden oldukça duyarlı olduğunu gösterir. Nominal bir çelik değeri olarak $E=200$ GPa ve $\nu =0.30$ alındığında,

$$K=\frac{200}{3(1-0.60)}\approx 167\text{GPa}.$$

Aynı $E$ değeri korunarak $\nu$ değeri 0.49’a değiştirilirse,

$$K=\frac{200}{3(1-0.98)}\approx 3333\text{GPa}.$$

Bu çok büyük değişim, küçük bir yuvarlama etkisi değildir. $\nu$ değeri 0.5’e yaklaştıkça paydanın sıfıra yaklaşmasından kaynaklanır. $\nu$’daki küçük bir hata veya farklı bir sıcaklık, frekans, faz bileşimi ya da ölçüm yönteminden alınmış bir değer, hesaplanan $K$’de önemli bir değişikliğe yol açabilir.

Metaller neden genellikle neredeyse sıkışmaz olarak tanımlanır?

Metaller genellikle neredeyse sıkışmaz olarak adlandırılır; çünkü normal mekanik basınç altındaki hacimsel birim şekil değiştirmeleri, kayma veya tek eksenli gerilme altındaki şekil değişimlerine kıyasla küçüktür. Hacim modülleri genel olarak kayma modüllerinden çok daha büyüktür. Basınç hacmi yalnızca küçük ölçüde değiştirebilirken, şekil bozulmasına izin veren benzer bir gerilme durumu geometrinin daha belirgin biçimde değişmesine yol açabilir.

“Neredeyse sıkışmaz” ifadesi, tamamen sıkışmaz anlamına gelmez. Çelik hâlâ sonlu bir hacim modülüne sahiptir ve basınç altında yoğunluğu değişir. Bu yaklaşım, hacim değişimlerinin küçük olduğu şekillendirme analizlerinde, plastisite çalışmalarında, akışkan–yapı hesaplamalarında ve diğer durumlarda yararlıdır; ancak malzeme modeli kontrol edilmeden uygulanmamalıdır. Plastik deformasyon, faz dönüşümü, gözeneklilik, hasar ve yüksek sıcaklık, hacimsel tepkiyi değiştirebilir. Örneğin gözenekli bir çelik döküm, yalnızca metalik matrisi rijit olduğu için ideal, yoğun ve izotropik bir katı olarak ele alınamaz.

Bu yaklaşım çeliğin mikroyapısı nedeniyle de karmaşıklaşır. Tek kristallerin elastik sabitleri kristalografik yöne bağlıdır. Tanelerin rastgele yönlendiği bir polikristal agregat yaklaşık olarak izotropik davranabilir; ancak haddeleme, dövme, faz dönüşümü ve tekstür, yönsel özellikler oluşturabilir. NIST’in monokristal elastik sabitleri hakkındaki el kitabı bölümü, kübik ve hekzagonal malzemeler için tek kristal rijitlik verilerinden yaklaşık izotropik polikristal $E$, $G$, $B$, boyuna modül ve $\nu$ değerlerinin nasıl türetilebileceğini gösterir. “Yaklaşık izotropik”, bir modelleme tanımıdır; her ürün biçiminin her yönde aynı özelliklere sahip olduğunun garantisi değildir.

Sıcaklık ve faz bileşimi de önemlidir. National Bureau of Standards tarafından hazırlanan bir rapor, Fe-5Cr-26Mn östenitik çeliğin elastik sabitlerini, boyuna ve enine mod ses hızlarından yararlanarak 76–400 K aralığında belirlemiştir. Yalnızca bu sıcaklık aralığı bile, her çelik koşuluna tek bir oda sıcaklığı değerinin atanamayacağını gösterir. Östenitik, ferritik, martenzitik ve karma fazlı çeliklerin elastik tepkileri farklı olabilir; soğuk işlem ve tekstür de ölçülen yönsel değerleri değiştirebilir.

İkincil bir kaynak olan Engineering ToolBox, “paslanmaz çelik” için yaklaşık 163 GPa değerini verir. Bu sayı bir ön hesaplama için kullanışlı olabilir; ancak her paslanmaz çelik kalitesi, sıcaklık, ürün biçimi, faz dengesi, tekstür veya deney koşulu için evrensel bir hacim modülü değildir. Tüm paslanmaz çeliklerin ortak olduğu ölçülmüş bir sabit olarak sunulmamalıdır.

Ölçüm yöntemi de değişkenliğin bir başka kaynağıdır. ASTM E1875-20a, dinamik Young modülünün, kayma modülünün ve Poisson oranının “sonik rezonans yoluyla” belirlenmesini şart koşar. Bu tür değerler titreşim frekanslarından elde edilir ve yoğunluğa, geometriye, sönüme, sıcaklığa ve frekansa duyarlıdır. Statik çekme verileri farklı bir deneysel soruya yanıt verir. Bu nedenle tasarım hesaplarında modülün ölçülmüş mü yoksa türetilmiş mi, statik mi yoksa dinamik mi, izotropik mi yoksa yönsel mi olduğu ve hangi sıcaklık ile malzeme koşuluna bağlı bulunduğu belirtilmelidir. Bu bilgiler olmadan verilen bir $K$ veya $B$ yalnızca koşullu bir tahmindir.

Çelikte Poisson Oranı ν ve Enine Birim Şekil Değiştirme

Poisson oranı, ν (nu) olarak gösterilir ve uygulanan yüke dik yönde oluşan elastik birim şekil değiştirmeyi tanımlar. Çekme deneyinde şu şekilde ifade edilir:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\mathrm{transverse}}}{{\epsilon }_{\mathrm{longitudinal}}}$$

Burada boyuna birim şekil değiştirme yükleme yönünde oluşur; enine birim şekil değiştirme ise deney numunesi boyunca enine yönde ölçülür. Eksi işareti, çeliğin tipik çekme davranışında ν değerinin pozitif olmasını sağlar: ölçü boyu artarken genişlik ve kalınlık azalır.

Bu tanım belirli bir elastik deney yönü, sıcaklık, yükleme hızı ve malzeme durumu için geçerlidir. Young modülünden, kayma modülünden veya hacim modülünden bağımsız olarak seçilebilen ayrı bir kalite sınıfı göstergesi değildir. İzotropik, homojen ve doğrusal elastik bir katı için yalnızca iki elastik sabit bağımsızdır. Sandia National Laboratories, ilgili izotropik sabitleri Young modülü $E$, Poisson oranı $\nu$, hacim modülü $K$, kayma modülü $G$, Lamé’nin birinci parametresi $\lambda$ ve $2\mu$ olarak listeler; $E$ ve $\nu$ değerlerinin belirlenmesi diğerlerini de tanımlar. Springer’ın Elasticity of Solids adlı çalışması da izotropik bir katının bağımsız elastik sabitlerinden “yalnızca ikisine” sahip olduğunu belirtir.

Küçük elastik birim şekil değiştirmeler gösteren izotropik çelik için temel bağıntılar şunlardır:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

ve

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Aynı bağıntılar yeniden düzenlenerek

$$\nu =\frac{E}{2G}-1$$

veya

$$\nu =\frac{3K-E}{6K}$$

elde edilebilir.

Bu denklemler kurucu bağıntılardır; keyfî malzeme verileri atamanın birbirinden bağımsız yolları değildir. Bir tabloda $E$, $G$, $K$ ve ν değerleri bu bağıntıları sağlamıyorsa değerler farklı yöntemlerle, farklı sıcaklıklarda veya farklı varsayımlar altında ölçülmüş olabilir. Ayrıca izotropik yaklaşımlar kullanılarak anizotropik bir malzemeyi tanımlıyor olabilirler.

Çekme yüklemesi sırasında eksenel daralma

Ekseni yükleme yönüyle çakışan bir çelik çekme numunesini ele alalım. Çekme gerilmesi pozitif bir eksenel birim şekil değiştirme oluşturur:

$${\epsilon }_L=\frac{\Delta L}{L},$$

buna karşılık çap daralır. Başlangıç çapı $d$ ise enine birim şekil değiştirme yaklaşık olarak

$${\epsilon }_T=\frac{\Delta d}{d}$$

şeklindedir.

Elastik aralık içinde

$${\epsilon }_T=-\nu {\epsilon }_L.$$

Dolayısıyla bir numunenin eksenel elastik birim şekil değiştirmesi $0.001$ ve ν değeri 0.30 ise enine birim şekil değiştirmesi yaklaşık olarak $-0.0003$ olur. Boy %0,10 artarken çap %0,03 azalır. Bu sayısal örnek yalnızca birim şekil değiştirmeyi açıklar; her çelik kalite sınıfı veya ürün biçimi için evrensel bir değer belirlemez.

Oran boyutsuzdur; çünkü pay ve payda her ikisi de birim şekil değiştirmedir. Bununla birlikte oran, birim şekil değiştirmelerin nasıl tanımlandığına da bağlıdır. Mühendislik birim şekil değiştirmesi, gerçek birim şekil değiştirme, küçük birim şekil değiştirme tensörü bileşenleri ve sekant birim şekil değiştirmeleri, deformasyon artık çok küçük olmadığında biraz farklı sonuçlar verebilir. Doğrusal elastik tasarımda kullanılan Poisson oranı genellikle akma, Lüders deformasyonu, plastik akış, çatlama veya diğer doğrusal olmayan etkilerden önce, geri kazanılabilir aralık içindeki başlangıç eğimini ifade eder.

Eksenel ve yanal tepkiler birbirine bağlıdır. Bir çekme numunesi, başlangıçtaki enkesit boyutlarını koruyarak yalnızca uzamaz. Dikdörtgen veya silindirik bir kesitte genişlik ve kalınlıktaki azalma hacim değişimine katkıda bulunur. Küçük birim şekil değiştirmeler altında hacimsel birim şekil değiştirme yaklaşık olarak

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L+{\epsilon }_{T1}+{\epsilon }_{T2}$$

şeklindedir.

Enine birim şekil değiştirmelerin eşit olduğu izotropik bir çekme durumu için

$${\epsilon }_v={\epsilon }_L(1-2\nu ).$$

Bu ifade, sonlu eleman modellerinde ve yapısal hesaplamalarda ν değerinin neden önemli olduğunu gösterir. ν değerinin yanlış atanması, yanal daralmanın, hacimsel tepkinin, hidrostatik gerilmenin ve bazen kısıtlanmış bölgelerin görünen rijitliğinin tahminini değiştirir.

Çelik, her ölçekte tek bir izotropik madde değildir. Tanelerin çok sayıda katkı sağladığı ve tekstürün zayıf olduğu rastgele yönlenmiş bir polikristal, izotropik davranışa yaklaşabilir. Haddelenmiş levha, çekilmiş tel, dövme çubuk, kaynaklı bölgeler ve eklemeli imalatla üretilmiş malzeme, tercihli kristalografik yönlenmeleri veya uzaysal olarak değişen faz dağılımlarını koruyabilir. Bu durumlarda enine birim şekil değiştirme, yükleme ve ölçüm yönlerine bağlıdır. Böyle bir durumda tek bir skaler ν, eksiksiz bir malzeme tanımından ziyade uygun bir mühendislik ortalaması olabilir.

Hacim değişimi ve ν = 0,5 sınırı

Hacim modülü düzgün basınca karşı direnci, Young modülü eksenel çekme veya basınca karşı davranışı, kayma modülü ise kayma altındaki şekil değişikliğini tanımlar. OpenStax bu ayrımı doğrudan yapar: Young modülü çekme yüklemesine, hacim modülü hacimsel basınca ve kayma modülü kayma deformasyonuna uygulanır.

Hacim modülünün termodinamik tanımı şöyledir:

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

National Institute of Standards and Technology tarafından 1982 yılında belirtildiği üzere. Burada $P$ basınç, $V$ hacimdir ve türev sabit sıcaklıkta alınır. İzotropik doğrusal elastik denklem olan $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$, bu hacimsel tepkiyi tek eksenli elastik verilerle yalnızca izotropik varsayımların uygun olduğu durumlarda ilişkilendirir.

ν değeri 0,5’e yaklaştıkça $1-2\nu$ paydası sıfıra yaklaşır ve sonlu bir $E$ için hesaplanan hacim modülü sonsuzluğa yönelir. Bu, sıkıştırılamazlık sınırıdır: deformasyon şekli değiştirebilir, ancak hacmi değiştiremez. Kauçuk benzeri malzemeler bu koşula yaklaşabilir; çünkü hacimsel tepkileri kayma tepkilerinden çok daha rijittir. Olağan çelikler sıkıştırılamaz değildir; ancak hacim modülleri kayma modüllerinden önemli ölçüde daha büyüktür.

Bu sınır, sayısal bir sorunu da ortaya çıkarır. $K$, $1-2\nu$ terimini içerdiğinden, özellikle ν değeri 0,5’e yakın olduğunda, ν’deki küçük bir hata hesaplanan $K$ değerinde büyük bir bağıl hataya yol açabilir. Bağıntının türevi, $E$ sabit tutulduğunda şu şekildedir:

$$\frac{\partial K}{\partial \nu }=\frac{2E}{3(1-2\nu {)}^2}$$

Paydanın karesi duyarlılığı artırır. ν değerindeki yalnızca birkaç binde birlik bir belirsizlik, yaklaşık bir eksenel hesap üzerinde çok az etkiye sahip olabilir; ancak raporlanan hacim modülü üzerinde önemli bir etki yaratabilir.

Engineering ToolBox kaynağı, paslanmaz çelik için yaklaşık 163 GPa değerinde bir hacim modülü verir. Bu değer ikincil bir referans tahminidir; her paslanmaz çelik kalite sınıfı, sıcaklık, ürün biçimi, faz bileşimi veya deney yöntemi için evrensel bir değer değildir. Östenitik, ferritik, martenzitik, dubleks ve çökelme sertleşmeli çelikler tekstür, faz dengesi, kusurlar ve sıcaklığa tepki bakımından farklılık gösterebilir.

ν değerinin ölçülmesi ve yorumlanması

Poisson oranı, bir çekme veya basma deneyinde eksenel ve enine birim şekil değiştirmelerin eş zamanlı ölçülmesiyle elde edilebilir. Ekstansometreler, yapıştırılmış gerinim ölçerler, optik sistemler ve dijital görüntü korelasyonu iki birim şekil değiştirme bileşenini ölçebilir; ancak enine sinyal genellikle daha küçüktür ve hizalamaya, yüzey hazırlığına, ölçü geometrisine ve gürültüye karşı daha duyarlıdır. Hatalı hizalama eğilmeye yol açabilir; ölçerin kusurlu yerleştirilmesi ise boyuna ve enine yönleri birbirine karıştırabilir.

İkinci bir yöntem, ν değerini bağımsız olarak ölçülen elastik dalga hızlarından türetir. Boyuna ve kayma dalga hızları dinamik elastik bilgi sağlar; izotropik bir katı için

$$G=\rho v_S^2$$

ve

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_S^2)$$

bağıntıları geçerlidir. Burada $\rho$ yoğunluk, $v_S$ kayma dalgası hızı ve $v_L$ boyuna dalga hızıdır. Elde edilen $E$ ve ν değerleri, küçük genlikli ve sonlu frekanslı bir tepkiyi tanımlar; bu değerler mutlaka yavaş gerçekleştirilen bir çekme deneyinden elde edilen değerlerle aynı olmayabilir. ASTM E1875-20a, dinamik Young modülünün, kayma modülünün ve Poisson oranının “sonik rezonans yoluyla” belirlenmesini tanımlar.[5][5] Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards. National Bureau of Standards report, 1981.

Sıcaklık, hem elastik rijitliği hem de dalga hızını değiştirir. National Bureau of Standards tarafından hazırlanan bir raporda, Fe-5Cr-26Mn östenitik çeliği için elastik sabitler, boyuna ve enine mod ses hızları kullanılarak 76–400 K aralığında ölçülmüştür. Bu aralık, oda sıcaklığına yakın ölçülen bir değerin kriyojenik hizmet koşullarına veya yüksek sıcaklık tasarımına otomatik olarak aktarılmaması gerektiğini gösterir.

Tekstür ve kristalografik anizotropi başka bir nitelendirme gerektirir. Tek kristal elastik rijitlikleri, kristal simetrisini ve yönlenme dağılımını dikkate alan bir ortalama modeli aracılığıyla yarı izotropik polikristal $E$, $G$, $K$ ve ν değerlerine dönüştürülebilir. Bu nedenle haddelenmiş bir levha, haddeleme yönünde, enine yönde ve kalınlık yönünde yükleme için farklı oranlar gösterebilir. Dinamik rezonans ayrıca statik çekme deneyinden farklı bir etkin hacmi ve birim şekil değiştirme genliğini örnekleyebilir.

Tasarım açısından ν, amaçlanan kurucu modele ve deney koşuluna uygun olmalıdır. Skaler bir izotropik değeri yalnızca ürün biçimi, tekstür, sıcaklık, birim şekil değiştirme aralığı ve gerekli doğruluk bu basitleştirmeyi desteklediğinde kullanın. Aksi takdirde, bildirilen dört modülü birbiriyle ilgisiz ve kalite sınıfına özgü sayılar gibi ele almak yerine, yöne bağlı elastik sabitler veya tam bir anizotropik rijitlik matrisi kullanmak daha savunulabilirdir.

İzotropik Modüller Arasındaki Tam İlişki Seti

Homojen, doğrusal elastik ve izotropik bir katı için yaygın olarak raporlanan dört modül, birbirinden bağımsız dört malzeme sabiti değildir. Young modülü $E$, kayma modülü $G$, hacim modülü $K$ veya $B$ ve Poisson oranı $\nu$, farklı deformasyon biçimlerini tanımlar; ancak değerleri birbiriyle ilişkilidir. Uygun iki sabit, kalan büyüklükleri belirler.

Bu ifadenin geçerli olması için bazı koşullar vardır. Malzeme izotropik olarak ele alınmalı, gerilme–birim şekil değiştirme tepkisi incelenen aralık boyunca doğrusal olmalı ve modüller aynı sıcaklık, yoğunluk, faz bileşimi, doku ortalaması, frekans ve ölçüm konvansiyonuna karşılık gelmelidir. Düşük birim şekil değiştirmede yapılan bir çekme deneyinden elde edilen modül, ses hızından çıkarılan dinamik bir modülle kendiliğinden birbirinin yerine kullanılamaz. Anizotropik tek kristal için aşağıdaki izotropik denklemler, yönlere bağlı tepkinin tamamını yeniden üretmez.

OpenStax, 2020, fiziksel rolleri açıkça tanımlar: $E$, çekme veya tek eksenli deformasyonu; $G$, kayma deformasyonunu; hacim modülü ise hacimsel sıkışmayı açıklar. NIST’in 1982 tarihli çalışması, termodinamik hacim modülünü şu şekilde tanımlar:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

burada $V$ hacim, $P$ basınçtır ve türev sabit sıcaklıkta alınır. Küçük birim şekil değiştirmeli doğrusal elastisite kapsamında, aynı durum ve elastik yaklaşım kullanıldığı sürece bu termodinamik tanım, aşağıdaki ilişkilerde kullanılan hacimsel rijitliğe karşılık gelir.

$E$, $G$, $K$ ve $\nu$ Arasındaki Dönüşümler

İzotropik doğrusal elastisite için tam denklem seti şöyledir:

\[ \boxed{G=\frac{E}{2(1+\nu)}} \]

\[ \boxed{K\ \text{veya}\ B=\frac{E}{3(1-2\nu)}} \]

\[ \boxed{E=\frac{9KG}{3K+G}} \]

\[ \boxed{\nu=\frac{3K-2G}{2(3K+G)}} \]

\[ \boxed{\lambda=K-\frac{2G}{3}} \]

\[ \boxed{\mu=G} \]

İlk denklem, Young modülü ile Poisson oranını kayma modülüne dönüştürür. Bu denklem, izotropik bir kurucu yasa ile sonsuz küçük ve doğrusal elastik birim şekil değiştirmeyi varsayar. İkinci denklem, $E$ ve $\nu$ değerlerini hacim modülüne dönüştürür. Bu denklem de ölçülen Poisson oranının anizotropik bir numuneden elde edilen yöne bağlı bir değer değil, izotropik elastik oran olduğunu varsayar.

Üçüncü denklem $K$ ve $G$ değerlerinden $E$’yi, dördüncü denklem ise aynı iki modülden $\nu$’yu hesaplar. Bu denklemler, aynı izotropik kurucu modelin cebirsel yeniden düzenlemeleridir; giriş değerleri ayrı ölçümlerden gelmediği sürece bağımsız deneysel kontroller sağlamazlar. $E$, $G$ ve $\nu$ değerlerinin tümü raporlanıyorsa ölçüm belirsizliği, yuvarlama, sıcaklık farklılıkları, gözeneklilik, doku veya izotropiden sapmalar nedeniyle küçük uyumsuzluklar beklenir.

Kararlı, olağan bir izotropik elastik katı için kısıtlamalar genel olarak şöyledir:

\[ G>0,\qquad K>0,\qquad -1<\nu<\frac{1}{2}. \]

$\nu$ üzerindeki üst sınır özellikle önemlidir. $\nu$ değeri $0,5$’e yaklaştıkça $1-2\nu$ terimi sıfıra yaklaşır ve hesaplanan hacim modülü $E$’ye göre çok büyük hale gelir. Bu nedenle, neredeyse sıkıştırılamaz bir malzeme sonlu bir çekme modülüne, ancak çok daha büyük bir hacimsel rijitliğe sahip olabilir. Çelik sıkıştırılabilir olduğundan, $\nu =0,5$ değerini çelik için kesin bir değer olarak kabul etmek, dönüşümü bilgilendirici olmaktan çıkarıp tekil hale getirir.

Denklemler, yönlere bağlı değişimlerin yeterince ortalaması alınmış bir polikristalin etkin izotropik özelliklerine uygulanır. NIST’in tek kristallerin elastik sabitleri hakkındaki el kitabı bölümü, bu koşulun neden önemli olduğunu gösterir: etkin $E$, $G$, $B$, boyuna modül ve $\nu$, kübik ve hekzagonal malzemeler için tek kristal rijitlik verilerinden türetilebilir; ancak ortalama alma yöntemi kristal simetrisine ve dokuya bağlıdır. Haddelenmiş bir levha, bir kaynak metali, bir döküm yapı ve rastgele yönlenmiş tavlanmış bir polikristal, kimyasal tanımları benzer olsa bile aynı yönsel elastik tepkiye sahip olmayabilir.

Sabitler farklı frekans rejimlerini de tanımlayabilir. ASTM International tarafından 2020’de yayımlanan ASTM E1875-20a, dinamik Young modülünün, kayma modülünün ve Poisson oranının “sonik rezonans yoluyla” belirlenmesini tanımlar. Bu dinamik değerler rezonans frekanslarından elde edilir ve hızlı, küçük genlikli yüklemeyle ilişkilidir. Statik çekme deneyi modülü; cihaz uyumluluğu, mikroplastisite, iç sürtünme, gözeneklilik, sıcaklık veya ideal elastik modelden diğer sapmalar nedeniyle farklı olabilir. Dönüşüm denklemleri yalnızca giriş sabitleri uyumlu bir kurucu tanıma ait olduğunda geçerliliğini korur.

Bu nedenle Engineering ToolBox’ın paslanmaz çelik için yaklaşık $163\text{GPa}$ değerindeki hacim modülü gibi bir referans değer, her paslanmaz çelik kalitesi, ürün biçimi, sıcaklık, faz dengesi veya deney yöntemi için evrensel bir değer olarak değil, ikincil bir tahmin olarak okunmalıdır. “Paslanmaz çelik” tanımı; östenitik, ferritik, martenzitik, çökelme sertleşmeli ve dubleks kaliteler de dâhil olmak üzere önemli ölçüde farklı malzemeleri kapsar. Elastik tepki, soğuk şekillendirme ve sıcaklıkla da değişebilir.

Lamé Parametreleri $\lambda$ ve $\mu$

Lamé parametreleri, aynı izotropik elastik yasanın başka bir gösterimidir. İkinci Lamé parametresi şöyledir:

$$\mu =G,$$

dolayısıyla $\mu$, Lamé gösterimiyle ifade edilen kayma modülüdür. Birinci Lamé parametresi ise şöyledir:

$$\lambda =K-\frac{2G}{3}.$$

Ayrıca şu şekilde de yazılabilir:

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}.$$

Tensör gösteriminde izotropik gerilme–birim şekil değiştirme ilişkisi yaygın olarak şu şekilde yazılır:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=2\mu {\epsilon }_{\mathrm{ij}}+\lambda {\epsilon }_{\mathrm{kk}}{\delta }_{\mathrm{ij}},$$

burada ${\sigma }_{\mathrm{ij}}$ gerilme tensörü, ${\epsilon }_{\mathrm{ij}}$ birim şekil değiştirme tensörü, ${\epsilon }_{\mathrm{kk}}$ hacimsel birim şekil değiştirme ve ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ Kronecker deltasıdır. $2\mu$ çarpanı, birim şekil değiştirme tensörünün deviatorik ve kayma katkısına etki eder; $G$’den ayrı bir fiziksel modül tanımlamaz.

Sandia’nın Sierra dokümantasyonu, birbiriyle ilişkili altı izotropik elastik sabiti listeler: Young modülü $E$, Poisson oranı $\nu$, hacim modülü $K$, kayma modülü $G$, birinci Lamé parametresi $\lambda$ ve $2\mu$. Bu durum, yazılım ve sonlu eleman gösterimlerinde sık karşılaşılan bir tuzağı açıklar. Bir malzeme kartı, kurucu denklem bu katsayıyı kullandığı için “$2\mu$” talep edebilirken başka bir arayüz $G$ veya $\mu$ talep edebilir. $2\mu$ gerektiği halde $G$ girilmesi, iki katlık bir hataya yol açar.

Springer’ın Elasticity of Solids adlı 2020 tarihli çalışması temel kuralı doğrudan ifade eder: izotropik bir katı için yalnızca iki elastik sabit bağımsızdır. Sandia’nın formülasyonu da benzer şekilde $E$ ve $\nu$’nun diğer sabitleri belirlediğini belirtir. Altı ad, ayrı ayrı ayarlanabilen altı kalite özelliğini değil, birbiriyle ilişkili altı büyüklüğü tanımlar.

Birimler, Gösterim ve $K$ ile $B$ Arasındaki Gösterim Çakışmaları

$E$, $G$, $K$, $B$, $\lambda$ ve $\mu$ değerlerinin tümü gerilme birimine sahiptir: SI sisteminde paskal; çelik için ise yaygın olarak gigapaskal ($\text{GPa}$) kullanılır. Poisson oranı $\nu$ boyutsuzdur. $1\text{GPa}={10}^9\text{Pa}$ olduğundan, herhangi bir denklem uygulanmadan önce gerilme boyutundaki tüm girişler aynı birimi kullanmalıdır.

$K$ sembolü, sürekli ortamlar mekaniğinde ve sonlu eleman dokümantasyonunda hacim modülü için yaygın olarak kullanılır. NIST ve birçok malzeme kaynağı ise “bulk modulus” ifadesinin B harfiyle başlaması nedeniyle genellikle $B$’yi kullanır. Yukarıdaki denklemlerde bu semboller normal olarak aynı büyüklüğü ifade eder:

$$K=B.$$

Bunlar iki farklı çelik sabiti değildir. Bir ders kitabı hacim modülü için $K$ kullanırken başka bir disiplin $K$’yi rijitlik matrisi, ısıl iletkenlik katsayısı veya gerilme şiddetiyle ilişkili bir büyüklük için kullandığında bu çakışma önemli hale gelir. Yorumu, çevredeki tanım belirlemelidir.

Son olarak, bu ilişkiler hizmet sırasında ölçülen her türlü rijitliği değil, elastik sabitleri tanımlar. Sıcaklığa bağlı veriler, faz dönüşümleri, manyetik etkiler, doku, artık gerilme ve frekans, ölçülen tepkiyi değiştirebilir. Örneğin, Fe-5Cr-26Mn östenitik çeliği hakkındaki 1981 tarihli National Bureau of Standards raporu, boyuna ve enine mod ses hızlarından yararlanarak 76–400 K aralığında elastik sabitleri belirlemiştir. Yalnızca bu sıcaklık aralığı bile, nitelikleri belirtilmemiş tek bir modül değerinin tüm koşulları temsil edemeyeceğini gösterir. Denklemler dönüşüm çerçevesini sağlar; hangi değerlerin bu çerçeveye ait olduğunu ise deney koşulları belirler.

Tek Kristal Elastisitesi, Çelik Kristalografisi ve Polikristal Ortalamaları

Çelik, her yapısal ölçekte aynı matematiksel anlamda elastik değildir. Tek bir kristalin özellikleri kafes yönleriyle ilişkilidir; buna karşılık mühendislik amaçlı bir çelik ürünü genellikle farklı yönelimlere, fazlara, kusurlara ve kalıntı gerilmelere sahip çok sayıda tane içerir. İkinci durumda ölçülen bir modülü, birinci durumun evrensel bir özelliğiymiş gibi ele almak yanıltıcı bir hesaplamaya yol açabilir.

Bu ayrım kristal simetrisiyle başlar. Ferritik çelikler gövde merkezli kübik (BCC) kristal yapıya, östenitik çelikler yüzey merkezli kübik (FCC) yapıya sahiptir; martenzit ise genellikle gövde merkezli tetragonal yapı olarak tanımlanır, ancak tetragonallik karbon içeriğine ve temperleme geçmişine bağlıdır. Bu yapılar, elastik şekil değiştirmeyi her kristalografik yönde aynı şekilde taşımaz. Bir polikristal, ancak çok sayıda tanenin yönsel tepkileri ortalandıktan sonra yaklaşık olarak izotropik görünebilir.

Kübik kristallerde elastik rijitlik tensörleri

Doğrusal elastisite, gerilmeyi dördüncü mertebeden bir rijitlik tensörü aracılığıyla şekil değiştirmeye bağlar:

$${\sigma }_{\mathrm{ij}}=C_{\mathrm{ijkl}}{\epsilon }_{\mathrm{kl}}.$$

Tensör, elastik rijitlikleri $C_{\mathrm{ijkl}}$ içerirken, bunun tersi elastik uyumlulukları $S_{\mathrm{ijkl}}$ içerir. Kristal simetrisi, bağımsız terimlerin sayısını azaltır. Tamamen genel bir anizotropik katı 21 bağımsız elastik sabit gerektirebilirken, bir kübik kristal yalnızca üç sabit gerektirir: $C_{11}$, $C_{12}$ ve $C_{44}$.

Daraltılmış matris gösteriminde kübik rijitlik matrisi şöyledir:

\[ \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2\\ \sigma_3\\ \sigma_4\\ \sigma_5\\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\ 0&0&0&C_{44}&0&0\\ 0&0&0&0&C_{44}&0\\ 0&0&0&0&0&C_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \varepsilon_3\\ \varepsilon_4\\ \varepsilon_5\\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}. \]

Üç sabitin rolleri birbirinden farklıdır. $C_{11}$, bir kübik eksen boyunca normal gerilmeye verilen tepkiyi; $C_{12}$, birbirine dik eksenler arasındaki normal deformasyon bağlantısını; $C_{44}$ ise başlıca bir kristalografik düzlem üzerindeki kayma tepkisini tanımlar. Bunlar rijitlik sabitleridir; Young modülünün veya kayma modülünün birbirinin yerine kullanılabilen biçimleri değildir.

Kübik kristal anizotropisi için yararlı bir gösterge Zener oranıdır:

$$A=\frac{2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}.$$

$A=1$ olduğunda, kübik kristalin elastik tepkisi yönsel biçim bakımından izotropik bir katınınkiyle aynıdır. Birden uzak değerler, yönelime bağlılığı gösterir. Bu oran tek başına bir çelik ürününün modülünü vermez; ilgili tek kristal sabitleri ölçülmüş veya hesaplanmış olduğunda, bir kristalin elastik simetrisini tanımlar.

1982’de yayımlanan NIST tek kristal bölümü, bu rijitlik verilerinin kübik ve hekzagonal malzemeler için toplu özelliklere nasıl dönüştürülebileceğini gösterir. Bir kübik kristal için düzgün hidrostatik şekil değiştirmeyle ilişkili hacim modülü şöyledir:

$$B=\frac{C_{11}+2C_{12}}{3}.$$

Bu ifade, NIST tarafından verilen termodinamik tanımla uyumludur:

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Tek bir kristalin kayma ve Young modülleri, kübik kristalin hidrostatik hacim tepkisi simetri tarafından sınırlandırılmış olsa da, yine de yöne bağlıdır. $\left[100\right]$, $\left[110\right]$ veya $\left[111\right]$ gibi bir yön, uygulanan gerilmenin kafese göre farklı biçimde çözünmesi nedeniyle farklı bir çekme modülü verebilir.

Springer’ın 2020 tarihli Katıların Elastisitesi bölümünde açıklandığı üzere, izotropik bir malzeme için yalnızca iki elastik sabit bağımsızdır. Sandia’nın Sierra dokümantasyonu, ilgili izotropik kümede Young modülü $E$, Poisson oranı $\nu$, hacim modülü $K$, kayma modülü $G$, Lamé’nin birinci parametresi $\lambda$ ve $2\mu$ değerlerini listeler; uygun iki değer geri kalanını belirler. Bu indirgeme, bir kristal küçük olduğu veya deformasyonu elastik kaldığı için kristal için geçerli olmaz. Bu sonuç izotropik simetriden kaynaklanır.

Doku ve yönsel modül

Bir kristalin yönelimi, genellikle kristalografik yönünün ve düzleminin numune eksenlerine göre ifade edilmesiyle tanımlanır. Polikristal bir levhada yönelim dağılım fonksiyonu, tane yönelimlerinin nasıl dağıldığını gösterir. Özellikle haddeleme, yeniden kristalleşme ve ardından gerçekleşen faz dönüşümü sırasında belirli kafes dönmelerinin tercih edilmesiyle doku oluşur.

Bu nedenle haddeleme yönünde ölçülen çekme modülünün, haddeleme yönüne dik yöndeki veya levhanın kalınlığı boyunca ölçülen modüle eşit olması gerekmez. Fark, tane tepkilerinin yönelimlere göre ağırlıklandırılmış toplamından kaynaklanır; temel rijitlik tensörünün yerini alan yeni ve bağımsız bir “haddeleme yönü Young modülü”nden kaynaklanmaz. Bir sonlu elemanlar modeli, malzeme koordinatlarına anizotropik bir rijitlik tensörü atayarak veya çok sayıda yönelime kristal düzeyindeki özellikleri atayarak bu davranışı temsil edebilir.

Haddelenmiş düşük karbonlu çelik, ferritik paslanmaz çelik ve dönüşümle işlenmiş levha, deformasyon ve yeniden kristalleşmeden kaynaklanan doku gösterebilir. Dövülmüş çelikte, dövme ekseni çevresinde yöne bağlı tane akışı ve doku gelişebilir. Döküm çelikte genellikle daha değişken bir yönelim dağılımı bulunur; ancak katılaşma yine de kolonsal taneler, segregasyon, faz gradyanları veya tercihli yönelimler oluşturabilir. Bu işlem yollarının hiçbiri ne izotropiyi ne de belirli bir anizotropi büyüklüğünü garanti eder.

Eklemeli olarak üretilmiş çelik, başka bir yönelim sorunu ortaya çıkarır. Katman katman gerçekleşen ısıl çevrimler, imalat yönüyle hizalanmış kolonsal taneler oluşturabilir; tarama stratejisi, ergiyik havuzu geometrisi, yeniden ısıtma ve ısıl işlem ise yönelim dağılımını ve faz bileşimini değiştirir. Bunun sonucunda imalat yönüne paralel ölçülen bir modül, bu yöne dik ölçülen modülden farklı olabilir. Bildirilen değere yön, numunedeki konum, ısıl işlem, gözeneklilik ve deney yöntemi eşlik etmelidir.

Doku, Poisson oranını ve kayma modülünü de etkiler. Bir çekme deneyi eksenel şekil değiştirme tepkisini raporlayabilirken, rezonans yöntemi titreşim kiplerinden çeşitli dinamik sabitleri çıkarır. ASTM E1875-20a, dinamik Young modülünün, kayma modülünün ve Poisson oranının “sonik rezonans yoluyla” belirlenmesini tanımlar. Bu dinamik değerler, özellikle sönüm, mikroçatlaklar, gözeneklilik, sıcaklık veya frekans tepkiyi etkilediğinde, yavaş bir çekme deneyinden elde edilen statik değerlerle otomatik olarak aynı değildir.

Kuazi-izotropik polikristal tahminleri

Tane yönelimleri yeterince dağınık olduğunda, yönler arasındaki farklar numune ölçeğinde küçük değerlere ortalanabilir. Mühendisler bu durumda toplu yapıyı kuazi-izotropik olarak tanımlar: her tanede veya yerel hacimde tamamen izotropik olmayan, ancak amaçlanan hesaplama için izotropik sabitlerle yeterli doğrulukta temsil edilebilen bir yapı. Bu sözcük önemlidir. Tüm kristalografik anizotropinin ortadan kalktığını ileri süren bir iddia değil, bir yaklaştırmayı belirtir.

Polikristal tahminleri, tek kristal rijitlik veya uyumluluk verilerinden sınırlandırmalar ve ortalama alma şemaları kullanılarak oluşturulabilir. Voigt tahmini, taneler arasında düzgün bir şekil değiştirme olduğunu varsayar; Reuss tahmini ise düzgün bir gerilme olduğunu varsayar. Bu iki tahmin genellikle farklı sonuçlar verir; çünkü bu koşulların hiçbiri her heterojen toplu yapıyı tam olarak temsil etmez. Genellikle Voigt ve Reuss sonuçlarının aritmetik ortalaması olarak alınan Hill tahmini, pratik bir ara yaklaşım olarak sıklıkla kullanılır. Bu tahminler, belirlenmiş bir kristal simetrisi, yönelim dağılımı ve faz bileşimi gerektirir.

Kuazi-izotropik bir toplu yapı için elde edilen $E$, $G$, $B$ ve $\nu$ değerleri, bilinen izotropik ilişkileri sağlar:

$$E=2G(1+\nu ),$$

$$E=3B(1-2\nu ),$$

ve

$$E=\frac{9\mathrm{BG}}{3B+G}.$$

Dolayısıyla iki bağımsız toplu sabit seçildiğinde, diğerleri türetilir. Bir referans tablosu, Engineering ToolBox’ın 2024’te yaptığı gibi paslanmaz çelik için yaklaşık 163 GPa değerinde bir hacim modülü listeleyebilir; ancak bu değer her paslanmaz çelik kalitesi, sıcaklık, ürün biçimi, faz dengesi veya ölçüm yöntemi için evrensel bir değer değil, ikincil bir tahmindir.

National Bureau of Standards’ın Fe-5Cr-26Mn östenitik çeliğine ilişkin raporu, ölçüm sorununu doğrudan ortaya koyar: elastik sabitler, 76–400 K aralığında boyuna ve enine kiplerdeki ses hızlarından belirlenmiştir. Sıcaklık; kafes aralığını, faz kararlılığını, kusurların hareketliliğini ve dalga hızını değiştirir. Bu nedenle elde edilen sabitler, belirli deney koşullarını tanımlar. Tasarım açısından, zayıf dokulu döküm veya tavlanmış bir ürün için kuazi-izotropik bir sabitler kümesi uygun olabilir. Kuvvetli biçimde haddelenmiş bir levha, dövülmüş bir bileşen, kaynak veya eklemeli olarak üretilmiş bir yapı ise bunun yerine yönsel veriler gerektirebilir. Bu nedenle doğru modül, yalnızca bir çelik kalitesine iliştirilmiş sayı değildir; deformasyon kipi, yönelim, sıcaklık, mikroyapı ve deney yöntemiyle ilişkili değerdir.

Çeliğin Elastik Sabitleri Nasıl Ölçülür?

Çeliğin elastik sabitleri, ya kuvvet–yer değiştirme yanıtından ya da mekanik dalgaların yayılımı ve rezonansından ölçülür. Bu yaklaşımlar her zaman aynı sayısal modülü vermez. Çekme testi, belirli bir yükleme hızında yaklaşık statik bir eğim kaydederken, ses ve ultrasonik yöntemler yüksek frekanslı, küçük genlikli bir yanıtı ölçer. Sıcaklık, tane yapısı, kristalografik tekstür, gözeneklilik, faz bileşimi, artık gerilme, numune geometrisi ve ölçülen modun tanımı sonucun tümünü etkileyebilir.

İzotropik, doğrusal elastik bir katı için yalnızca iki elastik sabit bağımsızdır. Young modülü $E$, kayma modülü $G$, hacim modülü $K$ veya $B$, Poisson oranı $\nu$, Lamé’nin birinci parametresi $\lambda$ ve $2\mu$, aynı kurucu yanıtın birbiriyle ilişkili farklı yönlerini tanımlar; Sandia National Laboratories bu grubu listeler ve $E$ ile $\nu$’nun diğerlerini belirlediğini belirtir. Bu nedenle, bildirilen büyüklükler tanıdık adlara sahip olsa bile ölçüm yöntemi önem taşır. Young modülü eksenel uzamayı, hacim modülü hidrostatik basınç altındaki hacim değişimini, kayma modülü ise açısal çarpılmayı tanımlar.

Mekanik çekme ve basma yöntemleri

Geleneksel çekme yöntemi, gerilme–birim şekil değiştirme eğrisinin başlangıçtaki doğrusal bölümünün eğiminden statik veya yarı statik Young modülünü belirler:

$$E=\frac{d\sigma }{d\epsilon }.$$

İşlenmiş bir çelik numune çekmeye tabi tutulurken, bir ekstansometre, gerinim ölçer veya optik sistem eksenel birim şekil değiştirmeyi ölçer. Kullanılabilir eğim, plastikleşme, Lüders deformasyonu, çatlama veya başka bir doğrusal olmayan davranış başlamadan önce alınır. Küçük doğrusallık sapmaları, makine uyumluluğu, numunenin yerleşme etkileri ve birim şekil değiştirme çözünürlüğü sınırları uydurulan değeri değiştirebileceğinden, seçilen birim şekil değiştirme aralığı belirtilmelidir.

Bir çekme testi, eş zamanlı yanal birim şekil değiştirme ölçülerek Poisson oranını da belirleyebilir:

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{\text{transverse}}}{{\epsilon }_{\text{axial}}}.$$

Eksenel ve enine ölçümler eşzamanlı olmalı ve aynı elastik aralıkta gerçekleştirilmelidir. $E$ ve $\nu$ bilindiğinde, izotropik bağıntılar şu sonuçları verir:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

ve

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Bu hesaplanan değerler, kayma veya hacimsel rijitliğin ayrı ölçümleri değildir. Başlangıçtaki çekme verilerinin sıcaklık, birim şekil değiştirme hızı, tekstür ve test yönüne bağlılığını taşırlar.

Basma testi, eksenel bir modül için başka bir yol sağlar; ancak farklı hata kaynaklarını beraberinde getirir. Numune burkulmayı önleyecek kadar kısa, fakat ölçülebilir bir yer değiştirme sağlayacak kadar uzun olmalıdır. Uç sürtünmesi yanal genişlemeyi kısıtlayarak namlu biçimli bir numune oluşturabilir; bu nedenle ölçülen kuvvet–yer değiştirme eğimi, sürtünme ve baskı plakalarının hizalanması etkilerini içerebilir. Yağlama, uçların paralelliği, yüzey kalitesi, baskı plakalarının rijitliği ve numune yüksekliğinin çapa oranı önem taşır. Ekstansometreler veya yer değiştirme sensörleri, yalnızca travers hareketine güvenmek yerine deformasyonu numunenin ölçü boyu boyunca ölçmelidir.

Hidrostatik basma, basıncı tüm yönlerde uyguladığı ve hacim değişimini izlediği için doğrudan hacim modülü ölçümüne kavramsal olarak daha yakındır:

$$K=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T.$$

Bu, National Institute of Standards and Technology tarafından 1982 yılında verilen termodinamik tanımdır. Olağan tek eksenli basma, hidrostatik basma değildir; eksenel ve yanal deformasyonu bir arada içerir ve bu nedenle $K$’yı doğrudan ölçmez. Doğrudan hacim modülü çalışmaları basınç kapları, doğru hacim veya birim şekil değiştirme ölçümü, basınç kalibrasyonu ve sıcaklık kontrolü gerektirir. Yapısal çeliklerin çoğu karakterizasyonunda $K$, bunun yerine bağımsız olarak ölçülen $E$ ve $\nu$’dan hesaplanır veya ses hızlarından elde edilir.

Statik mekanik eğimler, test hızına ve numunenin durumuna özellikle duyarlıdır. Oda sıcaklığında test edilen, parlatılmış ve gerilmesi giderilmiş bir çubuktan elde edilen çekme sonucu; tekstürlü haddelenmiş bir levhanın, kaynak metalinin veya iki fazlı ısıl işlem görmüş bir ürünün modülü olarak otomatik biçimde kabul edilemez. Kübik tek kristalde rijitlik kristalografik yöne göre değişir. Tanelerin rastgele yönlendiği polikristalin bir agregat yaklaşık olarak izotropik görünebilir; ancak haddeleme veya katılaşma tekstürü, yöne bağlı modüllerin oluşmasına neden olabilir.

ASTM E1875-20a kapsamında sesik rezonans

ASTM E1875-20a, dinamik Young modülünü, kayma modülünü ve Poisson oranını “sesik rezonans yoluyla” belirlemek için kullanılan, adı tanımlanmış bir standarttır. Yöntem, uzun süreli ve yavaş bir kuvvet–birim şekil değiştirme eğimi ölçmek yerine numuneyi uyarır ve doğal rezonans frekanslarını belirler. Rezonanstaki frekans; elastik rijitliğe, kütle yoğunluğuna, numune boyutlarına ve mod şekline bağlıdır.

Numune, serbest sınır koşulunu yaklaşık olarak sağlayacak biçimde desteklenir; genellikle destekler, mümkün olduğunca az titreşim enerjisi uzaklaştırmaları için düğüm bölgelerinin yakınına yerleştirilir. Bir sürücü titreşim üretir ve bir mikrofon, ivmeölçer, lazer cihazı veya başka bir dedektör yanıtı kaydeder. Rezonans frekansı, keskin bir genlik maksimumundan, bir faz değişiminden veya bir frekans-yanıt tepesinden belirlenir. Ölçülen frekans doğru eğilme, burulma veya boyuna moda atanmalıdır; komşu modların karıştırılması makul görünen ancak hatalı bir modül değerine yol açabilir.

Bu nedenle numunenin uzunluğu, genişliği, kalınlığı, kütlesi ve yoğunluğu temel girdilerdir. Termal genleşmenin önemli olduğu durumlarda boyutlar test sıcaklığında ölçülmeli veya uygun bir genleşme katsayısı kullanılarak oda sıcaklığındaki boyutlardan düzeltilmelidir. Yoğunluk, özellikle dökme çelik, gözenekli malzeme, partikül kapanımları veya çok fazlı mikroyapılar için varsayılan bir el kitabı değerine değil, gerçek numuneye karşılık gelmelidir. ASTM E1875-20a, her numuneyi sonsuz bir çubuk olarak ele almak yerine numune geometrisini ve rezonans denklemlerini içerir. Uç koşulları, destek konumu, en-boy oranı, sönüm ve geometrik düzeltmeler, hesaplanan dinamik sabitleri etkiler.

Burulma rezonansı öncelikle kayma hakkında bilgi sağlarken, eğilme veya boyuna rezonans eksenel rijitlikle ilişkili bir modül sağlar. Dinamik $E$ ve $G$ değerlerinin birleştirilmesi, izotropik doğrusal elastik varsayım uygun olduğu sürece şu bağıntıyla hesaplanabilir:

$$\nu =\frac{E}{2G}-1,$$

Elde edilen Poisson oranı, test frekansındaki dinamik bir değerdir. Frekanstan veya sıcaklıktan bağımsız, evrensel bir kalite sabiti olarak sunulmamalıdır.

Sıcaklık kontrolü, ölçümün sonradan düşünülecek bir unsuru değil, ölçümün bir parçasıdır. Fırın veya çevresel oda, numuneyi kararlı ve bilinen bir sıcaklığa getirmeli; rezonansın belirlenmesi ise termal genleşmeyi, değişen yoğunluğu ve rijitliğin sıcaklığa bağlılığını dikkate almalıdır. Numune hâlâ ısınırken ölçülen bir frekans, iyi tanımlanmış bir elastik durumu temsil etmez. Destekler genleşir, yumuşar, kayar veya temas basıncını değiştirirse, sınır koşulları da sıcaklıkla değişir.

Boyuna ve enine ses hızları

Ultrasonik ölçümler, elastik sabitleri dalga hızlarından belirler. Boyuna dalga, parçacık hareketini yayılma yönüne paralel oluşturur; enine veya kayma dalgası ise parçacık hareketini yayılma yönüne dik oluşturur. Yoğunluğu $\rho$ olan homojen, izotropik bir katı için ideal bağıntılar şöyledir:

$$v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}$$

ve

$$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}.$$

Buna göre,

$$G=\rho v_T^2,$$

$$K=\rho (v_L^2-\frac{4}{3}{v}_T^2),$$

ve

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Poisson oranı daha sonra $E$ ve $G$’den veya aynı izotropik varsayım altında doğrudan hız oranından elde edilebilir. Bu denklemler basit olsa da ölçümler basit değildir. Geçiş mesafesi doğru bilinmeli, yankılar doğru biçimde atanmalı ve dönüştürücü amaçlanan polarizasyonu üretip algılamalıdır. Görünürdeki bir boyuna geliş, mod dönüşümü, yüzey dalgaları, yansımalar veya dispersiyon içerebilir.

1981 yılında yayımlanan bir National Bureau of Standards raporunda, 76–400 K aralığında Fe-5Cr-26Mn östenitik çeliğin elastik sabitlerini belirlemek için boyuna ve enine modlardaki ses hızları kullanılmıştır. Bu sıcaklık aralığı önemlidir: elastik sabitlerin, alaşım tanımına eklenmiş sabit etiketler değil, ısıl durumun ölçülen fonksiyonları olduğunu gösterir. Rapordaki prosedür; kontrollü sıcaklığa, bilinen yoğunluğa, tanımlanmış numune geometrisine ve her iki dalga modunun güvenilir biçimde belirlenmesine dayanıyordu. Bu büyüklükleri güncellemeden kriyojenik veya yüksek sıcaklıkta oda sıcaklığı denklemlerini uygulamak, gerçek sıcaklık bağımlılığını belirsizleştirir.

Mühendislik Araç Kutusu, paslanmaz çelik için yaklaşık 163 GPa hacim modülü verir. Limited evidence

Aynı dikkat mühendislik referans tabloları için de geçerlidir. Engineering ToolBox, paslanmaz çelik için yaklaşık 163 GPa’lık bir hacim modülü verir; ancak bu değer her paslanmaz çelik kalitesi, ürün biçimi, tekstür, faz dengesi, sıcaklık veya test yöntemi için evrensel bir değer değil, ikincil bir referans tahminidir. Östenitik Fe-5Cr-26Mn için ölçülen dinamik bir değer, ferritik bir kaliteden alınan çekme kuponunun statik değeri ve $E$ ile $\nu$’dan çıkarılan hesaplanmış bir değer, farklı deneysel sorulara yanıt verir. Bu nedenle yöntemin, numune boyutlarının, yoğunluğun, sıcaklığın, rezonans veya dalga modunun ve sınır koşullarının raporlanması, modülün kendisinin raporlanması kadar önemlidir.

Sıcaklık, Faz, Bileşim ve İşleme Etkileri

Çeliğin elastik sabitleri, bir kaliteye kalıcı olarak iliştirilmiş değişmez etiketler değildir. Bunlar bir malzeme durumunu, bir deformasyon kipini ve bir ölçüm koşulunu tanımlar. Sıcaklık, faz yapısı, bileşim, kristalografik tekstür, gözeneklilik, inklüzyonlar, artık gerilme ve ısıl geçmiş, ölçülen yanıtın tümünü değiştirebilir. Bir dönüşüm veya menevişleme işlemi boyunca dayanım yüzlerce yüzde oranında değişebilirken Young modülü çok daha küçük bir oranda değişir; ancak “daha küçük” olması, hassas analizlerde ihmal edilebilir olduğu anlamına gelmez.

İzotropik, doğrusal elastik bir katı için yalnızca iki elastik sabit bağımsızdır. Young modülü $E$, kayma modülü $G$, hacim modülü $K$ veya $B$, Poisson oranı $\nu$, Lamé’nin birinci parametresi $\lambda$ ve $2\mu$, Springer’ın Katıların Elastisitesi ile Sandia National Laboratories’in Sierra belgelerinde açıklandığı üzere birbiriyle ilişkili büyüklüklerdir. Sıcaklık veya mikroyapı bağımsız sabitlerden birini değiştirirse, bundan hesaplanan diğer sabitler de tutarlı biçimde güncellenmelidir. Bu nedenle bildirilen bir modülün yanında sıcaklık, ürün koşulu, yön ve deney yöntemi de belirtilmelidir.

Elastik sabitlerin sıcaklığa bağlılığı

Elastik rijitlik, sıcaklık yükseldikçe genellikle azalır. Atomik titreşimler artar, atomlar arası bağlar küçük yer değiştirmelere karşı daha az direnç gösterir ve ısıl genleşme atomlar arasındaki denge aralığını değiştirir. Tek bir faz içinde bu etki çoğu zaman kademeli olarak ortaya çıkar; ancak manyetik geçişler, toparlanma, yeniden kristalleşme ve faz dönüşümleri daha keskin değişimlere yol açabilir. Bir dönüşüm sıcaklığının yakınında, tek bir oda sıcaklığı değeri, sıcaklığa bağlı bir malzeme modelinin yerine özellikle yetersiz kalır.

National Bureau of Standards’ın Fe-5Cr-26Mn östenitik çeliği hakkındaki raporu yararlı bir örnek sunar. 1981’de yayımlanan bu çalışmada, boyuna ve enine kiplerdeki ses hızlarından yararlanılarak 76 ile 400 K arasındaki elastik sabitler belirlenmiştir. Bu, dinamik bir ölçümdür: dalga hızları boyuna ve kayma rijitliklerini verir ve bunlardan ilişkili diğer sabitler hesaplanabilir. Sonuç, deney aralığı boyunca östenitik olarak kalan bir çeliğin bile sıcaklıktan bağımsız tek bir elastik sabitler kümesine sahip olmadığını gösterir. Sıcaklık aralığı kriyojenik koşullardan oda sıcaklığının üzerine kadar uzandığından, ölçülen değerler tek bir kalite özelliğini değil, bir eğriyi tanımlar.

Dayanım ile rijitlik arasındaki ayrım burada önemlidir. Düşük sıcaklıkta dislokasyon hareketi zorlaştığından akma dayanımı büyük ölçüde artabilir; buna karşılık elastik eğim daha az belirgin biçimde değişir. Öte yandan $E$’deki küçük bir değişim; öngörülen sehim, burkulma yükü, temas basıncı veya ısıl gerilme paylaşımını değiştirebilir. Plastik dayanım ve elastik rijitlik farklı sorulara yanıt verir. Bir çelik, orantılı olarak daha rijit hâle gelmeden çok daha dayanıklı hâle gelebilir.

Dinamik ve statik deneyler, bildirilen değerlerde farklılıklar da oluşturabilir. ASTM E1875-20a, sonik rezonans yoluyla dinamik Young modülünün, kayma modülünün ve Poisson oranının belirlenmesini tanımlar. Rezonans deneyleri küçük gerinim ve yüksek frekansta gerçekleştirilirken, çekme deneyi belirlenmiş bir gerinim aralığı üzerindeki statik veya yarı statik eğimi elde eder. Mikroplastisite, anelastisite, cihaz uyumluluğu, numune geometrisi, yüzey durumu ve frekans, karşılaştırmayı etkileyebilir. Sonuçlardan hiçbiri diğerinin yerine evrensel olarak kullanılabilir kabul edilmemelidir.

Hacim modülünün fiziksel anlamı farklıdır: hacimsel sıkıştırmaya karşı direnci ölçer. NIST, onu termodinamik olarak $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$ şeklinde tanımlar. Engineering ToolBox, paslanmaz çelik için yaklaşık 163 GPa’lık bir hacim modülü verir; ancak bu değer her paslanmaz çelik kalitesi, sıcaklık, ürün biçimi, faz yapısı veya deney koşulu için evrensel bir değer değil, ikincil bir kaynakta yer alan yaklaşık bir tahmindir. Aynı uyarı tablolarda verilen $E$, $G$ ve $\nu$ değerleri için de geçerlidir.

Östenit, ferrit, martensit ve çok fazlı çelikler

Faz yapısı elastik yanıtı etkiler; çünkü her fazın kendine özgü kristal yapısı, bileşimi, örgü parametresi, manyetik durumu, kusur popülasyonu ve tek kristal rijitlik tensörü vardır. Ferrit hacim merkezli kübik, östenit yüzey merkezli kübik bir yapıya sahiptir; karbonun belirgin tetragonallik oluşturduğu durumlarda martensit ise genellikle hacim merkezli tetragonal veya büyük ölçüde bozulmuş hacim merkezli bir yapıdadır. Bu adlandırmalar tek bir benzersiz modülü tanımlamaz. Karbon içeriği, ikame alaşımlaması, düzenlenme, dislokasyon yoğunluğu ve tutulmuş kusurlar, her fazın rijitliğini değiştirir.

Östenitik çelikler, genel bir “östenit modülü” atamanın sakıncalarını açıkça gösterir. Fe-5Cr-26Mn çalışması, östenitik olarak tanımlanan her çeliği veya her Fe-Cr-Mn alaşımını değil, belirli bir kimyayı ve sıcaklık aralığını incelemiştir. Mangan ve krom, örgü kararlılığını ve manyetik davranışı etkiler; ayrıca kristal yapı östenitik olarak kalsa bile sıcaklık manyetik düzeni değiştirebilir. Bu tür değişimler atomlar arası kuvvetleri ve dolayısıyla elastik sabitleri etkiler.

Ferritik çelikler, ferromanyetik durumları ve bunun paramanyetizmaya doğru geçişiyle ilişkili, sıcaklığa bağlı elastik davranış gösterebilir. Bu değişim, gözle görülür bir faz dönüşümüyle çakışmak zorunda değildir. Martensitik çelikler ise başka bir katman ekler: su verme, aşırı doymuşluk, yüksek dislokasyon yoğunluğu, iç gerilmeler ve çoğu zaman karbon bağımlı tetragonallik oluşturur. Ardından menevişleme; karbür çökelmesini, toparlanmayı ve karbonun yeniden dağılımını beraberinde getirir. Bu nedenle menevişleme sonrasında ölçülen elastik yanıt, ideal bir martensit kristalinin yanıtı değildir.

Çok fazlı çeliklerde etkin özellik yorumu gerekir. Ferritik-martensitik, çift fazlı, beynitik veya tutulmuş östenit içeren çeliklerde görünen modül; faz oranlarını, fazların bağlantılılığını, kristalografik yönelimi, arayüzleri, gözenekliliği ve deney hacminin yönü ile ölçeğini yansıtır. Karışım kuralına dayalı bir tahmin ilk yaklaşımı sağlayabilir; ancak yerel kısıtlama nedeniyle tüm fazlar aynı gerinimi veya gerilmeyi taşımaz. Ferrit içine gömülmüş rijit bir martensitik bölge, yük aktarımı yoluyla ölçülen eğimi değiştirebilir; tutulmuş östenit ise yükleme sırasında dönüşerek yanıtın doğrusal elastiklikten sapmasına neden olabilir.

Tek kristal düzeyinde kübik ve hekzagonal kristaller, yöne bağlı rijitliklere sahiptir. Polikristalin çelik, ancak tane yönelimleri yeterince rastgele olduğunda ve numune ortalama alma için yeterli sayıda tane içerdiğinde izotropiye yaklaşır. Haddelenmiş levha, şerit ve çubuklarda tekstür korunabilir; bu da boyuna, enine ve kalınlık yönlerindeki modüllerin farklı olmasına yol açar. Böyle bir durumda hesaplamaya tek bir izotropik $E$ ve tek bir izotropik $G$ zorla yerleştirmek, gerçek yön bağımlı yanıtı gizleyebilir.

Döküm, haddeleme, ısıl işlem ve artık gerilme

İşleme, hem fazların içsel özelliklerini hem de üretilen gövdenin etkin rijitliğini değiştirir. Döküm çeliği; çekinti gözenekliliği, gaz gözenekleri, oksit filmleri, segregasyon, dendritik yapı, inklüzyonlar ve iri veya homojen olmayan taneler içerebilir. Bağlantılı gözenekliliğin küçük bir hacim oranı bile etkin modülü, tamamen yoğun çelik için el kitabında verilen bir değerin öngöreceğinden daha fazla azaltabilir. İnklüzyonlar matrise göre rijit veya uyumlu olabilir; yeterince bağlanmamış inklüzyonlar ise dinamik veya statik deney sırasında gerilme yığılmaları ya da çatlak benzeri kusurlar gibi davranır.

Haddeleme taneleri inceltir ve uzatır, döküm yapısını parçalar ve kristalografik tekstür oluşturur. Bunun sonucunda ortaya çıkan elastik anizotropi bazı ürünlerde sınırlı, bazılarında ise belirgin olabilir. Redüksiyon programı, haddeleme sıcaklığı, yeniden kristalleşme ve nihai kalınlık önem taşır. Haddeleme yönünde ölçülen bir modül, otomatik olarak enine veya normal yöne atan­mamalıdır.

Isıl işlem; faz oranlarını, tane boyutunu, dislokasyon yoğunluğunu, çökeltileri, karbür morfolojisini ve tutulmuş gerilmeyi değiştirir. Normalizasyon, ferrit-perlit yapısını inceltebilir; su verme, martensit ve artık gerilme oluşturabilir; menevişleme ise çökelme ve toparlanmayı değiştirirken bu gerilmenin bir bölümünü azaltır. Tavlama, yeniden kristalleşme yoluyla dislokasyon yoğunluğunu ve tekstürle ilişkili etkileri azaltabilir. Bu işlemler, akma dayanımı ve toklukta önemli değişiklikler oluştururken küçük gerinim modülünü önceki değerine kıyasla oldukça yakın bırakabilir; ancak ölçülen etkin modül kusurlar, faz dönüşümü veya tekstür yoluyla yine de değişebilir.

Artık gerilme ayrı olarak ele alınmalıdır. Kendi içinde dengelenmiş bir gerilme alanı, kusursuz, homojen ve doğrusal elastik bir kristalin ideal teğet modülünü zorunlu olarak değiştirmez. Bununla birlikte, bir deneyin kaydettiği değeri değiştirebilir. Artık gerilme dalga yayılımını, numune eğriliğini, temas koşullarını, çatlak kapanmasını ve mikroplastisitenin başlamasını etkiler. Çekme deneyinde görünen başlangıç eğimi; doğrultma, çene hizalaması, gerilmenin yeniden dağılması veya işleme gerilmelerinin tam olarak giderilmemesinden etkilenebilir. Rezonans deneyinde gerilme ve anizotropi, doğal frekansları değiştirebilir.

Sonuç olarak, savunulabilir bir çelik modülü ifadesi faz koşulunu, ısıl durumu, ürün yönünü, yoğunluk veya kusur durumunu ve ölçüm yöntemini belirtir. Sayı, tanımlanmış bu durumun bir özelliğidir; kalıcı bir kalite sabiti değildir.

Çelik Kalitesi Tanımları ve Güvenilir Özellik Tabloları

Bir çelik tanımı; bir bileşimi, ürün sınıfını veya spesifikasyon gerekliliğini belirtir; ancak tek başına eksiksiz bir elastik özellik kaydı sağlamaz. “304 paslanmaz çelik”, “AISI 1045” ve “ASTM A572 Grade 50” yararlı malzeme referanslarıdır; ancak bu adların hiçbiri tek başına ürün biçimini, ısıl geçmişi, kristalografik tekstürü, deney sıcaklığını veya elastisite modülünün elde edilmesinde kullanılan yöntemi belirtmez.

Bu ayrım önemlidir; çünkü izotropik doğrusal elastisitenin yalnızca iki bağımsız sabiti vardır. Mühendislikte yaygın olarak raporlanan küme; Young modülü $E$, Poisson oranı $\nu$, hacim modülü $K$ veya $B$, kayma modülü $G$, Lamé’nin birinci parametresi $\lambda$ ve $2\mu$ değerlerini içerir. Sandia National Laboratories, izotropik bağıntılar geçerli olduğunda $E$ ve $\nu$’nun diğer sabitleri belirlediğini belirtir. OpenStax, başlıca modüllere farklı fiziksel anlamlar atar: $E$, çekme veya tek eksenli tepkiyi; $K$, hacimsel sıkışmayı; $G$ ise kayma deformasyonunu tanımlar. Bu nedenle, kaynağını açıklamadan görünüşte dört bağımsız sayı sunan bir tablo, malzeme modelinin gerçekte sahip olmadığı bir kesinlik veya bağımsızlık izlenimi yaratabilir.

Östenitik, ferritik, martensitik ve çökelme sertleşmeli paslanmaz çelikler

Paslanmaz çelik ailesi adları, tek bir evrensel elastik tepkiyi değil, metalürjik yapıyı tanımlar. Type 304, Type 304L, Type 316 ve Type 316L gibi östenitik kaliteler, ASTM ürün spesifikasyonlarında genellikle ilgili “Type” tanımıyla ve uygun olduğu durumlarda UNS S30400, UNS S30403, UNS S31600 ve UNS S31603 gibi UNS numaralarıyla tanımlanır. Tanım, geçerli standartta nasıl yazılıyorsa o şekilde aktarılmalıdır. “304L stainless” ifadesi, düşük karbonlu kalitenin farklı bir bileşim gerekliliğine sahip olması ve farklı bir işlemden geçirilebilmesi nedeniyle, fark ettirmeden “304” olarak dönüştürülmemelidir.

Ferritik kaliteler arasında Type 430 ve Type 409; martensitik kaliteler arasında ise Type 410, Type 420 ve Type 440C bulunur. Bu adlar; faz kararlılığı, karbon seviyeleri, alaşım ilaveleri, sertleşme tepkisi ve manyetik davranış bakımından farklı aileleri tanımlar. Elastik özellikleri; soğuk redüksiyon, tavlama, su verme, menevişleme, kalıntı östenit, karbür dağılımları ve ölçüm yönünden etkilenebilir. Dövme veya haddeleme ürünü, kimyasal olarak benzer bir tanım taşıyan döküm ürün gibi davranmayabilir.

Çökelme sertleşmeli paslanmaz çeliklerde daha da büyük özen gerekir. 17-4 PH yaygın olarak kullanılan bir tanımdır; ancak bir spesifikasyon malzemeyi UNS S17400 olarak tanımlayabilir ve H900, H1025 veya H1150 gibi koşulları belirleyebilir. Bu koşul tanımları ısıl işlem durumlarını ifade eder ve birbirinin yerine kullanılabilecek kalite adları değildir. Bir özellik tablosunda koşul belirtilmeden “17-4 PH modulus” yazılması, malzeme tanımının önemli bir bölümünü eksik bırakır. Nominal alaşım tanımı değişmese bile, bu koşullar arasında matris, çökelti durumu, artık gerilme ve önceki deformasyon farklı olabilir.

ASM Steel Castings Handbook, elastisite modülünü, Poisson oranını, kayma modülünü ve ilgili fiziksel özellikleri çelik döküm verileri olarak ele alır. Bu çerçeve önemlidir: Bir dökme çelik tablosu, belirli bir döküm malzemesini ve deney temelini tanımlar; benzer kimyasal bileşime sahip her dövme, kaynaklı, eklemeli imal edilmiş veya ısıl işlem görmüş ürünü değil. Dökümlerde segregasyon, gözeneklilik, kalıntılar ve ölçülen sonuçları ve bunların saçılımını etkileyen yerel mikroyapısal farklılıklar bulunabilir.

Paslanmaz çelik ailesi etiketleri de tek bir kesin modül atamak için kullanılmamalıdır. Engineering ToolBox’ta paslanmaz çelik için yaklaşık ikincil bir referans değeri olarak 163 GPa verilmektedir; ancak bu değer her paslanmaz çelik kalitesi, sıcaklık, ürün biçimi veya deney koşulu için evrensel değildir. Bu, standartta belirtilen özel bir veri sayfasının veya ölçülmüş bir değerin yerine geçmeyen bir referans tahminidir.

Karbonlu ve düşük alaşımlı çelik tanımları

Karbonlu ve düşük alaşımlı çelikler de tanımların tam ve doğru kullanılmasını gerektirir. AISI/SAE 1045, SAE/AISI numaralandırma sisteminde bir karbon çeliğini tanımlar; yapısal çelik için bir ürün spesifikasyonu olan ASTM A36 ile aynı tanım değildir. ASTM A572 Grade 50, ASTM A572/A572M içindeki bir kaliteyi tanımlarken, AISI/SAE 4130 bir krom-molibden alaşımlı çelik bileşimini tanımlar. Bu etiketler, geçerli bir spesifikasyon açıkça desteklemedikçe “4130-grade A572” gibi resmî olmayan biçimlerde birleştirilmemelidir.

Avrupa tanımları da başka bir örnek oluşturur. S355J2 ve S355JR, EN 10025-2 kapsamında kullanılan tanımlardır ve son ekler, belirlenmiş darbe deneyi veya teslim koşulu anlamı taşır. Bunlar, ASTM A572 Grade 50’nin yalnızca alternatif adları değildir. Kimyasal benzerlik; spesifikasyon gereklilikleri, ürün boyutları, muayene kuralları veya elastik özellik verileri bakımından eşdeğerlik oluşturmaz.

Bir tablo, bileşim tanımı ile teslim koşulunu da birbirinden ayırmalıdır. AISI/SAE 4140 tavlanmış, normalize edilmiş ve menevişlenmiş, su verilmiş ve menevişlenmiş, dövülmüş veya başka bir belirtilmiş koşulda tedarik edilebilir. ASTM A36 levha, çubuk ve yapısal profiller bir ürün spesifikasyonuna tabidir; ancak ölçülen tepki yine de kalınlığa, haddeleme yönüne, artık gerilmeye ve deney yöntemine bağlı olabilir. Nominal kalite, sınırları veya gereklilikleri belirler; imalat geçmişini ortadan kaldırmaz.

Aynı uyarı “mild steel”, “tool steel”, “high-strength low-alloy steel” ve benzeri aile tanımları için de geçerlidir. Bunlar eksiksiz kalite tanımları değil, geniş kategorilerdir. Güvenilir bir tablo; standart numarasını, ilgili olduğunda revizyonu, kalite veya tip bilgisini, UNS ya da AISI/SAE tanımını, ürün biçimini ve ısıl işlem koşulunu verir. Bir tanım şirket içi bir ad ise, ASTM, ASME, SAE, AISI, EN veya UNS tanımı gibi sunulmak yerine bu şekilde belirtilmelidir.

Standartlar ve ürün spesifikasyonları değerlerle neden birlikte verilmelidir?

Elastik özellik değerleri yalnızca ölçüm bağlamıyla birlikte anlamlıdır. Bir tablo en azından aşağıdakileri belirtmelidir:

• ürün biçimi: levha, sac, çubuk, boru, tel, dövme parça, kaynak metali, tozla işlenmiş parça veya döküm;
• menevişleme, yaşlandırma, çözelti işlemi veya çökelme sertleşmesi durumu da dâhil olmak üzere ısıl işlem ve koşul;
• haddeleme, dövme, ekstrüzyon veya üretim yönüne göre deney yönü;
• sıcaklık ve çevresel koşul;
• yükleme hızı veya frekansı;
• numune geometrisi ve ilgili boyutlar;
• deney standardı ve revizyonu;
• sonucun statik, yarı statik veya dinamik olup olmadığı;
• mevcut olduğu durumlarda numune sayısı, aralık, ortalama ve saçılım.

Statik ve dinamik modüller otomatik olarak birbirinin yerine kullanılamaz. ASTM E1875-20a, dinamik Young modülünün, kayma modülünün ve Poisson oranının “sonik rezonans yoluyla” belirlenmesini kapsar. Rezonans ölçümleri dalga yayılımını ve titreşim frekansını kullanırken, bir çekme deneyi belirli bir yükleme hızı altında gerilme–şekil değiştirme eğrisinden bir eğim belirleyebilir. Her iki yöntem de elastik tepkiyle ilgilidir; ancak frekans, sönüm, mikroyapısal kusurlar, cihazlar ve veri indirgeme prosedürleri farklı olduğundan, raporlanan değerler birbirinden farklı olabilir.

Özellikle kriyojenik veya yüksek sıcaklık uygulamalarında sıcaklık belirtilmelidir. 1981 tarihli bir National Bureau of Standards raporu, Fe-5Cr-26Mn austenitic steel için elastik sabitleri, boyuna ve enine mod ses hızlarını kullanarak 76–400 K aralığında ölçmüştür. Bu aralık, oda sıcaklığı değerinin nitelendirme yapılmadan kriyojenik bir tasarım tablosuna kopyalanamayacağını gösterir. Tekstür ve kristal anizotropisi de başka bir sorun oluşturur: NIST el kitabının monokristal elastik sabitleri hakkındaki bölümü, yarı izotropik polikristal $E$, $G$, $B$, boyuna modül ve $\nu$ değerlerinin tek kristal rijitlik verilerinden nasıl türetilebileceğini açıklar; ancak bu türetmeler kristal simetrisine, yönelim dağılımına ve ortalama alma varsayımlarına bağlıdır.

İzotropik hesaplamalar için dikkatle tanımlanmış bir sabit çifti yeterlidir; diğerleri belirtilen denklemlerle hesaplanmalı veya tutarlılık bakımından kontrol edilmelidir. Anizotropik haddelenmiş, dövülmüş, tekstürlü, kaynaklı veya eklemeli imal edilmiş çeliklerde tek bir skaler modül, eksiksiz bir konstitütif tanımdan ziyade bir yaklaşım olabilir. Standartlar ve ürün spesifikasyonları, bir tablonun bu sınırlamayı gizlemesini önler. Her sayıyı tanımlanmış bir malzeme, koşul, yön, sıcaklık ve yöntemle ilişkilendirirler; böylece değer bir tasarım hesabına sorumlu biçimde aktarılmadan önce gerekli olan bilgiyi sağlarlar.

Tasarımda Kullanım: Doğru Modül İlişkisinin Seçilmesi

Bir elastik modül, bir deformasyon biçimine karşılık gelir. Young modülü $E$, tek eksenli gerilmenin oluşturduğu normal birim şekil değiştirmeyi; kayma modülü $G$, yaklaşık sabit hacimdeki çarpılmayı; hacim modülü $K$ — $B$ olarak da yazılır — düzgün basınca karşı direnci tanımlar. Poisson oranı $\nu$, normal ve yanal birim şekil değiştirmeleri birbirine bağlar. Bu büyüklükler birbiriyle ilişkilidir; ancak hepsinin gigapascal cinsinden ifade edilmesi veya çelik için genellikle birlikte listelenmesi, bunların birbirinin yerine kullanılabileceği anlamına gelmez.

Homojen, doğrusal ve izotropik bir katı için yalnızca iki elastik sabit bağımsızdır. Springer’ın Elasticity of Solids adlı çalışması, izotropik elastisiteye ilişkin 2020 tarihli incelemesinde bunu doğrudan belirtir. Sandia National Laboratories, ilişkili büyüklükler kümesini Young modülü $E$, Poisson oranı $\nu$, hacim modülü $K$, kayma modülü $G$, Lamé’nin birinci parametresi $\lambda$ ve $2\mu$ olarak listeler; diğer büyüklükleri $E$ ile $\nu$ belirler. Bu nedenle dönüşüm denklemleri, birbiriyle ilgisiz altı malzeme özelliğinin bağımsız ölçümleri değil, koşula bağlı ilişkilerdir:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

$$K=B=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

$$\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$$

ve

$$E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G}.$$

Varsayımlar önemlidir. Bu denklemler küçük birim şekil değiştirmeler, doğrusal elastik davranış ve izotropik davranış için geçerlidir. Haddeleme dokusuna sahip bir çelik levha, kaynak ısısından etkilenmiş bir bölge, yönlü katılaşma içeren bir döküm ürünü veya iki fazlı bir mikroyapı, tek bir dönüştürülmüş değerin her yükleme yönünü temsil edebilmesi için izotropiklik varsayımını yeterince karşılamayabilir.

Tek Eksenli Elemanlar ve E

Doğrusal bir çekme elemanı, basınç elemanı, bağ çubuğu, çubuk veya eksenel kuvvet altındaki narin bir kiriş parçası için birincil modül $E$’dir. Temel ilişki

$$\sigma =E\epsilon ,$$

şeklindedir; dolayısıyla prizmatik bir elemanın elastik uzaması

$$\delta =\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AE}},$$

olarak ifade edilir. Burada $P$ eksenel kuvveti, $L$ başlangıç uzunluğunu ve $A$ kesit alanını belirtir. Bu, elastik uzama, kısalma ve eksenel rijitlik $\mathrm{AE}/L$ tahmini için doğru başlangıç noktasıdır.

Yanal daralma veya çok eksenli kısıtlama önem kazandığında Poisson oranı devreye girer. Serbestçe gerilen bir çelik çubukta yanal daralma şu ilişkiye uyar:

$${\epsilon }_{\text{transverse}}=-\nu {\epsilon }_{\text{axial}}.$$

Bununla birlikte, tamamen kısıtlanmış bir numunenin eksenel davranışı yalnızca $E$ ile temsil edilemez. Yanal birim şekil değiştirme gelişemediğinden gerilme durumu üç boyutlu hâle gelir ve görünür rijitlik artar. Yapıştırılmış bir ek parçanın, kısıtlanmış bir rondelanın veya sıkı geçmenin sonlu eleman modelinde, bileşen izole edilmiş tek boyutlu bir çubuk gibi ele alınmak yerine bu etkileşim hesaba katılmalıdır.

$E$ için kullanılan değer, ölçüm ve çalışma koşullarıyla da uyumlu olmalıdır. Statik çekme deneyinin eğimi, rezonansla belirlenen dinamik modül ve ultrasonik hızdan çıkarılan modül; frekans, sıcaklık, numune geometrisi, gözeneklilik, artık gerilme ve kusurlar nedeniyle farklı olabilir. ASTM E1875-20a, dinamik Young modülünün, kayma modülünün ve Poisson oranının “sonik rezonans yoluyla” belirlenmesini tanımlar. Bu yöntem, tasarım sıcaklığında gerçekleştirilen yavaş bir çekme deneyinde elde edilen sayının aynısını otomatik olarak vermez.

Çelik, her metalurjik durumda tek bir elastik malzeme değildir. Ferritik, martensitik, beynitik ve östenitik yapılar birbirinden farklı olabilir; ayrıca doku, haddeleme yönü ile enine yönün farklı tepki vermesine yol açabilir. National Bureau of Standards’ın Fe-5Cr-26Mn östenitik çeliği hakkındaki raporu, 76–400 K aralığında boyuna ve enine mod ses hızlarından elastik sabitleri belirlemiştir. Bu sıcaklık aralığı, oda sıcaklığına yakın ölçülen bir elastik sabitin kriyojenik veya yüksek sıcaklıktaki çalışma koşulları için sıcaklıktan bağımsız veri olarak kabul edilmemesi gerektiğini hatırlatır.

Burulma ve G

Elastik burulma altındaki dairesel bir mil için burulma açısını $G$ belirler:

$$\theta =\frac{\mathrm{TL}}{\mathrm{JG}},$$

burada $T$ torku, $J$ alanın kutupsal ikinci momentini ve $L$ mil uzunluğunu belirtir. Burulma rijitliği $\mathrm{JG}/L$’dir. Dairesel bir milde buna karşılık gelen kayma gerilmesi

$$\tau =\frac{\mathrm{Tr}}{J}.$$

Bu hesapta $E$’nin doğrudan kullanılması, önce savunulabilir bir $\nu$ değeri üzerinden dönüştürülmediği sürece yanlış rijitlik verir. İzotropik çelik için

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}.$$

Bu dönüşüm, yalnızca $E$ ve $\nu$ mevcut olduğunda yararlıdır; ancak çekme ölçümünü doğrudan burulma ölçümüne dönüştürmez. Ortalama çekme modülü kabul edilebilir görünse bile malzeme, yöne bağlı bir kayma tepkisi gösterebilir.

Bu ayrım, ince cidarlı borular, kamalı miller, kaynaklı miller ve anizotropik üretim geçmişine sahip parçalar için önem kazanır. Genel bir kesitte burulma, çarpılmaya ve düzgün olmayan bir kayma alanına yol açabilir; dolayısıyla Saint-Venant’ın dairesel mil denklemi tek başına yetersiz kalabilir. Malzeme girdisi hâlâ bir kayma konstitutif parametresidir; ancak kesit analizi gerçek geometriyi temsil etmelidir.

Dinamik kayma verileri de benzer bir dikkat gerektirir. Rezonans yöntemleri, belirli bir frekanstaki ve küçük birim şekil değiştirme genliğindeki tepkiyi ölçer. Sonik bir deneyden hesaplanan değer, titreşim veya dalga analizi için uygun olabilir; ancak yavaş yüklemeli bir yapısal hesapta kullanılan sekant veya teğet rijitlikle aynı olmak zorunda değildir. “Dinamik” tanımı önemsiz bir etiket değildir; farklı bir deneysel koşulu belirtir.

Hidrostatik, Temas ve Dalga Problemleri

Hacimsel tepki için uygun parametre hacim modülü $K$ veya $B$’dir. Hidrostatik basınç altında basınç, hacmi şu bağıntıya göre değiştirir:

$$K=B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}{)}_T,$$

Bu, National Institute of Standards and Technology tarafından 1982’de verilen termodinamik tanımdır. Yüksek bir $K$ değeri, önemli bir basıncın yalnızca küçük bir oransal hacim değişikliği oluşturduğu anlamına gelir. Bu durum, esas olarak $G$ tarafından belirlenen şekil değişimine karşı dirençten farklıdır.

Engineering ToolBox, paslanmaz çelik için yaklaşık 163 GPa değerinde bir hacim modülü verir. Bu değer, her paslanmaz çelik kalitesi, sıcaklık, ürün biçimi, faz yapısı veya deney yöntemi için evrensel bir değer olarak değil, ikincil bir referans tahmini olarak kullanılabilir. $K=E/[3(1-2\nu \left)\right]$ olduğundan, $\nu$ 0,5’e yaklaştığında $\nu$’deki küçük hatalar hesaplanan hacim modülünde belirgin bir değişikliğe yol açabilir.

Temas hesaplamaları hem normal hem de teğetsel davranışı gerektirir. Hertz temasında iki cisim için etkin normal modül genellikle şu şekilde yazılır:

\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}. \]

Burada yerel elastik girintiyi, tek bir çelik kalitesine ait $E$ değil, \(E^*\) belirler. Sürtünmeli kayma ve teğetsel çekiş, $G$ ile $\nu$’yu da devreye sokar. Bir modelin \(E^*\) yerine $K$ kullanması matematiksel olarak kararlı kalabilir ve düzgün temas basınçları üretebilir; ancak yanlış deformasyon mekanizmasını temsil eder.

Dalga problemlerinde yine farklı bir kombinasyon kullanılır. İzotropik bir katı için boyuna dalga modülü

$$M=K+\frac{4G}{3},$$

olup boyuna ve kayma dalga hızları

\[ v_L=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}}, \qquad v_S=\sqrt{\frac{G}{\rho}}. \]

şeklindedir. Bu nedenle yalnızca boyuna hız, tüm elastik sabitleri belirlemez; $K$ ile $G$’yi birbirinden ayırmak için enine dalga ölçümü gerekir. Tek kristalde veya dokulu polikristalde dalga hızı, yayılma yönüne ve polarizasyona da bağlıdır; dolayısıyla izotropik formüller gerçek elastik anizotropiyi gizleyebilir.

Üç boyutlu sonlu eleman formülasyonlarında genellikle $E$ ve $\nu$, $K$ ve $G$ veya Lamé parametreleri $\lambda$ ve $\mu$ kullanılır. Seçim matematikseldir; fiziksel malzemenin değiştiği anlamına gelmez. Bununla birlikte, sıkıştırılamazlığa yakın koşullarda $\nu$’nun 0,5’e yakın olduğu bir $E$-$\nu$ formülasyonu hacimsel kilitlenme sorunu yaşayabilir; basınç ile deviatorik tepkiyi kullanan karma bir formülasyon daha iyi sonuç verebilir. Buna karşılık, bağımsız olarak yuvarlanmış $E$, $G$ ve $K$ değerlerinin kullanılması izotropik dönüşüm denklemlerini ihlal edebilir ve kendi içinde tutarsız bir rijitlik matrisi oluşturabilir.

Temel tasarım riski budur: dönüştürülmüş bir sabit, bir denklemle sayısal olarak tutarlı olabilir; ancak modellenen problem, sıcaklık, frekans, yön veya çelik mikroyapısı için fiziksel açıdan uygunsuz olabilir. Önce deformasyon biçimine göre modülü seçin; ardından ölçüm koşullarının ve izotropiklik varsayımlarının bileşen ile analiz koşullarına uyduğunu doğrulayın.

Çelik Modülü Hesaplamalarında Yaygın Hatalar

Çelik modülü hesaplamaları çoğu zaman farklı fiziksel anlamlara sahip niceliklerin birbirinin yerine kullanılabilmesi nedeniyle hatalı sonuçlanır. Young modülü $E$, kayma modülü $G$, hacim modülü $K$ veya $B$ ve Poisson oranı $\nu$, elastik deformasyonu tanımlar. Akma dayanımı ise önemli kalıcı deformasyonun başlangıcını ifade eder. Bunlar bir malzeme modelinin farklı bölümlerine aittir.

İzotropik, doğrusal elastik bir katı için yalnızca iki elastik sabit bağımsızdır. Springer’ın Elasticity of Solids bölümü (2020) bu durumu doğrudan belirtir. Sandia National Laboratories, ilgili grubu Young modülü $E$, Poisson oranı $\nu$, hacim modülü $K$, kayma modülü $G$, Lamé’nin birinci parametresi $\lambda$ ve $2\mu$ olarak listeler; $E$ ve $\nu$ değerlerinin belirlenmesi diğerlerini de belirler. Yaygın dönüşümler şunlardır:

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

ve

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}.$$

Bu denklemler birbirinden bağımsız deneysel gerçekler değildir. İzotropik doğrusal elastisite varsayımının sonuçlarıdır. Bunların kullanımı; birbiriyle uyumlu değerler, tutarlı birimler ve izotropinin makul bir yaklaşım olduğu bir malzeme durumu gerektirir.

Modülü akma dayanımıyla karıştırmak

En yaygın hatalardan biri, akma dayanımı daha yüksek olduğu için yüksek dayanımlı bir çeliği “daha rijit” olarak nitelendirmektir. Akma dayanımı, çoğunlukla %0,2 gibi bir kanıt gerinimi kullanılarak, belirli bir kritere göre plastik gerinimin başladığı gerilimi ölçer. Young modülü ise bu geçişten önceki elastik gerilme-gerinim yanıtının eğimini ölçer. Isıl işlem, soğuk haddeleme programı, çökelme reaksiyonu veya karbon içeriğindeki değişiklik, başlangıçtaki elastik eğimde buna karşılık gelen bir değişiklik yaratmadan akma dayanımını önemli ölçüde artırabilir.

Bu ayrım tasarım açısından önemlidir. Bir servis yükü altındaki sehim esas olarak $E$, geometri, sınır koşulları ve yük tarafından belirlenir; izin verilen gerilme kontrolü ise ayrıca akma dayanımını veya başka bir dayanım sınırını gerektirir. $E$ yerine bir kalite sınıfının akma dayanımını kullanmak, boyutsal olarak makul görünen ancak fiziksel anlam taşımayan sonuçlar üretir. Gerilmenin akma dayanımına bölündüğü bir hesap, kullanım oranını tahmin edebilir. Elastik gerinimi hesaplamaz.

Aynı hata kaymada da görülür. Kayma modülü, kayma gerilmesi ile kayma gerinimi arasındaki elastik bağıntıyla tanımlanır:

$$\tau =G\gamma .$$

Kayma akma dayanımı plastik bir sınırdır. von Mises bağıntısı gibi bir akma kriterinden tahmin edilebilir; ancak $G$ değildir ve bir modüle gerilme birimleri atanıp adı değiştirilerek elde edilemez. OpenStax (2020), deformasyon biçimlerini açıkça birbirinden ayırır: Young modülü çekme yanıtını, hacim modülü hacimsel sıkışmayı ve kayma modülü kayma deformasyonunu tanımlar.

Bu nedenle bir çelik spesifikasyonu, bu sayılar basit bir kalite sınıfı dönüşümüyle birbirine bağlı olmaksızın, hem bir akma dayanımı gerekliliği hem de bir elastik özellik varsayımı içerebilir. Yapısal hesaplamalar için ilgili tanım ve ürün standardı; örneğin ASTM A240/A240M levha veya sac, EN 10025-2 S355 malzemesi ya da ASTM A276 Type 304 paslanmaz çelik; kalınlık, ürün biçimi ve deney yönüyle birlikte kaydedilmelidir. Tanım, malzeme gerekliliğini belirtir; ancak genel bir modül değerini her ürün için kesin hâle getirmez.

Bir başka hata da her kalite sınıfının tek ve kesin bir $E$ değerine sahip olduğunu varsaymaktır. Ferritik, martenzitik, beynitik, östenitik ve dubleks çelikler farklı faz oranlarına, dokulara, döküm ürünlerinde farklı gözeneklilik düzeylerine ve artık gerilmelere sahip olabilir. Bu etkenler ölçülen elastik yanıtı etkiler. Birçok mühendislik tahmini için geleneksel bir izotropik değer yeterlidir; ancak bu değer, “çelik” sözcüğüne bağlı evrensel bir fiziksel sabit değil, bir varsayım veya benimsenmiş bir tasarım değeridir.

Statik ve dinamik değerleri karıştırmak

Statik ve dinamik modüller birbiriyle ilişkilidir; ancak otomatik olarak birbirlerinin yerine kullanılamaz. Statik modül, yavaşça uygulanan bir mekanik deneyle, genellikle belirli bir gerinim aralığındaki çekme veya basma gerilme-gerinim eğrisinin eğiminden elde edilir. Sonuç; cihaz uyumluluğundan, kavrama hizasından, yüzey durumundan, gerinim hızından, histerezisten, mikroplastiklikten ve eğimin nasıl uydurulduğundan etkilenebilir.

Dinamik modül, dalga yayılımı, rezonans veya zamana bağlı başka bir ölçüm aracılığıyla çıkarılır. ASTM E1875-20a, dinamik Young modülünün, kayma modülünün ve Poisson oranının “sonik rezonans yoluyla” belirlenmesini tanımlar. Elastik sabitleri çıkarmak için numunenin rezonans frekansları ve boyutları kullanılır. Bu yöntem, küçük gerinimlere ilişkin hassas veriler sağlayabilir; ancak sonuç, yüksek frekanslı ve çok küçük genlikli deformasyona karşılık gelir ve buna göre etiketlenmelidir.

Dinamik ölçümler ayrıca yoğunluğa, numune geometrisine, frekansa, sıcaklığa ve mod tanımlamasına bağlıdır. Boyuna rezonanstan elde edilen bir değer, uygun bağıntı ve uyumlu bir Poisson oranı olmadan kayma hesabına yerleştirilmemelidir. Benzer şekilde, bir el kitabındaki “elastisite modülü” bir tasarım konvansiyonu olabilirken, bir rezonans raporu dinamik bir modülü tanımlıyor olabilir. Bu ikisi aynı deneyden elde edilmiş gibi karşılaştırılmamalıdır.

$E$, $G$ ve $K$ arasında dönüşüm yapılırken girdilerin statik mi yoksa dinamik mi olduğu belirtilmelidir. Çekme deneyinden elde edilen bir $E$ değerinin sonik rezonansla elde edilen bir $\nu$ değeriyle birleştirilmesi, her iki sayı da ayrı ayrı güvenilir olsa bile kendi içinde tutarsız bir grup oluşturabilir. Hesap cebirsel koşulları sağlayabilir; ancak tek bir ölçülmüş malzeme durumunu temsil etmeyebilir.

Poisson oranı özel dikkat gerektirir; çünkü $\nu$ değerindeki belirsizlik hacim modülü denkleminde önem kazanır. $E=200$ GPa ve $\nu =0.30$ ise izotropik bağıntı $K=166.7$ GPa sonucunu verir. Aynı $E$ değeri $\nu =0.29$ ile birleştirildiğinde $K=158.7$ GPa, $\nu =0.31$ ile birleştirildiğinde ise $K=175.4$ GPa olur. $\nu$’de yalnızca 0.01’lik bir değişim, hesaplanan $K$ değerini yaklaşık %5 değiştirir. $\nu =0.5$ değerine yaklaşıldığında $1-2\nu$ sıfıra yaklaştığı için duyarlılık çok daha büyük olur. Elde edilen $K$ değerini ölçülmüş bir sabit gibi sunmak yerine, varsayılan değeri, kaynağını ve bir duyarlılık aralığını belirtin.

Birimler daha basit olmakla birlikte sık karşılaşılan bir hata kaynağıdır. $1\text{GPa}=1000\text{MPa}$ olduğundan, GPa cinsinden girilmiş bir $G$ değeriyle birlikte MPa cinsinden girilmiş bir $E$ değeri, 1000 katlık bir hataya yol açabilir. Hesap boyunca tüm modülleri tek birim sisteminde tutun ve nihai sonucun yanında birimi belirtin.

Hacim modülü değerlerinin kaynağı belgelenmelidir. Engineering ToolBox, paslanmaz çelik için yaklaşık 163 GPa değerini listeler; ancak bu, her paslanmaz çelik kalite sınıfı, ürün biçimi, sıcaklık veya deney koşulu için evrensel bir değer değil, ikincil bir kaynak tahminidir. Savunulabilir bir atıf; özgün ölçümü veya hesabı, bileşimi, faz durumunu, sıcaklığı, basınç aralığını, yoğunluk temelini ve yöntemi belirtmelidir. National Institute of Standards and Technology’nin (1982) termodinamik tanımı $B=-V(\partial P/\partial V{)}_T$, sıcaklık koşulunu açıkça ortaya koyar. Bu koşullar belirtilmeden bir tablodan kopyalanan bir sayı yaklaşık olarak işaretlenmelidir.

Anizotropiyi ve sıcaklığı göz ardı etmek

İzotropik denklemler, yanıtın her yönde aynı olduğunu varsayar. Haddelenmiş levha, çekilmiş tel, dövme çubuk ve eklemeli olarak üretilmiş çeliklerde yaygın olarak kristalografik doku gelişir. Malzeme çıplak gözle homojen görünse bile elastik yanıtı yükleme yönüne göre değişebilir. Güçlü dokuya sahip bir sac, tek bir $E$, $G$ ve $\nu$ yerine yöne özgü sabitler gerektirebilir.

Tek kristal elastisitesi tek bir skaler modülle değil, elastik rijitlik matrisiyle tanımlanır. NIST’in 1982 tarihli el kitabı bölümü, kübik ve hekzagonal elementler için tek kristal rijitlik verilerinden yarı izotropik polikristal sabitlerin nasıl türetilebileceğini açıklar. Bu ortalama alma işlemi bir modeldir. Doku güçlü olduğunda, faz oranları uzaysal olarak değiştiğinde veya ürün hizalanmış kalıntılar ya da gözenekler içerdiğinde bu model daha az uygun hâle gelir.

Sıcaklık da sıklıkla göz ardı edilen bir değişkendir. Elastik sabitler genel olarak sıcaklıkla değişir ve faz dönüşümleri, olağan ısıl yumuşamadan daha büyük süreksizliklere yol açabilir. National Bureau of Standards’ın (1981) bir raporu, Fe-5Cr-26Mn östenitik çeliği için elastik sabitleri 76–400 K aralığında boyuna ve enine mod ses hızlarını kullanarak ölçmüştür. Sıcaklık aralığının kendisi, oda sıcaklığındaki bir değerin kriyojenik hizmete veya yüksek sıcaklıkta çalışan ekipmana sessizce aktarılamayacağını gösterir.

Bu nedenle bir hesap; malzeme tanımını, ürün biçimini, deney yönünü, sıcaklığı, deformasyon biçimini, ölçüm yöntemini ve sabitlerin statik, dinamik, izotropik veya yöne özgü olup olmadığını belirtmelidir. Bu ayrıntılar mevcut değilse sonucu bir mühendislik tahmini olarak etiketleyin ve $E$, $G$, $K$ ve $\nu$ değerlerindeki belirsizliğin yanıtı nasıl etkilediğini gösterin. Bu yaklaşım, tüm çeliklere tek bir kesin modül atamaktan ve belirtilmemiş bir varsayımın tasarımı yönlendirmesine izin vermekten daha doğrudur.

Kaynaklar

1. [1]National Institute of Standards and Technology. Bulk modulus definition. NIST handbook chapter, 1982. https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=851172
2. [2]ASTM International. Standard Test Methods for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Sonic Resonance. ASTM E1875-20a, 2020. https://www.astm.org/e1875-20a.html
3. [3]Springer Nature. Elasticity of Solids. Springer book chapter, 2020. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44787-8_4
4. [4]OpenStax. Stress, Strain, and Elastic Modulus. University Physics Volume 1, 2020. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
5. [5]National Bureau of Standards. Elastic Constants of Fe-5Cr-26Mn Austenitic Steel from 76 to 400 K. National Bureau of Standards report, 1981. https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724/pdf/GOVPUB-C13-3488bca643803d66b83ad6e7425b6724.pdf